From 5206edc74ddb143d1a171059dec09ebd22f76b55 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Grant Sanderson Date: Fri, 7 Jun 2024 09:27:43 -0600 Subject: [PATCH] Added Germany community srt --- 2016/vectors/german/community.srt | 1531 ++++++++++++++++------------- 1 file changed, 871 insertions(+), 660 deletions(-) diff --git a/2016/vectors/german/community.srt b/2016/vectors/german/community.srt index 0d287b6c1..e664c71e5 100644 --- a/2016/vectors/german/community.srt +++ b/2016/vectors/german/community.srt @@ -1,660 +1,871 @@ -1 -00:00:04,220 --> 00:00:06,940 -"Zahlen als Koordinaten anzukündigen ist pure Grausamkeit" - -2 -00:00:06,940 --> 00:00:10,660 -"Zahlen als Koordinaten anzukündigen ist pure Grausamkeit" -Hermann Weyl - -3 -00:00:11,380 --> 00:00:15,400 -Der fundamentale Baustein der Linearen Algebra ist der Vektor - -4 -00:00:15,560 --> 00:00:20,080 -Daher ist es wichtig, dass wir alle der selben Meinung darüber sind, was ein Vektor ist - -5 -00:00:20,300 --> 00:00:24,420 -Grundsätzlich gibt es drei verschiedene Ansichten darüber, was ein Vektor ist - -6 -00:00:24,880 --> 00:00:26,800 -Die erste ist die des Physikstudenten - -7 -00:00:27,020 --> 00:00:28,560 -dann die des Informatikstudenten - -8 -00:00:28,560 --> 00:00:30,560 -und die Ansicht des Mathematikstudenten - -9 -00:00:30,840 --> 00:00:34,480 -Für den Physiker sind Vektoren Pfeile, die im Raum irgendwo hinzeigen - -10 -00:00:35,000 --> 00:00:38,960 -Ein Vektor wird darüber definiert, wie lang er ist und wo er hinzeigt - -11 -00:00:39,300 --> 00:00:43,280 -Solange diese zwei Faktoren fest sind, kann man den Pfeil hin- und herbewegen, es ist immer noch der selbe Vektor. - -12 -00:00:43,920 --> 00:00:46,300 -Vektoren in einer Ebene sind zweidimensional - -13 -00:00:46,540 --> 00:00:50,160 -und Vektoren, die sich im Raum befinden (so wie du und ich <3) sind dreidimensional. - -14 -00:00:51,600 --> 00:00:55,780 -Aus der Sicht eines Informatikers sind Vektoren geordnete Listen mit Nummern - -15 -00:00:56,160 --> 00:00:59,320 -Beispiel: Stell dir vor, du machst Berechnungen mit Preisen von Immobilien - -16 -00:00:59,780 --> 00:01:02,740 -und die zwei Faktoren, die dich interessieren sind: Wohnfläche und Preis - -17 -00:01:03,300 --> 00:01:05,560 -Wahrscheinlich würdest du jedes Haus durch ein Zahlenpaar darstellen - -18 -00:01:05,820 --> 00:01:07,280 -Die erste Zahl steht für Wohnfläche in m² - -19 -00:01:07,280 --> 00:01:09,280 -und die zweite steht für den Preis - -20 -00:01:09,280 --> 00:01:11,780 -Wie du siehst: Die Reihenfolge ist wichtig! - -21 -00:01:12,780 --> 00:01:15,820 -Umgangssprachlich: Jedes Haus würde durch einen zweidimensionalen Vektor dargestellt - -22 -00:01:16,100 --> 00:01:19,900 -In diesem Kontext ist "Vektor" daher nur ein schickes Wort für "Liste" - -23 -00:01:20,140 --> 00:01:24,040 -und der Vektor ist zweidimensional weil die Länge der Liste "2" beträgt - -24 -00:01:25,760 --> 00:01:29,480 -Der Mathematiker tendiert dazu diese beiden Ansichten zu verallgemeinern - -25 -00:01:29,760 --> 00:01:31,840 -Ein Vektor kann also quasi alles bedeuten - -26 -00:01:31,840 --> 00:01:36,220 -wenn es darum geht Vektoren zu addieren und Vektoren mit einer Zahl zu multiplizieren - -27 -00:01:36,520 --> 00:01:38,800 -Ich erläutere beide Operationen später in diesem Video - -28 -00:01:39,420 --> 00:01:41,760 -Die Details dieser Ansicht sind eher abstrakt - -29 -00:01:41,760 --> 00:01:45,440 -daher wäre es besser, diese bis zum letzten Video dieser Videoreihe zu ignorieren - -30 -00:01:45,800 --> 00:01:48,120 -Wir werden uns eher mit Konkreterem beschäftigen - -31 -00:01:48,460 --> 00:01:50,560 -Doch der Grund, warum ich die Mathematiker-Perspektive erwähne - -32 -00:01:50,680 --> 00:01:57,420 -ist dass die Konzepte der Vektoraddition und Skalarmultiplikation grundlegend wichtig in der Linearen Algebra sind - -33 -00:01:57,860 --> 00:01:59,680 -Bevor wir die Operationen anpacken - -34 -00:01:59,860 --> 00:02:04,220 -lasst uns ein Bild davon machen was wir uns unter einem "Vektor" vorstellen müssen. - -35 -00:02:04,520 --> 00:02:06,860 -In Anbetracht des geometrischen Schwerpunkts, den ich setzen will, - -36 -00:02:07,100 --> 00:02:11,820 -möchte ich, dass du dir einen Pfeil vorstellst, wann immer