diff --git a/2017/chain-rule-and-product-rule/dutch/auto_generated.srt b/2017/chain-rule-and-product-rule/dutch/auto_generated.srt
new file mode 100644
index 000000000..9cd44423d
--- /dev/null
+++ b/2017/chain-rule-and-product-rule/dutch/auto_generated.srt
@@ -0,0 +1,884 @@
+1
+00:00:14,500 --> 00:00:19,068
+In de vorige video's heb ik het gehad over de afgeleiden van eenvoudige functies, 
+
+2
+00:00:19,068 --> 00:00:23,135
+en het doel was om een duidelijk beeld of intuïtie in je hoofd te hebben 
+
+3
+00:00:23,135 --> 00:00:26,200
+die eigenlijk uitlegt waar deze formules vandaan komen.
+
+4
+00:00:26,840 --> 00:00:30,164
+Maar de meeste functies die je gebruikt bij het modelleren van de 
+
+5
+00:00:30,164 --> 00:00:33,488
+wereld bestaan uit het mengen, combineren of op een andere manier 
+
+6
+00:00:33,488 --> 00:00:36,963
+aanpassen van deze eenvoudige functies, dus onze volgende stap is om 
+
+7
+00:00:36,963 --> 00:00:40,540
+te begrijpen hoe je afgeleiden neemt van meer ingewikkelde combinaties.
+
+8
+00:00:41,280 --> 00:00:44,088
+Nogmaals, ik wil niet dat dit iets is om uit je hoofd te leren, 
+
+9
+00:00:44,088 --> 00:00:47,600
+ik wil dat je een duidelijk beeld voor ogen hebt waar elk van deze vandaan komt.
+
+10
+00:00:49,520 --> 00:00:53,600
+Dit komt eigenlijk neer op drie basismanieren om functies te combineren.
+
+11
+00:00:54,100 --> 00:00:56,962
+Je kunt ze bij elkaar optellen, je kunt ze vermenigvuldigen en 
+
+12
+00:00:56,962 --> 00:00:59,780
+je kunt de een in de ander gooien, ook wel compositie genoemd.
+
+13
+00:01:00,600 --> 00:01:02,850
+Natuurlijk zou je kunnen zeggen dat je ze aftrekt, 
+
+14
+00:01:02,850 --> 00:01:06,204
+maar eigenlijk is dat gewoon de tweede vermenigvuldigen met negatief één en 
+
+15
+00:01:06,204 --> 00:01:07,220
+ze bij elkaar optellen.
+
+16
+00:01:08,240 --> 00:01:11,044
+Ook het delen van functies voegt niet echt iets toe, 
+
+17
+00:01:11,044 --> 00:01:14,484
+want dat is hetzelfde als één in de functie stoppen, één over x, 
+
+18
+00:01:14,484 --> 00:01:16,760
+en dan de twee met elkaar vermenigvuldigen.
+
+19
+00:01:17,660 --> 00:01:20,672
+Dus bij de meeste functies die je tegenkomt, hoef je alleen maar deze 
+
+20
+00:01:20,672 --> 00:01:23,255
+drie verschillende soorten combinaties op elkaar te leggen, 
+
+21
+00:01:23,255 --> 00:01:26,440
+hoewel er niet echt een grens is aan hoe monsterlijk dingen kunnen worden.
+
+22
+00:01:27,100 --> 00:01:31,370
+Maar zolang je weet hoe je afgeleiden met alleen die drie combinatietypes kunt spelen, 
+
+23
+00:01:31,370 --> 00:01:34,511
+zul je altijd stap voor stap door de lagen heen kunnen schillen 
+
+24
+00:01:34,511 --> 00:01:36,720
+voor wat voor monsterlijke expressie dan ook.
+
+25
+00:01:38,720 --> 00:01:42,562
+Dus de vraag is, als je de afgeleide kent van twee functies, 
+
+26
+00:01:42,562 --> 00:01:47,853
+wat is dan de afgeleide van hun som, van hun product en van de functiesamenstelling 
+
+27
+00:01:47,853 --> 00:01:48,420
+ertussen?
+
+28
+00:01:50,320 --> 00:01:54,260
+De sommatieregel is het makkelijkst, hoewel het wat tongbrekend is om hardop te zeggen.
+
+29
+00:01:54,840 --> 00:01:58,600
+De afgeleide van een som van twee functies is de som van hun afgeleiden.
+
+30
+00:01:59,800 --> 00:02:03,728
+Maar het is de moeite waard om je op te warmen met dit voorbeeld door echt 
+
+31
+00:02:03,728 --> 00:02:07,552
+na te denken over wat het betekent om een afgeleide te nemen van een som 
+
+32
+00:02:07,552 --> 00:02:10,957
+van twee functies, omdat de afgeleide patronen voor producten en 
+
+33
+00:02:10,957 --> 00:02:15,620
+functiesamenstellingen niet zo eenvoudig zullen zijn en dit soort dieper denken vereisen.
+
+34
+00:02:16,700 --> 00:02:18,865
+Laten we bijvoorbeeld eens denken aan de functie f 
+
+35
+00:02:18,865 --> 00:02:21,200
+van x is gelijk aan sinus van x plus x in het kwadraat.
+
+36
+00:02:22,200 --> 00:02:24,960
+Het is een functie waarbij je voor elke invoer de waarden 
+
+37
+00:02:24,960 --> 00:02:27,960
+van de sinus van x en x kwadraat op dat punt bij elkaar optelt.
+
+38
+00:02:29,760 --> 00:02:33,916
+Stel bijvoorbeeld dat x gelijk is aan 0,5, dan wordt de hoogte 
+
+39
+00:02:33,916 --> 00:02:38,271
+van de sinusgrafiek gegeven door deze verticale balk en de hoogte 
+
+40
+00:02:38,271 --> 00:02:42,560
+van de x-kwadraatparabool door deze iets kleinere verticale balk.
+
+41
+00:02:44,380 --> 00:02:47,320
+En hun som is de lengte die je krijgt door ze gewoon op elkaar te stapelen.
+
+42
+00:02:48,520 --> 00:02:52,436
+Voor de afgeleide wil je je afvragen wat er gebeurt als je 
+
+43
+00:02:52,436 --> 00:02:56,420
+die invoer een beetje verschuift, misschien tot 0,5 plus dx.
+
+44
+00:02:57,560 --> 00:03:02,920
+Het verschil in de waarde van f tussen die twee plaatsen noemen we df.
+
+45
+00:03:04,360 --> 00:03:08,837
+En als je het je zo voorstelt, denk ik dat je het ermee eens bent dat de totale 
+
+46
+00:03:08,837 --> 00:03:13,371
+verandering in de hoogte gelijk is aan wat de verandering in de sinusgrafiek is, 
+
+47
+00:03:13,371 --> 00:03:18,128
+wat we d sinus van x zouden kunnen noemen, plus wat de verandering in x kwadraat is, 
+
+48
+00:03:18,128 --> 00:03:18,800
+dx kwadraat.
+
+49
+00:03:22,240 --> 00:03:27,540
+We weten dat de afgeleide van sinus cosinus is, en onthouden wat dat betekent.
+
+50
+00:03:27,920 --> 00:03:31,289
+Het betekent dat deze kleine verandering, d sinus van x, 
+
+51
+00:03:31,289 --> 00:03:33,300
+ongeveer cosinus van x maal dx is.
+
+52
+00:03:33,780 --> 00:03:38,196
+Het is evenredig met de grootte van onze initiële duwbeweging dx en de 
+
+53
+00:03:38,196 --> 00:03:43,360
+evenredigheidsconstante is gelijk aan de cosinus van de invoer waarmee we begonnen.
+
+54
+00:03:43,980 --> 00:03:47,915
+Evenzo, omdat de afgeleide van x kwadraat 2x is, 
+
+55
+00:03:47,915 --> 00:03:53,940
+is de verandering in de hoogte van de x-kwadraatgrafiek 2x maal wat dx was.
+
+56
+00:03:55,600 --> 00:04:00,215
+Dus als je df gedeeld door dx herschikt, is de verhouding van de minieme 
+
+57
+00:04:00,215 --> 00:04:05,464
+verandering in de somfunctie tot de minieme verandering in x die dit veroorzaakte, 
+
+58
+00:04:05,464 --> 00:04:10,080
+inderdaad cosinus van x plus 2x, de som van de afgeleiden van zijn delen.
+
+59
+00:04:11,520 --> 00:04:15,303
+Maar zoals ik al zei, voor producten liggen de zaken een beetje anders, 
+
+60
+00:04:15,303 --> 00:04:19,140
+en laten we nog eens goed doordenken waarom in termen van kleine duwtjes.
+
+61
+00:04:20,060 --> 00:04:23,140
+In dit geval denk ik niet dat grafieken de beste manier zijn om dingen te visualiseren.
+
+62
+00:04:23,820 --> 00:04:28,604
+Als je in de wiskunde te maken hebt met een product van twee dingen, 
+
+63
+00:04:28,604 --> 00:04:32,140
+helpt het vaak om het te zien als een soort gebied.
+
+64
+00:04:33,080 --> 00:04:35,977
+In dit geval probeer je misschien een mentale opstelling van een doos 
+
+65
+00:04:35,977 --> 00:04:39,000
+te maken waarbij de lengtes van de zijden sinus van x en x kwadraat zijn.
+
+66
+00:04:39,880 --> 00:04:41,040
+Maar wat zou dat betekenen?
+
+67
+00:04:42,320 --> 00:04:46,246
+Omdat dit functies zijn, zou je kunnen denken dat die zijden instelbaar zijn, 
+
+68
+00:04:46,246 --> 00:04:49,669
+afhankelijk van de waarde van x, die je misschien beschouwt als een 
+
+69
+00:04:49,669 --> 00:04:52,740
+getal dat je vrijelijk naar boven en beneden kunt bijstellen.
+
+70
+00:04:53,740 --> 00:04:56,360
+Dus om een gevoel te krijgen voor wat dit betekent, 
+
+71
+00:04:56,360 --> 00:05:00,140
+concentreer je je op de bovenkant die verandert als de functie sinus van x.
+
+72
+00:05:01,060 --> 00:05:05,227
+Als je deze waarde van x vanaf 0 verandert, neemt hij toe tot een 
+
+73
+00:05:05,227 --> 00:05:09,015
+lengte van 1 als de sinus van x omhoog gaat naar zijn piek, 
+
+74
+00:05:09,015 --> 00:05:13,940
+en daarna begint hij af te nemen als de sinus van x vanaf 1 naar beneden gaat.
+
+75
+00:05:15,100 --> 00:05:18,580
+En op dezelfde manier verandert die hoogte daar altijd als x in het kwadraat.
+
+76
+00:05:20,080 --> 00:05:23,932
+Dus f van x, gedefinieerd als het product van deze twee functies, 
+
+77
+00:05:23,932 --> 00:05:25,800
+is de oppervlakte van deze doos.
+
+78
+00:05:27,060 --> 00:05:30,174
+En laten we voor de afgeleide eens nadenken over hoe een 
+
+79
+00:05:30,174 --> 00:05:33,180
+kleine verandering van x door dx dat gebied beïnvloedt.
+
+80
+00:05:33,840 --> 00:05:36,280
+Wat is de resulterende verandering in oppervlakte df?
+
+81
+00:05:39,000 --> 00:05:44,072
+Nou, de nudge dx zorgde ervoor dat de breedte veranderde met een kleine d sinus van x, 
+
+82
+00:05:44,072 --> 00:05:47,920
+en het zorgde ervoor dat de hoogte veranderde met een dx kwadraat.
+
+83
+00:05:50,180 --> 00:05:53,100
+En dit geeft ons drie kleine stukjes nieuw gebied, 
+
+84
+00:05:53,100 --> 00:05:57,911
+een dunne rechthoek aan de onderkant waarvan het gebied de breedte is, sinus van x, 
+
+85
+00:05:57,911 --> 00:06:00,260
+maal de dunne hoogte, dx in het kwadraat.
+
+86
+00:06:01,780 --> 00:06:06,334
+En er is een dunne rechthoek aan de rechterkant, waarvan de oppervlakte de hoogte is, 
+
+87
+00:06:06,334 --> 00:06:09,300
+x in het kwadraat, maal de dunne breedte, d sinus van x.
+
+88
+00:06:10,740 --> 00:06:14,140
+En er is ook nog dit kleine stukje in de hoek, maar dat kunnen we negeren.
+
+89
+00:06:14,440 --> 00:06:18,044
+De oppervlakte is uiteindelijk evenredig met dx in het kwadraat, 
+
+90
+00:06:18,044 --> 00:06:22,480
+en zoals we eerder hebben gezien wordt dat verwaarloosbaar als dx naar nul gaat.
+
+91
+00:06:23,940 --> 00:06:27,487
+Ik bedoel, deze hele opstelling lijkt erg op wat ik de vorige video liet zien, 
+
+92
+00:06:27,487 --> 00:06:28,700
+met het x-kwadraat diagram.
+
+93
+00:06:29,460 --> 00:06:32,654
+En onthoud net als toen dat ik hier wat stevige veranderingen 
+
+94
+00:06:32,654 --> 00:06:35,900
+gebruik om dingen te tekenen, zodat we ze ook echt kunnen zien.
+
+95
+00:06:36,360 --> 00:06:40,671
+Maar in principe is dx iets heel erg kleins, en dat betekent 
+
+96
+00:06:40,671 --> 00:06:44,700
+dat dx kwadraat en d sinus van x ook heel erg klein zijn.
+
+97
+00:06:45,980 --> 00:06:51,313
+Dus als we toepassen wat we weten over de afgeleide van sinus en van x kwadraat, 
+
+98
+00:06:51,313 --> 00:06:55,660
+zal die kleine verandering, dx kwadraat, ongeveer 2x keer dx zijn.
+
+99
+00:06:56,360 --> 00:07:01,580
+En die kleine verandering, d sinus van x, nou dat wordt ongeveer cosinus van x maal dx.
+
+100
+00:07:02,920 --> 00:07:08,150
+Zoals gebruikelijk delen we uit door die dx om te zien dat de verhouding die we willen, 
+
+101
+00:07:08,150 --> 00:07:12,668
+df gedeeld door dx, sinus van x maal de afgeleide van x in het kwadraat is, 
+
+102
+00:07:12,668 --> 00:07:15,700
+plus x in het kwadraat maal de afgeleide van sinus.
+
+103
+00:07:17,960 --> 00:07:21,260
+En niets wat we hier hebben gedaan is specifiek voor sinus of x kwadraat.
+
+104
+00:07:21,580 --> 00:07:25,360
+Deze redenering zou ook werken voor twee willekeurige functies, g en h.
+
+105
+00:07:27,000 --> 00:07:29,200
+En soms vinden mensen het leuk om dit patroon te onthouden met 
+
+106
+00:07:29,200 --> 00:07:31,540
+een bepaald geheugensteuntje dat je als het ware in je hoofd zingt.
+
+107
+00:07:32,220 --> 00:07:33,680
+Links d rechts, rechts d links.
+
+108
+00:07:34,400 --> 00:07:37,853
+In dit voorbeeld, waar we sinus van x maal x kwadraat hebben, 
+
+109
+00:07:37,853 --> 00:07:41,640
+links d rechts, betekent dit dat je de linker functie, sinus van x, 
+
+110
+00:07:41,640 --> 00:07:44,760
+maal de afgeleide van de rechter neemt, in dit geval 2x.
+
+111
+00:07:45,480 --> 00:07:49,010
+Dan voeg je rechts d links toe, die rechter functie, 
+
+112
+00:07:49,010 --> 00:07:52,940
+x kwadraat, maal de afgeleide van de linker, cosinus van x.
+
+113
+00:07:54,360 --> 00:07:57,305
+Nu uit de context, gepresenteerd als een regel om te onthouden, 
+
+114
+00:07:57,305 --> 00:08:00,020
+denk ik dat dit behoorlijk vreemd zou voelen, denk je niet?
+
+115
+00:08:00,740 --> 00:08:03,180
+Maar als je echt aan deze aanpasbare doos denkt, 
+
+116
+00:08:03,180 --> 00:08:05,820
+kun je zien wat elk van deze termen vertegenwoordigt.
+
+117
+00:08:06,580 --> 00:08:10,977
+Links d rechts is de oppervlakte van die kleine onderste rechthoek, 
+
+118
+00:08:10,977 --> 00:08:15,440
+en rechts d links is de oppervlakte van die rechthoek aan de zijkant.
+
+119
+00:08:20,160 --> 00:08:23,472
+Overigens moet ik vermelden dat als je vermenigvuldigt met een constante, 
+
+120
+00:08:23,472 --> 00:08:26,740
+bijvoorbeeld 2 keer sinus van x, het allemaal een stuk eenvoudiger wordt.
+
+121
+00:08:27,400 --> 00:08:30,855
+De afgeleide is gewoon hetzelfde als de constante vermenigvuldigd 
+
+122
+00:08:30,855 --> 00:08:34,520
+met de afgeleide van de functie, in dit geval 2 keer de cosinus van x.
+
+123
+00:08:35,559 --> 00:08:40,179
+Ik laat het aan jou over om er even bij stil te staan en te controleren of dat klopt.
+
+124
+00:08:41,919 --> 00:08:45,523
+Naast optellen en vermenigvuldigen is de andere veelgebruikte manier 
+
+125
+00:08:45,523 --> 00:08:49,074
+om functies te combineren, en geloof me, deze komt regelmatig voor, 
+
+126
+00:08:49,074 --> 00:08:52,260
+om de ene functie in de andere te stoppen, functiecompositie.
+
+127
+00:08:53,220 --> 00:08:56,890
+Bijvoorbeeld, misschien nemen we de functie x kwadraat en stoppen die in 
+
+128
+00:08:56,890 --> 00:09:00,460
+de sinus van x om deze nieuwe functie te krijgen, sinus van x kwadraat.
+
+129
+00:09:01,400 --> 00:09:04,080
+Wat denk je dat de afgeleide van die nieuwe functie is?
+
+130
+00:09:05,300 --> 00:09:09,277
+Om hier goed over na te denken, kies ik nog een andere manier om dingen te visualiseren, 
+
+131
+00:09:09,277 --> 00:09:12,540
+gewoon om te benadrukken dat we in creatieve wiskunde veel opties hebben.
+
+132
+00:09:13,320 --> 00:09:18,899
+Ik zet drie verschillende getallenlijnen neer, de bovenste bevat de waarde van x, 
+
+133
+00:09:18,899 --> 00:09:24,887
+de tweede bevat x in het kwadraat en de derde bevat de waarde van de sinus van x in het 
+
+134
+00:09:24,887 --> 00:09:25,500
+kwadraat.
+
+135
+00:09:26,460 --> 00:09:30,498
+Dat wil zeggen, de functie x kwadraat brengt je van regel 1 naar regel 2, 
+
+136
+00:09:30,498 --> 00:09:33,500
+en de functie sinus brengt je van regel 2 naar regel 3.
+
+137
+00:09:34,840 --> 00:09:39,350
+Als ik deze waarde van x verschuif, misschien naar de waarde 3, 
+
+138
+00:09:39,350 --> 00:09:45,340
+blijft die tweede waarde gekoppeld aan wat x in het kwadraat is, in dit geval naar 9.
+
+139
+00:09:46,200 --> 00:09:49,988
+Die onderste waarde, die sinus van x in het kwadraat is, 
+
+140
+00:09:49,988 --> 00:09:52,580
+gaat naar wat sinus van 9 toevallig is.
+
+141
+00:09:54,900 --> 00:10:00,400
+Dus laten we voor de afgeleide opnieuw beginnen met die x-waarde te verhogen met dx.
+
+142
+00:10:01,540 --> 00:10:06,307
+Ik denk altijd dat het handig is om x te zien als beginnend bij een concreet getal, 
+
+143
+00:10:06,307 --> 00:10:07,840
+misschien 1,5 in dit geval.
+
+144
+00:10:08,760 --> 00:10:12,230
+De resulterende duw naar die tweede waarde, de verandering in x 
+
+145
+00:10:12,230 --> 00:10:15,700
+in het kwadraat veroorzaakt door zo'n dx, is dx in het kwadraat.
+
+146
+00:10:16,960 --> 00:10:21,499
+We zouden dit kunnen uitbreiden zoals we eerder hebben gedaan, als 2x maal dx, 
+
+147
+00:10:21,499 --> 00:10:25,005
+wat voor onze specifieke invoer 2 maal 1,5 maal dx zou zijn, 
+
+148
+00:10:25,005 --> 00:10:30,120
+maar het helpt om de dingen geschreven te houden als dx in het kwadraat, althans voor nu.
+
+149
+00:10:31,020 --> 00:10:35,742
+Ik ga zelfs nog een stap verder en geef een nieuwe naam aan deze x kwadraat, 
+
+150
+00:10:35,742 --> 00:10:41,200
+misschien h, dus in plaats van dx kwadraat te schrijven voor deze nudge, schrijven we dh.
+
+151
+00:10:42,620 --> 00:10:45,697
+Dit maakt het makkelijker om na te denken over die derde waarde, 
+
+152
+00:10:45,697 --> 00:10:47,260
+die nu gelijk is aan sinus van h.
+
+153
+00:10:48,200 --> 00:10:53,680
+De verandering is d sinus van h, de kleine verandering veroorzaakt door het duwtje dh.
+
+154
+00:10:55,000 --> 00:10:59,921
+Het feit dat het naar links beweegt terwijl de dh hobbel naar rechts gaat, 
+
+155
+00:10:59,921 --> 00:11:05,040
+betekent alleen dat deze verandering, d sinus van h, een negatief getal wordt.
+
+156
+00:11:06,140 --> 00:11:09,640
+Opnieuw kunnen we onze kennis van de afgeleide van de sinus gebruiken.
+
+157
+00:11:10,500 --> 00:11:14,420
+Deze d sinus van h zal ongeveer cosinus van h maal dh zijn.
+
+158
+00:11:15,240 --> 00:11:18,640
+Dat betekent dat de afgeleide van sinus cosinus is.
+
+159
+00:11:19,540 --> 00:11:22,736
+We kunnen de h weer vervangen door x in het kwadraat, 
+
+160
+00:11:22,736 --> 00:11:27,826
+zodat we weten dat de onderste duw een grootte zal hebben van de cosinus van x in het 
+
+161
+00:11:27,826 --> 00:11:29,780
+kwadraat maal dx in het kwadraat.
+
+162
+00:11:31,040 --> 00:11:32,480
+Laten we de dingen nog verder uitklappen.
+
+163
+00:11:32,840 --> 00:11:38,100
+Dat tussentijdse duwtje dx in het kwadraat wordt ongeveer 2x keer dx.
+
+164
+00:11:39,060 --> 00:11:41,392
+Het is altijd een goede gewoonte om jezelf eraan te 
+
+165
+00:11:41,392 --> 00:11:43,680
+herinneren wat zo'n uitdrukking eigenlijk betekent.
+
+166
+00:11:44,340 --> 00:11:49,472
+In dit geval, waar we begonnen bij x gelijk aan 1,5 bovenaan, 
+
+167
+00:11:49,472 --> 00:11:55,515
+vertelt deze hele uitdrukking ons dat de grootte van de duw op die derde 
+
+168
+00:11:55,515 --> 00:12:02,220
+lijn ongeveer cosinus is van 1,5 kwadraat maal 2 maal 1,5 maal de grootte van dx.
+
+169
+00:12:02,720 --> 00:12:05,319
+Het is evenredig met de grootte van dx, en deze 
+
+170
+00:12:05,319 --> 00:12:07,920
+afgeleide geeft ons die evenredigheidsconstante.
+
+171
+00:12:10,920 --> 00:12:12,560
+Zie waar we hier mee uitkwamen.
+
+172
+00:12:12,960 --> 00:12:18,120
+We hebben de afgeleide van de buitenfunctie, en die neemt nog steeds de onveranderde 
+
+173
+00:12:18,120 --> 00:12:23,220
+binnenfunctie op, en vermenigvuldigt die dan met de afgeleide van die binnenfunctie.
+
+174
+00:12:25,820 --> 00:12:29,220
+Nogmaals, er is niets speciaals aan sinus van x of x kwadraat.
+
+175
+00:12:29,740 --> 00:12:34,112
+Als je twee willekeurige functies hebt, g van x en h van x, 
+
+176
+00:12:34,112 --> 00:12:38,339
+dan is de afgeleide van hun samenstelling, g van h van x, 
+
+177
+00:12:38,339 --> 00:12:43,660
+de afgeleide van g berekend op h, vermenigvuldigd met de afgeleide van h.
+
+178
+00:12:47,140 --> 00:12:50,900
+Dit patroon hier is wat we meestal de kettingregel noemen.
+
+179
+00:12:52,040 --> 00:12:57,680
+Merk op dat ik de afgeleide van g schrijf als dg dh in plaats van dg dx.
+
+180
+00:12:58,680 --> 00:13:02,313
+Op symbolisch niveau herinnert dit je eraan dat het ding dat je 
+
+181
+00:13:02,313 --> 00:13:06,060
+in die afgeleide steekt nog steeds die intermediaire functie h is.
+
+182
+00:13:07,020 --> 00:13:09,704
+Maar meer dan dat, het is een belangrijke weerspiegeling van 
+
+183
+00:13:09,704 --> 00:13:12,520
+wat deze afgeleide van de buitenste functie eigenlijk voorstelt.
+
+184
+00:13:13,200 --> 00:13:16,415
+Herinner je dat we in onze opstelling met drie lijnen, 
+
+185
+00:13:16,415 --> 00:13:19,573
+toen we de afgeleide van de sinus op die bodem namen, 
+
+186
+00:13:19,573 --> 00:13:23,900
+de grootte van dat duwtje, d sinus, uitbreidden als cosinus van h maal dh.
+
+187
+00:13:24,940 --> 00:13:29,840
+Dit was omdat we niet meteen wisten hoe de grootte van die onderste duw afhing van x.
+
+188
+00:13:30,420 --> 00:13:32,600
+Daar probeerden we achter te komen.
+
+189
+00:13:33,260 --> 00:13:37,360
+Maar we kunnen de afgeleide nemen ten opzichte van die tussenliggende variabele, h.
+
+190
+00:13:38,100 --> 00:13:41,914
+Dat wil zeggen, zoek uit hoe je de grootte van die duw op de derde regel kunt 
+
+191
+00:13:41,914 --> 00:13:45,680
+uitdrukken als een veelvoud van dh, de grootte van de duw op de tweede regel.
+
+192
+00:13:46,580 --> 00:13:50,700
+Pas daarna ontvouwden we ons verder door uit te zoeken wat dh was.
+
+193
+00:13:53,320 --> 00:13:55,699
+In deze uitdrukking van de kettingregel zeggen we, 
+
+194
+00:13:55,699 --> 00:13:59,666
+kijk naar de verhouding tussen een kleine verandering in g, de uiteindelijke output, 
+
+195
+00:13:59,666 --> 00:14:02,373
+en een kleine verandering in h die dit heeft veroorzaakt, 
+
+196
+00:14:02,373 --> 00:14:04,380
+waarbij h de waarde is die we in g stoppen.
+
+197
+00:14:05,320 --> 00:14:08,117
+Vermenigvuldig dat dan met de piepkleine verandering in h, 
+
+198
+00:14:08,117 --> 00:14:11,200
+gedeeld door de piepkleine verandering in x die dit veroorzaakte.
+
+199
+00:14:12,300 --> 00:14:15,626
+Dus let op, deze dh's heffen elkaar op en geven ons een verhouding tussen 
+
+200
+00:14:15,626 --> 00:14:19,133
+de verandering in die uiteindelijke output en de verandering in de input die, 
+
+201
+00:14:19,133 --> 00:14:22,280
+door een bepaalde keten van gebeurtenissen, dit teweeg heeft gebracht.
+
+202
+00:14:23,860 --> 00:14:26,980
+En die annulering van dh is niet alleen een notatietruc.
+
+203
+00:14:26,980 --> 00:14:30,287
+Dat is een echte weerspiegeling van wat er aan de hand is met de 
+
+204
+00:14:30,287 --> 00:14:33,900
+kleine duwtjes die de basis vormen van alles wat we doen met derivaten.
+
+205
+00:14:36,300 --> 00:14:39,634
+Dus dat zijn de drie basisgereedschappen die je in je riem moet hebben om 
+
+206
+00:14:39,634 --> 00:14:43,240
+afgeleiden van functies te kunnen verwerken die veel kleinere dingen combineren.
+
+207
+00:14:43,840 --> 00:14:47,380
+Je hebt de somregel, de productregel en de kettingregel.
+
+208
+00:14:48,400 --> 00:14:51,624
+En ik zal eerlijk tegen je zijn, er is een groot verschil tussen 
+
+209
+00:14:51,624 --> 00:14:54,403
+weten wat de kettingregel is en wat de productregel is, 
+
+210
+00:14:54,403 --> 00:14:58,620
+en ze daadwerkelijk vloeiend kunnen toepassen in zelfs de meest hachelijke situaties.
+
+211
+00:14:59,480 --> 00:15:03,278
+Het bekijken van video's, welke dan ook, over de mechanica van calculus 
+
+212
+00:15:03,278 --> 00:15:06,812
+is nooit een vervanging voor het zelf oefenen van die mechanica en 
+
+213
+00:15:06,812 --> 00:15:10,400
+het opbouwen van de spieren om deze berekeningen zelf uit te voeren.
+
+214
+00:15:11,240 --> 00:15:14,223
+Ik zou echt willen dat ik kon aanbieden om dat voor je te doen, 
+
+215
+00:15:14,223 --> 00:15:17,440
+maar ik ben bang dat de bal bij jou ligt om de praktijk op te zoeken.
+
+216
+00:15:18,040 --> 00:15:20,904
+Wat ik je kan bieden, en wat ik hoop dat ik je heb geboden, 
+
+217
+00:15:20,904 --> 00:15:23,960
+is om je te laten zien waar deze regels eigenlijk vandaan komen.
+
+218
+00:15:24,140 --> 00:15:27,627
+Om te laten zien dat ze niet alleen iets zijn dat je uit je hoofd moet leren en waar 
+
+219
+00:15:27,627 --> 00:15:30,088
+je op moet hameren, maar dat het natuurlijke patronen zijn, 
+
+220
+00:15:30,088 --> 00:15:33,370
+dingen die ook jij had kunnen ontdekken door geduldig na te denken over wat een 
+
+221
+00:15:33,370 --> 00:15:34,560
+afgeleide eigenlijk betekent.
+
diff --git a/2017/chain-rule-and-product-rule/dutch/description.json b/2017/chain-rule-and-product-rule/dutch/description.json
new file mode 100644
index 000000000..980359295
--- /dev/null
+++ b/2017/chain-rule-and-product-rule/dutch/description.json
@@ -0,0 +1,92 @@
+[
+ {
+  "input": "A visual explanation of what the chain rule and product rule are, and why they are true.",
+  "translatedText": "Een visuele uitleg van wat de kettingregel en de productregel zijn en waarom ze waar zijn.",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "Help fund future projects: https://www.patreon.com/3blue1brown",
+  "translatedText": "Help toekomstige projecten financieren: https://www.patreon.com/3blue1brown",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "This video was sponsored by Brilliant: https://brilliant.org/3b1b",
+  "translatedText": "Deze video werd gesponsord door Briljant: https://brilliant.org/3b1b",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "An equally valuable form of support is to simply share some of the videos.",
+  "translatedText": "Een even waardevolle vorm van ondersteuning is het delen van een aantal video's.",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "Special thanks to these supporters: http://3b1b.co/lessons/chain-rule-and-product-rule#thanks",
+  "translatedText": "Speciale dank aan deze supporters: http://3b1b.co/lessons/chain-rule-and-product-rule#thanks",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "Home page: https://www.3blue1brown.com",
+  "translatedText": "Startpagina: https://www.3blue1brown.com",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "",
+  "translatedText": "",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "Series like this one are funded largely by the community, through Patreon, where supporters get early access as the series is being produced.",
+  "translatedText": "Series zoals deze worden grotendeels gefinancierd door de community, via Patreon, waar donateurs al vroeg toegang krijgen terwijl de serie wordt geproduceerd.",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "http://3b1b.co/support",
+  "translatedText": "http://3b1b.co/support",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "",
+  "translatedText": "",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "Timestamps:",
+  "translatedText": "Tijdstempels:",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "0:00 - Intro",
+  "translatedText": "0:00 - Intro",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "1:48 - Sum rule",
+  "translatedText": "1:48 - Somregel",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "4:13 - Product rule",
+  "translatedText": "4:13 - Productregel",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "8:41 - Chain rule",
+  "translatedText": "8:41 - Kettingregel",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "14:36 - Outro",
+  "translatedText": "14:36 - Outro",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "",
+  "translatedText": "",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "",
+  "translatedText": "",
+  "model": "DeepL"
+ }
+]
\ No newline at end of file
diff --git a/2017/chain-rule-and-product-rule/dutch/sentence_translations.json b/2017/chain-rule-and-product-rule/dutch/sentence_translations.json
new file mode 100644
index 000000000..257d664e1
--- /dev/null
+++ b/2017/chain-rule-and-product-rule/dutch/sentence_translations.json
@@ -0,0 +1,1001 @@
+[
+ {
+  "input": "In the last videos I talked about the derivatives of simple functions, and the goal was to have a clear picture or intuition to hold in your mind that actually explains where these formulas come from.",
+  "translatedText": "In de vorige video's heb ik het gehad over de afgeleiden van eenvoudige functies, en het doel was om een duidelijk beeld of intuïtie in je hoofd te hebben die eigenlijk uitlegt waar deze formules vandaan komen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   14.5,
+   26.2
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But most of the functions you deal with in modeling the world involve mixing, combining, or tweaking these simple functions in some other way, so our next step is to understand how you take derivatives of more complicated combinations.",
+  "translatedText": "Maar de meeste functies die je gebruikt bij het modelleren van de wereld bestaan uit het mengen, combineren of op een andere manier aanpassen van deze eenvoudige functies, dus onze volgende stap is om te begrijpen hoe je afgeleiden neemt van meer ingewikkelde combinaties.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   26.84,
+   40.54
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Again, I don't want these to be something to memorize, I want you to have a clear picture in mind for where each one comes from.",
+  "translatedText": "Nogmaals, ik wil niet dat dit iets is om uit je hoofd te leren, ik wil dat je een duidelijk beeld voor ogen hebt waar elk van deze vandaan komt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   41.28,
+   47.6
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Now, this really boils down into three basic ways to combine functions.",
+  "translatedText": "Dit komt eigenlijk neer op drie basismanieren om functies te combineren.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   49.52,
+   53.6
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "You can add them together, you can multiply them, and you can throw one inside the other, known as composing them.",
+  "translatedText": "Je kunt ze bij elkaar optellen, je kunt ze vermenigvuldigen en je kunt de een in de ander gooien, ook wel compositie genoemd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   54.1,
+   59.78
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Sure, you could say subtracting them, but really that's just multiplying the second by negative one and adding them together.",
+  "translatedText": "Natuurlijk zou je kunnen zeggen dat je ze aftrekt, maar eigenlijk is dat gewoon de tweede vermenigvuldigen met negatief één en ze bij elkaar optellen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   60.6,
+   67.22
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Likewise, dividing functions doesn't really add anything, because that's the same as plugging one inside the function, one over x, and then multiplying the two together.",
+  "translatedText": "Ook het delen van functies voegt niet echt iets toe, want dat is hetzelfde als één in de functie stoppen, één over x, en dan de twee met elkaar vermenigvuldigen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   68.24,
+   76.76
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So really, most functions you come across just involve layering together these three different types of combinations, though there's not really a bound on how monstrous things can become.",
+  "translatedText": "Dus bij de meeste functies die je tegenkomt, hoef je alleen maar deze drie verschillende soorten combinaties op elkaar te leggen, hoewel er niet echt een grens is aan hoe monsterlijk dingen kunnen worden.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   77.66,
+   86.44
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But as long as you know how derivatives play with just those three combination types, you'll always be able to take it step by step and peel through the layers for any kind of monstrous expression.",
+  "translatedText": "Maar zolang je weet hoe je afgeleiden met alleen die drie combinatietypes kunt spelen, zul je altijd stap voor stap door de lagen heen kunnen schillen voor wat voor monsterlijke expressie dan ook.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   87.1,
+   96.72
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So the question is, if you know the derivative of two functions, what is the derivative of their sum, of their product, and of the function composition between them?",
+  "translatedText": "Dus de vraag is, als je de afgeleide kent van twee functies, wat is dan de afgeleide van hun som, van hun product en van de functiesamenstelling ertussen?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   98.72,
+   108.42
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The sum rule is easiest, if somewhat tongue-twisting to say out loud.",
+  "translatedText": "De sommatieregel is het makkelijkst, hoewel het wat tongbrekend is om hardop te zeggen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   110.32,
+   114.26
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The derivative of a sum of two functions is the sum of their derivatives.",
+  "translatedText": "De afgeleide van een som van twee functies is de som van hun afgeleiden.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   114.84,
+   118.6
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But it's worth warming up with this example by really thinking through what it means to take a derivative of a sum of two functions, since the derivative patterns for products and function composition won't be so straightforward, and they're going to require this kind of deeper thinking.",
+  "translatedText": "Maar het is de moeite waard om je op te warmen met dit voorbeeld door echt na te denken over wat het betekent om een afgeleide te nemen van een som van twee functies, omdat de afgeleide patronen voor producten en functiesamenstellingen niet zo eenvoudig zullen zijn en dit soort dieper denken vereisen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   119.8,
+   135.62
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For example, let's think about this function f of x equals sine of x plus x squared.",
+  "translatedText": "Laten we bijvoorbeeld eens denken aan de functie f van x is gelijk aan sinus van x plus x in het kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   136.7,
+   141.2
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It's a function where, for every input, you add together the values of sine of x and x squared at that point.",
+  "translatedText": "Het is een functie waarbij je voor elke invoer de waarden van de sinus van x en x kwadraat op dat punt bij elkaar optelt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   142.2,
+   147.96
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For example, let's say at x equals 0.5, the height of the sine graph is given by this vertical bar, and the height of the x squared parabola is given by this slightly smaller vertical bar.",
+  "translatedText": "Stel bijvoorbeeld dat x gelijk is aan 0,5, dan wordt de hoogte van de sinusgrafiek gegeven door deze verticale balk en de hoogte van de x-kwadraatparabool door deze iets kleinere verticale balk.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   149.76,
+   162.56
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And their sum is the length you get by just stacking them together.",
+  "translatedText": "En hun som is de lengte die je krijgt door ze gewoon op elkaar te stapelen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   164.38,
+   167.32
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For the derivative, you want to ask what happens as you nudge that input slightly, maybe increasing it up to 0.5 plus dx.",
+  "translatedText": "Voor de afgeleide wil je je afvragen wat er gebeurt als je die invoer een beetje verschuift, misschien tot 0,5 plus dx.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   168.52,
+   176.42
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The difference in the value of f between those two places is what we call df.",
+  "translatedText": "Het verschil in de waarde van f tussen die twee plaatsen noemen we df.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   177.56,
+   182.92
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And when you picture it like this, I think you'll agree that the total change in the height is whatever the change to the sine graph is, what we might call d sine of x, plus whatever the change to x squared is, dx squared.",
+  "translatedText": "En als je het je zo voorstelt, denk ik dat je het ermee eens bent dat de totale verandering in de hoogte gelijk is aan wat de verandering in de sinusgrafiek is, wat we d sinus van x zouden kunnen noemen, plus wat de verandering in x kwadraat is, dx kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   184.36,
+   198.8
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "We know that the derivative of sine is cosine, and remember what that means.",
+  "translatedText": "We weten dat de afgeleide van sinus cosinus is, en onthouden wat dat betekent.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   202.24,
+   207.54
