diff --git a/2016/3d-transformations/vietnamese/auto_generated.srt b/2016/3d-transformations/vietnamese/auto_generated.srt index dc4ddb900..346d4f691 100644 --- a/2016/3d-transformations/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2016/3d-transformations/vietnamese/auto_generated.srt @@ -215,7 +215,7 @@ thể khá khó mô tả, nhưng chúng sẽ dễ dàng hơn để bạn hiểu chia nhỏ chúng thành thành phần của các phép quay riêng biệt, dễ nghĩ hơn. 55 -00:04:04,359 --> 00:04:07,812 +00:04:04,360 --> 00:04:07,812 Việc thực hiện phép nhân ma trận này bằng số, một lần nữa, 56 @@ -240,5 +240,5 @@ tiếp trong không gian. 61 00:04:32,140 --> 00:04:34,500 -Trong video tiếp theo, tôi sẽ bắt đầu tìm hiểu về định thức. +Trong video tiếp theo, tôi sẽ bắt đầu với định thức. diff --git a/2016/change-of-basis/english/captions.srt b/2016/change-of-basis/english/captions.srt index d065b5dd9..53033d793 100644 --- a/2016/change-of-basis/english/captions.srt +++ b/2016/change-of-basis/english/captions.srt @@ -71,943 +71,943 @@ one of these topics than it does with eigenvectors and eigenvalues themselves. To start, consider some linear transformation in two dimensions, like the one shown here. 19 -00:01:25,460 --> 00:01:32,472 +00:01:25,460 --> 00:01:27,936 st number indicates rightward motion, that the second one indicates upward motion, 20 -00:01:32,472 --> 00:01:37,711 +00:01:27,936 --> 00:01:29,786 exactly how far a unit of distance is, all of that is tied up 21 -00:01:37,711 --> 00:01:41,260 +00:01:29,786 --> 00:01:31,040 in the choice of i-hat and j-hat as the ve 22 -00:01:41,260 --> 00:01:45,381 +00:01:31,780 --> 00:01:42,148 ctors which are scalar coordinates are meant to actually scale. 23 -00:01:45,381 --> 00:01:51,049 +00:01:42,148 --> 00:01:56,405 Any way to translate between vectors and sets of numbers is called a coordinate system, 24 -00:01:51,049 --> 00:01:51,500 +00:01:56,405 --> 00:01:57,540 and the 25 -00:01:51,500 --> 00:01:56,501 +00:01:57,540 --> 00:02:01,017 two special vectors i-hat and j-hat are called the basis vectors of our standard 26 -00:01:56,501 --> 00:02:01,132 +00:02:01,017 --> 00:02:04,236 coordinate system. What I'd like to talk about here is the idea of using a 27 -00:02:01,132 --> 00:02:06,318 +00:02:04,236 --> 00:02:07,842 different set of basis vectors. For example, let's say you have a friend, Jennifer, 28 -00:02:06,318 --> 00:02:11,320 +00:02:07,842 --> 00:02:11,320 who uses a different set of basis vectors, which I'll call b1 and b2. Her first b 29 -00:02:11,320 --> 00:02:15,349 +00:02:11,320 --> 00:02:24,183 asis vector, b1, points up and to the right a little bit, and her second vector, b2, 30 -00:02:15,349 --> 00:02:19,142 +00:02:24,183 --> 00:02:36,290 points left and up. Now take another look at that vector that I showed earlier, 31 -00:02:19,142 --> 00:02:22,223 +00:02:36,290 --> 00:02:46,126 the one that you and I would describe using the coordinates 3,2, 32 -00:02:22,223 --> 00:02:24,120 +00:02:46,126 --> 00:02:52,180 using our basis vectors i-hat and j-hat. 33 -00:02:26,320 --> 00:02:32,921 +00:02:52,180 --> 00:02:57,318 Jennifer would actually describe this vector with the coordinates 5 thirds and 1 third. 34 -00:02:32,921 --> 00:02:37,797 +00:02:57,318 --> 00:03:01,113 What this means is that the particular way to get to that vector 35 -00:02:37,797 --> 00:02:43,574 +00:03:01,113 --> 00:03:05,609 using her two basis vectors is to scale b1 by 5 thirds, scale b2 by 1 third, 36 -00:02:43,574 --> 00:02:46,800 +00:03:05,609 --> 00:03:08,120 then add them both together. In a little bi 37 -00:02:46,800 --> 00:02:52,073 +00:03:08,120 --> 00:03:08,466 t, I'll show you how you could have figured out those two numbers, 38 -00:02:52,073 --> 00:02:57,504 +00:03:08,466 --> 00:03:08,823 5 thirds and 1 third. In general, whenever Jennifer uses coordinates 39 -00:02:57,504 --> 00:03:02,620 +00:03:08,823 --> 00:03:09,160 to describe a vector, she thinks of her first coordinate as scali 40 -00:03:02,620 --> 00:03:04,260 +00:03:09,160 --> 00:03:25,060 For this specific example, the basis vector i-hat is one such special vector. 41 -00:03:04,260 --> 00:03:05,427 +00:03:25,060 --> 00:03:38,400 The span of i-hat is the x-axis, and from the first column of the matrix, 42 -00:03:05,427 --> 00:03:06,580 +00:03:38,400 --> 00:03:51,560 we can see that i-hat moves over to 3 times itself, still on that x-axis. 43 -00:03:06,580 --> 00:03:10,780 +00:03:51,560 --> 00:04:00,881 What's more, because of the way linear transformations work, 44 -00:03:10,780 --> 00:03:15,738 +00:04:00,881 --> 00:04:11,884 any other vector on the x-axis is also just stretched by a factor of 3, 45 -00:03:15,738 --> 00:03:18,080 +00:04:11,884 --> 00:04:17,079 and hence remains on its own span. 46 -00:03:20,255 --> 00:03:18,080 +00:04:17,620 --> 00:04:21,822 A slightly sneakier vector that remains on its own 47 -00:03:22,520 --> 00:03:20,255 +00:04:21,822 --> 00:04:25,860 span during this transformation is negative 1, 1. 48 -00:03:22,520 --> 00:03:29,375 +00:04:25,860 --> 00:04:39,020 Let me say a quick word about how I'm representing things here. When I animate 2D space, 49 -00:03:29,375 --> 00:03:34,460 +00:04:39,020 --> 00:04:48,780 I typically use this square grid. But that grid is just a construc 50 -00:03:34,460 --> 00:03:38,045 +00:04:48,780 --> 00:04:54,161 t, a way to visualize our coordinate system, and so it depends on our choice of basis. 51 -00:03:38,045 --> 00:03:40,929 +00:04:54,161 --> 00:04:58,492 Space itself has no intrinsic grid. Jennifer might draw her own grid, 52 -00:03:40,929 --> 00:03:43,320 +00:04:58,492 --> 00:05:02,080 which would be an equally made up construct meant as nothi 53 -00:03:43,400 --> 00:03:48,952 +00:05:02,080 --> 00:05:10,784 ng more than a visual tool to help follow the meaning of her coordinates. 54 -00:03:48,952 --> 00:03:52,854 +00:05:10,784 --> 00:05:16,900 Her origin though would actually line up with ours, 55 -00:03:52,854 --> 00:03:57,656 +00:05:16,900 --> 00:05:24,428 since everybody agrees on what the coordinates 0,0 should mean. 56 -00:03:57,656 --> 00:04:02,383 +00:05:24,428 --> 00:05:31,838 It's the thing that you get when you scale any vector by zero. 57 -00:04:02,383 --> 00:04:04,860 +00:05:31,838 --> 00:05:35,720 But the direction of her axes and 58 -00:04:04,860 --> 00:04:08,526 +00:05:36,260 --> 00:05:41,475 Those on the x-axis getting stretched out by a factor of 3, 59 -00:04:08,526 --> 00:04:12,620 +00:05:41,475 --> 00:05:47,300 and those on this diagonal line getting stretched by a factor of 2. 60 -00:04:12,620 --> 00:04:16,414 +00:05:47,300 --> 00:06:05,010 Any other vector is going to get rotated somewhat during the transformation, 61 -00:04:16,414 --> 00:04:18,140 +00:06:05,010 --> 00:06:13,060 knocked off the line that it spans. 62 -00:04:18,140 --> 00:04:24,795 +00:06:13,060 --> 00:06:14,406 ks of as negative 1, 2. This process here of scaling each of her basis vectors 63 -00:04:24,795 --> 00:04:31,198 +00:06:14,406 --> 00:06:15,702 by the corresponding coordinates of some vector, then adding them together, 64 -00:04:31,198 --> 00:04:36,674 +00:06:15,702 --> 00:06:16,811 might feel somewhat familiar. It's matrix vector multiplication, 65 -00:04:36,674 --> 00:04:43,414 +00:06:16,811 --> 00:06:18,174 with a matrix whose columns represent Jennifer's basis vectors in our language. 66 -00:04:43,414 --> 00:04:50,155 +00:06:18,174 --> 00:06:19,539 In fact, once you understand matrix vector multiplication as applying a certain 67 -00:04:50,155 --> 00:04:51,840 +00:06:19,539 --> 00:06:19,880 linear transformatio 68 -00:04:51,840 --> 00:04:57,142 +00:06:19,880 --> 00:06:22,680 Of course, there's nothing special about stretching versus squishing, 69 -00:04:57,142 --> 00:05:01,460 +00:06:22,680 --> 00:06:24,960 or the fact that these eigenvalues happen to be positive. 70 -00:05:01,460 --> 00:05:04,437 +00:06:24,960 --> 00:06:32,349 In another example, you could have an eigenvector with eigenvalue negative 1 half, 71 -00:05:04,437 --> 00:05:07,020 +00:06:32,349 --> 00:06:38,760 meaning that the vector gets flipped and squished by a factor of 1 half. 72 -00:05:07,020 --> 00:05:11,317 +00:06:38,760 --> 00:06:41,398 pretty intuitive way to think about what's going on here. 73 -00:05:11,317 --> 00:05:16,726 +00:06:41,398 --> 00:06:44,718 A matrix whose columns represent Jennifer's basis vectors can be thought 74 -00:05:16,726 --> 00:05:21,913 +00:06:44,718 --> 00:06:47,902 of as a transformation that moves our basis vectors, i-hat and j-hat, 75 -00:05:21,913 --> 00:05:28,360 +00:06:47,902 --> 00:06:51,860 the things we think of when we say 1, 0 and 0, 1, to Jennifer's basis vectors, the thin 76 -00:05:28,360 --> 00:05:32,638 +00:06:54,160 --> 00:07:03,933 gs she thinks of when she says 1, 0 and 0, 1. To show how this works, 77 -00:05:32,638 --> 00:05:36,978 +00:07:03,933 --> 00:07:13,847 let's walk through what it would mean to take the vector that we think 78 -00:05:36,978 --> 00:05:41,380 +00:07:13,847 --> 00:07:23,900 of as having coordinates negative 1, 2 and applying that transformation. 79 -00:05:41,380 --> 00:05:46,432 +00:07:23,900 --> 00:07:25,448 If you can find an eigenvector for that rotation, 80 -00:05:46,432 --> 00:05:54,820 +00:07:25,448 --> 00:07:28,020 a vector that remains on its own span, what you have found is the axis of rotation. 81 -00:05:54,820 --> 00:05:59,982 +00:07:28,540 --> 00:07:28,020 And it's much easier to think about a 3D rotation in terms of some 82 -00:05:59,982 --> 00:06:04,144 +00:07:28,879 --> 00:07:28,540 axis of rotation and an angle by which it's rotating, 83 -00:06:04,144 --> 00:06:10,540 +00:07:29,300 --> 00:07:28,879 rather than thinking about the full 3x3 matrix associated with that transformation. 84 -00:06:11,120 --> 00:06:15,191 +00:07:29,300 --> 00:07:41,274 In this case, by the way, the corresponding eigenvalue would have to be 1, 85 -00:06:15,191 --> 00:06:17,905 +00:07:41,274 --> 00:07:49,257 since rotations never stretch or squish anything, 86 -00:06:17,905 --> 00:06:20,620 +00:07:49,257 --> 00:07:57,240 so the length of the vector would remain the same. 87 -00:06:21,680 --> 00:06:20,620 +00:07:58,220 --> 00:08:07,240 This pattern shows up a lot in linear algebra. 88 -00:06:21,680 --> 00:06:23,048 +00:08:08,160 --> 00:08:15,833 With any linear transformation described by a matrix, 89 -00:06:23,048 --> 00:06:25,228 +00:08:15,833 --> 00:08:28,053 you could understand what it's doing by reading off the columns of this matrix as the 90 -00:06:25,228 --> 00:06:26,040 +00:08:28,053 --> 00:08:32,600 landing spots for basis vectors. 91 -00:06:26,040 --> 00:06:30,973 +00:08:32,600 --> 00:08:39,284 But often, a better way to get at the heart of what the linear 92 -00:06:30,973 --> 00:06:37,474 +00:08:39,284 --> 00:08:48,091 transformation actually does, less dependent on your particular coordinate system, 93 -00:06:37,474 --> 00:06:40,920 +00:08:48,091 --> 00:08:52,760 is to find the eigenvectors and eigenvalues. 94 -00:06:40,920 --> 00:06:43,611 +00:08:52,760 --> 00:08:56,585 we get using the same coordinates but in our system, 95 -00:06:43,611 --> 00:06:46,709 +00:08:56,585 --> 00:09:00,988 then it transforms it into the vector that she really meant. 96 -00:06:46,709 --> 00:06:50,823 +00:09:00,988 --> 00:09:06,834 What about going the other way around? In the example I used earlier this video, 97 -00:06:50,823 --> 00:06:53,820 +00:09:06,834 --> 00:09:11,092 when I had the vector with coordinates 3, 2 in our system, 98 -00:06:53,820 --> 00:06:57,020 +00:09:11,092 --> 00:09:15,640 how did I compute that it would have coordinates 5 thirds and 1 99 -00:06:57,020 --> 00:07:01,280 +00:09:16,220 --> 00:09:29,640 Symbolically, here's what the idea of an eigenvector looks like. 100 -00:07:01,280 --> 00:07:08,226 +00:09:29,640 --> 00:09:34,552 A is the matrix representing some transformation, with v as the eigenvector, 101 -00:07:08,226 --> 00:07:13,640 +00:09:34,552 --> 00:09:38,380 and lambda is a number, namely the corresponding eigenvalue. 102 -00:07:14,420 --> 00:07:19,478 +00:09:39,000 --> 00:09:39,495 e. In this case, the inverse of the change of basis matrix that has Jennifer's 103 -00:07:19,478 --> 00:07:23,703 +00:09:39,495 --> 00:09:39,909 basis as its columns ends up working out to have columns 1 third, 104 -00:07:23,703 --> 00:07:29,018 +00:09:39,909 --> 00:09:40,429 negative 1 third, and 1 third, 2 thirds. So for example, to see what the vector 3, 105 -00:07:29,018 --> 00:07:33,820 +00:09:40,429 --> 00:09:40,900 2 looks like in Jennifer's system, we multiply this inverse change of basis 106 -00:07:33,820 --> 00:07:39,038 +00:09:40,900 --> 00:09:53,667 matrix by the vector 3, 2, which works out to be 5 thirds, 1 third. So that, 107 -00:07:39,038 --> 00:07:44,325 +00:09:53,667 --> 00:10:06,600 in a nutshell, is how to translate the description of individual vectors back 108 -00:07:44,325 --> 00:07:49,680 +00:10:06,600 --> 00:10:19,700 and forth between coordinate systems. The matrix whose columns represent Jennif 109 -00:07:49,680 --> 00:07:53,227 +00:10:19,700 --> 00:10:21,400 er's basis vectors, but written in our coordinates, 110 -00:07:53,227 --> 00:07:57,047 +00:10:21,400 --> 00:10:23,231 translates vectors from her language into our language. 111 -00:07:57,047 --> 00:08:02,231 +00:10:23,231 --> 00:10:25,717 And the inverse matrix does the opposite. But vectors aren't the only thing 112 -00:08:02,231 --> 00:08:06,051 +00:10:25,717 --> 00:10:27,548 that we describe using coordinates. For this next part, 113 -00:08:06,051 --> 00:08:11,986 +00:10:27,548 --> 00:10:30,393 it's important that you're all comfortable representing transformations with matrices, 114 -00:08:11,986 --> 00:08:14,920 +00:10:30,393 --> 00:10:31,800 and that you know how matrix multiplication 115 -00:08:14,920 --> 00:08:16,581 +00:10:31,800 --> 00:10:38,562 So let's start by rewriting that right-hand side as some kind of matrix-vector 116 -00:08:16,581 --> 00:08:18,389 +00:10:38,562 --> 00:10:45,924 multiplication, using a matrix which has the effect of scaling any vector by a factor 117 -00:08:18,389 --> 00:08:18,600 +00:10:45,924 --> 00:10:46,780 of lambda. 118 -00:08:20,080 --> 00:08:26,656 +00:10:46,980 --> 00:10:54,011 The columns of such a matrix will represent what happens to each basis vector, 119 -00:08:26,656 --> 00:08:31,151 +00:10:54,011 --> 00:10:58,818 and each basis vector is simply multiplied by lambda, 120 -00:08:31,151 --> 00:08:38,559 +00:10:58,818 --> 00:11:06,740 so this matrix will have the number lambda down the diagonal, with zeros everywhere else. 121 -00:08:40,480 --> 00:08:45,977 +00:11:06,740 --> 00:11:09,771 the columns of our matrix. But this representation is heavily tied up in our choice 122 -00:08:45,977 --> 00:08:51,540 +00:11:09,771 --> 00:11:12,840 of basis vectors, from the fact that we're following i-hat and j-hat in the first pla 123 -00:08:51,540 --> 00:08:59,156 +00:11:12,840 --> 00:11:20,758 With both sides looking like matrix-vector multiplication, 124 -00:08:59,156 --> 00:09:07,160 +00:11:20,758 --> 00:11:29,080 we can subtract off that right-hand side and factor out the v. 125 -00:09:07,160 --> 00:09:10,952 +00:11:29,080 --> 00:11:31,101 So what we now have is a new matrix, A minus lambda times the identity, 126 -00:09:10,952 --> 00:09:15,640 +00:11:31,101 --> 00:11:33,600 and we're looking for a vector v such that this new matrix times v gives the zero vector. 127 -00:09:16,220 --> 00:09:22,149 +00:11:35,540 --> 00:11:51,563 s land, and it needs to describe those landing spots in her language. 128 -00:09:22,149 --> 00:09:26,300 +00:11:51,563 --> 00:12:02,780 Here's a common way to think of how this is done. 129 -00:09:28,320 --> 00:09:34,540 +00:12:03,460 --> 00:12:28,020 What we want is a non-zero eigenvector. 130 -00:09:35,350 --> 00:09:43,505 +00:12:29,900 --> 00:12:32,960 And if you watch chapter 5 and 6, you'll know that the only way it's possible 131 -00:09:43,505 --> 00:09:51,451 +00:12:32,960 --> 00:12:35,942 for the product of a matrix with a non-zero vector to become zero is if the 132 -00:09:51,451 --> 00:09:59,920 +00:12:35,942 --> 00:12:39,120 transformation associated with that matrix squishes space into a lower dimension. 133 -00:09:59,920 --> 00:10:02,880 +00:12:39,120 --> 00:13:09,460 And that squishification corresponds to a zero determinant for the matrix. 134 -00:10:02,880 --> 00:10:05,524 +00:13:09,460 --> 00:13:20,676 To be concrete, let's say your matrix A has columns 2, 1 and 2, 3, 135 -00:10:05,524 --> 00:10:08,840 +00:13:20,676 --> 00:13:34,740 and think about subtracting off a variable amount, lambda, from each diagonal entry. 136 -00:10:09,640 --> 00:10:16,160 +00:13:34,740 --> 00:13:54,400 Now imagine tweaking lambda, turning a knob to change its value. 137 -00:10:16,160 --> 00:10:17,977 +00:13:57,100 --> 00:14:02,734 As that value of lambda changes, the matrix itself changes, 138 -00:10:17,977 --> 00:10:19,340 +00:14:02,734 --> 00:14:06,960 and so the determinant of the matrix changes. 139 -00:10:19,340 --> 00:10:22,666 +00:14:06,960 --> 00:14:12,063 ou work through it, has columns one third, five thirds, and negative two thirds, 140 -00:10:22,666 --> 00:10:25,336 +00:14:12,063 --> 00:14:16,158 negative one third. So if Jennifer multiplies that matrix by the 141 -00:10:25,336 --> 00:10:28,129 +00:14:16,158 --> 00:14:20,442 coordinates of a vector in her system, it will return the 90 degree 142 -00:10:28,129 --> 00:10:30,840 +00:14:20,442 --> 00:14:24,600 rotated version of that vector expressed in her coordinate system. 143 -00:10:30,840 --> 00:10:34,300 +00:14:25,700 --> 00:14:32,440 In this case, the sweet spot comes when lambda equals 1. 144 -00:10:35,220 --> 00:10:34,300 +00:14:36,080 --> 00:14:37,860 Of course, if we had chosen some other matrix, the eigenvalue might not necessarily be 1. 145 -00:10:35,220 --> 00:10:43,308 +00:14:37,860 --> 00:14:40,966 A inverse times M times A, it suggests a mathematical sort of empathy. 146 -00:10:43,308 --> 00:10:47,980 +00:14:40,966 --> 00:14:42,760 That middle matrix represents a transform 147 -00:10:47,980 --> 00:10:49,690 +00:14:42,760 --> 00:14:47,676 ation of some kind as you see it, and the outer two matrices represent the empathy, 148 -00:10:49,690 --> 00:10:50,200 +00:14:47,676 --> 00:14:49,140 the shift in perspective. 149 -00:10:50,720 --> 00:10:54,172 +00:14:49,140 --> 00:14:54,174 And the full matrix product represents that same transformation, 150 -00:10:54,172 --> 00:10:58,633 +00:14:54,174 --> 00:15:00,680 but as someone else sees it. For those of you wondering why we care about alternate 151 -00:10:58,633 --> 00:11:03,200 +00:15:00,680 --> 00:15:07,341 coordinate systems, the next video on eigenvectors and eigenvalues will give a really 152 -00:11:03,200 --> 00:11:04,900 +00:15:07,341 --> 00:15:09,820 important example of this. See y 153 -00:11:04,900 --> 00:11:11,760 +00:15:09,820 --> 00:15:09,820 That means there's a non-zero vector v such that A minus 154 -00:11:11,760 --> 00:11:18,620 +00:15:09,820 --> 00:15:09,820 lambda times the identity times v equals the zero vector. 155 -00:11:18,620 --> 00:11:21,692 +00:15:09,820 --> 00:15:13,982 And remember, the reason we care about that is because it means A times v 156 -00:11:21,692 --> 00:11:24,764 +00:15:13,982 --> 00:15:18,145 equals lambda times v, which you can read off as saying that the vector v 157 -00:11:24,764 --> 00:11:27,920 +00:15:18,145 --> 00:15:22,420 is an eigenvector of A, staying on its own span during the transformation A. 158 -00:11:28,840 --> 00:11:35,744 +00:15:22,800 --> 00:15:23,850 In this example, the corresponding eigenvalue is 1, 159 -00:11:35,744 --> 00:11:41,720 +00:15:23,850 --> 00:15:24,760 so v would actually just stay fixed in place. 160 -00:11:41,720 --> 00:11:47,840 +00:15:24,760 --> 00:15:36,500 Pause and ponder if you need to make sure that that line of reasoning feels good. 161 -00:11:48,740 --> 00:11:54,540 +00:15:37,440 --> 00:15:54,320 This is the kind of thing I mentioned in the introduction. 162 -00:11:55,680 --> 00:12:00,482 +00:15:55,800 --> 00:15:59,034 If you didn't have a solid grasp of determinants and why they 163 -00:12:00,482 --> 00:12:05,517 +00:15:59,034 --> 00:16:02,425 relate to linear systems of equations having non-zero solutions, 164 -00:12:05,517 --> 00:12:10,320 +00:16:02,425 --> 00:16:05,660 an expression like this would feel completely out of the blue. 165 -00:12:10,320 --> 00:12:15,824 +00:16:05,660 --> 00:16:11,527 To see this in action, let's revisit the example from the start, 166 -00:12:15,824 --> 00:12:19,720 +00:16:11,527 --> 00:16:15,680 with a matrix whose columns are 3, 0 and 1, 2. 167 -00:12:21,080 --> 00:12:22,972 +00:16:16,620 --> 00:16:22,585 To find if a value lambda is an eigenvalue, subtract it from 168 -00:12:22,972 --> 00:12:24,740 +00:16:22,585 --> 00:16:28,160 the diagonals of this matrix and compute the determinant. 169 -00:12:25,340 --> 00:12:28,723 +00:16:29,120 --> 00:16:37,873 Doing this, we get a certain quadratic polynomial in lambda, 170 -00:12:28,723 --> 00:12:30,720 +00:16:37,873 --> 00:16:43,040 3 minus lambda times 2 minus lambda. 171 -00:12:30,720 --> 00:12:34,323 +00:16:43,040 --> 00:16:44,121 Since lambda can only be an eigenvalue if this determinant happens to be zero, 172 -00:12:34,323 --> 00:12:38,109 +00:16:44,121 --> 00:16:45,256 you can conclude that the only possible eigenvalues are lambda equals 2 and lambda 173 -00:12:38,109 --> 00:12:38,520 +00:16:45,256 --> 00:16:45,380 equals 3. 174 -00:12:38,520 --> 00:12:50,262 +00:16:45,435 --> 00:16:45,380 To figure out what the eigenvectors are that actually have one of these eigenvalues, 175 -00:12:50,262 --> 00:13:00,347 +00:16:45,494 --> 00:16:45,380 say lambda equals 2, plug in that value of lambda to the matrix and then 176 -00:13:00,347 --> 00:13:09,880 +00:16:45,538 --> 00:16:45,380 solve for which vectors this diagonally altered matrix sends to zero. 177 -00:13:11,480 --> 00:13:15,207 +00:16:45,643 --> 00:16:45,380 If you computed this the way you would any other linear system, 178 -00:13:15,207 --> 00:13:19,749 +00:16:45,690 --> 00:16:45,380 you'd see that the solutions are all the vectors on the diagonal line spanned 179 -00:13:19,749 --> 00:13:20,740 +00:16:45,705 --> 00:16:45,380 by negative 1, 1. 180 -00:13:20,740 --> 00:13:23,330 +00:16:45,900 --> 00:16:45,380 This corresponds to the fact that the unaltered matrix, 3, 0, 1, 181 -00:13:23,330 --> 00:13:26,000 +00:16:45,900 --> 00:16:45,380 2, has the effect of stretching all those vectors by a factor of 2. 182 -00:13:26,620 --> 00:13:31,140 +00:16:45,900 --> 00:16:45,380 Now, a 2D transformation doesn't have to have eigenvectors. 183 -00:13:31,140 --> 00:13:36,420 +00:16:45,900 --> 00:16:45,435 For example, consider a rotation by 90 degrees. 184 -00:13:36,420 --> 00:13:46,720 +00:16:45,900 --> 00:16:45,494 This doesn't have any eigenvectors since it rotates every vector off of its own span. 185 -00:13:46,720 --> 00:13:55,848 +00:16:45,900 --> 00:16:45,538 If you actually try computing the eigenvalues of a rotation like this, 186 -00:13:55,848 --> 00:13:58,420 +00:16:45,900 --> 00:16:45,643 notice what happens. 187 -00:13:58,420 --> 00:14:01,060 +00:16:45,900 --> 00:16:45,690 Its matrix has columns 0, 1 and negative 1, 0. 188 -00:14:01,780 --> 00:14:03,020 +00:16:45,900 --> 00:16:45,705 Subtract off lambda from the diagonal elements and look for when the determinant is zero. 189 -00:14:03,020 --> 00:14:08,340 +00:16:45,900 --> 00:16:46,119 In this case, you get the polynomial lambda squared plus 1. 190 -00:14:09,420 --> 00:14:09,580 +00:16:46,119 --> 00:16:46,119 The only roots of that polynomial are the imaginary numbers, i and negative i. 191 -00:14:09,580 --> 00:14:20,920 +00:16:46,119 --> 00:16:46,119 The fact that there are no real number solutions indicates that there are no eigenvectors. 192 -00:14:20,920 --> 00:14:31,320 +00:16:46,119 --> 00:16:46,119 Another pretty interesting example worth holding in the back of your mind is a shear. 193 -00:14:31,740 --> 00:14:43,620 +00:16:46,119 --> 00:16:46,119 This fixes i-hat in place and moves j-hat 1 over, so its matrix has columns 1, 0 and 1, 1. 194 -00:14:43,620 --> 00:14:48,313 +00:16:46,119 --> 00:16:46,120 All of the vectors on the x-axis are eigenvectors 195 -00:14:48,313 --> 00:14:53,100 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 with eigenvalue 1 since they remain fixed in place. 196 -00:14:53,100 --> 00:14:54,860 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 In fact, these are the only eigenvectors. 197 -00:14:54,860 --> 00:15:00,475 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 When you subtract off lambda from the diagonals and compute the determinant, 198 -00:15:00,475 --> 00:15:03,320 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 what you get is 1 minus lambda squared. 199 -00:15:03,320 --> 00:15:11,620 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 And the only root of this expression is lambda equals 1. 200 -00:15:11,980 --> 00:15:13,028 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 This lines up with what we see geometrically, 201 -00:15:13,028 --> 00:15:14,100 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 that all of the eigenvectors have eigenvalue 1. 202 -00:15:14,500 --> 00:15:16,290 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 Keep in mind though, it's also possible to have just one eigenvalue, 203 -00:15:16,290 --> 00:15:17,640 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 but with more than just a line full of eigenvectors. 204 -00:15:17,640 --> 00:15:24,540 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 A simple example is a matrix that scales everything by 2. 205 -00:15:24,540 --> 00:15:28,044 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 The only eigenvalue is 2, but every vector in the 206 -00:15:28,044 --> 00:15:31,760 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 plane gets to be an eigenvector with that eigenvalue. 207 -00:15:31,760 --> 00:15:34,308 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 Now is another good time to pause and ponder some 208 -00:15:34,308 --> 00:15:36,500 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 of this before I move on to the last topic. 209 -00:15:37,440 --> 00:15:42,402 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 I want to finish off here with the idea of an eigenbasis, 210 -00:15:42,402 --> 00:15:46,680 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 which relies heavily on ideas from the last video. 211 -00:15:46,860 --> 00:15:51,900 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 Take a look at what happens if our basis vectors just so happen to be eigenvectors. 212 -00:15:51,900 --> 00:15:53,200 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 For example, maybe i-hat is scaled by negative 1 and j-hat is scaled by 2. 213 -00:15:53,200 --> 00:15:56,962 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 Writing their new coordinates as the columns of a matrix, 214 -00:15:56,962 --> 00:16:00,464 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 notice that those scalar multiples, negative 1 and 2, 215 -00:16:00,464 --> 00:16:05,718 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 which are the eigenvalues of i-hat and j-hat, sit on the diagonal of our matrix, 216 -00:16:05,718 --> 00:16:07,600 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 and every other entry is a 0. 217 -00:16:07,600 --> 00:16:09,194 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 Any time a matrix has zeros everywhere other than the diagonal, 218 -00:16:09,194 --> 00:16:10,440 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 it's called, reasonably enough, a diagonal matrix. 219 -00:16:10,920 --> 00:16:13,287 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 And the way to interpret this is that all the basis vectors are eigenvectors, 220 -00:16:13,287 --> 00:16:15,260 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 with the diagonal entries of this matrix being their eigenvalues. 221 -00:16:15,260 --> 00:16:15,680 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 There are a lot of things that make diagonal matrices much nicer to work with. 222 -00:16:16,620 --> 00:16:17,066 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 One big one is that it's easier to compute what will happen 223 -00:16:17,066 --> 00:16:17,520 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 if you multiply this matrix by itself a whole bunch of times. 224 -00:16:17,520 --> 00:16:20,495 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 Since all one of these matrices does is scale each basis vector by some eigenvalue, 225 -00:16:20,495 --> 00:16:22,194 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 applying that matrix many times, say 100 times, 226 -00:16:22,194 --> 00:16:24,992 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 is just going to correspond to scaling each basis vector by the 100th power of 227 -00:16:24,992 --> 00:16:26,020 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 the corresponding eigenvalue. 228 -00:16:26,020 --> 00:16:27,160 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 In contrast, try computing the 100th power of a non-diagonal matrix. 229 -00:16:27,160 --> 00:16:30,700 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 Really, try it for a moment. 230 -00:16:30,700 --> 00:16:30,860 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 It's a nightmare. 231 -00:16:30,860 --> 00:16:39,060 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 Of course, you'll rarely be so lucky as to have your basis vectors also be eigenvectors. 232 -00:16:39,060 --> 00:16:39,060 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 But if your transformation has a lot of eigenvectors, 233 -00:16:39,060 --> 00:16:39,060 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 like the one from the start of this video, enough so that you can choose a set that 234 -00:16:39,060 --> 00:16:39,060 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 spans the full space, then you could change your coordinate system so that these 235 -00:16:39,060 --> 00:16:39,060 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 eigenvectors are your basis vectors. 236 -00:16:39,060 --> 00:16:41,123 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 I talked about change of basis last video, but I'll go through 237 -00:16:41,123 --> 00:16:43,186 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 a super quick reminder here of how to express a transformation 238 -00:16:43,186 --> 00:16:45,380 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 currently written in our coordinate system into a different system. 239 -00:16:45,426 --> 00:16:45,380 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 Take the coordinates of the vectors that you want to use as a new basis, 240 -00:16:45,549 --> 00:16:45,380 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 which in this case means our two eigenvectors, 241 -00:16:45,601 --> 00:16:45,380 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 then make those coordinates the columns of a matrix, known as the change of basis matrix. 242 -00:16:45,648 --> 00:16:45,380 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 When you sandwich the original transformation, 243 -00:16:45,652 --> 00:16:45,426 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 putting the change of basis matrix on its right and the inverse of the 244 -00:16:45,687 --> 00:16:45,549 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 change of basis matrix on its left, the result will be a matrix representing 245 -00:16:45,718 --> 00:16:45,601 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 that same transformation, but from the perspective of the new basis 246 -00:16:45,815 --> 00:16:45,648 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 vectors coordinate system. 247 -00:16:45,900 --> 00:16:45,652 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 The whole point of doing this with eigenvectors is that this new matrix is 248 -00:16:45,900 --> 00:16:45,687 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 guaranteed to be diagonal with its corresponding eigenvalues down that diagonal. 249 -00:16:45,900 --> 00:16:45,718 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 This is because it represents working in a coordinate system where what 250 -00:16:45,900 --> 00:16:45,815 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 happens to the basis vectors is that they get scaled during the transformation. 251 -00:16:45,900 --> 00:16:46,033 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 A set of basis vectors which are also eigenvectors is called, 252 -00:16:46,033 --> 00:16:46,119 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 again, reasonably enough, an eigenbasis. 253 -00:16:46,119 --> 00:16:46,120 +00:16:46,120 --> 00:16:46,120 So if, for example, you needed to compute the 100th power of this matrix, 254 diff --git a/2016/change-of-basis/vietnamese/auto_generated.srt b/2016/change-of-basis/vietnamese/auto_generated.srt index d1ca1834c..2cf1310a1 100644 --- a/2016/change-of-basis/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2016/change-of-basis/vietnamese/auto_generated.srt @@ -23,12 +23,12 @@ Bây giờ, cách mô tả tọa độ theo định hướng đại số tuyến mỗi số này là một đại lượng vô hướng, một thứ kéo dài hoặc nén các vectơ. 7 -00:00:42,960 --> 00:00:50,189 -Bạn coi tọa độ đầu tiên đó là tỷ lệ i-hat, vectơ có độ dài 1 chỉ về bên phải, +00:00:42,960 --> 00:00:50,190 +Bạn coi tọa độ đầu tiên đó là tỷ lệ i-mũ, vectơ có độ dài 1 chỉ về bên phải, 8 -00:00:50,189 --> 00:00:57,140 -trong khi tọa độ thứ hai tỷ lệ j-hat, vectơ có độ dài 1 chỉ thẳng lên trên. +00:00:50,190 --> 00:00:57,140 +trong khi tọa độ thứ hai tỷ lệ j-mũ, vectơ có độ dài 1 chỉ thẳng lên trên. 9 00:00:57,140 --> 00:01:00,480 @@ -43,28 +43,28 @@ Bạn có thể coi hai vectơ đặc biệt này như gói gọn tất cả các giả định ngầm định của hệ tọa độ của chúng ta. 12 -00:01:07,940 --> 00:01:10,637 +00:01:07,940 --> 00:01:10,657 Thực tế là số đầu tiên biểu thị chuyển động sang phải, 13 -00:01:10,637 --> 00:01:14,758 +00:01:10,657 --> 00:01:14,808 số thứ hai biểu thị chuyển động đi lên, chính xác một đơn vị khoảng cách là bao xa, 14 -00:01:14,758 --> 00:01:18,044 -tất cả những điều đó đều gắn liền với việc lựa chọn i-hat và j-hat +00:01:14,808 --> 00:01:18,217 +tất cả những điều đó đều gắn liền với việc lựa chọn i-mũ và j-mũ làm 15 -00:01:18,044 --> 00:01:21,380 -làm các vectơ vô hướng tọa độ có nghĩa là để thực sự mở rộng quy mô. +00:01:18,217 --> 00:01:21,380 +các vectơ vô hướng tọa độ có nghĩa là để thực sự mở rộng quy mô. 16 -00:01:21,380 --> 00:01:25,233 +00:01:21,380 --> 00:01:25,278 Bất kỳ cách nào để dịch giữa vectơ và tập hợp số đều được gọi là hệ tọa độ và hai vectơ 17 -00:01:25,233 --> 00:01:29,000 -đặc biệt i-hat và j-hat được gọi là vectơ cơ sở của hệ tọa độ tiêu chuẩn của chúng ta. +00:01:25,278 --> 00:01:29,000 +đặc biệt i-mũ và j-mũ được gọi là vectơ cơ sở của hệ tọa độ tiêu chuẩn của chúng ta. 18 00:01:29,500 --> 00:01:41,620 @@ -87,16 +87,16 @@ Vectơ cơ sở đầu tiên của cô ấy, b1, chỉ lên trên và sang phả và vectơ thứ hai, b2, chỉ sang trái và lên trên. 23 -00:01:45,800 --> 00:01:46,991 +00:01:45,800 --> 00:01:47,007 Bây giờ hãy nhìn lại vectơ mà tôi đã trình bày trước đó, 24 -00:01:46,991 --> 00:01:48,224 +00:01:47,007 --> 00:01:48,256 vectơ mà bạn và tôi sẽ mô tả bằng cách sử dụng tọa độ 3,2, 25 -00:01:48,224 --> 00:01:49,040 -sử dụng các vectơ cơ sở i-hat và j-hat. +00:01:48,256 --> 00:01:49,040 +sử dụng các vectơ cơ sở i-mũ và j-mũ. 26 00:01:49,040 --> 00:01:59,800 @@ -191,11 +191,11 @@ Nhưng lưới đó chỉ là một cấu trúc, một cách để trực quan h của chúng ta và do đó nó phụ thuộc vào sự lựa chọn cơ sở của chúng ta. 49 -00:03:09,520 --> 00:03:12,044 -span trong quá trình biến đổi này là âm 1, 1. Hãy để tôi +00:03:09,520 --> 00:03:11,954 +span trong quá trình biến đổi này là âm 1, 1. Để tôi 50 -00:03:12,044 --> 00:03:14,480 +00:03:11,954 --> 00:03:14,480 nói nhanh một chút về cách tôi biểu diễn mọi thứ ở đây. 51 @@ -303,19 +303,19 @@ bài này, Chương 3, sẽ có một cách khá trực quan để suy nghĩ v đây. 77 -00:05:16,700 --> 00:05:20,180 +00:05:16,700 --> 00:05:20,205 Một ma trận có các cột biểu thị các vectơ cơ sở của Jennifer có thể được 78 -00:05:20,180 --> 00:05:23,470 +00:05:20,205 --> 00:05:23,517 coi là một phép biến đổi làm di chuyển các vectơ cơ sở của chúng ta, 79 -00:05:23,470 --> 00:05:26,617 -i-hat và j-hat, những thứ chúng ta nghĩ đến khi nói 1, 0 và 0, 1, +00:05:23,517 --> 00:05:26,590 +i-mũ và j-mũ, những thứ chúng ta nghĩ đến khi nói 1, 0 và 0, 1, 80 -00:05:26,617 --> 00:05:30,480 +00:05:26,590 --> 00:05:30,480 với các vectơ cơ sở của Jennifer, những điều cô ấy nghĩ đến khi nói 1, 0 và 0, 1. 81 @@ -327,24 +327,24 @@ với các vectơ cơ sở của Jennifer, những điều cô ấy nghĩ đến lấy vectơ mà chúng ta nghĩ là có tọa độ âm 1, 2 và áp dụng phép biến đổi đó. 83 -00:05:41,380 --> 00:05:43,297 +00:05:41,380 --> 00:05:43,311 Trước khi chuyển đổi tuyến tính, chúng ta coi vectơ này là một tổ hợp 84 -00:05:43,297 --> 00:05:45,380 -tuyến tính nhất định của các vectơ cơ sở, âm 1 nhân i-hat cộng 2 nhân j-hat. +00:05:43,311 --> 00:05:45,380 +tuyến tính nhất định của các vectơ cơ sở, âm 1 nhân i-hat cộng 2 nhân j-mũ. 85 -00:05:45,380 --> 00:05:51,720 +00:05:45,380 --> 00:05:51,788 Và đặc điểm chính của phép biến đổi tuyến tính là vectơ kết 86 -00:05:51,720 --> 00:05:58,377 +00:05:51,788 --> 00:05:58,517 quả sẽ là tổ hợp tuyến tính tương tự nhưng có vectơ cơ sở mới, 87 -00:05:58,377 --> 00:06:05,140 -âm 1 nhân nơi i-hat hạ xuống cộng với 2 nhân nơi j-hat tiếp đất. +00:05:58,517 --> 00:06:05,140 +âm 1 nhân nơi i-mũ hạ xuống cộng với 2 nhân nơi j-mũ hạ xuống. 88 00:06:05,140 --> 00:06:09,905 @@ -491,35 +491,35 @@ Hãy xem xét một số phép biến đổi tuyến tính, chẳng hạn như xoay 90 độ ngược chiều kim đồng hồ. 124 -00:08:41,240 --> 00:08:45,083 +00:08:41,240 --> 00:08:45,151 Khi bạn và tôi biểu diễn điều này bằng một ma trận, 125 -00:08:45,083 --> 00:08:49,740 -chúng ta sẽ lần theo vị trí của các vectơ cơ sở i-hat và j-hat. +00:08:45,151 --> 00:08:49,740 +chúng ta sẽ lần theo vị trí của các vectơ cơ sở i-mũ và j-mũ. 126 00:08:49,740 --> 00:08:57,280 -i-hat kết thúc tại vị trí có tọa độ 0, 1 và j-hat kết thúc tại vị trí có tọa độ âm 1, 0. +i-mũ kết thúc tại vị trí có tọa độ 0, 1 và j-mũ kết thúc tại vị trí có tọa độ âm 1, 0. 127 00:08:58,320 --> 00:08:57,280 Vì vậy, những tọa độ đó trở thành các cột của ma trận của chúng ta. 128 -00:08:58,320 --> 00:09:05,946 -Nhưng cách biểu diễn này bị ràng buộc chặt chẽ với sự lựa chọn của chúng ta về vectơ +00:08:58,320 --> 00:09:05,465 +Nhưng cách biểu diễn này bị ràng buộc chặt chẽ với sự lựa chọn của chúng ta về 129 -00:09:05,946 --> 00:09:12,405 -cơ sở, từ thực tế là chúng ta đang theo dõi i-hat và j-hat ngay từ đầu, +00:09:05,465 --> 00:09:12,339 +vectơ cơ sở, từ thực tế là chúng ta đang theo dõi i-mũ và j-mũ ngay từ đầu, 130 -00:09:12,405 --> 00:09:19,673 +00:09:12,339 --> 00:09:19,665 đến thực tế là chúng ta đang ghi lại điểm hạ xuống của chúng trong hệ tọa độ của 131 -00:09:19,673 --> 00:09:20,660 +00:09:19,665 --> 00:09:20,660 riêng mình. 132 @@ -535,15 +535,15 @@ Bạn có thể muốn dịch các cột của ma trận xoay của chúng tôi Nhưng điều đó không hoàn toàn đúng. 135 -00:09:32,200 --> 00:09:40,805 -Các cột đó biểu thị vị trí của vectơ cơ sở i-hat và j-hat của chúng tôi, +00:09:32,200 --> 00:09:40,572 +Các cột đó biểu thị vị trí của vectơ cơ sở i-mũ và j-mũ của chúng ta, 136 -00:09:40,805 --> 00:09:48,821 +00:09:40,572 --> 00:09:48,706 nhưng ma trận mà Jennifer muốn phải biểu thị vị trí của vectơ cơ sở 137 -00:09:48,821 --> 00:09:56,720 +00:09:48,706 --> 00:09:56,720 của cô ấy và nó cần mô tả các điểm đích đó bằng ngôn ngữ của cô ấy. 138 @@ -687,15 +687,15 @@ Và tích ma trận đầy đủ thể hiện sự biến đổi tương tự đ nhưng theo cách nhìn của người khác. 173 -00:12:09,320 --> 00:12:13,361 -Đối với những ai thắc mắc tại sao chúng tôi quan tâm đến các hệ tọa độ thay thế, +00:12:09,320 --> 00:12:13,333 +Đối với những ai thắc mắc tại sao chúng ta quan tâm đến các hệ tọa độ thay thế, 174 -00:12:13,361 --> 00:12:17,850 +00:12:13,333 --> 00:12:17,848 video tiếp theo về vectơ riêng và giá trị riêng sẽ đưa ra một ví dụ thực sự quan trọng về 175 -00:12:17,850 --> 00:12:18,300 +00:12:17,848 --> 00:12:18,300 điều này. 176 diff --git a/2016/cross-products/vietnamese/auto_generated.srt b/2016/cross-products/vietnamese/auto_generated.srt index 01079bfcc..ec3477926 100644 --- a/2016/cross-products/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2016/cross-products/vietnamese/auto_generated.srt @@ -1,9 +1,9 @@ 1 -00:00:09,020 --> 00:00:13,018 -Video trước tôi đã nói về tích số chấm, hiển thị cả phần giới thiệu tiêu chuẩn về +00:00:09,020 --> 00:00:13,043 +Video trước tôi đã nói về tích vô hướng, hiển thị cả phần giới thiệu tiêu chuẩn về 2 -00:00:13,018 --> 00:00:17,260 +00:00:13,043 --> 00:00:17,260 chủ đề cũng như cái nhìn sâu hơn về cách nó liên quan đến các phép biến đổi tuyến tính. 3 @@ -19,20 +19,20 @@ cùng với sự hiểu biết sâu sắc hơn về các phép biến đổi tuy nhưng lần này tôi sẽ chia nó thành hai video riêng biệt. 6 -00:00:29,520 --> 00:00:33,076 +00:00:29,520 --> 00:00:33,009 Ở đây, tôi sẽ cố gắng nhấn mạnh những điểm chính mà học sinh thường 7 -00:00:33,076 --> 00:00:35,640 -được biết về tích chéo và trong video tiếp theo, +00:00:33,009 --> 00:00:35,729 +được biết về tích có hướng và trong video tiếp theo, 8 -00:00:35,640 --> 00:00:39,144 -tôi sẽ trình bày một quan điểm ít được dạy hơn nhưng thực sự khiến +00:00:35,729 --> 00:00:39,373 +tôi sẽ trình bày một quan điểm ít được dạy hơn nhưng thực sự khiến bạn 9 -00:00:39,144 --> 00:00:40,400 -bạn hài lòng khi học nó. +00:00:39,373 --> 00:00:40,400 +hài lòng khi học nó. 10 00:00:40,820 --> 00:00:41,860 @@ -40,7 +40,7 @@ Chúng ta sẽ bắt đầu ở hai chiều. 11 00:00:42,360 --> 00:00:47,380 -Nếu bạn có hai vectơ v và w, hãy nghĩ về hình bình hành mà chúng trải dài. +Nếu bạn có hai vectơ v và w, hãy nghĩ về hình bình hành mà chúng trải rộng ra. 12 00:00:47,940 --> 00:00:52,417 @@ -55,11 +55,11 @@ và bạn lấy một bản sao của w và di chuyển đuôi của nó đến thì bốn vectơ bây giờ trên màn hình bao quanh một hình bình hành nhất định. 15 -00:01:02,040 --> 00:01:05,900 -Tích chéo của v và w, viết bằng ký hiệu nhân dạng x, +00:01:02,040 --> 00:01:06,024 +Tích có hướng của v và w, viết bằng ký hiệu nhân dạng x, 16 -00:01:05,900 --> 00:01:08,960 +00:01:06,024 --> 00:01:08,960 chính là diện tích của hình bình hành này. 17 @@ -87,32 +87,32 @@ tức là diện tích âm của hình bình hành đó. Lưu ý điều này có nghĩa là thứ tự quan trọng. 23 -00:01:31,120 --> 00:01:33,948 -Nếu bạn hoán đổi v và w, thay vì lấy w chéo v, +00:01:31,120 --> 00:01:34,239 +Nếu bạn hoán đổi v và w, thay vì lấy w nhân có hướng v, 24 -00:01:33,948 --> 00:01:37,860 +00:01:34,239 --> 00:01:37,860 tích có hướng sẽ trở thành số âm của bất kỳ giá trị nào trước đó. 25 -00:01:39,040 --> 00:01:43,373 -Cách tôi luôn nhớ thứ tự ở đây là khi bạn lấy tích có hướng của +00:01:39,040 --> 00:01:43,168 +Cách tôi luôn nhớ thứ tự ở đây là khi bạn lấy tích có hướng 26 -00:01:43,373 --> 00:01:47,640 -hai vectơ cơ sở theo thứ tự i-hat chéo j-hat, kết quả sẽ dương. +00:01:43,168 --> 00:01:47,640 +của hai vectơ cơ sở theo thứ tự i-mũ chéo j-mũ, kết quả sẽ dương. 27 00:01:48,220 --> 00:01:52,000 Trong thực tế, thứ tự của các vectơ cơ sở là thứ xác định hướng. 28 -00:01:52,480 --> 00:01:56,114 -Vì vậy, vì i-hat ở bên phải j-hat, tôi nhớ rằng +00:01:52,480 --> 00:01:56,190 +Vì vậy, vì i-mũ ở bên phải j-mũ, tôi nhớ rằng v 29 -00:01:56,114 --> 00:01:59,900 -v chéo w phải dương bất cứ khi nào v ở bên phải w. +00:01:56,190 --> 00:01:59,900 +nhân w phải dương bất cứ khi nào v ở bên phải w. 30 00:02:01,740 --> 00:02:04,340 @@ -124,22 +124,22 @@ chỉ cho bạn biết diện tích của hình bình hành đó là 7. 32 00:02:07,760 --> 00:02:13,860 -Và vì v ở bên trái của w, nên tích có hướng sẽ âm, nên v chéo w là âm 7. +Và vì v ở bên trái của w, nên tích có hướng sẽ âm, nên v nhân w là âm 7. 33 00:02:15,800 --> 00:02:19,600 -Nhưng tất nhiên, bạn muốn có thể tính được số này mà không cần ai cho bạn biết diện tích. +Nhưng tất nhiên, bạn có thể tính được số này mà không cần ai cho bạn biết diện tích. 34 00:02:20,380 --> 00:02:22,580 Đây là nơi định thức xuất hiện. 35 -00:02:23,080 --> 00:02:25,597 -Vì vậy, nếu bạn chưa xem chương 5 của loạt bài này, +00:02:23,080 --> 00:02:25,480 +Vậy nếu bạn chưa xem chương 5 của loạt bài này, 36 -00:02:25,597 --> 00:02:29,180 +00:02:25,480 --> 00:02:29,180 nơi tôi nói về định thức, thì bây giờ là thời điểm thực sự tốt để xem qua. 37 @@ -155,36 +155,36 @@ tôi khuyên bạn nên xem xét lại chỉ để đảm bảo rằng những mới mẻ trong tâm trí bạn. 40 -00:02:37,140 --> 00:02:41,071 -Đối với tích 2D, v chéo w, điều bạn làm là viết tọa độ của +00:02:37,140 --> 00:02:41,202 +Đối với tích có hướng 2D, v nhân w, điều bạn làm là viết tọa độ 41 -00:02:41,071 --> 00:02:46,934 -v làm cột đầu tiên của ma trận, và bạn lấy tọa độ của w và đặt chúng thành cột thứ hai, +00:02:41,202 --> 00:02:45,201 +của v làm cột đầu tiên của ma trận, và bạn lấy tọa độ của w và 42 -00:02:46,934 --> 00:02:49,200 -sau đó bạn chỉ cần tính định thức. +00:02:45,201 --> 00:02:49,200 +đặt chúng thành cột thứ hai, sau đó bạn chỉ cần tính định thức. 43 -00:02:51,320 --> 00:02:56,350 +00:02:51,320 --> 00:02:56,419 Điều này là do ma trận có các cột biểu thị v và w tương ứng với một phép 44 -00:02:56,350 --> 00:03:01,380 -biến đổi tuyến tính di chuyển các vectơ cơ sở i-hat và j-hat sang v và w. +00:02:56,419 --> 00:03:01,380 +biến đổi tuyến tính di chuyển các vectơ cơ sở i-mũ và j-mũ sang v và w. 45 -00:03:06,260 --> 00:03:09,610 +00:03:06,260 --> 00:03:09,646 Yếu tố quyết định chủ yếu là đo lường diện tích thay đổi như 46 -00:03:09,610 --> 00:03:13,069 +00:03:09,646 --> 00:03:13,144 thế nào do một phép biến đổi, và diện tích nguyên mẫu mà chúng 47 -00:03:13,069 --> 00:03:16,420 -ta đang xem xét là hình vuông đơn vị nằm trên i-hat và j-hat. +00:03:13,144 --> 00:03:16,420 +ta đang xem xét là hình vuông đơn vị nằm trên i-mũ và j-mũ. 48 00:03:17,080 --> 00:03:22,020 @@ -360,7 +360,7 @@ Sử dụng quy tắc bàn tay phải, tích có hướng của chúng sẽ ch 91 00:06:36,100 --> 00:06:39,680 -Vậy tích có hướng của hai vectơ này là âm 4 lần i-hat. +Vậy tích có hướng của hai vectơ này là âm 4 lần i-mũ. 92 00:06:45,500 --> 00:06:49,527 @@ -384,7 +384,7 @@ Bạn viết ra một ma trận 3D trong đó cột thứ hai và thứ ba chứ 97 00:07:05,560 --> 00:07:10,480 -Nhưng đối với cột đầu tiên đó, bạn viết các vectơ cơ sở i-hat, j-hat và k-hat. +Nhưng đối với cột đầu tiên đó, bạn viết các vectơ cơ sở i-hat, j-mũ và k-mũ. 98 00:07:11,440 --> 00:07:14,340 @@ -392,7 +392,7 @@ Sau đó, bạn tính định thức của ma trận này. 99 00:07:15,300 --> 00:07:16,940 -Sự ngớ ngẩn có lẽ rõ ràng ở đây. +Có lẽ là sự ngớ ngẩn rõ ràng ở đây. 100 00:07:17,240 --> 00:07:20,780 @@ -403,11 +403,11 @@ Việc đặt một vectơ làm phần tử của ma trận có ý nghĩa gì? Học sinh thường được bảo rằng đây chỉ là một thủ thuật ký hiệu. 102 -00:07:25,540 --> 00:07:29,364 -Khi bạn thực hiện các phép tính như thể i-hat, j-hat và k-hat là các số, +00:07:25,540 --> 00:07:29,286 +Khi bạn thực hiện các phép tính như thể i-mũ, j-mũ và k-mũ là các số, 103 -00:07:29,364 --> 00:07:32,980 +00:07:29,286 --> 00:07:32,980 thì bạn sẽ nhận được tổ hợp tuyến tính nào đó của các vectơ cơ sở đó. 104 @@ -464,7 +464,7 @@ Phần quan trọng ở đây là phải biết vectơ tích có hướng đó b 117 00:08:28,140 --> 00:08:30,040 -Vì vậy, nếu bạn muốn bỏ qua video tiếp theo, hãy thoải mái. +Vậy nếu bạn muốn bỏ qua và đến video tiếp, hãy thoải mái. 118 00:08:30,580 --> 00:08:34,079 diff --git a/2016/inverse-matrices/arabic/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/arabic/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..81fad3335 --- /dev/null +++ b/2016/inverse-matrices/arabic/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,576 @@ +1 +00:00:10,240 --> 00:00:14,600 +كما يمكنك أن تقول الآن، فإن الجزء الأكبر من هذه السلسلة يدور حول فهم + +2 +00:00:14,600 --> 00:00:19,340 +عمليات المصفوفة والمتجهات من خلال تلك العدسة الأكثر وضوحًا للتحولات الخطية. + +3 +00:00:19,980 --> 00:00:23,781 +وهذا الفيديو ليس استثناءً، فهو يصف مفاهيم المصفوفات العكسية، + +4 +00:00:23,781 --> 00:00:27,520 +ومساحة العمود، والرتبة، والمساحة الخالية من خلال تلك العدسة. + +5 +00:00:27,520 --> 00:00:30,810 +ومع ذلك، كتحذير مسبق، لن أتحدث عن طرق حساب هذه + +6 +00:00:30,810 --> 00:00:34,240 +الأشياء فعليًا، وقد يجادل البعض بأن هذا مهم جدًا. + +7 +00:00:34,840 --> 00:00:38,513 +هناك الكثير من الموارد الجيدة جدًا لتعلم تلك الأساليب خارج + +8 +00:00:38,513 --> 00:00:42,000 +هذه السلسلة، والكلمات الرئيسية الحذف الغوسي ونموذج الصف. + +9 +00:00:42,540 --> 00:00:46,340 +أعتقد أن معظم القيمة التي يجب أن أضيفها هنا هي في النصف الخاص بالحدس. + +10 +00:00:46,900 --> 00:00:48,652 +بالإضافة إلى ذلك، من الناحية العملية، عادةً ما + +11 +00:00:48,652 --> 00:00:50,480 +نحصل على برنامج لحساب هذه الأشياء لنا على أي حال. + +12 +00:00:51,500 --> 00:00:53,920 +أولاً، بضع كلمات عن فائدة الجبر الخطي. + +13 +00:00:54,300 --> 00:00:57,495 +الآن، لديك بالفعل تلميح لكيفية استخدامه في وصف التلاعب + +14 +00:00:57,495 --> 00:01:01,040 +بالفضاء، وهو أمر مفيد لأشياء مثل رسومات الكمبيوتر والروبوتات. + +15 +00:01:01,500 --> 00:01:06,009 +لكن أحد الأسباب الرئيسية التي تجعل الجبر الخطي قابلاً للتطبيق على نطاق أوسع + +16 +00:01:06,009 --> 00:01:10,460 +ومطلوبًا لأي تخصص تقني تقريبًا هو أنه يتيح لنا حل أنظمة معينة من المعادلات. + +17 +00:01:11,380 --> 00:01:14,654 +عندما أقول نظام المعادلات، أعني أن لديك قائمة بالمتغيرات، + +18 +00:01:14,654 --> 00:01:17,760 +والأشياء التي لا تعرفها، وقائمة المعادلات المتعلقة بها. + +19 +00:01:18,340 --> 00:01:21,600 +في كثير من المواقف، يمكن أن تصبح هذه المعادلات معقدة للغاية. + +20 +00:01:22,120 --> 00:01:25,300 +لكن، إذا كنت محظوظًا، فقد تتخذ شكلًا خاصًا معينًا. + +21 +00:01:26,440 --> 00:01:31,848 +داخل كل معادلة، الشيء الوحيد الذي يحدث لكل متغير هو أنه يتم قياسه بواسطة بعض الثوابت، + +22 +00:01:31,848 --> 00:01:36,880 +والشيء الوحيد الذي يحدث لكل من تلك المتغيرات المقاسة هو إضافتها إلى بعضها البعض. + +23 +00:01:37,540 --> 00:01:42,280 +لذلك لا توجد أسس أو دوال خيالية أو ضرب متغيرين معًا، أشياء من هذا القبيل. + +24 +00:01:43,420 --> 00:01:47,745 +الطريقة النموذجية لتنظيم هذا النوع من نظام المعادلات الخاص هي + +25 +00:01:47,745 --> 00:01:52,140 +إلقاء جميع المتغيرات على اليسار ووضع أي ثوابت باقية على اليمين. + +26 +00:01:53,600 --> 00:01:57,770 +من الجيد أيضًا ترتيب المتغيرات المشتركة عموديًا، وللقيام بذلك، قد تحتاج + +27 +00:01:57,770 --> 00:02:01,940 +إلى إضافة بعض المعاملات الصفرية عندما لا يظهر المتغير في إحدى المعادلات. + +28 +00:02:04,540 --> 00:02:07,240 +وهذا ما يسمى نظام المعادلات الخطية. + +29 +00:02:08,100 --> 00:02:11,180 +قد تلاحظ أن هذا يشبه إلى حد كبير ضرب المصفوفة والمتجه. + +30 +00:02:11,820 --> 00:02:16,900 +في الواقع، يمكنك تجميع كل المعادلات معًا في معادلة متجهة واحدة حيث يكون + +31 +00:02:16,900 --> 00:02:21,558 +لديك مصفوفة تحتوي على جميع المعاملات الثابتة ومتجه يحتوي على جميع + +32 +00:02:21,558 --> 00:02:26,780 +المتغيرات، وحاصل ضرب المصفوفة والمتجه يساوي بعض المتجهات الثابتة المختلفة. + +33 +00:02:28,640 --> 00:02:32,938 +دعنا نسمي تلك المصفوفة الثابتة A، ونشير إلى المتجه الذي يحمل المتغيرات + +34 +00:02:32,938 --> 00:02:37,480 +بعلامة X ذات الوجه الغامق، ونسمي المتجه الثابت الموجود على الجانب الأيمن V. + +35 +00:02:38,860 --> 00:02:42,980 +هذه أكثر من مجرد خدعة رمزية لكتابة نظام المعادلات في سطر واحد. + +36 +00:02:43,340 --> 00:02:46,780 +إنه يلقي الضوء على تفسير هندسي رائع لهذه المشكلة. + +37 +00:02:47,620 --> 00:02:52,769 +تتوافق المصفوفة A مع بعض التحويلات الخطية، لذا فإن حل Ax يساوي V + +38 +00:02:52,769 --> 00:02:57,920 +يعني أننا نبحث عن المتجه X، والذي، بعد تطبيق التحويل، يهبط على V. + +39 +00:02:59,940 --> 00:03:01,780 +فكر في ما يحدث هنا للحظة. + +40 +00:03:02,060 --> 00:03:07,329 +يمكنك أن تحمل في رأسك هذه الفكرة المعقدة حقًا عن المتغيرات المتعددة التي تتداخل جميعها مع + +41 +00:03:07,329 --> 00:03:12,600 +بعضها البعض فقط من خلال التفكير في سحق الفضاء وتحويله ومحاولة معرفة أي متجه يستقر على آخر. + +42 +00:03:13,160 --> 00:03:13,760 +رائع، أليس كذلك؟ + +43 +00:03:14,600 --> 00:03:18,680 +لتبدأ بشكل بسيط، لنفترض أن لديك نظامًا يحتوي على معادلتين ومجهولين. + +44 +00:03:19,000 --> 00:03:23,960 +هذا يعني أن المصفوفة A هي مصفوفة 2x2، وV وX متجهان ثنائي الأبعاد. + +45 +00:03:25,600 --> 00:03:32,062 +الآن، كيف نفكر في حلول هذه المعادلة يعتمد على ما إذا كان التحويل المرتبط بـ A يسحق كل + +46 +00:03:32,062 --> 00:03:38,599 +الفضاء إلى بعد أقل، مثل خط أو نقطة، أو إذا ترك كل شيء يمتد على البعدين الكاملين من حيث + +47 +00:03:38,599 --> 00:03:38,900 +بدأ. + +48 +00:03:40,320 --> 00:03:44,034 +بلغة الفيديو الأخير، نقسم الحالات التي يكون فيها A + +49 +00:03:44,034 --> 00:03:48,040 +محددًا صفريًا والحالة التي يكون فيها A محددًا غير صفري. + +50 +00:03:51,300 --> 00:03:54,542 +لنبدأ بالحالة الأكثر احتمالا، حيث يكون المحدد غير + +51 +00:03:54,542 --> 00:03:57,720 +صفر، مما يعني أن الفضاء لا ينضغط إلى منطقة الصفر. + +52 +00:03:58,600 --> 00:04:02,315 +في هذه الحالة، سيكون هناك دائمًا متجه واحد فقط يصل إلى V، + +53 +00:04:02,315 --> 00:04:06,160 +ويمكنك العثور عليه من خلال تشغيل التحويل في الاتجاه المعاكس. + +54 +00:04:06,700 --> 00:04:10,017 +باتباع المكان الذي تذهب إليه V أثناء إعادة لف الشريط + +55 +00:04:10,017 --> 00:04:13,460 +بهذه الطريقة، ستجد المتجه x حيث A مضروبًا في x يساوي V. + +56 +00:04:15,400 --> 00:04:20,072 +عندما تقوم بالتحويل في الاتجاه المعاكس، فإنه يتوافق في الواقع مع تحويل + +57 +00:04:20,072 --> 00:04:24,680 +خطي منفصل، يُطلق عليه عادة معكوس A، والذي يشير إلى A إلى الرقم السالب. + +58 +00:04:25,360 --> 00:04:28,920 +على سبيل المثال، إذا كان A يدور في اتجاه عقارب الساعة بمقدار 90 + +59 +00:04:28,920 --> 00:04:32,760 +درجة، فإن معكوس A سيكون دورانًا في اتجاه عقارب الساعة بمقدار 90 درجة. + +60 +00:04:34,320 --> 00:04:38,461 +إذا كان A عبارة عن قص إلى اليمين يدفع j-hat وحدة واحدة إلى اليمين، + +61 +00:04:38,461 --> 00:04:42,480 +فإن عكس A سيكون قصًا إلى اليسار يدفع j-hat وحدة واحدة إلى اليسار. + +62 +00:04:44,100 --> 00:04:48,790 +بشكل عام، المعكوس هو التحويل الفريد الذي يتمتع بخاصية أنه إذا قمت بتطبيق + +63 +00:04:48,790 --> 00:04:53,480 +A لأول مرة، ثم أتبعته بالتحويل A معكوس، فسوف ينتهي بك الأمر إلى حيث بدأت. + +64 +00:04:54,540 --> 00:04:59,086 +يتم تطبيق تحويل تلو الآخر جبريًا من خلال ضرب المصفوفات، وبالتالي + +65 +00:04:59,086 --> 00:05:03,562 +فإن الخاصية الأساسية لهذا التحويل A معكوس هي أن A معكوس مضروبًا + +66 +00:05:03,562 --> 00:05:07,340 +في A يساوي المصفوفة التي تتوافق مع عدم القيام بأي شيء. + +67 +00:05:08,200 --> 00:05:11,320 +التحول الذي لا يفعل شيئًا يسمى تحول الهوية. + +68 +00:05:11,780 --> 00:05:18,080 +إنه يترك i-hat وj-hat في مكانهما، دون تغيير، لذا فإن أعمدته هي 1,0 و0,1. + +69 +00:05:19,980 --> 00:05:23,608 +بمجرد العثور على هذا المعكوس، وهو ما ستفعله عمليًا باستخدام + +70 +00:05:23,608 --> 00:05:27,720 +الكمبيوتر، يمكنك حل المعادلة عن طريق ضرب هذه المصفوفة المعكوسة في v. + +71 +00:05:29,960 --> 00:05:36,440 +ومرة أخرى، ما يعنيه هذا هندسيًا هو أنك تقوم بالتحويل في الاتجاه المعاكس وتتبع v. + +72 +00:05:40,200 --> 00:05:44,020 +هذه الحالة المحددة غير الصفرية، والتي هي الأكثر احتمالية + +73 +00:05:44,020 --> 00:05:48,042 +للاختيار العشوائي للمصفوفة، تتوافق مع فكرة أنه إذا كان لديك + +74 +00:05:48,042 --> 00:05:52,400 +مجهولين ومعادلتين، فمن المؤكد تقريبًا أن هناك حلًا فريدًا واحدًا. + +75 +00:05:53,680 --> 00:05:59,200 +هذه الفكرة منطقية أيضًا في الأبعاد الأعلى، عندما يساوي عدد المعادلات عدد المجهولين. + +76 +00:05:59,380 --> 00:06:06,060 +مرة أخرى، يمكن ترجمة نظام المعادلات إلى تفسير هندسي حيث يكون لديك + +77 +00:06:06,060 --> 00:06:12,740 +بعض التحويلات A وبعض المتجهات v، وتبحث عن المتجه x الذي يقع على v. + +78 +00:06:15,740 --> 00:06:20,996 +طالما أن التحويل A لا يسحق كل الفضاء في بعد أقل، مما يعني أن محدده + +79 +00:06:20,996 --> 00:06:26,018 +ليس صفرًا، فسيكون هناك تحويل عكسي A معكوس، مع خاصية أنه إذا قمت + +80 +00:06:26,018 --> 00:06:31,040 +بـ A أولاً، فإنك تقوم بـ A معكوسًا ، إنه مثل عدم القيام بأي شيء. + +81 +00:06:33,540 --> 00:06:39,440 +ولحل المعادلة، عليك فقط ضرب مصفوفة التحويل العكسي في المتجه v. + +82 +00:06:43,500 --> 00:06:47,738 +لكن عندما يكون المحدد صفرًا، والتحول المرتبط بنظام + +83 +00:06:47,738 --> 00:06:52,060 +المعادلات يسحق الفضاء إلى بُعد أصغر، فلا يوجد معكوس. + +84 +00:06:52,480 --> 00:06:55,460 +لا يمكنك فك خط لتحويله إلى مستوى. + +85 +00:06:55,980 --> 00:06:58,060 +على الأقل هذا ليس شيئًا يمكن للوظيفة القيام به. + +86 +00:06:58,360 --> 00:07:02,980 +قد يتطلب ذلك تحويل كل متجه على حدة إلى خط كامل مليء بالمتجهات. + +87 +00:07:03,740 --> 00:07:06,740 +لكن الوظائف يمكنها فقط أن تأخذ مدخلاً واحدًا إلى مخرج واحد. + +88 +00:07:08,400 --> 00:07:13,837 +وبالمثل، بالنسبة لثلاث معادلات وثلاثة مجاهيل، لن يكون هناك معكوس إذا كان التحويل + +89 +00:07:13,837 --> 00:07:19,140 +المقابل يسحق مساحة ثلاثية الأبعاد على المستوى، أو حتى إذا ضغطها على خط أو نقطة. + +90 +00:07:19,920 --> 00:07:25,160 +كل هذه تتوافق مع محدد صفر، حيث يتم ضغط أي منطقة إلى شيء بحجم صفر. + +91 +00:07:26,700 --> 00:07:30,640 +لا يزال من الممكن وجود الحل حتى في حالة عدم وجود معكوس. + +92 +00:07:30,720 --> 00:07:35,168 +كل ما في الأمر هو أنه عندما يضغط تحويلك الفضاء على خط ما، على سبيل المثال، + +93 +00:07:35,168 --> 00:07:39,380 +يجب أن تكون محظوظًا بما يكفي لأن المتجه v يعيش في مكان ما على هذا الخط. + +94 +00:07:43,300 --> 00:07:48,300 +قد تلاحظ أن بعض هذه الحالات الصفرية المحددة تبدو أكثر تقييدًا من غيرها. + +95 +00:07:48,840 --> 00:07:54,405 +بالنظر إلى مصفوفة 3x3، على سبيل المثال، يبدو أنه من الصعب جدًا إيجاد حل عندما يضغط + +96 +00:07:54,405 --> 00:08:00,240 +الفضاء على خط مقارنة عندما يضغط الأشياء على المستوى، على الرغم من أن كلاهما ليس محددًا. + +97 +00:08:02,600 --> 00:08:06,100 +لدينا لغة أكثر تحديدًا من مجرد قول المحدد صفر. + +98 +00:08:06,520 --> 00:08:13,500 +عندما يكون ناتج التحويل خطًا، أي أنه أحادي البعد، نقول إن التحويل له رتبة واحدة. + +99 +00:08:15,140 --> 00:08:20,420 +إذا استقرت جميع المتجهات على مستوى ثنائي الأبعاد، نقول إن التحويل له المرتبة الثانية. + +100 +00:08:22,920 --> 00:08:27,480 +لذا فإن كلمة رتبة تعني عدد الأبعاد في مخرجات التحويل. + +101 +00:08:28,400 --> 00:08:32,720 +على سبيل المثال، في حالة المصفوفات 2x2، المرتبة الثانية هي أفضل ما يمكن أن تكون عليه. + +102 +00:08:33,080 --> 00:08:39,020 +ويعني ذلك أن المتجهات الأساسية تستمر في تغطية البعدين الكاملين للمكان، والمحدد ليس صفرًا. + +103 +00:08:39,419 --> 00:08:42,997 +لكن بالنسبة للمصفوفات 3x3، المرتبة الثانية تعني أننا انهارنا، + +104 +00:08:42,997 --> 00:08:46,460 +ولكن ليس بالقدر الذي كانت ستنهار فيه في حالة المرتبة الأولى. + +105 +00:08:47,240 --> 00:08:50,362 +إذا كان التحويل ثلاثي الأبعاد يحتوي على محدد غير صفري وكان ناتجه + +106 +00:08:50,362 --> 00:08:53,340 +يملأ كل المساحة ثلاثية الأبعاد، فإنه يحصل على المرتبة الثالثة. + +107 +00:08:54,520 --> 00:08:58,528 +هذه المجموعة من جميع المخرجات الممكنة للمصفوفة، سواء كانت خطًا أو + +108 +00:08:58,528 --> 00:09:02,720 +مستوى أو مساحة ثلاثية الأبعاد، أو أيًا كان، تسمى مساحة عمود المصفوفة. + +109 +00:09:04,140 --> 00:09:06,280 +ربما يمكنك تخمين من أين يأتي هذا الاسم. + +110 +00:09:06,560 --> 00:09:11,321 +تخبرك أعمدة المصفوفة بمكان تواجد المتجهات الأساسية، ويمنحك + +111 +00:09:11,321 --> 00:09:15,840 +مدى تلك المتجهات الأساسية المحولة جميع المخرجات الممكنة. + +112 +00:09:16,360 --> 00:09:21,140 +بمعنى آخر، مساحة العمود هي امتداد أعمدة المصفوفة. + +113 +00:09:23,300 --> 00:09:28,940 +لذا فإن التعريف الأكثر دقة للرتبة هو عدد الأبعاد في مساحة العمود. + +114 +00:09:29,940 --> 00:09:32,882 +عندما تكون هذه المرتبة عالية قدر الإمكان، أي أنها + +115 +00:09:32,882 --> 00:09:36,120 +تساوي عدد الأعمدة، فإننا نسمي المصفوفة المرتبة الكاملة. + +116 +00:09:38,540 --> 00:09:42,307 +لاحظ أنه سيتم دائمًا تضمين المتجه الصفري في مساحة العمود، نظرًا + +117 +00:09:42,307 --> 00:09:45,840 +لأن التحويلات الخطية يجب أن تحافظ على الأصل ثابتًا في مكانه. + +118 +00:09:46,900 --> 00:09:49,509 +بالنسبة لتحويل الرتبة الكاملة، فإن المتجه الوحيد + +119 +00:09:49,509 --> 00:09:51,960 +الذي يصل إلى نقطة الأصل هو المتجه الصفري نفسه. + +120 +00:09:52,460 --> 00:09:55,610 +لكن بالنسبة للمصفوفات التي ليست ذات رتبة كاملة، والتي تضغط إلى بُعد + +121 +00:09:55,610 --> 00:09:58,760 +أصغر، يمكن أن يكون لديك مجموعة كاملة من المتجهات التي تصل إلى الصفر. + +122 +00:10:01,640 --> 00:10:05,987 +إذا أدى تحويل ثنائي الأبعاد إلى سحق الفضاء على خط ما، على سبيل المثال، + +123 +00:10:05,987 --> 00:10:10,580 +فهناك خط منفصل في اتجاه مختلف مليء بالمتجهات التي يتم سحقها على نقطة الأصل. + +124 +00:10:11,780 --> 00:10:14,621 +إذا أدى تحويل ثلاثي الأبعاد إلى سحق الفضاء على مستوى، + +125 +00:10:14,621 --> 00:10:17,620 +فهناك أيضًا خط كامل من المتجهات التي تهبط على نقطة الأصل. + +126 +00:10:20,520 --> 00:10:23,905 +إذا أدى التحويل ثلاثي الأبعاد إلى سحق كل المساحة على خط ما، + +127 +00:10:23,905 --> 00:10:27,460 +فسيكون هناك مستوى كامل مليء بالمتجهات التي تهبط على نقطة الأصل. + +128 +00:10:32,800 --> 00:10:38,780 +تسمى هذه المجموعة من المتجهات التي تصل إلى نقطة الأصل بالفضاء الفارغ، أو نواة المصفوفة. + +129 +00:10:39,360 --> 00:10:44,180 +إنه الفضاء لجميع المتجهات التي تصبح فارغة، بمعنى أنها تهبط على المتجه الصفري. + +130 +00:10:45,680 --> 00:10:49,495 +فيما يتعلق بنظام المعادلات الخطية، عندما يكون v هو المتجه + +131 +00:10:49,495 --> 00:10:53,640 +الصفري، فإن المساحة الفارغة تمنحك جميع الحلول الممكنة للمعادلة. + +132 +00:10:56,420 --> 00:11:01,720 +هذه نظرة عامة عالية المستوى حول كيفية التفكير في أنظمة المعادلات الخطية هندسيًا. + +133 +00:11:02,300 --> 00:11:06,594 +كل نظام لديه نوع من التحويل الخطي المرتبط به، وعندما يكون + +134 +00:11:06,594 --> 00:11:10,740 +لهذا التحويل معكوس، يمكنك استخدام هذا المعكوس لحل نظامك. + +135 +00:11:12,280 --> 00:11:17,604 +بخلاف ذلك، فإن فكرة مساحة العمود تتيح لنا فهم متى يوجد حل، وتساعدنا فكرة + +136 +00:11:17,604 --> 00:11:23,440 +المساحة الخالية على فهم الشكل الذي يمكن أن تبدو عليه مجموعة جميع الحلول الممكنة. + +137 +00:11:24,980 --> 00:11:29,380 +مرة أخرى، هناك الكثير من الأشياء التي لم أغطيها هنا، وأبرزها كيفية حساب هذه الأشياء. + +138 +00:11:29,800 --> 00:11:34,760 +كان عليّ أيضًا أن أقصر نطاقي على الأمثلة التي يساوي فيها عدد المعادلات عدد المجهولين. + +139 +00:11:34,880 --> 00:11:40,449 +لكن الهدف هنا ليس محاولة تدريس كل شيء، بل أن تحصل على حدس قوي للمصفوفات العكسية، + +140 +00:11:40,449 --> 00:11:46,500 +ومساحة الأعمدة، والمساحة الخالية، وأن هذا الحدس يجعل أي تعلم مستقبلي تقوم به أكثر فائدة. + +141 +00:11:47,660 --> 00:11:49,770 +الفيديو التالي، بناءً على طلب شائع، سيكون عبارة + +142 +00:11:49,770 --> 00:11:51,880 +عن حاشية سفلية مختصرة حول المصفوفات غير المربعة. + +143 +00:11:51,880 --> 00:11:55,842 +وبعد ذلك، سأعطيكم وجهة نظري حول المنتجات النقطية، وشيء + +144 +00:11:55,842 --> 00:11:59,660 +رائع جدًا يحدث عندما تشاهدها تحت ضوء التحولات الخطية. + diff --git a/2016/inverse-matrices/bengali/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/bengali/auto_generated.srt index 4256ebfda..80441e870 100644 --- a/2016/inverse-matrices/bengali/auto_generated.srt +++ b/2016/inverse-matrices/bengali/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:10,239 --> 00:00:14,725 +00:00:10,240 --> 00:00:14,725 আপনি সম্ভবত এখনই বলতে পারেন, এই সিরিজের বেশিরভাগই রৈখিক রূপান্তরগুলির 2 @@ -619,7 +619,7 @@ A এর বিপরীতটি একটি বামমুখী শিয সম্ভাব্য সমাধানগুলির সেটটি কেমন হতে পারে। 156 -00:11:24,979 --> 00:11:26,994 +00:11:24,980 --> 00:11:26,994 আবার, এমন অনেক কিছু আছে যা আমি এখানে কভার করিনি, 157 diff --git a/2016/inverse-matrices/chinese/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/chinese/auto_generated.srt index c7cb0e8ef..ba6f2ad4f 100644 --- a/2016/inverse-matrices/chinese/auto_generated.srt +++ b/2016/inverse-matrices/chinese/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:10,239 --> 00:00:14,996 +00:00:10,240 --> 00:00:14,996 您现在可能已经知道，本系列的大部分内容是通过 2 @@ -591,7 +591,7 @@ inverse，其属性是如果您先执行 A， 么样的。 149 -00:11:24,979 --> 00:11:29,380 +00:11:24,980 --> 00:11:29,380 同样，这里还有很多内容我没有介绍，尤其是如何计算这些东西。 150 diff --git a/2016/inverse-matrices/danish/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/danish/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..f0ff7b820 --- /dev/null +++ b/2016/inverse-matrices/danish/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,720 @@ +1 +00:00:10,240 --> 00:00:14,846 +Som du sikkert kan se nu, handler hovedparten af denne serie om at forstå matrix- + +2 +00:00:14,846 --> 00:00:19,340 +og vektoroperationer gennem den mere visuelle linse af lineære transformationer. + +3 +00:00:19,980 --> 00:00:24,587 +Denne video er ingen undtagelse, der beskriver begreberne omvendte matricer, + +4 +00:00:24,587 --> 00:00:27,520 +søjlerum, rangering og nulrum gennem denne linse. + +5 +00:00:27,520 --> 00:00:32,000 +En forvarsel dog, jeg vil ikke tale om metoderne til faktisk at beregne disse ting, + +6 +00:00:32,000 --> 00:00:34,240 +og nogle vil hævde, at det er ret vigtigt. + +7 +00:00:34,840 --> 00:00:39,308 +Der er mange meget gode ressourcer til at lære disse metoder uden for denne serie, + +8 +00:00:39,308 --> 00:00:42,000 +nøgleord Gaussian elimination og row echelon form. + +9 +00:00:42,540 --> 00:00:45,248 +Jeg tror, at det meste af den værdi, jeg faktisk skal tilføje her, + +10 +00:00:45,248 --> 00:00:46,340 +er på intuitionens halvdel. + +11 +00:00:46,900 --> 00:00:50,480 +Plus, i praksis får vi som regel software til at beregne disse ting for os alligevel. + +12 +00:00:51,500 --> 00:00:53,920 +Først et par ord om anvendeligheden af lineær algebra. + +13 +00:00:54,300 --> 00:00:56,264 +På nuværende tidspunkt har du allerede et tip til, + +14 +00:00:56,264 --> 00:00:58,536 +hvordan det bruges til at beskrive manipulation af rummet, + +15 +00:00:58,536 --> 00:01:01,040 +hvilket er nyttigt til ting som computergrafik og robotteknologi. + +16 +00:01:01,500 --> 00:01:05,979 +Men en af hovedårsagerne til, at lineær algebra er mere bredt anvendelig og påkrævet + +17 +00:01:05,979 --> 00:01:10,460 +for næsten enhver teknisk disciplin, er, at den lader os løse visse ligningssystemer. + +18 +00:01:11,380 --> 00:01:14,818 +Når jeg siger ligningssystem, mener jeg, at du har en liste over variabler, + +19 +00:01:14,818 --> 00:01:17,760 +ting, du ikke ved, og en liste over ligninger, der relaterer dem. + +20 +00:01:18,340 --> 00:01:21,600 +I mange situationer kan disse ligninger blive meget komplicerede. + +21 +00:01:22,120 --> 00:01:25,300 +Men hvis du er heldig, kan de antage en vis speciel form. + +22 +00:01:26,440 --> 00:01:30,047 +Inden for hver ligning er det eneste, der sker med hver variabel, + +23 +00:01:30,047 --> 00:01:32,671 +at den skaleres med en konstant, og det eneste, + +24 +00:01:32,671 --> 00:01:36,880 +der sker med hver af disse skalerede variabler, er, at de føjes til hinanden. + +25 +00:01:37,540 --> 00:01:41,716 +Så ingen eksponenter eller smarte funktioner eller multiplikation af to variable sammen, + +26 +00:01:41,716 --> 00:01:42,280 +sådan noget. + +27 +00:01:43,420 --> 00:01:47,887 +Den typiske måde at organisere denne slags specielle ligningssystem på er at kaste + +28 +00:01:47,887 --> 00:01:52,140 +alle variablerne til venstre og sætte eventuelle dvælende konstanter til højre. + +29 +00:01:53,600 --> 00:01:56,507 +Det er også rart at opstille de almindelige variable lodret, + +30 +00:01:56,507 --> 00:01:59,795 +og for at gøre det skal du muligvis indsætte nogle nulkoefficienter, + +31 +00:01:59,795 --> 00:02:01,940 +når variablen ikke vises i en af ligningerne. + +32 +00:02:04,540 --> 00:02:07,240 +Dette kaldes et lineært ligningssystem. + +33 +00:02:08,100 --> 00:02:11,180 +Du vil måske bemærke, at dette ligner matrix-vektor multiplikation. + +34 +00:02:11,820 --> 00:02:16,144 +Faktisk kan du pakke alle ligningerne sammen til en enkelt vektorligning, + +35 +00:02:16,144 --> 00:02:20,994 +hvor du har matrixen, der indeholder alle de konstante koefficienter og en vektor, + +36 +00:02:20,994 --> 00:02:25,845 +der indeholder alle variablerne, og deres matrix-vektorprodukt er lig med en anden + +37 +00:02:25,845 --> 00:02:26,780 +konstant vektor. + +38 +00:02:28,640 --> 00:02:31,903 +Lad os navngive den konstantmatrix A, angive vektoren, + +39 +00:02:31,903 --> 00:02:34,988 +der indeholder variablerne med et X med fed skrift, + +40 +00:02:34,988 --> 00:02:37,480 +og kalde konstantvektoren på højre side V. + +41 +00:02:38,860 --> 00:02:41,009 +Dette er mere end blot et notationstrick til at + +42 +00:02:41,009 --> 00:02:42,980 +få vores ligningssystem skrevet på én linje. + +43 +00:02:43,340 --> 00:02:46,780 +Det kaster lys over en ret cool geometrisk fortolkning af problemet. + +44 +00:02:47,620 --> 00:02:50,924 +Matricen A svarer til en eller anden lineær transformation, + +45 +00:02:50,924 --> 00:02:54,780 +så løsning af Ax er lig med V betyder, at vi leder efter en vektor X, + +46 +00:02:54,780 --> 00:02:57,920 +som, efter at have anvendt transformationen, lander på V. + +47 +00:02:59,940 --> 00:03:01,780 +Tænk over, hvad der sker her et øjeblik. + +48 +00:03:02,060 --> 00:03:05,604 +Du kan holde i dit hoved denne virkelig komplicerede idé om flere variabler, + +49 +00:03:05,604 --> 00:03:08,917 +der alle blander sig med hinanden, bare ved at tænke på at squishing og + +50 +00:03:08,917 --> 00:03:12,600 +morphing space og forsøge at finde ud af, hvilken vektor der lander på en anden. + +51 +00:03:13,160 --> 00:03:13,760 +Fedt, ikke? + +52 +00:03:14,600 --> 00:03:18,680 +For at starte enkelt, lad os sige, at du har et system med to ligninger og to ukendte. + +53 +00:03:19,000 --> 00:03:23,960 +Det betyder, at matrixen A er en 2x2 matrix, og V og X er hver todimensionelle vektorer. + +54 +00:03:25,600 --> 00:03:30,000 +Hvordan vi tænker på løsningerne til denne ligning afhænger nu af, om transformationen, + +55 +00:03:30,000 --> 00:03:33,550 +der er forbundet med A, klemmer hele rummet ind i en lavere dimension, + +56 +00:03:33,550 --> 00:03:38,000 +som en linje eller et punkt, eller om den lader alt spænde over de fulde to dimensioner, + +57 +00:03:38,000 --> 00:03:38,900 +hvor den startede. + +58 +00:03:40,320 --> 00:03:43,593 +På sproget i den sidste video opdeler vi i tilfælde, + +59 +00:03:43,593 --> 00:03:48,040 +hvor A har nul determinant og tilfælde, hvor A har ikke-nul determinant. + +60 +00:03:51,300 --> 00:03:54,766 +Lad os starte med det mest sandsynlige tilfælde, hvor determinanten er ikke-nul, + +61 +00:03:54,766 --> 00:03:57,720 +hvilket betyder, at rummet ikke bliver klemt ind i et område med nul. + +62 +00:03:58,600 --> 00:04:02,806 +I dette tilfælde vil der altid være én og kun én vektor, der lander på V, + +63 +00:04:02,806 --> 00:04:06,160 +og du kan finde den ved at spille transformationen omvendt. + +64 +00:04:06,700 --> 00:04:10,249 +Efter hvor V går, mens vi spoler båndet tilbage på denne måde, + +65 +00:04:10,249 --> 00:04:13,460 +vil du finde vektoren x sådan, at A gange x er lig med V. + +66 +00:04:15,400 --> 00:04:20,011 +Når du spiller transformationen omvendt, svarer den faktisk til en separat lineær + +67 +00:04:20,011 --> 00:04:24,680 +transformation, almindeligvis kaldet den inverse af A, betegnet A til den negative. + +68 +00:04:25,360 --> 00:04:28,886 +For eksempel, hvis A var en rotation mod uret med 90 grader, + +69 +00:04:28,886 --> 00:04:32,760 +så ville det omvendte af A være en rotation med uret med 90 grader. + +70 +00:04:34,320 --> 00:04:37,898 +Hvis A var en forskydning til højre, der skubber j-hat en enhed til højre, + +71 +00:04:37,898 --> 00:04:40,618 +ville det omvendte af A være en forskydning til venstre, + +72 +00:04:40,618 --> 00:04:42,480 +der skubber j-hat en enhed til venstre. + +73 +00:04:44,100 --> 00:04:47,604 +Generelt er A invers den unikke transformation med den egenskab, + +74 +00:04:47,604 --> 00:04:51,593 +at hvis du først anvender A, så følger den med transformationen A invers, + +75 +00:04:51,593 --> 00:04:53,480 +ender du tilbage, hvor du startede. + +76 +00:04:54,540 --> 00:04:58,862 +Anvendelse af den ene transformation efter den anden indfanges algebraisk med + +77 +00:04:58,862 --> 00:05:03,128 +matrixmultiplikation, så kerneegenskaben i denne transformation A invers er, + +78 +00:05:03,128 --> 00:05:07,340 +at A invers gange A er lig med den matrix, der svarer til at gøre ingenting. + +79 +00:05:08,200 --> 00:05:11,320 +Den transformation, der ikke gør noget, kaldes identitetstransformationen. + +80 +00:05:11,780 --> 00:05:15,066 +Den efterlader i-hat og j-hat hver, hvor de er, + +81 +00:05:15,066 --> 00:05:18,080 +ubevægelige, så dens kolonner er 1,0 og 0,1. + +82 +00:05:19,980 --> 00:05:24,231 +Når du har fundet denne inverse, som du i praksis ville gøre med en computer, + +83 +00:05:24,231 --> 00:05:27,720 +kan du løse din ligning ved at gange denne inverse matrix med v. + +84 +00:05:29,960 --> 00:05:33,131 +Og igen, hvad dette betyder geometrisk er, at + +85 +00:05:33,131 --> 00:05:36,440 +du spiller transformationen omvendt og følger v. + +86 +00:05:40,200 --> 00:05:44,163 +Dette ikke-nul determinant tilfælde, som for et tilfældigt valg af matrix er + +87 +00:05:44,163 --> 00:05:46,686 +langt den mest sandsynlige, svarer til ideen om, + +88 +00:05:46,686 --> 00:05:50,701 +at hvis du har to ubekendte og to ligninger, er det næsten sikkert tilfældet, + +89 +00:05:50,701 --> 00:05:52,400 +at der er en enkelt unik løsning. + +90 +00:05:53,680 --> 00:05:56,259 +Denne idé giver også mening i højere dimensioner, + +91 +00:05:56,259 --> 00:05:59,200 +når antallet af ligninger er lig med antallet af ukendte. + +92 +00:05:59,380 --> 00:06:04,604 +Igen kan ligningssystemet oversættes til den geometriske fortolkning, + +93 +00:06:04,604 --> 00:06:09,306 +hvor du har en eller anden transformation A og noget vektor v, + +94 +00:06:09,306 --> 00:06:12,740 +og du leder efter vektoren x, der lander på v. + +95 +00:06:15,740 --> 00:06:20,111 +Så længe transformationen A ikke klemmer hele rummet ind i en lavere dimension, + +96 +00:06:20,111 --> 00:06:22,843 +hvilket betyder, at dens determinant er ikke-nul, + +97 +00:06:22,843 --> 00:06:26,450 +vil der være en invers transformation A invers, med den egenskab, + +98 +00:06:26,450 --> 00:06:31,040 +at hvis du først gør A, så gør du A invers , det er det samme som at gøre ingenting. + +99 +00:06:33,540 --> 00:06:36,367 +Og for at løse din ligning skal du bare gange + +100 +00:06:36,367 --> 00:06:39,440 +den omvendte transformationsmatrix med vektoren v. + +101 +00:06:43,500 --> 00:06:47,331 +Men når determinanten er nul, og transformationen forbundet med + +102 +00:06:47,331 --> 00:06:52,060 +ligningssystemet klemmer rummet ind i en mindre dimension, er der ingen invers. + +103 +00:06:52,480 --> 00:06:55,460 +Du kan ikke frigøre en linje for at gøre den til et fly. + +104 +00:06:55,980 --> 00:06:58,060 +Det er i hvert fald ikke noget, en funktion kan. + +105 +00:06:58,360 --> 00:07:02,980 +Det ville kræve at transformere hver enkelt vektor til en hel linje fuld af vektorer. + +106 +00:07:03,740 --> 00:07:06,740 +Men funktioner kan kun tage et enkelt input til et enkelt output. + +107 +00:07:08,400 --> 00:07:12,554 +Tilsvarende, for tre ligninger og tre ubekendte, vil der ikke være nogen omvendt, + +108 +00:07:12,554 --> 00:07:15,897 +hvis den tilsvarende transformation klemmer 3D-rum ind på planet, + +109 +00:07:15,897 --> 00:07:19,140 +eller endda hvis den klemmer det ind på en linje eller et punkt. + +110 +00:07:19,920 --> 00:07:22,565 +De svarer alle til en determinant på nul, da enhver + +111 +00:07:22,565 --> 00:07:25,160 +region er presset sammen til noget med nul volumen. + +112 +00:07:26,700 --> 00:07:30,640 +Det er stadig muligt, at der findes en løsning, selvom der ikke er nogen omvendt. + +113 +00:07:30,720 --> 00:07:35,301 +Det er bare, at når din transformation klemmer plads på f.eks. en linje, + +114 +00:07:35,301 --> 00:07:39,380 +skal du være så heldig, at vektoren v lever et sted på den linje. + +115 +00:07:43,300 --> 00:07:45,992 +Du vil måske bemærke, at nogle af disse nuldeterminante + +116 +00:07:45,992 --> 00:07:48,300 +tilfælde føles meget mere restriktive end andre. + +117 +00:07:48,840 --> 00:07:51,335 +Givet en 3x3 matrix, for eksempel, ser det ud til, + +118 +00:07:51,335 --> 00:07:55,640 +at det er meget sværere for en løsning at eksistere, når den klemmer plads på en linje, + +119 +00:07:55,640 --> 00:07:58,282 +sammenlignet med når den klemmer ting ind på et plan, + +120 +00:07:58,282 --> 00:08:00,240 +selvom begge disse er nul-determinanter. + +121 +00:08:02,600 --> 00:08:06,100 +Vi har et sprog, der er lidt mere specifikt end blot at sige nul determinant. + +122 +00:08:06,520 --> 00:08:09,807 +Når outputtet af en transformation er en linje, hvilket betyder, + +123 +00:08:09,807 --> 00:08:13,500 +at den er endimensionel, siger vi, at transformationen har en rang på én. + +124 +00:08:15,140 --> 00:08:17,959 +Hvis alle vektorerne lander på et todimensionalt plan, + +125 +00:08:17,959 --> 00:08:20,420 +siger vi, at transformationen har en rang på to. + +126 +00:08:22,920 --> 00:08:27,480 +Så ordet rang betyder antallet af dimensioner i outputtet af en transformation. + +127 +00:08:28,400 --> 00:08:32,720 +For eksempel, i tilfælde af 2x2 matricer, er rang 2 den bedste, den kan være. + +128 +00:08:33,080 --> 00:08:36,002 +Det betyder, at basisvektorerne fortsætter med at spænde over + +129 +00:08:36,002 --> 00:08:39,020 +de fulde to dimensioner af rummet, og determinanten er ikke nul. + +130 +00:08:39,419 --> 00:08:42,560 +Men for 3x3-matricer betyder rang to, at vi er kollapset, + +131 +00:08:42,560 --> 00:08:46,460 +men ikke så meget, som de ville have kollapset for en rang én situation. + +132 +00:08:47,240 --> 00:08:50,132 +Hvis en 3D-transformation har en ikke-nul determinant, + +133 +00:08:50,132 --> 00:08:53,340 +og dens output fylder hele 3D-rummet, har den en rang på tre. + +134 +00:08:54,520 --> 00:08:58,817 +Dette sæt af alle mulige output for din matrix, hvad enten det er en linje, + +135 +00:08:58,817 --> 00:09:02,720 +et plan, 3D-rum, hvad som helst, kaldes kolonnerummet for din matrix. + +136 +00:09:04,140 --> 00:09:06,280 +Du kan sikkert gætte, hvor det navn kommer fra. + +137 +00:09:06,560 --> 00:09:10,698 +Søjlerne i din matrix fortæller dig, hvor basisvektorerne lander, + +138 +00:09:10,698 --> 00:09:15,840 +og spændvidden af disse transformerede basisvektorer giver dig alle mulige output. + +139 +00:09:16,360 --> 00:09:21,140 +Med andre ord er kolonnerummet spændvidden af kolonnerne i din matrix. + +140 +00:09:23,300 --> 00:09:26,091 +Så en mere præcis definition af rang ville være, + +141 +00:09:26,091 --> 00:09:28,940 +at det er antallet af dimensioner i kolonnerummet. + +142 +00:09:29,940 --> 00:09:32,933 +Når denne rang er så høj som den kan være, hvilket betyder at + +143 +00:09:32,933 --> 00:09:36,120 +den er lig med antallet af kolonner, kalder vi matrixen fuld rang. + +144 +00:09:38,540 --> 00:09:42,217 +Bemærk, at nulvektoren altid vil være inkluderet i kolonnerummet, + +145 +00:09:42,217 --> 00:09:45,840 +da lineære transformationer skal holde oprindelsen fast på plads. + +146 +00:09:46,900 --> 00:09:49,806 +For en fuld rang transformation er den eneste vektor, + +147 +00:09:49,806 --> 00:09:51,960 +der lander ved origo, selve nulvektoren. + +148 +00:09:52,460 --> 00:09:56,211 +Men for matricer, der ikke er fuld rang, som svirper til en mindre dimension, + +149 +00:09:56,211 --> 00:09:58,760 +kan du have en hel masse vektorer, der lander på nul. + +150 +00:10:01,640 --> 00:10:05,448 +Hvis en 2D-transformation klemmer rummet ind på en linje, for eksempel, + +151 +00:10:05,448 --> 00:10:08,675 +er der en separat linje i en anden retning fuld af vektorer, + +152 +00:10:08,675 --> 00:10:10,580 +der bliver klemt ind på oprindelsen. + +153 +00:10:11,780 --> 00:10:14,505 +Hvis en 3D-transformation klemmer rummet ind på et fly, + +154 +00:10:14,505 --> 00:10:17,620 +er der også en hel række af vektorer, der lander på oprindelsen. + +155 +00:10:20,520 --> 00:10:23,629 +Hvis en 3D-transformation klemmer al plads på en linje, + +156 +00:10:23,629 --> 00:10:27,460 +så er der et helt plan fyldt med vektorer, der lander på oprindelsen. + +157 +00:10:32,800 --> 00:10:35,980 +Dette sæt af vektorer, der lander på oprindelsen, + +158 +00:10:35,980 --> 00:10:38,780 +kaldes nullrummet eller kernen i din matrix. + +159 +00:10:39,360 --> 00:10:41,899 +Det er rummet for alle vektorer, der bliver nul, + +160 +00:10:41,899 --> 00:10:44,180 +i den forstand, at de lander på nulvektoren. + +161 +00:10:45,680 --> 00:10:50,313 +Med hensyn til det lineære ligningssystem, når v tilfældigvis er nulvektoren, + +162 +00:10:50,313 --> 00:10:53,640 +giver nulrummet dig alle mulige løsninger til ligningen. + +163 +00:10:56,420 --> 00:10:58,833 +Så det er et meget højt niveau overblik over, + +164 +00:10:58,833 --> 00:11:01,720 +hvordan man tænker lineære ligningssystemer geometrisk. + +165 +00:11:02,300 --> 00:11:06,347 +Hvert system har en eller anden form for lineær transformation forbundet med sig, + +166 +00:11:06,347 --> 00:11:10,740 +og når den transformation har en invers, kan du bruge den inverse til at løse dit system. + +167 +00:11:12,280 --> 00:11:17,528 +Ellers lader ideen om kolonnerum os forstå, hvornår en løsning overhovedet eksisterer, + +168 +00:11:17,528 --> 00:11:20,423 +og ideen om et nulrum hjælper os til at forstå, + +169 +00:11:20,423 --> 00:11:23,440 +hvordan sættet af alle mulige løsninger kan se ud. + +170 +00:11:24,980 --> 00:11:29,380 +Igen, der er meget, som jeg ikke har dækket her, især hvordan man beregner disse ting. + +171 +00:11:29,800 --> 00:11:32,322 +Jeg var også nødt til at begrænse mit omfang til eksempler, + +172 +00:11:32,322 --> 00:11:34,760 +hvor antallet af ligninger er lig med antallet af ukendte. + +173 +00:11:34,880 --> 00:11:37,771 +Men målet her er ikke at forsøge at lære alt, det er, + +174 +00:11:37,771 --> 00:11:41,305 +at du kommer derfra med en stærk intuition for omvendte matricer, + +175 +00:11:41,305 --> 00:11:45,321 +kolonnerum og nulrum, og at disse intuitioner gør enhver fremtidig læring, + +176 +00:11:45,321 --> 00:11:46,500 +du gør, mere frugtbar. + +177 +00:11:47,660 --> 00:11:49,815 +Næste video, efter populær anmodning, vil være + +178 +00:11:49,815 --> 00:11:51,880 +en kort fodnote om ikke-kvadratiske matricer. + +179 +00:11:51,880 --> 00:11:56,064 +Derefter vil jeg give dig mit bud på dot-produkter, og noget ret cool, + +180 +00:11:56,064 --> 00:11:59,660 +der sker, når du ser dem i lyset af lineære transformationer. + diff --git a/2016/inverse-matrices/french/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/french/auto_generated.srt index ebebb2071..fc57f1996 100644 --- a/2016/inverse-matrices/french/auto_generated.srt +++ b/2016/inverse-matrices/french/auto_generated.srt @@ -1,41 +1,41 @@ 1 -00:00:10,240 --> 00:00:12,556 +00:00:10,240 --> 00:00:12,599 Comme vous pouvez probablement le constater maintenant, 2 -00:00:12,556 --> 00:00:15,575 +00:00:12,599 --> 00:00:15,506 l'essentiel de cette série porte sur la compréhension des opérations 3 -00:00:15,575 --> 00:00:18,264 +00:00:15,506 --> 00:00:18,244 matricielles et vectorielles à travers le prisme plus visuel des 4 -00:00:18,264 --> 00:00:19,340 +00:00:18,244 --> 00:00:19,340 transformations linéaires. 5 -00:00:19,980 --> 00:00:23,797 +00:00:19,980 --> 00:00:24,001 Cette vidéo ne fait pas exception, décrivant les concepts de matrices inverses, 6 -00:00:23,797 --> 00:00:27,520 +00:00:24,001 --> 00:00:27,520 d'espace de colonnes, de rang et d'espace nul à travers cette optique. 7 -00:00:27,520 --> 00:00:30,989 -Attention cependant, je ne vais pas parler des méthodes permettant de calculer +00:00:27,520 --> 00:00:30,677 +Attention cependant, je ne vais pas parler des méthodes permettant de 8 -00:00:30,989 --> 00:00:34,240 -réellement ces choses, et certains diraient que c'est assez important. +00:00:30,677 --> 00:00:34,240 +calculer réellement ces choses, et certains diraient que c'est assez important. 9 -00:00:34,840 --> 00:00:38,420 +00:00:34,840 --> 00:00:38,506 Il existe de nombreuses très bonnes ressources pour apprendre ces méthodes en dehors 10 -00:00:38,420 --> 00:00:42,000 +00:00:38,506 --> 00:00:42,000 de cette série, les mots-clés élimination gaussienne et forme d'échelon de ligne. 11 @@ -83,12 +83,12 @@ plus largement applicable et nécessaire à presque toutes les disciplines techniques est qu’elle nous permet de résoudre certains systèmes d’équations. 22 -00:01:11,380 --> 00:01:14,440 -Quand je parle de système d'équations, je veux dire que vous avez une liste de +00:01:11,380 --> 00:01:14,860 +Quand je parle de système d'équations, je veux dire que vous avez une liste de variables, 23 -00:01:14,440 --> 00:01:17,760 -variables, de choses que vous ne connaissez pas, et une liste d'équations les reliant. +00:01:14,860 --> 00:01:17,760 +de choses que vous ne connaissez pas, et une liste d'équations les reliant. 24 00:01:18,340 --> 00:01:21,600 @@ -99,23 +99,23 @@ Dans de nombreuses situations, ces équations peuvent devenir très compliquées Mais si vous avez de la chance, ils pourraient prendre une forme particulière. 26 -00:01:26,440 --> 00:01:29,960 -Dans chaque équation, la seule chose qui arrive à chaque variable est qu'elle est +00:01:26,440 --> 00:01:29,847 +Dans chaque équation, la seule chose qui arrive à chaque variable est qu'elle 27 -00:01:29,960 --> 00:01:33,481 -mise à l'échelle par une constante, et la seule chose qui arrive à chacune de ces +00:01:29,847 --> 00:01:33,298 +est mise à l'échelle par une constante, et la seule chose qui arrive à chacune 28 -00:01:33,481 --> 00:01:36,880 -variables mises à l'échelle est qu'elles sont ajoutées les unes aux autres. +00:01:33,298 --> 00:01:36,880 +de ces variables mises à l'échelle est qu'elles sont ajoutées les unes aux autres. 29 -00:01:37,540 --> 00:01:39,852 +00:01:37,540 --> 00:01:39,770 Donc pas d'exposants ou de fonctions fantaisistes ou de 30 -00:01:39,852 --> 00:01:42,280 +00:01:39,770 --> 00:01:42,280 multiplication de deux variables ensemble, des choses comme ça. 31 @@ -127,15 +127,15 @@ La manière typique d’organiser ce type de système spécial d’équations co à placer toutes les variables à gauche et les constantes persistantes à droite. 33 -00:01:53,600 --> 00:01:56,686 +00:01:53,600 --> 00:01:56,703 Il est également intéressant d'aligner verticalement les variables communes et, 34 -00:01:56,686 --> 00:01:59,404 +00:01:56,703 --> 00:01:59,573 pour ce faire, vous devrez peut-être ajouter des coefficients nuls chaque 35 -00:01:59,404 --> 00:02:01,940 +00:01:59,573 --> 00:02:01,940 fois que la variable n'apparaît pas dans l'une des équations. 36 @@ -203,15 +203,15 @@ après avoir appliqué la transformation, atterrit sur V. Pensez un instant à ce qui se passe ici. 52 -00:03:02,060 --> 00:03:05,667 -Vous pouvez garder en tête cette idée très compliquée de plusieurs variables +00:03:02,060 --> 00:03:05,314 +Vous pouvez garder en tête cette idée très compliquée de plusieurs 53 -00:03:05,667 --> 00:03:08,992 -qui s'entremêlent simplement en pensant à écraser et à transformer +00:03:05,314 --> 00:03:09,054 +variables qui s'entremêlent simplement en pensant à écraser et à transformer 54 -00:03:08,992 --> 00:03:12,600 +00:03:09,054 --> 00:03:12,600 l'espace et en essayant de déterminer quel vecteur atterrit sur un autre. 55 @@ -235,558 +235,542 @@ Cela signifie que la matrice A est une matrice 2x2 et que V et X sont chacun des vecteurs bidimensionnels. 60 -00:03:25,600 --> 00:03:28,979 +00:03:25,600 --> 00:03:29,071 Maintenant, la façon dont nous réfléchissons aux solutions de cette équation 61 -00:03:28,979 --> 00:03:32,271 +00:03:29,071 --> 00:03:32,272 dépend du fait que la transformation associée à A écrase tout l'espace 62 -00:03:32,271 --> 00:03:34,905 +00:03:32,272 --> 00:03:34,977 dans une dimension inférieure, comme une ligne ou un point, 63 -00:03:34,905 --> 00:03:38,153 -ou si elle laisse tout s'étendre sur les deux dimensions complètes là +00:03:34,977 --> 00:03:38,900 +ou si elle laisse tout s'étendre sur les deux dimensions complètes là où il a commencé. 64 -00:03:38,153 --> 00:03:38,900 -où il a commencé. - -65 00:03:40,320 --> 00:03:44,090 Dans le langage de la dernière vidéo, nous subdivisons les cas -66 +65 00:03:44,090 --> 00:03:48,040 où A a un déterminant nul et le cas où A a un déterminant non nul. -67 -00:03:51,300 --> 00:03:54,240 +66 +00:03:51,300 --> 00:03:54,400 Commençons par le cas le plus probable, où le déterminant est non nul, -68 -00:03:54,240 --> 00:03:57,720 +67 +00:03:54,400 --> 00:03:57,720 ce qui signifie que l'espace n'est pas écrasé dans une région de zone nulle. -69 -00:03:58,600 --> 00:04:02,457 +68 +00:03:58,600 --> 00:04:02,565 Dans ce cas, il y aura toujours un et un seul vecteur qui atterrira sur V, -70 -00:04:02,457 --> 00:04:06,160 +69 +00:04:02,565 --> 00:04:06,160 et vous pourrez le retrouver en jouant la transformation à l'envers. -71 +70 00:04:06,700 --> 00:04:10,272 En suivant où va V lorsque nous rembobinons la bande comme ceci, -72 +71 00:04:10,272 --> 00:04:13,460 vous trouverez le vecteur x tel que A fois x est égal à V. -73 -00:04:15,400 --> 00:04:18,178 +72 +00:04:15,400 --> 00:04:18,090 Lorsque vous jouez la transformation à l'envers, -74 -00:04:18,178 --> 00:04:21,586 +73 +00:04:18,090 --> 00:04:21,659 elle correspond en fait à une transformation linéaire distincte, -75 -00:04:21,586 --> 00:04:24,680 +74 +00:04:21,659 --> 00:04:24,680 communément appelée l'inverse de A, notée A au négatif. -76 +75 00:04:25,360 --> 00:04:27,775 Par exemple, si A était une rotation de 90 degrés dans le sens -77 +76 00:04:27,775 --> 00:04:30,229 inverse des aiguilles d’une montre, alors l’inverse de A serait -78 +77 00:04:30,229 --> 00:04:32,760 une rotation de 90 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre. -79 +78 00:04:34,320 --> 00:04:38,178 Si A était un cisaillement vers la droite qui pousse j-hat d’une unité vers la droite, -80 +79 00:04:38,178 --> 00:04:41,016 l’inverse de A serait un cisaillement vers la gauche qui pousse -81 +80 00:04:41,016 --> 00:04:42,480 j-hat d’une unité vers la gauche. -82 -00:04:44,100 --> 00:04:47,067 +81 +00:04:44,100 --> 00:04:46,993 En général, A inverse est l'unique transformation avec la +82 +00:04:46,993 --> 00:04:50,137 +propriété que si vous appliquez d'abord A, puis suivez-la avec + 83 -00:04:47,067 --> 00:04:49,316 -propriété que si vous appliquez d'abord A, +00:04:50,137 --> 00:04:53,480 +la transformation A inverse, vous revenez là où vous avez commencé. 84 -00:04:49,316 --> 00:04:53,480 -puis suivez-la avec la transformation A inverse, vous revenez là où vous avez commencé. +00:04:54,540 --> 00:04:58,823 +L'application d'une transformation après l'autre est capturée algébriquement avec la 85 -00:04:54,540 --> 00:04:58,822 -L'application d'une transformation après l'autre est capturée algébriquement +00:04:58,823 --> 00:05:03,006 +multiplication matricielle, donc la propriété principale de cette transformation A 86 -00:04:58,822 --> 00:05:03,105 -avec la multiplication matricielle, donc la propriété principale de cette transformation +00:05:03,006 --> 00:05:07,340 +inverse est que A inverse fois A est égal à la matrice qui correspond à ne rien faire. 87 -00:05:03,105 --> 00:05:07,340 -A inverse est que A inverse fois A est égal à la matrice qui correspond à ne rien faire. - -88 00:05:08,200 --> 00:05:11,320 La transformation qui ne fait rien s’appelle la transformation identitaire. -89 +88 00:05:11,780 --> 00:05:15,031 Il laisse i-hat et j-hat chacun là où ils sont, -90 +89 00:05:15,031 --> 00:05:18,080 immobiles, donc ses colonnes sont 1,0 et 0,1. -91 +90 00:05:19,980 --> 00:05:23,648 Une fois que vous avez trouvé cet inverse, ce que vous feriez en pratique avec un -92 +91 00:05:23,648 --> 00:05:27,451 ordinateur, vous pouvez résoudre votre équation en multipliant cette matrice inverse -93 +92 00:05:27,451 --> 00:05:27,720 par v. -94 -00:05:29,960 --> 00:05:32,807 +93 +00:05:29,960 --> 00:05:32,990 Et encore une fois, ce que cela signifie géométriquement, -95 -00:05:32,807 --> 00:05:36,440 +94 +00:05:32,990 --> 00:05:36,440 c'est que vous jouez la transformation à l'envers et en suivant v. +95 +00:05:40,200 --> 00:05:44,125 +Ce cas déterminant non nul, qui pour un choix aléatoire de matrice est de + 96 -00:05:40,200 --> 00:05:44,249 -Ce cas déterminant non nul, qui pour un choix aléatoire de matrice est de loin +00:05:44,125 --> 00:05:48,103 +loin le plus probable, correspond à l'idée que si vous avez deux inconnues 97 -00:05:44,249 --> 00:05:48,196 -le plus probable, correspond à l'idée que si vous avez deux inconnues et +00:05:48,103 --> 00:05:52,400 +et deux équations, il est presque certain qu'il existe une seule solution unique. 98 -00:05:48,196 --> 00:05:52,400 -deux équations, il est presque certain qu'il existe une seule solution unique. - -99 00:05:53,680 --> 00:05:56,506 Cette idée a également du sens dans les dimensions supérieures, -100 +99 00:05:56,506 --> 00:05:59,200 lorsque le nombre d’équations est égal au nombre d’inconnues. -101 -00:05:59,380 --> 00:06:03,856 +100 +00:05:59,380 --> 00:06:03,669 Encore une fois, le système d'équations peut être traduit en -102 -00:06:03,856 --> 00:06:09,227 +101 +00:06:03,669 --> 00:06:09,153 interprétation géométrique où vous avez une transformation A et un vecteur v, -103 -00:06:09,227 --> 00:06:12,740 +102 +00:06:09,153 --> 00:06:12,740 et vous recherchez le vecteur x qui atterrit sur v. +103 +00:06:15,740 --> 00:06:20,162 +Tant que la transformation A n'écrase pas tout l'espace dans une dimension inférieure, + 104 -00:06:15,740 --> 00:06:19,745 -Tant que la transformation A n'écrase pas tout l'espace dans une dimension +00:06:20,162 --> 00:06:22,652 +ce qui signifie que son déterminant est non nul, 105 -00:06:19,745 --> 00:06:22,690 -inférieure, ce qui signifie que son déterminant est non nul, - -106 -00:06:22,690 --> 00:06:25,006 +00:06:22,652 --> 00:06:25,092 il y aura une transformation inverse A inverse, -107 -00:06:25,006 --> 00:06:28,916 +106 +00:06:25,092 --> 00:06:29,006 avec la propriété que si vous faites d'abord A, alors vous faites A inverse. -108 -00:06:28,916 --> 00:06:31,040 +107 +00:06:29,006 --> 00:06:31,040 , c'est la même chose que ne rien faire. -109 +108 00:06:33,540 --> 00:06:36,613 Et pour résoudre votre équation, il vous suffit de multiplier -110 +109 00:06:36,613 --> 00:06:39,440 cette matrice de transformation inverse par le vecteur v. -111 +110 00:06:43,500 --> 00:06:47,806 Mais lorsque le déterminant est nul et que la transformation associée au système -112 +111 00:06:47,806 --> 00:06:52,060 d’équations réduit l’espace à une dimension plus petite, il n’y a pas d’inverse. -113 +112 00:06:52,480 --> 00:06:55,460 Vous ne pouvez pas défaire une ligne pour la transformer en avion. -114 +113 00:06:55,980 --> 00:06:58,060 Au moins, ce n'est pas quelque chose qu'une fonction peut faire. -115 +114 00:06:58,360 --> 00:07:00,601 Cela nécessiterait de transformer chaque vecteur -116 +115 00:07:00,601 --> 00:07:02,980 individuel en une ligne entière remplie de vecteurs. -117 +116 00:07:03,740 --> 00:07:06,740 Mais les fonctions ne peuvent prendre qu’une seule entrée vers une seule sortie. -118 -00:07:08,400 --> 00:07:10,933 +117 +00:07:08,400 --> 00:07:11,139 De même, pour trois équations et trois inconnues, -119 -00:07:10,933 --> 00:07:14,479 +118 +00:07:11,139 --> 00:07:14,537 il n'y aura pas d'inverse si la transformation correspondante +119 +00:07:14,537 --> 00:07:19,140 +écrase l'espace 3D sur le plan, ou même si elle l'écrase sur une droite ou un point. + 120 -00:07:14,479 --> 00:07:17,974 -écrase l'espace 3D sur le plan, ou même si elle l'écrase sur +00:07:19,920 --> 00:07:22,138 +Tout cela correspond à un déterminant de zéro, 121 -00:07:17,974 --> 00:07:19,140 -une droite ou un point. +00:07:22,138 --> 00:07:25,160 +puisque toute région est écrasée en quelque chose de volume nul. 122 -00:07:19,920 --> 00:07:22,138 -Tout cela correspond à un déterminant de zéro, +00:07:26,700 --> 00:07:30,640 +Il est toujours possible qu'une solution existe même s'il n'y a pas d'inverse. 123 -00:07:22,138 --> 00:07:25,160 -puisque toute région est écrasée en quelque chose de volume nul. +00:07:30,720 --> 00:07:35,235 +C'est juste que lorsque votre transformation écrase l'espace sur, disons, une ligne, 124 -00:07:26,700 --> 00:07:28,879 -Il est toujours possible qu'une solution existe +00:07:35,235 --> 00:07:39,380 +vous devez avoir la chance que le vecteur v vive quelque part sur cette ligne. 125 -00:07:28,879 --> 00:07:30,640 -même s'il n'y a pas d'inverse. - -126 -00:07:30,720 --> 00:07:34,872 -C'est juste que lorsque votre transformation écrase l'espace sur, disons, - -127 -00:07:34,872 --> 00:07:39,380 -une ligne, vous devez avoir la chance que le vecteur v vive quelque part sur cette ligne. - -128 00:07:43,300 --> 00:07:45,545 Vous remarquerez peut-être que certains de ces cas à -129 +126 00:07:45,545 --> 00:07:48,300 déterminant zéro semblent beaucoup plus restrictifs que d’autres. -130 -00:07:48,840 --> 00:07:52,548 -Étant donné une matrice 3x3, par exemple, il semble beaucoup plus difficile pour +127 +00:07:48,840 --> 00:07:52,558 +Étant donné une matrice 3x3, par exemple, il semble beaucoup plus difficile -131 -00:07:52,548 --> 00:07:56,256 -une solution d'exister lorsqu'elle écrase l'espace sur une ligne que +128 +00:07:52,558 --> 00:07:56,179 +pour une solution d'exister lorsqu'elle écrase l'espace sur une ligne que -132 -00:07:56,256 --> 00:08:00,240 +129 +00:07:56,179 --> 00:08:00,240 lorsqu'elle écrase les choses sur un plan, même si les deux sont déterminants nuls. -133 +130 00:08:02,600 --> 00:08:06,100 Nous avons un langage un peu plus précis que de simplement dire un déterminant zéro. -134 +131 00:08:06,520 --> 00:08:09,272 Lorsque le résultat d’une transformation est une ligne, -135 +132 00:08:09,272 --> 00:08:13,500 c’est-à-dire qu’elle est unidimensionnelle, on dit que la transformation a un rang un. -136 +133 00:08:15,140 --> 00:08:18,143 Si tous les vecteurs atterrissent sur un plan bidimensionnel, -137 +134 00:08:18,143 --> 00:08:20,420 on dit que la transformation a un rang de deux. -138 +135 00:08:22,920 --> 00:08:27,480 Ainsi, le mot rang désigne le nombre de dimensions dans le résultat d’une transformation. -139 +136 00:08:28,400 --> 00:08:32,720 Par exemple, dans le cas de matrices 2x2, le rang deux est le meilleur possible. -140 +137 00:08:33,080 --> 00:08:36,073 Cela signifie que les vecteurs de base continuent de couvrir les -141 +138 00:08:36,073 --> 00:08:39,020 deux dimensions de l’espace et que le déterminant n’est pas nul. -142 -00:08:39,419 --> 00:08:43,073 +139 +00:08:39,419 --> 00:08:43,268 Mais pour les matrices 3x3, le rang deux signifie que nous nous sommes effondrés, -143 -00:08:43,073 --> 00:08:46,460 +140 +00:08:43,268 --> 00:08:46,460 mais pas autant qu'ils l'auraient été dans une situation de rang un. -144 +141 00:08:47,240 --> 00:08:50,211 Si une transformation 3D a un déterminant non nul et que -145 +142 00:08:50,211 --> 00:08:53,340 sa sortie remplit tout l’espace 3D, elle a un rang de trois. -146 -00:08:54,520 --> 00:08:57,158 +143 +00:08:54,520 --> 00:08:57,514 Cet ensemble de toutes les sorties possibles pour votre matrice, -147 -00:08:57,158 --> 00:09:00,203 -qu'il s'agisse d'une ligne, d'un plan, d'un espace 3D, +144 +00:08:57,514 --> 00:09:00,646 +qu'il s'agisse d'une ligne, d'un plan, d'un espace 3D, peu importe, -148 -00:09:00,203 --> 00:09:02,720 -peu importe, est appelé l'espace colonne de votre matrice. +145 +00:09:00,646 --> 00:09:02,720 +est appelé l'espace colonne de votre matrice. -149 +146 00:09:04,140 --> 00:09:06,280 Vous pouvez probablement deviner d'où vient ce nom. -150 -00:09:06,560 --> 00:09:10,936 +147 +00:09:06,560 --> 00:09:11,038 Les colonnes de votre matrice vous indiquent où atterrissent les vecteurs de base, -151 -00:09:10,936 --> 00:09:15,312 -et l'étendue de ces vecteurs de base transformés vous donne toutes les sorties - -152 -00:09:15,312 --> 00:09:15,840 -possibles. +148 +00:09:11,038 --> 00:09:15,840 +et l'étendue de ces vecteurs de base transformés vous donne toutes les sorties possibles. -153 +149 00:09:16,360 --> 00:09:21,140 En d’autres termes, l’espace des colonnes est l’étendue des colonnes de votre matrice. -154 -00:09:23,300 --> 00:09:25,938 +150 +00:09:23,300 --> 00:09:26,019 Une définition plus précise du rang serait donc qu'il -155 -00:09:25,938 --> 00:09:28,940 +151 +00:09:26,019 --> 00:09:28,940 s'agit du nombre de dimensions dans l'espace des colonnes. -156 +152 00:09:29,940 --> 00:09:32,915 Lorsque ce rang est aussi élevé que possible, c’est-à-dire qu’il -157 +153 00:09:32,915 --> 00:09:36,120 est égal au nombre de colonnes, nous appelons la matrice rang complet. -158 -00:09:38,540 --> 00:09:42,167 +154 +00:09:38,540 --> 00:09:42,165 Notez que le vecteur zéro sera toujours inclus dans l'espace des colonnes, -159 -00:09:42,167 --> 00:09:45,840 +155 +00:09:42,165 --> 00:09:45,840 car les transformations linéaires doivent maintenir l'origine fixe en place. -160 +156 00:09:46,900 --> 00:09:49,498 Pour une transformation de rang complet, le seul vecteur -161 +157 00:09:49,498 --> 00:09:51,960 qui atterrit à l’origine est le vecteur zéro lui-même. -162 -00:09:52,460 --> 00:09:54,476 +158 +00:09:52,460 --> 00:09:54,523 Mais pour les matrices qui ne sont pas de rang complet, -163 -00:09:54,476 --> 00:09:56,312 +159 +00:09:54,523 --> 00:09:56,254 qui s'écrasent dans une dimension plus petite, -164 -00:09:56,312 --> 00:09:58,760 +160 +00:09:56,254 --> 00:09:58,760 vous pouvez avoir tout un tas de vecteurs qui atterrissent sur zéro. -165 -00:10:01,640 --> 00:10:04,508 -Si une transformation 2D écrase l'espace sur une ligne, +161 +00:10:01,640 --> 00:10:05,086 +Si une transformation 2D écrase l'espace sur une ligne, par exemple, -166 -00:10:04,508 --> 00:10:07,472 -par exemple, il existe une ligne distincte dans une direction +162 +00:10:05,086 --> 00:10:09,481 +il existe une ligne distincte dans une direction différente pleine de vecteurs qui sont -167 -00:10:07,472 --> 00:10:10,580 -différente pleine de vecteurs qui sont écrasés sur l'origine. +163 +00:10:09,481 --> 00:10:10,580 +écrasés sur l'origine. -168 -00:10:11,780 --> 00:10:14,132 +164 +00:10:11,780 --> 00:10:14,098 Si une transformation 3D écrase l'espace sur un plan, -169 -00:10:14,132 --> 00:10:17,620 +165 +00:10:14,098 --> 00:10:17,620 il existe également une ligne complète de vecteurs qui atterrissent sur l'origine. -170 -00:10:20,520 --> 00:10:23,631 +166 +00:10:20,520 --> 00:10:23,610 Si une transformation 3D écrase tout l'espace sur une ligne, -171 -00:10:23,631 --> 00:10:27,460 +167 +00:10:23,610 --> 00:10:27,460 alors il y a tout un plan rempli de vecteurs qui atterrissent sur l'origine. -172 -00:10:32,800 --> 00:10:37,258 +168 +00:10:32,800 --> 00:10:37,143 Cet ensemble de vecteurs qui atterrit sur l'origine est appelé l'espace nul, -173 -00:10:37,258 --> 00:10:38,780 +169 +00:10:37,143 --> 00:10:38,780 ou le noyau de votre matrice. -174 -00:10:39,360 --> 00:10:42,015 +170 +00:10:39,360 --> 00:10:41,857 C'est l'espace de tous les vecteurs qui deviennent nuls, -175 -00:10:42,015 --> 00:10:44,180 +171 +00:10:41,857 --> 00:10:44,180 dans le sens où ils atterrissent sur le vecteur zéro. -176 -00:10:45,680 --> 00:10:49,973 +172 +00:10:45,680 --> 00:10:50,102 En termes de système linéaire d'équations, lorsque v se trouve être le vecteur zéro, -177 -00:10:49,973 --> 00:10:53,640 +173 +00:10:50,102 --> 00:10:53,640 l'espace nul vous donne toutes les solutions possibles à l'équation. -178 +174 00:10:56,420 --> 00:10:59,023 Voilà donc un aperçu de très haut niveau de la façon de -179 +175 00:10:59,023 --> 00:11:01,720 penser géométriquement les systèmes d’équations linéaires. -180 +176 00:11:02,300 --> 00:11:05,549 Chaque système est associé à une sorte de transformation linéaire, -181 +177 00:11:05,549 --> 00:11:09,624 et lorsque cette transformation a un inverse, vous pouvez utiliser cet inverse pour -182 +178 00:11:09,624 --> 00:11:10,740 résoudre votre système. -183 +179 00:11:12,280 --> 00:11:17,141 Sinon, l’idée d’espace de colonnes nous permet de comprendre quand une solution existe, -184 +180 00:11:17,141 --> 00:11:20,953 et l’idée d’espace nul nous aide à comprendre à quoi peut ressembler -185 +181 00:11:20,953 --> 00:11:23,440 l’ensemble de toutes les solutions possibles. -186 -00:11:24,980 --> 00:11:27,926 +182 +00:11:24,980 --> 00:11:27,873 Encore une fois, il y a beaucoup de choses que je n'ai pas abordées ici, -187 -00:11:27,926 --> 00:11:29,380 +183 +00:11:27,873 --> 00:11:29,380 notamment comment calculer ces choses. -188 -00:11:29,800 --> 00:11:32,408 +184 +00:11:29,800 --> 00:11:32,425 J'ai également dû limiter mon champ d'application aux exemples -189 -00:11:32,408 --> 00:11:34,760 +185 +00:11:32,425 --> 00:11:34,760 où le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues. -190 -00:11:34,880 --> 00:11:37,561 +186 +00:11:34,880 --> 00:11:37,406 Mais le but ici n'est pas d'essayer de tout enseigner, -191 -00:11:37,561 --> 00:11:41,051 +187 +00:11:37,406 --> 00:11:40,988 c'est que vous repartiez avec une forte intuition pour les matrices inverses, -192 -00:11:41,051 --> 00:11:43,775 -l'espace colonne et l'espace nul, et que ces intuitions +188 +00:11:40,988 --> 00:11:44,800 +l'espace colonne et l'espace nul, et que ces intuitions rendent tout apprentissage -193 -00:11:43,775 --> 00:11:46,500 -rendent tout apprentissage futur que vous faites plus fructueux. +189 +00:11:44,800 --> 00:11:46,500 +futur que vous faites plus fructueux. -194 +190 00:11:47,660 --> 00:11:49,710 La prochaine vidéo, à la demande générale, sera une -195 +191 00:11:49,710 --> 00:11:51,880 brève note de bas de page sur les matrices non carrées. -196 -00:11:51,880 --> 00:11:54,863 +192 +00:11:51,880 --> 00:11:54,926 Ensuite, je vais vous donner mon point de vue sur les produits scalaires, -197 -00:11:54,863 --> 00:11:57,362 -et quelque chose d'assez cool qui se produit lorsque vous +193 +00:11:54,926 --> 00:11:57,478 +et quelque chose d'assez cool qui se produit lorsque vous les -198 -00:11:57,362 --> 00:11:59,660 -les visualisez à la lumière de transformations linéaires. +194 +00:11:57,478 --> 00:11:59,660 +visualisez à la lumière de transformations linéaires. diff --git a/2016/inverse-matrices/german/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/german/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..9e68b9cbd --- /dev/null +++ b/2016/inverse-matrices/german/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,772 @@ +1 +00:00:10,240 --> 00:00:14,519 +Wie du wahrscheinlich schon gemerkt hast, geht es in dieser Reihe hauptsächlich darum, + +2 +00:00:14,519 --> 00:00:17,421 +Matrix- und Vektoroperationen durch die visuelle Linse der + +3 +00:00:17,421 --> 00:00:19,340 +linearen Transformationen zu verstehen. + +4 +00:00:19,980 --> 00:00:24,316 +Dieses Video ist keine Ausnahme, denn es beschreibt die Konzepte der inversen Matrizen, + +5 +00:00:24,316 --> 00:00:27,520 +des Spaltenraums, des Rangs und des Nullraums durch diese Brille. + +6 +00:00:27,520 --> 00:00:29,960 +Eine Vorwarnung: Ich werde nicht über die Methoden sprechen, + +7 +00:00:29,960 --> 00:00:33,040 +mit denen diese Dinge tatsächlich berechnet werden, und manche würden sagen, + +8 +00:00:33,040 --> 00:00:34,240 +dass das ziemlich wichtig ist. + +9 +00:00:34,840 --> 00:00:39,315 +Es gibt viele sehr gute Ressourcen, um diese Methoden außerhalb dieser Reihe zu erlernen, + +10 +00:00:39,315 --> 00:00:42,000 +Stichwort Gaußsche Eliminierung und Reihenechelonform. + +11 +00:00:42,540 --> 00:00:45,390 +Ich denke, der größte Teil des Wertes, den ich hier hinzufügen muss, + +12 +00:00:45,390 --> 00:00:46,340 +liegt in der Intuition. + +13 +00:00:46,900 --> 00:00:48,597 +Außerdem lassen wir diese Dinge in der Praxis + +14 +00:00:48,597 --> 00:00:50,480 +meist sowieso von einer Software für uns berechnen. + +15 +00:00:51,500 --> 00:00:53,920 +Zunächst ein paar Worte zur Nützlichkeit der linearen Algebra. + +16 +00:00:54,300 --> 00:00:57,689 +Inzwischen hast du schon eine Ahnung davon, wie er zur Beschreibung der Manipulation + +17 +00:00:57,689 --> 00:01:01,040 +des Raums verwendet wird, was für Dinge wie Computergrafik und Robotik nützlich ist. + +18 +00:01:01,500 --> 00:01:04,277 +Einer der Hauptgründe dafür, dass die lineare Algebra breiter + +19 +00:01:04,277 --> 00:01:07,324 +anwendbar ist und für fast jede technische Disziplin benötigt wird, + +20 +00:01:07,324 --> 00:01:10,460 +ist jedoch, dass wir mit ihr bestimmte Gleichungssysteme lösen können. + +21 +00:01:11,380 --> 00:01:13,435 +Wenn ich von Gleichungssystemen spreche, meine ich damit, + +22 +00:01:13,435 --> 00:01:15,562 +dass du eine Liste von Variablen hast, die du nicht kennst, + +23 +00:01:15,562 --> 00:01:17,760 +und eine Liste von Gleichungen, die sie miteinander verbinden. + +24 +00:01:18,340 --> 00:01:21,600 +In vielen Situationen können diese Gleichungen sehr kompliziert werden. + +25 +00:01:22,120 --> 00:01:25,300 +Aber wenn du Glück hast, nehmen sie vielleicht eine besondere Form an. + +26 +00:01:26,440 --> 00:01:32,440 +In jeder Gleichung wird jede Variable nur durch eine Konstante skaliert, + +27 +00:01:32,440 --> 00:01:36,880 +und jede dieser skalierten Variablen wird nur addiert. + +28 +00:01:37,540 --> 00:01:39,843 +Also keine Exponenten oder ausgefallenen Funktionen + +29 +00:01:39,843 --> 00:01:42,280 +oder das Multiplizieren zweier Variablen und so weiter. + +30 +00:01:43,420 --> 00:01:47,318 +Die typische Art, solche speziellen Gleichungssysteme zu organisieren, ist, + +31 +00:01:47,318 --> 00:01:51,575 +alle Variablen auf die linke Seite zu setzen und alle verbleibenden Konstanten auf + +32 +00:01:51,575 --> 00:01:52,140 +die rechte. + +33 +00:01:53,600 --> 00:01:56,311 +Es ist auch gut, die gemeinsamen Variablen vertikal aufzustellen. + +34 +00:01:56,311 --> 00:01:59,516 +Um das zu erreichen, musst du vielleicht ein paar Nullkoeffizienten einfügen, + +35 +00:01:59,516 --> 00:02:01,940 +wenn die Variable nicht in einer der Gleichungen auftaucht. + +36 +00:02:04,540 --> 00:02:07,240 +Das nennt man ein lineares Gleichungssystem. + +37 +00:02:08,100 --> 00:02:11,180 +Vielleicht fällt dir auf, dass dies sehr nach einer Matrix-Vektor-Multiplikation aussieht. + +38 +00:02:11,820 --> 00:02:16,547 +Tatsächlich kannst du alle Gleichungen in eine einzige Vektorgleichung packen, + +39 +00:02:16,547 --> 00:02:21,573 +in der du eine Matrix mit allen konstanten Koeffizienten und einen Vektor mit allen + +40 +00:02:21,573 --> 00:02:26,780 +Variablen hast, deren Matrix-Vektor-Produkt einem anderen konstanten Vektor entspricht. + +41 +00:02:28,640 --> 00:02:31,800 +Nennen wir diese konstante Matrix A, bezeichnen wir den Vektor, + +42 +00:02:31,800 --> 00:02:35,949 +der die Variablen enthält, mit einem fettgedruckten X und nennen wir den konstanten + +43 +00:02:35,949 --> 00:02:37,480 +Vektor auf der rechten Seite V. + +44 +00:02:38,860 --> 00:02:41,071 +Dies ist mehr als nur ein Notationstrick, um unser + +45 +00:02:41,071 --> 00:02:42,980 +Gleichungssystem auf eine Zeile zu bekommen. + +46 +00:02:43,340 --> 00:02:46,780 +Das wirft ein Licht auf eine ziemlich coole geometrische Interpretation des Problems. + +47 +00:02:47,620 --> 00:02:50,802 +Die Matrix A entspricht einer linearen Transformation. + +48 +00:02:50,802 --> 00:02:55,026 +Ax gleich V zu lösen bedeutet also, dass wir nach einem Vektor X suchen, + +49 +00:02:55,026 --> 00:02:57,920 +der nach Anwendung der Transformation auf V liegt. + +50 +00:02:59,940 --> 00:03:01,780 +Denke einen Moment darüber nach, was hier passiert. + +51 +00:03:02,060 --> 00:03:05,038 +Du kannst dir diese wirklich komplizierte Vorstellung von mehreren Variablen, + +52 +00:03:05,038 --> 00:03:07,253 +die sich alle miteinander vermischen, in den Kopf setzen, + +53 +00:03:07,253 --> 00:03:09,812 +indem du dir vorstellst, wie der Raum gequetscht und gemorpht wird + +54 +00:03:09,812 --> 00:03:12,600 +und du versuchst herauszufinden, welcher Vektor auf einem anderen landet. + +55 +00:03:13,160 --> 00:03:13,760 +Cool, nicht wahr? + +56 +00:03:14,600 --> 00:03:16,620 +Um ganz einfach zu beginnen, nehmen wir an, du hast + +57 +00:03:16,620 --> 00:03:18,680 +ein System mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. + +58 +00:03:19,000 --> 00:03:21,506 +Das heißt, die Matrix A ist eine 2x2-Matrix und + +59 +00:03:21,506 --> 00:03:23,960 +V und X sind jeweils zweidimensionale Vektoren. + +60 +00:03:25,600 --> 00:03:28,996 +Wie wir nun über die Lösungen dieser Gleichung denken, hängt davon ab, + +61 +00:03:28,996 --> 00:03:33,158 +ob die mit A verbundene Transformation den gesamten Raum in eine niedrigere Dimension, + +62 +00:03:33,158 --> 00:03:36,412 +wie eine Linie oder einen Punkt, quetscht, oder ob sie alles in den + +63 +00:03:36,412 --> 00:03:38,900 +vollen zwei Dimensionen belässt, wo es begonnen hat. + +64 +00:03:40,320 --> 00:03:43,398 +In der Sprache des letzten Videos unterteilen wir in den Fall, + +65 +00:03:43,398 --> 00:03:45,841 +in dem A die Determinante Null hat, und den Fall, + +66 +00:03:45,841 --> 00:03:48,040 +in dem A eine Determinante ungleich Null hat. + +67 +00:03:51,300 --> 00:03:54,721 +Beginnen wir mit dem wahrscheinlichsten Fall, in dem die Determinante ungleich Null ist, + +68 +00:03:54,721 --> 00:03:57,720 +was bedeutet, dass der Raum nicht in eine Null-Flächen-Region gequetscht wird. + +69 +00:03:58,600 --> 00:04:02,304 +In diesem Fall gibt es immer nur einen einzigen Vektor, der auf V landet, + +70 +00:04:02,304 --> 00:04:06,160 +und du kannst ihn finden, indem du die Transformation rückwärts durchspielst. + +71 +00:04:06,700 --> 00:04:10,467 +Wenn du verfolgst, wohin V geht, wenn wir das Band so zurückspulen, + +72 +00:04:10,467 --> 00:04:13,460 +findest du den Vektor x so, dass A mal x gleich V ist. + +73 +00:04:15,400 --> 00:04:17,769 +Wenn du die Transformation rückwärts abspielst, + +74 +00:04:17,769 --> 00:04:21,125 +entspricht sie tatsächlich einer separaten linearen Transformation, + +75 +00:04:21,125 --> 00:04:24,680 +die gemeinhin als Umkehrung von A bezeichnet wird, also A zum Negativen. + +76 +00:04:25,360 --> 00:04:29,136 +Wenn A zum Beispiel eine Drehung um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn wäre, + +77 +00:04:29,136 --> 00:04:32,760 +dann wäre die Umkehrung von A eine Drehung um 90 Grad im Uhrzeigersinn. + +78 +00:04:34,320 --> 00:04:38,168 +Wenn A eine Scherung nach rechts wäre, die j-hat eine Einheit nach rechts schiebt, + +79 +00:04:38,168 --> 00:04:40,532 +wäre die Umkehrung von A eine Scherung nach links, + +80 +00:04:40,532 --> 00:04:42,480 +die j-hat eine Einheit nach links schiebt. + +81 +00:04:44,100 --> 00:04:47,036 +Im Allgemeinen ist die Umkehrung von A die einzige Transformation, + +82 +00:04:47,036 --> 00:04:50,104 +die die Eigenschaft hat, dass du, wenn du zuerst A anwendest und dann + +83 +00:04:50,104 --> 00:04:53,480 +die Umkehrung von A folgen lässt, wieder dort landest, wo du angefangen hast. + +84 +00:04:54,540 --> 00:04:58,646 +Die Anwendung einer Transformation nach der anderen wird algebraisch mit der + +85 +00:04:58,646 --> 00:05:02,966 +Matrixmultiplikation erfasst. Die Kerneigenschaft dieser Transformation A invers + +86 +00:05:02,966 --> 00:05:07,340 +ist also, dass A invers mal A gleich der Matrix ist, die dem Nichtstun entspricht. + +87 +00:05:08,200 --> 00:05:11,320 +Die Transformation, die nichts bewirkt, wird als Identitätstransformation bezeichnet. + +88 +00:05:11,780 --> 00:05:18,080 +Sie lässt i-hat und j-hat jeweils dort, wo sie sind, also in den Spalten 1,0 und 0,1. + +89 +00:05:19,980 --> 00:05:23,698 +Wenn du diesen Kehrwert gefunden hast, was du in der Praxis mit einem Computer machen + +90 +00:05:23,698 --> 00:05:27,071 +würdest, kannst du deine Gleichung lösen, indem du diese inverse Matrix mit v + +91 +00:05:27,071 --> 00:05:27,720 +multiplizierst. + +92 +00:05:29,960 --> 00:05:33,165 +Geometrisch bedeutet das wiederum, dass du die + +93 +00:05:33,165 --> 00:05:36,440 +Transformation rückwärts und nach v durchführst. + +94 +00:05:40,200 --> 00:05:44,315 +Dieser Fall der Determinante ungleich Null, der bei einer zufälligen Wahl der Matrix + +95 +00:05:44,315 --> 00:05:47,510 +bei weitem am wahrscheinlichsten ist, entspricht der Vorstellung, + +96 +00:05:47,510 --> 00:05:51,431 +dass es bei zwei Unbekannten und zwei Gleichungen mit ziemlicher Sicherheit eine + +97 +00:05:51,431 --> 00:05:52,400 +einzige Lösung gibt. + +98 +00:05:53,680 --> 00:05:56,058 +Diese Idee ist auch in höheren Dimensionen sinnvoll, + +99 +00:05:56,058 --> 00:05:59,200 +wenn die Anzahl der Gleichungen die Anzahl der Unbekannten übersteigt. + +100 +00:05:59,380 --> 00:06:06,060 +Auch hier kann das Gleichungssystem in die geometrische Interpretation übertragen werden: + +101 +00:06:06,060 --> 00:06:12,740 +Du hast eine Transformation A und einen Vektor v und suchst den Vektor x, der auf v liegt. + +102 +00:06:15,740 --> 00:06:19,578 +Solange die Transformation A nicht den gesamten Raum in eine niedrigere + +103 +00:06:19,578 --> 00:06:22,883 +Dimension quetscht, d.h. ihre Determinante ungleich Null ist, + +104 +00:06:22,883 --> 00:06:26,455 +gibt es eine inverse Transformation A invers, mit der Eigenschaft, + +105 +00:06:26,455 --> 00:06:31,040 +dass es dasselbe ist, nichts zu tun, wenn du zuerst A machst und dann A invers machst. + +106 +00:06:33,540 --> 00:06:37,397 +Um deine Gleichung zu lösen, musst du die Rücktransformationsmatrix + +107 +00:06:37,397 --> 00:06:39,440 +nur mit dem Vektor v multiplizieren. + +108 +00:06:43,500 --> 00:06:47,650 +Aber wenn die Determinante Null ist und die mit dem Gleichungssystem verbundene + +109 +00:06:47,650 --> 00:06:52,060 +Transformation den Raum in eine kleinere Dimension quetscht, gibt es keine Umkehrung. + +110 +00:06:52,480 --> 00:06:55,460 +Du kannst eine Linie nicht aufheben, um sie in eine Ebene zu verwandeln. + +111 +00:06:55,980 --> 00:06:58,060 +Zumindest ist das nicht etwas, das eine Funktion tun kann. + +112 +00:06:58,360 --> 00:07:02,980 +Dazu müsste jeder einzelne Vektor in eine ganze Zeile voller Vektoren umgewandelt werden. + +113 +00:07:03,740 --> 00:07:06,740 +Aber Funktionen können nur eine einzige Eingabe mit einer einzigen Ausgabe verbinden. + +114 +00:07:08,400 --> 00:07:12,148 +Ebenso gibt es bei drei Gleichungen und drei Unbekannten keine Umkehrung, + +115 +00:07:12,148 --> 00:07:15,847 +wenn die entsprechende Transformation den 3D-Raum in die Ebene quetscht, + +116 +00:07:15,847 --> 00:07:19,140 +oder sogar wenn sie ihn auf eine Linie oder einen Punkt quetscht. + +117 +00:07:19,920 --> 00:07:22,310 +Diese entsprechen alle einer Determinante von Null, + +118 +00:07:22,310 --> 00:07:25,160 +da jede Region in etwas mit dem Volumen Null zerquetscht wird. + +119 +00:07:26,700 --> 00:07:30,640 +Es ist immer noch möglich, dass es eine Lösung gibt, auch wenn es keine Umkehrung gibt. + +120 +00:07:30,720 --> 00:07:34,409 +Es ist nur so, dass, wenn deine Transformation den Raum auf, sagen wir, + +121 +00:07:34,409 --> 00:07:36,817 +eine Linie quetscht, du das Glück haben musst, + +122 +00:07:36,817 --> 00:07:39,380 +dass der Vektor v irgendwo auf dieser Linie liegt. + +123 +00:07:43,300 --> 00:07:45,469 +Du wirst feststellen, dass sich einige dieser + +124 +00:07:45,469 --> 00:07:48,300 +Null-Bestimmungsfälle viel restriktiver anfühlen als andere. + +125 +00:07:48,840 --> 00:07:52,170 +Bei einer 3x3-Matrix scheint es zum Beispiel viel schwieriger zu sein, + +126 +00:07:52,170 --> 00:07:55,407 +eine Lösung zu finden, wenn der Raum auf eine Linie gequetscht wird, + +127 +00:07:55,407 --> 00:07:57,894 +als wenn die Dinge auf eine Ebene gequetscht werden, + +128 +00:07:57,894 --> 00:08:00,240 +obwohl in beiden Fällen die Determinante null ist. + +129 +00:08:02,600 --> 00:08:04,401 +Wir haben eine Sprache, die etwas spezifischer ist, + +130 +00:08:04,401 --> 00:08:06,100 +als nur zu sagen, dass die Determinante Null ist. + +131 +00:08:06,520 --> 00:08:09,897 +Wenn das Ergebnis einer Transformation eine Linie ist, d.h. + +132 +00:08:09,897 --> 00:08:13,500 +eindimensional, sagen wir, die Transformation hat den Rang eins. + +133 +00:08:15,140 --> 00:08:17,824 +Wenn alle Vektoren auf einer zweidimensionalen Ebene landen, + +134 +00:08:17,824 --> 00:08:20,420 +sagen wir, dass die Transformation einen Rang von zwei hat. + +135 +00:08:22,920 --> 00:08:25,714 +Das Wort Rang bezeichnet also die Anzahl der Dimensionen + +136 +00:08:25,714 --> 00:08:27,480 +in der Ausgabe einer Transformation. + +137 +00:08:28,400 --> 00:08:32,720 +Bei 2x2-Matrizen zum Beispiel ist Rang zwei das Beste, was es geben kann. + +138 +00:08:33,080 --> 00:08:35,914 +Das bedeutet, dass die Basisvektoren weiterhin die vollen zwei + +139 +00:08:35,914 --> 00:08:39,020 +Dimensionen des Raums aufspannen und die Determinante nicht Null ist. + +140 +00:08:39,419 --> 00:08:43,074 +Aber für 3x3-Matrizen bedeutet Rang zwei, dass wir kollabiert sind, + +141 +00:08:43,074 --> 00:08:46,460 +aber nicht so sehr, wie es bei Rang eins der Fall gewesen wäre. + +142 +00:08:47,240 --> 00:08:50,335 +Wenn eine 3D-Transformation eine Determinante ungleich Null hat und + +143 +00:08:50,335 --> 00:08:53,340 +ihr Ergebnis den gesamten 3D-Raum ausfüllt, hat sie den Rang drei. + +144 +00:08:54,520 --> 00:08:56,944 +Diese Menge aller möglichen Ausgaben für deine Matrix, + +145 +00:08:56,944 --> 00:09:00,692 +egal ob es sich um eine Linie, eine Ebene, einen 3D-Raum oder etwas anderes handelt, + +146 +00:09:00,692 --> 00:09:02,720 +wird als Spaltenraum deiner Matrix bezeichnet. + +147 +00:09:04,140 --> 00:09:06,280 +Du kannst dir wahrscheinlich denken, woher der Name kommt. + +148 +00:09:06,560 --> 00:09:10,511 +Die Spalten deiner Matrix sagen dir, wo die Basisvektoren landen, + +149 +00:09:10,511 --> 00:09:15,840 +und die Spannweite dieser transformierten Basisvektoren gibt dir alle möglichen Ausgaben. + +150 +00:09:16,360 --> 00:09:21,140 +Mit anderen Worten: Der Spaltenraum ist die Spannweite der Spalten in deiner Matrix. + +151 +00:09:23,300 --> 00:09:26,176 +Eine genauere Definition des Rangs wäre also, dass + +152 +00:09:26,176 --> 00:09:28,940 +es die Anzahl der Dimensionen im Spaltenraum ist. + +153 +00:09:29,940 --> 00:09:32,422 +Wenn dieser Rang so hoch wie möglich ist, d.h. + +154 +00:09:32,422 --> 00:09:36,120 +er entspricht der Anzahl der Spalten, nennen wir die Matrix Full Rank. + +155 +00:09:38,540 --> 00:09:42,366 +Beachte, dass der Nullvektor immer im Spaltenraum enthalten ist, + +156 +00:09:42,366 --> 00:09:45,840 +da lineare Transformationen den Ursprung festhalten müssen. + +157 +00:09:46,900 --> 00:09:49,900 +Bei einer vollständigen Rangtransformation ist der einzige Vektor, + +158 +00:09:49,900 --> 00:09:51,960 +der im Ursprung landet, der Nullvektor selbst. + +159 +00:09:52,460 --> 00:09:55,723 +Aber bei Matrizen, die nicht vollwertig sind und die sich auf eine kleinere Dimension + +160 +00:09:55,723 --> 00:09:58,760 +verkleinern, kannst du eine ganze Reihe von Vektoren haben, die auf Null landen. + +161 +00:10:01,640 --> 00:10:05,303 +Wenn eine 2D-Transformation den Raum zum Beispiel auf eine Linie quetscht, + +162 +00:10:05,303 --> 00:10:08,674 +gibt es eine separate Linie in eine andere Richtung voller Vektoren, + +163 +00:10:08,674 --> 00:10:10,580 +die auf den Ursprung gequetscht werden. + +164 +00:10:11,780 --> 00:10:14,482 +Wenn eine 3D-Transformation den Raum auf eine Ebene quetscht, + +165 +00:10:14,482 --> 00:10:17,620 +gibt es auch eine ganze Reihe von Vektoren, die auf dem Ursprung landen. + +166 +00:10:20,520 --> 00:10:23,894 +Wenn eine 3D-Transformation den gesamten Raum auf eine Linie quetscht, + +167 +00:10:23,894 --> 00:10:27,460 +dann gibt es eine ganze Ebene voller Vektoren, die auf dem Ursprung landen. + +168 +00:10:32,800 --> 00:10:35,847 +Die Menge der Vektoren, die auf dem Ursprung landet, + +169 +00:10:35,847 --> 00:10:38,780 +nennt man den Nullraum oder den Kern deiner Matrix. + +170 +00:10:39,360 --> 00:10:41,770 +Es ist der Raum aller Vektoren, die null werden, + +171 +00:10:41,770 --> 00:10:44,180 +in dem Sinne, dass sie auf dem Nullvektor landen. + +172 +00:10:45,680 --> 00:10:49,629 +In Bezug auf das lineare Gleichungssystem gibt dir der Nullraum + +173 +00:10:49,629 --> 00:10:53,640 +alle möglichen Lösungen der Gleichung, wenn v der Nullvektor ist. + +174 +00:10:56,420 --> 00:10:58,842 +Das ist also ein sehr grober Überblick darüber, + +175 +00:10:58,842 --> 00:11:01,720 +wie man über lineare Gleichungssysteme geometrisch denkt. + +176 +00:11:02,300 --> 00:11:05,163 +Jedem System ist eine lineare Transformation zugeordnet, + +177 +00:11:05,163 --> 00:11:09,534 +und wenn diese Transformation eine Umkehrung hat, kannst du diese Umkehrung verwenden, + +178 +00:11:09,534 --> 00:11:10,740 +um dein System zu lösen. + +179 +00:11:12,280 --> 00:11:15,594 +Ansonsten hilft uns die Idee des Spaltenraums zu verstehen, + +180 +00:11:15,594 --> 00:11:20,511 +wann eine Lösung überhaupt existiert, und die Idee des Nullraums hilft uns zu verstehen, + +181 +00:11:20,511 --> 00:11:23,440 +wie die Menge aller möglichen Lösungen aussehen kann. + +182 +00:11:24,980 --> 00:11:27,520 +Auch hier gibt es vieles, was ich nicht behandelt habe, + +183 +00:11:27,520 --> 00:11:29,380 +vor allem, wie man diese Dinge berechnet. + +184 +00:11:29,800 --> 00:11:31,830 +Außerdem musste ich mich auf Beispiele beschränken, + +185 +00:11:31,830 --> 00:11:34,760 +bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist. + +186 +00:11:34,880 --> 00:11:38,655 +Das Ziel ist nicht, dir alles beizubringen, sondern dass du ein + +187 +00:11:38,655 --> 00:11:42,312 +starkes Gespür für inverse Matrizen, Spaltenraum und Nullraum + +188 +00:11:42,312 --> 00:11:46,500 +bekommst und dass dieses Gespür dein weiteres Lernen fruchtbarer macht. + +189 +00:11:47,660 --> 00:11:49,728 +Das nächste Video wird auf vielfachen Wunsch eine + +190 +00:11:49,728 --> 00:11:51,880 +kurze Fußnote über nicht-quadratische Matrizen sein. + +191 +00:11:51,880 --> 00:11:54,473 +Danach werde ich dir meine Sicht auf Punktprodukte erläutern + +192 +00:11:54,473 --> 00:11:56,684 +und dir etwas ziemlich Cooles zeigen, das passiert, + +193 +00:11:56,684 --> 00:11:59,660 +wenn du sie unter dem Licht von linearen Transformationen betrachtest. + diff --git a/2016/inverse-matrices/hebrew/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/hebrew/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..5d6ad64b6 --- /dev/null +++ b/2016/inverse-matrices/hebrew/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,568 @@ +1 +00:00:10,240 --> 00:00:14,963 +כפי שאתה ודאי יכול לדעת עד עכשיו, עיקר הסדרה הזו נוגעת להבנת פעולות + +2 +00:00:14,963 --> 00:00:19,340 +מטריצה ווקטור דרך העדשה החזותית יותר של טרנספורמציות ליניאריות. + +3 +00:00:19,980 --> 00:00:24,489 +סרטון זה אינו יוצא מן הכלל, ומתאר את המושגים של מטריצות הפוכות, + +4 +00:00:24,489 --> 00:00:27,520 +רווח עמודות, דירוג ורווח ריק דרך העדשה הזו. + +5 +00:00:27,520 --> 00:00:32,560 +עם זאת, אזהרה מוקדמת, אני לא הולך לדבר על השיטות לחישוב הדברים האלה, + +6 +00:00:32,560 --> 00:00:34,240 +ויש שיטענו שזה די חשוב. + +7 +00:00:34,840 --> 00:00:39,296 +יש הרבה משאבים טובים מאוד ללימוד השיטות האלה מחוץ לסדרה הזו, + +8 +00:00:39,296 --> 00:00:42,000 +מילות מפתח גאוס חיסול וצורת דרג שורה. + +9 +00:00:42,540 --> 00:00:46,340 +אני חושב שרוב הערך שאני צריך להוסיף כאן הוא על חצי האינטואיציה. + +10 +00:00:46,900 --> 00:00:50,480 +בנוסף, בפועל, אנחנו בדרך כלל מקבלים תוכנה כדי לחשב את החומר הזה עבורנו בכל מקרה. + +11 +00:00:51,500 --> 00:00:53,920 +ראשית, כמה מילים על התועלת של אלגברה לינארית. + +12 +00:00:54,300 --> 00:00:58,126 +עד עכשיו, כבר יש לך רמז לאופן השימוש בו בתיאור המניפולציה של החלל, + +13 +00:00:58,126 --> 00:01:01,040 +דבר שימושי עבור דברים כמו גרפיקה ממוחשבת ורובוטיקה. + +14 +00:01:01,500 --> 00:01:06,044 +אבל אחת הסיבות העיקריות לכך שאלגברה לינארית ישימה יותר ונדרשת כמעט לכל + +15 +00:01:06,044 --> 00:01:10,460 +דיסציפלינה טכנית היא שהיא מאפשרת לנו לפתור מערכות מסוימות של משוואות. + +16 +00:01:11,380 --> 00:01:14,854 +כשאני אומר מערכת משוואות, אני מתכוון שיש לך רשימה של משתנים, + +17 +00:01:14,854 --> 00:01:17,760 +דברים שאתה לא יודע, ורשימת משוואות המתייחסות אליהם. + +18 +00:01:18,340 --> 00:01:21,600 +בהרבה מצבים, המשוואות האלה יכולות להסתבך מאוד. + +19 +00:01:22,120 --> 00:01:25,300 +אבל, אם יתמזל מזלך, הם עשויים ללבוש צורה מיוחדת מסוימת. + +20 +00:01:26,440 --> 00:01:31,880 +בתוך כל משוואה, הדבר היחיד שקורה לכל משתנה הוא שהוא משתנה לפי קבוע כלשהו, + +21 +00:01:31,880 --> 00:01:36,880 +והדבר היחיד שקורה לכל אחד מהמשתנים בקנה מידה זה שהם מתווספים זה לזה. + +22 +00:01:37,540 --> 00:01:42,280 +אז בלי מעריכים או פונקציות מפוארות או הכפלה של שני משתנים יחד, דברים כאלה. + +23 +00:01:43,420 --> 00:01:47,850 +הדרך האופיינית לארגן סוג כזה של מערכת משוואות מיוחדת היא לזרוק + +24 +00:01:47,850 --> 00:01:52,140 +את כל המשתנים בצד שמאל ולשים את כל הקבועים המתמשכים בצד ימין. + +25 +00:01:53,600 --> 00:01:57,327 +זה גם נחמד ליישר אנכית את המשתנים הנפוצים, וכדי לעשות זאת, + +26 +00:01:57,327 --> 00:02:01,940 +ייתכן שתצטרך לזרוק כמה מקדמי אפס בכל פעם שהמשתנה לא מופיע באחת מהמשוואות. + +27 +00:02:04,540 --> 00:02:07,240 +זה נקרא מערכת משוואות לינארית. + +28 +00:02:08,100 --> 00:02:11,180 +אולי תשים לב שזה דומה מאוד לכפל מטריצה-וקטור. + +29 +00:02:11,820 --> 00:02:16,597 +למעשה, אתה יכול לארוז את כל המשוואות יחד למשוואה וקטורית אחת + +30 +00:02:16,597 --> 00:02:22,707 +שבה יש לך את המטריצה המכילה את כל המקדמים הקבועים ווקטור המכיל את כל המשתנים, + +31 +00:02:22,707 --> 00:02:26,780 +ומכפלת המטריצה-וקטור שלהם שווה לכמה וקטור קבוע שונה. + +32 +00:02:28,640 --> 00:02:35,112 +בואו נקרא את המטריצה הקבועה הזו A, נסמן את הווקטור שמחזיק את המשתנים באיקס מודגש, + +33 +00:02:35,112 --> 00:02:37,480 +ונקרא לוקטור הקבוע בצד ימין V. + +34 +00:02:38,860 --> 00:02:42,980 +זה יותר מסתם טריק סימון כדי לכתוב את מערכת המשוואות שלנו בשורה אחת. + +35 +00:02:43,340 --> 00:02:46,780 +זה שופך אור על פרשנות גיאומטרית די מגניבה לבעיה. + +36 +00:02:47,620 --> 00:02:51,259 +המטריצה A מתכתבת עם טרנספורמציה לינארית כלשהי, + +37 +00:02:51,259 --> 00:02:57,920 +כך שפתרון Axe שווה ל-V אומר שאנו מחפשים וקטור X, אשר לאחר החלת הטרנספורמציה נוחת על V. + +38 +00:02:59,940 --> 00:03:01,780 +תחשוב על מה שקורה כאן לרגע. + +39 +00:03:02,060 --> 00:03:07,395 +אתה יכול להחזיק בראש את הרעיון המסובך הזה של משתנים מרובים שכולם מתערבבים זה בזה + +40 +00:03:07,395 --> 00:03:12,600 +רק על ידי מחשבה על כיווץ ושינוי חלל וניסיון להבין איזה וקטור נוחת על וקטור אחר. + +41 +00:03:13,160 --> 00:03:13,760 +מגניב נכון? + +42 +00:03:14,600 --> 00:03:18,680 +כדי להתחיל בפשטות, נניח שיש לך מערכת עם שתי משוואות ושני לא ידועים. + +43 +00:03:19,000 --> 00:03:23,960 +המשמעות היא שהמטריקס A היא מטריצה 2x2, ו-V ו-X הם כל אחד וקטור דו-ממדי. + +44 +00:03:25,600 --> 00:03:29,772 +כעת, האופן שבו אנו חושבים על הפתרונות למשוואה זו תלוי בשאלה האם + +45 +00:03:29,772 --> 00:03:34,597 +הטרנספורמציה הקשורה ל-A מעיכה את כל החלל לממד נמוך יותר, כמו קו או נקודה, + +46 +00:03:34,597 --> 00:03:38,900 +או אם היא משאירה את הכל על פני שני הממדים המלאים במקום שבו התחילה. + +47 +00:03:40,320 --> 00:03:44,101 +בשפת הסרטון האחרון, אנו מתחלקים למקרים שבהם ל-A + +48 +00:03:44,101 --> 00:03:48,040 +יש אפס דטרמיננט ולמקרה שבו ל-A יש דטרמיננט לא אפס. + +49 +00:03:51,300 --> 00:03:57,720 +נתחיל מהמקרה הסביר ביותר, שבו הקובע אינו אפס, כלומר המרחב לא נדחס לאזור של שטח אפס. + +50 +00:03:58,600 --> 00:04:02,341 +במקרה זה, תמיד יהיה וקטור אחד ויחיד שינחת על V, + +51 +00:04:02,341 --> 00:04:06,160 +ותוכל למצוא אותו על ידי הפעלת הטרנספורמציה לאחור. + +52 +00:04:06,700 --> 00:04:10,631 +בצע את המקום שבו V הולך כשאנו מגלגלים את הקלטת לאחור כך, + +53 +00:04:10,631 --> 00:04:13,460 +תמצא את הווקטור x כך ש-A כפול x שווה ל-V. + +54 +00:04:15,400 --> 00:04:21,365 +כאשר אתה משחק את הטרנספורמציה הפוך, הוא למעשה מתאים לטרנספורמציה ליניארית נפרדת, + +55 +00:04:21,365 --> 00:04:24,680 +הנקראת בדרך כלל היפוך של A, המסומנת A לשלילה. + +56 +00:04:25,360 --> 00:04:29,096 +לדוגמה, אם A היה סיבוב נגד כיוון השעון ב-90 מעלות, + +57 +00:04:29,096 --> 00:04:32,760 +אז ההיפוך של A יהיה סיבוב ב-90 מעלות בכיוון השעון. + +58 +00:04:34,320 --> 00:04:38,185 +אם A היה גזירה ימינה שדוחפת את j-hat יחידה אחת ימינה, + +59 +00:04:38,185 --> 00:04:42,480 +ההיפוך של A היה גזירה שמאלה שדוחפת את j-hat יחידה אחת שמאלה. + +60 +00:04:44,100 --> 00:04:48,878 +באופן כללי, A הפוך הוא הטרנספורמציה הייחודית עם המאפיין שאם אתה מיישם לראשונה A, + +61 +00:04:48,878 --> 00:04:53,480 +ואז עקוב אחריו עם הטרנספורמציה A הפוך, אתה בסופו של דבר בחזרה למקום שבו התחלת. + +62 +00:04:54,540 --> 00:04:59,866 +החלת טרנספורמציה אחת אחרי השנייה נתפסת באופן אלגברי עם כפל מטריצה, + +63 +00:04:59,866 --> 00:05:06,226 +ולכן תכונת הליבה של טרנספורמציה A הפוך היא ש-A הפוך כפול A שווה למטריצה שמתאימה + +64 +00:05:06,226 --> 00:05:07,340 +לא לעשות כלום. + +65 +00:05:08,200 --> 00:05:11,320 +הטרנספורמציה שלא עושה כלום נקראת הטרנספורמציה של זהות. + +66 +00:05:11,780 --> 00:05:15,427 +הוא משאיר את i-hat ו-j-hat כל אחד במקום שבו הם נמצאים, + +67 +00:05:15,427 --> 00:05:18,080 +ללא תנועה, כך שהעמודות שלו הן 1,0 ו-0,1. + +68 +00:05:19,980 --> 00:05:23,583 +ברגע שתמצא את היפוך הזה, מה שבפועל היית עושה עם מחשב, + +69 +00:05:23,583 --> 00:05:27,720 +אתה יכול לפתור את המשוואה שלך על ידי הכפלת המטריצה ההפוכה ב-v. + +70 +00:05:29,960 --> 00:05:36,440 +ושוב, מה שזה אומר מבחינה גיאומטרית הוא שאתה משחק את הטרנספורמציה הפוך ובעקבות v. + +71 +00:05:40,200 --> 00:05:45,964 +מקרה דטרמיננטי זה שאינו אפס, אשר עבור בחירה אקראית של מטריצה הוא ללא ספק הסביר ביותר, + +72 +00:05:45,964 --> 00:05:49,584 +מתכתב עם הרעיון שאם יש לך שני לא ידועים ושתי משוואות, + +73 +00:05:49,584 --> 00:05:52,400 +זה כמעט בוודאות המקרה שיש פתרון יחיד יחיד. + +74 +00:05:53,680 --> 00:05:59,200 +רעיון זה הגיוני גם בממדים גבוהים יותר, כאשר מספר המשוואות שווה למספר הלא ידועים. + +75 +00:05:59,380 --> 00:06:06,113 +שוב, ניתן לתרגם את מערכת המשוואות לפרשנות הגיאומטרית שבה יש לך + +76 +00:06:06,113 --> 00:06:12,740 +טרנספורמציה A וקצת וקטור v, ואתה מחפש את הווקטור x שנוחת על v. + +77 +00:06:15,740 --> 00:06:20,471 +כל עוד הטרנספורמציה A לא מוחצת את כל המרחב למימד נמוך יותר, + +78 +00:06:20,471 --> 00:06:24,572 +כלומר הקובע שלו אינו אפס, תהיה טרנספורמציה הפוכה A, + +79 +00:06:24,572 --> 00:06:31,040 +עם התכונה שאם אתה קודם עושה A, אז אתה עושה A הפוך , זה אותו דבר כמו לא לעשות כלום. + +80 +00:06:33,540 --> 00:06:39,440 +וכדי לפתור את המשוואה שלך, אתה רק צריך להכפיל את מטריצת הטרנספורמציה ההפוכה בווקטור v. + +81 +00:06:43,500 --> 00:06:47,951 +אבל כאשר הקובע הוא אפס, והטרנספורמציה הקשורה למערכת + +82 +00:06:47,951 --> 00:06:52,060 +המשוואות דוחסת את החלל למימד קטן יותר, אין הפוך. + +83 +00:06:52,480 --> 00:06:55,460 +אתה לא יכול לשחרר קו כדי להפוך אותו למטוס. + +84 +00:06:55,980 --> 00:06:58,060 +לפחות זה לא משהו שפונקציה יכולה לעשות. + +85 +00:06:58,360 --> 00:07:02,980 +זה ידרוש הפיכת כל וקטור בודד לקו שלם מלא בוקטורים. + +86 +00:07:03,740 --> 00:07:06,740 +אבל פונקציות יכולות לקחת רק קלט בודד לפלט בודד. + +87 +00:07:08,400 --> 00:07:11,562 +באופן דומה, עבור שלוש משוואות ושלושה לא ידועים, + +88 +00:07:11,562 --> 00:07:16,372 +לא יהיה הפוך אם הטרנספורמציה המקבילה מוחצת את המרחב התלת-ממדי על המישור, + +89 +00:07:16,372 --> 00:07:19,140 +או אפילו אם היא מוחצת אותו על קו או נקודה. + +90 +00:07:19,920 --> 00:07:25,160 +כולם תואמים לקובע של אפס, מכיוון שכל אזור נמחץ למשהו בעל נפח אפס. + +91 +00:07:26,700 --> 00:07:30,640 +עדיין יתכן שקיים פתרון גם כאשר אין הפוך. + +92 +00:07:30,720 --> 00:07:34,822 +רק שכאשר הטרנספורמציה שלך מוחצת את החלל על, נגיד, קו, + +93 +00:07:34,822 --> 00:07:39,380 +אתה צריך להיות בר מזל מספיק שהווקטור v חי איפשהו על הקו הזה. + +94 +00:07:43,300 --> 00:07:48,300 +אולי תשים לב שחלק מהמקרים האלה עם אפס חשיבות מרגישים הרבה יותר מגבילים מאחרים. + +95 +00:07:48,840 --> 00:07:54,539 +בהינתן מטריצה 3x3, למשל, נראה שהרבה יותר קשה לפתרון להתקיים כשהוא מועך + +96 +00:07:54,539 --> 00:08:00,240 +חלל על קו בהשוואה לכשהוא מועך דברים למישור, למרות ששניהם הם אפס קובעים. + +97 +00:08:02,600 --> 00:08:06,100 +יש לנו איזו שפה שהיא קצת יותר ספציפית מסתם אמירת אפס קובע. + +98 +00:08:06,520 --> 00:08:10,497 +כאשר הפלט של טרנספורמציה הוא קו, כלומר הוא חד מימדי, + +99 +00:08:10,497 --> 00:08:13,500 +אנו אומרים שלטרנספורמציה יש דרגה של אחד. + +100 +00:08:15,140 --> 00:08:20,420 +אם כל הווקטורים נוחתים על מישור דו מימדי כלשהו, אנו אומרים שלטרנספורמציה יש דרגה של שתיים. + +101 +00:08:22,920 --> 00:08:27,480 +אז המילה דרגה פירושה מספר הממדים בפלט של טרנספורמציה. + +102 +00:08:28,400 --> 00:08:32,720 +לדוגמה, במקרה של מטריצות 2x2, הדרגה השנייה היא הטובה ביותר שיכולה להיות. + +103 +00:08:33,080 --> 00:08:39,020 +זה אומר שווקטורי הבסיס ממשיכים להתפרש על כל שני ממדי המרחב, והקביעה אינה אפס. + +104 +00:08:39,419 --> 00:08:46,460 +אבל עבור מטריצות 3x3, דירוג שני אומר שקרסנו, אבל לא כמו שהם היו מתמוטטים במצב של דרגה אחת. + +105 +00:08:47,240 --> 00:08:52,225 +אם לטרנספורמציה תלת-ממדית יש דטרמיננט שאינו אפס והפלט שלה ממלא את כל החלל התלת-ממדי, + +106 +00:08:52,225 --> 00:08:53,340 +יש לה דרגה של שלוש. + +107 +00:08:54,520 --> 00:08:58,400 +הסט הזה של כל הפלטים האפשריים עבור המטריצה שלך, בין אם זה קו, + +108 +00:08:58,400 --> 00:09:02,720 +מישור, מרחב תלת מימדי, מה שלא יהיה, נקרא מרחב העמודות של המטריצה שלך. + +109 +00:09:04,140 --> 00:09:06,280 +אתה בטח יכול לנחש מאיפה השם הזה בא. + +110 +00:09:06,560 --> 00:09:10,771 +העמודות של המטריצה שלך אומרות לך היכן נוחתים וקטורי הבסיס, + +111 +00:09:10,771 --> 00:09:15,840 +והטווח של וקטורי הבסיס שעברו טרנספורמציה נותן לך את כל הפלטים האפשריים. + +112 +00:09:16,360 --> 00:09:21,140 +במילים אחרות, שטח העמודות הוא טווח העמודות של המטריצה שלך. + +113 +00:09:23,300 --> 00:09:28,940 +אז הגדרה מדויקת יותר של דירוג תהיה שזהו מספר הממדים בחלל העמודה. + +114 +00:09:29,940 --> 00:09:34,150 +כאשר הדרגה הזו גבוהה ככל האפשר, כלומר היא שווה למספר העמודות, + +115 +00:09:34,150 --> 00:09:36,120 +אנו קוראים למטריצה דרגה מלאה. + +116 +00:09:38,540 --> 00:09:41,946 +שים לב שווקטור האפס תמיד ייכלל במרחב העמודה, שכן + +117 +00:09:41,946 --> 00:09:45,840 +טרנספורמציות ליניאריות חייבות לשמור על המקור קבוע במקום. + +118 +00:09:46,900 --> 00:09:51,960 +עבור טרנספורמציה של דרגה מלאה, הווקטור היחיד שנוחת במקור הוא וקטור האפס עצמו. + +119 +00:09:52,460 --> 00:09:55,839 +אבל עבור מטריצות שאינן בדרגה מלאה, שנדחסות למימד קטן יותר, + +120 +00:09:55,839 --> 00:09:58,760 +אתה יכול לקבל חבורה שלמה של וקטורים שנוחתים על אפס. + +121 +00:10:01,640 --> 00:10:06,066 +אם טרנספורמציה דו-ממדית מוחצת את החלל על קו, למשל, + +122 +00:10:06,066 --> 00:10:10,580 +יש קו נפרד בכיוון אחר מלא בוקטורים שנדחסים אל המקור. + +123 +00:10:11,780 --> 00:10:14,826 +אם טרנספורמציה תלת-ממדית מוחצת את החלל על מטוס, + +124 +00:10:14,826 --> 00:10:17,620 +יש גם שורה מלאה של וקטורים שנוחתים על המוצא. + +125 +00:10:20,520 --> 00:10:24,134 +אם טרנספורמציה תלת מימדית מוחצת את כל החלל על קו, + +126 +00:10:24,134 --> 00:10:27,460 +אז יש מישור שלם מלא בוקטורים שנוחתים על המוצא. + +127 +00:10:32,800 --> 00:10:38,780 +קבוצה זו של וקטורים שנוחתת על המקור נקראת מרחב האפס, או הגרעין של המטריצה שלך. + +128 +00:10:39,360 --> 00:10:44,180 +זה המרחב של כל הוקטורים שהופכים לריק, במובן זה שהם נוחתים על וקטור האפס. + +129 +00:10:45,680 --> 00:10:50,170 +במונחים של מערכת המשוואות הליניארית, כאשר v הוא במקרה וקטור האפס, + +130 +00:10:50,170 --> 00:10:53,640 +הרווח האפס נותן לך את כל הפתרונות האפשריים למשוואה. + +131 +00:10:56,420 --> 00:11:01,720 +אז זו סקירה ברמה גבוהה מאוד של איך לחשוב על מערכות ליניאריות של משוואות מבחינה גיאומטרית. + +132 +00:11:02,300 --> 00:11:05,764 +לכל מערכת יש איזושהי טרנספורמציה ליניארית הקשורה אליה, + +133 +00:11:05,764 --> 00:11:10,740 +וכאשר לטרנספורמציה הזו יש הפוך, אתה יכול להשתמש בהיפוך כדי לפתור את המערכת שלך. + +134 +00:11:12,280 --> 00:11:17,132 +אחרת, הרעיון של מרחב עמודות מאפשר לנו להבין מתי קיים פתרון, + +135 +00:11:17,132 --> 00:11:23,440 +והרעיון של רווח ריק עוזר לנו להבין איך אוסף כל הפתרונות האפשריים יכול להיראות. + +136 +00:11:24,980 --> 00:11:29,380 +שוב, יש הרבה שלא כיסיתי כאן, בעיקר איך לחשב את הדברים האלה. + +137 +00:11:29,800 --> 00:11:34,760 +הייתי צריך גם להגביל את ההיקף שלי לדוגמאות שבהן מספר המשוואות שווה למספר הלא ידועים. + +138 +00:11:34,880 --> 00:11:40,656 +אבל המטרה כאן היא לא לנסות ללמד הכל, זה שאתה יוצא עם אינטואיציה חזקה למטריצות הפוכות, + +139 +00:11:40,656 --> 00:11:46,500 +מרחב עמודות ומרחב ריק, ושהאינטואיציות האלה הופכות כל למידה עתידית שאתה עושה ליותר פורה. + +140 +00:11:47,660 --> 00:11:51,880 +הסרטון הבא, לפי בקשה פופולרית, יהיה הערת שוליים קצרה על מטריצות לא מרובעות. + +141 +00:11:51,880 --> 00:11:55,456 +ואז אחרי זה, אני אתן לך את ההשקפה שלי לגבי מוצרי נקודות, + +142 +00:11:55,456 --> 00:11:59,660 +ומשהו די מגניב שקורה כשאתה צופה בהם באור של טרנספורמציות ליניאריות. + diff --git a/2016/inverse-matrices/hindi/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/hindi/auto_generated.srt index ca4d9eeb9..2ddc721fc 100644 --- a/2016/inverse-matrices/hindi/auto_generated.srt +++ b/2016/inverse-matrices/hindi/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:10,239 --> 00:00:15,050 +00:00:10,240 --> 00:00:15,050 जैसा कि आप शायद अब तक बता सकते हैं, इस श्रृंखला का अधिकांश हिस्सा रैखिक परिवर्तनों 2 @@ -651,7 +651,7 @@ A का निर्धारक शून्य है और वह माम संभावित समाधानों का सेट कैसा दिख सकता है। 164 -00:11:24,979 --> 00:11:27,263 +00:11:24,980 --> 00:11:27,263 फिर, ऐसा बहुत कुछ है जिसे मैंने यहां कवर नहीं किया है, 165 diff --git a/2016/inverse-matrices/indonesian/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/indonesian/auto_generated.srt index a2a9b1b5a..1f50df572 100644 --- a/2016/inverse-matrices/indonesian/auto_generated.srt +++ b/2016/inverse-matrices/indonesian/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:10,239 --> 00:00:12,885 +00:00:10,240 --> 00:00:12,885 Seperti yang mungkin sudah Anda ketahui sekarang, 2 @@ -707,7 +707,7 @@ kapan suatu solusi ada, dan gagasan tentang ruang nol membantu kita memahami seperti apa himpunan semua solusi yang mungkin. 178 -00:11:24,979 --> 00:11:29,380 +00:11:24,980 --> 00:11:29,380 Sekali lagi, ada banyak hal yang belum saya bahas di sini, terutama cara menghitungnya. 179 diff --git a/2016/inverse-matrices/italian/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/italian/auto_generated.srt index 169d3eb9b..ab7be647a 100644 --- a/2016/inverse-matrices/italian/auto_generated.srt +++ b/2016/inverse-matrices/italian/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:10,239 --> 00:00:13,257 +00:00:10,240 --> 00:00:13,257 Come probabilmente avrai già capito, la maggior parte di questa 2 @@ -35,11 +35,11 @@ Ci sono molte ottime risorse per apprendere questi metodi al di fuori di questa le parole chiave eliminazione gaussiana e la forma a scaglioni di riga. 10 -00:00:42,540 --> 00:00:44,571 +00:00:42,540 --> 00:00:44,643 Penso che la maggior parte del valore che devo effettivamente 11 -00:00:44,571 --> 00:00:46,340 +00:00:44,643 --> 00:00:46,340 aggiungere qui risieda nella metà dell'intuizione. 12 @@ -55,24 +55,24 @@ un software che calcola queste cose per noi. Innanzitutto qualche parola sull’utilità dell’algebra lineare. 15 -00:00:54,300 --> 00:00:57,532 +00:00:54,300 --> 00:00:57,567 A questo punto hai già un accenno su come viene utilizzata per descrivere 16 -00:00:57,532 --> 00:01:00,895 -la manipolazione dello spazio, che è utile per cose come la computer grafica +00:00:57,567 --> 00:01:00,613 +la manipolazione dello spazio, che è utile per cose come la computer 17 -00:01:00,895 --> 00:01:04,127 -e la robotica, ma uno dei motivi principali per cui l'algebra lineare +00:01:00,613 --> 00:01:03,704 +grafica e la robotica, ma uno dei motivi principali per cui l'algebra 18 -00:01:04,127 --> 00:01:07,577 -è più ampiamente applicabile e richiesta praticamente per qualsiasi disciplina +00:01:03,704 --> 00:01:07,060 +lineare è più ampiamente applicabile e richiesta praticamente per qualsiasi 19 -00:01:07,577 --> 00:01:10,460 -tecnica è che ci permette di risolvere certi sistemi di equazioni. +00:01:07,060 --> 00:01:10,460 +disciplina tecnica è che ci permette di risolvere certi sistemi di equazioni. 20 00:01:11,380 --> 00:01:14,826 @@ -91,16 +91,16 @@ In molte situazioni, queste equazioni possono diventare molto complicate, ma se sei fortunato, potrebbero assumere una forma speciale. 24 -00:01:26,440 --> 00:01:30,048 +00:01:26,440 --> 00:01:29,998 All'interno di ogni equazione, l'unica cosa che accade a ciascuna variabile 25 -00:01:30,048 --> 00:01:33,700 -è che viene scalata in base a una costante, e l'unica cosa che accade a ciascuna +00:01:29,998 --> 00:01:33,368 +è che viene scalata in base a una costante, e l'unica cosa che accade a 26 -00:01:33,700 --> 00:01:36,880 -di queste variabili scalate è che vengono sommate l'una all'altra. +00:01:33,368 --> 00:01:36,880 +ciascuna di queste variabili scalate è che vengono sommate l'una all'altra. 27 00:01:37,540 --> 00:01:41,564 @@ -139,20 +139,20 @@ Questo è chiamato sistema lineare di equazioni. Potresti notare che assomiglia molto alla moltiplicazione matrice-vettore. 36 -00:02:11,820 --> 00:02:15,751 -In effetti, puoi raggruppare tutte le equazioni insieme in un'unica +00:02:11,820 --> 00:02:16,751 +In effetti, puoi raggruppare tutte le equazioni insieme in un'unica equazione vettoriale 37 -00:02:15,751 --> 00:02:19,136 -equazione vettoriale in cui hai la matrice contenente tutti i +00:02:16,751 --> 00:02:21,571 +in cui hai la matrice contenente tutti i coefficienti costanti e un vettore contenente 38 -00:02:19,136 --> 00:02:22,739 -coefficienti costanti e un vettore contenente tutte le variabili, +00:02:21,571 --> 00:02:26,336 +tutte le variabili, e il loro prodotto matrice-vettore è uguale a un vettore costante 39 -00:02:22,739 --> 00:02:26,780 -e il loro prodotto matrice-vettore è uguale a un vettore costante diverso. +00:02:26,336 --> 00:02:26,780 +diverso. 40 00:02:28,640 --> 00:02:33,173 @@ -235,11 +235,11 @@ in una dimensione inferiore, come una linea o un punto, o se lasci tutto ciò che abbraccia le due dimensioni complete da dove è iniziato. 60 -00:03:40,320 --> 00:03:44,234 +00:03:40,320 --> 00:03:44,124 Nel linguaggio dell'ultimo video, suddividiamo nei casi in cui A ha 61 -00:03:44,234 --> 00:03:48,040 +00:03:44,124 --> 00:03:48,040 determinante zero e nel caso in cui A ha determinante diverso da zero. 62 @@ -267,478 +267,466 @@ Seguendo dove va v mentre riavvolgiamo il nastro in questo modo, troverai il vettore x tale che A per x è uguale a v. 68 -00:04:15,400 --> 00:04:20,146 +00:04:15,400 --> 00:04:20,258 Quando esegui la trasformazione al contrario, in realtà corrisponde a una trasformazione 69 -00:04:20,146 --> 00:04:24,680 +00:04:20,258 --> 00:04:24,680 lineare separata comunemente chiamata l'inverso di A, indicato con A al negativo. 70 -00:04:25,360 --> 00:04:29,086 +00:04:25,360 --> 00:04:29,197 Ad esempio, se A fosse una rotazione di 90 gradi in senso antiorario, 71 -00:04:29,086 --> 00:04:32,760 +00:04:29,197 --> 00:04:32,760 l'inverso di A sarebbe una rotazione di 90 gradi in senso orario. 72 -00:04:34,320 --> 00:04:37,951 +00:04:34,320 --> 00:04:38,019 Se A fosse un taglio verso destra che spinge j-hat di un'unità a destra, 73 -00:04:37,951 --> 00:04:41,961 -l'inverso di A sarebbe un taglio verso sinistra che spinge j-hat di un'unità +00:04:38,019 --> 00:04:42,480 +l'inverso di A sarebbe un taglio verso sinistra che spinge j-hat di un'unità a sinistra. 74 -00:04:41,961 --> 00:04:42,480 -a sinistra. +00:04:44,100 --> 00:04:48,897 +In generale, A inversa è l'unica trasformazione con la proprietà che se si applica prima 75 -00:04:44,100 --> 00:04:48,684 -In generale, A inversa è l'unica trasformazione con la proprietà che se si applica +00:04:48,897 --> 00:04:53,480 +A e poi la si segue con la trasformazione A inversa, si ritorna al punto di partenza. 76 -00:04:48,684 --> 00:04:51,793 -prima A e poi la si segue con la trasformazione A inversa, +00:04:54,540 --> 00:04:56,682 +L'applicazione di una trasformazione dopo l'altra viene 77 -00:04:51,793 --> 00:04:53,480 -si ritorna al punto di partenza. +00:04:56,682 --> 00:04:58,940 +catturata algebricamente con la moltiplicazione di matrici. 78 -00:04:54,540 --> 00:04:56,614 -L'applicazione di una trasformazione dopo l'altra - -79 -00:04:56,614 --> 00:04:58,940 -viene catturata algebricamente con la moltiplicazione di matrici. - -80 00:04:59,420 --> 00:05:03,407 Quindi la proprietà principale di questa trasformazione A inversa è che -81 +79 00:05:03,407 --> 00:05:07,340 A inversa per A è uguale alla matrice che corrisponde a non fare nulla. -82 +80 00:05:08,200 --> 00:05:11,320 La trasformazione che non fa nulla è chiamata trasformazione dell'identità. -83 +81 00:05:11,780 --> 00:05:18,080 Lascia i-hat e j-hat ciascuno dove sono, immobili, quindi le sue colonne sono 1,0 e 0,1. -84 +82 00:05:19,980 --> 00:05:24,136 Una volta trovata questa matrice inversa, cosa che in pratica faresti con un computer, -85 +83 00:05:24,136 --> 00:05:27,720 puoi risolvere la tua equazione moltiplicando questa matrice inversa per v. -86 +84 00:05:29,960 --> 00:05:33,308 E ancora, ciò che questo significa geometricamente è che stai -87 +85 00:05:33,308 --> 00:05:36,440 interpretando la trasformazione al contrario e seguendo v. -88 -00:05:40,200 --> 00:05:44,201 -Questo caso determinante diverso da zero, che per una scelta casuale di matrice è +86 +00:05:40,200 --> 00:05:44,233 +Questo caso determinante diverso da zero, che per una scelta casuale di matrice -89 -00:05:44,201 --> 00:05:48,447 -di gran lunga il più probabile, corrisponde all'idea che se si hanno due incognite +87 +00:05:44,233 --> 00:05:48,014 +è di gran lunga il più probabile, corrisponde all'idea che se si hanno due -90 -00:05:48,447 --> 00:05:52,400 -e due equazioni, è quasi certamente vero che esiste un'unica soluzione unica. +88 +00:05:48,014 --> 00:05:52,400 +incognite e due equazioni, è quasi certamente vero che esiste un'unica soluzione unica. -91 +89 00:05:53,680 --> 00:05:56,274 Questa idea ha senso anche nelle dimensioni superiori, -92 +90 00:05:56,274 --> 00:05:59,200 quando il numero di equazioni è uguale al numero di incognite. -93 -00:05:59,380 --> 00:06:03,649 +91 +00:05:59,380 --> 00:06:03,739 Ancora una volta, il sistema di equazioni può essere tradotto -94 -00:06:03,649 --> 00:06:09,434 +92 +00:06:03,739 --> 00:06:09,364 nell'interpretazione geometrica in cui hai una trasformazione A e un vettore v, -95 -00:06:09,434 --> 00:06:12,740 +93 +00:06:09,364 --> 00:06:12,740 e stai cercando il vettore x che coincide con v. -96 +94 00:06:15,740 --> 00:06:20,595 Finché la trasformazione A non schiaccia tutto lo spazio in una dimensione inferiore, -97 +95 00:06:20,595 --> 00:06:23,982 il che significa che il suo determinante è diverso da zero, -98 +96 00:06:23,982 --> 00:06:28,668 ci sarà una trasformazione inversa A inversa, con la proprietà che se prima fai A, -99 +97 00:06:28,668 --> 00:06:31,040 poi fai A inversa , è come non fare nulla. -100 +98 00:06:33,540 --> 00:06:36,569 E per risolvere la tua equazione, devi solo moltiplicare -101 +99 00:06:36,569 --> 00:06:39,440 la matrice di trasformazione inversa per il vettore v. -102 +100 00:06:43,500 --> 00:06:47,645 Ma quando il determinante è zero e la trasformazione associata al sistema di -103 +101 00:06:47,645 --> 00:06:52,060 equazioni riduce lo spazio in una dimensione più piccola, non esiste il contrario. -104 +102 00:06:52,480 --> 00:06:55,460 Non è possibile schiacciare una linea per trasformarla in un piano. -105 +103 00:06:55,980 --> 00:06:58,060 Almeno questo non è qualcosa che una funzione può fare. -106 +104 00:06:58,360 --> 00:07:00,862 Ciò richiederebbe la trasformazione di ogni singolo -107 +105 00:07:00,862 --> 00:07:02,980 vettore in un’intera linea piena di vettori. -108 +106 00:07:03,740 --> 00:07:06,740 Ma le funzioni possono portare solo un singolo input su un singolo output. -109 -00:07:08,400 --> 00:07:11,289 +107 +00:07:08,400 --> 00:07:11,349 Allo stesso modo, per tre equazioni e tre incognite, -110 -00:07:11,289 --> 00:07:14,669 -non ci sarà l'inverso se la trasformazione corrispondente +108 +00:07:11,349 --> 00:07:15,133 +non ci sarà l'inverso se la trasformazione corrispondente schiaccia -111 -00:07:14,669 --> 00:07:19,140 -schiaccia lo spazio 3D sul piano, o anche se lo schiaccia su una linea o un punto. +109 +00:07:15,133 --> 00:07:19,140 +lo spazio 3D sul piano, o anche se lo schiaccia su una linea o un punto. -112 +110 00:07:19,920 --> 00:07:22,351 Tutti questi corrispondono a un determinante pari a zero, -113 +111 00:07:22,351 --> 00:07:25,160 poiché qualsiasi regione è schiacciata in qualcosa con volume zero. -114 +112 00:07:26,700 --> 00:07:30,640 È ancora possibile che esista una soluzione anche quando non esiste l'inverso. -115 +113 00:07:30,720 --> 00:07:34,949 È solo che quando la tua trasformazione schiaccia lo spazio, diciamo, su una linea, -116 +114 00:07:34,949 --> 00:07:39,380 devi essere abbastanza fortunato che il vettore v viva da qualche parte su quella linea. -117 +115 00:07:43,300 --> 00:07:45,650 Potresti notare che alcuni di questi casi zero -118 +116 00:07:45,650 --> 00:07:48,300 determinanti sembrano molto più restrittivi di altri. -119 +117 00:07:48,840 --> 00:07:52,520 Data una matrice 3x3, ad esempio, sembra molto più difficile che esista -120 +118 00:07:52,520 --> 00:07:56,201 una soluzione quando schiaccia lo spazio su una linea rispetto a quando -121 +119 00:07:56,201 --> 00:08:00,240 schiaccia le cose su un piano, anche se entrambi sono determinanti pari a zero. -122 +120 00:08:02,600 --> 00:08:06,100 Abbiamo un linguaggio un po' più specifico del semplice dire determinante zero. -123 -00:08:06,520 --> 00:08:09,615 +121 +00:08:06,520 --> 00:08:09,486 Quando l'output di una trasformazione è una linea, -124 -00:08:09,615 --> 00:08:13,500 +122 +00:08:09,486 --> 00:08:13,500 ovvero è unidimensionale, diciamo che la trasformazione ha rango uno. -125 +123 00:08:15,140 --> 00:08:18,172 Se tutti i vettori si fermano su un piano bidimensionale, -126 +124 00:08:18,172 --> 00:08:20,420 diciamo che la trasformazione ha rango due. -127 -00:08:22,920 --> 00:08:25,596 -Quindi la parola rango indica il numero di dimensioni - -128 -00:08:25,596 --> 00:08:27,480 -nell'output di una trasformazione. +125 +00:08:22,920 --> 00:08:27,480 +Quindi la parola rango indica il numero di dimensioni nell'output di una trasformazione. -129 +126 00:08:28,400 --> 00:08:32,720 Ad esempio, nel caso di matrici 2x2, il rango 2 è il migliore possibile. -130 +127 00:08:33,080 --> 00:08:35,983 Significa che i vettori di base continuano ad estendersi su tutte -131 +128 00:08:35,983 --> 00:08:39,020 e due le dimensioni dello spazio e il determinante è diverso da zero. -132 +129 00:08:39,419 --> 00:08:42,757 Ma per le matrici 3x3, il rango 2 significa che siamo crollati, -133 +130 00:08:42,757 --> 00:08:46,460 ma non tanto quanto sarebbero collassati per una situazione di rango 1. -134 +131 00:08:47,240 --> 00:08:50,157 Se una trasformazione 3D ha un determinante diverso da -135 +132 00:08:50,157 --> 00:08:53,340 zero e il suo output riempie tutto lo spazio 3D, ha rango 3. -136 +133 00:08:54,520 --> 00:08:58,406 Questo insieme di tutti i possibili output per la tua matrice, che sia una linea, -137 +134 00:08:58,406 --> 00:09:02,340 un piano, uno spazio 3D, qualunque cosa, è chiamato spazio delle colonne della tua -138 +135 00:09:02,340 --> 00:09:02,720 matrice. -139 +136 00:09:04,140 --> 00:09:06,280 Probabilmente puoi indovinare da dove viene quel nome. -140 -00:09:06,560 --> 00:09:10,843 +137 +00:09:06,560 --> 00:09:10,955 Le colonne della tua matrice ti dicono dove si fermano i vettori base e -141 -00:09:10,843 --> 00:09:15,840 +138 +00:09:10,955 --> 00:09:15,840 l'intervallo di quei vettori base trasformati ti dà tutti i possibili risultati. -142 +139 00:09:16,360 --> 00:09:21,140 In altre parole, lo spazio delle colonne è l'estensione delle colonne della matrice. -143 +140 00:09:23,300 --> 00:09:26,120 Quindi una definizione più precisa di rango sarebbe che si -144 +141 00:09:26,120 --> 00:09:28,940 tratta del numero di dimensioni nello spazio delle colonne. -145 +142 00:09:29,940 --> 00:09:34,111 Quando questo rango è il più alto possibile, ovvero uguale al numero di colonne, -146 +143 00:09:34,111 --> 00:09:36,120 chiamiamo rango completo della matrice. -147 -00:09:38,540 --> 00:09:42,190 +144 +00:09:38,540 --> 00:09:42,297 Si noti che il vettore zero sarà sempre incluso nello spazio colonna, -148 -00:09:42,190 --> 00:09:45,840 +145 +00:09:42,297 --> 00:09:45,840 poiché le trasformazioni lineari devono mantenere fissa l'origine. -149 -00:09:46,900 --> 00:09:49,296 +146 +00:09:46,900 --> 00:09:49,286 Per una trasformazione di rango completo, l'unico -150 -00:09:49,296 --> 00:09:51,960 +147 +00:09:49,286 --> 00:09:51,960 vettore che arriva all'origine è il vettore zero stesso. -151 +148 00:09:52,460 --> 00:09:54,560 Ma per le matrici che non hanno il rango completo, -152 +149 00:09:54,560 --> 00:09:57,730 che si riducono a una dimensione più piccola, puoi avere un sacco di vettori -153 +150 00:09:57,730 --> 00:09:58,760 che finiscono sullo zero. -154 -00:10:01,640 --> 00:10:05,116 +151 +00:10:01,640 --> 00:10:05,278 Se una trasformazione 2D comprime lo spazio su una linea, ad esempio, -155 -00:10:05,116 --> 00:10:09,139 -c'è una linea separata in una direzione diversa piena di vettori che vengono +152 +00:10:05,278 --> 00:10:09,904 +c'è una linea separata in una direzione diversa piena di vettori che vengono schiacciati -156 -00:10:09,139 --> 00:10:10,580 -schiacciati sull'origine. +153 +00:10:09,904 --> 00:10:10,580 +sull'origine. -157 -00:10:11,780 --> 00:10:14,405 +154 +00:10:11,780 --> 00:10:14,579 Se una trasformazione 3D schiaccia lo spazio su un piano, -158 -00:10:14,405 --> 00:10:17,620 +155 +00:10:14,579 --> 00:10:17,620 c'è anche una linea completa di vettori che arriva all'origine. -159 -00:10:20,520 --> 00:10:23,670 +156 +00:10:20,520 --> 00:10:23,859 Se una trasformazione 3D comprime tutto lo spazio su una linea, -160 -00:10:23,670 --> 00:10:27,460 +157 +00:10:23,859 --> 00:10:27,460 allora c'è un intero piano pieno di vettori che arrivano all'origine. -161 -00:10:32,800 --> 00:10:35,969 +158 +00:10:32,800 --> 00:10:35,852 Questo insieme di vettori che arriva all'origine -162 -00:10:35,969 --> 00:10:38,780 +159 +00:10:35,852 --> 00:10:38,780 è chiamato spazio nullo o nucleo della matrice. -163 +160 00:10:39,360 --> 00:10:42,026 È lo spazio di tutti i vettori che diventano nulli, -164 +161 00:10:42,026 --> 00:10:44,180 nel senso che si fermano sul vettore zero. -165 -00:10:45,680 --> 00:10:49,938 +162 +00:10:45,680 --> 00:10:50,050 In termini di sistema lineare di equazioni, quando v sembra essere il vettore zero, -166 -00:10:49,938 --> 00:10:53,640 +163 +00:10:50,050 --> 00:10:53,640 lo spazio nullo fornisce tutte le possibili soluzioni dell'equazione. -167 +164 00:10:56,420 --> 00:10:58,997 Questa è una panoramica di altissimo livello su come -168 +165 00:10:58,997 --> 00:11:01,720 pensare geometricamente ai sistemi lineari di equazioni. -169 +166 00:11:02,300 --> 00:11:06,405 A ogni sistema è associata una sorta di trasformazione lineare e quando -170 +167 00:11:06,405 --> 00:11:10,740 tale trasformazione ha un inverso, puoi usarlo per risolvere il tuo sistema. -171 -00:11:12,280 --> 00:11:15,964 +168 +00:11:12,280 --> 00:11:15,962 Altrimenti, l'idea di spazio delle colonne ci permette di capire -172 -00:11:15,964 --> 00:11:19,648 +169 +00:11:15,962 --> 00:11:19,644 quando esiste una soluzione, e l'idea di spazio nullo ci aiuta a -173 -00:11:19,648 --> 00:11:23,440 +170 +00:11:19,644 --> 00:11:23,440 capire come può apparire l'insieme di tutte le soluzioni possibili. -174 -00:11:24,979 --> 00:11:27,603 +171 +00:11:24,980 --> 00:11:27,603 Ancora una volta, ci sono molte cose che non ho trattato qui, -175 +172 00:11:27,603 --> 00:11:29,380 in particolare come calcolare queste cose. -176 +173 00:11:29,800 --> 00:11:32,170 Ho anche dovuto limitare il mio ambito agli esempi in -177 +174 00:11:32,170 --> 00:11:34,760 cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite. -178 -00:11:34,880 --> 00:11:37,497 +175 +00:11:34,880 --> 00:11:37,353 Ma l'obiettivo qui non è cercare di insegnare tutto, -179 -00:11:37,497 --> 00:11:40,529 +176 +00:11:37,353 --> 00:11:40,433 è che tu ne esca con una forte intuizione per le matrici inverse, -180 -00:11:40,529 --> 00:11:44,433 +177 +00:11:40,433 --> 00:11:44,400 lo spazio delle colonne e lo spazio nullo, e che quelle intuizioni rendano qualsiasi -181 -00:11:44,433 --> 00:11:46,500 +178 +00:11:44,400 --> 00:11:46,500 apprendimento futuro che farai più fruttuoso. -182 +179 00:11:47,660 --> 00:11:49,645 Il prossimo video, a grande richiesta, sarà una -183 +180 00:11:49,645 --> 00:11:51,880 breve nota a piè di pagina sulle matrici non quadrate. -184 +181 00:11:51,880 --> 00:11:55,421 Successivamente vi darò la mia opinione sui prodotti punto e su qualcosa di davvero -185 +182 00:11:55,421 --> 00:11:58,920 interessante che accade quando li osservate alla luce delle trasformazioni lineari. -186 +183 00:11:59,480 --> 00:11:59,660 Ci vediamo! diff --git a/2016/inverse-matrices/japanese/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/japanese/auto_generated.srt index 8331f5005..93cd0ba9f 100644 --- a/2016/inverse-matrices/japanese/auto_generated.srt +++ b/2016/inverse-matrices/japanese/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:10,239 --> 00:00:13,184 +00:00:10,240 --> 00:00:13,184 もうおわかりかと思いますが、このシリーズの大 2 @@ -519,11 +519,11 @@ A 逆が存在します。, それは何もしないのと同じです。 、これらはすべてゼロの行列式に対応します。 131 -00:07:26,700 --> 00:07:28,670 +00:07:26,700 --> 00:07:28,669 逆が存在しない場合でも、解が存在 132 -00:07:28,670 --> 00:07:30,640 +00:07:28,669 --> 00:07:30,640 する可能性は依然としてあります。 133 @@ -803,7 +803,7 @@ A 逆が存在します。, それは何もしないのと同じです。 解のセットがどのようなものかを理解するのに役立ちます。 202 -00:11:24,979 --> 00:11:27,180 +00:11:24,980 --> 00:11:27,180 繰り返しになりますが、ここで取り上げていないことはたく 203 diff --git a/2016/inverse-matrices/korean/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/korean/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..a3453b3fc --- /dev/null +++ b/2016/inverse-matrices/korean/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,868 @@ +1 +00:00:10,240 --> 00:00:13,092 +지금쯤이면 알 수 있듯이 이 시리즈의 + +2 +00:00:13,092 --> 00:00:16,080 +대부분은 선형 변환이라는 시각적 렌즈를 + +3 +00:00:16,080 --> 00:00:19,340 +통해 행렬과 벡터 연산을 이해하는 것입니다. + +4 +00:00:19,980 --> 00:00:23,498 +이 영상도 예외는 아니며 역행렬, 컬럼 스페이스, + +5 +00:00:23,498 --> 00:00:26,766 +랭크, 널 스페이스의 개념을 해당 렌즈를 통해 + +6 +00:00:26,766 --> 00:00:27,520 +설명합니다. + +7 +00:00:27,520 --> 00:00:29,760 +미리 경고하지만 실제로 이러한 것들을 계산하는 + +8 +00:00:29,760 --> 00:00:31,913 +방법에 대해서는 이야기하지 않을 것이며 어떤 + +9 +00:00:31,913 --> 00:00:34,240 +사람들은 그것이 매우 중요하다고 주장할 것입니다. + +10 +00:00:34,840 --> 00:00:37,084 +이 시리즈 외에도 가우스 제거 및 행 + +11 +00:00:37,084 --> 00:00:39,328 +사다리꼴 키워드와 같은 방법을 학습할 + +12 +00:00:39,328 --> 00:00:42,000 +수 있는 매우 유용한 리소스가 많이 있습니다. + +13 +00:00:42,540 --> 00:00:44,440 +제가 실제로 여기에 추가해야 할 가치의 + +14 +00:00:44,440 --> 00:00:46,340 +대부분은 직관 절반에 있다고 생각합니다. + +15 +00:00:46,900 --> 00:00:48,552 +게다가 실제로 우리는 대개 이런 + +16 +00:00:48,552 --> 00:00:50,480 +것들을 계산하는 소프트웨어를 얻습니다. + +17 +00:00:51,500 --> 00:00:52,827 +먼저, 선형 대수학의 유용성에 + +18 +00:00:52,827 --> 00:00:53,920 +대해 몇 마디 하겠습니다. + +19 +00:00:54,300 --> 00:00:56,626 +지금까지 공간 조작을 설명하는 데 이 단어가 어떻게 + +20 +00:00:56,626 --> 00:00:58,472 +사용되는지에 대한 힌트가 이미 있습니다. + +21 +00:00:58,472 --> 00:01:00,558 +이는 컴퓨터 그래픽 및 로봇공학과 같은 분야에 + +22 +00:01:00,558 --> 00:01:01,040 +유용합니다. + +23 +00:01:01,500 --> 00:01:04,486 +그러나 선형 대수가 더 광범위하게 적용 가능하고 + +24 +00:01:04,486 --> 00:01:07,252 +거의 모든 기술 분야에 필요한 주요 이유 중 + +25 +00:01:07,252 --> 00:01:10,460 +하나는 특정 방정식 시스템을 풀 수 있다는 것입니다. + +26 +00:01:11,380 --> 00:01:13,405 +내가 방정식 시스템이라고 말할 때, + +27 +00:01:13,405 --> 00:01:15,633 +변수 목록, 모르는 것, 그리고 이들과 + +28 +00:01:15,633 --> 00:01:17,760 +관련된 방정식 목록이 있다는 뜻입니다. + +29 +00:01:18,340 --> 00:01:20,071 +많은 상황에서 이러한 방정식은 + +30 +00:01:20,071 --> 00:01:21,600 +매우 복잡해질 수 있습니다. + +31 +00:01:22,120 --> 00:01:25,300 +하지만 운이 좋다면 특별한 형태를 취할 수도 있습니다. + +32 +00:01:26,440 --> 00:01:29,024 +각 방정식 내에서 각 변수에 발생하는 유일한 + +33 +00:01:29,024 --> 00:01:32,021 +일은 일부 상수에 의해 크기가 조정된다는 것입니다. + +34 +00:01:32,021 --> 00:01:34,709 +그리고 이러한 크기 조정된 각 변수에 발생하는 + +35 +00:01:34,709 --> 00:01:36,880 +유일한 일은 서로 추가된다는 것입니다. + +36 +00:01:37,540 --> 00:01:39,717 +따라서 지수나 고급 함수, 두 + +37 +00:01:39,717 --> 00:01:42,280 +변수를 곱하는 등의 작업은 없습니다. + +38 +00:01:43,420 --> 00:01:46,403 +이러한 종류의 특별한 방정식 시스템을 구성하는 + +39 +00:01:46,403 --> 00:01:49,271 +일반적인 방법은 모든 변수를 왼쪽에 배치하고 + +40 +00:01:49,271 --> 00:01:52,140 +남아 있는 상수를 오른쪽에 배치하는 것입니다. + +41 +00:01:53,600 --> 00:01:56,112 +공통 변수를 수직으로 정렬하는 것도 좋은데, + +42 +00:01:56,112 --> 00:01:58,825 +그렇게 하려면 변수가 방정식 중 하나에 표시되지 + +43 +00:01:58,825 --> 00:02:01,437 +않을 때마다 일부 0 계수를 입력해야 할 수도 + +44 +00:02:01,437 --> 00:02:01,940 +있습니다. + +45 +00:02:04,540 --> 00:02:07,240 +이를 선형 방정식 시스템이라고 합니다. + +46 +00:02:08,100 --> 00:02:09,596 +이것이 행렬-벡터 곱셈과 매우 + +47 +00:02:09,596 --> 00:02:11,180 +유사하다는 것을 알 수 있습니다. + +48 +00:02:11,820 --> 00:02:15,698 +실제로 모든 방정식을 하나의 벡터 방정식으로 묶을 + +49 +00:02:15,698 --> 00:02:19,577 +수 있습니다. 여기서는 모든 상수 계수를 포함하는 + +50 +00:02:19,577 --> 00:02:23,040 +행렬과 모든 변수를 포함하는 벡터를 가지며, + +51 +00:02:23,040 --> 00:02:26,780 +해당 행렬-벡터 곱은 다른 상수 벡터와 같습니다. + +52 +00:02:28,640 --> 00:02:31,425 +해당 상수 행렬의 이름을 A로 지정하고, + +53 +00:02:31,425 --> 00:02:34,331 +변수가 포함된 벡터를 굵은 X로 표시하고, + +54 +00:02:34,331 --> 00:02:37,480 +오른쪽에 있는 상수 벡터를 V라고 부르겠습니다. + +55 +00:02:38,860 --> 00:02:41,018 +이는 방정식 시스템을 한 줄에 작성하기 + +56 +00:02:41,018 --> 00:02:42,980 +위한 단순한 표기법 이상의 것입니다. + +57 +00:02:43,340 --> 00:02:45,167 +그것은 문제에 대한 아주 멋진 + +58 +00:02:45,167 --> 00:02:46,780 +기하학적 해석을 밝혀줍니다. + +59 +00:02:47,620 --> 00:02:50,952 +행렬 A는 일부 선형 변환에 해당하므로 + +60 +00:02:50,952 --> 00:02:54,133 +Ax = V를 풀면 변환을 적용한 후 + +61 +00:02:54,133 --> 00:02:57,920 +V에 도달하는 벡터 X를 찾는다는 의미입니다. + +62 +00:02:59,940 --> 00:03:01,780 +잠시 여기서 무슨 일이 일어나고 있는지 생각해 보세요. + +63 +00:03:02,060 --> 00:03:04,508 +공간을 찌그러뜨리고 모핑하고 어떤 벡터가 + +64 +00:03:04,508 --> 00:03:07,063 +다른 벡터에 도달하는지 알아내려고 노력하는 + +65 +00:03:07,063 --> 00:03:09,618 +것만으로도 여러 변수가 서로 뒤섞여 있다는 + +66 +00:03:09,618 --> 00:03:12,600 +정말 복잡한 아이디어를 머릿속에 담을 수 있습니다. + +67 +00:03:13,160 --> 00:03:13,760 +멋지죠? + +68 +00:03:14,600 --> 00:03:16,601 +간단하게 시작하려면 두 개의 방정식과 두 개의 + +69 +00:03:16,601 --> 00:03:18,680 +미지수가 있는 시스템이 있다고 가정해 보겠습니다. + +70 +00:03:19,000 --> 00:03:21,480 +이는 행렬 A가 2x2 행렬이고 V와 + +71 +00:03:21,480 --> 00:03:23,960 +X가 각각 2차원 벡터임을 의미합니다. + +72 +00:03:25,600 --> 00:03:29,043 +이제 이 방정식의 해법에 대해 생각하는 방법은 A와 + +73 +00:03:29,043 --> 00:03:32,368 +관련된 변환이 모든 공간을 선이나 점과 같은 하위 + +74 +00:03:32,368 --> 00:03:35,931 +차원으로 찌그러뜨리는지 아니면 시작했던 전체 2차원에 + +75 +00:03:35,931 --> 00:03:38,900 +걸쳐 모든 것을 남겨두는지에 따라 달라집니다. + +76 +00:03:40,320 --> 00:03:43,815 +지난 영상의 언어에서는 A의 행렬식이 0인 + +77 +00:03:43,815 --> 00:03:48,040 +경우와 A의 행렬식이 0이 아닌 경우로 세분화됩니다. + +78 +00:03:51,300 --> 00:03:53,346 +행렬식이 0이 아닌 가장 가능성이 높은 + +79 +00:03:53,346 --> 00:03:54,928 +경우부터 시작하겠습니다. 즉, + +80 +00:03:54,928 --> 00:03:57,720 +공간이 0 영역 영역으로 찌그러지지 않음을 의미합니다. + +81 +00:03:58,600 --> 00:04:01,861 +이 경우 V에 도달하는 벡터는 항상 단 + +82 +00:04:01,861 --> 00:04:06,160 +하나뿐이며 변환을 역으로 실행하여 찾을 수 있습니다. + +83 +00:04:06,700 --> 00:04:09,967 +이렇게 테이프를 되감으면서 V가 가는 곳을 따라가면 + +84 +00:04:09,967 --> 00:04:12,896 +A 곱하기 x가 V와 같은 벡터 x를 찾을 수 + +85 +00:04:12,896 --> 00:04:13,460 +있습니다. + +86 +00:04:15,400 --> 00:04:18,129 +변환을 역방향으로 실행하면 실제로는 + +87 +00:04:18,129 --> 00:04:21,131 +일반적으로 A의 역이라고 불리는 별도의 + +88 +00:04:21,131 --> 00:04:24,680 +선형 변환에 해당하며 A에서 음수로 표시됩니다. + +89 +00:04:25,360 --> 00:04:29,122 +예를 들어 A가 시계 반대 방향으로 90도 회전했다면 + +90 +00:04:29,122 --> 00:04:32,760 +A의 역회전은 시계 방향으로 90도 회전한 것입니다. + +91 +00:04:34,320 --> 00:04:37,040 +A가 j-hat을 한 단위 오른쪽으로 밀어내는 + +92 +00:04:37,040 --> 00:04:39,655 +오른쪽 전단이라면 A의 역전단은 j-hat을 + +93 +00:04:39,655 --> 00:04:42,480 +왼쪽으로 한 단위를 밀어내는 왼쪽 전단이 됩니다. + +94 +00:04:44,100 --> 00:04:47,316 +일반적으로 A 역은 먼저 A를 적용한 다음 + +95 +00:04:47,316 --> 00:04:50,532 +변환 A 역을 적용하면 결국 시작한 곳으로 + +96 +00:04:50,532 --> 00:04:53,480 +돌아가는 속성을 갖는 고유한 변환입니다. + +97 +00:04:54,540 --> 00:04:57,426 +하나의 변환을 연이어 적용하는 것은 행렬 + +98 +00:04:57,426 --> 00:05:00,438 +곱셈을 통해 대수적으로 캡처되므로 이 변환 + +99 +00:05:00,438 --> 00:05:03,324 +A 역의 핵심 속성은 A 역과 A의 곱이 + +100 +00:05:03,324 --> 00:05:06,210 +아무것도 하지 않는 것에 해당하는 행렬과 + +101 +00:05:06,210 --> 00:05:07,340 +같다는 것입니다. + +102 +00:05:08,200 --> 00:05:11,320 +아무것도 하지 않는 변환을 항등 변환이라고 합니다. + +103 +00:05:11,780 --> 00:05:14,656 +i-hat과 j-hat은 각각 그대로 + +104 +00:05:14,656 --> 00:05:18,080 +그대로 두므로 열은 1,0과 0,1이 됩니다. + +105 +00:05:19,980 --> 00:05:23,850 +실제로 컴퓨터를 사용하여 이 역행렬을 찾은 후에는 + +106 +00:05:23,850 --> 00:05:27,720 +이 역행렬에 v를 곱하여 방정식을 풀 수 있습니다. + +107 +00:05:29,960 --> 00:05:33,261 +그리고 다시, 이것이 기하학적으로 의미하는 것은 + +108 +00:05:33,261 --> 00:05:36,440 +v를 따르는 변환을 역으로 수행한다는 것입니다. + +109 +00:05:40,200 --> 00:05:43,164 +행렬의 무작위 선택에 대해 가장 가능성이 높은 + +110 +00:05:43,164 --> 00:05:46,128 +이 0이 아닌 행렬식 사례는 두 개의 미지수와 + +111 +00:05:46,128 --> 00:05:49,207 +두 개의 방정식이 있는 경우 단일 고유 솔루션이 + +112 +00:05:49,207 --> 00:05:52,400 +있는 경우가 거의 확실하다는 아이디어와 일치합니다. + +113 +00:05:53,680 --> 00:05:56,383 +이 아이디어는 방정식의 수가 미지수의 수와 + +114 +00:05:56,383 --> 00:05:59,200 +같을 때 더 높은 차원에서도 의미가 있습니다. + +115 +00:05:59,380 --> 00:06:03,896 +다시 말하지만, 방정식 시스템은 변환 A와 + +116 +00:06:03,896 --> 00:06:08,223 +벡터 v가 있고 v에 도달하는 벡터 x를 + +117 +00:06:08,223 --> 00:06:12,740 +찾는 기하학적 해석으로 변환될 수 있습니다. + +118 +00:06:15,740 --> 00:06:19,309 +변환 A가 모든 공간을 더 낮은 차원으로 압축하지 + +119 +00:06:19,309 --> 00:06:22,625 +않는 한, 즉 행렬식은 0이 아님을 의미하며, + +120 +00:06:22,625 --> 00:06:26,450 +A를 먼저 수행하면 A를 역으로 수행하는 속성을 갖는 + +121 +00:06:26,450 --> 00:06:28,745 +역변환 A 역이 발생합니다. , + +122 +00:06:28,745 --> 00:06:31,040 +아무것도하지 않는 것과 같습니다. + +123 +00:06:33,540 --> 00:06:36,775 +방정식을 풀려면 역변환 행렬에 + +124 +00:06:36,775 --> 00:06:39,440 +벡터 v를 곱하면 됩니다. + +125 +00:06:43,500 --> 00:06:47,852 +그러나 행렬식이 0이고 방정식 시스템과 관련된 변환이 + +126 +00:06:47,852 --> 00:06:52,060 +공간을 더 작은 차원으로 압축하면 역행렬이 없습니다. + +127 +00:06:52,480 --> 00:06:55,460 +선을 풀어 평면으로 바꿀 수는 없습니다. + +128 +00:06:55,980 --> 00:06:58,060 +적어도 그것은 함수가 할 수 있는 일이 아닙니다. + +129 +00:06:58,360 --> 00:07:00,616 +이를 위해서는 각 개별 벡터를 벡터로 + +130 +00:07:00,616 --> 00:07:02,980 +가득 찬 전체 라인으로 변환해야 합니다. + +131 +00:07:03,740 --> 00:07:05,282 +그러나 함수는 단일 출력에 대한 + +132 +00:07:05,282 --> 00:07:06,740 +단일 입력만 받을 수 있습니다. + +133 +00:07:08,400 --> 00:07:11,937 +마찬가지로, 3개의 방정식과 3개의 미지수의 경우 + +134 +00:07:11,937 --> 00:07:15,349 +해당 변환이 3D 공간을 평면으로 찌그러뜨리거나 + +135 +00:07:15,349 --> 00:07:19,140 +선이나 점으로 찌그러뜨리더라도 역이 발생하지 않습니다. + +136 +00:07:19,920 --> 00:07:22,486 +모든 영역은 볼륨이 0인 영역으로 압축되기 + +137 +00:07:22,486 --> 00:07:25,160 +때문에 이들 모두는 0의 행렬식에 해당합니다. + +138 +00:07:26,700 --> 00:07:30,640 +역이 없더라도 해가 존재할 가능성은 여전히 있습니다. + +139 +00:07:30,720 --> 00:07:35,199 +변환이 공간을 예를 들어 선으로 압축할 때 벡터 v가 + +140 +00:07:35,199 --> 00:07:39,380 +해당 선의 어딘가에 있을 만큼 운이 좋아야 합니다. + +141 +00:07:43,300 --> 00:07:45,600 +이러한 제로 결정자 사례 중 일부는 다른 + +142 +00:07:45,600 --> 00:07:48,300 +사례보다 훨씬 더 제한적으로 느껴질 수 있습니다. + +143 +00:07:48,840 --> 00:07:51,576 +예를 들어 3x3 행렬이 주어지면 두 가지 + +144 +00:07:51,576 --> 00:07:54,539 +모두 행렬식이 0임에도 불구하고 공간을 평면에 + +145 +00:07:54,539 --> 00:07:57,390 +뭉개는 경우에 비해 공간을 선에 뭉개는 경우 + +146 +00:07:57,390 --> 00:08:00,240 +솔루션이 존재하기가 훨씬 더 어려워 보입니다. + +147 +00:08:02,600 --> 00:08:04,350 +행렬식이 0이라고 말하는 것보다 + +148 +00:08:04,350 --> 00:08:06,100 +좀 더 구체적인 언어가 있습니다. + +149 +00:08:06,520 --> 00:08:10,010 +변환의 출력이 선(1차원임을 의미)인 + +150 +00:08:10,010 --> 00:08:13,500 +경우 변환의 순위가 1이라고 말합니다. + +151 +00:08:15,140 --> 00:08:17,708 +모든 벡터가 2차원 평면에 있는 + +152 +00:08:17,708 --> 00:08:20,420 +경우 변환의 순위는 2라고 합니다. + +153 +00:08:22,920 --> 00:08:25,200 +따라서 순위라는 단어는 변환 + +154 +00:08:25,200 --> 00:08:27,480 +출력의 차원 수를 의미합니다. + +155 +00:08:28,400 --> 00:08:32,720 +예를 들어 2x2 행렬의 경우 2순위가 가장 좋습니다. + +156 +00:08:33,080 --> 00:08:36,104 +이는 기저 벡터가 공간의 전체 2차원에 걸쳐 계속 + +157 +00:08:36,104 --> 00:08:39,020 +확장되고 행렬식은 0이 아니라는 것을 의미합니다. + +158 +00:08:39,419 --> 00:08:43,191 +그러나 3x3 행렬의 경우 2순위는 우리가 무너졌음을 + +159 +00:08:43,191 --> 00:08:46,460 +의미하지만 1순위 상황만큼 무너지지는 않습니다. + +160 +00:08:47,240 --> 00:08:50,103 +3D 변환의 행렬식이 0이 아니고 출력이 + +161 +00:08:50,103 --> 00:08:53,340 +3D 공간 전체를 채우는 경우 순위는 3입니다. + +162 +00:08:54,520 --> 00:08:58,620 +선, 평면, 3D 공간 등 행렬에 대해 가능한 + +163 +00:08:58,620 --> 00:09:02,720 +모든 출력 집합을 행렬의 열 공간이라고 합니다. + +164 +00:09:04,140 --> 00:09:06,280 +그 이름이 어디서 왔는지 추측할 수 있을 것입니다. + +165 +00:09:06,560 --> 00:09:10,890 +행렬의 열은 기저 벡터가 어디에 있는지 알려주고, + +166 +00:09:10,890 --> 00:09:14,912 +변환된 기저 벡터의 범위는 가능한 모든 출력을 + +167 +00:09:14,912 --> 00:09:15,840 +제공합니다. + +168 +00:09:16,360 --> 00:09:21,140 +즉, 열 공간은 행렬 열의 범위입니다. + +169 +00:09:23,300 --> 00:09:25,838 +따라서 순위에 대한 보다 정확한 + +170 +00:09:25,838 --> 00:09:28,940 +정의는 열 공간의 차원 수라는 것입니다. + +171 +00:09:29,940 --> 00:09:32,412 +이 순위가 가능한 한 높을 때(즉, + +172 +00:09:32,412 --> 00:09:36,120 +열 수와 동일함을 의미) 행렬을 전체 순위라고 합니다. + +173 +00:09:38,540 --> 00:09:42,115 +선형 변환은 원점을 제자리에 고정해야 하기 + +174 +00:09:42,115 --> 00:09:45,840 +때문에 영 벡터가 항상 열 공간에 포함됩니다. + +175 +00:09:46,900 --> 00:09:49,615 +전체 순위 변환의 경우 원점에 도달하는 + +176 +00:09:49,615 --> 00:09:51,960 +유일한 벡터는 0 벡터 자체입니다. + +177 +00:09:52,460 --> 00:09:54,492 +그러나 더 작은 차원으로 찌그러지는 + +178 +00:09:54,492 --> 00:09:56,524 +전체 순위가 아닌 행렬의 경우 0에 + +179 +00:09:56,524 --> 00:09:58,760 +도달하는 벡터 전체를 가질 수 있습니다. + +180 +00:10:01,640 --> 00:10:04,449 +예를 들어, 2D 변환이 공간을 선으로 + +181 +00:10:04,449 --> 00:10:07,514 +찌그러뜨리는 경우 원점에 찌그러지는 벡터로 + +182 +00:10:07,514 --> 00:10:10,580 +가득 찬 다른 방향에 별도의 선이 있습니다. + +183 +00:10:11,780 --> 00:10:14,816 +3D 변환으로 인해 공간이 평면으로 찌그러지면 + +184 +00:10:14,816 --> 00:10:17,620 +원점에 도달하는 전체 벡터 라인도 있습니다. + +185 +00:10:20,520 --> 00:10:23,695 +3D 변환으로 인해 모든 공간이 선으로 압축되면 + +186 +00:10:23,695 --> 00:10:26,989 +원점에 도달하는 벡터로 가득 찬 전체 평면이 있게 + +187 +00:10:26,989 --> 00:10:27,460 +됩니다. + +188 +00:10:32,800 --> 00:10:35,632 +원점에 있는 이 벡터 집합을 널 + +189 +00:10:35,632 --> 00:10:38,780 +공간 또는 행렬의 커널이라고 합니다. + +190 +00:10:39,360 --> 00:10:41,461 +0 벡터에 도달한다는 의미에서 + +191 +00:10:41,461 --> 00:10:44,180 +null이 되는 모든 벡터의 공간입니다. + +192 +00:10:45,680 --> 00:10:49,590 +선형 방정식 시스템의 관점에서 v가 영 벡터일 때 + +193 +00:10:49,590 --> 00:10:53,640 +영공간은 방정식에 대한 가능한 모든 해를 제공합니다. + +194 +00:10:56,420 --> 00:10:58,810 +이것은 선형 방정식 시스템을 기하학적으로 + +195 +00:10:58,810 --> 00:11:01,720 +생각하는 방법에 대한 매우 높은 수준의 개요입니다. + +196 +00:11:02,300 --> 00:11:04,915 +각 시스템에는 이와 관련된 일종의 선형 + +197 +00:11:04,915 --> 00:11:07,768 +변환이 있으며 해당 변환에 역이 있는 경우 + +198 +00:11:07,768 --> 00:11:10,740 +해당 역을 사용하여 시스템을 풀 수 있습니다. + +199 +00:11:12,280 --> 00:11:15,191 +그렇지 않으면 열 공간의 개념을 통해 해가 + +200 +00:11:15,191 --> 00:11:17,617 +언제 존재하는지 이해할 수 있으며, + +201 +00:11:17,617 --> 00:11:20,528 +널 공간의 개념은 가능한 모든 해의 집합이 + +202 +00:11:20,528 --> 00:11:23,440 +어떻게 생겼는지 이해하는 데 도움이 됩니다. + +203 +00:11:24,980 --> 00:11:26,376 +다시 말하지만, 여기서 다루지 않은 + +204 +00:11:26,376 --> 00:11:27,773 +내용이 많이 있습니다. 특히 이러한 + +205 +00:11:27,773 --> 00:11:29,380 +항목을 계산하는 방법이 가장 두드러집니다. + +206 +00:11:29,800 --> 00:11:32,156 +또한 방정식의 수가 미지수의 수와 + +207 +00:11:32,156 --> 00:11:34,760 +동일한 예로 범위를 제한해야 했습니다. + +208 +00:11:34,880 --> 00:11:37,673 +그러나 여기서의 목표는 모든 것을 가르치려고 + +209 +00:11:37,673 --> 00:11:39,572 +노력하는 것이 아니라 역행렬, + +210 +00:11:39,572 --> 00:11:42,589 +열 공간 및 널 공간에 대한 강력한 직관을 갖고 + +211 +00:11:42,589 --> 00:11:45,494 +이러한 직관을 통해 향후 학습을 더욱 유익하게 + +212 +00:11:45,494 --> 00:11:46,500 +만드는 것입니다. + +213 +00:11:47,660 --> 00:11:49,516 +다음 비디오는 많은 분들의 요청에 따라 + +214 +00:11:49,516 --> 00:11:51,880 +비정사각형 행렬에 대한 간략한 각주가 될 것입니다. + +215 +00:11:51,880 --> 00:11:54,554 +그런 다음 내적에 대한 내 생각과 이를 + +216 +00:11:54,554 --> 00:11:57,107 +선형 변환의 관점에서 볼 때 발생하는 + +217 +00:11:57,107 --> 00:11:59,660 +매우 멋진 현상에 대해 설명하겠습니다. + diff --git a/2016/inverse-matrices/marathi/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/marathi/auto_generated.srt index 36c96ab5c..7a0608f3d 100644 --- a/2016/inverse-matrices/marathi/auto_generated.srt +++ b/2016/inverse-matrices/marathi/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:10,239 --> 00:00:14,960 +00:00:10,240 --> 00:00:14,960 तुम्ही कदाचित आत्तापर्यंत सांगू शकता की, या मालिकेचा मोठा भाग रेखीय परिवर्तनांच्या 2 @@ -619,7 +619,7 @@ A चा व्यस्त डावीकडील कातरणे अस जागेची कल्पना आपल्याला सर्व संभाव्य उपायांचा संच कसा दिसू शकतो हे समजण्यास मदत करते. 156 -00:11:24,979 --> 00:11:27,494 +00:11:24,980 --> 00:11:27,494 पुन्हा, असे बरेच काही आहे जे मी येथे कव्हर केलेले नाही, 157 diff --git a/2016/inverse-matrices/persian/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/persian/auto_generated.srt index 0b2cdefb4..ca818632e 100644 --- a/2016/inverse-matrices/persian/auto_generated.srt +++ b/2016/inverse-matrices/persian/auto_generated.srt @@ -1,652 +1,620 @@ 1 -00:00:11,143 --> 00:00:15,160 -همانطور که احتمالاً تا به حال می توانید بگویید، بخش عمده ای از این سری +00:00:10,240 --> 00:00:14,822 +همانطور که احتمالاً تا به حال می توانید بگویید، بخش عمده ای از این سری 2 -00:00:15,160 --> 00:00:20,040 -در درک عملیات ماتریس و برداری از طریق آن لنز بصری تر تبدیلات خطی است. +00:00:14,822 --> 00:00:19,340 +در درک عملیات ماتریس و برداری از طریق آن لنز بصری تر تبدیلات خطی است. 3 -00:00:20,040 --> 00:00:24,760 -این ویدیو از این قاعده مستثنی نیست و مفاهیم ماتریس های معکوس، فضای +00:00:19,980 --> 00:00:23,843 +این ویدیو از این قاعده مستثنی نیست و مفاهیم ماتریس های معکوس، 4 -00:00:24,760 --> 00:00:28,080 -ستون، رتبه و فضای تهی را از طریق آن لنز توصیف می کند. +00:00:23,843 --> 00:00:27,520 +فضای ستون، رتبه و فضای تهی را از طریق آن لنز توصیف می کند. 5 -00:00:28,080 --> 00:00:32,000 -با این حال، یک هشدار قبلی، من در مورد روش های محاسبه واقعی این +00:00:27,520 --> 00:00:30,827 +با این حال، یک هشدار قبلی، من در مورد روش های محاسبه واقعی این 6 -00:00:32,000 --> 00:00:34,920 -چیزها صحبت نمی کنم، و برخی استدلال می کنند که این بسیار مهم است. +00:00:30,827 --> 00:00:34,240 +چیزها صحبت نمی کنم، و برخی استدلال می کنند که این بسیار مهم است. 7 -00:00:34,920 --> 00:00:38,960 -منابع بسیار خوبی برای یادگیری آن روش ها در خارج از این +00:00:34,840 --> 00:00:38,356 +منابع بسیار خوبی برای یادگیری آن روش ها در خارج از این 8 -00:00:38,960 --> 00:00:42,440 -مجموعه وجود دارد، کلمات کلیدی حذف گاوسی و فرم ردیف ردیف. +00:00:38,356 --> 00:00:42,000 +مجموعه وجود دارد، کلمات کلیدی حذف گاوسی و فرم ردیف ردیف. 9 -00:00:42,440 --> 00:00:46,640 -من فکر می کنم بیشتر ارزشی که در اینجا باید اضافه کنم به نیمه شهود است. +00:00:42,540 --> 00:00:46,340 +من فکر می کنم بیشتر ارزشی که در اینجا باید اضافه کنم به نیمه شهود است. 10 -00:00:46,640 --> 00:00:50,760 -به علاوه، در عمل، ما معمولا نرم افزاری دریافت می کنیم که به هر حال این موارد را برای ما محاسبه کند. +00:00:46,900 --> 00:00:48,654 +به علاوه، در عمل، ما معمولا نرم افزاری دریافت می 11 -00:00:50,760 --> 00:00:54,460 -ابتدا چند کلمه در مورد سودمندی جبر خطی. +00:00:48,654 --> 00:00:50,480 +کنیم که به هر حال این موارد را برای ما محاسبه کند. 12 -00:00:54,460 --> 00:00:58,580 -در حال حاضر شما قبلاً اشاره ای به نحوه استفاده از آن در توصیف دستکاری فضا دارید، +00:00:51,500 --> 00:00:53,920 +ابتدا چند کلمه در مورد سودمندی جبر خطی. 13 -00:00:58,580 --> 00:01:02,580 -که برای مواردی مانند گرافیک کامپیوتری و روباتیک مفید است، اما یکی از دلایل اصلی این است +00:00:54,300 --> 00:00:58,377 +در حال حاضر شما قبلاً اشاره ای به نحوه استفاده از آن در توصیف دستکاری فضا دارید، 14 -00:01:02,580 --> 00:01:06,920 -که جبر خطی به طور گسترده تری کاربرد دارد و تقریباً برای هر رشته فنی مورد نیاز +00:00:58,377 --> 00:01:02,405 +که برای مواردی مانند گرافیک کامپیوتری و روباتیک مفید است، اما یکی از دلایل اصلی 15 -00:01:06,920 --> 00:01:11,500 -است. این است که به ما اجازه می دهد سیستم های معینی از معادلات را حل کنیم. +00:01:02,405 --> 00:01:06,936 +این است که جبر خطی به طور گسترده تری کاربرد دارد و تقریباً برای هر رشته فنی مورد نیاز است. 16 -00:01:11,500 --> 00:01:15,500 -وقتی می‌گویم سیستم معادلات، منظورم این است که شما فهرستی از متغیرها، +00:01:06,936 --> 00:01:10,460 + این است که به ما اجازه می دهد سیستم های معینی از معادلات را حل کنیم. 17 -00:01:15,500 --> 00:01:18,500 -چیزهایی که نمی‌دانید و فهرستی از معادلات مربوط به آنها را دارید. +00:01:11,380 --> 00:01:14,665 +وقتی می‌گویم سیستم معادلات، منظورم این است که شما فهرستی از متغیرها، 18 -00:01:18,500 --> 00:01:23,600 -در بسیاری از موقعیت ها، این معادلات می توانند بسیار پیچیده شوند، +00:01:14,665 --> 00:01:17,760 +چیزهایی که نمی‌دانید و فهرستی از معادلات مربوط به آنها را دارید. 19 -00:01:23,600 --> 00:01:26,520 -اما اگر خوش شانس باشید، ممکن است شکل خاصی به خود بگیرند. +00:01:18,340 --> 00:01:21,705 +در بسیاری از موقعیت ها، این معادلات می توانند بسیار پیچیده 20 -00:01:26,520 --> 00:01:31,920 -در هر معادله، تنها چیزی که برای هر متغیر اتفاق می‌افتد این است که +00:01:21,705 --> 00:01:25,300 +شوند، اما اگر خوش شانس باشید، ممکن است شکل خاصی به خود بگیرند. 21 -00:01:31,920 --> 00:01:35,740 -با مقداری ثابت مقیاس می‌شود، و تنها چیزی که برای هر یک از +00:01:26,440 --> 00:01:29,868 +در هر معادله، تنها چیزی که برای هر متغیر اتفاق می‌افتد این است که 22 -00:01:35,740 --> 00:01:37,700 -آن متغیرهای مقیاس‌شده اتفاق می‌افتد این است که آنها به یکدیگر اضافه می‌شوند. +00:01:29,868 --> 00:01:33,503 +با مقداری ثابت مقیاس می‌شود، و تنها چیزی که برای هر یک از آن متغیرهای 23 -00:01:37,700 --> 00:01:43,560 -بنابراین هیچ نما یا توابع فانتزی یا ضرب دو متغیر با هم، چیزهایی مانند آن. +00:01:33,503 --> 00:01:36,880 +مقیاس‌شده اتفاق می‌افتد این است که آنها به یکدیگر اضافه می‌شوند. 24 -00:01:43,560 --> 00:01:47,820 -روش معمولی برای سازماندهی این نوع سیستم ویژه معادلات این است که همه متغیرها را +00:01:37,540 --> 00:01:42,280 +بنابراین هیچ نما یا توابع فانتزی یا ضرب دو متغیر با هم، چیزهایی مانند آن. 25 -00:01:47,820 --> 00:01:54,020 -در سمت چپ قرار دهید و هر ثابتی را در سمت راست قرار دهید. +00:01:43,420 --> 00:01:47,780 +روش معمولی برای سازماندهی این نوع سیستم ویژه معادلات این است که همه 26 -00:01:54,020 --> 00:01:57,720 -همچنین خوب است که متغیرهای رایج را به صورت عمودی ردیف کنید، و برای انجام این کار ممکن است +00:01:47,780 --> 00:01:52,140 +متغیرها را در سمت چپ قرار دهید و هر ثابتی را در سمت راست قرار دهید. 27 -00:01:57,720 --> 00:02:04,940 -لازم باشد هر زمان که متغیر در یکی از معادلات نشان داده نشد، ضرایب صفر را وارد کنید. +00:01:53,600 --> 00:01:57,722 +همچنین خوب است که متغیرهای رایج را به صورت عمودی ردیف کنید، و برای انجام این کار ممکن 28 -00:02:04,940 --> 00:02:08,160 -به این سیستم معادلات خطی می گویند. +00:01:57,722 --> 00:02:01,940 +است لازم باشد هر زمان که متغیر در یکی از معادلات نشان داده نشد، ضرایب صفر را وارد کنید. 29 -00:02:08,160 --> 00:02:11,940 -ممکن است متوجه شوید که این بسیار شبیه ضرب ماتریس-بردار است. +00:02:04,540 --> 00:02:07,240 +به این سیستم معادلات خطی می گویند. 30 -00:02:11,940 --> 00:02:17,220 -در واقع، شما می توانید همه معادلات را با هم در یک معادله برداری +00:02:08,100 --> 00:02:11,180 +ممکن است متوجه شوید که این بسیار شبیه ضرب ماتریس-بردار است. 31 -00:02:17,220 --> 00:02:21,460 -واحد بسته بندی کنید که در آن ماتریس حاوی همه ضرایب ثابت و بردار +00:02:11,820 --> 00:02:16,758 +در واقع، شما می توانید همه معادلات را با هم در یک معادله برداری واحد 32 -00:02:21,460 --> 00:02:29,020 -حاوی همه متغیرها است و حاصلضرب ماتریس-بردار آنها برابر با بردار ثابت متفاوت است. +00:02:16,758 --> 00:02:21,626 +بسته بندی کنید که در آن ماتریس حاوی همه ضرایب ثابت و بردار حاوی همه 33 -00:02:29,020 --> 00:02:33,940 -بیایید آن ماتریس ثابت A را نامگذاری کنیم، بردار نگهدارنده متغیرها را با یک +00:02:21,626 --> 00:02:26,780 +متغیرها است و حاصلضرب ماتریس-بردار آنها برابر با بردار ثابت متفاوت است. 34 -00:02:33,940 --> 00:02:39,020 -x پررنگ نشان دهیم و بردار ثابت سمت راست را v صدا کنیم. +00:02:28,640 --> 00:02:33,128 +بیایید آن ماتریس ثابت A را نامگذاری کنیم، بردار نگهدارنده متغیرها 35 -00:02:39,020 --> 00:02:42,360 -این چیزی بیش از یک ترفند نمادین برای +00:02:33,128 --> 00:02:37,480 +را با یک x پررنگ نشان دهیم و بردار ثابت سمت راست را v صدا کنیم. 36 -00:02:42,360 --> 00:02:43,540 -نوشتن سیستم معادلات ما در یک خط است. +00:02:38,860 --> 00:02:42,980 +این چیزی بیش از یک ترفند نمادین برای نوشتن سیستم معادلات ما در یک خط است. 37 -00:02:43,540 --> 00:02:47,620 -این یک تفسیر هندسی بسیار جالب برای مسئله را روشن می کند. +00:02:43,340 --> 00:02:46,780 +این یک تفسیر هندسی بسیار جالب برای مسئله را روشن می کند. 38 -00:02:47,620 --> 00:02:52,940 -ماتریس A با مقداری تبدیل خطی مطابقت دارد، بنابراین حل Ax برابر با v به این معنی است +00:02:47,620 --> 00:02:52,835 +ماتریس A با مقداری تبدیل خطی مطابقت دارد، بنابراین حل Ax برابر با v به این معنی 39 -00:02:52,940 --> 00:03:00,420 -که ما به دنبال بردار x هستیم که پس از اعمال تبدیل، بر روی v قرار می گیرد. +00:02:52,835 --> 00:02:57,920 +است که ما به دنبال بردار x هستیم که پس از اعمال تبدیل، بر روی v قرار می گیرد. 40 -00:03:00,420 --> 00:03:02,180 -یک لحظه به آنچه اینجا اتفاق می افتد فکر کنید. +00:02:59,940 --> 00:03:01,780 +یک لحظه به آنچه اینجا اتفاق می افتد فکر کنید. 41 -00:03:02,180 --> 00:03:07,120 -شما می توانید این ایده واقعاً پیچیده از متغیرهای متعدد را در ذهن خود +00:03:02,060 --> 00:03:05,535 +شما می توانید این ایده واقعاً پیچیده از متغیرهای متعدد را در 42 -00:03:07,120 --> 00:03:11,200 -نگه دارید، فقط با فکر کردن در مورد له کردن و تغییر شکل +00:03:05,535 --> 00:03:08,896 +ذهن خود نگه دارید، فقط با فکر کردن در مورد له کردن و تغییر 43 -00:03:11,200 --> 00:03:12,900 -فضا و تلاش برای کشف اینکه کدام بردار روی دیگری قرار می گیرد. +00:03:08,896 --> 00:03:12,600 +شکل فضا و تلاش برای کشف اینکه کدام بردار روی دیگری قرار می گیرد. 44 -00:03:12,940 --> 00:03:14,860 -باحال، درسته؟ +00:03:13,160 --> 00:03:13,760 +باحال، درسته؟ 45 -00:03:14,860 --> 00:03:19,060 -برای شروع ساده، فرض کنید یک سیستم با دو معادله و دو مجهول دارید. +00:03:14,600 --> 00:03:18,680 +برای شروع ساده، فرض کنید یک سیستم با دو معادله و دو مجهول دارید. 46 -00:03:19,060 --> 00:03:24,780 -این بدان معناست که ماتریس A یک ماتریس 2x2 است و v و x هر یک بردارهای دو بعدی هستند. +00:03:19,000 --> 00:03:23,960 +این بدان معناست که ماتریس A یک ماتریس 2x2 است و v و x هر یک بردارهای دو بعدی هستند. 47 -00:03:24,780 --> 00:03:30,240 -حال، اینکه چگونه در مورد راه حل های این معادله فکر می کنیم، بستگی به این دارد که آیا تبدیل +00:03:25,600 --> 00:03:29,979 +حال، اینکه چگونه در مورد راه حل های این معادله فکر می کنیم، بستگی به این دارد که 48 -00:03:30,240 --> 00:03:35,820 -مرتبط با A، تمام فضا را به یک بعد پایین تر، مانند یک خط یا یک نقطه، فشرده می +00:03:29,979 --> 00:03:34,520 +آیا تبدیل مرتبط با A، تمام فضا را به یک بعد پایین تر، مانند یک خط یا یک نقطه، فشرده 49 -00:03:35,820 --> 00:03:40,780 -کند، یا اینکه همه چیز را در دو بعد کامل از جایی که شروع کرده است، رها می کند. +00:03:34,520 --> 00:03:38,900 +می کند، یا اینکه همه چیز را در دو بعد کامل از جایی که شروع کرده است، رها می کند. 50 -00:03:40,780 --> 00:03:45,540 -در زبان آخرین ویدیو، مواردی را که A دارای تعیین کننده صفر است +00:03:40,320 --> 00:03:44,180 +در زبان آخرین ویدیو، مواردی را که A دارای تعیین کننده صفر است 51 -00:03:45,540 --> 00:03:48,180 -و مواردی که A دارای تعیین کننده غیر صفر هستند، تقسیم می کنیم. +00:03:44,180 --> 00:03:48,040 +و مواردی که A دارای تعیین کننده غیر صفر هستند، تقسیم می کنیم. 52 -00:03:51,740 --> 00:03:55,460 -بیایید با محتمل ترین حالت شروع کنیم، که در آن تعیین کننده غیر +00:03:51,300 --> 00:03:54,455 +بیایید با محتمل ترین حالت شروع کنیم، که در آن تعیین کننده 53 -00:03:55,460 --> 00:03:58,660 -صفر است، به این معنی که فضا به ناحیه صفر تبدیل نمی شود. +00:03:54,455 --> 00:03:57,720 +غیر صفر است، به این معنی که فضا به ناحیه صفر تبدیل نمی شود. 54 -00:03:58,660 --> 00:04:03,740 -در این حالت، همیشه یک و تنها یک بردار وجود خواهد داشت که بر روی +00:03:58,600 --> 00:04:02,351 +در این حالت، همیشه یک و تنها یک بردار وجود خواهد داشت که بر روی v 55 -00:04:03,740 --> 00:04:06,940 -v قرار می‌گیرد و شما می‌توانید آن را با اجرای معکوس تبدیل پیدا کنید. +00:04:02,351 --> 00:04:06,160 +قرار می‌گیرد و شما می‌توانید آن را با اجرای معکوس تبدیل پیدا کنید. 56 -00:04:06,940 --> 00:04:11,940 -وقتی نوار را به این شکل به عقب برمی‌گردانیم، به دنبال جایی که v می‌رود، +00:04:06,700 --> 00:04:09,904 +وقتی نوار را به این شکل به عقب برمی‌گردانیم، به دنبال جایی که v 57 -00:04:11,940 --> 00:04:15,900 -بردار x را به‌گونه‌ای خواهید یافت که A ضربدر x برابر با v است. +00:04:09,904 --> 00:04:13,460 +می‌رود، بردار x را به‌گونه‌ای خواهید یافت که A ضربدر x برابر با v است. 58 -00:04:15,900 --> 00:04:19,780 -هنگامی که تبدیل را به صورت معکوس اجرا می کنید، در واقع با تبدیل خطی جداگانه ای +00:04:15,400 --> 00:04:19,979 +هنگامی که تبدیل را به صورت معکوس اجرا می کنید، در واقع با تبدیل خطی جداگانه 59 -00:04:19,780 --> 00:04:25,420 -مطابقت دارد که معمولاً معکوس A نامیده می شود و A به منفی نشان داده می شود. +00:04:19,979 --> 00:04:24,680 +ای مطابقت دارد که معمولاً معکوس A نامیده می شود و A به منفی نشان داده می شود. 60 -00:04:25,420 --> 00:04:30,440 -به عنوان مثال، اگر A یک چرخش 90 درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت +00:04:25,360 --> 00:04:29,089 +به عنوان مثال، اگر A یک چرخش 90 درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت 61 -00:04:30,440 --> 00:04:34,780 -باشد، معکوس A یک چرخش در جهت عقربه های ساعت 90 درجه خواهد بود. +00:04:29,089 --> 00:04:32,760 +باشد، معکوس A یک چرخش در جهت عقربه های ساعت 90 درجه خواهد بود. 62 -00:04:34,780 --> 00:04:39,200 -اگر A یک برشی به سمت راست بود که j-hat را یک واحد به سمت راست هل می داد، +00:04:34,320 --> 00:04:38,371 +اگر A برشی به سمت راست بود که j-hat را یک واحد به سمت راست هل می داد، 63 -00:04:39,200 --> 00:04:44,340 -معکوس A یک برشی به سمت چپ بود که j-hat را یک واحد به سمت چپ هل می داد. +00:04:38,371 --> 00:04:42,480 +معکوس A یک برشی به سمت چپ بود که j-hat را یک واحد به سمت چپ هل می داد. 64 -00:04:44,340 --> 00:04:48,860 -به طور کلی، A inverse تبدیل منحصر به فرد با ویژگی است که اگر ابتدا A را اعمال کنید، سپس +00:04:44,100 --> 00:04:48,790 +به طور کلی، A inverse تبدیل منحصر به فرد با ویژگی است که اگر ابتدا A را اعمال کنید، سپس 65 -00:04:48,860 --> 00:04:54,660 -آن را با تبدیل A معکوس دنبال کنید، در نهایت به همان جایی که شروع کرده اید باز می گردید. +00:04:48,790 --> 00:04:53,480 +آن را با تبدیل A معکوس دنبال کنید، در نهایت به همان جایی که شروع کرده اید باز می گردید. 66 -00:04:54,660 --> 00:04:59,640 -اعمال یک تبدیل پس از دیگری به صورت جبری با ضرب ماتریس گرفته می شود. +00:04:54,540 --> 00:04:58,940 +اعمال یک تبدیل پس از دیگری به صورت جبری با ضرب ماتریس گرفته می شود. 67 -00:04:59,640 --> 00:05:05,480 -بنابراین ویژگی اصلی این تبدیل A معکوس این است که A برعکس +00:04:59,420 --> 00:05:03,380 +بنابراین ویژگی اصلی این تبدیل A معکوس این است که A برعکس 68 -00:05:05,480 --> 00:05:08,180 -A برابر با ماتریسی است که با انجام هیچ کاری مطابقت دارد. +00:05:03,380 --> 00:05:07,340 +A برابر با ماتریسی است که با انجام هیچ کاری مطابقت دارد. 69 -00:05:08,180 --> 00:05:11,840 -تحولی که هیچ کاری انجام نمی دهد، تبدیل هویت نامیده می شود. +00:05:08,200 --> 00:05:11,320 +تحولی که هیچ کاری انجام نمی دهد، تبدیل هویت نامیده می شود. 70 -00:05:11,840 --> 00:05:20,160 -i-hat و j-hat هر کدام را بدون حرکت رها می کند، بنابراین ستون های آن 1،0 و 0،1 هستند. +00:05:11,780 --> 00:05:18,080 +i-hat و j-hat هر کدام را بدون حرکت رها می کند، بنابراین ستون های آن 1،0 و 0،1 هستند. 71 -00:05:20,160 --> 00:05:24,240 -هنگامی که این معکوس را پیدا کردید، که در عمل با کامپیوتر انجام می‌دادید، +00:05:19,980 --> 00:05:23,592 +هنگامی که این معکوس را پیدا کردید، که در عمل با کامپیوتر انجام 72 -00:05:24,240 --> 00:05:30,120 -می‌توانید معادله خود را با ضرب این ماتریس معکوس در v حل کنید. +00:05:23,592 --> 00:05:27,720 +می‌دادید، می‌توانید معادله خود را با ضرب این ماتریس معکوس در v حل کنید. 73 -00:05:30,120 --> 00:05:34,400 -و باز هم، معنای هندسی این است که شما تبدیل را به +00:05:29,960 --> 00:05:33,097 +و باز هم، معنای هندسی این است که شما تبدیل را 74 -00:05:34,400 --> 00:05:40,560 -صورت معکوس اجرا می کنید و v را دنبال می کنید. +00:05:33,097 --> 00:05:36,440 +به صورت معکوس اجرا می کنید و v را دنبال می کنید. 75 -00:05:40,560 --> 00:05:44,640 -این حالت تعیین‌کننده غیرصفر، که برای انتخاب تصادفی ماتریس محتمل‌ترین مورد است، +00:05:40,200 --> 00:05:43,963 +این حالت تعیین‌کننده غیرصفر، که برای انتخاب تصادفی ماتریس 76 -00:05:44,640 --> 00:05:49,680 -با این ایده مطابقت دارد که اگر دو مجهول و دو +00:05:43,963 --> 00:05:47,922 +محتمل‌ترین مورد است، با این ایده مطابقت دارد که اگر دو مجهول 77 -00:05:49,680 --> 00:05:54,160 -معادله دارید، تقریباً مطمئناً یک راه‌حل منحصر به فرد وجود دارد. +00:05:47,922 --> 00:05:52,400 +و دو معادله دارید، تقریباً مطمئناً یک راه‌حل منحصر به فرد وجود دارد. 78 -00:05:54,160 --> 00:05:57,780 -این ایده همچنین در ابعاد بالاتر، زمانی که تعداد معادلات +00:05:53,680 --> 00:05:56,252 +این ایده همچنین در ابعاد بالاتر، زمانی که تعداد 79 -00:05:57,780 --> 00:05:58,960 -با تعداد مجهولات برابر باشد، معنا پیدا می کند. +00:05:56,252 --> 00:05:59,200 +معادلات با تعداد مجهولات برابر باشد، معنا پیدا می کند. 80 -00:05:58,960 --> 00:06:04,360 -باز هم، سیستم معادلات را می توان به تفسیر هندسی ترجمه کرد +00:05:59,380 --> 00:06:05,975 +باز هم، سیستم معادلات را می توان به تفسیر هندسی ترجمه کرد که در آن شما مقداری 81 -00:06:04,360 --> 00:06:11,700 -که در آن شما مقداری تبدیل A و مقداری بردار v دارید، +00:06:05,975 --> 00:06:12,740 +تبدیل A و مقداری بردار v دارید، و به دنبال بردار x هستید که روی v قرار می گیرد. 82 -00:06:11,700 --> 00:06:16,180 -و به دنبال بردار x هستید که روی v قرار می گیرد. +00:06:15,740 --> 00:06:20,957 +تا زمانی که تبدیل A تمام فضا را به یک بعد پایین تر تبدیل نکند، یعنی تعیین 83 -00:06:16,180 --> 00:06:20,720 -تا زمانی که تبدیل A تمام فضا را به یک بعد پایین تر تبدیل نکند، یعنی تعیین +00:06:20,957 --> 00:06:26,034 +کننده آن غیر صفر است، یک تبدیل معکوس A معکوس خواهد بود، با این ویژگی که 84 -00:06:20,720 --> 00:06:26,060 -کننده آن غیر صفر است، یک تبدیل معکوس A معکوس خواهد بود، با این ویژگی که +00:06:26,034 --> 00:06:31,040 +اگر ابتدا A را انجام دهید، سپس A را معکوس کنید. ، مانند هیچ کاری نیست. 85 -00:06:26,060 --> 00:06:33,760 -اگر ابتدا A را انجام دهید، سپس A را معکوس کنید. ، مانند هیچ کاری نیست. +00:06:33,540 --> 00:06:39,440 +و برای حل معادله خود، فقط باید آن ماتریس تبدیل معکوس را در بردار v ضرب کنید. 86 -00:06:33,760 --> 00:06:38,280 -و برای حل معادله خود، فقط باید آن ماتریس +00:06:43,500 --> 00:06:47,994 +اما زمانی که دترمینان صفر است، و تبدیل مرتبط با سیستم معادلات، 87 -00:06:38,280 --> 00:06:43,640 -تبدیل معکوس را در بردار v ضرب کنید. +00:06:47,994 --> 00:06:52,060 +فضا را به ابعاد کوچک‌تری تبدیل می‌کند، معکوس وجود ندارد. 88 -00:06:43,640 --> 00:06:47,600 -اما زمانی که دترمینان صفر است، و تبدیل مرتبط با سیستم +00:06:52,480 --> 00:06:55,460 +شما نمی توانید یک خط را از بین ببرید تا آن را به یک هواپیما تبدیل کنید. 89 -00:06:47,600 --> 00:06:52,520 -معادلات، فضا را به ابعاد کوچک‌تری تبدیل می‌کند، معکوس وجود ندارد. +00:06:55,980 --> 00:06:58,060 +حداقل این چیزی نیست که یک تابع بتواند انجام دهد. 90 -00:06:52,520 --> 00:06:56,040 -شما نمی توانید یک خط را از بین ببرید تا آن را به یک هواپیما تبدیل کنید. +00:06:58,360 --> 00:07:02,980 +این امر مستلزم تبدیل هر بردار جداگانه به یک خط کامل پر از بردار است. 91 -00:06:56,040 --> 00:06:58,500 -حداقل این چیزی نیست که یک تابع بتواند انجام دهد. +00:07:03,740 --> 00:07:06,740 +اما توابع تنها می توانند یک ورودی را به یک خروجی واحد ببرند. 92 -00:06:58,500 --> 00:07:03,880 -این امر مستلزم تبدیل هر بردار جداگانه به یک خط کامل پر از بردار است. +00:07:08,400 --> 00:07:13,672 +به طور مشابه، برای سه معادله و سه مجهول، اگر تبدیل متناظر فضای سه بعدی را بر روی 93 -00:07:03,880 --> 00:07:07,720 -اما توابع تنها می توانند یک ورودی را به یک خروجی واحد ببرند. +00:07:13,672 --> 00:07:19,140 +صفحه بکوبد، یا حتی اگر آن را روی یک خط یا یک نقطه فشار دهد، معکوس وجود نخواهد داشت. 94 -00:07:07,720 --> 00:07:13,320 -به طور مشابه، برای سه معادله و سه مجهول، اگر تبدیل متناظر فضای +00:07:19,920 --> 00:07:22,767 +همه آنها با یک تعیین کننده صفر مطابقت دارند، زیرا 95 -00:07:13,320 --> 00:07:18,560 -سه بعدی را بر روی صفحه بکوبد، یا حتی اگر آن را +00:07:22,767 --> 00:07:25,160 +هر منطقه به چیزی با حجم صفر فشرده می شود. 96 -00:07:18,560 --> 00:07:19,880 -روی یک خط یا یک نقطه فشار دهد، معکوس وجود نخواهد داشت. +00:07:26,700 --> 00:07:30,640 +حتی زمانی که معکوس وجود ندارد، هنوز ممکن است راه حلی وجود داشته باشد. 97 -00:07:19,880 --> 00:07:24,200 -همه آنها با یک تعیین کننده صفر مطابقت دارند، زیرا +00:07:30,720 --> 00:07:35,113 +فقط این است که وقتی تبدیل شما فضا را مثلاً روی یک خط می زند، باید به 98 -00:07:24,200 --> 00:07:27,140 -هر منطقه به چیزی با حجم صفر فشرده می شود. +00:07:35,113 --> 00:07:39,380 +اندازه کافی خوش شانس باشید که بردار v در جایی روی آن خط زندگی کند. 99 -00:07:27,140 --> 00:07:31,160 -حتی زمانی که معکوس وجود ندارد، هنوز ممکن است راه حلی وجود داشته باشد. +00:07:43,300 --> 00:07:48,300 +ممکن است متوجه شوید که برخی از این موارد تعیین کننده صفر بسیار محدودتر از بقیه هستند. 100 -00:07:31,160 --> 00:07:35,780 -فقط این است که وقتی تبدیل شما فضا را مثلاً روی یک خط می زند، باید +00:07:48,840 --> 00:07:52,607 +برای مثال، با توجه به یک ماتریس 3x3، به نظر می‌رسد که وجود یک راه‌حل زمانی که 101 -00:07:35,780 --> 00:07:43,540 -به اندازه کافی خوش شانس باشید که بردار v در جایی روی آن خط زندگی کند. +00:07:52,607 --> 00:07:56,375 +فضا را روی یک خط فشار می‌دهد، در مقایسه با زمانی که چیزها را روی یک صفحه فشار 102 -00:07:43,540 --> 00:07:49,020 -ممکن است متوجه شوید که برخی از این موارد تعیین کننده صفر بسیار محدودتر از بقیه هستند. +00:07:56,375 --> 00:08:00,240 +می‌دهد، بسیار سخت‌تر به نظر می‌رسد، حتی اگر هر دوی آن‌ها تعیین‌کننده صفر هستند. 103 -00:07:49,020 --> 00:07:53,620 -برای مثال، با توجه به یک ماتریس 3x3، به نظر می‌رسد که وجود یک راه‌حل زمانی که +00:08:02,600 --> 00:08:06,100 +ما زبانی داریم که کمی خاص تر از گفتن فقط تعیین کننده صفر است. 104 -00:07:53,620 --> 00:07:58,460 -فضا را روی یک خط فشار می‌دهد، در مقایسه با زمانی که چیزها را روی یک +00:08:06,520 --> 00:08:13,500 +وقتی خروجی یک تبدیل یک خط است، یعنی یک بعدی است، می گوییم تبدیل دارای رتبه یک است. 105 -00:07:58,460 --> 00:08:02,780 -صفحه فشار می‌دهد، بسیار سخت‌تر به نظر می‌رسد، حتی اگر هر دوی آن‌ها تعیین‌کننده صفر هستند. +00:08:15,140 --> 00:08:20,420 +اگر همه بردارها روی یک صفحه دوبعدی فرود آیند، می گوییم تبدیل دارای رتبه دو است. 106 -00:08:02,780 --> 00:08:06,660 -ما زبانی داریم که کمی خاص تر از گفتن فقط تعیین کننده صفر است. +00:08:22,920 --> 00:08:27,480 +بنابراین کلمه رتبه به معنای تعداد ابعاد در خروجی یک تبدیل است. 107 -00:08:06,660 --> 00:08:11,300 -وقتی خروجی یک تبدیل یک خط است، یعنی یک +00:08:28,400 --> 00:08:32,720 +به عنوان مثال، در مورد ماتریس های 2x2، رتبه 2 بهترین است که می تواند باشد. 108 -00:08:11,300 --> 00:08:15,340 -بعدی است، می گوییم تبدیل دارای رتبه یک است. +00:08:33,080 --> 00:08:36,145 +این بدان معناست که بردارهای پایه به دو بعد کامل 109 -00:08:15,340 --> 00:08:19,840 -اگر همه بردارها روی یک صفحه دوبعدی فرود +00:08:36,145 --> 00:08:39,020 +فضا ادامه می دهند و تعیین کننده غیر صفر است. 110 -00:08:19,840 --> 00:08:23,100 -آیند، می گوییم تبدیل دارای رتبه دو است. +00:08:39,419 --> 00:08:42,769 +اما برای ماتریس‌های 3x3، رتبه 2 به این معنی است که ما سقوط 111 -00:08:23,100 --> 00:08:28,500 -بنابراین کلمه رتبه به معنای تعداد ابعاد در خروجی یک تبدیل است. +00:08:42,769 --> 00:08:46,460 +کرده‌ایم، اما نه به اندازه‌ای که برای وضعیت رتبه 1 فرو می‌رفتند. 112 -00:08:28,500 --> 00:08:33,200 -به عنوان مثال، در مورد ماتریس های 2x2، رتبه 2 بهترین است که می تواند باشد. +00:08:47,240 --> 00:08:50,209 +اگر یک تبدیل سه بعدی دارای یک تعیین کننده غیر صفر باشد 113 -00:08:33,200 --> 00:08:38,340 -این بدان معناست که بردارهای پایه به دو بعد کامل +00:08:50,209 --> 00:08:53,340 +و خروجی آن تمام فضای سه بعدی را پر کند، دارای رتبه 3 است. 114 -00:08:38,340 --> 00:08:39,680 -فضا ادامه می دهند و تعیین کننده غیر صفر است. +00:08:54,520 --> 00:08:58,499 +این مجموعه از تمام خروجی های ممکن برای ماتریس شما، خواه یک خط، یک 115 -00:08:39,680 --> 00:08:44,580 -اما برای ماتریس‌های 3x3، رتبه 2 به این معنی است که ما سقوط +00:08:58,499 --> 00:09:02,720 +صفحه، فضای سه بعدی و هر چه باشد، فضای ستونی ماتریس شما نامیده می شود. 116 -00:08:44,580 --> 00:08:47,320 -کرده‌ایم، اما نه به اندازه‌ای که برای وضعیت رتبه 1 فرو می‌رفتند. +00:09:04,140 --> 00:09:06,280 +احتمالاً می توانید حدس بزنید که این نام از کجا آمده است. 117 -00:08:47,320 --> 00:08:52,660 -اگر یک تبدیل سه بعدی دارای یک تعیین کننده غیر صفر باشد و +00:09:06,560 --> 00:09:11,200 +ستون‌های ماتریس به شما می‌گویند که بردارهای پایه کجا قرار می‌گیرند، و 118 -00:08:52,660 --> 00:08:54,700 -خروجی آن تمام فضای سه بعدی را پر کند، دارای رتبه 3 است. +00:09:11,200 --> 00:09:15,840 +گستره آن بردارهای مبنا تبدیل شده همه خروجی‌های ممکن را به شما می‌دهد. 119 -00:08:54,700 --> 00:08:59,900 -این مجموعه از تمام خروجی های ممکن برای ماتریس شما، خواه یک خط، یک صفحه، +00:09:16,360 --> 00:09:21,140 +به عبارت دیگر، فضای ستون، دهانه ستون های ماتریس شما است. 120 -00:08:59,900 --> 00:09:04,480 -فضای سه بعدی و هر چه باشد، فضای ستونی ماتریس شما نامیده می شود. +00:09:23,300 --> 00:09:28,940 +بنابراین یک تعریف دقیق تر از رتبه این است که تعداد ابعاد در فضای ستون است. 121 -00:09:04,480 --> 00:09:06,780 -احتمالاً می توانید حدس بزنید که این نام از کجا آمده است. +00:09:29,940 --> 00:09:33,057 +زمانی که این رتبه تا جایی که می تواند بالا باشد، یعنی با 122 -00:09:06,780 --> 00:09:12,160 -ستون‌های ماتریس به شما می‌گویند که بردارهای پایه کجا قرار می‌گیرند، و گستره +00:09:33,057 --> 00:09:36,120 +تعداد ستون ها برابر باشد، ماتریس را رتبه کامل می نامیم. 123 -00:09:12,160 --> 00:09:16,620 -آن بردارهای مبنا تبدیل شده همه خروجی‌های ممکن را به شما می‌دهد. +00:09:38,540 --> 00:09:42,309 +توجه داشته باشید، بردار صفر همیشه در فضای ستون گنجانده می شود، 124 -00:09:16,620 --> 00:09:23,800 -به عبارت دیگر، فضای ستون، دهانه ستون های ماتریس شما است. +00:09:42,309 --> 00:09:45,840 +زیرا تبدیل های خطی باید مبدا را در جای خود ثابت نگه دارند. 125 -00:09:23,800 --> 00:09:28,040 -بنابراین یک تعریف دقیق تر از رتبه این +00:09:46,900 --> 00:09:51,960 +برای تبدیل رتبه کامل، تنها بردار که در مبدا قرار می گیرد خود بردار صفر است. 126 -00:09:28,040 --> 00:09:30,240 -است که تعداد ابعاد در فضای ستون است. +00:09:52,460 --> 00:09:55,587 +اما برای ماتریس‌هایی که رتبه کاملی ندارند و به ابعاد کوچک‌تری می‌رسند، 127 -00:09:30,240 --> 00:09:34,840 -زمانی که این رتبه تا جایی که می تواند بالا باشد، یعنی +00:09:55,587 --> 00:09:58,760 +می‌توانید یک دسته کامل از بردارها داشته باشید که روی صفر قرار می‌گیرند. 128 -00:09:34,840 --> 00:09:37,640 -با تعداد ستون ها برابر باشد، ماتریس را رتبه کامل می نامیم. +00:10:01,640 --> 00:10:05,816 +برای مثال، اگر یک تبدیل دوبعدی فضا را روی یک خط فشار دهد، یک خط 129 -00:09:37,640 --> 00:09:44,040 -توجه داشته باشید، بردار صفر همیشه در فضای ستون گنجانده می شود، زیرا +00:10:05,816 --> 00:10:10,580 +جداگانه در جهتی متفاوت پر از بردارهایی وجود دارد که روی مبدأ له می‌شوند. 130 -00:09:44,040 --> 00:09:47,060 -تبدیل های خطی باید مبدا را در جای خود ثابت نگه دارند. +00:10:11,780 --> 00:10:14,700 +اگر یک تبدیل سه‌بعدی فضا را روی یک هواپیما بکوبد، یک خط 131 -00:09:47,060 --> 00:09:51,640 -برای تبدیل رتبه کامل، تنها بردار که در +00:10:14,700 --> 00:10:17,620 +کامل از بردارها نیز وجود دارد که روی مبدا فرود می‌آیند. 132 -00:09:51,640 --> 00:09:52,640 -مبدا قرار می گیرد خود بردار صفر است. +00:10:20,520 --> 00:10:24,082 +اگر یک تبدیل سه‌بعدی تمام فضا را روی یک خط بکوبد، یک صفحه 133 -00:09:52,680 --> 00:09:56,720 -اما برای ماتریس‌هایی که رتبه کاملی ندارند و به ابعاد کوچک‌تری می‌رسند، می‌توانید +00:10:24,082 --> 00:10:27,460 +کامل پر از بردارها وجود دارد که روی مبدا فرود می‌آیند. 134 -00:09:56,720 --> 00:10:02,160 -یک دسته کامل از بردارها داشته باشید که روی صفر قرار می‌گیرند. +00:10:32,800 --> 00:10:35,920 +این مجموعه از بردارها که در مبدا قرار می گیرند، 135 -00:10:02,160 --> 00:10:06,760 -برای مثال، اگر یک تبدیل دوبعدی فضا را روی یک خط فشار دهد، یک خط +00:10:35,920 --> 00:10:38,780 +فضای خالی یا هسته ماتریس شما نامیده می شود. 136 -00:10:06,760 --> 00:10:11,920 -جداگانه در جهتی متفاوت پر از بردارهایی وجود دارد که روی مبدأ له می‌شوند. +00:10:39,360 --> 00:10:44,180 +فضای همه بردارها تهی می شود، به این معنا که بر روی بردار صفر قرار می گیرند. 137 -00:10:11,920 --> 00:10:16,460 -اگر یک تبدیل سه‌بعدی فضا را روی یک هواپیما بکوبد، یک خط +00:10:45,680 --> 00:10:49,802 +از نظر سیستم خطی معادلات، زمانی که v بردار صفر باشد، فضای 138 -00:10:16,460 --> 00:10:20,800 -کامل از بردارها نیز وجود دارد که روی مبدا فرود می‌آیند. +00:10:49,802 --> 00:10:53,640 +تهی همه راه حل های ممکن برای معادله را به شما می دهد. 139 -00:10:20,800 --> 00:10:25,540 -اگر یک تبدیل سه‌بعدی تمام فضا را روی یک خط بکوبد، یک +00:10:56,420 --> 00:11:01,720 +بنابراین این یک نمای کلی سطح بالایی از نحوه تفکر هندسی در مورد سیستم های خطی معادلات است. 140 -00:10:25,540 --> 00:10:33,380 -صفحه کامل پر از بردارها وجود دارد که روی مبدا فرود می‌آیند. +00:11:02,300 --> 00:11:06,368 +هر سیستم دارای نوعی تبدیل خطی مرتبط با خود است و زمانی که آن تبدیل 141 -00:10:33,380 --> 00:10:38,160 -این مجموعه از بردارها که در مبدا قرار می گیرند، +00:11:06,368 --> 00:11:10,740 +دارای معکوس باشد، می توانید از آن معکوس برای حل سیستم خود استفاده کنید. 142 -00:10:38,160 --> 00:10:39,360 -فضای خالی یا هسته ماتریس شما نامیده می شود. +00:11:12,280 --> 00:11:15,979 +در غیر این صورت، ایده فضای ستون به ما امکان می دهد بفهمیم که 143 -00:10:39,360 --> 00:10:43,760 -فضای همه بردارها تهی می شود، به این معنا +00:11:15,979 --> 00:11:19,618 +چه زمانی یک راه حل وجود دارد، و ایده فضای خالی به ما کمک می 144 -00:10:43,760 --> 00:10:45,740 -که بر روی بردار صفر قرار می گیرند. +00:11:19,618 --> 00:11:23,440 +کند تا بفهمیم مجموعه تمام راه حل های ممکن چگونه می تواند باشد. 145 -00:10:45,740 --> 00:10:50,320 -از نظر سیستم خطی معادلات، زمانی که v بردار صفر باشد، فضای تهی +00:11:24,980 --> 00:11:27,180 +باز هم، بسیاری از موارد وجود دارد که من در اینجا به آنها 146 -00:10:50,360 --> 00:10:56,920 -همه راه حل های ممکن برای معادله را به شما می دهد. +00:11:27,180 --> 00:11:29,380 +پرداخته‌ام، از جمله مهم‌ترین آنها نحوه محاسبه این موارد. 147 -00:10:56,920 --> 00:11:00,920 -بنابراین این یک نمای کلی سطح بالایی از نحوه +00:11:29,800 --> 00:11:32,280 +همچنین مجبور شدم دامنه خود را به مثال هایی محدود 148 -00:11:00,920 --> 00:11:02,420 -تفکر هندسی در مورد سیستم های خطی معادلات است. +00:11:32,280 --> 00:11:34,760 +کنم که تعداد معادلات با تعداد مجهولات برابر است. 149 -00:11:02,420 --> 00:11:06,980 -هر سیستم دارای نوعی تبدیل خطی مرتبط با خود است و زمانی که آن تبدیل +00:11:34,880 --> 00:11:38,700 +اما هدف در اینجا تلاش برای آموزش همه چیز نیست، بلکه این است که شما با یک 150 -00:11:06,980 --> 00:11:11,720 -دارای معکوس باشد، می توانید از آن معکوس برای حل سیستم خود استفاده کنید. +00:11:38,700 --> 00:11:42,469 +شهود قوی برای ماتریس‌های معکوس، فضای ستون‌ها و فضای تهی کنار می‌آیید، و 151 -00:11:11,720 --> 00:11:18,240 -در غیر این صورت، ایده فضای ستون به ما امکان می دهد بفهمیم که +00:11:42,469 --> 00:11:46,500 +این شهودات باعث می‌شود هر یادگیری در آینده که انجام می‌دهید مثمر ثمرتر باشد. 152 -00:11:18,240 --> 00:11:22,640 -چه زمانی یک راه حل وجود دارد، و ایده فضای خالی به ما کمک +00:11:47,660 --> 00:11:51,880 +ویدیوی بعدی، بنا به درخواست مردمی، پاورقی مختصری در مورد ماتریس های غیر مربعی خواهد بود. 153 -00:11:22,640 --> 00:11:24,200 -می کند تا بفهمیم مجموعه تمام راه حل های ممکن چگونه می تواند باشد. +00:11:51,880 --> 00:11:55,336 +سپس بعد از آن، می‌خواهم دیدگاه خود را در مورد محصولات نقطه‌ای به شما ارائه دهم، و 154 -00:11:24,200 --> 00:11:29,800 -باز هم، بسیاری از موارد وجود دارد که من در اینجا به آنها پرداخته‌ام، از جمله مهم‌ترین آنها نحوه محاسبه این موارد. +00:11:55,336 --> 00:11:58,920 +چیزی بسیار جالب که وقتی آنها را زیر نور تبدیل‌های خطی مشاهده می‌کنید، اتفاق می‌افتد. 155 -00:11:29,800 --> 00:11:33,680 -همچنین مجبور شدم دامنه خود را به مثال هایی محدود - -156 -00:11:33,680 --> 00:11:35,200 -کنم که تعداد معادلات با تعداد مجهولات برابر است. - -157 -00:11:35,200 --> 00:11:39,700 -اما هدف در اینجا تلاش برای آموزش همه چیز نیست، بلکه این است که شما - -158 -00:11:39,700 --> 00:11:44,720 -با یک شهود قوی برای ماتریس‌های معکوس، فضای ستون‌ها و فضای تهی کنار می‌آیید، و - -159 -00:11:44,720 --> 00:11:47,760 -این شهودات باعث می‌شود هر یادگیری در آینده که انجام می‌دهید مثمر ثمرتر باشد. - -160 -00:11:47,800 --> 00:11:52,480 -ویدیوی بعدی، بنا به درخواست مردمی، پاورقی مختصری در مورد ماتریس های غیر مربعی خواهد بود. - -161 -00:11:52,480 --> 00:11:55,580 -سپس بعد از آن، می‌خواهم دیدگاه خود را در مورد محصولات نقطه‌ای به شما ارائه دهم، - -162 -00:11:55,580 --> 00:11:59,440 -و چیزی بسیار جالب که وقتی آنها را زیر نور تبدیل‌های خطی مشاهده می‌کنید، اتفاق می‌افتد. - -163 -00:11:59,440 --> 00:11:59,940 -بعدا می بینمت! +00:11:59,480 --> 00:11:59,660 +بعدا می بینمت! diff --git a/2016/inverse-matrices/polish/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/polish/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..b37878637 --- /dev/null +++ b/2016/inverse-matrices/polish/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,732 @@ +1 +00:00:10,240 --> 00:00:14,706 +Jak już zapewne zauważyłeś, większość tej serii dotyczy zrozumienia operacji na + +2 +00:00:14,706 --> 00:00:19,340 +macierzach i wektorach przez bardziej wizualną perspektywę transformacji liniowych. + +3 +00:00:19,980 --> 00:00:23,643 +Ten film nie jest wyjątkiem i opisuje koncepcje macierzy odwrotnych, + +4 +00:00:23,643 --> 00:00:27,520 +przestrzeni kolumnowej, rangi i przestrzeni zerowej przez tę perspektywę. + +5 +00:00:27,520 --> 00:00:31,855 +Jednak ostrzegam: nie będę mówił o metodach faktycznego obliczania tych rzeczy, + +6 +00:00:31,855 --> 00:00:34,240 +a niektórzy twierdzą, że jest to dość ważne. + +7 +00:00:34,840 --> 00:00:38,847 +Istnieje wiele bardzo dobrych zasobów do nauki tych metod spoza tej serii, + +8 +00:00:38,847 --> 00:00:42,000 +słowa kluczowe eliminacja Gaussa i forma rzutu wierszowego. + +9 +00:00:42,540 --> 00:00:46,340 +Myślę, że większość wartości, które muszę tu dodać, dotyczy intuicji. + +10 +00:00:46,900 --> 00:00:50,480 +Poza tym w praktyce zwykle dostajemy oprogramowanie, które i tak oblicza nam te rzeczy. + +11 +00:00:51,500 --> 00:00:53,920 +Najpierw kilka słów o przydatności algebry liniowej. + +12 +00:00:54,300 --> 00:00:57,622 +Masz już podpowiedź, jak go używać do opisu manipulacji przestrzenią, + +13 +00:00:57,622 --> 00:01:01,040 +co jest przydatne w takich rzeczach, jak grafika komputerowa i robotyka. + +14 +00:01:01,500 --> 00:01:04,368 +Jednak jednym z głównych powodów, dla których algebra liniowa ma + +15 +00:01:04,368 --> 00:01:07,811 +szersze zastosowanie i jest wymagana w niemal każdej dyscyplinie technicznej, + +16 +00:01:07,811 --> 00:01:10,460 +jest to, że pozwala nam rozwiązywać określone układy równań. + +17 +00:01:11,380 --> 00:01:14,460 +Kiedy mówię układ równań, mam na myśli listę zmiennych, + +18 +00:01:14,460 --> 00:01:17,760 +rzeczy, których nie znasz, i listę równań z nimi związanych. + +19 +00:01:18,340 --> 00:01:21,600 +W wielu sytuacjach równania te mogą stać się bardzo skomplikowane. + +20 +00:01:22,120 --> 00:01:25,300 +Ale jeśli masz szczęście, mogą przybrać pewną specjalną formę. + +21 +00:01:26,440 --> 00:01:29,920 +W każdym równaniu jedyną rzeczą, która dzieje się z każdą zmienną jest to, + +22 +00:01:29,920 --> 00:01:32,611 +że jest ona skalowana przez jakąś stałą, a jedyną rzeczą, + +23 +00:01:32,611 --> 00:01:35,534 +która dzieje się z każdą z tych skalowanych zmiennych jest to, + +24 +00:01:35,534 --> 00:01:36,880 +że są one do siebie dodawane. + +25 +00:01:37,540 --> 00:01:42,280 +Żadnych wykładników, wymyślnych funkcji, mnożenia dwóch zmiennych i tym podobnych. + +26 +00:01:43,420 --> 00:01:47,731 +Typowym sposobem zorganizowania tego rodzaju specjalnego układu równań jest przerzucenie + +27 +00:01:47,731 --> 00:01:51,752 +wszystkich zmiennych po lewej stronie i umieszczenie pozostałych stałych po prawej + +28 +00:01:51,752 --> 00:01:52,140 +stronie. + +29 +00:01:53,600 --> 00:01:57,530 +Przyjemnie jest także ułożyć w pionie wspólne zmienne i w tym celu może zaistnieć + +30 +00:01:57,530 --> 00:02:01,604 +potrzeba dodania zerowych współczynników, ilekroć zmienna nie pojawia się w jednym z + +31 +00:02:01,604 --> 00:02:01,940 +równań. + +32 +00:02:04,540 --> 00:02:07,240 +Nazywa się to liniowym układem równań. + +33 +00:02:08,100 --> 00:02:11,180 +Możesz zauważyć, że wygląda to podobnie do mnożenia wektorów macierzowych. + +34 +00:02:11,820 --> 00:02:16,476 +W rzeczywistości możesz spakować wszystkie równania w jedno równanie wektorowe, + +35 +00:02:16,476 --> 00:02:21,424 +w którym masz macierz zawierającą wszystkie stałe współczynniki i wektor zawierający + +36 +00:02:21,424 --> 00:02:26,314 +wszystkie zmienne, a ich iloczyn macierz-wektor jest równy pewnemu innemu wektorowi + +37 +00:02:26,314 --> 00:02:26,780 +stałemu. + +38 +00:02:28,640 --> 00:02:32,736 +Nazwijmy tę macierz stałą A, oznaczmy wektor zawierający + +39 +00:02:32,736 --> 00:02:37,480 +zmienne pogrubionym X i nazwijmy wektor stały po prawej stronie V. + +40 +00:02:38,860 --> 00:02:41,238 +To coś więcej niż tylko sztuczka z zapisem, pozwalająca + +41 +00:02:41,238 --> 00:02:42,980 +zapisać nasz układ równań w jednej linii. + +42 +00:02:43,340 --> 00:02:46,780 +Rzuca światło na całkiem fajną geometryczną interpretację problemu. + +43 +00:02:47,620 --> 00:02:53,413 +Macierz A odpowiada pewnej transformacji liniowej, więc rozwiązanie Ax równego V oznacza, + +44 +00:02:53,413 --> 00:02:57,920 +że szukamy wektora X, który po zastosowaniu transformacji ląduje na V. + +45 +00:02:59,940 --> 00:03:01,780 +Pomyśl przez chwilę o tym, co się tutaj dzieje. + +46 +00:03:02,060 --> 00:03:05,651 +Możesz trzymać w głowie tę naprawdę skomplikowaną koncepcję wielu zmiennych, + +47 +00:03:05,651 --> 00:03:09,288 +które przenikają się ze sobą, po prostu myśląc o zgniataniu i przekształcaniu + +48 +00:03:09,288 --> 00:03:12,600 +przestrzeni oraz próbując dowiedzieć się, który wektor ląduje na innym. + +49 +00:03:13,160 --> 00:03:13,760 +Fajnie, prawda? + +50 +00:03:14,600 --> 00:03:18,680 +Na początek powiedzmy, że masz układ z dwoma równaniami i dwiema niewiadomymi. + +51 +00:03:19,000 --> 00:03:23,960 +Oznacza to, że macierz A jest macierzą 2x2, a V i X są wektorami dwuwymiarowymi. + +52 +00:03:25,600 --> 00:03:28,738 +To, jak myślimy o rozwiązaniach tego równania, zależy od tego, + +53 +00:03:28,738 --> 00:03:32,523 +czy transformacja związana z A zgniata całą przestrzeń do niższego wymiaru, + +54 +00:03:32,523 --> 00:03:36,907 +na przykład linii lub punktu, czy też pozostawia wszystko rozciągające się na pełne dwa + +55 +00:03:36,907 --> 00:03:38,900 +wymiary w miejscu, w którym się zaczęło. + +56 +00:03:40,320 --> 00:03:43,373 +W języku ostatniego filmu dzielimy się na przypadki, + +57 +00:03:43,373 --> 00:03:48,040 +w których A ma wyznacznik zerowy i przypadek, w którym A ma wyznacznik niezerowy. + +58 +00:03:51,300 --> 00:03:53,287 +Zacznijmy od najbardziej prawdopodobnego przypadku, + +59 +00:03:53,287 --> 00:03:55,274 +w którym wyznacznik jest różny od zera, co oznacza, + +60 +00:03:55,274 --> 00:03:57,720 +że przestrzeń nie zostaje wciśnięta w obszar o zerowym obszarze. + +61 +00:03:58,600 --> 00:04:01,562 +W tym przypadku zawsze będzie jeden i tylko jeden wektor, + +62 +00:04:01,562 --> 00:04:06,160 +który wyląduje na V i możesz go znaleźć, odtwarzając transformację w odwrotnej kolejności. + +63 +00:04:06,700 --> 00:04:10,546 +Podążając za kierunkiem V podczas przewijania taśmy w ten sposób, + +64 +00:04:10,546 --> 00:04:13,460 +znajdziesz wektor x taki, że A razy x równa się V. + +65 +00:04:15,400 --> 00:04:18,129 +Kiedy odtworzysz transformację w odwrotnej kolejności, + +66 +00:04:18,129 --> 00:04:21,404 +w rzeczywistości odpowiada ona oddzielnej transformacji liniowej, + +67 +00:04:21,404 --> 00:04:24,680 +powszechnie zwanej odwrotnością A, oznaczanej A do liczby ujemnej. + +68 +00:04:25,360 --> 00:04:27,630 +Na przykład, jeśli A oznacza obrót o 90 stopni w kierunku + +69 +00:04:27,630 --> 00:04:30,019 +przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, wówczas odwrotnością A + +70 +00:04:30,019 --> 00:04:32,760 +będzie obrót o 90 stopni w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. + +71 +00:04:34,320 --> 00:04:38,326 +Jeżeli A byłoby ścinaniem w prawo, które wypycha j-hat o jedną jednostkę w prawo, + +72 +00:04:38,326 --> 00:04:42,480 +odwrotnością A byłoby ścinaniem w lewo, które wypycha j-hat o jedną jednostkę w lewo. + +73 +00:04:44,100 --> 00:04:48,113 +Ogólnie rzecz biorąc, odwrotność jest unikalną transformacją mającą tę właściwość, + +74 +00:04:48,113 --> 00:04:52,126 +że jeśli najpierw zastosujesz A, a następnie zastosujesz transformację odwrotną A, + +75 +00:04:52,126 --> 00:04:53,480 +wrócisz tam, gdzie zacząłeś. + +76 +00:04:54,540 --> 00:04:58,682 +Stosowanie jednej transformacji po drugiej jest rejestrowane algebraicznie za + +77 +00:04:58,682 --> 00:05:03,144 +pomocą mnożenia macierzy, więc podstawową właściwością tej transformacji A jest to, + +78 +00:05:03,144 --> 00:05:07,340 +że A odwrotność razy A równa się macierzy, która odpowiada nierobieniu niczego. + +79 +00:05:08,200 --> 00:05:11,320 +Transformacja, która nic nie robi, nazywa się transformacją tożsamości. + +80 +00:05:11,780 --> 00:05:15,095 +Pozostawia i-hat i j-hat tam, gdzie się znajdują, + +81 +00:05:15,095 --> 00:05:18,080 +nieporuszone, więc jego kolumny to 1,0 i 0,1. + +82 +00:05:19,980 --> 00:05:24,364 +Kiedy już znajdziesz tę odwrotność, co w praktyce zrobiłbyś za pomocą komputera, + +83 +00:05:24,364 --> 00:05:27,720 +możesz rozwiązać równanie, mnożąc tę macierz odwrotną przez v. + +84 +00:05:29,960 --> 00:05:33,072 +I znowu, geometrycznie oznacza to, że odtwarzasz + +85 +00:05:33,072 --> 00:05:36,440 +transformację w odwrotnej kolejności i podążasz za v. + +86 +00:05:40,200 --> 00:05:44,158 +Ten niezerowy przypadek wyznacznika, który w przypadku losowego wyboru macierzy jest + +87 +00:05:44,158 --> 00:05:47,231 +zdecydowanie najbardziej prawdopodobny, koresponduje z koncepcją, + +88 +00:05:47,231 --> 00:05:50,583 +że jeśli masz dwie niewiadome i dwa równania, prawie na pewno jest tak, + +89 +00:05:50,583 --> 00:05:52,400 +że istnieje jedno unikalne rozwiązanie. + +90 +00:05:53,680 --> 00:05:56,412 +Pomysł ten ma również sens w wyższych wymiarach, + +91 +00:05:56,412 --> 00:05:59,200 +gdy liczba równań jest równa liczbie niewiadomych. + +92 +00:05:59,380 --> 00:06:05,573 +Ponownie, układ równań można przełożyć na interpretację geometryczną, + +93 +00:06:05,573 --> 00:06:12,740 +w której masz transformację A i wektor v, i szukasz wektora x, który ląduje na v. + +94 +00:06:15,740 --> 00:06:19,710 +Dopóki transformacja A nie zgniecie całej przestrzeni do niższego wymiaru, + +95 +00:06:19,710 --> 00:06:22,357 +co oznacza, że jej wyznacznik jest różny od zera, + +96 +00:06:22,357 --> 00:06:26,328 +będzie miała miejsce transformacja odwrotna A odwrotna, z tą właściwością, + +97 +00:06:26,328 --> 00:06:31,040 +że jeśli najpierw wykonasz A, to zrobisz też A odwrotne , to tak samo, jak nic nie robić. + +98 +00:06:33,540 --> 00:06:39,440 +Aby rozwiązać równanie, wystarczy pomnożyć macierz odwrotnej transformacji przez wektor v. + +99 +00:06:43,500 --> 00:06:47,748 +Ale gdy wyznacznik wynosi zero, a transformacja związana z układem + +100 +00:06:47,748 --> 00:06:52,060 +równań zgniata przestrzeń do mniejszego wymiaru, nie ma odwrotności. + +101 +00:06:52,480 --> 00:06:55,460 +Nie można rozgnieść linii, aby zamienić ją w płaszczyznę. + +102 +00:06:55,980 --> 00:06:58,060 +Przynajmniej nie jest to coś, co funkcja może zrobić. + +103 +00:06:58,360 --> 00:07:02,980 +Wymagałoby to przekształcenia każdego pojedynczego wektora w całą linię pełną wektorów. + +104 +00:07:03,740 --> 00:07:06,740 +Ale funkcje mogą przenosić tylko jedno wejście na jedno wyjście. + +105 +00:07:08,400 --> 00:07:12,728 +Podobnie w przypadku trzech równań i trzech niewiadomych nie będzie odwrotności, + +106 +00:07:12,728 --> 00:07:16,521 +jeśli odpowiednia transformacja zgniecie przestrzeń 3D na płaszczyźnie + +107 +00:07:16,521 --> 00:07:19,140 +lub nawet jeśli zgniecie ją na linii lub punkcie. + +108 +00:07:19,920 --> 00:07:22,516 +Wszystkie odpowiadają wyznacznikowi zerowemu, ponieważ + +109 +00:07:22,516 --> 00:07:25,160 +dowolny region jest wciśnięty w coś o zerowej objętości. + +110 +00:07:26,700 --> 00:07:30,640 +Nadal możliwe jest, że rozwiązanie istnieje, nawet jeśli nie ma odwrotności. + +111 +00:07:30,720 --> 00:07:34,926 +Po prostu, kiedy twoja transformacja zgniata przestrzeń, powiedzmy, + +112 +00:07:34,926 --> 00:07:39,380 +na linię, musisz mieć szczęście, że wektor v leży gdzieś na tej prostej. + +113 +00:07:43,300 --> 00:07:45,883 +Możesz zauważyć, że niektóre z tych przypadków z determinantą + +114 +00:07:45,883 --> 00:07:48,300 +zerową wydają się znacznie bardziej restrykcyjne niż inne. + +115 +00:07:48,840 --> 00:07:51,368 +Na przykład, biorąc pod uwagę macierz 3x3, wydaje się, + +116 +00:07:51,368 --> 00:07:55,137 +że znacznie trudniej jest znaleźć rozwiązanie, które zgniata przestrzeń na linii, + +117 +00:07:55,137 --> 00:07:57,941 +w porównaniu z sytuacją, gdy zgniata rzeczy na płaszczyźnie, + +118 +00:07:57,941 --> 00:08:00,240 +mimo że oba te czynniki są wyznacznikami zerowymi. + +119 +00:08:02,600 --> 00:08:04,722 +Mamy pewien język, który jest nieco bardziej szczegółowy + +120 +00:08:04,722 --> 00:08:06,100 +niż samo mówienie o wyznaczniku zera. + +121 +00:08:06,520 --> 00:08:09,628 +Kiedy wynikiem transformacji jest linia, co oznacza, + +122 +00:08:09,628 --> 00:08:13,500 +że jest jednowymiarowa, mówimy, że transformacja ma stopień jeden. + +123 +00:08:15,140 --> 00:08:18,500 +Jeśli wszystkie wektory lądują na jakiejś dwuwymiarowej płaszczyźnie, + +124 +00:08:18,500 --> 00:08:20,420 +mówimy, że transformacja ma stopień dwa. + +125 +00:08:22,920 --> 00:08:27,480 +Zatem słowo ranga oznacza liczbę wymiarów na wyjściu transformacji. + +126 +00:08:28,400 --> 00:08:32,720 +Na przykład w przypadku macierzy 2x2 pozycja druga jest najlepsza z możliwych. + +127 +00:08:33,080 --> 00:08:37,379 +Oznacza to, że wektory bazowe nadal obejmują pełne dwa wymiary przestrzeni, + +128 +00:08:37,379 --> 00:08:39,020 +a wyznacznik nie wynosi zero. + +129 +00:08:39,419 --> 00:08:43,066 +Ale w przypadku macierzy 3x3 stopień drugi oznacza, że zawaliliśmy się, + +130 +00:08:43,066 --> 00:08:46,460 +ale nie tak bardzo, jak zawaliłoby się w sytuacji pierwszego rzędu. + +131 +00:08:47,240 --> 00:08:49,901 +Jeśli transformacja 3D ma wyznacznik niezerowy, + +132 +00:08:49,901 --> 00:08:53,340 +a jej wynik wypełnia całą przestrzeń 3D, ma ona rangę trzecią. + +133 +00:08:54,520 --> 00:08:57,639 +Ten zbiór wszystkich możliwych wyników macierzy, niezależnie od tego, + +134 +00:08:57,639 --> 00:09:00,670 +czy jest to linia, płaszczyzna, przestrzeń 3D czy cokolwiek innego, + +135 +00:09:00,670 --> 00:09:02,720 +nazywany jest przestrzenią kolumnową macierzy. + +136 +00:09:04,140 --> 00:09:06,280 +Pewnie domyślacie się, skąd wzięła się ta nazwa. + +137 +00:09:06,560 --> 00:09:10,338 +Kolumny macierzy informują, gdzie lądują wektory bazowe, + +138 +00:09:10,338 --> 00:09:15,840 +a rozpiętość tych przekształconych wektorów bazowych daje wszystkie możliwe wyniki. + +139 +00:09:16,360 --> 00:09:21,140 +Innymi słowy, przestrzeń kolumn to rozpiętość kolumn macierzy. + +140 +00:09:23,300 --> 00:09:26,311 +Zatem bardziej precyzyjna definicja rangi byłaby taka, + +141 +00:09:26,311 --> 00:09:28,940 +że jest to liczba wymiarów w przestrzeni kolumn. + +142 +00:09:29,940 --> 00:09:33,030 +Kiedy ten stopień jest tak wysoki, jak to tylko możliwe, + +143 +00:09:33,030 --> 00:09:36,120 +czyli równy liczbie kolumn, nazywamy macierz pełną rangą. + +144 +00:09:38,540 --> 00:09:41,932 +Zwróć uwagę, że wektor zerowy będzie zawsze uwzględniony w przestrzeni kolumn, + +145 +00:09:41,932 --> 00:09:45,496 +ponieważ przekształcenia liniowe muszą utrzymywać początek układu współrzędnych na + +146 +00:09:45,496 --> 00:09:45,840 +miejscu. + +147 +00:09:46,900 --> 00:09:49,642 +W przypadku transformacji pełnego rzędu jedynym wektorem, + +148 +00:09:49,642 --> 00:09:51,960 +który trafia do początku, jest sam wektor zerowy. + +149 +00:09:52,460 --> 00:09:55,630 +Ale w przypadku macierzy, które nie mają pełnego rzędu i które zmniejszają się + +150 +00:09:55,630 --> 00:09:58,760 +do mniejszego wymiaru, możesz mieć całą masę wektorów, które wychodzą na zero. + +151 +00:10:01,640 --> 00:10:05,379 +Jeśli na przykład transformacja 2D zgniata przestrzeń na linię, + +152 +00:10:05,379 --> 00:10:10,580 +istnieje oddzielna linia w innym kierunku, pełna wektorów, które są ściskane na początku. + +153 +00:10:11,780 --> 00:10:14,165 +Jeśli transformacja 3D zgniata przestrzeń na płaszczyznę, + +154 +00:10:14,165 --> 00:10:17,620 +istnieje również pełna linia wektorów, które lądują w początku układu współrzędnych. + +155 +00:10:20,520 --> 00:10:23,093 +Jeśli transformacja 3D zgniata całą przestrzeń w linię, + +156 +00:10:23,093 --> 00:10:25,391 +wówczas istnieje cała płaszczyzna pełna wektorów, + +157 +00:10:25,391 --> 00:10:27,460 +które lądują w początku układu współrzędnych. + +158 +00:10:32,800 --> 00:10:36,111 +Ten zbiór wektorów, który ląduje na początku układu współrzędnych, + +159 +00:10:36,111 --> 00:10:38,780 +nazywany jest przestrzenią zerową lub jądrem macierzy. + +160 +00:10:39,360 --> 00:10:42,216 +Jest to przestrzeń wszystkich wektorów, które stają się zerowe, + +161 +00:10:42,216 --> 00:10:44,180 +w tym sensie, że lądują na wektorze zerowym. + +162 +00:10:45,680 --> 00:10:49,784 +Jeśli chodzi o liniowy układ równań, gdy v jest wektorem zerowym, + +163 +00:10:49,784 --> 00:10:53,640 +przestrzeń zerowa daje wszystkie możliwe rozwiązania równania. + +164 +00:10:56,420 --> 00:10:59,147 +Jest to więc bardzo ogólny przegląd tego, jak myśleć + +165 +00:10:59,147 --> 00:11:01,720 +o liniowych układach równań w sposób geometryczny. + +166 +00:11:02,300 --> 00:11:05,795 +Z każdym systemem jest powiązany jakiś rodzaj transformacji liniowej, + +167 +00:11:05,795 --> 00:11:09,940 +a jeśli ta transformacja ma odwrotność, możesz użyć tej odwrotności do rozwiązania + +168 +00:11:09,940 --> 00:11:10,740 +swojego systemu. + +169 +00:11:12,280 --> 00:11:16,000 +W przeciwnym razie idea przestrzeni kolumnowej pozwala nam zrozumieć, + +170 +00:11:16,000 --> 00:11:20,517 +kiedy rozwiązanie w ogóle istnieje, a idea przestrzeni zerowej pomaga nam zrozumieć, + +171 +00:11:20,517 --> 00:11:23,440 +jak może wyglądać zbiór wszystkich możliwych rozwiązań. + +172 +00:11:24,980 --> 00:11:27,513 +Ponownie, jest wiele rzeczy, których tutaj nie opisałem, + +173 +00:11:27,513 --> 00:11:29,380 +a zwłaszcza sposób obliczania tych rzeczy. + +174 +00:11:29,800 --> 00:11:32,089 +Musiałem także ograniczyć zakres do przykładów, + +175 +00:11:32,089 --> 00:11:34,760 +w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych. + +176 +00:11:34,880 --> 00:11:38,386 +Jednak celem tutaj nie jest próba nauczenia wszystkiego. Chodzi o to, + +177 +00:11:38,386 --> 00:11:41,190 +abyś miał silną intuicję dotyczącą macierzy odwrotnych, + +178 +00:11:41,190 --> 00:11:44,947 +przestrzeni kolumnowej i przestrzeni zerowej oraz aby ta intuicja uczyniła + +179 +00:11:44,947 --> 00:11:46,500 +przyszłą naukę bardziej owocną. + +180 +00:11:47,660 --> 00:11:49,728 +Następny film, zgodnie z popularną prośbą, będzie + +181 +00:11:49,728 --> 00:11:51,880 +krótkim przypisem na temat macierzy niekwadratowych. + +182 +00:11:51,880 --> 00:11:56,123 +Potem przedstawię wam moje podejście do produktów skalarnych i coś całkiem fajnego, + +183 +00:11:56,123 --> 00:11:59,660 +co się dzieje, gdy spojrzymy na nie w świetle transformacji liniowych. + diff --git a/2016/inverse-matrices/portuguese/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/portuguese/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..05ccb9a7e --- /dev/null +++ b/2016/inverse-matrices/portuguese/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,736 @@ +1 +00:00:10,240 --> 00:00:13,273 +Como você provavelmente já pode perceber, a maior parte desta + +2 +00:00:13,273 --> 00:00:16,404 +série trata da compreensão das operações matriciais e vetoriais + +3 +00:00:16,404 --> 00:00:19,340 +através das lentes mais visuais das transformações lineares. + +4 +00:00:19,980 --> 00:00:23,883 +Este vídeo não é exceção, descrevendo os conceitos de matrizes inversas, + +5 +00:00:23,883 --> 00:00:27,520 +espaço de coluna, classificação e espaço nulo através dessas lentes. + +6 +00:00:27,520 --> 00:00:31,738 +Porém, um aviso: não vou falar sobre os métodos para realmente calcular essas coisas, + +7 +00:00:31,738 --> 00:00:34,240 +e alguns argumentariam que isso é muito importante. + +8 +00:00:34,840 --> 00:00:38,839 +Existem muitos recursos muito bons para aprender esses métodos fora desta série, + +9 +00:00:38,839 --> 00:00:42,000 +palavras-chave eliminação gaussiana e forma escalonada de linha. + +10 +00:00:42,540 --> 00:00:44,399 +Acho que a maior parte do valor que realmente + +11 +00:00:44,399 --> 00:00:46,340 +tenho a agregar aqui está na metade da intuição. + +12 +00:00:46,900 --> 00:00:48,623 +Além disso, na prática, geralmente obtemos software + +13 +00:00:48,623 --> 00:00:50,480 +para calcular essas coisas para nós de qualquer maneira. + +14 +00:00:51,500 --> 00:00:53,920 +Primeiro, algumas palavras sobre a utilidade da álgebra linear. + +15 +00:00:54,300 --> 00:00:57,891 +Até agora, você já tem uma dica de como ele é usado para descrever a manipulação + +16 +00:00:57,891 --> 00:01:01,040 +do espaço, o que é útil para coisas como computação gráfica e robótica. + +17 +00:01:01,500 --> 00:01:04,384 +Mas uma das principais razões pelas quais a álgebra linear é mais + +18 +00:01:04,384 --> 00:01:07,531 +amplamente aplicável e necessária para praticamente qualquer disciplina + +19 +00:01:07,531 --> 00:01:10,460 +técnica é que ela nos permite resolver certos sistemas de equações. + +20 +00:01:11,380 --> 00:01:14,799 +Quando digo sistema de equações, quero dizer que você tem uma lista de variáveis, + +21 +00:01:14,799 --> 00:01:17,760 +coisas que você não conhece, e uma lista de equações que as relacionam. + +22 +00:01:18,340 --> 00:01:21,600 +Em muitas situações, essas equações podem ficar muito complicadas. + +23 +00:01:22,120 --> 00:01:25,300 +Mas, se você tiver sorte, eles poderão assumir uma certa forma especial. + +24 +00:01:26,440 --> 00:01:29,889 +Dentro de cada equação, a única coisa que acontece com cada variável é que + +25 +00:01:29,889 --> 00:01:33,430 +ela é escalonada por alguma constante, e a única coisa que acontece com cada + +26 +00:01:33,430 --> 00:01:36,880 +uma dessas variáveis escalonadas é que elas são adicionadas umas às outras. + +27 +00:01:37,540 --> 00:01:41,657 +Portanto, nada de expoentes, funções sofisticadas ou multiplicação de duas variáveis, + +28 +00:01:41,657 --> 00:01:42,280 +coisas assim. + +29 +00:01:43,420 --> 00:01:47,701 +A maneira típica de organizar esse tipo de sistema especial de equações é colocar + +30 +00:01:47,701 --> 00:01:52,140 +todas as variáveis à esquerda e colocar quaisquer constantes remanescentes à direita. + +31 +00:01:53,600 --> 00:01:56,200 +Também é bom alinhar verticalmente as variáveis comuns e, + +32 +00:01:56,200 --> 00:01:59,249 +para fazer isso, talvez seja necessário inserir alguns coeficientes + +33 +00:01:59,249 --> 00:02:01,940 +zero sempre que a variável não aparecer em uma das equações. + +34 +00:02:04,540 --> 00:02:07,240 +Isso é chamado de sistema linear de equações. + +35 +00:02:08,100 --> 00:02:11,180 +Você pode notar que isso se parece muito com a multiplicação de vetores de matrizes. + +36 +00:02:11,820 --> 00:02:16,826 +Na verdade, você pode empacotar todas as equações em uma única equação vetorial onde + +37 +00:02:16,826 --> 00:02:21,891 +você tem a matriz contendo todos os coeficientes constantes e um vetor contendo todas + +38 +00:02:21,891 --> 00:02:26,780 +as variáveis, e seu produto matriz-vetor é igual a algum vetor constante diferente. + +39 +00:02:28,640 --> 00:02:32,852 +Vamos chamar essa matriz constante de A, denotar o vetor que contém as + +40 +00:02:32,852 --> 00:02:37,480 +variáveis com um X em negrito e chamar o vetor constante no lado direito de V. + +41 +00:02:38,860 --> 00:02:41,002 +Isso é mais do que apenas um truque de notação para + +42 +00:02:41,002 --> 00:02:42,980 +escrever nosso sistema de equações em uma linha. + +43 +00:02:43,340 --> 00:02:46,780 +Ele lança luz sobre uma interpretação geométrica muito interessante para o problema. + +44 +00:02:47,620 --> 00:02:50,853 +A matriz A corresponde a alguma transformação linear, + +45 +00:02:50,853 --> 00:02:55,524 +então resolver Ax igual a V significa que estamos procurando um vetor X, que, + +46 +00:02:55,524 --> 00:02:57,920 +após aplicar a transformação, chega a V. + +47 +00:02:59,940 --> 00:03:01,780 +Pense no que está acontecendo aqui por um momento. + +48 +00:03:02,060 --> 00:03:05,969 +Você pode ter em mente essa ideia realmente complicada de múltiplas variáveis, + +49 +00:03:05,969 --> 00:03:09,334 +todas misturadas umas com as outras, apenas pensando em comprimir e + +50 +00:03:09,334 --> 00:03:12,600 +transformar o espaço e tentar descobrir qual vetor pousa em outro. + +51 +00:03:13,160 --> 00:03:13,760 +Legal certo? + +52 +00:03:14,600 --> 00:03:16,539 +Para começar de forma simples, digamos que você + +53 +00:03:16,539 --> 00:03:18,680 +tenha um sistema com duas equações e duas incógnitas. + +54 +00:03:19,000 --> 00:03:23,960 +Isso significa que a matriz A é uma matriz 2x2 e V e X são vetores bidimensionais. + +55 +00:03:25,600 --> 00:03:29,817 +Agora, a forma como pensamos sobre as soluções para esta equação depende se a + +56 +00:03:29,817 --> 00:03:33,871 +transformação associada a A comprime todo o espaço numa dimensão inferior, + +57 +00:03:33,871 --> 00:03:38,197 +como uma reta ou um ponto, ou se deixa tudo que abrange todas as duas dimensões + +58 +00:03:38,197 --> 00:03:38,900 +onde começou. + +59 +00:03:40,320 --> 00:03:44,012 +Na linguagem do último vídeo, subdividimos nos casos em que A tem + +60 +00:03:44,012 --> 00:03:48,040 +determinante zero e no caso em que A tem determinante diferente de zero. + +61 +00:03:51,300 --> 00:03:54,654 +Vamos começar com o caso mais provável, onde o determinante é diferente de zero, + +62 +00:03:54,654 --> 00:03:57,720 +o que significa que o espaço não fica comprimido numa região de área zero. + +63 +00:03:58,600 --> 00:04:02,231 +Nesse caso, sempre haverá um e apenas um vetor que cai em V, + +64 +00:04:02,231 --> 00:04:06,160 +e você pode encontrá-lo reproduzindo a transformação ao contrário. + +65 +00:04:06,700 --> 00:04:10,196 +Seguindo para onde V vai enquanto rebobinamos a fita assim, + +66 +00:04:10,196 --> 00:04:13,460 +você encontrará o vetor x tal que A vezes x é igual a V. + +67 +00:04:15,400 --> 00:04:17,958 +Quando você reproduz a transformação ao contrário, + +68 +00:04:17,958 --> 00:04:21,168 +ela na verdade corresponde a uma transformação linear separada, + +69 +00:04:21,168 --> 00:04:24,680 +comumente chamada de inversa de A, denotada por A elevado ao negativo. + +70 +00:04:25,360 --> 00:04:29,137 +Por exemplo, se A fosse uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário, + +71 +00:04:29,137 --> 00:04:32,760 +então o inverso de A seria uma rotação de 90 graus no sentido horário. + +72 +00:04:34,320 --> 00:04:38,159 +Se A fosse um cisalhamento para a direita que empurra J-Hat uma unidade para a direita, + +73 +00:04:38,159 --> 00:04:40,996 +o inverso de A seria um cisalhamento para a esquerda que empurra + +74 +00:04:40,996 --> 00:04:42,480 +J-Hat uma unidade para a esquerda. + +75 +00:04:44,100 --> 00:04:47,209 +Em geral, A inverso é a transformação única com a propriedade + +76 +00:04:47,209 --> 00:04:51,272 +de que se você primeiro aplicar A e depois seguir com a transformação A inversa, + +77 +00:04:51,272 --> 00:04:53,480 +você terminará de volta ao ponto de partida. + +78 +00:04:54,540 --> 00:04:58,718 +A aplicação de uma transformação após a outra é capturada algebricamente com a + +79 +00:04:58,718 --> 00:05:02,897 +multiplicação de matrizes, portanto, a propriedade central desta transformação + +80 +00:05:02,897 --> 00:05:07,340 +A inversa é que A inversa vezes A é igual à matriz que corresponde a não fazer nada. + +81 +00:05:08,200 --> 00:05:11,320 +A transformação que não faz nada é chamada de transformação de identidade. + +82 +00:05:11,780 --> 00:05:18,080 +Ele deixa i-hat e j-hat onde estão, imóveis, então suas colunas são 1,0 e 0,1. + +83 +00:05:19,980 --> 00:05:24,104 +Depois de encontrar essa inversa, o que na prática você faria com um computador, + +84 +00:05:24,104 --> 00:05:27,720 +você pode resolver sua equação multiplicando essa matriz inversa por v. + +85 +00:05:29,960 --> 00:05:33,253 +E, novamente, o que isso significa geometricamente é que você + +86 +00:05:33,253 --> 00:05:36,440 +está reproduzindo a transformação ao contrário e seguindo v. + +87 +00:05:40,200 --> 00:05:44,301 +Este caso de determinante diferente de zero, que para uma escolha aleatória de + +88 +00:05:44,301 --> 00:05:48,402 +matriz é de longe o mais provável, corresponde à ideia de que se tivermos duas + +89 +00:05:48,402 --> 00:05:52,400 +incógnitas e duas equações, é quase certo que exista uma única solução única. + +90 +00:05:53,680 --> 00:05:56,320 +Esta ideia também faz sentido em dimensões superiores, + +91 +00:05:56,320 --> 00:05:59,200 +quando o número de equações é igual ao número de incógnitas. + +92 +00:05:59,380 --> 00:06:03,663 +Novamente, o sistema de equações pode ser traduzido para a + +93 +00:06:03,663 --> 00:06:09,400 +interpretação geométrica onde você tem alguma transformação A e algum vetor v, + +94 +00:06:09,400 --> 00:06:12,740 +e você está procurando o vetor x que cai em v. + +95 +00:06:15,740 --> 00:06:20,187 +Contanto que a transformação A não comprima todo o espaço em uma dimensão inferior, + +96 +00:06:20,187 --> 00:06:23,257 +o que significa que seu determinante é diferente de zero, + +97 +00:06:23,257 --> 00:06:27,069 +haverá uma transformação inversa A inversa, com a propriedade de que se + +98 +00:06:27,069 --> 00:06:31,040 +você fizer A primeiro, então fará A inverso , é o mesmo que não fazer nada. + +99 +00:06:33,540 --> 00:06:36,398 +E para resolver sua equação, basta multiplicar + +100 +00:06:36,398 --> 00:06:39,440 +essa matriz de transformação reversa pelo vetor v. + +101 +00:06:43,500 --> 00:06:47,966 +Mas quando o determinante é zero e a transformação associada ao sistema + +102 +00:06:47,966 --> 00:06:52,060 +de equações comprime o espaço numa dimensão menor, não há inverso. + +103 +00:06:52,480 --> 00:06:55,460 +Você não pode cancelar uma linha para transformá-la em um avião. + +104 +00:06:55,980 --> 00:06:58,060 +Pelo menos isso não é algo que uma função possa fazer. + +105 +00:06:58,360 --> 00:07:02,980 +Isso exigiria transformar cada vetor individual em uma linha inteira cheia de vetores. + +106 +00:07:03,740 --> 00:07:06,740 +Mas as funções só podem levar uma única entrada para uma única saída. + +107 +00:07:08,400 --> 00:07:11,484 +Da mesma forma, para três equações e três incógnitas, + +108 +00:07:11,484 --> 00:07:16,340 +não haverá inverso se a transformação correspondente comprimir o espaço 3D no plano, + +109 +00:07:16,340 --> 00:07:19,140 +ou mesmo se o comprimir sobre uma linha ou ponto. + +110 +00:07:19,920 --> 00:07:22,540 +Tudo isso corresponde a um determinante zero, já que + +111 +00:07:22,540 --> 00:07:25,160 +qualquer região é comprimida em algo com volume zero. + +112 +00:07:26,700 --> 00:07:30,640 +Ainda é possível que exista uma solução mesmo quando não há inverso. + +113 +00:07:30,720 --> 00:07:34,866 +Acontece que quando sua transformação comprime o espaço em, digamos, uma reta, + +114 +00:07:34,866 --> 00:07:39,380 +você precisa ter sorte o suficiente para que o vetor v viva em algum lugar dessa reta. + +115 +00:07:43,300 --> 00:07:45,941 +Você pode notar que alguns desses casos de determinante + +116 +00:07:45,941 --> 00:07:48,300 +zero parecem muito mais restritivos do que outros. + +117 +00:07:48,840 --> 00:07:52,504 +Dada uma matriz 3x3, por exemplo, parece muito mais difícil existir uma + +118 +00:07:52,504 --> 00:07:56,321 +solução quando ela comprime o espaço em uma linha em comparação com quando + +119 +00:07:56,321 --> 00:08:00,240 +ela comprime as coisas em um plano, mesmo que ambos sejam determinantes zero. + +120 +00:08:02,600 --> 00:08:06,100 +Temos uma linguagem um pouco mais específica do que apenas dizer determinante zero. + +121 +00:08:06,520 --> 00:08:09,034 +Quando a saída de uma transformação é uma linha, + +122 +00:08:09,034 --> 00:08:13,500 +o que significa que é unidimensional, dizemos que a transformação tem classificação um. + +123 +00:08:15,140 --> 00:08:17,972 +Se todos os vetores pousarem em algum plano bidimensional, + +124 +00:08:17,972 --> 00:08:20,420 +dizemos que a transformação tem classificação dois. + +125 +00:08:22,920 --> 00:08:25,104 +Portanto, a palavra classificação significa o + +126 +00:08:25,104 --> 00:08:27,480 +número de dimensões na saída de uma transformação. + +127 +00:08:28,400 --> 00:08:32,720 +Por exemplo, no caso de matrizes 2x2, a classificação dois é o melhor que pode ser. + +128 +00:08:33,080 --> 00:08:35,976 +Isso significa que os vetores de base continuam a abranger + +129 +00:08:35,976 --> 00:08:39,020 +todas as duas dimensões do espaço e o determinante não é zero. + +130 +00:08:39,419 --> 00:08:42,853 +Mas para matrizes 3x3, a classificação dois significa que entramos em colapso, + +131 +00:08:42,853 --> 00:08:46,460 +mas não tanto quanto teriam entrado em colapso em uma situação de classificação um. + +132 +00:08:47,240 --> 00:08:50,200 +Se uma transformação 3D tiver um determinante diferente de zero e + +133 +00:08:50,200 --> 00:08:53,340 +sua saída preencher todo o espaço 3D, ela terá uma classificação três. + +134 +00:08:54,520 --> 00:08:58,542 +Este conjunto de todas as saídas possíveis para a sua matriz, seja uma linha, + +135 +00:08:58,542 --> 00:09:02,720 +um plano, um espaço 3D, seja o que for, é chamado de espaço coluna da sua matriz. + +136 +00:09:04,140 --> 00:09:06,280 +Você provavelmente pode adivinhar de onde vem esse nome. + +137 +00:09:06,560 --> 00:09:10,643 +As colunas da sua matriz informam onde os vetores de base pousam, + +138 +00:09:10,643 --> 00:09:15,840 +e a extensão desses vetores de base transformados fornece todas as saídas possíveis. + +139 +00:09:16,360 --> 00:09:21,140 +Em outras palavras, o espaço da coluna é a extensão das colunas da sua matriz. + +140 +00:09:23,300 --> 00:09:26,019 +Portanto, uma definição mais precisa de classificação + +141 +00:09:26,019 --> 00:09:28,940 +seria que ela é o número de dimensões no espaço da coluna. + +142 +00:09:29,940 --> 00:09:32,194 +Quando essa classificação é tão alta quanto possível, + +143 +00:09:32,194 --> 00:09:34,282 +o que significa que é igual ao número de colunas, + +144 +00:09:34,282 --> 00:09:36,120 +chamamos a matriz de classificação completa. + +145 +00:09:38,540 --> 00:09:42,079 +Observe que o vetor zero sempre será incluído no espaço coluna, + +146 +00:09:42,079 --> 00:09:45,840 +pois as transformações lineares devem manter a origem fixa no lugar. + +147 +00:09:46,900 --> 00:09:49,286 +Para uma transformação de classificação completa, + +148 +00:09:49,286 --> 00:09:51,960 +o único vetor que chega à origem é o próprio vetor zero. + +149 +00:09:52,460 --> 00:09:54,870 +Mas para matrizes que não são de classificação completa, + +150 +00:09:54,870 --> 00:09:57,998 +que se comprimem em uma dimensão menor, você pode ter um monte de vetores + +151 +00:09:57,998 --> 00:09:58,760 +que chegam a zero. + +152 +00:10:01,640 --> 00:10:05,424 +Se uma transformação 2D comprime o espaço em uma linha, por exemplo, + +153 +00:10:05,424 --> 00:10:10,031 +há uma linha separada em uma direção diferente cheia de vetores que são comprimidas + +154 +00:10:10,031 --> 00:10:10,580 +na origem. + +155 +00:10:11,780 --> 00:10:14,573 +Se uma transformação 3D comprime o espaço em um plano, + +156 +00:10:14,573 --> 00:10:17,620 +há também uma linha completa de vetores que pousa na origem. + +157 +00:10:20,520 --> 00:10:23,829 +Se uma transformação 3D comprimir todo o espaço em uma linha, + +158 +00:10:23,829 --> 00:10:27,460 +então haverá um plano inteiro cheio de vetores que pousam na origem. + +159 +00:10:32,800 --> 00:10:35,757 +Esse conjunto de vetores que chega à origem é + +160 +00:10:35,757 --> 00:10:38,780 +chamado de espaço nulo ou núcleo da sua matriz. + +161 +00:10:39,360 --> 00:10:42,114 +É o espaço de todos os vetores que se tornam nulos, + +162 +00:10:42,114 --> 00:10:44,180 +no sentido de que pousam no vetor zero. + +163 +00:10:45,680 --> 00:10:49,690 +Em termos do sistema linear de equações, quando v é o vetor zero, + +164 +00:10:49,690 --> 00:10:53,640 +o espaço nulo fornece todas as soluções possíveis para a equação. + +165 +00:10:56,420 --> 00:10:59,069 +Essa é uma visão geral de alto nível de como pensar + +166 +00:10:59,069 --> 00:11:01,720 +geometricamente sobre sistemas lineares de equações. + +167 +00:11:02,300 --> 00:11:05,766 +Cada sistema tem algum tipo de transformação linear associada a ele, + +168 +00:11:05,766 --> 00:11:10,137 +e quando essa transformação tem uma inversa, você pode usar essa inversa para resolver + +169 +00:11:10,137 --> 00:11:10,740 +seu sistema. + +170 +00:11:12,280 --> 00:11:16,111 +Caso contrário, a ideia de espaço de colunas permite-nos compreender + +171 +00:11:16,111 --> 00:11:19,664 +quando existe uma solução, e a ideia de espaço nulo ajuda-nos a + +172 +00:11:19,664 --> 00:11:23,440 +compreender como pode ser o conjunto de todas as soluções possíveis. + +173 +00:11:24,980 --> 00:11:27,371 +Novamente, há muitas coisas que não abordei aqui, + +174 +00:11:27,371 --> 00:11:29,380 +principalmente como calcular essas coisas. + +175 +00:11:29,800 --> 00:11:32,280 +Também tive que limitar meu escopo a exemplos em que + +176 +00:11:32,280 --> 00:11:34,760 +o número de equações é igual ao número de incógnitas. + +177 +00:11:34,880 --> 00:11:37,285 +Mas o objetivo aqui não é tentar ensinar tudo, + +178 +00:11:37,285 --> 00:11:40,357 +é que você tenha uma forte intuição para matrizes inversas, + +179 +00:11:40,357 --> 00:11:43,991 +espaço de colunas e espaço nulo, e que essas intuições tornem qualquer + +180 +00:11:43,991 --> 00:11:46,500 +aprendizado futuro que você fizer mais frutífero. + +181 +00:11:47,660 --> 00:11:49,904 +O próximo vídeo, a pedido popular, será uma breve + +182 +00:11:49,904 --> 00:11:51,880 +nota de rodapé sobre matrizes não quadradas. + +183 +00:11:51,880 --> 00:11:55,770 +Depois disso, vou dar minha opinião sobre produtos escalares e algo muito + +184 +00:11:55,770 --> 00:11:59,660 +legal que acontece quando você os vê sob a luz de transformações lineares. + diff --git a/2016/inverse-matrices/tamil/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/tamil/auto_generated.srt index f12b95272..f6d95b708 100644 --- a/2016/inverse-matrices/tamil/auto_generated.srt +++ b/2016/inverse-matrices/tamil/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:10,239 --> 00:00:14,790 +00:00:10,240 --> 00:00:14,790 ஒருவேளை நீங்கள் இப்போது சொல்லக்கூடியது போல, இந்த தொடரின் பெரும்பகுதி மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் 2 @@ -711,7 +711,7 @@ A தலைகீழ் முறை A என்பது ஒன்றும் எப்படி இருக்கும் என்பதைப் புரிந்துகொள்ள உதவுகிறது. 