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0509.斐波那契数.md

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509. 斐波那契数

力扣题目链接

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

  • 输入：2
  • 输出：1
  • 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

  • 输入：3
  • 输出：2
  • 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

  • 输入：4
  • 输出：3
  • 解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

  • 0 <= n <= 30

思路

斐波那契数列大家应该非常熟悉不过了，非常适合作为动规第一道题目来练练手。

因为这道题目比较简单，可能一些同学并不需要做什么分析，直接顺手一写就过了。

但「代码随想录」的风格是：简单题目是用来加深对解题方法论的理解的。

通过这道题目让大家可以初步认识到，按照动规五部曲是如何解题的。

对于动规，如果没有方法论的话，可能简单题目可以顺手一写就过，难一点就不知道如何下手了。

所以我总结的动规五部曲，是要用来贯穿整个动态规划系列的，就像之前讲过二叉树系列的递归三部曲，回溯法系列的回溯三部曲一样。后面慢慢大家就会体会到，动规五部曲方法的重要性。

动态规划

动规五部曲：

这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

  1. 确定递推公式

为什么这是一道非常简单的入门题目呢？

因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

  1. dp数组如何初始化

题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：

dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
  1. 确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

  1. 举例推导dp数组

按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

以上我们用动规的方法分析完了，C++代码如下：

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N <= 1) return N;
        vector<int> dp(N + 1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[N];
    }
};
  • 时间复杂度：O(n)
  • 空间复杂度：O(n)

当然可以发现，我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列。

代码如下：

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N <= 1) return N;
        int dp[2];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            int sum = dp[0] + dp[1];
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = sum;
        }
        return dp[1];
    }
};
  • 时间复杂度：O(n)
  • 空间复杂度：O(1)

递归解法

本题还可以使用递归解法来做

代码如下：

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N < 2) return N;
        return fib(N - 1) + fib(N - 2);
    }
};
  • 时间复杂度：O(2^n)
  • 空间复杂度：O(n)，算上了编程语言中实现递归的系统栈所占空间

这个递归的时间复杂度大家画一下树形图就知道了，如果不清晰的同学，可以看这篇：通过一道面试题目，讲一讲递归算法的时间复杂度！

总结

斐波那契数列这道题目是非常基础的题目，我在后面的动态规划的讲解中将会多次提到斐波那契数列！

这里我严格按照关于动态规划，你该了解这些！中的动规五部曲来分析了这道题目，一些分析步骤可能同学感觉没有必要搞的这么复杂，代码其实上来就可以撸出来。

但我还是强调一下，简单题是用来掌握方法论的，动规五部曲将在接下来的动态规划讲解中发挥重要作用，敬请期待！

就酱，循序渐进学算法，认准「代码随想录」！

其他语言版本

Java

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n < 2) return n;
        int a = 0, b = 1, c = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
        return c;
    }
}
//非压缩状态的版本
class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;             
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int index = 2; index <= n; index++){
            dp[index] = dp[index - 1] + dp[index - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

Python

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n < 2:
            return n
        a, b, c = 0, 1, 0
        for i in range(1, n):
            c = a + b
            a, b = b, c
        return c

# 递归实现
class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n < 2:
            return n
        return self.fib(n - 1) + self.fib(n - 2)

Go：

func fib(n int) int {
    if n < 2 {
        return n
    }
    a, b, c := 0, 1, 0
    for i := 1; i < n; i++ {
        c = a + b
        a, b = b, c
    }
        return c
}

Javascript

解法一

var fib = function(n) {
    let dp = [0, 1]
    for(let i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    }
    console.log(dp)
    return dp[n]
};

解法二：时间复杂度O(N)，空间复杂度O(1)

var fib = function(n) {
    // 动规状态转移中，当前结果只依赖前两个元素的结果，所以只要两个变量代替dp数组记录状态过程。将空间复杂度降到O(1)
    let pre1 = 1
    let pre2 = 0
    let temp
    if (n === 0) return 0
    if (n === 1) return 1
    for(let i = 2; i <= n; i++) {
        temp = pre1
        pre1 = pre1 + pre2
        pre2 = temp
    }
    return pre1
};

TypeScript

function fib(n: number): number {
    /**
        dp[i]: 第i个斐波那契数
        dp[0]: 0;
        dp[1]：1；
        ...
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
     */
    const dp: number[] = [];
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
};

C

动态规划:

int fib(int n){
    //当n <= 1时，返回n
    if(n <= 1)
        return n;
    //动态开辟一个int数组，大小为n+1
    int *dp = (int *)malloc(sizeof(int) * (n + 1));
    //设置0号位为0，1号为为1
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;

    //从前向后遍历数组(i=2; i <= n; ++i),下标为n时的元素为dp[i-1] + dp[i-2]
    int i;
    for(i = 2; i <= n; ++i) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}

递归实现：

int fib(int n){
    //若n小于等于1，返回n
    if(n <= 1)
        return n;
    //否则返回fib(n-1) + fib(n-2)
    return fib(n-1) + fib(n-2);
}

Rust

动态规划:

pub fn fib(n: i32) -> i32 {
    let n = n as usize;
    let mut dp = vec![0; 31];
    dp[1] = 1;
    for i in 2..=n {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    dp[n]
}

递归实现：

pub fn fib(n: i32) -> i32 {
    //若n小于等于1，返回n
    f n <= 1 {
        return n;
    }
    //否则返回fib(n-1) + fib(n-2)
    return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}