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It means that this little change, d sine of x, is about cosine of x times dx.",
+  "translatedText": "Het betekent dat deze kleine verandering, d sinus van x, ongeveer cosinus van x maal dx is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   207.92,
+   213.3
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It's proportional to the size of our initial nudge dx, and the proportionality constant equals cosine of whatever input we started at.",
+  "translatedText": "Het is evenredig met de grootte van onze initiële duwbeweging dx en de evenredigheidsconstante is gelijk aan de cosinus van de invoer waarmee we begonnen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   213.78,
+   223.36
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Likewise, because the derivative of x squared is 2x, the change in the height of the x squared graph is 2x times whatever dx was.",
+  "translatedText": "Evenzo, omdat de afgeleide van x kwadraat 2x is, is de verandering in de hoogte van de x-kwadraatgrafiek 2x maal wat dx was.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   223.98,
+   233.94
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So rearranging df divided by dx, the ratio of the tiny change to the sum function to the tiny change in x that caused it, is indeed cosine of x plus 2x, the sum of the derivatives of its parts.",
+  "translatedText": "Dus als je df gedeeld door dx herschikt, is de verhouding van de minieme verandering in de somfunctie tot de minieme verandering in x die dit veroorzaakte, inderdaad cosinus van x plus 2x, de som van de afgeleiden van zijn delen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   235.6,
+   250.08
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But like I said, things are a bit different for products, and let's think through why in terms of tiny nudges again.",
+  "translatedText": "Maar zoals ik al zei, voor producten liggen de zaken een beetje anders, en laten we nog eens goed doordenken waarom in termen van kleine duwtjes.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   251.52,
+   259.14
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "In this case, I don't think graphs are our best bet for visualizing things.",
+  "translatedText": "In dit geval denk ik niet dat grafieken de beste manier zijn om dingen te visualiseren.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   260.06,
+   263.14
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Pretty commonly in math, at a lot of levels of math really, if you're dealing with a product of two things, it helps to understand it as some kind of area.",
+  "translatedText": "Als je in de wiskunde te maken hebt met een product van twee dingen, helpt het vaak om het te zien als een soort gebied.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   263.82,
+   272.14
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "In this case, maybe you try to configure some mental setup of a box where the side lengths are sine of x and x squared.",
+  "translatedText": "In dit geval probeer je misschien een mentale opstelling van een doos te maken waarbij de lengtes van de zijden sinus van x en x kwadraat zijn.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   273.08,
+   279.0
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But what would that mean?",
+  "translatedText": "Maar wat zou dat betekenen?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   279.88,
+   281.04
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Well, since these are functions, you might think of those sides as adjustable, dependent on the value of x, which maybe you think of as this number that you can just freely adjust up and down.",
+  "translatedText": "Omdat dit functies zijn, zou je kunnen denken dat die zijden instelbaar zijn, afhankelijk van de waarde van x, die je misschien beschouwt als een getal dat je vrijelijk naar boven en beneden kunt bijstellen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   282.32,
+   292.74
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So getting a feel for what this means, focus on that top side who changes as the function sine of x.",
+  "translatedText": "Dus om een gevoel te krijgen voor wat dit betekent, concentreer je je op de bovenkant die verandert als de functie sinus van x.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   293.74,
+   300.14
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "As you change this value of x up from 0, it increases up to a length of 1 as sine of x moves up towards its peak, and after that it starts to decrease as sine of x comes down from 1.",
+  "translatedText": "Als je deze waarde van x vanaf 0 verandert, neemt hij toe tot een lengte van 1 als de sinus van x omhoog gaat naar zijn piek, en daarna begint hij af te nemen als de sinus van x vanaf 1 naar beneden gaat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   301.06,
+   313.94
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And in the same way, that height there is always changing as x squared.",
+  "translatedText": "En op dezelfde manier verandert die hoogte daar altijd als x in het kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   315.1,
+   318.58
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So f of x, defined as the product of these two functions, is the area of this box.",
+  "translatedText": "Dus f van x, gedefinieerd als het product van deze twee functies, is de oppervlakte van deze doos.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   320.08,
+   325.8
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And for the derivative, let's think about how a tiny change to x by dx influences that area.",
+  "translatedText": "En laten we voor de afgeleide eens nadenken over hoe een kleine verandering van x door dx dat gebied beïnvloedt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   327.06,
+   333.18
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "What is that resulting change in area df?",
+  "translatedText": "Wat is de resulterende verandering in oppervlakte df?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   333.84,
+   336.28
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Well, the nudge dx caused that width to change by some small d sine of x, and it caused that height to change by some dx squared.",
+  "translatedText": "Nou, de nudge dx zorgde ervoor dat de breedte veranderde met een kleine d sinus van x, en het zorgde ervoor dat de hoogte veranderde met een dx kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   339.0,
+   347.92
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And this gives us three little snippets of new area, a thin rectangle on the bottom whose area is its width, sine of x, times its thin height, dx squared.",
+  "translatedText": "En dit geeft ons drie kleine stukjes nieuw gebied, een dunne rechthoek aan de onderkant waarvan het gebied de breedte is, sinus van x, maal de dunne hoogte, dx in het kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   350.18,
+   360.26
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And there's this thin rectangle on the right, whose area is its height, x squared, times its thin width, d sine of x.",
+  "translatedText": "En er is een dunne rechthoek aan de rechterkant, waarvan de oppervlakte de hoogte is, x in het kwadraat, maal de dunne breedte, d sinus van x.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   361.78,
+   369.3
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And there's also this little bit in the corner, but we can ignore that.",
+  "translatedText": "En er is ook nog dit kleine stukje in de hoek, maar dat kunnen we negeren.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   370.74,
+   374.14
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Its area is ultimately proportional to dx squared, and as we've seen before, that becomes negligible as dx goes to zero.",
+  "translatedText": "De oppervlakte is uiteindelijk evenredig met dx in het kwadraat, en zoals we eerder hebben gezien wordt dat verwaarloosbaar als dx naar nul gaat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   374.44,
+   382.48
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I mean, this whole setup is very similar to what I showed last video, with the x squared diagram.",
+  "translatedText": "Ik bedoel, deze hele opstelling lijkt erg op wat ik de vorige video liet zien, met het x-kwadraat diagram.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   383.94,
+   388.7
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And just like then, keep in mind that I'm using somewhat beefy changes here to draw things, just so we can actually see them.",
+  "translatedText": "En onthoud net als toen dat ik hier wat stevige veranderingen gebruik om dingen te tekenen, zodat we ze ook echt kunnen zien.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   389.46,
+   395.9
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But in principle, dx is something very very small, and that means that dx squared and d sine of x are also very very small.",
+  "translatedText": "Maar in principe is dx iets heel erg kleins, en dat betekent dat dx kwadraat en d sinus van x ook heel erg klein zijn.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   396.36,
+   404.7
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So, applying what we know about the derivative of sine and of x squared, that tiny change, dx squared, is going to be about 2x times dx.",
+  "translatedText": "Dus als we toepassen wat we weten over de afgeleide van sinus en van x kwadraat, zal die kleine verandering, dx kwadraat, ongeveer 2x keer dx zijn.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   405.98,
+   415.66
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And that tiny change, d sine of x, well that's going to be about cosine of x times dx.",
+  "translatedText": "En die kleine verandering, d sinus van x, nou dat wordt ongeveer cosinus van x maal dx.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   416.36,
+   421.58
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "As usual, we divide out by that dx to see that the ratio we want, df divided by dx, is sine of x times the derivative of x squared, plus x squared times the derivative of sine.",
+  "translatedText": "Zoals gebruikelijk delen we uit door die dx om te zien dat de verhouding die we willen, df gedeeld door dx, sinus van x maal de afgeleide van x in het kwadraat is, plus x in het kwadraat maal de afgeleide van sinus.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   422.92,
+   435.7
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And nothing we've done here is specific to sine or to x squared.",
+  "translatedText": "En niets wat we hier hebben gedaan is specifiek voor sinus of x kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   437.96,
+   441.26
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This same line of reasoning would work for any two functions, g and h.",
+  "translatedText": "Deze redenering zou ook werken voor twee willekeurige functies, g en h.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   441.58,
+   445.36
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And sometimes people like to remember this pattern with a certain mnemonic that you kind of sing in your head.",
+  "translatedText": "En soms vinden mensen het leuk om dit patroon te onthouden met een bepaald geheugensteuntje dat je als het ware in je hoofd zingt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   447.0,
+   451.54
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Left d right, right d left.",
+  "translatedText": "Links d rechts, rechts d links.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   452.22,
+   453.68
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "In this example, where we have sine of x times x squared, left d right, means you take that left function, sine of x, times the derivative of the right, in this case 2x.",
+  "translatedText": "In dit voorbeeld, waar we sinus van x maal x kwadraat hebben, links d rechts, betekent dit dat je de linker functie, sinus van x, maal de afgeleide van de rechter neemt, in dit geval 2x.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   454.4,
+   464.76
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Then you add on right d left, that right function, x squared, times the derivative of the left one, cosine of x.",
+  "translatedText": "Dan voeg je rechts d links toe, die rechter functie, x kwadraat, maal de afgeleide van de linker, cosinus van x.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   465.48,
+   472.94
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Now out of context, presented as a rule to remember, I think this would feel pretty strange, don't you?",
+  "translatedText": "Nu uit de context, gepresenteerd als een regel om te onthouden, denk ik dat dit behoorlijk vreemd zou voelen, denk je niet?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   474.36,
+   480.02
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But when you actually think of this adjustable box, you can see what each of those terms represents.",
+  "translatedText": "Maar als je echt aan deze aanpasbare doos denkt, kun je zien wat elk van deze termen vertegenwoordigt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   480.74,
+   485.82
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Left d right is the area of that little bottom rectangle, and right d left is the area of that rectangle on the side.",
+  "translatedText": "Links d rechts is de oppervlakte van die kleine onderste rechthoek, en rechts d links is de oppervlakte van die rechthoek aan de zijkant.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   486.58,
+   495.44
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "By the way, I should mention that if you multiply by a constant, say 2 times sine of x, things end up a lot simpler.",
+  "translatedText": "Overigens moet ik vermelden dat als je vermenigvuldigt met een constante, bijvoorbeeld 2 keer sinus van x, het allemaal een stuk eenvoudiger wordt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   500.16,
+   506.74
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The derivative is just the same as the constant multiplied by the derivative of the function, in this case 2 times cosine of x.",
+  "translatedText": "De afgeleide is gewoon hetzelfde als de constante vermenigvuldigd met de afgeleide van de functie, in dit geval 2 keer de cosinus van x.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   507.4,
+   514.52
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I'll leave it to you to pause and ponder and verify that makes sense.",
+  "translatedText": "Ik laat het aan jou over om er even bij stil te staan en te controleren of dat klopt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   515.56,
+   520.18
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Aside from addition and multiplication, the other common way to combine functions, and believe me, this one comes up all the time, is to shove one inside the other, function composition.",
+  "translatedText": "Naast optellen en vermenigvuldigen is de andere veelgebruikte manier om functies te combineren, en geloof me, deze komt regelmatig voor, om de ene functie in de andere te stoppen, functiecompositie.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   521.92,
+   532.26
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For example, maybe we take the function x squared and shove it inside sine of x to get this new function, sine of x squared.",
+  "translatedText": "Bijvoorbeeld, misschien nemen we de functie x kwadraat en stoppen die in de sinus van x om deze nieuwe functie te krijgen, sinus van x kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   533.22,
+   540.46
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "What do you think the derivative of that new function is?",
+  "translatedText": "Wat denk je dat de afgeleide van die nieuwe functie is?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   541.4,
+   544.08
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "To think this one through, I'll choose yet another way to visualize things, just to emphasize that in creative math, we've got lots of options.",
+  "translatedText": "Om hier goed over na te denken, kies ik nog een andere manier om dingen te visualiseren, gewoon om te benadrukken dat we in creatieve wiskunde veel opties hebben.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   545.3,
+   552.54
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I'll put up three different number lines, the top one is going to hold the value of x, the second one is going to hold the x squared, and the third line is going to hold the value of sine of x squared.",
+  "translatedText": "Ik zet drie verschillende getallenlijnen neer, de bovenste bevat de waarde van x, de tweede bevat x in het kwadraat en de derde bevat de waarde van de sinus van x in het kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   553.32,
+   565.5
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That is, the function x squared gets you from line 1 to line 2, and the function sine gets you from line 2 to line 3.",
+  "translatedText": "Dat wil zeggen, de functie x kwadraat brengt je van regel 1 naar regel 2, en de functie sinus brengt je van regel 2 naar regel 3.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   566.46,
+   573.5
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "As I shift around this value of x, maybe moving it up to the value 3, that second value stays pegged to whatever x squared is, in this case moving up to 9.",
+  "translatedText": "Als ik deze waarde van x verschuif, misschien naar de waarde 3, blijft die tweede waarde gekoppeld aan wat x in het kwadraat is, in dit geval naar 9.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   574.84,
+   585.34
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That bottom value, being sine of x squared, is going to go to whatever sine of 9 happens to be.",
+  "translatedText": "Die onderste waarde, die sinus van x in het kwadraat is, gaat naar wat sinus van 9 toevallig is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   586.2,
+   592.58
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So for the derivative, let's again start by nudging that x value by dx.",
+  "translatedText": "Dus laten we voor de afgeleide opnieuw beginnen met die x-waarde te verhogen met dx.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   594.9,
+   600.4
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I always think that it's helpful to think of x as starting at some actual concrete number, maybe 1.5 in this case.",
+  "translatedText": "Ik denk altijd dat het handig is om x te zien als beginnend bij een concreet getal, misschien 1,5 in dit geval.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   601.54,
+   607.84
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The resulting nudge to that second value, the change in x squared caused by such a dx, is dx squared.",
+  "translatedText": "De resulterende duw naar die tweede waarde, de verandering in x in het kwadraat veroorzaakt door zo'n dx, is dx in het kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   608.76,
+   615.7
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "We could expand this like we have before, as 2x times dx, which for our specific input would be 2 times 1.5 times dx, but it helps to keep things written as dx squared, at least for now.",
+  "translatedText": "We zouden dit kunnen uitbreiden zoals we eerder hebben gedaan, als 2x maal dx, wat voor onze specifieke invoer 2 maal 1,5 maal dx zou zijn, maar het helpt om de dingen geschreven te houden als dx in het kwadraat, althans voor nu.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   616.96,
+   630.12
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "In fact, I'm going to go one step further, give a new name to this x squared, maybe h, so instead of writing dx squared for this nudge, we write dh.",
+  "translatedText": "Ik ga zelfs nog een stap verder en geef een nieuwe naam aan deze x kwadraat, misschien h, dus in plaats van dx kwadraat te schrijven voor deze nudge, schrijven we dh.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   631.02,
+   641.2
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This makes it easier to think about that third value, which is now pegged at sine of h.",
+  "translatedText": "Dit maakt het makkelijker om na te denken over die derde waarde, die nu gelijk is aan sinus van h.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   642.62,
+   647.26
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Its change is d sine of h, the tiny change caused by the nudge dh.",
+  "translatedText": "De verandering is d sinus van h, de kleine verandering veroorzaakt door het duwtje dh.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   648.2,
+   653.68
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The fact that it's moving to the left while the dh bump is going to the right just means that this change, d sine of h, is going to be some kind of negative number.",
+  "translatedText": "Het feit dat het naar links beweegt terwijl de dh hobbel naar rechts gaat, betekent alleen dat deze verandering, d sinus van h, een negatief getal wordt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   655.0,
+   665.04
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Once again, we can use our knowledge of the derivative of the sine.",
+  "translatedText": "Opnieuw kunnen we onze kennis van de afgeleide van de sinus gebruiken.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   666.14,
+   669.64
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This d sine of h is going to be about cosine of h times dh.",
+  "translatedText": "Deze d sinus van h zal ongeveer cosinus van h maal dh zijn.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   670.5,
+   674.42
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That's what it means for the derivative of sine to be cosine.",
+  "translatedText": "Dat betekent dat de afgeleide van sinus cosinus is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   675.24,
+   678.64
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Unfolding things, we can replace that h with x squared again, so we know that the bottom nudge will be a size of cosine of x squared times dx squared.",
+  "translatedText": "We kunnen de h weer vervangen door x in het kwadraat, zodat we weten dat de onderste duw een grootte zal hebben van de cosinus van x in het kwadraat maal dx in het kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   679.54,
+   689.78
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Let's unfold things even further.",
+  "translatedText": "Laten we de dingen nog verder uitklappen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   691.04,
+   692.48
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That intermediate nudge dx squared is going to be about 2x times dx.",
+  "translatedText": "Dat tussentijdse duwtje dx in het kwadraat wordt ongeveer 2x keer dx.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   692.84,
+   698.1
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It's always a good habit to remind yourself of what an expression like this actually means.",
+  "translatedText": "Het is altijd een goede gewoonte om jezelf eraan te herinneren wat zo'n uitdrukking eigenlijk betekent.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   699.06,
+   703.68
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "In this case, where we started at x equals 1.5 up top, this whole expression is telling us that the size of the nudge on that third line is going to be about cosine of 1.5 squared times 2 times 1.5 times whatever the size of dx was.",
+  "translatedText": "In dit geval, waar we begonnen bij x gelijk aan 1,5 bovenaan, vertelt deze hele uitdrukking ons dat de grootte van de duw op die derde lijn ongeveer cosinus is van 1,5 kwadraat maal 2 maal 1,5 maal de grootte van dx.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   704.34,
+   722.22
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It's proportional to the size of dx, and this derivative is giving us that proportionality constant.",
+  "translatedText": "Het is evenredig met de grootte van dx, en deze afgeleide geeft ons die evenredigheidsconstante.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   722.72,
+   727.92
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Notice what we came out with here.",
+  "translatedText": "Zie waar we hier mee uitkwamen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   730.92,
+   732.56
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "We have the derivative of the outside function, and it's still taking in the unaltered inside function, and then multiplying it by the derivative of that inside function.",
+  "translatedText": "We hebben de afgeleide van de buitenfunctie, en die neemt nog steeds de onveranderde binnenfunctie op, en vermenigvuldigt die dan met de afgeleide van die binnenfunctie.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   732.96,
+   743.22
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Again, there's nothing special about sine of x or x squared.",
+  "translatedText": "Nogmaals, er is niets speciaals aan sinus van x of x kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   745.82,
+   749.22
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "If you have any two functions, g of x and h of x, the derivative of their composition, g of h of x, is going to be the derivative of g evaluated on h, multiplied by the derivative of h.",
+  "translatedText": "Als je twee willekeurige functies hebt, g van x en h van x, dan is de afgeleide van hun samenstelling, g van h van x, de afgeleide van g berekend op h, vermenigvuldigd met de afgeleide van h.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   749.74,
+   763.66
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This pattern right here is what we usually call the chain rule.",
+  "translatedText": "Dit patroon hier is wat we meestal de kettingregel noemen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   767.14,
+   770.9
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Notice for the derivative of g, I'm writing it as dg dh instead of dg dx.",
+  "translatedText": "Merk op dat ik de afgeleide van g schrijf als dg dh in plaats van dg dx.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   772.04,
+   777.68
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "On the symbolic level, this is a reminder that the thing you plug into that derivative is still going to be that intermediary function h.",
+  "translatedText": "Op symbolisch niveau herinnert dit je eraan dat het ding dat je in die afgeleide steekt nog steeds die intermediaire functie h is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   778.68,
+   786.06
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But more than that, it's an important reflection of what this derivative of the outer function actually represents.",
+  "translatedText": "Maar meer dan dat, het is een belangrijke weerspiegeling van wat deze afgeleide van de buitenste functie eigenlijk voorstelt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   787.02,
+   792.52
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Remember, in our three line setup, when we took the derivative of the sine on that bottom, we expanded the size of that nudge, d sine, as cosine of h times dh.",
+  "translatedText": "Herinner je dat we in onze opstelling met drie lijnen, toen we de afgeleide van de sinus op die bodem namen, de grootte van dat duwtje, d sinus, uitbreidden als cosinus van h maal dh.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   793.2,
+   803.9
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This was because we didn't immediately know how the size of that bottom nudge depended on x.",
+  "translatedText": "Dit was omdat we niet meteen wisten hoe de grootte van die onderste duw afhing van x.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   804.94,
+   809.84
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That's kind of the whole thing we were trying to figure out.",
+  "translatedText": "Daar probeerden we achter te komen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   810.42,
+   812.6
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But we could take the derivative with respect to that intermediate variable, h.",
+  "translatedText": "Maar we kunnen de afgeleide nemen ten opzichte van die tussenliggende variabele, h.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   813.26,
+   817.36
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That is, figure out how to express the size of that nudge on the third line as some multiple of dh, the size of the nudge on the second line.",
+  "translatedText": "Dat wil zeggen, zoek uit hoe je de grootte van die duw op de derde regel kunt uitdrukken als een veelvoud van dh, de grootte van de duw op de tweede regel.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   818.1,
+   825.68
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It was only after that that we unfolded further by figuring out what dh was.",
+  "translatedText": "Pas daarna ontvouwden we ons verder door uit te zoeken wat dh was.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   826.58,
+   830.7
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "In this chain rule expression, we're saying, look at the ratio between a tiny change in g, the final output, to a tiny change in h that caused it, h being the value we plug into g.",
+  "translatedText": "In deze uitdrukking van de kettingregel zeggen we, kijk naar de verhouding tussen een kleine verandering in g, de uiteindelijke output, en een kleine verandering in h die dit heeft veroorzaakt, waarbij h de waarde is die we in g stoppen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   833.32,
+   844.38
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Then multiply that by the tiny change in h, divided by the tiny change in x that caused it.",
+  "translatedText": "Vermenigvuldig dat dan met de piepkleine verandering in h, gedeeld door de piepkleine verandering in x die dit veroorzaakte.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   845.32,
+   851.2
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So notice, those dh's cancel out, and they give us a ratio between the change in that final output and the change to the input that, through a certain chain of events, brought it about.",
+  "translatedText": "Dus let op, deze dh's heffen elkaar op en geven ons een verhouding tussen de verandering in die uiteindelijke output en de verandering in de input die, door een bepaalde keten van gebeurtenissen, dit teweeg heeft gebracht.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   852.3,
+   862.28
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And that cancellation of dh is not just a notational trick.",
+  "translatedText": "En die annulering van dh is niet alleen een notatietruc.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   863.86,
+   866.98
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That is a genuine reflection of what's going on with the tiny nudges that underpin everything we do with derivatives.",
+  "translatedText": "Dat is een echte weerspiegeling van wat er aan de hand is met de kleine duwtjes die de basis vormen van alles wat we doen met derivaten.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   866.98,
+   873.9
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So those are the three basic tools to have in your belt to handle derivatives of functions that combine a lot of smaller things.",
+  "translatedText": "Dus dat zijn de drie basisgereedschappen die je in je riem moet hebben om afgeleiden van functies te kunnen verwerken die veel kleinere dingen combineren.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   876.3,
+   883.24
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "You've got the sum rule, the product rule, and the chain rule.",
+  "translatedText": "Je hebt de somregel, de productregel en de kettingregel.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   883.84,
+   887.38
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And I'll be honest with you, there is a big difference between knowing what the chain rule is and what the product rule is, and actually being fluent with applying them in even the most hairy of situations.",
+  "translatedText": "En ik zal eerlijk tegen je zijn, er is een groot verschil tussen weten wat de kettingregel is en wat de productregel is, en ze daadwerkelijk vloeiend kunnen toepassen in zelfs de meest hachelijke situaties.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   888.4,
+   898.62
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Watching videos, any videos, about the mechanics of calculus is never going to substitute for practicing those mechanics yourself, and building up the muscles to do these computations yourself.",
+  "translatedText": "Het bekijken van video's, welke dan ook, over de mechanica van calculus is nooit een vervanging voor het zelf oefenen van die mechanica en het opbouwen van de spieren om deze berekeningen zelf uit te voeren.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   899.48,
+   910.4
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I really wish I could offer to do that for you, but I'm afraid the ball is in your court to seek out the practice.",
+  "translatedText": "Ik zou echt willen dat ik kon aanbieden om dat voor je te doen, maar ik ben bang dat de bal bij jou ligt om de praktijk op te zoeken.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   911.24,
+   917.44
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "What I can offer, and what I hope I have offered, is to show you where these rules actually come from.",
+  "translatedText": "Wat ik je kan bieden, en wat ik hoop dat ik je heb geboden, is om je te laten zien waar deze regels eigenlijk vandaan komen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   918.04,
+   923.96
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "To show that they're not just something to be memorized and hammered away, but they're natural patterns, things that you too could have discovered just by patiently thinking through what a derivative actually means.",
+  "translatedText": "Om te laten zien dat ze niet alleen iets zijn dat je uit je hoofd moet leren en waar je op moet hameren, maar dat het natuurlijke patronen zijn, dingen die ook jij had kunnen ontdekken door geduldig na te denken over wat een afgeleide eigenlijk betekent.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   924.14,
+   934.56
+  ]
+ }
+]
\ No newline at end of file
diff --git a/2017/chain-rule-and-product-rule/dutch/title.json b/2017/chain-rule-and-product-rule/dutch/title.json
new file mode 100644
index 000000000..a4ba04c23
--- /dev/null
+++ b/2017/chain-rule-and-product-rule/dutch/title.json
@@ -0,0 +1,5 @@
+{
+ "input": "Visualizing the chain rule and product rule | Chapter 4, Essence of calculus",
+ "translatedText": "De kettingregel en productregel visualiseren | Hoofdstuk 4, Essentie van calculus",
+ "model": "DeepL"
+}
\ No newline at end of file
diff --git a/2017/chain-rule-and-product-rule/english/captions.srt b/2017/chain-rule-and-product-rule/english/captions.srt
index fc551a38d..498536a83 100644
--- a/2017/chain-rule-and-product-rule/english/captions.srt
+++ b/2017/chain-rule-and-product-rule/english/captions.srt
@@ -1,5 +1,5 @@
 1
-00:00:14,499 --> 00:00:18,653
+00:00:14,500 --> 00:00:18,653
 In the last videos I talked about the derivatives of simple functions, 
 