179 -00:11:24,979 --> 00:11:27,359 +00:11:24,980 --> 00:11:27,359 மீண்டும், நான் இங்கு குறிப்பிடாத பல விஷயங்கள் உள்ளன, 180 diff --git a/2016/inverse-matrices/telugu/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/telugu/auto_generated.srt index 9ca93b7d5..9e73ff75c 100644 --- a/2016/inverse-matrices/telugu/auto_generated.srt +++ b/2016/inverse-matrices/telugu/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:10,239 --> 00:00:13,043 +00:00:10,240 --> 00:00:13,043 మీరు బహుశా ఇప్పుడు చెప్పగలిగినట్లుగా, ఈ శ్రేణిలో ఎక్కువ భాగం 2 @@ -643,7 +643,7 @@ A విలోమ సమయాలు A అనేది ఏమీ చేయకు పరిష్కారాల సమితి ఎలా ఉంటుందో అర్థం చేసుకోవడానికి మాకు సహాయపడుతుంది. 162 -00:11:24,979 --> 00:11:29,380 +00:11:24,980 --> 00:11:29,380 మళ్ళీ, నేను ఇక్కడ కవర్ చేయనివి చాలా ఉన్నాయి, ముఖ్యంగా ఈ విషయాలను ఎలా గణించాలి. 163 diff --git a/2016/inverse-matrices/thai/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/thai/auto_generated.srt index 6f7dd4146..d32f1bbc0 100644 --- a/2016/inverse-matrices/thai/auto_generated.srt +++ b/2016/inverse-matrices/thai/auto_generated.srt @@ -1,652 +1,596 @@ 1 -00:00:11,143 --> 00:00:15,160 -ดังที่คุณอาจบอกได้ในตอนนี้ +00:00:10,240 --> 00:00:14,790 +ดังที่คุณอาจบอกได้ในตอนนี้ ส่วนใหญ่ของชุดนี้คือการทำความเข้าใจการดำเนินก 2 -00:00:15,160 --> 00:00:20,040 -ส่วนใหญ่ของชุดนี้คือการทำความเข้าใจการดำเนินการของเมทริกซ์และเวกเตอร์ผ่านเลนส์ที่มองเห็นได้มากขึ้นของการแปลงเชิงเส้น +00:00:14,790 --> 00:00:19,340 +ารของเมทริกซ์และเวกเตอร์ผ่านเลนส์ที่มองเห็นได้มากขึ้นของการแปลงเชิงเส้น 3 -00:00:20,040 --> 00:00:24,760 -วิดีโอนี้ไม่มีข้อยกเว้น โดยอธิบายแนวคิดเกี่ยวกับเมทริกซ์ผกผัน สเปซคอลัมน์ +00:00:19,980 --> 00:00:24,390 +วิดีโอนี้ไม่มีข้อยกเว้น โดยอธิบายแนวคิดเกี่ยวกับเมทริกซ์ผกผัน 4 -00:00:24,760 --> 00:00:28,080 -อันดับ และสเปซว่างผ่านเลนส์นั้น +00:00:24,390 --> 00:00:27,520 +สเปซคอลัมน์ อันดับ และสเปซว่างผ่านเลนส์นั้น 5 -00:00:28,080 --> 00:00:32,000 -ขอเตือนไว้ก่อนว่า ฉันจะไม่พูดถึงวิธีการคำนวณสิ่งเหล่านี้จริงๆ +00:00:27,520 --> 00:00:31,771 +ขอเตือนไว้ก่อนว่า ฉันจะไม่พูดถึงวิธีการคำนวณสิ่งเหล่านี้จริงๆ 6 -00:00:32,000 --> 00:00:34,920 -และบางคนอาจแย้งว่านั่นค่อนข้างสำคัญ +00:00:31,771 --> 00:00:34,240 +และบางคนอาจแย้งว่านั่นค่อนข้างสำคัญ 7 -00:00:34,920 --> 00:00:38,960 -มีแหล่งข้อมูลที่ดีมากสำหรับการเรียนรู้วิธีเหล่านี้นอกเหนือจากชุดข้อมูลนี้ คำสำคัญ +00:00:34,840 --> 00:00:39,182 +มีแหล่งข้อมูลที่ดีมากสำหรับการเรียนรู้วิธีเหล่านี้นอกเหนือจากชุดข้อมูลนี้ 8 -00:00:38,960 --> 00:00:42,440 -การกำจัดแบบเกาส์เซียน และรูปแบบระดับแถว +00:00:39,182 --> 00:00:42,000 +คำสำคัญ การกำจัดแบบเกาส์เซียน และรูปแบบระดับแถว 9 -00:00:42,440 --> 00:00:46,640 -ฉันคิดว่าคุณค่าส่วนใหญ่ที่ฉันต้องเพิ่มตรงนี้คือครึ่งหนึ่งของสัญชาตญาณ +00:00:42,540 --> 00:00:46,340 +ฉันคิดว่าคุณค่าส่วนใหญ่ที่ฉันต้องเพิ่มตรงนี้คือครึ่งหนึ่งของสัญชาตญาณ 10 -00:00:46,640 --> 00:00:50,760 -นอกจากนี้ ในทางปฏิบัติ เรามักจะได้รับซอฟต์แวร์มาคำนวณสิ่งนี้ให้เราอยู่แล้ว +00:00:46,900 --> 00:00:50,480 +นอกจากนี้ ในทางปฏิบัติ เรามักจะได้รับซอฟต์แวร์มาคำนวณสิ่งนี้ให้เราอยู่แล้ว 11 -00:00:50,760 --> 00:00:54,460 -ก่อนอื่น เรามาพูดถึงประโยชน์ของพีชคณิตเชิงเส้นกันก่อน +00:00:51,500 --> 00:00:53,920 +ก่อนอื่น เรามาพูดถึงประโยชน์ของพีชคณิตเชิงเส้นกันก่อน 12 -00:00:54,460 --> 00:00:58,580 -ถึงตอนนี้ คุณก็พอทราบแล้วว่ามันถูกนำไปใช้ในการอธิบายการจัดการอวกาศอย่างไร ซึ่งมีประโยชน์สำหรับสิ่งต่างๆ +00:00:54,300 --> 00:00:58,207 +ถึงตอนนี้ คุณก็พอทราบแล้วว่ามันถูกนำไปใช้ในการอธิบายการจัดการอวกาศอย่างไร 13 -00:00:58,580 --> 00:01:02,580 -เช่น คอมพิวเตอร์กราฟิกส์และหุ่นยนต์ +00:00:58,207 --> 00:01:01,693 +ซึ่งมีประโยชน์สำหรับสิ่งต่างๆ เช่น คอมพิวเตอร์กราฟิกส์และหุ่นยนต์ 14 -00:01:02,580 --> 00:01:06,920 -แต่เหตุผลหลักประการหนึ่งที่ทำให้พีชคณิตเชิงเส้นสามารถนำไปใช้ได้อย่างกว้างขวางมากขึ้น และจำเป็นสำหรับระเบียบวินัยทางเทคนิคใดๆ +00:01:01,693 --> 00:01:05,918 +แต่เหตุผลหลักประการหนึ่งที่พีชคณิตเชิงเส้นสามารถนำไปใช้ได้อย่างกว้างขวางมากขึ้น 15 -00:01:06,920 --> 00:01:11,500 -ก็ตาม คือมันช่วยให้เราแก้ระบบสมการบางอย่างได้ +00:01:05,918 --> 00:01:10,460 +และจำเป็นสำหรับระเบียบวินัยทางเทคนิคใดๆ ก็ตาม คือมันช่วยให้เราแก้ระบบสมการบางอย่างได้ 16 -00:01:11,500 --> 00:01:15,500 -เมื่อฉันพูดถึงระบบสมการ ฉันหมายถึงคุณมีรายการตัวแปร +00:01:11,380 --> 00:01:14,264 +เมื่อฉันพูดถึงระบบสมการ ฉันหมายถึงคุณมีรายการตัวแปร 17 -00:01:15,500 --> 00:01:18,500 -สิ่งที่คุณไม่รู้ และรายการสมการที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรเหล่านั้น +00:01:14,264 --> 00:01:17,760 +สิ่งที่คุณไม่รู้ และรายการสมการที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรเหล่านั้น 18 -00:01:18,500 --> 00:01:23,600 -ในหลายสถานการณ์ สมการเหล่านั้นอาจซับซ้อนมาก +00:01:18,340 --> 00:01:22,530 +ในหลายสถานการณ์ สมการเหล่านั้นอาจซับซ้อนมาก แต่ถ้าคุณโชคดี 19 -00:01:23,600 --> 00:01:26,520 -แต่ถ้าคุณโชคดี สมการเหล่านั้นอาจมีรูปแบบพิเศษบางอย่าง +00:01:22,530 --> 00:01:25,300 +สมการเหล่านั้นอาจมีรูปแบบพิเศษบางอย่าง 20 -00:01:26,520 --> 00:01:31,920 -ภายในสมการแต่ละสมการ สิ่งเดียวที่เกิดขึ้นกับตัวแปรแต่ละตัวคือ +00:01:26,440 --> 00:01:32,425 +ภายในสมการแต่ละสมการ สิ่งเดียวที่เกิดขึ้นกับตัวแปรแต่ละตัวคือ ถูกปรับขนาดด้วยค่าคงที่ 21 -00:01:31,920 --> 00:01:35,740 -ถูกปรับขนาดด้วยค่าคงที่ +00:01:32,425 --> 00:01:36,880 +และสิ่งเดียวที่เกิดขึ้นกับตัวแปรแต่ละตัวที่ถูกปรับขนาดคือบวกกัน 22 -00:01:35,740 --> 00:01:37,700 -และสิ่งเดียวที่เกิดขึ้นกับตัวแปรแต่ละตัวที่ถูกปรับขนาดคือบวกกัน +00:01:37,540 --> 00:01:42,280 +ไม่มีเลขชี้กำลังหรือฟังก์ชันแฟนซี หรือคูณตัวแปรสองตัวเข้าด้วยกัน อะไรทำนองนั้น 23 -00:01:37,700 --> 00:01:43,560 -ไม่มีเลขชี้กำลังหรือฟังก์ชันแฟนซี หรือคูณตัวแปรสองตัวเข้าด้วยกัน อะไรทำนองนั้น +00:01:43,420 --> 00:01:47,742 +วิธีทั่วไปในการจัดระเบียบระบบสมการพิเศษประเภทนี้คือการโยน 24 -00:01:43,560 --> 00:01:47,820 -วิธีทั่วไปในการจัดระเบียบระบบสมการพิเศษประเภทนี้คือการโยนตัวแปรทั้งหมดทางด้านซ้ายแล้วใส่ค่าคงที่ค้างอยู่ทางด้านขวา +00:01:47,742 --> 00:01:52,140 +ตัวแปรทั้งหมดทางด้านซ้ายแล้วใส่ค่าคงที่ค้างอยู่ทางด้านขวา 25 -00:01:47,820 --> 00:01:54,020 - +00:01:53,600 --> 00:01:57,009 +นอกจากนี้ การจัดแนวตัวแปรทั่วไปในแนวตั้งก็เป็นสิ่งที่ดี 26 -00:01:54,020 --> 00:01:57,720 -นอกจากนี้ การจัดแนวตัวแปรทั่วไปในแนวตั้งก็เป็นสิ่งที่ดี +00:01:57,009 --> 00:02:01,940 +และคุณอาจต้องใส่สัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ทุกครั้งที่ตัวแปรไม่แสดงในสมการใดสมการหนึ่ง 27 -00:01:57,720 --> 00:02:04,940 -และคุณอาจต้องใส่สัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ทุกครั้งที่ตัวแปรไม่แสดงในสมการใดสมการหนึ่ง +00:02:04,540 --> 00:02:07,240 +สิ่งนี้เรียกว่าระบบสมการเชิงเส้น 28 -00:02:04,940 --> 00:02:08,160 -สิ่งนี้เรียกว่าระบบสมการเชิงเส้น +00:02:08,100 --> 00:02:11,180 +คุณอาจสังเกตว่านี่ดูเหมือนการคูณเมทริกซ์-เวกเตอร์มาก 29 -00:02:08,160 --> 00:02:11,940 -คุณอาจสังเกตว่านี่ดูเหมือนการคูณเมทริกซ์-เวกเตอร์มาก +00:02:11,820 --> 00:02:16,474 +ที่จริงแล้ว คุณสามารถรวมสมการทั้งหมดเข้าด้วยกันเป็นสมการเวกเตอร์เดียว 30 -00:02:11,940 --> 00:02:17,220 -ที่จริงแล้ว คุณสามารถรวมสมการทั้งหมดเข้าด้วยกันเป็นสมการเวกเตอร์เดียว +00:02:16,474 --> 00:02:21,859 +โดยที่คุณมีเมทริกซ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ทั้งหมดและเวกเตอร์ที่มีตัวแปรทั้งหมด 31 -00:02:17,220 --> 00:02:21,460 -โดยที่คุณมีเมทริกซ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ทั้งหมดและเวกเตอร์ที่มีตัวแปรทั้งหมด +00:02:21,859 --> 00:02:26,780 +และผลิตภัณฑ์เมทริกซ์-เวกเตอร์ของพวกมันจะเท่ากับเวกเตอร์คงที่ต่างกันบางตัว 32 -00:02:21,460 --> 00:02:29,020 -และผลิตภัณฑ์เมทริกซ์-เวกเตอร์ของพวกมันจะเท่ากับเวกเตอร์คงที่ต่างกันบางตัว +00:02:28,640 --> 00:02:33,215 +ลองตั้งชื่อเมทริกซ์ค่าคงที่ A แทนเวกเตอร์ที่เก็บตัวแปรด้วย 33 -00:02:29,020 --> 00:02:33,940 -ลองตั้งชื่อเมทริกซ์คงที่ A แทนเวกเตอร์ที่เก็บตัวแปรด้วย x +00:02:33,215 --> 00:02:37,480 +x ที่มีหน้าหนา และเรียกเวกเตอร์ค่าคงที่ทางด้านขวามือ v 34 -00:02:33,940 --> 00:02:39,020 -ที่มีหน้าหนา และเรียกเวกเตอร์ค่าคงที่ทางด้านขวามือ v +00:02:38,860 --> 00:02:42,980 +นี่เป็นมากกว่ากลอุบายเพื่อให้ระบบสมการของเราเขียนเป็นบรรทัดเดียว 35 -00:02:39,020 --> 00:02:42,360 -นี่เป็นมากกว่ากลอุบายเพื่อให้ระบบสมการของเราเขียนเป็นบรรทัดเดียว +00:02:43,340 --> 00:02:46,780 +มันให้ความกระจ่างเกี่ยวกับการตีความทางเรขาคณิตที่ยอดเยี่ยมสำหรับปัญหา 36 -00:02:42,360 --> 00:02:43,540 - +00:02:47,620 --> 00:02:52,579 +เมทริกซ์ A สอดคล้องกับการแปลงเชิงเส้น ดังนั้นการแก้ Ax เท่ากับ v 37 -00:02:43,540 --> 00:02:47,620 -มันให้ความกระจ่างเกี่ยวกับการตีความทางเรขาคณิตที่ยอดเยี่ยมสำหรับปัญหา +00:02:52,579 --> 00:02:57,920 +หมายความว่าเรากำลังมองหาเวกเตอร์ x ซึ่งหลังจากใช้การแปลงแล้ว ตกลงบน v 38 -00:02:47,620 --> 00:02:52,940 -เมทริกซ์ A สอดคล้องกับการแปลงเชิงเส้น ดังนั้นการแก้ Ax เท่ากับ +00:02:59,940 --> 00:03:01,780 +ลองคิดถึงสิ่งที่เกิดขึ้นที่นี่สักครู่ 39 -00:02:52,940 --> 00:03:00,420 -v หมายความว่าเรากำลังมองหาเวกเตอร์ x ซึ่งหลังจากใช้การแปลงแล้ว ตกลงบน v +00:03:02,060 --> 00:03:06,796 +คุณสามารถเก็บความคิดที่ซับซ้อนจริงๆ ไว้ในหัวของตัวแปรหลายตัวที่ปะปนกัน 40 -00:03:00,420 --> 00:03:02,180 -ลองคิดถึงสิ่งที่เกิดขึ้นที่นี่สักครู่ +00:03:06,796 --> 00:03:12,600 +เพียงแค่คิดถึงการบีบและปรับเปลี่ยนพื้นที่ และพยายามหาว่าเวกเตอร์ตัวใดตกลงบนอีกตัวหนึ่ง 41 -00:03:02,180 --> 00:03:07,120 -คุณสามารถเก็บความคิดที่ซับซ้อนจริงๆ ไว้ในหัวของตัวแปรหลายตัวที่ปะปนกัน +00:03:13,160 --> 00:03:13,760 +เจ๋งใช่มั้ย? 42 -00:03:07,120 --> 00:03:11,200 -เพียงแค่คิดถึงการบีบและปรับเปลี่ยนพื้นที่ +00:03:14,600 --> 00:03:18,680 +เพื่อเริ่มต้นอย่างง่าย สมมติว่าคุณมีระบบที่มีสองสมการและไม่ทราบค่าสองค่า 43 -00:03:11,200 --> 00:03:12,900 -และพยายามหาว่าเวกเตอร์ตัวใดตกลงบนอีกตัวหนึ่ง +00:03:19,000 --> 00:03:23,960 +ซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์ขนาด 2x2 และ v และ x เป็นเวกเตอร์สองมิติแต่ละตัว 44 -00:03:12,940 --> 00:03:14,860 -เจ๋งใช่มั้ย? +00:03:25,600 --> 00:03:30,986 +ทีนี้ วิธีคิดของเราเกี่ยวกับการแก้สมการนี้ ขึ้นอยู่กับว่าการแปลงที่เกี่ยวข้องกับ 45 -00:03:14,860 --> 00:03:19,060 -เพื่อเริ่มต้นอย่างง่าย สมมติว่าคุณมีระบบที่มีสองสมการและไม่ทราบค่าสองตัว +00:03:30,986 --> 00:03:35,042 +A บีบพื้นที่ทั้งหมดให้เป็นมิติที่ต่ำกว่า เช่น เส้นตรงหรือจุด 46 -00:03:19,060 --> 00:03:24,780 -ซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์ขนาด 2x2 และ v และ x เป็นเวกเตอร์สองมิติแต่ละตัว +00:03:35,042 --> 00:03:38,900 +หรือถ้ามันปล่อยทุกอย่างที่ขยายในสองมิติเต็มจากจุดเริ่มต้น 47 -00:03:24,780 --> 00:03:30,240 -ทีนี้ วิธีคิดของเราเกี่ยวกับคำตอบของสมการนี้ ขึ้นอยู่กับว่าการแปลงที่เกี่ยวข้องกับ +00:03:40,320 --> 00:03:45,288 +ในภาษาของวิดีโอที่แล้ว เราแบ่งย่อยกรณีที่ A มีปัจจัยที่เป็นศูนย์ 48 -00:03:30,240 --> 00:03:35,820 -A บีบพื้นที่ทั้งหมดให้เป็นมิติที่ต่ำกว่า เช่น +00:03:45,288 --> 00:03:48,040 +และกรณีที่ A มีปัจจัยที่ไม่ใช่ศูนย์ 49 -00:03:35,820 --> 00:03:40,780 -เส้นตรงหรือจุด หรือถ้ามันปล่อยทุกอย่างที่ทอดยาวในสองมิติเต็มจากจุดเริ่มต้น +00:03:51,300 --> 00:03:54,997 +เริ่มจากกรณีที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุด โดยที่ดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ 50 -00:03:40,780 --> 00:03:45,540 -ในภาษาของวิดีโอที่แล้ว เราแบ่งย่อยกรณีที่ A มีปัจจัยที่เป็นศูนย์ +00:03:54,997 --> 00:03:57,720 +หมายความว่าปริภูมิจะไม่ถูกบีบลงในพื้นที่ที่เป็นศูนย์ 51 -00:03:45,540 --> 00:03:48,180 -และกรณีที่ A มีปัจจัยที่ไม่ใช่ศูนย์ +00:03:58,600 --> 00:04:02,275 +ในกรณีนี้ จะมีเวกเตอร์เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ตกลงบน 52 -00:03:51,740 --> 00:03:55,460 -เริ่มจากกรณีที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุด โดยที่ดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ +00:04:02,275 --> 00:04:06,160 +v เสมอ และคุณสามารถค้นหาได้โดยการเล่นการแปลงแบบย้อนกลับ 53 -00:03:55,460 --> 00:03:58,660 -หมายความว่าปริภูมิจะไม่ถูกบีบลงในพื้นที่ที่เป็นศูนย์ +00:04:06,700 --> 00:04:13,460 +หลังจากที่ v ไปต่อเมื่อเรากรอเทปกลับแบบนี้ คุณจะพบเวกเตอร์ x โดยที่ A คูณ x เท่ากับ v 54 -00:03:58,660 --> 00:04:03,740 -ในกรณีนี้ จะมีเวกเตอร์เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ตกลงบน v +00:04:15,400 --> 00:04:20,994 +เมื่อคุณเล่นการแปลงแบบย้อนกลับ จริงๆ แล้วมันจะสอดคล้องกับการแปลงเชิงเส้นที่แยกจากกัน 55 -00:04:03,740 --> 00:04:06,940 -เสมอ และคุณสามารถค้นหาได้โดยการเล่นการแปลงแบบย้อนกลับ +00:04:20,994 --> 00:04:24,680 +โดยทั่วไปเรียกว่าอินเวอร์สของ A ซึ่งแสดงว่า A เป็นค่าลบ 56 -00:04:06,940 --> 00:04:11,940 -หลังจากที่ v ไปต่อเมื่อเรากรอเทปกลับแบบนี้ คุณจะพบเวกเตอร์ x โดยที่ +00:04:25,360 --> 00:04:28,988 +ตัวอย่างเช่น ถ้า A คือการหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา 57 -00:04:11,940 --> 00:04:15,900 -A คูณ x เท่ากับ v +00:04:28,988 --> 00:04:32,760 +แล้วค่าผกผันของ A จะเป็นการหมุนตามเข็มนาฬิกา 90 องศา 58 -00:04:15,900 --> 00:04:19,780 -เมื่อคุณเล่นการแปลงแบบย้อนกลับ จริงๆ แล้วมันจะสอดคล้องกับการแปลงเชิงเส้นที่แยกจากกัน โดยทั่วไปเรียกว่าอินเวอร์สของ +00:04:34,320 --> 00:04:38,076 +ถ้า A เป็นแรงเฉือนไปทางขวาที่ดัน j-hat ไปทางขวาหนึ่งหน่วย 59 -00:04:19,780 --> 00:04:25,420 -A ซึ่งแสดงว่า A เป็นค่าลบ +00:04:38,076 --> 00:04:42,480 +ค่าผกผันของ A จะเป็นแรงเฉือนทางซ้ายที่ดัน j-hat ไปทางซ้ายหนึ่งหน่วย 60 -00:04:25,420 --> 00:04:30,440 -ตัวอย่างเช่น ถ้า A คือการหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา +00:04:44,100 --> 00:04:48,457 +โดยทั่วไป ค่าผกผันคือการแปลงเฉพาะที่มีสมบัติว่าหากคุณใช้ A 61 -00:04:30,440 --> 00:04:34,780 -แล้วค่าผกผันของ A จะเป็นการหมุนตามเข็มนาฬิกา 90 องศา +00:04:48,457 --> 00:04:53,480 +ครั้งแรก จากนั้นตามด้วยการแปลง A แบบผกผัน คุณจะกลับไปที่จุดเริ่มต้น 62 -00:04:34,780 --> 00:04:39,200 -ถ้า A เป็นแรงเฉือนไปทางขวาที่ดัน j-hat ไปทางขวาหนึ่งหน่วย +00:04:54,540 --> 00:04:58,940 +การใช้การแปลงครั้งแล้วครั้งเล่าจะถูกบันทึกในเชิงพีชคณิตด้วยการคูณเมทริกซ์ 63 -00:04:39,200 --> 00:04:44,340 -ค่าผกผันของ A จะเป็นแรงเฉือนทางซ้ายที่ดัน j-hat ไปทางซ้ายหนึ่งหน่วย +00:04:59,420 --> 00:05:03,634 +ดังนั้นคุณสมบัติหลักของการแปลง A อินเวอร์สคือ A อินเวอร์ส 64 -00:04:44,340 --> 00:04:48,860 -โดยทั่วไป ค่าผกผันคือการแปลงเฉพาะที่มีสมบัติว่าหากคุณใช้ A ครั้งแรก +00:05:03,634 --> 00:05:07,340 +คูณ A เท่ากับเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับการไม่ทำอะไรเลย 65 -00:04:48,860 --> 00:04:54,660 -จากนั้นตามด้วยการแปลง A แบบผกผัน คุณจะกลับไปที่จุดเริ่มต้น +00:05:08,200 --> 00:05:11,320 +การเปลี่ยนแปลงที่ไม่ทำอะไรเลยเรียกว่าการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ 66 -00:04:54,660 --> 00:04:59,640 -การใช้การแปลงครั้งแล้วครั้งเล่าจะถูกบันทึกในเชิงพีชคณิตด้วยการคูณเมทริกซ์ +00:05:11,780 --> 00:05:15,033 +มันปล่อยให้ i-hat และ j-hat แต่ละตัวอยู่ตรงที่ 67 -00:04:59,640 --> 00:05:05,480 -ดังนั้นคุณสมบัติหลักของการแปลง A อินเวอร์สคือ A +00:05:15,033 --> 00:05:18,080 +ไม่ขยับ ดังนั้นคอลัมน์ของมันคือ 1,0 และ 0,1 68 -00:05:05,480 --> 00:05:08,180 -อินเวอร์ส คูณ A เท่ากับเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับการไม่ทำอะไรเลย +00:05:19,980 --> 00:05:24,354 +เมื่อคุณพบอินเวอร์สนี้แล้ว ซึ่งในทางปฏิบัติคุณจะทำกับคอมพิวเตอร์ 69 -00:05:08,180 --> 00:05:11,840 -การเปลี่ยนแปลงที่ไม่ทำอะไรเลยเรียกว่าการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ +00:05:24,354 --> 00:05:27,720 +คุณสามารถแก้สมการได้ด้วยการคูณเมทริกซ์ผกผันด้วย v 70 -00:05:11,840 --> 00:05:20,160 -มันปล่อยให้ i-hat และ j-hat แต่ละตัวอยู่ตรงที่ ไม่ขยับ ดังนั้นคอลัมน์ของมันคือ 1,0 และ 0,1 +00:05:29,960 --> 00:05:36,440 +เหมือนเดิม, ความหมายในเชิงเรขาคณิตคือ คุณกำลังเล่นการแปลงแบบย้อนกลับและตาม v 71 -00:05:20,160 --> 00:05:24,240 -เมื่อคุณพบอินเวอร์สนี้แล้ว ซึ่งในทางปฏิบัติคุณจะทำกับคอมพิวเตอร์ +00:05:40,200 --> 00:05:44,227 +กรณีดีเทอร์มีแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งสำหรับตัวเลือกสุ่มของเมทริกซ์น่า 72 -00:05:24,240 --> 00:05:30,120 -คุณสามารถแก้สมการได้ด้วยการคูณเมทริกซ์ผกผันด้วย v +00:05:44,227 --> 00:05:47,496 +จะเป็นกรณีที่เป็นไปได้มากที่สุด สอดคล้องกับแนวคิดที่ว่า 73 -00:05:30,120 --> 00:05:34,400 -เหมือนเดิม, ความหมายในเชิงเรขาคณิตคือ +00:05:47,496 --> 00:05:52,400 +หากคุณมีค่าไม่ทราบสองตัวและสองสมการ ก็เกือบจะแน่นอนว่าจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัวเดียว 74 -00:05:34,400 --> 00:05:40,560 -คุณกำลังเล่นการแปลงแบบย้อนกลับและตาม v +00:05:53,680 --> 00:05:59,200 +แนวคิดนี้ยังสมเหตุสมผลในมิติที่สูงกว่า เมื่อจำนวนสมการเท่ากับจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบ 75 -00:05:40,560 --> 00:05:44,640 -กรณีดีเทอร์มีแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งสำหรับตัวเลือกสุ่มของเมทริกซ์น่าจะเป็นกรณีที่เป็นไปได้มากที่สุด +00:05:59,380 --> 00:06:06,505 +ขอย้ำอีกครั้งว่า ระบบสมการสามารถแปลงเป็นการตีความทางเรขาคณิต โดยที่คุณมีการแปลง 76 -00:05:44,640 --> 00:05:49,680 -สอดคล้องกับแนวคิดที่ว่า หากคุณมีค่าไม่ทราบสองตัวและสองสมการ +00:06:06,505 --> 00:06:12,740 +A และเวกเตอร์ v อยู่จำนวนหนึ่ง และคุณกำลังมองหาเวกเตอร์ x ที่ตกลงบน v 77 -00:05:49,680 --> 00:05:54,160 -ก็เกือบจะแน่นอนว่าจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัวเดียว +00:06:15,740 --> 00:06:19,889 +ตราบใดที่การแปลง A ไม่ได้บีบพื้นที่ทั้งหมดให้เป็นมิติที่ต่ำกว่า 78 -00:05:54,160 --> 00:05:57,780 -แนวคิดนี้ยังสมเหตุสมผลในมิติที่สูงกว่า +00:06:19,889 --> 00:06:25,205 +หมายความว่าดีเทอร์มีแนนต์ของมันไม่เท่ากับศูนย์ ก็จะเกิดการแปลงแบบผกผัน A แบบผกผัน 79 -00:05:57,780 --> 00:05:58,960 -เมื่อจำนวนสมการเท่ากับจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบ +00:06:25,205 --> 00:06:31,040 +โดยมีคุณสมบัติว่าถ้าคุณทำ A ครั้งแรก แล้วคุณจะทำ A แบบผกผัน มันก็เหมือนกับการไม่ทำอะไรเลย 80 -00:05:58,960 --> 00:06:04,360 -ขอย้ำอีกครั้งว่า ระบบสมการสามารถแปลงเป็นการตีความทางเรขาคณิต โดยที่คุณมีการแปลง A +00:06:33,540 --> 00:06:39,440 +และเพื่อแก้สมการ คุณแค่ต้องคูณเมทริกซ์การแปลงกลับด้านด้วยเวกเตอร์ v 81 -00:06:04,360 --> 00:06:11,700 -และเวกเตอร์ v อยู่จำนวนหนึ่ง และคุณกำลังมองหาเวกเตอร์ +00:06:43,500 --> 00:06:47,780 +แต่เมื่อดีเทอร์มีแนนต์เป็นศูนย์ และการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้อ 82 -00:06:11,700 --> 00:06:16,180 -x ที่ตกลงบน v +00:06:47,780 --> 00:06:52,060 +งกับระบบสมการทำให้อวกาศกลายเป็นมิติที่เล็กลง จะไม่มีการผกผัน 83 -00:06:16,180 --> 00:06:20,720 -ตราบใดที่การแปลง A ไม่ได้บีบพื้นที่ทั้งหมดให้เป็นมิติที่ต่ำกว่า หมายความว่าดีเทอร์มีแนนต์ของมันไม่เท่ากับศูนย์ ก็จะเกิดการแปลงแบบผกผัน +00:06:52,480 --> 00:06:55,460 +คุณไม่สามารถคลี่เส้นเพื่อเปลี่ยนเป็นเครื่องบินได้ 84 -00:06:20,720 --> 00:06:26,060 -A แบบผกผัน โดยมีคุณสมบัติว่าถ้าคุณทำ A ครั้งแรก +00:06:55,980 --> 00:06:58,060 +อย่างน้อยนั่นไม่ใช่สิ่งที่ฟังก์ชันสามารถทำได้ 85 -00:06:26,060 --> 00:06:33,760 -แล้วคุณจะทำ A แบบผกผัน มันก็เหมือนกับการไม่ทำอะไรเลย +00:06:58,360 --> 00:07:02,980 +นั่นจะต้องแปลงเวกเตอร์แต่ละตัวให้เป็นเส้นทั้งหมดที่เต็มไปด้วยเวกเตอร์ 86 -00:06:33,760 --> 00:06:38,280 -และเพื่อแก้สมการ คุณแค่ต้องคูณเมทริกซ์การแปลงกลับด้านด้วยเวกเตอร์ +00:07:03,740 --> 00:07:06,740 +แต่ฟังก์ชันสามารถนำอินพุตเดียวไปยังเอาต์พุตเดียวเท่านั้น 87 -00:06:38,280 --> 00:06:43,640 -v +00:07:08,400 --> 00:07:12,206 +ในทำนองเดียวกัน สำหรับสมการ 3 ตัวและค่าไม่ทราบค่า 3 ตัว 88 -00:06:43,640 --> 00:06:47,600 -แต่เมื่อดีเทอร์มีแนนต์เป็นศูนย์ และการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้องกับระบบสมการทำให้อวกาศกลายเป็นมิติที่เล็กลง +00:07:12,206 --> 00:07:16,692 +จะไม่มีการผกผันหากการแปลงที่สอดคล้องกันบีบพื้นที่ 3 มิติลงบนระนาบ 89 -00:06:47,600 --> 00:06:52,520 -จะไม่มีการผกผัน +00:07:16,692 --> 00:07:19,140 +หรือแม้ว่าจะบีบลงบนเส้นหรือจุดก็ตาม 90 -00:06:52,520 --> 00:06:56,040 -คุณไม่สามารถคลี่เส้นเพื่อเปลี่ยนเป็นเครื่องบินได้ +00:07:19,920 --> 00:07:22,238 +สิ่งเหล่านี้ล้วนสอดคล้องกับดีเทอร์มิแนนต์ของศูนย์ 91 -00:06:56,040 --> 00:06:58,500 -อย่างน้อยนั่นไม่ใช่สิ่งที่ฟังก์ชันสามารถทำได้ +00:07:22,238 --> 00:07:25,160 +เนื่องจากบริเวณใดๆ จะถูกบีบให้เป็นบางสิ่งที่มีปริมาตรเป็นศูนย์ 92 -00:06:58,500 --> 00:07:03,880 -นั่นจะต้องแปลงเวกเตอร์แต่ละตัวให้เป็นเส้นทั้งหมดที่เต็มไปด้วยเวกเตอร์ +00:07:26,700 --> 00:07:30,640 +ยังคงเป็นไปได้ที่คำตอบจะมีอยู่แม้ว่าจะไม่มีการผกผันก็ตาม 93 -00:07:03,880 --> 00:07:07,720 -แต่ฟังก์ชันสามารถนำอินพุตเดียวไปยังเอาต์พุตเดียวเท่านั้น +00:07:30,720 --> 00:07:34,625 +แค่ว่าเมื่อการแปลงของคุณบีบพื้นที่ลงบนเส้นตรง 94 -00:07:07,720 --> 00:07:13,320 -ในทำนองเดียวกัน สำหรับสมการ 3 ตัวและค่าไม่ทราบค่า +00:07:34,625 --> 00:07:39,380 +คุณต้องโชคดีพอที่เวกเตอร์ v อยู่ที่ไหนสักแห่งบนเส้นนั้น 95 -00:07:13,320 --> 00:07:18,560 -3 ตัว จะไม่มีการผกผันหากการแปลงที่สอดคล้องกันบีบพื้นที่ +00:07:43,300 --> 00:07:45,773 +คุณอาจสังเกตเห็นว่ากรณีที่มีปัจจัยกำหนดเป็นศูนย 96 -00:07:18,560 --> 00:07:19,880 -3 มิติลงบนระนาบ หรือแม้ว่าจะบีบลงบนเส้นหรือจุดก็ตาม +00:07:45,773 --> 00:07:48,300 +์บางกรณีรู้สึกว่ามีข้อจำกัดมากกว่ากรณีอื่นๆ มาก 97 -00:07:19,880 --> 00:07:24,200 -สิ่งเหล่านี้ล้วนสอดคล้องกับดีเทอร์มิแนนต์ของศูนย์ เนื่องจากบริเวณใดๆ +00:07:48,840 --> 00:07:52,640 +ตัวอย่างเช่น เมื่อพิจารณาจากเมทริกซ์ 3x3 ดูเหมือนว่าจะยากกว่ามากท 98 -00:07:24,200 --> 00:07:27,140 -จะถูกบีบให้เป็นบางสิ่งที่มีปริมาตรเป็นศูนย์ +00:07:52,640 --> 00:07:55,621 +ี่วิธีแก้ปัญหาจะเกิดขึ้นเมื่อมันบีบพื้นที่ลงบนเส้น 99 -00:07:27,140 --> 00:07:31,160 -ยังคงเป็นไปได้ที่คำตอบจะมีอยู่แม้ว่าจะไม่มีการผกผันก็ตาม +00:07:55,621 --> 00:08:00,240 +เมื่อเทียบกับเมื่อมันบีบสิ่งของลงบนระนาบ แม้ว่าทั้งสองค่าจะมีค่าเป็นศูนย์ก็ตาม 100 -00:07:31,160 --> 00:07:35,780 -แค่ว่าเมื่อการแปลงของคุณบีบพื้นที่ลงบนเส้นตรง คุณต้องโชคดีพอที่เวกเตอร์ +00:08:02,600 --> 00:08:06,100 +เรามีภาษาที่เจาะจงกว่าการบอกว่าดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์เล็กน้อย 101 -00:07:35,780 --> 00:07:43,540 -v อยู่ที่ไหนสักแห่งบนเส้นนั้น +00:08:06,520 --> 00:08:13,500 +เมื่อผลลัพธ์ของการแปลงเป็นเส้นตรง ซึ่งหมายถึงมิติเดียว เราบอกว่าการแปลงมีอันดับเป็น 1 102 -00:07:43,540 --> 00:07:49,020 -คุณอาจสังเกตเห็นว่ากรณีที่มีปัจจัยกำหนดเป็นศูนย์บางกรณีรู้สึกว่ามีข้อจำกัดมากกว่ากรณีอื่นๆ มาก +00:08:15,140 --> 00:08:20,420 +หากเวกเตอร์ทั้งหมดตกลงบนระนาบสองมิติ เราบอกว่าการแปลงมีอันดับเป็นสองเท่า 103 -00:07:49,020 --> 00:07:53,620 -ตัวอย่างเช่น เมื่อพิจารณาจากเมทริกซ์ +00:08:22,920 --> 00:08:27,480 +ดังนั้นคำว่าอันดับจึงหมายถึงจำนวนมิติในผลลัพธ์ของการแปลง 104 -00:07:53,620 --> 00:07:58,460 -3x3 ดูเหมือนว่าจะยากกว่ามากที่วิธีแก้ปัญหาจะเกิดขึ้นเมื่อมันบีบพื้นที่ลงบนเส้น +00:08:28,400 --> 00:08:32,720 +ตัวอย่างเช่น ในกรณีของเมทริกซ์ 2x2 อันดับ 2 คืออันดับที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ 105 -00:07:58,460 --> 00:08:02,780 -เมื่อเทียบกับเมื่อมันบีบสิ่งของลงบนระนาบ แม้ว่าทั้งสองค่าจะมีค่าเป็นศูนย์ก็ตาม +00:08:33,080 --> 00:08:39,020 +หมายความว่าเวกเตอร์พื้นฐานยังคงขยายไปจนเต็มพื้นที่สองมิติ และดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ 106 -00:08:02,780 --> 00:08:06,660 -เรามีภาษาที่เจาะจงกว่าการบอกว่าดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์เล็กน้อย +00:08:39,419 --> 00:08:42,973 +แต่สำหรับเมทริกซ์ 3x3 อันดับ 2 หมายความว่าเราพังแล้ว 107 -00:08:06,660 --> 00:08:11,300 -เมื่อผลลัพธ์ของการแปลงเป็นเส้นตรง ซึ่งหมายถึงมิติเดียว +00:08:42,973 --> 00:08:46,460 +แต่ไม่มากเท่ากับเมทริกซ์ที่จะพังในสถานการณ์อันดับ 1 108 -00:08:11,300 --> 00:08:15,340 -เราบอกว่าการแปลงมีอันดับเป็น 1 +00:08:47,240 --> 00:08:51,390 +หากการแปลงร่าง 3 มิติมีปัจจัยที่ไม่ใช่ศูนย์และเอาต์พุตเต็มพื้นที่ 109 -00:08:15,340 --> 00:08:19,840 -หากเวกเตอร์ทั้งหมดตกลงบนระนาบสองมิติ +00:08:51,390 --> 00:08:53,340 +3 มิติทั้งหมด จะมีอันดับเป็น 3 110 -00:08:19,840 --> 00:08:23,100 -เราบอกว่าการแปลงมีอันดับเป็นสองเท่า +00:08:54,520 --> 00:08:58,959 +ชุดผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับเมทริกซ์ของคุณ, ไม่ว่าจะเป็นเส้นตรง, 111 -00:08:23,100 --> 00:08:28,500 -ดังนั้นคำว่าอันดับจึงหมายถึงจำนวนมิติในผลลัพธ์ของการแปลง +00:08:58,959 --> 00:09:02,720 +ระนาบ, สเปซ 3 มิติ, อะไรก็ตาม เรียกว่าสเปซคอลัมน์ของเมทริกซ์ 112 -00:08:28,500 --> 00:08:33,200 -ตัวอย่างเช่น ในกรณีของเมทริกซ์ 2x2 อันดับ 2 คืออันดับที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ +00:09:04,140 --> 00:09:06,280 +คุณคงเดาได้ว่าชื่อนั้นมาจากไหน 113 -00:08:33,200 --> 00:08:38,340 -หมายความว่าเวกเตอร์พื้นฐานยังคงขยายไปจนเต็มพื้นที่สองมิติ +00:09:06,560 --> 00:09:10,709 +คอลัมน์ของเมทริกซ์จะบอกคุณว่าเวกเตอร์พื้นฐานไปถึงจุดใด 114 -00:08:38,340 --> 00:08:39,680 -และดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ +00:09:10,709 --> 00:09:15,840 +และสแปนของเวกเตอร์พื้นฐานที่แปลงแล้วจะให้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 115 -00:08:39,680 --> 00:08:44,580 -แต่สำหรับเมทริกซ์ 3x3 อันดับ 2 +00:09:16,360 --> 00:09:21,140 +กล่าวอีกนัยหนึ่ง สเปซคอลัมน์คือช่วงของคอลัมน์ในเมทริกซ์ของคุณ 116 -00:08:44,580 --> 00:08:47,320 -หมายความว่าเราพังแล้ว แต่ไม่มากเท่ากับเมทริกซ์ที่จะพังในสถานการณ์อันดับ 1 +00:09:23,300 --> 00:09:28,940 +นิยามอันดับที่ชัดเจนกว่าคือ มันคือจำนวนมิติในพื้นที่คอลัมน์ 117 -00:08:47,320 --> 00:08:52,660 -หากการแปลงร่าง 3 มิติมีปัจจัยที่ไม่ใช่ศูนย์และเอาต์พุตเต็มพื้นที่ 3 +00:09:29,940 --> 00:09:34,429 +เมื่ออันดับนี้สูงที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ซึ่งหมายความว่าเท่ากับจำนวนคอลัมน์ 118 -00:08:52,660 --> 00:08:54,700 -มิติทั้งหมด จะมีอันดับเป็น 3 +00:09:34,429 --> 00:09:36,120 +เราจะเรียกเมทริกซ์อันดับเต็ม 119 -00:08:54,700 --> 00:08:59,900 -ชุดผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับเมทริกซ์ของคุณ, ไม่ว่าจะเป็นเส้นตรง, ระนาบ, สเปซ +00:09:38,540 --> 00:09:42,190 +โปรดสังเกตว่าเวกเตอร์ศูนย์จะรวมอยู่ในสเปซคอลัมน์เสมอ 120 -00:08:59,900 --> 00:09:04,480 -3 มิติ, อะไรก็ตาม เรียกว่าสเปซคอลัมน์ของเมทริกซ์ +00:09:42,190 --> 00:09:45,840 +เนื่องจากการแปลงเชิงเส้นจะต้องรักษาจุดกำเนิดให้คงที่ 121 -00:09:04,480 --> 00:09:06,780 -คุณคงเดาได้ว่าชื่อนั้นมาจากไหน +00:09:46,900 --> 00:09:51,960 +สำหรับการแปลงอันดับเต็ม เวกเตอร์เพียงตัวเดียวที่ตกลงที่จุดกำเนิดคือเวกเตอร์ศูนย์นั่นเอง 122 -00:09:06,780 --> 00:09:12,160 -คอลัมน์ของเมทริกซ์จะบอกคุณว่าเวกเตอร์พื้นฐานไปถึงจุดใด +00:09:52,460 --> 00:09:55,741 +แต่สำหรับเมทริกซ์ที่ไม่เต็มพิกัด ซึ่งย่อให้เล็กลง 123 -00:09:12,160 --> 00:09:16,620 -และสแปนของเวกเตอร์พื้นฐานที่แปลงแล้วจะให้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด +00:09:55,741 --> 00:09:58,760 +คุณสามารถมีเวกเตอร์หลายๆ ตัวที่ตกลงบนศูนย์ได้ 124 -00:09:16,620 --> 00:09:23,800 -กล่าวอีกนัยหนึ่ง สเปซคอลัมน์คือช่วงของคอลัมน์ในเมทริกซ์ของคุณ +00:10:01,640 --> 00:10:05,028 +ตัวอย่างเช่น หากการแปลง 2D บีบพื้นที่บนเส้นตรง 125 -00:09:23,800 --> 00:09:28,040 -นิยามอันดับที่ชัดเจนกว่าคือ +00:10:05,028 --> 00:10:10,580 +จะมีเส้นแยกในทิศทางที่แตกต่างกันซึ่งเต็มไปด้วยเวกเตอร์ที่ถูกบีบลงบนจุดกำเนิด 126 -00:09:28,040 --> 00:09:30,240 -มันคือจำนวนมิติในพื้นที่คอลัมน์ +00:10:11,780 --> 00:10:17,620 +หากการแปลง 3 มิติบีบพื้นที่บนเครื่องบิน ก็จะมีเส้นเวกเตอร์เต็มเส้นตกลงบนจุดกำเนิด 127 -00:09:30,240 --> 00:09:34,840 -เมื่ออันดับนี้สูงที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ซึ่งหมายความว่าเท่ากับจำนวนคอลัมน์ +00:10:20,520 --> 00:10:23,448 +หากการแปลงสามมิติบีบพื้นที่ทั้งหมดลงบนเส้นตรง 128 -00:09:34,840 --> 00:09:37,640 -เราจะเรียกเมทริกซ์อันดับเต็ม +00:10:23,448 --> 00:10:27,460 +ก็แสดงว่ามีระนาบทั้งหมดที่เต็มไปด้วยเวกเตอร์ที่ตกลงบนจุดกำเนิด 129 -00:09:37,640 --> 00:09:44,040 -โปรดสังเกตว่าเวกเตอร์ศูนย์จะรวมอยู่ในสเปซคอลัมน์เสมอ +00:10:32,800 --> 00:10:38,780 +ชุดเวกเตอร์ที่ตกลงบนจุดกำเนิดนี้เรียกว่าสเปซว่างหรือเคอร์เนลของเมทริกซ์ 130 -00:09:44,040 --> 00:09:47,060 -เนื่องจากการแปลงเชิงเส้นจะต้องรักษาจุดกำเนิดให้คงที่ +00:10:39,360 --> 00:10:44,180 +มันคือสเปซของเวกเตอร์ทุกตัวที่กลายเป็นโมฆะ ในแง่ที่ว่าพวกมันตกลงบนเวกเตอร์ศูนย์ 131 -00:09:47,060 --> 00:09:51,640 -สำหรับการแปลงอันดับเต็ม +00:10:45,680 --> 00:10:50,185 +ในแง่ของระบบสมการเชิงเส้น เมื่อ v เกิดขึ้นเป็นเวกเตอร์ศูนย์ 132 -00:09:51,640 --> 00:09:52,640 -เวกเตอร์เพียงตัวเดียวที่ตกลงที่จุดกำเนิดคือเวกเตอร์ศูนย์นั่นเอง +00:10:50,185 --> 00:10:53,640 +สเปซว่างจะให้คำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดแก่สมการ 133 -00:09:52,680 --> 00:09:56,720 -แต่สำหรับเมทริกซ์ที่ไม่เต็มพิกัด ซึ่งย่อให้เล็กลง +00:10:56,420 --> 00:11:01,720 +นั่นคือภาพรวมระดับสูงมากของวิธีคิดเกี่ยวกับระบบสมการเชิงเส้นในเชิงเรขาคณิต 134 -00:09:56,720 --> 00:10:02,160 -คุณสามารถมีเวกเตอร์หลายๆ ตัวที่ตกลงบนศูนย์ได้ +00:11:02,300 --> 00:11:05,689 +แต่ละระบบมีการแปลงเชิงเส้นบางแบบที่เกี่ยวข้องกัน 135 -00:10:02,160 --> 00:10:06,760 -ตัวอย่างเช่น หากการแปลง 2D +00:11:05,689 --> 00:11:10,740 +และเมื่อการแปลงนั้นมีการกลับกัน คุณสามารถใช้ค่าผกผันนั้นแก้ระบบของคุณได้ 136 -00:10:06,760 --> 00:10:11,920 -บีบพื้นที่บนเส้นตรง จะมีเส้นแยกในทิศทางที่แตกต่างกันซึ่งเต็มไปด้วยเวกเตอร์ที่ถูกบีบลงบนจุดกำเนิด +00:11:12,280 --> 00:11:17,217 +มิฉะนั้น แนวคิดเรื่องสเปซคอลัมน์ช่วยให้เราเข้าใจว่าเมื่อใดยังมีคำตอบอยู่ 137 -00:10:11,920 --> 00:10:16,460 -หากการแปลง 3 +00:11:17,217 --> 00:11:22,763 +และแนวคิดเรื่องสเปซว่างช่วยให้เราเข้าใจว่าชุดของคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีหน้าตาเป 138 -00:10:16,460 --> 00:10:20,800 -มิติบีบพื้นที่บนเครื่องบิน ก็จะมีเส้นเวกเตอร์เต็มเส้นตกลงบนจุดกำเนิด +00:11:22,763 --> 00:11:23,440 +็นอย่างไร 139 -00:10:20,800 --> 00:10:25,540 -หากการแปลงสามมิติบีบพื้นที่ทั้งหมดลงบนเส้นตรง +00:11:24,980 --> 00:11:27,975 +ขอย้ำอีกครั้งว่ายังมีอีกหลายสิ่งที่ฉันยังไม่ได้กล่าวถึงในที่นี้ 140 -00:10:25,540 --> 00:10:33,380 -ก็แสดงว่ามีระนาบทั้งหมดที่เต็มไปด้วยเวกเตอร์ที่ตกลงบนจุดกำเนิด +00:11:27,975 --> 00:11:29,380 +โดยเฉพาะวิธีคำนวณสิ่งเหล่านี้ 141 -00:10:33,380 --> 00:10:38,160 -ชุดเวกเตอร์ที่ตกลงบนจุดกำเนิดนี้เรียกว่าสเปซว่างหรือเคอร์เนลของเมทริกซ์ +00:11:29,800 --> 00:11:34,760 +ฉันยังต้องจำกัดขอบเขตให้เหลือเพียงตัวอย่างที่จำนวนสมการเท่ากับจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบ 142 -00:10:38,160 --> 00:10:39,360 - +00:11:34,880 --> 00:11:37,593 +แต่เป้าหมายในที่นี้ไม่ใช่การพยายามสอนทุกอย่าง 143 -00:10:39,360 --> 00:10:43,760 -มันคือสเปซของเวกเตอร์ทุกตัวที่กลายเป็นโมฆะ +00:11:37,593 --> 00:11:41,191 +แต่คือการที่คุณจะได้สัญชาตญาณที่แข็งแกร่งสำหรับเมทริกซ์ผกผัน 144 -00:10:43,760 --> 00:10:45,740 -ในแง่ที่ว่าพวกมันตกลงบนเวกเตอร์ศูนย์ +00:11:41,191 --> 00:11:46,500 +สเปซคอลัมน์ และสเปซว่าง และสัญชาตญาณเหล่านั้นทำให้การเรียนรู้ในอนาคตที่คุณทำสำเร็จมากขึ้น 145 -00:10:45,740 --> 00:10:50,320 -ในแง่ของระบบสมการเชิงเส้น เมื่อ v +00:11:47,660 --> 00:11:50,341 +วิดีโอถัดไป ตามคำขอร้องที่ได้รับความนิยม จะเป็นเชิงอรรถสั้นๆ 146 -00:10:50,360 --> 00:10:56,920 -เกิดขึ้นเป็นเวกเตอร์ศูนย์ สเปซว่างจะให้คำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดแก่สมการ +00:11:50,341 --> 00:11:51,880 +เกี่ยวกับเมทริกซ์ที่ไม่ใช่กำลังสอง 147 -00:10:56,920 --> 00:11:00,920 -นั่นคือภาพรวมระดับสูงมากของวิธีคิดเกี่ยวกับระบบสมการเชิงเส้นในเชิงเรขาคณิต +00:11:51,880 --> 00:11:55,651 +หลังจากนั้น ผมจะเล่าให้คุณฟังเกี่ยวกับผลคูณดอท และอะไรเจ๋งๆ 148 -00:11:00,920 --> 00:11:02,420 - +00:11:55,651 --> 00:11:58,920 +ที่เกิดขึ้นเมื่อคุณดูมันภายใต้แสงของการแปลงเชิงเส้น 149 -00:11:02,420 --> 00:11:06,980 -แต่ละระบบมีการแปลงเชิงเส้นบางแบบที่เกี่ยวข้องกัน และเมื่อการแปลงนั้นมีการกลับกัน - -150 -00:11:06,980 --> 00:11:11,720 -คุณสามารถใช้ค่าผกผันนั้นแก้ระบบของคุณได้ - -151 -00:11:11,720 --> 00:11:18,240 -มิฉะนั้น - -152 -00:11:18,240 --> 00:11:22,640 -แนวคิดเรื่องสเปซคอลัมน์ช่วยให้เราเข้าใจว่าเมื่อใดยังมีคำตอบอยู่ - -153 -00:11:22,640 --> 00:11:24,200 -และแนวคิดเรื่องสเปซว่างช่วยให้เราเข้าใจว่าชุดของคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีหน้าตาเป็นอย่างไร - -154 -00:11:24,200 --> 00:11:29,800 -ขอย้ำอีกครั้งว่ายังมีอีกหลายสิ่งที่ฉันยังไม่ได้กล่าวถึงในที่นี้ โดยเฉพาะวิธีคำนวณสิ่งเหล่านี้ - -155 -00:11:29,800 --> 00:11:33,680 -ฉันยังต้องจำกัดขอบเขตให้เหลือเพียงตัวอย่างที่จำนวนสมการเท่ากับจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบ - -156 -00:11:33,680 --> 00:11:35,200 - - -157 -00:11:35,200 --> 00:11:39,700 -แต่เป้าหมายในที่นี้ไม่ใช่การพยายามสอนทุกอย่าง แต่คือการที่คุณจะได้สัญชาตญาณที่แข็งแกร่งสำหรับเมทริกซ์ผกผัน - -158 -00:11:39,700 --> 00:11:44,720 -สเปซคอลัมน์ และสเปซว่าง - -159 -00:11:44,720 --> 00:11:47,760 -และสัญชาตญาณเหล่านั้นทำให้การเรียนรู้ในอนาคตที่คุณทำสำเร็จมากขึ้น - -160 -00:11:47,800 --> 00:11:52,480 -วิดีโอถัดไป ตามคำขอร้องที่ได้รับความนิยม จะเป็นเชิงอรรถสั้นๆ เกี่ยวกับเมทริกซ์ที่ไม่ใช่กำลังสอง - -161 -00:11:52,480 --> 00:11:55,580 -หลังจากนั้น ผมจะเล่าให้คุณฟังเกี่ยวกับผลคูณดอท - -162 -00:11:55,580 --> 00:11:59,440 -และอะไรเจ๋งๆ ที่เกิดขึ้นเมื่อคุณดูมันภายใต้แสงของการแปลงเชิงเส้น - -163 -00:11:59,440 --> 00:11:59,940 -งั้นไว้เจอกันใหม่! +00:11:59,480 --> 00:11:59,660 +งั้นไว้เจอกันใหม่! diff --git a/2016/inverse-matrices/turkish/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/turkish/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..0f4abf5c5 --- /dev/null +++ b/2016/inverse-matrices/turkish/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,672 @@ +1 +00:00:10,240 --> 00:00:12,887 +Şu ana kadar muhtemelen anlayabileceğiniz gibi, + +2 +00:00:12,887 --> 00:00:17,244 +bu serinin büyük kısmı matris ve vektör işlemlerini doğrusal dönüşümlerin daha + +3 +00:00:17,244 --> 00:00:19,340 +görsel merceğinden anlamak üzerinedir. + +4 +00:00:19,980 --> 00:00:23,846 +Bu video da bir istisna değil; ters matrisler, sütun uzayı, + +5 +00:00:23,846 --> 00:00:27,520 +rütbe ve sıfır uzayı kavramlarını bu mercekten anlatıyor. + +6 +00:00:27,520 --> 00:00:30,785 +Ancak bir ön uyarı, bu şeyleri gerçekten hesaplamanın yöntemlerinden + +7 +00:00:30,785 --> 00:00:34,240 +bahsetmeyeceğim ve bazıları bunun oldukça önemli olduğunu iddia edebilir. + +8 +00:00:34,840 --> 00:00:38,293 +Bu serinin dışındaki yöntemleri öğrenmek için Gauss eliminasyonu ve + +9 +00:00:38,293 --> 00:00:42,000 +satır basamak formu anahtar kelimeleri gibi çok sayıda iyi kaynak vardır. + +10 +00:00:42,540 --> 00:00:46,340 +Buraya aslında eklemem gereken değerin çoğunun sezgi kısmında olduğunu düşünüyorum. + +11 +00:00:46,900 --> 00:00:50,480 +Artı, pratikte genellikle bunları bizim için hesaplayacak bir yazılım alırız. + +12 +00:00:51,500 --> 00:00:53,920 +İlk olarak doğrusal cebirin kullanışlılığı üzerine birkaç söz. + +13 +00:00:54,300 --> 00:00:57,670 +Şimdiye kadar, bilgisayar grafikleri ve robotik gibi şeyler için yararlı olan, + +14 +00:00:57,670 --> 00:01:01,040 +uzayın manipülasyonunu tanımlamakta nasıl kullanıldığına dair bir ipucunuz var. + +15 +00:01:01,500 --> 00:01:04,486 +Ancak doğrusal cebirin daha geniş çapta uygulanabilir olmasının ve + +16 +00:01:04,486 --> 00:01:08,008 +hemen hemen her teknik disiplin için gerekli olmasının ana nedenlerinden biri, + +17 +00:01:08,008 --> 00:01:10,460 +belirli denklem sistemlerini çözmemize izin vermesidir. + +18 +00:01:11,380 --> 00:01:13,720 +Denklem sistemi dediğimde, elinizde değişkenlerin, + +19 +00:01:13,720 --> 00:01:17,760 +bilmediğiniz şeylerin ve bunlarla ilgili denklemlerin bir listesi olduğunu kastediyorum. + +20 +00:01:18,340 --> 00:01:21,600 +Çoğu durumda bu denklemler çok karmaşık hale gelebilir. + +21 +00:01:22,120 --> 00:01:25,300 +Ancak eğer şanslıysanız özel bir biçim alabilirler. + +22 +00:01:26,440 --> 00:01:29,195 +Her denklemde, her değişkenin başına gelen tek şey, + +23 +00:01:29,195 --> 00:01:32,640 +bunun bir sabit tarafından ölçeklendirilmesidir ve bu ölçeklenen + +24 +00:01:32,640 --> 00:01:36,880 +değişkenlerin her birinin başına gelen tek şey, bunların birbirine eklenmesidir. + +25 +00:01:37,540 --> 00:01:39,885 +Yani üslü sayılar, süslü fonksiyonlar ya da iki + +26 +00:01:39,885 --> 00:01:42,280 +değişkenin birbiriyle çarpılması gibi şeyler yok. + +27 +00:01:43,420 --> 00:01:47,416 +Bu tür özel denklem sistemini düzenlemenin tipik yolu, + +28 +00:01:47,416 --> 00:01:52,140 +tüm değişkenleri sola, kalıcı sabitleri ise sağa yerleştirmektir. + +29 +00:01:53,600 --> 00:01:57,390 +Ortak değişkenleri dikey olarak sıralamak da güzeldir ve bunu yapmak için, + +30 +00:01:57,390 --> 00:02:01,940 +değişken denklemlerden birinde görünmediğinde bazı sıfır katsayıları girmeniz gerekebilir. + +31 +00:02:04,540 --> 00:02:07,240 +Buna doğrusal denklem sistemi denir. + +32 +00:02:08,100 --> 00:02:11,180 +Bunun matris-vektör çarpımına çok benzediğini fark edebilirsiniz. + +33 +00:02:11,820 --> 00:02:16,984 +Aslında, tüm denklemleri, tüm sabit katsayıları içeren bir matrise ve tüm değişkenleri + +34 +00:02:16,984 --> 00:02:21,912 +içeren bir vektöre sahip olduğunuz ve bunların matris-vektör çarpımının farklı bir + +35 +00:02:21,912 --> 00:02:26,780 +sabit vektöre eşit olduğu tek bir vektör denkleminde birlikte paketleyebilirsiniz. + +36 +00:02:28,640 --> 00:02:33,161 +Bu sabit matrise A adını verelim, değişkenleri tutan vektörü kalın + +37 +00:02:33,161 --> 00:02:37,480 +X ile gösterelim ve sağ taraftaki sabit vektöre V adını verelim. + +38 +00:02:38,860 --> 00:02:40,920 +Bu, denklem sistemimizi tek satıra yazmak için + +39 +00:02:40,920 --> 00:02:42,980 +kullanılan notasyon hilesinden daha fazlasıdır. + +40 +00:02:43,340 --> 00:02:46,780 +Sorunun oldukça hoş bir geometrik yorumuna ışık tutuyor. + +41 +00:02:47,620 --> 00:02:52,983 +A matrisi bazı doğrusal dönüşümlere karşılık gelir, dolayısıyla Ax eşittir V'yi çözmek, + +42 +00:02:52,983 --> 00:02:57,920 +dönüşümü uyguladıktan sonra V'ye düşen bir X vektörünü aradığımız anlamına gelir. + +43 +00:02:59,940 --> 00:03:01,780 +Bir an burada olup bitenleri düşünün. + +44 +00:03:02,060 --> 00:03:05,523 +Sadece uzayı sıkıştırmayı ve değiştirmeyi düşünerek ve hangi vektörün + +45 +00:03:05,523 --> 00:03:08,938 +diğerine geldiğini bulmaya çalışarak, hepsi birbiriyle karışan çoklu + +46 +00:03:08,938 --> 00:03:12,600 +değişkenlere ilişkin bu gerçekten karmaşık fikri aklınızda tutabilirsiniz. + +47 +00:03:13,160 --> 00:03:13,760 +Harika, değil mi? + +48 +00:03:14,600 --> 00:03:16,560 +Basit bir başlangıç yapmak gerekirse, diyelim ki + +49 +00:03:16,560 --> 00:03:18,680 +iki denklemli ve iki bilinmeyenli bir sisteminiz var. + +50 +00:03:19,000 --> 00:03:21,480 +Bu, A matrisinin 2x2'lik bir matris olduğu ve V ve X'in + +51 +00:03:21,480 --> 00:03:23,960 +her birinin iki boyutlu vektörler olduğu anlamına gelir. + +52 +00:03:25,600 --> 00:03:28,645 +Şimdi, bu denklemin çözümleri hakkında nasıl düşüneceğimiz, + +53 +00:03:28,645 --> 00:03:32,859 +A ile ilişkili dönüşümün tüm uzayı bir çizgi veya nokta gibi daha düşük bir boyuta + +54 +00:03:32,859 --> 00:03:37,326 +sıkıştırıp sıkıştırmadığına veya iki boyutun tamamını kapsayan her şeyi başladığı yerde + +55 +00:03:37,326 --> 00:03:38,900 +bırakıp bırakmadığına bağlıdır. + +56 +00:03:40,320 --> 00:03:44,029 +Son videonun dilinde A'nın determinantının sıfır olduğu durumlar ve A'nın + +57 +00:03:44,029 --> 00:03:48,040 +sıfırdan farklı determinantının olduğu durumlar olarak alt bölümlere ayırıyoruz. + +58 +00:03:51,300 --> 00:03:54,603 +Determinantın sıfır olmadığı, yani uzayın sıfır alan + +59 +00:03:54,603 --> 00:03:57,720 +bölgesine sıkışmadığı en olası durumla başlayalım. + +60 +00:03:58,600 --> 00:04:02,627 +Bu durumda her zaman V'ye düşen tek bir vektör olacaktır + +61 +00:04:02,627 --> 00:04:06,160 +ve bunu dönüşümü tersten oynayarak bulabilirsiniz. + +62 +00:04:06,700 --> 00:04:10,291 +Bandı bu şekilde geri sararken V'nin nereye gittiğini takip ederek, + +63 +00:04:10,291 --> 00:04:13,460 +A çarpı x eşittir V olacak şekilde x vektörünü bulacaksınız. + +64 +00:04:15,400 --> 00:04:20,040 +Dönüşümü tersten oynadığınızda, bu aslında ayrı bir doğrusal dönüşüme karşılık gelir; + +65 +00:04:20,040 --> 00:04:24,680 +genellikle A'nın tersi olarak adlandırılan ve A'nın negatif olana oranıyla gösterilir. + +66 +00:04:25,360 --> 00:04:28,886 +Örneğin, A, saat yönünün tersine 90 derecelik bir dönüş ise, + +67 +00:04:28,886 --> 00:04:32,760 +o zaman A'nın tersi, saat yönünde 90 derecelik bir dönüş olacaktır. + +68 +00:04:34,320 --> 00:04:38,309 +Eğer A, j-hat'ı bir birim sağa iten sağa doğru bir kesme olsaydı, + +69 +00:04:38,309 --> 00:04:42,480 +A'nın tersi, j-hat'ı bir birim sola iten sola doğru bir kesme olurdu. + +70 +00:04:44,100 --> 00:04:46,833 +Genel olarak, A'nın tersi, önce A'yı uygularsanız, + +71 +00:04:46,833 --> 00:04:51,228 +ardından onu A'nın tersi dönüşümüyle takip ederseniz başladığınız yere geri dönme + +72 +00:04:51,228 --> 00:04:53,480 +özelliğine sahip benzersiz bir dönüşümdür. + +73 +00:04:54,540 --> 00:04:59,613 +Bir dönüşümün birbiri ardına uygulanması, matris çarpımı ile cebirsel olarak yakalanır, + +74 +00:04:59,613 --> 00:05:02,554 +dolayısıyla bu A tersi dönüşümünün temel özelliği, + +75 +00:05:02,554 --> 00:05:07,340 +A'nın tersi çarpı A'nın hiçbir şey yapmamaya karşılık gelen matrise eşit olmasıdır. + +76 +00:05:08,200 --> 00:05:11,320 +Hiçbir şey yapmayan dönüşüme kimlik dönüşümü denir. + +77 +00:05:11,780 --> 00:05:15,449 +i-hat ve j-hat'ı oldukları yerde hareketsiz bırakır, + +78 +00:05:15,449 --> 00:05:18,080 +dolayısıyla sütunları 1,0 ve 0,1 olur. + +79 +00:05:19,980 --> 00:05:24,207 +Bu tersini bulduğunuzda, ki bunu pratikte bir bilgisayarla yaparsınız, + +80 +00:05:24,207 --> 00:05:27,720 +bu ters matrisi v ile çarparak denkleminizi çözebilirsiniz. + +81 +00:05:29,960 --> 00:05:33,267 +Ve yine, bunun geometrik olarak anlamı, dönüşümü + +82 +00:05:33,267 --> 00:05:36,440 +tersten oynadığınız ve v'yi takip ettiğinizdir. + +83 +00:05:40,200 --> 00:05:44,402 +Rastgele bir matris seçimi için açık ara en olası olan bu sıfır olmayan + +84 +00:05:44,402 --> 00:05:48,197 +determinant durumu, iki bilinmeyeniniz ve iki denkleminiz varsa, + +85 +00:05:48,197 --> 00:05:52,400 +tek bir benzersiz çözümün neredeyse kesin olduğu fikrine karşılık gelir. + +86 +00:05:53,680 --> 00:05:56,548 +Bu fikir, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına + +87 +00:05:56,548 --> 00:05:59,200 +eşit olduğu daha yüksek boyutlarda da anlamlıdır. + +88 +00:05:59,380 --> 00:06:06,391 +Yine denklem sistemi, bir A dönüşümüne ve bir v vektörüne sahip olduğunuz + +89 +00:06:06,391 --> 00:06:12,740 +ve v'ye gelen x vektörünü aradığınız geometrik yoruma çevrilebilir. + +90 +00:06:15,740 --> 00:06:19,844 +A dönüşümü tüm uzayı daha düşük bir boyuta sıkıştırmadığı sürece, + +91 +00:06:19,844 --> 00:06:24,260 +yani determinantı sıfırdan farklı olduğu sürece, önce A'yı yaparsanız, + +92 +00:06:24,260 --> 00:06:29,111 +sonra A'nın tersini yapacağınız özelliği ile ters bir A dönüşümü olacaktır. , + +93 +00:06:29,111 --> 00:06:31,040 +hiçbir şey yapmamakla aynı şey. + +94 +00:06:33,540 --> 00:06:39,440 +Denkleminizi çözmek için ters dönüşüm matrisini v vektörüyle çarpmanız yeterli. + +95 +00:06:43,500 --> 00:06:47,621 +Ancak determinant sıfır olduğunda ve denklem sistemiyle ilişkili + +96 +00:06:47,621 --> 00:06:52,060 +dönüşüm uzayı daha küçük bir boyuta sıkıştırdığında bunun tersi olmaz. + +97 +00:06:52,480 --> 00:06:55,460 +Bir çizgiyi düzleme dönüştürmek için onu gevşetemezsiniz. + +98 +00:06:55,980 --> 00:06:58,060 +En azından bu bir fonksiyonun yapabileceği bir şey değil. + +99 +00:06:58,360 --> 00:07:02,980 +Bu, her bir vektörün vektörlerle dolu bir çizgiye dönüştürülmesini gerektirir. + +100 +00:07:03,740 --> 00:07:06,740 +Ancak işlevler yalnızca tek bir girişi tek bir çıkışa götürebilir. + +101 +00:07:08,400 --> 00:07:11,112 +Benzer şekilde, üç denklem ve üç bilinmeyen için, + +102 +00:07:11,112 --> 00:07:14,746 +karşılık gelen dönüşüm 3 boyutlu uzayı düzlem üzerine sıkıştırırsa + +103 +00:07:14,746 --> 00:07:19,140 +veya hatta onu bir çizgiye veya noktaya sıkıştırsa bile bunun tersi olmayacaktır. + +104 +00:07:19,920 --> 00:07:22,380 +Bunların hepsi sıfırın determinantına karşılık gelir, + +105 +00:07:22,380 --> 00:07:25,160 +çünkü herhangi bir bölge sıfır hacimli bir şeye sıkıştırılır. + +106 +00:07:26,700 --> 00:07:30,640 +Tersi olmadığında bile bir çözümün var olması hala mümkündür. + +107 +00:07:30,720 --> 00:07:34,323 +Sadece dönüşümünüz uzayı örneğin bir çizgiye sıkıştırdığında, + +108 +00:07:34,323 --> 00:07:39,380 +v vektörünün o çizgi üzerinde bir yerde yaşaması için yeterince şanslı olmanız gerekir. + +109 +00:07:43,300 --> 00:07:46,010 +Bu sıfır belirleyici durumların bazılarının diğerlerinden + +110 +00:07:46,010 --> 00:07:48,300 +çok daha kısıtlayıcı olduğunu fark edebilirsiniz. + +111 +00:07:48,840 --> 00:07:51,224 +Örneğin 3x3'lük bir matris göz önüne alındığında, + +112 +00:07:51,224 --> 00:07:53,609 +her ikisi de sıfır determinantlı olmasına rağmen, + +113 +00:07:53,609 --> 00:07:56,424 +uzayı bir doğru üzerine sıkıştıran bir çözümün var olması, + +114 +00:07:56,424 --> 00:08:00,240 +nesneleri bir düzlem üzerine sıkıştırdığı zamana kıyasla çok daha zor görünüyor. + +115 +00:08:02,600 --> 00:08:06,100 +Sıfır determinant demekten biraz daha spesifik bir dilimiz var. + +116 +00:08:06,520 --> 00:08:10,829 +Bir dönüşümün çıktısı bir çizgi olduğunda, yani tek boyutlu olduğunda, + +117 +00:08:10,829 --> 00:08:13,500 +dönüşümün derecesinin bir olduğunu söyleriz. + +118 +00:08:15,140 --> 00:08:18,000 +Eğer tüm vektörler iki boyutlu bir düzleme iniyorsa + +119 +00:08:18,000 --> 00:08:20,420 +dönüşümün derecesinin iki olduğunu söyleriz. + +120 +00:08:22,920 --> 00:08:27,480 +Yani rütbe kelimesi, bir dönüşümün çıktısındaki boyutların sayısı anlamına gelir. + +121 +00:08:28,400 --> 00:08:32,720 +Örneğin, 2x2'lik matrisler söz konusu olduğunda ikinci derece, olabilecek en iyisidir. + +122 +00:08:33,080 --> 00:08:36,098 +Bu, temel vektörlerin uzayın iki boyutunun tamamını kapsamaya + +123 +00:08:36,098 --> 00:08:39,020 +devam ettiği ve determinantın sıfır olmadığı anlamına gelir. + +124 +00:08:39,419 --> 00:08:43,134 +Ancak 3x3 matrisler için ikinci derece, çöktüğümüz anlamına gelir, + +125 +00:08:43,134 --> 00:08:46,460 +ancak birinci derece bir durum için çökecekleri kadar değil. + +126 +00:08:47,240 --> 00:08:50,316 +Bir 3B dönüşümün sıfır olmayan bir determinantı varsa ve + +127 +00:08:50,316 --> 00:08:53,340 +çıktısı 3B alanın tamamını dolduruyorsa, derecesi üçtür. + +128 +00:08:54,520 --> 00:08:58,992 +Matrisinizin tüm olası çıktılarının bu kümesine, ister bir çizgi, ister bir düzlem, + +129 +00:08:58,992 --> 00:09:02,720 +ister 3 boyutlu uzay, ne olursa olsun, matrisinizin sütun uzayı denir. + +130 +00:09:04,140 --> 00:09:06,280 +Bu ismin nereden geldiğini muhtemelen tahmin edebilirsiniz. + +131 +00:09:06,560 --> 00:09:11,167 +Matrisinizin sütunları size temel vektörlerin nereye indiğini söyler ve + +132 +00:09:11,167 --> 00:09:15,840 +dönüştürülen bu temel vektörlerin aralığı size tüm olası çıktıları verir. + +133 +00:09:16,360 --> 00:09:21,140 +Başka bir deyişle sütun uzayı, matrisinizin sütunlarının aralığıdır. + +134 +00:09:23,300 --> 00:09:28,940 +Yani rütbenin daha kesin bir tanımı, sütun uzayındaki boyutların sayısıdır. + +135 +00:09:29,940 --> 00:09:33,121 +Bu rütbe olabildiğince yüksek olduğunda, yani sütun + +136 +00:09:33,121 --> 00:09:36,120 +sayısına eşit olduğunda matrise tam sıra diyoruz. + +137 +00:09:38,540 --> 00:09:42,161 +Doğrusal dönüşümlerin orijini sabit tutması gerektiğinden sıfır + +138 +00:09:42,161 --> 00:09:45,840 +vektörünün her zaman sütun uzayına dahil edileceğine dikkat edin. + +139 +00:09:46,900 --> 00:09:51,960 +Tam dereceli bir dönüşüm için orijine gelen tek vektör sıfır vektörün kendisidir. + +140 +00:09:52,460 --> 00:09:56,208 +Ancak tam sıralı olmayan, daha küçük bir boyuta sıkışan matrisler için, + +141 +00:09:56,208 --> 00:09:58,760 +sıfıra inen bir sürü vektöre sahip olabilirsiniz. + +142 +00:10:01,640 --> 00:10:05,606 +Örneğin, bir 2 boyutlu dönüşüm alanı bir çizgiye sıkıştırırsa, + +143 +00:10:05,606 --> 00:10:10,580 +farklı yönde orijine doğru sıkıştırılan vektörlerle dolu ayrı bir çizgi vardır. + +144 +00:10:11,780 --> 00:10:15,387 +Bir 3 boyutlu dönüşüm uzayı bir düzlemin üzerine sıkıştırırsa, + +145 +00:10:15,387 --> 00:10:17,620 +orijine inen bir dizi vektör de vardır. + +146 +00:10:20,520 --> 00:10:24,390 +Bir 3 boyutlu dönüşüm tüm uzayı bir çizgiye sıkıştırırsa, + +147 +00:10:24,390 --> 00:10:27,460 +orijine inen vektörlerle dolu bir düzlem olur. + +148 +00:10:32,800 --> 00:10:38,780 +Orijine inen bu vektörler kümesine sıfır uzayı veya matrisinizin çekirdeği denir. + +149 +00:10:39,360 --> 00:10:44,180 +Sıfır vektörüne inmeleri anlamında sıfır olan tüm vektörlerin uzayıdır. + +150 +00:10:45,680 --> 00:10:49,898 +Doğrusal denklem sistemi açısından, v sıfır vektörü olduğunda + +151 +00:10:49,898 --> 00:10:53,640 +sıfır uzayı size denklemin tüm olası çözümlerini verir. + +152 +00:10:56,420 --> 00:10:59,140 +Bu, doğrusal denklem sistemlerinin geometrik olarak nasıl + +153 +00:10:59,140 --> 00:11:01,720 +düşünüleceğine dair çok yüksek düzeyde bir genel bakış. + +154 +00:11:02,300 --> 00:11:06,297 +Her sistemin kendisiyle ilişkili bir tür doğrusal dönüşümü vardır ve bu + +155 +00:11:06,297 --> 00:11:10,740 +dönüşümün tersi olduğunda, sisteminizi çözmek için bu tersini kullanabilirsiniz. + +156 +00:11:12,280 --> 00:11:15,817 +Aksi takdirde, sütun uzayı fikri bir çözümün ne zaman var + +157 +00:11:15,817 --> 00:11:19,354 +olduğunu anlamamızı sağlar ve sıfır uzayı fikri tüm olası + +158 +00:11:19,354 --> 00:11:23,440 +çözümler kümesinin neye benzeyebileceğini anlamamıza yardımcı olur. + +159 +00:11:24,980 --> 00:11:29,380 +Yine burada ele almadığım pek çok şey var, en önemlisi bunların nasıl hesaplanacağı. + +160 +00:11:29,800 --> 00:11:32,120 +Ayrıca kapsamımı denklem sayısının bilinmeyenlerin + +161 +00:11:32,120 --> 00:11:34,760 +sayısına eşit olduğu örneklerle sınırlamak zorunda kaldım. + +162 +00:11:34,880 --> 00:11:38,482 +Ancak buradaki amaç her şeyi öğretmeye çalışmak değil, ters matrisler, + +163 +00:11:38,482 --> 00:11:42,237 +sütun uzayı ve sıfır uzayı hakkında güçlü bir sezgiye sahip olmanız ve bu + +164 +00:11:42,237 --> 00:11:46,500 +sezgilerin gelecekte yapacağınız her türlü öğrenmeyi daha verimli hale getirmesidir. + +165 +00:11:47,660 --> 00:11:49,704 +Bir sonraki videoda, yoğun istek üzerine, kare + +166 +00:11:49,704 --> 00:11:51,880 +olmayan matrisler hakkında kısa bir dipnot olacak. + +167 +00:11:51,880 --> 00:11:55,869 +Daha sonra, size nokta çarpımları hakkındaki görüşlerimi anlatacağım ve bunlara + +168 +00:11:55,869 --> 00:11:59,660 +doğrusal dönüşümlerin ışığı altında baktığınızda oldukça hoş bir şey oluyor. + diff --git a/2016/inverse-matrices/ukrainian/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/ukrainian/auto_generated.srt index 8ebfb085d..3cc1cab9b 100644 --- a/2016/inverse-matrices/ukrainian/auto_generated.srt +++ b/2016/inverse-matrices/ukrainian/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:10,239 --> 00:00:14,621 +00:00:10,240 --> 00:00:14,621 Як ви, мабуть, уже зрозуміли, основна частина цієї серії присвячена розумінню 2 @@ -663,7 +663,7 @@ як може виглядати набір усіх можливих рішень. 167 -00:11:24,979 --> 00:11:27,582 +00:11:24,980 --> 00:11:27,582 Знову ж таки, є багато чого, про що я тут не розповів, 168 diff --git a/2016/inverse-matrices/urdu/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/urdu/auto_generated.srt index 7e383bc66..a1ff32fc6 100644 --- a/2016/inverse-matrices/urdu/auto_generated.srt +++ b/2016/inverse-matrices/urdu/auto_generated.srt @@ -1,652 +1,652 @@ 1 -00:00:11,143 --> 00:00:15,160 -جیسا کہ آپ اب تک بتا سکتے ہیں، اس سیریز کا بڑا حصہ لکیری تبدیلیوں +00:00:10,240 --> 00:00:14,757 +جیسا کہ آپ اب تک بتا سکتے ہیں، اس سیریز کا بڑا حصہ لکیری تبدیلیوں کے 2 -00:00:15,160 --> 00:00:20,040 -کے اس زیادہ بصری لینس کے ذریعے میٹرکس اور ویکٹر آپریشنز کو سمجھنے پر ہے۔ +00:00:14,757 --> 00:00:19,340 +اس زیادہ بصری لینس کے ذریعے میٹرکس اور ویکٹر آپریشنز کو سمجھنے پر ہے۔ 3 -00:00:20,040 --> 00:00:24,760 -یہ ویڈیو کوئی استثناء نہیں ہے، اس عینک کے ذریعے معکوس میٹرکس، +00:00:19,980 --> 00:00:23,875 +یہ ویڈیو کوئی استثناء نہیں ہے، اس عینک کے ذریعے معکوس میٹرکس، 4 -00:00:24,760 --> 00:00:28,080 -کالم اسپیس، رینک، اور خالی جگہ کے تصورات کو بیان کرتا ہے۔ +00:00:23,875 --> 00:00:27,520 +کالم اسپیس، رینک، اور خالی جگہ کے تصورات کو بیان کرتا ہے۔ 5 -00:00:28,080 --> 00:00:32,000 -ایک پیشگوئی اگرچہ، میں اصل میں ان چیزوں کو کمپیوٹنگ کرنے کے طریقوں کے بارے میں +00:00:27,520 --> 00:00:30,904 +ایک پیشگوئی اگرچہ، میں اصل میں ان چیزوں کو کمپیوٹنگ کرنے کے طریقوں کے 6 -00:00:32,000 --> 00:00:34,920 -بات نہیں کروں گا، اور کچھ لوگ بحث کریں گے کہ یہ بہت اہم ہے۔ +00:00:30,904 --> 00:00:34,240 +بارے میں بات نہیں کروں گا، اور کچھ لوگ بحث کریں گے کہ یہ بہت اہم ہے۔ 7 -00:00:34,920 --> 00:00:38,960 -اس سیریز سے باہر ان طریقوں کو سیکھنے کے لیے بہت سارے +00:00:34,840 --> 00:00:38,364 +اس سیریز سے باہر ان طریقوں کو سیکھنے کے لیے بہت سارے اچھے وسائل 8 -00:00:38,960 --> 00:00:42,440 -اچھے وسائل موجود ہیں، کلیدی الفاظ Gaussian elemination اور row echelon form۔ +00:00:38,364 --> 00:00:42,000 +موجود ہیں، کلیدی الفاظ Gaussian elemination اور row echelon form۔ 9 -00:00:42,440 --> 00:00:46,640 -میرے خیال میں زیادہ تر قدر جو مجھے اصل میں یہاں شامل کرنی ہے وہ انترجشتھان نصف پر ہے۔ +00:00:42,540 --> 00:00:46,340 +میرے خیال میں زیادہ تر قدر جو مجھے اصل میں یہاں شامل کرنی ہے وہ انترجشتھان نصف پر ہے۔ 10 -00:00:46,640 --> 00:00:50,760 -اس کے علاوہ، عملی طور پر، ہم عام طور پر ہمارے لیے اس چیز کی گنتی کرنے کے لیے سافٹ ویئر حاصل کرتے ہیں۔ +00:00:46,900 --> 00:00:48,654 +اس کے علاوہ، عملی طور پر، ہم عام طور پر ہمارے لیے 11 -00:00:50,760 --> 00:00:54,460 -سب سے پہلے، لکیری الجبرا کی افادیت پر چند الفاظ۔ +00:00:48,654 --> 00:00:50,480 +اس چیز کی گنتی کرنے کے لیے سافٹ ویئر حاصل کرتے ہیں۔ 12 -00:00:54,460 --> 00:00:58,580 -اب تک آپ کے پاس پہلے سے ہی اشارہ موجود ہے کہ اس کا استعمال جگہ کی ہیرا پھیری +00:00:51,500 --> 00:00:53,920 +سب سے پہلے، لکیری الجبرا کی افادیت پر چند الفاظ۔ 13 -00:00:58,580 --> 00:01:02,580 -کو بیان کرنے میں کیا جاتا ہے، جو کمپیوٹر گرافکس اور روبوٹکس جیسی چیزوں کے لیے مفید ہے، لیکن +00:00:54,300 --> 00:00:58,352 +اب تک آپ کے پاس پہلے سے ہی اشارہ ہے کہ اس کا استعمال جگہ کی ہیرا پھیری کو بیان کرنے 14 -00:01:02,580 --> 00:01:06,920 -ایک اہم وجہ یہ ہے کہ لکیری الجبرا زیادہ وسیع پیمانے پر لاگو ہوتا ہے اور کسی بھی تکنیکی +00:00:58,352 --> 00:01:02,355 +میں کیا جاتا ہے، جو کمپیوٹر گرافکس اور روبوٹکس جیسی چیزوں کے لیے مفید ہے، لیکن ایک 15 -00:01:06,920 --> 00:01:11,500 -نظم کے لیے ضروری ہے۔ یہ ہے کہ یہ ہمیں مساوات کے کچھ نظاموں کو حل کرنے دیتا ہے۔ +00:01:02,355 --> 00:01:06,359 +اہم وجہ یہ ہے کہ لکیری الجبرا زیادہ وسیع پیمانے پر لاگو ہوتا ہے اور کسی بھی تکنیکی 16 -00:01:11,500 --> 00:01:15,500 -جب میں مساوات کا نظام کہتا ہوں تو میرا مطلب ہے کہ آپ کے پاس متغیرات کی +00:01:06,359 --> 00:01:10,460 +نظم و ضبط کے لیے ضروری ہے۔ یہ ہے کہ یہ ہمیں مساوات کے کچھ نظاموں کو حل کرنے دیتا ہے۔ 17 -00:01:15,500 --> 00:01:18,500 -فہرست ہے، وہ چیزیں جو آپ نہیں جانتے، اور ان سے متعلق مساوات کی فہرست ہے۔ +00:01:11,380 --> 00:01:14,525 +جب میں مساوات کا نظام کہتا ہوں تو میرا مطلب ہے کہ آپ کے پاس متغیرات کی 18 -00:01:18,500 --> 00:01:23,600 -بہت سے حالات میں، وہ مساوات بہت پیچیدہ ہو سکتی ہیں، لیکن اگر آپ +00:01:14,525 --> 00:01:17,760 +فہرست ہے، وہ چیزیں جو آپ نہیں جانتے، اور ان سے متعلق مساوات کی فہرست ہے۔ 19 -00:01:23,600 --> 00:01:26,520 -خوش قسمت ہیں، تو وہ ایک خاص خاص شکل اختیار کر سکتے ہیں۔ +00:01:18,340 --> 00:01:21,878 +بہت سے حالات میں، وہ مساوات بہت پیچیدہ ہو سکتی ہیں، لیکن اگر 20 -00:01:26,520 --> 00:01:31,920 -ہر ایک مساوات کے اندر، ہر متغیر کے ساتھ صرف ایک چیز ہو رہی ہے کہ +00:01:21,878 --> 00:01:25,300 +آپ خوش قسمت ہیں، تو وہ ایک خاص خاص شکل اختیار کر سکتے ہیں۔ 21 -00:01:31,920 --> 00:01:35,740 -اسے کسی مستقل کے ذریعے پیمانہ کیا جاتا ہے، اور ان میں سے ہر ایک متغیر +00:01:26,440 --> 00:01:29,865 +ہر ایک مساوات کے اندر، ہر متغیر کے ساتھ صرف ایک چیز ہوتی ہے کہ 22 -00:01:35,740 --> 00:01:37,700 -کے ساتھ صرف وہی ہوتا ہے کہ وہ ایک دوسرے میں شامل ہو جاتے ہیں۔ +00:01:29,865 --> 00:01:33,345 +اسے کسی مستقل کے ذریعے پیمانہ کیا جاتا ہے، اور ان میں سے ہر ایک 23 -00:01:37,700 --> 00:01:43,560 -تو کوئی ایکسپوننٹ یا فینسی فنکشن یا دو متغیرات کو ایک ساتھ ضرب کرنا، اس طرح کی چیزیں۔ +00:01:33,345 --> 00:01:36,880 +متغیر کے ساتھ صرف وہی ہوتا ہے کہ وہ ایک دوسرے میں شامل ہوتے ہیں۔ 24 -00:01:43,560 --> 00:01:47,820 -مساوات کے اس طرح کے خصوصی نظام کو ترتیب دینے کا عام طریقہ یہ ہے کہ تمام +00:01:37,540 --> 00:01:42,280 +تو کوئی ایکسپوننٹ یا فینسی فنکشن یا دو متغیرات کو ایک ساتھ ضرب کرنا، اس طرح کی چیزیں۔ 25 -00:01:47,820 --> 00:01:54,020 -متغیرات کو بائیں طرف پھینک دیا جائے اور دائیں طرف کسی بھی دیرپا مستقل کو رکھا جائے۔ +00:01:43,420 --> 00:01:47,891 +مساوات کے اس طرح کے خصوصی نظام کو ترتیب دینے کا عام طریقہ یہ ہے کہ تمام متغیرات 26 -00:01:54,020 --> 00:01:57,720 -عام متغیرات کو عمودی طور پر ترتیب دینا بھی اچھا ہے، اور ایسا کرنے کے لیے جب بھی متغیر مساوات میں +00:01:47,891 --> 00:01:52,140 +کو بائیں طرف پھینک دیا جائے اور کسی بھی دیرپا مستقل کو دائیں طرف رکھا جائے۔ 27 -00:01:57,720 --> 00:02:04,940 -سے کسی ایک میں ظاہر نہیں ہوتا ہے تو آپ کو کچھ صفر کوفیشینٹس ڈالنے کی ضرورت پڑ سکتی ہے۔ +00:01:53,600 --> 00:01:56,364 +عام متغیرات کو عمودی طور پر ترتیب دینا بھی اچھا ہے، اور ایسا 28 -00:02:04,940 --> 00:02:08,160 -اسے مساوات کا خطی نظام کہا جاتا ہے۔ +00:01:56,364 --> 00:01:59,129 +کرنے کے لیے جب بھی متغیر مساوات میں سے کسی ایک میں ظاہر نہیں 29 -00:02:08,160 --> 00:02:11,940 -آپ دیکھ سکتے ہیں کہ یہ بہت زیادہ میٹرکس ویکٹر ضرب کی طرح لگتا ہے۔ +00:01:59,129 --> 00:02:01,940 +ہوتا ہے تو آپ کو کچھ صفر کوفیشینٹس ڈالنے کی ضرورت پڑ سکتی ہے۔ 30 -00:02:11,940 --> 00:02:17,220 -درحقیقت، آپ تمام مساواتوں کو ایک ساتھ ایک واحد ویکٹر مساوات میں پیک کر سکتے ہیں جہاں +00:02:04,540 --> 00:02:07,240 +اسے مساوات کا خطی نظام کہا جاتا ہے۔ 31 -00:02:17,220 --> 00:02:21,460 -آپ کے پاس میٹرکس ہے جس میں تمام مستقل عدد اور ایک ویکٹر ہے جس میں +00:02:08,100 --> 00:02:11,180 +آپ دیکھ سکتے ہیں کہ یہ بہت زیادہ میٹرکس ویکٹر ضرب کی طرح لگتا ہے۔ 32 -00:02:21,460 --> 00:02:29,020 -تمام متغیرات ہیں، اور ان کا میٹرکس ویکٹر پروڈکٹ کچھ مختلف مستقل ویکٹر کے برابر ہے۔ +00:02:11,820 --> 00:02:16,678 +درحقیقت، آپ تمام مساواتوں کو ایک ساتھ ایک واحد ویکٹر مساوات میں پیک کر سکتے 33 -00:02:29,020 --> 00:02:33,940 -آئیے اس مستقل میٹرکس کو A کا نام دیتے ہیں، متغیرات کو بولڈ چہرے والے x کے ساتھ +00:02:16,678 --> 00:02:21,793 +ہیں جہاں آپ کے پاس میٹرکس ہے جس میں تمام مستقل عدد اور ایک ویکٹر ہے جس میں تمام 34 -00:02:33,940 --> 00:02:39,020 -رکھنے والے ویکٹر کی نشاندہی کرتے ہیں، اور دائیں طرف کے مستقل ویکٹر کو v کہتے ہیں۔ +00:02:21,793 --> 00:02:26,780 +متغیرات ہیں، اور ان کا میٹرکس ویکٹر پروڈکٹ کچھ مختلف مستقل ویکٹر کے برابر ہے۔ 35 -00:02:39,020 --> 00:02:42,360 -یہ ہمارے مساوات کے نظام کو ایک لائن پر لکھنے +00:02:28,640 --> 00:02:33,034 +آئیے اس مستقل میٹرکس کو A کا نام دیتے ہیں، متغیرات کو بولڈ چہرے والے x کے ساتھ رکھنے 36 -00:02:42,360 --> 00:02:43,540 -کے لیے محض ایک نوٹیشنل چال سے زیادہ ہے۔ +00:02:33,034 --> 00:02:37,480 +والے ویکٹر کی نشاندہی کرتے ہیں، اور دائیں ہاتھ کی طرف والے مستقل ویکٹر کو v کہتے ہیں۔ 37 -00:02:43,540 --> 00:02:47,620 -یہ مسئلہ کے لئے ایک خوبصورت ٹھنڈی ہندسی تشریح پر روشنی ڈالتا ہے۔ +00:02:38,860 --> 00:02:42,980 +یہ ہمارے مساوات کے نظام کو ایک لائن پر لکھنے کے لیے محض ایک نوٹیشنل چال سے زیادہ ہے۔ 38 -00:02:47,620 --> 00:02:52,940 -میٹرکس A کچھ لکیری تبدیلی کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے، لہذا Ax کے مساوی v کو حل کرنے کا مطلب ہے +00:02:43,340 --> 00:02:46,780 +یہ مسئلہ کے لئے ایک خوبصورت ٹھنڈی ہندسی تشریح پر روشنی ڈالتا ہے۔ 39 -00:02:52,940 --> 00:03:00,420 -کہ ہم ایک ویکٹر x کی تلاش کر رہے ہیں جو تبدیلی کو لاگو کرنے کے بعد، v پر اترتا ہے۔ +00:02:47,620 --> 00:02:52,858 +میٹرکس A کچھ لکیری تبدیلی کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے، لہذا Ax کے مساوی v کو حل کرنے کا مطلب 40 -00:03:00,420 --> 00:03:02,180 -ایک لمحے کے لیے سوچیں کہ یہاں کیا ہو رہا ہے۔ +00:02:52,858 --> 00:02:57,920 +ہے کہ ہم ایک ویکٹر x کی تلاش کر رہے ہیں جو تبدیلی کو لاگو کرنے کے بعد، v پر اترتا ہے۔ 41 -00:03:02,180 --> 00:03:07,120 -آپ ایک دوسرے کے ساتھ گھل مل جانے والے متعدد متغیرات کے اس پیچیدہ خیال کو اپنے +00:02:59,940 --> 00:03:01,780 +ایک لمحے کے لیے سوچیں کہ یہاں کیا ہو رہا ہے۔ 42 -00:03:07,120 --> 00:03:11,200 -ذہن میں رکھ سکتے ہیں صرف اسکویشنگ اور اسپیس کو مورف کرنے کے بارے میں سوچ +00:03:02,060 --> 00:03:05,622 +آپ ایک دوسرے کے ساتھ گھل مل جانے والے متعدد متغیرات کے اس پیچیدہ خیال کو 43 -00:03:11,200 --> 00:03:12,900 -کر اور یہ جاننے کی کوشش کر کے کہ کون سا ویکٹر دوسرے پر اترتا ہے۔ +00:03:05,622 --> 00:03:09,037 +اپنے ذہن میں رکھ سکتے ہیں صرف اسکویشنگ اور اسپیس کو مورف کرنے کے بارے 44 -00:03:12,940 --> 00:03:14,860 -ٹھنڈا، ٹھیک ہے؟ +00:03:09,037 --> 00:03:12,600 +میں سوچ کر اور یہ جاننے کی کوشش کر کے کہ کون سا ویکٹر دوسرے پر اترتا ہے۔ 45 -00:03:14,860 --> 00:03:19,060 -آسان شروع کرنے کے لیے، فرض کریں کہ آپ کے پاس دو مساوات اور دو نامعلوم کے ساتھ ایک نظام ہے۔ +00:03:13,160 --> 00:03:13,760 +ٹھنڈا، ٹھیک ہے؟ 46 -00:03:19,060 --> 00:03:24,780 -اس کا مطلب ہے کہ میٹرکس A ایک 2x2 میٹرکس ہے اور v اور x ہر دو جہتی ویکٹر ہیں۔ +00:03:14,600 --> 00:03:18,635 +آسان شروع کرنے کے لیے، فرض کریں کہ آپ کے پاس دو مساوات اور دو نامعلوم کے ساتھ ایک نظام ہے۔ 47 -00:03:24,780 --> 00:03:30,240 -اب، ہم اس مساوات کے حل کے بارے میں کس طرح سوچتے ہیں اس بات پر منحصر ہے کہ آیا A +00:03:18,635 --> 00:03:18,680 + 48 -00:03:30,240 --> 00:03:35,820 -کے ساتھ منسلک تبدیلی تمام جگہ کو ایک نچلی جہت، جیسے کہ ایک لکیر یا ایک نقطہ میں نچوڑ دیتی ہے، +00:03:19,000 --> 00:03:23,960 +اس کا مطلب ہے کہ میٹرکس A ایک 2x2 میٹرکس ہے اور v اور x ہر دو جہتی ویکٹر ہیں۔ 49 -00:03:35,820 --> 00:03:40,780 -یا اگر یہ ہر چیز کو مکمل دو جہتوں پر پھیلا دیتی ہے جہاں سے اس کا آغاز ہوتا ہے۔ +00:03:25,600 --> 00:03:30,015 +اب، ہم اس مساوات کے حل کے بارے میں کس طرح سوچتے ہیں اس بات پر منحصر ہے کہ آیا A کے 50 -00:03:40,780 --> 00:03:45,540 -آخری ویڈیو کی زبان میں، ہم ان صورتوں میں تقسیم کرتے ہیں جہاں A میں صفر +00:03:30,015 --> 00:03:34,484 +ساتھ منسلک تبدیلی تمام جگہ کو ایک نچلی جہت، جیسے ایک لکیر یا ایک نقطہ میں نچوڑ دیتی 51 -00:03:45,540 --> 00:03:48,180 -کا تعین ہوتا ہے اور وہ صورت جہاں A میں غیر صفر کا تعین ہوتا ہے۔ +00:03:34,484 --> 00:03:38,900 +ہے، یا اگر یہ ہر چیز کو مکمل دو جہتوں پر پھیلا دیتی ہے جہاں سے اس کا آغاز ہوتا ہے۔ 52 -00:03:51,740 --> 00:03:55,460 -آئیے سب سے زیادہ ممکنہ صورت کے ساتھ شروع کریں، جہاں تعین کنندہ غیر +00:03:40,320 --> 00:03:44,151 +آخری ویڈیو کی زبان میں، ہم ان صورتوں میں تقسیم کرتے ہیں جہاں A میں 53 -00:03:55,460 --> 00:03:58,660 -صفر ہے، یعنی جگہ صفر کے علاقے کے علاقے میں نہیں بنتی ہے۔ +00:03:44,151 --> 00:03:48,040 +صفر کا تعین ہوتا ہے اور وہ صورت جہاں A میں غیر صفر کا تعین ہوتا ہے۔ 54 -00:03:58,660 --> 00:04:03,740 -اس صورت میں، ہمیشہ ایک اور صرف ایک ویکٹر ہوگا جو v پر اترتا +00:03:51,300 --> 00:03:54,482 +آئیے سب سے زیادہ ممکنہ صورت کے ساتھ شروع کریں، جہاں تعین 55 -00:04:03,740 --> 00:04:06,940 -ہے، اور آپ اسے ریورس میں ٹرانسفارمیشن چلا کر تلاش کر سکتے ہیں۔ +00:03:54,482 --> 00:03:57,720 +کنندہ غیر صفر ہے، یعنی جگہ صفر کے علاقے میں نہیں بٹتی ہے۔ 56 -00:04:06,940 --> 00:04:11,940 -اس کے بعد جب ہم اس طرح ٹیپ کو ریوائنڈ کرتے ہیں تو v جہاں جاتا +00:03:58,600 --> 00:04:02,287 +اس صورت میں، ہمیشہ ایک اور صرف ایک ویکٹر ہوگا جو v پر اترتا 57 -00:04:11,940 --> 00:04:15,900 -ہے، آپ کو ویکٹر x اس طرح ملے گا کہ A اوقات x برابر v۔ +00:04:02,287 --> 00:04:06,160 +ہے، اور آپ اسے ریورس میں ٹرانسفارمیشن چلا کر تلاش کر سکتے ہیں۔ 58 -00:04:15,900 --> 00:04:19,780 -جب آپ تبدیلی کو ریورس میں کھیلتے ہیں، تو یہ دراصل ایک الگ لکیری تبدیلی سے مطابقت رکھتا ہے +00:04:06,700 --> 00:04:10,021 +اس کے بعد جب ہم اس طرح ٹیپ کو ریوائنڈ کرتے ہیں تو v جہاں 59 -00:04:19,780 --> 00:04:25,420 -جسے عام طور پر A کا الٹا کہا جاتا ہے، A کو منفی سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ +00:04:10,021 --> 00:04:13,460 +جاتا ہے، آپ کو ویکٹر x اس طرح ملے گا کہ A اوقات x برابر v۔ 60 -00:04:25,420 --> 00:04:30,440 -مثال کے طور پر، اگر A 90 ڈگری کی مخالف گھڑی کی سمت میں گردش +00:04:15,400 --> 00:04:20,127 +جب آپ تبدیلی کو ریورس میں کھیلتے ہیں، تو یہ دراصل ایک الگ لکیری تبدیلی سے مطابقت 61 -00:04:30,440 --> 00:04:34,780 -کرتا ہے، تو A کا الٹا گھڑی کی سمت میں 90 ڈگری کی گردش ہوگی۔ +00:04:20,127 --> 00:04:24,680 +رکھتا ہے جسے عام طور پر A کا الٹا کہا جاتا ہے، A کو منفی سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ 62 -00:04:34,780 --> 00:04:39,200 -اگر A ایک دائیں طرف کی قینچی تھی جو j-hat کی ایک اکائی کو دائیں طرف دھکیلتی ہے +00:04:25,360 --> 00:04:29,060 +مثال کے طور پر، اگر A 90 ڈگری کی مخالف گھڑی کی سمت میں گردش 63 -00:04:39,200 --> 00:04:44,340 -تو A کا الٹا بائیں طرف کی قینچی ہوگی جو j-hat ون یونٹ کو بائیں طرف دھکیلتی ہے۔ +00:04:29,060 --> 00:04:32,760 +کرتا ہے، تو A کا الٹا گھڑی کی سمت میں 90 ڈگری کی گردش ہوگی۔ 64 -00:04:44,340 --> 00:04:48,860 -عام طور پر، A الٹا خاصیت کے ساتھ انوکھی تبدیلی ہے جسے اگر آپ پہلے A کا اطلاق کرتے ہیں، پھر A +00:04:34,320 --> 00:04:38,400 +اگر A ایک دائیں طرف کی قینچی تھی جو j-hat کی ایک اکائی کو دائیں طرف دھکیلتی ہے 65 -00:04:48,860 --> 00:04:54,660 -الٹا تبدیلی کے ساتھ اس کی پیروی کرتے ہیں، آپ وہیں سے ختم ہوجاتے ہیں جہاں آپ نے شروع کیا تھا۔ +00:04:38,400 --> 00:04:42,480 +تو A کا الٹا بائیں طرف کی قینچی ہوگی جو j-hat ون یونٹ کو بائیں طرف دھکیلتی ہے۔ 66 -00:04:54,660 --> 00:04:59,640 -ایک کے بعد دوسری تبدیلی کو لاگو کرنا میٹرکس ضرب کے ساتھ الجبری طور پر پکڑا جاتا ہے۔ +00:04:44,100 --> 00:04:47,176 +عام طور پر، A الٹا خاصیت کے ساتھ انوکھی تبدیلی ہے جسے اگر آپ 67 -00:04:59,640 --> 00:05:05,480 -تو اس تبدیلی A الٹا کی بنیادی خاصیت یہ ہے کہ A الٹا +00:04:47,176 --> 00:04:50,403 +پہلے A کا اطلاق کرتے ہیں، پھر A الٹا تبدیلی کے ساتھ اس کی پیروی 68 -00:05:05,480 --> 00:05:08,180 -اوقات A میٹرکس کے برابر ہے جو کچھ نہ کرنے کے مساوی ہے۔ +00:04:50,403 --> 00:04:53,480 +کرتے ہیں، آپ وہیں سے ختم ہوجاتے ہیں جہاں آپ نے شروع کیا تھا۔ 69 -00:05:08,180 --> 00:05:11,840 -وہ تبدیلی جو کچھ نہیں کرتی اسے شناخت کی تبدیلی کہا جاتا ہے۔ +00:04:54,540 --> 00:04:58,940 +ایک کے بعد دوسری تبدیلی کو لاگو کرنا میٹرکس ضرب کے ساتھ الجبری طور پر پکڑا جاتا ہے۔ 70 -00:05:11,840 --> 00:05:20,160 -یہ i-hat اور j-hat ہر ایک کو چھوڑ دیتا ہے جہاں وہ ہیں، غیر متحرک، لہذا اس کے کالم 1,0 اور 0,1 ہیں۔ +00:04:59,420 --> 00:05:03,268 +تو اس تبدیلی A الٹا کی بنیادی خاصیت یہ ہے کہ A الٹا 71 -00:05:20,160 --> 00:05:24,240 -ایک بار جب آپ کو یہ الٹا مل جائے، جو عملی طور پر آپ کمپیوٹر کے ساتھ کرتے ہیں، +00:05:03,268 --> 00:05:07,340 +اوقات A میٹرکس کے برابر ہے جو کچھ نہ کرنے کے مساوی ہے۔ 72 -00:05:24,240 --> 00:05:30,120 -تو آپ اس معکوس میٹرکس کو v سے ضرب دے کر اپنی مساوات کو حل کر سکتے ہیں۔ +00:05:08,200 --> 00:05:11,320 +وہ تبدیلی جو کچھ نہیں کرتی اسے شناخت کی تبدیلی کہا جاتا ہے۔ 73 -00:05:30,120 --> 00:05:34,400 -اور ایک بار پھر، ہندسی طور پر اس کا کیا مطلب ہے کہ +00:05:11,780 --> 00:05:14,961 +یہ i-hat اور j-hat ہر ایک کو چھوڑ دیتا ہے جہاں وہ 74 -00:05:34,400 --> 00:05:40,560 -آپ تبدیلی کو ریورس اور فالو کرنے والے v میں کھیل رہے ہیں۔ +00:05:14,961 --> 00:05:18,080 +ہیں، غیر متحرک، لہذا اس کے کالم 1,0 اور 0,1 ہیں۔ 75 -00:05:40,560 --> 00:05:44,640 -یہ غیر صفر کا تعین کرنے والا کیس، جو کہ میٹرکس کے بے ترتیب انتخاب کے لیے اب +00:05:19,980 --> 00:05:23,772 +ایک بار جب آپ کو یہ الٹا مل جائے، جو عملی طور پر آپ کمپیوٹر کے ساتھ کرتے 76 -00:05:44,640 --> 00:05:49,680 -تک سب سے زیادہ امکان ہے، اس خیال سے مطابقت رکھتا ہے کہ اگر آپ کے پاس +00:05:23,772 --> 00:05:27,720 +ہیں، تو آپ اس معکوس میٹرکس کو v سے ضرب دے کر اپنی مساوات کو حل کر سکتے ہیں۔ 77 -00:05:49,680 --> 00:05:54,160 -دو نامعلوم اور دو مساواتیں ہیں، تو یہ تقریباً یقینی طور پر ایک واحد منفرد حل ہے۔ +00:05:29,960 --> 00:05:33,170 +اور ایک بار پھر، ہندسی طور پر اس کا کیا مطلب ہے کہ آپ 78 -00:05:54,160 --> 00:05:57,780 -یہ خیال اعلیٰ جہتوں میں بھی معنی رکھتا ہے، جب +00:05:33,170 --> 00:05:36,440 +تبدیلی کو ریورس اور فالو کرنے والے v میں کھیل رہے ہیں۔ 79 -00:05:57,780 --> 00:05:58,960 -مساوات کی تعداد نامعلوم کی تعداد کے برابر ہوتی ہے۔ +00:05:40,200 --> 00:05:44,302 +یہ غیر صفر کا تعین کرنے والا کیس، جو کہ میٹرکس کے بے ترتیب انتخاب کے لیے اب 80 -00:05:58,960 --> 00:06:04,360 -ایک بار پھر، مساوات کے نظام کا ہندسی تشریح میں ترجمہ کیا جا سکتا +00:05:44,302 --> 00:05:48,189 +تک سب سے زیادہ امکان ہے، اس خیال سے مطابقت رکھتا ہے کہ اگر آپ کے پاس دو 81 -00:06:04,360 --> 00:06:11,700 -ہے جہاں آپ کے پاس کچھ تبدیلی A اور کچھ ویکٹر v ہے، اور +00:05:48,189 --> 00:05:52,400 +نامعلوم اور دو مساواتیں ہیں، تو یہ تقریباً یقینی طور پر ایک واحد منفرد حل ہے۔ 82 -00:06:11,700 --> 00:06:16,180 -آپ ویکٹر x کی تلاش کر رہے ہیں جو v پر اترتا ہے۔ +00:05:53,680 --> 00:05:56,520 +یہ خیال اعلیٰ جہتوں میں بھی معنی رکھتا ہے، جب مساوات 83 -00:06:16,180 --> 00:06:20,720 -جب تک کہ تبدیلی A تمام جگہ کو نچلی جہت میں نہیں کھینچتی ہے، یعنی اس کا تعین +00:05:56,520 --> 00:05:59,200 +کی تعداد نامعلوم افراد کی تعداد کے برابر ہوتی ہے۔ 84 -00:06:20,720 --> 00:06:26,060 -کنندہ غیر صفر ہے، وہاں ایک معکوس تبدیلی A الٹی ہوگی، اس خاصیت کے ساتھ کہ اگر آپ +00:05:59,380 --> 00:06:05,980 +ایک بار پھر، مساوات کے نظام کا ہندسی تشریح میں ترجمہ کیا جا سکتا ہے جہاں آپ کے پاس 85 -00:06:26,060 --> 00:06:33,760 -پہلے A کرتے ہیں، تو آپ A الٹا کرتے ہیں۔ ، یہ کچھ نہ کرنے کے مترادف ہے۔ +00:06:05,980 --> 00:06:12,740 +کچھ تبدیلی A اور کچھ ویکٹر v ہے، اور آپ ویکٹر x کی تلاش کر رہے ہیں جو v پر اترتا ہے۔ 86 -00:06:33,760 --> 00:06:38,280 -اور اپنی مساوات کو حل کرنے کے لیے، آپ کو صرف +00:06:15,740 --> 00:06:20,862 +جب تک کہ تبدیلی A تمام جگہ کو نچلی جہت میں نہیں کھینچتی ہے، یعنی اس کا تعین 87 -00:06:38,280 --> 00:06:43,640 -اس ریورس ٹرانسفارمیشن میٹرکس کو ویکٹر v سے ضرب دینا ہوگا۔ +00:06:20,862 --> 00:06:25,782 +کنندہ غیر صفر ہے، وہاں ایک معکوس تبدیلی A الٹی ہوگی، اس خاصیت کے ساتھ کہ 88 -00:06:43,640 --> 00:06:47,600 -لیکن جب تعین کنندہ صفر ہو، اور مساوات کے نظام سے وابستہ تبدیلی خلا +00:06:25,782 --> 00:06:31,040 +اگر آپ پہلے A کرتے ہیں، تو آپ A الٹا کرتے ہیں۔ ، یہ کچھ نہ کرنے کے مترادف ہے۔ 89 -00:06:47,600 --> 00:06:52,520 -کو ایک چھوٹی جہت میں نچوڑ دیتی ہے، تو کوئی الٹا نہیں ہوتا۔ +00:06:33,540 --> 00:06:36,289 +اور اپنی مساوات کو حل کرنے کے لیے، آپ کو صرف اس 90 -00:06:52,520 --> 00:06:56,040 -آپ اسے ہوائی جہاز میں تبدیل کرنے کے لئے ایک لائن کو ختم نہیں کرسکتے ہیں۔ +00:06:36,289 --> 00:06:39,440 +ریورس ٹرانسفارمیشن میٹرکس کو ویکٹر v سے ضرب دینا ہوگا۔ 91 -00:06:56,040 --> 00:06:58,500 -کم از کم یہ ایسی چیز نہیں ہے جو ایک فنکشن کر سکتی ہے۔ +00:06:43,500 --> 00:06:47,780 +لیکن جب تعین کنندہ صفر ہو، اور مساوات کے نظام سے وابستہ تبدیلی 92 -00:06:58,500 --> 00:07:03,880 -اس کے لیے ہر انفرادی ویکٹر کو ویکٹر سے بھری ایک پوری لائن میں تبدیل کرنے کی ضرورت ہوگی۔ +00:06:47,780 --> 00:06:52,060 +خلا کو ایک چھوٹی جہت میں نچوڑ دیتی ہے، تو کوئی الٹا نہیں ہوتا۔ 93 -00:07:03,880 --> 00:07:07,720 -لیکن فنکشنز صرف ایک ہی ان پٹ کو ایک آؤٹ پٹ میں لے سکتے ہیں۔ +00:06:52,480 --> 00:06:55,460 +آپ اسے ہوائی جہاز میں تبدیل کرنے کے لئے ایک لائن کو ختم نہیں کرسکتے ہیں۔ 94 -00:07:07,720 --> 00:07:13,320 -اسی طرح، تین مساواتوں اور تین نامعلوموں کے لیے، کوئی الٹا نہیں ہوگا +00:06:55,980 --> 00:06:58,060 +کم از کم یہ ایسی چیز نہیں ہے جو ایک فنکشن کر سکتی ہے۔ 95 -00:07:13,320 --> 00:07:18,560 -اگر متعلقہ تبدیلی 3D اسپیس کو ہوائی جہاز پر نچوڑ دے، یا یہاں +00:06:58,360 --> 00:07:02,980 +اس کے لیے ہر انفرادی ویکٹر کو ویکٹر سے بھری ایک پوری لائن میں تبدیل کرنے کی ضرورت ہوگی۔ 96 -00:07:18,560 --> 00:07:19,880 -تک کہ اگر یہ اسے کسی لکیر یا ایک نقطے پر نچوڑ دے۔ +00:07:03,740 --> 00:07:06,740 +لیکن فنکشنز صرف ایک ہی ان پٹ کو ایک آؤٹ پٹ میں لے سکتے ہیں۔ 97 -00:07:19,880 --> 00:07:24,200 -یہ سب صفر کے تعین کنندہ سے مطابقت رکھتے ہیں، کیونکہ کسی +00:07:08,400 --> 00:07:13,740 +اسی طرح، تین مساواتوں اور تین نامعلوموں کے لیے، کوئی الٹا نہیں ہوگا اگر متعلقہ تبدیلی 3D 98 -00:07:24,200 --> 00:07:27,140 -بھی خطے کو صفر والیوم والی چیز میں نچوڑ دیا جاتا ہے۔ +00:07:13,740 --> 00:07:19,140 +اسپیس کو ہوائی جہاز پر نچوڑ دے، یا یہاں تک کہ اگر یہ اسے کسی لکیر یا ایک نقطے پر نچوڑ دے۔ 99 -00:07:27,140 --> 00:07:31,160 -یہ اب بھی ممکن ہے کہ حل موجود ہو تب بھی جب کوئی الٹا نہ ہو۔ +00:07:19,920 --> 00:07:22,419 +یہ سب صفر کے تعین کنندہ سے مطابقت رکھتے ہیں، کیونکہ 100 -00:07:31,160 --> 00:07:35,780 -یہ صرف اتنا ہے کہ جب آپ کی تبدیلی ایک لکیر پر جگہ کو دباتی ہے، تو +00:07:22,419 --> 00:07:25,160 +کسی بھی خطے کو صفر والیوم والی چیز میں نچوڑ دیا جاتا ہے۔ 101 -00:07:35,780 --> 00:07:43,540 -آپ کو کافی خوش قسمت ہونا پڑے گا کہ ویکٹر v اس لائن پر کہیں رہتا ہے۔ +00:07:26,700 --> 00:07:30,640 +یہ اب بھی ممکن ہے کہ حل موجود ہو تب بھی جب کوئی الٹا نہ ہو۔ 102 -00:07:43,540 --> 00:07:49,020 -آپ محسوس کر سکتے ہیں کہ ان میں سے کچھ صفر فیصلہ کن معاملات دوسروں کے مقابلے میں بہت زیادہ پابندی محسوس کرتے ہیں۔ +00:07:30,720 --> 00:07:34,985 +یہ صرف اتنا ہے کہ جب آپ کی تبدیلی ایک لکیر پر جگہ کو دباتی ہے، تو 103 -00:07:49,020 --> 00:07:53,620 -3x3 میٹرکس کو دیکھتے ہوئے، مثال کے طور پر، حل کا موجود ہونا بہت مشکل معلوم ہوتا +00:07:34,985 --> 00:07:39,380 +آپ کو کافی خوش قسمت ہونا پڑے گا کہ ویکٹر v اس لائن پر کہیں رہتا ہے۔ 104 -00:07:53,620 --> 00:07:58,460 -ہے جب یہ کسی لائن پر جگہ کو اسکویش کرتا ہے اس کے مقابلے میں جب +00:07:43,300 --> 00:07:45,910 +آپ محسوس کر سکتے ہیں کہ ان میں سے کچھ صفر فیصلہ کن معاملات 105 -00:07:58,460 --> 00:08:02,780 -وہ چیزوں کو جہاز پر نچوڑتا ہے، حالانکہ یہ دونوں صفر کا تعین کرنے والے ہیں۔ +00:07:45,910 --> 00:07:48,300 +دوسروں کے مقابلے میں بہت زیادہ پابندی محسوس کرتے ہیں۔ 106 -00:08:02,780 --> 00:08:06,660 -ہمارے پاس کچھ ایسی زبان ہے جو صفر کا تعین کرنے والے کہنے سے کہیں زیادہ مخصوص ہے۔ +00:07:48,840 --> 00:07:52,448 +3x3 میٹرکس کو دیکھتے ہوئے، مثال کے طور پر، حل کا موجود ہونا بہت مشکل 107 -00:08:06,660 --> 00:08:11,300 -جب تبدیلی کا آؤٹ پٹ ایک لائن ہے، یعنی یہ ایک جہتی +00:07:52,448 --> 00:07:56,161 +معلوم ہوتا ہے جب یہ کسی لائن پر جگہ کو اسکویش کرتا ہے اس کے مقابلے میں 108 -00:08:11,300 --> 00:08:15,340 -ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ تبدیلی کا ایک درجہ ہے۔ +00:07:56,161 --> 00:08:00,240 +جب وہ چیزوں کو جہاز پر نچوڑتا ہے، حالانکہ یہ دونوں صفر کا تعین کرنے والے ہیں۔ 109 -00:08:15,340 --> 00:08:19,840 -اگر تمام ویکٹر کسی دو جہتی جہاز پر اترتے ہیں، +00:08:02,600 --> 00:08:06,100 +ہمارے پاس کچھ ایسی زبان ہے جو صفر کا تعین کرنے والے کہنے سے کہیں زیادہ مخصوص ہے۔ 110 -00:08:19,840 --> 00:08:23,100 -تو ہم کہتے ہیں کہ تبدیلی کا درجہ دو ہے۔ +00:08:06,520 --> 00:08:10,193 +جب تبدیلی کا آؤٹ پٹ ایک لائن ہے، یعنی یہ ایک جہتی 111 -00:08:23,100 --> 00:08:28,500 -لہذا لفظ رینک کا مطلب ہے تبدیلی کے آؤٹ پٹ میں طول و عرض کی تعداد۔ +00:08:10,193 --> 00:08:13,500 +ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ تبدیلی کا ایک درجہ ہے۔ 112 -00:08:28,500 --> 00:08:33,200 -مثال کے طور پر، 2x2 میٹرکس کے معاملے میں، درجہ 2 بہترین ہے جو یہ ہو سکتا ہے۔ +00:08:15,140 --> 00:08:20,420 +اگر تمام ویکٹر کسی دو جہتی جہاز پر اترتے ہیں، تو ہم کہتے ہیں کہ تبدیلی کا درجہ دو ہے۔ 113 -00:08:33,200 --> 00:08:38,340 -اس کا مطلب ہے کہ بنیاد ویکٹر خلا کی مکمل دو +00:08:22,920 --> 00:08:27,480 +لہذا لفظ رینک کا مطلب ہے تبدیلی کے آؤٹ پٹ میں طول و عرض کی تعداد۔ 114 -00:08:38,340 --> 00:08:39,680 -جہتوں کو پھیلاتے رہتے ہیں اور تعین کنندہ غیر صفر ہے۔ +00:08:28,400 --> 00:08:32,720 +مثال کے طور پر، 2x2 میٹرکس کے معاملے میں، درجہ 2 بہترین ہے جو یہ ہو سکتا ہے۔ 115 -00:08:39,680 --> 00:08:44,580 -لیکن 3x3 میٹرکس کے لیے، درجہ 2 کا مطلب ہے کہ ہم گر گئے ہیں، لیکن +00:08:33,080 --> 00:08:36,141 +اس کا مطلب ہے کہ بنیاد ویکٹر خلا کی مکمل دو جہتوں 116 -00:08:44,580 --> 00:08:47,320 -اتنا نہیں جتنا کہ وہ درجہ 1 کی صورت حال کے لیے گرے ہوں گے۔ +00:08:36,141 --> 00:08:39,020 +کو پھیلاتے رہتے ہیں اور تعین کنندہ غیر صفر ہے۔ 117 -00:08:47,320 --> 00:08:52,660 -اگر 3D ٹرانسفارمیشن میں غیر صفر کا تعین ہوتا ہے اور اس کا آؤٹ +00:08:39,419 --> 00:08:42,826 +لیکن 3x3 میٹرکس کے لیے، درجہ 2 کا مطلب ہے کہ ہم گر گئے ہیں، 118 -00:08:52,660 --> 00:08:54,700 -پٹ تمام 3D جگہ کو بھرتا ہے، تو اس کا درجہ 3 ہے۔ +00:08:42,826 --> 00:08:46,460 +لیکن اتنا نہیں جتنا کہ وہ درجہ 1 کی صورت حال کے لیے گرے ہوں گے۔ 119 -00:08:54,700 --> 00:08:59,900 -آپ کے میٹرکس کے لیے تمام ممکنہ آؤٹ پٹس کا یہ سیٹ، چاہے وہ لائن ہو، +00:08:47,240 --> 00:08:50,290 +اگر 3D ٹرانسفارمیشن میں غیر صفر کا تعین ہوتا ہے اور اس 120 -00:08:59,900 --> 00:09:04,480 -ہوائی جہاز، 3D اسپیس، جو بھی ہو، آپ کے میٹرکس کی کالم اسپیس کہلاتی ہے۔ +00:08:50,290 --> 00:08:53,340 +کا آؤٹ پٹ تمام 3D جگہ کو بھرتا ہے، تو اس کا درجہ 3 ہے۔ 121 -00:09:04,480 --> 00:09:06,780 -آپ شاید اندازہ لگا سکتے ہیں کہ یہ نام کہاں سے آیا ہے۔ +00:08:54,520 --> 00:08:58,501 +آپ کے میٹرکس کے لیے تمام ممکنہ آؤٹ پٹس کا یہ سیٹ، چاہے وہ لائن ہو، 122 -00:09:06,780 --> 00:09:12,160 -آپ کے میٹرکس کے کالم آپ کو بتاتے ہیں کہ بنیاد ویکٹر کہاں اترتے ہیں، اور +00:08:58,501 --> 00:09:02,720 +ہوائی جہاز، 3D اسپیس، جو بھی ہو، آپ کے میٹرکس کی کالم اسپیس کہلاتی ہے۔ 123 -00:09:12,160 --> 00:09:16,620 -ان تبدیل شدہ بنیادوں کے ویکٹر کا دورانیہ آپ کو تمام ممکنہ نتائج فراہم کرتا ہے۔ +00:09:04,140 --> 00:09:06,280 +آپ شاید اندازہ لگا سکتے ہیں کہ یہ نام کہاں سے آیا ہے۔ 124 -00:09:16,620 --> 00:09:23,800 -دوسرے لفظوں میں، کالم کی جگہ آپ کے میٹرکس کے کالموں کا دورانیہ ہے۔ +00:09:06,560 --> 00:09:11,105 +آپ کے میٹرکس کے کالم آپ کو بتاتے ہیں کہ بنیاد ویکٹر کہاں اترتے ہیں، اور 125 -00:09:23,800 --> 00:09:28,040 -لہذا درجہ کی ایک زیادہ درست تعریف یہ ہوگی کہ یہ +00:09:11,105 --> 00:09:15,840 +ان تبدیل شدہ بنیاد ویکٹرز کا دورانیہ آپ کو تمام ممکنہ نتائج فراہم کرتا ہے۔ 126 -00:09:28,040 --> 00:09:30,240 -کالم کی جگہ میں طول و عرض کی تعداد ہے۔ +00:09:16,360 --> 00:09:21,140 +دوسرے لفظوں میں، کالم کی جگہ آپ کے میٹرکس کے کالموں کا دورانیہ ہے۔ 127 -00:09:30,240 --> 00:09:34,840 -جب یہ رینک جتنا اونچا ہو سکتا ہے، یعنی یہ کالموں کی +00:09:23,300 --> 00:09:28,940 +لہذا درجہ کی ایک زیادہ درست تعریف یہ ہوگی کہ یہ کالم کی جگہ میں طول و عرض کی تعداد ہے۔ 128 -00:09:34,840 --> 00:09:37,640 -تعداد کے برابر ہو، تو ہم میٹرکس کو فل رینک کہتے ہیں۔ +00:09:29,940 --> 00:09:33,000 +جب یہ رینک جتنا اونچا ہو سکتا ہے، یعنی یہ کالموں کی 129 -00:09:37,640 --> 00:09:44,040 -نوٹ کریں، صفر ویکٹر کو ہمیشہ کالم کی جگہ میں شامل کیا جائے +00:09:33,000 --> 00:09:36,120 +تعداد کے برابر ہو، تو ہم میٹرکس کو فل رینک کہتے ہیں۔ 130 -00:09:44,040 --> 00:09:47,060 -گا، کیونکہ لکیری تبدیلیوں کو اصل کو اپنی جگہ پر رکھنا چاہیے۔ +00:09:38,540 --> 00:09:42,129 +نوٹ کریں، صفر ویکٹر کو ہمیشہ کالم کی جگہ میں شامل کیا جائے 131 -00:09:47,060 --> 00:09:51,640 -مکمل درجہ کی تبدیلی کے لیے، واحد ویکٹر جو +00:09:42,129 --> 00:09:45,840 +گا، کیونکہ لکیری تبدیلیوں کو اصل کو اپنی جگہ پر رکھنا چاہیے۔ 132 -00:09:51,640 --> 00:09:52,640 -اصل پر اترتا ہے وہ صفر ویکٹر ہے۔ +00:09:46,900 --> 00:09:51,960 +مکمل درجہ کی تبدیلی کے لیے، واحد ویکٹر جو اصل پر اترتا ہے وہ صفر ویکٹر ہے۔ 133 -00:09:52,680 --> 00:09:56,720 -لیکن میٹرکس کے لیے جو مکمل رینک نہیں ہیں، جو کہ ایک چھوٹی جہت تک پہنچتے +00:09:52,460 --> 00:09:55,677 +لیکن میٹرکس کے لیے جو مکمل رینک نہیں ہیں، جو کہ ایک چھوٹی جہت تک پہنچتے 134 -00:09:56,720 --> 00:10:02,160 -ہیں، آپ کے پاس صفر پر اترنے والے ویکٹرز کا ایک پورا گروپ ہو سکتا ہے۔ +00:09:55,677 --> 00:09:58,760 +ہیں، آپ کے پاس صفر پر اترنے والے ویکٹرز کا ایک پورا گروپ ہو سکتا ہے۔ 135 -00:10:02,160 --> 00:10:06,760 -اگر 2D تبدیلی کسی لکیر پر جگہ کو نچوڑ دیتی ہے، مثال کے طور پر، ویکٹروں +00:10:01,640 --> 00:10:05,812 +اگر 2D تبدیلی کسی لکیر پر جگہ کو نچوڑ دیتی ہے، مثال کے طور پر، 136 -00:10:06,760 --> 00:10:11,920 -سے بھری ایک مختلف سمت میں ایک الگ لائن ہے جو اصل پر دب جاتی ہے۔ +00:10:05,812 --> 00:10:10,580 +ویکٹروں سے بھری ایک مختلف سمت میں ایک الگ لائن ہے جو اصل پر دب جاتی ہے۔ 137 -00:10:11,920 --> 00:10:16,460 -اگر ایک 3D تبدیلی کسی ہوائی جہاز پر جگہ کو نچوڑ دیتی ہے، تو +00:10:11,780 --> 00:10:14,674 +اگر ایک 3D تبدیلی کسی ہوائی جہاز پر جگہ کو نچوڑ دیتی ہے، 138 -00:10:16,460 --> 00:10:20,800 -ویکٹر کی ایک پوری لائن بھی ہوتی ہے جو اصل پر اترتی ہے۔ +00:10:14,674 --> 00:10:17,620 +تو ویکٹر کی ایک پوری لائن بھی ہوتی ہے جو اصل پر اترتی ہے۔ 139 -00:10:20,800 --> 00:10:25,540 -اگر ایک 3D تبدیلی تمام جگہ کو ایک لکیر پر دھکیل دیتی ہے، تو +00:10:20,520 --> 00:10:23,961 +اگر ایک 3D تبدیلی تمام جگہ کو ایک لکیر پر دھکیل دیتی ہے، تو 140 -00:10:25,540 --> 00:10:33,380 -وہاں ایک پورا طیارہ ویکٹر سے بھرا ہوا ہے جو اصل پر اترتا ہے۔ +00:10:23,961 --> 00:10:27,460 +وہاں ایک پورا طیارہ ویکٹر سے بھرا ہوا ہے جو اصل پر اترتا ہے۔ 141 -00:10:33,380 --> 00:10:38,160 -ویکٹرز کا یہ مجموعہ جو اصل پر اترتا ہے اسے null +00:10:32,800 --> 00:10:38,714 +ویکٹرز کا یہ مجموعہ جو اصل پر اترتا ہے اسے null space یا آپ کے میٹرکس کا دانا کہا جاتا ہے۔ 142 -00:10:38,160 --> 00:10:39,360 -space یا آپ کے میٹرکس کا دانا کہا جاتا ہے۔ +00:10:38,714 --> 00:10:38,780 + 143 -00:10:39,360 --> 00:10:43,760 -یہ تمام ویکٹرز کی جگہ ہے جو صفر ہو جاتی ہے، +00:10:39,360 --> 00:10:44,180 +یہ تمام ویکٹرز کی جگہ ہے جو صفر ہو جاتی ہے، اس معنی میں کہ وہ صفر ویکٹر پر اترتے ہیں۔ 144 -00:10:43,760 --> 00:10:45,740 -اس معنی میں کہ وہ صفر ویکٹر پر اترتے ہیں۔ +00:10:45,680 --> 00:10:49,480 +مساوات کے لکیری نظام کے لحاظ سے، جب v صفر ویکٹر ہوتا 145 -00:10:45,740 --> 00:10:50,320 -مساوات کے لکیری نظام کے لحاظ سے، جب v صفر ویکٹر ہوتا ہے، +00:10:49,480 --> 00:10:53,640 +ہے، خالی جگہ آپ کو مساوات کے تمام ممکنہ حل فراہم کرتی ہے۔ 146 -00:10:50,360 --> 00:10:56,920 -خالی جگہ آپ کو مساوات کے تمام ممکنہ حل فراہم کرتی ہے۔ +00:10:56,420 --> 00:10:59,120 +تو یہ ایک بہت ہی اعلیٰ سطحی جائزہ ہے کہ ہندسی طور پر 147 -00:10:56,920 --> 00:11:00,920 -تو یہ ایک بہت ہی اعلیٰ سطحی جائزہ ہے کہ ہندسی طور +00:10:59,120 --> 00:11:01,720 +مساوات کے لکیری نظاموں کے بارے میں کیسے سوچا جائے۔ 148 -00:11:00,920 --> 00:11:02,420 -پر مساوات کے لکیری نظاموں کے بارے میں کیسے سوچا جائے۔ +00:11:02,300 --> 00:11:06,417 +ہر سسٹم کے ساتھ کسی نہ کسی قسم کی لکیری تبدیلی وابستہ ہوتی ہے، اور جب اس تبدیلی 149 -00:11:02,420 --> 00:11:06,980 -ہر سسٹم کے ساتھ کسی نہ کسی قسم کی لکیری تبدیلی وابستہ ہوتی ہے، اور جب اس تبدیلی میں +00:11:06,417 --> 00:11:10,740 +میں الٹا ہوتا ہے، تو آپ اپنے سسٹم کو حل کرنے کے لیے اس الٹا کو استعمال کر سکتے ہیں۔ 150 -00:11:06,980 --> 00:11:11,720 -الٹا ہوتا ہے، تو آپ اپنے سسٹم کو حل کرنے کے لیے اس الٹا کو استعمال کر سکتے ہیں۔ +00:11:12,280 --> 00:11:15,980 +دوسری صورت میں، کالم اسپیس کا آئیڈیا ہمیں یہ سمجھنے دیتا ہے کہ 151 -00:11:11,720 --> 00:11:18,240 -دوسری صورت میں، کالم اسپیس کا آئیڈیا ہمیں یہ سمجھنے دیتا ہے کہ جب +00:11:15,980 --> 00:11:19,563 +جب کوئی حل بھی موجود ہوتا ہے، اور null اسپیس کا خیال ہمیں یہ 152 -00:11:18,240 --> 00:11:22,640 -کوئی حل بھی موجود ہوتا ہے، اور null اسپیس کا خیال ہمیں یہ سمجھنے +00:11:19,563 --> 00:11:23,440 +سمجھنے میں مدد کرتا ہے کہ تمام ممکنہ حلوں کا سیٹ کیسا نظر آتا ہے۔ 153 -00:11:22,640 --> 00:11:24,200 -میں مدد کرتا ہے کہ تمام ممکنہ حلوں کا سیٹ کیسا نظر آتا ہے۔ +00:11:24,980 --> 00:11:27,199 +ایک بار پھر، بہت ساری چیزیں ہیں جن کا میں نے یہاں احاطہ 154 -00:11:24,200 --> 00:11:29,800 -ایک بار پھر، بہت ساری چیزیں ہیں جن کا میں نے یہاں احاطہ نہیں کیا ہے، خاص طور پر ان چیزوں کی گنتی کیسے کی جائے۔ +00:11:27,199 --> 00:11:29,380 +نہیں کیا ہے، خاص طور پر ان چیزوں کی گنتی کیسے کی جائے۔ 155 -00:11:29,800 --> 00:11:33,680 -مجھے اپنے دائرہ کار کو ان مثالوں تک محدود کرنا پڑا +00:11:29,800 --> 00:11:32,371 +مجھے اپنے دائرہ کار کو ان مثالوں تک محدود کرنا پڑا جہاں 156 -00:11:33,680 --> 00:11:35,200 -جہاں مساوات کی تعداد نامعلوم افراد کی تعداد کے برابر ہے۔ +00:11:32,371 --> 00:11:34,760 +مساوات کی تعداد نامعلوم افراد کی تعداد کے برابر ہے۔ 157 -00:11:35,200 --> 00:11:39,700 -لیکن یہاں مقصد یہ نہیں ہے کہ ہر چیز کو سکھانے کی کوشش کی جائے، یہ ہے کہ آپ +00:11:34,880 --> 00:11:38,660 +لیکن یہاں مقصد یہ نہیں ہے کہ ہر چیز کو سکھانے کی کوشش کی جائے، یہ ہے کہ آپ معکوس 158 -00:11:39,700 --> 00:11:44,720 -معکوس میٹرکس، کالم اسپیس، اور null اسپیس کے لیے ایک مضبوط وجدان کے ساتھ آتے ہیں، اور یہ +00:11:38,660 --> 00:11:42,486 +میٹرکس، کالم اسپیس، اور null اسپیس کے لیے ایک مضبوط وجدان کے ساتھ آتے ہیں، اور یہ 159 -00:11:44,720 --> 00:11:47,760 -کہ وہ انترجات مستقبل کے کسی بھی سیکھنے کو بناتے ہیں جسے آپ زیادہ نتیجہ خیز بناتے ہیں۔ +00:11:42,486 --> 00:11:46,500 +کہ وہ انترجات مستقبل کے کسی بھی سیکھنے کو بناتے ہیں جسے آپ زیادہ نتیجہ خیز بناتے ہیں۔ 160 -00:11:47,800 --> 00:11:52,480 -اگلی ویڈیو، مقبول درخواست کے مطابق، غیر مربع میٹرس کے بارے میں ایک مختصر فوٹ نوٹ ہوگا۔ +00:11:47,660 --> 00:11:51,880 +اگلی ویڈیو، مقبول درخواست کے مطابق، غیر مربع میٹرس کے بارے میں ایک مختصر فوٹ نوٹ ہوگا۔ 161 -00:11:52,480 --> 00:11:55,580 -پھر اس کے بعد، میں آپ کو ڈاٹ پروڈکٹس کے بارے میں اپنا نقطہ نظر پیش کرنے جا +00:11:51,880 --> 00:11:55,334 +پھر اس کے بعد، میں آپ کو ڈاٹ پروڈکٹس کے بارے میں اپنا نقطہ نظر پیش کرنے جا رہا 162 -00:11:55,580 --> 00:11:59,440 -رہا ہوں، اور کچھ بہت اچھا ہوتا ہے جب آپ انہیں لکیری تبدیلیوں کی روشنی میں دیکھتے ہیں۔ +00:11:55,334 --> 00:11:58,920 +ہوں، اور کچھ بہت اچھا ہوتا ہے جب آپ انہیں لکیری تبدیلیوں کی روشنی میں دیکھتے ہیں۔ 163 -00:11:59,440 --> 00:11:59,940 -پھر آپ دیکھیں! +00:11:59,480 --> 00:11:59,660 +پھر آپ دیکھیں! diff --git a/2016/inverse-matrices/vietnamese/auto_generated.srt b/2016/inverse-matrices/vietnamese/auto_generated.srt index ce30f2887..23487a42c 100644 --- a/2016/inverse-matrices/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2016/inverse-matrices/vietnamese/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:10,239 --> 00:00:14,790 +00:00:10,240 --> 00:00:14,790 Như bạn có thể biết bây giờ, phần lớn loạt bài này là tìm hiểu các phép toán ma 2 @@ -7,12 +7,12 @@ Như bạn có thể biết bây giờ, phần lớn loạt bài này là tìm h trận và vectơ thông qua lăng kính trực quan hơn về các phép biến đổi tuyến tính. 3 -00:00:19,980 --> 00:00:24,113 +00:00:19,980 --> 00:00:24,239 Video này cũng không ngoại lệ, mô tả các khái niệm về ma trận nghịch đảo, 4 -00:00:24,113 --> 00:00:27,520 -không gian cột, thứ hạng và không gian rỗng qua lăng kính đó. +00:00:24,239 --> 00:00:27,520 +không gian cột, hạng và không gian rỗng qua lăng kính đó. 5 00:00:27,520 --> 00:00:30,836 @@ -23,670 +23,662 @@ Tuy nhiên, xin cảnh báo trước rằng tôi sẽ không nói về các phư sự tính toán những thứ này và một số người sẽ cho rằng điều đó khá quan trọng. 7 -00:00:34,840 --> 00:00:39,343 +00:00:34,840 --> 00:00:39,494 Có rất nhiều tài nguyên rất tốt để học các phương pháp đó ngoài loạt bài này, 8 -00:00:39,343 --> 00:00:42,000 -từ khóa loại bỏ Gaussian và dạng cấp bậc hàng. +00:00:39,494 --> 00:00:42,000 +từ khóa khử Gaussian và dạng cấp bậc hàng. 9 00:00:42,540 --> 00:00:46,340 -Tôi nghĩ phần lớn giá trị mà tôi thực sự phải thêm vào ở đây là ở phần trực giác. +Tôi nghĩ phần lớn giá trị mà tôi thực sự phải thêm vào ở đây là ở phần trực quan. 10 -00:00:46,900 --> 00:00:48,725 -Ngoài ra, trong thực tế, chúng tôi thường nhận được +00:00:46,900 --> 00:00:50,480 +Ngoài ra trên thực tế chúng ta thường dùng phần mềm để tính thứ này cho chúng ta. 11 -00:00:48,725 --> 00:00:50,480 -phần mềm để tính toán những thứ này cho chúng tôi. - -12 00:00:51,500 --> 00:00:53,920 Đầu tiên, một vài lời về tính hữu ích của đại số tuyến tính. -13 -00:00:54,300 --> 00:00:58,243 -Đến bây giờ bạn đã có gợi ý về cách nó được sử dụng để mô tả thao tác không gian, +12 +00:00:54,300 --> 00:00:58,096 +Đến giờ bạn đã có gợi ý về cách nó được sử dụng để mô tả thao tác không gian, -14 -00:00:58,243 --> 00:01:01,370 +13 +00:00:58,096 --> 00:01:01,260 điều này rất hữu ích cho những thứ như đồ họa máy tính và robot, -15 -00:01:01,370 --> 00:01:05,410 +14 +00:01:01,260 --> 00:01:05,349 nhưng một trong những lý do chính khiến đại số tuyến tính được áp dụng rộng rãi hơn -16 -00:01:05,410 --> 00:01:09,353 +15 +00:01:05,349 --> 00:01:09,340 và được yêu cầu cho bất kỳ ngành kỹ thuật nào là nó cho phép chúng ta giải các hệ -17 -00:01:09,353 --> 00:01:10,460 +16 +00:01:09,340 --> 00:01:10,460 phương trình nhất định. -18 +17 00:01:11,380 --> 00:01:14,437 Khi tôi nói hệ phương trình, ý tôi là bạn có một danh sách các biến, -19 +18 00:01:14,437 --> 00:01:17,760 những thứ bạn không biết và danh sách các phương trình liên quan đến chúng. -20 +19 00:01:18,340 --> 00:01:22,095 Trong nhiều trường hợp, những phương trình đó có thể trở nên rất phức tạp, -21 +20 00:01:22,095 --> 00:01:25,300 nhưng nếu bạn may mắn, chúng có thể có một dạng đặc biệt nào đó. -22 +21 00:01:26,440 --> 00:01:31,630 Trong mỗi phương trình, điều duy nhất xảy ra với mỗi biến là nó được chia tỷ lệ theo một -23 +22 00:01:31,630 --> 00:01:36,880 hằng số nào đó và điều duy nhất xảy ra với từng biến tỷ lệ đó là chúng được cộng với nhau. -24 +23 00:01:37,540 --> 00:01:42,280 Vì vậy, không có số mũ hoặc hàm ưa thích hay nhân hai biến với nhau, những thứ tương tự. -25 +24 00:01:43,420 --> 00:01:47,623 -Cách điển hình để tổ chức loại hệ phương trình đặc biệt này là ném +Cách điển hình để tổ chức loại hệ phương trình đặc biệt này là đưa -26 +25 00:01:47,623 --> 00:01:52,140 tất cả các biến sang bên trái và đặt mọi hằng số còn sót lại ở bên phải. -27 -00:01:53,600 --> 00:01:56,874 -Bạn cũng nên sắp xếp các biến chung theo chiều dọc và để làm được điều đó, +26 +00:01:53,600 --> 00:01:56,766 +Bạn cũng nên xếp các biến chung theo chiều dọc và để làm được điều đó, -28 -00:01:56,874 --> 00:01:59,625 +27 +00:01:56,766 --> 00:01:59,576 bạn có thể cần phải đưa vào một số hệ số bằng 0 bất cứ khi nào -29 -00:01:59,625 --> 00:02:01,940 +28 +00:01:59,576 --> 00:02:01,940 biến đó không xuất hiện ở một trong các phương trình. -30 +29 00:02:04,540 --> 00:02:07,240 Đây được gọi là hệ phương trình tuyến tính. -31 +30 00:02:08,100 --> 00:02:11,180 Bạn có thể nhận thấy rằng điều này trông rất giống phép nhân vectơ-ma trận. -32 +31 00:02:11,820 --> 00:02:16,863 Trên thực tế, bạn có thể gói tất cả các phương trình lại với nhau thành một phương trình -33 +32 00:02:16,863 --> 00:02:21,906 vectơ duy nhất trong đó bạn có ma trận chứa tất cả các hệ số không đổi và một vectơ chứa -34 +33 00:02:21,906 --> 00:02:26,780 tất cả các biến và tích vectơ-ma trận của chúng bằng một số vectơ không đổi khác nhau. -35 +34 00:02:28,640 --> 00:02:32,983 Hãy đặt tên ma trận hằng số là A, ký hiệu vectơ chứa các -36 +35 00:02:32,983 --> 00:02:37,480 biến bằng chữ x in đậm và gọi vectơ hằng số ở vế phải là v. -37 +36 00:02:38,860 --> 00:02:41,115 Đây không chỉ là một thủ thuật ký hiệu để hệ phương -38 +37 00:02:41,115 --> 00:02:42,980 trình của chúng ta được viết trên một dòng. -39 +38 00:02:43,340 --> 00:02:46,780 Nó làm sáng tỏ một cách giải thích hình học khá thú vị cho vấn đề này. -40 +39 00:02:47,620 --> 00:02:51,053 Ma trận A tương ứng với một số phép biến đổi tuyến tính, -41 +40 00:02:51,053 --> 00:02:56,293 do đó việc giải Ax bằng v có nghĩa là chúng ta đang tìm một vectơ x mà sau khi áp dụng -42 +41 00:02:56,293 --> 00:02:57,920 phép biến đổi sẽ rơi vào v. -43 +42 00:02:59,940 --> 00:03:01,780 -Hãy suy nghĩ về những gì đang xảy ra ở đây trong giây lát. +Hãy nghĩ về những gì đang xảy ra ở đây một lát. -44 +43 00:03:02,060 --> 00:03:05,590 Bạn có thể ghi nhớ trong đầu ý tưởng thực sự phức tạp này về nhiều -45 +44 00:03:05,590 --> 00:03:09,016 biến số trộn lẫn với nhau chỉ bằng cách nghĩ về việc nén và biến -46 +45 00:03:09,016 --> 00:03:12,600 hình không gian và cố gắng tìm ra vectơ nào nằm trên một vectơ khác. -47 +46 00:03:13,160 --> 00:03:13,760 Thật tuyệt phải không? -48 +47 00:03:14,600 --> 00:03:18,680 Để bắt đầu đơn giản, giả sử bạn có một hệ có hai phương trình và hai ẩn số. -49 +48 00:03:19,000 --> 00:03:23,960 Điều này có nghĩa là ma trận A là ma trận 2x2 và v và x đều là vectơ hai chiều. -50 +49 00:03:25,600 --> 00:03:29,946 Bây giờ, cách chúng ta nghĩ về nghiệm của phương trình này phụ thuộc vào việc liệu -51 +50 00:03:29,946 --> 00:03:34,187 phép biến đổi liên quan đến A có ép toàn bộ không gian thành một chiều thấp hơn, -52 +51 00:03:34,187 --> 00:03:38,900 như đường thẳng hoặc điểm hay nó để lại mọi thứ bao trùm toàn bộ hai chiều nơi nó bắt đầu. -53 -00:03:40,320 --> 00:03:44,068 -Theo ngôn ngữ của video cuối cùng, chúng tôi chia thành các trường +52 +00:03:40,320 --> 00:03:44,039 +Theo ngôn ngữ của video cuối cùng, chúng ta chia thành các trường -54 -00:03:44,068 --> 00:03:48,040 +53 +00:03:44,039 --> 00:03:48,040 hợp trong đó A có định thức bằng 0 và trường hợp A có định thức khác 0. -55 +54 00:03:51,300 --> 00:03:54,852 Hãy bắt đầu với trường hợp có khả năng xảy ra cao nhất, trong đó định thức khác 0, -56 +55 00:03:54,852 --> 00:03:57,720 nghĩa là không gian không bị ép lại thành vùng có diện tích bằng 0. -57 +56 00:03:58,600 --> 00:04:02,408 Trong trường hợp này, sẽ luôn có một và chỉ một vectơ nằm trên v và -58 +57 00:04:02,408 --> 00:04:06,160 bạn có thể tìm thấy nó bằng cách thực hiện phép biến đổi ngược lại. -59 +58 00:04:06,700 --> 00:04:10,588 Đi theo vị trí của v khi chúng ta tua lại đoạn băng như thế này, -60 +59 00:04:10,588 --> 00:04:13,460 bạn sẽ tìm thấy vectơ x sao cho A nhân x bằng v. -61 +60 00:04:15,400 --> 00:04:20,094 Khi bạn thực hiện phép biến đổi ngược lại, nó thực sự tương ứng với một phép biến đổi -62 +61 00:04:20,094 --> 00:04:24,680 tuyến tính riêng biệt thường được gọi là nghịch đảo của A, ký hiệu là A thành số âm. -63 +62 00:04:25,360 --> 00:04:28,890 Ví dụ: nếu A quay ngược chiều kim đồng hồ 90 độ thì -64 +63 00:04:28,890 --> 00:04:32,760 nghịch đảo của A sẽ là quay 90 độ theo chiều kim đồng hồ. +64 +00:04:34,320 --> 00:04:37,908 +Nếu A là một lực cắt sang phải đẩy j-mũ một đơn vị sang phải, + 65 -00:04:34,320 --> 00:04:37,914 -Nếu A là một lực cắt sang phải đẩy j-hat một đơn vị sang phải, +00:04:37,908 --> 00:04:42,480 +thì nghịch đảo của A sẽ là một lực cắt sang trái đẩy j-mũ một đơn vị sang trái. 66 -00:04:37,914 --> 00:04:42,480 -thì nghịch đảo của A sẽ là một lực cắt sang trái đẩy j-hat một đơn vị sang trái. - -67 00:04:44,100 --> 00:04:47,313 Nói chung, nghịch đảo A là phép biến đổi duy nhất có đặc tính -68 +67 00:04:47,313 --> 00:04:51,821 mà nếu bạn áp dụng A lần đầu tiên, sau đó tiếp theo nó với phép biến đổi nghịch đảo A, -69 +68 00:04:51,821 --> 00:04:53,480 bạn sẽ quay lại nơi bạn bắt đầu. -70 -00:04:54,540 --> 00:04:56,740 -Việc áp dụng hết phép biến đổi này đến phép biến đổi - -71 -00:04:56,740 --> 00:04:58,940 -khác được ghi lại bằng đại số bằng phép nhân ma trận. +69 +00:04:54,540 --> 00:04:58,940 +Việc áp dụng liên tiếp các phép biến đổi được ghi lại bằng đại số bằng phép nhân ma trận. -72 +70 00:04:59,420 --> 00:05:03,290 Vì vậy, thuộc tính cốt lõi của phép biến đổi A nghịch đảo này là -73 +71 00:05:03,290 --> 00:05:07,340 A nghịch đảo nhân A bằng ma trận tương ứng với việc không làm gì cả. -74 +72 00:05:08,200 --> 00:05:11,320 -Sự biến đổi không làm gì được gọi là sự biến đổi danh tính. +Phép biến đổi mà không làm gì cả được gọi là phép biến đổi đồng nhất. -75 -00:05:11,780 --> 00:05:14,687 -Nó để i-hat và j-hat ở nguyên vị trí của chúng, +73 +00:05:11,780 --> 00:05:15,856 +Nó để i-mũ và j-mũ ở nguyên vị trí của chúng, không bị di chuyển, -76 -00:05:14,687 --> 00:05:18,080 -không bị di chuyển, vì vậy các cột của nó là 1,0 và 0,1. +74 +00:05:15,856 --> 00:05:18,080 +vì vậy các cột của nó là 1,0 và 0,1. -77 +75 00:05:19,980 --> 00:05:23,740 Khi bạn tìm thấy nghịch đảo này, trong thực tế bạn làm với máy tính, -78 +76 00:05:23,740 --> 00:05:27,720 bạn có thể giải phương trình bằng cách nhân ma trận nghịch đảo này với v. -79 +77 00:05:29,960 --> 00:05:33,260 Và một lần nữa, điều này có ý nghĩa về mặt hình học là -80 +78 00:05:33,260 --> 00:05:36,440 bạn đang thực hiện phép biến đổi ngược và theo sau v. -81 +79 00:05:40,200 --> 00:05:43,692 Trường hợp định thức khác 0 này, đối với một ma trận được chọn ngẫu nhiên, -82 +80 00:05:43,692 --> 00:05:46,253 cho đến nay là trường hợp có khả năng xảy ra cao nhất, -83 +81 00:05:46,253 --> 00:05:49,466 tương ứng với ý tưởng rằng nếu bạn có hai ẩn số và hai phương trình, -84 +82 00:05:49,466 --> 00:05:52,400 thì gần như chắc chắn trường hợp đó chỉ có một nghiệm duy nhất. -85 +83 00:05:53,680 --> 00:05:56,635 Ý tưởng này cũng có ý nghĩa trong các chiều cao hơn, -86 +84 00:05:56,635 --> 00:05:59,200 khi số lượng phương trình bằng số lượng ẩn số. -87 +85 00:05:59,380 --> 00:06:06,099 Một lần nữa, hệ phương trình có thể được dịch sang cách giải thích hình học trong đó -88 +86 00:06:06,099 --> 00:06:12,740 bạn có một số phép biến đổi A và một số vectơ v, và bạn đang tìm vectơ x nằm trên v. -89 +87 00:06:15,740 --> 00:06:20,243 Miễn là phép biến đổi A không ép toàn bộ không gian thành một chiều thấp hơn, -90 +88 00:06:20,243 --> 00:06:25,035 nghĩa là định thức của nó khác 0, sẽ có một phép biến đổi nghịch đảo A nghịch đảo, -91 +89 00:06:25,035 --> 00:06:29,365 với đặc tính là nếu bạn thực hiện A trước thì bạn thực hiện A nghịch đảo , -92 +90 00:06:29,365 --> 00:06:31,040 nó giống như không làm gì cả. -93 +91 00:06:33,540 --> 00:06:39,440 Và để giải phương trình, bạn chỉ cần nhân ma trận biến đổi ngược đó với vectơ v. -94 +92 00:06:43,500 --> 00:06:47,748 Nhưng khi định thức bằng 0 và phép biến đổi liên quan đến hệ phương -95 +93 00:06:47,748 --> 00:06:52,060 trình nén không gian thành một chiều nhỏ hơn thì không có nghịch đảo. -96 +94 00:06:52,480 --> 00:06:55,460 Bạn không thể gỡ bỏ một đường thẳng để biến nó thành một mặt phẳng. -97 +95 00:06:55,980 --> 00:06:58,060 -Ít nhất đó không phải là điều mà một chức năng có thể làm được. +Ít nhất đó không phải là điều mà một hàm số có thể làm được. -98 +96 00:06:58,360 --> 00:07:02,980 -Điều đó đòi hỏi phải chuyển đổi từng vectơ riêng lẻ thành một dòng chứa đầy các vectơ. +Điều đó đòi hỏi phải chuyển đổi từng vectơ riêng lẻ thành một đường chứa đầy các vectơ. -99 +97 00:07:03,740 --> 00:07:06,740 Nhưng các hàm chỉ có thể lấy một đầu vào duy nhất thành một đầu ra duy nhất. -100 +98 00:07:08,400 --> 00:07:10,949 Tương tự, đối với ba phương trình và ba ẩn số, -101 +99 00:07:10,949 --> 00:07:15,668 sẽ không có nghịch đảo nếu phép biến đổi tương ứng ép không gian 3D vào một mặt phẳng, -102 +100 00:07:15,668 --> 00:07:19,140 hoặc thậm chí nếu nó nén nó thành một đường thẳng hoặc một điểm. -103 +101 00:07:19,920 --> 00:07:22,385 Tất cả những cái đó đều tương ứng với định thức bằng 0, -104 +102 00:07:22,385 --> 00:07:25,160 vì bất kỳ vùng nào cũng bị ép thành một thứ có thể tích bằng 0. -105 +103 00:07:26,700 --> 00:07:30,640 Vẫn có khả năng tồn tại nghiệm ngay cả khi không có nghịch đảo. -106 +104 00:07:30,720 --> 00:07:35,304 Chỉ là khi phép biến đổi của bạn ép không gian vào một đường chẳng hạn, -107 +105 00:07:35,304 --> 00:07:39,380 bạn phải đủ may mắn để vectơ v nằm ở đâu đó trên đường thẳng đó. -108 +106 00:07:43,300 --> 00:07:45,739 Bạn có thể nhận thấy rằng một số trường hợp xác định bằng 0 -109 +107 00:07:45,739 --> 00:07:48,300 này có cảm giác hạn chế hơn nhiều so với những trường hợp khác. -110 +108 00:07:48,840 --> 00:07:52,461 Ví dụ, cho một ma trận 3x3, có vẻ khó tồn tại một nghiệm hơn -111 +109 00:07:52,461 --> 00:07:56,202 nhiều khi nó ép không gian thành một đường thẳng so với khi nó -112 +110 00:07:56,202 --> 00:08:00,240 ép các vật lên một mặt phẳng, mặc dù cả hai đều là định thức bằng 0. -113 +111 00:08:02,600 --> 00:08:06,100 Chúng ta có một số ngôn ngữ cụ thể hơn một chút so với việc chỉ nói định thức bằng 0. -114 +112 00:08:06,520 --> 00:08:10,785 Khi đầu ra của phép biến đổi là một đường, nghĩa là nó một chiều, -115 +113 00:08:10,785 --> 00:08:13,500 chúng ta nói phép biến đổi có hạng là một. -116 +114 00:08:15,140 --> 00:08:18,308 Nếu tất cả các vectơ đều nằm trên một mặt phẳng hai chiều nào đó, -117 +115 00:08:18,308 --> 00:08:20,420 chúng ta nói phép biến đổi có hạng bằng hai. -118 +116 00:08:22,920 --> 00:08:27,480 -Vì vậy, từ xếp hạng có nghĩa là số thứ nguyên trong đầu ra của một phép biến đổi. +Vì vậy, từ hạng có nghĩa là số thứ nguyên trong đầu ra của một phép biến đổi. -119 +117 00:08:28,400 --> 00:08:32,720 Ví dụ: trong trường hợp ma trận 2x2, hạng 2 là tốt nhất có thể. -120 +118 00:08:33,080 --> 00:08:36,105 Nó có nghĩa là các vectơ cơ sở tiếp tục trải rộng trên -121 +119 00:08:36,105 --> 00:08:39,020 toàn bộ hai chiều của không gian và định thức khác 0. -122 -00:08:39,419 --> 00:08:43,051 +120 +00:08:39,419 --> 00:08:43,080 Nhưng đối với ma trận 3x3, cấp 2 có nghĩa là chúng ta đã sụp đổ, -123 -00:08:43,051 --> 00:08:46,460 -nhưng không nhiều như chúng đã sụp đổ trong tình huống cấp 1. +121 +00:08:43,080 --> 00:08:46,460 +nhưng không nhiều như chúng đã sụp đổ như tình huống hạng 1. -124 +122 00:08:47,240 --> 00:08:50,317 Nếu một phép biến đổi 3D có định thức khác 0 và đầu ra -125 +123 00:08:50,317 --> 00:08:53,340 của nó lấp đầy toàn bộ không gian 3D thì nó có hạng 3. -126 +124 00:08:54,520 --> 00:08:57,565 Tập hợp tất cả các kết quả đầu ra có thể có cho ma trận của bạn, -127 +125 00:08:57,565 --> 00:09:00,892 cho dù đó là đường thẳng, mặt phẳng, không gian 3D, hay bất kỳ thứ gì, -128 +126 00:09:00,892 --> 00:09:02,720 được gọi là không gian cột của ma trận. -129 +127 00:09:04,140 --> 00:09:06,280 Bạn có thể đoán được cái tên đó đến từ đâu. -130 +128 00:09:06,560 --> 00:09:11,028 Các cột của ma trận cho bạn biết vị trí của các vectơ cơ sở và khoảng của các -131 +129 00:09:11,028 --> 00:09:15,840 vectơ cơ sở được chuyển đổi đó cung cấp cho bạn tất cả các kết quả đầu ra có thể có. -132 +130 00:09:16,360 --> 00:09:21,140 Nói cách khác, không gian cột là khoảng các cột trong ma trận của bạn. -133 +131 00:09:23,300 --> 00:09:28,940 -Vì vậy, một định nghĩa chính xác hơn về thứ hạng sẽ là số thứ nguyên trong không gian cột. +Vì vậy, một định nghĩa chính xác hơn về hạng sẽ là số chiều trong không gian cột. -134 -00:09:29,940 --> 00:09:33,623 -Khi thứ hạng này cao nhất có thể, nghĩa là nó bằng số cột, +132 +00:09:29,940 --> 00:09:33,675 +Khi hạng này cao nhất có thể, nghĩa là nó bằng số cột, -135 -00:09:33,623 --> 00:09:36,120 -chúng ta gọi ma trận là thứ hạng đầy đủ. +133 +00:09:33,675 --> 00:09:36,120 +chúng ta gọi ma trận là hạng đầy đủ. -136 +134 00:09:38,540 --> 00:09:42,128 Lưu ý, vectơ 0 sẽ luôn được bao gồm trong không gian cột, -137 +135 00:09:42,128 --> 00:09:45,840 vì các phép biến đổi tuyến tính phải giữ gốc tọa độ cố định. -138 +136 00:09:46,900 --> 00:09:51,960 Đối với một phép biến đổi hạng đầy đủ, vectơ duy nhất đạt đến gốc tọa độ chính là vectơ 0. -139 -00:09:52,460 --> 00:09:55,167 -Nhưng đối với các ma trận không có thứ hạng đầy đủ, +137 +00:09:52,460 --> 00:09:55,044 +Nhưng đối với các ma trận không có hạng đầy đủ, -140 -00:09:55,167 --> 00:09:58,760 +138 +00:09:55,044 --> 00:09:58,760 bị nén về một chiều nhỏ hơn, bạn có thể có cả đống vectơ dừng ở số 0. -141 +139 00:10:01,640 --> 00:10:05,463 Ví dụ: nếu một phép biến đổi 2D nén không gian vào một đường thẳng, -142 +140 00:10:05,463 --> 00:10:09,961 thì sẽ có một đường riêng biệt theo một hướng khác chứa đầy các vectơ bị ép vào -143 +141 00:10:09,961 --> 00:10:10,580 gốc tọa độ. -144 +142 00:10:11,780 --> 00:10:14,814 Nếu phép biến đổi 3D ép không gian vào một mặt phẳng -145 +143 00:10:14,814 --> 00:10:17,620 thì cũng có đầy đủ các vectơ nằm trên gốc tọa độ. -146 +144 00:10:20,520 --> 00:10:24,041 Nếu một phép biến đổi 3D dồn toàn bộ không gian vào một đường thẳng -147 +145 00:10:24,041 --> 00:10:27,460 thì sẽ có cả một mặt phẳng chứa đầy các vectơ nằm trên gốc tọa độ. -148 +146 00:10:32,800 --> 00:10:35,849 Tập hợp các vectơ nằm trên gốc tọa độ này được gọi -149 +147 00:10:35,849 --> 00:10:38,780 là không gian rỗng hoặc nhân của ma trận của bạn. -150 +148 00:10:39,360 --> 00:10:42,220 -Đó là không gian của tất cả các vectơ trở thành null, +Đó là không gian của tất cả các vectơ trở thành rỗng, -151 +149 00:10:42,220 --> 00:10:44,180 theo nghĩa là chúng nằm trên vectơ 0. -152 +150 00:10:45,680 --> 00:10:49,100 Trong hệ phương trình tuyến tính, khi v là vectơ 0, -153 +151 00:10:49,100 --> 00:10:53,640 không gian rỗng cho bạn tất cả các nghiệm có thể có của phương trình. -154 +152 00:10:56,420 --> 00:10:58,943 Đó là một cái nhìn tổng quan ở cấp độ cao về cách -155 +153 00:10:58,943 --> 00:11:01,720 suy nghĩ về hệ phương trình tuyến tính về mặt hình học. -156 +154 00:11:02,300 --> 00:11:05,040 Mỗi hệ thống có một số loại phép biến đổi tuyến tính liên quan -157 +155 00:11:05,040 --> 00:11:07,825 đến nó và khi phép biến đổi đó có một phép biến đổi nghịch đảo, -158 +156 00:11:07,825 --> 00:11:10,740 bạn có thể sử dụng phép biến đổi nghịch đảo đó để giải hệ của mình. -159 +157 00:11:12,280 --> 00:11:16,018 Mặt khác, ý tưởng về không gian cột cho phép chúng ta hiểu khi nào -160 +158 00:11:16,018 --> 00:11:19,701 một giải pháp tồn tại và ý tưởng về không gian rỗng giúp chúng ta -161 +159 00:11:19,701 --> 00:11:23,440 hiểu tập hợp tất cả các giải pháp khả thi có thể trông như thế nào. -162 -00:11:24,979 --> 00:11:27,409 +160 +00:11:24,980 --> 00:11:27,409 Một lần nữa, có rất nhiều thứ tôi chưa đề cập ở đây, -163 +161 00:11:27,409 --> 00:11:29,380 đáng chú ý nhất là cách tính những thứ này. -164 +162 00:11:29,800 --> 00:11:32,359 Tôi cũng phải giới hạn phạm vi của mình ở những -165 +163 00:11:32,359 --> 00:11:34,760 ví dụ trong đó số phương trình bằng số ẩn số. -166 -00:11:34,880 --> 00:11:37,568 +164 +00:11:34,880 --> 00:11:37,525 Nhưng mục tiêu ở đây không phải là cố gắng dạy mọi thứ, -167 -00:11:37,568 --> 00:11:40,545 -mà là để bạn có được trực giác mạnh mẽ về ma trận nghịch đảo, +165 +00:11:37,525 --> 00:11:40,642 +mà là để bạn có được một trực quan mạnh mẽ về ma trận nghịch đảo, -168 -00:11:40,545 --> 00:11:44,339 -không gian cột và không gian rỗng, và những trực giác đó giúp cho việc học tập +166 +00:11:40,642 --> 00:11:44,374 +không gian cột và không gian rỗng, và những trực quan đó giúp cho việc học tập -169 -00:11:44,339 --> 00:11:46,500 +167 +00:11:44,374 --> 00:11:46,500 trong tương lai của bạn trở nên hiệu quả hơn. -170 +168 00:11:47,660 --> 00:11:51,880 Video tiếp theo, theo yêu cầu phổ biến, sẽ có chú thích ngắn gọn về ma trận không vuông. -171 +169 00:11:51,880 --> 00:11:55,334 Sau đó, tôi sẽ cho bạn biết nhận xét của tôi về tích số chấm và điều gì đó khá -172 +170 00:11:55,334 --> 00:11:58,920 thú vị sẽ xảy ra khi bạn xem chúng dưới ánh sáng của các phép biến đổi tuyến tính. -173 +171 00:11:59,480 --> 00:11:59,660 Gặp bạn sau! diff --git a/2016/linear-transformations/arabic/auto_generated.srt b/2016/linear-transformations/arabic/auto_generated.srt index 7afeb6aad..e56078c0f 100644 --- a/2016/linear-transformations/arabic/auto_generated.srt +++ b/2016/linear-transformations/arabic/auto_generated.srt @@ -3,15 +3,15 @@ مرحبا جميعا! 2 -00:00:13,320 --> 00:00:16,259 +00:00:13,320 --> 00:00:16,244 إذا اضطررت إلى اختيار موضوع واحد فقط يجعل جميع المواضيع الأخرى 3 -00:00:16,259 --> 00:00:19,106 -في الجبر الخطي تبدأ في النقر، والتي غالبًا ما يتم تجاهلها في +00:00:16,244 --> 00:00:19,123 +في الجبر الخطي واضحة و مفهومة، والتي غالبًا ما يتم تجاهلها في 4 -00:00:19,106 --> 00:00:22,280 +00:00:19,123 --> 00:00:22,280 المرة الأولى التي يدرس فيها الطالب الجبر الخطي، فسيكون هذا الموضوع. 5 @@ -19,20 +19,20 @@ فكرة التحويل الخطي وعلاقتها بالمصفوفات. 6 -00:00:26,950 --> 00:00:31,133 +00:00:26,950 --> 00:00:30,974 في هذا الفيديو، سأركز فقط على الشكل الذي تبدو عليه هذه التحويلات 7 -00:00:31,133 --> 00:00:35,060 -في حالة البعدين، وكيفية ارتباطها بفكرة ضرب متجهات المصفوفات. +00:00:30,974 --> 00:00:35,060 +في حالة البعدين، وكيفية ارتباطها بفكرة ضرب المتجهات في المصفوفات. 8 -00:00:35,880 --> 00:00:38,882 -على وجه الخصوص، أريد أن أوضح لك طريقة للتفكير +00:00:35,880 --> 00:00:38,918 +على وجه الخصوص، أريد أن أوضح لك طريقة للتفكير في 9 -00:00:38,882 --> 00:00:42,080 -في ضرب متجهات المصفوفات التي لا تعتمد على الحفظ. +00:00:38,918 --> 00:00:42,080 +ضرب المتجهات في المصفوفات التي لا تعتمد على الحفظ. 10 00:00:43,160 --> 00:00:46,580 @@ -40,11 +40,11 @@ 11 00:00:47,420 --> 00:00:49,880 -التحول هو في الأساس كلمة خيالية للوظيفة. +التحويل هو في الأساس كلمة فخمة للدالة. 12 00:00:50,260 --> 00:00:53,980 -إنه شيء يأخذ المدخلات ويخرج مخرجات لكل منها. +إنه شيء يأخذ قيم ويخرج قيم أخرى بعد القيام بالتحويل على كل عنصر من المدخلات. 13 00:00:53,980 --> 00:00:57,494 @@ -56,7 +56,7 @@ 15 00:01:02,500 --> 00:01:06,380 -فلماذا نستخدم كلمة "تحويل" بدلاً من "وظيفة" إذا كانت تعني نفس الشيء؟ +فلماذا نستخدم كلمة تحويل بدلاً من دالة إذا كانت تعني نفس الشيء؟ 16 00:01:07,120 --> 00:01:11,340 @@ -64,489 +64,493 @@ 17 00:01:11,860 --> 00:01:15,800 -كما ترى، إحدى الطرق الرائعة لفهم وظائف المتجهات هي استخدام الحركة. +كما ترون، إحدى الطرق الرائعة لفهم وظائف المتجهات هي استخدام الحركة. 18 -00:01:16,780 --> 00:01:21,070 -إذا أخذ التحويل بعض متجهات الإدخال إلى بعض متجهات المخرجات، +00:01:16,780 --> 00:01:20,582 +إذا أخذ التحويل متجه كمدخل و حولة الى متجه اخر، 19 -00:01:21,070 --> 00:01:24,860 -فإننا نتخيل أن متجه الإدخال ينتقل إلى متجه المخرجات. +00:01:20,582 --> 00:01:24,860 +فإننا نتخيل أن المتجه الأصلي ينتقل إلى المتجه الناتج. 20 -00:01:25,680 --> 00:01:29,687 -ومن ثم، لفهم التحويل ككل، قد نتخيل مشاهدة كل متجهات +00:01:25,680 --> 00:01:29,729 +ومن ثم، لفهم التحويل ككل، قد نتخيل مشاهدة كل المتجهات 21 -00:01:29,687 --> 00:01:34,080 -الإدخال المحتملة تتحرك إلى متجهات المخرجات المقابلة لها. +00:01:29,729 --> 00:01:34,080 +المدخلة المحتملة تتحرك إلى المتجهات الناتجة المقابلة لها. 22 -00:01:34,980 --> 00:01:39,120 -يصبح الأمر مزدحمًا جدًا عند التفكير في جميع المتجهات في وقت واحد، كل منها على شكل سهم. +00:01:34,980 --> 00:01:37,365 +يصبح الأمر مزدحمًا جدًا عند التفكير في جميع المتجهات 23 -00:01:39,500 --> 00:01:43,526 -لذا، كما ذكرت في الفيديو السابق، هناك خدعة رائعة وهي تصور كل +00:01:37,365 --> 00:01:39,120 +في وقت واحد، كل واحد منها على شكل سهم. 24 -00:01:43,526 --> 00:01:47,420 -متجه ليس كسهم ولكن كنقطة واحدة، النقطة التي يقع فيها طرفه. +00:01:39,500 --> 00:01:43,334 +لذا، كما ذكرت في الفيديو السابق، هناك خدعة رائعة وهي تصور كل 25 -00:01:48,030 --> 00:01:52,053 -بهذه الطريقة، للتفكير في تحويل ينقل كل متجه مدخلات محتمل إلى +00:01:43,334 --> 00:01:47,420 +متجه ليس كسهم ولكن كنقطة واحدة، النقطة التي يقع فيها رأس المتجه. 26 -00:01:52,053 --> 00:01:56,340 -متجه مخرج ما، فإننا نشاهد كل نقطة في الفضاء تتحرك إلى نقطة أخرى. +00:01:48,030 --> 00:01:52,319 +بهذه الطريقة، للتفكير في تحويل ينقل كل متجه مدخل محتمل إلى متجه 27 +00:01:52,319 --> 00:01:56,340 +ناتج ما، فإننا نشاهد كل نقطة في الفضاء تتحرك إلى نقطة أخرى. + +28 00:01:57,220 --> 00:02:01,370 في حالة التحويلات في بعدين، للحصول على فكرة أفضل عن شكل التحويل -28 +29 00:02:01,370 --> 00:02:05,780 بأكمله، أحب أن أفعل ذلك مع جميع النقاط الموجودة على شبكة لا نهائية. -29 +30 00:02:06,560 --> 00:02:09,847 أرغب أيضًا في بعض الأحيان في الاحتفاظ بنسخة من الشبكة في الخلفية فقط للمساعدة -30 +31 00:02:09,847 --> 00:02:12,840 في تتبع المكان الذي ينتهي فيه كل شيء بالنسبة إلى المكان الذي يبدأ فيه. -31 -00:02:14,460 --> 00:02:17,770 -إن تأثير التحولات المختلفة التي تتحرك حول جميع - 32 -00:02:17,770 --> 00:02:21,080 -النقاط في الفضاء هو، عليك أن تعترف، بأنه جميل. +00:02:14,460 --> 00:02:21,007 +عليك أن تعترف أن تأثير التحويلات المختلفة التي تتحرك حول جميع النقاط في الفضاء يبدو جميلا. 33 -00:02:21,880 --> 00:02:24,640 -إنه يعطي شعوراً بالسحق وتحول الفضاء نفسه. +00:02:21,007 --> 00:02:21,080 + 34 -00:02:25,600 --> 00:02:29,920 -كما يمكنك أن تتخيل، يمكن أن تبدو التحولات التعسفية معقدة للغاية. +00:02:21,880 --> 00:02:24,640 +إنه يعطي شعور ضغط وتحول الفضاء نفسه. 35 -00:02:30,380 --> 00:02:34,695 -لكن لحسن الحظ، يقتصر الجبر الخطي على نوع خاص من التحويلات، +00:02:25,600 --> 00:02:29,920 +كما يمكنك أن تتخيل، يمكن أن تبدو التحويلات العشوائية معقدة للغاية. 36 -00:02:34,695 --> 00:02:38,280 -تلك التي يسهل فهمها، والتي تسمى التحولات الخطية. +00:02:30,380 --> 00:02:34,656 +لكن لحسن الحظ، يقتصر الجبر الخطي على نوع خاص من التحويلات، 37 +00:02:34,656 --> 00:02:38,280 +تلك التي يسهل فهمها، والتي تسمى التحويلات الخطية. + +38 00:02:39,120 --> 00:02:43,060 من الناحية المرئية، يكون التحويل خطيًا إذا كان له خاصيتين. -38 +39 00:02:43,700 --> 00:02:49,600 يجب أن تظل جميع الخطوط خطوطًا دون أن تنحني، ويجب أن يظل الأصل ثابتًا في مكانه. -39 +40 00:02:50,620 --> 00:02:55,540 على سبيل المثال، هذا هنا لن يكون تحويلًا خطيًا، نظرًا لأن الخطوط تصبح كلها متعرجة. -40 +41 00:02:56,100 --> 00:02:58,950 وهذا هنا، على الرغم من أنه يبقي الخطوط مستقيمة، -41 +42 00:02:58,950 --> 00:03:01,860 إلا أنه ليس تحويلاً خطيًا، لأنه يحرك نقطة الأصل. -42 +43 00:03:02,680 --> 00:03:05,874 -هذا هنا يصلح الأصل، وقد يبدو وكأنه يبقي الخطوط مستقيمة، +هذا هنا يثبت الأصل، وقد يبدو وكأنه يبقي الخطوط مستقيمة، -43 +44 00:03:05,874 --> 00:03:09,240 ولكن هذا فقط لأنني أعرض فقط خطوط الشبكة الأفقية والعمودية. -44 +45 00:03:09,540 --> 00:03:12,456 -عندما ترى ما يفعله بالخط القطري، يصبح من الواضح أنه ليس +عندما ترى ما يفعله بالخط المائل، يصبح من الواضح أنه ليس -45 +46 00:03:12,456 --> 00:03:15,320 خطيًا على الإطلاق، لأنه يجعل هذا الخط متعرجًا بالكامل. -46 +47 00:03:16,760 --> 00:03:19,583 بشكل عام، يجب أن تفكر في التحويلات الخطية على أنها -47 +48 00:03:19,583 --> 00:03:22,240 إبقاء خطوط الشبكة متوازية ومتباعدة بشكل متساوٍ. -48 -00:03:23,400 --> 00:03:27,540 -من السهل التفكير في بعض التحولات الخطية، مثل الدوران حول نقطة الأصل. - 49 -00:03:28,120 --> 00:03:30,600 -البعض الآخر أصعب قليلاً في وصفه بالكلمات. +00:03:23,400 --> 00:03:27,540 +من السهل التفكير في بعض التحويلات الخطية، مثل الدوران حول نقطة الأصل. 50 -00:03:32,040 --> 00:03:35,480 -إذًا، كيف تعتقد أنه يمكنك وصف هذه التحولات عدديًا؟ +00:03:28,120 --> 00:03:30,600 +البعض الآخر أصعب قليلاً وصفه بالكلمات. 51 -00:03:35,480 --> 00:03:39,300 -إذا كنت، على سبيل المثال، تبرمج بعض الرسوم المتحركة لإنشاء مقطع +00:03:32,040 --> 00:03:35,480 +إذًا، كيف تعتقد أنه يمكنك وصف هذه التحويلات عدديًا؟ 52 -00:03:39,300 --> 00:03:43,121 -فيديو يشرح الموضوع، ما هي الصيغة التي تعطيها للكمبيوتر بحيث إذا +00:03:35,480 --> 00:03:39,205 +إذا كنت، على سبيل المثال، تبرمج بعض الرسوم المتحركة لإنشاء مقطع 53 -00:03:43,121 --> 00:03:47,240 -أعطيته إحداثيات متجه، فيمكنه أن يعطيك إحداثيات مكان وصول هذا المتجه؟ +00:03:39,205 --> 00:03:42,931 +فيديو يشرح الموضوع، ما هي الصيغة التي تعطيها للكمبيوتر بحيث إذا 54 -00:03:48,480 --> 00:03:52,864 -اتضح أنك تحتاج فقط إلى تسجيل مكان المتجهين الأساسيين، +00:03:42,931 --> 00:03:47,240 +أعطيته إحداثيات متجه، فيمكنه أن يعطيك إحداثيات المكان الجديد لهذا المتجه؟ 55 -00:03:52,864 --> 00:03:56,600 -i-hat وj-hat، وكل أرض، وكل شيء آخر سيتبع ذلك. +00:03:48,480 --> 00:03:52,314 +يتضح أنك تحتاج فقط إلى تحديد المكان الذي يسقط عليه 56 -00:03:57,500 --> 00:04:01,485 -على سبيل المثال، فكر في المتجه v بإحداثيات سالبة 1، +00:03:52,314 --> 00:03:56,600 +المتجهين الأساسيين، i-hat وj-hat، وكل شيء آخر سيتبع ذلك. 57 -00:04:01,485 --> 00:04:05,700 -2، مما يعني أنه يساوي سالب 1 في i-hat زائد 2 في j-hat. +00:03:57,500 --> 00:04:01,677 +على سبيل المثال، فكر في المتجه v بإحداثيات سالب 1، 2، 58 +00:04:01,677 --> 00:04:05,700 +مما يعني أنه يساوي سالب 1 في i-hat زائد 2 في j-hat. + +59 00:04:08,680 --> 00:04:13,319 إذا أجرينا بعض التحويلات وتتبعنا أين تذهب هذه المتجهات الثلاثة، فإن -59 +60 00:04:13,319 --> 00:04:18,300 خاصية بقاء خطوط الشبكة متوازية ومتباعدة بشكل متساوٍ لها نتيجة مهمة حقًا. -60 -00:04:19,100 --> 00:04:22,298 -المكان الذي يهبط فيه v سيكون سالبًا 1 مضروبًا في المتجه الذي هبطت - 61 -00:04:22,298 --> 00:04:25,400 -فيه i-hat بالإضافة إلى 2 مضروبًا في المتجه الذي هبطت فيه j-hat. +00:04:19,100 --> 00:04:22,274 +المكان الذي يهبط فيه v سيكون سالبً 1 مضروبًا في المتجه الذي هبطت 62 +00:04:22,274 --> 00:04:25,400 +فيه i-hat بالإضافة إلى 2 مضروبًا في المتجه الذي هبطت فيه j-hat. + +63 00:04:25,980 --> 00:04:30,208 بعبارة أخرى، بدأ الأمر كتركيبة خطية معينة من i-hat وj-hat، -63 +64 00:04:30,208 --> 00:04:34,580 -وينتهي الأمر كمجموعة خطية نفسها التي هبط فيها هذان المتجهان. +وينتهي الأمر كتركيبة خطية نفسها التي هبط فيها هذان المتجهان. -64 +65 00:04:35,620 --> 00:04:38,323 هذا يعني أنه يمكنك استنتاج المكان الذي يجب أن تذهب -65 +66 00:04:38,323 --> 00:04:40,920 إليه v استنادًا فقط إلى مكان كل من i-hat وj-hat. -66 +67 00:04:41,580 --> 00:04:44,540 ولهذا السبب أحب الاحتفاظ بنسخة من الشبكة الأصلية في الخلفية. -67 +68 00:04:45,080 --> 00:04:50,313 بالنسبة للتحويل الموضح هنا، يمكننا قراءة أن i-hat يقع على الإحداثيات -68 +69 00:04:50,313 --> 00:04:54,940 1، سالب 2، وj-hat يقع على المحور السيني عند الإحداثيات 3، 0. -69 -00:04:55,540 --> 00:05:00,796 -هذا يعني أن المتجه الذي يمثله سالب 1 i-hat زائد 2 مرات j-hat - 70 -00:05:00,796 --> 00:05:06,140 -ينتهي عند سالب 1 ضرب المتجه 1، سالب 2 زائد 2 ضرب المتجه 3، 0. +00:04:55,540 --> 00:05:00,753 +هذا يعني أن المتجه الذي يمثله سالب 1 i-hat زائد 2 ضرب j-hat 71 +00:05:00,753 --> 00:05:06,140 +ينتهي عند سالب 1 ضرب المتجه 1، سالب 2 زائد 2 ضرب المتجه 3، 0. + +72 00:05:07,100 --> 00:05:11,680 بإضافة كل ذلك معًا، يمكنك استنتاج أنه يجب أن يهبط على المتجه 5، 2. -72 +73 00:05:14,260 --> 00:05:17,240 هذه نقطة جيدة للتوقف والتأمل، لأنها مهمة جدًا. -73 +74 00:05:18,520 --> 00:05:21,829 الآن، بما أنني أعرض لكم التحويل الكامل، كان من -74 +75 00:05:21,829 --> 00:05:25,280 الممكن أن تنظروا لتروا أن v لها الإحداثيات 5، 2. -75 +76 00:05:25,760 --> 00:05:31,497 -لكن الجزء الرائع هنا هو أن هذا يمنحنا تقنية لاستنتاج مكان هبوط أي متجهات طالما +لكن الجزء الرائع هنا هو أن هذا يمنحنا طريقة لاستنتاج مكان هبوط أي متجهات طالما -76 +77 00:05:31,497 --> 00:05:37,380 أن لدينا سجلًا لمكان هبوط كل من i-hat وj-hat، دون الحاجة إلى مشاهدة التحول نفسه. -77 +78 00:05:38,600 --> 00:05:44,639 اكتب المتجه بإحداثيات أكثر عمومية، x وy، وسيستقر على x مضروبًا في المتجه حيث -78 +79 00:05:44,639 --> 00:05:50,600 -هبط i-hat، 1، سالب 2، بالإضافة إلى y مضروبًا في المتجه حيث هبط j-hat، 3، 0. +يقع i-hat، 1، سالب 2، بالإضافة إلى y مضروبًا في المتجه حيث يقع j-hat، 3، 0. -79 +80 00:05:51,860 --> 00:05:58,100 بتنفيذ هذا المجموع، ترى أنه يصل إلى 1x زائد 3y، سالب 2x زائد 0y. -80 +81 00:05:58,740 --> 00:06:03,580 سأعطيك أي متجه، ويمكنك أن تخبرني أين يقع هذا المتجه باستخدام هذه الصيغة. -81 +82 00:06:04,860 --> 00:06:10,788 ما يعنيه كل هذا هو أن التحويل الخطي ثنائي الأبعاد موصوف بالكامل بأربعة أرقام فقط، -82 +83 00:06:10,788 --> 00:06:16,500 الإحداثيان للمكان الذي يهبط فيه i-hat، والإحداثيان للمكان الذي يهبط فيه j-hat. -83 +84 00:06:17,080 --> 00:06:17,640 أليس هذا رائعا؟ -84 +85 00:06:18,380 --> 00:06:23,818 من الشائع تجميع هذه الإحداثيات في شبكة 2x2 من الأرقام تسمى مصفوفة 2x2، -85 +86 00:06:23,818 --> 00:06:29,640 حيث يمكنك تفسير الأعمدة على أنها متجهين خاصين حيث يستقر كل من i-hat وj-hat. -86 +87 00:06:30,380 --> 00:06:35,837 إذا حصلت على مصفوفة 2x2 تصف تحويلًا خطيًا وبعض المتجهات المحددة، -87 +88 00:06:35,837 --> 00:06:41,798 وتريد معرفة أين يأخذ هذا التحويل الخطي هذا المتجه، فيمكنك أخذ إحداثيات -88 +89 00:06:41,798 --> 00:06:47,340 المتجه، وضربها في الأعمدة المقابلة للمصفوفة، ثم أضف ما تحصل عليه. -89 -00:06:48,180 --> 00:06:52,720 -يتوافق هذا مع فكرة إضافة الإصدارات المقاسة من المتجهات الأساسية الجديدة لدينا. - 90 -00:06:54,720 --> 00:06:57,723 -دعونا نرى كيف يبدو هذا في الحالة الأكثر عمومية، +00:06:48,180 --> 00:06:52,720 +يتوافق هذا مع فكرة إضافة النسخة المقاسة من متجهات الوحدة الجديدة لدينا. 91 -00:06:57,723 --> 00:07:00,540 -حيث تحتوي المصفوفة على الإدخالات A، B، C، D. +00:06:54,720 --> 00:06:57,756 +دعونا نرى كيف يبدو هذا في الحالة الأكثر عمومية، 92 +00:06:57,756 --> 00:07:00,540 +حيث تحتوي المصفوفة على المدخلات A، B، C، D. + +93 00:07:01,100 --> 00:07:06,240 وتذكر أن هذه المصفوفة هي مجرد وسيلة لتجميع المعلومات اللازمة لوصف التحويل الخطي. -93 +94 00:07:06,240 --> 00:07:11,372 -تذكر دائمًا تفسير العمود الأول، AC، على أنه المكان الذي يستقر فيه متجه الأساس +تذكر دائمًا تفسير العمود الأول، AC، على أنه المكان الذي يستقر فيه متجه الوحدة -94 +95 00:07:11,372 --> 00:07:16,440 -الأول، والعمود الثاني، BD، على أنه المكان الذي يستقر فيه متجه الأساس الثاني. +الأول، والعمود الثاني، BD، على أنه المكان الذي يستقر فيه متجه الوحدة الثاني. -95 +96 00:07:17,500 --> 00:07:21,000 -عندما نطبق هذا التحويل على بعض المتجهات x، y، ماذا تحصل؟ +عندما نطبق هذا التحويل على بعض المتجهات x، y، على ماذا تحصل؟ -96 +97 00:07:22,060 --> 00:07:26,980 حسنًا، سيكون x مضروبًا في AC بالإضافة إلى y مضروبًا في BD. -97 +98 00:07:28,060 --> 00:07:33,300 -بتجميع هذا معًا، تحصل على المتجه Ax plus By، Cx plus Dy. +بتجميع هذا معًا، تحصل على المتجه Ax زائد By، Cx زائد Dy. -98 +99 00:07:33,980 --> 00:07:37,393 يمكنك أيضًا تعريف ذلك على أنه ضرب المصفوفة والمتجه -99 +100 00:07:37,393 --> 00:07:40,940 عندما تضع المصفوفة على يسار المتجه كما لو كانت دالة. -100 -00:07:41,660 --> 00:07:44,044 -ثم يمكنك أن تجعل طلاب المدارس الثانوية يحفظون هذا - 101 -00:07:44,044 --> 00:07:46,620 -دون أن تبين لهم الجزء الحاسم الذي يجعله يبدو بديهيًا. +00:07:41,660 --> 00:07:44,184 +ثم يمكنك أن تجعل طلاب المدرسة الثانوية يحفظون هذا دون أن 102 -00:07:48,300 --> 00:07:53,332 -لكن أليس من الممتع أكثر التفكير في هذه الأعمدة باعتبارها الإصدارات المحولة من المتجهات +00:07:44,184 --> 00:07:46,620 +تبين لهم الجزء المهم الذي يجعله يبدو بديهيًا و مفهوما. 103 -00:07:53,332 --> 00:07:57,960 -الأساسية، والتفكير في النتيجة باعتبارها المجموعة الخطية المناسبة لتلك المتجهات؟ +00:07:48,300 --> 00:07:53,221 +لكن أليس من الممتع أكثر التفكير في هذه الأعمدة باعتبارها النسخ المحولة من متجهات 104 +00:07:53,221 --> 00:07:57,960 +الوحدة، والتفكير في النتيجة باعتبارها المجموعة الخطية المناسبة لتلك المتجهات؟ + +105 00:08:00,720 --> 00:08:03,780 دعونا نتدرب على وصف بعض التحويلات الخطية باستخدام المصفوفات. -105 +106 00:08:04,580 --> 00:08:10,556 على سبيل المثال، إذا قمنا بتدوير كل الفضاء بمقدار 90 درجة عكس اتجاه عقارب -106 +107 00:08:10,556 --> 00:08:17,180 الساعة، فإن I-hat تهبط على الإحداثيات 0، 1، وJ-hat تهبط على الإحداثيات سالب 1، 0. -107 +108 00:08:17,980 --> 00:08:21,960 إذن المصفوفة التي وصلنا إليها تحتوي على أعمدة 0، 1، سالب 1، 0. -108 +109 00:08:22,880 --> 00:08:26,616 لمعرفة ما يحدث لأي متجه بعد دورانه بمقدار 90 درجة، -109 +110 00:08:26,616 --> 00:08:29,620 يمكنك فقط ضرب إحداثياته في هذه المصفوفة. -110 +111 00:08:31,560 --> 00:08:34,299 -إليك تحولًا ممتعًا باسم خاص، يسمى القص. +إليك تحويلًا ممتعًا باسم خاص، يسمى القص. -111 +112 00:08:35,000 --> 00:08:40,080 في ذلك، يظل I-hat ثابتًا، وبالتالي فإن العمود الأول من المصفوفة هو 1، 0، -112 +113 00:08:40,080 --> 00:08:45,300 لكن J-hat ينتقل إلى الإحداثيات 1، 1، والتي تصبح العمود الثاني من المصفوفة. -113 -00:08:45,300 --> 00:08:49,731 -وعلى الرغم من عدم المبالغة هنا، فإن معرفة كيفية تحويل - 114 -00:08:49,731 --> 00:08:54,080 -القص لمتجه معين يعني ضرب هذه المصفوفة في ذلك المتجه. +00:08:45,300 --> 00:08:49,614 +وعلى الرغم من المجازفة في إعادة التكرار، فإن معرفة كيفية 115 +00:08:49,614 --> 00:08:54,080 +تحويل القص لمتجه معين يعني ضرب هذه المصفوفة في ذلك المتجه. + +116 00:08:55,760 --> 00:09:00,214 لنفترض أننا نريد أن نسير في الاتجاه المعاكس، بدءًا بمصفوفة، -116 +117 00:09:00,214 --> 00:09:04,520 مثل الأعمدة 1 و2 و3 و1، ونريد أن نستنتج كيف يبدو تحويلها. -117 +118 00:09:04,960 --> 00:09:07,440 توقف مؤقتًا وتوقف لحظة لترى ما إذا كان بإمكانك تخيل ذلك. -118 +119 00:09:08,420 --> 00:09:14,392 إحدى الطرق للقيام بذلك هي أولاً تحريك I-hat إلى 1، 2، ثم تحريك J-hat إلى 3، 1، مع -119 +120 00:09:14,392 --> 00:09:20,220 تحريك بقية المساحة دائمًا بطريقة تجعل خطوط الشبكة متوازية ومتباعدة بشكل متساوٍ. -120 +121 00:09:21,680 --> 00:09:26,798 إذا كانت المتجهات التي تهبط عليها I-hat وJ-hat تعتمد خطيًا، وهو ما يعني، إذا -121 +122 00:09:26,798 --> 00:09:32,050 -كنت تتذكر من الفيديو الأخير، أن أحدهما عبارة عن نسخة مصغرة من الآخر، فهذا يعني +كنت تتذكر من الفيديو السابق، أن أحدهما عبارة عن نسخة مصغرة من الآخر، فهذا يعني -122 +123 00:09:32,050 --> 00:09:37,035 أن التحويل الخطي يسحق كل المساحة ثنائية الأبعاد على الخط الذي يقع فيه هذين -123 +124 00:09:37,035 --> 00:09:42,420 المتجهين، والمعروف أيضًا باسم النطاق أحادي البعد لهذين المتجهين المعتمدين خطيًا. -124 +125 00:09:44,420 --> 00:09:49,180 باختصار، التحويلات الخطية هي وسيلة للتنقل في الفضاء بحيث تظل -125 +126 00:09:49,180 --> 00:09:53,940 خطوط الشبكة متوازية ومتباعدة بشكل متساوٍ، ويظل الأصل ثابتًا. -126 -00:09:54,540 --> 00:09:57,877 -ومن الممكن وصف هذه التحولات باستخدام عدد قليل فقط من - 127 -00:09:57,877 --> 00:10:01,530 -الأرقام، وهي إحداثيات المكان الذي يهبط فيه كل متجه أساسي. +00:09:54,540 --> 00:09:58,244 +ومن الممكن وصف هذه التحولات باستخدام عدد قليل فقط من الأرقام، 128 -00:10:02,760 --> 00:10:08,749 -توفر لنا المصفوفات لغة لوصف هذه التحويلات، حيث تمثل الأعمدة تلك الإحداثيات، +00:09:58,244 --> 00:10:01,530 +وهي إحداثيات المكان الذي يهبط فيه كل من متجهات الوحدة. 129 -00:10:08,749 --> 00:10:14,660 -وضرب المصفوفة والمتجه هو مجرد وسيلة لحساب ما يفعله هذا التحويل لمتجه معين. +00:10:02,760 --> 00:10:08,671 +توفر لنا المصفوفات لغة لوصف هذه التحويلات، حيث تمثل الأعمدة تلك الإحداثيات، 130 +00:10:08,671 --> 00:10:14,660 +وضرب المصفوفة في المتجه هو مجرد وسيلة لحساب ما يفعله هذا التحويل لمتجه معين. + +131 00:10:15,360 --> 00:10:18,891 الفكرة المهمة هنا هي أنه في كل مرة ترى فيها مصفوفة، -131 +132 00:10:18,891 --> 00:10:21,880 يمكنك تفسيرها على أنها تحول معين في الفضاء. -132 +133 00:10:22,580 --> 00:10:27,320 بمجرد أن تستوعب هذه الفكرة حقًا، ستكون في وضع رائع لفهم الجبر الخطي بعمق. -133 +134 00:10:27,660 --> 00:10:32,024 تقريبًا جميع المواضيع القادمة، بدءًا من ضرب المصفوفات إلى المحددات، -134 +135 00:10:32,024 --> 00:10:36,324 وتغيير الأساس، والقيم الذاتية، كل هذه المواضيع ستصبح أسهل في الفهم -135 +136 00:10:36,324 --> 00:10:40,560 بمجرد أن تبدأ في التفكير في المصفوفات باعتبارها تحولات في الفضاء. -136 +137 00:10:41,300 --> 00:10:45,660 على الفور، في الفيديو التالي، سأتحدث عن ضرب مصفوفتين معًا. -137 +138 00:10:46,120 --> 00:10:45,660 -اراك لاحقا! +اراكم لاحقا! -138 +139 00:10:46,120 --> 00:10:46,320 شكرا لمشاهدتك! diff --git a/2016/linear-transformations/vietnamese/auto_generated.srt b/2016/linear-transformations/vietnamese/auto_generated.srt index e21889fad..2e0f3b810 100644 --- a/2016/linear-transformations/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2016/linear-transformations/vietnamese/auto_generated.srt @@ -1,6 +1,6 @@ 1 00:00:12,040 --> 00:00:12,920 -Nè mọi người! +Này mọi người! 2 00:00:13,320 --> 00:00:16,336 @@ -40,7 +40,7 @@ phép nhân vectơ ma trận không dựa vào khả năng ghi nhớ. 11 00:00:47,420 --> 00:00:49,880 -Sự biến đổi về cơ bản là một từ ưa thích để chỉ chức năng. +Sự biến đổi về cơ bản là một từ ưa thích để chỉ hàm số 12 00:00:50,260 --> 00:00:53,980 @@ -56,7 +56,7 @@ về các phép biến đổi lấy một vectơ nào đó và tạo ra một ve 15 00:01:02,500 --> 00:01:06,380 -Vậy tại sao lại sử dụng từ chuyển đổi thay vì chức năng nếu chúng có nghĩa giống nhau? +Vậy tại sao lại sử dụng từ biến đổi thay vì hàm số nếu chúng có nghĩa giống nhau? 16 00:01:07,120 --> 00:01:11,340 @@ -175,20 +175,20 @@ Và cái này ở đây, mặc dù nó giữ cho các đường thẳng, nhưng không phải là một phép biến đổi tuyến tính, bởi vì nó di chuyển gốc tọa độ. 45 -00:03:02,680 --> 00:03:06,059 -Cái này ở đây sửa điểm gốc và có vẻ như nó giữ cho các đường thẳng, +00:03:02,680 --> 00:03:06,083 +Cái này ở đây thay điểm gốc và có vẻ như nó giữ cho các đường thẳng, 46 -00:03:06,059 --> 00:03:09,240 +00:03:06,083 --> 00:03:09,240 nhưng đó chỉ là vì tôi chỉ hiển thị các đường lưới ngang và dọc. 47 -00:03:09,540 --> 00:03:11,805 -Khi bạn nhìn thấy tác dụng của nó đối với một đường chéo, +00:03:09,540 --> 00:03:11,878 +Khi bạn thấy tác dụng của nó đối với một đường chéo, 48 -00:03:11,805 --> 00:03:15,320 -bạn sẽ thấy rõ rằng nó không hề tuyến tính chút nào, vì nó biến đường đó thành đường cong. +00:03:11,878 --> 00:03:15,320 +bạn sẽ thấy rõ rằng nó không tuyến tính, vì nó biến đường đó thành đường cong. 49 00:03:16,760 --> 00:03:19,473 @@ -292,7 +292,7 @@ j-mũ có kết quả là âm 1 nhân vectơ 1, âm 2 cộng 2 nhân vectơ 3, 0 74 00:05:07,100 --> 00:05:11,579 -Cộng tất cả những điều đó lại với nhau, bạn có thể suy ra rằng nó phải chạm vào vectơ 5, +Cộng tất cả những điều đó lại với nhau, bạn có thể suy ra rằng nó phải hạ xuống vectơ 5, 75 00:05:11,579 --> 00:05:11,680 @@ -311,28 +311,28 @@ Bây giờ, vì tôi đang cho bạn thấy phép biến đổi đầy đủ, bạn có thể chỉ cần nhìn xem v có tọa độ 5, 2. 79 -00:05:25,760 --> 00:05:29,564 -Nhưng điều thú vị ở đây là điều này mang lại cho chúng ta một kỹ thuật để +00:05:25,760 --> 00:05:29,562 +Nhưng phần thú vị ở đây là điều này mang lại cho ta một kỹ thuật để suy 80 -00:05:29,564 --> 00:05:33,420 -suy ra nơi bất kỳ vectơ nào hạ xuống miễn là chúng ta có bản ghi về vị trí +00:05:29,562 --> 00:05:33,313 +ra nơi bất kỳ vectơ nào hạ xuống miễn là chúng ta có bản ghi về vị trí 81 -00:05:33,420 --> 00:05:37,380 +00:05:33,313 --> 00:05:37,380 của i-mũ và j-mũ mỗi lần hạ xuống mà không cần phải xem chính sự biến đổi đó. 82 -00:05:38,600 --> 00:05:44,314 +00:05:38,600 --> 00:05:44,353 Viết vectơ với tọa độ tổng quát hơn, x và y, và nó sẽ chạm tới x nhân 83 -00:05:44,314 --> 00:05:50,600 -vectơ nơi i-hat hạ xuống, 1, âm 2, cộng y nhân vectơ nơi j-mũ hạ xuống, 3, 0. +00:05:44,353 --> 00:05:50,600 +vectơ nơi i-mũ hạ xuống, 1, âm 2, cộng y nhân vectơ nơi j-mũ hạ xuống, 3, 0. 84 00:05:51,860 --> 00:05:58,100 -Thực hiện số tiền đó, bạn thấy rằng nó đạt tới 1x cộng 3y, âm 2x cộng 0y. +Thực hiện phép tính tổng đó, bạn thấy rằng nó đạt tới 1x cộng 3y, âm 2x cộng 0y. 85 00:05:58,740 --> 00:06:01,134 @@ -343,32 +343,32 @@ Tôi cho bạn bất kỳ vectơ nào và bạn có thể cho tôi biết vectơ đó dừng ở đâu bằng công thức này. 87 -00:06:04,860 --> 00:06:08,740 +00:06:04,860 --> 00:06:08,801 Tất cả những điều này đang nói lên rằng một phép biến đổi tuyến 88 -00:06:08,740 --> 00:06:12,195 +00:06:08,801 --> 00:06:12,312 tính hai chiều được mô tả hoàn toàn chỉ bằng bốn con số, 89 -00:06:12,195 --> 00:06:16,500 -hai tọa độ cho nơi i-hat tiếp đất và hai tọa độ cho nơi j-hat tiếp đất. +00:06:12,312 --> 00:06:16,500 +hai tọa độ cho nơi i-mũ tiếp đất và hai tọa độ cho nơi j-mũ hạ xuống 90 00:06:17,080 --> 00:06:17,640 -Điều đó không tuyệt vời sao? +Điều đó thú vị phải không? 91 -00:06:18,380 --> 00:06:21,990 -Thông thường, người ta thường gộp các tọa độ này thành một +00:06:18,380 --> 00:06:22,172 +Thông thường, người ta thường gộp các tọa độ này thành một lưới 92 -00:06:21,990 --> 00:06:25,784 -lưới số 2x2 được gọi là ma trận 2x2, trong đó bạn có thể hiểu +00:06:22,172 --> 00:06:25,787 +số 2x2 được gọi là ma trận 2x2, trong đó bạn có thể hiểu các 93 -00:06:25,784 --> 00:06:29,640 -các cột là hai vectơ đặc biệt trong đó i-hat và j-hat mỗi vùng. +00:06:25,787 --> 00:06:29,640 +cột là hai vectơ đặc biệt trong đó i-mũ và j-mũ mỗi lần hạ xuống. 94 00:06:30,380 --> 00:06:34,693 @@ -387,12 +387,12 @@ và một số vectơ cụ thể, đồng thời bạn muốn biết phép biế nhân chúng với các cột tương ứng của ma trận, sau đó cộng lại những gì bạn nhận được. 98 -00:06:48,180 --> 00:06:50,362 +00:06:48,180 --> 00:06:50,383 Điều này tương ứng với ý tưởng thêm các phiên bản 99 -00:06:50,362 --> 00:06:52,720 -được chia tỷ lệ của các vectơ cơ sở mới của chúng tôi. +00:06:50,383 --> 00:06:52,720 +được chia tỷ lệ của các vectơ cơ sở mới của chúng ta. 100 00:06:54,720 --> 00:06:58,161 @@ -447,24 +447,24 @@ Sau đó, bạn có thể bắt học sinh trung học ghi nhớ điều này m không cho họ thấy phần quan trọng khiến nó có cảm giác trực quan. 113 -00:07:48,300 --> 00:07:53,100 -Nhưng chẳng phải sẽ thú vị hơn khi coi các cột này là phiên bản được biến đổi của +00:07:48,300 --> 00:07:52,980 +Nhưng chẳng phải sẽ thú vị hơn khi coi các cột này là phiên bản được biến đổi 114 -00:07:53,100 --> 00:07:57,960 -vectơ cơ sở và coi kết quả là sự kết hợp tuyến tính thích hợp của các vectơ đó sao? +00:07:52,980 --> 00:07:57,960 +của vectơ cơ sở và coi kết quả là tổ hợp tuyến tính thích hợp của các vectơ đó sao? 115 00:08:00,720 --> 00:08:03,780 Hãy thực hành mô tả một số phép biến đổi tuyến tính với ma trận. 116 -00:08:04,580 --> 00:08:10,792 +00:08:04,580 --> 00:08:10,880 Ví dụ: nếu chúng ta xoay toàn bộ không gian 90 độ ngược chiều kim đồng 117 -00:08:10,792 --> 00:08:17,180 -hồ thì I-hat sẽ nằm trên tọa độ 0, 1 và J-hat sẽ nằm trên tọa độ âm 1, 0. +00:08:10,880 --> 00:08:17,180 +hồ thì I-mũ sẽ nằm trên tọa độ 0, 1 và J-mũ sẽ nằm trên tọa độ âm 1, 0. 118 00:08:17,980 --> 00:08:21,960 @@ -480,15 +480,15 @@ bạn chỉ cần nhân tọa độ của nó với ma trận này. 121 00:08:31,560 --> 00:08:34,299 -Đây là một sự biến đổi thú vị với một cái tên đặc biệt, được gọi là shear. +Đây là một sự biến đổi thú vị với một cái tên đặc biệt, được gọi là phép cắt. 122 -00:08:35,000 --> 00:08:39,962 -Trong đó, I-hat vẫn cố định nên cột đầu tiên của ma trận là 1, 0, +00:08:35,000 --> 00:08:39,959 +Trong đó, I-mũ vẫn cố định nên cột đầu tiên của ma trận là 1, 0, 123 -00:08:39,962 --> 00:08:45,300 -nhưng J-hat chuyển sang tọa độ 1, 1, trở thành cột thứ hai của ma trận. +00:08:39,959 --> 00:08:45,300 +nhưng J-mũ chuyển sang tọa độ 1, 1, trở thành cột thứ hai của ma trận. 124 00:08:45,300 --> 00:08:49,690 @@ -511,35 +511,35 @@ Giả sử chúng ta muốn đi ngược lại, bắt đầu bằng một ma tr Hãy tạm dừng và dành một chút thời gian để xem liệu bạn có thể tưởng tượng được nó không. 129 -00:09:08,420 --> 00:09:12,313 -Một cách để làm điều này là trước tiên di chuyển I-hat đến 1, 2, +00:09:08,420 --> 00:09:12,292 +Một cách để làm điều này là trước tiên di chuyển I-mũ đến 1, 2, 130 -00:09:12,313 --> 00:09:16,146 -sau đó di chuyển J-hat đến 3, 1, luôn di chuyển phần không gian +00:09:12,292 --> 00:09:16,105 +sau đó di chuyển J-mũ đến 3, 1, luôn di chuyển phần không gian 131 -00:09:16,146 --> 00:09:20,220 +00:09:16,105 --> 00:09:20,220 còn lại theo cách giữ cho các đường lưới song song và cách đều nhau. 132 -00:09:21,680 --> 00:09:25,618 -Nếu các vectơ mà I-hat và J-hat phụ thuộc tuyến tính, điều này, +00:09:21,680 --> 00:09:25,541 +Nếu các vectơ mà I-mũ và J-mũ phụ thuộc tuyến tính, điều này, 133 -00:09:25,618 --> 00:09:31,157 +00:09:25,541 --> 00:09:31,146 nếu bạn nhớ lại từ video trước, có nghĩa là một vectơ là phiên bản thu nhỏ của vectơ kia, 134 -00:09:31,157 --> 00:09:36,327 +00:09:31,146 --> 00:09:36,378 điều đó có nghĩa là phép biến đổi tuyến tính sẽ nén toàn bộ không gian 2D vào đường 135 -00:09:36,327 --> 00:09:41,558 -thẳng nơi hai vectơ đó nằm, còn được gọi là khoảng một chiều của hai vectơ phụ thuộc +00:09:36,378 --> 00:09:41,548 +thẳng nơi hai vectơ đó nằm, còn được gọi là span một chiều của hai vectơ phụ thuộc 136 -00:09:41,558 --> 00:09:42,420 +00:09:41,548 --> 00:09:42,420 tuyến tính đó. 137 @@ -551,12 +551,12 @@ Tóm lại, các phép biến đổi tuyến tính là một cách để di chuy sao cho các đường lưới vẫn song song và cách đều nhau, và sao cho gốc tọa độ vẫn cố định. 139 -00:09:54,540 --> 00:09:59,456 +00:09:54,540 --> 00:09:59,415 Một cách dễ hiểu, những phép biến đổi này có thể được mô tả chỉ bằng một số ít số, 140 -00:09:59,456 --> 00:10:01,530 -tọa độ nơi mỗi vectơ cơ sở hạ cánh. +00:09:59,415 --> 00:10:01,530 +tọa độ nơi mỗi vectơ cơ sở hạ xuống. 141 00:10:02,760 --> 00:10:06,657 diff --git a/2016/matrix-multiplication/vietnamese/auto_generated.srt b/2016/matrix-multiplication/vietnamese/auto_generated.srt index b9c163663..8824c37af 100644 --- a/2016/matrix-multiplication/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2016/matrix-multiplication/vietnamese/auto_generated.srt @@ -111,20 +111,20 @@ với một vectơ là ý nghĩa về mặt tính toán để áp dụng phép b Được rồi, tóm tắt lại, chuyển sang nội dung mới. 29 -00:02:01,600 --> 00:02:04,300 -Thông thường, bạn thấy mình muốn mô tả tác động của việc +00:02:01,600 --> 00:02:04,323 +Thông thường, bạn muốn chính mình mô tả hiệu ứng của việc 30 -00:02:04,300 --> 00:02:07,000 -áp dụng một phép biến đổi này rồi một phép biến đổi khác. +00:02:04,323 --> 00:02:07,000 +áp dụng một phép biến đổi này sau một phép biến đổi khác. 31 -00:02:07,620 --> 00:02:11,150 -Ví dụ: có thể bạn muốn mô tả điều gì xảy ra khi lần đầu tiên bạn xoay +00:02:07,620 --> 00:02:10,922 +Ví dụ: có thể bạn muốn mô tả điều gì xảy ra khi lần đầu tiên bạn 32 -00:02:11,150 --> 00:02:14,480 -mặt phẳng 90 độ ngược chiều kim đồng hồ, sau đó tác dụng phép cắt. +00:02:10,922 --> 00:02:14,480 +xoay mặt phẳng 90 độ ngược chiều kim đồng hồ, sau đó áp dụng phép cắt. 33 00:02:15,260 --> 00:02:19,973 @@ -135,35 +135,35 @@ Hiệu ứng tổng thể ở đây, từ đầu đến cuối, là một phép khác với phép quay và phép cắt. 35 -00:02:22,280 --> 00:02:25,200 +00:02:22,280 --> 00:02:25,225 Phép biến đổi tuyến tính mới này thường được gọi là sự kết 36 -00:02:25,200 --> 00:02:28,220 -hợp của hai phép biến đổi riêng biệt mà chúng tôi đã áp dụng. +00:02:25,225 --> 00:02:28,220 +hợp của hai phép biến đổi riêng biệt mà chúng ta đã áp dụng. 37 -00:02:28,920 --> 00:02:31,447 +00:02:28,920 --> 00:02:31,507 Và giống như bất kỳ phép biến đổi tuyến tính nào, 38 -00:02:31,447 --> 00:02:35,440 -nó có thể được mô tả bằng một ma trận riêng bằng cách tuân theo i-hat và j-hat. +00:02:31,507 --> 00:02:35,440 +nó có thể được mô tả bằng một ma trận riêng bằng cách tuân theo i-mũ và j-mũ 39 -00:02:36,020 --> 00:02:40,892 -Trong ví dụ này, điểm đích cuối cùng của i-hat sau cả hai phép biến đổi là 1,1, +00:02:36,020 --> 00:02:40,867 +Trong ví dụ này, điểm đích cuối cùng của i-mũ sau cả hai phép biến đổi là 1,1, 40 -00:02:40,892 --> 00:02:44,120 +00:02:40,867 --> 00:02:44,120 vì vậy hãy đặt cột đó thành cột đầu tiên của ma trận. 41 -00:02:44,960 --> 00:02:48,560 -Tương tự như vậy, j-hat cuối cùng kết thúc ở vị trí âm 1,0, +00:02:44,960 --> 00:02:48,531 +Tương tự như vậy, j-mũ cuối cùng kết thúc ở vị trí âm 1,0, 42 -00:02:48,560 --> 00:02:51,860 +00:02:48,531 --> 00:02:51,860 vì vậy chúng ta đặt cột đó làm cột thứ hai của ma trận. 43 @@ -179,16 +179,16 @@ chuyển động cắt, nhưng dưới dạng một hành động đơn lẻ, th Đây là một cách để suy nghĩ về ma trận mới đó. 46 -00:03:05,420 --> 00:03:09,307 -Nếu bạn lấy một vectơ nào đó và bơm nó qua phép quay, thì lực cắt, +00:03:05,420 --> 00:03:09,535 +Nếu bạn lấy một vectơ nào đó và bơm nó qua phép quay, sau đó là phép cắt, 47 -00:03:09,307 --> 00:03:14,065 -chặng đường dài để tính toán nơi nó kết thúc là trước tiên nhân nó ở bên trái với +00:03:09,535 --> 00:03:14,263 +chặng đường dài để tính toán nơi nó kết thúc là trước tiên nhân nó ở bên trái với ma 48 -00:03:14,065 --> 00:03:14,820 -ma trận xoay. +00:03:14,263 --> 00:03:14,820 +trận xoay. 49 00:03:15,320 --> 00:03:19,800 @@ -304,14 +304,14 @@ hoạt ảnh mà thay vào đó chỉ sử dụng các mục số trong mỗi ma 77 00:05:04,740 --> 00:05:07,140 -Đầu tiên, chúng ta cần tìm hiểu xem i-hat đi đâu. +Đầu tiên, chúng ta cần tìm hiểu xem i-mũ đi đâu. 78 -00:05:08,040 --> 00:05:12,418 -Sau khi áp dụng m1, tọa độ mới của i-hat, theo định nghĩa, +00:05:08,040 --> 00:05:12,384 +Sau khi áp dụng m1, tọa độ mới của i-mũ, theo định nghĩa, 79 -00:05:12,418 --> 00:05:15,980 +00:05:12,384 --> 00:05:15,980 được cho bởi cột đầu tiên của m1, cụ thể là 1,1. 80 @@ -327,11 +327,11 @@ Giải quyết theo cách tôi mô tả ở video trước, bạn sẽ có đư Đây sẽ là cột đầu tiên của ma trận thành phần. 83 -00:05:34,520 --> 00:05:37,500 -Tương tự như vậy, theo sau j-hat, cột thứ hai của +00:05:34,520 --> 00:05:37,469 +Tương tự như vậy, theo sau j-mũ, cột thứ hai của 84 -00:05:37,500 --> 00:05:40,540 +00:05:37,469 --> 00:05:40,540 m1 cho chúng ta biết rằng đầu tiên nó nằm ở âm 2,0. 85 @@ -367,20 +367,20 @@ nhưng nó sẽ khá hài lòng đối với những ai trước đây đã đư cách học thuộc lòng hơn. 93 -00:06:14,460 --> 00:06:17,808 -Để theo dõi vị trí của i-hat, hãy bắt đầu bằng cách nhìn vào cột đầu +00:06:14,460 --> 00:06:17,809 +Để theo dõi vị trí của i-mũ, hãy bắt đầu bằng cách nhìn vào cột đầu 94 -00:06:17,808 --> 00:06:21,060 -tiên của ma trận ở bên phải, vì đây là nơi ban đầu i-hat xuất hiện. +00:06:17,809 --> 00:06:21,060 +tiên của ma trận ở bên phải, vì đây là nơi ban đầu i-mũ xuất hiện. 95 -00:06:22,000 --> 00:06:25,943 +00:06:22,000 --> 00:06:25,972 Nhân cột đó với ma trận bên trái là cách bạn có thể biết phiên bản 96 -00:06:25,943 --> 00:06:30,300 -trung gian của i-hat kết thúc ở đâu sau khi áp dụng phép biến đổi thứ hai. +00:06:25,972 --> 00:06:30,300 +trung gian của i-mũ kết thúc ở đâu sau khi áp dụng phép biến đổi thứ hai. 97 00:06:31,620 --> 00:06:34,776 @@ -392,7 +392,7 @@ ma trận bên trái nhân với cột đầu tiên của ma trận bên phải. 99 00:06:42,160 --> 00:06:47,140 -Tương tự như vậy, j-hat ban đầu sẽ luôn nằm ở cột thứ hai của ma trận bên phải. +Tương tự như vậy, j-mũ ban đầu sẽ luôn nằm ở cột thứ hai của ma trận bên phải. 100 00:06:48,940 --> 00:06:52,887 @@ -443,158 +443,154 @@ Việc chúng ta đặt hai ma trận theo thứ tự nào khi nhân chúng có Nào, hãy cùng xem xét một ví dụ đơn giản, giống như ví dụ trước đó. 112 -00:07:37,640 --> 00:07:40,372 -Hãy dùng một chiếc kéo để cố định chiếc mũ i và +00:07:37,640 --> 00:07:42,820 +Dùng một phép cắt, cố định i-mũ và đẩy j-mũ sang bên phải và xoay 90 độ. 113 -00:07:40,372 --> 00:07:42,820 -đẩy chiếc mũ j sang bên phải và xoay 90 độ. +00:07:43,600 --> 00:07:46,506 +Nếu trước tiên bạn thực hiện cắt, sau đó xoay, 114 -00:07:43,600 --> 00:07:46,458 -Nếu trước tiên bạn thực hiện cắt, sau đó xoay, +00:07:46,506 --> 00:07:50,960 +chúng ta có thể thấy rằng i-mũ có giá trị 0,1 và j-mũ có giá trị âm 1,1. 115 -00:07:46,458 --> 00:07:50,960 -chúng ta có thể thấy rằng i-hat có giá trị 0,1 và j-hat có giá trị âm 1,1. - -116 00:07:51,320 --> 00:07:53,060 Cả hai thường chỉ gần nhau. +116 +00:07:53,860 --> 00:07:57,845 +Nếu bạn xoay lần đầu tiên, sau đó thực hiện phép cắt, + 117 -00:07:53,860 --> 00:07:57,546 -Nếu bạn xoay lần đầu tiên, sau đó thực hiện cắt, +00:07:57,845 --> 00:08:03,601 +i-mũ sẽ kết thúc ở mức 1,1 và j-mũ lệch theo một hướng khác ở âm 1,0 và chúng 118 -00:07:57,546 --> 00:08:03,112 -i-hat sẽ kết thúc ở mức 1,1 và j-hat lệch theo một hướng khác ở âm 1,0 và +00:08:03,601 --> 00:08:05,520 +đang hướng ra xa nhau hơn. 119 -00:08:03,112 --> 00:08:05,520 -chúng đang hướng ra xa nhau hơn. - -120 00:08:06,380 --> 00:08:10,660 Hiệu ứng tổng thể ở đây rõ ràng là khác nhau, vì vậy rõ ràng trật tự hoàn toàn có vấn đề. -121 +120 00:08:12,200 --> 00:08:14,888 Hãy chú ý bằng cách suy nghĩ về các phép biến đổi, -122 +121 00:08:14,888 --> 00:08:17,840 đó là điều bạn có thể làm trong đầu bằng cách hình dung. -123 +122 00:08:18,220 --> 00:08:19,900 Không cần nhân ma trận. -124 +123 00:08:21,480 --> 00:08:24,237 Tôi nhớ khi lần đầu tiên học đại số tuyến tính, -125 +124 00:08:24,237 --> 00:08:29,120 có một bài tập về nhà yêu cầu chúng tôi chứng minh rằng phép nhân ma trận là kết hợp. -126 +125 00:08:29,560 --> 00:08:34,453 Điều này có nghĩa là nếu bạn có ba ma trận A, B và C và bạn nhân tất cả chúng lại -127 +126 00:08:34,453 --> 00:08:38,272 với nhau thì sẽ không thành vấn đề nếu bạn tính A nhân B trước, -128 +127 00:08:38,272 --> 00:08:41,972 sau đó nhân kết quả với C hoặc nếu bạn nhân B lần đầu tiên C, -129 +128 00:08:41,972 --> 00:08:44,360 sau đó nhân kết quả đó với A ở bên trái. -130 +129 00:08:44,940 --> 00:08:47,400 Nói cách khác, việc bạn đặt dấu ngoặc đơn ở đâu không quan trọng. -131 +130 00:08:48,380 --> 00:08:52,385 Bây giờ, nếu bạn cố gắng giải quyết vấn đề này bằng con số, giống như tôi đã làm hồi đó, -132 +131 00:08:52,385 --> 00:08:55,760 thì điều đó thật kinh khủng, thật kinh khủng và khó hiểu đối với vấn đề đó. -133 +132 00:08:55,760 --> 00:08:59,345 Nhưng khi bạn nghĩ về phép nhân ma trận như việc áp dụng hết phép biến -134 +133 00:08:59,345 --> 00:09:02,780 đổi này đến phép biến đổi khác, thì tính chất này chỉ là tầm thường. -135 +134 00:09:03,300 --> 00:09:04,000 Bạn có thể thấy tại sao không? -136 +135 00:09:04,860 --> 00:09:08,657 Điều đó có nghĩa là nếu bạn áp dụng C trước rồi B, -137 +136 00:09:08,657 --> 00:09:12,380 rồi A, thì cũng giống như áp dụng C, rồi B, rồi A. -138 +137 00:09:12,820 --> 00:09:15,787 Ý tôi là, không có gì phải chứng minh cả, bạn chỉ đang áp dụng -139 +138 00:09:15,787 --> 00:09:18,660 lần lượt ba điều giống nhau, tất cả đều theo cùng một thứ tự. -140 +139 00:09:19,460 --> 00:09:21,540 Điều này có vẻ giống như gian lận, nhưng không phải vậy. -141 +140 00:09:21,540 --> 00:09:25,900 Đây là một bằng chứng trung thực cho thấy phép nhân ma trận có tính chất kết hợp. -142 +141 00:09:25,900 --> 00:09:28,389 Và thậm chí còn tốt hơn thế, đó là lời giải thích -143 +142 00:09:28,389 --> 00:09:30,680 hợp lý cho việc tại sao tính chất đó lại đúng. -144 +143 00:09:31,560 --> 00:09:34,811 Tôi thực sự khuyến khích bạn thử nghiệm nhiều hơn với ý tưởng này, -145 +144 00:09:34,811 --> 00:09:38,257 tưởng tượng hai phép biến đổi khác nhau, suy nghĩ về điều gì sẽ xảy ra -146 +145 00:09:38,257 --> 00:09:42,140 khi bạn áp dụng lần lượt từng biến đổi và sau đó tính toán tích ma trận bằng số. -147 +146 00:09:42,600 --> 00:09:46,440 Tin tôi đi, đây chính là thời gian vui chơi thực sự khiến ý tưởng thấm sâu vào trong bạn. -148 +147 00:09:47,200 --> 00:09:49,310 Trong video tiếp theo, tôi sẽ bắt đầu nói về việc mở -149 +148 00:09:49,310 --> 00:09:51,420 rộng những ý tưởng này ra ngoài không gian hai chiều. -150 +149 00:09:52,020 --> 00:09:52,180 Gặp bạn sau! diff --git a/2016/vectors/arabic/auto_generated.srt b/2016/vectors/arabic/auto_generated.srt index dfcc40a06..6dadf3cd4 100644 --- a/2016/vectors/arabic/auto_generated.srt +++ b/2016/vectors/arabic/auto_generated.srt @@ -231,275 +231,279 @@ المحور y، والثالث يخبرك إلى أي مدى يجب التحرك بالتوازي مع هذا المحور z الجديد. 59 -00:04:28,400 --> 00:04:35,560 -كل ثلاثة أرقام تعطيك متجهًا فريدًا في الفضاء، وكل متجه في الفضاء يعطيك ثلاثة أرقام بالضبط. +00:04:28,400 --> 00:04:32,138 +كل مجموعة ثلاثية من الأرقام تعطيك متجهًا فريدًا في الفضاء، 60 +00:04:32,138 --> 00:04:35,560 +وكل متجه في الفضاء يعطيك مجموعة من ثلاثة أرقام بالضبط. + +61 00:04:36,900 --> 00:04:40,100 حسنًا، لنعد إلى جمع المتجهات وضربها في الأعداد. -61 +62 00:04:40,460 --> 00:04:44,780 -بعد كل شيء، كل موضوع في الجبر الخطي سوف يتمحور حول هاتين العمليتين. +لأن كل موضوع في الجبر الخطي سوف يتمحور حول هاتين العمليتين. -62 +63 00:04:45,440 --> 00:04:47,640 لحسن الحظ، من السهل جدًا تعريف كل واحدة منها. -63 +64 00:04:48,480 --> 00:04:50,903 لنفترض أن لدينا متجهين، أحدهما يشير إلى الأعلى وإلى -64 +65 00:04:50,903 --> 00:04:53,560 اليمين قليلاً، والآخر يشير إلى اليمين وإلى الأسفل قليلاً. -65 +66 00:04:53,960 --> 00:04:59,680 لإضافة هذين المتجهين، حرك المتجه الثاني بحيث يكون ذيله عند طرف المتجه الأول. -66 +67 00:05:00,300 --> 00:05:04,592 ومن ثم، إذا رسمت متجهًا جديدًا من ذيل المتجه الأول إلى حيث -67 +68 00:05:04,592 --> 00:05:08,740 يقع رأس المتجه الثاني، فإن هذا المتجه الجديد هو مجموعهما. -68 +69 00:05:12,080 --> 00:05:15,591 وبالمناسبة، فإن تعريف الجمع هذا هو المرة الوحيدة في الجبر -69 +70 00:05:15,591 --> 00:05:18,860 الخطي التي نسمح فيها للمتجهات بالابتعاد عن نقطة الأصل. -70 +71 00:05:19,720 --> 00:05:21,480 والآن، لماذا يعد هذا أمرًا معقولًا؟ -71 +72 00:05:21,740 --> 00:05:24,020 لماذا هذا التعريف للجمع وليس تعريف آخر؟ -72 +73 00:05:25,520 --> 00:05:29,200 حسنًا، الطريقة التي أحب أن أفكر بها هي أن كل متجه يمثل -73 +74 00:05:29,200 --> 00:05:32,680 حركة معينة، خطوة بمسافة معينة واتجاه معين في الفضاء. -74 +75 00:05:33,980 --> 00:05:37,467 إذا اتخذت خطوة على طول المتجه الأول، ثم اتخذت خطوة في الاتجاه -75 +76 00:05:37,467 --> 00:05:41,011 والمسافة الموصوفتين بواسطة المتجه الثاني، فإن التأثير الإجمالي -76 +77 00:05:41,011 --> 00:05:44,780 هو نفسه تمامًا كما لو تحركت على طول مجموع هذين المتجهين في البداية. -77 +78 00:05:45,260 --> 00:05:49,460 يمكنك التفكير في هذا باعتباره امتدادًا لطريقة تفكيرنا في جمع الأعداد على خط الأعداد. -78 +79 00:05:50,180 --> 00:05:53,989 إحدى الطرق التي نعلم بها الأطفال أن يفكروا في هذا الأمر، مثل 2 زائد 5، -79 +80 00:05:53,989 --> 00:05:57,960 هي التفكير في التحرك خطوتين إلى اليمين متبوعين بخمس خطوات أخرى إلى اليمين. -80 +81 00:05:57,960 --> 00:06:01,720 التأثير الإجمالي هو نفسه كما لو اتخذت سبع خطوات إلى اليمين. -81 +82 00:06:02,660 --> 00:06:05,480 في الواقع، دعونا نرى كيف تبدو إضافة المتجهات عدديًا. -82 +83 00:06:06,020 --> 00:06:12,460 المتجه الأول هنا له إحداثيات 1، 2، والمتجه الثاني له إحداثيات 3، سالب 1. -83 +84 00:06:14,360 --> 00:06:17,779 عندما تأخذ مجموع المتجه باستخدام طريقة الرأس إلى الذيل، يمكنك -84 +85 00:06:17,779 --> 00:06:21,420 التفكير في مسار من أربع خطوات من نقطة الأصل إلى طرف المتجه الثاني. -85 +86 00:06:21,840 --> 00:06:25,620 امشي 1 إلى اليمين، ثم 2 لأعلى، ثم 3 إلى اليمين، ثم 1 لأسفل. -86 +87 00:06:26,920 --> 00:06:32,777 أعد تنظيم هذه الخطوات بحيث تقوم أولاً بكل الحركة نحو اليمين، ثم تقوم بكل الحركة العمودية، -87 +88 00:06:32,777 --> 00:06:38,180 يمكنك قراءتها على أنها تقول أولاً تحرك 1 زائد 3 إلى اليمين، ثم تحرك 2 ناقص 1 لأعلى. -88 +89 00:06:40,080 --> 00:06:44,920 إذن فإن المتجه الجديد له إحداثيات 1 زائد 3 و 2 زائد سالب 1. -89 +90 00:06:45,600 --> 00:06:49,264 بشكل عام، تبدو إضافة المتجهات في مفهوم قائمة الأرقام هذه وكأنها -90 +91 00:06:49,264 --> 00:06:52,700 مطابقة الحدود التي تقع على المحور المماثل وجمع كل منها معًا. -91 +92 00:06:54,640 --> 00:06:58,360 -العملية الأساسية الأخرى للمتجه هي الضرب برقم. +العملية الأساسية الأخرى على المتجهات هي الضرب برقم. -92 +93 00:06:58,860 --> 00:07:01,380 الآن من الأفضل فهم ذلك بمجرد النظر إلى بعض الأمثلة. -93 +94 00:07:01,840 --> 00:07:05,695 إذا أخذت الرقم 2 وضربته في متجه معين، فهذا يعني أنك قمت -94 +95 00:07:05,695 --> 00:07:09,620 بتمديد هذا المتجه بحيث يصبح طوله ضعف المتجه الذي بدأت بة. -95 +96 00:07:10,500 --> 00:07:13,680 إذا قمت بضرب هذا المتجه في الثلث، على سبيل المثال، -96 +97 00:07:13,680 --> 00:07:16,860 فهذا يعني أنك تضغط عليه بحيث يصبح ثلث الطول الأصلي. -97 +98 00:07:17,640 --> 00:07:22,295 عندما تضربه في رقم سالب، مثل سالب 1.8، فإن المتجه -98 +99 00:07:22,295 --> 00:07:26,300 ينقلب أولًا، ثم يتم تمديده بهذا العامل 1.8. -99 +100 00:07:27,360 --> 00:07:33,988 تُسمى عملية تمديد أو تقليص أو أحيانًا عكس اتجاه المتجه بتغير القياس، وعندما -100 +101 00:07:33,988 --> 00:07:41,140 تلاحظ رقمًا مثل اثنين أو ثلث أو سالب 1.8 وهو يغير مقياس متجه ما، فإنك تسميه عددًا. -101 +102 00:07:41,940 --> 00:07:46,502 في الواقع، في جميع أنحاء الجبر الخطي، أحد الأشياء الرئيسية التي تفعلها الأرقام -102 +103 00:07:46,502 --> 00:07:51,180 هو قياس المتجهات، لذلك من الشائع استخدام كلمة قيمة عددية بشكل متبادل مع كلمة رقم. -103 +104 00:07:52,020 --> 00:07:55,534 من الناحية العددية، فإن تمديد المتجه بعامل، على سبيل -104 +105 00:07:55,534 --> 00:07:59,580 المثال، 2، يتوافق مع ضرب كل مكون من مكوناته في هذا العامل، 2. -105 +106 00:08:00,300 --> 00:08:04,356 لذا، في مفهوم المتجهات كقوائم من الأعداد، فإن ضرب متجه معين -106 +107 00:08:04,356 --> 00:08:08,480 في كمية قياسية يعني ضرب كل مكون من تلك القائمة في تلك الكمية. -107 +108 00:08:10,220 --> 00:08:14,499 سترون في مقاطع الفيديو التالية ما أعنيه عندما أقول إن موضوعات الجبر -108 +109 00:08:14,499 --> 00:08:19,220 الخطي تتمحور حول هاتين العمليتين الأساسيتين، جمع المتجهات والضرب في الكمية. -109 +110 00:08:19,980 --> 00:08:24,610 وسأتحدث أكثر في الفيديو الأخير عن كيف ولماذا يفكر عالم الرياضيات فقط في هذه -110 +111 00:08:24,610 --> 00:08:29,120 العمليات، بشكل مستقل ومجرد بعيدًا عن الطريقة التي تختارها لتمثيل المتجهات. -111 +112 00:08:29,800 --> 00:08:33,758 في الحقيقة، لا يهم ما إذا كنت تعتقد أن المتجهات هي في الأساس -112 +113 00:08:33,758 --> 00:08:37,652 أسهم في الفضاء، كما أقترح عليك أن تفعل ذلك، ولها تمثيل عددي -113 +114 00:08:37,652 --> 00:08:42,000 جميل، أو في الأساس كقوائم من الأرقام التي لها شكل هندسي جميل تفسير. -114 +115 00:08:42,520 --> 00:08:45,986 إن فائدة الجبر الخطي لا تتعلق بأي من هاتين النظرتين -115 +116 00:08:45,986 --> 00:08:49,720 بقدر ما تتعلق بالقدرة على الترجمة ذهابًا وإيابًا بينهما. -116 +117 00:08:50,140 --> 00:08:55,270 فهو يمنح محلل البيانات طريقة رائعة لتصور العديد من قوائم الأرقام بطريقة مرئية، والتي -117 +118 00:08:55,270 --> 00:09:00,280 يمكن أن توضح بشكل كبير الأنماط في البيانات وتعطي نظرة شاملة لما تفعله عمليات معينة. -118 +119 00:09:00,820 --> 00:09:06,389 وعلى الجانب الآخر، فهو يمنح الأشخاص مثل الفيزيائيين ومبرمجي رسومات الكمبيوتر -119 +120 00:09:06,389 --> 00:09:11,380 لغة لوصف الفضاء والتحكم به عن طريق ارقام يتم إدخالها في الكمبيوتر. -120 +121 00:09:12,300 --> 00:09:17,349 عندما أقوم برسوم متحركة رياضية، على سبيل المثال، أبدأ بالتفكير في ما يحدث بالفعل في -121 +122 00:09:17,349 --> 00:09:22,639 الفضاء، ثم أجعل الكمبيوتر يمثل الأشياء رقميًا، وبالتالي معرفة مكان وضع وحدات البكسل على -122 +123 00:09:22,639 --> 00:09:23,060 الشاشة. -123 +124 00:09:23,480 --> 00:09:26,580 والقيام بذلك يعتمد عادة على الكثير من فهم الجبر الخطي. -124 -00:09:27,840 --> 00:09:31,482 -إذن هذه هي أساسيات المتجهات الخاصة بك، وفي الفيديو التالي سأبدأ بالتعرف على - 125 -00:09:31,482 --> 00:09:35,220 -بعض المفاهيم الرائعة المحيطة بالمتجهات، مثل الامتداد والقواعد والاعتماد الخطي. +00:09:27,840 --> 00:09:31,427 +إذن هذه هي أساسيات المتجهات، وفي الفيديو التالي سأبدأ بالتعرف على بعض 126 +00:09:31,427 --> 00:09:35,220 +المفاهيم الرائعة المحيطة بالمتجهات، مثل الامتداد والقواعد والاعتماد الخطي. + +127 00:09:35,720 --> 00:09:51,820 -اراك لاحقا! +اراكم لاحقا! diff --git a/2016/vectors/indonesian/auto_generated.srt b/2016/vectors/indonesian/auto_generated.srt index b4190447b..9437cf5e7 100644 --- a/2016/vectors/indonesian/auto_generated.srt +++ b/2016/vectors/indonesian/auto_generated.srt @@ -1,648 +1,568 @@ 1 00:00:10,920 --> 00:00:15,220 -Bahan penyusun aljabar linier yang mendasar dan mendasar adalah vektor. +Hal dasar, akar dari pondasi aljabar linier ialah vektor. 2 -00:00:15,720 --> 00:00:17,896 -Jadi, ada baiknya memastikan bahwa kita semua mempunyai +00:00:15,720 --> 00:00:19,840 +jadi penting bagi kita untuk memiliki satu pandangan mengenai apa sih vektor itu. 3 -00:00:17,896 --> 00:00:19,840 -pemahaman yang sama tentang apa sebenarnya vektor. +00:00:20,380 --> 00:00:23,955 +Secara umum, terdapat tiga ide berbeda namun berkaitan tentang vektor, 4 -00:00:20,380 --> 00:00:24,532 -Anda tahu, secara garis besar, ada tiga gagasan berbeda namun berkaitan tentang vektor, +00:00:23,955 --> 00:00:26,826 +yang akan gue sebut sebagai perspektif mahasiswa fisika, 5 -00:00:24,532 --> 00:00:27,033 -yang saya sebut sebagai perspektif mahasiswa fisika, +00:00:26,826 --> 00:00:30,100 +perspektif mahasiswa ilmu komputer, dan perspektif matematikawan. 6 -00:00:27,033 --> 00:00:30,100 -perspektif mahasiswa ilmu komputer, dan perspektif matematikawan. +00:00:30,880 --> 00:00:34,400 +Dari perspektif mahasiswa fisika, vektor adalah panah pada sebuah ruang. 7 -00:00:30,880 --> 00:00:32,806 -Perspektif mahasiswa fisika menyatakan bahwa vektor +00:00:34,940 --> 00:00:38,396 +Sebuah vektor ditentukan dari panjangnya, dan kemana arah panah tersebut. 8 -00:00:32,806 --> 00:00:34,400 -adalah anak panah yang menunjuk pada ruang. +00:00:38,396 --> 00:00:42,366 +Selama dua hal tersebut tetaplah sama, lu bisa geser itu kesana kemari dan itu tetap 9 -00:00:34,940 --> 00:00:38,227 -Yang mendefinisikan suatu vektor adalah panjangnya dan arah yang ditunjuknya, +00:00:42,366 --> 00:00:43,160 +vektor yang sama. 10 -00:00:38,227 --> 00:00:41,600 -namun selama kedua fakta tersebut sama, Anda dapat memindahkannya ke mana-mana, +00:00:44,040 --> 00:00:48,102 +Vektor pada bidang datar itu dua dimensi, dan yang berada pada ruang yang lebih luas, 11 -00:00:41,600 --> 00:00:43,160 -dan vektor tersebut masih tetap sama. +00:00:48,102 --> 00:00:50,040 +tempat kita tinggal, adalah tiga dimensi. 12 -00:00:44,040 --> 00:00:46,367 -Vektor yang berada pada bidang datar adalah vektor dua dimensi, +00:00:51,720 --> 00:00:55,640 +Dari perspektif ilmu komputer, vektor adalah daftar angka yang terurut. 13 -00:00:46,367 --> 00:00:49,312 -dan vektor yang berada pada ruang lebih luas tempat Anda dan saya tinggal adalah +00:00:55,640 --> 00:00:59,132 +Misal, ceritanya elu lagi analisis harga rumah nih, 14 -00:00:49,312 --> 00:00:50,040 -vektor tiga dimensi. +00:00:59,132 --> 00:01:02,760 +dan hal-hal yang lu pedulikan hanyalah luas dan harga. 15 -00:00:51,720 --> 00:00:55,640 -Perspektif ilmu komputer adalah bahwa vektor adalah daftar angka yang diurutkan. +00:01:03,020 --> 00:01:05,671 +Lu bisa modelin setiap rumah dengan sepasang angka, 16 -00:00:55,640 --> 00:00:58,675 -Misalnya, Anda melakukan analisis tentang harga rumah, +00:01:05,671 --> 00:01:08,680 +yang pertama nunjukkin luas dan yang kedua nunjukkin harga. 17 -00:00:58,675 --> 00:01:02,760 -dan satu-satunya fitur yang Anda pedulikan hanyalah ukuran luas dan harga. +00:01:09,320 --> 00:01:11,040 +Perhatikan bahwa urutan itu penting di sini. 18 -00:01:03,020 --> 00:01:05,635 -Anda dapat membuat model setiap rumah dengan sepasang angka, +00:01:12,400 --> 00:01:15,645 +Sebutannya, elu modelin rumah sebagai vektor dua dimensi, 19 -00:01:05,635 --> 00:01:08,680 -yang pertama menunjukkan luas persegi dan yang kedua menunjukkan harga. +00:01:15,645 --> 00:01:19,954 +dimana pada konteks ini, vektor sebenarnya hanya istilah keren untuk daftar, 20 -00:01:09,320 --> 00:01:11,040 -Perhatikan bahwa urutan itu penting di sini. +00:01:19,954 --> 00:01:24,040 +dan yang membuatnya dua dimensi adalah fakta kalau panjang daftarnya dua. 21 -00:01:12,400 --> 00:01:16,094 -Dalam istilahnya, Anda akan memodelkan rumah sebagai vektor dua dimensi, +00:01:25,640 --> 00:01:29,611 +Di sisi lain, matematikawan berusaha memperumum kedua pandangan ini, 22 -00:01:16,094 --> 00:01:19,788 -di mana dalam konteks ini, vektor hanyalah kata yang bagus untuk daftar, +00:01:29,611 --> 00:01:33,870 +intinya vektor bisa jadi apapun selama ada cara buat jumlahin dua vektor, 23 -00:01:19,788 --> 00:01:24,040 -dan yang menjadikannya dua dimensi adalah fakta bahwa panjang daftar itu adalah dua. +00:01:33,870 --> 00:01:38,820 +dan mengalikan vektor dengan bilangan, operasi yang akan gue bahas nanti di video ini. 24 -00:01:25,640 --> 00:01:29,166 -Di sisi lain, ahli matematika berusaha menggeneralisasikan kedua pandangan ini, +00:01:39,580 --> 00:01:43,675 +Rincian pandangan ini agak abstrak, dan gua rasa lebih baik kesampingkan 25 -00:01:29,166 --> 00:01:32,516 -pada dasarnya mengatakan bahwa vektor bisa berupa apa saja jika ada gagasan +00:01:43,675 --> 00:01:47,940 +dulu sampai video terakhir dari seri ini, mendingan contoh konkret dulu deh. 26 -00:01:32,516 --> 00:01:36,131 -yang masuk akal untuk menjumlahkan dua vektor dan mengalikan vektor dengan angka, +00:01:48,400 --> 00:01:52,667 +Nah, alasan gue singgung itu disini karena itu menyiratkan ide penjumlahan 27 -00:01:36,131 --> 00:01:38,820 -operasi yang akan saya bahas nanti di artikel ini. video ini. +00:01:52,667 --> 00:01:57,220 +vektor dan perkalian dengan bilangan akan berperan penting dalam aljabar linier. 28 -00:01:39,580 --> 00:01:43,783 -Detail dari pandangan ini agak abstrak, dan menurut saya lebih baik mengabaikannya hingga +00:01:58,000 --> 00:02:00,814 +Sebelum gw ngomongin operasi tersebut, gw ingin 29 -00:01:43,783 --> 00:01:47,940 -video terakhir dari seri ini, dan lebih memilih latar yang lebih konkrit untuk sementara. +00:02:00,814 --> 00:02:04,040 +pikiran kita sefrekuensi saat gue bilang kata "vektor". 30 -00:01:48,400 --> 00:01:51,250 -Namun alasan saya mengemukakannya di sini adalah karena hal ini +00:02:04,740 --> 00:02:09,289 +Karena gue akan pake pendekatan geometris, tiap kali gw kenalin topik baru yang 31 -00:01:51,250 --> 00:01:54,280 -mengisyaratkan fakta bahwa gagasan penjumlahan vektor dan perkalian +00:02:09,289 --> 00:02:13,213 +melibatkan vektor, gue mau lu bayangin sebuah panah —lebih tepatnya, 32 -00:01:54,280 --> 00:01:57,220 -dengan bilangan akan memainkan peran penting dalam aljabar linier. +00:02:13,213 --> 00:02:16,795 +bayangin sebuah panah dalam sistem koordinat, kayak bidang-XY, 33 -00:01:58,000 --> 00:02:00,963 -Namun sebelum saya membahas operasi tersebut, mari kita bahas terlebih dahulu +00:02:16,795 --> 00:02:18,900 +yang pangkalnya berada di titik asal. 34 -00:02:00,963 --> 00:02:04,040 -pemikiran spesifik yang ada dalam benak saya ketika saya mengucapkan kata vektor. +00:02:19,680 --> 00:02:22,252 +Ini sedikit berbeda dari perspektif mahasiswa fisika, 35 -00:02:04,740 --> 00:02:07,147 -Mengingat fokus geometris yang saya bidik di sini, +00:02:22,252 --> 00:02:24,920 +dimana vektor bisa leluasa berada dimanapun dalam ruang. 36 -00:02:07,147 --> 00:02:10,309 -setiap kali saya memperkenalkan topik baru yang melibatkan vektor, +00:02:25,420 --> 00:02:30,320 +Dalam aljabar linier, hampir selalu vektor lu akan berpangkal pada titik asal. 37 -00:02:10,309 --> 00:02:13,944 -saya ingin Anda terlebih dahulu memikirkan tentang panah, dan secara khusus, +00:02:30,940 --> 00:02:34,701 +Lalu, setelah lu paham konsep baru dalam konteks panah dalam ruang, 38 -00:02:13,944 --> 00:02:17,200 -pikirkan tentang panah di dalam sistem koordinat, seperti bidang xy, +00:02:34,701 --> 00:02:37,411 +kita akan ganti sudut pandang jadi daftar angka, 39 -00:02:17,200 --> 00:02:18,900 -dengan ekornya berada di titik asal. +00:02:37,411 --> 00:02:40,620 +yang bisa kita lakukan dengan melihat koordinat vektornya. 40 -00:02:19,680 --> 00:02:21,910 -Hal ini sedikit berbeda dengan sudut pandang mahasiswa fisika, +00:02:41,440 --> 00:02:45,338 +Walau gue yakin banyak dari kalian yang akrab dengan sistem koordinat ini, 41 -00:02:21,910 --> 00:02:24,920 -dimana vektor dapat dengan bebas berada dimana saja dalam ruang yang mereka inginkan. +00:02:45,338 --> 00:02:48,925 +penting untuk memahami secara eksplisit, karena disinilah pentingnya 42 -00:02:25,420 --> 00:02:30,320 -Dalam aljabar linier, vektor Anda hampir selalu berakar pada titik asal. +00:02:48,925 --> 00:02:51,680 +keterkaitan kedua perspektif mengenai aljabar linier. 43 -00:02:30,940 --> 00:02:34,812 -Kemudian, setelah Anda memahami konsep baru dalam konteks panah di ruang angkasa, +00:02:52,740 --> 00:02:56,702 +Pusatin perhatian kita pada dua dimensi dulu, jadi ada garis horizontal, 44 -00:02:34,812 --> 00:02:37,550 -kami akan menerjemahkannya ke sudut pandang daftar angka, +00:02:56,702 --> 00:02:59,580 +disebut sumbu-x, dan garis vertikal, disebut sumbu-y. 45 -00:02:37,550 --> 00:02:40,620 -yang dapat kami lakukan dengan mempertimbangkan koordinat vektor. +00:03:00,260 --> 00:03:04,407 +Perpotongan mereka disebut titik asal, yang harus lu pandang sebagai pusat ruang, 46 -00:02:41,440 --> 00:02:44,993 -Meskipun saya yakin banyak di antara Anda yang sudah familiar dengan sistem +00:03:04,407 --> 00:03:05,520 +dan akar semua vektor. 47 -00:02:44,993 --> 00:02:47,892 -koordinat ini, ada baiknya Anda membahasnya secara eksplisit, +00:03:06,380 --> 00:03:08,893 +Setelah memilih panjang sembarang buat wakilin satu, 48 -00:02:47,892 --> 00:02:51,680 -karena di sinilah semua hal penting terjadi antara dua perspektif aljabar linier. +00:03:08,893 --> 00:03:11,360 +buatlah penanda di setiap sumbu untuk wakilin jarak. 49 -00:02:52,740 --> 00:02:55,117 -Saat memusatkan perhatian kita pada dua dimensi, +00:03:12,320 --> 00:03:15,138 +Saat gua pengen gambarin bidang datar secara keseluruhan, 50 -00:02:55,117 --> 00:02:58,561 -Anda memiliki garis horizontal yang disebut sumbu x dan garis vertikal +00:03:15,138 --> 00:03:18,929 +yang akan lu jumpai sepanjang seri, gw panjangin penandanya buat bikin petak. 51 -00:02:58,561 --> 00:02:59,580 -yang disebut sumbu y. +00:03:18,929 --> 00:03:21,360 +Untuk sekarang, petaknya agak ngalangin pandangan. 52 -00:03:00,260 --> 00:03:02,865 -Tempat perpotongannya disebut titik asal, yang harus +00:03:22,000 --> 00:03:26,215 +Koordinat vektor adalah sepasang bilangan yang pada dasarnya ngasih instruksi 53 -00:03:02,865 --> 00:03:05,520 -Anda anggap sebagai pusat ruang dan akar semua vektor. +00:03:26,215 --> 00:03:30,160 +gimana cara pergi dari pangkal vektor, di titik asal, ke ujung vektornya. 54 -00:03:06,380 --> 00:03:08,571 -Setelah memilih panjang sembarang untuk mewakili satu, +00:03:30,880 --> 00:03:34,382 +Angka pertama ngasih tahu seberapa jauh melangkah sepanjang sumbu-x, 55 -00:03:08,571 --> 00:03:11,360 -Anda membuat tanda centang pada setiap sumbu untuk mewakili jarak ini. +00:03:34,382 --> 00:03:38,697 +bilangan positif berarti gerakan ke kanan, bilangan negatif berarti gerakan ke kiri, 56 -00:03:12,320 --> 00:03:14,666 -Ketika saya ingin menyampaikan gagasan ruang 2D secara keseluruhan, +00:03:38,697 --> 00:03:43,113 +dan angka kedua ngasih tahu seberapa jauh melangkah sejajar dengan sumbu-y setelahnya, 57 -00:03:14,666 --> 00:03:16,356 -yang akan sering Anda lihat muncul di video ini, +00:03:43,113 --> 00:03:47,580 +bilangan positif berarti gerakan ke atas, dan bilangan negatif berarti gerakan ke bawah. 58 -00:03:16,356 --> 00:03:19,151 -saya akan memperluas tanda centang ini untuk membuat garis kisi, namun saat ini, +00:03:48,140 --> 00:03:51,303 +Buat bedain vektor dengan titik, kita tulis kedua 59 -00:03:19,151 --> 00:03:21,360 -tanda centang tersebut akan menjadi sedikit sedikit menghalangi. +00:03:51,303 --> 00:03:54,340 +angka tadi secara vertikal dan pake kurung siku. 60 -00:03:22,000 --> 00:03:26,251 -Koordinat suatu vektor adalah sepasang bilangan yang pada dasarnya memberikan petunjuk +00:03:56,340 --> 00:03:59,850 +Setiap pasangan bilangan menghasilkan satu dan hanya satu vektor, 61 -00:03:26,251 --> 00:03:30,160 -bagaimana berpindah dari ekor vektor tersebut, dari titik asal, hingga ujungnya. +00:03:59,850 --> 00:04:03,680 +dan setiap vektor dikawankan dengan satu dan hanya satu pasang bilangan. 62 -00:03:30,880 --> 00:03:34,649 -Angka pertama menunjukkan seberapa jauh Anda harus berjalan sepanjang sumbu x, +00:04:04,640 --> 00:04:05,500 +Bagaimana dengan tiga dimensi? 63 -00:03:34,649 --> 00:03:38,800 -angka positif menunjukkan gerakan ke kanan, angka negatif menunjukkan gerakan ke kiri, +00:04:06,200 --> 00:04:09,224 +Nah, elu tambahin sumbu ketiga, dipanggil sumbu-z, 64 -00:03:38,800 --> 00:03:42,856 -dan angka kedua menunjukkan seberapa jauh Anda harus berjalan sejajar dengan sumbu y +00:04:09,224 --> 00:04:13,137 +yang tegak lurus dengan sumbu-x dan sumbu-y, dan dalam kasus ini, 65 -00:03:42,856 --> 00:03:45,432 -setelah itu, angka positif menunjukkan ke atas gerak, +00:04:13,137 --> 00:04:16,339 +setiap vektor berkaitan dengan tiga bilangan berurutan 66 -00:03:45,432 --> 00:03:47,580 -dan angka negatif menunjukkan gerak ke bawah. +00:04:16,860 --> 00:04:20,204 +Angka pertama ngasih tau seberapa jauh melangkah sepanjang sumbu-x, 67 -00:03:48,140 --> 00:03:51,261 -Untuk membedakan vektor dari titik, aturannya adalah menuliskan pasangan +00:04:20,204 --> 00:04:23,745 +Angka kedua ngasih tahu seberapa jauh melangkah sejajar dengan sumbu-y, 68 -00:03:51,261 --> 00:03:54,340 -bilangan ini secara vertikal, dengan tanda kurung siku di sekelilingnya. +00:04:23,745 --> 00:04:27,680 +dan angka ketiga ngasih tahu seberapa jauh melangkah sejajar dengan sumbu-z ini. 69 -00:03:56,340 --> 00:03:59,876 -Setiap pasangan bilangan menghasilkan satu dan hanya satu vektor, +00:04:28,400 --> 00:04:31,951 +Setiap tripel bilangan ngasih satu vektor tunggal pada ruang, 70 -00:03:59,876 --> 00:04:03,680 -dan setiap vektor dikaitkan dengan satu dan hanya satu pasang bilangan. +00:04:31,951 --> 00:04:35,560 +dan setiap vektor pada ruang ngasih tepat satu tripel bilangan. 71 -00:04:04,640 --> 00:04:05,500 -Bagaimana dengan tiga dimensi? +00:04:36,900 --> 00:04:40,100 +Oke, kembali ke penjumlahan vektor, dan perkalian dengan bilangan. 72 -00:04:06,200 --> 00:04:09,449 -Nah, Anda menambahkan sumbu ketiga, yang disebut sumbu z, +00:04:40,460 --> 00:04:44,780 +Lagian, setiap topik di aljabar linier gak akan jauh-jauh dari kedua operasi ini. 73 -00:04:09,449 --> 00:04:12,922 -yang tegak lurus terhadap sumbu x dan y, dan dalam kasus ini, +00:04:45,440 --> 00:04:47,640 +Untungnya, definisi operasinya tidak berbelit-belit. 74 -00:04:12,922 --> 00:04:16,339 -setiap vektor dikaitkan dengan triplet bilangan yang terurut. +00:04:48,480 --> 00:04:51,376 +Misal ada dua vektor, yang satu ngarah ke atas dan sedikit ke kanan, 75 -00:04:16,860 --> 00:04:20,165 -Yang pertama memberi tahu Anda seberapa jauh Anda harus bergerak sepanjang sumbu x, +00:04:51,376 --> 00:04:53,560 +dan yang satunya ngarah ke kanan, dan agak ke bawah. 76 -00:04:20,165 --> 00:04:23,588 -yang kedua memberi tahu Anda seberapa jauh Anda harus bergerak sejajar dengan sumbu y, +00:04:53,960 --> 00:04:56,973 +Untuk jumlahin mereka, geser vektor kedua sampai 77 -00:04:23,588 --> 00:04:26,420 -dan yang ketiga memberi tahu Anda seberapa jauh untuk kemudian bergerak +00:04:56,973 --> 00:04:59,680 +pangkalnya berada pada ujung vektor pertama. 78 -00:04:26,420 --> 00:04:27,680 -sejajar dengan sumbu z baru ini. +00:05:00,300 --> 00:05:04,676 +Jika lu bikin vektor baru dari pangkal vektor pertama ke ujung vektor 79 -00:04:28,400 --> 00:04:31,876 -Setiap triplet bilangan menghasilkan satu vektor unik dalam ruang, +00:05:04,676 --> 00:05:08,740 +kedua yang sudah digeser, vektor baru itu adalah hasil jumlahnya. 80 -00:04:31,876 --> 00:04:35,560 -dan setiap vektor dalam ruang menghasilkan tepat satu triplet bilangan. +00:05:12,080 --> 00:05:15,338 +Ngomong-ngomong, definisi penjumlahan ini adalah satu-satunya 81 -00:04:36,900 --> 00:04:40,100 -Baiklah, kembali ke penjumlahan vektor dan perkalian dengan angka. +00:05:15,338 --> 00:05:18,860 +momen di aljabar linier yang pangkal vektornya bukan di titik asal. 82 -00:04:40,460 --> 00:04:44,780 -Bagaimanapun, setiap topik dalam aljabar linier akan berpusat pada dua operasi ini. +00:05:19,720 --> 00:05:21,480 +Oke, kenapa ini masuk akal untuk dilakukan? 83 -00:04:45,440 --> 00:04:47,640 -Untungnya, masing-masing cukup mudah untuk didefinisikan. +00:05:21,740 --> 00:05:24,020 +Kenapa harus gitu definisinya, dan nggak yang lain? 84 -00:04:48,480 --> 00:04:51,570 -Katakanlah kita mempunyai dua vektor, yang satu mengarah ke atas dan sedikit ke kanan, +00:05:25,520 --> 00:05:29,384 +Gue suka bayangin kalau setiap vektor menggambarkan sebuah gerakan, 85 -00:04:51,570 --> 00:04:53,560 -dan yang lainnya mengarah ke kanan dan sedikit ke bawah. +00:05:29,384 --> 00:05:32,680 +sebuah langkah dengan jarak dan arah tertentu dalam ruang. 86 -00:04:53,960 --> 00:04:56,793 -Untuk menjumlahkan kedua vektor ini, gerakkan vektor +00:05:33,980 --> 00:05:39,166 +Jika lu melangkah sepanjang vektor pertama, lalu melangkah searah dan sejauh panjang 87 -00:04:56,793 --> 00:04:59,680 -kedua sehingga ekornya berada di ujung vektor pertama. +00:05:39,166 --> 00:05:44,474 +vektor kedua, hasil akhirnya bakalan sama jika lu bergerak sepanjang jumlah dua vektor 88 -00:05:00,300 --> 00:05:04,647 -Kemudian, jika Anda menggambar sebuah vektor baru dari ekor vektor pertama ke tempat +00:05:44,474 --> 00:05:44,780 +tadi. 89 -00:05:04,647 --> 00:05:08,740 -ujung vektor kedua sekarang berada, vektor baru tersebut adalah jumlah keduanya. +00:05:45,260 --> 00:05:49,460 +Lu bisa anggap ini perluasan cara kita berpikir saat jumlahin angka di garis bilangan. 90 -00:05:12,080 --> 00:05:15,374 -Omong-omong, definisi penjumlahan ini adalah satu-satunya saat dalam +00:05:50,180 --> 00:05:53,583 +Saat kita dulu diajarin buat ngitung, misal 2 tambah 5, 91 -00:05:15,374 --> 00:05:18,860 -aljabar linier di mana kita membiarkan vektor menyimpang dari titik asal. +00:05:53,583 --> 00:05:57,960 +kita bayangin gerak 2 langkah ke kanan, diikuti oleh 5 langkah ke kanan. 92 -00:05:19,720 --> 00:05:21,480 -Sekarang, mengapa hal ini masuk akal untuk dilakukan? +00:05:57,960 --> 00:06:01,720 +Hasil akhirnya bakalan sama jika lu gerak 7 langkah ke kanan. 93 -00:05:21,740 --> 00:05:24,020 -Mengapa definisi penjumlahan ini dan bukan definisi lainnya? +00:06:02,660 --> 00:06:05,480 +Sekalian, yuk kita lihat penjumlahan vektor secara numerik. 94 -00:05:25,520 --> 00:05:29,329 -Menurut saya, setiap vektor mewakili pergerakan tertentu, +00:06:06,020 --> 00:06:12,460 +Vektor pertama punya koordinat 1, 2, dan vektor kedua punya koordinat 3, min 1. 95 -00:05:29,329 --> 00:05:32,680 -langkah dengan jarak dan arah tertentu dalam ruang. +00:06:14,360 --> 00:06:17,438 +Saat lu jumlahkan vektornya pake metode pangkal ke ujung, 96 -00:05:33,980 --> 00:05:36,583 -Jika Anda mengambil langkah sepanjang vektor pertama, +00:06:17,438 --> 00:06:21,420 +lu bisa bayangin jalur empat langkah dari titik asal ke ujung vektor kedua. 97 -00:05:36,583 --> 00:05:40,585 -kemudian mengambil langkah dalam arah dan jarak yang dijelaskan oleh vektor kedua, +00:06:21,840 --> 00:06:25,620 +Geser 1 ke kanan, lalu 2 ke atas, lalu 3 ke kanan, lalu 1 ke bawah. 98 -00:05:40,585 --> 00:05:44,780 -efek keseluruhannya sama seperti jika Anda memulai dengan jumlah kedua vektor tersebut. +00:06:26,920 --> 00:06:32,646 +Atur ulang langkah-langkah tadi sehingga lu gerak ke kanan dulu, baru gerak vertikalnya, 99 -00:05:45,260 --> 00:05:47,306 -Anda dapat menganggap ini sebagai perpanjangan dari cara +00:06:32,646 --> 00:06:38,180 +lu bisa baca itu sebagai, Pertama geser 1 plus 3 ke kanan, lalu gerak 2 min 1 ke atas. 100 -00:05:47,306 --> 00:05:49,460 -kita berpikir tentang penjumlahan angka pada garis bilangan. +00:06:40,080 --> 00:06:44,920 +Jadi vektor yang baru punya koordinat 1 plus 3 dan 2 plus min 1 101 -00:05:50,180 --> 00:05:52,626 -Salah satu cara kita mengajari anak-anak memikirkan hal ini, +00:06:45,600 --> 00:06:49,003 +Secara umum, penjumlahan vektor dalam bentuk daftar angka 102 -00:05:52,626 --> 00:05:55,072 -katakanlah dengan 2 tambah 5, adalah dengan memikirkan untuk +00:06:49,003 --> 00:06:52,700 +terlihat seperti mencocokkan suku-sukunya, lalu dijumlahin deh. 103 -00:05:55,072 --> 00:05:57,960 -bergerak dua langkah ke kanan diikuti dengan lima langkah lagi ke kanan. +00:06:54,640 --> 00:06:58,360 +Operasi vektor dasar yang lain ialah perkalian dengan bilangan. 104 -00:05:57,960 --> 00:06:01,720 -Efek keseluruhannya sama seperti jika Anda baru saja mengambil tujuh langkah ke kanan. +00:06:58,860 --> 00:07:01,380 +Yang ini paling bagus dipahami dengan melihat beberapa contoh. 105 -00:06:02,660 --> 00:06:05,480 -Sebenarnya, mari kita lihat tampilan penjumlahan vektor secara numerik. +00:07:01,840 --> 00:07:05,351 +Jika lu pilih angka 2, dan mengalikannya dengan vektor yang ada, 106 -00:06:06,020 --> 00:06:09,206 -Vektor pertama di sini memiliki koordinat 1, 2, +00:07:05,351 --> 00:07:09,620 +itu artinya lu manjangin vektor itu sehingga jadi 2 kali panjang vektor semula. 107 -00:06:09,206 --> 00:06:12,460 -dan vektor kedua memiliki koordinat 3, negatif 1. +00:07:10,500 --> 00:07:13,710 +Jika lu kalikan dengan, sepertiga misal, itu artinya 108 -00:06:14,360 --> 00:06:17,654 -Saat Anda mengambil jumlah vektor menggunakan metode tip-to-tail ini, +00:07:13,710 --> 00:07:16,860 +lu mendekin vektornya jadi sepertiga panjang semula. 109 -00:06:17,654 --> 00:06:21,420 -Anda dapat memikirkan jalur empat langkah dari titik asal ke ujung vektor kedua. +00:07:17,640 --> 00:07:21,282 +Saat lu kalikan dengan bilangan negatif, kayak -1,8, 110 -00:06:21,840 --> 00:06:25,620 -Jalan 1 ke kanan, lalu 2 ke atas, lalu 3 ke kanan, lalu 1 ke bawah. +00:07:21,282 --> 00:07:26,300 +berarti vektornya jadi terbalik, terus diperpanjang oleh faktor 1,8 tadi. 111 -00:06:26,920 --> 00:06:30,623 -Susun ulang langkah-langkah tersebut sehingga pertama-tama lakukan gerakan +00:07:27,360 --> 00:07:31,755 +Proses manjangin atau mendekin atau kadang membalik arah vektor ini biasa 112 -00:06:30,623 --> 00:06:34,673 -ke kanan semua, lalu lakukan semua gerakan vertikal, bisa dibaca seperti pepatah, +00:07:31,755 --> 00:07:36,447 +disebut penskalaan, dan tiap kali lu nemu bilangan kayak 2 atau sepertiga atau 113 -00:06:34,673 --> 00:06:38,180 -gerakkan dulu 1 tambah 3 ke kanan, lalu gerakkan 2 dikurangi 1 ke atas. +00:07:36,447 --> 00:07:41,140 +-1,8 yang bertindak kek gini, ngubah ukuran vektor, kita sebut sebagai "skalar" 114 -00:06:40,080 --> 00:06:44,920 -Jadi vektor baru tersebut memiliki koordinat 1 ditambah 3 dan 2 ditambah negatif 1. +00:07:41,940 --> 00:07:46,758 +Dalam aljabar linier, salah satu hal utama yang dilakuin bilangan adalah menskalakan 115 -00:06:45,600 --> 00:06:49,270 -Secara umum, penjumlahan vektor dalam konsep daftar bilangan +00:07:46,758 --> 00:07:51,180 +vektor, sehingga kata skalar sering digunakan bergantian dengan kata bilangan. 116 -00:06:49,270 --> 00:06:52,700 -ini seperti mencocokkan suku-sukunya dan menjumlahkannya. +00:07:52,020 --> 00:07:56,104 +Secara numerik, manjangin sebuah vektor dengan faktor, misalnya 2, 117 -00:06:54,640 --> 00:06:58,360 -Operasi vektor dasar lainnya adalah perkalian dengan suatu bilangan. +00:07:56,104 --> 00:07:59,580 +berarti mengalikan setiap komponennya oleh faktor itu, 2. 118 -00:06:58,860 --> 00:07:01,380 -Sekarang hal ini paling baik dipahami hanya dengan melihat beberapa contoh. +00:08:00,300 --> 00:08:02,933 +Jadi dalam konsep vektor sebagai daftar angka, 119 -00:07:01,840 --> 00:07:05,160 -Jika Anda mengambil angka 2 dan mengalikannya dengan vektor tertentu, +00:08:02,933 --> 00:08:06,967 +mengalikan sebuah vektor dengan skalar artinya mengalikan masing-masing 120 -00:07:05,160 --> 00:07:09,003 -artinya Anda merentangkan vektor tersebut sehingga menjadi dua kali panjang saat +00:08:06,967 --> 00:08:08,480 +komponen dengan skalar itu. 121 -00:07:09,003 --> 00:07:09,620 -Anda memulai. +00:08:10,220 --> 00:08:14,747 +Lu akan lihat di video mendatang apa yang gw maksud pas gue bilang topik aljabar 122 -00:07:10,500 --> 00:07:13,422 -Jika Anda mengalikan vektor tersebut dengan, katakanlah, sepertiga, +00:08:14,747 --> 00:08:19,220 +linier modalnya dua operasi dasar ini: penjumlahan vektor, dan perkalian skalar. 123 -00:07:13,422 --> 00:07:16,860 -itu berarti Anda memperkecilnya sehingga menjadi sepertiga dari panjang aslinya. +00:08:19,980 --> 00:08:24,470 +dan akan gue bahas lebih lanjut di video terakhir kenapa matematikawan hanya mikirin 124 -00:07:17,640 --> 00:07:21,396 -Jika dikalikan dengan angka negatif, misalnya negatif 1.8, +00:08:24,470 --> 00:08:29,120 +dua operasi ini, secara bebas dan abstrak dari apapun yang lu pilih buat wakilin vektor. 125 -00:07:21,396 --> 00:07:26,300 -lalu vektornya dibalik terlebih dahulu, lalu diregangkan sebanyak faktor 1.8. +00:08:29,800 --> 00:08:34,483 +Pada kenyataannya, gak masalah kalau lu anggap vektor sebagai panah dalam ruang, 126 -00:07:27,360 --> 00:07:31,749 -Proses meregangkan atau menekan atau terkadang membalikkan arah vektor disebut +00:08:34,483 --> 00:08:38,241 +seperti yang gua sarankan, yang dapat dinyatakan secara numerik, 127 -00:07:31,749 --> 00:07:36,750 -penskalaan, dan setiap kali Anda menangkap angka, seperti 2 atau sepertiga atau negatif 1. +00:08:38,241 --> 00:08:42,000 +atau sebatas daftar angka yang punya visual geometris yang bagus. 128 -00:07:36,750 --> 00:07:41,140 -8, bertindak seperti ini, menskalakan beberapa vektor, Anda menyebutnya skalar. +00:08:42,520 --> 00:08:46,060 +Kegunaan aljabar linier sebenarnya terletak pada kemampuan 129 -00:07:41,940 --> 00:07:46,375 -Faktanya, dalam aljabar linier, salah satu hal utama yang dilakukan bilangan adalah +00:08:46,060 --> 00:08:49,720 +buat gonta-ganti perspektif diantara dua perspektif yang ada. 130 -00:07:46,375 --> 00:07:50,704 -skala vektor, sehingga kata skalar sering digunakan secara bergantian dengan kata +00:08:50,140 --> 00:08:55,020 +Ilmu ini ngasih analis data sebuah cara mengonsepkan berbagai daftar angka secara visual, 131 -00:07:50,704 --> 00:07:51,180 -bilangan. +00:08:55,020 --> 00:08:58,436 +yang bisa memperjelas pola pada data, dan ngasih gambaran umum 132 -00:07:52,020 --> 00:07:55,748 -Secara numerik, merentangkan sebuah vektor dengan faktor, katakanlah, 2, +00:08:58,436 --> 00:09:00,280 +dari hasil suatu operasi tertentu. 133 -00:07:55,748 --> 00:07:59,580 -sama dengan mengalikan masing-masing komponennya dengan faktor tersebut, 2. +00:09:00,820 --> 00:09:04,170 +Dan di sisi lain, ilmu ini ngasih orang-orang kayak fisikawan dan 134 -00:08:00,300 --> 00:08:02,824 -Jadi dalam konsep vektor sebagai daftar bilangan, +00:09:04,170 --> 00:09:07,572 +pemrogram grafika komputer sebuah bahasa untuk mendeskripsikan dan 135 -00:08:02,824 --> 00:08:06,864 -mengalikan suatu vektor dengan skalar berarti mengalikan masing-masing komponen +00:09:07,572 --> 00:09:11,380 +memanipulasi ruang pake bilangan yang dapat dicerna dan dijalanin komputer. 136 -00:08:06,864 --> 00:08:08,480 -tersebut dengan skalar tersebut. +00:09:12,300 --> 00:09:17,172 +Saat gue bikin animasi ini, misalnya, gue mulai dengan bayangin apa yang terjadi dalam 137 -00:08:10,220 --> 00:08:13,157 -Anda akan melihat di video berikut apa yang saya maksud ketika +00:09:17,172 --> 00:09:20,252 +ruang, lalu nyatain itu secara numerik dalam komputer, 138 -00:08:13,157 --> 00:08:17,354 -saya mengatakan bahwa topik aljabar linier cenderung berkisar pada dua operasi dasar ini, +00:09:20,252 --> 00:09:23,388 +yang nantinya nentuin dimana piksel ditaruh pada layar, 139 -00:08:17,354 --> 00:08:19,220 -penjumlahan vektor dan perkalian skalar. +00:09:23,388 --> 00:09:26,580 +dan itu semua beneran ngandalin pemahaman aljabar linier. 140 -00:08:19,980 --> 00:08:22,932 -Dan saya akan berbicara lebih banyak di video terakhir tentang bagaimana +00:09:27,840 --> 00:09:30,542 +Jadi itulah dasar vektor, dan di video selanjutnya, 141 -00:08:22,932 --> 00:08:25,844 -dan mengapa ahli matematika hanya memikirkan operasi-operasi ini secara +00:09:30,542 --> 00:09:35,220 +gw akan masuk ke konsep elegan seputaran vektor, seperti rentang, basis, dan bebas linier. 142 -00:08:25,844 --> 00:08:29,120 -independen dan diabstraksi dari cara Anda memilih untuk merepresentasikan vektor. - -143 -00:08:29,800 --> 00:08:33,740 -Sebenarnya, tidak masalah apakah Anda menganggap vektor pada dasarnya adalah panah - -144 -00:08:33,740 --> 00:08:37,917 -dalam ruang, seperti yang saya sarankan, yang memiliki representasi numerik yang bagus, - -145 -00:08:37,917 --> 00:08:42,000 -atau pada dasarnya sebagai daftar angka yang memiliki geometri yang bagus. penafsiran. - -146 -00:08:42,520 --> 00:08:45,657 -Kegunaan aljabar linier tidak ada hubungannya dengan salah satu pandangan ini - -147 -00:08:45,657 --> 00:08:48,553 -dibandingkan dengan kemampuan untuk menerjemahkan bolak-balik di antara - -148 -00:08:48,553 --> 00:08:49,720 -pandangan-pandangan tersebut. - -149 -00:08:50,140 --> 00:08:53,595 -Ini memberi analis data cara yang bagus untuk mengkonseptualisasikan banyak - -150 -00:08:53,595 --> 00:08:57,006 -daftar angka dengan cara visual yang dapat memperjelas pola dalam data dan - -151 -00:08:57,006 --> 00:09:00,280 -memberikan pandangan global tentang apa yang dilakukan operasi tertentu. - -152 -00:09:00,820 --> 00:09:04,491 -Dan di sisi lain, hal ini memberikan orang-orang seperti fisikawan dan pemrogram - -153 -00:09:04,491 --> 00:09:08,026 -grafis komputer suatu bahasa untuk mendeskripsikan ruang dan manipulasi ruang - -154 -00:09:08,026 --> 00:09:11,380 -menggunakan angka-angka yang dapat diolah dan dijalankan melalui komputer. - -155 -00:09:12,300 --> 00:09:14,357 -Ketika saya membuat animasi matematika, misalnya, - -156 -00:09:14,357 --> 00:09:17,814 -saya mulai dengan berpikir tentang apa yang sebenarnya terjadi di ruang angkasa dan - -157 -00:09:17,814 --> 00:09:20,612 -kemudian membuat komputer merepresentasikan sesuatu secara numerik, - -158 -00:09:20,612 --> 00:09:23,123 -sehingga mencari tahu di mana menempatkan piksel pada layar, - -159 -00:09:23,123 --> 00:09:26,580 -dan melakukan hal itu biasanya bergantung pada banyak hal. pemahaman aljabar linier. - -160 -00:09:27,840 --> 00:09:31,488 -Jadi, inilah dasar-dasar vektor Anda, dan di video berikutnya saya akan mulai membahas - -161 -00:09:31,488 --> 00:09:35,220 -beberapa konsep menarik seputar vektor seperti rentang, basis, dan ketergantungan linier. - -162 00:09:35,720 --> 00:09:51,820 -Sampai jumpa lagi! +Sampai jumpa! diff --git a/2016/vectors/vietnamese/auto_generated.srt b/2016/vectors/vietnamese/auto_generated.srt index ffcc4bdf6..c7adf46cd 100644 --- a/2016/vectors/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2016/vectors/vietnamese/auto_generated.srt @@ -1,22 +1,22 @@ 1 00:00:10,920 --> 00:00:15,220 -Khối xây dựng cơ bản, căn bản của đại số tuyến tính là vectơ. +Nền tảng, nguồn gốc của tất cả khối xây dựng cơ bản của đại số tuyến tính là vectơ. 2 00:00:15,720 --> 00:00:19,840 -Vì vậy, cần đảm bảo rằng tất cả chúng ta đều hiểu nhau về chính xác vectơ là gì. +Vậy cần đảm bảo rằng tất cả chúng ta đều hiểu giống nhau về việc vectơ chính xác là gì. 3 -00:00:20,380 --> 00:00:24,525 -Bạn thấy đấy, nói rộng ra, có ba ý tưởng riêng biệt nhưng có liên quan với nhau về vectơ, +00:00:20,380 --> 00:00:24,307 +Bạn thấy là nói rộng ra, có ba ý tưởng riêng nhưng liên quan với nhau về vectơ, 4 -00:00:24,525 --> 00:00:26,783 -mà tôi sẽ gọi là quan điểm của sinh viên vật lý, +00:00:24,307 --> 00:00:27,498 +tôi sẽ gọi là quan điểm của sinh viên vật lý, quan điểm của sinh 5 -00:00:26,783 --> 00:00:30,100 -quan điểm của sinh viên khoa học máy tính và quan điểm của nhà toán học. +00:00:27,498 --> 00:00:30,100 +viên khoa học máy tính và quan điểm của nhà toán học. 6 00:00:30,880 --> 00:00:34,400 @@ -67,40 +67,40 @@ số đầu tiên biểu thị số mét vuông và số thứ hai biểu thị Lưu ý thứ tự quan trọng ở đây. 18 -00:01:12,400 --> 00:01:16,212 -Trong biệt ngữ, bạn sẽ lập mô hình các ngôi nhà dưới dạng vectơ hai chiều, +00:01:12,400 --> 00:01:16,177 +Theo nghĩa đó, bạn sẽ lập mô hình các ngôi nhà dưới dạng vectơ hai chiều, 19 -00:01:16,212 --> 00:01:19,922 +00:01:16,177 --> 00:01:19,904 trong ngữ cảnh này, vectơ gần như chỉ là một từ hoa mỹ để chỉ danh sách, 20 -00:01:19,922 --> 00:01:24,040 +00:01:19,904 --> 00:01:24,040 và điều khiến nó có tính hai chiều là thực tế là độ dài của danh sách đó là hai . 21 -00:01:25,640 --> 00:01:29,140 +00:01:25,640 --> 00:01:29,283 Mặt khác, nhà toán học tìm cách khái quát hóa cả hai quan điểm này, 22 -00:01:29,140 --> 00:01:33,568 -về cơ bản nói rằng một vectơ có thể là bất cứ thứ gì có khái niệm hợp lý về việc cộng +00:01:29,283 --> 00:01:33,623 +về cơ bản nói rằng một vectơ có thể là bất cứ thứ gì có khái niệm hợp lý về việc 23 -00:01:33,568 --> 00:01:38,047 -hai vectơ và nhân một vectơ với một số, các phép toán mà tôi sẽ nói đến sau trong phần +00:01:33,623 --> 00:01:37,962 +cộng hai vectơ và nhân một vectơ với một số, các phép toán mà tôi sẽ nói đến sau 24 -00:01:38,047 --> 00:01:38,820 -này. Video này. +00:01:37,962 --> 00:01:38,820 +trong video này. 25 -00:01:39,580 --> 00:01:43,759 -Các chi tiết của chế độ xem này khá trừu tượng và tôi thực sự nghĩ rằng sẽ tốt hơn nếu bỏ +00:01:39,580 --> 00:01:43,808 +Các chi tiết của góc nhìn này khá trừu tượng và tôi thực sự nghĩ rằng sẽ tốt hơn nếu bỏ 26 -00:01:43,759 --> 00:01:47,940 -qua nó cho đến video cuối cùng của loạt bài này, tạm thời ưu tiên một bối cảnh cụ thể hơn. +00:01:43,808 --> 00:01:47,940 +qua nó đến video cuối cùng của loạt bài này, tạm thời ưu tiên một bối cảnh cụ thể hơn. 27 00:01:48,400 --> 00:01:52,662 @@ -119,470 +119,474 @@ Nhưng trước khi tôi nói về những phép toán đó, chúng ta hãy tập trung vào một ý nghĩ cụ thể cần có trong đầu khi tôi nói từ vectơ. 31 -00:02:04,740 --> 00:02:07,518 -Với trọng tâm hình học mà tôi đang hướng tới ở đây, +00:02:04,740 --> 00:02:07,656 +Với trọng tâm là hình học mà tôi đang hướng tới ở đây, 32 -00:02:07,518 --> 00:02:11,045 +00:02:07,656 --> 00:02:11,157 bất cứ khi nào tôi giới thiệu một chủ đề mới liên quan đến vectơ, 33 -00:02:11,045 --> 00:02:15,693 +00:02:11,157 --> 00:02:15,771 tôi muốn bạn trước tiên nghĩ về một mũi tên, và cụ thể là nghĩ về mũi tên đó bên trong 34 -00:02:15,693 --> 00:02:18,900 -một hệ tọa độ, như mặt phẳng xy, với đuôi của nó ngồi ở gốc. +00:02:15,771 --> 00:02:18,900 +một hệ tọa độ, như mặt phẳng xy, với đuôi của nó đặt ở gốc. 35 -00:02:19,680 --> 00:02:22,222 +00:02:19,680 --> 00:02:22,132 Điều này hơi khác một chút so với quan điểm của sinh viên vật lý, 36 -00:02:22,222 --> 00:02:24,920 -nơi các vectơ có thể tự do ngồi ở bất cứ đâu họ muốn trong không gian. +00:02:22,132 --> 00:02:24,920 +nơi các vectơ có thể tự do đặt ở bất cứ đâu mà chúng muốn trong không gian. 37 00:02:25,420 --> 00:02:30,320 Trong đại số tuyến tính, hầu như luôn luôn có trường hợp vectơ của bạn có gốc tọa độ. 38 -00:02:30,940 --> 00:02:34,868 +00:02:30,940 --> 00:02:35,197 Sau đó, khi bạn hiểu một khái niệm mới trong bối cảnh các mũi tên trong không gian, 39 -00:02:34,868 --> 00:02:38,048 -chúng ta sẽ chuyển nó sang danh sách các số theo quan điểm mà chúng +00:02:35,197 --> 00:02:38,339 +ta sẽ chuyển nó sang danh sách các số theo quan điểm mà ta có 40 -00:02:38,048 --> 00:02:40,620 -ta có thể thực hiện bằng cách xem xét tọa độ của vectơ. +00:02:38,339 --> 00:02:40,620 +thể thực hiện bằng cách xét tọa độ của vectơ. 41 -00:02:41,440 --> 00:02:45,005 -Bây giờ, mặc dù tôi chắc chắn rằng nhiều bạn đã quen thuộc với hệ tọa độ này, +00:02:41,440 --> 00:02:44,526 +Bây giờ, dù tôi chắc rằng nhiều bạn đã quen với hệ tọa độ này, 42 -00:02:45,005 --> 00:02:48,297 -nhưng vẫn đáng để xem qua một cách rõ ràng, vì đây là nơi xảy ra tất cả +00:02:44,526 --> 00:02:47,907 +nhưng vẫn đáng để xem qua một cách rõ ràng, vì đây là nơi xảy ra tất 43 -00:02:48,297 --> 00:02:51,680 -các phép toán qua lại quan trọng giữa hai phối cảnh của đại số tuyến tính. +00:02:47,907 --> 00:02:51,680 +cả các phép toán qua lại quan trọng giữa hai phối cảnh của đại số tuyến tính. 44 -00:02:52,740 --> 00:02:56,687 -Hiện tại, chúng ta đang tập trung sự chú ý vào hai chiều, bạn có một đường nằm ngang, +00:02:52,740 --> 00:02:55,511 +Hiện tại, sự tập trung của chúng ta đang chú ý vào hai chiều, 45 -00:02:56,687 --> 00:02:59,580 -được gọi là trục x và một đường thẳng đứng, được gọi là trục y. +00:02:55,511 --> 00:02:58,730 +bạn có một đường nằm ngang, được gọi là trục x và một đường thẳng đứng, 46 +00:02:58,730 --> 00:02:59,580 +được gọi là trục y. + +47 00:03:00,260 --> 00:03:02,843 Nơi chúng giao nhau được gọi là gốc tọa độ, mà bạn nên -47 +48 00:03:02,843 --> 00:03:05,520 coi là tâm của không gian và là gốc của tất cả các vectơ. -48 +49 00:03:06,380 --> 00:03:08,849 Sau khi chọn một độ dài tùy ý để biểu thị một khoảng cách, -49 +50 00:03:08,849 --> 00:03:11,360 bạn đánh dấu tích trên mỗi trục để biểu thị khoảng cách này. -50 +51 00:03:12,320 --> 00:03:16,235 Khi tôi muốn truyền tải ý tưởng về không gian 2D một cách tổng thể, -51 +52 00:03:16,235 --> 00:03:21,360 bạn sẽ thấy điều đó có một chút cản trở, nhưng ngay bây giờ chúng sẽ có một chút cản trở. -52 +53 00:03:22,000 --> 00:03:26,045 Tọa độ của vectơ là một cặp số về cơ bản đưa ra hướng dẫn -53 +54 00:03:26,045 --> 00:03:30,160 cách đi từ đuôi của vectơ đó tại gốc đến đỉnh của vectơ đó. -54 +55 00:03:30,880 --> 00:03:34,252 Số đầu tiên cho bạn biết quãng đường phải đi dọc theo trục x, -55 +56 00:03:34,252 --> 00:03:38,495 số dương biểu thị chuyển động sang phải, số âm biểu thị chuyển động sang trái -56 +57 00:03:38,495 --> 00:03:42,357 và số thứ hai cho bạn biết sau đó phải đi bao xa song song với trục y, -57 +58 00:03:42,357 --> 00:03:46,437 số dương biểu thị chuyển động hướng lên trên chuyển động và số âm biểu thị -58 +59 00:03:46,437 --> 00:03:47,580 chuyển động đi xuống. -59 +60 00:03:48,140 --> 00:03:51,297 Để phân biệt vectơ với điểm, người ta quy ước viết cặp -60 +61 00:03:51,297 --> 00:03:54,340 số này theo chiều dọc với dấu ngoặc vuông xung quanh. -61 +62 00:03:56,340 --> 00:04:00,049 Mỗi cặp số cho bạn một và chỉ một vectơ và mỗi -62 +63 00:04:00,049 --> 00:04:03,680 vectơ được liên kết với một và chỉ một cặp số. -63 +64 00:04:04,640 --> 00:04:05,500 Thế còn trong ba chiều thì sao? -64 +65 00:04:06,200 --> 00:04:11,719 Chà, bạn thêm một trục thứ ba, được gọi là trục z, vuông góc với cả trục x và trục y, -65 +66 00:04:11,719 --> 00:04:16,339 và trong trường hợp này, mỗi vectơ được liên kết với bộ ba số có thứ tự. -66 +67 00:04:16,860 --> 00:04:20,207 Giá trị đầu tiên cho bạn biết khoảng cách di chuyển dọc theo trục x, -67 +68 00:04:20,207 --> 00:04:23,846 giá trị thứ hai cho bạn biết khoảng cách di chuyển song song với trục y và -68 +69 00:04:23,846 --> 00:04:27,680 giá trị thứ ba cho bạn biết khoảng cách di chuyển song song với trục z mới này. -69 +70 00:04:28,400 --> 00:04:32,040 Mỗi bộ ba số cho bạn một vectơ duy nhất trong không gian và -70 +71 00:04:32,040 --> 00:04:35,560 mỗi vectơ trong không gian cho bạn chính xác một bộ ba số. -71 +72 00:04:36,900 --> 00:04:40,100 Được rồi, quay lại với phép cộng và nhân vectơ với số. -72 +73 00:04:40,460 --> 00:04:44,780 Xét cho cùng, mọi chủ đề trong đại số tuyến tính đều sẽ xoay quanh hai phép tính này. -73 +74 00:04:45,440 --> 00:04:47,640 May mắn thay, mỗi cái đều khá dễ xác định. -74 -00:04:48,480 --> 00:04:51,512 -Giả sử chúng ta có hai vectơ, một vectơ hướng lên và hơi sang phải một chút, - 75 -00:04:51,512 --> 00:04:53,560 -còn vectơ kia chỉ sang phải và hướng xuống một chút. +00:04:48,480 --> 00:04:51,412 +Giả sử ta có hai vectơ, một vectơ hướng lên và hơi sang phải một chút, 76 +00:04:51,412 --> 00:04:53,560 +còn vectơ kia chỉ sang phải và hướng xuống một chút. + +77 00:04:53,960 --> 00:04:56,760 Để cộng hai vectơ này, hãy di chuyển vectơ thứ -77 +78 00:04:56,760 --> 00:04:59,680 hai sao cho đuôi của nó nằm ở đầu vectơ thứ nhất. -78 +79 00:05:00,300 --> 00:05:04,487 Sau đó, nếu bạn vẽ một vectơ mới từ đuôi của vectơ thứ nhất đến -79 +80 00:05:04,487 --> 00:05:08,740 vị trí đầu của vectơ thứ hai, thì vectơ mới đó là tổng của chúng. -80 +81 00:05:12,080 --> 00:05:15,494 Nhân tiện, định nghĩa về phép cộng này gần như là lần duy nhất trong -81 +82 00:05:15,494 --> 00:05:18,860 đại số tuyến tính mà chúng ta để các vectơ đi chệch khỏi gốc tọa độ. -82 +83 00:05:19,720 --> 00:05:21,480 Bây giờ, tại sao đây là một điều hợp lý để làm? -83 +84 00:05:21,740 --> 00:05:24,020 Tại sao lại có định nghĩa về phép cộng này mà không phải định nghĩa nào khác? -84 +85 00:05:25,520 --> 00:05:29,535 Chà, cách tôi muốn nghĩ về nó là mỗi vectơ đại diện cho một chuyển động nhất định, -85 +86 00:05:29,535 --> 00:05:32,680 một bước với một khoảng cách và hướng nhất định trong không gian. -86 +87 00:05:33,980 --> 00:05:36,216 Nếu bạn bước một bước dọc theo vectơ đầu tiên, -87 +88 00:05:36,216 --> 00:05:40,117 sau đó thực hiện một bước theo hướng và khoảng cách được mô tả bởi vectơ thứ hai, -88 +89 00:05:40,117 --> 00:05:43,590 thì hiệu ứng tổng thể cũng giống như khi bạn di chuyển dọc theo tổng của -89 +90 00:05:43,590 --> 00:05:44,780 hai vectơ đó ngay từ đầu. -90 +91 00:05:45,260 --> 00:05:47,470 Bạn có thể coi đây là một phần mở rộng cách chúng -91 +92 00:05:47,470 --> 00:05:49,460 ta nghĩ về việc cộng các số trên một trục số. -92 -00:05:50,180 --> 00:05:54,021 -Một cách mà chúng tôi dạy trẻ suy nghĩ về điều này, chẳng hạn như với 2 cộng 5, - 93 -00:05:54,021 --> 00:05:57,960 -là nghĩ đến việc di chuyển hai bước sang phải, sau đó thêm năm bước nữa sang phải. +00:05:50,180 --> 00:05:53,997 +Một cách mà chúng ta dạy trẻ suy nghĩ về điều này, chẳng hạn như với 2 cộng 5, 94 +00:05:53,997 --> 00:05:57,960 +là nghĩ đến việc di chuyển hai bước sang phải, sau đó thêm năm bước nữa sang phải. + +95 00:05:57,960 --> 00:06:01,720 Hiệu ứng tổng thể giống như khi bạn chỉ bước bảy bước về bên phải. -95 +96 00:06:02,660 --> 00:06:05,480 Thực tế, chúng ta hãy xem phép cộng vectơ trông như thế nào về mặt số học. -96 +97 00:06:06,020 --> 00:06:12,460 Vectơ đầu tiên ở đây có tọa độ 1, 2 và vectơ thứ hai có tọa độ 3, âm 1. -97 +98 00:06:14,360 --> 00:06:17,451 Khi bạn tính tổng vectơ bằng phương pháp nối đuôi nhau này, -98 +99 00:06:17,451 --> 00:06:21,420 bạn có thể nghĩ ra đường dẫn bốn bước từ điểm gốc đến đỉnh của vectơ thứ hai. -99 +100 00:06:21,840 --> 00:06:25,620 Đi 1 bên phải, sau đó 2 lên, rồi 3 bên phải, rồi 1 xuống. -100 +101 00:06:26,920 --> 00:06:31,073 Sắp xếp lại các bước này để trước tiên bạn thực hiện tất cả chuyển động sang phải, -101 +102 00:06:31,073 --> 00:06:33,475 sau đó thực hiện tất cả chuyển động thẳng đứng, -102 +103 00:06:33,475 --> 00:06:36,478 bạn có thể đọc nó là đầu tiên di chuyển 1 cộng 3 sang phải, -103 +104 00:06:36,478 --> 00:06:38,180 sau đó di chuyển 2 trừ 1 lên trên. -104 +105 00:06:40,080 --> 00:06:44,920 Vậy vectơ mới có tọa độ 1 cộng 3 và 2 cộng âm 1. -105 +106 00:06:45,600 --> 00:06:49,200 Nói chung, phép cộng vectơ trong danh sách khái niệm số này trông giống -106 +107 00:06:49,200 --> 00:06:52,700 như việc ghép các số hạng của chúng và cộng từng số hạng lại với nhau. -107 +108 00:06:54,640 --> 00:06:58,360 Phép toán vectơ cơ bản khác là phép nhân với một số. -108 +109 00:06:58,860 --> 00:07:01,380 -Bây giờ, điều này được hiểu rõ nhất chỉ bằng cách xem xét một vài ví dụ. +Bây giờ, điều này được hiểu rõ nhất chỉ bằng cách xét một vài ví dụ. -109 +110 00:07:01,840 --> 00:07:04,785 Nếu bạn lấy số 2 và nhân nó với một vectơ cho trước, -110 +111 00:07:04,785 --> 00:07:09,620 điều đó có nghĩa là bạn kéo dài vectơ đó sao cho nó dài gấp đôi so với khi bạn bắt đầu. -111 +112 00:07:10,500 --> 00:07:13,704 Nếu bạn nhân vectơ đó với một phần ba, điều đó có nghĩa là bạn ép -112 +113 00:07:13,704 --> 00:07:16,860 nó xuống sao cho nó có độ dài bằng một phần ba chiều dài ban đầu. -113 +114 00:07:17,640 --> 00:07:21,254 Khi bạn nhân nó với một số âm, chẳng hạn như âm 1,8, -114 +115 00:07:21,254 --> 00:07:26,300 thì trước tiên vectơ sẽ bị đảo ngược, sau đó bị kéo dài ra theo hệ số 1,8. -115 +116 00:07:27,360 --> 00:07:31,876 Quá trình kéo dài, nén hoặc đôi khi đảo ngược hướng của vectơ này được gọi là -116 +117 00:07:31,876 --> 00:07:36,392 chia tỷ lệ và bất cứ khi nào bạn bắt gặp một số như hai hoặc một phần ba hoặc -117 +118 00:07:36,392 --> 00:07:41,140 âm 1,8 hoạt động như thế này, chia tỷ lệ cho vectơ nào đó, bạn gọi nó là vô hướng. -118 +119 00:07:41,940 --> 00:07:46,616 Trên thực tế, trong đại số tuyến tính, một trong những chức năng chính của các con -119 +120 00:07:46,616 --> 00:07:51,180 số là vectơ tỷ lệ, do đó, người ta thường sử dụng từ vô hướng thay thế cho từ số. -120 +121 00:07:52,020 --> 00:07:55,438 Về mặt số học, việc kéo dài một vectơ theo hệ số 2, -121 +122 00:07:55,438 --> 00:07:59,580 tương ứng với việc nhân từng thành phần của nó với hệ số đó, 2. -122 +123 00:08:00,300 --> 00:08:02,875 Vì vậy, trong quan niệm vectơ là danh sách các số, -123 +124 00:08:02,875 --> 00:08:07,015 nhân một vectơ đã cho với một đại lượng vô hướng có nghĩa là nhân từng thành phần -124 +125 00:08:07,015 --> 00:08:08,480 đó với đại lượng vô hướng đó. -125 +126 00:08:10,220 --> 00:08:14,667 Bạn sẽ thấy trong các video sau đây ý tôi là gì khi nói các chủ đề đại số tuyến tính -126 +127 00:08:14,667 --> 00:08:19,220 có xu hướng xoay quanh hai phép toán cơ bản này, phép cộng vectơ và phép nhân vô hướng. -127 +128 00:08:19,980 --> 00:08:24,524 Và tôi sẽ nói nhiều hơn trong video cuối cùng về cách thức và lý do tại sao nhà toán học -128 +129 00:08:24,524 --> 00:08:29,120 chỉ nghĩ về những phép toán này, độc lập và trừu tượng theo cách bạn chọn biểu diễn vectơ. -129 -00:08:29,800 --> 00:08:33,866 -Trên thực tế, không quan trọng bạn nghĩ về vectơ về cơ bản là các mũi - 130 -00:08:33,866 --> 00:08:38,456 -tên trong không gian, như tôi đang khuyên bạn làm, nó có một biểu diễn số đẹp, +00:08:29,800 --> 00:08:33,753 +Trên thực tế, không quan trọng bạn nghĩ về vectơ về cơ bản là các mũi 131 -00:08:38,456 --> 00:08:42,000 -hay về cơ bản là danh sách các số có hình học đẹp. diễn dịch. +00:08:33,753 --> 00:08:38,215 +tên trong không gian, như tôi đang khuyên bạn làm, nó có một biểu diễn số đẹp, 132 -00:08:42,520 --> 00:08:46,229 -Tính hữu ích của đại số tuyến tính ít liên quan đến một trong những +00:08:38,215 --> 00:08:42,000 +hay về cơ bản là danh sách các số có sự diễn giải hình học đẹp mắt. 133 -00:08:46,229 --> 00:08:49,720 -cách nhìn này mà liên quan đến khả năng dịch qua lại giữa chúng. +00:08:42,520 --> 00:08:46,067 +Tính hữu ích của đại số tuyến tính ít liên quan đến một trong những 134 +00:08:46,067 --> 00:08:49,720 +cách nhìn này mà liên quan đến khả năng dịch nghĩa qua lại giữa chúng. + +135 00:08:50,140 --> 00:08:53,477 Nó cung cấp cho nhà phân tích dữ liệu một cách hay để khái niệm hóa nhiều danh -135 +136 00:08:53,477 --> 00:08:56,857 sách số theo cách trực quan, điều này có thể làm rõ một cách nghiêm túc các mẫu -136 +137 00:08:56,857 --> 00:09:00,280 trong dữ liệu và đưa ra cái nhìn tổng thể về những hoạt động nhất định thực hiện. -137 +138 00:09:00,820 --> 00:09:06,217 Và mặt khác, nó mang lại cho những người như nhà vật lý và lập trình -138 +139 00:09:06,217 --> 00:09:11,380 viên đồ họa máy tính một ngôn ngữ để mô tả không gian và máy tính. -139 +140 00:09:12,300 --> 00:09:14,595 Ví dụ: khi tôi thực hiện các hoạt ảnh toán học, -140 +141 00:09:14,595 --> 00:09:18,325 tôi bắt đầu bằng cách nghĩ về những gì đang thực sự diễn ra trong không gian, -141 +142 00:09:18,325 --> 00:09:20,764 sau đó yêu cầu máy tính biểu diễn mọi thứ bằng số, -142 +143 00:09:20,764 --> 00:09:23,060 từ đó tìm ra vị trí đặt các pixel trên màn hình. -143 +144 00:09:23,480 --> 00:09:26,580 Và việc làm điều đó thường dựa vào rất nhiều hiểu biết về đại số tuyến tính. -144 +145 00:09:27,840 --> 00:09:30,737 Vậy là bạn đã có những kiến thức cơ bản về vectơ và trong video tiếp theo, -145 +146 00:09:30,737 --> 00:09:33,481 tôi sẽ bắt đầu tìm hiểu một số khái niệm khá rõ ràng xung quanh vectơ, -146 +147 00:09:33,481 --> 00:09:35,220 như khoảng, cơ sở và sự phụ thuộc tuyến tính. -147 +148 00:09:35,720 --> 00:09:51,820 Gặp bạn sau! diff --git a/2017/backpropagation-calculus/arabic/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/arabic/auto_generated.srt index 65d907e9b..ee829b149 100644 --- a/2017/backpropagation-calculus/arabic/auto_generated.srt +++ b/2017/backpropagation-calculus/arabic/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:04,020 --> 00:00:06,789 +00:00:04,019 --> 00:00:06,789 الافتراض الصعب هنا هو أنك شاهدت الجزء الثالث، 2 @@ -51,15 +51,15 @@ وهدفنا هو فهم مدى حساسية دالة التكلفة لهذه المتغيرات. 14 -00:00:55,419 --> 00:00:59,320 +00:00:55,420 --> 00:00:58,472 وبهذه الطريقة نعرف أي تعديلات على هذه الشروط ستتسبب 15 -00:00:59,320 --> 00:01:02,320 +00:00:58,472 --> 00:01:00,820 في التخفيض الأكثر كفاءة لوظيفة التكلفة. 16 -00:01:02,320 --> 00:01:04,840 +00:01:01,960 --> 00:01:04,840 سنركز فقط على الاتصال بين آخر خليتين عصبيتين. 17 @@ -99,15 +99,15 @@ L المرتفع، للإشارة إلى الطبقة التي توجد فيها سنشير إلى تكلفة هذا المثال التدريبي بالرمز c0. 26 -00:01:45,900 --> 00:01:51,903 +00:01:45,900 --> 00:01:51,411 للتذكير، يتم تحديد هذا التنشيط الأخير من خلال الوزن، والذي سأسميه wL، مضروبًا 27 -00:01:51,903 --> 00:01:57,600 +00:01:51,411 --> 00:01:56,640 في تنشيط الخلية العصبية السابقة بالإضافة إلى بعض التحيز، والذي سأسميه bL. 28 -00:01:57,600 --> 00:02:01,320 +00:01:57,420 --> 00:02:01,320 ثم تقوم بضخ ذلك من خلال بعض الوظائف غير الخطية الخاصة مثل السيني أو ReLU. 29 @@ -199,35 +199,35 @@ L المرتفع، للإشارة إلى الطبقة التي توجد فيها من أنها واضحة جميعًا، لأننا الآن سنقوم بحساب المشتقات ذات الصلة. 51 -00:04:07,440 --> 00:04:14,180 +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 مشتق c بالنسبة لـ AL يصبح 2AL-y. 52 -00:04:14,180 --> 00:04:18,666 +00:04:13,980 --> 00:04:18,535 وهذا يعني أن حجمها يتناسب مع الفرق بين مخرجات الشبكة والشيء الذي نريدها 53 -00:04:18,666 --> 00:04:22,965 +00:04:18,535 --> 00:04:22,900 أن تكون عليه، لذلك إذا كان هذا الناتج مختلفًا تمامًا، فحتى التغييرات 54 -00:04:22,965 --> 00:04:27,140 +00:04:22,900 --> 00:04:27,140 الطفيفة من شأنها أن يكون لها تأثير كبير على دالة التكلفة النهائية. 55 -00:04:27,840 --> 00:04:37,420 +00:04:27,840 --> 00:04:36,180 مشتق AL بالنسبة إلى zL هو مجرد مشتق للدالة السينية، أو أي دالة غير خطية تختار استخدامها. 56 -00:04:37,420 --> 00:04:46,160 +00:04:37,220 --> 00:04:44,660 مشتق zL بالنسبة إلى wL يصبح AL-1. 57 -00:04:46,160 --> 00:04:49,889 +00:04:45,760 --> 00:04:49,695 لا أعرف عنك، ولكني أعتقد أنه من السهل أن تتعثر في الصيغ 58 -00:04:49,889 --> 00:04:53,420 +00:04:49,695 --> 00:04:53,420 دون أن تأخذ لحظة لتجلس وتذكّر نفسك بما تعنيه جميعها. 59 @@ -247,19 +247,19 @@ L المرتفع، للإشارة إلى الطبقة التي توجد فيها وكل هذا هو مشتق فيما يتعلق بـ wL فقط من تكلفة مثال تدريبي واحد محدد. 63 -00:05:16,440 --> 00:05:22,695 +00:05:16,440 --> 00:05:22,081 بما أن دالة التكلفة الكاملة تتضمن حساب متوسط كل تلك التكاليف معًا عبر العديد من أمثلة 64 -00:05:22,695 --> 00:05:28,660 +00:05:22,081 --> 00:05:27,460 التدريب المختلفة، فإن مشتقها يتطلب حساب متوسط هذا التعبير على جميع أمثلة التدريب. 65 -00:05:28,660 --> 00:05:33,203 +00:05:28,380 --> 00:05:33,056 بالطبع، هذا مجرد عنصر واحد من متجه التدرج، والذي تم إنشاؤه من 66 -00:05:33,203 --> 00:05:38,260 +00:05:33,056 --> 00:05:38,260 المشتقات الجزئية لدالة التكلفة فيما يتعلق بكل تلك الأوزان والتحيزات. 67 @@ -391,7 +391,7 @@ L المرتفع، للإشارة إلى الطبقة التي توجد فيها سأترك الأمر لك للتوقف والتفكير في كل مصطلح من هذه المصطلحات إذا كنت تريد ذلك. 99 -00:08:28,979 --> 00:08:36,659 +00:08:28,980 --> 00:08:36,659 لكن ما يتغير هنا هو مشتق التكلفة فيما يتعلق بأحد عمليات التنشيط في الطبقة L-1. 100 diff --git a/2017/backpropagation-calculus/chinese/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/chinese/auto_generated.srt index a0c7e10f4..7f1f122dc 100644 --- a/2017/backpropagation-calculus/chinese/auto_generated.srt +++ b/2017/backpropagation-calculus/chinese/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:04,020 --> 00:00:07,461 +00:00:04,019 --> 00:00:07,461 这里的硬假设是您已经观看了第 3 部 分， 2 @@ -51,15 +51,15 @@ 我们的目 标是了解成本函数对这些变量的敏感程度。 14 -00:00:55,419 --> 00:00:58,981 +00:00:55,420 --> 00:00:58,207 这样我们就知道对这些项的哪些调 15 -00:00:58,981 --> 00:01:02,320 +00:00:58,207 --> 00:01:00,820 整将导致成本函数最有效的降低。 16 -00:01:02,320 --> 00:01:04,840 +00:01:01,960 --> 00:01:04,840 我们将只关注最后两个神经元之间的连接。 17 @@ -99,19 +99,19 @@ 我们将该训练示例的成本表示为 c0。 26 -00:01:45,900 --> 00:01:51,852 +00:01:45,900 --> 00:01:51,364 提醒一下，最后的激活是由权重（我将其称为 wL）乘以前一 27 -00:01:51,852 --> 00:01:57,600 +00:01:51,364 --> 00:01:56,640 个神经元的激活加上一些偏差（我将其称为 bL）来确定的。 28 -00:01:57,600 --> 00:01:59,362 +00:01:57,420 --> 00:01:59,267 然后通过一些特殊的非线性函数（例如 29 -00:01:59,362 --> 00:02:01,320 +00:01:59,267 --> 00:02:01,320 sigmoid 或 ReLU）将其泵送。 30 @@ -235,39 +235,39 @@ sigmoid 或 ReLU）将其泵送。 因为现在我们要计算相关的导数。 60 -00:04:07,440 --> 00:04:14,180 +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 c 对 AL 的导数为 2AL-y。 61 -00:04:14,180 --> 00:04:18,687 +00:04:13,980 --> 00:04:18,557 这意味着它的大小与网络输出和我们想要的结果之间 62 -00:04:18,687 --> 00:04:22,068 +00:04:18,557 --> 00:04:21,990 的差异成正比，因此如果输出非常不同， 63 -00:04:22,068 --> 00:04:27,140 +00:04:21,990 --> 00:04:27,140 即使是微 小的变化也会对最终的成本函数产生很大的影响。 64 -00:04:27,840 --> 00:04:32,821 +00:04:27,840 --> 00:04:32,176 AL 相对于 zL 的导数只是我们的 sigmoi 65 -00:04:32,821 --> 00:04:37,420 +00:04:32,176 --> 00:04:36,180 d 函数的导数，或者您选择使用的任何非线性函数。 66 -00:04:37,420 --> 00:04:46,160 +00:04:37,220 --> 00:04:44,660 zL 对 wL 的导数为 AL-1。 67 -00:04:46,160 --> 00:04:50,212 +00:04:45,760 --> 00:04:50,035 我不了解你的情况，但我认为你很容易陷入公式 中， 68 -00:04:50,212 --> 00:04:53,420 +00:04:50,035 --> 00:04:53,420 而不花点时间坐下来提醒自己它们的含义。 69 @@ -287,27 +287,27 @@ zL 对 wL 的导数为 AL-1。 所有这些都是特定单个训练示例 的成本相对于 wL 的导数。 73 -00:05:16,440 --> 00:05:20,646 +00:05:16,440 --> 00:05:20,233 由于完整的成本函数涉及将许多不同训练示例 74 -00:05:20,646 --> 00:05:24,853 +00:05:20,233 --> 00:05:24,027 中的所有这些成本平均在一起，因此其导数需 75 -00:05:24,853 --> 00:05:28,660 +00:05:24,027 --> 00:05:27,460 要对所有训练示例上的该表达式进行平均。 76 -00:05:28,660 --> 00:05:32,116 +00:05:28,380 --> 00:05:31,936 当然，这只是梯度向量的一个组成部分， 77 -00:05:32,116 --> 00:05:36,916 +00:05:31,936 --> 00:05:36,876 梯度向量是根据 成本函数相对于所有这些权重和偏差的 78 -00:05:36,916 --> 00:05:38,260 +00:05:36,876 --> 00:05:38,260 偏导数构建的。 79 @@ -467,7 +467,7 @@ zL 对 wL 的导数为 AL-1。 如果您愿意，我将让您停下来思考每个术语。 118 -00:08:28,979 --> 00:08:33,059 +00:08:28,980 --> 00:08:33,059 不过，这里发生的变化是成本相对于 119 diff --git a/2017/backpropagation-calculus/french/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/french/auto_generated.srt index 83e7995fc..0cd77ecce 100644 --- a/2017/backpropagation-calculus/french/auto_generated.srt +++ b/2017/backpropagation-calculus/french/auto_generated.srt @@ -1,9 +1,9 @@ 1 -00:00:04,019 --> 00:00:06,808 +00:00:04,019 --> 00:00:06,798 L'hypothèse difficile ici est que vous avez regardé la partie 3, 2 -00:00:06,808 --> 00:00:09,920 +00:00:06,798 --> 00:00:09,920 qui donne une présentation intuitive de l'algorithme de rétropropagation. 3 @@ -11,35 +11,35 @@ qui donne une présentation intuitive de l'algorithme de rétropropagation. Ici, nous devenons un peu plus formels et plongeons dans le calcul pertinent. 4 -00:00:14,820 --> 00:00:16,841 +00:00:14,820 --> 00:00:16,887 Il est normal que cela soit au moins un peu déroutant, 5 -00:00:16,841 --> 00:00:19,745 -donc le mantra de faire régulièrement une pause et de réfléchir s'applique +00:00:16,887 --> 00:00:20,196 +donc le mantra de faire régulièrement une pause et de réfléchir s'applique certainement 6 -00:00:19,745 --> 00:00:21,400 -certainement autant ici que partout ailleurs. +00:00:20,196 --> 00:00:21,400 +autant ici que partout ailleurs. 7 -00:00:21,940 --> 00:00:24,882 -Notre objectif principal est de montrer comment les personnes travaillant dans le +00:00:21,940 --> 00:00:24,846 +Notre objectif principal est de montrer comment les personnes travaillant dans 8 -00:00:24,882 --> 00:00:27,682 -domaine de l'apprentissage automatique pensent généralement à la règle de +00:00:24,846 --> 00:00:27,679 +le domaine de l'apprentissage automatique pensent généralement à la règle de 9 -00:00:27,682 --> 00:00:29,369 +00:00:27,679 --> 00:00:29,408 chaîne du calcul dans le contexte des réseaux, 10 -00:00:29,369 --> 00:00:31,953 +00:00:29,408 --> 00:00:32,057 ce qui a une sensation différente de la façon dont la plupart des cours 11 -00:00:31,953 --> 00:00:33,640 +00:00:32,057 --> 00:00:33,640 d'introduction au calcul abordent le sujet. 12 @@ -83,23 +83,23 @@ entraîneront la diminution la plus efficace de la fonction de coût. Et nous allons juste nous concentrer sur la connexion entre les deux derniers neurones. 22 -00:01:05,980 --> 00:01:09,976 +00:01:05,980 --> 00:01:09,935 Marquons l'activation de ce dernier neurone avec un exposant L, 23 -00:01:09,976 --> 00:01:14,443 +00:01:09,935 --> 00:01:14,385 indiquant dans quelle couche il se trouve, donc l'activation du neurone 24 -00:01:14,443 --> 00:01:15,560 +00:01:14,385 --> 00:01:15,560 précédent est Al-1. 25 -00:01:16,360 --> 00:01:19,875 +00:01:16,360 --> 00:01:19,800 Ce ne sont pas des exposants, ils sont juste un moyen d'indexer ce dont nous parlons, 26 -00:01:19,875 --> 00:01:23,040 +00:01:19,800 --> 00:01:23,040 puisque je souhaite enregistrer ultérieurement les indices de différents indices. 27 @@ -119,494 +119,486 @@ Le coût de ce réseau pour un seul exemple de formation est donc Al-y2. Nous désignerons le coût de cet exemple de formation par c0. 31 -00:01:45,900 --> 00:01:49,869 -Pour rappel, cette dernière activation est déterminée par un poids, +00:01:45,900 --> 00:01:51,457 +Pour rappel, cette dernière activation est déterminée par un poids, que j'appellerai WL, 32 -00:01:49,869 --> 00:01:53,312 -que j'appellerai WL, multiplié par l'activation du +00:01:51,457 --> 00:01:56,640 +multiplié par l'activation du neurone précédent plus un biais, que j'appellerai BL. 33 -00:01:53,312 --> 00:01:56,640 -neurone précédent plus un biais, que j'appellerai BL. - -34 00:01:57,420 --> 00:02:01,320 Et puis vous pompez cela via une fonction non linéaire spéciale comme le sigmoïde ou ReLU. -35 +34 00:02:01,800 --> 00:02:05,583 Cela va en fait nous faciliter la tâche si nous donnons un nom spécial à cette -36 +35 00:02:05,583 --> 00:02:09,320 somme pondérée, comme z, avec le même exposant que les activations concernées. -37 -00:02:10,380 --> 00:02:13,872 +36 +00:02:10,380 --> 00:02:13,923 Cela fait beaucoup de termes, et une façon dont vous pourriez le +37 +00:02:13,923 --> 00:02:17,739 +conceptualiser est que le poids, l'action précédente et le biais sont + 38 -00:02:13,872 --> 00:02:17,580 -conceptualiser est que le poids, l'action précédente et le biais +00:02:17,739 --> 00:02:21,882 +tous utilisés pour calculer z, ce qui nous permet à son tour de calculer a, 39 -00:02:17,580 --> 00:02:21,933 -sont tous utilisés pour calculer z, ce qui nous permet à son tour de calculer a, - -40 -00:02:21,933 --> 00:02:25,480 +00:02:21,882 --> 00:02:25,480 qui finalement, avec un y constant, permet nous calculons le coût. -41 -00:02:27,340 --> 00:02:31,414 +40 +00:02:27,340 --> 00:02:31,427 Et bien sûr, l'Al-1 est influencé par son propre poids et ses préjugés, -42 -00:02:31,414 --> 00:02:35,060 +41 +00:02:31,427 --> 00:02:35,060 mais nous n'allons pas nous concentrer là-dessus pour le moment. -43 +42 00:02:35,700 --> 00:02:37,620 Tout cela ne sont que des chiffres, n'est-ce pas ? -44 +43 00:02:38,060 --> 00:02:41,040 Et il peut être agréable de penser que chacun a sa propre petite droite numérique. -45 +44 00:02:41,720 --> 00:02:45,473 Notre premier objectif est de comprendre à quel point la fonction -46 +45 00:02:45,473 --> 00:02:49,000 de coût est sensible aux petits changements de notre poids WL. -47 +46 00:02:49,540 --> 00:02:54,860 Ou une expression différente, quelle est la dérivée de c par rapport à WL ? -48 +47 00:02:55,600 --> 00:03:00,855 Lorsque vous voyez ce terme del W, pensez-y comme signifiant un petit coup de pouce à W, -49 +48 00:03:00,855 --> 00:03:05,166 comme un changement de 0,01, et pensez à ce terme del c comme signifiant -50 +49 00:03:05,166 --> 00:03:08,060 quel que soit le coup de pouce résultant du coût. -51 +50 00:03:08,060 --> 00:03:10,220 Ce que nous voulons, c'est leur ratio. -52 +51 00:03:11,260 --> 00:03:14,515 Conceptuellement, ce petit coup de pouce vers WL entraîne un -53 +52 00:03:14,515 --> 00:03:19,265 certain coup de pouce vers ZL, qui à son tour provoque un certain coup de pouce vers AL, -54 +53 00:03:19,265 --> 00:03:21,240 ce qui influence directement le coût. -55 +54 00:03:23,120 --> 00:03:28,434 Nous décomposons donc les choses en examinant d’abord le rapport d’un petit changement -56 +55 00:03:28,434 --> 00:03:33,200 de ZL à ce petit changement W, c’est-à-dire la dérivée de ZL par rapport à WL. -57 -00:03:33,200 --> 00:03:37,002 +56 +00:03:33,200 --> 00:03:37,073 De même, vous considérez ensuite le rapport entre le changement de AL et +57 +00:03:37,073 --> 00:03:40,839 +le petit changement de ZL qui l'a provoqué, ainsi que le rapport entre + 58 -00:03:37,002 --> 00:03:39,503 -le petit changement de ZL qui l'a provoqué, +00:03:40,839 --> 00:03:44,660 +le coup de pouce final vers c et ce coup de pouce intermédiaire vers AL. 59 -00:03:39,503 --> 00:03:43,201 -ainsi que le rapport entre le coup de pouce final vers c et ce coup de +00:03:45,740 --> 00:03:50,440 +C'est ici la règle de la chaîne, où la multiplication de ces trois 60 -00:03:43,201 --> 00:03:44,660 -pouce intermédiaire vers AL. +00:03:50,440 --> 00:03:55,140 +ratios nous donne la sensibilité de c aux petits changements de WL. 61 -00:03:45,740 --> 00:03:50,576 -C'est ici la règle de la chaîne, où la multiplication de ces trois +00:03:56,880 --> 00:03:59,741 +Donc, à l'écran en ce moment, il y a beaucoup de symboles, 62 -00:03:50,576 --> 00:03:55,140 -ratios nous donne la sensibilité de c aux petits changements de WL. +00:03:59,741 --> 00:04:03,281 +et prenez un moment pour vous assurer que ce qu'ils sont tous est clair, 63 -00:03:56,880 --> 00:03:59,813 -Donc, à l'écran en ce moment, il y a beaucoup de symboles, +00:04:03,281 --> 00:04:06,240 +car nous allons maintenant calculer les dérivées pertinentes. 