ich ein neues Thema mit Vektoren aufgreife. - -37 -00:02:12,120 --> 00:02:15,820 -Vor allem: Stell dir diesen Pfeil in einem Koordinatensystem vor - -38 -00:02:15,820 --> 00:02:17,300 -wie die x-y-Ebene beispielsweis - -39 -00:02:17,540 --> 00:02:19,560 -Der Vektor startet immer im Usrprung - -40 -00:02:19,680 --> 00:02:22,100 -Diese Perspektive ist ein bisschen anders als die des Physik-Student, - -41 -00:02:22,100 --> 00:02:25,120 -wo Vektoren überall im Raum anfangen könnten - -42 -00:02:25,380 --> 00:02:30,540 -In der Linearen Algebra ist es fast immer der Fall, dass die Vektoren am Ursprung sitzen - -43 -00:02:31,060 --> 00:02:35,080 -Wenn du ein neues Konzept mit Hilfe der Pfeile im Raum verstanden hast - -44 -00:02:35,480 --> 00:02:38,060 -wechseln wir in die Perspektive der Listen und Nummern - -45 -00:02:38,360 --> 00:02:40,760 -indem wir die Koordinaten der Vektoren betrachten - -46 -00:02:41,380 --> 00:02:44,720 -Obwohl ihr schon alle mit diesem Koordinatensysten vetraut seid - -47 -00:02:45,060 --> 00:02:47,100 -wäre es gut, sich nochmal explizit damit zu beschäftigen - -48 -00:02:47,140 --> 00:02:51,880 -da sich hier das Wichtigste zwischen den beiden Ansichten in der Linearen Algebra abspielt - -49 -00:02:52,720 --> 00:02:54,840 -Wenn wir uns auf die zwei Dimensionen konzentrieren, - -50 -00:02:55,320 --> 00:02:59,720 -haben wir eine waagerechte und eine senkrechte Linie, nämlich x-Achse und y-Achse - -51 -00:03:00,360 --> 00:03:05,580 -Diese schneiden sich im "Ursprung", welcher als Zentrum des Raumes und Wurzel aller Vektoren zu verstehen ist - -52 -00:03:06,400 --> 00:03:11,620 -Man markiert das Koordinatensystem und wählt 1 als Standardeinheit - -53 -00:03:12,320 --> 00:03:14,900 -Wenn ich das Konzept des gesamten zweidimensionalen Raumes verdeutlichen will - -54 -00:03:14,900 --> 00:03:16,900 -- was (wie ihr sehen werdet) häufiger passieren wird - , - -55 -00:03:16,900 --> 00:03:19,080 -erweitere ich das Koordinatensystem mit einem Raster - -56 -00:03:19,080 --> 00:03:21,380 -Aber im Moment wären sie ein bisschen im Weg - -57 -00:03:21,960 --> 00:03:23,400 -Die Koordinaten eines Vektors - -58 -00:03:23,400 --> 00:03:26,360 -sind ein Zahlenpaar, das mir sagt, - -59 -00:03:26,360 --> 00:03:30,400 -wie ich vom Ursprung des Vektors zu seiner Spitze gelange - -60 -00:03:30,900 --> 00:03:33,760 -Die erste Zahl sagt mir, wie ich entlang der x-Achse gehen muss - -61 -00:03:34,080 --> 00:03:37,800 -(positive Zahlen heißen: nach rechts gehen; negative Zahlen heißen: nach links gehen) - -62 -00:03:38,300 --> 00:03:43,020 -Und die zweite Zahl sagt mir, wie weit ich DANACH parallel zur y-Achse gehen muss - -63 -00:03:43,320 --> 00:03:47,460 -(positive Zahlen heißen: nach oben gehen; negative Zahlen heißen: nach unten gehen) - -64 -00:03:48,300 --> 00:03:54,160 -Um Vektoren von Punkten zu unterscheiden, schreibt man die Zahlen vertikal, in eckigen Klammern auf - -65 -00:03:56,060 --> 00:03:59,660 -Jedes Zahlenpaar gibt dir genau einen Vektor. - -66 -00:03:59,920 --> 00:04:03,600 -Jeder Vektor hat genau ein Zahlenpaar - -67 -00:04:04,440 --> 00:04:05,780 -Was ist mit 3 Dimensionen? - -68 -00:04:06,080 --> 00:04:08,940 -Nun... du hast eine weitere Achse - die z-Achse - -69 -00:04:09,140 --> 00:04:12,220 -welche zur x-Achse und y-Achse senkrecht steht - -70 -00:04:12,680 --> 00:04:16,360 -Jeder Vektor hat genau ein Zahlentripel - -71 -00:04:16,820 --> 00:04:19,300 -Die erste Zahl sagt, wie man an der x-Achse entlang geht - -72 -00:04:19,720 --> 00:04:23,280 -Die zweite Zahl bestimmt, wie man parallel zur y-Achse entlang geht - -73 -00:04:23,520 --> 00:04:27,820 -Die dritte, wie man parallel zur neuen z-Achse geht - -74 -00:04:28,400 --> 00:04:31,740 -Jedes Zahlentripel gibt dir einen einzigen Vektor im Raum - -75 -00:04:32,120 --> 00:04:35,520 -Jeder Vektor im Raum gibt dir genau ein Zahlentripel - -76 -00:04:36,820 --> 00:04:40,060 -Nun zurück zur Vektoraddition und Skalarmultiplikation - -77 -00:04:40,480 --> 00:04:44,800 -Schließlich dreht sich alles in der Linearen Algebra um diese zwei Operationen - -78 -00:04:45,360 --> 00:04:47,640 -Glücklicherweise sind beide leicht definierbar - -79 -00:04:48,420 --> 00:04:51,540 -Angenommen, du hast diese zwei Vektoren hier: Einer zeigt nach oben und ein bisschen nach rechts, - -80 -00:04:51,540 --> 00:04:53,540 -der andere nach rechts und ein bisschen nach unten - -81 -00:04:54,160 --> 00:04:55,700 -Um diese miteinander zu addieren, - -82 -00:04:55,700 --> 00:04:59,640 -bewege den zweiten so, dass sich sein Ursprung an Spitze des anderen (Vektors) befindet. - -83 -00:05:00,260 --> 00:05:02,540 -Wenn du dann einen neuen Vektor zeichnest, - -84 -00:05:02,540 --> 00:05:06,300 -vom Anfang des Ersten zur Spitze des Zweiten - -85 -00:05:06,620 --> 00:05:08,960 -so ist dieser neue Vektor die Summe der beiden - -86 -00:05:12,100 --> 00:05:13,120 -Diese Definition der Addition - -87 -00:05:13,120 --> 00:05:13,880 -(nebenbei), - -88 -00:05:13,880 --> 00:05:19,180 -ist so ziemlich das einzige Mal in der Linearen Algebra, in dem ein Vektor vom Ursprung wegbewegt wird - -89 -00:05:19,580 --> 00:05:21,580 -Warum macht das Sinn?! - -90 -00:05:21,780 --> 00:05:24,120 -Warum diese Definition und nicht irgend eine andere? - -91 -00:05:25,380 --> 00:05:27,040 -So wie ich es mir gern vorstelle, - -92 -00:05:27,040 --> 00:05:29,480 -ist jeder Vektor eine Bewegung, - -93 -00:05:29,480 --> 00:05:32,500 -ein Schritt mit einer gewissen Distanz und Richtung im Raum - -94 -00:05:34,220 --> 00:05:36,320 -Wenn du entlang des ersten Vektors gehst - -95 -00:05:36,320 --> 00:05:39,820 -und dann in die Richtung und Distanz, wie vom zweiten Vektor beschrieben - -96 -00:05:40,000 --> 00:05:44,760 -kommst du genau dort an, als wärst du entlang ihrer Summe gegangen - -97 -00:05:45,540 --> 00:05:49,560 -Stell es dir vor wie eine Erweiterung des Konzeptes vor, mit dem man Zahlen auf dem Zahlenstrahl addiert - -98 -00:05:50,220 --> 00:05:53,400 -Eine Möglichkeit wie wir Kindern beibringen sich dies vorzustellen, zum Beispiel mit "2+5", - -99 -00:05:53,800 --> 00:05:58,180 -ist dass man 2 Schritte nach rechts geht und dann 5 weitere Schritte ebenfalls nach rechts - -100 -00:05:58,460 --> 00:06:02,280 -Das Ergebnis ist dasselbe, wenn man einfach nur 7 Schritte nach rechts geht - -101 -00:06:02,700 --> 00:06:05,700 -Sehen wir uns mal an, wie Vektoraddition numerisch aussieht - -102 -00:06:06,240 --> 00:06:09,080 -Der erste Vektor hier hat die Koordinaten (1,2) - -103 -00:06:09,840 --> 00:06:12,500 -Und der Zweite hat die Koordinaten (3,-1) - -104 -00:06:14,500 --> 00:06:17,360 -Wenn du die Summe der Vektoren nimmst (indem du die "Urspung-zu-Spitze-Methode" benutzt), - -105 -00:06:17,360 --> 00:06:21,400 -kannst du dir einen "4-Schritt-Pfad" vom Ursprung zur Spitze des 2. Vektors vorstellen - -106 -00:06:21,980 --> 00:06:25,940 -Ein Schritt nach rechts, zwei nach oben, drei nach rechts und einen nach unten - -107 -00:06:26,480 --> 00:06:27,900 -Wenn man es umordnet, - -108 -00:06:27,900 --> 00:06:29,900 -sodass man erst die Rechtsbewegung, - -109 -00:06:29,900 --> 00:06:31,860 -dann die vertikale Bewegung durchführt, - -110 -00:06:31,860 --> 00:06:32,840 -kann man es auch wiefolgt lesen: - -111 -00:06:32,840 --> 00:06:35,320 -Gehe zuerst (1+3) nach rechts, - -112 -00:06:35,320 --> 00:06:38,140 -und dann (2-1) Schritte nach oben - -113 -00:06:40,340 --> 00:06:45,160 -Somit hat der neue Vektor die Koordinaten (1+3) und (2+(-1)) - -114 -00:06:45,500 --> 00:06:52,540 -Allgemein gilt, dass Vektoraddition in diesem Zahlenlisten-Konzept bedeutet, die Terme zu verknüpfen und zusammenzufügen - -115 -00:06:54,920 --> 00:06:58,500 -Die andere grundlegende Operation ist die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl - -116 -00:06:58,800 --> 00:07:01,460 -Dazu ein paar Beispiele: - -117 -00:07:01,960 --> 00:07:05,240 -Wenn du die Zahl "2" nimmst und diese mit einem Vektor multiplizierst - -118 -00:07:05,320 --> 00:07:09,620 -heißt dies quasi, dass du den Vektor streckst, so dass er zwei mal so lang ist wie vorher - -119 -00:07:10,500 --> 00:07:13,000 -Wenn du den Vektor mit 1/3 multiplizierst - -120 -00:07:13,000 --> 00:07:16,900 -dann zieht sich der Vektor ein, so dass er nur noch ein Drittel seiner ursprünglischen Länge hat - -121 -00:07:17,560 --> 00:07:21,200 -Wenn du ihn mit einer negativen Zahl multiplizierst, z.B.: -1,8 - -122 -00:07:21,400 --> 00:07:26,240 -dann zeigt der Vektor in die entgegengesetzte Richtung und wird dann um den