 2
@@ -35,7 +35,7 @@ Again, I don't want these to be something to memorize,
 I want you to have a clear picture in mind for where each one comes from.
 
 10
-00:00:49,519 --> 00:00:53,600
+00:00:49,520 --> 00:00:53,600
 Now, this really boils down into three basic ways to combine functions.
 
 11
@@ -475,7 +475,7 @@ the derivative of the function, in this case 2 times cosine of x.
 I'll leave it to you to pause and ponder and verify that makes sense.
 
 120
-00:08:41,920 --> 00:08:46,534
+00:08:41,919 --> 00:08:46,534
 Aside from addition and multiplication, the other common way to combine functions, 
 
 121
diff --git a/2017/derivative-formulas-geometrically/dutch/auto_generated.srt b/2017/derivative-formulas-geometrically/dutch/auto_generated.srt
new file mode 100644
index 000000000..e977a1d5d
--- /dev/null
+++ b/2017/derivative-formulas-geometrically/dutch/auto_generated.srt
@@ -0,0 +1,1064 @@
+1
+00:00:12,140 --> 00:00:14,501
+Nu we hebben gezien wat een afgeleide betekent en wat het te 
+
+2
+00:00:14,501 --> 00:00:16,940
+maken heeft met veranderingspercentages, is onze volgende stap 
+
+3
+00:00:16,940 --> 00:00:19,380
+om te leren hoe we deze jongens daadwerkelijk kunnen berekenen.
+
+4
+00:00:19,840 --> 00:00:22,805
+Als ik je een functie geef met een expliciete formule, 
+
+5
+00:00:22,805 --> 00:00:26,040
+dan zou je willen weten wat de formule voor de afgeleide is.
+
+6
+00:00:26,700 --> 00:00:30,225
+Misschien is het voor de hand liggend, maar ik denk dat het de moeite waard is om 
+
+7
+00:00:30,225 --> 00:00:32,891
+expliciet aan te geven waarom dit belangrijk is om te kunnen, 
+
+8
+00:00:32,891 --> 00:00:36,631
+waarom een groot deel van de tijd van een calculusstudent gaat zitten in het worstelen 
+
+9
+00:00:36,631 --> 00:00:40,028
+met afgeleiden van abstracte functies in plaats van het nadenken over concrete 
+
+10
+00:00:40,028 --> 00:00:41,060
+veranderingspercentages.
+
+11
+00:00:42,220 --> 00:00:44,885
+Dat komt omdat veel verschijnselen in de echte wereld, 
+
+12
+00:00:44,885 --> 00:00:47,599
+het soort dingen dat we met calculus willen analyseren, 
+
+13
+00:00:47,599 --> 00:00:51,088
+gemodelleerd worden met behulp van veeltermen, goniometrische functies, 
+
+14
+00:00:51,088 --> 00:00:53,560
+exponentiëlen en andere zuivere functies zoals dat.
+
+15
+00:00:53,980 --> 00:00:57,069
+Dus als je enige vaardigheid opbouwt met de ideeën van snelheden van 
+
+16
+00:00:57,069 --> 00:00:59,398
+verandering voor dit soort puur abstracte functies, 
+
+17
+00:00:59,398 --> 00:01:02,756
+geeft het je een taal om gemakkelijker te praten over de snelheden waarmee 
+
+18
+00:01:02,756 --> 00:01:05,935
+dingen veranderen in concrete situaties waarvoor je misschien calculus 
+
+19
+00:01:05,935 --> 00:01:07,100
+gebruikt om te modelleren.
+
+20
+00:01:07,920 --> 00:01:11,140
+Maar het is veel te gemakkelijk om dit proces te laten aanvoelen als het uit je 
+
+21
+00:01:11,140 --> 00:01:14,521
+hoofd leren van een lijst met regels, en als dat gebeurt, als je dat gevoel krijgt, 
+
+22
+00:01:14,521 --> 00:01:17,821
+is het ook gemakkelijk om uit het oog te verliezen dat derivaten in essentie gaan 
+
+23
+00:01:17,821 --> 00:01:21,001
+over het kijken naar kleine veranderingen in een bepaalde grootheid en hoe dat 
+
+24
+00:01:21,001 --> 00:01:24,020
+samenhangt met een resulterende kleine verandering in een andere grootheid.
+
+25
+00:01:24,780 --> 00:01:28,569
+Dus in deze video en in de volgende wil ik je laten zien hoe je intuïtief en 
+
+26
+00:01:28,569 --> 00:01:31,375
+geometrisch over een paar van deze regels kunt nadenken, 
+
+27
+00:01:31,375 --> 00:01:35,312
+en ik wil je echt aanmoedigen om nooit te vergeten dat kleine duwtjes in de rug 
+
+28
+00:01:35,312 --> 00:01:36,740
+de kern vormen van derivaten.
+
+29
+00:01:37,920 --> 00:01:41,280
+Laten we beginnen met een eenvoudige functie zoals f van x is gelijk aan x kwadraat.
+
+30
+00:01:41,620 --> 00:01:42,740
+Wat als ik je de afgeleide ervan zou vragen?
+
+31
+00:01:43,520 --> 00:01:47,310
+Dat wil zeggen, als je naar een bepaalde waarde x kijkt, zoals x gelijk aan 2, 
+
+32
+00:01:47,310 --> 00:01:50,381
+en die vergelijkt met een waarde die iets groter is, dx groter, 
+
+33
+00:01:50,381 --> 00:01:53,740
+wat is dan de overeenkomstige verandering in de waarde van de functie?
+
+34
+00:01:54,260 --> 00:01:54,700
+dF.
+
+35
+00:01:55,620 --> 00:01:58,148
+En in het bijzonder, wat is dF gedeeld door dx, 
+
+36
+00:01:58,148 --> 00:02:01,940
+de snelheid waarmee deze functie verandert per eenheid verandering in x.
+
+37
+00:02:03,160 --> 00:02:07,137
+Als eerste stap voor intuïtie weten we dat je deze verhouding dF dx kunt 
+
+38
+00:02:07,137 --> 00:02:10,841
+zien als de helling van een raaklijn aan de grafiek van x kwadraat, 
+
+39
+00:02:10,841 --> 00:02:15,200
+en daaruit kun je zien dat de helling over het algemeen toeneemt als x toeneemt.
+
+40
+00:02:15,840 --> 00:02:18,400
+Bij nul is de raaklijn vlak en de helling nul.
+
+41
+00:02:19,000 --> 00:02:21,260
+Bij x gelijk aan 1 is het iets steiler.
+
+42
+00:02:22,600 --> 00:02:24,400
+Bij x gelijk aan 2 is het nog steiler.
+
+43
+00:02:25,120 --> 00:02:27,579
+Maar kijken naar grafieken is over het algemeen niet de beste 
+
+44
+00:02:27,579 --> 00:02:30,040
+manier om de precieze formule voor een afgeleide te begrijpen.
+
+45
+00:02:30,720 --> 00:02:33,454
+Daarvoor is het het beste om een meer letterlijke blik te werpen 
+
+46
+00:02:33,454 --> 00:02:36,021
+op wat x kwadraat eigenlijk betekent, en laten we ons in dit 
+
+47
+00:02:36,021 --> 00:02:38,840
+geval een vierkant voorstellen waarvan de lengte van de zijde x is.
+
+48
+00:02:39,920 --> 00:02:42,674
+Als je x met een klein duwtje verhoogt, een kleine dx, 
+
+49
+00:02:42,674 --> 00:02:46,380
+wat is dan de resulterende verandering in de oppervlakte van dat vierkant?
+
+50
+00:02:47,720 --> 00:02:51,480
+Die kleine verandering in oppervlakte is wat dF in deze context betekent.
+
+51
+00:02:52,020 --> 00:02:55,591
+Het is de kleine toename van de waarde van f van x is gelijk aan x kwadraat, 
+
+52
+00:02:55,591 --> 00:02:58,420
+veroorzaakt door het verhogen van x met dat kleine duwtje dx.
+
+53
+00:02:59,360 --> 00:03:02,807
+Nu kun je zien dat er drie nieuwe stukjes gebied in dit diagram zijn, 
+
+54
+00:03:02,807 --> 00:03:05,320
+twee dunne rechthoeken en een minuscuul vierkantje.
+
+55
+00:03:06,240 --> 00:03:09,672
+De twee dunne rechthoeken hebben elk een zijde x en dx, 
+
+56
+00:03:09,672 --> 00:03:13,780
+dus zijn ze goed voor 2 keer x keer dx eenheden nieuwe oppervlakte.
+
+57
+00:03:18,240 --> 00:03:24,690
+Want dat nieuwe gebied van deze twee dunne rechthoeken zou 2 keer 3 keer 0,01 zijn, 
+
+58
+00:03:24,690 --> 00:03:28,300
+wat 0,06 is, ongeveer 6 keer de grootte van dx.
+
+59
+00:03:29,700 --> 00:03:33,568
+Dat kleine vierkantje daar heeft een oppervlakte van dx in het kwadraat, 
+
+60
+00:03:33,568 --> 00:03:36,960
+maar je moet dat zien als heel erg klein, verwaarloosbaar klein.
+
+61
+00:03:37,700 --> 00:03:41,759
+Als dx bijvoorbeeld 0,01 zou zijn, dan zou dat slechts 0,0001 zijn, 
+
+62
+00:03:41,759 --> 00:03:46,655
+en onthoud dat ik dx hier met een behoorlijke breedte teken zodat we het ook echt 
+
+63
+00:03:46,655 --> 00:03:51,371
+kunnen zien, maar onthoud in principe altijd dat dx moet worden gezien als een 
+
+64
+00:03:51,371 --> 00:03:55,849
+echt kleine hoeveelheid, en voor die echt kleine hoeveelheden is een goede 
+
+65
+00:03:55,849 --> 00:04:00,566
+vuistregel dat je alles kunt negeren dat een dx bevat die tot een macht groter 
+
+66
+00:04:00,566 --> 00:04:01,820
+dan 1 wordt verheven.
+
+67
+00:04:02,400 --> 00:04:05,880
+Dat wil zeggen, een kleine verandering in het kwadraat is een verwaarloosbare verandering.
+
+68
+00:04:07,500 --> 00:04:12,169
+Dan blijft over dat dF gewoon een veelvoud is van dx, en dat veelvoud 2x, 
+
+69
+00:04:12,169 --> 00:04:15,702
+dat je ook zou kunnen schrijven als dF gedeeld door dx, 
+
+70
+00:04:15,702 --> 00:04:18,100
+de afgeleide is van x in het kwadraat.
+
+71
+00:04:19,040 --> 00:04:23,855
+Als je bijvoorbeeld zou beginnen bij x gelijk aan 3, dan zou als je x iets verhoogt, 
+
+72
+00:04:23,855 --> 00:04:28,046
+de mate van verandering in de oppervlakte per toegevoegde lengte-eenheid, 
+
+73
+00:04:28,046 --> 00:04:32,975
+dx kwadraat over dx, 2 keer 3 zijn, of 6, en als je in plaats daarvan zou beginnen bij 
+
+74
+00:04:32,975 --> 00:04:37,733
+x gelijk aan 5, dan zou de mate van verandering 10 eenheden oppervlakte per eenheid 
+
+75
+00:04:37,733 --> 00:04:38,980
+verandering in x zijn.
+
+76
+00:04:41,220 --> 00:04:45,420
+Laten we eens een andere eenvoudige functie proberen, f van x is gelijk aan x in kubus.
+
+77
+00:04:45,940 --> 00:04:48,081
+Dit wordt de meetkundige weergave van de dingen die 
+
+78
+00:04:48,081 --> 00:04:50,140
+ik in de vorige video algebraïsch heb doorgenomen.
+
+79
+00:04:51,020 --> 00:04:55,618
+Wat hier leuk is, is dat we x gekubd kunnen zien als het volume van een echte 
+
+80
+00:04:55,618 --> 00:05:00,039
+kubus waarvan de zijden x zijn, en als je x met een klein duwtje verhoogt, 
+
+81
+00:05:00,039 --> 00:05:04,520
+een kleine dx, is de resulterende volumetoename wat ik hier in het geel heb.
+
+82
+00:05:04,860 --> 00:05:08,753
+Dat is al het volume in een kubus met zijde x plus dx dat 
+
+83
+00:05:08,753 --> 00:05:12,580
+niet al in de oorspronkelijke kubus zit, die met zijde x.
+
+84
+00:05:13,580 --> 00:05:18,989
+Het is leuk om te denken dat dit nieuwe volume is opgedeeld in meerdere componenten, 
+
+85
+00:05:18,989 --> 00:05:22,934
+maar het komt bijna allemaal van deze drie vierkante vlakken, 
+
+86
+00:05:22,934 --> 00:05:27,389
+of iets preciezer gezegd, als dx de 0 nadert, vormen die drie vlakken 
+
+87
+00:05:27,389 --> 00:05:31,780
+een deel dat steeds dichter bij 100% van dat nieuwe gele volume komt.
+
+88
+00:05:33,840 --> 00:05:38,248
+Elk van die dunne vierkantjes heeft een volume van x kwadraat maal dx, 
+
+89
+00:05:38,248 --> 00:05:41,540
+de oppervlakte van het vlak maal die kleine dikte dx.
+
+90
+00:05:42,220 --> 00:05:46,260
+Dus in totaal geeft dit ons 3x kwadraat dx aan volumeverandering.
+
+91
+00:05:47,300 --> 00:05:50,962
+En om er zeker van te zijn dat er nog andere volumestukjes zijn langs de 
+
+92
+00:05:50,962 --> 00:05:54,625
+randen en dat kleintje in de hoek, maar al dat volume zal evenredig zijn 
+
+93
+00:05:54,625 --> 00:05:58,640
+met dx in het kwadraat, of dx in het kwadraat, dus die kunnen we veilig negeren.
+
+94
+00:05:59,460 --> 00:06:03,783
+Ook dit komt uiteindelijk weer omdat ze gedeeld gaan worden door dx, 
+
+95
+00:06:03,783 --> 00:06:09,172
+en als er nog dx overblijft dan overleven die termen het proces van het laten naderen 
+
+96
+00:06:09,172 --> 00:06:10,300
+van dx tot 0 niet.
+
+97
+00:06:11,280 --> 00:06:15,271
+Dit betekent dat de afgeleide van x kubus, de snelheid waarmee 
+
+98
+00:06:15,271 --> 00:06:19,200
+x kubus verandert per verandering van x, 3 keer x kwadraat is.
+
+99
+00:06:20,640 --> 00:06:25,221
+Wat dat betekent in termen van grafische intuïtie is dat de helling 
+
+100
+00:06:25,221 --> 00:06:29,600
+van de grafiek van x gekubd op elk punt x precies 3x kwadraat is.
+
+101
+00:06:34,080 --> 00:06:37,597
+En redenerend over die helling zou het logisch moeten zijn dat deze 
+
+102
+00:06:37,597 --> 00:06:41,062
+afgeleide links hoog is en dan 0 bij de oorsprong en dan weer hoog 
+
+103
+00:06:41,062 --> 00:06:44,631
+als je naar rechts gaat, maar gewoon denken in termen van de grafiek 
+
+104
+00:06:44,631 --> 00:06:48,200
+zou ons nooit op de precieze hoeveelheid 3x kwadraat hebben gebracht.
+
+105
+00:06:48,880 --> 00:06:53,060
+Daarvoor moesten we veel directer kijken naar wat x kubieke eigenlijk betekent.
+
+106
+00:06:54,260 --> 00:06:57,585
+In de praktijk denk je niet noodzakelijkerwijs aan het kwadraat telkens 
+
+107
+00:06:57,585 --> 00:06:59,848
+als je de afgeleide van x in het kwadraat neemt, 
+
+108
+00:06:59,848 --> 00:07:03,266
+en ook niet noodzakelijkerwijs aan deze kubus telkens als je de afgeleide 
+
+109
+00:07:03,266 --> 00:07:04,560
+van x in het kwadraat neemt.
+
+110
+00:07:04,880 --> 00:07:08,400
+Beide vallen onder een vrij herkenbaar patroon voor polynomiale termen.
+
+111
+00:07:09,200 --> 00:07:13,512
+De afgeleide van x naar de vierde blijkt 4x kubieke meter te zijn, 
+
+112
+00:07:13,512 --> 00:07:17,760
+de afgeleide van x naar de vijfde is 5x naar de vierde, enzovoort.
+
+113
+00:07:18,880 --> 00:07:22,614
+Abstract zou je dit schrijven als de afgeleide van x 
+
+114
+00:07:22,614 --> 00:07:26,560
+naar de n voor elke macht n is n maal x naar de n min 1.
+
+115
+00:07:27,300 --> 00:07:30,560
+Dit hier is wat in de zakenwereld bekend staat als de machtsregel.
+
+116
+00:07:31,740 --> 00:07:35,944
+In de praktijk raken we allemaal snel afgestompt en denken we hier symbolisch over als de 
+
+117
+00:07:35,944 --> 00:07:39,354
+exponent die naar beneden huppelt en één minder dan zichzelf achterlaat, 
+
+118
+00:07:39,354 --> 00:07:43,512
+waarbij we zelden stilstaan bij de meetkundige hoogstandjes die ten grondslag liggen aan 
+
+119
+00:07:43,512 --> 00:07:44,260
+deze afgeleiden.
+
+120
+00:07:45,240 --> 00:07:47,369
+Dat is het soort dingen dat gebeurt als deze vaak 
+
+121
+00:07:47,369 --> 00:07:49,200
+midden in veel langere berekeningen vallen.
+
+122
+00:07:50,640 --> 00:07:53,164
+Maar in plaats van alles af te leiden naar symbolische patronen, 
+
+123
+00:07:53,164 --> 00:07:56,466
+nemen we even de tijd om na te denken over waarom dit werkt voor krachten die verder 
+
+124
+00:07:56,466 --> 00:07:57,360
+gaan dan alleen 2 en 3.
+
+125
+00:07:58,440 --> 00:08:01,811
+Als je de invoer x iets verhoogt tot x plus dx, 
+
+126
+00:08:01,811 --> 00:08:07,851
+moet je de exacte waarde van de uitvoer berekenen door deze n afzonderlijke x plus dx 
+
+127
+00:08:07,851 --> 00:08:10,520
+termen met elkaar te vermenigvuldigen.
+
+128
+00:08:11,340 --> 00:08:13,638
+De volledige uitbreiding zou erg ingewikkeld zijn, 
+
+129
+00:08:13,638 --> 00:08:16,972
+maar een deel van het punt van derivaten is dat het grootste deel van die 
+
+130
+00:08:16,972 --> 00:08:18,460
+complicatie kan worden genegeerd.
+
+131
+00:08:19,280 --> 00:08:22,020
+De eerste term in je uitbreiding is x tot de n.
+
+132
+00:08:22,680 --> 00:08:25,845
+Dit is analoog aan de oppervlakte van het oorspronkelijke vierkant of 
+
+133
+00:08:25,845 --> 00:08:28,920
+het volume van de oorspronkelijke kubus uit onze vorige voorbeelden.
+
+134
+00:08:30,820 --> 00:08:36,039
+Voor de volgende termen in de expansie kun je meestal x'en kiezen met een enkele dx.
+
+135
+00:08:41,720 --> 00:08:47,223
+Omdat er n verschillende parenthesen zijn waaruit je die ene dx had kunnen kiezen, 
+
+136
+00:08:47,223 --> 00:08:52,926
+geeft dit ons n afzonderlijke termen, die allemaal n min 1 x'en maal een dx bevatten, 
+
+137
+00:08:52,926 --> 00:08:56,640
+wat een waarde van x tot de macht n min 1 maal dx geeft.
+
+138
+00:08:57,580 --> 00:09:01,454
+Dit is analoog aan hoe het grootste deel van de nieuwe oppervlakte in 
+
+139
+00:09:01,454 --> 00:09:05,329
+het vierkant kwam van die twee staven, elk met oppervlakte x maal dx, 
+
+140
+00:09:05,329 --> 00:09:09,314
+of hoe het grootste deel van het nieuwe volume in de kubus kwam van die 
+
+141
+00:09:09,314 --> 00:09:13,300
+drie dunne vierkanten, die elk een volume hadden van x kwadraat maal dx.
+
+142
+00:09:14,540 --> 00:09:17,850
+Er zullen nog veel meer termen in deze expansie voorkomen, 
+
+143
+00:09:17,850 --> 00:09:21,609
+maar die zullen allemaal een veelvoud van dx in het kwadraat zijn, 
+
+144
+00:09:21,609 --> 00:09:26,266
+dus die kunnen we veilig negeren. Dat betekent dat op een verwaarloosbaar deel na, 
+
+145
+00:09:26,266 --> 00:09:31,260
+alle toename in de uitvoer afkomstig is van n kopieën van deze x naar de n min 1 keer dx.
+
+146
+00:09:31,940 --> 00:09:37,520
+Dat betekent dat de afgeleide van x naar de n n keer x naar de n min 1 is.
+
+147
+00:09:38,960 --> 00:09:41,408
+En ook al zul je, zoals ik in de praktijk al zei, 
+
+148
+00:09:41,408 --> 00:09:44,248
+merken dat je deze afgeleide snel en symbolisch uitvoert, 
+
+149
+00:09:44,248 --> 00:09:47,187
+waarbij je je voorstelt dat de exponent naar voren huppelt, 
+
+150
+00:09:47,187 --> 00:09:50,468
+zo nu en dan is het fijn om even een stapje terug te doen en je te 
+
+151
+00:09:50,468 --> 00:09:52,280
+herinneren waarom deze regels werken.
+
+152
+00:09:52,820 --> 00:09:55,983
+Niet alleen omdat het mooi is, en niet alleen omdat het ons eraan helpt 
+
+153
+00:09:55,983 --> 00:09:59,233
+herinneren dat wiskunde echt zinvol is en niet alleen een stapel formules 
+
+154
+00:09:59,233 --> 00:10:02,396
+die je uit je hoofd moet leren, maar ook omdat het die heel belangrijke 
+
+155
+00:10:02,396 --> 00:10:05,560
+spier aanspant om over derivaten te denken in termen van kleine duwtjes.
+
+156
+00:10:07,500 --> 00:10:11,640
+Denk als ander voorbeeld aan de functie f van x is gelijk aan 1 gedeeld door x.
+
+157
+00:10:12,700 --> 00:10:16,592
+Aan de andere kant zou je blindelings de machtsregel kunnen toepassen, 
+
+158
+00:10:16,592 --> 00:10:20,540
+omdat 1 gedeeld door x hetzelfde is als x schrijven naar de negatieve 1.
+
+159
+00:10:21,100 --> 00:10:24,219
+Dat zou inhouden dat je de negatieve 1 vooraan laat hinkelen, 
+
+160
+00:10:24,219 --> 00:10:27,440
+waardoor er 1 minder dan zichzelf overblijft, wat negatief 2 is.
+
+161
+00:10:28,240 --> 00:10:31,347
+Maar laten we eens kijken of we hier meetkundig over kunnen redeneren, 
+
+162
+00:10:31,347 --> 00:10:33,580
+in plaats van het gewoon door een formule te halen.
+
+163
+00:10:34,860 --> 00:10:40,180
+De waarde 1 over x vraagt welk getal vermenigvuldigd met x gelijk is aan 1.
+
+164
+00:10:40,960 --> 00:10:42,820
+Dit is hoe ik het zou willen visualiseren.
+
+165
+00:10:42,820 --> 00:10:45,526
+Stel je een kleine rechthoekige plas water voor 
+
+166
+00:10:45,526 --> 00:10:48,120
+in twee dimensies waarvan de oppervlakte 1 is.
+
+167
+00:10:48,960 --> 00:10:53,788
+En laten we zeggen dat de breedte x is, wat betekent dat de hoogte 1 over x moet zijn, 
+
+168
+00:10:53,788 --> 00:10:55,620
+omdat de totale oppervlakte 1 is.
+
+169
+00:10:56,360 --> 00:11:01,040
+Dus als x was uitgerekt tot 2, dan is die hoogte teruggebracht tot 1 helft.
+
+170
+00:11:01,780 --> 00:11:05,920
+En als je x hebt verhoogd tot 3, dan moet de andere kant worden verkleind tot 1 derde.
+
+171
+00:11:07,040 --> 00:11:10,680
+Dit is trouwens een mooie manier om na te denken over de grafiek van 1 over x.
+
+172
+00:11:11,280 --> 00:11:15,372
+Als je deze breedte x van de plas beschouwt als zijnde in het xy-vlak, 
+
+173
+00:11:15,372 --> 00:11:18,484
+dan is die corresponderende uitgang 1 gedeeld door x, 
+
+174
+00:11:18,484 --> 00:11:23,095
+de hoogte van de grafiek boven dat punt, wat de hoogte van je plas moet zijn om 
+
+175
+00:11:23,095 --> 00:11:24,940
+een oppervlakte van 1 te houden.
+
+176
+00:11:26,360 --> 00:11:29,945
+Dus met dit beeld in gedachten, stel je voor dat je voor de afgeleide de 
+
+177
+00:11:29,945 --> 00:11:33,580
+waarde van x met een heel klein beetje verhoogt, een heel klein beetje dx.
+
+178
+00:11:34,580 --> 00:11:37,402
+Hoe moet de hoogte van deze rechthoek veranderen 
+
+179
+00:11:37,402 --> 00:11:40,340
+zodat de oppervlakte van de plas constant 1 blijft?
+
+180
+00:11:41,340 --> 00:11:43,755
+Dat wil zeggen dat het vergroten van de breedte 
+
+181
+00:11:43,755 --> 00:11:46,020
+met dx hier rechts wat nieuw gebied toevoegt.
+
+182
+00:11:46,260 --> 00:11:49,392
+Dus de plas moet over x met d 1 in hoogte afnemen, 
+
+183
+00:11:49,392 --> 00:11:54,860
+zodat de oppervlakte die van die top verloren gaat de oppervlakte die er bij komt opheft.
+
+184
+00:11:56,100 --> 00:11:59,777
+Je moet die d 1 over x trouwens zien als een negatieve hoeveelheid, 
+
+185
+00:11:59,777 --> 00:12:02,320
+omdat het de hoogte van de rechthoek verkleint.
+
+186
+00:12:03,540 --> 00:12:04,400
+En weet je wat?
+
+187
+00:12:04,840 --> 00:12:06,674
+Ik laat de laatste paar stappen hier voor jou, 
+
+188
+00:12:06,674 --> 00:12:09,720
+zodat je er even bij stil kunt staan en een ultieme uitdrukking kunt bedenken.
+
+189
+00:12:10,560 --> 00:12:14,574
+En als je eenmaal hebt beredeneerd wat d van 1 over x gedeeld door dx zou moeten zijn, 
+
+190
+00:12:14,574 --> 00:12:18,589
+wil ik dat je dat vergelijkt met wat je zou hebben gekregen als je gewoon blindelings, 
+
+191
+00:12:18,589 --> 00:12:21,820
+puur symbolisch, de machtsregel had toegepast op x tot de negatieve 1.
+
+192
+00:12:23,980 --> 00:12:26,347
+En terwijl ik je aanmoedig om stil te staan en na te denken, 
+
+193
+00:12:26,347 --> 00:12:28,520
+is hier nog een leuke uitdaging als je daar zin in hebt.
+
+194
+00:12:29,060 --> 00:12:31,287
+Kijk of je kunt doorredeneren wat de afgeleide 
+
+195
+00:12:31,287 --> 00:12:33,420
+van de vierkantswortel van x zou moeten zijn.
+
+196
+00:12:36,400 --> 00:12:40,102
+Om af te sluiten wil ik nog één type functie behandelen, 
+
+197
+00:12:40,102 --> 00:12:44,260
+de goniometrische functies, en in het bijzonder de sinusfunctie.
+
+198
+00:12:45,320 --> 00:12:48,218
+Dus voor dit onderdeel ga ik ervan uit dat je al bekend bent met hoe 
+
+199
+00:12:48,218 --> 00:12:51,663
+je over trigatiefuncties moet denken door gebruik te maken van de eenheidscirkel, 
+
+200
+00:12:51,663 --> 00:12:54,100
+de cirkel met straal 1 met het middelpunt op de oorsprong.
+
+201
+00:12:55,240 --> 00:12:58,310
+Voor een gegeven waarde van theta, bijvoorbeeld 0,8, 
+
+202
+00:12:58,310 --> 00:13:03,119
+stel je je voor dat je rond de cirkel loopt, beginnend bij het meest rechtse punt, 
+
+203
+00:13:03,119 --> 00:13:06,480
+totdat je die afstand van 0,8 in booglengte hebt afgelegd.
+
+204
+00:13:06,760 --> 00:13:11,300
+Dit is hetzelfde als zeggen dat de hoek hier precies theta radialen is, 
+
+205
+00:13:11,300 --> 00:13:13,760
+omdat de cirkel een straal van 1 heeft.
+
+206
+00:13:14,760 --> 00:13:20,194
+Wat de sinus van theta dan betekent is de hoogte van dat punt boven de x-as, 
+
+207
+00:13:20,194 --> 00:13:24,428
+en als je theta-waarde toeneemt en je rond de cirkel loopt, 
+
+208
+00:13:24,428 --> 00:13:28,240
+schommelt je hoogte op en neer tussen negatief 1 en 1.
+
+209
+00:13:29,020 --> 00:13:32,434
+Dus als je de sinus van theta tegenover theta uitzet, 
+
+210
+00:13:32,434 --> 00:13:35,660
+krijg je dit golfpatroon, het typische golfpatroon.
+
+211
+00:13:37,600 --> 00:13:40,317
+En alleen al door naar deze grafiek te kijken kunnen we 
+
+212
+00:13:40,317 --> 00:13:43,180
+een idee krijgen van de vorm van de afgeleide van de sinus.
+
+213
+00:13:44,020 --> 00:13:48,511
+De helling bij 0 is iets positiefs omdat de sinus van theta daar toeneemt, 
+
+214
+00:13:48,511 --> 00:13:53,002
+en naarmate we naar rechts bewegen en de sinus van theta zijn piek nadert, 
+
+215
+00:13:53,002 --> 00:13:54,500
+daalt die helling naar 0.
+
+216
+00:13:55,720 --> 00:13:59,609
+Dan is de helling een tijdje negatief, terwijl de sinus afneemt, 
+
+217
+00:13:59,609 --> 00:14:03,080
+voordat hij weer op 0 uitkomt als de sinusgrafiek afvlakt.
+
+218
+00:14:04,460 --> 00:14:07,010
+En als je dit verder doordenkt en uittekent, kun je, 
+
+219
+00:14:07,010 --> 00:14:09,560
+als je bekend bent met de grafiek van trig functies, 
+
+220
+00:14:09,560 --> 00:14:13,217
+raden dat deze afgeleide grafiek precies cosinus van theta zou moeten zijn, 
+
+221
+00:14:13,217 --> 00:14:16,874
+omdat alle pieken en dalen precies op één lijn liggen met waar de pieken en 
+
+222
+00:14:16,874 --> 00:14:19,280
+dalen voor de cosinusfunctie zouden moeten liggen.
+
+223
+00:14:20,340 --> 00:14:23,687
+En spoiler alert, de afgeleide is in feite de cosinus van theta, 
+
+224
+00:14:23,687 --> 00:14:27,860
+maar ben je niet een beetje nieuwsgierig waarom het precies cosinus van theta is?
+
+225
+00:14:28,240 --> 00:14:32,206
+Ik bedoel, je kunt allerlei functies hebben met pieken en dalen op dezelfde 
+
+226
+00:14:32,206 --> 00:14:36,172
+punten die ongeveer dezelfde vorm hebben, maar wie weet is de afgeleide van 
+
+227
+00:14:36,172 --> 00:14:40,400
+sinus wel een heel nieuw type functie die toevallig een vergelijkbare vorm heeft.
+
+228
+00:14:41,600 --> 00:14:44,959
+Net als bij de vorige voorbeelden moet je voor een nauwkeuriger 
+
+229
+00:14:44,959 --> 00:14:48,738
+begrip van de afgeleide kijken naar wat de functie eigenlijk voorstelt, 
+
+230
+00:14:48,738 --> 00:14:51,100
+in plaats van naar de grafiek van de functie.
+
+231
+00:14:52,400 --> 00:14:55,075
+Denk dus terug aan die wandeling rond de eenheidscirkel, 
+
+232
+00:14:55,075 --> 00:14:58,972
+waarbij je een boog met lengte theta hebt afgelegd en denkt aan de sinus van theta 
+
+233
+00:14:58,972 --> 00:15:00,240
+als de hoogte van dat punt.
+
+234
+00:15:01,700 --> 00:15:06,278
+Zoom nu in op dat punt op de cirkel en overweeg een klein duwtje van d theta 
+
+235
+00:15:06,278 --> 00:15:10,620
+langs de omtrek, een klein stapje in je wandeling rond de eenheidscirkel.
+
+236
+00:15:11,480 --> 00:15:14,640
+Hoeveel verandert dat kleine stapje de sinus van theta?
+
+237
+00:15:15,440 --> 00:15:20,420
+Hoeveel verhoogt d theta van de booglengte de hoogte boven de x-as?
+
+238
+00:15:21,640 --> 00:15:26,101
+Als we ver genoeg inzoomen, ziet de cirkel er in feite uit als een rechte lijn in 
+
+239
+00:15:26,101 --> 00:15:30,508
+deze buurt, dus laten we eens gaan denken aan deze rechthoekige driehoek waarbij 
+
+240
+00:15:30,508 --> 00:15:34,534
+de hypotenusa van die rechthoek de duw d theta langs de omtrek voorstelt, 
+
+241
+00:15:34,534 --> 00:15:37,690
+en de linkerkant hier de verandering in hoogte voorstelt, 
+
+242
+00:15:37,690 --> 00:15:39,540
+de resulterende d sinus van theta.
+
+243
+00:15:40,140 --> 00:15:43,982
+Nu lijkt deze kleine driehoek eigenlijk op deze grotere driehoek hier, 
+
+244
+00:15:43,982 --> 00:15:48,474
+met de definiërende hoek theta en waarvan de schuine zijde de straal van de cirkel 
+
+245
+00:15:48,474 --> 00:15:49,340
+met lengte 1 is.
+
+246
+00:15:50,960 --> 00:15:55,940
+Specifiek deze kleine hoek hier is precies gelijk aan theta radialen.
+
+247
+00:15:57,420 --> 00:16:00,520
+Bedenk nu wat de afgeleide van sinus zou moeten betekenen.
+
+248
+00:16:01,220 --> 00:16:05,642
+Het is de verhouding tussen die d sinus van theta, de minieme verandering van de hoogte, 
+
+249
+00:16:05,642 --> 00:16:09,320
+gedeeld door d theta, de minieme verandering van de ingang van de functie.
+
+250
+00:16:10,520 --> 00:16:14,089
+En uit de afbeelding kunnen we zien dat dat de verhouding is tussen de 
+
+251
+00:16:14,089 --> 00:16:17,960
+lengte van de zijde grenzend aan de hoek theta gedeeld door de schuine zijde.
+
+252
+00:16:18,800 --> 00:16:21,649
+Eens kijken, aangrenzend gedeeld door schuine zijde, 
+
+253
+00:16:21,649 --> 00:16:26,220
+dat is precies wat de cosinus van theta betekent, dat is de definitie van de cosinus.
+
+254
+00:16:27,540 --> 00:16:30,273
+Dit geeft ons dus twee verschillende, erg leuke manieren 
+
+255
+00:16:30,273 --> 00:16:32,960
+om te denken over hoe de afgeleide van sinus cosinus is.
+
+256
+00:16:33,140 --> 00:16:36,603
+Eén daarvan is kijken naar de grafiek en een los gevoel krijgen voor de vorm van 
+
+257
+00:16:36,603 --> 00:16:40,280
+dingen door na te denken over de helling van de sinusgrafiek op elk afzonderlijk punt.
+
+258
+00:16:41,100 --> 00:16:45,400
+En de andere is een preciezere redenering waarbij we kijken naar de eenheidscirkel zelf.
+
+259
+00:16:47,080 --> 00:16:49,320
+Voor degenen onder jullie die graag stilstaan en nadenken, 
+
+260
+00:16:49,320 --> 00:16:51,637
+kijk eens of je een soortgelijke redenering kunt proberen om 
+
+261
+00:16:51,637 --> 00:16:54,220
+te vinden wat de afgeleide van de cosinus van theta zou moeten zijn.
+
+262
+00:16:56,320 --> 00:16:59,612
+In de volgende video zal ik het hebben over hoe je afgeleiden kunt 
+
+263
+00:16:59,612 --> 00:17:02,855
+nemen van functies die eenvoudige functies zoals deze combineren, 
+
+264
+00:17:02,855 --> 00:17:06,000
+als sommen of producten of functiecomposities, dat soort dingen.
+
+265
+00:17:06,560 --> 00:17:09,893
+En net als bij deze video is het de bedoeling om ze allemaal meetkundig te 
+
+266
+00:17:09,893 --> 00:17:13,359
+begrijpen op een manier die ze intuïtief redelijk maakt en wat meer memorabel.
+
diff --git a/2017/derivative-formulas-geometrically/dutch/description.json b/2017/derivative-formulas-geometrically/dutch/description.json
new file mode 100644
index 000000000..44e2999bb
--- /dev/null
+++ b/2017/derivative-formulas-geometrically/dutch/description.json
@@ -0,0 +1,107 @@
+[
+ {
+  "input": "Some common derivative formulas explained with geometric intuition.",
+  "translatedText": "Enkele veelvoorkomende afgeleide formules uitgelegd met meetkundige intuïtie.",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "This video was sponsored by Brilliant: https://brilliant.org/3b1b",
+  "translatedText": "Deze video werd gesponsord door Briljant: https://brilliant.org/3b1b",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "Help fund future projects: https://www.patreon.com/3blue1brown",
+  "translatedText": "Help toekomstige projecten financieren: https://www.patreon.com/3blue1brown",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "An equally valuable form of support is to simply share some of the videos.",
+  "translatedText": "Een even waardevolle vorm van ondersteuning is het delen van een aantal video's.",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "Special thanks to these supporters: http://3b1b.co/lessons/derivatives-power-rule#thanks",
+  "translatedText": "Speciale dank aan deze supporters: http://3b1b.co/lessons/derivatives-power-rule#thanks",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "",
+  "translatedText": "",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "Time stamps:",
+  "translatedText": "Tijdstempels:",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "0:00 Intro",
+  "translatedText": "0:00 Intro",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "1:38 f(x) = x^2",
+  "translatedText": "1:38 f(x) = x^2",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "4:41 f(x) = x^3",
+  "translatedText": "4:41 f(x) = x^3",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "6:54 f(x) = x^n \"Power Rule\"",
+  "translatedText": "6:54 f(x) = x^n \"Machtsregel\".",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "10:07 f(x) = 1/x",
+  "translatedText": "10:07 f(x) = 1/x",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "12:36 Sine",
+  "translatedText": "12:36 Sinus",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "16:56 Outro",
+  "translatedText": "16:56 Outro",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "",
+  "translatedText": "",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "Great video by Think Twice showing this geometric view of the derivative of sin(x):",
+  "translatedText": "Geweldige video van Think Twice toont deze meetkundige kijk op de afgeleide van sin(x):",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "https://youtu.be/R4o7sraVMZg",
+  "translatedText": "https://youtu.be/R4o7sraVMZg",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "",
+  "translatedText": "",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "Music:",
+  "translatedText": "Muziek:",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "https://vincerubinetti.bandcamp.com/album/the-music-of-3blue1brown",
+  "translatedText": "https://vincerubinetti.bandcamp.com/album/the-music-of-3blue1brown",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "",
+  "translatedText": "",
+  "model": "DeepL"
+ }
+]
\ No newline at end of file
diff --git a/2017/derivative-formulas-geometrically/dutch/sentence_translations.json b/2017/derivative-formulas-geometrically/dutch/sentence_translations.json
new file mode 100644
index 000000000..9d3b43381
--- /dev/null
+++ b/2017/derivative-formulas-geometrically/dutch/sentence_translations.json
@@ -0,0 +1,1019 @@
+[
+ {
+  "input": "Now that we've seen what a derivative means and what it has to do with rates of change, our next step is to learn how to actually compute these guys.",
+  "translatedText": "Nu we hebben gezien wat een afgeleide betekent en wat het te maken heeft met veranderingspercentages, is onze volgende stap om te leren hoe we deze jongens daadwerkelijk kunnen berekenen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   12.14,
+   19.38
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "As in, if I give you some kind of function with an explicit formula, you'd want to be able to find what the formula for its derivative is.",
+  "translatedText": "Als ik je een functie geef met een expliciete formule, dan zou je willen weten wat de formule voor de afgeleide is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   19.84,
+   26.04
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Maybe it's obvious, but I think it's worth stating explicitly why this is an important thing to be able to do, why much of a calculus student's time ends up going towards grappling with derivatives of abstract functions rather than thinking about concrete rate of change problems.",
+  "translatedText": "Misschien is het voor de hand liggend, maar ik denk dat het de moeite waard is om expliciet aan te geven waarom dit belangrijk is om te kunnen, waarom een groot deel van de tijd van een calculusstudent gaat zitten in het worstelen met afgeleiden van abstracte functies in plaats van het nadenken over concrete veranderingspercentages.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   26.7,
+   41.06
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It's because a lot of real-world phenomena, the sort of things that we want to use calculus to analyze, are modeled using polynomials, trigonometric functions, exponentials, and other pure functions like that.",
+  "translatedText": "Dat komt omdat veel verschijnselen in de echte wereld, het soort dingen dat we met calculus willen analyseren, gemodelleerd worden met behulp van veeltermen, goniometrische functies, exponentiëlen en andere zuivere functies zoals dat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   42.22,
+   53.56
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So if you build up some fluency with the ideas of rates of change for those kinds of pure abstract functions, it gives you a language to more readily talk about the rates at which things change in concrete situations that you might be using calculus to model.",
+  "translatedText": "Dus als je enige vaardigheid opbouwt met de ideeën van snelheden van verandering voor dit soort puur abstracte functies, geeft het je een taal om gemakkelijker te praten over de snelheden waarmee dingen veranderen in concrete situaties waarvoor je misschien calculus gebruikt om te modelleren.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   53.98,
+   67.1
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But it is way too easy for this process to feel like just memorizing a list of rules, and if that happens, if you get that feeling, it's also easy to lose sight of the fact that derivatives are fundamentally about just looking at tiny changes to some quantity and how that relates to a resulting tiny change in another quantity.",
+  "translatedText": "Maar het is veel te gemakkelijk om dit proces te laten aanvoelen als het uit je hoofd leren van een lijst met regels, en als dat gebeurt, als je dat gevoel krijgt, is het ook gemakkelijk om uit het oog te verliezen dat derivaten in essentie gaan over het kijken naar kleine veranderingen in een bepaalde grootheid en hoe dat samenhangt met een resulterende kleine verandering in een andere grootheid.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   67.92,
+   84.02
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So in this video and in the next one, my aim is to show you how you can think about a few of these rules intuitively and geometrically, and I really want to encourage you to never forget that tiny nudges are at the heart of derivatives.",
+  "translatedText": "Dus in deze video en in de volgende wil ik je laten zien hoe je intuïtief en geometrisch over een paar van deze regels kunt nadenken, en ik wil je echt aanmoedigen om nooit te vergeten dat kleine duwtjes in de rug de kern vormen van derivaten.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   84.78,
+   96.74
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Let's start with a simple function like f of x equals x squared.",
+  "translatedText": "Laten we beginnen met een eenvoudige functie zoals f van x is gelijk aan x kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   97.92,
+   101.28
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "What if I asked you its derivative?",
+  "translatedText": "Wat als ik je de afgeleide ervan zou vragen?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   101.62,
+   102.74
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That is, if you were to look at some value x, like x equals 2, and compare it to a value slightly bigger, just dx bigger, what's the corresponding change in the value of the function?",
+  "translatedText": "Dat wil zeggen, als je naar een bepaalde waarde x kijkt, zoals x gelijk aan 2, en die vergelijkt met een waarde die iets groter is, dx groter, wat is dan de overeenkomstige verandering in de waarde van de functie?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   103.52,
+   113.74
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "dF.",
+  "translatedText": "dF.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   114.26,
+   114.7
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And in particular, what's dF divided by dx, the rate at which this function is changing per unit change in x.",
+  "translatedText": "En in het bijzonder, wat is dF gedeeld door dx, de snelheid waarmee deze functie verandert per eenheid verandering in x.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   115.62,
+   121.94
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "As a first step for intuition, we know that you can think of this ratio dF dx as the slope of a tangent line to the graph of x squared, and from that you can see that the slope generally increases as x increases.",
+  "translatedText": "Als eerste stap voor intuïtie weten we dat je deze verhouding dF dx kunt zien als de helling van een raaklijn aan de grafiek van x kwadraat, en daaruit kun je zien dat de helling over het algemeen toeneemt als x toeneemt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   123.16,
+   135.2
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "At zero, the tangent line is flat, and the slope is zero.",
+  "translatedText": "Bij nul is de raaklijn vlak en de helling nul.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   135.84,
+   138.4
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "At x equals 1, it's something a bit steeper.",
+  "translatedText": "Bij x gelijk aan 1 is het iets steiler.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   139.0,
+   141.26
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "At x equals 2, it's steeper still.",
+  "translatedText": "Bij x gelijk aan 2 is het nog steiler.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   142.6,
+   144.4
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But looking at graphs isn't generally the best way to understand the precise formula for a derivative.",
+  "translatedText": "Maar kijken naar grafieken is over het algemeen niet de beste manier om de precieze formule voor een afgeleide te begrijpen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   145.12,
+   150.04
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For that, it's best to take a more literal look at what x squared actually means, and in this case let's go ahead and picture a square whose side length is x.",
+  "translatedText": "Daarvoor is het het beste om een meer letterlijke blik te werpen op wat x kwadraat eigenlijk betekent, en laten we ons in dit geval een vierkant voorstellen waarvan de lengte van de zijde x is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   150.72,
+   158.84
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "If you increase x by some tiny nudge, some little dx, what's the resulting change in the area of that square?",
+  "translatedText": "Als je x met een klein duwtje verhoogt, een kleine dx, wat is dan de resulterende verandering in de oppervlakte van dat vierkant?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   159.92,
+   166.38
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That slight change in area is what dF means in this context.",
+  "translatedText": "Die kleine verandering in oppervlakte is wat dF in deze context betekent.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   167.72,
+   171.48
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It's the tiny increase to the value of f of x equals x squared, caused by increasing x by that tiny nudge dx.",
+  "translatedText": "Het is de kleine toename van de waarde van f van x is gelijk aan x kwadraat, veroorzaakt door het verhogen van x met dat kleine duwtje dx.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   172.02,
+   178.42
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Now you can see that there's three new bits of area in this diagram, two thin rectangles and a minuscule square.",
+  "translatedText": "Nu kun je zien dat er drie nieuwe stukjes gebied in dit diagram zijn, twee dunne rechthoeken en een minuscuul vierkantje.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   179.36,