64 -00:03:59,813 --> 00:04:03,399 -et prenez un moment pour vous assurer que ce qu'ils sont tous est clair, +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 +La dérivée de c par rapport à AL s’avère être 2AL-y. 65 -00:04:03,399 --> 00:04:06,240 -car nous allons maintenant calculer les dérivées pertinentes. +00:04:13,980 --> 00:04:17,433 +Notez que cela signifie que sa taille est proportionnelle à la différence 66 -00:04:07,440 --> 00:04:13,160 -La dérivée de c par rapport à AL s’avère être 2AL-y. +00:04:17,433 --> 00:04:20,466 +entre la production du réseau et ce que nous voulons qu'il soit, 67 -00:04:13,980 --> 00:04:17,338 -Notez que cela signifie que sa taille est proportionnelle à la différence +00:04:20,466 --> 00:04:22,706 +donc si cette production était très différente, 68 -00:04:17,338 --> 00:04:20,469 -entre la production du réseau et ce que nous voulons qu'il soit, +00:04:22,706 --> 00:04:26,020 +même de légers changements risquent d'avoir un impact important sur la 69 -00:04:20,469 --> 00:04:22,647 -donc si cette production était très différente, +00:04:26,020 --> 00:04:27,140 +fonction de coût finale. 70 -00:04:22,647 --> 00:04:25,914 -même de légers changements risquent d'avoir un impact important sur +00:04:27,840 --> 00:04:32,574 +La dérivée de AL par rapport à ZL est simplement la dérivée de notre fonction sigmoïde, 71 -00:04:25,914 --> 00:04:27,140 -la fonction de coût finale. +00:04:32,574 --> 00:04:36,180 +ou quelle que soit la non-linéarité que vous choisissez d'utiliser. 72 -00:04:27,840 --> 00:04:32,455 -La dérivée de AL par rapport à ZL est simplement la dérivée de notre fonction sigmoïde, +00:04:37,220 --> 00:04:44,660 +Et la dérivée de ZL par rapport à WL s'avère être AL-1. 73 -00:04:32,455 --> 00:04:36,180 -ou quelle que soit la non-linéarité que vous choisissez d'utiliser. +00:04:45,760 --> 00:04:48,402 +Maintenant, je ne sais pas pour vous, mais je pense qu'il est facile 74 -00:04:37,220 --> 00:04:44,660 -Et la dérivée de ZL par rapport à WL s'avère être AL-1. +00:04:48,402 --> 00:04:50,853 +de rester coincé tête baissée dans les formules sans prendre un 75 -00:04:45,760 --> 00:04:48,397 -Maintenant, je ne sais pas pour vous, mais je pense qu'il est facile +00:04:50,853 --> 00:04:53,420 +moment pour s'asseoir et se rappeler ce qu'elles signifient toutes. 76 -00:04:48,397 --> 00:04:50,963 -de rester coincé tête baissée dans les formules sans prendre un moment - -77 -00:04:50,963 --> 00:04:53,420 -pour s'asseoir et se rappeler ce qu'elles signifient toutes. - -78 00:04:53,920 --> 00:04:58,284 Dans le cas de cette dernière dérivée, la mesure dans laquelle le petit coup -79 +77 00:04:58,284 --> 00:05:02,820 de pouce a influencé la dernière couche dépend de la force du neurone précédent. -80 +78 00:05:03,380 --> 00:05:08,280 N’oubliez pas que c’est là qu’intervient l’idée des neurones qui s’allument ensemble. -81 -00:05:09,200 --> 00:05:12,430 +79 +00:05:09,200 --> 00:05:12,428 Et tout cela n'est que la dérivée par rapport à WL -82 -00:05:12,430 --> 00:05:15,720 +80 +00:05:12,428 --> 00:05:15,720 du coût d'un exemple de formation unique spécifique. -83 +81 00:05:16,440 --> 00:05:20,206 Étant donné que la fonction de coût complet implique de faire la moyenne de tous -84 +82 00:05:20,206 --> 00:05:22,996 ces coûts sur de nombreux exemples de formation différents, -85 +83 00:05:22,996 --> 00:05:26,855 sa dérivée nécessite de faire la moyenne de cette expression sur tous les exemples -86 +84 00:05:26,855 --> 00:05:27,460 de formation. -87 +85 00:05:28,380 --> 00:05:31,691 Et bien sûr, ce n’est qu’une composante du vecteur gradient, -88 +86 00:05:31,691 --> 00:05:34,948 qui lui-même est construit à partir des dérivées partielles -89 +87 00:05:34,948 --> 00:05:38,260 de la fonction de coût par rapport à tous ces poids et biais. -90 +88 00:05:40,640 --> 00:05:43,816 Mais même si ce n’est qu’une des nombreuses dérivées partielles dont nous avons besoin, -91 +89 00:05:43,816 --> 00:05:45,260 cela représente plus de 50 % du travail. -92 +90 00:05:46,340 --> 00:05:49,720 La sensibilité au biais, par exemple, est quasiment identique. -93 +91 00:05:50,040 --> 00:05:55,020 Nous avons juste besoin de remplacer ce terme del z del w par un del z del b. -94 +92 00:05:58,420 --> 00:06:02,400 Et si vous regardez la formule pertinente, cette dérivée s’avère être 1. -95 -00:06:06,140 --> 00:06:10,401 +93 +00:06:06,140 --> 00:06:10,012 Aussi, et c'est là qu'intervient l'idée de propagation vers l'arrière, -96 -00:06:10,401 --> 00:06:13,633 -vous pouvez voir à quel point cette fonction de coût est sensible +94 +00:06:10,012 --> 00:06:14,758 +vous pouvez voir à quel point cette fonction de coût est sensible à l'activation de la -97 -00:06:13,633 --> 00:06:15,740 -à l'activation de la couche précédente. +95 +00:06:14,758 --> 00:06:15,740 +couche précédente. -98 +96 00:06:15,740 --> 00:06:20,767 À savoir, cette dérivée initiale dans l’expression de la règle de chaîne, -99 +97 00:06:20,767 --> 00:06:25,660 la sensibilité de z à l’activation précédente, s’avère être le poids WL. +98 +00:06:26,640 --> 00:06:30,578 +Et encore une fois, même si nous ne pourrons pas influencer directement l'activation de + +99 +00:06:30,578 --> 00:06:33,130 +la couche précédente, il est utile d'en garder la trace, + 100 -00:06:26,640 --> 00:06:29,756 -Et encore une fois, même si nous ne pourrons pas influencer directement +00:06:33,130 --> 00:06:37,024 +car maintenant nous pouvons simplement continuer à répéter cette même idée de règle de 101 -00:06:29,756 --> 00:06:33,263 -l'activation de la couche précédente, il est utile d'en garder la trace, +00:06:37,024 --> 00:06:41,007 +chaîne à l'envers pour voir à quel point la fonction de coût est sensible à pondérations 102 -00:06:33,263 --> 00:06:36,509 -car maintenant nous pouvons simplement continuer à répéter cette même idée +00:06:41,007 --> 00:06:42,440 +précédentes et biais antérieurs. 103 -00:06:36,509 --> 00:06:39,626 -de règle de chaîne à l'envers pour voir à quel point la fonction de - -104 -00:06:39,626 --> 00:06:42,440 -coût est sensible à pondérations précédentes et biais antérieurs. - -105 00:06:43,180 --> 00:06:45,807 Et vous pourriez penser qu’il s’agit d’un exemple trop simple, -106 +104 00:06:45,807 --> 00:06:48,392 puisque toutes les couches ont un neurone, et les choses vont -107 +105 00:06:48,392 --> 00:06:51,020 devenir exponentiellement plus compliquées pour un réseau réel. -108 +106 00:06:51,700 --> 00:06:55,387 Mais honnêtement, cela ne change pas beaucoup lorsque nous donnons plusieurs neurones -109 +107 00:06:55,387 --> 00:06:58,860 aux couches, ce ne sont en réalité que quelques indices supplémentaires à suivre. -110 -00:06:59,380 --> 00:07:02,925 +108 +00:06:59,380 --> 00:07:02,790 Plutôt que l'activation d'une couche donnée soit simplement AL, -111 -00:07:02,925 --> 00:07:07,160 +109 +00:07:02,790 --> 00:07:07,160 elle aura également un indice indiquant de quel neurone de cette couche il s'agit. -112 +110 00:07:07,160 --> 00:07:14,420 Utilisons la lettre k pour indexer le calque L-1, et j pour indexer le calque L. -113 +111 00:07:15,260 --> 00:07:18,992 Pour le coût, nous regardons encore une fois quel est le résultat souhaité, -114 +112 00:07:18,992 --> 00:07:22,282 mais cette fois nous additionnons les carrés des différences entre -115 +113 00:07:22,282 --> 00:07:25,180 ces activations de dernière couche et le résultat souhaité. -116 +114 00:07:26,080 --> 00:07:30,840 Autrement dit, vous prenez une somme supérieure à ALj moins Yj au carré. -117 +115 00:07:33,040 --> 00:07:36,959 Comme il y a beaucoup plus de poids, chacun doit avoir quelques -118 +116 00:07:36,959 --> 00:07:40,204 indices supplémentaires pour savoir où il se trouve, -119 +117 00:07:40,204 --> 00:07:44,920 appelons donc le poids du bord reliant ce kème neurone au jème neurone, WLjk. -120 -00:07:45,620 --> 00:07:47,846 +118 +00:07:45,620 --> 00:07:47,893 Ces indices peuvent sembler un peu rétrogrades au début, -121 -00:07:47,846 --> 00:07:50,346 +119 +00:07:47,893 --> 00:07:50,447 mais cela correspond à la façon dont vous indexeriez la matrice -122 -00:07:50,346 --> 00:07:53,120 +120 +00:07:50,447 --> 00:07:53,120 de pondération dont j'ai parlé dans la vidéo de la première partie. -123 -00:07:53,620 --> 00:07:57,826 +121 +00:07:53,620 --> 00:07:57,904 Comme avant, il est toujours agréable de donner un nom à la somme pondérée pertinente, -124 -00:07:57,826 --> 00:08:01,355 +122 +00:07:57,904 --> 00:08:01,303 comme z, afin que l'activation de la dernière couche soit simplement -125 -00:08:01,355 --> 00:08:04,160 +123 +00:08:01,303 --> 00:08:04,160 votre fonction spéciale, comme la sigmoïde, appliquée à z. -126 -00:08:04,660 --> 00:08:07,334 +124 +00:08:04,660 --> 00:08:07,432 Vous pouvez voir ce que je veux dire, où toutes ces équations sont -127 -00:08:07,334 --> 00:08:10,367 -essentiellement les mêmes que celles que nous avions auparavant dans le cas +125 +00:08:07,432 --> 00:08:10,411 +essentiellement les mêmes que celles que nous avions auparavant dans le -128 -00:08:10,367 --> 00:08:13,680 -d'un neurone par couche, c'est juste que cela semble un peu plus compliqué. +126 +00:08:10,411 --> 00:08:13,680 +cas d'un neurone par couche, c'est juste que cela semble un peu plus compliqué. -129 +127 00:08:15,440 --> 00:08:19,675 Et en effet, l’expression dérivée en chaîne décrivant la sensibilité -130 +128 00:08:19,675 --> 00:08:23,420 du coût à un poids spécifique semble essentiellement la même. -131 +129 00:08:23,920 --> 00:08:25,294 Je vous laisse le soin de faire une pause et de -132 +130 00:08:25,294 --> 00:08:26,840 réfléchir à chacun de ces termes si vous le souhaitez. -133 -00:08:28,980 --> 00:08:32,886 +131 +00:08:28,980 --> 00:08:32,891 Ce qui change ici, cependant, c'est la dérivée du coût -134 -00:08:32,886 --> 00:08:36,659 +132 +00:08:32,891 --> 00:08:36,659 par rapport à l'une des activations de la couche L-1. -135 +133 00:08:37,780 --> 00:08:40,424 Dans ce cas, la différence est que le neurone influence -136 +134 00:08:40,424 --> 00:08:42,880 la fonction de coût par plusieurs voies différentes. -137 +135 00:08:44,680 --> 00:08:50,063 Autrement dit, d’une part, cela influence AL0, qui joue un rôle dans la fonction de coût, -138 +136 00:08:50,063 --> 00:08:54,369 mais cela a également une influence sur AL1, qui joue également un rôle -139 +137 00:08:54,369 --> 00:08:57,540 dans la fonction de coût, et il faut les additionner. -140 +138 00:08:59,820 --> 00:09:03,040 Et ça, eh bien, c'est à peu près tout. -141 +139 00:09:03,500 --> 00:09:06,547 Une fois que vous savez à quel point la fonction de coût est sensible -142 +140 00:09:06,547 --> 00:09:08,637 aux activations de cette avant-dernière couche, -143 +141 00:09:08,637 --> 00:09:11,815 vous pouvez simplement répéter le processus pour tous les poids et biais -144 +142 00:09:11,815 --> 00:09:12,860 alimentant cette couche. -145 +143 00:09:13,900 --> 00:09:14,960 Alors félicitez-vous ! -146 +144 00:09:15,300 --> 00:09:19,212 Si tout cela a du sens, vous avez maintenant approfondi le cœur de la rétropropagation, -147 +145 00:09:19,212 --> 00:09:22,680 le cheval de bataille derrière la façon dont les réseaux neuronaux apprennent. -148 +146 00:09:23,300 --> 00:09:26,669 Ces expressions de règles de chaîne vous donnent les dérivées -149 +147 00:09:26,669 --> 00:09:29,876 qui déterminent chaque composant du gradient qui permet de -150 +148 00:09:29,876 --> 00:09:33,300 minimiser le coût du réseau en descendant à plusieurs reprises. -151 -00:09:34,300 --> 00:09:36,431 +149 +00:09:34,300 --> 00:09:36,475 Si vous vous asseyez et réfléchissez à tout cela, -152 -00:09:36,431 --> 00:09:39,159 +150 +00:09:36,475 --> 00:09:39,259 cela représente beaucoup de niveaux de complexité à comprendre, -153 -00:09:39,159 --> 00:09:42,740 +151 +00:09:39,259 --> 00:09:42,740 alors ne vous inquiétez pas s'il faut du temps à votre esprit pour tout digérer. diff --git a/2017/backpropagation-calculus/german/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/german/auto_generated.srt index 8c14dd43e..89cfdbef6 100644 --- a/2017/backpropagation-calculus/german/auto_generated.srt +++ b/2017/backpropagation-calculus/german/auto_generated.srt @@ -1,644 +1,584 @@ 1 -00:00:04,020 --> 00:00:06,804 -Die harte Annahme hier ist, dass Sie Teil 3 gesehen haben, +00:00:04,019 --> 00:00:06,379 +Wir gehen davon aus, dass du Teil 3 gesehen hast, 2 -00:00:06,804 --> 00:00:09,920 -der eine intuitive Anleitung zum Backpropagation-Algorithmus gibt. +00:00:06,379 --> 00:00:09,920 +in dem du den Backpropagation-Algorithmus intuitiv nachvollziehen konntest. 3 00:00:11,040 --> 00:00:14,220 -Hier werden wir etwas formeller und tauchen in die relevante Infinitesimalrechnung ein. +Hier werden wir ein wenig formaler und tauchen in die relevante Kalkulation ein. 4 -00:00:14,820 --> 00:00:18,456 -Es ist normal, dass dies zumindest ein wenig verwirrend ist, daher gilt das Mantra, +00:00:14,820 --> 00:00:18,475 +Es ist normal, dass das zumindest ein bisschen verwirrend ist, also gilt das Mantra, 5 -00:00:18,456 --> 00:00:21,400 +00:00:18,475 --> 00:00:21,400 regelmäßig innezuhalten und nachzudenken, hier genauso wie anderswo. 6 -00:00:21,940 --> 00:00:24,138 -Unser Hauptziel besteht darin, zu zeigen, wie Menschen, +00:00:21,940 --> 00:00:27,754 +Unser Hauptziel ist es zu zeigen, wie Menschen im Bereich des maschinellen Lernens 7 -00:00:24,138 --> 00:00:27,201 -die sich mit maschinellem Lernen befassen, üblicherweise über die Kettenregel +00:00:27,754 --> 00:00:33,640 +über die Kettenregel aus der Infinitesimalrechnung im Kontext von Netzwerken denken. 8 -00:00:27,201 --> 00:00:29,203 -aus der Analysis im Kontext von Netzwerken denken, +00:00:34,340 --> 00:00:37,329 +Für diejenigen unter euch, die sich mit den entsprechenden Berechnungen nicht auskennen, 9 -00:00:29,203 --> 00:00:31,991 -was ein anderes Gefühl vermittelt als die Herangehensweise der meisten +00:00:37,329 --> 00:00:38,740 +habe ich eine ganze Serie zu diesem Thema. 10 -00:00:31,991 --> 00:00:33,640 -Einführungskurse in Analysis an das Thema. +00:00:39,960 --> 00:00:42,958 +Beginnen wir mit einem sehr einfachen Netzwerk, 11 -00:00:34,340 --> 00:00:36,845 -Für diejenigen unter Ihnen, die sich mit der relevanten Infinitesimalrechnung +00:00:42,958 --> 00:00:46,020 +in dem jede Schicht ein einzelnes Neuron enthält. 12 -00:00:36,845 --> 00:00:38,740 -nicht auskennen, habe ich eine ganze Reihe zu diesem Thema. +00:00:46,320 --> 00:00:49,814 +Dieses Netz wird durch drei Gewichte und drei Verzerrungen bestimmt, 13 -00:00:39,960 --> 00:00:43,020 -Beginnen wir mit einem äußerst einfachen Netzwerk, +00:00:49,814 --> 00:00:53,917 +und unser Ziel ist es zu verstehen, wie empfindlich die Kostenfunktion auf diese 14 -00:00:43,020 --> 00:00:46,020 -bei dem jede Schicht ein einzelnes Neuron enthält. +00:00:53,917 --> 00:00:54,880 +Variablen reagiert. 15 -00:00:46,320 --> 00:00:50,017 -Dieses Netzwerk wird durch drei Gewichte und drei Verzerrungen bestimmt. +00:00:55,420 --> 00:00:57,963 +Auf diese Weise wissen wir, welche Anpassungen an diesen 16 -00:00:50,017 --> 00:00:54,424 -Unser Ziel ist es zu verstehen, wie empfindlich die Kostenfunktion auf diese Variablen +00:00:57,963 --> 00:01:00,820 +Begriffen die effizienteste Senkung der Kostenfunktion bewirken. 17 -00:00:54,424 --> 00:00:54,880 -reagiert. +00:01:01,960 --> 00:01:04,840 +Wir konzentrieren uns nur auf die Verbindung zwischen den letzten beiden Neuronen. 18 -00:00:55,419 --> 00:00:59,063 -Auf diese Weise wissen wir, welche Anpassungen dieser Bedingungen +00:01:05,980 --> 00:01:09,342 +Beschriften wir die Aktivierung des letzten Neurons mit einem hochgestellten L, 19 -00:00:59,063 --> 00:01:02,320 -die effizienteste Verringerung der Kostenfunktion bewirken. +00:01:09,342 --> 00:01:11,360 +das angibt, in welcher Schicht es sich befindet. 20 -00:01:02,320 --> 00:01:04,840 -Wir konzentrieren uns nur auf die Verbindung zwischen den letzten beiden Neuronen. +00:01:11,680 --> 00:01:15,560 +Die Aktivierung des vorherigen Neurons ist also AL-1. 21 -00:01:05,980 --> 00:01:09,388 -Beschriften wir die Aktivierung dieses letzten Neurons mit einem hochgestellten L, +00:01:16,360 --> 00:01:19,361 +Das sind keine Exponenten, sondern nur eine Möglichkeit, das, 22 -00:01:09,388 --> 00:01:11,360 -das angibt, in welcher Schicht es sich befindet. +00:01:19,361 --> 00:01:23,040 +worüber wir reden, zu indizieren, da ich mir später die Indizes sparen will. 23 -00:01:11,680 --> 00:01:15,560 -Die Aktivierung des vorherigen Neurons ist also AL-1. +00:01:23,720 --> 00:01:28,169 +Nehmen wir an, der Wert, den wir für diese letzte Aktivierung für ein bestimmtes 24 -00:01:16,360 --> 00:01:19,149 -Dabei handelt es sich nicht um Exponenten, sondern nur um eine Möglichkeit, +00:01:28,169 --> 00:01:32,180 +Trainingsbeispiel haben wollen, ist y. y kann zum Beispiel 0 oder 1 sein. 25 -00:01:19,149 --> 00:01:21,204 -das, worüber wir sprechen, zu indizieren, da ich später +00:01:32,840 --> 00:01:39,240 +Die Kosten dieses Netzes für ein einziges Trainingsbeispiel sind also AL-y2. 26 -00:01:21,204 --> 00:01:23,040 -Indizes für verschiedene Indizes speichern möchte. +00:01:40,260 --> 00:01:44,380 +Wir bezeichnen die Kosten für dieses eine Trainingsbeispiel als c0. 27 -00:01:23,720 --> 00:01:28,032 -Nehmen wir an, dass der Wert, den diese letzte Aktivierung für ein bestimmtes +00:01:45,900 --> 00:01:50,659 +Zur Erinnerung: Diese letzte Aktivierung wird durch eine Gewichtung bestimmt, 28 -00:01:28,032 --> 00:01:32,180 -Trainingsbeispiel haben soll, y ist. Beispielsweise könnte y 0 oder 1 sein. +00:01:50,659 --> 00:01:55,602 +die ich wL nenne, mal der vorherigen Neuronenaktivierung plus einer Vorspannung, 29 -00:01:32,840 --> 00:01:39,240 -Die Kosten dieses Netzwerks für ein einzelnes Trainingsbeispiel betragen also AL-y2. +00:01:55,602 --> 00:01:56,640 +die ich bL nenne. 30 -00:01:40,260 --> 00:01:44,380 -Wir bezeichnen die Kosten dieses einen Trainingsbeispiels als c0. +00:01:57,420 --> 00:02:01,320 +Dann pumpst du das durch eine spezielle nichtlineare Funktion wie das Sigmoid oder ReLU. 31 -00:01:45,900 --> 00:01:50,272 -Zur Erinnerung: Diese letzte Aktivierung wird durch ein Gewicht bestimmt, +00:02:01,800 --> 00:02:05,443 +Es macht die Sache einfacher, wenn wir dieser gewichteten Summe einen eigenen 32 -00:01:50,272 --> 00:01:54,231 -das ich wL nenne, multipliziert mit der Aktivierung des vorherigen +00:02:05,443 --> 00:02:09,320 +Namen geben, z. B. z, mit demselben Hochkomma wie die entsprechenden Aktivierungen. 33 -00:01:54,231 --> 00:01:57,600 -Neurons plus einer gewissen Abweichung, die ich bL nenne. +00:02:10,380 --> 00:02:13,711 +Das sind viele Begriffe, und du kannst dir das so vorstellen, 34 -00:01:57,600 --> 00:02:01,320 -Dann pumpen Sie das durch eine spezielle nichtlineare Funktion wie Sigmoid oder ReLU. +00:02:13,711 --> 00:02:18,333 +dass das Gewicht, die vorherige Aktion und die Vorspannung zusammen verwendet werden, 35 -00:02:01,800 --> 00:02:03,709 -Es wird uns tatsächlich die Arbeit erleichtern, +00:02:18,333 --> 00:02:21,610 +um z zu berechnen, was uns wiederum erlaubt, a zu berechnen, 36 -00:02:03,709 --> 00:02:06,256 -wenn wir dieser gewichteten Summe einen speziellen Namen geben, +00:02:21,610 --> 00:02:25,480 +was uns schließlich zusammen mit einer Konstante y die Kosten berechnet. 37 -00:02:06,256 --> 00:02:09,320 -z. B. z, mit demselben hochgestellten Index wie die relevanten Aktivierungen. +00:02:27,340 --> 00:02:30,016 +Und natürlich wird AL-1 durch sein eigenes Gewicht, 38 -00:02:10,380 --> 00:02:14,557 -Das sind viele Begriffe, und Sie könnten sich das so vorstellen, dass das Gewicht, +00:02:30,016 --> 00:02:33,721 +seine Vorspannung und so weiter beeinflusst, aber darauf wollen wir uns 39 -00:02:14,557 --> 00:02:18,584 -die vorherige Aktion und der Bias zusammen verwendet werden, um z zu berechnen, +00:02:33,721 --> 00:02:35,060 +jetzt nicht konzentrieren. 40 -00:02:18,584 --> 00:02:21,101 -was uns wiederum die Berechnung von a ermöglicht, +00:02:35,700 --> 00:02:37,620 +Das sind doch alles nur Zahlen, oder? 41 -00:02:21,101 --> 00:02:25,480 -was uns schließlich zusammen mit einer Konstante y ermöglicht Wir berechnen die Kosten. +00:02:38,060 --> 00:02:41,040 +Und es kann schön sein, sich vorzustellen, dass jeder seine eigene kleine Zahlenreihe hat. 42 -00:02:27,340 --> 00:02:31,617 -Und natürlich wird AL-1 durch sein eigenes Gewicht, seine Voreingenommenheit usw. +00:02:41,720 --> 00:02:45,186 +Unser erstes Ziel ist es, zu verstehen, wie empfindlich die 43 -00:02:31,617 --> 00:02:35,060 -beeinflusst, aber darauf werden wir uns jetzt nicht konzentrieren. +00:02:45,186 --> 00:02:49,000 +Kostenfunktion auf kleine Änderungen unseres Gewichts wL reagiert. 44 -00:02:35,700 --> 00:02:37,620 -Das sind doch alles nur Zahlen, oder? +00:02:49,540 --> 00:02:54,860 +Oder anders ausgedrückt: Was ist die Ableitung von c nach wL? 45 -00:02:38,060 --> 00:02:39,534 -Und es kann schön sein, sich vorzustellen, dass +00:02:55,600 --> 00:02:59,126 +Wenn du den Begriff del w siehst, kannst du dir vorstellen, 46 -00:02:39,534 --> 00:02:41,040 -jede einzelne ihre eigene kleine Zahlenreihe hat. +00:02:59,126 --> 00:03:03,534 +dass er eine winzige Änderung von w bedeutet, z. B. eine Änderung um 0,01, 47 -00:02:41,720 --> 00:02:45,360 -Unser erstes Ziel besteht darin zu verstehen, wie empfindlich die +00:03:03,534 --> 00:03:08,060 +und der Begriff del c steht für die daraus resultierende Änderung der Kosten. 48 -00:02:45,360 --> 00:02:49,000 -Kostenfunktion auf kleine Änderungen unseres Gewichts wL reagiert. +00:03:08,060 --> 00:03:10,220 +Was wir wollen, ist ihr Verhältnis. 49 -00:02:49,540 --> 00:02:54,860 -Oder anders ausgedrückt: Was ist die Ableitung von c nach wL? +00:03:11,260 --> 00:03:15,593 +Diese winzige Veränderung von wL bewirkt eine Veränderung von zL, 50 -00:02:55,600 --> 00:02:58,482 -Wenn Sie diesen del w-Begriff sehen, stellen Sie sich vor, +00:03:15,593 --> 00:03:21,240 +die wiederum eine Veränderung von AL bewirkt, was sich direkt auf die Kosten auswirkt. 51 -00:02:58,482 --> 00:03:02,001 -dass er einen kleinen Anstoß an w bedeutet, etwa eine Änderung um 0.01, +00:03:23,120 --> 00:03:27,962 +Also lösen wir die Sache auf, indem wir zuerst das Verhältnis zwischen einer winzigen 52 -00:03:02,001 --> 00:03:05,323 -und stellen Sie sich diesen del c-Begriff so vor, dass er bedeutet, +00:03:27,962 --> 00:03:31,285 +Änderung von zL und dieser winzigen Änderung w betrachten, 53 -00:03:05,323 --> 00:03:08,060 -was auch immer der daraus resultierende Kostenschub ist. +00:03:31,285 --> 00:03:33,200 +also die Ableitung von zL nach wL. 54 -00:03:08,060 --> 00:03:10,220 -Was wir wollen, ist ihr Verhältnis. +00:03:33,200 --> 00:03:36,879 +Ebenso berücksichtigst du das Verhältnis zwischen der Änderung von AL 55 -00:03:11,260 --> 00:03:15,843 -Konzeptionell führt dieser kleine Schub für wL zu einem gewissen Schub für zL, +00:03:36,879 --> 00:03:39,928 +und der winzigen Änderung von zL, die sie verursacht hat, 56 -00:03:15,843 --> 00:03:18,919 -was wiederum einen gewissen Schub für AL verursacht, +00:03:39,928 --> 00:03:44,660 +sowie das Verhältnis zwischen dem endgültigen Anstoß an c und diesem Zwischenanstoß an AL. 57 -00:03:18,919 --> 00:03:21,240 -was sich direkt auf die Kosten auswirkt. +00:03:45,740 --> 00:03:50,244 +Das hier ist die Kettenregel, bei der die Multiplikation dieser drei 58 -00:03:23,120 --> 00:03:28,363 -Also unterteilen wir die Sache, indem wir zunächst das Verhältnis einer winzigen Änderung +00:03:50,244 --> 00:03:55,140 +Verhältnisse die Empfindlichkeit von c auf kleine Änderungen von wL ergibt. 59 -00:03:28,363 --> 00:03:33,200 -von zL zu dieser winzigen Änderung w betrachten, also die Ableitung von zL nach wL. +00:03:56,880 --> 00:03:59,533 +Auf dem Bildschirm siehst du jetzt eine Menge Symbole. 60 -00:03:33,200 --> 00:03:36,948 -Ebenso berücksichtigen Sie dann das Verhältnis der Änderung von AL zu +00:03:59,533 --> 00:04:03,200 +Nimm dir einen Moment Zeit, um sicherzustellen, dass du sie alle verstehst, 61 -00:03:36,948 --> 00:03:39,840 -der winzigen Änderung von zL, die sie verursacht hat, +00:04:03,200 --> 00:04:06,240 +denn jetzt werden wir die entsprechenden Ableitungen berechnen. 62 -00:03:39,840 --> 00:03:44,660 -sowie das Verhältnis zwischen dem endgültigen Anstoß an c und diesem Zwischenanstoß an AL. +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 +Die Ableitung von c nach AL ergibt sich als 2AL-y. 63 -00:03:45,740 --> 00:03:50,064 -Das hier ist die Kettenregel, bei der die Multiplikation dieser drei +00:04:13,980 --> 00:04:18,181 +Das bedeutet, dass seine Größe proportional zur Differenz zwischen dem Ausgang des 64 -00:03:50,064 --> 00:03:55,140 -Verhältnisse die Empfindlichkeit von c gegenüber kleinen Änderungen in wL ergibt. +00:04:18,181 --> 00:04:22,736 +Netzes und dem gewünschten Ergebnis ist. Wenn das Ergebnis also sehr unterschiedlich ist, 65 -00:03:56,880 --> 00:03:59,579 -Auf dem Bildschirm sind also gerade viele Symbole zu sehen, +00:04:22,736 --> 00:04:27,140 +haben selbst kleine Änderungen einen großen Einfluss auf die endgültige Kostenfunktion. 66 -00:03:59,579 --> 00:04:02,460 -und nehmen Sie sich einen Moment Zeit, um sich zu vergewissern, +00:04:27,840 --> 00:04:32,640 +Die Ableitung von AL nach zL ist einfach die Ableitung unserer Sigmoidfunktion, 67 -00:04:02,460 --> 00:04:06,240 -dass sie alle klar sind, denn jetzt werden wir die relevanten Ableitungen berechnen. +00:04:32,640 --> 00:04:36,180 +oder welche Nichtlinearität du auch immer verwenden willst. 68 -00:04:07,440 --> 00:04:14,180 -Die Ableitung von c nach AL ergibt 2AL-y. +00:04:37,220 --> 00:04:44,660 +Die Ableitung von zL nach wL ist dann AL-1. 69 -00:04:14,180 --> 00:04:17,360 -Das bedeutet, dass seine Größe proportional zur Differenz zwischen +00:04:45,760 --> 00:04:48,339 +Ich weiß nicht, wie es dir geht, aber ich glaube, es ist leicht, 70 -00:04:17,360 --> 00:04:20,019 -der Ausgabe des Netzwerks und dem, was wir wollen, ist. +00:04:48,339 --> 00:04:50,840 +mit dem Kopf in den Formeln zu stecken, ohne sich einen Moment 71 -00:04:20,019 --> 00:04:22,392 -Wenn diese Ausgabe also sehr unterschiedlich ist, +00:04:50,840 --> 00:04:53,420 +zurückzulehnen und sich daran zu erinnern, was sie alle bedeuten. 72 -00:04:22,392 --> 00:04:25,620 -können selbst geringfügige Änderungen einen großen Einfluss auf die +00:04:53,920 --> 00:04:58,370 +Im Fall dieser letzten Ableitung hängt der Einfluss der kleinen Änderung des 73 -00:04:25,620 --> 00:04:27,140 -endgültige Kostenfunktion haben. +00:04:58,370 --> 00:05:02,820 +Gewichts auf die letzte Schicht davon ab, wie stark das vorherige Neuron ist. 74 -00:04:27,840 --> 00:04:32,707 -Die Ableitung von AL nach zL ist einfach die Ableitung unserer +00:05:03,380 --> 00:05:05,938 +Denke daran, dass hier die Idee der Neuronen, die zusammen 75 -00:04:32,707 --> 00:04:37,420 -Sigmoidfunktion oder der von Ihnen gewählten Nichtlinearität. +00:05:05,938 --> 00:05:08,280 +feuern und zusammen verdrahtet sind, zum Tragen kommt. 76 -00:04:37,420 --> 00:04:46,160 -Die Ableitung von zL nach wL ergibt AL-1. +00:05:09,200 --> 00:05:12,304 +Und all dies ist die Ableitung der Kosten für ein 77 -00:04:46,160 --> 00:04:48,308 -Ich weiß nicht, wie es Ihnen geht, aber ich denke, es ist leicht, +00:05:12,304 --> 00:05:15,720 +bestimmtes einzelnes Trainingsbeispiel in Bezug auf wL. 78 -00:04:48,308 --> 00:04:51,141 -mit dem Kopf in den Formeln stecken zu bleiben, ohne sich einen Moment Zeit zu nehmen, +00:05:16,440 --> 00:05:19,761 +Da bei der vollständigen Kostenfunktion alle Kosten über viele 79 -00:04:51,141 --> 00:04:53,420 -sich zurückzulehnen und sich daran zu erinnern, was sie alle bedeuten. +00:05:19,761 --> 00:05:23,136 +verschiedene Trainingsbeispiele hinweg gemittelt werden müssen, 80 -00:04:53,920 --> 00:04:58,702 -Im Fall dieser letzten Ableitung hängt der Einfluss des kleinen Gewichtsschubs +00:05:23,136 --> 00:05:27,460 +muss die Ableitung dieses Ausdrucks über alle Trainingsbeispiele gemittelt werden. 81 -00:04:58,702 --> 00:05:02,820 -auf die letzte Schicht davon ab, wie stark das vorherige Neuron ist. +00:05:28,380 --> 00:05:31,673 +Das ist natürlich nur eine Komponente des Gradientenvektors, 82 -00:05:03,380 --> 00:05:05,666 -Denken Sie daran, hier kommt die Idee „Neuronen, +00:05:31,673 --> 00:05:35,020 +der sich aus den partiellen Ableitungen der Kostenfunktion in 83 -00:05:05,666 --> 00:05:08,280 -die gemeinsam feuern, miteinander verdrahten“ ins Spiel. +00:05:35,020 --> 00:05:38,260 +Bezug auf all diese Gewichte und Verzerrungen zusammensetzt. 84 -00:05:09,200 --> 00:05:12,374 -Und all dies ist lediglich die Ableitung der Kosten für +00:05:40,640 --> 00:05:43,029 +Aber auch wenn das nur eine der vielen Teilableitungen ist, 85 -00:05:12,374 --> 00:05:15,720 -ein bestimmtes einzelnes Trainingsbeispiel in Bezug auf wL. +00:05:43,029 --> 00:05:45,260 +die wir brauchen, macht das mehr als 50% der Arbeit aus. 86 -00:05:16,440 --> 00:05:20,631 -Da die Vollkostenfunktion die Mittelung aller dieser Kosten über viele +00:05:46,340 --> 00:05:49,720 +Die Empfindlichkeit gegenüber der Verzerrung ist zum Beispiel fast identisch. 87 -00:05:20,631 --> 00:05:23,642 -verschiedene Trainingsbeispiele hinweg beinhaltet, +00:05:50,040 --> 00:05:55,020 +Wir müssen nur den Begriff del z del w gegen einen Begriff del z del b austauschen. 88 -00:05:23,642 --> 00:05:28,660 -erfordert ihre Ableitung die Mittelung dieses Ausdrucks über alle Trainingsbeispiele. +00:05:58,420 --> 00:06:02,400 +Und wenn du dir die entsprechende Formel ansiehst, ergibt die Ableitung 1. 89 -00:05:28,660 --> 00:05:31,931 -Das ist natürlich nur eine Komponente des Gradientenvektors, +00:06:06,140 --> 00:06:10,966 +Außerdem - und hier kommt die Idee der Rückwärtspropagierung ins Spiel - kannst du sehen, 90 -00:05:31,931 --> 00:05:36,758 -der aus den partiellen Ableitungen der Kostenfunktion in Bezug auf all diese Gewichte und +00:06:10,966 --> 00:06:15,740 +wie empfindlich diese Kostenfunktion auf die Aktivierung der vorherigen Schicht reagiert. 91 -00:05:36,758 --> 00:05:38,260 -Verzerrungen aufgebaut wird. +00:06:15,740 --> 00:06:20,996 +Die anfängliche Ableitung in der Kettenregel, also die Empfindlichkeit 92 -00:05:40,640 --> 00:05:43,156 -Aber auch wenn das nur eine der vielen partiellen Ableitungen ist, +00:06:20,996 --> 00:06:25,660 +von z gegenüber der vorherigen Aktivierung, ist das Gewicht wL. 93 -00:05:43,156 --> 00:05:45,260 -die wir brauchen, macht es mehr als 50 % der Arbeit aus. +00:06:26,640 --> 00:06:30,674 +Auch wenn wir nicht in der Lage sind, die Aktivierung der vorherigen Schicht direkt 94 -00:05:46,340 --> 00:05:49,720 -Die Empfindlichkeit gegenüber der Voreingenommenheit ist beispielsweise nahezu identisch. +00:06:30,674 --> 00:06:33,555 +zu beeinflussen, ist es hilfreich, sie im Auge zu behalten, 95 -00:05:50,040 --> 00:05:55,020 -Wir müssen nur diesen del z del w-Term durch a del z del b ersetzen. +00:06:33,555 --> 00:06:37,253 +denn jetzt können wir dieselbe Kettenregel rückwärts iterieren, um zu sehen, 96 -00:05:58,420 --> 00:06:02,400 -Und wenn Sie sich die relevante Formel ansehen, ergibt sich für diese Ableitung 1. +00:06:37,253 --> 00:06:41,191 +wie empfindlich die Kostenfunktion auf die vorherigen Gewichte und die vorherigen 97 -00:06:06,140 --> 00:06:10,912 -Außerdem, und hier kommt die Idee der Rückwärtsausbreitung ins Spiel, können Sie sehen, +00:06:41,191 --> 00:06:42,440 +Voreinstellungen reagiert. 98 -00:06:10,912 --> 00:06:15,740 -wie empfindlich diese Kostenfunktion auf die Aktivierung der vorherigen Schicht reagiert. +00:06:43,180 --> 00:06:46,035 +Du denkst vielleicht, dass dies ein zu einfaches Beispiel ist, 99 -00:06:15,740 --> 00:06:19,156 -Diese anfängliche Ableitung im Kettenregelausdruck, +00:06:46,035 --> 00:06:49,796 +da alle Schichten ein Neuron haben, aber in einem echten Netzwerk werden die Dinge 100 -00:06:19,156 --> 00:06:23,360 -die Empfindlichkeit von z gegenüber der vorherigen Aktivierung, +00:06:49,796 --> 00:06:51,020 +exponentiell komplizierter. 101 -00:06:23,360 --> 00:06:25,660 -ergibt sich nämlich als Gewicht wL. +00:06:51,700 --> 00:06:55,464 +Aber ehrlich gesagt ändert sich gar nicht so viel, 102 -00:06:26,640 --> 00:06:30,862 -Und auch wenn wir die Aktivierung der vorherigen Ebene nicht direkt beeinflussen können, +00:06:55,464 --> 00:06:58,860 +wenn wir den Schichten mehrere Neuronen geben. 103 -00:06:30,862 --> 00:06:33,377 -ist es dennoch hilfreich, den Überblick zu behalten, +00:06:59,380 --> 00:07:02,625 +Die Aktivierung einer bestimmten Schicht ist nicht einfach AL, 104 -00:06:33,377 --> 00:06:37,315 -denn jetzt können wir dieselbe Kettenregelidee einfach weiter rückwärts iterieren, +00:07:02,625 --> 00:07:07,160 +sondern hat auch einen Index, der angibt, um welches Neuron der Schicht es sich handelt. 105 -00:06:37,315 --> 00:06:41,348 -um zu sehen, wie empfindlich die Kostenfunktion darauf reagiert frühere Gewichtungen +00:07:07,160 --> 00:07:11,731 +Wir verwenden den Buchstaben k, um die Schicht L-1 zu kennzeichnen, 106 -00:06:41,348 --> 00:06:42,440 -und frühere Vorurteile. +00:07:11,731 --> 00:07:14,420 +und j, um die Schicht L zu kennzeichnen. 107 -00:06:43,180 --> 00:06:46,142 -Und Sie könnten denken, dass dies ein zu einfaches Beispiel ist, +00:07:15,260 --> 00:07:18,980 +Für die Kosten schauen wir uns wieder an, wie hoch der gewünschte Output ist, 108 -00:06:46,142 --> 00:06:50,062 -da alle Schichten ein Neuron haben und die Dinge für ein echtes Netzwerk exponentiell +00:07:18,980 --> 00:07:22,175 +aber dieses Mal addieren wir die Quadrate der Differenzen zwischen 109 -00:06:50,062 --> 00:06:51,020 -komplizierter werden. +00:07:22,175 --> 00:07:25,180 +diesen letzten Schichtaktivierungen und dem gewünschten Output. 110 -00:06:51,700 --> 00:06:53,645 -Aber ehrlich gesagt ändert sich nicht so viel, +00:07:26,080 --> 00:07:30,840 +Das heißt, du nimmst eine Summe über ALj minus yj zum Quadrat. 111 -00:06:53,645 --> 00:06:55,590 -wenn wir den Schichten mehrere Neuronen geben, +00:07:33,040 --> 00:07:37,768 +Da es viel mehr Gewichte gibt, muss jedes einzelne ein paar mehr Indizes haben, 112 -00:06:55,590 --> 00:06:58,860 -es sind eigentlich nur ein paar weitere Indizes, die man im Auge behalten muss. +00:07:37,768 --> 00:07:41,551 +um zu wissen, wo es ist. Nennen wir also das Gewicht der Kante, 113 -00:06:59,380 --> 00:07:02,700 -Anstatt dass die Aktivierung einer bestimmten Schicht einfach AL ist, +00:07:41,551 --> 00:07:44,920 +die das k-te Neuron mit dem j-ten Neuron verbindet, WLjk. 114 -00:07:02,700 --> 00:07:06,543 -wird sie auch einen Index haben, der angibt, um welches Neuron dieser Schicht es +00:07:45,620 --> 00:07:48,335 +Diese Indizes mögen sich zunächst ein wenig verkehrt anfühlen, 115 -00:07:06,543 --> 00:07:07,160 -sich handelt. +00:07:48,335 --> 00:07:50,964 +aber sie stimmen mit den Indizes der Gewichtsmatrix überein, 116 -00:07:07,160 --> 00:07:11,806 -Verwenden wir den Buchstaben k, um die Ebene L-1 zu indizieren, +00:07:50,964 --> 00:07:53,120 +über die ich in Teil 1 des Videos gesprochen habe. 117 -00:07:11,806 --> 00:07:14,420 -und j, um die Ebene L zu indizieren. +00:07:53,620 --> 00:07:57,789 +Es ist nach wie vor sinnvoll, der entsprechenden gewichteten Summe einen Namen zu geben, 118 -00:07:15,260 --> 00:07:18,939 -Für die Kosten schauen wir uns erneut an, wie hoch die gewünschte Ausgabe ist, +00:07:57,789 --> 00:08:01,396 +z. B. z, so dass die Aktivierung der letzten Schicht einfach deine spezielle 119 -00:07:18,939 --> 00:07:22,385 -aber dieses Mal addieren wir die Quadrate der Differenzen zwischen diesen +00:08:01,396 --> 00:08:04,160 +Funktion ist, z. B. das Sigmoid, das auf z angewendet wird. 120 -00:07:22,385 --> 00:07:25,180 -Aktivierungen der letzten Ebene und der gewünschten Ausgabe. +00:08:04,660 --> 00:08:08,452 +Du siehst, was ich meine: Das sind im Wesentlichen dieselben Gleichungen, 121 -00:07:26,080 --> 00:07:30,840 -Das heißt, Sie bilden die Summe über ALj minus yj im Quadrat. +00:08:08,452 --> 00:08:11,578 +die wir schon für den Fall eines Neurons pro Schicht hatten, 122 -00:07:33,040 --> 00:07:37,238 -Da es viel mehr Gewichte gibt, muss jedes über ein paar weitere Indizes verfügen, +00:08:11,578 --> 00:08:13,680 +nur dass es etwas komplizierter aussieht. 123 -00:07:37,238 --> 00:07:41,847 -um den Überblick zu behalten, wo es sich befindet. Nennen wir also das Gewicht der Kante, +00:08:15,440 --> 00:08:19,151 +Und tatsächlich sieht der abgeleitete Ausdruck der Kettenregel, der beschreibt, 124 -00:07:41,847 --> 00:07:44,920 -die dieses k-te Neuron mit dem j-ten Neuron verbindet, WLjk. +00:08:19,151 --> 00:08:22,167 +wie empfindlich die Kosten auf ein bestimmtes Gewicht reagieren, 125 -00:07:45,620 --> 00:07:47,847 -Diese Indizes wirken zunächst vielleicht etwas rückständig, +00:08:22,167 --> 00:08:23,420 +im Wesentlichen gleich aus. 126 -00:07:47,847 --> 00:07:49,629 -aber sie stimmen mit der Art und Weise überein, +00:08:23,920 --> 00:08:26,378 +Ich überlasse es dir, innezuhalten und über jeden dieser Begriffe nachzudenken, 127 -00:07:49,629 --> 00:07:52,154 -wie Sie die Gewichtsmatrix indizieren würden, über die ich im Video +00:08:26,378 --> 00:08:26,840 +wenn du willst. 128 -00:07:52,154 --> 00:07:53,120 -zu Teil 1 gesprochen habe. +00:08:28,980 --> 00:08:32,921 +Was sich hier jedoch ändert, ist die Ableitung der Kosten 129 -00:07:53,620 --> 00:07:57,006 -Nach wie vor ist es immer noch schön, der relevanten gewichteten Summe +00:08:32,921 --> 00:08:36,659 +in Bezug auf eine der Aktivierungen in der Schicht L-1. 130 -00:07:57,006 --> 00:08:00,440 -einen Namen zu geben, z. B. z, sodass die Aktivierung der letzten Ebene +00:08:37,780 --> 00:08:40,329 +In diesem Fall besteht der Unterschied darin, dass das Neuron 131 -00:08:00,440 --> 00:08:04,160 -nur Ihre spezielle Funktion ist, z. B. das Sigmoid, das auf z angewendet wird. +00:08:40,329 --> 00:08:42,880 +die Kostenfunktion über mehrere verschiedene Wege beeinflusst. 132 -00:08:04,660 --> 00:08:07,666 -Sie können sehen, was ich meine, wenn es sich bei all diesen Gleichungen +00:08:44,680 --> 00:08:49,621 +Das heißt, sie beeinflusst einerseits AL0, das eine Rolle in der Kostenfunktion spielt, 133 -00:08:07,666 --> 00:08:09,726 -im Wesentlichen um dieselben Gleichungen handelt, +00:08:49,621 --> 00:08:53,777 +aber sie hat auch einen Einfluss auf AL1, das ebenfalls eine Rolle in der 134 -00:08:09,726 --> 00:08:12,156 -die wir zuvor im Fall von einem Neuron pro Schicht hatten, +00:08:53,777 --> 00:08:57,540 +Kostenfunktion spielt, und diese beiden Faktoren musst du addieren. 135 -00:08:12,156 --> 00:08:13,680 -sieht es nur etwas komplizierter aus. +00:08:59,820 --> 00:09:03,040 +Und das, na ja, das war's auch schon. 136 -00:08:15,440 --> 00:08:19,151 -Und tatsächlich sieht der abgeleitete Ausdruck der Kettenregel, der beschreibt, +00:09:03,500 --> 00:09:06,706 +Sobald du weißt, wie empfindlich die Kostenfunktion auf die Aktivierungen 137 -00:08:19,151 --> 00:08:22,167 -wie empfindlich die Kosten auf ein bestimmtes Gewicht reagieren, +00:09:06,706 --> 00:09:09,740 +in dieser vorletzten Schicht reagiert, kannst du den Prozess für alle 138 -00:08:22,167 --> 00:08:23,420 -im Wesentlichen gleich aus. +00:09:09,740 --> 00:09:12,860 +Gewichte und Vorspannungen wiederholen, die in diese Schicht einfließen. 139 -00:08:23,920 --> 00:08:26,338 -Ich überlasse es Ihnen, innezuhalten und über jeden dieser Begriffe nachzudenken, +00:09:13,900 --> 00:09:14,960 +Also klopf dir selbst auf die Schulter! 140 -00:08:26,338 --> 00:08:26,840 -wenn Sie möchten. +00:09:15,300 --> 00:09:19,013 +Wenn dir das alles einleuchtet, hast du jetzt einen tiefen Einblick in das Herz 141 -00:08:28,979 --> 00:08:32,921 -Was sich hier jedoch ändert, ist die Ableitung der Kosten +00:09:19,013 --> 00:09:22,680 +der Backpropagation bekommen, dem Arbeitspferd, mit dem neuronale Netze lernen. 142 -00:08:32,921 --> 00:08:36,659 -in Bezug auf eine der Aktivierungen in der Schicht L-1. +00:09:23,300 --> 00:09:26,463 +Mit diesen Kettenregelausdrücken erhältst du die Ableitungen, 143 -00:08:37,780 --> 00:08:40,250 -Der Unterschied besteht in diesem Fall darin, dass das Neuron +00:09:26,463 --> 00:09:29,677 +die jede Komponente der Steigung bestimmen, die dazu beiträgt, 144 -00:08:40,250 --> 00:08:42,880 -die Kostenfunktion über mehrere unterschiedliche Wege beeinflusst. +00:09:29,677 --> 00:09:33,300 +die Kosten des Netzes zu minimieren, indem es immer wieder bergab geht. 145 -00:08:44,680 --> 00:08:50,191 -Das heißt, es beeinflusst einerseits AL0, das in der Kostenfunktion eine Rolle spielt, +00:09:34,300 --> 00:09:37,713 +Wenn du dich zurücklehnst und über all das nachdenkst, 146 -00:08:50,191 --> 00:08:55,892 -aber es hat auch Einfluss auf AL1, das ebenfalls in der Kostenfunktion eine Rolle spielt, - -147 -00:08:55,892 --> 00:08:57,540 -und das muss man addieren. - -148 -00:08:59,820 --> 00:09:03,040 -Und das ist so ziemlich alles. - -149 -00:09:03,500 --> 00:09:06,647 -Sobald Sie wissen, wie empfindlich die Kostenfunktion auf die Aktivierungen - -150 -00:09:06,647 --> 00:09:09,836 -in dieser vorletzten Ebene reagiert, können Sie den Vorgang einfach für alle - -151 -00:09:09,836 --> 00:09:12,860 -Gewichtungen und Bias wiederholen, die in diese Ebene eingespeist werden. - -152 -00:09:13,900 --> 00:09:14,960 -Also klopfen Sie sich selbst auf die Schulter! - -153 -00:09:15,300 --> 00:09:20,010 -Wenn das alles Sinn macht, haben Sie jetzt tief in den Kern der Backpropagation geschaut, - -154 -00:09:20,010 --> 00:09:22,680 -dem Arbeitstier hinter dem Lernen neuronaler Netze. - -155 -00:09:23,300 --> 00:09:26,274 -Diese Kettenregelausdrücke liefern Ihnen die Ableitungen, - -156 -00:09:26,274 --> 00:09:29,556 -die jede Komponente im Gradienten bestimmen, was dazu beiträgt, - -157 -00:09:29,556 --> 00:09:33,300 -die Kosten des Netzwerks durch wiederholte Abwärtsschritte zu minimieren. - -158 -00:09:34,300 --> 00:09:36,937 -Wenn Sie sich zurücklehnen und über all das nachdenken, werden Sie feststellen, - -159 -00:09:36,937 --> 00:09:39,607 -dass dies eine Menge Komplexitätsebenen ist, mit denen Sie sich befassen müssen. - -160 -00:09:39,607 --> 00:09:42,047 -Machen Sie sich also keine Sorgen, wenn Ihr Verstand einige Zeit braucht, - -161 -00:09:42,047 --> 00:09:42,740 -um alles zu verdauen. +00:09:37,713 --> 00:09:42,740 +ist das eine ganze Menge an Komplexität, die du in deinem Kopf verarbeiten musst. diff --git a/2017/backpropagation-calculus/hebrew/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/hebrew/auto_generated.srt index d7dd81291..aea7cf237 100644 --- a/2017/backpropagation-calculus/hebrew/auto_generated.srt +++ b/2017/backpropagation-calculus/hebrew/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:04,020 --> 00:00:09,920 +00:00:04,019 --> 00:00:09,920 ההנחה הקשה כאן היא שצפיתם בחלק 3, מה שנותן הדרכה אינטואיטיבית של אלגוריתם ההפצה לאחור. 2 @@ -35,11 +35,11 @@ שלנו היא להבין עד כמה פונקציית העלות רגישה למשתנים אלו. 10 -00:00:55,419 --> 00:01:02,320 +00:00:55,420 --> 00:01:00,820 כך אנו יודעים אילו התאמות למונחים אלו יגרמו לירידה היעילה ביותר בפונקציית העלות. 11 -00:01:02,320 --> 00:01:04,840 +00:01:01,960 --> 00:01:04,840 אנחנו רק נתמקד בקשר בין שני הנוירונים האחרונים. 12 @@ -75,15 +75,15 @@ נסמן את העלות של דוגמה אחת לאימון כ-c0. 20 -00:01:45,900 --> 00:01:51,750 +00:01:45,900 --> 00:01:51,270 להזכירך, ההפעלה האחרונה הזו נקבעת על ידי משקל, שאקרא לו wL, 21 -00:01:51,750 --> 00:01:57,600 +00:01:51,270 --> 00:01:56,640 כפול ההפעלה של הנוירון הקודם פלוס הטיה כלשהי, שאכנה אותה bL. 22 -00:01:57,600 --> 00:02:01,320 +00:01:57,420 --> 00:02:01,320 ואז אתה שואב את זה דרך איזו פונקציה לא ליניארית מיוחדת כמו הסיגמואיד או ReLU. 23 @@ -179,39 +179,39 @@ כי עכשיו אנחנו הולכים לחשב את הנגזרות הרלוונטיות. 46 -00:04:07,440 --> 00:04:14,180 +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 הנגזרת של c ביחס ל-AL מתבררת להיות 2AL-y. 47 -00:04:14,180 --> 00:04:18,430 +00:04:13,980 --> 00:04:18,295 המשמעות היא שהגודל שלו פרופורציונלי להבדל בין התפוקה של הרשת 48 -00:04:18,430 --> 00:04:22,959 +00:04:18,295 --> 00:04:22,894 לבין הדבר שאנחנו רוצים שהיא תהיה, כך שאם הפלט הזה היה שונה מאוד, 49 -00:04:22,959 --> 00:04:27,140 +00:04:22,894 --> 00:04:27,140 אפילו לשינויים קלים יש השפעה גדולה על פונקציית העלות הסופית. 50 -00:04:27,840 --> 00:04:34,195 +00:04:27,840 --> 00:04:33,372 הנגזרת של AL ביחס ל-zL היא רק הנגזרת של הפונקציה הסיגמואידית שלנו, 51 -00:04:34,195 --> 00:04:37,420 +00:04:33,372 --> 00:04:36,180 או כל אי-לינאריות שתבחר להשתמש בה. 52 -00:04:37,420 --> 00:04:46,160 +00:04:37,220 --> 00:04:44,660 הנגזרת של zL ביחס ל-wL יוצאת AL-1. 53 -00:04:46,160 --> 00:04:49,790 +00:04:45,760 --> 00:04:49,590 אני לא יודע מה איתכם, אבל אני חושב שקל להיתקע עם ראש למטה 54 -00:04:49,790 --> 00:04:53,420 +00:04:49,590 --> 00:04:53,420 בנוסחאות מבלי לקחת רגע לשבת ולהזכיר לעצמכם מה כולן אומרות. 55 @@ -231,19 +231,19 @@ וכל זה הוא הנגזרת ביחס ל-wL בלבד של העלות עבור דוגמה ספציפית לאימון בודד. 59 -00:05:16,440 --> 00:05:22,190 +00:05:16,440 --> 00:05:21,625 מכיוון שפונקציית העלות המלאה כוללת ממוצע של כל העלויות הללו על פני הרבה 60 -00:05:22,190 --> 00:05:28,660 +00:05:21,625 --> 00:05:27,460 דוגמאות אימון שונות, הנגזרת שלה דורשת ממוצע של ביטוי זה על פני כל דוגמאות ההדרכה. 61 -00:05:28,660 --> 00:05:33,712 +00:05:28,380 --> 00:05:33,580 כמובן, זה רק מרכיב אחד של וקטור הגרדיאנט, אשר בנוי מהנגזרות 62 -00:05:33,712 --> 00:05:38,260 +00:05:33,580 --> 00:05:38,260 החלקיות של פונקציית העלות ביחס לכל אותם משקלים והטיות. 63 @@ -323,11 +323,11 @@ כלומר, אתה לוקח סכום מעל ALj מינוס yj בריבוע. 82 -00:07:33,040 --> 00:07:38,943 +00:07:33,040 --> 00:07:39,092 מכיוון שיש הרבה יותר משקלים, לכל אחד צריך להיות עוד כמה מדדים כדי לעקוב אחר היכן 83 -00:07:38,943 --> 00:07:44,920 +00:07:39,092 --> 00:07:44,920 הוא נמצא, אז בואו נקרא למשקל הקצה המחבר את הנוירון ה-k הזה לנוירון ה-j', WLjk. 84 @@ -363,7 +363,7 @@ אני אשאיר לך לעצור ולחשוב על כל אחד מהמונחים האלה אם תרצה. 92 -00:08:28,979 --> 00:08:36,659 +00:08:28,980 --> 00:08:36,659 מה שכן משתנה כאן הוא הנגזרת של העלות ביחס לאחת ההפעלה בשכבה L-1. 93 diff --git a/2017/backpropagation-calculus/hindi/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/hindi/auto_generated.srt index 8eb6b9b26..68cf0d45e 100644 --- a/2017/backpropagation-calculus/hindi/auto_generated.srt +++ b/2017/backpropagation-calculus/hindi/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:04,020 --> 00:00:06,735 +00:00:04,019 --> 00:00:06,735 यहां कठिन धारणा यह है कि आपने भाग 3 देखा है, जिसमें 2 @@ -55,15 +55,15 @@ और हमारा लक्ष्य यह समझना है कि लागत फ़ंक्शन इन चरों के प्रति कितना संवेदनशील है। 15 -00:00:55,419 --> 00:00:59,118 +00:00:55,420 --> 00:00:58,314 इस तरह हम जानते हैं कि उन शर्तों में कौन सा समायोजन 16 -00:00:59,118 --> 00:01:02,320 +00:00:58,314 --> 00:01:00,820 लागत फ़ंक्शन में सबसे कुशल कमी का कारण बनेगा। 17 -00:01:02,320 --> 00:01:04,840 +00:01:01,960 --> 00:01:04,840 हम केवल अंतिम दो न्यूरॉन्स के बीच संबंध पर ध्यान केंद्रित करेंगे। 18 @@ -103,19 +103,19 @@ हम उस एक प्रशिक्षण उदाहरण की लागत को c0 के रूप में दर्शाएँगे। 27 -00:01:45,900 --> 00:01:50,540 +00:01:45,900 --> 00:01:50,160 एक अनुस्मारक के रूप में, यह अंतिम सक्रियण एक वजन से निर्धारित होता है, 28 -00:01:50,540 --> 00:01:56,227 +00:01:50,160 --> 00:01:55,380 जिसे मैं डब्ल्यूएल कहने जा रहा हूं, पिछले न्यूरॉन के सक्रियण का समय और कुछ पूर्वाग्रह, 29 -00:01:56,227 --> 00:01:57,600 +00:01:55,380 --> 00:01:56,640 जिसे मैं बीएल कहूंगा। 30 -00:01:57,600 --> 00:02:01,320 +00:01:57,420 --> 00:02:01,320 फिर आप उसे सिग्मॉइड या ReLU जैसे कुछ विशेष नॉनलाइनियर फ़ंक्शन के माध्यम से पंप करते हैं। 31 @@ -231,39 +231,39 @@ स्पष्ट है कि वे सभी क्या हैं, क्योंकि अब हम प्रासंगिक डेरिवेटिव की गणना करने जा रहे हैं। 59 -00:04:07,440 --> 00:04:14,180 +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 AL के संबंध में c का व्युत्पन्न 2AL-y होता है। 60 -00:04:14,180 --> 00:04:18,875 +00:04:13,980 --> 00:04:18,748 इसका मतलब यह है कि इसका आकार नेटवर्क के आउटपुट और जिस चीज को हम चाहते हैं, 61 -00:04:18,875 --> 00:04:23,195 +00:04:18,748 --> 00:04:23,134 उसके बीच अंतर के समानुपाती होता है, इसलिए यदि वह आउटपुट बहुत अलग था, 62 -00:04:23,195 --> 00:04:27,140 +00:04:23,134 --> 00:04:27,140 तो मामूली बदलाव भी अंतिम लागत फ़ंक्शन पर बड़ा प्रभाव डालते हैं। 63 -00:04:27,840 --> 00:04:33,797 +00:04:27,840 --> 00:04:33,026 ZL के संबंध में AL का व्युत्पन्न हमारे सिग्मॉइड फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है, 64 -00:04:33,797 --> 00:04:37,420 +00:04:33,026 --> 00:04:36,180 या जो भी गैर-रैखिकता आप उपयोग करना चुनते हैं। 65 -00:04:37,420 --> 00:04:46,160 +00:04:37,220 --> 00:04:44,660 wL के संबंध में zL का व्युत्पन्न AL-1 निकलता है। 66 -00:04:46,160 --> 00:04:49,860 +00:04:45,760 --> 00:04:49,664 मैं आपके बारे में नहीं जानता, लेकिन मुझे लगता है कि बिना एक पल भी आराम से बैठे 67 -00:04:49,860 --> 00:04:53,420 +00:04:49,664 --> 00:04:53,420 और खुद को याद दिलाए कि उन सभी का क्या मतलब है, सूत्रों में फंस जाना आसान है। 68 @@ -287,23 +287,23 @@ wL के संबंध में zL का व्युत्पन्न AL- लिए लागत के डब्ल्यूएल के संबंध में व्युत्पन्न है। 73 -00:05:16,440 --> 00:05:20,432 +00:05:16,440 --> 00:05:20,040 चूँकि पूर्ण लागत फ़ंक्शन में कई अलग-अलग प्रशिक्षण उदाहरणों में उन 74 -00:05:20,432 --> 00:05:24,364 +00:05:20,040 --> 00:05:23,586 सभी लागतों का एक साथ औसत शामिल होता है, इसलिए इसके व्युत्पन्न के 75 -00:05:24,364 --> 00:05:28,660 +00:05:23,586 --> 00:05:27,460 लिए सभी प्रशिक्षण उदाहरणों पर इस अभिव्यक्ति के औसत की आवश्यकता होती है। 76 -00:05:28,660 --> 00:05:33,149 +00:05:28,380 --> 00:05:33,000 बेशक, यह ग्रेडिएंट वेक्टर का सिर्फ एक घटक है, जो उन सभी भारों और 77 -00:05:33,149 --> 00:05:38,260 +00:05:33,000 --> 00:05:38,260 पूर्वाग्रहों के संबंध में लागत फ़ंक्शन के आंशिक डेरिवेटिव से बनाया गया है। 78 @@ -467,7 +467,7 @@ wL के संबंध में zL का व्युत्पन्न AL- रुकें और उनमें से प्रत्येक शब्द के बारे में सोचें। 118 -00:08:28,979 --> 00:08:32,637 +00:08:28,980 --> 00:08:32,637 हालाँकि, यहाँ जो परिवर्तन होता है, वह परत L-1 में 119 diff --git a/2017/backpropagation-calculus/indonesian/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/indonesian/auto_generated.srt index 2ec29b22b..400274604 100644 --- a/2017/backpropagation-calculus/indonesian/auto_generated.srt +++ b/2017/backpropagation-calculus/indonesian/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:04,020 --> 00:00:06,809 +00:00:04,019 --> 00:00:06,809 Asumsi sulitnya di sini adalah Anda telah menonton bagian 3, 2 @@ -67,15 +67,15 @@ dan tujuan kami adalah memahami seberapa sensitif fungsi biaya terhadap variabel-variabel ini. 18 -00:00:55,419 --> 00:00:59,022 +00:00:55,420 --> 00:00:58,239 Dengan begitu kita mengetahui penyesuaian mana pada ketentuan tersebut 19 -00:00:59,022 --> 00:01:02,320 +00:00:58,239 --> 00:01:00,820 yang akan menyebabkan penurunan fungsi biaya yang paling efisien. 20 -00:01:02,320 --> 00:01:04,840 +00:01:01,960 --> 00:01:04,840 Kami hanya akan fokus pada hubungan antara dua neuron terakhir. 21 @@ -115,19 +115,19 @@ Jadi biaya jaringan ini untuk satu contoh pelatihan adalah AL-y2. Kami akan menyatakan biaya satu contoh pelatihan tersebut sebagai c0. 30 -00:01:45,900 --> 00:01:51,892 +00:01:45,900 --> 00:01:51,400 Sebagai pengingat, aktivasi terakhir ini ditentukan oleh bobot, yang saya sebut wL, 31 -00:01:51,892 --> 00:01:57,600 +00:01:51,400 --> 00:01:56,640 dikalikan aktivasi neuron sebelumnya ditambah beberapa bias, yang saya sebut bL. 32 -00:01:57,600 --> 00:01:59,581 +00:01:57,420 --> 00:01:59,497 Kemudian Anda memompanya melalui beberapa fungsi 33 -00:01:59,581 --> 00:02:01,320 +00:01:59,497 --> 00:02:01,320 nonlinier khusus seperti sigmoid atau ReLU. 34 @@ -251,43 +251,43 @@ Jadi di layar saat ini, ada banyak simbol, dan luangkan waktu sejenak untuk memastikan semuanya jelas, karena sekarang kita akan menghitung turunan yang relevan. 64 -00:04:07,440 --> 00:04:14,180 +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 Turunan c terhadap AL ternyata 2AL-y. 65 -00:04:14,180 --> 00:04:18,341 +00:04:13,980 --> 00:04:18,205 Artinya ukurannya sebanding dengan perbedaan antara keluaran jaringan 66 -00:04:18,341 --> 00:04:22,919 +00:04:18,205 --> 00:04:22,853 dan keluaran yang kita inginkan, jadi jika keluaran tersebut sangat berbeda, 67 -00:04:22,919 --> 00:04:27,140 +00:04:22,853 --> 00:04:27,140 perubahan sekecil apa pun akan berdampak besar pada fungsi biaya akhir. 68 -00:04:27,840 --> 00:04:33,065 +00:04:27,840 --> 00:04:32,389 Turunan AL terhadap zL hanyalah turunan dari fungsi sigmoid kita, 69 -00:04:33,065 --> 00:04:37,420 +00:04:32,389 --> 00:04:36,180 atau nonlinier apa pun yang Anda pilih untuk digunakan. 70 -00:04:37,420 --> 00:04:46,160 +00:04:37,220 --> 00:04:44,660 Turunan dari zL terhadap wL menjadi AL-1. 71 -00:04:46,160 --> 00:04:48,616 +00:04:45,760 --> 00:04:48,352 Saya tidak tahu tentang Anda, tapi menurut saya sangat mudah untuk 72 -00:04:48,616 --> 00:04:51,146 +00:04:48,352 --> 00:04:51,021 terpaku pada rumus tanpa meluangkan waktu sejenak untuk duduk santai 73 -00:04:51,146 --> 00:04:53,420 +00:04:51,021 --> 00:04:53,420 dan mengingatkan diri sendiri apa maksud semua rumus tersebut. 74 @@ -311,23 +311,23 @@ Dan semua ini merupakan turunan dari wL saja dari biaya untuk satu contoh pelatihan tertentu. 79 -00:05:16,440 --> 00:05:20,401 +00:05:16,440 --> 00:05:20,012 Karena fungsi biaya penuh melibatkan rata-rata semua biaya 80 -00:05:20,401 --> 00:05:23,758 +00:05:20,012 --> 00:05:23,039 tersebut di banyak contoh pelatihan yang berbeda, 81 -00:05:23,758 --> 00:05:28,660 +00:05:23,039 --> 00:05:27,460 turunannya memerlukan rata-rata ekspresi ini di seluruh contoh pelatihan. 82 -00:05:28,660 --> 00:05:32,616 +00:05:28,380 --> 00:05:32,452 Tentu saja, itu hanyalah salah satu komponen vektor gradien, 83 -00:05:32,616 --> 00:05:38,260 +00:05:32,452 --> 00:05:38,260 yang dibangun dari turunan parsial fungsi biaya terhadap semua bobot dan bias tersebut. 84 @@ -503,7 +503,7 @@ Saya serahkan kepada Anda untuk berhenti sejenak dan memikirkan masing-masing istilah tersebut jika Anda mau. 127 -00:08:28,979 --> 00:08:32,986 +00:08:28,980 --> 00:08:32,986 Namun yang berubah di sini adalah turunan biaya 128 diff --git a/2017/backpropagation-calculus/italian/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/italian/auto_generated.srt index 4ae38456a..0f5548d70 100644 --- a/2017/backpropagation-calculus/italian/auto_generated.srt +++ b/2017/backpropagation-calculus/italian/auto_generated.srt @@ -1,9 +1,9 @@ 1 -00:00:04,020 --> 00:00:06,839 +00:00:04,019 --> 00:00:06,925 Il difficile presupposto qui è che tu abbia guardato la parte 3, 2 -00:00:06,839 --> 00:00:09,920 +00:00:06,925 --> 00:00:09,920 che fornisce una guida intuitiva dell'algoritmo di backpropagation. 3 @@ -11,39 +11,39 @@ che fornisce una guida intuitiva dell'algoritmo di backpropagation. Qui diventiamo un po’ più formali e ci tuffiamo nel calcolo rilevante. 4 -00:00:14,820 --> 00:00:17,216 +00:00:14,820 --> 00:00:17,110 È normale che questo crei almeno un po' di confusione, 5 -00:00:17,216 --> 00:00:20,384 +00:00:17,110 --> 00:00:20,358 quindi il mantra di fermarsi e riflettere regolarmente si applica sicuramente 6 -00:00:20,384 --> 00:00:21,400 +00:00:20,358 --> 00:00:21,400 tanto qui quanto altrove. 7 -00:00:21,940 --> 00:00:24,834 +00:00:21,940 --> 00:00:24,875 Il nostro obiettivo principale è mostrare come le persone che lavorano 8 -00:00:24,834 --> 00:00:27,688 +00:00:24,875 --> 00:00:27,769 nel machine learning comunemente pensano alla regola della catena del 9 -00:00:27,688 --> 00:00:30,541 +00:00:27,769 --> 00:00:30,663 calcolo nel contesto delle reti, che ha un aspetto diverso da come la 10 -00:00:30,541 --> 00:00:33,640 +00:00:30,663 --> 00:00:33,640 maggior parte dei corsi introduttivi sul calcolo affrontano l'argomento. 11 -00:00:34,340 --> 00:00:37,187 +00:00:34,340 --> 00:00:37,392 Per quelli di voi che non si sentono a proprio agio con i calcoli rilevanti, 12 -00:00:37,187 --> 00:00:38,740 +00:00:37,392 --> 00:00:38,740 ho un'intera serie sull'argomento. 13 @@ -63,23 +63,23 @@ Questa rete è determinata da tre pesi e tre distorsioni e il nostro obiettivo è capire quanto sia sensibile la funzione di costo a queste variabili. 17 -00:00:55,419 --> 00:00:58,756 +00:00:55,420 --> 00:00:58,031 In questo modo sappiamo quali aggiustamenti a tali termini 18 -00:00:58,756 --> 00:01:02,320 +00:00:58,031 --> 00:01:00,820 causeranno la riduzione più efficiente della funzione di costo. 19 -00:01:02,320 --> 00:01:04,840 +00:01:01,960 --> 00:01:04,840 Ci concentreremo solo sulla connessione tra gli ultimi due neuroni. 20 -00:01:05,980 --> 00:01:09,615 +00:01:05,980 --> 00:01:09,479 Etichettiamo l'attivazione dell'ultimo neurone con una L in apice, 21 -00:01:09,615 --> 00:01:11,360 +00:01:09,479 --> 00:01:11,360 che indica in quale strato si trova. 22 @@ -95,11 +95,11 @@ Questi non sono esponenti, sono solo un modo per indicizzare ciò di cui stiamo poiché in seguito voglio salvare gli indici per diversi indici. 25 -00:01:23,720 --> 00:01:28,007 +00:01:23,720 --> 00:01:27,890 Diciamo che il valore che vogliamo che quest'ultima attivazione abbia 26 -00:01:28,007 --> 00:01:32,180 +00:01:27,890 --> 00:01:32,180 per un dato esempio di training è y, ad esempio y potrebbe essere 0 o 1. 27 @@ -111,462 +111,454 @@ Quindi il costo di questa rete per un singolo esempio di formazione è AL-y2. Indicheremo il costo di quell'esempio di formazione come c0. 29 -00:01:45,900 --> 00:01:50,554 -Come promemoria, quest'ultima attivazione è determinata da un peso, +00:01:45,900 --> 00:01:51,176 +Come promemoria, quest'ultima attivazione è determinata da un peso, che chiamerò wL, 30 -00:01:50,554 --> 00:01:54,174 -che chiamerò wL, moltiplicato per l'attivazione del +00:01:51,176 --> 00:01:56,640 +moltiplicato per l'attivazione del neurone precedente più qualche bias, che chiamerò bL. 31 -00:01:54,174 --> 00:01:57,600 -neurone precedente più qualche bias, che chiamerò bL. - -32 -00:01:57,600 --> 00:02:01,320 +00:01:57,420 --> 00:02:01,320 Quindi lo pompi attraverso una speciale funzione non lineare come il sigmoide o ReLU. -33 +32 00:02:01,800 --> 00:02:05,636 In realtà ci renderà le cose più facili se diamo un nome speciale a questa -34 +33 00:02:05,636 --> 00:02:09,320 somma ponderata, come z, con lo stesso apice delle relative attivazioni. -35 -00:02:10,380 --> 00:02:15,001 +34 +00:02:10,380 --> 00:02:15,068 Si tratta di molti termini e un modo in cui potresti concettualizzarlo è che il peso, -36 -00:02:15,001 --> 00:02:19,515 +35 +00:02:15,068 --> 00:02:19,429 l'azione precedente e il bias tutti insieme vengono utilizzati per calcolare z, +36 +00:02:19,429 --> 00:02:22,481 +che a sua volta ci consente di calcolare a, che infine, + 37 -00:02:19,515 --> 00:02:23,921 -che a sua volta ci consente di calcolare a, che infine, insieme a una costante y, +00:02:22,481 --> 00:02:25,480 +insieme a una costante y, consente calcoliamo il costo. 38 -00:02:23,921 --> 00:02:25,480 -consente calcoliamo il costo. - -39 00:02:27,340 --> 00:02:32,018 E, naturalmente, AL-1 è influenzato dal suo peso, dai suoi pregiudizi e simili, -40 +39 00:02:32,018 --> 00:02:35,060 ma non ci concentreremo su questo in questo momento. -41 +40 00:02:35,700 --> 00:02:37,620 Tutti questi sono solo numeri, giusto? -42 +41 00:02:38,060 --> 00:02:41,040 E può essere bello pensare che ognuno di essi abbia la propria piccola linea numerica. -43 +42 00:02:41,720 --> 00:02:45,360 Il nostro primo obiettivo è capire quanto sia sensibile la -44 +43 00:02:45,360 --> 00:02:49,000 funzione di costo a piccoli cambiamenti nel nostro peso wL. -45 +44 00:02:49,540 --> 00:02:54,860 Oppure, in altre parole, qual è la derivata di c rispetto a wL? -46 +45 00:02:55,600 --> 00:02:59,867 Quando vedi questo termine del w, pensalo come se significasse una piccola -47 +46 00:02:59,867 --> 00:03:03,963 spinta verso w, come un cambiamento di 0.01, e pensare a questo termine -48 +47 00:03:03,963 --> 00:03:08,060 del c con il significato di qualunque sia la spinta risultante al costo. -49 +48 00:03:08,060 --> 00:03:10,220 Ciò che vogliamo è il loro rapporto. -50 +49 00:03:11,260 --> 00:03:16,337 Concettualmente, questo piccolo spostamento verso wL provoca uno spostamento verso zL, -51 +50 00:03:16,337 --> 00:03:21,240 che a sua volta causa uno spostamento verso AL, che influenza direttamente il costo. -52 +51 00:03:23,120 --> 00:03:27,811 Quindi suddividiamo il tutto esaminando prima il rapporto tra una piccola -53 +52 00:03:27,811 --> 00:03:33,200 variazione di zL e questa piccola variazione w, cioè la derivata di zL rispetto a wL. +53 +00:03:33,200 --> 00:03:36,982 +Allo stesso modo, si considera quindi il rapporto tra la variazione + 54 -00:03:33,200 --> 00:03:37,074 -Allo stesso modo, si considera quindi il rapporto tra la variazione in +00:03:36,982 --> 00:03:39,986 +in AL e la piccola variazione in zL che l'ha causata, 55 -00:03:37,074 --> 00:03:40,076 -AL e la piccola variazione in zL che l'ha causata, - -56 -00:03:40,076 --> 00:03:44,660 +00:03:39,986 --> 00:03:44,660 nonché il rapporto tra la spinta finale verso c e questa spinta intermedia verso AL. -57 +56 00:03:45,740 --> 00:03:50,295 Questa qui è la regola della catena, dove moltiplicando questi -58 +57 00:03:50,295 --> 00:03:55,140 tre rapporti ci dà la sensibilità di c a piccoli cambiamenti in wL. -59 +58 00:03:56,880 --> 00:04:00,158 Quindi sullo schermo in questo momento ci sono molti simboli, -60 +59 00:04:00,158 --> 00:04:03,860 e prenditi un momento per assicurarti che sia chiaro cosa sono tutti, -61 +60 00:04:03,860 --> 00:04:06,240 perché ora calcoleremo le derivate rilevanti. -62 -00:04:07,440 --> 00:04:14,180 +61 +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 La derivata di c rispetto ad AL risulta essere 2AL-y. +62 +00:04:13,980 --> 00:04:18,469 +Ciò significa che la sua dimensione è proporzionale alla differenza tra l'output della + 63 -00:04:14,180 --> 00:04:18,368 -Ciò significa che la sua dimensione è proporzionale alla differenza tra l'output +00:04:18,469 --> 00:04:22,443 +rete e ciò che vogliamo che sia, quindi se quell'output fosse molto diverso, 64 -00:04:18,368 --> 00:04:22,655 -della rete e ciò che vogliamo che sia, quindi se quell'output fosse molto diverso, - -65 -00:04:22,655 --> 00:04:26,795 +00:04:22,443 --> 00:04:26,778 anche cambiamenti minimi potrebbero avere un grande impatto sulla funzione di costo -66 -00:04:26,795 --> 00:04:27,140 +65 +00:04:26,778 --> 00:04:27,140 finale. -67 -00:04:27,840 --> 00:04:32,799 +66 +00:04:27,840 --> 00:04:32,157 La derivata di AL rispetto a zL è semplicemente la derivata della nostra -68 -00:04:32,799 --> 00:04:37,420 +67 +00:04:32,157 --> 00:04:36,180 funzione sigmoide, o qualunque nonlinearità tu scelga di utilizzare. -69 -00:04:37,420 --> 00:04:46,160 +68 +00:04:37,220 --> 00:04:44,660 La derivata di zL rispetto a wL risulta essere AL-1. -70 -00:04:46,160 --> 00:04:49,648 +69 +00:04:45,760 --> 00:04:49,440 Non so voi, ma penso che sia facile rimanere bloccati nelle formule senza -71 -00:04:49,648 --> 00:04:53,420 +70 +00:04:49,440 --> 00:04:53,420 prendersi un momento per sedersi e ricordare a se stessi cosa significano tutte. -72 -00:04:53,920 --> 00:04:58,343 +71 +00:04:53,920 --> 00:04:58,341 Nel caso di quest'ultima derivata, la misura in cui la piccola spinta al peso -73 -00:04:58,343 --> 00:05:02,820 +72 +00:04:58,341 --> 00:05:02,820 ha influenzato l'ultimo strato dipende da quanto è forte il neurone precedente. -74 +73 00:05:03,380 --> 00:05:08,280 Ricorda, è qui che entra in gioco l'idea dei neuroni che si attivano insieme. -75 +74 00:05:09,200 --> 00:05:12,460 E tutto ciò è la derivata rispetto a wL solo del -76 +75 00:05:12,460 --> 00:05:15,720 costo per un singolo esempio formativo specifico. -77 -00:05:16,440 --> 00:05:20,432 +76 +00:05:16,440 --> 00:05:20,040 Poiché la funzione di costo completo comporta la media di tutti i -78 -00:05:20,432 --> 00:05:24,727 +77 +00:05:20,040 --> 00:05:23,913 costi tra molti esempi di formazione diversi, la sua derivata richiede -79 -00:05:24,727 --> 00:05:28,660 +78 +00:05:23,913 --> 00:05:27,460 la media di questa espressione su tutti gli esempi di formazione. -80 -00:05:28,660 --> 00:05:32,456 +79 +00:05:28,380 --> 00:05:32,287 Naturalmente, questa è solo una componente del vettore del gradiente, -81 -00:05:32,456 --> 00:05:37,229 +80 +00:05:32,287 --> 00:05:37,199 che è costruito dalle derivate parziali della funzione di costo rispetto a tutti questi -82 -00:05:37,229 --> 00:05:38,260 +81 +00:05:37,199 --> 00:05:38,260 pesi e distorsioni. -83 +82 00:05:40,640 --> 00:05:43,816 Ma anche se è solo una delle tante derivate parziali di cui abbiamo bisogno, -84 +83 00:05:43,816 --> 00:05:45,260 rappresenta più del 50% del lavoro. -85 +84 00:05:46,340 --> 00:05:49,720 La sensibilità al bias, ad esempio, è quasi identica. -86 +85 00:05:50,040 --> 00:05:55,020 Dobbiamo solo cambiare questo termine del z del w con a del z del b. -87 +86 00:05:58,420 --> 00:06:02,400 E se guardi la formula rilevante, la derivata risulta essere 1. -88 +87 00:06:06,140 --> 00:06:10,364 Inoltre, ed è qui che entra in gioco l’idea della propagazione all’indietro, -89 +88 00:06:10,364 --> 00:06:15,136 puoi vedere quanto questa funzione di costo sia sensibile all’attivazione dello strato -90 +89 00:06:15,136 --> 00:06:15,740 precedente. -91 -00:06:15,740 --> 00:06:20,941 +90 +00:06:15,740 --> 00:06:20,954 Vale a dire, questa derivata iniziale nell'espressione della regola della catena, -92 -00:06:20,941 --> 00:06:25,660 +91 +00:06:20,954 --> 00:06:25,660 la sensibilità di z all'attivazione precedente, risulta essere il peso wL. -93 -00:06:26,640 --> 00:06:30,566 +92 +00:06:26,640 --> 00:06:30,471 E ancora, anche se non saremo in grado di influenzare direttamente l'attivazione -94 -00:06:30,566 --> 00:06:32,830 +93 +00:06:30,471 --> 00:06:32,789 del livello precedente, è utile tenerne traccia, -95 -00:06:32,830 --> 00:06:36,757 +94 +00:06:32,789 --> 00:06:36,810 perché ora possiamo semplicemente continuare a ripetere questa stessa idea di regola +95 +00:06:36,810 --> 00:06:40,784 +della catena all'indietro per vedere quanto è sensibile la funzione di costo a pesi + 96 -00:06:36,757 --> 00:06:40,592 -della catena all'indietro per vedere quanto è sensibile la funzione di costo a +00:06:40,784 --> 00:06:42,440 +precedenti e pregiudizi precedenti. 97 -00:06:40,592 --> 00:06:42,440 -pesi precedenti e pregiudizi precedenti. - -98 00:06:43,180 --> 00:06:46,099 E potresti pensare che questo sia un esempio eccessivamente semplice, -99 +98 00:06:46,099 --> 00:06:48,893 dato che tutti gli strati hanno un neurone, e le cose diventeranno -100 +99 00:06:48,893 --> 00:06:51,020 esponenzialmente più complicate per una rete reale. -101 +100 00:06:51,700 --> 00:06:55,493 Ma onestamente, non cambia molto quando diamo agli strati più neuroni, -102 +101 00:06:55,493 --> 00:06:58,860 in realtà sono solo alcuni indici in più di cui tenere traccia. -103 -00:06:59,380 --> 00:07:03,547 +102 +00:06:59,380 --> 00:07:03,441 Piuttosto che l'attivazione di un dato strato essere semplicemente AL, -104 -00:07:03,547 --> 00:07:07,160 +103 +00:07:03,441 --> 00:07:07,160 avrà anche un pedice che indica quale neurone di quello strato è. -105 +104 00:07:07,160 --> 00:07:14,420 Usiamo la lettera k per indicizzare il livello L-1 e j per indicizzare il livello L. -106 -00:07:15,260 --> 00:07:18,992 +105 +00:07:15,260 --> 00:07:19,019 Per il costo, ancora una volta guardiamo quale sia l'output desiderato, -107 -00:07:18,992 --> 00:07:22,135 +106 +00:07:19,019 --> 00:07:22,360 ma questa volta sommiamo i quadrati delle differenze tra queste -108 -00:07:22,135 --> 00:07:25,180 +107 +00:07:22,360 --> 00:07:25,180 attivazioni dell'ultimo livello e l'output desiderato. -109 +108 00:07:26,080 --> 00:07:30,840 Cioè, prendi una somma su ALj meno yj al quadrato. -110 +109 00:07:33,040 --> 00:07:37,038 Dato che ci sono molti più pesi, ognuno deve avere un paio di indici -111 +110 00:07:37,038 --> 00:07:41,037 in più per tenere traccia di dove si trova, quindi chiamiamo WLjk il -112 +111 00:07:41,037 --> 00:07:44,920 peso del bordo che collega questo neurone kesimo al neurone jesimo. +112 +00:07:45,620 --> 00:07:48,304 +All'inizio questi indici potrebbero sembrare un po' arretrati, + 113 -00:07:45,620 --> 00:07:48,065 -All'inizio questi indici potrebbero sembrare un po' +00:07:48,304 --> 00:07:52,097 +ma sono in linea con il modo in cui indicizzeresti la matrice dei pesi di cui ho parlato 114 -00:07:48,065 --> 00:07:50,592 -arretrati, ma sono in linea con il modo in cui indicizzeresti +00:07:52,097 --> 00:07:53,120 +nel video della parte 1. 115 -00:07:50,592 --> 00:07:53,120 -la matrice dei pesi di cui ho parlato nel video della parte 1. +00:07:53,620 --> 00:07:57,929 +Proprio come prima, è comunque carino dare un nome alla somma ponderata rilevante, 116 -00:07:53,620 --> 00:07:57,766 -Proprio come prima, è comunque carino dare un nome alla somma ponderata rilevante, +00:07:57,929 --> 00:08:02,498 +come z, in modo che l'attivazione dell'ultimo strato sia solo la tua funzione speciale, 117 -00:07:57,766 --> 00:08:01,262 -come z, in modo che l'attivazione dell'ultimo strato sia solo +00:08:02,498 --> 00:08:04,160 +come il sigmoide, applicata a z. 118 -00:08:01,262 --> 00:08:04,160 -la tua funzione speciale, come il sigmoide, applicata a z. +00:08:04,660 --> 00:08:09,195 +Potete capire cosa intendo, dove tutte queste sono essenzialmente le stesse equazioni che 119 -00:08:04,660 --> 00:08:07,913 -Potete capire cosa intendo, dove tutte queste sono essenzialmente +00:08:09,195 --> 00:08:13,680 +avevamo prima nel caso di un neurone per strato, è solo che sembra un po' più complicato. 120 -00:08:07,913 --> 00:08:11,511 -le stesse equazioni che avevamo prima nel caso di un neurone per strato, - -121 -00:08:11,511 --> 00:08:13,680 -è solo che sembra un po' più complicato. - -122 00:08:15,440 --> 00:08:19,278 E in effetti, l’espressione derivata della regola della catena che descrive -123 +121 00:08:19,278 --> 00:08:23,420 quanto il costo sia sensibile a un peso specifico sembra essenzialmente la stessa. -124 +122 00:08:23,920 --> 00:08:26,840 Lascerò a te la possibilità di fermarti e pensare a ciascuno di questi termini, se vuoi. -125 -00:08:28,979 --> 00:08:32,781 +123 +00:08:28,980 --> 00:08:32,781 Ciò che cambia qui, però, è la derivata del costo -126 +124 00:08:32,781 --> 00:08:36,659 rispetto ad una delle attivazioni nello strato L-1. -127 +125 00:08:37,780 --> 00:08:40,264 In questo caso, la differenza è che il neurone influenza -128 +126 00:08:40,264 --> 00:08:42,880 la funzione di costo attraverso molteplici percorsi diversi. -129 -00:08:44,680 --> 00:08:50,140 +127 +00:08:44,680 --> 00:08:50,264 Cioè, da un lato influenza AL0, che gioca un ruolo nella funzione di costo, -130 -00:08:50,140 --> 00:08:56,390 +128 +00:08:50,264 --> 00:08:56,364 ma ha anche un'influenza su AL1, che gioca anche un ruolo nella funzione di costo, -131 -00:08:56,390 --> 00:08:57,540 +129 +00:08:56,364 --> 00:08:57,540 e devi sommarli. -132 +130 00:08:59,820 --> 00:09:03,040 E questo, beh, è più o meno tutto. -133 +131 00:09:03,500 --> 00:09:06,390 Una volta che sai quanto è sensibile la funzione di costo alle -134 +132 00:09:06,390 --> 00:09:09,510 attivazioni in questo penultimo strato, puoi semplicemente ripetere -135 +133 00:09:09,510 --> 00:09:12,860 il processo per tutti i pesi e i pregiudizi che alimentano quello strato. -136 +134 00:09:13,900 --> 00:09:14,960 Quindi datti una pacca sulle spalle! -137 +135 00:09:15,300 --> 00:09:19,312 Se tutto ciò ha senso, ora hai esaminato in profondità il cuore della backpropagation, -138 +136 00:09:19,312 --> 00:09:22,680 il cavallo di battaglia dietro il modo in cui le reti neurali apprendono. -139 +137 00:09:23,300 --> 00:09:26,735 Queste espressioni delle regole della catena forniscono i derivati -140 +138 00:09:26,735 --> 00:09:29,864 che determinano ciascun componente nel gradiente che aiuta a -141 +139 00:09:29,864 --> 00:09:33,300 minimizzare il costo della rete scendendo ripetutamente in discesa. -142 +140 00:09:34,300 --> 00:09:38,520 Se ti siedi e pensi a tutto ciò, ci sono molti strati di complessità su cui avvolgere la -143 +141 00:09:38,520 --> 00:09:42,740 tua mente, quindi non preoccuparti se ci vuole tempo perché la tua mente digerisca tutto. diff --git a/2017/backpropagation-calculus/japanese/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/japanese/auto_generated.srt index 79685bb3a..3734246e1 100644 --- a/2017/backpropagation-calculus/japanese/auto_generated.srt +++ b/2017/backpropagation-calculus/japanese/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:04,020 --> 00:00:06,221 +00:00:04,019 --> 00:00:06,221 ここでの厳密な前提条件は、バックプロパゲーション 2 @@ -83,15 +83,15 @@ の程度敏感であるかを理解することです。 22 -00:00:55,419 --> 00:00:58,932 +00:00:55,420 --> 00:00:58,169 そうすることで、これらの項に対するどの調整がコスト関数 23 -00:00:58,932 --> 00:01:02,320 +00:00:58,169 --> 00:01:00,820 の最も効率的な減少を引き起こすかを知ることができます。 24 -00:01:02,320 --> 00:01:04,840 +00:01:01,960 --> 00:01:04,840 最後の 2 つのニューロン間の接続にのみ焦点を当てます。 25 @@ -143,27 +143,27 @@ L を付けて、どの層にあるかを示しましょう。 その 1 つのトレーニング例のコストを c0 と表記します。 37 -00:01:45,900 --> 00:01:49,755 +00:01:45,900 --> 00:01:49,439 念のため言っておきますが、この最後の活性化は、前のニューロ 38 -00:01:49,755 --> 00:01:53,212 +00:01:49,439 --> 00:01:52,612 ンの活性化とバイアス (bL と呼ぶことにします) 39 -00:01:53,212 --> 00:01:56,137 +00:01:52,612 --> 00:01:55,297 を掛けた重み (wL と呼ぶことにします) 40 -00:01:56,137 --> 00:01:57,600 +00:01:55,297 --> 00:01:56,640 によって決定されます。 41 -00:01:57,600 --> 00:01:59,274 +00:01:57,420 --> 00:01:59,175 次に、それをシグモイドや ReLU 42 -00:01:59,274 --> 00:02:01,320 +00:01:59,175 --> 00:02:01,320 などの特別な非線形関数を通してポンプします。 43 @@ -315,51 +315,51 @@ wL の小さな変化に対する c の感度が得られます。 て明確であることを確認するために少し時間を取ってください。 80 -00:04:07,440 --> 00:04:14,180 +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 AL に関する c の導関数は、2AL-y となります。 81 -00:04:14,180 --> 00:04:17,325 +00:04:13,980 --> 00:04:17,174 これは、そのサイズがネットワークの出力と私たちが望 82 -00:04:17,325 --> 00:04:19,967 +00:04:17,174 --> 00:04:19,857 むものとの差に比例 することを意味します。 83 -00:04:19,967 --> 00:04:22,987 +00:04:19,857 --> 00:04:22,923 そのため、その出力が大きく異なる場合、わずか 84 -00:04:22,987 --> 00:04:26,133 +00:04:22,923 --> 00:04:26,117 な変更でも最終的なコスト関数に大きな影響を与える可 85 -00:04:26,133 --> 00:04:27,140 +00:04:26,117 --> 00:04:27,140 能性があります。 86 -00:04:27,840 --> 00:04:32,829 +00:04:27,840 --> 00:04:32,183 zL に関する AL の導関数は、シグモイド関数 87 -00:04:32,829 --> 00:04:37,420 +00:04:32,183 --> 00:04:36,180 、または使用する非線形性の導関数にすぎません。 88 -00:04:37,420 --> 00:04:46,160 +00:04:37,220 --> 00:04:44,660 wL に関する zL の導関数は AL-1 になります。 89 -00:04:46,160 --> 00:04:48,580 +00:04:45,760 --> 00:04:48,313 あなたはどうか知りませんが、じっくりと時間 90 -00:04:48,580 --> 00:04:51,000 +00:04:48,313 --> 00:04:50,866 をかけて公式の意味を 思い出さずに、公式に 91 -00:04:51,000 --> 00:04:53,420 +00:04:50,866 --> 00:04:53,420 どっぷりと浸かってしまいがちだと思います。 92 @@ -387,31 +387,31 @@ wL に関する zL の導関数は AL-1 になります。 のコストのみを wL に関して導関数したものです。 98 -00:05:16,440 --> 00:05:20,653 +00:05:16,440 --> 00:05:20,240 フルコスト関数には、多くの異なるトレーニング例にわたるすべ 99 -00:05:20,653 --> 00:05:24,727 +00:05:20,240 --> 00:05:23,913 てのコストの平均が含まれるため、その導関数では、すべての 100 -00:05:24,727 --> 00:05:28,660 +00:05:23,913 --> 00:05:27,460 トレーニング例にわたってこの式を平均する必要があります。 101 -00:05:28,660 --> 00:05:31,239 +00:05:28,380 --> 00:05:31,034 もちろん、これは勾配ベクトルの 1 102 -00:05:31,239 --> 00:05:33,531 +00:05:31,034 --> 00:05:33,393 つのコンポーネントにすぎず、す 103 -00:05:33,531 --> 00:05:36,683 +00:05:33,393 --> 00:05:36,637 べての重みとバイアスに関するコスト関数の偏導 104 -00:05:36,683 --> 00:05:38,260 +00:05:36,637 --> 00:05:38,260 関数から構築されます。 105 @@ -623,7 +623,7 @@ del z del b に変更するだけです。 の用語について考えてみてください。 157 -00:08:28,979 --> 00:08:32,967 +00:08:28,980 --> 00:08:32,967 ただし、ここで変わるのは、レイヤー L-1 のアクテ 158 diff --git a/2017/backpropagation-calculus/korean/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/korean/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..d40a8318f --- /dev/null +++ b/2017/backpropagation-calculus/korean/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,704 @@ +1 +00:00:04,019 --> 00:00:06,751 +여기서 어려운 가정은 역전파 알고리즘에 대한 + +2 +00:00:06,751 --> 00:00:09,920 +직관적인 안내를 제공하는 3부를 시청했다는 것입니다. + +3 +00:00:11,040 --> 00:00:14,220 +여기서는 좀 더 공식적으로 관련 계산을 살펴봅니다. + +4 +00:00:14,820 --> 00:00:17,287 +약간 혼란스러울 수 있는 것은 당연한 일이므로, + +5 +00:00:17,287 --> 00:00:19,572 +정기적으로 잠시 멈추고 숙고하라는 말은 다른 + +6 +00:00:19,572 --> 00:00:21,400 +곳과 마찬가지로 여기에도 적용됩니다. + +7 +00:00:21,940 --> 00:00:24,840 +이 강좌의 주요 목표는 대부분의 미적분 입문 강좌가 + +8 +00:00:24,840 --> 00:00:26,840 +이 주제에 접근하는 방식과는 다른, + +9 +00:00:26,840 --> 00:00:29,840 +네트워크의 맥락에서 미적분학의 연쇄 법칙에 대해 머신 + +10 +00:00:29,840 --> 00:00:32,640 +러닝 분야의 사람들이 일반적으로 어떻게 생각하는지 + +11 +00:00:32,640 --> 00:00:33,640 +보여주는 것입니다. + +12 +00:00:34,340 --> 00:00:36,399 +관련 미적분학이 어려운 분들을 위해 이 + +13 +00:00:36,399 --> 00:00:38,740 +주제에 대한 전체 시리즈가 준비되어 있습니다. + +14 +00:00:39,960 --> 00:00:43,141 +각 레이어에 뉴런이 하나씩 있는 매우 + +15 +00:00:43,141 --> 00:00:46,020 +간단한 네트워크부터 시작하겠습니다. + +16 +00:00:46,320 --> 00:00:48,910 +이 네트워크는 세 가지 가중치와 세 가지 + +17 +00:00:48,910 --> 00:00:51,838 +편향으로 결정되며, 우리의 목표는 비용 함수가 + +18 +00:00:51,838 --> 00:00:54,880 +이러한 변수에 얼마나 민감한지 이해하는 것입니다. + +19 +00:00:55,420 --> 00:00:58,069 +이렇게 하면 어떤 조건을 조정하면 비용 함수를 + +20 +00:00:58,069 --> 00:01:00,820 +가장 효율적으로 줄일 수 있는지 알 수 있습니다. + +21 +00:01:01,960 --> 00:01:04,840 +그리고 마지막 두 뉴런 사이의 연결에 집중하겠습니다. + +22 +00:01:05,980 --> 00:01:09,021 +마지막 뉴런의 활성화에 위첨자 L을 + +23 +00:01:09,021 --> 00:01:12,214 +붙여서 어느 층에 있는지를 나타내므로 + +24 +00:01:12,214 --> 00:01:15,560 +이전 뉴런의 활성화는 Al-1이 됩니다. + +25 +00:01:16,360 --> 00:01:18,683 +이것은 지수가 아니라 나중에 다른 인덱스에 + +26 +00:01:18,683 --> 00:01:20,910 +대한 구독을 저장하고 싶기 때문에 우리가 + +27 +00:01:20,910 --> 00:01:23,040 +말하는 것을 인덱싱하는 방법일 뿐입니다. + +28 +00:01:23,720 --> 00:01:26,495 +예를 들어, 주어진 훈련 예제에 대해 + +29 +00:01:26,495 --> 00:01:29,404 +이 마지막 활성화의 값이 0 또는 1이 + +30 +00:01:29,404 --> 00:01:32,180 +될 수 있는 y라고 가정해 보겠습니다. + +31 +00:01:32,840 --> 00:01:36,039 +따라서 단일 훈련 예제에 대한 이 + +32 +00:01:36,039 --> 00:01:39,240 +네트워크의 비용은 Al-y2입니다. + +33 +00:01:40,260 --> 00:01:44,380 +이 트레이닝 예제의 비용을 c0으로 표시하겠습니다. + +34 +00:01:45,900 --> 00:01:49,673 +이 마지막 활성화는 WL이라고 부르는 가중치와 + +35 +00:01:49,673 --> 00:01:53,156 +이전 뉴런의 활성화에 약간의 편향성을 더한 + +36 +00:01:53,156 --> 00:01:56,640 +값에 의해 결정됩니다(BL이라고 부릅니다). + +37 +00:01:57,420 --> 00:01:59,411 +그런 다음 시그모이드 또는 ReLU와 같은 + +38 +00:01:59,411 --> 00:02:01,320 +특수 비선형 함수를 통해 이를 펌핑합니다. + +39 +00:02:01,800 --> 00:02:04,163 +이 가중치 합계에 관련 활성화와 동일한 + +40 +00:02:04,163 --> 00:02:06,741 +위첨자를 사용하여 Z와 같은 특별한 이름을 + +41 +00:02:06,741 --> 00:02:09,320 +지정하면 실제로 작업이 더 쉬워질 것입니다. + +42 +00:02:10,380 --> 00:02:13,780 +많은 용어가 있지만, 이를 개념화할 수 있는 + +43 +00:02:13,780 --> 00:02:17,725 +방법은 가중치, 이전 행동, 편향성을 모두 사용하여 + +44 +00:02:17,725 --> 00:02:21,262 +z를 계산하고, 이를 통해 a를 계산하여 상수 + +45 +00:02:21,262 --> 00:02:24,799 +y와 함께 최종적으로 비용을 계산할 수 있다는 + +46 +00:02:24,799 --> 00:02:25,480 +것입니다. + +47 +00:02:27,340 --> 00:02:30,861 +물론 Al-1은 그 자체의 무게와 편향성 등에 + +48 +00:02:30,861 --> 00:02:34,247 +영향을 받지만, 지금은 여기에 초점을 맞추지 + +49 +00:02:34,247 --> 00:02:35,060 +않겠습니다. + +50 +00:02:35,700 --> 00:02:37,620 +이 모든 것은 숫자에 불과하죠? + +51 +00:02:38,060 --> 00:02:39,812 +그리고 각각에 고유한 작은 번호선이 + +52 +00:02:39,812 --> 00:02:41,040 +있다고 생각하면 좋습니다. + +53 +00:02:41,720 --> 00:02:45,214 +첫 번째 목표는 비용 함수가 가중치 WL의 + +54 +00:02:45,214 --> 00:02:49,000 +작은 변화에 얼마나 민감한지 이해하는 것입니다. + +55 +00:02:49,540 --> 00:02:52,124 +또는 다르게 표현하면, WL과 + +56 +00:02:52,124 --> 00:02:54,860 +관련하여 c의 미분은 무엇인가요? + +57 +00:02:55,600 --> 00:02:58,444 +이 델 W 용어를 볼 때는 0.01의 + +58 +00:02:58,444 --> 00:03:01,152 +변화와 같이 W에 대한 작은 넛지를 + +59 +00:03:01,152 --> 00:03:04,403 +의미한다고 생각하고, 델 c 용어는 비용에 + +60 +00:03:04,403 --> 00:03:08,060 +대한 결과적인 넛지를 의미한다고 생각하면 됩니다. + +61 +00:03:08,060 --> 00:03:10,220 +우리가 원하는 것은 그들의 비율입니다. + +62 +00:03:11,260 --> 00:03:14,463 +개념적으로 WL에 대한 이 작은 넛지는 ZL에 + +63 +00:03:14,463 --> 00:03:17,913 +약간의 넛지를 유발하고, 이는 다시 AL에 약간의 + +64 +00:03:17,913 --> 00:03:21,240 +넛지를 유발하여 비용에 직접적인 영향을 미칩니다. + +65 +00:03:23,120 --> 00:03:26,385 +따라서 먼저 ZL에 대한 작은 변화와 이 + +66 +00:03:26,385 --> 00:03:29,508 +작은 변화 W의 비율, 즉 WL에 대한 + +67 +00:03:29,508 --> 00:03:33,200 +ZL의 미분을 살펴봄으로써 상황을 세분화합니다. + +68 +00:03:33,200 --> 00:03:36,916 +마찬가지로, AL에 대한 변화와 그 원인이 + +69 +00:03:36,916 --> 00:03:39,549 +된 ZL의 작은 변화의 비율, + +70 +00:03:39,549 --> 00:03:43,111 +그리고 최종 넛지와 이 중간 넛지 사이의 + +71 +00:03:43,111 --> 00:03:44,660 +비율을 고려합니다. + +72 +00:03:45,740 --> 00:03:48,487 +바로 여기에 연쇄 법칙이 있는데, + +73 +00:03:48,487 --> 00:03:51,669 +이 세 가지 비율을 곱하면 WL의 작은 + +74 +00:03:51,669 --> 00:03:55,140 +변화에 대한 c의 민감도를 알 수 있습니다. + +75 +00:03:56,880 --> 00:04:00,000 +지금 화면에는 많은 기호가 표시되어 있는데, + +76 +00:04:00,000 --> 00:04:02,995 +이제 관련 파생상품을 계산할 것이므로 잠시 + +77 +00:04:02,995 --> 00:04:06,240 +시간을 내어 기호가 무엇인지 명확히 알아두세요. + +78 +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 +AL에 대한 c의 도함수는 2AL-y로 계산됩니다. + +79 +00:04:13,980 --> 00:04:17,269 +이는 네트워크의 출력과 우리가 원하는 것 + +80 +00:04:17,269 --> 00:04:20,273 +사이의 차이에 비례한다는 의미이므로, + +81 +00:04:20,273 --> 00:04:23,420 +그 출력이 매우 다르다면 약간의 변화도 + +82 +00:04:23,420 --> 00:04:27,140 +최종 비용 함수에 큰 영향을 미칠 수 있습니다. + +83 +00:04:27,840 --> 00:04:32,010 +ZL에 대한 AL의 도함수는 시그모이드 함수 또는 + +84 +00:04:32,010 --> 00:04:36,180 +사용자가 선택한 비선형성에 대한 도함수일 뿐입니다. + +85 +00:04:37,220 --> 00:04:42,020 +그리고 WL에 대한 ZL의 도함수는 + +86 +00:04:42,020 --> 00:04:44,660 +AL-1로 나옵니다. + +87 +00:04:45,760 --> 00:04:48,133 +여러분은 어떤지 모르겠지만, 저는 잠시 + +88 +00:04:48,133 --> 00:04:50,614 +시간을 내서 그 공식의 의미를 되새겨보지 + +89 +00:04:50,614 --> 00:04:53,420 +않고는 그 공식에 갇혀버리기 쉽다고 생각합니다. + +90 +00:04:53,920 --> 00:04:56,886 +이 마지막 파생물의 경우, 가중치에 대한 + +91 +00:04:56,886 --> 00:04:59,724 +작은 넛지가 마지막 층에 영향을 미치는 + +92 +00:04:59,724 --> 00:05:02,820 +정도는 이전 뉴런의 강도에 따라 달라집니다. + +93 +00:05:03,380 --> 00:05:05,773 +뉴런이 함께 불을 붙인다는 아이디어가 + +94 +00:05:05,773 --> 00:05:08,280 +바로 여기에서 나온다는 것을 기억하세요. + +95 +00:05:09,200 --> 00:05:12,460 +그리고 이 모든 것은 특정 단일 교육 예제에 + +96 +00:05:12,460 --> 00:05:15,720 +대한 비용만 WL과 관련하여 파생된 것입니다. + +97 +00:05:16,440 --> 00:05:20,017 +전체 비용 함수는 다양한 훈련 예제에서 모든 + +98 +00:05:20,017 --> 00:05:22,594 +비용의 평균을 구하는 것이므로, + +99 +00:05:22,594 --> 00:05:26,315 +그 미분은 모든 훈련 예제에서 이 식의 평균을 + +100 +00:05:26,315 --> 00:05:27,460 +구해야 합니다. + +101 +00:05:28,380 --> 00:05:31,476 +물론 이는 모든 가중치와 편향에 대한 + +102 +00:05:31,476 --> 00:05:34,720 +비용 함수의 부분 미분으로부터 구축되는 + +103 +00:05:34,720 --> 00:05:38,260 +그라디언트 벡터의 한 구성 요소일 뿐입니다. + +104 +00:05:40,640 --> 00:05:42,180 +하지만 이는 우리가 필요로 하는 많은 + +105 +00:05:42,180 --> 00:05:43,939 +부분적인 파생 상품 중 하나에 불과하지만, + +106 +00:05:43,939 --> 00:05:45,260 +작업의 50% 이상을 차지합니다. + +107 +00:05:46,340 --> 00:05:49,720 +예를 들어 편향에 대한 민감도는 거의 동일합니다. + +108 +00:05:50,040 --> 00:05:52,316 +이 델 z 델 w 용어를 델 + +109 +00:05:52,316 --> 00:05:55,020 +z 델 b로 바꾸기만 하면 됩니다. + +110 +00:05:58,420 --> 00:06:02,400 +관련 공식을 살펴보면 그 미분은 1로 나옵니다. + +111 +00:06:06,140 --> 00:06:09,980 +또한, 역전파라는 아이디어가 여기서 나오는데, + +112 +00:06:09,980 --> 00:06:13,081 +이 비용 함수가 이전 계층의 활성화에 + +113 +00:06:13,081 --> 00:06:15,740 +얼마나 민감한지 알 수 있습니다. + +114 +00:06:15,740 --> 00:06:19,943 +즉, 체인 규칙 표현식에서 이 초기 도함수, + +115 +00:06:19,943 --> 00:06:24,819 +즉 이전 활성화에 대한 z의 민감도가 가중치 WL로 + +116 +00:06:24,819 --> 00:06:25,660 +나옵니다. + +117 +00:06:26,640 --> 00:06:29,824 +다시 말하지만, 이전 레이어 활성화에 직접적인 + +118 +00:06:29,824 --> 00:06:32,764 +영향을 줄 수는 없지만, 이제 동일한 체인 + +119 +00:06:32,764 --> 00:06:35,826 +규칙 아이디어를 거꾸로 반복하여 비용 함수가 + +120 +00:06:35,826 --> 00:06:38,765 +이전 가중치와 이전 편향에 얼마나 민감한지 + +121 +00:06:38,765 --> 00:06:42,440 +확인할 수 있으므로 계속 추적하는 것이 도움이 됩니다. + +122 +00:06:43,180 --> 00:06:45,491 +모든 레이어에는 하나의 뉴런이 있고 실제 + +123 +00:06:45,491 --> 00:06:48,105 +네트워크에서는 상황이 기하급수적으로 복잡해지기 + +124 +00:06:48,105 --> 00:06:51,020 +때문에 지나치게 단순한 예라고 생각할 수도 있습니다. + +125 +00:06:51,700 --> 00:06:53,925 +하지만 솔직히 레이어에 여러 개의 뉴런을 + +126 +00:06:53,925 --> 00:06:55,860 +부여해도 그다지 큰 변화는 없으며, + +127 +00:06:55,860 --> 00:06:58,279 +추적해야 할 지표가 몇 개 더 늘어나는 것에 + +128 +00:06:58,279 --> 00:06:58,860 +불과합니다. + +129 +00:06:59,380 --> 00:07:02,058 +특정 레이어의 활성화가 단순히 AL이 + +130 +00:07:02,058 --> 00:07:04,736 +아니라 해당 레이어의 어떤 뉴런인지를 + +131 +00:07:04,736 --> 00:07:07,160 +나타내는 아래 첨자가 붙게 됩니다. + +132 +00:07:07,160 --> 00:07:10,790 +문자 k를 사용하여 레이어 L-1의 색인을 생성하고 + +133 +00:07:10,790 --> 00:07:14,420 +j를 사용하여 레이어 L의 색인을 생성해 보겠습니다. + +134 +00:07:15,260 --> 00:07:18,434 +비용의 경우, 다시 원하는 출력이 무엇인지 + +135 +00:07:18,434 --> 00:07:21,476 +살펴보지만 이번에는 이러한 마지막 레이어 + +136 +00:07:21,476 --> 00:07:25,180 +활성화와 원하는 출력 간의 차이의 제곱을 더합니다. + +137 +00:07:26,080 --> 00:07:30,840 +즉, ALj에서 Yj 제곱을 뺀 합계를 취합니다. + +138 +00:07:33,040 --> 00:07:36,128 +가중치가 훨씬 더 많으므로 각 가중치는 위치를 + +139 +00:07:36,128 --> 00:07:38,980 +추적하기 위해 몇 개의 인덱스를 더 가져야 + +140 +00:07:38,980 --> 00:07:42,187 +하므로 이 k번째 뉴런과 j번째 뉴런을 연결하는 + +141 +00:07:42,187 --> 00:07:44,920 +에지의 가중치를 WLjk라고 부르겠습니다. + +142 +00:07:45,620 --> 00:07:47,870 +이러한 인덱스는 처음에는 약간 거꾸로 + +143 +00:07:47,870 --> 00:07:50,334 +느껴질 수 있지만 1부 동영상에서 설명한 + +144 +00:07:50,334 --> 00:07:53,120 +가중치 매트릭스를 인덱싱하는 방법과 일치합니다. + +145 +00:07:53,620 --> 00:07:56,168 +이전과 마찬가지로 z와 같이 관련 가중 + +146 +00:07:56,168 --> 00:07:58,716 +합계에 이름을 지정하여 마지막 레이어의 + +147 +00:07:58,716 --> 00:08:01,264 +활성화가 z에 적용된 시그모이드와 같은 + +148 +00:08:01,264 --> 00:08:04,160 +특수 함수만 활성화되도록 하는 것이 좋습니다. + +149 +00:08:04,660 --> 00:08:07,416 +레이어당 하나의 뉴런을 사용하는 경우와 + +150 +00:08:07,416 --> 00:08:10,422 +본질적으로 동일한 방정식을 사용하지만 조금 + +151 +00:08:10,422 --> 00:08:13,680 +더 복잡해 보일 뿐이라는 것을 알 수 있습니다. + +152 +00:08:15,440 --> 00:08:19,640 +실제로 비용이 특정 무게에 얼마나 민감한지를 설명하는 + +153 +00:08:19,640 --> 00:08:23,420 +체인 규칙 파생식도 본질적으로 동일하게 보입니다. + +154 +00:08:23,920 --> 00:08:25,505 +원하신다면 잠시 멈춰서 각 용어에 + +155 +00:08:25,505 --> 00:08:26,840 +대해 생각해 보시기 바랍니다. + +156 +00:08:28,980 --> 00:08:32,980 +하지만 여기서 변경되는 것은 레이어 L-1의 + +157 +00:08:32,980 --> 00:08:36,659 +활성화 중 하나에 대한 비용의 미분입니다. + +158 +00:08:37,780 --> 00:08:40,219 +이 경우 뉴런이 여러 다른 경로를 통해 + +159 +00:08:40,219 --> 00:08:42,880 +비용 함수에 영향을 미친다는 점이 다릅니다. + +160 +00:08:44,680 --> 00:08:48,823 +즉, 한편으로는 비용 함수에서 역할을 하는 AL0에 + +161 +00:08:48,823 --> 00:08:52,681 +영향을 미치지만, 다른 한편으로는 비용 함수에서 + +162 +00:08:52,681 --> 00:08:56,968 +역할을 하는 AL1에도 영향을 미치므로 이를 합산해야 + +163 +00:08:56,968 --> 00:08:57,540 +합니다. + +164 +00:08:59,820 --> 00:09:03,040 +그리고 그게 거의 전부입니다. + +165 +00:09:03,500 --> 00:09:06,655 +이 두 번째에서 마지막 레이어의 활성화에 비용 함수가 + +166 +00:09:06,655 --> 00:09:09,704 +얼마나 민감한지 알게 되면, 해당 레이어에 공급되는 + +167 +00:09:09,704 --> 00:09:12,860 +모든 가중치와 편향에 대해 이 과정을 반복하면 됩니다. + +168 +00:09:13,900 --> 00:09:14,960 +그러니 스스로를 칭찬해 주세요! + +169 +00:09:15,300 --> 00:09:18,641 +이 모든 것이 이해가 되셨다면 이제 신경망 + +170 +00:09:18,641 --> 00:09:22,680 +학습의 핵심인 역전파의 핵심을 깊이 들여다보셨습니다. + +171 +00:09:23,300 --> 00:09:26,752 +이러한 체인 규칙 표현식은 경사도의 각 구성 요소를 + +172 +00:09:26,752 --> 00:09:30,204 +결정하는 파생물을 제공하여 반복적으로 내리막을 밟아 + +173 +00:09:30,204 --> 00:09:33,300 +네트워크의 비용을 최소화하는 데 도움이 됩니다. + +174 +00:09:34,300 --> 00:09:37,113 +가만히 앉아 이 모든 것을 생각해보면 복잡하게 + +175 +00:09:37,113 --> 00:09:39,926 +얽혀 있는 내용들이 많기 때문에 이 모든 것을 + +176 +00:09:39,926 --> 00:09:42,740 +소화하는 데 시간이 걸리더라도 걱정하지 마세요. + diff --git a/2017/backpropagation-calculus/marathi/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/marathi/auto_generated.srt index 4d29b2765..ab37290b0 100644 --- a/2017/backpropagation-calculus/marathi/auto_generated.srt +++ b/2017/backpropagation-calculus/marathi/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:04,020 --> 00:00:06,817 +00:00:04,019 --> 00:00:06,817 बॅकप्रोपॅगेशन अल्गोरिदमचा अंतर्ज्ञानी वॉकथ्रू 2 @@ -59,15 +59,15 @@ चलांसाठी किमतीचे कार्य किती संवेदनशील आहे हे समजून घेणे हे आमचे ध्येय आहे. 16 -00:00:55,419 --> 00:00:58,935 +00:00:55,420 --> 00:00:58,170 अशा प्रकारे आम्हाला माहित आहे की त्या अटींमध्ये कोणते 17 -00:00:58,935 --> 00:01:02,320 +00:00:58,170 --> 00:01:00,820 समायोजन खर्च कार्यामध्ये सर्वात प्रभावीपणे कमी करेल. 18 -00:01:02,320 --> 00:01:04,840 +00:01:01,960 --> 00:01:04,840 आम्ही फक्त शेवटच्या दोन न्यूरॉन्समधील कनेक्शनवर लक्ष केंद्रित करू. 19 @@ -107,15 +107,15 @@ आम्ही त्या एका प्रशिक्षण उदाहरणाची किंमत c0 म्हणून दर्शवू. 28 -00:01:45,900 --> 00:01:51,961 +00:01:45,900 --> 00:01:51,464 एक स्मरणपत्र म्हणून, हे शेवटचे सक्रियकरण वजनाने ठरवले जाते, ज्याला मी wL म्हणणार आहे, 29 -00:01:51,961 --> 00:01:57,600 +00:01:51,464 --> 00:01:56,640 पूर्वीच्या न्यूरॉनच्या सक्रियतेच्या पट आणि काही पूर्वाग्रह, ज्याला मी bL म्हणेन. 30 -00:01:57,600 --> 00:02:01,320 +00:01:57,420 --> 00:02:01,320 मग तुम्ही ते सिग्मॉइड किंवा ReLU सारख्या काही विशेष नॉनलाइनर फंक्शनद्वारे पंप करता. 31 @@ -223,39 +223,39 @@ थोडा वेळ घ्या, कारण आता आपण संबंधित डेरिव्हेटिव्ह्जची गणना करणार आहोत. 57 -00:04:07,440 --> 00:04:14,180 +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 AL च्या संदर्भात c चे व्युत्पन्न 2AL-y आहे. 58 -00:04:14,180 --> 00:04:18,436 +00:04:13,980 --> 00:04:18,302 याचा अर्थ त्याचा आकार नेटवर्कचे आउटपुट आणि आम्हाला पाहिजे असलेल्या 59 -00:04:18,436 --> 00:04:22,883 +00:04:18,302 --> 00:04:22,817 गोष्टीमधील फरकाच्या प्रमाणात आहे, म्हणून जर ते आउटपुट खूप वेगळे असेल, 60 -00:04:22,883 --> 00:04:27,140 +00:04:22,817 --> 00:04:27,140 तर अगदी थोडासा बदल देखील अंतिम खर्चाच्या कार्यावर मोठा परिणाम करेल. 61 -00:04:27,840 --> 00:04:32,829 +00:04:27,840 --> 00:04:32,183 zL च्या संदर्भात AL चे व्युत्पन्न फक्त आमच्या सिग्मॉइड फंक्शनचे व्युत्पन्न 62 -00:04:32,829 --> 00:04:37,420 +00:04:32,183 --> 00:04:36,180 आहे किंवा तुम्ही वापरण्यासाठी निवडलेल्या कोणत्याही नॉनलाइनरिटीचे आहे. 63 -00:04:37,420 --> 00:04:46,160 +00:04:37,220 --> 00:04:44,660 wL च्या संदर्भात zL चे व्युत्पन्न AL-1 आहे. 64 -00:04:46,160 --> 00:04:49,744 +00:04:45,760 --> 00:04:49,542 मला तुमच्याबद्दल माहिती नाही, पण मला वाटतं की फॉर्म्युलामध्ये डोकं अडकवणं सोपं 65 -00:04:49,744 --> 00:04:53,420 +00:04:49,542 --> 00:04:53,420 आहे आणि एक क्षणही मागे न बसता आणि त्या सर्वांचा अर्थ काय आहे याची आठवण करून द्या. 66 @@ -279,27 +279,27 @@ wL च्या संदर्भात zL चे व्युत्पन् खर्चाच्या wL च्या संदर्भात व्युत्पन्न आहे. 71 -00:05:16,440 --> 00:05:20,612 +00:05:16,440 --> 00:05:20,202 संपूर्ण किमतीच्या कार्यामध्ये अनेक भिन्न प्रशिक्षण उदाहरणांमध्ये त्या 72 -00:05:20,612 --> 00:05:23,772 +00:05:20,202 --> 00:05:23,051 सर्व खर्चांची एकत्रित सरासरी करणे समाविष्ट असल्याने, 73 -00:05:23,772 --> 00:05:28,660 +00:05:23,051 --> 00:05:27,460 त्याच्या व्युत्पन्नास सर्व प्रशिक्षण उदाहरणांवर या अभिव्यक्तीची सरासरी आवश्यक आहे. 74 -00:05:28,660 --> 00:05:31,775 +00:05:28,380 --> 00:05:31,586 अर्थात, ग्रेडियंट व्हेक्टरचा हा फक्त एक घटक आहे, 75 -00:05:31,775 --> 00:05:36,161 +00:05:31,586 --> 00:05:36,100 जो त्या सर्व वजन आणि पूर्वाग्रहांच्या संदर्भात खर्च फंक्शनच्या आंशिक 76 -00:05:36,161 --> 00:05:38,260 +00:05:36,100 --> 00:05:38,260 डेरिव्हेटिव्हमधून तयार केला जातो. 77 @@ -455,7 +455,7 @@ z ला लागू केले जाते. मी ते तुमच्यावर सोडेन आणि तुम्हाला हवे असल्यास त्या प्रत्येक अटींबद्दल विचार करा. 115 -00:08:28,979 --> 00:08:36,659 +00:08:28,980 --> 00:08:36,659 येथे काय बदल होतो, तथापि, लेयर L-1 मधील एका सक्रियतेच्या संदर्भात किमतीचे व्युत्पन्न आहे. 116 diff --git a/2017/backpropagation-calculus/portuguese/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/portuguese/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..8392c0235 --- /dev/null +++ b/2017/backpropagation-calculus/portuguese/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,548 @@ +1 +00:00:04,019 --> 00:00:06,621 +A suposição difícil aqui é que você assistiu à parte 3, + +2 +00:00:06,621 --> 00:00:09,920 +que fornece um passo a passo intuitivo do algoritmo de retropropagação. + +3 +00:00:11,040 --> 00:00:14,220 +Aqui ficamos um pouco mais formais e mergulhamos no cálculo relevante. + +4 +00:00:14,820 --> 00:00:16,906 +É normal que isso seja pelo menos um pouco confuso, + +5 +00:00:16,906 --> 00:00:20,156 +então o mantra de pausar e ponderar regularmente certamente se aplica tanto aqui + +6 +00:00:20,156 --> 00:00:21,400 +quanto em qualquer outro lugar. + +7 +00:00:21,940 --> 00:00:24,746 +Nosso principal objetivo é mostrar como as pessoas que trabalham + +8 +00:00:24,746 --> 00:00:27,682 +com aprendizado de máquina comumente pensam sobre a regra da cadeia + +9 +00:00:27,682 --> 00:00:30,531 +do cálculo no contexto de redes, o que tem uma sensação diferente + +10 +00:00:30,531 --> 00:00:33,640 +de como a maioria dos cursos introdutórios ao cálculo abordam o assunto. + +11 +00:00:34,340 --> 00:00:37,054 +Para aqueles que não se sentem à vontade com o cálculo relevante, + +12 +00:00:37,054 --> 00:00:38,740 +tenho uma série completa sobre o assunto. + +13 +00:00:39,960 --> 00:00:43,223 +Vamos começar com uma rede extremamente simples, + +14 +00:00:43,223 --> 00:00:46,020 +onde cada camada contém um único neurônio. + +15 +00:00:46,320 --> 00:00:49,795 +Esta rede é determinada por três pesos e três vieses, + +16 +00:00:49,795 --> 00:00:54,880 +e nosso objetivo é entender o quão sensível é a função custo a essas variáveis. + +17 +00:00:55,420 --> 00:00:58,092 +Dessa forma, sabemos quais ajustes nesses termos + +18 +00:00:58,092 --> 00:01:00,820 +causarão a redução mais eficiente na função custo. + +19 +00:01:01,960 --> 00:01:04,840 +E vamos nos concentrar apenas na conexão entre os dois últimos neurônios. + +20 +00:01:05,980 --> 00:01:10,416 +Vamos rotular a ativação desse último neurônio com um L sobrescrito, + +21 +00:01:10,416 --> 00:01:15,560 +indicando em qual camada ele está, então a ativação do neurônio anterior é Al-1. + +22 +00:01:16,360 --> 00:01:19,792 +Não são expoentes, são apenas uma forma de indexar o que estamos falando, + +23 +00:01:19,792 --> 00:01:23,040 +já que quero salvar subscritos para índices diferentes posteriormente. + +24 +00:01:23,720 --> 00:01:27,892 +Digamos que o valor que queremos que esta última ativação tenha para um + +25 +00:01:27,892 --> 00:01:32,180 +determinado exemplo de treinamento seja y, por exemplo, y pode ser 0 ou 1. + +26 +00:01:32,840 --> 00:01:39,240 +Portanto, o custo desta rede para um único exemplo de treinamento é Al-y2. + +27 +00:01:40,260 --> 00:01:44,380 +Denotaremos o custo desse exemplo de treinamento como c0. + +28 +00:01:45,900 --> 00:01:51,545 +Lembrando que esta última ativação é determinada por um peso, que chamarei de WL, + +29 +00:01:51,545 --> 00:01:56,640 +vezes a ativação do neurônio anterior mais algum viés, que chamarei de BL. + +30 +00:01:57,420 --> 00:01:59,513 +E então você bombeia isso através de alguma função + +31 +00:01:59,513 --> 00:02:01,320 +não linear especial como o sigmóide ou ReLU. + +32 +00:02:01,800 --> 00:02:05,512 +Na verdade, as coisas ficarão mais fáceis para nós se dermos um nome especial + +33 +00:02:05,512 --> 00:02:09,320 +a essa soma ponderada, como z, com o mesmo sobrescrito das ativações relevantes. + +34 +00:02:10,380 --> 00:02:14,288 +São muitos termos, e uma maneira de conceituar isso é que o peso, + +35 +00:02:14,288 --> 00:02:18,610 +a ação anterior e a tendência, todos juntos, são usados para calcular z, + +36 +00:02:18,610 --> 00:02:23,644 +o que por sua vez nos permite calcular a, que finalmente, junto com uma constante y, + +37 +00:02:23,644 --> 00:02:25,480 +permite nós calculamos o custo. + +38 +00:02:27,340 --> 00:02:32,422 +E é claro que o Al-1 é influenciado pelo seu próprio peso e preconceito e tal, + +39 +00:02:32,422 --> 00:02:35,060 +mas não vamos nos concentrar nisso agora. + +40 +00:02:35,700 --> 00:02:37,620 +Tudo isso são apenas números, certo? + +41 +00:02:38,060 --> 00:02:41,040 +E pode ser bom pensar que cada um tem a sua própria reta numérica. + +42 +00:02:41,720 --> 00:02:45,324 +Nosso primeiro objetivo é entender quão sensível é + +43 +00:02:45,324 --> 00:02:49,000 +a função custo a pequenas mudanças em nosso peso WL. + +44 +00:02:49,540 --> 00:02:54,860 +Ou, de outra forma, qual é a derivada de c em relação a WL? + +45 +00:02:55,600 --> 00:03:00,533 +Quando você vir esse termo del W, pense nele como um pequeno empurrão para W, + +46 +00:03:00,533 --> 00:03:04,960 +como uma mudança de 0,01, e pense nesse termo del c como significando + +47 +00:03:04,960 --> 00:03:08,060 +qualquer que seja o empurrão resultante no custo. + +48 +00:03:08,060 --> 00:03:10,220 +O que queremos é a proporção deles. + +49 +00:03:11,260 --> 00:03:15,930 +Conceitualmente, esse pequeno empurrão no WL causa algum empurrão no ZL, + +50 +00:03:15,930 --> 00:03:21,240 +o que por sua vez causa algum empurrão no AL, o que influencia diretamente o custo. + +51 +00:03:23,120 --> 00:03:27,848 +Portanto, dividimos as coisas observando primeiro a razão entre uma pequena + +52 +00:03:27,848 --> 00:03:33,200 +alteração em ZL e esta pequena alteração W, ou seja, a derivada de ZL em relação a WL. + +53 +00:03:33,200 --> 00:03:37,040 +Da mesma forma, você considera a razão entre a mudança para AL + +54 +00:03:37,040 --> 00:03:40,880 +e a pequena mudança em ZL que a causou, bem como a razão entre + +55 +00:03:40,880 --> 00:03:44,660 +o empurrão final para c e esse empurrão intermediário para AL. + +56 +00:03:45,740 --> 00:03:50,403 +Isso aqui é a regra da cadeia, onde a multiplicação dessas três + +57 +00:03:50,403 --> 00:03:55,140 +proporções nos dá a sensibilidade de c a pequenas mudanças no WL. + +58 +00:03:56,880 --> 00:04:01,614 +Então, na tela agora, há muitos símbolos, e reserve um momento para ter certeza de que + +59 +00:04:01,614 --> 00:04:06,240 +está claro quais são todos eles, porque agora vamos calcular as derivadas relevantes. + +60 +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 +A derivada de c em relação a AL resulta em 2AL-y. + +61 +00:04:13,980 --> 00:04:18,505 +Observe que isso significa que seu tamanho é proporcional à diferença entre a produção + +62 +00:04:18,505 --> 00:04:23,030 +da rede e o que queremos que ela seja; portanto, se essa produção for muito diferente, + +63 +00:04:23,030 --> 00:04:27,140 +mesmo pequenas alterações podem ter um grande impacto na função de custo final. + +64 +00:04:27,840 --> 00:04:32,908 +A derivada de AL em relação a ZL é apenas a derivada de nossa função sigmóide, + +65 +00:04:32,908 --> 00:04:36,180 +ou qualquer não-linearidade que você escolher usar. + +66 +00:04:37,220 --> 00:04:44,660 +E a derivada de ZL em relação a WL é AL-1. + +67 +00:04:45,760 --> 00:04:49,737 +Bem, não sei sobre você, mas acho que é fácil ficar preso de cabeça nas fórmulas + +68 +00:04:49,737 --> 00:04:53,420 +sem parar um momento para sentar e se lembrar do que todas elas significam. + +69 +00:04:53,920 --> 00:04:58,460 +No caso desta última derivada, a quantidade que o pequeno empurrão no peso + +70 +00:04:58,460 --> 00:05:02,820 +influenciou a última camada depende de quão forte é o neurônio anterior. + +71 +00:05:03,380 --> 00:05:08,280 +Lembre-se de que é aqui que entra a ideia dos neurônios que disparam juntos. + +72 +00:05:09,200 --> 00:05:12,460 +E tudo isso é a derivada em relação ao WL apenas do + +73 +00:05:12,460 --> 00:05:15,720 +custo de um único exemplo específico de treinamento. + +74 +00:05:16,440 --> 00:05:20,265 +Como a função de custo total envolve a média de todos esses custos + +75 +00:05:20,265 --> 00:05:24,034 +em muitos exemplos de treinamento diferentes, sua derivada requer + +76 +00:05:24,034 --> 00:05:27,460 +a média dessa expressão em todos os exemplos de treinamento. + +77 +00:05:28,380 --> 00:05:31,788 +E, claro, esta é apenas uma componente do vetor gradiente, + +78 +00:05:31,788 --> 00:05:36,815 +que é construído a partir das derivadas parciais da função de custo em relação a todos + +79 +00:05:36,815 --> 00:05:38,260 +esses pesos e tendências. + +80 +00:05:40,640 --> 00:05:44,168 +Mas mesmo que esta seja apenas uma das muitas derivadas parciais de que precisamos, + +81 +00:05:44,168 --> 00:05:45,260 +é mais de 50% do trabalho. + +82 +00:05:46,340 --> 00:05:49,720 +A sensibilidade ao viés, por exemplo, é quase idêntica. + +83 +00:05:50,040 --> 00:05:55,020 +Só precisamos trocar esse termo del z del w por a del z del b. + +84 +00:05:58,420 --> 00:06:02,400 +E se você olhar para a fórmula relevante, essa derivada será 1. + +85 +00:06:06,140 --> 00:06:10,244 +Além disso, e é aí que entra a ideia de propagação para trás, + +86 +00:06:10,244 --> 00:06:15,740 +você pode ver o quão sensível essa função de custo é à ativação da camada anterior. + +87 +00:06:15,740 --> 00:06:20,700 +Ou seja, esta derivada inicial na expressão da regra da cadeia, + +88 +00:06:20,700 --> 00:06:25,660 +a sensibilidade de z à ativação anterior, resulta ser o peso WL. + +89 +00:06:26,640 --> 00:06:30,753 +E, novamente, mesmo que não seremos capazes de influenciar diretamente a ativação + +90 +00:06:30,753 --> 00:06:34,414 +da camada anterior, é útil acompanhar, porque agora podemos simplesmente + +91 +00:06:34,414 --> 00:06:38,427 +continuar iterando essa mesma ideia de regra da cadeia de trás para frente para + +92 +00:06:38,427 --> 00:06:42,440 +ver quão sensível é a função de custo para pesos anteriores e vieses anteriores. + +93 +00:06:43,180 --> 00:06:45,762 +E você pode pensar que este é um exemplo muito simples, + +94 +00:06:45,762 --> 00:06:49,590 +já que todas as camadas têm um neurônio, e as coisas ficarão exponencialmente mais + +95 +00:06:49,590 --> 00:06:51,020 +complicadas para uma rede real. + +96 +00:06:51,700 --> 00:06:55,863 +Mas, honestamente, não muda muita coisa quando damos vários neurônios às camadas; + +97 +00:06:55,863 --> 00:06:58,860 +na verdade, são apenas mais alguns índices para acompanhar. + +98 +00:06:59,380 --> 00:07:03,079 +Em vez de a ativação de uma determinada camada ser simplesmente AL, + +99 +00:07:03,079 --> 00:07:07,160 +ela também terá um subscrito indicando qual neurônio dessa camada se trata. + +100 +00:07:07,160 --> 00:07:14,420 +Vamos usar a letra k para indexar a camada L-1 e j para indexar a camada L. + +101 +00:07:15,260 --> 00:07:18,750 +Para o custo, novamente olhamos qual é a saída desejada, + +102 +00:07:18,750 --> 00:07:23,587 +mas desta vez somamos os quadrados das diferenças entre as ativações da última + +103 +00:07:23,587 --> 00:07:25,180 +camada e a saída desejada. + +104 +00:07:26,080 --> 00:07:30,840 +Ou seja, você soma ALj menos Yj ao quadrado. + +105 +00:07:33,040 --> 00:07:37,188 +Como há muito mais pesos, cada um precisa ter mais alguns índices + +106 +00:07:37,188 --> 00:07:41,148 +para acompanhar onde está, então vamos chamar o peso da aresta + +107 +00:07:41,148 --> 00:07:44,920 +que conecta esse k-ésimo neurônio ao j-ésimo neurônio, WLjk. + +108 +00:07:45,620 --> 00:07:48,338 +Esses índices podem parecer um pouco atrasados no início, + +109 +00:07:48,338 --> 00:07:52,182 +mas estão de acordo com a forma como você indexaria a matriz de peso de que falei + +110 +00:07:52,182 --> 00:07:53,120 +na parte 1 do vídeo. + +111 +00:07:53,620 --> 00:07:58,238 +Assim como antes, ainda é bom dar um nome à soma ponderada relevante, como z, + +112 +00:07:58,238 --> 00:08:03,390 +para que a ativação da última camada seja apenas sua função especial, como o sigmóide, + +113 +00:08:03,390 --> 00:08:04,160 +aplicado a z. + +114 +00:08:04,660 --> 00:08:07,521 +Você pode entender o que quero dizer, onde todas essas são + +115 +00:08:07,521 --> 00:08:11,788 +essencialmente as mesmas equações que tínhamos antes no caso de um neurônio por camada, + +116 +00:08:11,788 --> 00:08:13,680 +só que parece um pouco mais complicado. + +117 +00:08:15,440 --> 00:08:19,155 +E, de fato, a expressão derivada em cadeia que descreve quão + +118 +00:08:19,155 --> 00:08:23,420 +sensível é o custo a um peso específico parece essencialmente a mesma. + +119 +00:08:23,920 --> 00:08:26,840 +Deixo para você fazer uma pausa e pensar sobre cada um desses termos, se quiser. + +120 +00:08:28,980 --> 00:08:32,862 +O que muda aqui, porém, é a derivada do custo + +121 +00:08:32,862 --> 00:08:36,659 +em relação a uma das ativações na camada L-1. + +122 +00:08:37,780 --> 00:08:40,261 +Neste caso, a diferença é que o neurônio influencia a + +123 +00:08:40,261 --> 00:08:42,880 +função de custo através de múltiplos caminhos diferentes. + +124 +00:08:44,680 --> 00:08:50,283 +Ou seja, por um lado influencia AL0, que desempenha um papel na função custo, + +125 +00:08:50,283 --> 00:08:55,672 +mas também influencia AL1, que também desempenha um papel na função custo, + +126 +00:08:55,672 --> 00:08:57,540 +e você tem que somar isso. + +127 +00:08:59,820 --> 00:09:03,040 +E isso, bem, é basicamente isso. + +128 +00:09:03,500 --> 00:09:07,884 +Depois de saber o quão sensível a função de custo é às ativações nesta penúltima camada, + +129 +00:09:07,884 --> 00:09:10,938 +você pode simplesmente repetir o processo para todos os pesos + +130 +00:09:10,938 --> 00:09:12,860 +e tendências que alimentam essa camada. + +131 +00:09:13,900 --> 00:09:14,960 +Então dê um tapinha nas costas! + +132 +00:09:15,300 --> 00:09:19,778 +Se tudo isso faz sentido, você agora examinou profundamente o cerne da retropropagação, + +133 +00:09:19,778 --> 00:09:22,680 +o carro-chefe por trás de como as redes neurais aprendem. + +134 +00:09:23,300 --> 00:09:28,442 +Essas expressões de regras da cadeia fornecem as derivadas que determinam cada componente + +135 +00:09:28,442 --> 00:09:33,300 +no gradiente que ajuda a minimizar o custo da rede ao descer repetidamente a ladeira. + +136 +00:09:34,300 --> 00:09:38,617 +Se você sentar e pensar sobre tudo isso, verá que há muitas camadas de complexidade para + +137 +00:09:38,617 --> 00:09:42,740 +envolver sua mente, então não se preocupe se levar tempo para sua mente digerir tudo. + diff --git a/2017/backpropagation-calculus/tagalog/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/tagalog/auto_generated.srt index 2d33ea1f6..6de9662bc 100644 --- a/2017/backpropagation-calculus/tagalog/auto_generated.srt +++ b/2017/backpropagation-calculus/tagalog/auto_generated.srt @@ -87,11 +87,11 @@ na nagpapahiwatig kung saang layer ito naroroon, kaya ang activation ng nakaraang neuron ay Al-1. 23 -00:01:16,360 --> 00:01:19,623 +00:01:16,360 --> 00:01:19,700 Hindi ito mga exponents, isa lang silang paraan ng pag-index ng pinag-uusapan natin, 24 -00:01:19,623 --> 00:01:23,040 +00:01:19,700 --> 00:01:23,040 dahil gusto kong mag-save ng mga subscript para sa iba't ibang mga indeks sa susunod. 25 @@ -211,15 +211,15 @@ Sa konsepto, ang maliit na siko sa WL na ito ay nagdudulot ng ilang siko sa ZL, na nagiging sanhi naman ng ilang siko sa AL, na direktang nakakaimpluwensya sa gastos. 54 -00:03:23,120 --> 00:03:26,345 +00:03:23,120 --> 00:03:26,205 Kaya't sinisira natin ang mga bagay sa pamamagitan ng unang 55 -00:03:26,345 --> 00:03:30,679 +00:03:26,205 --> 00:03:30,628 pagtingin sa ratio ng isang maliit na pagbabago sa ZL sa maliit na pagbabagong ito W, 56 -00:03:30,679 --> 00:03:33,200 +00:03:30,628 --> 00:03:33,200 iyon ay, ang hinango ng ZL na may paggalang sa WL. 57 @@ -319,19 +319,19 @@ At ang lahat ng ito ay ang hinalaw na may kinalaman sa WL lamang ng gastos para sa isang partikular na halimbawa ng pagsasanay. 81 -00:05:16,440 --> 00:05:20,127 +00:05:16,440 --> 00:05:20,183 Dahil ang function ng buong gastos ay nagsasangkot ng pag-average ng lahat ng mga gastos 82 -00:05:20,127 --> 00:05:22,820 +00:05:20,183 --> 00:05:22,749 na iyon sa maraming iba't ibang mga halimbawa ng pagsasanay, 83 -00:05:22,820 --> 00:05:26,465 +00:05:22,749 --> 00:05:26,450 ang hinango nito ay nangangailangan ng pag-average ng expression na ito sa lahat ng mga 84 -00:05:26,465 --> 00:05:27,460 +00:05:26,450 --> 00:05:27,460 halimbawa ng pagsasanay. 85 @@ -531,11 +531,11 @@ Ano ang nagbabago dito, gayunpaman, ay ang derivative ng gastos na may paggalang sa isa sa mga activation sa layer L-1. 134 -00:08:37,780 --> 00:08:40,257 +00:08:37,780 --> 00:08:40,329 Sa kasong ito, ang pagkakaiba ay ang neuron ay nakakaimpluwensya sa 135 -00:08:40,257 --> 00:08:42,880 +00:08:40,329 --> 00:08:42,880 paggana ng gastos sa pamamagitan ng maraming iba't ibang mga landas. 136 diff --git a/2017/backpropagation-calculus/tamil/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/tamil/auto_generated.srt index db79e53c0..c645391f7 100644 --- a/2017/backpropagation-calculus/tamil/auto_generated.srt +++ b/2017/backpropagation-calculus/tamil/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:04,020 --> 00:00:07,172 +00:00:04,019 --> 00:00:07,172 இங்கே கடினமான அனுமானம் என்னவென்றால், நீங்கள் பகுதி 3 ஐப் பார்த்துவிட்டீர்கள், 2 @@ -63,15 +63,15 @@ என்பதைப் புரிந்துகொள்வதே எங்கள் குறிக்கோள். 17 -00:00:55,419 --> 00:00:59,230 +00:00:55,420 --> 00:00:58,402 அந்த வகையில் அந்த விதிமுறைகளில் எந்தச் சரிசெய்தல் செலவுச் செயல்பாட்டிற்கு 18 -00:00:59,230 --> 00:01:02,320 +00:00:58,402 --> 00:01:00,820 மிகவும் திறமையான குறைவை ஏற்படுத்தும் என்பதை நாங்கள் அறிவோம். 19 -00:01:02,320 --> 00:01:04,840 +00:01:01,960 --> 00:01:04,840 கடைசி இரண்டு நியூரான்களுக்கு இடையேயான தொடர்பைப் பற்றி மட்டும் கவனம் செலுத்துவோம். 20 @@ -111,23 +111,23 @@ அந்த ஒரு பயிற்சியின் விலையை c0 எனக் குறிப்பிடுவோம். 29 -00:01:45,900 --> 00:01:50,318 +00:01:45,900 --> 00:01:49,956 நினைவூட்டலாக, இந்த கடைசி ஆக்டிவேஷன் ஒரு எடையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, 30 -00:01:50,318 --> 00:01:55,857 +00:01:49,956 --> 00:01:55,040 இதை நான் wL என்று அழைக்கப் போகிறேன், முந்தைய நியூரானின் செயல்பாடு மற்றும் சில சார்புகள், 31 -00:01:55,857 --> 00:01:57,600 +00:01:55,040 --> 00:01:56,640 இதை நான் bL என்று அழைப்பேன். 32 -00:01:57,600 --> 00:01:59,581 +00:01:57,420 --> 00:01:59,497 சிக்மாய்டு அல்லது ReLU போன்ற சில சிறப்பு நேரியல் 33 -00:01:59,581 --> 00:02:01,320 +00:01:59,497 --> 00:02:01,320 செயல்பாடுகள் மூலம் அதை பம்ப் செய்கிறீர்கள். 34 @@ -251,43 +251,43 @@ wL இல் சிறிய மாற்றங்களுக்கு c இன ஏனென்றால் இப்போது தொடர்புடைய வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடப் போகிறோம். 64 -00:04:07,440 --> 00:04:14,180 +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 AL ஐப் பொறுத்தவரை c இன் வழித்தோன்றல் 2AL-y ஆக வேலை செய்கிறது. 65 -00:04:14,180 --> 00:04:18,482 +00:04:13,980 --> 00:04:18,349 இதன் பொருள் அதன் அளவு நெட்வொர்க்கின் வெளியீட்டிற்கும் நாம் விரும்பும் பொருளுக்கும் 66 -00:04:18,482 --> 00:04:22,629 +00:04:18,349 --> 00:04:22,560 உள்ள வித்தியாசத்திற்கு விகிதாசாரமாகும், எனவே அந்த வெளியீடு மிகவும் வித்தியாசமாக 67 -00:04:22,629 --> 00:04:27,140 +00:04:22,560 --> 00:04:27,140 இருந்தால், சிறிய மாற்றங்கள் கூட இறுதி செலவு செயல்பாட்டில் பெரிய தாக்கத்தை ஏற்படுத்தும். 68 -00:04:27,840 --> 00:04:32,270 +00:04:27,840 --> 00:04:31,697 zL ஐப் பொறுத்தமட்டில் AL இன் வழித்தோன்றல் எங்கள் சிக்மாய்டு செயல்பாட்டின் 69 -00:04:32,270 --> 00:04:37,420 +00:04:31,697 --> 00:04:36,180 வழித்தோன்றல் அல்லது நீங்கள் பயன்படுத்த விரும்பும் எந்த நேரியல் அல்லாத தன்மையும் ஆகும். 70 -00:04:37,420 --> 00:04:46,160 +00:04:37,220 --> 00:04:44,660 wL ஐப் பொறுத்தவரை zL இன் வழித்தோன்றல் AL-1 ஆக இருக்கும். 71 -00:04:46,160 --> 00:04:48,935 +00:04:45,760 --> 00:04:48,688 உங்களைப் பற்றி எனக்குத் தெரியாது, ஆனால் சிறிது நேரம் உட்காராமல், 72 -00:04:48,935 --> 00:04:52,608 +00:04:48,688 --> 00:04:52,563 சூத்திரங்களில் தலைகுனிந்து, அவை அனைத்தையும் என்னவென்று உங்களுக்கு நினைவூட்டுவது எளிது 73 -00:04:52,608 --> 00:04:53,420 +00:04:52,563 --> 00:04:53,420 என்று நினைக்கிறேன். 74 @@ -311,27 +311,27 @@ wL ஐப் பொறுத்தவரை zL இன் வழித்தோ செலவில் மட்டுமே wL ஐப் பொறுத்த வரையில் பெறப்பட்டதாகும். 79 -00:05:16,440 --> 00:05:20,513 +00:05:16,440 --> 00:05:20,113 முழுச் செலவுச் செயல்பாடானது, பல்வேறு பயிற்சி எடுத்துக்காட்டுகளில் அந்தச் 80 -00:05:20,513 --> 00:05:24,586 +00:05:20,113 --> 00:05:23,786 செலவுகள் அனைத்தையும் ஒன்றாகச் சேர்ப்பதால், அதன் வழித்தோன்றலுக்கு அனைத்து 81 -00:05:24,586 --> 00:05:28,660 +00:05:23,786 --> 00:05:27,460 பயிற்சி எடுத்துக்காட்டுகளிலும் இந்த வெளிப்பாட்டின் சராசரி தேவைப்படுகிறது. 82 -00:05:28,660 --> 00:05:31,483 +00:05:28,380 --> 00:05:31,285 நிச்சயமாக, இது சாய்வு திசையனின் ஒரு கூறு மட்டுமே, 83 -00:05:31,483 --> 00:05:35,662 +00:05:31,285 --> 00:05:35,586 இது அனைத்து எடைகள் மற்றும் சார்புகளைப் பொறுத்து செலவு செயல்பாட்டின் பகுதி 84 -00:05:35,662 --> 00:05:38,260 +00:05:35,586 --> 00:05:38,260 வழித்தோன்றல்களிலிருந்து கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. 85 @@ -507,7 +507,7 @@ jth நியூரானுடன் இணைக்கும் விளி யோசித்துக்கொள்ளும்படி நான் உங்களுக்கு விட்டுவிடுகிறேன். 128 -00:08:28,979 --> 00:08:32,819 +00:08:28,980 --> 00:08:32,819 இருப்பினும், லேயர் எல்-1ல் உள்ள செயல்பாட்டில் 129 diff --git a/2017/backpropagation-calculus/telugu/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/telugu/auto_generated.srt index 133138285..6d34c83c5 100644 --- a/2017/backpropagation-calculus/telugu/auto_generated.srt +++ b/2017/backpropagation-calculus/telugu/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:04,020 --> 00:00:07,196 +00:00:04,019 --> 00:00:07,196 బ్యాక్‌ప్రొపగేషన్ అల్గోరిథం యొక్క సహజమైన నడకను అందించడం 2 @@ -55,15 +55,15 @@ ఈ వేరియబుల్స్‌కు ఖర్చు పనితీరు ఎంత సున్నితంగా ఉంటుందో అర్థం చేసుకోవడం మా లక్ష్యం. 15 -00:00:55,419 --> 00:00:58,837 +00:00:55,420 --> 00:00:58,094 ఆ విధంగా ఆ నిబంధనలకు ఏ సర్దుబాట్లు ఖర్చు ఫంక్షన్‌లో 16 -00:00:58,837 --> 00:01:02,320 +00:00:58,094 --> 00:01:00,820 అత్యంత సమర్థవంతమైన తగ్గుదలకు కారణమవుతాయో మాకు తెలుసు. 17 -00:01:02,320 --> 00:01:04,840 +00:01:01,960 --> 00:01:04,840 మేము చివరి రెండు న్యూరాన్ల మధ్య కనెక్షన్‌పై దృష్టి పెడతాము. 18 @@ -103,23 +103,23 @@ మేము ఆ ఒక్క శిక్షణ ధరను c0గా సూచిస్తాము. 27 -00:01:45,900 --> 00:01:50,245 +00:01:45,900 --> 00:01:49,889 రిమైండర్‌గా, ఈ చివరి యాక్టివేషన్ బరువు ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, 28 -00:01:50,245 --> 00:01:56,062 +00:01:49,889 --> 00:01:55,228 నేను దీన్ని wL అని పిలుస్తాను, మునుపటి న్యూరాన్ యాక్టివేషన్ మరియు కొన్ని బయాస్‌తో పాటు 29 -00:01:56,062 --> 00:01:57,600 +00:01:55,228 --> 00:01:56,640 నేను bL అని పిలుస్తాను. 30 -00:01:57,600 --> 00:01:59,567 +00:01:57,420 --> 00:01:59,482 అప్పుడు మీరు సిగ్మోయిడ్ లేదా ReLU వంటి కొన్ని ప్రత్యేక 31 -00:01:59,567 --> 00:02:01,320 +00:01:59,482 --> 00:02:01,320 నాన్ లీనియర్ ఫంక్షన్ ద్వారా దాన్ని పంప్ చేస్తారు. 32 @@ -231,39 +231,39 @@ z వంటి ప్రత్యేక పేరుని పెడితే ఎందుకంటే ఇప్పుడు మేము సంబంధిత ఉత్పన్నాలను గణించబోతున్నాము. 59 -00:04:07,440 --> 00:04:14,180 +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 ALకి సంబంధించి c యొక్క ఉత్పన్నం 2AL-yగా పని చేస్తుంది. 60 -00:04:14,180 --> 00:04:18,558 +00:04:13,980 --> 00:04:18,425 దీనర్థం దాని పరిమాణం నెట్‌వర్క్ అవుట్‌పుట్ మరియు మనం కోరుకునే వస్తువు మధ్య 61 -00:04:18,558 --> 00:04:23,228 +00:04:18,425 --> 00:04:23,168 వ్యత్యాసానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది, కాబట్టి ఆ అవుట్‌పుట్ చాలా భిన్నంగా ఉంటే, 62 -00:04:23,228 --> 00:04:27,140 +00:04:23,168 --> 00:04:27,140 స్వల్ప మార్పులు కూడా తుది ధర ఫంక్షన్‌పై పెద్ద ప్రభావాన్ని చూపుతాయి. 63 -00:04:27,840 --> 00:04:32,666 +00:04:27,840 --> 00:04:32,041 zLకి సంబంధించి AL యొక్క ఉత్పన్నం కేవలం మా సిగ్మోయిడ్ ఫంక్షన్ యొక్క 64 -00:04:32,666 --> 00:04:37,420 +00:04:32,041 --> 00:04:36,180 ఉత్పన్నం లేదా మీరు ఉపయోగించడానికి ఎంచుకున్న ఏదైనా నాన్‌లీనియారిటీ. 65 -00:04:37,420 --> 00:04:46,160 +00:04:37,220 --> 00:04:44,660 wLకి సంబంధించి zL యొక్క ఉత్పన్నం AL-1 అవుతుంది. 66 -00:04:46,160 --> 00:04:49,685 +00:04:45,760 --> 00:04:49,479 మీ గురించి నాకు తెలియదు, కానీ ఒక్క క్షణం కూడా వెనుకకు కూర్చోకుండానే ఫార్ములాల్లో తల 67 -00:04:49,685 --> 00:04:53,420 +00:04:49,479 --> 00:04:53,420 దించుకోవడం చాలా సులభం అని నేను భావిస్తున్నాను మరియు అవన్నీ అర్థం ఏమిటో గుర్తుచేసుకుంటాను. 68 @@ -287,23 +287,23 @@ wLకి సంబంధించి zL యొక్క ఉత్పన్నం కోసం ఖర్చుతో మాత్రమే wLకి సంబంధించి ఉత్పన్నం. 73 -00:05:16,440 --> 00:05:22,375 +00:05:16,440 --> 00:05:21,792 పూర్తి ఖర్చు ఫంక్షన్‌లో అనేక విభిన్న శిక్షణా ఉదాహరణలలో ఆ ఖర్చులన్నింటినీ కలిపి సగటున 74 -00:05:22,375 --> 00:05:28,660 +00:05:21,792 --> 00:05:27,460 కలిగి ఉంటుంది కాబట్టి, దాని ఉత్పన్నం అన్ని శిక్షణా ఉదాహరణల కంటే ఈ వ్యక్తీకరణకు సగటు అవసరం. 75 -00:05:28,660 --> 00:05:32,055 +00:05:28,380 --> 00:05:31,874 వాస్తవానికి, ఇది గ్రేడియంట్ వెక్టర్‌లోని ఒక భాగం మాత్రమే, 76 -00:05:32,055 --> 00:05:36,972 +00:05:31,874 --> 00:05:36,934 ఇది అన్ని బరువులు మరియు పక్షపాతాలకు సంబంధించి ఖర్చు ఫంక్షన్ యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాల 77 -00:05:36,972 --> 00:05:38,260 +00:05:36,934 --> 00:05:38,260 నుండి రూపొందించబడింది. 78 @@ -459,7 +459,7 @@ WLjkకి కనెక్ట్ చేసే అంచు యొక్క బ మీకు కావాలంటే ఆ నిబంధనలను పాజ్ చేసి ఆలోచించడానికి నేను మీకు వదిలివేస్తాను. 116 -00:08:28,979 --> 00:08:32,900 +00:08:28,980 --> 00:08:32,900 లేయర్ L-1లోని యాక్టివేషన్‌లలో ఒకదానికి సంబంధించి 117 diff --git a/2017/backpropagation-calculus/turkish/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/turkish/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..006c09f2f --- /dev/null +++ b/2017/backpropagation-calculus/turkish/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,536 @@ +1 +00:00:04,019 --> 00:00:08,586 +Buradaki zor varsayım, geriye yayılma algoritmasının sezgisel bir şekilde anlatıldığı 3. + +2 +00:00:08,586 --> 00:00:09,920 +bölümü izlemiş olmanızdır. + +3 +00:00:11,040 --> 00:00:14,220 +Burada biraz daha resmi olacağız ve ilgili hesaplamalara dalacağız. + +4 +00:00:14,820 --> 00:00:17,190 +Bunun en azından biraz kafa karıştırıcı olması normaldir, + +5 +00:00:17,190 --> 00:00:20,541 +bu nedenle düzenli olarak durup düşünme mantrası kesinlikle her yerde olduğu gibi + +6 +00:00:20,541 --> 00:00:21,400 +burada da geçerlidir. + +7 +00:00:21,940 --> 00:00:25,461 +Temel amacımız, makine öğrenimi alanındaki kişilerin kalkülüs + +8 +00:00:25,461 --> 00:00:29,323 +derslerindeki zincir kuralını ağlar bağlamında nasıl düşündüklerini + +9 +00:00:29,323 --> 00:00:33,640 +göstermektir ki bu da çoğu kalkülüs dersinin konuya yaklaşımından farklıdır. + +10 +00:00:34,340 --> 00:00:38,740 +İlgili hesaplamalardan rahatsız olanlar için konuyla ilgili bütün bir serim var. + +11 +00:00:39,960 --> 00:00:46,020 +Her katmanda tek bir nöronun bulunduğu son derece basit bir ağ ile başlayalım. + +12 +00:00:46,320 --> 00:00:50,693 +Bu ağ üç ağırlık ve üç sapma ile belirlenmektedir ve amacımız maliyet + +13 +00:00:50,693 --> 00:00:54,880 +fonksiyonunun bu değişkenlere ne kadar duyarlı olduğunu anlamaktır. + +14 +00:00:55,420 --> 00:00:57,940 +Bu şekilde, bu terimlerde yapılacak hangi ayarlamaların + +15 +00:00:57,940 --> 00:01:00,820 +maliyet fonksiyonunda en verimli düşüşe neden olacağını biliriz. + +16 +00:01:01,960 --> 00:01:04,840 +Ve biz sadece son iki nöron arasındaki bağlantıya odaklanacağız. + +17 +00:01:05,980 --> 00:01:10,736 +Bu son nöronun aktivasyonunu, hangi katmanda olduğunu gösteren bir üst + +18 +00:01:10,736 --> 00:01:15,560 +simge L ile etiketleyelim, böylece önceki nöronun aktivasyonu Al-1 olur. + +19 +00:01:16,360 --> 00:01:19,700 +Bunlar üs değildir, sadece bahsettiğimiz şeyi indekslemenin bir yoludur, + +20 +00:01:19,700 --> 00:01:23,040 +çünkü daha sonra farklı indeksler için alt simgeleri kaydetmek istiyorum. + +21 +00:01:23,720 --> 00:01:27,882 +Diyelim ki belirli bir eğitim örneği için bu son aktivasyonun + +22 +00:01:27,882 --> 00:01:32,180 +olmasını istediğimiz değer y olsun, örneğin y 0 veya 1 olabilir. + +23 +00:01:32,840 --> 00:01:39,240 +Dolayısıyla bu ağın tek bir eğitim örneği için maliyeti Al-y2'dir. + +24 +00:01:40,260 --> 00:01:44,380 +Bu tek eğitim örneğinin maliyetini c0 olarak göstereceğiz. + +25 +00:01:45,900 --> 00:01:50,924 +Bir hatırlatma olarak, bu son aktivasyon, WL olarak adlandıracağım bir ağırlık, + +26 +00:01:50,924 --> 00:01:55,949 +önceki nöronun aktivasyonu artı BL olarak adlandıracağım bir miktar önyargı ile + +27 +00:01:55,949 --> 00:01:56,640 +belirlenir. + +28 +00:01:57,420 --> 00:01:59,390 +Ve sonra bunu sigmoid veya ReLU gibi bazı özel + +29 +00:01:59,390 --> 00:02:01,320 +doğrusal olmayan fonksiyonlarla pompalarsınız. + +30 +00:02:01,800 --> 00:02:05,529 +Aslında bu ağırlıklı toplama, ilgili aktivasyonlarla aynı üst + +31 +00:02:05,529 --> 00:02:09,320 +simge ile z gibi özel bir isim verirsek işimiz kolaylaşacaktır. + +32 +00:02:10,380 --> 00:02:14,624 +Bu çok fazla terimdir ve bunu kavramsallaştırmanın bir yolu, ağırlık, + +33 +00:02:14,624 --> 00:02:19,355 +önceki eylem ve önyargının hep birlikte z'yi hesaplamak için kullanılmasıdır, + +34 +00:02:19,355 --> 00:02:24,206 +bu da a'yı hesaplamamızı sağlar ve son olarak sabit bir y ile birlikte maliyeti + +35 +00:02:24,206 --> 00:02:25,480 +hesaplamamızı sağlar. + +36 +00:02:27,340 --> 00:02:32,664 +Ve tabii ki Al-1 kendi ağırlığından, önyargısından ve benzerlerinden etkilenir, + +37 +00:02:32,664 --> 00:02:35,060 +ancak şu anda buna odaklanmayacağız. + +38 +00:02:35,700 --> 00:02:37,620 +Bunların hepsi sadece rakam, değil mi? + +39 +00:02:38,060 --> 00:02:41,040 +Ve her birinin kendi küçük sayı çizgisine sahip olduğunu düşünmek güzel olabilir. + +40 +00:02:41,720 --> 00:02:45,145 +İlk hedefimiz, maliyet fonksiyonunun WL ağırlığımızdaki + +41 +00:02:45,145 --> 00:02:49,000 +küçük değişikliklere karşı ne kadar hassas olduğunu anlamaktır. + +42 +00:02:49,540 --> 00:02:54,860 +Ya da farklı bir şekilde ifade edersek, c'nin WL'ye göre türevi nedir? + +43 +00:02:55,600 --> 00:02:59,881 +Bu del W terimini gördüğünüzde, bunun W'de 0,01'lik bir değişiklik + +44 +00:02:59,881 --> 00:03:03,778 +gibi küçük bir dürtme anlamına geldiğini düşünün ve bu del c + +45 +00:03:03,778 --> 00:03:08,060 +teriminin maliyette ortaya çıkan dürtme anlamına geldiğini düşünün. + +46 +00:03:08,060 --> 00:03:10,220 +Bizim istediğimiz şey onların oranı. + +47 +00:03:11,260 --> 00:03:16,313 +Kavramsal olarak, WL'deki bu küçük dürtme ZL'de bir miktar dürtmeye neden olur, + +48 +00:03:16,313 --> 00:03:21,240 +bu da AL'de bir miktar dürtmeye neden olur ve bu da maliyeti doğrudan etkiler. + +49 +00:03:23,120 --> 00:03:28,806 +Bu nedenle, ilk olarak ZL'deki küçük bir değişikliğin bu küçük W değişikliğine oranına, + +50 +00:03:28,806 --> 00:03:33,200 +yani ZL'nin WL'ye göre türevine bakarak işleri parçalara ayırıyoruz. + +51 +00:03:33,200 --> 00:03:37,020 +Aynı şekilde, AL'deki değişikliğin ZL'de buna neden olan küçük + +52 +00:03:37,020 --> 00:03:40,961 +değişikliğe oranını ve c'ye yapılan son dürtme ile AL'ye yapılan + +53 +00:03:40,961 --> 00:03:44,660 +bu ara dürtme arasındaki oranı da göz önünde bulundurursunuz. + +54 +00:03:45,740 --> 00:03:50,440 +Buradaki zincir kuralı, bu üç oranın çarpımının bize c'nin + +55 +00:03:50,440 --> 00:03:55,140 +WL'deki küçük değişikliklere olan duyarlılığını vermesidir. + +56 +00:03:56,880 --> 00:04:01,655 +Şu anda ekranda çok sayıda sembol var ve bunların ne olduğunun anlaşılması + +57 +00:04:01,655 --> 00:04:06,240 +için bir dakikanızı ayırın, çünkü şimdi ilgili türevleri hesaplayacağız. + +58 +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 +c'nin AL'ye göre türevi 2AL-y olarak hesaplanır. + +59 +00:04:13,980 --> 00:04:18,242 +Bunun, büyüklüğünün ağın çıktısı ile olmasını istediğimiz şey arasındaki farkla + +60 +00:04:18,242 --> 00:04:22,664 +orantılı olduğu anlamına geldiğine dikkat edin, bu nedenle bu çıktı çok farklıysa, + +61 +00:04:22,664 --> 00:04:27,140 +küçük değişikliklerin bile nihai maliyet işlevi üzerinde büyük bir etkisi olacaktır. + +62 +00:04:27,840 --> 00:04:31,863 +AL'nin ZL'ye göre türevi, sigmoid fonksiyonumuzun veya + +63 +00:04:31,863 --> 00:04:36,180 +kullanmayı seçtiğiniz doğrusal olmayan özelliğin türevidir. + +64 +00:04:37,220 --> 00:04:44,660 +Ve ZL'nin WL'ye göre türevi AL-1 olarak ortaya çıkar. + +65 +00:04:45,760 --> 00:04:49,617 +Sizi bilmem ama bence bir an bile arkanıza yaslanıp bunların ne anlama + +66 +00:04:49,617 --> 00:04:53,420 +geldiğini kendinize hatırlatmadan formüllere takılıp kalmak çok kolay. + +67 +00:04:53,920 --> 00:04:59,490 +Bu son türev durumunda, ağırlığa yapılan küçük dürtmenin son katmanı etkileme miktarı, + +68 +00:04:59,490 --> 00:05:02,820 +bir önceki nöronun ne kadar güçlü olduğuna bağlıdır. + +69 +00:05:03,380 --> 00:05:08,280 +Unutmayın, nöronlar-birlikte-ateşler-birlikte-teller fikri burada ortaya çıkıyor. + +70 +00:05:09,200 --> 00:05:15,720 +Ve tüm bunlar, yalnızca belirli bir tek eğitim örneği için maliyetin WL'ye göre türevidir. + +71 +00:05:16,440 --> 00:05:19,948 +Tam maliyet fonksiyonu, birçok farklı eğitim örneğindeki tüm bu + +72 +00:05:19,948 --> 00:05:22,744 +maliyetlerin ortalamasını almayı gerektirdiğinden, + +73 +00:05:22,744 --> 00:05:27,460 +türevi bu ifadenin tüm eğitim örnekleri üzerinden ortalamasının alınmasını gerektirir. + +74 +00:05:28,380 --> 00:05:33,182 +Ve tabii ki bu, maliyet fonksiyonunun tüm bu ağırlıklara ve sapmalara + +75 +00:05:33,182 --> 00:05:38,260 +göre kısmi türevlerinden oluşan gradyan vektörünün sadece bir bileşenidir. + +76 +00:05:40,640 --> 00:05:43,634 +Ancak bu, ihtiyacımız olan birçok kısmi türevden sadece biri olsa da, + +77 +00:05:43,634 --> 00:05:45,260 +işin %50'sinden fazlasını oluşturuyor. + +78 +00:05:46,340 --> 00:05:49,720 +Örneğin önyargıya karşı duyarlılık neredeyse aynıdır. + +79 +00:05:50,040 --> 00:05:55,020 +Sadece bu del z del w terimini bir del z del b ile değiştirmemiz gerekiyor. + +80 +00:05:58,420 --> 00:06:02,400 +Ve ilgili formüle bakarsanız, bu türevin 1 olduğunu görürsünüz. + +81 +00:06:06,140 --> 00:06:09,702 +Ayrıca, geriye doğru yayılma fikri burada devreye giriyor, + +82 +00:06:09,702 --> 00:06:14,290 +bu maliyet fonksiyonunun bir önceki katmanın aktivasyonuna ne kadar duyarlı + +83 +00:06:14,290 --> 00:06:15,740 +olduğunu görebilirsiniz. + +84 +00:06:15,740 --> 00:06:19,724 +Yani, zincir kuralı ifadesindeki bu ilk türev, + +85 +00:06:19,724 --> 00:06:25,660 +z'nin önceki aktivasyona duyarlılığı, WL ağırlığı olarak ortaya çıkar. + +86 +00:06:26,640 --> 00:06:30,746 +Ve yine, önceki katman aktivasyonunu doğrudan etkileyemeyecek olsak da, + +87 +00:06:30,746 --> 00:06:34,454 +takip etmek faydalıdır, çünkü şimdi maliyet fonksiyonunun önceki + +88 +00:06:34,454 --> 00:06:38,276 +ağırlıklara ve önceki önyargılara ne kadar duyarlı olduğunu görmek + +89 +00:06:38,276 --> 00:06:42,440 +için aynı zincir kuralı fikrini geriye doğru yinelemeye devam edebiliriz. + +90 +00:06:43,180 --> 00:06:45,825 +Bunun aşırı basit bir örnek olduğunu düşünebilirsiniz, + +91 +00:06:45,825 --> 00:06:49,817 +çünkü tüm katmanlarda bir nöron vardır ve gerçek bir ağ için işler katlanarak daha + +92 +00:06:49,817 --> 00:06:51,020 +karmaşık hale gelecektir. + +93 +00:06:51,700 --> 00:06:55,280 +Ancak dürüst olmak gerekirse, katmanlara birden fazla nöron verdiğimizde çok fazla + +94 +00:06:55,280 --> 00:06:58,860 +bir şey değişmiyor, gerçekten sadece takip edilmesi gereken birkaç endeks daha var. + +95 +00:06:59,380 --> 00:07:02,396 +Belirli bir katmanın aktivasyonu sadece AL olmak yerine, + +96 +00:07:02,396 --> 00:07:07,160 +aynı zamanda o katmanın hangi nöronu olduğunu gösteren bir alt simgeye de sahip olacaktır. + +97 +00:07:07,160 --> 00:07:10,712 +L-1 katmanını indekslemek için k harfini ve L + +98 +00:07:10,712 --> 00:07:14,420 +katmanını indekslemek için j harfini kullanalım. + +99 +00:07:15,260 --> 00:07:18,753 +Maliyet için yine istenen çıktının ne olduğuna bakarız, + +100 +00:07:18,753 --> 00:07:23,932 +ancak bu sefer bu son katman aktivasyonları ile istenen çıktı arasındaki farkların + +101 +00:07:23,932 --> 00:07:25,180 +karelerini toplarız. + +102 +00:07:26,080 --> 00:07:30,840 +Yani, ALj eksi Yj karesi üzerinden bir toplam alırsınız. + +103 +00:07:33,040 --> 00:07:36,839 +Çok daha fazla ağırlık olduğundan, her birinin nerede olduğunu + +104 +00:07:36,839 --> 00:07:40,397 +takip etmek için birkaç indekse daha sahip olması gerekir, + +105 +00:07:40,397 --> 00:07:44,920 +bu nedenle bu k. nöronu j. nörona bağlayan kenarın ağırlığına WLjk diyelim. + +106 +00:07:45,620 --> 00:07:49,480 +Bu endeksler ilk başta biraz ters gelebilir, ancak bölüm 1 videosunda + +107 +00:07:49,480 --> 00:07:53,120 +bahsettiğim ağırlık matrisini nasıl endeksleyeceğinizle uyumludur. + +108 +00:07:53,620 --> 00:07:58,802 +Daha önce olduğu gibi, ilgili ağırlıklı toplama z gibi bir isim vermek yine de güzeldir, + +109 +00:07:58,802 --> 00:08:02,471 +böylece son katmanın aktivasyonu sadece z'ye uygulanan sigmoid + +110 +00:08:02,471 --> 00:08:04,160 +gibi özel fonksiyonunuz olur. + +111 +00:08:04,660 --> 00:08:09,273 +Ne demek istediğimi görebilirsiniz, tüm bunlar aslında daha önce katman başına bir nöron + +112 +00:08:09,273 --> 00:08:13,680 +durumunda sahip olduğumuz denklemlerle aynıdır, sadece biraz daha karmaşık görünüyor. + +113 +00:08:15,440 --> 00:08:19,210 +Ve aslında, maliyetin belirli bir ağırlığa ne kadar duyarlı + +114 +00:08:19,210 --> 00:08:23,420 +olduğunu açıklayan zincirleme türev ifadesi temelde aynı görünüyor. + +115 +00:08:23,920 --> 00:08:26,840 +İsterseniz bu terimlerin her biri üzerinde durup düşünmeyi size bırakıyorum. + +116 +00:08:28,980 --> 00:08:33,404 +Ancak burada değişen şey, maliyetin L-1 katmanındaki + +117 +00:08:33,404 --> 00:08:36,659 +aktivasyonlardan birine göre türevidir. + +118 +00:08:37,780 --> 00:08:40,275 +Bu durumda fark, nöronun maliyet fonksiyonunu + +119 +00:08:40,275 --> 00:08:42,880 +birden fazla farklı yol üzerinden etkilemesidir. + +120 +00:08:44,680 --> 00:08:49,432 +Yani, bir yandan maliyet fonksiyonunda rol oynayan AL0'ı etkiliyor, + +121 +00:08:49,432 --> 00:08:53,416 +ancak aynı zamanda maliyet fonksiyonunda rol oynayan AL1 + +122 +00:08:53,416 --> 00:08:57,540 +üzerinde de bir etkisi var ve bunları toplamanız gerekiyor. + +123 +00:08:59,820 --> 00:09:03,040 +Ve bu, şey, hemen hemen bu kadar. + +124 +00:09:03,500 --> 00:09:06,668 +Maliyet fonksiyonunun bu sondan ikinci katmandaki aktivasyonlara + +125 +00:09:06,668 --> 00:09:09,837 +ne kadar duyarlı olduğunu öğrendikten sonra, bu katmana beslenen + +126 +00:09:09,837 --> 00:09:12,860 +tüm ağırlıklar ve önyargılar için işlemi tekrarlayabilirsiniz. + +127 +00:09:13,900 --> 00:09:14,960 +O yüzden sırtınızı sıvazlayın! + +128 +00:09:15,300 --> 00:09:18,896 +Tüm bunlar size mantıklı geliyorsa, artık sinir ağlarının nasıl öğrendiğinin + +129 +00:09:18,896 --> 00:09:22,680 +arkasındaki beygir olan geriye yayılımın kalbine derinlemesine baktınız demektir. + +130 +00:09:23,300 --> 00:09:28,239 +Bu zincir kuralı ifadeleri, yokuş aşağı tekrar tekrar adım atarak ağın maliyetini + +131 +00:09:28,239 --> 00:09:33,300 +en aza indirmeye yardımcı olan eğimdeki her bir bileşeni belirleyen türevleri verir. + +132 +00:09:34,300 --> 00:09:37,113 +Arkanıza yaslanıp tüm bunları düşünürseniz, zihninizi saracak + +133 +00:09:37,113 --> 00:09:39,427 +çok fazla karmaşıklık katmanı olduğunu görürsünüz, + +134 +00:09:39,427 --> 00:09:42,740 +bu nedenle zihninizin tüm bunları sindirmesi zaman alırsa endişelenmeyin. + diff --git a/2017/backpropagation-calculus/ukrainian/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/ukrainian/auto_generated.srt index e258c2c22..34de5c78e 100644 --- a/2017/backpropagation-calculus/ukrainian/auto_generated.srt +++ b/2017/backpropagation-calculus/ukrainian/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:04,020 --> 00:00:06,729 +00:00:04,019 --> 00:00:06,729 Важке припущення полягає в тому, що ви переглянули частину 3, 2 @@ -51,15 +51,15 @@ і наша мета — зрозуміти, наскільки функція витрат чутлива до цих змінних. 14 -00:00:55,419 --> 00:00:58,799 +00:00:55,420 --> 00:00:58,064 Таким чином ми знаємо, які коригування цих умов 15 -00:00:58,799 --> 00:01:02,320 +00:00:58,064 --> 00:01:00,820 спричинять найефективніше зниження функції витрат. 16 -00:01:02,320 --> 00:01:04,840 +00:01:01,960 --> 00:01:04,840 Ми просто зосередимося на зв’язку між двома останніми нейронами. 17 @@ -99,15 +99,15 @@ Ми позначимо вартість одного навчального прикладу як c0. 26 -00:01:45,900 --> 00:01:51,311 +00:01:45,900 --> 00:01:50,867 Нагадаю, що ця остання активація визначається вагою, яку я називатиму wL, 27 -00:01:51,311 --> 00:01:57,600 +00:01:50,867 --> 00:01:56,640 помноженою на активацію попереднього нейрона плюс деяке зміщення, яке я називатиму bL. 28 -00:01:57,600 --> 00:02:01,320 +00:01:57,420 --> 00:02:01,320 Потім ви прокачуєте це через якусь спеціальну нелінійну функцію, як-от сигмоїда або ReLU. 29 @@ -223,39 +223,39 @@ що вони всі зрозумілі, тому що зараз ми збираємося обчислити відповідні похідні. 57 -00:04:07,440 --> 00:04:14,180 +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 Похідна від c відносно AL виявляється 2AL-y. 58 -00:04:14,180 --> 00:04:18,618 +00:04:13,980 --> 00:04:18,486 Це означає, що його розмір пропорційний різниці між виходом мережі та тим, 59 -00:04:18,618 --> 00:04:22,760 +00:04:18,486 --> 00:04:22,693 що ми хочемо, щоб він був, тому, якщо цей вивід сильно відрізняється, 60 -00:04:22,760 --> 00:04:27,140 +00:04:22,693 --> 00:04:27,140 навіть незначні зміни можуть мати великий вплив на кінцеву функцію витрат. 61 -00:04:27,840 --> 00:04:32,330 +00:04:27,840 --> 00:04:31,749 Похідна AL відносно zL — це просто похідна нашої сигмоїдної 62 -00:04:32,330 --> 00:04:37,420 +00:04:31,749 --> 00:04:36,180 функції або будь-якої нелінійності, яку ви вирішите використовувати. 63 -00:04:37,420 --> 00:04:46,160 +00:04:37,220 --> 00:04:44,660 Похідна від zL відносно wL дорівнює AL-1. 64 -00:04:46,160 --> 00:04:49,503 +00:04:45,760 --> 00:04:49,287 Я не знаю, як ви, але я думаю, що легко застрягти головою в формулах, 65 -00:04:49,503 --> 00:04:53,420 +00:04:49,287 --> 00:04:53,420 не витрачаючи хвилини, щоб сісти склавши руки та нагадати собі, що вони означають. 66 @@ -275,23 +275,23 @@ І все це є похідною по відношенню до wL лише від вартості окремого прикладу навчання. 70 -00:05:16,440 --> 00:05:22,414 +00:05:16,440 --> 00:05:21,827 Оскільки функція повних витрат передбачає усереднення всіх цих витрат у багатьох різних 71 -00:05:22,414 --> 00:05:28,049 +00:05:21,827 --> 00:05:26,909 прикладах навчання, її похідна вимагає усереднення цього виразу для всіх прикладів 72 -00:05:28,049 --> 00:05:28,660 +00:05:26,909 --> 00:05:27,460 навчання. 73 -00:05:28,660 --> 00:05:32,357 +00:05:28,380 --> 00:05:32,185 Звичайно, це лише один компонент вектора градієнта, 74 -00:05:32,357 --> 00:05:38,260 +00:05:32,185 --> 00:05:38,260 який складається з часткових похідних функції вартості щодо всіх цих ваг і зміщень. 75 @@ -443,7 +443,7 @@ Я залишу вам зробити паузу та подумати над кожним із цих термінів, якщо хочете. 112 -00:08:28,979 --> 00:08:36,659 +00:08:28,980 --> 00:08:36,659 Що тут змінюється, так це похідна вартості відносно однієї з активацій на рівні L-1. 113 diff --git a/2017/backpropagation-calculus/vietnamese/auto_generated.srt b/2017/backpropagation-calculus/vietnamese/auto_generated.srt index 6ccb96ebd..48f61ade1 100644 --- a/2017/backpropagation-calculus/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2017/backpropagation-calculus/vietnamese/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:04,020 --> 00:00:07,026 +00:00:04,019 --> 00:00:07,026 Giả định khó khăn ở đây là bạn đã xem phần 3, đưa ra 2 @@ -8,38 +8,38 @@ hướng dẫn trực quan về thuật toán lan truyền ngược. 3 00:00:11,040 --> 00:00:14,220 -Ở đây chúng ta trang trọng hơn một chút và đi sâu vào phép tính có liên quan. +Ở đây ta trang trọng hơn chút và đi sâu vào các phép giải tích liên quan. 4 -00:00:14,820 --> 00:00:16,963 -Việc điều này hơi khó hiểu một chút là điều bình thường, +00:00:14,820 --> 00:00:18,089 +Điều này hơi chút khó hiểu là bình thường, vậy câu thần chú thường xuyên là tạm 5 -00:00:16,963 --> 00:00:20,159 -vì vậy câu thần chú thường xuyên tạm dừng và suy ngẫm chắc chắn được áp dụng nhiều ở +00:00:18,089 --> 00:00:21,400 +dừng và suy ngẫm chắc chắn được áp dụng nhiều ở đây cũng như bất kỳ nơi nào khác. 6 -00:00:20,159 --> 00:00:21,400 -đây cũng như bất kỳ nơi nào khác. +00:00:21,940 --> 00:00:25,889 +Mục tiêu chính của chúng ta là cho thấy cách trong học máy người ta thường nghĩ 7 -00:00:21,940 --> 00:00:25,856 -Mục tiêu chính của chúng tôi là cho thấy cách mọi người trong lĩnh vực học máy +00:00:25,889 --> 00:00:29,048 +thế nào về quy tắc dây chuyền từ giải tích trong bối cảnh mạng, 8 -00:00:25,856 --> 00:00:29,227 -thường nghĩ về quy tắc dây chuyền từ phép tính trong bối cảnh mạng, +00:00:29,048 --> 00:00:33,047 +điều này có cảm giác khác với cách hầu hết tiếp cận chủ đề của các khóa học giải 9 -00:00:29,227 --> 00:00:33,640 -điều này có cảm giác khác với cách hầu hết các khóa học tính toán cơ bản tiếp cận chủ đề. +00:00:33,047 --> 00:00:33,640 +tích cơ bản. 10 -00:00:34,340 --> 00:00:37,078 -Đối với những người không thoải mái với phép tính liên quan, +00:00:34,340 --> 00:00:37,008 +Với những người không thoải mái khi liên quan giải tích, 11 -00:00:37,078 --> 00:00:38,740 +00:00:37,008 --> 00:00:38,740 tôi có cả một loạt bài về chủ đề này. 12 @@ -47,23 +47,23 @@ tôi có cả một loạt bài về chủ đề này. Hãy bắt đầu với một mạng cực kỳ đơn giản, trong đó mỗi lớp có một nơ-ron duy nhất. 13 -00:00:46,320 --> 00:00:50,538 +00:00:46,320 --> 00:00:50,569 Mạng này được xác định bởi ba trọng số và ba độ lệch và mục tiêu của 14 -00:00:50,538 --> 00:00:54,880 -chúng tôi là hiểu mức độ nhạy cảm của hàm chi phí đối với các biến này. +00:00:50,569 --> 00:00:54,880 +chúng ta là hiểu mức độ nhạy cảm của hàm chi phí đối với các biến này. 15 -00:00:55,419 --> 00:00:58,898 -Bằng cách đó, chúng tôi biết những điều chỉnh nào đối với các +00:00:55,420 --> 00:00:58,144 +Với cách đó ta biết những điều chỉnh nào đối với các số 16 -00:00:58,898 --> 00:01:02,320 -điều khoản đó sẽ làm giảm hàm chi phí một cách hiệu quả nhất. +00:00:58,144 --> 00:01:00,820 +hạng đó sẽ làm giảm hàm chi phí một cách hiệu quả nhất. 17 -00:01:02,320 --> 00:01:04,840 +00:01:01,960 --> 00:01:04,840 Chúng ta sẽ chỉ tập trung vào kết nối giữa hai nơ-ron cuối cùng. 18 @@ -103,19 +103,19 @@ Vì vậy, chi phí của mạng này cho một ví dụ huấn luyện là AL-y Chúng ta sẽ biểu thị chi phí của một ví dụ đào tạo đó là c0. 27 -00:01:45,900 --> 00:01:50,450 +00:01:45,900 --> 00:01:50,076 Xin nhắc lại, lần kích hoạt cuối cùng này được xác định bởi trọng số, 28 -00:01:50,450 --> 00:01:56,299 +00:01:50,076 --> 00:01:55,446 mà tôi sẽ gọi là wL, nhân với lần kích hoạt của nơ-ron trước đó cộng với một số sai lệch, 29 -00:01:56,299 --> 00:01:57,600 +00:01:55,446 --> 00:01:56,640 mà tôi sẽ gọi là bL. 30 -00:01:57,600 --> 00:02:01,320 +00:01:57,420 --> 00:02:01,320 Sau đó, bạn bơm nó thông qua một số hàm phi tuyến đặc biệt như sigmoid hoặc ReLU. 31 @@ -127,16 +127,16 @@ Thực ra, mọi việc sẽ dễ dàng hơn cho chúng ta nếu chúng ta đặ có trọng số này, chẳng hạn như z, với cùng chỉ số trên như các kích hoạt có liên quan. 33 -00:02:10,380 --> 00:02:16,256 -Đây là rất nhiều thuật ngữ và bạn có thể khái niệm hóa nó bằng cách sử dụng trọng số, +00:02:10,380 --> 00:02:16,198 +Đây là rất nhiều số hạng và bạn có thể khái niệm hóa nó bằng cách sử dụng trọng số, 34 -00:02:16,256 --> 00:02:21,175 +00:02:16,198 --> 00:02:21,185 tác động trước đó và độ lệch để tính z, từ đó cho phép chúng ta tính a, 35 -00:02:21,175 --> 00:02:25,480 -cuối cùng, cùng với hằng số y, hãy chúng tôi tính toán chi phí. +00:02:21,185 --> 00:02:25,480 +cuối cùng, cùng với hằng số y, cho chúng ta tính toán chi phí. 36 00:02:27,340 --> 00:02:31,365 @@ -167,20 +167,20 @@ chi phí đối với những thay đổi nhỏ trong trọng số wL của chú Hay nói cách khác, đạo hàm của c theo wL bằng bao nhiêu? 43 -00:02:55,600 --> 00:02:59,753 -Khi bạn nhìn thấy thuật ngữ del w này, hãy nghĩ nó có nghĩa là một sự +00:02:55,600 --> 00:02:59,713 +Khi bạn nhìn thấy số hạng del w này, hãy nghĩ nó có nghĩa là một sự 44 -00:02:59,753 --> 00:03:03,728 +00:02:59,713 --> 00:03:03,765 dịch chuyển nhỏ nào đó tới w, chẳng hạn như sự thay đổi bằng 0.01, 45 -00:03:03,728 --> 00:03:08,060 -và coi thuật ngữ del c này có nghĩa là bất kể tác động lên chi phí là gì. +00:03:03,765 --> 00:03:08,060 +và coi số hạng del c này có nghĩa là bất kể tác động lên chi phí là gì. 46 00:03:08,060 --> 00:03:10,220 -Những gì chúng tôi muốn là tỷ lệ của họ. +Những gì chúng ta muốn là tỷ lệ của chúng. 47 00:03:11,260 --> 00:03:16,185 @@ -199,16 +199,16 @@ Vì vậy, trước tiên chúng ta chia nhỏ mọi thứ bằng cách xem xét thay đổi nhỏ của zL với thay đổi nhỏ này w, tức là đạo hàm của zL đối với wL. 51 -00:03:33,200 --> 00:03:36,877 -Tương tự như vậy, sau đó bạn xem xét tỷ lệ giữa sự thay đổi +00:03:33,200 --> 00:03:37,080 +Tương tự như vậy, sau đó bạn xem xét tỷ lệ giữa sự thay đổi của 52 -00:03:36,877 --> 00:03:39,941 -của AL với sự thay đổi nhỏ trong zL đã gây ra nó, +00:03:37,080 --> 00:03:40,779 +AL với sự thay đổi nhỏ trong zL đã gây ra nó, cũng như tỷ lệ 53 -00:03:39,941 --> 00:03:44,660 -cũng như tỷ lệ giữa cú hích cuối cùng với c và cú hích trung gian này với AL. +00:03:40,779 --> 00:03:44,660 +giữa tác động cuối cùng với c và tác động trung gian này với AL. 54 00:03:45,740 --> 00:03:50,364 @@ -231,39 +231,39 @@ và hãy dành chút thời gian để đảm bảo rằng chúng rõ ràng là bởi vì bây giờ chúng ta sẽ tính đạo hàm có liên quan. 59 -00:04:07,440 --> 00:04:14,180 +00:04:07,440 --> 00:04:13,160 Đạo hàm của c theo AL là 2AL-y. 60 -00:04:14,180 --> 00:04:18,537 +00:04:13,980 --> 00:04:18,404 Điều này có nghĩa là kích thước của nó tỷ lệ thuận với sự khác biệt giữa đầu 61 -00:04:18,537 --> 00:04:22,725 +00:04:18,404 --> 00:04:22,657 ra của mạng và thứ chúng ta mong muốn, vì vậy nếu đầu ra đó rất khác nhau 62 -00:04:22,725 --> 00:04:27,140 +00:04:22,657 --> 00:04:27,140 thì ngay cả những thay đổi nhỏ cũng có tác động lớn đến hàm chi phí cuối cùng. 63 -00:04:27,840 --> 00:04:32,509 +00:04:27,840 --> 00:04:31,939 Đạo hàm của AL theo zL chỉ là đạo hàm của hàm sigmoid của 64 -00:04:32,509 --> 00:04:37,420 -chúng tôi hoặc bất kỳ tính phi tuyến nào mà bạn chọn sử dụng. +00:04:31,939 --> 00:04:36,180 +chúng ta hoặc bất kỳ tính phi tuyến nào mà bạn chọn sử dụng. 65 -00:04:37,420 --> 00:04:46,160 +00:04:37,220 --> 00:04:44,660 Đạo hàm của zL theo wL là AL-1. 66 -00:04:46,160 --> 00:04:49,724 +00:04:45,760 --> 00:04:49,520 Không biết bạn thế nào, nhưng tôi nghĩ bạn rất dễ bị mắc kẹt trong các công thức 67 -00:04:49,724 --> 00:04:53,420 +00:04:49,520 --> 00:04:53,420 mà không dành một chút thời gian để ngồi lại và nhắc nhở bản thân ý nghĩa của chúng. 68 @@ -283,31 +283,31 @@ Hãy nhớ rằng, đây chính là lúc ý tưởng kết hợp các nơ-ron th Và tất cả những điều này chỉ là đạo hàm của wL chi phí cho một ví dụ đào tạo cụ thể. 72 -00:05:16,440 --> 00:05:20,553 +00:05:16,440 --> 00:05:20,149 Vì hàm chi phí đầy đủ liên quan đến việc tính trung bình tất cả các 73 -00:05:20,553 --> 00:05:23,396 +00:05:20,149 --> 00:05:22,713 chi phí đó trên nhiều ví dụ đào tạo khác nhau, 74 -00:05:23,396 --> 00:05:28,660 +00:05:22,713 --> 00:05:27,460 nên đạo hàm của nó yêu cầu tính trung bình biểu thức này trên tất cả các ví dụ đào tạo. 75 -00:05:28,660 --> 00:05:32,367 +00:05:28,380 --> 00:05:32,195 Tất nhiên, đó chỉ là một thành phần của vectơ gradient, 76 -00:05:32,367 --> 00:05:38,260 +00:05:32,195 --> 00:05:38,260 được xây dựng từ đạo hàm riêng của hàm chi phí đối với tất cả các trọng số và độ lệch đó. 77 -00:05:40,640 --> 00:05:43,706 -Nhưng mặc dù đó chỉ là một trong nhiều đạo hàm riêng phần mà chúng ta cần, +00:05:40,640 --> 00:05:43,555 +Nhưng dù đó chỉ là một trong nhiều đạo hàm riêng phần mà ta cần, 78 -00:05:43,706 --> 00:05:45,260 +00:05:43,555 --> 00:05:45,260 nhưng nó cũng chiếm hơn 50% công việc. 79 @@ -339,20 +339,20 @@ Cụ thể, đạo hàm ban đầu này trong biểu thức quy tắc dây chuy độ nhạy của z đối với lần kích hoạt trước đó, sẽ là trọng số wL. 86 -00:06:26,640 --> 00:06:30,550 -Và một lần nữa, mặc dù chúng ta sẽ không thể ảnh hưởng trực tiếp đến việc +00:06:26,640 --> 00:06:30,520 +Và lần nữa, dù chúng ta sẽ không thể gây ảnh hưởng trực tiếp đến việc 87 -00:06:30,550 --> 00:06:34,302 +00:06:30,520 --> 00:06:34,456 kích hoạt lớp trước đó, nhưng việc theo dõi vẫn rất hữu ích vì bây giờ 88 -00:06:34,302 --> 00:06:38,265 -chúng ta có thể tiếp tục lặp lại ý tưởng quy tắc chuỗi tương tự này để xem +00:06:34,456 --> 00:06:38,337 +ta có thể tiếp tục lặp lại ý tưởng quy tắc dây chuyền tương tự này để 89 -00:06:38,265 --> 00:06:42,440 -hàm chi phí nhạy cảm như thế nào đối với trọng số trước đó và độ lệch trước đó. +00:06:38,337 --> 00:06:42,440 +xem cái cách mà hàm chi phí nhạy cảm đối với trọng số và độ lệch trước đó. 90 00:06:43,180 --> 00:06:45,793 @@ -367,11 +367,11 @@ vì tất cả các lớp đều có một nơ-ron và mọi thứ sẽ trở n nhân đối với một mạng thực. 93 -00:06:51,700 --> 00:06:55,280 -Nhưng thành thật mà nói, không có nhiều thay đổi khi chúng tôi cung cấp +00:06:51,700 --> 00:06:55,254 +Nhưng thành thật mà nói, không có nhiều thay đổi khi chúng ta cung cấp 94 -00:06:55,280 --> 00:06:58,860 +00:06:55,254 --> 00:06:58,860 cho các lớp nhiều nơ-ron, thực sự đó chỉ là một vài chỉ số cần theo dõi. 95 @@ -452,10 +452,10 @@ cảm của chi phí đối với một trọng số cụ thể về cơ bản l 114 00:08:23,920 --> 00:08:26,840 -Tôi sẽ để bạn tạm dừng và suy nghĩ về từng điều khoản đó nếu bạn muốn. +Tôi sẽ để bạn tạm dừng và suy nghĩ về từng số hạng đó nếu bạn muốn. 115 -00:08:28,979 --> 00:08:32,819 +00:08:28,980 --> 00:08:32,819 Tuy nhiên, điều thay đổi ở đây là đạo hàm của chi 116 @@ -511,22 +511,18 @@ Nếu tất cả những điều này đều hợp lý thì giờ đây bạn đ lõi của lan truyền ngược, nền tảng đằng sau cách mạng lưới thần kinh học hỏi. 129 -00:09:23,300 --> 00:09:28,388 -Các biểu thức quy tắc chuỗi này cung cấp cho bạn các đạo hàm xác định từng thành phần +00:09:23,300 --> 00:09:28,242 +Các biểu thức quy tắc dây chuyền này cung cấp cho bạn các đạo hàm xác định từng thành 130 -00:09:28,388 --> 00:09:33,300 -trong gradient giúp giảm thiểu chi phí của mạng bằng cách liên tục giảm dần độ dốc. +00:09:28,242 --> 00:09:33,300 +phần trong gradient giúp giảm thiểu chi phí của mạng bằng cách liên tục giảm dần độ dốc. 131 -00:09:34,300 --> 00:09:36,846 -Nếu bạn ngồi lại và suy nghĩ về tất cả những điều đó, +00:09:34,300 --> 00:09:38,441 +Nếu bạn ngồi lại và nghĩ về tất cả, thì đây là rất nhiều lớp phức tạp bao trùm 132 -00:09:36,846 --> 00:09:39,486 -thì đây là rất nhiều lớp phức tạp bao trùm tâm trí bạn, - -133 -00:09:39,486 --> 00:09:42,740 -vì vậy đừng lo lắng nếu tâm trí bạn cần thời gian để tiêu hóa tất cả. +00:09:38,441 --> 00:09:42,740 +tâm trí bạn, vì vậy đừng lo lắng nếu tâm trí bạn cần thời gian để tiêu hóa tất cả. diff --git a/2017/backpropagation/vietnamese/auto_generated.srt b/2017/backpropagation/vietnamese/auto_generated.srt index 0f1668ea4..4ef76d883 100644 --- a/2017/backpropagation/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2017/backpropagation/vietnamese/auto_generated.srt @@ -35,32 +35,32 @@ Nếu bạn đã xem hai video cuối cùng hoặc nếu bạn chỉ bắt đầ thì bạn sẽ biết mạng lưới thần kinh là gì và cách nó truyền thông tin đi. 10 -00:00:31,680 --> 00:00:36,076 -Ở đây, chúng tôi đang thực hiện một ví dụ kinh điển về việc nhận dạng các chữ +00:00:31,680 --> 00:00:36,034 +Ở đây, chúng ta đang thực hiện một ví dụ kinh điển về việc nhận dạng các chữ 11 -00:00:36,076 --> 00:00:40,472 +00:00:36,034 --> 00:00:40,444 số viết tay có giá trị pixel được đưa vào lớp đầu tiên của mạng có 784 nơ-ron 12 -00:00:40,472 --> 00:00:44,869 -và tôi đã sử dụng một mạng có hai lớp ẩn, mỗi lớp chỉ có 16 nơ-ron và một đầu +00:00:40,444 --> 00:00:44,629 +và tôi đã sử dụng một mạng có hai lớp ẩn, mỗi lớp chỉ có 16 nơ-ron và một 13 -00:00:44,869 --> 00:00:49,040 -ra lớp gồm 10 nơ-ron, cho biết mạng đang chọn chữ số nào làm câu trả lời. +00:00:44,629 --> 00:00:49,040 +đầu ra lớp gồm 10 nơ-ron, cho biết mạng đang chọn chữ số nào làm câu trả lời. 14 -00:00:50,040 --> 00:00:53,700 -Tôi cũng mong bạn hiểu khái niệm hạ gradient, như đã được mô +00:00:50,040 --> 00:00:52,889 +Tôi cũng mong bạn hiểu khái niệm giảm gradient, 15 -00:00:53,700 --> 00:00:57,360 -tả trong video trước và ý nghĩa của việc học là tìm ra trọng +00:00:52,889 --> 00:00:56,629 +như đã được mô tả trong video trước và ý nghĩa của việc học là 16 -00:00:57,360 --> 00:01:01,260 -số và độ lệch thích hợp để giảm thiểu một hàm chi phí nhất định. +00:00:56,629 --> 00:01:01,260 +tìm ra trọng số và độ lệch thích hợp để giảm thiểu một hàm chi phí nhất định. 17 00:01:02,040 --> 00:01:08,004 @@ -427,12 +427,12 @@ Và tương tự như những thay đổi về trọng số, bạn sẽ thu đư cách tìm kiếm những thay đổi tỷ lệ thuận với kích thước của các trọng số tương ứng. 108 -00:07:12,140 --> 00:07:14,847 -Tất nhiên, hiện tại, chúng ta không thể tác động trực tiếp đến những giá +00:07:12,140 --> 00:07:15,398 +Tất nhiên hiện tại ta không thể tác động trực tiếp đến những giá trị kích hoạt đó, 109 -00:07:14,847 --> 00:07:17,480 -trị kích hoạt đó, chúng ta chỉ có quyền kiểm soát trọng số và độ lệch. +00:07:15,398 --> 00:07:17,480 +chúng ta chỉ có quyền kiểm soát trọng số và độ lệch. 110 00:07:17,480 --> 00:07:20,766 @@ -576,7 +576,7 @@ dồn mức độ ảnh hưởng của từng mẫu huấn luyện ở mỗi bư 145 00:09:43,140 --> 00:09:44,820 -Vì vậy, đây là những gì thường được lảm thay vào đó. +Vậy thay vào đó, đây là điều thường được làm 146 00:09:45,480 --> 00:09:50,258 @@ -675,15 +675,15 @@ bạn chia ngẫu nhiên dữ liệu thành các lô nhỏ và tính toán từn một lô nhỏ. 170 -00:11:14,000 --> 00:11:18,154 +00:11:14,000 --> 00:11:18,061 Liên tục thực hiện tất cả các đợt nhỏ và những điều chỉnh này, 171 -00:11:18,154 --> 00:11:21,385 -bạn sẽ đạt được cực tiểu cục bộ của hàm chi phí, +00:11:18,061 --> 00:11:21,478 +bạn sẽ đạt được cực tiểu địa phương của hàm chi phí, 172 -00:11:21,385 --> 00:11:25,540 +00:11:21,478 --> 00:11:25,540 nghĩa là mạng của bạn sẽ thực hiện rất tốt các mẫu huấn luyện. 173 @@ -703,20 +703,20 @@ Nhưng đôi khi biết những gì toán học đằng sau làm mới chỉ là và chỉ việc trình bày cái thứ chết tiệt đó là lúc mọi thứ sẽ trở nên lộn xộn và khó hiểu. 177 -00:11:44,860 --> 00:11:47,143 -Vì vậy, đối với những ai muốn tìm hiểu sâu hơn, +00:11:44,860 --> 00:11:48,653 +Vậy, với những ai muốn tìm hiểu sâu hơn, video tiếp theo sẽ trình bày những ý tưởng 178 -00:11:47,143 --> 00:11:50,854 -video tiếp theo sẽ trình bày những ý tưởng tương tự vừa được trình bày ở đây, +00:11:48,653 --> 00:11:52,310 +tương tự vừa được trình bày ở đây, nhưng trong các số hạng của giải tích cơ bản, 179 -00:11:50,854 --> 00:11:54,659 -nhưng bằng các phép tính, hy vọng sẽ làm cho nó quen thuộc hơn một chút khi bạn +00:11:52,310 --> 00:11:56,374 +hy vọng sẽ làm cho nó quen thuộc hơn một chút khi bạn xem chủ đề này trong các nguồn khác. 180 -00:11:54,659 --> 00:11:56,420 -xem chủ đề này trong các nguồn khác. +00:11:56,374 --> 00:11:56,420 + 181 00:11:57,340 --> 00:12:01,497 @@ -735,18 +735,18 @@ Trong trường hợp của chúng ta, một điều khiến các chữ số vi dụ hay là tồn tại cơ sở dữ liệu MNIST, với rất nhiều mẫu đã được con người phân loại. 185 -00:12:15,300 --> 00:12:18,229 -Vì vậy, một thách thức chung mà những người làm việc trong lĩnh vực học +00:12:15,300 --> 00:12:18,136 +Vậy, một thách thức chung mà những người làm việc trong lĩnh vực học 186 -00:12:18,229 --> 00:12:21,769 +00:12:18,136 --> 00:12:21,713 máy sẽ quen thuộc là lấy dữ liệu huấn luyện được đã được phân loại mà bạn thực sự cần, 187 -00:12:21,769 --> 00:12:24,699 +00:12:21,713 --> 00:12:24,674 cho dù đó là yêu cầu nhiều người phân loại cho hàng chục nghìn hình ảnh 188 -00:12:24,699 --> 00:12:27,100 +00:12:24,674 --> 00:12:27,100 hay bất kỳ loại dữ liệu nào khác mà bạn có thể đang xử lý. diff --git a/2017/chain-rule-and-product-rule/italian/auto_generated.srt b/2017/chain-rule-and-product-rule/italian/auto_generated.srt index cf5bc91dc..3fe208b04 100644 --- a/2017/chain-rule-and-product-rule/italian/auto_generated.srt +++ b/2017/chain-rule-and-product-rule/italian/auto_generated.srt @@ -147,11 +147,11 @@ quadrato di x è data da questa barra verticale leggermente più piccola. La loro somma è la lunghezza che si ottiene semplicemente impilandole. 38 -00:02:48,520 --> 00:02:53,939 -Per la derivata, vuoi chiederti che cosa succede se modifichi leggermente l'input, +00:02:48,520 --> 00:02:53,959 +Per la derivata, vuoi chiederti che cosa succede se incrementi leggermente l'input, 39 -00:02:53,939 --> 00:02:56,420 +00:02:53,959 --> 00:02:56,420 magari aumentandolo fino a 0,5 più dx. 40 @@ -187,12 +187,12 @@ Significa che questa piccola variazione, d seno di x, è circa il coseno di x pe costante di proporzionalità è uguale al coseno di qualsiasi input iniziale. 48 -00:03:43,980 --> 00:03:47,964 +00:03:43,980 --> 00:03:48,017 Allo stesso modo, poiché la derivata di x al quadrato è 2x, 49 -00:03:47,964 --> 00:03:53,940 -la variazione dell'altezza del grafico di x al quadrato è 2x volte qualsiasi valore di dx. +00:03:48,017 --> 00:03:53,940 +la variazione dell'altezza del grafico di x al quadrato è 2x per qualsiasi valore di dx. 50 00:03:55,600 --> 00:04:00,383 @@ -207,12 +207,12 @@ della funzione somma e la minuscola variazione di x che l'ha causata, è effettivamente il coseno di x più 2x, la somma delle derivate delle sue parti. 53 -00:04:11,520 --> 00:04:15,300 +00:04:11,520 --> 00:04:15,186 Ma, come ho detto, le cose sono un po' diverse per i prodotti e 54 -00:04:15,300 --> 00:04:19,140 -pensiamo ancora una volta al perché in termini di piccoli valori. +00:04:15,186 --> 00:04:19,140 +pensiamo ancora una volta al perché in termini di piccoli incrementi. 55 00:04:20,060 --> 00:04:23,140 @@ -299,12 +299,12 @@ una piccola modifica a x di dx influenzi quell'area. Qual è il cambiamento risultante nell'area df? 76 -00:05:39,000 --> 00:05:43,238 -Ebbene, il piccolo dx ha fatto sì che la larghezza cambiasse di un +00:05:39,000 --> 00:05:43,401 +Ebbene, il piccolo incremento dx ha fatto sì che la larghezza cambiasse di 77 -00:05:43,238 --> 00:05:47,920 -piccolo d seno di x e che l'altezza cambiasse di un certo d x al quadrato. +00:05:43,401 --> 00:05:47,920 +un piccolo d seno di x e che l'altezza cambiasse di un certo d x al quadrato. 78 00:05:50,180 --> 00:05:53,591 @@ -407,32 +407,32 @@ con una certa frase che si canticchia in testa. Sinistra d-destra, destra d-sinistra. 103 -00:07:34,400 --> 00:07:37,871 +00:07:34,400 --> 00:07:37,666 In questo esempio, dove abbiamo il seno di x per x al quadrato, 104 -00:07:37,871 --> 00:07:41,559 +00:07:37,666 --> 00:07:41,136 sinistra d-destra, significa che si prende la funzione di sinistra, 105 -00:07:41,559 --> 00:07:44,760 -il seno di x, per la derivata di destra, in questo caso 2x. +00:07:41,136 --> 00:07:44,760 +seno di x, per la derivata della funzione di destra, in questo caso 2x. 106 -00:07:45,480 --> 00:07:49,554 -Poi aggiungi a destra d-sinistra la funzione di destra, x al quadrato, +00:07:45,480 --> 00:07:49,528 +Poi aggiungi destra d-sinistra, la funzione di destra, x al quadrato, 107 -00:07:49,554 --> 00:07:52,940 +00:07:49,528 --> 00:07:52,940 per la derivata della funzione di sinistra, il coseno di x. 108 -00:07:54,360 --> 00:07:57,695 -Ora, fuori dal contesto, presentato come una regola da ricordare, +00:07:54,360 --> 00:07:57,470 +Fuori dal contesto, presentata come una regola da ricordare, 109 -00:07:57,695 --> 00:08:00,020 -penso che sarebbe piuttosto strano, non credi? +00:07:57,470 --> 00:08:00,020 +penso che sembrerebbe piuttosto strana, non credi? 110 00:08:00,740 --> 00:08:03,199 @@ -443,11 +443,11 @@ Ma se pensi a questa scatola regolabile, puoi capire cosa rappresenta ognuno di questi termini. 112 -00:08:06,580 --> 00:08:10,967 -Sinistra d-destra è l'area del rettangolo inferiore +00:08:06,580 --> 00:08:11,284 +Sinistra d-destra è l'area del piccolo rettangolo inferiore 113 -00:08:10,967 --> 00:08:15,440 +00:08:11,284 --> 00:08:15,440 e destra d-sinistra è l'area del rettangolo laterale. 114 @@ -471,16 +471,16 @@ in questo caso 2 volte il coseno di x. Lascio a te il compito di soffermarti e riflettere per verificare che abbia senso. 119 -00:08:41,919 --> 00:08:46,619 -Oltre all'addizione e alla moltiplicazione, l'altro modo comune di combinare le funzioni, +00:08:41,919 --> 00:08:45,297 +Oltre all'addizione e alla moltiplicazione, un altro modo comune 120 -00:08:46,619 --> 00:08:50,797 -e credimi, questo si presenta sempre, è quello di inserirne una dentro l'altra, +00:08:45,297 --> 00:08:48,622 +di combinare le funzioni, e credimi, questo si presenta sempre, 121 -00:08:50,797 --> 00:08:52,260 -la composizione di funzioni. +00:08:48,622 --> 00:08:52,260 +è quello di inserirne una dentro l'altra, la composizione di funzioni. 122 00:08:53,220 --> 00:08:56,761 @@ -492,7 +492,7 @@ di seno di x per ottenere questa nuova funzione, seno di x al quadrato. 124 00:09:01,400 --> 00:09:04,080 -Quale pensi sia la derivata di questa nuova funzione? +Quale pensi che sia la derivata di questa nuova funzione? 125 00:09:05,300 --> 00:09:08,745 @@ -500,27 +500,27 @@ Per rifletterci su, sceglierò un altro modo di visualizzare le cose, 126 00:09:08,745 --> 00:09:12,540 -giusto per sottolineare che nella matematica creativa abbiamo molte opzioni. +giusto per sottolineare che nella matematica abbiamo molte opzioni creative. 127 -00:09:13,320 --> 00:09:18,530 -Metterò tre linee numeriche diverse: quella in alto conterrà il valore di x, +00:09:13,320 --> 00:09:18,606 +Disegnerò tre linee numeriche diverse: quella in alto conterrà il valore di x, 128 -00:09:18,530 --> 00:09:24,552 -la seconda conterrà il valore di x al quadrato e la terza conterrà il valore del seno di +00:09:18,606 --> 00:09:22,488 +la seconda conterrà il valore di x al quadrato e la terza 129 -00:09:24,552 --> 00:09:25,500 -x al quadrato. +00:09:22,488 --> 00:09:25,500 +conterrà il valore del seno di x al quadrato. 130 -00:09:26,460 --> 00:09:30,497 -In altre parole, la funzione x al quadrato ti porta dalla riga 1 alla riga 2, +00:09:26,460 --> 00:09:30,482 +In altre parole, la funzione x al quadrato ti porta dalla linea 1 alla linea 2, 131 -00:09:30,497 --> 00:09:33,500 -mentre la funzione seno ti porta dalla riga 2 alla riga 3. +00:09:30,482 --> 00:09:33,500 +mentre la funzione seno ti porta dalla linea 2 alla linea 3. 132 00:09:34,840 --> 00:09:38,939 @@ -535,148 +535,148 @@ il secondo valore rimane ancorato al valore di x al quadrato, in questo caso and Il valore inferiore, essendo il seno di x al quadrato, sarà qualsiasi sia il seno di 9. 135 -00:09:54,900 --> 00:09:57,596 -Quindi, per quanto riguarda la derivata, iniziamo +00:09:54,900 --> 00:09:57,626 +Quindi, per quanto riguarda la derivata, iniziamo ancora 136 -00:09:57,596 --> 00:10:00,400 -ancora una volta a modificare il valore di x con dx. +00:09:57,626 --> 00:10:00,400 +una volta ad incrementare il valore di x di un piccolo dx. 137 -00:10:01,540 --> 00:10:06,325 +00:10:01,540 --> 00:10:06,372 Penso sempre che sia utile pensare a x come se partisse da un numero concreto, 138 -00:10:06,325 --> 00:10:07,840 -forse 1,5 in questo caso. +00:10:06,372 --> 00:10:07,840 +tipo 1,5 in questo caso. 139 -00:10:08,760 --> 00:10:12,412 -La spinta risultante verso il secondo valore, la variazione +00:10:08,760 --> 00:10:11,863 +Il risultato dell'incremento di questo secondo valore, 140 -00:10:12,412 --> 00:10:15,700 -di x al quadrato causata da tale dx, è dx al quadrato. +00:10:11,863 --> 00:10:15,700 +la variazione di x al quadrato causata da tale dx, è dx al quadrato. 141 -00:10:16,960 --> 00:10:21,150 -Potremmo espanderlo come abbiamo fatto prima, come 2x volte dx, +00:10:16,960 --> 00:10:21,144 +Potremmo espanderlo come abbiamo fatto prima, come 2x per dx, 142 -00:10:21,150 --> 00:10:25,340 -che per il nostro input specifico sarebbe 2 volte 1,5 volte dx, +00:10:21,144 --> 00:10:25,193 +che per il nostro input specifico sarebbe 2 per 1,5 per dx, 143 -00:10:25,340 --> 00:10:30,120 +00:10:25,193 --> 00:10:30,120 ma è utile mantenere le cose scritte come dx al quadrato, almeno per ora. 144 -00:10:31,020 --> 00:10:36,110 +00:10:31,020 --> 00:10:35,762 Anzi, farò un ulteriore passo avanti, dando un nuovo nome a questa x al quadrato, 145 -00:10:36,110 --> 00:10:41,200 -magari h, così invece di scrivere dx al quadrato per questa spinta, scriveremo dh. +00:10:35,762 --> 00:10:40,390 +magari h, così invece di scrivere dx al quadrato per questo piccolo incremento, 146 -00:10:42,620 --> 00:10:47,260 -In questo modo è più facile pensare al terzo valore, che ora è fissato al seno di h. +00:10:40,390 --> 00:10:41,200 +scriveremo dh. 147 -00:10:48,200 --> 00:10:53,680 -La sua variazione è d seno di h, la piccola variazione causata dalla spinta dh. +00:10:42,620 --> 00:10:47,260 +In questo modo è più facile pensare al terzo valore, che ora è fissato al seno di h. 148 -00:10:55,000 --> 00:10:59,716 -Il fatto che si muova verso sinistra mentre l'urto dh va verso destra +00:10:48,200 --> 00:10:53,680 +La sua variazione è d seno di h, la piccola variazione causata dall'incremento dh. 149 -00:10:59,716 --> 00:11:05,040 -significa che questo cambiamento, d seno di h, sarà un qualche numero negativo. +00:10:55,000 --> 00:10:59,922 +Il fatto che si muova verso sinistra mentre l'incremento dh va verso destra 150 +00:10:59,922 --> 00:11:05,040 +significa che questo cambiamento, d seno di h, sarà un qualche numero negativo. + +151 00:11:06,140 --> 00:11:09,640 Di nuovo, possiamo utilizzare la nostra conoscenza della derivata del seno. -151 +152 00:11:10,500 --> 00:11:14,420 d seno di h sarà circa il coseno di h per dh. -152 +153 00:11:15,240 --> 00:11:18,640 Ecco cosa significa che la derivata del seno è il coseno. -153 -00:11:19,540 --> 00:11:23,979 -Se ci spieghiamo meglio, possiamo sostituire di nuovo h con x al quadrato, - 154 -00:11:23,979 --> 00:11:29,069 -in modo da sapere che la spinta inferiore sarà pari al coseno di x al quadrato per dx +00:11:19,540 --> 00:11:23,742 +Sviluppando le cose, possiamo sostituire di nuovo h con x al quadrato, 155 -00:11:29,069 --> 00:11:29,780 -al quadrato. +00:11:23,742 --> 00:11:28,832 +in modo da sapere che l'incremento inferiore sarà pari al coseno di x al quadrato per 156 -00:11:31,040 --> 00:11:32,480 -Spieghiamo meglio le cose. +00:11:28,832 --> 00:11:29,780 +d x al quadrato. 157 -00:11:32,840 --> 00:11:38,100 -La spinta intermedia dx al quadrato sarà circa 2x volte dx. +00:11:31,040 --> 00:11:32,480 +Sviluppiamo le cose ulteriormente. 158 -00:11:39,060 --> 00:11:41,514 -È sempre una buona abitudine ricordare a te stesso +00:11:32,840 --> 00:11:38,100 +L'incremento intermedio dx al quadrato sarà circa 2x per dx. 159 -00:11:41,514 --> 00:11:43,680 -il significato di un'espressione come questa. +00:11:39,060 --> 00:11:43,680 +È sempre una buona abitudine ricordarsi il significato di un'espressione come questa. 160 -00:11:44,340 --> 00:11:48,975 +00:11:44,340 --> 00:11:49,018 In questo caso, in cui siamo partiti da x uguale a 1,5, 161 -00:11:48,975 --> 00:11:54,852 -l'intera espressione ci dice che la dimensione dell'abbassamento sulla +00:11:49,018 --> 00:11:54,783 +l'intera espressione ci dice che la dimensione dell'incremento sulla 162 -00:11:54,852 --> 00:12:02,220 +00:11:54,783 --> 00:12:02,220 terza riga sarà circa il coseno di 1,5 al quadrato per 2 per 1,5 per la dimensione di dx. 163 -00:12:02,720 --> 00:12:05,188 +00:12:02,720 --> 00:12:05,092 È proporzionale alla dimensione di dx e questa 164 -00:12:05,188 --> 00:12:07,920 -derivata ci fornisce la costante di proporzionalità. +00:12:05,092 --> 00:12:07,920 +derivata ci fornisce quella costante di proporzionalità. 165 00:12:10,920 --> 00:12:12,560 Fai caso a cosa abbiamo ottenuto qui. 166 -00:12:12,960 --> 00:12:18,247 -Abbiamo la derivata della funzione esterna e stiamo ancora considerando la funzione +00:12:12,960 --> 00:12:18,056 +Abbiamo la derivata della funzione esterna che contiene ancora la funzione 167 -00:12:18,247 --> 00:12:23,220 -interna inalterata, moltiplicandola poi per la derivata della funzione interna. +00:12:18,056 --> 00:12:23,220 +interna inalterata, moltiplicata poi per la derivata della funzione interna. 168 00:12:25,820 --> 00:12:29,220 Anche qui, non c'è nulla di speciale nel seno di x o in x al quadrato. 169 -00:12:29,740 --> 00:12:36,940 +00:12:29,740 --> 00:12:36,898 Se si hanno due funzioni qualsiasi, g di x e h di x, la derivata della loro composizione, 170 -00:12:36,940 --> 00:12:43,660 -g di h di x, sarà la derivata di g valutata su h, moltiplicata per la derivata di h. +00:12:36,898 --> 00:12:43,660 +g di h di x, sarà la derivata di g calcolata su h, moltiplicata per la derivata di h. 171 00:12:47,140 --> 00:12:50,900 @@ -703,24 +703,24 @@ Ma soprattutto è un'importante riflessione su ciò che rappresenta la derivata della funzione esterna. 177 -00:13:13,200 --> 00:13:16,139 +00:13:13,200 --> 00:13:16,060 Ricorda, nella nostra configurazione a tre linee, 178 -00:13:16,139 --> 00:13:19,255 +00:13:16,060 --> 00:13:19,093 quando abbiamo preso la derivata del seno sul fondo, 179 -00:13:19,255 --> 00:13:23,900 -abbiamo espanso la dimensione di questa curva, d seno, come coseno di h per dh. +00:13:19,093 --> 00:13:23,900 +abbiamo espanso la dimensione di questo incremento, d seno, come coseno di h per dh. 180 -00:13:24,940 --> 00:13:27,248 -Questo perché non sapevamo subito in che modo la +00:13:24,940 --> 00:13:27,390 +Questo perché non sapevamo da subito in che modo la 181 -00:13:27,248 --> 00:13:29,840 -dimensione della spinta verso il basso dipendesse da x. +00:13:27,390 --> 00:13:29,840 +dimensione dell'incremento in basso dipendesse da x. 182 00:13:30,420 --> 00:13:32,600 @@ -731,16 +731,16 @@ dimensione della spinta verso il basso dipendesse da x. Ma possiamo prendere la derivata rispetto a quella variabile intermedia, h. 184 -00:13:38,100 --> 00:13:41,964 -Ovvero, cerca di capire come esprimere l'entità dell'abbassamento sulla terza +00:13:38,100 --> 00:13:41,840 +Cercando di capire come esprimere la dimensione dell'incremento sulla terza 185 -00:13:41,964 --> 00:13:45,680 -riga come un multiplo di dh, l'entità dell'abbassamento sulla seconda riga. +00:13:41,840 --> 00:13:45,680 +riga come un multiplo di dh, la dimensione dell'incremento sulla seconda riga. 186 00:13:46,580 --> 00:13:50,700 -Solo in seguito ci siamo chiariti ulteriormente scoprendo cosa fosse dh. +Solo in seguito abbiamo sviluppato ulteriormente scoprendo cosa fosse dh. 187 00:13:53,320 --> 00:13:56,537 @@ -776,27 +776,27 @@ attraverso una certa catena di eventi, lo ha causato. 195 00:14:23,860 --> 00:14:26,980 -E l'annullamento di dh non è solo un trucco notarile. +E l'annullamento di dh non è solo un trucco notazionale. 196 -00:14:26,980 --> 00:14:30,247 -Questo è un vero e proprio riflesso di ciò che sta accadendo con le +00:14:26,980 --> 00:14:30,341 +Questo è proprio un riflesso di ciò che sta accadendo con i piccoli 197 -00:14:30,247 --> 00:14:33,900 -piccole spinte che sono alla base di tutto ciò che facciamo con le derivate. +00:14:30,341 --> 00:14:33,900 +incrementi che sono alla base di tutto ciò che facciamo con le derivate. 198 -00:14:36,300 --> 00:14:39,718 -Questi sono i tre strumenti di base da avere nella tua cintura per +00:14:36,300 --> 00:14:39,906 +Questi sono i tre strumenti di base da tenere a mente per gestire 199 -00:14:39,718 --> 00:14:43,240 -gestire le derivate di funzioni che combinano molte cose più piccole. +00:14:39,906 --> 00:14:43,240 +le derivate di funzioni che combinano molte cose più piccole. 200 00:14:43,840 --> 00:14:47,380 -Hai la regola della somma, la regola del prodotto e la regola della catena. +C'è la regola della somma, la regola del prodotto e la regola della catena. 201 00:14:48,400 --> 00:14:51,892 @@ -820,23 +820,23 @@ pratica di quella meccanica e la formazione dei muscoli per eseguire questi calc 206 00:15:10,088 --> 00:15:10,400 -soli. +solo. 207 -00:15:11,240 --> 00:15:14,405 +00:15:11,240 --> 00:15:14,510 Vorrei davvero potermi offrire di farlo per te, 208 -00:15:14,405 --> 00:15:17,440 -ma temo che sia tu a dover cercare la pratica. +00:15:14,510 --> 00:15:17,440 +ma temo che sia tu a dover fare la pratica. 209 -00:15:18,040 --> 00:15:21,201 -Quello che posso offrire, e che spero di aver offerto, +00:15:18,040 --> 00:15:21,105 +Quello che posso offrirti, e che spero di averti offerto, 210 -00:15:21,201 --> 00:15:23,960 -è di mostrarti da dove provengono queste regole. +00:15:21,105 --> 00:15:23,960 +è di averti mostrato da dove provengono queste regole. 211 00:15:24,140 --> 00:15:28,737 diff --git a/2017/chain-rule-and-product-rule/vietnamese/auto_generated.srt b/2017/chain-rule-and-product-rule/vietnamese/auto_generated.srt index 5af443e79..bf3805b80 100644 --- a/2017/chain-rule-and-product-rule/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2017/chain-rule-and-product-rule/vietnamese/auto_generated.srt @@ -67,770 +67,766 @@ bởi vì điều đó giống như việc thay một cái vào bên trong hàm cả hai với nhau. 18 -00:01:17,660 --> 00:01:20,555 -Vì vậy, thực sự, hầu hết các hàm số bạn gặp đều liên quan đến +00:01:17,660 --> 00:01:21,947 +Vậy thực ra hầu hết các hàm bạn gặp đều liên quan đến việc xếp ba loại kết hợp khác 19 -00:01:20,555 --> 00:01:23,030 -việc xếp ba loại kết hợp khác nhau này lại với nhau, +00:01:21,947 --> 00:01:26,440 +nhau này lại với nhau, dù thực sự không có giới hạn nào về độ kỳ quái có thể trở thành. 20 -00:01:23,030 --> 00:01:26,440 -mặc dù thực sự không có giới hạn nào về mức độ quái dị có thể trở thành. - -21 00:01:27,100 --> 00:01:31,315 Nhưng miễn là bạn biết cách hoạt động của đạo hàm chỉ với ba loại kết hợp đó, +21 +00:01:31,315 --> 00:01:36,179 +bạn sẽ luôn có thể thực hiện từng bước và bóc tách từng lớp để có bất kỳ kiểu biểu đạt kỳ + 22 -00:01:31,315 --> 00:01:36,017 -bạn sẽ luôn có thể thực hiện từng bước và bóc tách từng lớp để có bất kỳ kiểu biểu đạt +00:01:36,179 --> 00:01:36,720 +quái nào. 23 -00:01:36,017 --> 00:01:36,720 -quái dị nào. - -24 00:01:38,720 --> 00:01:43,937 Câu hỏi là, nếu bạn biết đạo hàm của hai hàm số, thì đạo hàm của tổng, -25 +24 00:01:43,937 --> 00:01:48,420 tích của chúng và thành phần hàm số giữa chúng là bao nhiêu? -26 +25 00:01:50,320 --> 00:01:54,260 Quy tắc tính tổng là dễ nhất, nếu nói thành tiếng hơi khó hiểu. -27 +26 00:01:54,840 --> 00:01:58,600 Đạo hàm của tổng hai hàm số là tổng của các đạo hàm của chúng. -28 +27 00:01:59,800 --> 00:02:05,031 Nhưng cũng đáng để khởi động với ví dụ này bằng cách thực sự suy nghĩ xem việc lấy -29 +28 00:02:05,031 --> 00:02:10,199 đạo hàm của tổng hai hàm có ý nghĩa gì, vì các mẫu đạo hàm của tích và hàm hợp sẽ -30 +29 00:02:10,199 --> 00:02:15,620 không đơn giản như vậy, và chúng sẽ yêu cầu loại phép tính này. suy nghĩ sâu sắc hơn. -31 +30 00:02:16,700 --> 00:02:21,200 Ví dụ, hãy nghĩ về hàm f(x) này bằng sin x cộng x bình. -32 +31 00:02:22,200 --> 00:02:25,023 Đó là một hàm trong đó, với mỗi đầu vào, bạn cộng -33 +32 00:02:25,023 --> 00:02:27,960 các giá trị sin của x và x bình phương tại điểm đó. -34 +33 00:02:29,760 --> 00:02:36,001 Ví dụ: giả sử tại x bằng 0.5, chiều cao của đồ thị hình sin được cho bởi thanh -35 +34 00:02:36,001 --> 00:02:42,560 dọc này và chiều cao của parabol bình phương x được cho bởi thanh dọc nhỏ hơn này. -36 +35 00:02:44,380 --> 00:02:47,320 Và tổng của chúng là độ dài bạn có được bằng cách xếp chúng lại với nhau. -37 +36 00:02:48,520 --> 00:02:53,946 Đối với đạo hàm, bạn muốn hỏi điều gì xảy ra khi bạn di chuyển nhẹ đầu vào đó, -38 +37 00:02:53,946 --> 00:02:56,420 có thể tăng nó lên 0.5 cộng với dx. -39 +38 00:02:57,560 --> 00:03:02,920 Sự khác biệt về giá trị của f giữa hai vị trí đó là cái mà chúng ta gọi là df. -40 +39 00:03:04,360 --> 00:03:09,115 Và khi bạn hình dung nó như thế này, tôi nghĩ bạn sẽ đồng ý rằng tổng sự thay đổi -41 +40 00:03:09,115 --> 00:03:12,420 về chiều cao là bất kể sự thay đổi của đồ thị sin là gì, -42 +41 00:03:12,420 --> 00:03:17,234 cái mà chúng ta có thể gọi là d sin của x, cộng với bất kể thay đổi nào của x bình -43 +42 00:03:17,234 --> 00:03:18,800 phương là, dx bình phương. -44 +43 00:03:22,240 --> 00:03:27,540 Bây giờ chúng ta biết rằng đạo hàm của sin là cosin, và hãy nhớ điều đó có nghĩa là gì. -45 +44 00:03:27,920 --> 00:03:33,300 Nó có nghĩa là sự thay đổi nhỏ này, d sin(x), bằng khoảng cos(x nhân dx). +45 +00:03:33,780 --> 00:03:38,531 +Nó tỷ lệ thuận với mức độ tác động dx ban đầu của chúng ta và + 46 -00:03:33,780 --> 00:03:38,603 -Nó tỷ lệ thuận với kích thước của cú dịch chuyển dx ban đầu của chúng ta +00:03:38,531 --> 00:03:43,360 +hằng số tỷ lệ bằng cosin của bất kỳ đầu vào nào mà ta bắt đầu. 47 -00:03:38,603 --> 00:03:43,360 -và hằng số tỷ lệ bằng cosin của bất kỳ đầu vào nào mà chúng ta bắt đầu. - -48 00:03:43,980 --> 00:03:47,877 Tương tự như vậy, vì đạo hàm của x bình phương là 2x, -49 +48 00:03:47,877 --> 00:03:53,940 nên sự thay đổi về chiều cao của đồ thị x bình phương là 2x bất kể dx là bao nhiêu. -50 +49 00:03:55,600 --> 00:04:00,426 Vì vậy, sắp xếp lại df chia cho dx, tỷ lệ của sự thay đổi nhỏ -51 +50 00:04:00,426 --> 00:04:04,630 của hàm tổng này với sự thay đổi nhỏ của x gây ra nó, -52 +51 00:04:04,630 --> 00:04:10,080 thực sự là cosin của x cộng 2x, tổng các đạo hàm của các phần của nó. -53 +52 00:04:11,520 --> 00:04:15,414 Nhưng như tôi đã nói, mọi thứ có một chút khác biệt đối với các tích -54 +53 00:04:15,414 --> 00:04:19,140 và hãy cùng suy nghĩ lại lý do tại sao xét về những tác động nhỏ. -55 +54 00:04:20,060 --> 00:04:21,567 Trong trường hợp này, tôi không nghĩ đồ thị là -56 +55 00:04:21,567 --> 00:04:23,140 lựa chọn tốt nhất để chúng ta hình dung mọi thứ. -57 +56 00:04:23,820 --> 00:04:27,105 Khá phổ biến trong toán học, thực sự ở nhiều cấp độ toán học, -58 +57 00:04:27,105 --> 00:04:31,133 nếu bạn đang xử lý tích của hai thứ, sẽ giúp hiểu rằng nó như một loại vùng -59 +58 00:04:31,133 --> 00:04:32,140 không gian nào đó. -60 +59 00:04:33,080 --> 00:04:36,060 Trong trường hợp này, có thể bạn thử định cấu hình một số thiết lập trong -61 +60 00:04:36,060 --> 00:04:39,000 đầu của một hình hộp trong đó độ dài các cạnh là sin x và x bình phương. -62 +61 00:04:39,880 --> 00:04:41,040 Nhưng điều đó có nghĩa là gì? -63 +62 00:04:42,320 --> 00:04:46,938 Vâng, vì đây là các hàm số, bạn có thể coi các cạnh đó là có thể điều chỉnh được, -64 +63 00:04:46,938 --> 00:04:50,374 phụ thuộc vào giá trị của x, mà có thể bạn coi là con số này -65 +64 00:04:50,374 --> 00:04:52,740 mà bạn có thể tự do điều chỉnh lên xuống. -66 +65 00:04:53,740 --> 00:04:56,940 Vì vậy, để hiểu điều này có nghĩa là gì, hãy tập -67 +66 00:04:56,940 --> 00:05:00,140 trung vào phía trên thay đổi theo hàm sin của x. -68 +67 00:05:01,060 --> 00:05:07,426 Khi bạn thay đổi giá trị này của x lên từ 0, nó sẽ tăng lên đến độ dài 1 khi sin của x -69 +68 00:05:07,426 --> 00:05:13,940 di chuyển lên về phía đỉnh của nó và sau đó nó bắt đầu giảm khi sin của x giảm dần từ 1. -70 +69 00:05:15,100 --> 00:05:18,580 Và theo cách tương tự, chiều cao ở đó luôn thay đổi khi x bình phương. -71 +70 00:05:20,080 --> 00:05:25,800 Vậy f(x), được định nghĩa là tích của hai hàm số này, là diện tích của hình hộp này. -72 +71 00:05:27,060 --> 00:05:30,178 Và đối với đạo hàm, hãy nghĩ xem một sự thay đổi nhỏ -73 +72 00:05:30,178 --> 00:05:33,180 của x x dx ảnh hưởng đến diện tích đó như thế nào. -74 +73 00:05:33,840 --> 00:05:36,280 Sự thay đổi dẫn đến diện tích df là gì? -75 +74 00:05:39,000 --> 00:05:43,744 Sự di chuyển dx đối với chiều rộng đó làm thay đổi một số d sin nhỏ của x, -76 +75 00:05:43,744 --> 00:05:47,920 và nó làm cho chiều cao thay đổi một lượng dx bình phương nào đó. -77 +76 00:05:50,180 --> 00:05:54,174 Điều này mang lại cho chúng ta ba đoạn nhỏ về diện tích mới, -78 +77 00:05:54,174 --> 00:05:58,757 một hình chữ nhật mỏng ở phía dưới có diện tích là chiều rộng, sin x, -79 +78 00:05:58,757 --> 00:06:03,472 nhân chiều cao mỏng của nó, dx bình phương, và hình chữ nhật mỏng ở bên -80 +79 00:06:03,472 --> 00:06:09,300 phải có diện tích là chiều cao, x bình phương, nhân với chiều rộng mỏng của nó, d sin x. -81 +80 00:06:10,740 --> 00:06:14,140 Ngoài ra còn có một chút ở góc, nhưng chúng ta có thể bỏ qua nó. -82 +81 00:06:14,440 --> 00:06:18,349 Diện tích của nó cuối cùng tỷ lệ thuận với dx bình phương, -83 +82 00:06:18,349 --> 00:06:24,180 và như chúng ta đã thấy trước đây, diện tích đó trở nên không đáng kể khi dx tiến về 0. -84 +83 00:06:24,260 --> 00:06:27,700 Toàn bộ cách thiết lập này rất giống với những gì tôi đã trình bày trong video trước, -85 +84 00:06:27,700 --> 00:06:28,700 với sơ đồ x bình phương. -86 +85 00:06:29,460 --> 00:06:34,520 Và cũng giống như vậy, hãy nhớ rằng tôi đang sử dụng những thay đổi mạnh mẽ ở đây để vẽ -87 +86 00:06:34,520 --> 00:06:37,798 mọi thứ sao cho chúng ta có thể thực sự nhìn thấy chúng, -88 +87 00:06:37,798 --> 00:06:40,846 nhưng về nguyên tắc dx là một cái gì đó rất rất nhỏ, -89 +88 00:06:40,846 --> 00:06:44,700 và điều đó có nghĩa là dx bình phương và d sin x cũng rất rất nhỏ. -90 +89 00:06:45,980 --> 00:06:51,998 Vì vậy, áp dụng những gì chúng ta biết về đạo hàm của sin và x bình phương, -91 +90 00:06:51,998 --> 00:06:56,828 sự thay đổi nhỏ dx bình phương đó sẽ bằng khoảng 2x nhân dx, -92 +91 00:06:56,828 --> 00:07:01,580 và sự thay đổi nhỏ d sin của x sẽ bằng cosin của x nhân dx. -93 +92 00:07:02,920 --> 00:07:09,532 Như thường lệ, chúng ta chia cho dx để thấy rằng tỉ số mà chúng ta muốn, df chia cho dx, -94 +93 00:07:09,532 --> 00:07:15,700 là sin của x nhân đạo hàm của x bình phương, cộng với x bình nhân đạo hàm của sin. -95 +94 00:07:17,960 --> 00:07:21,260 Và không có điều gì chúng ta làm ở đây là cụ thể cho sin hoặc x bình phương. -96 +95 00:07:21,580 --> 00:07:25,360 Cách suy luận tương tự này sẽ áp dụng được cho hai hàm bất kỳ, g và h. -97 +96 00:07:27,000 --> 00:07:30,240 Và đôi khi người ta thích nhớ khuôn mẫu này với một cách ghi nhớ -98 +97 00:07:30,240 --> 00:07:33,680 nhất định rằng bạn như đang hát trong đầu, trái d phải, phải d trái. -99 +98 00:07:34,400 --> 00:07:37,853 Trong ví dụ này, khi chúng ta có sin x nhân x bình, -100 +99 00:07:37,853 --> 00:07:42,900 trái d phải có nghĩa là bạn lấy hàm bên trái, sin x, nhân đạo hàm bên phải, -101 +100 00:07:42,900 --> 00:07:44,760 trong trường hợp này là 2x. -102 +101 00:07:45,480 --> 00:07:49,481 Sau đó, bạn cộng vào bên phải d bên trái, hàm bên phải đó, -103 +102 00:07:49,481 --> 00:07:52,940 x bình phương, nhân đạo hàm của bên trái, cosin x. -104 +103 00:07:54,360 --> 00:07:57,341 Ngoài bối cảnh được trình bày như một quy tắc cần ghi nhớ, -105 +104 00:07:57,341 --> 00:08:00,020 tôi nghĩ điều này bạn sẽ cảm thấy khá lạ phải không? -106 +105 00:08:00,740 --> 00:08:03,498 Nhưng khi bạn thực sự nghĩ về chiếc hộp có thể điều chỉnh này, -107 +106 00:08:03,498 --> 00:08:05,820 bạn có thể thấy mỗi số hạng đó đại diện cho điều gì. -108 +107 00:08:06,580 --> 00:08:11,010 Trái d phải là diện tích của hình chữ nhật nhỏ phía dưới, -109 +108 00:08:11,010 --> 00:08:15,440 và phải d trái là diện tích của hình chữ nhật ở cạnh bên. -110 +109 00:08:20,160 --> 00:08:23,396 Nhân tiện, tôi nên đề cập rằng nếu bạn nhân với một hằng số, -111 +110 00:08:23,396 --> 00:08:26,740 chẳng hạn như 2 lần sin x, thì mọi việc sẽ đơn giản hơn nhiều. -112 +111 00:08:27,400 --> 00:08:31,424 Đạo hàm giống như hằng số nhân với đạo hàm của hàm, -113 +112 00:08:31,424 --> 00:08:34,520 trong trường hợp này là 2 nhân cosin x. -114 +113 00:08:35,559 --> 00:08:40,179 Tôi sẽ để bạn tạm dừng, suy ngẫm và xác minh điều đó có ý nghĩa. -115 +114 00:08:41,919 --> 00:08:47,468 Ngoài phép cộng và phép nhân, một cách phổ biến khác để kết hợp các hàm, và tin tôi đi, -116 +115 00:08:47,468 --> 00:08:52,260 cách này luôn xuất hiện, là lồng cái này vào trong hàm kia, tức là hàm hợp. -117 +116 00:08:53,220 --> 00:08:57,780 Ví dụ, có thể chúng ta lấy hàm x bình phương và đẩy nó vào bên trong sin của x, -118 +117 00:08:57,780 --> 00:09:00,460 để có được hàm mới này, sin của x bình phương. -119 +118 00:09:01,400 --> 00:09:04,080 Bạn nghĩ đạo hàm của hàm số mới đó là gì? -120 +119 00:09:05,300 --> 00:09:08,793 Nghĩ kỹ về điều này, tôi sẽ chọn một cách khác để hình dung mọi thứ, -121 +120 00:09:08,793 --> 00:09:12,540 chỉ cần nhấn mạnh rằng trong sáng tạo toán học, ta có rất nhiều lựa chọn. -122 +121 00:09:13,320 --> 00:09:18,473 Tôi sẽ đặt ba dòng số khác nhau, dòng trên cùng sẽ chứa giá trị của x, -123 +122 00:09:18,473 --> 00:09:21,958 dòng thứ hai sẽ chứa giá trị của x bình phương, -124 +123 00:09:21,958 --> 00:09:25,878 và dòng thứ ba sẽ chứa giá trị sin của x bình phương, -125 +124 00:09:25,878 --> 00:09:30,306 tức là hàm số x bình phương sẽ đưa bạn từ dòng 1 đến dòng 2, -126 +125 00:09:30,306 --> 00:09:33,500 và hàm sin sẽ đưa bạn từ dòng 2 đến dòng 3. -127 +126 00:09:34,840 --> 00:09:40,530 Khi tôi dịch chuyển xung quanh giá trị này của x, có thể di chuyển nó lên giá trị 3, -128 +127 00:09:40,530 --> 00:09:44,680 giá trị thứ hai đó vẫn được gắn với bất kỳ x bình phương nào, -129 +128 00:09:44,680 --> 00:09:50,437 trong trường hợp này là di chuyển lên 9, và giá trị đáy đó, là sin của x bình phương, -130 +129 00:09:50,437 --> 00:09:52,580 sẽ đi tới bất kỳ sin nào của 9. -131 +130 00:09:54,900 --> 00:09:57,591 Vì vậy, đối với đạo hàm, hãy bắt đầu lại bằng -132 +131 00:09:57,591 --> 00:10:00,400 cách tác động vào giá trị x đó với một chút dx. -133 +132 00:10:01,540 --> 00:10:05,815 Tôi luôn nghĩ sẽ hữu ích nếu coi x bắt đầu từ một số cụ thể thực tế nào đó, -134 +133 00:10:05,815 --> 00:10:07,840 có thể là 1.5 trong trường hợp này. -135 +134 00:10:08,760 --> 00:10:11,437 Kết quả của tác động nhỏ đến giá trị thứ hai đó, -136 +135 00:10:11,437 --> 00:10:15,700 sự thay đổi trong x bình phương gây ra bởi một dx như vậy, là dx bình phương. -137 +136 00:10:16,960 --> 00:10:20,409 Chúng ta có thể mở rộng giá trị này thành 2x nhân dx, -138 +137 00:10:20,409 --> 00:10:24,370 đối với đầu vào cụ thể của chúng ta sẽ là 2 nhân 1.5 nhân dx, -139 +138 00:10:24,370 --> 00:10:30,120 nhưng nó giúp giữ cho mọi thứ được viết dưới dạng dx bình phương, ít nhất là vào lúc này. -140 +139 00:10:31,020 --> 00:10:35,985 Trên thực tế, tôi sẽ tiến thêm một bước nữa, đặt tên mới cho x bình phương này, -141 +140 00:10:35,985 --> 00:10:41,200 có thể là h, để thay vì viết dx bình phương cho tác động nhỏ này, chúng ta viết dh. -142 +141 00:10:42,620 --> 00:10:47,260 Điều này giúp bạn dễ dàng nghĩ về giá trị thứ ba đó, giá trị hiện được chốt ở sin h. -143 +142 00:10:48,200 --> 00:10:53,680 Sự thay đổi của nó là d sin h, sự thay đổi nhỏ gây ra bởi sự tác động nhỏ dh. -144 +143 00:10:55,000 --> 00:11:00,123 Nhân tiện, việc nó di chuyển sang trái trong khi điểm dh chuyển sang phải -145 +144 00:11:00,123 --> 00:11:05,040 chỉ có nghĩa là sự thay đổi này, d sin h, sẽ là một loại số âm nào đó. -146 +145 00:11:06,140 --> 00:11:09,640 Một lần nữa, chúng ta có thể sử dụng kiến thức về đạo hàm của sin. -147 +146 00:11:10,500 --> 00:11:14,420 Sin d của h này sẽ bằng cosin của h nhân dh. -148 +147 00:11:15,240 --> 00:11:18,640 Đó chính là ý nghĩa của việc đạo hàm của sin là cosin. -149 +148 00:11:19,540 --> 00:11:23,662 Mở ra, chúng ta có thể thay thế h đó bằng x bình một lần nữa, -150 +149 00:11:23,662 --> 00:11:28,849 vì vậy chúng ta biết rằng lực đẩy phía dưới sẽ có kích thước cosine là x bình -151 +150 00:11:28,849 --> 00:11:29,780 nhân dx bình. -152 +151 00:11:31,040 --> 00:11:32,480 Thực tế, ta mở rộng hơn với nhiều thứ nữa. -153 +152 00:11:32,840 --> 00:11:38,100 Tác động trung gian dx bình phương đó sẽ bằng khoảng 2x nhân dx. -154 +153 00:11:39,060 --> 00:11:41,253 Luôn luôn là một thói quen tốt để nhắc nhở bản -155 +154 00:11:41,253 --> 00:11:43,680 thân ý nghĩa thực sự của cách diễn đạt như thế này. -156 +155 00:11:44,340 --> 00:11:49,066 Trong trường hợp này, nơi chúng ta bắt đầu ở x bằng 1.5 ở trên cùng, -157 +156 00:11:49,066 --> 00:11:55,026 toàn bộ biểu thức này cho chúng ta biết rằng kích thước của tác động nhỏ trên dòng thứ -158 +157 00:11:55,026 --> 00:11:58,863 ba đó sẽ vào khoảng cosin bằng 1.5 bình phương 2 lần 1. -159 +158 00:11:58,863 --> 00:12:02,220 Gấp 5 lần bất kể kích thước của dx là bao nhiêu. -160 +159 00:12:02,720 --> 00:12:07,920 Nó tỷ lệ thuận với kích thước của dx, và đạo hàm này cho chúng ta hằng số tỷ lệ đó. -161 +160 00:12:10,920 --> 00:12:12,560 -Hãy chú ý những gì chúng tôi đã đưa ra ở đây. +Hãy chú ý những gì chúng ta đã đưa ra ở đây. -162 +161 00:12:12,960 --> 00:12:19,561 Chúng ta có đạo hàm của hàm bên ngoài, và nó vẫn lấy hàm bên trong không thay đổi, -163 +162 00:12:19,561 --> 00:12:23,220 rồi nhân nó với đạo hàm của hàm bên trong đó. -164 +163 00:12:25,820 --> 00:12:29,220 Không có gì đặc biệt về sin của x hoặc x bình phương. -165 +164 00:12:29,740 --> 00:12:34,408 Nếu bạn có bất kỳ hai hàm số nào, g của x và h của x, -166 +165 00:12:34,408 --> 00:12:41,584 thì đạo hàm của thành phần của chúng, g của h của x, là đạo hàm của g tính theo h, -167 +166 00:12:41,584 --> 00:12:43,660 nhân với đạo hàm của h. -168 +167 00:12:47,140 --> 00:12:50,900 Mô hình này là những gì chúng ta thường gọi là quy tắc dây chuyền. -169 +168 00:12:52,040 --> 00:12:57,680 Đối với đạo hàm của g, tôi viết nó là dg dh thay vì dg dx. -170 +169 00:12:58,680 --> 00:13:02,443 Ở mức độ tượng trưng, đây là lời nhắc nhở rằng thứ -171 +170 00:13:02,443 --> 00:13:06,060 bạn thay vào đạo hàm vẫn sẽ là hàm trung gian h. -172 +171 00:13:07,020 --> 00:13:09,713 Nhưng hơn thế nữa, nó là sự phản ánh quan trọng -173 +172 00:13:09,713 --> 00:13:12,520 về ý nghĩa thực sự của đạo hàm này của hàm ngoài. -174 +173 00:13:13,200 --> 00:13:16,240 Hãy nhớ rằng, trong thiết lập ba dòng của chúng ta, -175 +174 00:13:16,240 --> 00:13:19,105 khi chúng ta lấy đạo hàm của sin ở dưới cùng đó, -176 +175 00:13:19,105 --> 00:13:23,900 chúng ta đã mở rộng mức độ của tác động nhỏ đó, d sin, thành cosin của h nhân dh. -177 +176 00:13:24,940 --> 00:13:27,365 Điều này là do ta không biết ngay được mức độ của -178 +177 00:13:27,365 --> 00:13:29,840 tác động dưới cùng đó phụ thuộc vào x như thế nào. -179 +178 00:13:30,420 --> 00:13:37,360 Nhưng chúng ta có thể lấy đạo hàm theo biến trung gian h. -180 +179 00:13:38,100 --> 00:13:43,523 Nghĩa là, tìm ra cách biểu diễn mức độ tác động đó trên dòng thứ ba bằng bội số của dh, -181 +180 00:13:43,523 --> 00:13:45,680 mức độ tác động trên dòng thứ hai. -182 +181 00:13:46,580 --> 00:13:50,700 Chỉ sau đó chúng ta mới khám phá thêm bằng cách tìm ra dh là gì. -183 +182 00:13:53,320 --> 00:13:57,024 Trong biểu thức quy tắc dây chuyền này, chúng ta đang xem xét tỷ lệ -184 +183 00:13:57,024 --> 00:13:59,748 giữa một thay đổi nhỏ trong g, kết quả cuối cùng, -185 +184 00:13:59,748 --> 00:14:04,380 với một thay đổi nhỏ trong h gây ra sự thay đổi đó, h là giá trị chúng ta thế vào g. -186 +185 00:14:05,320 --> 00:14:08,289 Sau đó nhân số đó với sự thay đổi nhỏ của h, chia -187 +186 00:14:08,289 --> 00:14:11,200 cho sự thay đổi nhỏ của x gây ra sự thay đổi đó. -188 +187 00:14:12,300 --> 00:14:15,663 Lưu ý, những dh đó bị loại bỏ và cho chúng ta một tỷ lệ giữa -189 +188 00:14:15,663 --> 00:14:18,916 sự thay đổi ở đầu ra cuối cùng đó và sự thay đổi ở đầu vào -190 +189 00:14:18,916 --> 00:14:22,280 mà nó xảy ra thông qua một dây chuyền các sự kiện nhất định. -191 +190 00:14:23,860 --> 00:14:26,987 Sự triệt tiêu của dh không chỉ là một thủ thuật ký hiệu, -192 +191 00:14:26,987 --> 00:14:30,388 nó còn phản ánh chân thực những gì đang diễn ra với những tác -193 +192 00:14:30,388 --> 00:14:33,900 động nhỏ làm nền tảng cho mọi thứ chúng ta làm với các đạo hàm. -194 +193 00:14:36,300 --> 00:14:39,636 Đó là ba công cụ cơ bản cần có trong tay để xử lý -195 +194 00:14:39,636 --> 00:14:43,240 đạo hàm của các hàm là kết hợp của nhiều thứ nhỏ hơn. -196 +195 00:14:43,840 --> 00:14:47,380 Bạn có quy tắc tổng, quy tắc tích và quy tắc dây chuyền. -197 +196 00:14:48,400 --> 00:14:51,806 Và thú thật với bạn, có một sự khác biệt lớn trong cách hiểu -198 +197 00:14:51,806 --> 00:14:55,325 giữa quy tắc dây chuyền và quy tắc tích, và sự thông thạo thực -199 +198 00:14:55,325 --> 00:14:58,620 sự khi áp dụng chúng trong những tình huống khó khăn nhất. -200 +199 00:14:59,480 --> 00:15:03,214 Việc xem video, bất kỳ video nào về cơ chế của các phép giải tích -201 +200 00:15:03,214 --> 00:15:06,892 sẽ không bao giờ thay thế được việc tự mình thực hành các cơ chế -202 +201 00:15:06,892 --> 00:15:10,400 đó và xây dựng cơ bắp để tự mình thực hiện các phép tính này. -203 +202 00:15:11,240 --> 00:15:14,679 Tôi thực sự mong muốn có thể đề nghị làm điều đó cho bạn, nhưng tôi e rằng, -204 +203 00:15:14,679 --> 00:15:17,440 bạn của tôi, quả bóng đang ở phía bạn để tìm cách thực hành. -205 +204 00:15:18,040 --> 00:15:21,260 Những gì tôi có thể đưa ra, và những gì tôi hy vọng mình đã đưa ra, -206 +205 00:15:21,260 --> 00:15:23,960 là để cho bạn thấy những quy tắc này thực sự đến từ đâu. -207 +206 00:15:24,140 --> 00:15:27,261 Để cho thấy rằng chúng không chỉ là thứ cần ghi nhớ và rèn giũa, -208 +207 00:15:27,261 --> 00:15:30,670 mà chúng còn là những khuôn mẫu tự nhiên, những thứ mà bạn cũng có thể -209 +208 00:15:30,670 --> 00:15:34,560 khám phá ra chỉ bằng cách kiên nhẫn suy nghĩ xem đạo hàm thực sự có nghĩa là gì. diff --git a/2017/derivatives/italian/auto_generated.srt b/2017/derivatives/italian/auto_generated.srt index 58c138437..9844a544c 100644 --- a/2017/derivatives/italian/auto_generated.srt +++ b/2017/derivatives/italian/auto_generated.srt @@ -35,632 +35,632 @@ Il cambiamento è qualcosa che avviene tra punti distinti nel tempo e quando riduci tutto a un singolo istante, non c'è spazio per il cambiamento. 10 -00:00:49,500 --> 00:00:53,005 -Capirai meglio cosa intendo quando ci addentreremo nell'argomento, +00:00:49,500 --> 00:00:52,064 +Capirai meglio quando entreremo nel dettaglio, 11 -00:00:53,005 --> 00:00:57,347 -ma renderti conto che un tasso di cambiamento istantaneo è in realtà un'assurdità, +00:00:52,064 --> 00:00:54,847 +ma quando comprendi che questa frase non ha senso, 12 -00:00:57,347 --> 00:01:01,376 -ti farà apprezzare quanto siano stati abili i padri dell'analisi a catturare +00:00:54,847 --> 00:00:59,158 +penso che tu possa apprezzare quanto fossero intelligenti i padri dell'analisi 13 -00:01:01,376 --> 00:01:05,980 -l'idea che c'è dietro, ma con un concetto matematico perfettamente sensato: la derivata. +00:00:59,158 --> 00:01:02,050 +nel catturare l'idea che quella frase vuole evocare, 14 +00:01:02,050 --> 00:01:05,980 +ma con un pezzo di matematica perfettamente sensato, ovvero la derivata. + +15 00:01:07,540 --> 00:01:12,349 Come esempio principale, voglio che tu immagini un'auto che parte da un punto A, -15 +16 00:01:12,349 --> 00:01:17,040 accelera e poi rallenta fino a fermarsi in un punto B a 100 metri di distanza, -16 +17 00:01:17,040 --> 00:01:19,000 il tutto nell'arco di 10 secondi. -17 +18 00:01:20,520 --> 00:01:23,900 -Questa è la configurazione da tenere a mente mentre definiamo la derivata. +Questa è la situazione da tenere a mente mentre definiamo la derivata. -18 +19 00:01:23,900 --> 00:01:27,194 Potremmo tracciare un grafico di questo movimento, -19 +20 00:01:27,194 --> 00:01:33,008 rappresentando la distanza percorsa sull'asse verticale e il tempo sull'asse orizzontale, -20 +21 00:01:33,008 --> 00:01:38,369 in modo che ad ogni tempo t, rappresentato con un punto da qualche parte sull'asse -21 +22 00:01:38,369 --> 00:01:43,925 orizzontale, l'altezza del grafico ci dica quanta strada ha percorso l'auto in totale -22 +23 00:01:43,925 --> 00:01:45,540 dopo quel lasso di tempo. -23 +24 00:01:46,760 --> 00:01:50,160 È piuttosto comune chiamare una funzione di distanza come questa s di t. -24 -00:01:50,160 --> 00:01:52,784 -Io userei la lettera d per la distanza, ma lei ha già - 25 -00:01:52,784 --> 00:01:55,360 -un altro lavoro a tempo pieno nel campo dell'analisi. +00:01:50,160 --> 00:01:52,710 +Userei la lettera d per la distanza, ma lei ha già 26 +00:01:52,710 --> 00:01:55,360 +un altro lavoro a tempo pieno nel campo dell'analisi. + +27 00:01:56,500 --> 00:01:59,760 Inizialmente, la curva è piuttosto bassa, poiché l'auto è lenta a partire. -27 +28 00:02:00,280 --> 00:02:04,340 -Durante il primo secondo, la distanza che percorre non cambia di molto. +Durante il primo secondo, la distanza che percorre non cambia molto. -28 +29 00:02:04,980 --> 00:02:07,856 Poi, nei secondi successivi, man mano che l'auto accelera, -29 +30 00:02:07,856 --> 00:02:10,245 la distanza percorsa in un dato secondo aumenta, -30 +31 00:02:10,245 --> 00:02:13,220 il che corrisponde a una pendenza maggiore in questo grafico. -31 +32 00:02:13,800 --> 00:02:17,520 E poi, verso la fine, quando rallenta, la curva si riduce di nuovo. -32 +33 00:02:20,760 --> 00:02:25,053 Se dovessimo tracciare la velocità dell'auto in metri al secondo in funzione del tempo, -33 +34 00:02:25,053 --> 00:02:27,200 potrebbe apparire come questo rigonfiamento. -34 +35 00:02:27,860 --> 00:02:30,000 Nei primi momenti, la velocità è molto ridotta. -35 +36 00:02:30,460 --> 00:02:33,815 Fino alla metà del viaggio, l'auto raggiunge una velocità massima, -36 +37 00:02:33,815 --> 00:02:36,620 coprendo una distanza relativamente grande ogni secondo. -37 +38 00:02:37,660 --> 00:02:39,920 Poi rallenta di nuovo verso una velocità che tende a zero. -38 +39 00:02:41,380 --> 00:02:44,180 E queste due curve sono sicuramente correlate tra loro, no? -39 +40 00:02:44,840 --> 00:02:47,160 Se si modifica la distanza specifica rispetto alla -40 +41 00:02:47,260 --> 00:02:50,300 funzione tempo, si avranno delle differenze tra la velocità e la -41 +42 00:02:50,420 --> 00:02:51,080 funzione tempo. -42 +43 00:02:51,760 --> 00:02:55,040 Quello che vogliamo capire sono i dettagli di quella relazione. -43 +44 00:02:55,680 --> 00:02:59,100 Esattamente come fa la velocità a dipendere da una distanza rispetto alla -44 +45 00:02:59,400 --> 00:02:59,820 funzione del tempo? -45 +46 00:03:01,940 --> 00:03:04,740 A tal fine, vale la pena soffermarsi a riflettere in -46 +47 00:03:04,740 --> 00:03:07,540 modo critico su cosa significhi esattamente velocità. -47 +48 00:03:08,380 --> 00:03:12,401 Intuitivamente, tutti sappiamo cosa significa la velocità in un dato momento, -48 +49 00:03:12,401 --> 00:03:14,980 è quello che mostra il tachimetro in quel momento. -49 +50 00:03:17,180 --> 00:03:21,459 Intuitivamente, ha senso che la velocità dell'auto sia più elevata quando la funzione -50 +51 00:03:21,459 --> 00:03:25,640 della distanza è più ripida, quando l'auto percorre più distanza per unità di tempo. -51 +52 00:03:26,700 --> 00:03:30,720 Ma la cosa divertente è che la velocità in un singolo momento non ha senso. -52 +53 00:03:31,360 --> 00:03:34,612 Se ti mostro la foto di un'auto, solo un'istantanea, -53 +54 00:03:34,612 --> 00:03:38,540 e ti chiedo a che velocità sta andando, non hai modo di dirmelo. -54 +55 00:03:39,620 --> 00:03:42,380 Avresti bisogno di due punti distinti nel tempo da confrontare. -55 +56 00:03:43,180 --> 00:03:47,116 In questo modo potrai calcolare la variazione della distanza tra questi tempi, -56 +57 00:03:47,116 --> 00:03:48,860 divisa per la variazione del tempo. -57 +58 00:03:49,560 --> 00:03:49,740 Giusto? -58 +59 00:03:49,820 --> 00:03:54,160 Cioè, è così che si definisce la velocità, è la distanza percorsa per unità di tempo. -59 +60 00:03:55,620 --> 00:03:58,930 Allora, come mai guardiamo una funzione per la velocità -60 +61 00:03:58,930 --> 00:04:02,360 che considera solo un valore di t, uno snapshot temporale? -61 +62 00:04:02,900 --> 00:04:04,280 È strano, vero? -62 +63 00:04:04,280 --> 00:04:07,456 Vogliamo associare i singoli punti nel tempo a una velocità, -63 +64 00:04:07,456 --> 00:04:11,310 ma in realtà per calcolare la velocità è necessario confrontare due punti -64 +65 00:04:11,310 --> 00:04:12,300 distinti nel tempo. -65 +66 00:04:14,640 --> 00:04:17,399 Se ti sembra strano e paradossale, ottimo! -66 -00:04:17,920 --> 00:04:20,959 -Sei alle prese con gli stessi conflitti dei padri del calcolo. - 67 -00:04:21,380 --> 00:04:26,071 -Per una comprensione approfondita dei tassi di cambio, non solo per un'auto in movimento, +00:04:17,920 --> 00:04:20,959 +Sei alle prese con gli stessi conflitti dei padri dell'analisi. 68 -00:04:26,071 --> 00:04:29,720 -ma per tutte le cose nella scienza, dovrai risolvere questo paradosso. +00:04:21,380 --> 00:04:26,048 +Per una capire bene cosa sono i tassi di cambiamento, non solo per un'auto in movimento, 69 +00:04:26,048 --> 00:04:29,720 +ma per tutte le cose nella scienza, dovrai risolvere questo paradosso. + +70 00:04:32,200 --> 00:04:34,921 Prima di tutto, penso sia meglio parlare del mondo reale, -70 +71 00:04:34,921 --> 00:04:36,940 e poi passeremo a uno puramente matematico. -71 +72 00:04:37,540 --> 00:04:40,460 Pensiamo a cosa probabilmente sta facendo il tachimetro dell'auto. -72 +73 00:04:41,200 --> 00:04:44,177 A un certo punto, ad esempio dopo 3 secondi di viaggio, -73 +74 00:04:44,177 --> 00:04:47,846 il tachimetro potrebbe misurare la distanza percorsa dall'auto in un -74 +75 00:04:47,846 --> 00:04:52,420 lasso di tempo molto ridotto, forse la distanza percorsa tra 3 secondi e 3,01 secondi. -75 +76 00:04:53,360 --> 00:04:57,427 Quindi potrebbe calcolare la velocità in metri al secondo come quella piccola -76 +77 00:04:57,427 --> 00:05:01,860 distanza percorsa in metri divisa per quel piccolo intervallo di tempo, 0,01 secondi. -77 +78 00:05:02,900 --> 00:05:05,350 Un'auto fisica elude il paradosso e non calcola -78 +79 00:05:05,350 --> 00:05:08,260 effettivamente la velocità in un singolo punto nel tempo. -79 +80 00:05:08,780 --> 00:05:11,680 Calcola la velocità in un lasso di tempo molto ridotto. -80 +81 00:05:13,180 --> 00:05:18,071 Chiamiamo questa differenza di tempo dt, che potrebbe essere considerata -81 +82 00:05:18,071 --> 00:05:22,360 come 0,01 secondi, e chiamiamo questa differenza di distanza ds. -82 +83 00:05:22,960 --> 00:05:26,211 Quindi la velocità in un certo momento è ds divisa per dt, -83 +84 00:05:26,211 --> 00:05:30,400 la piccola variazione di distanza rispetto alla piccola variazione di tempo. -84 +85 00:05:31,580 --> 00:05:35,340 Graficamente, puoi immaginare di zoomare su un punto di questo grafico distanza -85 +86 00:05:35,500 --> 00:05:37,680 tempo in corrispondenza di t = 3. -86 -00:05:38,560 --> 00:05:43,393 -Che dt è un piccolo passo verso destra, dato che il tempo è sull'asse orizzontale, - 87 -00:05:43,393 --> 00:05:47,004 -e che ds è la variazione risultante dell'altezza del grafico, +00:05:38,560 --> 00:05:43,404 +Quel dt è un piccolo passo verso destra, dato che il tempo è sull'asse orizzontale, 88 -00:05:47,004 --> 00:05:50,440 -dato che l'asse verticale rappresenta la distanza percorsa. +00:05:43,404 --> 00:05:47,037 +e quel ds è la variazione risultante dell'altezza del grafico, 89 -00:05:51,220 --> 00:05:55,277 -Quindi ds diviso per dt è qualcosa che si può considerare come la +00:05:47,037 --> 00:05:50,440 +dato che l'asse verticale rappresenta la distanza percorsa. 90 -00:05:55,277 --> 00:05:59,520 -pendenza di "salita su corsa" tra due punti molto vicini del grafico. +00:05:51,220 --> 00:05:56,109 +Quindi ds diviso per dt è qualcosa che si può considerare come la pendenza, 91 +00:05:56,109 --> 00:05:59,520 +il dislivello tra due punti molto vicini del grafico. + +92 00:06:00,700 --> 00:06:03,440 Naturalmente, non c'è nulla di speciale nel valore t uguale a 3. -92 +93 00:06:03,940 --> 00:06:06,960 Potremmo applicarla a qualsiasi altro punto nel tempo, -93 +94 00:06:06,960 --> 00:06:10,915 quindi consideriamo questa espressione ds su dt come una funzione di t, -94 +95 00:06:10,915 --> 00:06:14,650 qualcosa per cui io posso darti un tempo t e tu puoi restituirmi il -95 +96 00:06:14,650 --> 00:06:18,880 valore di questo rapporto in quel momento, la velocità in funzione del tempo. -96 +97 00:06:19,600 --> 00:06:22,587 Quando ho fatto disegnare al computer questa curva a rialzo, -97 +98 00:06:22,587 --> 00:06:26,652 che rappresenta la funzione della velocità, ecco cosa ho fatto fare effettivamente -98 +99 00:06:26,652 --> 00:06:27,240 al computer: -99 +100 00:06:27,940 --> 00:06:32,620 Per prima cosa, ho scelto un valore piccolo per dt, credo che in questo caso fosse 0.01. -100 +101 00:06:33,440 --> 00:06:37,350 Poi ho fatto in modo che il computer guardasse un mucchio di tempi t compresi -101 +102 00:06:37,350 --> 00:06:41,411 tra 0 e 10 e calcolasse la funzione di distanza s in corrispondenza di t più dt, -102 +103 00:06:41,411 --> 00:06:44,820 per poi sottrarre il valore di tale funzione in corrispondenza di t. -103 +104 00:06:45,420 --> 00:06:50,731 In altre parole, è la differenza della distanza percorsa tra il momento dato, -104 +105 00:06:50,731 --> 00:06:53,660 t, e il momento successivo di 0,01 secondi. -105 +106 00:06:54,520 --> 00:06:58,269 Poi puoi dividere la differenza per la variazione del tempo, dt, -106 +107 00:06:58,269 --> 00:07:02,480 e questo ti darà la velocità in metri al secondo in ogni punto del tempo. -107 +108 00:07:04,420 --> 00:07:08,644 Con una formula del genere, potresti dare al computer qualsiasi curva di qualsiasi -108 +109 00:07:08,644 --> 00:07:12,920 funzione di distanza s di t, e potrebbe capire la curva che rappresenta la velocità. -109 -00:07:13,540 --> 00:07:16,095 -Ora sarebbe un buon momento per fare una pausa, - 110 -00:07:16,095 --> 00:07:20,035 -riflettere e assicurarsi che questa idea di collegare distanza e velocità +00:07:13,540 --> 00:07:16,073 +Ora sarebbe un buon momento per fare una pausa, 111 -00:07:20,035 --> 00:07:24,135 -osservando piccoli cambiamenti abbia senso, perché affronteremo direttamente +00:07:16,073 --> 00:07:19,978 +riflettere e assicurarsi che questa idea di collegare distanza e velocità 112 -00:07:24,135 --> 00:07:25,520 -il paradosso del derivato. +00:07:19,978 --> 00:07:24,042 +osservando piccoli cambiamenti abbia senso, perché affronteremo direttamente 113 -00:07:27,480 --> 00:07:32,740 -L'idea di ds su dt, una piccola variazione del valore della funzione s divisa per +00:07:24,042 --> 00:07:25,520 +il paradosso della derivata. 114 -00:07:32,740 --> 00:07:38,000 -la piccola variazione dell'input che l'ha causata, è quasi ciò che è una derivata. +00:07:27,480 --> 00:07:32,771 +L'idea di ds su dt, una piccola variazione del valore della funzione s divisa per la 115 +00:07:32,771 --> 00:07:38,000 +piccola variazione dell'input che l'ha causata, è più o meno ciò che è una derivata. + +116 00:07:38,700 --> 00:07:42,853 E anche se il tachimetro di un'auto guarderà effettivamente a un cambiamento -116 +117 00:07:42,853 --> 00:07:47,275 concreto nel tempo, come 0,01 secondi, e anche se il programma di disegno qui sta -117 +118 00:07:47,275 --> 00:07:50,350 guardando a un effettivo cambiamento concreto nel tempo, -118 +119 00:07:50,350 --> 00:07:54,665 -nella matematica pura il derivato non è questo rapporto ds su dt per una scelta +nella matematica pura la derivata non è questo rapporto ds su dt per una scelta -119 +120 00:07:54,665 --> 00:07:58,926 specifica di dt. Invece, è ciò a cui quel rapporto si avvicina man mano che la -120 +121 00:07:58,926 --> 00:08:00,760 tua scelta per dt si avvicina a 0. -121 +122 00:08:02,540 --> 00:08:05,919 Fortunatamente, c'è una comprensione visuale molto chiara di cosa -122 +123 00:08:05,919 --> 00:08:09,299 significhi chiedersi a cosa si avvicina questo rapporto. Ricorda, -123 +124 00:08:09,299 --> 00:08:12,781 per qualsiasi scelta specifica di dt, questo rapporto ds su dt è la -124 +125 00:08:12,781 --> 00:08:16,980 pendenza di una retta che passa attraverso due punti separati sul grafico, giusto? -125 +126 00:08:17,740 --> 00:08:22,926 Bene, man mano che dt si avvicina a 0, e mentre quei due punti si avvicinano tra loro, -126 +127 00:08:22,926 --> 00:08:27,218 la pendenza della retta si avvicina alla pendenza di una retta tangente -127 +128 00:08:27,218 --> 00:08:30,140 al grafico in qualsiasi punto t stiamo guardando. -128 -00:08:30,580 --> 00:08:33,671 -Quindi, la vera e propria derivata matematica, onesto e puro, - 129 -00:08:33,671 --> 00:08:37,061 -non è la pendenza "rise over run" tra due punti vicini sul grafico, +00:08:30,580 --> 00:08:35,819 +Quindi, la vera e propria derivata matematica non è la pendenza tra due punti vicini sul 130 -00:08:37,061 --> 00:08:41,000 -ma è uguale alla pendenza di una retta tangente al grafico in un singolo punto. +00:08:35,819 --> 00:08:41,000 +grafico, ma è uguale alla pendenza di una retta tangente al grafico in un singolo punto. 131 -00:08:42,360 --> 00:08:45,937 -Ora nota cosa non sto dicendo: non sto dicendo che la derivata è qualsiasi +00:08:42,360 --> 00:08:45,965 +Fai attenzione: non sto dicendo che la derivata è qualunque cosa accada 132 -00:08:45,937 --> 00:08:49,420 -cosa accada quando dt è infinitamente piccolo, qualunque cosa significhi. +00:08:45,965 --> 00:08:49,420 +quando dt è infinitamente piccolo, qualunque cosa questo voglia dire. 133 00:08:50,000 --> 00:08:52,340 -Non sto nemmeno dicendo di inserire 0 per dt. +Non sto nemmeno dicendo di sostituire 0 con dt. 134 00:08:53,040 --> 00:08:58,900 -Questo dt è sempre un valore finitamente piccolo e non nullo, solo che si avvicina a 0. +Questo dt è sempre un valore finitamente piccolo e non nullo, è solo che si avvicina a 0. 135 00:09:03,620 --> 00:09:04,960 Penso che sia davvero intelligente. 136 -00:09:05,380 --> 00:09:08,254 +00:09:05,380 --> 00:09:08,422 Anche se il cambiamento in un istante non ha senso, 137 -00:09:08,254 --> 00:09:11,792 -l'idea di lasciare che dt si avvicini a 0 è un modo subdolo per +00:09:08,422 --> 00:09:12,225 +questa idea di far avvicinare dt a 0 è un modo furbo per parlare 138 -00:09:11,792 --> 00:09:16,380 -parlare in modo ragionevole del tasso di cambiamento in un singolo punto nel tempo. +00:09:12,225 --> 00:09:16,380 +ragionevolmente del tasso di cambiamento in un singolo punto nel tempo. 139 00:09:17,020 --> 00:09:17,520 Non è fantastico? 140 -00:09:18,060 --> 00:09:20,430 -Si tratta di una sorta di flirt con il paradosso del +00:09:18,060 --> 00:09:20,520 +È come flirtare con il paradosso del cambiamento in 141 -00:09:20,430 --> 00:09:22,980 -cambiamento in un istante senza doverlo toccare con mano. +00:09:20,520 --> 00:09:22,980 +un istante senza mai doverlo effettivamente toccare. 142 -00:09:23,300 --> 00:09:25,533 -Inoltre, è dotato di una bella intuizione visiva, +00:09:23,300 --> 00:09:26,143 +Ed ha anche un'intuizione visiva piacevole, come la pendenza 143 -00:09:25,533 --> 00:09:28,660 -come la pendenza di una linea tangente a un singolo punto del grafico. +00:09:26,143 --> 00:09:28,660 +di una retta tangente in un singolo punto sul grafico. 144 -00:09:30,160 --> 00:09:33,136 -E poiché il cambiamento in un istante non ha ancora senso, +00:09:30,160 --> 00:09:33,678 +Proprio perché il cambiamento in un istante ancora non ha senso, 145 -00:09:33,136 --> 00:09:37,373 -credo sia più salutare pensare a questa pendenza non come a un tasso di cambiamento +00:09:33,678 --> 00:09:38,064 +penso che sia meglio pensare a questa pendenza non come a un tasso di variazione 146 -00:09:37,373 --> 00:09:41,761 -istantaneo, ma come alla migliore approssimazione costante per un tasso di cambiamento +00:09:38,064 --> 00:09:42,720 +istantaneo, ma piuttosto come la migliore approssimazione costante intorno a un punto. 147 -00:09:41,761 --> 00:09:42,720 -intorno a un punto. - -148 00:09:44,340 --> 00:09:46,940 A proposito, vale la pena di spendere due parole sulla notazione. +148 +00:09:47,340 --> 00:09:51,783 +Durante questo video ho usato dt per indicare una piccola variazione in t con una + 149 -00:09:47,340 --> 00:09:51,858 -In tutto il video ho usato dt per riferirmi a una piccola variazione di t con +00:09:51,783 --> 00:09:55,631 +dimensione effettiva, e ds per indicare la variazione risultante in s, 150 -00:09:51,858 --> 00:09:56,087 -una dimensione reale e ds per riferirmi alla variazione risultante di s, +00:09:55,631 --> 00:10:00,129 +che ha anch'esso una dimensione effettiva, questo perché voglio che tu lo pensi in 151 -00:09:56,087 --> 00:10:00,780 -che ha ancora una dimensione reale, perché è così che voglio che tu li consideri. +00:10:00,129 --> 00:10:00,780 +questo modo. 152 -00:10:01,660 --> 00:10:06,182 -Ma la convenzione del calcolo prevede che ogni volta che si usa la lettera d in +00:10:01,660 --> 00:10:06,009 +La convenzione in analisi è che ogni volta che si utilizza la lettera d in questo modo, 153 -00:10:06,182 --> 00:10:11,100 -questo modo, si annuncia l'intenzione di vedere cosa succede quando dt si avvicina a 0. +00:10:06,009 --> 00:10:09,123 +si sta in qualche modo annunciando l'intenzione di vedere cosa 154 +00:10:09,123 --> 00:10:11,100 +succede man mano che dt si avvicina a 0. + +155 00:10:11,920 --> 00:10:16,099 Ad esempio, la derivata puramente matematica si scrive come ds diviso dt, -155 +156 00:10:16,099 --> 00:10:19,431 anche se tecnicamente non si tratta di una frazione in sé, -156 +157 00:10:19,431 --> 00:10:23,780 ma di qualsiasi cosa si avvicini a tale frazione per piccole variazioni in t. -157 +158 00:10:25,780 --> 00:10:27,680 Credo che un esempio specifico possa essere d'aiuto. -158 -00:10:28,260 --> 00:10:32,772 -Si potrebbe pensare che chiedere a quale rapporto si avvicina per valori sempre più - 159 -00:10:32,772 --> 00:10:37,500 -piccoli renda il calcolo molto più difficile, ma stranamente rende le cose più semplici. +00:10:28,260 --> 00:10:32,798 +Si potrebbe pensare che chiedere a quale rapporto si avvicina per valori sempre più 160 +00:10:32,798 --> 00:10:37,500 +piccoli renda l'analisi molto più difficile, ma stranamente rende le cose più semplici. + +161 00:10:38,200 --> 00:10:40,910 Supponiamo di avere una data funzione distanza-tempo -161 +162 00:10:40,910 --> 00:10:43,160 che si dà il caso sia esattamente t al cubo. -162 +163 00:10:43,160 --> 00:10:47,807 Quindi dopo 1 secondo l'auto ha percorso 1 cubo, pari a 1 metro, -163 +164 00:10:47,807 --> 00:10:52,240 dopo 2 secondi ha percorso 2 cubi, pari a 8 metri, e così via. -164 -00:10:53,020 --> 00:10:55,821 -Ora, quello che sto per fare potrebbe sembrare un po' complicato, - 165 -00:10:55,821 --> 00:10:58,623 -ma una volta che la polvere si è depositata è davvero semplice e, +00:10:53,020 --> 00:10:57,012 +Ora, ciò che sto per fare potrebbe sembrare complicato, ma una volta capito, 166 -00:10:58,623 --> 00:11:01,680 -soprattutto, è il tipo di cosa che devi fare solo una volta nel calcolo. +00:10:57,012 --> 00:11:01,680 +è davvero più semplice e, soprattutto, è una cosa che devi fare solo una volta in analisi. 167 00:11:03,100 --> 00:11:05,830 @@ -671,12 +671,12 @@ Supponiamo che tu voglia calcolare la velocità, ds divisa per dt, in un momento specifico, come t uguale a 2. 169 -00:11:09,940 --> 00:11:13,344 +00:11:09,940 --> 00:11:13,119 Per il momento pensiamo che dt abbia una dimensione reale, 170 -00:11:13,344 --> 00:11:16,460 -una spinta concreta, la lasceremo andare a 0 tra poco. +00:11:13,119 --> 00:11:16,460 +qualche variazione concreta, la lasceremo andare a 0 tra poco. 171 00:11:17,140 --> 00:11:22,540 @@ -700,313 +700,305 @@ E questo è qualcosa che possiamo risolvere algebricamente. 176 00:11:38,100 --> 00:11:42,320 -Ancora una volta, abbi pazienza, c'è un motivo per cui ti sto mostrando i dettagli qui. +Ancora una volta, abbi pazienza, c'è un motivo per cui ti sto mostrando i dettagli. 177 -00:11:42,800 --> 00:11:49,986 -Quando espandi la parte superiore, ottieni 2 al cubo più 3 volte 2 al quadrato di +00:11:42,800 --> 00:11:49,895 +Quando espandi la parte superiore, ottieni 2 al cubo più 3 volte 2 al quadrato 178 -00:11:49,986 --> 00:11:57,260 -dt più 3 volte 2 al quadrato di dt più dt al cubo, e tutto questo è meno 2 al cubo. +00:11:49,895 --> 00:11:57,260 +di dt più 3 volte 2 al quadrato di dt più dt al cubo, tutto questo meno 2 al cubo. 179 -00:11:58,380 --> 00:12:01,777 -Ora ci sono molti termini e voglio che tu ricordi che sembra una confusione, +00:11:58,380 --> 00:12:02,880 +Ci sono molti termini e voglio che tu ricordi che sembra una confusione, ma si semplifica. 180 -00:12:01,777 --> 00:12:02,880 -ma è una semplificazione. - -181 00:12:03,780 --> 00:12:05,900 I due termini al cubo si annullano. +181 +00:12:06,520 --> 00:12:11,433 +Tutto ciò che rimane qui è ha un dt e, poiché c'è un dt sul fondo, + 182 -00:12:06,520 --> 00:12:11,388 -Tutto ciò che rimane qui ha un dt e, poiché c'è un dt sul fondo, +00:12:11,433 --> 00:12:13,560 +molti di questi si annullano. 183 -00:12:11,388 --> 00:12:13,560 -molti di questi si annullano. +00:12:14,280 --> 00:12:19,446 +Ciò significa che il rapporto ds diviso dt si riduce a 3 volte 184 -00:12:14,280 --> 00:12:19,609 -Ciò significa che il rapporto ds diviso per dt si riduce a 3 volte +00:12:19,446 --> 00:12:24,860 +2 al quadrato più 2 termini diversi che contengono ciascuno un dt. 185 -00:12:19,609 --> 00:12:24,860 -2 al quadrato più 2 termini diversi che contengono ciascuno un dt. +00:12:25,580 --> 00:12:28,985 +Quindi, se ci chiediamo cosa succede quando dt si avvicina a 0, 186 -00:12:25,580 --> 00:12:28,582 -Quindi, se ci chiediamo cosa succede quando dt si avvicina a 0, +00:12:28,985 --> 00:12:32,764 +rappresentando l'idea di guardare a un cambiamento sempre più piccolo, 187 -00:12:28,582 --> 00:12:32,334 -rappresentando l'idea di osservare un cambiamento sempre più piccolo nel tempo, +00:12:32,764 --> 00:12:34,680 +possiamo ignorare gli altri termini. 188 -00:12:32,334 --> 00:12:34,680 -possiamo ignorare completamente gli altri termini. - -189 00:12:36,100 --> 00:12:39,148 Eliminando la necessità di pensare a un dt specifico, -190 +189 00:12:39,148 --> 00:12:43,100 abbiamo eliminato molte delle complicazioni dell'espressione completa. -191 +190 00:12:43,880 --> 00:12:47,360 Quindi il risultato è un bel 3 per 2 al quadrato. -192 +191 00:12:48,360 --> 00:12:52,582 Questo significa che la pendenza della retta tangente al punto in cui t è -193 +192 00:12:52,582 --> 00:12:56,920 uguale a 2 di questo grafico è esattamente 3 volte 2 al quadrato, ovvero 12. -194 +193 00:12:57,820 --> 00:13:01,060 -E naturalmente non c'è nulla di speciale nel momento in cui t è uguale a 2. +E naturalmente non c'è nulla di speciale tempo in cui t è uguale a 2. -195 +194 00:13:01,560 --> 00:13:04,754 Più in generale potremmo dire che la derivata di -196 +195 00:13:04,754 --> 00:13:08,080 t al cubo in funzione di t è 3 volte t al quadrato. -197 +196 00:13:10,740 --> 00:13:13,220 Ora fai un passo indietro, perché è bellissimo. -198 +197 00:13:13,820 --> 00:13:16,280 -Il derivato è un'idea folle e complicata. +La derivata è un'idea folle e complicata. + +198 +00:13:16,600 --> 00:13:20,647 +Abbiamo piccoli cambiamenti nello spazio rispetto a piccoli cambiamenti nel tempo, 199 -00:13:16,600 --> 00:13:20,136 -Abbiamo minuscoli cambiamenti di distanza in minuscoli cambiamenti di tempo, +00:13:20,647 --> 00:13:24,500 +ma anziché guardare ad uno specifico, guardiamo a cosa si avvicina questa cosa. 200 -00:13:20,136 --> 00:13:22,387 -ma invece di guardare a uno specifico di questi, - -201 -00:13:22,387 --> 00:13:24,500 -parliamo di ciò che si avvicina a quella cosa. - -202 00:13:24,500 --> 00:13:26,980 Insomma, c'è molto da pensare. -203 +201 00:13:27,640 --> 00:13:31,560 Eppure quello che abbiamo ottenuto è un'espressione così semplice: 3 volte t al quadrato. -204 +202 00:13:32,960 --> 00:13:36,060 E in pratica, non dovresti affrontare tutta questa algebra ogni volta. -205 -00:13:36,420 --> 00:13:40,483 -Sapere che la derivata di t al cubo è 3t al quadrato è una di quelle cose che tutti gli +203 +00:13:36,420 --> 00:13:40,654 +Sapere che la derivata di t al cubo è 3t al quadrato è una cosa che tutti gli studenti -206 -00:13:40,483 --> 00:13:44,500 -studenti di calcolo imparano a fare immediatamente senza doverla riderivare ogni volta. +204 +00:13:40,654 --> 00:13:44,500 +di analisi imparano a fare immediatamente senza doverla ri-derivare ogni volta. -207 +205 00:13:45,060 --> 00:13:48,338 Nel prossimo video ti mostrerò un modo simpatico di pensare a questa -208 +206 00:13:48,338 --> 00:13:51,760 e ad un paio di altre formule di derivazione in modo davvero geometrico. -209 +207 00:13:52,500 --> 00:13:56,464 Ma il punto che voglio sottolineare mostrandoti tutti i passaggi algebrici è -210 +208 00:13:56,464 --> 00:14:00,480 che se consideri la minuscola variazione di distanza causata da una minuscola -211 +209 00:14:00,480 --> 00:14:04,600 variazione di tempo per un valore specifico di dt, si crea un po' di confusione. +210 +00:14:05,260 --> 00:14:09,140 +Ma quando consideri a cosa si avvicina quel rapporto quando dt si avvicina a 0, + +211 +00:14:09,140 --> 00:14:13,020 +ti permette di ignorare gran parte di quel disordine, semplificando il problema. + 212 -00:14:05,260 --> 00:14:08,990 -Ma se consideri che il rapporto si avvicina a 0 quando dt si avvicina a 0, +00:14:13,780 --> 00:14:16,720 +Ecco, questo è un po' il cuore di perché l'analisi diventa utile. 213 -00:14:08,990 --> 00:14:13,020 -puoi ignorare gran parte di questa confusione e semplificare davvero il problema. +00:14:18,020 --> 00:14:21,443 +Un'altra ragione per mostrarti una derivata concreta come questa è 214 -00:14:13,780 --> 00:14:16,720 -Questo è il cuore del motivo per cui il calcolo diventa utile. +00:14:21,443 --> 00:14:25,122 +che pone le basi per un esempio del tipo di paradossi che si verificano 215 -00:14:18,020 --> 00:14:21,614 -Un'altra ragione per mostrarti un derivato concreto come questo è che +00:14:25,122 --> 00:14:28,700 +se si crede troppo nell'illusione del tasso di cambiamento istantaneo. 216 -00:14:21,614 --> 00:14:25,105 -pone le basi per un esempio del tipo di paradossi che si verificano +00:14:30,000 --> 00:14:34,258 +Pensa all'auto reale che viaggia secondo questa funzione di distanza al cubo di t e 217 -00:14:25,105 --> 00:14:28,700 -se si crede troppo nell'illusione del tasso di cambiamento istantaneo. +00:14:34,258 --> 00:14:38,720 +considera il suo movimento nel momento in cui t è uguale a 0, esattamente alla partenza. 218 -00:14:30,000 --> 00:14:34,335 -Pensa quindi all'auto reale che viaggia secondo questa funzione di distanza al cubo di - -219 -00:14:34,335 --> 00:14:38,720 -t e considera il suo movimento nel momento in cui t è uguale a 0, proprio alla partenza. - -220 00:14:39,700 --> 00:14:43,380 Ora chiediti se l'auto si sta muovendo o meno in quel momento. -221 +219 00:14:45,560 --> 00:14:50,258 Da un lato, possiamo calcolare la sua velocità in quel punto utilizzando la derivata, -222 +220 00:14:50,258 --> 00:14:53,700 3t al quadrato, che per il tempo t uguale a 0 risulta essere 0. -223 +221 00:14:54,780 --> 00:14:58,380 Visivamente, questo significa che la linea tangente al grafico in quel -224 +222 00:14:58,380 --> 00:15:02,082 punto è perfettamente piatta, quindi la velocità istantanea dell'auto è, -225 +223 00:15:02,082 --> 00:15:06,140 tra virgolette, pari a 0 e questo suggerisce che ovviamente non si sta muovendo. -226 +224 00:15:07,160 --> 00:15:11,860 Ma d'altra parte, se non inizia a muoversi al tempo 0, quando inizia a muoversi? -227 +225 00:15:12,580 --> 00:15:14,540 Davvero, fermati a riflettere per un momento. -228 +226 00:15:15,100 --> 00:15:17,780 L'auto si muove al tempo t uguale a 0? -229 +227 00:15:22,600 --> 00:15:23,380 Vedi il paradosso? -230 +228 00:15:24,260 --> 00:15:26,000 Il problema è che la domanda non ha senso. -231 +229 00:15:26,540 --> 00:15:30,440 Fa riferimento all'idea di cambiamento in un momento, ma in realtà non esiste. -232 +230 00:15:30,860 --> 00:15:32,600 -Non è questo che misura il derivato. - -233 -00:15:33,480 --> 00:15:36,377 -Se la derivata di una funzione di distanza è 0, +Non è questo che la derivata misura. -234 -00:15:36,377 --> 00:15:41,026 -significa che la migliore approssimazione costante per la velocità dell'auto +231 +00:15:33,480 --> 00:15:38,511 +Ciò che significa che la derivata di una funzione di distanza è 0 è che l'approssimazione -235 -00:15:41,026 --> 00:15:43,320 -intorno a quel punto è 0 m al secondo. +232 +00:15:38,511 --> 00:15:43,320 +costante migliore per la velocità dell'auto intorno a quel punto è 0 metri al secondo. -236 +233 00:15:44,080 --> 00:15:47,727 Ad esempio, se si osserva un cambiamento effettivo nel tempo, -237 +234 00:15:47,727 --> 00:15:51,080 ad esempio tra il tempo 0 e 0,1 secondi, l'auto si muove. -238 +235 00:15:51,500 --> 00:15:53,700 Si muove di 0,001 m. -239 +236 00:15:54,600 --> 00:15:57,430 Si tratta di un valore molto basso e, soprattutto, -240 +237 00:15:57,430 --> 00:16:00,094 molto basso rispetto alla variazione del tempo, -241 +238 00:16:00,094 --> 00:16:02,980 che dà una velocità media di soli 0,01 m al secondo. -242 -00:16:03,680 --> 00:16:08,799 +239 +00:16:03,680 --> 00:16:08,570 E ricorda, ciò che significa che la derivata di questo movimento è pari a 0 è che per -243 -00:16:08,799 --> 00:16:13,860 -spinte sempre più piccole nel tempo, questo rapporto di m al secondo si avvicina a 0. +240 +00:16:08,570 --> 00:16:13,632 +variazioni sempre più piccole nel tempo, questo rapporto di metri al secondo si avvicina -244 +241 +00:16:13,632 --> 00:16:13,860 +a 0. + +242 00:16:14,840 --> 00:16:16,720 -Ma questo non significa che l'auto sia statica. +Ma questo non significa che l'auto sia ferma. -245 +243 00:16:17,540 --> 00:16:20,919 Approssimare il suo movimento con una velocità costante di 0 è, -246 +244 00:16:20,919 --> 00:16:22,820 dopo tutto, solo un'approssimazione. +245 +00:16:24,340 --> 00:16:28,700 +Quindi, ogni volta che senti parlare della derivata come di un tasso di cambiamento + +246 +00:16:28,700 --> 00:16:31,295 +istantaneo, una frase intrinsecamente ossimorica, + 247 -00:16:24,340 --> 00:16:28,428 -Quindi, ogni volta che sentirai parlare della derivata come tasso di variazione +00:16:31,295 --> 00:16:35,915 +voglio che la consideri come una scorciatoia concettuale per la migliore approssimazione 248 -00:16:28,428 --> 00:16:31,291 -istantaneo, una frase che è intrinsecamente ossimorica, +00:16:35,915 --> 00:16:37,680 +costante del tasso di cambiamento. 249 -00:16:31,291 --> 00:16:35,175 -voglio che tu la consideri come una stenografia concettuale per la migliore +00:16:39,180 --> 00:16:41,726 +Nei prossimi video parlerò di più della derivata, 250 -00:16:35,175 --> 00:16:37,680 -approssimazione costante del tasso di variazione. +00:16:41,726 --> 00:16:44,426 +di come appare in contesti diversi, come si calcola, 251 -00:16:39,180 --> 00:16:41,473 -Nei prossimi video parlerò di più della derivata, - -252 -00:16:41,473 --> 00:16:44,271 -di come si presenta in diversi contesti, di come si calcola, - -253 -00:16:44,271 --> 00:16:48,400 -del perché è utile, di cose del genere, concentrandomi come sempre sull'intuizione visiva. +00:16:44,426 --> 00:16:48,400 +perché è utile, cose del genere, concentrandomi sempre sull'intuizione visiva. diff --git a/2017/derivatives/italian/community.srt b/2017/derivatives/italian/community_old.srt similarity index 100% rename from 2017/derivatives/italian/community.srt rename to 2017/derivatives/italian/community_old.srt diff --git a/2017/derivatives/vietnamese/auto_generated.srt b/2017/derivatives/vietnamese/auto_generated.srt index d2de24b40..833064d7c 100644 --- a/2017/derivatives/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2017/derivatives/vietnamese/auto_generated.srt @@ -35,35 +35,35 @@ Thay đổi là điều gì đó xảy ra giữa các thời điểm riêng bi trước tất cả ngoại trừ chỉ một khoảnh khắc, thực sự không còn chỗ cho sự thay đổi. 10 -00:00:49,500 --> 00:00:52,182 -Bạn sẽ hiểu ý tôi nhiều hơn khi chúng ta đi sâu vào nó, +00:00:49,500 --> 00:00:51,967 +Bạn sẽ hiểu ý tôi nhiều hơn khi ta đi sâu vào nó, 11 -00:00:52,182 --> 00:00:56,206 +00:00:51,967 --> 00:00:56,111 nhưng khi bạn đánh giá cao cụm từ như tốc độ thay đổi tức thời thực ra là vô nghĩa, 12 -00:00:56,206 --> 00:01:00,374 -tôi nghĩ nó khiến bạn đánh giá cao việc các cha đẻ của giải tích đã thông minh đến mức +00:00:56,111 --> 00:01:00,207 +tôi nghĩ nó khiến bạn đánh giá cao việc các cha đẻ của giải tích đã thông minh đến 13 -00:01:00,374 --> 00:01:03,345 -nào khi nắm bắt được ý tưởng cụm từ đó nhằm mục đích gợi lên, +00:01:00,207 --> 00:01:03,266 +mức nào khi nắm được ý tưởng cụm từ đó nhằm mục đích gợi lên, 14 -00:01:03,345 --> 00:01:05,980 +00:01:03,266 --> 00:01:05,980 nhưng với một phần toán học hoàn toàn hợp lý, đạo hàm. 15 -00:01:07,540 --> 00:01:11,260 -Như ví dụ trung tâm của chúng tôi, tôi muốn bạn tưởng tượng một chiếc ô tô +00:01:07,540 --> 00:01:11,227 +Như ví dụ trung tâm của chúng ta, tôi muốn bạn tưởng tượng một chiếc ô tô 16 -00:01:11,260 --> 00:01:15,031 +00:01:11,227 --> 00:01:15,013 khởi động tại một điểm A nào đó, tăng tốc rồi giảm tốc độ và dừng lại ở một 17 -00:01:15,031 --> 00:01:19,000 +00:01:15,013 --> 00:01:19,000 điểm B cách đó 100 mét, và giả sử tất cả xảy ra trong khoảng thời gian 10 giây. 18 @@ -127,12 +127,12 @@ tương ứng với độ dốc lớn hơn trong đồ thị này. Và về cuối khi nó chậm lại, đường cong đó lại thu hẹp lại. 33 -00:02:20,760 --> 00:02:25,139 +00:02:20,760 --> 00:02:25,036 Và nếu chúng ta vẽ vận tốc của ô tô theo mét trên giây như một hàm số của thời gian, 34 -00:02:25,139 --> 00:02:27,200 -nó có thể trông giống như vết sưng này. +00:02:25,036 --> 00:02:27,200 +nó có thể trông giống như chỗ lồi lên này. 35 00:02:27,860 --> 00:02:30,000 @@ -164,7 +164,7 @@ bạn sẽ có một số hàm vận tốc và thời gian khác nhau. 42 00:02:51,760 --> 00:02:55,040 -Điều chúng tôi muốn hiểu là chi tiết cụ thể của mối quan hệ đó. +Điều chúng ta muốn hiểu là chi tiết cụ thể của mối quan hệ đó. 43 00:02:55,680 --> 00:02:59,820 @@ -259,12 +259,12 @@ việc tính toán vận tốc đòi hỏi phải so sánh hai điểm riêng bi Nếu điều đó khiến bạn cảm thấy kỳ lạ và nghịch lý thì tốt! 66 -00:04:17,920 --> 00:04:19,471 -Bạn đang vật lộn với những xung đột tương tự như +00:04:17,920 --> 00:04:20,926 +Bạn đang vật lộn với những xung đột tương tự như các cha đẻ của môn giải tích đã gặp phải. 67 -00:04:19,471 --> 00:04:20,959 -những người cha của môn giải tích đã gặp phải. +00:04:20,926 --> 00:04:20,959 + 68 00:04:21,380 --> 00:04:23,620 @@ -359,12 +359,12 @@ dt đó là một bước nhỏ về bên phải, vì thời gian nằm trên tr thay đổi dẫn đến chiều cao của đồ thị, vì trục tung biểu thị quãng đường đã đi. 91 -00:05:51,220 --> 00:05:55,370 +00:05:51,220 --> 00:05:55,408 Vậy ds chia cho dt là cái mà bạn có thể coi là độ dốc 92 -00:05:55,370 --> 00:05:59,520 -tăng dần giữa hai điểm rất gần nhau trên biểu đồ này. +00:05:55,408 --> 00:05:59,520 +tăng dần giữa hai điểm rất gần nhau trên đồ thị này. 93 00:06:00,700 --> 00:06:03,440 @@ -415,32 +415,32 @@ Nói cách khác, đó là sự khác biệt về quãng đường đi được giữa thời điểm t và thời điểm 0.01 giây sau đó. 105 -00:06:54,520 --> 00:06:58,500 -Sau đó, bạn có thể chia sự khác biệt đó cho sự thay đổi của thời gian, dt, +00:06:54,520 --> 00:06:58,362 +Sau đó, bạn có thể chia hiệu số đó cho sự thay đổi của thời gian, dt, 106 -00:06:58,500 --> 00:07:02,480 +00:06:58,362 --> 00:07:02,480 và nó sẽ cho bạn vận tốc tính bằng mét trên giây xung quanh mỗi thời điểm. 107 -00:07:04,420 --> 00:07:08,597 -Với công thức như thế này, bạn có thể cung cấp cho máy tính bất kỳ đường cong nào biểu +00:07:04,420 --> 00:07:08,568 +Với công thức như thế này, bạn có thể cho máy tính bất kỳ đường cong nào biểu thị 108 -00:07:08,597 --> 00:07:12,920 -thị bất kỳ hàm khoảng cách s nào của t, và nó có thể tính ra đường cong biểu thị vận tốc. +00:07:08,568 --> 00:07:12,920 +bất kỳ hàm khoảng cách s nào của t, và nó có thể tính ra đường cong biểu thị vận tốc. 109 -00:07:13,540 --> 00:07:17,482 -Bây giờ sẽ là thời điểm tốt để tạm dừng, suy ngẫm và đảm bảo rằng ý tưởng về +00:07:13,540 --> 00:07:17,604 +Giờ sẽ là lúc tốt để tạm dừng, suy ngẫm và đảm bảo rằng ý tưởng về mối liên 110 -00:07:17,482 --> 00:07:21,424 -mối liên hệ giữa khoảng cách và vận tốc bằng cách xem xét những thay đổi nhỏ +00:07:17,604 --> 00:07:22,043 +hệ giữa khoảng cách và vận tốc bằng cách xem xét những thay đổi nhỏ là có ý nghĩa, 111 -00:07:21,424 --> 00:07:25,520 -là có ý nghĩa, bởi vì chúng ta sẽ giải quyết nghịch lý của đạo hàm ngay từ đầu. +00:07:22,043 --> 00:07:25,520 +bởi vì chúng ta sẽ giải quyết nghịch lý của đạo hàm ngay từ đầu. 112 00:07:27,480 --> 00:07:32,553 @@ -451,19 +451,19 @@ là có ý nghĩa, bởi vì chúng ta sẽ giải quyết nghịch lý của đ chia cho sự thay đổi nhỏ trong đầu vào gây ra nó, đó gần như là đạo hàm. 114 -00:07:38,700 --> 00:07:43,201 -Và mặc dù đồng hồ tốc độ của ô tô thực sự sẽ xem xét sự thay đổi cụ thể về thời gian, +00:07:38,700 --> 00:07:43,048 +Và mặc dù đồng hồ tốc độ của ô tô thực sự sẽ xét sự thay đổi cụ thể về thời gian, 115 -00:07:43,201 --> 00:07:47,231 +00:07:43,048 --> 00:07:47,131 chẳng hạn như 0.01 giây, và mặc dù chương trình vẽ ở đây đang xem xét một sự 116 -00:07:47,231 --> 00:07:50,894 +00:07:47,131 --> 00:07:50,843 thay đổi cụ thể thực tế về thời gian, nhưng trong toán học thuần túy, 117 -00:07:50,894 --> 00:07:54,820 +00:07:50,843 --> 00:07:54,820 đạo hàm không phải là tỷ số ds trên dt đối với một lựa chọn cụ thể của dt. 118 @@ -735,24 +735,24 @@ và vì có dt ở dưới cùng nên nhiều trong số đó cũng bị loại phương cộng với 2 số hạng khác nhau mà mỗi số hạng có một dt trong đó. 185 -00:12:25,580 --> 00:12:28,405 -Vì vậy, nếu chúng ta hỏi điều gì xảy ra khi dt tiến tới 0, +00:12:25,580 --> 00:12:28,113 +Vậy nếu ta hỏi điều gì xảy ra khi dt tiến tới 0, 186 -00:12:28,405 --> 00:12:31,806 -thể hiện ý tưởng xem xét sự thay đổi ngày càng nhỏ hơn theo thời gian, +00:12:28,113 --> 00:12:31,577 +thể hiện ý tưởng xét sự thay đổi ngày càng nhỏ hơn theo thời gian, 187 -00:12:31,806 --> 00:12:34,680 +00:12:31,577 --> 00:12:34,680 thì chúng ta có thể hoàn toàn bỏ qua những số hạng khác đó. 188 -00:12:36,100 --> 00:12:39,191 +00:12:36,100 --> 00:12:39,217 Bằng cách loại bỏ nhu cầu suy nghĩ về một dt cụ thể, 189 -00:12:39,191 --> 00:12:43,100 -chúng tôi đã loại bỏ rất nhiều sự phức tạp trong biểu thức đầy đủ. +00:12:39,217 --> 00:12:43,100 +chúng ta đã loại bỏ rất nhiều sự phức tạp trong biểu thức đầy đủ. 190 00:12:43,880 --> 00:12:47,360 @@ -787,16 +787,16 @@ Bây giờ hãy lùi lại một bước, vì điều đó thật đẹp. Đạo hàm là ý tưởng phức tạp điên rồ này. 198 -00:13:16,600 --> 00:13:20,120 +00:13:16,600 --> 00:13:20,416 Chúng ta có những thay đổi nhỏ về khoảng cách so với những thay đổi nhỏ về thời gian, 199 -00:13:20,120 --> 00:13:22,453 -nhưng thay vì xem xét bất kỳ điều gì cụ thể trong số đó, +00:13:20,416 --> 00:13:22,769 +nhưng thay vì xét bất kỳ điều gì cụ thể trong số đó, 200 -00:13:22,453 --> 00:13:24,500 -chúng ta đang nói về cách mà thứ đó tiếp cận đến. +00:13:22,769 --> 00:13:24,500 +ta đang nói về cách mà thứ đó gần đến. 201 00:13:24,500 --> 00:13:26,980 @@ -808,7 +808,7 @@ Và những gì ta được là một biểu thức đơn giản như vậy, bì 203 00:13:32,960 --> 00:13:36,060 -Và trong thực tế, bạn sẽ không phải trải qua tất cả các phép tính đại số này mỗi lần. +Và trong thực tế, bạn sẽ không dùng tất cả các phép đại số này mỗi lần. 204 00:13:36,420 --> 00:13:39,142 @@ -991,18 +991,18 @@ một cụm từ về bản chất là nghịch lý, tôi muốn bạn nghĩ v tắt mang tính khái niệm cho xấp xỉ hằng số tốt nhất cho tốc độ thay đổi. 249 -00:16:39,180 --> 00:16:41,610 +00:16:39,180 --> 00:16:41,662 Trong một số video tiếp theo, tôi sẽ nói nhiều hơn về đạo hàm, 250 -00:16:41,610 --> 00:16:44,889 -nó trông như thế nào trong các bối cảnh khác nhau, cách mà bạn thực sự tính toán nó, +00:16:41,662 --> 00:16:44,814 +nó trông như thế nào trong các bối cảnh khác nhau, cách mà bạn thực sự tính nó, 251 -00:16:44,889 --> 00:16:48,361 +00:16:44,814 --> 00:16:48,360 tại sao nó lại hữu ích, những thứ tương tự, tập trung vào hình dung trực quan như mọi khi. 252 -00:16:48,361 --> 00:16:48,400 +00:16:48,360 --> 00:16:48,400 diff --git a/2017/essence-of-calculus/hindi/auto_generated.srt b/2017/essence-of-calculus/hindi/auto_generated.srt index ae39d8a71..be3823ed2 100644 --- a/2017/essence-of-calculus/hindi/auto_generated.srt +++ b/2017/essence-of-calculus/hindi/auto_generated.srt @@ -1,964 +1,953 @@ 1 00:00:14,980 --> 00:00:16,460 -हेलो सब लोग, यहाँ अनुदान दें। +हेलो, मैं ग्राँट। 