Faktor 1.8 gestreckt - -123 -00:07:27,380 --> 00:07:33,300 -Diesen Vorgang von Strecken, Stauchen, oder manchmal Umdrehen eines Vektors nennt man "Skalieren" - -124 -00:07:33,320 --> 00:07:37,340 -Und immer wenn du eine solche Zahl hast (wie 2, 1/3, -1,8), - -125 -00:07:37,340 --> 00:07:39,900 -die sich so verhält (dass sie einen Vektor skaliert), - -126 -00:07:39,900 --> 00:07:41,340 -nennt man Sie "Skalar" - -127 -00:07:41,880 --> 00:07:43,600 -In der Linearen Algebra ist es sogar so, - -128 -00:07:43,800 --> 00:07:46,680 -dass das Skalieren eine der bedeutensten "Aufgaben" der Zahlen ist - -129 -00:07:47,160 --> 00:07:51,280 -Man kann daher das Wort "Skalar" synonym zum Wort "Zahl" benutzen - -130 -00:07:51,920 --> 00:07:55,300 -Numerisch bedeutet das Strecken eines Vektors um einen Faktor, sagen wir 2, - -131 -00:07:55,580 --> 00:07:59,600 -jede seiner Komponenten mit diesem Faktor (2) zu multiplizieren. - -132 -00:08:00,180 --> 00:08:02,440 -Im Verständnis von Vektoren als Zahlenliste - -133 -00:08:02,740 --> 00:08:04,820 -bedeutet die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, - -134 -00:08:05,080 --> 00:08:08,440 -jede seiner Komponenten mit diesem Skalar zu multiplizieren - -135 -00:08:10,420 --> 00:08:12,540 -Ihr werdet in den nächsten Videos sehen, was ich meine - -136 -00:08:12,540 --> 00:08:17,120 -wenn ich sage, dass Themen der Linearen Algebra sich gewöhnlich um diese zwei grundlegenden Operationen drehen. - -137 -00:08:17,340 --> 00:08:19,340 -Vektoraddition und Skalarmultiplikation - -138 -00:08:19,920 --> 00:08:21,360 -Und ich werde im letzten Video darüber sprechen, - -139 -00:08:21,360 --> 00:08:25,200 -warum und wie der Mathematiker nur über diese Operationen nachdenkt - -140 -00:08:25,200 --> 00:08:29,180 -unabhängig von der konkreten Darstellung eines Vektors - -141 -00:08:29,600 --> 00:08:34,240 -Tatsächlich ist es egal, ob du Vektoren grundsätzlich als Pfeile im Raum auffasst - -142 -00:08:34,240 --> 00:08:35,580 -- wie ich dir vorschlage -, - -143 -00:08:35,580 --> 00:08:37,960 -die zufälligerweise eine nette numerische Darstellung haben, - -144 -00:08:37,960 --> 00:08:39,860 -oder grundsätzlich als Zahlenlisten, - -145 -00:08:39,860 --> 00:08:42,180 -die zufälligerweise eine nette geometrische Interpretation haben - -146 -00:08:42,480 --> 00:08:44,080 -Der Nutzen der Linearen Algebra - -147 -00:08:44,080 --> 00:08:46,060 -hat weniger mit einer der beiden Sichtweisen zu tun, - -148 -00:08:46,340 --> 00:08:49,680 -als mit der Fähigkeit, zwischen beiden hin und her zu übersetzen - -149 -00:08:50,320 --> 00:08:54,060 -Es gibt dem Datenanalysten eine gute Möglichkeit, viele Zahlenlisten - -150 -00:08:54,060 --> 00:08:55,480 -visuell zu veranschaulichen - -151 -00:08:55,480 --> 00:08:57,480 -was sicher Muster in Daten erkennbar macht - -152 -00:08:57,480 --> 00:09:00,200 -und einen globalen Blick darauf ermöglicht, was bestimmte Operationen tun - -153 -00:09:00,880 --> 00:09:04,680 -Und auf der anderen Seite gibt es z.B. Physikern und Computergrafikern - -154 -00:09:04,680 --> 00:09:06,840 -eine Sprache zur Beschreibung des Raumes - -155 -00:09:06,840 --> 00:09:08,840 -und der Veränderung des Raumes - -156 -00:09:08,840 --> 00:09:11,400 -mit Zahlen, die durch einen Computer gejagt werden können. - -157 -00:09:12,160 --> 00:09:14,480 -Wenn ich z.B. mathematische Animationen mache, - -158 -00:09:14,620 --> 00:09:17,440 -denke ich zuerst darüber nach, was eigentlich im Raum passiert - -159 -00:09:17,440 --> 00:09:20,200 -und lasse dann den Computer die Dinge numerisch darstellen - -160 -00:09:20,200 --> 00:09:23,200 -wobei ich herausfinde, wo die Pixel platziert werden müssen - -161 -00:09:23,200 --> 00:09:26,680 -Dafür braucht es normalerweise einiges an Verständnis von linearer Algebra - -162 -00:09:27,960 --> 00:09:30,380 -Das sind also die Vektor-Basics und im nächsten Video - -163 -00:09:30,380 --> 00:09:32,820 -werde ich zu einigen ziemlich schönen Konzepten im Umfeld von Vektoren kommen, - -164 -00:09:32,820 --> 00:09:35,300 -wie Erzeugnis, Basis und linearer Abhängigkeit - -165 -00:09:35,700 --> 00:09:36,560 -Bis dann - +1 +00:00:11,120 --> 00:00:14,640 +Der grundlegende Baustein +der linearen Algebra ist der Vektor. + +2 +00:00:14,760 --> 00:00:18,360 +Daher ist es wichtig, dass wir alle +dieselbe Vorstellung davon haben, + +3 +00:00:18,360 --> 00:00:19,880 +was ein Vektor ist. + +4 +00:00:19,880 --> 00:00:24,040 +Grundsätzlich gibt es drei verschiedene, +aber verwandte Ansichten darüber, + +5 +00:00:24,040 --> 00:00:25,120 +was ein Vektor ist. + +6 +00:00:25,120 --> 00:00:25,880 +Ich nenne sie: + +7 +00:00:25,880 --> 00:00:30,440 +die Sichtweise der Physik, die der +Informatik und die der Mathematik. + +8 +00:00:30,520 --> 00:00:31,880 +Für die, die Physik studieren, + +9 +00:00:31,880 --> 00:00:34,960 +sind Vektoren Pfeile, die im +Raum irgendwo hinzeigen. + +10 +00:00:35,040 --> 00:00:38,480 +Ein Vektor wird über seine Länge +und seine Richtung definiert; + +11 +00:00:38,480 --> 00:00:40,440 +solange diese zwei Dinge gleich sind, + +12 +00:00:40,440 --> 00:00:44,280 +kann man den Pfeil hin- und herbewegen, +und der Vektor bleibt derselbe. + +13 +00:00:44,280 --> 00:00:46,560 +Vektoren in der Ebene +sind zweidimensional, + +14 +00:00:46,560 --> 00:00:51,600 +und Vektoren in dem gesamten Raum, +der uns umgibt, sind dreidimensional. + +15 +00:00:51,680 --> 00:00:56,240 +Aus der Sicht der Informatik sind Vektoren +geordnete Listen von Zahlen. + +16 +00:00:56,320 --> 00:00:59,800 +Angenommen, wir arbeiten an einer +Datenauswertung zu Hauspreisen, + +17 +00:00:59,800 --> 00:01:02,640 +wobei uns nur Wohnfläche +und Preis interessieren. + +18 +00:01:02,640 --> 00:01:06,000 +Wir könnten dann jedes Haus als +ein Paar von Zahlen darstellen: + +19 +00:01:06,000 --> 00:01:09,280 +die erste Zahl gibt die Wohnfläche + an, die zweite, den Preis. + +20 +00:01:09,280 --> 00:01:12,200 +Beachte, dass die +Reihenfolge hier wichtig ist. + +21 +00:01:12,200 --> 00:01:14,440 +In der Sprache der Linearen Algebra + +22 +00:01:14,440 --> 00:01:17,480 +modellieren wir Häuser also +als zweidimensionale Vektoren; + +23 +00:01:17,480 --> 00:01:20,800 +„Vektor” ist in diesem Kontext +einfach ein schickes Wort für „Liste”, + +24 +00:01:20,800 --> 00:01:25,000 +und der Vektor ist zweidimensional, +weil die Länge der Liste zwei ist. + +25 +00:01:25,080 --> 00:01:26,640 +Die Mathematik versucht sich nun + +26 +00:01:26,640 --> 00:01:29,360 +an einer Verallgemeinerung +dieser beiden Ansichten: + +27 +00:01:29,360 --> 00:01:32,040 +ein Vektor kann in der +Mathematik alles sein, + +28 +00:01:32,040 --> 00:01:35,840 +solange die Addition zweier Vektoren +und die Multiplikation eines Vektors mit + +29 +00:01:35,840 --> 00:01:40,840 +einer Zahl Sinn ergeben – Operationen, +die ich später besprechen werde. + +30 +00:01:40,920 --> 00:01:43,400 +Diese Sichtweise ist ziemlich +abstrakt und, eigentlich, + +31 +00:01:43,400 --> 00:01:45,880 +finde ich es vernünftig, +sie erstmal zu ignorieren, + +32 +00:01:45,880 --> 00:01:48,520 +und mit einer konkreteren +Vorstellung zu arbeiten. + +33 +00:01:48,520 --> 00:01:50,920 +Erwähnenswert ist sie +trotzdem, weil sie betont, + +34 +00:01:50,920 --> 00:01:54,440 +dass die Begriffe der Vektoraddition +und Multiplikation mit Zahlen + +35 +00:01:54,440 --> 00:01:58,160 +eine wichtige Rolle in der ganzen +linearen Algebra spielen. + +36 +00:01:58,160 --> 00:02:02,040 +Als Erstes, einigen wir uns am besten +auf eine bestimmte Art, wie wir uns + +37 +00:02:02,040 --> 00:02:04,760 +einen Vektor im Folgenden +vorstellen wollen. + +38 +00:02:04,760 --> 00:02:06,960 +Mit unserem geometrischen +Schwerpunkt hier, + +39 +00:02:06,960 --> 00:02:10,120 +schlage ich vor, dass wir uns bei +einem neuen Thema zu Vektoren, + +40 +00:02:10,120 --> 00:02:12,400 +immer zuerst einen Pfeil vorstellen, + +41 +00:02:12,600 --> 00:02:16,920 +und zwar innerhalb eines +Koordinatensystems, wie die x-y-Ebene, + +42 +00:02:16,920 --> 00:02:19,760 +mit dem Pfeil-Anfang am Ursprung. + +43 +00:02:19,840 --> 00:02:22,160 +Diese Sicht ist ein bisschen +anders als die der Physik, + +44 +00:02:22,160 --> 00:02:24,480 +für die Vektoren überall +im Raum sein können. + +45 +00:02:24,480 --> 00:02:27,160 +In der linearen Algebra +ist es fast immer der Fall, + +46 +00:02:27,160 --> 00:02:30,360 +dass wir die Vektoren +am Ursprung ansetzen. + +47 +00:02:30,440 --> 00:02:33,480 +Nachdem wir ein neues Konzept, +mithilfe der Vorstellung von + +48 +00:02:33,480 --> 00:02:36,560 +Pfeilen im Raum, verstanden haben, +werden wir dieses übertragen + +49 +00:02:36,560 --> 00:02:41,320 +in die Koordinatenansicht, in der Vektoren +geordnete Listen von Zahlen sind. + +50 +00:02:41,400 --> 00:02:44,520 +Nun, auch wenn sicher die Meisten +mit diesem Koordinatensystem + +51 +00:02:44,520 --> 00:02:47,760 +bereits vertraut sind, lohnt sich +noch einmal ein genauer Blick, + +52 +00:02:47,760 --> 00:02:52,520 +da hier das wichtige Wechselspiel +zwischen den beiden Sichtweisen passiert. + +53 +00:02:52,600 --> 00:02:55,680 +Wir konzentrieren uns zuerst +auf zwei Dimensionen. + +54 +00:02:55,680 --> 00:02:59,960 +Wir haben die horizontale x-Achse, +und die vertikale y-Achse. + +55 +00:03:00,040 --> 00:03:01,760 +Ihre Schnittstelle heißt „Ursprung” + +56 +00:03:01,760 --> 00:03:06,280 +und ist als Zentrum des Raumes und +Ausgangspunkt aller Vektoren zu verstehen. + +57 +00:03:06,360 --> 00:03:09,160 +Man wählt eine beliebige Länge +für eine Längeneinheit + +58 +00:03:09,160 --> 00:03:12,040 +und macht damit Markierungen +auf jeder Achse. + +59 +00:03:12,040 --> 00:03:14,880 +Wenn man die Vorstellung des gesamten +zweidimensionalen Raumes + +60 +00:03:14,880 --> 00:03:18,280 +verdeutlichen will – was in diesen +Videos häufig vorkommen wird – , + +61 +00:03:18,280 --> 00:03:21,600 +erweitert man diese Markierungen +zu einem Gitter. + +62 +00:03:21,600 --> 00:03:24,440 +Die Koordinaten eines Vektors +sind ein Paar von Zahlen, + +63 +00:03:24,440 --> 00:03:27,880 +das, im Grunde, eine Anweisung +gibt, wie wir vom Ausgangspunkt + +64 +00:03:27,880 --> 00:03:30,760 +des Vektors – am Ursprung – +zu seiner Spitze gelangen. + +65 +00:03:30,840 --> 00:03:34,600 +Die erste Zahl sagt uns, wie weit wir +entlang der x-Achse gehen müssen + +66 +00:03:34,600 --> 00:03:37,080 +– dabei heißen positive Zahlen: +nach rechts gehen + +67 +00:03:37,080 --> 00:03:39,000 +und negative Zahlen: nach links –; + +68 +00:03:39,000 --> 00:03:42,800 +die zweite Zahl sagt uns, wie weit +wir parallel zur y-Achse gehen müssen + +69 +00:03:42,800 --> 00:03:45,360 + – hier heißen positive Zahlen: +nach oben gehen + +70 +00:03:45,360 --> 00:03:48,280 +und negative Zahlen: nach unten. + +71 +00:03:48,360 --> 00:03:51,480 +Um Vektoren von Punkten zu +unterscheiden, ist es Konvention, + +72 +00:03:51,480 --> 00:03:56,000 +das Zahlenpaar übereinander, +in eckigen Klammern, zu schreiben. + +73 +00:03:56,080 --> 00:04:00,040 +Jedes Zahlenpaar ergibt genau einen +und nur diesen einen Vektor, + +74 +00:04:00,040 --> 00:04:04,360 +und jedem Vektor kann man genau +ein einziges Zahlenpaar zuordnen. + +75 +00:04:04,440 --> 00:04:06,400 +Und in drei Dimensionen? + +76 +00:04:06,400 --> 00:04:09,960 +Wir fügen eine dritte Achse hinzu, +die sogenannte z-Achse, + +77 +00:04:09,960 --> 00:04:13,680 +die zugleich zur x- und zur +y-Achse senkrecht steht. + +78 +00:04:13,680 --> 00:04:17,200 +Jetzt wird jedem Vektor ein geordnetes +Tripel von Zahlen zugeordnet. + +79 +00:04:17,200 --> 00:04:21,080 +Die erste Zahl sagt uns, wie weit +wir uns auf der x-Achse bewegen sollen, + +80 +00:04:21,080 --> 00:04:23,960 +die zweite Zahl, +wie weit parallel zur y-Achse, + +81 +00:04:23,960 --> 00:04:28,240 +und die dritte, +wie weit parallel zur neuen z-Achse. + +82 +00:04:28,320 --> 00:04:32,000 +Aus jedem Zahlentripel erhalten wir +einen eindeutigen Vektor im Raum + +83 +00:04:32,000 --> 00:04:36,760 +und aus jedem Vektor im Raum +erhalten wir genau ein Zahlentripel. + +84 +00:04:36,840 --> 00:04:40,600 +Aber zurück zur Vektoraddition +und Multiplikation mit Zahlen. + +85 +00:04:40,600 --> 00:04:42,840 +Schließlich dreht sich alles +in der linearen Algebra + +86 +00:04:42,840 --> 00:04:45,120 +um diese beiden Operationen. + +87 +00:04:45,120 --> 00:04:48,440 +Glücklicherweise lassen sich +beide recht einfach definieren. + +88 +00:04:48,440 --> 00:04:49,600 +Nehmen wir zwei Vektoren; + +89 +00:04:49,600 --> 00:04:51,800 +einer zeigt nach oben +und ein bisschen nach rechts, + +90 +00:04:51,800 --> 00:04:54,200 +der andere nach rechts +und ein bisschen nach unten. + +91 +00:04:54,200 --> 00:04:56,160 +Um sie miteinander zu addieren, + +92 +00:04:56,160 --> 00:05:00,800 +verschiebe den zweiten Vektor so, +dass