+   185.32
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The two thin rectangles each have side lengths of x and dx, so they account for 2 times x times dx units of new area.",
+  "translatedText": "De twee dunne rechthoeken hebben elk een zijde x en dx, dus zijn ze goed voor 2 keer x keer dx eenheden nieuwe oppervlakte.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   186.24,
+   193.78
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For that new area from these two thin rectangles would be 2 times 3 times 0.01, which is 0.06, about 6 times the size of dx.",
+  "translatedText": "Want dat nieuwe gebied van deze twee dunne rechthoeken zou 2 keer 3 keer 0,01 zijn, wat 0,06 is, ongeveer 6 keer de grootte van dx.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   198.24,
+   208.3
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That little square there has an area of dx squared, but you should think of that as being really tiny, negligibly tiny.",
+  "translatedText": "Dat kleine vierkantje daar heeft een oppervlakte van dx in het kwadraat, maar je moet dat zien als heel erg klein, verwaarloosbaar klein.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   209.7,
+   216.96
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For example, if dx was 0.01, that would be only 0.0001, and keep in mind I'm drawing dx with a fair bit of width here just so we can actually see it, but always remember in principle, dx should be thought of as a truly tiny amount, and for those truly tiny amounts, a good rule of thumb is that you can ignore anything that includes a dx raised to a power greater than 1.",
+  "translatedText": "Als dx bijvoorbeeld 0,01 zou zijn, dan zou dat slechts 0,0001 zijn, en onthoud dat ik dx hier met een behoorlijke breedte teken zodat we het ook echt kunnen zien, maar onthoud in principe altijd dat dx moet worden gezien als een echt kleine hoeveelheid, en voor die echt kleine hoeveelheden is een goede vuistregel dat je alles kunt negeren dat een dx bevat die tot een macht groter dan 1 wordt verheven.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   217.7,
+   241.82
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That is, a tiny change squared is a negligible change.",
+  "translatedText": "Dat wil zeggen, een kleine verandering in het kwadraat is een verwaarloosbare verandering.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   242.4,
+   245.88
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "What this leaves us with is that dF is just some multiple of dx, and that multiple 2x, which you could also write as dF divided by dx, is the derivative of x squared.",
+  "translatedText": "Dan blijft over dat dF gewoon een veelvoud is van dx, en dat veelvoud 2x, dat je ook zou kunnen schrijven als dF gedeeld door dx, de afgeleide is van x in het kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   247.5,
+   258.1
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For example, if you were starting at x equals 3, then as you slightly increase x, the rate of change in the area per unit change in length added, dx squared over dx, would be 2 times 3, or 6, and if instead you were starting at x equals 5, then the rate of change would be 10 units of area per unit change in x.",
+  "translatedText": "Als je bijvoorbeeld zou beginnen bij x gelijk aan 3, dan zou als je x iets verhoogt, de mate van verandering in de oppervlakte per toegevoegde lengte-eenheid, dx kwadraat over dx, 2 keer 3 zijn, of 6, en als je in plaats daarvan zou beginnen bij x gelijk aan 5, dan zou de mate van verandering 10 eenheden oppervlakte per eenheid verandering in x zijn.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   259.04,
+   278.98
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Let's go ahead and try a different simple function, f of x equals x cubed.",
+  "translatedText": "Laten we eens een andere eenvoudige functie proberen, f van x is gelijk aan x in kubus.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   281.22,
+   285.42
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This is going to be the geometric view of the stuff that I went through algebraically in the last video.",
+  "translatedText": "Dit wordt de meetkundige weergave van de dingen die ik in de vorige video algebraïsch heb doorgenomen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   285.94,
+   290.14
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "What's nice here is that we can think of x cubed as the volume of an actual cube whose side lengths are x, and when you increase x by a tiny nudge, a tiny dx, the resulting increase in volume is what I have here in yellow.",
+  "translatedText": "Wat hier leuk is, is dat we x gekubd kunnen zien als het volume van een echte kubus waarvan de zijden x zijn, en als je x met een klein duwtje verhoogt, een kleine dx, is de resulterende volumetoename wat ik hier in het geel heb.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   291.02,
+   304.52
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That represents all the volume in a cube with side lengths x plus dx that's not already in the original cube, the one with side length x.",
+  "translatedText": "Dat is al het volume in een kubus met zijde x plus dx dat niet al in de oorspronkelijke kubus zit, die met zijde x.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   304.86,
+   312.58
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It's nice to think of this new volume as broken up into multiple components, but almost all of it comes from these three square faces, or said a little more precisely, as dx approaches 0, those three squares comprise a portion closer and closer to 100% of that new yellow volume.",
+  "translatedText": "Het is leuk om te denken dat dit nieuwe volume is opgedeeld in meerdere componenten, maar het komt bijna allemaal van deze drie vierkante vlakken, of iets preciezer gezegd, als dx de 0 nadert, vormen die drie vlakken een deel dat steeds dichter bij 100% van dat nieuwe gele volume komt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   313.58,
+   331.78
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Each of those thin squares has a volume of x squared times dx, the area of the face times that little thickness dx.",
+  "translatedText": "Elk van die dunne vierkantjes heeft een volume van x kwadraat maal dx, de oppervlakte van het vlak maal die kleine dikte dx.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   333.84,
+   341.54
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So in total this gives us 3x squared dx of volume change.",
+  "translatedText": "Dus in totaal geeft dit ons 3x kwadraat dx aan volumeverandering.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   342.22,
+   346.26
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And to be sure there are other slivers of volume here along the edges and that tiny one in the corner, but all of that volume is going to be proportional to dx squared, or dx cubed, so we can safely ignore them.",
+  "translatedText": "En om er zeker van te zijn dat er nog andere volumestukjes zijn langs de randen en dat kleintje in de hoek, maar al dat volume zal evenredig zijn met dx in het kwadraat, of dx in het kwadraat, dus die kunnen we veilig negeren.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   347.3,
+   358.64
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Again this is ultimately because they're going to be divided by dx, and if there's still any dx remaining then those terms aren't going to survive the process of letting dx approach 0.",
+  "translatedText": "Ook dit komt uiteindelijk weer omdat ze gedeeld gaan worden door dx, en als er nog dx overblijft dan overleven die termen het proces van het laten naderen van dx tot 0 niet.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   359.46,
+   370.3
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "What this means is that the derivative of x cubed, the rate at which x cubed changes per unit change of x, is 3 times x squared.",
+  "translatedText": "Dit betekent dat de afgeleide van x kubus, de snelheid waarmee x kubus verandert per verandering van x, 3 keer x kwadraat is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   371.28,
+   379.2
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "What that means in terms of graphical intuition is that the slope of the graph of x cubed at every single point x is exactly 3x squared.",
+  "translatedText": "Wat dat betekent in termen van grafische intuïtie is dat de helling van de grafiek van x gekubd op elk punt x precies 3x kwadraat is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   380.64,
+   389.6
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And reasoning about that slope, it should make sense that this derivative is high on the left and then 0 at the origin and then high again as you move to the right, but just thinking in terms of the graph would never have landed us on the precise quantity 3x squared.",
+  "translatedText": "En redenerend over die helling zou het logisch moeten zijn dat deze afgeleide links hoog is en dan 0 bij de oorsprong en dan weer hoog als je naar rechts gaat, maar gewoon denken in termen van de grafiek zou ons nooit op de precieze hoeveelheid 3x kwadraat hebben gebracht.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   394.08,
+   408.2
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For that we had to take a much more direct look at what x cubed actually means.",
+  "translatedText": "Daarvoor moesten we veel directer kijken naar wat x kubieke eigenlijk betekent.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   408.88,
+   413.06
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Now in practice you wouldn't necessarily think of the square every time you're taking the derivative of x squared, nor would you necessarily think of this cube whenever you're taking the derivative of x cubed.",
+  "translatedText": "In de praktijk denk je niet noodzakelijkerwijs aan het kwadraat telkens als je de afgeleide van x in het kwadraat neemt, en ook niet noodzakelijkerwijs aan deze kubus telkens als je de afgeleide van x in het kwadraat neemt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   414.26,
+   424.56
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Both of them fall under a pretty recognizable pattern for polynomial terms.",
+  "translatedText": "Beide vallen onder een vrij herkenbaar patroon voor polynomiale termen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   424.88,
+   428.4
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The derivative of x to the fourth turns out to be 4x cubed, the derivative of x to the fifth is 5x to the fourth, and so on.",
+  "translatedText": "De afgeleide van x naar de vierde blijkt 4x kubieke meter te zijn, de afgeleide van x naar de vijfde is 5x naar de vierde, enzovoort.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   429.2,
+   437.76
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Abstractly you'd write this as the derivative of x to the n for any power n is n times x to the n minus 1.",
+  "translatedText": "Abstract zou je dit schrijven als de afgeleide van x naar de n voor elke macht n is n maal x naar de n min 1.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   438.88,
+   446.56
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This right here is what's known in the business as the power rule.",
+  "translatedText": "Dit hier is wat in de zakenwereld bekend staat als de machtsregel.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   447.3,
+   450.56
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "In practice we all quickly just get jaded and think about this symbolically as the exponent hopping down in front, leaving behind one less than itself, rarely pausing to think about the geometric delights that underlie these derivatives.",
+  "translatedText": "In de praktijk raken we allemaal snel afgestompt en denken we hier symbolisch over als de exponent die naar beneden huppelt en één minder dan zichzelf achterlaat, waarbij we zelden stilstaan bij de meetkundige hoogstandjes die ten grondslag liggen aan deze afgeleiden.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   451.74,
+   464.26
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That's the kind of thing that happens when these tend to fall in the middle of much longer computations.",
+  "translatedText": "Dat is het soort dingen dat gebeurt als deze vaak midden in veel langere berekeningen vallen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   465.24,
+   469.2
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But rather than tracking it all off to symbolic patterns, let's just take a moment and think about why this works for powers beyond just 2 and 3.",
+  "translatedText": "Maar in plaats van alles af te leiden naar symbolische patronen, nemen we even de tijd om na te denken over waarom dit werkt voor krachten die verder gaan dan alleen 2 en 3.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   470.64,
+   477.36
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "When you nudge that input x, increasing it slightly to x plus dx, working out the exact value of that nudged output would involve multiplying together these n separate x plus dx terms.",
+  "translatedText": "Als je de invoer x iets verhoogt tot x plus dx, moet je de exacte waarde van de uitvoer berekenen door deze n afzonderlijke x plus dx termen met elkaar te vermenigvuldigen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   478.44,
+   490.52
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The full expansion would be really complicated, but part of the point of derivatives is that most of that complication can be ignored.",
+  "translatedText": "De volledige uitbreiding zou erg ingewikkeld zijn, maar een deel van het punt van derivaten is dat het grootste deel van die complicatie kan worden genegeerd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   491.34,
+   498.46
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The first term in your expansion is x to the n.",
+  "translatedText": "De eerste term in je uitbreiding is x tot de n.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   499.28,
+   502.02
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This is analogous to the area of the original square, or the volume of the original cube from our previous examples.",
+  "translatedText": "Dit is analoog aan de oppervlakte van het oorspronkelijke vierkant of het volume van de oorspronkelijke kubus uit onze vorige voorbeelden.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   502.68,
+   508.92
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For the next terms in the expansion you can choose mostly x's with a single dx.",
+  "translatedText": "Voor de volgende termen in de expansie kun je meestal x'en kiezen met een enkele dx.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   510.82,
+   516.04
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Since there are n different parentheticals from which you could have chosen that single dx, this gives us n separate terms, all of which include n minus 1 x's times a dx, giving a value of x to the power n minus 1 times dx.",
+  "translatedText": "Omdat er n verschillende parenthesen zijn waaruit je die ene dx had kunnen kiezen, geeft dit ons n afzonderlijke termen, die allemaal n min 1 x'en maal een dx bevatten, wat een waarde van x tot de macht n min 1 maal dx geeft.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   521.72,
+   536.64
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This is analogous to how the majority of the new area in the square came from those two bars, each with area x times dx, or how the bulk of the new volume in the cube came from those three thin squares, each of which had a volume of x squared times dx.",
+  "translatedText": "Dit is analoog aan hoe het grootste deel van de nieuwe oppervlakte in het vierkant kwam van die twee staven, elk met oppervlakte x maal dx, of hoe het grootste deel van het nieuwe volume in de kubus kwam van die drie dunne vierkanten, die elk een volume hadden van x kwadraat maal dx.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   537.58,
+   553.3
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "There will be many other terms of this expansion, but all of them are just going to be some multiple of dx squared, so we can safely ignore them, and what that means is that all but a negligible portion of the increase in the output comes from n copies of this x to the n minus 1 times dx.",
+  "translatedText": "Er zullen nog veel meer termen in deze expansie voorkomen, maar die zullen allemaal een veelvoud van dx in het kwadraat zijn, dus die kunnen we veilig negeren. Dat betekent dat op een verwaarloosbaar deel na, alle toename in de uitvoer afkomstig is van n kopieën van deze x naar de n min 1 keer dx.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   554.54,
+   571.26
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That's what it means for the derivative of x to the n to be n times x to the n minus 1.",
+  "translatedText": "Dat betekent dat de afgeleide van x naar de n n keer x naar de n min 1 is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   571.94,
+   577.52
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And even though, like I said in practice, you'll find yourself performing this derivative quickly and symbolically, imagining the exponent hopping down to the front, every now and then it's nice to just step back and remember why these rules work.",
+  "translatedText": "En ook al zul je, zoals ik in de praktijk al zei, merken dat je deze afgeleide snel en symbolisch uitvoert, waarbij je je voorstelt dat de exponent naar voren huppelt, zo nu en dan is het fijn om even een stapje terug te doen en je te herinneren waarom deze regels werken.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   578.96,
+   592.28
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Not just because it's pretty, and not just because it helps remind us that math actually makes sense and isn't just a pile of formulas to memorize, but because it flexes that very important muscle of thinking about derivatives in terms of tiny nudges.",
+  "translatedText": "Niet alleen omdat het mooi is, en niet alleen omdat het ons eraan helpt herinneren dat wiskunde echt zinvol is en niet alleen een stapel formules die je uit je hoofd moet leren, maar ook omdat het die heel belangrijke spier aanspant om over derivaten te denken in termen van kleine duwtjes.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   592.82,
+   605.56
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "As another example, think of the function f of x equals 1 divided by x.",
+  "translatedText": "Denk als ander voorbeeld aan de functie f van x is gelijk aan 1 gedeeld door x.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   607.5,
+   611.64
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Now on the hand you could just blindly try applying the power rule, since 1 divided by x is the same as writing x to the negative 1.",
+  "translatedText": "Aan de andere kant zou je blindelings de machtsregel kunnen toepassen, omdat 1 gedeeld door x hetzelfde is als x schrijven naar de negatieve 1.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   612.7,
+   620.54
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That would involve letting the negative 1 hop down in front, leaving behind 1 less than itself, which is negative 2.",
+  "translatedText": "Dat zou inhouden dat je de negatieve 1 vooraan laat hinkelen, waardoor er 1 minder dan zichzelf overblijft, wat negatief 2 is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   621.1,
+   627.44
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But let's have some fun and see if we can reason about this geometrically, rather than just plugging it through some formula.",
+  "translatedText": "Maar laten we eens kijken of we hier meetkundig over kunnen redeneren, in plaats van het gewoon door een formule te halen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   628.24,
+   633.58
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The value 1 over x is asking what number multiplied by x equals 1.",
+  "translatedText": "De waarde 1 over x vraagt welk getal vermenigvuldigd met x gelijk is aan 1.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   634.86,
+   640.18
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So here's how I'd like to visualize it.",
+  "translatedText": "Dit is hoe ik het zou willen visualiseren.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   640.96,
+   642.82
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Imagine a little rectangular puddle of water sitting in two dimensions whose area is 1.",
+  "translatedText": "Stel je een kleine rechthoekige plas water voor in twee dimensies waarvan de oppervlakte 1 is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   642.82,
+   648.12
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And let's say that its width is x, which means that the height has to be 1 over x, since the total area of it is 1.",
+  "translatedText": "En laten we zeggen dat de breedte x is, wat betekent dat de hoogte 1 over x moet zijn, omdat de totale oppervlakte 1 is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   648.96,
+   655.62
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So if x was stretched out to 2, then that height is forced down to 1 half.",
+  "translatedText": "Dus als x was uitgerekt tot 2, dan is die hoogte teruggebracht tot 1 helft.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   656.36,
+   661.04
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And if you increased x up to 3, then the other side has to be squished down to 1 third.",
+  "translatedText": "En als je x hebt verhoogd tot 3, dan moet de andere kant worden verkleind tot 1 derde.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   661.78,
+   665.92
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This is a nice way to think about the graph of 1 over x, by the way.",
+  "translatedText": "Dit is trouwens een mooie manier om na te denken over de grafiek van 1 over x.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   667.04,
+   670.68
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "If you think of this width x of the puddle as being in the xy-plane, then that corresponding output 1 divided by x, the height of the graph above that point, is whatever the height of your puddle has to be to maintain an area of 1.",
+  "translatedText": "Als je deze breedte x van de plas beschouwt als zijnde in het xy-vlak, dan is die corresponderende uitgang 1 gedeeld door x, de hoogte van de grafiek boven dat punt, wat de hoogte van je plas moet zijn om een oppervlakte van 1 te houden.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   671.28,
+   684.94
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So with this visual in mind, for the derivative, imagine nudging up that value of x by some tiny amount, some tiny dx.",
+  "translatedText": "Dus met dit beeld in gedachten, stel je voor dat je voor de afgeleide de waarde van x met een heel klein beetje verhoogt, een heel klein beetje dx.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   686.36,
+   693.58
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "How must the height of this rectangle change so that the area of the puddle remains constant at 1?",
+  "translatedText": "Hoe moet de hoogte van deze rechthoek veranderen zodat de oppervlakte van de plas constant 1 blijft?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   694.58,
+   700.34
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That is, increasing the width by dx adds some new area to the right here.",
+  "translatedText": "Dat wil zeggen dat het vergroten van de breedte met dx hier rechts wat nieuw gebied toevoegt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   701.34,
+   706.02
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So the puddle has to decrease in height by some d 1 over x, so that the area lost off of that top cancels out the area gained.",
+  "translatedText": "Dus de plas moet over x met d 1 in hoogte afnemen, zodat de oppervlakte die van die top verloren gaat de oppervlakte die er bij komt opheft.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   706.26,
+   714.86
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "You should think of that d 1 over x as being a negative amount, by the way, since it's decreasing the height of the rectangle.",
+  "translatedText": "Je moet die d 1 over x trouwens zien als een negatieve hoeveelheid, omdat het de hoogte van de rechthoek verkleint.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   716.1,
+   722.32
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And you know what?",
+  "translatedText": "En weet je wat?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   723.54,
+   724.4
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I'm going to leave the last few steps here for you, for you to pause and ponder and work out an ultimate expression.",
+  "translatedText": "Ik laat de laatste paar stappen hier voor jou, zodat je er even bij stil kunt staan en een ultieme uitdrukking kunt bedenken.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   724.84,
+   729.72
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And once you reason out what d of 1 over x divided by dx should be, I want you to compare it to what you would have gotten if you had just blindly applied the power rule, purely symbolically, to x to the negative 1.",
+  "translatedText": "En als je eenmaal hebt beredeneerd wat d van 1 over x gedeeld door dx zou moeten zijn, wil ik dat je dat vergelijkt met wat je zou hebben gekregen als je gewoon blindelings, puur symbolisch, de machtsregel had toegepast op x tot de negatieve 1.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   730.56,
+   741.82
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And while I'm encouraging you to pause and ponder, here's another fun challenge if you're feeling up to it.",
+  "translatedText": "En terwijl ik je aanmoedig om stil te staan en na te denken, is hier nog een leuke uitdaging als je daar zin in hebt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   743.98,
+   748.52
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "See if you can reason through what the derivative of the square root of x should be.",
+  "translatedText": "Kijk of je kunt doorredeneren wat de afgeleide van de vierkantswortel van x zou moeten zijn.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   749.06,
+   753.42
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "To finish things off, I want to tackle one more type of function, trigonometric functions, and in particular let's focus on the sine function.",
+  "translatedText": "Om af te sluiten wil ik nog één type functie behandelen, de goniometrische functies, en in het bijzonder de sinusfunctie.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   756.4,
+   764.26
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So for this section I'm going to assume that you're already familiar with how to think about trig functions using the unit circle, the circle with a radius 1 centered at the origin.",
+  "translatedText": "Dus voor dit onderdeel ga ik ervan uit dat je al bekend bent met hoe je over trigatiefuncties moet denken door gebruik te maken van de eenheidscirkel, de cirkel met straal 1 met het middelpunt op de oorsprong.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   765.32,
+   774.1
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For a given value of theta, like say 0.8, you imagine yourself walking around the circle starting from the rightmost point until you've traversed that distance of 0.8 in arc length.",
+  "translatedText": "Voor een gegeven waarde van theta, bijvoorbeeld 0,8, stel je je voor dat je rond de cirkel loopt, beginnend bij het meest rechtse punt, totdat je die afstand van 0,8 in booglengte hebt afgelegd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   775.24,
+   786.48
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This is the same thing as saying that the angle right here is exactly theta radians, since the circle has a radius of 1.",
+  "translatedText": "Dit is hetzelfde als zeggen dat de hoek hier precies theta radialen is, omdat de cirkel een straal van 1 heeft.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   786.76,
+   793.76
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Then what sine of theta means is the height of that point above the x-axis, and as your theta value increases and you walk around the circle your height bobs up and down between negative 1 and 1.",
+  "translatedText": "Wat de sinus van theta dan betekent is de hoogte van dat punt boven de x-as, en als je theta-waarde toeneemt en je rond de cirkel loopt, schommelt je hoogte op en neer tussen negatief 1 en 1.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   794.76,
+   808.24
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So when you graph sine of theta versus theta you get this wave pattern, the quintessential wave pattern.",
+  "translatedText": "Dus als je de sinus van theta tegenover theta uitzet, krijg je dit golfpatroon, het typische golfpatroon.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   809.02,
+   815.66
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And just from looking at this graph we can start to get a feel for the shape of the derivative of the sine.",
+  "translatedText": "En alleen al door naar deze grafiek te kijken kunnen we een idee krijgen van de vorm van de afgeleide van de sinus.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   817.6,
+   823.18
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The slope at 0 is something positive since sine of theta is increasing there, and as we move to the right and sine of theta approaches its peak that slope goes down to 0.",
+  "translatedText": "De helling bij 0 is iets positiefs omdat de sinus van theta daar toeneemt, en naarmate we naar rechts bewegen en de sinus van theta zijn piek nadert, daalt die helling naar 0.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   824.02,
+   834.5
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Then the slope is negative for a little while, while the sine is decreasing before coming back up to 0 as the sine graph levels out.",
+  "translatedText": "Dan is de helling een tijdje negatief, terwijl de sinus afneemt, voordat hij weer op 0 uitkomt als de sinusgrafiek afvlakt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   835.72,
+   843.08
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And as you continue thinking this through and drawing it out, if you're familiar with the graph of trig functions you might guess that this derivative graph should be exactly cosine of theta, since all the peaks and valleys line up perfectly with where the peaks and valleys for the cosine function should be.",
+  "translatedText": "En als je dit verder doordenkt en uittekent, kun je, als je bekend bent met de grafiek van trig functies, raden dat deze afgeleide grafiek precies cosinus van theta zou moeten zijn, omdat alle pieken en dalen precies op één lijn liggen met waar de pieken en dalen voor de cosinusfunctie zouden moeten liggen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   844.46,
+   859.28
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And spoiler alert, the derivative is in fact the cosine of theta, but aren't you a little curious about why it's precisely cosine of theta?",
+  "translatedText": "En spoiler alert, de afgeleide is in feite de cosinus van theta, maar ben je niet een beetje nieuwsgierig waarom het precies cosinus van theta is?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   860.34,
+   867.86
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I mean you could have all sorts of functions with peaks and valleys at the same points that have roughly the same shape, but who knows, maybe the derivative of sine could have turned out to be some entirely new type of function that just happens to have a similar shape.",
+  "translatedText": "Ik bedoel, je kunt allerlei functies hebben met pieken en dalen op dezelfde punten die ongeveer dezelfde vorm hebben, maar wie weet is de afgeleide van sinus wel een heel nieuw type functie die toevallig een vergelijkbare vorm heeft.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   868.24,
+   880.4
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Well just like the previous examples, a more exact understanding of the derivative requires looking at what the function actually represents, rather than looking at the graph of the function.",
+  "translatedText": "Net als bij de vorige voorbeelden moet je voor een nauwkeuriger begrip van de afgeleide kijken naar wat de functie eigenlijk voorstelt, in plaats van naar de grafiek van de functie.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   881.6,
+   891.1
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So think back to that walk around the unit circle, having traversed an arc with length theta and thinking about sine of theta as the height of that point.",
+  "translatedText": "Denk dus terug aan die wandeling rond de eenheidscirkel, waarbij je een boog met lengte theta hebt afgelegd en denkt aan de sinus van theta als de hoogte van dat punt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   892.4,
+   900.24
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Now zoom into that point on the circle and consider a slight nudge of d theta along their circumference, a tiny step in your walk around the unit circle.",
+  "translatedText": "Zoom nu in op dat punt op de cirkel en overweeg een klein duwtje van d theta langs de omtrek, een klein stapje in je wandeling rond de eenheidscirkel.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   901.7,
+   910.62
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "How much does that tiny step change the sine of theta?",
+  "translatedText": "Hoeveel verandert dat kleine stapje de sinus van theta?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   911.48,
+   914.64
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "How much does this increase d theta of arc length increase the height above the x-axis?",
+  "translatedText": "Hoeveel verhoogt d theta van de booglengte de hoogte boven de x-as?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   915.44,
+   920.42
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Well zoomed in close enough, the circle basically looks like a straight line in this neighborhood, so let's go ahead and think of this right triangle where the hypotenuse of that right triangle represents the nudge d theta along the circumference, and that left side here represents the change in height, the resulting d sine of theta.",
+  "translatedText": "Als we ver genoeg inzoomen, ziet de cirkel er in feite uit als een rechte lijn in deze buurt, dus laten we eens gaan denken aan deze rechthoekige driehoek waarbij de hypotenusa van die rechthoek de duw d theta langs de omtrek voorstelt, en de linkerkant hier de verandering in hoogte voorstelt, de resulterende d sinus van theta.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   921.64,
+   939.54
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Now this tiny triangle is actually similar to this larger triangle here, with the defining angle theta and whose hypotenuse is the radius of the circle with length 1.",
+  "translatedText": "Nu lijkt deze kleine driehoek eigenlijk op deze grotere driehoek hier, met de definiërende hoek theta en waarvan de schuine zijde de straal van de cirkel met lengte 1 is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   940.14,
+   949.34
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Specifically this little angle right here is precisely equal to theta radians.",
+  "translatedText": "Specifiek deze kleine hoek hier is precies gelijk aan theta radialen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   950.96,
+   955.94
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Now think about what the derivative of sine is supposed to mean.",
+  "translatedText": "Bedenk nu wat de afgeleide van sinus zou moeten betekenen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   957.42,
+   960.52
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It's the ratio between that d sine of theta, the tiny change to the height, divided by d theta, the tiny change to the input of the function.",
+  "translatedText": "Het is de verhouding tussen die d sinus van theta, de minieme verandering van de hoogte, gedeeld door d theta, de minieme verandering van de ingang van de functie.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   961.22,
+   969.32
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And from the picture we can see that that's the ratio between the length of the side adjacent to the angle theta divided by the hypotenuse.",
+  "translatedText": "En uit de afbeelding kunnen we zien dat dat de verhouding is tussen de lengte van de zijde grenzend aan de hoek theta gedeeld door de schuine zijde.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   970.52,
+   977.96
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Well let's see, adjacent divided by hypotenuse, that's exactly what the cosine of theta means, that's the definition of the cosine.",
+  "translatedText": "Eens kijken, aangrenzend gedeeld door schuine zijde, dat is precies wat de cosinus van theta betekent, dat is de definitie van de cosinus.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   978.8,
+   986.22
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So this gives us two different really nice ways of thinking about how the derivative of sine is cosine.",
+  "translatedText": "Dit geeft ons dus twee verschillende, erg leuke manieren om te denken over hoe de afgeleide van sinus cosinus is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   987.54,
+   992.96
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "One of them is looking at the graph and getting a loose feel for the shape of things based on thinking about the slope of the sine graph at every single point.",
+  "translatedText": "Eén daarvan is kijken naar de grafiek en een los gevoel krijgen voor de vorm van dingen door na te denken over de helling van de sinusgrafiek op elk afzonderlijk punt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   993.14,
+   1000.28
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And the other is a more precise line of reasoning looking at the unit circle itself.",
+  "translatedText": "En de andere is een preciezere redenering waarbij we kijken naar de eenheidscirkel zelf.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   1001.1,
+   1005.4
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For those of you that like to pause and ponder, see if you can try a similar line of reasoning to find what the derivative of the cosine of theta should be.",
+  "translatedText": "Voor degenen onder jullie die graag stilstaan en nadenken, kijk eens of je een soortgelijke redenering kunt proberen om te vinden wat de afgeleide van de cosinus van theta zou moeten zijn.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   1007.08,
+   1014.22
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "In the next video I'll talk about how you can take derivatives of functions who combine simple functions like these ones, either as sums or products or function compositions, things like that.",
+  "translatedText": "In de volgende video zal ik het hebben over hoe je afgeleiden kunt nemen van functies die eenvoudige functies zoals deze combineren, als sommen of producten of functiecomposities, dat soort dingen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   1016.32,
+   1026.0
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And similar to this video the goal is going to be to understand each one geometrically in a way that makes it intuitively reasonable and somewhat more memorable.",
+  "translatedText": "En net als bij deze video is het de bedoeling om ze allemaal meetkundig te begrijpen op een manier die ze intuïtief redelijk maakt en wat meer memorabel.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   1026.56,
+   1033.36
+  ]
+ }
+]
\ No newline at end of file
diff --git a/2017/derivative-formulas-geometrically/dutch/title.json b/2017/derivative-formulas-geometrically/dutch/title.json
new file mode 100644
index 000000000..73f08394c
--- /dev/null
+++ b/2017/derivative-formulas-geometrically/dutch/title.json
@@ -0,0 +1,5 @@
+{
+ "input": "Derivative formulas through geometry | Chapter 3, Essence of calculus",
+ "translatedText": "Afgeleide formules door meetkunde | Hoofdstuk 3, Essentie van calculus",
+ "model": "DeepL"
+}
\ No newline at end of file
diff --git a/2017/derivative-formulas-geometrically/english/captions.srt b/2017/derivative-formulas-geometrically/english/captions.srt
index ff09c811c..d2cbab346 100644
--- a/2017/derivative-formulas-geometrically/english/captions.srt
+++ b/2017/derivative-formulas-geometrically/english/captions.srt
@@ -1,5 +1,5 @@
 1
-00:00:12,139 --> 00:00:16,415
+00:00:12,140 --> 00:00:16,415
 Now that we've seen what a derivative means and what it has to do with rates of change, 
 