2 -00:00:16,820 --> 00:00:19,867 -यह कैलकुलस के सार पर श्रृंखला का पहला वीडियो है, +00:00:16,820 --> 00:00:19,996 +यह कैलकुलस के सार पर एक श्रृंखला का पहला वीडियो है, 3 -00:00:19,867 --> 00:00:23,600 -और मैं अगले 10 दिनों तक प्रति दिन एक वीडियो प्रकाशित करूंगा। +00:00:19,996 --> 00:00:23,600 +और मैं अगले दस दिनों तक प्रतिदिन एक वीडियो प्रकाशित करूंगा। 4 -00:00:24,300 --> 00:00:27,108 -यहां लक्ष्य, जैसा कि नाम से पता चलता है, वास्तव में विषय +00:00:24,300 --> 00:00:29,720 +यहाँ हमारा लक्ष्य, इस विषय के सार को, एक लगातार देखने योग्य सेट में पेश करना है। 5 -00:00:27,108 --> 00:00:29,720 -के मर्म को एक बार देखने योग्य सेट में सामने लाना है । +00:00:30,320 --> 00:00:33,707 +पर एक ऐसा विषय जो इतना विस्तृत है, यह कथन अस्पष्ट है। 6 -00:00:30,320 --> 00:00:32,484 -लेकिन एक ऐसे विषय के साथ जो कैलकुलस जितना व्यापक है, +00:00:33,707 --> 00:00:36,200 + मैं अपना लक्ष्य विस्तार में बताता हूँ। 7 -00:00:32,484 --> 00:00:34,403 -इसमें बहुत सी चीजें हैं जिनका अर्थ हो सकता है, +00:00:36,940 --> 00:00:41,940 +कैलकुलस में बहुत नियम व फॉर्मूला हैं जिन्हें अक्सर बस रटने को कहा जाता है। 8 -00:00:34,403 --> 00:00:36,200 -इसलिए यहां मेरे मन में विशेष रूप से क्या है। +00:00:42,480 --> 00:00:47,763 +जैसे कि बहुत से डेरिवेटिव नियम, प्रोडक्ट नियम, चेन नियम, इम्प्लिसिट डिफरेंसिएशन, 9 -00:00:36,940 --> 00:00:39,440 -कैलकुलस में बहुत सारे नियम और सूत्र हैं जिन्हें अक्सर +00:00:47,763 --> 00:00:52,460 +इन्टीग्रल और डेरिवेटिव का एक दूसरे +के विलोम होना, टेलर सीरीज़, इत्यादि। 10 -00:00:39,440 --> 00:00:41,940 -याद रखने योग्य चीजों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। - -11 -00:00:42,480 --> 00:00:47,375 -बहुत सारे व्युत्पन्न सूत्र, उत्पाद नियम, श्रृंखला नियम, अंतर्निहित विभेदीकरण, - -12 -00:00:47,375 --> 00:00:52,460 -यह तथ्य कि अभिन्न और व्युत्पन्न विपरीत हैं, टेलर श्रृंखला, ऐसी ही बहुत सी चीज़ें। - -13 00:00:52,960 --> 00:00:57,080 और मेरा लक्ष्य है कि आप यह महसूस करें कि आप स्वयं कैलकुलस का आविष्कार कर सकते थे। -14 +11 00:00:57,640 --> 00:01:01,703 यानी, उन सभी मूल विचारों को कवर करें, लेकिन इस तरह से कि यह स्पष्ट हो जाए कि वे वास्तव -15 +12 00:01:01,703 --> 00:01:05,859 में कहां से आए हैं, और सर्वांगीण दृश्य दृष्टिकोण का उपयोग करके उनका वास्तव में क्या मतलब -16 +13 00:01:05,859 --> 00:01:06,000 है। -17 +14 00:01:06,920 --> 00:01:11,233 गणित का आविष्कार करना कोई मज़ाक नहीं है, और यह बताया जाना कि कोई चीज़ सच क्यों है, -18 +15 00:01:11,233 --> 00:01:14,040 और वास्तव में इसे शुरू से उत्पन्न करने के बीच अंतर है। -19 +16 00:01:14,680 --> 00:01:17,812 लेकिन सभी बिंदुओं पर, मैं चाहता हूं कि आप स्वयं सोचें, -20 +17 00:01:17,812 --> 00:01:22,310 यदि आप एक प्रारंभिक गणितज्ञ होते, इन विचारों पर विचार करते और सही चित्र बनाते, -21 +18 00:01:22,310 --> 00:01:26,240 तो क्या यह उचित लगता है कि आप स्वयं इन सच्चाइयों से रूबरू हो सकते थे? -22 +19 00:01:26,820 --> 00:01:31,200 इस प्रारंभिक वीडियो में, मैं यह दिखाना चाहता हूं कि ज्यामिति के एक विशिष्ट बिट, -23 +20 00:01:31,200 --> 00:01:34,321 एक वृत्त के क्षेत्रफल के बारे में बहुत गहराई से सोचकर आप -24 +21 00:01:34,321 --> 00:01:36,840 कैलकुलस के मूल विचारों तक कैसे पहुंच सकते हैं। -25 +22 00:01:37,780 --> 00:01:41,040 शायद आप जानते हों कि यह पाई का त्रिज्या वर्ग से गुना है, लेकिन क्यों? -26 +23 00:01:41,580 --> 00:01:44,460 क्या यह सोचने का कोई अच्छा तरीका है कि यह सूत्र कहां से आता है? -27 +24 00:01:45,420 --> 00:01:49,427 खैर, इस समस्या पर विचार करना और आने वाले दिलचस्प विचारों की खोज के -28 +25 00:01:49,427 --> 00:01:53,015 लिए खुद को खुला छोड़ना वास्तव में आपको कैलकुलस, इंटीग्रल्स, -29 +26 00:01:53,015 --> 00:01:57,920 डेरिवेटिव्स और इस तथ्य में तीन बड़े विचारों की एक झलक दे सकता है कि वे विपरीत हैं। -30 +27 00:01:59,840 --> 00:02:04,840 लेकिन कहानी अधिक सरलता से शुरू होती है, बस आप और एक वृत्त, मान लीजिए त्रिज्या 3 से। -31 +28 00:02:05,700 --> 00:02:08,100 आप इसके क्षेत्र का पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं, -32 +29 00:02:08,100 --> 00:02:12,180 और बहुत सारे कागजों को पढ़ने के बाद उस क्षेत्र के टुकड़ों को काटने और पुनर्व्यवस्थित -33 +30 00:02:12,180 --> 00:02:15,972 करने के विभिन्न तरीकों की कोशिश कर रहे हैं, जिनमें से कई अपने स्वयं के दिलचस्प -34 +31 00:02:15,972 --> 00:02:19,764 अवलोकनों को जन्म दे सकते हैं, हो सकता है कि आप इस विचार को आज़माएँ वृत्त को कई -35 +32 00:02:19,764 --> 00:02:21,060 संकेंद्रित वलयों में काटना। -36 +33 00:02:22,000 --> 00:02:25,354 यह आशाजनक प्रतीत होना चाहिए, क्योंकि यह वृत्त की समरूपता का सम्मान करता है, -37 +34 00:02:25,354 --> 00:02:29,106 और जब आप इसकी समरूपता का सम्मान करते हैं तो गणित में आपको पुरस्कृत करने की प्रवृत्ति -38 +35 00:02:29,106 --> 00:02:29,460 होती है। -39 +36 00:02:30,360 --> 00:02:35,060 आइए उन छल्लों में से एक लें, जिसकी कुछ आंतरिक त्रिज्या r है जो 0 और 3 के बीच है। -40 +37 00:02:36,220 --> 00:02:40,007 यदि हम इस तरह प्रत्येक वलय के क्षेत्रफल के लिए एक अच्छी अभिव्यक्ति पा सकते हैं, -41 +38 00:02:40,007 --> 00:02:42,659 और यदि हमारे पास उन सभी को जोड़ने का एक अच्छा तरीका है, -42 +39 00:02:42,659 --> 00:02:45,500 तो यह हमें पूर्ण वृत्त के क्षेत्रफल की समझ तक ले जा सकता है। -43 +40 00:02:46,420 --> 00:02:49,120 हो सकता है कि आप इस अंगूठी को सीधा करने की कल्पना करके शुरुआत करें। -44 +41 00:02:50,800 --> 00:02:54,788 और आप यह सोचने का प्रयास कर सकते हैं कि वास्तव में यह नया आकार क्या है और इसका -45 +42 00:02:54,788 --> 00:02:59,180 क्षेत्रफल क्या होना चाहिए, लेकिन सरलता के लिए, आइए इसे एक आयत के रूप में अनुमानित करें। -46 +43 00:03:00,180 --> 00:03:05,440 उस आयत की चौड़ाई मूल रिंग की परिधि है, जो 2 pi गुना r है, है ना? -47 +44 00:03:05,860 --> 00:03:08,060 मेरा मतलब है, यह मूलतः पाई की परिभाषा है। -48 +45 00:03:08,680 --> 00:03:09,380 और इसकी मोटाई? -49 +46 00:03:10,200 --> 00:03:14,360 खैर, यह इस बात पर निर्भर करता है कि आपने पहले गोले को कितनी बारीकी से काटा, -50 +47 00:03:14,360 --> 00:03:15,620 जो एक तरह से मनमाना था। -51 +48 00:03:16,340 --> 00:03:19,360 मानक कैलकुलस नोटेशन का उपयोग करने की भावना में, -52 +49 00:03:19,360 --> 00:03:24,960 आइए एक रिंग से दूसरे रिंग तक त्रिज्या में एक छोटे से अंतर के लिए उस मोटाई को डॉ कहते हैं। -53 +50 00:03:25,480 --> 00:03:27,880 हो सकता है कि आप इसे 0 जैसा कुछ समझें।1. -54 +51 00:03:28,980 --> 00:03:33,492 तो इस खुली हुई अंगूठी को एक पतली आयत के रूप में अनुमानित करते हुए, -55 +52 00:03:33,492 --> 00:03:37,600 इसका क्षेत्रफल 2 pi गुना r, त्रिज्या, गुना dr, छोटी मोटाई है। -56 +53 00:03:38,600 --> 00:03:42,457 और भले ही यह सही नहीं है, डॉ के छोटे और छोटे विकल्पों के लिए, -57 +54 00:03:42,457 --> 00:03:47,000 यह वास्तव में उस क्षेत्र के लिए एक बेहतर और बेहतर अनुमान होने जा रहा है, -58 +55 00:03:47,000 --> 00:03:52,600 क्योंकि इस आकार के ऊपर और नीचे के हिस्से बिल्कुल करीब और करीब आते जा रहे हैं। एक ही लंबाई। -59 +56 00:03:53,540 --> 00:03:58,160 तो आइए इस अनुमान के साथ आगे बढ़ें, यह ध्यान में रखते हुए कि यह थोड़ा गलत है, -60 +57 00:03:58,160 --> 00:04:02,360 लेकिन यह डॉ. के छोटे और छोटे विकल्पों के लिए अधिक सटीक होने जा रहा है। -61 +58 00:04:03,220 --> 00:04:06,400 अर्थात्, यदि हम वृत्त को पतले और पतले छल्लों में काटते हैं। -62 +59 00:04:07,700 --> 00:04:12,594 तो संक्षेप में कहें तो हम कहां हैं, आपने वृत्त के क्षेत्रफल को इन सभी छल्लों -63 +60 00:04:12,594 --> 00:04:17,615 में तोड़ दिया है, और आप उनमें से प्रत्येक के क्षेत्रफल का अनुमान उसकी त्रिज्या -64 +61 00:04:17,615 --> 00:04:22,445 के 2 pi गुणा dr के रूप में लगा रहे हैं, जहां विशिष्ट मान उस आंतरिक त्रिज्या -65 +62 00:04:22,445 --> 00:04:27,785 के लिए सबसे छोटी अंगूठी के लिए 0 से लेकर, सबसे बड़ी अंगूठी के लिए सिर्फ 3 से कम तक, -66 +63 00:04:27,785 --> 00:04:31,980 जो भी मोटाई आप डॉ के लिए चुनते हैं, उसके बीच 0 जैसा कुछ होता है।1. -67 +64 00:04:33,140 --> 00:04:38,537 और ध्यान दें कि यहां मानों के बीच का अंतर प्रत्येक रिंग की मोटाई dr से मेल खाता है, -68 +65 00:04:38,537 --> 00:04:41,300 एक रिंग से दूसरे रिंग की त्रिज्या में अंतर। -69 +66 00:04:42,260 --> 00:04:45,992 वास्तव में, प्रत्येक रिंग के क्षेत्रफल का अनुमान लगाने वाले आयतों के बारे में -70 +67 00:04:45,992 --> 00:04:49,820 सोचने का एक अच्छा तरीका यह है कि उन सभी को इस अक्ष के साथ-साथ सीधा फिट किया जाए। -71 +68 00:04:50,660 --> 00:04:56,436 प्रत्येक की मोटाई डीआर है, यही कारण है कि वे एक साथ इतनी अच्छी तरह से फिट होते हैं, -72 +69 00:04:56,436 --> 00:05:01,387 और इनमें से किसी भी आयत की ऊंचाई आर के कुछ विशिष्ट मान से ऊपर बैठती है, -73 +70 00:05:01,387 --> 00:05:04,000 जैसे 0।6, उस मान का ठीक 2 पाई गुना है। -74 +71 00:05:04,640 --> 00:05:08,960 यह आयत संबंधित वलय की परिधि का अनुमान लगाती है। -75 +72 00:05:09,560 --> 00:05:12,320 इस तरह चित्रित, स्क्रीन के लिए 2 pi r लंबा हो सकता है। -76 +73 00:05:12,800 --> 00:05:15,464 मेरा मतलब है, 2 गुना पाई गुना 3 19 के आसपास है, -77 +74 00:05:15,464 --> 00:05:20,181 तो चलिए बस एक y-अक्ष फेंकते हैं जिसे थोड़ा अलग तरीके से स्केल किया गया है ताकि हम इन -78 +75 00:05:20,181 --> 00:05:22,180 सभी आयतों को स्क्रीन पर फिट कर सकें। -79 +76 00:05:23,260 --> 00:05:27,390 इस सेटअप के बारे में सोचने का एक अच्छा तरीका 2 pi r का ग्राफ़ खींचना है, -80 +77 00:05:27,390 --> 00:05:29,540 जो एक सीधी रेखा है जिसका ढलान 2 pi है। -81 +78 00:05:30,100 --> 00:05:34,800 इनमें से प्रत्येक आयत उस बिंदु तक फैली हुई है जहां वह बमुश्किल उस ग्राफ़ को छूती है। -82 +79 00:05:36,000 --> 00:05:37,460 फिर, हम यहां अनुमानित हो रहे हैं। -83 +80 00:05:37,900 --> 00:05:42,220 इनमें से प्रत्येक आयत वृत्त से संबंधित वलय के क्षेत्रफल का केवल अनुमान लगाता है। -84 +81 00:05:42,940 --> 00:05:46,836 लेकिन याद रखें, वह अनुमान, 2 पी आर गुना डीआर, कम और कम गलत -85 +82 00:05:46,836 --> 00:05:50,800 होता जाता है क्योंकि डीआर का आकार छोटा और छोटा होता जाता है। -86 +83 00:05:51,800 --> 00:05:54,098 जब हम उन सभी आयतों के क्षेत्रफलों के योग को देख -87 +84 00:05:54,098 --> 00:05:56,540 रहे होते हैं तो इसका एक बहुत ही सुंदर अर्थ होता है। -88 +85 00:05:57,080 --> 00:06:00,161 यदि आप डॉक्टर के छोटे और छोटे विकल्पों पर विचार कर रहे हैं, -89 +86 00:06:00,161 --> 00:06:03,140 तो आप पहले सोच सकते हैं कि इससे समस्या बहुत बड़ी हो जाएगी। -90 +87 00:06:03,600 --> 00:06:05,763 मेरा मतलब है, विचार करने के लिए बहुत सारे आयत हैं, -91 +88 00:06:05,763 --> 00:06:09,200 और उनमें से प्रत्येक क्षेत्र की दशमलव परिशुद्धता एक पूर्ण दुःस्वप्न होने वाली है। -92 +89 00:06:10,060 --> 00:06:12,575 लेकिन ध्यान दें, कुल मिलाकर उनके सभी क्षेत्र एक -93 +90 00:06:12,575 --> 00:06:15,300 ग्राफ़ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्र की तरह दिखते हैं। -94 +91 00:06:15,980 --> 00:06:19,651 और ग्राफ़ के नीचे का भाग केवल एक त्रिभुज है, एक -95 +92 00:06:19,651 --> 00:06:23,400 त्रिभुज जिसका आधार 3 है और ऊँचाई 2 पाई गुना 3 है। -96 +93 00:06:24,140 --> 00:06:30,500 तो इसका क्षेत्रफल, 1 आधा आधार गुणा ऊंचाई, ठीक पाई गुणा 3 वर्ग के बराबर होता है। -97 +94 00:06:31,360 --> 00:06:34,734 या यदि हमारे मूल वृत्त की त्रिज्या कोई अन्य मान, -98 +95 00:06:34,734 --> 00:06:38,660 पूंजी R थी, तो वह क्षेत्र pi गुना r वर्ग के बराबर आता है। -99 +96 00:06:39,380 --> 00:06:41,460 और यह एक वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र है। -100 +97 00:06:42,320 --> 00:06:46,434 इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन हैं या आप आमतौर पर गणित के बारे में क्या सोचते हैं, -101 +98 00:06:46,434 --> 00:06:47,380 यह एक सुंदर तर्क है। -102 +99 00:06:50,180 --> 00:06:52,904 लेकिन अगर आप यहां एक गणितज्ञ की तरह सोचना चाहते हैं, -103 +100 00:06:52,904 --> 00:06:55,321 तो आप केवल उत्तर खोजने की परवाह नहीं करते हैं, -104 +101 00:06:55,321 --> 00:06:58,920 आप सामान्य समस्या समाधान उपकरण और तकनीक विकसित करने की परवाह करते हैं। -105 +102 00:06:59,680 --> 00:07:04,236 तो कुछ देर इस बात पर ध्यान करने के लिए रुकें कि वास्तव में क्या हुआ और यह क्यों काम किया, -106 +103 00:07:04,236 --> 00:07:08,185 क्योंकि जिस तरह से हम किसी अनुमानित चीज़ से किसी सटीक चीज़ में परिवर्तित हुए, -107 +104 00:07:08,185 --> 00:07:11,780 वह वास्तव में बहुत सूक्ष्म है और कैलकुलस के बारे में गहराई से बताता है। -108 +105 00:07:13,820 --> 00:07:18,845 आपके पास यह समस्या थी जिसका अनुमान कई छोटी संख्याओं के योग से लगाया जा सकता था, -109 +106 00:07:18,845 --> 00:07:24,060 जिनमें से प्रत्येक 0 और 3 के बीच के r के मानों के लिए 2 pi r गुना dr जैसा दिखता था। -110 +107 00:07:26,600 --> 00:07:31,875 याद रखें, यहां छोटी संख्या dr प्रत्येक रिंग की मोटाई के लिए हमारी पसंद को दर्शाती है, -111 +108 00:07:31,875 --> 00:07:32,980 उदाहरण के लिए 0।1. -112 +109 00:07:33,520 --> 00:07:35,640 और यहां ध्यान देने योग्य दो महत्वपूर्ण बातें हैं। -113 +110 00:07:36,080 --> 00:07:41,255 सबसे पहले, न केवल dr उन मात्राओं में एक कारक है जिन्हें हम जोड़ रहे हैं, -114 +111 00:07:41,255 --> 00:07:45,580 2 pi r गुणा dr, यह r के विभिन्न मानों के बीच अंतर भी देता है। -115 +112 00:07:46,240 --> 00:07:50,520 दूसरे, डॉ. के लिए हमारी पसंद जितनी छोटी होगी, अनुमान उतना ही बेहतर होगा। -116 +113 00:07:52,200 --> 00:07:55,513 उन सभी संख्याओं को जोड़ने को एक अलग, बहुत ही चतुर तरीके से -117 +114 00:07:55,513 --> 00:08:00,286 देखा जा सकता है जैसे कि एक ग्राफ़ के नीचे बैठे कई पतले आयतों के क्षेत्रों को जोड़ना, -118 +115 00:08:00,286 --> 00:08:02,420 इस मामले में फ़ंक्शन 2 pi r का ग्राफ़। -119 +116 00:08:02,940 --> 00:08:08,306 फिर, और यह महत्वपूर्ण है, मूल समस्या के बेहतर और बेहतर अनुमानों के अनुरूप, -120 +117 00:08:08,306 --> 00:08:11,669 डॉ के लिए छोटे और छोटे विकल्पों पर विचार करके, -121 +118 00:08:11,669 --> 00:08:15,318 उन आयतों के समग्र क्षेत्र के रूप में सोचा गया योग, -122 +119 00:08:15,318 --> 00:08:18,180 ग्राफ़ के नीचे के क्षेत्र तक पहुंचता है। -123 +120 00:08:19,000 --> 00:08:23,344 और उसके कारण, आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मूल प्रश्न का उत्तर, -124 +121 00:08:23,344 --> 00:08:28,520 पूरी तरह से अप्रमाणित परिशुद्धता में, इस ग्राफ़ के नीचे के क्षेत्र के समान ही है। -125 +122 00:08:30,860 --> 00:08:34,975 गणित और विज्ञान में कई अन्य कठिन समस्याओं को तोड़ा जा सकता है और कई छोटी -126 +123 00:08:34,975 --> 00:08:37,963 मात्राओं के योग के रूप में अनुमानित किया जा सकता है, -127 +124 00:08:37,963 --> 00:08:42,305 जैसे कि समय में प्रत्येक बिंदु पर अपने वेग के आधार पर यह पता लगाना कि एक कार -128 +125 00:08:42,305 --> 00:08:43,940 ने कितनी दूर तक यात्रा की है। -129 +126 00:08:44,760 --> 00:08:48,797 ऐसे मामले में, आप समय में कई अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजर सकते हैं, -130 +127 00:08:48,797 --> 00:08:53,963 और प्रत्येक बिंदु पर उस समय के वेग को समय में एक छोटे से परिवर्तन से गुणा कर सकते हैं, -131 +128 00:08:53,963 --> 00:08:58,180 डीटी, जो उस छोटे से समय के दौरान तय की गई दूरी का थोड़ा सा हिस्सा देगा। -132 +129 00:08:59,260 --> 00:09:03,906 मैं श्रृंखला में बाद में इस तरह के उदाहरणों के बारे में विस्तार से बात करूंगा, -133 +130 00:09:03,906 --> 00:09:08,199 लेकिन उच्च स्तर पर इस प्रकार की कई समस्याएं कुछ ग्राफ़ के तहत क्षेत्र को -134 +131 00:09:08,199 --> 00:09:12,140 खोजने के बराबर हो जाती हैं, ठीक उसी तरह जैसे हमारी सर्कल समस्या थी। -135 +132 00:09:13,200 --> 00:09:18,578 ऐसा तब होता है जब आप जो मात्राएँ जोड़ रहे होते हैं, जिसका योग मूल समस्या के करीब होता है, -136 +133 00:09:18,578 --> 00:09:23,240 उसे इस तरह अगल-बगल बैठे कई पतले आयतों के क्षेत्रफल के रूप में सोचा जा सकता है। -137 +134 00:09:24,640 --> 00:09:30,857 यदि मूल समस्या के बारीक और बारीक सन्निकटन पतले और पतले छल्लों के अनुरूप हैं, -138 +135 00:09:30,857 --> 00:09:35,540 तो मूल समस्या कुछ ग्राफ़ के तहत क्षेत्र खोजने के बराबर है। -139 +136 00:09:36,600 --> 00:09:40,609 फिर, यह एक ऐसा विचार है जिसे हम बाद में श्रृंखला में अधिक विस्तार से देखेंगे, -140 +137 00:09:40,609 --> 00:09:43,180 इसलिए चिंता न करें यदि यह अभी 100% स्पष्ट नहीं है। -141 +138 00:09:43,780 --> 00:09:47,176 अब मुद्दा यह है कि आप, एक गणितज्ञ के रूप में, किसी समस्या को एक ग्राफ़ के -142 +139 00:09:47,176 --> 00:09:50,343 अंतर्गत आने वाले क्षेत्र के रूप में पुनः फ़्रेम करके हल कर चुके हैं, -143 +140 00:09:50,343 --> 00:09:53,877 हो सकता है कि आप यह सोचना शुरू कर दें कि अन्य ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्रों को -144 +141 00:09:53,877 --> 00:09:54,520 कैसे खोजा जाए। -145 +142 00:09:55,640 --> 00:10:00,220 मेरा मतलब है, हम वृत्त की समस्या में भाग्यशाली थे कि संबंधित क्षेत्र एक त्रिकोण बन गया, -146 +143 00:10:00,220 --> 00:10:03,760 लेकिन इसके बजाय एक परवलय, x2 के ग्राफ जैसी किसी चीज़ की कल्पना करें। -147 +144 00:10:04,760 --> 00:10:10,680 उस वक्र के नीचे का क्षेत्रफल क्या है, मान लीजिए कि x का मान 0 और x का मान 3 है? -148 +145 00:10:12,080 --> 00:10:14,760 खैर, इसके बारे में सोचना कठिन है, है ना? -149 +146 00:10:15,220 --> 00:10:18,020 और मुझे उस प्रश्न को थोड़ा अलग तरीके से दोबारा लिखने दीजिए। -150 +147 00:10:18,020 --> 00:10:23,060 हम उस बाएँ समापन बिंदु को 0 पर ठीक करेंगे, और दाएँ समापन बिंदु को भिन्न होने देंगे। -151 +148 00:10:26,860 --> 00:10:30,248 क्या आप x का कोई फ़ंक्शन, a ढूंढने में सक्षम हैं, -152 +149 00:10:30,248 --> 00:10:34,180 जो आपको 0 और x के बीच इस परवलय के अंतर्गत क्षेत्र देता है? -153 +150 00:10:35,620 --> 00:10:39,580 इस प्रकार x का एक फलन a, x2 का समाकलन कहलाता है। -154 +151 00:10:40,500 --> 00:10:44,750 कैलकुलस अपने भीतर यह पता लगाने के लिए उपकरण रखता है कि इस तरह का अभिन्न अंग क्या है, -155 +152 00:10:44,750 --> 00:10:47,200 लेकिन अभी यह हमारे लिए सिर्फ एक रहस्यमय कार्य है। -156 +153 00:10:47,500 --> 00:10:50,950 हम जानते हैं कि यह x2 के ग्राफ़ के अंतर्गत कुछ निश्चित बाएँ बिंदु और कुछ -157 +154 00:10:50,950 --> 00:10:54,920 परिवर्तनशील दाएँ बिंदु के बीच का क्षेत्र देता है, लेकिन हम नहीं जानते कि यह क्या है। -158 +155 00:10:55,660 --> 00:10:58,292 और फिर, हम इस प्रकार के प्रश्न की परवाह करते हैं, -159 +156 00:10:58,292 --> 00:11:00,978 इसका कारण केवल कठिन ज्यामिति प्रश्न पूछना नहीं है, -160 +157 00:11:00,978 --> 00:11:05,085 ऐसा इसलिए है क्योंकि कई व्यावहारिक समस्याएं जिन्हें बड़ी संख्या में छोटी-छोटी -161 +158 00:11:05,085 --> 00:11:09,140 चीजों को जोड़कर अनुमानित किया जा सकता है, उन्हें एक प्रश्न के रूप में फिर से -162 +159 00:11:09,140 --> 00:11:12,300 तैयार किया जा सकता है। एक निश्चित ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र. -163 +160 00:11:13,420 --> 00:11:18,265 और मैं आपको अभी बताऊंगा कि इस क्षेत्र, इस अभिन्न कार्य को खोजना वास्तव में कठिन है, -164 +161 00:11:18,265 --> 00:11:21,956 और जब भी आपके सामने गणित में कोई वास्तव में कठिन प्रश्न आता है, -165 +162 00:11:21,956 --> 00:11:26,225 तो एक अच्छी नीति यह है कि सीधे उत्तर पाने के लिए बहुत अधिक प्रयास न करें, -166 +163 00:11:26,225 --> 00:11:29,340 क्योंकि आमतौर पर आप अपना सिर दीवार से टकराने लगते हैं। -167 +164 00:11:30,080 --> 00:11:33,780 इसके बजाय, बिना किसी विशेष लक्ष्य को ध्यान में रखते हुए, विचार के साथ खेलें। -168 +165 00:11:34,340 --> 00:11:37,382 ग्राफ़ को परिभाषित करने वाले फ़ंक्शन, इस मामले में x2, -169 +166 00:11:37,382 --> 00:11:42,360 और क्षेत्र बताने वाले फ़ंक्शन के बीच परस्पर क्रिया से परिचित होने में कुछ समय व्यतीत करें। -170 +167 00:11:44,090 --> 00:11:48,020 उस चंचल भावना में, यदि आप भाग्यशाली हैं, तो यहां कुछ ऐसा है जिसे आप नोटिस कर सकते हैं। -171 +168 00:11:48,580 --> 00:11:51,786 जब आप x को कुछ छोटी सी हलचल dx से थोड़ा बढ़ाते हैं, -172 +169 00:11:51,786 --> 00:11:55,486 तो क्षेत्र में परिणामी परिवर्तन को देखें, जिसे इस स्लिवर से -173 +170 00:11:55,486 --> 00:12:00,420 दर्शाया जाता है जिसे मैं dA कहने जा रहा हूँ, क्षेत्र में एक छोटे से अंतर के लिए। -174 +171 00:12:01,380 --> 00:12:05,993 उस ज़ुल्फ़ को एक आयत के साथ बहुत अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है, -175 +172 00:12:05,993 --> 00:12:08,620 जिसकी ऊँचाई x2 है, और जिसकी चौड़ाई dx है। -176 +173 00:12:09,660 --> 00:12:12,478 और उस नज डीएक्स का आकार जितना छोटा होगा, वह स्लिवर -177 +174 00:12:12,478 --> 00:12:15,020 वास्तव में उतना ही अधिक आयताकार जैसा दिखता है। -178 +175 00:12:16,800 --> 00:12:21,080 अब यह हमें यह सोचने का एक दिलचस्प तरीका देता है कि x का A, x2 से कैसे संबंधित है। -179 +176 00:12:22,000 --> 00:12:26,395 ए के आउटपुट में परिवर्तन, यह छोटा सा डीए, लगभग x2 के बराबर है, -180 +177 00:12:26,395 --> 00:12:30,162 जहां x वह इनपुट है जिसे आपने प्रारंभ किया था, समय dx, -181 +178 00:12:30,162 --> 00:12:34,000 इनपुट में थोड़ा सा धक्का जिसके कारण A में परिवर्तन हुआ। -182 +179 00:12:34,780 --> 00:12:38,356 या पुनर्व्यवस्थित, dA को dx से विभाजित किया जाता है, -183 +180 00:12:38,356 --> 00:12:43,822 A में एक छोटे से परिवर्तन और x में उस छोटे परिवर्तन का अनुपात जिसके कारण यह हुआ, -184 +181 00:12:43,822 --> 00:12:45,780 उस बिंदु पर लगभग जो भी x2 है। -185 +182 00:12:46,560 --> 00:12:50,960 और यह एक अनुमान है जो डीएक्स के छोटे और छोटे विकल्पों के लिए बेहतर और बेहतर होना चाहिए। -186 +183 00:12:52,100 --> 00:12:56,064 दूसरे शब्दों में, हम नहीं जानते कि x का A क्या है, यह एक रहस्य बना हुआ है, -187 +184 00:12:56,064 --> 00:12:59,500 लेकिन हम एक संपत्ति जानते हैं जो इस रहस्य फ़ंक्शन में होनी चाहिए। -188 +185 00:13:00,160 --> 00:13:05,313 जब आप दो निकटवर्ती बिंदुओं को देखते हैं, उदाहरण के लिए 3 और 3। -189 +186 00:13:05,313 --> 00:13:10,800 001, उन दो बिंदुओं के बीच ए के आउटपुट में परिवर्तन पर विचार करें, -190 +187 00:13:10,800 --> 00:13:16,120 3 पर मूल्यांकन किए गए रहस्य फ़ंक्शन के बीच का अंतर।001 और 3.001. -191 +188 00:13:16,120 --> 00:13:22,148 वह परिवर्तन, इनपुट मानों के अंतर से विभाजित होता है, जो इस मामले में 0 है।001, -192 +189 00:13:22,148 --> 00:13:28,100 प्रारंभिक इनपुट के लिए x2 के मान के लगभग बराबर होना चाहिए, इस मामले में 3।000. -193 +190 00:13:30,200 --> 00:13:36,256 और रहस्य फ़ंक्शन में छोटे बदलावों और x2 के मूल्यों के बीच का यह संबंध केवल 3 ही नहीं, -194 +191 00:13:36,256 --> 00:13:38,440 बल्कि सभी इनपुट पर सत्य है।000. -195 +192 00:13:39,420 --> 00:13:41,734 यह हमें तुरंत नहीं बताता कि x में से A को कैसे खोजा जाए, -196 +193 00:13:41,734 --> 00:13:44,820 लेकिन यह एक बहुत ही मजबूत सुराग प्रदान करता है जिसके साथ हम काम कर सकते हैं। -197 +194 00:13:46,260 --> 00:13:48,740 और यहां ग्राफ x2 के बारे में कुछ खास नहीं है। -198 +195 00:13:49,280 --> 00:13:54,433 कुछ ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र के रूप में परिभाषित किसी भी फ़ंक्शन में यह गुण होता है, -199 +196 00:13:54,433 --> 00:13:59,406 कि da को dx से विभाजित किया जाता है, A के आउटपुट को एक मामूली धक्का से उस इनपुट से -200 +197 00:13:59,406 --> 00:14:04,500 विभाजित किया जाता है जिसके कारण यह हुआ, उस पर ग्राफ़ की ऊंचाई के बराबर होता है बिंदु। -201 +198 00:14:06,200 --> 00:14:10,360 फिर, यह एक अनुमान है जो dx के छोटे विकल्पों के लिए बेहतर और बेहतर होता जाता है। -202 +199 00:14:11,640 --> 00:14:16,040 और यहां, हम कैलकुलस, डेरिवेटिव से एक और बड़े विचार में उलझ रहे हैं। -203 +200 00:14:17,100 --> 00:14:22,762 dx द्वारा विभाजित इस अनुपात da को A का व्युत्पन्न कहा जाता है, या अधिक तकनीकी रूप से, -204 +201 00:14:22,762 --> 00:14:27,240 व्युत्पन्न वह है जो यह अनुपात dx के छोटे और छोटे होने पर पहुंचता है। -205 +202 00:14:28,180 --> 00:14:31,628 मैं अगले वीडियो में व्युत्पन्न के विचार पर और अधिक गहराई से विचार करूंगा, -206 +203 00:14:31,628 --> 00:14:34,470 लेकिन मोटे तौर पर कहें तो यह इस बात का माप है कि कोई फ़ंक्शन -207 +204 00:14:34,470 --> 00:14:37,080 अपने इनपुट में छोटे बदलावों के प्रति कितना संवेदनशील है। -208 +205 00:14:37,940 --> 00:14:40,724 जैसे-जैसे श्रृंखला आगे बढ़ेगी आप देखेंगे कि ऐसे कई तरीके हैं जिनसे आप किसी -209 +206 00:14:40,724 --> 00:14:43,695 व्युत्पन्न की कल्पना कर सकते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप किस फ़ंक्शन -210 +207 00:14:43,695 --> 00:14:46,740 को देख रहे हैं और आप इसके आउटपुट में छोटे-छोटे बदलावों के बारे में कैसे सोचते हैं। -211 +208 00:14:48,600 --> 00:14:51,338 और हम डेरिवेटिव के बारे में परवाह करते हैं क्योंकि वे हमें -212 +209 00:14:51,338 --> 00:14:54,540 समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं, और यहां हमारी छोटी सी खोज में, -213 +210 00:14:54,540 --> 00:14:57,140 हमें पहले से ही उनके उपयोग के एक तरीके की झलक मिल गई है। -214 +211 00:14:57,840 --> 00:15:00,630 वे अभिन्न प्रश्नों को हल करने की कुंजी हैं, ऐसी समस्याएं -215 +212 00:15:00,630 --> 00:15:03,420 जिनके लिए वक्र के नीचे क्षेत्र खोजने की आवश्यकता होती है। -216 +213 00:15:04,360 --> 00:15:08,360 एक बार जब आप कंप्यूटिंग डेरिवेटिव के साथ पर्याप्त परिचित हो जाते हैं, -217 +214 00:15:08,360 --> 00:15:12,931 तो आप इस तरह की स्थिति को देख पाएंगे, जहां आप नहीं जानते कि एक फ़ंक्शन क्या है, -218 +215 00:15:12,931 --> 00:15:15,960 लेकिन आप जानते हैं कि इसका व्युत्पन्न x2 होना चाहिए, -219 +216 00:15:15,960 --> 00:15:18,760 और उस रिवर्स इंजीनियर से क्या फ़ंक्शन होना चाहिए. -220 +217 00:15:20,700 --> 00:15:23,654 और इंटीग्रल और डेरिवेटिव के बीच यह आगे और पीछे, -221 +218 00:15:23,654 --> 00:15:27,717 जहां एक ग्राफ के तहत क्षेत्र के लिए एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न आपको -222 +219 00:15:27,717 --> 00:15:30,857 ग्राफ़ को परिभाषित करने वाला फ़ंक्शन वापस देता है, -223 +220 00:15:30,857 --> 00:15:33,320 इसे कैलकुलस का मौलिक प्रमेय कहा जाता है। -224 +221 00:15:34,220 --> 00:15:37,914 यह अभिन्न और व्युत्पन्न के दो बड़े विचारों को एक साथ जोड़ता है, -225 +222 00:15:37,914 --> 00:15:42,360 और यह दर्शाता है कि कैसे, कुछ अर्थों में, प्रत्येक एक दूसरे का व्युत्क्रम है। -226 +223 00:15:44,800 --> 00:15:47,383 यह सब केवल एक उच्च-स्तरीय दृश्य है, कैलकुलस में -227 +224 00:15:47,383 --> 00:15:49,860 उभरने वाले कुछ मूल विचारों की एक झलक मात्र है। -228 +225 00:15:50,500 --> 00:15:54,420 और इस श्रृंखला में डेरिवेटिव और इंटीग्रल और बहुत कुछ के विवरण शामिल हैं। -229 +226 00:15:54,980 --> 00:15:58,759 सभी बिंदुओं पर, मैं चाहता हूं कि आप यह महसूस करें कि आप स्वयं कैलकुलस -230 +227 00:15:58,759 --> 00:16:02,485 का आविष्कार कर सकते थे, कि यदि आपने सही चित्र बनाए और प्रत्येक विचार -231 +228 00:16:02,485 --> 00:16:06,426 के साथ सही तरीके से खेला, तो प्रस्तुत किए गए ये सूत्र और नियम और निर्माण -232 +229 00:16:06,426 --> 00:16:10,260 आसानी से सामने आ सकते थे। आपके अपने अन्वेषणों से स्वाभाविक रूप से बाहर। -233 +230 00:16:12,380 --> 00:16:17,992 और आपके जाने से पहले, पैट्रियन पर इस श्रृंखला का समर्थन करने वाले लोगों को उनकी वित्तीय -234 +231 00:16:17,992 --> 00:16:23,477 सहायता के साथ-साथ श्रृंखला के विकास के दौरान दिए गए सुझावों के लिए धन्यवाद न देना गलत -235 +232 00:16:23,477 --> 00:16:23,860 लगेगा। -236 +233 00:16:24,700 --> 00:16:28,084 आप देखिए, जैसे ही मैंने वीडियो बनाए, समर्थकों को उन तक शीघ्र पहुंच मिल गई, -237 +234 00:16:28,084 --> 00:16:31,560 और उन्हें भविष्य में सार-प्रकार की श्रृंखलाओं के लिए शीघ्र पहुंच मिलती रहेगी। -238 +235 00:16:32,140 --> 00:16:34,347 और समुदाय को धन्यवाद देने के लिए, मैं पहले महीने -239 +236 00:16:34,347 --> 00:16:36,240 के लिए नए वीडियो के विज्ञापन बंद रखता हूँ। -240 +237 00:16:37,020 --> 00:16:40,575 मैं अब भी आश्चर्यचकित हूं कि मैं इस तरह के वीडियो पर काम करने में समय बिता सकता हूं, -241 +238 00:16:40,575 --> 00:16:43,420 और बहुत ही सीधे तरीके से, आप इसके लिए धन्यवाद देने वाले व्यक्ति हैं। diff --git a/2017/essence-of-calculus/italian/auto_generated.srt b/2017/essence-of-calculus/italian/auto_generated.srt index e76731102..9e2dbd20e 100644 --- a/2017/essence-of-calculus/italian/auto_generated.srt +++ b/2017/essence-of-calculus/italian/auto_generated.srt @@ -48,19 +48,19 @@ il fatto che gli integrali e le derivate sono opposti, la serie di Taylor, e mol 13 00:00:52,960 --> 00:00:57,080 -E il mio obiettivo è che tu ti senta come se avresti potuto inventare il calcolo da solo. +E il mio obiettivo è che tu ti senta come se avresti potuto inventare l'analisi da solo. 14 -00:00:57,640 --> 00:01:00,232 +00:00:57,640 --> 00:01:00,216 Ovvero, trattare tutte quelle idee fondamentali, 15 -00:01:00,232 --> 00:01:03,830 +00:01:00,216 --> 00:01:03,791 ma in modo da renderne chiara l'origine e il loro vero significato, 16 -00:01:03,830 --> 00:01:06,000 -utilizzando un approccio visivo completo. +00:01:03,791 --> 00:01:06,000 +utilizzando un approccio visuale completo. 17 00:01:06,920 --> 00:01:10,357 @@ -103,16 +103,16 @@ Forse sai che è il pi greco per il suo raggio al quadrato, ma perché? C'è un modo carino per pensare alla provenienza di questa formula? 27 -00:01:45,420 --> 00:01:49,392 -Beh, riflettere su questo problema e aprirsi all'esplorazione dei pensieri +00:01:45,420 --> 00:01:49,262 +Beh, riflettere su questo problema e aprirti all'esplorazione dei pensieri 28 -00:01:49,392 --> 00:01:53,523 -interessanti che ne derivano può condurti effettivamente a una visione di tre +00:01:49,262 --> 00:01:53,411 +interessanti che ne derivano può condurti effettivamente ad avere uno sguardo su 29 -00:01:53,523 --> 00:01:57,920 -grandi idee nel calcolo: integrali, derivate e il fatto che siano opposte tra loro. +00:01:53,411 --> 00:01:57,920 +tre grandi idee dell'analisi: integrali, derivate e il fatto che siano opposte tra loro. 30 00:01:59,840 --> 00:02:04,840 @@ -191,786 +191,794 @@ Beh, dipende da quanto finemente hai suddiviso il cerchio inizialmente, il che era un po' arbitrario. 49 -00:03:16,340 --> 00:03:20,525 -Nello spirito di utilizzare quella che diventerà la notazione standard del calcolo, +00:03:16,340 --> 00:03:19,886 +Per utilizzare quella che diventerà la notazione standard dell'analisi, 50 -00:03:20,525 --> 00:03:24,960 -chiamiamola spessore dr per una piccola differenza nel raggio da un anello al successivo. +00:03:19,886 --> 00:03:24,270 +chiamiamo quello spessore dr per indicare una piccola differenza nel raggio da un anello 51 -00:03:25,480 --> 00:03:27,880 -Magari puoi pensarlo come qualcosa come 0,1. +00:03:24,270 --> 00:03:24,960 +al successivo. 52 +00:03:25,480 --> 00:03:27,880 +Magari puoi pensarlo come qualcosa tipo 0,1. + +53 00:03:28,980 --> 00:03:33,436 Quindi, approssimando questo anello non avvolto come un rettangolo sottile, -53 +54 00:03:33,436 --> 00:03:37,600 la sua area è 2 pi greco per r, il raggio, per dr, il piccolo spessore. -54 +55 00:03:38,600 --> 00:03:42,302 E anche se non è perfetto, per scelte sempre più piccole di dr, -55 +56 00:03:42,302 --> 00:03:46,525 questa sarà in realtà un'approssimazione sempre migliore per quell'area, -56 +57 00:03:46,525 --> 00:03:51,095 -poiché i lati superiore e inferiore di questa forma si avvicineranno sempre di +poiché i lati superiori e inferiori di questa forma si avvicineranno sempre di -57 +58 00:03:51,095 --> 00:03:52,600 più alla stessa lunghezza. -58 +59 00:03:53,540 --> 00:03:56,165 Quindi andiamo avanti con questa approssimazione, -59 +60 00:03:56,165 --> 00:04:00,470 tenendo a mente che è leggermente sbagliata, ma che diventerà sempre più accurata -60 +61 00:04:00,470 --> 00:04:02,360 per scelte sempre più piccole di dr. -61 +62 00:04:03,220 --> 00:04:06,400 Ovvero, se tagliamo il cerchio in anelli sempre più sottili. -62 -00:04:07,700 --> 00:04:13,840 -Quindi, per riassumere, hai suddiviso l'area del cerchio in tutti questi anelli e stai - 63 -00:04:13,840 --> 00:04:19,840 -approssimando l'area di ciascuno di essi come 2 pi greco volte il suo raggio per dr, +00:04:07,700 --> 00:04:13,735 +Quindi, per riassumere, hai suddiviso l'area del cerchio in tutti questi anelli e stai 64 -00:04:19,840 --> 00:04:25,839 -dove il valore specifico di quel raggio interno varia da 0 per il più piccolo anello +00:04:13,735 --> 00:04:19,631 +approssimando l'area di ciascuno di essi come 2 pi greco volte il suo raggio per dr, 65 -00:04:25,839 --> 00:04:31,980 -a poco meno di 3 per il più grande, distanziati dallo spessore scelto per dr, tipo 0,1. +00:04:19,631 --> 00:04:25,597 +dove il valore specifico di quel raggio interno varia da 0 per l'anello più piccolo a 66 +00:04:25,597 --> 00:04:31,355 +poco meno di 3 per il più grande, distanziati da qualsiasi spessore scelto per dr, + +67 +00:04:31,355 --> 00:04:31,980 +tipo 0,1. + +68 00:04:33,140 --> 00:04:37,304 E osserva che gli intervalli tra i valori qui corrispondono allo spessore -67 +69 00:04:37,304 --> 00:04:41,300 dr di ogni anello, la differenza del raggio da un anello al successivo. -68 +70 00:04:42,260 --> 00:04:46,159 Un modo carino per pensare ai rettangoli che approssimano l'area -69 +71 00:04:46,159 --> 00:04:49,820 di ogni anello è posizionarli tutti dritti lungo questo asse. -70 -00:04:50,660 --> 00:04:55,776 -Ognuno ha uno spessore dr, ecco perché si adattano così bene uno accanto all'altro, - -71 -00:04:55,776 --> 00:05:00,771 -e l'altezza di uno qualsiasi di questi rettangoli sopra un valore specifico di r, - 72 -00:05:00,771 --> 00:05:04,000 -come 0,6, è esattamente 2 pi greco volte quel valore. +00:04:50,660 --> 00:04:55,067 +Ognuno ha uno spessore dr, ed è per questo che si incastrano così bene uno 73 -00:05:04,640 --> 00:05:08,960 -È la circonferenza dell'anello corrispondente che questo rettangolo approssima. +00:04:55,067 --> 00:04:59,474 +accanto all'altro, e l'altezza di uno qualsiasi di questi rettangoli sopra 74 -00:05:09,560 --> 00:05:13,957 -Immagini come questa con 2 pi greco r possono diventare alte per lo schermo; +00:04:59,474 --> 00:05:04,000 +un valore specifico di r, come 0,6, è esattamente 2 pi greco per quel valore. 75 -00:05:13,957 --> 00:05:16,755 -voglio dire che 2 per pi greco per 3 è circa 19, +00:05:04,640 --> 00:05:08,960 +È la circonferenza dell'anello corrispondente che questo rettangolo approssima. 76 -00:05:16,755 --> 00:05:20,752 -quindi mettiamo su un asse y scalato in modo da adattare tutti questi +00:05:09,560 --> 00:05:13,937 +Immagini come questa con 2 pi greco r possono diventare alte per lo schermo; 77 -00:05:20,752 --> 00:05:22,180 -rettangoli sullo schermo. +00:05:13,937 --> 00:05:16,722 +voglio dire che 2 per pi greco per 3 è circa 19, 78 +00:05:16,722 --> 00:05:20,758 +quindi mettiamo su un asse y scalato in modo da far stare tutti questi + +79 +00:05:20,758 --> 00:05:22,180 +rettangoli sullo schermo. + +80 00:05:23,260 --> 00:05:27,577 Un modo simpatico per pensare a questa configurazione è disegnare il grafico di 2 pi r, -79 +81 00:05:27,577 --> 00:05:29,540 che è una linea retta con pendenza 2 pi. -80 +82 00:05:30,100 --> 00:05:34,800 Ciascuno di questi rettangoli si estende fino al punto in cui tocca appena il grafico. -81 +83 00:05:36,000 --> 00:05:37,460 Ancora una volta, siamo approssimativi. -82 +84 00:05:37,900 --> 00:05:40,408 Ognuno di questi rettangoli si avvicina solo all'area -83 +85 00:05:40,408 --> 00:05:42,220 dell'anello corrispondente del cerchio. -84 +86 00:05:42,940 --> 00:05:46,084 Ma ricorda che questa approssimazione, 2 pi greco r per dr, -85 +87 00:05:46,084 --> 00:05:50,800 diventa sempre meno sbagliata man mano che la dimensione di dr diventa sempre più piccola. -86 +88 00:05:51,800 --> 00:05:54,328 E questo ha un significato molto bello quando guardiamo -87 +89 00:05:54,328 --> 00:05:56,540 alla somma delle aree di tutti questi rettangoli. -88 -00:05:57,080 --> 00:06:00,012 -Per grandezze di dr sempre più piccole, si potrebbe pensare - -89 -00:06:00,012 --> 00:06:03,140 -che il problema si trasformi in una somma mostruosamente grande. - 90 -00:06:03,600 --> 00:06:06,232 -Intendo dire, ci sono molti rettangoli da considerare, +00:05:57,080 --> 00:06:00,135 +Per grandezze di dr sempre più piccole, potresti pensare che 91 -00:06:06,232 --> 00:06:09,200 -e la precisione decimale di ciascuna area sarà un vero incubo. +00:06:00,135 --> 00:06:03,140 +il problema si trasformi in una somma mostruosamente grande. 92 -00:06:10,060 --> 00:06:15,300 -Ma nota che tutte le loro aree in aggregato assomigliano all'area di un grafico. +00:06:03,600 --> 00:06:06,306 +Intendo dire che ci sono molti rettangoli da considerare, 93 -00:06:15,980 --> 00:06:19,606 -E quella porzione sotto il grafico è semplicemente un triangolo, +00:06:06,306 --> 00:06:09,200 +e la precisione decimale di ciascuna area sarà un vero incubo. 94 -00:06:19,606 --> 00:06:23,400 -un triangolo con una base di 3 e un'altezza pari a 2 pi greco per 3. +00:06:10,060 --> 00:06:15,300 +Ma nota che tutte le loro aree in aggregato assomigliano all'area sotto un grafico. 95 -00:06:24,140 --> 00:06:27,452 -Quindi la sua area, 1/2 base per altezza, risulta +00:06:15,980 --> 00:06:19,606 +E quella porzione sotto il grafico è semplicemente un triangolo, 96 -00:06:27,452 --> 00:06:30,500 -essere esattamente pi greco per 3 al quadrato. +00:06:19,606 --> 00:06:23,400 +un triangolo con una base di 3 e un'altezza pari a 2 pi greco per 3. 97 -00:06:31,360 --> 00:06:35,010 -Oppure, se il raggio del nostro cerchio originale fosse un altro valore, +00:06:24,140 --> 00:06:27,099 +Quindi la sua area, un mezzo base per altezza, 98 -00:06:35,010 --> 00:06:38,660 -R maiuscola, quell'area risulterebbe essere pi greco volte R al quadrato. +00:06:27,099 --> 00:06:30,500 +risulta essere esattamente pi greco per 3 al quadrato. 99 -00:06:39,380 --> 00:06:41,460 -Questa è la formula dell'area di un cerchio. +00:06:31,360 --> 00:06:35,060 +Oppure, se il raggio del nostro cerchio originale fosse un altro valore, 100 -00:06:42,320 --> 00:06:45,406 -Non importa chi sei o cosa pensi di solito della matematica, +00:06:35,060 --> 00:06:38,660 +R maiuscola, quell'area risulterebbe essere pi greco per R al quadrato. 101 -00:06:45,406 --> 00:06:47,380 -quello lì è un argomento davvero bello. +00:06:39,380 --> 00:06:41,460 +Questa è la formula dell'area di un cerchio. 102 -00:06:50,180 --> 00:06:54,550 -Ma se vuoi pensare come un matematico, non ti interessa solo trovare la risposta, +00:06:42,320 --> 00:06:45,502 +Non importa chi sei o cosa pensi di solito della matematica, 103 -00:06:54,550 --> 00:06:58,920 -ti interessa sviluppare strumenti e tecniche generali di risoluzione dei problemi. +00:06:45,502 --> 00:06:47,380 +questo è un risultato davvero bello. 104 -00:06:59,680 --> 00:07:03,644 -Quindi prenditi un momento per riflettere su cosa è appena successo e perché +00:06:50,180 --> 00:06:54,550 +Ma se vuoi pensare come un matematico, non ti interessa solo trovare la risposta, 105 -00:07:03,644 --> 00:07:07,712 -ha funzionato, perché il modo in cui siamo passati da qualcosa di approssimato +00:06:54,550 --> 00:06:58,920 +ti interessa sviluppare strumenti e tecniche generali di risoluzione dei problemi. 106 -00:07:07,712 --> 00:07:11,780 -a qualcosa di preciso è abbastanza sottile e va al cuore di cosa sia l'analisi. +00:06:59,680 --> 00:07:03,594 +Quindi prenditi un momento per riflettere su cosa è appena successo e perché 107 -00:07:13,820 --> 00:07:17,214 -Avevi questo problema che poteva essere approssimato con la +00:07:03,594 --> 00:07:07,763 +abbia funzionato, perché il modo in cui siamo passati da qualcosa di approssimato 108 -00:07:17,214 --> 00:07:22,079 -somma di molti piccoli numeri, ognuno dei quali assomigliava a 2 pi greco r volte dr, +00:07:07,763 --> 00:07:11,780 +a qualcosa di preciso è abbastanza sottile e va al cuore di cosa sia l'analisi. 109 -00:07:22,079 --> 00:07:24,060 -per valori di r compresi tra 0 e 3. +00:07:13,820 --> 00:07:18,568 +Avevi questo problema che poteva essere approssimato con la somma di molti piccoli 110 +00:07:18,568 --> 00:07:22,057 +numeri, ognuno dei quali assomigliava a 2 pi greco r per dr, + +111 +00:07:22,057 --> 00:07:24,060 +per valori di r compresi tra 0 e 3. + +112 00:07:26,600 --> 00:07:29,848 Ricorda, il piccolo numero dr qui rappresenta la nostra -111 +113 00:07:29,848 --> 00:07:32,980 scelta per lo spessore di ogni anello, ad esempio 0,1. -112 +114 00:07:33,520 --> 00:07:35,640 E ci sono due cose importanti da notare: -113 +115 00:07:36,080 --> 00:07:40,830 Prima di tutto, non solo dr è un fattore delle quantità che stiamo sommando, -114 +116 00:07:40,830 --> 00:07:45,580 2 pi greco r per dr, ma fornisce anche la distanza tra i diversi valori di r. -115 +117 00:07:46,240 --> 00:07:50,520 In secondo luogo, più piccola è la scelta di dr, migliore sarà l'approssimazione. -116 -00:07:52,200 --> 00:07:55,606 -L'aggiunta di tutti questi numeri potrebbe essere vista in modo - -117 -00:07:55,606 --> 00:07:59,226 -intelligente come l'aggiunta delle aree di molti sottili rettangoli - 118 -00:07:59,226 --> 00:08:02,420 -sotto il grafico della funzione 2 pi greco r in questo caso. +00:07:52,200 --> 00:07:55,920 +L'addizione di tutti questi numeri potrebbe essere vista intelligentemente 119 -00:08:02,940 --> 00:08:07,876 -Poi, e questo è fondamentale, considerando scelte sempre più piccole per il dr, +00:07:55,920 --> 00:07:59,443 +come l'addizione delle aree di molti sottili rettangoli che si trovano 120 -00:08:07,876 --> 00:08:12,626 -che corrispondono ad approssimazioni sempre migliori del problema originale, +00:07:59,443 --> 00:08:02,420 +sotto il grafico della funzione 2 pi greco r in questo caso. 121 -00:08:12,626 --> 00:08:18,180 -la somma, pensata come l'area totale di quei rettangoli, si avvicina all'area del grafico. +00:08:02,940 --> 00:08:07,749 +Poi, e questo è fondamentale, considerando scelte sempre più piccole per dr, 122 +00:08:07,749 --> 00:08:12,558 +che corrispondono ad approssimazioni sempre migliori del problema originale, + +123 +00:08:12,558 --> 00:08:18,180 +la somma, pensata come l'area totale di quei rettangoli, si avvicina all'area del grafico. + +124 00:08:19,000 --> 00:08:23,699 E proprio per questo, puoi concludere che la risposta alla domanda originale, -123 +125 00:08:23,699 --> 00:08:28,520 con assoluta precisione, è esattamente la stessa dell'area sotto questo grafico. -124 +126 00:08:30,860 --> 00:08:35,183 Molti altri problemi complessi in matematica e scienze possono essere scomposti -125 +127 00:08:35,183 --> 00:08:38,210 e approssimati come la somma di molte piccole quantità, -126 +128 00:08:38,210 --> 00:08:42,642 come ad esempio calcolare quanto ha percorso un'auto basandosi sulla sua velocità -127 +129 00:08:42,642 --> 00:08:43,940 in ogni punto nel tempo. -128 +130 00:08:44,760 --> 00:08:48,985 In un caso del genere, potresti passare attraverso molti punti nel tempo, -129 +131 00:08:48,985 --> 00:08:53,211 moltiplicando la velocità in ciascuno per un piccolo cambio di tempo, dt, -130 +132 00:08:53,211 --> 00:08:58,180 ottenendo così il corrispondente breve tratto di distanza percorsa in quel breve tempo. -131 +133 00:08:59,260 --> 00:09:03,074 Parleremo dei dettagli di esempi come questo più avanti nella serie, -132 +134 00:09:03,074 --> 00:09:07,275 ma ad alto livello molti di questi tipi di problemi si rivelano equivalenti -133 +135 00:09:07,275 --> 00:09:12,140 alla ricerca dell'area sotto un grafico, più o meno come il nostro problema del cerchio. -134 +136 00:09:13,200 --> 00:09:16,133 Questo accade quando le quantità che stai sommando, -135 +137 00:09:16,133 --> 00:09:18,784 la cui somma approssima il problema originale, -136 +138 00:09:18,784 --> 00:09:23,240 possono essere considerate come le aree di molti rettangoli sottili affiancati. -137 +139 00:09:24,640 --> 00:09:28,113 Se approssimazioni sempre più fini del problema originale -138 +140 00:09:28,113 --> 00:09:31,886 corrispondono ad anelli sempre più sottili, allora il problema -139 +141 00:09:31,886 --> 00:09:35,540 originale è equivalente a trovare l'area sotto di un grafico. -140 +142 00:09:36,600 --> 00:09:40,409 Ancora una volta, è un'idea che vedremo in dettaglio più avanti nella serie, -141 +143 00:09:40,409 --> 00:09:43,180 quindi non preoccuparti se non è chiarissima al momento. -142 +144 00:09:43,780 --> 00:09:47,341 Il punto ora è che tu, come matematico che ha appena risolto un -143 +145 00:09:47,341 --> 00:09:50,346 problema riformulandolo come l'area sotto un grafico, -144 +146 00:09:50,346 --> 00:09:54,520 potresti iniziare a riflettere su come trovare le aree sotto altri grafici. -145 +147 00:09:55,640 --> 00:09:59,700 Abbiamo avuto fortuna nel problema del cerchio che l'area rilevante si è rivelata -146 +148 00:09:59,700 --> 00:10:03,760 essere un triangolo, ma immagina invece una parabola, il grafico di x al quadrato. -147 +149 00:10:04,760 --> 00:10:10,680 Qual è l'area sotto quella curva, diciamo tra i valori di x uguale a 0 e x uguale a 3? -148 +150 00:10:12,080 --> 00:10:14,760 Beh, è difficile pensarci, no? -149 +151 00:10:15,220 --> 00:10:18,020 E permettimi di riformulare quella domanda in modo diverso. -150 +152 00:10:18,020 --> 00:10:23,060 Fisseremo l'estremo sinistro a 0 e lasceremo variare l'estremo destro. -151 +153 00:10:26,860 --> 00:10:34,180 Sei in grado di trovare una funzione, a di x, che ti dia l'area della parabola tra 0 e x? -152 +154 00:10:35,620 --> 00:10:39,580 Una funzione a di x come questa si chiama integrale di x al quadrato. -153 +155 00:10:40,500 --> 00:10:44,530 Il calcolo possiede gli strumenti per capire cosa sia un integrale come questo, -154 +156 00:10:44,530 --> 00:10:47,200 ma al momento è solo una funzione misteriosa per noi. -155 +157 00:10:47,500 --> 00:10:51,106 Sappiamo che dà l'area sotto il grafico di x al quadrato tra un punto -156 +158 00:10:51,106 --> 00:10:54,920 fisso a sinistra e un punto variabile a destra, ma non sappiamo quale sia. -157 +159 00:10:55,660 --> 00:10:59,778 E ancora, il motivo per cui ci interessa questo tipo di domande non è solo -158 +160 00:10:59,778 --> 00:11:02,689 per il gusto di fare domande di geometria difficile, -159 +161 00:11:02,689 --> 00:11:06,753 ma perché molti problemi pratici che possono essere approssimati sommando -160 +162 00:11:06,753 --> 00:11:10,652 un gran numero di piccole cose possono essere riformulati come domande -161 +163 00:11:10,652 --> 00:11:12,300 sull'area di un certo grafico. -162 +164 00:11:13,420 --> 00:11:17,023 Ti dirò subito che trovare questa area, questa funzione integrale, -163 +165 00:11:17,023 --> 00:11:21,111 è davvero difficile e ogni volta che ti imbatti in una domanda genuinamente -164 +166 00:11:21,111 --> 00:11:25,144 difficile in matematica, è meglio non cercare troppo duramente di ottenere -165 +167 00:11:25,144 --> 00:11:29,340 la risposta direttamente, poiché di solito finisci solo per sbattere la testa. -166 +168 00:11:30,080 --> 00:11:33,780 Piuttosto, gioca con l'idea, senza avere in mente un obiettivo particolare. -167 +169 00:11:34,340 --> 00:11:38,299 Dedica un po' di tempo a familiarizzare con l'interazione tra la funzione che -168 +170 00:11:38,299 --> 00:11:42,360 definisce il grafico, in questo caso x al quadrato, e la funzione che dà l'area. -169 +171 00:11:44,090 --> 00:11:48,020 Con questo spirito giocoso, se sei fortunato, ecco qualcosa che potresti notare. -170 +172 00:11:48,580 --> 00:11:52,132 Quando aumenti leggermente x con una piccola variazione dx, -171 +173 00:11:52,132 --> 00:11:54,973 osserva la variazione dell'area che ne risulta, -172 +174 00:11:54,973 --> 00:11:58,821 rappresentata da questa fettina che chiamerò dA per indicare una -173 +175 00:11:58,821 --> 00:12:00,420 piccola differenza di area. -174 +176 00:12:01,380 --> 00:12:05,603 Questo pezzettino può essere approssimato abbastanza bene con un rettangolo, -175 +177 00:12:05,603 --> 00:12:08,620 la cui altezza è x al quadrato e la cui larghezza è dx. -176 +178 00:12:09,660 --> 00:12:15,020 E più piccola è la dimensione di dx, più quella striscia assomiglia a un rettangolo. -177 +179 00:12:16,800 --> 00:12:19,033 Questo ci offre un modo interessante di pensare -178 +180 00:12:19,033 --> 00:12:21,080 a come a di x sia correlato a x al quadrato. -179 +181 00:12:22,000 --> 00:12:24,836 Una variazione dell'output di a, questo piccolo dA, -180 +182 00:12:24,836 --> 00:12:29,472 è approssimativamente uguale a x al quadrato, dove x è l'input con cui hai iniziato, -181 +183 00:12:29,472 --> 00:12:34,000 moltiplicato per dx, la piccola spinta all'input che ha causato la variazione di a. -182 +184 00:12:34,780 --> 00:12:38,446 O riorganizzato, dA diviso per dx, il rapporto tra una piccola -183 +185 00:12:38,446 --> 00:12:42,113 variazione di A e la piccola variazione di x che l'ha causata, -184 +186 00:12:42,113 --> 00:12:45,780 è approssimativamente quello che è x al quadrato in quel punto. -185 +187 00:12:46,560 --> 00:12:48,871 Questa è un'approssimazione che dovrebbe migliorare -186 +188 00:12:48,871 --> 00:12:50,960 sempre più per scelte sempre più piccole di dx. -187 +189 00:12:52,100 --> 00:12:55,640 In altre parole, non sappiamo cosa sia A di x, questo rimane un mistero. -188 +190 00:12:56,080 --> 00:12:59,500 Ma conosciamo una proprietà che questa funzione misteriosa deve avere. -189 +191 00:13:00,160 --> 00:13:04,804 Quando osservi due punti vicini, ad esempio 3 e 3,001, -190 +192 00:13:04,804 --> 00:13:10,124 considera la variazione dell'uscita di A tra questi due punti, -191 +193 00:13:10,124 --> 00:13:16,120 la differenza tra la funzione misteriosa valutata a 3,001 e quella a 3. -192 +194 00:13:16,120 --> 00:13:19,995 Tale variazione, divisa per la differenza dei valori di ingresso, -193 +195 00:13:19,995 --> 00:13:23,930 che in questo caso è 0,001, dovrebbe essere circa uguale al valore -194 +196 00:13:23,930 --> 00:13:28,100 di x al quadrato per l'ingresso iniziale, in questo caso 3 al quadrato. -195 +197 00:13:30,200 --> 00:13:34,291 E questa relazione tra le piccole modifiche alla funzione misteriosa e i -196 +198 00:13:34,291 --> 00:13:38,440 valori di x al quadrato stesso è vera per tutti gli input, non solo per 3. -197 +199 00:13:39,420 --> 00:13:42,002 Questo non ci dice immediatamente come trovare A di x, -198 +200 00:13:42,002 --> 00:13:44,820 ma fornisce un indizio molto forte su cui possiamo lavorare. -199 +201 00:13:46,260 --> 00:13:48,740 E non c'è nulla di speciale nel grafico x al quadrato. -200 +202 00:13:49,280 --> 00:13:54,047 Qualsiasi funzione definita come l'area sotto qualche grafico ha questa proprietà, -201 +203 00:13:54,047 --> 00:13:59,043 che dA diviso dx, una piccola variazione all'output di A diviso una piccola variazione -202 +204 00:13:59,043 --> 00:14:04,155 all'input che l'ha causata, è approssimativamente uguale all'altezza del grafico in quel -203 +205 00:14:04,155 --> 00:14:04,500 punto. -204 +206 00:14:06,200 --> 00:14:08,457 Di nuovo, è un'approssimazione che migliora sempre -205 +207 00:14:08,457 --> 00:14:10,360 di più per scelte sempre più piccole di dx. -206 +208 00:14:11,640 --> 00:14:16,040 E qui ci imbattiamo in un'altra grande idea dell'analisi, le derivate. -207 +209 00:14:17,100 --> 00:14:21,757 Questo rapporto dA diviso per dx è chiamato derivata di A o, più tecnicamente, -208 +210 00:14:21,757 --> 00:14:26,768 derivata di ciò che si avvicina a questo rapporto man mano che dx diventa sempre più -209 +211 00:14:26,768 --> 00:14:27,240 piccolo. -210 +212 00:14:28,180 --> 00:14:30,934 Approfondirò l'idea di derivata nel prossimo video, -211 +213 00:14:30,934 --> 00:14:35,331 ma in linea di massima si tratta di una misura della sensibilità di una funzione a -212 +214 00:14:35,331 --> 00:14:37,080 piccole variazioni del suo input. -213 +215 00:14:37,940 --> 00:14:42,159 Vedrai man mano che la serie continua che ci sono molti modi per visualizzare una -214 +216 00:14:42,159 --> 00:14:46,740 derivata, a seconda della funzione e di come pensi alle piccole variazioni al suo output. -215 +217 00:14:48,600 --> 00:14:52,319 Ci interessano le derivate perché ci aiutano a risolvere i problemi e, -216 +218 00:14:52,319 --> 00:14:56,563 nella nostra piccola esplorazione, abbiamo già intravisto un modo in cui vengono -217 +219 00:14:56,563 --> 00:14:57,140 utilizzate. -218 +220 00:14:57,840 --> 00:15:00,504 Sono la chiave per risolvere gli integrali, ovvero i -219 +221 00:15:00,504 --> 00:15:03,420 problemi che richiedono di trovare l'area sotto una curva. -220 +222 00:15:04,360 --> 00:15:08,203 Una volta acquisita sufficiente familiarità con il calcolo delle derivate, -221 +223 00:15:08,203 --> 00:15:11,021 sarai in grado di guardare una situazione come questa, -222 +224 00:15:11,021 --> 00:15:15,480 dove non conosci la funzione ma sai che la sua derivata dovrebbe essere x al quadrato, -223 +225 00:15:15,480 --> 00:15:18,760 e da ciò dedurre in retrospettiva quale deve essere la funzione. -224 +226 00:15:20,700 --> 00:15:24,965 Questo tira e molla tra integrali e derivate, in cui la derivata di una -225 +227 00:15:24,965 --> 00:15:28,994 funzione per l'area sotto un grafico ti restituisce la funzione che -226 +228 00:15:28,994 --> 00:15:33,320 definisce il grafico stesso, è chiamato teorema fondamentale del calcolo. -227 +229 00:15:34,220 --> 00:15:37,807 Collega le due grandi idee di integrali e derivate, -228 +230 00:15:37,807 --> 00:15:42,360 e mostra come, in un certo senso, ognuna sia l'inversa dell'altra. -229 +231 00:15:44,800 --> 00:15:47,475 Tutto questo è solo una visione, uno sguardo ad alcune -230 +232 00:15:47,475 --> 00:15:49,860 delle idee fondamentali che emergono nel calcolo. -231 +233 00:15:50,500 --> 00:15:54,420 E ciò che segue in questa serie sono i dettagli, per derivate, integrali e altro. -232 +234 00:15:54,980 --> 00:15:59,026 In ogni momento, voglio che tu senta di poter inventato il calcolo da solo, -233 +235 00:15:59,026 --> 00:16:03,498 che se avessi disegnato le giuste immagini e giocato con ogni idea nel modo giusto, -234 +236 00:16:03,498 --> 00:16:07,118 queste formule, regole e costrutti che vengono presentati avrebbero -235 +237 00:16:07,118 --> 00:16:10,260 potuto emergere naturalmente dalle tue stesse esplorazioni. -236 +238 00:16:12,380 --> 00:16:16,053 E prima che tu te ne vada, sarebbe sbagliato non ringraziare le -237 +239 00:16:16,053 --> 00:16:19,153 persone che hanno supportato questa serie su Patreon, -238 +240 00:16:19,153 --> 00:16:23,860 sia per il contributo finanziario che per i suggerimenti dati durante lo sviluppo. -239 +241 00:16:24,700 --> 00:16:28,154 Vedi, i sostenitori hanno avuto accesso anticipato ai video mentre li -240 +242 00:16:28,154 --> 00:16:31,560 realizzavo e continueranno ad averlo per future serie "L'essenza di". -241 +243 00:16:32,140 --> 00:16:34,279 Ringraziando la community, mantengo gli annunci -242 +244 00:16:34,279 --> 00:16:36,240 disabilitati sui video per il mese iniziale. -243 +245 00:16:37,020 --> 00:16:41,286 Sono ancora stupito che possa dedicare del tempo a lavorare su video come questi, -244 +246 00:16:41,286 --> 00:16:43,420 e sei tu quello a cui dovrei dire grazie. diff --git a/2017/essence-of-calculus/spanish/auto_generated.srt b/2017/essence-of-calculus/spanish/auto_generated.srt index 9de60dd8b..e2893aaf4 100644 --- a/2017/essence-of-calculus/spanish/auto_generated.srt +++ b/2017/essence-of-calculus/spanish/auto_generated.srt @@ -48,7 +48,7 @@ series de Taylor, muchas cosas así. 13 00:00:52,960 --> 00:00:57,080 -Y mi objetivo es que usted se sienta como si usted mismo hubiera inventado el cálculo. +Y mi objetivo es que te sientas como si tú mismo hubieras inventado el cálculo. 14 00:00:57,640 --> 00:01:01,868 @@ -67,32 +67,32 @@ Inventar matemáticas no es una broma y hay una diferencia entre que te digan por qué algo es cierto y generarlo desde cero. 18 -00:01:14,680 --> 00:01:18,920 +00:01:14,680 --> 00:01:19,093 Pero en todo momento quiero que pienses: si fueras uno de los primeros matemáticos, 19 -00:01:18,920 --> 00:01:22,403 -reflexionaras sobre estas ideas y dibujaras los diagramas correctos, +00:01:19,093 --> 00:01:22,299 +jugando con estas ideas y dibujando los diagramas correctos, 20 -00:01:22,403 --> 00:01:26,240 -¿te parece razonable que hubieras tropezado con estas verdades por ti mismo? +00:01:22,299 --> 00:01:26,240 +¿te parece razonable que tú también hubieses llegado a las mismas verdades? 21 -00:01:26,820 --> 00:01:30,213 -En este vídeo inicial, quiero mostrar cómo puedes tropezar con +00:01:26,820 --> 00:01:30,142 +En este vídeo inicial, quiero mostrar cómo podrías encontrarte 22 -00:01:30,213 --> 00:01:33,607 -las ideas centrales del cálculo al pensar muy profundamente en +00:01:30,142 --> 00:01:33,517 +con las ideas centrales del cálculo al pensar muy profundamente 23 -00:01:33,607 --> 00:01:36,840 -una parte específica de la geometría, el área de un círculo. +00:01:33,517 --> 00:01:36,840 +en una parte específica de la geometría, el área de un círculo. 24 00:01:37,780 --> 00:01:41,040 -Quizás sepas que esto es pi multiplicado por su radio al cuadrado, pero ¿por qué? +Quizás sepas que esto es pi por el radio al cuadrado, pero ¿por qué? 25 00:01:41,580 --> 00:01:44,460 diff --git a/2017/gradient-descent/italian/auto_generated.srt b/2017/gradient-descent/italian/auto_generated.srt index 9d2af3f86..ee1b201b9 100644 --- a/2017/gradient-descent/italian/auto_generated.srt +++ b/2017/gradient-descent/italian/auto_generated.srt @@ -87,1186 +87,1174 @@ neuroni ciascuno, la rete ha circa 13.000 pesi e bias che possiamo regolare, e sono questi valori che determinano esattamente cosa fa effettivamente la rete. 23 -00:01:24,880 --> 00:01:29,137 -Quindi ciò che intendiamo quando diciamo che questa rete classifica una determinata cifra +00:01:24,880 --> 00:01:29,140 +Quindi ciò che intendiamo quando diciamo che questa rete classifica una cifra è che 24 -00:01:29,137 --> 00:01:33,300 -è che il più luminoso di quei 10 neuroni nello strato finale corrisponde a quella cifra. +00:01:29,140 --> 00:01:33,300 +il più luminoso di quei 10 neuroni nello strato finale corrisponde a quella cifra. 25 -00:01:34,100 --> 00:01:37,660 +00:01:34,100 --> 00:01:37,710 E ricorda, la motivazione che avevamo in mente qui per la struttura a 26 -00:01:37,660 --> 00:01:41,017 -strati era che forse il secondo strato poteva riprendere i bordi, +00:01:37,710 --> 00:01:41,011 +strati era che forse il secondo strato poteva rilevare i bordi, 27 -00:01:41,017 --> 00:01:44,323 +00:01:41,011 --> 00:01:44,364 e il terzo strato poteva riprendere modelli come anelli e linee, 28 -00:01:44,323 --> 00:01:48,800 -e l'ultimo poteva semplicemente mettere insieme quelli modelli per riconoscere le cifre. +00:01:44,364 --> 00:01:48,800 +e l'ultimo poteva semplicemente mettere insieme quei modelli per riconoscere le cifre. 29 00:01:49,800 --> 00:01:52,240 -Quindi qui impariamo come apprende la rete. +Quindi, ora impariamo come apprende la rete. 30 -00:01:52,640 --> 00:01:57,010 -Quello che vogliamo è un algoritmo in cui puoi mostrare a questa rete un sacco di dati di +00:01:52,640 --> 00:01:56,903 +Quello che vogliamo è un algoritmo che mostra a questa rete un sacco di dati di 31 -00:01:57,010 --> 00:02:01,282 -addestramento, che si presentano sotto forma di un mucchio di immagini diverse di cifre +00:01:56,903 --> 00:02:01,486 +addestramento, nella forma di un mucchio di immagini diverse di cifre scritte a mano, 32 -00:02:01,282 --> 00:02:04,827 -scritte a mano, insieme alle etichette per quello che dovrebbero essere, +00:02:01,486 --> 00:02:04,470 +insieme alle etichette di quello che dovrebbero essere, 33 -00:02:04,827 --> 00:02:09,148 -e sarà aggiustare questi 13.000 pesi e bias in modo da migliorare le sue prestazioni sui +00:02:04,470 --> 00:02:08,840 +e che aggiusta questi 13.000 pesi e bias in modo da migliorare le sue prestazioni 34 -00:02:09,148 --> 00:02:10,120 -dati di allenamento. +00:02:08,840 --> 00:02:10,120 +sui dati di allenamento. 35 -00:02:10,720 --> 00:02:13,694 -Si spera che questa struttura a strati significhi che ciò che +00:02:10,720 --> 00:02:13,711 +Si spera che questa struttura a strati apprenda qualcosa 36 -00:02:13,694 --> 00:02:16,860 -apprende si generalizzi in immagini oltre i dati di addestramento. +00:02:13,711 --> 00:02:16,860 +che si generalizzi a immagini oltre i dati di addestramento. 37 -00:02:17,640 --> 00:02:20,958 -Il modo in cui lo testiamo è che dopo aver addestrato la rete, +00:02:17,640 --> 00:02:20,920 +Il modo in cui la testiamo è che dopo aver addestrato la rete, 38 -00:02:20,958 --> 00:02:25,541 -le mostri più dati etichettati mai visti prima e vedi con quanta precisione classifica +00:02:20,920 --> 00:02:25,190 +le si mostra più dati etichettati mai visti prima e si vede con quanta precisione 39 -00:02:25,541 --> 00:02:26,700 -quelle nuove immagini. +00:02:25,190 --> 00:02:26,700 +classifica le nuove immagini. 40 -00:02:31,120 --> 00:02:35,039 +00:02:31,120 --> 00:02:35,327 Fortunatamente per noi, e ciò che rende questo esempio così comune per cominciare, 41 -00:02:35,039 --> 00:02:38,250 -è che le brave persone dietro il database MNIST hanno messo insieme +00:02:35,327 --> 00:02:39,687 +è che le brave persone dietro il dataset MNIST hanno messo insieme decine di migliaia 42 -00:02:38,250 --> 00:02:41,650 -una raccolta di decine di migliaia di immagini di cifre scritte a mano, +00:02:39,687 --> 00:02:44,200 +di immagini scritte a mano, ognuna etichettata con i numeri che dovrebbero rappresentare. 43 -00:02:41,650 --> 00:02:44,200 -ognuna etichettata con i numeri che dovrebbero Essere. - -44 00:02:44,900 --> 00:02:49,046 -E per quanto provocatorio sia descrivere una macchina in grado di apprendere, +E per quanto provocatorio sia parlare di una macchina in grado di apprendere, -45 +44 00:02:49,046 --> 00:02:52,662 una volta visto come funziona, sembra molto meno una folle premessa -46 +45 00:02:52,662 --> 00:02:55,480 fantascientifica e molto più un esercizio di calcolo. -47 +46 00:02:56,200 --> 00:02:59,960 Voglio dire, fondamentalmente si tratta di trovare il minimo di una certa funzione. -48 +47 00:03:01,940 --> 00:03:06,075 Ricorda, concettualmente, pensiamo che ciascun neurone sia connesso a tutti i -49 +48 00:03:06,075 --> 00:03:10,370 neuroni dello strato precedente, e i pesi nella somma ponderata che definisce la -50 +49 00:03:10,370 --> 00:03:14,241 sua attivazione sono un po' come i punti di forza di quelle connessioni, -51 +50 00:03:14,241 --> 00:03:18,960 e il bias è una qualche indicazione di se quel neurone tende ad essere attivo o inattivo. -52 +51 00:03:19,720 --> 00:03:24,400 -E per iniziare, inizializzeremo tutti questi pesi e pregiudizi in modo totalmente casuale. +E per iniziare, inizializzeremo tutti questi pesi e bias in modo totalmente casuale. + +52 +00:03:24,940 --> 00:03:28,575 +Inutile dire che questa rete funzionerà male su un campione di addestramento, 53 -00:03:24,940 --> 00:03:27,867 -Inutile dire che questa rete funzionerà in modo piuttosto orribile su un dato +00:03:28,575 --> 00:03:30,720 +sta semplicemente facendo qualcosa di casuale. 54 -00:03:27,867 --> 00:03:30,720 -esempio di formazione, poiché sta semplicemente facendo qualcosa di casuale. +00:03:31,040 --> 00:03:33,554 +Ad esempio, se inserisci questa immagine di un 3 il 55 -00:03:31,040 --> 00:03:33,530 -Ad esempio, inserisci questa immagine di un 3 e il +00:03:33,554 --> 00:03:36,020 +livello di output sembra semplicemente un disastro. 56 -00:03:33,530 --> 00:03:36,020 -livello di output sembra semplicemente un disastro. +00:03:36,600 --> 00:03:41,471 +Quindi quello che fai è definire una funzione di costo, un modo per dire al computer, 57 -00:03:36,600 --> 00:03:41,265 -Quindi quello che fai è definire una funzione di costo, un modo per dire al computer, +00:03:41,471 --> 00:03:46,228 +no, cattivo computer, l'output dovrebbe avere attivazioni che sono 0 per la maggior 58 -00:03:41,265 --> 00:03:46,039 -no, cattivo computer, che l'output dovrebbe avere attivazioni che sono 0 per la maggior +00:03:46,228 --> 00:03:50,760 +parte dei neuroni, ma 1 per questo neurone, quello che mi hai dato è spazzatura. 59 -00:03:46,039 --> 00:03:50,760 -parte dei neuroni, ma 1 per questo neurone, quello che mi hai dato è totale spazzatura. +00:03:51,720 --> 00:03:55,973 +Per dirlo in modo un po' più matematico, sommi i quadrati delle differenze tra 60 -00:03:51,720 --> 00:03:56,026 -Per dirlo in modo un po' più matematico, sommi i quadrati delle differenze tra +00:03:55,973 --> 00:04:00,658 +ciascuna di quelle attivazioni di output dei rifiuti e il valore che vuoi che abbiano, 61 -00:03:56,026 --> 00:04:00,768 -ciascuna di quelle attivazioni di output dei rifiuti e il valore che vuoi che abbiano, +00:04:00,658 --> 00:04:05,020 +e questo è quello che chiameremo il costo di un singolo esempio di addestramento. 62 -00:04:00,768 --> 00:04:05,020 -e questo è quello che chiameremo il costo di un singolo esempio di formazione. - -63 00:04:05,960 --> 00:04:11,336 Si noti che questa somma è piccola quando la rete classifica correttamente l'immagine -64 +63 00:04:11,336 --> 00:04:16,399 con sicurezza, ma è grande quando sembra che la rete non sappia cosa sta facendo. -65 -00:04:18,640 --> 00:04:22,067 +64 +00:04:18,640 --> 00:04:21,986 Quindi quello che fai è considerare il costo medio di tutte le -66 -00:04:22,067 --> 00:04:25,440 -decine di migliaia di esempi di formazione a tua disposizione. +65 +00:04:21,986 --> 00:04:25,440 +decine di migliaia di esempi di addestramento a tua disposizione. -67 +66 00:04:27,040 --> 00:04:29,938 Questo costo medio è la nostra misura di quanto sia pessima -68 +67 00:04:29,938 --> 00:04:32,740 la rete e di quanto dovrebbe sentirsi pessimo il computer. -69 +68 00:04:33,420 --> 00:04:34,600 E questa è una cosa complicata. -70 -00:04:35,040 --> 00:04:38,831 +69 +00:04:35,040 --> 00:04:38,935 Ricordi che la rete stessa era fondamentalmente una funzione, -71 -00:04:38,831 --> 00:04:42,195 +70 +00:04:38,935 --> 00:04:42,391 che accetta 784 numeri come input, i valori dei pixel, -72 -00:04:42,195 --> 00:04:46,720 +71 +00:04:42,391 --> 00:04:47,040 e restituisce 10 numeri come output, e in un certo senso è parametrizzata +72 +00:04:47,040 --> 00:04:48,800 +da tutti questi pesi e bias? + 73 -00:04:46,720 --> 00:04:48,800 -da tutti questi pesi e pregiudizi? +00:04:49,500 --> 00:04:52,820 +Ebbene, la funzione di costo è uno livello di complessità in più. 74 -00:04:49,500 --> 00:04:52,820 -Ebbene, la funzione di costo è uno strato di complessità in più. +00:04:53,100 --> 00:04:58,620 +Prende come input quei circa 13.000 pesi e bias e sputa un singolo numero che descrive 75 -00:04:53,100 --> 00:04:58,185 -Prende come input quei circa 13.000 pesi e pregiudizi e sputa un singolo numero che +00:04:58,620 --> 00:05:03,760 +quanto siano gravi tali pesi e bias, e il modo in cui viene definito dipende dal 76 -00:04:58,185 --> 00:05:01,332 -descrive quanto siano gravi tali pesi e pregiudizi, +00:05:03,760 --> 00:05:08,900 +comportamento della rete su tutte le decine di migliaia di dati di addestramento. 77 -00:05:01,332 --> 00:05:06,660 -e il modo in cui viene definito dipende dal comportamento della rete su tutte le decine +00:05:09,520 --> 00:05:11,000 +C'è molto a cui pensare. 78 -00:05:06,660 --> 00:05:08,900 -di migliaia di dati di addestramento. +00:05:12,400 --> 00:05:15,820 +Ma limitarsi a insultare il computer non è molto utile. 79 -00:05:09,520 --> 00:05:11,000 -C'è molto a cui pensare. +00:05:16,220 --> 00:05:20,060 +Vuoi dirgli come cambiare quei pesi e bias in modo che migliori. 80 -00:05:12,400 --> 00:05:15,820 -Ma limitarsi a dire al computer che lavoro schifoso sta facendo non è molto utile. +00:05:20,780 --> 00:05:25,685 +Per renderla più semplice, anziché faticare a immaginare una funzione con 13.000 input, 81 -00:05:16,220 --> 00:05:20,060 -Vuoi dirgli come cambiare quei pesi e pregiudizi in modo che migliori. +00:05:25,685 --> 00:05:30,480 +immagina una semplice funzione che abbia un numero come input e un numero come output. 82 -00:05:20,780 --> 00:05:25,658 -Per rendere più semplice, anziché faticare a immaginare una funzione con 13.000 input, +00:05:31,480 --> 00:05:35,300 +Come trovi un input che minimizzi il valore di questa funzione? 83 -00:05:25,658 --> 00:05:30,480 -immagina una semplice funzione che abbia un numero come input e un numero come output. +00:05:36,460 --> 00:05:40,034 +Gli studenti di analisi sapranno che a volte è possibile calcolare 84 -00:05:31,480 --> 00:05:35,300 -Come trovi un input che minimizzi il valore di questa funzione? +00:05:40,034 --> 00:05:44,463 +esplicitamente quel minimo, ma ciò non è sempre fattibile per funzioni complicate, 85 -00:05:36,460 --> 00:05:39,758 -Gli studenti di calcolo sapranno che a volte è possibile calcolare +00:05:44,463 --> 00:05:48,038 +certamente non nella versione da 13.000 input di questa situazione 86 -00:05:39,758 --> 00:05:43,253 -esplicitamente quel minimo, ma ciò non è sempre fattibile per funzioni +00:05:48,038 --> 00:05:51,080 +per la nostra folle funzione di costo della rete neurale. 87 -00:05:43,253 --> 00:05:46,748 -veramente complicate, certamente non nella versione da 13.000 input di - -88 -00:05:46,748 --> 00:05:51,080 -questa situazione per la nostra folle e complicata funzione di costo della rete neurale. - -89 00:05:51,580 --> 00:05:55,390 Una tattica più flessibile è quella di iniziare da qualsiasi input e -90 +88 00:05:55,390 --> 00:05:59,200 capire in quale direzione dovresti procedere per ridurre tale output. -91 +89 00:06:00,080 --> 00:06:03,473 Nello specifico, se riesci a calcolare la pendenza della funzione -92 +90 00:06:03,473 --> 00:06:06,660 nel punto in cui ti trovi, spostati a sinistra se la pendenza -93 +91 00:06:06,660 --> 00:06:09,900 è positiva e sposta l'input a destra se la pendenza è negativa. -94 +92 00:06:11,960 --> 00:06:15,692 Se lo fai ripetutamente, controllando in ogni punto la nuova pendenza e -95 +93 00:06:15,692 --> 00:06:19,840 facendo il passo appropriato, ti avvicinerai ad un minimo locale della funzione. -96 +94 00:06:20,640 --> 00:06:23,800 -L'immagine che potresti avere in mente qui è una palla che rotola giù da una collina. +L'immagine da avere in mente qui è una palla che rotola giù da una collina. + +95 +00:06:24,620 --> 00:06:27,511 +Nota, anche per questa funzione davvero semplificata, + +96 +00:06:27,511 --> 00:06:30,564 +ci sono molte possibili valli in cui potresti atterrare, 97 -00:06:24,620 --> 00:06:28,189 -Nota, anche per questa funzione di input singolo davvero semplificata, +00:06:30,564 --> 00:06:34,259 +a seconda dell'input casuale da cui inizi, e non c'è alcuna garanzia 98 -00:06:28,189 --> 00:06:31,054 -ci sono molte possibili valli in cui potresti atterrare, +00:06:34,259 --> 00:06:38,114 +che il minimo locale in cui arrivi sarà il valore più piccolo possibile 99 -00:06:31,054 --> 00:06:34,724 -a seconda dell'input casuale da cui inizi, e non c'è alcuna garanzia che +00:06:38,114 --> 00:06:39,400 +della funzione di costo. 100 -00:06:34,724 --> 00:06:38,495 -il minimo locale in cui atterri sarà il valore più piccolo possibile della +00:06:40,220 --> 00:06:42,620 +Ciò si ripercuoterà anche sul caso della nostra rete neurale. 101 -00:06:38,495 --> 00:06:39,400 -funzione di costo. +00:06:43,180 --> 00:06:47,697 +Voglio anche che noti come se rendi le dimensioni dei passi proporzionali alla pendenza, 102 -00:06:40,220 --> 00:06:42,620 -Ciò si ripercuoterà anche sul caso della nostra rete neurale. +00:06:47,697 --> 00:06:50,285 +quando la pendenza si appiattisce verso il minimo, 103 -00:06:43,180 --> 00:06:47,199 -Voglio anche che tu noti come se rendi le dimensioni dei tuoi passi proporzionali +00:06:50,285 --> 00:06:54,600 +i tuoi passi diventano sempre più piccoli e questo ti aiuta a non superare il limite. 104 -00:06:47,199 --> 00:06:50,433 -alla pendenza, quando la pendenza si appiattisce verso il minimo, +00:06:55,940 --> 00:07:00,980 +Aumentando un po' la complessità, immagina invece una funzione con due input e un output. 105 -00:06:50,433 --> 00:06:54,600 -i tuoi passi diventano sempre più piccoli e questo ti aiuta a non superare il limite. +00:07:01,500 --> 00:07:04,733 +Potresti pensare allo spazio di input come al piano x y 106 -00:06:55,940 --> 00:07:00,980 -Aumentando un po' la complessità, immagina invece una funzione con due input e un output. +00:07:04,733 --> 00:07:08,140 +e alla funzione di costo come una superficie sopra di esso. 107 -00:07:01,500 --> 00:07:04,865 -Potresti pensare allo spazio di input come al piano xy e alla funzione di - -108 -00:07:04,865 --> 00:07:08,140 -costo come rappresentata graficamente come una superficie sopra di esso. - -109 00:07:08,760 --> 00:07:11,941 Invece di chiedere informazioni sulla pendenza della funzione, -110 +108 00:07:11,941 --> 00:07:15,425 devi chiederti in quale direzione dovresti muoverti in questo spazio -111 +109 00:07:15,425 --> 00:07:18,960 di input in modo da diminuire più rapidamente l'output della funzione. -112 +110 00:07:19,720 --> 00:07:21,760 -In altre parole, qual è la direzione in discesa? +In altre parole, qual è la direzione di discesa? -113 +111 00:07:22,380 --> 00:07:25,560 -Ancora una volta, è utile pensare a una palla che rotola giù da quella collina. +Ancora, è utile pensare a una palla che rotola giù da quella collina. -114 -00:07:26,660 --> 00:07:30,736 -Quelli di voi che hanno familiarità con il calcolo multivariabile sapranno +112 +00:07:26,660 --> 00:07:30,626 +Quelli di voi che hanno familiarità con l'analisi multivariata sapranno -115 -00:07:30,736 --> 00:07:34,866 +113 +00:07:30,626 --> 00:07:34,813 che il gradiente di una funzione ti dà la direzione dell'ascesa più ripida, -116 -00:07:34,866 --> 00:07:38,780 +114 +00:07:34,813 --> 00:07:38,780 quale direzione dovresti fare per aumentare la funzione più rapidamente. -117 -00:07:39,560 --> 00:07:42,775 -Naturalmente, prendendo il negativo di quel gradiente si ottiene +115 +00:07:39,560 --> 00:07:42,724 +Naturalmente, prendendo l'opposto di quel gradiente si ottiene -118 -00:07:42,775 --> 00:07:46,040 +116 +00:07:42,724 --> 00:07:46,040 la direzione del passo che diminuisce la funzione più rapidamente. -119 +117 00:07:47,240 --> 00:07:50,539 Ancor di più, la lunghezza di questo vettore gradiente è -120 +118 00:07:50,539 --> 00:07:53,840 un'indicazione di quanto sia ripido il pendio più ripido. -121 -00:07:54,540 --> 00:07:57,386 -Se non hai familiarità con il calcolo multivariabile e desideri saperne di più, +119 +00:07:54,540 --> 00:07:57,232 +Se non hai familiarità con il calcolo multivariato, -122 -00:07:57,386 --> 00:08:00,340 -dai un'occhiata ad alcuni dei lavori che ho svolto per Khan Academy sull'argomento. +120 +00:07:57,232 --> 00:08:00,340 +dai un'occhiata a dei lavori che ho svolto per Khan Academy. -123 +121 00:08:00,860 --> 00:08:04,455 Onestamente, però, tutto ciò che conta per me e te in questo momento è -124 +122 00:08:04,455 --> 00:08:08,051 che in linea di principio esiste un modo per calcolare questo vettore, -125 +123 00:08:08,051 --> 00:08:11,900 questo vettore che ti dice qual è la direzione in discesa e quanto è ripida. -126 -00:08:12,400 --> 00:08:14,321 -Starai bene se questo è tutto quello che sai e - -127 -00:08:14,321 --> 00:08:16,120 -non sei solido come una roccia sui dettagli. +124 +00:08:12,400 --> 00:08:16,120 +Sei a posto se questo è tutto quello che sai. -128 +125 00:08:17,200 --> 00:08:20,362 Se riesci a capirlo, l'algoritmo per minimizzare la funzione -129 +126 00:08:20,362 --> 00:08:23,214 consiste nel calcolare questa direzione del gradiente, -130 +127 00:08:23,214 --> 00:08:26,740 quindi fare un piccolo passo in discesa e ripeterlo ancora e ancora. -131 +128 00:08:27,700 --> 00:08:32,820 È la stessa idea di base per una funzione che ha 13.000 input invece di 2 input. +129 +00:08:33,400 --> 00:08:36,343 +Immagina di organizzare tutti i 13.000 pesi e bias + +130 +00:08:36,343 --> 00:08:39,460 +della nostra rete in un gigantesco vettore di colonne. + +131 +00:08:40,140 --> 00:08:44,307 +L'opposto del gradiente della funzione di costo è solo un vettore, + 132 -00:08:33,400 --> 00:08:36,511 -Immagina di organizzare tutti i 13.000 pesi e pregiudizi +00:08:44,307 --> 00:08:49,220 +è una direzione all'interno di questo spazio di input enorme che ti dice quali 133 -00:08:36,511 --> 00:08:39,460 -della nostra rete in un gigantesco vettore di colonne. +00:08:49,220 --> 00:08:54,320 +modifiche a tutti quei numeri causeranno la diminuzione più rapida della funzione 134 -00:08:40,140 --> 00:08:44,082 -Il gradiente negativo della funzione di costo è solo un vettore, +00:08:54,320 --> 00:08:54,880 +di costo. 135 -00:08:44,082 --> 00:08:48,874 -è una direzione all'interno di questo spazio di input follemente enorme che ti +00:08:55,640 --> 00:08:59,585 +E ovviamente, con la nostra funzione di costo appositamente progettata, 136 -00:08:48,874 --> 00:08:53,788 -dice quali spinte a tutti quei numeri causeranno la diminuzione più rapida della +00:08:59,585 --> 00:09:03,312 +modificare i pesi e i bias per ridurli significa fa sì che l'output 137 -00:08:53,788 --> 00:08:54,880 -funzione di costo. +00:09:03,312 --> 00:09:07,148 +della rete su ciascun dato di addestramento assomigli meno a un array 138 -00:08:55,640 --> 00:08:59,488 -E ovviamente, con la nostra funzione di costo appositamente progettata, +00:09:07,148 --> 00:09:10,820 +casuale di 10 valori e più a una decisione che vogliamo che prenda. 139 -00:08:59,488 --> 00:09:03,176 -modificare i pesi e i bias per ridurli significa far sì che l'output +00:09:11,440 --> 00:09:14,636 +È importante ricordare che questa funzione di costo include una 140 -00:09:03,176 --> 00:09:06,918 -della rete su ciascun dato di addestramento assomigli meno a un array +00:09:14,636 --> 00:09:18,183 +media su tutti i dati di addestramento, quindi se la riduci al minimo, 141 -00:09:06,918 --> 00:09:10,820 -casuale di 10 valori e più a una decisione effettiva che vogliamo. farlo. +00:09:18,183 --> 00:09:21,180 +significa che è una prestazione migliore su tutti quei dati. 142 -00:09:11,440 --> 00:09:14,510 -È importante ricordare che questa funzione di costo implica una - -143 -00:09:14,510 --> 00:09:17,917 -media su tutti i dati di addestramento, quindi se la riduci al minimo, - -144 -00:09:17,917 --> 00:09:21,180 -significa che ci sono prestazioni migliori su tutti questi campioni. - -145 00:09:23,820 --> 00:09:26,973 L'algoritmo per calcolare questo gradiente in modo efficiente, -146 +143 00:09:26,973 --> 00:09:30,476 che è effettivamente il cuore dell'apprendimento di una rete neurale, -147 +144 00:09:30,476 --> 00:09:33,980 si chiama backpropagation, ed è ciò di cui parlerò nel prossimo video. -148 +145 00:09:34,660 --> 00:09:38,754 Lì, voglio davvero prendermi il tempo per esaminare cosa succede esattamente a -149 +146 00:09:38,754 --> 00:09:41,605 ciascun peso e bias per un dato dato di addestramento, -150 +147 00:09:41,605 --> 00:09:45,596 cercando di dare un'idea intuitiva di ciò che sta accadendo oltre la pila di -151 +148 00:09:45,596 --> 00:09:47,100 calcoli e formule pertinenti. -152 +149 00:09:47,780 --> 00:09:50,821 Proprio qui, proprio ora, la cosa principale che voglio che tu sappia, -153 +150 00:09:50,821 --> 00:09:53,005 indipendentemente dai dettagli di implementazione, -154 +151 00:09:53,005 --> 00:09:56,261 è che ciò che intendiamo quando parliamo di apprendimento in rete è che sta -155 +152 00:09:56,261 --> 00:09:58,360 semplicemente minimizzando una funzione di costo. -156 +153 00:09:59,300 --> 00:10:02,114 E notate, una conseguenza di ciò è che è importante che questa -157 +154 00:10:02,114 --> 00:10:04,571 funzione di costo abbia un output abbastanza regolare, -158 +155 00:10:04,571 --> 00:10:08,100 in modo da poter trovare un minimo locale facendo piccoli passi verso il basso. -159 +156 00:10:09,260 --> 00:10:12,585 Questo è il motivo per cui, tra l’altro, i neuroni artificiali hanno -160 +157 00:10:12,585 --> 00:10:15,862 attivazioni che variano continuamente, anziché essere semplicemente -161 +158 00:10:15,862 --> 00:10:19,140 attivi o inattivi in modo binario, come lo sono i neuroni biologici. -162 +159 00:10:20,220 --> 00:10:23,537 Questo processo di spostamento ripetuto dell'input di una funzione di -163 +160 00:10:23,537 --> 00:10:26,760 un multiplo del gradiente negativo è chiamato discesa del gradiente. -164 +161 00:10:27,300 --> 00:10:30,611 È un modo per convergere verso un minimo locale di una funzione di costo, -165 +162 00:10:30,611 --> 00:10:32,580 sostanzialmente una valle in questo grafico. -166 +163 00:10:33,440 --> 00:10:37,162 Sto ancora mostrando l'immagine di una funzione con due input, ovviamente, -167 +164 00:10:37,162 --> 00:10:40,636 perché i nudge in uno spazio di input a 13.000 dimensioni sono un po' -168 +165 00:10:40,636 --> 00:10:44,260 difficili da comprendere, ma esiste un bel modo non spaziale di pensarci. -169 +166 00:10:45,080 --> 00:10:48,440 Ogni componente del gradiente negativo ci dice due cose. -170 +167 00:10:49,060 --> 00:10:52,054 Il segno, ovviamente, ci dice se la componente corrispondente del -171 +168 00:10:52,054 --> 00:10:55,140 vettore di input deve essere spostata verso l'alto o verso il basso. -172 +169 00:10:55,800 --> 00:10:59,289 Ma, cosa ancora più importante, l’entità relativa di tutti -173 +170 00:10:59,289 --> 00:11:02,720 questi componenti indica quali cambiamenti contano di più. -174 +171 00:11:05,220 --> 00:11:09,084 Vedete, nella nostra rete, un aggiustamento a uno dei pesi potrebbe avere un impatto -175 +172 00:11:09,084 --> 00:11:13,040 molto maggiore sulla funzione di costo rispetto all'aggiustamento a qualche altro peso. -176 +173 00:11:14,800 --> 00:11:18,200 Alcune di queste connessioni contano di più per i nostri dati di addestramento. -177 -00:11:19,320 --> 00:11:23,770 -Quindi un modo in cui puoi pensare a questo vettore gradiente della nostra enorme +174 +00:11:19,320 --> 00:11:23,512 +Quindi un modo in cui puoi pensare a questo vettore gradiente della nostra -178 -00:11:23,770 --> 00:11:28,275 -funzione di costo è che codifica l'importanza relativa di ogni peso e pregiudizio, +175 +00:11:23,512 --> 00:11:28,151 +enorme funzione di costo è che codifica l'importanza relativa di ogni peso e bias, -179 -00:11:28,275 --> 00:11:32,400 +176 +00:11:28,151 --> 00:11:32,400 cioè quale di questi cambiamenti porterà il maggior rapporto qualità-prezzo. -180 +177 00:11:33,620 --> 00:11:36,640 Questo è davvero solo un altro modo di pensare alla direzione. -181 +178 00:11:37,100 --> 00:11:41,275 Per fare un esempio più semplice, se hai una funzione con due variabili come -182 +179 00:11:41,275 --> 00:11:45,558 input e calcoli che il suo gradiente in un punto particolare risulta come 3,1, -183 +180 00:11:45,558 --> 00:11:49,788 allora da un lato puoi interpretarlo come se dicessi che quando tu' Stando su -184 +181 00:11:49,788 --> 00:11:54,343 quell'input, muovendoti lungo questa direzione la funzione aumenta più rapidamente, -185 +182 00:11:54,343 --> 00:11:59,006 ovvero quando rappresenti graficamente la funzione sopra il piano dei punti di input, -186 +183 00:11:59,006 --> 00:12:02,260 quel vettore è ciò che ti dà la direzione diritta in salita. -187 +184 00:12:02,860 --> 00:12:07,540 Ma un altro modo di leggerlo è dire che le modifiche a questa prima variabile hanno 3 -188 +185 00:12:07,540 --> 00:12:10,750 volte l'importanza delle modifiche alla seconda variabile, -189 +186 00:12:10,750 --> 00:12:13,417 che almeno nelle vicinanze dell'input rilevante, -190 +187 00:12:13,417 --> 00:12:16,900 spostare il valore x porta molto più effetto per il tuo secchio. -191 +188 00:12:19,880 --> 00:12:22,340 Riduciamo lo zoom e riassumiamo dove siamo finora. -192 +189 00:12:22,840 --> 00:12:26,784 La rete stessa è questa funzione con 784 ingressi e 10 uscite, -193 +190 00:12:26,784 --> 00:12:30,040 definite in termini di tutte queste somme ponderate. -194 +191 00:12:30,640 --> 00:12:33,680 La funzione di costo è uno strato di complessità in più. -195 -00:12:33,980 --> 00:12:37,557 -Prende i 13.000 pesi e pregiudizi come input e produce +192 +00:12:33,980 --> 00:12:37,850 +Prende i 13.000 pesi e bias come input e produce un'unica -196 -00:12:37,557 --> 00:12:41,720 -un'unica misura di pessimazza basata sugli esempi di formazione. +193 +00:12:37,850 --> 00:12:41,720 +misura di pessimazza basata sugli esempi di addestramento. -197 +194 00:12:42,440 --> 00:12:44,859 E il gradiente della funzione di costo rappresenta -198 +195 00:12:44,859 --> 00:12:46,900 ancora un ulteriore livello di complessità. -199 -00:12:47,360 --> 00:12:50,679 -Ci dice quali spinte a tutti questi pesi e pregiudizi causano il +196 +00:12:47,360 --> 00:12:51,094 +Ci dice quali spinte a tutti questi pesi e bias causano il cambiamento -200 -00:12:50,679 --> 00:12:53,692 -cambiamento più rapido nel valore della funzione di costo, +197 +00:12:51,094 --> 00:12:53,566 +più rapido nel valore della funzione di costo, -201 -00:12:53,692 --> 00:12:57,880 +198 +00:12:53,566 --> 00:12:57,880 che potresti interpretare come dire quali cambiamenti a quali pesi contano di più. -202 +199 00:13:02,560 --> 00:13:05,931 Quindi, quando inizializzi la rete con pesi e bias casuali e li -203 +200 00:13:05,931 --> 00:13:09,670 regoli molte volte in base a questo processo di discesa del gradiente, -204 +201 00:13:09,670 --> 00:13:13,200 quanto bene si comporta effettivamente su immagini mai viste prima? -205 +202 00:13:14,100 --> 00:13:18,692 Quello che ho descritto qui, con i due strati nascosti di 16 neuroni ciascuno, -206 +203 00:13:18,692 --> 00:13:21,832 scelti soprattutto per ragioni estetiche, non è male, -207 +204 00:13:21,832 --> 00:13:25,960 classificando correttamente circa il 96% delle nuove immagini che vede. -208 +205 00:13:26,680 --> 00:13:30,414 E onestamente, se guardi alcuni degli esempi in cui si incasina, -209 +206 00:13:30,414 --> 00:13:32,540 ti senti obbligato a darci un taglio. -210 +207 00:13:36,220 --> 00:13:40,210 Ora, se giochi con la struttura dei livelli nascosti e apporti un paio di modifiche, -211 +208 00:13:40,210 --> 00:13:41,760 puoi ottenere questo fino al 98%. -212 +209 00:13:41,760 --> 00:13:42,720 E questo è abbastanza buono! -213 +210 00:13:43,020 --> 00:13:46,819 Non è il massimo, puoi sicuramente ottenere prestazioni migliori diventando -214 +211 00:13:46,819 --> 00:13:49,270 più sofisticato di questa semplice rete vanilla, -215 +212 00:13:49,270 --> 00:13:51,919 ma dato quanto sia scoraggiante il compito iniziale, -216 +213 00:13:51,919 --> 00:13:55,420 penso che ci sia qualcosa di incredibile nel fatto che qualsiasi rete -217 +214 00:13:55,420 --> 00:13:58,969 riesca così bene su immagini mai viste prima, dato che non gli abbiamo -218 +215 00:13:58,969 --> 00:14:01,420 mai detto specificatamente quali modelli cercare. -219 +216 00:14:02,560 --> 00:14:06,170 Originariamente, il modo in cui ho motivato questa struttura era descrivendo una -220 +217 00:14:06,170 --> 00:14:09,825 speranza che potremmo avere, che il secondo strato potesse captare piccoli bordi, -221 +218 00:14:09,825 --> 00:14:13,525 che il terzo strato mettesse insieme quei bordi per riconoscere anelli e linee più -222 +219 00:14:13,525 --> 00:14:17,180 lunghe, e che questi potessero essere ricomposti insieme per riconoscere le cifre. -223 +220 00:14:17,960 --> 00:14:20,400 Quindi è questo ciò che sta effettivamente facendo la nostra rete? -224 +221 00:14:21,080 --> 00:14:24,400 Beh, almeno per questo, per niente. -225 +222 00:14:24,820 --> 00:14:28,867 Ricordi come nell'ultimo video abbiamo visto come i pesi delle connessioni da tutti -226 +223 00:14:28,867 --> 00:14:32,674 i neuroni del primo strato a un dato neurone del secondo strato possono essere -227 +224 00:14:32,674 --> 00:14:36,578 visualizzati come un dato modello di pixel che il neurone del secondo strato sta -228 +225 00:14:36,578 --> 00:14:37,060 rilevando? -229 +226 00:14:37,780 --> 00:14:43,080 Bene, quando lo facciamo effettivamente per i pesi associati a queste transizioni, -230 +227 00:14:43,080 --> 00:14:48,571 dal primo strato al successivo, invece di raccogliere piccoli bordi isolati qua e là, -231 +228 00:14:48,571 --> 00:14:53,680 sembrano, beh, quasi casuali, solo con alcuni schemi molto vaghi in il mezzo lì. -232 -00:14:53,760 --> 00:14:57,413 +229 +00:14:53,760 --> 00:14:57,485 Sembrerebbe che nell'insondabilmente ampio spazio di 13.000 dimensioni dei -233 -00:14:57,413 --> 00:15:01,262 -possibili pesi e pregiudizi, la nostra rete si sia trovata un piccolo e felice +230 +00:14:57,485 --> 00:15:01,111 +possibili pesi e bias, la nostra rete si sia trovata un piccolo e felice -234 -00:15:01,262 --> 00:15:05,111 -minimo locale che, nonostante abbia classificato con successo la maggior parte +231 +00:15:01,111 --> 00:15:04,737 +minimo locale che, nonostante abbia classificato con successo la maggior -235 -00:15:05,111 --> 00:15:08,960 -delle immagini, non riprende esattamente gli schemi che avremmo potuto sperare. +232 +00:15:04,737 --> 00:15:08,960 +parte delle immagini, non riprende esattamente gli schemi che avremmo potuto sperare. -236 +233 00:15:09,780 --> 00:15:11,885 E per chiarire davvero questo punto, guarda cosa -237 +234 00:15:11,885 --> 00:15:13,820 succede quando inserisci un'immagine casuale. -238 +235 00:15:14,320 --> 00:15:18,781 Se il sistema fosse intelligente, potresti aspettarti che si senta incerto, -239 +236 00:15:18,781 --> 00:15:23,594 magari non attivando realmente nessuno di quei 10 neuroni in uscita o attivandoli -240 +237 00:15:23,594 --> 00:15:28,524 tutti in modo uniforme, ma invece ti dà con sicurezza qualche risposta senza senso, -241 +238 00:15:28,524 --> 00:15:33,455 come se fosse sicuro che questo rumore casuale è un 5 così come l'immagine reale di -242 +239 00:15:33,455 --> 00:15:34,160 un 5 è un 5. -243 +240 00:15:34,540 --> 00:15:39,121 In altre parole, anche se questa rete è in grado di riconoscere le cifre abbastanza bene, -244 +241 00:15:39,121 --> 00:15:40,700 non ha idea di come disegnarle. -245 +242 00:15:41,420 --> 00:15:43,227 In gran parte ciò è dovuto al fatto che si tratta di -246 +243 00:15:43,227 --> 00:15:45,240 un'impostazione di allenamento così strettamente vincolata. -247 +244 00:15:45,880 --> 00:15:47,740 Voglio dire, mettiti nei panni della rete qui. -248 +245 00:15:48,140 --> 00:15:52,177 Dal suo punto di vista, l’intero universo non consiste altro che di cifre immobili -249 +246 00:15:52,177 --> 00:15:54,901 chiaramente definite centrate in una minuscola griglia, -250 +247 00:15:54,901 --> 00:15:58,939 e la sua funzione di costo non gli ha mai dato alcun incentivo ad essere altro che -251 +248 00:15:58,939 --> 00:16:01,080 completamente fiduciosi nelle sue decisioni. -252 +249 00:16:02,120 --> 00:16:04,560 Quindi, con questa come immagine di ciò che stanno realmente -253 +250 00:16:04,560 --> 00:16:07,119 facendo i neuroni del secondo strato, potreste chiedervi perché -254 +251 00:16:07,119 --> 00:16:09,920 introdurrei questa rete con la motivazione di cogliere bordi e schemi. -255 +252 00:16:09,920 --> 00:16:12,300 Voglio dire, non è affatto quello che finisce per fare. -256 +253 00:16:13,380 --> 00:16:15,805 Ebbene, questo non vuole essere il nostro obiettivo finale, -257 +254 00:16:15,805 --> 00:16:17,180 ma piuttosto un punto di partenza. -258 +255 00:16:17,640 --> 00:16:22,003 Francamente, questa è una tecnologia vecchia, del tipo studiato negli anni '80 e '90, -259 +256 00:16:22,003 --> 00:16:25,860 e devi capirla prima di poter comprendere varianti moderne più dettagliate, -260 +257 00:16:25,860 --> 00:16:29,361 ed è chiaramente in grado di risolvere alcuni problemi interessanti, -261 +258 00:16:29,361 --> 00:16:33,065 ma più approfondisci cosa quegli strati nascosti stanno davvero facendo, -262 +259 00:16:33,065 --> 00:16:34,740 tanto meno intelligenti sembrano. -263 +260 00:16:38,480 --> 00:16:42,390 Spostando per un momento l'attenzione da come le reti apprendono a come impari tu, -264 +261 00:16:42,390 --> 00:16:46,300 ciò accadrà solo se ti impegnerai attivamente con il materiale qui in qualche modo. -265 +262 00:16:47,060 --> 00:16:50,527 Una cosa piuttosto semplice che voglio che tu faccia è semplicemente -266 +263 00:16:50,527 --> 00:16:53,693 fermarti adesso e pensare profondamente per un momento a quali -267 +264 00:16:53,693 --> 00:16:56,859 modifiche potresti apportare a questo sistema e al modo in cui -268 +265 00:16:56,859 --> 00:17:00,880 percepisce le immagini se volessi che rilevasse meglio cose come bordi e motivi. -269 +266 00:17:01,480 --> 00:17:04,448 Ma meglio di così, per interagire davvero con il materiale, -270 +267 00:17:04,448 --> 00:17:08,209 consiglio vivamente il libro di Michael Nielsen sull'apprendimento profondo -271 +268 00:17:08,209 --> 00:17:09,099 e le reti neurali. -272 +269 00:17:09,680 --> 00:17:13,891 In esso puoi trovare il codice e i dati da scaricare e con cui giocare per questo -273 +270 00:17:13,891 --> 00:17:18,359 esatto esempio, e il libro ti guiderà passo dopo passo su cosa sta facendo quel codice. -274 +271 00:17:19,300 --> 00:17:22,369 La cosa fantastica è che questo libro è gratuito e disponibile al pubblico, -275 +272 00:17:22,369 --> 00:17:25,196 quindi se ne trai qualcosa, prendi in considerazione l'idea di unirti -276 +273 00:17:25,196 --> 00:17:27,660 a me per fare una donazione a favore degli sforzi di Nielsen. -277 +274 00:17:27,660 --> 00:17:32,029 Ho anche collegato un paio di altre risorse che mi piacciono molto nella descrizione, -278 +275 00:17:32,029 --> 00:17:36,500 incluso il fenomenale e bellissimo post sul blog di Chris Ola e gli articoli in Distill. -279 +276 00:17:38,280 --> 00:17:41,080 Per chiudere qui per gli ultimi minuti, voglio tornare a -280 +277 00:17:41,080 --> 00:17:43,880 un frammento dell'intervista che ho avuto con Leisha Lee. -281 +278 00:17:44,300 --> 00:17:46,082 Potresti ricordarla dall'ultimo video, ha svolto -282 +279 00:17:46,082 --> 00:17:47,720 il suo dottorato di ricerca in deep learning. -283 +280 00:17:48,300 --> 00:17:50,666 In questo piccolo frammento parla di due articoli recenti che -284 +281 00:17:50,666 --> 00:17:53,108 approfondiscono davvero il modo in cui alcune delle più moderne -285 +282 00:17:53,108 --> 00:17:55,780 reti di riconoscimento delle immagini stanno effettivamente imparando. -286 +283 00:17:56,120 --> 00:17:58,667 Giusto per stabilire il punto in cui eravamo nella conversazione, -287 +284 00:17:58,667 --> 00:18:01,716 il primo articolo ha preso una di queste reti neurali particolarmente profonde -288 +285 00:18:01,716 --> 00:18:03,838 che è davvero brava nel riconoscimento delle immagini, -289 +286 00:18:03,838 --> 00:18:06,540 e invece di addestrarla su un set di dati opportunamente etichettato, -290 +287 00:18:06,540 --> 00:18:08,740 ha mescolato tutte le etichette prima dell'addestramento. -291 +288 00:18:09,480 --> 00:18:12,737 Ovviamente la precisione del test qui non era migliore di quella casuale, -292 +289 00:18:12,737 --> 00:18:16,478 poiché tutto è etichettato in modo casuale, ma è stato comunque in grado di ottenere -293 +290 00:18:16,478 --> 00:18:20,351 la stessa precisione di addestramento che si otterrebbe su un set di dati correttamente -294 +291 00:18:20,351 --> 00:18:20,880 etichettato. -295 +292 00:18:21,600 --> 00:18:25,019 Fondamentalmente, i milioni di pesi per questa particolare rete erano -296 +293 00:18:25,019 --> 00:18:27,852 sufficienti per memorizzare semplicemente i dati casuali, -297 +294 00:18:27,852 --> 00:18:31,759 il che solleva la questione se minimizzare questa funzione di costo corrisponda -298 +295 00:18:31,759 --> 00:18:34,690 effettivamente a qualsiasi tipo di struttura nell'immagine, -299 +296 00:18:34,690 --> 00:18:36,400 o si tratta solo di memorizzazione? -300 +297 00:18:51,440 --> 00:18:58,088 Se guardi quella curva di precisione, se ti stessi allenando su un set di dati casuale, -301 +298 00:18:58,088 --> 00:19:02,772 quella curva scendeva molto lentamente in modo quasi lineare, -302 +299 00:19:02,772 --> 00:19:07,984 quindi fai davvero fatica a trovare quel minimo locale di possibile, -303 +300 00:19:07,984 --> 00:19:12,140 sai , i pesi giusti che ti darebbero quella precisione. -304 +301 00:19:12,240 --> 00:19:16,493 Mentre se ti stai effettivamente allenando su un set di dati strutturato, -305 +302 00:19:16,493 --> 00:19:19,942 uno che ha le etichette giuste, all'inizio giocheri un po', -306 +303 00:19:19,942 --> 00:19:24,253 ma poi scendi molto velocemente per arrivare a quel livello di precisione, -307 +304 00:19:24,253 --> 00:19:28,220 e quindi in un certo senso è era più facile trovare i massimi locali. -308 +305 00:19:28,540 --> 00:19:33,542 E quindi la cosa interessante è che porta alla luce un altro documento di un paio di -309 +306 00:19:33,542 --> 00:19:37,604 anni fa, che presenta molte più semplificazioni sui livelli di rete, -310 +307 00:19:37,604 --> 00:19:42,195 ma uno dei risultati diceva che se si guarda al panorama dell'ottimizzazione, -311 +308 00:19:42,195 --> 00:19:47,256 i minimi locali che queste reti tendono ad apprendere sono in realtà di pari qualità, -312 +309 00:19:47,256 --> 00:19:50,906 quindi in un certo senso se il tuo set di dati è strutturato, -313 +310 00:19:50,906 --> 00:19:54,320 dovresti essere in grado di trovarlo molto più facilmente. -314 +311 00:19:58,160 --> 00:20:01,180 I miei ringraziamenti, come sempre, a quelli di voi che sostengono su Patreon. -315 +312 00:20:01,520 --> 00:20:04,224 Ho già detto in precedenza che Patreon rappresenta una svolta, -316 +313 00:20:04,224 --> 00:20:06,800 ma questi video non sarebbero davvero possibili senza di te. -317 +314 00:20:07,460 --> 00:20:10,540 Voglio anche ringraziare in modo speciale la società di VC Amplify Partners, -318 +315 00:20:10,540 --> 00:20:12,780 per il suo supporto a questi video iniziali della serie. diff --git a/2017/gradient-descent/vietnamese/auto_generated.srt b/2017/gradient-descent/vietnamese/auto_generated.srt index 7a977e92e..e5318c3e8 100644 --- a/2017/gradient-descent/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2017/gradient-descent/vietnamese/auto_generated.srt @@ -11,15 +11,15 @@ Tôi sẽ tóm tắt nhanh ở đây để chúng ta dễ nhớ hơn và sau đó tôi có hai mục tiêu chính cho video này. 4 -00:00:13,100 --> 00:00:15,536 -Đầu tiên là giới thiệu ý tưởng về độ dốc giảm dần, +00:00:13,100 --> 00:00:15,600 +Đầu tiên là giới thiệu ý tưởng về gradient giảm dần, 5 -00:00:15,536 --> 00:00:19,214 +00:00:15,600 --> 00:00:19,232 không chỉ làm nền tảng cho cách mạng lưới thần kinh học mà còn làm cơ sở cho 6 -00:00:19,214 --> 00:00:20,600 +00:00:19,232 --> 00:00:20,600 nhiều hoạt động học máy khác. 7 @@ -31,12 +31,12 @@ Sau đó, chúng ta sẽ tìm hiểu thêm một chút về cách thức hoạt mạng cụ thể này và những lớp tế bào thần kinh ẩn đó đang tìm kiếm điều gì. 9 -00:00:28,980 --> 00:00:33,916 -Xin nhắc lại, mục tiêu của chúng tôi ở đây là ví dụ cổ điển về nhận dạng chữ số viết tay, +00:00:28,980 --> 00:00:33,649 +Xin nhắc lại, mục tiêu của chúng ta ở đây là ví dụ cổ điển về nhận dạng chữ số viết tay, 10 -00:00:33,916 --> 00:00:36,220 -thế giới xin chào của mạng lưới thần kinh. +00:00:33,649 --> 00:00:36,220 +chương trình Hello world của mạng lưới thần kinh. 11 00:00:37,020 --> 00:00:39,864 @@ -59,11 +59,11 @@ Và sau đó, việc kích hoạt mỗi nơ-ron trong các lớp sau dựa trên của tất cả các lần kích hoạt ở lớp trước, cộng với một số đặc biệt gọi là độ lệch. 16 -00:01:02,160 --> 00:01:04,616 -Sau đó, bạn tính số tiền đó bằng một số hàm khác, +00:01:02,160 --> 00:01:04,520 +Sau đó, bạn tính tổng đó bằng một số hàm khác, 17 -00:01:04,616 --> 00:01:08,940 +00:01:04,520 --> 00:01:08,940 chẳng hạn như tính năng chia nhỏ sigmoid hoặc relu, như cách tôi đã xem qua video trước. 18 @@ -79,1118 +79,1122 @@ mạng có khoảng 13.000 trọng số và độ lệch mà chúng ta có thể chính những giá trị này sẽ xác định chính xác những gì mạng thực sự làm. 21 -00:01:24,880 --> 00:01:29,038 -Vậy thì điều chúng tôi muốn nói khi nói rằng mạng này phân loại một chữ số nhất +00:01:24,880 --> 00:01:29,011 +Vậy thì điều chúng ta muốn nói khi nói rằng mạng này phân loại một chữ số nhất 22 -00:01:29,038 --> 00:01:33,300 +00:01:29,011 --> 00:01:33,300 định là điểm sáng nhất trong số 10 nơ-ron ở lớp cuối cùng tương ứng với chữ số đó. 23 -00:01:34,100 --> 00:01:39,000 -Và hãy nhớ rằng, động lực mà chúng tôi nghĩ đến ở đây đối với cấu trúc phân lớp là có +00:01:34,100 --> 00:01:38,869 +Và hãy nhớ rằng, động lực mà chúng ta nghĩ đến ở đây đối với cấu trúc phân lớp là có 24 -00:01:39,000 --> 00:01:43,843 -thể lớp thứ hai có thể xử lý các cạnh và lớp thứ ba có thể xử lý các mẫu như vòng và +00:01:38,869 --> 00:01:43,694 +thể lớp thứ hai có thể xử lý các cạnh và lớp thứ ba có thể xử lý các mẫu như vòng lặp 25 -00:01:43,843 --> 00:01:48,800 -đường, và lớp cuối cùng có thể ghép những thứ đó lại với nhau. mẫu để nhận biết chữ số. +00:01:43,694 --> 00:01:48,631 +và đường thẳng, và lớp cuối cùng có thể ghép những mẫu đó lại với nhau để nhận biết chữ 26 -00:01:49,800 --> 00:01:52,240 -Vì vậy, ở đây chúng ta tìm hiểu cách mạng học. +00:01:48,631 --> 00:01:48,800 +số. 27 -00:01:52,640 --> 00:01:56,982 -Điều chúng tôi muốn là một thuật toán mà bạn có thể hiển thị cho mạng này toàn +00:01:49,800 --> 00:01:52,240 +Vậy ở đây chúng ta tìm hiểu cách thức mạng thần kinh học. 28 -00:01:56,982 --> 00:02:01,929 -bộ dữ liệu huấn luyện, dưới dạng một loạt các hình ảnh khác nhau của các chữ số viết tay, +00:01:52,640 --> 00:01:56,941 +Điều chúng ta muốn là một thuật toán mà bạn có thể hiển thị cho mạng này toàn 29 -00:02:01,929 --> 00:02:06,217 -cùng với các nhãn cho biết chúng phải là gì, và nó sẽ điều chỉnh 13.000 trọng +00:01:56,941 --> 00:02:01,903 +bộ dữ liệu huấn luyện, dưới dạng một loạt các hình ảnh khác nhau của các chữ số viết tay, 30 -00:02:06,217 --> 00:02:10,120 -số và độ lệch đó để cải thiện hiệu suất của nó trên dữ liệu huấn luyện. +00:02:01,903 --> 00:02:06,204 +cùng với các nhãn cho biết chúng phải là gì, và nó sẽ điều chỉnh 13.000 trọng 31 +00:02:06,204 --> 00:02:10,120 +số và độ lệch đó để cải thiện hiệu suất của nó trên dữ liệu huấn luyện. + +32 00:02:10,720 --> 00:02:13,721 Hy vọng rằng cấu trúc phân lớp này sẽ có nghĩa là những gì nó học -32 +33 00:02:13,721 --> 00:02:16,860 được sẽ khái quát hóa thành các hình ảnh ngoài dữ liệu huấn luyện đó. -33 -00:02:17,640 --> 00:02:20,079 -Cách chúng tôi kiểm tra là sau khi bạn huấn luyện mạng, - 34 -00:02:20,079 --> 00:02:23,041 -bạn hiển thị cho nó nhiều dữ liệu được gắn nhãn hơn mà nó chưa từng +00:02:17,640 --> 00:02:20,047 +Cách chúng ta kiểm tra là sau khi bạn huấn luyện mạng, 35 -00:02:23,041 --> 00:02:26,700 -thấy trước đây và bạn thấy nó phân loại những hình ảnh mới đó chính xác như thế nào. +00:02:20,047 --> 00:02:23,023 +bạn hiển thị cho nó nhiều dữ liệu được gắn nhãn hơn mà nó chưa từng 36 -00:02:31,120 --> 00:02:35,195 -Thật may mắn cho chúng ta, và điều khiến đây trở thành một ví dụ phổ biến để bắt đầu, +00:02:23,023 --> 00:02:26,700 +thấy trước đây và bạn thấy nó phân loại những hình ảnh mới đó chính xác như thế nào. 37 -00:02:35,195 --> 00:02:38,465 -đó là những người tốt đằng sau cơ sở dữ liệu MNIST đã tập hợp một bộ +00:02:31,120 --> 00:02:34,770 +May mắn cho chúng ta và điều tạo nên ví dụ phổ biến để bắt đầu như vậy, 38 -00:02:38,465 --> 00:02:41,024 -sưu tập gồm hàng chục nghìn hình ảnh chữ số viết tay, +00:02:34,770 --> 00:02:39,130 +đó là những người tốt bụng đằng sau cơ sở dữ liệu MNIST đã tập hợp một bộ sưu tập gồm 39 -00:02:41,024 --> 00:02:44,200 -mỗi hình ảnh được dán nhãn bằng những con số mà chúng phải ghi. là. +00:02:39,130 --> 00:02:43,388 +hàng chục nghìn hình ảnh chữ số viết tay, mỗi hình ảnh được dán nhãn bằng các số mà 40 -00:02:44,900 --> 00:02:47,581 -Và thật khiêu khích khi mô tả một cỗ máy đang học hỏi, +00:02:43,388 --> 00:02:44,200 +chúng được nhận. 41 -00:02:47,581 --> 00:02:50,994 -một khi bạn thấy nó hoạt động như thế nào, nó có cảm giác không giống +00:02:44,900 --> 00:02:47,545 +Và thật kích thích khi mô tả một cỗ máy đang học hỏi, 42 -00:02:50,994 --> 00:02:54,553 -một tiền đề khoa học viễn tưởng điên rồ nào đó mà giống một bài tập tính +00:02:47,545 --> 00:02:50,973 +một khi bạn thấy nó hoạt động như thế nào, nó có cảm giác không giống 43 -00:02:54,553 --> 00:02:55,480 -toán hơn rất nhiều. +00:02:50,973 --> 00:02:54,549 +một tiền đề khoa học viễn tưởng điên rồ nào đó mà giống một bài tập tính 44 +00:02:54,549 --> 00:02:55,480 +toán hơn rất nhiều. + +45 00:02:56,200 --> 00:02:59,960 Ý tôi là, về cơ bản, vấn đề là tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm nào đó. -45 +46 00:03:01,940 --> 00:03:06,249 Hãy nhớ rằng, về mặt khái niệm, chúng ta đang nghĩ mỗi nơ-ron được kết nối với -46 +47 00:03:06,249 --> 00:03:10,504 tất cả các nơ-ron ở lớp trước và các trọng số trong tổng trọng số xác định sự -47 +48 00:03:10,504 --> 00:03:14,814 kích hoạt của nó giống như độ mạnh của các kết nối đó và độ lệch là một số dấu -48 +49 00:03:14,814 --> 00:03:18,960 hiệu cho thấy tế bào thần kinh đó có xu hướng hoạt động hay không hoạt động. -49 +50 00:03:19,720 --> 00:03:22,060 Và để bắt đầu mọi thứ, chúng ta sẽ khởi tạo tất -50 +51 00:03:22,060 --> 00:03:24,400 cả các trọng số và độ lệch hoàn toàn ngẫu nhiên. -51 +52 00:03:24,940 --> 00:03:28,823 Không cần phải nói, mạng này sẽ hoạt động khá tệ trên một ví dụ huấn luyện nhất định, -52 +53 00:03:28,823 --> 00:03:30,720 vì nó chỉ thực hiện điều gì đó ngẫu nhiên. -53 +54 00:03:31,040 --> 00:03:36,020 Ví dụ: bạn nạp hình ảnh số 3 này và lớp đầu ra trông giống như một mớ hỗn độn. -54 -00:03:36,600 --> 00:03:41,186 -Vì vậy, những gì bạn làm là xác định hàm chi phí, một cách để nói với máy tính, - 55 -00:03:41,186 --> 00:03:46,288 -không, máy tính xấu, đầu ra đó phải có số lần kích hoạt là 0 đối với hầu hết các nơ-ron, +00:03:36,600 --> 00:03:41,300 +Vì vậy, những gì bạn làm là xác định hàm chi phí, một cách để nói với máy tính, 56 -00:03:46,288 --> 00:03:50,760 -nhưng là 1 đối với nơ-ron này, những gì bạn đưa cho tôi hoàn toàn là rác rưởi. +00:03:41,300 --> 00:03:46,470 +không, máy tính tệ, đầu ra đó phải có số lần kích hoạt là 0 đối với hầu hết các nơ-ron, 57 -00:03:51,720 --> 00:03:56,278 -Nói một cách toán học hơn một chút, bạn cộng các bình phương của sự khác +00:03:46,470 --> 00:03:50,760 +nhưng là 1 đối với nơ-ron này, những gì bạn đưa cho tôi hoàn toàn là rác. 58 -00:03:56,278 --> 00:04:01,023 -biệt giữa mỗi lần kích hoạt đầu ra rác đó với giá trị mà bạn muốn chúng có, +00:03:51,720 --> 00:03:56,133 +Nói một cách toán học hơn một chút, bạn cộng các bình phương của sự khác 59 -00:04:01,023 --> 00:04:05,020 -và đây là cái mà chúng tôi gọi là chi phí của một ví dụ đào tạo. +00:03:56,133 --> 00:04:00,727 +biệt giữa mỗi lần kích hoạt đầu ra rác đó với giá trị mà bạn muốn chúng có, 60 +00:04:00,727 --> 00:04:05,020 +và đây là cái mà chúng ta gọi là một ví dụ đơn giản về chi phí đào tạo. + +61 00:04:05,960 --> 00:04:11,893 Lưu ý rằng tổng này nhỏ khi mạng tự tin phân loại hình ảnh một cách chính xác, -61 +62 00:04:11,893 --> 00:04:16,399 nhưng nó lớn khi mạng có vẻ như không biết mình đang làm gì. -62 +63 00:04:18,640 --> 00:04:21,983 Vì vậy, điều bạn làm là xem xét chi phí trung bình của tất -63 +64 00:04:21,983 --> 00:04:25,440 cả hàng chục nghìn ví dụ đào tạo mà bạn có thể tùy ý sử dụng. -64 -00:04:27,040 --> 00:04:29,890 -Chi phí trung bình này là thước đo của chúng tôi để đánh - 65 -00:04:29,890 --> 00:04:32,740 -giá mức độ tệ hại của mạng và mức độ tồi tệ của máy tính. +00:04:27,040 --> 00:04:29,864 +Chi phí trung bình này là thước đo của chúng ta để đánh 66 +00:04:29,864 --> 00:04:32,740 +giá mức độ tệ hại của mạng và mức độ tồi tệ của máy tính. + +67 00:04:33,420 --> 00:04:34,600 Và đó là một điều phức tạp. -67 +68 00:04:35,040 --> 00:04:40,424 Hãy nhớ rằng bản thân mạng về cơ bản là một hàm, một hàm lấy 784 số làm đầu vào, -68 +69 00:04:40,424 --> 00:04:44,878 giá trị pixel và đưa ra 10 số làm đầu ra và theo một nghĩa nào đó, -69 +70 00:04:44,878 --> 00:04:48,800 nó được tham số hóa bởi tất cả các trọng số và độ lệch này? -70 +71 00:04:49,500 --> 00:04:52,820 Vâng, hàm chi phí là một lớp phức tạp trên đó. -71 +72 00:04:53,100 --> 00:04:56,445 Nó lấy khoảng 13.000 trọng số và độ lệch làm đầu vào, -72 +73 00:04:56,445 --> 00:05:01,774 đồng thời đưa ra một con số duy nhất mô tả mức độ nghiêm trọng của các trọng số và độ -73 +74 00:05:01,774 --> 00:05:07,041 lệch đó, đồng thời cách xác định nó phụ thuộc vào hành vi của mạng đối với hàng chục -74 +75 00:05:07,041 --> 00:05:08,900 nghìn phần dữ liệu huấn luyện. -75 +76 00:05:09,520 --> 00:05:11,000 -Đó là rất nhiều điều để suy nghĩ. +Thật nhiều điều phải nghĩ. -76 +77 00:05:12,400 --> 00:05:14,164 Nhưng chỉ nói cho máy tính biết nó đang làm công -77 +78 00:05:14,164 --> 00:05:15,820 việc tồi tệ như thế nào thì không hữu ích lắm. -78 +79 00:05:16,220 --> 00:05:20,060 -Bạn muốn nói với nó cách thay đổi những trọng số và thành kiến đó để nó trở nên tốt hơn. +Bạn muốn nói với nó cách thay đổi những trọng số và độ lệch đó để nó trở nên tốt hơn. -79 +80 00:05:20,780 --> 00:05:25,465 Để dễ dàng hơn, thay vì cố gắng tưởng tượng một hàm có 13.000 đầu vào, -80 +81 00:05:25,465 --> 00:05:30,480 hãy tưởng tượng một hàm đơn giản có một số làm đầu vào và một số làm đầu ra. -81 +82 00:05:31,480 --> 00:05:35,300 Làm thế nào để bạn tìm thấy đầu vào giảm thiểu giá trị của hàm này? -82 +83 00:05:36,460 --> 00:05:40,091 Sinh viên giải tích sẽ biết rằng đôi khi bạn có thể tính ra mức tối thiểu đó -83 +84 00:05:40,091 --> 00:05:43,675 một cách rõ ràng, nhưng điều đó không phải lúc nào cũng khả thi đối với các -84 +85 00:05:43,675 --> 00:05:47,354 hàm thực sự phức tạp, chắc chắn không phải trong phiên bản 13.000 đầu vào của -85 +86 00:05:47,354 --> 00:05:51,080 tình huống này đối với hàm chi phí mạng thần kinh cực kỳ phức tạp của chúng ta. -86 -00:05:51,580 --> 00:05:55,232 -Một chiến thuật linh hoạt hơn là bắt đầu ở bất kỳ đầu vào - 87 -00:05:55,232 --> 00:05:59,200 -nào và tìm ra hướng bạn nên bước để làm cho đầu ra đó thấp hơn. +00:05:51,580 --> 00:05:55,332 +Một chiến thuật linh hoạt hơn là bắt đầu ở bất kỳ đầu vào nào và 88 -00:06:00,080 --> 00:06:03,707 -Cụ thể, nếu bạn có thể tìm ra độ dốc của hàm số hiện tại, +00:05:55,332 --> 00:05:59,200 +tìm ra hướng của bước tiếp theo bạn nên làm cho đầu ra đó thấp hơn. 89 -00:06:03,707 --> 00:06:08,649 -thì hãy dịch sang trái nếu độ dốc đó là dương và dịch chuyển đầu vào sang phải +00:06:00,080 --> 00:06:03,778 +Cụ thể, nếu bạn có thể tìm ra độ dốc của hàm số hiện tại, 90 -00:06:08,649 --> 00:06:09,900 -nếu độ dốc đó là âm. +00:06:03,778 --> 00:06:08,815 +thì hãy dịch sang trái nếu độ dốc đó là dương và dịch chuyển đầu vào sang phải 91 +00:06:08,815 --> 00:06:09,900 +nếu độ dốc đó âm. + +92 00:06:11,960 --> 00:06:15,979 Nếu bạn làm điều này nhiều lần, tại mỗi điểm kiểm tra hệ số góc mới và thực -92 +93 00:06:15,979 --> 00:06:19,840 hiện bước thích hợp, bạn sẽ tiến tới điểm cực tiểu cục bộ nào đó của hàm. -93 +94 00:06:20,640 --> 00:06:23,800 Hình ảnh mà bạn có thể nghĩ đến ở đây là một quả bóng lăn xuống một ngọn đồi. -94 +95 00:06:24,620 --> 00:06:28,250 Lưu ý, ngay cả đối với hàm đầu vào đơn thực sự được đơn giản hóa này, -95 +96 00:06:28,250 --> 00:06:31,102 có rất nhiều điểm có thể xảy ra mà bạn có thể rơi vào, -96 +97 00:06:31,102 --> 00:06:34,836 tùy thuộc vào đầu vào ngẫu nhiên nào bạn bắt đầu và không có gì đảm bảo -97 +98 00:06:34,836 --> 00:06:39,400 rằng mức tối thiểu cục bộ mà bạn đạt được sẽ là giá trị nhỏ nhất có thể của hàm chi phí. -98 +99 00:06:40,220 --> 00:06:42,620 Điều đó cũng sẽ được chuyển sang trường hợp mạng lưới thần kinh của chúng ta. -99 +100 00:06:43,180 --> 00:06:46,950 Tôi cũng muốn bạn lưu ý rằng nếu bạn làm cho kích thước bước của mình -100 +101 00:06:46,950 --> 00:06:50,506 tỷ lệ thuận với độ dốc, thì khi độ dốc giảm dần về mức tối thiểu, -101 +102 00:06:50,506 --> 00:06:54,600 các bước của bạn sẽ ngày càng nhỏ hơn và điều đó giúp bạn không bị vượt quá. -102 +103 00:06:55,940 --> 00:06:58,407 Tăng độ phức tạp lên một chút, thay vào đó hãy -103 +104 00:06:58,407 --> 00:07:00,980 tưởng tượng một hàm có hai đầu vào và một đầu ra. -104 -00:07:01,500 --> 00:07:04,879 -Bạn có thể coi không gian đầu vào là mặt phẳng xy và hàm - 105 -00:07:04,879 --> 00:07:08,140 -chi phí được biểu đồ dưới dạng một bề mặt phía trên nó. +00:07:01,500 --> 00:07:04,791 +Bạn có thể coi không gian đầu vào là mặt phẳng xy và hàm 106 +00:07:04,791 --> 00:07:08,140 +chi phí được đồ thị hóa dưới dạng một bề mặt phía trên nó. + +107 00:07:08,760 --> 00:07:13,599 Thay vì hỏi về độ dốc của hàm số, bạn phải hỏi mình nên bước vào -107 +108 00:07:13,599 --> 00:07:18,960 không gian đầu vào này theo hướng nào để giảm đầu ra của hàm nhanh nhất. -108 +109 00:07:19,720 --> 00:07:21,760 Nói cách khác, hướng xuống dốc là gì? -109 +110 00:07:22,380 --> 00:07:25,560 Một lần nữa, thật hữu ích khi nghĩ đến một quả bóng lăn xuống ngọn đồi đó. -110 +111 00:07:26,660 --> 00:07:32,757 -Những ai quen thuộc với phép tính nhiều biến sẽ biết rằng gradient của hàm số cho +Những ai quen thuộc với giải tích nhiều biến sẽ biết rằng gradient của hàm số cho -111 +112 00:07:32,757 --> 00:07:38,780 bạn hướng đi lên dốc nhất, bạn nên bước theo hướng nào để tăng hàm số nhanh nhất. -112 +113 00:07:39,560 --> 00:07:42,833 Đương nhiên, việc lấy giá trị âm của gradient đó -113 +114 00:07:42,833 --> 00:07:46,040 sẽ cho bạn hướng bước để giảm hàm số nhanh nhất. -114 +115 00:07:47,240 --> 00:07:50,539 Hơn thế nữa, độ dài của vectơ gradient này là một -115 +116 00:07:50,539 --> 00:07:53,840 dấu hiệu cho biết độ dốc lớn nhất đó là bao nhiêu. -116 -00:07:54,540 --> 00:07:57,350 -Nếu bạn chưa quen với phép tính đa biến và muốn tìm hiểu thêm, - 117 -00:07:57,350 --> 00:08:00,340 -hãy xem một số công việc tôi đã làm cho Khan Academy về chủ đề này. +00:07:54,540 --> 00:07:57,304 +Nếu bạn chưa quen với giải tích đa biến và muốn hiểu rõ hơn, 118 +00:07:57,304 --> 00:08:00,340 +xem thêm một số bài tập ở Khan Academy mà tôi đã làm về chủ đề này. + +119 00:08:00,860 --> 00:08:04,442 Thành thật mà nói, tất cả những gì quan trọng đối với bạn và -119 +120 00:08:04,442 --> 00:08:08,259 tôi lúc này là về nguyên tắc tồn tại một cách để tính vectơ này, -120 +121 00:08:08,259 --> 00:08:11,900 vectơ này cho bạn biết hướng xuống dốc là gì và độ dốc của nó. -121 +122 00:08:12,400 --> 00:08:16,120 Sẽ ổn thôi nếu đó là tất cả những gì bạn biết và bạn không nắm chắc các chi tiết. -122 +123 00:08:17,200 --> 00:08:21,999 Nếu bạn có thể hiểu được điều đó, thì thuật toán để thu nhỏ hàm số là tính hướng -123 +124 00:08:21,999 --> 00:08:26,740 gradient này, sau đó thực hiện một bước nhỏ xuống dốc và lặp đi lặp lại điều đó. -124 +125 00:08:27,700 --> 00:08:32,820 Đó là ý tưởng cơ bản tương tự đối với một hàm có 13.000 đầu vào thay vì 2 đầu vào. -125 +126 00:08:33,400 --> 00:08:36,346 Hãy tưởng tượng sắp xếp tất cả 13.000 trọng số và độ -126 -00:08:36,346 --> 00:08:39,460 -lệch của mạng của chúng ta thành một vectơ cột khổng lồ. - 127 -00:08:40,140 --> 00:08:44,926 -Độ dốc âm của hàm chi phí chỉ là một vectơ, đó là một số hướng +00:08:36,346 --> 00:08:39,460 +lệch của mạng của chúng ta thành một cột vectơ khổng lồ. 128 -00:08:44,926 --> 00:08:49,865 -bên trong không gian đầu vào cực kỳ lớn này cho bạn biết lực đẩy +00:08:40,140 --> 00:08:44,902 +Độ dốc âm của hàm chi phí chỉ là một vectơ, đó là một số hướng 129 -00:08:49,865 --> 00:08:54,880 -nào đối với tất cả các số đó sẽ khiến hàm chi phí giảm nhanh nhất. +00:08:44,902 --> 00:08:49,891 +bên trong không gian đầu vào cực kỳ lớn này cho bạn biết tác động 130 -00:08:55,640 --> 00:08:59,139 -Và tất nhiên, với hàm chi phí được thiết kế đặc biệt của chúng tôi, +00:08:49,891 --> 00:08:54,880 +nào đối với tất cả các số đó sẽ khiến hàm chi phí giảm nhanh nhất. 131 -00:08:59,139 --> 00:09:02,895 -việc thay đổi trọng số và độ lệch để giảm có nghĩa là làm cho đầu ra của +00:08:55,640 --> 00:08:59,099 +Và tất nhiên, với hàm chi phí được thiết kế đặc biệt của chúng ta, 132 -00:09:02,895 --> 00:09:06,497 -mạng trên mỗi phần dữ liệu huấn luyện trông không giống một mảng ngẫu +00:08:59,099 --> 00:09:02,868 +việc thay đổi trọng số và độ lệch để giảm có nghĩa là làm cho đầu ra của 133 -00:09:06,497 --> 00:09:10,820 -nhiên gồm 10 giá trị mà giống một quyết định thực tế mà chúng ta muốn hơn nó để làm. +00:09:02,868 --> 00:09:06,482 +mạng trên mỗi phần dữ liệu huấn luyện trông không giống một mảng ngẫu 134 +00:09:06,482 --> 00:09:10,820 +nhiên gồm 10 giá trị mà giống một quyết định thực tế mà chúng ta muốn hơn nó để làm. + +135 00:09:11,440 --> 00:09:14,621 Điều quan trọng cần nhớ là hàm chi phí này bao gồm giá trị trung -135 +136 00:09:14,621 --> 00:09:17,900 bình trên tất cả dữ liệu huấn luyện, vì vậy nếu bạn giảm thiểu nó, -136 +137 00:09:17,900 --> 00:09:21,180 điều đó có nghĩa là nó có hiệu suất tốt hơn trên tất cả các mẫu đó. -137 +138 00:09:23,820 --> 00:09:26,919 Thuật toán để tính toán độ dốc này một cách hiệu quả, -138 +139 00:09:26,919 --> 00:09:29,617 vốn là trung tâm của cách mạng nơ-ron học hỏi, -139 +140 00:09:29,617 --> 00:09:33,980 được gọi là lan truyền ngược và đó là điều tôi sẽ nói trong video tiếp theo. -140 -00:09:34,660 --> 00:09:38,759 -Ở đó, tôi thực sự muốn dành thời gian để tìm hiểu chính xác điều gì sẽ xảy ra với từng - 141 -00:09:38,759 --> 00:09:42,058 -trọng lượng và độ lệch đối với một phần dữ liệu huấn luyện nhất định, +00:09:34,660 --> 00:09:38,806 +Ở đó, tôi thực sự muốn dành thời gian để tìm hiểu chính xác điều gì sẽ xảy ra với từng 142 -00:09:42,058 --> 00:09:46,251 -cố gắng mang lại cảm giác trực quan về những gì đang xảy ra ngoài đống phép tính và công +00:09:38,806 --> 00:09:42,000 +trọng số và độ lệch đối với một phần dữ liệu huấn luyện nhất định, 143 -00:09:46,251 --> 00:09:47,100 -thức có liên quan. +00:09:42,000 --> 00:09:46,242 +cố gắng mang lại cảm giác trực quan về những gì đang xảy ra ngoài đống giải tích và công 144 -00:09:47,780 --> 00:09:51,176 -Ngay tại đây, ngay bây giờ, điều chính mà tôi muốn bạn biết, +00:09:46,242 --> 00:09:47,100 +thức có liên quan. 145 -00:09:51,176 --> 00:09:54,629 -không phụ thuộc vào chi tiết triển khai, đó là điều chúng tôi +00:09:47,780 --> 00:09:51,194 +Ngay tại đây, ngay bây giờ, điều chính mà tôi muốn bạn biết, 146 -00:09:54,629 --> 00:09:58,360 -muốn nói khi nói về việc học mạng là nó chỉ giảm thiểu hàm chi phí. +00:09:51,194 --> 00:09:54,609 +không phụ thuộc vào chi tiết triển khai, đó là điều chúng ta 147 -00:09:59,300 --> 00:10:02,172 -Và lưu ý, một hệ quả của điều đó là điều quan trọng là hàm chi +00:09:54,609 --> 00:09:58,360 +muốn nói khi nói về việc học mạng là nó chỉ giảm thiểu hàm chi phí. 148 -00:10:02,172 --> 00:10:05,136 -phí này phải có đầu ra mượt mà, sao cho chúng ta có thể tìm được +00:09:59,300 --> 00:10:02,217 +Và lưu ý, một hệ quả của điều đó là điều quan trọng là hàm chi 149 -00:10:05,136 --> 00:10:08,100 -mức tối thiểu cục bộ bằng cách thực hiện từng bước nhỏ xuống dốc. +00:10:02,217 --> 00:10:05,135 +phí này phải có đầu ra mượt mà, sao cho ta có thể tìm được một 150 +00:10:05,135 --> 00:10:08,100 +cực tiểu địa phương bằng cách thực hiện từng bước dốc xuống nhỏ. + +151 00:10:09,260 --> 00:10:13,790 Nhân tiện, đây là lý do tại sao các nơ-ron nhân tạo có các mức kích hoạt liên tục, -151 +152 00:10:13,790 --> 00:10:17,065 thay vì chỉ đơn giản là hoạt động hoặc không hoạt động theo -152 +153 00:10:17,065 --> 00:10:19,140 cách nhị phân như các nơ-ron sinh học. -153 -00:10:20,220 --> 00:10:23,396 -Quá trình liên tục dịch chuyển đầu vào của một hàm - 154 -00:10:23,396 --> 00:10:26,760 -theo bội số của gradient âm được gọi là giảm gradient. +00:10:20,220 --> 00:10:23,490 +Quá trình tác động liên tục tại một đầu vào của một hàm 155 -00:10:27,300 --> 00:10:30,468 -Đó là một cách để hội tụ về một hàm chi phí tối thiểu cục bộ nào đó, +00:10:23,490 --> 00:10:26,760 +theo bội số của gradient âm được gọi là độ dốc giảm dần. 156 -00:10:30,468 --> 00:10:32,580 -về cơ bản là một thung lũng trong biểu đồ này. +00:10:27,300 --> 00:10:30,616 +Đó là một cách để hội tụ về cực tiểu địa phương của một hàm chi phí nào đó, 157 +00:10:30,616 --> 00:10:32,580 +về cơ bản là một thung lũng trong đồ thị này. + +158 00:10:33,440 --> 00:10:36,882 Tất nhiên, tôi vẫn đang hiển thị hình ảnh của một hàm có hai đầu vào, -158 +159 00:10:36,882 --> 00:10:41,112 -bởi vì những cú huých trong không gian đầu vào 13.000 chiều hơi khó để bạn hiểu được, +bởi vì những tác động trong không gian đầu vào 13.000 chiều hơi khó để bạn hiểu được, -159 +160 00:10:41,112 --> 00:10:44,260 nhưng có một cách hay không phải không gian để nghĩ về điều này. -160 +161 00:10:45,080 --> 00:10:48,440 Mỗi thành phần của gradient âm cho chúng ta biết hai điều. -161 +162 00:10:49,060 --> 00:10:52,156 Tất nhiên, dấu hiệu cho chúng ta biết thành phần tương -162 +163 00:10:52,156 --> 00:10:55,140 ứng của vectơ đầu vào nên được nâng lên hay hạ xuống. -163 +164 00:10:55,800 --> 00:10:59,260 Nhưng quan trọng là, mức độ tương đối của tất cả các thành -164 +165 00:10:59,260 --> 00:11:02,720 phần này sẽ cho bạn biết những thay đổi nào quan trọng hơn. -165 -00:11:05,220 --> 00:11:09,063 -Bạn thấy đấy, trong mạng lưới của chúng tôi, việc điều chỉnh một trong các trọng số có - 166 -00:11:09,063 --> 00:11:13,040 -thể có tác động lớn hơn nhiều đến hàm chi phí so với việc điều chỉnh một số trọng số khác. +00:11:05,220 --> 00:11:09,060 +Bạn thấy đấy, trong mạng của chúng ta, sự điều chỉnh một trong các trọng số có thể 167 -00:11:14,800 --> 00:11:18,200 -Một số kết nối này quan trọng hơn đối với dữ liệu đào tạo của chúng tôi. +00:11:09,060 --> 00:11:13,040 +có tác động lớn hơn nhiều đến hàm chi phí so với việc điều chỉnh một số trọng số khác. 168 +00:11:14,800 --> 00:11:18,200 +Một số kết nối này quan trọng hơn đối với dữ liệu đào tạo của chúng ta. + +169 00:11:19,320 --> 00:11:23,592 Vì vậy, bạn có thể nghĩ về vectơ gradient này của hàm chi phí khổng lồ đáng kinh -169 +170 00:11:23,592 --> 00:11:28,127 ngạc của chúng ta là nó mã hóa tầm quan trọng tương đối của từng trọng số và độ lệch, -170 +171 00:11:28,127 --> 00:11:32,400 nghĩa là, những thay đổi nào trong số này sẽ mang lại nhiều lợi ích nhất cho bạn. -171 -00:11:33,620 --> 00:11:36,640 -Đây thực sự chỉ là một cách suy nghĩ khác về phương hướng. - 172 -00:11:37,100 --> 00:11:41,977 -Lấy một ví dụ đơn giản hơn, nếu bạn có một hàm nào đó với hai biến làm đầu vào và +00:11:33,620 --> 00:11:36,640 +Đây thực sự chỉ là một cách nghĩ khác về hướng. 173 -00:11:41,977 --> 00:11:46,200 -bạn tính toán rằng độ dốc của nó tại một điểm cụ thể nào đó sẽ là 3,1, +00:11:37,100 --> 00:11:42,047 +Lấy một ví dụ đơn giản hơn, nếu bạn có một hàm nào đó với hai biến làm đầu vào và 174 -00:11:46,200 --> 00:11:51,315 -thì một mặt bạn có thể hiểu điều đó là nói rằng khi bạn ' đang đứng ở đầu vào đó, +00:11:42,047 --> 00:11:46,331 +bạn tính toán rằng độ dốc của nó tại một điểm cụ thể nào đó sẽ là 3,1, 175 -00:11:51,315 --> 00:11:54,884 -di chuyển dọc theo hướng này sẽ làm tăng hàm số nhanh nhất, +00:11:46,331 --> 00:11:51,158 +thì một mặt bạn có thể hiểu điều đó là nói rằng khi bạn đang đứng ở đầu vào đó, 176 -00:11:54,884 --> 00:11:58,869 -khi bạn vẽ đồ thị hàm số phía trên mặt phẳng của các điểm đầu vào, +00:11:51,158 --> 00:11:54,778 +di chuyển dọc theo hướng này sẽ làm tăng hàm số nhanh nhất, 177 -00:11:58,869 --> 00:12:02,260 -vectơ đó là thứ mang lại cho bạn hướng đi thẳng lên trên. +00:11:54,778 --> 00:11:58,820 +khi bạn vẽ đồ thị hàm số phía trên mặt phẳng của các điểm đầu vào, 178 -00:12:02,860 --> 00:12:06,332 -Nhưng một cách khác để đọc điều đó là nói rằng những thay đổi đối với +00:11:58,820 --> 00:12:02,260 +vectơ đó là thứ mang lại cho bạn hướng đi thẳng lên trên. 179 -00:12:06,332 --> 00:12:10,797 -biến đầu tiên này có tầm quan trọng gấp 3 lần so với những thay đổi đối với biến thứ hai, +00:12:02,860 --> 00:12:06,279 +Nhưng một cách khác để đọc điều đó là nói rằng những thay đổi đối 180 -00:12:10,797 --> 00:12:13,576 -ít nhất là trong vùng lân cận của đầu vào có liên quan, +00:12:06,279 --> 00:12:09,802 +với biến đầu tiên này có tầm quan trọng gấp 3 lần so với những thay 181 -00:12:13,576 --> 00:12:16,900 -việc thúc đẩy giá trị x mang lại nhiều lợi ích hơn cho bạn. Cái xô. +00:12:09,802 --> 00:12:13,791 +đổi đối với biến thứ hai, ít nhất là trong lân cận của đầu vào có liên quan, 182 -00:12:19,880 --> 00:12:22,340 -Hãy thu nhỏ và tóm tắt vị trí của chúng ta cho đến nay. +00:12:13,791 --> 00:12:16,900 +việc tác động giá trị x mang lại nhiều lợi ích hơn cho bạn. 183 -00:12:22,840 --> 00:12:26,869 -Bản thân mạng là chức năng này với 784 đầu vào và 10 đầu ra, +00:12:19,880 --> 00:12:22,340 +Hãy thu nhỏ và tóm tắt vị trí của chúng ta bây giờ. 184 -00:12:26,869 --> 00:12:30,040 -được xác định theo tất cả các tổng trọng số này. +00:12:22,840 --> 00:12:26,779 +Bản thân mạng là hàm số này với 784 đầu vào và 10 đầu ra, 185 +00:12:26,779 --> 00:12:30,040 +được xác định theo tất cả các tổng trọng số này. + +186 00:12:30,640 --> 00:12:33,680 Trên hết, hàm chi phí là một lớp phức tạp. -186 +187 00:12:33,980 --> 00:12:37,786 Nó lấy 13.000 trọng số và độ lệch làm đầu vào và đưa ra một -187 +188 00:12:37,786 --> 00:12:41,720 thước đo duy nhất về mức độ tệ hại dựa trên các ví dụ đào tạo. -188 +189 00:12:42,440 --> 00:12:46,900 Và độ dốc của hàm chi phí vẫn còn một lớp phức tạp nữa. -189 +190 00:12:47,360 --> 00:12:50,881 Nó cho chúng ta biết điều gì tác động đến tất cả các trọng số và độ lệch này -190 +191 00:12:50,881 --> 00:12:53,763 gây ra sự thay đổi nhanh nhất đối với giá trị của hàm chi phí, -191 +192 00:12:53,763 --> 00:12:57,880 mà bạn có thể hiểu là cho biết những thay đổi nào đối với trọng số nào là quan trọng nhất. -192 +193 00:13:02,560 --> 00:13:05,784 Vì vậy, khi bạn khởi tạo mạng với các trọng số và độ lệch ngẫu nhiên, -193 +194 00:13:05,784 --> 00:13:09,146 đồng thời điều chỉnh chúng nhiều lần dựa trên quy trình giảm độ dốc này, -194 +195 00:13:09,146 --> 00:13:13,200 mạng thực sự hoạt động tốt như thế nào trên các hình ảnh mà nó chưa từng thấy trước đây? -195 +196 00:13:14,100 --> 00:13:18,650 Cái mà tôi đã mô tả ở đây, với hai lớp ẩn, mỗi lớp gồm 16 nơ-ron, -196 +197 00:13:18,650 --> 00:13:24,580 được chọn chủ yếu vì lý do thẩm mỹ, không tệ, phân loại chính xác khoảng 96% hình ảnh -197 +198 00:13:24,580 --> 00:13:25,960 mới mà nó nhìn thấy. -198 +199 00:13:26,680 --> 00:13:30,317 Và thành thật mà nói, nếu bạn nhìn vào một số ví dụ mà nó gây nhầm lẫn, -199 +200 00:13:30,317 --> 00:13:32,540 bạn cảm thấy buộc phải cắt giảm nó một chút. -200 +201 00:13:36,220 --> 00:13:39,837 Bây giờ nếu bạn thử nghiệm với cấu trúc lớp ẩn và thực hiện một vài chỉnh sửa, -201 +202 00:13:39,837 --> 00:13:41,760 bạn có thể đạt được tỷ lệ này lên tới 98%. -202 +203 00:13:41,760 --> 00:13:42,720 Và điều đó khá tốt! -203 -00:13:43,020 --> 00:13:46,680 -Nó không phải là tốt nhất, bạn chắc chắn có thể có được hiệu suất tốt hơn - 204 -00:13:46,680 --> 00:13:49,153 -bằng cách phức tạp hơn mạng vanilla đơn giản này, +00:13:43,020 --> 00:13:46,690 +Nó không phải là tốt nhất, bạn chắc chắn có thể có được hiệu suất tốt hơn 205 -00:13:49,153 --> 00:13:51,576 -nhưng với nhiệm vụ ban đầu khó khăn như thế nào, +00:13:46,690 --> 00:13:49,169 +bằng cách phức tạp hơn mạng vanilla đơn giản này, 206 -00:13:51,576 --> 00:13:55,286 -tôi nghĩ có điều gì đó đáng kinh ngạc về bất kỳ mạng nào hoạt động tốt như +00:13:49,169 --> 00:13:51,600 +nhưng với nhiệm vụ ban đầu khó khăn như thế nào, 207 -00:13:55,286 --> 00:13:57,957 -vậy trên các hình ảnh mà nó chưa từng thấy trước đây, +00:13:51,600 --> 00:13:55,319 +tôi nghĩ có điều gì đó đáng kinh ngạc về bất kỳ mạng nào hoạt động tốt như 208 -00:13:57,957 --> 00:14:01,420 -vì điều đó chúng tôi chưa bao giờ nói cụ thể với nó những mẫu cần tìm. +00:13:55,319 --> 00:13:57,997 +vậy trên các hình ảnh mà nó chưa từng thấy trước đây, 209 +00:13:57,997 --> 00:14:01,420 +vì điều đó chúng ta chưa bao giờ nói cụ thể với nó những mẫu cần tìm. + +210 00:14:02,560 --> 00:14:06,166 Ban đầu, cách tôi thúc đẩy cấu trúc này là bằng cách mô tả niềm hy vọng mà -210 +211 00:14:06,166 --> 00:14:09,389 chúng ta có thể có, rằng lớp thứ hai có thể thu được các cạnh nhỏ, -211 +212 00:14:09,389 --> 00:14:13,717 lớp thứ ba sẽ ghép các cạnh đó lại với nhau để nhận ra các vòng lặp và các đường dài hơn, -212 +213 00:14:13,717 --> 00:14:17,180 và rằng chúng có thể được ghép lại với nhau. cùng nhau nhận biết chữ số. -213 +214 00:14:17,960 --> 00:14:20,400 Vậy đây có phải là điều mà mạng lưới của chúng ta thực sự đang làm? -214 +215 00:14:21,080 --> 00:14:24,400 Vâng, ít nhất là đối với điều này thì không hề. -215 -00:14:24,820 --> 00:14:28,766 -Hãy nhớ video trước chúng ta đã xem xét trọng số của các kết nối từ tất cả các - 216 -00:14:28,766 --> 00:14:32,913 -nơ-ron ở lớp đầu tiên đến một nơ-ron nhất định ở lớp thứ hai có thể được hình dung +00:14:24,820 --> 00:14:28,984 +Hãy nhớ video trước chúng ta đã xét trọng số của các kết nối từ tất cả các nơ-ron 217 -00:14:32,913 --> 00:14:37,060 -như thế nào dưới dạng một mẫu pixel nhất định mà nơ-ron lớp thứ hai đang tiếp nhận? +00:14:28,984 --> 00:14:33,047 +ở lớp đầu tiên đến một nơ-ron nhất định ở lớp thứ hai có thể được hình dung như 218 -00:14:37,780 --> 00:14:42,980 -Chà, khi chúng tôi thực sự làm điều đó đối với các trọng số liên quan đến những chuyển +00:14:33,047 --> 00:14:37,060 +thế nào dưới dạng một mẫu pixel nhất định mà nơ-ron lớp thứ hai đang tiếp nhận? 219 -00:14:42,980 --> 00:14:48,300 -đổi này, từ lớp đầu tiên sang lớp tiếp theo, thay vì chọn các cạnh nhỏ biệt lập ở đây và +00:14:37,780 --> 00:14:42,940 +Chà, khi chúng ta thực sự làm điều đó đối với các trọng số liên quan đến những chuyển 220 -00:14:48,300 --> 00:14:53,680 -ở đó, chúng trông gần như ngẫu nhiên, chỉ với một số mẫu rất lỏng lẻo trong chính giữa đó. +00:14:42,940 --> 00:14:48,280 +đổi này, từ lớp đầu tiên sang lớp tiếp theo, thay vì chọn các cạnh nhỏ biệt lập ở đây và 221 -00:14:53,760 --> 00:14:57,610 -Có vẻ như trong không gian rộng lớn không thể đo lường được 13.000 chiều với +00:14:48,280 --> 00:14:53,680 +ở đó, chúng trông gần như ngẫu nhiên, chỉ với một số mẫu rất lỏng lẻo trong chính giữa đó. 222 -00:14:57,610 --> 00:15:01,310 -các trọng số và độ lệch có thể xảy ra, mạng của chúng tôi đã tìm thấy một +00:14:53,760 --> 00:14:57,612 +Có vẻ như trong không gian rộng lớn không thể đo lường được 13.000 chiều 223 -00:15:01,310 --> 00:15:05,760 -mức tối thiểu cục bộ nhỏ đáng mừng, mặc dù đã phân loại thành công hầu hết các hình ảnh, +00:14:57,612 --> 00:15:01,465 +với các trọng số và độ lệch có thể xảy ra, mạng của chúng ta đã tìm thấy 224 -00:15:05,760 --> 00:15:08,960 -nhưng không chọn chính xác các mẫu mà chúng tôi có thể mong đợi. +00:15:01,465 --> 00:15:05,160 +một cực tiểu địa phương nhỏ đáng mừng, mặc dù đã phân loại thành công 225 +00:15:05,160 --> 00:15:08,960 +hầu hết các hình ảnh, nhưng không chọn chính xác các mẫu mà ta mong đợi. + +226 00:15:09,780 --> 00:15:11,800 Và để thực sự hiểu được điểm này, hãy xem điều -226 +227 00:15:11,800 --> 00:15:13,820 gì xảy ra khi bạn nhập một hình ảnh ngẫu nhiên. -227 +228 00:15:14,320 --> 00:15:18,307 Nếu hệ thống thông minh, bạn có thể cho rằng nó sẽ có cảm giác không chắc chắn, -228 +229 00:15:18,307 --> 00:15:22,246 có thể không thực sự kích hoạt bất kỳ nơ-ron đầu ra nào trong số 10 nơ-ron đầu -229 +230 00:15:22,246 --> 00:15:25,835 ra đó hoặc kích hoạt tất cả chúng một cách đồng đều, nhưng thay vào đó, -230 +231 00:15:25,835 --> 00:15:28,527 nó tự tin đưa ra cho bạn một số câu trả lời vô nghĩa, -231 +232 00:15:28,527 --> 00:15:32,365 như thể nó cảm thấy chắc chắn rằng tiếng ồn ngẫu nhiên này là số 5 vì nó cho -232 +233 00:15:32,365 --> 00:15:34,160 thấy hình ảnh thực của số 5 là số 5. -233 +234 00:15:34,540 --> 00:15:38,868 Nói theo cách khác, ngay cả khi mạng này có thể nhận dạng các chữ số khá tốt, -234 +235 00:15:38,868 --> 00:15:40,700 nó cũng không biết cách vẽ chúng. -235 +236 00:15:41,420 --> 00:15:45,240 Phần lớn điều này là do đây là một thiết lập đào tạo bị ràng buộc chặt chẽ. -236 +237 00:15:45,880 --> 00:15:47,740 -Ý tôi là, hãy đặt mình vào vị trí của mạng lưới ở đây. +Ý tôi là, hãy đặt mình vào vị trí của mạng ở đây. -237 +238 00:15:48,140 --> 00:15:51,353 Theo quan điểm của nó, toàn bộ vũ trụ không bao gồm gì ngoài những chữ số -238 +239 00:15:51,353 --> 00:15:54,132 bất động được xác định rõ ràng tập trung vào một mạng lưới nhỏ, -239 +240 00:15:54,132 --> 00:15:57,389 và hàm chi phí của nó không bao giờ mang lại cho nó bất kỳ động lực nào để -240 +241 00:15:57,389 --> 00:16:01,080 trở thành bất cứ thứ gì ngoại trừ sự hoàn toàn tin tưởng vào các quyết định của mình. -241 +242 00:16:02,120 --> 00:16:05,480 Vì vậy, với đây là hình ảnh về những gì các nơ-ron lớp thứ hai thực sự đang làm, -242 +243 00:16:05,480 --> 00:16:08,011 bạn có thể thắc mắc tại sao tôi lại giới thiệu mạng lưới này -243 +244 00:16:08,011 --> 00:16:09,920 với động cơ là tìm hiểu các cạnh và khuôn mẫu. -244 +245 00:16:09,920 --> 00:16:12,300 Ý tôi là, đó hoàn toàn không phải là điều nó sẽ làm. -245 +246 00:16:13,380 --> 00:16:17,180 -Chà, đây không phải là mục tiêu cuối cùng của chúng tôi mà thay vào đó là điểm khởi đầu. +Chà, đây không phải là mục tiêu cuối cùng của chúng ta mà thay vào đó là điểm khởi đầu. -246 +247 00:16:17,640 --> 00:16:21,902 Thành thật mà nói, đây là công nghệ cũ, loại được nghiên cứu vào những năm 80 và 90, -247 +248 00:16:21,902 --> 00:16:26,114 và bạn cần phải hiểu nó trước khi có thể hiểu các biến thể hiện đại chi tiết hơn và -248 +249 00:16:26,114 --> 00:16:28,922 rõ ràng nó có khả năng giải quyết một số vấn đề thú vị, -249 +250 00:16:28,922 --> 00:16:33,185 nhưng bạn càng đào sâu vào những gì những lớp ẩn đó thực sự đang hoạt động thì có vẻ -250 +251 00:16:33,185 --> 00:16:34,740 như nó càng kém thông minh hơn. -251 +252 00:16:38,480 --> 00:16:41,955 Chuyển trọng tâm trong giây lát từ cách mạng học sang cách bạn học, -252 +253 00:16:41,955 --> 00:16:46,300 điều đó sẽ chỉ xảy ra nếu bạn tương tác tích cực với tài liệu ở đây bằng cách nào đó. -253 +254 00:16:47,060 --> 00:16:51,575 Một điều khá đơn giản mà tôi muốn bạn làm là tạm dừng ngay bây giờ và suy nghĩ sâu -254 +255 00:16:51,575 --> 00:16:56,146 sắc một chút về những thay đổi bạn có thể thực hiện đối với hệ thống này và cách hệ -255 +256 00:16:56,146 --> 00:17:00,880 -thống cảm nhận hình ảnh nếu bạn muốn nó tiếp thu tốt hơn những thứ như cạnh và hoa văn. +thống cảm nhận hình ảnh nếu bạn muốn nó tiếp thu tốt hơn những thứ như cạnh và các mẫu. -256 +257 00:17:01,480 --> 00:17:04,377 Nhưng tốt hơn thế, để thực sự tương tác với tài liệu, -257 +258 00:17:04,377 --> 00:17:09,099 tôi đặc biệt giới thiệu cuốn sách của Michael Nielsen về học sâu và mạng lưới thần kinh. -258 -00:17:09,680 --> 00:17:14,048 -Trong đó, bạn có thể tìm thấy mã và dữ liệu để tải xuống và sử dụng cho ví dụ - 259 -00:17:14,048 --> 00:17:18,359 -chính xác này và cuốn sách sẽ hướng dẫn bạn từng bước về chức năng của mã đó. +00:17:09,680 --> 00:17:14,076 +Trong đó, bạn có thể tìm thấy mã và dữ liệu để tải xuống và sử dụng cho ví dụ 260 +00:17:14,076 --> 00:17:18,359 +chính xác này và cuốn sách sẽ hướng dẫn bạn từng bước về của mã đó đang làm. + +261 00:17:19,300 --> 00:17:22,304 Điều tuyệt vời là cuốn sách này được cung cấp miễn phí và công khai, -261 +262 00:17:22,304 --> 00:17:24,481 vì vậy nếu bạn nhận được điều gì đó từ cuốn sách, -262 +263 00:17:24,481 --> 00:17:27,660 hãy cân nhắc tham gia cùng tôi để quyên góp cho những nỗ lực của Nielsen. -263 +264 00:17:27,660 --> 00:17:32,024 Tôi cũng đã liên kết một số tài nguyên khác mà tôi rất thích trong phần mô tả, -264 +265 00:17:32,024 --> 00:17:36,500 bao gồm bài đăng blog hay và ấn tượng của Chris Ola và các bài viết trên Distill. -265 +266 00:17:38,280 --> 00:17:40,511 Để kết thúc mọi chuyện ở đây trong vài phút vừa qua, -266 +267 00:17:40,511 --> 00:17:43,880 tôi muốn quay lại một đoạn trong cuộc phỏng vấn tôi đã thực hiện với Leisha Lee. -267 +268 00:17:44,300 --> 00:17:47,720 Bạn có thể nhớ đến cô ấy từ video trước, cô ấy đã làm luận án tiến sĩ về học sâu. -268 -00:17:48,300 --> 00:17:52,040 -Trong đoạn trích nhỏ này, cô ấy nói về hai bài báo gần đây thực sự đi sâu - 269 -00:17:52,040 --> 00:17:55,780 -vào cách một số mạng nhận dạng hình ảnh hiện đại hơn đang thực sự học hỏi. +00:17:48,300 --> 00:17:52,065 +Trong đoạn trích này, cô ấy nói về hai bài báo gần đây thực sự đi sâu vào 270 -00:17:56,120 --> 00:17:58,414 -Để xác định vị trí của chúng tôi trong cuộc trò chuyện, +00:17:52,065 --> 00:17:55,780 +cách một số mạng nhận dạng hình ảnh hiện đại hơn là đang thực sự học hỏi. 271 -00:17:58,414 --> 00:18:01,569 -bài báo đầu tiên đã sử dụng một trong những mạng lưới thần kinh đặc biệt sâu +00:17:56,120 --> 00:17:58,410 +Để xác định vị trí của chúng ta trong cuộc trò chuyện, 272 -00:18:01,569 --> 00:18:04,724 -có khả năng nhận dạng hình ảnh thực sự tốt và thay vì huấn luyện nó trên một +00:17:58,410 --> 00:18:01,451 +bài báo đầu tiên đã sử dụng một trong những mạng lưới thần kinh đặc biệt 273 -00:18:04,724 --> 00:18:07,879 -tập dữ liệu được dán nhãn chính xác, hãy xáo trộn tất cả các nhãn xung quanh +00:18:01,451 --> 00:18:04,658 +sâu có khả năng nhận dạng hình ảnh thực sự tốt và thay vì huấn luyện nó trên 274 -00:18:07,879 --> 00:18:08,740 -trước khi huấn luyện. +00:18:04,658 --> 00:18:07,865 +một tập dữ liệu được dán nhãn chính xác, xáo trộn tất cả các nhãn xung quanh 275 +00:18:07,865 --> 00:18:08,740 +trước khi huấn luyện. + +276 00:18:09,480 --> 00:18:12,925 Rõ ràng độ chính xác của thử nghiệm ở đây không tốt hơn ngẫu nhiên, -276 +277 00:18:12,925 --> 00:18:16,624 vì mọi thứ chỉ được gắn nhãn ngẫu nhiên, nhưng nó vẫn có thể đạt được độ -277 +278 00:18:16,624 --> 00:18:20,880 chính xác huấn luyện giống như bạn làm trên một tập dữ liệu được gắn nhãn chính xác. -278 +279 00:18:21,600 --> 00:18:26,410 Về cơ bản, hàng triệu trọng số cho mạng cụ thể này là đủ để nó chỉ ghi nhớ dữ -279 +280 00:18:26,410 --> 00:18:31,405 liệu ngẫu nhiên, điều này đặt ra câu hỏi liệu việc giảm thiểu hàm chi phí này có -280 +281 00:18:31,405 --> 00:18:36,400 thực sự tương ứng với bất kỳ loại cấu trúc nào trong hình ảnh hay chỉ là ghi nhớ? -281 -00:18:51,440 --> 00:18:56,631 -Nếu bạn nhìn vào đường cong chính xác đó, nếu bạn chỉ đang đào tạo trên một tập - 282 -00:18:56,631 --> 00:19:02,406 -dữ liệu ngẫu nhiên, thì đường cong đó sẽ đi xuống rất chậm theo kiểu gần như tuyến tính, +00:18:51,440 --> 00:18:56,450 +Nếu bạn nhìn vào đường cong chính xác đó, nếu bạn chỉ đang đào tạo trên một 283 -00:19:02,406 --> 00:19:07,532 -vì vậy bạn thực sự đang gặp khó khăn để tìm ra mức tối thiểu cục bộ có thể có, +00:18:56,450 --> 00:19:01,526 +tập dữ liệu ngẫu nhiên, thì đường cong đó sẽ đi xuống rất chậm theo kiểu gần 284 -00:19:07,532 --> 00:19:12,140 -bạn biết đấy , trọng lượng phù hợp sẽ giúp bạn có được độ chính xác đó. +00:19:01,526 --> 00:19:06,536 +như tuyến tính, vì vậy bạn thực sự đang gặp khó khăn để tìm ra cực tiểu địa 285 +00:19:06,536 --> 00:19:12,140 +phương có thể có, bạn biết đấy, trọng số phù hợp sẽ giúp bạn có được độ chính xác đó. + +286 00:19:12,240 --> 00:19:16,557 Trong khi đó, nếu bạn thực sự đang đào tạo trên một tập dữ liệu có cấu trúc, -286 +287 00:19:16,557 --> 00:19:20,370 một tập dữ liệu có nhãn phù hợp, bạn sẽ loay hoay một chút lúc đầu, -287 +288 00:19:20,370 --> 00:19:24,182 nhưng sau đó bạn đã giảm rất nhanh để đạt được mức độ chính xác đó, -288 +289 00:19:24,182 --> 00:19:28,220 và theo một nghĩa nào đó, nó việc tìm cực đại địa phương đó dễ dàng hơn. -289 +290 00:19:28,540 --> 00:19:33,293 Và điều thú vị ở đây là nó đưa ra ánh sáng một bài báo khác từ vài năm trước, -290 +291 00:19:33,293 --> 00:19:36,645 trong đó có nhiều sự đơn giản hóa hơn về các lớp mạng, -291 +292 00:19:36,645 --> 00:19:41,521 nhưng một trong những kết quả là nói rằng nếu bạn nhìn vào bối cảnh tối ưu hóa, -292 +293 00:19:41,521 --> 00:19:47,006 -mức tối thiểu cục bộ mà các mạng này có xu hướng tìm hiểu thực sự có chất lượng như nhau, +cực tiểu địa phương mà các mạng này có xu hướng tìm hiểu thực sự có chất lượng như nhau, -293 +294 00:19:47,006 --> 00:19:51,150 vì vậy, theo một nghĩa nào đó, nếu tập dữ liệu của bạn có cấu trúc, -294 +295 00:19:51,150 --> 00:19:54,320 bạn sẽ có thể tìm thấy dữ liệu đó dễ dàng hơn nhiều. -295 +296 00:19:58,160 --> 00:20:01,180 Như mọi khi, tôi xin gửi lời cảm ơn tới những người đã ủng hộ trên Patreon. -296 -00:20:01,520 --> 00:20:04,221 -Tôi đã từng nói Patreon là công cụ thay đổi cuộc chơi nhưng những - 297 -00:20:04,221 --> 00:20:06,800 -video này thực sự sẽ không thể thực hiện được nếu không có bạn. +00:20:01,520 --> 00:20:03,909 +Tôi đã từng nói Patreon chỉ làm thay đổi một trò chơi nào đó, 298 -00:20:07,460 --> 00:20:09,948 -Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn đặc biệt đến công ty Amplify +00:20:03,909 --> 00:20:06,800 +nhưng những video này thực sự sẽ không thể thực hiện được nếu không có bạn. 299 -00:20:09,948 --> 00:20:12,780 -Partners của VC vì đã hỗ trợ những video đầu tiên trong chuỗi này. +00:20:07,460 --> 00:20:10,266 +Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn đặc biệt đến công ty Amplify Partners + +300 +00:20:10,266 --> 00:20:12,780 +của VC vì đã hỗ trợ những video đầu tiên trong loạt bài này. diff --git a/2017/implicit-differentiation/vietnamese/auto_generated.srt b/2017/implicit-differentiation/vietnamese/auto_generated.srt index 5daf7b9c3..d977b7f4d 100644 --- a/2017/implicit-differentiation/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2017/implicit-differentiation/vietnamese/auto_generated.srt @@ -167,12 +167,12 @@ tôi có lời giải thích về cách bạn có thể diễn giải việc l có hai biến như thế này. 43 -00:03:16,580 --> 00:03:20,903 +00:03:16,580 --> 00:03:20,956 Nhưng trước tiên tôi muốn đặt vấn đề cụ thể này sang một bên và chỉ ra cách nó 44 -00:03:20,903 --> 00:03:25,500 -liên quan đến một loại vấn đề tính toán khác, cái gọi là vấn đề về tỷ lệ liên quan. +00:03:20,956 --> 00:03:25,500 +liên quan đến một loại vấn đề tính toán khác, cái gọi là bài toán liên quan tỷ lệ. 45 00:03:26,320 --> 00:03:32,451 @@ -255,526 +255,522 @@ Phương trình quan trọng liên quan đến các số hạng này là hiệu quả để sử dụng là nó luôn đúng ở mọi thời điểm. 65 -00:04:50,300 --> 00:04:55,532 -Bây giờ, một cách mà bạn có thể giải quyết vấn đề này là cô lập x của t, +00:04:50,300 --> 00:04:55,071 +Bây giờ, một cách mà bạn có thể giải bài này là cô lập x của t, 66 -00:04:55,532 --> 00:05:00,907 +00:04:55,071 --> 00:05:00,662 và sau đó bạn tìm ra y của t phải dựa trên tốc độ giảm 1 m trên giây đó và 67 -00:05:00,907 --> 00:05:07,000 +00:05:00,662 --> 00:05:07,000 bạn có thể lấy đạo hàm của hàm kết quả dx dt , tốc độ thay đổi của x theo thời gian. 68 -00:05:07,860 --> 00:05:10,600 -Và điều đó không sao cả, nó bao gồm một vài lớp sử dụng quy +00:05:07,860 --> 00:05:12,079 +Và nó ổn, nó gồm một vài lớp tính dùng quy tắc dây chuyền và chắc chắn sẽ hiệu quả 69 -00:05:10,600 --> 00:05:12,974 -tắc dây chuyền và nó chắc chắn sẽ hiệu quả với bạn, +00:05:12,079 --> 00:05:16,400 +với bạn, nhưng tôi muốn chỉ ra một cách khác để bạn có thể nghĩ về bài toán tương tự. 70 -00:05:12,974 --> 00:05:16,400 -nhưng tôi muốn chỉ ra một cách khác để bạn có thể nghĩ về cùng một vấn đề. - -71 00:05:17,320 --> 00:05:21,080 Vế trái của phương trình là hàm của thời gian, phải không? -72 +71 00:05:21,440 --> 00:05:25,934 Nó tình cờ bằng một hằng số, nghĩa là giá trị rõ ràng không thay đổi khi thời gian -73 +72 00:05:25,934 --> 00:05:30,374 trôi qua, nhưng nó vẫn được viết dưới dạng một biểu thức phụ thuộc vào thời gian, -74 +73 00:05:30,374 --> 00:05:35,140 có nghĩa là chúng ta có thể thao tác nó giống như bất kỳ hàm nào khác có t làm đầu vào. -75 +74 00:05:36,060 --> 00:05:40,057 Cụ thể, ta có thể lấy đạo hàm của vế trái này, -76 +75 00:05:40,057 --> 00:05:44,990 tức là nếu để thời gian trôi qua một chút, dt nhỏ nào đó, -77 +76 00:05:44,990 --> 00:05:51,880 làm cho y giảm nhẹ, và x tăng nhẹ thì bao nhiêu biểu hiện này có thay đổi không? -78 +77 00:05:53,000 --> 00:05:55,668 Một mặt, chúng ta biết rằng đạo hàm đó phải bằng 0, -79 +78 00:05:55,668 --> 00:05:58,645 vì biểu thức là một hằng số và các hằng số không quan tâm -80 +79 00:05:58,645 --> 00:06:02,340 đến những cú thúc nhỏ của bạn theo thời gian, chúng chỉ không thay đổi. -81 +80 00:06:03,080 --> 00:06:06,520 Nhưng mặt khác, bạn nhận được gì khi tính đạo hàm này? -82 +81 00:06:08,020 --> 00:06:14,120 Vâng, đạo hàm của x theo t bình phương bằng 2 nhân x của t nhân đạo hàm của x. -83 +82 00:06:14,440 --> 00:06:16,980 Đó là quy tắc dây chuyền mà tôi đã nói ở video trước. -84 +83 00:06:17,620 --> 00:06:21,837 2x dx biểu thị kích thước của một thay đổi đối với x bình phương -85 +84 00:06:21,837 --> 00:06:26,380 gây ra bởi một số thay đổi đối với x, và sau đó chúng ta chia cho dt. -86 +85 00:06:27,500 --> 00:06:30,973 Tương tự như vậy, tốc độ y của bình phương của t -87 +86 00:06:30,973 --> 00:06:34,660 đang thay đổi là 2 nhân y của t nhân đạo hàm của y. -88 +87 00:06:35,740 --> 00:06:38,954 Bây giờ, hiển nhiên, toàn bộ biểu thức này phải bằng 0, -89 +88 00:06:38,954 --> 00:06:43,374 và đó là cách tương đương để nói rằng x bình cộng y bình không được thay đổi -90 +89 00:06:43,374 --> 00:06:44,580 khi thang di chuyển. -91 +90 00:06:45,880 --> 00:06:53,680 Lúc đầu, thời gian t bằng 0, chiều cao y của t là 4 mét và khoảng cách x của t là 3 mét. -92 +91 00:06:54,480 --> 00:06:59,727 Và vì đỉnh của thang đang giảm với tốc độ 1 mét/giây, -93 +92 00:06:59,727 --> 00:07:03,420 nên đạo hàm đó, dy dt, âm 1 mét/giây. -94 +93 00:07:04,460 --> 00:07:09,022 Bây giờ, điều này cho chúng ta đủ thông tin để tách đạo hàm, -95 +94 00:07:09,022 --> 00:07:13,360 dx dt, và khi bạn tính nó ra, nó sẽ là 4/3 mét trên giây. -96 +95 00:07:14,380 --> 00:07:17,950 Sở dĩ tôi đưa ra bài toán bậc thang này là vì tôi muốn các bạn so -97 +96 00:07:17,950 --> 00:07:21,520 sánh nó với bài toán tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đường tròn. -98 +97 00:07:22,360 --> 00:07:26,923 Trong cả hai trường hợp, chúng ta có phương trình x bình cộng y bình bằng 5 bình, -99 +98 00:07:26,923 --> 00:07:31,320 và trong cả hai trường hợp, chúng ta đều lấy đạo hàm mỗi vế của biểu thức này. -100 +99 00:07:32,200 --> 00:07:35,342 Nhưng đối với câu hỏi bậc thang, những biểu thức này là hàm -101 +100 00:07:35,342 --> 00:07:38,380 số của thời gian nên việc lấy đạo hàm có ý nghĩa rõ ràng. -102 +101 00:07:38,960 --> 00:07:42,360 Đó là tốc độ thay đổi biểu thức khi thời gian thay đổi. -103 +102 00:07:43,260 --> 00:07:47,470 Nhưng điều làm cho tình huống đường tròn trở nên kỳ lạ là thay vì nói -104 +103 00:07:47,470 --> 00:07:51,860 rằng một khoảng thời gian nhỏ dt đã trôi qua, khiến cho x và y thay đổi, -105 +104 00:07:51,860 --> 00:07:56,251 -thì đạo hàm chỉ có những tác động nhỏ xíu, dx và dy, chỉ trôi nổi tự do, +thì đạo hàm chỉ có những tác động rất nhỏ, dx và dy, chỉ trôi nổi tự do, -106 +105 00:07:56,251 --> 00:07:59,980 không bị ràng buộc với một số biến chung khác, như thời gian. -107 +106 00:08:01,140 --> 00:08:02,980 Để tôi chỉ ra một cách hay để nghĩ về điều này. -108 +107 00:08:03,240 --> 00:08:07,440 Hãy đặt tên cho biểu thức này x bình phương cộng với y bình phương, có thể là s. -109 +108 00:08:08,240 --> 00:08:11,060 s về cơ bản là một hàm hai biến. -110 +109 00:08:11,880 --> 00:08:15,660 Nó lấy mọi điểm xy trên mặt phẳng và liên kết nó với một số. -111 +110 00:08:16,620 --> 00:08:19,660 Đối với các điểm trên vòng tròn, con số đó là 25. -112 +111 00:08:20,560 --> 00:08:24,400 Nếu bạn bước ra khỏi vòng tròn thì giá trị đó sẽ lớn hơn. -113 +112 00:08:25,060 --> 00:08:24,400 -Với các điểm xy khác gần gốc tọa độ hơn, giá trị đó sẽ nhỏ hơn. +Với các điểm xy khác gần gốc hơn, giá trị đó sẽ nhỏ hơn. -114 -00:08:25,060 --> 00:08:30,327 +113 +00:08:25,060 --> 00:08:30,312 Bây giờ, ý nghĩa của việc lấy đạo hàm của biểu thức này, đạo hàm của s, -115 -00:08:30,327 --> 00:08:36,253 +114 +00:08:30,312 --> 00:08:36,221 là xét một thay đổi nhỏ của cả hai biến này, một thay đổi nhỏ nào đó dx thành x, -116 -00:08:36,253 --> 00:08:42,399 +115 +00:08:36,221 --> 00:08:42,349 và một thay đổi nhỏ nào đó dy thành y, và không nhất thiết phải là một thay đổi giữ +116 +00:08:42,349 --> 00:08:48,477 +nguyên. Nhân tiện, bạn ở trên đường tròn, đó chỉ là một bước nhỏ bất kỳ theo bất kỳ + 117 -00:08:42,399 --> 00:08:48,910 -nguyên Nhân tiện, bạn ở trên đường tròn, đó chỉ là một bước nhỏ bất kỳ theo bất kỳ hướng +00:08:48,477 --> 00:08:50,520 +hướng nào của mặt phẳng xy. 118 -00:08:48,910 --> 00:08:50,520 -nào của mặt phẳng xy. - -119 00:08:51,520 --> 00:08:55,020 Và từ đó bạn hỏi, giá trị của s thay đổi bao nhiêu? -120 +119 00:08:56,000 --> 00:09:01,262 Và sự khác biệt đó, sự khác biệt về giá trị của s trước tác động và sau tác động, -121 +120 00:09:01,262 --> 00:09:03,380 là những gì tôi đang viết là ds. -122 +121 00:09:04,480 --> 00:09:13,857 Ví dụ, trong hình này, chúng ta đang bắt đầu tại một điểm trong đó x bằng 3 và y bằng 4, -123 +122 00:09:13,857 --> 00:09:20,180 và giả sử rằng bước tôi vẽ có dx ở âm 0.02 và dy ở âm 0.01. -124 +123 00:09:21,120 --> 00:09:28,719 Khi đó mức giảm của s, lượng mà x bình cộng với y bình thay đổi trong bước đó, -125 +124 00:09:28,719 --> 00:09:34,780 sẽ là khoảng 2 nhân 3 nhân âm 0.02 cộng 2 nhân 4 nhân âm 0.01. -126 +125 00:09:35,600 --> 00:09:40,800 Đó chính là ý nghĩa của biểu thức đạo hàm này, 2x dx cộng 2y dy. -127 +126 00:09:41,380 --> 00:09:46,720 Đó là công thức để cho bạn biết giá trị x bình cộng y bình thay đổi bao nhiêu -128 +127 00:09:46,720 --> 00:09:52,060 được xác định bởi điểm xy nơi bạn bắt đầu và bước nhỏ dx dy mà bạn thực hiện. -129 +128 00:09:53,080 --> 00:09:56,795 Và cũng giống với tất cả các đạo hàm, đây chỉ là một phép tính gần đúng, -130 +129 00:09:56,795 --> 00:10:01,121 nhưng nó là một phép tính ngày càng đúng hơn đối với các lựa chọn dx và dy ngày càng -131 +130 00:10:01,121 --> 00:10:01,580 nhỏ hơn. -132 +131 00:10:02,500 --> 00:10:06,997 Điểm mấu chốt ở đây là khi bạn giới hạn bản thân ở các bước dọc theo vòng tròn, -133 +132 00:10:06,997 --> 00:10:11,720 về cơ bản bạn đang nói rằng bạn muốn đảm bảo rằng giá trị này của s không thay đổi. -134 +133 00:10:12,240 --> 00:10:16,520 Nó bắt đầu ở giá trị 25 và bạn muốn giữ nó ở giá trị 25. -135 +134 00:10:17,180 --> 00:10:19,100 Nghĩa là ds phải bằng 0. -136 +135 00:10:20,200 --> 00:10:24,870 Vì vậy, đặt biểu thức 2x dx cộng 2y dy bằng 0 là điều kiện -137 +136 00:10:24,870 --> 00:10:29,700 để một trong những bước nhỏ này thực sự nằm trên đường tròn. -138 +137 00:10:30,620 --> 00:10:32,460 Một lần nữa, đây chỉ là một xấp xỉ. -139 +138 00:10:33,040 --> 00:10:36,403 Nói chính xác hơn, điều kiện đó là thứ giữ bạn ở trên đường -140 +139 00:10:36,403 --> 00:10:39,880 tiếp tuyến của đường tròn chứ không phải chính đường tròn đó. -141 +140 00:10:40,580 --> 00:10:43,900 Nhưng đối với các bước đủ nhỏ, về cơ bản những bước đó giống nhau. -142 +141 00:10:45,180 --> 00:10:49,780 Tất nhiên, không có gì đặc biệt về biểu thức x bình cộng y bình bằng 5 bình. -143 +142 00:10:50,440 --> 00:10:53,970 Thật tốt khi nghĩ qua nhiều ví dụ hơn, vì vậy hãy xem -144 +143 00:10:53,970 --> 00:10:57,500 biểu thức này là sin của x nhân y bình phương bằng x. -145 +144 00:10:58,160 --> 00:11:01,640 Điều này tương ứng với một loạt các đường cong hình chữ u trên mặt phẳng. -146 +145 00:11:02,420 --> 00:11:06,845 Và hãy nhớ rằng, những đường cong đó biểu thị tất cả các điểm xy -147 +146 00:11:06,845 --> 00:11:11,340 trong đó giá trị sin của x nhân y bình phương bằng giá trị của x. +147 +00:11:16,000 --> 00:11:19,273 +Giờ tưởng tượng bạn đang làm một số bước nhỏ với các thành phần + 148 -00:11:16,000 --> 00:11:19,278 -Bây giờ tưởng tượng bạn đang thực hiện một số bước nhỏ với các thành +00:11:19,273 --> 00:11:22,700 +dx dy và không nhất thiết phải là một bước giúp bạn đi đúng hướng. 149 -00:11:19,278 --> 00:11:22,700 -phần dx dy và không nhất thiết phải là một bước giúp bạn đi đúng hướng. - -150 00:11:23,820 --> 00:11:27,759 Lấy đạo hàm mỗi vế của phương trình này sẽ cho chúng ta biết -151 +150 00:11:27,759 --> 00:11:31,440 giá trị của vế đó thay đổi bao nhiêu trong suốt bước đó. -152 +151 00:11:32,460 --> 00:11:35,599 Ở vế trái, quy tắc tích mà ta đã nói từ video trước cho chúng -153 +152 00:11:35,599 --> 00:11:38,840 ta biết rằng điều này phải là trái d phải cộng với phải d trái. -154 +153 00:11:39,480 --> 00:11:44,781 Đó là sin x nhân sự thay đổi của y bình phương, bằng 2y nhân dy, -155 +154 00:11:44,781 --> 00:11:50,980 cộng với y bình nhân sự thay đổi thành sin của x, bằng cosin của x nhân dx. -156 +155 00:11:52,020 --> 00:11:54,528 Vế phải chỉ đơn giản là x, vậy kích thước của một thay -157 +156 00:11:54,528 --> 00:11:56,900 đổi đối với giá trị đó chính xác là dx, phải không? -158 +157 00:11:56,900 --> 00:12:03,015 Bây giờ, đặt hai cạnh này bằng nhau là một cách nói rằng bước nhỏ của bạn -159 +158 00:12:03,015 --> 00:12:09,130 với tọa độ dx và dy là bao nhiêu, nếu nó giữ chúng ta trên đường cong thì -160 +159 00:12:09,130 --> 00:12:15,080 giá trị của cả vế trái và vế phải phải thay đổi với một lượng như nhau. -161 +160 00:12:15,640 --> 00:12:18,860 Đó là cách duy nhất mà phương trình ở dòng đầu này có thể đúng. +161 +00:12:20,220 --> 00:12:23,350 +Từ đó, tùy thuộc vào bài toán bạn đang cố giải, + 162 -00:12:20,220 --> 00:12:23,746 -Từ đó, tùy thuộc vào vấn đề bạn đang cố gắng giải quyết, +00:12:23,350 --> 00:12:28,632 +bạn có thứ gì đó để làm việc với đại số và có thể mục tiêu chung nhất là cố gắng 163 -00:12:23,746 --> 00:12:29,191 -bạn có thứ gì đó để làm việc với đại số và có thể mục tiêu chung nhất là cố gắng tìm ra +00:12:28,632 --> 00:12:31,110 +tìm ra dy chia cho dx bằng bao nhiêu. 164 -00:12:29,191 --> 00:12:31,110 -dy chia cho dx bằng bao nhiêu. - -165 00:12:33,210 --> 00:12:37,430 Như một ví dụ cuối cùng ở đây, tôi muốn chỉ cho bạn cách bạn thực sự có -166 +165 00:12:37,430 --> 00:12:41,710 thể sử dụng kỹ thuật đạo hàm ẩn này để tìm ra các công thức đạo hàm mới. -167 +166 00:12:42,630 --> 00:12:47,224 Tôi đã đề cập rằng đạo hàm của e mũ x là chính nó, -168 +167 00:12:47,224 --> 00:12:52,990 nhưng còn đạo hàm hàm ngược của nó, log tự nhiên của x thì sao? -169 +168 00:12:53,270 --> 00:12:55,270 -Vâng, đồ thị log tự nhiên của x có thể được coi là một đường cong ẩn. +À, đồ thị log tự nhiên của x có thể được coi là một đường cong ẩn. -170 +169 00:12:56,050 --> 00:13:00,830 Đó là tất cả các điểm x, y trên mặt phẳng nơi y bằng ln x. -171 +170 00:13:01,550 --> 00:13:04,810 Tình cờ là trường hợp x và y của phương trình này không -172 +171 00:13:04,810 --> 00:13:08,130 trộn lẫn với nhau như trong các ví dụ khác của chúng ta. -173 +172 00:13:09,350 --> 00:13:15,410 Độ dốc của đồ thị này, dy chia cho dx, phải là đạo hàm của ln(x), phải không? -174 +173 00:13:16,650 --> 00:13:20,186 Để tìm ra điều đó, trước tiên hãy sắp xếp lại -175 +174 00:13:20,186 --> 00:13:24,030 phương trình y bằng ln của x thành e mũ y bằng x. -176 +175 00:13:24,650 --> 00:13:30,850 Đây chính xác là ý nghĩa của log tự nhiên của x, nó nói e bằng x. -177 +176 00:13:31,870 --> 00:13:35,554 Vì chúng ta biết đạo hàm của e theo y, nên chúng ta có thể lấy -178 +177 00:13:35,554 --> 00:13:39,355 đạo hàm của cả hai vế ở đây, hỏi một cách hiệu quả rằng một bước -179 +178 00:13:39,355 --> 00:13:43,390 nhỏ với thành phần dx dy sẽ thay đổi giá trị của mỗi vế như thế nào. -180 +179 00:13:44,530 --> 00:13:47,859 Để đảm bảo rằng một bước vẫn nằm trên đường cong, -181 +180 00:13:47,859 --> 00:13:52,321 sự thay đổi ở vế trái này của phương trình, tức là e mũ y nhân dy, -182 +181 00:13:52,321 --> 00:13:56,650 phải bằng sự thay đổi ở vế phải, trong trường hợp này chỉ là dx. -183 +182 00:13:57,870 --> 00:14:01,752 Sắp xếp lại, điều đó có nghĩa là dy chia cho dx, -184 +183 00:14:01,752 --> 00:14:06,190 độ dốc của đồ thị của chúng ta, bằng 1 chia cho e mũ y. -185 +184 00:14:06,910 --> 00:14:11,673 Và khi chúng ta ở trên đường cong, e theo y theo định nghĩa giống với x, -186 +185 00:14:11,673 --> 00:14:14,610 vậy rõ ràng hệ số góc này bằng 1 chia cho x. -187 +186 00:14:15,830 --> 00:14:21,618 Và tất nhiên biểu thức tính độ dốc của đồ thị của một hàm viết theo x như thế -188 +187 00:14:21,618 --> 00:14:27,630 này là đạo hàm của hàm đó, nên hiển nhiên đạo hàm của ln theo x là 1 chia cho x. -189 +188 00:14:32,610 --> 00:14:37,635 Nhân tiện, tất cả những điều này chỉ là một cái nhìn sơ lược về giải tích nhiều biến, -190 +189 00:14:37,635 --> 00:14:41,434 trong đó bạn xem xét các hàm có nhiều đầu vào và cách chúng thay -191 +190 00:14:41,434 --> 00:14:43,830 đổi khi bạn điều chỉnh nhiều đầu vào đó. -192 +191 00:14:44,870 --> 00:14:49,025 Điều quan trọng, như mọi khi, là phải có một hình ảnh rõ ràng trong đầu về -193 +192 00:14:49,025 --> 00:14:53,070 những tác động nhỏ đang diễn ra và chúng phụ thuộc lẫn nhau như thế nào. -194 +193 00:14:54,530 --> 00:15:08,630 Tiếp theo tôi sẽ nói về các giới hạn và cách chúng -195 +194 00:15:08,630 --> 00:15:22,730 được sử dụng để chính thức hóa ý tưởng về đạo hàm. diff --git a/2017/limits/italian/auto_generated.srt b/2017/limits/italian/auto_generated.srt index 17520ec12..bb2b51d90 100644 --- a/2017/limits/italian/auto_generated.srt +++ b/2017/limits/italian/auto_generated.srt @@ -8,11 +8,11 @@ agli integrali voglio prendermi un po' di tempo per parlare dei limiti. 3 00:00:21,660 --> 00:00:24,820 -A dire il vero, l’idea di limite non è proprio una novità. +A dire il vero, l’idea di limite non è proprio una qualcosa di nuovo. 4 00:00:25,160 --> 00:00:28,700 -Se sai cosa significa la parola approccio, sai già cos'è un limite. +Se sai cosa significa la parola avvicinamento, sai già cos'è un limite. 5 00:00:29,040 --> 00:00:32,587 @@ -24,1077 +24,1037 @@ all'idea intuitiva di un valore che si avvicina a un altro. 7 00:00:36,440 --> 00:00:39,660 -Ma ci sono alcuni motivi per dedicare un video completo a questo argomento. +Ma ci sono alcuni motivi per dedicare a questo argomento un video completo. 8 -00:00:40,280 --> 00:00:43,643 -Per prima cosa, vale la pena mostrare come il modo in cui ho descritto finora +00:00:40,280 --> 00:00:43,634 +Vorrei mostrare che la descrizione di derivata utilizzata finora 9 -00:00:43,643 --> 00:00:47,049 -i derivati sia in linea con la definizione formale di derivata così come viene +00:00:43,634 --> 00:00:47,040 +è in linea con la definizione formale di derivata così come viene 10 -00:00:47,049 --> 00:00:50,240 -tipicamente presentata nella maggior parte dei corsi e dei libri di testo. +00:00:47,040 --> 00:00:50,240 +presentata nella maggior parte dei corsi e dei libri di testo. 11 -00:00:50,920 --> 00:00:55,049 +00:00:50,920 --> 00:00:55,135 Voglio darti un po' di sicurezza sul fatto che pensare in termini di dx e df come 12 -00:00:55,049 --> 00:00:59,129 -spinte concrete diverse da zero non è solo un trucco per costruire l'intuizione, +00:00:55,135 --> 00:00:59,041 +variazioni diverse da zero non è solo un trucco per ottenere un'intuizione, 13 -00:00:59,129 --> 00:01:03,360 +00:00:59,041 --> 00:01:03,360 è in realtà supportato dalla definizione formale di derivata in tutto il suo rigore. 14 -00:01:04,260 --> 00:01:08,227 +00:01:04,260 --> 00:01:08,116 Voglio anche far luce su cosa intendono esattamente i matematici quando 15 -00:01:08,227 --> 00:01:11,920 -dicono approccio in termini di definizione di limiti epsilon-delta. +00:01:08,116 --> 00:01:11,920 +dicono avvicinamento in termini di definizione di limiti epsilon-delta. 16 -00:01:12,520 --> 00:01:14,550 -Poi concluderemo con un trucco intelligente per +00:01:12,520 --> 00:01:16,580 +Poi concluderemo con un trucco astuto per calcolare i limiti chiamato regola di L'Hopital. 17 -00:01:14,550 --> 00:01:16,580 -calcolare i limiti chiamato regola di L'Hopital. - -18 00:01:17,800 --> 00:01:21,700 Quindi, per prima cosa, diamo un'occhiata alla definizione formale di derivata. -19 -00:01:22,320 --> 00:01:25,235 +18 +00:01:22,320 --> 00:01:25,247 Come promemoria, quando hai una funzione f di x, +19 +00:01:25,247 --> 00:01:29,789 +per pensare alla sua derivata in un particolare input, tipo x è uguale a 2, + 20 -00:01:25,235 --> 00:01:29,818 -per pensare alla sua derivata in un particolare input, forse x è uguale a 2, +00:01:29,789 --> 00:01:33,613 +inizi immaginando di spostare quell'input un po' lontano da dx, 21 -00:01:29,818 --> 00:01:33,626 -inizi immaginando di spostare quell'input un po' lontano da dx, +00:01:33,613 --> 00:01:36,900 +e osservando il cambiamento risultante nell'output, df. 22 -00:01:33,626 --> 00:01:36,900 -e osservando il cambiamento risultante nell'output, df. +00:01:37,960 --> 00:01:41,697 +Il rapporto df diviso dx, che può essere pensato come la pendenza 23 -00:01:37,960 --> 00:01:41,488 -Il rapporto df diviso dx, che può essere ben pensato come la +00:01:41,697 --> 00:01:45,095 +del rapporto tra discesa e salita tra il punto iniziale sul 24 -00:01:41,488 --> 00:01:45,017 -pendenza di salita rispetto alla corsa tra il punto iniziale +00:01:45,095 --> 00:01:48,720 +grafico e il punto di variazione, è quasi ciò che è la derivata. 25 -00:01:45,017 --> 00:01:48,720 -sul grafico e il punto di spinta, è quasi ciò che è la derivata. +00:01:49,100 --> 00:01:53,960 +La derivata effettiva è qualunque cosa questo rapporto diventa quando dx si avvicina a 0. 26 -00:01:49,100 --> 00:01:51,709 -La derivata effettiva è qualunque cosa si avvicini +00:01:55,000 --> 00:01:58,965 +Giusto per precisare cosa si intende lì, quella variazione 27 -00:01:51,709 --> 00:01:53,960 -a questo rapporto quando dx si avvicina a 0. +00:01:58,965 --> 00:02:04,744 +all'output df è la differenza tra f all'input iniziale più dx e f all'input iniziale, 28 -00:01:55,000 --> 00:02:01,250 -Giusto per precisare cosa si intende lì, quella spinta all'output df è la differenza tra +00:02:04,744 --> 00:02:07,500 +il cambiamento dell'output causato da dx. 29 -00:02:01,250 --> 00:02:07,500 -f all'input iniziale più dx e f all'input iniziale, la modifica all'output causata da dx. - -30 00:02:08,680 --> 00:02:13,341 Per esprimere che vuoi trovare a cosa si avvicina questo rapporto quando dx -31 +30 00:02:13,341 --> 00:02:17,880 -si avvicina a 0, scrivi LIM per limite, con la freccia dx 0 sotto di essa. +si avvicina a 0, scrivi LIM, per limite, con "dx freccia 0" sotto di essa. -32 +31 00:02:18,960 --> 00:02:21,833 Non vedrai quasi mai termini con una d minuscola come -33 +32 00:02:21,833 --> 00:02:24,760 dx all'interno di un'espressione di limite come questa. +33 +00:02:25,320 --> 00:02:28,669 +Invece, lo standard prevede di utilizzare una variabile diversa, + 34 -00:02:25,320 --> 00:02:28,382 -Invece, lo standard consiste nell'utilizzare una variabile diversa, +00:02:28,669 --> 00:02:31,040 +come delta x o spesso h, per qualsiasi motivo. 35 -00:02:28,382 --> 00:02:31,040 -qualcosa come delta x o comunemente h per qualsiasi motivo. - -36 00:02:31,860 --> 00:02:35,355 Il modo in cui mi piace pensarlo è che i termini con questa d -37 +36 00:02:35,355 --> 00:02:39,133 minuscola nella tipica espressione derivativa hanno incorporato in -38 +37 00:02:39,133 --> 00:02:43,080 sé questa idea di limite, l'idea che dx alla fine dovrebbe andare a 0. -39 -00:02:44,660 --> 00:02:47,715 +38 +00:02:44,660 --> 00:02:47,835 In un certo senso, questo lato sinistro qui, df su dx, -40 -00:02:47,715 --> 00:02:50,716 +39 +00:02:47,835 --> 00:02:50,952 il rapporto a cui abbiamo pensato negli ultimi video, -41 -00:02:50,716 --> 00:02:55,494 +40 +00:02:50,952 --> 00:02:55,917 è solo una scorciatoia per ciò che il lato destro qui spiega in modo più dettagliato, -42 -00:02:55,494 --> 00:02:59,495 -scrivendo esattamente cosa intendiamo per df e scriviamo esplicitamente - -43 -00:02:59,495 --> 00:03:00,940 -questo processo di limite. +41 +00:02:55,917 --> 00:03:00,940 +scrivendo esattamente cosa intendiamo per df ed esplicitando questo processo di limite. -44 +42 00:03:01,620 --> 00:03:04,712 Questo lato destro qui è la definizione formale di derivata, -45 +43 00:03:04,712 --> 00:03:08,160 -come la vedresti comunemente in qualsiasi libro di testo di calcolo. +come la vedresti comunemente in qualsiasi libro di testo di analisi. -46 +44 00:03:08,760 --> 00:03:11,218 E se mi volete scusare per un piccolo sfogo qui, -47 +45 00:03:11,218 --> 00:03:15,633 voglio sottolineare che nulla in questo lato destro fa riferimento all'idea paradossale -48 +46 00:03:15,633 --> 00:03:17,640 di un cambiamento infinitamente piccolo. -49 +47 00:03:18,260 --> 00:03:19,960 -Il punto dei limiti è evitarlo. +Lo scopo dei limiti è evitarlo. -50 +48 00:03:20,620 --> 00:03:22,974 Questo valore h è esattamente la stessa cosa del -51 +49 00:03:22,974 --> 00:03:25,280 dx a cui ho fatto riferimento in tutta la serie. -52 -00:03:25,900 --> 00:03:30,419 -È una spinta all'input di f con una dimensione finitamente piccola, +50 +00:03:25,900 --> 00:03:30,493 +È una variazione all'input di f con una dimensione finitamente piccola, -53 -00:03:30,419 --> 00:03:32,280 +51 +00:03:30,493 --> 00:03:32,280 diversa da zero, come 0.001. -54 +52 00:03:33,100 --> 00:03:37,700 Stiamo solo analizzando cosa succede per scelte arbitrariamente piccole di h. +53 +00:03:38,580 --> 00:03:42,142 +In effetti, l'unica ragione per cui si cambia nome alla variabile in + +54 +00:03:42,142 --> 00:03:45,551 +questa definizione formale, piuttosto che usare semplicemente dx, + 55 -00:03:38,580 --> 00:03:42,248 -In effetti, l'unica ragione per cui le persone introducono un nuovo nome di +00:03:45,551 --> 00:03:49,372 +è per essere estremamente chiari sul fatto che queste modifiche all'input 56 -00:03:42,248 --> 00:03:46,062 -variabile in questa definizione formale, piuttosto che usare semplicemente dx, +00:03:49,372 --> 00:03:53,400 +sono solo numeri ordinari che non hanno nulla a che fare con gli infinitesimi. 57 -00:03:46,062 --> 00:03:49,634 -è per essere estremamente chiari sul fatto che queste modifiche all'input +00:03:54,380 --> 00:03:57,858 +Ci sono altri a cui piace interpretare questo dx come un cambiamento 58 -00:03:49,634 --> 00:03:53,400 -sono solo numeri ordinari che non hanno nulla a che fare con gli infinitesimi. +00:03:57,858 --> 00:04:00,429 +infinitamente piccolo, qualsiasi cosa voglia dire, 59 -00:03:54,380 --> 00:03:58,286 -Ci sono altri a cui piace interpretare questo dx come un cambiamento +00:04:00,429 --> 00:04:04,109 +o semplicemente dire che dx e df sono solamente simboli che non dovremmo 60 -00:03:58,286 --> 00:04:01,966 -infinitamente piccolo, o semplicemente dire che dx e df non sono +00:04:04,109 --> 00:04:05,420 +prendere troppo sul serio. 61 -00:04:01,966 --> 00:04:05,420 -altro che simboli che non dovremmo prendere troppo sul serio. +00:04:06,220 --> 00:04:09,480 +A questo punto, sai che non apprezzo nessuno di questi punti di vista. 62 -00:04:06,220 --> 00:04:09,480 -Ma ormai nella serie, sai che non sono davvero un fan di nessuno di questi punti di vista. +00:04:10,020 --> 00:04:13,949 +Penso che tu possa e dovresti interpretare dx come una variazione concreta, 63 -00:04:10,020 --> 00:04:13,569 -Penso che tu possa e dovresti interpretare dx come una spinta concreta, +00:04:13,949 --> 00:04:18,500 +finitamente piccola, purché ti ricordi di chiederti cosa succede quando si avvicina a 0. 64 -00:04:13,569 --> 00:04:17,859 -finitamente piccola, purché ti ricordi di chiederti cosa succede quando quella cosa si +00:04:19,420 --> 00:04:23,300 +Questo aiuta a costruire un'intuizione più forte sulla provenienza reale delle 65 -00:04:17,859 --> 00:04:18,500 -avvicina a 0. +00:04:23,300 --> 00:04:27,180 +regole dell'analisi e spero che gli ultimi video ti abbiano convinto di questo. 66 -00:04:19,420 --> 00:04:23,035 -Per prima cosa, e spero che gli ultimi video ti abbiano aiutato a convincerti di questo, +00:04:27,180 --> 00:04:29,900 +Ma non è solo un trucco per costruire intuizioni. 67 -00:04:23,035 --> 00:04:25,758 -questo aiuta a costruire un'intuizione più forte sulla provenienza +00:04:30,460 --> 00:04:33,808 +Tutto quello che ho detto sulle derivate, con questa filosofia 68 -00:04:25,758 --> 00:04:27,180 -effettiva delle regole del calcolo. +00:04:33,808 --> 00:04:36,837 +concreta e finitamente piccola, è solo una traduzione di 69 -00:04:27,180 --> 00:04:29,900 -Ma non è solo un trucco per costruire intuizioni. +00:04:36,837 --> 00:04:40,080 +questa definizione formale che stiamo osservando proprio ora. 70 -00:04:30,460 --> 00:04:34,974 -Tutto quello che ho detto sui derivati, con questa filosofia concreta e finitamente +00:04:41,040 --> 00:04:45,103 +Per farla breve, il concetto di limite ci evita di dover parlare di cambiamenti 71 -00:04:34,974 --> 00:04:39,435 -piccola, è solo una traduzione di questa definizione formale che stiamo osservando +00:04:45,103 --> 00:04:48,964 +infinitamente piccoli, chiedendoci invece cosa succede quando la dimensione 72 -00:04:39,435 --> 00:04:40,080 -proprio ora. +00:04:48,964 --> 00:04:52,520 +di qualche piccolo cambiamento della nostra variabile si avvicina a 0. 73 -00:04:41,040 --> 00:04:44,896 -Per farla breve, il grande polverone riguardo ai limiti è che ci permettono di evitare - -74 -00:04:44,896 --> 00:04:47,068 -di parlare di cambiamenti infinitamente piccoli, - -75 -00:04:47,068 --> 00:04:50,791 -chiedendoci invece cosa succede quando la dimensione di qualche piccolo cambiamento - -76 -00:04:50,791 --> 00:04:52,520 -della nostra variabile si avvicina a 0. - -77 00:04:53,280 --> 00:04:55,937 Questo ci porta all’obiettivo numero 2, comprendere -78 +74 00:04:55,937 --> 00:04:59,260 esattamente cosa significa per un valore avvicinarsi ad un altro. -79 +75 00:05:00,440 --> 00:05:07,140 Ad esempio, considera la funzione 2 più h al cubo meno 2 al cubo tutto diviso per h. -80 +76 00:05:08,480 --> 00:05:12,235 Questa sembra essere l'espressione che salta fuori quando sveli la -81 +77 00:05:12,235 --> 00:05:15,991 definizione di una derivata di x al cubo valutata in x uguale a 2, -82 +78 00:05:15,991 --> 00:05:19,860 ma consideriamola come una qualsiasi vecchia funzione con un input h. -83 +79 00:05:20,440 --> 00:05:23,580 Il suo grafico è questa bella parabola dall'aspetto continuo, -84 +80 00:05:23,580 --> 00:05:27,380 che avrebbe senso perché è un termine cubico diviso per un termine lineare. -85 +81 00:05:28,200 --> 00:05:32,434 Ma in realtà, se pensi a cosa succede quando h è uguale a 0, -86 +82 00:05:32,434 --> 00:05:36,460 inserendolo otterresti 0 diviso per 0, che non è definito. -87 +83 00:05:37,420 --> 00:05:40,350 In realtà, questo grafico ha un buco in quel punto, -88 +84 00:05:40,350 --> 00:05:45,140 e bisogna esagerare per disegnare quel buco, spesso con un cerchio vuoto come questo. -89 +85 00:05:45,140 --> 00:05:47,654 Ma tieni presente che la funzione è perfettamente -90 +86 00:05:47,654 --> 00:05:50,320 ben definita per input vicini allo 0 quanto desideri. -91 +87 00:05:51,260 --> 00:05:54,091 Non sei d'accordo che quando h si avvicina a 0, -92 +88 00:05:54,091 --> 00:05:58,280 l'output corrispondente, l'altezza di questo grafico, si avvicina a 12? -93 +89 00:05:59,160 --> 00:06:01,580 Non importa da che parte provieni. -94 +90 00:06:03,740 --> 00:06:08,200 Il limite di questo rapporto quando h si avvicina a 0 è uguale a 12. -95 -00:06:09,360 --> 00:06:13,810 -Ma immagina di essere un matematico che inventa il calcolo infinitesimale +91 +00:06:09,360 --> 00:06:13,390 +Ma immagina di essere un matematico che inventa l'analisi e qualcuno -96 -00:06:13,810 --> 00:06:17,480 -e qualcuno ti chiede, cosa intendi esattamente per approccio? +92 +00:06:13,390 --> 00:06:17,480 +un po' scettico ti chiede, cosa intendi esattamente per avvicinamento? -97 +93 00:06:18,440 --> 00:06:21,140 -Sarebbe una domanda un po' fastidiosa. +Sarebbe una domanda un po' fastidiosa. Voglio dire, dai... -98 +94 00:06:21,400 --> 00:06:24,180 -Sappiamo tutti cosa significa che un valore si avvicina a un altro. +Sappiamo tutti cosa significa che un valore si avvicina ad un altro. -99 -00:06:24,940 --> 00:06:28,272 -Ma cominciamo a pensare ai modi in cui potresti rispondere a quella persona, +95 +00:06:24,940 --> 00:06:28,097 +Ma pensiamo ai modi in cui potresti rispondere a quella persona, -100 -00:06:28,272 --> 00:06:29,700 +96 +00:06:28,097 --> 00:06:29,700 in modo del tutto inequivocabile. -101 +97 00:06:30,940 --> 00:06:34,285 Per un dato intervallo di input entro una certa distanza da 0, -102 +98 00:06:34,285 --> 00:06:38,322 escluso il punto proibito 0 stesso, guarda tutti gli output corrispondenti, -103 +99 00:06:38,322 --> 00:06:42,040 tutte le possibili altezze del grafico al di sopra di tale intervallo. -104 -00:06:42,860 --> 00:06:47,304 +100 +00:06:42,860 --> 00:06:47,197 Man mano che l’intervallo dei valori di input si avvicina sempre più strettamente -105 -00:06:47,304 --> 00:06:51,640 -attorno a 0, l’intervallo di valori di output si chiude sempre più attorno a 12. +101 +00:06:47,197 --> 00:06:51,640 +attorno a 0, l’intervallo dei valori di output si restringe sempre più attorno a 12. -106 -00:06:52,420 --> 00:06:54,950 -È importante sottolineare che la dimensione di tale intervallo +102 +00:06:52,420 --> 00:06:55,025 +Nota che la dimensione di tale intervallo di valori -107 -00:06:54,950 --> 00:06:57,280 -di valori di output può essere ridotta quanto si desidera. +103 +00:06:55,025 --> 00:06:57,280 +di output può essere ridotta quanto si vuole. -108 +104 00:06:59,020 --> 00:07:02,766 Come controesempio, considera una funzione simile a questa, -109 +105 00:07:02,766 --> 00:07:06,200 anch'essa non definita a 0, ma che salta in quel punto. -110 +106 00:07:06,960 --> 00:07:11,742 Quando ti avvicini a h uguale a 0 da destra, la funzione si avvicina al valore 2, -111 +107 00:07:11,742 --> 00:07:14,600 ma quando ci arrivi da sinistra, si avvicina a 1. -112 +108 00:07:15,540 --> 00:07:19,903 Poiché non esiste un singolo valore chiaro e inequivocabile a cui questa funzione si -113 +109 00:07:19,903 --> 00:07:24,420 avvicina quando h si avvicina a 0, il limite semplicemente non è definito in quel punto. -114 -00:07:25,160 --> 00:07:29,529 -Un modo di pensare a questo è che quando si osserva qualsiasi intervallo di input +110 +00:07:25,160 --> 00:07:29,760 +Un modo di pensare a questo è che quando osservi un intervallo di input intorno a -115 -00:07:29,529 --> 00:07:33,045 -intorno a 0 e si considera l'intervallo di output corrispondente, +111 +00:07:29,760 --> 00:07:32,733 +0 e consideri l'intervallo di output corrispondente, -116 -00:07:33,045 --> 00:07:37,574 +112 +00:07:32,733 --> 00:07:37,501 mentre si riduce l'intervallo di input, gli output corrispondenti non si restringono -117 -00:07:37,574 --> 00:07:38,960 +113 +00:07:37,501 --> 00:07:38,960 su alcun valore specifico. -118 -00:07:39,780 --> 00:07:43,556 -Invece, quegli output si trovano a cavallo di un intervallo che non si riduce mai +114 +00:07:39,780 --> 00:07:43,482 +Invece, quegli output si trovano a cavallo di un intervallo che non diventa -119 -00:07:43,556 --> 00:07:47,380 -al di sotto di 1, anche se si rende l'intervallo di input il più piccolo possibile. +115 +00:07:43,482 --> 00:07:47,380 +mai meno di 1, anche se si rende l'intervallo di input il più piccolo possibile. -120 +116 00:07:48,520 --> 00:07:52,457 Questa prospettiva di restringere un intervallo di input attorno al punto -121 +117 00:07:52,457 --> 00:07:56,980 limite e vedere se si è limitati o meno in quanto ciò riduce l'intervallo di output, -122 +118 00:07:56,980 --> 00:08:00,280 -porta a qualcosa chiamata definizione di limiti epsilon-delta. - -123 -00:08:01,220 --> 00:08:03,256 -Si potrebbe sostenere che questo sia inutilmente +porta a qualcosa chiamata definizione di limiti Epsilon-Delta. -124 -00:08:03,256 --> 00:08:05,500 -pesante per un'introduzione al calcolo infinitesimale. +119 +00:08:01,220 --> 00:08:05,500 +Potresti sostenere che questo sia inutilmente pesante per un'introduzione all'analisi. -125 +120 00:08:06,060 --> 00:08:09,569 -Se sai cosa significa la parola approccio, sai già cosa significa limite, +Se sai cosa significa la parola avvicinamento, sai cosa significa limite, -126 +121 00:08:09,569 --> 00:08:11,940 qui non c'è niente di nuovo a livello concettuale. -127 +122 00:08:12,320 --> 00:08:15,740 Ma questo è uno sguardo interessante nel campo dell’analisi -128 +123 00:08:15,740 --> 00:08:19,104 reale e ti dà un’idea di come i matematici rendono le idee -129 +124 00:08:19,104 --> 00:08:22,640 intuitive del calcolo infinitesimale più ermetiche e rigorose. -130 +125 00:08:23,700 --> 00:08:25,340 Hai già visto l'idea principale qui. -131 -00:08:25,660 --> 00:08:29,565 -Quando esiste un limite, puoi ridurre l'intervallo di output quanto desideri, +126 +00:08:25,660 --> 00:08:29,452 +Se esiste un limite, puoi ridurre l'intervallo di output quanto desideri, -132 -00:08:29,565 --> 00:08:33,972 -ma quando il limite non esiste, l'intervallo di output non può diventare inferiore a un +127 +00:08:29,452 --> 00:08:33,808 +ma quando il limite non esiste, l'intervallo di output non può diventare inferiore a -133 -00:08:33,972 --> 00:08:38,279 -valore particolare, non importa quanto riduci l'intervallo di input attorno all'input +128 +00:08:33,808 --> 00:08:38,267 +un valore specifico, non importa quanto riduci l'intervallo di input attorno all'input -134 -00:08:38,279 --> 00:08:38,780 +129 +00:08:38,267 --> 00:08:38,780 limitante. -135 -00:08:39,679 --> 00:08:42,401 -Congeliamo la stessa idea in modo un po' più preciso, +130 +00:08:39,679 --> 00:08:42,457 +Fissiamo questa stessa idea in modo un po' più preciso, -136 -00:08:42,401 --> 00:08:45,880 +131 +00:08:42,457 --> 00:08:45,880 magari nel contesto di questo esempio in cui il valore limite era 12. -137 +132 00:08:46,780 --> 00:08:50,627 Pensa a qualsiasi distanza da 12, dove per qualche ragione è comune -138 +133 00:08:50,627 --> 00:08:54,079 usare la lettera greca epsilon per denotare quella distanza, -139 +134 00:08:54,079 --> 00:08:58,040 e l'intento qui è che questa distanza epsilon sia piccola quanto vuoi. -140 +135 00:08:58,820 --> 00:09:03,296 Ciò che significa che il limite esiste è che sarai sempre in grado -141 +136 00:09:03,296 --> 00:09:07,706 di trovare un intervallo di input attorno al nostro punto limite, -142 +137 00:09:07,706 --> 00:09:12,115 una certa distanza delta attorno a 0, in modo che qualsiasi input -143 +138 00:09:12,115 --> 00:09:17,060 entro delta di 0 corrisponda a un output entro una distanza epsilon di 12. -144 -00:09:18,420 --> 00:09:21,144 -Il punto chiave qui è che questo è vero per qualsiasi epsilon, +139 +00:09:18,420 --> 00:09:21,061 +Il punto è che questo è vero per qualsiasi epsilon, -145 -00:09:21,144 --> 00:09:24,820 -non importa quanto piccolo, sarai sempre in grado di trovare il delta corrispondente. +140 +00:09:21,061 --> 00:09:24,820 +non importa quanto piccolo, potrai sempre trovare il delta corrispondente. -146 +141 00:09:25,580 --> 00:09:29,689 Al contrario, quando non esiste un limite, come in questo esempio qui, -147 +142 00:09:29,689 --> 00:09:33,162 puoi trovare un epsilon sufficientemente piccolo, come 0.4, -148 +143 00:09:33,162 --> 00:09:37,156 in modo che non importa quanto piccolo sia l'intervallo attorno a 0, -149 +144 00:09:37,156 --> 00:09:41,323 non importa quanto piccolo sia il delta, l'intervallo corrispondente di -150 +145 00:09:41,323 --> 00:09:43,060 output è sempre troppo grande. -151 +146 00:09:43,700 --> 00:09:48,640 Non esiste un output limite in cui tutto si trova a una distanza epsilon da quell'output. -152 +147 00:09:54,100 --> 00:09:57,160 Finora è tutto piuttosto teorico, non credi? -153 +148 00:09:57,680 --> 00:10:00,371 Limiti utilizzati per definire formalmente la derivata, -154 +149 00:10:00,371 --> 00:10:04,120 quindi epsilon e delta utilizzati per definire rigorosamente il limite stesso. -155 +150 00:10:04,900 --> 00:10:08,260 Quindi concludiamo il tutto con un trucco per calcolare effettivamente i limiti. -156 +151 00:10:09,100 --> 00:10:12,554 Ad esempio, supponiamo che per qualche motivo tu stia studiando -157 +152 00:10:12,554 --> 00:10:15,740 la funzione sin di pi greco x diviso per x quadrato meno 1. -158 +153 00:10:16,220 --> 00:10:19,240 Forse questo stava modellando una sorta di oscillazione smorzata. -159 -00:10:20,240 --> 00:10:22,559 -Quando disegni una serie di punti per rappresentarlo graficamente, - -160 -00:10:22,559 --> 00:10:23,460 -sembra piuttosto continuo. +154 +00:10:20,240 --> 00:10:23,460 +Quando disegni una serie di punti per fare il grafico, sembra continuo. -161 +155 00:10:27,280 --> 00:10:29,480 Ma c'è un valore problematico in x uguale a 1. -162 -00:10:30,000 --> 00:10:33,012 -Quando lo inserisci, il peccato di pi greco è 0, +156 +00:10:30,000 --> 00:10:35,497 +Quando lo inserisci, il seno di pi greco è 0, e anche il denominatore risulta essere 0, -163 -00:10:33,012 --> 00:10:36,947 -e anche il denominatore risulta essere 0, quindi la funzione in +157 +00:10:35,497 --> 00:10:39,308 +quindi la funzione in realtà non è definita su quell'input e -164 -00:10:36,947 --> 00:10:41,620 -realtà non è definita su quell'input e il grafico dovrebbe avere un buco lì. +158 +00:10:39,308 --> 00:10:41,620 +il grafico dovrebbe avere un buco lì. -165 +159 00:10:42,200 --> 00:10:45,882 Questo accade anche se x = meno 1, ma per ora concentriamo -166 +160 00:10:45,882 --> 00:10:48,940 la nostra attenzione su uno solo di questi buchi. -167 +161 00:10:50,020 --> 00:10:54,640 -A quel punto il grafico sembra certamente avvicinarsi ad un valore distinto, non credi? +In quel punto il grafico sembra certamente avvicinarsi ad un valore distinto, non credi? -168 -00:10:57,280 --> 00:11:01,114 -Quindi potresti chiederti, come trovi esattamente quale output si avvicina +162 +00:10:57,280 --> 00:11:01,165 +Quindi potresti chiederti, come trovi esattamente a quale output si avvicina -169 -00:11:01,114 --> 00:11:05,000 +163 +00:11:01,165 --> 00:11:05,000 quando x si avvicina a 1, dal momento che non puoi semplicemente inserire 1? -170 +164 00:11:07,960 --> 00:11:15,360 Un modo per approssimarlo sarebbe inserire un numero molto vicino a 1, come 1.00001. -171 +165 00:11:16,120 --> 00:11:20,080 Facendolo, scoprirai che dovrebbe essere un numero intorno a meno 1.57. -172 +166 00:11:21,160 --> 00:11:23,600 Ma esiste un modo per sapere esattamente di cosa si tratta? -173 +167 00:11:23,960 --> 00:11:27,690 Qualche processo sistematico per prendere un'espressione come questa, -174 +168 00:11:27,690 --> 00:11:32,274 che assomiglia a 0 diviso 0 in un input, e chiedersi qual è il suo limite quando x si -175 +169 00:11:32,274 --> 00:11:33,500 avvicina a quell'input? +170 +00:11:36,440 --> 00:11:40,040 +Dopo i limiti, così utili a scrivere la definizione delle derivate, + +171 +00:11:40,040 --> 00:11:44,700 +le derivate possono tornare qui e restituire il favore per aiutarci a valutare i limiti. + +172 +00:11:45,200 --> 00:11:46,020 +Ti faccio vedere. + +173 +00:11:47,020 --> 00:11:50,834 +Ecco come appare il grafico del seno di pi greco per x, + +174 +00:11:50,834 --> 00:11:53,900 +ed ecco come appare il grafico di x^2 meno 1. + +175 +00:11:53,900 --> 00:11:56,747 +Ci sono molte cose sullo schermo, ma concentrati + 176 -00:11:36,440 --> 00:11:39,499 -Dopo i limiti, è utile scrivere la definizione di derivati, +00:11:56,747 --> 00:11:59,420 +solo su ciò che accade intorno a x uguale a 1. 177 -00:11:39,499 --> 00:11:43,680 -i derivati possono effettivamente tornare qui e restituire il favore per aiutarci +00:12:00,180 --> 00:12:04,294 +Il punto qui è che il seno di pi greco per x e x al quadrato meno 178 -00:11:43,680 --> 00:11:44,700 -a valutare i limiti. +00:12:04,294 --> 00:12:08,160 +1 sono entrambi 0 in quel punto, entrambi incrociano l'asse x. 179 -00:11:45,200 --> 00:11:46,020 -Lascia che ti mostri cosa intendo. +00:12:09,000 --> 00:12:14,427 +Allo stesso modo in cui si inserisce un valore specifico vicino a 1, come 1.00001, 180 -00:11:47,020 --> 00:11:50,923 -Ecco come appare il grafico del peccato di pi greco per x, +00:12:14,427 --> 00:12:20,313 +ingrandiamo quel punto e consideriamo cosa succede a una piccola variazione dx lontano da 181 -00:11:50,923 --> 00:11:53,900 -ed ecco come appare il grafico di x^2 meno 1. +00:12:20,313 --> 00:12:20,640 +esso. 182 -00:11:53,900 --> 00:11:56,747 -C'è molto da avere sullo schermo, ma concentrati +00:12:21,300 --> 00:12:26,269 +Il valore seno di pi greco per x viene ridotto e il valore di quella variazione, 183 -00:11:56,747 --> 00:11:59,420 -solo su ciò che accade intorno a x uguale a 1. +00:12:26,269 --> 00:12:29,398 +che è stata causata dalla variazione dx all'input, 184 -00:12:00,180 --> 00:12:04,015 -Il punto qui è che il peccato di pi greco per xex al quadrato +00:12:29,398 --> 00:12:32,160 +è quello che potremmo chiamare d sin di pi x. 185 -00:12:04,015 --> 00:12:08,160 -meno 1 sono entrambi 0 in quel punto, entrambi incrociano l'asse x. +00:12:33,040 --> 00:12:37,289 +E dalla nostra conoscenza delle derivate, usando la regola della catena, 186 -00:12:09,000 --> 00:12:14,626 -Nello stesso spirito in cui si inserisce un valore specifico vicino a 1, come 1.00001, +00:12:37,289 --> 00:12:41,480 +dovrebbe essere intorno al coseno di pi greco per x per pi greco per dx. 187 -00:12:14,626 --> 00:12:20,316 -ingrandiamo quel punto e consideriamo cosa succede a una piccola spinta a dx lontano da +00:12:42,700 --> 00:12:47,700 +Poiché il valore iniziale era x uguale a 1, inseriamo x uguale a 1 in quell'espressione. 188 -00:12:20,316 --> 00:12:20,640 -esso. +00:12:51,260 --> 00:12:54,978 +In altre parole, la quantità di variazione del grafico del seno di 189 -00:12:21,300 --> 00:12:26,212 -Il valore sin di pi greco per x viene ridotto e il valore di quella spinta, +00:12:54,978 --> 00:12:58,142 +pi greco per x è approssimativamente proporzionale a dx, 190 -00:12:26,212 --> 00:12:29,251 -che è stata causata dalla spinta dx all'input, +00:12:58,142 --> 00:13:02,360 +con una costante di proporzionalità pari al coseno di pi greco per pi greco. 191 -00:12:29,251 --> 00:12:32,160 -è quello che potremmo chiamare d sin di pi x. +00:13:03,360 --> 00:13:07,698 +E il coseno di pi greco, se ripensiamo alla trigonometria, è esattamente meno 1, 192 -00:12:33,040 --> 00:12:37,289 -E dalla nostra conoscenza delle derivate, usando la regola della catena, +00:13:07,698 --> 00:13:11,180 +quindi possiamo scrivere l'intera cosa come meno pi greco per dx. 193 -00:12:37,289 --> 00:12:41,480 -dovrebbe essere intorno al coseno di pi greco per x per pi greco per dx. +00:13:12,220 --> 00:13:15,342 +Allo stesso modo, il valore del grafico x al quadrato 194 -00:12:42,700 --> 00:12:47,700 -Poiché il valore iniziale era x uguale a 1, inseriamo x uguale a 1 in quell'espressione. +00:13:15,342 --> 00:13:18,060 +meno 1 cambia di qualche dx al quadrato meno 1. 195 -00:12:51,260 --> 00:12:54,800 -In altre parole, la quantità di variazione del grafico del +00:13:18,520 --> 00:13:23,540 +E prendendo la derivata, la dimensione di quella variazione dovrebbe essere 2 x per dx. 196 -00:12:54,800 --> 00:12:58,520 -peccato di pi per x è approssimativamente proporzionale a dx, +00:13:24,480 --> 00:13:28,983 +Stavamo iniziando da x uguale a 1, quindi inseriamo x uguale a 1 in quell'espressione, 197 -00:12:58,520 --> 00:13:02,360 -con una costante di proporzionalità pari al coseno di pi per pi. +00:13:28,983 --> 00:13:33,280 +il che significa che il valore della variazione dell'output è circa 2 per 1 per dx. 198 -00:13:03,360 --> 00:13:07,006 -E il coseno di pi greco, se ripensiamo alla nostra conoscenza della trigonometria, +00:13:34,920 --> 00:13:41,105 +Ciò significa che per valori di x che sono solo una piccola variazione dx lontano da 1, 199 -00:13:07,006 --> 00:13:10,872 -è esattamente negativo 1, quindi possiamo scrivere l'intera cosa come pi greco negativo +00:13:41,105 --> 00:13:45,673 +il rapporto seno di pi greco x diviso per x al quadrato meno 1 è 200 -00:13:10,872 --> 00:13:11,180 -per dx. +00:13:45,673 --> 00:13:49,680 +approssimativamente meno pi greco per dx diviso 2 per dx. 201 -00:13:12,220 --> 00:13:15,342 -Allo stesso modo, il valore del grafico x al quadrato +00:13:50,900 --> 00:13:54,740 +I dx si annullano, quindi ciò che rimane è meno pi greco diviso 2. 202 -00:13:15,342 --> 00:13:18,060 -meno 1 cambia di qualche dx al quadrato meno 1. +00:13:55,720 --> 00:13:58,399 +E, cosa più importante, queste approssimazioni diventano 203 -00:13:18,520 --> 00:13:23,540 -E prendendo la derivata, la dimensione di quella spinta dovrebbe essere 2x volte dx. +00:13:58,399 --> 00:14:01,360 +sempre più precise per scelte sempre più piccole di dx, giusto? 204 -00:13:24,480 --> 00:13:26,934 -Ancora una volta, stavamo iniziando da x uguale a 1, +00:14:02,310 --> 00:14:05,624 +Questo rapporto, meno pi greco diviso 2, in realtà ci 205 -00:13:26,934 --> 00:13:29,343 -quindi inseriamo x uguale a 1 in quell'espressione, +00:14:05,624 --> 00:14:09,000 +dice il valore limite preciso quando x si avvicina a 1. 206 -00:13:29,343 --> 00:13:33,280 -il che significa che la dimensione della spinta in uscita è circa 2 volte 1 volta dx. +00:14:09,540 --> 00:14:13,919 +Ricorda, ciò significa che l'altezza limite sul nostro grafico originale è, 207 -00:13:34,920 --> 00:13:41,027 -Ciò significa che per valori di x che sono solo una piccola spinta dx lontano da 1, +00:14:13,919 --> 00:14:16,800 +evidentemente, esattamente meno pi greco diviso 2. 208 -00:13:41,027 --> 00:13:45,244 -il rapporto sin di pi x diviso per x al quadrato meno 1 è +00:14:18,220 --> 00:14:21,836 +Quello che è successo lì è un po' sottile, quindi voglio ripeterlo di nuovo, 209 -00:13:45,244 --> 00:13:49,680 -approssimativamente negativo pi per dx diviso per 2 volte dx. +00:14:21,836 --> 00:14:23,340 +ma questa volta più in generale. 210 -00:13:50,900 --> 00:13:54,740 -I dx si annullano, quindi ciò che rimane è pi negativo su 2. +00:14:24,120 --> 00:14:29,105 +Invece di queste due funzioni specifiche, che sono entrambe uguali a 0 in x uguale a 1, 211 -00:13:55,720 --> 00:13:58,399 -E, cosa più importante, queste approssimazioni diventano +00:14:29,105 --> 00:14:32,957 +pensa a due funzioni qualsiasi, f(x) e g(x), che sono entrambe 0 in 212 -00:13:58,399 --> 00:14:01,360 -sempre più precise per scelte sempre più piccole di dx, giusto? +00:14:32,957 --> 00:14:35,620 +corrispondenza di un valore comune, x uguale a. 213 -00:14:02,310 --> 00:14:05,752 -Questo rapporto, pi negativo su 2, in realtà ci dice +00:14:36,280 --> 00:14:40,633 +L'unico vincolo è che queste devono essere funzioni che puoi derivare in x uguale a, 214 -00:14:05,752 --> 00:14:09,000 -il valore limite preciso quando x si avvicina a 1. +00:14:40,633 --> 00:14:44,166 +il che significa che sostanzialmente assomigliano a una linea quando 215 -00:14:09,540 --> 00:14:14,137 -Ricorda, ciò significa che l'altezza limite sul nostro grafico originale è, +00:14:44,166 --> 00:14:46,420 +ingrandisci abbastanza vicino a quel valore. 216 -00:14:14,137 --> 00:14:16,800 -evidentemente, esattamente pi negativo su 2. +00:14:47,800 --> 00:14:51,252 +Anche se non puoi calcolare f diviso g in questo punto, 217 -00:14:18,220 --> 00:14:21,537 -Quello che è successo lì è un po' sottile, quindi voglio ripercorrerlo di nuovo, +00:14:51,252 --> 00:14:55,691 +dato che entrambe sono uguali a 0, puoi interrogarti su questo rapporto 218 -00:14:21,537 --> 00:14:23,340 -ma questa volta in modo un po' più generale. +00:14:55,691 --> 00:15:00,500 +per valori di x molto vicini ad a, ovvero il limite quando x si avvicina ad a. 219 -00:14:24,120 --> 00:14:29,105 -Invece di queste due funzioni specifiche, che sono entrambe uguali a 0 in x uguale a 1, +00:15:01,220 --> 00:15:06,200 +Ed è utile pensare a quegli input vicini come a una piccola variazione, dx, lontano da a. 220 -00:14:29,105 --> 00:14:32,957 -pensa a due funzioni qualsiasi, f(x) e g(x), che sono entrambe 0 in +00:15:06,760 --> 00:15:12,544 +Il valore di f in quel punto variato è approssimativamente la sua derivata, 221 -00:14:32,957 --> 00:14:35,620 -corrispondenza di un valore comune, x uguale a. +00:15:12,544 --> 00:15:14,980 +df su dx, calcolata in a per dx. 222 -00:14:36,280 --> 00:14:39,770 -L'unico vincolo è che queste devono essere funzioni di cui puoi derivarne +00:15:15,980 --> 00:15:19,828 +Allo stesso modo, il valore di g in quel punto variato è 223 -00:14:39,770 --> 00:14:42,835 -una derivata in x uguale a, il che significa che sostanzialmente +00:15:19,828 --> 00:15:23,880 +approssimativamente la derivata di g, calcolata in a per dx. 224 -00:14:42,835 --> 00:14:46,420 -assomigliano a una linea quando ingrandisci abbastanza vicino a quel valore. +00:15:25,060 --> 00:15:31,060 +Vicino a quel punto alto, il rapporto tra gli output di f e g è in realtà più o meno 225 -00:14:47,800 --> 00:14:51,703 -Anche se non puoi calcolare f diviso per g in questo punto triplo, +00:15:31,060 --> 00:15:37,060 +lo stesso della derivata di f in a per dx, divisa per la derivata di g in a volte dx. 226 -00:14:51,703 --> 00:14:55,781 -poiché entrambi sono uguali a 0, puoi chiedere informazioni su questo +00:15:37,880 --> 00:15:41,155 +Questi dx si annullano, quindi il rapporto tra f e g vicino 227 -00:14:55,781 --> 00:15:00,500 -rapporto per valori di x molto vicini ad a, il limite per x che si avvicina ad a. +00:15:41,155 --> 00:15:44,540 +ad a è più o meno lo stesso del rapporto tra le loro derivate. 228 -00:15:01,220 --> 00:15:06,200 -Ed è utile pensare a quegli input vicini come a una piccola spinta, dx, lontano da a. +00:15:45,860 --> 00:15:50,254 +Poiché ciascuna di queste approssimazioni diventa sempre più accurata per variazioni 229 -00:15:06,760 --> 00:15:12,905 -Il valore di f in quel punto spostato è approssimativamente la sua derivata, +00:15:50,254 --> 00:15:54,700 +sempre più piccole, questo rapporto di derivate fornisce il valore preciso del limite. 230 -00:15:12,905 --> 00:15:14,980 -df su dx, valutata per dx. +00:15:55,540 --> 00:15:58,500 +Questo è un trucco davvero utile per calcolare molti limiti. 231 -00:15:15,980 --> 00:15:19,826 -Allo stesso modo, il valore di g in quel punto spostato +00:15:58,920 --> 00:16:02,956 +Ogni volta che ti imbatti in un'espressione che sembra uguale a 0 diviso 232 -00:15:19,826 --> 00:15:23,880 -è approssimativamente la derivata di g, valutata a, per dx. +00:16:02,956 --> 00:16:07,104 +0 quando sostituisci un valore particolare, prova semplicemente a derivare 233 -00:15:25,060 --> 00:15:31,197 -Così vicino a quel punto alto, il rapporto tra le uscite di f e g è in realtà più o meno +00:16:07,104 --> 00:16:10,920 +le espressioni superiore e inferiore e a sostituire lo stesso valore. 234 -00:15:31,197 --> 00:15:37,060 -lo stesso della derivata di f per a volte dx, divisa per la derivata di g a volte dx. +00:16:13,980 --> 00:16:16,300 +Questo trucco si chiama Regola dell'Hopital. 235 -00:15:37,880 --> 00:15:41,155 -Questi dx si annullano, quindi il rapporto tra f e g vicino +00:16:17,240 --> 00:16:21,612 +In realtà fu scoperto da Johann Bernoulli, ma L'Hopital era questo tizio ricco che 236 -00:15:41,155 --> 00:15:44,540 -ad a è più o meno lo stesso del rapporto tra le loro derivate. +00:16:21,612 --> 00:16:25,880 +in pratica pagò Bernoulli per i diritti su alcune delle sue scoperte matematiche. 237 -00:15:45,860 --> 00:15:50,147 -Poiché ciascuna di queste approssimazioni diventa sempre più accurata per scosse +00:16:26,740 --> 00:16:29,793 +Il mondo accademico era strano, ma in un modo molto letterale, 238 -00:15:50,147 --> 00:15:54,700 -sempre più piccole, questo rapporto di derivate fornisce il valore preciso del limite. +00:16:29,793 --> 00:16:32,460 +vale la pena comprendere queste piccole sollecitazioni. 239 -00:15:55,540 --> 00:15:58,500 -Questo è un trucco davvero utile per calcolare molti limiti. +00:16:34,960 --> 00:16:38,819 +Ora, potresti ricordare che la definizione di derivata per una determinata 240 -00:15:58,920 --> 00:16:03,054 -Ogni volta che ti imbatti in un'espressione che sembra uguale a 0 diviso 0 quando +00:16:38,819 --> 00:16:42,267 +funzione si riduce al calcolo del limite di una certa frazione che 241 -00:16:03,054 --> 00:16:06,936 -colleghi un ingresso particolare, prova semplicemente a prendere la derivata +00:16:42,267 --> 00:16:46,177 +assomiglia a 0 diviso 0, quindi potresti pensare che la regola di L'Hopital 242 -00:16:06,936 --> 00:16:10,920 -delle espressioni superiore e inferiore e a collegare lo stesso ingresso acuti. +00:16:46,177 --> 00:16:49,780 +potrebbe darci un modo pratico per scoprire nuove formule di derivate. 243 -00:16:13,980 --> 00:16:16,300 -Questo trucco intelligente si chiama Regola dell'Hopital. +00:16:50,680 --> 00:16:53,997 +Ma in realtà sarebbe un imbroglio, dato che presumibilmente 244 -00:16:17,240 --> 00:16:20,297 -È interessante notare che in realtà fu scoperto da Johann Bernoulli, +00:16:53,997 --> 00:16:56,320 +non sai qual è la derivata del numeratore. 245 -00:16:20,297 --> 00:16:23,000 -ma L'Hopital era questo tizio ricco che sostanzialmente pagò +00:16:57,020 --> 00:16:59,462 +Quando si tratta di scoprire formule di derivate, 246 -00:16:23,000 --> 00:16:25,880 -Bernoulli per i diritti su alcune delle sue scoperte matematiche. +00:16:59,462 --> 00:17:01,758 +cosa che abbiamo fatto spesso in questa serie, 247 -00:16:26,740 --> 00:16:29,902 -Il mondo accademico è strano allora, ma in un modo molto letterale, +00:17:01,758 --> 00:17:04,640 +non esiste un metodo sistematico di inserimento automatico. 248 -00:16:29,902 --> 00:16:32,460 -vale la pena comprendere queste piccole sollecitazioni. +00:17:05,119 --> 00:17:05,960 +Ma è una buona cosa! 249 -00:16:34,960 --> 00:16:38,578 -In questo momento, potresti ricordare che la definizione di derivata per +00:17:06,400 --> 00:17:09,554 +Ogni volta che sei creativo per risolvere problemi come questi, 250 -00:16:38,578 --> 00:16:42,047 -una determinata funzione si riduce al calcolo del limite di una certa +00:17:09,554 --> 00:17:11,871 +è un segno che stai facendo qualcosa di reale, 251 -00:16:42,047 --> 00:16:45,814 -frazione che assomiglia a 0 diviso 0, quindi potresti pensare che la regola +00:17:11,871 --> 00:17:15,420 +qualcosa che potrebbe darti uno strumento per risolvere problemi futuri. 252 -00:16:45,814 --> 00:16:49,780 -di L'Hopital potrebbe darci un modo pratico per scoprire nuove formule derivate. +00:17:18,260 --> 00:17:22,427 +E a proposito di strumenti potenti, prossimamente parlerò di cos'è un integrale, 253 -00:16:50,680 --> 00:16:53,997 -Ma in realtà sarebbe un imbroglio, dato che presumibilmente +00:17:22,427 --> 00:17:26,955 +nonché del teorema fondamentale dell'analisi, un altro esempio di dove i limiti possono 254 -00:16:53,997 --> 00:16:56,320 -non sai qual è la derivata del numeratore. +00:17:26,955 --> 00:17:31,534 +essere utilizzati per dare un significato chiaro a un'idea molto delicata che flirta con 255 -00:16:57,020 --> 00:16:59,439 -Quando si tratta di scoprire formule derivate, +00:17:31,534 --> 00:17:32,100 +l'infinito. 256 -00:16:59,439 --> 00:17:02,220 -qualcosa che abbiamo fatto parecchio in questa serie, +00:17:33,580 --> 00:17:36,803 +Come sai, la maggior parte del supporto arriva tramite Patreon 257 -00:17:02,220 --> 00:17:04,640 -non esiste un metodo sistematico plug-and-chug. +00:17:36,803 --> 00:17:41,050 +e il vantaggio principale per gli utenti è l'accesso anticipato alle serie future, 258 -00:17:05,119 --> 00:17:05,960 -Ma è una buona cosa! +00:17:41,050 --> 00:17:43,200 +la prossima sarà basata sulla probabilità. 259 -00:17:06,400 --> 00:17:09,766 -Ogni volta che è necessaria la creatività per risolvere problemi come questi, - -260 -00:17:09,766 --> 00:17:12,010 -è un buon segno che stai facendo qualcosa di reale, - -261 -00:17:12,010 --> 00:17:15,420 -qualcosa che potrebbe darti un potente strumento per risolvere problemi futuri. - -262 -00:17:18,260 --> 00:17:22,435 -E a proposito di strumenti potenti, prossimamente parlerò di cos'è un teorema integrale, - -263 -00:17:22,435 --> 00:17:25,250 -nonché del teorema fondamentale del calcolo infinitesimale, - -264 -00:17:25,250 --> 00:17:28,628 -un altro esempio di dove i limiti possono essere utilizzati per dare un - -265 -00:17:28,628 --> 00:17:32,100 -significato chiaro a un'idea piuttosto delicata che flirta con l'infinito. - -266 -00:17:33,580 --> 00:17:36,729 -Come sai, la maggior parte del supporto per questo canale arriva tramite - -267 -00:17:36,729 --> 00:17:39,835 -Patreon e il vantaggio principale per gli utenti è l'accesso anticipato - -268 -00:17:39,835 --> 00:17:43,200 -alle serie future come questa, dove la prossima sarà basata sulla probabilità. - -269 00:17:44,260 --> 00:17:47,528 Ma per quelli di voi che desiderano un modo più tangibile per -270 +260 00:17:47,528 --> 00:17:51,904 segnalare che fate parte della comunità, c'è anche un piccolo negozio 3blue1brown, -271 +261 00:17:51,904 --> 00:17:53,960 link sullo schermo e nella descrizione. -272 -00:17:54,680 --> 00:17:59,051 -Sto ancora discutendo se realizzare o meno un lotto preliminare di creature di peluche, +262 +00:17:54,680 --> 00:17:58,633 +Sto ancora discutendo se realizzare o meno un lotto preliminare di creature -273 -00:17:59,051 --> 00:18:02,925 -dipende da quanti spettatori sembrano interessati al negozio più in generale, +263 +00:17:58,633 --> 00:18:02,742 +di pi greco peluche, dipende da quanti spettatori sono interessati al negozio, -274 -00:18:02,925 --> 00:18:06,800 +264 +00:18:02,742 --> 00:18:06,800 ma fammi sapere nei commenti quali altri tipi di cose ti piacerebbe vedere Là. -275 +265 00:18:18,680 --> 00:18:26,240 Grazie per la visione! diff --git a/2017/neural-networks/vietnamese/auto_generated.srt b/2017/neural-networks/vietnamese/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..1340657ea --- /dev/null +++ b/2017/neural-networks/vietnamese/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,1108 @@ +1 +00:00:04,220 --> 00:00:05,400 +Đây là số 3. + +2 +00:00:06,060 --> 00:00:10,233 +Nó được viết và hiển thị một cách cẩu thả ở độ phân giải cực thấp 28x28 pixel, + +3 +00:00:10,233 --> 00:00:13,720 +nhưng bộ não của bạn không gặp khó khăn gì khi nhận ra nó là số 3. + +4 +00:00:14,340 --> 00:00:16,551 +Và tôi muốn bạn dành một chút thời gian để đánh giá cao + +5 +00:00:16,551 --> 00:00:18,960 +việc bộ não có thể làm điều này một cách dễ dàng đến mức nào. + +6 +00:00:19,700 --> 00:00:23,926 +Ý tôi là, cái này, cái này và cái này cũng có thể được nhận dạng là 3 giây, + +7 +00:00:23,926 --> 00:00:28,320 +mặc dù giá trị cụ thể của từng pixel rất khác nhau giữa các hình ảnh tiếp theo. + +8 +00:00:28,900 --> 00:00:32,920 +Các tế bào nhạy cảm với ánh sáng cụ thể trong mắt bạn đang hoạt động khi bạn nhìn + +9 +00:00:32,920 --> 00:00:36,940 +thấy 3 cái này rất khác với các tế bào đang hoạt động khi bạn nhìn thấy cái này 3. + +10 +00:00:37,520 --> 00:00:41,063 +Nhưng có điều gì đó trong vỏ não thị giác cực kỳ thông minh của + +11 +00:00:41,063 --> 00:00:44,384 +bạn phân giải những điều này như thể hiện cùng một ý tưởng, + +12 +00:00:44,384 --> 00:00:48,260 +đồng thời nhận ra những hình ảnh khác là ý tưởng riêng biệt của chúng. + +13 +00:00:49,220 --> 00:00:53,337 +Nhưng nếu tôi nói với bạn, này, hãy ngồi xuống và viết cho tôi một + +14 +00:00:53,337 --> 00:00:57,515 +chương trình lấy một lưới 28x28 pixel như thế này và xuất ra một số + +15 +00:00:57,515 --> 00:01:02,001 +duy nhất trong khoảng từ 0 đến 10, cho bạn biết nó nghĩ chữ số đó là gì, + +16 +00:01:02,001 --> 00:01:06,180 +thì nhiệm vụ sẽ bắt đầu từ hài hước tầm thường đến vô cùng khó khăn. + +17 +00:01:07,160 --> 00:01:09,680 +Trừ khi bạn đang sống dưới một hang đá, tôi nghĩ tôi hầu như + +18 +00:01:09,680 --> 00:01:12,119 +không cần phải thúc đẩy sự liên quan và tầm quan trọng của + +19 +00:01:12,119 --> 00:01:14,640 +học máy và mạng lưới thần kinh đối với hiện tại và tương lai. + +20 +00:01:15,120 --> 00:01:18,638 +Nhưng điều tôi muốn làm ở đây là cho bạn thấy mạng lưới thần kinh thực sự là gì, + +21 +00:01:18,638 --> 00:01:21,940 +giả sử không có kiến thức nền tảng, và giúp hình dung những gì nó đang làm, + +22 +00:01:21,940 --> 00:01:24,460 +không phải như một từ thông dụng mà như một phần toán học. + +23 +00:01:25,020 --> 00:01:29,625 +Tôi hy vọng rằng bạn sẽ cảm thấy như chính cấu trúc đó đã được thúc đẩy và cảm thấy + +24 +00:01:29,625 --> 00:01:34,340 +như bạn biết ý nghĩa của nó khi đọc hoặc bạn nghe về một mạng lưới thần kinh "học tập" + +25 +00:01:35,360 --> 00:01:40,260 +Video này sẽ chỉ dành cho thành phần cấu trúc của nó và video sau sẽ đề cập đến việc học. + +26 +00:01:40,960 --> 00:01:43,381 +Những gì chúng ta sắp làm là tập hợp một mạng lưới + +27 +00:01:43,381 --> 00:01:46,040 +thần kinh có thể học cách nhận dạng các chữ số viết tay. + +28 +00:01:49,360 --> 00:01:52,710 +Đây là một ví dụ khá cổ điển để giới thiệu chủ đề và tôi rất vui được giữ + +29 +00:01:52,710 --> 00:01:56,152 +nguyên hiện trạng ở đây vì ở cuối hai video tôi muốn chỉ cho bạn một số tài + +30 +00:01:56,152 --> 00:01:59,185 +nguyên hữu ích để bạn có thể tìm hiểu thêm và tìm hiểu thêm ở đâu. + +31 +00:01:59,185 --> 00:02:03,080 +bạn có thể tải xuống mã thực hiện việc này và chơi với nó trên máy tính của riêng bạn. + +32 +00:02:05,040 --> 00:02:09,692 +Có rất nhiều biến thể của mạng lưới thần kinh và trong những năm gần đây đã + +33 +00:02:09,692 --> 00:02:15,201 +có sự bùng nổ trong nghiên cứu về các biến thể này, nhưng trong hai video giới thiệu này, + +34 +00:02:15,201 --> 00:02:19,180 +bạn và tôi sẽ chỉ xem xét dạng vani đơn giản nhất, không rườm rà. + +35 +00:02:19,860 --> 00:02:24,202 +Đây là điều kiện tiên quyết cần thiết để hiểu bất kỳ biến thể hiện đại mạnh mẽ + +36 +00:02:24,202 --> 00:02:28,600 +nào và tin tôi đi, nó vẫn còn rất nhiều điều phức tạp để chúng ta phải suy nghĩ. + +37 +00:02:29,120 --> 00:02:32,766 +Nhưng ngay cả ở dạng đơn giản nhất này, nó vẫn có thể học cách nhận + +38 +00:02:32,766 --> 00:02:36,520 +dạng các chữ số viết tay, đây là một điều khá thú vị đối với máy tính. + +39 +00:02:37,480 --> 00:02:39,833 +Và đồng thời, bạn sẽ thấy nó không còn như thế nào + +40 +00:02:39,833 --> 00:02:42,280 +với một vài hy vọng mà chúng ta có thể đặt ra cho nó. + +41 +00:02:43,380 --> 00:02:47,108 +Đúng như tên gọi, mạng lưới thần kinh được lấy cảm hứng từ bộ não, + +42 +00:02:47,108 --> 00:02:48,500 +nhưng hãy chia nhỏ nó ra. + +43 +00:02:48,520 --> 00:02:51,660 +Tế bào thần kinh là gì và chúng liên kết với nhau theo nghĩa nào? + +44 +00:02:52,500 --> 00:02:56,376 +Ngay bây giờ khi tôi nói đến nơ-ron, tất cả những gì tôi muốn + +45 +00:02:56,376 --> 00:03:00,440 +bạn nghĩ đến là một thứ chứa một số, cụ thể là một số từ 0 đến 1. + +46 +00:03:00,680 --> 00:03:02,560 +Nó thực sự không nhiều hơn thế. + +47 +00:03:03,780 --> 00:03:09,038 +Ví dụ: mạng bắt đầu với một loạt các nơ-ron tương ứng với mỗi pixel + +48 +00:03:09,038 --> 00:03:14,220 +trong số 28x28 pixel của hình ảnh đầu vào, tổng cộng có 784 nơ-ron. + +49 +00:03:14,700 --> 00:03:20,958 +Mỗi cái chứa một số đại diện cho giá trị thang độ xám của pixel tương ứng, + +50 +00:03:20,958 --> 00:03:24,380 +từ 0 cho pixel đen đến 1 cho pixel trắng. + +51 +00:03:25,300 --> 00:03:28,511 +Con số này bên trong nơ-ron được gọi là kích hoạt của nó, + +52 +00:03:28,511 --> 00:03:32,997 +và hình ảnh mà bạn có thể nghĩ đến ở đây là mỗi nơ-ron sẽ sáng lên khi kích hoạt + +53 +00:03:32,997 --> 00:03:34,160 +của nó là một số cao. + +54 +00:03:36,720 --> 00:03:41,860 +Vậy tất cả 784 nơ-ron này tạo thành lớp đầu tiên trong mạng lưới của chúng ta. + +55 +00:03:46,500 --> 00:03:49,511 +Bây giờ chuyển sang lớp cuối cùng, lớp này có 10 nơ-ron, + +56 +00:03:49,511 --> 00:03:51,360 +mỗi nơ-ron đại diện cho một chữ số. + +57 +00:03:52,040 --> 00:03:56,696 +Sự kích hoạt trong các nơ-ron này, cũng là một số nằm trong khoảng từ 0 đến 1, + +58 +00:03:56,696 --> 00:04:01,825 +thể hiện mức độ hệ thống cho rằng một hình ảnh nhất định tương ứng với một chữ số nhất + +59 +00:04:01,825 --> 00:04:02,120 +định. + +60 +00:04:03,040 --> 00:04:06,739 +Ngoài ra còn có một vài lớp ở giữa được gọi là lớp ẩn, + +61 +00:04:06,739 --> 00:04:12,052 +hiện tại chỉ là một dấu hỏi khổng lồ về việc quá trình nhận dạng chữ số này sẽ + +62 +00:04:12,052 --> 00:04:13,600 +được xử lý như thế nào. + +63 +00:04:14,260 --> 00:04:17,381 +Trong mạng này, tôi đã chọn hai lớp ẩn, mỗi lớp có 16 + +64 +00:04:17,381 --> 00:04:20,560 +nơ-ron và phải thừa nhận rằng đó là một lựa chọn tùy ý. + +65 +00:04:21,019 --> 00:04:24,586 +Thành thật mà nói, tôi đã chọn hai lớp dựa trên cách tôi muốn thúc đẩy cấu + +66 +00:04:24,586 --> 00:04:28,200 +trúc chỉ trong giây lát và 16, đó chỉ là một con số đẹp để vừa với màn hình. + +67 +00:04:28,780 --> 00:04:32,340 +Trong thực tế, có rất nhiều chỗ để thử nghiệm một cấu trúc cụ thể ở đây. + +68 +00:04:33,020 --> 00:04:35,691 +Cách thức hoạt động của mạng, kích hoạt trong + +69 +00:04:35,691 --> 00:04:38,480 +một lớp sẽ xác định kích hoạt của lớp tiếp theo. + +70 +00:04:39,200 --> 00:04:43,890 +Và tất nhiên, trung tâm của mạng với tư cách là một cơ chế xử lý thông tin phụ thuộc vào + +71 +00:04:43,890 --> 00:04:48,580 +cách chính xác những kích hoạt đó từ một lớp sẽ mang lại những kích hoạt ở lớp tiếp theo. + +72 +00:04:49,140 --> 00:04:53,211 +Nó có ý nghĩa tương tự một cách lỏng lẻo với cách trong mạng lưới sinh học của + +73 +00:04:53,211 --> 00:04:57,180 +các nơ-ron, một số nhóm nơ-ron kích hoạt sẽ khiến một số nhóm khác kích hoạt. + +74 +00:04:58,120 --> 00:05:00,670 +Mạng mà tôi đang trình bày ở đây đã được đào tạo để nhận + +75 +00:05:00,670 --> 00:05:03,400 +dạng các chữ số và để tôi cho bạn biết ý tôi khi nói điều đó. + +76 +00:05:03,640 --> 00:05:06,723 +Điều đó có nghĩa là nếu bạn đưa vào một hình ảnh, + +77 +00:05:06,723 --> 00:05:12,212 +chiếu sáng tất cả 784 nơ-ron của lớp đầu vào theo độ sáng của từng pixel trong hình ảnh, + +78 +00:05:12,212 --> 00:05:16,652 +thì kiểu kích hoạt đó sẽ gây ra một số kiểu rất cụ thể ở lớp tiếp theo, + +79 +00:05:16,652 --> 00:05:22,080 +tạo ra một số kiểu ở lớp tiếp theo. nó, cuối cùng nó đưa ra một số mẫu trong lớp đầu ra. + +80 +00:05:22,560 --> 00:05:26,307 +Và nơ-ron sáng nhất của lớp đầu ra đó là sự lựa chọn của mạng, + +81 +00:05:26,307 --> 00:05:29,400 +có thể nói, đối với chữ số mà hình ảnh này đại diện. + +82 +00:05:32,560 --> 00:05:36,108 +Và trước khi chuyển sang bài toán về một lớp ảnh hưởng đến lớp tiếp + +83 +00:05:36,108 --> 00:05:39,710 +theo thế nào hoặc cách huấn luyện hoạt động, ta chỉ nói về lý do tại + +84 +00:05:39,710 --> 00:05:43,520 +sao lại hợp lý khi chờ đợi một cấu trúc lớp thế này hoạt động thông minh. + +85 +00:05:44,060 --> 00:05:45,220 +Chúng ta đang mong đợi điều gì ở đây? + +86 +00:05:45,400 --> 00:05:47,600 +Hy vọng tốt nhất cho những lớp giữa đó là gì? + +87 +00:05:48,920 --> 00:05:51,268 +Chà, khi bạn hoặc tôi nhận ra các chữ số, chúng + +88 +00:05:51,268 --> 00:05:53,520 +ta ghép các thành phần khác nhau lại với nhau. + +89 +00:05:54,200 --> 00:05:56,820 +Số 9 có một vòng ở trên và một đường ở bên phải. + +90 +00:05:57,380 --> 00:06:01,180 +Số 8 cũng có một vòng lặp ở trên, nhưng nó được ghép với một vòng khác ở phía dưới. + +91 +00:06:01,980 --> 00:06:06,820 +Về cơ bản, số 4 được chia thành ba dòng cụ thể và những thứ tương tự. + +92 +00:06:07,600 --> 00:06:11,645 +Trong một thế giới hoàn hảo hiện tại, ta có thể hy vọng rằng mỗi nơ-ron ở lớp + +93 +00:06:11,645 --> 00:06:15,482 +thứ hai đến lớp cuối cùng tương ứng với một trong các thành phần phụ này, + +94 +00:06:15,482 --> 00:06:19,216 +rằng bất cứ khi nào bạn đưa vào một hình ảnh với một vòng lặp lên trên, + +95 +00:06:19,216 --> 00:06:23,780 +chẳng hạn như số 9 hoặc số 8, sẽ có một số nơ-ron cụ thể có mức kích hoạt sẽ gần bằng 1. + +96 +00:06:24,500 --> 00:06:27,194 +Và ý tôi không phải là vòng lặp pixel cụ thể này, + +97 +00:06:27,194 --> 00:06:31,560 +hy vọng là bất kỳ mô hình lặp nói chung nào về phía trên sẽ kích hoạt nơ-ron này. + +98 +00:06:32,440 --> 00:06:36,148 +Bằng cách đó, đi từ lớp thứ ba đến lớp cuối cùng chỉ cần tìm + +99 +00:06:36,148 --> 00:06:40,040 +hiểu sự kết hợp của các thành phần phụ tương ứng với chữ số nào. + +100 +00:06:41,000 --> 00:06:42,913 +Tất nhiên, điều đó chỉ giải quyết vấn đề tạm thời, + +101 +00:06:42,913 --> 00:06:46,139 +vì làm thế nào bạn có thể nhận ra những thành phần phụ này hoặc thậm chí tìm hiểu xem + +102 +00:06:46,139 --> 00:06:47,640 +những thành phần phụ phù hợp phải là gì? + +103 +00:06:48,060 --> 00:06:51,419 +Và tôi thậm chí còn chưa nói về việc một lớp ảnh hưởng đến lớp tiếp theo như thế nào, + +104 +00:06:51,419 --> 00:06:53,060 +nhưng hãy cùng tôi nói về lớp này một lát. + +105 +00:06:53,680 --> 00:06:56,680 +Nhận biết một vòng lặp cũng có thể chia thành các bài toán con. + +106 +00:06:57,280 --> 00:07:02,780 +Một cách hợp lý để làm điều này là trước tiên nhận dạng các cạnh nhỏ khác nhau tạo nên nó. + +107 +00:07:03,780 --> 00:07:07,972 +Tương tự, một đường dài, giống như loại bạn có thể thấy ở các chữ số 1, + +108 +00:07:07,972 --> 00:07:11,466 +4 hoặc 7, thực sự chỉ là một cạnh dài, hoặc có thể bạn nghĩ + +109 +00:07:11,466 --> 00:07:14,320 +nó như một mẫu nhất định của một số cạnh nhỏ hơn. + +110 +00:07:15,140 --> 00:07:18,993 +Vì vậy, có lẽ chúng ta hy vọng rằng mỗi nơ-ron ở lớp thứ hai + +111 +00:07:18,993 --> 00:07:22,720 +của mạng tương ứng với các cạnh nhỏ có liên quan khác nhau. + +112 +00:07:23,540 --> 00:07:26,442 +Có thể khi một hình ảnh như thế này xuất hiện, + +113 +00:07:26,442 --> 00:07:31,444 +nó sẽ chiếu sáng tất cả các nơ-ron liên kết với khoảng 8 đến 10 cạnh nhỏ cụ thể, + +114 +00:07:31,444 --> 00:07:36,261 +từ đó làm sáng các nơ-ron liên kết với vòng trên và một đường thẳng đứng dài, + +115 +00:07:36,261 --> 00:07:39,720 +và những nơ-ron đó sẽ sáng lên nơ-ron liên kết với số 9. + +116 +00:07:40,680 --> 00:07:44,617 +Liệu đây có phải là điều mà mạng cuối cùng của chúng ta thực sự làm hay không lại là + +117 +00:07:44,617 --> 00:07:48,555 +một câu hỏi khác, câu hỏi mà tôi sẽ quay lại khi chúng ta biết cách huấn luyện mạng, + +118 +00:07:48,555 --> 00:07:52,540 +nhưng đây là hy vọng mà ta có thể có, một loại mục tiêu với cấu trúc phân lớp thế này. + +119 +00:07:53,160 --> 00:07:56,656 +Hơn nữa, bạn có thể tưởng tượng việc phát hiện các cạnh và mẫu như thế + +120 +00:07:56,656 --> 00:08:00,300 +này sẽ thực sự hữu ích như thế nào cho các tác vụ nhận dạng hình ảnh khác. + +121 +00:08:00,880 --> 00:08:03,028 +Và thậm chí ngoài khả năng nhận dạng hình ảnh, + +122 +00:08:03,028 --> 00:08:06,137 +có tất cả những thứ thông minh mà bạn có thể muốn thực hiện để chia + +123 +00:08:06,137 --> 00:08:07,280 +thành các lớp trừu tượng. + +124 +00:08:08,040 --> 00:08:11,974 +Ví dụ: phân tích lời nói bao gồm việc lấy âm thanh thô và chọn ra các âm + +125 +00:08:11,974 --> 00:08:16,502 +thanh riêng biệt, kết hợp để tạo ra các âm tiết nhất định, kết hợp để tạo thành từ, + +126 +00:08:16,502 --> 00:08:20,060 +kết hợp để tạo thành cụm từ và những suy nghĩ trừu tượng hơn, v.v. + +127 +00:08:21,100 --> 00:08:25,589 +Nhưng quay lại cách hoạt động thực sự này, hãy hình dung ngay bây giờ chính bạn đang + +128 +00:08:25,589 --> 00:08:29,920 +thiết kế cách chính xác các kích hoạt trong một lớp có thể xác định lớp tiếp theo. + +129 +00:08:30,860 --> 00:08:34,778 +Mục tiêu là có một số cơ chế có thể kết hợp các pixel thành các cạnh + +130 +00:08:34,778 --> 00:08:38,980 +hoặc các cạnh thành các mẫu hoặc các mẫu thành các chữ số một cách hợp lý. + +131 +00:08:39,440 --> 00:08:44,991 +Và để phóng to một ví dụ rất cụ thể, giả sử hy vọng là một nơ-ron cụ thể + +132 +00:08:44,991 --> 00:08:50,620 +ở lớp thứ hai sẽ xác định xem hình ảnh có cạnh ở vùng này ở đây hay không. + +133 +00:08:51,440 --> 00:08:55,100 +Câu hỏi đặt ra là mạng nên có những thông số nào? + +134 +00:08:55,640 --> 00:08:59,591 +Bạn có thể điều chỉnh các mặt số và nút xoay nào sao cho đủ biểu cảm + +135 +00:08:59,591 --> 00:09:03,656 +để có thể nắm bắt được mẫu này hoặc bất kỳ mẫu pixel nào khác hoặc mẫu + +136 +00:09:03,656 --> 00:09:07,780 +mà một số cạnh có thể tạo thành một vòng lặp và những thứ tương tự khác? + +137 +00:09:08,720 --> 00:09:12,169 +Chà, những gì chúng ta sẽ làm là gán trọng số cho từng kết + +138 +00:09:12,169 --> 00:09:15,560 +nối giữa nơ-ron của chúng ta và các nơ-ron ở lớp đầu tiên. + +139 +00:09:16,320 --> 00:09:17,700 +Những trọng số này chỉ là những con số. + +140 +00:09:18,540 --> 00:09:21,920 +Sau đó lấy tất cả các kích hoạt đó từ lớp đầu tiên + +141 +00:09:21,920 --> 00:09:25,500 +và tính tổng trọng số của chúng theo các trọng số này. + +142 +00:09:27,700 --> 00:09:31,231 +Tôi thấy hữu ích khi coi các trọng số này được sắp xếp thành một lưới nhỏ + +143 +00:09:31,231 --> 00:09:34,668 +của riêng chúng và tôi sẽ sử dụng các pixel màu xanh lá cây để biểu thị + +144 +00:09:34,668 --> 00:09:37,913 +các trọng số dương và các pixel màu đỏ để biểu thị các trọng số âm, + +145 +00:09:37,913 --> 00:09:41,780 +trong đó độ sáng của pixel đó là một chút mô tả lỏng lẻo về giá trị của trọng số. + +146 +00:09:42,780 --> 00:09:46,607 +Giờ nếu ta đặt các trọng số được liên kết với hầu hết tất cả các pixel + +147 +00:09:46,607 --> 00:09:50,380 +bằng 0 ngoại trừ một số trọng số dương trong vùng mà ta quan tâm này, + +148 +00:09:50,380 --> 00:09:54,046 +thì việc lấy tổng trọng số của tất cả các giá trị pixel thực sự chỉ + +149 +00:09:54,046 --> 00:09:57,820 +bằng việc cộng các giá trị của pixel chỉ trong khu vực mà ta quan tâm. + +150 +00:09:59,140 --> 00:10:02,426 +Và nếu bạn thực sự muốn biết liệu có cạnh nào ở đây hay không, + +151 +00:10:02,426 --> 00:10:06,600 +điều bạn có thể làm là có một số trọng số âm liên quan đến các pixel xung quanh. + +152 +00:10:07,480 --> 00:10:12,700 +Khi đó tổng lớn nhất khi các pixel ở giữa đó sáng nhưng các pixel xung quanh tối hơn. + +153 +00:10:14,260 --> 00:10:18,508 +Khi bạn tính tổng có trọng số như thế này, bạn có thể đưa ra bất kỳ số nào, + +154 +00:10:18,508 --> 00:10:23,540 +nhưng đối với mạng này, điều chúng ta muốn là kích hoạt phải có giá trị nào đó từ 0 đến 1. + +155 +00:10:24,120 --> 00:10:28,066 +Vì vậy, một điều thông thường cần làm là đưa tổng có trọng số + +156 +00:10:28,066 --> 00:10:32,140 +này vào một hàm nào đó để ép trục số thực vào khoảng từ 0 đến 1. + +157 +00:10:32,460 --> 00:10:35,634 +Và một hàm phổ biến thực hiện điều này được gọi là hàm sigmoid, + +158 +00:10:35,634 --> 00:10:37,420 +còn được gọi là đường cong logistic. + +159 +00:10:38,000 --> 00:10:41,344 +Về cơ bản, đầu vào rất âm có giá trị gần bằng 0, + +160 +00:10:41,344 --> 00:10:46,600 +đầu vào dương có giá trị gần bằng 1 và chỉ tăng đều đặn xung quanh đầu vào 0. + +161 +00:10:49,120 --> 00:10:52,703 +Vì vậy, việc kích hoạt nơ-ron ở đây về cơ bản là + +162 +00:10:52,703 --> 00:10:56,360 +thước đo mức độ dương của tổng trọng số liên quan. + +163 +00:10:57,540 --> 00:11:01,880 +Nhưng có lẽ không phải là bạn muốn nơ-ron sáng lên khi tổng trọng số lớn hơn 0. + +164 +00:11:02,280 --> 00:11:06,360 +Có thể bạn chỉ muốn nó hoạt động khi tổng lớn hơn 10. + +165 +00:11:06,840 --> 00:11:10,260 +Tức là bạn muốn có một số độ lệch để nó không hoạt động. + +166 +00:11:11,380 --> 00:11:15,520 +Những gì chúng ta sẽ làm sau đó chỉ là thêm một số số khác như âm + +167 +00:11:15,520 --> 00:11:19,660 +10 vào tổng có trọng số này trước khi thay nó vào hàm nén sigmoid. + +168 +00:11:20,580 --> 00:11:22,440 +Số bổ sung đó được gọi là độ lệch. + +169 +00:11:23,460 --> 00:11:27,306 +Vì vậy, các trọng số cho bạn biết mô hình pixel mà nơ-ron này ở + +170 +00:11:27,306 --> 00:11:31,153 +lớp thứ hai đang chọn và độ lệch cho bạn biết tổng trọng số cần + +171 +00:11:31,153 --> 00:11:35,180 +phải cao đến mức nào trước khi nơ-ron bắt đầu hoạt động có ý nghĩa. + +172 +00:11:36,120 --> 00:11:37,680 +Và đó chỉ là một tế bào thần kinh. + +173 +00:11:38,280 --> 00:11:44,571 +Mọi nơ-ron khác trong lớp này sẽ được kết nối với tất cả các nơ-ron 784 pixel từ + +174 +00:11:44,571 --> 00:11:50,940 +lớp đầu tiên và mỗi một trong số 784 kết nối đó có trọng số riêng gắn liền với nó. + +175 +00:11:51,600 --> 00:11:54,467 +Ngoài ra, mỗi số có một số độ lệch, một số số khác mà + +176 +00:11:54,467 --> 00:11:57,600 +bạn cộng vào tổng có trọng số trước khi ép nó bằng sigmoid. + +177 +00:11:58,110 --> 00:11:59,540 +Và đó là rất nhiều điều để suy nghĩ! + +178 +00:11:59,960 --> 00:12:06,217 +Với lớp ẩn gồm 16 nơ-ron này, tức là có tổng cộng 784 lần 16 trọng số, + +179 +00:12:06,217 --> 00:12:07,980 +cùng với 16 độ lệch. + +180 +00:12:08,840 --> 00:12:11,940 +Và tất cả đó chỉ là sự kết nối từ lớp thứ nhất đến lớp thứ hai. + +181 +00:12:12,520 --> 00:12:17,340 +Các kết nối giữa các lớp khác cũng có nhiều trọng số và độ lệch liên quan đến chúng. + +182 +00:12:18,340 --> 00:12:23,800 +Nói chung, mạng này có gần như chính xác tổng cộng 13.000 trọng số và độ lệch. + +183 +00:12:23,800 --> 00:12:26,907 +13.000 nút và con số có thể được điều chỉnh và đổi hướng + +184 +00:12:26,907 --> 00:12:29,960 +để làm cho mạng này hoạt động theo những cách khác nhau. + +185 +00:12:31,040 --> 00:12:36,200 +Vì vậy, khi chúng ta nói về việc học, điều được đề cập đến là làm cho máy tính tìm ra một + +186 +00:12:36,200 --> 00:12:41,360 +cài đặt hợp lệ cho tất cả những con số này để nó thực sự giải quyết được vấn đề trước mắt. + +187 +00:12:42,620 --> 00:12:47,117 +Một thử nghiệm tưởng tượng vừa thú vị vừa hơi đáng sợ là hãy tưởng tượng bạn + +188 +00:12:47,117 --> 00:12:51,147 +ngồi xuống và thiết lập tất cả các trọng số và độ lệch này bằng tay, + +189 +00:12:51,147 --> 00:12:56,112 +cố tình điều chỉnh các con số để lớp thứ hai chọn các cạnh, lớp thứ ba chọn các mẫu, + +190 +00:12:56,112 --> 00:12:56,580 +vân vân. + +191 +00:12:56,980 --> 00:13:01,680 +Cá nhân tôi thấy thỏa mái về điều này hơn là chỉ coi mạng như một hộp đen hoàn toàn, + +192 +00:13:01,680 --> 00:13:04,722 +bởi vì khi mạng không hoạt động theo cách bạn dự đoán, + +193 +00:13:04,722 --> 00:13:08,925 +nếu bạn đã xây dựng được một chút mối quan hệ với ý nghĩa thực sự của những + +194 +00:13:08,925 --> 00:13:13,184 +trọng số và độ lệch đó, bạn có điểm khởi đầu để thử nghiệm cách thay đổi cấu + +195 +00:13:13,184 --> 00:13:14,180 +trúc để cải thiện. + +196 +00:13:14,960 --> 00:13:18,444 +Hoặc khi mạng hoạt động nhưng không phải vì những lý do bạn có thể mong đợi, + +197 +00:13:18,444 --> 00:13:22,064 +việc tìm hiểu xem trọng số và độ lệch đang làm gì là một cách hay để thách thức + +198 +00:13:22,064 --> 00:13:25,820 +các giả định của bạn và thực sự khám phá toàn bộ không gian của các nghiệm khả thi. + +199 +00:13:26,840 --> 00:13:30,680 +Nhân tiện, hàm số thực tế ở đây hơi phức tạp khi viết ra, bạn có nghĩ vậy không? + +200 +00:13:32,500 --> 00:13:37,140 +Vì vậy, hãy để tôi chỉ cho bạn một cách biểu diễn các kết nối này một cách nhỏ gọn hơn. + +201 +00:13:37,660 --> 00:13:40,520 +Đây là cách bạn sẽ thấy nếu bạn chọn đọc thêm về mạng lưới thần kinh. + +202 +00:13:40,967 --> 00:13:40,520 +Sắp xếp tất cả các kích hoạt từ một lớp vào một cột dưới dạng ma trận + +203 +00:13:41,380 --> 00:13:40,967 +tương ứng với các kết nối giữa một lớp và một nơ-ron cụ thể ở lớp tiếp theo. + +204 +00:13:41,380 --> 00:13:46,736 +Điều đó có nghĩa là việc lấy tổng có trọng số của các lần kích hoạt + +205 +00:13:46,736 --> 00:13:52,171 +trong lớp đầu tiên theo các trọng số này tương ứng với một trong các + +206 +00:13:52,171 --> 00:13:58,000 +số hạng trong tích vectơ ma trận của mọi thứ chúng ta có ở bên trái ở đây. + +207 +00:13:58,540 --> 00:14:02,177 +Điều đó có nghĩa là việc lấy tổng có trọng số của các lần kích hoạt + +208 +00:14:02,177 --> 00:14:05,868 +trong lớp đầu tiên theo các trọng số này tương ứng với một trong các + +209 +00:14:05,868 --> 00:14:09,880 +số hạng trong tích vectơ ma trận của mọi thứ chúng ta có ở bên trái ở đây. + +210 +00:14:14,000 --> 00:14:18,652 +Nhân tiện, phần lớn việc học máy đều phụ thuộc vào việc nắm bắt tốt đại số tuyến tính, + +211 +00:14:18,652 --> 00:14:22,342 +vì vậy đối với bất kỳ ai trong số các bạn muốn hiểu rõ về ma trận và + +212 +00:14:22,342 --> 00:14:25,872 +ý nghĩa của phép nhân vectơ ma trận, hãy xem loạt bài tôi đã thực + +213 +00:14:25,872 --> 00:14:28,600 +hiện trên đại số tuyến tính, đặc biệt là chương 3. + +214 +00:14:29,240 --> 00:14:33,575 +Quay lại biểu thức của chúng ta, thay vì nói về việc thêm độ lệch cho từng giá + +215 +00:14:33,575 --> 00:14:37,964 +trị này một cách độc lập, chúng ta biểu diễn nó bằng cách tổ chức tất cả các độ + +216 +00:14:37,964 --> 00:14:42,300 +lệch đó thành một vectơ và thêm toàn bộ vectơ vào tích vectơ ma trận trước đó. + +217 +00:14:43,280 --> 00:14:47,000 +Sau đó, bước cuối cùng, tôi sẽ bọc một sigmoid xung quanh bên + +218 +00:14:47,000 --> 00:14:50,660 +ngoài ở đây và điều được cho là thể hiện rằng bạn sẽ áp dụng + +219 +00:14:50,660 --> 00:14:54,740 +hàm sigmoid cho từng thành phần cụ thể của vectơ kết quả bên trong. + +220 +00:14:55,940 --> 00:15:00,260 +Vì vậy, khi bạn viết ma trận trọng số này và các vectơ này làm ký hiệu riêng, + +221 +00:15:00,260 --> 00:15:05,024 +bạn có thể truyền đạt toàn bộ quá trình chuyển đổi kích hoạt từ lớp này sang lớp tiếp + +222 +00:15:05,024 --> 00:15:07,960 +theo bằng một biểu thức cực kỳ chặt chẽ và gọn gàng, + +223 +00:15:07,960 --> 00:15:12,834 +và điều này làm cho mã liên quan trở nên đơn giản hơn rất nhiều và nhanh hơn rất nhiều, + +224 +00:15:12,834 --> 00:15:15,660 +vì nhiều thư viện đã tối ưu hóa phép nhân ma trận. + +225 +00:15:17,820 --> 00:15:19,620 +Nhớ rằng trước đó tôi đã nói những tế bào thần + +226 +00:15:19,620 --> 00:15:21,460 +kinh này chỉ đơn giản là những thứ chứa các số? + +227 +00:15:22,220 --> 00:15:28,128 +Tất nhiên, những con số cụ thể mà chúng chứa phụ thuộc vào hình ảnh bạn đưa vào, + +228 +00:15:28,128 --> 00:15:32,212 +vì vậy sẽ chính xác hơn khi coi mỗi nơ-ron như một hàm, + +229 +00:15:32,212 --> 00:15:38,340 +một hàm nhận đầu ra của tất cả các nơ-ron ở lớp trước và tạo ra một số giữa 0 và 1. + +230 +00:15:39,200 --> 00:15:42,984 +Thực sự toàn bộ mạng chỉ là một chức năng, một chức + +231 +00:15:42,984 --> 00:15:47,060 +năng lấy 784 số làm đầu vào và đưa ra 10 số làm đầu ra. + +232 +00:15:47,560 --> 00:15:52,523 +Đó là một hàm phức tạp đến mức vô lý, một hàm bao gồm 13.000 tham số dưới dạng + +233 +00:15:52,523 --> 00:15:57,362 +các trọng số và độ lệch theo các mẫu nhất định và liên quan đến việc lặp lại + +234 +00:15:57,362 --> 00:16:02,640 +nhiều tích vectơ ma trận và hàm nén sigmoid, nhưng dù sao nó cũng chỉ là một hàm số. + +235 +00:16:03,400 --> 00:16:06,660 +Và trong một theo cách đó thì có vẻ yên tâm hơn vì nó trông phức tạp. + +236 +00:16:07,340 --> 00:16:09,706 +Ý tôi là nếu nó đơn giản hơn chút nữa, ta còn hy vọng gì + +237 +00:16:09,706 --> 00:16:12,280 +nữa rằng nó có thể đương đầu với thách thức nhận dạng chữ số? + +238 +00:16:13,340 --> 00:16:14,700 +Và nó thực hiện thử thách đó như thế nào? + +239 +00:16:15,080 --> 00:16:17,197 +Làm cách nào để mạng này tìm hiểu các trọng số + +240 +00:16:17,197 --> 00:16:19,360 +và độ lệch thích hợp chỉ bằng cách xem dữ liệu? + +241 +00:16:20,140 --> 00:16:23,130 +Đó là những gì tôi sẽ trình bày trong video tiếp theo và tôi cũng sẽ tìm hiểu + +242 +00:16:23,130 --> 00:16:26,120 +thêm một chút về hoạt động thực sự của mạng cụ thể mà chúng ta đang thấy này. + +243 +00:16:27,580 --> 00:16:30,827 +Bây giờ là lúc tôi nghĩ mình nên đăng ký để được thông báo khi có + +244 +00:16:30,827 --> 00:16:33,976 +video hoặc bất kỳ video mới nào xuất hiện, nhưng thực tế là hầu + +245 +00:16:33,976 --> 00:16:37,420 +hết các bạn không thực sự nhận được thông báo từ YouTube, phải không? + +246 +00:16:38,020 --> 00:16:41,219 +Có lẽ thành thật hơn tôi nên nói là đăng ký để các mạng lưới + +247 +00:16:41,219 --> 00:16:44,418 +thần kinh làm nền tảng cho thuật toán đề xuất của YouTube có + +248 +00:16:44,418 --> 00:16:47,880 +cơ sở tin rằng bạn muốn xem nội dung từ kênh này đề xuất cho bạn. + +249 +00:16:48,560 --> 00:16:49,940 +Dù sao hãy đăng để biết thêm. + +250 +00:16:50,760 --> 00:16:53,500 +Cảm ơn mọi người rất nhiều vì đã ủng hộ những video này trên Patreon. + +251 +00:16:54,000 --> 00:16:56,833 +Tôi tiến triển hơi chậm trong loạt video xác suất vào mùa hè này, + +252 +00:16:56,833 --> 00:16:59,538 +nhưng tôi sẽ quay lại với nó sau dự án này, vì vậy những khách + +253 +00:16:59,538 --> 00:17:01,900 +hàng quen có thể theo dõi các thông tin cập nhật ở đó. + +254 +00:17:03,600 --> 00:17:05,813 +Để kết thúc mọi chuyện ở đây, tôi có Leisha Lee, + +255 +00:17:05,813 --> 00:17:09,426 +người đã làm luận án tiến sĩ về mặt lý thuyết của học sâu và hiện đang làm việc + +256 +00:17:09,426 --> 00:17:12,000 +tại một công ty đầu tư mạo hiểm tên là Amplify Partners, + +257 +00:17:12,000 --> 00:17:14,619 +người đã vui lòng cung cấp một số kinh phí cho video này. + +258 +00:17:15,460 --> 00:17:19,119 +Vì vậy, Leisha có một điều tôi nghĩ chúng ta nên nhanh chóng đưa ra là hàm sigmoid này. + +259 +00:17:19,700 --> 00:17:23,123 +Theo tôi hiểu, các mạng ban đầu sử dụng điều này để gộp tổng trọng số có liên + +260 +00:17:23,123 --> 00:17:26,547 +quan vào khoảng giữa 0 và 1, bạn biết đấy, loại được thúc đẩy bởi sự tương tự + +261 +00:17:26,547 --> 00:17:29,840 +sinh học này của các tế bào thần kinh không hoạt động hoặc đang hoạt động. + +262 +00:17:30,280 --> 00:17:30,300 +Chính xác. + +263 +00:17:30,560 --> 00:17:34,040 +Nhưng tương đối ít mạng hiện đại thực sự sử dụng sigmoid nữa. + +264 +00:17:34,320 --> 00:17:34,320 +Vâng + +265 +00:17:34,440 --> 00:17:35,540 +Đó là loại trường học cũ phải không? + +266 +00:17:35,760 --> 00:17:38,980 +Vâng hay đúng hơn là relu có vẻ dễ huấn luyện hơn nhiều. + +267 +00:17:39,400 --> 00:17:42,340 +Và relu là viết tắt của đơn vị tuyến tính chỉnh lưu? + +268 +00:17:42,680 --> 00:17:47,282 +Đúng, đây là loại hàm số trong đó bạn chỉ lấy giá trị tối đa bằng 0 + +269 +00:17:47,282 --> 00:17:52,087 +và trong đó a được đưa ra bởi những gì bạn đang giải thích trong video + +270 +00:17:52,087 --> 00:17:56,825 +và điều này được thúc đẩy từ đâu. Tôi nghĩ một phần là do sự tương tự + +271 +00:17:56,825 --> 00:18:01,360 +sinh học với cách các tế bào thần kinh sẽ được kích hoạt hay không. + +272 +00:18:01,360 --> 00:18:06,127 +Và vì vậy nếu nó vượt qua một ngưỡng nhất định thì đó sẽ là chức năng nhận dạng nhưng + +273 +00:18:06,127 --> 00:18:10,840 +nếu không thì nó sẽ không được kích hoạt nên sẽ bằng 0 nên đó là một sự đơn giản hóa. + +274 +00:18:11,160 --> 00:18:15,603 + Việc sử dụng sigmoid không giúp ích gì cho việc đào tạo hoặc ở một + +275 +00:18:15,603 --> 00:18:20,176 +thời điểm nào đó rất khó đào tạo và mọi người chỉ thử relu và nó tình + +276 +00:18:20,176 --> 00:18:24,620 +cờ hoạt động rất tốt đối với các mạng lưới thần kinh cực kỳ sâu này. + +277 +00:18:25,100 --> 00:18:25,640 +Được rồi, cảm ơn Alicia. + diff --git a/2019/cramers-rule/arabic/auto_generated.srt b/2019/cramers-rule/arabic/auto_generated.srt index 437630dd8..b1d1febc3 100644 --- a/2019/cramers-rule/arabic/auto_generated.srt +++ b/2019/cramers-rule/arabic/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:11,199 --> 00:00:15,100 +00:00:11,200 --> 00:00:15,100 لقد تحدثت في مقطع فيديو سابق عن أنظمة المعادلات الخطية، 2 @@ -51,11 +51,11 @@ على سبيل المثال، سيكون الحذف الغاوسي أسرع دائمًا. 14 -00:01:01,980 --> 00:01:03,840 +00:01:01,980 --> 00:01:03,520 فلماذا تعلم ذلك؟ حسنًا، فكر في الأمر كنوع من الرحلة الثقافية. 15 -00:01:03,840 --> 00:01:10,460 +00:01:03,780 --> 00:01:10,460 إنه تمرين مفيد في تعميق معرفتك بالنظرية الكامنة وراء هذه الأنظمة. 16 @@ -91,514 +91,514 @@ على عدد أكبر من المجهولات، ونفس عدد المعادلات. 24 -00:01:42,440 --> 00:01:45,320 +00:01:42,440 --> 00:01:45,580 لكن من أجل التبسيط، من الأفضل أن نحتفظ بمثال أصغر في رؤوسنا. 25 -00:01:45,320 --> 00:01:50,146 +00:01:46,320 --> 00:01:50,818 وكما تحدثت في مقطع فيديو سابق، يمكنك التفكير في هذا الإعداد 26 -00:01:50,146 --> 00:01:55,294 +00:01:50,818 --> 00:01:55,616 هندسيًا باعتباره مصفوفة معروفة معينة تحول متجهًا غير معروف، [x; 27 -00:01:55,294 --> 00:02:00,040 +00:01:55,616 --> 00:02:00,040 y]، حيث تعرف ما سيكون عليه الناتج، في هذه الحالة [-4؛ -2]. 28 -00:02:00,800 --> 00:02:06,088 +00:02:00,800 --> 00:02:05,403 تذكر أن أعمدة هذه المصفوفة تخبرك كيف تعمل هذه المصفوفة كتحويل، 29 -00:02:06,088 --> 00:02:11,460 +00:02:05,403 --> 00:02:10,080 حيث يخبرك كل منها بمكان تواجد المتجهات الأساسية لمساحة الإدخال. 30 -00:02:11,460 --> 00:02:12,891 +00:02:10,860 --> 00:02:12,535 إذن ما لدينا هو نوع من اللغز. ما متجه الدخل x، y، الذي سيصل إلى هذا الخرج، سالب 4، سالب 31 -00:02:12,891 --> 00:02:14,323 +00:02:12,535 --> 00:02:14,210 2؟ إحدى الطرق للتفكير في لغزنا الصغير هنا هي أننا نعرف أن متجه الإخراج المحدد هو مجموعة 32 -00:02:14,323 --> 00:02:15,706 +00:02:14,210 --> 00:02:15,829 خطية من أعمدة المصفوفة، x مضروبًا في المتجه حيث يهبط i-hat بالإضافة إلى y مضروبًا في 33 -00:02:15,706 --> 00:02:17,089 +00:02:15,829 --> 00:02:17,447 المتجه حيث يهبط j-hat، لكن ماذا نريد أن نعرف بالضبط ما يجب أن تكون عليه هذه التركيبة 34 -00:02:17,089 --> 00:02:17,220 +00:02:17,447 --> 00:02:17,600 الخطية. 35 -00:02:17,220 --> 00:02:21,788 +00:02:17,600 --> 00:02:22,761 تذكر أن نوع الإجابة التي تحصل عليها هنا يمكن أن يعتمد 36 -00:02:21,788 --> 00:02:26,780 +00:02:22,761 --> 00:02:28,400 على ما إذا كان التحويل يسحق كل المساحة إلى بُعد أقل أم لا. 37 -00:02:26,780 --> 00:02:28,240 +00:02:28,400 --> 00:02:31,220 هذا إذا كان لديه محدد صفر. 38 -00:02:28,240 --> 00:02:31,392 +00:02:31,220 --> 00:02:33,847 في هذه الحالة، إما أن لا تصل أي من المدخلات إلى المخرج المعطى 39 -00:02:31,392 --> 00:02:34,240 +00:02:33,847 --> 00:02:36,220 أو أن هناك مجموعة كاملة من المدخلات تقع على هذا المخرج. 40 -00:02:34,240 --> 00:02:39,438 +00:02:37,240 --> 00:02:41,158 لكن في هذا الفيديو، سنقتصر وجهة نظرنا على حالة المحدد غير الصفري، مما 41 -00:02:39,438 --> 00:02:45,453 +00:02:41,158 --> 00:02:45,693 يعني أن مخرجات هذا التحويل لا تزال تمتد عبر الفضاء الأبعادي الكامل الذي بدأ فيه. 42 -00:02:45,453 --> 00:02:49,760 +00:02:45,693 --> 00:02:48,940 يقع كل مدخل على مخرج واحد فقط، وكل مخرج له مدخل واحد فقط. 43 -00:02:49,760 --> 00:02:55,671 +00:02:48,940 --> 00:02:54,779 إحدى طرق التفكير في هذا اللغز هي أننا نعرف أن متجه المخرجات المعطى 44 -00:02:55,671 --> 00:03:01,760 +00:02:54,779 --> 00:03:00,793 هو عبارة عن مجموعة خطية من أعمدة المصفوفة؛ x*(المتجه حيث يهبط i-hat) 45 -00:03:01,760 --> 00:03:07,760 +00:03:00,793 --> 00:03:06,720 + y*(المتجه حيث يهبط j-hat)، ولكننا نرغب في حساب ماهية x وy بالضبط. 46 -00:03:07,760 --> 00:03:11,380 +00:03:06,720 --> 00:03:18,160 كنقطة أولى، اسمحوا لي أن أعرض فكرة خاطئة، ولكنها في الاتجاه الصحيح. 47 -00:03:11,380 --> 00:03:15,600 +00:03:18,800 --> 00:03:22,120 الإحداثي السيني لمتجه الإدخال الغامض هذا هو ما تحصل عليه من 48 -00:03:15,600 --> 00:03:19,820 +00:03:22,120 --> 00:03:25,440 خلال أخذ حاصل الضرب النقطي مع المتجه الأساسي الأول، [1؛ 0]. 49 -00:03:19,820 --> 00:03:26,960 +00:03:26,160 --> 00:03:31,400 وبالمثل، فإن الإحداثي y هو ما تحصل عليه عن طريق تنقيطه بالمتجه الأساسي الثاني، 0، 1. 50 -00:03:26,960 --> 00:03:32,456 +00:03:31,900 --> 00:03:37,319 لذا ربما تأمل أنه بعد التحويل، ستكون المنتجات النقطية ذات النسخة 51 -00:03:32,456 --> 00:03:38,460 +00:03:37,319 --> 00:03:43,240 المحولة من المتجه الغامض مع النسخة المحولة أيضًا هذه الإحداثيات، x وy. 52 -00:03:38,460 --> 00:03:42,880 +00:03:43,940 --> 00:03:48,740 سيكون ذلك رائعًا، لأننا نعرف ما هي النسخة المحولة لكل من تلك المتجهات. 53 -00:03:42,880 --> 00:03:45,700 +00:03:51,180 --> 00:03:54,200 هناك مشكلة واحدة فقط في هذا الأمر، هذا ليس صحيحًا على الإطلاق. 54 -00:03:45,700 --> 00:03:53,460 +00:03:54,640 --> 00:04:00,240 بالنسبة لمعظم التحويلات الخطية، سيبدو المنتج النقطي قبل التحويل وبعده مختلفًا تمامًا. 55 -00:03:53,460 --> 00:03:59,070 +00:04:00,800 --> 00:04:06,160 على سبيل المثال، يمكن أن يكون لديك متجهان يشيران عمومًا في نفس الاتجاه مع منتج نقطي موجب، 56 -00:03:59,070 --> 00:04:04,680 +00:04:06,160 --> 00:04:11,520 ويتم فصلهما عن بعضهما البعض أثناء التحويل بطريقة تجعلهما في النهاية منتجًا نقطيًا سالبًا. 57 -00:04:04,680 --> 00:04:08,297 +00:04:12,220 --> 00:04:15,850 وبالمثل، فإن الأشياء التي تبدأ متعامدة مع المنتج النقطي 0، 58 -00:04:08,297 --> 00:04:12,037 +00:04:15,850 --> 00:04:19,603 مثل المتجهين الأساسيين، في كثير من الأحيان لا تظل متعامدة مع 59 -00:04:12,037 --> 00:04:15,900 +00:04:19,603 --> 00:04:23,480 بعضها البعض بعد التحويل، أي أنها لا تحافظ على المنتج النقطي 0. 60 -00:04:15,900 --> 00:04:19,380 +00:04:24,100 --> 00:04:27,160 في المثال الذي كنا ننظر إليه، بالتأكيد لا يتم حفظ المنتجات النقطية. 61 -00:04:19,380 --> 00:04:23,480 +00:04:27,500 --> 00:04:29,940 تميل إلى أن تصبح أكبر نظرًا لأن معظم النواقل تتمدد. 62 -00:04:24,100 --> 00:04:26,657 +00:04:29,940 --> 00:04:34,479 في الواقع، التحويلات التي تحافظ على المنتجات النقطية هي 63 -00:04:26,657 --> 00:04:29,260 +00:04:34,479 --> 00:04:39,100 خاصة بما يكفي لتكون لها اسم خاص بها: التحولات المتعامدة. 64 -00:04:29,260 --> 00:04:34,700 +00:04:39,720 --> 00:04:44,660 هذه هي المتجهات التي تترك جميع المتجهات الأساسية متعامدة مع بعضها البعض بأطوال الوحدة. 65 -00:04:34,700 --> 00:04:36,980 +00:04:45,740 --> 00:04:47,880 غالبًا ما تفكر في هذه كمصفوفات دوران. 66 -00:04:36,980 --> 00:04:41,500 +00:04:48,420 --> 00:04:52,200 تتوافق مع الحركة الصلبة، دون أي تمدد أو سحق أو تحول. 67 -00:04:41,500 --> 00:04:45,688 +00:04:53,000 --> 00:04:56,917 إن حل نظام خطي بمصفوفة متعامدة هو في الواقع أمر سهل للغاية. 68 -00:04:45,688 --> 00:04:50,853 +00:04:56,917 --> 00:05:01,749 نظرًا لأنه يتم الحفاظ على المنتجات النقطية، فإن أخذ حاصل الضرب النقطي بين 69 -00:04:50,853 --> 00:04:56,019 +00:05:01,749 --> 00:05:06,581 متجه الإخراج وجميع أعمدة المصفوفة سيكون هو نفسه أخذ حاصل الضرب النقطي بين 70 -00:04:56,019 --> 00:05:01,463 +00:05:06,581 --> 00:05:11,674 متجه الإدخال الغامض وجميع المتجهات الأساسية، وهو نفس مجرد العثور على إحداثيات 71 -00:05:01,463 --> 00:05:02,860 +00:05:11,674 --> 00:05:12,980 هذا الإدخال الغامض. 72 -00:05:02,860 --> 00:05:07,151 +00:05:13,680 --> 00:05:18,793 لذلك في هذه الحالة الخاصة جدًا، x سيكون المنتج النقطي للعمود الأول مع 73 -00:05:07,151 --> 00:05:11,320 +00:05:18,793 --> 00:05:23,760 متجه الإخراج، وy سيكون المنتج النقطي للعمود الثاني مع متجه الإخراج. 74 -00:05:11,320 --> 00:05:17,329 +00:05:26,820 --> 00:05:31,785 لماذا أطرح هذا الأمر عندما تنهار هذه الفكرة بالنسبة لجميع الأنظمة الخطية تقريبًا؟ حسنًا، 75 -00:05:17,329 --> 00:05:23,270 +00:05:31,785 --> 00:05:36,694 إنه يوجهنا نحو شيء ما لنبحث عنه. هل هناك فهم هندسي بديل لإحداثيات متجه الإدخال الذي يظل 76 -00:05:23,270 --> 00:05:29,280 +00:05:36,694 --> 00:05:41,660 دون تغيير بعد التحويل؟ إذا كان عقلك يفكر في المحددات، فقد تفكر في الفكرة الذكية التالية. 77 -00:05:29,280 --> 00:05:39,720 +00:05:42,360 --> 00:05:53,760 خذ متوازي الأضلاع المحدد بواسطة المتجه الأساسي الأول، i-hat، ومتجه الإدخال الغامض، xy. 78 -00:05:39,720 --> 00:05:43,107 +00:05:54,440 --> 00:05:58,773 مساحة متوازي الأضلاع هذا هي القاعدة، 1، مضروبة في الارتفاع 79 -00:05:43,107 --> 00:05:46,380 +00:05:58,773 --> 00:06:02,960 المتعامد مع تلك القاعدة، وهو إحداثي y لمتجه الإدخال هذا. 80 -00:05:46,380 --> 00:05:53,671 +00:06:03,680 --> 00:06:08,961 لذا فإن مساحة متوازي الأضلاع هي طريقة ملتوية لوصف إحداثي y للمتجه. 81 -00:05:53,671 --> 00:05:59,440 +00:06:08,961 --> 00:06:13,140 إنها طريقة غريبة للحديث عن الإحداثيات، لكن اركض معي. 82 -00:05:59,440 --> 00:06:03,539 +00:06:13,700 --> 00:06:17,556 وفي الواقع، لكي نكون أكثر دقة، يجب أن تفكر في هذه المنطقة باعتبارها 83 -00:06:03,539 --> 00:06:07,880 +00:06:17,556 --> 00:06:21,640 المساحة المميزة لمتوازي الأضلاع، بالمعنى الموضح في مقطع الفيديو المحدد. 84 -00:06:07,880 --> 00:06:09,400 +00:06:22,200 --> 00:06:24,187 بهذه الطريقة، فإن المتجه ذو الإحداثي y السالب سيتوافق مع 85 -00:06:09,400 --> 00:06:11,026 +00:06:24,187 --> 00:06:26,313 المساحة السالبة لمتوازي الأضلاع هذا، على الأقل إذا كنت تعتقد 86 -00:06:11,026 --> 00:06:12,760 +00:06:26,313 --> 00:06:28,580 أن i-hat هو الأول من بين هذين المتجهين الذي يحدد متوازي الأضلاع. 87 -00:06:12,760 --> 00:06:16,823 +00:06:28,960 --> 00:06:30,863 وبشكل متماثل، إذا نظرت إلى متوازي الأضلاع الممتد بواسطة متجه الإدخال 88 -00:06:16,823 --> 00:06:21,300 +00:06:30,863 --> 00:06:32,960 الغامض والأساس الثاني، j-hat، فإن مساحته ستكون إحداثي x لهذا المتجه الغامض. 89 -00:06:21,300 --> 00:06:26,720 +00:06:32,960 --> 00:06:38,780 مرة أخرى، إنها طريقة غريبة لتمثيل الإحداثي x، لكنك سترى ما ستشتريه لنا بعد قليل. 90 -00:06:26,720 --> 00:06:30,392 +00:06:38,780 --> 00:06:42,465 وفقط للتأكد من أنه من الواضح كيف يمكن تعميم ذلك، دعونا ننظر في ثلاثة أبعاد. 91 -00:06:30,392 --> 00:06:34,017 +00:06:42,465 --> 00:06:46,103 عادةً، الطريقة التي قد تفكر بها في أحد إحداثيات المتجه، مثل الإحداثي z، هي 92 -00:06:34,017 --> 00:06:37,980 +00:06:46,103 --> 00:06:50,080 أخذ حاصل الضرب النقطي مع المتجه الأساسي القياسي الثالث، والذي يُسمى غالبًا k-hat. 93 -00:06:37,980 --> 00:06:41,248 +00:06:50,680 --> 00:06:51,611 لكن التفسير الهندسي البديل هو أن نأخذ في الاعتبار متوازي 94 -00:06:41,248 --> 00:06:44,860 +00:06:51,611 --> 00:06:52,640 السطوح الذي ينشئه مع المتجهين الأساسيين الآخرين، i-hat وj-hat. 95 -00:06:44,860 --> 00:06:49,039 +00:06:52,740 --> 00:06:54,924 إذا كنت تعتقد أن المربع الذي مساحته 1 يمتد بين i-hat وj-hat هو قاعدة 96 -00:06:49,039 --> 00:06:53,280 +00:06:54,924 --> 00:06:57,140 هذا الشكل بأكمله، فإن حجمه يساوي ارتفاعه، وهو الإحداثي الثالث للمتجه. 97 -00:06:53,280 --> 00:06:56,975 +00:06:57,140 --> 00:07:01,290 وبالمثل، فإن الطريقة الغريبة للتفكير في الإحداثيات الأخرى للمتجه 98 -00:06:56,975 --> 00:07:00,784 +00:07:01,290 --> 00:07:05,569 هي تكوين خط متوازي باستخدام المتجه ثم جميع المتجهات الأساسية بخلاف 99 -00:07:00,784 --> 00:07:04,480 +00:07:05,569 --> 00:07:09,720 تلك المقابلة للاتجاه الذي تبحث عنه. ثم حجم هذا يعطيك الإحداثيات. 100 -00:07:04,480 --> 00:07:10,951 +00:07:09,720 --> 00:07:16,232 أو بالأحرى، يجب أن نتحدث عن الحجم الموصوف لمتوازي السطوح، بالمعنى الموضح في فيديو المحدد 101 -00:07:10,951 --> 00:07:17,060 +00:07:16,232 --> 00:07:22,380 باستخدام قاعدة اليد اليمنى. لذا فإن الترتيب الذي تُدرج به هذه المتجهات الثلاثة مهم. 102 -00:07:17,060 --> 00:07:18,800 +00:07:22,380 --> 00:07:25,240 بهذه الطريقة تظل الإحداثيات السلبية منطقية. 103 -00:07:18,800 --> 00:07:22,080 +00:07:25,240 --> 00:07:27,500 حسنًا، لماذا نفكر في الإحداثيات كمساحات وأحجام كهذه؟ 104 -00:07:22,080 --> 00:07:25,140 +00:07:27,500 --> 00:07:28,783 عندما تقوم بتطبيق بعض تحويلات المصفوفة، فإن مناطق متوازي 105 -00:07:25,140 --> 00:07:28,040 +00:07:28,783 --> 00:07:30,000 الأضلاع لا تبقى كما هي، بل قد يتم تكبيرها أو تقليلها. 106 -00:07:28,040 --> 00:07:32,500 +00:07:30,000 --> 00:07:33,960 لكن (!)، وهذه فكرة أساسية للمحددات، يتم قياس كل هذه المناطق بنفس المقدار. 107 -00:07:32,500 --> 00:07:34,700 +00:07:33,960 --> 00:07:37,900 وهي محدد مصفوفة التحويل لدينا. 108 -00:07:34,700 --> 00:07:38,935 +00:07:38,440 --> 00:07:44,245 على سبيل المثال، إذا نظرت إلى متوازي الأضلاع الممتد عبر المتجه حيث يقع المتجه 109 -00:07:38,935 --> 00:07:43,660 +00:07:44,245 --> 00:07:50,720 الأساسي الأول، وهو العمود الأول من المصفوفة، والنسخة المحولة من [x؛ ذ]، ما هي مساحتها؟ 110 -00:07:43,660 --> 00:07:47,197 +00:07:50,720 --> 00:07:54,618 حسنًا، هذه هي النسخة المحولة من متوازي الأضلاع الذي كنا ننظر إليه 111 -00:07:47,197 --> 00:07:50,520 +00:07:54,618 --> 00:07:58,280 سابقًا، والذي كانت مساحته هي الإحداثي y لمتجه الإدخال الغامض. 112 -00:07:50,520 --> 00:07:56,600 +00:07:58,960 --> 00:08:01,960 إذن، ستكون مساحتها هي العامل المحدد للتحويل مضروبًا في تلك القيمة. 113 -00:07:56,600 --> 00:08:01,476 +00:08:01,960 --> 00:08:06,924 إذن، الإحداثي y لمتجه الإدخال الغامض هو مساحة متوازي الأضلاع هذا، ممتدًا 114 -00:08:01,476 --> 00:08:06,620 +00:08:06,924 --> 00:08:12,160 عبر العمود الأول من المصفوفة ومتجه الإخراج، مقسومًا على محدد التحويل الكامل. 115 -00:08:06,980 --> 00:08:08,020 +00:08:12,160 --> 00:08:14,880 وكيف تحصل على هذه المنطقة؟ 116 -00:08:08,020 --> 00:08:12,567 +00:08:14,880 --> 00:08:17,511 حسنًا، نحن نعرف إحداثيات المكان الذي يستقر فيه متجه الإدخال 117 -00:08:12,567 --> 00:08:16,660 +00:08:17,511 --> 00:08:19,880 الغامض، وهذا هو الهدف الأساسي لنظام المعادلات الخطية. 118 -00:08:16,660 --> 00:08:21,362 +00:08:19,880 --> 00:08:26,583 إذن ما يمكنك فعله هو إنشاء مصفوفة جديدة عمودها الأول هو نفسه عمود 119 -00:08:21,362 --> 00:08:25,780 +00:08:26,583 --> 00:08:32,880 المصفوفة، لكن عمودها الثاني هو متجه المخرجات، ثم تأخذ محددها. 120 -00:08:26,060 --> 00:08:29,491 +00:08:32,880 --> 00:08:35,969 لذا انظر إلى ذلك، فقط باستخدام البيانات من مخرجات التحويل، أي 121 -00:08:29,491 --> 00:08:32,923 +00:08:35,969 --> 00:08:39,059 أعمدة المصفوفة وإحداثيات متجه المخرجات، يمكننا استعادة إحداثي 122 -00:08:32,923 --> 00:08:36,299 +00:08:39,059 --> 00:08:42,100 y لمتجه الإدخال الغامض، والذي هو في منتصف الطريق لحل النظام. 123 -00:08:36,299 --> 00:08:39,280 +00:08:42,100 --> 00:08:43,500 وبالمثل، فإن نفس الفكرة يمكن أن تعطينا إحداثي x. 124 -00:08:40,179 --> 00:08:44,307 +00:08:43,500 --> 00:08:49,911 انظر إلى متوازي الأضلاع الذي عرفناه سابقًا، والذي يشفر 125 -00:08:44,307 --> 00:08:48,960 +00:08:49,911 --> 00:08:57,140 إحداثي x لمتجه الإدخال الغامض، الممتد عبر هذا المتجه وقبعة j. 126 -00:08:48,960 --> 00:08:53,809 +00:08:57,140 --> 00:09:00,895 النسخة المحولة من هذا الرجل تمتد عبر متجه الإخراج والعمود 127 -00:08:53,809 --> 00:08:59,160 +00:09:00,895 --> 00:09:05,040 الثاني من المصفوفة، وستكون مساحتها مضروبة في محدد تلك المصفوفة. 128 -00:08:59,720 --> 00:09:04,660 +00:09:05,060 --> 00:09:15,140 لذا، لحل مشكلة x، يمكنك قسمة هذه المساحة الجديدة على محدد التحويل الكامل. 129 -00:09:04,660 --> 00:09:11,030 +00:09:15,600 --> 00:09:19,585 وكما فعلنا من قبل، يمكنك حساب مساحة متوازي الأضلاع الناتج عن طريق إنشاء مصفوفة 130 -00:09:11,030 --> 00:09:17,160 +00:09:19,585 --> 00:09:23,420 جديدة عمودها الأول هو متجه المخرجات وعمودها الثاني هو نفس المصفوفة الأصلية. 131 -00:09:17,160 --> 00:09:21,081 +00:09:23,420 --> 00:09:28,214 لذا مرة أخرى، فقط باستخدام البيانات من مساحة الإخراج، أي الأرقام التي 132 -00:09:21,081 --> 00:09:25,340 +00:09:28,214 --> 00:09:33,420 نراها في نظامنا الخطي الأصلي، يمكننا إيجاد القيمة التي يجب أن تكون عليها x. 133 -00:09:25,600 --> 00:09:29,620 +00:09:33,420 --> 00:09:44,480 تُعرف هذه الصيغة لإيجاد الحلول لنظام خطي من المعادلات بقاعدة كرامر. 134 -00:09:29,620 --> 00:09:34,300 +00:09:44,480 --> 00:09:45,340 هنا، فقط للتحقق من سلامة أنفسنا، أدخل بعض الأرقام هنا. 135 -00:09:34,300 --> 00:09:37,771 +00:09:45,340 --> 00:09:49,004 محدد تلك المصفوفة العلوية المعدلة هو 4 زائد 2، وهو ما 136 -00:09:37,771 --> 00:09:41,500 +00:09:49,004 --> 00:09:52,940 يساوي 6، والمحدد السفلي هو 2، لذا يجب أن يكون إحداثي x 3. 137 -00:09:41,500 --> 00:09:45,520 +00:09:53,860 --> 00:10:04,340 وبالفعل، بالنظر إلى متجه الإدخال الذي بدأنا به، فإن إحداثي x هو 3. 138 -00:09:45,520 --> 00:09:50,430 +00:10:04,340 --> 00:10:06,072 وبالمثل، تقترح قاعدة كرامر أن إحداثي y يجب أن يكون 4 مقسومًا 139 -00:09:50,430 --> 00:09:55,100 +00:10:06,072 --> 00:10:07,720 على 2 أو 2، وهذا هو إحداثي y لمتجه الإدخال الذي بدأنا به. 140 -00:09:55,340 --> 00:10:01,220 +00:10:07,720 --> 00:10:18,420 الحالة ذات الأبعاد الثلاثة أو أكثر متشابهة، وأوصي بشدة أن تتوقف للحظة وتفكر فيها بنفسك. 141 -00:10:01,220 --> 00:10:04,220 +00:10:19,120 --> 00:10:21,580 هنا، سأعطيك القليل من الزخم. 142 -00:10:04,220 --> 00:10:09,270 +00:10:21,580 --> 00:10:27,420 ما لدينا هو تحويل معروف معطى من مصفوفة 3x3، ومتجه مخرجات معروف معطى من الجانب 143 -00:10:09,270 --> 00:10:14,320 +00:10:27,420 --> 00:10:33,260 الأيمن من نظامنا الخطي، ونريد أن نعرف ما هي المدخلات التي تصل إلى هذا المخرج. 144 -00:10:14,320 --> 00:10:20,690 +00:10:33,260 --> 00:10:38,727 إذا فكرت، على سبيل المثال، في الإحداثي z لمتجه الإدخال باعتباره حجم متوازي السطوح هذا 145 -00:10:20,690 --> 00:10:26,913 +00:10:38,727 --> 00:10:44,067 الممتد بين i-hat وj-hat ومتجه الإدخال الغامض، فماذا يحدث لحجم متوازي السطوح هذا بعد 146 -00:10:26,913 --> 00:10:27,580 +00:10:44,067 --> 00:10:44,640 التحويل؟ 147 -00:10:27,580 --> 00:10:30,200 +00:10:44,640 --> 00:10:51,660 كيف يمكنك حساب هذا الحجم الجديد؟ 148 -00:10:30,200 --> 00:10:36,734 +00:10:51,660 --> 00:10:58,224 حقًا، توقف وتوقف لحظة للتفكير في تفاصيل تعميم ذلك على أبعاد 149 -00:10:36,734 --> 00:10:43,160 +00:10:58,224 --> 00:11:04,680 أعلى؛ إيجاد تعبير لكل إحداثيات الحل للأنظمة الخطية الأكبر. 150 -00:10:43,160 --> 00:11:14,460 +00:11:05,100 --> 00:11:25,890 إن التفكير في حالات أكثر عمومية وإقناع نفسك بنجاحها هو المكان الذي سيحدث فيه كل 151 -00:11:14,460 --> 00:11:48,500 +00:11:25,890 --> 00:11:48,500 التعلم، أكثر بكثير من الاستماع إلى بعض الأشخاص على YouTube وهم يشرحون المنطق مرة أخرى. diff --git a/2019/cramers-rule/chinese/auto_generated.srt b/2019/cramers-rule/chinese/auto_generated.srt index 991e9ac31..73096c6ed 100644 --- a/2019/cramers-rule/chinese/auto_generated.srt +++ b/2019/cramers-rule/chinese/auto_generated.srt @@ -1,9 +1,9 @@ 1 -00:00:11,199 --> 00:00:14,375 +00:00:11,200 --> 00:00:14,376 在之前的视频中，我讨论了线性方程组， 2 -00:00:14,375 --> 00:00:19,140 +00:00:14,376 --> 00:00:19,140 并且我有 点忽略了对这些系统的实际计算解决方案的讨论。 3 @@ -55,15 +55,15 @@ 例如，高斯消除法总是更快。 15 -00:01:01,980 --> 00:01:03,840 +00:01:01,980 --> 00:01:03,520 那为什么要学呢？ 16 -00:01:03,840 --> 00:01:07,150 +00:01:03,780 --> 00:01:07,120 将此视为一种文化之旅；这是加深您 17 -00:01:07,150 --> 00:01:10,460 +00:01:07,120 --> 00:01:10,460 对这些系统理论知识的有用练习。 18 @@ -99,566 +99,566 @@ 有大量未知数和相同数量方程的系统。 26 -00:01:42,440 --> 00:01:45,320 +00:01:42,440 --> 00:01:45,580 但为了简单起见，一个较小的例子更容易记住。 27 -00:01:45,320 --> 00:01:50,226 +00:01:46,320 --> 00:01:50,893 正如我在之前的视频中谈到的，您可以在几何上将此设置 28 -00:01:50,226 --> 00:01:55,133 +00:01:50,893 --> 00:01:55,466 视为某个已知矩阵对未知向量进行变换，[x; y]， 29 -00:01:55,133 --> 00:02:00,040 +00:01:55,466 --> 00:02:00,040 您知道输出是什么，在本例中为 [-4; -2]。 30 -00:02:00,800 --> 00:02:06,130 +00:02:00,800 --> 00:02:05,440 请记住，该矩阵的列告诉您矩阵如何充当变换， 31 -00:02:06,130 --> 00:02:11,460 +00:02:05,440 --> 00:02:10,080 每一列都告诉您输入空间的基向量落在哪里。 32 -00:02:11,460 --> 00:02:14,413 +00:02:10,860 --> 00:02:14,316 所以这是一个难题，输入什么[x; y]， 33 -00:02:14,413 --> 00:02:17,220 +00:02:14,316 --> 00:02:17,600 将为您提供此输出 [-4; -2]？ 34 -00:02:17,220 --> 00:02:21,877 +00:02:17,600 --> 00:02:22,861 请记住，您在这里得到的答案类型可能取决 35 -00:02:21,877 --> 00:02:26,780 +00:02:22,861 --> 00:02:28,400 于变换是否将所有空间压缩到较低的维度。 36 -00:02:26,780 --> 00:02:28,240 +00:02:28,400 --> 00:02:31,220 也就是说，如果它的行列式为零。 37 -00:02:28,240 --> 00:02:31,954 +00:02:31,220 --> 00:02:34,315 在这种情况下，要么没有任何输入落在我们给定的输出上， 38 -00:02:31,954 --> 00:02:34,240 +00:02:34,315 --> 00:02:36,220 要么有一大堆输入落在该输出上。 39 -00:02:34,240 --> 00:02:39,193 +00:02:37,240 --> 00:02:40,974 但对于这个视频，我们 将把我们的观点限制在非零行列式的情况， 40 -00:02:39,193 --> 00:02:43,651 +00:02:40,974 --> 00:02:44,334 这意味着这个转换的输出 仍然跨越它开始的整个维度空间。 41 -00:02:43,651 --> 00:02:46,622 +00:02:44,334 --> 00:02:46,575 每个输入都落在一个且仅有一个输出上， 42 -00:02:46,622 --> 00:02:49,760 +00:02:46,575 --> 00:02:48,940 并且每个输出都有一个且仅有一个输入。 43 -00:02:49,760 --> 00:02:54,260 +00:02:48,940 --> 00:02:53,385 思考我们的难题的一种方法是，我们知道给定的输出 44 -00:02:54,260 --> 00:02:58,955 +00:02:53,385 --> 00:02:58,023 向量是矩阵列的某种线性组合； x*（i-hat 45 -00:02:58,955 --> 00:03:03,651 +00:02:58,023 --> 00:03:02,661 落在的向量）+ y*（j-hat 落在的向量）， 46 -00:03:03,651 --> 00:03:07,760 +00:03:02,661 --> 00:03:06,720 但我们希望计算 x 和 y 到底是什么。 47 -00:03:07,760 --> 00:03:11,380 +00:03:06,720 --> 00:03:18,160 首先，让我展示一个错误但方向正确的想法。 48 -00:03:11,380 --> 00:03:16,333 +00:03:18,800 --> 00:03:22,697 这个神秘输入向量的 x 坐标是通过将其与第一个基向量 49 -00:03:16,333 --> 00:03:19,820 +00:03:22,697 --> 00:03:25,440 [1; 进行点积计算得到的。 0]。 50 -00:03:19,820 --> 00:03:26,960 +00:03:26,160 --> 00:03:31,400 同样，y 坐标是用第二个基向 量 0, 1 点起来得到的。 51 -00:03:26,960 --> 00:03:32,710 +00:03:31,900 --> 00:03:37,570 所以也许你希望在变换之后 ，神秘向量的变换版 52 -00:03:32,710 --> 00:03:38,460 +00:03:37,570 --> 00:03:43,240 本与变换版本的点积也将是这 些坐标，x和y。 53 -00:03:38,460 --> 00:03:42,880 +00:03:43,940 --> 00:03:48,740 那太棒了，因为我们知道每个向量 的转换版本是什么。 54 -00:03:42,880 --> 00:03:45,700 +00:03:51,180 --> 00:03:54,200 它只有一个问题，它根本不是真的。 55 -00:03:45,700 --> 00:03:53,460 +00:03:54,640 --> 00:04:00,240 对于大多数线性变换，变换前后的点积看起来会非常 不同。 56 -00:03:53,460 --> 00:03:58,971 +00:04:00,800 --> 00:04:06,065 例如，您可能有两个通常指向同一方向且具 有正点积的向量， 57 -00:03:58,971 --> 00:04:04,680 +00:04:06,065 --> 00:04:11,520 这两个向量在转换过程中彼此分 开，最终导致它们具有负点积。 58 -00:04:04,680 --> 00:04:10,290 +00:04:12,220 --> 00:04:17,850 同样，从点积 0 开始垂直的事物（例如两个基向量）在变换后 59 -00:04:10,290 --> 00:04:15,900 +00:04:17,850 --> 00:04:23,480 通常不会 保持彼此垂直，也就是说，它们不会保留 0 点积。 60 -00:04:15,900 --> 00:04:19,380 +00:04:24,100 --> 00:04:27,160 在我们看到的示例中，点积当然不会被保留。 61 -00:04:19,380 --> 00:04:23,480 +00:04:27,500 --> 00:04:29,940 由于大多数向量都被拉伸，它们往往会变得更大。 62 -00:04:24,100 --> 00:04:29,260 +00:04:29,940 --> 00:04:39,100 事实上，保留点积的变换非常特殊，有自己的名字：正交变换。 63 -00:04:29,260 --> 00:04:34,700 +00:04:39,720 --> 00:04:44,660 这些是使所有基本向量彼此 垂直并且仍然具有单位长度的向量。 64 -00:04:34,700 --> 00:04:36,980 +00:04:45,740 --> 00:04:47,880 您通常将它们视为旋转矩阵。 65 -00:04:36,980 --> 00:04:41,500 +00:04:48,420 --> 00:04:52,200 它们对应于刚性运动，没有拉伸、挤压或变形。 66 -00:04:41,500 --> 00:04:48,356 +00:04:53,000 --> 00:04:59,413 求解具有正交矩阵的线性系统非常容易：由于保留了点积， 67 -00:04:48,356 --> 00:04:55,476 +00:04:59,413 --> 00:05:06,073 因此在输出向量和矩阵的所有列之间求点积将与在输入向量和 68 -00:04:55,476 --> 00:05:02,860 +00:05:06,073 --> 00:05:12,980 所有基之间求点积相同向量，这与查找输入向量的坐标相同。 69 -00:05:02,860 --> 00:05:05,622 +00:05:13,680 --> 00:05:16,971 因此， 在这种非常特殊的情况下， 70 -00:05:05,622 --> 00:05:08,557 +00:05:16,971 --> 00:05:20,468 x 将是第一列与输出 向量的点积， 71 -00:05:08,557 --> 00:05:11,320 +00:05:20,468 --> 00:05:23,760 y 将是第二列与输出向量的点积。 72 -00:05:11,320 --> 00:05:16,483 +00:05:26,820 --> 00:05:31,086 当这个想法对于几乎所有线性系统来说都行不通时， 73 -00:05:16,483 --> 00:05:22,544 +00:05:31,086 --> 00:05:36,095 为什么我要提出这个问题呢？嗯，它为我们指明了寻找方向。 74 -00:05:22,544 --> 00:05:29,280 +00:05:36,095 --> 00:05:41,660 对于变换后保持 不变的输入向量的坐标是否有替代的几何理 解？ 75 -00:05:29,280 --> 00:05:33,777 +00:05:42,360 --> 00:05:47,270 如果您一直在思考决定因素，您可能会想到以下聪明的 想法。 76 -00:05:33,777 --> 00:05:37,632 +00:05:47,270 --> 00:05:51,479 采用由第一个基向量 i-hat 和神秘输入向量 77 -00:05:37,632 --> 00:05:39,720 +00:05:51,479 --> 00:05:53,760 xy 定义的平行四 边形。 78 -00:05:39,720 --> 00:05:44,268 +00:05:54,440 --> 00:06:00,258 该平行四边形的面积是底边 1 乘以垂直于该底边的高 度， 79 -00:05:44,268 --> 00:05:46,380 +00:06:00,258 --> 00:06:02,960 即该输入向量的 y 坐标。 80 -00:05:46,380 --> 00:05:50,962 +00:06:03,680 --> 00:06:06,999 因此，平行四边形的面积是 描述向量 y 81 -00:05:50,962 --> 00:05:57,607 +00:06:06,999 --> 00:06:11,812 坐标的一种扭曲的迂回方式。这是一种奇怪的谈论坐 标的方式， 82 -00:05:57,607 --> 00:05:59,440 +00:06:11,812 --> 00:06:13,140 但跟我一起跑吧。 83 -00:05:59,440 --> 00:06:03,031 +00:06:13,700 --> 00:06:17,078 实际上，为了更准确一点，您应该将其视为 84 -00:06:03,031 --> 00:06:07,880 +00:06:17,078 --> 00:06:21,640 该平行四边形的带符号区域，就像行列式视频中描述的那样。 85 -00:06:07,880 --> 00:06:09,873 +00:06:22,200 --> 00:06:24,805 这样，具有负 y 坐标的向量将对应于该平行四边形的负面积， 86 -00:06:09,873 --> 00:06:11,454 +00:06:24,805 --> 00:06:26,872 至少如果您认为 i-hat 在某种意义上是定 87 -00:06:11,454 --> 00:06:12,760 +00:06:26,872 --> 00:06:28,580 义平行四边形的 这两个向量中的第一个。 88 -00:06:12,760 --> 00:06:15,560 +00:06:28,960 --> 00:06:30,271 对称地，如果你看一下由我们的神秘输入向 89 -00:06:15,560 --> 00:06:18,640 +00:06:30,271 --> 00:06:31,714 量和第二个基 j-hat 组成的平行四边形， 90 -00:06:18,640 --> 00:06:21,300 +00:06:31,714 --> 00:06:32,960 它的面积将是该神 秘向量的 x 坐标。 91 -00:06:21,300 --> 00:06:24,145 +00:06:32,960 --> 00:06:36,015 同样，这是一种奇怪的表示 x 坐标的方式， 92 -00:06:24,145 --> 00:06:26,720 +00:06:36,015 --> 00:06:38,780 但您很快 就会明白它给我们带来了什么。 93 -00:06:26,720 --> 00:06:30,339 +00:06:38,780 --> 00:06:42,412 为了确保清楚这如何概括，让我们 从三个维度来看。通常， 94 -00:06:30,339 --> 00:06:34,092 +00:06:42,412 --> 00:06:46,178 您可能会考虑一个向量的坐标之一（例 如它的 z 坐标）， 95 -00:06:34,092 --> 00:06:37,980 +00:06:46,178 --> 00:06:50,080 将其与第三个标准基向量（通常称为 k- hat）进行点积。 96 -00:06:37,980 --> 00:06:41,343 +00:06:50,680 --> 00:06:51,638 但另一种几何解释是考虑它与其他两个基本向量 97 -00:06:41,343 --> 00:06:44,860 +00:06:51,638 --> 00:06:52,640 i-hat 和 j-hat 创建的平行六面体。 98 -00:06:44,860 --> 00:06:47,231 +00:06:52,740 --> 00:06:53,979 如果您将 i- hat 和 j-hat 99 -00:06:47,231 --> 00:06:50,078 +00:06:53,979 --> 00:06:55,466 所跨越的面积为 1 的正方形视为整个形状的基础， 100 -00:06:50,078 --> 00:06:53,280 +00:06:55,466 --> 00:06:57,140 那么它的体积与其高度相同，这是我们向量的第三个坐标。 101 -00:06:53,280 --> 00:06:56,967 +00:06:57,140 --> 00:07:01,282 同样，考虑向量的 其他坐标的一种古怪方法是使用该向量形 102 -00:06:56,967 --> 00:07:00,655 +00:07:01,282 --> 00:07:05,424 成一个平行六面体， 然后使用除与您正在寻找的方向相对应 103 -00:07:00,655 --> 00:07:04,480 +00:07:05,424 --> 00:07:09,720 的方向之外的所有基本 向量。然后这个体积就可以给你坐标。 104 -00:07:04,480 --> 00:07:09,705 +00:07:09,720 --> 00:07:14,978 或者更确切地说，我们应该 讨论平行六面体的有符号体积， 105 -00:07:09,705 --> 00:07:13,769 +00:07:14,978 --> 00:07:19,068 在行列式视频中使用右手定则描述的 意义上。 106 -00:07:13,769 --> 00:07:17,060 +00:07:19,068 --> 00:07:22,380 因此，列出这三个向量的顺序很重要。 107 -00:07:17,060 --> 00:07:18,800 +00:07:22,380 --> 00:07:25,240 这样，负坐 标仍然有意义。 108 -00:07:18,800 --> 00:07:22,080 +00:07:25,240 --> 00:07:27,500 好吧，那么为什么要把坐标看作这样的面积和体积呢？ 109 -00:07:22,080 --> 00:07:25,179 +00:07:27,500 --> 00:07:28,799 好吧，当您应用某种矩阵变换时，这些平行四边形的面积， 110 -00:07:25,179 --> 00:07:28,040 +00:07:28,799 --> 00:07:30,000 它们不会 保持不变，它们可能会按比例放大或缩小。 111 -00:07:28,040 --> 00:07:30,333 +00:07:30,000 --> 00:07:32,036 但是（！），这是决定因素的关键思想， 112 -00:07:30,333 --> 00:07:32,500 +00:07:32,036 --> 00:07:33,960 所有这些区域都会按相同的量缩放。 113 -00:07:32,500 --> 00:07:34,700 +00:07:33,960 --> 00:07:37,900 即，我们的变换矩阵的行列式。 114 -00:07:34,700 --> 00:07:38,900 +00:07:38,440 --> 00:07:44,196 例如，如果您查看第一个基向量所在的向量（即矩阵的第一列）和 115 -00:07:38,900 --> 00:07:41,840 +00:07:44,196 --> 00:07:48,225 [x; 的变换版本] 所跨越的平行四边形。 116 -00:07:41,840 --> 00:07:43,660 +00:07:48,225 --> 00:07:50,720 y]，它的面积是多少？ 117 -00:07:43,660 --> 00:07:47,604 +00:07:50,720 --> 00:07:55,067 嗯，这是我们之前看到的平行四边形的 变换版本， 118 -00:07:47,604 --> 00:07:50,520 +00:07:55,067 --> 00:07:58,280 其面积是神秘输入向量的 y 坐标。 119 -00:07:50,520 --> 00:07:56,600 +00:07:58,960 --> 00:08:01,960 所以它的面积就是变换的决定因素乘以 y 坐标。 120 -00:07:56,600 --> 00:08:01,873 +00:08:01,960 --> 00:08:07,328 因此，我们神秘的输入向量的 y 坐标是这个平行四边形的面积， 121 -00:08:01,873 --> 00:08:06,620 +00:08:07,328 --> 00:08:12,160 由矩阵的第一列和输出向量跨越，除以完整变换的行列式。 122 -00:08:06,980 --> 00:08:08,020 +00:08:12,160 --> 00:08:14,880 那么如何获得这个区域呢？ 123 -00:08:08,020 --> 00:08:12,848 +00:08:14,880 --> 00:08:17,674 好吧，我们知道神秘输入向量落地的坐标， 124 -00:08:12,848 --> 00:08:16,660 +00:08:17,674 --> 00:08:19,880 这就是线性方程组的全部要点。 125 -00:08:16,660 --> 00:08:20,101 +00:08:19,880 --> 00:08:24,785 因此，您可能要做的就是创建一个新矩阵 ， 126 -00:08:20,101 --> 00:08:24,059 +00:08:24,785 --> 00:08:30,427 其第一列与我们的矩阵相同，但第二列是输出向量， 127 -00:08:24,059 --> 00:08:25,780 +00:08:30,427 --> 00:08:32,880 然后获 取其行列式。 128 -00:08:26,060 --> 00:08:28,852 +00:08:32,880 --> 00:08:35,394 所以看一下，只需使用变换输出的数据， 129 -00:08:28,852 --> 00:08:32,576 +00:08:35,394 --> 00:08:38,747 即矩阵的列和输出向量的坐标，我们就可以恢复神 130 -00:08:32,576 --> 00:08:36,299 +00:08:38,747 --> 00:08:42,100 秘输入向量的 y 坐标，这就是解决系统的一半 。 131 -00:08:36,299 --> 00:08:39,280 +00:08:42,100 --> 00:08:43,500 同样，同样的想法可以给我们 x 坐标。 132 -00:08:40,179 --> 00:08:43,046 +00:08:43,500 --> 00:08:47,953 看看我们之前定义的平行四边 形， 133 -00:08:43,046 --> 00:08:46,093 +00:08:47,953 --> 00:08:52,686 它编码了神秘输入向量的 x 坐标， 134 -00:08:46,093 --> 00:08:48,960 +00:08:52,686 --> 00:08:57,140 由该向量和 j-hat 跨越 。 135 -00:08:48,960 --> 00:08:55,335 +00:08:57,140 --> 00:09:02,077 这个家伙的变换版本由输出向量和矩阵的第 二列组成， 136 -00:08:55,335 --> 00:08:59,160 +00:09:02,077 --> 00:09:05,040 它的面积将乘以该矩阵的行列式。 137 -00:08:59,720 --> 00:09:04,660 +00:09:05,060 --> 00:09:15,140 因此，要求解 x，您可以将这个新面积除以完整变换的行 列式。 138 -00:09:04,660 --> 00:09:09,347 +00:09:15,600 --> 00:09:18,532 与我们之前所做的类似，您可以通过创建一个新矩阵 139 -00:09:09,347 --> 00:09:15,011 +00:09:18,532 --> 00:09:22,075 来计算输出平行四边形的面积，该新矩阵的第一列是输出向量 ， 140 -00:09:15,011 --> 00:09:17,160 +00:09:22,075 --> 00:09:23,420 第二列与原始矩阵相同。 141 -00:09:17,160 --> 00:09:19,777 +00:09:23,420 --> 00:09:26,619 同样，只需使用输出空间中的数据， 142 -00:09:19,777 --> 00:09:22,722 +00:09:26,619 --> 00:09:30,219 即我 们在原始线性系统中看到的数字， 143 -00:09:22,722 --> 00:09:25,340 +00:09:30,219 --> 00:09:33,420 我们就可以求解 x 必须是什么。 144 -00:09:25,600 --> 00:09:29,620 +00:09:33,420 --> 00:09:44,480 这个求线性方程组解的公式称为克莱默法则。 145 -00:09:29,620 --> 00:09:34,300 +00:09:44,480 --> 00:09:45,340 在这里，只是为了检查一下我们自己的理智，在这里插入一些数字。 146 -00:09:34,300 --> 00:09:38,063 +00:09:45,340 --> 00:09:49,312 顶部更改矩阵的行列式 是 4 加 2，即 6， 147 -00:09:38,063 --> 00:09:41,500 +00:09:49,312 --> 00:09:52,940 底部行列式是 2，因此 x 坐标应为 3。 148 -00:09:41,500 --> 00:09:45,520 +00:09:53,860 --> 00:10:04,340 事实上，回顾我们开始时的输入向量，x 坐标是 3。 149 -00:09:45,520 --> 00:09:50,603 +00:10:04,340 --> 00:10:06,133 同样，克莱默规则表明 y 坐标应为 4 除以 2 ， 150 -00:09:50,603 --> 00:09:55,100 +00:10:06,133 --> 00:10:07,720 即 2，这就是我们开始时输入向量的 y 坐标。 151 -00:09:55,340 --> 00:09:59,933 +00:10:07,720 --> 00:10:16,079 3 维或更多维度的情况类似，我强烈建议您花点时间 152 -00:09:59,933 --> 00:10:01,220 +00:10:16,079 --> 00:10:18,420 自己思考一下。 153 -00:10:01,220 --> 00:10:04,220 +00:10:19,120 --> 00:10:21,580 在这里，我给大家一点动力。 154 -00:10:04,220 --> 00:10:08,359 +00:10:21,580 --> 00:10:26,366 我们拥有的是 由某个 3x3 矩阵给出的已知变换， 155 -00:10:08,359 --> 00:10:11,670 +00:10:26,366 --> 00:10:30,196 以及由线性系统右侧给出的已 知输出向量， 156 -00:10:11,670 --> 00:10:14,320 +00:10:30,196 --> 00:10:33,260 我们想知道什么输入落在该输出上。 157 -00:10:14,320 --> 00:10:18,134 +00:10:33,260 --> 00:10:36,533 例如，如果您将输入向量的 z 坐标视为由 158 -00:10:18,134 --> 00:10:22,493 +00:10:36,533 --> 00:10:40,275 i-hat、j-hat 和神秘输入向量跨越的平行 159 -00:10:22,493 --> 00:10:27,580 +00:10:40,275 --> 00:10:44,640 六面体的体积，那么变换后该平行六面体的体积会发生什么？ 160 -00:10:27,580 --> 00:10:30,200 +00:10:44,640 --> 00:10:51,660 你如何计算新的体积？ 161 -00:10:30,200 --> 00:10:36,680 +00:10:51,660 --> 00:10:58,170 真的，停下来，花点时间思考一下将其推广到更高维度 162 -00:10:36,680 --> 00:10:43,160 +00:10:58,170 --> 00:11:04,680 的细节；找到较大线性系统解的每个坐标的表达式。 163 -00:10:43,160 --> 00:11:04,674 +00:11:05,100 --> 00:11:19,390 思考像这样的更一般的案例，并说服自己它是有效的以及为 164 -00:11:04,674 --> 00:11:20,610 +00:11:19,390 --> 00:11:29,975 什么它有效，这是所有学习真正发生的地方， 165 -00:11:20,610 --> 00:11:42,125 +00:11:29,975 --> 00:11:44,265 比听 YouT ube 上的某个人再次引导你进行相同的 166 -00:11:42,125 --> 00:11:48,500 +00:11:44,265 --> 00:11:48,500 推理要重要得多。 diff --git a/2019/cramers-rule/french/auto_generated.srt b/2019/cramers-rule/french/auto_generated.srt index 2ba6ca9b3..ca5d30e6a 100644 --- a/2019/cramers-rule/french/auto_generated.srt +++ b/2019/cramers-rule/french/auto_generated.srt @@ -1,844 +1,816 @@ 1 -00:00:11,200 --> 00:00:13,517 -Dans une vidéo précédente, j'ai parlé de systèmes +00:00:11,200 --> 00:00:15,009 +Dans une vidéo précédente, j'ai parlé de systèmes d'équations linéaires et j'ai en 2 -00:00:13,517 --> 00:00:16,178 -d'équations linéaires et j'ai en quelque sorte écarté +00:00:15,009 --> 00:00:19,140 +quelque sorte écarté la discussion sur les solutions informatiques réelles à ces systèmes. 3 -00:00:16,178 --> 00:00:19,140 -la discussion sur les solutions informatiques réelles à ces systèmes. +00:00:19,700 --> 00:00:22,625 +Et s'il est vrai que l'analyse des chiffres est généralement quelque chose 4 -00:00:19,700 --> 00:00:22,589 -Et s'il est vrai que l'analyse des chiffres est généralement quelque +00:00:22,625 --> 00:00:25,473 +que nous laissons aux ordinateurs, approfondir certaines de ces méthodes 5 -00:00:22,589 --> 00:00:25,553 -chose que nous laissons aux ordinateurs, approfondir certaines de ces méthodes - -6 -00:00:25,553 --> 00:00:28,518 +00:00:25,473 --> 00:00:28,555 informatiques est un bon test décisif pour savoir si vous comprenez réellement -7 -00:00:28,518 --> 00:00:31,520 +6 +00:00:28,555 --> 00:00:31,520 ce qui se passe, car c'est vraiment là que le caoutchouc rencontre la route. -8 +7 00:00:32,119 --> 00:00:35,407 Ici, je souhaite décrire la géométrie derrière une certaine méthode de -9 +8 00:00:35,407 --> 00:00:38,880 calcul des solutions à ces systèmes, connue sous le nom de règle de Cramer. -10 -00:00:39,680 --> 00:00:42,385 +9 +00:00:39,680 --> 00:00:42,472 Le contexte pertinent ici est la compréhension des déterminants, -11 -00:00:42,385 --> 00:00:45,757 +10 +00:00:42,472 --> 00:00:45,780 un peu de produits scalaires et bien sûr des systèmes d'équations linéaires, -12 -00:00:45,757 --> 00:00:49,420 +11 +00:00:45,780 --> 00:00:49,388 alors assurez-vous de regarder les vidéos pertinentes sur ces sujets si vous n'êtes -13 -00:00:49,420 --> 00:00:50,420 +12 +00:00:49,388 --> 00:00:50,420 pas familier ou rouillé. +13 +00:00:51,020 --> 00:00:54,324 +Mais je dois d'abord dire d'emblée que cette règle de Cramer n'est pas + 14 -00:00:51,020 --> 00:00:54,447 -Mais je dois d'abord dire d'emblée que cette règle de Cramer n'est +00:00:54,324 --> 00:00:58,327 +réellement le meilleur moyen pour les solutions informatiques des systèmes linéaires. 15 -00:00:54,447 --> 00:00:58,352 -pas réellement le meilleur moyen pour les solutions informatiques des systèmes linéaires. - -16 -00:00:58,352 --> 00:01:01,260 +00:00:58,327 --> 00:01:01,260 L'élimination de Gauss, par exemple, sera toujours plus rapide. -17 +16 00:01:01,980 --> 00:01:03,520 Alors pourquoi l'apprendre ? -18 +17 00:01:03,780 --> 00:01:05,840 Considérez-le comme une sorte d’excursion culturelle. +18 +00:01:06,420 --> 00:01:08,929 +C'est un exercice utile pour approfondir vos connaissances + 19 -00:01:06,420 --> 00:01:08,419 -C'est un exercice utile pour approfondir vos +00:01:08,929 --> 00:01:10,460 +de la théorie derrière ces systèmes. 20 -00:01:08,419 --> 00:01:10,460 -connaissances de la théorie derrière ces systèmes. +00:01:11,040 --> 00:01:14,781 +Comprendre ce concept aidera à consolider les idées de l'algèbre linéaire, 21 -00:01:11,040 --> 00:01:14,891 -Comprendre ce concept aidera à consolider les idées de l'algèbre linéaire, +00:01:14,781 --> 00:01:19,071 +comme les systèmes déterminants et linéaires, en voyant comment ils sont liés les uns 22 -00:01:14,891 --> 00:01:19,083 -comme les systèmes déterminants et linéaires, en voyant comment ils sont liés les uns +00:01:19,071 --> 00:01:19,620 +aux autres. 23 -00:01:19,083 --> 00:01:19,620 -aux autres. +00:01:20,100 --> 00:01:23,395 +D'un point de vue purement artistique, le résultat final ici est tout 24 -00:01:20,100 --> 00:01:23,400 -D'un point de vue purement artistique, le résultat final ici est tout +00:01:23,395 --> 00:01:26,880 +simplement vraiment joli à penser, bien plus que l'élimination gaussienne. 25 -00:01:23,400 --> 00:01:26,880 -simplement vraiment joli à penser, bien plus que l'élimination gaussienne. +00:01:28,680 --> 00:01:32,661 +Très bien, la configuration ici sera un système linéaire d'équations, 26 -00:01:28,680 --> 00:01:32,755 -Très bien, la configuration ici sera un système linéaire d'équations, +00:01:32,661 --> 00:01:35,620 +disons avec deux inconnues x et y et deux équations. 27 -00:01:32,755 --> 00:01:35,620 -disons avec deux inconnues x et y et deux équations. +00:01:36,300 --> 00:01:39,405 +En principe, tout ce dont nous parlons fonctionnera également pour des systèmes avec un 28 -00:01:36,300 --> 00:01:38,594 -En principe, tout ce dont nous parlons fonctionnera également pour +00:01:39,405 --> 00:01:41,557 +plus grand nombre d'inconnues et le même nombre d'équations, 29 -00:01:38,594 --> 00:01:41,676 -des systèmes avec un plus grand nombre d'inconnues et le même nombre d'équations, +00:01:41,557 --> 00:01:44,627 +mais pour des raisons de simplicité, il est tout simplement plus agréable de garder en 30 -00:01:41,676 --> 00:01:43,902 -mais pour des raisons de simplicité, il est tout simplement plus +00:01:44,627 --> 00:01:45,580 +tête un exemple plus petit. 31 -00:01:43,902 --> 00:01:45,580 -agréable de garder en tête un exemple plus petit. - -32 -00:01:46,320 --> 00:01:49,614 +00:01:46,320 --> 00:01:49,448 Donc, comme je l'ai mentionné dans une vidéo précédente, -33 -00:01:49,614 --> 00:01:54,260 +32 +00:01:49,448 --> 00:01:54,167 vous pouvez considérer géométriquement cette configuration comme une certaine matrice -34 -00:01:54,260 --> 00:01:58,527 +33 +00:01:54,167 --> 00:01:58,503 connue transformant un vecteur inconnu xy où vous savez quelle sera la sortie, -35 -00:01:58,527 --> 00:02:00,040 +34 +00:01:58,503 --> 00:02:00,040 dans ce cas moins 4 moins 2. -36 -00:02:00,800 --> 00:02:03,774 +35 +00:02:00,800 --> 00:02:03,767 N'oubliez pas que les colonnes de cette matrice vous indiquent -37 -00:02:03,774 --> 00:02:06,128 +36 +00:02:03,767 --> 00:02:06,264 comment cette matrice agit comme une transformation, -38 -00:02:06,128 --> 00:02:10,080 +37 +00:02:06,264 --> 00:02:10,080 chacune vous indiquant où atterrissent les vecteurs de base de l'espace d'entrée. -39 +38 00:02:10,860 --> 00:02:14,515 Nous avons donc une sorte de puzzle : quel vecteur -40 +39 00:02:14,515 --> 00:02:18,600 d’entrée xy va atterrir sur cette sortie moins 4 moins 2. -41 -00:02:19,700 --> 00:02:23,841 +40 +00:02:19,700 --> 00:02:23,890 Une façon de réfléchir à notre petit casse-tête ici est que nous savons que le vecteur -42 -00:02:23,841 --> 00:02:27,745 +41 +00:02:23,890 --> 00:02:27,839 de sortie donné est une combinaison linéaire des colonnes de la matrice x fois le -43 -00:02:27,745 --> 00:02:30,983 +42 +00:02:27,839 --> 00:02:31,114 vecteur où i hat atterrit plus y fois le vecteur où j hat atterrit, +43 +00:02:31,114 --> 00:02:35,208 +mais ce que nous voulons, c'est pour comprendre ce que devrait être exactement cette + 44 -00:02:30,983 --> 00:02:34,934 -mais ce que nous voulons, c'est pour comprendre ce que devrait être exactement +00:02:35,208 --> 00:02:36,220 +combinaison linéaire. 45 -00:02:34,934 --> 00:02:36,220 -cette combinaison linéaire. - -46 -00:02:37,240 --> 00:02:40,001 +00:02:37,240 --> 00:02:39,989 N'oubliez pas que le type de réponse que vous obtenez ici peut -47 -00:02:40,001 --> 00:02:42,926 +46 +00:02:39,989 --> 00:02:42,913 dépendre du fait que la transformation écrase ou non tout l'espace -48 -00:02:42,926 --> 00:02:46,100 +47 +00:02:42,913 --> 00:02:46,100 dans une dimension inférieure, c'est-à-dire si elle a un déterminant nul. -49 -00:02:46,100 --> 00:02:50,322 +48 +00:02:46,100 --> 00:02:50,343 Dans ce cas, soit aucune des entrées n'atteint notre sortie donnée, -50 -00:02:50,322 --> 00:02:53,900 +49 +00:02:50,343 --> 00:02:53,900 soit tout un tas d'entrées atterrissent sur cette sortie. -51 -00:02:57,060 --> 00:03:00,861 +50 +00:02:57,060 --> 00:03:00,885 Mais pour cette vidéo, nous limiterons notre vision au cas d'un déterminant non nul, -52 -00:03:00,861 --> 00:03:04,363 +51 +00:03:00,885 --> 00:03:04,394 ce qui signifie que les résultats de cette transformation s'étendent toujours -53 -00:03:04,363 --> 00:03:07,140 +52 +00:03:04,394 --> 00:03:07,140 sur tout l'espace indimensionnel dans lequel elle a commencé. -54 +53 00:03:07,500 --> 00:03:10,346 Chaque entrée atterrit sur une et une seule sortie, -55 +54 00:03:10,346 --> 00:03:12,700 et chaque sortie a une et une seule entrée. -56 +55 00:03:14,180 --> 00:03:16,204 En guise de premier passage, laissez-moi vous montrer une -57 +56 00:03:16,204 --> 00:03:18,160 idée qui est fausse mais qui va dans la bonne direction. +57 +00:03:18,800 --> 00:03:22,191 +La coordonnée x de ce vecteur d'entrée mystère est ce que vous obtenez + 58 -00:03:18,800 --> 00:03:21,911 -La coordonnée x de ce vecteur d'entrée mystère est ce que vous +00:03:22,191 --> 00:03:25,440 +en prenant son produit scalaire avec le premier vecteur de base 1 0. 59 -00:03:21,911 --> 00:03:25,440 -obtenez en prenant son produit scalaire avec le premier vecteur de base 1 0. - -60 00:03:26,160 --> 00:03:28,702 De même, la coordonnée y est ce que vous obtenez -61 +60 00:03:28,702 --> 00:03:31,400 en la pointant avec le deuxième vecteur de base 0 1. -62 -00:03:31,900 --> 00:03:35,044 +61 +00:03:31,900 --> 00:03:34,892 Alors peut-être espérez-vous qu'après la transformation, +62 +00:03:34,892 --> 00:03:38,567 +les produits scalaires avec la version transformée du vecteur mystère + 63 -00:03:35,044 --> 00:03:38,910 -les produits scalaires avec la version transformée du vecteur mystère avec +00:03:38,567 --> 00:03:43,240 +avec la version transformée des vecteurs de base seront également ces coordonnées x et y. 64 -00:03:38,910 --> 00:03:43,240 -la version transformée des vecteurs de base seront également ces coordonnées x et y. - -65 00:03:43,940 --> 00:03:46,340 Ce serait fantastique car nous savons quelle est -66 +65 00:03:46,340 --> 00:03:48,740 la version transformée de chacun de ces vecteurs. -67 +66 00:03:51,180 --> 00:03:54,200 Il y a juste un problème, ce n’est pas du tout vrai. -68 +67 00:03:54,640 --> 00:03:56,833 Pour la plupart des transformations linéaires, -69 +68 00:03:56,833 --> 00:04:00,240 le produit scalaire avant et après la transformation sera très différent. +69 +00:04:00,800 --> 00:04:04,253 +Par exemple, vous pourriez avoir deux vecteurs pointant généralement dans la + 70 -00:04:00,800 --> 00:04:04,302 -Par exemple, vous pourriez avoir deux vecteurs pointant généralement dans la même +00:04:04,253 --> 00:04:07,842 +même direction avec un produit scalaire positif qui se séparent l'un de l'autre 71 -00:04:04,302 --> 00:04:07,847 -direction avec un produit scalaire positif qui se séparent l'un de l'autre +00:04:07,842 --> 00:04:11,520 +pendant la transformation de telle manière qu'ils ont un produit scalaire négatif. 72 -00:04:07,847 --> 00:04:11,520 -pendant la transformation de telle manière qu'ils ont un produit scalaire négatif. +00:04:12,220 --> 00:04:15,780 +De même, les éléments qui commencent perpendiculairement au produit scalaire 0, 73 -00:04:12,220 --> 00:04:15,568 -De même, les éléments qui commencent perpendiculairement au produit scalaire 0, +00:04:15,780 --> 00:04:19,340 +comme les deux vecteurs de base, ne restent souvent pas perpendiculaires l'un à 74 -00:04:15,568 --> 00:04:19,084 -comme les deux vecteurs de base, ne restent souvent pas perpendiculaires l'un à +00:04:19,340 --> 00:04:22,990 +l'autre après la transformation, c'est-à-dire qu'ils ne préservent pas ce produit 75 -00:04:19,084 --> 00:04:22,684 -l'autre après la transformation, c'est-à-dire qu'ils ne préservent pas ce +00:04:22,990 --> 00:04:23,480 +scalaire 0. 76 -00:04:22,684 --> 00:04:23,480 -produit scalaire 0. - -77 -00:04:24,100 --> 00:04:25,923 +00:04:24,100 --> 00:04:25,866 Et en regardant l'exemple que je viens de montrer, -78 -00:04:25,923 --> 00:04:27,879 +77 +00:04:25,866 --> 00:04:27,910 les produits scalaires ne sont certainement pas préservés, -79 -00:04:27,879 --> 00:04:30,300 +78 +00:04:27,910 --> 00:04:30,300 ils ont tendance à grossir puisque la plupart des vecteurs s'étirent. -80 +79 00:04:31,040 --> 00:04:34,822 En fait, remarque intéressante ici, les transformations qui préservent les produits -81 +80 00:04:34,822 --> 00:04:37,794 scalaires sont suffisamment spéciales pour avoir leur propre nom, -82 +81 00:04:37,794 --> 00:04:39,100 transformations orthonormées. -83 +82 00:04:39,720 --> 00:04:42,362 Ce sont ceux qui laissent tous les vecteurs de base perpendiculaires -84 +83 00:04:42,362 --> 00:04:44,660 les uns aux autres et toujours avec des longueurs unitaires. -85 +84 00:04:45,740 --> 00:04:48,333 On les considère souvent comme des matrices de rotation, -86 +85 00:04:48,333 --> 00:04:52,200 elles correspondent à un mouvement rigide sans étirement, ni écrasement, ni morphing. -87 +86 00:04:53,000 --> 00:04:56,780 Résoudre un système linéaire avec une matrice orthonormée est en fait très simple. -88 -00:04:57,260 --> 00:04:59,872 +87 +00:04:57,260 --> 00:04:59,904 Étant donné que les produits scalaires sont préservés, +88 +00:04:59,904 --> 00:05:03,605 +prendre le produit scalaire entre le vecteur et toutes les colonnes de votre + 89 -00:04:59,872 --> 00:05:03,908 -prendre le produit scalaire entre le vecteur et toutes les colonnes de votre matrice +00:05:03,605 --> 00:05:07,595 +matrice équivaudra à prendre le produit scalaire entre le vecteur d'entrée mystère 90 -00:05:03,908 --> 00:05:07,803 -équivaudra à prendre le produit scalaire entre le vecteur d'entrée mystère et +00:05:07,595 --> 00:05:11,633 +et tous les vecteurs de base, ce qui équivaut à simplement trouver les coordonnées. 91 -00:05:07,803 --> 00:05:11,650 -tous les vecteurs de base, ce qui équivaut à simplement trouver les coordonnées. - -92 -00:05:11,650 --> 00:05:12,980 +00:05:11,633 --> 00:05:12,980 de cette entrée mystérieuse. -93 +92 00:05:13,680 --> 00:05:17,057 Ainsi, dans ce cas très particulier, x serait le produit scalaire -94 +93 00:05:17,057 --> 00:05:19,615 de la première colonne avec le vecteur de sortie, -95 +94 00:05:19,615 --> 00:05:23,760 et y serait le produit scalaire de la deuxième colonne avec le vecteur de sortie. -96 -00:05:26,820 --> 00:05:28,857 +95 +00:05:26,820 --> 00:05:28,858 Pourquoi est-ce que j'en parle alors que cette idée ne -97 -00:05:28,857 --> 00:05:30,860 +96 +00:05:28,858 --> 00:05:30,860 s'applique pas à presque tous les systèmes linéaires ? -98 +97 00:05:31,420 --> 00:05:34,080 Eh bien, cela nous indique quelque chose à rechercher. -99 -00:05:34,320 --> 00:05:37,857 +98 +00:05:34,320 --> 00:05:37,962 Existe-t-il une autre compréhension géométrique des coordonnées de -100 -00:05:37,857 --> 00:05:41,660 +99 +00:05:37,962 --> 00:05:41,660 notre vecteur d'entrée qui reste inchangée après la transformation ? -101 +100 00:05:42,360 --> 00:05:44,648 Si votre esprit a réfléchi aux déterminants, vous -102 +101 00:05:44,648 --> 00:05:46,800 pourriez penser à l’idée intelligente suivante. +102 +00:05:47,360 --> 00:05:50,346 +Prenons le parallélogramme défini par le premier + 103 -00:05:47,360 --> 00:05:50,706 -Prenons le parallélogramme défini par le premier vecteur +00:05:50,346 --> 00:05:53,760 +vecteur de base i-hat et le vecteur d'entrée mystère xy. 104 -00:05:50,706 --> 00:05:53,760 -de base i-hat et le vecteur d'entrée mystère xy. +00:05:54,440 --> 00:05:58,527 +L'aire de ce parallélogramme est la base, 1, multipliée par la hauteur 105 -00:05:54,440 --> 00:05:57,116 -L'aire de ce parallélogramme est la base, 1, +00:05:58,527 --> 00:06:02,960 +perpendiculaire à cette base, qui est la coordonnée y de ce vecteur d'entrée. 106 -00:05:57,116 --> 00:06:00,174 -multipliée par la hauteur perpendiculaire à cette base, - -107 -00:06:00,174 --> 00:06:02,960 -qui est la coordonnée y de ce vecteur d'entrée. - -108 00:06:03,680 --> 00:06:06,761 Ainsi, l’aire de ce parallélogramme est une sorte de -109 +107 00:06:06,761 --> 00:06:09,960 moyen détourné pour décrire la coordonnée y du vecteur. -110 +108 00:06:10,420 --> 00:06:13,140 C'est une façon farfelue de parler de coordonnées, mais suivez-moi. -111 +109 00:06:13,700 --> 00:06:17,620 Et en fait, pour être un peu plus précis, vous devriez considérer cela comme la -112 +110 00:06:17,620 --> 00:06:21,640 zone signée de ce parallélogramme, dans le sens décrit dans la vidéo déterminante. -113 +111 00:06:22,200 --> 00:06:26,182 De cette façon, un vecteur avec une coordonnée y négative correspondrait à une -114 +112 00:06:26,182 --> 00:06:30,164 aire négative pour ce parallélogramme, du moins si vous considérez i-hat comme -115 +113 00:06:30,164 --> 00:06:34,500 étant en quelque sorte le premier de ces deux vecteurs définissant le parallélogramme. -116 -00:06:35,160 --> 00:06:38,671 -Et symétriquement, si vous regardez le parallélogramme engendré +114 +00:06:35,160 --> 00:06:39,759 +Et symétriquement, si vous regardez le parallélogramme engendré par notre vecteur -117 -00:06:38,671 --> 00:06:41,963 -par notre vecteur d'entrée mystère et la deuxième base, +115 +00:06:39,759 --> 00:06:44,751 +d'entrée mystère et la deuxième base, j-hat, son aire sera la coordonnée x de ce vecteur -118 -00:06:41,963 --> 00:06:45,200 -j-hat, son aire sera la coordonnée x de ce vecteur mystère. +116 +00:06:44,751 --> 00:06:45,200 +mystère. -119 -00:06:45,780 --> 00:06:48,326 +117 +00:06:45,780 --> 00:06:48,271 Encore une fois, c'est une façon étrange de représenter la coordonnée x, -120 -00:06:48,326 --> 00:06:50,080 +118 +00:06:48,271 --> 00:06:50,080 mais voyez ce que cela nous rapporte dans un instant. -121 +119 00:06:50,680 --> 00:06:52,920 Et juste pour être sûr de bien comprendre comment cela pourrait se généraliser, -122 +120 00:06:52,920 --> 00:06:53,760 regardons en trois dimensions. -123 -00:06:54,300 --> 00:06:57,533 +121 +00:06:54,300 --> 00:06:57,483 Habituellement, la façon dont vous pourriez considérer l'une des coordonnées -124 -00:06:57,533 --> 00:06:59,408 -d'un vecteur, par exemple sa coordonnée z, - -125 -00:06:59,408 --> 00:07:02,721 -serait de prendre son produit scalaire avec le troisième vecteur de base standard, +122 +00:06:57,483 --> 00:07:00,500 +d'un vecteur, par exemple sa coordonnée z, serait de prendre son produit -126 -00:07:02,721 --> 00:07:03,560 -souvent appelé k-hat. +123 +00:07:00,500 --> 00:07:03,560 +scalaire avec le troisième vecteur de base standard, souvent appelé k-hat. -127 +124 00:07:04,280 --> 00:07:08,297 Mais une autre interprétation géométrique consisterait à considérer le -128 +125 00:07:08,297 --> 00:07:12,880 parallélépipède qu’il crée avec les deux autres vecteurs de base, i-hat et j-hat. -129 -00:07:13,420 --> 00:07:16,650 -Si vous considérez le carré d'aire 1 englobé par i-hat et +126 +00:07:13,420 --> 00:07:16,824 +Si vous considérez le carré d'aire 1 englobé par i-hat et j-hat -130 -00:07:16,650 --> 00:07:21,026 -j-hat comme base de toute cette forme, alors son volume est le même que sa hauteur, +127 +00:07:16,824 --> 00:07:20,973 +comme base de toute cette forme, alors son volume est le même que sa hauteur, -131 -00:07:21,026 --> 00:07:23,580 +128 +00:07:20,973 --> 00:07:23,580 qui est la troisième coordonnée de notre vecteur. -132 +129 00:07:24,340 --> 00:07:27,895 Et de même, la façon farfelue de penser aux autres coordonnées du vecteur -133 +130 00:07:27,895 --> 00:07:31,451 serait de former un parallélépipède en utilisant le vecteur puis tous les -134 +131 00:07:31,451 --> 00:07:35,440 vecteurs de base autres que celui correspondant à la direction que vous recherchez. -135 +132 00:07:35,900 --> 00:07:37,900 Ensuite, le volume de celui-ci vous donne les coordonnées. -136 +133 00:07:38,440 --> 00:07:41,649 Ou plutôt, il faudrait parler du volume signé du parallélépipède au -137 +134 00:07:41,649 --> 00:07:45,000 sens décrit dans la vidéo déterminante en utilisant la règle de droite. -138 +135 00:07:45,560 --> 00:07:48,140 L’ordre dans lequel vous répertoriez ces trois vecteurs est donc important. -139 +136 00:07:48,800 --> 00:07:51,100 De cette façon, les coordonnées négatives ont toujours un sens. -140 -00:07:52,040 --> 00:07:53,779 +137 +00:07:52,040 --> 00:07:53,720 D'accord, alors pourquoi considérer les coordonnées -141 -00:07:53,779 --> 00:07:55,240 +138 +00:07:53,720 --> 00:07:55,240 comme des zones et des volumes comme celui-ci ? -142 +139 00:07:55,720 --> 00:07:59,101 Eh bien, lorsque vous appliquez une sorte de transformation matricielle, -143 +140 00:07:59,101 --> 00:08:01,880 les aires de ces parallélogrammes ne restent pas les mêmes, -144 +141 00:08:01,880 --> 00:08:03,780 elles peuvent être agrandies ou réduites. -145 -00:08:04,160 --> 00:08:06,694 -Mais, et c'est l'idée clé des déterminants, - -146 -00:08:06,694 --> 00:08:09,764 -tous les domaines sont mis à l'échelle de la même manière, +142 +00:08:04,160 --> 00:08:08,504 +Mais, et c'est l'idée clé des déterminants, tous les domaines sont mis à l'échelle -147 -00:08:09,764 --> 00:08:12,640 -à savoir le déterminant de notre matrice de transformation. +143 +00:08:08,504 --> 00:08:12,640 +de la même manière, à savoir le déterminant de notre matrice de transformation. -148 +144 00:08:13,520 --> 00:08:17,310 Par exemple, si vous regardez le parallélogramme engendré par le vecteur -149 +145 00:08:17,310 --> 00:08:21,776 où atterrit votre premier vecteur de base, qui est la première colonne de la matrice, -150 +146 00:08:21,776 --> 00:08:24,580 et la version transformée de xy, quelle est son aire ? -151 -00:08:25,580 --> 00:08:29,434 -Eh bien, c'est la version transformée du parallélogramme que nous avons examiné +147 +00:08:25,580 --> 00:08:30,023 +Eh bien, c'est la version transformée du parallélogramme que nous avons examiné plus tôt, -152 -00:08:29,434 --> 00:08:33,380 -plus tôt, celui dont l'aire était la coordonnée y du vecteur d'entrée mystère. +148 +00:08:30,023 --> 00:08:33,380 +celui dont l'aire était la coordonnée y du vecteur d'entrée mystère. -153 +149 00:08:33,700 --> 00:08:36,545 Son aire sera donc simplement le déterminant de la -154 +150 00:08:36,545 --> 00:08:39,280 transformation multipliée par cette coordonnée y. -155 -00:08:40,179 --> 00:08:43,237 -Cela signifie donc que nous pouvons résoudre y en prenant +151 +00:08:40,179 --> 00:08:44,533 +Cela signifie donc que nous pouvons résoudre y en prenant l'aire de ce nouveau -156 -00:08:43,237 --> 00:08:46,506 -l'aire de ce nouveau parallélogramme dans l'espace de +152 +00:08:44,533 --> 00:08:49,383 +parallélogramme dans l'espace de sortie divisée par le déterminant de la transformation -157 -00:08:46,506 --> 00:08:49,880 -sortie divisée par le déterminant de la transformation complète. +153 +00:08:49,383 --> 00:08:49,880 +complète. -158 +154 00:08:50,900 --> 00:08:52,420 Et comment obtenir cette zone ? -159 -00:08:53,240 --> 00:08:55,967 +155 +00:08:53,240 --> 00:08:56,238 Eh bien, nous connaissons les coordonnées de l'endroit où atterrit le vecteur -160 -00:08:55,967 --> 00:08:58,627 -d'entrée mystérieux, c'est tout l'intérêt d'un système linéaire - -161 -00:08:58,627 --> 00:08:59,160 -d'équations. +156 +00:08:56,238 --> 00:08:59,160 +d'entrée mystérieux, c'est tout l'intérêt d'un système linéaire d'équations. -162 +157 00:08:59,720 --> 00:09:03,189 Donc, ce que vous pourriez faire est de créer une nouvelle matrice dont -163 +158 00:09:03,189 --> 00:09:06,080 la première colonne est la même que celle de notre matrice, -164 +159 00:09:06,080 --> 00:09:10,320 mais dont la deuxième colonne est le vecteur de sortie, puis de prendre son déterminant. -165 -00:09:11,260 --> 00:09:15,255 +160 +00:09:11,260 --> 00:09:15,310 Alors regardez ça, en utilisant simplement les données de la sortie de la transformation, -166 -00:09:15,255 --> 00:09:18,939 +161 +00:09:15,310 --> 00:09:19,045 à savoir les colonnes de la matrice et les coordonnées de notre vecteur de sortie, -167 -00:09:18,939 --> 00:09:22,136 +162 +00:09:19,045 --> 00:09:22,105 nous pouvons récupérer la coordonnée y du vecteur d'entrée mystère, -168 -00:09:22,136 --> 00:09:24,400 +163 +00:09:22,105 --> 00:09:24,400 ce qui est à mi-chemin de la résolution du système. -169 +164 00:09:25,120 --> 00:09:27,540 De même, la même idée peut nous donner la coordonnée x. -170 -00:09:28,000 --> 00:09:31,096 +165 +00:09:28,000 --> 00:09:31,180 Regardez le parallélogramme que nous avons défini plus tôt, -171 -00:09:31,096 --> 00:09:35,740 +166 +00:09:31,180 --> 00:09:35,740 qui code la coordonnée x du vecteur d'entrée mystère engendré par ce vecteur et j-hat. -172 +167 00:09:36,400 --> 00:09:41,541 La version transformée de ce type est couverte par le vecteur de sortie et la deuxième -173 +168 00:09:41,541 --> 00:09:46,447 colonne de la matrice, et son aire aura été multipliée par le déterminant de cette -174 +169 00:09:46,447 --> 00:09:46,920 matrice. -175 +170 00:09:47,700 --> 00:09:50,232 Donc, pour résoudre x, vous pouvez prendre cette nouvelle -176 +171 00:09:50,232 --> 00:09:52,940 aire divisée par le déterminant de la transformation complète. -177 -00:09:53,860 --> 00:09:57,579 +172 +00:09:53,860 --> 00:09:57,375 Et comme nous l'avons fait auparavant, vous pouvez calculer l'aire de ce -178 -00:09:57,579 --> 00:10:01,527 -parallélogramme de sortie en créant une nouvelle matrice dont la première colonne est +173 +00:09:57,375 --> 00:10:01,325 +parallélogramme de sortie en créant une nouvelle matrice dont la première colonne -179 -00:10:01,527 --> 00:10:05,660 -le vecteur de sortie et dont la deuxième colonne est la même que la matrice d'origine. +174 +00:10:01,325 --> 00:10:05,660 +est le vecteur de sortie et dont la deuxième colonne est la même que la matrice d'origine. -180 +175 00:10:06,240 --> 00:10:08,944 Encore une fois, en utilisant simplement les données de l’espace de sortie, -181 +176 00:10:08,944 --> 00:10:11,329 les nombres que nous voyons dans notre système linéaire d’origine, -182 +177 00:10:11,329 --> 00:10:12,860 nous pouvons déterminer ce que x doit être. -183 +178 00:10:13,420 --> 00:10:15,920 Cette formule permettant de trouver les solutions d'un système -184 +179 00:10:15,920 --> 00:10:18,420 linéaire d'équations est connue sous le nom de règle de Cramer. -185 +180 00:10:19,120 --> 00:10:21,900 Ici, juste pour vérifier notre santé mentale, insérez quelques chiffres ici. -186 +181 00:10:22,260 --> 00:10:26,720 Le déterminant de cette matrice modifiée supérieure est 4 plus 2, soit 6, -187 +182 00:10:26,720 --> 00:10:30,820 et le déterminant inférieur est 2, donc la coordonnée x doit être 3. -188 +183 00:10:31,440 --> 00:10:34,584 Et en effet, en repensant au vecteur d’entrée avec lequel nous avons commencé, -189 +184 00:10:34,584 --> 00:10:35,460 la coordonnée x est 3. -190 -00:10:36,320 --> 00:10:41,130 +185 +00:10:36,320 --> 00:10:41,351 De même, la règle de Cramer suggère que la coordonnée y devrait être 4 divisée par 2, -191 -00:10:41,130 --> 00:10:44,150 -ou 2, et c'est en fait la coordonnée y du vecteur - -192 -00:10:44,150 --> 00:10:46,500 -d'entrée avec lequel nous commencions. +186 +00:10:41,351 --> 00:10:46,500 +ou 2, et c'est en fait la coordonnée y du vecteur d'entrée avec lequel nous commencions. -193 +187 00:10:47,380 --> 00:10:49,480 Le cas avec trois dimensions ou plus est similaire, -194 +188 00:10:49,480 --> 00:10:52,470 et je vous recommande fortement de prendre un moment pour faire une pause -195 +189 00:10:52,470 --> 00:10:53,480 et y réfléchir vous-même. -196 +190 00:10:54,180 --> 00:10:55,900 Ici, je vais vous donner un peu d'élan. -197 +191 00:10:56,340 --> 00:11:00,197 Ce que nous avons est une transformation connue donnée par une matrice -198 +192 00:11:00,197 --> 00:11:04,816 3x3 et un vecteur de sortie connu donné par le côté droit de notre système linéaire, -199 +193 00:11:04,816 --> 00:11:08,240 et nous voulons savoir quelle entrée atterrit sur cette sortie. -200 -00:11:09,100 --> 00:11:13,079 -Et si vous considérez, disons, la coordonnée z de ce vecteur d'entrée +194 +00:11:09,100 --> 00:11:13,937 +Et si vous considérez, disons, la coordonnée z de ce vecteur d'entrée comme le volume -201 -00:11:13,079 --> 00:11:17,165 -comme le volume de ce parallélépipède spécial que nous regardions plus tôt, +195 +00:11:13,937 --> 00:11:18,436 +de ce parallélépipède spécial que nous regardions plus tôt, engendré par i-hat, -202 -00:11:17,165 --> 00:11:20,661 -engendré par i-hat, j-hat et le mystérieux vecteur d'entrée, +196 +00:11:18,436 --> 00:11:22,373 +j-hat et le mystérieux vecteur d'entrée, qu'arrive-t-il à ce volume ? -203 -00:11:20,661 --> 00:11:23,780 -qu'arrive-t-il à ce volume ? après la transformation ? +197 +00:11:22,373 --> 00:11:23,780 +après la transformation ? -204 +198 00:11:24,800 --> 00:11:27,480 Et quelles sont les différentes manières de calculer ce volume ? -205 +199 00:11:28,340 --> 00:11:31,595 Vraiment, faites une pause et réfléchissez aux détails de la généralisation -206 +200 00:11:31,595 --> 00:11:34,593 de cela à des dimensions supérieures, en trouvant une expression pour -207 +201 00:11:34,593 --> 00:11:37,420 chaque coordonnée de la solution à un système linéaire plus grand. -208 -00:11:38,060 --> 00:11:41,566 -Réfléchir à des cas plus généraux comme celui-ci et se convaincre que cela fonctionne et - -209 -00:11:41,566 --> 00:11:44,836 -pourquoi cela fonctionne est là où tout l'apprentissage se produit réellement, +202 +00:11:38,060 --> 00:11:41,553 +Réfléchir à des cas plus généraux comme celui-ci et se convaincre que cela fonctionne -210 -00:11:44,836 --> 00:11:47,987 -bien plus que d'écouter un mec sur YouTube vous expliquer à nouveau le même +203 +00:11:41,553 --> 00:11:44,884 +et pourquoi cela fonctionne est là où tout l'apprentissage se produit réellement, -211 -00:11:47,987 --> 00:11:48,500 -raisonnement. +204 +00:11:44,884 --> 00:11:48,500 +bien plus que d'écouter un mec sur YouTube vous expliquer à nouveau le même raisonnement. diff --git a/2019/cramers-rule/german/auto_generated.srt b/2019/cramers-rule/german/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..eae2bbb18 --- /dev/null +++ b/2019/cramers-rule/german/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,816 @@ +1 +00:00:11,200 --> 00:00:14,861 +In einem früheren Video habe ich über lineare Gleichungssysteme gesprochen und die + +2 +00:00:14,861 --> 00:00:18,698 +Diskussion über die tatsächliche Berechnung der Lösungen dieser Systeme etwas beiseite + +3 +00:00:18,698 --> 00:00:19,140 +geschoben. + +4 +00:00:19,700 --> 00:00:23,374 +Es stimmt zwar, dass wir das Zahlenrechnen normalerweise den Computern überlassen, + +5 +00:00:23,374 --> 00:00:26,517 +aber wenn du dich mit einigen dieser Berechnungsmethoden beschäftigst, + +6 +00:00:26,517 --> 00:00:29,660 +ist das ein guter Test dafür, ob du wirklich verstehst, worum es geht, + +7 +00:00:29,660 --> 00:00:31,520 +denn hier trifft der Gummi auf die Straße. + +8 +00:00:32,119 --> 00:00:35,440 +Hier möchte ich die Geometrie beschreiben, die hinter einer bestimmten Methode zur + +9 +00:00:35,440 --> 00:00:38,880 +Berechnung von Lösungen für diese Systeme steht, die als Cramersche Regel bekannt ist. + +10 +00:00:39,680 --> 00:00:42,324 +Der relevante Hintergrund ist das Verständnis von Determinanten, + +11 +00:00:42,324 --> 00:00:45,416 +ein wenig von Punktprodukten und natürlich von linearen Gleichungssystemen, + +12 +00:00:45,416 --> 00:00:48,345 +also schau dir unbedingt die entsprechenden Videos zu diesen Themen an, + +13 +00:00:48,345 --> 00:00:50,420 +wenn du damit nicht vertraut oder eingerostet bist. + +14 +00:00:51,020 --> 00:00:54,433 +Zunächst sollte ich aber vorausschicken, dass die Cramersche Regel + +15 +00:00:54,433 --> 00:00:58,254 +nicht die beste Methode ist, um Lösungen für lineare Systeme zu berechnen. + +16 +00:00:58,254 --> 00:01:01,260 +Die Gaußsche Eliminierung zum Beispiel ist immer schneller. + +17 +00:01:01,980 --> 00:01:03,520 +Warum es also lernen? + +18 +00:01:03,780 --> 00:01:05,840 +Betrachte es als eine Art kulturellen Ausflug. + +19 +00:01:06,420 --> 00:01:08,481 +Es ist eine hilfreiche Übung, um dein Wissen über + +20 +00:01:08,481 --> 00:01:10,460 +die Theorie hinter diesen Systemen zu vertiefen. + +21 +00:01:11,040 --> 00:01:14,948 +Wenn du dir dieses Konzept vor Augen führst, kannst du Ideen aus der linearen Algebra, + +22 +00:01:14,948 --> 00:01:18,047 +wie die Determinante und lineare Systeme, festigen, indem du siehst, + +23 +00:01:18,047 --> 00:01:19,620 +wie sie miteinander zusammenhängen. + +24 +00:01:20,100 --> 00:01:24,434 +Auch aus rein künstlerischer Sicht ist das Endergebnis sehr hübsch anzusehen, + +25 +00:01:24,434 --> 00:01:26,880 +viel hübscher als die Gaußsche Eliminierung. + +26 +00:01:28,680 --> 00:01:32,326 +Also, wir gehen hier von einem linearen Gleichungssystem aus, + +27 +00:01:32,326 --> 00:01:35,620 +z. B. mit zwei Unbekannten x und y und zwei Gleichungen. + +28 +00:01:36,300 --> 00:01:38,345 +Im Prinzip funktioniert alles, was wir hier besprechen, + +29 +00:01:38,345 --> 00:01:41,378 +auch für Systeme mit einer größeren Anzahl von Unbekannten und der gleichen Anzahl + +30 +00:01:41,378 --> 00:01:44,630 +von Gleichungen, aber der Einfachheit halber ist ein kleineres Beispiel einfach schöner, + +31 +00:01:44,630 --> 00:01:45,580 +um es im Kopf zu behalten. + +32 +00:01:46,320 --> 00:01:49,043 +Wie ich bereits in einem früheren Video erklärt habe, + +33 +00:01:49,043 --> 00:01:53,432 +kannst du dir diesen Aufbau geometrisch als eine bestimmte bekannte Matrix vorstellen, + +34 +00:01:53,432 --> 00:01:56,660 +die einen unbekannten Vektor x y transformiert, wobei du weißt, + +35 +00:01:56,660 --> 00:02:00,040 +wie das Ergebnis aussehen wird, in diesem Fall negativ 4 negativ 2. + +36 +00:02:00,800 --> 00:02:03,683 +Denke daran, dass die Spalten dieser Matrix dir sagen, + +37 +00:02:03,683 --> 00:02:07,720 +wie sich diese Matrix als Transformation verhält, denn jede Spalte sagt dir, + +38 +00:02:07,720 --> 00:02:10,080 +wo die Basisvektoren des Eingaberaums landen. + +39 +00:02:10,860 --> 00:02:14,765 +Wir haben also eine Art Rätsel: Welcher Eingangsvektor + +40 +00:02:14,765 --> 00:02:18,600 +x y wird auf dem Ausgang negative 4 negative 2 landen. + +41 +00:02:19,700 --> 00:02:23,400 +Eine Möglichkeit, unser kleines Rätsel zu lösen, ist, dass wir wissen, + +42 +00:02:23,400 --> 00:02:27,569 +dass der Ausgangsvektor eine Linearkombination aus den Spalten der Matrix x mal + +43 +00:02:27,569 --> 00:02:31,998 +dem Vektor, in dem das i-Hut landet, plus y mal dem Vektor, in dem das j-Hut landet, + +44 +00:02:31,998 --> 00:02:36,220 +ist, aber wir wollen herausfinden, was genau diese Linearkombination sein sollte. + +45 +00:02:37,240 --> 00:02:39,801 +Denke daran, dass die Art der Antwort, die du hier erhältst, + +46 +00:02:39,801 --> 00:02:42,698 +davon abhängen kann, ob die Transformation den gesamten Raum in eine + +47 +00:02:42,698 --> 00:02:46,100 +niedrigere Dimension quetscht oder nicht, d.h. ob sie eine Null-Determinante hat. + +48 +00:02:46,100 --> 00:02:50,151 +In diesem Fall landet entweder keiner der Inputs auf dem gegebenen + +49 +00:02:50,151 --> 00:02:53,900 +Output oder ein ganzer Haufen Inputs landet auf diesem Output. + +50 +00:02:57,060 --> 00:03:01,019 +In diesem Video beschränken wir uns auf den Fall, dass die Determinante nicht Null ist. + +51 +00:03:01,019 --> 00:03:04,215 +Das bedeutet, dass die Ergebnisse dieser Transformation immer noch den + +52 +00:03:04,215 --> 00:03:07,140 +gesamten eindimensionalen Raum umfassen, in dem sie begonnen hat. + +53 +00:03:07,500 --> 00:03:10,180 +Jeder Input landet auf einem und nur einem Output + +54 +00:03:10,180 --> 00:03:12,700 +und jeder Output hat einen und nur einen Input. + +55 +00:03:14,180 --> 00:03:16,133 +Als ersten Durchgang möchte ich dir eine Idee zeigen, + +56 +00:03:16,133 --> 00:03:18,160 +die zwar falsch ist, aber in die richtige Richtung geht. + +57 +00:03:18,800 --> 00:03:22,120 +Die x-Koordinate dieses mysteriösen Eingangsvektors erhältst du, + +58 +00:03:22,120 --> 00:03:25,440 +wenn du sein Punktprodukt mit dem ersten Basisvektor 1 0 bildest. + +59 +00:03:26,160 --> 00:03:28,726 +Die y-Koordinate ist das, was du erhältst, wenn + +60 +00:03:28,726 --> 00:03:31,400 +du sie mit dem zweiten Basisvektor 0 1 punktierst. + +61 +00:03:31,900 --> 00:03:35,858 +Du hoffst also vielleicht, dass nach der Transformation die Punktprodukte + +62 +00:03:35,858 --> 00:03:39,923 +mit der transformierten Version des Mystery-Vektors mit der transformierten + +63 +00:03:39,923 --> 00:03:43,240 +Version der Basisvektoren auch diese Koordinaten x und y sind. + +64 +00:03:43,940 --> 00:03:46,317 +Das wäre fantastisch, denn dann wüssten wir, wie die + +65 +00:03:46,317 --> 00:03:48,740 +transformierte Version jedes dieser Vektoren aussieht. + +66 +00:03:51,180 --> 00:03:54,200 +Es gibt nur ein Problem damit, es stimmt überhaupt nicht. + +67 +00:03:54,640 --> 00:03:57,484 +Bei den meisten linearen Transformationen wird das Punktprodukt + +68 +00:03:57,484 --> 00:04:00,240 +vor und nach der Transformation sehr unterschiedlich aussehen. + +69 +00:04:00,800 --> 00:04:04,343 +Du könntest zum Beispiel zwei Vektoren haben, die im Allgemeinen in die gleiche + +70 +00:04:04,343 --> 00:04:06,735 +Richtung zeigen und ein positives Punktprodukt haben, + +71 +00:04:06,735 --> 00:04:09,659 +die aber während der Transformation so auseinandergezogen werden, + +72 +00:04:09,659 --> 00:04:11,520 +dass sie ein negatives Punktprodukt haben. + +73 +00:04:12,220 --> 00:04:16,125 +Auch Dinge, die zunächst mit dem Punktprodukt 0 senkrecht zueinander stehen, + +74 +00:04:16,125 --> 00:04:19,980 +wie die beiden Basisvektoren, stehen nach der Transformation oft nicht mehr + +75 +00:04:19,980 --> 00:04:23,480 +senkrecht zueinander, d.h. sie behalten das Punktprodukt 0 nicht bei. + +76 +00:04:24,100 --> 00:04:26,318 +Und wenn du dir das Beispiel ansiehst, das ich gerade gezeigt habe, + +77 +00:04:26,318 --> 00:04:28,048 +bleiben die Punktprodukte sicherlich nicht erhalten, + +78 +00:04:28,048 --> 00:04:30,300 +sondern werden eher größer, da die meisten Vektoren gestreckt werden. + +79 +00:04:31,040 --> 00:04:34,994 +Eine interessante Randbemerkung: Transformationen, die Punktprodukte erhalten, + +80 +00:04:34,994 --> 00:04:39,100 +sind so speziell, dass sie einen eigenen Namen haben: Orthonormaltransformationen. + +81 +00:04:39,720 --> 00:04:42,320 +Das sind diejenigen, bei denen alle Basisvektoren senkrecht + +82 +00:04:42,320 --> 00:04:44,660 +zueinander stehen und immer noch Einheitslängen haben. + +83 +00:04:45,740 --> 00:04:50,272 +Du denkst dabei oft an die Rotationsmatrizen, die einer starren Bewegung ohne Dehnung, + +84 +00:04:50,272 --> 00:04:52,200 +Quetschung oder Morphing entsprechen. + +85 +00:04:53,000 --> 00:04:56,780 +Ein lineares System mit einer orthonormalen Matrix zu lösen ist eigentlich super einfach. + +86 +00:04:57,260 --> 00:05:01,133 +Da die Punktprodukte erhalten bleiben, ist das Punktprodukt zwischen + +87 +00:05:01,133 --> 00:05:05,232 +dem Vektor und allen Spalten deiner Matrix dasselbe wie das Punktprodukt + +88 +00:05:05,232 --> 00:05:08,881 +zwischen dem mysteriösen Eingangsvektor und allen Basisvektoren, + +89 +00:05:08,881 --> 00:05:12,980 +was dasselbe ist wie das Finden der Koordinaten des mysteriösen Eingangs. + +90 +00:05:13,680 --> 00:05:18,598 +In diesem speziellen Fall wäre x also das Punktprodukt der ersten Spalte mit dem + +91 +00:05:18,598 --> 00:05:23,760 +Ausgangsvektor und y wäre das Punktprodukt der zweiten Spalte mit dem Ausgangsvektor. + +92 +00:05:26,820 --> 00:05:30,860 +Warum erwähne ich das, wenn diese Idee für fast alle linearen Systeme nicht funktioniert? + +93 +00:05:31,420 --> 00:05:34,080 +Nun, es zeigt uns eine Richtung, nach der wir suchen sollten. + +94 +00:05:34,320 --> 00:05:37,964 +Gibt es ein alternatives geometrisches Verständnis für die Koordinaten + +95 +00:05:37,964 --> 00:05:41,660 +unseres Eingangsvektors, das nach der Transformation unverändert bleibt? + +96 +00:05:42,360 --> 00:05:44,626 +Wenn du über die Determinanten nachgedacht hast, + +97 +00:05:44,626 --> 00:05:46,800 +könnte dir die folgende clevere Idee einfallen. + +98 +00:05:47,360 --> 00:05:50,427 +Nimm das Parallelogramm, das durch den ersten Basisvektor + +99 +00:05:50,427 --> 00:05:53,760 +i-hat und den geheimnisvollen Eingangsvektor xy definiert wird. + +100 +00:05:54,440 --> 00:05:58,730 +Der Flächeninhalt dieses Parallelogramms ist die Basis 1 mal die Höhe + +101 +00:05:58,730 --> 00:06:02,960 +senkrecht zu dieser Basis, also die y-Koordinate des Eingangsvektors. + +102 +00:06:03,680 --> 00:06:07,370 +Die Fläche des Parallelogramms ist also eine Art verrückter Umweg, + +103 +00:06:07,370 --> 00:06:09,960 +um die y-Koordinate des Vektors zu beschreiben. + +104 +00:06:10,420 --> 00:06:13,140 +Es ist eine verrückte Art, über Koordinaten zu sprechen, aber mach mit. + +105 +00:06:13,700 --> 00:06:17,623 +Um genau zu sein, solltest du dir das als den vorzeichenbehafteten Flächeninhalt des + +106 +00:06:17,623 --> 00:06:21,640 +Parallelogramms vorstellen, so wie es im Video über die Determinante beschrieben wurde. + +107 +00:06:22,200 --> 00:06:26,155 +Auf diese Weise würde ein Vektor mit einer negativen y-Koordinate einer negativen + +108 +00:06:26,155 --> 00:06:30,303 +Fläche für dieses Parallelogramm entsprechen, zumindest wenn du dir i-hat in gewisser + +109 +00:06:30,303 --> 00:06:34,500 +Weise als den ersten der beiden Vektoren vorstellst, die das Parallelogramm definieren. + +110 +00:06:35,160 --> 00:06:38,222 +Und wenn du dir das Parallelogramm ansiehst, das von unserem + +111 +00:06:38,222 --> 00:06:41,284 +geheimnisvollen Eingangsvektor und der zweiten Basis, j-hat, + +112 +00:06:41,284 --> 00:06:45,200 +aufgespannt wird, ist die Fläche die x-Koordinate des geheimnisvollen Vektors. + +113 +00:06:45,780 --> 00:06:48,177 +Auch das ist eine seltsame Art, die x-Koordinate darzustellen, + +114 +00:06:48,177 --> 00:06:50,080 +aber wir werden gleich sehen, was wir davon haben. + +115 +00:06:50,680 --> 00:06:52,777 +Und um sicherzustellen, dass es klar ist, wie das verallgemeinert werden kann, + +116 +00:06:52,777 --> 00:06:53,760 +lass uns in drei Dimensionen schauen. + +117 +00:06:54,300 --> 00:06:58,638 +Normalerweise würdest du die Koordinaten eines Vektors, z. B. seine z-Koordinate, + +118 +00:06:58,638 --> 00:07:02,131 +als Punktprodukt mit dem dritten Standard-Basisvektor betrachten, + +119 +00:07:02,131 --> 00:07:03,560 +der oft k-hat genannt wird. + +120 +00:07:04,280 --> 00:07:08,928 +Eine andere geometrische Interpretation wäre, das Parallelepiped zu betrachten, + +121 +00:07:08,928 --> 00:07:12,880 +das mit den beiden anderen Basisvektoren, i-hat und j-hat, entsteht. + +122 +00:07:13,420 --> 00:07:17,334 +Wenn du dir das Quadrat mit der Fläche 1, die von i-hat und j-hat aufgespannt wird, + +123 +00:07:17,334 --> 00:07:21,436 +als Basis dieser ganzen Form vorstellst, dann ist sein Volumen dasselbe wie seine Höhe, + +124 +00:07:21,436 --> 00:07:23,580 +die die dritte Koordinate unseres Vektors ist. + +125 +00:07:24,340 --> 00:07:28,327 +Die verrückte Art, über die anderen Koordinaten des Vektors nachzudenken, + +126 +00:07:28,327 --> 00:07:32,799 +wäre, ein Parallelepiped aus dem Vektor und allen anderen Basisvektoren zu bilden, + +127 +00:07:32,799 --> 00:07:35,440 +außer dem, der der gesuchten Richtung entspricht. + +128 +00:07:35,900 --> 00:07:37,900 +Das Volumen davon gibt dir dann die Koordinate. + +129 +00:07:38,440 --> 00:07:41,173 +Oder besser gesagt, wir sollten über das vorzeichenbehaftete Volumen eines + +130 +00:07:41,173 --> 00:07:44,380 +Parallelepipeds in dem Sinne sprechen, wie es im Determinantenvideo mit der Rechtsregel + +131 +00:07:44,380 --> 00:07:45,000 +beschrieben wird. + +132 +00:07:45,560 --> 00:07:48,140 +Es kommt also auf die Reihenfolge an, in der du diese drei Vektoren auflistest. + +133 +00:07:48,800 --> 00:07:51,100 +Auf diese Weise sind negative Koordinaten immer noch sinnvoll. + +134 +00:07:52,040 --> 00:07:55,240 +Okay, warum sollte man sich Koordinaten als Flächen und Volumen vorstellen? + +135 +00:07:55,720 --> 00:07:58,128 +Wenn du eine Art Matrixtransformation anwendest, + +136 +00:07:58,128 --> 00:08:00,929 +bleiben die Flächen dieser Parallelogramme nicht gleich, + +137 +00:08:00,929 --> 00:08:03,780 +sondern sie werden vielleicht vergrößert oder verkleinert. + +138 +00:08:04,160 --> 00:08:06,900 +Aber, und das ist der Kerngedanke der Determinanten, + +139 +00:08:06,900 --> 00:08:09,640 +alle Flächen werden um den gleichen Betrag skaliert, + +140 +00:08:09,640 --> 00:08:12,640 +nämlich um die Determinante unserer Transformationsmatrix. + +141 +00:08:13,520 --> 00:08:16,029 +Wenn du dir zum Beispiel das Parallelogramm ansiehst, + +142 +00:08:16,029 --> 00:08:19,607 +das von dem Vektor aufgespannt wird, auf dem dein erster Basisvektor landet, + +143 +00:08:19,607 --> 00:08:23,371 +der die erste Spalte der Matrix ist, und von der transformierten Version von xy, + +144 +00:08:23,371 --> 00:08:24,580 +wie groß ist seine Fläche? + +145 +00:08:25,580 --> 00:08:28,195 +Das ist die transformierte Version des Parallelogramms, + +146 +00:08:28,195 --> 00:08:31,698 +das wir uns vorhin angeschaut haben und dessen Fläche die y-Koordinate des + +147 +00:08:31,698 --> 00:08:33,380 +geheimnisvollen Eingangsvektors war. + +148 +00:08:33,700 --> 00:08:36,461 +Die Fläche ist also einfach die Determinante der + +149 +00:08:36,461 --> 00:08:39,280 +Transformation multipliziert mit der y-Koordinate. + +150 +00:08:40,179 --> 00:08:44,553 +Das bedeutet also, dass wir y lösen können, indem wir die Fläche dieses neuen + +151 +00:08:44,553 --> 00:08:49,487 +Parallelogramms im Ausgangsraum durch die Determinante der vollständigen Transformation + +152 +00:08:49,487 --> 00:08:49,880 +teilen. + +153 +00:08:50,900 --> 00:08:52,420 +Und wie kommst du in diesen Bereich? + +154 +00:08:53,240 --> 00:08:56,900 +Nun, wir kennen die Koordinaten, auf denen der mysteriöse Eingangsvektor landet, + +155 +00:08:56,900 --> 00:08:59,160 +das ist der Sinn eines linearen Gleichungssystems. + +156 +00:08:59,720 --> 00:09:03,347 +Du könntest also eine neue Matrix erstellen, deren erste Spalte + +157 +00:09:03,347 --> 00:09:08,392 +die gleiche ist wie die unserer Matrix, deren zweite Spalte aber der Ausgangsvektor ist, + +158 +00:09:08,392 --> 00:09:10,320 +und dann ihre Determinante nehmen. + +159 +00:09:11,260 --> 00:09:14,712 +Sieh dir das an: Mit den Daten aus der Ausgabe der Transformation, + +160 +00:09:14,712 --> 00:09:18,422 +also den Spalten der Matrix und den Koordinaten unseres Ausgabevektors, + +161 +00:09:18,422 --> 00:09:22,184 +können wir die y-Koordinate des mysteriösen Eingabevektors herausfinden, + +162 +00:09:22,184 --> 00:09:24,400 +womit wir das System halbwegs gelöst haben. + +163 +00:09:25,120 --> 00:09:27,540 +Auf die gleiche Art und Weise können wir auch die x-Koordinate ermitteln. + +164 +00:09:28,000 --> 00:09:30,782 +Sieh dir das Parallelogramm an, das wir vorhin definiert haben. + +165 +00:09:30,782 --> 00:09:33,609 +Es kodiert die x-Koordinate des geheimnisvollen Eingangsvektors, + +166 +00:09:33,609 --> 00:09:35,740 +der von diesem Vektor und j-hat aufgespannt wird. + +167 +00:09:36,400 --> 00:09:40,302 +Die transformierte Version dieses Typs wird durch den Ausgangsvektor + +168 +00:09:40,302 --> 00:09:43,865 +und die zweite Spalte der Matrix aufgespannt, und seine Fläche + +169 +00:09:43,865 --> 00:09:46,920 +wird mit der Determinante dieser Matrix multipliziert. + +170 +00:09:47,700 --> 00:09:50,249 +Um also x zu lösen, kannst du diese neue Fläche durch + +171 +00:09:50,249 --> 00:09:52,940 +die Determinante der vollständigen Transformation teilen. + +172 +00:09:53,860 --> 00:09:58,226 +Und ähnlich wie zuvor kannst du die Fläche dieses Ausgabeparallelogramms berechnen, + +173 +00:09:58,226 --> 00:10:02,073 +indem du eine neue Matrix erstellst, deren erste Spalte der Ausgabevektor + +174 +00:10:02,073 --> 00:10:05,660 +und deren zweite Spalte die gleiche ist wie die ursprüngliche Matrix. + +175 +00:10:06,240 --> 00:10:08,738 +Auch hier können wir mit den Daten aus dem Ausgangsraum, + +176 +00:10:08,738 --> 00:10:11,939 +also den Zahlen in unserem ursprünglichen linearen System, herausfinden, + +177 +00:10:11,939 --> 00:10:12,860 +wie groß x sein muss. + +178 +00:10:13,420 --> 00:10:15,944 +Diese Formel zum Finden der Lösungen eines linearen + +179 +00:10:15,944 --> 00:10:18,420 +Gleichungssystems ist als Cramersche Regel bekannt. + +180 +00:10:19,120 --> 00:10:21,900 +Um uns zu vergewissern, können wir hier ein paar Zahlen eingeben. + +181 +00:10:22,260 --> 00:10:26,569 +Die Determinante dieser oberen veränderten Matrix ist 4 plus 2, also 6, + +182 +00:10:26,569 --> 00:10:30,820 +und die untere Determinante ist 2, also sollte die x-Koordinate 3 sein. + +183 +00:10:31,440 --> 00:10:33,540 +Und tatsächlich, wenn wir uns den Eingangsvektor ansehen, + +184 +00:10:33,540 --> 00:10:35,460 +mit dem wir angefangen haben, ist die x-Koordinate 3. + +185 +00:10:36,320 --> 00:10:41,381 +Die Cramersche Regel besagt, dass die y-Koordinate 4 geteilt durch 2 oder 2 sein sollte, + +186 +00:10:41,381 --> 00:10:46,500 +und das ist in der Tat die y-Koordinate des Eingangsvektors, mit dem wir angefangen haben. + +187 +00:10:47,380 --> 00:10:50,819 +Der Fall mit drei oder mehr Dimensionen ist ähnlich, und ich empfehle dir, + +188 +00:10:50,819 --> 00:10:53,480 +einen Moment innezuhalten und selbst darüber nachzudenken. + +189 +00:10:54,180 --> 00:10:55,900 +Hier, ich gebe dir ein bisschen Schwung. + +190 +00:10:56,340 --> 00:11:00,208 +Wir haben eine bekannte Transformation, die durch eine 3x3-Matrix gegeben ist, + +191 +00:11:00,208 --> 00:11:04,126 +und einen bekannten Ausgangsvektor, der durch die rechte Seite unseres linearen + +192 +00:11:04,126 --> 00:11:08,240 +Systems gegeben ist, und wir wollen wissen, welche Eingabe auf diese Ausgabe trifft. + +193 +00:11:09,100 --> 00:11:12,795 +Und wenn du dir die z-Koordinate dieses Eingangsvektors als das Volumen + +194 +00:11:12,795 --> 00:11:16,337 +des speziellen Parallelepipeds vorstellst, das wir vorhin betrachtet + +195 +00:11:16,337 --> 00:11:20,648 +haben und das von i-hat, j-hat und dem mysteriösen Eingangsvektor aufgespannt wird, + +196 +00:11:20,648 --> 00:11:23,780 +was passiert dann mit diesem Volumen nach der Transformation? + +197 +00:11:24,800 --> 00:11:27,480 +Und welche verschiedenen Möglichkeiten gibt es, dieses Volumen zu berechnen? + +198 +00:11:28,340 --> 00:11:31,586 +Halte wirklich inne und denke über die Details der Verallgemeinerung + +199 +00:11:31,586 --> 00:11:34,503 +auf höhere Dimensionen nach, indem du einen Ausdruck für jede + +200 +00:11:34,503 --> 00:11:37,420 +Koordinate der Lösung eines größeren linearen Systems findest. + +201 +00:11:38,060 --> 00:11:41,297 +Indem du über allgemeinere Fälle wie diesen nachdenkst und dich selbst davon überzeugst, + +202 +00:11:41,297 --> 00:11:44,134 +dass es funktioniert und warum es funktioniert, lernst du wirklich viel mehr, + +203 +00:11:44,134 --> 00:11:46,499 +als wenn du dir von irgendeinem Typen auf YouTube anhören musst, + +204 +00:11:46,499 --> 00:11:48,500 +wie er die gleiche Argumentation noch einmal durchgeht. + diff --git a/2019/cramers-rule/hebrew/auto_generated.srt b/2019/cramers-rule/hebrew/auto_generated.srt index c1c819e58..f9e0e45db 100644 --- a/2019/cramers-rule/hebrew/auto_generated.srt +++ b/2019/cramers-rule/hebrew/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:11,199 --> 00:00:15,058 +00:00:11,200 --> 00:00:15,058 בסרטון קודם, דיברתי על מערכות ליניאריות של משוואות, 2 @@ -55,11 +55,11 @@ חיסול גאוס, למשל, תמיד יהיה מהיר יותר. 15 -00:01:01,980 --> 00:01:03,840 +00:01:01,980 --> 00:01:03,520 אז למה ללמוד את זה? 16 -00:01:03,840 --> 00:01:10,460 +00:01:03,780 --> 00:01:10,460 תחשוב על זה כמעין טיול תרבותי; זה תרגיל מועיל בהעמקת הידע שלך בתיאוריה של מערכות אלו. 17 @@ -95,474 +95,474 @@ ואותו מספר משוואות. 25 -00:01:42,440 --> 00:01:45,320 +00:01:42,440 --> 00:01:45,580 אבל לשם הפשטות, דוגמה קטנה יותר נחמדה להחזיק בראש שלנו. 26 -00:01:45,320 --> 00:01:50,305 +00:01:46,320 --> 00:01:50,967 אז כפי שדיברתי עליו בסרטון הקודם, אתה יכול לחשוב על ההגדרה הזו 27 -00:01:50,305 --> 00:01:55,291 +00:01:50,967 --> 00:01:55,614 מבחינה גיאומטרית כעל מטריצה ידועה מסוימת הממירה וקטור לא ידוע, 28 -00:01:55,291 --> 00:02:00,040 +00:01:55,614 --> 00:02:00,040 [x; y], שבו אתה יודע מה הולך להיות הפלט, במקרה זה [-4; -2]. 29 -00:02:00,800 --> 00:02:06,658 +00:02:00,800 --> 00:02:05,900 זכור, העמודות של המטריצה הזו מספרות לך כיצד המטריצה פועלת כטרנספורמציה, 30 -00:02:06,658 --> 00:02:11,460 +00:02:05,900 --> 00:02:10,080 כל אחת מהן אומרת לך היכן נוחתים וקטורי הבסיס של מרחב הקלט. 31 -00:02:11,460 --> 00:02:17,220 +00:02:10,860 --> 00:02:17,600 אז זה סוג של פאזל, איזה קלט [x; y], הולך לתת לך את הפלט הזה [-4; -2]? 32 -00:02:17,220 --> 00:02:22,139 +00:02:17,600 --> 00:02:23,157 זכור, סוג התשובה שאתה מקבל כאן יכול להיות תלוי בשאלה 33 -00:02:22,139 --> 00:02:26,780 +00:02:23,157 --> 00:02:28,400 אם הטרנספורמציה מוחצת את כל החלל למימד נמוך יותר. 34 -00:02:26,780 --> 00:02:28,240 +00:02:28,400 --> 00:02:31,220 כלומר אם יש לו אפס דטרמיננטה. 35 -00:02:28,240 --> 00:02:31,268 +00:02:31,220 --> 00:02:33,743 במקרה כזה, או שאף אחת מהכניסות לא נוחתת על הפלט הנתון 36 -00:02:31,268 --> 00:02:34,240 +00:02:33,743 --> 00:02:36,220 שלנו או שיש חבורה שלמה של תשומות שנוחתת על הפלט הזה. 37 -00:02:34,240 --> 00:02:39,644 +00:02:37,240 --> 00:02:41,314 אבל עבור הסרטון הזה נגביל את הראייה שלנו למקרה של דטרמיננט שאינו אפס, 38 -00:02:39,644 --> 00:02:45,436 +00:02:41,314 --> 00:02:45,680 כלומר הפלט של הטרנספורמציה הזו עדיין משתרע על המרחב ה-n-ממדי בו הוא התחיל; 39 -00:02:45,436 --> 00:02:49,760 +00:02:45,680 --> 00:02:48,940 כל קלט נוחת על פלט אחד ויחיד ולכל פלט יש קלט אחד ויחיד. 40 -00:02:49,760 --> 00:02:55,931 +00:02:48,940 --> 00:02:55,036 דרך אחת לחשוב על הפאזל שלנו היא שאנו יודעים שוקטור הפלט הנתון הוא שילוב 41 -00:02:55,931 --> 00:03:01,760 +00:02:55,036 --> 00:03:00,793 ליניארי כלשהו של העמודות של המטריצה; x*(הווקטור שבו נוחת ה-i-hat) + 42 -00:03:01,760 --> 00:03:07,760 +00:03:00,793 --> 00:03:06,720 y*(הווקטור שבו ה-j-hat נוחת), אבל אנחנו רוצים לחשב מה הם בדיוק x ו-y. 43 -00:03:07,760 --> 00:03:11,380 +00:03:06,720 --> 00:03:18,160 כמעבר ראשון, הרשו לי להראות רעיון שהוא שגוי, אבל בכיוון הנכון. 44 -00:03:11,380 --> 00:03:15,564 +00:03:18,800 --> 00:03:22,092 קואורדינטת ה-x של וקטור הקלט המסתורין הזה היא מה שאתה מקבל 45 -00:03:15,564 --> 00:03:19,820 +00:03:22,092 --> 00:03:25,440 על ידי נטילת תוצר הנקודה שלו עם וקטור הבסיס הראשון, [1; 0]. 46 -00:03:19,820 --> 00:03:26,960 +00:03:26,160 --> 00:03:31,400 באופן דומה, קואורדינטת ה-y היא מה שאתה מקבל על ידי ניקוד בווקטור הבסיס השני, [0; 1]. 47 -00:03:26,960 --> 00:03:32,639 +00:03:31,900 --> 00:03:37,500 אז אולי אתה מקווה שאחרי הטרנספורמציה, תוצרי הנקודה עם הגרסה שעברה טרנספורמציה של 48 -00:03:32,639 --> 00:03:38,460 +00:03:37,500 --> 00:03:43,240 וקטור המסתורין עם הגרסאות המומרות של וקטורי הבסיס יהיו גם הקואורדינטות האלה x ו-y. 49 -00:03:38,460 --> 00:03:42,880 +00:03:43,940 --> 00:03:48,740 זה יהיה פנטסטי כי אנחנו מכירים את הגרסאות המומרות של כל אחד מהווקטורים האלה. 50 -00:03:42,880 --> 00:03:45,700 +00:03:51,180 --> 00:03:54,200 יש רק בעיה אחת עם זה: זה בכלל לא נכון! 51 -00:03:45,700 --> 00:03:53,460 +00:03:54,640 --> 00:04:00,240 עבור רוב הטרנספורמציות הליניאריות, תוצר הנקודה לפני ואחרי הטרנספורמציה יהיה שונה מאוד. 52 -00:03:53,460 --> 00:03:59,302 +00:04:00,800 --> 00:04:06,382 לדוגמה, אתה יכול לקבל שני וקטורים המצביעים בדרך כלל לאותו כיוון, עם מכפלת נקודה חיובית, 53 -00:03:59,302 --> 00:04:04,680 +00:04:06,382 --> 00:04:11,520 אשר נמשכים זה מזה במהלך הטרנספורמציה, באופן שלאחר מכן יש להם מכפלת נקודה שלילית. 54 -00:04:04,680 --> 00:04:10,326 +00:04:12,220 --> 00:04:17,886 באופן דומה, אם דברים מתחילים בניצב, עם מכפלת נקודה אפס, כמו שני וקטורי הבסיס, 55 -00:04:10,326 --> 00:04:15,900 +00:04:17,886 --> 00:04:23,480 אין שום ערובה שהם יישארו מאונכים לאחר השינוי, וישמרו על מכפלת הנקודה האפסית. 56 -00:04:15,900 --> 00:04:19,380 +00:04:24,100 --> 00:04:27,160 בדוגמה שבדקנו, מוצרי נקודה בהחלט לא נשמרים. 57 -00:04:19,380 --> 00:04:23,480 +00:04:27,500 --> 00:04:29,940 הם נוטים להיות גדולים יותר מכיוון שרוב הוקטורים נמתחים. 58 -00:04:24,100 --> 00:04:27,934 +00:04:29,940 --> 00:04:36,746 למעשה, טרנספורמציות שאכן משמרות מוצרי נקודות הן מיוחדות מספיק כדי לקבל שם משלהן: 59 -00:04:27,934 --> 00:04:29,260 +00:04:36,746 --> 00:04:39,100 טרנספורמציות אורתונורמליות. 60 -00:04:29,260 --> 00:04:34,700 +00:04:39,720 --> 00:04:44,660 אלה הם אלה שמותירים את כל וקטורי הבסיס בניצב זה לזה עם יחידות אורך. 61 -00:04:34,700 --> 00:04:36,980 +00:04:45,740 --> 00:04:47,880 לעתים קרובות אתה חושב על אלה כמטריצות סיבוב. 62 -00:04:36,980 --> 00:04:41,500 +00:04:48,420 --> 00:04:52,200 מתאים לתנועה קשיחה, ללא מתיחה, מעיכה או תנועות. 63 -00:04:41,500 --> 00:04:48,877 +00:04:53,000 --> 00:04:59,900 פתרון מערכת ליניארית עם מטריצה אורתונורמלית הוא קל מאוד: מכיוון שמוצרי הנקודה נשמרים, 64 -00:04:48,877 --> 00:04:55,911 +00:04:59,900 --> 00:05:06,480 לקיחת מכפלת הנקודה בין וקטור הפלט לכל העמודות של המטריצה שלך תהיה זהה לקיחת מוצרי 65 -00:04:55,911 --> 00:05:02,860 +00:05:06,480 --> 00:05:12,980 הנקודה בין וקטור הקלט לכל הבסיס וקטורים, שזהה למציאת הקואורדינטות של וקטור הקלט. 66 -00:05:02,860 --> 00:05:07,778 +00:05:13,680 --> 00:05:19,540 אז, במקרה המיוחד הזה, x יהיה מכפלת הנקודה של העמודה הראשונה עם וקטור הפלט, 67 -00:05:07,778 --> 00:05:11,320 +00:05:19,540 --> 00:05:23,760 ו-y יהיה מכפלת הנקודה של העמודה השנייה עם וקטור הפלט. 68 -00:05:11,320 --> 00:05:16,644 +00:05:26,820 --> 00:05:31,219 כעת, למרות שהרעיון הזה מתקלקל עבור רוב המערכות הליניאריות, 69 -00:05:16,644 --> 00:05:22,781 +00:05:31,219 --> 00:05:36,290 הוא מכוון אותנו לכיוון של משהו לחפש: האם ישנה הבנה גיאומטרית חלופית 70 -00:05:22,781 --> 00:05:29,280 +00:05:36,290 --> 00:05:41,660 לקואורדינטות של וקטור הקלט שלנו, אשר נשארת ללא שינוי לאחר הטרנספורמציה? 71 -00:05:29,280 --> 00:05:33,441 +00:05:42,360 --> 00:05:46,904 אם המוח שלך הרהר בקובעים, אולי תחשוב על הרעיון החכם הזה: 72 -00:05:33,441 --> 00:05:39,720 +00:05:46,904 --> 00:05:53,760 קח את המקבילית המוגדרת על ידי וקטור הבסיס הראשון, i-hat, ווקטור הקלט המסתורין [x; y]. 73 -00:05:39,720 --> 00:05:43,842 +00:05:54,440 --> 00:05:59,714 השטח של מקבילית זו הוא הבסיס שלה, 1, כפול הגובה המאונך לבסיס זה, 74 -00:05:43,842 --> 00:05:46,380 +00:05:59,714 --> 00:06:02,960 שהיא קואורדינטת ה-y של וקטור הקלט שלנו. 75 -00:05:46,380 --> 00:05:54,768 +00:06:03,680 --> 00:06:09,756 אז, השטח של המקבילית הזו הוא סוג של דרך סיבובית דפוקה לתיאור קואורדינטת ה-y של הווקטור; 76 -00:05:54,768 --> 00:05:59,440 +00:06:09,756 --> 00:06:13,140 זו דרך מטורפת לדבר על קואורדינטות, אבל רוץ איתי. 77 -00:05:59,440 --> 00:06:07,880 +00:06:13,700 --> 00:06:21,640 למעשה, ליתר דיוק, כדאי לחשוב על האזור המסומן של המקבילה הזו, במובן המתואר בסרטון הקובע. 78 -00:06:07,880 --> 00:06:12,760 +00:06:22,200 --> 00:06:28,580 בדרך זו, וקטור עם קואורדינטת y שלילית יתאים לאזור שלילי עבור מקבילית זו. 79 -00:06:12,760 --> 00:06:18,097 +00:06:28,960 --> 00:06:31,460 באופן סימטרי, אם תסתכל על המקבילית המתפרשת על ידי הווקטור ועל וקטור הבסיס השני, 80 -00:06:18,097 --> 00:06:21,300 +00:06:31,460 --> 00:06:32,960 j-hat, השטח שלה יהיה קואורדינטת ה-x של הווקטור. 81 -00:06:21,300 --> 00:06:26,720 +00:06:32,960 --> 00:06:38,780 שוב, זו דרך מוזרה לייצג את קואורדינטת ה-x, אבל עוד רגע תראה מה היא קונה לנו. 82 -00:06:26,720 --> 00:06:30,393 +00:06:38,780 --> 00:06:42,466 הנה איך זה ייראה בתלת מימד: בדרך כלל הדרך שבה אתה יכול לחשוב 83 -00:06:30,393 --> 00:06:33,765 +00:06:42,466 --> 00:06:45,850 על אחת מהקואורדינטות של וקטור, נניח קואורדינטת ה-z שלו, 84 -00:06:33,765 --> 00:06:37,980 +00:06:45,850 --> 00:06:50,080 תהיה לקחת את מכפלת הנקודות שלו עם וקטור הבסיס הסטנדרטי השלישי, k-hat. 85 -00:06:37,980 --> 00:06:43,725 +00:06:50,680 --> 00:06:52,316 אבל במקום זאת, קחו בחשבון את המקבילית שהוא יוצר עם שני וקטורי הבסיס האחרים, 86 -00:06:43,725 --> 00:06:44,860 +00:06:52,316 --> 00:06:52,640 i-hat ו-j-hat. 87 -00:06:44,860 --> 00:06:49,366 +00:06:52,740 --> 00:06:55,094 אם אתה חושב על הריבוע עם שטח 1 המתפרש על ידי i-hat ו-j-hat כבסיס הבחור הזה, 88 -00:06:49,366 --> 00:06:53,280 +00:06:55,094 --> 00:06:57,140 הנפח שלו זהה לגובה שלו, שהוא הקואורדינטה השלישית של הווקטור שלנו. 89 -00:06:53,280 --> 00:06:58,710 +00:06:57,140 --> 00:07:03,239 באופן דומה, הדרך המוזרה לחשוב על כל קואורדינטה אחרת של הווקטור הזה היא ליצור את 90 -00:06:58,710 --> 00:07:04,480 +00:07:03,239 --> 00:07:09,720 המקבילית בין הווקטור הזה לכל הוקטורים הבסיסיים מלבד זה שאתה מחפש, ולקבל את הנפח שלו. 91 -00:07:04,480 --> 00:07:11,341 +00:07:09,720 --> 00:07:16,625 או, ליתר דיוק, עלינו לדבר על נפח הסימן של המקבילים הללו, במובן המתואר בסרטון הקובע, 92 -00:07:11,341 --> 00:07:17,060 +00:07:16,625 --> 00:07:22,380 שבו הסדר שבו אתה מפרט את שלושת הוקטורים חשוב ואתה משתמש בכלל יד ימין. 93 -00:07:17,060 --> 00:07:18,800 +00:07:22,380 --> 00:07:25,240 ככה קואורדינטות שליליות עדיין הגיוניות. 94 -00:07:18,800 --> 00:07:22,080 +00:07:25,240 --> 00:07:27,500 אוקיי, אז למה לחשוב על קואורדינטות כאזורים ונפחים כאלה? 95 -00:07:22,080 --> 00:07:26,053 +00:07:27,500 --> 00:07:29,166 כאשר אתה מיישם טרנספורמציה מטריצה כלשהי, האזורים של המקביליות לא נשארים זהים, 96 -00:07:26,053 --> 00:07:28,040 +00:07:29,166 --> 00:07:30,000 הם עשויים לקבל קנה מידה למעלה או למטה. 97 -00:07:28,040 --> 00:07:32,500 +00:07:30,000 --> 00:07:33,960 אבל(!), וזהו רעיון מרכזי של דטרמיננטים, כל האזורים הללו מקבלים קנה מידה זהה. 98 -00:07:32,500 --> 00:07:34,700 +00:07:33,960 --> 00:07:37,900 כלומר, הקובע של מטריצת הטרנספורמציה שלנו. 99 -00:07:34,700 --> 00:07:39,206 +00:07:38,440 --> 00:07:44,616 לדוגמה, אם תסתכל על המקבילית המתפרשת על ידי הווקטור שבו נוחת וקטור הבסיס הראשון שלך, 100 -00:07:39,206 --> 00:07:43,660 +00:07:44,616 --> 00:07:50,720 שהיא העמודה הראשונה של המטריצה, ואת הגרסה שעברה טרנספורמציה של [x; y], מה השטח שלו? 101 -00:07:43,660 --> 00:07:47,433 +00:07:50,720 --> 00:07:54,878 ובכן, זו הגרסה שעברה טרנספורמציה של אותה מקבילית שראינו קודם לכן, 102 -00:07:47,433 --> 00:07:50,520 +00:07:54,878 --> 00:07:58,280 שהאזור שלה היה קואורדינטת ה-y של וקטור הקלט המסתורין. 103 -00:07:50,520 --> 00:07:56,600 +00:07:58,960 --> 00:08:01,960 אז השטח שלו יהיה הקובע של הטרנספורמציה כפול הערך הזה. 104 -00:07:56,600 --> 00:08:01,143 +00:08:01,960 --> 00:08:06,584 אז, קואורדינטת ה-y של וקטור הקלט המסתורין שלנו היא השטח של המקבילית הזו, 105 -00:08:01,143 --> 00:08:06,620 +00:08:06,584 --> 00:08:12,160 המתפרשת על ידי העמודה הראשונה של המטריצה ווקטור הפלט, חלקי הקובע של הטרנספורמציה המלאה. 106 -00:08:06,980 --> 00:08:08,020 +00:08:12,160 --> 00:08:14,880 ואיך משיגים את השטח הזה? 107 -00:08:08,020 --> 00:08:13,546 +00:08:14,880 --> 00:08:18,078 ובכן, אנחנו יודעים את הקואורדינטות למקום שבו נוחת וקטור הקלט המסתורין, 108 -00:08:13,546 --> 00:08:16,660 +00:08:18,078 --> 00:08:19,880 זה כל הפואנטה של מערכת משוואות לינארית. 109 -00:08:16,660 --> 00:08:21,539 +00:08:19,880 --> 00:08:26,836 לכן, צור מטריצה שהעמודה הראשונה שלה זהה לזו של המטריצה שלנו, 110 -00:08:21,539 --> 00:08:25,780 +00:08:26,836 --> 00:08:32,880 והעמודה השנייה שלה היא וקטור הפלט, וקח את הקובע שלה. 111 -00:08:26,060 --> 00:08:29,374 +00:08:32,880 --> 00:08:35,864 אז תראה את זה; רק באמצעות נתונים מהפלט של הטרנספורמציה, 112 -00:08:29,374 --> 00:08:32,866 +00:08:35,864 --> 00:08:39,008 כלומר העמודות של המטריצה והקואורדינטות של וקטור הפלט שלנו, 113 -00:08:32,866 --> 00:08:36,299 +00:08:39,008 --> 00:08:42,100 נוכל לשחזר את קואורדינטת ה-y של וקטור הקלט המסתורין שלנו. 114 -00:08:36,299 --> 00:08:39,280 +00:08:42,100 --> 00:08:43,500 באופן דומה, אותו רעיון יכול להביא לך את קואורדינטת ה-x. 115 -00:08:40,179 --> 00:08:46,420 +00:08:43,500 --> 00:08:53,194 תראו את המקבילית ההיא שהגדרנו מוקדם שמקודדת את קואורדינטת ה-x של וקטור הקלט המסתורין, 116 -00:08:46,420 --> 00:08:48,960 +00:08:53,194 --> 00:08:57,140 המתפרשת על ידי וקטור הקלט ו-j-hat. 117 -00:08:48,960 --> 00:08:56,052 +00:08:57,140 --> 00:09:02,632 הגרסה שעברה טרנספורמציה של הבחור הזה מתפרשת על ידי וקטור הפלט והעמודה השנייה של המטריצה, 118 -00:08:56,052 --> 00:08:59,160 +00:09:02,632 --> 00:09:05,040 והשטח שלה יוכפל בדטרמיננטה של המטריצה. 119 -00:08:59,720 --> 00:09:04,660 +00:09:05,060 --> 00:09:15,140 אז קואורדינטת ה-x של וקטור הקלט המסתורין שלנו היא השטח הזה חלקי הקובע של הטרנספורמציה. 120 -00:09:04,660 --> 00:09:11,097 +00:09:15,600 --> 00:09:19,627 סימטרי למה שעשינו קודם, אתה יכול לחשב את השטח של אותה מקבילית פלט על ידי יצירת מטריצה 121 -00:09:11,097 --> 00:09:17,160 +00:09:19,627 --> 00:09:23,420 חדשה שהעמודה הראשונה שלה היא וקטור הפלט, והעמודה השנייה שלה זהה למטריצה המקורית. 122 -00:09:17,160 --> 00:09:22,090 +00:09:23,420 --> 00:09:29,447 אז שוב, רק באמצעות נתונים ממרחב הפלט, המספרים שאנו רואים במערכת הליניארית המקורית שלנו, 123 -00:09:22,090 --> 00:09:25,340 +00:09:29,447 --> 00:09:33,420 נוכל לשחזר את קואורדינטת ה-x של וקטור הקלט המסתורין שלנו. 124 -00:09:25,600 --> 00:09:29,620 +00:09:33,420 --> 00:09:44,480 נוסחה זו למציאת הפתרונות למערכת משוואות לינארית ידועה בתור כלל קריימר. 125 -00:09:29,620 --> 00:09:34,300 +00:09:44,480 --> 00:09:45,340 הנה, רק כדי לבדוק את עצמנו בשפיות, חבר את המספרים כאן. 126 -00:09:34,300 --> 00:09:37,613 +00:09:45,340 --> 00:09:48,837 הקובע של אותה מטריצה שהשתנתה עליונה הוא 4+2, שהם 6, 127 -00:09:37,613 --> 00:09:41,500 +00:09:48,837 --> 00:09:52,940 והדטרמיננטה התחתונה היא 2, כך שקואורדינטת ה-x צריכה להיות 3. 128 -00:09:41,500 --> 00:09:45,520 +00:09:53,860 --> 00:10:04,340 ואכן, במבט לאחור על וקטור הקלט שהתחלנו איתו, קואורדינטת ה-x שלו היא 3. 129 -00:09:45,520 --> 00:09:50,501 +00:10:04,340 --> 00:10:06,097 באופן דומה, הכלל של Cramer מציע שקואורדינטת ה-y צריכה להיות 4/2, 130 -00:09:50,501 --> 00:09:55,100 +00:10:06,097 --> 00:10:07,720 או 2, וזו אכן קואורדינטת ה-y של וקטור הקלט איתו התחלנו כאן. 131 -00:09:55,340 --> 00:10:01,220 +00:10:07,720 --> 00:10:18,420 המקרה עם התלת מימד דומה, ואני מאוד ממליץ לך לעצור לחשוב על זה בעצמך. 132 -00:10:01,220 --> 00:10:04,220 +00:10:19,120 --> 00:10:21,580 הנה, אני אתן לך קצת מומנטום. 133 -00:10:04,220 --> 00:10:07,568 +00:10:21,580 --> 00:10:25,452 יש לנו את הטרנספורמציה הידועה הזו, הניתנת על ידי מטריצה 3x3, 134 -00:10:07,568 --> 00:10:11,191 +00:10:25,452 --> 00:10:29,641 ווקטור פלט ידוע, שניתן על ידי הצד הימני של המערכת הליניארית שלנו, 135 -00:10:11,191 --> 00:10:14,320 +00:10:29,641 --> 00:10:33,260 ואנחנו רוצים לדעת איזה וקטור קלט נוחת על וקטור הפלט הזה. 136 -00:10:14,320 --> 00:10:20,870 +00:10:33,260 --> 00:10:38,881 אם אתה חושב על, נניח, את קואורדינטת ה-z של וקטור הקלט כנפח של מקבילי זה המתפרש על 137 -00:10:20,870 --> 00:10:27,580 +00:10:38,881 --> 00:10:44,640 ידי i-hat, j-hat, ווקטור קלט המסתורין, מה קורה לנפח של מקבילי זה לאחר הטרנספורמציה? 138 -00:10:27,580 --> 00:10:30,200 +00:10:44,640 --> 00:10:51,660 איך אתה יכול לחשב את הנפח החדש הזה? 139 -00:10:30,200 --> 00:10:36,727 +00:10:51,660 --> 00:10:58,217 באמת, עצרו וקחו רגע לחשוב דרך הפרטים של הכללת זה לממדים גבוהים יותר; 140 -00:10:36,727 --> 00:10:43,160 +00:10:58,217 --> 00:11:04,680 מציאת ביטוי לכל קואורדינטה של הפתרון למערכות ליניאריות גדולות יותר. 141 -00:10:43,160 --> 00:11:19,913 +00:11:05,100 --> 00:11:29,512 לחשוב על מקרים כלליים יותר ולשכנע את עצמך שזה עובד זה המקום שבו כל הלמידה תתרחש, 142 -00:11:19,913 --> 00:11:48,500 +00:11:29,512 --> 00:11:48,500 הרבה יותר מאשר להאזין לאיזה בחור ביוטיוב שעובר שוב על ההיגיון. diff --git a/2019/cramers-rule/hindi/auto_generated.srt b/2019/cramers-rule/hindi/auto_generated.srt index 55796abf8..c37adbdb3 100644 --- a/2019/cramers-rule/hindi/auto_generated.srt +++ b/2019/cramers-rule/hindi/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:11,199 --> 00:00:14,787 +00:00:11,200 --> 00:00:14,787 पिछले वीडियो में मैंने समीकरणों की रैखिक प्रणालियों के बारे में बात की थी, 2 @@ -59,19 +59,19 @@ उदाहरण के लिए, गॉसियन उन्मूलन हमेशा तेज़ होगा। 16 -00:01:01,980 --> 00:01:03,840 +00:01:01,980 --> 00:01:03,520 तो इसे क्यों सीखें? 17 -00:01:03,840 --> 00:01:06,030 +00:01:03,780 --> 00:01:05,990 ख़ैर, इसे एक तरह का सांस्कृतिक भ्रमण ही समझें। 18 -00:01:06,030 --> 00:01:09,269 +00:01:05,990 --> 00:01:09,258 यह इन प्रणालियों के पीछे के सिद्धांत के बारे में आपके ज्ञान को गहरा 19 -00:01:09,269 --> 00:01:10,460 +00:01:09,258 --> 00:01:10,460 करने में सहायक अभ्यास है। 20 @@ -111,618 +111,618 @@ में अज्ञात और समान संख्या में समीकरणों के साथ सिस्टम पर काम करेगी। 29 -00:01:42,440 --> 00:01:45,320 +00:01:42,440 --> 00:01:45,580 लेकिन सरलता के लिए, एक छोटा उदाहरण हमारे दिमाग में रखना अच्छा रहेगा। 30 -00:01:45,320 --> 00:01:50,267 +00:01:46,320 --> 00:01:50,931 तो जैसा कि मैंने पिछले वीडियो में बात की थी, आप इस सेटअप को ज्यामितीय रूप से एक 31 -00:01:50,267 --> 00:01:55,215 +00:01:50,931 --> 00:01:55,543 अज्ञात वेक्टर को बदलने वाले एक निश्चित ज्ञात मैट्रिक्स के रूप में सोच सकते हैं, 32 -00:01:55,215 --> 00:02:00,040 +00:01:55,543 --> 00:02:00,040 [x; y], जहां आप जानते हैं कि आउटपुट क्या होने वाला है, इस मामले में [-4; -2]। 33 -00:02:00,800 --> 00:02:05,981 +00:02:00,800 --> 00:02:05,310 याद रखें, इस मैट्रिक्स के कॉलम आपको बता रहे हैं कि यह मैट्रिक्स एक परिवर्तन के रूप में 34 -00:02:05,981 --> 00:02:11,221 +00:02:05,310 --> 00:02:09,872 कैसे कार्य करता है, प्रत्येक आपको बता रहा है कि इनपुट स्पेस के आधार वैक्टर कहां पहुंचते 35 -00:02:11,221 --> 00:02:11,460 +00:02:09,872 --> 00:02:10,080 हैं। 36 -00:02:11,460 --> 00:02:12,519 +00:02:10,860 --> 00:02:12,099 तो हमारे पास जो है वह एक प्रकार की पहेली है।कौन सा इनपुट वेक्टर, x, y, इस आउटपुट, 37 -00:02:12,519 --> 00:02:13,616 +00:02:12,099 --> 00:02:13,383 ऋणात्मक 4, ऋणात्मक 2 पर उतरने वाला है? यहां हमारी छोटी पहेली के बारे में सोचने का एक 38 -00:02:13,616 --> 00:02:14,714 +00:02:13,383 --> 00:02:14,668 तरीका यह है कि हम जानते हैं कि दिया गया आउटपुट वेक्टर मैट्रिक्स के कॉलम का कुछ रैखिक 39 -00:02:14,714 --> 00:02:15,851 +00:02:14,668 --> 00:02:15,998 संयोजन है, जहां आई-हैट लैंड करता है वहां वेक्टर का x गुना प्लस जहां जे-हैट लैंड करता है 40 -00:02:15,851 --> 00:02:17,013 +00:02:15,998 --> 00:02:17,358 वहां वेक्टर का y गुना, लेकिन क्या हम यह पता लगाना चाहते हैं कि वास्तव में वह रैखिक संयोजन 41 -00:02:17,013 --> 00:02:17,220 +00:02:17,358 --> 00:02:17,600 क्या होना चाहिए। 42 -00:02:17,220 --> 00:02:21,861 +00:02:17,600 --> 00:02:22,843 याद रखें, आपको यहां मिलने वाले उत्तर का प्रकार इस बात पर निर्भर हो 43 -00:02:21,861 --> 00:02:26,780 +00:02:22,843 --> 00:02:28,400 सकता है कि परिवर्तन पूरे स्थान को निचले आयाम में कुचल देता है या नहीं। 44 -00:02:26,780 --> 00:02:28,240 +00:02:28,400 --> 00:02:31,220 अर्थात् यदि इसका निर्धारक शून्य है। 45 -00:02:28,240 --> 00:02:31,314 +00:02:31,220 --> 00:02:33,781 उस स्थिति में, या तो कोई भी इनपुट हमारे दिए गए आउटपुट पर नहीं 46 -00:02:31,314 --> 00:02:34,240 +00:02:33,781 --> 00:02:36,220 उतरता है या उस आउटपुट पर इनपुट का एक पूरा समूह उतर रहा है। 47 -00:02:34,240 --> 00:02:38,145 +00:02:37,240 --> 00:02:40,184 लेकिन इस वीडियो के लिए, हम अपने दृष्टिकोण को एक गैर-शून्य निर्धारक के मामले 48 -00:02:38,145 --> 00:02:42,154 +00:02:40,184 --> 00:02:43,206 तक सीमित रखेंगे, जिसका अर्थ है कि इस परिवर्तन के आउटपुट अभी भी उस पूर्ण-आयामी 49 -00:02:42,154 --> 00:02:45,905 +00:02:43,206 --> 00:02:46,034 स्थान तक फैले हुए हैं जिसमें यह शुरू हुआ था।प्रत्येक इनपुट एक और केवल एक 50 -00:02:45,905 --> 00:02:49,760 +00:02:46,034 --> 00:02:48,940 आउटपुट पर लैंड करता है, और प्रत्येक आउटपुट में एक और केवल एक इनपुट होता है। 51 -00:02:49,760 --> 00:02:55,573 +00:02:48,940 --> 00:02:54,682 हमारी पहेली के बारे में सोचने का एक तरीका यह है कि हम जानते हैं कि दिया गया आउटपुट 52 -00:02:55,573 --> 00:02:59,005 +00:02:54,682 --> 00:02:58,072 वेक्टर मैट्रिक्स के कॉलम का कुछ रैखिक संयोजन है; 53 -00:02:59,005 --> 00:03:03,557 +00:02:58,072 --> 00:03:02,569 x*(वेक्टर जहां i-hat उतरता है) + y*(वेक्टर जहां j-hat उतरता है), 54 -00:03:03,557 --> 00:03:07,760 +00:03:02,569 --> 00:03:06,720 लेकिन हम गणना करना चाहते हैं कि वास्तव में x और y क्या हैं। 55 -00:03:07,760 --> 00:03:11,380 +00:03:06,720 --> 00:03:18,160 सबसे पहले, मैं एक विचार दिखाता हूँ जो गलत है, लेकिन सही दिशा में है। 56 -00:03:11,380 --> 00:03:15,634 +00:03:18,800 --> 00:03:22,147 इस रहस्य इनपुट वेक्टर का x-निर्देशांक वह है जो आपको इसके डॉट 57 -00:03:15,634 --> 00:03:19,820 +00:03:22,147 --> 00:03:25,440 उत्पाद को पहले आधार वेक्टर के साथ लेने पर मिलता है, [1; 0]. 58 -00:03:19,820 --> 00:03:26,960 +00:03:26,160 --> 00:03:31,400 इसी तरह, y-निर्देशांक वह है जो आपको दूसरे आधार वेक्टर, 0, 1 के साथ डॉट करने पर मिलता है। 59 -00:03:26,960 --> 00:03:31,117 +00:03:31,900 --> 00:03:35,999 तो शायद आप उम्मीद करते हैं कि परिवर्तन के बाद, 60 -00:03:31,117 --> 00:03:38,460 +00:03:35,999 --> 00:03:43,240 रहस्य वेक्टर के परिवर्तित संस्करण के साथ डॉट उत्पाद भी ये निर्देशांक, x और y होंगे। 61 -00:03:38,460 --> 00:03:40,622 +00:03:43,940 --> 00:03:46,288 यह शानदार होगा, क्योंकि हम जानते हैं कि उनमें 62 -00:03:40,622 --> 00:03:42,880 +00:03:46,288 --> 00:03:48,740 से प्रत्येक वेक्टर का परिवर्तित संस्करण क्या है। 63 -00:03:42,880 --> 00:03:45,700 +00:03:51,180 --> 00:03:54,200 इसमें बस एक ही समस्या है, यह बिल्कुल भी सच नहीं है। 64 -00:03:45,700 --> 00:03:49,917 +00:03:54,640 --> 00:03:57,683 अधिकांश रैखिक परिवर्तनों के लिए, परिवर्तन से पहले 65 -00:03:49,917 --> 00:03:53,460 +00:03:57,683 --> 00:04:00,240 और बाद में डॉट उत्पाद बहुत अलग दिखाई देगा। 66 -00:03:53,460 --> 00:03:57,167 +00:04:00,800 --> 00:04:04,342 उदाहरण के लिए, आपके पास एक सकारात्मक डॉट उत्पाद के साथ आम तौर पर एक ही दिशा 67 -00:03:57,167 --> 00:04:00,874 +00:04:04,342 --> 00:04:07,884 में इंगित करने वाले दो वेक्टर हो सकते हैं, जो परिवर्तन के दौरान एक-दूसरे से 68 -00:04:00,874 --> 00:04:04,680 +00:04:07,884 --> 00:04:11,520 इस तरह से अलग हो जाते हैं कि अंत में उनमें एक नकारात्मक डॉट उत्पाद बन जाता है। 69 -00:04:04,680 --> 00:04:08,239 +00:04:12,220 --> 00:04:15,791 इसी तरह, जो चीजें डॉट उत्पाद 0 के साथ लंबवत शुरू होती हैं, 70 -00:04:08,239 --> 00:04:12,823 +00:04:15,791 --> 00:04:20,392 जैसे दो आधार वैक्टर, अक्सर परिवर्तन के बाद एक-दूसरे के लंबवत नहीं रहते हैं, 71 -00:04:12,823 --> 00:04:15,900 +00:04:20,392 --> 00:04:23,480 यानी, वे उस 0 डॉट उत्पाद को संरक्षित नहीं करते हैं। 72 -00:04:15,900 --> 00:04:19,380 +00:04:24,100 --> 00:04:27,160 जिस उदाहरण को हम देख रहे थे, उसमें डॉट उत्पाद निश्चित रूप से संरक्षित नहीं हैं। 73 -00:04:19,380 --> 00:04:23,480 +00:04:27,500 --> 00:04:29,940 चूंकि अधिकांश वेक्टर खिंच रहे हैं, इसलिए वे बड़े होते जा रहे हैं। 74 -00:04:24,100 --> 00:04:26,338 +00:04:29,940 --> 00:04:33,913 वास्तव में, जो परिवर्तन डॉट उत्पादों को संरक्षित करते हैं, 75 -00:04:26,338 --> 00:04:29,260 +00:04:33,913 --> 00:04:39,100 वे इतने विशेष होते हैं कि उनका अपना नाम होता है: ऑर्थोनॉर्मल ट्रांसफॉर्मेशन। 76 -00:04:29,260 --> 00:04:34,700 +00:04:39,720 --> 00:04:44,660 ये वे हैं जो सभी आधार वैक्टरों को एक-दूसरे के लंबवत और इकाई लंबाई के साथ छोड़ते हैं। 77 -00:04:34,700 --> 00:04:36,980 +00:04:45,740 --> 00:04:47,880 आप अक्सर इन्हें रोटेशन मैट्रिक्स के रूप में सोचते हैं। 78 -00:04:36,980 --> 00:04:41,500 +00:04:48,420 --> 00:04:52,200 यह कठोर गति के अनुरूप है, जिसमें कोई खिंचाव, सिकुड़न या बदलाव नहीं है। 79 -00:04:41,500 --> 00:04:46,606 +00:04:53,000 --> 00:04:57,776 ऑर्थोनॉर्मल मैट्रिक्स के साथ एक रैखिक प्रणाली को हल करना बहुत आसान है: 80 -00:04:46,606 --> 00:04:51,784 +00:04:57,776 --> 00:05:02,620 चूंकि डॉट उत्पाद संरक्षित हैं, इसलिए आउटपुट वेक्टर और आपके मैट्रिक्स के 81 -00:04:51,784 --> 00:04:56,962 +00:05:02,620 --> 00:05:07,463 सभी कॉलमों के बीच डॉट उत्पाद लेना इनपुट वेक्टर और सभी आधारों के बीच डॉट 82 -00:04:56,962 --> 00:05:02,860 +00:05:07,463 --> 00:05:12,980 उत्पाद लेने के समान होगा। वेक्टर, जो इनपुट वेक्टर के निर्देशांक खोजने के समान है। 83 -00:05:02,860 --> 00:05:07,730 +00:05:13,680 --> 00:05:19,483 तो उस विशेष मामले में, x आउटपुट वेक्टर के साथ पहले कॉलम का डॉट उत्पाद होगा, 84 -00:05:07,730 --> 00:05:11,320 +00:05:19,483 --> 00:05:23,760 और y आउटपुट वेक्टर के साथ दूसरे कॉलम का डॉट उत्पाद होगा। 85 -00:05:11,320 --> 00:05:17,442 +00:05:26,820 --> 00:05:31,879 जब यह विचार लगभग सभी रैखिक प्रणालियों के लिए विफल हो जाता है तो मैं इसे क्यों ला रहा हूं? 86 -00:05:17,442 --> 00:05:21,524 +00:05:31,879 --> 00:05:35,251 खैर, यह हमें देखने लायक किसी चीज़ की दिशा में इशारा करता है। 87 -00:05:21,524 --> 00:05:27,443 +00:05:35,251 --> 00:05:40,142 क्या हमारे इनपुट वेक्टर के निर्देशांक के लिए कोई वैकल्पिक ज्यामितीय समझ है जो परिवर्तन 88 -00:05:27,443 --> 00:05:29,280 +00:05:40,142 --> 00:05:41,660 के बाद अपरिवर्तित रहती है? 89 -00:05:29,280 --> 00:05:32,760 +00:05:42,360 --> 00:05:46,160 यदि आपका दिमाग निर्धारकों पर विचार कर रहा है, तो आप निम्नलिखित 90 -00:05:32,760 --> 00:05:35,742 +00:05:46,160 --> 00:05:49,417 चतुर विचार के बारे में सोच सकते हैं।पहले आधार वेक्टर, 91 -00:05:35,742 --> 00:05:39,720 +00:05:49,417 --> 00:05:53,760 आई-हैट और मिस्ट्री इनपुट वेक्टर, xy द्वारा परिभाषित समांतर चतुर्भुज लें। 92 -00:05:39,720 --> 00:05:44,253 +00:05:54,440 --> 00:06:00,239 इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार है, जो उस आधार की लंबवत ऊंचाई का 1 गुना है, 93 -00:05:44,253 --> 00:05:46,380 +00:06:00,239 --> 00:06:02,960 जो उस इनपुट वेक्टर का y-निर्देशांक है। 94 -00:05:46,380 --> 00:05:50,486 +00:06:03,680 --> 00:06:06,654 तो उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल वेक्टर के y-निर्देशांक का 95 -00:05:50,486 --> 00:05:54,323 +00:06:06,654 --> 00:06:09,434 वर्णन करने के लिए एक प्रकार का पेचीदा गोल चक्कर तरीका है। 96 -00:05:54,323 --> 00:05:59,440 +00:06:09,434 --> 00:06:13,140 यह निर्देशांक के बारे में बात करने का एक अजीब तरीका है, लेकिन मेरे साथ चलें। 97 -00:05:59,440 --> 00:06:03,523 +00:06:13,700 --> 00:06:17,541 और वास्तव में, थोड़ा अधिक सटीक होने के लिए, आपको इसे उस समांतर चतुर्भुज के 98 -00:06:03,523 --> 00:06:07,880 +00:06:17,541 --> 00:06:21,640 हस्ताक्षरित क्षेत्र के रूप में सोचना चाहिए, निर्धारक वीडियो में वर्णित अर्थ में। 99 -00:06:07,880 --> 00:06:09,586 +00:06:22,200 --> 00:06:24,431 इस तरह, नकारात्मक y-निर्देशांक वाला एक वेक्टर इस समांतर चतुर्भुज के लिए एक नकारात्मक 100 -00:06:09,586 --> 00:06:11,253 +00:06:24,431 --> 00:06:26,610 क्षेत्र के अनुरूप होगा, कम से कम यदि आप आई-हैट के बारे में सोचते हैं कि कुछ अर्थों 101 -00:06:11,253 --> 00:06:12,760 +00:06:26,610 --> 00:06:28,580 में यह समांतर चतुर्भुज को परिभाषित करने वाले इन दो वैक्टरों में से पहला है। 102 -00:06:12,760 --> 00:06:15,813 +00:06:28,960 --> 00:06:30,390 और सममित रूप से, यदि आप हमारे रहस्य इनपुट वेक्टर और दूसरे आधार, 103 -00:06:15,813 --> 00:06:18,151 +00:06:30,390 --> 00:06:31,485 जे-हैट द्वारा फैले समांतर चतुर्भुज को देखते हैं, 104 -00:06:18,151 --> 00:06:21,300 +00:06:31,485 --> 00:06:32,960 तो इसका क्षेत्र उस रहस्य वेक्टर का एक्स-निर्देशांक होने जा रहा है। 105 -00:06:21,300 --> 00:06:24,273 +00:06:32,960 --> 00:06:36,153 फिर, यह एक्स-समन्वय का प्रतिनिधित्व करने का एक अजीब तरीका है, 106 -00:06:24,273 --> 00:06:26,720 +00:06:36,153 --> 00:06:38,780 लेकिन आप एक पल में देखेंगे कि यह हमें क्या देता है। 107 -00:06:26,720 --> 00:06:29,084 +00:06:38,780 --> 00:06:41,153 और यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह कैसे सामान्यीकृत हो सकता है, 108 -00:06:29,084 --> 00:06:31,974 +00:06:41,153 --> 00:06:44,053 आइए तीन आयामों में देखें।आमतौर पर, जिस तरह से आप किसी वेक्टर के निर्देशांकों 109 -00:06:31,974 --> 00:06:34,639 +00:06:44,053 --> 00:06:46,727 में से किसी एक के बारे में सोच सकते हैं, मान लें कि उसका z-निर्देशांक, 110 -00:06:34,639 --> 00:06:37,980 +00:06:46,727 --> 00:06:50,080 उसके डॉट उत्पाद को तीसरे मानक आधार वेक्टर के साथ लेना होगा, जिसे अक्सर k-hat कहा जाता है। 111 -00:06:37,980 --> 00:06:41,344 +00:06:50,680 --> 00:06:51,638 लेकिन एक वैकल्पिक ज्यामितीय व्याख्या उस समानांतर चतुर्भुज पर विचार 112 -00:06:41,344 --> 00:06:44,860 +00:06:51,638 --> 00:06:52,640 करना होगा जो यह अन्य दो आधार वैक्टर, आई-हैट और जे-हैट के साथ बनाता है। 113 -00:06:44,860 --> 00:06:49,070 +00:06:52,740 --> 00:06:54,940 यदि आप आई-हैट और जे-हैट द्वारा फैलाए गए क्षेत्रफल 1 वाले वर्ग को इस पूरे आकार का आधार 114 -00:06:49,070 --> 00:06:53,280 +00:06:54,940 --> 00:06:57,140 मानते हैं, तो इसका आयतन इसकी ऊंचाई के समान है, जो हमारे वेक्टर का तीसरा निर्देशांक है। 115 -00:06:53,280 --> 00:06:57,127 +00:06:57,140 --> 00:07:01,461 और इसी तरह, वेक्टर के अन्य निर्देशांकों के बारे में सोचने का अजीब तरीका यह होगा कि वेक्टर 116 -00:06:57,127 --> 00:07:00,889 +00:07:01,461 --> 00:07:05,686 का उपयोग करके एक समानांतर चतुर्भुज बनाया जाए और फिर आप जिस दिशा की तलाश कर रहे हैं उसके 117 -00:07:00,889 --> 00:07:04,480 +00:07:05,686 --> 00:07:09,720 अनुरूप एक के अलावा अन्य सभी आधार वेक्टर बनाएं।फिर इसका आयतन आपको निर्देशांक देता है। 118 -00:07:04,480 --> 00:07:09,412 +00:07:09,720 --> 00:07:14,683 या बल्कि, हमें दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए निर्धारक वीडियो में वर्णित अर्थ में, 119 -00:07:09,412 --> 00:07:13,014 +00:07:14,683 --> 00:07:18,308 समांतर चतुर्भुज की हस्ताक्षरित मात्रा के बारे में बात करनी चाहिए। 120 -00:07:13,014 --> 00:07:17,060 +00:07:18,308 --> 00:07:22,380 तो जिस क्रम में आप इन तीन वैक्टरों को सूचीबद्ध करते हैं वह मायने रखता है। 121 -00:07:17,060 --> 00:07:18,800 +00:07:22,380 --> 00:07:25,240 इस तरह, नकारात्मक निर्देशांक अभी भी समझ में आते हैं। 122 -00:07:18,800 --> 00:07:22,080 +00:07:25,240 --> 00:07:27,500 ठीक है, तो निर्देशांक को इस प्रकार क्षेत्रफल और आयतन के रूप में क्यों सोचें? 123 -00:07:22,080 --> 00:07:24,464 +00:07:27,500 --> 00:07:28,500 ठीक है, जैसे ही आप किसी प्रकार का मैट्रिक्स परिवर्तन लागू करते हैं, 124 -00:07:24,464 --> 00:07:26,742 +00:07:28,500 --> 00:07:29,455 इन समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्र, ठीक हैं, वे समान नहीं रहते हैं, 125 -00:07:26,742 --> 00:07:28,040 +00:07:29,455 --> 00:07:30,000 वे ऊपर या नीचे स्केल किए जा सकते हैं। 126 -00:07:28,040 --> 00:07:30,270 +00:07:30,000 --> 00:07:31,980 लेकिन(!), और यह निर्धारकों का एक प्रमुख विचार है, 127 -00:07:30,270 --> 00:07:32,500 +00:07:31,980 --> 00:07:33,960 इन सभी क्षेत्रों को एक ही राशि से बढ़ाया जाता है। 128 -00:07:32,500 --> 00:07:34,700 +00:07:33,960 --> 00:07:37,900 अर्थात्, हमारे परिवर्तन मैट्रिक्स का निर्धारक। 129 -00:07:34,700 --> 00:07:39,230 +00:07:38,440 --> 00:07:44,649 उदाहरण के लिए, यदि आप वेक्टर द्वारा फैलाए गए समांतर चतुर्भुज को देखते हैं जहां आपका पहला 130 -00:07:39,230 --> 00:07:43,660 +00:07:44,649 --> 00:07:50,720 आधार वेक्टर उतरता है, जो मैट्रिक्स का पहला कॉलम है, और [x; y], इसका क्षेत्रफल क्या है? 131 -00:07:43,660 --> 00:07:47,670 +00:07:50,720 --> 00:07:55,139 खैर, यह उस समांतर चतुर्भुज का परिवर्तित संस्करण है जिसे हम पहले देख रहे थे, 132 -00:07:47,670 --> 00:07:50,520 +00:07:55,139 --> 00:07:58,280 जिसका क्षेत्र रहस्यमय इनपुट वेक्टर का y-निर्देशांक था। 133 -00:07:50,520 --> 00:07:56,600 +00:07:58,960 --> 00:08:01,960 तो इसका क्षेत्र उस y-निर्देशांक से गुणा किए गए परिवर्तन का निर्धारक बनने जा रहा है। 134 -00:07:56,600 --> 00:08:01,541 +00:08:01,960 --> 00:08:06,990 तो इसका मतलब है कि हम आउटपुट स्पेस में इस नए समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र 135 -00:08:01,541 --> 00:08:06,620 +00:08:06,990 --> 00:08:12,160 को पूर्ण परिवर्तन के निर्धारक द्वारा विभाजित करके y के लिए हल कर सकते हैं। 136 -00:08:06,980 --> 00:08:08,020 +00:08:12,160 --> 00:08:14,880 और आपको वह क्षेत्र कैसे मिलता है? 137 -00:08:08,020 --> 00:08:12,967 +00:08:14,880 --> 00:08:17,742 खैर, हम उस निर्देशांक को जानते हैं जहां रहस्यमय इनपुट वेक्टर उतरता है, 138 -00:08:12,967 --> 00:08:16,660 +00:08:17,742 --> 00:08:19,880 यही समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली का संपूर्ण बिंदु है। 139 -00:08:16,660 --> 00:08:21,397 +00:08:19,880 --> 00:08:26,633 तो आप एक नया मैट्रिक्स बना सकते हैं जिसका पहला कॉलम हमारे मैट्रिक्स के समान है, 140 -00:08:21,397 --> 00:08:25,780 +00:08:26,633 --> 00:08:32,880 लेकिन जिसका दूसरा कॉलम आउटपुट वेक्टर है, और फिर आप इसका निर्धारक लेते हैं। 141 -00:08:26,060 --> 00:08:28,823 +00:08:32,880 --> 00:08:35,368 तो इसे देखें, केवल परिवर्तन के आउटपुट से डेटा का उपयोग करके, 142 -00:08:28,823 --> 00:08:31,723 +00:08:35,368 --> 00:08:37,979 अर्थात् मैट्रिक्स के कॉलम और हमारे आउटपुट वेक्टर के निर्देशांक, 143 -00:08:31,723 --> 00:08:34,578 +00:08:37,979 --> 00:08:40,549 हम रहस्य इनपुट वेक्टर के y-समन्वय को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं, 144 -00:08:34,578 --> 00:08:36,299 +00:08:40,549 --> 00:08:42,100 जो सिस्टम को हल करने का आधा रास्ता है। 145 -00:08:36,299 --> 00:08:39,280 +00:08:42,100 --> 00:08:43,500 इसी प्रकार, वही विचार हमें x-निर्देशांक दे सकता है। 146 -00:08:40,179 --> 00:08:43,657 +00:08:43,500 --> 00:08:48,902 उस समांतर चतुर्भुज को देखें जिसे हमने पहले परिभाषित किया था, 147 -00:08:43,657 --> 00:08:48,104 +00:08:48,902 --> 00:08:55,811 जो उस वेक्टर और जे-हैट द्वारा फैले रहस्यमय इनपुट वेक्टर के एक्स-निर्देशांक को 148 -00:08:48,104 --> 00:08:48,960 +00:08:55,811 --> 00:08:57,140 एन्कोड करता है। 149 -00:08:48,960 --> 00:08:53,997 +00:08:57,140 --> 00:09:01,041 इस व्यक्ति का परिवर्तित संस्करण आउटपुट वेक्टर और मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम द्वारा 150 -00:08:53,997 --> 00:08:59,160 +00:09:01,041 --> 00:09:05,040 फैलाया गया है, और इसका क्षेत्र उस मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा गुणा किया गया होगा। 151 -00:08:59,720 --> 00:09:02,240 +00:09:05,060 --> 00:09:10,202 तो x को हल करने के लिए, आप इस नए क्षेत्र को पूर्ण 152 -00:09:02,240 --> 00:09:04,660 +00:09:10,202 --> 00:09:15,140 परिवर्तन के निर्धारक द्वारा विभाजित कर सकते हैं। 153 -00:09:04,660 --> 00:09:08,979 +00:09:15,600 --> 00:09:18,302 और जैसा कि हमने पहले किया था, आप एक नया मैट्रिक्स बनाकर उस आउटपुट 154 -00:09:08,979 --> 00:09:13,102 +00:09:18,302 --> 00:09:20,881 समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं जिसका पहला कॉलम 155 -00:09:13,102 --> 00:09:17,160 +00:09:20,881 --> 00:09:23,420 आउटपुट वेक्टर है और जिसका दूसरा कॉलम मूल मैट्रिक्स के समान है। 156 -00:09:17,160 --> 00:09:19,962 +00:09:23,420 --> 00:09:26,846 तो फिर, केवल आउटपुट स्पेस से डेटा का उपयोग करके, 157 -00:09:19,962 --> 00:09:22,937 +00:09:26,846 --> 00:09:30,482 जो संख्याएँ हम अपने मूल रैखिक सिस्टम में देखते हैं, 158 -00:09:22,937 --> 00:09:25,340 +00:09:30,482 --> 00:09:33,420 हम यह हल कर सकते हैं कि x क्या होना चाहिए। 159 -00:09:25,600 --> 00:09:27,610 +00:09:33,420 --> 00:09:38,950 समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली का समाधान खोजने के 160 -00:09:27,610 --> 00:09:29,620 +00:09:38,950 --> 00:09:44,480 इस सूत्र को क्रैमर नियम के रूप में जाना जाता है। 161 -00:09:29,620 --> 00:09:34,300 +00:09:44,480 --> 00:09:45,340 यहाँ, स्वयं की विवेकशीलता की जाँच करने के लिए, यहाँ कुछ संख्याएँ प्लग करें। 162 -00:09:34,300 --> 00:09:38,140 +00:09:45,340 --> 00:09:49,393 उस शीर्ष, परिवर्तित मैट्रिक्स का निर्धारक 4 प्लस 2 है, जो 6 है, 163 -00:09:38,140 --> 00:09:41,500 +00:09:49,393 --> 00:09:52,940 और निचला निर्धारक 2 है, इसलिए x-निर्देशांक 3 होना चाहिए। 164 -00:09:41,500 --> 00:09:45,520 +00:09:53,860 --> 00:10:04,340 और वास्तव में, जिस इनपुट वेक्टर से हमने शुरुआत की थी, उसे देखते हुए, x-निर्देशांक 3 है। 165 -00:09:45,520 --> 00:09:50,950 +00:10:04,340 --> 00:10:06,256 इसी तरह, क्रैमर का नियम बताता है कि y-निर्देशांक 4 को 2 या 2 से विभाजित किया जाना चाहिए, 166 -00:09:50,950 --> 00:09:55,100 +00:10:06,256 --> 00:10:07,720 और यह इनपुट वेक्टर का y-निर्देशांक है जिसके साथ हम शुरुआत कर रहे थे। 167 -00:09:55,340 --> 00:09:58,045 +00:10:07,720 --> 00:10:12,643 3 या अधिक आयामों वाला मामला समान है, और मैं अत्यधिक 168 -00:09:58,045 --> 00:10:01,220 +00:10:12,643 --> 00:10:18,420 अनुशंसा करता हूं कि आप थोड़ा रुकें और स्वयं इस पर विचार करें। 169 -00:10:01,220 --> 00:10:04,220 +00:10:19,120 --> 00:10:21,580 यहां, मैं आपको थोड़ी गति दूंगा। 170 -00:10:04,220 --> 00:10:07,673 +00:10:21,580 --> 00:10:25,574 हमारे पास कुछ 3x3 मैट्रिक्स द्वारा दिया गया एक ज्ञात परिवर्तन है, 171 -00:10:07,673 --> 00:10:11,284 +00:10:25,574 --> 00:10:29,749 और हमारे रैखिक सिस्टम के दाईं ओर दिया गया एक ज्ञात आउटपुट वेक्टर है, 172 -00:10:11,284 --> 00:10:14,320 +00:10:29,749 --> 00:10:33,260 और हम जानना चाहते हैं कि उस आउटपुट पर कौन सा इनपुट आता है। 173 -00:10:14,320 --> 00:10:18,847 +00:10:33,260 --> 00:10:37,145 यदि आप इनपुट वेक्टर के z-निर्देशांक को i-hat, j-hat और मिस्ट्री इनपुट 174 -00:10:18,847 --> 00:10:23,375 +00:10:37,145 --> 00:10:41,031 वेक्टर द्वारा फैले इस समानांतर चतुर्भुज के आयतन के रूप में सोचते हैं, 175 -00:10:23,375 --> 00:10:27,580 +00:10:41,031 --> 00:10:44,640 तो परिवर्तन के बाद इस समानांतर चतुर्भुज के आयतन का क्या होता है? 176 -00:10:27,580 --> 00:10:30,200 +00:10:44,640 --> 00:10:51,660 आप उस नई मात्रा की गणना कैसे कर सकते हैं? 177 -00:10:30,200 --> 00:10:36,793 +00:10:51,660 --> 00:10:58,284 वास्तव में, थोड़ा रुकें और इसे उच्च आयामों तक सामान्यीकृत करने के विवरण पर विचार करें; 178 -00:10:36,793 --> 00:10:43,160 +00:10:58,284 --> 00:11:04,680 बड़ी रैखिक प्रणालियों के समाधान के प्रत्येक निर्देशांक के लिए एक अभिव्यक्ति ढूँढना। 179 -00:10:43,160 --> 00:11:04,595 +00:11:05,100 --> 00:11:19,337 इस तरह के अधिक सामान्य मामलों के बारे में सोचना और अपने आप को यह विश्वास दिलाना कि 180 -00:11:04,595 --> 00:11:24,740 +00:11:19,337 --> 00:11:32,718 यह काम करता है और यह क्यों काम करता है, यहीं पर वास्तव में सारी सीख मिलती है, 181 -00:11:24,740 --> 00:11:36,878 +00:11:32,718 --> 00:11:40,780 यूट्यूब पर किसी व्यक्ति को सुनने से कहीं अधिक, 182 -00:11:36,878 --> 00:11:48,500 +00:11:40,780 --> 00:11:48,500 जो आपको फिर से उसी तर्क के बारे में बताता है। diff --git a/2019/cramers-rule/italian/auto_generated.srt b/2019/cramers-rule/italian/auto_generated.srt index 1876af1da..202ea861b 100644 --- a/2019/cramers-rule/italian/auto_generated.srt +++ b/2019/cramers-rule/italian/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:11,199 --> 00:00:13,633 +00:00:11,200 --> 00:00:13,633 In un video precedente, ho parlato di sistemi lineari di 2 @@ -11,19 +11,19 @@ equazioni e ho in un certo senso messo da parte la discussione sulle soluzioni effettivamente computazionali per questi sistemi. 4 -00:00:19,700 --> 00:00:22,533 -E anche se è vero che l'elaborazione dei numeri è qualcosa che di +00:00:19,700 --> 00:00:22,696 +E anche se è vero che l'elaborazione dei numeri è qualcosa che di solito 5 -00:00:22,533 --> 00:00:25,731 -solito lasciamo ai computer, scavare in alcuni di questi metodi computazionali +00:00:22,696 --> 00:00:25,651 +lasciamo ai computer, scavare in alcuni di questi metodi computazionali 6 -00:00:25,731 --> 00:00:28,888 +00:00:25,651 --> 00:00:28,852 è un buon test del nove per capire se si capisce davvero cosa sta succedendo, 7 -00:00:28,888 --> 00:00:31,520 +00:00:28,852 --> 00:00:31,520 dal momento che è proprio qui che la gomma incontra la strada. . 8 @@ -67,686 +67,678 @@ migliore per calcolare soluzioni a sistemi lineari di equazioni. L’eliminazione gaussiana, ad esempio, sarà sempre più veloce. 18 -00:01:01,980 --> 00:01:03,840 +00:01:01,980 --> 00:01:03,520 Allora perché impararlo? 19 -00:01:03,840 --> 00:01:06,278 +00:01:03,780 --> 00:01:06,241 Consideratela una sorta di escursione culturale; 20 -00:01:06,278 --> 00:01:10,460 +00:01:06,241 --> 00:01:10,460 è un esercizio utile per approfondire la conoscenza della teoria di questi sistemi. 21 -00:01:11,040 --> 00:01:15,509 +00:01:11,040 --> 00:01:15,408 Comprendere questo concetto ti aiuterà a consolidare le idee dell'algebra lineare, 22 -00:01:15,509 --> 00:01:19,620 +00:01:15,408 --> 00:01:19,620 come il determinante e i sistemi lineari, vedendo come si relazionano tra loro. 23 -00:01:20,100 --> 00:01:22,501 +00:01:20,100 --> 00:01:22,569 Inoltre, da un punto di vista puramente artistico, 24 -00:01:22,501 --> 00:01:24,808 -il risultato finale è davvero carino da pensare, +00:01:22,569 --> 00:01:26,880 +il risultato finale è davvero carino da pensare, tanto più che l'eliminazione gaussiana. 25 -00:01:24,808 --> 00:01:26,880 -tanto più che l'eliminazione gaussiana. - -26 00:01:28,680 --> 00:01:32,899 Va bene, quindi la configurazione qui sarà un sistema lineare di equazioni, -27 +26 00:01:32,899 --> 00:01:35,620 diciamo con due incognite, xey, e due equazioni. -28 +27 00:01:36,300 --> 00:01:39,005 In linea di principio, tutto ciò di cui stiamo parlando funzionerà con -29 +28 00:01:39,005 --> 00:01:41,940 sistemi con un numero maggiore di incognite e lo stesso numero di equazioni. -30 -00:01:42,440 --> 00:01:45,320 +29 +00:01:42,440 --> 00:01:45,580 Ma per semplicità, è più bello tenere in testa un esempio più piccolo. -31 -00:01:45,320 --> 00:01:50,453 +30 +00:01:46,320 --> 00:01:51,186 Quindi, come ho detto in un video precedente, puoi pensare a questa configurazione -32 -00:01:50,453 --> 00:01:55,896 +31 +00:01:51,186 --> 00:01:56,346 geometricamente come una certa matrice conosciuta che trasforma un vettore sconosciuto, -33 -00:01:55,896 --> 00:02:00,040 +32 +00:01:56,346 --> 00:02:00,040 [x; y], dove sai quale sarà l'output, in questo caso [-4; -2]. -34 -00:02:00,800 --> 00:02:05,537 +33 +00:02:00,800 --> 00:02:04,924 Ricorda, le colonne di questa matrice ti dicono come la matrice agisce come una -35 -00:02:05,537 --> 00:02:10,867 +34 +00:02:04,924 --> 00:02:09,564 trasformazione, ognuna delle quali ti dice dove si fermano i vettori di base dello spazio -36 -00:02:10,867 --> 00:02:11,460 +35 +00:02:09,564 --> 00:02:10,080 di input. -37 -00:02:11,460 --> 00:02:17,220 +36 +00:02:10,860 --> 00:02:17,600 Quindi questo è una sorta di puzzle, quale input [x; y], ti darà questo output [-4; -2]? -38 -00:02:17,220 --> 00:02:22,000 +37 +00:02:17,600 --> 00:02:23,000 Ricorda, il tipo di risposta che ottieni qui può dipendere dal fatto che la -39 -00:02:22,000 --> 00:02:26,780 +38 +00:02:23,000 --> 00:02:28,400 trasformazione schiacci o meno tutto lo spazio in una dimensione inferiore. -40 -00:02:26,780 --> 00:02:28,240 +39 +00:02:28,400 --> 00:02:31,220 Questo se ha determinante zero. -41 -00:02:28,240 --> 00:02:31,193 +40 +00:02:31,220 --> 00:02:33,759 In tal caso, o nessuno degli input arriva al nostro dato output -42 -00:02:31,193 --> 00:02:34,240 +41 +00:02:33,759 --> 00:02:36,220 oppure ci sono un sacco di input che arrivano a quell'output. -43 -00:02:34,240 --> 00:02:38,069 +42 +00:02:37,240 --> 00:02:40,204 Ma per questo video limiteremo la nostra visione al caso di un determinante +43 +00:02:40,204 --> 00:02:43,129 +diverso da zero, il che significa che l'output di questa trasformazione si + 44 -00:02:38,069 --> 00:02:41,899 -diverso da zero, il che significa che l'output di questa trasformazione +00:02:43,129 --> 00:02:45,781 +estende ancora nell'intero spazio n-dimensionale in cui è iniziata; 45 -00:02:41,899 --> 00:02:45,678 -si estende ancora nell'intero spazio n-dimensionale in cui è iniziata; +00:02:45,781 --> 00:02:48,940 +ogni input finisce su uno e un solo output e ogni output ha uno e un solo input. 46 -00:02:45,678 --> 00:02:49,760 -ogni input finisce su uno e un solo output e ogni output ha uno e un solo input. +00:02:48,940 --> 00:02:54,912 +Un modo di pensare al nostro puzzle è che sappiamo che il vettore di output dato è una 47 -00:02:49,760 --> 00:02:55,806 -Un modo di pensare al nostro puzzle è che sappiamo che il vettore di output dato è una +00:02:54,912 --> 00:02:58,344 +combinazione lineare delle colonne della matrice; 48 -00:02:55,806 --> 00:02:59,281 -combinazione lineare delle colonne della matrice; +00:02:58,344 --> 00:03:03,356 +x*(il vettore dove si ferma i-hat) + y*(il vettore dove si ferma j-hat), 49 -00:02:59,281 --> 00:03:04,354 -x*(il vettore dove si ferma i-hat) + y*(il vettore dove si ferma j-hat), +00:03:03,356 --> 00:03:06,720 +ma vogliamo calcolare cosa sono esattamente xey. 50 -00:03:04,354 --> 00:03:07,760 -ma vogliamo calcolare cosa sono esattamente xey. +00:03:06,720 --> 00:03:18,160 +Come primo passo, lasciatemi mostrare un'idea sbagliata, ma nella giusta direzione. 51 -00:03:07,760 --> 00:03:11,380 -Come primo passo, lasciatemi mostrare un'idea sbagliata, ma nella giusta direzione. +00:03:18,800 --> 00:03:22,258 +La coordinata x di questo misterioso vettore di input è quella che ottieni 52 -00:03:11,380 --> 00:03:15,775 -La coordinata x di questo misterioso vettore di input è quella che ottieni +00:03:22,258 --> 00:03:25,440 +prendendo il suo prodotto scalare con il primo vettore base, [1; 0]. 53 -00:03:15,775 --> 00:03:19,820 -prendendo il suo prodotto scalare con il primo vettore base, [1; 0]. +00:03:26,160 --> 00:03:28,853 +Allo stesso modo, la coordinata y è ciò che si ottiene 54 -00:03:19,820 --> 00:03:23,490 -Allo stesso modo, la coordinata y è ciò che si ottiene +00:03:28,853 --> 00:03:31,400 +punteggiandola con il secondo vettore base, [0; 1]. 55 -00:03:23,490 --> 00:03:26,960 -punteggiandola con il secondo vettore base, [0; 1]. +00:03:31,900 --> 00:03:34,551 +Quindi forse speri che dopo la trasformazione, 56 -00:03:26,960 --> 00:03:29,596 -Quindi forse speri che dopo la trasformazione, +00:03:34,551 --> 00:03:38,500 +i prodotti scalari con la versione trasformata del vettore misterioso 57 -00:03:29,596 --> 00:03:33,523 -i prodotti scalari con la versione trasformata del vettore misterioso +00:03:38,500 --> 00:03:43,240 +con le versioni trasformate dei vettori base siano anch'essi queste coordinate xey. 58 -00:03:33,523 --> 00:03:38,460 -con le versioni trasformate dei vettori base siano anch'essi queste coordinate xey. +00:03:43,940 --> 00:03:46,496 +Sarebbe fantastico perché conosciamo le versioni 59 -00:03:38,460 --> 00:03:40,814 -Sarebbe fantastico perché conosciamo le versioni +00:03:46,496 --> 00:03:48,740 +trasformate di ciascuno di questi vettori. 60 -00:03:40,814 --> 00:03:42,880 -trasformate di ciascuno di questi vettori. +00:03:51,180 --> 00:03:54,200 +C'è solo un problema: non è affatto vero! 61 -00:03:42,880 --> 00:03:45,700 -C'è solo un problema: non è affatto vero! +00:03:54,640 --> 00:03:56,980 +Per la maggior parte delle trasformazioni lineari, 62 -00:03:45,700 --> 00:03:48,943 -Per la maggior parte delle trasformazioni lineari, +00:03:56,980 --> 00:04:00,240 +il prodotto scalare prima e dopo la trasformazione sarà molto diverso. 63 -00:03:48,943 --> 00:03:53,460 -il prodotto scalare prima e dopo la trasformazione sarà molto diverso. +00:04:00,800 --> 00:04:04,634 +Ad esempio, potresti avere due vettori che puntano generalmente nella stessa direzione, 64 -00:03:53,460 --> 00:03:57,347 -Ad esempio, potresti avere due vettori che puntano generalmente nella stessa direzione, +00:04:04,634 --> 00:04:08,251 +con un prodotto scalare positivo, che vengono allontanati l'uno dall'altro durante 65 -00:03:57,347 --> 00:04:01,013 -con un prodotto scalare positivo, che vengono allontanati l'uno dall'altro +00:04:08,251 --> 00:04:11,520 +la trasformazione, in modo tale da avere poi un prodotto scalare negativo. 66 -00:04:01,013 --> 00:04:04,680 -durante la trasformazione, in modo tale da avere poi un prodotto scalare negativo. +00:04:12,220 --> 00:04:16,365 +Allo stesso modo, se le cose iniziano perpendicolari, con prodotto scalare zero, 67 -00:04:04,680 --> 00:04:08,737 -Allo stesso modo, se le cose iniziano perpendicolari, con prodotto scalare zero, +00:04:16,365 --> 00:04:20,204 +come i due vettori di base, non c'è garanzia che rimarranno perpendicolari 68 -00:04:08,737 --> 00:04:12,694 -come i due vettori di base, non c'è garanzia che rimarranno perpendicolari +00:04:20,204 --> 00:04:23,480 +dopo la trasformazione, preservando quel prodotto scalare zero. 69 -00:04:12,694 --> 00:04:15,900 -dopo la trasformazione, preservando quel prodotto scalare zero. +00:04:24,100 --> 00:04:27,160 +Nell'esempio che stavamo guardando, i prodotti scalari non vengono certamente preservati. 70 -00:04:15,900 --> 00:04:17,788 -Nell'esempio che stavamo guardando, i prodotti +00:04:27,500 --> 00:04:29,940 +Tendono a diventare più grandi poiché la maggior parte dei vettori viene allungata. 71 -00:04:17,788 --> 00:04:19,380 -scalari non vengono certamente preservati. +00:04:29,940 --> 00:04:34,359 +In effetti, le trasformazioni che preservano i prodotti scalari sono 72 -00:04:19,380 --> 00:04:23,480 -Tendono a diventare più grandi poiché la maggior parte dei vettori viene allungata. +00:04:34,359 --> 00:04:39,100 +abbastanza speciali da avere un nome proprio: trasformazioni ortonormali. 73 -00:04:24,100 --> 00:04:26,589 -In effetti, le trasformazioni che preservano i prodotti scalari sono +00:04:39,720 --> 00:04:42,067 +Questi sono quelli che lasciano tutti i vettori 74 -00:04:26,589 --> 00:04:29,260 -abbastanza speciali da avere un nome proprio: trasformazioni ortonormali. +00:04:42,067 --> 00:04:44,660 +base perpendicolari tra loro con lunghezze unitarie. 75 -00:04:29,260 --> 00:04:31,845 -Questi sono quelli che lasciano tutti i vettori +00:04:45,740 --> 00:04:47,880 +Spesso si pensa a queste come a matrici di rotazione. 76 -00:04:31,845 --> 00:04:34,700 -base perpendicolari tra loro con lunghezze unitarie. +00:04:48,420 --> 00:04:52,200 +Corrispondono al movimento rigido, senza allungamento, schiacciamento o morphing. 77 -00:04:34,700 --> 00:04:36,980 -Spesso si pensa a queste come a matrici di rotazione. +00:04:53,000 --> 00:04:57,233 +Risolvere un sistema lineare con una matrice ortonormale è molto semplice: 78 -00:04:36,980 --> 00:04:41,500 -Corrispondono al movimento rigido, senza allungamento, schiacciamento o morphing. +00:04:57,233 --> 00:05:02,312 +poiché i prodotti scalari vengono preservati, prendere il prodotto scalare tra il vettore 79 -00:04:41,500 --> 00:04:46,025 -Risolvere un sistema lineare con una matrice ortonormale è molto semplice: +00:05:02,312 --> 00:05:07,279 +di output e tutte le colonne della matrice sarà come prendere i prodotti scalari tra il 80 -00:04:46,025 --> 00:04:51,455 -poiché i prodotti scalari vengono preservati, prendere il prodotto scalare tra il vettore +00:05:07,279 --> 00:05:11,964 +vettore di input e tutte le basi vettori, che equivale a trovare le coordinate del 81 -00:04:51,455 --> 00:04:56,765 -di output e tutte le colonne della matrice sarà come prendere i prodotti scalari tra il +00:05:11,964 --> 00:05:12,980 +vettore di input. 82 -00:04:56,765 --> 00:05:01,773 -vettore di input e tutte le basi vettori, che equivale a trovare le coordinate del +00:05:13,680 --> 00:05:17,197 +Quindi, in quel caso molto speciale, x sarebbe il prodotto scalare 83 -00:05:01,773 --> 00:05:02,860 -vettore di input. +00:05:17,197 --> 00:05:20,347 +della prima colonna con il vettore di output e y sarebbe il 84 -00:05:02,860 --> 00:05:05,812 -Quindi, in quel caso molto speciale, x sarebbe il prodotto scalare +00:05:20,347 --> 00:05:23,760 +prodotto scalare della seconda colonna con il vettore di output. 85 -00:05:05,812 --> 00:05:08,455 -della prima colonna con il vettore di output e y sarebbe il +00:05:26,820 --> 00:05:31,338 +Ora, anche se questa idea non funziona per la maggior parte dei sistemi lineari, 86 -00:05:08,455 --> 00:05:11,320 -prodotto scalare della seconda colonna con il vettore di output. +00:05:31,338 --> 00:05:33,961 +ci indica la direzione di qualcosa da cercare: 87 -00:05:11,320 --> 00:05:16,789 -Ora, anche se questa idea non funziona per la maggior parte dei sistemi lineari, +00:05:33,961 --> 00:05:38,814 +esiste una comprensione geometrica alternativa per le coordinate del nostro vettore di 88 -00:05:16,789 --> 00:05:19,962 -ci indica la direzione di qualcosa da cercare: +00:05:38,814 --> 00:05:41,660 +input che rimane invariata dopo la trasformazione? 89 -00:05:19,962 --> 00:05:25,836 -esiste una comprensione geometrica alternativa per le coordinate del nostro vettore di +00:05:42,360 --> 00:05:45,082 +Se la tua mente ha riflettuto sui determinanti, 90 -00:05:25,836 --> 00:05:29,280 -input che rimane invariata dopo la trasformazione? +00:05:45,082 --> 00:05:49,109 +potresti pensare a questa idea intelligente: prendi il parallelogramma 91 -00:05:29,280 --> 00:05:31,773 -Se la tua mente ha riflettuto sui determinanti, +00:05:49,109 --> 00:05:53,760 +definito dal primo vettore base, i-hat, e dal misterioso vettore di input [x; y]. 92 -00:05:31,773 --> 00:05:35,460 -potresti pensare a questa idea intelligente: prendi il parallelogramma +00:05:54,440 --> 00:05:57,172 +L'area di questo parallelogramma è la sua base, 1, 93 -00:05:35,460 --> 00:05:39,720 -definito dal primo vettore base, i-hat, e dal misterioso vettore di input [x; y]. +00:05:57,172 --> 00:06:00,227 +moltiplicata per l'altezza perpendicolare a quella base, 94 -00:05:39,720 --> 00:05:41,913 -L'area di questo parallelogramma è la sua base, 1, +00:06:00,227 --> 00:06:02,960 +che è la coordinata y del nostro vettore di input. 95 -00:05:41,913 --> 00:05:44,346 -moltiplicata per l'altezza perpendicolare a quella base, +00:06:03,680 --> 00:06:06,920 +Quindi, l'area di questo parallelogramma è una specie di modo 96 -00:05:44,346 --> 00:05:46,380 -che è la coordinata y del nostro vettore di input. +00:06:06,920 --> 00:06:09,742 +intricato per descrivere la coordinata y del vettore; 97 -00:05:46,380 --> 00:05:50,686 -Quindi, l'area di questo parallelogramma è una specie di +00:06:09,742 --> 00:06:13,140 +è un modo stravagante di parlare di coordinate, ma corri con me. 98 -00:05:50,686 --> 00:05:54,851 -modo intricato per descrivere la coordinata y del vettore; +00:06:13,700 --> 00:06:17,669 +In realtà, per essere più precisi, dovresti pensare all'area con segno 99 -00:05:54,851 --> 00:05:59,440 -è un modo stravagante di parlare di coordinate, ma corri con me. +00:06:17,669 --> 00:06:21,640 +di questo parallelogramma, nel senso descritto dal video determinante. 100 -00:05:59,440 --> 00:06:03,775 -In realtà, per essere più precisi, dovresti pensare all'area con segno +00:06:22,200 --> 00:06:25,065 +In questo modo, un vettore con coordinata y negativa 101 -00:06:03,775 --> 00:06:07,880 -di questo parallelogramma, nel senso descritto dal video determinante. +00:06:25,065 --> 00:06:28,580 +corrisponderebbe ad un'area negativa per questo parallelogramma. 102 -00:06:07,880 --> 00:06:10,000 -In questo modo, un vettore con coordinata y negativa +00:06:28,960 --> 00:06:30,919 +Simmetricamente, se guardi il parallelogramma formato dal vettore e dal 103 -00:06:10,000 --> 00:06:12,760 -corrisponderebbe ad un'area negativa per questo parallelogramma. +00:06:30,919 --> 00:06:32,960 +secondo vettore base, j-hat, la sua area sarà la coordinata x del vettore. 104 -00:06:12,760 --> 00:06:16,942 -Simmetricamente, se guardi il parallelogramma formato dal vettore e dal +00:06:32,960 --> 00:06:36,678 +Ancora una volta, è un modo strano di rappresentare la coordinata x, 105 -00:06:16,942 --> 00:06:21,300 -secondo vettore base, j-hat, la sua area sarà la coordinata x del vettore. +00:06:36,678 --> 00:06:38,780 +ma vedrai cosa ci offre tra un attimo. 106 -00:06:21,300 --> 00:06:24,762 -Ancora una volta, è un modo strano di rappresentare la coordinata x, +00:06:38,780 --> 00:06:42,637 +Ecco come apparirebbe in tre dimensioni: normalmente il modo in cui potresti pensare 107 -00:06:24,762 --> 00:06:26,720 -ma vedrai cosa ci offre tra un attimo. +00:06:42,637 --> 00:06:45,677 +a una delle coordinate di un vettore, diciamo la sua coordinata z, 108 -00:06:26,720 --> 00:06:30,563 -Ecco come apparirebbe in tre dimensioni: normalmente il modo in cui potresti pensare +00:06:45,677 --> 00:06:49,762 +sarebbe quello di prendere il suo prodotto scalare con il terzo vettore di base standard, 109 -00:06:30,563 --> 00:06:33,593 -a una delle coordinate di un vettore, diciamo la sua coordinata z, +00:06:49,762 --> 00:06:50,080 +k-hat. 110 -00:06:33,593 --> 00:06:37,663 -sarebbe quello di prendere il suo prodotto scalare con il terzo vettore di base standard, +00:06:50,680 --> 00:06:52,330 +Consideriamo invece il parallelepipedo che crea con gli altri due vettori base, 111 -00:06:37,663 --> 00:06:37,980 -k-hat. +00:06:52,330 --> 00:06:52,640 +i-hat e j-hat. 112 -00:06:37,980 --> 00:06:43,773 -Consideriamo invece il parallelepipedo che crea con gli altri due vettori base, +00:06:52,740 --> 00:06:54,766 +Se pensi al quadrato con area 1 attraversata da i-hat e j-hat come base di questo 113 -00:06:43,773 --> 00:06:44,860 -i-hat e j-hat. +00:06:54,766 --> 00:06:56,002 +ragazzo, il suo volume è uguale alla sua altezza, 114 -00:06:44,860 --> 00:06:48,738 -Se pensi al quadrato con area 1 attraversata da i-hat e j-hat come base di questo +00:06:56,002 --> 00:06:57,140 +che è la terza coordinata del nostro vettore. 115 -00:06:48,738 --> 00:06:51,104 -ragazzo, il suo volume è uguale alla sua altezza, +00:06:57,140 --> 00:07:01,481 +Allo stesso modo, il modo stravagante di pensare a qualsiasi altra coordinata 116 -00:06:51,104 --> 00:06:53,280 -che è la terza coordinata del nostro vettore. +00:07:01,481 --> 00:07:05,600 +di questo vettore è formare il parallelepipedo tra questo vettore e tutti 117 -00:06:53,280 --> 00:06:57,145 -Allo stesso modo, il modo stravagante di pensare a qualsiasi altra coordinata +00:07:05,600 --> 00:07:09,720 +i vettori base diversi da quello che stai cercando e ottenerne il volume. 118 -00:06:57,145 --> 00:07:00,812 -di questo vettore è formare il parallelepipedo tra questo vettore e tutti +00:07:09,720 --> 00:07:14,263 +O meglio, dovremmo parlare del volume con segno di questi parallelepipedi, 119 -00:07:00,812 --> 00:07:04,480 -i vettori base diversi da quello che stai cercando e ottenerne il volume. +00:07:14,263 --> 00:07:17,291 +nel senso descritto nel video delle determinanti, 120 -00:07:04,480 --> 00:07:08,909 -O meglio, dovremmo parlare del volume con segno di questi parallelepipedi, +00:07:17,291 --> 00:07:22,380 +dove conta l'ordine in cui elenchi i tre vettori e usi la regola della mano destra. 121 -00:07:08,909 --> 00:07:11,862 -nel senso descritto nel video delle determinanti, +00:07:22,380 --> 00:07:25,240 +In questo modo le coordinate negative hanno ancora senso. 122 -00:07:11,862 --> 00:07:17,060 -dove conta l'ordine in cui elenchi i tre vettori e usi la regola della mano destra. +00:07:25,240 --> 00:07:27,500 +Ok, allora perché pensare alle coordinate come ad aree e volumi in questo modo? 123 -00:07:17,060 --> 00:07:18,800 -In questo modo le coordinate negative hanno ancora senso. +00:07:27,500 --> 00:07:28,374 +Quando applichi una trasformazione della matrice, 124 -00:07:18,800 --> 00:07:22,080 -Ok, allora perché pensare alle coordinate come ad aree e volumi in questo modo? +00:07:28,374 --> 00:07:29,300 +le aree dei parallelogrammi non rimangono le stesse, 125 -00:07:22,080 --> 00:07:24,163 -Quando applichi una trasformazione della matrice, +00:07:29,300 --> 00:07:30,000 +potrebbero essere ingrandite o ridotte. 126 -00:07:24,163 --> 00:07:26,372 -le aree dei parallelogrammi non rimangono le stesse, +00:07:30,000 --> 00:07:31,806 +Ma (!), e questa è un’idea chiave dei determinanti, 127 -00:07:26,372 --> 00:07:28,040 -potrebbero essere ingrandite o ridotte. +00:07:31,806 --> 00:07:33,960 +tutte queste aree vengono ridimensionate nella stessa misura. 128 -00:07:28,040 --> 00:07:30,074 -Ma (!), e questa è un’idea chiave dei determinanti, +00:07:33,960 --> 00:07:37,900 +Vale a dire, il determinante della nostra matrice di trasformazione. 129 -00:07:30,074 --> 00:07:32,500 -tutte queste aree vengono ridimensionate nella stessa misura. +00:07:38,440 --> 00:07:42,593 +Ad esempio, se guardi il parallelogramma attraversato dal vettore in 130 -00:07:32,500 --> 00:07:34,700 -Vale a dire, il determinante della nostra matrice di trasformazione. +00:07:42,593 --> 00:07:47,288 +cui si trova il tuo primo vettore base, che è la prima colonna della matrice, 131 -00:07:34,700 --> 00:07:37,730 -Ad esempio, se guardi il parallelogramma attraversato dal vettore in +00:07:47,288 --> 00:07:50,720 +e la versione trasformata di [x; y], qual è la sua area? 132 -00:07:37,730 --> 00:07:41,156 -cui si trova il tuo primo vettore base, che è la prima colonna della matrice, +00:07:50,720 --> 00:07:55,068 +Bene, questa è la versione trasformata del parallelogramma che stavamo guardando prima, 133 -00:07:41,156 --> 00:07:43,660 -e la versione trasformata di [x; y], qual è la sua area? +00:07:55,068 --> 00:07:58,280 +la cui area era la coordinata y del misterioso vettore di input. 134 -00:07:43,660 --> 00:07:47,605 -Bene, questa è la versione trasformata del parallelogramma che stavamo guardando prima, +00:07:58,960 --> 00:08:01,927 +Quindi la sua area sarà la determinante della trasformazione moltiplicata per quel valore. 135 -00:07:47,605 --> 00:07:50,520 -la cui area era la coordinata y del misterioso vettore di input. +00:08:01,927 --> 00:08:01,960 + 136 -00:07:50,520 --> 00:07:56,533 -Quindi la sua area sarà la determinante della trasformazione moltiplicata per quel valore. +00:08:01,960 --> 00:08:05,360 +Quindi, la coordinata y del nostro misterioso vettore di input è l'area di 137 -00:07:56,533 --> 00:07:56,600 - +00:08:05,360 --> 00:08:08,669 +questo parallelogramma, compresa tra la prima colonna della matrice e il 138 -00:07:56,600 --> 00:07:59,925 -Quindi, la coordinata y del nostro misterioso vettore di input è l'area +00:08:08,669 --> 00:08:12,160 +vettore di output, divisa per il determinante della trasformazione completa. 139 -00:07:59,925 --> 00:08:03,250 -di questo parallelogramma, compresa tra la prima colonna della matrice e il +00:08:12,160 --> 00:08:14,880 +E come si ottiene quest'area? 140 -00:08:03,250 --> 00:08:06,620 -vettore di output, divisa per il determinante della trasformazione completa. +00:08:14,880 --> 00:08:17,677 +Bene, conosciamo le coordinate di dove si ferma il misterioso vettore di input, 141 -00:08:06,980 --> 00:08:08,020 -E come si ottiene quest'area? +00:08:17,677 --> 00:08:19,880 +questo è il punto centrale di un sistema lineare di equazioni. 142 -00:08:08,020 --> 00:08:12,853 -Bene, conosciamo le coordinate di dove si ferma il misterioso vettore di input, +00:08:19,880 --> 00:08:26,421 +Quindi, crea una matrice la cui prima colonna è la stessa della nostra matrice 143 -00:08:12,853 --> 00:08:16,660 -questo è il punto centrale di un sistema lineare di equazioni. +00:08:26,421 --> 00:08:32,880 +e la cui seconda colonna è il vettore di output e prendi il suo determinante. 144 -00:08:16,660 --> 00:08:21,249 -Quindi, crea una matrice la cui prima colonna è la stessa della nostra matrice +00:08:32,880 --> 00:08:36,067 +Quindi guardalo; semplicemente utilizzando i dati dell'output della trasformazione, 145 -00:08:21,249 --> 00:08:25,780 -e la cui seconda colonna è il vettore di output e prendi il suo determinante. +00:08:36,067 --> 00:08:39,216 +vale a dire le colonne della matrice e le coordinate del nostro vettore di output, 146 -00:08:26,060 --> 00:08:29,708 -Quindi guardalo; semplicemente utilizzando i dati dell'output della trasformazione, +00:08:39,216 --> 00:08:42,100 +possiamo recuperare la coordinata y del nostro misterioso vettore di input. 147 -00:08:29,708 --> 00:08:33,149 -vale a dire le colonne della matrice e le coordinate del nostro vettore di output, +00:08:42,100 --> 00:08:43,500 +Allo stesso modo, la stessa idea può darti la coordinata x. 148 -00:08:33,149 --> 00:08:36,299 -possiamo recuperare la coordinata y del nostro misterioso vettore di input. +00:08:43,500 --> 00:08:50,637 +Guarda quel parallelogramma che abbiamo definito in precedenza che codifica la coordinata 149 -00:08:36,299 --> 00:08:39,280 -Allo stesso modo, la stessa idea può darti la coordinata x. +00:08:50,637 --> 00:08:57,140 +x del misterioso vettore di input, attraversato dal vettore di input e dal j-hat. 150 -00:08:40,179 --> 00:08:44,774 -Guarda quel parallelogramma che abbiamo definito in precedenza che codifica la coordinata +00:08:57,140 --> 00:08:59,744 +La versione trasformata di questo tipo è estesa dal vettore 151 -00:08:44,774 --> 00:08:48,960 -x del misterioso vettore di input, attraversato dal vettore di input e dal j-hat. +00:08:59,744 --> 00:09:01,871 +di output e dalla seconda colonna della matrice, 152 -00:08:48,960 --> 00:08:52,322 -La versione trasformata di questo tipo è estesa dal vettore +00:09:01,871 --> 00:09:05,040 +e la sua area sarà stata moltiplicata per il determinante della matrice. 153 -00:08:52,322 --> 00:08:55,068 -di output e dalla seconda colonna della matrice, +00:09:05,060 --> 00:09:10,099 +Quindi la coordinata x del nostro misterioso vettore di input 154 -00:08:55,068 --> 00:08:59,160 -e la sua area sarà stata moltiplicata per il determinante della matrice. +00:09:10,099 --> 00:09:15,140 +è quest'area divisa per il determinante della trasformazione. 155 -00:08:59,720 --> 00:09:02,190 -Quindi la coordinata x del nostro misterioso vettore di input è +00:09:15,600 --> 00:09:18,353 +Simmetrico a quanto fatto prima, puoi calcolare l'area del parallelogramma 156 -00:09:02,190 --> 00:09:04,660 -quest'area divisa per il determinante della trasformazione. +00:09:18,353 --> 00:09:20,923 +di output creando una nuova matrice la cui prima colonna è il vettore 157 -00:09:04,660 --> 00:09:09,210 -Simmetrico a quanto fatto prima, puoi calcolare l'area del parallelogramma +00:09:20,923 --> 00:09:23,420 +di output e la cui seconda colonna è uguale alla matrice originale. 158 -00:09:09,210 --> 00:09:13,415 -di output creando una nuova matrice la cui prima colonna è il vettore di +00:09:23,420 --> 00:09:26,802 +Quindi, ancora una volta, usando solo i dati dallo spazio di output, 159 -00:09:13,415 --> 00:09:17,160 -output e la cui seconda colonna è uguale alla matrice originale. +00:09:26,802 --> 00:09:29,694 +i numeri che vediamo nel nostro sistema lineare originale, 160 -00:09:17,160 --> 00:09:19,926 -Quindi, ancora una volta, usando solo i dati dallo spazio di output, +00:09:29,694 --> 00:09:33,420 +possiamo recuperare la coordinata x del nostro misterioso vettore di input. 161 -00:09:19,926 --> 00:09:22,292 -i numeri che vediamo nel nostro sistema lineare originale, +00:09:33,420 --> 00:09:39,108 +Questa formula per trovare le soluzioni di un sistema 162 -00:09:22,292 --> 00:09:25,340 -possiamo recuperare la coordinata x del nostro misterioso vettore di input. +00:09:39,108 --> 00:09:44,480 +lineare di equazioni è nota come regola di Cramer. 163 -00:09:25,600 --> 00:09:27,667 -Questa formula per trovare le soluzioni di un sistema +00:09:44,480 --> 00:09:45,340 +Ecco, solo per controllarci, inserisci i numeri qui. 164 -00:09:27,667 --> 00:09:29,620 -lineare di equazioni è nota come regola di Cramer. +00:09:45,340 --> 00:09:48,809 +Il determinante della matrice alterata in alto è 4+2, che è 6, 165 -00:09:29,620 --> 00:09:34,300 -Ecco, solo per controllarci, inserisci i numeri qui. +00:09:48,809 --> 00:09:52,940 +e il determinante inferiore è 2, quindi la coordinata x dovrebbe essere 3. 166 -00:09:34,300 --> 00:09:37,586 -Il determinante della matrice alterata in alto è 4+2, che è 6, +00:09:53,860 --> 00:10:01,745 +E infatti, guardando indietro al vettore di input con cui abbiamo iniziato, 167 -00:09:37,586 --> 00:09:41,500 -e il determinante inferiore è 2, quindi la coordinata x dovrebbe essere 3. +00:10:01,745 --> 00:10:04,340 +la sua coordinata x è 3. 168 -00:09:41,500 --> 00:09:44,524 -E infatti, guardando indietro al vettore di input con cui abbiamo iniziato, +00:10:04,340 --> 00:10:06,020 +Allo stesso modo, la regola di Cramer suggerisce che la coordinata y dovrebbe essere 4/2, 169 -00:09:44,524 --> 00:09:45,520 -la sua coordinata x è 3. +00:10:06,020 --> 00:10:07,701 +o 2, e questa è infatti la coordinata y del vettore di input con cui abbiamo iniziato qui. 170 -00:09:45,520 --> 00:09:50,283 -Allo stesso modo, la regola di Cramer suggerisce che la coordinata y dovrebbe essere 4/2, +00:10:07,701 --> 00:10:07,720 + 171 -00:09:50,283 --> 00:09:55,047 -o 2, e questa è infatti la coordinata y del vettore di input con cui abbiamo iniziato qui. +00:10:07,720 --> 00:10:13,689 +Il caso delle tre dimensioni è simile e ti consiglio 172 -00:09:55,047 --> 00:09:55,100 - +00:10:13,689 --> 00:10:18,420 +vivamente di fermarti a pensarci da solo. 173 -00:09:55,340 --> 00:09:58,620 -Il caso delle tre dimensioni è simile e ti consiglio +00:10:19,120 --> 00:10:21,580 +Ecco, ti do un piccolo slancio. 174 -00:09:58,620 --> 00:10:01,220 -vivamente di fermarti a pensarci da solo. +00:10:21,580 --> 00:10:24,848 +Abbiamo questa trasformazione nota, data da una matrice 3x3, 175 -00:10:01,220 --> 00:10:04,220 -Ecco, ti do un piccolo slancio. +00:10:24,848 --> 00:10:29,027 +e un vettore di output noto, dato dal lato destro del nostro sistema lineare, 176 -00:10:04,220 --> 00:10:07,046 -Abbiamo questa trasformazione nota, data da una matrice 3x3, +00:10:29,027 --> 00:10:33,260 +e vogliamo sapere quale vettore di input si ferma su questo vettore di output. 177 -00:10:07,046 --> 00:10:10,659 -e un vettore di output noto, dato dal lato destro del nostro sistema lineare, +00:10:33,260 --> 00:10:37,021 +Se pensi, ad esempio, alla coordinata z del vettore di input come al volume di 178 -00:10:10,659 --> 00:10:14,320 -e vogliamo sapere quale vettore di input si ferma su questo vettore di output. +00:10:37,021 --> 00:10:41,164 +questo parallelepipedo attraversato da i-hat, j-hat e dal misterioso vettore di input, 179 -00:10:14,320 --> 00:10:18,703 -Se pensi, ad esempio, alla coordinata z del vettore di input come al volume di +00:10:41,164 --> 00:10:44,640 +cosa succede al volume di questo parallelepipedo dopo la trasformazione? 180 -00:10:18,703 --> 00:10:23,529 -questo parallelepipedo attraversato da i-hat, j-hat e dal misterioso vettore di input, +00:10:44,640 --> 00:10:51,660 +Come puoi calcolare quel nuovo volume? 181 -00:10:23,529 --> 00:10:27,580 -cosa succede al volume di questo parallelepipedo dopo la trasformazione? +00:10:51,660 --> 00:10:56,041 +Davvero, fermatevi e prendetevi un momento per pensare ai dettagli di 182 -00:10:27,580 --> 00:10:30,200 -Come puoi calcolare quel nuovo volume? +00:10:56,041 --> 00:11:00,298 +generalizzare questo a dimensioni superiori; trovare un'espressione 183 -00:10:30,200 --> 00:10:34,479 -Davvero, fermatevi e prendetevi un momento per pensare ai dettagli di +00:11:00,298 --> 00:11:04,680 +per ciascuna coordinata della soluzione a sistemi lineari più grandi. 184 -00:10:34,479 --> 00:10:38,880 -generalizzare questo a dimensioni superiori; trovare un'espressione +00:11:05,100 --> 00:11:19,175 +Pensare a casi più generali e convincersi che funziona è il 185 -00:10:38,880 --> 00:10:43,160 -per ciascuna coordinata della soluzione a sistemi lineari più grandi. +00:11:19,175 --> 00:11:32,782 +luogo in cui avverrà tutto l'apprendimento, molto più che 186 -00:10:43,160 --> 00:11:03,902 -Pensare a casi più generali e convincersi che funziona è il - -187 -00:11:03,902 --> 00:11:20,497 -luogo in cui avverrà tutto l'apprendimento, - -188 -00:11:20,497 --> 00:11:48,500 -molto più che ascoltare qualche tizio su YouTube che ripercorre il ragionamento. +00:11:32,782 --> 00:11:48,500 +ascoltare qualche tizio su YouTube che ripercorre il ragionamento. diff --git a/2019/cramers-rule/japanese/auto_generated.srt b/2019/cramers-rule/japanese/auto_generated.srt index 035936aa5..f8ed77c1e 100644 --- a/2019/cramers-rule/japanese/auto_generated.srt +++ b/2019/cramers-rule/japanese/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:11,199 --> 00:00:13,805 +00:00:11,200 --> 00:00:13,805 以前のビデオで私は線形方程式系について話し 2 @@ -79,19 +79,19 @@ たとえば、ガウス消去法は常に高速になります。 21 -00:01:01,980 --> 00:01:03,840 +00:01:01,980 --> 00:01:03,520 では、なぜそれを学ぶのでしょうか？ 22 -00:01:03,840 --> 00:01:06,258 +00:01:03,780 --> 00:01:06,220 これを一種の文化旅行と考えてください。 23 -00:01:06,258 --> 00:01:09,568 +00:01:06,220 --> 00:01:09,560 これらのシステムの理論についての知識を深めるのに役立 24 -00:01:09,568 --> 00:01:10,460 +00:01:09,560 --> 00:01:10,460 つ演習です。 25 @@ -139,782 +139,782 @@ y、および 2 つ の方程式を含む線形方程式系になります。 の未知数と同じ数の方程式を持つシステムで機能します。 36 -00:01:42,440 --> 00:01:43,844 +00:01:42,440 --> 00:01:43,971 ただし、わかりやすくするために、小さな例 37 -00:01:43,844 --> 00:01:45,320 +00:01:43,971 --> 00:01:45,580 を頭に入れておくとわかりやすいでしょう。 38 -00:01:45,320 --> 00:01:48,933 +00:01:46,320 --> 00:01:49,687 したがって、前のビデオで説明したように、この設定は、未 39 -00:01:48,933 --> 00:01:52,546 +00:01:49,687 --> 00:01:53,055 知のベクトル [x; を変換する特定の既知の行列として 40 -00:01:52,546 --> 00:01:54,687 +00:01:53,055 --> 00:01:55,050 幾何学的に考えることができます。 41 -00:01:54,687 --> 00:01:57,898 +00:01:55,050 --> 00:01:58,044 y]、出力がどのようになるかがわかっています。 42 -00:01:57,898 --> 00:02:00,040 +00:01:58,044 --> 00:02:00,040 この場合は [-4; -2]。 43 -00:02:00,800 --> 00:02:04,216 +00:02:00,800 --> 00:02:03,774 この行列の列は、その行列が変換としてどのように機 44 -00:02:04,216 --> 00:02:07,770 +00:02:03,774 --> 00:02:06,867 能するかを示しており、各列は入力空間の基底ベクトルが 45 -00:02:07,770 --> 00:02:11,460 +00:02:06,867 --> 00:02:10,080 どこに到達するかを示していることに注意してく ださい。 46 -00:02:11,460 --> 00:02:12,236 +00:02:10,860 --> 00:02:11,768 つまり、私たちが持っているのは一種のパズルです。 47 -00:02:12,236 --> 00:02:13,142 +00:02:11,768 --> 00:02:12,828 どの入力ベクトル x、y がこの出力 (負の 4、負の 48 -00:02:13,142 --> 00:02:14,081 +00:02:12,828 --> 00:02:13,927 2) に到達するでしょうか?ここでの小さなパズルを考える 49 -00:02:14,081 --> 00:02:14,695 +00:02:13,927 --> 00:02:14,646 1 つの方法は、指定された出力ベクト 50 -00:02:14,695 --> 00:02:15,666 +00:02:14,646 --> 00:02:15,782 ルが行列の列の線形結合 (i-hat が着地するベクトルの 51 -00:02:15,666 --> 00:02:16,572 +00:02:15,782 --> 00:02:16,842 x 倍と、j-hat が着地する ベクトルの y 倍) 52 -00:02:16,572 --> 00:02:17,220 +00:02:16,842 --> 00:02:17,600 であることがわかっているということです。 53 -00:02:17,220 --> 00:02:20,303 +00:02:17,600 --> 00:02:21,083 ここで得られる答えの種類は、変換によって 54 -00:02:20,303 --> 00:02:23,387 +00:02:21,083 --> 00:02:24,567 空間全体が低次元に押しつぶされるかどうか 55 -00:02:23,387 --> 00:02:26,780 +00:02:24,567 --> 00:02:28,400 によって決まることを覚えておいてください。 56 -00:02:26,780 --> 00:02:28,240 +00:02:28,400 --> 00:02:31,220 それは、決定要因がゼロの場合です。 57 -00:02:28,240 --> 00:02:31,187 +00:02:31,220 --> 00:02:33,676 その場合、指定された出力に到達する入力がまったくないか、 58 -00:02:31,187 --> 00:02:34,240 +00:02:33,676 --> 00:02:36,220 その出力に到達する入力が大量に存在するかのどちらかです。 59 -00:02:34,240 --> 00:02:37,268 +00:02:37,240 --> 00:02:39,522 ただし、このビデオでは、ゼロ 以外の行列式の場合 60 -00:02:37,268 --> 00:02:40,296 +00:02:39,522 --> 00:02:41,805 に視点を限定します。つまり、この変換の出力は、開 61 -00:02:40,296 --> 00:02:43,955 +00:02:41,805 --> 00:02:44,564 始時の完全な次 元空間にまだ広がっていることを意味します。 62 -00:02:43,955 --> 00:02:46,984 +00:02:44,564 --> 00:02:46,847 すべての入力は 1 つだけの出力に接続され、す 63 -00:02:46,984 --> 00:02:49,760 +00:02:46,847 --> 00:02:48,940 べての出力には 1 つだけの入力があります。 64 -00:02:49,760 --> 00:02:53,256 +00:02:48,940 --> 00:02:52,393 このパズルについて考える 1 つの方法は、指定された出 65 -00:02:53,256 --> 00:02:56,752 +00:02:52,393 --> 00:02:55,847 力ベクトルが行列の列の線形結合であることがわかっている 66 -00:02:56,752 --> 00:03:00,508 +00:02:55,847 --> 00:02:59,556 ということです。 x*(i-hat が着地するベクトル) 67 -00:03:00,508 --> 00:03:04,134 +00:02:59,556 --> 00:03:03,138 + y*(j-hat が着地するベクトル) しかし、x 68 -00:03:04,134 --> 00:03:07,760 +00:03:03,138 --> 00:03:06,720 と y が正確に何であるかを計算したいと考えています。 69 -00:03:07,760 --> 00:03:09,521 +00:03:06,720 --> 00:03:12,285 最初のパスとして、間違っているが正し 70 -00:03:09,521 --> 00:03:11,380 +00:03:12,285 --> 00:03:18,160 い方向にあるアイデアを示しましょう。 71 -00:03:11,380 --> 00:03:17,944 +00:03:18,800 --> 00:03:23,964 この謎の入力ベクトルの x 座標は、最初の基底ベクトル 72 -00:03:17,944 --> 00:03:19,820 +00:03:23,964 --> 00:03:25,440 [1; 0]。 73 -00:03:19,820 --> 00:03:23,876 +00:03:26,160 --> 00:03:29,137 同様に、y 座標は、2 番目の基底ベクトル 0, 74 -00:03:23,876 --> 00:03:26,960 +00:03:29,137 --> 00:03:31,400 1 で点を打つことによって得られます。 75 -00:03:26,960 --> 00:03:30,293 +00:03:31,900 --> 00:03:35,186 したがって、変換後、ミステリー ベクト 76 -00:03:30,293 --> 00:03:33,960 +00:03:35,186 --> 00:03:38,802 ルと変換後のバージョンの内積もこれらの座標 77 -00:03:33,960 --> 00:03:38,460 +00:03:38,802 --> 00:03:43,240 x と y になることを 期待しているかもしれません。 78 -00:03:38,460 --> 00:03:41,187 +00:03:43,940 --> 00:03:46,901 これらの各ベクトルの変換バージョンが何であるかがわかって 79 -00:03:41,187 --> 00:03:42,880 +00:03:46,901 --> 00:03:48,740 いるので、それは素晴らしいことです。 80 -00:03:42,880 --> 00:03:45,700 +00:03:51,180 --> 00:03:54,200 ただ一つ問題があるのですが、それは全く真実ではありません。 81 -00:03:45,700 --> 00:03:52,519 +00:03:54,640 --> 00:03:59,561 ほとんどの線形変換では、変換前と変換後の内積は大きく異な 82 -00:03:52,519 --> 00:03:53,460 +00:03:59,561 --> 00:04:00,240 ります。 83 -00:03:53,460 --> 00:03:57,428 +00:04:00,800 --> 00:04:04,591 たとえば、正の内積を持つ 2 つのベクトルが通常は同じ方 84 -00:03:57,428 --> 00:04:01,122 +00:04:04,591 --> 00:04:08,120 向を向いている場合、変換中にこれらのベクトルが互いに引 85 -00:04:01,122 --> 00:04:04,680 +00:04:08,120 --> 00:04:11,520 き離されて 、最終的に負の内積になる場合があります。 86 -00:04:04,680 --> 00:04:08,059 +00:04:12,220 --> 00:04:15,611 同様に、2 つの基底ベク トルのように、内積 0 87 -00:04:08,059 --> 00:04:11,303 +00:04:15,611 --> 00:04:18,867 で垂直に始まるものは、変換後も互いに垂直のまま 88 -00:04:11,303 --> 00:04:14,683 +00:04:18,867 --> 00:04:22,259 ではないことがよくあります。つまり、その内積 0 89 -00:04:14,683 --> 00:04:15,900 +00:04:22,259 --> 00:04:23,480 が保持されません。 90 -00:04:15,900 --> 00:04:19,380 +00:04:24,100 --> 00:04:27,160 私たちが見ていた例では、内積は確かに保存されません。 91 -00:04:19,380 --> 00:04:21,430 +00:04:27,500 --> 00:04:28,720 ほとんどのベクトルが引き伸ばされるため 92 -00:04:21,430 --> 00:04:23,480 +00:04:28,720 --> 00:04:29,940 、それらは大きくなる傾向があります。 93 -00:04:24,100 --> 00:04:26,617 +00:04:29,940 --> 00:04:34,408 実際、ドット積を保持する変換は、正規直交 94 -00:04:26,617 --> 00:04:29,260 +00:04:34,408 --> 00:04:39,100 変換という独自の名前を持つほど特別です。 95 -00:04:29,260 --> 00:04:31,663 +00:04:39,720 --> 00:04:41,902 これらは、すべての基底ベクトルを互い 96 -00:04:31,663 --> 00:04:34,700 +00:04:41,902 --> 00:04:44,660 に垂直にし、単位長を維持したままにするものです。 97 -00:04:34,700 --> 00:04:36,980 +00:04:45,740 --> 00:04:47,880 これらは回転行列として考えることがよくあります。 98 -00:04:36,980 --> 00:04:39,993 +00:04:48,420 --> 00:04:50,940 ストレッチ、潰し、モーフィングを行わない、リジッド 99 -00:04:39,993 --> 00:04:41,500 +00:04:50,940 --> 00:04:52,200 モーションに対応します。 100 -00:04:41,500 --> 00:04:46,467 +00:04:53,000 --> 00:04:57,646 正規直交行列を使用して線形システムを解くのは非常に簡単です。 101 -00:04:46,467 --> 00:04:50,606 +00:04:57,646 --> 00:05:01,518 内積が保存されるため、出力ベクトルと行列のすべての 102 -00:04:50,606 --> 00:04:54,746 +00:05:01,518 --> 00:05:05,390 列の間の内積を求めることは、入力ベクトルとすべての 103 -00:04:54,746 --> 00:04:58,389 +00:05:05,390 --> 00:05:08,798 基底の間の内積を求めることと同じになります。 104 -00:04:58,389 --> 00:05:02,860 +00:05:08,798 --> 00:05:12,980 これは、入力ベクトルの座標を見つけることと同じです。 105 -00:05:02,860 --> 00:05:05,525 +00:05:13,680 --> 00:05:16,855 したがっ て、この非常に特殊なケースでは、x 106 -00:05:05,525 --> 00:05:08,306 +00:05:16,855 --> 00:05:20,169 は最初の列と出力ベクトルのドット 積になり、y 107 -00:05:08,306 --> 00:05:11,320 +00:05:20,169 --> 00:05:23,760 は 2 番目の列と出力ベクトルのドット積になります。 108 -00:05:11,320 --> 00:05:14,276 +00:05:26,820 --> 00:05:29,263 この考えはほとんどすべての線形システムで当てはまらない 109 -00:05:14,276 --> 00:05:16,576 +00:05:29,263 --> 00:05:31,163 のに、なぜこれを取り上げるのでしょうか? 110 -00:05:16,576 --> 00:05:19,861 +00:05:31,163 --> 00:05:33,878 そう、それは私たちに、探すべきものの方向性を示してくれます。 111 -00:05:19,861 --> 00:05:22,818 +00:05:33,878 --> 00:05:36,321 変換後も変化しない、入 力ベクトルの座標に対する代替の 112 -00:05:22,818 --> 00:05:25,775 +00:05:36,321 --> 00:05:38,764 幾何学的な理解はあるのでし ょうか?決定要因について考 113 -00:05:25,775 --> 00:05:28,841 +00:05:38,764 --> 00:05:41,298 えているなら、次のような賢いアイデアを思いつくかもしれ 114 -00:05:28,841 --> 00:05:29,280 +00:05:41,298 --> 00:05:41,660 ません。 115 -00:05:29,280 --> 00:05:34,708 +00:05:42,360 --> 00:05:48,288 最初の基底ベクトル i-hat と謎の入力ベクトル 116 -00:05:34,708 --> 00:05:39,720 +00:05:48,288 --> 00:05:53,760 xy によって定義される平行四辺形を 考えます。 117 -00:05:39,720 --> 00:05:42,931 +00:05:54,440 --> 00:05:58,547 この平行四辺形の面積は、底辺とその底辺に垂直な高さの 118 -00:05:42,931 --> 00:05:46,380 +00:05:58,547 --> 00:06:02,960 1 倍であり、 これが入力ベクトルの y 座標になります。 119 -00:05:46,380 --> 00:05:50,680 +00:06:03,680 --> 00:06:06,794 したがって、その平行四辺形の面積は、 ベクトルの y 120 -00:05:50,680 --> 00:05:54,343 +00:06:06,794 --> 00:06:09,448 座標を記述する一種の厄介な回りくどい方法です。 121 -00:05:54,343 --> 00:05:58,643 +00:06:09,448 --> 00:06:12,563 座標について話すのは奇抜な方 法ですが、私と一緒に走り 122 -00:05:58,643 --> 00:05:59,440 +00:06:12,563 --> 00:06:13,140 ましょう。 123 -00:05:59,440 --> 00:06:02,915 +00:06:13,700 --> 00:06:16,969 そして実際には、もう少し正確に言うと、行列式のビデオで 124 -00:06:02,915 --> 00:06:05,645 +00:06:16,969 --> 00:06:19,538 説明されている意味で、これをその平行四辺形の 125 -00:06:05,645 --> 00:06:07,880 +00:06:19,538 --> 00:06:21,640 符号付き領域と考える必要があります。 126 -00:06:07,880 --> 00:06:09,301 +00:06:22,200 --> 00:06:24,058 このようにして、負の y 座標を持つベクトルは、少なくとも 127 -00:06:09,301 --> 00:06:10,533 +00:06:24,058 --> 00:06:25,668 i-hat が、ある意味で 、平行四辺形を定義する 128 -00:06:10,533 --> 00:06:11,717 +00:06:25,668 --> 00:06:27,217 2 つのベクトルのうちの最初のものであると考える場 129 -00:06:11,717 --> 00:06:12,760 +00:06:27,217 --> 00:06:28,580 合、この平 行四辺形の負の領域に対応します。 130 -00:06:12,760 --> 00:06:15,450 +00:06:28,960 --> 00:06:30,220 そして対称的に、謎の入力ベクトルと 2 番目 131 -00:06:15,450 --> 00:06:18,258 +00:06:30,220 --> 00:06:31,535 の基底 j ハットがまたがる平行四辺形を見ると、 132 -00:06:18,258 --> 00:06:21,300 +00:06:31,535 --> 00:06:32,960 その面積がその謎のベクト ルの x 座標になります。 133 -00:06:21,300 --> 00:06:23,954 +00:06:32,960 --> 00:06:35,810 繰り返しますが、これは x 座標を表す奇妙な方法 134 -00:06:23,954 --> 00:06:26,720 +00:06:35,810 --> 00:06:38,780 ですが、それ が何をもたらすかはすぐにわかります。 135 -00:06:26,720 --> 00:06:29,391 +00:06:38,780 --> 00:06:41,461 これがどのように一般化されるかを明確にするために、 3 136 -00:06:29,391 --> 00:06:31,777 +00:06:41,461 --> 00:06:43,855 次元で見てみましょう。通常、ベクトルの座標の 1 137 -00:06:31,777 --> 00:06:34,163 +00:06:43,855 --> 00:06:46,249 つ、たとえば Z 座標に ついて考える方法は、k 138 -00:06:34,163 --> 00:06:36,834 +00:06:46,249 --> 00:06:48,930 ハットと呼ばれることが多い 3 番目の標準基底ベクトル 139 -00:06:36,834 --> 00:06:37,980 +00:06:48,930 --> 00:06:50,080 との内積を取ることです。 140 -00:06:37,980 --> 00:06:39,891 +00:06:50,680 --> 00:06:51,224 しかし、別の幾何学的な解釈は、他の 2 141 -00:06:39,891 --> 00:06:42,184 +00:06:51,224 --> 00:06:51,877 つの基底ベクトル、i-h at と j-hat 142 -00:06:42,184 --> 00:06:44,860 +00:06:51,877 --> 00:06:52,640 を使用して作成される平行六面体を考慮することになります。 143 -00:06:44,860 --> 00:06:47,336 +00:06:52,740 --> 00:06:54,034 i-hat と j-hat がまたがるエリア 1 144 -00:06:47,336 --> 00:06:50,110 +00:06:54,034 --> 00:06:55,483 の正方形をこの形状全体のベースと考えると、その体積はそ 145 -00:06:50,110 --> 00:06:52,190 +00:06:55,483 --> 00:06:56,570 の高さと同じになり、これがベクトルの 3 146 -00:06:52,190 --> 00:06:53,280 +00:06:56,570 --> 00:06:57,140 番目の座標になります。 147 -00:06:53,280 --> 00:06:55,520 +00:06:57,140 --> 00:06:59,656 同様に、ベクトルの他の 座標について考える奇妙な方法 148 -00:06:55,520 --> 00:06:57,932 +00:06:59,656 --> 00:07:02,365 は、そのベクトルを使用して平行六面体を形成し、次に、探 149 -00:06:57,932 --> 00:07:00,172 +00:07:02,365 --> 00:07:04,881 している方向に対応するもの以外のすべての基底ベクトル 150 -00:07:00,172 --> 00:07:01,981 +00:07:04,881 --> 00:07:06,913 を使用して平行六面体を形成するこ とです。 151 -00:07:01,981 --> 00:07:04,480 +00:07:06,913 --> 00:07:09,720 そして、このボリュームによってコーディネートが決まります。 152 -00:07:04,480 --> 00:07:07,625 +00:07:09,720 --> 00:07:12,885 むしろ、右手の法則を使用した 行列式ビデオで説 153 -00:07:07,625 --> 00:07:11,590 +00:07:12,885 --> 00:07:16,875 明されている意味で、平行六面体の符号付き体積について話す 154 -00:07:11,590 --> 00:07:13,915 +00:07:16,875 --> 00:07:19,215 べきです。したがって、これら 3 155 -00:07:13,915 --> 00:07:17,060 +00:07:19,215 --> 00:07:22,380 つのベクトルをリストする順序が重要になります。 156 -00:07:17,060 --> 00:07:18,800 +00:07:22,380 --> 00:07:25,240 そうすれば、負の 座標も意味を持ちます。 157 -00:07:18,800 --> 00:07:20,440 +00:07:25,240 --> 00:07:26,370 では、なぜこのように座標を面積や 158 -00:07:20,440 --> 00:07:22,080 +00:07:26,370 --> 00:07:27,500 体積として考えるのでしょうか? 159 -00:07:22,080 --> 00:07:25,007 +00:07:27,500 --> 00:07:28,728 ある種の行列変換を適用すると、これらの平行四辺形の面積は 160 -00:07:25,007 --> 00:07:28,040 +00:07:28,728 --> 00:07:30,000 同じままでは なく、拡大または縮小される可能性があります。 161 -00:07:28,040 --> 00:07:30,270 +00:07:30,000 --> 00:07:31,980 しかし (!)、これは行列式の重要な考え方ですが、 162 -00:07:30,270 --> 00:07:32,500 +00:07:31,980 --> 00:07:33,960 これらすべての領域は同じ量だけスケールされます。 163 -00:07:32,500 --> 00:07:34,700 +00:07:33,960 --> 00:07:37,900 つまり、変換行列の行列式です。 164 -00:07:34,700 --> 00:07:38,682 +00:07:38,440 --> 00:07:43,897 たとえば、最初の基底ベクトルが到達するベクトル 165 -00:07:38,682 --> 00:07:43,660 +00:07:43,897 --> 00:07:50,720 (行列の最初の列) と [x; y]、その面積は何ですか? 166 -00:07:43,660 --> 00:07:46,694 +00:07:50,720 --> 00:07:54,063 これは、先ほど見ていた平行四辺形の変形版であ 167 -00:07:46,694 --> 00:07:50,520 +00:07:54,063 --> 00:07:58,280 り、その面積が謎の入力ベクトルの y 座標であるものです。 168 -00:07:50,520 --> 00:07:53,391 +00:07:58,960 --> 00:08:00,376 したがって、その面積は、その y 169 -00:07:53,391 --> 00:07:56,600 +00:08:00,376 --> 00:08:01,960 座標を乗じた変換の決定要因になります。 170 -00:07:56,600 --> 00:07:58,973 +00:08:01,960 --> 00:08:04,375 したがって、謎の入力ベクトルの y 171 -00:07:58,973 --> 00:08:02,269 +00:08:04,375 --> 00:08:07,731 座標は、行列の最初の列と出力ベクトルで構成されるこ 172 -00:08:02,269 --> 00:08:05,565 +00:08:07,731 --> 00:08:11,086 の平行四辺形の面積を、完全な変換の行列式で割ったも 173 -00:08:05,565 --> 00:08:06,620 +00:08:11,086 --> 00:08:12,160 のになります。 174 -00:08:06,980 --> 00:08:08,020 +00:08:12,160 --> 00:08:14,880 そして、どうやってこの領域を取得しますか？ 175 -00:08:08,020 --> 00:08:13,654 +00:08:14,880 --> 00:08:18,140 そうですね、謎の入力ベクトルが到達する座標はわかっています。 176 -00:08:13,654 --> 00:08:16,660 +00:08:18,140 --> 00:08:19,880 これが線形方程式系の要点です。 177 -00:08:16,660 --> 00:08:19,949 +00:08:19,880 --> 00:08:24,568 したがって、最初の列が行列と同じであるが、 178 -00:08:19,949 --> 00:08:22,939 +00:08:24,568 --> 00:08:28,830 2 番目の列が出力ベクトルである新しい行 179 -00:08:22,939 --> 00:08:25,780 +00:08:28,830 --> 00:08:32,880 列を作成し、その行列式を 取得します。 180 -00:08:26,060 --> 00:08:28,917 +00:08:32,880 --> 00:08:35,453 見てください、変換の出力からのデータ、つまり行 181 -00:08:28,917 --> 00:08:32,251 +00:08:35,453 --> 00:08:38,454 列の列と出力ベクトルの座標を使用するだけで、謎の入力ベク 182 -00:08:32,251 --> 00:08:34,275 +00:08:38,454 --> 00:08:40,277 トル の y 座標を回復できます。 183 -00:08:34,275 --> 00:08:36,299 +00:08:40,277 --> 00:08:42,100 これはシステムの解決の途中です 。 184 -00:08:36,299 --> 00:08:39,280 +00:08:42,100 --> 00:08:43,500 同様に、同じ考え方で x 座標を得ることができます。 185 -00:08:40,179 --> 00:08:42,618 +00:08:43,500 --> 00:08:47,288 先ほど定義した平行四辺形を見てください。 186 -00:08:42,618 --> 00:08:44,569 +00:08:47,288 --> 00:08:50,319 これは、謎の入力ベクトルの x 187 -00:08:44,569 --> 00:08:47,374 +00:08:50,319 --> 00:08:54,677 座標をエンコードしており、そのベクトルと j 188 -00:08:47,374 --> 00:08:48,960 +00:08:54,677 --> 00:08:57,140 ハットが広がっていま す。 189 -00:08:48,960 --> 00:08:54,060 +00:08:57,140 --> 00:09:01,089 この男の変換されたバージョンは、出力ベクトルと行列の 2 190 -00:08:54,060 --> 00:08:59,160 +00:09:01,089 --> 00:09:05,040 列目にまたがり、その面積はその行列の行列式で乗算されます。 191 -00:08:59,720 --> 00:09:02,190 +00:09:05,060 --> 00:09:10,099 したがって、x を解くには、この新しい領域を完 192 -00:09:02,190 --> 00:09:04,660 +00:09:10,099 --> 00:09:15,140 全な変換の行列式で割ったものを取 得できます。 193 -00:09:04,660 --> 00:09:08,980 +00:09:15,600 --> 00:09:18,303 また、前に行ったことと同様に、最初の列が出力ベクトルで 194 -00:09:08,980 --> 00:09:13,147 +00:09:18,303 --> 00:09:20,909 2 番目の列が元の行列と同じである新しい行列を作成する 195 -00:09:13,147 --> 00:09:17,160 +00:09:20,909 --> 00:09:23,420 ことによって、出力平 行四辺形の面積を計算できます。 196 -00:09:17,160 --> 00:09:20,201 +00:09:23,420 --> 00:09:27,137 したがって、繰り返しになりますが、出力空間からのデータ、 197 -00:09:20,201 --> 00:09:23,347 +00:09:27,137 --> 00:09:30,984 つまり元の線形システムで表示される数値を使用するだけで、x 198 -00:09:23,347 --> 00:09:25,340 +00:09:30,984 --> 00:09:33,420 が何であるべきかを解くことができます。 199 -00:09:25,600 --> 00:09:27,610 +00:09:33,420 --> 00:09:38,950 線形方程式系の解を求めるこの公式は、 200 -00:09:27,610 --> 00:09:29,620 +00:09:38,950 --> 00:09:44,480 クラマーの法則として知られています。 201 -00:09:29,620 --> 00:09:31,889 +00:09:44,480 --> 00:09:44,896 ここで、健全性を確認するために、 202 -00:09:31,889 --> 00:09:34,300 +00:09:44,896 --> 00:09:45,340 ここにいくつかの数字を入力します。 203 -00:09:34,300 --> 00:09:36,481 +00:09:45,340 --> 00:09:47,643 一番上の変更された行列の行列式 は 4 204 -00:09:36,481 --> 00:09:38,990 +00:09:47,643 --> 00:09:50,291 プラス 2、つまり 6 で、一番下の行列式は 205 -00:09:38,990 --> 00:09:41,500 +00:09:50,291 --> 00:09:52,940 2 なので、x 座標は 3 になる はずです。 206 -00:09:41,500 --> 00:09:45,520 +00:09:53,860 --> 00:10:04,340 実際、最初の入力ベクトルを振り返ると、x 座標は 3 です。 207 -00:09:45,520 --> 00:09:48,633 +00:10:04,340 --> 00:10:05,438 同様に、Cramer の法則は、y 座標は 4 を 208 -00:09:48,633 --> 00:09:51,747 +00:10:05,438 --> 00:10:06,537 2 で割った値、つまり 2 である必要があることを示 209 -00:09:51,747 --> 00:09:55,100 +00:10:06,537 --> 00:10:07,720 唆しており、それが開始時の入力ベクトルの y 座標です。 210 -00:09:55,340 --> 00:09:58,222 +00:10:07,720 --> 00:10:12,965 3 次元以上の場合も同様です。一度立ち止まって、自 211 -00:09:58,222 --> 00:10:01,220 +00:10:12,965 --> 00:10:18,420 分自身でじっくり考えてみるこ とを強くお勧めします。 212 -00:10:01,220 --> 00:10:04,220 +00:10:19,120 --> 00:10:21,580 ここで、少し勢いを付けてみましょう。 213 -00:10:04,220 --> 00:10:05,972 +00:10:21,580 --> 00:10:23,606 私たちが持っているの は、3x3 214 -00:10:05,972 --> 00:10:08,445 +00:10:23,606 --> 00:10:26,466 行列によって与えられる既知の変換と、線形システム 215 -00:10:08,445 --> 00:10:11,022 +00:10:26,466 --> 00:10:29,446 の右側によって与えられる既知の出力ベクト ルです。 216 -00:10:11,022 --> 00:10:13,495 +00:10:29,446 --> 00:10:32,306 そして、どの入力がその出力に到達するかを知りたい 217 -00:10:13,495 --> 00:10:14,320 +00:10:32,306 --> 00:10:33,260 と考えています。 218 -00:10:14,320 --> 00:10:17,119 +00:10:33,260 --> 00:10:35,662 たとえば、入力ベクトルの Z 座標を 219 -00:10:17,119 --> 00:10:21,539 +00:10:35,662 --> 00:10:39,455 i-hat、j-hat、および謎の入力ベクトルで構成されるこ 220 -00:10:21,539 --> 00:10:25,959 +00:10:39,455 --> 00:10:43,249 の平行六面体の体積と考えると、変換後にこの平行六面体の体積は 221 -00:10:25,959 --> 00:10:27,580 +00:10:43,249 --> 00:10:44,640 どうなるでしょうか? 222 -00:10:27,580 --> 00:10:30,200 +00:10:44,640 --> 00:10:51,660 その新しい体積はどうやって計算できるのでしょうか? 223 -00:10:30,200 --> 00:10:34,398 +00:10:51,660 --> 00:10:55,877 本当に、立ち止まって、これをより高い次元に一般 224 -00:10:34,398 --> 00:10:38,231 +00:10:55,877 --> 00:10:59,728 化するための詳細をじっくり考えてください。 225 -00:10:38,231 --> 00:10:43,160 +00:10:59,728 --> 00:11:04,680 より大きな線形システムの解の各座標の式を見つけます。 226 -00:10:43,160 --> 00:10:59,495 +00:11:05,100 --> 00:11:15,950 このようなより一般的なケースを考えて、それが機能すること 227 -00:10:59,495 --> 00:11:15,829 +00:11:15,950 --> 00:11:26,800 、そしてなぜ機能 するのかを自分に納得させることによって 228 -00:11:15,829 --> 00:11:25,747 +00:11:26,800 --> 00:11:33,387 、すべての学習が実際に行われます。 229 -00:11:25,747 --> 00:11:42,082 +00:11:33,387 --> 00:11:44,237 Y ouTube で同じ推論をもう一度説明するのを聞くよ 230 -00:11:42,082 --> 00:11:48,500 +00:11:44,237 --> 00:11:48,500 りもはるかに重要です。 diff --git a/2019/cramers-rule/korean/auto_generated.srt b/2019/cramers-rule/korean/auto_generated.srt index 4e1ba0097..546590404 100644 --- a/2019/cramers-rule/korean/auto_generated.srt +++ b/2019/cramers-rule/korean/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:11,199 --> 00:00:13,775 +00:00:11,200 --> 00:00:13,775 이전 비디오에서 나는 선형 방정식 시스템에 2 @@ -79,19 +79,19 @@ 예를 들어 가우스 소거법은 항상 더 빠릅니다. 21 -00:01:01,980 --> 00:01:03,840 +00:01:01,980 --> 00:01:03,520 그렇다면 왜 배워야 할까요? 22 -00:01:03,840 --> 00:01:05,954 +00:01:03,780 --> 00:01:05,913 일종의 문화탐방이라고 생각하시면 됩니다. 23 -00:01:05,954 --> 00:01:08,161 +00:01:05,913 --> 00:01:08,140 이는 이러한 시스템 뒤에 있는 이론에 대한 24 -00:01:08,161 --> 00:01:10,460 +00:01:08,140 --> 00:01:10,460 지식을 심화하는 데 도움이 되는 연습입니다. 25 @@ -143,830 +143,830 @@ 방정식을 사용하는 시스템에서 작동합니다. 37 -00:01:42,440 --> 00:01:43,811 +00:01:42,440 --> 00:01:43,935 그러나 단순함을 위해 더 작은 예를 38 -00:01:43,811 --> 00:01:45,320 +00:01:43,935 --> 00:01:45,580 머릿속에 담아 두는 것이 더 좋습니다. 39 -00:01:45,320 --> 00:01:48,921 +00:01:46,320 --> 00:01:49,677 이전 비디오에서 제가 이야기한 것처럼 이 40 -00:01:48,921 --> 00:01:52,836 +00:01:49,677 --> 00:01:53,325 설정은 기하학적으로 알 수 없는 벡터 [x; 41 -00:01:52,836 --> 00:01:57,377 +00:01:53,325 --> 00:01:57,558 y], 여기서 출력이 어떻게 될지 알 수 있습니다. 42 -00:01:57,377 --> 00:02:00,040 +00:01:57,558 --> 00:02:00,040 이 경우에는 [-4; -2]. 43 -00:02:00,800 --> 00:02:04,553 +00:02:00,800 --> 00:02:04,067 이 행렬의 열은 해당 행렬이 어떻게 변환으로 44 -00:02:04,553 --> 00:02:08,156 +00:02:04,067 --> 00:02:07,204 작동하는지 알려주며, 각 열은 입력 공간의 45 -00:02:08,156 --> 00:02:11,460 +00:02:07,204 --> 00:02:10,080 기본 벡터가 어디에 있는지 알려줍니다. 46 -00:02:11,460 --> 00:02:12,382 +00:02:10,860 --> 00:02:11,939 그래서 우리가 가지고 있는 것은 일종의 퍼즐입니다. 47 -00:02:12,382 --> 00:02:13,146 +00:02:11,939 --> 00:02:12,833 어떤 입력 벡터 x, y가 이 출력(-4, 48 -00:02:13,146 --> 00:02:13,974 +00:02:12,833 --> 00:02:13,801 -2)에 도달하게 될까요? 여기서 우리의 작은 49 -00:02:13,974 --> 00:02:14,769 +00:02:13,801 --> 00:02:14,732 퍼즐에 대해 생각하는 한 가지 방법은 주어진 50 -00:02:14,769 --> 00:02:15,406 +00:02:14,732 --> 00:02:15,477 출력 벡터가 행렬 열의 선형 조합, 51 -00:02:15,406 --> 00:02:16,169 +00:02:15,477 --> 00:02:16,371 즉 i-hat이 착지하는 벡터의 x 배 + 52 -00:02:16,169 --> 00:02:16,933 +00:02:16,371 --> 00:02:17,264 j-hat이 착지하는 벡터의 y배라는 것을 53 -00:02:16,933 --> 00:02:17,220 +00:02:17,264 --> 00:02:17,600 아는 것입니다. 54 -00:02:17,220 --> 00:02:20,279 +00:02:17,600 --> 00:02:21,055 여기에서 얻을 수 있는 답변 유형은 변환이 55 -00:02:20,279 --> 00:02:23,210 +00:02:21,055 --> 00:02:24,368 모든 공간을 더 낮은 차원으로 압축하는지 56 -00:02:23,210 --> 00:02:26,780 +00:02:24,368 --> 00:02:28,400 여부에 따라 달라질 수 있다는 점을 기억하십시오. 57 -00:02:26,780 --> 00:02:28,240 +00:02:28,400 --> 00:02:31,220 즉, 행렬식이 0인 경우입니다. 58 -00:02:28,240 --> 00:02:31,240 +00:02:31,220 --> 00:02:33,720 이 경우 주어진 출력에 입력이 전혀 포함되지 59 -00:02:31,240 --> 00:02:34,240 +00:02:33,720 --> 00:02:36,220 않거나 해당 출력에 전체 입력이 포함됩니다. 60 -00:02:34,240 --> 00:02:37,083 +00:02:37,240 --> 00:02:39,383 하지만 이 비디오에서는 0이 아닌 행렬식의 61 -00:02:37,083 --> 00:02:39,334 +00:02:39,383 --> 00:02:41,080 경우로 뷰를 제한하겠습니다. 즉, 62 -00:02:39,334 --> 00:02:42,177 +00:02:41,080 --> 00:02:43,223 이 변환의 출력이 여전히 시작된 전체 차원 63 -00:02:42,177 --> 00:02:44,310 +00:02:43,223 --> 00:02:44,831 공간에 걸쳐 있음을 의미합니다. 64 -00:02:44,310 --> 00:02:47,272 +00:02:44,831 --> 00:02:47,064 모든 입력은 단 하나의 출력에 도달하고 모든 65 -00:02:47,272 --> 00:02:49,760 +00:02:47,064 --> 00:02:48,940 출력에는 단 하나의 입력이 있습니다. 66 -00:02:49,760 --> 00:02:53,118 +00:02:48,940 --> 00:02:52,257 퍼즐에 대해 생각하는 한 가지 방법은 주어진 67 -00:02:53,118 --> 00:02:56,476 +00:02:52,257 --> 00:02:55,574 출력 벡터가 행렬 열의 선형 조합이라는 것을 68 -00:02:56,476 --> 00:02:59,700 +00:02:55,574 --> 00:02:58,758 아는 것입니다. x*(i-hat이 착지하는 69 -00:02:59,700 --> 00:03:03,192 +00:02:58,758 --> 00:03:02,208 벡터) + y*(j-hat이 착지하는 벡터), 70 -00:03:03,192 --> 00:03:06,282 +00:03:02,208 --> 00:03:05,260 그러나 우리는 정확히 x와 y가 무엇인지 71 -00:03:06,282 --> 00:03:07,760 +00:03:05,260 --> 00:03:06,720 계산하려고 합니다. 72 -00:03:07,760 --> 00:03:09,377 +00:03:06,720 --> 00:03:11,831 첫 번째 단계로, 잘못되었지만 올바른 73 -00:03:09,377 --> 00:03:11,380 +00:03:11,831 --> 00:03:18,160 방향으로 나아가는 아이디어를 보여드리겠습니다. 74 -00:03:11,380 --> 00:03:15,708 +00:03:18,800 --> 00:03:22,205 이 미스터리 입력 벡터의 x 좌표는 75 -00:03:15,708 --> 00:03:19,820 +00:03:22,205 --> 00:03:25,440 첫 번째 기본 벡터 [1; 0]. 76 -00:03:19,820 --> 00:03:24,010 +00:03:26,160 --> 00:03:29,235 마찬가지로 y 좌표는 두 번째 기본 벡터인 0, 77 -00:03:24,010 --> 00:03:26,960 +00:03:29,235 --> 00:03:31,400 1로 점을 찍어서 얻는 것입니다. 78 -00:03:26,960 --> 00:03:31,029 +00:03:31,900 --> 00:03:35,912 따라서 변환 후에 변환된 버전의 미스터리 79 -00:03:31,029 --> 00:03:34,567 +00:03:35,912 --> 00:03:39,401 벡터와 변환된 버전의 내적이 x 및 80 -00:03:34,567 --> 00:03:38,460 +00:03:39,401 --> 00:03:43,240 y 좌표가 되기를 바랄 수도 있습니다. 81 -00:03:38,460 --> 00:03:40,622 +00:03:43,940 --> 00:03:46,288 우리는 각 벡터의 변환된 버전이 무엇인지 82 -00:03:40,622 --> 00:03:42,880 +00:03:46,288 --> 00:03:48,740 알고 있기 때문에 정말 환상적일 것입니다. 83 -00:03:42,880 --> 00:03:45,700 +00:03:51,180 --> 00:03:54,200 다만 한 가지 문제가 있는데, 전혀 사실이 아닙니다. 84 -00:03:45,700 --> 00:03:49,281 +00:03:54,640 --> 00:03:57,224 대부분의 선형 변환의 경우 변환 85 -00:03:49,281 --> 00:03:53,460 +00:03:57,224 --> 00:04:00,240 전후의 내적은 매우 다르게 보입니다. 86 -00:03:53,460 --> 00:03:56,381 +00:04:00,800 --> 00:04:03,591 예를 들어, 일반적으로 양의 내적을 사용하여 87 -00:03:56,381 --> 00:03:59,303 +00:04:03,591 --> 00:04:06,383 동일한 방향을 가리키는 두 개의 벡터가 있을 88 -00:03:59,303 --> 00:04:01,991 +00:04:06,383 --> 00:04:08,951 수 있습니다. 이 벡터는 변환 중에 서로 89 -00:04:01,991 --> 00:04:04,680 +00:04:08,951 --> 00:04:11,520 떨어져서 결국 음의 내적을 갖게 됩니다. 90 -00:04:04,680 --> 00:04:07,515 +00:04:12,220 --> 00:04:15,065 마찬가지로, 두 개의 기본 벡터처럼 내적 91 -00:04:07,515 --> 00:04:10,351 +00:04:15,065 --> 00:04:17,911 0과 수직으로 시작하는 것들은 변환 후에 92 -00:04:10,351 --> 00:04:13,434 +00:04:17,911 --> 00:04:21,005 서로 수직을 유지하지 않는 경우가 많습니다. 93 -00:04:13,434 --> 00:04:15,900 +00:04:21,005 --> 00:04:23,480 즉, 0 내적을 유지하지 않습니다. 94 -00:04:15,900 --> 00:04:19,380 +00:04:24,100 --> 00:04:27,160 우리가 본 예에서 내적은 확실히 보존되지 않습니다. 95 -00:04:19,380 --> 00:04:21,430 +00:04:27,500 --> 00:04:28,720 대부분의 벡터가 늘어나기 때문에 96 -00:04:21,430 --> 00:04:23,480 +00:04:28,720 --> 00:04:29,940 벡터가 커지는 경향이 있습니다. 97 -00:04:24,100 --> 00:04:26,295 +00:04:29,940 --> 00:04:33,837 실제로 내적을 보존하는 변환은 직교 98 -00:04:26,295 --> 00:04:29,260 +00:04:33,837 --> 00:04:39,100 변환이라는 고유한 이름을 가질 만큼 특별합니다. 99 -00:04:29,260 --> 00:04:32,049 +00:04:39,720 --> 00:04:42,253 이는 모든 기본 벡터를 단위 길이로 100 -00:04:32,049 --> 00:04:34,700 +00:04:42,253 --> 00:04:44,660 서로 수직으로 유지하는 것입니다. 101 -00:04:34,700 --> 00:04:36,980 +00:04:45,740 --> 00:04:47,880 흔히 이것을 회전 행렬이라고 생각합니다. 102 -00:04:36,980 --> 00:04:39,477 +00:04:48,420 --> 00:04:50,508 이는 늘어나거나 찌그러지거나 변형되지 103 -00:04:39,477 --> 00:04:41,500 +00:04:50,508 --> 00:04:52,200 않는 강체 모션에 해당합니다. 104 -00:04:41,500 --> 00:04:45,383 +00:04:53,000 --> 00:04:56,632 직교 행렬을 사용하여 선형 시스템을 푸는 것은 105 -00:04:45,383 --> 00:04:49,715 +00:04:56,632 --> 00:05:00,684 실제로 매우 쉽습니다. 내적이 보존되기 때문에 출력 106 -00:04:49,715 --> 00:04:54,047 +00:05:00,684 --> 00:05:04,736 벡터와 행렬의 모든 열 사이에서 내적을 구하는 것은 107 -00:04:54,047 --> 00:04:57,930 +00:05:04,736 --> 00:05:08,369 미스터리 입력 벡터와 모든 기저 벡터 사이에서 108 -00:04:57,930 --> 00:05:00,619 +00:05:08,369 --> 00:05:10,884 내적을 구하는 것과 동일합니다. 109 -00:05:00,619 --> 00:05:02,860 +00:05:10,884 --> 00:05:12,980 그 미스터리 입력의 좌표. 110 -00:05:02,860 --> 00:05:05,635 +00:05:13,680 --> 00:05:16,987 따라서 아주 특별한 경우에 x는 출력 111 -00:05:05,635 --> 00:05:08,015 +00:05:16,987 --> 00:05:19,822 벡터와 첫 번째 열의 내적이고, 112 -00:05:08,015 --> 00:05:11,320 +00:05:19,822 --> 00:05:23,760 y는 출력 벡터와 두 번째 열의 내적입니다. 113 -00:05:11,320 --> 00:05:15,138 +00:05:26,820 --> 00:05:29,974 이 아이디어가 거의 모든 선형 시스템에 적용되지 114 -00:05:15,138 --> 00:05:18,673 +00:05:29,974 --> 00:05:32,896 않는데 왜 이것을 언급하는 걸까요? 글쎄요, 115 -00:05:18,673 --> 00:05:22,633 +00:05:32,896 --> 00:05:36,168 그것은 우리가 찾아야 할 것의 방향을 알려줍니다. 116 -00:05:22,633 --> 00:05:26,310 +00:05:36,168 --> 00:05:39,206 변환 후에도 변경되지 않은 입력 벡터의 좌표에 117 -00:05:26,310 --> 00:05:29,280 +00:05:39,206 --> 00:05:41,660 대한 대체 기하학적 이해가 있습니까? 118 -00:05:29,280 --> 00:05:31,765 +00:05:42,360 --> 00:05:45,074 당신의 마음이 행렬식에 대해 고민하고 있다면 119 -00:05:31,765 --> 00:05:34,649 +00:05:45,074 --> 00:05:48,222 다음과 같은 영리한 아이디어를 생각할 수 있습니다. 120 -00:05:34,649 --> 00:05:37,234 +00:05:48,222 --> 00:05:51,045 첫 번째 기본 벡터 i-hat과 미스터리 입력 121 -00:05:37,234 --> 00:05:39,720 +00:05:51,045 --> 00:05:53,760 벡터 xy로 정의된 평행사변형을 사용합니다. 122 -00:05:39,720 --> 00:05:42,931 +00:05:54,440 --> 00:05:58,547 이 평행사변형의 면적은 밑변에 수직인 높이(해당 123 -00:05:42,931 --> 00:05:46,380 +00:05:58,547 --> 00:06:02,960 입력 벡터의 y 좌표)에 밑변 1을 곱한 값입니다. 124 -00:05:46,380 --> 00:05:50,461 +00:06:03,680 --> 00:06:06,636 따라서 평행사변형의 영역은 벡터의 y 좌표를 125 -00:05:50,461 --> 00:05:53,563 +00:06:06,636 --> 00:06:08,883 설명하는 일종의 우회 방법입니다. 126 -00:05:53,563 --> 00:05:57,807 +00:06:08,883 --> 00:06:11,957 좌표에 관해 이야기하는 엉뚱한 방법이지만 저와 127 -00:05:57,807 --> 00:05:59,440 +00:06:11,957 --> 00:06:13,140 함께 달려보세요. 128 -00:05:59,440 --> 00:06:02,063 +00:06:13,700 --> 00:06:16,167 그리고 실제로 좀 더 정확하게 말하자면, 129 -00:06:02,063 --> 00:06:04,686 +00:06:16,167 --> 00:06:18,635 이것을 행렬식 비디오에서 설명한 의미에서 130 -00:06:04,686 --> 00:06:07,880 +00:06:18,635 --> 00:06:21,640 평행사변형의 부호 있는 영역으로 생각해야 합니다. 131 -00:06:07,880 --> 00:06:10,320 +00:06:22,200 --> 00:06:25,390 그런 식으로 음의 y 좌표를 가진 벡터는 132 -00:06:10,320 --> 00:06:12,760 +00:06:25,390 --> 00:06:28,580 이 평행사변형의 음의 영역에 해당합니다. 133 -00:06:12,760 --> 00:06:14,455 +00:06:28,960 --> 00:06:29,754 적어도 i-hat이 평행사변형을 정의하는 이 두 134 -00:06:14,455 --> 00:06:16,088 +00:06:29,754 --> 00:06:30,518 벡터 중 첫 번째 벡터라고 생각한다면 말이죠. 135 -00:06:16,088 --> 00:06:17,783 +00:06:30,518 --> 00:06:31,312 그리고 대칭적으로 미스터리 입력 벡터와 두 번째 136 -00:06:17,783 --> 00:06:19,416 +00:06:31,312 --> 00:06:32,077 기저 j-hat에 걸쳐 있는 평행사변형을 보면 137 -00:06:19,416 --> 00:06:21,300 +00:06:32,077 --> 00:06:32,960 해당 영역은 해당 미스터리 벡터의 x 좌표가 됩니다. 138 -00:06:21,300 --> 00:06:23,055 +00:06:32,960 --> 00:06:34,845 다시 말하지만, 이는 x 좌표를 나타내는 139 -00:06:23,055 --> 00:06:24,964 +00:06:34,845 --> 00:06:36,894 이상한 방법이지만 잠시 후에 이것이 우리에게 140 -00:06:24,964 --> 00:06:26,720 +00:06:36,894 --> 00:06:38,780 무엇을 가져다 주는지 알게 될 것입니다. 141 -00:06:26,720 --> 00:06:28,972 +00:06:38,780 --> 00:06:41,040 이것이 어떻게 일반화될 수 있는지 확실히 하기 142 -00:06:28,972 --> 00:06:30,531 +00:06:41,040 --> 00:06:42,604 위해 3차원으로 살펴보겠습니다. 143 -00:06:30,531 --> 00:06:32,350 +00:06:42,604 --> 00:06:44,429 일반적으로 벡터의 좌표 중 하나(예: 144 -00:06:32,350 --> 00:06:34,342 +00:06:44,429 --> 00:06:46,429 z 좌표)에 대해 생각할 수 있는 방식은 145 -00:06:34,342 --> 00:06:36,420 +00:06:46,429 --> 00:06:48,515 k-hat이라고 불리는 세 번째 표준 기저 146 -00:06:36,420 --> 00:06:37,980 +00:06:48,515 --> 00:06:50,080 벡터와 내적을 취하는 것입니다. 147 -00:06:37,980 --> 00:06:40,373 +00:06:50,680 --> 00:06:51,361 그러나 대체 기하학적 해석은 다른 두 기본 148 -00:06:40,373 --> 00:06:42,566 +00:06:51,361 --> 00:06:51,986 벡터 i-hat과 j-hat을 사용하여 149 -00:06:42,566 --> 00:06:44,860 +00:06:51,986 --> 00:06:52,640 생성하는 평행육면체를 고려하는 것입니다. 150 -00:06:44,860 --> 00:06:47,497 +00:06:52,740 --> 00:06:54,118 i-hat과 j-hat에 걸쳐 있는 면적 1이 151 -00:06:47,497 --> 00:06:50,338 +00:06:54,118 --> 00:06:55,602 있는 정사각형을 이 전체 모양의 기본으로 생각하면 152 -00:06:50,338 --> 00:06:53,280 +00:06:55,602 --> 00:06:57,140 그 부피는 벡터의 세 번째 좌표인 높이와 같습니다. 153 -00:06:53,280 --> 00:06:56,176 +00:06:57,140 --> 00:07:00,393 마찬가지로, 벡터의 다른 좌표에 대해 생각하는 이상한 154 -00:06:56,176 --> 00:06:59,073 +00:07:00,393 --> 00:07:03,646 방법은 벡터와 찾고 있는 방향에 해당하는 벡터 이외의 155 -00:06:59,073 --> 00:07:01,680 +00:07:03,646 --> 00:07:06,575 모든 기본 벡터를 사용하여 평행육면체를 형성하는 156 -00:07:01,680 --> 00:07:04,480 +00:07:06,575 --> 00:07:09,720 것입니다. 그러면 이것의 부피가 좌표를 제공합니다. 157 -00:07:04,480 --> 00:07:07,533 +00:07:09,720 --> 00:07:12,792 또는 오히려, 우리는 오른손 법칙을 사용하여 158 -00:07:07,533 --> 00:07:10,708 +00:07:12,792 --> 00:07:15,988 행렬식 비디오에서 설명한 의미에서 평행육면체의 159 -00:07:10,708 --> 00:07:13,640 +00:07:15,988 --> 00:07:18,938 부호 있는 부피에 대해 이야기해야 합니다. 160 -00:07:13,640 --> 00:07:17,060 +00:07:18,938 --> 00:07:22,380 따라서 이 세 벡터를 나열하는 순서가 중요합니다. 161 -00:07:17,060 --> 00:07:18,800 +00:07:22,380 --> 00:07:25,240 그렇게 하면 음의 좌표가 여전히 의미가 있습니다. 162 -00:07:18,800 --> 00:07:20,589 +00:07:25,240 --> 00:07:26,472 좋아요, 그럼 왜 좌표를 이렇게 163 -00:07:20,589 --> 00:07:22,080 +00:07:26,472 --> 00:07:27,500 면적과 부피로 생각할까요? 164 -00:07:22,080 --> 00:07:23,849 +00:07:27,500 --> 00:07:28,242 음, 일종의 행렬 변환을 적용하면 165 -00:07:23,849 --> 00:07:25,805 +00:07:28,242 --> 00:07:29,062 평행사변형의 영역이 동일하게 유지되지 166 -00:07:25,805 --> 00:07:28,040 +00:07:29,062 --> 00:07:30,000 않고 크기가 커지거나 작아질 수 있습니다. 167 -00:07:28,040 --> 00:07:32,500 +00:07:30,000 --> 00:07:33,960 그러나 이것이 행렬식의 핵심 아이디어입니다. 168 -00:07:32,500 --> 00:07:33,661 +00:07:33,960 --> 00:07:36,039 모든 영역은 동일한 양, 즉 변환 169 -00:07:33,661 --> 00:07:34,700 +00:07:36,039 --> 00:07:37,900 행렬의 행렬식으로 확장됩니다. 170 -00:07:34,700 --> 00:07:37,650 +00:07:38,440 --> 00:07:42,483 예를 들어, 행렬의 첫 번째 열인 첫 번째 기저 171 -00:07:37,650 --> 00:07:40,709 +00:07:42,483 --> 00:07:46,676 벡터가 도달하는 벡터와 xy의 변환된 버전에 걸쳐 172 -00:07:40,709 --> 00:07:43,660 +00:07:46,676 --> 00:07:50,720 있는 평행사변형을 보면 해당 영역은 얼마입니까? 173 -00:07:43,660 --> 00:07:46,137 +00:07:50,720 --> 00:07:53,449 음, 이것은 우리가 이전에 보았던 평행사변형의 174 -00:07:46,137 --> 00:07:48,423 +00:07:53,449 --> 00:07:55,970 변환된 버전입니다. 이 평행사변형의 면적은 175 -00:07:48,423 --> 00:07:50,520 +00:07:55,970 --> 00:07:58,280 미스터리 입력 벡터의 y 좌표였습니다. 176 -00:07:50,520 --> 00:07:53,560 +00:07:58,960 --> 00:08:00,460 따라서 그 면적은 y 좌표를 곱한 177 -00:07:53,560 --> 00:07:56,600 +00:08:00,460 --> 00:08:01,960 변환의 결정 요인이 될 것입니다. 178 -00:07:56,600 --> 00:07:59,777 +00:08:01,960 --> 00:08:05,194 따라서 미스터리 입력 벡터의 y 좌표는 행렬의 179 -00:07:59,777 --> 00:08:03,442 +00:08:05,194 --> 00:08:08,925 첫 번째 열과 출력 벡터에 걸쳐 있는 이 평행사변형의 180 -00:08:03,442 --> 00:08:06,620 +00:08:08,925 --> 00:08:12,160 면적을 전체 변환의 행렬식으로 나눈 값입니다. 181 -00:08:06,980 --> 00:08:08,020 +00:08:12,160 --> 00:08:14,880 그리고 이 지역은 어떻게 얻나요? 182 -00:08:08,020 --> 00:08:10,852 +00:08:14,880 --> 00:08:16,519 글쎄요, 우리는 신비한 입력 벡터가 183 -00:08:10,852 --> 00:08:13,402 +00:08:16,519 --> 00:08:17,994 도달하는 좌표를 알고 있습니다. 184 -00:08:13,402 --> 00:08:16,660 +00:08:17,994 --> 00:08:19,880 이것이 선형 방정식 시스템의 핵심입니다. 185 -00:08:16,660 --> 00:08:19,662 +00:08:19,880 --> 00:08:24,160 따라서 여러분이 할 수 있는 일은 첫 번째 열이 186 -00:08:19,662 --> 00:08:22,777 +00:08:24,160 --> 00:08:28,599 행렬의 것과 동일하지만 두 번째 열이 출력 벡터인 187 -00:08:22,777 --> 00:08:25,780 +00:08:28,599 --> 00:08:32,880 새 행렬을 만든 다음 행렬식을 취하는 것입니다. 188 -00:08:26,060 --> 00:08:29,355 +00:08:32,880 --> 00:08:35,847 따라서 변환 출력의 데이터, 즉 행렬의 열과 출력 189 -00:08:29,355 --> 00:08:32,533 +00:08:35,847 --> 00:08:38,708 벡터의 좌표를 사용하여 미스터리 입력 벡터의 y 190 -00:08:32,533 --> 00:08:35,476 +00:08:38,708 --> 00:08:41,358 좌표를 복구할 수 있으며 이는 시스템 해결의 191 -00:08:35,476 --> 00:08:36,299 +00:08:41,358 --> 00:08:42,100 절반입니다. 192 -00:08:36,299 --> 00:08:37,744 +00:08:42,100 --> 00:08:42,778 마찬가지로 동일한 아이디어로 193 -00:08:37,744 --> 00:08:39,280 +00:08:42,778 --> 00:08:43,500 x 좌표를 얻을 수 있습니다. 194 -00:08:40,179 --> 00:08:42,770 +00:08:43,500 --> 00:08:47,524 이전에 정의한 평행사변형은 해당 195 -00:08:42,770 --> 00:08:45,937 +00:08:47,524 --> 00:08:52,444 벡터와 j-hat에 걸쳐 있는 미스터리 196 -00:08:45,937 --> 00:08:48,960 +00:08:52,444 --> 00:08:57,140 입력 벡터의 x 좌표를 인코딩합니다. 197 -00:08:48,960 --> 00:08:52,157 +00:08:57,140 --> 00:08:59,616 이 녀석의 변환된 버전은 출력 벡터와 198 -00:08:52,157 --> 00:08:55,506 +00:08:59,616 --> 00:09:02,210 행렬의 두 번째 열에 걸쳐 있으며 해당 199 -00:08:55,506 --> 00:08:59,160 +00:09:02,210 --> 00:09:05,040 영역에는 해당 행렬의 행렬식이 곱해집니다. 200 -00:08:59,720 --> 00:09:02,077 +00:09:05,060 --> 00:09:09,870 따라서 x를 풀려면 이 새로운 영역을 201 -00:09:02,077 --> 00:09:04,660 +00:09:09,870 --> 00:09:15,140 전체 변환의 행렬식으로 나누어야 합니다. 202 -00:09:04,660 --> 00:09:08,439 +00:09:15,600 --> 00:09:17,964 이전에 했던 것과 유사하게 첫 번째 열이 출력 203 -00:09:08,439 --> 00:09:12,218 +00:09:17,964 --> 00:09:20,328 벡터이고 두 번째 열이 원래 행렬과 동일한 새 204 -00:09:12,218 --> 00:09:16,287 +00:09:20,328 --> 00:09:22,874 행렬을 만들어 출력 평행사변형의 면적을 계산할 수 205 -00:09:16,287 --> 00:09:17,160 +00:09:22,874 --> 00:09:23,420 있습니다. 206 -00:09:17,160 --> 00:09:19,479 +00:09:23,420 --> 00:09:26,255 따라서 다시 출력 공간의 데이터, 207 -00:09:19,479 --> 00:09:22,043 +00:09:26,255 --> 00:09:29,390 즉 원래 선형 시스템에서 볼 수 있는 208 -00:09:22,043 --> 00:09:25,340 +00:09:29,390 --> 00:09:33,420 숫자를 사용하여 x가 무엇인지 풀 수 있습니다. 209 -00:09:25,600 --> 00:09:27,693 +00:09:33,420 --> 00:09:39,180 선형 방정식 시스템의 해를 구하는 이 공식은 210 -00:09:27,693 --> 00:09:29,620 +00:09:39,180 --> 00:09:44,480 Cramer의 법칙으로 알려져 있습니다. 211 -00:09:29,620 --> 00:09:31,674 +00:09:44,480 --> 00:09:44,857 여기, 우리 자신의 정신 상태를 212 -00:09:31,674 --> 00:09:34,300 +00:09:44,857 --> 00:09:45,340 확인하기 위해 여기에 숫자를 연결하세요. 213 -00:09:34,300 --> 00:09:36,506 +00:09:45,340 --> 00:09:47,669 위쪽의 변경된 행렬의 행렬식은 4 214 -00:09:36,506 --> 00:09:38,829 +00:09:47,669 --> 00:09:50,120 더하기 2(6)이고 아래쪽 행렬식은 215 -00:09:38,829 --> 00:09:41,500 +00:09:50,120 --> 00:09:52,940 2이므로 x 좌표는 3이 되어야 합니다. 216 -00:09:41,500 --> 00:09:43,564 +00:09:53,860 --> 00:09:59,241 실제로 우리가 시작한 입력 벡터를 217 -00:09:43,564 --> 00:09:45,520 +00:09:59,241 --> 00:10:04,340 되돌아보면 x 좌표는 3입니다. 218 -00:09:45,520 --> 00:09:48,505 +00:10:04,340 --> 00:10:05,393 마찬가지로 Cramer의 법칙에 따르면 y 219 -00:09:48,505 --> 00:09:50,994 +00:10:05,393 --> 00:10:06,271 좌표는 4를 2로 나누어야 합니다. 220 -00:09:50,994 --> 00:09:53,980 +00:10:06,271 --> 00:10:07,324 즉 2가 바로 우리가 시작했던 입력 벡터의 221 -00:09:53,980 --> 00:09:55,100 +00:10:07,324 --> 00:10:07,720 y 좌표입니다. 222 -00:09:55,340 --> 00:09:57,500 +00:10:07,720 --> 00:10:11,650 3차원 이상의 경우도 비슷하니, 223 -00:09:57,500 --> 00:10:01,100 +00:10:11,650 --> 00:10:18,201 잠시 멈춰서 스스로 생각해 보시길 적극 권해 드립니다. 224 -00:10:01,100 --> 00:10:01,220 +00:10:18,201 --> 00:10:18,420 225 -00:10:01,220 --> 00:10:04,220 +00:10:19,120 --> 00:10:21,580 여기서 약간의 추진력을 드리겠습니다. 226 -00:10:04,220 --> 00:10:06,823 +00:10:21,580 --> 00:10:24,590 우리가 가지고 있는 것은 일부 3x3 행렬로 227 -00:10:06,823 --> 00:10:09,009 +00:10:24,590 --> 00:10:27,118 제공되는 알려진 변환과 선형 시스템의 228 -00:10:09,009 --> 00:10:11,508 +00:10:27,118 --> 00:10:30,008 오른쪽으로 제공되는 알려진 출력 벡터이며, 229 -00:10:11,508 --> 00:10:14,320 +00:10:30,008 --> 00:10:33,260 해당 출력에 어떤 입력이 있는지 알고 싶습니다. 230 -00:10:14,320 --> 00:10:17,874 +00:10:33,260 --> 00:10:36,310 예를 들어 입력 벡터의 z 좌표를 i-hat, 231 -00:10:17,874 --> 00:10:21,018 +00:10:36,310 --> 00:10:39,008 j-hat 및 미스터리 입력 벡터에 걸쳐 232 -00:10:21,018 --> 00:10:24,299 +00:10:39,008 --> 00:10:41,824 있는 이 평행육면체의 부피로 생각하면 변환 233 -00:10:24,299 --> 00:10:27,580 +00:10:41,824 --> 00:10:44,640 후 이 평행육면체의 부피는 어떻게 됩니까? 234 -00:10:27,580 --> 00:10:30,200 +00:10:44,640 --> 00:10:51,660 새로운 볼륨을 어떻게 계산할 수 있나요? 235 -00:10:30,200 --> 00:10:34,118 +00:10:51,660 --> 00:10:55,596 정말로, 잠시 멈추고 이것을 더 높은 차원으로 236 -00:10:34,118 --> 00:10:37,433 +00:10:55,596 --> 00:10:58,926 일반화하는 세부 사항을 생각해 보세요. 237 -00:10:37,433 --> 00:10:41,502 +00:10:58,926 --> 00:11:03,014 더 큰 선형 시스템에 대한 해의 각 좌표에 대한 238 -00:10:41,502 --> 00:10:43,160 +00:11:03,014 --> 00:11:04,680 표현식을 찾습니다. 239 -00:10:43,160 --> 00:10:55,478 +00:11:05,100 --> 00:11:13,281 이와 같은 보다 일반적인 사례를 생각하고 240 -00:10:55,478 --> 00:11:09,403 +00:11:13,281 --> 00:11:22,531 그것이 작동하고 왜 작동하는지 스스로 확신하는 241 -00:11:09,403 --> 00:11:22,792 +00:11:22,531 --> 00:11:31,424 것이 모든 학습이 실제로 일어나는 곳입니다. 242 -00:11:22,792 --> 00:11:36,181 +00:11:31,424 --> 00:11:40,318 YouTube에서 누군가의 말을 듣는 것보다 243 -00:11:36,181 --> 00:11:48,500 +00:11:40,318 --> 00:11:48,500 훨씬 더 동일한 추론을 다시 안내합니다. diff --git a/2019/cramers-rule/portuguese/auto_generated.srt b/2019/cramers-rule/portuguese/auto_generated.srt index f777ccfcd..cd89c0055 100644 --- a/2019/cramers-rule/portuguese/auto_generated.srt +++ b/2019/cramers-rule/portuguese/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:11,199 --> 00:00:15,222 +00:00:11,200 --> 00:00:15,222 Em um vídeo anterior, falei sobre sistemas lineares de equações e deixei de 2 @@ -63,15 +63,15 @@ maneira de calcular soluções para sistemas lineares de equações. A eliminação gaussiana, por exemplo, será sempre mais rápida. 17 -00:01:01,980 --> 00:01:03,840 +00:01:01,980 --> 00:01:03,520 Então, por que aprender? 18 -00:01:03,840 --> 00:01:06,361 +00:01:03,780 --> 00:01:06,324 Bem, pense nisso como uma espécie de excursão cultural. 19 -00:01:06,361 --> 00:01:10,414 +00:01:06,324 --> 00:01:10,414 É um exercício útil para aprofundar o seu conhecimento da teoria por trás desses sistemas. 20 @@ -115,646 +115,646 @@ Em princípio, tudo o que estamos falando funcionará em sistemas com maior número de incógnitas e o mesmo número de equações. 30 -00:01:42,440 --> 00:01:45,320 +00:01:42,440 --> 00:01:45,580 Mas, para simplificar, é melhor manter um exemplo menor em nossas cabeças. 31 -00:01:45,320 --> 00:01:50,314 +00:01:46,320 --> 00:01:50,975 Então, como falei em um vídeo anterior, você pode pensar nessa configuração 32 -00:01:50,314 --> 00:01:55,900 +00:01:50,975 --> 00:01:56,181 geometricamente como uma certa matriz conhecida transformando um vetor desconhecido, 33 -00:01:55,900 --> 00:02:00,040 +00:01:56,181 --> 00:02:00,040 [x; y], onde você sabe qual será a saída, neste caso [-4; -2]. 34 -00:02:00,800 --> 00:02:05,909 +00:02:00,800 --> 00:02:05,247 Lembre-se de que as colunas desta matriz informam como essa matriz atua como uma 35 -00:02:05,909 --> 00:02:11,460 +00:02:05,247 --> 00:02:10,080 transformação, cada uma informando onde os vetores de base do espaço de entrada pousam. 36 -00:02:11,460 --> 00:02:12,513 +00:02:10,860 --> 00:02:12,092 Então o que temos é uma espécie de quebra-cabeça. Qual vetor de entrada, x, y, 37 -00:02:12,513 --> 00:02:13,620 +00:02:12,092 --> 00:02:13,387 vai parar nesta saída, menos 4, menos 2? Uma maneira de pensar sobre nosso pequeno 38 -00:02:13,620 --> 00:02:14,740 +00:02:13,387 --> 00:02:14,698 quebra-cabeça aqui é que sabemos que o vetor de saída fornecido é alguma combinação 39 -00:02:14,740 --> 00:02:15,860 +00:02:14,698 --> 00:02:16,008 linear das colunas da matriz, x vezes o vetor onde i-hat pousa mais y vezes o vetor 40 -00:02:15,860 --> 00:02:16,966 +00:02:16,008 --> 00:02:17,303 onde j-hat pousa, mas o que queremos é descobrir o que exatamente deveria ser essa 41 -00:02:16,966 --> 00:02:17,220 +00:02:17,303 --> 00:02:17,600 combinação linear. 42 -00:02:17,220 --> 00:02:22,000 +00:02:17,600 --> 00:02:23,000 Lembre-se de que o tipo de resposta que você obtém aqui pode depender de 43 -00:02:22,000 --> 00:02:26,780 +00:02:23,000 --> 00:02:28,400 a transformação comprimir ou não todo o espaço em uma dimensão inferior. 44 -00:02:26,780 --> 00:02:28,240 +00:02:28,400 --> 00:02:31,220 Isto é, se tiver determinante zero. 45 -00:02:28,240 --> 00:02:31,436 +00:02:31,220 --> 00:02:33,883 Nesse caso, nenhuma das entradas chega à saída fornecida 46 -00:02:31,436 --> 00:02:34,240 +00:02:33,883 --> 00:02:36,220 ou há um monte de entradas chegando a essa saída. 47 -00:02:34,240 --> 00:02:38,146 +00:02:37,240 --> 00:02:40,184 Mas para este vídeo, limitaremos a nossa visão ao caso de um determinante 48 -00:02:38,146 --> 00:02:42,000 +00:02:40,184 --> 00:02:43,090 diferente de zero, o que significa que os resultados desta transformação 49 -00:02:42,000 --> 00:02:45,114 +00:02:43,090 --> 00:02:45,437 ainda abrangem todo o espaço indimensional em que começou. 50 -00:02:45,114 --> 00:02:49,760 +00:02:45,437 --> 00:02:48,940 Cada entrada chega a uma e apenas uma saída, e cada saída tem uma e apenas uma entrada. 51 -00:02:49,760 --> 00:02:56,049 +00:02:48,940 --> 00:02:55,152 Uma maneira de pensar sobre nosso quebra-cabeça é saber que o vetor de saída fornecido 52 -00:02:56,049 --> 00:02:59,663 +00:02:55,152 --> 00:02:58,722 é alguma combinação linear das colunas da matriz; 53 -00:02:59,663 --> 00:03:04,073 +00:02:58,722 --> 00:03:03,078 x*(o vetor onde i-hat pousa) + y*(o vetor onde j-hat pousa), 54 -00:03:04,073 --> 00:03:07,760 +00:03:03,078 --> 00:03:06,720 mas desejamos calcular o que exatamente são x e y. 55 -00:03:07,760 --> 00:03:11,380 +00:03:06,720 --> 00:03:18,160 Para começar, deixe-me mostrar uma ideia que está errada, mas na direção certa. 56 -00:03:11,380 --> 00:03:15,660 +00:03:18,800 --> 00:03:22,167 A coordenada x desse vetor de entrada misterioso é o que você obtém ao 57 -00:03:15,660 --> 00:03:19,820 +00:03:22,167 --> 00:03:25,440 considerar seu produto escalar com o primeiro vetor de base, [1; 0]. 58 -00:03:19,820 --> 00:03:23,426 +00:03:26,160 --> 00:03:28,806 Da mesma forma, a coordenada y é o que você obtém 59 -00:03:23,426 --> 00:03:26,960 +00:03:28,806 --> 00:03:31,400 pontilhando-a com o vetor da segunda base, 0, 1. 60 -00:03:26,960 --> 00:03:30,236 +00:03:31,900 --> 00:03:35,131 Então, talvez você espere que, após a transformação, 61 -00:03:30,236 --> 00:03:33,761 +00:03:35,131 --> 00:03:38,606 os produtos escalares com a versão transformada do vetor 62 -00:03:33,761 --> 00:03:38,460 +00:03:38,606 --> 00:03:43,240 misterioso com a versão transformada também sejam essas coordenadas, x e y. 63 -00:03:38,460 --> 00:03:40,670 +00:03:43,940 --> 00:03:46,340 Isso seria fantástico, porque sabemos qual é a 64 -00:03:40,670 --> 00:03:42,880 +00:03:46,340 --> 00:03:48,740 versão transformada de cada um desses vetores. 65 -00:03:42,880 --> 00:03:45,700 +00:03:51,180 --> 00:03:54,200 Há apenas um problema com isso, não é verdade. 66 -00:03:45,700 --> 00:03:49,709 +00:03:54,640 --> 00:03:57,533 Para a maioria das transformações lineares, o produto escalar 67 -00:03:49,709 --> 00:03:53,460 +00:03:57,533 --> 00:04:00,240 antes e depois da transformação parecerá muito diferente. 68 -00:03:53,460 --> 00:03:57,068 +00:04:00,800 --> 00:04:04,247 Por exemplo, você poderia ter dois vetores geralmente apontando na mesma 69 -00:03:57,068 --> 00:04:00,577 +00:04:04,247 --> 00:04:07,600 direção com um produto escalar positivo, que são separados um do outro 70 -00:04:00,577 --> 00:04:04,680 +00:04:07,600 --> 00:04:11,520 durante a transformação de tal forma que acabam tendo um produto escalar negativo. 71 -00:04:04,680 --> 00:04:08,420 +00:04:12,220 --> 00:04:15,973 Da mesma forma, coisas que começam perpendiculares com o produto escalar 0, 72 -00:04:08,420 --> 00:04:12,061 +00:04:15,973 --> 00:04:19,627 como os dois vetores de base, muitas vezes não permanecem perpendiculares 73 -00:04:12,061 --> 00:04:15,900 +00:04:19,627 --> 00:04:23,480 entre si após a transformação, ou seja, não preservam esse produto escalar 0. 74 -00:04:15,900 --> 00:04:19,380 +00:04:24,100 --> 00:04:27,160 No exemplo que estávamos vendo, os produtos escalares certamente não são preservados. 75 -00:04:19,380 --> 00:04:23,480 +00:04:27,500 --> 00:04:29,940 Eles tendem a ficar maiores, pois a maioria dos vetores está sendo esticada. 76 -00:04:24,100 --> 00:04:26,508 +00:04:29,940 --> 00:04:34,214 Na verdade, as transformações que preservam os produtos escalares são 77 -00:04:26,508 --> 00:04:29,260 +00:04:34,214 --> 00:04:39,100 especiais o suficiente para terem seu próprio nome: transformações ortonormais. 78 -00:04:29,260 --> 00:04:31,845 +00:04:39,720 --> 00:04:42,067 São aqueles que deixam todos os vetores de base 79 -00:04:31,845 --> 00:04:34,700 +00:04:42,067 --> 00:04:44,660 perpendiculares entre si com comprimentos unitários. 80 -00:04:34,700 --> 00:04:36,980 +00:04:45,740 --> 00:04:47,880 Muitas vezes você pensa nelas como matrizes de rotação. 81 -00:04:36,980 --> 00:04:41,500 +00:04:48,420 --> 00:04:52,200 Correspondem a um movimento rígido, sem alongamento, compressão ou transformação. 82 -00:04:41,500 --> 00:04:45,772 +00:04:53,000 --> 00:04:56,996 Resolver um sistema linear com uma matriz ortonormal é realmente muito fácil. 83 -00:04:45,772 --> 00:04:49,989 +00:04:56,996 --> 00:05:00,940 Como os produtos escalares são preservados, calcular o produto escalar entre 84 -00:04:49,989 --> 00:04:54,261 +00:05:00,940 --> 00:05:04,936 o vetor de saída e todas as colunas da sua matriz será o mesmo que calcular o 85 -00:04:54,261 --> 00:04:58,642 +00:05:04,936 --> 00:05:09,035 produto escalar entre o vetor de entrada misterioso e todos os vetores de base, 86 -00:04:58,642 --> 00:05:02,860 +00:05:09,035 --> 00:05:12,980 o que é o mesmo que apenas encontrar o coordenadas dessa entrada misteriosa. 87 -00:05:02,860 --> 00:05:07,114 +00:05:13,680 --> 00:05:18,749 Portanto, nesse caso muito especial, x seria o produto escalar da primeira coluna com 88 -00:05:07,114 --> 00:05:11,320 +00:05:18,749 --> 00:05:23,760 o vetor de saída e y seria o produto escalar da segunda coluna com o vetor de saída. 89 -00:05:11,320 --> 00:05:15,794 +00:05:26,820 --> 00:05:30,517 Por que estou trazendo isso à tona quando essa ideia falha em quase todos 90 -00:05:15,794 --> 00:05:20,874 +00:05:30,517 --> 00:05:34,714 os sistemas lineares? Bem, isso nos aponta na direção de algo que devemos procurar. 91 -00:05:20,874 --> 00:05:25,409 +00:05:34,714 --> 00:05:38,462 Existe uma compreensão geométrica alternativa para as coordenadas do nosso 92 -00:05:25,409 --> 00:05:29,280 +00:05:38,462 --> 00:05:41,660 vetor de entrada que permanece inalterada após a transformação? 93 -00:05:29,280 --> 00:05:31,979 +00:05:42,360 --> 00:05:45,307 Se sua mente está refletindo sobre os determinantes, 94 -00:05:31,979 --> 00:05:34,423 +00:05:45,307 --> 00:05:47,976 você pode pensar na seguinte ideia inteligente. 95 -00:05:34,423 --> 00:05:37,835 +00:05:47,976 --> 00:05:51,702 Pegue o paralelogramo definido pelo primeiro vetor de base, i-hat, 96 -00:05:37,835 --> 00:05:39,720 +00:05:51,702 --> 00:05:53,760 e o vetor de entrada misterioso, xy. 97 -00:05:39,720 --> 00:05:44,020 +00:05:54,440 --> 00:05:59,941 A área deste paralelogramo é a base, 1, vezes a altura perpendicular a essa base, 98 -00:05:44,020 --> 00:05:46,380 +00:05:59,941 --> 00:06:02,960 que é a coordenada y desse vetor de entrada. 99 -00:05:46,380 --> 00:05:53,110 +00:06:03,680 --> 00:06:08,555 Portanto, a área desse paralelogramo é uma forma tortuosa de descrever a coordenada 100 -00:05:53,110 --> 00:05:59,440 +00:06:08,555 --> 00:06:13,140 y do vetor. É uma maneira maluca de falar sobre coordenadas, mas venha comigo. 101 -00:05:59,440 --> 00:06:01,919 +00:06:13,700 --> 00:06:16,032 E, na verdade, para ser um pouco mais preciso, 102 -00:06:01,919 --> 00:06:05,611 +00:06:16,032 --> 00:06:19,506 você deveria pensar nisso como a área sinalizada desse paralelogramo, 103 -00:06:05,611 --> 00:06:07,880 +00:06:19,506 --> 00:06:21,640 no sentido descrito no vídeo determinante. 104 -00:06:07,880 --> 00:06:09,486 +00:06:22,200 --> 00:06:24,299 Dessa forma, um vetor com uma coordenada y negativa corresponderia a uma área 105 -00:06:09,486 --> 00:06:11,153 +00:06:24,299 --> 00:06:26,480 negativa para este paralelogramo, pelo menos se você pensar em i-hat como sendo, 106 -00:06:11,153 --> 00:06:12,760 +00:06:26,480 --> 00:06:28,580 em certo sentido, o primeiro desses dois vetores que definem o paralelogramo. 107 -00:06:12,760 --> 00:06:17,005 +00:06:28,960 --> 00:06:30,948 E simetricamente, se você olhar para o paralelogramo gerado pelo nosso vetor de entrada 108 -00:06:17,005 --> 00:06:21,300 +00:06:30,948 --> 00:06:32,960 misterioso e a segunda base, j-hat, sua área será a coordenada x desse vetor misterioso. 109 -00:06:21,300 --> 00:06:24,390 +00:06:32,960 --> 00:06:36,278 Novamente, é uma maneira estranha de representar a coordenada x, 110 -00:06:24,390 --> 00:06:26,720 +00:06:36,278 --> 00:06:38,780 mas você verá o que isso nos traz em um momento. 111 -00:06:26,720 --> 00:06:29,329 +00:06:38,780 --> 00:06:41,398 E só para ter certeza de que está claro como isso pode ser generalizado, 112 -00:06:29,329 --> 00:06:32,153 +00:06:41,398 --> 00:06:44,232 vamos olhar em três dimensões. Normalmente, a maneira como você pensaria sobre 113 -00:06:32,153 --> 00:06:34,298 +00:06:44,232 --> 00:06:46,385 uma das coordenadas de um vetor, digamos, sua coordenada z, 114 -00:06:34,298 --> 00:06:36,943 +00:06:46,385 --> 00:06:49,039 seria considerar seu produto escalar com o terceiro vetor de base padrão, 115 -00:06:36,943 --> 00:06:37,980 +00:06:49,039 --> 00:06:50,080 geralmente chamado de k-hat. 116 -00:06:37,980 --> 00:06:41,059 +00:06:50,680 --> 00:06:51,557 Mas uma interpretação geométrica alternativa seria considerar o 117 -00:06:41,059 --> 00:06:44,860 +00:06:51,557 --> 00:06:52,640 paralelepípedo que ele cria com os outros dois vetores de base, i-hat e j-hat. 118 -00:06:44,860 --> 00:06:49,022 +00:06:52,740 --> 00:06:54,915 Se você pensar no quadrado com área 1 medido por i-hat e j-hat como a base de toda essa 119 -00:06:49,022 --> 00:06:53,280 +00:06:54,915 --> 00:06:57,140 forma, então seu volume é igual à sua altura, que é a terceira coordenada do nosso vetor. 120 -00:06:53,280 --> 00:06:57,083 +00:06:57,140 --> 00:07:01,412 E da mesma forma, a maneira maluca de pensar nas outras coordenadas do vetor seria formar 121 -00:06:57,083 --> 00:06:59,957 +00:07:01,412 --> 00:07:04,640 um paralelepípedo usando o vetor e depois todos os vetores de base, 122 -00:06:59,957 --> 00:07:02,704 +00:07:04,640 --> 00:07:07,726 exceto aquele correspondente à direção que você está procurando. 123 -00:07:02,704 --> 00:07:04,480 +00:07:07,726 --> 00:07:09,720 Então o volume disso lhe dá a coordenada. 124 -00:07:04,480 --> 00:07:08,865 +00:07:09,720 --> 00:07:14,133 Ou melhor, deveríamos estar falando do volume sinalizado do paralelepípedo, 125 -00:07:08,865 --> 00:07:13,078 +00:07:14,133 --> 00:07:18,372 no sentido descrito no vídeo determinante usando a regra da mão direita. 126 -00:07:13,078 --> 00:07:17,060 +00:07:18,372 --> 00:07:22,380 Portanto, a ordem em que você lista esses três vetores é importante. 127 -00:07:17,060 --> 00:07:18,800 +00:07:22,380 --> 00:07:25,240 Dessa forma, as coordenadas negativas ainda fazem sentido. 128 -00:07:18,800 --> 00:07:22,080 +00:07:25,240 --> 00:07:27,500 Ok, então por que pensar em coordenadas como áreas e volumes assim? 129 -00:07:22,080 --> 00:07:24,413 +00:07:27,500 --> 00:07:28,478 Bem, conforme você aplica algum tipo de transformação de matriz, 130 -00:07:24,413 --> 00:07:26,855 +00:07:28,478 --> 00:07:29,503 as áreas desses paralelogramos, bem, elas não permanecem as mesmas, 131 -00:07:26,855 --> 00:07:28,040 +00:07:29,503 --> 00:07:30,000 elas podem aumentar ou diminuir. 132 -00:07:28,040 --> 00:07:30,187 +00:07:30,000 --> 00:07:31,906 Mas(!), e esta é uma ideia chave dos determinantes, 133 -00:07:30,187 --> 00:07:32,500 +00:07:31,906 --> 00:07:33,960 todas estas áreas são dimensionadas na mesma proporção. 134 -00:07:32,500 --> 00:07:34,700 +00:07:33,960 --> 00:07:37,900 Ou seja, o determinante da nossa matriz de transformação. 135 -00:07:34,700 --> 00:07:37,591 +00:07:38,440 --> 00:07:42,403 Por exemplo, se você olhar o paralelogramo gerado pelo vetor 136 -00:07:37,591 --> 00:07:41,100 +00:07:42,403 --> 00:07:47,211 onde seu primeiro vetor de base pousa, que é a primeira coluna da matriz, 137 -00:07:41,100 --> 00:07:43,660 +00:07:47,211 --> 00:07:50,720 e a versão transformada de [x; y], qual é a sua área? 138 -00:07:43,660 --> 00:07:47,280 +00:07:50,720 --> 00:07:54,710 Bem, esta é a versão transformada do paralelogramo que vimos anteriormente, 139 -00:07:47,280 --> 00:07:50,520 +00:07:54,710 --> 00:07:58,280 aquele cuja área era a coordenada y do vetor de entrada misterioso. 140 -00:07:50,520 --> 00:07:53,590 +00:07:58,960 --> 00:08:00,474 Portanto, a sua área será apenas o determinante da 141 -00:07:53,590 --> 00:07:56,600 +00:08:00,474 --> 00:08:01,960 transformação multiplicada por essa coordenada y. 142 -00:07:56,600 --> 00:08:01,741 +00:08:01,960 --> 00:08:07,194 Isso significa que podemos resolver y tomando a área deste novo paralelogramo 143 -00:08:01,741 --> 00:08:06,620 +00:08:07,194 --> 00:08:12,160 no espaço de saída, dividida pelo determinante da transformação completa. 144 -00:08:06,980 --> 00:08:08,020 +00:08:12,160 --> 00:08:14,880 E como você consegue essa área? 145 -00:08:08,020 --> 00:08:12,798 +00:08:14,880 --> 00:08:17,645 Bem, sabemos as coordenadas de onde o vetor de entrada misterioso pousa, 146 -00:08:12,798 --> 00:08:16,660 +00:08:17,645 --> 00:08:19,880 esse é o ponto principal de um sistema linear de equações. 147 -00:08:16,660 --> 00:08:19,488 +00:08:19,880 --> 00:08:23,912 Então, o que você pode fazer é criar uma nova matriz cuja 148 -00:08:19,488 --> 00:08:22,561 +00:08:23,912 --> 00:08:28,291 primeira coluna seja igual à da nossa matriz, mas cuja segunda 149 -00:08:22,561 --> 00:08:25,780 +00:08:28,291 --> 00:08:32,880 coluna seja o vetor de saída, e então você pega seu determinante. 150 -00:08:26,060 --> 00:08:29,078 +00:08:32,880 --> 00:08:35,598 Então veja só, apenas usando os dados da saída da transformação, ou seja, 151 -00:08:29,078 --> 00:08:31,649 +00:08:35,598 --> 00:08:37,912 as colunas da matriz e as coordenadas do nosso vetor de saída, 152 -00:08:31,649 --> 00:08:34,300 +00:08:37,912 --> 00:08:40,300 podemos recuperar a coordenada y do vetor de entrada misterioso, 153 -00:08:34,300 --> 00:08:36,299 +00:08:40,300 --> 00:08:42,100 que está a meio caminho da resolução do sistema. 154 -00:08:36,299 --> 00:08:39,280 +00:08:42,100 --> 00:08:43,500 Da mesma forma, a mesma ideia pode nos dar a coordenada x. 155 -00:08:40,179 --> 00:08:43,126 +00:08:43,500 --> 00:08:48,077 Veja o paralelogramo que definimos anteriormente, 156 -00:08:43,126 --> 00:08:46,661 +00:08:48,077 --> 00:08:53,569 que codifica a coordenada x do vetor de entrada misterioso, 157 -00:08:46,661 --> 00:08:48,960 +00:08:53,569 --> 00:08:57,140 gerado por esse vetor e pelo chapéu j. 158 -00:08:48,960 --> 00:08:53,838 +00:08:57,140 --> 00:09:00,918 A versão transformada deste cara é gerada pelo vetor de saída e pela segunda 159 -00:08:53,838 --> 00:08:59,160 +00:09:00,918 --> 00:09:05,040 coluna da matriz, e sua área terá sido multiplicada pelo determinante dessa matriz. 160 -00:08:59,720 --> 00:09:02,238 +00:09:05,060 --> 00:09:10,198 Então, para resolver x, você pode dividir essa nova 161 -00:09:02,238 --> 00:09:04,660 +00:09:10,198 --> 00:09:15,140 área pelo determinante da transformação completa. 162 -00:09:04,660 --> 00:09:08,785 +00:09:15,600 --> 00:09:18,180 E semelhante ao que fizemos antes, você pode calcular a área desse 163 -00:09:08,785 --> 00:09:12,972 +00:09:18,180 --> 00:09:20,800 paralelogramo de saída criando uma nova matriz cuja primeira coluna 164 -00:09:12,972 --> 00:09:17,160 +00:09:20,800 --> 00:09:23,420 é o vetor de saída e cuja segunda coluna é igual à matriz original. 165 -00:09:17,160 --> 00:09:20,365 +00:09:23,420 --> 00:09:27,338 Então, novamente, apenas usando dados do espaço de saída, 166 -00:09:20,365 --> 00:09:25,340 +00:09:27,338 --> 00:09:33,420 os números que vemos em nosso sistema linear original, podemos resolver o que x deve ser. 167 -00:09:25,600 --> 00:09:27,628 +00:09:33,420 --> 00:09:39,001 Esta fórmula para encontrar as soluções de um sistema 168 -00:09:27,628 --> 00:09:29,620 +00:09:39,001 --> 00:09:44,480 linear de equações é conhecida como regra de Cramer. 169 -00:09:29,620 --> 00:09:34,300 +00:09:44,480 --> 00:09:45,340 Aqui, apenas para verificar nossa sanidade, insira alguns números aqui. 170 -00:09:34,300 --> 00:09:37,982 +00:09:45,340 --> 00:09:49,227 O determinante dessa matriz alterada superior é 4 mais 2, que é 6, 171 -00:09:37,982 --> 00:09:41,500 +00:09:49,227 --> 00:09:52,940 e o determinante inferior é 2, então a coordenada x deve ser 3. 172 -00:09:41,500 --> 00:09:45,520 +00:09:53,860 --> 00:10:04,340 E, de fato, olhando para o vetor de entrada com o qual começamos, a coordenada x é 3. 173 -00:09:45,520 --> 00:09:50,451 +00:10:04,340 --> 00:10:06,079 Da mesma forma, a regra de Cramer sugere que a coordenada y deve ser 4 dividido por 2, 174 -00:09:50,451 --> 00:09:55,100 +00:10:06,079 --> 00:10:07,720 ou 2, e essa é a coordenada y do vetor de entrada com o qual estávamos começando. 175 -00:09:55,340 --> 00:09:58,355 +00:10:07,720 --> 00:10:13,207 O caso com 3 dimensões ou mais é semelhante, e eu recomendo 176 -00:09:58,355 --> 00:10:01,220 +00:10:13,207 --> 00:10:18,420 fortemente que você faça uma pausa e pense por si mesmo. 177 -00:10:01,220 --> 00:10:04,220 +00:10:19,120 --> 00:10:21,580 Aqui, vou lhe dar um pouco de impulso. 178 -00:10:04,220 --> 00:10:07,621 +00:10:21,580 --> 00:10:25,513 O que temos é uma transformação conhecida dada por alguma matriz 179 -00:10:07,621 --> 00:10:11,912 +00:10:25,513 --> 00:10:30,476 3x3 e um vetor de saída conhecido dado pelo lado direito do nosso sistema linear, 180 -00:10:11,912 --> 00:10:14,320 +00:10:30,476 --> 00:10:33,260 e queremos saber que entrada cai nessa saída. 181 -00:10:14,320 --> 00:10:18,759 +00:10:33,260 --> 00:10:37,070 Se você pensar, digamos, na coordenada z do vetor de entrada como o volume 182 -00:10:18,759 --> 00:10:23,377 +00:10:37,070 --> 00:10:41,032 deste paralelepípedo medido por i-hat, j-hat e o vetor de entrada misterioso, 183 -00:10:23,377 --> 00:10:27,580 +00:10:41,032 --> 00:10:44,640 o que acontece com o volume deste paralelepípedo após a transformação? 184 -00:10:27,580 --> 00:10:30,200 +00:10:44,640 --> 00:10:51,660 Como você pode calcular esse novo volume? 185 -00:10:30,200 --> 00:10:34,561 +00:10:51,660 --> 00:10:56,041 Na verdade, faça uma pausa e pare um momento para pensar nos detalhes 186 -00:10:34,561 --> 00:10:37,676 +00:10:56,041 --> 00:10:59,171 de generalização disso para dimensões superiores; 187 -00:10:37,676 --> 00:10:43,160 +00:10:59,171 --> 00:11:04,680 encontrar uma expressão para cada coordenada da solução para sistemas lineares maiores. 188 -00:10:43,160 --> 00:11:04,343 +00:11:05,100 --> 00:11:19,170 Pensar em casos mais gerais como esse e convencer-se de que funciona e 189 -00:11:04,343 --> 00:11:23,139 +00:11:19,170 --> 00:11:31,655 por que funciona é onde todo o aprendizado realmente acontece, 190 -00:11:23,139 --> 00:11:48,500 +00:11:31,655 --> 00:11:48,500 muito mais do que ouvir algum cara no YouTube explicar o mesmo raciocínio novamente. diff --git a/2019/cramers-rule/russian/auto_generated.srt b/2019/cramers-rule/russian/auto_generated.srt index c28520490..55440f966 100644 --- a/2019/cramers-rule/russian/auto_generated.srt +++ b/2019/cramers-rule/russian/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:11,199 --> 00:00:15,112 +00:00:11,200 --> 00:00:15,112 В предыдущем видео я говорил о линейных системах уравнений и как бы 2 @@ -63,15 +63,15 @@ Например, метод исключения Гаусса всегда будет быстрее. 17 -00:01:01,980 --> 00:01:03,840 +00:01:01,980 --> 00:01:03,520 Так зачем этому учиться? 18 -00:01:03,840 --> 00:01:06,488 +00:01:03,780 --> 00:01:06,452 Ну, думайте об этом как о своего рода культурной экскурсии. 19 -00:01:06,488 --> 00:01:10,460 +00:01:06,452 --> 00:01:10,460 Это полезное упражнение для углубления ваших знаний теории, лежащей в основе этих систем. 20 @@ -111,686 +111,686 @@ большим количеством неизвестных и таким же количеством уравнений. 29 -00:01:42,440 --> 00:01:45,320 +00:01:42,440 --> 00:01:45,580 Но для простоты лучше держать в голове пример меньшего размера. 30 -00:01:45,320 --> 00:01:50,314 +00:01:46,320 --> 00:01:50,975 Итак, как я говорил в предыдущем видео, вы можете представить эту установку 31 -00:01:50,314 --> 00:01:55,571 +00:01:50,975 --> 00:01:55,875 геометрически как некую известную матрицу, преобразующую неизвестный вектор [x; 32 -00:01:55,571 --> 00:02:00,040 +00:01:55,875 --> 00:02:00,040 y], где вы знаете, каким будет результат, в данном случае [-4; -2]. 33 -00:02:00,800 --> 00:02:03,630 +00:02:00,800 --> 00:02:03,264 Помните, что столбцы этой матрицы говорят вам, 34 -00:02:03,630 --> 00:02:08,207 +00:02:03,264 --> 00:02:07,248 как эта матрица действует как преобразование, и каждый из них сообщает вам, 35 -00:02:08,207 --> 00:02:11,460 +00:02:07,248 --> 00:02:10,080 где находятся базисные векторы входного пространства. 36 -00:02:11,460 --> 00:02:12,252 +00:02:10,860 --> 00:02:11,786 Итак, у нас есть своего рода головоломка. Какой входной вектор x, 37 -00:02:12,252 --> 00:02:13,176 +00:02:11,786 --> 00:02:12,867 y попадет на этот выход: минус 4, минус 2? Один из способов подумать о нашей 38 -00:02:13,176 --> 00:02:13,788 +00:02:12,867 --> 00:02:13,584 маленькой головоломке состоит в том, что мы знаем, 39 -00:02:13,788 --> 00:02:14,700 +00:02:13,584 --> 00:02:14,651 что данный выходной вектор представляет собой некоторую линейную комбинацию 40 -00:02:14,700 --> 00:02:15,648 +00:02:14,651 --> 00:02:15,760 столбцов матрицы, x умноженный на вектор, на который попадает i-шляпа, плюс y, 41 -00:02:15,648 --> 00:02:16,620 +00:02:15,760 --> 00:02:16,897 умноженный на вектор, на который приземляется j-шляпа, но что мы хотим выяснить, 42 -00:02:16,620 --> 00:02:17,220 +00:02:16,897 --> 00:02:17,600 какой именно должна быть эта линейная комбинация. 43 -00:02:17,220 --> 00:02:22,101 +00:02:17,600 --> 00:02:23,114 Помните, тип ответа, который вы здесь получите, может зависеть от того, 44 -00:02:22,101 --> 00:02:26,780 +00:02:23,114 --> 00:02:28,400 сжимает ли преобразование все пространство в более низкое измерение. 45 -00:02:26,780 --> 00:02:28,240 +00:02:28,400 --> 00:02:31,220 Это если его определитель равен нулю. 46 -00:02:28,240 --> 00:02:31,829 +00:02:31,220 --> 00:02:34,211 В этом случае либо ни один из входов не попадает на наш данный выход, 47 -00:02:31,829 --> 00:02:34,240 +00:02:34,211 --> 00:02:36,220 либо на этот выход попадает целая куча входов. 48 -00:02:34,240 --> 00:02:37,825 +00:02:37,240 --> 00:02:39,943 Но в этом видео мы ограничимся случаем ненулевого определителя, 49 -00:02:37,825 --> 00:02:41,579 +00:02:39,943 --> 00:02:42,773 то есть результаты этого преобразования по-прежнему охватывают все 50 -00:02:41,579 --> 00:02:44,381 +00:02:42,773 --> 00:02:44,885 многомерное пространство, в котором оно началось. 51 -00:02:44,381 --> 00:02:47,182 +00:02:44,885 --> 00:02:46,997 Каждый вход попадает на один и только один выход, 52 -00:02:47,182 --> 00:02:49,760 +00:02:46,997 --> 00:02:48,940 и каждый выход имеет один и только один вход. 53 -00:02:49,760 --> 00:02:53,978 +00:02:48,940 --> 00:02:53,107 Один из способов подумать о нашей головоломке состоит в том, что мы знаем, 54 -00:02:53,978 --> 00:02:58,253 +00:02:53,107 --> 00:02:57,329 что данный выходной вектор представляет собой некоторую линейную комбинацию 55 -00:02:58,253 --> 00:03:02,472 +00:02:57,329 --> 00:03:01,497 столбцов матрицы; x*(вектор, на который приземляется i-шляпа) + y*(вектор, 56 -00:03:02,472 --> 00:03:05,678 +00:03:01,497 --> 00:03:04,664 на который приземляется j-шляпа), но мы хотим вычислить, 57 -00:03:05,678 --> 00:03:07,760 +00:03:04,664 --> 00:03:06,720 что именно представляют собой x и y. 58 -00:03:07,760 --> 00:03:09,932 +00:03:06,720 --> 00:03:13,584 Для начала позвольте мне показать идею, которая неверна, 59 -00:03:09,932 --> 00:03:11,380 +00:03:13,584 --> 00:03:18,160 но движется в правильном направлении. 60 -00:03:11,380 --> 00:03:15,865 +00:03:18,800 --> 00:03:22,328 Координата X этого загадочного входного вектора — это то, что вы получаете, 61 -00:03:15,865 --> 00:03:19,820 +00:03:22,328 --> 00:03:25,440 взяв его скалярное произведение с первым базисным вектором [1; 0]. 62 -00:03:19,820 --> 00:03:23,424 +00:03:26,160 --> 00:03:28,804 Аналогично, координата Y — это то, что вы получаете, 63 -00:03:23,424 --> 00:03:26,960 +00:03:28,804 --> 00:03:31,400 расставив в ней точку второй базисный вектор, 0, 1. 64 -00:03:26,960 --> 00:03:30,507 +00:03:31,900 --> 00:03:35,398 Так что, возможно, вы надеетесь, что после преобразования 65 -00:03:30,507 --> 00:03:34,055 +00:03:35,398 --> 00:03:38,897 скалярные произведения преобразованной версии загадочного 66 -00:03:34,055 --> 00:03:38,460 +00:03:38,897 --> 00:03:43,240 вектора с преобразованной версией также будут этими координатами x и y. 67 -00:03:38,460 --> 00:03:40,747 +00:03:43,940 --> 00:03:46,424 Это было бы здорово, потому что мы знаем, что представляет 68 -00:03:40,747 --> 00:03:42,880 +00:03:46,424 --> 00:03:48,740 собой преобразованная версия каждого из этих векторов. 69 -00:03:42,880 --> 00:03:45,700 +00:03:51,180 --> 00:03:54,200 Есть только одна проблема: это совсем не так. 70 -00:03:45,700 --> 00:03:49,519 +00:03:54,640 --> 00:03:57,396 Для большинства линейных преобразований скалярное произведение 71 -00:03:49,519 --> 00:03:53,460 +00:03:57,396 --> 00:04:00,240 до и после преобразования будет выглядеть совершенно по-разному. 72 -00:03:53,460 --> 00:03:56,996 +00:04:00,800 --> 00:04:04,178 Например, у вас могут быть два вектора, обычно указывающие в одном направлении с 73 -00:03:56,996 --> 00:04:00,794 +00:04:04,178 --> 00:04:07,807 положительным скалярным произведением, которые во время преобразования отделяются друг 74 -00:04:00,794 --> 00:04:04,680 +00:04:07,807 --> 00:04:11,520 от друга таким образом, что в конечном итоге имеют отрицательное скалярное произведение. 75 -00:04:04,680 --> 00:04:07,957 +00:04:12,220 --> 00:04:15,509 Аналогичным образом, объекты, которые начинаются перпендикулярно со скалярным 76 -00:04:07,957 --> 00:04:09,974 +00:04:15,509 --> 00:04:17,533 произведением 0, например два базисных вектора, 77 -00:04:09,974 --> 00:04:13,252 +00:04:17,533 --> 00:04:20,823 довольно часто не остаются перпендикулярными друг другу после преобразования, 78 -00:04:13,252 --> 00:04:15,900 +00:04:20,823 --> 00:04:23,480 то есть они не сохраняют это скалярное произведение, равное 0. 79 -00:04:15,900 --> 00:04:19,380 +00:04:24,100 --> 00:04:27,160 В примере, который мы рассматривали, скалярные произведения определенно не сохраняются. 80 -00:04:19,380 --> 00:04:23,480 +00:04:27,500 --> 00:04:29,940 Они имеют тенденцию становиться больше, поскольку большинство векторов растягиваются. 81 -00:04:24,100 --> 00:04:27,010 +00:04:29,940 --> 00:04:35,107 На самом деле преобразования, сохраняющие скалярные произведения, достаточно особенные, 82 -00:04:27,010 --> 00:04:29,260 +00:04:35,107 --> 00:04:39,100 чтобы иметь собственное название: ортонормированные преобразования. 83 -00:04:29,260 --> 00:04:31,923 +00:04:39,720 --> 00:04:42,138 Это те, которые оставляют все базисные векторы 84 -00:04:31,923 --> 00:04:34,700 +00:04:42,138 --> 00:04:44,660 перпендикулярными друг другу с единичной длиной. 85 -00:04:34,700 --> 00:04:36,980 +00:04:45,740 --> 00:04:47,880 Вы часто думаете о них как о матрицах вращения. 86 -00:04:36,980 --> 00:04:41,500 +00:04:48,420 --> 00:04:52,200 Они соответствуют жесткому движению без растяжения, сжатия или трансформации. 87 -00:04:41,500 --> 00:04:46,005 +00:04:53,000 --> 00:04:57,214 Решить линейную систему с ортонормированной матрицей на самом деле очень просто. 88 -00:04:46,005 --> 00:04:50,177 +00:04:57,214 --> 00:05:01,116 Поскольку скалярные произведения сохраняются, скалярное произведение между 89 -00:04:50,177 --> 00:04:53,848 +00:05:01,116 --> 00:05:04,550 выходным вектором и всеми столбцами вашей матрицы будет таким же, 90 -00:04:53,848 --> 00:04:57,798 +00:05:04,550 --> 00:05:08,245 как и скалярное произведение между загадочным входным вектором и всеми 91 -00:04:57,798 --> 00:05:02,804 +00:05:08,245 --> 00:05:12,927 базисными векторами, что то же самое, что просто найти координаты этого загадочного входа. 92 -00:05:02,804 --> 00:05:02,860 +00:05:12,927 --> 00:05:12,980 93 -00:05:02,860 --> 00:05:06,993 +00:05:13,680 --> 00:05:18,605 Таким образом, в этом особом случае x будет скалярным произведением первого столбца с 94 -00:05:06,993 --> 00:05:11,320 +00:05:18,605 --> 00:05:23,760 выходным вектором, а y будет скалярным произведением второго столбца с выходным вектором. 95 -00:05:11,320 --> 00:05:16,744 +00:05:26,820 --> 00:05:31,301 Почему я поднимаю этот вопрос, когда эта идея не работает почти для всех линейных систем? 96 -00:05:16,744 --> 00:05:20,902 +00:05:31,301 --> 00:05:34,737 Что ж, это указывает нам направление, в котором нужно что-то искать. 