er an der Spitze des ersten anfängt. + +93 +00:05:00,880 --> 00:05:02,600 +Wenn wir jetzt einen neuen Vektor + +94 +00:05:02,600 --> 00:05:06,960 +vom Anfang des Ersten zur +Spitze des Zweiten zeichnen, + +95 +00:05:06,960 --> 00:05:10,680 +dann ist dieser neue Vektor +die Summe der beiden. + +96 +00:05:10,760 --> 00:05:14,320 +Diese Definition der Addition +ist übrigens fast das einzige Mal + +97 +00:05:14,320 --> 00:05:19,240 +in der linearen Algebra, wo wir Vektoren +erlauben, den Ursprung zu verlassen. + +98 +00:05:19,320 --> 00:05:21,480 +Aber, wieso ist das sinnvoll? + +99 +00:05:21,480 --> 00:05:25,280 +Warum diese Definition der Addition +und nicht irgendeine andere? + +100 +00:05:25,280 --> 00:05:27,160 +Nun, wie ich es mir gern vorstelle, + +101 +00:05:27,160 --> 00:05:30,400 +repräsentiert jeder Vektor +eine bestimmte Bewegung, einen Schritt + +102 +00:05:30,400 --> 00:05:33,880 +mit einer bestimmten Entfernung +und Richtung im Raum. + +103 +00:05:33,880 --> 00:05:36,720 +Wenn man einen Schritt entlang +des ersten Vektors macht, + +104 +00:05:36,720 --> 00:05:39,600 +gefolgt von einem Schritt +entlang des zweiten Vektors, + +105 +00:05:39,600 --> 00:05:41,520 +so kommt man genau dort an, + +106 +00:05:41,520 --> 00:05:44,800 +als wäre man entlang der Summe +dieser beiden Vektoren gegangen. + +107 +00:05:44,800 --> 00:05:47,600 +Man kann es sich auch als eine +Erweiterung dessen vorstellen, + +108 +00:05:47,600 --> 00:05:50,280 +wie wir Zahlen auf dem +Zahlenstrahl addieren. + +109 +00:05:50,280 --> 00:05:54,760 +Eine Möglichkeit, Kindern beizubringen, +sich zum Beispiel 2+5 vorzustellen, ist + +110 +00:05:54,760 --> 00:05:57,920 +dass man zwei Schritte nach rechts geht, +und dann nochmal fünf. + +111 +00:05:57,920 --> 00:05:59,920 +Das Ergebnis ist dasselbe, +als wenn man + +112 +00:05:59,920 --> 00:06:03,320 +auf einmal sieben Schritte +nach rechts gegangen wäre. + +113 +00:06:03,320 --> 00:06:07,000 +Sehen wir uns mal an, wie +Vektoraddition rechnerisch aussieht. + +114 +00:06:07,000 --> 00:06:10,200 +Der erste Vektor +hier hat Koordinaten (1, 2) + +115 +00:06:10,200 --> 00:06:13,800 +und der Zweite +hat die Koordinaten (3, -1). + +116 +00:06:13,800 --> 00:06:16,160 +Mit unserer „Vom-Anfang-zum-Ende“-Methode, + +117 +00:06:16,160 --> 00:06:19,200 +sieht die Vektoraddition wie +ein Weg in vier Schritten aus, + +118 +00:06:19,200 --> 00:06:21,800 +vom Ursprung bis zur Spitze +des zweiten Vektors: + +119 +00:06:21,840 --> 00:06:24,040 +ein Schritt nach rechts, zwei nach oben, + +120 +00:06:24,040 --> 00:06:26,280 +drei nach rechts und einen nach unten. + +121 +00:06:26,360 --> 00:06:28,840 +Wenn man die Schritte +umordnet, sodass man erst + +122 +00:06:28,840 --> 00:06:30,480 +die gesamte Bewegung nach rechts, + +123 +00:06:30,480 --> 00:06:33,280 +dann die gesamte vertikale +Bewegung durchführt, + +124 +00:06:33,280 --> 00:06:34,800 +kann man es auch so lesen: + +125 +00:06:34,800 --> 00:06:39,920 +Gehe zuerst 1+3 nach rechts, +und dann 2-1 nach oben. + +126 +00:06:40,000 --> 00:06:45,400 +Somit hat der neue Vektor +die Koordinaten 1+3 und 2+(-1). + +127 +00:06:45,480 --> 00:06:49,960 +Im Allgemein sieht die Addition von Vektoren +in dieser Koordinatenansicht so aus, + +128 +00:06:49,960 --> 00:06:52,320 +dass man die passenden +Terme zusammenbringt + +129 +00:06:52,320 --> 00:06:54,880 +und sie jeweils addiert. + +130 +00:06:54,880 --> 00:06:59,520 +Die andere grundlegende Vektoroperation +ist die Multiplikation mit einer Zahl. + +131 +00:06:59,760 --> 00:07:02,320 +Diese versteht man am besten +an ein paar Beispielen. + +132 +00:07:02,320 --> 00:07:05,560 +Wenn wir die Zahl 2 nehmen und diese +mit einem Vektor multiplizieren, + +133 +00:07:05,560 --> 00:07:07,760 +heißt es, dass wir den Vektor strecken, + +134 +00:07:07,760 --> 00:07:10,000 +so dass er zweimal so lang ist wie vorher. + +135 +00:07:10,200 --> 00:07:12,480 +Wenn wir den Vektor mit 1/3 multiplizieren, + +136 +00:07:12,480 --> 00:07:13,840 +dann stauchen wir ihn, + +137 +00:07:13,880 --> 00:07:17,400 +so dass er nur noch ein Drittel +seiner ursprünglichen Länge hat. + +138 +00:07:17,400 --> 00:07:22,000 +Wenn man ihn mit einer negativen +Zahl multipliziert, zum Beispiel -1,8, + +139 +00:07:22,000 --> 00:07:26,920 +wird der Vektor zuerst umgedreht +und dann um den Faktor 1,8 gestreckt. + +140 +00:07:27,000 --> 00:07:31,000 +Diesen Vorgang von Strecken, Stauchen, +oder manchmal Umdrehen eines Vektors + +141 +00:07:31,080 --> 00:07:33,800 +nennt man „Skalieren”, +und immer, wenn wir eine Zahl, + +142 +00:07:33,800 --> 00:07:37,400 +wie 2, 1/3, -1,8, +mit diesem Effekt sehen, + +143 +00:07:37,400 --> 00:07:41,680 +also die einen Vektor skaliert, +nennen wir sie einen „Skalar”. + +144 +00:07:41,760 --> 00:07:45,440 +In der linearen Algebra ist es sogar so, +dass das Skalieren von Vektoren + +145 +00:07:45,440 --> 00:07:47,640 +eine der Haupt-„Aufgaben” von Zahlen ist; + +146 +00:07:47,640 --> 00:07:51,640 +daher verwenden wir das Wort „Skalar” +fast synonym zum Wort „Zahl”. + +147 +00:07:51,720 --> 00:07:55,760 +Rechnerisch bedeutet das Strecken eines +Vektors um einen Faktor, sagen wir, 2, + +148 +00:07:55,760 --> 00:07:59,800 +dass wir jede seiner Einträge +mit diesem Faktor, 2, multiplizieren. + +149 +00:07:59,880 --> 00:08:02,920 +Das heißt, in der Vorstellung von +Vektoren als Listen von Zahlen, + +150 +00:08:02,920 --> 00:08:06,080 +bedeutet die Multiplikation eines +Vektors mit einem Skalar, + +151 +00:08:06,080 --> 00:08:09,920 +jeden seiner Einträge mit +diesem Skalar zu multiplizieren. + +152 +00:08:10,000 --> 00:08:13,920 +In den nächsten Videos werden wir sehen, +inwiefern die Themen der linearen Algebra + +153 +00:08:13,920 --> 00:08:17,280 +sich meistens um diese zwei +grundlegenden Operationen drehen: + +154 +00:08:17,280 --> 00:08:19,680 +Vektoraddition und Skalarmultiplikation. + +155 +00:08:19,680 --> 00:08:23,840 +Im letzten Video werden wir auch sehen, +wie und warum Mathematiker:innen + +156 +00:08:23,840 --> 00:08:27,000 +nur über diese Operationen +nachdenken, abstrakt und + +157 +00:08:27,000 --> 00:08:30,360 +unabhängig von irgendeiner +konkreten Vektorendarstellung. + +158 +00:08:30,360 --> 00:08:32,800 +Tatsächlich ist es unwichtig, +ob man Vektoren + +159 +00:08:32,800 --> 00:08:35,280 +grundsätzlich als Pfeile im Raum auffasst, + +160 +00:08:35,280 --> 00:08:38,320 +die zufälligerweise eine nette +numerische Darstellung besitzen, + +161 +00:08:38,320 --> 00:08:39,720 +oder als Listen von Zahlen, + +162 +00:08:39,720 --> 00:08:43,120 +die zufälligerweise eine nette +geometrische Interpretation haben. + +163 +00:08:43,120 --> 00:08:46,240 +Der Nutzen der linearen Algebra +liegt weniger an der einen + +164 +00:08:46,240 --> 00:08:49,520 +oder anderen dieser Sichtweisen, +sondern mehr an der Fähigkeit, + +165 +00:08:49,520 --> 00:08:51,640 +zwischen beiden hin und her zu übersetzen. + +166 +00:08:51,640 --> 00:08:53,720 +In Data Science gibt sie +uns die Möglichkeit, + +167 +00:08:53,720 --> 00:08:56,120 +viele Listen von Zahlen +visuell zu erfassen + +168 +00:08:56,120 --> 00:08:58,320 +und damit Muster in Daten zu erkennen, + +169 +00:08:58,320 --> 00:09:01,720 +und einen globalen Blick auf die Wirkung +bestimmter Operationen zu erlangen. + +170 +00:09:01,720 --> 00:09:04,000 +Umgekehrt gibt sie zum Beispiel +Menschen aus der Physik + +171 +00:09:04,000 --> 00:09:06,920 +und Computergrafik eine Sprache +zur Beschreibung des Raumes + +172 +00:09:06,920 --> 00:09:09,480 +und wie man den Raum mit +Hilfe von Zahlen verändern kann, + +173 +00:09:09,480 --> 00:09:11,920 +die sich dann auch in einem +Computer verarbeiten lassen. + +174 +00:09:11,920 --> 00:09:14,800 +Zum Beispiel, wenn ich mathematische +Animation entwickle, + +175 +00:09:14,800 --> 00:09:17,680 +überlege ich zuerst, +was eigentlich im Raum passiert; + +176 +00:09:17,680 --> 00:09:20,720 +dann erstelle ich eine numerische +Darstellung am Computer, + +177 +00:09:20,720 --> 00:09:24,160 +die berechnet, wo die Pixel +auf dem Bildschirm erscheinen sollen. + +178 +00:09:24,160 --> 00:09:28,040 +Das basiert in der Regel +auf einer Menge linearer Algebra. + +179 +00:09:28,120 --> 00:09:30,560 +Das sind also die Grundlagen zu Vektoren. + +180 +00:09:30,560 --> 00:09:33,280 +Im nächsten Video beginnen wir +mit ein paar ziemlich schicken + +181 +00:09:33,280 --> 00:09:37,960 +und nützlichen Begriffen, wie Spann, +Basis, und lineare Abhängigkeit. + +182 +00:09:37,960 --> 00:09:40,120 +Bis dahin!