 2
@@ -263,7 +263,7 @@ would be 2 times 3, or 6, and if instead you were starting at x equals 5,
 then the rate of change would be 10 units of area per unit change in x.
 
 67
-00:04:41,219 --> 00:04:45,420
+00:04:41,220 --> 00:04:45,420
 Let's go ahead and try a different simple function, f of x equals x cubed.
 
 68
diff --git a/2017/derivatives/dutch/auto_generated.srt b/2017/derivatives/dutch/auto_generated.srt
new file mode 100644
index 000000000..99861b836
--- /dev/null
+++ b/2017/derivatives/dutch/auto_generated.srt
@@ -0,0 +1,1048 @@
+1
+00:00:15,260 --> 00:00:18,960
+Het doel hier is eenvoudig, uitleggen wat een afgeleide is.
+
+2
+00:00:19,160 --> 00:00:21,738
+Het punt is echter dat er enige subtiliteit in dit onderwerp zit, 
+
+3
+00:00:21,738 --> 00:00:24,200
+en veel potentieel voor paradoxen als je niet voorzichtig bent.
+
+4
+00:00:24,780 --> 00:00:27,470
+Een secundair doel is dus dat je begrijpt wat 
+
+5
+00:00:27,470 --> 00:00:30,220
+die paradoxen zijn en hoe je ze kunt vermijden.
+
+6
+00:00:31,220 --> 00:00:36,044
+Mensen zeggen vaak dat de afgeleide een ogenblikkelijke verandering meet, 
+
+7
+00:00:36,044 --> 00:00:39,760
+maar als je erover nadenkt is dat eigenlijk een oxymoron.
+
+8
+00:00:40,240 --> 00:00:43,621
+Verandering is iets dat gebeurt tussen afzonderlijke punten in de tijd, 
+
+9
+00:00:43,621 --> 00:00:46,721
+en als je jezelf blind maakt voor alles behalve een enkel moment, 
+
+10
+00:00:46,721 --> 00:00:48,600
+is er niet echt ruimte voor verandering.
+
+11
+00:00:49,500 --> 00:00:52,010
+Je zult zien wat ik bedoel als we er dieper op ingaan, 
+
+12
+00:00:52,010 --> 00:00:55,115
+maar als je begrijpt dat een uitdrukking als momentane snelheid van 
+
+13
+00:00:55,115 --> 00:00:58,401
+verandering eigenlijk onzin is, denk ik dat je daardoor gaat inzien hoe 
+
+14
+00:00:58,401 --> 00:01:01,688
+slim de vaders van de calculus waren in het vastleggen van het idee dat 
+
+15
+00:01:01,688 --> 00:01:05,386
+die uitdrukking moet oproepen, maar dan met een volkomen zinnig stukje wiskunde, 
+
+16
+00:01:05,386 --> 00:01:05,980
+de afgeleide.
+
+17
+00:01:07,540 --> 00:01:11,924
+Als ons centrale voorbeeld wil ik dat je je een auto voorstelt die start op een punt A, 
+
+18
+00:01:11,924 --> 00:01:15,462
+versnelt en dan afremt tot stilstand op een punt B 100 meter verderop, 
+
+19
+00:01:15,462 --> 00:01:19,000
+en laten we zeggen dat dit allemaal gebeurt in de loop van 10 seconden.
+
+20
+00:01:20,520 --> 00:01:22,245
+Dat is de opzet die je in gedachten moet houden 
+
+21
+00:01:22,245 --> 00:01:23,900
+als we uitleggen wat het afgeleide product is.
+
+22
+00:01:23,900 --> 00:01:29,090
+We kunnen deze beweging grafisch weergeven, waarbij de verticale as de 
+
+23
+00:01:29,090 --> 00:01:35,012
+afgelegde afstand voorstelt en de horizontale as de tijd, dus op elk tijdstip t, 
+
+24
+00:01:35,012 --> 00:01:38,960
+weergegeven met een punt ergens op de horizontale as, 
+
+25
+00:01:38,960 --> 00:01:45,540
+vertelt de hoogte van de grafiek ons hoe ver de auto in totaal heeft afgelegd na die tijd.
+
+26
+00:01:46,760 --> 00:01:50,160
+Het is vrij gebruikelijk om een afstandsfunctie als deze s of t te noemen.
+
+27
+00:01:50,160 --> 00:01:52,810
+Ik zou de letter d gebruiken voor afstand, maar die 
+
+28
+00:01:52,810 --> 00:01:55,360
+man heeft al een andere fulltime baan in calculus.
+
+29
+00:01:56,500 --> 00:01:59,760
+Aanvankelijk is de bocht vrij ondiep, omdat de auto langzaam op gang komt.
+
+30
+00:02:00,280 --> 00:02:04,340
+Tijdens die eerste seconde verandert er niet veel aan de afstand die het aflegt.
+
+31
+00:02:04,980 --> 00:02:07,560
+In de volgende paar seconden, als de auto sneller rijdt, 
+
+32
+00:02:07,560 --> 00:02:10,639
+wordt de afstand die in een bepaalde seconde wordt afgelegd groter, 
+
+33
+00:02:10,639 --> 00:02:13,220
+wat overeenkomt met een steilere helling in deze grafiek.
+
+34
+00:02:13,800 --> 00:02:17,520
+Tegen het einde, als het langzamer gaat, wordt die curve weer ondieper.
+
+35
+00:02:20,760 --> 00:02:25,293
+Als we de snelheid van de auto in meters per seconde uitzetten als functie van de tijd, 
+
+36
+00:02:25,293 --> 00:02:27,200
+zou het er als volgt uit kunnen zien.
+
+37
+00:02:27,860 --> 00:02:30,000
+In het begin is de snelheid erg klein.
+
+38
+00:02:30,460 --> 00:02:33,787
+Tot het midden van de reis bouwt de auto een bepaalde maximumsnelheid op, 
+
+39
+00:02:33,787 --> 00:02:36,620
+waarbij elke seconde een relatief grote afstand wordt afgelegd.
+
+40
+00:02:37,660 --> 00:02:39,920
+Daarna vertraagt het weer naar een snelheid van nul.
+
+41
+00:02:41,380 --> 00:02:44,180
+Deze twee curven zijn zeker aan elkaar gerelateerd.
+
+42
+00:02:44,840 --> 00:02:47,160
+Als je de specifieke afstand vs.
+
+43
+00:02:47,260 --> 00:02:50,300
+tijdfunctie, heb je een aantal verschillende snelheden vs.
+
+44
+00:02:50,420 --> 00:02:51,080
+tijdfunctie.
+
+45
+00:02:51,760 --> 00:02:55,040
+Wat we willen begrijpen zijn de specifieke kenmerken van die relatie.
+
+46
+00:02:55,680 --> 00:02:59,100
+Hoe hangt snelheid precies af van een afstand vs.
+
+47
+00:02:59,400 --> 00:02:59,820
+tijdfunctie?
+
+48
+00:03:01,940 --> 00:03:04,817
+Om dat te doen, is het de moeite waard om even kritisch 
+
+49
+00:03:04,817 --> 00:03:07,540
+na te denken over wat snelheid hier precies betekent.
+
+50
+00:03:08,380 --> 00:03:11,725
+Intuïtief weten we allemaal wat snelheid op een bepaald moment betekent, 
+
+51
+00:03:11,725 --> 00:03:14,980
+het is gewoon wat de snelheidsmeter van de auto op dat moment aangeeft.
+
+52
+00:03:17,180 --> 00:03:21,338
+Intuïtief zou het logisch kunnen zijn dat de snelheid van de auto hoger is op momenten 
+
+53
+00:03:21,338 --> 00:03:25,640
+dat deze afstandsfunctie steiler is, wanneer de auto meer afstand per tijdseenheid aflegt.
+
+54
+00:03:26,700 --> 00:03:30,720
+Maar het grappige is dat snelheid op één moment nergens op slaat.
+
+55
+00:03:31,360 --> 00:03:34,598
+Als ik je een foto van een auto laat zien, slechts een momentopname, 
+
+56
+00:03:34,598 --> 00:03:38,540
+en ik vraag je hoe snel hij gaat, dan kun je me dat op geen enkele manier vertellen.
+
+57
+00:03:39,620 --> 00:03:42,380
+Wat je nodig hebt zijn twee afzonderlijke punten in de tijd om te vergelijken.
+
+58
+00:03:43,180 --> 00:03:47,183
+Op die manier kun je berekenen wat de verandering in afstand over die tijdstippen is, 
+
+59
+00:03:47,183 --> 00:03:48,860
+gedeeld door de verandering in tijd.
+
+60
+00:03:49,560 --> 00:03:49,740
+Toch?
+
+61
+00:03:49,820 --> 00:03:54,160
+Ik bedoel, dat is wat snelheid is, het is de afgelegde afstand per tijdseenheid.
+
+62
+00:03:55,620 --> 00:04:00,096
+Dus hoe komt het dat we kijken naar een functie voor snelheid die maar één waarde van t, 
+
+63
+00:04:00,096 --> 00:04:02,360
+een enkele momentopname in de tijd, meeneemt?
+
+64
+00:04:02,900 --> 00:04:04,280
+Het is vreemd, nietwaar?
+
+65
+00:04:04,280 --> 00:04:07,717
+We willen individuele punten in de tijd associëren met een snelheid, 
+
+66
+00:04:07,717 --> 00:04:11,702
+maar om de snelheid te berekenen moeten we twee afzonderlijke punten in de tijd 
+
+67
+00:04:11,702 --> 00:04:12,300
+vergelijken.
+
+68
+00:04:14,640 --> 00:04:17,399
+Als dat vreemd en paradoxaal aanvoelt, goed!
+
+69
+00:04:17,920 --> 00:04:20,959
+Je worstelt met dezelfde conflicten als de vaders van de calculus.
+
+70
+00:04:21,380 --> 00:04:24,338
+En als je een goed begrip wilt krijgen van de snelheid van verandering, 
+
+71
+00:04:24,338 --> 00:04:27,624
+niet alleen voor een rijdende auto, maar voor allerlei dingen in de wetenschap, 
+
+72
+00:04:27,624 --> 00:04:29,720
+dan zul je deze schijnbare paradox moeten oplossen.
+
+73
+00:04:32,200 --> 00:04:35,035
+Ik denk dat het het beste is om eerst over de echte wereld te praten, 
+
+74
+00:04:35,035 --> 00:04:36,940
+en dan gaan we naar een puur wiskundige wereld.
+
+75
+00:04:37,540 --> 00:04:40,460
+Laten we eens nadenken over wat de snelheidsmeter van de auto waarschijnlijk doet.
+
+76
+00:04:41,200 --> 00:04:44,693
+Op een bepaald moment, laten we zeggen 3 seconden tijdens de rit, 
+
+77
+00:04:44,693 --> 00:04:48,926
+kan de snelheidsmeter meten hoe ver de auto in een heel klein beetje tijd gaat, 
+
+78
+00:04:48,926 --> 00:04:52,420
+misschien de afgelegde afstand tussen 3 seconden en 3,01 seconden.
+
+79
+00:04:53,360 --> 00:04:57,780
+Dan zou het de snelheid in meters per seconde kunnen berekenen als die kleine 
+
+80
+00:04:57,780 --> 00:05:01,860
+afgelegde afstand in meters gedeeld door die kleine tijd, 0,01 seconden.
+
+81
+00:05:02,900 --> 00:05:05,436
+Dat wil zeggen, een fysieke auto omzeilt de paradox gewoon en 
+
+82
+00:05:05,436 --> 00:05:08,260
+berekent niet daadwerkelijk de snelheid op een enkel punt in de tijd.
+
+83
+00:05:08,780 --> 00:05:11,680
+Het berekent de snelheid gedurende een zeer korte tijd.
+
+84
+00:05:13,180 --> 00:05:18,545
+Laten we dat verschil in tijd dt noemen, wat je zou kunnen zien als 0,01 seconden, 
+
+85
+00:05:18,545 --> 00:05:22,360
+en laten we dat resulterende verschil in afstand ds noemen.
+
+86
+00:05:22,960 --> 00:05:26,732
+Dus de snelheid op een bepaald moment in de tijd is ds gedeeld door dt, 
+
+87
+00:05:26,732 --> 00:05:30,400
+de minieme verandering in afstand over de minieme verandering in tijd.
+
+88
+00:05:31,580 --> 00:05:35,340
+Grafisch kun je je voorstellen dat je inzoomt op een bepaald punt van deze afstand versus.
+
+89
+00:05:35,500 --> 00:05:37,680
+tijdgrafiek boven t is gelijk aan 3.
+
+90
+00:05:38,560 --> 00:05:43,277
+Dat dt een kleine stap naar rechts is, omdat de tijd op de horizontale as staat, 
+
+91
+00:05:43,277 --> 00:05:47,353
+en dat ds de resulterende verandering in de hoogte van de grafiek is, 
+
+92
+00:05:47,353 --> 00:05:50,440
+omdat de verticale as de afgelegde afstand voorstelt.
+
+93
+00:05:51,220 --> 00:05:55,313
+Dus ds gedeeld door dt is iets wat je kunt zien als de stijging over de 
+
+94
+00:05:55,313 --> 00:05:59,520
+helling tussen twee zeer dicht bij elkaar liggende punten op deze grafiek.
+
+95
+00:06:00,700 --> 00:06:03,440
+Natuurlijk is er niets speciaals aan de waarde t is gelijk aan 3.
+
+96
+00:06:03,940 --> 00:06:06,852
+We kunnen dit toepassen op elk ander punt in de tijd, 
+
+97
+00:06:06,852 --> 00:06:10,574
+dus we beschouwen deze uitdrukking ds over dt als een functie van t, 
+
+98
+00:06:10,574 --> 00:06:14,349
+iets waarbij ik jou een tijdstip t kan geven en jij mij de waarde van 
+
+99
+00:06:14,349 --> 00:06:18,880
+deze verhouding op dat moment terug kunt geven, de snelheid als functie van de tijd.
+
+100
+00:06:19,600 --> 00:06:23,114
+Bijvoorbeeld, toen ik de computer deze bump curve hier liet tekenen, 
+
+101
+00:06:23,114 --> 00:06:27,240
+die de snelheidsfunctie voorstelt, is dit wat ik de computer eigenlijk liet doen.
+
+102
+00:06:27,940 --> 00:06:32,620
+Eerst koos ik een kleine waarde voor dt, ik denk dat het in dit geval 0,01 was.
+
+103
+00:06:33,440 --> 00:06:38,505
+Daarna liet ik de computer kijken naar een heleboel tijden t tussen 0 en 10, 
+
+104
+00:06:38,505 --> 00:06:41,662
+en de afstandsfunctie s berekenen op t plus dt, 
+
+105
+00:06:41,662 --> 00:06:44,820
+en dan de waarde van die functie op t aftrekken.
+
+106
+00:06:45,420 --> 00:06:49,346
+Met andere woorden, dat is het verschil in afgelegde afstand 
+
+107
+00:06:49,346 --> 00:06:53,660
+tussen het gegeven tijdstip t en het tijdstip 0,01 seconden daarna.
+
+108
+00:06:54,520 --> 00:06:58,153
+Dan kun je dat verschil delen door de verandering in tijd, dt, 
+
+109
+00:06:58,153 --> 00:07:02,480
+en dat geeft je de snelheid in meters per seconde rond elk punt in de tijd.
+
+110
+00:07:04,420 --> 00:07:08,621
+Dus met een formule als deze kun je de computer elke kromme geven die staat voor elke 
+
+111
+00:07:08,621 --> 00:07:12,920
+afstandsfunctie s van t, en hij kan dan de kromme uitrekenen die staat voor de snelheid.
+
+112
+00:07:13,540 --> 00:07:17,441
+Dit is een goed moment om even te pauzeren, na te denken en ervoor te zorgen dat dit 
+
+113
+00:07:17,441 --> 00:07:21,388
+idee om afstand en snelheid aan elkaar te relateren door naar kleine veranderingen te 
+
+114
+00:07:21,388 --> 00:07:25,520
+kijken, zinvol is, want we gaan de paradox van de afgeleide recht voor z'n raap aanpakken.
+
+115
+00:07:27,480 --> 00:07:31,005
+Dit idee van ds over dt, een kleine verandering in de waarde 
+
+116
+00:07:31,005 --> 00:07:36,034
+van de functie s gedeeld door de kleine verandering in de invoer die dit veroorzaakte, 
+
+117
+00:07:36,034 --> 00:07:38,000
+dat is bijna wat een afgeleide is.
+
+118
+00:07:38,700 --> 00:07:43,845
+En ook al kijkt de snelheidsmeter van een auto feitelijk naar een verandering in tijd, 
+
+119
+00:07:43,845 --> 00:07:47,926
+zoals 0,01 seconde, en ook al kijkt het tekenprogramma hier naar een 
+
+120
+00:07:47,926 --> 00:07:52,361
+feitelijke verandering in tijd, in pure wiskunde is de afgeleide niet deze 
+
+121
+00:07:52,361 --> 00:07:55,673
+verhouding ds over dt voor een specifieke keuze van dt, 
+
+122
+00:07:55,673 --> 00:08:00,760
+in plaats daarvan is het wat die verhouding benadert als je keuze voor dt de 0 nadert.
+
+123
+00:08:02,540 --> 00:08:07,246
+Gelukkig is er een heel mooi visueel begrip voor wat het betekent om te vragen wat deze 
+
+124
+00:08:07,246 --> 00:08:10,883
+verhouding benadert, Onthoud dat voor elke specifieke keuze van dt, 
+
+125
+00:08:10,883 --> 00:08:15,642
+deze verhouding ds over dt de helling is van een lijn die door twee afzonderlijke punten 
+
+126
+00:08:15,642 --> 00:08:16,980
+op de grafiek gaat, toch?
+
+127
+00:08:17,740 --> 00:08:21,873
+Als dt 0 nadert en als die twee punten elkaar naderen, 
+
+128
+00:08:21,873 --> 00:08:27,960
+benadert de helling van de lijn de helling van een lijn die raakt aan de grafiek 
+
+129
+00:08:27,960 --> 00:08:30,140
+in welk punt t we ook kijken.
+
+130
+00:08:30,580 --> 00:08:34,089
+Dus de echte pure wiskunde-afgeleide is niet de stijging over de 
+
+131
+00:08:34,089 --> 00:08:37,058
+helling tussen twee nabijgelegen punten op de grafiek, 
+
+132
+00:08:37,058 --> 00:08:41,000
+maar gelijk aan de helling van een lijn die de grafiek raakt op één punt.
+
+133
+00:08:42,360 --> 00:08:45,946
+Let op wat ik niet zeg, ik zeg niet dat de afgeleide is wat er 
+
+134
+00:08:45,946 --> 00:08:49,420
+gebeurt als dt oneindig klein is, wat dat ook moge betekenen.
+
+135
+00:08:50,000 --> 00:08:52,340
+Ik zeg ook niet dat je 0 moet invullen voor dt.
+
+136
+00:08:53,040 --> 00:08:56,388
+Deze dt is altijd een eindig kleine niet-nulwaarde, 
+
+137
+00:08:56,388 --> 00:08:58,900
+het is alleen zo dat hij de 0 benadert.
+
+138
+00:09:03,620 --> 00:09:04,960
+Ik vind dat heel slim.
+
+139
+00:09:05,380 --> 00:09:08,024
+Ook al heeft verandering in een oogwenk geen zin, 
+
+140
+00:09:08,024 --> 00:09:11,831
+dit idee om dt naar 0 te laten naderen is echt een geniepige achterdeur 
+
+141
+00:09:11,831 --> 00:09:16,380
+om redelijkerwijs te praten over de mate van verandering op een enkel punt in de tijd.
+
+142
+00:09:17,020 --> 00:09:17,520
+Is dat niet mooi?
+
+143
+00:09:18,060 --> 00:09:20,420
+Het is een soort flirten met de paradox van verandering in 
+
+144
+00:09:20,420 --> 00:09:22,980
+een oogwenk zonder dat het ooit echt aangeraakt hoeft te worden.
+
+145
+00:09:23,300 --> 00:09:25,908
+En het heeft ook zo'n mooie visuele intuïtie, zoals de 
+
+146
+00:09:25,908 --> 00:09:28,660
+helling van een raaklijn aan een enkel punt op de grafiek.
+
+147
+00:09:30,160 --> 00:09:32,986
+En omdat verandering in een oogwenk nog steeds geen zin heeft, 
+
+148
+00:09:32,986 --> 00:09:36,126
+denk ik dat het voor jou het gezondst is om deze helling niet te zien 
+
+149
+00:09:36,126 --> 00:09:39,221
+als een ogenblikkelijke veranderingssnelheid, maar in plaats daarvan 
+
+150
+00:09:39,221 --> 00:09:42,720
+als de beste constante benadering voor een veranderingssnelheid rond een punt.
+
+151
+00:09:44,340 --> 00:09:46,940
+Het is trouwens de moeite waard om hier een paar woorden te wijden aan de notatie.
+
+152
+00:09:47,340 --> 00:09:51,768
+In deze video heb ik dt gebruikt om te verwijzen naar een kleine verandering in t met 
+
+153
+00:09:51,768 --> 00:09:56,145
+een werkelijke grootte, en ds om te verwijzen naar de resulterende verandering in s, 
+
+154
+00:09:56,145 --> 00:10:00,780
+die ook weer een werkelijke grootte heeft, en dit is omdat ik wil dat je er zo over denkt.
+
+155
+00:10:01,660 --> 00:10:05,928
+Maar de conventie in calculus is dat wanneer je de letter d op deze manier gebruikt, 
+
+156
+00:10:05,928 --> 00:10:09,141
+je als het ware je intentie aankondigt dat je uiteindelijk gaat 
+
+157
+00:10:09,141 --> 00:10:11,100
+zien wat er gebeurt als dt de 0 nadert.
+
+158
+00:10:11,920 --> 00:10:15,815
+Zo wordt de pure wiskunde-afgeleide in alle eerlijkheid geschreven 
+
+159
+00:10:15,815 --> 00:10:20,349
+als ds gedeeld door dt, ook al is het technisch gezien niet per se een breuk, 
+
+160
+00:10:20,349 --> 00:10:23,780
+maar wat die breuk ook benadert voor kleinere stappen in t.
+
+161
+00:10:25,780 --> 00:10:27,680
+Ik denk dat een specifiek voorbeeld hier zou moeten helpen.
+
+162
+00:10:28,260 --> 00:10:31,308
+Je zou denken dat vragen naar wat deze verhouding benadert voor 
+
+163
+00:10:31,308 --> 00:10:34,689
+steeds kleinere waarden het veel moeilijker zou maken om te berekenen, 
+
+164
+00:10:34,689 --> 00:10:37,500
+maar vreemd genoeg maakt het de dingen juist gemakkelijker.
+
+165
+00:10:38,200 --> 00:10:41,063
+Laten we zeggen dat je een bepaalde afstand-tijdfunctie 
+
+166
+00:10:41,063 --> 00:10:43,160
+hebt die toevallig precies t-kwadraat is.
+
+167
+00:10:43,160 --> 00:10:47,660
+Dus na 1 seconde heeft de auto 1 kubieke meter afgelegd, 
+
+168
+00:10:47,660 --> 00:10:52,240
+na 2 seconden 2 kubieke meter, oftewel 8 meter, enzovoort.
+
+169
+00:10:53,020 --> 00:10:55,261
+Wat ik nu ga doen lijkt misschien wat ingewikkeld, 
+
+170
+00:10:55,261 --> 00:10:58,163
+maar als het stof eenmaal is neergedaald is het echt eenvoudiger, 
+
+171
+00:10:58,163 --> 00:11:01,680
+en belangrijker nog, het is iets wat je maar één keer hoeft te doen in calculus.
+
+172
+00:11:03,100 --> 00:11:07,643
+Stel dat je de snelheid, ds gedeeld door dt, op een bepaald tijdstip wilt berekenen, 
+
+173
+00:11:07,643 --> 00:11:09,300
+bijvoorbeeld t is gelijk aan 2.
+
+174
+00:11:09,940 --> 00:11:13,285
+Laten we voor nu dt beschouwen als een werkelijke grootte, 
+
+175
+00:11:13,285 --> 00:11:16,460
+een concreet duwtje, dat we zo meteen naar 0 laten gaan.
+
+176
+00:11:17,140 --> 00:11:22,498
+De kleine verandering in afstand tussen 2 seconden en 2 plus dt 
+
+177
+00:11:22,498 --> 00:11:27,940
+seconden is s van 2 plus dt min s van 2, en dat delen we door dt.
+
+178
+00:11:28,620 --> 00:11:31,832
+Omdat onze functie t in kubus is, ziet die teller 
+
+179
+00:11:31,832 --> 00:11:34,660
+eruit als 2 plus dt in kubus min 2 in kubus.
+
+180
+00:11:35,260 --> 00:11:38,100
+En dit kunnen we algebraïsch uitwerken.
+
+181
+00:11:38,100 --> 00:11:42,320
+Nogmaals, heb geduld met me, er is een reden waarom ik je hier de details laat zien.
+
+182
+00:11:42,800 --> 00:11:49,979
+Als je die top uitzet, krijg je 2 kubus plus 3 keer 2 kwadraat dt plus 
+
+183
+00:11:49,979 --> 00:11:57,260
+3 keer 2 keer dt kwadraat plus dt kubus, en dat is allemaal min 2 kubus.
+
+184
+00:11:58,380 --> 00:12:01,611
+Nu zijn er veel termen, en ik wil dat je onthoudt dat het een rommeltje lijkt, 
+
+185
+00:12:01,611 --> 00:12:02,880
+maar dat het wel vereenvoudigt.
+
+186
+00:12:03,780 --> 00:12:05,900
+Die 2 gekubde termen heffen elkaar op.
+
+187
+00:12:06,520 --> 00:12:11,512
+Alles wat hier overblijft heeft een dt, en omdat er een dt op de bodem staat, 
+
+188
+00:12:11,512 --> 00:12:13,560
+heffen veel van die dt's ook op.
+
+189
+00:12:14,280 --> 00:12:19,638
+Wat dit betekent is dat de verhouding ds gedeeld door dt is teruggebracht tot 
+
+190
+00:12:19,638 --> 00:12:24,860
+3 keer 2 kwadraat plus 2 verschillende termen die elk een dt in zich hebben.
+
+191
+00:12:25,580 --> 00:12:28,513
+Dus als we ons afvragen wat er gebeurt als dt de 0 nadert, 
+
+192
+00:12:28,513 --> 00:12:32,094
+wat staat voor het idee van een steeds kleinere verandering in de tijd, 
+
+193
+00:12:32,094 --> 00:12:34,680
+kunnen we die andere termen gewoon volledig negeren.
+
+194
+00:12:36,100 --> 00:12:39,504
+Door de noodzaak om na te denken over een specifieke dt te elimineren, 
+
+195
+00:12:39,504 --> 00:12:43,100
+hebben we veel van de complicatie in de volledige uitdrukking geëlimineerd.
+
+196
+00:12:43,880 --> 00:12:47,360
+Dus wat we overhouden is deze mooie 3 keer 2 in het kwadraat.
+
+197
+00:12:48,360 --> 00:12:52,725
+Je kunt dit zo zien dat de helling van een raaklijn aan het punt op t gelijk 
+
+198
+00:12:52,725 --> 00:12:56,920
+is aan 2 van deze grafiek precies 3 keer 2 in het kwadraat is, oftewel 12.
+
+199
+00:12:57,820 --> 00:13:01,060
+En natuurlijk is er niets bijzonders aan de tijd t is gelijk aan 2.
+
+200
+00:13:01,560 --> 00:13:04,534
+We zouden meer in het algemeen kunnen zeggen dat de 
+
+201
+00:13:04,534 --> 00:13:08,080
+afgeleide van t gekubd als functie van t 3 keer t kwadraat is.
+
+202
+00:13:10,740 --> 00:13:13,220
+Neem nu een stap terug, want dat is prachtig.
+
+203
+00:13:13,820 --> 00:13:16,280
+Het afgeleide is een gek ingewikkeld idee.
+
+204
+00:13:16,600 --> 00:13:20,171
+We hebben piepkleine veranderingen in afstand over piepkleine veranderingen in tijd, 
+
+205
+00:13:20,171 --> 00:13:22,777
+maar in plaats van te kijken naar een specifieke verandering, 
+
+206
+00:13:22,777 --> 00:13:24,500
+hebben we het over wat dat ding benadert.
+
+207
+00:13:24,500 --> 00:13:26,980
+Ik bedoel, dat is veel om over na te denken.
+
+208
+00:13:27,640 --> 00:13:31,560
+En toch hebben we zo'n eenvoudige uitdrukking gevonden, 3 keer t in het kwadraat.
+
+209
+00:13:32,960 --> 00:13:36,060
+En in de praktijk zou je niet elke keer al deze algebra hoeven te doen.
+
+210
+00:13:36,420 --> 00:13:39,013
+Weten dat de afgeleide van t kubiek 3t kwadraat is, 
+
+211
+00:13:39,013 --> 00:13:43,153
+is een van die dingen die alle calculusstudenten meteen leren zonder het elke keer 
+
+212
+00:13:43,153 --> 00:13:44,500
+opnieuw te moeten afleiden.
+
+213
+00:13:45,060 --> 00:13:48,367
+En in de volgende video laat ik je een mooie manier zien om over deze en een 
+
+214
+00:13:48,367 --> 00:13:51,760
+paar andere afgeleide formules na te denken op echt mooie meetkundige manieren.
+
+215
+00:13:52,500 --> 00:13:56,269
+Maar het punt dat ik wil maken door je alle algebraïsche lef hier te laten zien, 
+
+216
+00:13:56,269 --> 00:14:00,225
+is dat als je de minieme verandering in afstand beschouwt die wordt veroorzaakt door 
+
+217
+00:14:00,225 --> 00:14:03,343
+een minieme verandering in tijd voor een specifieke waarde van dt, 
+
+218
+00:14:03,343 --> 00:14:04,600
+je een soort puinhoop hebt.
+
+219
+00:14:05,260 --> 00:14:08,976
+Maar als je bedenkt wat die verhouding benadert als dt de 0 nadert, 
+
+220
+00:14:08,976 --> 00:14:13,020
+kun je veel van die rommel negeren en wordt het probleem echt eenvoudiger.
+
+221
+00:14:13,780 --> 00:14:16,720
+Dat is zo'n beetje de kern van het nut van calculus.
+
+222
+00:14:18,020 --> 00:14:21,531
+Een andere reden om je een concrete afgeleide als deze te laten zien is 
+
+223
+00:14:21,531 --> 00:14:25,042
+dat het een voorbeeld geeft van het soort paradoxen dat ontstaat als je 
+
+224
+00:14:25,042 --> 00:14:28,700
+te veel gelooft in de illusie van ogenblikkelijke snelheid van verandering.
+
+225
+00:14:30,000 --> 00:14:34,387
+Denk dus aan de werkelijke auto die rijdt volgens deze t-gekubde afstandsfunctie 
+
+226
+00:14:34,387 --> 00:14:38,720
+en bekijk de beweging op het moment dat t gelijk is aan 0, precies bij de start.
+
+227
+00:14:39,700 --> 00:14:43,380
+Vraag jezelf nu af of de auto op dat moment wel of niet beweegt.
+
+228
+00:14:45,560 --> 00:14:50,295
+Aan de ene kant kunnen we de snelheid op dat punt berekenen met behulp van de afgeleide, 
+
+229
+00:14:50,295 --> 00:14:53,700
+3t kwadraat, die voor de tijd t gelijk is aan 0 gelijk is aan 0.
+
+230
+00:14:54,780 --> 00:14:59,674
+Visueel betekent dit dat de raaklijn aan de grafiek op dat punt perfect vlak is, 
+
+231
+00:14:59,674 --> 00:15:03,179
+dus de quote-unquote momentane snelheid van de auto is 0, 
+
+232
+00:15:03,179 --> 00:15:06,140
+en dat suggereert dat hij duidelijk niet beweegt.
+
+233
+00:15:07,160 --> 00:15:10,279
+Maar aan de andere kant, als het niet begint te bewegen op het tijdstip 0, 
+
+234
+00:15:10,279 --> 00:15:11,860
+wanneer begint het dan wel te bewegen?
+
+235
+00:15:12,580 --> 00:15:14,540
+Sta daar echt even bij stil.
+
+236
+00:15:15,100 --> 00:15:17,780
+Beweegt de auto op tijdstip t gelijk aan 0?
+
+237
+00:15:22,600 --> 00:15:23,380
+Zie je de paradox?
+
+238
+00:15:24,260 --> 00:15:26,000
+Het probleem is dat de vraag nergens op slaat.
+
+239
+00:15:26,540 --> 00:15:30,440
+Het verwijst naar het idee van verandering in een moment, maar dat bestaat eigenlijk niet.
+
+240
+00:15:30,860 --> 00:15:32,600
+Dat is gewoon niet wat de afgeleide meet.
+
+241
+00:15:33,480 --> 00:15:37,343
+Wat het betekent als de afgeleide van een afstandsfunctie 0 is, 
+
+242
+00:15:37,343 --> 00:15:42,173
+is dat de beste constante benadering voor de snelheid van de auto rond dat punt 
+
+243
+00:15:42,173 --> 00:15:43,320
+0 m per seconde is.
+
+244
+00:15:44,080 --> 00:15:47,554
+Als je bijvoorbeeld kijkt naar een werkelijke verandering in tijd, 
+
+245
+00:15:47,554 --> 00:15:51,080
+bijvoorbeeld tussen tijd 0 en 0,1 seconden, dan beweegt de auto wel.
+
+246
+00:15:51,500 --> 00:15:53,700
+Het beweegt 0,001 m.
+
+247
+00:15:54,600 --> 00:15:59,021
+Dat is erg klein, en nog belangrijker, het is erg klein vergeleken met de verandering 
+
+248
+00:15:59,021 --> 00:16:02,980
+in tijd, wat een gemiddelde snelheid van slechts 0,01 m per seconde oplevert.
+
+249
+00:16:03,680 --> 00:16:08,025
+En onthoud, wat het betekent dat de afgeleide van deze beweging 0 is, 
+
+250
+00:16:08,025 --> 00:16:11,004
+is dat voor steeds kleinere duwtjes in de tijd, 
+
+251
+00:16:11,004 --> 00:16:13,860
+deze verhouding van m per seconde de 0 nadert.
+
+252
+00:16:14,840 --> 00:16:16,720
+Maar dat wil niet zeggen dat de auto statisch is.
+
+253
+00:16:17,540 --> 00:16:20,233
+Het benaderen van zijn beweging met een constante 
+
+254
+00:16:20,233 --> 00:16:22,820
+snelheid van 0 is immers slechts een benadering.
+
+255
+00:16:24,340 --> 00:16:28,719
+Dus wanneer je mensen hoort verwijzen naar de afgeleide als een momentane snelheid van 
+
+256
+00:16:28,719 --> 00:16:31,790
+verandering, een uitdrukking die intrinsiek oxymoronisch is, 
+
+257
+00:16:31,790 --> 00:16:36,270
+wil ik dat je dat ziet als een conceptueel steno voor de beste constante benadering voor 
+
+258
+00:16:36,270 --> 00:16:37,680
+de snelheid van verandering.
+
+259
+00:16:39,180 --> 00:16:41,719
+In de volgende video's zal ik het meer hebben over de afgeleide, 
+
+260
+00:16:41,719 --> 00:16:44,766
+hoe die er in verschillende contexten uitziet, hoe je hem eigenlijk berekent, 
+
+261
+00:16:44,766 --> 00:16:47,735
+waarom hij nuttig is, dat soort dingen, waarbij ik me zoals altijd richt op 
+
+262
+00:16:47,735 --> 00:16:48,400
+visuele intuïtie.
+
diff --git a/2017/derivatives/dutch/description.json b/2017/derivatives/dutch/description.json
new file mode 100644
index 000000000..6d6162a3d
--- /dev/null
+++ b/2017/derivatives/dutch/description.json
@@ -0,0 +1,52 @@
+[
+ {
+  "input": "What is an \"instantaneous rate of change\" when change happens across time?",
+  "translatedText": "Wat is een \"ogenblikkelijke snelheid van verandering\" als verandering in de tijd plaatsvindt?",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "Help fund future projects: https://www.patreon.com/3blue1brown",
+  "translatedText": "Help toekomstige projecten financieren: https://www.patreon.com/3blue1brown",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "This video was supported in part by Art of Problem Solving: https://aops.com/3blue1brown",
+  "translatedText": "Deze video is mede mogelijk gemaakt door Art of Problem Solving: https://aops.com/3blue1brown",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "An equally valuable form of support is to simply share some of the videos.",
+  "translatedText": "Een even waardevolle vorm van ondersteuning is het delen van een aantal video's.",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "Special thanks to these supporters: http://3b1b.co/lessons/derivatives#thanks",
+  "translatedText": "Speciale dank aan deze supporters: http://3b1b.co/lessons/derivatives#thanks",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "Home page: https://www.3blue1brown.com/",
+  "translatedText": "Startpagina: https://www.3blue1brown.com/",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "",
+  "translatedText": "",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "Note, to illustrate my point for the target audience of a new calculus student, I discussed a hypothetical speedometer that makes distance measurements over a very small time.  Interestingly, most actual speedometers in modern cars work by analyzing the induced current of a spinning magnet, which is in some sense the universe implementing the derivative.",
+  "translatedText": "Opmerking: om mijn punt te illustreren voor de doelgroep van een nieuwe calculusstudent, besprak ik een hypothetische snelheidsmeter die afstandsmetingen doet over een zeer kleine tijd.  Interessant genoeg werken de meeste werkelijke snelheidsmeters in moderne auto's door de geïnduceerde stroom van een draaiende magneet te analyseren, wat in zekere zin het universum is dat de afgeleide uitvoert.",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "",
+  "translatedText": "",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "",
+  "translatedText": "",
+  "model": "DeepL"
+ }
+]
\ No newline at end of file
diff --git a/2017/derivatives/dutch/sentence_translations.json b/2017/derivatives/dutch/sentence_translations.json
new file mode 100644
index 000000000..df0f41caa
--- /dev/null
+++ b/2017/derivatives/dutch/sentence_translations.json
@@ -0,0 +1,1208 @@
+[
+ {
+  "input": "The goal here is simple, explain what a derivative is.",
+  "translatedText": "Het doel hier is eenvoudig, uitleggen wat een afgeleide is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   15.26,
+   18.96
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The thing is though, there's some subtlety to this topic, and a lot of potential for paradoxes if you're not careful.",
+  "translatedText": "Het punt is echter dat er enige subtiliteit in dit onderwerp zit, en veel potentieel voor paradoxen als je niet voorzichtig bent.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   19.16,
+   24.2
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So a secondary goal is that you have an appreciation for what those paradoxes are and how to avoid them.",
+  "translatedText": "Een secundair doel is dus dat je begrijpt wat die paradoxen zijn en hoe je ze kunt vermijden.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   24.78,
+   30.22
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "You see, it's common for people to say that the derivative measures an instantaneous rate of change, but when you think about it, that phrase is actually an oxymoron.",
+  "translatedText": "Mensen zeggen vaak dat de afgeleide een ogenblikkelijke verandering meet, maar als je erover nadenkt is dat eigenlijk een oxymoron.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   31.22,
+   39.76
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Change is something that happens between separate points in time, and when you blind yourself to all but just a single instant, there's not really any room for change.",
+  "translatedText": "Verandering is iets dat gebeurt tussen afzonderlijke punten in de tijd, en als je jezelf blind maakt voor alles behalve een enkel moment, is er niet echt ruimte voor verandering.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   40.24,
+   48.6
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "You'll see what I mean more as we get into it, but when you appreciate that a phrase like instantaneous rate of change is actually nonsense, I think it makes you appreciate just how clever the fathers of calculus were in capturing the idea that phrase is meant to evoke, but with a perfectly sensible piece of math, the derivative.",
+  "translatedText": "Je zult zien wat ik bedoel als we er dieper op ingaan, maar als je begrijpt dat een uitdrukking als momentane snelheid van verandering eigenlijk onzin is, denk ik dat je daardoor gaat inzien hoe slim de vaders van de calculus waren in het vastleggen van het idee dat die uitdrukking moet oproepen, maar dan met een volkomen zinnig stukje wiskunde, de afgeleide.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   49.5,
+   65.98
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "As our central example, I want you to imagine a car that starts at some point A, speeds up, and then slows down to a stop at some point B 100 meters away, and let's say it all happens over the course of 10 seconds.",
+  "translatedText": "Als ons centrale voorbeeld wil ik dat je je een auto voorstelt die start op een punt A, versnelt en dan afremt tot stilstand op een punt B 100 meter verderop, en laten we zeggen dat dit allemaal gebeurt in de loop van 10 seconden.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   67.54,
+   79.0
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That's the setup to have in mind as we lay out what the derivative is.",
+  "translatedText": "Dat is de opzet die je in gedachten moet houden als we uitleggen wat het afgeleide product is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   80.52,
+   83.9
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Well, we could graph this motion, letting the vertical axis represent the distance traveled, and the horizontal axis represent time, so at each time t, represented with a point somewhere on the horizontal axis, the height of the graph tells us how far the car has traveled in total after that amount of time.",
+  "translatedText": "We kunnen deze beweging grafisch weergeven, waarbij de verticale as de afgelegde afstand voorstelt en de horizontale as de tijd, dus op elk tijdstip t, weergegeven met een punt ergens op de horizontale as, vertelt de hoogte van de grafiek ons hoe ver de auto in totaal heeft afgelegd na die tijd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   83.9,
+   105.54
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It's pretty common to name a distance function like this s of t.",
+  "translatedText": "Het is vrij gebruikelijk om een afstandsfunctie als deze s of t te noemen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   106.76,
+   110.16
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I would use the letter d for distance, but that guy already has another full time job in calculus.",
+  "translatedText": "Ik zou de letter d gebruiken voor afstand, maar die man heeft al een andere fulltime baan in calculus.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   110.16,
+   115.36
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Initially, the curve is quite shallow, since the car is slow to start.",
+  "translatedText": "Aanvankelijk is de bocht vrij ondiep, omdat de auto langzaam op gang komt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   116.5,
+   119.76
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "During that first second, the distance it travels doesn't change that much.",
+  "translatedText": "Tijdens die eerste seconde verandert er niet veel aan de afstand die het aflegt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   120.28,
+   124.34
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For the next few seconds, as the car speeds up, the distance traveled in a given second gets larger, which corresponds to a steeper slope in this graph.",
+  "translatedText": "In de volgende paar seconden, als de auto sneller rijdt, wordt de afstand die in een bepaalde seconde wordt afgelegd groter, wat overeenkomt met een steilere helling in deze grafiek.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   124.98,
+   133.22
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Then towards the end, when it slows down, that curve shallows out again.",
+  "translatedText": "Tegen het einde, als het langzamer gaat, wordt die curve weer ondieper.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   133.8,
+   137.52
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "If we were to plot the car's velocity in meters per second as a function of time, it might look like this bump.",
+  "translatedText": "Als we de snelheid van de auto in meters per seconde uitzetten als functie van de tijd, zou het er als volgt uit kunnen zien.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   140.76,
+   147.2
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "At early times, the velocity is very small.",
+  "translatedText": "In het begin is de snelheid erg klein.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   147.86,
+   150.0
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Up to the middle of the journey, the car builds up to some maximum velocity, covering a relatively large distance each second.",
+  "translatedText": "Tot het midden van de reis bouwt de auto een bepaalde maximumsnelheid op, waarbij elke seconde een relatief grote afstand wordt afgelegd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   150.46,
+   156.62
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Then it slows back down towards a speed of zero.",
+  "translatedText": "Daarna vertraagt het weer naar een snelheid van nul.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   157.66,
+   159.92
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "These two curves are definitely related to each other.",
+  "translatedText": "Deze twee curven zijn zeker aan elkaar gerelateerd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   161.38,
+   164.18
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "If you change the specific distance vs.",
+  "translatedText": "Als je de specifieke afstand vs.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   164.84,
+   167.16
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "time function, you'll have some different velocity vs.",
+  "translatedText": "tijdfunctie, heb je een aantal verschillende snelheden vs.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   167.26,
+   170.3
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "time function.",
+  "translatedText": "tijdfunctie.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   170.42,
+   171.08
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "What we want to understand is the specifics of that relationship.",
+  "translatedText": "Wat we willen begrijpen zijn de specifieke kenmerken van die relatie.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   171.76,
+   175.04
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Exactly how does velocity depend on a distance vs.",
+  "translatedText": "Hoe hangt snelheid precies af van een afstand vs.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   175.68,
+   179.1
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "time function?",
+  "translatedText": "tijdfunctie?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   179.4,
+   179.82
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "To do that, it's worth taking a moment to think critically about what exactly velocity means here.",
+  "translatedText": "Om dat te doen, is het de moeite waard om even kritisch na te denken over wat snelheid hier precies betekent.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   181.94,
+   187.54
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Intuitively, we all might know what velocity at a given moment means, it's just whatever the car's speedometer shows in that moment.",
+  "translatedText": "Intuïtief weten we allemaal wat snelheid op een bepaald moment betekent, het is gewoon wat de snelheidsmeter van de auto op dat moment aangeeft.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   188.38,
+   194.98
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Intuitively, it might make sense that the car's velocity should be higher at times when this distance function is steeper, when the car traverses more distance per unit time.",
+  "translatedText": "Intuïtief zou het logisch kunnen zijn dat de snelheid van de auto hoger is op momenten dat deze afstandsfunctie steiler is, wanneer de auto meer afstand per tijdseenheid aflegt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   197.18,
+   205.64
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But the funny thing is, velocity at a single moment makes no sense.",
+  "translatedText": "Maar het grappige is dat snelheid op één moment nergens op slaat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   206.7,
+   210.72
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "If I show you a picture of a car, just a snapshot in an instant, and I ask you how fast it's going, you'd have no way of telling me.",
+  "translatedText": "Als ik je een foto van een auto laat zien, slechts een momentopname, en ik vraag je hoe snel hij gaat, dan kun je me dat op geen enkele manier vertellen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   211.36,
+   218.54