97 -00:05:20,902 --> 00:05:26,266 +00:05:34,737 --> 00:05:39,170 Существует ли альтернативное геометрическое понимание координат нашего входного вектора, 98 -00:05:26,266 --> 00:05:29,280 +00:05:39,170 --> 00:05:41,660 которое остается неизменным после преобразования? 99 -00:05:29,280 --> 00:05:32,688 +00:05:42,360 --> 00:05:46,082 Если ваш разум размышлял над детерминантами, вам может прийти в 100 -00:05:32,688 --> 00:05:35,565 +00:05:46,082 --> 00:05:49,223 голову следующая умная идея. Возьмите параллелограмм, 101 -00:05:35,565 --> 00:05:39,720 +00:05:49,223 --> 00:05:53,760 определяемый первым базисным вектором i-hat и загадочным входным вектором xy. 102 -00:05:39,720 --> 00:05:42,652 +00:05:54,440 --> 00:05:58,190 Площадь этого параллелограмма равна основанию, умноженному на высоту, 103 -00:05:42,652 --> 00:05:46,380 +00:05:58,190 --> 00:06:02,960 перпендикулярную этому основанию, которое является координатой Y этого входного вектора. 104 -00:05:46,380 --> 00:05:50,541 +00:06:03,680 --> 00:06:06,694 Таким образом, площадь этого параллелограмма — это своего 105 -00:05:50,541 --> 00:05:55,062 +00:06:06,694 --> 00:06:09,969 рода запутанный окольный способ описания координаты y вектора. 106 -00:05:55,062 --> 00:05:59,440 +00:06:09,969 --> 00:06:13,140 Это дурацкий способ говорить о координатах, но беги со мной. 107 -00:05:59,440 --> 00:06:01,865 +00:06:13,700 --> 00:06:15,981 И на самом деле, чтобы быть немного более точным, 108 -00:06:01,865 --> 00:06:06,085 +00:06:15,981 --> 00:06:19,951 вы должны думать об этом как о подписанной площади этого параллелограмма в том смысле, 109 -00:06:06,085 --> 00:06:07,880 +00:06:19,951 --> 00:06:21,640 который описан в определяющем видео. 110 -00:06:07,880 --> 00:06:09,604 +00:06:22,200 --> 00:06:24,454 Таким образом, вектор с отрицательной координатой Y будет соответствовать отрицательной 111 -00:06:09,604 --> 00:06:10,878 +00:06:24,454 --> 00:06:26,120 площади этого параллелограмма, по крайней мере, если вы думаете, 112 -00:06:10,878 --> 00:06:12,191 +00:06:26,120 --> 00:06:27,836 что i-hat в каком-то смысле является первым из этих двух векторов, 113 -00:06:12,191 --> 00:06:12,760 +00:06:27,836 --> 00:06:28,580 определяющих параллелограмм. 114 -00:06:12,760 --> 00:06:15,180 +00:06:28,960 --> 00:06:30,093 И симметрично, если вы посмотрите на параллелограмм, 115 -00:06:15,180 --> 00:06:18,148 +00:06:30,093 --> 00:06:31,484 образованный нашим загадочным входным вектором и вторым базисом, 116 -00:06:18,148 --> 00:06:21,300 +00:06:31,484 --> 00:06:32,960 j-шляпой, его площадь будет координатой X этого загадочного вектора. 117 -00:06:21,300 --> 00:06:24,265 +00:06:32,960 --> 00:06:36,144 Опять же, это странный способ представления координаты X, 118 -00:06:24,265 --> 00:06:26,720 +00:06:36,144 --> 00:06:38,780 но через мгновение вы увидите, что он нам дает. 119 -00:06:26,720 --> 00:06:30,256 +00:06:38,780 --> 00:06:42,329 И просто чтобы убедиться, что это можно обобщить, давайте посмотрим в трёх измерениях. 120 -00:06:30,256 --> 00:06:32,817 +00:06:42,329 --> 00:06:44,899 Обычно вы можете думать об одной из координат вектора, скажем, 121 -00:06:32,817 --> 00:06:35,622 +00:06:44,899 --> 00:06:47,713 о его координате z, — это взять его скалярное произведение с третьим 122 -00:06:35,622 --> 00:06:37,980 +00:06:47,713 --> 00:06:50,080 стандартным базисным вектором, часто называемым k-шляпой. 123 -00:06:37,980 --> 00:06:41,440 +00:06:50,680 --> 00:06:51,665 Но альтернативная геометрическая интерпретация могла бы заключаться в рассмотрении 124 -00:06:41,440 --> 00:06:44,860 +00:06:51,665 --> 00:06:52,640 созданного им параллелепипеда с двумя другими базисными векторами, i-hat и j-hat. 125 -00:06:44,860 --> 00:06:47,881 +00:06:52,740 --> 00:06:54,318 Если вы думаете о квадрате с площадью 1, охватываемом i-шляпой и j-шляпой, 126 -00:06:47,881 --> 00:06:50,419 +00:06:54,318 --> 00:06:55,645 как о основании всей этой фигуры, то его объем будет таким же, 127 -00:06:50,419 --> 00:06:53,280 +00:06:55,645 --> 00:06:57,140 как и его высота, которая является третьей координатой нашего вектора. 128 -00:06:53,280 --> 00:06:56,925 +00:06:57,140 --> 00:07:01,234 Аналогичным образом, дурацким способом думать о других координатах вектора было бы 129 -00:06:56,925 --> 00:07:00,834 +00:07:01,234 --> 00:07:05,625 сформировать параллелепипед, используя вектор, а затем все базисные векторы, кроме того, 130 -00:07:00,834 --> 00:07:04,480 +00:07:05,625 --> 00:07:09,720 который соответствует искомому направлению. Тогда объем этого даст вам координату. 131 -00:07:04,480 --> 00:07:08,729 +00:07:09,720 --> 00:07:13,996 Точнее, речь должна идти о подписанном объеме параллелепипеда в том смысле, 132 -00:07:08,729 --> 00:07:12,866 +00:07:13,996 --> 00:07:18,159 который описан в определителе видео с использованием правила правой руки. 133 -00:07:12,866 --> 00:07:17,060 +00:07:18,159 --> 00:07:22,380 Поэтому порядок, в котором вы перечислите эти три вектора, имеет значение. 134 -00:07:17,060 --> 00:07:18,800 +00:07:22,380 --> 00:07:25,240 Таким образом, отрицательные координаты по-прежнему имеют смысл. 135 -00:07:18,800 --> 00:07:22,080 +00:07:25,240 --> 00:07:27,500 Хорошо, так зачем думать о координатах как о площадях и объёмах? 136 -00:07:22,080 --> 00:07:25,411 +00:07:27,500 --> 00:07:28,897 Ну, когда вы применяете какое-то матричное преобразование, площади этих параллелограммов, 137 -00:07:25,411 --> 00:07:28,040 +00:07:28,897 --> 00:07:30,000 ну, они не остаются прежними, они могут увеличиваться или уменьшаться. 138 -00:07:28,040 --> 00:07:30,227 +00:07:30,000 --> 00:07:31,941 Но (!), и это ключевая идея определяющих факторов, 139 -00:07:30,227 --> 00:07:32,500 +00:07:31,941 --> 00:07:33,960 все эти области масштабируются в одинаковой степени. 140 -00:07:32,500 --> 00:07:34,700 +00:07:33,960 --> 00:07:37,900 А именно, определитель нашей матрицы преобразования. 141 -00:07:34,700 --> 00:07:37,672 +00:07:38,440 --> 00:07:42,514 Например, если вы посмотрите на параллелограмм, охватываемый вектором, 142 -00:07:37,672 --> 00:07:41,440 +00:07:42,514 --> 00:07:47,678 в котором находится ваш первый базисный вектор, который является первым столбцом матрицы, 143 -00:07:41,440 --> 00:07:43,660 +00:07:47,678 --> 00:07:50,720 и преобразованную версию [x; y], какова его площадь? 144 -00:07:43,660 --> 00:07:47,481 +00:07:50,720 --> 00:07:54,931 Что ж, это преобразованная версия параллелограмма, который мы рассматривали ранее, 145 -00:07:47,481 --> 00:07:50,520 +00:07:54,931 --> 00:07:58,280 площадь которого равна координате Y загадочного входного вектора. 146 -00:07:50,520 --> 00:07:54,831 +00:07:58,960 --> 00:08:01,087 Таким образом, его площадь будет просто определяющим фактором преобразования, 147 -00:07:54,831 --> 00:07:56,600 +00:08:01,087 --> 00:08:01,960 умноженным на эту координату Y. 148 -00:07:56,600 --> 00:08:01,642 +00:08:01,960 --> 00:08:07,092 Это означает, что мы можем найти y, взяв площадь этого нового параллелограмма 149 -00:08:01,642 --> 00:08:06,620 +00:08:07,092 --> 00:08:12,160 в выходном пространстве, разделенную на определитель полного преобразования. 150 -00:08:06,980 --> 00:08:08,020 +00:08:12,160 --> 00:08:14,880 И как получить эту площадь? 151 -00:08:08,020 --> 00:08:13,465 +00:08:14,880 --> 00:08:18,031 Что ж, мы знаем координаты места попадания таинственного входного вектора, 152 -00:08:13,465 --> 00:08:16,660 +00:08:18,031 --> 00:08:19,880 в этом вся суть линейной системы уравнений. 153 -00:08:16,660 --> 00:08:20,348 +00:08:19,880 --> 00:08:25,138 Итак, вы можете создать новую матрицу, первый столбец которой такой же, 154 -00:08:20,348 --> 00:08:24,191 +00:08:25,138 --> 00:08:30,615 как у нашей матрицы, но второй столбец которой является выходным вектором, 155 -00:08:24,191 --> 00:08:25,780 +00:08:30,615 --> 00:08:32,880 а затем взять ее определитель. 156 -00:08:26,060 --> 00:08:29,325 +00:08:32,880 --> 00:08:35,820 Итак, посмотрите на это: просто используя данные выходных данных преобразования, 157 -00:08:29,325 --> 00:08:31,905 +00:08:35,820 --> 00:08:38,143 а именно столбцы матрицы и координаты нашего выходного вектора, 158 -00:08:31,905 --> 00:08:34,526 +00:08:38,143 --> 00:08:40,502 мы можем восстановить координату Y загадочного входного вектора, 159 -00:08:34,526 --> 00:08:36,299 +00:08:40,502 --> 00:08:42,100 что находится на полпути к решению системы. 160 -00:08:36,299 --> 00:08:39,280 +00:08:42,100 --> 00:08:43,500 Аналогично, та же идея может дать нам координату X. 161 -00:08:40,179 --> 00:08:43,500 +00:08:43,500 --> 00:08:48,658 Посмотрите на параллелограмм, который мы определили ранее, 162 -00:08:43,500 --> 00:08:46,877 +00:08:48,658 --> 00:08:53,904 который кодирует координату x загадочного входного вектора, 163 -00:08:46,877 --> 00:08:48,960 +00:08:53,904 --> 00:08:57,140 натянутого на этот вектор и j-шляпу. 164 -00:08:48,960 --> 00:08:55,107 +00:08:57,140 --> 00:09:01,901 Преобразованная версия этого парня охватывает выходной вектор и второй столбец матрицы, 165 -00:08:55,107 --> 00:08:59,160 +00:09:01,901 --> 00:09:05,040 и ее площадь будет умножена на определитель этой матрицы. 166 -00:08:59,720 --> 00:09:02,281 +00:09:05,060 --> 00:09:10,286 Итак, чтобы найти x, вы можете взять эту новую площадь, 167 -00:09:02,281 --> 00:09:04,660 +00:09:10,286 --> 00:09:15,140 разделенную на определитель полного преобразования. 168 -00:09:04,660 --> 00:09:08,845 +00:09:15,600 --> 00:09:18,218 И аналогично тому, что мы делали раньше, вы можете вычислить площадь этого 169 -00:09:08,845 --> 00:09:11,579 +00:09:18,218 --> 00:09:19,928 выходного параллелограмма, создав новую матрицу, 170 -00:09:11,579 --> 00:09:15,932 +00:09:19,928 --> 00:09:22,651 первый столбец которой является выходным вектором, а второй столбец такой же, 171 -00:09:15,932 --> 00:09:17,160 +00:09:22,651 --> 00:09:23,420 как исходная матрица. 172 -00:09:17,160 --> 00:09:20,735 +00:09:23,420 --> 00:09:27,791 Итак, еще раз, просто используя данные из выходного пространства, числа, 173 -00:09:20,735 --> 00:09:24,311 +00:09:27,791 --> 00:09:32,162 которые мы видим в нашей исходной линейной системе, мы можем определить, 174 -00:09:24,311 --> 00:09:25,340 +00:09:32,162 --> 00:09:33,420 каким должен быть x. 175 -00:09:25,600 --> 00:09:29,620 +00:09:33,420 --> 00:09:44,480 Эта формула для поиска решений линейной системы уравнений известна как правило Крамера. 176 -00:09:29,620 --> 00:09:34,300 +00:09:44,480 --> 00:09:45,340 Вот, просто чтобы проверить себя в здравом уме, подставим сюда несколько цифр. 177 -00:09:34,300 --> 00:09:37,924 +00:09:45,340 --> 00:09:49,165 Определитель этой верхней измененной матрицы равен 4 плюс 2, что равно 6, 178 -00:09:37,924 --> 00:09:41,500 +00:09:49,165 --> 00:09:52,940 а нижний определитель равен 2, поэтому координата x должна быть равна 3. 179 -00:09:41,500 --> 00:09:43,677 +00:09:53,860 --> 00:09:59,536 И действительно, если вернуться к входному вектору, 180 -00:09:43,677 --> 00:09:45,520 +00:09:59,536 --> 00:10:04,340 с которого мы начали, координата x равна 3. 181 -00:09:45,520 --> 00:09:50,193 +00:10:04,340 --> 00:10:05,988 Аналогично, правило Крамера предполагает, что координата y должна быть равна 4, 182 -00:09:50,193 --> 00:09:55,100 +00:10:05,988 --> 00:10:07,720 разделенному на 2 или 2, и это координата y входного вектора, с которого мы начали. 183 -00:09:55,340 --> 00:09:57,662 +00:10:07,720 --> 00:10:11,946 Случай с тремя и более измерениями аналогичен, 184 -00:09:57,662 --> 00:10:01,220 +00:10:11,946 --> 00:10:18,420 и я настоятельно рекомендую вам остановиться и подумать самостоятельно. 185 -00:10:01,220 --> 00:10:04,220 +00:10:19,120 --> 00:10:21,580 Здесь я придам вам немного импульса. 186 -00:10:04,220 --> 00:10:07,602 +00:10:21,580 --> 00:10:25,491 У нас есть известное преобразование, заданное некоторой матрицей 3x3, 187 -00:10:07,602 --> 00:10:11,275 +00:10:25,491 --> 00:10:29,739 и известный выходной вектор, заданный правой частью нашей линейной системы, 188 -00:10:11,275 --> 00:10:14,320 +00:10:29,739 --> 00:10:33,260 и мы хотим знать, какие входные данные попадают на этот выход. 189 -00:10:14,320 --> 00:10:18,541 +00:10:33,260 --> 00:10:36,883 Если вы думаете, скажем, о координате z входного вектора как об объеме 190 -00:10:18,541 --> 00:10:23,477 +00:10:36,883 --> 00:10:41,118 этого параллелепипеда, натянутого на i-шляпу, j-шляпу и загадочный входной вектор, 191 -00:10:23,477 --> 00:10:27,580 +00:10:41,118 --> 00:10:44,640 что произойдет с объемом этого параллелепипеда после преобразования? 192 -00:10:27,580 --> 00:10:30,200 +00:10:44,640 --> 00:10:51,660 Как вы можете вычислить этот новый объем? 193 -00:10:30,200 --> 00:10:36,388 +00:10:51,660 --> 00:10:57,877 Действительно, сделайте паузу и подумайте о деталях обобщения этого на более высокие 194 -00:10:36,388 --> 00:10:42,577 +00:10:57,877 --> 00:11:04,094 измерения; нахождение выражения для каждой координаты решения более крупных линейных 195 -00:10:42,577 --> 00:10:43,160 +00:11:04,094 --> 00:11:04,680 систем. 196 -00:10:43,160 --> 00:11:01,159 +00:11:05,100 --> 00:11:17,055 Обдумывание более общих случаев, подобных этому, и убеждение себя в том, 197 -00:11:01,159 --> 00:11:23,103 +00:11:17,055 --> 00:11:31,631 что это работает и почему это работает, — вот где действительно происходит все обучение, 198 -00:11:23,103 --> 00:11:44,554 +00:11:31,631 --> 00:11:45,879 гораздо больше, чем слушать, как какой-то чувак на YouTube снова проводит вас через те 199 -00:11:44,554 --> 00:11:48,500 +00:11:45,879 --> 00:11:48,500 же рассуждения. diff --git a/2019/cramers-rule/spanish/auto_generated.srt b/2019/cramers-rule/spanish/auto_generated.srt index 8d80c4ccf..fd8a4a652 100644 --- a/2019/cramers-rule/spanish/auto_generated.srt +++ b/2019/cramers-rule/spanish/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:11,199 --> 00:00:14,454 +00:00:11,200 --> 00:00:14,454 En un video anterior hablé sobre sistemas lineales de ecuaciones, 2 @@ -67,19 +67,19 @@ manera de calcular soluciones a sistemas lineales de ecuaciones. La eliminación gaussiana, por ejemplo, siempre será más rápida. 18 -00:01:01,980 --> 00:01:03,840 +00:01:01,980 --> 00:01:03,520 Entonces, ¿por qué aprenderlo? 19 -00:01:03,840 --> 00:01:06,409 +00:01:03,780 --> 00:01:06,372 Bueno, considérelo como una especie de excursión cultural. 20 -00:01:06,409 --> 00:01:09,763 +00:01:06,372 --> 00:01:09,756 Es un ejercicio útil para profundizar su conocimiento de la teoría detrás de 21 -00:01:09,763 --> 00:01:10,460 +00:01:09,756 --> 00:01:10,460 estos sistemas. 22 @@ -115,686 +115,686 @@ En principio, todo lo que estamos hablando funcionará con sistemas con mayor número de incógnitas y el mismo número de ecuaciones. 30 -00:01:42,440 --> 00:01:45,320 +00:01:42,440 --> 00:01:45,580 Pero para simplificar, es mejor tener en la cabeza un ejemplo más pequeño. 31 -00:01:45,320 --> 00:01:50,412 +00:01:46,320 --> 00:01:51,067 Entonces, como mencioné en un video anterior, puedes pensar en esta configuración 32 -00:01:50,412 --> 00:01:55,257 +00:01:51,067 --> 00:01:55,582 geométricamente como una determinada matriz conocida que transforma un vector 33 -00:01:55,257 --> 00:02:00,040 +00:01:55,582 --> 00:02:00,040 desconocido, [x; y], donde sabes cuál será la salida, en este caso [-4; -2]. 34 -00:02:00,800 --> 00:02:05,673 +00:02:00,800 --> 00:02:05,042 Recuerde, las columnas de esta matriz le indican cómo esa matriz actúa como una 35 -00:02:05,673 --> 00:02:10,911 +00:02:05,042 --> 00:02:09,602 transformación, y cada una le indica dónde aterrizan los vectores base del espacio de 36 -00:02:10,911 --> 00:02:11,460 +00:02:09,602 --> 00:02:10,080 entrada. 37 -00:02:11,460 --> 00:02:12,410 +00:02:10,860 --> 00:02:11,971 Entonces lo que tenemos es una especie de rompecabezas. ¿Qué vector de entrada, 38 -00:02:12,410 --> 00:02:13,015 +00:02:11,971 --> 00:02:12,680 x, y, aterrizará en esta salida, menos 4, menos 2? 39 -00:02:13,015 --> 00:02:13,954 +00:02:12,680 --> 00:02:13,778 Una forma de pensar en nuestro pequeño rompecabezas aquí es que sabemos que el 40 -00:02:13,954 --> 00:02:14,880 +00:02:13,778 --> 00:02:14,862 vector de salida dado es una combinación lineal de las columnas de la matriz, 41 -00:02:14,880 --> 00:02:15,866 +00:02:14,862 --> 00:02:16,015 x multiplicado por el vector donde aterriza i-hat más y multiplicado por el vector 42 -00:02:15,866 --> 00:02:16,792 +00:02:16,015 --> 00:02:17,099 donde aterriza j-hat, pero ¿qué Lo que queremos es descubrir cuál debería ser 43 -00:02:16,792 --> 00:02:17,220 +00:02:17,099 --> 00:02:17,600 exactamente esa combinación lineal. 44 -00:02:17,220 --> 00:02:22,033 +00:02:17,600 --> 00:02:23,037 Recuerde, el tipo de respuesta que obtenga aquí puede depender de si la 45 -00:02:22,033 --> 00:02:26,780 +00:02:23,037 --> 00:02:28,400 transformación aplasta o no todo el espacio en una dimensión inferior. 46 -00:02:26,780 --> 00:02:28,240 +00:02:28,400 --> 00:02:31,220 Eso es si tiene determinante cero. 47 -00:02:28,240 --> 00:02:31,290 +00:02:31,220 --> 00:02:33,762 En ese caso, ninguna de las entradas llega a nuestra salida 48 -00:02:31,290 --> 00:02:34,240 +00:02:33,762 --> 00:02:36,220 dada o hay un montón de entradas que llegan a esa salida. 49 -00:02:34,240 --> 00:02:38,094 +00:02:37,240 --> 00:02:40,145 Pero para este video, limitaremos nuestra visión al caso de un determinante 50 -00:02:38,094 --> 00:02:42,000 +00:02:40,145 --> 00:02:43,090 distinto de cero, lo que significa que los resultados de esta transformación 51 -00:02:42,000 --> 00:02:45,093 +00:02:43,090 --> 00:02:45,422 aún abarcan todo el espacio indimensional en el que comenzó. 52 -00:02:45,093 --> 00:02:47,528 +00:02:45,422 --> 00:02:47,257 Cada entrada aterriza en una y sólo una salida, 53 -00:02:47,528 --> 00:02:49,760 +00:02:47,257 --> 00:02:48,940 y cada salida tiene una y sólo una entrada. 54 -00:02:49,760 --> 00:02:55,692 +00:02:48,940 --> 00:02:54,800 Una forma de pensar en nuestro rompecabezas es que sabemos que el vector de salida dado 55 -00:02:55,692 --> 00:02:59,467 +00:02:54,800 --> 00:02:58,529 es una combinación lineal de las columnas de la matriz; 56 -00:02:59,467 --> 00:03:04,389 +00:02:58,529 --> 00:03:03,390 x*(el vector donde aterriza i-hat) + y*(el vector donde aterriza j-hat), 57 -00:03:04,389 --> 00:03:07,760 +00:03:03,390 --> 00:03:06,720 pero deseamos calcular qué son exactamente x e y. 58 -00:03:07,760 --> 00:03:10,106 +00:03:06,720 --> 00:03:14,134 Como primer paso, permítanme mostrarles una idea que está equivocada, 59 -00:03:10,106 --> 00:03:11,380 +00:03:14,134 --> 00:03:18,160 pero que va en la dirección correcta. 60 -00:03:11,380 --> 00:03:15,416 +00:03:18,800 --> 00:03:21,975 La coordenada x de este misterioso vector de entrada es lo que se 61 -00:03:15,416 --> 00:03:19,820 +00:03:21,975 --> 00:03:25,440 obtiene al tomar su producto escalar con el primer vector base, [1; 0]. 62 -00:03:19,820 --> 00:03:23,390 +00:03:26,160 --> 00:03:28,780 Del mismo modo, la coordenada y es lo que se obtiene 63 -00:03:23,390 --> 00:03:26,960 +00:03:28,780 --> 00:03:31,400 al puntearla con el vector de la segunda base, 0, 1. 64 -00:03:26,960 --> 00:03:30,392 +00:03:31,900 --> 00:03:35,285 Entonces, tal vez esperes que después de la transformación, 65 -00:03:30,392 --> 00:03:33,997 +00:03:35,285 --> 00:03:38,839 los productos escalares con la versión transformada del vector 66 -00:03:33,997 --> 00:03:38,460 +00:03:38,839 --> 00:03:43,240 misterioso con la versión transformada también sean estas coordenadas, x e y. 67 -00:03:38,460 --> 00:03:40,879 +00:03:43,940 --> 00:03:46,567 Sería fantástico, porque sabemos cuál es la versión 68 -00:03:40,879 --> 00:03:42,880 +00:03:46,567 --> 00:03:48,740 transformada de cada uno de esos vectores. 69 -00:03:42,880 --> 00:03:45,700 +00:03:51,180 --> 00:03:54,200 Sólo hay un problema con esto: no es del todo cierto. 70 -00:03:45,700 --> 00:03:48,684 +00:03:54,640 --> 00:03:56,793 Para la mayoría de las transformaciones lineales, 71 -00:03:48,684 --> 00:03:53,460 +00:03:56,793 --> 00:04:00,240 el producto escalar antes y después de la transformación se verá muy diferente. 72 -00:03:53,460 --> 00:03:57,073 +00:04:00,800 --> 00:04:04,252 Por ejemplo, podría tener dos vectores que generalmente apuntan en la misma 73 -00:03:57,073 --> 00:04:00,829 +00:04:04,252 --> 00:04:07,840 dirección con un producto escalar positivo, que se separan entre sí durante la 74 -00:04:00,829 --> 00:04:04,680 +00:04:07,840 --> 00:04:11,520 transformación de tal manera que terminan teniendo un producto escalar negativo. 75 -00:04:04,680 --> 00:04:08,626 +00:04:12,220 --> 00:04:16,180 Del mismo modo, las cosas que comienzan perpendiculares con el producto escalar 0, 76 -00:04:08,626 --> 00:04:12,239 +00:04:16,180 --> 00:04:19,806 como los dos vectores base, a menudo no permanecen perpendiculares entre sí 77 -00:04:12,239 --> 00:04:15,900 +00:04:19,806 --> 00:04:23,480 después de la transformación, es decir, no conservan ese producto escalar 0. 78 -00:04:15,900 --> 00:04:19,380 +00:04:24,100 --> 00:04:27,160 En el ejemplo que estábamos viendo, los productos punto ciertamente no se conservan. 79 -00:04:19,380 --> 00:04:23,480 +00:04:27,500 --> 00:04:29,940 Tienden a crecer ya que la mayoría de los vectores se están estirando. 80 -00:04:24,100 --> 00:04:26,434 +00:04:29,940 --> 00:04:34,083 De hecho, las transformaciones que conservan los productos escalares son lo 81 -00:04:26,434 --> 00:04:28,307 +00:04:34,083 --> 00:04:37,409 suficientemente especiales como para tener su propio nombre: 82 -00:04:28,307 --> 00:04:29,260 +00:04:37,409 --> 00:04:39,100 transformaciones ortonormales. 83 -00:04:29,260 --> 00:04:31,897 +00:04:39,720 --> 00:04:42,115 Estos son los que dejan todos los vectores base 84 -00:04:31,897 --> 00:04:34,700 +00:04:42,115 --> 00:04:44,660 perpendiculares entre sí con longitudes unitarias. 85 -00:04:34,700 --> 00:04:36,980 +00:04:45,740 --> 00:04:47,880 A menudo se piensa en ellas como matrices de rotación. 86 -00:04:36,980 --> 00:04:41,500 +00:04:48,420 --> 00:04:52,200 Corresponden a un movimiento rígido, sin estiramiento, aplastamiento ni transformación. 87 -00:04:41,500 --> 00:04:45,541 +00:04:53,000 --> 00:04:56,780 Resolver un sistema lineal con una matriz ortonormal es realmente muy fácil. 88 -00:04:45,541 --> 00:04:48,217 +00:04:56,780 --> 00:04:59,283 Debido a que los productos escalares se conservan, 89 -00:04:48,217 --> 00:04:52,363 +00:04:59,283 --> 00:05:03,161 tomar el producto escalar entre el vector de salida y todas las columnas de su 90 -00:04:52,363 --> 00:04:56,457 +00:05:03,161 --> 00:05:06,990 matriz será lo mismo que tomar el producto escalar entre el vector de entrada 91 -00:04:56,457 --> 00:05:00,655 +00:05:06,990 --> 00:05:10,918 misterioso y todos los vectores base, que es lo mismo que simplemente encontrar 92 -00:05:00,655 --> 00:05:02,860 +00:05:10,918 --> 00:05:12,980 el coordenadas de esa entrada misteriosa. 93 -00:05:02,860 --> 00:05:05,740 +00:05:13,680 --> 00:05:17,111 Entonces, en ese caso tan especial, x sería el producto escalar 94 -00:05:05,740 --> 00:05:07,855 +00:05:17,111 --> 00:05:19,631 de la primera columna con el vector de salida, 95 -00:05:07,855 --> 00:05:11,320 +00:05:19,631 --> 00:05:23,760 e y sería el producto escalar de la segunda columna con el vector de salida. 96 -00:05:11,320 --> 00:05:16,442 +00:05:26,820 --> 00:05:31,052 ¿Por qué menciono esto cuando esta idea fracasa en casi todos los sistemas lineales? 97 -00:05:16,442 --> 00:05:19,998 +00:05:31,052 --> 00:05:33,991 Bueno, nos indica la dirección de algo que debemos buscar. 98 -00:05:19,998 --> 00:05:24,277 +00:05:33,991 --> 00:05:37,526 ¿Existe una comprensión geométrica alternativa para las coordenadas de 99 -00:05:24,277 --> 00:05:29,280 +00:05:37,526 --> 00:05:41,660 nuestro vector de entrada que permanezca sin cambios después de la transformación? 100 -00:05:29,280 --> 00:05:32,269 +00:05:42,360 --> 00:05:45,624 Si su mente ha estado reflexionando sobre los determinantes, 101 -00:05:32,269 --> 00:05:34,622 +00:05:45,624 --> 00:05:48,193 podría pensar en la siguiente idea inteligente. 102 -00:05:34,622 --> 00:05:37,808 +00:05:48,193 --> 00:05:51,672 Tome el paralelogramo definido por el primer vector base, i-hat, 103 -00:05:37,808 --> 00:05:39,720 +00:05:51,672 --> 00:05:53,760 y el vector de entrada misterioso, xy. 104 -00:05:39,720 --> 00:05:42,982 +00:05:54,440 --> 00:05:58,613 El área de este paralelogramo es la base, 1, multiplicada por la altura 105 -00:05:42,982 --> 00:05:46,380 +00:05:58,613 --> 00:06:02,960 perpendicular a esa base, que es la coordenada y de ese vector de entrada. 106 -00:05:46,380 --> 00:05:52,909 +00:06:03,680 --> 00:06:08,409 Entonces, el área de ese paralelogramo es una especie de forma indirecta de describir la 107 -00:05:52,909 --> 00:05:59,440 +00:06:08,409 --> 00:06:13,140 coordenada y del vector. Es una forma rara de hablar de coordenadas, pero sigue conmigo. 108 -00:05:59,440 --> 00:06:03,607 +00:06:13,700 --> 00:06:17,620 Y de hecho, para ser un poco más preciso, deberías pensar en esto como el área 109 -00:06:03,607 --> 00:06:07,880 +00:06:17,620 --> 00:06:21,640 con signo de ese paralelogramo, en el sentido descrito en el vídeo determinante. 110 -00:06:07,880 --> 00:06:09,471 +00:06:22,200 --> 00:06:24,280 De esa manera, un vector con una coordenada y negativa correspondería a un 111 -00:06:09,471 --> 00:06:11,020 +00:06:24,280 --> 00:06:26,305 área negativa para este paralelogramo, al menos si piensas que i-hat es, 112 -00:06:11,020 --> 00:06:12,760 +00:06:26,305 --> 00:06:28,580 en cierto sentido, el primero de estos dos vectores que definen el paralelogramo. 113 -00:06:12,760 --> 00:06:15,637 +00:06:28,960 --> 00:06:30,307 Y simétricamente, si nos fijamos en el paralelogramo abarcado 114 -00:06:15,637 --> 00:06:18,422 +00:06:30,307 --> 00:06:31,612 por nuestro misterioso vector de entrada y la segunda base, 115 -00:06:18,422 --> 00:06:21,300 +00:06:31,612 --> 00:06:32,960 j-hat, su área será la coordenada x de ese vector misterioso. 116 -00:06:21,300 --> 00:06:24,532 +00:06:32,960 --> 00:06:36,430 Nuevamente, es una forma extraña de representar la coordenada x, 117 -00:06:24,532 --> 00:06:26,720 +00:06:36,430 --> 00:06:38,780 pero verás lo que nos aporta en un momento. 118 -00:06:26,720 --> 00:06:29,470 +00:06:38,780 --> 00:06:41,540 Y sólo para asegurarnos de que quede claro cómo podría generalizarse esto, 119 -00:06:29,470 --> 00:06:32,221 +00:06:41,540 --> 00:06:44,301 miremos en tres dimensiones. Normalmente, la forma en que se podría pensar 120 -00:06:32,221 --> 00:06:34,605 +00:06:44,301 --> 00:06:46,693 en una de las coordenadas de un vector, digamos su coordenada z, 121 -00:06:34,605 --> 00:06:37,099 +00:06:46,693 --> 00:06:49,196 sería tomar su producto escalar con el tercer vector base estándar, 122 -00:06:37,099 --> 00:06:37,980 +00:06:49,196 --> 00:06:50,080 a menudo llamado k-hat. 123 -00:06:37,980 --> 00:06:41,296 +00:06:50,680 --> 00:06:51,624 Pero una interpretación geométrica alternativa sería considerar el 124 -00:06:41,296 --> 00:06:44,860 +00:06:51,624 --> 00:06:52,640 paralelepípedo que crea con los otros dos vectores base, i-hat y j-hat. 125 -00:06:44,860 --> 00:06:47,666 +00:06:52,740 --> 00:06:54,206 Si piensas en el cuadrado con área 1 abarcada por i-hat y j-hat 126 -00:06:47,666 --> 00:06:51,174 +00:06:54,206 --> 00:06:56,040 como la base de toda esta forma, entonces su volumen es el mismo que su altura, 127 -00:06:51,174 --> 00:06:53,280 +00:06:56,040 --> 00:06:57,140 que es la tercera coordenada de nuestro vector. 128 -00:06:53,280 --> 00:06:56,161 +00:06:57,140 --> 00:07:00,376 Y de la misma manera, la forma loca de pensar en las otras coordenadas 129 -00:06:56,161 --> 00:06:58,880 +00:07:00,376 --> 00:07:03,430 del vector sería formar un paralelepípedo usando el vector y luego 130 -00:06:58,880 --> 00:07:02,491 +00:07:03,430 --> 00:07:07,486 todos los vectores base distintos del correspondiente a la dirección que estás buscando. 131 -00:07:02,491 --> 00:07:04,480 +00:07:07,486 --> 00:07:09,720 Entonces el volumen de esto te da la coordenada. 132 -00:07:04,480 --> 00:07:08,404 +00:07:09,720 --> 00:07:13,669 O mejor dicho, deberíamos hablar del volumen firmado del paralelepípedo, 133 -00:07:08,404 --> 00:07:13,135 +00:07:13,669 --> 00:07:18,430 en el sentido descrito en el vídeo determinante utilizando la regla de la mano derecha. 134 -00:07:13,135 --> 00:07:17,060 +00:07:18,430 --> 00:07:22,380 Entonces, el orden en el que enumeras estos tres vectores es importante. 135 -00:07:17,060 --> 00:07:18,800 +00:07:22,380 --> 00:07:25,240 De esa forma, las coordenadas negativas siguen teniendo sentido. 136 -00:07:18,800 --> 00:07:22,080 +00:07:25,240 --> 00:07:27,500 Bien, entonces ¿por qué pensar en las coordenadas como áreas y volúmenes como este? 137 -00:07:22,080 --> 00:07:24,448 +00:07:27,500 --> 00:07:28,493 Bueno, cuando aplicas algún tipo de transformación matricial, 138 -00:07:24,448 --> 00:07:26,932 +00:07:28,493 --> 00:07:29,535 las áreas de estos paralelogramos, bueno, no permanecen iguales, 139 -00:07:26,932 --> 00:07:28,040 +00:07:29,535 --> 00:07:30,000 pueden aumentar o reducirse. 140 -00:07:28,040 --> 00:07:30,393 +00:07:30,000 --> 00:07:32,090 Pero (!), y esta es una idea clave de los determinantes, 141 -00:07:30,393 --> 00:07:32,500 +00:07:32,090 --> 00:07:33,960 todas estas áreas se escalan en la misma cantidad. 142 -00:07:32,500 --> 00:07:34,700 +00:07:33,960 --> 00:07:37,900 Es decir, el determinante de nuestra matriz de transformación. 143 -00:07:34,700 --> 00:07:37,610 +00:07:38,440 --> 00:07:42,429 Por ejemplo, si observa el paralelogramo abarcado por el vector 144 -00:07:37,610 --> 00:07:41,158 +00:07:42,429 --> 00:07:47,291 donde aterriza su primer vector base, que es la primera columna de la matriz, 145 -00:07:41,158 --> 00:07:43,660 +00:07:47,291 --> 00:07:50,720 y la versión transformada de [x; y], ¿cuál es su área? 146 -00:07:43,660 --> 00:07:47,421 +00:07:50,720 --> 00:07:54,865 Bueno, esta es la versión transformada del paralelogramo que estábamos viendo antes, 147 -00:07:47,421 --> 00:07:50,520 +00:07:54,865 --> 00:07:58,280 aquel cuyo área era la coordenada y del misterioso vector de entrada. 148 -00:07:50,520 --> 00:07:53,560 +00:07:58,960 --> 00:08:00,460 Entonces su área será simplemente el determinante de 149 -00:07:53,560 --> 00:07:56,600 +00:08:00,460 --> 00:08:01,960 la transformación multiplicada por esa coordenada y. 150 -00:07:56,600 --> 00:08:01,670 +00:08:01,960 --> 00:08:07,121 Eso significa que podemos resolver y tomando el área de este nuevo paralelogramo en 151 -00:08:01,670 --> 00:08:06,620 +00:08:07,121 --> 00:08:12,160 el espacio de salida, dividido por el determinante de la transformación completa. 152 -00:08:06,980 --> 00:08:08,020 +00:08:12,160 --> 00:08:14,880 ¿Y cómo se consigue esa zona? 153 -00:08:08,020 --> 00:08:13,165 +00:08:14,880 --> 00:08:17,857 Bueno, conocemos las coordenadas donde aterriza el misterioso vector de entrada, 154 -00:08:13,165 --> 00:08:16,660 +00:08:17,857 --> 00:08:19,880 ese es el objetivo de un sistema lineal de ecuaciones. 155 -00:08:16,660 --> 00:08:19,501 +00:08:19,880 --> 00:08:23,930 Entonces, lo que podrías hacer es crear una nueva matriz cuya 156 -00:08:19,501 --> 00:08:22,022 +00:08:23,930 --> 00:08:27,523 primera columna sea la misma que la de nuestra matriz, 157 -00:08:22,022 --> 00:08:25,780 +00:08:27,523 --> 00:08:32,880 pero cuya segunda columna sea el vector de salida, y luego tomas su determinante. 158 -00:08:26,060 --> 00:08:29,105 +00:08:32,880 --> 00:08:35,622 Mire eso, simplemente usando datos de la salida de la transformación, es decir, 159 -00:08:29,105 --> 00:08:31,884 +00:08:35,622 --> 00:08:38,124 las columnas de la matriz y las coordenadas de nuestro vector de salida, 160 -00:08:31,884 --> 00:08:34,472 +00:08:38,124 --> 00:08:40,454 podemos recuperar la coordenada y del vector de entrada misterioso, 161 -00:08:34,472 --> 00:08:36,299 +00:08:40,454 --> 00:08:42,100 que está a medio camino de resolver el sistema. 162 -00:08:36,299 --> 00:08:39,280 +00:08:42,100 --> 00:08:43,500 Asimismo, la misma idea puede darnos la coordenada x. 163 -00:08:40,179 --> 00:08:43,226 +00:08:43,500 --> 00:08:48,232 Mire el paralelogramo que definimos anteriormente, 164 -00:08:43,226 --> 00:08:46,988 +00:08:48,232 --> 00:08:54,077 que codifica la coordenada x del vector de entrada misterioso, 165 -00:08:46,988 --> 00:08:48,960 +00:08:54,077 --> 00:08:57,140 abarcado por ese vector y j-hat. 166 -00:08:48,960 --> 00:08:54,031 +00:08:57,140 --> 00:09:01,067 La versión transformada de este tipo está abarcada por el vector de salida y la segunda 167 -00:08:54,031 --> 00:08:59,160 +00:09:01,067 --> 00:09:05,040 columna de la matriz, y su área se habrá multiplicado por el determinante de esa matriz. 168 -00:08:59,720 --> 00:09:02,122 +00:09:05,060 --> 00:09:09,961 Entonces, para resolver x, puedes dividir esta nueva 169 -00:09:02,122 --> 00:09:04,660 +00:09:09,961 --> 00:09:15,140 área por el determinante de la transformación completa. 170 -00:09:04,660 --> 00:09:08,753 +00:09:15,600 --> 00:09:18,161 Y de manera similar a lo que hicimos antes, puedes calcular el área de ese 171 -00:09:08,753 --> 00:09:12,956 +00:09:18,161 --> 00:09:20,790 paralelogramo de salida creando una nueva matriz cuya primera columna sea el 172 -00:09:12,956 --> 00:09:17,160 +00:09:20,790 --> 00:09:23,420 vector de salida y cuya segunda columna sea la misma que la matriz original. 173 -00:09:17,160 --> 00:09:20,322 +00:09:23,420 --> 00:09:27,286 De nuevo, simplemente usando datos del espacio de salida, 174 -00:09:20,322 --> 00:09:23,485 +00:09:27,286 --> 00:09:31,153 los números que vemos en nuestro sistema lineal original, 175 -00:09:23,485 --> 00:09:25,340 +00:09:31,153 --> 00:09:33,420 podemos resolver cuál debe ser x. 176 -00:09:25,600 --> 00:09:27,683 +00:09:33,420 --> 00:09:39,151 Esta fórmula para encontrar las soluciones de un sistema 177 -00:09:27,683 --> 00:09:29,620 +00:09:39,151 --> 00:09:44,480 lineal de ecuaciones se conoce como regla de Cramer. 178 -00:09:29,620 --> 00:09:34,300 +00:09:44,480 --> 00:09:45,340 Aquí, solo para comprobar nuestra cordura, ingrese algunos números aquí. 179 -00:09:34,300 --> 00:09:37,775 +00:09:45,340 --> 00:09:49,008 El determinante de esa matriz alterada superior es 4 más 2, que es 6, 180 -00:09:37,775 --> 00:09:41,500 +00:09:49,008 --> 00:09:52,940 y el determinante inferior es 2, por lo que la coordenada x debería ser 3. 181 -00:09:41,500 --> 00:09:44,644 +00:09:53,860 --> 00:10:02,057 Y de hecho, mirando hacia atrás en el vector de entrada con el que comenzamos, 182 -00:09:44,644 --> 00:09:45,520 +00:10:02,057 --> 00:10:04,340 la coordenada x es 3. 183 -00:09:45,520 --> 00:09:50,581 +00:10:04,340 --> 00:10:06,125 Asimismo, la regla de Cramer sugiere que la coordenada y debe ser 4 dividido por 2, 184 -00:09:50,581 --> 00:09:55,100 +00:10:06,125 --> 00:10:07,720 o 2, y esa es la coordenada y del vector de entrada con el que comenzamos. 185 -00:09:55,340 --> 00:09:58,280 +00:10:07,720 --> 00:10:13,069 El caso con 3 dimensiones o más es similar, y le recomiendo que 186 -00:09:58,280 --> 00:10:01,220 +00:10:13,069 --> 00:10:18,420 se tome un momento para hacer una pausa y pensarlo usted mismo. 187 -00:10:01,220 --> 00:10:04,220 +00:10:19,120 --> 00:10:21,580 Aquí les daré un poco de impulso. 188 -00:10:04,220 --> 00:10:07,619 +00:10:21,580 --> 00:10:25,511 Lo que tenemos es una transformación conocida dada por una matriz de 189 -00:10:07,619 --> 00:10:11,905 +00:10:25,511 --> 00:10:30,468 3x3 y un vector de salida conocido dado por el lado derecho de nuestro sistema lineal, 190 -00:10:11,905 --> 00:10:14,320 +00:10:30,468 --> 00:10:33,260 y queremos saber qué entrada llega a esa salida. 191 -00:10:14,320 --> 00:10:18,721 +00:10:33,260 --> 00:10:37,037 Si piensa, digamos, en la coordenada z del vector de entrada como el volumen de 192 -00:10:18,721 --> 00:10:23,178 +00:10:37,037 --> 00:10:40,862 este paralelepípedo abarcado por i-hat, j-hat y el misterioso vector de entrada, 193 -00:10:23,178 --> 00:10:27,580 +00:10:40,862 --> 00:10:44,640 ¿qué sucede con el volumen de este paralelepípedo después de la transformación? 194 -00:10:27,580 --> 00:10:30,200 +00:10:44,640 --> 00:10:51,660 ¿Cómo se puede calcular ese nuevo volumen? 195 -00:10:30,200 --> 00:10:34,681 +00:10:51,660 --> 00:10:56,162 Realmente, haga una pausa y tómese un momento para pensar en los detalles 196 -00:10:34,681 --> 00:10:38,920 +00:10:56,162 --> 00:11:00,421 de generalizar esto a dimensiones superiores; encontrar una expresión 197 -00:10:38,920 --> 00:10:43,160 +00:11:00,421 --> 00:11:04,680 para cada coordenada de la solución de sistemas lineales más grandes. 198 -00:10:43,160 --> 00:11:04,653 +00:11:05,100 --> 00:11:19,376 Pensar en casos más generales como este y convencerse de que funciona y de 199 -00:11:04,653 --> 00:11:22,994 +00:11:19,376 --> 00:11:31,558 por qué funciona es donde realmente ocurre todo el aprendizaje, 200 -00:11:22,994 --> 00:11:48,500 +00:11:31,558 --> 00:11:48,500 mucho más que escuchar a un tipo en YouTube explicarle el mismo razonamiento nuevamente. diff --git a/2019/cramers-rule/ukrainian/auto_generated.srt b/2019/cramers-rule/ukrainian/auto_generated.srt index dfc4c00d7..c7e061190 100644 --- a/2019/cramers-rule/ukrainian/auto_generated.srt +++ b/2019/cramers-rule/ukrainian/auto_generated.srt @@ -1,9 +1,9 @@ 1 -00:00:11,199 --> 00:00:15,169 +00:00:11,200 --> 00:00:15,170 У попередньому відео я говорив про лінійні системи рівнянь і начебто 2 -00:00:15,169 --> 00:00:19,140 +00:00:15,170 --> 00:00:19,140 відкинув обговорення фактичних обчислювальних рішень для цих систем. 3 @@ -59,15 +59,15 @@ Гаусове усунення, наприклад, завжди буде швидшим. 16 -00:01:01,980 --> 00:01:03,840 +00:01:01,980 --> 00:01:03,520 То навіщо цьому вчитися? 17 -00:01:03,840 --> 00:01:07,150 +00:01:03,780 --> 00:01:07,120 Подумайте про це як про культурну екскурсію; це корисна 18 -00:01:07,150 --> 00:01:10,460 +00:01:07,120 --> 00:01:10,460 вправа для поглиблення ваших знань з теорії цих систем. 19 @@ -103,590 +103,590 @@ з більшою кількістю невідомих і такою ж кількістю рівнянь. 27 -00:01:42,440 --> 00:01:45,320 +00:01:42,440 --> 00:01:45,580 Але для простоти менший приклад приємніше тримати в голові. 28 -00:01:45,320 --> 00:01:50,320 +00:01:46,320 --> 00:01:50,980 Отже, як я говорив у попередньому відео, ви можете уявити цю установку 29 -00:01:50,320 --> 00:01:55,180 +00:01:50,980 --> 00:01:55,510 геометрично як певну відому матрицю, що перетворює невідомий вектор, 30 -00:01:55,180 --> 00:02:00,040 +00:01:55,510 --> 00:02:00,040 [x; y], де ви знаєте, яким буде результат, у цьому випадку [-4; -2]. 31 -00:02:00,800 --> 00:02:06,261 +00:02:00,800 --> 00:02:05,554 Пам’ятайте, стовпці цієї матриці розповідають вам, як матриця діє як перетворення, 32 -00:02:06,261 --> 00:02:11,460 +00:02:05,554 --> 00:02:10,080 кожен з яких повідомляє вам, де знаходяться базисні вектори вхідного простору. 33 -00:02:11,460 --> 00:02:17,220 +00:02:10,860 --> 00:02:17,600 Отже, це свого роду головоломка, який вхід [x; y], дасть вам такий результат [-4; -2]? 34 -00:02:17,220 --> 00:02:22,523 +00:02:17,600 --> 00:02:23,591 Пам’ятайте, що тип відповіді, яку ви тут отримаєте, може залежати від того, 35 -00:02:22,523 --> 00:02:26,780 +00:02:23,591 --> 00:02:28,400 чи трансформація перенесе весь простір у нижчий вимір чи ні. 36 -00:02:26,780 --> 00:02:28,240 +00:02:28,400 --> 00:02:31,220 Це якщо він має нульовий визначник. 37 -00:02:28,240 --> 00:02:31,912 +00:02:31,220 --> 00:02:34,280 У цьому випадку або жоден із входів не потрапляє на наш заданий вихід, 38 -00:02:31,912 --> 00:02:34,240 +00:02:34,280 --> 00:02:36,220 або на цей вихід потрапляє ціла купа входів. 39 -00:02:34,240 --> 00:02:38,624 +00:02:37,240 --> 00:02:40,545 Але для цього відео ми обмежимо наш погляд випадком ненульового визначника, 40 -00:02:38,624 --> 00:02:43,067 +00:02:40,545 --> 00:02:43,894 тобто результат цього перетворення все ще охоплює повний n-вимірний простір, 41 -00:02:43,067 --> 00:02:47,279 +00:02:43,894 --> 00:02:47,069 у якому воно почалося; кожен вхід потрапляє на один і тільки один вихід, 42 -00:02:47,279 --> 00:02:49,760 +00:02:47,069 --> 00:02:48,940 і кожен вихід має один і тільки один вхід. 43 -00:02:49,760 --> 00:02:53,929 +00:02:48,940 --> 00:02:53,058 Один із способів подумати про нашу головоломку полягає в тому, 44 -00:02:53,929 --> 00:02:59,818 +00:02:53,058 --> 00:02:58,875 що ми знаємо, що заданий вихідний вектор є деякою лінійною комбінацією стовпців матриці; 45 -00:02:59,818 --> 00:03:04,782 +00:02:58,875 --> 00:03:03,778 x*(вектор, на який потрапляє i-hat) + y*(вектор, на який потрапляє j-hat), 46 -00:03:04,782 --> 00:03:07,760 +00:03:03,778 --> 00:03:06,720 але ми хочемо обчислити, що саме таке x і y. 47 -00:03:07,760 --> 00:03:11,380 +00:03:06,720 --> 00:03:18,160 Для початку дозвольте мені показати ідею, яка є неправильною, але в правильному напрямку. 48 -00:03:11,380 --> 00:03:15,844 +00:03:18,800 --> 00:03:22,312 Координата x цього таємничого вхідного вектора – це те, що ви отримуєте, 49 -00:03:15,844 --> 00:03:19,820 +00:03:22,312 --> 00:03:25,440 беручи його скалярний добуток з першим базисним вектором [1; 0]. 50 -00:03:19,820 --> 00:03:23,595 +00:03:26,160 --> 00:03:28,931 Подібним чином, y-координата – це те, що ви отримуєте, 51 -00:03:23,595 --> 00:03:26,960 +00:03:28,931 --> 00:03:31,400 ставлячи крапкою другий базисний вектор, [0; 1]. 52 -00:03:26,960 --> 00:03:30,773 +00:03:31,900 --> 00:03:35,660 Тож, можливо, ви сподіваєтеся, що після перетворення скалярний 53 -00:03:30,773 --> 00:03:34,767 +00:03:35,660 --> 00:03:39,599 добуток із перетвореною версією таємничого вектора на перетворені 54 -00:03:34,767 --> 00:03:38,460 +00:03:39,599 --> 00:03:43,240 версії базисних векторів також буде цими координатами x і y. 55 -00:03:38,460 --> 00:03:42,880 +00:03:43,940 --> 00:03:48,740 Це було б фантастично, тому що ми знаємо трансформовані версії кожного з цих векторів. 56 -00:03:42,880 --> 00:03:45,700 +00:03:51,180 --> 00:03:54,200 У цьому є лише одна проблема: це зовсім неправда! 57 -00:03:45,700 --> 00:03:50,029 +00:03:54,640 --> 00:03:57,764 Для більшості лінійних перетворень скалярний добуток 58 -00:03:50,029 --> 00:03:53,460 +00:03:57,764 --> 00:04:00,240 до і після перетворення буде дуже різним. 59 -00:03:53,460 --> 00:03:57,408 +00:04:00,800 --> 00:04:04,572 Наприклад, у вас можуть бути два вектори, які загалом вказують в одному напрямку, 60 -00:03:57,408 --> 00:04:00,875 +00:04:04,572 --> 00:04:07,885 з додатним скалярним добутком, які віддаляються один від одного під час 61 -00:04:00,875 --> 00:04:04,680 +00:04:07,885 --> 00:04:11,520 перетворення таким чином, що потім вони отримують від’ємний скалярний добуток. 62 -00:04:04,680 --> 00:04:08,899 +00:04:12,220 --> 00:04:16,454 Подібним чином, якщо все починається перпендикулярно, з нульовим скалярним добутком, 63 -00:04:08,899 --> 00:04:12,772 +00:04:16,454 --> 00:04:20,341 як два базисних вектори, немає гарантії, що вони залишаться перпендикулярними 64 -00:04:12,772 --> 00:04:15,900 +00:04:20,341 --> 00:04:23,480 після перетворення, зберігаючи цей нульовий скалярний добуток. 65 -00:04:15,900 --> 00:04:19,380 +00:04:24,100 --> 00:04:27,160 У прикладі, який ми розглядали, скалярний добуток точно не зберігається. 66 -00:04:19,380 --> 00:04:23,480 +00:04:27,500 --> 00:04:29,940 Вони, як правило, стають більшими, оскільки більшість векторів розтягуються. 67 -00:04:24,100 --> 00:04:26,402 +00:04:29,940 --> 00:04:34,026 Фактично, перетворення, які зберігають скалярний добуток, 68 -00:04:26,402 --> 00:04:29,260 +00:04:34,026 --> 00:04:39,100 є досить особливими, щоб мати власну назву: ортонормальні перетворення. 69 -00:04:29,260 --> 00:04:32,603 +00:04:39,720 --> 00:04:42,756 Це ті, які залишають усі базисні вектори перпендикулярними 70 -00:04:32,603 --> 00:04:34,700 +00:04:42,756 --> 00:04:44,660 один до одного з одиничною довжиною. 71 -00:04:34,700 --> 00:04:36,980 +00:04:45,740 --> 00:04:47,880 Ви часто думаєте про це як про матриці обертання. 72 -00:04:36,980 --> 00:04:41,500 +00:04:48,420 --> 00:04:52,200 Відповідає жорсткому руху, без розтягування, хлюпання чи морфінгу. 73 -00:04:41,500 --> 00:04:46,429 +00:04:53,000 --> 00:04:57,610 Розв’язати лінійну систему за допомогою ортонормованої матриці дуже легко: 74 -00:04:46,429 --> 00:04:51,752 +00:04:57,610 --> 00:05:02,590 оскільки скалярний добуток зберігається, скалярний добуток між вихідним вектором 75 -00:04:51,752 --> 00:04:55,038 +00:05:02,590 --> 00:05:05,664 і всіма стовпцями вашої матриці буде таким самим, 76 -00:04:55,038 --> 00:05:00,296 +00:05:05,664 --> 00:05:10,582 як скалярний добуток між вхідним вектором і всім базисом. векторів, що те саме, 77 -00:05:00,296 --> 00:05:02,860 +00:05:10,582 --> 00:05:12,980 що знайти координати вхідного вектора. 78 -00:05:02,860 --> 00:05:06,931 +00:05:13,680 --> 00:05:18,531 Отже, у цьому особливому випадку x буде скалярним добутком першого стовпця з 79 -00:05:06,931 --> 00:05:11,320 +00:05:18,531 --> 00:05:23,760 вектором виведення, а y буде скалярним добутком другого стовпця з вектором виходу. 80 -00:05:11,320 --> 00:05:18,045 +00:05:26,820 --> 00:05:32,376 Тепер, хоча ця ідея руйнується для більшості лінійних систем, вона вказує нам на те, 81 -00:05:18,045 --> 00:05:24,216 +00:05:32,376 --> 00:05:37,476 що слід шукати: чи існує альтернативне геометричне розуміння координат нашого 82 -00:05:24,216 --> 00:05:29,280 +00:05:37,476 --> 00:05:41,660 вхідного вектора, яке залишається незмінним після перетворення? 83 -00:05:29,280 --> 00:05:33,851 +00:05:42,360 --> 00:05:47,351 Якщо ваш розум думав про детермінанти, ви могли б спалахнути на цю розумну ідею: 84 -00:05:33,851 --> 00:05:37,236 +00:05:47,351 --> 00:05:51,048 візьміть паралелограм, визначений першим базисним вектором, 85 -00:05:37,236 --> 00:05:39,720 +00:05:51,048 --> 00:05:53,760 i-hat, і таємничим вхідним вектором [x; y]. 86 -00:05:39,720 --> 00:05:43,050 +00:05:54,440 --> 00:05:58,700 Площа цього паралелограма дорівнює його основі, 1, помноженій на висоту, 87 -00:05:43,050 --> 00:05:46,380 +00:05:58,700 --> 00:06:02,960 перпендикулярну цій основі, яка є координатою y нашого вхідного вектора. 88 -00:05:46,380 --> 00:05:52,986 +00:06:03,680 --> 00:06:08,465 Отже, площа цього паралелограма — це щось на кшталт хитрого обхідного шляху для опису 89 -00:05:52,986 --> 00:05:59,440 +00:06:08,465 --> 00:06:13,140 векторної координати y; це дивний спосіб говорити про координати, але біжи зі мною. 90 -00:05:59,440 --> 00:06:03,755 +00:06:13,700 --> 00:06:17,759 Насправді, щоб бути більш точним, ви повинні подумати про позначену 91 -00:06:03,755 --> 00:06:07,880 +00:06:17,759 --> 00:06:21,640 площу цього паралелограма в сенсі, описаному у визначнику відео. 92 -00:06:07,880 --> 00:06:10,273 +00:06:22,200 --> 00:06:25,328 Таким чином, вектор з від’ємною y-координатою буде 93 -00:06:10,273 --> 00:06:12,760 +00:06:25,328 --> 00:06:28,580 відповідати від’ємній площі для цього паралелограма. 94 -00:06:12,760 --> 00:06:15,667 +00:06:28,960 --> 00:06:30,321 Симетрично, якщо ви подивитеся на паралелограм, 95 -00:06:15,667 --> 00:06:18,937 +00:06:30,321 --> 00:06:31,853 натягнутий на вектор і другий базисний вектор, j-hat, 96 -00:06:18,937 --> 00:06:21,300 +00:06:31,853 --> 00:06:32,960 його площа буде х-координатою вектора. 97 -00:06:21,300 --> 00:06:24,466 +00:06:32,960 --> 00:06:36,359 Знову ж таки, це дивний спосіб представлення координати x, 98 -00:06:24,466 --> 00:06:26,720 +00:06:36,359 --> 00:06:38,780 але ви побачите, що це нам дасть за мить. 99 -00:06:26,720 --> 00:06:29,420 +00:06:38,780 --> 00:06:41,489 Ось як це виглядало б у тривимірному просторі: 100 -00:06:29,420 --> 00:06:32,924 +00:06:41,489 --> 00:06:45,006 зазвичай ви можете уявити одну з координат вектора, скажімо, 101 -00:06:32,924 --> 00:06:37,980 +00:06:45,006 --> 00:06:50,080 його z-координату, це скалярний добуток із третім стандартним базисним вектором, k-hat. 102 -00:06:37,980 --> 00:06:41,235 +00:06:50,680 --> 00:06:51,607 Але замість цього розглянемо паралелепіпед, який він 103 -00:06:41,235 --> 00:06:44,860 +00:06:51,607 --> 00:06:52,640 створює з двома іншими базисними векторами, i-hat і j-hat. 104 -00:06:44,860 --> 00:06:49,381 +00:06:52,740 --> 00:06:55,102 Якщо ви вважаєте квадрат із площею 1, охопленим i-hat і j-hat, як основу цього хлопця, 105 -00:06:49,381 --> 00:06:53,280 +00:06:55,102 --> 00:06:57,140 його об’єм дорівнює його висоті, яка є третьою координатою нашого вектора. 106 -00:06:53,280 --> 00:06:57,111 +00:06:57,140 --> 00:07:01,443 Подібним чином, безглуздий спосіб подумати про будь-яку іншу координату цього 107 -00:06:57,111 --> 00:07:00,943 +00:07:01,443 --> 00:07:05,747 вектора полягає в тому, щоб сформувати паралелепіпед між цим вектором і всіма 108 -00:07:00,943 --> 00:07:04,480 +00:07:05,747 --> 00:07:09,720 базисними векторами, крім того, який ви шукаєте, і отримати його об’єм. 109 -00:07:04,480 --> 00:07:09,277 +00:07:09,720 --> 00:07:14,548 Або, скоріше, ми повинні говорити про знаковий об’єм цих паралелепіпедів у сенсі, 110 -00:07:09,277 --> 00:07:13,841 +00:07:14,548 --> 00:07:19,141 описаному у визначнику відео, де порядок, у якому ви перелічуєте три вектори, 111 -00:07:13,841 --> 00:07:17,060 +00:07:19,141 --> 00:07:22,380 має значення, і ви використовуєте правило правої руки. 112 -00:07:17,060 --> 00:07:18,800 +00:07:22,380 --> 00:07:25,240 Таким чином негативні координати все ще мають сенс. 113 -00:07:18,800 --> 00:07:22,080 +00:07:25,240 --> 00:07:27,500 Гаразд, навіщо думати про координати як про такі площі та об’єми? 114 -00:07:22,080 --> 00:07:25,105 +00:07:27,500 --> 00:07:28,768 Коли ви застосовуєте перетворення матриці, площі паралелограмів не 115 -00:07:25,105 --> 00:07:28,040 +00:07:28,768 --> 00:07:30,000 залишаються незмінними, вони можуть бути збільшені або зменшені. 116 -00:07:28,040 --> 00:07:32,450 +00:07:30,000 --> 00:07:33,916 Але (!), і це ключова ідея визначників, усі ці області масштабуються на однакову величину. 117 -00:07:32,450 --> 00:07:32,500 +00:07:33,916 --> 00:07:33,960 118 -00:07:32,500 --> 00:07:34,700 +00:07:33,960 --> 00:07:37,900 А саме, визначник нашої матриці перетворення. 119 -00:07:34,700 --> 00:07:37,971 +00:07:38,440 --> 00:07:42,923 Наприклад, якщо ви подивіться на паралелограм, натягнутий на вектор, 120 -00:07:37,971 --> 00:07:41,526 +00:07:42,923 --> 00:07:47,796 де знаходиться ваш перший базисний вектор, який є першим стовпцем матриці, 121 -00:07:41,526 --> 00:07:43,660 +00:07:47,796 --> 00:07:50,720 і перетворену версію [x; у], яка його площа? 122 -00:07:43,660 --> 00:07:47,550 +00:07:50,720 --> 00:07:55,007 Ну, це трансформована версія того паралелограма, який ми розглядали раніше, 123 -00:07:47,550 --> 00:07:50,520 +00:07:55,007 --> 00:07:58,280 чия площа була y-координатою таємничого вхідного вектора. 124 -00:07:50,520 --> 00:07:56,600 +00:07:58,960 --> 00:08:01,960 Отже, його площа буде визначником перетворення, помноженого на це значення. 125 -00:07:56,600 --> 00:08:01,208 +00:08:01,960 --> 00:08:06,650 Отже, y-координата нашого таємничого вхідного вектора — це площа цього паралелограма, 126 -00:08:01,208 --> 00:08:04,262 +00:08:06,650 --> 00:08:09,760 охопленого першим стовпцем матриці та вихідного вектора, 127 -00:08:04,262 --> 00:08:06,620 +00:08:09,760 --> 00:08:12,160 поділена на визначник повного перетворення. 128 -00:08:06,980 --> 00:08:08,020 +00:08:12,160 --> 00:08:14,880 І як ви отримуєте цю площу? 129 -00:08:08,020 --> 00:08:13,249 +00:08:14,880 --> 00:08:17,906 Ну, ми знаємо координати, де приземляється таємничий вхідний вектор, 130 -00:08:13,249 --> 00:08:16,660 +00:08:17,906 --> 00:08:19,880 і в цьому вся суть лінійної системи рівнянь. 131 -00:08:16,660 --> 00:08:21,600 +00:08:19,880 --> 00:08:26,921 Отже, створіть матрицю, перший стовпець якої такий самий, як у нашої матриці, 132 -00:08:21,600 --> 00:08:25,780 +00:08:26,921 --> 00:08:32,880 а другий стовпець є вихідним вектором, і візьміть його визначник. 133 -00:08:26,060 --> 00:08:29,801 +00:08:32,880 --> 00:08:36,248 Тож подивіться на це; просто використовуючи дані з результату перетворення, 134 -00:08:29,801 --> 00:08:32,903 +00:08:36,248 --> 00:08:39,041 а саме стовпці матриці та координати нашого вихідного вектора, 135 -00:08:32,903 --> 00:08:36,299 +00:08:39,041 --> 00:08:42,100 ми можемо відновити y-координату нашого таємничого вхідного вектора. 136 -00:08:36,299 --> 00:08:39,280 +00:08:42,100 --> 00:08:43,500 Так само ця сама ідея може отримати координату x. 137 -00:08:40,179 --> 00:08:43,508 +00:08:43,500 --> 00:08:48,670 Подивіться на той паралелограм, який ми визначили раніше, 138 -00:08:43,508 --> 00:08:46,549 +00:08:48,670 --> 00:08:53,395 який кодує x-координату таємничого вхідного вектора, 139 -00:08:46,549 --> 00:08:48,960 +00:08:53,395 --> 00:08:57,140 охопленого вхідним вектором і j-шапочкою. 140 -00:08:48,960 --> 00:08:53,953 +00:08:57,140 --> 00:09:01,007 Трансформована версія цього хлопця складається з вихідного вектора та 141 -00:08:53,953 --> 00:08:59,160 +00:09:01,007 --> 00:09:05,040 другого стовпця матриці, а її площа буде помножена на визначник матриці. 142 -00:08:59,720 --> 00:09:02,905 +00:09:05,060 --> 00:09:11,560 Отже, координата x нашого таємничого вхідного вектора — це ця площа, 143 -00:09:02,905 --> 00:09:04,660 +00:09:11,560 --> 00:09:15,140 поділена на детермінант перетворення. 144 -00:09:04,660 --> 00:09:08,667 +00:09:15,600 --> 00:09:18,106 Симетрично до того, що ми робили раніше, ви можете обчислити площу 145 -00:09:08,667 --> 00:09:11,597 +00:09:18,106 --> 00:09:19,940 вихідного паралелограма, створивши нову матрицю, 146 -00:09:11,597 --> 00:09:15,963 +00:09:19,940 --> 00:09:22,671 перший стовпець якої є вихідним вектором, а другий стовпець такий самий, 147 -00:09:15,963 --> 00:09:17,160 +00:09:22,671 --> 00:09:23,420 як вихідна матриця. 148 -00:09:17,160 --> 00:09:20,010 +00:09:23,420 --> 00:09:26,904 Отже, знову ж таки, просто використовуючи дані з вихідного простору, 149 -00:09:20,010 --> 00:09:22,489 +00:09:26,904 --> 00:09:29,935 числа, які ми бачимо в нашій оригінальній лінійній системі, 150 -00:09:22,489 --> 00:09:25,340 +00:09:29,935 --> 00:09:33,420 ми можемо відновити координату x нашого таємничого вхідного вектора. 151 -00:09:25,600 --> 00:09:29,620 +00:09:33,420 --> 00:09:44,480 Ця формула для знаходження розв’язків лінійної системи рівнянь відома як правило Крамера. 152 -00:09:29,620 --> 00:09:34,300 +00:09:44,480 --> 00:09:45,340 Ось, просто щоб перевірити себе на розум, вставте тут цифри. 153 -00:09:34,300 --> 00:09:38,147 +00:09:45,340 --> 00:09:49,401 Визначник цієї верхньої зміненої матриці дорівнює 4+2, що дорівнює 6, 154 -00:09:38,147 --> 00:09:41,500 +00:09:49,401 --> 00:09:52,940 а нижній визначник дорівнює 2, тому координата x має бути 3. 155 -00:09:41,500 --> 00:09:43,550 +00:09:53,860 --> 00:09:59,204 І справді, озираючись назад на той вхідний вектор, 156 -00:09:43,550 --> 00:09:45,520 +00:09:59,204 --> 00:10:04,340 з якого ми почали, його координата x дорівнює 3. 157 -00:09:45,520 --> 00:09:50,599 +00:10:04,340 --> 00:10:06,132 Подібним чином, правило Крамера припускає, що координата y має бути 4/2 або 2, 158 -00:09:50,599 --> 00:09:55,100 +00:10:06,132 --> 00:10:07,720 і це справді є координатою y вхідного вектора, з якого ми почали тут. 159 -00:09:55,340 --> 00:09:59,886 +00:10:07,720 --> 00:10:15,993 Випадок із трьома вимірами схожий, і я настійно рекомендую вам зупинитися, 160 -00:09:59,886 --> 00:10:01,220 +00:10:15,993 --> 00:10:18,420 щоб подумати над цим. 161 -00:10:01,220 --> 00:10:04,220 +00:10:19,120 --> 00:10:21,580 Ось, я дам вам трохи імпульсу. 162 -00:10:04,220 --> 00:10:08,239 +00:10:21,580 --> 00:10:26,228 У нас є це відоме перетворення, задане матрицею 3x3, і відомий вихідний вектор, 163 -00:10:08,239 --> 00:10:11,606 +00:10:26,228 --> 00:10:30,122 заданий правою частиною нашої лінійної системи, і ми хочемо знати, 164 -00:10:11,606 --> 00:10:14,320 +00:10:30,122 --> 00:10:33,260 який вхідний вектор потрапляє на цей вихідний вектор. 165 -00:10:14,320 --> 00:10:18,697 +00:10:33,260 --> 00:10:37,017 Якщо ви розглядаєте, скажімо, z-координату вхідного вектора як об’єм 166 -00:10:18,697 --> 00:10:23,519 +00:10:37,017 --> 00:10:41,155 цього паралелепіпеда, охопленого i-hat, j-hat і таємничим вхідним вектором, 167 -00:10:23,519 --> 00:10:27,580 +00:10:41,155 --> 00:10:44,640 що станеться з об’ємом цього паралелепіпеда після перетворення? 168 -00:10:27,580 --> 00:10:30,200 +00:10:44,640 --> 00:10:51,660 Як ви можете обчислити цей новий обсяг? 169 -00:10:30,200 --> 00:10:36,642 +00:10:51,660 --> 00:10:58,132 Дійсно, зупиніться і знайдіть хвилинку, щоб подумати про деталі узагальнення цього на 170 -00:10:36,642 --> 00:10:43,160 +00:10:58,132 --> 00:11:04,680 вищі виміри; знаходження виразу для кожної координати рішення більших лінійних систем. 171 -00:10:43,160 --> 00:11:03,620 +00:11:05,100 --> 00:11:18,689 Розмірковуючи про більш загальні випадки та переконавши себе, 172 -00:11:03,620 --> 00:11:23,090 +00:11:18,689 --> 00:11:31,622 що це працює, це те, де все буде навчено, набагато більше, 173 -00:11:23,090 --> 00:11:48,500 +00:11:31,622 --> 00:11:48,500 ніж слухати якогось чувака на YouTube, який знову розповідає про міркування. diff --git a/2019/cramers-rule/vietnamese/auto_generated.srt b/2019/cramers-rule/vietnamese/auto_generated.srt index 96ebb75bd..28b6800e7 100644 --- a/2019/cramers-rule/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2019/cramers-rule/vietnamese/auto_generated.srt @@ -1,524 +1,732 @@ 1 -00:00:11,590 --> 00:00:15,800 -Trong video trước, tôi đã nói về các hệ phương trình tuyến tính và gần như gạt sang một +00:00:11,200 --> 00:00:15,221 +Trong video trước, tôi đã nói về các hệ phương trình tuyến tính và gần như để 2 -00:00:15,840 --> 00:00:19,720 -bên cuộc thảo luận về các giải pháp tính toán thực tế cho các hệ phương trình này. +00:00:15,221 --> 00:00:19,140 +sang một bên cuộc thảo luận về việc tính các nghiệm thực tế cho các hệ này. 3 -00:00:19,720 --> 00:00:23,520 -Và mặc dù sự thật là việc xử lý số thường là thứ chúng ta để lại cho máy tính, nhưng +00:00:19,700 --> 00:00:23,096 +Và dù sự thật là việc xử lý số thường là thứ chúng ta để lại cho máy tính, 4 -00:00:23,520 --> 00:00:27,340 -việc tìm hiểu một số phương pháp tính toán này là một phép thử tốt để xem bạn có thực +00:00:23,096 --> 00:00:27,036 +nhưng việc tìm hiểu một số phương pháp tính toán này là một phép thử tốt để xem bạn có 5 -00:00:27,340 --> 00:00:31,380 -sự hiểu chuyện gì đang xảy ra hay không, vì đó thực sự là nơi cao su gặp mặt đường. +00:00:27,036 --> 00:00:31,021 +thực sự hiểu chuyện gì đang xảy ra hay không, vì đó thực sự là nơi lý luận áp dụng vào 6 -00:00:31,380 --> 00:00:36,380 -Ở đây tôi muốn mô tả hình học đằng sau một phương pháp nhất định để tính toán các giải pháp cho các hệ +00:00:31,021 --> 00:00:31,520 +thực tiễn. 7 -00:00:36,380 --> 00:00:42,420 -thống này, được gọi là quy tắc Cramer. Nền tảng liên quan ở đây là hiểu các định thức, một +00:00:32,119 --> 00:00:35,423 +Ở đây tôi muốn mô tả hình học đằng sau một phương pháp nhất định 8 -00:00:42,420 --> 00:00:45,940 -chút tích số chấm và tất nhiên là hệ phương trình tuyến tính, vì vậy hãy nhớ xem +00:00:35,423 --> 00:00:38,880 +để tính toán các nghiệm cho các hệ này, được gọi là quy tắc Cramer. 9 -00:00:45,940 --> 00:00:50,380 -các video có liên quan về các chủ đề đó nếu bạn chưa quen hoặc chưa hiểu rõ. +00:00:39,680 --> 00:00:42,123 +Nền tảng liên quan ở đây là hiểu các định thức, 10 -00:00:50,380 --> 00:00:55,300 -Nhưng trước tiên tôi nên nói trước rằng quy tắc Cramer này thực sự không +00:00:42,123 --> 00:00:45,533 +một chút tích vô hướng và tất nhiên là hệ phương trình tuyến tính, 11 -00:00:55,500 --> 00:00:57,460 -phải là cách tốt nhất để tính nghiệm các hệ phương trình tuyến tính. +00:00:45,533 --> 00:00:49,198 +vì vậy hãy nhớ xem các video có liên quan về các chủ đề đó nếu bạn chưa 12 -00:00:57,460 --> 00:01:03,060 -Ví dụ, việc loại bỏ Gaussian sẽ luôn nhanh hơn. Vậy tại sao phải học nó? +00:00:49,198 --> 00:00:50,420 +quen hoặc chưa hiểu rõ. 13 -00:01:03,060 --> 00:01:07,980 -Hãy nghĩ về nó như một loại chuyến tham quan văn hóa. Đây là một bài tập hữu ích trong việc đào sâu kiến +00:00:51,020 --> 00:00:51,440 +Nhưng đầu tiên, 14 -00:01:07,980 --> 00:01:12,860 -thức của bạn về lý thuyết đằng sau các hệ thống này. Việc suy nghĩ về khái niệm này sẽ giúp củng +00:00:51,440 --> 00:00:54,280 +Tôi nên nói trước rằng quy tắc Cramer này thực sự không phải 15 -00:01:12,860 --> 00:01:17,260 -cố các ý tưởng từ đại số tuyến tính, như định thức và hệ tuyến tính, bằng cách xem +00:00:54,280 --> 00:00:57,260 +là cách tốt nhất để tính nghiệm các hệ phương trình tuyến tính. 16 -00:01:17,260 --> 00:01:21,980 -chúng liên quan với nhau như thế nào. Ngoài ra, từ quan điểm nghệ thuật thuần túy, kết +00:00:58,140 --> 00:01:01,260 +Ví dụ, phép khử Gaussian sẽ luôn nhanh hơn. 17 -00:01:21,980 --> 00:01:26,900 -quả cuối cùng ở đây thực sự rất đẹp để suy nghĩ, còn hơn cả việc loại bỏ Gaussian. +00:01:01,980 --> 00:01:03,520 +Vậy tại sao phải học nó? 18 -00:01:26,900 --> 00:01:31,820 -Được rồi, vậy thiết lập ở đây sẽ là một hệ phương trình tuyến tính nào đó, chẳng hạn với +00:01:03,780 --> 00:01:06,153 +Hãy nghĩ về nó như một loại chuyến tham quan văn hóa. 19 -00:01:31,820 --> 00:01:37,820 -hai ẩn số, x và y, và hai phương trình. Về nguyên tắc, mọi thứ chúng ta đang nói đến +00:01:06,153 --> 00:01:09,537 +Đây là một bài tập hữu ích trong việc đào sâu kiến thức của bạn về lý thuyết 20 -00:01:37,820 --> 00:01:41,900 -cũng sẽ áp dụng được cho các hệ thống có số lượng ẩn số lớn hơn và cùng số phương trình, +00:01:09,537 --> 00:01:10,460 +đằng sau các hệ này. 21 -00:01:41,900 --> 00:01:45,460 -nhưng để đơn giản hóa, một ví dụ nhỏ hơn sẽ dễ dàng lưu giữ trong đầu chúng ta hơn. +00:01:11,040 --> 00:01:15,252 +Việc suy nghĩ về khái niệm này sẽ giúp củng cố các ý tưởng từ đại số tuyến tính, 22 -00:01:45,460 --> 00:01:50,220 -Vì vậy, như tôi đã nói ở video trước, bạn có thể nghĩ về thiết lập này về mặt hình học, như một ma +00:01:15,252 --> 00:01:19,620 +như định thức và hệ tuyến tính, bằng cách xem chúng liên quan với nhau như thế nào. 23 -00:01:50,460 --> 00:01:57,100 -trận đã biết nào đó biến đổi một vectơ không xác định, x, y, trong đó bạn biết đầu ra sẽ là bao +00:01:20,100 --> 00:01:23,437 +Ngoài ra, từ quan điểm nghệ thuật thuần túy, kết quả cuối cùng 24 -00:01:57,100 --> 00:02:02,860 -nhiêu, trong trường hợp này là âm 4, tiêu cực 2. Hãy nhớ rằng, các cột của ma trận này cho bạn biết ma trận +00:01:23,437 --> 00:01:26,880 +ở đây thực sự rất đẹp để suy nghĩ, còn hơn cả phép khử Gaussian. 25 -00:02:02,860 --> 00:02:09,100 -đó hoạt động như một phép biến đổi như thế nào, mỗi cột cho bạn biết vị trí của các vectơ cơ sở của không gian +00:01:28,680 --> 00:01:32,714 +Được rồi, vậy thiết lập ở đây sẽ là một hệ phương trình tuyến tính nào đó, 26 -00:02:09,100 --> 00:02:16,700 -đầu vào. Vì vậy, những gì chúng tôi có là một loại câu đố. Vectơ đầu vào nào, x, y, sẽ chạm vào đầu ra +00:01:32,714 --> 00:01:35,620 +chẳng hạn với hai ẩn số, x và y, và hai phương trình. 27 -00:02:16,700 --> 00:02:22,700 -này, âm 4, âm 2? Một cách để suy nghĩ về câu đố nhỏ của chúng ta ở đây là chúng +00:01:36,300 --> 00:01:39,077 +Về nguyên tắc, mọi thứ chúng ta đang nói đến cũng sẽ áp dụng được 28 -00:02:22,700 --> 00:02:28,540 -ta biết vectơ đầu ra đã cho là sự kết hợp tuyến tính nào đó của các cột của ma trận, x +00:01:39,077 --> 00:01:41,940 +cho các hệ thống có số lượng ẩn số lớn hơn và cùng số phương trình, 29 -00:02:28,540 --> 00:02:33,500 -nhân vectơ nơi i-hat tiếp đất cộng y nhân vectơ nơi j-hat tiếp đất, nhưng cái gì chúng tôi muốn là tìm +00:01:42,440 --> 00:01:45,580 +nhưng để đơn giản hóa với một ví dụ nhỏ hơn sẽ giúp ta dễ ghi nhớ hơn. 30 -00:02:33,500 --> 00:02:38,940 -ra chính xác tổ hợp tuyến tính đó sẽ là gì. Hãy nhớ rằng, loại câu trả lời bạn nhận được ở đây +00:01:46,320 --> 00:01:51,392 +Vì vậy, như tôi đã nói ở video trước, bạn có thể nghĩ về thiết lập này về mặt hình học, 31 -00:02:38,940 --> 00:02:44,060 -có thể phụ thuộc vào việc phép biến đổi có ép toàn bộ không gian vào một chiều thấp hơn hay không, tức là +00:01:51,392 --> 00:01:55,543 +như một ma trận đã biết nào đó biến đổi một vectơ không xác định, x, y, 32 -00:02:44,060 --> 00:02:49,740 -liệu nó có định thức bằng 0 hay không. Trong trường hợp đó, không có đầu vào nào đáp ứng được đầu ra nhất +00:01:55,543 --> 00:02:00,040 +trong đó bạn biết đầu ra sẽ là bao nhiêu, trong trường hợp này là âm 4, âm 2. 33 -00:02:49,740 --> 00:02:58,620 -định của chúng ta hoặc có cả đống đầu vào đáp ứng đầu ra đó. Nhưng đối với video này, chúng ta sẽ giới +00:02:00,800 --> 00:02:05,465 +Hãy nhớ rằng, các cột của ma trận này cho bạn biết ma trận đó hoạt động như một phép biến 34 -00:02:58,620 --> 00:03:04,140 -hạn chế độ xem của mình trong trường hợp định thức khác 0, nghĩa là kết quả đầu ra của phép biến đổi này vẫn +00:02:05,465 --> 00:02:10,080 +đổi như thế nào, mỗi cột cho bạn biết vị trí của các vectơ cơ sở của không gian đầu vào. 35 -00:03:04,140 --> 00:03:10,060 -trải rộng trên toàn bộ không gian một chiều mà nó bắt đầu. Mỗi đầu vào đều có một và chỉ một đầu ra, +00:02:10,860 --> 00:02:13,862 +Vì vậy, những gì chúng ta có là một loại câu đố. 36 -00:03:10,060 --> 00:03:16,460 -và mỗi đầu ra có một và chỉ một đầu vào. Đầu tiên, hãy để tôi chỉ cho bạn một ý +00:02:13,862 --> 00:02:17,600 +Vectơ đầu vào nào, x, y, sẽ chạm vào đầu ra này, âm 4, âm 2? 37 -00:03:16,460 --> 00:03:21,900 -tưởng tuy sai nhưng đúng hướng. Tọa độ x của vectơ đầu vào bí ẩn này là kết quả bạn nhận được bằng cách +00:02:17,600 --> 00:02:23,033 +Một cách để suy nghĩ về câu đố nhỏ của chúng ta ở đây là chúng ta biết vectơ đầu 38 -00:03:21,900 --> 00:03:28,300 -lấy tích chấm của nó với vectơ cơ sở đầu tiên, 1, 0. Tương tự, tọa độ y là kết quả bạn nhận được bằng +00:02:23,033 --> 00:02:28,400 +ra đã cho là sự kết hợp tuyến tính nào đó của các cột của ma trận, x nhân vectơ 39 -00:03:28,300 --> 00:03:34,860 -cách chấm nó với vectơ cơ sở thứ hai, 0, 1. Vì vậy, có thể bạn hy vọng rằng sau khi biến +00:02:28,400 --> 00:02:31,220 +nơi i-mũ hạ xuống cộng y nhân vectơ nơi j-mũ hạ xuống, 40 -00:03:34,860 --> 00:03:39,900 -đổi, tích chấm với phiên bản biến đổi của vectơ bí ẩn với phiên bản biến đổi cũng sẽ là +00:02:31,220 --> 00:02:36,220 +nhưng cái chúng ta muốn là tìm ra chính xác tổ hợp tuyến tính đó sẽ là gì. 41 -00:03:40,780 --> 00:03:46,780 -các tọa độ x và y này. Điều đó thật tuyệt vời, vì chúng ta biết phiên bản biến +00:02:37,240 --> 00:02:41,122 +Hãy nhớ rằng, loại câu trả lời bạn nhận được ở đây có thể phụ thuộc vào 42 -00:03:46,780 --> 00:03:54,460 -đổi của từng vectơ đó là gì. Chỉ có một vấn đề với nó, nó không hề đúng chút nào. +00:02:41,122 --> 00:02:45,327 +việc phép biến đổi có ép toàn bộ không gian vào một chiều thấp hơn hay không, 43 -00:03:54,460 --> 00:03:59,260 -Đối với hầu hết các phép biến đổi tuyến tính, tích chấm trước và sau phép biến đổi sẽ trông rất +00:02:45,327 --> 00:02:48,940 +tức là liệu nó có định thức bằng 0 hay không? Trong trường hợp đó, 44 -00:03:59,260 --> 00:04:04,060 -khác nhau. Ví dụ: bạn có thể có hai vectơ thường chỉ cùng hướng với tích +00:02:48,940 --> 00:02:53,342 +không có đầu vào nào hạ xuống được đầu ra đã cho của chúng ta hoặc có cả đống 45 -00:04:04,060 --> 00:04:08,780 -số chấm dương, chúng bị tách ra khỏi nhau trong quá trình biến đổi theo +00:02:53,342 --> 00:02:56,277 +đầu vào đáp ứng đầu ra đó. Nhưng đối với video này, 46 -00:04:08,860 --> 00:04:13,500 -cách mà cuối cùng chúng có tích số chấm âm. Tương tự như vậy, những thứ +00:02:56,277 --> 00:03:00,567 +chúng ta sẽ giới hạn chế độ xem của mình trong trường hợp định thức khác 0, 47 -00:04:13,500 --> 00:04:19,020 -bắt đầu vuông góc với tích 0 chấm, giống như hai vectơ cơ sở, thường không vuông +00:03:00,567 --> 00:03:05,026 +nghĩa là kết quả đầu ra của phép biến đổi này vẫn trải rộng trên toàn bộ không 48 -00:04:19,020 --> 00:04:23,900 -góc với nhau sau khi biến đổi, nghĩa là chúng không bảo toàn tích 0 chấm đó. +00:03:05,026 --> 00:03:06,720 +gian một chiều mà nó bắt đầu. 49 -00:04:23,900 --> 00:04:27,340 -Và nhìn vào ví dụ tôi vừa trình bày, tích số chấm chắc chắn không được giữ +00:03:06,720 --> 00:03:12,253 +Mỗi đầu vào đều có một và chỉ một đầu ra, và mỗi đầu ra có một và chỉ một 50 -00:04:27,340 --> 00:04:30,220 -nguyên, chúng có xu hướng lớn hơn vì hầu hết các vectơ đều bị giãn ra. +00:03:12,253 --> 00:03:18,160 +đầu vào Đầu tiên, hãy để tôi chỉ cho bạn một ý tưởng tuy sai nhưng đúng hướng. 51 -00:04:30,940 --> 00:04:36,300 -Trên thực tế, cần lưu ý thêm ở đây, các phép biến đổi bảo toàn tích số chấm đủ đặc biệt +00:03:18,800 --> 00:03:21,991 +Tọa độ x của vectơ đầu vào bí ẩn này là kết quả bạn nhận được 52 -00:04:36,300 --> 00:04:41,500 -để có tên riêng, các phép biến đổi trực chuẩn. Đây là những vectơ có tất cả các vectơ cơ +00:03:21,991 --> 00:03:25,440 +bằng cách lấy tích vô hướng của nó với vectơ cơ sở đầu tiên, 1, 0. 53 -00:04:41,500 --> 00:04:46,700 -sở vuông góc với nhau và vẫn có độ dài đơn vị. Bạn thường nghĩ đây là những ma +00:03:26,160 --> 00:03:28,677 +Tương tự, tọa độ y là kết quả bạn nhận được bằng 54 -00:04:46,700 --> 00:04:52,220 -trận quay, chúng tương ứng với chuyển động cứng nhắc mà không bị kéo giãn, ép chặt hay biến hình. +00:03:28,677 --> 00:03:31,400 +cách nhân vô hướng nó với vectơ cơ sở thứ hai, 0, 1. 55 -00:04:52,860 --> 00:04:58,460 -Việc giải một hệ tuyến tính bằng ma trận trực chuẩn thực sự rất dễ dàng. Vì tích số chấm được giữ +00:03:31,900 --> 00:03:35,443 +Vì vậy, có thể bạn hy vọng rằng sau khi biến đổi, 56 -00:04:58,460 --> 00:05:03,820 -nguyên nên việc lấy tích số chấm giữa vectơ đầu ra và tất cả các cột trong ma trận +00:03:35,443 --> 00:03:41,184 +tích vô hướng với phiên bản biến đổi của vectơ bí ẩn với phiên bản biến đổi cũng 57 -00:05:03,820 --> 00:05:08,460 -của bạn sẽ giống như việc lấy tích số chấm giữa vectơ đầu vào bí ẩn và tất cả các +00:03:41,184 --> 00:03:43,240 +sẽ là các tọa độ x và y này. 58 -00:05:08,460 --> 00:05:14,460 -vectơ cơ sở, cũng giống như việc tìm kiếm tọa độ của đầu vào bí ẩn đó. Vì vậy, trong +00:03:43,940 --> 00:03:48,740 +Điều đó thật tuyệt vời, vì chúng ta biết phiên bản biến đổi của từng vectơ đó là gì. 59 -00:05:14,460 --> 00:05:19,820 -trường hợp rất đặc biệt đó, x sẽ là tích vô hướng của cột đầu tiên với vectơ +00:03:51,180 --> 00:03:54,200 +Chỉ có một vấn đề với nó, nó không hề đúng chút nào. 60 -00:05:19,820 --> 00:05:23,740 -đầu ra, và y sẽ là tích vô hướng của cột thứ hai với vectơ đầu ra. +00:03:54,640 --> 00:03:57,364 +Đối với hầu hết các phép biến đổi tuyến tính, tích vô 61 -00:05:27,020 --> 00:05:31,260 -Tại sao tôi lại nhắc đến điều này khi ý tưởng này không phù hợp với hầu hết các hệ thống tuyến tính? +00:03:57,364 --> 00:04:00,240 +hướng trước và sau phép biến đổi sẽ trông rất khác nhau. 62 -00:05:31,260 --> 00:05:36,060 -Chà, nó chỉ cho chúng ta hướng đi của thứ gì đó cần tìm. Có cách hiểu hình học thay thế +00:04:00,800 --> 00:04:05,445 +Ví dụ: bạn có thể có hai vectơ thường chỉ cùng hướng với tích vô hướng dương, 63 -00:05:36,060 --> 00:05:40,940 -nào cho tọa độ của vectơ đầu vào của chúng ta mà không thay đổi sau khi chuyển +00:04:05,445 --> 00:04:10,745 +chúng bị tách ra khỏi nhau trong quá trình biến đổi theo cách mà cuối cùng chúng có tích 64 -00:05:40,940 --> 00:05:45,980 -đổi không? Nếu tâm trí của bạn đang nghiền ngẫm các yếu tố quyết định, bạn có thể nghĩ ra ý tưởng thông minh +00:04:10,745 --> 00:04:11,520 +vô hướng âm. 65 -00:05:45,980 --> 00:05:52,700 -sau đây. Lấy hình bình hành được xác định bởi vectơ cơ sở đầu tiên, i-hat và vectơ đầu vào bí +00:04:12,220 --> 00:04:15,896 +Tương tự, những thứ bắt đầu vuông góc với tích vô hướng bằng 0, 66 -00:05:52,700 --> 00:05:59,820 -ẩn, xy. Diện tích của hình bình hành này bằng cạnh đáy, 1, nhân với chiều cao vuông góc với đáy +00:04:15,896 --> 00:04:20,320 +giống như hai vectơ cơ sở, thường không vuông góc với nhau sau khi biến đổi, 67 -00:05:59,820 --> 00:06:05,980 -đó, chính là tọa độ y của vectơ đầu vào đó. Vậy diện tích của hình bình hành đó là +00:04:20,320 --> 00:04:23,480 +nghĩa là chúng không bảo toàn tích vô hướng bằng 0 đó. 68 -00:06:05,980 --> 00:06:11,260 -một dạng đường vòng khó hiểu để mô tả tọa độ y của vectơ. Đó là một cách kỳ quặc để +00:04:24,100 --> 00:04:27,160 +Và nhìn vào ví dụ tôi vừa trình bày, tích vô hướng chắc chắn không được giữ nguyên, 69 -00:06:11,260 --> 00:06:16,060 -nói về tọa độ, nhưng hãy làm theo tôi. Và thực ra, để chính xác hơn một chút, bạn nên coi đây +00:04:27,500 --> 00:04:29,940 +chúng có xu hướng lớn hơn vì hầu hết các vectơ đều bị giãn ra. 70 -00:06:16,060 --> 00:06:21,580 -là diện tích có dấu của hình bình hành đó, theo nghĩa được mô tả trong video định thức. +00:04:29,940 --> 00:04:34,520 +Trên thực tế, cần lưu ý thêm ở đây, các phép biến đổi bảo toàn tích 71 -00:06:22,220 --> 00:06:27,660 -Theo cách đó, vectơ có tọa độ y âm sẽ tương ứng với diện tích âm của hình bình hành +00:04:34,520 --> 00:04:39,100 +vô hướng đủ đặc biệt để có tên riêng, các phép biến đổi trực chuẩn. 72 -00:06:27,660 --> 00:06:32,460 -này, ít nhất nếu bạn nghĩ i-hat theo một nghĩa nào đó là vectơ đầu tiên trong số hai +00:04:39,720 --> 00:04:44,660 +Đây là những vectơ có tất cả các vectơ cơ sở vuông góc với nhau và vẫn có độ dài đơn vị. 73 -00:06:32,460 --> 00:06:37,260 -vectơ xác định hình bình hành này. Và một cách đối xứng, nếu bạn nhìn vào hình bình hành được bao +00:04:45,740 --> 00:04:47,880 +Bạn thường nghĩ đây là những ma trận quay, 74 -00:06:37,260 --> 00:06:43,180 -bọc bởi vectơ đầu vào bí ẩn của chúng ta và cơ sở thứ hai, j-hat, diện tích của nó sẽ là +00:04:48,420 --> 00:04:52,200 +chúng tương ứng với chuyển động cứng nhắc mà không bị kéo giãn, ép chặt hay biến hình. 75 -00:06:43,180 --> 00:06:48,540 -tọa độ x của vectơ bí ẩn đó. Một lần nữa, đó là một cách kỳ lạ để biểu diễn tọa độ x, nhưng bạn sẽ +00:04:53,000 --> 00:04:57,328 +Việc giải một hệ tuyến tính bằng ma trận trực chuẩn thực sự rất dễ dàng. 76 -00:06:48,540 --> 00:06:52,540 -thấy ngay nó mang lại cho chúng ta điều gì. Và để chắc chắn rằng điều này có thể khái quát hóa như thế nào, +00:04:57,328 --> 00:05:02,367 +Vì tích vô hướng được giữ nguyên nên việc lấy tích vô hướng giữa vectơ đầu ra và tất 77 -00:06:52,540 --> 00:06:56,620 -hãy nhìn vào không gian ba chiều. Thông thường, cách bạn có thể nghĩ về một trong các tọa độ của vectơ, +00:05:02,367 --> 00:05:07,347 +cả các cột trong ma trận của bạn sẽ giống như việc lấy tích vô hướng giữa vectơ đầu 78 -00:06:56,620 --> 00:07:01,660 -chẳng hạn như tọa độ z của nó, sẽ là lấy tích chấm của nó với vectơ cơ sở tiêu chuẩn thứ +00:05:07,347 --> 00:05:12,387 +vào bí ẩn và tất cả các vectơ cơ sở, cũng giống như việc tìm kiếm tọa độ của đầu vào 79 -00:07:01,660 --> 00:07:07,660 -ba, thường được gọi là k-hat. Nhưng một cách giải thích hình học khác sẽ là xem xét đường +00:05:12,387 --> 00:05:12,980 +bí ẩn đó. 80 -00:07:07,660 --> 00:07:13,900 -song song mà nó tạo ra với hai vectơ cơ sở còn lại, i-hat và j-hat. Nếu bạn coi hình +00:05:13,680 --> 00:05:18,847 +Vì vậy, trong trường hợp rất đặc biệt đó, x sẽ là tích vô hướng của cột đầu tiên 81 -00:07:13,900 --> 00:07:20,540 -vuông có diện tích 1 bao quanh bởi i-hat và j-hat làm đáy của toàn bộ hình này, thì thể tích của nó +00:05:18,847 --> 00:05:23,760 +với vectơ đầu ra, và y sẽ là tích vô hướng của cột thứ hai với vectơ đầu ra. 82 -00:07:20,540 --> 00:07:25,500 -bằng với chiều cao của nó, là tọa độ thứ ba của vectơ của chúng ta. Và tương tự, cách kỳ lạ +00:05:26,820 --> 00:05:30,516 +Tại sao tôi lại nhắc đến điều này khi ý tưởng này không phù hợp với 83 -00:07:25,500 --> 00:07:29,740 -để nghĩ về các tọa độ khác của vectơ là tạo thành một đường song song bằng cách sử dụng +00:05:30,516 --> 00:05:35,082 +hầu hết các hệ tuyến tính? Chà, nó chỉ cho chúng ta hướng đi của thứ gì đó cần tìm. 84 -00:07:29,740 --> 00:07:34,780 -vectơ và sau đó tất cả các vectơ cơ sở không phải là vectơ tương ứng với hướng bạn đang +00:05:35,082 --> 00:05:38,778 +Có cách hiểu hình học thay thế nào cho tọa độ của vectơ đầu vào của 85 -00:07:34,780 --> 00:07:39,580 -tìm kiếm. Sau đó, khối lượng của cái này sẽ cho bạn tọa độ. Hay đúng hơn, chúng ta nên nói về thể +00:05:38,778 --> 00:05:41,660 +chúng ta mà không thay đổi sau khi chuyển đổi không? 86 -00:07:39,580 --> 00:07:44,220 -tích có dấu của hình bình hành, theo nghĩa được mô tả trong video định thức bằng cách sử dụng quy tắc +00:05:42,360 --> 00:05:45,463 +Nếu tâm trí của bạn đang suy ngẫm về các định thức, 87 -00:07:44,220 --> 00:07:49,580 -bàn tay phải. Vì vậy, thứ tự bạn liệt kê ba vectơ này rất quan trọng. Bằng cách đó, tọa độ +00:05:45,463 --> 00:05:48,268 +bạn có thể nghĩ ra ý tưởng thông minh sau đây. 88 -00:07:49,580 --> 00:07:55,500 -âm vẫn có ý nghĩa. Được rồi, vậy tại sao lại nghĩ tọa độ là diện tích và thể tích như thế này? +00:05:48,268 --> 00:05:51,790 +Lấy hình bình hành được xác định bởi vectơ cơ sở đầu tiên, 89 -00:07:55,500 --> 00:08:01,100 -Chà, khi bạn áp dụng một số loại phép biến đổi ma trận, diện tích của những hình bình hành này, +00:05:51,790 --> 00:05:53,760 +i-mũ và vectơ đầu vào bí ẩn, xy. 90 -00:08:01,100 --> 00:08:05,740 -à, chúng không giữ nguyên, chúng có thể được tăng hoặc giảm tỷ lệ. Tuy nhiên, và đây là ý tưởng chính +00:05:54,440 --> 00:05:57,731 +Diện tích của hình bình hành này bằng cạnh đáy, 1, 91 -00:08:05,740 --> 00:08:11,500 -của định thức, tất cả các diện tích đều được chia tỷ lệ theo cùng một lượng, cụ thể là định thức của ma trận +00:05:57,731 --> 00:06:02,960 +nhân với chiều cao vuông góc với đáy đó, chính là tọa độ y của vectơ đầu vào đó. 92 -00:08:11,500 --> 00:08:17,100 -biến đổi của chúng ta. Ví dụ: nếu bạn nhìn vào hình bình hành được kéo dài bởi vectơ trong đó vectơ cơ sở +00:06:03,680 --> 00:06:08,409 +Vậy diện tích của hình bình hành đó là một dạng đường vòng khó hiểu để mô tả tọa 93 -00:08:17,100 --> 00:08:22,460 -đầu tiên của bạn nằm ở cột đầu tiên của ma trận và phiên bản được biến đổi của xy, thì diện +00:06:08,409 --> 00:06:13,140 +độ y của vectơ. Đó là một cách kỳ quặc để nói về tọa độ, nhưng hãy làm theo tôi. 94 -00:08:22,460 --> 00:08:28,620 -tích của nó là bao nhiêu? Chà, đây là phiên bản biến đổi của hình bình hành mà chúng ta +00:06:13,700 --> 00:06:17,642 +Và thực ra, để chính xác hơn một chút, bạn nên coi đây là diện tích có 95 -00:08:28,620 --> 00:08:33,660 -đã xem trước đó, hình có diện tích là tọa độ y của vectơ đầu vào bí ẩn. +00:06:17,642 --> 00:06:21,640 +dấu của hình bình hành đó, theo nghĩa được mô tả trong video định thức. 96 -00:08:33,660 --> 00:08:39,180 -Vì vậy diện tích của nó sẽ là yếu tố quyết định của phép biến đổi nhân với tọa độ y đó. +00:06:22,200 --> 00:06:28,580 +Theo cách đó, vectơ có tọa độ y âm sẽ tương ứng với diện tích âm của hình bình hành này, 97 -00:08:39,980 --> 00:08:46,540 -Vì vậy, điều đó có nghĩa là chúng ta có thể giải y bằng cách lấy diện tích của hình bình hành mới này +00:06:28,960 --> 00:06:32,960 +ít nhất nếu bạn nghĩ i-mũ theo nghĩa nào đó là vectơ đầu tiên trong số hai vectơ 98 -00:08:46,540 --> 00:08:52,380 -trong không gian đầu ra chia cho định thức của phép biến đổi đầy đủ. Và làm thế nào để bạn có được khu vực đó? +00:06:32,960 --> 00:06:35,805 +chúng xác định hình bình hành này. Và thật đối xứng nếu bạn nhìn 99 -00:08:53,020 --> 00:08:57,340 -Chà, chúng ta biết tọa độ nơi vectơ đầu vào bí ẩn hạ cánh, đó là toàn bộ ý nghĩa +00:06:35,805 --> 00:06:38,780 +vào hình bình hành được bao bọc bởi vectơ đầu vào bí ẩn của chúng ta, 100 -00:08:57,340 --> 00:09:03,260 -của một hệ phương trình tuyến tính. Vì vậy, điều bạn có thể làm là tạo một ma trận mới có cột +00:06:38,780 --> 00:06:43,335 +và cơ sở thứ hai, j-mũ, diện tích của nó sẽ là tọa độ x của vectơ bí ẩn đó. 101 -00:09:03,260 --> 00:09:09,100 -đầu tiên giống với cột của ma trận của chúng ta, nhưng cột thứ hai là vectơ đầu ra, sau đó bạn lấy +00:06:43,335 --> 00:06:46,707 +Một lần nữa, đó là một cách kỳ lạ để biểu diễn tọa độ x, 102 -00:09:09,100 --> 00:09:15,500 -định thức của nó. Vì vậy, hãy nhìn vào điều đó, chỉ cần sử dụng dữ liệu từ đầu ra của +00:06:46,707 --> 00:06:50,080 +nhưng bạn sẽ thấy ngay nó mang lại cho chúng ta điều gì. 103 -00:09:15,500 --> 00:09:19,180 -phép biến đổi, cụ thể là các cột của ma trận và tọa độ của vectơ đầu ra, chúng ta +00:06:50,680 --> 00:06:52,640 +Và để chắc chắn rằng điều này có thể khái quát hóa như thế nào, 104 -00:09:19,180 --> 00:09:23,980 -có thể khôi phục tọa độ y của vectơ đầu vào bí ẩn, tức là đã giải được một nửa hệ +00:06:52,740 --> 00:06:54,770 +hãy nhìn vào không gian ba chiều. Thông thường, 105 -00:09:23,980 --> 00:09:29,580 -thống. Tương tự như vậy, ý tưởng tương tự có thể cho chúng ta tọa độ x. Hãy nhìn vào hình bình hành mà chúng ta +00:06:54,770 --> 00:06:57,140 +cách bạn có thể nghĩ về một trong các tọa độ của vectơ, 106 -00:09:29,580 --> 00:09:35,180 -đã xác định trước đó, mã hóa tọa độ x của vectơ đầu vào bí ẩn, được kéo dài bởi vectơ đó và +00:06:57,140 --> 00:07:01,202 +chẳng hạn như tọa độ z của nó, sẽ là lấy tích vô hướng của nó 107 -00:09:35,180 --> 00:09:41,900 -j-hat. Phiên bản biến đổi của anh chàng này được kéo dài bởi vectơ đầu ra và cột thứ +00:07:01,202 --> 00:07:05,133 +với vectơ cơ sở tiêu chuẩn thứ ba, thường được gọi là k-mũ. 108 -00:09:41,900 --> 00:09:46,860 -hai của ma trận, và diện tích của nó sẽ được nhân với định thức của ma trận đó. +00:07:05,133 --> 00:07:09,720 +Nhưng một cách giải thích hình học khác sẽ là xem xét đường song song 109 -00:09:47,500 --> 00:09:52,220 -Vì vậy, để tìm x, bạn có thể lấy diện tích mới này chia cho định thức của phép biến +00:07:09,720 --> 00:07:13,487 +thứ được tạo ra với hai vectơ cơ sở còn lại, i-hat và j-hat. 110 -00:09:52,220 --> 00:09:57,260 -đổi hoàn toàn. Và tương tự như những gì chúng ta đã làm trước đây, bạn có thể tính diện tích của hình +00:07:13,487 --> 00:07:17,624 +Nếu bạn coi hình vuông có diện tích 1 bao quanh bởi i-hat và j-hat 111 -00:09:57,260 --> 00:10:03,260 -bình hành đầu ra đó bằng cách tạo một ma trận mới có cột đầu tiên là vectơ đầu ra và cột thứ hai +00:07:17,624 --> 00:07:22,380 +làm đáy của toàn bộ hình này, thì thể tích của nó bằng với chiều cao của nó, 112 -00:10:03,260 --> 00:10:08,540 -có cột thứ hai giống với ma trận ban đầu. Vì vậy, một lần nữa, chỉ cần sử dụng dữ liệu từ không gian đầu +00:07:22,380 --> 00:07:25,240 +đó là tọa độ thứ ba của vectơ của chúng ta. Và tương tự, 113 -00:10:08,540 --> 00:10:12,620 -ra, những con số chúng ta thấy trong hệ thống tuyến tính ban đầu, chúng ta có thể giải được x phải bằng bao nhiêu. +00:07:25,240 --> 00:07:27,500 +cách kỳ lạ để nghĩ về các tọa độ khác của vectơ 114 -00:10:13,340 --> 00:10:18,380 -Công thức tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính này được gọi là quy tắc Cramer. +00:07:27,500 --> 00:07:30,000 +đó là tạo thành một đường song song bằng cách sử dụng vectơ 115 -00:10:19,020 --> 00:10:23,660 -Ở đây, để tự kiểm tra lại sự tỉnh táo, hãy nhập một số con số vào đây. Định thức của ma trận biến đổi +00:07:30,000 --> 00:07:33,960 +và sau đó tất cả các vectơ cơ sở không phải là vectơ tương ứng với hướng mà bạn tìm kiếm. 116 -00:10:23,660 --> 00:10:30,140 -trên cùng đó là 4 cộng 2, bằng 6, và định thức dưới cùng là 2, do đó tọa độ x phải +00:07:33,960 --> 00:07:37,900 +Sau đó, thể tích của cái này sẽ cho bạn tọa độ. 117 -00:10:30,140 --> 00:10:35,420 -là 3. Và thực sự, nhìn lại vectơ đầu vào mà chúng ta đã bắt đầu, tọa độ x là 3. +00:07:38,440 --> 00:07:41,864 +Hay đúng hơn, chúng ta nên nói về thể tích có dấu của hình bình hành, 118 -00:10:36,140 --> 00:10:40,940 -Tương tự như vậy, quy tắc Cramer gợi ý rằng tọa độ y phải là 4 chia cho 2 +00:07:41,864 --> 00:07:45,974 +theo nghĩa được mô tả trong video định thức bằng cách sử dụng quy tắc bàn tay phải. 119 -00:10:40,940 --> 00:10:46,220 -hoặc 2 và đó là tọa độ y của vectơ đầu vào mà chúng ta đã bắt đầu. +00:07:45,974 --> 00:07:49,399 +Vì vậy, thứ tự bạn liệt kê ba vectơ này rất quan trọng. Bằng cách đó, 120 -00:10:47,260 --> 00:10:52,300 -Trường hợp có 3 chiều trở lên cũng tương tự và tôi thực sự khuyên bạn nên dành chút thời gian để tạm +00:07:49,399 --> 00:07:50,720 +tọa độ âm vẫn có ý nghĩa. 121 -00:10:52,300 --> 00:10:57,420 -dừng và tự mình suy nghĩ. Đây, tôi sẽ truyền cho bạn một chút động lực. Những gì chúng ta có là +00:07:50,720 --> 00:07:55,072 +Được rồi, vậy tại sao lại nghĩ tọa độ là diện tích và thể tích như thế này? 122 -00:10:57,420 --> 00:11:03,740 -một phép biến đổi đã biết được đưa ra bởi một số ma trận 3x3 và một vectơ đầu ra đã biết được cung cấp bởi phía bên phải của +00:07:55,072 --> 00:07:58,280 +Chà, khi bạn áp dụng một số loại phép biến đổi ma trận, 123 -00:11:03,740 --> 00:11:10,060 -hệ thống tuyến tính của chúng ta và chúng ta muốn biết đầu vào nào sẽ nằm trên đầu ra đó. Và nếu bạn nghĩ, chẳng hạn, +00:07:58,960 --> 00:08:01,960 +diện tích của những hình bình hành này, à, chúng không giữ nguyên, 124 -00:11:10,060 --> 00:11:15,340 -tọa độ z của vectơ đầu vào đó là thể tích của hình song song đặc biệt mà chúng ta đã +00:08:01,960 --> 00:08:04,473 +chúng có thể được tăng hoặc giảm tỷ lệ. Tuy nhiên, 125 -00:11:15,340 --> 00:11:21,580 -xem xét trước đó, được kéo dài bởi i-hat, j-hat và vectơ đầu vào bí ẩn, điều gì xảy ra với +00:08:04,473 --> 00:08:07,873 +và đây là ý tưởng chính của định thức, tất cả các diện tích đều được 126 -00:11:21,580 --> 00:11:27,420 -khối lượng đó sau khi chuyển đổi? Và bạn có thể tính khối lượng đó bằng những cách nào? +00:08:07,873 --> 00:08:12,160 +chia tỷ lệ theo cùng một lượng, cụ thể là định thức của ma trận biến đổi của chúng ta. 127 -00:11:28,140 --> 00:11:32,060 -Thực sự, hãy tạm dừng và dành một chút thời gian để suy nghĩ chi tiết về việc khái quát hóa điều +00:08:12,160 --> 00:08:14,880 +Ví dụ: nếu bạn nhìn vào hình bình hành 128 -00:11:32,060 --> 00:11:36,940 -này sang các chiều cao hơn, tìm biểu thức cho từng tọa độ của nghiệm cho một hệ tuyến tính lớn +00:08:14,880 --> 00:08:19,880 +được kéo dài bởi vectơ trong đó vectơ cơ sở đầu tiên của bạn 129 -00:11:36,940 --> 00:11:42,060 -hơn. Suy nghĩ về những trường hợp tổng quát hơn như thế này và thuyết phục bản thân rằng nó hoạt +00:08:19,880 --> 00:08:22,654 +Cái nằm ở cột đầu tiên của ma trận và phiên bản được biến đổi của xy, 130 -00:11:42,060 --> 00:11:46,780 -động và lý do tại sao nó hoạt động là nơi mà tất cả quá trình học tập thực sự diễn +00:08:22,654 --> 00:08:25,825 +thì diện tích của nó là bao nhiêu? Chà, đây là phiên bản biến đổi của hình bình 131 -00:11:46,780 --> 00:11:49,660 -ra, hơn là nghe một anh chàng nào đó trên YouTube hướng dẫn bạn lý do tương tự một lần nữa. +00:08:25,825 --> 00:08:29,352 +hành mà chúng ta đã xem trước đó, hình có diện tích là tọa độ y của vectơ đầu vào bí ẩn. + +132 +00:08:29,352 --> 00:08:32,880 +Vì vậy diện tích của nó sẽ là yếu tố quyết định của phép biến đổi nhân với tọa độ y đó. + +133 +00:08:32,880 --> 00:08:42,100 +Vì vậy, điều đó có nghĩa là chúng ta có thể giải y + +134 +00:08:42,100 --> 00:08:43,500 +bằng cách lấy diện tích + +135 +00:08:43,500 --> 00:08:48,000 +của hình bình hành mới này trong không gian đầu ra chia cho định + +136 +00:08:48,000 --> 00:08:53,054 +thức của phép biến đổi đầy đủ. Và làm thế nào để bạn có được khu vực đó? + +137 +00:08:53,054 --> 00:08:57,140 +Chà, chúng ta biết tọa độ nơi vectơ đầu vào bí ẩn hạ cánh, + +138 +00:08:57,140 --> 00:09:00,300 +đó là toàn bộ ý nghĩa của một hệ phương trình tuyến tính. Vì vậy, + +139 +00:09:00,300 --> 00:09:04,130 +điều bạn có thể làm là tạo một ma trận mới có cột đầu tiên giống với cột của ma + +140 +00:09:04,130 --> 00:09:05,040 +trận của chúng ta, + +141 +00:09:05,060 --> 00:09:10,133 +nhưng cột thứ hai là vectơ đầu ra, sau đó bạn lấy định thức của nó. Vì vậy, + +142 +00:09:10,133 --> 00:09:15,140 +hãy nhìn vào điều đó, chỉ cần sử dụng dữ liệu từ đầu ra của phép biến đổi, + +143 +00:09:15,600 --> 00:09:19,443 +cụ thể là các cột của ma trận và tọa độ của vectơ đầu ra, + +144 +00:09:19,443 --> 00:09:23,420 +chúng ta có thể khôi phục tọa độ y của vectơ đầu vào bí ẩn, + +145 +00:09:23,420 --> 00:09:26,138 +tức là đã giải được một nửa hệ thống. Tương tự như vậy, + +146 +00:09:26,138 --> 00:09:28,420 +ý tưởng tương tự có thể cho chúng ta tọa độ x. + +147 +00:09:28,420 --> 00:09:31,429 +Hãy nhìn vào hình bình hành mà chúng ta đã xác định trước đó, + +148 +00:09:31,429 --> 00:09:33,420 +mã hóa tọa độ x của vectơ đầu vào bí ẩn, + +149 +00:09:33,420 --> 00:09:38,766 +được kéo dài bởi vectơ đó và j-hat. Phiên bản biến đổi của anh chàng này + +150 +00:09:38,766 --> 00:09:44,480 +được kéo dài bởi vectơ đầu ra và cột thứ hai của ma trận, và diện tích của nó + +151 +00:09:44,480 --> 00:09:45,340 +sẽ được nhân với định thức của ma trận đó. + +152 +00:09:45,340 --> 00:09:48,948 +Vì vậy, để tìm x, bạn có thể lấy diện tích mới + +153 +00:09:48,948 --> 00:09:52,940 +này chia cho định thức của phép biến đổi hoàn toàn. + +154 +00:09:53,860 --> 00:09:56,598 +Và tương tự như những gì chúng ta đã làm trước đây, + +155 +00:09:56,598 --> 00:10:00,021 +bạn có thể tính diện tích của hình bình hành đầu ra đó bằng cách + +156 +00:10:00,021 --> 00:10:04,340 +tạo một ma trận mới có cột đầu tiên là vectơ đầu ra và cột thứ hai có cột thứ hai + +157 +00:10:04,340 --> 00:10:06,065 +giống với ma trận ban đầu. Vì vậy, một lần nữa, + +158 +00:10:06,065 --> 00:10:07,720 +chỉ cần sử dụng dữ liệu từ không gian đầu ra, + +159 +00:10:07,720 --> 00:10:11,122 +những con số chúng ta thấy trong hệ thống tuyến tính ban đầu, + +160 +00:10:11,122 --> 00:10:13,810 +chúng ta có thể giải được x phải bằng bao nhiêu. + +161 +00:10:13,810 --> 00:10:18,420 +Công thức tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính này được gọi là quy tắc Cramer. + +162 +00:10:19,120 --> 00:10:21,580 +Ở đây, để tự kiểm tra lại sự tỉnh táo, hãy nhập một số con số vào đây. + +163 +00:10:21,580 --> 00:10:26,478 +Định thức của ma trận biến đổi trên cùng đó là 4 cộng 2, bằng 6, + +164 +00:10:26,478 --> 00:10:33,260 +và định thức dưới cùng là 2, do đó tọa độ x phải là 3. Và thực sự, nhìn lại vectơ đầu vào + +165 +00:10:33,260 --> 00:10:38,148 +thứ mà chúng ta đã bắt đầu, tọa độ x là 3. Tương tự như vậy, + +166 +00:10:38,148 --> 00:10:44,640 +quy tắc Cramer gợi ý rằng tọa độ y phải là 4 chia cho 2 hoặc 2 và đó là tọa độ y + +167 +00:10:44,640 --> 00:10:48,150 +của vectơ đầu vào mà chúng ta đã bắt đầu. Trường hợp có 3 chiều trở + +168 +00:10:48,150 --> 00:10:51,660 +lên cũng tương tự và tôi thực sự khuyên bạn nên dành chút thời gian + +169 +00:10:51,660 --> 00:10:55,600 +để tạm dừng và tự mình suy nghĩ. Đây, tôi sẽ truyền cho bạn một chút động lực. + +170 +00:10:55,600 --> 00:10:59,990 +Những gì chúng ta có là một phép biến đổi đã biết được đưa ra bởi một số ma trận 3x3 và + +171 +00:10:59,990 --> 00:11:04,231 +một vectơ đầu ra đã biết được cung cấp bởi phía bên phải của hệ thống tuyến tính của + +172 +00:11:04,231 --> 00:11:04,680 +chúng ta + +173 +00:11:05,100 --> 00:11:09,637 +và chúng ta muốn biết đầu vào nào sẽ nằm trên đầu ra đó. Và nếu bạn nghĩ, chẳng hạn, + +174 +00:11:09,637 --> 00:11:14,014 +tọa độ z của vectơ đầu vào đó là thể tích của hình song song đặc biệt mà chúng ta + +175 +00:11:14,014 --> 00:11:18,018 +đã xem xét trước đó, được kéo dài bởi i-hat, j-hat và vectơ đầu vào bí ẩn, + +176 +00:11:18,018 --> 00:11:20,847 +điều gì xảy ra với khối lượng đó sau khi chuyển đổi? + +177 +00:11:20,847 --> 00:11:24,210 +Và bạn có thể tính khối lượng đó bằng những cách nào? Thực sự, + +178 +00:11:24,210 --> 00:11:28,428 +hãy tạm dừng và dành một chút thời gian để suy nghĩ chi tiết về việc khái quát + +179 +00:11:28,428 --> 00:11:32,805 +hóa điều này sang các chiều cao hơn, tìm biểu thức cho từng tọa độ của nghiệm cho + +180 +00:11:32,805 --> 00:11:37,182 +một hệ tuyến tính lớn hơn. Suy nghĩ về những trường hợp tổng quát hơn như thế này + +181 +00:11:37,182 --> 00:11:41,560 +và thuyết phục bản thân rằng nó hoạt động và lý do tại sao nó hoạt động là nơi mà + +182 +00:11:41,560 --> 00:11:45,830 +tất cả quá trình học tập thực sự diễn ra, hơn là nghe một anh chàng nào đó trên + +183 +00:11:45,830 --> 00:11:48,500 +YouTube hướng dẫn bạn lý do tương tự một lần nữa. diff --git a/2019/differential-equations/arabic/auto_generated.srt b/2019/differential-equations/arabic/auto_generated.srt index 61fdc54e5..6bb2bd24a 100644 --- a/2019/differential-equations/arabic/auto_generated.srt +++ b/2019/differential-equations/arabic/auto_generated.srt @@ -19,7 +19,7 @@ في مقاطع الفيديو القليلة القادمة، أريد أن أقوم بجولة حول هذا الموضوع. 6 -00:00:25,839 --> 00:00:30,045 +00:00:25,840 --> 00:00:30,045 الهدف هو إعطاء صورة كبيرة لما تدور حوله هذه القطعة من الرياضيات، 7 @@ -127,19 +127,19 @@ الآن، قم بتفكيك ما يقوله هذا حقًا. 33 -00:02:28,500 --> 00:02:36,911 +00:02:28,500 --> 00:02:35,211 هذا يعني أنه إذا نظرت إلى هذا الجسم خاليًا من القوى الأخرى، وسجلت سرعته في كل ثانية، 34 -00:02:36,911 --> 00:02:45,520 +00:02:35,211 --> 00:02:42,080 فإن متجهات السرعة هذه ستجمع مكونًا هبوطيًا إضافيًا قدره 9.8 أمتار في الثانية كل ثانية. 35 -00:02:45,520 --> 00:02:47,620 +00:02:42,720 --> 00:02:46,000 نحن نسمي هذا الثابت 9.8 جرام للجاذبية. 36 -00:02:47,620 --> 00:02:51,780 +00:02:47,240 --> 00:02:51,780 وهذا يكفي ليعطينا مثالاً على معادلة تفاضلية، وإن كانت بسيطة نسبيًا. 37 @@ -167,19 +167,19 @@ أولاً، لإيجاد السرعة، عليك أن تسأل، ما هي الدالة التي لها سالب g كمشتقة؟ 43 -00:03:32,340 --> 00:03:36,240 +00:03:32,340 --> 00:03:35,876 حسنًا، إنها سالبة g مضروبة في t، أو بشكل أكثر 44 -00:03:36,240 --> 00:03:40,480 +00:03:35,876 --> 00:03:39,720 تحديدًا، سالبة gt بالإضافة إلى السرعة الابتدائية. 45 -00:03:40,480 --> 00:03:43,756 +00:03:40,300 --> 00:03:43,664 لاحظ أن هناك العديد من الوظائف مع هذا المشتق المحدد، لذلك 46 -00:03:43,756 --> 00:03:47,260 +00:03:43,664 --> 00:03:47,260 لديك درجة إضافية من الحرية التي يتم تحديدها من خلال شرط أولي. 47 @@ -403,15 +403,15 @@ فإن التسارع هو نفسه الذي يحدث في حالة السقوط الحر. 102 -00:08:25,310 --> 00:08:27,250 +00:08:25,310 --> 00:08:26,510 حسنا، هذا يتحقق. 103 -00:08:27,250 --> 00:08:31,441 +00:08:27,150 --> 00:08:31,391 لأن x يساوي l مضروبًا في ثيتا، فهذا يعني أن المشتق 104 -00:08:31,441 --> 00:08:35,549 +00:08:31,391 --> 00:08:35,549 الثاني لثيتا هو سالب g على l مضروبًا في جيب ثيتا. 105 @@ -707,19 +707,19 @@ t، وتفسير بطريقة أو بأخرى كيفية ترابط هذا ال اليمين، وكلما كنا في الأسفل، كلما ميلت النقطة إلى التحرك إلى اليسار. 178 -00:14:24,330 --> 00:14:28,069 +00:14:24,330 --> 00:14:28,340 المكون الرأسي هو نقطة ثيتا المزدوجة، والتي تتيح لنا 179 -00:14:28,069 --> 00:14:31,810 +00:14:28,340 --> 00:14:32,350 إعادة الكتابة بالكامل بدلالة ثيتا ونقطة ثيتا نفسها. 180 -00:14:31,810 --> 00:14:36,428 +00:14:32,950 --> 00:14:37,013 بعبارة أخرى، المشتقة الأولى لمتجه الحالة هي دالة ما لهذا 181 -00:14:36,428 --> 00:14:41,290 +00:14:37,013 --> 00:14:41,290 المتجه نفسه، حيث ترتبط معظم التعقيدات بهذا الإحداثي الثاني. 182 @@ -779,19 +779,19 @@ t، وتفسير بطريقة أو بأخرى كيفية ترابط هذا ال مسار ما بحيث تتطابق سرعة تلك النقطة في كل لحظة مع المتجه من هذا المجال. 196 -00:15:44,790 --> 00:15:50,461 +00:15:44,790 --> 00:15:50,615 ومرة أخرى، ضع في اعتبارك أن هذه السرعة ليست نفس السرعة الفيزيائية للبندول، 197 -00:15:50,461 --> 00:15:55,830 +00:15:50,615 --> 00:15:56,130 إنها معدل تغير أكثر تجريدًا، يشفر معدلات التغير لكل من ثيتا وثيتا دوت. 198 -00:15:55,830 --> 00:16:01,321 +00:15:57,230 --> 00:16:01,993 قد تجد أنه من الممتع التوقف للحظة والتفكير في ما تقوله بالضبط بعض خطوط المسار 199 -00:16:01,321 --> 00:16:06,390 +00:16:01,993 --> 00:16:06,390 هذه حول الطرق المحتملة التي يتطور بها البندول من ظروف البداية المختلفة. 200 @@ -811,23 +811,23 @@ t، وتفسير بطريقة أو بأخرى كيفية ترابط هذا ال نفسه عدة مرات قبل أن يستقر في حالة من الاضمحلال ذهابًا وإيابًا. 204 -00:16:31,209 --> 00:16:35,865 +00:16:31,210 --> 00:16:36,054 هناك شيء أكثر متعة، عندما أقوم بتعديل مصطلح مقاومة الهواء، مثل 205 -00:16:35,865 --> 00:16:40,374 +00:16:36,054 --> 00:16:40,745 زيادته، يمكنك أن ترى على الفور كيف سيؤدي هذا إلى مسارات تتجه 206 -00:16:40,374 --> 00:16:45,030 +00:16:40,745 --> 00:16:45,590 نحو الداخل بشكل أسرع، وهو ما يعني أن البندول يتباطأ بشكل أسرع. 207 -00:16:45,030 --> 00:16:49,368 +00:16:46,130 --> 00:16:49,904 هذا واضح عندما أسميه مصطلح مقاومة الهواء، لكن تخيل أنك رأيت 208 -00:16:49,368 --> 00:16:53,490 +00:16:49,904 --> 00:16:53,490 هذه المعادلات خارج السياق، دون أن تعلم أنها تصف البندول. 209 @@ -967,374 +967,374 @@ mu تعني أن النظام ككل يميل نحو حالة جذب أسرع. التفكير الديناميكي المكاني مثل هذا، خاصة عندما تكون الأبعاد تصبح كبيرة جدًا. 243 -00:19:23,890 --> 00:19:40,094 +00:19:23,890 --> 00:19:43,441 في كتابه الفوضى، يصف المؤلف جيمس جليك مساحة الطور بأنها، ". 244 -00:19:40,094 --> 00:19:49,070 +00:19:43,441 --> 00:19:54,270 . . أحد أقوى اختراعات العلم الحديث. 245 -00:19:49,070 --> 00:19:52,804 +00:19:54,270 --> 00:19:57,984 أحد أسباب قوتها هو أنه يمكنك طرح الأسئلة ليس فقط حول 246 -00:19:52,804 --> 00:19:56,750 +00:19:57,984 --> 00:20:01,910 شرط أولي واحد ولكن حول مجموعة كاملة من الحالات الأولية. 247 -00:19:57,310 --> 00:20:02,435 +00:20:02,770 --> 00:20:07,321 إن جمع كل المسارات الممكنة يشبه السائل المتحرك، لذلك نسميه تدفق الطور. 248 -00:20:02,435 --> 00:20:08,210 +00:20:07,321 --> 00:20:12,450 "لأخذ مثال واحد على سبب كون تدفق الطور فكرة مثمرة، فكر في مسألة الاستقرار. 249 -00:20:08,210 --> 00:20:12,744 +00:20:12,450 --> 00:20:18,224 أصل الفضاء يتوافق مع ثبات البندول، وكذلك هذه النقطة هنا، والتي 250 -00:20:12,744 --> 00:20:17,350 +00:20:18,224 --> 00:20:24,090 تمثل الوقت الذي يكون فيه البندول متوازنًا تمامًا في وضع مستقيم. 251 -00:20:17,350 --> 00:20:20,113 +00:20:24,090 --> 00:20:27,173 هذه هي ما يسمى بالنقاط الثابتة لنظامنا، والسؤال 252 -00:20:20,113 --> 00:20:23,050 +00:20:27,173 --> 00:20:30,450 الطبيعي الذي يجب طرحه هو ما إذا كانت مستقرة أم لا. 253 -00:20:23,530 --> 00:20:27,090 +00:20:30,450 --> 00:20:31,108 بمعنى، هل ستؤدي الدفعات الصغيرة للنظام إلى حالة تميل 254 -00:20:27,090 --> 00:20:30,450 +00:20:31,108 --> 00:20:31,730 إلى الخلف نحو تلك النقطة الثابتة، أو بعيدًا عنها؟ 255 -00:20:30,450 --> 00:20:37,757 +00:20:32,090 --> 00:20:35,468 الحدس الفيزيائي للبندول يجعل الإجابة هنا واضحة نوعًا ما، لكن كيف تفكر في الاستقرار 256 -00:20:37,757 --> 00:20:45,330 +00:20:35,468 --> 00:20:38,970 بمجرد النظر إلى المعادلات، على سبيل المثال إذا نشأت في سياق مختلف تمامًا وأقل بديهية؟ 257 -00:20:45,330 --> 00:20:50,017 +00:20:39,350 --> 00:20:44,645 سنتعرف على كيفية حساب الإجابات على أسئلة مثل هذه في مقاطع الفيديو التالية، ويتم 258 -00:20:50,017 --> 00:20:54,529 +00:20:44,645 --> 00:20:49,743 توجيه الحدس الخاص بالحسابات ذات الصلة بشكل كبير من خلال فكرة النظر إلى مناطق 259 -00:20:54,529 --> 00:20:59,510 +00:20:49,743 --> 00:20:55,370 صغيرة في الفضاء حول نقطة ثابتة، والسؤال عما إذا كان التدفق يميل إلى العقد أو التوسع. 260 -00:20:59,510 --> 00:21:02,810 +00:20:55,370 --> 00:21:00,390 وبالحديث عن الجاذبية والاستقرار، فلنأخذ خطوة جانبية قصيرة للحديث عن الحب. 261 -00:21:02,810 --> 00:21:08,955 +00:21:00,390 --> 00:21:06,032 اقتباس ستروجاتز الذي ذكرته سابقًا يأتي من عمود غريب الأطوار في صحيفة نيويورك تايمز حول 262 -00:21:08,955 --> 00:21:15,030 +00:21:06,032 --> 00:21:11,610 رياضيات نمذجة المودة، وهو مثال يستحق السرقة لتوضيح أننا لا نتحدث فقط عن الفيزياء هنا. 263 -00:21:15,030 --> 00:21:22,638 +00:21:11,610 --> 00:21:20,339 تخيل أنك كنت تغازل شخصًا ما، ولكن كان هناك بعض التناقض المحبط في مدى ظهور عاطفتك 264 -00:21:22,638 --> 00:21:30,434 +00:21:20,339 --> 00:21:29,284 المتبادلة، وربما خلال لحظة عندما تحول انتباهك نحو الفيزياء لإبعاد عقلك عن الاضطراب 265 -00:21:30,434 --> 00:21:38,230 +00:21:29,284 --> 00:21:38,230 الرومانسي، والتفكير في معادلات البندول المحطمة ، لقد فهمت فجأة ديناميكيات مغازلةك. 266 -00:21:38,230 --> 00:21:42,233 +00:21:38,230 --> 00:21:41,167 لقد لاحظت أن عاطفتك تميل إلى الزيادة عندما يبدو 267 -00:21:42,233 --> 00:21:46,570 +00:21:41,167 --> 00:21:44,350 شريكك مهتمًا بك، ولكنه ينخفض عندما يبدو أكثر برودة. 268 -00:21:46,570 --> 00:21:50,910 +00:21:46,450 --> 00:21:49,290 أي أن معدل التغير في حبك يتناسب مع مشاعرهم تجاهك. 269 -00:21:50,910 --> 00:21:55,742 +00:21:49,290 --> 00:21:50,965 لكن حبيبتك هذه هي العكس تمامًا، فهي تنجذب إليك بشكل غريب 270 -00:21:55,742 --> 00:22:00,830 +00:21:50,965 --> 00:21:52,730 عندما تبدو غير مهتم، ولكنها تنطفئ عندما تبدو حريصًا للغاية. 271 -00:22:00,830 --> 00:22:07,150 +00:21:52,730 --> 00:22:00,690 يبدو فضاء الطور لهذه المعادلات مشابهًا جدًا للجزء الأوسط من مخطط البندول. 272 -00:22:07,150 --> 00:22:12,550 +00:22:00,690 --> 00:22:09,910 سوف يتنقل كلاكما ذهابًا وإيابًا بين المودة والنفور في دورة لا نهاية لها. 273 -00:22:12,550 --> 00:22:17,830 +00:22:09,910 --> 00:22:13,070 إن استعارة تأرجح البندول في مشاعرك لن تكون مناسبة فحسب، بل يمكن التحقق منها رياضيًا. 274 -00:22:17,830 --> 00:22:23,224 +00:22:13,070 --> 00:22:19,086 في الواقع، إذا كانت مشاعر شريكك تتباطأ أكثر عندما يشعر بأنه أيضًا واقع في 275 -00:22:23,224 --> 00:22:28,619 +00:22:19,086 --> 00:22:25,102 الحب، دعنا نقول بسبب الخوف من أن يصبح عرضة للخطر، سيكون لدينا مصطلح يطابق 276 -00:22:28,619 --> 00:22:34,670 +00:22:25,102 --> 00:22:31,850 الاحتكاك في البندول، وستكون أنت أيضًا مقدرًا لـ دوامة داخلية نحو التناقض المتبادل. 277 -00:22:34,670 --> 00:22:34,890 +00:22:31,850 --> 00:22:34,890 أسمع أجراس الزفاف بالفعل. 278 -00:22:34,890 --> 00:22:39,530 +00:22:34,890 --> 00:22:37,783 النقطة المهمة هي أن هناك قانونين مختلفين تمامًا للديناميكيات، أحدهما من 279 -00:22:39,530 --> 00:22:44,298 +00:22:37,783 --> 00:22:40,757 الفيزياء، يتضمن متغيرًا واحدًا، والآخر من الكيمياء، مع متغيرين، في الواقع 280 -00:22:44,298 --> 00:22:48,810 +00:22:40,757 --> 00:22:43,570 لهما بنية متشابهة جدًا، يسهل التعرف عليها عندما تنظر إلى منحنى الطور. 281 -00:22:48,810 --> 00:22:54,781 +00:22:43,570 --> 00:22:48,974 وعلى وجه الخصوص، على الرغم من اختلاف المعادلات، على سبيل المثال لا توجد دالة 282 -00:22:54,781 --> 00:23:00,830 +00:22:48,974 --> 00:22:54,450 جيبية في المعادلات الرومانسية، إلا أن مساحة الطور تكشف عن تشابه أساسي مع ذلك. 283 -00:23:01,130 --> 00:23:04,910 +00:22:54,450 --> 00:22:57,639 بمعنى آخر، أنت لا تدرس البندول فقط في الوقت الحالي، بل إن التكتيكات التي 284 -00:23:04,910 --> 00:23:08,690 +00:22:57,639 --> 00:23:00,830 تطورها لدراسة حالة واحدة تميل إلى الانتقال إلى العديد من الحالات الأخرى. 285 -00:23:08,690 --> 00:23:12,459 +00:23:01,130 --> 00:23:02,624 حسنًا، تعد المخططات المرحلية طريقة رائعة لبناء 286 -00:23:12,459 --> 00:23:16,310 +00:23:02,624 --> 00:23:04,150 الفهم، ولكن ماذا عن حساب إجابة المعادلة فعليًا؟ 287 -00:23:16,310 --> 00:23:20,912 +00:23:05,110 --> 00:23:09,440 إحدى الطرق للقيام بذلك هي محاكاة ما سيفعله الكون، ولكن باستخدام خطوات 288 -00:23:20,912 --> 00:23:25,450 +00:23:09,440 --> 00:23:13,710 زمنية محدودة بدلاً من الصغر والحدود التي تحدد حساب التفاضل والتكامل. 289 -00:23:25,450 --> 00:23:29,214 +00:23:14,430 --> 00:23:18,421 الفكرة الأساسية هي أنه إذا كنت في مرحلة ما من مخطط المرحلة هذا، 290 -00:23:29,214 --> 00:23:33,390 +00:23:18,421 --> 00:23:22,850 فاتخذ خطوة بناءً على المتجه الذي تجلس عليه لخطوة زمنية صغيرة، دلتا تي. 291 -00:23:33,390 --> 00:23:38,310 +00:23:22,850 --> 00:23:26,990 على وجه التحديد، اتخذ خطوة تساوي دلتا t مضروبة في ذلك المتجه. 292 -00:23:38,310 --> 00:23:47,330 +00:23:27,850 --> 00:23:33,750 للتذكير، عند رسم حقول المتجهات هذه، تم تصغير حجم كل متجه بشكل مصطنع لمنع الفوضى. 293 -00:23:47,330 --> 00:23:50,447 +00:23:34,910 --> 00:23:38,768 عند القيام بذلك بشكل متكرر، سيكون موقعك النهائي 294 -00:23:50,447 --> 00:23:54,150 +00:23:38,768 --> 00:23:43,350 تقريبيًا لثيتا t، حيث t هو مجموع كل تلك الخطوات الزمنية. 295 -00:23:54,150 --> 00:24:00,456 +00:23:44,330 --> 00:23:47,989 إذا فكرت في ما يتم عرضه الآن، وما قد يعنيه ذلك بالنسبة لحركة 296 -00:24:00,456 --> 00:24:06,970 +00:23:47,989 --> 00:23:51,770 البندول، فمن المحتمل أن توافق على أن هذا غير دقيق إلى حد كبير. 297 -00:24:06,970 --> 00:24:12,050 +00:23:52,210 --> 00:23:56,710 ولكن هذا فقط لأن الخطوة الزمنية دلتا t تساوي 0.5 هو وسيلة كبيرة جدا. 298 -00:24:12,050 --> 00:24:15,407 +00:23:57,210 --> 00:24:01,085 إذا رفضناه، قل لـ 0.01، يمكنك الحصول على تقريب 299 -00:24:15,407 --> 00:24:19,050 +00:24:01,085 --> 00:24:05,290 أكثر دقة، فالأمر يتطلب المزيد من الخطوات المتكررة. 300 -00:24:19,590 --> 00:24:21,630 +00:24:05,870 --> 00:24:10,570 في هذه الحالة، حساب ثيتا 10 يتطلب 1000 خطوة صغيرة. 301 -00:24:21,630 --> 00:24:26,281 +00:24:11,350 --> 00:24:15,311 لحسن الحظ، نحن نعيش في عالم به أجهزة كمبيوتر، لذا فإن تكرار مهمة بسيطة 302 -00:24:26,281 --> 00:24:30,670 +00:24:15,311 --> 00:24:19,050 1000 مرة يعد أمرًا بسيطًا مثل صياغة تلك المهمة باستخدام لغة برمجة. 303 -00:24:30,670 --> 00:24:36,750 +00:24:19,590 --> 00:24:24,650 في الواقع، دعونا ننهي الأمور بكتابة برنامج صغير بلغة بايثون يحسب لنا ثيتا. 304 -00:24:36,750 --> 00:24:40,941 +00:24:25,270 --> 00:24:29,159 ما يجب عليه فعله هو الاستفادة من المعادلة التفاضلية، 305 -00:24:40,941 --> 00:24:45,370 +00:24:29,159 --> 00:24:33,270 التي تُرجع المشتق الثاني لثيتا، كدالة لثيتا ونقطة ثيتا. 306 -00:24:45,370 --> 00:24:54,430 +00:24:34,230 --> 00:24:39,950 عليك أن تبدأ بتحديد متغيرين، ثيتا وثيتا دوت، كل منهما من حيث بعض الشروط الأولية. 307 -00:24:54,430 --> 00:25:02,790 +00:24:40,590 --> 00:24:46,390 في هذه الحالة، سأجعل ثيتا تبدأ عند باي ثلث، وهي 60 درجة، ونقطة ثيتا تبدأ عند 0. 308 -00:25:02,790 --> 00:25:07,168 +00:24:47,050 --> 00:24:52,580 بعد ذلك، اكتب حلقة تتوافق مع اتخاذ العديد من الخطوات الزمنية الصغيرة 309 -00:25:07,168 --> 00:25:11,230 +00:24:52,580 --> 00:24:57,710 بين 0 والوقت t، كل منها بحجم دلتا t، والذي أضعه هنا ليكون 0.01. 310 -00:25:11,910 --> 00:25:15,622 +00:24:58,570 --> 00:25:02,921 في كل خطوة من هذه الحلقة، قم بزيادة ثيتا بمقدار نقطة ثيتا في دلتا 311 -00:25:15,622 --> 00:25:19,166 +00:25:02,921 --> 00:25:07,075 تي، وقم بزيادة نقطة ثيتا بمقدار نقطة ثيتا المزدوجة في دلتا تي، 312 -00:25:19,166 --> 00:25:22,710 +00:25:07,075 --> 00:25:11,230 حيث يمكن حساب نقطة ثيتا المزدوجة بناءً على المعادلة التفاضلية. 313 -00:25:22,710 --> 00:25:25,930 +00:25:11,910 --> 00:25:15,650 بعد كل هذه الخطوات الزمنية الصغيرة، ما عليك سوى إرجاع قيمة ثيتا. 314 -00:25:25,930 --> 00:25:31,290 +00:25:16,690 --> 00:25:19,410 وهذا ما يسمى حل المعادلة التفاضلية عدديا. 315 -00:25:31,290 --> 00:25:35,181 +00:25:20,050 --> 00:25:24,151 يمكن للطرق الرقمية أن تصبح أكثر تطورًا وتعقيدًا من ذلك لتحقيق 316 -00:25:35,181 --> 00:25:39,450 +00:25:24,151 --> 00:25:28,650 توازن أفضل بين الدقة والكفاءة، لكن هذه الحلقة تعطي الفكرة الأساسية. 317 -00:25:39,450 --> 00:25:43,345 +00:25:30,530 --> 00:25:34,464 لذلك، على الرغم من أنه من المؤسف أننا لا نستطيع دائمًا العثور على حلول دقيقة، 318 -00:25:43,345 --> 00:25:47,290 +00:25:34,464 --> 00:25:38,450 إلا أنه لا تزال هناك طرق مفيدة لدراسة المعادلات التفاضلية في مواجهة هذا العجز. 319 -00:25:47,290 --> 00:25:52,054 +00:25:38,790 --> 00:25:43,056 في مقاطع الفيديو التالية، سنلقي نظرة على عدة طرق للعثور على حلول دقيقة عندما 320 -00:25:52,054 --> 00:25:56,756 +00:25:43,056 --> 00:25:47,266 يكون ذلك ممكنًا، ولكن أحد الموضوعات التي أود التركيز عليها هو كيف يمكن لهذه 321 -00:25:56,756 --> 00:26:01,830 +00:25:47,266 --> 00:25:51,810 الحلول الدقيقة أن تساعدنا أيضًا في دراسة الحالات الأكثر عمومية وغير القابلة للحل. 322 -00:26:01,830 --> 00:26:03,150 +00:25:52,790 --> 00:25:54,050 لكن الأمر يزداد سوءا. 323 -00:26:03,150 --> 00:26:07,808 +00:25:54,690 --> 00:25:59,084 مثلما أن هناك حدودًا للمدى الذي يمكن أن تصلنا إليه الحلول التحليلية الدقيقة، 324 -00:26:07,808 --> 00:26:12,588 +00:25:59,084 --> 00:26:03,593 فقد كشفت إحدى المجالات العظيمة التي ظهرت في القرن الماضي، وهي نظرية الفوضى، أن 325 -00:26:12,588 --> 00:26:17,610 +00:26:03,593 --> 00:26:08,330 هناك حدودًا أخرى لمدى قدرتنا على استخدام هذه الأنظمة للتنبؤ باستخدام أو بدون حلول. 326 -00:26:17,990 --> 00:26:24,245 +00:26:09,210 --> 00:26:14,738 على وجه التحديد، نحن نعلم أنه بالنسبة لبعض الأنظمة، تؤدي الاختلافات الصغيرة في الظروف 327 -00:26:24,245 --> 00:26:30,210 +00:26:14,738 --> 00:26:20,010 الأولية، مثل النوع الناتج عن قياسات غير كاملة بالضرورة، إلى مسارات مختلفة تمامًا. 328 -00:26:30,210 --> 00:26:34,150 +00:26:20,530 --> 00:26:23,270 لقد بنينا بعض الفهم الجيد لسبب حدوث ذلك. 329 -00:26:34,150 --> 00:26:37,570 +00:26:23,830 --> 00:26:28,270 على سبيل المثال، من المعروف أن مشكلة الأجسام الثلاثة تحتوي على بذور الفوضى بداخلها. 330 -00:26:37,570 --> 00:26:41,632 +00:26:28,870 --> 00:26:32,683 لذا، بالنظر إلى الاقتباس السابق، يبدو من القسوة تقريبًا أن يملأ 331 -00:26:41,632 --> 00:26:45,567 +00:26:32,683 --> 00:26:36,376 الكون لغته بالألغاز التي إما أننا لا نستطيع حلها، أو حيث نعلم 332 -00:26:45,567 --> 00:26:49,630 +00:26:36,376 --> 00:26:40,190 أن أي حل سيكون عديم الفائدة للتنبؤ على المدى الطويل على أي حال. 333 -00:26:49,630 --> 00:26:51,430 +00:26:40,670 --> 00:26:44,350 إنه أمر قاس، ولكن مرة أخرى ينبغي أن يكون مطمئنًا أيضًا. 334 -00:26:51,430 --> 00:26:52,522 +00:26:45,010 --> 00:26:49,292 إنه يعطي بعض الأمل في أن التعقيد الذي نراه في العالم من حولنا يمكن دراسته في 335 -00:26:52,522 --> 00:26:53,630 +00:26:49,292 --> 00:26:53,630 مكان ما في هذه الرياضيات، وأنه ليس مخفيًا في عدم التطابق بين النموذج والواقع. diff --git a/2019/differential-equations/english/captions.srt b/2019/differential-equations/english/captions.srt index 0cee5e892..93a113e98 100644 --- a/2019/differential-equations/english/captions.srt +++ b/2019/differential-equations/english/captions.srt @@ -1183,167 +1183,167 @@ that it took humanity quite a while to really embrace thinking of dynamics spatially like this, especially when the dimensions get very large. 297 -00:19:23,890 --> 00:19:31,936 +00:19:23,890 --> 00:19:28,105 In his book Chaos, the author James Glick describes phase space as, 298 -00:19:31,936 --> 00:19:38,681 +00:19:28,105 --> 00:19:31,639 "One of the most powerful inventions of modern science". 299 -00:19:38,681 --> 00:19:45,189 +00:19:31,639 --> 00:19:35,049 One reason its powerful is that you can ask questions, 300 -00:19:45,189 --> 00:19:55,602 +00:19:35,049 --> 00:19:40,504 not just about a single initial condition but about a whole spectrum of initial states. 301 -00:19:55,602 --> 00:20:04,831 +00:19:40,504 --> 00:19:45,340 The collection of all possible trajectories is reminiscent of a moving fluid. 302 -00:20:04,831 --> 00:20:07,790 +00:19:45,340 --> 00:19:46,890 So we call it phase flow. 303 -00:20:07,790 --> 00:20:10,696 +00:19:46,890 --> 00:19:50,095 To take one example of why phase flow is a fruitful idea, 304 -00:20:10,696 --> 00:20:12,450 +00:19:50,095 --> 00:19:52,030 consider the question of stability. 305 -00:20:12,450 --> 00:20:17,305 +00:19:52,910 --> 00:19:56,664 The origin of our space corresponds to the pendulum standing still, 306 -00:20:17,305 --> 00:20:22,876 +00:19:56,664 --> 00:20:00,971 and so does this point over here, representing when the pendulum is perfectly 307 -00:20:22,876 --> 00:20:24,090 +00:20:00,971 --> 00:20:01,910 balanced upright. 308 -00:20:24,090 --> 00:20:25,787 +00:20:02,770 --> 00:20:05,618 These are the so-called fixed points of our system, 309 -00:20:25,787 --> 00:20:28,236 +00:20:05,618 --> 00:20:09,727 and one natural question to ask is whether or not they're stable, that is, 310 -00:20:28,236 --> 00:20:30,783 +00:20:09,727 --> 00:20:14,001 will tiny nudges to the system result in a state that tends back towards that 311 -00:20:30,783 --> 00:20:31,730 +00:20:14,001 --> 00:20:15,590 fixed point, or away from it? 312 -00:20:32,090 --> 00:20:38,027 +00:20:16,150 --> 00:20:19,941 Physical intuition for the pendulum makes the answer here kind of obvious, 313 -00:20:38,027 --> 00:20:43,648 +00:20:19,941 --> 00:20:23,531 but how would you think about stability just looking at the equations, 314 -00:20:43,648 --> 00:20:49,190 +00:20:23,531 --> 00:20:27,070 say if they arose in some completely different less intuitive context? 315 -00:20:49,190 --> 00:20:52,348 +00:20:28,050 --> 00:20:32,444 We'll go over how to compute the answers to questions like this in following videos, 316 -00:20:52,348 --> 00:20:54,950 +00:20:32,444 --> 00:20:36,063 and the intuition for the relevant computations are guided heavily by 317 -00:20:54,950 --> 00:20:57,588 +00:20:36,063 --> 00:20:39,734 the thought of looking at small regions in space around a fixed point, 318 -00:20:57,588 --> 00:20:59,670 +00:20:39,734 --> 00:20:42,630 and asking whether the flow tends to contract or expand. 319 -00:20:59,670 --> 00:21:00,390 +00:20:44,810 --> 00:20:49,730 And speaking of attraction and stability, let's take a brief side-step to talk about love. 320 -00:21:00,390 --> 00:21:04,113 +00:20:50,570 --> 00:20:54,094 The Strogatz quote that I mentioned earlier comes from a whimsical column in 321 -00:21:04,113 --> 00:21:07,112 +00:20:54,094 --> 00:20:56,932 the New York Times on the mathematics of modelling affection, 322 -00:21:07,112 --> 00:21:10,691 +00:20:56,932 --> 00:21:00,320 an example well worth pilfering to illustrate that we're not just talking 323 -00:21:10,691 --> 00:21:11,610 +00:21:00,320 --> 00:21:01,190 about physics here. 324 -00:21:11,610 --> 00:21:17,210 +00:21:01,550 --> 00:21:05,320 Imagine you've been flirting with someone, but there's been some frustrating 325 -00:21:17,210 --> 00:21:20,846 +00:21:05,320 --> 00:21:07,768 inconsistency to how mutual your affection seems, 326 -00:21:20,846 --> 00:21:26,156 +00:21:07,768 --> 00:21:11,342 and perhaps during a moment when you turn your attention towards physics 327 -00:21:26,156 --> 00:21:31,320 +00:21:11,342 --> 00:21:14,818 to keep your mind off the romantic turmoil, mulling over the broken-up 328 -00:21:31,320 --> 00:21:36,848 +00:21:14,818 --> 00:21:18,539 pendulum equations, you suddenly understand the on-again-off-again dynamics 329 -00:21:36,848 --> 00:21:38,230 +00:21:18,539 --> 00:21:19,470 of your flirtation. 330 -00:21:38,230 --> 00:21:41,222 +00:21:19,890 --> 00:21:24,232 You've noticed that your own affection tends to increase when your 331 -00:21:41,222 --> 00:21:44,350 +00:21:24,232 --> 00:21:28,770 companion seems interested in you, but decrease when they seem colder. 332 -00:21:46,450 --> 00:21:44,350 +00:21:29,910 --> 00:21:35,190 That is, the rate of change for your love is proportional to their feelings for you. 333 -00:21:46,450 --> 00:21:47,667 +00:21:35,810 --> 00:21:39,019 But this sweetheart of yours is precisely the opposite, 334 -00:21:47,667 --> 00:21:48,863 +00:21:39,019 --> 00:21:42,172 strangely attracted to you when you seem uninterested, 335 -00:21:48,863 --> 00:21:49,690 +00:21:42,172 --> 00:21:44,350 but turned off once you seem too keen. 336 -00:21:49,690 --> 00:21:50,506 +00:21:46,450 --> 00:21:48,804 The phase space for these equations looks very 337 -00:21:50,506 --> 00:21:51,410 +00:21:48,804 --> 00:21:51,410 similar to the center part of your pendulum diagram. 338 diff --git a/2019/differential-equations/german/auto_generated.srt b/2019/differential-equations/german/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..ad69bcb14 --- /dev/null +++ b/2019/differential-equations/german/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,1852 @@ +1 +00:00:03,500 --> 00:00:05,837 +Um ein Zitat von Stephen Strogatz aufzugreifen: + +2 +00:00:05,837 --> 00:00:08,807 +Seit Newton hat die Menschheit erkannt, dass die Gesetze der + +3 +00:00:08,807 --> 00:00:12,460 +Physik immer in der Sprache der Differentialgleichungen ausgedrückt werden. + +4 +00:00:13,160 --> 00:00:17,022 +Natürlich wird diese Sprache auch jenseits der Grenzen der Physik gesprochen, + +5 +00:00:17,022 --> 00:00:21,480 +und wenn du sie sprechen und lesen kannst, bekommt die Welt um dich herum eine neue Farbe. + +6 +00:00:22,180 --> 00:00:25,400 +In den nächsten Videos möchte ich eine Art Rundgang durch dieses Thema machen. + +7 +00:00:25,840 --> 00:00:28,286 +Das Ziel ist es, einen Überblick darüber zu geben, + +8 +00:00:28,286 --> 00:00:32,268 +worum es bei diesem Stück Mathematik geht, und gleichzeitig die Details bestimmter + +9 +00:00:32,268 --> 00:00:34,380 +Beispiele zu vertiefen, wenn sie auftauchen. + +10 +00:00:35,060 --> 00:00:38,004 +Ich gehe davon aus, dass du die Grundlagen der Infinitesimalrechnung kennst, z. + +11 +00:00:38,004 --> 00:00:40,912 +B. was Ableitungen und Integrale sind, und in den späteren Videos brauchen wir + +12 +00:00:40,912 --> 00:00:43,820 +ein paar Grundlagen der linearen Algebra, aber nicht allzu viel darüber hinaus. + +13 +00:00:44,600 --> 00:00:47,406 +Differentialgleichungen entstehen immer dann, wenn es einfacher ist, + +14 +00:00:47,406 --> 00:00:49,440 +Veränderungen zu beschreiben als absolute Beträge. + +15 +00:00:49,440 --> 00:00:53,745 +Es ist einfacher zu sagen, warum zum Beispiel die Bevölkerungszahlen wachsen oder + +16 +00:00:53,745 --> 00:00:58,365 +schrumpfen, als zu beschreiben, warum sie zu einem bestimmten Zeitpunkt bestimmte Werte + +17 +00:00:58,365 --> 00:00:58,680 +haben. + +18 +00:00:59,500 --> 00:01:02,760 +Es ist vielleicht einfacher zu beschreiben, warum sich deine Liebe zu jemandem verändert, + +19 +00:01:02,760 --> 00:01:04,680 +als zu erklären, warum sie gerade da ist, wo sie ist. + +20 +00:01:05,180 --> 00:01:08,152 +In der Physik, genauer gesagt in der Newtonschen Mechanik, + +21 +00:01:08,152 --> 00:01:12,384 +wird Bewegung oft als Kraft beschrieben, und die Kraft bestimmt die Beschleunigung, + +22 +00:01:12,384 --> 00:01:14,500 +die eine Aussage über die Veränderung ist. + +23 +00:01:15,160 --> 00:01:19,386 +Es gibt zwei Arten von Gleichungen: gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs), + +24 +00:01:19,386 --> 00:01:22,610 +die sich auf Funktionen mit einer einzigen Eingabe beziehen, + +25 +00:01:22,610 --> 00:01:26,836 +die oft als Zeit bezeichnet wird, und partielle Differentialgleichungen (PDEs), + +26 +00:01:26,836 --> 00:01:30,060 +die sich mit Funktionen befassen, die mehrere Eingaben haben. + +27 +00:01:30,800 --> 00:01:34,600 +Partielle Differentialgleichungen werden wir uns im nächsten Video genauer ansehen. + +28 +00:01:35,140 --> 00:01:38,347 +Man stellt sie sich oft als ein ganzes Kontinuum von Werten vor, + +29 +00:01:38,347 --> 00:01:41,802 +die sich mit der Zeit ändern, wie die Temperatur an jedem Punkt eines + +30 +00:01:41,802 --> 00:01:45,800 +festen Körpers oder die Geschwindigkeit einer Flüssigkeit an jedem Punkt im Raum. + +31 +00:01:46,600 --> 00:01:49,648 +Gewöhnliche Differentialgleichungen, auf die wir uns jetzt konzentrieren, + +32 +00:01:49,648 --> 00:01:52,820 +beinhalten nur eine endliche Anzahl von Werten, die sich mit der Zeit ändern. + +33 +00:01:53,520 --> 00:01:56,700 +Und es muss nicht unbedingt die Zeit sein, deine eine unabhängige Variable + +34 +00:01:56,700 --> 00:01:59,881 +kann auch etwas anderes sein, aber Dinge, die sich mit der Zeit verändern, + +35 +00:01:59,881 --> 00:02:03,020 +sind das prototypische und häufigste Beispiel für Differentialgleichungen. + +36 +00:02:04,020 --> 00:02:06,332 +Die Physik bietet uns hier eine schöne Spielwiese, + +37 +00:02:06,332 --> 00:02:10,275 +mit einfachen Beispielen für den Anfang, und keinen Mangel an Komplexität und Nuancen, + +38 +00:02:10,275 --> 00:02:11,500 +wenn wir tiefer eindringen. + +39 +00:02:13,260 --> 00:02:17,360 +Zum Aufwärmen kannst du dir die Flugbahn eines Wurfs überlegen, den du in die Luft wirfst. + +40 +00:02:17,880 --> 00:02:21,259 +Die Schwerkraft in der Nähe der Erdoberfläche bewirkt, + +41 +00:02:21,259 --> 00:02:25,500 +dass Dinge mit 9,8 Metern pro Sekunde nach unten beschleunigt werden. + +42 +00:02:26,260 --> 00:02:28,060 +Packe jetzt aus, was das wirklich bedeutet. + +43 +00:02:28,500 --> 00:02:32,831 +Das bedeutet, wenn du das Objekt frei von anderen Kräften betrachtest und + +44 +00:02:32,831 --> 00:02:35,933 +seine Geschwindigkeit in jeder Sekunde aufzeichnest, + +45 +00:02:35,933 --> 00:02:40,439 +erhalten diese Geschwindigkeitsvektoren jede Sekunde eine zusätzliche kleine + +46 +00:02:40,439 --> 00:02:44,653 +Abwärtskomponente von 9,8 Metern pro Sekunde, die wir als 9,8 g für die + +47 +00:02:44,653 --> 00:02:46,000 +Schwerkraft bezeichnen. + +48 +00:02:47,240 --> 00:02:50,447 +Das reicht aus, um uns ein Beispiel für eine Differentialgleichung zu geben, + +49 +00:02:50,447 --> 00:02:51,780 +wenn auch eine relativ einfache. + +50 +00:02:52,260 --> 00:02:55,120 +Konzentriere dich auf die y-Koordinate als Funktion der Zeit. + +51 +00:02:57,280 --> 00:03:01,954 +Ihre Ableitung ergibt die vertikale Komponente der Geschwindigkeit, + +52 +00:03:01,954 --> 00:03:07,180 +deren Ableitung wiederum die vertikale Komponente der Beschleunigung ergibt. + +53 +00:03:10,040 --> 00:03:12,778 +Der Kompaktheit halber schreiben wir die erste Ableitung + +54 +00:03:12,778 --> 00:03:15,420 +als y-Punkt und die zweite Ableitung als y-Doppelpunkt. + +55 +00:03:15,980 --> 00:03:19,903 +Unsere Gleichung besagt, dass y-Doppelpunkt gleich dem negativen g ist, + +56 +00:03:19,903 --> 00:03:21,320 +einer einfachen Konstante. + +57 +00:03:22,100 --> 00:03:24,788 +Diese Frage können wir lösen, indem wir sie integrieren, + +58 +00:03:24,788 --> 00:03:26,580 +d.h. wir arbeiten die Frage rückwärts. + +59 +00:03:27,320 --> 00:03:29,994 +Um die Geschwindigkeit zu bestimmen, fragst du zunächst: + +60 +00:03:29,994 --> 00:03:32,340 +Welche Funktion hat eine negative Ableitung von g? + +61 +00:03:32,340 --> 00:03:36,296 +Nun, es ist negatives g mal t, oder genauer gesagt, + +62 +00:03:36,296 --> 00:03:39,720 +negatives gt plus die Anfangsgeschwindigkeit. + +63 +00:03:40,300 --> 00:03:43,300 +Beachte, dass es viele Funktionen mit dieser speziellen Ableitung gibt, + +64 +00:03:43,300 --> 00:03:45,342 +sodass du einen zusätzlichen Freiheitsgrad hast, + +65 +00:03:45,342 --> 00:03:47,260 +der durch eine Anfangsbedingung bestimmt wird. + +66 +00:03:48,360 --> 00:03:50,860 +Welche Funktion hat nun diese Ableitung? + +67 +00:03:51,920 --> 00:03:55,310 +Es stellt sich heraus, dass es sich um die negative Hälfte von g mal + +68 +00:03:55,310 --> 00:03:58,259 +t im Quadrat plus die Anfangsgeschwindigkeit mal t handelt. + +69 +00:03:58,259 --> 00:04:01,207 +Auch hier können wir eine zusätzliche Konstante hinzufügen, + +70 +00:04:01,207 --> 00:04:04,402 +ohne die Ableitung zu ändern, und diese Konstante wird durch die + +71 +00:04:04,402 --> 00:04:05,680 +Ausgangsposition bestimmt. + +72 +00:04:06,340 --> 00:04:10,064 +Und schon haben wir eine Differentialgleichung gelöst, indem wir herausgefunden haben, + +73 +00:04:10,064 --> 00:04:13,360 +was eine Funktion ist, die auf Informationen über ihre Änderungsrate basiert. + +74 +00:04:14,220 --> 00:04:17,571 +Noch interessanter wird es, wenn die Kräfte, die auf einen Körper wirken, + +75 +00:04:17,571 --> 00:04:19,700 +davon abhängen, wo sich dieser Körper befindet. + +76 +00:04:20,300 --> 00:04:23,393 +Wenn du zum Beispiel die Bewegung von Planeten, Sternen und Monden untersuchst, + +77 +00:04:23,393 --> 00:04:25,830 +kann die Schwerkraft nicht mehr als Konstante angesehen werden. + +78 +00:04:26,510 --> 00:04:30,742 +Bei zwei Körpern liegt der Pol auf einem von ihnen in Richtung des anderen, + +79 +00:04:30,742 --> 00:04:35,253 +mit einer Stärke, die umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung zwischen + +80 +00:04:35,253 --> 00:04:35,810 +ihnen ist. + +81 +00:04:37,110 --> 00:04:40,500 +Wie immer ist die Änderungsrate der Position die Geschwindigkeit, + +82 +00:04:40,500 --> 00:04:44,301 +aber jetzt ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit, die Beschleunigung, + +83 +00:04:44,301 --> 00:04:48,462 +eine Funktion der Position, sodass du diesen Tanz zwischen zwei sich gegenseitig + +84 +00:04:48,462 --> 00:04:52,777 +beeinflussenden Variablen hast, der an den Tanz zwischen den beiden sich bewegenden + +85 +00:04:52,777 --> 00:04:54,730 +Körpern erinnert, den sie beschreiben. + +86 +00:04:58,330 --> 00:05:03,190 +Dies spiegelt die Tatsache wider, dass es bei Differentialgleichungen oft darum geht, + +87 +00:05:03,190 --> 00:05:06,920 +eine Funktion zu finden, deren Ableitung oder Ableitungen höherer + +88 +00:05:06,920 --> 00:05:09,690 +Ordnung durch die Funktion selbst definiert sind. + +89 +00:05:10,490 --> 00:05:14,275 +In der Physik arbeitet man meistens mit Differentialgleichungen zweiter Ordnung, + +90 +00:05:14,275 --> 00:05:17,874 +was bedeutet, dass die höchste Ableitung, die du in diesem Ausdruck findest, + +91 +00:05:17,874 --> 00:05:19,090 +eine zweite Ableitung ist. + +92 +00:05:19,850 --> 00:05:22,808 +Bei Differentialgleichungen höherer Ordnung handelt es sich um solche, + +93 +00:05:22,808 --> 00:05:25,934 +bei denen es um dritte Ableitungen, vierte Ableitungen und so weiter geht, + +94 +00:05:25,934 --> 00:05:27,810 +also um Rätsel mit komplizierteren Hinweisen. + +95 +00:05:28,830 --> 00:05:31,693 +Wenn du wirklich über eine dieser Gleichungen nachdenkst, + +96 +00:05:31,693 --> 00:05:35,150 +hast du das Gefühl, ein unendliches, kontinuierliches Puzzle zu lösen. + +97 +00:05:35,770 --> 00:05:40,356 +In gewisser Weise musst du unendlich viele Zahlen finden, eine für jeden Zeitpunkt t, + +98 +00:05:40,356 --> 00:05:44,036 +aber sie sind durch eine ganz bestimmte Art und Weise eingeschränkt, + +99 +00:05:44,036 --> 00:05:48,303 +in der diese Werte mit ihrer eigenen Änderungsrate und der Änderungsrate dieser + +100 +00:05:48,303 --> 00:05:49,850 +Änderungsrate zusammenhängen. + +101 +00:05:50,570 --> 00:05:53,225 +Um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie das Studium dieser Themen aussehen kann, + +102 +00:05:53,225 --> 00:05:55,301 +möchte ich, dass du dir etwas Zeit nimmst, um dich mit einem + +103 +00:05:55,301 --> 00:05:57,310 +täuschend einfachen Beispiel zu beschäftigen: einem Pendel. + +104 +00:05:57,910 --> 00:06:01,616 +Wie verändert sich der Winkel theta, den er mit der Senkrechten bildet, + +105 +00:06:01,616 --> 00:06:03,110 +in Abhängigkeit von der Zeit? + +106 +00:06:04,030 --> 00:06:08,230 +Dies wird im Physikunterricht oft als Beispiel für eine harmonische Bewegung genannt, + +107 +00:06:08,230 --> 00:06:10,770 +was bedeutet, dass sie wie eine Sinuswelle schwingt. + +108 +00:06:10,770 --> 00:06:16,585 +Genauer gesagt, eines mit einer Periode von 2 pi mal der Quadratwurzel aus l über g, + +109 +00:06:16,585 --> 00:06:21,170 +wobei l die Länge des Pendels und g die Stärke der Schwerkraft ist. + +110 +00:06:22,710 --> 00:06:26,080 +Aber diese Formeln sind eigentlich Lügen, oder besser gesagt, + +111 +00:06:26,080 --> 00:06:29,450 +Annäherungen, die nur im Bereich kleiner Winkel funktionieren. + +112 +00:06:29,950 --> 00:06:33,522 +Wenn du ein echtes Pendel messen würdest, würdest du feststellen, + +113 +00:06:33,522 --> 00:06:37,149 +dass die Periode länger ist, je weiter du das Pendel herausziehst, + +114 +00:06:37,149 --> 00:06:39,910 +als es die Formeln der Schulphysik vermuten lassen. + +115 +00:06:43,750 --> 00:06:46,890 +Und wenn du ihn ganz weit herausziehst, sieht der Wert von Theta, + +116 +00:06:46,890 --> 00:06:50,650 +der gegen die Zeit aufgetragen wird, nicht einmal mehr wie eine Sinuswelle aus. + +117 +00:06:54,910 --> 00:06:57,272 +Um zu verstehen, was wirklich vor sich geht, stellen + +118 +00:06:57,272 --> 00:06:59,190 +wir zunächst die Differentialgleichung auf. + +119 +00:06:59,770 --> 00:07:04,234 +Wir messen die Position des Pendelgewichts als Abstand x entlang dieses Bogens, + +120 +00:07:04,234 --> 00:07:08,420 +und wenn der Winkel theta, der uns interessiert, in Radiant gemessen wird, + +121 +00:07:08,420 --> 00:07:12,550 +können wir x als l mal theta schreiben, wobei l die Länge des Pendels ist. + +122 +00:07:13,350 --> 00:07:17,061 +Wie üblich zieht die Schwerkraft mit der Beschleunigung g nach unten, + +123 +00:07:17,061 --> 00:07:20,135 +aber da das Pendel die Bewegung dieser Masse einschränkt, + +124 +00:07:20,135 --> 00:07:24,430 +müssen wir uns die Komponente dieser Beschleunigung in Bewegungsrichtung ansehen. + +125 +00:07:25,190 --> 00:07:28,082 +Eine kleine Geometrieübung für dich soll zeigen, + +126 +00:07:28,082 --> 00:07:31,270 +dass dieser kleine Winkel hier dasselbe ist wie Theta. + +127 +00:07:35,010 --> 00:07:40,224 +Die Komponente der Schwerkraft in der diesem Winkel entgegengesetzten + +128 +00:07:40,224 --> 00:07:44,470 +Bewegungsrichtung ist also negativ g mal Sinus von Theta. + +129 +00:07:46,130 --> 00:07:48,440 +Hier gehen wir davon aus, dass Theta positiv ist, + +130 +00:07:48,440 --> 00:07:52,090 +wenn das Pendel nach rechts schwingt, und negativ, wenn es nach links schwingt. + +131 +00:07:52,650 --> 00:07:55,279 +Das Minuszeichen in der Beschleunigung bedeutet, + +132 +00:07:55,279 --> 00:07:59,090 +dass sie immer in die entgegengesetzte Richtung der Verschiebung zeigt. + +133 +00:08:00,450 --> 00:08:04,021 +Die zweite Ableitung von x, also die Beschleunigung, + +134 +00:08:04,021 --> 00:08:06,650 +ist also negativ g mal Sinus von Theta. + +135 +00:08:07,550 --> 00:08:09,547 +Wie immer ist es gut, einen kurzen Bauchcheck zu machen, + +136 +00:08:09,547 --> 00:08:11,510 +um zu sehen, ob unsere Formel physikalisch sinnvoll ist. + +137 +00:08:12,110 --> 00:08:15,197 +Wenn Theta gleich Null ist, ist der Sinus von Null gleich Null, + +138 +00:08:15,197 --> 00:08:17,850 +also gibt es keine Beschleunigung in Bewegungsrichtung. + +139 +00:08:18,330 --> 00:08:21,650 +Wenn Theta 90 Grad beträgt, ist der Sinus von Theta gleich 1, + +140 +00:08:21,650 --> 00:08:24,650 +also ist die Beschleunigung dieselbe wie im freien Fall. + +141 +00:08:25,310 --> 00:08:26,510 +Alles klar, das ist in Ordnung. + +142 +00:08:27,150 --> 00:08:30,416 +Und weil x gleich L mal Theta ist, bedeutet das, + +143 +00:08:30,416 --> 00:08:35,549 +dass die zweite Ableitung von Theta negativ g über L mal Sinus von Theta ist. + +144 +00:08:36,330 --> 00:08:39,357 +Um ein bisschen realistischer zu sein, fügen wir einen Term hinzu, + +145 +00:08:39,357 --> 00:08:42,566 +der den Luftwiderstand berücksichtigt, der vielleicht proportional zur + +146 +00:08:42,566 --> 00:08:43,470 +Geschwindigkeit ist. + +147 +00:08:44,049 --> 00:08:46,711 +Wir schreiben das als negatives mu mal Thetapunkt, + +148 +00:08:46,711 --> 00:08:49,946 +wobei mu eine Konstante ist, die den gesamten Luftwiderstand, + +149 +00:08:49,946 --> 00:08:54,330 +die Reibung usw. einschließt, die bestimmt, wie schnell das Pendel Energie verliert. + +150 +00:08:55,650 --> 00:08:59,810 +Das, meine Freunde, ist eine besonders pikante Differentialgleichung. + +151 +00:09:00,210 --> 00:09:03,304 +Sie ist nicht einfach zu lösen, aber auch nicht so schwer, + +152 +00:09:03,304 --> 00:09:05,770 +dass wir sie nicht vernünftig verstehen können. + +153 +00:09:06,230 --> 00:09:08,859 +Auf den ersten Blick könntest du denken, dass die Sinusfunktion, + +154 +00:09:08,859 --> 00:09:11,650 +die du hier siehst, mit dem Sinuswellenmuster des Pendels zu tun hat. + +155 +00:09:12,170 --> 00:09:15,790 +Ironischerweise wirst du aber feststellen, dass das Gegenteil der Fall ist. + +156 +00:09:16,310 --> 00:09:19,707 +Das Vorhandensein des Sinus in dieser Gleichung ist genau der Grund, + +157 +00:09:19,707 --> 00:09:22,810 +warum echte Pendel nicht mit einem Sinuswellenmuster schwingen. + +158 +00:09:23,490 --> 00:09:27,523 +Wenn sich das seltsam anhört, dann bedenke, dass die Sinusfunktion hier + +159 +00:09:27,523 --> 00:09:30,548 +Theta als Eingang nimmt, aber in der Näherungslösung, + +160 +00:09:30,548 --> 00:09:34,581 +die du vielleicht im Physikunterricht siehst, schwingt Theta selbst als + +161 +00:09:34,581 --> 00:09:36,150 +Ausgang einer Sinusfunktion. + +162 +00:09:36,950 --> 00:09:38,550 +Hier ist eindeutig etwas faul. + +163 +00:09:39,360 --> 00:09:41,524 +Was mir an diesem Beispiel gefällt, ist, dass es, + +164 +00:09:41,524 --> 00:09:44,209 +obwohl es vergleichsweise einfach ist, eine wichtige Wahrheit + +165 +00:09:44,209 --> 00:09:47,630 +über Differentialgleichungen aufzeigt, mit der du dich auseinandersetzen musst. + +166 +00:09:48,070 --> 00:09:49,750 +Sie sind wirklich verdammt schwer zu lösen. + +167 +00:09:50,330 --> 00:09:53,192 +Wenn wir in diesem Fall den Dämpfungsterm entfernen, + +168 +00:09:53,192 --> 00:09:56,486 +können wir gerade noch eine analytische Lösung aufschreiben, + +169 +00:09:56,486 --> 00:09:58,430 +aber das ist wahnsinnig kompliziert. + +170 +00:09:58,890 --> 00:10:01,786 +Es geht um all diese Funktionen, von denen du wahrscheinlich noch nie etwas gehört hast, + +171 +00:10:01,786 --> 00:10:03,738 +die in Form von Integralen geschrieben sind und um seltsame + +172 +00:10:03,738 --> 00:10:04,910 +Probleme mit umgekehrten Integralen. + +173 +00:10:04,910 --> 00:10:08,483 +Wenn du einen Schritt zurücktrittst, ist der Grund dafür, eine Lösung zu finden, + +174 +00:10:08,483 --> 00:10:11,526 +vermutlich, dass du in der Lage bist, Berechnungen durchzuführen und + +175 +00:10:11,526 --> 00:10:14,350 +ein Verständnis für die Dynamik zu entwickeln, die du studierst. + +176 +00:10:15,050 --> 00:10:18,246 +In diesem Fall wurden diese Fragen verschoben, um herauszufinden, + +177 +00:10:18,246 --> 00:10:22,170 +wie man diese neuen Funktionen berechnet und - was noch wichtiger ist - versteht. + +178 +00:10:23,070 --> 00:10:26,363 +Und öfter, z. B. wenn wir den Dämpfungsterm wieder hinzufügen, + +179 +00:10:26,363 --> 00:10:30,650 +gibt es keine bekannte Möglichkeit, eine exakte analytische Lösung aufzuschreiben. + +180 +00:10:31,170 --> 00:10:34,960 +Nun, für jedes schwierige Problem könntest du einfach eine neue Funktion definieren, + +181 +00:10:34,960 --> 00:10:38,528 +die die Antwort auf dieses Problem ist, und sie sogar nach dir selbst benennen, + +182 +00:10:38,528 --> 00:10:41,872 +wenn du willst. Aber auch das ist sinnlos, wenn es dich nicht dazu bringt, + +183 +00:10:41,872 --> 00:10:44,370 +Berechnungen anzustellen und ein Verständnis aufzubauen. + +184 +00:10:45,350 --> 00:10:48,552 +Stattdessen machen wir beim Studium von Differentialgleichungen oft + +185 +00:10:48,552 --> 00:10:51,755 +eine Art Kurzschluss und überspringen den eigentlichen Lösungsteil, + +186 +00:10:51,755 --> 00:10:54,205 +da er unerreichbar ist, und gehen direkt dazu über, + +187 +00:10:54,205 --> 00:10:58,350 +das Verständnis aufzubauen und Berechnungen allein anhand der Gleichungen durchzuführen. + +188 +00:10:58,350 --> 00:11:01,310 +Ich zeige dir mal, wie das mit einem Pendel aussehen könnte. + +189 +00:11:02,810 --> 00:11:06,996 +Was hast du im Kopf oder welche Visualisierung kannst du dir von einer Software erstellen + +190 +00:11:06,996 --> 00:11:10,298 +lassen, um die vielen Möglichkeiten zu verstehen, wie sich ein Pendel, + +191 +00:11:10,298 --> 00:11:14,484 +das diesen Gesetzen unterliegt, in Abhängigkeit von seinen Ausgangsbedingungen entwickeln + +192 +00:11:14,484 --> 00:11:14,810 +könnte? + +193 +00:11:15,730 --> 00:11:17,280 +Du könntest versucht sein, dir den Graphen von + +194 +00:11:17,280 --> 00:11:18,830 +Theta gegen den Graphen von Theta vorzustellen. + +195 +00:11:18,950 --> 00:11:21,925 +t, und irgendwie interpretieren, wie diese Neigung, + +196 +00:11:21,925 --> 00:11:24,730 +Position und Krümmung miteinander zusammenhängen. + +197 +00:11:25,250 --> 00:11:28,944 +Was sich jedoch als einfacher und allgemeiner erweisen wird, ist, + +198 +00:11:28,944 --> 00:11:33,590 +alle möglichen Zustände zunächst in einer zweidimensionalen Ebene zu visualisieren. + +199 +00:11:37,190 --> 00:11:39,362 +Was ich mit dem Zustand des Pendels meine, ist, + +200 +00:11:39,362 --> 00:11:43,390 +dass du ihn mit zwei Zahlen beschreiben kannst, dem Winkel und der Winkelgeschwindigkeit. + +201 +00:11:43,930 --> 00:11:46,415 +Du kannst einen dieser beiden Werte beliebig ändern, + +202 +00:11:46,415 --> 00:11:48,619 +ohne dass sich der andere zwangsläufig ändert, + +203 +00:11:48,619 --> 00:11:52,230 +aber die Beschleunigung ist ausschließlich eine Funktion dieser beiden Werte. + +204 +00:11:52,990 --> 00:11:55,680 +Jeder Punkt dieser zweidimensionalen Ebene beschreibt + +205 +00:11:55,680 --> 00:11:58,570 +also das Pendel zu einem bestimmten Zeitpunkt vollständig. + +206 +00:11:59,390 --> 00:12:03,330 +Du kannst dir diese als alle möglichen Ausgangsbedingungen des Pendels vorstellen. + +207 +00:12:03,630 --> 00:12:07,998 +Wenn du den Anfangswinkel und die Winkelgeschwindigkeit kennst, reicht das aus, + +208 +00:12:07,998 --> 00:12:11,930 +um vorherzusagen, wie sich das System im Laufe der Zeit entwickeln wird. + +209 +00:12:14,210 --> 00:12:15,797 +Wenn du noch nie mit Diagrammen gearbeitet hast, + +210 +00:12:15,797 --> 00:12:18,550 +kann es etwas gewöhnungsbedürftig sein, sich an diese Art von Diagrammen zu gewöhnen. + +211 +00:12:18,550 --> 00:12:21,178 +Was du jetzt siehst, diese nach innen gerichtete Spirale, + +212 +00:12:21,178 --> 00:12:23,625 +ist eine ziemlich typische Flugbahn für unser Pendel, + +213 +00:12:23,625 --> 00:12:26,751 +also nimm dir einen Moment Zeit, um sorgfältig darüber nachzudenken, + +214 +00:12:26,751 --> 00:12:27,930 +was hier dargestellt wird. + +215 +00:12:30,070 --> 00:12:34,103 +Beachte, dass am Anfang, wenn Theta abnimmt, der Punkt Theta, + +216 +00:12:34,103 --> 00:12:36,250 +die y-Koordinate, negativer wird. + +217 +00:12:36,990 --> 00:12:40,922 +Das macht Sinn, denn das Pendel bewegt sich schneller nach links, + +218 +00:12:40,922 --> 00:12:42,710 +wenn es sich dem Boden nähert. + +219 +00:12:43,590 --> 00:12:47,986 +Beachte, dass der Geschwindigkeitsvektor dieses Pendels zwar nach links zeigt, + +220 +00:12:47,986 --> 00:12:51,492 +der Wert dieser Geschwindigkeit aber immer durch die vertikale + +221 +00:12:51,492 --> 00:12:53,830 +Komponente unseres Raums dargestellt wird. + +222 +00:12:54,530 --> 00:12:58,690 +Es ist wichtig, dich daran zu erinnern, dass dieser Zustandsraum etwas Abstraktes ist und + +223 +00:12:58,690 --> 00:13:02,850 +sich von dem physischen Raum unterscheidet, in dem das Pendel selbst lebt und sich bewegt. + +224 +00:13:04,800 --> 00:13:08,728 +Da wir davon ausgehen, dass ein Teil der Energie durch den Luftwiderstand verloren geht, + +225 +00:13:08,728 --> 00:13:11,508 +dreht sich die Flugbahn spiralförmig nach innen, was bedeutet, + +226 +00:13:11,508 --> 00:13:15,127 +dass die Spitzengeschwindigkeit und die Spitzenverschiebung mit jedem Schwung ein + +227 +00:13:15,127 --> 00:13:15,790 +wenig abnehmen. + +228 +00:13:16,350 --> 00:13:19,793 +Unser Punkt wird gewissermaßen vom Ursprung angezogen, + +229 +00:13:19,793 --> 00:13:22,610 +wo Theta und Theta Punkt beide gleich 0 sind. + +230 +00:13:25,810 --> 00:13:29,910 +Mit diesem Raum können wir eine Differentialgleichung als ein Vektorfeld visualisieren. + +231 +00:13:30,490 --> 00:13:31,630 +Hier, ich zeige dir, was ich meine. + +232 +00:13:31,950 --> 00:13:35,030 +Der Zustand des Pendels ist ein Vektor, Theta, Theta Punkt. + +233 +00:13:35,570 --> 00:13:37,159 +Vielleicht stellst du dir das als einen Pfeil vor, + +234 +00:13:37,159 --> 00:13:39,310 +der vom Ursprung ausgeht, oder du stellst es dir als einen Punkt vor. + +235 +00:13:39,750 --> 00:13:43,670 +Wichtig ist, dass sie zwei Koordinaten hat, die jeweils eine Funktion der Zeit sind. + +236 +00:13:43,670 --> 00:13:48,142 +Wenn du die Ableitung dieses Vektors nimmst, erhältst du seine Änderungsrate, + +237 +00:13:48,142 --> 00:13:52,730 +also die Richtung und Geschwindigkeit, in die er sich in diesem Diagramm bewegt. + +238 +00:13:53,670 --> 00:13:57,136 +Diese Ableitung ist ein neuer Vektor, theta dot theta double dot, + +239 +00:13:57,136 --> 00:14:00,970 +den wir uns als an den entsprechenden Punkt im Raum angehängt vorstellen. + +240 +00:14:03,790 --> 00:14:05,670 +Nimm dir einen Moment Zeit, um zu interpretieren, was das bedeutet. + +241 +00:14:06,370 --> 00:14:09,854 +Die erste Komponente dieses Änderungsvektors ist der Punkt Theta, + +242 +00:14:09,854 --> 00:14:12,230 +der auch eine Koordinate in unserem Raum ist. + +243 +00:14:12,790 --> 00:14:17,021 +Je weiter oben wir uns im Diagramm befinden, desto mehr bewegt sich der Punkt + +244 +00:14:17,021 --> 00:14:21,470 +nach rechts, und je tiefer wir uns befinden, desto mehr bewegt er sich nach links. + +245 +00:14:24,330 --> 00:14:26,920 +Die vertikale Komponente ist der Theta-Doppelpunkt, + +246 +00:14:26,920 --> 00:14:31,054 +den wir mit unserer Differentialgleichung vollständig in Theta und den Theta-Punkt + +247 +00:14:31,054 --> 00:14:32,350 +selbst umschreiben können. + +248 +00:14:32,950 --> 00:14:36,972 +Mit anderen Worten: Die erste Ableitung unseres Zustandsvektors ist eine Funktion + +249 +00:14:36,972 --> 00:14:41,290 +dieses Vektors selbst, wobei die meiste Komplexität in dieser zweiten Koordinate steckt. + +250 +00:14:41,290 --> 00:14:44,042 +Wenn du das Gleiche an allen Punkten dieses Raums machst, + +251 +00:14:44,042 --> 00:14:47,270 +siehst du, wie sich dieser Zustand von jeder Position aus verändert. + +252 +00:14:48,270 --> 00:14:51,705 +Wie bei Vektorfeldern üblich, skalieren wir die Vektoren beim Zeichnen künstlich + +253 +00:14:51,705 --> 00:14:54,335 +herunter, um Unordnung zu vermeiden, und verwenden die Farbe, + +254 +00:14:54,335 --> 00:14:55,650 +um die Größe locker anzuzeigen. + +255 +00:14:56,950 --> 00:15:00,240 +Beachte, dass wir eine einzelne Gleichung zweiter Ordnung in + +256 +00:15:00,240 --> 00:15:03,530 +ein System aus zwei Gleichungen erster Ordnung zerlegt haben. + +257 +00:15:04,230 --> 00:15:07,906 +Du könntest dem Theta-Punkt sogar einen anderen Namen geben, um zu verdeutlichen, + +258 +00:15:07,906 --> 00:15:10,104 +dass es sich um zwei verschiedene Werte handelt, + +259 +00:15:10,104 --> 00:15:14,050 +die durch ihre gegenseitige Wirkung auf die Veränderungsrate miteinander verbunden sind. + +260 +00:15:14,590 --> 00:15:17,390 +Dies ist ein gängiger Trick bei der Untersuchung von Differentialgleichungen. + +261 +00:15:17,850 --> 00:15:21,576 +Anstatt über Änderungen höherer Ordnung eines einzelnen Wertes nachzudenken, + +262 +00:15:21,576 --> 00:15:25,110 +ziehen wir es oft vor, an die erste Ableitung von Vektorwerten zu denken. + +263 +00:15:25,950 --> 00:15:28,418 +In dieser Form haben wir eine wunderbare visuelle Möglichkeit, + +264 +00:15:28,418 --> 00:15:30,770 +darüber nachzudenken, was die Lösung der Gleichung bedeutet. + +265 +00:15:31,210 --> 00:15:34,743 +Wenn sich unser System von einem Anfangszustand aus entwickelt, + +266 +00:15:34,743 --> 00:15:38,222 +bewegt sich unser Punkt in diesem Raum entlang einer Flugbahn, + +267 +00:15:38,222 --> 00:15:42,473 +so dass die Geschwindigkeit dieses Punktes zu jedem Zeitpunkt mit dem Vektor + +268 +00:15:42,473 --> 00:15:44,130 +aus diesem Feld übereinstimmt. + +269 +00:15:44,790 --> 00:15:48,423 +Und noch einmal: Diese Geschwindigkeit ist nicht dasselbe wie die + +270 +00:15:48,423 --> 00:15:52,992 +physikalische Geschwindigkeit des Pendels, sondern eine abstraktere Änderungsrate, + +271 +00:15:52,992 --> 00:15:56,130 +die die Änderungsraten für Theta und Theta-Punkt kodiert. + +272 +00:15:57,230 --> 00:16:00,571 +Vielleicht findest du es lustig, einen Moment innezuhalten und darüber nachzudenken, + +273 +00:16:00,571 --> 00:16:03,284 +was genau einige dieser Bahnlinien über die möglichen Wege aussagen, + +274 +00:16:03,284 --> 00:16:06,390 +auf denen sich das Pendel von verschiedenen Ausgangsbedingungen aus entwickelt. + +275 +00:16:09,430 --> 00:16:12,320 +In Regionen, in denen der Theta-Punkt recht hoch ist, + +276 +00:16:12,320 --> 00:16:16,227 +führen die Vektoren den Punkt zum Beispiel ein ganzes Stück nach rechts, + +277 +00:16:16,227 --> 00:16:18,850 +bevor er sich in einer Spirale nach innen bewegt. + +278 +00:16:19,670 --> 00:16:23,535 +Das entspricht einem Pendel mit einer so hohen Anfangsgeschwindigkeit, + +279 +00:16:23,535 --> 00:16:28,000 +dass es sich mehrmals vollständig dreht, bevor es in ein abklingendes Hin und Her + +280 +00:16:28,000 --> 00:16:28,490 +übergeht. + +281 +00:16:31,210 --> 00:16:32,770 +Hast du ein bisschen mehr Spaß? + +282 +00:16:33,270 --> 00:16:37,163 +Wenn ich diesen Luftwiderstandsterm verändere, z. B. erhöhe, + +283 +00:16:37,163 --> 00:16:42,908 +kannst du sofort sehen, dass die Flugbahnen dadurch schneller nach innen gewunden werden, + +284 +00:16:42,908 --> 00:16:45,590 +d. h. das Pendel wird schneller langsamer. + +285 +00:16:46,130 --> 00:16:48,452 +Das ist klar, wenn ich den Begriff "Luftwiderstand" nenne, + +286 +00:16:48,452 --> 00:16:51,089 +aber stell dir vor, du hast diese Gleichungen aus dem Zusammenhang + +287 +00:16:51,089 --> 00:16:53,490 +gerissen und wusstest nicht, dass sie ein Pendel beschreiben. + +288 +00:16:54,010 --> 00:16:58,328 +Es ist nicht offensichtlich, dass eine Erhöhung des Wertes von mu bedeutet, + +289 +00:16:58,328 --> 00:17:02,590 +dass das System als Ganzes schneller zu einem anziehenden Zustand tendiert. + +290 +00:17:03,390 --> 00:17:06,240 +Mit einer Software, die diese Vektorfelder für dich zeichnet, + +291 +00:17:06,240 --> 00:17:09,089 +kannst du ein Gefühl dafür entwickeln, wie sie sich verhalten. + +292 +00:17:09,930 --> 00:17:13,329 +Das Wunderbare daran ist, dass jedes System gewöhnlicher Differentialgleichungen + +293 +00:17:13,329 --> 00:17:15,596 +durch ein solches Vektorfeld beschrieben werden kann, + +294 +00:17:15,596 --> 00:17:18,869 +so dass es eine sehr allgemeine Möglichkeit ist, ein Gefühl dafür zu bekommen. + +295 +00:17:19,470 --> 00:17:22,089 +Normalerweise haben sie aber viel mehr Dimensionen. + +296 +00:17:22,720 --> 00:17:26,178 +Betrachte zum Beispiel das berühmte Dreikörperproblem, bei dem es darum geht, + +297 +00:17:26,178 --> 00:17:29,459 +vorherzusagen, wie sich drei Massen im dreidimensionalen Raum entwickeln, + +298 +00:17:29,459 --> 00:17:33,361 +wenn sie durch die Schwerkraft aufeinander einwirken und du ihre Ausgangspositionen und + +299 +00:17:33,361 --> 00:17:34,470 +Geschwindigkeiten kennst. + +300 +00:17:35,290 --> 00:17:38,334 +Jede Masse hat drei Koordinaten, die ihre Position beschreiben, + +301 +00:17:38,334 --> 00:17:40,570 +und drei weitere, die ihren Impuls beschreiben. + +302 +00:17:41,270 --> 00:17:44,304 +Das System hat also insgesamt 18 Freiheitsgrade und + +303 +00:17:44,304 --> 00:17:47,690 +damit einen 18-dimensionalen Raum von möglichen Zuständen. + +304 +00:17:48,250 --> 00:17:49,970 +Ein bizarrer Gedanke, nicht wahr? + +305 +00:17:50,230 --> 00:17:54,072 +Ein einzelner Punkt, der sich durch einen 18-dimensionalen Raum schlängelt, + +306 +00:17:54,072 --> 00:17:57,914 +den wir nicht visualisieren können, macht gehorsam Schritte durch die Zeit, + +307 +00:17:57,914 --> 00:18:01,200 +basierend auf dem Vektor, auf dem er von Moment zu Moment sitzt, + +308 +00:18:01,200 --> 00:18:04,942 +und kodiert dabei vollständig die Positionen und Momente der drei Massen, + +309 +00:18:04,942 --> 00:18:07,470 +die wir im gewöhnlichen, physischen 3D-Raum sehen. + +310 +00:18:08,650 --> 00:18:11,617 +In der Praxis kannst du die Anzahl der Dimensionen reduzieren, + +311 +00:18:11,617 --> 00:18:14,679 +indem du die Symmetrien deines Aufbaus ausnutzt, aber der Punkt, + +312 +00:18:14,679 --> 00:18:18,730 +dass mehr Freiheitsgrade zu höherdimensionalen Zustandsräumen führen, bleibt derselbe. + +313 +00:18:21,290 --> 00:18:24,530 +In der Mathematik nennen wir einen solchen Raum oft einen Phasenraum. + +314 +00:18:25,090 --> 00:18:28,222 +Du wirst hören, dass ich diesen Begriff allgemein für Räume verwende, + +315 +00:18:28,222 --> 00:18:32,249 +die alle Arten von Zuständen sich verändernder Systeme kodieren, aber du solltest wissen, + +316 +00:18:32,249 --> 00:18:35,874 +dass der Begriff im Kontext der Physik, insbesondere der Hamiltonschen Mechanik, + +317 +00:18:35,874 --> 00:18:39,096 +oft für einen spezielleren Fall reserviert ist, nämlich für einen Raum, + +318 +00:18:39,096 --> 00:18:41,110 +dessen Achsen Position und Impuls darstellen. + +319 +00:18:41,890 --> 00:18:44,896 +Ein Physiker würde also zustimmen, dass der 18-dimensionale Raum, + +320 +00:18:44,896 --> 00:18:48,723 +der das Dreikörperproblem beschreibt, ein Phasenraum ist, aber er könnte verlangen, + +321 +00:18:48,723 --> 00:18:51,638 +dass wir ein paar Änderungen an unserem Pendelaufbau vornehmen, + +322 +00:18:51,638 --> 00:18:53,370 +damit er diesen Begriff auch verdient. + +323 +00:18:54,250 --> 00:18:57,472 +Für diejenigen unter euch, die gerade das Video über die Blockkollision gesehen haben: + +324 +00:18:57,472 --> 00:18:59,287 +Die Ebenen, mit denen wir dort gearbeitet haben, + +325 +00:18:59,287 --> 00:19:01,250 +werden von Mathematikern als Phasenräume bezeichnet, + +326 +00:19:01,250 --> 00:19:03,250 +obwohl Physiker vielleicht andere Begriffe bevorzugen. + +327 +00:19:03,890 --> 00:19:06,830 +Du musst nur wissen, dass die genaue Bedeutung von deinem Kontext abhängen kann. + +328 +00:19:07,870 --> 00:19:11,021 +Je nachdem, wie gut du mit der modernen Art, über Mathematik zu denken, + +329 +00:19:11,021 --> 00:19:14,785 +indoktriniert bist, mag dir das wie eine einfache Idee vorkommen, aber es lohnt sich, + +330 +00:19:14,785 --> 00:19:18,243 +im Hinterkopf zu behalten, dass die Menschheit eine ganze Weile gebraucht hat, + +331 +00:19:18,243 --> 00:19:21,088 +um sich das räumliche Denken in dieser Weise zu eigen zu machen, + +332 +00:19:21,088 --> 00:19:23,190 +vor allem wenn die Dimensionen sehr groß werden. + +333 +00:19:23,890 --> 00:19:33,356 +In seinem Buch Chaos beschreibt der Autor James Glick den Phasenraum als + +334 +00:19:33,356 --> 00:19:41,396 +"eine der mächtigsten Erfindungen der modernen Wissenschaft". + +335 +00:19:41,396 --> 00:19:52,030 +Ein Grund für seine Mächtigkeit ist, dass du Fragen stellen kannst, nicht nur eine + +336 +00:19:52,910 --> 00:20:01,910 +über eine einzige Anfangsbedingung, sondern über ein ganzes Spektrum von Anfangszuständen. + +337 +00:20:02,770 --> 00:20:09,068 +Die Sammlung aller möglichen Flugbahnen erinnert an eine sich bewegende Flüssigkeit. + +338 +00:20:09,068 --> 00:20:15,590 +Deshalb nennen wir sie Phasenfluss. Um ein Beispiel zu nennen, warum der Phasenfluss ein + +339 +00:20:16,150 --> 00:20:20,225 +fruchtbare Idee, betrachte die Frage der Stabilität. + +340 +00:20:20,225 --> 00:20:27,070 +Der Ursprung unseres Raums entspricht dem Stillstand des Pendels, und das gilt auch für t + +341 +00:20:28,050 --> 00:20:30,941 +Der Punkt hier drüben zeigt an, dass das Pendel perfekt aufrecht steht. + +342 +00:20:30,941 --> 00:20:33,070 +Das sind die so genannten Fixpunkte unseres Systems, + +343 +00:20:33,070 --> 00:20:35,922 +und es stellt sich natürlich die Frage, ob sie stabil sind oder nicht, + +344 +00:20:35,922 --> 00:20:38,613 +d. h., ob winzige Eingriffe in das System zu einem Zustand führen, + +345 +00:20:38,613 --> 00:20:41,143 +der zu diesem Fixpunkt zurückführt oder sich von ihm entfernt. + +346 +00:20:41,143 --> 00:20:42,630 +Die physikalische Intuition für den p + +347 +00:20:44,810 --> 00:20:49,730 +endulum macht die Antwort hier irgendwie offensichtlich, aber wie würdest du über st + +348 +00:20:50,570 --> 00:20:53,995 +Fähigkeit, die Gleichungen nur zu betrachten, wenn sie in einem völlig anderen, + +349 +00:20:53,995 --> 00:20:57,849 +weniger intuitiven Kontext entstanden sind? In den folgenden Videos gehen wir darauf ein, + +350 +00:20:57,849 --> 00:21:01,190 +wie man die Antworten auf solche Fragen berechnet, und die Intuition für die r + +351 +00:21:01,550 --> 00:21:04,940 +ie Berechnungen werden stark von dem Gedanken geleitet, + +352 +00:21:04,940 --> 00:21:09,844 +kleine Regionen im Raum um einen festen Punkt herum zu betrachten und zu fragen, + +353 +00:21:09,844 --> 00:21:13,779 +ob der Fluss dazu neigt, sich zusammenzuziehen oder auszudehnen. + +354 +00:21:13,779 --> 00:21:19,227 +Apropos Anziehungskraft und Stabilität: Machen wir einen kurzen Abstecher zum Thema Liebe. + +355 +00:21:19,227 --> 00:21:19,470 + Die + +356 +00:21:19,890 --> 00:21:24,242 +Das Strogatz-Zitat, das ich bereits erwähnt habe, + +357 +00:21:24,242 --> 00:21:28,770 +stammt aus einer skurrilen Kolumne in der New York T + +358 +00:21:29,910 --> 00:21:32,632 +über die Mathematik der Modellierung von Zuneigung, ein Beispiel, + +359 +00:21:32,632 --> 00:21:35,190 +das es wert ist, zur Veranschaulichung herangezogen zu werden. + +360 +00:21:35,810 --> 00:21:40,201 +dass wir hier nicht nur über Physik reden. Stell dir vor, du hast mit jemandem geflirtet, + +361 +00:21:40,201 --> 00:21:44,350 +aber es gab eine frustrierende Ungereimtheit, was eure gegenseitige Zuneigung angeht. + +362 +00:21:46,450 --> 00:21:51,410 +ms, und vielleicht während einer m + +363 +00:21:51,790 --> 00:21:56,990 +oment, wenn du + +364 +00:21:58,810 --> 00:22:00,424 +u wendest deine Aufmerksamkeit der Physik zu, um dich von den romantischen + +365 +00:22:00,424 --> 00:22:01,975 +Turbulenzen abzulenken, grübelst über die aufgelösten Pendelgleichungen + +366 +00:22:01,975 --> 00:22:03,590 +nach und verstehst plötzlich, dass das Hin und Her, das Hin und Her und die + +367 +00:22:03,590 --> 00:22:07,595 +ynamics eures Flirts. Du hast bemerkt, dass deine Zuneigung zunimmt, + +368 +00:22:07,595 --> 00:22:12,820 +wenn dein Partner oder deine Partnerin an dir interessiert zu sein scheint, aber abnimmt, + +369 +00:22:12,820 --> 00:22:17,639 +wenn er oder sie kälter wirkt. Das heißt, die Veränderungsrate für deine Liebe ist + +370 +00:22:17,639 --> 00:22:18,510 +proportional zu + +371 +00:22:19,090 --> 00:22:20,310 +ihre Gefühle für dich. + +372 +00:22:21,310 --> 00:22:25,195 +Aber deine Liebste ist genau das Gegenteil. Sie fühlt sich seltsamerweise + +373 +00:22:25,195 --> 00:22:29,238 +zu dir hingezogen, wenn du uninteressiert scheinst, aber sie wendet sich ab, + +374 +00:22:29,238 --> 00:22:32,966 +sobald du zu interessiert wirkst. Der Phasenraum für diese Gleichungen + +375 +00:22:32,966 --> 00:22:36,170 +sieht dem mittleren Teil deines Pendeldiagramms sehr ähnlich. + +376 +00:22:36,890 --> 00:22:39,865 +Ihr beide werdet in einem endlosen Kreislauf zwischen Zuneigung und + +377 +00:22:39,865 --> 00:22:43,015 +Abstoßung hin und her schwanken. Die Metapher der Pendelschwingungen in + +378 +00:22:43,015 --> 00:22:46,210 +euren Gefühlen wäre nicht nur treffend, sondern auch mathematisch belegt. + +379 +00:22:47,230 --> 00:22:49,094 +Wenn die Gefühle deines Partners noch weiter gebremst würden, + +380 +00:22:49,094 --> 00:22:51,440 +wenn er sich zu sehr verliebt, zum Beispiel aus Angst, verletzlich zu werden, + +381 +00:22:51,440 --> 00:22:53,576 +dann hätten wir einen Begriff, der der Reibung des Pendels entspricht, + +382 +00:22:53,576 --> 00:22:55,050 +und auch du wärst zu einer nach innen gerichteten + +383 +00:22:57,450 --> 00:23:04,150 +Spirale der gegenseitigen Ambivalenz. Ich höre schon Hochzeitsglocken. + +384 +00:23:05,110 --> 00:23:10,769 +Der Punkt ist, dass zwei sehr unterschiedlich anmutende Gesetze der Dynamik, + +385 +00:23:10,769 --> 00:23:13,710 +eines aus der Physik, mit einer einzigen + +386 +00:23:14,430 --> 00:23:18,742 +Variable und eine andere aus der Chemie mit zwei Variablen haben eine sehr ähnliche + +387 +00:23:18,742 --> 00:23:22,850 +Struktur und sind leichter zu erkennen, wenn du dir das Phasendiagramm ansiehst. + +388 +00:23:22,850 --> 00:23:26,990 +Vor allem, obwohl die Gleichung + +389 +00:23:27,850 --> 00:23:30,925 +ns unterschiedlich sind, zum Beispiel gibt es keine Sinusfunktion in den romantischen + +390 +00:23:30,925 --> 00:23:33,750 +Gleichungen, zeigt der Phasenraum dennoch eine grundlegende Ähnlichkeit auf. In + +391 +00:23:34,910 --> 00:23:37,499 +Mit anderen Worten: Du studierst nicht nur ein Pendel, sondern die Taktiken, + +392 +00:23:37,499 --> 00:23:39,314 +die du bei der Untersuchung eines Falles entwickelst, + +393 +00:23:39,314 --> 00:23:41,097 +lassen sich auf viele andere Fälle übertragen. Okay, + +394 +00:23:41,097 --> 00:23:43,350 +Phasendiagramme sind also eine gute Möglichkeit, um ein Verständnis + +395 +00:23:44,330 --> 00:23:48,368 +Aber wie lässt sich die Antwort auf unsere Gleichung tatsächlich berechnen? + +396 +00:23:48,368 --> 00:23:51,770 +Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, zu simulieren, wie + +397 +00:23:52,210 --> 00:23:54,630 +im Universum tun würde, aber mit endlichen Zeitschritten anstelle der Infinitesimale + +398 +00:23:54,630 --> 00:23:56,710 +und Grenzen, die die Infinitesimalrechnung definiert. Die Grundidee ist t + +399 +00:23:57,210 --> 00:24:05,290 +hat, wenn du an einem bestimmten Punkt + +400 +00:24:05,870 --> 00:24:09,029 +In diesem Phasendiagramm machst du einen Schritt auf der Grundlage des Vektors, + +401 +00:24:09,029 --> 00:24:10,570 +auf dem du für eine kleine Zeit s sitzt + +402 +00:24:11,350 --> 00:24:14,160 +tep, delta t. Genauer gesagt, nimm einen Schritt, + +403 +00:24:14,160 --> 00:24:19,050 +der delta t mal diesem Vektor entspricht. Zur Erinnerung: Beim Zeichnen dieser Vektoren + +404 +00:24:19,590 --> 00:24:24,650 +oder Felder, die Größe für e + +405 +00:24:25,270 --> 00:24:28,575 +ieser Vektor wurde künstlich verkleinert, um Unordnung zu vermeiden. + +406 +00:24:28,575 --> 00:24:32,838 +Wenn du das wiederholt machst, ist dein endgültiger Standort eine Annäherung an Theta t, + +407 +00:24:32,838 --> 00:24:33,270 +wobei t i + +408 +00:24:34,230 --> 00:24:38,143 +s die Summe all dieser Zeitschritte. Wenn du darüber nachdenkst, + +409 +00:24:38,143 --> 00:24:39,950 +was jetzt gerade gezeigt wird, + +410 +00:24:40,590 --> 00:24:42,479 +und was das für die Bewegung des Pendels bedeuten würde, + +411 +00:24:42,479 --> 00:24:45,462 +würdest du wahrscheinlich zustimmen, dass das grob ungenau ist. Das liegt aber nur daran, + +412 +00:24:45,462 --> 00:24:46,390 +dass der Zeitschritt delta t + +413 +00:24:47,050 --> 00:24:57,710 +von 0,5 ist viel zu groß. Wenn wir den Wert auf, sagen wir, 0,01 reduzieren würden + +414 +00:24:58,570 --> 00:25:01,033 +kannst du eine viel genauere Annäherung erhalten, + +415 +00:25:01,033 --> 00:25:03,988 +es sind nur mehr wiederholte Schritte nötig, das ist alles. + +416 +00:25:03,988 --> 00:25:07,880 +In diesem Fall erfordert die Berechnung von Theta von 10 1000 kleine Schritte. + +417 +00:25:07,880 --> 00:25:11,230 +Zum Glück leben wir in einer Welt mit Computern, so dass wiederholte + +418 +00:25:11,910 --> 00:25:15,650 +eine einfache Aufgabe 1000 Mal + +419 +00:25:16,690 --> 00:25:18,203 +ist so einfach, wie diese Aufgabe mit einer Programmiersprache zu formulieren. + +420 +00:25:18,203 --> 00:25:19,410 +Lass uns zum Schluss ein kleines Python-Programm schreiben, das + +421 +00:25:20,050 --> 00:25:25,713 +berechnet Theta von t für uns. Dazu muss es die Differentialgleichung verwenden, + +422 +00:25:25,713 --> 00:25:28,650 +die die zweite Ableitung von t zurückgibt. + +423 +00:25:30,530 --> 00:25:33,841 +vative von theta als Funktion von theta und theta dot. Du beginnst damit, + +424 +00:25:33,841 --> 00:25:36,346 +dass du zwei Variablen definierst, theta und theta dot, + +425 +00:25:36,346 --> 00:25:38,450 +jeweils in Bezug auf einige Anfangsbedingungen. + +426 +00:25:38,790 --> 00:25:42,425 +In diesem Fall beginne ich theta bei pi Drittel, also 60 Grad, und theta Punkt bei 0. + +427 +00:25:42,425 --> 00:25:45,553 +Als Nächstes schreibst du eine Schleife, die vielen kleinen Zeitschritten + +428 +00:25:45,553 --> 00:25:48,385 +zwischen 0 und der Zeit t entspricht, jeder mit der Größe delta t, + +429 +00:25:48,385 --> 00:25:51,810 +die ich hier auf 0,01 setze. In jedem Schritt dieser Schleife erhöhst du theta um + +430 +00:25:52,790 --> 00:25:54,050 +theta dot mal delta t, und theta erhöhen + +431 +00:25:54,690 --> 00:25:58,986 +dot durch theta double dot mal delta t, wobei theta double dot + +432 +00:25:58,986 --> 00:26:02,805 +anhand der Differentialgleichung berechnet werden kann. + +433 +00:26:02,805 --> 00:26:08,330 +Nach all diesen kleinen Zeitschritten gibst du einfach den Wert von theta zurück. + +434 +00:26:09,210 --> 00:26:11,997 +Dies wird als numerisches Lösen einer Differentialgleichung bezeichnet. + +435 +00:26:11,997 --> 00:26:14,939 +Numerische Methoden können noch viel ausgefeilter und komplizierter werden, + +436 +00:26:14,939 --> 00:26:17,958 +um den Kompromiss zwischen Genauigkeit und Effizienz besser auszubalancieren, + +437 +00:26:17,958 --> 00:26:20,010 +aber diese Schleife vermittelt die grundlegende Idee. + +438 +00:26:20,530 --> 00:26:21,654 +Auch wenn es scheiße ist, dass wir nicht immer exakte Lösungen finden können, + +439 +00:26:21,654 --> 00:26:22,794 +gibt es dennoch sinnvolle Möglichkeiten, Differentialgleichungen zu studieren, + +440 +00:26:22,794 --> 00:26:23,270 +auch wenn dies nicht möglich ist. + +441 +00:26:23,830 --> 00:26:26,690 +y. In den folgenden Videos sehen wir uns verschiedene Methoden an, + +442 +00:26:26,690 --> 00:26:28,270 +um exakte Lösungen zu finden, wenn es + +443 +00:26:28,870 --> 00:26:30,857 +möglich, aber ein Thema, auf das ich mich konzentrieren möchte, ist, + +444 +00:26:30,857 --> 00:26:32,873 +wie diese exakten Lösungen uns auch helfen können, die allgemeineren, + +445 +00:26:32,873 --> 00:26:34,688 +unlösbaren Fälle zu untersuchen. Aber es kommt noch schlimmer. + +446 +00:26:34,688 --> 00:26:36,992 +Genauso wie es eine Grenze gibt, wie weit wir mit exakten analytischen Lösungen + +447 +00:26:36,992 --> 00:26:38,432 +kommen können, ist auch eines der großen Gebiete, + +448 +00:26:38,432 --> 00:26:40,190 +die im letzten Jahrhundert entstanden sind, die Chaostheorie, + +449 +00:26:40,670 --> 00:26:44,350 +hat aufgedeckt, dass es Pelze gibt + +450 +00:26:45,010 --> 00:26:45,727 +Das schränkt ein, wie gut wir diese Systeme für Vorhersagen mit oder ohne Lösungen + +451 +00:26:45,727 --> 00:26:46,479 +nutzen können. Insbesondere wissen wir, dass bei einigen Systemen kleine Veränderungen + +452 +00:26:46,479 --> 00:26:47,085 +der Ausgangsbedingungen, z. B. aufgrund von unvollkommenen Messungen, + +453 +00:26:47,085 --> 00:26:47,491 +zu völlig unterschiedlichen Flugbahnen führen. + +454 +00:26:47,491 --> 00:26:48,148 +Wir haben sogar ein gutes Verständnis dafür entwickelt, warum das passiert. + +455 +00:26:48,148 --> 00:26:48,615 +Das Dreikörperproblem zum Beispiel ist dafür bekannt, + +456 +00:26:48,615 --> 00:26:49,350 +dass es den Keim des Chaos in sich trägt. Mit Blick auf das Zitat von vorhin scheint + +457 +00:26:49,350 --> 00:26:50,015 +es fast grausam zu sein, dass das Universum seine Sprache mit Rätseln füllt, + +458 +00:26:50,015 --> 00:26:50,560 +die wir entweder nicht lösen können oder von denen wir wissen, + +459 +00:26:50,560 --> 00:26:51,321 +dass jede Lösung für eine langfristige Vorhersage ohnehin nutzlos wäre. Es ist grausam, + +460 +00:26:51,321 --> 00:26:51,944 +aber andererseits sollte es auch beruhigend sein. Es gibt uns Hoffnung, + +461 +00:26:51,944 --> 00:26:52,480 +dass die Komplexität, die wir in der Welt um uns herum sehen, + +462 +00:26:52,480 --> 00:26:53,163 +irgendwo in dieser Mathematik untersucht werden kann und dass sie nicht in der + +463 +00:26:53,163 --> 00:26:53,630 +Diskrepanz zwischen Modell und Realität versteckt ist. + diff --git a/2019/differential-equations/hindi/auto_generated.srt b/2019/differential-equations/hindi/auto_generated.srt index 201cf10fc..c5805df31 100644 --- a/2019/differential-equations/hindi/auto_generated.srt +++ b/2019/differential-equations/hindi/auto_generated.srt @@ -27,7 +27,7 @@ अगले कुछ वीडियो में, मैं इस विषय पर एक प्रकार का भ्रमण कराना चाहता हूँ। 8 -00:00:25,839 --> 00:00:30,460 +00:00:25,840 --> 00:00:30,460 इसका उद्देश्य यह है कि गणित के इस टुकड़े के बारे में एक बड़ी तस्वीर दिखाई जाए, 9 @@ -155,23 +155,23 @@ अब, वह जो वास्तव में कह रहा है उसे खोलिए। 40 -00:02:28,500 --> 00:02:34,059 +00:02:28,500 --> 00:02:32,935 इसका मतलब है कि यदि आप उस वस्तु को अन्य बलों से मुक्त देखते हैं, 41 -00:02:34,059 --> 00:02:39,618 +00:02:32,935 --> 00:02:37,371 और हर सेकंड में उसके वेग को रिकॉर्ड करते हैं, तो ये वेग वैक्टर 9 42 -00:02:39,618 --> 00:02:45,520 +00:02:37,371 --> 00:02:42,080 का अतिरिक्त नीचे की ओर घटक अर्जित करेंगे।हर सेकंड 8 मीटर प्रति सेकंड. 43 -00:02:45,520 --> 00:02:47,620 +00:02:42,720 --> 00:02:46,000 इसे हम स्थिरांक 9 कहते हैं.गुरुत्वाकर्षण के लिए 8 ग्राम. 44 -00:02:47,620 --> 00:02:51,780 +00:02:47,240 --> 00:02:51,780 यह हमें एक अंतर समीकरण का उदाहरण देने के लिए पर्याप्त है, भले ही वह अपेक्षाकृत सरल हो। 45 @@ -215,19 +215,19 @@ कि किस फलन में व्युत्पन्न के रूप में ऋणात्मक g है? 55 -00:03:32,340 --> 00:03:40,480 +00:03:32,340 --> 00:03:39,720 खैर यह नकारात्मक g गुना t है, या अधिक विशेष रूप से, नकारात्मक gt प्लस प्रारंभिक वेग है। 56 -00:03:40,480 --> 00:03:42,920 +00:03:40,300 --> 00:03:42,805 ध्यान दें कि इस विशेष व्युत्पन्न के साथ कई कार्य हैं, 57 -00:03:42,920 --> 00:03:46,446 +00:03:42,805 --> 00:03:46,424 इसलिए आपके पास स्वतंत्रता की एक अतिरिक्त डिग्री है जो प्रारंभिक स्थिति द्वारा 58 -00:03:46,446 --> 00:03:47,260 +00:03:46,424 --> 00:03:47,260 निर्धारित होती है। 59 @@ -487,15 +487,15 @@ इसलिए त्वरण वही होता है जो फ्रीफॉल के लिए होता है। 123 -00:08:25,310 --> 00:08:27,250 +00:08:25,310 --> 00:08:26,510 ठीक है, वह जाँच करता है। 124 -00:08:27,250 --> 00:08:31,324 +00:08:27,150 --> 00:08:31,273 क्योंकि x, थीटा का l गुना है, इसका मतलब है कि थीटा का 125 -00:08:31,324 --> 00:08:35,549 +00:08:31,273 --> 00:08:35,549 दूसरा व्युत्पन्न थीटा की साइन के l गुना पर ऋणात्मक g है। 126 @@ -855,19 +855,19 @@ और हम जितना नीचे होते हैं, उतना ही अधिक वह बाईं ओर जाने लगता है। 215 -00:14:24,330 --> 00:14:28,036 +00:14:24,330 --> 00:14:28,304 ऊर्ध्वाधर घटक थीटा डबल डॉट है, जो हमें थीटा और थीटा डॉट 216 -00:14:28,036 --> 00:14:31,810 +00:14:28,304 --> 00:14:32,350 के संदर्भ में पूरी तरह से फिर से लिखने की सुविधा देता है। 217 -00:14:31,810 --> 00:14:37,511 +00:14:32,950 --> 00:14:37,965 दूसरे शब्दों में, हमारे राज्य वेक्टर का पहला व्युत्पन्न उस वेक्टर का ही कुछ कार्य है, 218 -00:14:37,511 --> 00:14:41,290 +00:14:37,965 --> 00:14:41,290 जिसमें अधिकांश जटिलताएं उस दूसरे समन्वय में बंधी हुई हैं। 219 @@ -943,27 +943,27 @@ उस बिंदु का वेग इस क्षेत्र के वेक्टर से मेल खाता है। 237 -00:15:44,790 --> 00:15:49,011 +00:15:44,790 --> 00:15:49,125 और फिर, ध्यान रखें, यह वेग पेंडुलम के भौतिक वेग के समान नहीं है, 238 -00:15:49,011 --> 00:15:54,466 +00:15:49,125 --> 00:15:54,729 यह परिवर्तन की एक अधिक अमूर्त दर है, थीटा और थीटा डॉट दोनों के लिए परिवर्तन की दरों 239 -00:15:54,466 --> 00:15:55,830 +00:15:54,729 --> 00:15:56,130 को एन्कोडिंग करता है। 240 -00:15:55,830 --> 00:15:59,295 +00:15:57,230 --> 00:16:00,235 आपको एक पल के लिए रुकना और यह सोचना मजेदार लग सकता है कि इनमें 241 -00:15:59,295 --> 00:16:02,705 +00:16:00,235 --> 00:16:03,193 से कुछ प्रक्षेपवक्र रेखाएं उन संभावित तरीकों के बारे में क्या 242 -00:16:02,705 --> 00:16:06,390 +00:16:03,193 --> 00:16:06,390 कहती हैं जिनसे पेंडुलम विभिन्न शुरुआती स्थितियों से विकसित होता है। 243 @@ -987,27 +987,27 @@ आगे और पीछे क्षय में बसने से पहले कई बार पूरी तरह से घूमता है। 248 -00:16:31,209 --> 00:16:36,123 +00:16:31,210 --> 00:16:36,322 कुछ और मजेदार, जब मैं इस वायु प्रतिरोध शब्द को बदलता हूं, म्यू, इसे बढ़ाता हूं, 249 -00:16:36,123 --> 00:16:40,791 +00:16:36,322 --> 00:16:41,180 तो आप तुरंत देख सकते हैं कि इसके परिणामस्वरूप प्रक्षेप पथ कैसे तेजी से अंदर 250 -00:16:40,791 --> 00:16:45,030 +00:16:41,180 --> 00:16:45,590 की ओर सर्पिल होंगे, जिसका अर्थ है कि पेंडुलम तेजी से धीमा हो जाता है। 251 -00:16:45,030 --> 00:16:47,606 +00:16:46,130 --> 00:16:48,371 यह स्पष्ट है जब मैं इसे वायु प्रतिरोध शब्द कहता हूं, 252 -00:16:47,606 --> 00:16:50,670 +00:16:48,371 --> 00:16:51,036 लेकिन कल्पना कीजिए कि आपने इन समीकरणों को संदर्भ से बाहर देखा, 253 -00:16:50,670 --> 00:16:53,490 +00:16:51,036 --> 00:16:53,490 यह नहीं जानते हुए कि उन्होंने एक पेंडुलम का वर्णन किया है। 254 @@ -1171,371 +1171,371 @@ रूप से गतिशीलता के बारे में सोचने में काफी समय लगा, खासकर जब आयाम बहुत बड़ा हो जाओ. 294 -00:19:23,890 --> 00:19:24,590 +00:19:23,890 --> 00:19:46,890 अपनी पुस्तक कैओस में, लेखक जेम्स ग्लिक ने चरण स्थान का वर्णन इस प्रकार किया है, "। 295 -00:19:24,590 --> 00:19:25,830 +00:19:46,890 --> 00:19:52,030 . 296 -00:19:25,830 --> 00:19:27,050 +00:19:52,910 --> 00:19:52,030 . 297 -00:19:27,050 --> 00:19:48,090 +00:19:52,910 --> 00:19:54,270 आधुनिक विज्ञान के सबसे शक्तिशाली आविष्कारों में से एक। 298 -00:19:48,090 --> 00:19:51,817 +00:19:54,270 --> 00:19:58,160 इसके शक्तिशाली होने का एक कारण यह है कि आप न केवल किसी एक प्रारंभिक स्थिति के बारे 299 -00:19:51,817 --> 00:19:55,410 +00:19:58,160 --> 00:20:01,910 में बल्कि प्रारंभिक अवस्थाओं के पूरे स्पेक्ट्रम के बारे में प्रश्न पूछ सकते हैं। 300 -00:19:55,410 --> 00:19:59,923 +00:20:02,770 --> 00:20:06,145 सभी संभावित प्रक्षेप पथों का संग्रह एक गतिशील तरल पदार्थ की याद दिलाता है, 301 -00:19:59,923 --> 00:20:01,910 +00:20:06,145 --> 00:20:07,630 इसलिए हम इसे चरण प्रवाह कहते हैं। 302 -00:20:02,770 --> 00:20:06,503 +00:20:07,630 --> 00:20:10,937 "चरण प्रवाह एक उपयोगी विचार क्यों है इसका एक उदाहरण लेने के लिए, 303 -00:20:06,503 --> 00:20:08,210 +00:20:10,937 --> 00:20:12,450 स्थिरता के प्रश्न पर विचार करें। 304 -00:20:08,210 --> 00:20:12,259 +00:20:12,450 --> 00:20:17,606 हमारे अंतरिक्ष की उत्पत्ति पेंडुलम के स्थिर खड़े होने से मेल खाती है, 305 -00:20:12,259 --> 00:20:17,350 +00:20:17,606 --> 00:20:24,090 और इसी तरह यहाँ पर यह बिंदु भी है, जो दर्शाता है कि पेंडुलम पूरी तरह से सीधा संतुलित है। 306 -00:20:17,350 --> 00:20:19,957 +00:20:24,090 --> 00:20:27,460 ये हमारे सिस्टम के तथाकथित निश्चित बिंदु हैं, और एक स्वाभाविक 307 -00:20:19,957 --> 00:20:22,270 +00:20:27,460 --> 00:20:30,450 प्रश्न यह पूछा जाना चाहिए कि क्या वे स्थिर हैं या नहीं। 308 -00:20:22,270 --> 00:20:26,259 +00:20:30,450 --> 00:20:31,111 अर्थात्, क्या सिस्टम में छोटी-छोटी हरकतों के परिणामस्वरूप ऐसी स्थिति उत्पन्न 309 -00:20:26,259 --> 00:20:29,990 +00:20:31,111 --> 00:20:31,730 हो जाएगी जो उस निश्चित बिंदु की ओर वापस चली जाएगी, या उससे दूर हो जाएगी? 310 -00:20:29,990 --> 00:20:33,154 +00:20:32,090 --> 00:20:37,195 पेंडुलम के लिए भौतिक अंतर्ज्ञान यहां उत्तर को स्पष्ट बनाता है, 311 -00:20:33,154 --> 00:20:36,470 +00:20:37,195 --> 00:20:42,544 लेकिन आप केवल समीकरणों को देखकर स्थिरता के बारे में कैसे सोचेंगे, 312 -00:20:36,470 --> 00:20:40,590 +00:20:42,544 --> 00:20:49,190 मान लीजिए कि वे कुछ पूरी तरह से अलग कम सहज ज्ञान युक्त संदर्भ में उत्पन्न हुए हैं? 313 -00:20:40,590 --> 00:20:45,091 +00:20:49,190 --> 00:20:51,882 हम निम्नलिखित वीडियो में इस तरह के प्रश्नों के उत्तरों की गणना कैसे करें, 314 -00:20:45,091 --> 00:20:49,471 +00:20:51,882 --> 00:20:54,502 इसके बारे में जानेंगे, और प्रासंगिक गणनाओं के लिए अंतर्ज्ञान एक निश्चित 315 -00:20:49,471 --> 00:20:53,912 +00:20:54,502 --> 00:20:57,159 बिंदु के आसपास अंतरिक्ष में छोटे क्षेत्रों को देखने और यह पूछने के विचार 316 -00:20:53,912 --> 00:20:58,110 +00:20:57,159 --> 00:20:59,670 से निर्देशित होता है कि क्या प्रवाह की ओर रुझान है अनुबंध या विस्तार. 317 -00:20:58,110 --> 00:20:59,331 +00:20:59,670 --> 00:21:00,019 और आकर्षण और स्थिरता की बात करते हुए, आइए प्यार 318 -00:20:59,331 --> 00:21:00,630 +00:21:00,019 --> 00:21:00,390 के बारे में बात करने के लिए एक संक्षिप्त कदम उठाएं। 319 -00:21:00,630 --> 00:21:03,582 +00:21:00,390 --> 00:21:03,363 स्ट्रोगेट्ज़ उद्धरण जिसका मैंने पहले उल्लेख किया था, 320 -00:21:03,582 --> 00:21:07,425 +00:21:03,363 --> 00:21:07,234 मॉडलिंग स्नेह के गणित पर न्यूयॉर्क टाइम्स के एक सनकी कॉलम से आया है, 321 -00:21:07,425 --> 00:21:11,770 +00:21:07,234 --> 00:21:11,610 यह उदाहरण देने लायक है कि हम यहां केवल भौतिकी के बारे में बात नहीं कर रहे हैं। 322 -00:21:11,770 --> 00:21:15,261 +00:21:11,610 --> 00:21:15,342 कल्पना कीजिए कि आप किसी के साथ इश्कबाज़ी कर रहे हैं, 323 -00:21:15,261 --> 00:21:20,399 +00:21:15,342 --> 00:21:20,835 लेकिन आपका स्नेह कितना पारस्परिक लगता है, इसमें कुछ निराशाजनक असंगतता रही है, 324 -00:21:20,399 --> 00:21:25,339 +00:21:20,835 --> 00:21:26,117 और शायद उस क्षण के दौरान जब आप अपने दिमाग को रोमांटिक उथल-पुथल से दूर रखने 325 -00:21:25,339 --> 00:21:28,633 +00:21:26,117 --> 00:21:29,638 के लिए भौतिकी की ओर अपना ध्यान केंद्रित करते हैं, 326 -00:21:28,633 --> 00:21:33,508 +00:21:29,638 --> 00:21:34,849 टूटे हुए पेंडुलम समीकरणों पर विचार करते हैं , आप अचानक अपने फ़्लर्टेशन की 327 -00:21:33,508 --> 00:21:36,670 +00:21:34,849 --> 00:21:38,230 बार-बार-बार-बार होने वाली गतिशीलता को समझते हैं। 328 -00:21:36,670 --> 00:21:41,126 +00:21:38,230 --> 00:21:42,007 आपने देखा है कि जब आपका साथी आपमें दिलचस्पी लेता है तो आपका स्नेह बढ़ जाता है, 329 -00:21:41,126 --> 00:21:43,890 +00:21:42,007 --> 00:21:44,350 लेकिन जब वह उदासीन लगने लगता है तो कम हो जाता है। 330 -00:21:43,890 --> 00:21:49,690 +00:21:46,450 --> 00:21:44,350 यानी, आपके प्यार में बदलाव की दर आपके लिए उनकी भावनाओं के समानुपाती होती है। 331 -00:21:49,690 --> 00:21:55,365 +00:21:46,450 --> 00:21:48,100 लेकिन आपका यह प्रिय बिल्कुल विपरीत है, जब आप उदासीन लगते हैं तो अजीब तरह से आपकी 332 -00:21:55,365 --> 00:22:00,830 +00:21:48,100 --> 00:21:49,690 ओर आकर्षित होते हैं, लेकिन जब आप बहुत अधिक उत्सुक लगते हैं तो बंद हो जाते हैं। 333 -00:22:00,830 --> 00:22:05,550 +00:21:49,690 --> 00:21:51,410 इन समीकरणों के लिए चरण स्थान आपके पेंडुलम आरेख के मध्य भाग के समान दिखता है। 334 -00:22:05,550 --> 00:22:09,030 +00:21:51,790 --> 00:21:56,990 आप दोनों एक अंतहीन चक्र में स्नेह और विकर्षण के बीच आगे-पीछे होते रहेंगे। 335 -00:22:09,450 --> 00:22:11,654 +00:21:58,810 --> 00:22:01,872 आपकी भावनाओं में पेंडुलम के झूलों का एक रूपक न केवल उपयुक्त होगा, 336 -00:22:11,654 --> 00:22:12,890 +00:22:01,872 --> 00:22:03,590 बल्कि गणितीय रूप से सत्यापित भी होगा। 337 -00:22:12,890 --> 00:22:16,958 +00:22:03,590 --> 00:22:07,229 वास्तव में, यदि आपके साथी की भावनाएँ तब और धीमी हो जाती हैं जब वे खुद 338 -00:22:16,958 --> 00:22:21,433 +00:22:07,229 --> 00:22:11,231 को बहुत अधिक प्यार में महसूस करते हैं, मान लीजिए कि असुरक्षित होने के डर से, 339 -00:22:21,433 --> 00:22:24,862 +00:22:11,231 --> 00:22:14,299 हमारे पास पेंडुलम में घर्षण से मेल खाने वाला एक शब्द होगा, 340 -00:22:24,862 --> 00:22:29,570 +00:22:14,299 --> 00:22:18,510 और आप भी एक ऐसे व्यक्ति के लिए किस्मत में होंगे आपसी द्वंद्व की ओर आंतरिक सर्पिल। 341 -00:22:29,890 --> 00:22:30,230 +00:22:19,090 --> 00:22:20,310 मैं पहले से ही शादी की घंटियाँ सुन रहा हूँ। 342 -00:22:30,230 --> 00:22:34,936 +00:22:21,310 --> 00:22:26,221 मुद्दा यह है कि गतिकी के दो बहुत अलग-अलग प्रतीत होने वाले नियम, एक भौतिकी से, 343 -00:22:34,936 --> 00:22:39,099 +00:22:26,221 --> 00:22:30,566 जिसमें एक ही चर शामिल है, और दूसरा, उह, रसायन शास्त्र, दो चर के साथ, 344 -00:22:39,099 --> 00:22:44,470 +00:22:30,566 --> 00:22:36,170 वास्तव में एक बहुत ही समान संरचना है, जब आप देख रहे हों तो पहचानना आसान होता है चरण आरेख। 345 -00:22:44,470 --> 00:22:49,429 +00:22:36,890 --> 00:22:41,521 सबसे विशेष रूप से, भले ही समीकरण अलग-अलग हों, उदाहरण के लिए रोमांस समीकरणों में 346 -00:22:49,429 --> 00:22:54,450 +00:22:41,521 --> 00:22:46,210 कोई साइन फ़ंक्शन नहीं है, फिर भी चरण स्थान एक अंतर्निहित समानता को उजागर करता है। 347 -00:22:54,450 --> 00:22:58,695 +00:22:47,230 --> 00:22:50,303 दूसरे शब्दों में, आप अभी केवल एक पेंडुलम का अध्ययन नहीं कर रहे हैं, 348 -00:22:58,695 --> 00:23:03,814 +00:22:50,303 --> 00:22:54,010 एक मामले का अध्ययन करने के लिए आप जो रणनीति विकसित करते हैं वह कई अन्य मामलों में 349 -00:23:03,814 --> 00:23:05,250 +00:22:54,010 --> 00:22:55,050 स्थानांतरित हो जाती है। 350 -00:23:05,250 --> 00:23:08,539 +00:22:57,450 --> 00:23:00,635 ठीक है, तो चरण आरेख समझ विकसित करने का एक अच्छा तरीका है, 351 -00:23:08,539 --> 00:23:12,170 +00:23:00,635 --> 00:23:04,150 लेकिन वास्तव में हमारे समीकरण के उत्तर की गणना के बारे में क्या? 352 -00:23:12,170 --> 00:23:15,869 +00:23:05,110 --> 00:23:09,086 ऐसा करने का एक तरीका अनिवार्य रूप से यह अनुकरण करना है कि ब्रह्मांड क्या करेगा, 353 -00:23:15,869 --> 00:23:19,938 +00:23:09,086 --> 00:23:13,461 लेकिन कैलकुलस को परिभाषित करने वाले अनंत लघु और सीमाओं के बजाय सीमित समय चरणों का उपयोग 354 -00:23:19,938 --> 00:23:20,170 +00:23:13,461 --> 00:23:13,710 करना। 355 -00:23:20,170 --> 00:23:23,742 +00:23:14,430 --> 00:23:17,765 मूल विचार यह है कि यदि आप इस चरण आरेख में किसी बिंदु पर हैं, 356 -00:23:23,742 --> 00:23:27,667 +00:23:17,765 --> 00:23:21,428 तो उस वेक्टर के आधार पर एक कदम उठाएं जिस पर आप एक छोटे समय के चरण, 357 -00:23:27,667 --> 00:23:29,190 +00:23:21,428 --> 00:23:22,850 डेल्टा टी के लिए बैठे हैं। 358 -00:23:29,190 --> 00:23:32,310 +00:23:22,850 --> 00:23:26,990 विशेष रूप से, उस वेक्टर के डेल्टा टी गुना के बराबर एक कदम उठाएं। 359 -00:23:32,310 --> 00:23:36,338 +00:23:27,850 --> 00:23:30,378 एक अनुस्मारक के रूप में, इन वेक्टर क्षेत्रों को चित्रित करते समय, 360 -00:23:36,338 --> 00:23:41,710 +00:23:30,378 --> 00:23:33,750 अव्यवस्था को रोकने के लिए प्रत्येक वेक्टर के परिमाण को कृत्रिम रूप से कम कर दिया गया है। 361 -00:23:41,710 --> 00:23:46,564 +00:23:34,910 --> 00:23:40,664 जब आप ऐसा बार-बार करते हैं, तो आपका अंतिम स्थान थीटा टी का एक अनुमान होगा, 362 -00:23:46,564 --> 00:23:48,830 +00:23:40,664 --> 00:23:43,350 जहां टी उन सभी समय चरणों का योग है। 363 -00:23:49,250 --> 00:23:53,687 +00:23:44,330 --> 00:23:47,288 हालाँकि, यदि आप इस बारे में सोचते हैं कि अभी क्या दिखाया जा रहा है, 364 -00:23:53,687 --> 00:23:59,170 +00:23:47,288 --> 00:23:50,943 और इसका पेंडुलम की गति पर क्या प्रभाव पड़ेगा, तो आप शायद इस बात से सहमत होंगे कि यह 365 -00:23:59,170 --> 00:24:00,410 +00:23:50,943 --> 00:23:51,770 पूरी तरह से गलत है। 366 -00:24:00,970 --> 00:24:03,890 +00:23:52,210 --> 00:23:56,710 लेकिन ऐसा केवल इसलिए है क्योंकि समय चरण डेल्टा 0 है।5 बहुत बड़ा है. 367 -00:24:03,890 --> 00:24:07,227 +00:23:57,210 --> 00:24:00,288 यदि हमने इसे अस्वीकार कर दिया है, तो 0 कहें।01, 368 -00:24:07,227 --> 00:24:12,650 +00:24:00,288 --> 00:24:05,290 आप अधिक सटीक अनुमान प्राप्त कर सकते हैं, इसमें बस अधिक दोहराए गए चरण लगते हैं। 369 -00:24:12,650 --> 00:24:15,530 +00:24:05,870 --> 00:24:10,570 इस मामले में, 10 की थीटा की गणना करने के लिए 1000 छोटे चरणों की आवश्यकता होती है। 370 -00:24:15,530 --> 00:24:18,020 +00:24:11,350 --> 00:24:13,771 सौभाग्य से, हम कंप्यूटर वाली दुनिया में रहते हैं, 371 -00:24:18,020 --> 00:24:21,756 +00:24:13,771 --> 00:24:17,403 इसलिए एक साधारण कार्य को 1000 बार दोहराना उतना ही सरल है जितना उस कार्य को 372 -00:24:21,756 --> 00:24:23,450 +00:24:17,403 --> 00:24:19,050 प्रोग्रामिंग भाषा में व्यक्त करना। 373 -00:24:23,450 --> 00:24:25,714 +00:24:19,590 --> 00:24:22,049 वास्तव में, आइए एक छोटा पायथन प्रोग्राम लिखकर चीजों 374 -00:24:25,714 --> 00:24:28,110 +00:24:22,049 --> 00:24:24,650 को समाप्त करें जो हमारे लिए टी की थीटा की गणना करता है। 375 -00:24:28,450 --> 00:24:32,351 +00:24:25,270 --> 00:24:28,342 इसे जो करना है वह अंतर समीकरण का उपयोग करना है, 376 -00:24:32,351 --> 00:24:38,610 +00:24:28,342 --> 00:24:33,270 जो थीटा और थीटा डॉट के फ़ंक्शन के रूप में थीटा का दूसरा व्युत्पन्न लौटाता है। 377 -00:24:38,610 --> 00:24:41,020 +00:24:34,230 --> 00:24:37,090 आप दो चर, थीटा और थीटा डॉट, प्रत्येक को कुछ प्रारंभिक 378 -00:24:41,020 --> 00:24:43,430 +00:24:37,090 --> 00:24:39,950 स्थितियों के संदर्भ में परिभाषित करके शुरुआत करते हैं। 379 -00:24:43,430 --> 00:24:46,350 +00:24:40,590 --> 00:24:43,636 इस मामले में मैं थीटा को पीआई तिहाई पर शुरू करूंगा, 380 -00:24:46,350 --> 00:24:48,990 +00:24:43,636 --> 00:24:46,390 जो कि 60 डिग्री है, और थीटा डॉट 0 पर शुरू होगा। 381 -00:24:48,990 --> 00:24:54,774 +00:24:47,050 --> 00:24:53,037 इसके बाद, एक लूप लिखें जो 0 और समय t के बीच कई छोटे समय के चरण लेने के अनुरूप है, 382 -00:24:54,774 --> 00:24:59,290 +00:24:53,037 --> 00:24:57,710 प्रत्येक आकार डेल्टा t है, जिसे मैं यहां 0 पर सेट कर रहा हूं।01. 383 -00:24:59,290 --> 00:25:03,790 +00:24:58,570 --> 00:25:03,342 इस लूप के प्रत्येक चरण में थीटा को थीटा डॉट टाइम्स डेल्टा टी से बढ़ाएं, 384 -00:25:03,790 --> 00:25:07,291 +00:25:03,342 --> 00:25:07,054 और थीटा डॉट को थीटा डबल डॉट टाइम्स डेल्टा टी से बढ़ाएं, 385 -00:25:07,291 --> 00:25:11,230 +00:25:07,054 --> 00:25:11,230 जहां थीटा डबल डॉट की गणना अंतर समीकरण के आधार पर की जा सकती है। 386 diff --git a/2019/differential-equations/italian/auto_generated.srt b/2019/differential-equations/italian/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..09b0718ab --- /dev/null +++ b/2019/differential-equations/italian/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,1736 @@ +1 +00:00:03,500 --> 00:00:05,892 +Riprendendo una citazione di Stephen Strogatz, + +2 +00:00:05,892 --> 00:00:10,372 +da Newton in poi l'umanità ha capito che le leggi della fisica sono sempre espresse nel + +3 +00:00:10,372 --> 00:00:12,460 +linguaggio delle equazioni differenziali. + +4 +00:00:13,160 --> 00:00:16,975 +Naturalmente, questa lingua viene parlata anche al di là dei confini della fisica, + +5 +00:00:16,975 --> 00:00:19,779 +e poterla parlare e leggere aggiunge un nuovo colore al modo + +6 +00:00:19,779 --> 00:00:21,480 +in cui vedi il mondo che ti circonda. + +7 +00:00:22,180 --> 00:00:25,400 +Nei prossimi video voglio fare una sorta di tour di questo argomento. + +8 +00:00:25,840 --> 00:00:28,755 +L'obiettivo è quello di dare una visione d'insieme di ciò che riguarda + +9 +00:00:28,755 --> 00:00:31,588 +questo pezzo di matematica, ma allo stesso tempo di essere felici di + +10 +00:00:31,588 --> 00:00:34,380 +scavare nei dettagli di esempi specifici man mano che si presentano. + +11 +00:00:35,060 --> 00:00:38,986 +Presumo che tu conosca le basi del calcolo, come le derivate e gli integrali, + +12 +00:00:38,986 --> 00:00:42,813 +e nei video successivi avremo bisogno di un po' di algebra lineare di base, + +13 +00:00:42,813 --> 00:00:43,820 +ma non molto di più. + +14 +00:00:44,600 --> 00:00:47,039 +Le equazioni differenziali nascono ogni volta che è più facile + +15 +00:00:47,039 --> 00:00:49,440 +descrivere un cambiamento piuttosto che una quantità assoluta. + +16 +00:00:49,440 --> 00:00:52,368 +È più facile dire perché le dimensioni della popolazione, + +17 +00:00:52,368 --> 00:00:55,448 +ad esempio, crescono o si riducono, piuttosto che descrivere + +18 +00:00:55,448 --> 00:00:58,680 +perché hanno i valori particolari che hanno in un certo momento. + +19 +00:00:59,500 --> 00:01:01,939 +Potrebbe essere più facile descrivere il motivo per cui il tuo amore per + +20 +00:01:01,939 --> 00:01:04,680 +qualcuno sta cambiando piuttosto che il motivo per cui si trova dove si trova ora. + +21 +00:01:05,180 --> 00:01:08,016 +In fisica, più precisamente nella meccanica newtoniana, + +22 +00:01:08,016 --> 00:01:12,575 +il movimento è spesso descritto in termini di forza e la forza determina l'accelerazione, + +23 +00:01:12,575 --> 00:01:14,500 +che è un'affermazione sul cambiamento. + +24 +00:01:15,160 --> 00:01:20,222 +Queste equazioni sono di due tipi diversi: le equazioni differenziali ordinarie, o ODE, + +25 +00:01:20,222 --> 00:01:24,824 +che coinvolgono funzioni con un singolo ingresso, spesso pensato come il tempo, + +26 +00:01:24,824 --> 00:01:29,542 +e le equazioni differenziali parziali, o PDE, che si occupano di funzioni con più + +27 +00:01:29,542 --> 00:01:30,060 +ingressi. + +28 +00:01:30,800 --> 00:01:32,792 +Le equazioni differenziali parziali sono un argomento + +29 +00:01:32,792 --> 00:01:34,600 +che esamineremo più da vicino nel prossimo video. + +30 +00:01:35,140 --> 00:01:39,427 +Spesso si pensa a un intero continuum di valori che cambiano nel tempo, + +31 +00:01:39,427 --> 00:01:44,668 +come la temperatura in ogni punto di un corpo solido o la velocità di un fluido in ogni + +32 +00:01:44,668 --> 00:01:45,800 +punto dello spazio. + +33 +00:01:46,600 --> 00:01:49,755 +Le equazioni differenziali ordinarie, su cui ci concentriamo per ora, + +34 +00:01:49,755 --> 00:01:52,820 +coinvolgono solo un insieme finito di valori che cambiano nel tempo. + +35 +00:01:53,520 --> 00:01:55,719 +E non deve essere necessariamente il tempo in sé, + +36 +00:01:55,719 --> 00:01:58,401 +la tua variabile indipendente potrebbe essere qualcos'altro, + +37 +00:01:58,401 --> 00:02:01,524 +ma le cose che cambiano con il tempo sono il prototipo e l'esempio più + +38 +00:02:01,524 --> 00:02:03,020 +comune di equazioni differenziali. + +39 +00:02:04,020 --> 00:02:08,043 +La fisica ci offre un bel terreno di gioco, con esempi semplici per iniziare, + +40 +00:02:08,043 --> 00:02:11,500 +e non mancano intricatezze e sfumature man mano che ci si addentra. + +41 +00:02:13,260 --> 00:02:17,360 +Come riscaldamento, considera la traiettoria di un oggetto che lanci in aria. + +42 +00:02:17,880 --> 00:02:21,572 +La forza di gravità vicino alla superficie della Terra provoca + +43 +00:02:21,572 --> 00:02:25,500 +un'accelerazione verso il basso di 9,8 metri al secondo al secondo. + +44 +00:02:26,260 --> 00:02:28,060 +Ora analizza il significato di questa frase. + +45 +00:02:28,500 --> 00:02:32,581 +Significa che se osserviamo quell'oggetto libero da altre forze e + +46 +00:02:32,581 --> 00:02:37,033 +registriamo la sua velocità ad ogni secondo, questi vettori di velocità + +47 +00:02:37,033 --> 00:02:41,362 +accumuleranno una piccola componente aggiuntiva verso il basso di 9,8 + +48 +00:02:41,362 --> 00:02:46,000 +metri al secondo ogni secondo, che chiamiamo costante 9,8 g per la gravità. + +49 +00:02:47,240 --> 00:02:50,355 +Questo è sufficiente per avere un esempio di equazione differenziale, + +50 +00:02:50,355 --> 00:02:51,780 +anche se relativamente semplice. + +51 +00:02:52,260 --> 00:02:55,120 +Concentrati sulla coordinata y in funzione del tempo. + +52 +00:02:57,280 --> 00:03:01,671 +La sua derivata dà la componente verticale della velocità, + +53 +00:03:01,671 --> 00:03:07,180 +la cui derivata a sua volta dà la componente verticale dell'accelerazione. + +54 +00:03:10,040 --> 00:03:12,842 +Per compattezza, scriviamo la derivata prima come + +55 +00:03:12,842 --> 00:03:15,420 +y-dot e la derivata seconda come y-doppia-dot. + +56 +00:03:15,980 --> 00:03:21,320 +La nostra equazione dice che y-doppio punto è uguale a g negativo, una semplice costante. + +57 +00:03:22,100 --> 00:03:24,322 +Questo è un problema che possiamo risolvere con l'integrazione, + +58 +00:03:24,322 --> 00:03:26,580 +che consiste essenzialmente nel lavorare la domanda all'indietro. + +59 +00:03:27,320 --> 00:03:29,993 +Per prima cosa, per trovare la velocità, chiedi: + +60 +00:03:29,993 --> 00:03:32,340 +quale funzione ha g negativo come derivata? + +61 +00:03:32,340 --> 00:03:39,720 +Si tratta di g negativo per t, o più precisamente di gt negativo più la velocità iniziale. + +62 +00:03:40,300 --> 00:03:43,356 +Nota che ci sono molte funzioni con questa particolare derivata, + +63 +00:03:43,356 --> 00:03:47,260 +quindi hai un grado di libertà in più che è determinato da una condizione iniziale. + +64 +00:03:48,360 --> 00:03:50,860 +Quale funzione ha questa derivata? + +65 +00:03:51,920 --> 00:03:56,200 +Risulta essere la metà negativa di g moltiplicata per t al quadrato più la velocità + +66 +00:03:56,200 --> 00:04:00,430 +iniziale moltiplicata per t, e anche in questo caso siamo liberi di aggiungere una + +67 +00:04:00,430 --> 00:04:02,877 +costante aggiuntiva senza cambiare la derivata, + +68 +00:04:02,877 --> 00:04:05,680 +e tale costante è determinata dalla posizione iniziale. + +69 +00:04:06,340 --> 00:04:09,348 +Ed ecco che abbiamo appena risolto un'equazione differenziale, + +70 +00:04:09,348 --> 00:04:13,360 +capendo cosa sia una funzione in base alle informazioni sul suo tasso di variazione. + +71 +00:04:14,220 --> 00:04:16,829 +Le cose si fanno più interessanti quando le forze + +72 +00:04:16,829 --> 00:04:19,700 +che agiscono su un corpo dipendono dalla sua posizione. + +73 +00:04:20,300 --> 00:04:23,114 +Ad esempio, studiando il moto di pianeti, stelle e lune, + +74 +00:04:23,114 --> 00:04:25,830 +la gravità non può più essere considerata una costante. + +75 +00:04:26,510 --> 00:04:30,802 +Dati due corpi, il polo su uno di essi è in direzione dell'altro, + +76 +00:04:30,802 --> 00:04:35,810 +con una forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra loro. + +77 +00:04:37,110 --> 00:04:40,980 +Come sempre, il tasso di variazione della posizione è la velocità, + +78 +00:04:40,980 --> 00:04:44,620 +ma ora il tasso di variazione della velocità, l'accelerazione, + +79 +00:04:44,620 --> 00:04:49,010 +è una funzione della posizione, quindi si ha questa danza tra due variabili + +80 +00:04:49,010 --> 00:04:53,285 +che interagiscono reciprocamente, che ricorda la danza tra i due corpi in + +81 +00:04:53,285 --> 00:04:54,730 +movimento che descrivono. + +82 +00:04:58,330 --> 00:05:02,233 +Questo riflette il fatto che spesso nelle equazioni differenziali i rompicapo + +83 +00:05:02,233 --> 00:05:05,886 +da affrontare riguardano la ricerca di una funzione la cui derivata e le + +84 +00:05:05,886 --> 00:05:09,690 +derivate di ordine superiore sono definite in termini della funzione stessa. + +85 +00:05:10,490 --> 00:05:14,377 +In fisica è più comune lavorare con equazioni differenziali del secondo ordine, + +86 +00:05:14,377 --> 00:05:18,701 +il che significa che la derivata maggiore che trovi in questa espressione è una derivata + +87 +00:05:18,701 --> 00:05:19,090 +seconda. + +88 +00:05:19,850 --> 00:05:23,804 +Le equazioni differenziali di ordine superiore sono quelle che coinvolgono le + +89 +00:05:23,804 --> 00:05:27,810 +derivate terze, le derivate quarte e così via, puzzle con indizi più intricati. + +90 +00:05:28,830 --> 00:05:31,821 +La sensazione che si prova quando si medita davvero su una di + +91 +00:05:31,821 --> 00:05:35,150 +queste equazioni è quella di risolvere un puzzle continuo e infinito. + +92 +00:05:35,770 --> 00:05:40,387 +In un certo senso, devi trovare infiniti numeri, uno per ogni punto nel tempo t, + +93 +00:05:40,387 --> 00:05:45,004 +ma sono vincolati da un modo molto specifico in cui questi valori si intrecciano + +94 +00:05:45,004 --> 00:05:49,850 +con il loro tasso di variazione e il tasso di variazione di quel tasso di variazione. + +95 +00:05:50,570 --> 00:05:53,477 +Per farti un'idea di come può essere lo studio di questi aspetti, + +96 +00:05:53,477 --> 00:05:57,310 +ti invito a dedicare un po' di tempo a un esempio ingannevolmente semplice: un pendolo. + +97 +00:05:57,910 --> 00:06:03,110 +Come cambia l'angolo theta che forma con la verticale in funzione del tempo? + +98 +00:06:04,030 --> 00:06:08,453 +Nei corsi di fisica introduttivi viene spesso citato come esempio di moto armonico, + +99 +00:06:08,453 --> 00:06:10,770 +ovvero che oscilla come un'onda sinusoidale. + +100 +00:06:10,770 --> 00:06:16,744 +Più precisamente, uno con un periodo di 2 pi volte la radice quadrata di l su g, + +101 +00:06:16,744 --> 00:06:21,170 +dove l è la lunghezza del pendolo e g è la forza di gravità. + +102 +00:06:22,710 --> 00:06:25,832 +Tuttavia, queste formule sono in realtà delle bugie, o meglio, + +103 +00:06:25,832 --> 00:06:29,450 +delle approssimazioni che funzionano solo nel campo degli angoli piccoli. + +104 +00:06:29,950 --> 00:06:32,948 +Se dovessi andare a misurare un pendolo vero e proprio, + +105 +00:06:32,948 --> 00:06:36,322 +scopriresti che man mano che lo estrai, il periodo è più lungo + +106 +00:06:36,322 --> 00:06:39,910 +di quanto suggeriscono le formule di fisica delle scuole superiori. + +107 +00:06:43,750 --> 00:06:47,361 +E quando lo estrai molto lontano, questo valore di theta tracciato + +108 +00:06:47,361 --> 00:06:50,650 +rispetto al tempo non sembra nemmeno più un'onda sinusoidale. + +109 +00:06:54,910 --> 00:06:59,190 +Per capire cosa sta succedendo, prima di tutto impostiamo l'equazione differenziale. + +110 +00:06:59,770 --> 00:07:04,788 +Misureremo la posizione del peso del pendolo come una distanza x lungo questo arco e, + +111 +00:07:04,788 --> 00:07:08,231 +se l'angolo theta che ci interessa è misurato in radianti, + +112 +00:07:08,231 --> 00:07:12,550 +possiamo scrivere x come l volte theta, dove l è la lunghezza del pendolo. + +113 +00:07:13,350 --> 00:07:17,114 +Come al solito, la gravità tira verso il basso con un'accelerazione g, + +114 +00:07:17,114 --> 00:07:19,976 +ma poiché il pendolo vincola il moto di questa massa, + +115 +00:07:19,976 --> 00:07:24,430 +dobbiamo considerare la componente di questa accelerazione nella direzione del moto. + +116 +00:07:25,190 --> 00:07:28,121 +Un piccolo esercizio di geometria per te consiste nel + +117 +00:07:28,121 --> 00:07:31,270 +dimostrare che questo piccolo angolo qui è uguale a theta. + +118 +00:07:35,010 --> 00:07:39,779 +Quindi la componente della gravità nella direzione del moto + +119 +00:07:39,779 --> 00:07:44,470 +opposta a questo angolo sarà negativa per il seno di theta. + +120 +00:07:46,130 --> 00:07:49,085 +In questo caso consideriamo theta positivo quando il pendolo + +121 +00:07:49,085 --> 00:07:52,090 +oscilla verso destra e negativo quando oscilla verso sinistra. + +122 +00:07:52,650 --> 00:07:55,931 +Il segno meno nell'accelerazione indica che è sempre + +123 +00:07:55,931 --> 00:07:59,090 +orientata nella direzione opposta allo spostamento. + +124 +00:08:00,450 --> 00:08:06,650 +Quindi la derivata seconda di x, l'accelerazione, è negativa per g e per il seno di theta. + +125 +00:08:07,550 --> 00:08:09,530 +Come sempre, è bello fare un rapido controllo di coscienza + +126 +00:08:09,530 --> 00:08:11,510 +per verificare che la nostra formula abbia un senso fisico. + +127 +00:08:12,110 --> 00:08:14,980 +Quando theta è zero, il seno di zero è zero, quindi + +128 +00:08:14,980 --> 00:08:17,850 +non c'è accelerazione nella direzione del movimento. + +129 +00:08:18,330 --> 00:08:20,999 +Quando theta è a 90 gradi, il seno di theta è 1, + +130 +00:08:20,999 --> 00:08:24,650 +quindi l'accelerazione è la stessa che si avrebbe in caduta libera. + +131 +00:08:25,310 --> 00:08:26,510 +Va bene, questo è confermato. + +132 +00:08:27,150 --> 00:08:31,349 +E poiché x è L volte theta, ciò significa che la derivata + +133 +00:08:31,349 --> 00:08:35,549 +seconda di theta è negativa g su L volte il seno di theta. + +134 +00:08:36,330 --> 00:08:39,968 +Per essere un po' più realistici, aggiungiamo un termine per tenere conto della + +135 +00:08:39,968 --> 00:08:43,470 +resistenza dell'aria, che forse modelleremo come proporzionale alla velocità. + +136 +00:08:44,049 --> 00:08:46,823 +Lo scriveremo come mu negativo per il punto theta, + +137 +00:08:46,823 --> 00:08:50,468 +dove mu è una costante che racchiude tutta la resistenza dell'aria + +138 +00:08:50,468 --> 00:08:54,330 +e l'attrito che determina la velocità con cui il pendolo perde energia. + +139 +00:08:55,650 --> 00:08:59,810 +Questa, amici miei, è un'equazione differenziale particolarmente succosa. + +140 +00:09:00,210 --> 00:09:03,042 +Non è facile da risolvere, ma non è così difficile da + +141 +00:09:03,042 --> 00:09:05,770 +non poterne ricavare una comprensione significativa. + +142 +00:09:06,230 --> 00:09:09,020 +A prima vista, potresti pensare che la funzione sinusoidale che vedi + +143 +00:09:09,020 --> 00:09:11,650 +qui si riferisca all'andamento dell'onda sinusoidale del pendolo. + +144 +00:09:12,170 --> 00:09:15,790 +Ironicamente, però, alla fine scoprirai che è vero il contrario. + +145 +00:09:16,310 --> 00:09:19,610 +La presenza del seno in questa equazione è proprio il motivo per + +146 +00:09:19,610 --> 00:09:22,810 +cui i pendoli reali non oscillano con un andamento sinusoidale. + +147 +00:09:23,490 --> 00:09:27,584 +Se ti sembra strano, considera il fatto che in questo caso la funzione seno + +148 +00:09:27,584 --> 00:09:31,624 +prende theta come ingresso, ma nella soluzione approssimativa che potresti + +149 +00:09:31,624 --> 00:09:36,150 +vedere in un corso di fisica, theta stesso oscilla come uscita di una funzione seno. + +150 +00:09:36,950 --> 00:09:38,550 +È chiaro che c'è qualcosa di losco in ballo. + +151 +00:09:39,360 --> 00:09:43,445 +Una cosa che mi piace di questo esempio è che, anche se è relativamente semplice, + +152 +00:09:43,445 --> 00:09:47,630 +espone un'importante verità sulle equazioni differenziali con cui devi confrontarti. + +153 +00:09:48,070 --> 00:09:49,750 +Sono davvero difficili da risolvere. + +154 +00:09:50,330 --> 00:09:53,627 +In questo caso, se eliminiamo il termine di smorzamento, + +155 +00:09:53,627 --> 00:09:58,430 +possiamo a malapena scrivere una soluzione analitica, ma è estremamente complicata. + +156 +00:09:58,890 --> 00:10:01,858 +Si tratta di funzioni di cui probabilmente non hai mai sentito parlare, + +157 +00:10:01,858 --> 00:10:04,910 +scritte in termini di integrali e di strani problemi di integrali inversi. + +158 +00:10:04,910 --> 00:10:07,961 +Facendo un passo indietro, presumibilmente il motivo per cui si + +159 +00:10:07,961 --> 00:10:11,107 +trova una soluzione è quello di essere in grado di fare calcoli e + +160 +00:10:11,107 --> 00:10:14,350 +costruire una comprensione per qualsiasi dinamica si stia studiando. + +161 +00:10:15,050 --> 00:10:19,514 +In questo caso, queste domande sono state rimandate a capire come calcolare e, + +162 +00:10:19,514 --> 00:10:22,170 +soprattutto, comprendere queste nuove funzioni. + +163 +00:10:23,070 --> 00:10:26,860 +E più spesso, come nel caso in cui aggiungiamo il termine di smorzamento, + +164 +00:10:26,860 --> 00:10:30,650 +non esiste un modo conosciuto per scrivere una soluzione analitica esatta. + +165 +00:10:31,170 --> 00:10:35,621 +Beh, per qualsiasi problema difficile potresti definire una nuova funzione che sia la + +166 +00:10:35,621 --> 00:10:39,607 +risposta a quel problema, diamine, potresti anche darle il tuo nome se vuoi, + +167 +00:10:39,607 --> 00:10:43,697 +ma ancora una volta è inutile se non ti porta a fare calcoli e a costruire una + +168 +00:10:43,697 --> 00:10:44,370 +comprensione. + +169 +00:10:45,350 --> 00:10:48,512 +Per questo motivo, nello studio delle equazioni differenziali, + +170 +00:10:48,512 --> 00:10:52,778 +spesso facciamo una sorta di cortocircuito, saltando la parte della soluzione vera e + +171 +00:10:52,778 --> 00:10:56,894 +propria, poiché è irraggiungibile, e passando direttamente alla comprensione e al + +172 +00:10:56,894 --> 00:10:58,350 +calcolo delle sole equazioni. + +173 +00:10:58,350 --> 00:11:01,310 +Ti spiego come potrebbe apparire con un pendolo. + +174 +00:11:02,810 --> 00:11:07,127 +Cosa ti viene in mente, o quale visualizzazione puoi far fare a un software, + +175 +00:11:07,127 --> 00:11:11,613 +per capire i molti modi possibili in cui un pendolo, governato da queste leggi, + +176 +00:11:11,613 --> 00:11:14,810 +potrebbe evolvere a seconda delle condizioni di partenza? + +177 +00:11:15,730 --> 00:11:18,830 +Potresti essere tentato di immaginare il grafico di theta vs. theta. + +178 +00:11:18,950 --> 00:11:21,758 +t, e in qualche modo interpretare come la pendenza, + +179 +00:11:21,758 --> 00:11:24,730 +la posizione e la curvatura siano interrelate tra loro. + +180 +00:11:25,250 --> 00:11:29,512 +Tuttavia, ciò che si rivelerà più semplice e più generale è iniziare + +181 +00:11:29,512 --> 00:11:33,590 +a visualizzare tutti i possibili stati in un piano bidimensionale. + +182 +00:11:37,190 --> 00:11:41,679 +Quello che intendo con lo stato del pendolo è che si può descrivere con due numeri, + +183 +00:11:41,679 --> 00:11:43,390 +l'angolo e la velocità angolare. + +184 +00:11:43,930 --> 00:11:48,292 +Puoi cambiare liberamente uno di questi due valori senza necessariamente cambiare + +185 +00:11:48,292 --> 00:11:52,230 +l'altro, ma l'accelerazione è puramente una funzione di questi due valori. + +186 +00:11:52,990 --> 00:11:55,959 +Quindi ogni punto di questo piano bidimensionale descrive + +187 +00:11:55,959 --> 00:11:58,570 +completamente il pendolo in un determinato momento. + +188 +00:11:59,390 --> 00:12:03,330 +Queste possono essere considerate tutte le possibili condizioni iniziali del pendolo. + +189 +00:12:03,630 --> 00:12:06,749 +Se conosci l'angolo iniziale e la velocità angolare, + +190 +00:12:06,749 --> 00:12:11,930 +questo è sufficiente per prevedere come si evolverà il sistema con il passare del tempo. + +191 +00:12:14,210 --> 00:12:16,254 +Se non ci hai mai lavorato prima, questo tipo di + +192 +00:12:16,254 --> 00:12:18,550 +diagrammi può richiedere un po' di tempo per abituarsi. + +193 +00:12:18,550 --> 00:12:21,464 +Quella che stai osservando ora, questa spirale verso l'interno, + +194 +00:12:21,464 --> 00:12:24,014 +è una traiettoria abbastanza tipica del nostro pendolo, + +195 +00:12:24,014 --> 00:12:27,930 +quindi prenditi un momento per riflettere attentamente su ciò che viene rappresentato. + +196 +00:12:30,070 --> 00:12:32,945 +Nota come all'inizio, mentre theta diminuisce, + +197 +00:12:32,945 --> 00:12:36,250 +il punto theta, la coordinata y, diventa più negativo. + +198 +00:12:36,990 --> 00:12:40,110 +Il che ha senso, perché il pendolo si muove più velocemente + +199 +00:12:40,110 --> 00:12:42,710 +in direzione sinistra quando si avvicina al fondo. + +200 +00:12:43,590 --> 00:12:46,769 +Tieni presente che, anche se il vettore velocità di questo + +201 +00:12:46,769 --> 00:12:50,165 +pendolo è puntato verso sinistra, il valore di questa velocità + +202 +00:12:50,165 --> 00:12:53,830 +è sempre rappresentato dalla componente verticale del nostro spazio. + +203 +00:12:54,530 --> 00:12:58,938 +È importante ricordare che questo spazio di stato è una cosa astratta, + +204 +00:12:58,938 --> 00:13:02,850 +distinta dallo spazio fisico in cui il pendolo vive e si muove. + +205 +00:13:04,800 --> 00:13:07,451 +Dato che stiamo modellando questa traiettoria come se perdesse parte + +206 +00:13:07,451 --> 00:13:09,526 +della sua energia a causa della resistenza dell'aria, + +207 +00:13:09,526 --> 00:13:11,639 +questa traiettoria si muove a spirale verso l'interno, + +208 +00:13:11,639 --> 00:13:14,252 +il che significa che la velocità di picco e lo spostamento di picco + +209 +00:13:14,252 --> 00:13:15,790 +diminuiscono un po' a ogni oscillazione. + +210 +00:13:16,350 --> 00:13:19,853 +Il nostro punto è, in un certo senso, attratto dall'origine, + +211 +00:13:19,853 --> 00:13:22,610 +dove theta e theta dot sono entrambi uguali a 0. + +212 +00:13:25,810 --> 00:13:28,190 +Con questo spazio, possiamo visualizzare un'equazione + +213 +00:13:28,190 --> 00:13:29,910 +differenziale come un campo vettoriale. + +214 +00:13:30,490 --> 00:13:31,630 +Lascia che ti mostri cosa intendo. + +215 +00:13:31,950 --> 00:13:35,030 +Lo stato del pendolo è un vettore, theta, theta dot. + +216 +00:13:35,570 --> 00:13:39,310 +Forse pensi che sia una freccia che parte dall'origine o forse pensi che sia un punto. + +217 +00:13:39,750 --> 00:13:43,670 +L'importante è che abbia due coordinate, ciascuna in funzione del tempo. + +218 +00:13:43,670 --> 00:13:48,113 +Prendendo la derivata di quel vettore si ottiene il suo tasso di variazione, + +219 +00:13:48,113 --> 00:13:52,730 +ovvero la direzione e la velocità in cui tenderà a muoversi in questo diagramma. + +220 +00:13:53,670 --> 00:13:57,209 +La derivata è un nuovo vettore, theta punto theta doppio punto, + +221 +00:13:57,209 --> 00:14:00,970 +che visualizziamo come collegato al punto in questione nello spazio. + +222 +00:14:03,790 --> 00:14:05,670 +Prenditi un momento per interpretare ciò che sta dicendo. + +223 +00:14:06,370 --> 00:14:10,169 +La prima componente di questo vettore di velocità di cambiamento è il punto theta, + +224 +00:14:10,169 --> 00:14:12,230 +che è anche una coordinata nel nostro spazio. + +225 +00:14:12,790 --> 00:14:17,257 +Più siamo in alto nel diagramma, più il punto tende a spostarsi verso + +226 +00:14:17,257 --> 00:14:21,470 +destra e più siamo in basso, più tende a spostarsi verso sinistra. + +227 +00:14:24,330 --> 00:14:26,641 +La componente verticale è il doppio punto theta, + +228 +00:14:26,641 --> 00:14:30,746 +che la nostra equazione differenziale ci permette di riscrivere interamente in termini + +229 +00:14:30,746 --> 00:14:32,350 +di theta e del punto theta stesso. + +230 +00:14:32,950 --> 00:14:37,020 +In altre parole, la derivata prima del nostro vettore di stato è una funzione del + +231 +00:14:37,020 --> 00:14:41,290 +vettore stesso, con la maggior parte della complessità legata alla seconda coordinata. + +232 +00:14:41,290 --> 00:14:44,156 +Facendo la stessa cosa in tutti i punti di questo spazio, + +233 +00:14:44,156 --> 00:14:47,270 +si vedrà come lo stato tende a cambiare da qualsiasi posizione. + +234 +00:14:48,270 --> 00:14:50,594 +Come è tipico dei campi vettoriali, quando li disegniamo + +235 +00:14:50,594 --> 00:14:53,366 +ridimensioniamo artificialmente i vettori per evitare il disordine, + +236 +00:14:53,366 --> 00:14:55,650 +ma usiamo il colore per indicare vagamente la grandezza. + +237 +00:14:56,950 --> 00:15:00,046 +Notiamo che abbiamo scomposto una singola equazione del + +238 +00:15:00,046 --> 00:15:03,530 +secondo ordine in un sistema di due equazioni del primo ordine. + +239 +00:15:04,230 --> 00:15:06,757 +Potresti anche dare al punto theta un nome diverso, + +240 +00:15:06,757 --> 00:15:10,160 +per sottolineare che in realtà stiamo pensando a due valori separati, + +241 +00:15:10,160 --> 00:15:14,050 +intrecciati grazie all'effetto reciproco che hanno sulla velocità di variazione. + +242 +00:15:14,590 --> 00:15:17,390 +Questo è un trucco comune nello studio delle equazioni differenziali. + +243 +00:15:17,850 --> 00:15:21,708 +Invece di pensare alle variazioni di ordine superiore di un singolo valore, + +244 +00:15:21,708 --> 00:15:25,110 +spesso preferiamo pensare alla derivata prima di valori vettoriali. + +245 +00:15:25,950 --> 00:15:28,430 +In questa forma, abbiamo un meraviglioso modo visivo + +246 +00:15:28,430 --> 00:15:30,770 +di pensare a cosa significa risolvere l'equazione. + +247 +00:15:31,210 --> 00:15:34,585 +Quando il nostro sistema si evolve da uno stato iniziale, + +248 +00:15:34,585 --> 00:15:38,892 +il nostro punto in questo spazio si muoverà lungo una traiettoria in modo + +249 +00:15:38,892 --> 00:15:44,130 +tale che in ogni momento la velocità di quel punto corrisponda al vettore di questo campo. + +250 +00:15:44,790 --> 00:15:48,402 +E ancora, tieni presente che questa velocità non è la stessa cosa della + +251 +00:15:48,402 --> 00:15:52,015 +velocità fisica del pendolo, ma è un tasso di cambiamento più astratto, + +252 +00:15:52,015 --> 00:15:56,130 +che codifica i tassi di cambiamento sia per il punto theta che per il punto theta. + +253 +00:15:57,230 --> 00:16:00,297 +Potresti trovare divertente fermarti un attimo e pensare a cosa dicono + +254 +00:16:00,297 --> 00:16:03,279 +esattamente alcune di queste linee di traiettoria sui possibili modi + +255 +00:16:03,279 --> 00:16:06,390 +in cui il pendolo si evolve a partire da diverse condizioni di partenza. + +256 +00:16:09,430 --> 00:16:12,621 +Ad esempio, nelle regioni in cui il punto theta è molto alto, + +257 +00:16:12,621 --> 00:16:15,658 +i vettori guidano il punto a spostarsi verso destra per un + +258 +00:16:15,658 --> 00:16:18,850 +bel po' prima di stabilizzarsi in una spirale verso l'interno. + +259 +00:16:19,670 --> 00:16:24,079 +Questo corrisponde a un pendolo con una velocità iniziale sufficientemente alta da + +260 +00:16:24,079 --> 00:16:28,490 +fargli compiere diverse rotazioni prima di stabilizzarsi in un andamento decadente. + +261 +00:16:31,210 --> 00:16:32,770 +Ti stai divertendo un po' di più? + +262 +00:16:33,270 --> 00:16:37,272 +Se modifico questo termine di resistenza dell'aria, ad esempio aumentandolo, + +263 +00:16:37,272 --> 00:16:41,639 +puoi vedere immediatamente come questo si tradurrà in traiettorie che spiraleggiano + +264 +00:16:41,639 --> 00:16:45,590 +più velocemente verso l'interno, ovvero il pendolo rallenta più velocemente. + +265 +00:16:46,130 --> 00:16:49,064 +Questo è ovvio quando lo chiamo termine di resistenza dell'aria, + +266 +00:16:49,064 --> 00:16:51,729 +ma immagina di vedere queste equazioni fuori dal contesto, + +267 +00:16:51,729 --> 00:16:53,490 +senza sapere che descrivono un pendolo. + +268 +00:16:54,010 --> 00:16:58,165 +Non è ovvio che aumentando questo valore di mu il sistema nel + +269 +00:16:58,165 --> 00:17:02,590 +suo complesso tenda più velocemente verso uno stato di attrazione. + +270 +00:17:03,390 --> 00:17:06,327 +Per questo motivo, un software che disegni questi campi vettoriali + +271 +00:17:06,327 --> 00:17:09,089 +per te può essere un ottimo modo per capire come si comportano. + +272 +00:17:09,930 --> 00:17:13,009 +La cosa meravigliosa è che qualsiasi sistema di equazioni differenziali + +273 +00:17:13,009 --> 00:17:15,875 +ordinarie può essere descritto da un campo vettoriale come questo, + +274 +00:17:15,875 --> 00:17:18,869 +quindi è un modo molto generale per farsi un'idea di queste equazioni. + +275 +00:17:19,470 --> 00:17:22,089 +Di solito, però, hanno molte più dimensioni. + +276 +00:17:22,720 --> 00:17:25,584 +Ad esempio, consideriamo il famoso problema dei tre corpi, + +277 +00:17:25,584 --> 00:17:29,614 +che consiste nel prevedere come si evolvono tre masse nello spazio tridimensionale + +278 +00:17:29,614 --> 00:17:33,498 +se agiscono l'una sull'altra con la gravità e se si conoscono le loro posizioni + +279 +00:17:33,498 --> 00:17:34,470 +e velocità iniziali. + +280 +00:17:35,290 --> 00:17:37,694 +Ogni massa ha tre coordinate che descrivono la sua + +281 +00:17:37,694 --> 00:17:40,570 +posizione e altre tre che descrivono la sua quantità di moto. + +282 +00:17:41,270 --> 00:17:44,450 +Il sistema ha quindi 18 gradi di libertà in totale e + +283 +00:17:44,450 --> 00:17:47,690 +quindi uno spazio di 18 dimensioni di stati possibili. + +284 +00:17:48,250 --> 00:17:49,970 +È un pensiero bizzarro, vero? + +285 +00:17:50,230 --> 00:17:54,595 +Un singolo punto che serpeggia in uno spazio a 18 dimensioni che non possiamo + +286 +00:17:54,595 --> 00:17:58,905 +visualizzare, facendo obbedientemente dei passi nel tempo in base al vettore + +287 +00:17:58,905 --> 00:18:03,271 +su cui si trova di momento in momento, codificando completamente le posizioni + +288 +00:18:03,271 --> 00:18:07,470 +e i momenti delle tre masse che vediamo nello spazio 3D ordinario e fisico. + +289 +00:18:08,650 --> 00:18:12,056 +In pratica, puoi ridurre il numero di dimensioni sfruttando le simmetrie + +290 +00:18:12,056 --> 00:18:15,416 +della tua configurazione, ma il punto che un maggior numero di gradi di + +291 +00:18:15,416 --> 00:18:18,730 +libertà si traduce in spazi di stato più dimensionali rimane lo stesso. + +292 +00:18:21,290 --> 00:18:24,530 +In matematica, spesso chiamiamo uno spazio come questo spazio di fase. + +293 +00:18:25,090 --> 00:18:29,036 +Mi sentirete usare questo termine in senso lato per gli spazi che codificano tutti i + +294 +00:18:29,036 --> 00:18:32,891 +tipi di stati di sistemi mutevoli, ma dovete sapere che nel contesto della fisica, + +295 +00:18:32,891 --> 00:18:36,838 +in particolare della meccanica hamiltoniana, il termine è spesso riservato a un caso + +296 +00:18:36,838 --> 00:18:40,877 +più speciale, ovvero uno spazio i cui assi rappresentano la posizione e la quantità di + +297 +00:18:40,877 --> 00:18:41,110 +moto. + +298 +00:18:41,890 --> 00:18:45,745 +Quindi un fisico sarebbe d'accordo sul fatto che lo spazio a 18 dimensioni che descrive + +299 +00:18:45,745 --> 00:18:47,849 +il problema dei tre corpi è uno spazio di fase, + +300 +00:18:47,849 --> 00:18:51,661 +ma potrebbe chiederci di apportare un paio di modifiche alla nostra configurazione del + +301 +00:18:51,661 --> 00:18:53,370 +pendolo per fargli meritare il termine. + +302 +00:18:54,250 --> 00:18:57,378 +Per coloro che hanno appena visto il video della collisione tra blocchi, + +303 +00:18:57,378 --> 00:19:00,678 +i piani con cui abbiamo lavorato sono chiamati spazi di fase dai matematici, + +304 +00:19:00,678 --> 00:19:03,250 +anche se un fisico potrebbe preferire un'altra terminologia. + +305 +00:19:03,890 --> 00:19:06,830 +Sappi che il significato specifico può dipendere dal contesto in cui ti trovi. + +306 +00:19:07,870 --> 00:19:11,785 +Può sembrare un'idea semplice, a seconda di quanto sei indottrinato sui moderni + +307 +00:19:11,785 --> 00:19:15,407 +modi di pensare la matematica, ma vale la pena ricordare che l'umanità ha + +308 +00:19:15,407 --> 00:19:19,225 +impiegato un bel po' di tempo per abbracciare davvero il concetto di dinamica + +309 +00:19:19,225 --> 00:19:23,190 +spaziale in questo modo, soprattutto quando le dimensioni diventano molto grandi. + +310 +00:19:23,890 --> 00:19:32,963 +Nel suo libro Chaos, l'autore James Glick descrive lo spazio di fase + +311 +00:19:32,963 --> 00:19:41,247 +come "una delle più potenti invenzioni della scienza moderna". + +312 +00:19:41,247 --> 00:19:52,030 +Uno dei motivi per cui è potente è che si possono porre domande, non solo un'idea. + +313 +00:19:52,910 --> 00:20:01,910 +su una singola condizione iniziale, ma su un intero spettro di stati iniziali. + +314 +00:20:02,770 --> 00:20:08,243 +L'insieme di tutte le possibili traiettorie ricorda un fluido in movimento. + +315 +00:20:08,243 --> 00:20:11,628 +Per questo motivo lo chiamiamo flusso di fase. + +316 +00:20:11,628 --> 00:20:15,590 +Per citare un esempio del perché il flusso di fase è un + +317 +00:20:16,150 --> 00:20:21,498 +Per avere un'idea fruttuosa, consideriamo la questione della stabilità. + +318 +00:20:21,498 --> 00:20:27,070 +L'origine del nostro spazio corrisponde al pendolo fermo, e così anche il t + +319 +00:20:28,050 --> 00:20:30,817 +il suo punto qui, che rappresenta quando il pendolo è perfettamente in + +320 +00:20:30,817 --> 00:20:33,624 +equilibrio in posizione verticale. Questi sono i cosiddetti punti fissi + +321 +00:20:33,624 --> 00:20:36,626 +del nostro sistema e una domanda naturale da porsi è se sono stabili o meno, + +322 +00:20:36,626 --> 00:20:39,589 +cioè se piccoli colpi al sistema porteranno a uno stato che tende a tornare + +323 +00:20:39,589 --> 00:20:42,630 +verso quel punto fisso o ad allontanarsi da esso? L'intuizione fisica per il p + +324 +00:20:44,810 --> 00:20:49,730 +L'endulum rende la risposta piuttosto ovvia, ma come penseresti a st + +325 +00:20:50,570 --> 00:20:55,467 +Se le equazioni sono state create in un contesto completamente diverso e meno intuitivo? + +326 +00:20:55,467 --> 00:20:59,924 +Nei prossimi video spiegheremo come calcolare le risposte a domande come questa, + +327 +00:20:59,924 --> 00:21:01,190 +e l'intuizione per la r + +328 +00:21:01,550 --> 00:21:05,766 +I calcoli più importanti sono guidati dal pensiero di osservare + +329 +00:21:05,766 --> 00:21:10,312 +piccole regioni nello spazio intorno a un punto fisso e di chiedersi + +330 +00:21:10,312 --> 00:21:15,978 +se il flusso tende a contrarsi o a espandersi. A proposito di attrazione e stabilità, + +331 +00:21:15,978 --> 00:21:19,470 +facciamo una breve parentesi per parlare di amore. Il + +332 +00:21:19,890 --> 00:21:24,937 +La citazione di Strogatz che ho citato prima proviene + +333 +00:21:24,937 --> 00:21:28,770 +da una stravagante rubrica del New York T + +334 +00:21:29,910 --> 00:21:32,192 +sulla matematica della modellazione degli affetti, + +335 +00:21:32,192 --> 00:21:35,190 +un esempio che vale la pena di prendere come esempio per illustrare + +336 +00:21:35,810 --> 00:21:39,816 +Non stiamo parlando solo di fisica. Immagina di aver flirtato con qualcuno, + +337 +00:21:39,816 --> 00:21:44,350 +ma di aver riscontrato una frustrante incoerenza nella reciprocità del vostro affetto. + +338 +00:21:46,450 --> 00:21:51,410 +ms, e forse durante un m + +339 +00:21:51,790 --> 00:21:56,990 +omento quando ti + +340 +00:21:58,810 --> 00:22:00,338 +u rivolgi la tua attenzione alla fisica per distogliere la mente dalle + +341 +00:22:00,338 --> 00:22:01,953 +turbolenze romantiche, rimuginando sulle equazioni del pendolo interrotto, + +342 +00:22:01,953 --> 00:22:03,590 +capisci improvvisamente il continuo tira e molla tra le due parti del mondo. + +343 +00:22:03,590 --> 00:22:08,479 +namica del tuo flirt. Hai notato che il tuo affetto tende ad aumentare quando + +344 +00:22:08,479 --> 00:22:13,808 +il tuo compagno sembra interessato a te, mentre diminuisce quando sembra più freddo. + +345 +00:22:13,808 --> 00:22:18,510 +In altre parole, la velocità di cambiamento del tuo amore è proporzionale a + +346 +00:22:19,090 --> 00:22:20,310 +i loro sentimenti per te. + +347 +00:22:21,310 --> 00:22:24,282 +Ma questa tua dolce metà è esattamente l'opposto, + +348 +00:22:24,282 --> 00:22:27,670 +stranamente attratta da te quando sembri disinteressato, + +349 +00:22:27,670 --> 00:22:32,544 +ma spenta quando sembri troppo interessato. Lo spazio di fase di queste equazioni + +350 +00:22:32,544 --> 00:22:36,170 +è molto simile alla parte centrale del diagramma del pendolo. + +351 +00:22:36,890 --> 00:22:40,636 +I due andranno avanti e indietro tra affetto e repulsione in un ciclo senza fine. + +352 +00:22:40,636 --> 00:22:44,565 +La metafora dell'oscillazione del pendolo nei vostri sentimenti non è solo azzeccata, + +353 +00:22:44,565 --> 00:22:46,210 +ma anche matematicamente verificata. + +354 +00:22:47,230 --> 00:22:49,098 +Infatti, se i sentimenti del tuo partner venissero ulteriormente + +355 +00:22:49,098 --> 00:22:50,478 +rallentati quando si sentono troppo innamorati, + +356 +00:22:50,478 --> 00:22:51,887 +ad esempio per paura di essere resi vulnerabili, + +357 +00:22:51,887 --> 00:22:53,813 +avremmo un termine che corrisponde all'attrito del pendolo e anche + +358 +00:22:53,813 --> 00:22:55,050 +tu saresti destinato ad una vita interiore. + +359 +00:22:57,450 --> 00:23:04,150 +spirale verso l'ambivalenza reciproca. Sento già le campane nuziali. + +360 +00:23:05,110 --> 00:23:09,729 +Il punto è che due leggi dinamiche apparentemente molto diverse, + +361 +00:23:09,729 --> 00:23:13,710 +una proveniente dalla fisica, che coinvolgono un singolo + +362 +00:23:14,430 --> 00:23:19,257 +e un'altra di chimica, con due variabili, hanno in realtà una struttura molto simile, + +363 +00:23:19,257 --> 00:23:22,850 +più facile da riconoscere quando si guarda il diagramma di fase. + +364 +00:23:22,850 --> 00:23:26,990 +In particolare, anche se l'equazione + +365 +00:23:27,850 --> 00:23:30,869 +Le equazioni di fase sono diverse, ad esempio non c'è la funzione seno nelle equazioni + +366 +00:23:30,869 --> 00:23:33,750 +del romanticismo, ma lo spazio di fase mostra comunque una somiglianza di fondo. In + +367 +00:23:34,910 --> 00:23:37,203 +In altre parole, non stai solo studiando un pendolo, + +368 +00:23:37,203 --> 00:23:40,926 +ma le tattiche che sviluppi per studiare un caso tendono a trasferirsi a molti altri. + +369 +00:23:40,926 --> 00:23:43,350 +Ok, i diagrammi di fase sono un bel modo per comprendere + +370 +00:23:44,330 --> 00:23:48,280 +Ma come fare per calcolare effettivamente la risposta alla nostra equazione? + +371 +00:23:48,280 --> 00:23:51,770 +Un modo per farlo è quello di simulare essenzialmente il calcolo del + +372 +00:23:52,210 --> 00:23:54,301 +dell'universo, ma utilizzando passi temporali finiti invece degli + +373 +00:23:54,301 --> 00:23:56,710 +infinitesimi e dei limiti che definiscono il calcolo. L'idea di base è che t + +374 +00:23:57,210 --> 00:24:05,290 +se sei ad un certo punto + +375 +00:24:05,870 --> 00:24:08,196 +in questo diagramma di fase, fai un passo in base + +376 +00:24:08,196 --> 00:24:10,570 +al vettore su cui sei seduto per un piccolo tempo s + +377 +00:24:11,350 --> 00:24:16,186 +tep, delta t. In particolare, fai un passo pari a delta t per quel vettore. + +378 +00:24:16,186 --> 00:24:19,050 +Come promemoria, nel disegnare questi vettori + +379 +00:24:19,590 --> 00:24:24,650 +o campi, la grandezza per e + +380 +00:24:25,270 --> 00:24:28,710 +Il vettore ach è stato artificialmente ridimensionato per evitare il disordine. + +381 +00:24:28,710 --> 00:24:31,420 +Eseguendo questa operazione ripetutamente, la posizione finale + +382 +00:24:31,420 --> 00:24:33,270 +sarà un'approssimazione di teta t, dove t i + +383 +00:24:34,230 --> 00:24:37,143 +è la somma di tutti questi passi temporali. Tuttavia, + +384 +00:24:37,143 --> 00:24:39,950 +se pensi a ciò che viene mostrato in questo momento, + +385 +00:24:40,590 --> 00:24:42,566 +e ciò che questo implicherebbe per il movimento del pendolo, + +386 +00:24:42,566 --> 00:24:44,834 +probabilmente converrai che si tratta di una grossolana imprecisione. + +387 +00:24:44,834 --> 00:24:46,390 +Ma questo solo perché il passo temporale delta t + +388 +00:24:47,050 --> 00:24:57,710 +di 0,5 è troppo grande. Se lo abbassassimo, ad esempio a 0,01 + +389 +00:24:58,570 --> 00:25:01,500 +Puoi ottenere un'approssimazione molto più accurata, + +390 +00:25:01,500 --> 00:25:04,706 +solo che occorrono più passaggi ripetuti. In questo caso, + +391 +00:25:04,706 --> 00:25:08,410 +calcolare theta di 10 richiede 1000 piccoli passi. Fortunatamente, + +392 +00:25:08,410 --> 00:25:11,230 +viviamo in un mondo con i computer, quindi ripetere + +393 +00:25:11,910 --> 00:25:15,650 +un compito semplice 1000 volte + +394 +00:25:16,690 --> 00:25:18,182 +è semplice come articolare questo compito con un linguaggio di programmazione. + +395 +00:25:18,182 --> 00:25:19,410 +Infatti, concludiamo scrivendo un piccolo programma in python che + +396 +00:25:20,050 --> 00:25:26,110 +calcola il theta di t per noi. Deve utilizzare l'equazione differenziale, + +397 +00:25:26,110 --> 00:25:28,650 +che restituisce il secondo deri + +398 +00:25:30,530 --> 00:25:35,154 +vativo di theta come funzione di theta e theta dot. Si inizia definendo due variabili, + +399 +00:25:35,154 --> 00:25:38,450 +theta e theta dot, ciascuna in termini di condizioni iniziali. + +400 +00:25:38,790 --> 00:25:41,929 +In questo caso, il punto theta inizierà a pi greco terzo, cioè a 60 gradi, + +401 +00:25:41,929 --> 00:25:45,195 +e il punto theta inizierà a 0. Quindi, scrivi un ciclo che corrisponda a fare + +402 +00:25:45,195 --> 00:25:48,628 +tanti piccoli passi temporali tra 0 e il tempo t, ciascuno di dimensione delta t, + +403 +00:25:48,628 --> 00:25:51,810 +che qui ho impostato a 0.01. In ogni passo di questo ciclo, aumenta theta di + +404 +00:25:52,790 --> 00:25:54,050 +il punto theta per il delta t, e aumenta il theta + +405 +00:25:54,690 --> 00:25:59,414 +per theta doppio punto per delta t, dove theta doppio punto può essere + +406 +00:25:59,414 --> 00:26:02,541 +calcolato in base all'equazione differenziale. + +407 +00:26:02,541 --> 00:26:08,330 +Dopo tutti questi piccoli passi temporali, è sufficiente restituire il valore di theta. + +408 +00:26:09,210 --> 00:26:12,178 +Questo si chiama risolvere numericamente un'equazione differenziale. + +409 +00:26:12,178 --> 00:26:15,793 +I metodi numerici possono diventare molto più sofisticati e complessi di questo per + +410 +00:26:15,793 --> 00:26:18,547 +bilanciare meglio il compromesso tra accuratezza ed efficienza, + +411 +00:26:18,547 --> 00:26:20,010 +ma questo ciclo dà l'idea di base. + +412 +00:26:20,530 --> 00:26:21,641 +Quindi, anche se è un peccato non poter trovare sempre soluzioni esatte, + +413 +00:26:21,641 --> 00:26:22,950 +ci sono ancora modi significativi per studiare le equazioni differenziali a fronte di + +414 +00:26:22,950 --> 00:26:23,270 +questa impossibilità. + +415 +00:26:23,830 --> 00:26:26,072 +y. Nei video che seguono, vedremo diversi metodi + +416 +00:26:26,072 --> 00:26:28,270 +per trovare soluzioni esatte quando si tratta di + +417 +00:26:28,870 --> 00:26:31,570 +possibile, ma un tema su cui vorrei concentrarmi è come queste soluzioni + +418 +00:26:31,570 --> 00:26:34,234 +esatte possano aiutarci a studiare i casi più generali e irrisolvibili. + +419 +00:26:34,234 --> 00:26:36,971 +Ma c'è di peggio. Proprio come c'è un limite alla portata delle soluzioni + +420 +00:26:36,971 --> 00:26:40,190 +analitiche esatte, uno dei grandi campi emersi nell'ultimo secolo è la teoria del caos, + +421 +00:26:40,670 --> 00:26:44,350 +ha rivelato che ci sono pellicce + +422 +00:26:45,010 --> 00:26:45,753 +limiti sulla possibilità di utilizzare questi sistemi per la previsione con o senza + +423 +00:26:45,753 --> 00:26:46,284 +soluzioni. In particolare, sappiamo che per alcuni sistemi, + +424 +00:26:46,284 --> 00:26:46,974 +piccole variazioni delle condizioni iniziali, ad esempio dovute a misurazioni + +425 +00:26:46,974 --> 00:26:47,585 +necessariamente imperfette, danno luogo a traiettorie molto diverse. + +426 +00:26:47,585 --> 00:26:48,240 +Abbiamo anche sviluppato una buona comprensione del perché questo accade. + +427 +00:26:48,240 --> 00:26:49,019 +Il problema dei tre corpi, ad esempio, è noto per avere i semi del caos al suo interno. + +428 +00:26:49,019 --> 00:26:49,797 +Quindi, ripensando alla citazione di prima, sembra quasi crudele che l'universo riempia + +429 +00:26:49,797 --> 00:26:50,532 +il suo linguaggio con enigmi che non possiamo risolvere o per i quali sappiamo che + +430 +00:26:50,532 --> 00:26:51,249 +qualsiasi soluzione sarebbe comunque inutile per una previsione a lungo termine. + +431 +00:26:51,249 --> 00:26:51,815 +È crudele, ma d'altra parte dovrebbe anche essere rassicurante. + +432 +00:26:51,815 --> 00:26:52,567 +Dà la speranza che la complessità che vediamo nel mondo che ci circonda possa essere + +433 +00:26:52,567 --> 00:26:53,311 +studiata da qualche parte in questa matematica e che non sia nascosta nella mancata + +434 +00:26:53,311 --> 00:26:53,630 +corrispondenza tra modello e realtà. + diff --git a/2019/differential-equations/portuguese/auto_generated.srt b/2019/differential-equations/portuguese/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..d5b4e58e9 --- /dev/null +++ b/2019/differential-equations/portuguese/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,1732 @@ +1 +00:00:03,500 --> 00:00:08,073 +Citando Stephen Strogatz, desde Newton a humanidade percebeu que as leis + +2 +00:00:08,073 --> 00:00:12,460 +da física são sempre expressas na linguagem das equações diferenciais. + +3 +00:00:13,160 --> 00:00:16,841 +É claro que esta língua também é falada muito além das fronteiras da física, + +4 +00:00:16,841 --> 00:00:21,001 +e ser capaz de falá-la e lê-la acrescenta uma nova cor à forma como você vê o mundo ao + +5 +00:00:21,001 --> 00:00:21,480 +seu redor. + +6 +00:00:22,180 --> 00:00:25,400 +Nos próximos vídeos, quero fazer uma espécie de tour por esse assunto. + +7 +00:00:25,840 --> 00:00:29,454 +O objetivo é fornecer uma visão geral do que se trata esta parte da matemática, + +8 +00:00:29,454 --> 00:00:32,301 +ao mesmo tempo em que fica feliz em se aprofundar nos detalhes + +9 +00:00:32,301 --> 00:00:34,380 +de exemplos específicos à medida que aparecem. + +10 +00:00:35,060 --> 00:00:37,355 +Presumirei que você conhece o básico do cálculo, + +11 +00:00:37,355 --> 00:00:40,259 +como o que são derivadas e integrais, e em vídeos posteriores + +12 +00:00:40,259 --> 00:00:43,820 +precisaremos de um pouco de álgebra linear básica, mas não muito além disso. + +13 +00:00:44,600 --> 00:00:46,926 +As equações diferenciais surgem sempre que é mais + +14 +00:00:46,926 --> 00:00:49,440 +fácil descrever mudanças do que quantidades absolutas. + +15 +00:00:49,440 --> 00:00:52,838 +É mais fácil dizer por que o tamanho da população, por exemplo, + +16 +00:00:52,838 --> 00:00:57,458 +aumenta ou diminui do que descrever por que eles têm os valores específicos que têm em + +17 +00:00:57,458 --> 00:00:58,680 +algum momento no tempo. + +18 +00:00:59,500 --> 00:01:01,968 +Pode ser mais fácil descrever por que seu amor por + +19 +00:01:01,968 --> 00:01:04,680 +alguém está mudando do que por que está onde está agora. + +20 +00:01:05,180 --> 00:01:08,016 +Na física, mais especificamente na mecânica newtoniana, + +21 +00:01:08,016 --> 00:01:10,954 +o movimento é frequentemente descrito em termos de força, + +22 +00:01:10,954 --> 00:01:14,500 +e a força determina a aceleração, o que é uma afirmação sobre mudança. + +23 +00:01:15,160 --> 00:01:20,201 +Essas equações vêm em dois sabores diferentes, equações diferenciais ordinárias, ou EDOs, + +24 +00:01:20,201 --> 00:01:24,682 +envolvendo funções com uma única entrada, muitas vezes consideradas como tempo, + +25 +00:01:24,682 --> 00:01:29,555 +e equações diferenciais parciais, ou EDPs, que tratam de funções que possuem múltiplas + +26 +00:01:29,555 --> 00:01:30,060 +entradas. + +27 +00:01:30,800 --> 00:01:34,600 +Equações diferenciais parciais são algo que veremos mais de perto no próximo vídeo. + +28 +00:01:35,140 --> 00:01:38,587 +Muitas vezes pensamos neles como envolvendo todo um continuum de + +29 +00:01:38,587 --> 00:01:42,140 +valores que mudam com o tempo, como a temperatura em cada ponto de + +30 +00:01:42,140 --> 00:01:45,800 +um corpo sólido ou a velocidade de um fluido em cada ponto do espaço. + +31 +00:01:46,600 --> 00:01:49,566 +As equações diferenciais ordinárias, nosso foco por enquanto, + +32 +00:01:49,566 --> 00:01:52,820 +envolvem apenas uma coleção finita de valores que mudam com o tempo. + +33 +00:01:53,520 --> 00:01:58,020 +E não precisa ser o tempo em si, sua única variável independente