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "What you'd need are two separate points in time to compare.",
+  "translatedText": "Wat je nodig hebt zijn twee afzonderlijke punten in de tijd om te vergelijken.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   219.62,
+   222.38
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That way you can compute whatever the change in distance across those times is, divided by the change in time.",
+  "translatedText": "Op die manier kun je berekenen wat de verandering in afstand over die tijdstippen is, gedeeld door de verandering in tijd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   223.18,
+   228.86
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Right?",
+  "translatedText": "Toch?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   229.56,
+   229.74
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I mean, that's what velocity is, it's the distance traveled per unit time.",
+  "translatedText": "Ik bedoel, dat is wat snelheid is, het is de afgelegde afstand per tijdseenheid.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   229.82,
+   234.16
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So how is it that we're looking at a function for velocity that only takes in a single value of t, a single snapshot in time?",
+  "translatedText": "Dus hoe komt het dat we kijken naar een functie voor snelheid die maar één waarde van t, een enkele momentopname in de tijd, meeneemt?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   235.62,
+   242.36
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It's weird, isn't it?",
+  "translatedText": "Het is vreemd, nietwaar?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   242.9,
+   244.28
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "We want to associate individual points in time with a velocity, but actually computing velocity requires comparing two separate points in time.",
+  "translatedText": "We willen individuele punten in de tijd associëren met een snelheid, maar om de snelheid te berekenen moeten we twee afzonderlijke punten in de tijd vergelijken.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   244.28,
+   252.3
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "If that feels strange and paradoxical, good!",
+  "translatedText": "Als dat vreemd en paradoxaal aanvoelt, goed!",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   254.64,
+   257.4
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "You're grappling with the same conflicts that the fathers of calculus did.",
+  "translatedText": "Je worstelt met dezelfde conflicten als de vaders van de calculus.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   257.92,
+   260.96
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And if you want a deep understanding for rates of change, not just for a moving car, but for all sorts of things in science, you're going to need to resolve this apparent paradox.",
+  "translatedText": "En als je een goed begrip wilt krijgen van de snelheid van verandering, niet alleen voor een rijdende auto, maar voor allerlei dingen in de wetenschap, dan zul je deze schijnbare paradox moeten oplossen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   261.38,
+   269.72
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "First, I think it's best to talk about the real world, and then we'll go into a purely mathematical one.",
+  "translatedText": "Ik denk dat het het beste is om eerst over de echte wereld te praten, en dan gaan we naar een puur wiskundige wereld.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   272.2,
+   276.94
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Let's think about what the car's speedometer is probably doing.",
+  "translatedText": "Laten we eens nadenken over wat de snelheidsmeter van de auto waarschijnlijk doet.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   277.54,
+   280.46
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "At some point, say 3 seconds into the journey, the speedometer might measure how far the car goes in a very small amount of time, maybe the distance traveled between 3 seconds and 3.01 seconds.",
+  "translatedText": "Op een bepaald moment, laten we zeggen 3 seconden tijdens de rit, kan de snelheidsmeter meten hoe ver de auto in een heel klein beetje tijd gaat, misschien de afgelegde afstand tussen 3 seconden en 3,01 seconden.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   281.2,
+   292.42
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Then it could compute the speed in meters per second as that tiny distance traversed in meters divided by that tiny time, 0.01 seconds.",
+  "translatedText": "Dan zou het de snelheid in meters per seconde kunnen berekenen als die kleine afgelegde afstand in meters gedeeld door die kleine tijd, 0,01 seconden.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   293.36,
+   301.86
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That is, a physical car just side-steps the paradox and doesn't actually compute speed at a single point in time.",
+  "translatedText": "Dat wil zeggen, een fysieke auto omzeilt de paradox gewoon en berekent niet daadwerkelijk de snelheid op een enkel punt in de tijd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   302.9,
+   308.26
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It computes speed during a very small amount of time.",
+  "translatedText": "Het berekent de snelheid gedurende een zeer korte tijd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   308.78,
+   311.68
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So let's call that difference in time dt, which you might think of as 0.01 seconds, and let's call that resulting difference in distance ds.",
+  "translatedText": "Laten we dat verschil in tijd dt noemen, wat je zou kunnen zien als 0,01 seconden, en laten we dat resulterende verschil in afstand ds noemen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   313.18,
+   322.36
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So the velocity at some point in time is ds divided by dt, the tiny change in distance over the tiny change in time.",
+  "translatedText": "Dus de snelheid op een bepaald moment in de tijd is ds gedeeld door dt, de minieme verandering in afstand over de minieme verandering in tijd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   322.96,
+   330.4
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Graphically, you can imagine zooming in on some point of this distance vs.",
+  "translatedText": "Grafisch kun je je voorstellen dat je inzoomt op een bepaald punt van deze afstand versus.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   331.58,
+   335.34
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "time graph above t equals 3.",
+  "translatedText": "tijdgrafiek boven t is gelijk aan 3.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   335.5,
+   337.68
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That dt is a small step to the right, since time is on the horizontal axis, and that ds is the resulting change in the height of the graph, since the vertical axis represents the distance traveled.",
+  "translatedText": "Dat dt een kleine stap naar rechts is, omdat de tijd op de horizontale as staat, en dat ds de resulterende verandering in de hoogte van de grafiek is, omdat de verticale as de afgelegde afstand voorstelt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   338.56,
+   350.44
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So ds divided by dt is something you can think of as the rise over run slope between two very close points on this graph.",
+  "translatedText": "Dus ds gedeeld door dt is iets wat je kunt zien als de stijging over de helling tussen twee zeer dicht bij elkaar liggende punten op deze grafiek.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   351.22,
+   359.52
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Of course, there's nothing special about the value t equals 3.",
+  "translatedText": "Natuurlijk is er niets speciaals aan de waarde t is gelijk aan 3.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   360.7,
+   363.44
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "We could apply this to any other point in time, so we consider this expression ds over dt to be a function of t, something where I can give you a time t and you can give me back the value of this ratio at that time, the velocity as a function of time.",
+  "translatedText": "We kunnen dit toepassen op elk ander punt in de tijd, dus we beschouwen deze uitdrukking ds over dt als een functie van t, iets waarbij ik jou een tijdstip t kan geven en jij mij de waarde van deze verhouding op dat moment terug kunt geven, de snelheid als functie van de tijd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   363.94,
+   378.88
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For example, when I had the computer draw this bump curve here, the one representing the velocity function, here's what I had the computer actually do.",
+  "translatedText": "Bijvoorbeeld, toen ik de computer deze bump curve hier liet tekenen, die de snelheidsfunctie voorstelt, is dit wat ik de computer eigenlijk liet doen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   379.6,
+   387.24
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "First, I chose a small value for dt, I think in this case it was 0.01.",
+  "translatedText": "Eerst koos ik een kleine waarde voor dt, ik denk dat het in dit geval 0,01 was.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   387.94,
+   392.62
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Then I had the computer look at a whole bunch of times t between 0 and 10, and compute the distance function s at t plus dt, and then subtract off the value of that function at t.",
+  "translatedText": "Daarna liet ik de computer kijken naar een heleboel tijden t tussen 0 en 10, en de afstandsfunctie s berekenen op t plus dt, en dan de waarde van die functie op t aftrekken.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   393.44,
+   404.82
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "In other words, that's the difference in the distance traveled between the given time, t, and the time 0.01 seconds after that.",
+  "translatedText": "Met andere woorden, dat is het verschil in afgelegde afstand tussen het gegeven tijdstip t en het tijdstip 0,01 seconden daarna.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   405.42,
+   413.66
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Then you can just divide that difference by the change in time, dt, and that gives you velocity in meters per second around each point in time.",
+  "translatedText": "Dan kun je dat verschil delen door de verandering in tijd, dt, en dat geeft je de snelheid in meters per seconde rond elk punt in de tijd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   414.52,
+   422.48
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So with a formula like this, you could give the computer any curve representing any distance function s of t, and it could figure out the curve representing velocity.",
+  "translatedText": "Dus met een formule als deze kun je de computer elke kromme geven die staat voor elke afstandsfunctie s van t, en hij kan dan de kromme uitrekenen die staat voor de snelheid.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   424.42,
+   432.92
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Now would be a good time to pause, reflect, and make sure this idea of relating distance to velocity by looking at tiny changes makes sense, because we're going to tackle the paradox of the derivative head on.",
+  "translatedText": "Dit is een goed moment om even te pauzeren, na te denken en ervoor te zorgen dat dit idee om afstand en snelheid aan elkaar te relateren door naar kleine veranderingen te kijken, zinvol is, want we gaan de paradox van de afgeleide recht voor z'n raap aanpakken.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   433.54,
+   445.52
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This idea of ds over dt, a tiny change in the value of the function s divided by the tiny change in the input that caused it, that's almost what a derivative is.",
+  "translatedText": "Dit idee van ds over dt, een kleine verandering in de waarde van de functie s gedeeld door de kleine verandering in de invoer die dit veroorzaakte, dat is bijna wat een afgeleide is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   447.48,
+   458.0
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And even though a car's speedometer will actually look at a change in time, like 0.01 seconds, and even though the drawing program here is looking at an actual change in time, in pure math the derivative is not this ratio ds over dt for a specific choice of dt, instead it's whatever that ratio approaches as your choice for dt approaches 0.",
+  "translatedText": "En ook al kijkt de snelheidsmeter van een auto feitelijk naar een verandering in tijd, zoals 0,01 seconde, en ook al kijkt het tekenprogramma hier naar een feitelijke verandering in tijd, in pure wiskunde is de afgeleide niet deze verhouding ds over dt voor een specifieke keuze van dt, in plaats daarvan is het wat die verhouding benadert als je keuze voor dt de 0 nadert.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   458.7,
+   480.76
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Luckily there is a really nice visual understanding for what it means to ask what this ratio approaches, Remember, for any specific choice of dt, this ratio ds over dt is the slope of a line passing through two separate points on the graph, right?",
+  "translatedText": "Gelukkig is er een heel mooi visueel begrip voor wat het betekent om te vragen wat deze verhouding benadert, Onthoud dat voor elke specifieke keuze van dt, deze verhouding ds over dt de helling is van een lijn die door twee afzonderlijke punten op de grafiek gaat, toch?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   482.54,
+   496.98
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Well as dt approaches 0, and as those two points approach each other, the slope of the line approaches the slope of a line that's tangent to the graph at whatever point t we're looking at.",
+  "translatedText": "Als dt 0 nadert en als die twee punten elkaar naderen, benadert de helling van de lijn de helling van een lijn die raakt aan de grafiek in welk punt t we ook kijken.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   497.74,
+   510.14
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So the true honest-to-goodness pure math derivative is not the rise over run slope between two nearby points on the graph, it's equal to the slope of a line tangent to the graph at a single point.",
+  "translatedText": "Dus de echte pure wiskunde-afgeleide is niet de stijging over de helling tussen twee nabijgelegen punten op de grafiek, maar gelijk aan de helling van een lijn die de grafiek raakt op één punt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   510.58,
+   521.0
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Now notice what I'm not saying, I'm not saying that the derivative is whatever happens when dt is infinitely small, whatever that would mean.",
+  "translatedText": "Let op wat ik niet zeg, ik zeg niet dat de afgeleide is wat er gebeurt als dt oneindig klein is, wat dat ook moge betekenen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   522.36,
+   529.42
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Nor am I saying that you plug in 0 for dt.",
+  "translatedText": "Ik zeg ook niet dat je 0 moet invullen voor dt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   530.0,
+   532.34
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This dt is always a finitely small non-zero value, it's just that it approaches 0 is all.",
+  "translatedText": "Deze dt is altijd een eindig kleine niet-nulwaarde, het is alleen zo dat hij de 0 benadert.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   533.04,
+   538.9
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I think that's really clever.",
+  "translatedText": "Ik vind dat heel slim.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   543.62,
+   544.96
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Even though change in an instant makes no sense, this idea of letting dt approach 0 is a really sneaky backdoor way to talk reasonably about the rate of change at a single point in time.",
+  "translatedText": "Ook al heeft verandering in een oogwenk geen zin, dit idee om dt naar 0 te laten naderen is echt een geniepige achterdeur om redelijkerwijs te praten over de mate van verandering op een enkel punt in de tijd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   545.38,
+   556.38
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Isn't that neat?",
+  "translatedText": "Is dat niet mooi?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   557.02,
+   557.52
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It's kind of flirting with the paradox of change in an instant without ever needing to actually touch it.",
+  "translatedText": "Het is een soort flirten met de paradox van verandering in een oogwenk zonder dat het ooit echt aangeraakt hoeft te worden.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   558.06,
+   562.98
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And it comes with such a nice visual intuition too, as the slope of a tangent line to a single point on the graph.",
+  "translatedText": "En het heeft ook zo'n mooie visuele intuïtie, zoals de helling van een raaklijn aan een enkel punt op de grafiek.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   563.3,
+   568.66
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And because change in an instant still makes no sense, I think it's healthiest for you to think of this slope not as some instantaneous rate of change, but instead as the best constant approximation for a rate of change around a point.",
+  "translatedText": "En omdat verandering in een oogwenk nog steeds geen zin heeft, denk ik dat het voor jou het gezondst is om deze helling niet te zien als een ogenblikkelijke veranderingssnelheid, maar in plaats daarvan als de beste constante benadering voor een veranderingssnelheid rond een punt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   570.16,
+   582.72
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "By the way, it's worth saying a couple words on notation here.",
+  "translatedText": "Het is trouwens de moeite waard om hier een paar woorden te wijden aan de notatie.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   584.34,
+   586.94
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Throughout this video I've been using dt to refer to a tiny change in t with some actual size, and ds to refer to the resulting change in s, which again has an actual size, and this is because that's how I want you to think about them.",
+  "translatedText": "In deze video heb ik dt gebruikt om te verwijzen naar een kleine verandering in t met een werkelijke grootte, en ds om te verwijzen naar de resulterende verandering in s, die ook weer een werkelijke grootte heeft, en dit is omdat ik wil dat je er zo over denkt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   587.34,
+   600.78
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But the convention in calculus is that whenever you're using the letter d like this, you're kind of announcing your intention that eventually you're going to see what happens as dt approaches 0.",
+  "translatedText": "Maar de conventie in calculus is dat wanneer je de letter d op deze manier gebruikt, je als het ware je intentie aankondigt dat je uiteindelijk gaat zien wat er gebeurt als dt de 0 nadert.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   601.66,
+   611.1
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For example, the honest-to-goodness pure math derivative is written as ds divided by dt, even though it's technically not a fraction per se, but whatever that fraction approaches for smaller nudges in t.",
+  "translatedText": "Zo wordt de pure wiskunde-afgeleide in alle eerlijkheid geschreven als ds gedeeld door dt, ook al is het technisch gezien niet per se een breuk, maar wat die breuk ook benadert voor kleinere stappen in t.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   611.92,
+   623.78
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I think a specific example should help here.",
+  "translatedText": "Ik denk dat een specifiek voorbeeld hier zou moeten helpen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   625.78,
+   627.68
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "You might think that asking about what this ratio approaches for smaller and smaller values would make it much more difficult to compute, but weirdly it kind of makes things easier.",
+  "translatedText": "Je zou denken dat vragen naar wat deze verhouding benadert voor steeds kleinere waarden het veel moeilijker zou maken om te berekenen, maar vreemd genoeg maakt het de dingen juist gemakkelijker.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   628.26,
+   637.5
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Let's say you have a given distance vs time function that happens to be exactly t cubed.",
+  "translatedText": "Laten we zeggen dat je een bepaalde afstand-tijdfunctie hebt die toevallig precies t-kwadraat is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   638.2,
+   643.16
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So after 1 second the car has traveled 1 cubed equals 1 meters, after 2 seconds it's traveled 2 cubed, or 8 meters, and so on.",
+  "translatedText": "Dus na 1 seconde heeft de auto 1 kubieke meter afgelegd, na 2 seconden 2 kubieke meter, oftewel 8 meter, enzovoort.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   643.16,
+   652.24
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Now what I'm about to do might seem somewhat complicated, but once the dust settles it really is simpler, and more importantly it's the kind of thing you only ever have to do once in calculus.",
+  "translatedText": "Wat ik nu ga doen lijkt misschien wat ingewikkeld, maar als het stof eenmaal is neergedaald is het echt eenvoudiger, en belangrijker nog, het is iets wat je maar één keer hoeft te doen in calculus.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   653.02,
+   661.68
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Let's say you wanted to compute the velocity, ds divided by dt, at some specific time, like t equals 2.",
+  "translatedText": "Stel dat je de snelheid, ds gedeeld door dt, op een bepaald tijdstip wilt berekenen, bijvoorbeeld t is gelijk aan 2.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   663.1,
+   669.3
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For right now let's think of dt as having an actual size, some concrete nudge, we'll let it go to 0 in just a bit.",
+  "translatedText": "Laten we voor nu dt beschouwen als een werkelijke grootte, een concreet duwtje, dat we zo meteen naar 0 laten gaan.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   669.94,
+   676.46
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The tiny change in distance between 2 seconds and 2 plus dt seconds is s of 2 plus dt minus s of 2, and we divide that by dt.",
+  "translatedText": "De kleine verandering in afstand tussen 2 seconden en 2 plus dt seconden is s van 2 plus dt min s van 2, en dat delen we door dt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   677.14,
+   687.94
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Since our function is t cubed, that numerator looks like 2 plus dt cubed minus 2 cubed.",
+  "translatedText": "Omdat onze functie t in kubus is, ziet die teller eruit als 2 plus dt in kubus min 2 in kubus.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   688.62,
+   694.66
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And this is something we can work out algebraically.",
+  "translatedText": "En dit kunnen we algebraïsch uitwerken.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   695.26,
+   698.1
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Again, bear with me, there's a reason I'm showing you the details here.",
+  "translatedText": "Nogmaals, heb geduld met me, er is een reden waarom ik je hier de details laat zien.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   698.1,
+   702.32
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "When you expand that top, what you get is 2 cubed plus 3 times 2 squared dt plus 3 times 2 times dt squared plus dt cubed, and all of that is minus 2 cubed.",
+  "translatedText": "Als je die top uitzet, krijg je 2 kubus plus 3 keer 2 kwadraat dt plus 3 keer 2 keer dt kwadraat plus dt kubus, en dat is allemaal min 2 kubus.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   702.8,
+   717.26
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Now there's a lot of terms, and I want you to remember that it looks like a mess, but it does simplify.",
+  "translatedText": "Nu zijn er veel termen, en ik wil dat je onthoudt dat het een rommeltje lijkt, maar dat het wel vereenvoudigt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   718.38,
+   722.88
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Those 2 cubed terms cancel out.",
+  "translatedText": "Die 2 gekubde termen heffen elkaar op.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   723.78,
+   725.9
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Everything remaining here has a dt in it, and since there's a dt on the bottom there, many of those cancel out as well.",
+  "translatedText": "Alles wat hier overblijft heeft een dt, en omdat er een dt op de bodem staat, heffen veel van die dt's ook op.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   726.52,
+   733.56
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "What this means is that the ratio ds divided by dt has boiled down into 3 times 2 squared plus 2 different terms that each have a dt in them.",
+  "translatedText": "Wat dit betekent is dat de verhouding ds gedeeld door dt is teruggebracht tot 3 keer 2 kwadraat plus 2 verschillende termen die elk een dt in zich hebben.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   734.28,
+   744.86
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So if we ask what happens as dt approaches 0, representing the idea of looking at a smaller and smaller change in time, we can just completely ignore those other terms.",
+  "translatedText": "Dus als we ons afvragen wat er gebeurt als dt de 0 nadert, wat staat voor het idee van een steeds kleinere verandering in de tijd, kunnen we die andere termen gewoon volledig negeren.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   745.58,
+   754.68
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "By eliminating the need to think about a specific dt, we've eliminated a lot of the complication in the full expression.",
+  "translatedText": "Door de noodzaak om na te denken over een specifieke dt te elimineren, hebben we veel van de complicatie in de volledige uitdrukking geëlimineerd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   756.1,
+   763.1
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So what we're left with is this nice clean 3 times 2 squared.",
+  "translatedText": "Dus wat we overhouden is deze mooie 3 keer 2 in het kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   763.88,
+   767.36
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "You can think of that as meaning that the slope of a line tangent to the point at t equals 2 of this graph is exactly 3 times 2 squared, or 12.",
+  "translatedText": "Je kunt dit zo zien dat de helling van een raaklijn aan het punt op t gelijk is aan 2 van deze grafiek precies 3 keer 2 in het kwadraat is, oftewel 12.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   768.36,
+   776.92
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And of course, there's nothing special about the time t equals 2.",
+  "translatedText": "En natuurlijk is er niets bijzonders aan de tijd t is gelijk aan 2.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   777.82,
+   781.06
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "We could more generally say that the derivative of t cubed as a function of t is 3 times t squared.",
+  "translatedText": "We zouden meer in het algemeen kunnen zeggen dat de afgeleide van t gekubd als functie van t 3 keer t kwadraat is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   781.56,
+   788.08
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Now take a step back, because that's beautiful.",
+  "translatedText": "Neem nu een stap terug, want dat is prachtig.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   790.74,
+   793.22
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The derivative is this crazy complicated idea.",
+  "translatedText": "Het afgeleide is een gek ingewikkeld idee.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   793.82,
+   796.28
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "We've got tiny changes in distance over tiny changes in time, but instead of looking at any specific one of those, we're talking about what that thing approaches.",
+  "translatedText": "We hebben piepkleine veranderingen in afstand over piepkleine veranderingen in tijd, maar in plaats van te kijken naar een specifieke verandering, hebben we het over wat dat ding benadert.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   796.6,
+   804.5
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I mean, that's a lot to think about.",
+  "translatedText": "Ik bedoel, dat is veel om over na te denken.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   804.5,
+   806.98
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And yet what we've come out with is such a simple expression, 3 times t squared.",
+  "translatedText": "En toch hebben we zo'n eenvoudige uitdrukking gevonden, 3 keer t in het kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   807.64,
+   811.56
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And in practice, you wouldn't go through all this algebra each time.",
+  "translatedText": "En in de praktijk zou je niet elke keer al deze algebra hoeven te doen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   812.96,
+   816.06
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Knowing that the derivative of t cubed is 3t squared is one of those things that all calculus students learn how to do immediately without having to re-derive it each time.",
+  "translatedText": "Weten dat de afgeleide van t kubiek 3t kwadraat is, is een van die dingen die alle calculusstudenten meteen leren zonder het elke keer opnieuw te moeten afleiden.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   816.42,
+   824.5
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And in the next video, I'm going to show you a nice way to think about this and a couple other derivative formulas in really nice geometric ways.",
+  "translatedText": "En in de volgende video laat ik je een mooie manier zien om over deze en een paar andere afgeleide formules na te denken op echt mooie meetkundige manieren.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   825.06,
+   831.76
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But the point I want to make by showing you all of the algebraic guts here is that when you consider the tiny change in distance caused by a tiny change in time for some specific value of dt, you'd have kind of a mess.",
+  "translatedText": "Maar het punt dat ik wil maken door je alle algebraïsche lef hier te laten zien, is dat als je de minieme verandering in afstand beschouwt die wordt veroorzaakt door een minieme verandering in tijd voor een specifieke waarde van dt, je een soort puinhoop hebt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   832.5,
+   844.6
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But when you consider what that ratio approaches as dt approaches 0, it lets you ignore much of that mess, and it really does simplify the problem.",
+  "translatedText": "Maar als je bedenkt wat die verhouding benadert als dt de 0 nadert, kun je veel van die rommel negeren en wordt het probleem echt eenvoudiger.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   845.26,
+   853.02
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That right there is kind of the heart of why calculus becomes useful.",
+  "translatedText": "Dat is zo'n beetje de kern van het nut van calculus.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   853.78,
+   856.72
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Another reason to show you a concrete derivative like this is that it sets the stage for an example of the kind of paradoxes that come about if you believe too much in the illusion of instantaneous rate of change.",
+  "translatedText": "Een andere reden om je een concrete afgeleide als deze te laten zien is dat het een voorbeeld geeft van het soort paradoxen dat ontstaat als je te veel gelooft in de illusie van ogenblikkelijke snelheid van verandering.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   858.02,
+   868.7
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So think about the actual car traveling according to this t cubed distance function, and consider its motion at the moment t equals 0, right at the start.",
+  "translatedText": "Denk dus aan de werkelijke auto die rijdt volgens deze t-gekubde afstandsfunctie en bekijk de beweging op het moment dat t gelijk is aan 0, precies bij de start.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   870.0,
+   878.72
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Now ask yourself whether or not the car is moving at that time.",
+  "translatedText": "Vraag jezelf nu af of de auto op dat moment wel of niet beweegt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   879.7,
+   883.38
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "On the one hand, we can compute its speed at that point using the derivative, 3t squared, which for time t equals 0 works out to be 0.",
+  "translatedText": "Aan de ene kant kunnen we de snelheid op dat punt berekenen met behulp van de afgeleide, 3t kwadraat, die voor de tijd t gelijk is aan 0 gelijk is aan 0.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   885.56,
+   893.7
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Visually, this means that the tangent line to the graph at that point is perfectly flat, so the car's quote-unquote instantaneous velocity is 0, and that suggests that obviously it's not moving.",
+  "translatedText": "Visueel betekent dit dat de raaklijn aan de grafiek op dat punt perfect vlak is, dus de quote-unquote momentane snelheid van de auto is 0, en dat suggereert dat hij duidelijk niet beweegt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   894.78,
+   906.14
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But on the other hand, if it doesn't start moving at time 0, when does it start moving?",
+  "translatedText": "Maar aan de andere kant, als het niet begint te bewegen op het tijdstip 0, wanneer begint het dan wel te bewegen?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   907.16,
+   911.86
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Really, pause and ponder that for a moment.",
+  "translatedText": "Sta daar echt even bij stil.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   912.58,
+   914.54
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Is the car moving at time t equals 0?",
+  "translatedText": "Beweegt de auto op tijdstip t gelijk aan 0?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   915.1,
+   917.78
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Do you see the paradox?",
+  "translatedText": "Zie je de paradox?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   922.6,
+   923.38
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The issue is that the question makes no sense.",
+  "translatedText": "Het probleem is dat de vraag nergens op slaat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   924.26,
+   926.0
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It references the idea of change in a moment, but that doesn't actually exist.",
+  "translatedText": "Het verwijst naar het idee van verandering in een moment, maar dat bestaat eigenlijk niet.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   926.54,
+   930.44
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That's just not what the derivative measures.",
+  "translatedText": "Dat is gewoon niet wat de afgeleide meet.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   930.86,
+   932.6
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "What it means for the derivative of a distance function to be 0 is that the best constant approximation for the car's velocity around that point is 0 m per second.",
+  "translatedText": "Wat het betekent als de afgeleide van een afstandsfunctie 0 is, is dat de beste constante benadering voor de snelheid van de auto rond dat punt 0 m per seconde is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   933.48,
+   943.32
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For example, if you look at an actual change in time, say between time 0 and 0.1 seconds, the car does move.",
+  "translatedText": "Als je bijvoorbeeld kijkt naar een werkelijke verandering in tijd, bijvoorbeeld tussen tijd 0 en 0,1 seconden, dan beweegt de auto wel.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   944.08,
+   951.08
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It moves 0.001 m.",
+  "translatedText": "Het beweegt 0,001 m.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   951.5,
+   953.7
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That's very small, and importantly, it's very small compared to the change in time, giving an average speed of only 0.01 m per second.",
+  "translatedText": "Dat is erg klein, en nog belangrijker, het is erg klein vergeleken met de verandering in tijd, wat een gemiddelde snelheid van slechts 0,01 m per seconde oplevert.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   954.6,
+   962.98
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And remember, what it means for the derivative of this motion to be 0 is that for smaller and smaller nudges in time, this ratio of m per second approaches 0.",
+  "translatedText": "En onthoud, wat het betekent dat de afgeleide van deze beweging 0 is, is dat voor steeds kleinere duwtjes in de tijd, deze verhouding van m per seconde de 0 nadert.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   963.68,
+   973.86
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But that's not to say that the car is static.",
+  "translatedText": "Maar dat wil niet zeggen dat de auto statisch is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   974.84,
+   976.72
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Approximating its movement with a constant velocity of 0 is, after all, just an approximation.",
+  "translatedText": "Het benaderen van zijn beweging met een constante snelheid van 0 is immers slechts een benadering.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   977.54,
+   982.82
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So whenever you hear people refer to the derivative as an instantaneous rate of change, a phrase which is intrinsically oxymoronic, I want you to think of that as a conceptual shorthand for the best constant approximation for rate of change.",
+  "translatedText": "Dus wanneer je mensen hoort verwijzen naar de afgeleide als een momentane snelheid van verandering, een uitdrukking die intrinsiek oxymoronisch is, wil ik dat je dat ziet als een conceptueel steno voor de beste constante benadering voor de snelheid van verandering.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   984.34,
+   997.68
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "In the next couple videos, I'll be talking more about the derivative, what it looks like in different contexts, how do you actually compute it, why is it useful, things like that, focusing on visual intuition as always.",
+  "translatedText": "In de volgende video's zal ik het meer hebben over de afgeleide, hoe die er in verschillende contexten uitziet, hoe je hem eigenlijk berekent, waarom hij nuttig is, dat soort dingen, waarbij ik me zoals altijd richt op visuele intuïtie.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   999.18,
+   1008.4
+  ]
+ }
+]
\ No newline at end of file
diff --git a/2017/derivatives/dutch/title.json b/2017/derivatives/dutch/title.json
new file mode 100644
index 000000000..06f5f333c
--- /dev/null
+++ b/2017/derivatives/dutch/title.json
@@ -0,0 +1,5 @@
+{
+ "input": "The paradox of the derivative | Chapter 2, Essence of calculus",
+ "translatedText": "De paradox van de afgeleide | Hoofdstuk 2, Essentie van calculus",
+ "model": "DeepL"
+}
\ No newline at end of file
diff --git a/2017/derivatives/english/captions.srt b/2017/derivatives/english/captions.srt
index d1f72f7b9..631e6edbd 100644
--- a/2017/derivatives/english/captions.srt
+++ b/2017/derivatives/english/captions.srt
@@ -359,7 +359,7 @@ and that ds is the resulting change in the height of the graph,
 since the vertical axis represents the distance traveled.
 
 91
-00:05:51,219 --> 00:05:55,472
+00:05:51,220 --> 00:05:55,472
 So ds divided by dt is something you can think of as the rise 
 
 92
@@ -387,7 +387,7 @@ something where I can give you a time t and you can give me back the value of th
 ratio at that time, the velocity as a function of time.
 
 98
-00:06:19,599 --> 00:06:22,838
+00:06:19,600 --> 00:06:22,838
 For example, when I had the computer draw this bump curve here, 
 
 99
@@ -899,7 +899,7 @@ and that suggests that obviously it's not moving.
 But on the other hand, if it doesn't start moving at time 0, when does it start moving?
 
 226
-00:15:12,579 --> 00:15:14,540
+00:15:12,580 --> 00:15:14,540
 Really, pause and ponder that for a moment.
 
 227
diff --git a/2017/essence-of-calculus/dutch/auto_generated.srt b/2017/essence-of-calculus/dutch/auto_generated.srt
new file mode 100644
index 000000000..c0437d239
--- /dev/null
+++ b/2017/essence-of-calculus/dutch/auto_generated.srt
@@ -0,0 +1,1024 @@
+1
+00:00:14,980 --> 00:00:16,460
+Hoi allemaal, Grant hier.
+
+2
+00:00:16,820 --> 00:00:19,952
+Dit is de eerste video in een serie over de essentie van calculus, 
+
+3
+00:00:19,952 --> 00:00:23,600
+en ik zal de volgende video's de komende 10 dagen één keer per dag publiceren.
+
+4
+00:00:24,300 --> 00:00:27,052
+Zoals de naam al doet vermoeden, is het doel hier om de kern van 
+
+5
+00:00:27,052 --> 00:00:29,720
+het onderwerp in één binge-watchable set naar voren te brengen.
+
+6
+00:00:30,320 --> 00:00:32,530
+Maar met een onderwerp dat zo breed is als calculus, 
+
+7
+00:00:32,530 --> 00:00:36,200
+zijn er veel dingen die dat kan betekenen, dus dit is wat ik specifiek in gedachten heb.
+
+8
+00:00:36,940 --> 00:00:39,417
+Calculus heeft veel regels en formules die vaak worden 
+
+9
+00:00:39,417 --> 00:00:41,940
+gepresenteerd als dingen die je uit je hoofd moet leren.
+
+10
+00:00:42,480 --> 00:00:45,562
+Veel afgeleide formules, de productregel, de kettingregel, 
+
+11
+00:00:45,562 --> 00:00:49,951
+impliciete differentiatie, het feit dat integralen en afgeleiden tegengesteld zijn, 
+
+12
+00:00:49,951 --> 00:00:52,460
+Taylorreeksen, gewoon veel van dat soort dingen.
+
+13
+00:00:52,960 --> 00:00:57,080
+En mijn doel is dat je het gevoel krijgt dat je zelf calculus had kunnen uitvinden.
+
+14
+00:00:57,640 --> 00:01:00,455
+Dat wil zeggen, al die kernideeën behandelen, maar op een manier 
+
+15
+00:01:00,455 --> 00:01:03,834
+die duidelijk maakt waar ze eigenlijk vandaan komen en wat ze echt betekenen, 
+
+16
+00:01:03,834 --> 00:01:06,000
+met behulp van een allesomvattende visuele aanpak.
+
+17
+00:01:06,920 --> 00:01:10,571
+Het uitvinden van wiskunde is geen grapje en er is een verschil tussen te horen 
+
+18
+00:01:10,571 --> 00:01:14,040
+krijgen waarom iets waar is en het daadwerkelijk vanuit het niets genereren.
+
+19
+00:01:14,680 --> 00:01:17,684
+Maar op alle punten wil ik dat je bij jezelf te rade gaat: 
+
+20
+00:01:17,684 --> 00:01:21,554
+als je een vroege wiskundige was, die over deze ideeën nadacht en de juiste 
+
+21
+00:01:21,554 --> 00:01:25,323
+diagrammen tekende, voelt het dan redelijk dat je deze waarheden zelf had 
+
+22
+00:01:25,323 --> 00:01:26,240
+kunnen tegenkomen?
+
+23
+00:01:26,820 --> 00:01:30,106
+In deze eerste video wil ik laten zien hoe je kunt struikelen 
+
+24
+00:01:30,106 --> 00:01:33,553
+over de kernideeën van calculus door heel diep na te denken over 
+
+25
+00:01:33,553 --> 00:01:36,840
+één specifiek stukje meetkunde, de oppervlakte van een cirkel.
+
+26
+00:01:37,780 --> 00:01:41,040
+Misschien weet je dat dit pi maal de straal in het kwadraat is, maar waarom?
+
+27
+00:01:41,580 --> 00:01:44,460
+Is er een mooie manier om te bedenken waar deze formule vandaan komt?
+
+28
+00:01:45,420 --> 00:01:49,512
+Als je over dit probleem nadenkt en jezelf openstelt voor de interessante 
+
+29
+00:01:49,512 --> 00:01:53,495
+gedachten die daarbij opkomen, kun je een glimp opvangen van drie grote 
+
+30
+00:01:53,495 --> 00:01:57,920
+ideeën in calculus: integralen, afgeleiden en het feit dat ze tegengesteld zijn.
+
+31
+00:01:59,840 --> 00:02:03,263
+Maar het verhaal begint eenvoudiger, alleen jij en een cirkel, 
+
+32
+00:02:03,263 --> 00:02:04,840
+laten we zeggen met straal 3.
+
+33
+00:02:05,700 --> 00:02:08,780
+Je probeert de oppervlakte ervan te achterhalen en na een heleboel papier 
+
+34
+00:02:08,780 --> 00:02:11,819
+te hebben doorgespit om verschillende manieren te proberen om de stukken 
+
+35
+00:02:11,819 --> 00:02:14,316
+van die oppervlakte op te delen en opnieuw te rangschikken, 
+
+36
+00:02:14,316 --> 00:02:17,396
+waarvan vele tot hun eigen interessante observaties zouden kunnen leiden, 
+
+37
+00:02:17,396 --> 00:02:21,060
+probeer je misschien het idee uit om de cirkel in vele concentrische ringen te verdelen.
+
+38
+00:02:22,000 --> 00:02:25,630
+Dit lijkt veelbelovend omdat het de symmetrie van de cirkel respecteert, 
+
+39
+00:02:25,630 --> 00:02:29,460
+en wiskunde heeft de neiging je te belonen als je de symmetrieën respecteert.
+
+40
+00:02:30,360 --> 00:02:35,060
+Laten we een van die ringen nemen, die een binnenstraal r heeft die tussen 0 en 3 ligt.
+
+41
+00:02:36,220 --> 00:02:39,780
+Als we een mooie uitdrukking kunnen vinden voor de oppervlakte van elke ring zoals deze, 
+
+42
+00:02:39,780 --> 00:02:42,740
+en als we een mooie manier hebben om ze allemaal bij elkaar op te tellen, 
+
+43
+00:02:42,740 --> 00:02:45,500
+kunnen we misschien de oppervlakte van de volledige cirkel begrijpen.
+
+44
+00:02:46,420 --> 00:02:49,120
+Misschien begin je met je voor te stellen hoe je deze ring recht kunt trekken.
+
+45
+00:02:50,800 --> 00:02:54,630
+En je zou kunnen proberen te bedenken wat deze nieuwe vorm precies is en wat de 
+
+46
+00:02:54,630 --> 00:02:58,701
+oppervlakte ervan moet zijn, maar laten we het voor het gemak maar benaderen als een 
+
+47
+00:02:58,701 --> 00:02:59,180
+rechthoek.
+
+48
+00:03:00,180 --> 00:03:04,070
+De breedte van die rechthoek is de omtrek van de oorspronkelijke ring, 
+
+49
+00:03:04,070 --> 00:03:05,440
+die 2 pi maal r is, toch?
+
+50
+00:03:05,860 --> 00:03:08,060
+Ik bedoel, dat is in wezen de definitie van pi.
+
+51
+00:03:08,680 --> 00:03:09,380
+En de dikte?
+
+52
+00:03:10,200 --> 00:03:14,182
+Dat hangt af van hoe fijn je de cirkel in eerste instantie hebt gehakt, 
+
+53
+00:03:14,182 --> 00:03:15,620
+wat nogal willekeurig was.
+
+54
+00:03:16,340 --> 00:03:20,049
+Laten we, in de geest van wat de standaard rekennotatie zal worden, 
+
+55
+00:03:20,049 --> 00:03:24,960
+die dikte dr noemen voor een klein verschil in de straal van de ene ring naar de volgende.
+
+56
+00:03:25,480 --> 00:03:27,880
+Misschien zie je het als zoiets als 0,1.
+
+57
+00:03:28,980 --> 00:03:33,165
+Dus als we deze uitgepakte ring benaderen als een dunne rechthoek, 
+
+58
+00:03:33,165 --> 00:03:37,600
+dan is de oppervlakte 2 pi maal r, de straal, maal dr, de kleine dikte.
+
+59
+00:03:38,600 --> 00:03:42,902
+En ook al is dat niet perfect, voor steeds kleinere keuzes van dr, 
+
+60
+00:03:42,902 --> 00:03:47,141
+wordt dit eigenlijk een steeds betere benadering voor dat gebied, 
+
+61
+00:03:47,141 --> 00:03:52,600
+omdat de boven- en onderkant van deze vorm steeds dichter bij elkaar komen te liggen.
+
+62
+00:03:53,540 --> 00:03:56,165
+Dus laten we gewoon doorgaan met deze benadering, 
+
+63
+00:03:56,165 --> 00:03:58,842
+met in ons achterhoofd dat het een beetje fout is, 
+
+64
+00:03:58,842 --> 00:04:02,360
+maar dat het nauwkeuriger wordt voor steeds kleinere keuzes van dr.
+
+65
+00:04:03,220 --> 00:04:06,400
+Dat wil zeggen, als we de cirkel in steeds dunnere ringen verdelen.
+
+66
+00:04:07,700 --> 00:04:12,568
+Dus om even samen te vatten waar we zijn, je hebt de oppervlakte van de cirkel 
+
+67
+00:04:12,568 --> 00:04:17,190
+opgedeeld in al deze ringen, en je benadert de oppervlakte van elk van die 
+
+68
+00:04:17,190 --> 00:04:21,873
+ringen als 2 pi maal zijn straal maal dr, waarbij de specifieke waarde voor 
+
+69
+00:04:21,873 --> 00:04:26,680
+die binnenste straal varieert van 0 voor de kleinste ring tot iets minder dan 
+
+70
+00:04:26,680 --> 00:04:31,980
+3 voor de grootste ring, met daartussen de dikte die je kiest voor dr, zoiets als 0,1.
+
+71
+00:04:33,140 --> 00:04:37,220
+En merk op dat de afstand tussen de waarden hier overeenkomt met de dikte 
+
+72
+00:04:37,220 --> 00:04:41,300
+dr van elke ring, het verschil in straal van de ene ring naar de volgende.
+
+73
+00:04:42,260 --> 00:04:46,015
+Een mooie manier om te denken over de rechthoeken die de oppervlakte van elke 
+
+74
+00:04:46,015 --> 00:04:49,820
+ring benaderen, is om ze allemaal rechtop naast elkaar langs deze as te leggen.
+
+75
+00:04:50,660 --> 00:04:56,207
+Elk van deze rechthoeken heeft een dikte dr, daarom passen ze zo precies op elkaar, 
+
+76
+00:04:56,207 --> 00:05:01,160
+en de hoogte van elk van deze rechthoeken boven een bepaalde waarde van r, 
+
+77
+00:05:01,160 --> 00:05:04,000
+zoals 0,6, is precies 2 pi maal die waarde.
+
+78
+00:05:04,640 --> 00:05:08,960
+Dat is de omtrek van de overeenkomstige ring die deze rechthoek benadert.
+
+79
+00:05:09,560 --> 00:05:13,180
+Afbeeldingen zoals deze 2 pi r kunnen groot worden voor het scherm, 
+
+80
+00:05:13,180 --> 00:05:17,387
+ik bedoel 2 keer pi keer 3 is ongeveer 19, dus laten we een y-as gebruiken die 
+
+81
+00:05:17,387 --> 00:05:22,180
+een beetje anders geschaald is zodat we al deze rechthoeken op het scherm kunnen plaatsen.
+
+82
+00:05:23,260 --> 00:05:26,400
+Een mooie manier om over deze opstelling na te denken is door de grafiek 
+
+83
+00:05:26,400 --> 00:05:29,540
+van 2 pi r te tekenen, wat een rechte lijn is die een helling 2 pi heeft.
+
+84
+00:05:30,100 --> 00:05:34,800
+Elk van deze rechthoeken strekt zich uit tot het punt waar het net die grafiek raakt.
+
+85
+00:05:36,000 --> 00:05:37,460
+Nogmaals, we zijn hier bij benadering.
+
+86
+00:05:37,900 --> 00:05:40,362
+Elk van deze rechthoeken benadert slechts de oppervlakte 
+
+87
+00:05:40,362 --> 00:05:42,220
+van de corresponderende ring van de cirkel.
+
+88
+00:05:42,940 --> 00:05:46,598
+Maar vergeet niet dat die benadering, 2 pi r maal dr, 
+
+89
+00:05:46,598 --> 00:05:50,800
+steeds minder fout wordt naarmate dr kleiner en kleiner wordt.
+
+90
+00:05:51,800 --> 00:05:54,103
+En dit heeft een hele mooie betekenis als we kijken 
+
+91
+00:05:54,103 --> 00:05:56,540
+naar de som van de oppervlakten van al die rechthoeken.
+
+92
+00:05:57,080 --> 00:06:00,110
+Voor steeds kleinere dr-keuzes zou je in eerste instantie kunnen 
+
+93
+00:06:00,110 --> 00:06:03,140
+denken dat het probleem daardoor een monsterlijk grote som wordt.
+
+94
+00:06:03,600 --> 00:06:06,553
+Ik bedoel, er zijn veel rechthoeken om rekening mee te houden en de decimale 
+
+95
+00:06:06,553 --> 00:06:09,200
+precisie van elk van hun oppervlakten wordt een absolute nachtmerrie.
+
+96
+00:06:10,060 --> 00:06:15,300
+Maar let op, al hun gebieden samen zien er gewoon uit als het gebied onder een grafiek.
+
+97
+00:06:15,980 --> 00:06:19,418
+En dat gedeelte onder de grafiek is gewoon een driehoek, 
+
+98
+00:06:19,418 --> 00:06:23,400
+een driehoek met een basis van 3 en een hoogte die 2 pi maal 3 is.
+
+99
+00:06:24,140 --> 00:06:30,500
+Dus de oppervlakte, 1 halve basis maal hoogte, is precies pi maal 3 in het kwadraat.
+
+100
+00:06:31,360 --> 00:06:35,311
+Of als de straal van onze oorspronkelijke cirkel een andere waarde was, 
+
+101
+00:06:35,311 --> 00:06:38,660
+kapitaal R, dan is die oppervlakte pi maal r in het kwadraat.
+
+102
+00:06:39,380 --> 00:06:41,460
+En dat is de formule voor de oppervlakte van een cirkel.
+
+103
+00:06:42,320 --> 00:06:46,021
+Het maakt niet uit wie je bent of wat je normaal gesproken van wiskunde vindt, 
+
+104
+00:06:46,021 --> 00:06:47,380
+dat is een prachtig argument.
+
+105
+00:06:50,180 --> 00:06:52,289
+Maar als je hier wilt denken als een wiskundige, 
+
+106
+00:06:52,289 --> 00:06:54,872
+dan gaat het je niet alleen om het vinden van het antwoord, 
+
+107
+00:06:54,872 --> 00:06:57,800
+maar ook om het ontwikkelen van algemene hulpmiddelen en technieken 
+
+108
+00:06:57,800 --> 00:06:58,920
+om problemen op te lossen.
+
+109
+00:06:59,680 --> 00:07:03,536
+Neem dus even de tijd om te mediteren over wat er zojuist precies is gebeurd en 
+
+110
+00:07:03,536 --> 00:07:07,682
+waarom het werkte, want de manier waarop we van iets benaderends naar iets preciezers 
+
+111
+00:07:07,682 --> 00:07:11,780
+zijn gegaan is eigenlijk heel subtiel en raakt precies waar het bij calculus om gaat.
+
+112
+00:07:13,820 --> 00:07:18,877
+Je had een probleem dat benaderd kon worden met de som van vele kleine getallen, 
+
+113
+00:07:18,877 --> 00:07:24,060
+die er elk uitzagen als 2 pi r maal dr, voor waarden van r variërend tussen 0 en 3.
+
+114
+00:07:26,600 --> 00:07:31,947
+Onthoud dat het kleine getal dr hier staat voor onze keuze voor de dikte van elke ring, 
+
+115
+00:07:31,947 --> 00:07:32,980
+bijvoorbeeld 0,1.
+
+116
+00:07:33,520 --> 00:07:35,640
+En er zijn hier twee belangrijke dingen op te merken.
+
+117
+00:07:36,080 --> 00:07:40,592
+Allereerst is dr niet alleen een factor in de hoeveelheden die we optellen, 
+
+118
+00:07:40,592 --> 00:07:45,580
+2 pi r maal dr, maar het geeft ook de afstand tussen de verschillende waarden van r.
+
+119
+00:07:46,240 --> 00:07:50,520
+En ten tweede, hoe kleiner onze keuze voor dr, hoe beter de benadering.
+
+120
+00:07:52,200 --> 00:07:54,650
+Het optellen van al deze getallen kan op een andere, 
+
+121
+00:07:54,650 --> 00:07:58,165
+behoorlijk slimme manier worden gezien als het optellen van de oppervlakten 
+
+122
+00:07:58,165 --> 00:08:01,495
+van vele dunne rechthoeken onder een grafiek, de grafiek van de functie 
+
+123
+00:08:01,495 --> 00:08:02,420
+2 pi r in dit geval.
+
+124
+00:08:02,940 --> 00:08:07,418
+Dan, en dit is de sleutel, door steeds kleinere keuzes voor dr te overwegen, 
+
+125
+00:08:07,418 --> 00:08:12,188
+die overeenkomen met steeds betere benaderingen van het oorspronkelijke probleem, 
+
+126
+00:08:12,188 --> 00:08:16,318
+benadert de som, gezien als de totale oppervlakte van die rechthoeken, 
+
+127
+00:08:16,318 --> 00:08:18,180
+de oppervlakte onder de grafiek.
+
+128
+00:08:19,000 --> 00:08:23,250
+En daarom kun je concluderen dat het antwoord op de oorspronkelijke vraag, 
+
+129
+00:08:23,250 --> 00:08:28,066
+in volledige niet-benaderde precisie, precies hetzelfde is als het gebied onder deze 
+
+130
+00:08:28,066 --> 00:08:28,520
+grafiek.
+
+131
+00:08:30,860 --> 00:08:35,146
+Veel andere moeilijke problemen in de wiskunde en de wetenschap kunnen worden 
+
+132
+00:08:35,146 --> 00:08:38,609
+opgesplitst en benaderd als de som van vele kleine grootheden, 
+
+133
+00:08:38,609 --> 00:08:42,840
+zoals uitzoeken hoe ver een auto heeft gereden op basis van zijn snelheid op 
+
+134
+00:08:42,840 --> 00:08:43,940
+elk punt in de tijd.
+
+135
+00:08:44,760 --> 00:08:49,286
+In zo'n geval zou je door veel verschillende punten in de tijd kunnen gaan en op elk 
+
+136
+00:08:49,286 --> 00:08:53,919
+punt de snelheid op dat moment vermenigvuldigen met een kleine verandering in de tijd, 
+
+137
+00:08:53,919 --> 00:08:58,180
+dt, wat de bijbehorende kleine afstand geeft die in die kleine tijd is afgelegd.
+
+138
+00:08:59,260 --> 00:09:02,961
+Ik zal later in de serie de details van dit soort voorbeelden bespreken, 
+
+139
+00:09:02,961 --> 00:09:07,271
+maar op een hoog niveau blijken veel van dit soort problemen gelijk te staan aan het 
+
+140
+00:09:07,271 --> 00:09:11,379
+vinden van de oppervlakte onder een grafiek, op ongeveer dezelfde manier als ons 
+
+141
+00:09:11,379 --> 00:09:12,140
+cirkelprobleem.
+
+142
+00:09:13,200 --> 00:09:15,799
+Dit gebeurt wanneer de hoeveelheden die je optelt, 
+
+143
+00:09:15,799 --> 00:09:18,551
+waarvan de som het oorspronkelijke probleem benadert, 
+
+144
+00:09:18,551 --> 00:09:22,016
+kunnen worden gezien als de oppervlakten van vele dunne rechthoeken 
+
+145
+00:09:22,016 --> 00:09:23,240
+die naast elkaar liggen.
+
+146
+00:09:24,640 --> 00:09:28,029
+Als steeds fijnere benaderingen van het oorspronkelijke probleem 
+
+147
+00:09:28,029 --> 00:09:31,524
+overeenkomen met steeds dunnere ringen, dan is het oorspronkelijke 
+
+148
+00:09:31,524 --> 00:09:35,540
+probleem gelijk aan het vinden van de oppervlakte onder een bepaalde grafiek.
+
+149
+00:09:36,600 --> 00:09:40,286
+Nogmaals, dit is een idee dat we later in de serie in meer detail zullen zien, 
+
+150
+00:09:40,286 --> 00:09:43,180
+dus maak je geen zorgen als het nu nog niet 100% duidelijk is.
+
+151
+00:09:43,780 --> 00:09:47,392
+Het punt is nu dat jij, als wiskundige die net een probleem heeft opgelost 
+
+152
+00:09:47,392 --> 00:09:50,329
+door het te herkaderen als de oppervlakte onder een grafiek, 
+
+153
+00:09:50,329 --> 00:09:54,520
+zou kunnen gaan nadenken over hoe je de oppervlakte onder andere grafieken kunt vinden.
+
+154
+00:09:55,640 --> 00:09:59,723
+Bij het cirkelprobleem hadden we het geluk dat het relevante gebied een driehoek bleek 
+
+155
+00:09:59,723 --> 00:10:03,760
+te zijn, maar stel je in plaats daarvan iets voor als een parabool, de grafiek van x2.
+
+156
+00:10:04,760 --> 00:10:07,838
+Wat is het gebied onder die kromme, zeg maar tussen 
+
+157
+00:10:07,838 --> 00:10:10,680
+de waarden van x gelijk aan 0 en x gelijk aan 3?
+
+158
+00:10:12,080 --> 00:10:14,760
+Nou, het is moeilijk om over na te denken, toch?
+
+159
+00:10:15,220 --> 00:10:18,020
+En laat ik die vraag op een iets andere manier stellen.
+
+160
+00:10:18,020 --> 00:10:23,060
+We zetten het linker eindpunt vast op 0 en laten het rechter eindpunt variëren.
+
+161
+00:10:26,860 --> 00:10:30,295
+Kun je een functie vinden, a van x, die je de 
+
+162
+00:10:30,295 --> 00:10:34,180
+oppervlakte onder deze parabool tussen 0 en x geeft?
+
+163
+00:10:35,620 --> 00:10:39,580
+Een functie a van x als deze heet een integraal van x2.
+
+164
+00:10:40,500 --> 00:10:44,150
+Calculus heeft de hulpmiddelen in zich om uit te vinden wat zo'n integraal is, 
+
+165
+00:10:44,150 --> 00:10:47,200
+maar op dit moment is het gewoon een mysterieuze functie voor ons.
+
+166
+00:10:47,500 --> 00:10:51,159
+We weten dat het de oppervlakte geeft onder de grafiek van x2 tussen een 
+
+167
+00:10:51,159 --> 00:10:54,920
+vast linkerpunt en een variabel rechterpunt, maar we weten niet wat het is.
+
+168
+00:10:55,660 --> 00:10:59,702
+En nogmaals, de reden waarom we ons zorgen maken over dit soort vragen is niet alleen 
+
+169
+00:10:59,702 --> 00:11:02,428
+omwille van het stellen van moeilijke meetkundige vragen, 
+
+170
+00:11:02,428 --> 00:11:06,471
+maar omdat veel praktische problemen die benaderd kunnen worden door een groot aantal 
+
+171
+00:11:06,471 --> 00:11:10,466
+kleine dingen bij elkaar op te tellen, omgebogen kunnen worden tot een vraag over de 
+
+172
+00:11:10,466 --> 00:11:12,300
+oppervlakte onder een bepaalde grafiek.
+
+173
+00:11:13,420 --> 00:11:17,623
+Ik kan je nu al vertellen dat het vinden van dit gebied, deze integraalfunctie, 
+
+174
+00:11:17,623 --> 00:11:21,984
+echt moeilijk is, en wanneer je een echt moeilijke vraag in de wiskunde tegenkomt, 
+
+175
+00:11:21,984 --> 00:11:26,292
+is het een goed beleid om niet te hard te proberen het antwoord direct te vinden, 
+
+176
+00:11:26,292 --> 00:11:29,340
+omdat je dan meestal met je hoofd tegen een muur aanloopt.
+
+177
+00:11:30,080 --> 00:11:33,780
+Speel in plaats daarvan met het idee, zonder een bepaald doel voor ogen.
+
+178
+00:11:34,340 --> 00:11:38,165
+Besteed wat tijd aan het opbouwen van vertrouwdheid met de wisselwerking tussen de 
+
+179
+00:11:38,165 --> 00:11:40,562
+functie die de grafiek definieert, in dit geval x2, 
+
+180
+00:11:40,562 --> 00:11:42,360
+en de functie die de oppervlakte geeft.
+
+181
+00:11:44,090 --> 00:11:48,020
+In die speelse geest, als je geluk hebt, is hier iets wat je zou kunnen opmerken.
+
+182
+00:11:48,580 --> 00:11:52,318
+Als je x een klein beetje verhoogt met dx, kijk dan naar de 
+
+183
+00:11:52,318 --> 00:11:56,182
+resulterende verandering in oppervlakte, weergegeven met deze 
+
+184
+00:11:56,182 --> 00:12:00,420
+splinter die ik da ga noemen voor een klein verschil in oppervlakte.
+
+185
+00:12:01,380 --> 00:12:05,738
+Die splinter kan vrij goed worden benaderd met een rechthoek, 
+
+186
+00:12:05,738 --> 00:12:08,620
+waarvan de hoogte x2 is en de breedte dx.
+
+187
+00:12:09,660 --> 00:12:12,418
+En hoe kleiner de grootte van die nudge dx, hoe meer 
+
+188
+00:12:12,418 --> 00:12:15,020
+die sliver er eigenlijk uitziet als een rechthoek.
+
+189
+00:12:16,800 --> 00:12:18,963
+Dit geeft ons een interessante manier om na te 
+
+190
+00:12:18,963 --> 00:12:21,080
+denken over hoe a van x gerelateerd is aan x2.
+
+191
+00:12:22,000 --> 00:12:25,195
+Een verandering in de uitvoer van a, deze kleine da, 
+
+192
+00:12:25,195 --> 00:12:29,296
+is ongeveer gelijk aan x2, waarbij x de invoer is waarmee je begon, 
+
+193
+00:12:29,296 --> 00:12:34,000
+maal dx, het kleine duwtje in de richting van de invoer waardoor a veranderde.
+
+194
+00:12:34,780 --> 00:12:40,248
+Of anders gerangschikt, da gedeeld door dx, de verhouding van een kleine verandering in 
+
+195
+00:12:40,248 --> 00:12:45,780
+a tot de kleine verandering in x die dit veroorzaakte, is ongeveer wat x2 is op dat punt.
+
+196
+00:12:46,560 --> 00:12:48,690
+En dat is een benadering die steeds beter zou 
+
+197
+00:12:48,690 --> 00:12:50,960
+moeten worden voor steeds kleinere keuzes van dx.
+
+198
+00:12:52,100 --> 00:12:55,640
+Met andere woorden, we weten niet wat a van x is, dat blijft een mysterie.
+
+199
+00:12:56,080 --> 00:12:59,500
+Maar we weten wel een eigenschap die deze mysterieuze functie moet hebben.
+
+200
+00:13:00,160 --> 00:13:05,379
+Als je naar twee nabijgelegen punten kijkt, bijvoorbeeld 3 en 3,001, 
+
+201
+00:13:05,379 --> 00:13:10,900
+kijk dan naar de verandering in de uitgang van a tussen die twee punten, 
+
+202
+00:13:10,900 --> 00:13:16,120
+het verschil tussen de mysteriefunctie geëvalueerd op 3,001 en 3,001.
+
+203
+00:13:16,120 --> 00:13:20,470
+Die verandering, gedeeld door het verschil in de ingangswaarden, 
+
+204
+00:13:20,470 --> 00:13:25,958
+die in dit geval 0,001 is, moet ongeveer gelijk zijn aan de waarde van x2 voor de 
+
+205
+00:13:25,958 --> 00:13:28,100
+startingang, in dit geval 3,001.
+
+206
+00:13:30,200 --> 00:13:34,320
+En dit verband tussen kleine veranderingen in de mysteriefunctie en 
+
+207
+00:13:34,320 --> 00:13:38,440
+de waarden van x2 zelf geldt voor alle ingangen, niet alleen voor 3.
+
+208
+00:13:39,420 --> 00:13:41,757
+Dat vertelt ons niet meteen hoe we a van x kunnen vinden, 
+
+209
+00:13:41,757 --> 00:13:44,820
+maar het geeft wel een heel sterke aanwijzing waarmee we aan de slag kunnen.
+
+210
+00:13:46,260 --> 00:13:48,740
+En er is niets bijzonders aan de grafiek x2 hier.
+
+211
+00:13:49,280 --> 00:13:53,902
+Elke functie gedefinieerd als het gebied onder een grafiek heeft deze eigenschap, 
+
+212
+00:13:53,902 --> 00:13:58,637
+dat da gedeeld door een klein duwtje naar de uitgang van een gedeeld door een klein 
+
+213
+00:13:58,637 --> 00:14:03,372
+duwtje naar de ingang die het veroorzaakte, ongeveer gelijk is aan de hoogte van de 
+
+214
+00:14:03,372 --> 00:14:04,500
+grafiek op dat punt.
+
+215
+00:14:06,200 --> 00:14:10,360
+Nogmaals, dit is een benadering die steeds beter wordt voor kleinere keuzes van dx.
+
+216
+00:14:11,640 --> 00:14:16,040
+En hier stuiten we op een ander groot idee uit de calculus, afgeleiden.
+
+217
+00:14:17,100 --> 00:14:22,230
+Deze verhouding da gedeeld door dx wordt de afgeleide van a genoemd, of technischer, 
+
+218
+00:14:22,230 --> 00:14:27,240
+de afgeleide van wat deze verhouding benadert naarmate dx kleiner en kleiner wordt.
+
+219
+00:14:28,180 --> 00:14:31,932
+In de volgende video zal ik veel dieper ingaan op het idee van een afgeleide, 
+
+220
+00:14:31,932 --> 00:14:34,674
+maar losjes gezegd is het een maat voor hoe gevoelig een 
+
+221
+00:14:34,674 --> 00:14:37,080
+functie is voor kleine veranderingen in de invoer.
+
+222
+00:14:37,940 --> 00:14:40,888
+Je zult in de loop van de serie zien dat er veel manieren zijn om 
+
+223
+00:14:40,888 --> 00:14:43,836
+een afgeleide te visualiseren, afhankelijk van naar welke functie 
+
+224
+00:14:43,836 --> 00:14:46,740
+je kijkt en hoe je denkt over kleine aanpassingen aan de uitvoer.
+
+225
+00:14:48,600 --> 00:14:51,714
+We geven om derivaten omdat ze ons helpen problemen op te lossen, 
+
+226
+00:14:51,714 --> 00:14:54,403
+en in onze kleine verkenningstocht hier hebben we al een 
+
+227
+00:14:54,403 --> 00:14:57,140
+glimp opgevangen van één manier waarop ze worden gebruikt.
+
+228
+00:14:57,840 --> 00:15:00,447
+Ze zijn de sleutel tot het oplossen van integraalvragen, 
+
+229
+00:15:00,447 --> 00:15:03,420
+problemen waarbij je de oppervlakte onder een kromme moet vinden.
+
+230
+00:15:04,360 --> 00:15:08,338
+Als je eenmaal genoeg vertrouwd bent met het berekenen van afgeleiden, 
+
+231
+00:15:08,338 --> 00:15:12,932
+kun je naar een situatie als deze kijken, waarin je niet weet wat een functie is, 
+
+232
+00:15:12,932 --> 00:15:17,751
+maar wel dat de afgeleide x2 moet zijn, en op basis daarvan reverse engineeren wat de 
+
+233
+00:15:17,751 --> 00:15:18,760
+functie moet zijn.
+
+234
+00:15:20,700 --> 00:15:23,803
+Dit heen en weer geslinger tussen integralen en afgeleiden, 
+
+235
+00:15:23,803 --> 00:15:27,992
+waarbij de afgeleide van een functie voor de oppervlakte onder een grafiek je de 
+
+236
+00:15:27,992 --> 00:15:30,630
+functie teruggeeft die de grafiek zelf definieert, 
+
+237
+00:15:30,630 --> 00:15:33,320
+wordt de fundamentele stelling van calculus genoemd.
+
+238
+00:15:34,220 --> 00:15:37,900
+Het verbindt de twee grote ideeën van integralen en 
+
+239
+00:15:37,900 --> 00:15:42,360
+afgeleiden en laat zien hoe de een een inverse is van de ander.
+
+240
+00:15:44,800 --> 00:15:46,800
+Dit alles is slechts een overzicht op hoog niveau, 
+
+241
+00:15:46,800 --> 00:15:49,860
+slechts een blik op enkele van de kernideeën die naar voren komen in calculus.
+
+242
+00:15:50,500 --> 00:15:54,420
+En wat volgt in deze serie zijn de details, voor afgeleiden en integralen en meer.
+
+243
+00:15:54,980 --> 00:15:58,964
+Op elk punt wil ik dat je het gevoel hebt dat je calculus zelf had kunnen uitvinden, 
+
+244
+00:15:58,964 --> 00:16:03,182
+dat als je de juiste tekeningen zou maken en met elk idee op de juiste manier zou spelen, 
+
+245
+00:16:03,182 --> 00:16:07,119
+deze formules en regels en constructies die worden gepresenteerd net zo gemakkelijk 
+
+246
+00:16:07,119 --> 00:16:10,260
+vanzelf uit je eigen verkenningen tevoorschijn hadden kunnen komen.
+
+247
+00:16:12,380 --> 00:16:16,287
+En voordat je gaat, zou het verkeerd zijn om de mensen die deze serie op Patreon 
+
+248
+00:16:16,287 --> 00:16:18,988
+hebben gesteund niet een welverdiend bedankje te geven, 
+
+249
+00:16:18,988 --> 00:16:22,798
+zowel voor hun financiële steun als voor de suggesties die ze gaven terwijl de 
+
+250
+00:16:22,798 --> 00:16:23,860
+serie werd ontwikkeld.
+
+251
+00:16:24,700 --> 00:16:27,628
+Supporters kregen vroegtijdige toegang tot de video's toen ik ze maakte, 
+
+252
+00:16:27,628 --> 00:16:31,118
+en ze zullen vroegtijdige toegang blijven krijgen voor toekomstige series van het type 
+
+253
+00:16:31,118 --> 00:16:31,560
+essence-of.
+
+254
+00:16:32,140 --> 00:16:36,240
+En als dank aan de community houd ik advertenties de eerste maand van nieuwe video's weg.
+
+255
+00:16:37,020 --> 00:16:40,220
+Ik ben nog steeds verbaasd dat ik tijd kan besteden aan dit soort video's, 
+
+256
+00:16:40,220 --> 00:16:43,420
+en op een hele directe manier ben jij degene die ik daarvoor moet bedanken.
+
diff --git a/2017/essence-of-calculus/dutch/description.json b/2017/essence-of-calculus/dutch/description.json
new file mode 100644
index 000000000..fa1c0d112
--- /dev/null
+++ b/2017/essence-of-calculus/dutch/description.json
@@ -0,0 +1,42 @@
+[
+ {
+  "input": "What might it feel like to invent calculus?",
+  "translatedText": "Hoe zou het voelen om calculus uit te vinden?",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "Help fund future projects: https://www.patreon.com/3blue1brown",
+  "translatedText": "Help toekomstige projecten financieren: https://www.patreon.com/3blue1brown",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "An equally valuable form of support is to simply share some of the videos.",
+  "translatedText": "Een even waardevolle vorm van ondersteuning is het delen van een aantal video's.",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "Special thanks to these supporters: http://3b1b.co/lessons/essence-of-calculus#thanks",
+  "translatedText": "Speciale dank aan deze supporters: http://3b1b.co/lessons/essence-of-calculus#thanks",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "",
+  "translatedText": "",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "In this first video of the series, we see how unraveling the nuances of a simple geometry question can lead to integrals, derivatives, and the fundamental theorem of calculus.",
+  "translatedText": "In deze eerste video van de serie zien we hoe het ontrafelen van de nuances van een eenvoudige meetkundevraag kan leiden tot integralen, afgeleiden en de fundamentele stelling van calculus.",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "",
+  "translatedText": "",
+  "model": "DeepL"
+ },
+ {
+  "input": "",
+  "translatedText": "",
+  "model": "DeepL"
+ }
+]
\ No newline at end of file
diff --git a/2017/essence-of-calculus/dutch/sentence_translations.json b/2017/essence-of-calculus/dutch/sentence_translations.json
new file mode 100644
index 000000000..3e978024d
--- /dev/null
+++ b/2017/essence-of-calculus/dutch/sentence_translations.json
@@ -0,0 +1,1028 @@
+[
+ {
+  "input": "Hey everyone, Grant here.",
+  "translatedText": "Hoi allemaal, Grant hier.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   14.98,
+   16.46
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This is the first video in a series on the essence of calculus, and I'll be publishing the following videos once per day for the next 10 days.",
+  "translatedText": "Dit is de eerste video in een serie over de essentie van calculus, en ik zal de volgende video's de komende 10 dagen één keer per dag publiceren.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   16.82,
+   23.6
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The goal here, as the name suggests, is to really get the heart of the subject out in one binge-watchable set.",
+  "translatedText": "Zoals de naam al doet vermoeden, is het doel hier om de kern van het onderwerp in één binge-watchable set naar voren te brengen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   24.3,
+   29.72
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But with a topic that's as broad as calculus, there's a lot of things that can mean, so here's what I have in mind specifically.",
+  "translatedText": "Maar met een onderwerp dat zo breed is als calculus, zijn er veel dingen die dat kan betekenen, dus dit is wat ik specifiek in gedachten heb.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   30.32,
+   36.2
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Calculus has a lot of rules and formulas which are often presented as things to be memorized.",
+  "translatedText": "Calculus heeft veel regels en formules die vaak worden gepresenteerd als dingen die je uit je hoofd moet leren.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   36.94,
+   41.94
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Lots of derivative formulas, the product rule, the chain rule, implicit differentiation, the fact that integrals and derivatives are opposite, Taylor series, just a lot of things like that.",
+  "translatedText": "Veel afgeleide formules, de productregel, de kettingregel, impliciete differentiatie, het feit dat integralen en afgeleiden tegengesteld zijn, Taylorreeksen, gewoon veel van dat soort dingen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   42.48,
+   52.46
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And my goal is for you to come away feeling like you could have invented calculus yourself.",
+  "translatedText": "En mijn doel is dat je het gevoel krijgt dat je zelf calculus had kunnen uitvinden.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   52.96,
+   57.08
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That is, cover all those core ideas, but in a way that makes clear where they actually come from, and what they really mean, using an all-around visual approach.",
+  "translatedText": "Dat wil zeggen, al die kernideeën behandelen, maar op een manier die duidelijk maakt waar ze eigenlijk vandaan komen en wat ze echt betekenen, met behulp van een allesomvattende visuele aanpak.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   57.64,
+   66.0
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Inventing math is no joke, and there is a difference between being told why something's true, and actually generating it from scratch.",
+  "translatedText": "Het uitvinden van wiskunde is geen grapje en er is een verschil tussen te horen krijgen waarom iets waar is en het daadwerkelijk vanuit het niets genereren.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   66.92,
+   74.04
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But at all points, I want you to think to yourself, if you were an early mathematician, pondering these ideas and drawing out the right diagrams, does it feel reasonable that you could have stumbled across these truths yourself?",
+  "translatedText": "Maar op alle punten wil ik dat je bij jezelf te rade gaat: als je een vroege wiskundige was, die over deze ideeën nadacht en de juiste diagrammen tekende, voelt het dan redelijk dat je deze waarheden zelf had kunnen tegenkomen?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   74.68,
+   86.24
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "In this initial video, I want to show how you might stumble into the core ideas of calculus by thinking very deeply about one specific bit of geometry, the area of a circle.",
+  "translatedText": "In deze eerste video wil ik laten zien hoe je kunt struikelen over de kernideeën van calculus door heel diep na te denken over één specifiek stukje meetkunde, de oppervlakte van een cirkel.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   86.82,
+   96.84
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Maybe you know that this is pi times its radius squared, but why?",
+  "translatedText": "Misschien weet je dat dit pi maal de straal in het kwadraat is, maar waarom?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   97.78,
+   101.04
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Is there a nice way to think about where this formula comes from?",
+  "translatedText": "Is er een mooie manier om te bedenken waar deze formule vandaan komt?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   101.58,
+   104.46
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Well, contemplating this problem and leaving yourself open to exploring the interesting thoughts that come about can actually lead you to a glimpse of three big ideas in calculus, integrals, derivatives, and the fact that they're opposites.",
+  "translatedText": "Als je over dit probleem nadenkt en jezelf openstelt voor de interessante gedachten die daarbij opkomen, kun je een glimp opvangen van drie grote ideeën in calculus: integralen, afgeleiden en het feit dat ze tegengesteld zijn.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   105.42,
+   117.92
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But the story starts more simply, just you and a circle, let's say with radius 3.",
+  "translatedText": "Maar het verhaal begint eenvoudiger, alleen jij en een cirkel, laten we zeggen met straal 3.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   119.84,
+   124.84
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "You're trying to figure out its area, and after going through a lot of paper trying different ways to chop up and rearrange the pieces of that area, many of which might lead to their own interesting observations, maybe you try out the idea of slicing up the circle into many concentric rings.",
+  "translatedText": "Je probeert de oppervlakte ervan te achterhalen en na een heleboel papier te hebben doorgespit om verschillende manieren te proberen om de stukken van die oppervlakte op te delen en opnieuw te rangschikken, waarvan vele tot hun eigen interessante observaties zouden kunnen leiden, probeer je misschien het idee uit om de cirkel in vele concentrische ringen te verdelen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   125.7,
+   141.06
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This should seem promising because it respects the symmetry of the circle, and math has a tendency to reward you when you respect its symmetries.",
+  "translatedText": "Dit lijkt veelbelovend omdat het de symmetrie van de cirkel respecteert, en wiskunde heeft de neiging je te belonen als je de symmetrieën respecteert.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   142.0,
+   149.46
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Let's take one of those rings, which has some inner radius r that's between 0 and 3.",
+  "translatedText": "Laten we een van die ringen nemen, die een binnenstraal r heeft die tussen 0 en 3 ligt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   150.36,
+   155.06
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "If we can find a nice expression for the area of each ring like this one, and if we have a nice way to add them all up, it might lead us to an understanding of the full circle's area.",
+  "translatedText": "Als we een mooie uitdrukking kunnen vinden voor de oppervlakte van elke ring zoals deze, en als we een mooie manier hebben om ze allemaal bij elkaar op te tellen, kunnen we misschien de oppervlakte van de volledige cirkel begrijpen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   156.22,
+   165.5
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Maybe you start by imagining straightening out this ring.",
+  "translatedText": "Misschien begin je met je voor te stellen hoe je deze ring recht kunt trekken.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   166.42,
+   169.12
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And you could try thinking through exactly what this new shape is and what its area should be, but for simplicity, let's just approximate it as a rectangle.",
+  "translatedText": "En je zou kunnen proberen te bedenken wat deze nieuwe vorm precies is en wat de oppervlakte ervan moet zijn, maar laten we het voor het gemak maar benaderen als een rechthoek.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   170.8,
+   179.18
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The width of that rectangle is the circumference of the original ring, which is 2 pi times r, right?",
+  "translatedText": "De breedte van die rechthoek is de omtrek van de oorspronkelijke ring, die 2 pi maal r is, toch?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   180.18,
+   185.44
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I mean, that's essentially the definition of pi.",
+  "translatedText": "Ik bedoel, dat is in wezen de definitie van pi.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   185.86,
+   188.06
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And its thickness?",
+  "translatedText": "En de dikte?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   188.68,
+   189.38
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Well, that depends on how finely you chopped up the circle in the first place, which was kind of arbitrary.",
+  "translatedText": "Dat hangt af van hoe fijn je de cirkel in eerste instantie hebt gehakt, wat nogal willekeurig was.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   190.2,
+   195.62