poderia ser outra coisa, + +34 +00:01:58,020 --> 00:02:01,119 +mas as coisas que mudam com o tempo são o exemplo prototípico + +35 +00:02:01,119 --> 00:02:03,020 +e mais comum de equações diferenciais. + +36 +00:02:04,020 --> 00:02:08,224 +A física oferece um belo playground para nós aqui, com exemplos simples para começar, + +37 +00:02:08,224 --> 00:02:11,500 +e não faltam complexidades e nuances à medida que nos aprofundamos. + +38 +00:02:13,260 --> 00:02:17,360 +Como um bom aquecimento, considere a trajetória de algo que você joga no ar. + +39 +00:02:17,880 --> 00:02:21,719 +A força da gravidade perto da superfície da Terra faz com que as + +40 +00:02:21,719 --> 00:02:25,500 +coisas acelerem para baixo a 9,8 metros por segundo por segundo. + +41 +00:02:26,260 --> 00:02:28,060 +Agora desvende o que isso realmente quer dizer. + +42 +00:02:28,500 --> 00:02:32,979 +Isso significa que se você olhar para aquele objeto livre de outras forças + +43 +00:02:32,979 --> 00:02:37,220 +e registrar sua velocidade a cada segundo, esses vetores de velocidade + +44 +00:02:37,220 --> 00:02:41,580 +acumularão um pequeno componente descendente adicional de 9,8 metros por + +45 +00:02:41,580 --> 00:02:46,000 +segundo a cada segundo, chamamos essa constante de 9,8 g para a gravidade. + +46 +00:02:47,240 --> 00:02:50,394 +Isto é suficiente para nos dar um exemplo de equação diferencial, + +47 +00:02:50,394 --> 00:02:51,780 +embora relativamente simples. + +48 +00:02:52,260 --> 00:02:55,120 +Concentre-se na coordenada y em função do tempo. + +49 +00:02:57,280 --> 00:03:01,817 +A sua derivada dá a componente vertical da velocidade, + +50 +00:03:01,817 --> 00:03:07,180 +cuja derivada por sua vez dá a componente vertical da aceleração. + +51 +00:03:10,040 --> 00:03:12,874 +Para maior compactação, vamos escrever a primeira derivada + +52 +00:03:12,874 --> 00:03:15,420 +como ponto y e a segunda derivada como ponto duplo y. + +53 +00:03:15,980 --> 00:03:21,320 +Nossa equação diz que y-double-dot é igual a g negativo, uma constante simples. + +54 +00:03:22,100 --> 00:03:24,208 +Este é um problema que podemos resolver por integração, + +55 +00:03:24,208 --> 00:03:26,580 +o que é essencialmente trabalhar a questão de trás para frente. + +56 +00:03:27,320 --> 00:03:30,173 +Primeiro, para encontrar a velocidade, você pergunta: + +57 +00:03:30,173 --> 00:03:32,340 +qual função tem g negativo como derivada? + +58 +00:03:32,340 --> 00:03:39,720 +Bem, é negativo g vezes t, ou mais especificamente, negativo gt mais a velocidade inicial. + +59 +00:03:40,300 --> 00:03:43,316 +Observe que existem muitas funções com esta derivada específica, + +60 +00:03:43,316 --> 00:03:47,260 +então você tem um grau extra de liberdade que é determinado por uma condição inicial. + +61 +00:03:48,360 --> 00:03:50,860 +Agora, que função tem isso como derivada? + +62 +00:03:51,920 --> 00:03:56,782 +Acontece que é menos meio g vezes t ao quadrado mais aquela velocidade inicial vezes t, + +63 +00:03:56,782 --> 00:04:01,756 +e novamente estamos livres para adicionar uma constante adicional sem alterar a derivada, + +64 +00:04:01,756 --> 00:04:05,680 +e essa constante é determinada por qualquer que seja a posição inicial. + +65 +00:04:06,340 --> 00:04:09,188 +E pronto, acabamos de resolver uma equação diferencial, + +66 +00:04:09,188 --> 00:04:13,360 +descobrindo o que é uma função com base em informações sobre sua taxa de variação. + +67 +00:04:14,220 --> 00:04:17,009 +As coisas ficam mais interessantes quando as forças que + +68 +00:04:17,009 --> 00:04:19,700 +atuam sobre um corpo dependem de onde esse corpo está. + +69 +00:04:20,300 --> 00:04:23,291 +Por exemplo, estudando o movimento dos planetas, estrelas e luas, + +70 +00:04:23,291 --> 00:04:25,830 +a gravidade não pode mais ser considerada uma constante. + +71 +00:04:26,510 --> 00:04:30,797 +Dados dois corpos, o poste de um deles está na direção do outro, + +72 +00:04:30,797 --> 00:04:35,810 +com uma força inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. + +73 +00:04:37,110 --> 00:04:40,598 +Como sempre, a taxa de variação da posição é a velocidade, + +74 +00:04:40,598 --> 00:04:45,683 +mas agora a taxa de variação da velocidade, a aceleração, é alguma função da posição, + +75 +00:04:45,683 --> 00:04:49,999 +então você tem esta dança entre duas variáveis que interagem mutuamente, + +76 +00:04:49,999 --> 00:04:54,730 +uma reminiscência da dança entre os dois corpos em movimento que eles descrevem. + +77 +00:04:58,330 --> 00:05:01,722 +Isto reflete o fato de que muitas vezes em equações diferenciais, + +78 +00:05:01,722 --> 00:05:05,372 +os quebra-cabeças que você enfrenta envolvem encontrar uma função cuja + +79 +00:05:05,372 --> 00:05:09,690 +derivada e/ou derivadas de ordem superior são definidas em termos da própria função. + +80 +00:05:10,490 --> 00:05:14,274 +Na física é mais comum trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem, + +81 +00:05:14,274 --> 00:05:18,647 +o que significa que a derivada mais alta que você encontra nesta expressão é uma segunda + +82 +00:05:18,647 --> 00:05:19,090 +derivada. + +83 +00:05:19,850 --> 00:05:24,021 +Equações diferenciais de ordem superior seriam aquelas envolvendo terceiras derivadas, + +84 +00:05:24,021 --> 00:05:27,810 +quartas derivadas e assim por diante, quebra-cabeças com pistas mais complexas. + +85 +00:05:28,830 --> 00:05:32,064 +A sensação que você tem quando realmente medita sobre uma dessas + +86 +00:05:32,064 --> 00:05:35,150 +equações é a de resolver um quebra-cabeça infinito e contínuo. + +87 +00:05:35,770 --> 00:05:39,341 +De certa forma, você tem que encontrar um número infinito de números, + +88 +00:05:39,341 --> 00:05:42,810 +um para cada ponto no tempo t, mas eles são limitados por uma forma + +89 +00:05:42,810 --> 00:05:47,248 +muito específica de como esses valores se entrelaçam com sua própria taxa de variação, + +90 +00:05:47,248 --> 00:05:49,850 +e a taxa de variação dessa taxa de variação. mudar. + +91 +00:05:50,570 --> 00:05:52,926 +Para ter uma ideia de como pode ser estudar isso, + +92 +00:05:52,926 --> 00:05:56,791 +quero que você reserve algum tempo investigando um exemplo aparentemente simples, + +93 +00:05:56,791 --> 00:05:57,310 +um pêndulo. + +94 +00:05:57,910 --> 00:06:03,110 +Como esse ângulo teta que ele forma com a vertical muda em função do tempo? + +95 +00:06:04,030 --> 00:06:07,400 +Isso é frequentemente dado como exemplo nas aulas introdutórias de física + +96 +00:06:07,400 --> 00:06:10,770 +de movimento harmônico, o que significa que oscila como uma onda senoidal. + +97 +00:06:10,770 --> 00:06:16,702 +Mais especificamente, um com período de 2 pi vezes a raiz quadrada de l sobre g, + +98 +00:06:16,702 --> 00:06:21,170 +onde l é o comprimento do pêndulo e g é a força da gravidade. + +99 +00:06:22,710 --> 00:06:26,106 +No entanto, estas fórmulas são na verdade mentiras, ou melhor, + +100 +00:06:26,106 --> 00:06:29,450 +aproximações que só funcionam no domínio dos pequenos ângulos. + +101 +00:06:29,950 --> 00:06:33,478 +Se você fosse medir um pêndulo real, o que descobriria é que, + +102 +00:06:33,478 --> 00:06:38,430 +à medida que você o puxa mais, o período é mais longo do que o sugerido pelas fórmulas + +103 +00:06:38,430 --> 00:06:39,910 +de física do ensino médio. + +104 +00:06:43,750 --> 00:06:47,355 +E quando você vai muito longe, esse valor de teta plotado + +105 +00:06:47,355 --> 00:06:50,650 +em função do tempo nem parece mais uma onda senoidal. + +106 +00:06:54,910 --> 00:06:57,050 +Para entender o que realmente está acontecendo, + +107 +00:06:57,050 --> 00:06:59,190 +primeiro vamos configurar a equação diferencial. + +108 +00:06:59,770 --> 00:07:04,607 +Mediremos a posição do peso do pêndulo como uma distância x ao longo deste arco, + +109 +00:07:04,607 --> 00:07:08,250 +e se o ângulo teta que nos interessa for medido em radianos, + +110 +00:07:08,250 --> 00:07:12,550 +podemos escrever x como l vezes teta, onde l é o comprimento do pêndulo. + +111 +00:07:13,350 --> 00:07:17,307 +Como de costume, a gravidade puxa para baixo com uma aceleração de g, + +112 +00:07:17,307 --> 00:07:20,359 +mas como o pêndulo restringe o movimento desta massa, + +113 +00:07:20,359 --> 00:07:24,430 +temos de observar a componente desta aceleração na direção do movimento. + +114 +00:07:25,190 --> 00:07:28,043 +Um pequeno exercício de geometria para você é + +115 +00:07:28,043 --> 00:07:31,270 +mostrar que este pequeno ângulo aqui é igual a teta. + +116 +00:07:35,010 --> 00:07:39,903 +Portanto, a componente da gravidade na direção do movimento + +117 +00:07:39,903 --> 00:07:44,470 +oposta a este ângulo será negativa g vezes seno de teta. + +118 +00:07:46,130 --> 00:07:49,110 +Aqui consideramos teta positivo quando o pêndulo é girado + +119 +00:07:49,110 --> 00:07:52,090 +para a direita e negativo quando é girado para a esquerda. + +120 +00:07:52,650 --> 00:07:55,993 +Este sinal negativo na aceleração indica que ela está + +121 +00:07:55,993 --> 00:07:59,090 +sempre apontada na direção oposta ao deslocamento. + +122 +00:08:00,450 --> 00:08:03,647 +Então o que temos é que a segunda derivada de x, + +123 +00:08:03,647 --> 00:08:06,650 +a aceleração, é negativa g vezes seno de teta. + +124 +00:08:07,550 --> 00:08:11,510 +Como sempre, é bom verificar rapidamente se nossa fórmula faz sentido físico. + +125 +00:08:12,110 --> 00:08:15,200 +Quando teta é zero, o seno de zero é zero, então + +126 +00:08:15,200 --> 00:08:17,850 +não há aceleração na direção do movimento. + +127 +00:08:18,330 --> 00:08:21,428 +Quando teta é 90 graus, o seno de teta é 1, então + +128 +00:08:21,428 --> 00:08:24,650 +a aceleração é a mesma que seria para a queda livre. + +129 +00:08:25,310 --> 00:08:26,510 +Tudo bem, isso confere. + +130 +00:08:27,150 --> 00:08:31,236 +E como x é L vezes teta, isso significa que a segunda + +131 +00:08:31,236 --> 00:08:35,549 +derivada de teta é negativa g sobre L vezes seno de teta. + +132 +00:08:36,330 --> 00:08:39,674 +Para ser um pouco mais realista, vamos adicionar um termo para explicar a + +133 +00:08:39,674 --> 00:08:43,470 +resistência do ar, que talvez possamos modelar como sendo proporcional à velocidade. + +134 +00:08:44,049 --> 00:08:46,979 +Escreveremos isso como mu negativo vezes ponto teta, + +135 +00:08:46,979 --> 00:08:50,405 +onde mu é alguma constante que encapsula toda a resistência e + +136 +00:08:50,405 --> 00:08:54,330 +atrito do ar e que determina a rapidez com que o pêndulo perde energia. + +137 +00:08:55,650 --> 00:08:59,810 +Agora, meus amigos, esta é uma equação diferencial particularmente interessante. + +138 +00:09:00,210 --> 00:09:03,126 +Não é fácil de resolver, mas não é tão difícil que não possamos + +139 +00:09:03,126 --> 00:09:05,770 +razoavelmente obter algum entendimento significativo dele. + +140 +00:09:06,230 --> 00:09:09,003 +À primeira vista, você pode pensar que a função senoidal que você + +141 +00:09:09,003 --> 00:09:11,650 +vê aqui está relacionada ao padrão de onda senoidal do pêndulo. + +142 +00:09:12,170 --> 00:09:15,790 +Ironicamente, porém, o que você acabará descobrindo é que o oposto é verdadeiro. + +143 +00:09:16,310 --> 00:09:19,432 +A presença do seno nesta equação é precisamente a razão pela + +144 +00:09:19,432 --> 00:09:22,810 +qual os pêndulos reais não oscilam com um padrão de onda senoidal. + +145 +00:09:23,490 --> 00:09:27,561 +Se isso parece estranho, considere o fato de que aqui a função seno está + +146 +00:09:27,561 --> 00:09:31,688 +tomando teta como entrada, mas na solução aproximada que você pode ver em + +147 +00:09:31,688 --> 00:09:36,150 +uma aula de física, o próprio teta está oscilando como saída de uma função seno. + +148 +00:09:36,950 --> 00:09:38,550 +Claramente algo suspeito está acontecendo. + +149 +00:09:39,360 --> 00:09:43,203 +Uma coisa que gosto neste exemplo é que, embora seja comparativamente simples, + +150 +00:09:43,203 --> 00:09:47,338 +ele expõe uma verdade importante sobre equações diferenciais com a qual você precisa + +151 +00:09:47,338 --> 00:09:47,630 +lidar. + +152 +00:09:48,070 --> 00:09:49,750 +Eles são realmente difíceis de resolver. + +153 +00:09:50,330 --> 00:09:53,297 +Neste caso, se removermos esse termo atenuante, + +154 +00:09:53,297 --> 00:09:58,430 +mal conseguiremos escrever uma solução analítica, mas é hilariantemente complicada. + +155 +00:09:58,890 --> 00:10:01,900 +Envolve todas essas funções das quais você provavelmente nunca ouviu falar, + +156 +00:10:01,900 --> 00:10:04,910 +escritas em termos de integrais e problemas estranhos de integrais inversas. + +157 +00:10:04,910 --> 00:10:07,938 +Quando você dá um passo atrás, presumivelmente a razão para + +158 +00:10:07,938 --> 00:10:11,169 +encontrar uma solução é ser capaz de fazer cálculos e construir + +159 +00:10:11,169 --> 00:10:14,350 +uma compreensão de qualquer dinâmica que você esteja estudando. + +160 +00:10:15,050 --> 00:10:19,528 +Nesse caso, essas questões foram direcionadas para descobrir como calcular e, + +161 +00:10:19,528 --> 00:10:22,170 +mais importante, entender essas novas funções. + +162 +00:10:23,070 --> 00:10:26,860 +E mais frequentemente, como se somarmos esse termo de amortecimento, + +163 +00:10:26,860 --> 00:10:30,650 +não há uma maneira conhecida de escrever uma solução analítica exata. + +164 +00:10:31,170 --> 00:10:34,424 +Bem, para qualquer problema difícil, você poderia simplesmente definir + +165 +00:10:34,424 --> 00:10:37,174 +uma nova função para ser a resposta desse problema, diabos, + +166 +00:10:37,174 --> 00:10:40,290 +até mesmo nomeá-la com seu próprio nome, se quiser, mas, novamente, + +167 +00:10:40,290 --> 00:10:44,370 +isso é inútil, a menos que o leve a ser capaz de fazer cálculos e construir compreensão . + +168 +00:10:45,350 --> 00:10:48,104 +Então, em vez disso, no estudo de equações diferenciais, + +169 +00:10:48,104 --> 00:10:52,260 +muitas vezes fazemos uma espécie de curto-circuito e pulamos a parte da solução real, + +170 +00:10:52,260 --> 00:10:56,513 +já que ela é inatingível, e vamos direto para a construção do entendimento e para fazer + +171 +00:10:56,513 --> 00:10:58,350 +cálculos apenas a partir das equações. + +172 +00:10:58,350 --> 00:11:01,310 +Deixe-me ver como isso seria com um pêndulo. + +173 +00:11:02,810 --> 00:11:06,757 +O que você tem em mente, ou que visualização você pode conseguir com algum + +174 +00:11:06,757 --> 00:11:10,757 +software para entender as muitas maneiras possíveis pelas quais um pêndulo, + +175 +00:11:10,757 --> 00:11:14,810 +governado por essas leis, pode evoluir dependendo de suas condições iniciais? + +176 +00:11:15,730 --> 00:11:18,830 +Você pode ficar tentado a tentar imaginar o gráfico de teta vs. + +177 +00:11:18,950 --> 00:11:22,296 +t, e de alguma forma interpretar como essa inclinação, + +178 +00:11:22,296 --> 00:11:24,730 +posição e curvatura se inter-relacionam. + +179 +00:11:25,250 --> 00:11:29,178 +No entanto, o que será mais fácil e mais geral é começar + +180 +00:11:29,178 --> 00:11:33,590 +visualizando todos os estados possíveis num plano bidimensional. + +181 +00:11:37,190 --> 00:11:41,708 +O que quero dizer com estado do pêndulo é que você pode descrevê-lo com dois números, + +182 +00:11:41,708 --> 00:11:43,390 +o ângulo e a velocidade angular. + +183 +00:11:43,930 --> 00:11:48,185 +Você pode alterar livremente qualquer um desses dois valores sem necessariamente + +184 +00:11:48,185 --> 00:11:52,230 +alterar o outro, mas a aceleração é puramente uma função desses dois valores. + +185 +00:11:52,990 --> 00:11:55,918 +Assim, cada ponto deste plano bidimensional descreve + +186 +00:11:55,918 --> 00:11:58,570 +completamente o pêndulo num determinado momento. + +187 +00:11:59,390 --> 00:12:03,330 +Você pode pensar nisso como todas as condições iniciais possíveis desse pêndulo. + +188 +00:12:03,630 --> 00:12:07,033 +Se você conhece o ângulo inicial e a velocidade angular, + +189 +00:12:07,033 --> 00:12:11,930 +isso é suficiente para prever como o sistema evoluirá à medida que o tempo avança. + +190 +00:12:14,210 --> 00:12:16,320 +Se você nunca trabalhou com eles antes, pode demorar + +191 +00:12:16,320 --> 00:12:18,550 +um pouco para se acostumar com esses tipos de diagramas. + +192 +00:12:18,550 --> 00:12:21,067 +O que você está vendo agora, esta espiral interna, + +193 +00:12:21,067 --> 00:12:23,585 +é uma trajetória bastante típica do nosso pêndulo, + +194 +00:12:23,585 --> 00:12:27,930 +então reserve um momento para pensar cuidadosamente sobre o que está sendo representado. + +195 +00:12:30,070 --> 00:12:33,221 +Observe como no início, à medida que teta diminui, + +196 +00:12:33,221 --> 00:12:36,250 +o ponto teta, a coordenada y, fica mais negativo. + +197 +00:12:36,990 --> 00:12:39,902 +O que faz sentido, porque o pêndulo se move mais rápido + +198 +00:12:39,902 --> 00:12:42,710 +na direção esquerda à medida que se aproxima do fundo. + +199 +00:12:43,590 --> 00:12:46,984 +Tenha em mente que, embora o vetor velocidade neste pêndulo + +200 +00:12:46,984 --> 00:12:50,378 +esteja apontado para a esquerda, o valor dessa velocidade é + +201 +00:12:50,378 --> 00:12:53,830 +sempre representado pela componente vertical do nosso espaço. + +202 +00:12:54,530 --> 00:12:58,626 +É importante lembrar que esse espaço de estados é algo abstrato + +203 +00:12:58,626 --> 00:13:02,850 +e distinto do espaço físico onde o próprio pêndulo vive e se move. + +204 +00:13:04,800 --> 00:13:08,400 +Como estamos modelando isso como uma perda de parte de sua energia devido à + +205 +00:13:08,400 --> 00:13:11,100 +resistência do ar, essa trajetória espirala para dentro, + +206 +00:13:11,100 --> 00:13:14,795 +o que significa que o pico de velocidade e o pico de deslocamento diminuem um + +207 +00:13:14,795 --> 00:13:15,790 +pouco a cada balanço. + +208 +00:13:16,350 --> 00:13:19,671 +Nosso ponto é, de certa forma, atraído pela origem, + +209 +00:13:19,671 --> 00:13:22,610 +onde theta e theta pontilham ambos iguais a 0. + +210 +00:13:25,810 --> 00:13:29,910 +Com este espaço, podemos visualizar uma equação diferencial como um campo vetorial. + +211 +00:13:30,490 --> 00:13:31,630 +Aqui, deixe-me mostrar o que quero dizer. + +212 +00:13:31,950 --> 00:13:35,030 +O estado do pêndulo é um vetor, teta, ponto teta. + +213 +00:13:35,570 --> 00:13:37,822 +Talvez você pense nisso como uma flecha desde a origem, + +214 +00:13:37,822 --> 00:13:39,310 +ou talvez pense nisso como uma ponta. + +215 +00:13:39,750 --> 00:13:43,670 +O que importa é que tem duas coordenadas, cada uma em função do tempo. + +216 +00:13:43,670 --> 00:13:47,542 +A derivada desse vetor fornece sua taxa de variação, + +217 +00:13:47,542 --> 00:13:52,730 +a direção e a velocidade com que ele tenderá a se mover neste diagrama. + +218 +00:13:53,670 --> 00:13:57,115 +Essa derivada é um novo vetor, theta dot theta double dot, + +219 +00:13:57,115 --> 00:14:00,970 +que visualizamos como estando ligado ao ponto relevante no espaço. + +220 +00:14:03,790 --> 00:14:05,670 +Reserve um momento para interpretar o que isso está dizendo. + +221 +00:14:06,370 --> 00:14:09,968 +O primeiro componente deste vetor de taxa de variação é o ponto teta, + +222 +00:14:09,968 --> 00:14:12,230 +que também é uma coordenada em nosso espaço. + +223 +00:14:12,790 --> 00:14:17,489 +Quanto mais acima estamos no diagrama, mais o ponto tende a se mover para a direita, + +224 +00:14:17,489 --> 00:14:21,470 +e quanto mais abaixo estamos, mais ele tende a se mover para a esquerda. + +225 +00:14:24,330 --> 00:14:28,234 +O componente vertical é o ponto duplo teta, que nossa equação diferencial + +226 +00:14:28,234 --> 00:14:32,350 +nos permite reescrever inteiramente em termos de teta e do próprio ponto teta. + +227 +00:14:32,950 --> 00:14:36,972 +Por outras palavras, a primeira derivada do nosso vetor de estado é alguma função + +228 +00:14:36,972 --> 00:14:41,290 +desse próprio vetor, com a maior parte da complexidade ligada a essa segunda coordenada. + +229 +00:14:41,290 --> 00:14:44,150 +Fazer o mesmo em todos os pontos deste espaço mostrará + +230 +00:14:44,150 --> 00:14:47,270 +como esse estado tende a mudar a partir de qualquer posição. + +231 +00:14:48,270 --> 00:14:52,001 +Como é típico dos campos vetoriais, reduzimos artificialmente a escala dos vetores quando + +232 +00:14:52,001 --> 00:14:55,650 +os desenhamos para evitar confusão, mas usamos cores para indicar vagamente a magnitude. + +233 +00:14:56,950 --> 00:15:00,046 +Observe que dividimos efetivamente uma única equação de + +234 +00:15:00,046 --> 00:15:03,530 +segunda ordem em um sistema de duas equações de primeira ordem. + +235 +00:15:04,230 --> 00:15:06,696 +Você pode até dar um nome diferente ao ponto theta, + +236 +00:15:06,696 --> 00:15:10,159 +para enfatizar que estamos realmente pensando em dois valores separados, + +237 +00:15:10,159 --> 00:15:14,050 +entrelaçados por meio do efeito mútuo que eles têm na taxa de mudança um do outro. + +238 +00:15:14,590 --> 00:15:17,390 +Este é um truque comum no estudo de equações diferenciais. + +239 +00:15:17,850 --> 00:15:21,297 +Em vez de pensar em mudanças de ordem superior de um único valor, + +240 +00:15:21,297 --> 00:15:25,110 +muitas vezes preferimos pensar na primeira derivada de valores vetoriais. + +241 +00:15:25,950 --> 00:15:28,336 +Desta forma, temos uma maneira visual maravilhosa + +242 +00:15:28,336 --> 00:15:30,770 +de pensar sobre o que significa resolver a equação. + +243 +00:15:31,210 --> 00:15:35,247 +À medida que o nosso sistema evolui a partir de algum estado inicial, + +244 +00:15:35,247 --> 00:15:39,861 +o nosso ponto neste espaço move-se ao longo de uma trajetória de tal forma que, + +245 +00:15:39,861 --> 00:15:44,130 +a cada momento, a velocidade desse ponto corresponde ao vetor deste campo. + +246 +00:15:44,790 --> 00:15:48,569 +E, novamente, tenha em mente que essa velocidade não é a mesma coisa que a + +247 +00:15:48,569 --> 00:15:51,997 +velocidade física do pêndulo, é uma taxa de variação mais abstrata, + +248 +00:15:51,997 --> 00:15:56,130 +codificando as taxas de variação tanto para o ponto teta quanto para o ponto teta. + +249 +00:15:57,230 --> 00:16:00,201 +Você pode achar divertido fazer uma pausa por um momento e pensar no que + +250 +00:16:00,201 --> 00:16:03,133 +exatamente algumas dessas linhas de trajetória dizem sobre as possíveis + +251 +00:16:03,133 --> 00:16:06,390 +maneiras pelas quais o pêndulo evolui a partir de diferentes condições iniciais. + +252 +00:16:09,430 --> 00:16:12,758 +Por exemplo, em regiões onde o ponto teta é bastante alto, + +253 +00:16:12,758 --> 00:16:17,552 +os vetores guiam o ponto para viajar bastante para a direita antes de se estabelecer + +254 +00:16:17,552 --> 00:16:18,850 +em uma espiral interna. + +255 +00:16:19,670 --> 00:16:23,931 +Isso corresponde a um pêndulo com uma velocidade inicial alta o suficiente para girar + +256 +00:16:23,931 --> 00:16:28,242 +completamente várias vezes antes de se estabelecer em um decaimento para frente e para + +257 +00:16:28,242 --> 00:16:28,490 +trás. + +258 +00:16:31,210 --> 00:16:32,770 +Está se divertindo um pouco mais? + +259 +00:16:33,270 --> 00:16:37,224 +Quando eu ajustei esse termo de resistência do ar, mu, digamos, aumentando-o, + +260 +00:16:37,224 --> 00:16:41,381 +você pode ver imediatamente como isso resultará em trajetórias que espiralam para + +261 +00:16:41,381 --> 00:16:45,590 +dentro mais rapidamente, o que significa que o pêndulo desacelera mais rapidamente. + +262 +00:16:46,130 --> 00:16:49,047 +Isso é óbvio quando eu chamo isso de termo de resistência do ar, + +263 +00:16:49,047 --> 00:16:51,650 +mas imagine que você viu essas equações fora de contexto, + +264 +00:16:51,650 --> 00:16:53,490 +sem saber que elas descreviam um pêndulo. + +265 +00:16:54,010 --> 00:16:58,328 +Não é óbvio apenas olhando para eles que aumentar esse valor de mu significa + +266 +00:16:58,328 --> 00:17:02,590 +que o sistema como um todo tende a algum estado de atração mais rapidamente. + +267 +00:17:03,390 --> 00:17:06,164 +Portanto, obter algum software para desenhar esses campos vetoriais pode + +268 +00:17:06,164 --> 00:17:09,089 +ser uma ótima maneira de construir uma intuição sobre como eles se comportam. + +269 +00:17:09,930 --> 00:17:12,587 +O que é maravilhoso é que qualquer sistema de equações + +270 +00:17:12,587 --> 00:17:16,212 +diferenciais ordinárias pode ser descrito por um campo vetorial como este, + +271 +00:17:16,212 --> 00:17:18,869 +então é uma maneira muito geral de ter uma noção deles. + +272 +00:17:19,470 --> 00:17:22,089 +Geralmente, porém, eles têm muito mais dimensões. + +273 +00:17:22,720 --> 00:17:25,620 +Por exemplo, considere o famoso problema dos três corpos, + +274 +00:17:25,620 --> 00:17:29,420 +que consiste em prever como três massas no espaço tridimensional evoluem se + +275 +00:17:29,420 --> 00:17:33,320 +agirem umas sobre as outras com a gravidade e se conhecermos as suas posições + +276 +00:17:33,320 --> 00:17:34,470 +e velocidades iniciais. + +277 +00:17:35,290 --> 00:17:37,824 +Cada massa tem três coordenadas que descrevem a + +278 +00:17:37,824 --> 00:17:40,570 +sua posição e mais três que descrevem o seu momento. + +279 +00:17:41,270 --> 00:17:44,507 +Portanto, o sistema tem 18 graus de liberdade no total e, + +280 +00:17:44,507 --> 00:17:47,690 +portanto, um espaço de 18 dimensões de estados possíveis. + +281 +00:17:48,250 --> 00:17:49,970 +É um pensamento bizarro, não é? + +282 +00:17:50,230 --> 00:17:54,966 +Um único ponto serpenteando por um espaço de 18 dimensões que não podemos visualizar, + +283 +00:17:54,966 --> 00:17:59,263 +obedientemente dando passos no tempo com base em qualquer vetor em que esteja + +284 +00:17:59,263 --> 00:18:03,779 +sentado de momento a momento, codificando completamente as posições e os momentos + +285 +00:18:03,779 --> 00:18:07,470 +das três massas que vemos em condições normais. , espaço físico 3D. + +286 +00:18:08,650 --> 00:18:12,010 +Na prática, você pode reduzir o número de dimensões aqui aproveitando as + +287 +00:18:12,010 --> 00:18:15,416 +simetrias de sua configuração, mas o ponto em que mais graus de liberdade + +288 +00:18:15,416 --> 00:18:18,730 +resulta em espaços de estados de dimensões mais altas permanece o mesmo. + +289 +00:18:21,290 --> 00:18:24,530 +Em matemática, muitas vezes chamamos um espaço como este de espaço de fase. + +290 +00:18:25,090 --> 00:18:28,999 +Você me ouvirá usar esse termo de forma ampla para espaços que codificam todos os + +291 +00:18:28,999 --> 00:18:33,195 +tipos de estados de sistemas em mudança, mas você deve saber que no contexto da física, + +292 +00:18:33,195 --> 00:18:37,152 +especialmente da mecânica hamiltoniana, o termo é frequentemente reservado para um + +293 +00:18:37,152 --> 00:18:41,110 +caso mais especial, ou seja, um espaço cujo os eixos representam posição e momento. + +294 +00:18:41,890 --> 00:18:45,731 +Portanto, um físico concordaria que o espaço de 18 dimensões que descreve o problema + +295 +00:18:45,731 --> 00:18:49,257 +dos três corpos é um espaço de fase, mas poderia pedir que fizéssemos algumas + +296 +00:18:49,257 --> 00:18:53,008 +modificações na configuração do nosso pêndulo para que ele merecesse adequadamente + +297 +00:18:53,008 --> 00:18:53,370 +o termo. + +298 +00:18:54,250 --> 00:18:57,221 +Para aqueles que acabaram de assistir ao vídeo da colisão de blocos, + +299 +00:18:57,221 --> 00:19:01,053 +os planos com os quais trabalhamos seriam chamados de espaços de fase pelos matemáticos, + +300 +00:19:01,053 --> 00:19:03,250 +embora um físico possa preferir outra terminologia. + +301 +00:19:03,890 --> 00:19:06,830 +Saiba apenas que o significado específico pode depender do seu contexto. + +302 +00:19:07,870 --> 00:19:11,566 +Pode parecer uma ideia simples, dependendo de quão bem doutrinado você está + +303 +00:19:11,566 --> 00:19:13,900 +nas formas modernas de pensar sobre matemática, + +304 +00:19:13,900 --> 00:19:17,791 +mas vale a pena ter em mente que levou um bom tempo para a humanidade realmente + +305 +00:19:17,791 --> 00:19:20,612 +abraçar o pensamento de dinâmica espacialmente como esta, + +306 +00:19:20,612 --> 00:19:23,190 +especialmente quando as dimensões ficar muito grande. + +307 +00:19:23,890 --> 00:19:33,176 +Em seu livro Chaos, o autor James Glick descreve o espaço de fase + +308 +00:19:33,176 --> 00:19:41,618 +como “Uma das invenções mais poderosas da ciência moderna”. + +309 +00:19:41,618 --> 00:19:52,030 +Uma razão pela qual é poderoso é que você pode fazer perguntas, não apenas + +310 +00:19:52,910 --> 00:20:01,910 +sobre uma única condição inicial, mas sobre todo um espectro de estados iniciais. + +311 +00:20:02,770 --> 00:20:08,632 +A coleção de todas as trajetórias possíveis lembra um fluido em movimento. + +312 +00:20:08,632 --> 00:20:15,590 +Então chamamos isso de fluxo de fase. Para dar um exemplo de por que o fluxo de fase é um + +313 +00:20:16,150 --> 00:20:20,713 +ideia frutuosa, consideremos a questão da estabilidade. + +314 +00:20:20,713 --> 00:20:27,070 +A origem do nosso espaço corresponde ao pêndulo parado, e o mesmo acontece com + +315 +00:20:28,050 --> 00:20:31,606 +seu ponto aqui, representando quando o pêndulo está perfeitamente equilibrado na vertical. + +316 +00:20:31,606 --> 00:20:33,739 + Esses são os chamados pontos fixos do nosso sistema, + +317 +00:20:33,739 --> 00:20:36,663 +e uma pergunta natural a ser feita é se eles são estáveis ou não, isto é, + +318 +00:20:36,663 --> 00:20:39,429 +se pequenos empurrões no sistema resultarão em um estado que tende de + +319 +00:20:39,429 --> 00:20:42,630 +volta para esse ponto fixo, ou para longe a partir dele? Intuição física para o p + +320 +00:20:44,810 --> 00:20:49,730 +endulum torna a resposta aqui meio óbvia, mas como você pensaria sobre st + +321 +00:20:50,570 --> 00:20:54,172 +capacidade de apenas olhar para as equações, dizer se elas surgiram em algum + +322 +00:20:54,172 --> 00:20:56,605 +contexto completamente diferente e menos intuitivo? + +323 +00:20:56,605 --> 00:21:00,207 +Veremos como calcular as respostas a perguntas como essa nos vídeos a seguir + +324 +00:21:00,207 --> 00:21:01,190 +e a intuição para o r + +325 +00:21:01,550 --> 00:21:07,208 +cálculos elevados são fortemente guiados pela ideia de observar pequenas regiões no + +326 +00:21:07,208 --> 00:21:12,867 +espaço em torno de um ponto fixo e perguntar se o fluxo tende a se contrair ou a se + +327 +00:21:12,867 --> 00:21:16,168 +expandir. E por falar em atração e estabilidade, + +328 +00:21:16,168 --> 00:21:19,470 +vamos dar um breve passo para falar sobre amor. O + +329 +00:21:19,890 --> 00:21:24,613 +A citação de Strogatz que mencionei anteriormente + +330 +00:21:24,613 --> 00:21:28,770 +vem de uma coluna extravagante no New York T + +331 +00:21:29,910 --> 00:21:32,657 +assuntos sobre a matemática da modelagem do afeto, + +332 +00:21:32,657 --> 00:21:35,190 +um exemplo que vale a pena roubar para ilustrar + +333 +00:21:35,810 --> 00:21:38,551 +taxa que não estamos falando apenas de física aqui. + +334 +00:21:38,551 --> 00:21:42,979 +Imagine que você está flertando com alguém, mas há alguma inconsistência frustrante + +335 +00:21:42,979 --> 00:21:44,350 +em quão mútuo é seu afeto. + +336 +00:21:46,450 --> 00:21:51,410 +ms, e talvez durante a manhã + +337 +00:21:51,790 --> 00:21:56,990 +comentar quando você + +338 +00:21:58,810 --> 00:22:00,372 +você volta sua atenção para a física para manter sua mente longe da + +339 +00:22:00,372 --> 00:22:02,073 +turbulência romântica, refletindo sobre as equações do pêndulo quebradas, + +340 +00:22:02,073 --> 00:22:03,590 +de repente você entende o problema do liga-nova-desliga-novamente. + +341 +00:22:03,590 --> 00:22:08,677 +dinâmica do seu flerte. Você notou que seu próprio afeto tende a aumentar + +342 +00:22:08,677 --> 00:22:14,728 +quando seu companheiro parece interessado em você, mas diminui quando parece mais frio. + +343 +00:22:14,728 --> 00:22:18,510 +Ou seja, a taxa de mudança do seu amor é proporcional a + +344 +00:22:19,090 --> 00:22:20,310 +os sentimentos deles por você. + +345 +00:22:21,310 --> 00:22:26,129 +Mas esse seu amor é exatamente o oposto, estranhamente atraído por você quando você + +346 +00:22:26,129 --> 00:22:30,489 +parece desinteressado, mas desligado quando você parece muito entusiasmado. + +347 +00:22:30,489 --> 00:22:35,538 +O espaço de fase para estas equações é muito semelhante à parte central do seu diagrama + +348 +00:22:35,538 --> 00:22:36,170 +de pêndulo. + +349 +00:22:36,890 --> 00:22:40,343 +Vocês dois vão e voltam entre o carinho e a repulsa em um ciclo sem fim. + +350 +00:22:40,343 --> 00:22:44,412 +Uma metáfora das oscilações do pêndulo em seus sentimentos não seria apenas adequada, + +351 +00:22:44,412 --> 00:22:46,210 +mas também verificada matematicamente. + +352 +00:22:47,230 --> 00:22:49,765 +Na verdade, se os sentimentos do seu parceiro diminuíssem ainda mais quando ele se + +353 +00:22:49,765 --> 00:22:51,903 +sente demasiado apaixonado, digamos por medo de se tornar vulnerável, + +354 +00:22:51,903 --> 00:22:53,583 +teríamos um termo correspondente à fricção no pêndulo, + +355 +00:22:53,583 --> 00:22:55,050 +e você também estaria destinado a um para dentro + +356 +00:22:57,450 --> 00:23:04,150 +espiral em direção à ambivalência mútua. Já ouço os sinos do casamento. + +357 +00:23:05,110 --> 00:23:10,898 +A questão é que duas leis da dinâmica aparentemente muito diferentes, + +358 +00:23:10,898 --> 00:23:13,710 +uma da física, envolvendo um único + +359 +00:23:14,430 --> 00:23:17,077 +variável, e outra de química, com duas variáveis, + +360 +00:23:17,077 --> 00:23:19,566 +na verdade tem uma estrutura muito semelhante, + +361 +00:23:19,566 --> 00:23:22,850 +mais fácil de reconhecer quando você olha o diagrama de fases. + +362 +00:23:22,850 --> 00:23:26,990 +Mais notavelmente, embora a equação + +363 +00:23:27,850 --> 00:23:31,455 +Se as equações são diferentes, por exemplo, não há função seno nas equações de romance, + +364 +00:23:31,455 --> 00:23:33,750 +mas o espaço de fase expõe uma semelhança subjacente. Em + +365 +00:23:34,910 --> 00:23:37,306 +em outras palavras, você não está apenas estudando um pêndulo agora; + +366 +00:23:37,306 --> 00:23:40,189 +as táticas que você desenvolve para estudar um caso tendem a ser transferidas para + +367 +00:23:40,189 --> 00:23:42,933 +muitos outros. Ok, então diagramas de fases são uma ótima maneira de construir + +368 +00:23:42,933 --> 00:23:43,350 +entendimento + +369 +00:23:44,330 --> 00:23:48,268 +ng, mas que tal calcular realmente a resposta à nossa equação? + +370 +00:23:48,268 --> 00:23:51,770 +Uma maneira de fazer isso é essencialmente simular o que + +371 +00:23:52,210 --> 00:23:54,493 +no universo serviria, mas usando passos de tempo finitos em vez dos + +372 +00:23:54,493 --> 00:23:56,710 +infinitesimais e limites que definem o cálculo. A ideia básica é t + +373 +00:23:57,210 --> 00:24:05,290 +chapéu se você estiver em algum momento + +374 +00:24:05,870 --> 00:24:08,177 +neste diagrama de fase, dê um passo com base no vetor + +375 +00:24:08,177 --> 00:24:10,570 +em que você está sentado por um pequeno período de tempo + +376 +00:24:11,350 --> 00:24:16,313 +tep, delta t. Especificamente, dê um passo igual ao delta t vezes esse vetor. + +377 +00:24:16,313 --> 00:24:19,050 +Como um lembrete, ao desenhar estes vetores + +378 +00:24:19,590 --> 00:24:24,650 +ou campos, a magnitude de e + +379 +00:24:25,270 --> 00:24:28,370 +Cada vetor foi reduzido artificialmente para evitar confusão. + +380 +00:24:28,370 --> 00:24:32,320 +Quando você faz isso repetidamente, sua localização final será uma aproximação + +381 +00:24:32,320 --> 00:24:33,270 +de theta t, onde ti + +382 +00:24:34,230 --> 00:24:37,031 +é a soma de todos esses intervalos de tempo. Se + +383 +00:24:37,031 --> 00:24:39,950 +você pensar sobre o que está sendo mostrado agora, + +384 +00:24:40,590 --> 00:24:42,346 +e o que isso implicaria para o movimento do pêndulo, + +385 +00:24:42,346 --> 00:24:44,467 +você provavelmente concordaria que isso é totalmente impreciso. + +386 +00:24:44,467 --> 00:24:46,390 +Mas isso ocorre apenas porque o intervalo de tempo delta t + +387 +00:24:47,050 --> 00:24:57,710 +de 0,5 é muito grande. Se recusarmos, digamos para 0,01 + +388 +00:24:58,570 --> 00:25:01,529 +, você pode obter uma aproximação muito mais precisa, + +389 +00:25:01,529 --> 00:25:04,817 +bastando apenas etapas mais repetidas, só isso. Neste caso, + +390 +00:25:04,817 --> 00:25:08,215 +calcular teta de 10 requer 1.000 pequenos passos. Felizmente, + +391 +00:25:08,215 --> 00:25:11,230 +vivemos num mundo com computadores, por isso, repetindo + +392 +00:25:11,910 --> 00:25:15,650 +uma tarefa simples 1000 vezes + +393 +00:25:16,690 --> 00:25:18,134 +é tão simples quanto articular essa tarefa com uma linguagem de programação. + +394 +00:25:18,134 --> 00:25:19,410 +Na verdade, vamos terminar escrevendo um pequeno programa python que + +395 +00:25:20,050 --> 00:25:26,261 +calcula teta de t para nós. O que tem que fazer é usar a equação diferencial, + +396 +00:25:26,261 --> 00:25:28,650 +que retorna a segunda derivada + +397 +00:25:30,530 --> 00:25:34,929 +vativo de teta em função de teta e ponto teta. Você começa definindo duas variáveis, + +398 +00:25:34,929 --> 00:25:38,450 +theta e theta dot, cada uma em termos de algumas condições iniciais. + +399 +00:25:38,790 --> 00:25:41,754 +Nesse caso, farei com que theta comece em pi terços, que é 60 graus, + +400 +00:25:41,754 --> 00:25:44,977 +e o ponto theta comece em 0. Em seguida, escreva um loop que corresponda a + +401 +00:25:44,977 --> 00:25:48,458 +vários pequenos passos de tempo entre 0 e o tempo t, cada um de tamanho delta t, + +402 +00:25:48,458 --> 00:25:51,810 +que estou definindo aqui como 0,01. Em cada etapa deste loop, aumente theta em + +403 +00:25:52,790 --> 00:25:54,050 +ponto teta vezes delta t e aumenta teta + +404 +00:25:54,690 --> 00:25:59,349 +ponto por teta ponto duplo vezes delta t, onde ponto duplo teta pode + +405 +00:25:59,349 --> 00:26:02,522 +ser calculado com base na equação diferencial. + +406 +00:26:02,522 --> 00:26:08,330 +Depois de todos esses pequenos passos de tempo, simplesmente retorne o valor de theta. + +407 +00:26:09,210 --> 00:26:12,098 +Isso é chamado de resolução numérica de uma equação diferencial. + +408 +00:26:12,098 --> 00:26:15,610 +Os métodos numéricos podem ser muito mais sofisticados e complexos do que isso + +409 +00:26:15,610 --> 00:26:18,543 +para equilibrar melhor a compensação entre precisão e eficiência, + +410 +00:26:18,543 --> 00:26:20,010 +mas esse ciclo dá a ideia básica. + +411 +00:26:20,530 --> 00:26:21,809 +Portanto, mesmo que seja uma pena nem sempre conseguirmos encontrar soluções exatas, + +412 +00:26:21,809 --> 00:26:22,682 +ainda existem maneiras significativas de estudar equações + +413 +00:26:22,682 --> 00:26:23,270 +diferenciais diante dessa incapacidade. + +414 +00:26:23,830 --> 00:26:26,269 +você. Nos vídeos a seguir, veremos vários métodos + +415 +00:26:26,269 --> 00:26:28,270 +para encontrar soluções exatas quando for + +416 +00:26:28,870 --> 00:26:31,763 +possível, mas um tema que gostaria de focar é como essas soluções exatas também + +417 +00:26:31,763 --> 00:26:34,548 +podem nos ajudar a estudar os casos mais gerais e insolúveis. Mas fica pior. + +418 +00:26:34,548 --> 00:26:37,622 +Assim como há um limite para até onde as soluções analíticas exatas podem nos levar, + +419 +00:26:37,622 --> 00:26:40,190 +um dos grandes campos que surgiram no século passado, a teoria do caos, + +420 +00:26:40,670 --> 00:26:44,350 +expôs que há pelos + +421 +00:26:45,010 --> 00:26:45,778 +existem outros limites sobre o quão bem podemos usar estes sistemas para previsão + +422 +00:26:45,778 --> 00:26:46,462 +com ou sem soluções. Especificamente, sabemos que, para alguns sistemas, + +423 +00:26:46,462 --> 00:26:47,193 +pequenas variações nas condições iniciais, digamos do tipo devidas a medições + +424 +00:26:47,193 --> 00:26:47,905 +necessariamente imperfeitas, resultam em trajetórias totalmente diferentes. + +425 +00:26:47,905 --> 00:26:48,514 +Até construímos um bom entendimento sobre por que isso acontece. + +426 +00:26:48,514 --> 00:26:49,282 +O problema dos três corpos, por exemplo, é conhecido por conter sementes de caos. + +427 +00:26:49,282 --> 00:26:50,032 +Então, olhando para a citação anterior, parece quase cruel da parte do universo + +428 +00:26:50,032 --> 00:26:50,612 +preencher sua linguagem com enigmas que não podemos resolver, + +429 +00:26:50,612 --> 00:26:51,371 +ou onde sabemos que qualquer solução seria inútil para previsões de longo prazo. + +430 +00:26:51,371 --> 00:26:51,821 +É cruel, mas também deveria ser tranquilizador. + +431 +00:26:51,821 --> 00:26:52,589 +Dá alguma esperança de que a complexidade que vemos no mundo que nos rodeia possa + +432 +00:26:52,589 --> 00:26:53,395 +ser estudada algures nesta matemática e que não esteja escondida na incompatibilidade + +433 +00:26:53,395 --> 00:26:53,630 +entre modelo e realidade. + diff --git a/2019/differential-equations/ukrainian/auto_generated.srt b/2019/differential-equations/ukrainian/auto_generated.srt index aaf292c09..55a1248e8 100644 --- a/2019/differential-equations/ukrainian/auto_generated.srt +++ b/2019/differential-equations/ukrainian/auto_generated.srt @@ -27,7 +27,7 @@ У кількох наступних відео я хочу зробити своєрідний екскурс у цю тему. 8 -00:00:25,839 --> 00:00:30,014 +00:00:25,840 --> 00:00:30,014 Мета полягає в тому, щоб дати загальне уявлення про те, що таке цей шматок математики, 9 @@ -151,27 +151,27 @@ Тепер розпакуйте, що це насправді говорить. 39 -00:02:28,500 --> 00:02:34,044 +00:02:28,500 --> 00:02:32,924 Це означає, що якщо ви подивитеся на цей об’єкт, вільний від інших сил, 40 -00:02:34,044 --> 00:02:40,283 +00:02:32,924 --> 00:02:37,901 і зафіксуєте його швидкість кожну секунду, ці вектори швидкості накопичуватимуть 41 -00:02:40,283 --> 00:02:45,520 +00:02:37,901 --> 00:02:42,080 додатковий низхідний компонент 9.8 метрів за секунду кожну секунду. 42 -00:02:45,520 --> 00:02:47,620 +00:02:42,720 --> 00:02:46,000 Ми називаємо цю константу 9.8 г для сили тяжіння. 43 -00:02:47,620 --> 00:02:50,591 +00:02:47,240 --> 00:02:50,482 Цього достатньо, щоб дати нам приклад диференціального рівняння, 44 -00:02:50,591 --> 00:02:51,780 +00:02:50,482 --> 00:02:51,780 хоча й відносно простого. 45 @@ -211,15 +211,15 @@ По-перше, щоб знайти швидкість, ви запитуєте, яка функція має від’ємне g як похідну? 54 -00:03:32,340 --> 00:03:40,480 +00:03:32,340 --> 00:03:39,720 Ну, це від’ємне g помножене на t, або, точніше, від’ємне gt плюс початкова швидкість. 55 -00:03:40,480 --> 00:03:43,509 +00:03:40,300 --> 00:03:43,409 Зауважте, що існує багато функцій із цією конкретною похідною, 56 -00:03:43,509 --> 00:03:47,260 +00:03:43,409 --> 00:03:47,260 тому у вас є додатковий ступінь свободи, який визначається початковою умовою. 57 @@ -471,15 +471,15 @@ тому прискорення таке ж, як і для вільного падіння. 119 -00:08:25,310 --> 00:08:27,250 +00:08:25,310 --> 00:08:26,510 Гаразд, перевірено. 120 -00:08:27,250 --> 00:08:30,844 +00:08:27,150 --> 00:08:30,787 Оскільки х дорівнює l помноженому на тета, це означає, 121 -00:08:30,844 --> 00:08:35,549 +00:08:30,787 --> 00:08:35,549 що друга похідна від тета є від’ємною g на l помноженому на синус тета. 122 @@ -831,19 +831,19 @@ t, і якось інтерпретувати, як цей нахил, поло а чим нижче ми знаходимося, тим більше вона прагне рухатися вліво. 209 -00:14:24,330 --> 00:14:27,259 +00:14:24,330 --> 00:14:27,471 Вертикальний компонент — подвійна тета-крапка, 210 -00:14:27,259 --> 00:14:31,810 +00:14:27,471 --> 00:14:32,350 що дозволяє нам повністю переписати в термінах тета та саму тета-крапку. 211 -00:14:31,810 --> 00:14:36,608 +00:14:32,950 --> 00:14:37,171 Іншими словами, перша похідна нашого вектора стану є деякою функцією самого цього 212 -00:14:36,608 --> 00:14:41,290 +00:14:37,171 --> 00:14:41,290 вектора, причому більша частина складності пов’язана з цією другою координатою. 213 @@ -915,27 +915,27 @@ t, і якось інтерпретувати, як цей нахил, поло що в кожен момент швидкість цієї точки збігається з вектором із цього поля. 230 -00:15:44,790 --> 00:15:48,089 +00:15:44,790 --> 00:15:48,179 І знову пам’ятайте, що ця швидкість – це не те ж саме, 231 -00:15:48,089 --> 00:15:52,170 +00:15:48,179 --> 00:15:52,370 що фізична швидкість маятника, це більш абстрактна швидкість зміни, 232 -00:15:52,170 --> 00:15:55,830 +00:15:52,370 --> 00:15:56,130 яка кодує швидкості зміни як для тета, так і для тета-точки. 233 -00:15:55,830 --> 00:15:59,480 +00:15:57,230 --> 00:16:00,396 Можливо, вам буде цікаво зупинитися на мить і подумати, 234 -00:15:59,480 --> 00:16:04,825 +00:16:00,396 --> 00:16:05,032 що саме говорять деякі з цих ліній траєкторії про можливі шляхи еволюції маятника 235 -00:16:04,825 --> 00:16:06,390 +00:16:05,032 --> 00:16:06,390 з різних вихідних умов. 236 @@ -963,23 +963,23 @@ t, і якось інтерпретувати, як цей нахил, поло перш ніж осісти в затухаючий вперед і назад. 242 -00:16:31,209 --> 00:16:35,816 +00:16:31,210 --> 00:16:36,003 Щось трохи веселіше: коли я зміню цей елемент опору повітря, скажімо, 243 -00:16:35,816 --> 00:16:39,633 +00:16:36,003 --> 00:16:39,974 збільшую його, ви відразу бачите, як це призведе до того, 244 -00:16:39,633 --> 00:16:45,030 +00:16:39,974 --> 00:16:45,590 що траєкторії обертаються швидше по спіралі, тобто маятник сповільнюється швидше. 245 -00:16:45,030 --> 00:16:48,859 +00:16:46,130 --> 00:16:49,461 Це очевидно, коли я називаю це терміном опору повітря, але уявіть, 246 -00:16:48,859 --> 00:16:53,490 +00:16:49,461 --> 00:16:53,490 що ви побачили ці рівняння поза контекстом, не знаючи, що вони описують маятник. 247 @@ -1147,466 +1147,466 @@ t, і якось інтерпретувати, як цей нахил, поло особливо коли розміри стати дуже великим. 288 -00:19:23,890 --> 00:19:38,278 +00:19:23,890 --> 00:19:41,250 У своїй книзі «Хаос» автор Джеймс Глік описує фазовий простір як «. 289 -00:19:38,278 --> 00:19:49,070 +00:19:41,250 --> 00:19:54,270 . . одне з найпотужніших винаходів сучасної науки. 290 -00:19:49,070 --> 00:19:52,828 +00:19:54,270 --> 00:19:58,008 Однією з причин його потужності є те, що ви можете ставити запитання 291 -00:19:52,828 --> 00:19:56,750 +00:19:58,008 --> 00:20:01,910 не лише про одну початкову умову, а про цілий спектр початкових станів. 292 -00:19:57,310 --> 00:20:00,505 +00:20:02,770 --> 00:20:05,608 Сукупність усіх можливих траєкторій нагадує рух рідини, 293 -00:20:00,505 --> 00:20:04,272 +00:20:05,608 --> 00:20:08,953 тому ми називаємо це фазовим потоком. "Як один приклад того, 294 -00:20:04,272 --> 00:20:08,210 +00:20:08,953 --> 00:20:12,450 чому фазовий потік є плідною ідеєю, розглянемо питання стабільності. 295 -00:20:08,210 --> 00:20:12,386 +00:20:12,450 --> 00:20:17,768 Початок нашого простору відповідає тому, що маятник стоїть нерухомо, 296 -00:20:12,386 --> 00:20:17,350 +00:20:17,768 --> 00:20:24,090 і ця точка тут також відповідає, коли маятник ідеально збалансований вертикально. 297 -00:20:17,350 --> 00:20:21,698 +00:20:24,090 --> 00:20:28,941 Це так звані фіксовані точки нашої системи, і виникає природне запитання, 298 -00:20:21,698 --> 00:20:23,050 +00:20:28,941 --> 00:20:30,450 чи є вони стабільними. 299 -00:20:23,530 --> 00:20:27,111 +00:20:30,450 --> 00:20:31,112 Тобто чи незначні поштовхи до системи призведуть до стану, 300 -00:20:27,111 --> 00:20:30,450 +00:20:31,112 --> 00:20:31,730 який прагне назад до цієї фіксованої точки чи від неї? 301 -00:20:30,450 --> 00:20:34,822 +00:20:32,090 --> 00:20:34,111 Фізична інтуїція для маятника робить відповідь тут очевидною, 302 -00:20:34,822 --> 00:20:39,617 +00:20:34,111 --> 00:20:36,328 але як би ви думали про стабільність, просто дивлячись на рівняння, 303 -00:20:39,617 --> 00:20:45,330 +00:20:36,328 --> 00:20:38,970 скажімо, якби вони виникли в якомусь зовсім іншому, менш інтуїтивному контексті? 304 -00:20:45,330 --> 00:20:48,997 +00:20:39,350 --> 00:20:43,493 У наступних відео ми розглянемо, як обчислити відповіді на такі запитання, 305 -00:20:48,997 --> 00:20:52,713 +00:20:43,493 --> 00:20:47,691 і інтуїція для відповідних обчислень значною мірою керується думкою про те, 306 -00:20:52,713 --> 00:20:56,820 +00:20:47,691 --> 00:20:52,331 щоб дивитися на невеликі області в просторі навколо фіксованої точки та запитувати, 307 -00:20:56,820 --> 00:20:59,510 +00:20:52,331 --> 00:20:55,370 чи потік має тенденцію до скорочувати або розширювати. 308 -00:20:59,510 --> 00:21:01,895 +00:20:55,370 --> 00:20:58,998 Говорячи про привабливість і стабільність, давайте ненадовго відступимо, 309 -00:21:01,895 --> 00:21:02,810 +00:20:58,998 --> 00:21:00,390 щоб поговорити про кохання. 310 -00:21:02,810 --> 00:21:06,883 +00:21:00,390 --> 00:21:04,130 Цитата Строгатца, яку я згадував раніше, походить із химерної колонки в 311 -00:21:06,883 --> 00:21:10,560 +00:21:04,130 --> 00:21:07,506 New York Times про математику моделювання прихильності, приклад, 312 -00:21:10,560 --> 00:21:15,030 +00:21:07,506 --> 00:21:11,610 який варто вкрасти, щоб проілюструвати, що ми тут говоримо не лише про фізику. 313 -00:21:15,030 --> 00:21:22,274 +00:21:11,610 --> 00:21:19,922 Уявіть, що ви фліртували з кимось, але ваша прихильність здається невідповідною для вас, 314 -00:21:22,274 --> 00:21:27,321 +00:21:19,922 --> 00:21:25,713 і, можливо, в момент, коли ви звертаєте свою увагу на фізику, 315 -00:21:27,321 --> 00:21:33,020 +00:21:25,713 --> 00:21:32,252 щоб відволіктися від романтичної метушні, розмірковуючи над розбитими 316 -00:21:33,020 --> 00:21:38,230 +00:21:32,252 --> 00:21:38,230 рівняннями маятника , ти раптом розумієш динаміку свого флірту. 317 -00:21:38,230 --> 00:21:41,146 +00:21:38,230 --> 00:21:40,369 Ви помітили, що ваша власна прихильність зростає, 318 -00:21:41,146 --> 00:21:44,820 +00:21:40,369 --> 00:21:43,066 коли ваш супутник виглядає зацікавленим вами, але зменшується, 319 -00:21:44,820 --> 00:21:46,570 +00:21:43,066 --> 00:21:44,350 коли він здається холоднішим. 320 -00:21:46,570 --> 00:21:50,910 +00:21:46,450 --> 00:21:49,290 Тобто швидкість зміни вашої любові пропорційна їхнім почуттям до вас. 321 -00:21:50,910 --> 00:21:55,271 +00:21:49,290 --> 00:21:50,802 Але цей твій коханий якраз протилежний, дивно приваблює тебе, 322 -00:21:55,271 --> 00:22:00,830 +00:21:50,802 --> 00:21:52,730 коли ти виглядаєш байдужим, але відключає, коли ти виглядаєш надто захопленим. 323 -00:22:00,830 --> 00:22:03,990 +00:21:52,730 --> 00:21:56,710 Фазовий простір для цих рівнянь дуже схожий на 324 -00:22:03,990 --> 00:22:07,150 +00:21:56,710 --> 00:22:00,690 центральну частину вашої маятникової діаграми. 325 -00:22:07,150 --> 00:22:12,550 +00:22:00,690 --> 00:22:09,910 У нескінченному циклі ви обоє рухатиметеся між прихильністю та відразою. 326 -00:22:12,550 --> 00:22:16,209 +00:22:09,910 --> 00:22:12,100 Метафора коливань маятника у ваших почуттях була б не просто влучною, 327 -00:22:16,209 --> 00:22:17,830 +00:22:12,100 --> 00:22:13,070 а й математично підтвердженою. 328 -00:22:17,830 --> 00:22:21,960 +00:22:13,070 --> 00:22:17,676 Насправді, якби почуття вашого партнера ще більше сповільнилися, 329 -00:22:21,960 --> 00:22:26,980 +00:22:17,676 --> 00:22:23,274 коли він відчував себе занадто закоханим, скажімо, через страх бути вразливим, 330 -00:22:26,980 --> 00:22:30,348 +00:22:23,274 --> 00:22:27,030 у нас був би термін, що відповідає тертю в маятнику, 331 -00:22:30,348 --> 00:22:34,670 +00:22:27,030 --> 00:22:31,850 і вам теж судилося б внутрішня спіраль до взаємної амбівалентності. 332 -00:22:34,670 --> 00:22:34,890 +00:22:31,850 --> 00:22:34,890 Чую вже весільні дзвони. 333 -00:22:34,890 --> 00:22:39,378 +00:22:34,890 --> 00:22:37,688 Справа в тому, що два дуже різні, здавалося б, закони динаміки, один з фізики, 334 -00:22:39,378 --> 00:22:43,298 +00:22:37,688 --> 00:22:40,133 що стосується однієї змінної, а інший з, ну, хімії з двома змінними, 335 -00:22:43,298 --> 00:22:46,707 +00:22:40,133 --> 00:22:42,259 насправді мають дуже схожу структуру, яку легше розпізнати, 336 -00:22:46,707 --> 00:22:48,810 +00:22:42,259 --> 00:22:43,570 коли ви дивитесь на фазова діаграма. 337 -00:22:48,810 --> 00:22:54,552 +00:22:43,570 --> 00:22:48,768 Найважливішим є те, що навіть незважаючи на те, що рівняння відрізняються, наприклад, 338 -00:22:54,552 --> 00:23:00,028 +00:22:48,768 --> 00:22:53,724 у рівняннях роману немає функції синуса, фазовий простір все одно виявляє основну 339 -00:23:00,028 --> 00:23:00,830 +00:22:53,724 --> 00:22:54,450 подібність. 340 -00:23:01,130 --> 00:23:04,173 +00:22:54,450 --> 00:22:57,018 Іншими словами, ви зараз не просто вивчаєте маятник, тактика, 341 -00:23:04,173 --> 00:23:06,530 +00:22:57,018 --> 00:22:59,007 яку ви розробляєте для вивчення одного випадку, 342 -00:23:06,530 --> 00:23:08,690 +00:22:59,007 --> 00:23:00,830 має тенденцію переноситись на багато інших. 343 -00:23:08,690 --> 00:23:12,560 +00:23:01,130 --> 00:23:02,663 Гаразд, фазові діаграми є гарним способом побудувати розуміння, 344 -00:23:12,560 --> 00:23:16,310 +00:23:02,663 --> 00:23:04,150 але як щодо фактичного обчислення відповіді на наше рівняння? 345 -00:23:16,310 --> 00:23:18,886 +00:23:05,110 --> 00:23:07,534 Один із способів зробити це — по суті симулювати те, 346 -00:23:18,886 --> 00:23:21,949 +00:23:07,534 --> 00:23:10,416 що робив би Всесвіт, але використовуючи скінченні часові кроки 347 -00:23:21,949 --> 00:23:25,450 +00:23:10,416 --> 00:23:13,710 замість нескінченно малих величин і обмежень, що визначають обчислення. 348 -00:23:25,450 --> 00:23:29,464 +00:23:14,430 --> 00:23:18,687 Основна ідея полягає в тому, що якщо ви перебуваєте в певній точці цієї фазової діаграми, 349 -00:23:29,464 --> 00:23:33,390 +00:23:18,687 --> 00:23:22,850 зробіть крок на основі вектора, на якому ви сидите, на невеликий крок у часі, дельта t. 350 -00:23:33,390 --> 00:23:38,310 +00:23:22,850 --> 00:23:26,990 Зокрема, зробіть крок, який дорівнює дельта t, помноженому на цей вектор. 351 -00:23:38,310 --> 00:23:42,711 +00:23:27,850 --> 00:23:30,729 Нагадуємо, що під час малювання цих векторних полів величину 352 -00:23:42,711 --> 00:23:47,330 +00:23:30,729 --> 00:23:33,750 для кожного вектора було штучно зменшено, щоб уникнути безладу. 353 -00:23:47,330 --> 00:23:52,109 +00:23:34,910 --> 00:23:40,824 Якщо ви робите це кілька разів, ваше кінцеве місцезнаходження буде наближеним до тета t, 354 -00:23:52,109 --> 00:23:54,150 +00:23:40,824 --> 00:23:43,350 де t є сумою всіх цих часових кроків. 355 -00:23:54,150 --> 00:24:02,335 +00:23:44,330 --> 00:23:49,080 Якщо ви подумаєте про те, що зараз показано, і що це означатиме для руху маятника, 356 -00:24:02,335 --> 00:24:06,970 +00:23:49,080 --> 00:23:51,770 ви, ймовірно, погодитеся, що це вкрай неточно. 357 -00:24:06,970 --> 00:24:12,050 +00:23:52,210 --> 00:23:56,710 Але це лише тому, що дельта t кроку за часом дорівнює 0.5 занадто великий. 358 -00:24:12,050 --> 00:24:16,734 +00:23:57,210 --> 00:24:02,616 Якщо ми відхилили його, скажіть на 0.01, ви можете отримати набагато точніше наближення, 359 -00:24:16,734 --> 00:24:19,050 +00:24:02,616 --> 00:24:05,290 просто потрібно більше повторюваних кроків. 360 -00:24:19,590 --> 00:24:21,630 +00:24:05,870 --> 00:24:10,570 У цьому випадку обчислення тета 10 вимагає 1000 маленьких кроків. 361 -00:24:21,630 --> 00:24:26,039 +00:24:11,350 --> 00:24:15,106 На щастя, ми живемо у світі з комп’ютерами, тому повторити просте завдання 1000 362 -00:24:26,039 --> 00:24:30,670 +00:24:15,106 --> 00:24:19,050 разів так само просто, як сформулювати це завдання за допомогою мови програмування. 363 -00:24:30,670 --> 00:24:35,054 +00:24:19,590 --> 00:24:23,239 Фактично, давайте завершимо справу, написавши невелику програму на Python, 364 -00:24:35,054 --> 00:24:36,750 +00:24:23,239 --> 00:24:24,650 яка обчислює для нас тету t. 365 -00:24:36,750 --> 00:24:40,557 +00:24:25,270 --> 00:24:28,803 Він повинен використовувати диференціальне рівняння, 366 -00:24:40,557 --> 00:24:45,370 +00:24:28,803 --> 00:24:33,270 яке повертає другу похідну від тета як функцію тета і тета-крапки. 367 -00:24:45,370 --> 00:24:50,752 +00:24:34,230 --> 00:24:37,628 Ви починаєте з визначення двох змінних, тета і тета-крапка, 368 -00:24:50,752 --> 00:24:54,430 +00:24:37,628 --> 00:24:39,950 кожна в термінах деяких початкових умов. 369 -00:24:54,430 --> 00:24:58,697 +00:24:40,590 --> 00:24:43,550 У цьому випадку тета починатиметься з пі/третей, 370 -00:24:58,697 --> 00:25:02,790 +00:24:43,550 --> 00:24:46,390 що становить 60 градусів, а тета-крапка – з 0. 371 -00:25:02,790 --> 00:25:07,063 +00:24:47,050 --> 00:24:52,447 Далі напишіть цикл, який відповідає виконанню багатьох маленьких часових кроків 372 -00:25:07,063 --> 00:25:11,230 +00:24:52,447 --> 00:24:57,710 між 0 і часом t, кожен з розміром delta t, який я встановлюю тут рівним 0.01. 373 -00:25:11,910 --> 00:25:16,011 +00:24:58,570 --> 00:25:03,377 На кожному кроці цього циклу збільшуйте тета-точку на тета-крапку, помножену на дельту t, 374 -00:25:16,011 --> 00:25:19,246 +00:25:03,377 --> 00:25:07,170 і збільште тета-крапку на тета-подвійну крапку, помножену на дельта t, 375 -00:25:19,246 --> 00:25:22,710 +00:25:07,170 --> 00:25:11,230 де подвійну тета-точку можна обчислити на основі диференціального рівняння. 376 -00:25:22,710 --> 00:25:25,930 +00:25:11,910 --> 00:25:15,650 Після всіх цих невеликих часових кроків просто поверніть значення тета. 377 -00:25:25,930 --> 00:25:31,290 +00:25:16,690 --> 00:25:19,410 Це називається чисельним розв’язуванням диференціального рівняння. 378 -00:25:31,290 --> 00:25:34,884 +00:25:20,050 --> 00:25:23,838 Числові методи можуть стати набагато складнішими та складнішими, ніж цей, 379 -00:25:34,884 --> 00:25:37,944 +00:25:23,838 --> 00:25:27,063 щоб краще збалансувати компроміс між точністю та ефективністю, 380 -00:25:37,944 --> 00:25:39,450 +00:25:27,063 --> 00:25:28,650 але цей цикл дає основну ідею. 381 -00:25:39,450 --> 00:25:43,231 +00:25:30,530 --> 00:25:34,350 Отже, незважаючи на те, що ми не завжди можемо знайти точні розв’язки, це погано, 382 -00:25:43,231 --> 00:25:47,290 +00:25:34,350 --> 00:25:38,450 все ж є значущі способи вивчення диференціальних рівнянь, незважаючи на цю нездатність. 383 -00:25:47,290 --> 00:25:52,441 +00:25:38,790 --> 00:25:43,403 У наступних відео ми розглянемо кілька методів пошуку точних розв’язків, коли це можливо, 384 -00:25:52,441 --> 00:25:56,105 +00:25:43,403 --> 00:25:46,684 але одна тема, на якій я хотів би зосередитися, полягає в тому, 385 -00:25:56,105 --> 00:26:00,513 +00:25:46,684 --> 00:25:50,631 як ці точні розв’язки також можуть допомогти нам у вивченні більш загальних, 386 -00:26:00,513 --> 00:26:01,830 +00:25:50,631 --> 00:25:51,810 нерозв’язних випадків. 387 -00:26:01,830 --> 00:26:03,150 +00:25:52,790 --> 00:25:54,050 Але стає гірше. 388 -00:26:03,150 --> 00:26:06,730 +00:25:54,690 --> 00:25:58,111 Так само, як існує обмеження того, наскільки далеко можуть нас завести точні 389 -00:26:06,730 --> 00:26:10,263 +00:25:58,111 --> 00:26:01,487 аналітичні рішення, одна з великих галузей, що виникла в минулому столітті, 390 -00:26:10,263 --> 00:26:13,099 +00:26:01,487 --> 00:26:04,198 теорія хаосу, показала, що існують додаткові обмеження того, 391 -00:26:13,099 --> 00:26:16,680 +00:26:04,198 --> 00:26:07,619 наскільки добре ми можемо використовувати ці системи для прогнозування з або 392 -00:26:16,680 --> 00:26:17,610 +00:26:07,619 --> 00:26:08,330 без розв'язків. 393 -00:26:17,990 --> 00:26:23,758 +00:26:09,210 --> 00:26:14,308 Зокрема, ми знаємо, що для деяких систем невеликі варіації початкових умов, 394 -00:26:23,758 --> 00:26:30,210 +00:26:14,308 --> 00:26:20,010 скажімо, через недосконалі вимірювання, призводять до надзвичайно різних траєкторій. 395 -00:26:30,210 --> 00:26:34,150 +00:26:20,530 --> 00:26:23,270 Ми навіть добре зрозуміли, чому це відбувається. 396 -00:26:34,150 --> 00:26:37,570 +00:26:23,830 --> 00:26:28,270 Проблема трьох тіл, наприклад, відома тим, що містить у собі зачатки хаосу. 397 -00:26:37,570 --> 00:26:41,400 +00:26:28,870 --> 00:26:32,465 Тож, озираючись на цитату з попереднього, здається майже жорстоким з боку 398 -00:26:41,400 --> 00:26:45,230 +00:26:32,465 --> 00:26:36,060 Всесвіту наповнювати свою мову загадками, які ми або не можемо розгадати, 399 -00:26:45,230 --> 00:26:49,630 +00:26:36,060 --> 00:26:40,190 або де, як ми знаємо, будь-яке рішення буде марним для довгострокового передбачення. 400 -00:26:49,630 --> 00:26:51,430 +00:26:40,670 --> 00:26:44,350 Це жорстоко, але, знову ж таки, це повинно заспокоїти. 401 -00:26:51,430 --> 00:26:52,324 +00:26:45,010 --> 00:26:48,516 Це дає певну надію, що складність, яку ми бачимо в навколишньому світі, 402 -00:26:52,324 --> 00:26:53,443 +00:26:48,516 --> 00:26:52,899 можна вивчити десь у цій математиці, і що вона не прихована в невідповідності між моделлю 403 -00:26:53,443 --> 00:26:53,630 +00:26:52,899 --> 00:26:53,630 та реальністю. diff --git a/2019/differential-equations/vietnamese/auto_generated.srt b/2019/differential-equations/vietnamese/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..18a54ead6 --- /dev/null +++ b/2019/differential-equations/vietnamese/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,1625 @@ +1 +00:00:03,500 --> 00:00:06,543 +Trích dẫn câu nói của Stephen Strogatz, kể từ Newton, + +2 +00:00:06,543 --> 00:00:11,051 +nhân loại đã nhận ra rằng các định luật vật lý luôn được thể hiện bằng ngôn ngữ + +3 +00:00:11,051 --> 00:00:12,460 +của phương trình vi phân. + +4 +00:00:13,160 --> 00:00:17,245 +Tất nhiên, ngôn ngữ này cũng được sử dụng vượt xa ranh giới vật lý và việc có thể + +5 +00:00:17,245 --> 00:00:21,480 +nói và đọc nó sẽ mang lại một màu sắc mới cho cách bạn nhìn thế giới xung quanh mình. + +6 +00:00:22,180 --> 00:00:25,400 +Trong một số video tiếp theo, tôi muốn giới thiệu một chút về chủ đề này. + +7 +00:00:25,840 --> 00:00:30,164 +Mục đích là để đưa ra một cái nhìn toàn cảnh về nội dung của phần toán học này, + +8 +00:00:30,164 --> 00:00:34,380 +đồng thời vui vẻ đi sâu vào chi tiết của các ví dụ cụ thể khi chúng xuất hiện. + +9 +00:00:35,060 --> 00:00:37,762 +Tôi giả sử rằng bạn biết những kiến thức cơ bản về giải tích, + +10 +00:00:37,762 --> 00:00:40,638 +chẳng hạn như đạo hàm và tích phân là gì, và trong các video sau, + +11 +00:00:40,638 --> 00:00:43,820 +ta sẽ cần một số đại số tuyến tính cơ bản, nhưng không cần nhiều hơn thế. + +12 +00:00:44,600 --> 00:00:46,998 +Các phương trình vi phân xuất hiện bất cứ khi nào việc + +13 +00:00:46,998 --> 00:00:49,440 +mô tả sự thay đổi dễ dàng hơn so với số lượng tuyệt đối. + +14 +00:00:49,440 --> 00:00:54,120 +Chẳng hạn, sẽ dễ dàng hơn để nói tại sao quy mô dân số tăng hoặc giảm hơn là + +15 +00:00:54,120 --> 00:00:58,680 +mô tả lý do tại sao chúng có những giá trị cụ thể tại một thời điểm nào đó. + +16 +00:00:59,500 --> 00:01:02,068 +Có thể dễ dàng mô tả lý do tại sao tình yêu của bạn dành cho + +17 +00:01:02,068 --> 00:01:04,680 +ai đó đang thay đổi hơn là tại sao nó lại xảy ra như hiện tại. + +18 +00:01:05,180 --> 00:01:09,840 +Trong vật lý, cụ thể hơn là cơ học Newton, chuyển động thường được mô tả + +19 +00:01:09,840 --> 00:01:14,500 +dưới dạng lực và lực xác định gia tốc, đó là một tuyên bố về sự thay đổi. + +20 +00:01:15,160 --> 00:01:20,646 +Các phương trình này có hai loại khác nhau, phương trình vi phân thông thường hoặc ODE, + +21 +00:01:20,646 --> 00:01:23,576 +liên quan đến các hàm có một đầu vào duy nhất, + +22 +00:01:23,576 --> 00:01:28,127 +thường được coi là thời gian và phương trình vi phân từng phần hoặc PDE, + +23 +00:01:28,127 --> 00:01:30,060 +xử lý các hàm có nhiều đầu vào. + +24 +00:01:30,800 --> 00:01:34,600 +Phương trình vi phân từng phần là thứ chúng ta sẽ xét kỹ hơn trong video tiếp theo. + +25 +00:01:35,140 --> 00:01:40,110 +Bạn thường nghĩ chúng liên quan đến toàn bộ chuỗi giá trị thay đổi theo thời gian, + +26 +00:01:40,110 --> 00:01:45,500 +như nhiệt độ tại mọi điểm của vật rắn, hay vận tốc của chất lỏng tại mọi điểm trong không + +27 +00:01:45,500 --> 00:01:45,800 +gian. + +28 +00:01:46,600 --> 00:01:49,645 +Các phương trình vi phân thông thường, hiện là trọng tâm của chúng ta, + +29 +00:01:49,645 --> 00:01:52,820 +chỉ liên quan đến một tập hợp hữu hạn các giá trị thay đổi theo thời gian. + +30 +00:01:53,520 --> 00:01:56,621 +Và nó không nhất thiết phải là thời gian, một biến độc lập của + +31 +00:01:56,621 --> 00:01:59,722 +bạn có thể là một thứ khác, nhưng những thứ thay đổi theo thời + +32 +00:01:59,722 --> 00:02:03,020 +gian là ví dụ nguyên mẫu và phổ biến nhất của phương trình vi phân. + +33 +00:02:04,020 --> 00:02:06,574 +Vật lý cung cấp một sân chơi thú vị cho chúng ta ở đây, + +34 +00:02:06,574 --> 00:02:10,314 +với những ví dụ đơn giản để bắt đầu và không thiếu sự phức tạp và đầy màu sắc khi + +35 +00:02:10,314 --> 00:02:11,500 +chúng ta tìm hiểu sâu hơn. + +36 +00:02:13,260 --> 00:02:17,360 +Như một màn khởi động thú vị, hãy xem xét quỹ đạo của một thứ bạn ném lên không trung. + +37 +00:02:17,880 --> 00:02:21,531 +Lực hấp dẫn gần bề mặt Trái đất khiến mọi thứ + +38 +00:02:21,531 --> 00:02:25,500 +tăng tốc hướng xuống với tốc độ 9,8 mét/giây/giây. + +39 +00:02:26,260 --> 00:02:28,060 +Bây giờ hãy giải nghĩa điều đó thực sự đang nói lên điều gì. + +40 +00:02:28,500 --> 00:02:34,400 +Điều đó có nghĩa là nếu bạn nhìn vật đó không chịu tác động của các lực khác và ghi lại + +41 +00:02:34,400 --> 00:02:40,099 +vận tốc của nó mỗi giây, các vectơ vận tốc này sẽ tích lũy thêm một thành phần hướng + +42 +00:02:40,099 --> 00:02:46,000 +xuống nhỏ là 9,8 mét mỗi giây mỗi giây, chúng ta gọi đây là hằng số 9,8 g cho trọng lực. + +43 +00:02:47,240 --> 00:02:49,864 +Điều này đủ để cho chúng ta một ví dụ về phương trình vi phân, + +44 +00:02:49,864 --> 00:02:51,780 +mặc dù là một phương trình tương đối đơn giản. + +45 +00:02:52,260 --> 00:02:55,120 +Tập trung vào tọa độ y như một hàm của thời gian. + +46 +00:02:57,280 --> 00:03:01,888 +Đạo hàm của nó cho thành phần thẳng đứng của vận tốc, + +47 +00:03:01,888 --> 00:03:07,180 +đạo hàm của nó lần lượt cho thành phần thẳng đứng của gia tốc. + +48 +00:03:10,040 --> 00:03:15,420 +Để thu gọn, hãy viết đạo hàm bậc nhất là y-phẩy và đạo hàm thứ hai là y-2-phẩy. + +49 +00:03:15,980 --> 00:03:21,320 +Phương trình của chúng ta nói rằng y-2-phẩy bằng âm g, một hằng số đơn giản. + +50 +00:03:22,100 --> 00:03:24,943 +Đây là vấn đề chúng ta có thể giải quyết bằng cách lấy tích phân, + +51 +00:03:24,943 --> 00:03:26,580 +về cơ bản là giải quyết câu hỏi ngược. + +52 +00:03:27,320 --> 00:03:32,340 +Đầu tiên, để tìm vận tốc, bạn hỏi, hàm số nào có g âm là đạo hàm? + +53 +00:03:32,340 --> 00:03:39,720 +Vâng, nó là âm g nhân t, hay cụ thể hơn là âm gt cộng với vận tốc ban đầu. + +54 +00:03:40,300 --> 00:03:43,282 +Lưu ý rằng có nhiều hàm số với đạo hàm cụ thể này, + +55 +00:03:43,282 --> 00:03:47,260 +do đó bạn có thêm một bậc tự do được xác định bởi điều kiện ban đầu. + +56 +00:03:48,360 --> 00:03:50,860 +Bây giờ hàm số này có tính chất đạo hàm là gì? + +57 +00:03:51,920 --> 00:03:56,382 +Nó hóa ra là âm một phần hai g nhân t bình cộng vận tốc ban đầu nhân t, + +58 +00:03:56,382 --> 00:04:01,527 +và một lần nữa chúng ta có thể thêm một hằng số bổ sung mà không thay đổi đạo hàm, + +59 +00:04:01,527 --> 00:04:05,680 +và hằng số đó được xác định bởi bất kể vị trí ban đầu là bao nhiêu. + +60 +00:04:06,340 --> 00:04:09,738 +Và bạn thấy đấy, chúng ta vừa giải một phương trình vi phân, + +61 +00:04:09,738 --> 00:04:13,360 +tìm ra hàm số là gì dựa trên thông tin về tốc độ thay đổi của nó. + +62 +00:04:14,220 --> 00:04:16,873 +Mọi chuyện trở nên thú vị hơn khi các lực tác + +63 +00:04:16,873 --> 00:04:19,700 +dụng lên một vật phụ thuộc vào vị trí của vật đó. + +64 +00:04:20,300 --> 00:04:23,563 +Ví dụ, nghiên cứu chuyển động của các hành tinh, ngôi sao và mặt trăng, + +65 +00:04:23,563 --> 00:04:25,830 +lực hấp dẫn không còn được coi là một hằng số nữa. + +66 +00:04:26,510 --> 00:04:30,935 +Cho hai vật thể, cực của một trong chúng hướng về vật kia, + +67 +00:04:30,935 --> 00:04:35,810 +với cường độ tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. + +68 +00:04:37,110 --> 00:04:43,051 +Như mọi khi, tốc độ thay đổi vị trí là vận tốc, nhưng bây giờ tốc độ thay đổi vận tốc, + +69 +00:04:43,051 --> 00:04:48,856 +gia tốc, là một hàm nào đó của vị trí, vậy nên bạn có điệu nhảy này giữa hai biến số + +70 +00:04:48,856 --> 00:04:54,730 +tương tác lẫn nhau, gợi nhớ đến điệu nhảy giữa hai vật thể chuyển động mà chúng mô tả. + +71 +00:04:58,330 --> 00:05:02,311 +Điều này phản ánh thực tế là thường trong các phương trình vi phân, + +72 +00:05:02,311 --> 00:05:06,118 +các câu đố mà bạn gặp phải liên quan đến việc tìm một hàm có đạo + +73 +00:05:06,118 --> 00:05:09,690 +hàm hoặc đạo hàm bậc cao hơn được xác định theo chính hàm đó. + +74 +00:05:10,490 --> 00:05:14,184 +Trong vật lý, phương trình vi phân bậc hai là phổ biến nhất, + +75 +00:05:14,184 --> 00:05:19,090 +có nghĩa là đạo hàm cao nhất bạn tìm thấy trong biểu thức này là đạo hàm bậc hai. + +76 +00:05:19,850 --> 00:05:24,324 +Các phương trình vi phân bậc cao hơn sẽ là những phương trình bao gồm đạo hàm bậc ba, + +77 +00:05:24,324 --> 00:05:27,810 +đạo hàm bậc bốn, v.v., những câu đố có nhiều manh mối phức tạp hơn. + +78 +00:05:28,830 --> 00:05:31,903 +Cảm giác mà bạn có được khi thực sự suy ngẫm về một trong những phương + +79 +00:05:31,903 --> 00:05:35,150 +trình này là cảm giác khi giải được một trò chơi ghép hình liên tục vô tận. + +80 +00:05:35,770 --> 00:05:40,715 +Theo một nghĩa nào đó, bạn phải tìm vô số số, một số cho mỗi điểm trong thời gian t, + +81 +00:05:40,715 --> 00:05:45,370 +nhưng chúng bị ràng buộc bởi một cách rất cụ thể là các giá trị này đan xen với + +82 +00:05:45,370 --> 00:05:49,850 +tốc độ thay đổi của chính chúng và tốc độ thay đổi của tốc độ đó là thay đổi. + +83 +00:05:50,570 --> 00:05:53,393 +Để hiểu được việc nghiên cứu những thứ này trông như thế nào, + +84 +00:05:53,393 --> 00:05:57,310 +tôi muốn bạn dành chút thời gian tìm hiểu một ví dụ tưởng chừng đơn giản, một con lắc. + +85 +00:05:57,910 --> 00:06:03,110 +Góc theta mà nó tạo ra theo phương thẳng đứng thay đổi như thế nào theo thời gian? + +86 +00:06:04,030 --> 00:06:07,449 +Điều này thường được đưa ra làm ví dụ trong các lớp vật lý cơ bản về + +87 +00:06:07,449 --> 00:06:10,770 +chuyển động điều hòa, nghĩa là nó dao động giống như sóng hình sin. + +88 +00:06:10,770 --> 00:06:16,213 +Cụ thể hơn, một có chu kỳ bằng 2 pi nhân căn bậc hai của l trên g, + +89 +00:06:16,213 --> 00:06:21,170 +trong đó l là chiều dài của con lắc và g là cường độ hấp dẫn. + +90 +00:06:22,710 --> 00:06:25,540 +Tuy nhiên, những công thức này thực chất là những lời nói dối, + +91 +00:06:25,540 --> 00:06:29,450 +hay nói đúng hơn là những phép tính gần đúng chỉ có tác dụng trong phạm vi các góc nhỏ. + +92 +00:06:29,950 --> 00:06:35,188 +Nếu bạn đi và đo một con lắc thực tế, bạn sẽ thấy rằng khi bạn kéo nó ra xa hơn, + +93 +00:06:35,188 --> 00:06:39,910 +chu kỳ sẽ dài hơn những gì các công thức vật lý ở trường trung học gợi ý. + +94 +00:06:43,750 --> 00:06:47,143 +Và khi bạn kéo nó ra thật xa, giá trị này của theta được vẽ + +95 +00:06:47,143 --> 00:06:50,650 +theo thời gian thậm chí không còn giống một sóng hình sin nữa. + +96 +00:06:54,910 --> 00:06:59,190 +Để hiểu điều gì đang thực sự xảy ra, trước tiên, hãy thiết lập phương trình vi phân. + +97 +00:06:59,770 --> 00:07:04,583 +Chúng ta sẽ đo vị trí trọng lượng của con lắc theo khoảng cách x dọc theo cung này, + +98 +00:07:04,583 --> 00:07:07,965 +và nếu góc theta mà chúng ta quan tâm được đo bằng radian, + +99 +00:07:07,965 --> 00:07:12,550 +thì chúng ta có thể viết x là l nhân theta, trong đó l là chiều dài của con lắc. + +100 +00:07:13,350 --> 00:07:16,462 +Như thường lệ, trọng lực kéo xuống với gia tốc g, + +101 +00:07:16,462 --> 00:07:22,002 +nhưng vì con lắc hạn chế chuyển động của khối lượng này nên chúng ta phải xét thành phần + +102 +00:07:22,002 --> 00:07:24,430 +của gia tốc này theo hướng chuyển động. + +103 +00:07:25,190 --> 00:07:28,296 +Một bài tập hình học nhỏ dành cho bạn là chứng + +104 +00:07:28,296 --> 00:07:31,270 +tỏ rằng góc nhỏ này ở đây bằng với góc theta. + +105 +00:07:35,010 --> 00:07:44,470 +Vậy thành phần trọng lực theo hướng chuyển động ngược với góc này sẽ âm g nhân sin theta. + +106 +00:07:46,130 --> 00:07:49,174 +Ở đây chúng ta đang coi theta là dương khi con + +107 +00:07:49,174 --> 00:07:52,090 +lắc lắc sang phải và âm khi nó lắc sang trái. + +108 +00:07:52,650 --> 00:07:55,938 +Dấu trừ này trong gia tốc cho thấy rằng nó luôn + +109 +00:07:55,938 --> 00:07:59,090 +hướng theo hướng ngược lại với độ dịch chuyển. + +110 +00:08:00,450 --> 00:08:06,650 +Vậy cái chúng ta có là đạo hàm bậc hai của x, gia tốc, bằng âm g nhân sin theta. + +111 +00:08:07,550 --> 00:08:09,472 +Như mọi khi, thật tốt khi kiểm tra nhanh xem công + +112 +00:08:09,472 --> 00:08:11,510 +thức của chúng ta có ý nghĩa về mặt vật lý hay không. + +113 +00:08:12,110 --> 00:08:17,850 +Khi theta bằng 0, sin của 0 bằng 0, do đó không có gia tốc theo hướng chuyển động. + +114 +00:08:18,330 --> 00:08:24,650 +Khi theta bằng 90 độ, sin theta bằng 1, nên gia tốc bằng với gia tốc rơi tự do. + +115 +00:08:25,310 --> 00:08:26,510 +Được rồi, điều đó đã được kiểm tra. + +116 +00:08:27,150 --> 00:08:31,388 +Và bởi vì x bằng L nhân theta, điều đó có nghĩa là đạo + +117 +00:08:31,388 --> 00:08:35,549 +hàm bậc hai của theta bằng âm g trên L nhân sin theta. + +118 +00:08:36,330 --> 00:08:40,623 +Để thực tế hơn một chút, chúng ta hãy thêm vào một số hạng để tính lực cản không khí, + +119 +00:08:40,623 --> 00:08:43,470 +mà có lẽ chúng ta mô hình hóa nó tỷ lệ thuận với vận tốc. + +120 +00:08:44,049 --> 00:08:47,204 +Chúng ta sẽ viết cái này dưới dạng âm mu nhân theta chấm, + +121 +00:08:47,204 --> 00:08:50,685 +trong đó mu là một hằng số nào đó bao hàm toàn bộ lực cản không + +122 +00:08:50,685 --> 00:08:54,330 +khí và ma sát và xác định con lắc mất năng lượng nhanh như thế nào. + +123 +00:08:55,650 --> 00:08:59,810 +Bây giờ, các bạn của tôi ơi, đây là một phương trình vi phân đặc biệt hấp dẫn. + +124 +00:09:00,210 --> 00:09:03,016 +Nó không dễ giải quyết, nhưng cũng không quá khó đến + +125 +00:09:03,016 --> 00:09:05,770 +mức chúng ta không thể hiểu được nó một cách hợp lý. + +126 +00:09:06,230 --> 00:09:08,913 +Thoạt nhìn, bạn có thể nghĩ rằng hàm sin bạn thấy + +127 +00:09:08,913 --> 00:09:11,650 +ở đây liên quan đến dạng sóng hình sin của con lắc. + +128 +00:09:12,170 --> 00:09:15,790 +Tuy nhiên, trớ trêu thay, điều cuối cùng bạn sẽ nhận ra là điều ngược lại mới đúng. + +129 +00:09:16,310 --> 00:09:19,455 +Sự có mặt của hàm sin trong phương trình này chính là lý do + +130 +00:09:19,455 --> 00:09:22,810 +tại sao các con lắc thực không dao động theo dạng sóng hình sin. + +131 +00:09:23,490 --> 00:09:27,141 +Nếu điều đó nghe có vẻ kỳ lạ, hãy xem xét thực tế là ở đây, + +132 +00:09:27,141 --> 00:09:31,341 +hàm sin lấy theta làm đầu vào, nhưng trong nghiệm gần đúng mà bạn có + +133 +00:09:31,341 --> 00:09:36,150 +thể thấy trong lớp vật lý, bản thân theta đang dao động làm đầu ra của hàm sin. + +134 +00:09:36,950 --> 00:09:38,550 +Rõ ràng có điều gì đó đáng nghi đang diễn ra. + +135 +00:09:39,360 --> 00:09:43,495 +Một điều tôi thích ở ví dụ này là, mặc dù nó tương đối đơn giản nhưng nó bộc + +136 +00:09:43,495 --> 00:09:47,630 +lộ một sự thật quan trọng về phương trình vi phân mà bạn cần phải giải quyết. + +137 +00:09:48,070 --> 00:09:49,750 +Chúng thực sự rất khó giải quyết. + +138 +00:09:50,330 --> 00:09:53,581 +Trong trường hợp này, nếu loại bỏ số hạng suy giảm đó, + +139 +00:09:53,581 --> 00:09:58,430 +chúng ta chỉ có thể viết ra nghiệm phân tích, nhưng nó lại phức tạp đến buồn cười. + +140 +00:09:58,890 --> 00:10:01,815 +Nó liên quan đến tất cả các hàm mà bạn có thể chưa bao giờ nghe đến, + +141 +00:10:01,815 --> 00:10:04,910 +được viết dưới dạng tích phân và các bài toán tích phân nghịch đảo kỳ lạ. + +142 +00:10:04,910 --> 00:10:09,661 +Khi bạn lùi lại, có lẽ lý do để tìm ra nghiệm là để có thể tính toán và xây + +143 +00:10:09,661 --> 00:10:14,350 +dựng sự hiểu biết về bất kỳ vấn đề động lực học nào mà bạn đang nghiên cứu. + +144 +00:10:15,050 --> 00:10:18,549 +Trong trường hợp này, những câu hỏi đó được đặt ra để tìm + +145 +00:10:18,549 --> 00:10:22,170 +ra cách tính toán và quan trọng hơn là hiểu các hàm mới này. + +146 +00:10:23,070 --> 00:10:27,287 +Và thường xuyên hơn, giống như nếu chúng ta cộng lại số hạng suy giảm đó, + +147 +00:10:27,287 --> 00:10:30,650 +sẽ không có cách nào để viết ra nghiệm phân tích chính xác. + +148 +00:10:31,170 --> 00:10:35,448 +Chà, đối với bất kỳ bài toán khó nào, bạn chỉ cần xác định một hàm mới là câu trả + +149 +00:10:35,448 --> 00:10:39,987 +lời cho bài toán đó, thậm chí đặt tên nó theo tên bạn nếu bạn muốn, nhưng một lần nữa, + +150 +00:10:39,987 --> 00:10:44,370 +điều đó là vô nghĩa trừ khi nó giúp bạn có thể tính toán và xây dựng vốn hiểu biết . + +151 +00:10:45,350 --> 00:10:48,330 +Vậy thay vào đó, khi nghiên cứu các phương trình vi phân, + +152 +00:10:48,330 --> 00:10:52,492 +chúng ta thường thực hiện một kiểu đoản mạch và bỏ qua phần nghiệm thực tế vì nó + +153 +00:10:52,492 --> 00:10:56,859 +không thể đạt được và đi thẳng vào việc xây dựng vốn hiểu biết và thực hiện các phép + +154 +00:10:56,859 --> 00:10:58,350 +tính chỉ từ các phương trình. + +155 +00:10:58,350 --> 00:11:01,310 +Hãy để tôi xét nó trông như thế nào với một con lắc. + +156 +00:11:02,810 --> 00:11:06,697 +Bạn đang nghĩ gì trong đầu, hoặc bạn có thể nhờ phần mềm nào đó hình + +157 +00:11:06,697 --> 00:11:11,486 +dung ra để hiểu nhiều cách có thể mà một con lắc, bị chi phối bởi các định luật này, + +158 +00:11:11,486 --> 00:11:14,810 +có thể tiến hóa tùy thuộc vào các điều kiện ban đầu của nó? + +159 +00:11:15,730 --> 00:11:18,830 +Bạn có thể muốn thử tưởng tượng đồ thị của theta với t, + +160 +00:11:18,950 --> 00:11:21,869 +và bằng cách nào đó giải thích độ dốc, vị trí và + +161 +00:11:21,869 --> 00:11:24,730 +độ cong này có mối liên hệ với nhau như thế nào. + +162 +00:11:25,250 --> 00:11:29,391 +Tuy nhiên, điều sẽ trở nên dễ dàng hơn và tổng quát hơn là bắt đầu bằng + +163 +00:11:29,391 --> 00:11:33,590 +cách hình dung tất cả các trạng thái có thể có trong mặt phẳng hai chiều. + +164 +00:11:37,190 --> 00:11:42,212 +Ý tôi muốn nói về trạng thái của con lắc là bạn có thể mô tả nó bằng hai con số, + +165 +00:11:42,212 --> 00:11:43,390 +góc và vận tốc góc. + +166 +00:11:43,930 --> 00:11:48,079 +Bạn có thể tự do thay đổi một trong hai giá trị đó mà không nhất thiết phải + +167 +00:11:48,079 --> 00:11:52,230 +thay đổi giá trị kia, nhưng gia tốc hoàn toàn là một hàm của hai giá trị đó. + +168 +00:11:52,990 --> 00:11:55,933 +Vì vậy, mỗi điểm của mặt phẳng hai chiều này mô + +169 +00:11:55,933 --> 00:11:58,570 +tả đầy đủ con lắc tại bất kỳ thời điểm nào. + +170 +00:11:59,390 --> 00:12:03,330 +Bạn có thể coi đây là tất cả các điều kiện ban đầu có thể có của con lắc đó. + +171 +00:12:03,630 --> 00:12:07,816 +Nếu bạn biết góc ban đầu và vận tốc góc, điều đó đủ để dự + +172 +00:12:07,816 --> 00:12:11,930 +đoán hệ sẽ tiến triển như thế nào khi thời gian trôi qua. + +173 +00:12:14,210 --> 00:12:16,380 +Nếu bạn chưa từng làm việc với chúng trước đây thì có thể bạn sẽ + +174 +00:12:16,380 --> 00:12:18,550 +phải mất một chút thời gian để làm quen với những loại sơ đồ này. + +175 +00:12:18,550 --> 00:12:21,542 +Những gì bạn đang nhìn bây giờ, đường xoắn ốc hướng vào trong này, + +176 +00:12:21,542 --> 00:12:23,999 +là một quỹ đạo khá điển hình cho con lắc của chúng ta, + +177 +00:12:23,999 --> 00:12:27,930 +vì vậy hãy dành một chút thời gian để suy nghĩ cẩn thận về những gì đang được biểu diễn. + +178 +00:12:30,070 --> 00:12:36,250 +Chú ý lúc đầu, như khi theta giảm, theta chấm, tọa độ y, trở nên âm hơn. + +179 +00:12:36,990 --> 00:12:42,710 +Điều này hợp lý vì con lắc chuyển động nhanh hơn theo hướng sang trái khi nó chạm tới đáy. + +180 +00:12:43,590 --> 00:12:47,846 +Hãy nhớ rằng, mặc dù vectơ vận tốc trên con lắc này hướng sang trái, + +181 +00:12:47,846 --> 00:12:53,028 +giá trị của vận tốc đó luôn được biểu thị bằng thành phần thẳng đứng của không gian + +182 +00:12:53,028 --> 00:12:53,830 +của chúng ta. + +183 +00:12:54,530 --> 00:12:58,563 +Điều quan trọng là phải nhắc nhở bản thân rằng không gian trạng thái này là một + +184 +00:12:58,563 --> 00:13:02,850 +thứ trừu tượng và khác biệt với không gian vật lý nơi con lắc tự sống và chuyển động. + +185 +00:13:04,800 --> 00:13:09,365 +Vì chúng ta đang mô hình hóa sự mất mát một phần năng lượng này do lực cản không khí, + +186 +00:13:09,365 --> 00:13:12,976 +nên quỹ đạo này xoắn vào trong, nghĩa là vận tốc cực đại và độ dịch + +187 +00:13:12,976 --> 00:13:15,790 +chuyển cực đại đều giảm đi một chút sau mỗi lần xoay. + +188 +00:13:16,350 --> 00:13:18,930 +Quan điểm của chúng ta, theo một nghĩa nào đó, + +189 +00:13:18,930 --> 00:13:22,610 +bị thu hút bởi gốc tọa độ, trong đó theta và theta chấm đều bằng 0. + +190 +00:13:25,810 --> 00:13:29,910 +Với không gian này, chúng ta có thể hình dung phương trình vi phân dưới dạng trường vectơ. + +191 +00:13:30,490 --> 00:13:31,630 +Ở đây, hãy để tôi chỉ cho bạn những gì tôi muốn nói. + +192 +00:13:31,950 --> 00:13:35,030 +Trạng thái con lắc là một vectơ, theta, theta chấm. + +193 +00:13:35,570 --> 00:13:39,310 +Có thể bạn nghĩ nó như một mũi tên từ gốc tọa độ, hoặc có thể bạn nghĩ nó như một điểm. + +194 +00:13:39,750 --> 00:13:43,670 +Điều quan trọng là nó có hai tọa độ, mỗi tọa độ là một hàm của thời gian. + +195 +00:13:43,670 --> 00:13:47,809 +Lấy đạo hàm của vectơ đó sẽ cho bạn tốc độ thay đổi, + +196 +00:13:47,809 --> 00:13:52,730 +hướng và tốc độ mà nó sẽ có xu hướng di chuyển trong sơ đồ này. + +197 +00:13:53,670 --> 00:13:56,920 +Đạo hàm đó là một vectơ mới, theta chấm, theta hai chấm, + +198 +00:13:56,920 --> 00:14:00,970 +mà chúng ta hình dung như được gắn vào điểm liên quan trong không gian. + +199 +00:14:03,790 --> 00:14:05,670 +Hãy dành một chút thời gian để giải thích những gì mà điều này đang nói. + +200 +00:14:06,370 --> 00:14:09,832 +Thành phần đầu tiên của vectơ tốc độ thay đổi này là theta chấm, + +201 +00:14:09,832 --> 00:14:12,230 +cũng là tọa độ trong không gian của chúng ta. + +202 +00:14:12,790 --> 00:14:17,130 +Chúng ta càng ở trên cao trong sơ đồ, điểm càng có xu hướng di chuyển sang + +203 +00:14:17,130 --> 00:14:21,470 +phải và chúng ta càng ở thấp thì điểm càng có xu hướng di chuyển sang trái. + +204 +00:14:24,330 --> 00:14:28,210 +Thành phần dọc là theta hai chấm, mà phương trình vi phân của chúng ta cho + +205 +00:14:28,210 --> 00:14:32,350 +phép chúng ta viết lại hoàn toàn dưới các số hạng của theta và chính theta chấm. + +206 +00:14:32,950 --> 00:14:36,988 +Nói cách khác, đạo hàm bậc nhất của vectơ trạng thái của chúng ta là một hàm + +207 +00:14:36,988 --> 00:14:41,290 +nào đó của chính vectơ đó, với hầu hết sự phức tạp gắn liền với tọa độ thứ hai đó. + +208 +00:14:41,290 --> 00:14:44,367 +Thực hiện tương tự tại tất cả các điểm của không gian này sẽ cho thấy + +209 +00:14:44,367 --> 00:14:47,270 +cách thức trạng thái đó có xu hướng thay đổi từ bất kỳ vị trí nào. + +210 +00:14:48,270 --> 00:14:51,843 +Như thông thường với các trường vectơ, ta thu nhỏ các vectơ một cách giả tạo + +211 +00:14:51,843 --> 00:14:55,650 +khi vẽ chúng để tránh sự lộn xộn, nhưng sử dụng màu sắc để biểu diễn sơ bộ độ lớn. + +212 +00:14:56,950 --> 00:15:00,308 +Lưu ý rằng chúng ta đã chia một phương trình bậc + +213 +00:15:00,308 --> 00:15:03,530 +hai thành một hệ gồm hai phương trình bậc nhất. + +214 +00:15:04,230 --> 00:15:06,785 +Bạn thậm chí có thể đặt cho theta chấm một cái tên khác, + +215 +00:15:06,785 --> 00:15:10,059 +để nhấn mạnh rằng chúng ta thực sự đang nghĩ đến hai giá trị riêng biệt, + +216 +00:15:10,059 --> 00:15:14,050 +gắn bó với nhau thông qua tác động lẫn nhau mà chúng có đối với tốc độ thay đổi của nhau. + +217 +00:15:14,590 --> 00:15:17,390 +Đây là một thủ thuật phổ biến trong việc nghiên cứu các phương trình vi phân. + +218 +00:15:17,850 --> 00:15:21,563 +Thay vì nghĩ về những thay đổi bậc cao hơn của một giá trị đơn lẻ, + +219 +00:15:21,563 --> 00:15:25,110 +chúng ta thường nghĩ đến đạo hàm bậc nhất của các giá trị vectơ. + +220 +00:15:25,950 --> 00:15:28,243 +Ở dạng này, chúng ta có một cách trực quan tuyệt + +221 +00:15:28,243 --> 00:15:30,770 +vời để suy nghĩ về ý nghĩa của việc giải phương trình. + +222 +00:15:31,210 --> 00:15:35,251 +Khi hệ thống của chúng ta phát triển từ một trạng thái ban đầu nào đó, + +223 +00:15:35,251 --> 00:15:39,405 +điểm của chúng ta trong không gian này sẽ di chuyển dọc theo một quỹ đạo + +224 +00:15:39,405 --> 00:15:44,130 +nào đó sao cho tại mọi thời điểm, vận tốc của điểm đó khớp với vectơ từ trường này. + +225 +00:15:44,790 --> 00:15:50,268 +Và một lần nữa, hãy nhớ rằng, vận tốc này không giống với vận tốc vật lý của con lắc, + +226 +00:15:50,268 --> 00:15:55,811 +nó là một tốc độ thay đổi trừu tượng hơn, mã hóa tốc độ thay đổi cho cả theta và theta + +227 +00:15:55,811 --> 00:15:56,130 +chấm. + +228 +00:15:57,230 --> 00:16:01,732 +Bạn có thể thấy thú vị khi dừng lại một lúc và suy nghĩ xem chính xác một số đường quỹ + +229 +00:16:01,732 --> 00:16:06,390 +đạo này nói gì về những cách có thể xảy ra của con lắc từ các điều kiện ban đầu khác nhau. + +230 +00:16:09,430 --> 00:16:14,328 +Ví dụ, ở những vùng có theta chấm khá cao, các vectơ hướng dẫn điểm di chuyển + +231 +00:16:14,328 --> 00:16:18,850 +sang bên phải khá xa trước khi chuyển sang dạng xoắn ốc hướng vào trong. + +232 +00:16:19,670 --> 00:16:24,079 +Điều này tương ứng với một con lắc có vận tốc ban đầu đủ cao để nó quay + +233 +00:16:24,079 --> 00:16:28,490 +hoàn toàn vài vòng trước khi chuyển sang một trạng thái qua lại tắt dần. + +234 +00:16:31,210 --> 00:16:32,770 +Có một chút ngộ nghĩnh hơn phải không? + +235 +00:16:33,270 --> 00:16:38,090 +Khi tôi điều chỉnh số hạng lực cản không khí này, mu, chẳng hạn như tăng nó lên, + +236 +00:16:38,090 --> 00:16:43,447 +bạn có thể thấy ngay điều này sẽ dẫn đến quỹ đạo xoắn ốc vào trong nhanh hơn như thế nào, + +237 +00:16:43,447 --> 00:16:45,590 +nghĩa là con lắc chậm lại nhanh hơn. + +238 +00:16:46,130 --> 00:16:48,651 +Thật rõ ràng khi tôi gọi nó là số hạng lực cản của không khí, + +239 +00:16:48,651 --> 00:16:51,741 +nhưng tưởng tượng rằng bạn thấy những phương trình này không đúng ngữ cảnh, + +240 +00:16:51,741 --> 00:16:53,490 +vì không biết rằng chúng mô tả một con lắc. + +241 +00:16:54,010 --> 00:16:58,272 +Chỉ nhìn vào chúng là không rõ ràng rằng việc tăng giá trị mu này có nghĩa là + +242 +00:16:58,272 --> 00:17:02,590 +toàn bộ hệ thống có xu hướng hướng tới một trạng thái thu hút nào đó nhanh hơn. + +243 +00:17:03,390 --> 00:17:06,259 +Vì vậy dùng một số phần mềm để vẽ các trường vectơ này cho bạn có thể là + +244 +00:17:06,259 --> 00:17:09,089 +một cách tuyệt vời để xây dựng một sự trực quan về cách chúng hoạt động. + +245 +00:17:09,930 --> 00:17:12,992 +Điều tuyệt vời là bất kỳ hệ phương trình vi phân thông thường + +246 +00:17:12,992 --> 00:17:16,054 +nào cũng có thể được mô tả bằng một trường vectơ như thế này, + +247 +00:17:16,054 --> 00:17:18,869 +vì vậy đó là một cách rất tổng quát để cảm nhận về chúng. + +248 +00:17:19,470 --> 00:17:22,089 +Tuy nhiên, thông thường chúng có nhiều chiều hơn. + +249 +00:17:22,720 --> 00:17:26,672 +Ví dụ, hãy xem xét bài toán ba vật nổi tiếng, đó là dự đoán ba khối lượng + +250 +00:17:26,672 --> 00:17:30,571 +trong không gian ba chiều sẽ tiến hóa như thế nào nếu chúng tác dụng lên + +251 +00:17:30,571 --> 00:17:34,470 +nhau bằng trọng lực, và nếu bạn biết vị trí và vận tốc ban đầu của chúng. + +252 +00:17:35,290 --> 00:17:40,570 +Mỗi khối lượng có ba tọa độ mô tả vị trí của nó và ba tọa độ nữa mô tả động lượng của nó. + +253 +00:17:41,270 --> 00:17:44,449 +Vì vậy, hệ thống có tổng cộng 18 bậc tự do và do đó + +254 +00:17:44,449 --> 00:17:47,690 +có một không gian 18 chiều của các trạng thái có thể. + +255 +00:17:48,250 --> 00:17:49,970 +Thật là một suy nghĩ kỳ lạ phải không? + +256 +00:17:50,230 --> 00:17:54,650 +Một điểm duy nhất uốn khúc trong không gian 18 chiều mà chúng ta không thể hình + +257 +00:17:54,650 --> 00:17:59,015 +dung được, tạo những bước đi trơn tru theo thời gian dựa trên bất kỳ vectơ nào + +258 +00:17:59,015 --> 00:18:03,325 +mà nó xuất hiện trong từng khoảnh khắc, mã hóa hoàn toàn vị trí và động lượng + +259 +00:18:03,325 --> 00:18:07,470 +của ba khối lượng mà chúng ta nhìn thấy thông thường, không gian 3D vật lý. + +260 +00:18:08,650 --> 00:18:12,091 +Trong thực tế, bạn có thể giảm số chiều ở đây bằng cách tận dụng tính + +261 +00:18:12,091 --> 00:18:15,435 +đối xứng trong sự thiết lập của mình, nhưng điểm có nhiều bậc tự do + +262 +00:18:15,435 --> 00:18:18,730 +hơn dẫn đến không gian trạng thái các chiều cao hơn vẫn giữ nguyên. + +263 +00:18:21,290 --> 00:18:24,530 +Trong toán học, chúng ta thường gọi không gian như thế này là không gian pha. + +264 +00:18:25,090 --> 00:18:29,083 +Bạn sẽ nghe tôi sử dụng thuật ngữ đó một cách rộng rãi cho các không gian mã hóa tất + +265 +00:18:29,083 --> 00:18:31,385 +cả các loại trạng thái của các hệ đang thay đổi, + +266 +00:18:31,385 --> 00:18:34,955 +nhưng bạn nên biết rằng trong bối cảnh vật lý, đặc biệt là cơ học Hamilton, + +267 +00:18:34,955 --> 00:18:37,962 +thuật ngữ này thường được dành cho một trường hợp đặc biệt hơn, + +268 +00:18:37,962 --> 00:18:41,110 +cụ thể là một không gian mà trục đại diện cho vị trí và động lượng. + +269 +00:18:41,890 --> 00:18:45,716 +Vậy một nhà vật lý sẽ đồng ý rằng không gian 18 chiều mô tả bài toán ba + +270 +00:18:45,716 --> 00:18:49,596 +vật là một không gian pha, nhưng chúng có thể cần chúng ta thực hiện một + +271 +00:18:49,596 --> 00:18:53,370 +số sửa đổi đối với thiết lập con lắc để nó xứng đáng với thuật ngữ này. + +272 +00:18:54,250 --> 00:18:58,619 +Với những ai vừa xem video va chạm khối, các mặt phẳng mà chúng ta xét sẽ được toán + +273 +00:18:58,619 --> 00:19:03,250 +học gọi dân giã là không gian pha, mặc dù một nhà vật lý có thể thích thuật ngữ khác hơn. + +274 +00:19:03,890 --> 00:19:06,830 +Chỉ cần biết rằng ý nghĩa cụ thể có thể phụ thuộc vào ngữ cảnh của bạn. + +275 +00:19:07,870 --> 00:19:11,661 +Nó có vẻ như là một ý tưởng đơn giản, tùy thuộc vào mức độ hiểu biết của + +276 +00:19:11,661 --> 00:19:15,504 +bạn về cách suy nghĩ hiện đại về toán học, nhưng cần lưu ý rằng nhân loại + +277 +00:19:15,504 --> 00:19:19,243 +phải mất khá nhiều thời gian để thực sự nắm bắt được tư duy về động lực + +278 +00:19:19,243 --> 00:19:23,190 +học trong không gian như thế này, đặc biệt là khi các chiều trở nên rất lớn. + +279 +00:19:23,890 --> 00:19:31,369 +Trong cuốn sách Hỗn loạn của mình, tác giả James Glick mô tả không gian pha là: + +280 +00:19:31,369 --> 00:19:37,352 +"Một trong những phát minh mạnh mẽ nhất của khoa học hiện đại". + +281 +00:19:37,352 --> 00:19:44,363 +Một lý do khiến nó có tác dụng mạnh mẽ là bạn có thể đặt câu hỏi chứ không + +282 +00:19:44,363 --> 00:19:52,030 +chỉ là +về một điều kiện ban đầu duy nhất nhưng về toàn bộ các trạng thái ban đầu. + +283 +00:20:02,770 --> 00:20:07,442 +Tập hợp tất cả các quỹ đạo có thể gợi nhớ đến một chất lỏng đang chuyển động. + +284 +00:20:07,442 --> 00:20:11,696 +Vì vậy chúng ta gọi nó là dòng pha. Thử lấy một ví dụ về lý do tại sao + +285 +00:20:11,696 --> 00:20:15,590 +dòng pha là một ý tưởng hiệu quả, hãy xét câu hỏi về độ ổn định. + +286 +00:20:16,150 --> 00:20:27,070 +Nguồn gốc của không gian của chúng ta tương ứng với con lắc đứng yên, + +287 +00:20:28,050 --> 00:20:31,632 +và điểm ở đây cũng vậy, biểu diễn con lắc ở trạng thái cân bằng hoàn toàn theo phương + +288 +00:20:31,632 --> 00:20:35,173 +thẳng đứng. Đây được gọi là các điểm cố định trong hệ của chúng ta và một câu hỏi tự + +289 +00:20:35,173 --> 00:20:37,381 +nhiên cần đặt ra là liệu chúng có ổn định hay không, + +290 +00:20:37,381 --> 00:20:40,963 +nghĩa là liệu những tác nhỏ đối với hệ có dẫn đến trạng thái có xu hướng quay trở lại + +291 +00:20:40,963 --> 00:20:42,630 +điểm cố định đó, hoặc là ra xa khỏi nó? + +292 +00:20:44,810 --> 00:20:47,216 +Trực quan vật lý với con lắc tạo câu trả lời ở đây trở nên rõ ràng, + +293 +00:20:47,216 --> 00:20:49,730 +nhưng bạn nghĩ thế nào về độ ổn định khi chỉ nhìn vào các phương trình? + +294 +00:20:50,570 --> 00:20:54,148 +Nói rằng liệu chúng có xuất hiện trong một bối cảnh hoàn toàn + +295 +00:20:54,148 --> 00:20:57,611 +khác ít trực quan hơn không? Chúng ta sẽ xét cách tính toán + +296 +00:20:57,611 --> 00:21:01,190 +câu trả lời cho những câu hỏi như thế này trong các video sau, + +297 +00:21:01,550 --> 00:21:05,890 +và sự trực quan cho câu hỏi các phép tính nâng cao được hướng dẫn chủ + +298 +00:21:05,890 --> 00:21:10,478 +yếu bằng ý nghĩ xem xét các vùng nhỏ trong không gian xung quanh một điểm + +299 +00:21:10,478 --> 00:21:14,261 +cố định và hỏi liệu dòng pha có xu hướng co lại hay giãn ra. + +300 +00:21:14,261 --> 00:21:19,470 +Và nói về sự hấp dẫn và ổn định, chúng ta hãy bước sang một bên để nói về tình yêu. + +301 +00:21:19,890 --> 00:21:24,330 +Câu trích dẫn của Strogatz mà tôi đã đề cập trước đó + +302 +00:21:24,330 --> 00:21:28,770 +xuất phát từ một chuyên mục kỳ lạ trên tờ New York T. + +303 +00:21:29,910 --> 00:21:32,779 +giống như toán học của việc mô hình hóa tình cảm, + +304 +00:21:32,779 --> 00:21:35,190 +một ví dụ rất đáng để lấy trộm để minh họa + +305 +00:21:35,810 --> 00:21:38,391 +đánh giá là chúng ta không chỉ nói về vật lý ở đây. + +306 +00:21:38,391 --> 00:21:42,711 +Hãy tưởng tượng bạn đang tán tỉnh một ai đó, nhưng có một số mâu thuẫn khó chịu về mức + +307 +00:21:42,711 --> 00:21:44,350 +độ tình cảm của bạn đối với nhau. + +308 +00:21:46,450 --> 00:21:51,410 +ms, và có lẽ trong một khoảng khắc, + +309 +00:21:51,790 --> 00:21:56,990 +lúc mà + +310 +00:21:58,810 --> 00:22:00,394 +bạn chuyển sự chú ý của mình sang vật lý để giữ cho tâm trí + +311 +00:22:00,394 --> 00:22:01,688 +của bạn thoát khỏi tình trạng hỗn loạn lãng mạn, + +312 +00:22:01,688 --> 00:22:03,590 +nghiền ngẫm các phương trình con lắc bị phá vỡ, bạn đột nhiên hiểu được + +313 +00:22:03,590 --> 00:22:08,505 +về động lực của sự tán tỉnh của bạn. Bạn nhận thấy rằng tình cảm của bạn có xu hướng + +314 +00:22:08,505 --> 00:22:13,478 +tăng lên khi người bạn đồng hành của bạn có vẻ quan tâm đến bạn nhưng lại giảm đi khi + +315 +00:22:13,478 --> 00:22:18,510 +họ có vẻ lạnh lùng hơn. Tức là tốc độ thay đổi đối với tình yêu của bạn tỷ lệ thuận với + +316 +00:22:19,090 --> 00:22:20,310 +tình cảm của họ dành cho bạn. + +317 +00:22:21,310 --> 00:22:24,248 +Nhưng người yêu này của bạn lại hoàn toàn ngược lại, + +318 +00:22:24,248 --> 00:22:27,575 +bị bạn thu hút một cách kỳ lạ khi bạn tỏ ra không quan tâm, + +319 +00:22:27,575 --> 00:22:30,569 +nhưng lại trở nên im lặng khi bạn tỏ ra quá quan tâm. + +320 +00:22:30,569 --> 00:22:35,504 +Không gian pha của các phương trình này trông rất giống với phần trung tâm của sơ đồ con + +321 +00:22:35,504 --> 00:22:36,170 +lắc của bạn. + +322 +00:22:36,890 --> 00:22:40,256 +Hai bạn sẽ qua lại giữa yêu và ghét trong một vòng tuần hoàn vô tận. + +323 +00:22:40,256 --> 00:22:43,379 +Một phép ẩn dụ về sự dao động của con lắc trong cảm xúc của bạn + +324 +00:22:43,379 --> 00:22:46,210 +sẽ không chỉ phù hợp mà còn được xác nhận về mặt toán học. + +325 +00:22:47,230 --> 00:22:49,779 +Trên thực tế, nếu cảm xúc của đối tác của bạn chậm lại hơn nữa khi họ cảm + +326 +00:22:49,779 --> 00:22:51,398 +thấy mình quá yêu, giả sử vì sợ bị tổn thương, + +327 +00:22:51,398 --> 00:22:53,534 +chúng ta sẽ có một số hạng khớp với lực ma sát trong con lắc, + +328 +00:22:53,534 --> 00:22:55,050 +và bạn cũng sẽ phải chịu một số phận dẫn tới + +329 +00:22:57,450 --> 00:23:04,150 +một vòng xoáy theo hướng mâu thuẫn lẫn nhau. Tôi đã nghe thấy tiếng chuông đám cưới rồi. + +330 +00:23:05,110 --> 00:23:09,373 +Vấn đề là hai định luật động lực học có vẻ rất khác nhau, + +331 +00:23:09,373 --> 00:23:13,710 +một định luật vật lý, liên quan đến một định luật duy nhất. + +332 +00:23:14,430 --> 00:23:17,678 +biến, và một biến khác từ hóa học, với hai biến, + +333 +00:23:17,678 --> 00:23:22,850 +thực sự có cấu trúc rất giống nhau, dễ nhận ra hơn khi bạn nhìn vào sơ đồ pha. + +334 +00:23:22,850 --> 00:23:26,990 +Đáng chú ý nhất, mặc dù phương trình là khác nhau, + +335 +00:23:27,850 --> 00:23:30,928 +ví dụ như không có hàm sin trong các phương trình lãng mạn, + +336 +00:23:30,928 --> 00:23:33,750 +tuy nhiên, không gian pha bộc lộ sự tương đồng cơ bản. + +337 +00:23:34,910 --> 00:23:37,316 +Nói cách khác, hiện tại bạn không chỉ đang nghiên cứu một con lắc, + +338 +00:23:37,316 --> 00:23:40,189 +các chiến thuật bạn phát triển để nghiên cứu một trường hợp có xu hướng áp dụng + +339 +00:23:40,189 --> 00:23:43,350 +cho nhiều trường hợp khác. Được rồi, sơ đồ pha là một cách hay để xây dựng sự hiểu biết, + +340 +00:23:44,330 --> 00:23:48,994 +nhưng còn việc thực sự tính toán đáp án cho phương trình của chúng ta thì sao? + +341 +00:23:48,994 --> 00:23:51,770 +Một cách để làm điều này về cơ bản là mô phỏng + +342 +00:23:52,210 --> 00:23:54,376 +cái mà vũ trụ đang làm, nhưng sử dụng các bước thời gian hữu hạn + +343 +00:23:54,376 --> 00:23:56,710 +thay vì các vi phân và giới hạn xác định phép tính. Ý tưởng cơ bản là + +344 +00:23:57,210 --> 00:24:05,290 +nếu bạn đang ở một thời điểm nào đó + +345 +00:24:05,870 --> 00:24:08,285 +trong sơ đồ pha này, thực hiện một bước dựa trên vectơ + +346 +00:24:08,285 --> 00:24:10,570 +mà bạn đang đặt trong đó với một chút nhân một bước, + +347 +00:24:11,350 --> 00:24:16,264 +delta t. Cụ thể là lấy một bước bằng delta t nhân vectơ đó. + +348 +00:24:16,264 --> 00:24:19,050 +Xin nhắc lại, khi vẽ các vectơ này + +349 +00:24:19,590 --> 00:24:24,650 +hoặc các trường, độ lớn đối với + +350 +00:24:25,270 --> 00:24:28,825 +mỗi vectơ đã được thu nhỏ lại một cách giả tạo để tránh sự lộn xộn. + +351 +00:24:28,825 --> 00:24:33,270 +Khi bạn làm điều này nhiều lần, vị trí cuối cùng của bạn sẽ xấp xỉ theta t, trong đó + +352 +00:24:34,230 --> 00:24:37,014 +t là tổng của tất cả các bước thời gian đó. Tuy nhiên, + +353 +00:24:37,014 --> 00:24:39,950 +nếu bạn nghĩ về những gì đang được trình bày ngay bây giờ, + +354 +00:24:40,590 --> 00:24:42,719 +và điều đó có ý nghĩa gì đối với chuyển động của con lắc, + +355 +00:24:42,719 --> 00:24:44,884 +bạn có thể đồng ý rằng điều này hoàn toàn không chính xác. + +356 +00:24:44,884 --> 00:24:46,390 +Nhưng đó chỉ là do bước thời gian delta t + +357 +00:24:47,050 --> 00:24:57,710 +của 0,5 là quá lớn. Nếu chúng ta đưa nó xuống, nói rằng là 0,01, + +358 +00:24:58,570 --> 00:25:01,472 +bạn có thể có được ước tính gần đúng chính xác hơn nhiều, + +359 +00:25:01,472 --> 00:25:05,075 +chỉ cần thực hiện nhiều bước lặp lại hơn là được. Trong trường hợp này, + +360 +00:25:05,075 --> 00:25:07,927 +việc tính theta bằng 10 cần 1000 bước nhỏ. May mắn thay, + +361 +00:25:07,927 --> 00:25:11,230 +chúng ta đang sống trong thế giới có máy tính, vì vậy việc lặp lại + +362 +00:25:11,910 --> 00:25:15,650 +một nhiệm vụ đơn giản 1000 lần + +363 +00:25:16,690 --> 00:25:17,915 +đơn giản như việc diễn đạt nhiệm vụ đó bằng ngôn ngữ lập trình. + +364 +00:25:17,915 --> 00:25:19,410 +Trên thực tế, hãy kết thúc mọi việc bằng cách viết một chương trình python nhỏ + +365 +00:25:20,050 --> 00:25:26,050 +tính toán theta của t cho chúng ta. Những gì nó phải làm là sử dụng phương trình vi phân, + +366 +00:25:26,050 --> 00:25:28,650 +phương trình này trả về đạo hàm cấp hai + +367 +00:25:30,530 --> 00:25:35,217 +của theta, đó là hàm của theta và theta chấm. Bạn bắt đầu bằng cách xác định hai biến, + +368 +00:25:35,217 --> 00:25:38,450 +theta và theta chấm, mỗi biến theo một số điều kiện ban đầu. + +369 +00:25:38,790 --> 00:25:41,591 +Trong trường hợp này, tôi sẽ bắt đầu theta ở phần ba pi, tức là 60 độ, + +370 +00:25:41,591 --> 00:25:44,747 +và theta chấm bắt đầu ở 0. Tiếp theo, viết một vòng lặp tương ứng với việc thực + +371 +00:25:44,747 --> 00:25:47,312 +hiện nhiều bước thời gian nhỏ trong khoảng từ 0 đến thời điểm t, + +372 +00:25:47,312 --> 00:25:49,797 +mỗi bước có kích thước delta t, mà tôi đang đặt ở đây là 0,01. + +373 +00:25:49,797 --> 00:25:51,810 +Trong mỗi bước của vòng lặp này, hãy tăng theta lên + +374 +00:25:52,790 --> 00:25:54,050 +theta chấm nhân delta t, và tăng theta chấm + +375 +00:25:54,690 --> 00:25:59,186 +với theta hai chấm nhân delta t, trong đó theta hai chấm có + +376 +00:25:59,186 --> 00:26:02,933 +thể được tính toán dựa trên phương trình vi phân. + +377 +00:26:02,933 --> 00:26:08,330 +Sau tất cả các bước thời gian nhỏ này, chỉ cần trả về giá trị của theta. + +378 +00:26:09,210 --> 00:26:11,898 +Điều này được gọi là giải phương trình vi phân bằng số. + +379 +00:26:11,898 --> 00:26:15,594 +Các phương pháp số có thể phức tạp và phức tạp hơn thế này nhiều để cân bằng + +380 +00:26:15,594 --> 00:26:18,042 +tốt hơn sự cân bằng giữa độ chính xác và hiệu quả, + +381 +00:26:18,042 --> 00:26:20,010 +nhưng vòng lặp này đưa ra ý tưởng cơ bản. + +382 +00:26:20,530 --> 00:26:21,452 +Vì vậy, mặc dù thật tệ khi không phải lúc nào chúng ta cũng có thể + +383 +00:26:21,452 --> 00:26:22,347 +tìm ra lời giải chính xác, nhưng vẫn có những cách có ý nghĩa để + +384 +00:26:22,347 --> 00:26:23,270 +nghiên cứu các phương trình vi phân khi đối mặt với sự bất lực này. + +385 +00:26:23,830 --> 00:26:26,121 +y. Trong các video sau, chúng ta sẽ xem xét một + +386 +00:26:26,121 --> 00:26:28,270 +số phương pháp để tìm giải pháp chính xác khi + +387 +00:26:28,870 --> 00:26:31,116 +có thể, nhưng một chủ đề tôi muốn tập trung vào là làm thế nào những lời giải + +388 +00:26:31,116 --> 00:26:33,507 +chính xác này cũng có thể giúp chúng ta nghiên cứu những trường hợp tổng quát hơn, + +389 +00:26:33,507 --> 00:26:34,947 +không thể giải được. Nhưng nó trở nên tồi tệ hơn. + +390 +00:26:34,947 --> 00:26:37,136 +Cũng như có một giới hạn về việc các nghiệm phân tích chính xác có thể giúp + +391 +00:26:37,136 --> 00:26:39,642 +chúng ta đi được bao xa, một trong những lĩnh vực lớn đã xuất hiện trong thế kỷ trước, + +392 +00:26:39,642 --> 00:26:40,190 +lý thuyết hỗn loạn, + +393 +00:26:40,670 --> 00:26:44,350 +đã tiết lộ rằng + +394 +00:26:45,010 --> 00:26:45,802 +có những giới hạn xa hơn về mức độ chúng ta có thể sử dụng các hệ này để dự đoán khi có + +395 +00:26:45,802 --> 00:26:46,433 +hoặc không có lời giải. Cụ thể, chúng ta biết rằng đối với một số hệ, + +396 +00:26:46,433 --> 00:26:46,874 +những biến đổi nhỏ so với các điều kiện ban đầu, + +397 +00:26:46,874 --> 00:26:47,378 +chẳng hạn như do các phép đo nhất thiết không hoàn hảo, + +398 +00:26:47,378 --> 00:26:48,171 +sẽ dẫn đến các quỹ đạo cực kỳ khác nhau. Chúng ta thậm chí đã xây dựng được một số hiểu + +399 +00:26:48,171 --> 00:26:48,621 +biết tốt về lý do tại sao điều này xảy ra. Ví dụ, + +400 +00:26:48,621 --> 00:26:49,270 +bài toán ba vật được biết là có mầm mống hỗn loạn bên trong nó. Vì vậy, + +401 +00:26:49,270 --> 00:26:50,063 +nhìn lại câu trích dẫn trước đó, có vẻ như vũ trụ đã lấp đầy ngôn ngữ của nó bằng những + +402 +00:26:50,063 --> 00:26:50,864 +câu đố mà chúng ta không thể giải được hoặc chúng ta biết rằng bất kỳ giải pháp nào cũng + +403 +00:26:50,864 --> 00:26:51,387 +sẽ vô ích đối với việc dự đoán dài hạn. Thật là tàn nhẫn, + +404 +00:26:51,387 --> 00:26:52,179 +nhưng một lần nữa nó cũng cần được trấn an. Nó mang lại một số hy vọng rằng sự phức tạp + +405 +00:26:52,179 --> 00:26:52,945 +mà chúng ta thấy trong thế giới xung quanh có thể được nghiên cứu ở đâu đó trong môn + +406 +00:26:52,945 --> 00:26:53,630 +toán này và nó không bị ẩn giấu trong sự không khớp giữa mô hình và thực tế. + diff --git a/2019/fourier-series/arabic/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/arabic/auto_generated.srt index 615c853ff..5c8159864 100644 --- a/2019/fourier-series/arabic/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/arabic/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:05,119 --> 00:00:10,700 +00:00:05,120 --> 00:00:10,700 هنا، ننظر إلى الرياضيات وراء الرسوم المتحركة مثل هذه، ما يعرف بمتسلسلة فورييه المعقدة. 2 @@ -23,7 +23,7 @@ قبل التعمق في كل ذلك، أريدك أن تتوقف للحظة لتفكر في مدى روعة هذا الأمر. 7 -00:00:37,199 --> 00:00:40,900 +00:00:37,200 --> 00:00:40,900 تحتوي هذه الرسوم المتحركة المحددة على 300 سهم دوار إجمالاً. 8 @@ -55,7 +55,7 @@ كل الحركات، فمن الغريب كيف يتصرف السرب بنوع من التنسيق لرسم شكل محدد للغاية. 15 -00:01:23,839 --> 00:01:27,489 +00:01:23,840 --> 00:01:27,489 وعلى عكس الكثير من التعقيد الناشئ الذي تجده في أي مكان آخر في 16 @@ -71,15 +71,15 @@ الطرق الصحيحة لرسم أي شيء تريده، بشرط أن يكون لديك ما يكفي من الأسهم الصغيرة. 19 -00:01:42,180 --> 00:01:53,360 +00:01:42,180 --> 00:01:46,520 والأمر الأكثر جنونًا هو أن الصيغة النهائية لكل هذا قصيرة بشكل لا يصدق. 20 -00:01:53,360 --> 00:01:56,987 +00:01:52,960 --> 00:01:56,789 في كثير من الأحيان يتم وصف متسلسلة فورييه من حيث شيء يبدو مختلفا 21 -00:01:56,987 --> 00:02:00,560 +00:01:56,789 --> 00:02:00,560 قليلا، حيث يتم تقسيم وظائف الأعداد الحقيقية كمجموع موجات جيبية. 22 @@ -143,7 +143,7 @@ حجم هذه الموجات بشكل كبير، مع وجود موجات ذات تردد أعلى لها اضمحلال أسي أسرع. 37 -00:03:10,359 --> 00:03:15,318 +00:03:10,360 --> 00:03:15,318 المعادلة الحرارية هي ما يعرف في العمل بالمعادلة الخطية، مما يعني 38 @@ -223,19 +223,19 @@ عند درجة حرارة موحدة، وأردت معرفة ما يحدث فورًا بعد تلامسهما. 57 -00:04:45,060 --> 00:04:49,824 +00:04:45,060 --> 00:04:50,047 لتبسيط الأرقام، لنفترض أن درجة حرارة القضيب الأيسر هي درجة واحدة، والقضيب 58 -00:04:49,824 --> 00:04:54,460 +00:04:50,047 --> 00:04:54,900 الأيمن هو سالب درجة واحدة، وأن الطول الإجمالي L للقضيبين المدمجين هو 1. 59 -00:04:54,460 --> 00:04:59,338 +00:04:54,900 --> 00:04:59,565 ما يعنيه هذا هو أن توزيعنا الأولي لدرجة الحرارة هو دالة تدريجية، والتي 60 -00:04:59,338 --> 00:05:04,560 +00:04:59,565 --> 00:05:04,560 تختلف بشكل واضح عن الموجة الجيبية، أو مجموع الموجات الجيبية، ألا تعتقد ذلك؟ 61 @@ -307,7 +307,7 @@ وبعيدة المدى، بما يتجاوز أي شيء يمكن أن يتخيله فورييه نفسه. 78 -00:06:13,599 --> 00:06:17,170 +00:06:13,600 --> 00:06:17,170 ومع ذلك، فإن أصل كل هذا هو جزء من الفيزياء، والذي، 79 @@ -727,19 +727,19 @@ لكل من هذه المتجهات الدوارة التي نعمل معها. 183 -00:14:18,120 --> 00:14:20,010 +00:14:18,120 --> 00:14:20,350 في الوقت الحالي، فكر في كل واحد منهم كبداية في 184 -00:14:20,010 --> 00:14:21,900 +00:14:20,350 --> 00:14:22,580 الإشارة إلى وحدة واحدة إلى اليمين عند الرقم 1. 185 -00:14:21,900 --> 00:14:27,122 +00:14:23,080 --> 00:14:27,707 أسهل ناقل يمكن وصفه هو المتجه الثابت، الذي يبقى عند الرقم 1، 186 -00:14:27,122 --> 00:14:32,260 +00:14:27,707 --> 00:14:32,260 ولا يتحرك أبدًا، أو إذا كنت تفضل ذلك، فهو يدور بتردد 0 فقط. 187 @@ -747,15 +747,15 @@ ثم سيكون هناك المتجه الذي يدور دورة واحدة كل ثانية، والتي نكتبها كـ e إلى 2 pi i في t. 188 -00:14:39,739 --> 00:14:45,500 +00:14:39,740 --> 00:14:46,440 2pi موجود لأنه عندما ينتقل t من 0 إلى 1، فإنه يحتاج إلى تغطية مسافة 2pi على طول الدائرة. 189 -00:14:45,500 --> 00:14:49,500 +00:14:47,700 --> 00:14:50,608 من الناحية الفنية، في ما يتم عرضه، إنها في الواقع دورة واحدة كل 10 190 -00:14:49,500 --> 00:14:53,560 +00:14:50,608 --> 00:14:53,560 ثوانٍ، لذا فإن الأمور ليست مذهلة للغاية، فأنا أبطئ كل شيء بعامل 10. 191 @@ -783,7 +783,7 @@ والسالبة، بصيغة عامة من e إلى n في 2 pi في i t. 197 -00:15:29,339 --> 00:15:34,448 +00:15:29,340 --> 00:15:34,448 لاحظ أن هذا يجعل كتابة هذا المتجه الثابت أكثر اتساقًا مثل e إلى 0 في 2 pi في ذلك، 198 @@ -979,19 +979,19 @@ t من نطاق الإدخال، هو تكامل، تكامل f لـ t من 0 إ والآن، بينما نقوم بحساب متوسطات كل حد، يدور المتجه c-1 حول سالب 3 مرات بمتوسط 0. 246 -00:19:37,560 --> 00:19:42,105 +00:19:37,560 --> 00:19:41,233 المتجه c0، الذي كان ثابتًا سابقًا، يدور الآن مرتين 247 -00:19:42,105 --> 00:19:46,740 +00:19:41,233 --> 00:19:44,980 حيث تتراوح t من 0 إلى 1، لذا فإن متوسطه هو 0 أيضًا. 248 -00:19:46,740 --> 00:19:50,059 +00:19:46,520 --> 00:19:49,943 وبالمثل، فإن جميع المتجهات بخلاف الحد c2 تقوم 249 -00:19:50,059 --> 00:19:53,740 +00:19:49,943 --> 00:19:53,740 بعدد صحيح من الدورات، مما يعني أن متوسطها يساوي 0. 250 @@ -1163,27 +1163,27 @@ n، فإنه يحسب هذا التكامل للعثور على المعامل c جيب التمام عن طريق إقران المتجهات التي تدور في اتجاهين متعاكسين. 292 -00:23:28,780 --> 00:23:32,509 +00:23:28,780 --> 00:23:32,702 وللأكثر طموحًا، سأترك تمرينًا آخر على الشاشة لكيفية ربط هذه 293 -00:23:32,509 --> 00:23:36,300 +00:23:32,702 --> 00:23:36,690 الحسابات العامة بما قد تراه في كتاب مدرسي يصف متسلسلة فورييه 294 -00:23:36,300 --> 00:23:40,340 +00:23:36,690 --> 00:23:40,940 فقط من حيث الدوال ذات القيمة الحقيقية مع جيب التمام وجيب التمام. 295 -00:23:40,340 --> 00:23:44,024 +00:23:41,840 --> 00:23:45,036 بالمناسبة، إذا كنت تبحث عن المزيد من محتوى سلسلة Fourier، فإنني 296 -00:23:44,024 --> 00:23:47,823 +00:23:45,036 --> 00:23:48,333 أوصي بشدة بمقاطع الفيديو التي كتبها Mathologer وThe Coding Train، 297 -00:23:47,823 --> 00:23:51,680 +00:23:48,333 --> 00:23:51,680 وأوصي أيضًا بمنشور المدونة هذا، والروابط الموجودة في الوصف بالطبع. 298 diff --git a/2019/fourier-series/bengali/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/bengali/auto_generated.srt index 6d46bc052..a6b36403f 100644 --- a/2019/fourier-series/bengali/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/bengali/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:05,119 --> 00:00:08,308 +00:00:05,120 --> 00:00:08,308 এখানে, আমরা এইরকম একটি অ্যানিমেশনের পিছনের গণিতটি দেখি, 2 @@ -31,7 +31,7 @@ এই সবের মধ্যে ডুব দেওয়ার আগে, আমি চাই আপনি একটু সময় নিয়ে দেখুন যে এটি কতটা আকর্ষণীয়। 9 -00:00:37,199 --> 00:00:40,900 +00:00:37,200 --> 00:00:40,900 এই বিশেষ অ্যানিমেশনে মোট 300টি ঘূর্ণায়মান তীর রয়েছে। 10 @@ -71,7 +71,7 @@ নির্দিষ্ট আকৃতি খুঁজে বের করার জন্য এক ধরণের সমন্বয়ের সাথে কাজ করে। 19 -00:01:23,839 --> 00:01:27,309 +00:01:23,840 --> 00:01:27,309 এবং প্রকৃতির অন্য কোথাও আপনি যে উদ্ভূত জটিলতা খুঁজে পান তার বিপরীতে, 20 @@ -91,15 +91,15 @@ যদি আপনার কাছে যথেষ্ট ছোট তীর থাকে। 24 -00:01:42,180 --> 00:01:53,360 +00:01:42,180 --> 00:01:46,520 এর চেয়েও বিস্ময়কর বিষয় হল এই সবের জন্য চূড়ান্ত সূত্রটি অবিশ্বাস্যভাবে সংক্ষিপ্ত। 25 -00:01:53,360 --> 00:01:57,487 +00:01:52,960 --> 00:01:57,316 প্রায়শই ফুরিয়ার সিরিজগুলিকে এমন কিছুর পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণনা করা হয় যা দেখতে একটু ভিন্ন, 26 -00:01:57,487 --> 00:02:00,560 +00:01:57,316 --> 00:02:00,560 বাস্তব সংখ্যার ফাংশনগুলি সাইন ওয়েভের যোগফল হিসাবে ভেঙে দেওয়া হয়। 27 @@ -171,7 +171,7 @@ সূচকীয়ভাবে ছোট হয়ে যায়, উচ্চতর কম্পাঙ্কের তরঙ্গগুলির দ্রুত সূচকীয় ক্ষয় হয়। 44 -00:03:10,359 --> 00:03:14,282 +00:03:10,360 --> 00:03:14,282 তাপ সমীকরণটি একটি রৈখিক সমীকরণ হিসাবে ব্যবসায় পরিচিত হয়, 45 @@ -271,19 +271,19 @@ একই তাপমাত্রায় ছিল, এবং আপনি জানতে চেয়েছিলেন যে তাদের সংস্পর্শে আসার পরপরই কি হয়। 69 -00:04:45,060 --> 00:04:49,653 +00:04:45,060 --> 00:04:49,869 সংখ্যাগুলিকে সহজ করার জন্য, ধরা যাক বাম রডের তাপমাত্রা 1 ডিগ্রী, 70 -00:04:49,653 --> 00:04:54,460 +00:04:49,869 --> 00:04:54,900 এবং ডান রডটি ঋণাত্মক 1 ডিগ্রী এবং মিলিত দুটি রডের মোট দৈর্ঘ্য, L, 1। 71 -00:04:54,460 --> 00:04:58,778 +00:04:54,900 --> 00:04:59,030 এর মানে কি যে আমাদের প্রাথমিক তাপমাত্রা বন্টন একটি ধাপ ফাংশন, 72 -00:04:58,778 --> 00:05:04,560 +00:04:59,030 --> 00:05:04,560 যা একটি সাইন তরঙ্গ বা সাইন তরঙ্গের সমষ্টি থেকে স্পষ্টতই আলাদা, আপনি কি মনে করেন না? 73 @@ -359,7 +359,7 @@ ফুরিয়ার নিজে যা কল্পনা করতে পারেন তার বাইরে। 91 -00:06:13,599 --> 00:06:17,860 +00:06:13,600 --> 00:06:17,860 এবং তবুও এই সমস্ত কিছুর উত্স হল পদার্থবিদ্যার একটি অংশ যা প্রথম নজরে, 92 @@ -839,19 +839,19 @@ আসুন আমরা এই ঘূর্ণায়মান ভেক্টরগুলির প্রতিটির জন্য একটি সূত্র লিখি যা আমরা কাজ করছি। 211 -00:14:18,120 --> 00:14:19,879 +00:14:18,120 --> 00:14:20,195 এই মুহূর্তের জন্য, তাদের প্রত্যেকটিকে 1 নম্বরে 212 -00:14:19,879 --> 00:14:21,900 +00:14:20,195 --> 00:14:22,580 ডানদিকে একটি ইউনিট নির্দেশ করা শুরু করার মতো মনে করুন। 213 -00:14:21,900 --> 00:14:26,862 +00:14:23,080 --> 00:14:27,477 বর্ণনা করার জন্য সবচেয়ে সহজ ভেক্টর হল ধ্রুবক, যা 1 নম্বরে থাকে, কখনই নড়বে না, 214 -00:14:26,862 --> 00:14:32,260 +00:14:27,477 --> 00:14:32,260 অথবা যদি আপনি পছন্দ করেন, এটি শুধুমাত্র 0 এর ফ্রিকোয়েন্সিতে উদ্ধৃতি-আনকোট ঘূর্ণায়মান। 215 @@ -859,15 +859,15 @@ তারপর প্রতি সেকেন্ডে একটি চক্র ঘূর্ণায়মান ভেক্টর থাকবে, যাকে আমরা 2 pi i গুণ t-এ e লিখব। 216 -00:14:39,739 --> 00:14:45,200 +00:14:39,740 --> 00:14:46,440 সেই 2 পাই আছে কারণ t 0 থেকে 1 পর্যন্ত যায়, এটিকে বৃত্ত বরাবর 2 pi দূরত্ব কভার করতে হবে। 217 -00:14:45,200 --> 00:14:49,191 +00:14:47,700 --> 00:14:50,497 প্রযুক্তিগতভাবে যা দেখানো হচ্ছে, এটি আসলে প্রতি 10 সেকেন্ডে একটি চক্র তাই 218 -00:14:49,191 --> 00:14:53,560 +00:14:50,497 --> 00:14:53,560 জিনিসগুলি খুব বেশি চক্কর দেয় না, আমি 10 এর ফ্যাক্টর দ্বারা সবকিছু কমিয়ে দিচ্ছি। 219 @@ -895,7 +895,7 @@ e থেকে ঋণাত্মক 2 pi i বার t। e থেকে n গুণিত 2 pi গুণ i t পর্যন্ত একটি সাধারণ সূত্র দিয়ে। 225 -00:15:29,339 --> 00:15:32,698 +00:15:29,340 --> 00:15:32,698 লক্ষ্য করুন যে এটি সেই ধ্রুবক ভেক্টরটিকে 0 গুণ 2 পাই বার ই হিসাবে 226 @@ -1119,15 +1119,15 @@ e থেকে n গুণিত 2 pi গুণ i t পর্যন্ত এক সেই c-1 ভেক্টরটি 0 এর গড় সহ ঋণাত্মক 3 বার ঘোরে। 281 -00:19:37,560 --> 00:19:46,740 +00:19:37,560 --> 00:19:44,980 c0 ভেক্টর, পূর্বে ধ্রুবক, এখন 0 থেকে 1 পর্যন্ত t রেঞ্জের দ্বিগুণ ঘোরে, তাই এর গড়ও 0। 282 -00:19:46,740 --> 00:19:52,208 +00:19:46,520 --> 00:19:52,160 একইভাবে, c2 টার্ম ব্যতীত অন্য সব ভেক্টর কিছু পূর্ণ সংখ্যক ঘূর্ণন তৈরি করে, 283 -00:19:52,208 --> 00:19:53,740 +00:19:52,160 --> 00:19:53,740 যার মানে তাদের গড় 0। 284 @@ -1335,27 +1335,27 @@ c0 ভেক্টর, পূর্বে ধ্রুবক, এখন 0 থে ঘোরানো ভেক্টরগুলিকে জোড়া দিয়ে কোসাইন তরঙ্গের ধারণার সাথে এটিকে যুক্ত করব। 335 -00:23:28,780 --> 00:23:32,649 +00:23:28,780 --> 00:23:32,850 এবং আরও উচ্চাকাঙ্ক্ষীর জন্য, আমি স্ক্রীনে আরেকটি ব্যায়াম ছেড়ে দেব যে কীভাবে এই 336 -00:23:32,649 --> 00:23:36,470 +00:23:32,850 --> 00:23:36,869 আরও সাধারণ গণনাকে আপনি একটি পাঠ্যপুস্তকে দেখতে পাচ্ছেন যা ফুরিয়ার সিরিজ বর্ণনা 337 -00:23:36,470 --> 00:23:40,340 +00:23:36,869 --> 00:23:40,940 করে শুধুমাত্র সাইন এবং কোসাইনগুলির সাথে বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনগুলির পরিপ্রেক্ষিতে। 338 -00:23:40,340 --> 00:23:43,953 +00:23:41,840 --> 00:23:44,975 যাইহোক, আপনি যদি আরও ফুরিয়ার সিরিজের বিষয়বস্তু খুঁজছেন, 339 -00:23:43,953 --> 00:23:47,754 +00:23:44,975 --> 00:23:48,273 আমি ম্যাথোলজার এবং দ্য কোডিং ট্রেনের ভিডিওগুলির সুপারিশ করছি 340 -00:23:47,754 --> 00:23:51,680 +00:23:48,273 --> 00:23:51,680 এবং আমি এই ব্লগ পোস্টটিও সুপারিশ করব, অবশ্যই বর্ণনার লিঙ্কগুলি। 341 diff --git a/2019/fourier-series/chinese/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/chinese/auto_generated.srt index 5f54833a5..74d72ef0e 100644 --- a/2019/fourier-series/chinese/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/chinese/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:05,119 --> 00:00:08,786 +00:00:05,120 --> 00:00:08,786 在这里，我们看看像这样的动画背后的 数学原理， 2 @@ -39,7 +39,7 @@ 点时间思考一下这是多么引人注目。 11 -00:00:37,199 --> 00:00:40,900 +00:00:37,200 --> 00:00:40,900 这个特定的动画总共有 300 个旋转箭头。 12 @@ -83,7 +83,7 @@ 这是很奇怪的。 22 -00:01:23,839 --> 00:01:27,375 +00:01:23,840 --> 00:01:27,375 与自然界其他地方发现的许多新兴复杂性不同， 23 @@ -99,15 +99,15 @@ 的方式密谋绘制任何你想要的东西，只要你有足够的小箭头。 26 -00:01:42,180 --> 00:01:53,360 +00:01:42,180 --> 00:01:46,520 更疯狂的是，所有这一切的最终公式都非常短。 27 -00:01:53,360 --> 00:01:57,925 +00:01:52,960 --> 00:01:57,779 通常，傅立叶级数是用看起来有点不同的东西 来描述的， 28 -00:01:57,925 --> 00:02:00,560 +00:01:57,779 --> 00:02:00,560 即实数函数被分解为正弦波之和。 29 @@ -183,7 +183,7 @@ 这些波只 是按指数比例缩小，频率较高的波具有更快的指数衰减。 47 -00:03:10,359 --> 00:03:13,919 +00:03:10,360 --> 00:03:13,919 热方程恰好是商业中所谓的线性方程， 48 @@ -275,19 +275,19 @@ 并且您想 知道它们接触后立即发生什么。 70 -00:04:45,060 --> 00:04:49,008 +00:04:45,060 --> 00:04:49,192 为了使数字简单，假设左棒的温度为 1 度， 71 -00:04:49,008 --> 00:04:54,460 +00:04:49,192 --> 00:04:54,900 右棒的温度为负 1 度， 并且两根棒的总长度 L 为 1。 72 -00:04:54,460 --> 00:04:59,029 +00:04:54,900 --> 00:04:59,270 这意味着我们的初始温度分布是阶跃函数， 73 -00:04:59,029 --> 00:05:04,560 +00:04:59,270 --> 00:05:04,560 它与 正弦波或正弦波之和明显不同，您不觉得吗？ 74 @@ -367,7 +367,7 @@ 远远超出了傅里叶本人的想象。 93 -00:06:13,599 --> 00:06:20,600 +00:06:13,600 --> 00:06:20,600 然而，这一切的根源是物理学， 乍一看，它与频率和振荡无关。 94 @@ -831,19 +831,19 @@ 让我们 为我们正在使用的每个旋转向量写下一个公式。 209 -00:14:18,120 --> 00:14:20,192 +00:14:18,120 --> 00:14:20,565 现在，将它们中的每一个视为从数字 210 -00:14:20,192 --> 00:14:21,900 +00:14:20,565 --> 00:14:22,580 1 向右指向一个单位的起点。 211 -00:14:21,900 --> 00:14:26,807 +00:14:23,080 --> 00:14:27,428 最容易描述的向量是常量向量，它保持数字 1，从不移动， 212 -00:14:26,807 --> 00:14:32,260 +00:14:27,428 --> 00:14:32,260 或 者如果您愿意，它只是以 0 的频率进行引用-反引用旋转。 213 @@ -855,23 +855,23 @@ 我们将 其写为 2 pi i 乘以 t 的 e。 215 -00:14:39,739 --> 00:14:43,088 +00:14:39,740 --> 00:14:43,635 存在 2 pi 是因为当 t 从 0 到 1 时， 216 -00:14:43,088 --> 00:14:45,500 +00:14:43,635 --> 00:14:46,440 它需要沿着圆移动 2 pi 的距离。 217 -00:14:45,500 --> 00:14:48,406 +00:14:47,700 --> 00:14:49,813 从技术上讲，在所展示的内容中，它实际上是每 218 -00:14:48,406 --> 00:14:51,578 +00:14:49,813 --> 00:14:52,119 10 秒一个周期 ，因此事情不会太令人眼花缭乱， 219 -00:14:51,578 --> 00:14:53,560 +00:14:52,119 --> 00:14:53,560 我将一切速度放慢了 10 倍。 220 @@ -903,7 +903,7 @@ 并 使用 e 到 n 乘以 2 pi 乘以 i t 的通式。 227 -00:15:29,339 --> 00:15:32,535 +00:15:29,340 --> 00:15:32,535 请注意，这使得将该常量向量写为 e 等于 0 228 @@ -1147,19 +1147,19 @@ c- 1 向量围绕负旋转 3 次，平均值为 0。 288 -00:19:37,560 --> 00:19:41,958 +00:19:37,560 --> 00:19:41,115 c0 向量以前是恒定的，现在随着 t 从 0 289 -00:19:41,958 --> 00:19:46,740 +00:19:41,115 --> 00:19:44,980 到 1 的变化而旋转两次，因此它的平均值也是 0。 290 -00:19:46,740 --> 00:19:51,460 +00:19:46,520 --> 00:19:51,389 同样，除了 c2 项之外的所有向量都会进行 一些整数旋转， 291 -00:19:51,460 --> 00:19:53,740 +00:19:51,389 --> 00:19:53,740 这意味着它们的平均值为 0。 292 @@ -1379,31 +1379,31 @@ t 的小块，然后将这个值（t 的 f 乘以 e 并通过配对沿 相反方向旋转的矢量将其与余弦波的概念联系起来。 346 -00:23:28,780 --> 00:23:32,430 +00:23:28,780 --> 00:23:32,620 对于更雄心勃勃的人，我将在屏幕上留下另一个练习， 347 -00:23:32,430 --> 00:23:36,689 +00:23:32,620 --> 00:23:37,100 说 明如何将这种更一般的计算与您在教科书中看到的仅用正 348 -00:23:36,689 --> 00:23:40,340 +00:23:37,100 --> 00:23:40,940 弦和余弦的实值函数描述傅立叶级数的内容联系起来。 349 -00:23:40,340 --> 00:23:43,408 +00:23:41,840 --> 00:23:44,502 顺便说一句，如果您正在寻找更多傅里叶级数内容， 350 -00:23:43,408 --> 00:23:47,410 +00:23:44,502 --> 00:23:47,975 我强烈推荐 Mathologer 和 The Coding 351 -00:23:47,410 --> 00:23:50,212 +00:23:47,975 --> 00:23:50,406 Tra in 的视频，我还会推荐这篇博文， 352 -00:23:50,212 --> 00:23:51,680 +00:23:50,406 --> 00:23:51,680 当然还有描述中的链接。 353 diff --git a/2019/fourier-series/french/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/french/auto_generated.srt index 514c35013..e863b8a0f 100644 --- a/2019/fourier-series/french/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/french/auto_generated.srt @@ -1,9 +1,9 @@ 1 -00:00:05,120 --> 00:00:08,399 +00:00:05,120 --> 00:00:08,503 Ici, nous examinons les mathématiques derrière une animation comme celle-ci, 2 -00:00:08,399 --> 00:00:10,700 +00:00:08,503 --> 00:00:10,700 ce que l'on appelle une série de Fourier complexe. 3 @@ -19,15 +19,15 @@ et lorsque vous les additionnez, pointe à queue, la pointe finale dessine une forme au fil du temps. 6 -00:00:21,220 --> 00:00:24,234 +00:00:21,220 --> 00:00:24,123 En modifiant la taille et l'angle initiaux de chaque vecteur, 7 -00:00:24,234 --> 00:00:27,386 +00:00:24,123 --> 00:00:27,355 nous pouvons lui faire dessiner à peu près tout ce que nous voulons, 8 -00:00:27,386 --> 00:00:28,620 +00:00:27,355 --> 00:00:28,620 et vous verrez ici comment. 9 @@ -71,15 +71,15 @@ nous zoomons, révélant les contributions des flèches les plus petites, les plus rapides et carrément frénétiques. 19 -00:01:12,300 --> 00:01:15,765 +00:01:12,300 --> 00:01:15,825 Quand on considère la frénésie chaotique que vous observez et la rigidité 20 -00:01:15,765 --> 00:01:19,325 +00:01:15,825 --> 00:01:19,445 mécanique qui sous-tend tous les mouvements, il est bizarre de voir comment 21 -00:01:19,325 --> 00:01:23,400 +00:01:19,445 --> 00:01:23,400 l'essaim agit avec une sorte de coordination pour tracer une forme très spécifique. 22 @@ -95,23 +95,23 @@ que l’on trouve ailleurs dans la nature, c’est quelque chose que nous avons les mathématiques pour décrire et contrôler complètement. 25 -00:01:31,660 --> 00:01:34,234 +00:01:31,660 --> 00:01:34,281 Juste en ajustant les conditions de départ, rien de plus, 26 -00:01:34,234 --> 00:01:37,564 +00:01:34,281 --> 00:01:37,672 nous pouvons faire conspirer cet essaim de toutes les bonnes manières pour 27 -00:01:37,564 --> 00:01:41,560 +00:01:37,672 --> 00:01:41,560 dessiner tout ce que vous voulez, à condition d'avoir suffisamment de petites flèches. 28 -00:01:42,180 --> 00:01:44,457 +00:01:42,180 --> 00:01:44,372 Ce qui est encore plus fou, c'est que la formule 29 -00:01:44,457 --> 00:01:46,520 +00:01:44,372 --> 00:01:46,520 ultime pour tout cela est incroyablement courte. 30 @@ -139,59 +139,59 @@ général que nous allons développer, mais c’est là que Fourier lui-même a et il y a de bonnes raisons pour nous de commencer l’histoire par là également. 36 -00:02:11,420 --> 00:02:14,490 -Techniquement, il s'agit de la troisième vidéo d'une séquence sur l'équation +00:02:11,420 --> 00:02:14,452 +Techniquement, il s'agit de la troisième vidéo d'une séquence sur l'équation de 37 -00:02:14,490 --> 00:02:17,560 -de la chaleur, sur laquelle Fourier travaillait lorsqu'il a développé sa grande idée. +00:02:14,452 --> 00:02:17,560 +la chaleur, sur laquelle Fourier travaillait lorsqu'il a développé sa grande idée. 38 -00:02:18,200 --> 00:02:21,790 -J'aimerais vous parler des séries de Fourier d'une manière qui ne dépend +00:02:18,200 --> 00:02:21,746 +J'aimerais vous parler des séries de Fourier d'une manière qui ne dépend pas 39 -00:02:21,790 --> 00:02:25,114 -pas de votre venue dans ces chapitres, mais si vous avez au moins une idée +00:02:21,746 --> 00:02:25,431 +de votre venue dans ces chapitres, mais si vous avez au moins une idée générale 40 -00:02:25,114 --> 00:02:28,483 -générale du problème de physique qui a motivé à l'origine ce morceau de +00:02:25,431 --> 00:02:29,023 +du problème de physique qui a motivé à l'origine ce morceau de mathématiques, 41 -00:02:28,483 --> 00:02:32,340 -mathématiques, cela donne une indication de la portée inattendue des séries de Fourier. +00:02:29,023 --> 00:02:32,340 +cela donne une indication de la portée inattendue des séries de Fourier. 42 -00:02:32,820 --> 00:02:35,841 +00:02:32,820 --> 00:02:35,710 Tout ce que vous devez savoir, c'est que nous avions une certaine 43 -00:02:35,841 --> 00:02:38,733 +00:02:35,710 --> 00:02:38,644 équation qui nous indique comment la répartition de la température 44 -00:02:38,733 --> 00:02:41,323 +00:02:38,644 --> 00:02:41,272 sur une tige évoluerait au fil du temps, et accessoirement, 45 -00:02:41,323 --> 00:02:44,820 +00:02:41,272 --> 00:02:44,820 elle décrit également de nombreux autres phénomènes sans rapport avec la chaleur. 46 -00:02:44,820 --> 00:02:48,030 -Bien qu'il soit difficile d'utiliser directement cette équation pour +00:02:44,820 --> 00:02:48,285 +Bien qu'il soit difficile d'utiliser directement cette équation pour comprendre 47 -00:02:48,030 --> 00:02:50,907 -comprendre ce qui arrivera à une distribution de chaleur arbitraire, +00:02:48,285 --> 00:02:50,798 +ce qui arrivera à une distribution de chaleur arbitraire, 48 -00:02:50,907 --> 00:02:54,659 +00:02:50,798 --> 00:02:54,697 il existe une solution simple si la fonction initiale ressemble à une onde cosinusoïdale, 49 -00:02:54,659 --> 00:02:58,120 +00:02:54,697 --> 00:02:58,120 avec la fréquence réglée de manière à ce qu'elle soit plate à chaque extrémité. 50 @@ -207,28 +207,28 @@ ces ondes sont simplement réduites de manière exponentielle, les ondes de fréquence plus élevée ayant une décroissance exponentielle plus rapide. 53 -00:03:10,360 --> 00:03:13,670 -L'équation de la chaleur est ce que l'on appelle dans le secteur +00:03:10,360 --> 00:03:14,503 +L'équation de la chaleur est ce que l'on appelle dans le secteur une équation linéaire, 54 -00:03:13,670 --> 00:03:16,708 -une équation linéaire, ce qui signifie que si vous connaissez deux +00:03:14,503 --> 00:03:18,410 +ce qui signifie que si vous connaissez deux solutions et que vous les additionnez, 55 -00:03:16,708 --> 00:03:20,200 -solutions et que vous les additionnez, cette somme est une nouvelle solution. +00:03:18,410 --> 00:03:20,200 +cette somme est une nouvelle solution. 56 -00:03:20,880 --> 00:03:23,660 +00:03:20,880 --> 00:03:23,558 Vous pouvez même les mettre à l'échelle chacun en fonction d'une constante, 57 -00:03:23,660 --> 00:03:25,811 -ce qui vous donne quelques boutons à tourner pour construire une +00:03:23,558 --> 00:03:25,708 +ce qui vous donne quelques boutons à tourner pour construire 58 -00:03:25,811 --> 00:03:27,400 -fonction personnalisée résolvant l'équation. +00:03:25,708 --> 00:03:27,400 +une fonction personnalisée résolvant l'équation. 59 00:03:29,240 --> 00:03:32,536 @@ -239,1482 +239,1450 @@ Il s’agit d’une propriété assez simple que vous pouvez vérifier par vous- mais elle est extrêmement importante. 61 -00:03:34,080 --> 00:03:37,037 +00:03:34,080 --> 00:03:37,131 Cela signifie que nous pouvons prendre notre famille infinie de solutions, 62 -00:03:37,037 --> 00:03:39,206 +00:03:37,131 --> 00:03:39,369 ces ondes cosinusoïdales à décroissance exponentielle, 63 -00:03:39,206 --> 00:03:42,085 -en mettre à l'échelle quelques-unes d'entre elles en fonction de +00:03:39,369 --> 00:03:42,461 +en mettre à l'échelle quelques-unes d'entre elles en fonction de constantes 64 -00:03:42,085 --> 00:03:45,043 -constantes personnalisées de notre choix, et les combiner pour obtenir une +00:03:42,461 --> 00:03:45,431 +personnalisées de notre choix, et les combiner pour obtenir une solution 65 -00:03:45,043 --> 00:03:47,330 -solution pour une nouvelle condition initiale sur mesure, +00:03:45,431 --> 00:03:47,425 +pour une nouvelle condition initiale sur mesure, 66 -00:03:47,330 --> 00:03:49,500 +00:03:47,425 --> 00:03:49,500 qui est quelque combinaison d'ondes cosinusoïdales. 67 -00:03:50,200 --> 00:03:53,051 -Une chose importante que j'aimerais que vous remarquiez est que +00:03:50,200 --> 00:03:54,016 +Une chose importante que j'aimerais que vous remarquiez est que lorsque vous combinez ces 68 -00:03:53,051 --> 00:03:56,028 -lorsque vous combinez ces ondes, parce que celles à haute fréquence se +00:03:54,016 --> 00:03:57,196 +ondes, parce que celles à haute fréquence se désintègrent plus rapidement, 69 -00:03:56,028 --> 00:03:59,131 -désintègrent plus rapidement, la somme que vous construisez aura tendance +00:03:57,196 --> 00:04:00,206 +la somme que vous construisez aura tendance à se lisser avec le temps, 70 -00:03:59,131 --> 00:04:02,318 -à se lisser avec le temps, car tous les termes à haute fréquence reviennent +00:04:00,206 --> 00:04:03,090 +car tous les termes à haute fréquence reviennent rapidement à zéro, 71 -00:04:02,318 --> 00:04:05,380 -rapidement à zéro, laissant seuls les termes de basse fréquence dominent. +00:04:03,090 --> 00:04:05,380 +laissant seuls les termes de basse fréquence dominent. 72 -00:04:06,100 --> 00:04:09,218 -Ainsi, d'une manière amusante, toute la complexité de l'évolution de cette +00:04:06,100 --> 00:04:09,619 +Ainsi, d'une manière amusante, toute la complexité de l'évolution de cette distribution 73 -00:04:09,218 --> 00:04:12,450 -distribution de chaleur qu'implique l'équation de la chaleur est capturée par +00:04:09,619 --> 00:04:12,899 +de chaleur qu'implique l'équation de la chaleur est capturée par cette différence 74 -00:04:12,450 --> 00:04:15,832 -cette différence dans les taux de désintégration des différentes composantes de fréquence +00:04:12,899 --> 00:04:16,019 +dans les taux de désintégration des différentes composantes de fréquence pure. 75 -00:04:15,832 --> 00:04:16,019 -pure. - -76 00:04:18,040 --> 00:04:20,480 C'est à ce moment-là que Fourier accède à l'immortalité. -77 -00:04:21,279 --> 00:04:24,151 +76 +00:04:21,279 --> 00:04:24,223 Je pense que la plupart des gens normaux à ce stade diraient : eh bien, -78 -00:04:24,151 --> 00:04:27,301 +77 +00:04:24,223 --> 00:04:27,289 je peux résoudre l'équation de la chaleur lorsque la distribution initiale -79 -00:04:27,301 --> 00:04:29,255 +78 +00:04:27,289 --> 00:04:29,293 ressemble à une vague, ou à une somme de vagues, +79 +00:04:29,293 --> 00:04:32,890 +mais quel dommage qu'il soit que la plupart des distributions du monde réel le fassent. + 80 -00:04:29,255 --> 00:04:32,445 -mais quel dommage qu'il soit que la plupart des distributions du monde réel +00:04:32,890 --> 00:04:34,240 +Ça ne ressemble pas du tout à ça. 81 -00:04:32,445 --> 00:04:34,240 -le fassent. Ça ne ressemble pas du tout à ça. - -82 00:04:34,800 --> 00:04:37,590 Je veux dire, par exemple, disons que vous avez réuni deux tiges -83 +82 00:04:37,590 --> 00:04:40,466 qui étaient chacune à une température uniforme et que vous vouliez -84 +83 00:04:40,466 --> 00:04:43,300 savoir ce qui se passe immédiatement après leur entrée en contact. -85 +84 00:04:45,060 --> 00:04:48,224 Pour simplifier le nombre, disons que la température de la tige -86 +85 00:04:48,224 --> 00:04:51,735 gauche est de 1 degré et celle de la tige droite est de moins 1 degré, -87 +86 00:04:51,735 --> 00:04:54,900 et que la longueur totale, L, des deux tiges combinées est de 1. -88 -00:04:54,900 --> 00:04:59,039 +87 +00:04:54,900 --> 00:04:59,290 Cela signifie que notre distribution initiale de température est une fonction échelonnée, -89 -00:04:59,039 --> 00:05:01,846 +88 +00:04:59,290 --> 00:05:02,071 qui est si évidemment différente d'une onde sinusoïdale, -90 -00:05:01,846 --> 00:05:04,560 +89 +00:05:02,071 --> 00:05:04,560 ou de la somme d'ondes sinusoïdales, n'est-ce pas ? -91 -00:05:05,100 --> 00:05:07,580 +90 +00:05:05,100 --> 00:05:07,682 Je veux dire, c'est presque entièrement plat, pas ondulé, -92 -00:05:07,580 --> 00:05:09,820 +91 +00:05:07,682 --> 00:05:09,820 et pour l'amour de Dieu, c'est même discontinu ! -93 +92 00:05:10,600 --> 00:05:13,700 Et pourtant Fourier a cru poser une question qui paraît absurde. -94 +93 00:05:14,300 --> 00:05:16,660 Comment exprimez-vous cela comme une somme d’ondes sinusoïdales ? -95 +94 00:05:17,120 --> 00:05:19,157 De manière encore plus audacieuse, comment exprimer une -96 +95 00:05:19,157 --> 00:05:21,340 distribution initiale comme une somme d’ondes sinusoïdales ? -97 +96 00:05:21,800 --> 00:05:23,760 Et c'est plus contraint que ça ! -98 -00:05:24,120 --> 00:05:27,094 +97 +00:05:24,120 --> 00:05:27,180 Vous devez vous limiter à ajouter des ondes qui satisfont une certaine -99 -00:05:27,094 --> 00:05:30,278 +98 +00:05:27,180 --> 00:05:30,283 condition aux limites, et comme nous l'avons vu dans la dernière vidéo, -100 -00:05:30,278 --> 00:05:33,294 +99 +00:05:30,283 --> 00:05:33,387 cela signifie travailler avec ces fonctions cosinus dont les fréquences -101 -00:05:33,294 --> 00:05:36,060 +100 +00:05:33,387 --> 00:05:36,060 sont toutes un multiple entier d'une fréquence de base donnée. -102 -00:05:36,920 --> 00:05:40,252 +101 +00:05:36,920 --> 00:05:40,301 Et en passant, si vous travailliez avec une condition aux limites différente, -103 -00:05:40,252 --> 00:05:42,302 +102 +00:05:40,301 --> 00:05:42,383 disons que les extrémités doivent rester fixes, -104 -00:05:42,302 --> 00:05:44,951 +103 +00:05:42,383 --> 00:05:44,897 vous auriez un ensemble différent d'ondes à reconstituer, -105 -00:05:44,951 --> 00:05:48,540 +104 +00:05:44,897 --> 00:05:48,540 dans ce cas en remplaçant cette expression cosinus par une expression sinusoïdale. . -106 +105 00:05:49,560 --> 00:05:52,471 Il est étrange de constater à quel point les progrès en mathématiques ressemblent -107 +106 00:05:52,471 --> 00:05:55,560 souvent davantage à poser une nouvelle question qu’à simplement répondre à d’anciennes. -108 +107 00:05:56,240 --> 00:05:59,054 Fourier possède désormais réellement une sorte d’immortalité, -109 +108 00:05:59,054 --> 00:06:01,913 son nom étant essentiellement synonyme de l’idée de décomposer -110 +109 00:06:01,913 --> 00:06:05,000 les fonctions et les modèles en combinaisons d’oscillations simples. -111 +110 00:06:05,700 --> 00:06:09,676 Il est vraiment difficile d’exagérer l’importance et la portée de cette idée, -112 +111 00:06:09,676 --> 00:06:12,940 bien au-delà de tout ce que Fourier lui-même aurait pu imaginer. -113 +112 00:06:13,600 --> 00:06:17,000 Et pourtant, l’origine de tout cela est un morceau de physique qui, -114 +113 00:06:17,000 --> 00:06:20,600 à première vue, n’a rien à voir avec les fréquences et les oscillations. -115 -00:06:21,280 --> 00:06:23,232 +114 +00:06:21,280 --> 00:06:23,309 À tout le moins, cela devrait vous donner une idée -116 -00:06:23,232 --> 00:06:25,300 +115 +00:06:23,309 --> 00:06:25,300 de l'applicabilité générale des séries de Fourier. +116 +00:06:26,040 --> 00:06:28,323 +Attendez, j'entends certains d'entre vous dire qu'aucune de + 117 -00:06:26,040 --> 00:06:28,409 -Attendez, j'entends certains d'entre vous dire qu'aucune +00:06:28,323 --> 00:06:30,530 +ces sommes d'ondes sinusoïdales que vous montrez n'est en 118 -00:06:28,409 --> 00:06:30,779 -de ces sommes d'ondes sinusoïdales que vous montrez n'est en +00:06:30,530 --> 00:06:33,080 +réalité une fonction échelonnée, ce ne sont que des approximations. 119 -00:06:30,779 --> 00:06:33,080 -réalité une fonction échelonnée, ce ne sont que des approximations. +00:06:33,540 --> 00:06:38,673 +Et c'est vrai, toute somme finie d'ondes sinusoïdales ne sera jamais parfaitement plate, 120 -00:06:33,540 --> 00:06:37,356 -Et c'est vrai, toute somme finie d'ondes sinusoïdales ne sera +00:06:38,673 --> 00:06:41,500 +sauf pour une fonction constante, ni discontinue. 121 -00:06:37,356 --> 00:06:41,500 -jamais parfaitement plate, sauf pour une fonction constante, ni discontinue. - -122 00:06:42,020 --> 00:06:45,460 Mais Fourier pensait plus largement, en considérant des sommes infinies. -123 -00:06:46,240 --> 00:06:51,452 +122 +00:06:46,240 --> 00:06:51,280 Dans le cas de notre fonction échelon, elle s'avère égale à cette somme infinie, +123 +00:06:51,280 --> 00:06:56,383 +où les coefficients sont 1, moins un tiers, plus un cinquième, moins un septième, + 124 -00:06:51,452 --> 00:06:55,315 -où les coefficients sont 1, moins un tiers, plus un cinquième, +00:06:56,383 --> 00:06:59,806 +et ainsi de suite pour toutes les fréquences impaires, 125 -00:06:55,315 --> 00:06:59,852 -moins un septième, et ainsi de suite pour toutes les fréquences impaires, - -126 -00:06:59,852 --> 00:07:02,980 +00:06:59,806 --> 00:07:02,980 et tout cela est redimensionné par 4 divisé par pi. -127 +126 00:07:03,800 --> 00:07:05,960 J'expliquerai d'où viennent ces chiffres dans un instant. +127 +00:07:06,400 --> 00:07:09,408 +Avant cela, il convient de préciser ce que nous entendons par + 128 -00:07:06,400 --> 00:07:09,506 -Avant cela, il convient de préciser ce que nous entendons par une +00:07:09,408 --> 00:07:12,660 +une expression comme somme infinie, qui risque d'être un peu vague. 129 -00:07:09,506 --> 00:07:12,660 -expression comme somme infinie, qui risque d'être un peu vague. - -130 00:07:13,540 --> 00:07:17,159 Considérons le contexte plus simple des nombres, où l’on pourrait dire, -131 +130 00:07:17,159 --> 00:07:21,080 par exemple, que cette somme infinie de fractions est égale à pi divisé par 4. -132 +131 00:07:21,680 --> 00:07:24,436 Au fur et à mesure que vous ajoutez les termes un par un, -133 +132 00:07:24,436 --> 00:07:26,765 ce que vous obtenez est à tout moment rationnel, -134 +133 00:07:26,765 --> 00:07:29,760 il n’est jamais réellement égal au pi irrationnel divisé par 4. -135 -00:07:30,380 --> 00:07:33,588 +134 +00:07:30,380 --> 00:07:33,690 Mais cette séquence de sommes partielles se rapproche de pi sur 4, -136 -00:07:33,588 --> 00:07:35,935 -c'est-à-dire que les nombres que vous voyez, - -137 -00:07:35,935 --> 00:07:38,234 -même s'ils ne sont jamais égaux à pi sur 4, +135 +00:07:33,690 --> 00:07:38,087 +c'est-à-dire que les nombres que vous voyez, même s'ils ne sont jamais égaux à pi sur 4, -138 -00:07:38,234 --> 00:07:40,485 +136 +00:07:38,087 --> 00:07:40,409 se rapprochent arbitrairement de cette valeur, -139 -00:07:40,485 --> 00:07:42,880 +137 +00:07:40,409 --> 00:07:42,880 et restent arbitrairement proches de cette valeur. -140 -00:07:43,720 --> 00:07:46,523 +138 +00:07:43,720 --> 00:07:46,440 C'est tout un long mot à dire, alors à la place nous abrégeons -141 -00:07:46,523 --> 00:07:49,160 +139 +00:07:46,440 --> 00:07:49,160 et disons simplement que la somme infinie est égale à pi sur 4. -142 +140 00:07:50,620 --> 00:07:52,463 Avec les fonctions, vous faites la même chose, -143 +141 00:07:52,463 --> 00:07:54,700 mais avec de nombreuses valeurs différentes en parallèle. -144 -00:07:55,920 --> 00:07:58,767 -Considérez une entrée spécifique et la valeur de toutes ces +142 +00:07:55,920 --> 00:07:58,670 +Considérez une entrée spécifique et la valeur de toutes -145 -00:07:58,767 --> 00:08:01,520 -fonctions cosinus mises à l'échelle pour cette entrée. +143 +00:07:58,670 --> 00:08:01,520 +ces fonctions cosinus mises à l'échelle pour cette entrée. -146 +144 00:08:02,120 --> 00:08:04,833 Si cette entrée est inférieure à 0,5, à mesure que vous -147 +145 00:08:04,833 --> 00:08:07,740 ajoutez de plus en plus de termes, la somme approchera de 1. -148 +146 00:08:10,000 --> 00:08:12,818 Si cette entrée est supérieure à 0,5, à mesure que vous ajoutez -149 +147 00:08:12,818 --> 00:08:15,460 de plus en plus de termes, elle se rapprocherait de moins 1. -150 -00:08:17,260 --> 00:08:20,669 +148 +00:08:17,260 --> 00:08:20,549 À l'entrée 0,5 elle-même, tous les cosinus valent 0, -151 -00:08:20,669 --> 00:08:23,840 +149 +00:08:20,549 --> 00:08:23,840 donc la limite des sommes partielles est également 0. -152 +150 00:08:24,600 --> 00:08:26,746 Cela signifie que, quelque peu maladroitement, -153 +151 00:08:26,746 --> 00:08:29,166 pour que cette somme infinie soit strictement vraie, -154 +152 00:08:29,166 --> 00:08:32,545 nous devons prescrire que la valeur de cette fonction définie au point de -155 +153 00:08:32,545 --> 00:08:35,240 discontinuité soit 0, en quelque sorte à mi-chemin du saut. -156 -00:08:36,080 --> 00:08:41,031 +154 +00:08:36,080 --> 00:08:40,903 De la même manière qu'une somme infinie de nombres rationnels est irrationnelle, -157 -00:08:41,031 --> 00:08:44,468 -la somme infinie de fonctions continues ondulées peut être +155 +00:08:40,903 --> 00:08:46,025 +la somme infinie de fonctions continues ondulées peut être égale à une fonction plate -158 -00:08:44,468 --> 00:08:46,740 -égale à une fonction plate discontinue. +156 +00:08:46,025 --> 00:08:46,740 +discontinue. -159 +157 00:08:47,160 --> 00:08:49,733 Introduire des limites dans le jeu permet des changements qualitatifs, -160 +158 00:08:49,733 --> 00:08:52,380 ce que des sommes limitées ne pourraient jamais permettre à elles seules. -161 +159 00:08:53,280 --> 00:08:56,660 Il y a de multiples nuances techniques que je passe ici sous le tapis. -162 +160 00:08:56,660 --> 00:08:59,960 Le fait que nous soyons contraints à une certaine valeur pour la fonction échelonnée -163 +161 00:08:59,960 --> 00:09:03,300 au point de discontinuité fait-il une différence pour le problème du flux de chaleur ? -164 +162 00:09:03,820 --> 00:09:06,009 D’ailleurs, que signifie réellement résoudre une -165 +163 00:09:06,009 --> 00:09:08,020 EDP avec une condition initiale discontinue ? -166 +164 00:09:09,280 --> 00:09:11,167 Pouvons-nous être sûrs que la limite des solutions de -167 +165 00:09:11,167 --> 00:09:13,020 l’équation de la chaleur est également une solution ? -168 +166 00:09:13,580 --> 00:09:15,213 Et pouvons-nous être sûrs que toutes les fonctions -169 +167 00:09:15,213 --> 00:09:16,880 ont réellement une série de Fourier comme celle-ci ? -170 +168 00:09:17,180 --> 00:09:18,400 Si non, quand ? -171 +169 00:09:19,080 --> 00:09:21,205 C’est exactement le genre de questions auxquelles une véritable -172 +170 00:09:21,205 --> 00:09:23,264 analyse est conçue pour répondre, mais cela tombe un peu plus -173 +171 00:09:23,264 --> 00:09:25,622 profondément dans les mauvaises herbes que je ne voudrais y aller ici, -174 +172 00:09:25,622 --> 00:09:28,080 je vais donc reléguer tout cela aux liens dans la description de la vidéo. +173 +00:09:28,720 --> 00:09:33,185 +Le résultat est que lorsque vous prenez les solutions de l'équation thermique associées + +174 +00:09:33,185 --> 00:09:36,382 +à ces ondes cosinusoïdales et que vous les additionnez toutes, + 175 -00:09:28,720 --> 00:09:32,252 -Le résultat est que lorsque vous prenez les solutions de l'équation +00:09:36,382 --> 00:09:40,543 +une infinité d'entre elles, vous obtenez une solution exacte décrivant comment la 176 -00:09:32,252 --> 00:09:36,324 -thermique associées à ces ondes cosinusoïdales et que vous les additionnez toutes, +00:09:40,543 --> 00:09:44,399 +fonction échelon évoluera au fil du temps, et si vous l'aviez fait en 1822, 177 -00:09:36,324 --> 00:09:40,003 -une infinité d'entre elles, vous obtenez une solution exacte décrivant +00:09:44,399 --> 00:09:46,480 +vous seriez devenu immortel grâce à cela. 178 -00:09:40,003 --> 00:09:42,653 -comment la fonction échelon évoluera au fil du temps, +00:09:47,140 --> 00:09:51,240 +Le principal défi dans tout cela est bien entendu de trouver ces coefficients. 179 -00:09:42,653 --> 00:09:46,480 -et si vous l'aviez fait en 1822, vous seriez devenu immortel grâce à cela. +00:09:53,880 --> 00:09:57,248 +Jusqu'à présent, nous avons pensé aux fonctions avec des sorties en nombres réels, 180 -00:09:47,140 --> 00:09:51,240 -Le principal défi dans tout cela est bien entendu de trouver ces coefficients. +00:09:57,248 --> 00:10:00,373 +mais pour les calculs, j'aimerais vous montrer quelque chose de plus général 181 -00:09:53,880 --> 00:09:57,167 -Jusqu'à présent, nous avons pensé aux fonctions avec des sorties en nombres réels, +00:10:00,373 --> 00:10:03,376 +que ce que Fourier a fait à l'origine, en s'appliquant aux fonctions dont 182 -00:09:57,167 --> 00:10:00,227 -mais pour les calculs, j'aimerais vous montrer quelque chose de plus général +00:10:03,376 --> 00:10:06,216 +la sortie peut être n'importe quel nombre complexe dans le plan 2D. , 183 -00:10:00,227 --> 00:10:03,325 -que ce que Fourier a fait à l'origine, en s'appliquant aux fonctions dont +00:10:06,216 --> 00:10:09,220 +c'est là que tous ces vecteurs tournants de l'ouverture reviennent en jeu. 184 -00:10:03,325 --> 00:10:06,121 -la sortie peut être n'importe quel nombre complexe dans le plan 2D. , +00:10:10,880 --> 00:10:12,260 +Pourquoi cette complexité supplémentaire ? 185 -00:10:06,121 --> 00:10:09,220 -c'est là que tous ces vecteurs tournants de l'ouverture reviennent en jeu. +00:10:12,260 --> 00:10:14,607 +Eh bien, en plus d'être plus généraux, à mon avis, 186 -00:10:10,880 --> 00:10:12,260 -Pourquoi cette complexité supplémentaire ? +00:10:14,607 --> 00:10:18,290 +les calculs deviennent plus clairs et il est plus facile de comprendre pourquoi 187 -00:10:12,260 --> 00:10:14,729 -Eh bien, en plus d'être plus généraux, à mon avis, +00:10:18,290 --> 00:10:19,580 +ils fonctionnent réellement. 188 -00:10:14,729 --> 00:10:18,322 -les calculs deviennent plus clairs et il est plus facile de comprendre pourquoi +00:10:20,300 --> 00:10:22,813 +Plus important encore, cela constitue une bonne base pour les 189 -00:10:18,322 --> 00:10:19,580 -ils fonctionnent réellement. +00:10:22,813 --> 00:10:24,758 +idées qui apparaîtront plus tard dans la série, 190 -00:10:20,300 --> 00:10:22,760 -Plus important encore, cela constitue une bonne base pour les +00:10:24,758 --> 00:10:27,880 +comme la transformée de Laplace et l'importance des fonctions exponentielles. 191 -00:10:22,760 --> 00:10:24,665 -idées qui apparaîtront plus tard dans la série, +00:10:29,300 --> 00:10:33,265 +Nous penserons toujours aux fonctions dont l'entrée est un nombre réel sur un intervalle 192 -00:10:24,665 --> 00:10:27,880 -comme la transformée de Laplace et l'importance des fonctions exponentielles. +00:10:33,265 --> 00:10:35,360 +fini, disons de 0 à 1 pour plus de simplicité, 193 -00:10:29,300 --> 00:10:32,911 -Nous penserons toujours aux fonctions dont l'entrée est un nombre réel sur un +00:10:35,360 --> 00:10:39,103 +mais alors que quelque chose comme une fonction de température aura des sorties sur 194 -00:10:32,911 --> 00:10:35,466 -intervalle fini, disons de 0 à 1 pour plus de simplicité, +00:10:39,103 --> 00:10:42,846 +la droite numérique réelle, cette vue plus large laissera les sorties promenez-vous 195 -00:10:35,466 --> 00:10:39,298 -mais alors que quelque chose comme une fonction de température aura des sorties sur la +00:10:42,846 --> 00:10:44,540 +n’importe où dans le plan complexe 2D. 196 -00:10:39,298 --> 00:10:42,866 -droite numérique réelle, cette vue plus large laissera les sorties promenez-vous +00:10:45,120 --> 00:10:47,787 +Vous pourriez imaginer une fonction telle qu'un dessin, 197 -00:10:42,866 --> 00:10:44,540 -n’importe où dans le plan complexe 2D. +00:10:47,787 --> 00:10:51,739 +avec la pointe d'un crayon traçant différents points dans le plan complexe lorsque 198 -00:10:45,120 --> 00:10:47,778 -Vous pourriez imaginer une fonction telle qu'un dessin, +00:10:51,739 --> 00:10:52,740 +l'entrée va de 0 à 1. 199 -00:10:47,778 --> 00:10:51,632 -avec la pointe d'un crayon traçant différents points dans le plan complexe lorsque +00:10:53,340 --> 00:10:56,209 +Et au lieu que les ondes sinusoïdales soient l'élément fondamental, 200 -00:10:51,632 --> 00:10:52,740 -l'entrée va de 0 à 1. +00:10:56,209 --> 00:10:59,544 +comme vous l'avez vu au début, nous nous concentrerons sur la décomposition de 201 -00:10:53,340 --> 00:10:56,282 -Et au lieu que les ondes sinusoïdales soient l'élément fondamental, +00:10:59,544 --> 00:11:01,654 +ces fonctions comme une somme de petits vecteurs, 202 -00:10:56,282 --> 00:10:59,674 -comme vous l'avez vu au début, nous nous concentrerons sur la décomposition de +00:11:01,654 --> 00:11:03,680 +tournant tous à une fréquence entière constante. 203 -00:10:59,674 --> 00:11:01,718 -ces fonctions comme une somme de petits vecteurs, +00:11:03,680 --> 00:11:07,633 +Les fonctions avec des sorties de nombres réels sont essentiellement 204 -00:11:01,718 --> 00:11:03,680 -tournant tous à une fréquence entière constante. +00:11:07,633 --> 00:11:11,300 +des dessins très ennuyeux, un croquis au crayon unidimensionnel. 205 -00:11:03,680 --> 00:11:07,633 -Les fonctions avec des sorties de nombres réels sont essentiellement +00:11:11,980 --> 00:11:14,546 +Vous n'êtes peut-être pas habitué à les considérer comme ceci, 206 -00:11:07,633 --> 00:11:11,300 -des dessins très ennuyeux, un croquis au crayon unidimensionnel. +00:11:14,546 --> 00:11:17,479 +car nous visualisons généralement une telle fonction avec un graphique, 207 -00:11:11,980 --> 00:11:14,612 -Vous n'êtes peut-être pas habitué à les considérer comme ceci, +00:11:17,479 --> 00:11:20,820 +mais pour le moment, le chemin tracé se trouve uniquement dans l'espace de sortie. 208 -00:11:14,612 --> 00:11:17,441 -car nous visualisons généralement une telle fonction avec un graphique, +00:11:25,420 --> 00:11:29,621 +Si vous effectuez une de ces décompositions en vecteurs rotatifs pour un dessin 209 -00:11:17,441 --> 00:11:20,820 -mais pour le moment, le chemin tracé se trouve uniquement dans l'espace de sortie. +00:11:29,621 --> 00:11:33,980 +unidimensionnel ennuyeux, ce qui se passera, c'est que les vecteurs de fréquence 1 210 -00:11:25,420 --> 00:11:29,556 -Si vous effectuez une de ces décompositions en vecteurs rotatifs pour un dessin +00:11:33,980 --> 00:11:38,392 +et négative 1 auront la même longueur et seront des reflets horizontaux les uns des 211 -00:11:29,556 --> 00:11:33,951 -unidimensionnel ennuyeux, ce qui se passera, c'est que les vecteurs de fréquence +00:11:38,392 --> 00:11:38,760 +autres. 212 -00:11:33,951 --> 00:11:38,398 -1 et négative 1 auront la même longueur et seront des reflets horizontaux les uns des +00:11:39,500 --> 00:11:42,737 +Lorsque vous regardez simplement la somme de ces deux éléments pendant leur rotation, 213 -00:11:38,398 --> 00:11:38,760 -autres. +00:11:42,737 --> 00:11:45,748 +cette somme reste fixe sur la droite numérique réelle et oscille comme une onde 214 -00:11:39,500 --> 00:11:42,737 -Lorsque vous regardez simplement la somme de ces deux éléments pendant leur rotation, +00:11:45,748 --> 00:11:46,200 +sinusoïdale. 215 -00:11:42,737 --> 00:11:45,748 -cette somme reste fixe sur la droite numérique réelle et oscille comme une onde +00:11:46,920 --> 00:11:50,286 +Si vous ne l'avez jamais vu auparavant, cela pourrait être une façon vraiment étrange 216 -00:11:45,748 --> 00:11:46,200 -sinusoïdale. +00:11:50,286 --> 00:11:53,573 +de penser à ce qu'est une onde sinusoïdale, puisque nous sommes habitués à regarder 217 -00:11:46,920 --> 00:11:50,069 -Si vous ne l'avez jamais vu auparavant, cela pourrait être une façon vraiment +00:11:53,573 --> 00:11:56,705 +son graphique plutôt que la sortie seule errant sur la droite numérique réelle, 218 -00:11:50,069 --> 00:11:52,220 -étrange de penser à ce qu'est une onde sinusoïdale, +00:11:56,705 --> 00:11:59,914 +mais dans le Dans un contexte plus large de fonctions avec des sorties de nombres 219 -00:11:52,220 --> 00:11:55,600 -puisque nous sommes habitués à regarder son graphique plutôt que la sortie seule errant +00:11:59,914 --> 00:12:03,320 +complexes, cette oscillation sur la ligne horizontale ressemble à une onde sinusoïdale. 220 -00:11:55,600 --> 00:11:58,903 -sur la droite numérique réelle, mais dans le Dans un contexte plus large de fonctions - -221 -00:11:58,903 --> 00:12:02,052 -avec des sorties de nombres complexes, cette oscillation sur la ligne horizontale - -222 -00:12:02,052 --> 00:12:03,320 -ressemble à une onde sinusoïdale. - -223 -00:12:04,920 --> 00:12:08,487 +00:12:04,920 --> 00:12:08,536 De même, la paire de vecteurs tournants avec les fréquences 2 et négatives -224 -00:12:08,487 --> 00:12:12,054 +221 +00:12:08,536 --> 00:12:11,960 2 ajoutera une autre composante d'onde sinusoïdale, et ainsi de suite, -225 -00:12:12,054 --> 00:12:15,288 +222 +00:12:11,960 --> 00:12:15,239 les ondes sinusoïdales que nous recherchions plus tôt correspondant -226 -00:12:15,288 --> 00:12:18,760 +223 +00:12:15,239 --> 00:12:18,760 désormais à des paires de vecteurs tournant dans des directions opposées. -227 +224 00:12:19,640 --> 00:12:22,053 Ainsi, le contexte initialement étudié par Fourier, -228 +225 00:12:22,053 --> 00:12:25,162 décomposant les fonctions à valeurs réelles en ondes sinusoïdales, -229 +226 00:12:25,162 --> 00:12:29,200 est un cas particulier de l’idée plus générale des dessins 2D et des vecteurs rotatifs. -230 -00:12:34,580 --> 00:12:37,584 +227 +00:12:34,580 --> 00:12:37,505 Et à ce stade, peut-être que vous ne me faites pas confiance sur le fait qu'élargir -231 -00:12:37,584 --> 00:12:40,383 +228 +00:12:37,505 --> 00:12:40,360 notre vision à des fonctions complexes rend les choses plus faciles à comprendre, -232 -00:12:40,383 --> 00:12:43,080 +229 +00:12:40,360 --> 00:12:43,111 mais soyez indulgents avec moi, cela vaut vraiment la peine de faire un effort -233 -00:12:43,080 --> 00:12:45,265 +230 +00:12:43,111 --> 00:12:45,201 supplémentaire pour avoir une vue d'ensemble plus complète, -234 -00:12:45,265 --> 00:12:48,064 +231 +00:12:45,201 --> 00:12:48,056 et je pense que vous serez ravi. avec la propreté du calcul réel dans ce contexte -235 -00:12:48,064 --> 00:12:48,440 +232 +00:12:48,056 --> 00:12:48,440 plus large. -236 -00:12:49,100 --> 00:12:51,740 +233 +00:12:49,100 --> 00:12:51,788 Vous vous demandez peut-être aussi pourquoi, si nous voulons diviser les -237 -00:12:51,740 --> 00:12:54,381 +234 +00:12:51,788 --> 00:12:54,477 choses en deux dimensions, nous ne parlons pas seulement de vecteurs 2D, -238 -00:12:54,381 --> 00:12:57,240 +235 +00:12:54,477 --> 00:12:57,240 qu'est-ce que la racine carrée de moins un a à voir avec quoi que ce soit ? -239 +236 00:12:58,100 --> 00:13:02,856 Eh bien, le cœur et l’âme de la série de Fourier est l’exponentielle complexe, -240 +237 00:13:02,856 --> 00:13:03,700 e au i fois t. -241 -00:13:04,480 --> 00:13:07,378 +238 +00:13:04,480 --> 00:13:07,346 Au fur et à mesure que l'entrée t avance avec le temps, -242 -00:13:07,378 --> 00:13:11,340 +239 +00:13:07,346 --> 00:13:11,340 cette valeur parcourt le cercle unitaire à la vitesse d'une unité par seconde. -243 +240 00:13:12,280 --> 00:13:14,854 Dans la vidéo suivante, vous aurez une brève intuition expliquant -244 +241 00:13:14,854 --> 00:13:17,428 pourquoi des nombres imaginaires exponentiants tournent autour de -245 +242 00:13:17,428 --> 00:13:20,120 cercles comme celui-ci du point de vue des équations différentielles. -246 -00:13:20,480 --> 00:13:22,305 +243 +00:13:20,480 --> 00:13:22,344 Et au-delà de cela, à mesure que la série progresse, -247 -00:13:22,305 --> 00:13:24,407 -j'espère vous donner une idée de la raison pour laquelle +244 +00:13:22,344 --> 00:13:24,491 +j'espère vous donner une idée de la raison pour laquelle des -248 -00:13:24,407 --> 00:13:27,060 -des exponentielles complexes comme celle-ci sont en réalité très importantes. +245 +00:13:24,491 --> 00:13:27,060 +exponentielles complexes comme celle-ci sont en réalité très importantes. -249 +246 00:13:27,740 --> 00:13:31,317 En théorie, vous pourriez décrire toutes les séries de Fourier uniquement en termes -250 +247 00:13:31,317 --> 00:13:34,640 de vecteurs, et ne jamais prononcer un mot de i, la racine carrée de moins un. -251 -00:13:35,300 --> 00:13:38,718 +248 +00:13:35,300 --> 00:13:38,780 Les formules deviendraient plus alambiquées, mais au-delà de cela, -252 -00:13:38,718 --> 00:13:42,443 +249 +00:13:38,780 --> 00:13:42,572 laisser de côté la fonction e pour x ne refléterait plus authentiquement -253 -00:13:42,443 --> 00:13:46,780 +250 +00:13:42,572 --> 00:13:46,780 pourquoi cette idée s'avère si utile pour résoudre des équations différentielles. -254 -00:13:47,420 --> 00:13:50,687 +251 +00:13:47,420 --> 00:13:50,742 Pour l'instant, si vous le souhaitez, vous pouvez considérer e comme un -255 -00:13:50,687 --> 00:13:53,309 +252 +00:13:50,742 --> 00:13:53,557 raccourci de notation pour décrire les vecteurs en rotation, -256 -00:13:53,309 --> 00:13:56,749 -mais gardez simplement à l'esprit que c'est plus significatif qu'un - -257 -00:13:56,749 --> 00:13:57,480 -simple raccourci. +253 +00:13:53,557 --> 00:13:57,480 +mais gardez simplement à l'esprit que c'est plus significatif qu'un simple raccourci. -258 -00:13:58,540 --> 00:14:01,565 -Vous remarquerez que je suis un peu lâche avec le langage en utilisant les mots +254 +00:13:58,540 --> 00:14:01,451 +Vous remarquerez que je suis un peu lâche avec le langage en utilisant les -259 -00:14:01,565 --> 00:14:04,175 -vecteur et nombres complexes de manière quelque peu interchangeable, +255 +00:14:01,451 --> 00:14:04,323 +mots vecteur et nombres complexes de manière quelque peu interchangeable, -260 -00:14:04,175 --> 00:14:07,087 +256 +00:14:04,323 --> 00:14:07,312 en grande partie parce que considérer les nombres complexes comme de petites -261 -00:14:07,087 --> 00:14:10,340 +257 +00:14:07,312 --> 00:14:10,340 flèches rend l'idée d'en additionner un grand nombre plus facile à visualiser. -262 +258 00:14:11,340 --> 00:14:13,605 Très bien, armés de la fonction e pour i fois t, -263 +259 00:14:13,605 --> 00:14:17,720 écrivons une formule pour chacun de ces vecteurs rotatifs avec lesquels nous travaillons. -264 +260 00:14:18,120 --> 00:14:20,387 Pour l’instant, considérez chacun d’eux comme commençant par -265 +261 00:14:20,387 --> 00:14:22,580 pointer une unité vers la droite en direction du chiffre 1. -266 +262 00:14:23,080 --> 00:14:27,956 Le vecteur le plus simple à décrire est le vecteur constant, qui reste au chiffre 1, -267 +263 00:14:27,956 --> 00:14:32,260 ne bouge jamais, ou si vous préférez, il tourne juste à une fréquence de 0. -268 -00:14:33,100 --> 00:14:36,957 +264 +00:14:33,100 --> 00:14:36,878 Ensuite, il y aura le vecteur tournant d'un cycle toutes les secondes, -269 -00:14:36,957 --> 00:14:39,220 +265 +00:14:36,878 --> 00:14:39,220 que nous écrivons comme e aux 2 pi i fois t. -270 +266 00:14:39,740 --> 00:14:43,221 Ce 2 pi est là car lorsque t passe de 0 à 1, il doit -271 +267 00:14:43,221 --> 00:14:46,440 parcourir une distance de 2 pi le long du cercle. -272 -00:14:47,700 --> 00:14:50,567 +268 +00:14:47,700 --> 00:14:50,652 Techniquement c'est en fait un cycle toutes les 10 secondes donc -273 -00:14:50,567 --> 00:14:53,560 +269 +00:14:50,652 --> 00:14:53,560 ça n'est pas trop vertigineux, je ralentis tout d'un facteur 10. -274 -00:14:55,320 --> 00:15:00,306 +270 +00:14:55,320 --> 00:15:00,253 Nous avons également un vecteur tournant à un cycle par seconde dans l'autre sens, -275 -00:15:00,306 --> 00:15:01,740 +271 +00:15:00,253 --> 00:15:01,740 e au moins 2 pi i fois t. -276 -00:15:04,300 --> 00:15:10,819 +272 +00:15:04,300 --> 00:15:10,980 De même, celui qui effectue deux rotations par seconde est e aux 2 fois 2 pi i fois t, -277 -00:15:10,819 --> 00:15:16,740 +273 +00:15:10,980 --> 00:15:16,740 où 2 fois 2 pi dans l'exposant décrit la distance parcourue en une seconde. -278 +274 00:15:20,600 --> 00:15:25,294 Et nous continuons ainsi sur tous les entiers, tant positifs que négatifs, -279 +275 00:15:25,294 --> 00:15:28,800 avec une formule générale de e aux n fois 2 pi fois i t. -280 -00:15:29,340 --> 00:15:32,856 +276 +00:15:29,340 --> 00:15:32,797 Remarquez, cela rend plus cohérent l'écriture de ce vecteur constant sous -281 -00:15:32,856 --> 00:15:36,148 +277 +00:15:32,797 --> 00:15:36,208 la forme e à 0 fois 2 pi fois, ce qui semble être une façon terriblement -282 -00:15:36,148 --> 00:15:39,620 +278 +00:15:36,208 --> 00:15:39,620 compliquée d'écrire le nombre 1, mais au moins cela correspond au modèle. -283 -00:15:40,500 --> 00:15:43,518 -Le contrôle dont nous disposons, l'ensemble de boutons et de molettes que nous - -284 -00:15:43,518 --> 00:15:46,609 -pouvons tourner, correspond à la taille et à la direction initiales de chacun de ces +279 +00:15:40,500 --> 00:15:43,737 +Le contrôle dont nous disposons, l'ensemble de boutons et de molettes que nous pouvons -285 -00:15:46,609 --> 00:15:46,900 -nombres. +280 +00:15:43,737 --> 00:15:46,900 +tourner, correspond à la taille et à la direction initiales de chacun de ces nombres. -286 -00:15:47,480 --> 00:15:50,193 +281 +00:15:47,480 --> 00:15:50,286 La façon dont nous contrôlons cela consiste à multiplier -287 -00:15:50,193 --> 00:15:53,240 +282 +00:15:50,286 --> 00:15:53,240 chacun par une constante complexe, que j'appellerai c sub n. -288 +283 00:15:53,880 --> 00:15:58,692 Par exemple, si nous voulions que le vecteur constant ne soit pas au nombre 1, -289 +284 00:15:58,692 --> 00:16:01,860 mais ait une longueur de 0,5, c indice 0 serait 0,5. -290 -00:16:02,540 --> 00:16:06,693 +285 +00:16:02,540 --> 00:16:06,761 Si nous voulions que le vecteur tournant à 1 cycle par seconde commence à un angle -291 -00:16:06,693 --> 00:16:10,846 -de 45 degrés, nous le multiplierions par un nombre complexe qui a pour effet de le +286 +00:16:06,761 --> 00:16:10,829 +de 45 degrés, nous le multiplierions par un nombre complexe qui a pour effet de -292 -00:16:10,846 --> 00:16:15,000 -faire tourner d'autant, que vous pouvez écrire comme e en pi. quarts de fois i. +287 +00:16:10,829 --> 00:16:15,000 +le faire tourner d'autant, que vous pouvez écrire comme e en pi. quarts de fois i. -293 +288 00:16:15,640 --> 00:16:18,450 Et si sa longueur initiale devait être de 0,3, -294 +289 00:16:18,450 --> 00:16:21,800 alors le coefficient c sub 1 serait 0,3 fois ce montant. -295 +290 00:16:22,760 --> 00:16:27,547 De même, chacun des membres de notre famille infinie de vecteurs rotatifs est confronté -296 +291 00:16:27,547 --> 00:16:31,900 à une constante complexe qui détermine son angle initial et sa magnitude totale. -297 -00:16:32,820 --> 00:16:36,549 +292 +00:16:32,820 --> 00:16:36,425 Notre objectif est d'exprimer toute fonction arbitraire f de t, -298 -00:16:36,549 --> 00:16:39,950 +293 +00:16:36,425 --> 00:16:39,918 disons celle qui dessine une croche lorsque t passe de 0 à 1, -299 -00:16:39,950 --> 00:16:44,009 +294 +00:16:39,918 --> 00:16:43,862 comme une somme de termes comme celui-ci, nous avons donc besoin d'un -300 -00:16:44,009 --> 00:16:46,752 +295 +00:16:43,862 --> 00:16:46,679 moyen de sélectionner ces constantes une par une, -301 -00:16:46,752 --> 00:16:49,440 +296 +00:16:46,679 --> 00:16:49,440 étant donné les données de la fonction elle-même. -302 +297 00:16:51,840 --> 00:16:54,540 Le plus simple à trouver est le terme constant. -303 +298 00:16:55,080 --> 00:16:58,480 Ce terme représente une sorte de centre de masse pour le dessin complet. -304 -00:16:59,000 --> 00:17:03,088 -Si vous deviez échantillonner un ensemble de valeurs régulièrement espacées +299 +00:16:59,000 --> 00:17:02,672 +Si vous deviez échantillonner un ensemble de valeurs régulièrement -305 -00:17:03,088 --> 00:17:07,123 -pour l'entrée t car elle va de 0 à 1, la moyenne de toutes les sorties +300 +00:17:02,672 --> 00:17:05,248 +espacées pour l'entrée t car elle va de 0 à 1, -306 -00:17:07,123 --> 00:17:10,619 -de la fonction pour ces échantillons serait le terme constant c0. +301 +00:17:05,248 --> 00:17:09,085 +la moyenne de toutes les sorties de la fonction pour ces échantillons -307 +302 +00:17:09,085 --> 00:17:10,619 +serait le terme constant c0. + +303 00:17:11,359 --> 00:17:15,471 Ou plus précisément, lorsque vous considérez des échantillons de plus en plus fins, -308 +304 00:17:15,471 --> 00:17:19,240 la moyenne des sorties de ces échantillons se rapproche de c0 dans la limite. -309 -00:17:20,000 --> 00:17:23,837 -Ce que je décris, des sommes de plus en plus fines d'une fonction pour des - -310 -00:17:23,837 --> 00:17:26,897 -échantillons de t de la plage d'entrée, est une intégrale, +305 +00:17:20,000 --> 00:17:24,479 +Ce que je décris, des sommes de plus en plus fines d'une fonction pour des échantillons -311 -00:17:26,897 --> 00:17:28,500 -une intégrale de f de t de 0 à 1. +306 +00:17:24,479 --> 00:17:28,500 +de t de la plage d'entrée, est une intégrale, une intégrale de f de t de 0 à 1. -312 -00:17:30,820 --> 00:17:33,735 +307 +00:17:30,820 --> 00:17:33,831 Normalement, puisque je formule tout cela en termes de moyennes, -313 -00:17:33,735 --> 00:17:37,055 +308 +00:17:33,831 --> 00:17:36,890 vous diviseriez l'intégrale par la longueur de la plage d'entrée, -314 -00:17:37,055 --> 00:17:39,208 +309 +00:17:36,890 --> 00:17:39,114 mais cette longueur est de 1, donc dans ce cas, -315 -00:17:39,208 --> 00:17:42,080 +310 +00:17:39,114 --> 00:17:42,080 prendre une intégrale et prendre une moyenne sont la même chose. -316 +311 00:17:42,640 --> 00:17:44,570 Il existe une très bonne façon de réfléchir à la -317 +312 00:17:44,570 --> 00:17:46,580 raison pour laquelle cette intégrale retirerait c0. -318 -00:17:47,380 --> 00:17:50,408 -N'oubliez pas que nous voulons considérer cette fonction comme +313 +00:17:47,380 --> 00:17:50,468 +N'oubliez pas que nous voulons considérer cette fonction comme une -319 -00:17:50,408 --> 00:17:53,526 -une somme de vecteurs en rotation, alors considérez cette intégrale, +314 +00:17:50,468 --> 00:17:53,465 +somme de vecteurs en rotation, alors considérez cette intégrale, -320 -00:17:53,526 --> 00:17:56,600 +315 +00:17:53,465 --> 00:17:56,600 cette moyenne continue, comme étant appliquée à cette somme entière. -321 +316 00:17:57,460 --> 00:18:02,580 La moyenne d’une telle somme est la même que la somme des moyennes de chaque partie. -322 +317 00:18:06,080 --> 00:18:09,240 Vous pouvez lire ce mouvement comme une sorte de changement subtil de perspective. -323 -00:18:09,520 --> 00:18:13,423 +318 +00:18:09,520 --> 00:18:13,562 Plutôt que de regarder la somme de tous les vecteurs à chaque instant et de -324 -00:18:13,423 --> 00:18:15,838 -prendre la valeur moyenne qu'ils balayent, - -325 -00:18:15,838 --> 00:18:19,639 -regardez la moyenne d'un vecteur individuel lorsque t passe de 0 à 1, +319 +00:18:13,562 --> 00:18:17,604 +prendre la valeur moyenne qu'ils balayent, regardez la moyenne d'un vecteur -326 -00:18:19,639 --> 00:18:21,540 -puis additionnez toutes ces moyennes. +320 +00:18:17,604 --> 00:18:21,540 +individuel lorsque t passe de 0 à 1, puis additionnez toutes ces moyennes. -327 +321 00:18:22,480 --> 00:18:26,355 Mais chacun de ces vecteurs effectue simplement un nombre entier de -328 +322 00:18:26,355 --> 00:18:30,800 rotations autour de 0, donc sa valeur moyenne lorsque t varie de 0 à 1 sera 0. -329 +323 00:18:31,340 --> 00:18:33,440 La seule exception est le terme constant. -330 -00:18:33,940 --> 00:18:36,493 -Puisqu'il reste statique et ne tourne pas, +324 +00:18:33,940 --> 00:18:37,361 +Puisqu'il reste statique et ne tourne pas, sa valeur moyenne -331 -00:18:36,493 --> 00:18:40,840 -sa valeur moyenne est exactement le nombre sur lequel il a commencé, qui est c0. +325 +00:18:37,361 --> 00:18:40,840 +est exactement le nombre sur lequel il a commencé, qui est c0. -332 -00:18:41,600 --> 00:18:44,633 +326 +00:18:41,600 --> 00:18:44,550 Faire cette moyenne sur l'ensemble de la fonction est donc une sorte -333 -00:18:44,633 --> 00:18:47,500 +327 +00:18:44,550 --> 00:18:47,500 de moyen intelligent de supprimer tous les termes qui ne sont pas c0. -334 +328 00:18:48,040 --> 00:18:49,560 Mais voici la partie la plus intelligente. -335 +329 00:18:49,860 --> 00:18:52,978 Disons que vous vouliez calculer un terme différent, comme c2, -336 +330 00:18:52,978 --> 00:18:55,800 placé devant le vecteur tournant deux cycles par seconde. -337 +331 00:18:56,420 --> 00:18:59,507 L’astuce consiste d’abord à multiplier f de t par quelque chose -338 +332 00:18:59,507 --> 00:19:02,545 qui fait que ce vecteur reste immobile, une sorte d’équivalent -339 +333 00:19:02,545 --> 00:19:05,440 mathématique de donner un smartphone à un enfant hyperactif. -340 +334 00:19:06,260 --> 00:19:10,434 Plus précisément, si vous multipliez la fonction entière par e par la valeur -341 +335 00:19:10,434 --> 00:19:14,500 négative 2 fois 2 pi i fois t, réfléchissez à ce qui arrive à chaque terme. -342 +336 00:19:16,640 --> 00:19:21,035 Puisque la multiplication des exponentielles entraîne l’addition du contenu de -343 +337 00:19:21,035 --> 00:19:25,320 l’exposant, le terme de fréquence de chacun de nos exposants est décalé de 2. -344 +338 00:19:29,660 --> 00:19:33,388 Alors maintenant, pendant que nous faisons nos moyennes pour chaque terme, -345 +339 00:19:33,388 --> 00:19:36,720 ce vecteur c-1 tourne autour de moins 3 fois avec une moyenne de 0. -346 +340 00:19:37,560 --> 00:19:43,017 Le vecteur c0, auparavant constant, tourne désormais deux fois lorsque t varie de 0 à 1, -347 +341 00:19:43,017 --> 00:19:44,980 donc sa moyenne est également 0. -348 +342 00:19:46,520 --> 00:19:50,282 Et de même, tous les vecteurs autres que le terme c2 effectuent un nombre -349 +343 00:19:50,282 --> 00:19:53,740 entier de rotations, ce qui signifie que leur moyenne est égale à 0. -350 +344 00:19:55,280 --> 00:19:58,452 Prendre la moyenne de cette fonction modifiée est donc un -351 +345 00:19:58,452 --> 00:20:01,680 moyen astucieux de supprimer tous les termes autres que c2. -352 -00:20:02,360 --> 00:20:04,612 +346 +00:20:02,360 --> 00:20:04,590 Et bien sûr, le chiffre 2 n'a rien de spécial ici, -353 -00:20:04,612 --> 00:20:06,946 +347 +00:20:04,590 --> 00:20:06,907 vous pouvez le remplacer par n'importe quel autre n, -354 -00:20:06,946 --> 00:20:10,100 +348 +00:20:06,907 --> 00:20:10,100 et vous avez une formule générale pour cn, c'est ce que nous recherchons. -355 -00:20:10,660 --> 00:20:14,212 +349 +00:20:10,660 --> 00:20:14,255 Hors contexte, cette expression peut paraître compliquée, mais rappelez-vous, -356 -00:20:14,212 --> 00:20:18,037 +350 +00:20:14,255 --> 00:20:17,943 vous pouvez la lire comme en modifiant d'abord notre fonction, notre dessin 2D, -357 -00:20:18,037 --> 00:20:20,724 +351 +00:20:17,943 --> 00:20:20,663 de manière à ce que le nième petit vecteur reste immobile, -358 -00:20:20,724 --> 00:20:24,413 +352 +00:20:20,663 --> 00:20:24,397 puis en effectuant une moyenne qui tue tous les vecteurs en mouvement et ne vous -359 -00:20:24,413 --> 00:20:25,780 +353 +00:20:24,397 --> 00:20:25,780 laisse que la partie immobile. -360 +354 00:20:26,460 --> 00:20:27,080 N'est-ce pas fou ? -361 +355 00:20:27,500 --> 00:20:31,613 Toute la complexité de ces décompositions que vous voyez de dessins en sommes de -362 +356 00:20:31,613 --> 00:20:35,880 nombreux vecteurs en rotation est entièrement capturée dans cette petite expression. -363 -00:20:36,540 --> 00:20:38,485 +357 +00:20:36,540 --> 00:20:38,470 Ainsi, lorsque je rends ces animations, c'est -364 -00:20:38,485 --> 00:20:40,820 +358 +00:20:38,470 --> 00:20:40,820 exactement ce que je demande à l'ordinateur de le faire. -365 +359 00:20:41,280 --> 00:20:45,886 Il traite le chemin comme une fonction complexe, et pour une certaine plage de valeurs n, -366 +360 00:20:45,886 --> 00:20:49,060 il calcule cette intégrale pour trouver le coefficient c de n. -367 -00:20:51,080 --> 00:20:53,916 -Pour ceux d'entre vous qui sont curieux de savoir d'où proviennent les - -368 -00:20:53,916 --> 00:20:56,752 -données d'un chemin lui-même, je choisis la voie la plus facile et je fais +361 +00:20:51,080 --> 00:20:54,101 +Pour ceux d'entre vous qui sont curieux de savoir d'où proviennent les données -369 -00:20:56,752 --> 00:20:59,517 -simplement lire le programme au format SVG, qui est un format de fichier qui +362 +00:20:54,101 --> 00:20:57,083 +d'un chemin lui-même, je choisis la voie la plus facile et je fais simplement -370 -00:20:59,517 --> 00:21:02,460 -définit l'image en termes de courbes mathématiques plutôt qu'avec valeurs +363 +00:20:57,083 --> 00:20:59,913 +lire le programme au format SVG, qui est un format de fichier qui définit -371 -00:21:02,460 --> 00:21:02,820 -de pixels. +364 +00:20:59,913 --> 00:21:02,820 +l'image en termes de courbes mathématiques plutôt qu'avec valeurs de pixels. -372 -00:21:03,280 --> 00:21:06,020 +365 +00:21:03,280 --> 00:21:06,012 Ainsi, le mappage f de t d'un paramètre temporel à -373 -00:21:06,020 --> 00:21:08,960 +366 +00:21:06,012 --> 00:21:08,960 des points dans l'espace est essentiellement prédéfini. -374 -00:21:10,540 --> 00:21:14,892 +367 +00:21:10,540 --> 00:21:14,801 Dans ce qui est montré en ce moment, j'utilise 101 vecteurs rotatifs, -375 -00:21:14,892 --> 00:21:17,480 +368 +00:21:14,801 --> 00:21:17,480 calculant les valeurs de n de moins 50 à 50. -376 -00:21:18,120 --> 00:21:21,363 +369 +00:21:18,120 --> 00:21:21,497 En pratique, chacune de ces intégrales est calculée numériquement, -377 -00:21:21,363 --> 00:21:25,139 -ce qui signifie essentiellement qu'elle découpe l'intervalle unitaire +370 +00:21:21,497 --> 00:21:25,177 +ce qui signifie essentiellement qu'elle découpe l'intervalle unitaire en -378 -00:21:25,139 --> 00:21:28,915 -en plusieurs petits morceaux de taille delta t, puis additionne cette valeur, +371 +00:21:25,177 --> 00:21:28,958 +plusieurs petits morceaux de taille delta t, puis additionne cette valeur, -379 -00:21:28,915 --> 00:21:32,740 +372 +00:21:28,958 --> 00:21:32,740 f de t fois e au négatif n 2 pi multiplié par delta t. , pour chacun d'eux. -380 -00:21:33,280 --> 00:21:36,642 +373 +00:21:33,280 --> 00:21:36,755 Il existe des méthodes plus sophistiquées pour une intégration numérique plus efficace, -381 -00:21:36,642 --> 00:21:37,980 +374 +00:21:36,755 --> 00:21:37,980 mais cela donne l'idée de base. -382 -00:21:38,820 --> 00:21:42,830 +375 +00:21:38,820 --> 00:21:42,878 Et après avoir calculé ces 101 constantes, chacune détermine un angle et une magnitude -383 -00:21:42,830 --> 00:21:46,610 +376 +00:21:42,878 --> 00:21:46,703 initiales pour les petits vecteurs, puis vous les faites simplement tous tourner, -384 -00:21:46,610 --> 00:21:48,960 +377 +00:21:46,703 --> 00:21:49,082 en les ajoutant pointe à queue au fur et à mesure, -385 -00:21:48,960 --> 00:21:52,648 +378 +00:21:49,082 --> 00:21:52,814 et le chemin tracé par la pointe finale est de quelques approximation du chemin -386 -00:21:52,648 --> 00:21:54,400 +379 +00:21:52,814 --> 00:21:54,400 d'origine que vous avez introduit. -387 +380 00:21:55,100 --> 00:21:58,104 À mesure que le nombre de vecteurs utilisés tend vers l’infini, -388 +381 00:21:58,104 --> 00:22:00,780 le chemin d’approximation devient de plus en plus précis. -389 -00:22:14,140 --> 00:22:17,969 +382 +00:22:14,140 --> 00:22:17,911 Pour ramener tout cela sur terre, prenons l'exemple que nous avons examiné plus tôt, -390 -00:22:17,969 --> 00:22:20,121 -d'une fonction échelonnée, qui, rappelons-le, - -391 -00:22:20,121 --> 00:22:23,692 -était utile pour modéliser la dissipation thermique entre deux tiges à différentes +383 +00:22:17,911 --> 00:22:21,816 +d'une fonction échelonnée, qui, rappelons-le, était utile pour modéliser la dissipation -392 -00:22:23,692 --> 00:22:25,500 -températures après leur entrée en contact. +384 +00:22:21,816 --> 00:22:25,500 +thermique entre deux tiges à différentes températures après leur entrée en contact. -393 +385 00:22:26,620 --> 00:22:28,842 Comme toute fonction à valeur numérique réelle, -394 +386 00:22:28,842 --> 00:22:32,500 la fonction échelon est comme un dessin ennuyeux confiné à une seule dimension. -395 +387 00:22:33,240 --> 00:22:36,274 Mais celui-ci est un dessin particulièrement ennuyeux, -396 +388 00:22:36,274 --> 00:22:40,523 puisque pour les entrées entre 0 et 0,5, la sortie reste simplement statique -397 +389 00:22:40,523 --> 00:22:44,550 au chiffre 1, puis elle passe de manière discontinue au moins 1 pour les -398 +390 00:22:44,550 --> 00:22:45,820 entrées entre 0,5 et 1. -399 -00:22:46,440 --> 00:22:48,878 +391 +00:22:46,440 --> 00:22:48,740 Ainsi, dans l'approximation des séries de Fourier, -400 -00:22:48,878 --> 00:22:52,468 +392 +00:22:48,740 --> 00:22:52,394 la somme vectorielle reste très proche de 1 pendant la première moitié du cycle, -401 -00:22:52,468 --> 00:22:55,970 -puis passe rapidement à moins 1 et reste proche de celle-ci pendant la seconde +393 +00:22:52,394 --> 00:22:55,597 +puis passe rapidement à moins 1 et reste proche de celle-ci pendant la -402 -00:22:55,970 --> 00:22:56,680 -moitié du cycle. +394 +00:22:55,597 --> 00:22:56,680 +seconde moitié du cycle. -403 +395 00:22:57,500 --> 00:23:01,157 Et rappelez-vous, chaque paire de vecteurs tournant dans des directions opposées -404 +396 00:23:01,157 --> 00:23:04,680 correspond à l’une des ondes cosinusoïdales que nous avons examinées plus tôt. -405 -00:23:06,080 --> 00:23:08,789 +397 +00:23:06,080 --> 00:23:08,884 Pour trouver les coefficients, vous devrez calculer cette intégrale, -406 -00:23:08,789 --> 00:23:12,087 +398 +00:23:08,884 --> 00:23:12,298 et pour les téléspectateurs ambitieux parmi vous qui ont hâte de calculer certaines -407 -00:23:12,087 --> 00:23:15,424 +399 +00:23:12,298 --> 00:23:15,590 intégrales à la main, c'est celui où vous pouvez réellement faire le calcul pour -408 -00:23:15,424 --> 00:23:18,801 -obtenir une réponse exacte, plutôt que d'avoir simplement une l'ordinateur le +400 +00:23:15,590 --> 00:23:18,964 +obtenir une réponse exacte, plutôt que d'avoir simplement une l'ordinateur le fait -409 -00:23:18,801 --> 00:23:19,940 -fait numériquement pour vous. +401 +00:23:18,964 --> 00:23:19,940 +numériquement pour vous. -410 -00:23:19,940 --> 00:23:22,760 -Je vais laisser cela comme un exercice pour résoudre ce problème +402 +00:23:19,940 --> 00:23:23,799 +Je vais laisser cela comme un exercice pour résoudre ce problème et le relier à l'idée -411 -00:23:22,760 --> 00:23:25,493 -et le relier à l'idée des ondes cosinusoïdales en couplant +403 +00:23:23,799 --> 00:23:27,480 +des ondes cosinusoïdales en couplant les vecteurs qui tournent dans des directions -412 -00:23:25,493 --> 00:23:27,880 -les vecteurs qui tournent dans des directions opposées. +404 +00:23:27,480 --> 00:23:27,880 +opposées. -413 -00:23:28,780 --> 00:23:32,007 +405 +00:23:28,780 --> 00:23:31,876 Et pour les plus ambitieux, je laisserai un autre exercice à l'écran -414 -00:23:32,007 --> 00:23:34,970 +406 +00:23:31,876 --> 00:23:34,882 pour savoir comment relier ce calcul plus général avec ce que vous -415 -00:23:34,970 --> 00:23:38,154 +407 +00:23:34,882 --> 00:23:38,113 pourriez voir dans un manuel décrivant les séries de Fourier uniquement -416 -00:23:38,154 --> 00:23:40,940 +408 +00:23:38,113 --> 00:23:40,940 en termes de fonctions à valeurs réelles avec sinus et cosinus. -417 +409 00:23:41,840 --> 00:23:45,091 À propos, si vous recherchez davantage de contenu sur la série de Fourier, -418 +410 00:23:45,091 --> 00:23:48,125 je recommande fortement les vidéos de Mathologer et The Coding Train, -419 +411 00:23:48,125 --> 00:23:51,680 et je recommanderais également cet article de blog, les liens dans la description. -420 +412 00:23:53,620 --> 00:23:57,005 D’une part, ceci conclut notre discussion sur l’équation de la chaleur, -421 +413 00:23:57,005 --> 00:24:00,720 qui était une petite fenêtre sur l’étude des équations aux dérivées partielles. -422 +414 00:24:01,240 --> 00:24:03,396 Mais d’un autre côté, cette série de Fourier à -423 +415 00:24:03,396 --> 00:24:05,920 Fourier est un premier aperçu d’une idée plus profonde. -424 -00:24:06,500 --> 00:24:09,519 +416 +00:24:06,500 --> 00:24:09,686 Les fonctions exponentielles, y compris leur généralisation en nombres -425 -00:24:09,519 --> 00:24:12,922 -complexes et même en matrices, jouent un rôle très important pour les équations +417 +00:24:09,686 --> 00:24:12,828 +complexes et même en matrices, jouent un rôle très important pour les -426 -00:24:12,922 --> 00:24:16,240 -différentielles, notamment lorsqu'il s'agit d'équations linéaires. +418 +00:24:12,828 --> 00:24:16,240 +équations différentielles, notamment lorsqu'il s'agit d'équations linéaires. -427 -00:24:16,920 --> 00:24:20,060 -Ce que vous venez de voir, décomposer une fonction comme une combinaison +419 +00:24:16,920 --> 00:24:19,596 +Ce que vous venez de voir, décomposer une fonction comme une -428 -00:24:20,060 --> 00:24:23,631 -de ces exponentielles et l'utiliser pour résoudre une équation différentielle, +420 +00:24:19,596 --> 00:24:22,492 +combinaison de ces exponentielles et l'utiliser pour résoudre une -429 -00:24:23,631 --> 00:24:25,740 -revient encore et encore sous différentes formes. +421 +00:24:22,492 --> 00:24:25,740 +équation différentielle, revient encore et encore sous différentes formes. -430 +422 00:24:44,900 --> 00:24:45,900 Merci. diff --git a/2019/fourier-series/german/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/german/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..f7b18b2e8 --- /dev/null +++ b/2019/fourier-series/german/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,1620 @@ +1 +00:00:05,120 --> 00:00:08,928 +Hier schauen wir uns die Mathematik an, die hinter einer Animation wie dieser steckt, + +2 +00:00:08,928 --> 00:00:10,700 +eine so genannte komplexe Fourier-Reihe. + +3 +00:00:11,240 --> 00:00:15,109 +Jeder kleine Vektor dreht sich mit einer konstanten, ganzzahligen Frequenz, + +4 +00:00:15,109 --> 00:00:18,317 +und wenn du sie von der Spitze bis zum Schwanz zusammenzählst, + +5 +00:00:18,317 --> 00:00:20,100 +ergibt sich mit der Zeit eine Form. + +6 +00:00:21,220 --> 00:00:25,317 +Indem wir die Anfangsgröße und den Winkel jedes Vektors verändern, + +7 +00:00:25,317 --> 00:00:28,620 +können wir so ziemlich alles zeichnen, was wir wollen. + +8 +00:00:31,120 --> 00:00:34,521 +Bevor du dir das alles ansiehst, möchte ich, dass du dir einen Moment Zeit nimmst, + +9 +00:00:34,521 --> 00:00:36,120 +um zu sehen, wie beeindruckend das ist. + +10 +00:00:37,200 --> 00:00:40,900 +Diese spezielle Animation hat insgesamt 300 rotierende Pfeile. + +11 +00:00:41,420 --> 00:00:44,960 +Schau dir das im Vollbildmodus an, wenn du kannst, denn die Komplexität ist es wert. + +12 +00:00:50,440 --> 00:00:54,784 +Überleg mal: Die Aktion jedes einzelnen Pfeils ist vielleicht das Einfachste, + +13 +00:00:54,784 --> 00:00:57,960 +was du dir vorstellen kannst: eine gleichmäßige Rotation. + +14 +00:00:58,600 --> 00:01:02,381 +Und doch ist die Ansammlung aller zusammen alles andere als einfach, + +15 +00:01:02,381 --> 00:01:05,286 +und die verblüffende Komplexität wird noch schärfer, + +16 +00:01:05,286 --> 00:01:08,465 +je weiter wir heranzoomen und die Beiträge der kleinsten, + +17 +00:01:08,465 --> 00:01:11,480 +schnellsten und geradezu frenetischen Pfeile enthüllen. + +18 +00:01:12,300 --> 00:01:15,465 +Wenn du dir die chaotische Raserei vor Augen hältst, die du hier siehst, + +19 +00:01:15,465 --> 00:01:19,150 +und die uhrwerkartige Starrheit, die allen Bewegungen zugrunde liegt, ist es bizarr, + +20 +00:01:19,150 --> 00:01:21,535 +wie der Schwarm mit einer Art von Koordination agiert, + +21 +00:01:21,535 --> 00:01:23,400 +um eine ganz bestimmte Form nachzuzeichnen. + +22 +00:01:23,840 --> 00:01:27,525 +Und im Gegensatz zu vielen anderen komplexen Phänomenen in der Natur ist dies etwas, + +23 +00:01:27,525 --> 00:01:31,080 +das wir mit Hilfe von Mathematik beschreiben und vollständig kontrollieren können. + +24 +00:01:31,660 --> 00:01:35,555 +Indem wir nur die Startbedingungen anpassen, können wir diesen Schwarm dazu bringen, + +25 +00:01:35,555 --> 00:01:38,855 +sich auf die richtige Art und Weise zu verschwören, um alles zu ziehen, + +26 +00:01:38,855 --> 00:01:41,560 +was du willst - vorausgesetzt, du hast genug kleine Pfeile. + +27 +00:01:42,180 --> 00:01:46,520 +Noch verrückter ist, dass die ultimative Formel für all das unglaublich kurz ist. + +28 +00:01:52,960 --> 00:01:57,056 +Oft werden Fourier-Reihen mit etwas beschrieben, das ein bisschen anders aussieht: + +29 +00:01:57,056 --> 00:02:00,560 +Funktionen von reellen Zahlen werden als Summe von Sinuswellen zerlegt. + +30 +00:02:01,260 --> 00:02:04,508 +Das ist zwar nur ein Spezialfall des allgemeineren Phänomens der rotierenden Vektoren, + +31 +00:02:04,508 --> 00:02:07,718 +auf das wir noch zu sprechen kommen werden, aber es ist der Ausgangspunkt von Fourier + +32 +00:02:07,718 --> 00:02:10,780 +selbst, und es gibt gute Gründe dafür, dass wir die Geschichte auch dort beginnen. + +33 +00:02:11,420 --> 00:02:14,821 +Eigentlich ist dies das dritte Video in einer Reihe über die Wärmegleichung, + +34 +00:02:14,821 --> 00:02:17,560 +an der Fourier arbeitete, als er seine große Idee entwickelte. + +35 +00:02:18,200 --> 00:02:21,856 +Ich möchte dir Fourier-Reihen auf eine Art und Weise beibringen, die nicht davon abhängt, + +36 +00:02:21,856 --> 00:02:25,351 +dass du aus diesen Kapiteln kommst. Wenn du aber zumindest eine grobe Vorstellung von + +37 +00:02:25,351 --> 00:02:28,967 +dem Problem aus der Physik hast, das dieses Stück Mathematik ursprünglich motiviert hat, + +38 +00:02:28,967 --> 00:02:32,340 +gibt dir das einen Hinweis darauf, wie unerwartet weitreichend Fourier-Reihen sind. + +39 +00:02:32,820 --> 00:02:36,850 +Alles, was du wissen musst, ist, dass wir eine bestimmte Gleichung hatten, die uns sagt, + +40 +00:02:36,850 --> 00:02:40,699 +wie sich die Temperaturverteilung auf einem Stab im Laufe der Zeit entwickeln würde, + +41 +00:02:40,699 --> 00:02:43,280 +und nebenbei beschreibt sie auch viele andere Phänomene, + +42 +00:02:43,280 --> 00:02:44,820 +die nichts mit Wärme zu tun haben. + +43 +00:02:44,820 --> 00:02:48,211 +Es ist zwar schwierig, diese Gleichung direkt anzuwenden, um herauszufinden, + +44 +00:02:48,211 --> 00:02:51,998 +was mit einer beliebigen Wärmeverteilung passiert, aber es gibt eine einfache Lösung, + +45 +00:02:51,998 --> 00:02:54,949 +wenn die Ausgangsfunktion zufällig wie eine Kosinuswelle aussieht, + +46 +00:02:54,949 --> 00:02:58,120 +deren Frequenz so eingestellt ist, dass sie an jedem Endpunkt flach ist. + +47 +00:02:58,560 --> 00:03:01,497 +Wenn du dir anschaust, was im Laufe der Zeit passiert, + +48 +00:03:01,497 --> 00:03:04,381 +werden diese Wellen einfach exponentiell verkleinert, + +49 +00:03:04,381 --> 00:03:07,960 +wobei Wellen mit höherer Frequenz schneller exponentiell abklingen. + +50 +00:03:10,360 --> 00:03:15,014 +Die Wärmegleichung ist eine so genannte lineare Gleichung, das heißt, + +51 +00:03:15,014 --> 00:03:20,200 +wenn du zwei Lösungen kennst und sie addierst, ist die Summe eine neue Lösung. + +52 +00:03:20,880 --> 00:03:23,540 +Du kannst sie sogar mit einer Konstante skalieren, + +53 +00:03:23,540 --> 00:03:27,400 +so dass du eine eigene Funktion zur Lösung der Gleichung erstellen kannst. + +54 +00:03:29,240 --> 00:03:32,628 +Das ist eine ziemlich einfache Eigenschaft, die du selbst überprüfen kannst, + +55 +00:03:32,628 --> 00:03:34,080 +aber sie ist unglaublich wichtig. + +56 +00:03:34,080 --> 00:03:37,014 +Das bedeutet, dass wir unsere unendliche Familie von Lösungen, + +57 +00:03:37,014 --> 00:03:39,577 +diese exponentiell abklingenden Kosinuswellen, nehmen, + +58 +00:03:39,577 --> 00:03:43,536 +ein paar von ihnen mit einigen Konstanten unserer Wahl skalieren und sie kombinieren + +59 +00:03:43,536 --> 00:03:47,496 +können, um eine Lösung für eine neue, maßgeschneiderte Anfangsbedingung zu erhalten, + +60 +00:03:47,496 --> 00:03:49,500 +die eine Kombination von Kosinuswellen ist. + +61 +00:03:50,200 --> 00:03:53,184 +Eine wichtige Sache, die du beachten solltest, ist, dass, + +62 +00:03:53,184 --> 00:03:56,838 +wenn du diese Wellen kombinierst, die höherfrequenten Wellen schneller + +63 +00:03:56,838 --> 00:04:00,337 +abklingen und die Summe, die du bildest, mit der Zeit glatter wird, + +64 +00:04:00,337 --> 00:04:04,505 +da alle hochfrequenten Terme schnell auf Null gehen und nur die niederfrequenten + +65 +00:04:04,505 --> 00:04:05,380 +Terme dominieren. + +66 +00:04:06,100 --> 00:04:09,420 +Auf eine lustige Art und Weise wird also die gesamte Komplexität der Entwicklung + +67 +00:04:09,420 --> 00:04:11,838 +dieser Wärmeverteilung, die die Wärmegleichung impliziert, + +68 +00:04:11,838 --> 00:04:14,872 +durch diesen Unterschied in den Abklingraten für die verschiedenen reinen + +69 +00:04:14,872 --> 00:04:16,019 +Frequenzkomponenten erfasst. + +70 +00:04:18,040 --> 00:04:20,480 +An diesem Punkt wird Fourier unsterblich. + +71 +00:04:21,279 --> 00:04:24,263 +Ich denke, die meisten normalen Menschen würden jetzt sagen: "Gut, + +72 +00:04:24,263 --> 00:04:27,336 +ich kann die Wärmegleichung lösen, wenn die ursprüngliche Verteilung + +73 +00:04:27,336 --> 00:04:30,810 +zufällig wie eine Welle oder eine Summe von Wellen aussieht, aber wie schade, + +74 +00:04:30,810 --> 00:04:34,240 +dass die meisten Verteilungen in der realen Welt überhaupt nicht so aussehen. + +75 +00:04:34,800 --> 00:04:38,069 +Nehmen wir zum Beispiel an, du bringst zwei Stäbe zusammen, + +76 +00:04:38,069 --> 00:04:42,046 +die eine gleichmäßige Temperatur haben, und willst wissen, was passiert, + +77 +00:04:42,046 --> 00:04:43,300 +wenn sie sich berühren. + +78 +00:04:45,060 --> 00:04:48,208 +Um die Zahl zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die Temperatur + +79 +00:04:48,208 --> 00:04:51,456 +des linken Stabes 1 Grad beträgt und die des rechten Stabes minus + +80 +00:04:51,456 --> 00:04:54,900 +1 Grad und dass die Gesamtlänge L der beiden Stäbe zusammen 1 beträgt. + +81 +00:04:54,900 --> 00:04:59,082 +Das bedeutet, dass unsere anfängliche Temperaturverteilung eine Stufenfunktion ist, + +82 +00:04:59,082 --> 00:05:02,219 +die sich so offensichtlich von einer Sinuswelle oder der Summe + +83 +00:05:02,219 --> 00:05:04,560 +von Sinuswellen unterscheidet, meinst du nicht? + +84 +00:05:05,100 --> 00:05:08,545 +Ich meine, sie ist fast ganz flach, nicht gewellt und um Himmels willen, + +85 +00:05:08,545 --> 00:05:09,820 +sie ist sogar unregelmäßig! + +86 +00:05:10,600 --> 00:05:13,700 +Und doch dachte Fourier daran, eine Frage zu stellen, die absurd erscheint. + +87 +00:05:14,300 --> 00:05:16,660 +Wie kannst du das als Summe von Sinuswellen ausdrücken? + +88 +00:05:17,120 --> 00:05:19,713 +Noch kühner: Wie kann man eine beliebige Anfangsverteilung + +89 +00:05:19,713 --> 00:05:21,340 +als Summe von Sinuswellen ausdrücken? + +90 +00:05:21,800 --> 00:05:23,760 +Und es gibt noch mehr Einschränkungen als das! + +91 +00:05:24,120 --> 00:05:26,398 +Du musst dich darauf beschränken, Wellen zu addieren, + +92 +00:05:26,398 --> 00:05:30,068 +die eine bestimmte Randbedingung erfüllen, und wie wir im letzten Video gesehen haben, + +93 +00:05:30,068 --> 00:05:32,431 +bedeutet das, mit diesen Kosinusfunktionen zu arbeiten, + +94 +00:05:32,431 --> 00:05:36,060 +deren Frequenzen alle ein ganzzahliges Vielfaches einer bestimmten Basisfrequenz sind. + +95 +00:05:36,920 --> 00:05:40,259 +Wenn du übrigens mit einer anderen Randbedingung arbeiten würdest, z. B. + +96 +00:05:40,259 --> 00:05:44,148 +dass die Endpunkte fest bleiben müssen, hättest du einen anderen Satz von Wellen zur + +97 +00:05:44,148 --> 00:05:47,899 +Verfügung, die du zusammensetzen kannst, indem du den Kosinusausdruck durch einen + +98 +00:05:47,899 --> 00:05:48,540 +Sinus ersetzt. + +99 +00:05:49,560 --> 00:05:52,976 +Es ist seltsam, wie oft der Fortschritt in der Mathematik eher darin besteht, + +100 +00:05:52,976 --> 00:05:55,560 +eine neue Frage zu stellen, als alte Fragen zu beantworten. + +101 +00:05:56,240 --> 00:06:00,369 +Fourier ist heute unsterblich, denn sein Name steht für die Idee, + +102 +00:06:00,369 --> 00:06:05,000 +Funktionen und Muster als Kombinationen einfacher Schwingungen aufzulösen. + +103 +00:06:05,700 --> 00:06:09,891 +Man kann gar nicht hoch genug einschätzen, wie wichtig und weitreichend diese Idee war, + +104 +00:06:09,891 --> 00:06:12,940 +weit über das hinaus, was sich Fourier selbst vorstellen konnte. + +105 +00:06:13,600 --> 00:06:16,592 +Und doch ist der Ursprung von all dem ein Stück Physik, + +106 +00:06:16,592 --> 00:06:20,600 +das auf den ersten Blick nichts mit Frequenzen und Schwingungen zu tun hat. + +107 +00:06:21,280 --> 00:06:23,227 +Das sollte dir zumindest einen Hinweis auf die + +108 +00:06:23,227 --> 00:06:25,300 +allgemeine Anwendbarkeit von Fourier-Reihen geben. + +109 +00:06:26,040 --> 00:06:29,709 +Moment mal, ich höre einige von euch sagen, dass keine dieser Summen von Sinuswellen, + +110 +00:06:29,709 --> 00:06:33,080 +die ihr zeigt, tatsächlich die Stufenfunktion ist, sondern nur eine Annäherung. + +111 +00:06:33,540 --> 00:06:37,814 +Und es stimmt, jede endliche Summe von Sinuswellen wird niemals vollkommen flach sein, + +112 +00:06:37,814 --> 00:06:41,500 +außer bei einer konstanten Funktion, und sie wird auch nicht unstetig sein. + +113 +00:06:42,020 --> 00:06:45,460 +Aber Fourier dachte breiter und betrachtete unendliche Summen. + +114 +00:06:46,240 --> 00:06:49,246 +Im Fall unserer Stufenfunktion stellt sich heraus, + +115 +00:06:49,246 --> 00:06:53,666 +dass sie gleich dieser unendlichen Summe ist, bei der die Koeffizienten 1, + +116 +00:06:53,666 --> 00:06:57,734 +minus ein Drittel, plus ein Fünftel, minus ein Siebtel und so weiter + +117 +00:06:57,734 --> 00:07:02,980 +für alle ungeraden Frequenzen sind, und das Ganze wird durch 4 geteilt durch Pi skaliert. + +118 +00:07:03,800 --> 00:07:05,960 +Woher diese Zahlen kommen, erkläre ich dir gleich. + +119 +00:07:06,400 --> 00:07:09,432 +Zuvor sollten wir uns darüber im Klaren sein, was wir mit dem + +120 +00:07:09,432 --> 00:07:12,660 +Begriff "unendliche Summe" meinen, der etwas vage zu sein scheint. + +121 +00:07:13,540 --> 00:07:17,584 +Betrachte den einfacheren Kontext von Zahlen, wo du zum Beispiel sagen könntest, + +122 +00:07:17,584 --> 00:07:21,080 +dass diese unendliche Summe von Brüchen gleich Pi geteilt durch 4 ist. + +123 +00:07:21,680 --> 00:07:24,581 +Wenn du die Terme einen nach dem anderen addierst, + +124 +00:07:24,581 --> 00:07:28,678 +ist das Ergebnis immer rational und entspricht niemals dem irrationalen + +125 +00:07:28,678 --> 00:07:29,760 +Pi geteilt durch 4. + +126 +00:07:30,380 --> 00:07:34,327 +Aber diese Folge von Teilsummen nähert sich Pi über 4. Das heißt, + +127 +00:07:34,327 --> 00:07:37,856 +die Zahlen, die du siehst, sind zwar nie gleich Pi über 4, + +128 +00:07:37,856 --> 00:07:42,880 +aber sie kommen diesem Wert beliebig nahe und bleiben beliebig nahe bei diesem Wert. + +129 +00:07:43,720 --> 00:07:46,993 +Das ist alles sehr langatmig, deshalb kürzen wir ab und sagen einfach, + +130 +00:07:46,993 --> 00:07:49,160 +dass die unendliche Summe gleich Pi über 4 ist. + +131 +00:07:50,620 --> 00:07:54,700 +Mit Funktionen machst du das Gleiche, aber mit vielen verschiedenen Werten parallel. + +132 +00:07:55,920 --> 00:07:58,612 +Betrachte eine bestimmte Eingabe und den Wert all + +133 +00:07:58,612 --> 00:08:01,520 +dieser skalierten Kosinusfunktionen für diese Eingabe. + +134 +00:08:02,120 --> 00:08:04,823 +Wenn diese Eingabe weniger als 0,5 beträgt, nähert + +135 +00:08:04,823 --> 00:08:07,740 +sich die Summe mit zunehmender Anzahl von Termen der 1. + +136 +00:08:10,000 --> 00:08:12,594 +Wenn die Eingabe größer als 0,5 ist, nähert sie + +137 +00:08:12,594 --> 00:08:15,460 +sich mit zunehmender Anzahl von Begriffen dem Wert 1. + +138 +00:08:17,260 --> 00:08:20,656 +Am Eingang 0,5 selbst sind alle Kosinuswerte 0, + +139 +00:08:20,656 --> 00:08:23,840 +also ist auch der Grenzwert der Teilsummen 0. + +140 +00:08:24,600 --> 00:08:28,540 +Das bedeutet, dass wir, damit diese unendliche Summe strikt wahr ist, + +141 +00:08:28,540 --> 00:08:32,931 +den Wert dieser Mengenfunktion am Punkt der Unstetigkeit auf 0 setzen müssen, + +142 +00:08:32,931 --> 00:08:35,240 +sozusagen auf halber Strecke des Sprungs. + +143 +00:08:36,080 --> 00:08:39,742 +So wie eine unendliche Summe von rationalen Zahlen irrational ist, + +144 +00:08:39,742 --> 00:08:43,132 +kann die unendliche Summe von wellenförmigen kontinuierlichen + +145 +00:08:43,132 --> 00:08:46,740 +Funktionen einer diskontinuierlichen flachen Funktion entsprechen. + +146 +00:08:47,160 --> 00:08:50,168 +Grenzen ins Spiel zu bringen, ermöglicht qualitative Veränderungen, + +147 +00:08:50,168 --> 00:08:52,380 +die mit endlichen Summen allein nie möglich wären. + +148 +00:08:53,280 --> 00:08:56,660 +Es gibt mehrere technische Feinheiten, die ich hier unter den Teppich kehren will. + +149 +00:08:56,660 --> 00:08:59,034 +Macht es für das Wärmestromproblem einen Unterschied, + +150 +00:08:59,034 --> 00:09:02,552 +dass wir am Punkt der Unstetigkeit einen bestimmten Wert für die Stufenfunktion + +151 +00:09:02,552 --> 00:09:03,300 +festlegen müssen? + +152 +00:09:03,820 --> 00:09:08,020 +Und was bedeutet es eigentlich, eine PDE mit einer unstetigen Anfangsbedingung zu lösen? + +153 +00:09:09,280 --> 00:09:11,111 +Können wir sicher sein, dass der Grenzwert der + +154 +00:09:11,111 --> 00:09:13,020 +Lösungen der Wärmegleichung auch eine Lösung ist? + +155 +00:09:13,580 --> 00:09:15,264 +Und können wir sicher sein, dass alle Funktionen + +156 +00:09:15,264 --> 00:09:16,880 +tatsächlich eine Fourier-Reihe wie diese haben? + +157 +00:09:17,180 --> 00:09:18,400 +Wenn nicht, wann nicht? + +158 +00:09:19,080 --> 00:09:22,718 +Das sind genau die Art von Fragen, die eine echte Analyse beantworten soll, + +159 +00:09:22,718 --> 00:09:25,734 +aber das geht etwas zu weit in die Tiefe, deshalb verweise ich + +160 +00:09:25,734 --> 00:09:28,080 +das alles auf die Links in der Videobeschreibung. + +161 +00:09:28,720 --> 00:09:32,966 +Das Ergebnis ist, dass du, wenn du die Lösungen der Wärmegleichung für diese + +162 +00:09:32,966 --> 00:09:36,827 +Kosinuswellen nimmst und sie alle addierst, und zwar unendlich viele, + +163 +00:09:36,827 --> 00:09:41,350 +eine exakte Lösung erhältst, die beschreibt, wie sich die Stufenfunktion im Laufe + +164 +00:09:41,350 --> 00:09:44,494 +der Zeit entwickelt, und wenn du das 1822 getan hättest, + +165 +00:09:44,494 --> 00:09:46,480 +wärst du dafür unsterblich geworden. + +166 +00:09:47,140 --> 00:09:51,240 +Die größte Herausforderung bei all dem ist natürlich, diese Koeffizienten zu finden. + +167 +00:09:53,880 --> 00:09:58,024 +Bisher haben wir uns mit Funktionen beschäftigt, die reelle Zahlen ausgeben, + +168 +00:09:58,024 --> 00:10:01,738 +aber für die Berechnungen möchte ich dir etwas Allgemeineres zeigen, + +169 +00:10:01,738 --> 00:10:05,506 +als das, was Fourier ursprünglich getan hat, und zwar für Funktionen, + +170 +00:10:05,506 --> 00:10:09,220 +deren Ausgabe eine beliebige komplexe Zahl in der 2D-Ebene sein kann. + +171 +00:10:10,880 --> 00:10:12,260 +Warum die zusätzliche Komplexität? + +172 +00:10:12,260 --> 00:10:15,876 +Abgesehen davon, dass sie allgemeiner sind, werden die Berechnungen meiner Meinung + +173 +00:10:15,876 --> 00:10:19,580 +nach sauberer und es ist einfacher zu verstehen, warum sie tatsächlich funktionieren. + +174 +00:10:20,300 --> 00:10:23,147 +Noch wichtiger ist, dass es eine gute Grundlage für die Ideen schafft, + +175 +00:10:23,147 --> 00:10:26,115 +die später in der Reihe auftauchen werden, wie die Laplace-Transformation + +176 +00:10:26,115 --> 00:10:27,880 +und die Bedeutung von Exponentialfunktionen. + +177 +00:10:29,300 --> 00:10:33,049 +Wir denken immer noch an Funktionen, deren Eingabe eine reelle Zahl in einem + +178 +00:10:33,049 --> 00:10:36,116 +endlichen Intervall ist, z. B. von 0 bis 1. Aber während z. B. + +179 +00:10:36,116 --> 00:10:40,011 +bei einer Temperaturfunktion die Ausgaben auf der reellen Zahlengeraden liegen, + +180 +00:10:40,011 --> 00:10:43,760 +können die Ausgaben bei dieser breiteren Sichtweise überall in der komplexen + +181 +00:10:43,760 --> 00:10:44,540 +2D-Ebene liegen. + +182 +00:10:45,120 --> 00:10:47,753 +Du kannst dir eine solche Funktion wie eine Zeichnung vorstellen, + +183 +00:10:47,753 --> 00:10:51,184 +bei der eine Bleistiftspitze verschiedene Punkte in der komplexen Ebene nachzeichnet, + +184 +00:10:51,184 --> 00:10:52,740 +während die Eingabe von 0 bis 1 reicht. + +185 +00:10:53,340 --> 00:10:56,952 +Und anstatt Sinuswellen als Grundbaustein zu verwenden, wie du zu Beginn gesehen hast, + +186 +00:10:56,952 --> 00:11:00,482 +werden wir uns darauf konzentrieren, diese Funktionen in eine Summe kleiner Vektoren + +187 +00:11:00,482 --> 00:11:03,680 +zu zerlegen, die sich alle mit einer konstanten ganzzahligen Frequenz drehen. + +188 +00:11:03,680 --> 00:11:08,869 +Funktionen mit reellen Zahlenausgängen sind im Grunde langweilige Zeichnungen, + +189 +00:11:08,869 --> 00:11:11,300 +eine eindimensionale Bleistiftskizze. + +190 +00:11:11,980 --> 00:11:14,706 +Du bist es vielleicht nicht gewohnt, sie dir so vorzustellen, + +191 +00:11:14,706 --> 00:11:18,093 +denn normalerweise visualisieren wir eine solche Funktion mit einem Graphen, + +192 +00:11:18,093 --> 00:11:20,820 +aber im Moment wird der Pfad nur im Ausgabebereich gezeichnet. + +193 +00:11:25,420 --> 00:11:29,395 +Wenn du eine dieser Zerlegungen in rotierende Vektoren für eine langweilige + +194 +00:11:29,395 --> 00:11:33,894 +eindimensionale Zeichnung durchführst, werden die Vektoren mit der Frequenz 1 und der + +195 +00:11:33,894 --> 00:11:38,498 +negativen 1 die gleiche Länge haben und sie werden horizontale Spiegelungen voneinander + +196 +00:11:38,498 --> 00:11:38,760 +sein. + +197 +00:11:39,500 --> 00:11:42,468 +Wenn du die Summe dieser beiden betrachtest, während sie sich drehen, + +198 +00:11:42,468 --> 00:11:46,200 +bleibt diese Summe auf der reellen Zahlenlinie fixiert und schwingt wie eine Sinuswelle. + +199 +00:11:46,920 --> 00:11:50,147 +Wenn du es noch nicht gesehen hast, ist das vielleicht eine seltsame Art, + +200 +00:11:50,147 --> 00:11:53,200 +sich vorzustellen, was eine Sinuswelle ist, denn wir sind es gewohnt, + +201 +00:11:53,200 --> 00:11:57,082 +den Graphen zu sehen und nicht nur die Ausgabe, die auf der reellen Zahlenlinie wandert, + +202 +00:11:57,082 --> 00:12:00,354 +aber im weiteren Kontext von Funktionen mit komplexen Zahlenausgaben sieht + +203 +00:12:00,354 --> 00:12:03,320 +diese Schwingung auf der horizontalen Linie wie eine Sinuswelle aus. + +204 +00:12:04,920 --> 00:12:09,446 +In ähnlicher Weise fügt das Paar rotierender Vektoren mit den Frequenzen 2 und negativ + +205 +00:12:09,446 --> 00:12:12,516 +2 eine weitere Sinuskomponente hinzu usw. Die Sinuswellen, + +206 +00:12:12,516 --> 00:12:16,314 +nach denen wir zuvor gesucht haben, entsprechen nun Paaren von Vektoren, + +207 +00:12:16,314 --> 00:12:18,760 +die sich in entgegengesetzte Richtungen drehen. + +208 +00:12:19,640 --> 00:12:22,300 +Der Zusammenhang, den Fourier ursprünglich untersucht hat, + +209 +00:12:22,300 --> 00:12:25,051 +nämlich die Zerlegung von reellen Funktionen in Sinuswellen, + +210 +00:12:25,051 --> 00:12:28,253 +ist also ein Spezialfall der allgemeineren Idee von 2D-Zeichnungen und + +211 +00:12:28,253 --> 00:12:29,200 +rotierenden Vektoren. + +212 +00:12:34,580 --> 00:12:38,456 +Vielleicht glaubst du mir an dieser Stelle nicht, dass es einfacher ist, + +213 +00:12:38,456 --> 00:12:42,811 +die Dinge zu verstehen, wenn wir unseren Blick auf komplexe Funktionen erweitern, + +214 +00:12:42,811 --> 00:12:46,422 +aber lass dir gesagt sein, dass sich der zusätzliche Aufwand lohnt, + +215 +00:12:46,422 --> 00:12:48,440 +um ein umfassenderes Bild zu erhalten. + +216 +00:12:49,100 --> 00:12:52,324 +Du fragst dich vielleicht auch, warum wir nicht einfach von 2D-Vektoren sprechen, + +217 +00:12:52,324 --> 00:12:54,565 +wenn wir die Dinge in zwei Dimensionen ausdehnen wollen, + +218 +00:12:54,565 --> 00:12:57,240 +und was die Quadratwurzel aus minus eins mit irgendetwas zu tun hat. + +219 +00:12:58,100 --> 00:13:03,700 +Nun, das Herzstück der Fourier-Reihe ist die komplexe Exponentialreihe, e zu i mal t. + +220 +00:13:04,480 --> 00:13:07,281 +Während die Eingabe mit der Zeit vorwärts tickt, + +221 +00:13:07,281 --> 00:13:11,340 +wandert dieser Wert mit einer Einheit pro Sekunde um den Einheitskreis. + +222 +00:13:12,280 --> 00:13:16,370 +Im nächsten Video erfährst du, warum die Potenzierung imaginärer Zahlen + +223 +00:13:16,370 --> 00:13:20,120 +aus der Perspektive der Differentialgleichungen so im Kreis läuft. + +224 +00:13:20,480 --> 00:13:23,669 +Und darüber hinaus hoffe ich, dass ich dir im Laufe der Serie ein Gefühl dafür + +225 +00:13:23,669 --> 00:13:27,060 +vermitteln kann, warum komplexe Exponentiale wie diese eigentlich sehr wichtig sind. + +226 +00:13:27,740 --> 00:13:31,317 +Theoretisch könntest du alle Fourier-Reihen nur mit Hilfe von Vektoren beschreiben, + +227 +00:13:31,317 --> 00:13:34,640 +ohne auch nur ein Wort über i, die Quadratwurzel aus minus eins, zu verlieren. + +228 +00:13:35,300 --> 00:13:39,207 +Die Formeln würden komplizierter werden, aber darüber hinaus würde das Weglassen + +229 +00:13:39,207 --> 00:13:42,535 +der Funktion e zum x irgendwie nicht mehr authentisch widerspiegeln, + +230 +00:13:42,535 --> 00:13:46,780 +warum sich diese Idee als so nützlich für das Lösen von Differentialgleichungen erweist. + +231 +00:13:47,420 --> 00:13:50,719 +Wenn du willst, kannst du dir e to the i t als eine Kurzform + +232 +00:13:50,719 --> 00:13:53,856 +für die Beschreibung von rotierenden Vektoren vorstellen, + +233 +00:13:53,856 --> 00:13:57,480 +aber behalte im Hinterkopf, dass es mehr ist als nur eine Kurzform. + +234 +00:13:58,540 --> 00:14:02,329 +Du wirst bemerken, dass ich mit den Begriffen Vektor und komplexe Zahlen etwas + +235 +00:14:02,329 --> 00:14:05,495 +lockerer umgehe. Das liegt vor allem daran, dass die Vorstellung, + +236 +00:14:05,495 --> 00:14:08,996 +komplexe Zahlen als kleine Pfeile zu sehen, die Vorstellung erleichtert, + +237 +00:14:08,996 --> 00:14:10,340 +viele von ihnen zu addieren. + +238 +00:14:11,340 --> 00:14:14,391 +Nun gut, mit der Funktion e zu i mal t können wir eine Formel für + +239 +00:14:14,391 --> 00:14:17,720 +jeden dieser rotierenden Vektoren, mit denen wir arbeiten, aufschreiben. + +240 +00:14:18,120 --> 00:14:20,264 +Für den Moment stellst du dir vor, dass jeder von + +241 +00:14:20,264 --> 00:14:22,580 +ihnen mit der Nummer 1 eine Einheit nach rechts zeigt. + +242 +00:14:23,080 --> 00:14:26,233 +Am einfachsten zu beschreiben ist der konstante Vektor, + +243 +00:14:26,233 --> 00:14:29,781 +der bei der Zahl 1 bleibt und sich nie bewegt. Wenn du willst, + +244 +00:14:29,781 --> 00:14:32,260 +rotiert er einfach mit einer Frequenz von 0. + +245 +00:14:33,100 --> 00:14:36,857 +Dann gibt es den Vektor, der sich jede Sekunde um einen Zyklus dreht, + +246 +00:14:36,857 --> 00:14:39,220 +den wir als e zu den 2 pi i mal t schreiben. + +247 +00:14:39,740 --> 00:14:43,150 +Die 2 pi sind da, weil t beim Übergang von 0 auf 1 eine + +248 +00:14:43,150 --> 00:14:46,440 +Strecke von 2 pi entlang des Kreises zurücklegen muss. + +249 +00:14:47,700 --> 00:14:50,044 +Technisch gesehen ist es ein Zyklus alle 10 Sekunden, + +250 +00:14:50,044 --> 00:14:53,560 +damit es nicht zu schwindelerregend wird, verlangsame ich alles um den Faktor 10. + +251 +00:14:55,320 --> 00:14:58,326 +Wir haben auch einen Vektor, der sich mit einem Zyklus pro + +252 +00:14:58,326 --> 00:15:01,740 +Sekunde in die andere Richtung dreht, e zum negativen 2 pi i mal t. + +253 +00:15:04,300 --> 00:15:08,555 +Ähnlich verhält es sich mit den 2 mal 2 pi i mal t, + +254 +00:15:08,555 --> 00:15:12,484 +wobei die 2 mal 2 pi im Exponenten beschreiben, + +255 +00:15:12,484 --> 00:15:16,740 +wie viel Strecke in einer Sekunde zurückgelegt wird. + +256 +00:15:20,600 --> 00:15:25,474 +Und wir machen so weiter über alle ganzen Zahlen, sowohl positive als auch negative, + +257 +00:15:25,474 --> 00:15:28,800 +mit einer allgemeinen Formel von e bis n mal 2 pi mal i t. + +258 +00:15:29,340 --> 00:15:32,814 +Beachte, dass es konsistenter ist, den konstanten Vektor als e zu 0 mal + +259 +00:15:32,814 --> 00:15:36,724 +2 pi mal i t zu schreiben, was sich wie eine furchtbar komplizierte Art anfühlt, + +260 +00:15:36,724 --> 00:15:39,620 +die Zahl 1 zu schreiben, aber zumindest passt es zum Muster. + +261 +00:15:40,500 --> 00:15:44,202 +Die Steuerung, die wir haben, die Knöpfe und Regler, an denen wir drehen können, + +262 +00:15:44,202 --> 00:15:46,900 +ist die anfängliche Größe und Richtung jeder dieser Zahlen. + +263 +00:15:47,480 --> 00:15:50,310 +Um das zu kontrollieren, multiplizieren wir jeden dieser + +264 +00:15:50,310 --> 00:15:53,240 +Werte mit einer komplexen Konstante, die ich c sub n nenne. + +265 +00:15:53,880 --> 00:15:58,668 +Wenn wir zum Beispiel wollen, dass der Konstantenvektor nicht bei der Zahl 1 liegt, + +266 +00:15:58,668 --> 00:16:01,860 +sondern eine Länge von 0,5 hat, wäre c sub 0 gleich 0,5. + +267 +00:16:02,540 --> 00:16:06,325 +Wenn wir wollen, dass der Vektor, der sich mit einem Zyklus pro Sekunde dreht, + +268 +00:16:06,325 --> 00:16:10,063 +mit einem Winkel von 45 Grad beginnt, müssen wir ihn mit einer komplexen Zahl + +269 +00:16:10,063 --> 00:16:12,364 +multiplizieren, die ihn um diesen Winkel dreht, + +270 +00:16:12,364 --> 00:16:15,000 +was du als e zu den Pi-Vierteln mal i schreiben kannst. + +271 +00:16:15,640 --> 00:16:18,507 +Und wenn die ursprüngliche Länge 0,3 betragen müsste, + +272 +00:16:18,507 --> 00:16:21,800 +dann wäre der Koeffizient c sub 1 das 0,3-fache dieses Wertes. + +273 +00:16:22,760 --> 00:16:27,417 +Ebenso wird in unserer unendlichen Familie von Drehvektoren mit einer komplexen + +274 +00:16:27,417 --> 00:16:31,900 +Konstante multipliziert, die den Anfangswinkel und den Gesamtbetrag bestimmt. + +275 +00:16:32,820 --> 00:16:36,494 +Unser Ziel ist es, jede beliebige Funktion f von t, z. B. diese, + +276 +00:16:36,494 --> 00:16:39,603 +die eine Achtelnote zeichnet, wenn t von 0 auf 1 geht, + +277 +00:16:39,603 --> 00:16:43,786 +als Summe solcher Terme auszudrücken. Wir brauchen also eine Möglichkeit, + +278 +00:16:43,786 --> 00:16:46,896 +diese Konstanten eine nach der anderen herauszufinden, + +279 +00:16:46,896 --> 00:16:49,440 +wenn wir die Daten der Funktion selbst haben. + +280 +00:16:51,840 --> 00:16:54,540 +Am einfachsten zu finden ist der konstante Term. + +281 +00:16:55,080 --> 00:16:58,480 +Dieser Begriff steht für eine Art Massenschwerpunkt für die gesamte Zeichnung. + +282 +00:16:59,000 --> 00:17:03,029 +Wenn du eine Reihe von gleichmäßig verteilten Werten für die Eingabe + +283 +00:17:03,029 --> 00:17:06,766 +t im Bereich von 0 bis 1 abtastest, wäre der Durchschnitt aller + +284 +00:17:06,766 --> 00:17:10,619 +Ausgaben der Funktion für diese Abtastungen der konstante Term c0. + +285 +00:17:11,359 --> 00:17:14,980 +Oder genauer gesagt, wenn du immer feinere Stichproben betrachtest, + +286 +00:17:14,980 --> 00:17:19,240 +nähert sich der Durchschnitt der Ausgaben für diese Stichproben im Grenzfall c0. + +287 +00:17:20,000 --> 00:17:24,222 +Was ich beschreibe, immer feinere Summen einer Funktion für Stichproben von t + +288 +00:17:24,222 --> 00:17:28,500 +aus dem Eingabebereich, ist ein Integral, ein Integral von f von t von 0 bis 1. + +289 +00:17:30,820 --> 00:17:36,260 +Normalerweise würdest du das Integral durch die Länge des Eingabebereichs dividieren, + +290 +00:17:36,260 --> 00:17:41,510 +aber diese Länge ist 1, also sind in diesem Fall das Integral und der Durchschnitt + +291 +00:17:41,510 --> 00:17:42,080 +dasselbe. + +292 +00:17:42,640 --> 00:17:46,580 +Es gibt eine sehr schöne Art, darüber nachzudenken, warum dieses Integral c0 herauszieht. + +293 +00:17:47,380 --> 00:17:50,586 +Denke daran, dass wir uns diese Funktion als eine Summe von rotierenden + +294 +00:17:50,586 --> 00:17:53,259 +Vektoren vorstellen wollen, also betrachte dieses Integral, + +295 +00:17:53,259 --> 00:17:56,600 +diesen kontinuierlichen Durchschnitt, als auf diese ganze Summe angewendet. + +296 +00:17:57,460 --> 00:18:00,043 +Der Durchschnitt einer solchen Summe ist dasselbe wie + +297 +00:18:00,043 --> 00:18:02,580 +die Summe der Durchschnittswerte der einzelnen Teile. + +298 +00:18:06,080 --> 00:18:09,240 +Du kannst diesen Schritt als eine Art subtile Verschiebung der Perspektive verstehen. + +299 +00:18:09,520 --> 00:18:13,165 +Anstatt die Summe aller Vektoren zu jedem Zeitpunkt zu betrachten und den + +300 +00:18:13,165 --> 00:18:16,958 +Durchschnittswert zu ermitteln, solltest du den Durchschnitt eines einzelnen + +301 +00:18:16,958 --> 00:18:20,801 +Vektors betrachten, wenn t von 0 auf 1 geht, und dann alle Durchschnittswerte + +302 +00:18:20,801 --> 00:18:21,540 +zusammenzählen. + +303 +00:18:22,480 --> 00:18:26,867 +Aber jeder dieser Vektoren macht nur eine ganze Anzahl von Umdrehungen um 0, + +304 +00:18:26,867 --> 00:18:30,800 +so dass sein Durchschnittswert im Bereich t von 0 bis 1 gleich 0 ist. + +305 +00:18:31,340 --> 00:18:33,440 +Die einzige Ausnahme ist der konstante Term. + +306 +00:18:33,940 --> 00:18:38,557 +Da sie statisch bleibt und sich nicht dreht, ist ihr Durchschnittswert einfach die Zahl, + +307 +00:18:38,557 --> 00:18:40,840 +mit der sie zufällig gestartet ist, also c0. + +308 +00:18:41,600 --> 00:18:45,178 +Der Durchschnitt über die gesamte Funktion ist also eine clevere Methode, + +309 +00:18:45,178 --> 00:18:47,500 +um alle Terme zu eliminieren, die nicht c0 sind. + +310 +00:18:48,040 --> 00:18:49,560 +Aber jetzt kommt der eigentlich clevere Teil. + +311 +00:18:49,860 --> 00:18:52,786 +Nehmen wir an, du möchtest einen anderen Term berechnen, z. B. c2, + +312 +00:18:52,786 --> 00:18:55,800 +der vor dem Vektor steht, der sich mit zwei Zyklen pro Sekunde dreht. + +313 +00:18:56,420 --> 00:18:59,590 +Der Trick besteht darin, f von t zunächst mit etwas zu multiplizieren, + +314 +00:18:59,590 --> 00:19:03,341 +das den Vektor zum Stillhalten bringt, sozusagen das mathematische Äquivalent dazu, + +315 +00:19:03,341 --> 00:19:05,440 +einem überaktiven Kind ein Smartphone zu geben. + +316 +00:19:06,260 --> 00:19:09,198 +Wenn du die gesamte Funktion mit e multiplizierst, + +317 +00:19:09,198 --> 00:19:12,886 +um den negativen Wert 2 mal 2 pi i mal t zu erhalten, überlege, + +318 +00:19:12,886 --> 00:19:14,500 +was mit jedem Term passiert. + +319 +00:19:16,640 --> 00:19:19,219 +Da die Multiplikation von Exponentialen dazu führt, + +320 +00:19:19,219 --> 00:19:23,435 +dass die Werte des Exponenten addiert werden, wird der Frequenzterm in jedem unserer + +321 +00:19:23,435 --> 00:19:25,320 +Exponenten um 2 nach unten verschoben. + +322 +00:19:29,660 --> 00:19:32,513 +Wenn wir nun die Durchschnitte der einzelnen Terme bilden, + +323 +00:19:32,513 --> 00:19:36,720 +dreht sich der c-1-Vektor dreimal um einen negativen Wert mit einem Durchschnitt von 0. + +324 +00:19:37,560 --> 00:19:41,134 +Der Vektor c0, der vorher konstant war, dreht sich jetzt zweimal, + +325 +00:19:41,134 --> 00:19:44,980 +während t von 0 bis 1 reicht, sodass sein Durchschnitt ebenfalls 0 ist. + +326 +00:19:46,520 --> 00:19:51,083 +Ebenso machen alle Vektoren außer dem c2-Term eine ganze Anzahl von Drehungen, + +327 +00:19:51,083 --> 00:19:53,740 +was bedeutet, dass sie im Durchschnitt 0 sind. + +328 +00:19:55,280 --> 00:19:59,583 +Der Durchschnitt dieser modifizierten Funktion ist also eine clevere Methode, + +329 +00:19:59,583 --> 00:20:01,680 +um alle Terme außer c2 zu eliminieren. + +330 +00:20:02,360 --> 00:20:04,846 +Und natürlich ist die Zahl 2 hier nichts Besonderes. + +331 +00:20:04,846 --> 00:20:09,021 +Du könntest sie durch jedes andere n ersetzen und hättest eine allgemeine Formel für cn, + +332 +00:20:09,021 --> 00:20:10,100 +nach der wir ja suchen. + +333 +00:20:10,660 --> 00:20:14,549 +Aus dem Zusammenhang gerissen mag dieser Ausdruck kompliziert aussehen, aber denk daran, + +334 +00:20:14,549 --> 00:20:18,176 +dass du ihn so lesen kannst, dass wir zuerst unsere Funktion, unsere 2D-Zeichnung, + +335 +00:20:18,176 --> 00:20:22,109 +so verändern, dass der n-te kleine Vektor stillsteht, und dann einen Durchschnitt bilden, + +336 +00:20:22,109 --> 00:20:25,780 +der alle sich bewegenden Vektoren tötet und nur den stillstehenden Teil übrig lässt. + +337 +00:20:26,460 --> 00:20:27,080 +Ist das nicht verrückt? + +338 +00:20:27,500 --> 00:20:31,690 +Die ganze Komplexität dieser Zerlegung von Zeichnungen in Summen von + +339 +00:20:31,690 --> 00:20:35,880 +vielen rotierenden Vektoren ist in diesem kleinen Ausdruck enthalten. + +340 +00:20:36,540 --> 00:20:39,255 +Wenn ich also diese Animationen rendere, ist es genau das, + +341 +00:20:39,255 --> 00:20:40,820 +was ich den Computer machen lasse. + +342 +00:20:41,280 --> 00:20:44,944 +Es behandelt den Pfad wie eine komplexe Funktion und berechnet für einen + +343 +00:20:44,944 --> 00:20:49,060 +bestimmten Wertebereich n dieses Integral, um den Koeffizienten c von n zu finden. + +344 +00:20:51,080 --> 00:20:55,112 +Für diejenigen unter euch, die wissen wollen, woher die Daten für den Pfad selbst kommen, + +345 +00:20:55,112 --> 00:20:58,518 +gehe ich den einfachen Weg und lasse das Programm einfach ein SVG einlesen, + +346 +00:20:58,518 --> 00:21:02,371 +ein Dateiformat, das das Bild in Form von mathematischen Kurven statt mit Pixelwerten + +347 +00:21:02,371 --> 00:21:02,820 +definiert. + +348 +00:21:03,280 --> 00:21:05,973 +Die Abbildung f von t von einem Zeitparameter + +349 +00:21:05,973 --> 00:21:08,960 +auf Punkte im Raum ist also im Grunde vordefiniert. + +350 +00:21:10,540 --> 00:21:13,836 +In der aktuellen Darstellung verwende ich 101 rotierende + +351 +00:21:13,836 --> 00:21:17,480 +Vektoren und berechne die Werte von n von negativ 50 bis zu 50. + +352 +00:21:18,120 --> 00:21:21,457 +In der Praxis wird jedes dieser Integrale numerisch berechnet, + +353 +00:21:21,457 --> 00:21:25,006 +was im Grunde bedeutet, dass das Einheitsintervall in viele kleine + +354 +00:21:25,006 --> 00:21:28,237 +Stücke der Größe delta t zerhackt wird und dann dieser Wert, + +355 +00:21:28,237 --> 00:21:32,740 +f von t mal e zum negativen n 2 pi i t mal delta t, für jedes von ihnen addiert wird. + +356 +00:21:33,280 --> 00:21:36,511 +Es gibt ausgefeiltere Methoden für eine effizientere numerische Integration, + +357 +00:21:36,511 --> 00:21:37,980 +aber dies vermittelt die Grundidee. + +358 +00:21:38,820 --> 00:21:41,181 +Und nachdem du diese 101 Konstanten berechnet hast, + +359 +00:21:41,181 --> 00:21:45,042 +bestimmt jede von ihnen einen Anfangswinkel und eine Größe für die kleinen Vektoren, + +360 +00:21:45,042 --> 00:21:48,903 +und dann stellst du sie einfach alle auf Rotation und fügst sie nach und nach hinzu, + +361 +00:21:48,903 --> 00:21:51,174 +so dass der Pfad, den die letzte Spitze zeichnet, + +362 +00:21:51,174 --> 00:21:54,400 +eine Annäherung an den ursprünglichen Pfad ist, den du eingegeben hast. + +363 +00:21:55,100 --> 00:21:58,608 +Wenn die Anzahl der verwendeten Vektoren gegen unendlich geht, + +364 +00:21:58,608 --> 00:22:00,780 +wird der Annäherungspfad immer genauer. + +365 +00:22:14,140 --> 00:22:16,263 +Um das Ganze wieder auf den Boden der Tatsachen zu bringen, + +366 +00:22:16,263 --> 00:22:19,129 +betrachte das Beispiel einer Stufenfunktion, das wir uns vorhin angesehen haben. + +367 +00:22:19,129 --> 00:22:20,970 +Wir erinnern uns, dass diese Funktion nützlich war, + +368 +00:22:20,970 --> 00:22:23,730 +um die Wärmeabgabe zwischen zwei Stäben mit unterschiedlichen Temperaturen zu + +369 +00:22:23,730 --> 00:22:25,500 +modellieren, nachdem sie in Kontakt gekommen sind. + +370 +00:22:26,620 --> 00:22:29,640 +Wie jede mit reellen Zahlen bewertete Funktion ist auch die Stufenfunktion + +371 +00:22:29,640 --> 00:22:32,500 +wie eine langweilige Zeichnung, die sich auf eine Dimension beschränkt. + +372 +00:22:33,240 --> 00:22:36,055 +Aber diese Zeichnung ist besonders langweilig, + +373 +00:22:36,055 --> 00:22:40,907 +denn für Eingaben zwischen 0 und 0,5 bleibt die Ausgabe statisch bei der Zahl 1, + +374 +00:22:40,907 --> 00:22:45,820 +und dann springt sie für Eingaben zwischen 0,5 und 1 unstetig auf eine negative 1. + +375 +00:22:46,440 --> 00:22:49,869 +Bei der Fourier-Reihen-Approximation bleibt die Vektorsumme also in der + +376 +00:22:49,869 --> 00:22:53,060 +ersten Hälfte des Zyklus nahe bei 1, springt dann schnell auf eine + +377 +00:22:53,060 --> 00:22:56,680 +negative 1 und bleibt in der zweiten Hälfte des Zyklus nahe bei dieser Zahl. + +378 +00:22:57,500 --> 00:23:00,844 +Und denk daran, dass jedes Paar von Vektoren, die sich in entgegengesetzte + +379 +00:23:00,844 --> 00:23:04,680 +Richtungen drehen, einer der Kosinuswellen entspricht, die wir zuvor betrachtet haben. + +380 +00:23:06,080 --> 00:23:09,100 +Um die Koeffizienten zu finden, musst du dieses Integral berechnen. + +381 +00:23:09,100 --> 00:23:12,787 +Für die ehrgeizigen Zuschauer unter euch, die gerne Integrale von Hand ausrechnen, + +382 +00:23:12,787 --> 00:23:15,320 +ist dies ein Fall, in dem du tatsächlich rechnen kannst, + +383 +00:23:15,320 --> 00:23:18,785 +um eine exakte Antwort zu erhalten, anstatt einen Computer die Berechnung für + +384 +00:23:18,785 --> 00:23:19,940 +dich übernehmen zu lassen. + +385 +00:23:19,940 --> 00:23:22,573 +Ich überlasse es der Übung, dies herauszufinden und es mit der Idee + +386 +00:23:22,573 --> 00:23:25,207 +der Kosinuswellen in Verbindung zu bringen, indem ich die Vektoren, + +387 +00:23:25,207 --> 00:23:27,880 +die sich in entgegengesetzte Richtungen drehen, miteinander verbinde. + +388 +00:23:28,780 --> 00:23:31,840 +Und für die noch Ehrgeizigeren unter euch habe ich noch eine weitere Übung + +389 +00:23:31,840 --> 00:23:34,655 +auf dem Bildschirm, wie ihr diese allgemeinere Berechnung mit dem in + +390 +00:23:34,655 --> 00:23:37,389 +Verbindung bringen könnt, was ihr in einem Lehrbuch sehen könntet, + +391 +00:23:37,389 --> 00:23:40,940 +das Fourier-Reihen nur in Form von reellen Funktionen mit Sinus und Kosinus beschreibt. + +392 +00:23:41,840 --> 00:23:45,365 +Übrigens: Wenn du nach weiteren Inhalten zu Fourier-Reihen suchst, + +393 +00:23:45,365 --> 00:23:48,733 +empfehle ich dir die Videos von Mathologer und The Coding Train + +394 +00:23:48,733 --> 00:23:51,680 +und auch diesen Blogbeitrag (Links in der Beschreibung). + +395 +00:23:53,620 --> 00:23:57,059 +Damit ist einerseits unsere Diskussion über die Wärmegleichung abgeschlossen, + +396 +00:23:57,059 --> 00:24:00,720 +die ein kleiner Einblick in das Studium der partiellen Differentialgleichungen war. + +397 +00:24:01,240 --> 00:24:03,936 +Aber andererseits ist diese Fourier-zu-Fourier-Reihe + +398 +00:24:03,936 --> 00:24:05,920 +ein erster Blick auf eine tiefere Idee. + +399 +00:24:06,500 --> 00:24:09,561 +Exponentialfunktionen, einschließlich ihrer Verallgemeinerung auf + +400 +00:24:09,561 --> 00:24:12,761 +komplexe Zahlen und sogar Matrizen, spielen eine sehr wichtige Rolle + +401 +00:24:12,761 --> 00:24:16,240 +für Differentialgleichungen, vor allem wenn es um lineare Gleichungen geht. + +402 +00:24:16,920 --> 00:24:20,086 +Was du gerade gesehen hast, nämlich eine Funktion in eine Kombination + +403 +00:24:20,086 --> 00:24:23,568 +von Exponentialen zu zerlegen und damit eine Differentialgleichung zu lösen, + +404 +00:24:23,568 --> 00:24:25,740 +taucht immer wieder in verschiedenen Formen auf. + +405 +00:24:44,900 --> 00:24:45,900 +Vielen Dank! + diff --git a/2019/fourier-series/hebrew/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/hebrew/auto_generated.srt index eb5ec13e3..8362fbe02 100644 --- a/2019/fourier-series/hebrew/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/hebrew/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:05,119 --> 00:00:10,700 +00:00:05,120 --> 00:00:10,700 כאן, אנו מסתכלים על המתמטיקה מאחורי אנימציה כמו זו, מה שמכונה סדרת פורייה מורכבת. 2 @@ -23,7 +23,7 @@ לפני שצולל לתוך הכל, אני רוצה שתקדישו רגע להתעכב על כמה זה מדהים. 7 -00:00:37,199 --> 00:00:40,900 +00:00:37,200 --> 00:00:40,900 לאנימציה הספציפית הזו יש 300 חיצים מסתובבים בסך הכל. 8 @@ -59,7 +59,7 @@ זה מוזר איך הנחיל פועל עם סוג של תיאום כדי לאתר איזו צורה מאוד ספציפית. 16 -00:01:23,839 --> 00:01:27,777 +00:01:23,840 --> 00:01:27,777 ובניגוד להרבה מהמורכבות המתהווה שאתה מוצא במקומות אחרים בטבע, 17 @@ -75,15 +75,15 @@ קשר בכל הדרכים הנכונות לצייר כל מה שתרצה, בתנאי שיש לך מספיק חיצים קטנים. 20 -00:01:42,180 --> 00:01:53,360 +00:01:42,180 --> 00:01:46,520 מה שעוד יותר מטורף הוא שהנוסחה האולטימטיבית לכל זה קצרה להפליא. 21 -00:01:53,360 --> 00:01:57,320 +00:01:52,960 --> 00:01:57,140 לעתים קרובות סדרות פורייה מתוארות במונחים של משהו שנראה קצת אחרת, 22 -00:01:57,320 --> 00:02:00,560 +00:01:57,140 --> 00:02:00,560 פונקציות של מספרים ממשיים מפורקים כסכום של גלי סינוס. 23 @@ -147,11 +147,11 @@ דעיכה מעריכית מהירה יותר. 38 -00:03:10,359 --> 00:03:14,705 +00:03:10,360 --> 00:03:14,706 משוואת החום היא במקרה מה שמכונה בעסק משוואה לינארית, 39 -00:03:14,705 --> 00:03:20,200 +00:03:14,706 --> 00:03:20,200 כלומר אם אתה מכיר שני פתרונות ומחבר אותם, הסכום הזה הוא פתרון חדש. 40 @@ -231,19 +231,19 @@ ורציתם לדעת מה קורה מיד לאחר שהם באים במגע. 59 -00:04:45,060 --> 00:04:49,579 +00:04:45,060 --> 00:04:49,790 כדי להפוך את המספרים לפשוטים, נניח שהטמפרטורה של המוט השמאלי היא מעלה אחת, 60 -00:04:49,579 --> 00:04:54,460 +00:04:49,790 --> 00:04:54,900 והמוט הימני היא מעלה אחת שלילית, ושהאורך הכולל, L, של שני המוטות המשולבים הוא 1. 61 -00:04:54,460 --> 00:04:59,746 +00:04:54,900 --> 00:04:59,956 מה שזה אומר הוא שהתפלגות הטמפרטורה הראשונית שלנו היא פונקציית צעד, 62 -00:04:59,746 --> 00:05:04,560 +00:04:59,956 --> 00:05:04,560 שהיא כל כך שונה מגל סינוס, או מסכום גלי הסינוס, אתה לא חושב? 63 @@ -311,7 +311,7 @@ הרבה מעבר לכל מה שפורייה עצמו יכול היה לדמיין. 79 -00:06:13,599 --> 00:06:20,600 +00:06:13,600 --> 00:06:20,600 ובכל זאת המקור של כל זה הוא פיסת פיזיקה שבמבט ראשון אין לה שום קשר לתדרים ולתנודות. 80 @@ -711,15 +711,15 @@ עבור כל אחד מהווקטורים המסתובבים האלה שאנחנו עובדים איתם. 179 -00:14:18,120 --> 00:14:21,900 +00:14:18,120 --> 00:14:22,580 לעת עתה, חשבו על כל אחד מהם כמתחיל להצביע על יחידה אחת ימינה במספר 1. 180 -00:14:21,900 --> 00:14:27,204 +00:14:23,080 --> 00:14:27,780 הווקטור הקל ביותר לתיאור הוא הקבוע, שנשאר במספר 1, לא זז לעולם, 181 -00:14:27,204 --> 00:14:32,260 +00:14:27,780 --> 00:14:32,260 או אם אתה מעדיף, זה ציטוט-ללא ציטוט המסתובב רק בתדירות של 0. 182 @@ -727,15 +727,15 @@ אז יהיה הווקטור שמסתובב מחזור אחד בכל שנייה, אותו נכתוב כ-e ל-2 pi i כפול t. 183 -00:14:39,739 --> 00:14:45,500 +00:14:39,740 --> 00:14:46,440 2 פאי זה שם כי כאשר t עובר מ-0 ל-1, הוא צריך לכסות מרחק של 2 פי לאורך המעגל. 184 -00:14:45,500 --> 00:14:51,619 +00:14:47,700 --> 00:14:52,149 מבחינה טכנית במה שמוצג, זה למעשה מחזור אחד כל 10 שניות כך שהדברים לא מסחררים מדי, 185 -00:14:51,619 --> 00:14:53,560 +00:14:52,149 --> 00:14:53,560 אני מאט הכל בפקטור של 10. 186 @@ -759,7 +759,7 @@ עם נוסחה כללית של e עד n כפול 2 פי כפול i t. 191 -00:15:29,339 --> 00:15:34,918 +00:15:29,340 --> 00:15:34,918 שימו לב שזה עושה את זה יותר עקבי לכתוב את הווקטור הקבוע הזה כ-e ל-0 כפול 2 pi כפול ממנו, 192 @@ -955,19 +955,19 @@ וקטור c-1 מסתובב סביב שלילי 3 פעמים עם ממוצע של 0. 240 -00:19:37,560 --> 00:19:44,245 +00:19:37,560 --> 00:19:42,963 הווקטור c0, שהיה קבוע בעבר, מסתובב כעת פעמיים כאשר t נע בין 0 ל-1, 241 -00:19:44,245 --> 00:19:46,740 +00:19:42,963 --> 00:19:44,980 כך שהממוצע שלו הוא גם 0. 242 -00:19:46,740 --> 00:19:51,580 +00:19:46,520 --> 00:19:51,512 באופן דומה, כל הוקטורים מלבד האיבר c2 עושים מספר שלם של סיבובים, 243 -00:19:51,580 --> 00:19:53,740 +00:19:51,512 --> 00:19:53,740 כלומר הם מגיעים לממוצע של 0. 244 @@ -983,20 +983,20 @@ ויש לך נוסחה כללית ל-cn, וזה מה שאנחנו מחפשים. 247 -00:20:10,660 --> 00:20:13,790 +00:20:10,660 --> 00:20:13,840 מחוץ להקשר, הביטוי הזה עשוי להיראות מסובך, אבל זכור, 248 -00:20:13,790 --> 00:20:18,279 +00:20:13,840 --> 00:20:18,400 אתה יכול לקרוא אותו בתור שינוי תחילה של הפונקציה שלנו, הציור הדו-ממדי שלנו, 249 -00:20:18,279 --> 00:20:23,063 -כדי לגרום לוקטור הקטן ה-n'י להחזיק מעמד, ולאחר מכן לבצע ממוצע אשר הורג את כל +00:20:18,400 --> 00:20:23,560 +כדי לגרום לוקטור הקטן ה-n'י להחזיק מעמד, ולאחר מכן לבצע ממוצע אשר הורג את כל הוקטורים 250 -00:20:23,063 --> 00:20:25,780 -הוקטורים הנעים ו משאיר אותך רק עם החלק הדומם. +00:20:23,560 --> 00:20:25,780 +הנעים ו משאיר אותך רק עם החלק הדומם. 251 00:20:26,460 --> 00:20:27,080 @@ -1139,23 +1139,23 @@ f מתוך t כפול e לשלילה n 2 pi זה כפול דלתא t , לכל א גלי קוסינוס על ידי זיווג של הוקטורים שמסתובבים בכיוונים מנוגדים. 286 -00:23:28,780 --> 00:23:32,520 +00:23:28,780 --> 00:23:32,714 ולאנשים השאפתניים עוד יותר, אשאיר תרגיל נוסף על המסך כיצד לקשר את 287 -00:23:32,520 --> 00:23:36,429 +00:23:32,714 --> 00:23:36,827 החישוב הכללי יותר הזה עם מה שאתה עשוי לראות בספר לימוד המתאר את סדרת 288 -00:23:36,429 --> 00:23:40,340 +00:23:36,827 --> 00:23:40,940 פורייה רק במונחים של פונקציות בעלות ערך אמיתי עם סינוסים וקוסינוסים. 289 -00:23:40,340 --> 00:23:46,293 +00:23:41,840 --> 00:23:47,005 אגב, אם אתם מחפשים עוד תוכן מסדרות פורייה, אני ממליץ בחום על הסרטונים של Mathologer 290 -00:23:46,293 --> 00:23:51,680 +00:23:47,005 --> 00:23:51,680 ו-The Coding Train, ואני ממליץ גם על הפוסט הזה בבלוג, קישורים כמובן בתיאור. 291 diff --git a/2019/fourier-series/hindi/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/hindi/auto_generated.srt index ccd98bf82..2dfe8910b 100644 --- a/2019/fourier-series/hindi/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/hindi/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:05,119 --> 00:00:08,092 +00:00:05,120 --> 00:00:08,092 यहां, हम इस तरह के एनीमेशन के पीछे के गणित को देखते हैं, 2 @@ -35,7 +35,7 @@ पल के लिए इस पर गौर करें कि यह कितना प्रभावशाली है। 10 -00:00:37,199 --> 00:00:40,900 +00:00:37,200 --> 00:00:40,900 इस विशेष एनीमेशन में कुल 300 घूमने वाले तीर हैं। 11 @@ -83,7 +83,7 @@ समन्वय के साथ कैसे कार्य करता है। 22 -00:01:23,839 --> 00:01:27,114 +00:01:23,840 --> 00:01:27,114 और प्रकृति में अन्यत्र पाई जाने वाली अधिकांश उभरती जटिलताओं के विपरीत, 23 @@ -103,15 +103,15 @@ बशर्ते आपके पास पर्याप्त छोटे तीर हों। 27 -00:01:42,180 --> 00:01:53,360 +00:01:42,180 --> 00:01:46,520 इससे भी अधिक अजीब बात यह है कि इन सबके लिए अंतिम सूत्र अविश्वसनीय रूप से छोटा है। 28 -00:01:53,360 --> 00:01:56,893 +00:01:52,960 --> 00:01:56,690 अक्सर फूरियर श्रृंखला का वर्णन कुछ अलग दिखने वाली चीज़ के रूप में किया जाता है, 29 -00:01:56,893 --> 00:02:00,560 +00:01:56,690 --> 00:02:00,560 वास्तविक संख्याओं के कार्यों को साइन तरंगों के योग के रूप में विभाजित किया जाता है। 30 @@ -191,7 +191,7 @@ ये तरंगें तेजी से कम हो जाती हैं, उच्च आवृत्ति तरंगों में तेजी से घातांकीय क्षय होता है। 