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "In the spirit of using what will come to be standard calculus notation, let's call that thickness dr for a tiny difference in the radius from one ring to the next.",
+  "translatedText": "Laten we, in de geest van wat de standaard rekennotatie zal worden, die dikte dr noemen voor een klein verschil in de straal van de ene ring naar de volgende.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   196.34,
+   204.96
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Maybe you think of it as something like 0.1.",
+  "translatedText": "Misschien zie je het als zoiets als 0,1.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   205.48,
+   207.88
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So approximating this unwrapped ring as a thin rectangle, its area is 2 pi times r, the radius, times dr, the little thickness.",
+  "translatedText": "Dus als we deze uitgepakte ring benaderen als een dunne rechthoek, dan is de oppervlakte 2 pi maal r, de straal, maal dr, de kleine dikte.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   208.98,
+   217.6
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And even though that's not perfect, for smaller and smaller choices of dr, this is actually going to be a better and better approximation for that area, since the top and the bottom sides of this shape are going to get closer and closer to being exactly the same length.",
+  "translatedText": "En ook al is dat niet perfect, voor steeds kleinere keuzes van dr, wordt dit eigenlijk een steeds betere benadering voor dat gebied, omdat de boven- en onderkant van deze vorm steeds dichter bij elkaar komen te liggen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   218.6,
+   232.6
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So let's just move forward with this approximation, keeping in the back of our minds that it's slightly wrong, but it's going to become more accurate for smaller and smaller choices of dr.",
+  "translatedText": "Dus laten we gewoon doorgaan met deze benadering, met in ons achterhoofd dat het een beetje fout is, maar dat het nauwkeuriger wordt voor steeds kleinere keuzes van dr.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   233.54,
+   242.36
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That is, if we slice up the circle into thinner and thinner rings.",
+  "translatedText": "Dat wil zeggen, als we de cirkel in steeds dunnere ringen verdelen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   243.22,
+   246.4
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So just to sum up where we are, you've broken up the area of the circle into all of these rings, and you're approximating the area of each one of those as 2 pi times its radius times dr, where the specific value for that inner radius ranges from 0 for the smallest ring up to just under 3 for the biggest ring, spaced out by whatever the thickness is that you choose for dr, something like 0.1.",
+  "translatedText": "Dus om even samen te vatten waar we zijn, je hebt de oppervlakte van de cirkel opgedeeld in al deze ringen, en je benadert de oppervlakte van elk van die ringen als 2 pi maal zijn straal maal dr, waarbij de specifieke waarde voor die binnenste straal varieert van 0 voor de kleinste ring tot iets minder dan 3 voor de grootste ring, met daartussen de dikte die je kiest voor dr, zoiets als 0,1.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   247.7,
+   271.98
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And notice that the spacing between the values here corresponds to the thickness dr of each ring, the difference in radius from one ring to the next.",
+  "translatedText": "En merk op dat de afstand tussen de waarden hier overeenkomt met de dikte dr van elke ring, het verschil in straal van de ene ring naar de volgende.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   273.14,
+   281.3
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "In fact, a nice way to think about the rectangles approximating each ring's area is to fit them all upright side by side along this axis.",
+  "translatedText": "Een mooie manier om te denken over de rechthoeken die de oppervlakte van elke ring benaderen, is om ze allemaal rechtop naast elkaar langs deze as te leggen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   282.26,
+   289.82
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Each one has a thickness dr, which is why they fit so snugly right there together, and the height of any one of these rectangles sitting above some specific value of r, like 0.6, is exactly 2 pi times that value.",
+  "translatedText": "Elk van deze rechthoeken heeft een dikte dr, daarom passen ze zo precies op elkaar, en de hoogte van elk van deze rechthoeken boven een bepaalde waarde van r, zoals 0,6, is precies 2 pi maal die waarde.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   290.66,
+   304.0
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That's the circumference of the corresponding ring that this rectangle approximates.",
+  "translatedText": "Dat is de omtrek van de overeenkomstige ring die deze rechthoek benadert.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   304.64,
+   308.96
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Pictures like this 2 pi r can get tall for the screen, I mean 2 times pi times 3 is around 19, so let's just throw up a y axis that's scaled a little differently so that we can actually fit all of these rectangles on the screen.",
+  "translatedText": "Afbeeldingen zoals deze 2 pi r kunnen groot worden voor het scherm, ik bedoel 2 keer pi keer 3 is ongeveer 19, dus laten we een y-as gebruiken die een beetje anders geschaald is zodat we al deze rechthoeken op het scherm kunnen plaatsen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   309.56,
+   322.18
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "A nice way to think about this setup is to draw the graph of 2 pi r, which is a straight line that has a slope 2 pi.",
+  "translatedText": "Een mooie manier om over deze opstelling na te denken is door de grafiek van 2 pi r te tekenen, wat een rechte lijn is die een helling 2 pi heeft.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   323.26,
+   329.54
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Each of these rectangles extends up to the point where it just barely touches that graph.",
+  "translatedText": "Elk van deze rechthoeken strekt zich uit tot het punt waar het net die grafiek raakt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   330.1,
+   334.8
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Again, we're being approximate here.",
+  "translatedText": "Nogmaals, we zijn hier bij benadering.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   336.0,
+   337.46
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Each of these rectangles only approximates the area of the corresponding ring from the circle.",
+  "translatedText": "Elk van deze rechthoeken benadert slechts de oppervlakte van de corresponderende ring van de cirkel.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   337.9,
+   342.22
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But remember, that approximation, 2 pi r times dr, gets less and less wrong as the size of dr gets smaller and smaller.",
+  "translatedText": "Maar vergeet niet dat die benadering, 2 pi r maal dr, steeds minder fout wordt naarmate dr kleiner en kleiner wordt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   342.94,
+   350.8
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And this has a very beautiful meaning when we're looking at the sum of the areas of all those rectangles.",
+  "translatedText": "En dit heeft een hele mooie betekenis als we kijken naar de som van de oppervlakten van al die rechthoeken.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   351.8,
+   356.54
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "For smaller and smaller choices of dr, you might at first think that turns the problem into a monstrously large sum.",
+  "translatedText": "Voor steeds kleinere dr-keuzes zou je in eerste instantie kunnen denken dat het probleem daardoor een monsterlijk grote som wordt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   357.08,
+   363.14
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I mean, there's many many rectangles to consider, and the decimal precision of each one of their areas is going to be an absolute nightmare.",
+  "translatedText": "Ik bedoel, er zijn veel rechthoeken om rekening mee te houden en de decimale precisie van elk van hun oppervlakten wordt een absolute nachtmerrie.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   363.6,
+   369.2
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But notice, all of their areas in aggregate just looks like the area under a graph.",
+  "translatedText": "Maar let op, al hun gebieden samen zien er gewoon uit als het gebied onder een grafiek.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   370.06,
+   375.3
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And that portion under the graph is just a triangle, a triangle with a base of 3 and a height that's 2 pi times 3.",
+  "translatedText": "En dat gedeelte onder de grafiek is gewoon een driehoek, een driehoek met een basis van 3 en een hoogte die 2 pi maal 3 is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   375.98,
+   383.4
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So its area, 1 half base times height, works out to be exactly pi times 3 squared.",
+  "translatedText": "Dus de oppervlakte, 1 halve basis maal hoogte, is precies pi maal 3 in het kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   384.14,
+   390.5
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Or if the radius of our original circle was some other value, capital R, that area comes out to be pi times r squared.",
+  "translatedText": "Of als de straal van onze oorspronkelijke cirkel een andere waarde was, kapitaal R, dan is die oppervlakte pi maal r in het kwadraat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   391.36,
+   398.66
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And that's the formula for the area of a circle.",
+  "translatedText": "En dat is de formule voor de oppervlakte van een cirkel.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   399.38,
+   401.46
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It doesn't matter who you are or what you typically think of math, that right there is a beautiful argument.",
+  "translatedText": "Het maakt niet uit wie je bent of wat je normaal gesproken van wiskunde vindt, dat is een prachtig argument.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   402.32,
+   407.38
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But if you want to think like a mathematician here, you don't just care about finding the answer, you care about developing general problem-solving tools and techniques.",
+  "translatedText": "Maar als je hier wilt denken als een wiskundige, dan gaat het je niet alleen om het vinden van het antwoord, maar ook om het ontwikkelen van algemene hulpmiddelen en technieken om problemen op te lossen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   410.18,
+   418.92
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "So take a moment to meditate on what exactly just happened and why it worked, because the way we transitioned from something approximate to something precise is actually pretty subtle and cuts deep to what calculus is all about.",
+  "translatedText": "Neem dus even de tijd om te mediteren over wat er zojuist precies is gebeurd en waarom het werkte, want de manier waarop we van iets benaderends naar iets preciezers zijn gegaan is eigenlijk heel subtiel en raakt precies waar het bij calculus om gaat.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   419.68,
+   431.78
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "You had this problem that could be approximated with the sum of many small numbers, each of which looked like 2 pi r times dr, for values of r ranging between 0 and 3.",
+  "translatedText": "Je had een probleem dat benaderd kon worden met de som van vele kleine getallen, die er elk uitzagen als 2 pi r maal dr, voor waarden van r variërend tussen 0 en 3.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   433.82,
+   444.06
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Remember, the small number dr here represents our choice for the thickness of each ring, for example 0.1.",
+  "translatedText": "Onthoud dat het kleine getal dr hier staat voor onze keuze voor de dikte van elke ring, bijvoorbeeld 0,1.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   446.6,
+   452.98
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And there are two important things to note here.",
+  "translatedText": "En er zijn hier twee belangrijke dingen op te merken.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   453.52,
+   455.64
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "First of all, not only is dr a factor in the quantities we're adding up, 2 pi r times dr, it also gives the spacing between the different values of r.",
+  "translatedText": "Allereerst is dr niet alleen een factor in de hoeveelheden die we optellen, 2 pi r maal dr, maar het geeft ook de afstand tussen de verschillende waarden van r.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   456.08,
+   465.58
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And secondly, the smaller our choice for dr, the better the approximation.",
+  "translatedText": "En ten tweede, hoe kleiner onze keuze voor dr, hoe beter de benadering.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   466.24,
+   470.52
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Adding all of those numbers could be seen in a different, pretty clever way as adding the areas of many thin rectangles sitting underneath a graph, the graph of the function 2 pi r in this case.",
+  "translatedText": "Het optellen van al deze getallen kan op een andere, behoorlijk slimme manier worden gezien als het optellen van de oppervlakten van vele dunne rechthoeken onder een grafiek, de grafiek van de functie 2 pi r in dit geval.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   472.2,
+   482.42
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Then, and this is key, by considering smaller and smaller choices for dr, corresponding to better and better approximations of the original problem, the sum, thought of as the aggregate area of those rectangles, approaches the area under the graph.",
+  "translatedText": "Dan, en dit is de sleutel, door steeds kleinere keuzes voor dr te overwegen, die overeenkomen met steeds betere benaderingen van het oorspronkelijke probleem, benadert de som, gezien als de totale oppervlakte van die rechthoeken, de oppervlakte onder de grafiek.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   482.94,
+   498.18
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And because of that, you can conclude that the answer to the original question, in full unapproximated precision, is exactly the same as the area underneath this graph.",
+  "translatedText": "En daarom kun je concluderen dat het antwoord op de oorspronkelijke vraag, in volledige niet-benaderde precisie, precies hetzelfde is als het gebied onder deze grafiek.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   499.0,
+   508.52
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "A lot of other hard problems in math and science can be broken down and approximated as the sum of many small quantities, like figuring out how far a car has traveled based on its velocity at each point in time.",
+  "translatedText": "Veel andere moeilijke problemen in de wiskunde en de wetenschap kunnen worden opgesplitst en benaderd als de som van vele kleine grootheden, zoals uitzoeken hoe ver een auto heeft gereden op basis van zijn snelheid op elk punt in de tijd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   510.86,
+   523.94
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "In a case like that, you might range through many different points in time, and at each one multiply the velocity at that time times a tiny change in time, dt, which would give the corresponding little bit of distance traveled during that little time.",
+  "translatedText": "In zo'n geval zou je door veel verschillende punten in de tijd kunnen gaan en op elk punt de snelheid op dat moment vermenigvuldigen met een kleine verandering in de tijd, dt, wat de bijbehorende kleine afstand geeft die in die kleine tijd is afgelegd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   524.76,
+   538.18
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I'll talk through the details of examples like this later in the series, but at a high level many of these types of problems turn out to be equivalent to finding the area under some graph, in much the same way that our circle problem did.",
+  "translatedText": "Ik zal later in de serie de details van dit soort voorbeelden bespreken, maar op een hoog niveau blijken veel van dit soort problemen gelijk te staan aan het vinden van de oppervlakte onder een grafiek, op ongeveer dezelfde manier als ons cirkelprobleem.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   539.26,
+   552.14
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This happens whenever the quantities you're adding up, the one whose sum approximates the original problem, can be thought of as the areas of many thin rectangles sitting side by side.",
+  "translatedText": "Dit gebeurt wanneer de hoeveelheden die je optelt, waarvan de som het oorspronkelijke probleem benadert, kunnen worden gezien als de oppervlakten van vele dunne rechthoeken die naast elkaar liggen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   553.2,
+   563.24
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "If finer and finer approximations of the original problem correspond to thinner and thinner rings, then the original problem is equivalent to finding the area under some graph.",
+  "translatedText": "Als steeds fijnere benaderingen van het oorspronkelijke probleem overeenkomen met steeds dunnere ringen, dan is het oorspronkelijke probleem gelijk aan het vinden van de oppervlakte onder een bepaalde grafiek.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   564.64,
+   575.54
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Again, this is an idea we'll see in more detail later in the series, so don't worry if it's not 100% clear right now.",
+  "translatedText": "Nogmaals, dit is een idee dat we later in de serie in meer detail zullen zien, dus maak je geen zorgen als het nu nog niet 100% duidelijk is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   576.6,
+   583.18
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "The point now is that you, as the mathematician having just solved a problem by reframing it as the area under a graph, might start thinking about how to find the areas under other graphs.",
+  "translatedText": "Het punt is nu dat jij, als wiskundige die net een probleem heeft opgelost door het te herkaderen als de oppervlakte onder een grafiek, zou kunnen gaan nadenken over hoe je de oppervlakte onder andere grafieken kunt vinden.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   583.78,
+   594.52
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "We were lucky in the circle problem that the relevant area turned out to be a triangle, but imagine instead something like a parabola, the graph of x2.",
+  "translatedText": "Bij het cirkelprobleem hadden we het geluk dat het relevante gebied een driehoek bleek te zijn, maar stel je in plaats daarvan iets voor als een parabool, de grafiek van x2.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   595.64,
+   603.76
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "What's the area underneath that curve, say between the values of x equals 0 and x equals 3?",
+  "translatedText": "Wat is het gebied onder die kromme, zeg maar tussen de waarden van x gelijk aan 0 en x gelijk aan 3?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   604.76,
+   610.68
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Well, it's hard to think about, right?",
+  "translatedText": "Nou, het is moeilijk om over na te denken, toch?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   612.08,
+   614.76
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And let me reframe that question in a slightly different way.",
+  "translatedText": "En laat ik die vraag op een iets andere manier stellen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   615.22,
+   618.02
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "We'll fix that left endpoint in place at 0, and let the right endpoint vary.",
+  "translatedText": "We zetten het linker eindpunt vast op 0 en laten het rechter eindpunt variëren.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   618.02,
+   623.06
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Are you able to find a function, a of x, that gives you the area under this parabola between 0 and x?",
+  "translatedText": "Kun je een functie vinden, a van x, die je de oppervlakte onder deze parabool tussen 0 en x geeft?",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   626.86,
+   634.18
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "A function a of x like this is called an integral of x2.",
+  "translatedText": "Een functie a van x als deze heet een integraal van x2.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   635.62,
+   639.58
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Calculus holds within it the tools to figure out what an integral like this is, but right now it's just a mystery function to us.",
+  "translatedText": "Calculus heeft de hulpmiddelen in zich om uit te vinden wat zo'n integraal is, maar op dit moment is het gewoon een mysterieuze functie voor ons.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   640.5,
+   647.2
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "We know it gives the area under the graph of x2 between some fixed left point and some variable right point, but we don't know what it is.",
+  "translatedText": "We weten dat het de oppervlakte geeft onder de grafiek van x2 tussen een vast linkerpunt en een variabel rechterpunt, maar we weten niet wat het is.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   647.5,
+   654.92
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And again, the reason we care about this kind of question is not just for the sake of asking hard geometry questions, it's because many practical problems that can be approximated by adding up a large number of small things can be reframed as a question about an area under a certain graph.",
+  "translatedText": "En nogmaals, de reden waarom we ons zorgen maken over dit soort vragen is niet alleen omwille van het stellen van moeilijke meetkundige vragen, maar omdat veel praktische problemen die benaderd kunnen worden door een groot aantal kleine dingen bij elkaar op te tellen, omgebogen kunnen worden tot een vraag over de oppervlakte onder een bepaalde grafiek.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   655.66,
+   672.3
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I'll tell you right now that finding this area, this integral function, is genuinely hard, and whenever you come across a genuinely hard question in math, a good policy is to not try too hard to get at the answer directly, since usually you just end up banging your head against a wall.",
+  "translatedText": "Ik kan je nu al vertellen dat het vinden van dit gebied, deze integraalfunctie, echt moeilijk is, en wanneer je een echt moeilijke vraag in de wiskunde tegenkomt, is het een goed beleid om niet te hard te proberen het antwoord direct te vinden, omdat je dan meestal met je hoofd tegen een muur aanloopt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   673.42,
+   689.34
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Instead, play around with the idea, with no particular goal in mind.",
+  "translatedText": "Speel in plaats daarvan met het idee, zonder een bepaald doel voor ogen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   690.08,
+   693.78
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Spend some time building up familiarity with the interplay between the function defining the graph, in this case x2, and the function giving the area.",
+  "translatedText": "Besteed wat tijd aan het opbouwen van vertrouwdheid met de wisselwerking tussen de functie die de grafiek definieert, in dit geval x2, en de functie die de oppervlakte geeft.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   694.34,
+   702.36
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "In that playful spirit, if you're lucky, here's something you might notice.",
+  "translatedText": "In die speelse geest, als je geluk hebt, is hier iets wat je zou kunnen opmerken.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   704.09,
+   708.02
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "When you slightly increase x by some tiny nudge dx, look at the resulting change in area, represented with this sliver I'm going to call da for a tiny difference in area.",
+  "translatedText": "Als je x een klein beetje verhoogt met dx, kijk dan naar de resulterende verandering in oppervlakte, weergegeven met deze splinter die ik da ga noemen voor een klein verschil in oppervlakte.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   708.58,
+   720.42
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That sliver can be pretty well approximated with a rectangle, one whose height is x2 and whose width is dx.",
+  "translatedText": "Die splinter kan vrij goed worden benaderd met een rechthoek, waarvan de hoogte x2 is en de breedte dx.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   721.38,
+   728.62
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And the smaller the size of that nudge dx, the more that sliver actually looks like a rectangle.",
+  "translatedText": "En hoe kleiner de grootte van die nudge dx, hoe meer die sliver er eigenlijk uitziet als een rechthoek.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   729.66,
+   735.02
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This gives us an interesting way to think about how a of x is related to x2.",
+  "translatedText": "Dit geeft ons een interessante manier om na te denken over hoe a van x gerelateerd is aan x2.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   736.8,
+   741.08
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "A change to the output of a, this little da, is about equal to x2, where x is whatever input you started at, times dx, the little nudge to the input that caused a to change.",
+  "translatedText": "Een verandering in de uitvoer van a, deze kleine da, is ongeveer gelijk aan x2, waarbij x de invoer is waarmee je begon, maal dx, het kleine duwtje in de richting van de invoer waardoor a veranderde.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   742.0,
+   754.0
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Or rearranged, da divided by dx, the ratio of a tiny change in a to the tiny change in x that caused it, is approximately whatever x2 is at that point.",
+  "translatedText": "Of anders gerangschikt, da gedeeld door dx, de verhouding van een kleine verandering in a tot de kleine verandering in x die dit veroorzaakte, is ongeveer wat x2 is op dat punt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   754.78,
+   765.78
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And that's an approximation that should get better and better for smaller and smaller choices of dx.",
+  "translatedText": "En dat is een benadering die steeds beter zou moeten worden voor steeds kleinere keuzes van dx.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   766.56,
+   770.96
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "In other words, we don't know what a of x is, that remains a mystery.",
+  "translatedText": "Met andere woorden, we weten niet wat a van x is, dat blijft een mysterie.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   772.1,
+   775.64
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "But we do know a property that this mystery function must have.",
+  "translatedText": "Maar we weten wel een eigenschap die deze mysterieuze functie moet hebben.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   776.08,
+   779.5
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "When you look at two nearby points, for example 3 and 3.001, consider the change to the output of a between those two points, the difference between the mystery function evaluated at 3.001 and 3.001.",
+  "translatedText": "Als je naar twee nabijgelegen punten kijkt, bijvoorbeeld 3 en 3,001, kijk dan naar de verandering in de uitgang van a tussen die twee punten, het verschil tussen de mysteriefunctie geëvalueerd op 3,001 en 3,001.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   780.16,
+   796.12
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That change, divided by the difference in the input values, which in this case is 0.001, should be about equal to the value of x2 for the starting input, in this case 3.001.",
+  "translatedText": "Die verandering, gedeeld door het verschil in de ingangswaarden, die in dit geval 0,001 is, moet ongeveer gelijk zijn aan de waarde van x2 voor de startingang, in dit geval 3,001.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   796.12,
+   808.1
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And this relationship between tiny changes to the mystery function and the values of x2 itself is true at all inputs, not just 3.",
+  "translatedText": "En dit verband tussen kleine veranderingen in de mysteriefunctie en de waarden van x2 zelf geldt voor alle ingangen, niet alleen voor 3.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   810.2,
+   818.44
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "That doesn't immediately tell us how to find a of x, but it provides a very strong clue that we can work with.",
+  "translatedText": "Dat vertelt ons niet meteen hoe we a van x kunnen vinden, maar het geeft wel een heel sterke aanwijzing waarmee we aan de slag kunnen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   819.42,
+   824.82
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And there's nothing special about the graph x2 here.",
+  "translatedText": "En er is niets bijzonders aan de grafiek x2 hier.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   826.26,
+   828.74
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Any function defined as the area under some graph has this property, that da divided by a slight nudge to the output of a divided by a slight nudge to the input that caused it, is about equal to the height of the graph at that point.",
+  "translatedText": "Elke functie gedefinieerd als het gebied onder een grafiek heeft deze eigenschap, dat da gedeeld door een klein duwtje naar de uitgang van een gedeeld door een klein duwtje naar de ingang die het veroorzaakte, ongeveer gelijk is aan de hoogte van de grafiek op dat punt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   829.28,
+   844.5
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Again, that's an approximation that gets better and better for smaller choices of dx.",
+  "translatedText": "Nogmaals, dit is een benadering die steeds beter wordt voor kleinere keuzes van dx.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   846.2,
+   850.36
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And here, we're stumbling into another big idea from calculus, derivatives.",
+  "translatedText": "En hier stuiten we op een ander groot idee uit de calculus, afgeleiden.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   851.64,
+   856.04
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This ratio da divided by dx is called the derivative of a, or more technically, the derivative of whatever this ratio approaches as dx gets smaller and smaller.",
+  "translatedText": "Deze verhouding da gedeeld door dx wordt de afgeleide van a genoemd, of technischer, de afgeleide van wat deze verhouding benadert naarmate dx kleiner en kleiner wordt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   857.1,
+   867.24
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I'll dive much more deeply into the idea of a derivative in the next video, but loosely speaking it's a measure of how sensitive a function is to small changes in its input.",
+  "translatedText": "In de volgende video zal ik veel dieper ingaan op het idee van een afgeleide, maar losjes gezegd is het een maat voor hoe gevoelig een functie is voor kleine veranderingen in de invoer.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   868.18,
+   877.08
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "You'll see as the series goes on that there are many ways you can visualize a derivative, depending on what function you're looking at and how you think about tiny nudges to its output.",
+  "translatedText": "Je zult in de loop van de serie zien dat er veel manieren zijn om een afgeleide te visualiseren, afhankelijk van naar welke functie je kijkt en hoe je denkt over kleine aanpassingen aan de uitvoer.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   877.94,
+   886.74
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "We care about derivatives because they help us solve problems, and in our little exploration here, we already have a glimpse of one way they're used.",
+  "translatedText": "We geven om derivaten omdat ze ons helpen problemen op te lossen, en in onze kleine verkenningstocht hier hebben we al een glimp opgevangen van één manier waarop ze worden gebruikt.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   888.6,
+   897.14
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "They are the key to solving integral questions, problems that require finding the area under a curve.",
+  "translatedText": "Ze zijn de sleutel tot het oplossen van integraalvragen, problemen waarbij je de oppervlakte onder een kromme moet vinden.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   897.84,
+   903.42
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "Once you gain enough familiarity with computing derivatives, you'll be able to look at a situation like this one where you don't know what a function is, but you do know that its derivative should be x2, and from that reverse engineer what the function must be.",
+  "translatedText": "Als je eenmaal genoeg vertrouwd bent met het berekenen van afgeleiden, kun je naar een situatie als deze kijken, waarin je niet weet wat een functie is, maar wel dat de afgeleide x2 moet zijn, en op basis daarvan reverse engineeren wat de functie moet zijn.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   904.36,
+   918.76
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "This back and forth between integrals and derivatives, where the derivative of a function for the area under a graph gives you back the function defining the graph itself, is called the fundamental theorem of calculus.",
+  "translatedText": "Dit heen en weer geslinger tussen integralen en afgeleiden, waarbij de afgeleide van een functie voor de oppervlakte onder een grafiek je de functie teruggeeft die de grafiek zelf definieert, wordt de fundamentele stelling van calculus genoemd.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   920.7,
+   933.32
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "It ties together the two big ideas of integrals and derivatives, and shows how each one is an inverse of the other.",
+  "translatedText": "Het verbindt de twee grote ideeën van integralen en afgeleiden en laat zien hoe de een een inverse is van de ander.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   934.22,
+   942.36
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "All of this is only a high-level view, just a peek at some of the core ideas that emerge in calculus.",
+  "translatedText": "Dit alles is slechts een overzicht op hoog niveau, slechts een blik op enkele van de kernideeën die naar voren komen in calculus.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   944.8,
+   949.86
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And what follows in this series are the details, for derivatives and integrals and more.",
+  "translatedText": "En wat volgt in deze serie zijn de details, voor afgeleiden en integralen en meer.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   950.5,
+   954.42
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "At all points, I want you to feel that you could have invented calculus yourself, that if you drew the right pictures and played with each idea in just the right way, these formulas and rules and constructs that are presented could have just as easily popped out naturally from your own explorations.",
+  "translatedText": "Op elk punt wil ik dat je het gevoel hebt dat je calculus zelf had kunnen uitvinden, dat als je de juiste tekeningen zou maken en met elk idee op de juiste manier zou spelen, deze formules en regels en constructies die worden gepresenteerd net zo gemakkelijk vanzelf uit je eigen verkenningen tevoorschijn hadden kunnen komen.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   954.98,
+   970.26
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And before you go, it would feel wrong not to give the people who supported this series on Patreon a well-deserved thanks, both for their financial backing as well as for the suggestions they gave while the series was being developed.",
+  "translatedText": "En voordat je gaat, zou het verkeerd zijn om de mensen die deze serie op Patreon hebben gesteund niet een welverdiend bedankje te geven, zowel voor hun financiële steun als voor de suggesties die ze gaven terwijl de serie werd ontwikkeld.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   972.38,
+   983.86
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "You see, supporters got early access to the videos as I made them, and they'll continue to get early access for future essence-of type series.",
+  "translatedText": "Supporters kregen vroegtijdige toegang tot de video's toen ik ze maakte, en ze zullen vroegtijdige toegang blijven krijgen voor toekomstige series van het type essence-of.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   984.7,
+   991.56
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "And as a thanks to the community, I keep ads off of new videos for their first month.",
+  "translatedText": "En als dank aan de community houd ik advertenties de eerste maand van nieuwe video's weg.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   992.14,
+   996.24
+  ]
+ },
+ {
+  "input": "I'm still astounded that I can spend time working on videos like these, and in a very direct way, you are the one to thank for that.",
+  "translatedText": "Ik ben nog steeds verbaasd dat ik tijd kan besteden aan dit soort video's, en op een hele directe manier ben jij degene die ik daarvoor moet bedanken.",
+  "model": "DeepL",
+  "time_range": [
+   997.02,
+   1003.42
+  ]
+ }
+]
\ No newline at end of file
diff --git a/2017/essence-of-calculus/dutch/title.json b/2017/essence-of-calculus/dutch/title.json
new file mode 100644
index 000000000..bc1e3d373
--- /dev/null
+++ b/2017/essence-of-calculus/dutch/title.json
@@ -0,0 +1,5 @@
+{
+ "input": "The essence of calculus",
+ "translatedText": "De essentie van calculus",
+ "model": "DeepL"
+}
\ No newline at end of file
diff --git a/2017/essence-of-calculus/english/captions.srt b/2017/essence-of-calculus/english/captions.srt
index 385177b71..ef6edef54 100644
--- a/2017/essence-of-calculus/english/captions.srt
+++ b/2017/essence-of-calculus/english/captions.srt
@@ -1,5 +1,5 @@
 1
-00:00:14,979 --> 00:00:16,460
+00:00:14,980 --> 00:00:16,460
 Hey everyone, Grant here.
 
 2