49 -00:03:10,359 --> 00:03:14,816 +00:03:10,360 --> 00:03:14,816 ताप समीकरण वह होता है जिसे व्यवसाय में रैखिक समीकरण के रूप में जाना जाता है, 50 @@ -299,19 +299,19 @@ तापमान पर थीं, और आप जानना चाहते थे कि उनके संपर्क में आने के तुरंत बाद क्या होता है। 76 -00:04:45,060 --> 00:04:49,380 +00:04:45,060 --> 00:04:49,582 संख्याओं को सरल बनाने के लिए, मान लें कि बायीं छड़ का तापमान 1 डिग्री है, 77 -00:04:49,380 --> 00:04:54,460 +00:04:49,582 --> 00:04:54,900 और दाहिनी छड़ का तापमान ऋणात्मक 1 डिग्री है, और संयुक्त दो छड़ों की कुल लंबाई, L, 1 है। 78 -00:04:54,460 --> 00:04:58,882 +00:04:54,900 --> 00:04:59,130 इसका मतलब यह है कि हमारा प्रारंभिक तापमान वितरण एक चरणीय कार्य है, 79 -00:04:58,882 --> 00:05:04,560 +00:04:59,130 --> 00:05:04,560 जो स्पष्ट रूप से साइन तरंग, या साइन तरंगों के योग से बहुत अलग है, क्या आपको नहीं लगता? 80 @@ -403,7 +403,7 @@ जो कि फूरियर ने खुद भी नहीं सोचा होगा। 102 -00:06:13,599 --> 00:06:16,485 +00:06:13,600 --> 00:06:16,485 और फिर भी इस सब का मूल भौतिकी का एक टुकड़ा है, 103 @@ -911,19 +911,19 @@ वाले वेक्टर के लिए एक सूत्र लिखें, जिसके साथ हम काम कर रहे हैं। 229 -00:14:18,120 --> 00:14:20,010 +00:14:18,120 --> 00:14:20,350 अभी के लिए, उनमें से प्रत्येक को नंबर 1 पर दाईं ओर एक 230 -00:14:20,010 --> 00:14:21,900 +00:14:20,350 --> 00:14:22,580 इकाई की ओर इशारा करते हुए आरंभ करने के बारे में सोचें। 231 -00:14:21,900 --> 00:14:26,489 +00:14:23,080 --> 00:14:27,147 वर्णन करने के लिए सबसे आसान वेक्टर स्थिरांक है, जो नंबर 1 पर रहता है, 232 -00:14:26,489 --> 00:14:32,260 +00:14:27,147 --> 00:14:32,260 कभी हिलता नहीं है, या यदि आप चाहें, तो यह उद्धरण-अनउद्धरण केवल 0 की आवृत्ति पर घूमता है। 233 @@ -935,19 +935,19 @@ जिसे हम 2 pi i गुना t तक e के रूप में लिखते हैं। 235 -00:14:39,739 --> 00:14:42,659 +00:14:39,740 --> 00:14:43,322 वह 2 pi इसलिए है क्योंकि जैसे ही t 0 से 1 तक जाता है, 236 -00:14:42,659 --> 00:14:45,200 +00:14:43,322 --> 00:14:46,440 उसे वृत्त के साथ 2 pi की दूरी तय करनी पड़ती है। 237 -00:14:45,200 --> 00:14:49,300 +00:14:47,700 --> 00:14:50,574 तकनीकी रूप से जो दिखाया जा रहा है, वह वास्तव में हर 10 सेकंड में एक चक्र है, 238 -00:14:49,300 --> 00:14:53,560 +00:14:50,574 --> 00:14:53,560 इसलिए चीजें बहुत चक्करदार नहीं हैं, मैं हर चीज को 10 के कारक से धीमा कर रहा हूं। 239 @@ -975,7 +975,7 @@ ई से एन गुना 2 पीआई गुना आई टी के सामान्य सूत्र के साथ इसी तरह आगे बढ़ते हैं। 245 -00:15:29,339 --> 00:15:32,675 +00:15:29,340 --> 00:15:32,675 ध्यान दें कि इससे उस स्थिर वेक्टर को ई से 0 गुना 2 पीआई गुना 246 @@ -1207,19 +1207,19 @@ वह c-1 वेक्टर 0 के औसत के साथ ऋणात्मक 3 बार घूमता है। 303 -00:19:37,560 --> 00:19:44,517 +00:19:37,560 --> 00:19:43,183 c0 वेक्टर, जो पहले स्थिर था, अब दो बार घूमता है क्योंकि t 0 से 1 तक है, 304 -00:19:44,517 --> 00:19:46,740 +00:19:43,183 --> 00:19:44,980 इसलिए इसका औसत भी 0 है। 305 -00:19:46,740 --> 00:19:51,428 +00:19:46,520 --> 00:19:51,355 इसी तरह, c2 पद के अलावा सभी वैक्टर कुछ पूर्ण संख्या में घुमाव बनाते हैं, 306 -00:19:51,428 --> 00:19:53,740 +00:19:51,355 --> 00:19:53,740 जिसका अर्थ है कि उनका औसत 0 होता है। 307 @@ -1435,31 +1435,31 @@ c0 वेक्टर, जो पहले स्थिर था, अब दो विचार से जोड़ दूँगा। 360 -00:23:28,780 --> 00:23:31,522 +00:23:28,780 --> 00:23:31,664 और इससे भी अधिक महत्वाकांक्षी लोगों के लिए, मैं स्क्रीन पर एक और 361 -00:23:31,522 --> 00:23:34,349 +00:23:31,664 --> 00:23:34,638 अभ्यास छोड़ूंगा कि इस सामान्य गणना को उस पाठ्यपुस्तक से कैसे जोड़ा 362 -00:23:34,349 --> 00:23:37,260 +00:23:34,638 --> 00:23:37,700 जाए जो आप पाठ्यपुस्तक में देख सकते हैं जो केवल साइन और कोसाइन के साथ 363 -00:23:37,260 --> 00:23:40,340 +00:23:37,700 --> 00:23:40,940 वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के संदर्भ में फूरियर श्रृंखला का वर्णन करती है। 364 -00:23:40,340 --> 00:23:43,495 +00:23:41,840 --> 00:23:44,578 वैसे, यदि आप अधिक फूरियर श्रृंखला सामग्री की तलाश में हैं, 365 -00:23:43,495 --> 00:23:47,400 +00:23:44,578 --> 00:23:47,966 तो मैं मैथोलॉगर और द कोडिंग ट्रेन के वीडियो की अत्यधिक अनुशंसा करता हूं, 366 -00:23:47,400 --> 00:23:51,680 +00:23:47,966 --> 00:23:51,680 और मैं इस ब्लॉग पोस्ट की भी अनुशंसा करता हूं, विवरण में निश्चित रूप से लिंक हैं। 367 diff --git a/2019/fourier-series/indonesian/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/indonesian/auto_generated.srt index f3761f698..2baee433f 100644 --- a/2019/fourier-series/indonesian/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/indonesian/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:05,119 --> 00:00:08,405 +00:00:05,120 --> 00:00:08,405 Di sini, kita melihat matematika di balik animasi seperti ini, 2 @@ -39,7 +39,7 @@ Sebelum mendalami semuanya, saya ingin Anda meluangkan waktu sejenak untuk memikirkan betapa menakjubkannya hal ini. 11 -00:00:37,199 --> 00:00:40,900 +00:00:37,200 --> 00:00:40,900 Animasi khusus ini memiliki total 300 panah berputar. 12 @@ -87,7 +87,7 @@ sungguh aneh bagaimana kawanan itu bertindak dengan semacam koordinasi untuk menelusuri bentuk yang sangat spesifik. 23 -00:01:23,839 --> 00:01:27,571 +00:01:23,840 --> 00:01:27,571 Dan tidak seperti kebanyakan kompleksitas yang Anda temukan di tempat lain di alam, 24 @@ -107,15 +107,15 @@ kita dapat membuat kawanan ini berkonspirasi dengan cara yang tepat untuk menggambar apa pun yang Anda inginkan, asalkan Anda memiliki cukup anak panah kecil. 28 -00:01:42,180 --> 00:01:53,360 +00:01:42,180 --> 00:01:46,520 Yang lebih gila lagi adalah formula akhir dari semua ini sangatlah singkat. 29 -00:01:53,360 --> 00:01:56,912 +00:01:52,960 --> 00:01:56,710 Seringkali deret Fourier dideskripsikan dalam bentuk sesuatu yang terlihat 30 -00:01:56,912 --> 00:02:00,560 +00:01:56,710 --> 00:02:00,560 sedikit berbeda, fungsi bilangan real dipecah sebagai jumlah gelombang sinus. 31 @@ -203,7 +203,7 @@ dengan gelombang frekuensi yang lebih tinggi memiliki peluruhan eksponensial yang lebih cepat. 52 -00:03:10,359 --> 00:03:14,474 +00:03:10,360 --> 00:03:14,474 Persamaan kalor dalam dunia bisnis dikenal sebagai persamaan linier, 53 @@ -319,23 +319,23 @@ masing-masing mempunyai suhu yang seragam, dan Anda ingin tahu apa yang terjadi segera setelah kedua batang tersebut bersentuhan. 81 -00:04:45,060 --> 00:04:49,189 +00:04:45,060 --> 00:04:49,382 Untuk menyederhanakan angkanya, misalkan suhu batang kiri adalah 1 derajat, 82 -00:04:49,189 --> 00:04:52,612 +00:04:49,382 --> 00:04:52,966 dan suhu batang kanan negatif 1 derajat, dan panjang total, L, 83 -00:04:52,612 --> 00:04:54,460 +00:04:52,966 --> 00:04:54,900 dari gabungan dua batang adalah 1. 84 -00:04:54,460 --> 00:04:58,639 +00:04:54,900 --> 00:04:58,897 Artinya distribusi suhu awal kita merupakan fungsi langkah, 85 -00:04:58,639 --> 00:05:04,560 +00:04:58,897 --> 00:05:04,560 yang jelas berbeda dengan gelombang sinus, atau jumlah gelombang sinus, bukan begitu? 86 @@ -423,7 +423,7 @@ Sulit untuk melebih-lebihkan betapa pentingnya dan luasnya jangkauan ide tersebu jauh melampaui apa pun yang bisa dibayangkan oleh Fourier sendiri. 107 -00:06:13,599 --> 00:06:17,100 +00:06:13,600 --> 00:06:17,100 Namun asal muasal semua ini adalah bagian ilmu fisika yang 108 @@ -983,23 +983,23 @@ Baiklah, berbekal fungsi e hingga i kali t, mari tuliskan rumus untuk setiap vektor berputar yang sedang kita kerjakan. 247 -00:14:18,120 --> 00:14:20,133 +00:14:18,120 --> 00:14:20,495 Untuk saat ini, anggaplah masing-masingnya mulai 248 -00:14:20,133 --> 00:14:21,900 +00:14:20,495 --> 00:14:22,580 menunjuk satu satuan ke kanan pada angka 1. 249 -00:14:21,900 --> 00:14:24,787 +00:14:23,080 --> 00:14:25,639 Vektor yang paling mudah dideskripsikan adalah vektor konstan, 250 -00:14:24,787 --> 00:14:28,455 +00:14:25,639 --> 00:14:28,888 yang tetap berada di angka 1, tidak pernah bergerak, atau jika Anda lebih suka, 251 -00:14:28,455 --> 00:14:32,260 +00:14:28,888 --> 00:14:32,260 vektor tersebut berbentuk kutipan-tanda kutip yang berputar hanya pada frekuensi 0. 252 @@ -1011,19 +1011,19 @@ Maka akan ada vektor yang berputar satu siklus setiap detik, yang kita tuliskan sebagai e sampai 2 pi i dikalikan t. 254 -00:14:39,739 --> 00:14:42,676 +00:14:39,740 --> 00:14:43,342 2 pi tersebut ada karena ketika t berpindah dari 0 ke 1, 255 -00:14:42,676 --> 00:14:45,200 +00:14:43,342 --> 00:14:46,440 ia harus menempuh jarak 2 pi sepanjang lingkaran. 256 -00:14:45,200 --> 00:14:49,355 +00:14:47,700 --> 00:14:50,613 Secara teknis dalam apa yang ditampilkan, sebenarnya satu siklus setiap 10 detik jadi 257 -00:14:49,355 --> 00:14:53,560 +00:14:50,613 --> 00:14:53,560 segalanya tidak terlalu memusingkan, saya memperlambat semuanya sebanyak 10 kali lipat. 258 @@ -1055,7 +1055,7 @@ Dan kita melanjutkan seperti ini pada semua bilangan bulat, baik positif maupun negatif, dengan rumus umum e sampai n dikali 2 pi dikali i t. 265 -00:15:29,339 --> 00:15:32,564 +00:15:29,340 --> 00:15:32,564 Perhatikan bahwa ini membuatnya lebih konsisten untuk menulis vektor 266 @@ -1307,19 +1307,19 @@ Jadi sekarang, saat kita menghitung rata-rata setiap suku, vektor c-1 tersebut berputar negatif sebanyak 3 kali dengan rata-rata 0. 328 -00:19:37,560 --> 00:19:42,372 +00:19:37,560 --> 00:19:41,449 Vektor c0 yang sebelumnya konstan, kini berputar dua kali karena 329 -00:19:42,372 --> 00:19:46,740 +00:19:41,449 --> 00:19:44,980 t berkisar antara 0 hingga 1, sehingga rata-ratanya juga 0. 330 -00:19:46,740 --> 00:19:51,639 +00:19:46,520 --> 00:19:51,574 Demikian pula, semua vektor selain suku c2 melakukan sejumlah rotasi, 331 -00:19:51,639 --> 00:19:53,740 +00:19:51,574 --> 00:19:53,740 artinya rata-ratanya adalah 0. 332 @@ -1559,31 +1559,31 @@ dan menghubungkannya kembali dengan gagasan gelombang kosinus dengan memasangkan vektor-vektor yang berputar ke arah yang berlawanan. 391 -00:23:28,780 --> 00:23:31,679 +00:23:28,780 --> 00:23:31,830 Dan untuk yang lebih ambisius lagi, saya akan meninggalkan latihan lain di 392 -00:23:31,679 --> 00:23:34,656 +00:23:31,830 --> 00:23:34,961 layar tentang bagaimana menghubungkan perhitungan yang lebih umum ini dengan 393 -00:23:34,656 --> 00:23:37,440 +00:23:34,961 --> 00:23:37,889 apa yang mungkin Anda lihat di buku teks yang menjelaskan deret Fourier 394 -00:23:37,440 --> 00:23:40,340 +00:23:37,889 --> 00:23:40,940 hanya dalam kaitannya dengan fungsi bernilai riil dengan sinus dan cosinus. 395 -00:23:40,340 --> 00:23:43,580 +00:23:41,840 --> 00:23:44,651 Ngomong-ngomong, jika Anda mencari konten seri Fourier lainnya, 396 -00:23:43,580 --> 00:23:47,275 +00:23:44,651 --> 00:23:47,858 saya sangat merekomendasikan video dari Mathologer dan The Coding Train, 397 -00:23:47,275 --> 00:23:51,680 +00:23:47,858 --> 00:23:51,680 dan saya juga merekomendasikan postingan blog ini, tentu saja linknya ada di deskripsi. 398 diff --git a/2019/fourier-series/italian/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/italian/auto_generated.srt index dd5db4a11..06bfc9fca 100644 --- a/2019/fourier-series/italian/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/italian/auto_generated.srt @@ -1,9 +1,9 @@ 1 -00:00:05,119 --> 00:00:08,230 +00:00:05,120 --> 00:00:08,140 Qui esaminiamo i calcoli dietro un'animazione come questa, 2 -00:00:08,230 --> 00:00:10,700 +00:00:08,140 --> 00:00:10,700 quella che è nota come serie complessa di Fourier. 3 @@ -15,11 +15,11 @@ Ogni piccolo vettore ruota a una frequenza intera costante e quando li sommi ins da punta a coda, la punta finale disegna una forma nel tempo. 5 -00:00:21,220 --> 00:00:24,570 +00:00:21,220 --> 00:00:24,457 Modificando la dimensione iniziale e l'angolo di ogni vettore, 6 -00:00:24,570 --> 00:00:28,620 +00:00:24,457 --> 00:00:28,620 possiamo fargli disegnare praticamente tutto ciò che vogliamo, e qui vedrai come. 7 @@ -31,7 +31,7 @@ Prima di immergerti in tutto, voglio che ti prendi un momento per soffermarti su quanto sia sorprendente. 9 -00:00:37,199 --> 00:00:40,900 +00:00:37,200 --> 00:00:40,900 Questa particolare animazione ha 300 frecce rotanti in totale. 10 @@ -39,11 +39,11 @@ Questa particolare animazione ha 300 frecce rotanti in totale. Se puoi, vai a schermo intero, ne vale la pena. 11 -00:00:50,440 --> 00:00:54,143 +00:00:50,440 --> 00:00:54,026 Pensaci, l'azione di ogni singola freccia è forse la cosa più 12 -00:00:54,143 --> 00:00:57,960 +00:00:54,026 --> 00:00:57,960 semplice che potresti immaginare, una rotazione a velocità costante. 13 @@ -79,7 +79,7 @@ meccanica che sta alla base di tutti i movimenti, una forma molto specifica. 21 -00:01:23,839 --> 00:01:27,502 +00:01:23,840 --> 00:01:27,502 E a differenza di gran parte della complessità emergente che trovi altrove in natura, 22 @@ -99,63 +99,63 @@ possiamo far sì che questo sciame cospiri in tutti i modi giusti per disegnare tutto ciò che desideri, a condizione che tu abbia abbastanza piccole frecce. 26 -00:01:42,180 --> 00:01:48,483 +00:01:42,180 --> 00:01:44,627 La cosa ancora più folle è che la formula definitiva 27 -00:01:48,483 --> 00:01:53,360 +00:01:44,627 --> 00:01:46,520 per tutto questo è incredibilmente breve. 28 -00:01:53,360 --> 00:01:55,876 +00:01:52,960 --> 00:01:55,615 Spesso le serie di Fourier sono descritte in termini di qualcosa 29 -00:01:55,876 --> 00:01:58,276 +00:01:55,615 --> 00:01:58,149 che sembra leggermente diverso, poiché le funzioni dei numeri 30 -00:01:58,276 --> 00:02:00,560 +00:01:58,149 --> 00:02:00,560 reali vengono scomposte come una somma di onde sinusoidali. 31 -00:02:01,260 --> 00:02:04,433 -Questo risulta essere un caso speciale di questo fenomeno più generale del +00:02:01,260 --> 00:02:04,318 +Questo risulta essere un caso speciale di questo fenomeno più generale 32 -00:02:04,433 --> 00:02:07,775 -vettore rotante su cui costruiremo, ma è da lì che Fourier stesso ha iniziato, +00:02:04,318 --> 00:02:07,893 +del vettore rotante su cui costruiremo, ma è da lì che Fourier stesso ha iniziato, 33 -00:02:07,775 --> 00:02:10,780 +00:02:07,893 --> 00:02:10,780 e c'è una buona ragione per noi per iniziare la storia anche da lì. 34 -00:02:11,420 --> 00:02:14,765 +00:02:11,420 --> 00:02:14,691 Tecnicamente, questo è il terzo video di una sequenza sull'equazione del calore, 35 -00:02:14,765 --> 00:02:17,560 +00:02:14,691 --> 00:02:17,560 su cui Fourier stava lavorando quando ha sviluppato la sua grande idea. 36 -00:02:18,200 --> 00:02:21,861 +00:02:18,200 --> 00:02:21,905 Vorrei insegnarti le serie di Fourier in un modo che non dipenda dalla tua provenienza 37 -00:02:21,861 --> 00:02:25,312 -da quei capitoli, ma se hai almeno un'idea di alto livello per il problema di +00:02:21,905 --> 00:02:25,525 +da quei capitoli, ma se hai almeno un'idea di alto livello per il problema di fisica 38 -00:02:25,312 --> 00:02:28,131 -fisica che originariamente ha motivato questo pezzo di matematica, +00:02:25,525 --> 00:02:28,080 +che originariamente ha motivato questo pezzo di matematica, 39 -00:02:28,131 --> 00:02:31,624 +00:02:28,080 --> 00:02:31,615 ti darà alcuni un’indicazione di quanto siano inaspettatamente di vasta portata le 40 -00:02:31,624 --> 00:02:32,340 +00:02:31,615 --> 00:02:32,340 serie di Fourier. 41 @@ -171,19 +171,19 @@ la distribuzione della temperatura su una barra si sarebbe evoluta nel tempo e, incidentalmente, descrive anche molti altri fenomeni non correlati al calore. 44 -00:02:44,820 --> 00:02:48,202 -E mentre è difficile usare direttamente questa equazione per capire cosa +00:02:44,820 --> 00:02:48,061 +E mentre è difficile usare direttamente questa equazione per capire 45 -00:02:48,202 --> 00:02:50,566 -accadrà a una distribuzione arbitraria del calore, +00:02:48,061 --> 00:02:50,731 +cosa accadrà a una distribuzione arbitraria del calore, 46 -00:02:50,566 --> 00:02:54,644 +00:02:50,731 --> 00:02:54,544 c'è una soluzione semplice se la funzione iniziale assomiglia a un'onda coseno, 47 -00:02:54,644 --> 00:02:58,120 +00:02:54,544 --> 00:02:58,120 con una frequenza sintonizzata in modo che sia piatta in ogni punto finale. 48 @@ -199,28 +199,28 @@ queste onde vengono semplicemente ridotte in modo esponenziale, con onde a frequenza più elevata che hanno un decadimento esponenziale più rapido. 51 -00:03:10,359 --> 00:03:15,171 +00:03:10,360 --> 00:03:15,058 L'equazione del calore è quella che nel settore è conosciuta come equazione lineare, 52 -00:03:15,171 --> 00:03:18,307 +00:03:15,058 --> 00:03:18,265 il che significa che se conosci due soluzioni e le sommi, 53 -00:03:18,307 --> 00:03:20,200 +00:03:18,265 --> 00:03:20,200 quella somma è una nuova soluzione. 54 -00:03:20,880 --> 00:03:23,181 +00:03:20,880 --> 00:03:23,236 Puoi anche ridimensionarli ciascuno in base a una costante, 55 -00:03:23,181 --> 00:03:26,479 -il che ti dà alcuni quadranti da girare per costruire una funzione personalizzata che +00:03:23,236 --> 00:03:26,457 +il che ti dà alcuni quadranti da girare per costruire una funzione personalizzata 56 -00:03:26,479 --> 00:03:27,400 -risolve l'equazione. +00:03:26,457 --> 00:03:27,400 +che risolve l'equazione. 57 00:03:29,240 --> 00:03:32,618 @@ -271,15 +271,15 @@ ad alta frequenza vanno rapidamente a zero, lasciando solo dominano i termini a bassa frequenza. 69 -00:04:06,100 --> 00:04:09,174 +00:04:06,100 --> 00:04:09,109 Quindi, in modo strano, tutta la complessità nell'evoluzione di questa 70 -00:04:09,174 --> 00:04:12,453 +00:04:09,109 --> 00:04:12,331 distribuzione del calore implicata dall'equazione del calore è catturata da 71 -00:04:12,453 --> 00:04:16,019 +00:04:12,331 --> 00:04:16,019 questa differenza nei tassi di decadimento per le diverse componenti di frequenza pura. 72 @@ -287,1334 +287,1310 @@ questa differenza nei tassi di decadimento per le diverse componenti di frequenz È a questo punto che Fourier ottiene l'immortalità. 73 -00:04:21,279 --> 00:04:24,540 -Penso che la maggior parte delle persone normali a questo punto direbbero, beh, +00:04:21,279 --> 00:04:24,415 +Penso che la maggior parte delle persone normali a questo punto direbbero, 74 -00:04:24,540 --> 00:04:27,637 -posso risolvere l'equazione del calore quando la distribuzione iniziale +00:04:24,415 --> 00:04:27,634 +beh, posso risolvere l'equazione del calore quando la distribuzione iniziale 75 -00:04:27,637 --> 00:04:29,634 -sembra proprio un'onda, o una somma di onde, +00:04:27,634 --> 00:04:30,770 +sembra proprio un'onda, o una somma di onde, ma che peccato che la maggior 76 -00:04:29,634 --> 00:04:33,261 -ma che peccato che la maggior parte delle distribuzioni del mondo reale non lo facciano. +00:04:30,770 --> 00:04:34,240 +parte delle distribuzioni del mondo reale non lo facciano. Non sembra affatto così. 77 -00:04:33,261 --> 00:04:34,240 -Non sembra affatto così. - -78 00:04:34,800 --> 00:04:37,398 Voglio dire, ad esempio, diciamo che hai messo insieme due -79 +78 00:04:37,398 --> 00:04:40,261 bacchette che erano ciascuna a una temperatura uniforme e volevi -80 +79 00:04:40,261 --> 00:04:43,300 sapere cosa succede immediatamente dopo che sono entrate in contatto. +80 +00:04:45,060 --> 00:04:49,565 +Per semplificare i numeri, diciamo che la temperatura dell'asta di sinistra è 1 grado, + 81 -00:04:45,060 --> 00:04:48,288 -Per semplificare i numeri, diciamo che la temperatura dell'asta +00:04:49,565 --> 00:04:53,242 +e quella dell'asta di destra è di -1 grado, e che la lunghezza totale, 82 -00:04:48,288 --> 00:04:51,658 -di sinistra è 1 grado, e quella dell'asta di destra è di -1 grado, +00:04:53,242 --> 00:04:54,900 +L, delle due aste combinate è 1. 83 -00:04:51,658 --> 00:04:54,460 -e che la lunghezza totale, L, delle due aste combinate è 1. +00:04:54,900 --> 00:04:57,782 +Ciò significa che la nostra distribuzione iniziale della 84 -00:04:54,460 --> 00:04:58,033 -Ciò significa che la nostra distribuzione iniziale della temperatura +00:04:57,782 --> 00:05:00,969 +temperatura è una funzione a gradini, che è ovviamente diversa 85 -00:04:58,033 --> 00:05:01,452 -è una funzione a gradini, che è ovviamente diversa da un'onda +00:05:00,969 --> 00:05:04,560 +da un'onda sinusoidale o dalla somma delle onde sinusoidali, non credi? 86 -00:05:01,452 --> 00:05:04,560 -sinusoidale o dalla somma delle onde sinusoidali, non credi? - -87 -00:05:05,100 --> 00:05:07,638 +00:05:05,100 --> 00:05:07,737 Voglio dire, è quasi interamente piatto, non ondulato e, -88 -00:05:07,638 --> 00:05:09,820 +87 +00:05:07,737 --> 00:05:09,820 per l'amor di Dio, è addirittura discontinuo! -89 +88 00:05:10,600 --> 00:05:13,700 Eppure Fourier ha pensato di porre una domanda che sembra assurda. -90 +89 00:05:14,300 --> 00:05:16,660 Come si esprime questo come somma di onde sinusoidali? -91 +90 00:05:17,120 --> 00:05:19,617 Ancora più audacemente, come si esprime una distribuzione -92 +91 00:05:19,617 --> 00:05:21,340 iniziale come somma di onde sinusoidali? -93 +92 00:05:21,800 --> 00:05:23,760 Ed è più limitato di questo. -94 -00:05:24,120 --> 00:05:27,964 +93 +00:05:24,120 --> 00:05:28,023 Devi limitarti ad aggiungere onde che soddisfano una certa condizione al contorno e, +94 +00:05:28,023 --> 00:05:32,064 +come abbiamo visto nell'ultimo video, ciò significa lavorare con queste funzioni coseno + 95 -00:05:27,964 --> 00:05:31,808 -come abbiamo visto nell'ultimo video, ciò significa lavorare con queste funzioni +00:05:32,064 --> 00:05:36,060 +le cui frequenze sono tutte multiple di un numero intero di una data frequenza di base. 96 -00:05:31,808 --> 00:05:35,833 -coseno le cui frequenze sono tutte multiple di un numero intero di una data frequenza di - -97 -00:05:35,833 --> 00:05:36,060 -base. - -98 -00:05:36,920 --> 00:05:40,039 +00:05:36,920 --> 00:05:40,089 E comunque, se lavorassi con qualche condizione al contorno diversa, -99 -00:05:40,039 --> 00:05:42,300 +97 +00:05:40,089 --> 00:05:42,385 diciamo che i punti finali devono rimanere fissi, -100 -00:05:42,300 --> 00:05:45,646 +98 +00:05:42,385 --> 00:05:45,784 avresti un diverso insieme di onde a tua disposizione da mettere insieme, -101 -00:05:45,646 --> 00:05:48,540 +99 +00:05:45,784 --> 00:05:48,540 in questo caso sostituendo l'espressione coseno con un seno. -102 +100 00:05:49,560 --> 00:05:52,419 È strano quanto spesso il progresso in matematica sembri più simile al -103 +101 00:05:52,419 --> 00:05:55,560 porre una nuova domanda piuttosto che alla semplice risposta a quelle vecchie. -104 -00:05:56,240 --> 00:05:58,939 +102 +00:05:56,240 --> 00:05:58,998 Fourier gode davvero di una sorta di immortalità adesso, -105 -00:05:58,939 --> 00:06:01,638 -con il suo nome essenzialmente sinonimo dell'idea di +103 +00:05:58,998 --> 00:06:02,047 +con il suo nome essenzialmente sinonimo dell'idea di scomporre -106 -00:06:01,638 --> 00:06:05,000 -scomporre funzioni e schemi come combinazioni di semplici oscillazioni. +104 +00:06:02,047 --> 00:06:05,000 +funzioni e schemi come combinazioni di semplici oscillazioni. -107 -00:06:05,700 --> 00:06:09,382 +105 +00:06:05,700 --> 00:06:09,469 È davvero difficile sopravvalutare quanto importante e di vasta portata si sia rivelata -108 -00:06:09,382 --> 00:06:12,940 +106 +00:06:09,469 --> 00:06:12,940 quell'idea, ben oltre qualsiasi cosa lo stesso Fourier avrebbe potuto immaginare. -109 -00:06:13,599 --> 00:06:16,851 +107 +00:06:13,600 --> 00:06:16,851 Eppure l’origine di tutto questo è un fenomeno fisico che, -110 +108 00:06:16,851 --> 00:06:20,600 a prima vista, non ha nulla a che fare con frequenze e oscillazioni. -111 -00:06:21,280 --> 00:06:23,233 +109 +00:06:21,280 --> 00:06:23,309 Se non altro, questo dovrebbe darti un suggerimento -112 -00:06:23,233 --> 00:06:25,300 +110 +00:06:23,309 --> 00:06:25,300 sull'applicabilità generale delle serie di Fourier. -113 +111 00:06:26,040 --> 00:06:29,243 Ora aspettate, ho sentito alcuni di voi dire che nessuna di queste somme di onde -114 +112 00:06:29,243 --> 00:06:31,814 sinusoidali che state mostrando è in realtà la funzione gradino, -115 +113 00:06:31,814 --> 00:06:33,080 sono tutte solo approssimazioni. -116 +114 00:06:33,540 --> 00:06:38,359 Ed è vero, qualsiasi somma finita di onde sinusoidali non sarà mai perfettamente piatta, -117 +115 00:06:38,359 --> 00:06:41,500 tranne che per una funzione costante, né sarà discontinua. -118 +116 00:06:42,020 --> 00:06:45,460 Ma Fourier pensava in modo più ampio, considerando somme infinite. -119 +117 00:06:46,240 --> 00:06:51,904 Nel caso della nostra funzione a gradino, risulta essere uguale a questa somma infinita, -120 +118 00:06:51,904 --> 00:06:55,596 dove i coefficienti sono 1, meno un terzo, più un quinto, -121 +119 00:06:55,596 --> 00:06:59,351 meno un settimo e così via per tutte le frequenze dispari, -122 +120 00:06:59,351 --> 00:07:02,980 e tutto questo viene riscalato per 4 diviso per pi greco. -123 +121 00:07:03,800 --> 00:07:05,960 Spiegherò da dove provengono questi numeri tra un attimo. -124 -00:07:06,400 --> 00:07:09,683 +122 +00:07:06,400 --> 00:07:09,692 Prima di ciò, vale la pena chiarire cosa intendiamo con un'espressione -125 -00:07:09,683 --> 00:07:12,660 +123 +00:07:09,692 --> 00:07:12,660 come somma infinita, che corre il rischio di essere un po' vaga. -126 +124 00:07:13,540 --> 00:07:17,511 Considera il contesto più semplice dei numeri, dove potresti dire, ad esempio, -127 +125 00:07:17,511 --> 00:07:21,080 che questa somma infinita di frazioni è uguale a pi greco diviso per 4. -128 +126 00:07:21,680 --> 00:07:24,442 Mentre continui ad aggiungere i termini uno per uno, -129 +127 00:07:24,442 --> 00:07:28,456 in ogni momento ciò che hai è razionale, ma in realtà non è mai uguale al pi -130 +128 00:07:28,456 --> 00:07:29,760 irrazionale diviso per 4. -131 +129 00:07:30,380 --> 00:07:33,875 Ma questa sequenza di somme parziali si avvicina a pi greco su 4, -132 +130 00:07:33,875 --> 00:07:37,954 vale a dire che i numeri che vedi pur non essendo mai uguali a pi greco su 4 -133 +131 00:07:37,954 --> 00:07:42,138 si avvicinano arbitrariamente a quel valore e rimangono arbitrariamente vicini -134 +132 00:07:42,138 --> 00:07:42,880 a quel valore. -135 +133 00:07:43,720 --> 00:07:46,371 È tutto lungo da dire, quindi invece abbreviamo e diciamo -136 +134 00:07:46,371 --> 00:07:49,160 semplicemente che la somma infinita è uguale a pi greco su 4. -137 +135 00:07:50,620 --> 00:07:54,700 Con le funzioni stai facendo la stessa cosa, ma con molti valori diversi in parallelo. -138 -00:07:55,920 --> 00:07:58,665 +136 +00:07:55,920 --> 00:07:58,777 Considera un input specifico e il valore di tutte -139 -00:07:58,665 --> 00:08:01,520 +137 +00:07:58,777 --> 00:08:01,520 queste funzioni coseno in scala per quell'input. -140 -00:08:02,120 --> 00:08:06,266 +138 +00:08:02,120 --> 00:08:06,207 Se l'input è inferiore a 0.5, man mano che aggiungi sempre più termini, -141 -00:08:06,266 --> 00:08:07,740 +139 +00:08:06,207 --> 00:08:07,740 la somma si avvicinerà a 1. -142 -00:08:10,000 --> 00:08:14,068 +140 +00:08:10,000 --> 00:08:14,011 Se l'input è maggiore di 0.5, man mano che aggiungi sempre più termini, -143 -00:08:14,068 --> 00:08:15,460 +141 +00:08:14,011 --> 00:08:15,460 si avvicinerebbe a meno 1. -144 -00:08:17,260 --> 00:08:20,681 +142 +00:08:17,260 --> 00:08:20,549 All'ingresso 0.5 stesso, tutti i coseni sono 0, -145 -00:08:20,681 --> 00:08:23,840 +143 +00:08:20,549 --> 00:08:23,840 quindi anche il limite delle somme parziali è 0. -146 +144 00:08:24,600 --> 00:08:28,130 Ciò significa che, in modo un po’ strano, affinché questa somma infinita -147 +145 00:08:28,130 --> 00:08:31,854 sia strettamente vera, dobbiamo prescrivere che il valore di questa funzione -148 +146 00:08:31,854 --> 00:08:35,240 insieme nel punto di discontinuità sia 0, più o meno a metà del salto. -149 +147 00:08:36,080 --> 00:08:40,683 Analogamente a una somma infinita di numeri razionali che sono irrazionali, -150 +148 00:08:40,683 --> 00:08:46,013 la somma infinita di funzioni continue ondulate può essere uguale a una funzione piatta -151 +149 00:08:46,013 --> 00:08:46,740 discontinua. -152 +150 00:08:47,160 --> 00:08:49,619 L’introduzione dei limiti nel gioco consente cambiamenti -153 +151 00:08:49,619 --> 00:08:52,380 qualitativi che le somme finite da sole non potrebbero mai fare. -154 +152 00:08:53,280 --> 00:08:56,660 Ci sono molteplici sfumature tecniche che sto nascondendo sotto il tappeto qui. -155 +153 00:08:56,660 --> 00:08:59,900 Il fatto che siamo costretti a rispettare un certo valore per la funzione gradino -156 +154 00:08:59,900 --> 00:09:03,300 nel punto di discontinuità fa qualche differenza per il problema del flusso di calore? -157 +155 00:09:03,820 --> 00:09:05,875 Del resto, cosa significa realmente risolvere -158 +156 00:09:05,875 --> 00:09:08,020 una PDE con una condizione iniziale discontinua? -159 +157 00:09:09,280 --> 00:09:11,059 Possiamo essere sicuri che anche il limite delle -160 +158 00:09:11,059 --> 00:09:13,020 soluzioni dell’equazione del calore sia una soluzione? -161 +159 00:09:13,580 --> 00:09:15,085 E possiamo essere sicuri che tutte le funzioni -162 +160 00:09:15,085 --> 00:09:16,880 abbiano effettivamente una serie di Fourier come questa? -163 +161 00:09:17,180 --> 00:09:18,400 Se no, quando no? -164 -00:09:19,080 --> 00:09:21,858 -Questi sono esattamente il tipo di domande a cui l'analisi reale è +162 +00:09:19,080 --> 00:09:22,201 +Questi sono esattamente il tipo di domande a cui l'analisi reale è costruita -165 -00:09:21,858 --> 00:09:24,714 -costruita per rispondere, ma cade un po' più in profondità di quanto +163 +00:09:22,201 --> 00:09:25,363 +per rispondere, ma cade un po' più in profondità di quanto vorrei andare qui, -166 -00:09:24,714 --> 00:09:28,080 -vorrei andare qui, quindi relegherò tutto ai collegamenti nella descrizione del video. +164 +00:09:25,363 --> 00:09:28,080 +quindi relegherò tutto ai collegamenti nella descrizione del video. -167 -00:09:28,720 --> 00:09:33,130 +165 +00:09:28,720 --> 00:09:32,954 Il risultato è che quando prendi le soluzioni dell'equazione del calore -168 -00:09:33,130 --> 00:09:36,903 +166 +00:09:32,954 --> 00:09:36,776 associate a queste onde coseno e le sommi tutte, tutte infinite, -169 -00:09:36,903 --> 00:09:42,127 +167 +00:09:36,776 --> 00:09:42,069 ottieni una soluzione esatta che descrive come la funzione gradino si evolverà nel tempo, -170 -00:09:42,127 --> 00:09:46,480 +168 +00:09:42,069 --> 00:09:46,480 e se lo avessi fatto nel 1822 saresti diventato immortale per averlo fatto. -171 +169 00:09:47,140 --> 00:09:51,240 La sfida chiave in tutto questo, ovviamente, è trovare questi coefficienti. -172 -00:09:53,880 --> 00:09:57,437 +170 +00:09:53,880 --> 00:09:57,478 Finora abbiamo pensato a funzioni con output di numeri reali, ma per i calcoli, -173 -00:09:57,437 --> 00:10:01,260 +171 +00:09:57,478 --> 00:10:01,347 vorrei mostrarti qualcosa di più generale di quello che fece originariamente Fourier, -174 -00:10:01,260 --> 00:10:05,262 +172 +00:10:01,347 --> 00:10:05,396 applicandolo a funzioni il cui output può essere qualsiasi numero complesso nel piano 2d, -175 -00:10:05,262 --> 00:10:09,220 +173 +00:10:05,396 --> 00:10:09,220 ed è qui che tutti questi vettori rotanti provenienti dall'apertura tornano in gioco. -176 +174 00:10:10,880 --> 00:10:12,260 Perché la complessità aggiunta? -177 +175 00:10:12,260 --> 00:10:16,148 Beh, oltre ad essere più generali, a mio avviso i calcoli diventano -178 +176 00:10:16,148 --> 00:10:19,580 più puliti ed è più facile capire perché funzionano davvero. -179 -00:10:20,300 --> 00:10:24,047 +177 +00:10:20,300 --> 00:10:24,133 Ancora più importante, costituisce una buona base per le idee che emergeranno più avanti -180 -00:10:24,047 --> 00:10:27,332 -nella serie, come la trasformata di Laplace e l'importanza delle funzioni - -181 -00:10:27,332 --> 00:10:27,880 -esponenziali. +178 +00:10:24,133 --> 00:10:27,880 +nella serie, come la trasformata di Laplace e l'importanza delle funzioni esponenziali. -182 +179 00:10:29,300 --> 00:10:34,183 Penseremo ancora a funzioni il cui input sia un numero reale su un intervallo finito, -183 +180 00:10:34,183 --> 00:10:36,000 diciamo da 0 a 1 per semplicità. -184 +181 00:10:36,560 --> 00:10:39,350 Ma mentre qualcosa come una funzione di temperatura avrà output -185 +182 00:10:39,350 --> 00:10:42,228 sulla linea dei numeri reali, questa visione più ampia consentirà -186 +183 00:10:42,228 --> 00:10:44,540 agli output di vagare ovunque nel piano complesso 2d. -187 -00:10:45,120 --> 00:10:47,513 +184 +00:10:45,120 --> 00:10:47,576 Potresti pensare a una funzione come un disegno, -188 -00:10:47,513 --> 00:10:51,421 -con la punta di una matita che traccia diversi punti nel piano complesso mentre +185 +00:10:47,576 --> 00:10:51,236 +con la punta di una matita che traccia diversi punti nel piano complesso -189 -00:10:51,421 --> 00:10:52,740 -l'input varia da 0 a 1. +186 +00:10:51,236 --> 00:10:52,740 +mentre l'input varia da 0 a 1. -190 -00:10:53,340 --> 00:10:56,842 +187 +00:10:53,340 --> 00:10:56,899 E invece di considerare le onde sinusoidali come elementi costitutivi fondamentali, -191 -00:10:56,842 --> 00:11:00,094 -come hai visto all'inizio, ci concentreremo sulla scomposizione di queste +188 +00:10:56,899 --> 00:11:00,416 +come hai visto all'inizio, ci concentreremo sulla scomposizione di queste funzioni -192 -00:11:00,094 --> 00:11:03,680 -funzioni come somma di piccoli vettori, tutti rotanti a una frequenza intera costante. +189 +00:11:00,416 --> 00:11:03,680 +come somma di piccoli vettori, tutti rotanti a una frequenza intera costante. -193 +190 00:11:03,680 --> 00:11:08,950 Le funzioni con output di numeri reali sono essenzialmente disegni davvero noiosi, -194 +191 00:11:08,950 --> 00:11:11,300 uno schizzo a matita unidimensionale. -195 +192 00:11:11,980 --> 00:11:14,585 Potresti non essere abituato a pensarli in questo modo, -196 +193 00:11:14,585 --> 00:11:17,423 poiché di solito visualizziamo tale funzione con un grafico, -197 +194 00:11:17,423 --> 00:11:20,820 ma in questo momento il percorso tracciato è solo nello spazio di output. -198 -00:11:25,420 --> 00:11:30,163 +195 +00:11:25,420 --> 00:11:30,337 Se esegui una di queste scomposizioni in vettori rotanti per un disegno noioso, -199 -00:11:30,163 --> 00:11:34,431 +196 +00:11:30,337 --> 00:11:34,764 ciò che accadrà è che i vettori con frequenza 1 e negativa 1 avranno la -200 -00:11:34,431 --> 00:11:38,760 +197 +00:11:34,764 --> 00:11:38,760 stessa lunghezza e saranno riflessi orizzontali l'uno dell'altro. -201 -00:11:39,500 --> 00:11:41,948 +198 +00:11:39,500 --> 00:11:42,018 Quando guardi la somma di questi due mentre ruotano, +199 +00:11:42,018 --> 00:11:46,200 +quella somma rimane fissa sulla linea numerica reale e oscilla come un'onda sinusoidale. + +200 +00:11:46,920 --> 00:11:50,199 +Se non l'hai mai vista prima, questo potrebbe essere un modo davvero strano di + +201 +00:11:50,199 --> 00:11:53,604 +pensare a cosa sia un'onda sinusoidale, dal momento che siamo abituati a guardare + 202 -00:11:41,948 --> 00:11:45,091 -quella somma rimane fissa sulla linea numerica reale e oscilla come +00:11:53,604 --> 00:11:57,133 +il suo grafico piuttosto che l'output da solo che vaga sulla linea dei numeri reali, 203 -00:11:45,091 --> 00:11:46,200 -un'onda sinusoidale. +00:11:57,133 --> 00:12:00,040 +ma nel contesto più ampio di funzioni con output di numeri complessi, 204 -00:11:46,920 --> 00:11:50,199 -Se non l'hai mai vista prima, questo potrebbe essere un modo davvero strano di +00:12:00,040 --> 00:12:03,320 +questa oscillazione sulla linea orizzontale è l'aspetto di un'onda sinusoidale. 205 -00:11:50,199 --> 00:11:53,598 -pensare a cosa sia un'onda sinusoidale, dal momento che siamo abituati a guardare +00:12:04,920 --> 00:12:09,379 +Allo stesso modo, la coppia di vettori rotanti con frequenze 2 e negativa 2 aggiungerà 206 -00:11:53,598 --> 00:11:57,115 -il suo grafico piuttosto che l'output da solo che vaga sulla linea dei numeri reali, +00:12:09,379 --> 00:12:12,096 +un'altra componente di onda sinusoidale, e così via, 207 -00:11:57,115 --> 00:11:59,881 -ma nel contesto più ampio di funzioni con output di numeri complessi, +00:12:12,096 --> 00:12:16,658 +con le onde sinusoidali che stavamo cercando in precedenza ora corrispondono a coppie di 208 -00:11:59,881 --> 00:12:03,320 -questa oscillazione sulla linea orizzontale è l'aspetto di un'onda sinusoidale. +00:12:16,658 --> 00:12:18,760 +vettori che ruotano in direzioni opposte. 209 -00:12:04,920 --> 00:12:08,203 -Allo stesso modo, la coppia di vettori rotanti con frequenze 2 e +00:12:19,640 --> 00:12:22,428 +Quindi il contesto originariamente studiato da Fourier, 210 -00:12:08,203 --> 00:12:11,587 -negativa 2 aggiungerà un'altra componente di onda sinusoidale, +00:12:22,428 --> 00:12:25,515 +scomponendo le funzioni con valori reali in onde sinusoidali, 211 -00:12:11,587 --> 00:12:15,173 -e così via, con le onde sinusoidali che stavamo cercando in precedenza - -212 -00:12:15,173 --> 00:12:18,760 -ora corrispondono a coppie di vettori che ruotano in direzioni opposte. - -213 -00:12:19,640 --> 00:12:22,371 -Quindi il contesto originariamente studiato da Fourier, - -214 -00:12:22,371 --> 00:12:25,395 -scomponendo le funzioni con valori reali in onde sinusoidali, - -215 -00:12:25,395 --> 00:12:29,200 +00:12:25,515 --> 00:12:29,200 è un caso speciale dell'idea più generale di disegni 2D e vettori rotanti. -216 +212 00:12:34,580 --> 00:12:38,167 E a questo punto, forse non ti fidi del fatto che ampliare la nostra visione a funzioni -217 +213 00:12:38,167 --> 00:12:40,776 complesse rende le cose più facili da capire, ma abbi pazienza, -218 +214 00:12:40,776 --> 00:12:44,159 vale davvero la pena fare uno sforzo aggiuntivo per vedere il quadro più completo, -219 +215 00:12:44,159 --> 00:12:47,665 e penso che ne sarai soddisfatto con quanto sia pulito il calcolo effettivo in questo -220 +216 00:12:47,665 --> 00:12:48,440 contesto più ampio. -221 -00:12:49,100 --> 00:12:52,532 +217 +00:12:49,100 --> 00:12:52,607 Potresti anche chiederti perché, se vogliamo unire le cose in due dimensioni, -222 -00:12:52,532 --> 00:12:55,172 +218 +00:12:52,607 --> 00:12:55,126 non parliamo solo di vettori 2D, cosa c'entra la radice -223 -00:12:55,172 --> 00:12:57,240 +219 +00:12:55,126 --> 00:12:57,240 quadrata di quello negativo con qualsiasi cosa? -224 -00:12:58,100 --> 00:13:00,980 +220 +00:12:58,100 --> 00:13:00,986 Ebbene, il cuore e l'anima della serie di Fourier -225 -00:13:00,980 --> 00:13:03,700 +221 +00:13:00,986 --> 00:13:03,700 è l'esponenziale complesso e elevato a i per t. -226 -00:13:04,480 --> 00:13:08,018 +222 +00:13:04,480 --> 00:13:08,026 Mentre l'input t avanza con il tempo, questo valore percorre -227 -00:13:08,018 --> 00:13:11,340 +223 +00:13:08,026 --> 00:13:11,340 il cerchio unitario alla velocità di un'unità al secondo. -228 -00:13:12,280 --> 00:13:16,200 -Nel prossimo video vedrai una rapida intuizione del motivo per cui i numeri immaginari +224 +00:13:12,280 --> 00:13:15,746 +Nel prossimo video vedrai una rapida intuizione del motivo per cui i numeri -229 -00:13:16,200 --> 00:13:19,670 -esponenziati girano in cerchi come questo dal punto di vista delle equazioni +225 +00:13:15,746 --> 00:13:19,305 +immaginari esponenziati girano in cerchi come questo dal punto di vista delle -230 -00:13:19,670 --> 00:13:22,328 -differenziali e oltre a ciò, man mano che la serie avanza, +226 +00:13:19,305 --> 00:13:22,452 +equazioni differenziali e oltre a ciò, man mano che la serie avanza, -231 -00:13:22,328 --> 00:13:25,978 -spero di darti un'idea del perché esponenziali complessi come questo sono in +227 +00:13:22,452 --> 00:13:26,284 +spero di darti un'idea del perché esponenziali complessi come questo sono in realtà -232 -00:13:25,978 --> 00:13:27,060 -realtà molto importanti. +228 +00:13:26,284 --> 00:13:27,060 +molto importanti. -233 +229 00:13:27,740 --> 00:13:31,128 In teoria, potresti descrivere tutta la serie di Fourier esclusivamente in termini -234 +230 00:13:31,128 --> 00:13:34,640 di vettori, e non pronunciare mai una parola di i, la radice quadrata di uno negativo. -235 +231 00:13:35,300 --> 00:13:38,208 Le formule diventerebbero più contorte, ma oltre a ciò, -236 +232 00:13:38,208 --> 00:13:42,052 tralasciare la funzione e in x non rifletterebbe più in modo autentico il -237 +233 00:13:42,052 --> 00:13:46,052 motivo per cui questa idea risulta essere così utile per risolvere equazioni -238 +234 00:13:46,052 --> 00:13:46,780 differenziali. -239 +235 00:13:47,420 --> 00:13:52,421 Per ora, se vuoi, puoi pensare a e come a una scorciatoia notazionale per descrivere i -240 +236 00:13:52,421 --> 00:13:57,480 vettori rotanti, ma tieni a mente che è più significativo di una semplice abbreviazione. -241 -00:13:58,540 --> 00:14:02,412 +237 +00:13:58,540 --> 00:14:02,347 Noterai che sono un po' vago con il linguaggio usando le parole vettore e numeri -242 -00:14:02,412 --> 00:14:06,239 +238 +00:14:02,347 --> 00:14:06,296 complessi in modo intercambiabile, in gran parte perché pensare ai numeri complessi -243 -00:14:06,239 --> 00:14:10,340 +239 +00:14:06,296 --> 00:14:10,340 come piccole frecce rende l'idea di sommarne molti insieme più facile da visualizzare. -244 +240 00:14:11,340 --> 00:14:14,504 Bene, armati della funzione e = i per t, scriviamo una formula -245 +241 00:14:14,504 --> 00:14:17,720 per ciascuno di questi vettori rotanti con cui stiamo lavorando. -246 -00:14:18,120 --> 00:14:19,894 +242 +00:14:18,120 --> 00:14:20,289 Per ora, pensa a ciascuno di essi come se iniziasse a -247 -00:14:19,894 --> 00:14:21,900 +243 +00:14:20,289 --> 00:14:22,580 puntare un'unità a destra in corrispondenza del numero 1. -248 -00:14:21,900 --> 00:14:27,016 +244 +00:14:23,080 --> 00:14:27,614 Il vettore più semplice da descrivere è quello costante, che rimane al numero 1, -249 -00:14:27,016 --> 00:14:32,260 +245 +00:14:27,614 --> 00:14:32,260 senza mai muoversi, o se preferisci, ruota tra virgolette proprio alla frequenza 0. -250 +246 00:14:33,100 --> 00:14:36,330 Poi ci sarà il vettore che ruota di un ciclo al secondo, -251 +247 00:14:36,330 --> 00:14:39,220 che scriviamo come e corrispondente a 2 pi i per t. -252 -00:14:39,739 --> 00:14:42,291 +248 +00:14:39,740 --> 00:14:42,870 Quel 2 pi greco è lì perché quando t va da 0 a 1, -253 -00:14:42,291 --> 00:14:45,200 +249 +00:14:42,870 --> 00:14:46,440 deve coprire una distanza di 2 pi greco lungo il cerchio. -254 -00:14:45,200 --> 00:14:49,329 +250 +00:14:47,700 --> 00:14:50,594 Tecnicamente in quello che viene mostrato, in realtà è un ciclo ogni 10 secondi, -255 -00:14:49,329 --> 00:14:53,560 +251 +00:14:50,594 --> 00:14:53,560 quindi le cose non sono troppo vertiginose, sto rallentando tutto di un fattore 10. -256 -00:14:55,320 --> 00:15:00,178 +252 +00:14:55,320 --> 00:15:00,120 Abbiamo anche un vettore che ruota ad un ciclo al secondo nell'altra direzione, -257 -00:15:00,178 --> 00:15:01,740 +253 +00:15:00,120 --> 00:15:01,740 e alla meno 2 pi i volte t. -258 -00:15:04,300 --> 00:15:08,332 -Allo stesso modo, quello che fa due rotazioni al secondo è +254 +00:15:04,300 --> 00:15:10,310 +Allo stesso modo, quello che fa due rotazioni al secondo è e elevato a 2 volte 2 pi i -259 -00:15:08,332 --> 00:15:12,433 -e elevato a 2 volte 2 pi i volte t, dove 2 volte 2 pi greco +255 +00:15:10,310 --> 00:15:16,180 +volte t, dove 2 volte 2 pi greco nell'esponente descrive la distanza percorsa in un -260 -00:15:12,433 --> 00:15:16,740 -nell'esponente descrive la distanza percorsa in un secondo. +256 +00:15:16,180 --> 00:15:16,740 +secondo. -261 +257 00:15:20,600 --> 00:15:25,295 E andiamo avanti così per tutti gli interi, sia positivi che negativi, -262 +258 00:15:25,295 --> 00:15:28,800 con la formula generale da e^n per 2 pi greco per it. -263 -00:15:29,339 --> 00:15:32,665 +259 +00:15:29,340 --> 00:15:32,665 Nota che questo rende più coerente scrivere quel vettore costante -264 +260 00:15:32,665 --> 00:15:36,193 come e in 0 per 2 pi greco per esso, che sembra un modo terribilmente -265 +261 00:15:36,193 --> 00:15:39,620 complicato di scrivere il numero 1, ma almeno si adatta allo schema. -266 -00:15:40,500 --> 00:15:44,032 +262 +00:15:40,500 --> 00:15:43,955 Il controllo che abbiamo, l'insieme di manopole e quadranti che possiamo girare, -267 -00:15:44,032 --> 00:15:46,900 +263 +00:15:43,955 --> 00:15:46,900 è la dimensione e la direzione iniziali di ciascuno di questi numeri. -268 +264 00:15:47,480 --> 00:15:52,088 Il modo in cui lo controlliamo è moltiplicando ciascuno per una costante complessa, -269 +265 00:15:52,088 --> 00:15:53,240 che chiamerò c sub n. -270 +266 00:15:53,880 --> 00:15:58,299 Ad esempio, se volessimo che il vettore costante non fosse al numero 1, -271 +267 00:15:58,299 --> 00:16:01,860 ma avesse una lunghezza pari a 0.5, c sotto 0 sarebbe 0.5. -272 -00:16:02,540 --> 00:16:06,658 +268 +00:16:02,540 --> 00:16:06,728 Se volessimo che il vettore che ruota a 1 ciclo al secondo inizi con un angolo -273 -00:16:06,658 --> 00:16:10,725 -di 45 gradi, lo moltiplicheremmo per un numero complesso che ha l'effetto +269 +00:16:06,728 --> 00:16:10,811 +di 45 gradi, lo moltiplicheremmo per un numero complesso che ha l'effetto di -274 -00:16:10,725 --> 00:16:15,000 -di ruotarlo di quella quantità, che puoi scrivere come e al pi greco quarti per i. +270 +00:16:10,811 --> 00:16:15,000 +ruotarlo di quella quantità, che puoi scrivere come e al pi greco quarti per i. -275 +271 00:16:15,640 --> 00:16:18,420 E se la sua lunghezza iniziale dovesse essere 0.3, -276 +272 00:16:18,420 --> 00:16:21,800 allora il coefficiente c sub 1 sarebbe 0.3 volte tale importo. -277 +273 00:16:22,760 --> 00:16:25,853 Allo stesso modo, tutti nella nostra infinita famiglia di vettori -278 +274 00:16:25,853 --> 00:16:28,947 rotanti hanno una costante complessa moltiplicata al suo interno, -279 +275 00:16:28,947 --> 00:16:31,900 che determina il suo angolo iniziale e la sua grandezza totale. -280 +276 00:16:32,820 --> 00:16:37,020 Il nostro obiettivo è esprimere qualsiasi funzione arbitraria f di t, -281 +277 00:16:37,020 --> 00:16:40,560 diciamo questa che disegna una croma quando t va da 0 a 1, -282 +278 00:16:40,560 --> 00:16:44,700 come somma di termini come questo, quindi abbiamo bisogno di un modo -283 +279 00:16:44,700 --> 00:16:49,440 per individuare queste costanti una per una, dati i dati della funzione stessa. -284 +280 00:16:51,840 --> 00:16:54,540 Il più semplice da trovare è il termine costante. -285 +281 00:16:55,080 --> 00:16:58,480 Questo termine rappresenta una sorta di centro di massa per il disegno completo. -286 -00:16:59,000 --> 00:17:02,685 -Se dovessi campionare un gruppo di valori equidistanti per +282 +00:16:59,000 --> 00:17:04,682 +Se dovessi campionare un gruppo di valori equidistanti per l'input t compreso tra 0 e 1, -287 -00:17:02,685 --> 00:17:06,621 -l'input t compreso tra 0 e 1, la media di tutti gli output +283 +00:17:04,682 --> 00:17:08,640 +la media di tutti gli output della funzione per quei campioni -288 -00:17:06,621 --> 00:17:10,619 -della funzione per quei campioni sarebbe il termine costante c0. +284 +00:17:08,640 --> 00:17:10,619 +sarebbe il termine costante c0. -289 +285 00:17:11,359 --> 00:17:15,123 O più precisamente, se si considerano campioni sempre più fini, -290 +286 00:17:15,123 --> 00:17:19,240 la media degli output per questi campioni si avvicina a c0 nel limite. -291 -00:17:20,000 --> 00:17:24,302 -Quello che sto descrivendo, somme sempre più fini di una funzione per campioni di +287 +00:17:20,000 --> 00:17:24,250 +Quello che sto descrivendo, somme sempre più fini di una funzione per campioni -292 -00:17:24,302 --> 00:17:28,500 -t dall'intervallo di input, è un integrale, un integrale di f di t da 0 a 1. +288 +00:17:24,250 --> 00:17:28,500 +di t dall'intervallo di input, è un integrale, un integrale di f di t da 0 a 1. -293 -00:17:30,820 --> 00:17:33,657 +289 +00:17:30,820 --> 00:17:33,751 Normalmente, poiché sto inquadrando tutto in termini di medie, -294 -00:17:33,657 --> 00:17:37,305 +290 +00:17:33,751 --> 00:17:37,147 dovresti dividere l'integrale per la lunghezza dell'intervallo di input, -295 -00:17:37,305 --> 00:17:40,908 +291 +00:17:37,147 --> 00:17:40,870 ma quella lunghezza è 1, quindi in questo caso prendere un integrale e fare una -296 -00:17:40,908 --> 00:17:42,080 +292 +00:17:40,870 --> 00:17:42,080 media sono la stessa cosa. -297 -00:17:42,640 --> 00:17:44,735 -C'è un modo molto carino di pensare al motivo - -298 -00:17:44,735 --> 00:17:46,580 -per cui questo integrale tirerebbe fuori c0. +293 +00:17:42,640 --> 00:17:46,580 +C'è un modo molto carino di pensare al motivo per cui questo integrale tirerebbe fuori c0. -299 -00:17:47,380 --> 00:17:51,590 +294 +00:17:47,380 --> 00:17:51,689 Ricorda, vogliamo pensare a questa funzione come una somma di vettori rotanti, -300 -00:17:51,590 --> 00:17:54,681 -quindi considera questo integrale, questa media continua, - -301 -00:17:54,681 --> 00:17:56,600 -come applicata all'intera somma. +295 +00:17:51,689 --> 00:17:56,600 +quindi considera questo integrale, questa media continua, come applicata all'intera somma. -302 +296 00:17:57,460 --> 00:18:02,580 La media di una somma come questa è uguale alla somma delle medie di ciascuna parte. -303 +297 00:18:06,080 --> 00:18:09,240 Puoi leggere questa mossa come una sorta di sottile cambiamento di prospettiva. -304 +298 00:18:09,520 --> 00:18:13,506 Invece di guardare la somma di tutti i vettori in ogni momento e -305 +299 00:18:13,506 --> 00:18:17,247 prendere il valore medio che spazzano, guarda la media di un -306 +300 00:18:17,247 --> 00:18:21,540 singolo vettore mentre t va da 0 a 1, quindi somma tutte queste medie. -307 +301 00:18:22,480 --> 00:18:26,423 Ma ciascuno di questi vettori effettua semplicemente un numero intero di -308 +302 00:18:26,423 --> 00:18:30,800 rotazioni attorno a 0, quindi il suo valore medio quando t varia da 0 a 1 sarà 0. -309 +303 00:18:31,340 --> 00:18:33,440 L'unica eccezione è il termine costante. -310 +304 00:18:33,940 --> 00:18:37,190 Poiché rimane statico e non ruota, il suo valore -311 +305 00:18:37,190 --> 00:18:40,840 medio è proprio il numero da cui è iniziato, ovvero c0. -312 -00:18:41,600 --> 00:18:44,572 +306 +00:18:41,600 --> 00:18:44,479 Quindi fare questa media sull'intera funzione è una sorta di -313 -00:18:44,572 --> 00:18:47,500 +307 +00:18:44,479 --> 00:18:47,500 modo intelligente per eliminare tutti i termini che non sono c0. -314 +308 00:18:48,040 --> 00:18:49,560 Ma ecco la parte intelligente. -315 +309 00:18:49,860 --> 00:18:52,803 Diciamo che vuoi calcolare un termine diverso, come c2, -316 +310 00:18:52,803 --> 00:18:55,800 seduto davanti al vettore che ruota due cicli al secondo. -317 +311 00:18:56,420 --> 00:19:01,036 Il trucco sta nel moltiplicare prima f di t per qualcosa che renda fermo quel vettore, -318 +312 00:19:01,036 --> 00:19:05,440 una sorta di equivalente matematico di dare uno smartphone a un bambino iperattivo. -319 -00:19:06,260 --> 00:19:10,349 +313 +00:19:06,260 --> 00:19:10,222 Nello specifico, se moltiplichi l'intera funzione per e per il -320 -00:19:10,349 --> 00:19:14,500 +314 +00:19:10,222 --> 00:19:14,500 negativo 2 per 2 pi i per t, pensa a cosa succede a ciascun termine. -321 -00:19:16,640 --> 00:19:19,653 +315 +00:19:16,640 --> 00:19:19,595 Dato che moltiplicando gli esponenziali si ottiene l'addizione -322 -00:19:19,653 --> 00:19:22,396 +316 +00:19:19,595 --> 00:19:22,270 del contenuto dell'esponente, il termine di frequenza in -323 -00:19:22,396 --> 00:19:25,320 +317 +00:19:22,270 --> 00:19:25,320 ciascuno dei nostri esponenti viene spostato verso il basso di 2. -324 +318 00:19:29,660 --> 00:19:32,810 Quindi ora, mentre facciamo le medie di ogni termine, -325 +319 00:19:32,810 --> 00:19:36,720 il vettore c-1 gira intorno al negativo 3 volte con una media di 0. -326 -00:19:37,560 --> 00:19:44,365 +320 +00:19:37,560 --> 00:19:43,061 Il vettore c0, precedentemente costante, ora ruota due volte quando t varia da 0 a 1, -327 -00:19:44,365 --> 00:19:46,740 +321 +00:19:43,061 --> 00:19:44,980 quindi anche la sua media è 0. -328 -00:19:46,740 --> 00:19:50,189 +322 +00:19:46,520 --> 00:19:50,077 Allo stesso modo, tutti i vettori diversi dal termine c2 effettuano -329 -00:19:50,189 --> 00:19:53,740 +323 +00:19:50,077 --> 00:19:53,740 un numero intero di rotazioni, il che significa che la loro media è 0. -330 +324 00:19:55,280 --> 00:19:58,427 Quindi prendere la media di questa funzione modificata è un -331 +325 00:19:58,427 --> 00:20:01,680 modo intelligente per eliminare tutti i termini diversi da c2. -332 -00:20:02,360 --> 00:20:05,146 +326 +00:20:02,360 --> 00:20:05,030 E ovviamente, non c'è niente di speciale nel numero 2 qui, -333 -00:20:05,146 --> 00:20:08,640 +327 +00:20:05,030 --> 00:20:08,606 potresti sostituirlo con qualsiasi altro n, e hai una formula generale per cn, -334 -00:20:08,640 --> 00:20:10,100 +328 +00:20:08,606 --> 00:20:10,100 che è quello che stiamo cercando. -335 -00:20:10,660 --> 00:20:14,356 +329 +00:20:10,660 --> 00:20:14,403 Fuori contesto, questa espressione potrebbe sembrare complicata, ma ricorda, -336 -00:20:14,356 --> 00:20:18,148 +330 +00:20:14,403 --> 00:20:18,244 puoi leggerla come prima modificando la nostra funzione, il nostro disegno 2d, -337 -00:20:18,148 --> 00:20:21,076 +331 +00:20:18,244 --> 00:20:21,015 in modo da far restare fermo l'ennesimo piccolo vettore, -338 -00:20:21,076 --> 00:20:24,820 +332 +00:20:21,015 --> 00:20:24,807 e poi eseguendo una media che uccide tutti i vettori in movimento e ti lascia -339 -00:20:24,820 --> 00:20:25,780 +333 +00:20:24,807 --> 00:20:25,780 solo la parte ferma. -340 +334 00:20:26,460 --> 00:20:27,080 Non è pazzesco? -341 +335 00:20:27,500 --> 00:20:31,634 Tutta la complessità delle scomposizioni che vedi dei disegni in somme di -342 +336 00:20:31,634 --> 00:20:35,880 molti vettori rotanti è interamente catturata in questa piccola espressione. -343 +337 00:20:36,540 --> 00:20:38,908 Quindi, quando eseguo il rendering di queste animazioni, -344 +338 00:20:38,908 --> 00:20:40,820 è esattamente ciò che faccio fare al computer. -345 +339 00:20:41,280 --> 00:20:45,905 Calcola il percorso come una funzione complessa e, per un certo intervallo di valori n, -346 +340 00:20:45,905 --> 00:20:49,060 calcola questo integrale per trovare il coefficiente c di n. -347 -00:20:51,080 --> 00:20:54,597 +341 +00:20:51,080 --> 00:20:54,647 Per quelli di voi curiosi di sapere da dove provengono i dati per un percorso stesso, -348 -00:20:54,597 --> 00:20:58,115 +342 +00:20:54,647 --> 00:20:58,215 sceglierò la strada più semplice e farò semplicemente leggere il programma in un SVG, -349 -00:20:58,115 --> 00:21:00,897 -che è un formato di file che definisce l'immagine in termini di +343 +00:20:58,215 --> 00:21:01,119 +che è un formato di file che definisce l'immagine in termini di curve -350 -00:21:00,897 --> 00:21:02,820 -curve matematiche anziché con valori dei pixel. +344 +00:21:01,119 --> 00:21:02,820 +matematiche anziché con valori dei pixel. -351 +345 00:21:03,280 --> 00:21:06,174 Quindi la mappatura f di t da un parametro temporale -352 +346 00:21:06,174 --> 00:21:08,960 a punti nello spazio è sostanzialmente predefinita. -353 +347 00:21:10,540 --> 00:21:14,770 In quanto mostrato adesso, sto utilizzando 101 vettori rotanti, -354 +348 00:21:14,770 --> 00:21:17,480 calcolando i valori di n da meno 50 a 50. -355 -00:21:18,120 --> 00:21:21,787 +349 +00:21:18,120 --> 00:21:21,839 In pratica, ciascuno di questi integrali viene calcolato numericamente, -356 -00:21:21,787 --> 00:21:25,506 +350 +00:21:21,839 --> 00:21:25,404 il che significa sostanzialmente che suddivide l'intervallo unitario -357 -00:21:25,506 --> 00:21:29,276 +351 +00:21:25,404 --> 00:21:29,227 in tanti piccoli pezzi di dimensione delta t, quindi somma questo valore, -358 -00:21:29,276 --> 00:21:32,740 +352 +00:21:29,227 --> 00:21:32,740 f di t per e al negativo n 2 pi it per delta t , per ognuno di essi. -359 -00:21:33,280 --> 00:21:36,625 +353 +00:21:33,280 --> 00:21:36,702 Esistono metodi più elaborati per un'integrazione numerica più efficiente, -360 -00:21:36,625 --> 00:21:37,980 +354 +00:21:36,702 --> 00:21:37,980 ma questo dà l'idea di base. -361 -00:21:38,820 --> 00:21:42,868 +355 +00:21:38,820 --> 00:21:42,922 E dopo aver calcolato queste 101 costanti, ognuna determina un angolo iniziale -362 -00:21:42,868 --> 00:21:46,661 +356 +00:21:42,922 --> 00:21:46,765 e una grandezza per i piccoli vettori, e poi li metti tutti in rotazione, -363 -00:21:46,661 --> 00:21:49,121 +357 +00:21:46,765 --> 00:21:49,258 aggiungendoli punta alla coda mentre procedono, -364 -00:21:49,121 --> 00:21:51,991 -e il percorso tracciato dalla punta finale è un po' +358 +00:21:49,258 --> 00:21:52,997 +e il percorso tracciato dalla punta finale è un po' approssimazione del -365 -00:21:51,991 --> 00:21:54,400 -approssimazione del percorso originale immesso. +359 +00:21:52,997 --> 00:21:54,400 +percorso originale immesso. -366 -00:21:55,100 --> 00:21:58,279 +360 +00:21:55,100 --> 00:21:58,202 Man mano che il numero di vettori utilizzati si avvicina all'infinito, -367 -00:21:58,279 --> 00:22:00,780 +361 +00:21:58,202 --> 00:22:00,780 il percorso di approssimazione diventa sempre più accurato. -368 -00:22:14,140 --> 00:22:18,028 +362 +00:22:14,140 --> 00:22:17,911 Per riportare tutto questo sulla Terra, consideriamo l'esempio che stavamo guardando -369 -00:22:18,028 --> 00:22:21,524 +363 +00:22:17,911 --> 00:22:21,461 prima, di una funzione a gradino, che ricordiamo è stata utile per modellare la -370 -00:22:21,524 --> 00:22:25,106 +364 +00:22:21,461 --> 00:22:25,100 dissipazione del calore tra due aste a temperature diverse dopo essere entrate in -371 -00:22:25,106 --> 00:22:25,500 +365 +00:22:25,100 --> 00:22:25,500 contatto. -372 +366 00:22:26,620 --> 00:22:29,534 Come ogni funzione con valori numerici reali, la funzione -373 +367 00:22:29,534 --> 00:22:32,500 passo è come un disegno noioso confinato in una dimensione. -374 -00:22:33,240 --> 00:22:38,343 +368 +00:22:33,240 --> 00:22:38,441 Ma questo è un disegno particolarmente noioso, poiché per input compresi tra 0 e 0.5, -375 -00:22:38,343 --> 00:22:42,734 +369 +00:22:38,441 --> 00:22:42,675 l'uscita rimane statica al numero 1, quindi salta in modo discontinuo -376 -00:22:42,734 --> 00:22:45,820 +370 +00:22:42,675 --> 00:22:45,820 al negativo 1 per gli ingressi compresi tra 0.5 e 1. -377 -00:22:46,440 --> 00:22:49,070 +371 +00:22:46,440 --> 00:22:48,928 Quindi nell'approssimazione della serie di Fourier, -378 -00:22:49,070 --> 00:22:52,499 +372 +00:22:48,928 --> 00:22:52,421 la somma vettoriale rimane molto vicina a 1 per la prima metà del ciclo, -379 -00:22:52,499 --> 00:22:56,680 +373 +00:22:52,421 --> 00:22:56,680 quindi salta rapidamente a meno 1 e rimane vicina a quello per la seconda metà del ciclo. -380 +374 00:22:57,500 --> 00:23:01,144 E ricorda, ogni coppia di vettori che ruotano in direzioni opposte -381 +375 00:23:01,144 --> 00:23:04,680 corrisponde a una delle onde coseno che stavamo osservando prima. -382 -00:23:06,080 --> 00:23:08,761 +376 +00:23:06,080 --> 00:23:08,793 Per trovare i coefficienti, dovresti calcolare questo integrale, -383 -00:23:08,761 --> 00:23:12,226 +377 +00:23:08,793 --> 00:23:12,133 e per gli spettatori ambiziosi tra voi che non vedono l'ora di elaborare alcuni -384 -00:23:12,226 --> 00:23:15,567 +378 +00:23:12,133 --> 00:23:15,514 integrali a mano, questo è quello in cui puoi effettivamente fare il calcolo per -385 -00:23:15,567 --> 00:23:19,073 -ottenere una risposta esatta, piuttosto che avere semplicemente un il computer lo fa +379 +00:23:15,514 --> 00:23:18,938 +ottenere una risposta esatta, piuttosto che avere semplicemente un il computer lo -386 -00:23:19,073 --> 00:23:19,940 -numericamente per te. +380 +00:23:18,938 --> 00:23:19,940 +fa numericamente per te. -387 -00:23:19,940 --> 00:23:24,140 +381 +00:23:19,940 --> 00:23:24,041 Lo lascerò come esercizio per risolvere questo problema e collegarlo all'idea -388 -00:23:24,140 --> 00:23:27,880 +382 +00:23:24,041 --> 00:23:27,880 delle onde coseno accoppiando i vettori che ruotano in direzioni opposte. -389 -00:23:28,780 --> 00:23:32,373 +383 +00:23:28,780 --> 00:23:32,560 E per i più ambiziosi, lascerò un altro esercizio sullo schermo su come mettere in -390 -00:23:32,373 --> 00:23:36,270 +384 +00:23:32,560 --> 00:23:36,658 relazione questo calcolo più generale con quello che potresti vedere in un libro di testo -391 -00:23:36,270 --> 00:23:40,036 +385 +00:23:36,658 --> 00:23:40,621 che descrive le serie di Fourier solo in termini di funzioni a valori reali con seni e -392 -00:23:40,036 --> 00:23:40,340 +386 +00:23:40,621 --> 00:23:40,940 coseni. -393 -00:23:40,340 --> 00:23:43,975 +387 +00:23:41,840 --> 00:23:44,994 A proposito, se stai cercando altri contenuti della serie Fourier, -394 -00:23:43,975 --> 00:23:47,502 +388 +00:23:44,994 --> 00:23:48,054 ti consiglio vivamente i video di Mathologer e The Coding Train, -395 -00:23:47,502 --> 00:23:51,680 +389 +00:23:48,054 --> 00:23:51,680 e consiglierei anche questo post sul blog, link ovviamente nella descrizione. -396 +390 00:23:53,620 --> 00:23:57,255 Quindi, da un lato, questo conclude la nostra discussione sull’equazione del calore, -397 +391 00:23:57,255 --> 00:24:00,720 che era una piccola finestra sullo studio delle equazioni alle derivate parziali. -398 +392 00:24:01,240 --> 00:24:03,850 Ma d’altra parte, questa serie di Fourier in Fourier -399 +393 00:24:03,850 --> 00:24:05,920 è un primo sguardo a un’idea più profonda. -400 +394 00:24:06,500 --> 00:24:09,611 Le funzioni esponenziali, inclusa la loro generalizzazione in numeri -401 +395 00:24:09,611 --> 00:24:12,812 complessi e persino matrici, svolgono un ruolo molto importante per le -402 +396 00:24:12,812 --> 00:24:16,240 equazioni differenziali, specialmente quando si tratta di equazioni lineari. -403 -00:24:16,920 --> 00:24:27,006 +397 +00:24:16,920 --> 00:24:27,207 Ciò che hai appena visto, scomporre una funzione come una combinazione -404 -00:24:27,006 --> 00:24:38,086 +398 +00:24:27,207 --> 00:24:37,930 di questi esponenziali e usarla per risolvere un'equazione differenziale, -405 -00:24:38,086 --> 00:24:45,900 +399 +00:24:37,930 --> 00:24:45,900 si ripresenta ancora e ancora in forme e forme diverse. diff --git a/2019/fourier-series/japanese/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/japanese/auto_generated.srt index 30207b786..f13f3e5ab 100644 --- a/2019/fourier-series/japanese/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/japanese/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:05,119 --> 00:00:07,969 +00:00:05,120 --> 00:00:07,969 ここでは、このようなアニメーションの背後にある 2 @@ -35,7 +35,7 @@ かについて少しだけ考えていただきたいと思います。 10 -00:00:37,199 --> 00:00:39,467 +00:00:37,200 --> 00:00:39,467 このアニメーションには、合計 300 11 @@ -103,7 +103,7 @@ めに、ある種の調整を行ってどのように動作するかは奇妙です。 27 -00:01:23,839 --> 00:01:27,460 +00:01:23,840 --> 00:01:27,460 そして、自然界の他の場所で見られる新たな複雑さの多くとは異な 28 @@ -123,19 +123,19 @@ して、望むものを何でも描くことができます。 32 -00:01:42,180 --> 00:01:47,770 +00:01:42,180 --> 00:01:44,350 さらにクレイジーなのは、これらすべての最終的 33 -00:01:47,770 --> 00:01:53,360 +00:01:44,350 --> 00:01:46,520 な公式が信じられないほど短いということです。 34 -00:01:53,360 --> 00:01:57,088 +00:01:52,960 --> 00:01:56,895 多くの場合、フーリエ級数は、実数の関数が正弦波の合計とし 35 -00:01:57,088 --> 00:02:00,560 +00:01:56,895 --> 00:02:00,560 て分解されるという、少し異なるものとして説明されます。 36 @@ -239,7 +239,7 @@ れ、周波数が高くなると指数関数的に減衰が速くなります。 61 -00:03:10,359 --> 00:03:14,353 +00:03:10,360 --> 00:03:14,353 熱方程式は、業界で線形方程式として知られているものです。 62 @@ -359,27 +359,27 @@ した直後に何が起こるかを知りたいとします。 91 -00:04:45,060 --> 00:04:48,309 +00:04:45,060 --> 00:04:48,461 数字を簡単にするために、左側の棒の温度が 1 度、右側 92 -00:04:48,309 --> 00:04:50,862 +00:04:48,461 --> 00:04:51,134 の棒の温度がマイナス 1 度であるとします。 93 -00:04:50,862 --> 00:04:53,531 +00:04:51,134 --> 00:04:53,928 また、2 本の棒を合わせた全長 L が 1 94 -00:04:53,531 --> 00:04:54,460 +00:04:53,928 --> 00:04:54,900 であるとします。 95 -00:04:54,460 --> 00:04:59,510 +00:04:54,900 --> 00:04:59,730 これが意味するのは、初期の温度分布は階段関数であり、正弦波や 96 -00:04:59,510 --> 00:05:04,560 +00:04:59,730 --> 00:05:04,560 正弦波の合計とは明らかに異なるということだと思いませんか? 97 @@ -479,7 +479,7 @@ ことが判明したかを誇張することは非常に困難です。 121 -00:06:13,599 --> 00:06:17,266 +00:06:13,600 --> 00:06:17,266 しかし、これらすべての起源は、一見すると周 122 @@ -1095,27 +1095,27 @@ x を省略すると、なぜこのアイデアが微分方程式を解くのに クトルのそれぞれについて式を書き留めてみましょう。 275 -00:14:18,120 --> 00:14:20,056 +00:14:18,120 --> 00:14:20,404 現時点では、それぞれが 1 ユニット右の 276 -00:14:20,056 --> 00:14:21,900 +00:14:20,404 --> 00:14:22,580 番号 1 を指し始めると考えてください。 277 -00:14:21,900 --> 00:14:24,697 +00:14:23,080 --> 00:14:25,558 説明するのに最も簡単なベクトルは、一定のベクトルです。 278 -00:14:24,697 --> 00:14:27,183 +00:14:25,558 --> 00:14:27,761 これは数値 1 に留まり、決して移動すること 279 -00:14:27,183 --> 00:14:29,773 +00:14:27,761 --> 00:14:30,056 はありません。 あるいは、お好みであれば、周波数 280 -00:14:29,773 --> 00:14:32,260 +00:14:30,056 --> 00:14:32,260 0 でのみ引用と引用を繰り返しながら回転します。 281 @@ -1127,27 +1127,27 @@ x を省略すると、なぜこのアイデアが微分方程式を解くのに れを 2 pi i の t 倍に e と書きます。 283 -00:14:39,739 --> 00:14:41,589 +00:14:39,740 --> 00:14:42,009 2 π が存在するのは、t が 0 から 284 -00:14:41,589 --> 00:14:43,350 +00:14:42,009 --> 00:14:44,170 1 に変化するときに 、円に沿って 2 285 -00:14:43,350 --> 00:14:45,200 +00:14:44,170 --> 00:14:46,440 π の距離をカバーする必要があるためです。 286 -00:14:45,200 --> 00:14:47,883 +00:14:47,700 --> 00:14:49,580 技術的には、表示されているものでは、実際には 10 287 -00:14:47,883 --> 00:14:50,670 +00:14:49,580 --> 00:14:51,534 秒ごとに 1 サイクルなので 、あまり目まぐるしくなら 288 -00:14:50,670 --> 00:14:53,560 +00:14:51,534 --> 00:14:53,560 ないように、すべてを 10 分の 1 に遅くしています。 289 @@ -1187,7 +1187,7 @@ x を省略すると、なぜこのアイデアが微分方程式を解くのに に掛けた一般式を使用して、このように続けます。 298 -00:15:29,339 --> 00:15:31,931 +00:15:29,340 --> 00:15:31,931 これにより、定数ベクトルを e から 0 と 2 の pi 299 @@ -1483,23 +1483,23 @@ i 倍 t にすると、各項に何が起こるかを考えてみましょう。 マイナス 3 回回転し、平均は 0 になります。 372 -00:19:37,560 --> 00:19:40,569 +00:19:37,560 --> 00:19:39,992 以前は一定だった c0 ベクトルは、t 373 -00:19:40,569 --> 00:19:43,429 +00:19:39,992 --> 00:19:42,303 の範囲が 0 から 1 になると 2 374 -00:19:43,429 --> 00:19:46,740 +00:19:42,303 --> 00:19:44,980 回回転するため、その平均も 0 になります。 375 -00:19:46,740 --> 00:19:50,969 +00:19:46,520 --> 00:19:50,882 同様に、c2 項以外のすべてのベクトルは整数回 転します。 376 -00:19:50,969 --> 00:19:53,740 +00:19:50,882 --> 00:19:53,740 つまり、平均すると 0 になります。 377 @@ -1767,43 +1767,43 @@ i 倍 t にすると、各項に何が起こるかを考えてみましょう。 余弦波の概念に関連付けるための演習として残しておきます。 443 -00:23:28,780 --> 00:23:31,670 +00:23:28,780 --> 00:23:31,820 そして、さらに野心的な方のために、このより一般的な計算を 444 -00:23:31,670 --> 00:23:34,560 +00:23:31,820 --> 00:23:34,860 、サインとコサイン を含む実数値関数の観点からのみフーリ 445 -00:23:34,560 --> 00:23:36,624 +00:23:34,860 --> 00:23:37,031 エ級数を説明する教科書で目にするような 446 -00:23:36,624 --> 00:23:39,514 +00:23:37,031 --> 00:23:40,071 計算とどのように関連させるかについて、別の演習を画面上に 447 -00:23:39,514 --> 00:23:40,340 +00:23:40,071 --> 00:23:40,940 残しておきます。 448 -00:23:40,340 --> 00:23:43,098 +00:23:41,840 --> 00:23:44,233 ちなみに、さらにフーリエ級数のコンテンツをお探しの場合 449 -00:23:43,098 --> 00:23:45,754 +00:23:44,233 --> 00:23:46,538 は、Matholo ger と Thecoding 450 -00:23:45,754 --> 00:23:48,104 +00:23:46,538 --> 00:23:48,577 Train によるビデオを強くお勧めしま す。 451 -00:23:48,104 --> 00:23:50,862 +00:23:48,577 --> 00:23:50,970 また、このブログ投稿 (もちろん説明にあるリンク) 452 -00:23:50,862 --> 00:23:51,680 +00:23:50,970 --> 00:23:51,680 もお勧めします。 453 diff --git a/2019/fourier-series/korean/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/korean/auto_generated.srt index 01ef7a5c2..a12bdc3dd 100644 --- a/2019/fourier-series/korean/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/korean/auto_generated.srt @@ -1,9 +1,9 @@ 1 -00:00:05,119 --> 00:00:07,072 +00:00:05,120 --> 00:00:07,073 여기서 우리는 이와 같은 애니메이션, 2 -00:00:07,072 --> 00:00:09,770 +00:00:07,073 --> 00:00:09,770 즉 복잡한 푸리에 급수라고 알려진 애니메이션 이면의 3 @@ -47,7 +47,7 @@ 놀라운지 잠시 생각해 보시기 바랍니다. 13 -00:00:37,199 --> 00:00:39,485 +00:00:37,200 --> 00:00:39,485 이 특정 애니메이션에는 총 300개의 14 @@ -107,7 +107,7 @@ 조정을 통해 어떻게 행동하는지 기괴합니다. 28 -00:01:23,839 --> 00:01:26,060 +00:01:23,840 --> 00:01:26,060 그리고 자연의 다른 곳에서 발견되는 많은 29 @@ -131,23 +131,23 @@ 단, 작은 화살만 충분하면 됩니다. 34 -00:01:42,180 --> 00:01:47,770 +00:01:42,180 --> 00:01:44,350 더 놀라운 점은 이 모든 것에 대한 궁극적인 35 -00:01:47,770 --> 00:01:53,360 +00:01:44,350 --> 00:01:46,520 공식이 믿을 수 없을 정도로 짧다는 것입니다. 36 -00:01:53,360 --> 00:01:56,410 +00:01:52,960 --> 00:01:56,180 종종 푸리에 급수는 약간 다르게 보이는 것, 37 -00:01:56,410 --> 00:01:59,827 +00:01:56,180 --> 00:01:59,787 즉 실수의 함수가 사인파의 합으로 분해되는 것으로 38 -00:01:59,827 --> 00:02:00,560 +00:01:59,787 --> 00:02:00,560 설명됩니다. 39 @@ -263,7 +263,7 @@ 감소합니다. 67 -00:03:10,359 --> 00:03:14,701 +00:03:10,360 --> 00:03:14,701 열 방정식은 업계에서 선형 방정식으로 알려져 있습니다. 68 @@ -391,27 +391,27 @@ 일이 일어나는지 알고 싶다고 가정해 보겠습니다. 99 -00:04:45,060 --> 00:04:48,499 +00:04:45,060 --> 00:04:48,659 숫자를 간단하게 하기 위해 왼쪽 막대의 온도가 1도, 100 -00:04:48,499 --> 00:04:51,708 +00:04:48,659 --> 00:04:52,020 오른쪽 막대의 온도가 -1도이고 결합된 두 막대의 101 -00:04:51,708 --> 00:04:54,460 +00:04:52,020 --> 00:04:54,900 전체 길이 L이 1이라고 가정해 보겠습니다. 102 -00:04:54,460 --> 00:04:57,918 +00:04:54,900 --> 00:04:58,208 이것이 의미하는 바는 초기 온도 분포가 계단 103 -00:04:57,918 --> 00:05:01,516 +00:04:58,208 --> 00:05:01,648 함수라는 것입니다. 이는 사인파 또는 사인파의 104 -00:05:01,516 --> 00:05:04,560 +00:05:01,648 --> 00:05:04,560 합과는 명백히 다릅니다. 그렇지 않나요? 105 @@ -511,7 +511,7 @@ 것으로 판명되었는지 과장하기는 정말 어렵습니다. 129 -00:06:13,599 --> 00:06:17,100 +00:06:13,600 --> 00:06:17,100 그러나 이 모든 것의 기원은 언뜻 보기에 주파수 130 @@ -1143,27 +1143,27 @@ x에 빼면 이 아이디어가 미분 방정식을 푸는 데 왜 대한 공식을 작성해 봅시다. 287 -00:14:18,120 --> 00:14:19,924 +00:14:18,120 --> 00:14:20,248 지금은 각각이 숫자 1에서 오른쪽으로 288 -00:14:19,924 --> 00:14:21,900 +00:14:20,248 --> 00:14:22,580 한 단위를 가리키기 시작한다고 생각하세요. 289 -00:14:21,900 --> 00:14:25,145 +00:14:23,080 --> 00:14:25,955 설명하기 가장 쉬운 벡터는 숫자 1에 머무르고 290 -00:14:25,145 --> 00:14:27,766 +00:14:25,955 --> 00:14:28,278 절대 움직이지 않는 상수 벡터입니다. 291 -00:14:27,766 --> 00:14:31,011 +00:14:28,278 --> 00:14:31,153 또는 원하는 경우 0의 빈도로 인용-인용 해제 292 -00:14:31,011 --> 00:14:32,260 +00:14:31,153 --> 00:14:32,260 회전을 사용합니다. 293 @@ -1175,23 +1175,23 @@ x에 빼면 이 아이디어가 미분 방정식을 푸는 데 왜 것입니다. 이를 2pi i 곱하기 t에 e로 씁니다. 295 -00:14:39,739 --> 00:14:42,372 +00:14:39,740 --> 00:14:42,970 2파이가 있는 이유는 t가 0에서 1로 변할 때 296 -00:14:42,372 --> 00:14:45,200 +00:14:42,970 --> 00:14:46,440 원을 따라 2파이의 거리를 커버해야 하기 때문입니다. 297 -00:14:45,200 --> 00:14:48,066 +00:14:47,700 --> 00:14:49,709 기술적으로 보여지는 것은 실제로 10초마다 298 -00:14:48,066 --> 00:14:50,813 +00:14:49,709 --> 00:14:51,634 한 사이클이므로 상황이 너무 어지러워지지 299 -00:14:50,813 --> 00:14:53,560 +00:14:51,634 --> 00:14:53,560 않고 모든 것을 10배로 늦추고 있습니다. 300 @@ -1231,7 +1231,7 @@ x에 빼면 이 아이디어가 미분 방정식을 푸는 데 왜 i t의 일반 공식을 사용하여 이렇게 진행합니다. 309 -00:15:29,339 --> 00:15:31,777 +00:15:29,340 --> 00:15:31,777 이렇게 하면 상수 벡터를 e로 0 곱하기 310 @@ -1539,23 +1539,23 @@ c0이 아닌 모든 항을 죽이는 일종의 영리한 벡터는 평균 0에서 마이너스 3번 회전합니다. 386 -00:19:37,560 --> 00:19:42,063 +00:19:37,560 --> 00:19:41,200 이전에는 상수였던 c0 벡터는 이제 t 범위가 387 -00:19:42,063 --> 00:19:46,740 +00:19:41,200 --> 00:19:44,980 0에서 1까지 두 번 회전하므로 평균도 0입니다. 388 -00:19:46,740 --> 00:19:49,932 +00:19:46,520 --> 00:19:49,813 마찬가지로, c2 항 이외의 모든 벡터는 정수 389 -00:19:49,932 --> 00:19:53,003 +00:19:49,813 --> 00:19:52,980 회전을 수행합니다. 즉, 평균이 0이 된다는 390 -00:19:53,003 --> 00:19:53,740 +00:19:52,980 --> 00:19:53,740 의미입니다. 391 @@ -1827,39 +1827,39 @@ pi에 델타 t를 곱함). , 그들 각각에 대해. 다시 연관시키기 위한 연습으로 남겨두겠습니다. 458 -00:23:28,780 --> 00:23:30,981 +00:23:28,780 --> 00:23:31,096 그리고 훨씬 더 야심 찬 사람들을 위해 이 459 -00:23:30,981 --> 00:23:33,183 +00:23:31,096 --> 00:23:33,412 보다 일반적인 계산을 사인과 코사인이 있는 460 -00:23:33,183 --> 00:23:35,660 +00:23:33,412 --> 00:23:36,018 실수 값 함수 측면에서만 푸리에 급수를 설명하는 461 -00:23:35,660 --> 00:23:38,046 +00:23:36,018 --> 00:23:38,527 교과서에서 볼 수 있는 것과 연관시키는 방법에 462 -00:23:38,046 --> 00:23:40,340 +00:23:38,527 --> 00:23:40,940 대한 또 다른 연습을 화면에 남겨 두겠습니다. 463 -00:23:40,340 --> 00:23:42,917 +00:23:41,840 --> 00:23:44,076 그건 그렇고, 더 많은 Fourier 시리즈 464 -00:23:42,917 --> 00:23:45,803 +00:23:44,076 --> 00:23:46,581 콘텐츠를 찾고 있다면 Mathologer와 The 465 -00:23:45,803 --> 00:23:48,793 +00:23:46,581 --> 00:23:49,175 Coding Train의 비디오를 강력히 추천하며, 466 -00:23:48,793 --> 00:23:51,680 +00:23:49,175 --> 00:23:51,680 설명에 있는 링크인 이 블로그 게시물도 추천합니다. 467 diff --git a/2019/fourier-series/marathi/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/marathi/auto_generated.srt index 5162638dd..ec68f5406 100644 --- a/2019/fourier-series/marathi/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/marathi/auto_generated.srt @@ -1,9 +1,9 @@ 1 -00:00:05,119 --> 00:00:07,909 +00:00:05,120 --> 00:00:07,910 येथे, आम्ही यासारख्या अॅनिमेशनमागील गणित पाहतो, 2 -00:00:07,909 --> 00:00:10,700 +00:00:07,910 --> 00:00:10,700 ज्याला एक जटिल फूरियर मालिका म्हणून ओळखले जाते. 3 @@ -35,7 +35,7 @@ आहे यावर तुम्ही थोडा वेळ थांबावे अशी माझी इच्छा आहे. 10 -00:00:37,199 --> 00:00:40,900 +00:00:37,200 --> 00:00:40,900 या विशिष्ट अॅनिमेशनमध्ये एकूण 300 फिरणारे बाण आहेत. 11 @@ -79,7 +79,7 @@ विशिष्ट आकार शोधण्यासाठी एका प्रकारच्या समन्वयाने कसे कार्य करते. 21 -00:01:23,839 --> 00:01:26,835 +00:01:23,840 --> 00:01:26,835 आणि निसर्गात इतरत्र आढळणार्‍या आपत्कालीन जटिलतेच्या विपरीत, 22 @@ -99,15 +99,15 @@ सर्व योग्य मार्गांनी कट रचू शकतो. 26 -00:01:42,180 --> 00:01:53,360 +00:01:42,180 --> 00:01:46,520 सर्वात विलक्षण गोष्ट म्हणजे या सर्वांचे अंतिम सूत्र आश्चर्यकारकपणे लहान आहे. 27 -00:01:53,360 --> 00:01:57,521 +00:01:52,960 --> 00:01:57,352 बर्‍याचदा फूरियर मालिकेचे वर्णन थोड्या वेगळ्या दिसणाऱ्या गोष्टींच्या संदर्भात केले जाते, 28 -00:01:57,521 --> 00:02:00,560 +00:01:57,352 --> 00:02:00,560 वास्तविक संख्यांची कार्ये साइन लहरींची बेरीज म्हणून मोडली जातात. 29 @@ -179,7 +179,7 @@ या लहरी फक्त वेगाने कमी होतात, उच्च वारंवारता लहरींचा वेगवान क्षय होतो. 46 -00:03:10,359 --> 00:03:14,242 +00:03:10,360 --> 00:03:14,242 उष्मा समीकरण हे व्यवसायात रेखीय समीकरण म्हणून ओळखले जाते, 47 @@ -275,23 +275,23 @@ तापमानात होते आणि ते संपर्कात आल्यानंतर लगेच काय होते हे तुम्हाला जाणून घ्यायचे आहे. 70 -00:04:45,060 --> 00:04:48,833 +00:04:45,060 --> 00:04:49,009 संख्या सोपी करण्यासाठी, डावीकडील रॉडचे तापमान 1 अंश आहे, 71 -00:04:48,833 --> 00:04:54,460 +00:04:49,009 --> 00:04:54,900 आणि उजव्या रॉडचे उणे 1 अंश आहे, आणि एकत्रित दोन रॉडची एकूण लांबी, L, 1 आहे असे समजू. 72 -00:04:54,460 --> 00:04:58,921 +00:04:54,900 --> 00:04:59,166 याचा अर्थ असा आहे की आपले प्रारंभिक तापमान वितरण हे एक पायरी कार्य आहे, 73 -00:04:58,921 --> 00:05:03,134 +00:04:59,166 --> 00:05:03,196 जे साइन वेव्ह किंवा साइन वेव्हच्या बेरीजपेक्षा स्पष्टपणे भिन्न आहे, 74 -00:05:03,134 --> 00:05:04,560 +00:05:03,196 --> 00:05:04,560 तुम्हाला वाटत नाही का? 75 @@ -375,7 +375,7 @@ फूरियरने स्वतः कल्पना केली नसती. 95 -00:06:13,599 --> 00:06:16,910 +00:06:13,600 --> 00:06:16,910 आणि तरीही या सर्वांचा उगम भौतिकशास्त्राचा एक भाग आहे ज्याचा, 96 @@ -847,15 +847,15 @@ फिरत्या वेक्टरसाठी एक सूत्र लिहूया ज्यावर आपण काम करत आहोत. 213 -00:14:18,120 --> 00:14:21,900 +00:14:18,120 --> 00:14:22,580 आत्तासाठी, त्यापैकी प्रत्येकाचा विचार करा की एक एकक क्रमांक 1 वर उजवीकडे निर्देशित करतो. 214 -00:14:21,900 --> 00:14:26,671 +00:14:23,080 --> 00:14:27,308 वर्णन करण्यासाठी सर्वात सोपा वेक्टर म्हणजे स्थिरांक, जो क्रमांक 1 वर राहतो, 215 -00:14:26,671 --> 00:14:32,260 +00:14:27,308 --> 00:14:32,260 कधीही हलत नाही, किंवा आपण प्राधान्य दिल्यास, ते फक्त 0 च्या वारंवारतेवर कोट-अनकोट फिरते. 216 @@ -867,15 +867,15 @@ ज्याला आपण e ते 2 pi i गुणा t असे लिहितो. 218 -00:14:39,739 --> 00:14:45,500 +00:14:39,740 --> 00:14:46,440 तो 2 pi आहे कारण t 0 ते 1 पर्यंत जातो, त्याला वर्तुळात 2 pi चे अंतर कापावे लागते. 219 -00:14:45,500 --> 00:14:49,504 +00:14:47,700 --> 00:14:50,611 तांत्रिकदृष्ट्या जे दाखवले जात आहे, ते प्रत्यक्षात दर 10 सेकंदाला एक चक्र असते 220 -00:14:49,504 --> 00:14:53,560 +00:14:50,611 --> 00:14:53,560 त्यामुळे गोष्टी फारशी चकचकीत होत नाहीत, मी 10 च्या घटकाने सर्वकाही कमी करत आहे. 221 @@ -903,7 +903,7 @@ e ते ऋण 2 pi i गुणा t. e ते n गुणिले 2 pi गुणा i t या सामान्य सूत्रासह. 227 -00:15:29,339 --> 00:15:34,276 +00:15:29,340 --> 00:15:34,276 लक्षात घ्या की हे स्थिर व्हेक्टरला 0 गुणिले 2 pi गुणिले e प्रमाणे लिहिणे अधिक सुसंगत 228 @@ -1143,19 +1143,19 @@ t ने गुणाकार केला तर प्रत्येक प c-1 वेक्टर ० च्या सरासरीने ऋणात्मक 3 वेळा फिरतो. 287 -00:19:37,560 --> 00:19:43,531 +00:19:37,560 --> 00:19:42,386 c0 वेक्टर, पूर्वी स्थिर, आता 0 ते 1 पर्यंत t श्रेणीत दुप्पट फिरतो, 288 -00:19:43,531 --> 00:19:46,740 +00:19:42,386 --> 00:19:44,980 त्यामुळे त्याची सरासरी देखील 0 आहे. 289 -00:19:46,740 --> 00:19:51,830 +00:19:46,520 --> 00:19:51,770 त्याचप्रमाणे, c2 टर्म व्यतिरिक्त इतर सर्व व्हेक्टर काही पूर्ण संख्येने फिरवतात, 290 -00:19:51,830 --> 00:19:53,740 +00:19:51,770 --> 00:19:53,740 म्हणजे त्यांची सरासरी 0 असते. 291 @@ -1359,27 +1359,27 @@ n ची मूल्ये ऋण 50 ते 50 पर्यंत मोजत लहरींच्या कल्पनेशी जोडण्यासाठी मी ते व्यायाम म्हणून सोडेन. 341 -00:23:28,780 --> 00:23:32,704 +00:23:28,780 --> 00:23:32,907 आणि आणखी महत्त्वाकांक्षीसाठी, मी या अधिक सामान्य गणनेचा संबंध फक्त साइन्स 342 -00:23:32,704 --> 00:23:36,681 +00:23:32,907 --> 00:23:37,091 आणि कोसाइनसह वास्तविक-मूल्य असलेल्या फंक्शन्सच्या संदर्भात फूरियर मालिकेचे 343 -00:23:36,681 --> 00:23:40,340 +00:23:37,091 --> 00:23:40,940 वर्णन करणार्‍या पाठ्यपुस्तकात काय पाहू शकता याबद्दल स्क्रीनवर ठेवतो. 344 -00:23:40,340 --> 00:23:43,774 +00:23:41,840 --> 00:23:44,820 तसे, जर तुम्ही अधिक फूरियर मालिका सामग्री शोधत असाल, 345 -00:23:43,774 --> 00:23:49,282 +00:23:44,820 --> 00:23:49,599 तर मी मॅथॉलॉजर आणि द कोडिंग ट्रेनच्या व्हिडिओंची शिफारस करतो आणि मी या ब्लॉग पोस्टची 346 -00:23:49,282 --> 00:23:51,680 +00:23:49,599 --> 00:23:51,680 शिफारस करतो, अर्थातच वर्णनातील दुवे. 347 diff --git a/2019/fourier-series/portuguese/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/portuguese/auto_generated.srt index 63a95730f..5a556550f 100644 --- a/2019/fourier-series/portuguese/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/portuguese/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:05,119 --> 00:00:08,561 +00:00:05,120 --> 00:00:08,561 Aqui, examinamos a matemática por trás de uma animação como esta, 2 @@ -35,7 +35,7 @@ Antes de mergulhar em tudo isso, quero que você pare um momento para pensar em como isso é impressionante. 10 -00:00:37,199 --> 00:00:40,900 +00:00:37,200 --> 00:00:40,900 Esta animação em particular tem 300 setas giratórias no total. 11 @@ -79,7 +79,7 @@ mecânica subjacente a todos os movimentos, é bizarro como o enxame age com uma espécie de coordenação para traçar uma forma muito específica. 21 -00:01:23,839 --> 00:01:27,237 +00:01:23,840 --> 00:01:27,237 E, ao contrário de grande parte da complexidade emergente que encontramos em outros 22 @@ -103,15 +103,15 @@ podemos fazer esse enxame conspirar da maneira certa para desenhar o que você q desde que você tenha pequenas flechas suficientes. 27 -00:01:42,180 --> 00:01:53,360 +00:01:42,180 --> 00:01:46,520 O que é ainda mais louco é que a fórmula definitiva para tudo isso é incrivelmente curta. 28 -00:01:53,360 --> 00:01:57,000 +00:01:52,960 --> 00:01:56,803 Freqüentemente, as séries de Fourier são descritas em termos de algo que parece um pouco 29 -00:01:57,000 --> 00:02:00,560 +00:01:56,803 --> 00:02:00,560 diferente, funções de números reais sendo decompostas como uma soma de ondas senoidais. 30 @@ -191,7 +191,7 @@ ao longo do tempo, essas ondas simplesmente diminuem exponencialmente, com ondas de frequência mais altas tendo um decaimento exponencial mais rápido. 49 -00:03:10,359 --> 00:03:15,244 +00:03:10,360 --> 00:03:15,244 A equação do calor é conhecida no ramo como equação linear, ou seja, 50 @@ -303,27 +303,27 @@ cada uma com uma temperatura uniforme, e queria saber o que acontece imediatamen elas entrarem em contato. 77 -00:04:45,060 --> 00:04:49,314 +00:04:45,060 --> 00:04:49,513 Para simplificar os números, digamos que a temperatura da barra esquerda seja 1 grau, 78 -00:04:49,314 --> 00:04:52,629 +00:04:49,513 --> 00:04:52,983 e a barra direita seja 1 grau negativo, e que o comprimento total, 79 -00:04:52,629 --> 00:04:54,460 +00:04:52,983 --> 00:04:54,900 L, das duas barras combinadas seja 1. 80 -00:04:54,460 --> 00:04:57,663 +00:04:54,900 --> 00:04:57,964 O que isto significa é que a nossa distribuição inicial de 81 -00:04:57,663 --> 00:05:02,333 +00:04:57,964 --> 00:05:02,430 temperatura é uma função escalonada, que é obviamente diferente de uma onda senoidal, 82 -00:05:02,333 --> 00:05:04,560 +00:05:02,430 --> 00:05:04,560 ou da soma das ondas senoidais, não acha? 83 @@ -411,7 +411,7 @@ combinações de oscilações simples. muito além de qualquer coisa que o próprio Fourier pudesse ter imaginado. 104 -00:06:13,599 --> 00:06:17,155 +00:06:13,600 --> 00:06:17,155 E, no entanto, a origem de tudo isto é uma parte da física que, 105 @@ -951,19 +951,19 @@ vamos escrever uma fórmula para cada um desses vetores rotativos com os quais estamos trabalhando. 239 -00:14:18,120 --> 00:14:19,970 +00:14:18,120 --> 00:14:20,303 Por enquanto, pense em cada um deles começando 240 -00:14:19,970 --> 00:14:21,900 +00:14:20,303 --> 00:14:22,580 a apontar uma unidade para a direita no número 1. 241 -00:14:21,900 --> 00:14:27,079 +00:14:23,080 --> 00:14:27,670 O vetor mais fácil de descrever é o constante, que permanece no número 1, 242 -00:14:27,079 --> 00:14:32,260 +00:14:27,670 --> 00:14:32,260 nunca se movendo ou, se preferir, gira entre aspas apenas na frequência 0. 243 @@ -975,19 +975,19 @@ Então haverá o vetor girando um ciclo a cada segundo, que escrevemos como e elevado a 2 pi i vezes t. 245 -00:14:39,739 --> 00:14:42,199 +00:14:39,740 --> 00:14:42,758 Esse 2 pi está lá porque conforme t vai de 0 a 1, 246 -00:14:42,199 --> 00:14:45,200 +00:14:42,758 --> 00:14:46,440 ele precisa cobrir uma distância de 2 pi ao longo do círculo. 247 -00:14:45,200 --> 00:14:49,282 +00:14:47,700 --> 00:14:50,561 Tecnicamente, no que está sendo mostrado, na verdade é um ciclo a cada 10 segundos, 248 -00:14:49,282 --> 00:14:53,560 +00:14:50,561 --> 00:14:53,560 então as coisas não são muito vertiginosas, estou desacelerando tudo por um fator de 10. 249 @@ -1019,7 +1019,7 @@ E continuamos assim sobre todos os números inteiros, tanto positivos quanto neg com uma fórmula geral de e elevado a n vezes 2 pi vezes i t. 256 -00:15:29,339 --> 00:15:32,734 +00:15:29,340 --> 00:15:32,734 Observe que isso torna mais consistente escrever esse vetor constante 257 @@ -1255,19 +1255,19 @@ Então agora, ao fazermos nossas médias de cada termo, esse vetor c-1 gira em torno de menos 3 vezes com uma média de 0. 315 -00:19:37,560 --> 00:19:44,365 +00:19:37,560 --> 00:19:43,061 O vetor c0, anteriormente constante, agora gira duas vezes conforme t varia de 0 a 1, 316 -00:19:44,365 --> 00:19:46,740 +00:19:43,061 --> 00:19:44,980 portanto sua média também é 0. 317 -00:19:46,740 --> 00:19:49,731 +00:19:46,520 --> 00:19:49,605 Da mesma forma, todos os vetores, exceto o termo c2, 318 -00:19:49,731 --> 00:19:53,740 +00:19:49,605 --> 00:19:53,740 fazem um número inteiro de rotações, o que significa que sua média é 0. 319 @@ -1503,27 +1503,27 @@ Deixarei como exercício resolver isso e relacioná-lo com a ideia de ondas coss emparelhando os vetores que giram em direções opostas. 377 -00:23:28,780 --> 00:23:32,443 +00:23:28,780 --> 00:23:32,633 E para os ainda mais ambiciosos, deixarei outro exercício na tela sobre como 378 -00:23:32,443 --> 00:23:36,439 +00:23:32,633 --> 00:23:36,836 relacionar esse cálculo mais geral com o que você pode ver em um livro que descreve 379 -00:23:36,439 --> 00:23:40,340 +00:23:36,836 --> 00:23:40,940 a série de Fourier apenas em termos de funções de valor real com senos e cossenos. 380 -00:23:40,340 --> 00:23:44,156 +00:23:41,840 --> 00:23:45,151 A propósito, se você está procurando mais conteúdo da série Fourier, 381 -00:23:44,156 --> 00:23:47,752 +00:23:45,151 --> 00:23:48,272 recomendo fortemente os vídeos de Mathologer e The Coding Train, 382 -00:23:47,752 --> 00:23:51,680 +00:23:48,272 --> 00:23:51,680 e também recomendo esta postagem do blog, links, é claro, na descrição. 383 diff --git a/2019/fourier-series/tamil/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/tamil/auto_generated.srt index 6850d6a11..bd9f93ed5 100644 --- a/2019/fourier-series/tamil/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/tamil/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:05,119 --> 00:00:07,539 +00:00:05,120 --> 00:00:07,539 சிக்கலான ஃபோரியர் தொடர் என அறியப்படும் இது போன்ற 2 @@ -35,7 +35,7 @@ என்பதைப் பற்றி நீங்கள் சிறிது நேரம் ஒதுக்கி வைக்க விரும்புகிறேன். 10 -00:00:37,199 --> 00:00:40,900 +00:00:37,200 --> 00:00:40,900 இந்த குறிப்பிட்ட அனிமேஷனில் மொத்தம் 300 சுழலும் அம்புகள் உள்ளன. 11 @@ -83,7 +83,7 @@ ஒருங்கிணைப்புடன் செயல்படுவது வினோதமானது. 22 -00:01:23,839 --> 00:01:27,767 +00:01:23,840 --> 00:01:27,767 மேலும் இயற்கையில் வேறு இடங்களில் நீங்கள் காணும் பல சிக்கலான சிக்கலானது போலல்லாமல், 23 @@ -103,19 +103,19 @@ எதையும் வரைய அனைத்து சரியான வழிகளிலும் இந்த திரள் சதி செய்ய முடியும். 27 -00:01:42,180 --> 00:01:47,770 +00:01:42,180 --> 00:01:44,350 இன்னும் விந்தை என்னவென்றால், இவை அனைத்திற்கும் 28 -00:01:47,770 --> 00:01:53,360 +00:01:44,350 --> 00:01:46,520 இறுதி சூத்திரம் நம்பமுடியாத அளவிற்கு குறுகியது. 29 -00:01:53,360 --> 00:01:56,525 +00:01:52,960 --> 00:01:56,301 பெரும்பாலும் ஃபோரியர் தொடர்கள் சற்று வித்தியாசமாகத் தோன்றும், 30 -00:01:56,525 --> 00:02:00,560 +00:01:56,301 --> 00:02:00,560 உண்மையான எண்களின் செயல்பாடுகள் சைன் அலைகளின் கூட்டுத்தொகையாக உடைக்கப்படுகின்றன. 31 @@ -199,7 +199,7 @@ அதிக அதிர்வெண் அலைகள் வேகமான அதிவேக சிதைவைக் கொண்டிருக்கும். 51 -00:03:10,359 --> 00:03:14,661 +00:03:10,360 --> 00:03:14,661 வெப்பச் சமன்பாடு என்பது வணிகத்தில் ஒரு நேரியல் சமன்பாடாக அறியப்படுகிறது, 52 @@ -311,27 +311,27 @@ அவை தொடர்பு கொண்டவுடன் உடனடியாக என்ன நடக்கும் என்பதை நீங்கள் அறிய விரும்புகிறீர்கள். 79 -00:04:45,060 --> 00:04:48,488 +00:04:45,060 --> 00:04:48,648 எண்களை எளிமையாக்க, இடது கம்பியின் வெப்பநிலை 1 டிகிரி என்றும், 80 -00:04:48,488 --> 00:04:52,690 +00:04:48,648 --> 00:04:53,047 வலது கம்பி எதிர்மறை 1 டிகிரி என்றும், இணைந்த இரண்டு தண்டுகளின் மொத்த நீளம், 81 -00:04:52,690 --> 00:04:54,460 +00:04:53,047 --> 00:04:54,900 எல் 1 என்றும் வைத்துக் கொள்வோம். 82 -00:04:54,460 --> 00:04:58,700 +00:04:54,900 --> 00:04:58,956 இதன் பொருள் என்னவென்றால், நமது ஆரம்ப வெப்பநிலை விநியோகம் ஒரு படி செயல்பாடு, 83 -00:04:58,700 --> 00:05:03,220 +00:04:58,956 --> 00:05:03,279 இது ஒரு சைன் அலை அல்லது சைன் அலைகளின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து மிகவும் வேறுபட்டது, 84 -00:05:03,220 --> 00:05:04,560 +00:05:03,279 --> 00:05:04,560 நீங்கள் நினைக்கவில்லையா? 85 @@ -427,7 +427,7 @@ தொலைநோக்குடையதாகவும் மாறியது என்பதை மிகைப்படுத்திக் கூறுவது மிகவும் கடினம். 108 -00:06:13,599 --> 00:06:16,475 +00:06:13,600 --> 00:06:16,475 இன்னும் இவை அனைத்தின் தோற்றம் இயற்பியலின் ஒரு பகுதி, 109 @@ -967,19 +967,19 @@ e க்கு x செயல்பாட்டை விட்டுவிட நாம் பணிபுரியும் இந்த சுழலும் திசையன்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு சூத்திரத்தை எழுதுவோம். 243 -00:14:18,120 --> 00:14:20,090 +00:14:18,120 --> 00:14:20,444 இப்போதைக்கு, அவை ஒவ்வொன்றும் எண் 1 இல் வலதுபுறம் 244 -00:14:20,090 --> 00:14:21,900 +00:14:20,444 --> 00:14:22,580 ஒரு யூனிட்டைச் சுட்டிக்காட்டத் தொடங்குகின்றன. 245 -00:14:21,900 --> 00:14:27,323 +00:14:23,080 --> 00:14:27,885 விவரிக்க எளிதான திசையன் நிலையானது, இது எண் 1 இல் இருக்கும், ஒருபோதும் நகராது, 246 -00:14:27,323 --> 00:14:32,260 +00:14:27,885 --> 00:14:32,260 அல்லது நீங்கள் விரும்பினால், மேற்கோள்-மேற்கோள் 0 அதிர்வெண்ணில் சுழலும். 247 @@ -991,23 +991,23 @@ e க்கு x செயல்பாட்டை விட்டுவிட அதை நாம் e க்கு 2 pi i மடங்கு t என்று எழுதுகிறோம். 249 -00:14:39,739 --> 00:14:42,852 +00:14:39,740 --> 00:14:43,559 அந்த 2 பை உள்ளது, ஏனெனில் t 0 முதல் 1 வரை செல்லும் போது, 250 -00:14:42,852 --> 00:14:45,200 +00:14:43,559 --> 00:14:46,440 அது வட்டத்தில் 2 பை தூரத்தை கடக்க வேண்டும். 251 -00:14:45,200 --> 00:14:47,925 +00:14:47,700 --> 00:14:49,610 தொழில்நுட்ப ரீதியாக காட்டப்படுவதில், இது உண்மையில் ஒவ்வொரு 252 -00:14:47,925 --> 00:14:51,573 +00:14:49,610 --> 00:14:52,167 10 வினாடிகளுக்கும் ஒரு சுழற்சியாகும், அதனால் விஷயங்கள் மிகவும் மயக்கமாக இல்லை, 253 -00:14:51,573 --> 00:14:53,560 +00:14:52,167 --> 00:14:53,560 நான் எல்லாவற்றையும் 10 மடங்கு குறைக்கிறேன். 254 @@ -1035,7 +1035,7 @@ e எதிர்மறை 2 pi i மடங்கு t. நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை ஆகிய அனைத்து முழு எண்களிலும் இப்படியே செல்கிறோம். 260 -00:15:29,339 --> 00:15:32,847 +00:15:29,340 --> 00:15:32,847 இது அந்த மாறிலி வெக்டரை e க்கு 0 மடங்கு 2 pi மடங்கு என எழுதுவதை மிகவும் 261 @@ -1307,19 +1307,19 @@ t க்கு பெருக்கினால், ஒவ்வொரு ச அந்த c-1 திசையன் எதிர்மறையாக 3 முறை சராசரியாக 0 உடன் சுழல்கிறது. 328 -00:19:37,560 --> 00:19:44,155 +00:19:37,560 --> 00:19:42,890 C0 திசையன், முன்பு நிலையானது, இப்போது t 0 முதல் 1 வரை இருமுறை சுழல்கிறது, 329 -00:19:44,155 --> 00:19:46,740 +00:19:42,890 --> 00:19:44,980 எனவே அதன் சராசரியும் 0 ஆகும். 330 -00:19:46,740 --> 00:19:50,445 +00:19:46,520 --> 00:19:50,342 அதேபோல், c2 காலத்தைத் தவிர அனைத்து திசையன்களும் சில முழு எண்ணிக்கையிலான 331 -00:19:50,445 --> 00:19:53,740 +00:19:50,342 --> 00:19:53,740 சுழற்சிகளை உருவாக்குகின்றன, அதாவது அவை சராசரியாக 0 ஆக இருக்கும். 332 @@ -1551,31 +1551,31 @@ pi அது டெல்டா t மடங்கு. , அவர்கள் திசையன்களை இணைத்து கொசைன் அலைகள் பற்றிய யோசனையுடன் தொடர்புபடுத்துகிறேன். 389 -00:23:28,780 --> 00:23:31,627 +00:23:28,780 --> 00:23:31,775 இன்னும் அதிக லட்சியம் கொண்டவர்களுக்காக, ஃபோரியர் தொடரை விவரிக்கும் 390 -00:23:31,627 --> 00:23:34,602 +00:23:31,775 --> 00:23:34,904 பாடப்புத்தகத்தில் சைன்கள் மற்றும் கொசைன்கள் கொண்ட உண்மையான மதிப்புள்ள 391 -00:23:34,602 --> 00:23:37,492 +00:23:34,904 --> 00:23:37,944 செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் மட்டுமே இந்த பொதுவான கணக்கீட்டை எவ்வாறு 392 -00:23:37,492 --> 00:23:40,340 +00:23:37,944 --> 00:23:40,940 தொடர்புபடுத்துவது என்பதற்கான மற்றொரு பயிற்சியை திரையில் விடுகிறேன். 393 -00:23:40,340 --> 00:23:43,294 +00:23:41,840 --> 00:23:44,403 மேலும் ஃபோரியர் தொடர் உள்ளடக்கத்தை நீங்கள் தேடுகிறீர்களானால், 394 -00:23:43,294 --> 00:23:47,534 +00:23:44,403 --> 00:23:48,083 Mathologer மற்றும் The Coding Train வழங்கும் வீடியோக்களை நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன், 395 -00:23:47,534 --> 00:23:51,680 +00:23:48,083 --> 00:23:51,680 மேலும் இந்த வலைப்பதிவு இடுகையையும், விளக்கத்தில் உள்ள இணைப்புகளையும் பரிந்துரைக்கிறேன். 396 diff --git a/2019/fourier-series/telugu/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/telugu/auto_generated.srt index 5991de0ce..dd6e58ef4 100644 --- a/2019/fourier-series/telugu/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/telugu/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:05,119 --> 00:00:08,301 +00:00:05,120 --> 00:00:08,301 ఇక్కడ, మేము ఇలాంటి యానిమేషన్ వెనుక ఉన్న గణితాన్ని పరిశీలిస్తాము, 2 @@ -31,7 +31,7 @@ తెలుసుకోవడానికి మీరు కొంత సమయం కేటాయించాలని నేను కోరుకుంటున్నాను. 9 -00:00:37,199 --> 00:00:40,900 +00:00:37,200 --> 00:00:40,900 ఈ ప్రత్యేక యానిమేషన్‌లో మొత్తం 300 తిరిగే బాణాలు ఉన్నాయి. 10 @@ -75,7 +75,7 @@ వింతగా ఉంటుంది. 20 -00:01:23,839 --> 00:01:27,232 +00:01:23,840 --> 00:01:27,232 మరియు ప్రకృతిలో మరెక్కడా మీరు కనుగొనే చాలా సంక్లిష్టత వలె కాకుండా, 21 @@ -95,15 +95,15 @@ మేము ఈ సమూహాన్ని మీకు కావలసినదాన్ని గీయడానికి అన్ని సరైన మార్గాల్లో కుట్ర చేయగలము. 25 -00:01:42,180 --> 00:01:53,360 +00:01:42,180 --> 00:01:46,520 ఇంకా క్రేజీ ఏమిటంటే వీటన్నింటికీ అంతిమ సూత్రం చాలా చిన్నది. 26 -00:01:53,360 --> 00:01:57,328 +00:01:52,960 --> 00:01:57,148 తరచుగా ఫోరియర్ సిరీస్ కొద్దిగా భిన్నంగా కనిపించే పరంగా వివరించబడింది, 27 -00:01:57,328 --> 00:02:00,560 +00:01:57,148 --> 00:02:00,560 వాస్తవ సంఖ్యల విధులు సైన్ తరంగాల మొత్తంగా విభజించబడ్డాయి. 28 @@ -183,7 +183,7 @@ కలిగి ఉంటాయి. 47 -00:03:10,359 --> 00:03:14,938 +00:03:10,360 --> 00:03:14,938 హీట్ ఈక్వేషన్ అనేది బిజినెస్‌లో లీనియర్ ఈక్వేషన్‌గా పిలువబడుతుంది, 48 @@ -283,19 +283,19 @@ t అస్సలు అలా కనిపిస్తుంది. పరిచయంలోకి వచ్చిన వెంటనే ఏమి జరుగుతుందో మీరు తెలుసుకోవాలనుకున్నారు. 72 -00:04:45,060 --> 00:04:49,079 +00:04:45,060 --> 00:04:49,267 సంఖ్యలను సులభతరం చేయడానికి, ఎడమ కడ్డీ ఉష్ణోగ్రత 1 డిగ్రీ అని, 73 -00:04:49,079 --> 00:04:54,460 +00:04:49,267 --> 00:04:54,900 కుడి రాడ్ నెగెటివ్ 1 డిగ్రీ అని మరియు రెండు రాడ్‌ల మొత్తం పొడవు L, 1 అని అనుకుందాం. 74 -00:04:54,460 --> 00:04:58,618 +00:04:54,900 --> 00:04:58,877 దీని అర్థం ఏమిటంటే, మన ప్రారంభ ఉష్ణోగ్రత పంపిణీ ఒక దశ ఫంక్షన్, 75 -00:04:58,618 --> 00:05:04,560 +00:04:58,877 --> 00:05:04,560 ఇది సైన్ వేవ్ లేదా సైన్ వేవ్‌ల మొత్తానికి చాలా స్పష్టంగా భిన్నంగా ఉంటుంది, మీరు అనుకోలేదా? 76 @@ -379,7 +379,7 @@ t అస్సలు అలా కనిపిస్తుంది. మరియు విస్తృతమైనదిగా మారిందో అతిగా చెప్పడం చాలా కష్టం. 96 -00:06:13,599 --> 00:06:16,840 +00:06:13,600 --> 00:06:16,840 ఇంకా వీటన్నింటికీ మూలం భౌతిక శాస్త్రం యొక్క భాగం, 97 @@ -867,23 +867,23 @@ e ఫంక్షన్‌ను xకి వదిలివేయడం అన మనం పని చేస్తున్న ఈ భ్రమణ వెక్టర్‌లలో ప్రతిదానికి ఒక సూత్రాన్ని వ్రాసుకుందాం. 218 -00:14:18,120 --> 00:14:19,957 +00:14:18,120 --> 00:14:20,288 ప్రస్తుతానికి, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నంబర్ 1 వద్ద కుడి 219 -00:14:19,957 --> 00:14:21,900 +00:14:20,288 --> 00:14:22,580 వైపున ఒక యూనిట్‌ను సూచించడం ప్రారంభించినట్లు ఆలోచించండి. 220 -00:14:21,900 --> 00:14:26,436 +00:14:23,080 --> 00:14:27,099 వివరించడానికి సులభమైన వెక్టర్ స్థిరంగా ఉంటుంది, ఇది సంఖ్య 1 వద్ద ఉంటుంది, 221 -00:14:26,436 --> 00:14:31,524 +00:14:27,099 --> 00:14:31,608 ఇది ఎప్పుడూ కదలదు లేదా మీరు కోరుకుంటే, ఇది కోట్-అన్‌కోట్ 0 యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ వద్ద 222 -00:14:31,524 --> 00:14:32,260 +00:14:31,608 --> 00:14:32,260 తిరుగుతుంది. 223 @@ -895,19 +895,19 @@ e ఫంక్షన్‌ను xకి వదిలివేయడం అన దానిని మనం 2 pi i సార్లు tకి e అని వ్రాస్తాము. 225 -00:14:39,739 --> 00:14:42,610 +00:14:39,740 --> 00:14:43,262 ఆ 2 pi ఉంది, ఎందుకంటే t 0 నుండి 1కి వెళ్లినప్పుడు, 226 -00:14:42,610 --> 00:14:45,200 +00:14:43,262 --> 00:14:46,440 అది సర్కిల్‌తో పాటు 2 pi దూరాన్ని కవర్ చేయాలి. 227 -00:14:45,200 --> 00:14:49,478 +00:14:47,700 --> 00:14:50,698 సాంకేతికంగా చూపబడుతున్న వాటిలో, ఇది వాస్తవానికి ప్రతి 10 సెకన్లకు ఒక సైకిల్‌గా ఉంటుంది 228 -00:14:49,478 --> 00:14:53,560 +00:14:50,698 --> 00:14:53,560 కాబట్టి విషయాలు పెద్దగా తల తిరగడం లేదు, నేను ప్రతిదీ 10 కారకాలతో నెమ్మదిస్తున్నాను. 229 @@ -931,15 +931,15 @@ e ఫంక్షన్‌ను xకి వదిలివేయడం అన ధనాత్మక మరియు ప్రతికూలమైన అన్ని పూర్ణాంకాలపై మనం ఇలా కొనసాగుతాము. 234 -00:15:29,339 --> 00:15:32,629 +00:15:29,340 --> 00:15:32,629 ఇది ఆ స్థిరమైన వెక్టార్‌ని e నుండి 0 సార్లు 2 pi సార్లు వ్రాయడం 235 -00:15:32,629 --> 00:15:36,021 +00:15:32,629 --> 00:15:36,022 మరింత స్థిరంగా ఉంటుందని గమనించండి, ఇది సంఖ్య 1ని వ్రాయడానికి చాలా 236 -00:15:36,021 --> 00:15:39,620 +00:15:36,022 --> 00:15:39,620 సంక్లిష్టమైన మార్గంగా అనిపిస్తుంది, కానీ కనీసం ఇది నమూనాకు సరిపోతుంది. 237 @@ -1159,19 +1159,19 @@ pi i సార్లు tకి గుణిస్తే, ప్రతి పద ఆ c-1 వెక్టర్ 0 యొక్క సగటుతో 3 సార్లు ప్రతికూలంగా తిరుగుతుంది. 291 -00:19:37,560 --> 00:19:44,615 +00:19:37,560 --> 00:19:43,262 C0 వెక్టర్, గతంలో స్థిరంగా ఉంది, ఇప్పుడు t 0 నుండి 1 వరకు రెండుసార్లు తిరుగుతుంది, 292 -00:19:44,615 --> 00:19:46,740 +00:19:43,262 --> 00:19:44,980 కాబట్టి దాని సగటు కూడా 0. 293 -00:19:46,740 --> 00:19:52,535 +00:19:46,520 --> 00:19:52,497 అదేవిధంగా, c2 పదం కాకుండా అన్ని వెక్టర్‌లు కొంత మొత్తం రొటేషన్‌లను చేస్తాయి, 294 -00:19:52,535 --> 00:19:53,740 +00:19:52,497 --> 00:19:53,740 అంటే అవి సగటు 0. 295 @@ -1407,27 +1407,27 @@ n యొక్క విలువలను ప్రతికూల 50 నుం ద్వారా కొసైన్ తరంగాల ఆలోచనతో తిరిగి వివరించడానికి ఒక వ్యాయామంగా వదిలివేస్తాను. 353 -00:23:28,780 --> 00:23:32,758 +00:23:28,780 --> 00:23:32,964 మరియు మరింత ప్రతిష్టాత్మకంగా, సైన్స్ మరియు కొసైన్‌లతో కూడిన నిజమైన-విలువైన ఫంక్షన్‌ల 354 -00:23:32,758 --> 00:23:36,455 +00:23:32,964 --> 00:23:36,853 పరంగా మాత్రమే ఫోరియర్ సిరీస్‌ను వివరించే పాఠ్యపుస్తకంలో మీరు చూడగలిగే దానితో ఈ 355 -00:23:36,455 --> 00:23:40,340 +00:23:36,853 --> 00:23:40,940 మరింత సాధారణ గణనను ఎలా వివరించాలో నేను స్క్రీన్‌పై మరొక వ్యాయామాన్ని వదిలివేస్తాను. 356 -00:23:40,340 --> 00:23:43,767 +00:23:41,840 --> 00:23:44,813 అలాగే, మీరు మరిన్ని ఫోరియర్ సిరీస్ కంటెంట్ కోసం వెతుకుతున్నట్లయితే, 357 -00:23:43,767 --> 00:23:47,295 +00:23:44,813 --> 00:23:47,875 నేను Mathologer మరియు The Coding Train ద్వారా వీడియోలను బాగా సిఫార్సు 358 -00:23:47,295 --> 00:23:51,680 +00:23:47,875 --> 00:23:51,680 చేస్తున్నాను మరియు నేను ఈ బ్లాగ్ పోస్ట్‌ను, వివరణలోని లింక్‌లను కూడా సిఫార్సు చేస్తాను. 359 diff --git a/2019/fourier-series/turkish/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/turkish/auto_generated.srt index 7de670fd1..328790345 100644 --- a/2019/fourier-series/turkish/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/turkish/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:05,119 --> 00:00:07,883 +00:00:05,120 --> 00:00:07,883 Burada, karmaşık Fourier serisi olarak bilinen bunun 2 @@ -35,7 +35,7 @@ Bütün bunlara dalmadan önce, bunun ne kadar çarpıcı olduğu üzerinde biraz durmanızı istiyorum. 10 -00:00:37,199 --> 00:00:40,900 +00:00:37,200 --> 00:00:40,900 Bu özel animasyonun toplamda 300 dönen oku vardır. 11 @@ -75,7 +75,7 @@ mekanik katılığı göz önünde bulundurduğunuzda, sürünün çok özel bir şeklin izini sürmek için bir tür koordinasyonla hareket etmesi tuhaf. 20 -00:01:23,839 --> 00:01:27,480 +00:01:23,840 --> 00:01:27,480 Ve doğanın başka yerlerinde bulduğunuz yeni ortaya çıkan karmaşıklığın çoğundan farklı 21 @@ -95,36 +95,36 @@ bu sürünün istediğiniz her şeyi çizmek için doğru yollarla komplo kurmasını sağlayabiliriz, yeter ki yeterli küçük oklarınız olsun. 25 -00:01:42,180 --> 00:01:53,360 +00:01:42,180 --> 00:01:46,520 Daha da çılgın olanı, tüm bunların nihai formülünün inanılmaz derecede kısa olmasıdır. 26 -00:01:53,360 --> 00:01:56,837 +00:01:52,960 --> 00:01:56,630 Genellikle Fourier serileri biraz farklı görünen bir şeyle tanımlanır; 27 -00:01:56,837 --> 00:02:00,560 +00:01:56,630 --> 00:02:00,560 gerçek sayıların fonksiyonları sinüs dalgalarının toplamı olarak parçalanır. 28 -00:02:01,260 --> 00:02:04,356 +00:02:01,260 --> 00:02:04,417 Bunun, üzerinde duracağımız daha genel dönen vektör olgusunun özel 29 -00:02:04,356 --> 00:02:07,452 -bir durumu olduğu ortaya çıkıyor, ancak Fourier'nin kendisi de +00:02:04,417 --> 00:02:07,716 +bir durumu olduğu ortaya çıkıyor, ancak Fourier'nin kendisi de burada 30 -00:02:07,452 --> 00:02:10,780 -burada başladı ve hikayeye de buradan başlamamız için iyi bir neden var. +00:02:07,716 --> 00:02:10,780 +başladı ve hikayeye de buradan başlamamız için iyi bir neden var. 31 -00:02:11,420 --> 00:02:14,348 -Teknik olarak bu, Fourier'nin büyük fikrini geliştirirken +00:02:11,420 --> 00:02:14,684 +Teknik olarak bu, Fourier'nin büyük fikrini geliştirirken üzerinde 32 -00:02:14,348 --> 00:02:17,560 -üzerinde çalıştığı ısı denklemiyle ilgili bir dizideki üçüncü video. +00:02:14,684 --> 00:02:17,560 +çalıştığı ısı denklemiyle ilgili bir dizideki üçüncü video. 33 00:02:18,200 --> 00:02:21,820 @@ -179,7 +179,7 @@ bu dalgalar basitçe üstel olarak küçülür, daha yüksek frekanslı dalgalar bir azalmaya sahip olur. 46 -00:03:10,359 --> 00:03:14,918 +00:03:10,360 --> 00:03:14,918 Isı denklemi, sektörde doğrusal denklem olarak bilinen şeydir; 47 @@ -251,19 +251,19 @@ bileşenlerinin bozunum oranlarındaki bu fark tarafından yakalanır. Fourier işte bu noktada ölümsüzlüğe kavuşur. 64 -00:04:21,279 --> 00:04:23,957 +00:04:21,279 --> 00:04:24,002 Sanırım bu aşamadaki çoğu normal insan şöyle der: 65 -00:04:23,957 --> 00:04:28,134 +00:04:24,002 --> 00:04:28,250 İlk dağılım bir dalgaya veya dalgaların toplamına benzediğinde ısı denklemini 66 -00:04:28,134 --> 00:04:32,686 +00:04:28,250 --> 00:04:32,878 çözebilirim, ama gerçek dünya dağılımlarının çoğunun bunu yapamaması ne kadar yazık. 67 -00:04:32,686 --> 00:04:34,240 +00:04:32,878 --> 00:04:34,240 ' hiç de öyle görünmüyor. 68 @@ -275,27 +275,27 @@ Yani, örneğin, her biri aynı sıcaklıkta olan iki çubuğu bir araya getirdi ve temas ettikten hemen sonra ne olacağını bilmek istediğinizi varsayalım. 70 -00:04:45,060 --> 00:04:49,096 +00:04:45,060 --> 00:04:49,285 Sayıları basitleştirmek için, diyelim ki sol çubuğun sıcaklığı 1 derece, 71 -00:04:49,096 --> 00:04:54,017 +00:04:49,285 --> 00:04:54,436 sağ çubuğun sıcaklığı ise eksi 1 derece ve birleştirilmiş iki çubuğun toplam uzunluğu L, 72 -00:04:54,017 --> 00:04:54,460 +00:04:54,436 --> 00:04:54,900 1 olsun. 73 -00:04:54,460 --> 00:04:57,771 +00:04:54,900 --> 00:04:58,067 Bunun anlamı, başlangıçtaki sıcaklık dağılımımızın bir adım 74 -00:04:57,771 --> 00:05:00,917 +00:04:58,067 --> 00:05:01,076 fonksiyonu olduğudur ve bu sinüs dalgasından ya da sinüs 75 -00:05:00,917 --> 00:05:04,560 +00:05:01,076 --> 00:05:04,560 dalgalarının toplamından açıkça farklıdır, sizce de öyle değil mi? 76 @@ -371,15 +371,15 @@ adı aslında fonksiyonları ve kalıpları basit salınımların birleşimi ola parçalama fikriyle eşanlamlı. 94 -00:06:05,700 --> 00:06:09,222 +00:06:05,700 --> 00:06:09,083 Bu fikrin Fourier'in hayal bile edemeyeceği kadar 95 -00:06:09,222 --> 00:06:12,940 +00:06:09,083 --> 00:06:12,940 önemli ve geniş kapsamlı olduğunu abartmak gerçekten zor. 96 -00:06:13,599 --> 00:06:17,068 +00:06:13,600 --> 00:06:17,068 Ancak tüm bunların kökeni, ilk bakışta frekanslarla ve 97 @@ -451,39 +451,39 @@ Bundan önce, sonsuz toplam gibi bir ifadeyle ne kastettiğimizi açıklığa kavuşturmakta fayda var, bu da biraz belirsiz olma riskini taşır. 114 -00:07:13,540 --> 00:07:17,095 +00:07:13,540 --> 00:07:17,214 Sayıların daha basit bağlamını düşünün; örneğin bu sonsuz 115 -00:07:17,095 --> 00:07:21,080 +00:07:17,214 --> 00:07:21,080 kesir toplamının pi bölü 4'e eşit olduğunu söyleyebilirsiniz. 116 -00:07:21,680 --> 00:07:26,538 +00:07:21,680 --> 00:07:26,673 Terimleri birer birer eklemeye devam ettikçe, sahip olduğunuz şey her zaman rasyoneldir, 117 -00:07:26,538 --> 00:07:29,760 +00:07:26,673 --> 00:07:29,760 aslında hiçbir zaman irrasyonel pi bölü 4'e eşit olmaz. 118 -00:07:30,380 --> 00:07:34,175 +00:07:30,380 --> 00:07:34,068 Ancak bu kısmi toplamlar dizisi pi bölü 4'e yaklaşır, 119 -00:07:34,175 --> 00:07:38,102 -yani pi bölü 4'e asla eşit olmasa da gördüğünüz sayılar +00:07:34,068 --> 00:07:38,303 +yani pi bölü 4'e asla eşit olmasa da gördüğünüz sayılar keyfi 120 -00:07:38,102 --> 00:07:42,880 -keyfi olarak bu değere yaklaşır ve keyfi olarak bu değere yakın kalırlar. +00:07:38,303 --> 00:07:42,880 +olarak bu değere yaklaşır ve keyfi olarak bu değere yakın kalırlar. 121 -00:07:43,720 --> 00:07:46,366 +00:07:43,720 --> 00:07:46,465 Bunların hepsi ağız dolusu, bu yüzden kısaltıyoruz ve 122 -00:07:46,366 --> 00:07:49,160 +00:07:46,465 --> 00:07:49,160 sonsuz toplamın pi bölü 4'e eşit olduğunu söylüyoruz. 123 @@ -503,1010 +503,990 @@ kosinüs fonksiyonlarının değerini düşünün. Bu giriş 0'dan küçükse.5, daha fazla terim ekledikçe toplam 1'e yaklaşacaktır. 127 -00:08:10,000 --> 00:08:12,908 -Bu giriş 0'dan büyükse.5, giderek daha fazla +00:08:10,000 --> 00:08:15,460 +Bu giriş 0'dan büyükse.5, giderek daha fazla terim ekledikçe eksi 1'e yaklaşacaktır. 128 -00:08:12,908 --> 00:08:15,460 -terim ekledikçe eksi 1'e yaklaşacaktır. - -129 -00:08:17,260 --> 00:08:20,849 +00:08:17,260 --> 00:08:20,751 0 girişinde.5'in kendisi için tüm kosinüsler 0'dır, -130 -00:08:20,849 --> 00:08:23,840 +129 +00:08:20,751 --> 00:08:23,840 dolayısıyla kısmi toplamların limiti de 0'dır. -131 +130 00:08:24,600 --> 00:08:28,316 Bu, biraz beceriksizce, bu sonsuz toplamın kesinlikle doğru olması için, -132 +131 00:08:28,316 --> 00:08:31,676 bu küme fonksiyonunun süreksizlik noktasındaki değerini 0 olarak, -133 +132 00:08:31,676 --> 00:08:35,240 yani sıçramanın yarısı kadar olarak yazmamız gerektiği anlamına gelir. -134 +133 00:08:36,080 --> 00:08:40,913 Rasyonel sayıların sonsuz toplamının irrasyonel olmasına benzer şekilde, -135 +134 00:08:40,913 --> 00:08:46,740 dalgalı sürekli fonksiyonların sonsuz toplamı süreksiz bir düz fonksiyona eşit olabilir. -136 +135 00:08:47,160 --> 00:08:49,872 Oyuna sınırlar koymak niteliksel değişikliklere izin verir ki bu, -137 +136 00:08:49,872 --> 00:08:52,380 sonlu toplamların tek başına asla sağlayamayacağı bir şeydir. -138 +137 00:08:53,280 --> 00:08:56,660 Burada halının altına süpürdüğüm birçok teknik nüans var. -139 +138 00:08:56,660 --> 00:08:59,777 Süreksizlik noktasında adım fonksiyonu için belli bir -140 +139 00:08:59,777 --> 00:09:03,300 değere zorlanmamız ısı akışı probleminde bir fark yaratır mı? -141 -00:09:03,820 --> 00:09:06,005 +140 +00:09:03,820 --> 00:09:06,098 Bu bakımdan, süreksiz bir başlangıç koşuluna sahip -142 -00:09:06,005 --> 00:09:08,020 +141 +00:09:06,098 --> 00:09:08,020 bir PDE'yi çözmek gerçekte ne anlama gelir? -143 +142 00:09:09,280 --> 00:09:13,020 Isı denkleminin çözüm limitinin de bir çözüm olduğundan emin olabilir miyiz? -144 +143 00:09:13,580 --> 00:09:15,346 Ve tüm fonksiyonların aslında bunun gibi bir Fourier -145 +144 00:09:15,346 --> 00:09:16,880 serisine sahip olduğundan emin olabilir miyiz? -146 +145 00:09:17,180 --> 00:09:18,400 Değilse, ne zaman değil? -147 +146 00:09:19,080 --> 00:09:22,538 Bunlar tam olarak gerçek analizin cevaplamak için oluşturulduğu türden sorulardır, -148 +147 00:09:22,538 --> 00:09:25,080 ancak burada değinmek istediğimden biraz daha derine iniyor, -149 +148 00:09:25,080 --> 00:09:28,080 bu yüzden hepsini videonun açıklamasındaki bağlantılara havale edeceğim. -150 -00:09:28,720 --> 00:09:33,218 +149 +00:09:28,720 --> 00:09:33,278 Sonuç olarak, bu kosinüs dalgalarıyla ilişkili ısı denklemi çözümlerini alıp -151 -00:09:33,218 --> 00:09:36,373 +150 +00:09:33,278 --> 00:09:36,475 hepsini topladığınızda, bunların hepsi sonsuz sayıda, -152 -00:09:36,373 --> 00:09:40,871 +151 +00:09:36,475 --> 00:09:41,033 adım fonksiyonunun zaman içinde nasıl gelişeceğini açıklayan kesin bir çözüm -153 -00:09:40,871 --> 00:09:43,617 +152 +00:09:41,033 --> 00:09:43,816 elde edersiniz ve eğer bunu yapmış olsaydınız. -154 -00:09:43,617 --> 00:09:46,480 +153 +00:09:43,816 --> 00:09:46,480 1822'de bunu yapmış olsaydın ölümsüz olurdun. -155 +154 00:09:47,140 --> 00:09:51,240 Bütün bunlardaki en önemli zorluk elbette bu katsayıları bulmaktır. -156 -00:09:53,880 --> 00:09:57,053 +155 +00:09:53,880 --> 00:09:57,090 Şu ana kadar çıktıları gerçek sayı olan fonksiyonlar üzerinde düşündük, -157 -00:09:57,053 --> 00:10:00,888 +156 +00:09:57,090 --> 00:10:00,791 ancak hesaplamalar için size Fourier'in başlangıçta yaptığından daha genel bir şey -158 -00:10:00,888 --> 00:10:04,591 +157 +00:10:00,791 --> 00:10:04,537 göstermek istiyorum; çıktısı 2 boyutlu düzlemde herhangi bir karmaşık sayı olabilen -159 -00:10:04,591 --> 00:10:08,250 +158 +00:10:04,537 --> 00:10:08,238 fonksiyonlara uygulanarak, açılıştan itibaren dönen tüm vektörlerin tekrar devreye -160 -00:10:08,250 --> 00:10:09,220 +159 +00:10:08,238 --> 00:10:09,220 girdiği yer burasıdır. -161 +160 00:10:10,880 --> 00:10:12,260 Neden eklenen karmaşıklık? -162 +161 00:10:12,260 --> 00:10:15,841 Daha genel olmanın yanı sıra, benim görüşüme göre hesaplamalar daha -163 +162 00:10:15,841 --> 00:10:19,580 temiz hale geliyor ve gerçekte neden işe yaradığını anlamak daha kolay. -164 +163 00:10:20,300 --> 00:10:24,139 Daha da önemlisi, Laplace dönüşümü ve üstel fonksiyonların önemi gibi serinin -165 +164 00:10:24,139 --> 00:10:27,880 ilerleyen bölümlerinde ortaya çıkacak fikirler için iyi bir temel oluşturur. -166 -00:10:29,300 --> 00:10:31,989 +165 +00:10:29,300 --> 00:10:32,156 Basitlik açısından yine de girdisi sonlu bir aralıkta, -167 -00:10:31,989 --> 00:10:36,000 +166 +00:10:32,156 --> 00:10:36,000 örneğin 0'dan 1'e kadar olan bir reel sayı olan fonksiyonları düşüneceğiz. -168 +167 00:10:36,560 --> 00:10:39,339 Ancak sıcaklık fonksiyonu gibi bir şeyin gerçek sayı doğrusu üzerinde -169 +168 00:10:39,339 --> 00:10:41,244 çıktıları olacakken, bu daha geniş bakış açısı, -170 +169 00:10:41,244 --> 00:10:44,540 çıktıların 2 boyutlu karmaşık düzlemde herhangi bir yere gitmesine izin verecektir. -171 -00:10:45,120 --> 00:10:48,954 +170 +00:10:45,120 --> 00:10:48,748 Böyle bir işlevi, girdi aralığı 0'dan 1'e kadar olan bir kalem ucunun -172 -00:10:48,954 --> 00:10:52,740 +171 +00:10:48,748 --> 00:10:52,740 karmaşık düzlemdeki farklı noktaları çizdiği bir çizim gibi düşünebilirsiniz. -173 +172 00:10:53,340 --> 00:10:57,386 Ve başlangıçta gördüğünüz gibi sinüs dalgalarının temel yapı taşı olması yerine, -174 +173 00:10:57,386 --> 00:11:00,682 bu fonksiyonları, hepsi sabit bir tamsayı frekansında dönen küçük -175 +174 00:11:00,682 --> 00:11:03,680 vektörlerin toplamı olarak parçalara ayırmaya odaklanacağız. -176 +175 00:11:03,680 --> 00:11:09,013 Gerçek sayı çıktılarına sahip işlevler aslında gerçekten sıkıcı çizimlerdir, -177 +176 00:11:09,013 --> 00:11:11,300 tek boyutlu bir kalem taslağıdır. -178 +177 00:11:11,980 --> 00:11:16,164 Genellikle böyle bir fonksiyonu grafikle görselleştirdiğimiz için bunları böyle -179 +178 00:11:16,164 --> 00:11:20,820 düşünmeye alışkın olmayabilirsiniz, ancak şu anda çizilen yol yalnızca çıktı uzayındadır. -180 +179 00:11:25,420 --> 00:11:30,839 Sıkıcı bir çizim için bu ayrıştırmalardan birini dönen vektörlere yaparsanız, -181 +180 00:11:30,839 --> 00:11:35,425 frekansı 1 ve negatif 1 olan vektörler aynı uzunluğa sahip olacak -182 +181 00:11:35,425 --> 00:11:38,760 ve birbirlerinin yatay yansımaları olacaklardır. -183 +182 00:11:39,500 --> 00:11:42,961 Döndükçe bu ikisinin toplamına baktığınızda, bu toplam gerçek -184 +183 00:11:42,961 --> 00:11:46,200 sayı doğrusunda sabit kalır ve sinüs dalgası gibi salınır. -185 +184 00:11:46,920 --> 00:11:50,874 Daha önce görmediyseniz, sinüs dalgasının ne olduğunu düşünmenin gerçekten -186 +185 00:11:50,874 --> 00:11:54,829 tuhaf bir yolu olabilir, çünkü biz reel sayı doğrusunda tek başına dolaşan -187 +186 00:11:54,829 --> 00:11:58,995 çıktı yerine grafiğine bakmaya alışkınız. Karmaşık sayı çıktılarına sahip daha -188 +187 00:11:58,995 --> 00:12:03,320 geniş bir fonksiyon bağlamında, yatay çizgideki bu salınım sinüs dalgasına benzer. -189 +188 00:12:04,920 --> 00:12:09,353 Benzer şekilde, frekansı 2 ve negatif 2 olan dönen vektör çifti başka bir -190 +189 00:12:09,353 --> 00:12:13,068 sinüs dalgası bileşeni ekleyecektir ve bu şekilde devam eder; -191 +190 00:12:13,068 --> 00:12:17,861 daha önce aradığımız sinüs dalgaları artık zıt yönlerde dönen vektör çiftlerine -192 +191 00:12:17,861 --> 00:12:18,760 karşılık gelir. -193 -00:12:19,640 --> 00:12:22,446 +192 +00:12:19,640 --> 00:12:22,309 Dolayısıyla Fourier'in başlangıçta üzerinde çalıştığı, -194 -00:12:22,446 --> 00:12:25,395 +193 +00:12:22,309 --> 00:12:25,317 gerçek değerli fonksiyonları sinüs dalgalarına ayıran bağlam, -195 -00:12:25,395 --> 00:12:29,200 +194 +00:12:25,317 --> 00:12:29,200 2 boyutlu çizimler ve dönen vektörler gibi daha genel fikrin özel bir durumudur. -196 +195 00:12:34,580 --> 00:12:38,022 Ve bu noktada belki de bakış açımızı karmaşık işlevlere genişletmenin işleri -197 +196 00:12:38,022 --> 00:12:41,331 anlamamızı kolaylaştıracağı konusunda bana güvenmiyorsun, ama sabırlı ol, -198 +197 00:12:41,331 --> 00:12:44,550 resmin tamamını görmek için ekstra çaba harcamaya değer ve bence memnun -199 +198 00:12:44,550 --> 00:12:48,440 kalacaksın Bu daha geniş bağlamda gerçek hesaplamanın ne kadar temiz olduğu ile ilgili. -200 +199 00:12:49,100 --> 00:12:51,798 Ayrıca, eğer şeyleri iki boyuta çıkaracaksak, neden sadece 2 -201 +200 00:12:51,798 --> 00:12:54,674 boyutlu vektörlerden bahsetmediğimizi, negatif birin karekökünün -202 +201 00:12:54,674 --> 00:12:57,240 herhangi bir şeyle ne ilgisi olduğunu merak edebilirsiniz. -203 +202 00:12:58,100 --> 00:13:03,700 Fourier serisinin kalbi ve ruhu karmaşık e üzeri i çarpı t üsteldir. -204 +203 00:13:04,480 --> 00:13:07,877 T girişi zamanla ileriye doğru ilerledikçe, bu değer -205 +204 00:13:07,877 --> 00:13:11,340 birim çember etrafında saniyede bir birim hızla yürür. -206 +205 00:13:12,280 --> 00:13:16,023 Bir sonraki videoda, diferansiyel denklemler açısından üstel sanal sayıların -207 +206 00:13:16,023 --> 00:13:19,767 neden böyle çemberler etrafında yürüdüğüne dair hızlı bir sezgi göreceksiniz -208 +207 00:13:19,767 --> 00:13:23,316 ve bunun ötesinde, seri ilerledikçe, bunun gibi karmaşık üstel sayıların -209 +208 00:13:23,316 --> 00:13:27,060 neden olduğuna dair size biraz fikir vermeyi umuyorum. aslında çok önemlidir. -210 -00:13:27,740 --> 00:13:30,792 +209 +00:13:27,740 --> 00:13:30,868 Teorik olarak, tüm Fourier serisi olaylarını tamamen vektörler cinsinden +210 +00:13:30,868 --> 00:13:34,640 +tanımlayabilirsiniz ve negatif birin karekökü olan i'den tek kelime bile bahsetmezsiniz. + 211 -00:13:30,792 --> 00:13:34,012 -tanımlayabilirsiniz ve negatif birin karekökü olan i'den tek kelime bile +00:13:35,300 --> 00:13:38,351 +Formüller daha karmaşık hale gelecektir, ancak bunun ötesinde, 212 -00:13:34,012 --> 00:13:34,640 -bahsetmezsiniz. +00:13:38,351 --> 00:13:42,226 +e'den x'e olan fonksiyonu dışarıda bırakmak, bir şekilde bu fikrin diferansiyel 213 -00:13:35,300 --> 00:13:38,252 -Formüller daha karmaşık hale gelecektir, ancak bunun ötesinde, +00:13:42,226 --> 00:13:45,956 +denklemleri çözmek için neden bu kadar yararlı olduğunu artık gerçek anlamda 214 -00:13:38,252 --> 00:13:40,735 -e'den x'e olan fonksiyonu dışarıda bırakmak, +00:13:45,956 --> 00:13:46,780 +yansıtmayacaktır. 215 -00:13:40,735 --> 00:13:44,577 -bir şekilde bu fikrin diferansiyel denklemleri çözmek için neden bu kadar yararlı - -216 -00:13:44,577 --> 00:13:46,780 -olduğunu artık gerçek anlamda yansıtmayacaktır. - -217 -00:13:47,420 --> 00:13:50,832 +00:13:47,420 --> 00:13:50,713 Şimdilik, eğer isterseniz, e üzeri it'i dönen vektörleri tanımlamak için -218 -00:13:50,832 --> 00:13:53,491 +216 +00:13:50,713 --> 00:13:53,419 kullanılan notasyonel bir kısaltma olarak düşünebilirsiniz, -219 -00:13:53,491 --> 00:13:57,480 +217 +00:13:53,419 --> 00:13:57,480 ancak bunun basit bir kısaltmadan daha önemli olduğunu aklınızın bir köşesinde bulundurun. -220 +218 00:13:58,540 --> 00:14:02,312 Vektör ve karmaşık sayılar kelimelerini birbirlerinin yerine kullanarak dil konusunda -221 +219 00:14:02,312 --> 00:14:06,128 biraz gevşek davrandığımı fark edeceksiniz, çünkü büyük ölçüde karmaşık sayıları küçük -222 +220 00:14:06,128 --> 00:14:09,725 oklar olarak düşünmek, bunların çoğunu bir araya getirme fikrini görselleştirmeyi -223 +221 00:14:09,725 --> 00:14:10,340 kolaylaştırır. -224 +222 00:14:11,340 --> 00:14:13,871 Tamam, e üzeri i çarpı t fonksiyonunu kullanarak, -225 +223 00:14:13,871 --> 00:14:17,720 üzerinde çalıştığımız bu dönen vektörlerin her biri için bir formül yazalım. -226 -00:14:18,120 --> 00:14:21,900 +224 +00:14:18,120 --> 00:14:22,580 Şimdilik her birinin 1 numaradan bir birim sağa işaret ederek başladığını düşünün. -227 -00:14:21,900 --> 00:14:25,237 +225 +00:14:23,080 --> 00:14:26,037 Tanımlanması en kolay vektör, 1 numarada kalan, -228 -00:14:25,237 --> 00:14:29,895 +226 +00:14:26,037 --> 00:14:30,165 asla hareket etmeyen veya tercih ederseniz, yalnızca 0 frekansında -229 -00:14:29,895 --> 00:14:32,260 +227 +00:14:30,165 --> 00:14:32,260 alıntı-alıntı dönen sabit olandır. -230 +228 00:14:33,100 --> 00:14:36,438 Sonra her saniyede bir devir dönen bir vektör olacak, -231 +229 00:14:36,438 --> 00:14:39,220 bunu e üzeri 2 pi i çarpı t olarak yazıyoruz. -232 -00:14:39,739 --> 00:14:42,520 +230 +00:14:39,740 --> 00:14:43,020 Bu 2 pi orada çünkü t 0'dan 1'e giderken daire -233 -00:14:42,520 --> 00:14:45,200 +231 +00:14:43,020 --> 00:14:46,440 boyunca 2 pi'lik bir mesafe kat etmesi gerekiyor. -234 -00:14:45,200 --> 00:14:49,350 +232 +00:14:47,700 --> 00:14:50,609 Teknik olarak gösterilen şeyde, aslında her 10 saniyede bir döngü var, -235 -00:14:49,350 --> 00:14:53,560 +233 +00:14:50,609 --> 00:14:53,560 bu yüzden işler çok baş döndürücü değil, her şeyi 10 kat yavaşlatıyorum. -236 +234 00:14:55,320 --> 00:14:59,827 Ayrıca diğer yönde saniyede bir devirle dönen bir vektörümüz var, -237 +235 00:14:59,827 --> 00:15:01,740 e üzeri eksi 2 pi i çarpı t. -238 -00:15:04,300 --> 00:15:10,558 +236 +00:15:04,300 --> 00:15:10,402 Benzer şekilde, saniyede iki dönüş yapan, e üzeri 2 çarpı 2 pi i çarpı t'dir; -239 -00:15:10,558 --> 00:15:16,740 +237 +00:15:10,402 --> 00:15:16,740 burada üstteki 2 çarpı 2 pi, bir saniyede ne kadar mesafe katedildiğini tanımlar. -240 +238 00:15:20,600 --> 00:15:24,826 Ve bu şekilde, hem pozitif hem de negatif tüm tamsayılar üzerinde, -241 +239 00:15:24,826 --> 00:15:28,800 e üzeri n çarpı 2 pi çarpı i t genel formülüyle devam ediyoruz. -242 -00:15:29,339 --> 00:15:32,631 +240 +00:15:29,340 --> 00:15:32,631 Bunun, sabit vektörü e üzeri 0 çarpı 2 pi çarpı o olarak yazmayı -243 +241 00:15:32,631 --> 00:15:35,011 daha tutarlı hale getirdiğine dikkat edin; bu, -244 +242 00:15:35,011 --> 00:15:38,353 1 sayısını yazmanın son derece karmaşık bir yolu gibi geliyor ama -245 +243 00:15:38,353 --> 00:15:39,620 en azından kalıba uyuyor. -246 +244 00:15:40,500 --> 00:15:44,164 Sahip olduğumuz kontrol, çevirebileceğimiz düğmeler ve kadranlar seti, -247 +245 00:15:44,164 --> 00:15:46,900 bu sayıların her birinin başlangıç boyutu ve yönüdür. -248 +246 00:15:47,480 --> 00:15:53,240 Bunu kontrol etmenin yolu, her birini c alt n diyeceğim karmaşık bir sabitle çarpmak. -249 +247 00:15:53,880 --> 00:15:57,719 Örneğin sabit vektörün 1 sayısında olmasını değil, -250 +248 00:15:57,719 --> 00:16:01,860 uzunluğunun 0 olmasını isteseydik.5, c alt 0, 0 olur.5. -251 +249 00:16:02,540 --> 00:16:07,475 Saniyede 1 devirle dönen vektörün 45 derecelik bir açıyla başlamasını isteseydik, -252 +250 00:16:07,475 --> 00:16:11,207 onu o kadar döndürme etkisine sahip olan ve e üzeri pi olarak -253 +251 00:16:11,207 --> 00:16:15,000 yazabileceğiniz karmaşık bir sayıyla çarpardık. dördüncü kez i. -254 +252 00:16:15,640 --> 00:16:18,720 Ve eğer başlangıç uzunluğunun 0 olması gerekiyorsa.3 -255 +253 00:16:18,720 --> 00:16:21,800 ise c alt 1 katsayısı 0 olacaktır.Bu miktarın 3 katı. -256 +254 00:16:22,760 --> 00:16:26,489 Benzer şekilde, dönen vektörlerden oluşan sonsuz ailemizdeki herkesin, -257 +255 00:16:26,489 --> 00:16:29,221 başlangıç açısını ve toplam büyüklüğünü belirleyen, -258 +256 00:16:29,221 --> 00:16:31,900 kendisiyle çarpılan bazı karmaşık sabitleri vardır. -259 -00:16:32,820 --> 00:16:36,716 -Amacımız, herhangi bir f/t fonksiyonunu, diyelim ki t 0'dan - -260 -00:16:36,716 --> 00:16:39,881 -1'e giderken sekizinci notayı çeken fonksiyonu, +257 +00:16:32,820 --> 00:16:38,464 +Amacımız, herhangi bir f/t fonksiyonunu, diyelim ki t 0'dan 1'e giderken sekizinci notayı -261 -00:16:39,881 --> 00:16:43,108 -bunun gibi terimlerin toplamı olarak ifade etmektir, +258 +00:16:38,464 --> 00:16:42,917 +çeken fonksiyonu, bunun gibi terimlerin toplamı olarak ifade etmektir, -262 -00:16:43,108 --> 00:16:47,370 +259 +00:16:42,917 --> 00:16:47,307 dolayısıyla bu sabitleri tek tek seçmenin bir yoluna ihtiyacımız var. -263 -00:16:47,370 --> 00:16:49,440 +260 +00:16:47,307 --> 00:16:49,440 fonksiyonun verileri verildiğinde. -264 +261 00:16:51,840 --> 00:16:54,540 Bunlardan bulunması en kolay olanı sabit terimdir. -265 +262 00:16:55,080 --> 00:16:58,480 Bu terim, çizimin tamamı için bir çeşit kütle merkezini temsil eder. -266 +263 00:16:59,000 --> 00:17:04,647 Eğer t girişi için 0 ile 1 arasında değişen eşit aralıklı bir grup değeri örnekleyecek -267 +264 00:17:04,647 --> 00:17:10,165 olsaydınız, bu örnekler için fonksiyonun tüm çıktılarının ortalaması c0 sabit terimi -268 +265 00:17:10,165 --> 00:17:10,619 olurdu. -269 -00:17:11,359 --> 00:17:15,268 +266 +00:17:11,359 --> 00:17:15,396 Veya daha doğrusu, giderek daha ince örnekleri düşündüğünüzde, -270 -00:17:15,268 --> 00:17:19,240 +267 +00:17:15,396 --> 00:17:19,240 bu örneklerin çıktılarının ortalaması limitte c0'a yaklaşır. -271 -00:17:20,000 --> 00:17:22,708 -Tanımladığım şey, girdi aralığındaki t örnekleri için bir - -272 -00:17:22,708 --> 00:17:25,791 -fonksiyonun daha ince ve daha hassas toplamları, bir integraldir, +268 +00:17:20,000 --> 00:17:24,150 +Tanımladığım şey, girdi aralığındaki t örnekleri için bir fonksiyonun daha ince ve -273 -00:17:25,791 --> 00:17:28,500 -f t'nin 0'dan 1'e kadar olan bir integralidir. +269 +00:17:24,150 --> 00:17:28,500 +daha hassas toplamları, bir integraldir, f t'nin 0'dan 1'e kadar olan bir integralidir. -274 -00:17:30,820 --> 00:17:34,321 +270 +00:17:30,820 --> 00:17:34,390 Normalde, tüm bunları ortalamalar cinsinden çerçevelediğim için, -275 -00:17:34,321 --> 00:17:38,524 +271 +00:17:34,390 --> 00:17:38,454 integrali giriş aralığının uzunluğuna bölersiniz, ancak bu uzunluk 1'dir, -276 -00:17:38,524 --> 00:17:42,080 +272 +00:17:38,454 --> 00:17:42,080 yani bu durumda, bir integral almak ve ortalama almak aynı şeydir. -277 +273 00:17:42,640 --> 00:17:46,580 Bu integralin neden c0'ı dışarı çıkardığını düşünmenin çok güzel bir yolu var. -278 +274 00:17:47,380 --> 00:17:51,585 Unutmayın, bu fonksiyonu dönen vektörlerin toplamı olarak düşünmek istiyoruz, -279 +275 00:17:51,585 --> 00:17:56,168 dolayısıyla bu integralin, bu sürekli ortalamanın bu toplamın tamamına uygulandığını -280 +276 00:17:56,168 --> 00:17:56,600 düşünün. -281 +277 00:17:57,460 --> 00:18:02,580 Bunun gibi bir toplamın ortalaması, her bir parçanın ortalamalarının toplamına eşittir. -282 +278 00:18:06,080 --> 00:18:09,240 Bu hareketi perspektifte bir tür ince değişim olarak okuyabilirsiniz. -283 -00:18:09,520 --> 00:18:13,357 +279 +00:18:09,520 --> 00:18:13,507 Zamanın her noktasında tüm vektörlerin toplamına bakmak ve bunların -284 -00:18:13,357 --> 00:18:17,420 -taradığı ortalama değeri almak yerine, t 0'dan 1'e giderken tek +280 +00:18:13,507 --> 00:18:17,494 +taradığı ortalama değeri almak yerine, t 0'dan 1'e giderken tek bir -285 -00:18:17,420 --> 00:18:21,540 -bir vektörün ortalamasına bakın ve ardından tüm bu ortalamaları toplayın. +281 +00:18:17,494 --> 00:18:21,540 +vektörün ortalamasına bakın ve ardından tüm bu ortalamaları toplayın. -286 -00:18:22,480 --> 00:18:26,639 +282 +00:18:22,480 --> 00:18:26,908 Ancak bu vektörlerin her biri 0 etrafında tam sayıda dönüş yapar, -287 -00:18:26,639 --> 00:18:30,800 +283 +00:18:26,908 --> 00:18:30,800 dolayısıyla t 0'dan 1'e kadar ortalama değeri 0 olacaktır. -288 +284 00:18:31,340 --> 00:18:33,440 Bunun tek istisnası sabit terimdir. -289 +285 00:18:33,940 --> 00:18:40,840 Statik kaldığı ve dönmediği için ortalama değeri, başladığı sayı olan c0'dır. -290 +286 00:18:41,600 --> 00:18:44,086 Yani bu ortalamayı tüm fonksiyon üzerinden yapmak, -291 +287 00:18:44,086 --> 00:18:47,500 c0 olmayan tüm terimleri ortadan kaldırmanın bir tür akıllıca yoludur. -292 +288 00:18:48,040 --> 00:18:49,560 Ama işte işin akıllıca kısmı. -293 +289 00:18:49,860 --> 00:18:52,885 Saniyede iki devir dönen vektörün önünde duran c2 gibi -294 +290 00:18:52,885 --> 00:18:55,800 farklı bir terimi hesaplamak istediğinizi varsayalım. -295 -00:18:56,420 --> 00:19:00,981 +291 +00:18:56,420 --> 00:19:00,877 İşin püf noktası, önce f(t)'yi bu vektörün hareketsiz kalmasını sağlayacak bir şeyle -296 -00:19:00,981 --> 00:19:05,440 +292 +00:19:00,877 --> 00:19:05,440 çarpmak; bu, aşırı aktif bir çocuğa akıllı telefon vermenin matematiksel eşdeğeri gibi. -297 +293 00:19:06,260 --> 00:19:12,246 Özellikle, fonksiyonun tamamını e üzeri eksi 2 çarpı 2 pi i çarpı t ile çarparsanız, -298 +294 00:19:12,246 --> 00:19:14,500 her terime ne olacağını düşünün. -299 +295 00:19:16,640 --> 00:19:21,042 Üstel sayıların çarpılması üsttekilerin eklenmesiyle sonuçlandığından, -300 +296 00:19:21,042 --> 00:19:25,320 üstellerimizin her birindeki frekans terimi 2 birim aşağı kaydırılır. -301 +297 00:19:29,660 --> 00:19:33,328 Şimdi, her terimin ortalamasını alırken, c-1 vektörü -302 +298 00:19:33,328 --> 00:19:36,720 ortalama 0 ile negatifin etrafında 3 kez dönüyor. -303 -00:19:37,560 --> 00:19:44,084 +299 +00:19:37,560 --> 00:19:42,681 Daha önce sabit olan c0 vektörü artık t 0'dan 1'e değiştikçe iki kez dönüyor, -304 -00:19:44,084 --> 00:19:46,740 +300 +00:19:42,681 --> 00:19:44,980 dolayısıyla ortalaması da 0 oluyor. -305 -00:19:46,740 --> 00:19:51,972 +301 +00:19:46,520 --> 00:19:51,916 Benzer şekilde, c2 terimi dışındaki tüm vektörler tam sayıda dönüş yapar, -306 -00:19:51,972 --> 00:19:53,740 +302 +00:19:51,916 --> 00:19:53,740 yani ortalamaları 0 olur. -307 +303 00:19:55,280 --> 00:19:58,112 Yani bu değiştirilmiş fonksiyonun ortalamasını almak, -308 +304 00:19:58,112 --> 00:20:01,680 c2 dışındaki tüm terimleri ortadan kaldırmanın akıllıca bir yoludur. -309 +305 00:20:02,360 --> 00:20:04,889 Ve tabii ki burada 2 sayısının özel bir yanı yok, -310 +306 00:20:04,889 --> 00:20:09,240 onu başka herhangi bir n ile değiştirebilirsiniz ve cn için genel bir formülünüz var, -311 +307 00:20:09,240 --> 00:20:10,100 aradığımız da bu. -312 -00:20:10,660 --> 00:20:13,637 +308 +00:20:10,660 --> 00:20:13,674 Bağlam dışında, bu ifade karmaşık görünebilir, ancak unutmayın, -313 -00:20:13,637 --> 00:20:16,661 +309 +00:20:13,674 --> 00:20:16,736 bunu ilk önce fonksiyonumuzu, 2 boyutlu çizimimizi değiştirerek, -314 -00:20:16,661 --> 00:20:20,243 -n'inci küçük vektörün sabit durmasını sağlayacak şekilde ve ardından tüm +310 +00:20:16,736 --> 00:20:20,645 +n'inci küçük vektörün sabit durmasını sağlayacak şekilde ve ardından tüm hareketli -315 -00:20:20,243 --> 00:20:23,779 -hareketli vektörleri öldüren bir ortalama gerçekleştirerek okuyabilirsiniz. +311 +00:20:20,645 --> 00:20:23,754 +vektörleri öldüren bir ortalama gerçekleştirerek okuyabilirsiniz. -316 -00:20:23,779 --> 00:20:25,780 +312 +00:20:23,754 --> 00:20:25,780 sizi yalnızca hareketsiz kısımla bırakıyor. -317 +313 00:20:26,460 --> 00:20:27,080 Bu çılgınca değil mi? -318 +314 00:20:27,500 --> 00:20:31,146 Çizimlerde gördüğünüz birçok dönen vektörün toplamlarına -319 +315 00:20:31,146 --> 00:20:35,880 ayrıştırmalardaki tüm karmaşıklık, bu küçük ifadede tamamen yakalanmıştır. -320 +316 00:20:36,540 --> 00:20:40,820 Yani ben bu animasyonları işlerken, bilgisayara da tam olarak bunu yaptırıyorum. -321 -00:20:41,280 --> 00:20:45,111 +317 +00:20:41,280 --> 00:20:45,230 Yolu karmaşık bir fonksiyon gibi hesaplar ve belirli bir n değer -322 -00:20:45,111 --> 00:20:49,060 +318 +00:20:45,230 --> 00:20:49,060 aralığı için bu integrali hesaplayarak n'nin katsayısını bulur. -323 -00:20:51,080 --> 00:20:53,966 +319 +00:20:51,080 --> 00:20:54,014 Bir yolun verilerinin nereden geldiğini merak edenler için, -324 -00:20:53,966 --> 00:20:57,767 +320 +00:20:54,014 --> 00:20:57,879 kolay rotayı takip ediyorum ve programı, görüntüyü matematiksel eğriler yerine -325 -00:20:57,767 --> 00:21:02,002 +321 +00:20:57,879 --> 00:21:01,988 matematiksel eğriler cinsinden tanımlayan bir dosya formatı olan SVG'de okutuyorum. -326 -00:21:02,002 --> 00:21:02,820 +322 +00:21:01,988 --> 00:21:02,820 piksel değerleri. -327 -00:21:03,280 --> 00:21:05,893 -Yani f/t'nin bir zaman parametresinden uzaydaki +323 +00:21:03,280 --> 00:21:06,302 +Yani f/t'nin bir zaman parametresinden uzaydaki noktalara -328 -00:21:05,893 --> 00:21:08,960 -noktalara eşlenmesi temelde önceden tanımlanmış olarak gelir. +324 +00:21:06,302 --> 00:21:08,960 +eşlenmesi temelde önceden tanımlanmış olarak gelir. -329 -00:21:10,540 --> 00:21:14,010 +325 +00:21:10,540 --> 00:21:14,127 Şu anda gösterilende, 101 dönen vektör kullanıyorum ve n'nin -330 -00:21:14,010 --> 00:21:17,480 +326 +00:21:14,127 --> 00:21:17,480 negatif 50'den 50'ye kadar olan değerlerini hesaplıyorum. -331 +327 00:21:18,120 --> 00:21:22,343 Uygulamada, bu integrallerin her biri sayısal olarak hesaplanır, -332 +328 00:21:22,343 --> 00:21:27,281 yani birim aralığı delta t büyüklüğünde birçok küçük parçaya böler ve sonra -333 +329 00:21:27,281 --> 00:21:32,740 bu değeri toplar, f t çarpı e üzeri negatif n 2 pi it çarpı delta t , her biri için. -334 +330 00:21:33,280 --> 00:21:36,671 Daha verimli sayısal entegrasyon için daha gelişmiş yöntemler vardır, -335 +331 00:21:36,671 --> 00:21:37,980 ancak bu temel fikri verir. -336 +332 00:21:38,820 --> 00:21:44,013 Ve bu 101 sabiti hesapladıktan sonra, her biri küçük vektörler için bir başlangıç açısı -337 +333 00:21:44,013 --> 00:21:47,613 ve büyüklüğü belirler ve sonra hepsini dönerek ayarlarsınız, -338 +334 00:21:47,613 --> 00:21:52,275 ilerledikçe onları uçtan uca eklersiniz ve son ucun çizdiği yol şu şekildedir: -339 +335 00:21:52,275 --> 00:21:54,400 beslediğiniz orijinal yolun tahmini. -340 +336 00:21:55,100 --> 00:21:58,149 Kullanılan vektörlerin sayısı sonsuza yaklaştıkça, -341 +337 00:21:58,149 --> 00:22:00,780 yaklaşım yolu giderek daha doğru hale gelir. -342 -00:22:14,140 --> 00:22:17,724 -Tüm bunları Dünya'ya geri getirmek için, daha önce baktığımız adım +338 +00:22:14,140 --> 00:22:18,149 +Tüm bunları Dünya'ya geri getirmek için, daha önce baktığımız adım fonksiyonu -343 -00:22:17,724 --> 00:22:21,511 -fonksiyonu örneğini düşünün; bu, farklı sıcaklıklardaki iki çubuk arasında +339 +00:22:18,149 --> 00:22:21,747 +örneğini düşünün; bu, farklı sıcaklıklardaki iki çubuk arasında temas -344 -00:22:21,511 --> 00:22:25,500 -temas ettikten sonra ısı dağılımını modellemek için yararlı olduğunu unutmayın. +340 +00:22:21,747 --> 00:22:25,500 +ettikten sonra ısı dağılımını modellemek için yararlı olduğunu unutmayın. -345 +341 00:22:26,620 --> 00:22:29,169 Herhangi bir gerçek sayı değerli fonksiyon gibi, -346 +342 00:22:29,169 --> 00:22:32,500 adım fonksiyonu da tek boyutla sınırlı sıkıcı bir çizim gibidir. -347 -00:22:33,240 --> 00:22:37,514 +343 +00:22:33,240 --> 00:22:37,687 Ancak bu özellikle sıkıcı bir çizim çünkü 0 ile 0 arasındaki girdiler -348 -00:22:37,514 --> 00:22:41,545 +344 +00:22:37,687 --> 00:22:41,626 için.Şekil 5'te çıkış 1 numarada statik kalır ve daha sonra 0 -349 -00:22:41,545 --> 00:22:45,820 +345 +00:22:41,626 --> 00:22:45,820 arasındaki girişler için süreksiz olarak negatif 1'e atlar.5 ve 1. -350 -00:22:46,440 --> 00:22:50,054 -Yani Fourier serisi yaklaşımında, vektör toplamı döngünün ilk yarısında +346 +00:22:46,440 --> 00:22:49,679 +Yani Fourier serisi yaklaşımında, vektör toplamı döngünün ilk -351 -00:22:50,054 --> 00:22:53,467 -gerçekten 1'e yakın kalıyor, ardından hızlı bir şekilde negatif +347 +00:22:49,679 --> 00:22:53,127 +yarısında gerçekten 1'e yakın kalıyor, ardından hızlı bir şekilde -352 -00:22:53,467 --> 00:22:56,680 -1'e atlıyor ve döngünün ikinci yarısında buna yakın kalıyor. +348 +00:22:53,127 --> 00:22:56,680 +negatif 1'e atlıyor ve döngünün ikinci yarısında buna yakın kalıyor. -353 +349 00:22:57,500 --> 00:23:00,577 Ve unutmayın, zıt yönlerde dönen her vektör çifti, -354 +350 00:23:00,577 --> 00:23:04,680 daha önce incelediğimiz kosinüs dalgalarından birine karşılık gelir. -355 +351 00:23:06,080 --> 00:23:09,637 Katsayıları bulmak için bu integrali hesaplamanız gerekir ve aranızdaki bazı -356 +352 00:23:09,637 --> 00:23:12,640 integralleri elle hesaplamak isteyen hırslı izleyiciler için bu, -357 +353 00:23:12,640 --> 00:23:16,151 yalnızca bir hesaplama yapmak yerine kesin bir cevap elde etmek için hesabı -358 +354 00:23:16,151 --> 00:23:19,940 gerçekten yapabileceğiniz yerdir. bilgisayar bunu sizin için sayısal olarak yapar. -359 +355 00:23:19,940 --> 00:23:23,994 Bunu çözmeyi ve zıt yönlerde dönen vektörleri eşleştirerek bunu kosinüs -360 +356 00:23:23,994 --> 00:23:27,880 dalgaları fikriyle ilişkilendirmeyi bir alıştırma olarak bırakacağım. -361 -00:23:28,780 --> 00:23:31,076 +357 +00:23:28,780 --> 00:23:31,195 Ve daha da iddialı olanı için, bu daha genel hesaplamayı, -362 -00:23:31,076 --> 00:23:34,005 +358 +00:23:31,195 --> 00:23:34,276 Fourier serilerini yalnızca sinüs ve kosinüslerle birlikte gerçek değerli -363 -00:23:34,005 --> 00:23:36,737 +359 +00:23:34,276 --> 00:23:37,150 fonksiyonlar açısından tanımlayan bir ders kitabında görebileceğiniz -364 -00:23:36,737 --> 00:23:39,587 +360 +00:23:37,150 --> 00:23:40,148 şeylerle nasıl ilişkilendirebileceğinizi gösteren başka bir alıştırmayı -365 -00:23:39,587 --> 00:23:40,340 +361 +00:23:40,148 --> 00:23:40,940 ekrana bırakacağım. -366 -00:23:40,340 --> 00:23:43,410 +362 +00:23:41,840 --> 00:23:44,551 Bu arada, eğer daha fazla Fourier serisi içeriği arıyorsanız, -367 -00:23:43,410 --> 00:23:47,173 -Mathologer ve The Coding Train'in videolarını şiddetle tavsiye ediyorum - -368 -00:23:47,173 --> 00:23:51,135 -ve ayrıca bu blog yazısını da tavsiye ederim, bağlantılar elbette açıklamalarda +363 +00:23:44,551 --> 00:23:47,831 +Mathologer ve The Coding Train'in videolarını şiddetle tavsiye ediyorum ve -369 -00:23:51,135 --> 00:23:51,680 -yer alıyor. +364 +00:23:47,831 --> 00:23:51,680 +ayrıca bu blog yazısını da tavsiye ederim, bağlantılar elbette açıklamalarda yer alıyor. -370 +365 00:23:53,620 --> 00:23:57,339 Böylece bir yandan, kısmi diferansiyel denklemlerin incelenmesine -371 +366 00:23:57,339 --> 00:24:00,720 küçük bir pencere olan ısı denklemi tartışmamız sona eriyor. -372 +367 00:24:01,240 --> 00:24:05,920 Ama öte yandan, bu Fourier'den Fourier'e serisi daha derin bir fikre ilk bakıştır. -373 +368 00:24:06,500 --> 00:24:09,634 Karmaşık sayılara ve hatta matrislere genelleştirilmesi de dahil -374 +369 00:24:09,634 --> 00:24:12,816 olmak üzere üstel fonksiyonlar, özellikle doğrusal denklemler söz -375 +370 00:24:12,816 --> 00:24:16,240 konusu olduğunda diferansiyel denklemler için çok önemli bir rol oynar. -376 +371 00:24:16,920 --> 00:24:26,872 Az önce gördüğünüz şey, bir fonksiyonu bu üstel sayıların birleşimi -377 +372 00:24:26,872 --> 00:24:37,850 olarak parçalamak ve bunu bir diferansiyel denklemi çözmek için kullanmak, -378 +373 00:24:37,850 --> 00:24:45,900 farklı şekil ve formlarda tekrar tekrar ortaya çıkıyor. diff --git a/2019/fourier-series/ukrainian/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/ukrainian/auto_generated.srt index 9505b3af4..cd263d1ba 100644 --- a/2019/fourier-series/ukrainian/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/ukrainian/auto_generated.srt @@ -1,9 +1,9 @@ 1 -00:00:05,119 --> 00:00:08,467 +00:00:05,120 --> 00:00:08,468 Тут ми розглянемо математику, що стоїть за такою анімацією, 2 -00:00:08,467 --> 00:00:10,700 +00:00:08,468 --> 00:00:10,700 як ця, так званий комплексний ряд Фур’є. 3 @@ -35,7 +35,7 @@ наскільки це вражаюче. 10 -00:00:37,199 --> 00:00:40,900 +00:00:37,200 --> 00:00:40,900 Ця конкретна анімація містить 300 стрілок, що обертаються. 11 @@ -75,7 +75,7 @@ дивно, як рій діє з певною координацією, щоб накреслити якусь дуже специфічну форму. 20 -00:01:23,839 --> 00:01:27,612 +00:01:23,840 --> 00:01:27,612 І на відміну від великої частини складності, що виникає деінде в природі, 21 @@ -95,15 +95,15 @@ щоб малювати все, що завгодно, за умови, що у вас є достатньо маленьких стрілок. 25 -00:01:42,180 --> 00:01:53,360 +00:01:42,180 --> 00:01:46,520 Що ще божевільніше, так це те, що остаточна формула для всього цього неймовірно коротка. 26 -00:01:53,360 --> 00:01:57,564 +00:01:52,960 --> 00:01:57,398 Часто ряди Фур’є описуються в термінах чогось, що виглядає трохи інакше, 27 -00:01:57,564 --> 00:02:00,560 +00:01:57,398 --> 00:02:00,560 функції дійсних чисел розбиваються як сума синусоїд. 28 @@ -183,7 +183,7 @@ експоненціальний спад. 47 -00:03:10,359 --> 00:03:15,374 +00:03:10,360 --> 00:03:15,374 Рівняння теплової енергії – це те, що в бізнесі називається лінійним рівнянням, 48 @@ -291,23 +291,23 @@ що відбувається відразу після їх контакту. 74 -00:04:45,060 --> 00:04:49,492 +00:04:45,060 --> 00:04:49,700 Щоб спростити цифри, припустімо, що температура лівого стрижня дорівнює 1 градусу, 75 -00:04:49,492 --> 00:04:53,872 +00:04:49,700 --> 00:04:54,285 а правого стрижня – мінус 1 градус, а загальна довжина L двох об’єднаних стрижнів 76 -00:04:53,872 --> 00:04:54,460 +00:04:54,285 --> 00:04:54,900 дорівнює 1. 77 -00:04:54,460 --> 00:04:59,543 +00:04:54,900 --> 00:04:59,761 Це означає, що наш початковий розподіл температури є ступінчастою функцією, 78 -00:04:59,543 --> 00:05:04,560 +00:04:59,761 --> 00:05:04,560 яка так явно відрізняється від синусоїди чи суми синусоїд, вам не здається? 79 @@ -387,7 +387,7 @@ що значно перевищує все, що міг собі уявити сам Фур’є. 98 -00:06:13,599 --> 00:06:16,608 +00:06:13,600 --> 00:06:16,608 І все ж джерело всього цього — частина фізики, яка, 99 @@ -883,19 +883,19 @@ давайте запишемо формулу для кожного з обертових векторів, з якими ми працюємо. 222 -00:14:18,120 --> 00:14:20,092 +00:14:18,120 --> 00:14:20,446 На даний момент уявіть, що кожен із них починає 223 -00:14:20,092 --> 00:14:21,900 +00:14:20,446 --> 00:14:22,580 вказувати одну одиницю праворуч від числа 1. 224 -00:14:21,900 --> 00:14:26,609 +00:14:23,080 --> 00:14:27,252 Найпростішим для опису вектором є постійний, який залишається на номері 1, 225 -00:14:26,609 --> 00:14:32,260 +00:14:27,252 --> 00:14:32,260 ніколи не рухається, або, якщо хочете, це лапки-розриви, що обертаються лише з частотою 0. 226 @@ -907,19 +907,19 @@ який ми запишемо як e до 2 pi i, помножених на t. 228 -00:14:39,739 --> 00:14:42,470 +00:14:39,740 --> 00:14:43,090 Це 2 пі є, тому що коли t змінюється від 0 до 1, 229 -00:14:42,470 --> 00:14:45,200 +00:14:43,090 --> 00:14:46,440 йому потрібно подолати відстань 2 пі вздовж кола. 230 -00:14:45,200 --> 00:14:49,345 +00:14:47,700 --> 00:14:50,605 Технічно в тому, що показано, це один цикл кожні 10 секунд, 231 -00:14:49,345 --> 00:14:53,560 +00:14:50,605 --> 00:14:53,560 тому все не надто запаморочливо, я сповільнюю все в 10 разів. 232 @@ -951,7 +951,7 @@ e до мінус 2 pi i, помножених на t. із загальною формулою e до n, помножених на 2 pi, помножених на i t. 239 -00:15:29,339 --> 00:15:33,065 +00:15:29,340 --> 00:15:33,065 Зауважте, що це робить більш узгодженим запис цього сталого вектора як e до 0, 240 @@ -1191,19 +1191,19 @@ e до мінус 2 pi i, помножених на t. цей вектор c-1 обертається навколо мінус 3 разів із середнім значенням 0. 299 -00:19:37,560 --> 00:19:42,012 +00:19:37,560 --> 00:19:41,159 Вектор c0, який раніше був постійним, тепер повертається вдвічі, 300 -00:19:42,012 --> 00:19:46,740 +00:19:41,159 --> 00:19:44,980 оскільки t змінюється від 0 до 1, тому його середнє також дорівнює 0. 301 -00:19:46,740 --> 00:19:51,445 +00:19:46,520 --> 00:19:51,373 Подібним чином усі вектори, окрім доданка c2, роблять певне ціле число обертів, 302 -00:19:51,445 --> 00:19:53,740 +00:19:51,373 --> 00:19:53,740 тобто їхнє середнє значення дорівнює 0. 303 @@ -1407,19 +1407,19 @@ e до мінус 2 pi i, помножених на t. відповідає одній із косинусних хвиль, які ми розглядали раніше. 353 -00:23:06,080 --> 00:23:09,278 +00:23:06,080 --> 00:23:09,323 Щоб знайти коефіцієнти, вам потрібно буде обчислити цей інтеграл, 354 -00:23:09,278 --> 00:23:13,252 +00:23:09,323 --> 00:23:13,354 а для амбітних глядачів серед вас, які прагнуть обчислити деякі інтеграли вручну, 355 -00:23:13,252 --> 00:23:17,129 +00:23:13,354 --> 00:23:17,285 це те, де ви можете фактично виконати обчислення, щоб отримати точну відповідь, 356 -00:23:17,129 --> 00:23:19,940 +00:23:17,285 --> 00:23:19,940 а не просто мати комп'ютер зробить це чисельно за вас. 357 @@ -1431,27 +1431,27 @@ e до мінус 2 pi i, помножених на t. об’єднавши вектори, які обертаються в протилежних напрямках. 359 -00:23:28,780 --> 00:23:31,657 +00:23:28,780 --> 00:23:31,806 А для ще більш амбітних я залишу на екрані іншу вправу, 360 -00:23:31,657 --> 00:23:36,075 +00:23:31,806 --> 00:23:36,454 щоб пов’язати це більш загальне обчислення з тим, що ви можете побачити в підручнику, 361 -00:23:36,075 --> 00:23:40,340 +00:23:36,454 --> 00:23:40,940 де ряди Фур’є описуються лише в термінах дійсних функцій із синусами та косинусами. 362 -00:23:40,340 --> 00:23:43,379 +00:23:41,840 --> 00:23:44,477 До речі, якщо ви шукаєте більше вмісту рядів Фур’є, 363 -00:23:43,379 --> 00:23:47,062 +00:23:44,477 --> 00:23:47,672 я настійно рекомендую відео від Mathologer і The Coding Train, 364 -00:23:47,062 --> 00:23:51,680 +00:23:47,672 --> 00:23:51,680 а також я б порекомендував цю публікацію в блозі, посилання, звичайно, в описі. 365 diff --git a/2019/fourier-series/vietnamese/auto_generated.srt b/2019/fourier-series/vietnamese/auto_generated.srt index 359881884..6da2d1c5a 100644 --- a/2019/fourier-series/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2019/fourier-series/vietnamese/auto_generated.srt @@ -1,10 +1,10 @@ 1 -00:00:05,119 --> 00:00:08,703 -Ở đây, chúng ta xem xét phép toán đằng sau một hoạt hình như thế này, +00:00:05,120 --> 00:00:08,822 +Ở đây, chúng ta xem xét phép toán đằng sau một hoạt ảnh như thế này, 2 -00:00:08,703 --> 00:00:10,700 -cái được gọi là chuỗi Fourier phức tạp. +00:00:08,822 --> 00:00:10,700 +cái được gọi là chuỗi Fourier phức. 3 00:00:11,240 --> 00:00:15,537 @@ -35,7 +35,7 @@ Trước khi đi sâu vào tất cả, tôi muốn bạn dành một chút thời gian để suy ngẫm xem điều này ấn tượng như thế nào. 10 -00:00:37,199 --> 00:00:40,900 +00:00:37,200 --> 00:00:40,900 Hoạt hình đặc biệt này có tổng cộng 300 mũi tên xoay. 11 @@ -67,1410 +67,1386 @@ cho thấy sự đóng góp của những mũi tên điên cuồng nhỏ nhất, nhanh nhất và hết sức điên cuồng. 18 -00:01:12,300 --> 00:01:16,065 -Khi bạn xem xét sự hỗn loạn điên cuồng mà bạn đang nhìn thấy và sự cứng nhắc +00:01:12,300 --> 00:01:16,000 +Khi xét sự hỗn loạn điên cuồng mà bạn đang nhìn thấy và sự ăn khớp như 19 -00:01:16,065 --> 00:01:18,852 -của kim đồng hồ làm nền tảng cho tất cả các chuyển động, +00:01:16,000 --> 00:01:18,814 +bánh răng đồng hồ làm nền cho tất cả các chuyển động, 20 -00:01:18,852 --> 00:01:22,617 -thật kỳ lạ khi bầy đàn hành động với một kiểu phối hợp để tìm ra một số hình +00:01:18,814 --> 00:01:23,400 +thật kỳ lạ như cách một bầy đàn phối hợp hành động để tạo ra những hình dạng rất cụ thể. 21 -00:01:22,617 --> 00:01:23,400 -dạng rất cụ thể. - -22 -00:01:23,839 --> 00:01:27,460 +00:01:23,840 --> 00:01:27,460 Và không giống như phần lớn sự phức tạp xuất hiện mà bạn tìm thấy ở những nơi khác -23 +22 00:01:27,460 --> 00:01:31,080 trong tự nhiên, đây là thứ mà chúng ta có toán học để mô tả và kiểm soát hoàn toàn. -24 +23 00:01:31,660 --> 00:01:35,098 Chỉ bằng cách điều chỉnh các điều kiện bắt đầu, không cần gì hơn, -25 +24 00:01:35,098 --> 00:01:38,433 chúng ta có thể khiến bầy đàn này hợp sức theo mọi cách phù hợp -26 +25 00:01:38,433 --> 00:01:41,560 để vẽ bất cứ thứ gì bạn muốn, miễn là bạn có đủ mũi tên nhỏ. -27 -00:01:42,180 --> 00:01:53,360 +26 +00:01:42,180 --> 00:01:46,520 Điều điên rồ hơn nữa là công thức cuối cùng cho tất cả những điều này lại cực kỳ ngắn gọn. -28 -00:01:53,360 --> 00:01:57,222 +27 +00:01:52,960 --> 00:01:57,036 Chuỗi Fourier thường được mô tả dưới dạng một cái gì đó trông hơi khác một chút, -29 -00:01:57,222 --> 00:02:00,560 +28 +00:01:57,036 --> 00:02:00,560 hàm số của các số thực được chia nhỏ thành tổng của các sóng hình sin. +29 +00:02:01,260 --> 00:02:04,335 +Thì ra đó là một trường hợp đặc biệt của hiện tượng vectơ quay + 30 -00:02:01,260 --> 00:02:04,480 -Đó hóa ra là một trường hợp đặc biệt của hiện tượng vectơ quay tổng +00:02:04,335 --> 00:02:07,509 +tổng quát hơn mà ta sẽ giải quyết, nhưng đó là nơi chính Fourier 31 -00:02:04,480 --> 00:02:07,606 -quát hơn mà chúng ta sẽ giải quyết, nhưng đó là nơi chính Fourier - -32 -00:02:07,606 --> 00:02:10,780 +00:02:07,509 --> 00:02:10,780 bắt đầu và có lý do chính đáng để chúng ta bắt đầu câu chuyện ở đó. -33 +32 00:02:11,420 --> 00:02:14,743 Về mặt kỹ thuật, đây là video thứ ba trong chuỗi về phương trình nhiệt, -34 +33 00:02:14,743 --> 00:02:17,560 điều mà Fourier đang làm khi phát triển ý tưởng lớn của mình. -35 +34 00:02:18,200 --> 00:02:21,643 Tôi muốn dạy bạn về chuỗi Fourier theo cách không phụ thuộc vào bạn đến từ -36 +35 00:02:21,643 --> 00:02:25,132 những chương đó, nhưng nếu bạn có ít nhất một ý tưởng cấp cao về vấn đề vật -37 +36 00:02:25,132 --> 00:02:29,034 lý vốn là động lực ban đầu của phần toán học này, thì nó sẽ mang lại một số ý tưởng. -38 +37 00:02:29,034 --> 00:02:32,340 dấu hiệu cho thấy chuỗi Fourier có sức ảnh hưởng sâu rộng đến không ngờ. -39 +38 00:02:32,820 --> 00:02:36,687 Tất cả những gì bạn cần biết là chúng ta đã có một phương trình nhất định cho -40 +39 00:02:36,687 --> 00:02:40,555 chúng ta biết sự phân bố nhiệt độ trên một thanh sẽ thay đổi như thế nào theo -41 +40 00:02:40,555 --> 00:02:44,820 thời gian và nhân tiện, nó cũng mô tả nhiều hiện tượng khác không liên quan đến nhiệt. -42 +41 00:02:44,820 --> 00:02:49,236 Và mặc dù thật khó để sử dụng trực tiếp phương trình này để tìm ra điều gì sẽ xảy ra -43 +42 00:02:49,236 --> 00:02:53,652 với sự phân bố nhiệt tùy ý, nhưng có một giải pháp đơn giản nếu hàm số ban đầu trông -44 +43 00:02:53,652 --> 00:02:58,120 giống như một sóng cosin, với tần số được điều chỉnh sao cho nó phẳng ở mỗi điểm cuối. -45 +44 00:02:58,560 --> 00:03:01,433 Cụ thể, khi bạn vẽ biểu đồ những gì xảy ra theo thời gian, -46 +45 00:03:01,433 --> 00:03:04,404 những sóng này chỉ đơn giản là giảm quy mô theo cấp số nhân, -47 +46 00:03:04,404 --> 00:03:07,960 với các sóng tần số cao hơn có tốc độ phân rã theo cấp số nhân nhanh hơn. +47 +00:03:10,360 --> 00:03:15,363 +Phương trình nhiệt tình cờ được biết đến trong lĩnh vực này như là một phương trình tuyến + 48 -00:03:10,359 --> 00:03:15,427 -Phương trình nhiệt tình cờ được biết đến trong kinh doanh là phương trình tuyến tính, +00:03:15,363 --> 00:03:20,200 +tính, nghĩa là nếu bạn biết hai nghiệm và cộng chúng lại thì tổng đó là một nghiệm mới. 49 -00:03:15,427 --> 00:03:20,200 -nghĩa là nếu bạn biết hai nghiệm và cộng chúng lại thì tổng đó là một nghiệm mới. +00:03:20,880 --> 00:03:24,507 +Bạn thậm chí có thể chia từng số hạng trong chúng cho một hằng số nào đó, 50 -00:03:20,880 --> 00:03:23,791 -Bạn thậm chí có thể chia tỷ lệ cho từng chúng theo một hằng số nào đó, +00:03:24,507 --> 00:03:27,400 +cho bạn các số xây dựng hàm tùy chỉnh giải để phương trình. 51 -00:03:23,791 --> 00:03:27,400 -điều này cung cấp cho bạn một số mặt số để xây dựng một hàm tùy chỉnh giải phương trình. - -52 00:03:29,240 --> 00:03:34,080 Đây là thuộc tính khá đơn giản mà bạn có thể tự mình xác minh nhưng nó cực kỳ quan trọng. +52 +00:03:34,080 --> 00:03:37,104 +Điều đó có nghĩa là ta có thể lấy họ nghiệm vô hạn của mình, + 53 -00:03:34,080 --> 00:03:37,318 -Điều đó có nghĩa là chúng ta có thể lấy họ nghiệm vô hạn của mình, +00:03:37,104 --> 00:03:39,434 +những sóng cosin phân rã theo cấp số nhân này, 54 -00:03:37,318 --> 00:03:39,638 -những sóng cosine phân rã theo cấp số nhân này, +00:03:39,434 --> 00:03:43,203 +chia tỷ lệ một vài trong số chúng theo một số hằng số tùy chỉnh mà chúng ta 55 -00:03:39,638 --> 00:03:43,554 -chia tỷ lệ một vài trong số chúng theo một số hằng số tùy chỉnh mà chúng ta chọn +00:03:43,203 --> 00:03:46,525 +chọn và kết hợp chúng để có được nghiệm cho điều kiện ban đầu mới, 56 -00:03:43,554 --> 00:03:47,566 -và kết hợp chúng để có được nghiệm cho điều kiện ban đầu mới, được thiết kế riêng, +00:03:46,525 --> 00:03:49,500 +được thiết kế riêng, đó là một số sự kết hợp của sóng cosin. 57 -00:03:47,566 --> 00:03:49,500 -đó là một số sự kết hợp của sóng cosine. +00:03:50,200 --> 00:03:54,112 +Một điều quan trọng mà tôi muốn bạn lưu ý là khi bạn kết hợp các sóng này, 58 -00:03:50,200 --> 00:03:54,085 -Một điều quan trọng mà tôi muốn bạn lưu ý là khi bạn kết hợp các sóng này, +00:03:54,112 --> 00:03:57,868 +vì những sóng có tần số cao hơn phân rã nhanh hơn nên tổng bạn xây dựng 59 -00:03:54,085 --> 00:03:57,815 -vì những sóng có tần số cao hơn phân rã nhanh hơn nên tổng bạn xây dựng +00:03:57,868 --> 00:04:01,624 +sẽ có xu hướng giảm dần theo thời gian vì tất cả các số hạng tần số cao 60 -00:03:57,815 --> 00:04:01,546 -sẽ có xu hướng giảm dần theo thời gian vì tất cả các số hạng tần số cao +00:04:01,624 --> 00:04:05,380 +nhanh chóng tiến về 0, chỉ còn lại các số hạng tần số thấp chiếm ưu thế. 61 -00:04:01,546 --> 00:04:05,380 -nhanh chóng tiến về 0, chỉ còn lại các thuật ngữ tần số thấp chiếm ưu thế. - -62 00:04:06,100 --> 00:04:09,364 Vì vậy, nói một cách hài hước, tất cả sự phức tạp trong quá trình phát triển -63 +62 00:04:09,364 --> 00:04:12,713 của sự phân bố nhiệt này mà phương trình nhiệt ngụ ý đều được thể hiện bằng sự -64 +63 00:04:12,713 --> 00:04:16,019 khác biệt về tốc độ phân rã đối với các thành phần tần số thuần túy khác nhau. -65 +64 00:04:18,040 --> 00:04:20,480 Tại thời điểm này, Fourier có được sự bất tử. +65 +00:04:21,279 --> 00:04:24,713 +Tôi nghĩ hầu hết những người bình thường ở giai đoạn này sẽ nói là: À, + 66 -00:04:21,279 --> 00:04:24,405 -Tôi nghĩ hầu hết những người bình thường ở giai đoạn này sẽ nói, à, +00:04:24,713 --> 00:04:29,065 +tôi có thể giải phương trình nhiệt khi phân bố ban đầu trông giống như một sóng hoặc tổng 67 -00:04:24,405 --> 00:04:27,668 -tôi có thể giải phương trình nhiệt khi phân bố ban đầu trông giống như +00:04:29,065 --> 00:04:33,272 +các sóng, nhưng thật đáng tiếc là hầu hết các phân bố tốt nhất trong thế giới thực đều 68 -00:04:27,668 --> 00:04:30,885 -một sóng hoặc tổng các sóng, nhưng thật đáng tiếc là hầu hết các phân +00:04:33,272 --> 00:04:34,240 +không giống như thế. 69 -00:04:30,885 --> 00:04:34,240 -bố trong thế giới thực đều không' Trông không giống như thế chút nào. - -70 00:04:34,800 --> 00:04:38,020 Ý tôi là, chẳng hạn, giả sử bạn mang hai thanh lại với nhau, -71 +70 00:04:38,020 --> 00:04:42,349 mỗi thanh có nhiệt độ đồng đều và bạn muốn biết điều gì xảy ra ngay sau khi chúng -72 +71 00:04:42,349 --> 00:04:43,300 tiếp xúc với nhau. -73 -00:04:45,060 --> 00:04:49,671 +72 +00:04:45,060 --> 00:04:49,887 Để làm cho các con số trở nên đơn giản, giả sử nhiệt độ của thanh bên trái là -74 -00:04:49,671 --> 00:04:54,460 +73 +00:04:49,887 --> 00:04:54,900 1 độ và thanh bên phải là âm 1 độ và tổng chiều dài L của hai thanh kết hợp là 1. -75 -00:04:54,460 --> 00:04:59,364 +74 +00:04:54,900 --> 00:04:59,590 Điều này có nghĩa là sự phân bố nhiệt độ ban đầu của chúng ta là một hàm bậc thang, -76 -00:04:59,364 --> 00:05:04,560 +75 +00:04:59,590 --> 00:05:04,560 rõ ràng là khác với sóng hình sin hoặc tổng của các sóng hình sin, bạn có nghĩ vậy không? -77 +76 00:05:05,100 --> 00:05:07,727 Ý tôi là, nó gần như phẳng hoàn toàn, không gợn sóng, -78 +77 00:05:07,727 --> 00:05:09,820 và vì Chúa, nó thậm chí còn không liên tục! -79 +78 00:05:10,600 --> 00:05:13,700 Thế nhưng Fourier lại nghĩ đến việc hỏi một câu hỏi có vẻ ngớ ngẩn. -80 +79 00:05:14,300 --> 00:05:16,660 Làm thế nào để bạn thể hiện điều này như là tổng của các sóng hình sin? -81 +80 00:05:17,120 --> 00:05:19,153 Táo bạo hơn nữa, làm thế nào để bạn biểu diễn bất kỳ -82 +81 00:05:19,153 --> 00:05:21,340 phân bố ban đầu nào dưới dạng tổng của các sóng hình sin? -83 +82 00:05:21,800 --> 00:05:23,760 Và nó còn bị hạn chế hơn thế. -84 +83 00:05:24,120 --> 00:05:28,064 Bạn phải hạn chế việc thêm các sóng thỏa mãn một điều kiện biên nhất định -85 +84 00:05:28,064 --> 00:05:31,955 và như chúng ta đã xem video trước, điều đó có nghĩa là làm việc với các -86 +85 00:05:31,955 --> 00:05:36,060 hàm cosin này có tần số đều là bội số nguyên của một tần số cơ bản nhất định. -87 +86 00:05:36,920 --> 00:05:40,416 Và nhân tiện, nếu bạn đang làm việc với một số điều kiện biên khác, -88 +87 00:05:40,416 --> 00:05:44,169 chẳng hạn như các điểm cuối phải cố định, bạn sẽ có sẵn một tập hợp sóng -89 +88 00:05:44,169 --> 00:05:48,540 khác để ghép lại với nhau, trong trường hợp này thay thế biểu thức cosin đó bằng sin. -90 +89 00:05:49,560 --> 00:05:52,612 Thật kỳ lạ khi sự tiến bộ trong môn toán thường giống như -91 +90 00:05:52,612 --> 00:05:55,560 đặt một câu hỏi mới hơn là chỉ trả lời những câu hỏi cũ. -92 +91 00:05:56,240 --> 00:06:00,593 Fourier thực sự có một loại bất tử hiện nay, với tên của ông về cơ bản đồng nghĩa -93 +92 00:06:00,593 --> 00:06:05,000 với ý tưởng chia nhỏ các hàm và mô hình thành sự kết hợp của các dao động đơn giản. -94 +93 00:06:05,700 --> 00:06:10,104 Thật sự rất khó để nói quá về tầm quan trọng và tầm ảnh hưởng sâu rộng của ý tưởng đó, -95 +94 00:06:10,104 --> 00:06:12,940 vượt xa mọi điều mà bản thân Fourier có thể tưởng tượng. -96 -00:06:13,599 --> 00:06:16,985 +95 +00:06:13,600 --> 00:06:16,985 Tuy nhiên, nguồn gốc của tất cả những điều này là một phần -97 +96 00:06:16,985 --> 00:06:20,600 vật lý mà thoạt nhìn không liên quan gì đến tần số và dao động. -98 +97 00:06:21,280 --> 00:06:23,268 Nếu không có gì khác, điều này sẽ cho bạn gợi -99 +98 00:06:23,268 --> 00:06:25,300 ý về khả năng ứng dụng chung của chuỗi Fourier. -100 +99 00:06:26,040 --> 00:06:29,456 Đợi đã, tôi nghe một số bạn nói rằng, không có tổng sóng hình sin -101 +100 00:06:29,456 --> 00:06:33,080 nào bạn đang hiển thị thực sự là hàm bước, tất cả chúng chỉ là xấp xỉ. -102 +101 00:06:33,540 --> 00:06:37,388 Và đó là sự thật, bất kỳ tổng hữu hạn nào của sóng hình sin sẽ không bao -103 +102 00:06:37,388 --> 00:06:41,500 giờ bằng phẳng hoàn toàn, ngoại trừ hàm số không đổi, cũng như không liên tục. -104 +103 00:06:42,020 --> 00:06:45,460 -Nhưng Fourier nghĩ rộng hơn, xem xét những khoản tiền vô hạn. +Nhưng Fourier nghĩ rộng hơn, xem xét những tổng vô hạn. -105 +104 00:06:46,240 --> 00:06:51,479 Trong trường hợp hàm bậc thang của chúng ta, nó hóa ra bằng tổng vô hạn này, -106 +105 00:06:51,479 --> 00:06:56,991 trong đó các hệ số là 1, âm một phần ba, cộng một phần năm, trừ một phần bảy, v. -107 +106 00:06:56,991 --> 00:07:02,980 v. cho tất cả các tần số lẻ, và tất cả tần số đó được thay đổi tỷ lệ bằng 4 chia cho pi. -108 +107 00:07:03,800 --> 00:07:05,960 Tôi sẽ giải thích những con số đó đến từ đâu ngay sau đây. -109 +108 00:07:06,400 --> 00:07:10,528 Trước đó, cần phải làm rõ ý nghĩa của cụm từ như tổng vô hạn, -110 +109 00:07:10,528 --> 00:07:12,660 cụm từ này có nguy cơ hơi mơ hồ. -111 +110 00:07:13,540 --> 00:07:16,677 Hãy xem xét bối cảnh đơn giản hơn của các con số, ví dụ, -112 +111 00:07:16,677 --> 00:07:21,080 trong đó bạn có thể nói rằng tổng vô hạn của các phân số này bằng pi chia cho 4. -113 +112 00:07:21,680 --> 00:07:26,414 Khi bạn tiếp tục cộng từng số hạng một, những gì bạn có luôn là số hữu tỉ, -114 +113 00:07:26,414 --> 00:07:29,760 nó thực sự không bao giờ bằng số pi vô tỉ chia cho 4. -115 +114 00:07:30,380 --> 00:07:34,428 Nhưng chuỗi tổng riêng này tiến tới pi trên 4, nghĩa là, -116 +115 00:07:34,428 --> 00:07:40,536 những số bạn nhìn thấy dù không bao giờ bằng pi trên 4 sẽ gần tùy ý với giá trị đó và -117 +116 00:07:40,536 --> 00:07:42,880 chúng ở gần tùy ý với giá trị đó. -118 +117 00:07:43,720 --> 00:07:49,160 Nói nhiều lắm, nên thay vào đó chúng ta viết tắt và chỉ nói tổng vô hạn bằng pi trên 4. -119 +118 00:07:50,620 --> 00:07:54,700 Với hàm, bạn đang làm điều tương tự nhưng với nhiều giá trị khác nhau song song. -120 +119 00:07:55,920 --> 00:07:58,720 Hãy xem xét một đầu vào cụ thể và giá trị của -121 +120 00:07:58,720 --> 00:08:01,520 tất cả các hàm cosin tỷ lệ này cho đầu vào đó. -122 +121 00:08:02,120 --> 00:08:07,740 Nếu đầu vào đó nhỏ hơn 0.5, khi bạn thêm ngày càng nhiều số hạng, tổng sẽ tiến tới 1. -123 +122 00:08:10,000 --> 00:08:15,460 Nếu đầu vào đó lớn hơn 0.5, khi bạn thêm ngày càng nhiều số hạng, nó sẽ tiến tới âm 1. -124 +123 00:08:17,260 --> 00:08:23,840 Ở đầu vào 0.5, tất cả các cosin đều bằng 0, nên giới hạn của tổng riêng cũng bằng 0. -125 +124 00:08:24,600 --> 00:08:29,150 Điều đó có nghĩa là, hơi lúng túng, để tổng vô hạn này hoàn toàn đúng, -126 +125 00:08:29,150 --> 00:08:33,765 chúng ta phải quy định giá trị của tập hợp này tại điểm gián đoạn là 0, -127 +126 00:08:33,765 --> 00:08:35,240 gần bằng nửa bước nhảy. -128 +127 00:08:36,080 --> 00:08:40,155 Tương tự như tổng vô hạn các số hữu tỷ là số vô tỷ, -129 +128 00:08:40,155 --> 00:08:46,740 tổng vô hạn của các hàm liên tục lượn sóng có thể bằng một hàm phẳng không liên tục. -130 -00:08:47,160 --> 00:08:49,997 +129 +00:08:47,160 --> 00:08:50,056 Việc đưa ra các giới hạn cho trò chơi sẽ cho phép tạo ra những thay đổi về chất, +130 +00:08:50,056 --> 00:08:52,380 +điều mà chỉ riêng tổng hữu hạn thì không bao giờ có thể làm được. + 131 -00:08:49,997 --> 00:08:52,380 -điều mà chỉ riêng số tiền hữu hạn thì không bao giờ có thể làm được. +00:08:53,280 --> 00:08:56,660 +Có nhiều màu sắc kỹ thuật mà tôi đang tìm hiểu kỹ ở đây. 132 -00:08:53,280 --> 00:08:56,660 -Có nhiều sắc thái kỹ thuật mà tôi đang tìm hiểu kỹ ở đây. +00:08:56,660 --> 00:09:00,030 +Việc ta bị ép vào một giá trị nhất định cho hàm bước tại điểm gián 133 -00:08:56,660 --> 00:09:00,054 -Việc chúng ta bị ép vào một giá trị nhất định cho hàm bước tại điểm +00:09:00,030 --> 00:09:03,300 +đoạn có tạo ra sự khác biệt nào cho vấn đề dòng chảy nhiệt không? 134 -00:09:00,054 --> 00:09:03,300 -gián đoạn có tạo ra sự khác biệt nào cho vấn đề dòng nhiệt không? - -135 00:09:03,820 --> 00:09:05,943 Đối với vấn đề đó, việc giải một PDE với điều -136 +135 00:09:05,943 --> 00:09:08,020 kiện ban đầu gián đoạn thực sự có ý nghĩa gì? -137 -00:09:09,280 --> 00:09:11,130 -Chúng ta có thể chắc chắn rằng giới hạn nghiệm - -138 -00:09:11,130 --> 00:09:13,020 -của phương trình nhiệt cũng là một nghiệm không? +136 +00:09:09,280 --> 00:09:13,020 +Ta có thể chắc chắn rằng giới hạn nghiệm của phương trình nhiệt cũng là một nghiệm không? -139 +137 00:09:13,580 --> 00:09:15,213 Và liệu chúng ta có thể chắc chắn rằng tất cả các -140 +138 00:09:15,213 --> 00:09:16,880 hàm thực sự đều có chuỗi Fourier như thế này không? -141 +139 00:09:17,180 --> 00:09:18,400 Nếu không thì khi nào không? -142 +140 00:09:19,080 --> 00:09:22,313 Đây chính xác là những loại câu hỏi mà phân tích thực sự được xây dựng để trả lời, -143 +141 00:09:22,313 --> 00:09:24,768 nhưng nó đi sâu hơn một chút so với mức tôi muốn đề cập ở đây, -144 +142 00:09:24,768 --> 00:09:28,080 vì vậy tôi sẽ chuyển tất cả những câu hỏi đó sang các liên kết trong mô tả của video. -145 +143 00:09:28,720 --> 00:09:33,117 Kết quả cuối cùng là khi bạn lấy các nghiệm phương trình nhiệt liên quan đến -146 +144 00:09:33,117 --> 00:09:36,657 các sóng cosin này và cộng tất cả chúng lại, với vô số chúng, -147 +145 00:09:36,657 --> 00:09:41,054 bạn sẽ có được một nghiệm chính xác mô tả hàm bước sẽ phát triển như thế nào -148 +146 00:09:41,054 --> 00:09:44,309 theo thời gian, và nếu bạn đã làm điều này vào năm 1822, -149 +147 00:09:44,309 --> 00:09:46,480 bạn sẽ trở nên bất tử nếu làm như vậy. -150 +148 00:09:47,140 --> 00:09:51,240 Tất nhiên, thách thức chính trong tất cả những điều này là tìm ra các hệ số này. -151 +149 00:09:53,880 --> 00:09:57,147 Cho đến nay chúng ta đang nghĩ về các hàm có kết quả đầu ra là số thực, -152 +150 00:09:57,147 --> 00:10:00,914 nhưng đối với các phép tính, tôi muốn cho bạn thấy một số điều tổng quát hơn những -153 +151 00:10:00,914 --> 00:10:04,636 gì Fourier đã làm ban đầu, áp dụng cho các hàm có đầu ra có thể là bất kỳ số phức -154 +152 00:10:04,636 --> 00:10:08,448 nào trong mặt phẳng 2d, đó là nơi tất cả các vectơ quay này từ phần mở đầu phát huy -155 +153 00:10:08,448 --> 00:10:09,220 tác dụng trở lại. -156 +154 00:10:10,880 --> 00:10:12,260 -Tại sao sự phức tạp thêm vào? +Tại sao là phép cộng phức? -157 +155 00:10:12,260 --> 00:10:15,053 Ngoài việc tổng quát hơn, theo quan điểm của tôi, -158 +156 00:10:15,053 --> 00:10:19,580 các phép tính trở nên rõ ràng hơn và dễ hiểu hơn tại sao chúng thực sự hoạt động. -159 +157 00:10:20,300 --> 00:10:24,064 Quan trọng hơn, nó đặt nền tảng tốt cho những ý tưởng sẽ xuất hiện sau này -160 +158 00:10:24,064 --> 00:10:27,880 trong loạt bài này, như phép biến đổi Laplace, và tầm quan trọng của hàm mũ. -161 +159 00:10:29,300 --> 00:10:34,367 Chúng ta vẫn sẽ nghĩ về các hàm có đầu vào là một số thực nào đó trên một khoảng hữu hạn, -162 +160 00:10:34,367 --> 00:10:36,000 ví dụ từ 0 đến 1 để đơn giản. -163 +161 00:10:36,560 --> 00:10:40,328 Nhưng trong khi một cái gì đó giống như hàm nhiệt độ sẽ có đầu ra trên trục số thực, -164 +162 00:10:40,328 --> 00:10:44,185 thì chế độ xem rộng hơn này sẽ cho phép đầu ra lang thang ở bất kỳ đâu trong mặt phẳng -165 +163 00:10:44,185 --> 00:10:44,540 phức 2d. -166 +164 00:10:45,120 --> 00:10:48,905 Bạn có thể coi hàm này giống như một bản vẽ, với đầu bút chì vạch ra các điểm -167 +165 00:10:48,905 --> 00:10:52,740 khác nhau trong mặt phẳng phức khi giá trị đầu vào nằm trong khoảng từ 0 đến 1. -168 +166 00:10:53,340 --> 00:10:57,276 Và thay vì sóng hình sin là khối xây dựng cơ bản, như bạn đã thấy lúc đầu, -169 +167 00:10:57,276 --> 00:11:01,370 chúng ta sẽ tập trung vào việc chia các hàm này thành tổng của các vectơ nhỏ, -170 +168 00:11:01,370 --> 00:11:03,680 tất cả đều quay với tần số nguyên không đổi. -171 +169 00:11:03,680 --> 00:11:08,510 Các hàm có đầu ra số thực về cơ bản là những bản vẽ thực sự nhàm chán, -172 +170 00:11:08,510 --> 00:11:11,300 một bản phác thảo bằng bút chì một chiều. -173 -00:11:11,980 --> 00:11:14,346 +171 +00:11:11,980 --> 00:11:14,498 Bạn có thể không quen nghĩ về chúng như thế này, -174 -00:11:14,346 --> 00:11:17,680 -vì thông thường chúng ta hình dung một hàm như vậy bằng một biểu đồ, +172 +00:11:14,498 --> 00:11:17,684 +vì thông thường ta hình dung một hàm như vậy bằng một đồ thị, -175 -00:11:17,680 --> 00:11:20,820 -nhưng hiện tại đường dẫn được vẽ chỉ nằm trong không gian đầu ra. +173 +00:11:17,684 --> 00:11:20,820 +nhưng hiện tại đường được vẽ chỉ nằm trong không gian đầu ra. -176 +174 00:11:25,420 --> 00:11:29,761 Nếu bạn thực hiện một trong những phép phân tách này thành các vectơ -177 +175 00:11:29,761 --> 00:11:34,103 quay cho một bản vẽ nhàm chán, điều sẽ xảy ra là các vectơ có tần số -178 +176 00:11:34,103 --> 00:11:38,760 1 và âm 1 sẽ có cùng độ dài và chúng sẽ phản xạ theo chiều ngang của nhau. -179 +177 00:11:39,500 --> 00:11:42,274 Khi bạn nhìn vào tổng của hai số này khi chúng quay, -180 +178 00:11:42,274 --> 00:11:46,200 tổng đó vẫn cố định trên trục số thực và nó dao động như một sóng hình sin. -181 -00:11:46,920 --> 00:11:51,032 +179 +00:11:46,920 --> 00:11:51,118 Nếu bạn chưa từng thấy nó trước đây thì đây có thể là một cách thực sự kỳ lạ để nghĩ -182 -00:11:51,032 --> 00:11:55,095 -về sóng hình sin là gì, vì chúng ta thường nhìn vào biểu đồ của nó thay vì chỉ nhìn - -183 -00:11:55,095 --> 00:11:57,466 -vào kết quả đầu ra lang thang trên trục số thực, +180 +00:11:51,118 --> 00:11:55,120 +về sóng hình sin là gì, vì ta thường nhìn vào đồ thị của nó thay vì chỉ nhìn vào -184 -00:11:57,466 --> 00:12:00,417 -nhưng trong bối cảnh rộng hơn của các hàm có đầu ra số phức, +181 +00:11:55,120 --> 00:11:59,220 +kết quả đầu ra lang thang trên trục số thực, nhưng trong bối cảnh rộng hơn của các -185 -00:12:00,417 --> 00:12:03,320 -dao động trên đường ngang này trông giống như sóng hình sin. +182 +00:11:59,220 --> 00:12:03,320 +hàm có đầu ra số phức, dao động trên đường ngang này trông giống như sóng hình sin. -186 +183 00:12:04,920 --> 00:12:10,692 Tương tự, cặp vectơ quay có tần số 2 và âm 2 sẽ thêm một thành phần sóng hình sin khác, -187 +184 00:12:10,692 --> 00:12:15,218 v. v. , với các sóng hình sin mà chúng ta đang tìm kiếm trước đó bây -188 +185 00:12:15,218 --> 00:12:18,760 giờ tương ứng với các cặp vectơ quay ngược chiều nhau. -189 +186 00:12:19,640 --> 00:12:22,147 Vì vậy, bối cảnh mà Fourier nghiên cứu ban đầu, -190 +187 00:12:22,147 --> 00:12:24,759 chia các hàm có giá trị thực thành sóng hình sin, -191 +188 00:12:24,759 --> 00:12:29,200 là một trường hợp đặc biệt của ý tưởng tổng quát hơn về các hình vẽ 2D và vectơ quay. +189 +00:12:34,580 --> 00:12:37,938 +Và thời điểm này, có thể bạn không tin rằng việc mở rộng tầm nhìn sang + +190 +00:12:37,938 --> 00:12:40,966 +các hàm phức sẽ khiến mọi thứ dễ hiểu hơn, nhưng hãy kiên nhẫn, + +191 +00:12:40,966 --> 00:12:44,371 +thật xứng đáng khi thêm chút nỗ lực để xem được bức tranh đầy đủ hơn và + 192 -00:12:34,580 --> 00:12:37,886 -Và tại thời điểm này, có thể bạn không tin tôi rằng việc mở rộng tầm nhìn của +00:12:44,371 --> 00:12:48,440 +tôi nghĩ bạn sẽ hài lòng về phép tính thực sự trong bối cảnh rộng hơn này như thế nào. 193 -00:12:37,886 --> 00:12:41,700 -chúng ta sang các hàm phức tạp sẽ khiến mọi thứ dễ hiểu hơn, nhưng hãy kiên nhẫn với tôi, +00:12:49,100 --> 00:12:52,689 +Bạn cũng có thể thắc mắc tại sao, nếu ta chia mọi thứ thành hai chiều, 194 -00:12:41,700 --> 00:12:45,176 -nỗ lực thêm vào để xem được bức tranh đầy đủ hơn thực sự đáng giá và tôi nghĩ bạn +00:12:52,689 --> 00:12:57,240 +chúng ta không chỉ nói về vectơ 2D, thì căn bậc hai của số âm có liên quan gì đến điều gì? 195 -00:12:45,176 --> 00:12:48,440 -sẽ hài lòng. về mức độ tính toán thực tế rõ ràng trong bối cảnh rộng hơn này. +00:12:58,100 --> 00:13:03,700 +Vâng, trái tim và linh hồn của chuỗi Fourier là hàm mũ phức e mũ i nhân t. 196 -00:12:49,100 --> 00:12:52,853 -Bạn cũng có thể thắc mắc tại sao, nếu chúng ta chia mọi thứ thành hai chiều, +00:13:04,480 --> 00:13:07,793 +Khi đầu vào t tiến lên theo thời gian, giá trị này sẽ di 197 -00:12:52,853 --> 00:12:57,240 -chúng ta không chỉ nói về vectơ 2D, thì căn bậc hai của số âm có liên quan gì đến điều gì? +00:13:07,793 --> 00:13:11,340 +chuyển quanh vòng tròn đơn vị với tốc độ một đơn vị mỗi giây. 198 -00:12:58,100 --> 00:13:03,700 -Vâng, trái tim và linh hồn của chuỗi Fourier là hàm mũ phức e mũ i nhân t. +00:13:12,280 --> 00:13:15,889 +Trong video tiếp, bạn sẽ thấy một trực quan nhanh về lý do tại sao các số 199 -00:13:04,480 --> 00:13:07,793 -Khi đầu vào t tiến lên theo thời gian, giá trị này sẽ di +00:13:15,889 --> 00:13:19,596 +lũy thừa ảo lại đi quanh các vòng tròn như thế này từ góc độ của các phương 200 -00:13:07,793 --> 00:13:11,340 -chuyển quanh vòng tròn đơn vị với tốc độ một đơn vị mỗi giây. +00:13:19,596 --> 00:13:22,474 +trình vi phân, và hơn thế nữa, với phần tiếp của loạt bài, 201 -00:13:12,280 --> 00:13:15,916 -Trong video tiếp theo, bạn sẽ thấy trực giác nhanh chóng về lý do tại sao các +00:13:22,474 --> 00:13:26,181 +tôi hy vọng sẽ giúp bạn hiểu được lý do tại sao các số mũ phức như này thực 202 -00:13:15,916 --> 00:13:19,600 -số ảo lũy thừa lại đi quanh các vòng tròn như thế này từ góc độ của các phương +00:13:26,181 --> 00:13:27,060 +sự rất quan trọng. 203 -00:13:19,600 --> 00:13:22,164 -trình vi phân, và hơn thế nữa, khi loạt bài tiếp diễn, - -204 -00:13:22,164 --> 00:13:25,847 -tôi hy vọng sẽ giúp bạn hiểu được lý do tại sao các số mũ phức tạp như thế này - -205 -00:13:25,847 --> 00:13:27,060 -thực sự là rất quan trọng. - -206 00:13:27,740 --> 00:13:31,112 Về lý thuyết, bạn có thể mô tả tất cả nội dung của chuỗi Fourier -207 +204 00:13:31,112 --> 00:13:34,640 hoàn toàn bằng vectơ và không bao giờ nói đến i, căn bậc hai của âm. -208 +205 00:13:35,300 --> 00:13:38,220 Các công thức sẽ trở nên phức tạp hơn, nhưng hơn thế nữa, -209 +206 00:13:38,220 --> 00:13:42,047 việc loại bỏ hàm e thành x bằng cách nào đó sẽ không còn phản ánh chính xác -210 +207 00:13:42,047 --> 00:13:45,722 lý do tại sao ý tưởng này hóa ra lại hữu ích đến vậy trong việc giải các -211 +208 00:13:45,722 --> 00:13:46,780 phương trình vi phân. -212 +209 00:13:47,420 --> 00:13:52,450 Hiện tại, nếu muốn, bạn có thể coi e với nó như một cách viết tắt ký hiệu để mô -213 +210 00:13:52,450 --> 00:13:57,480 tả các vectơ quay, nhưng hãy nhớ rằng nó quan trọng hơn việc viết tắt đơn thuần. -214 +211 00:13:58,540 --> 00:14:02,526 Bạn sẽ nhận thấy rằng tôi hơi lỏng lẻo khi sử dụng các từ vectơ và số phức -215 +212 00:14:02,526 --> 00:14:06,353 có thể thay thế cho nhau, phần lớn là do việc coi số phức như những mũi -216 +213 00:14:06,353 --> 00:14:10,340 tên nhỏ khiến cho ý tưởng cộng nhiều số phức lại với nhau dễ hình dung hơn. -217 +214 00:14:11,340 --> 00:14:14,500 Được rồi, với hàm e mũ i nhân t, chúng ta hãy viết ra -218 +215 00:14:14,500 --> 00:14:17,720 công thức cho mỗi vectơ quay mà chúng ta đang làm việc. -219 -00:14:18,120 --> 00:14:21,900 +216 +00:14:18,120 --> 00:14:22,580 Hiện tại, hãy nghĩ mỗi người trong số họ đang bắt đầu trỏ một đơn vị sang bên phải số 1. -220 -00:14:21,900 --> 00:14:25,839 +217 +00:14:23,080 --> 00:14:26,570 Vector dễ mô tả nhất là vectơ không đổi, luôn ở số 1, -221 -00:14:25,839 --> 00:14:32,260 +218 +00:14:26,570 --> 00:14:32,260 không bao giờ di chuyển hoặc nếu bạn thích, nó là vectơ không trích dẫn quay ở tần số 0. -222 +219 00:14:33,100 --> 00:14:39,220 Khi đó sẽ có vectơ quay một chu kỳ mỗi giây, chúng ta viết là e mũ 2 pi i nhân t. -223 -00:14:39,739 --> 00:14:45,200 +220 +00:14:39,740 --> 00:14:46,440 2 pi đó ở đó vì khi t đi từ 0 đến 1, nó cần đi hết khoảng cách 2 pi dọc theo đường tròn. -224 -00:14:45,200 --> 00:14:49,251 +221 +00:14:47,700 --> 00:14:50,540 Về mặt kỹ thuật, những gì đang được hiển thị, thực tế là cứ 10 giây lại có một -225 -00:14:49,251 --> 00:14:53,560 +222 +00:14:50,540 --> 00:14:53,560 chu kỳ nên mọi thứ không quá chóng mặt, tôi đang làm mọi thứ chậm lại theo hệ số 10. -226 +223 00:14:55,320 --> 00:15:00,368 Chúng ta cũng có một vectơ quay với tốc độ một chu kỳ trên giây theo hướng khác, -227 +224 00:15:00,368 --> 00:15:01,740 e đến âm 2 pi i lần t. -228 +225 00:15:04,300 --> 00:15:10,337 Tương tự, số quay hai vòng mỗi giây là e mũ 2 nhân 2 pi i nhân t, -229 +226 00:15:10,337 --> 00:15:16,740 trong đó 2 nhân 2 pi ở số mũ mô tả khoảng cách đi được trong một giây. -230 +227 00:15:20,600 --> 00:15:24,379 Và chúng ta tiếp tục như thế này với tất cả các số nguyên, -231 +228 00:15:24,379 --> 00:15:28,800 cả dương và âm, với công thức tổng quát là e mũ n nhân 2 pi nhân i t. -232 -00:15:29,339 --> 00:15:32,802 +229 +00:15:29,340 --> 00:15:32,802 Lưu ý rằng điều này làm cho việc viết vectơ hằng số đó dưới dạng -233 +230 00:15:32,802 --> 00:15:36,264 e mũ 0 nhân 2 pi nhân nó sẽ nhất quán hơn, có vẻ như là một cách -234 +231 00:15:36,264 --> 00:15:39,620 cực kỳ phức tạp để viết số 1, nhưng ít nhất nó phù hợp với mẫu. -235 -00:15:40,500 --> 00:15:44,445 -Điều khiển mà chúng ta có, tập hợp các nút bấm và mặt số mà chúng ta có thể xoay, +232 +00:15:40,500 --> 00:15:44,369 +Điều khiển mà chúng ta có, tập hợp các nút và mặt số mà chúng ta có thể xoay, -236 -00:15:44,445 --> 00:15:46,900 +233 +00:15:44,369 --> 00:15:46,900 là kích thước và hướng ban đầu của từng con số này. -237 -00:15:47,480 --> 00:15:51,814 +234 +00:15:47,480 --> 00:15:52,040 Cách chúng ta kiểm soát điều đó là nhân mỗi số với một hằng số phức nào đó, -238 -00:15:51,814 --> 00:15:53,240 -mà tôi sẽ gọi là c sub n. - -239 -00:15:53,880 --> 00:16:00,315 -Ví dụ: nếu chúng ta muốn vectơ hằng số không ở số 1 mà có độ dài bằng 0.5, +235 +00:15:52,040 --> 00:15:53,240 +mà tôi sẽ gọi là cn. -240 -00:16:00,315 --> 00:16:01,860 -c sub 0 sẽ là 0.5. +236 +00:15:53,880 --> 00:16:01,860 +Ví dụ: nếu chúng ta muốn vectơ hằng số không ở số 1 mà có độ dài bằng 0.5, c0 sẽ là 0.5. -241 +237 00:16:02,540 --> 00:16:07,524 Nếu chúng ta muốn vectơ quay với tốc độ 1 chu kỳ trên giây bắt đầu ở một góc 45 độ, -242 +238 00:16:07,524 --> 00:16:12,211 thì chúng ta sẽ nhân nó với một số phức có tác dụng làm nó quay nhiều như vậy, -243 +239 00:16:12,211 --> 00:16:15,000 mà bạn có thể viết là e cho số pi lần thứ tư i. -244 -00:16:15,640 --> 00:16:18,753 -Và nếu độ dài ban đầu của nó cần bằng 0.3 thì - -245 -00:16:18,753 --> 00:16:21,800 -hệ số c sub 1 sẽ bằng 0.gấp 3 lần số tiền đó. +240 +00:16:15,640 --> 00:16:21,800 +Và nếu độ dài ban đầu của nó cần bằng 0,3 thì hệ số c1 sẽ bằng 0,3 lần tổng đó. -246 +241 00:16:22,760 --> 00:16:27,383 Tương tự như vậy, mọi người trong họ vectơ quay vô hạn của chúng ta đều có một hằng số -247 +242 00:16:27,383 --> 00:16:31,900 phức nào đó được nhân vào nó, hằng số này xác định góc ban đầu và tổng độ lớn của nó. -248 +243 00:16:32,820 --> 00:16:37,106 Mục tiêu của chúng ta là biểu diễn bất kỳ hàm tùy ý nào f của t, -249 +244 00:16:37,106 --> 00:16:40,668 chẳng hạn hàm này vẽ nốt thứ tám khi t đi từ 0 đến 1, -250 +245 00:16:40,668 --> 00:16:46,142 dưới dạng tổng các số hạng như thế này, vì vậy chúng ta cần một số cách để chọn ra -251 +246 00:16:46,142 --> 00:16:49,440 từng hằng số này, đưa ra dữ liệu của chính hàm đó. -252 +247 00:16:51,840 --> 00:16:54,540 Dễ dàng tìm thấy nhất trong số này là số hạng không đổi. -253 +248 00:16:55,080 --> 00:16:58,480 -Thuật ngữ này đại diện cho một loại khối tâm cho bản vẽ đầy đủ. +Số hạng này đại diện cho một loại khối tâm cho bản vẽ đầy đủ. -254 +249 00:16:59,000 --> 00:17:02,832 Nếu bạn lấy mẫu một loạt các giá trị cách đều nhau cho đầu vào -255 +250 00:17:02,832 --> 00:17:06,665 t vì nó nằm trong khoảng từ 0 đến 1, thì trung bình của tất cả -256 +251 00:17:06,665 --> 00:17:10,619 các đầu ra của hàm đối với các mẫu đó sẽ là số hạng không đổi c0. -257 +252 00:17:11,359 --> 00:17:14,683 Hay chính xác hơn, khi bạn xem xét các mẫu ngày càng mịn hơn, -258 +253 00:17:14,683 --> 00:17:19,240 giá trị trung bình của kết quả đầu ra đối với các mẫu này tiến tới c0 trong giới hạn. -259 +254 00:17:20,000 --> 00:17:24,306 Những gì tôi đang mô tả, tổng ngày càng mịn hơn của một hàm đối với các mẫu -260 +255 00:17:24,306 --> 00:17:28,500 của t từ phạm vi đầu vào, là một tích phân, tích phân của f(t) từ 0 đến 1. -261 +256 00:17:30,820 --> 00:17:34,785 Thông thường, vì tôi đang đóng khung tất cả những điều này dưới dạng trung bình, -262 +257 00:17:34,785 --> 00:17:38,506 bạn sẽ chia tích phân cho độ dài của phạm vi đầu vào, nhưng độ dài đó là 1, -263 +258 00:17:38,506 --> 00:17:42,080 vì vậy trong trường hợp này, lấy tích phân và lấy trung bình là như nhau. -264 +259 00:17:42,640 --> 00:17:46,580 Có một cách rất hay để suy nghĩ tại sao tích phân này lại cho kết quả là c0. -265 +260 00:17:47,380 --> 00:17:51,270 Hãy nhớ rằng, chúng ta muốn coi hàm này như một tổng của các vectơ quay, -266 +261 00:17:51,270 --> 00:17:54,628 vì vậy hãy coi tích phân này, giá trị trung bình liên tục này, -267 +262 00:17:54,628 --> 00:17:56,600 như được áp dụng cho toàn bộ tổng đó. -268 -00:17:57,460 --> 00:18:00,073 -Trung bình cộng của một số tiền như thế này cũng +263 +00:17:57,460 --> 00:17:59,992 +Trung bình cộng của một tổng như thế này cũng -269 -00:18:00,073 --> 00:18:02,580 +264 +00:17:59,992 --> 00:18:02,580 bằng tổng của các trung bình cộng của mỗi phần. -270 +265 00:18:06,080 --> 00:18:09,240 -Bạn có thể hiểu động thái này như một sự thay đổi tinh tế trong quan điểm. +Bạn có thể xem sự di chuyển này như một thay đổi tinh tế trong toàn cảnh. -271 +266 00:18:09,520 --> 00:18:13,526 Thay vì nhìn vào tổng của tất cả các vectơ tại mỗi thời điểm và lấy giá trị -272 +267 00:18:13,526 --> 00:18:17,480 trung bình mà chúng quét ra, hãy nhìn vào giá trị trung bình của một vectơ -273 +268 00:18:17,480 --> 00:18:21,540 riêng lẻ khi t đi từ 0 đến 1, rồi cộng tất cả các giá trị trung bình này lại. -274 +269 00:18:22,480 --> 00:18:26,433 Nhưng mỗi vectơ này chỉ thực hiện một số nguyên phép quay quanh 0, -275 +270 00:18:26,433 --> 00:18:30,800 do đó giá trị trung bình của nó khi t nằm trong khoảng từ 0 đến 1 sẽ là 0. -276 +271 00:18:31,340 --> 00:18:33,440 -Ngoại lệ duy nhất là thuật ngữ không đổi. +Ngoại lệ duy nhất với số hạng hằng số. -277 +272 00:18:33,940 --> 00:18:37,421 Vì nó đứng yên và không quay nên giá trị trung bình của -278 +273 00:18:37,421 --> 00:18:40,840 nó chính là bất kỳ số nào nó tình cờ bắt đầu, đó là c0. -279 +274 00:18:41,600 --> 00:18:44,648 Vì vậy, tính trung bình cộng này trên toàn bộ hàm là một cách -280 +275 00:18:44,648 --> 00:18:47,500 thông minh để loại bỏ tất cả các số hạng không phải là c0. -281 +276 00:18:48,040 --> 00:18:49,560 Nhưng đây là phần thông minh. -282 +277 00:18:49,860 --> 00:18:53,280 Giả sử bạn muốn tính một số hạng khác, chẳng hạn như c2, -283 +278 00:18:53,280 --> 00:18:55,800 đứng trước vectơ quay hai chu kỳ mỗi giây. -284 -00:18:56,420 --> 00:19:00,540 +279 +00:18:56,420 --> 00:19:00,715 Bí quyết là trước tiên hãy nhân f của t với một giá trị nào đó làm cho vectơ đó đứng yên, -285 -00:19:00,540 --> 00:19:03,379 +280 +00:19:00,715 --> 00:19:03,674 tương đương về mặt toán học với việc đưa một chiếc điện thoại -286 -00:19:03,379 --> 00:19:05,440 -thông minh cho một đứa trẻ hoạt động quá mức. +281 +00:19:03,674 --> 00:19:05,440 +thông minh cho một đứa trẻ hiếu động. -287 +282 00:19:06,260 --> 00:19:11,299 Cụ thể, nếu bạn nhân toàn bộ hàm số với e với số âm 2 nhân 2 pi i nhân t, -288 +283 00:19:11,299 --> 00:19:14,500 hãy nghĩ xem điều gì sẽ xảy ra với mỗi số hạng. -289 -00:19:16,640 --> 00:19:20,674 +284 +00:19:16,640 --> 00:19:20,702 Vì việc nhân các số mũ dẫn đến việc cộng những gì có trong số mũ, -290 -00:19:20,674 --> 00:19:25,320 -nên thuật ngữ tần số trong mỗi số mũ của chúng ta sẽ bị dịch chuyển xuống 2. +285 +00:19:20,702 --> 00:19:25,320 +nên số hạng tần số trong từng số mũ của chúng ta sẽ bị dịch chuyển xuống 2. -291 -00:19:29,660 --> 00:19:33,335 -Vì vậy, bây giờ, khi chúng ta tính trung bình cho mỗi số hạng, +286 +00:19:29,660 --> 00:19:33,307 +Vì vậy, bây giờ khi chúng ta tính trung bình cho mỗi số hạng, -292 -00:19:33,335 --> 00:19:36,720 +287 +00:19:33,307 --> 00:19:36,720 vectơ c-1 đó quay xung quanh âm 3 lần với trung bình là 0. -293 -00:19:37,560 --> 00:19:43,680 +288 +00:19:37,560 --> 00:19:42,506 Vector c0, trước đây không đổi, bây giờ quay hai lần khi t nằm trong khoảng từ 0 đến 1, -294 -00:19:43,680 --> 00:19:46,740 +289 +00:19:42,506 --> 00:19:44,980 do đó giá trị trung bình của nó cũng bằng 0. -295 -00:19:46,740 --> 00:19:50,341 +290 +00:19:46,520 --> 00:19:50,104 Tương tự như vậy, tất cả các vectơ không phải số hạng c2 đều thực hiện -296 -00:19:50,341 --> 00:19:53,740 -một số phép quay nguyên, nghĩa là chúng có giá trị trung bình là 0. +291 +00:19:50,104 --> 00:19:53,740 +hết vài vòng quay nguyên vẹn, nghĩa là chúng có giá trị trung bình là 0. -297 +292 00:19:55,280 --> 00:19:58,480 Vì vậy, lấy trung bình cộng của hàm được sửa đổi này là một -298 +293 00:19:58,480 --> 00:20:01,680 cách thông minh để loại bỏ tất cả các số hạng khác ngoài c2. -299 -00:20:02,360 --> 00:20:04,522 +294 +00:20:02,360 --> 00:20:04,584 Và tất nhiên, không có gì đặc biệt về số 2 ở đây, -300 -00:20:04,522 --> 00:20:08,370 +295 +00:20:04,584 --> 00:20:08,543 bạn có thể thay thế nó bằng bất kỳ n nào khác, và bạn có một công thức tổng quát cho cn, -301 -00:20:08,370 --> 00:20:10,100 -đó chính là điều chúng ta đang tìm kiếm. +296 +00:20:08,543 --> 00:20:10,100 +đó chính là điều chúng ta đang tìm. -302 -00:20:10,660 --> 00:20:14,466 -Ngoài ngữ cảnh, biểu thức này có thể trông phức tạp, nhưng hãy nhớ rằng, +297 +00:20:10,660 --> 00:20:14,574 +Ngoài bối cảnh này, biểu thức này có thể trông phức tạp, nhưng nhớ rằng, -303 -00:20:14,466 --> 00:20:18,167 -bạn có thể đọc nó khi sửa đổi hàm số đầu tiên, bản vẽ 2d của chúng ta, +298 +00:20:14,574 --> 00:20:18,166 +bạn có thể đọc nó khi sửa hàm số đầu tiên, bản vẽ 2d của chúng ta, -304 -00:20:18,167 --> 00:20:21,921 -để làm cho vectơ nhỏ thứ n giữ yên, sau đó thực hiện tính trung bình để +299 +00:20:18,166 --> 00:20:22,026 +để làm cho vectơ nhỏ thứ n giữ nguyên, sau đó thực hiện tính trung bình -305 -00:20:21,921 --> 00:20:25,780 -loại bỏ tất cả các vectơ chuyển động và chỉ để lại cho bạn phần tĩnh lặng. +300 +00:20:22,026 --> 00:20:25,780 +để loại bỏ tất cả các vectơ chuyển động và chỉ để lại phần giữ nguyên. -306 +301 00:20:26,460 --> 00:20:27,080 -Điều đó không điên rồ sao? +Điều đó điên rồ phải không? -307 -00:20:27,500 --> 00:20:31,543 -Tất cả sự phức tạp trong việc phân rã mà bạn thấy ở các bản vẽ thành +302 +00:20:27,500 --> 00:20:31,603 +Tất cả sự phức tạp trong việc phân tách mà bạn thấy ở các bản vẽ thành -308 -00:20:31,543 --> 00:20:35,880 +303 +00:20:31,603 --> 00:20:35,880 tổng của nhiều vectơ quay hoàn toàn được thể hiện trong biểu thức nhỏ này. -309 +304 00:20:36,540 --> 00:20:38,551 Vì vậy, khi tôi vẽ những hình ảnh động này, đó -310 +305 00:20:38,551 --> 00:20:40,820 chính xác là những gì tôi yêu cầu máy tính thực hiện. -311 +306 00:20:41,280 --> 00:20:46,525 Nó tính toán đường đi giống như một hàm phức và đối với một phạm vi giá trị n nhất định, -312 +307 00:20:46,525 --> 00:20:49,060 nó tính tích phân này để tìm hệ số c của n. -313 -00:20:51,080 --> 00:20:54,475 -Đối với những người tò mò về nguồn gốc của dữ liệu cho một đường dẫn, +308 +00:20:51,080 --> 00:20:54,441 +Đối với những người tò mò về nguồn gốc của dữ liệu của một đường vẽ, -314 -00:20:54,475 --> 00:20:58,017 +309 +00:20:54,441 --> 00:20:57,997 tôi sẽ đi theo con đường dễ dàng và chỉ cần đọc chương trình ở dạng SVG, -315 -00:20:58,017 --> 00:21:01,946 +310 +00:20:57,997 --> 00:21:01,943 đây là định dạng tệp xác định hình ảnh theo các đường cong toán học thay vì bằng -316 -00:21:01,946 --> 00:21:02,820 +311 +00:21:01,943 --> 00:21:02,820 các giá trị pixel. -317 +312 00:21:03,280 --> 00:21:06,145 Vì vậy, ánh xạ f của t từ một tham số thời gian tới các -318 +313 00:21:06,145 --> 00:21:08,960 điểm trong không gian về cơ bản đã được xác định trước. -319 +314 00:21:10,540 --> 00:21:15,126 Trong những gì được hiển thị ngay bây giờ, tôi đang sử dụng 101 vectơ quay, -320 +315 00:21:15,126 --> 00:21:17,480 tính các giá trị của n từ âm 50 đến 50. -321 -00:21:18,120 --> 00:21:21,396 +316 +00:21:18,120 --> 00:21:21,314 Trong thực tế, mỗi tích phân này được tính bằng số, -322 -00:21:21,396 --> 00:21:26,942 +317 +00:21:21,314 --> 00:21:26,720 về cơ bản có nghĩa là nó chia khoảng đơn vị thành nhiều phần nhỏ có kích thước delta t, -323 -00:21:26,942 --> 00:21:31,101 +318 +00:21:26,720 --> 00:21:30,774 rồi cộng giá trị này, f(t nhân e) với âm n 2 pi it nhân delta t , -324 -00:21:31,101 --> 00:21:32,740 -cho mỗi người trong số họ. +319 +00:21:30,774 --> 00:21:32,740 +với từng giá trị trong số chúng. -325 +320 00:21:33,280 --> 00:21:36,083 Có nhiều phương pháp phức tạp hơn để lấy tích phân số hiệu quả hơn, -326 +321 00:21:36,083 --> 00:21:37,980 nhưng phương pháp này mang lại ý tưởng cơ bản. -327 +322 00:21:38,820 --> 00:21:42,755 Và sau khi bạn tính toán 101 hằng số này, mỗi hằng số sẽ xác định góc và -328 +323 00:21:42,755 --> 00:21:46,744 độ lớn ban đầu cho các vectơ nhỏ, sau đó bạn chỉ cần đặt chúng quay tròn, -329 +324 00:21:46,744 --> 00:21:49,332 cộng chúng từ đầu đến đuôi khi chúng di chuyển, -330 +325 00:21:49,332 --> 00:21:53,213 và đường đi được vẽ ra bởi đầu cuối cùng là một số xấp xỉ đường dẫn ban -331 +326 00:21:53,213 --> 00:21:54,400 đầu mà bạn đã đưa vào. -332 +327 00:21:55,100 --> 00:21:58,153 Khi số lượng vectơ được sử dụng tiến tới vô cùng, -333 +328 00:21:58,153 --> 00:22:00,780 đường dẫn gần đúng ngày càng chính xác hơn. -334 -00:22:14,140 --> 00:22:16,502 -Để đưa tất cả những điều này trở lại Trái đất, - -335 -00:22:16,502 --> 00:22:19,719 -hãy xem xét ví dụ mà chúng ta đã xem xét trước đó, về hàm bước, +329 +00:22:14,140 --> 00:22:18,799 +Để đưa tất cả những điều này trở lại mặt đất, xem xét ví dụ mà chúng ta đã xét trước đó, -336 -00:22:19,719 --> 00:22:23,388 -hàm này rất hữu ích trong việc mô hình hóa sự tản nhiệt giữa hai thanh ở +330 +00:22:18,799 --> 00:22:22,673 +về hàm bước, hàm này rất hữu ích trong việc mô hình hóa sự tản nhiệt giữa -337 -00:22:23,388 --> 00:22:25,500 -nhiệt độ khác nhau sau khi chúng tiếp xúc. +331 +00:22:22,673 --> 00:22:25,500 +hai thanh ở nhiệt độ khác nhau sau khi chúng tiếp xúc. -338 +332 00:22:26,620 --> 00:22:29,429 Giống như bất kỳ hàm có giá trị số thực nào, hàm bước -339 +333 00:22:29,429 --> 00:22:32,500 giống như một bản vẽ nhàm chán bị giới hạn trong một chiều. -340 +334 00:22:33,240 --> 00:22:37,495 Nhưng đây là một bản vẽ đặc biệt buồn tẻ, vì đối với các đầu vào nằm -341 +335 00:22:37,495 --> 00:22:41,010 trong khoảng từ 0 đến 0.5, đầu ra chỉ giữ nguyên ở số 1, -342 +336 00:22:41,010 --> 00:22:45,820 sau đó nó liên tục nhảy về âm 1 đối với các đầu vào nằm trong khoảng 0.5 và 1. -343 +337 00:22:46,440 --> 00:22:49,068 Vì vậy, trong phép tính gần đúng chuỗi Fourier, -344 +338 00:22:49,068 --> 00:22:52,134 tổng vectơ thực sự gần bằng 1 trong nửa đầu của chu kỳ, -345 +339 00:22:52,134 --> 00:22:56,680 sau đó nhanh chóng chuyển sang âm 1 và giữ gần giá trị đó trong nửa sau của chu kỳ. -346 +340 00:22:57,500 --> 00:23:01,030 Và hãy nhớ rằng, mỗi cặp vectơ quay ngược chiều nhau tương -347 +341 00:23:01,030 --> 00:23:04,680 ứng với một trong các sóng cosin mà chúng ta đã xét trước đó. -348 -00:23:06,080 --> 00:23:09,384 -Để tìm các hệ số, bạn cần phải tính tích phân này và đối với những +342 +00:23:06,080 --> 00:23:09,494 +Để tìm các hệ số, bạn cần tính tích phân này và đối với những người -349 -00:23:09,384 --> 00:23:13,231 -người xem đầy tham vọng trong số các bạn muốn tính một số tích phân bằng tay, +343 +00:23:09,494 --> 00:23:13,110 +xem đầy tham vọng trong số các bạn muốn tính một số tích phân bằng tay, -350 -00:23:13,231 --> 00:23:17,177 +344 +00:23:13,110 --> 00:23:17,127 đây là cách bạn thực sự có thể thực hiện phép tính để có câu trả lời chính xác, -351 -00:23:17,177 --> 00:23:19,940 +345 +00:23:17,127 --> 00:23:19,940 thay vì chỉ có một máy tính làm điều đó bằng số cho bạn. -352 -00:23:19,940 --> 00:23:23,856 +346 +00:23:19,940 --> 00:23:23,882 Tôi sẽ coi đây là một bài tập để giải quyết vấn đề này và liên hệ nó với -353 -00:23:23,856 --> 00:23:27,880 -ý tưởng về sóng cosine bằng cách ghép các vectơ quay theo hướng ngược nhau. +347 +00:23:23,882 --> 00:23:27,880 +ý tưởng về sóng cosin bằng cách ghép các vectơ quay theo hướng ngược nhau. -354 -00:23:28,780 --> 00:23:32,666 +348 +00:23:28,780 --> 00:23:32,868 Và để tham vọng hơn nữa, tôi sẽ để lại một bài tập khác trên màn hình về cách -355 -00:23:32,666 --> 00:23:36,453 +349 +00:23:32,868 --> 00:23:36,851 liên hệ phép tính tổng quát hơn này với những gì bạn có thể thấy trong sách -356 -00:23:36,453 --> 00:23:40,340 +350 +00:23:36,851 --> 00:23:40,940 giáo khoa mô tả chuỗi Fourier chỉ theo các hàm có giá trị thực với sin và cos. -357 -00:23:40,340 --> 00:23:43,558 -Nhân tiện, nếu bạn đang tìm kiếm thêm nội dung về chuỗi Fourier, +351 +00:23:41,840 --> 00:23:44,475 +Nhân tiện, nếu bạn đang tìm thêm nội dung về chuỗi Fourier, -358 -00:23:43,558 --> 00:23:47,272 +352 +00:23:44,475 --> 00:23:47,770 tôi thực sự khuyên bạn nên xem các video của Mathoger và The Coding Train, -359 -00:23:47,272 --> 00:23:51,680 +353 +00:23:47,770 --> 00:23:51,680 đồng thời tôi cũng đề xuất bài đăng blog này, tất nhiên là các liên kết trong phần mô tả. -360 -00:23:53,620 --> 00:23:57,534 -Vì vậy, một mặt, điều này kết thúc cuộc thảo luận của chúng ta về phương trình nhiệt, +354 +00:23:53,620 --> 00:23:57,450 +Vậy một mặt, điều này kết thúc cuộc thảo luận của chúng ta về phương trình nhiệt, -361 -00:23:57,534 --> 00:24:00,720 +355 +00:23:57,450 --> 00:24:00,720 đó là một cửa sổ nhỏ để nghiên cứu các phương trình vi phân từng phần. -362 +356 00:24:01,240 --> 00:24:03,580 Nhưng mặt khác, chuỗi Fourier thành Fourier này -363 +357 00:24:03,580 --> 00:24:05,920 là cái nhìn đầu tiên về một ý tưởng sâu sắc hơn. -364 +358 00:24:06,500 --> 00:24:10,688 Các hàm mũ, bao gồm cả việc khái quát hóa chúng thành số phức và thậm chí cả ma trận, -365 +359 00:24:10,688 --> 00:24:13,902 đóng một vai trò rất quan trọng đối với các phương trình vi phân, -366 +360 00:24:13,902 --> 00:24:16,240 đặc biệt là khi nói đến phương trình tuyến tính. -367 +361 00:24:16,920 --> 00:24:26,629 Những gì bạn vừa thấy, chia nhỏ một hàm dưới dạng tổ hợp của các -368 +362 00:24:26,629 --> 00:24:35,891 số mũ này và sử dụng hàm đó để giải một phương trình vi phân, -369 +363 00:24:35,891 --> 00:24:45,900 sẽ xuất hiện lặp đi lặp lại dưới nhiều hình dạng và dạng khác nhau. diff --git a/2019/pdes/arabic/auto_generated.srt b/2019/pdes/arabic/auto_generated.srt index a02f25598..26e0d1435 100644 --- a/2019/pdes/arabic/auto_generated.srt +++ b/2019/pdes/arabic/auto_generated.srt @@ -195,7 +195,7 @@ فلنبدأ بتوضيح ماهية الدالة التي نحللها بالضبط. 50 -00:03:40,459 --> 00:03:45,013 +00:03:40,460 --> 00:03:45,013 لدينا قضيب في بعد واحد، ونحن نفكر فيه على أنه يقع على المحور 51 @@ -259,15 +259,15 @@ بمرور الوقت، مثل زاوية البندول وسرعته الزاوية، ووصفنا هذا التغيير في لغة المشتقات. 66 -00:04:57,600 --> 00:05:03,800 +00:04:57,600 --> 00:05:03,100 ولكن عندما تتغير دالة بأكملها بمرور الوقت، تصبح الأدوات الرياضية أكثر تعقيدًا بعض الشيء. 67 -00:05:03,800 --> 00:05:08,617 +00:05:03,100 --> 00:05:08,262 عندما نفكر في دالة درجة الحرارة هذه بأبعاد متعددة لمساحة الإدخال الخاصة بها، 68 -00:05:08,617 --> 00:05:13,560 +00:05:08,262 --> 00:05:13,560 في هذه الحالة واحد للمكان وواحد للوقت، هناك عدة معدلات مختلفة للتغير في اللعب. 69 @@ -415,15 +415,15 @@ لذلك طرحت هذه المعادلة، ولكن من أين تأتي هذه؟ 105 -00:07:58,560 --> 00:08:01,600 +00:07:58,560 --> 00:08:00,580 كيف يمكنك أن تفكر في شيء كهذا بنفسك؟ 106 -00:08:01,800 --> 00:08:05,516 +00:08:01,480 --> 00:08:05,366 لذلك، دعونا نبسط الأمور من خلال وصف نسخة منفصلة من الإعداد، 107 -00:08:05,516 --> 00:08:08,800 +00:08:05,366 --> 00:08:08,800 حيث يكون لديك فقط عدد محدود من النقاط x على التوالي. 108 @@ -543,7 +543,7 @@ x1، x2، وx3، مع درجات الحرارة المقابلة T1، T2، وT3. وT3 هو نفس متوسط T2، لذلك لن يميل T2 إلى التغيير. 137 -00:10:28,339 --> 00:10:34,730 +00:10:28,340 --> 00:10:34,730 إذا كانت دلتا T2 أكبر من دلتا T1، أي أن فرق الفروق موجب، لاحظ 138 @@ -835,7 +835,7 @@ t على del x-squared، المشتق الجزئي الثاني للدالة ب كل هذا وأكثر في الفصل التالي. 210 -00:16:04,699 --> 00:16:07,859 +00:16:04,700 --> 00:16:07,859 لقد كنت متحمسًا في الأصل لتغطية هذا الموضوع بالتحديد عندما حصلت 211 @@ -907,14 +907,14 @@ t على del x-squared، المشتق الجزئي الثاني للدالة ب بالفعل، فلن تجدوا نقصًا في الأفكار الجديدة والقصص المنيرة. 228 -00:17:10,819 --> 00:17:13,140 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 لقد استمتعت به بالتأكيد. 229 -00:17:13,140 --> 00:17:16,460 +00:17:12,500 --> 00:17:16,599 مرة أخرى، أعلم أن هذا يبدو كإعلان، لكنه ليس كذلك، أعتقد أنك ستستمتع بالكتاب. 230 -00:17:16,460 --> 00:17:16,599 +00:17:16,599 --> 00:17:16,599 شكرًا لك. diff --git a/2019/pdes/chinese/auto_generated.srt b/2019/pdes/chinese/auto_generated.srt index 72e2b6d27..8edd775ec 100644 --- a/2019/pdes/chinese/auto_generated.srt +++ b/2019/pdes/chinese/auto_generated.srt @@ -203,7 +203,7 @@ 我们首 先要明确我们正在分析的函数到底是什么。 52 -00:03:40,459 --> 00:03:45,318 +00:03:40,460 --> 00:03:45,318 我们有一维的杆，我们将其视为位于 x 轴 上， 53 @@ -263,23 +263,23 @@ 例如钟摆的角度和 角速度，用导数语言描述了这种变化。 67 -00:04:57,600 --> 00:05:00,700 +00:04:57,600 --> 00:05:00,350 但当我们的整个函数随时间变化时， 68 -00:05:00,700 --> 00:05:03,800 +00:05:00,350 --> 00:05:03,100 数学工具就会变得稍微复杂一些。 69 -00:05:03,800 --> 00:05:07,735 +00:05:03,100 --> 00:05:07,317 当我们考虑这个具有多个输入空间维度的温度 函数时， 70 -00:05:07,735 --> 00:05:11,513 +00:05:07,317 --> 00:05:11,366 在本例中，一个维度代表空间，一个 维度代表时间， 71 -00:05:11,513 --> 00:05:13,560 +00:05:11,366 --> 00:05:13,560 因此存在多种不同的变化率。 72 @@ -447,15 +447,15 @@ D 替换为特殊的卷曲 D，有时称为 del。 所以我扔掉了这个等式，但是这个等式是从哪里来的呢？ 113 -00:07:58,560 --> 00:08:01,600 +00:07:58,560 --> 00:08:00,580 你自己怎么能想出这样的办法呢？ 114 -00:08:01,800 --> 00:08:06,107 +00:08:01,480 --> 00:08:05,984 为此，让我们通过描述设置的离散版本来简 化事情， 115 -00:08:06,107 --> 00:08:08,800 +00:08:05,984 --> 00:08:08,800 其中连续只有有限多个点 x 。 116 @@ -587,7 +587,7 @@ T1 和 delta T2。 值与 T2 相同，因此 T2 不会发生变化。 148 -00:10:28,339 --> 00:10:32,721 +00:10:28,340 --> 00:10:32,721 如果 delta T2 大于 delta T1， 149 @@ -915,7 +915,7 @@ del x-squared，即函数关于 x 的二阶偏导数。 所有这些以及下一章的更多内容。 230 -00:16:04,699 --> 00:16:07,862 +00:16:04,700 --> 00:16:07,862 当我早期看到史蒂夫·斯特罗加茨（Steve Strogat 231 @@ -991,18 +991,18 @@ z）的新书《无限力量》时，我最初有动力讨论这个特定的主 您会发现不乏新鲜的见解和启发性的故事。 249 -00:17:10,819 --> 00:17:13,140 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 我当然很喜欢它。 250 -00:17:13,140 --> 00:17:14,537 +00:17:12,500 --> 00:17:14,226 再说一次，我知道这听起来像广告， 251 -00:17:14,537 --> 00:17:16,460 +00:17:14,226 --> 00:17:16,599 但事实 并非如此，我只是认为你会喜欢这本书。 252 -00:17:16,460 --> 00:17:16,599 +00:17:16,599 --> 00:17:16,599 谢谢。 diff --git a/2019/pdes/french/auto_generated.srt b/2019/pdes/french/auto_generated.srt index 2bc9f1c1c..4aafb324a 100644 --- a/2019/pdes/french/auto_generated.srt +++ b/2019/pdes/french/auto_generated.srt @@ -275,7 +275,7 @@ L'étape 1 consiste simplement à construire l'équation de la chaleur, et pour commençons par être clair sur ce qu'est exactement la fonction que nous analysons. 70 -00:03:40,459 --> 00:03:45,424 +00:03:40,460 --> 00:03:45,424 Nous avons une tige dans une dimension, et nous la considérons comme assise sur un axe x, 71 @@ -375,23 +375,23 @@ comme l'angle et la vitesse angulaire d'un pendule, décrivant ce changement dans le langage des dérivées. 95 -00:04:57,600 --> 00:05:00,514 +00:04:57,600 --> 00:05:00,185 Mais lorsqu’une fonction entière change avec le temps, 96 -00:05:00,514 --> 00:05:03,800 +00:05:00,185 --> 00:05:03,100 les outils mathématiques deviennent légèrement plus complexes. 97 -00:05:03,800 --> 00:05:07,037 +00:05:03,100 --> 00:05:06,570 Alors que nous pensons à cette fonction de température avec plusieurs 98 -00:05:07,037 --> 00:05:11,154 +00:05:06,570 --> 00:05:10,982 dimensions dans son espace d'entrée, dans ce cas une pour l'espace et une pour le temps, 99 -00:05:11,154 --> 00:05:13,560 +00:05:10,982 --> 00:05:13,560 plusieurs taux de changement différents sont en jeu. 100 @@ -579,15 +579,15 @@ donne au temps son propre axe pousse déjà nos visuels dans la troisième dimen J'ai donc jeté cette équation, mais d'où cela vient-il? 146 -00:07:58,560 --> 00:08:01,600 +00:07:58,560 --> 00:08:00,580 Comment as-tu pu imaginer quelque chose comme ça toi-même? 147 -00:08:01,800 --> 00:08:06,126 +00:08:01,480 --> 00:08:06,004 Pour cela, simplifions les choses en décrivant une version discrète de la configuration, 148 -00:08:06,126 --> 00:08:08,800 +00:08:06,004 --> 00:08:08,800 où vous n'avez qu'un nombre fini de points x d'affilée. 149 @@ -735,11 +735,11 @@ Si ces deux différences sont identiques, alors la moyenne de T1 et T3 est la même que celle de T2, donc T2 n’aura pas tendance à changer. 185 -00:10:28,339 --> 00:10:32,599 +00:10:28,340 --> 00:10:32,600 Si le delta T2 est supérieur au delta T1, ce qui signifie que la 186 -00:10:32,599 --> 00:10:36,925 +00:10:32,600 --> 00:10:36,925 différence des différences est positive, remarquez que la moyenne 187 @@ -1127,7 +1127,7 @@ ce que Fourier aux cheveux de caniche a développé ici pour résoudre ce probl Tout cela et bien plus encore dans le prochain chapitre. 283 -00:16:04,699 --> 00:16:07,852 +00:16:04,700 --> 00:16:07,852 À l'origine, j'étais motivé pour aborder ce sujet particulier lorsque j'ai 284 @@ -1219,18 +1219,18 @@ Et pour ceux d’entre vous qui connaissent et aiment déjà le sujet, vous ne manquerez pas d’idées nouvelles et d’histoires éclairantes. 306 -00:17:10,819 --> 00:17:13,140 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 J’ai certainement apprécié. 307 -00:17:13,140 --> 00:17:14,618 +00:17:12,500 --> 00:17:14,325 Encore une fois, je sais que cela ressemble à une publicité, 308 -00:17:14,618 --> 00:17:16,460 +00:17:14,325 --> 00:17:16,599 mais ce n'est pas le cas, je pense simplement que vous apprécierez le livre. 309 -00:17:16,460 --> 00:17:16,599 +00:17:16,599 --> 00:17:16,599 Merci. diff --git a/2019/pdes/german/auto_generated.srt b/2019/pdes/german/auto_generated.srt index 4db2afd38..7074003ea 100644 --- a/2019/pdes/german/auto_generated.srt +++ b/2019/pdes/german/auto_generated.srt @@ -259,7 +259,7 @@ Dazu beginnen wir damit, uns darüber im Klaren zu sein, was genau die Funktion die wir analysieren. 66 -00:03:40,459 --> 00:03:43,531 +00:03:40,460 --> 00:03:43,531 Wir haben einen Stab in einer Dimension und stellen uns vor, 67 @@ -359,23 +359,23 @@ wie zum Beispiel der Winkel und die Winkelgeschwindigkeit eines Pendels, und haben diese Änderung in der Sprache der Ableitungen beschrieben. 91 -00:04:57,600 --> 00:05:00,700 +00:04:57,600 --> 00:05:00,350 Aber wenn sich eine ganze Funktion mit der Zeit ändert, 92 -00:05:00,700 --> 00:05:03,800 +00:05:00,350 --> 00:05:03,100 werden die mathematischen Werkzeuge etwas komplizierter. 93 -00:05:03,800 --> 00:05:06,959 +00:05:03,100 --> 00:05:06,485 Da wir uns diese Temperaturfunktion mit mehreren Dimensionen ihres 94 -00:05:06,959 --> 00:05:10,778 +00:05:06,485 --> 00:05:10,578 Eingaberaums vorstellen, in diesem Fall eine für den Raum und eine für die Zeit, 95 -00:05:10,778 --> 00:05:13,560 +00:05:10,578 --> 00:05:13,560 spielen mehrere unterschiedliche Änderungsraten eine Rolle. 96 @@ -575,15 +575,15 @@ werden unsere Bilder bereits in die dritte Dimension verschoben. Also habe ich diese Gleichung verworfen, aber woher kommt das? 145 -00:07:58,560 --> 00:08:01,600 +00:07:58,560 --> 00:08:00,580 Wie konnte man sich so etwas selbst ausdenken? 146 -00:08:01,800 --> 00:08:06,056 +00:08:01,480 --> 00:08:05,931 Vereinfachen wir dazu die Dinge, indem wir eine diskrete Version des Aufbaus beschreiben, 147 -00:08:06,056 --> 00:08:08,800 +00:08:05,931 --> 00:08:08,800 bei der es nur endlich viele Punkte x hintereinander gibt. 148 @@ -731,7 +731,7 @@ Wenn diese beiden Unterschiede gleich sind, ist der Durchschnitt von T1 und T3 derselbe wie T2, sodass sich T2 tendenziell nicht ändert. 184 -00:10:28,339 --> 00:10:31,726 +00:10:28,340 --> 00:10:31,726 Wenn Delta T2 größer als Delta T1 ist, was bedeutet, 185 @@ -1127,7 +1127,7 @@ um dieses Problem zu lösen. All dies und mehr im nächsten Kapitel. 283 -00:16:04,699 --> 00:16:07,618 +00:16:04,700 --> 00:16:07,618 Ich wurde ursprünglich dazu motiviert, dieses spezielle Thema zu behandeln, 284 @@ -1223,18 +1223,18 @@ Und für diejenigen unter Ihnen, die das Thema bereits kennen und lieben, wird es nicht an frischen Erkenntnissen und aufschlussreichen Geschichten mangeln. 307 -00:17:10,819 --> 00:17:13,140 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 Ich habe es auf jeden Fall genossen. 308 -00:17:13,140 --> 00:17:14,519 +00:17:12,500 --> 00:17:14,203 Auch hier weiß ich, dass das wie eine Werbung klingt, 309 -00:17:14,519 --> 00:17:16,460 +00:17:14,203 --> 00:17:16,599 aber das ist es nicht. Ich denke einfach, dass Ihnen das Buch gefallen wird. 310 -00:17:16,460 --> 00:17:16,599 +00:17:16,599 --> 00:17:16,599 Danke schön. diff --git a/2019/pdes/hebrew/auto_generated.srt b/2019/pdes/hebrew/auto_generated.srt index a1f1ea0eb..27fbfd562 100644 --- a/2019/pdes/hebrew/auto_generated.srt +++ b/2019/pdes/hebrew/auto_generated.srt @@ -183,7 +183,7 @@ נתחיל בכך שנבהיר מה בדיוק הפונקציה שאנו מנתחים. 47 -00:03:40,459 --> 00:03:45,358 +00:03:40,460 --> 00:03:45,358 יש לנו מוט במימד אחד, ואנחנו חושבים שהוא יושב על ציר x, 48 @@ -243,15 +243,15 @@ t, לזמן. כמו הזווית והמהירות הזוויתית של מטוטלת, המתארים את השינוי בשפת הנגזרות. 62 -00:04:57,600 --> 00:05:03,800 +00:04:57,600 --> 00:05:03,100 אבל כשיש לנו פונקציה שלמה שמשתנה עם הזמן, הכלים המתמטיים הופכים מעט יותר מורכבים. 63 -00:05:03,800 --> 00:05:08,860 +00:05:03,100 --> 00:05:08,523 כאשר אנו חושבים על פונקציית טמפרטורה זו עם מספר ממדים למרחב הקלט שלה, 64 -00:05:08,860 --> 00:05:13,560 +00:05:08,523 --> 00:05:13,560 במקרה זה אחד למרחב ואחד לזמן, ישנם מספר קצבי שינויים שונים במשחק. 65 @@ -383,15 +383,15 @@ t, לזמן. אז זרקתי את המשוואה הזו, אבל מאיפה זה בא? 97 -00:07:58,560 --> 00:08:01,600 +00:07:58,560 --> 00:08:00,580 איך יכולת לחשוב על דבר כזה בעצמך? 98 -00:08:01,800 --> 00:08:06,183 +00:08:01,480 --> 00:08:06,064 לשם כך, הבה נפשט את הדברים על ידי תיאור גרסה בדידה של ההתקנה, 99 -00:08:06,183 --> 00:08:08,800 +00:08:06,064 --> 00:08:08,800 שבה יש לך רק נקודות x סופיות ברציפות. 100 @@ -503,7 +503,7 @@ x2 ו-x3, עם הטמפרטורות המתאימות T1, T2 ו-T3. אם שני ההבדלים האלה זהים, אז הממוצע של T1 ו-T3 זהה ל-T2, כך ש-T2 לא ישתנה. 127 -00:10:28,339 --> 00:10:34,568 +00:10:28,340 --> 00:10:34,568 אם דלתא T2 גדולה מדלתא T1, כלומר ההבדל בין ההבדלים חיובי, 128 @@ -767,7 +767,7 @@ x2 ו-x3, עם הטמפרטורות המתאימות T1, T2 ו-T3. כל זאת ועוד בפרק הבא. 193 -00:16:04,699 --> 00:16:07,902 +00:16:04,700 --> 00:16:07,902 במקור הייתה לי מוטיבציה לכסות את הנושא הספציפי הזה כאשר קיבלתי תצוגה 194 @@ -835,14 +835,14 @@ x2 ו-x3, עם הטמפרטורות המתאימות T1, T2 ו-T3. ולמי מכם שכבר מכיר ואוהב את הנושא, לא תמצאו מחסור בתובנות טריות וסיפורים מאירים. 210 -00:17:10,819 --> 00:17:13,140 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 בהחלט נהניתי. 211 -00:17:13,140 --> 00:17:16,460 +00:17:12,500 --> 00:17:16,599 שוב, אני יודע שזה נשמע כמו פרסומת, אבל זה לא, אני רק חושב שאתה תהנה מהספר. 212 -00:17:16,460 --> 00:17:16,599 +00:17:16,599 --> 00:17:16,599 תודה. diff --git a/2019/pdes/hindi/auto_generated.srt b/2019/pdes/hindi/auto_generated.srt index 53a38af12..9e32a0d93 100644 --- a/2019/pdes/hindi/auto_generated.srt +++ b/2019/pdes/hindi/auto_generated.srt @@ -219,7 +219,7 @@ शुरुआत करें कि हम जिस फ़ंक्शन का विश्लेषण कर रहे हैं वह वास्तव में क्या है। 56 -00:03:40,459 --> 00:03:44,733 +00:03:40,460 --> 00:03:44,733 हमारे पास एक आयाम में एक छड़ है, और हम इसे x-अक्ष पर बैठे हुए मान रहे हैं, 57 @@ -295,19 +295,19 @@ जैसे पेंडुलम का कोण और कोणीय वेग, डेरिवेटिव की भाषा में उस परिवर्तन का वर्णन करते हैं। 75 -00:04:57,600 --> 00:05:00,897 +00:04:57,600 --> 00:05:00,525 लेकिन जब हमारा संपूर्ण कार्य समय के साथ बदलता है, 76 -00:05:00,897 --> 00:05:03,800 +00:05:00,525 --> 00:05:03,100 तो गणितीय उपकरण थोड़े अधिक जटिल हो जाते हैं। 77 -00:05:03,800 --> 00:05:08,592 +00:05:03,100 --> 00:05:08,236 जैसा कि हम इस तापमान फ़ंक्शन के इनपुट स्थान के कई आयामों के बारे में सोच रहे हैं, 78 -00:05:08,592 --> 00:05:13,560 +00:05:08,236 --> 00:05:13,560 इस मामले में एक स्थान के लिए और एक समय के लिए, इसमें परिवर्तन की कई अलग-अलग दरें हैं। 79 @@ -479,15 +479,15 @@ इसलिए मैंने इस समीकरण को खारिज कर दिया, लेकिन यह कहां से आया? 121 -00:07:58,560 --> 00:08:01,600 +00:07:58,560 --> 00:08:00,580 आप स्वयं ऐसा कुछ कैसे सोच सकते हैं? 122 -00:08:01,800 --> 00:08:05,589 +00:08:01,480 --> 00:08:05,442 उसके लिए, आइए सेटअप के एक अलग संस्करण का वर्णन करके चीजों को सरल बनाएं, 123 -00:08:05,589 --> 00:08:08,800 +00:08:05,442 --> 00:08:08,800 जहां आपके पास एक पंक्ति में केवल सीमित रूप से कई बिंदु x हैं। 124 @@ -627,7 +627,7 @@ इसलिए T2 में बदलाव की प्रवृत्ति नहीं होगी। 158 -00:10:28,339 --> 00:10:34,653 +00:10:28,340 --> 00:10:34,653 यदि डेल्टा टी2 डेल्टा टी1 से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि अंतर का अंतर सकारात्मक है, 159 @@ -971,7 +971,7 @@ यह सब और बहुत कुछ अगले अध्याय में। 244 -00:16:04,699 --> 00:16:07,810 +00:16:04,700 --> 00:16:07,810 मैं मूल रूप से इस विशेष विषय को कवर करने के लिए तब प्रेरित हुआ जब मुझे 245 @@ -1047,18 +1047,18 @@ उनके लिए आपको ताज़ा अंतर्दृष्टि और ज्ञानवर्धक कहानियों की कोई कमी नहीं होगी। 263 -00:17:10,819 --> 00:17:13,140 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 मैंने निश्चित रूप से इसका आनंद लिया। 264 -00:17:13,140 --> 00:17:14,660 +00:17:12,500 --> 00:17:14,377 फिर, मुझे पता है कि यह एक विज्ञापन जैसा लगता है, 265 -00:17:14,660 --> 00:17:16,460 +00:17:14,377 --> 00:17:16,599 लेकिन ऐसा नहीं है, मुझे लगता है कि आप किताब का आनंद लेंगे। 266 -00:17:16,460 --> 00:17:16,599 +00:17:16,599 --> 00:17:16,599 धन्यवाद। diff --git a/2019/pdes/indonesian/auto_generated.srt b/2019/pdes/indonesian/auto_generated.srt index 30278f14a..5f62363a0 100644 --- a/2019/pdes/indonesian/auto_generated.srt +++ b/2019/pdes/indonesian/auto_generated.srt @@ -243,7 +243,7 @@ Langkah 1 hanyalah menyusun persamaan kalor, dan untuk itu, mari kita mulai dengan memperjelas fungsi apa sebenarnya yang sedang kita analisis. 62 -00:03:40,459 --> 00:03:43,095 +00:03:40,460 --> 00:03:43,095 Kita mempunyai sebuah batang dalam satu dimensi, 63 @@ -331,23 +331,23 @@ angka yang berubah seiring waktu, seperti sudut dan kecepatan sudut pendulum, yang menjelaskan perubahan tersebut dalam bahasa turunan. 84 -00:04:57,600 --> 00:05:00,928 +00:04:57,600 --> 00:05:00,552 Namun ketika seluruh fungsi berubah seiring waktu, 85 -00:05:00,928 --> 00:05:03,800 +00:05:00,552 --> 00:05:03,100 alat matematika menjadi sedikit lebih rumit. 86 -00:05:03,800 --> 00:05:07,827 +00:05:03,100 --> 00:05:07,416 Saat kita memikirkan fungsi suhu dengan banyak dimensi pada ruang masukannya, 87 -00:05:07,827 --> 00:05:10,823 +00:05:07,416 --> 00:05:10,626 dalam hal ini satu untuk ruang dan satu lagi untuk waktu, 88 -00:05:10,823 --> 00:05:13,560 +00:05:10,626 --> 00:05:13,560 ada beberapa tingkat perubahan berbeda yang berperan. 89 @@ -523,15 +523,15 @@ pada porosnya sudah mendorong visual kita ke dimensi ketiga. Jadi saya membuang persamaan ini, tapi dari mana asalnya? 132 -00:07:58,560 --> 00:08:01,600 +00:07:58,560 --> 00:08:00,580 Bagaimana Anda sendiri bisa memikirkan hal seperti ini? 133 -00:08:01,800 --> 00:08:05,814 +00:08:01,480 --> 00:08:05,678 Untuk itu, mari kita sederhanakan dengan menjelaskan versi penyiapan diskrit, 134 -00:08:05,814 --> 00:08:08,800 +00:08:05,678 --> 00:08:08,800 di mana Anda hanya memiliki banyak titik x berturut-turut. 135 @@ -679,7 +679,7 @@ Jika kedua selisih tersebut sama, maka rata-rata T1 dan T3 sama dengan T2, sehingga T2 cenderung tidak berubah. 171 -00:10:28,339 --> 00:10:34,410 +00:10:28,340 --> 00:10:34,410 Jika delta T2 lebih besar dari delta T1 berarti selisih selisihnya positif, 172 @@ -1047,7 +1047,7 @@ dikembangkan oleh Poodlehair Fourier di sini untuk memecahkan masalah ini. Semua ini dan lebih banyak lagi di bab berikutnya. 263 -00:16:04,699 --> 00:16:07,910 +00:16:04,700 --> 00:16:07,910 Saya awalnya termotivasi untuk membahas topik khusus ini ketika 264 @@ -1135,18 +1135,18 @@ Dan bagi Anda yang sudah mengetahui dan menyukai subjek ini, Anda tidak akan kekurangan wawasan segar dan kisah-kisah yang mencerahkan. 285 -00:17:10,819 --> 00:17:13,140 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 Saya tentu saja menikmatinya. 286 -00:17:13,140 --> 00:17:14,623 +00:17:12,500 --> 00:17:14,332 Sekali lagi, saya tahu kedengarannya seperti sebuah iklan, 287 -00:17:14,623 --> 00:17:16,460 +00:17:14,332 --> 00:17:16,599 tetapi sebenarnya tidak, saya hanya berpikir Anda akan menikmati bukunya. 288 -00:17:16,460 --> 00:17:16,599 +00:17:16,599 --> 00:17:16,599 Terima kasih. diff --git a/2019/pdes/italian/auto_generated.srt b/2019/pdes/italian/auto_generated.srt index fdc64e410..1be55ac2f 100644 --- a/2019/pdes/italian/auto_generated.srt +++ b/2019/pdes/italian/auto_generated.srt @@ -1,9 +1,9 @@ 1 -00:00:03,900 --> 00:00:08,086 +00:00:03,900 --> 00:00:08,184 Dopo aver visto come pensiamo alle equazioni differenziali ordinarie nel capitolo 1, 2 -00:00:08,086 --> 00:00:12,520 +00:00:08,184 --> 00:00:12,520 passiamo ora a un esempio di equazione alle derivate parziali, l'equazione del calore. 3 @@ -27,11 +27,11 @@ La domanda è: come cambierà questa distribuzione nel tempo, poiché il calore scorre dai punti più caldi a quelli più freddi? 8 -00:00:31,700 --> 00:00:34,932 +00:00:31,700 --> 00:00:34,840 L'immagine a sinistra mostra la temperatura di una piastra di esempio 9 -00:00:34,932 --> 00:00:38,340 +00:00:34,840 --> 00:00:38,340 utilizzando il colore, con il grafico di quella temperatura mostrato a destra. 10 @@ -59,28 +59,28 @@ Ma come esattamente? Quale sarà la distribuzione della temperatura in ogni momento? 16 -00:01:01,260 --> 00:01:04,612 +00:01:01,260 --> 00:01:04,553 Come è tipico delle equazioni differenziali, l'idea è che è più facile 17 -00:01:04,612 --> 00:01:08,055 -descrivere come questa configurazione cambia di momento in momento piuttosto +00:01:04,553 --> 00:01:07,661 +descrivere come questa configurazione cambia di momento in momento 18 -00:01:08,055 --> 00:01:11,140 -che passare direttamente alla descrizione dell'intera evoluzione. +00:01:07,661 --> 00:01:11,140 +piuttosto che passare direttamente alla descrizione dell'intera evoluzione. 19 -00:01:11,820 --> 00:01:15,220 +00:01:11,820 --> 00:01:15,298 Scriviamo questa regola di cambiamento nel linguaggio dei derivati, anche se, 20 -00:01:15,220 --> 00:01:17,487 -come vedrai, avremo bisogno di espandere un po' +00:01:15,298 --> 00:01:19,178 +come vedrai, avremo bisogno di espandere un po' il nostro vocabolario oltre i derivati 21 -00:01:17,487 --> 00:01:19,580 -il nostro vocabolario oltre i derivati ordinari. +00:01:19,178 --> 00:01:19,580 +ordinari. 22 00:01:20,160 --> 00:01:23,480 @@ -107,16 +107,16 @@ quindi ci sono molti dividendi che si possono ottenere da una profonda comprensi di questa configurazione. 28 -00:01:38,240 --> 00:01:41,010 +00:01:38,240 --> 00:01:40,915 Nell'ultimo video abbiamo esaminato i modi per costruire la comprensione 29 -00:01:41,010 --> 00:01:43,817 -pur riconoscendo la verità che la maggior parte delle equazioni differenziali +00:01:40,915 --> 00:01:43,261 +pur riconoscendo la verità che la maggior parte delle equazioni 30 -00:01:43,817 --> 00:01:46,120 -sono semplicemente troppo difficili da risolvere effettivamente. +00:01:43,261 --> 00:01:46,120 +differenziali sono semplicemente troppo difficili da risolvere effettivamente. 31 00:01:46,740 --> 00:01:49,937 @@ -139,20 +139,20 @@ Ma il nostro personaggio principale per oggi è un’equazione che possiamo effettivamente risolvere. 36 -00:01:59,480 --> 00:02:02,298 +00:01:59,480 --> 00:02:02,340 In effetti, se hai mai sentito parlare della serie di Fourier, 37 -00:02:02,298 --> 00:02:05,386 -potresti essere interessato a sapere che questo è il problema fisico +00:02:02,340 --> 00:02:06,427 +potresti essere interessato a sapere che questo è il problema fisico che Babyface Fourier 38 -00:02:05,386 --> 00:02:08,294 -che Babyface Fourier qui stava cercando di risolvere quando si è +00:02:06,427 --> 00:02:10,377 +qui stava cercando di risolvere quando si è imbattuto nell'angolo della matematica che 39 -00:02:08,294 --> 00:02:11,740 -imbattuto nell'angolo della matematica che ora è così pieno del suo nome. +00:02:10,377 --> 00:02:11,740 +ora è così pieno del suo nome. 40 00:02:12,440 --> 00:02:15,691 @@ -171,16 +171,16 @@ Questa animazione che stai vedendo adesso mostra come tanti piccoli vettori rota ciascuno rotante a una frequenza intera costante, possono tracciare una forma arbitraria. 44 -00:02:31,860 --> 00:02:36,513 +00:02:31,860 --> 00:02:36,592 Per essere chiari, quello che succede è che questi vettori vengono sommati insieme, 45 -00:02:36,513 --> 00:02:40,778 -da punta a coda, in ogni momento, e potresti immaginare che quest'ultimo +00:02:36,592 --> 00:02:41,043 +da punta a coda, in ogni momento, e potresti immaginare che quest'ultimo abbia 46 -00:02:40,778 --> 00:02:45,100 -abbia una sorta di matita sulla punta, che traccia un percorso mentre procede. +00:02:41,043 --> 00:02:45,100 +una sorta di matita sulla punta, che traccia un percorso mentre procede. 47 00:02:45,880 --> 00:02:49,224 @@ -195,24 +195,24 @@ sarà una replica perfetta della forma target, che in questa animazione è una f ma più cerchi includi, più si avvicina. 50 -00:02:56,260 --> 00:02:58,976 +00:02:56,260 --> 00:02:59,055 Quello che vedi ora utilizza solo 100 cerchi e penso che sarai 51 -00:02:58,976 --> 00:03:02,340 +00:02:59,055 --> 00:03:02,340 d'accordo sul fatto che le deviazioni dalla forma reale sono trascurabili. 52 -00:03:03,400 --> 00:03:06,295 -Ciò che è strabiliante è che semplicemente modificando la dimensione +00:03:03,400 --> 00:03:05,885 +Ciò che è strabiliante è che semplicemente modificando la 53 -00:03:06,295 --> 00:03:09,149 -iniziale e l'angolo di ciascun vettore, si ottiene un controllo +00:03:05,885 --> 00:03:08,071 +dimensione iniziale e l'angolo di ciascun vettore, 54 -00:03:09,149 --> 00:03:11,500 -sufficiente per approssimare qualsiasi curva desiderata. +00:03:08,071 --> 00:03:11,500 +si ottiene un controllo sufficiente per approssimare qualsiasi curva desiderata. 55 00:03:15,080 --> 00:03:17,982 @@ -235,906 +235,902 @@ In effetti, la matematica che rende tutto ciò possibile Ma stiamo andando troppo avanti. 60 -00:03:32,020 --> 00:03:35,458 -Il passaggio 1 consiste semplicemente nel costruire l'equazione del calore e, +00:03:32,020 --> 00:03:35,920 +Il passaggio 1 consiste semplicemente nel costruire l'equazione del calore e, per farlo, 61 -00:03:35,458 --> 00:03:37,849 -per farlo, iniziamo con l'essere chiari su quale sia +00:03:35,920 --> 00:03:39,820 +iniziamo con l'essere chiari su quale sia esattamente la funzione che stiamo analizzando. 62 -00:03:37,849 --> 00:03:39,820 -esattamente la funzione che stiamo analizzando. +00:03:40,460 --> 00:03:45,352 +Abbiamo un'asta in una dimensione e la pensiamo come se fosse posizionata sull'asse x, 63 -00:03:40,459 --> 00:03:44,529 -Abbiamo un'asta in una dimensione e la pensiamo come se fosse posizionata +00:03:45,352 --> 00:03:49,120 +quindi ogni punto dell'asta è etichettato con un numero univoco, x. 64 -00:03:44,529 --> 00:03:49,120 -sull'asse x, quindi ogni punto dell'asta è etichettato con un numero univoco, x. - -65 00:03:51,140 --> 00:03:54,406 La temperatura è una funzione di quella posizione, -66 +65 00:03:54,406 --> 00:03:57,480 t di x, mostrata qui come grafico sopra di essa. -67 +66 00:03:58,880 --> 00:04:01,200 Ma in realtà, poiché il valore cambia nel tempo, -68 +67 00:04:01,200 --> 00:04:04,800 dovremmo pensare che questa funzione abbia un input in più, t, per il tempo. -69 +68 00:04:05,540 --> 00:04:09,447 Potresti, se lo desideri, pensare a questo spazio di input come bidimensionale, -70 +69 00:04:09,447 --> 00:04:13,306 che rappresenta lo spazio e il tempo insieme, con la temperatura rappresentata -71 +70 00:04:13,306 --> 00:04:15,650 graficamente come una superficie sopra di essa, -72 +71 00:04:15,650 --> 00:04:19,899 ogni fetta nel tempo che ti mostra come appare quella distribuzione in un dato momento. -73 +72 00:04:22,680 --> 00:04:24,296 Oppure potresti semplicemente pensare a questo -74 +73 00:04:24,296 --> 00:04:26,120 grafico della variazione della temperatura nel tempo. -75 +74 00:04:26,500 --> 00:04:27,420 Entrambi sono equivalenti. -76 +75 00:04:30,520 --> 00:04:33,688 Questa superficie non deve essere confusa con quello che mostravo prima, -77 +76 00:04:33,688 --> 00:04:36,120 il grafico della temperatura di un corpo bidimensionale. -78 -00:04:36,360 --> 00:04:39,462 +77 +00:04:36,360 --> 00:04:39,526 Quando studi equazioni come queste, fai attenzione se il tempo -79 -00:04:39,462 --> 00:04:42,662 +78 +00:04:39,526 --> 00:04:42,793 viene rappresentato con il proprio asse o se viene rappresentato -80 -00:04:42,662 --> 00:04:46,060 +79 +00:04:42,793 --> 00:04:46,060 con cambiamenti letterali nel tempo, ad esempio in un'animazione. -81 -00:04:47,080 --> 00:04:50,214 +80 +00:04:47,080 --> 00:04:50,272 Nel capitolo scorso abbiamo esaminato alcuni sistemi in cui solo una +81 +00:04:50,272 --> 00:04:53,788 +manciata di numeri cambiava nel tempo, come l'angolo e la velocità angolare + 82 -00:04:50,214 --> 00:04:53,440 -manciata di numeri cambiava nel tempo, come l'angolo e la velocità +00:04:53,788 --> 00:04:57,120 +di un pendolo, descrivendo quel cambiamento nel linguaggio dei derivati. 83 -00:04:53,440 --> 00:04:57,120 -angolare di un pendolo, descrivendo quel cambiamento nel linguaggio dei derivati. +00:04:57,600 --> 00:05:00,304 +Ma quando abbiamo un’intera funzione che cambia nel tempo, 84 -00:04:57,600 --> 00:05:00,648 -Ma quando abbiamo un’intera funzione che cambia nel tempo, +00:05:00,304 --> 00:05:03,100 +gli strumenti matematici diventano leggermente più complessi. 85 -00:05:00,648 --> 00:05:03,800 -gli strumenti matematici diventano leggermente più complessi. +00:05:03,100 --> 00:05:06,835 +Mentre pensiamo a questa funzione di temperatura con molteplici dimensioni 86 -00:05:03,800 --> 00:05:07,285 -Mentre pensiamo a questa funzione di temperatura con molteplici dimensioni +00:05:06,835 --> 00:05:10,720 +nel suo spazio di input, in questo caso una per lo spazio e una per il tempo, 87 -00:05:07,285 --> 00:05:10,910 -nel suo spazio di input, in questo caso una per lo spazio e una per il tempo, +00:05:10,720 --> 00:05:13,560 +ci sono molteplici tassi di cambiamento diversi in gioco. 88 -00:05:10,910 --> 00:05:13,560 -ci sono molteplici tassi di cambiamento diversi in gioco. +00:05:14,800 --> 00:05:17,783 +C'è la derivata rispetto a x, ovvero quanto velocemente 89 -00:05:14,800 --> 00:05:17,773 -C'è la derivata rispetto a x, ovvero quanto velocemente +00:05:17,783 --> 00:05:20,500 +cambia la temperatura mentre ti muovi lungo l'asta. 90 -00:05:17,773 --> 00:05:20,500 -cambia la temperatura mentre ti muovi lungo l'asta. +00:05:21,000 --> 00:05:24,754 +Potresti pensare a questo come alla pendenza della nostra superficie quando la 91 -00:05:21,000 --> 00:05:24,693 -Potresti pensare a questo come alla pendenza della nostra superficie quando la +00:05:24,754 --> 00:05:28,557 +tagli parallelamente all'asse x, o dato un piccolo passo nella direzione x e il 92 -00:05:24,693 --> 00:05:28,479 -tagli parallelamente all'asse x, o dato un piccolo passo nella direzione x e +00:05:28,557 --> 00:05:32,360 +piccolo cambiamento di temperatura causato da esso, dando un rapporto tra i due. 93 -00:05:28,479 --> 00:05:32,360 -il piccolo cambiamento di temperatura causato da esso, dando un rapporto tra i due. +00:05:34,040 --> 00:05:37,724 +Ma c'è anche la velocità con cui un singolo punto sull'asta cambia nel tempo, 94 -00:05:34,040 --> 00:05:37,882 -Ma c'è anche la velocità con cui un singolo punto sull'asta cambia nel tempo, +00:05:37,724 --> 00:05:40,984 +quella che potresti pensare come la pendenza della superficie quando 95 -00:05:37,882 --> 00:05:41,100 -quella che potresti pensare come la pendenza della superficie quando la +00:05:40,984 --> 00:05:43,960 +la tagli nella direzione opposta, parallela all'asse del tempo. 96 -00:05:41,100 --> 00:05:43,960 -tagli nella direzione opposta, parallela all'asse del tempo. - -97 00:05:44,580 --> 00:05:47,640 Ognuna di queste derivate racconta solo una parte della storia di come -98 +97 00:05:47,640 --> 00:05:50,960 cambia questa funzione di temperatura, quindi le chiamiamo derivate parziali. -99 +98 00:05:51,540 --> 00:05:54,662 Per enfatizzare questo punto, la notazione cambia leggermente, -100 +99 00:05:54,662 --> 00:05:58,280 sostituendo la lettera D con una speciale D riccia, a volte chiamata del. -101 -00:05:59,060 --> 00:06:02,104 +100 +00:05:59,060 --> 00:06:02,033 Personalmente, penso che sia un po' sciocco cambiare la notazione, -102 -00:06:02,104 --> 00:06:04,120 +101 +00:06:02,033 --> 00:06:04,120 dato che è essenzialmente la stessa operazione. -103 -00:06:04,680 --> 00:06:08,285 +102 +00:06:04,680 --> 00:06:08,335 Preferirei vedere una notazione che enfatizzi che i termini delT in alto -104 -00:06:08,285 --> 00:06:10,903 +103 +00:06:08,335 --> 00:06:10,988 nei numeratori si riferiscono a diversi cambiamenti, -105 -00:06:10,903 --> 00:06:15,002 +104 +00:06:10,988 --> 00:06:15,144 uno è un piccolo cambiamento di temperatura dopo un piccolo cambiamento nel tempo, -106 -00:06:15,002 --> 00:06:19,300 +105 +00:06:15,144 --> 00:06:19,300 l'altro è un piccolo cambiamento di temperatura dopo un piccolo passo nello spazio. -107 -00:06:22,200 --> 00:06:25,080 +106 +00:06:22,200 --> 00:06:25,212 Per ribadire un punto che ho sottolineato nella serie sul calcolo, +107 +00:06:25,212 --> 00:06:29,034 +penso che sia salutare leggere inizialmente le derivate come questa come un rapporto + 108 -00:06:25,080 --> 00:06:28,004 -penso che sia salutare leggere inizialmente le derivate come questa +00:06:29,034 --> 00:06:32,766 +letterale tra una piccola modifica all'output della funzione e la piccola modifica 109 -00:06:28,004 --> 00:06:30,884 -come un rapporto letterale tra una piccola modifica all'output +00:06:32,766 --> 00:06:33,980 +all'input che l'ha causata. 110 -00:06:30,884 --> 00:06:33,980 -della funzione e la piccola modifica all'input che l'ha causata. - -111 -00:06:34,400 --> 00:06:38,106 +00:06:34,400 --> 00:06:38,169 Tieni solo presente che ciò che questa notazione intende codificare è il limite -112 -00:06:38,106 --> 00:06:41,395 +111 +00:06:38,169 --> 00:06:41,327 di quel rapporto per spostamenti sempre più piccoli verso l'input, -113 -00:06:41,395 --> 00:06:45,380 +112 +00:06:41,327 --> 00:06:45,380 piuttosto che un valore specifico del rapporto per un spostamento finitamente piccolo. -114 +113 00:06:45,620 --> 00:06:49,440 Ciò vale per le derivate parziali tanto quanto per le derivate ordinarie. -115 +114 00:06:52,980 --> 00:06:56,580 L'equazione del calore è scritta in termini di queste derivate parziali. -116 +115 00:06:57,080 --> 00:07:00,293 Ci dice che il modo in cui questa funzione cambia rispetto -117 +116 00:07:00,293 --> 00:07:03,180 al tempo dipende da come cambia rispetto allo spazio. -118 +117 00:07:03,620 --> 00:07:08,720 Più specificatamente è proporzionale alla derivata parziale seconda rispetto a x. -119 +118 00:07:09,380 --> 00:07:13,226 Ad alto livello, l’intuizione è che nei punti in cui la distribuzione della -120 +119 00:07:13,226 --> 00:07:17,680 temperatura curva, tende a cambiare più rapidamente nella direzione di quella curvatura. -121 +120 00:07:18,260 --> 00:07:21,368 Poiché una regola come questa è scritta utilizzando le derivate parziali, -122 +121 00:07:21,368 --> 00:07:23,300 la chiamiamo equazione alle derivate parziali. -123 +122 00:07:24,000 --> 00:07:27,269 Ciò ha il curioso risultato che a un estraneo il nome suona come una versione -124 +123 00:07:27,269 --> 00:07:29,742 più addomesticata delle equazioni differenziali ordinarie, -125 +124 00:07:29,742 --> 00:07:32,969 quando al contrario le equazioni differenziali parziali tendono a raccontare -126 +125 00:07:32,969 --> 00:07:36,700 una storia molto più ricca delle ODE e sono molto più difficili da risolvere in generale. -127 -00:07:37,340 --> 00:07:40,990 +126 +00:07:37,340 --> 00:07:40,942 L'equazione generale del calore si applica a corpi di qualsiasi numero di dimensioni, -128 -00:07:40,990 --> 00:07:43,909 +127 +00:07:40,942 --> 00:07:43,957 il che significherebbe più input per la nostra funzione di temperatura, -129 -00:07:43,909 --> 00:07:47,560 +128 +00:07:43,957 --> 00:07:47,560 ma sarà più semplice per noi rimanere concentrati sul caso unidimensionale di un'asta. -130 -00:07:48,100 --> 00:07:50,980 +129 +00:07:48,100 --> 00:07:50,899 Così com'è, rappresentarlo graficamente in un modo che dia al tempo -131 -00:07:50,980 --> 00:07:53,740 +130 +00:07:50,899 --> 00:07:53,740 il proprio asse spinge già le nostre immagini nella terza dimensione. -132 +131 00:07:55,320 --> 00:07:58,320 Quindi ho eliminato questa equazione, ma da dove viene? -133 -00:07:58,560 --> 00:08:01,600 +132 +00:07:58,560 --> 00:08:00,580 Come hai potuto inventare qualcosa del genere da solo? -134 -00:08:01,800 --> 00:08:05,177 +133 +00:08:01,480 --> 00:08:05,012 Per questo, semplifichiamo le cose descrivendo una versione discreta -135 -00:08:05,177 --> 00:08:08,800 +134 +00:08:05,012 --> 00:08:08,800 della configurazione, in cui hai solo un numero finito di punti x di fila. -136 +135 00:08:09,320 --> 00:08:12,810 È un po’ come lavorare in un universo pixelato dove invece di avere un -137 +136 00:08:12,810 --> 00:08:16,300 continuum di temperature, abbiamo un insieme finito di valori separati. -138 +137 00:08:17,060 --> 00:08:18,260 L'intuizione qui è semplice. -139 +138 00:08:18,560 --> 00:08:22,089 Per un punto particolare, se i suoi due vicini su entrambi -140 +139 00:08:22,089 --> 00:08:25,260 i lati sono in media più caldi di lui, si riscalderà. -141 +140 00:08:26,020 --> 00:08:28,660 Se in media sono più freschi, si raffredderà. -142 +141 00:08:29,420 --> 00:08:33,372 Qui, concentrati specificamente su questi tre punti vicini, -143 +142 00:08:33,372 --> 00:08:37,260 x1, x2 e x3, con le temperature corrispondenti T1, T2 e T3. -144 +143 00:08:37,530 --> 00:08:43,659 Quello che vogliamo confrontare è la media di T1 e T3 con il valore di T2. -145 +144 00:08:45,000 --> 00:08:51,417 Quando questa differenza è maggiore di zero, T2 si riscalda e maggiore è la differenza, -146 +145 00:08:51,417 --> 00:08:53,460 più velocemente si riscalda. -147 +146 00:08:55,860 --> 00:08:58,657 Allo stesso modo, se è negativo, T2 si raffredderà, -148 +147 00:08:58,657 --> 00:09:01,240 ad una velocità proporzionale a tale differenza. -149 +148 00:09:02,940 --> 00:09:07,421 Più formalmente scriviamo che la derivata di T2 rispetto al tempo è -150 +149 00:09:07,421 --> 00:09:12,100 proporzionale alla differenza tra i suoi vicini e il suo stesso valore. -151 +150 00:09:12,740 --> 00:09:15,380 Alfa qui è semplicemente una costante di proporzionalità. -152 -00:09:16,440 --> 00:09:20,067 +151 +00:09:16,440 --> 00:09:20,200 Per scrivere questo in un modo che alla fine spiegherà la derivata seconda +152 +00:09:20,200 --> 00:09:23,760 +nell'equazione del calore, lasciatemi riorganizzare un po' questa mano + 153 -00:09:20,067 --> 00:09:23,308 -nell'equazione del calore, lasciatemi riorganizzare un po' +00:09:23,760 --> 00:09:27,420 +destra in termini di differenza tra T1 e T2, e di differenza tra T2 e T3. 154 -00:09:23,308 --> 00:09:27,420 -questa mano destra in termini di differenza tra T1 e T2, e di differenza tra T2 e T3. - -155 00:09:28,020 --> 00:09:30,000 Puoi verificare rapidamente che questi due siano gli stessi. -156 +155 00:09:30,000 --> 00:09:36,039 La parte superiore ha metà di T1 e in basso ci sono due segni meno davanti a T1, -157 +156 00:09:36,039 --> 00:09:39,320 quindi è positivo e la metà è stata esclusa. -158 +157 00:09:40,500 --> 00:09:43,000 Allo stesso modo, entrambi hanno metà di T3. -159 +158 00:09:44,600 --> 00:09:48,706 Poi in basso abbiamo un T2 negativo che è effettivamente scritto due volte, -160 +159 00:09:48,706 --> 00:09:53,300 quindi quando ne prendi la metà, è lo stesso del singolo T2 negativo scritto in alto. -161 +160 00:09:55,440 --> 00:09:57,730 Come ho detto, la ragione per riscriverlo è che ci -162 +161 00:09:57,730 --> 00:10:00,200 porta un passo avanti verso il linguaggio dei derivati. -163 +162 00:10:01,220 --> 00:10:05,500 Infatti, scriviamo questi ragazzi come delta T1 e delta T2. -164 +163 00:10:05,900 --> 00:10:08,138 È lo stesso valore sul lato destro, ma stiamo -165 +164 00:10:08,138 --> 00:10:10,620 aggiungendo una nuova prospettiva su come pensarlo. -166 +165 00:10:11,060 --> 00:10:13,951 Invece di confrontare la media dei vicini con T2, -167 +166 00:10:13,951 --> 00:10:16,380 pensiamo alla differenza delle differenze. -168 +167 00:10:17,140 --> 00:10:19,400 Ecco, prenditi un momento per verificare che questo abbia senso. -169 +168 00:10:19,700 --> 00:10:25,500 Se queste due differenze sono le stesse, allora la media di T1 e T3 è la stessa di T2, -170 +169 00:10:25,500 --> 00:10:27,700 quindi T2 non tenderà a cambiare. -171 -00:10:28,339 --> 00:10:35,105 +170 +00:10:28,340 --> 00:10:35,105 Se il delta T2 è maggiore del delta T1, ovvero la differenza delle differenze è positiva, -172 +171 00:10:35,105 --> 00:10:41,120 si noti come la media di T1 e T3 è maggiore di T2, quindi T2 tende ad aumentare. -173 -00:10:42,540 --> 00:10:46,737 +172 +00:10:42,540 --> 00:10:46,569 D'altro canto, se la differenza delle differenze è negativa, -174 -00:10:46,737 --> 00:10:50,483 +173 +00:10:46,569 --> 00:10:50,400 il che significa che il delta T2 è inferiore al delta T1, -175 -00:10:50,483 --> 00:10:54,100 +174 +00:10:50,400 --> 00:10:54,100 corrisponde a una media di questi vicini inferiore a T2. -176 -00:10:54,560 --> 00:10:58,314 +175 +00:10:54,560 --> 00:10:58,416 Potremmo essere particolarmente compatti con la nostra notazione e scrivere -177 -00:10:58,314 --> 00:11:02,020 +176 +00:10:58,416 --> 00:11:02,020 l'intero termine, la differenza tra le differenze, come delta delta T1. -178 +177 00:11:03,020 --> 00:11:05,280 Questa è conosciuta nel gergo come una seconda differenza. -179 -00:11:05,880 --> 00:11:09,521 +178 +00:11:05,880 --> 00:11:09,522 Se ti sembra un po' strano pensarci, tieni presente che è essenzialmente un modo -180 -00:11:09,521 --> 00:11:13,120 +179 +00:11:09,522 --> 00:11:13,120 compatto di scrivere l'idea di quanto T2 differisce dalla media dei suoi vicini. -181 +180 00:11:13,680 --> 00:11:15,960 Ha solo questo fattore extra della metà, tutto qui. -182 +181 00:11:16,560 --> 00:11:18,933 E quel fattore non ha molta importanza, perché in ogni caso stiamo -183 +182 00:11:18,933 --> 00:11:21,520 scrivendo questa equazione in termini di una costante di proporzionalità. -184 +183 00:11:22,080 --> 00:11:25,193 Il risultato è che la velocità di variazione della temperatura di -185 +184 00:11:25,193 --> 00:11:28,260 un punto è proporzionale alla seconda differenza attorno ad esso. -186 -00:11:29,120 --> 00:11:32,569 +185 +00:11:29,120 --> 00:11:32,685 Passando da questo contesto finito al caso continuo infinito, -187 -00:11:32,569 --> 00:11:36,020 +186 +00:11:32,685 --> 00:11:36,020 l'analogo di una differenza seconda è la derivata seconda. -188 +187 00:11:38,580 --> 00:11:41,612 Invece di guardare la differenza tra i valori di temperatura in -189 +188 00:11:41,612 --> 00:11:44,787 punti a una distanza fissa l’uno dall’altro, consideri invece cosa -190 +189 00:11:44,787 --> 00:11:47,820 succede quando riduci la dimensione di quel passo verso lo zero. -191 +190 00:11:48,380 --> 00:11:51,284 E nel calcolo, invece di parlare di differenze assolute, -192 +191 00:11:51,284 --> 00:11:55,260 che si avvicinerebbero allo zero, si pensa in termini di tasso di cambiamento. -193 +192 00:11:55,800 --> 00:11:59,420 In questo caso, qual è la velocità di variazione della temperatura per unità di distanza? -194 +193 00:12:00,140 --> 00:12:02,540 E ricordate, ci sono due distinti tassi di cambiamento in gioco. +194 +00:12:02,860 --> 00:12:05,481 +Come cambia la temperatura con il passare del tempo e + 195 -00:12:02,860 --> 00:12:05,623 -Come cambia la temperatura con il passare del tempo e come +00:12:05,481 --> 00:12:08,200 +come cambia la temperatura mentre ti muovi lungo l'asta? 196 -00:12:05,623 --> 00:12:08,200 -cambia la temperatura mentre ti muovi lungo l'asta? - -197 -00:12:08,960 --> 00:12:12,555 +00:12:08,960 --> 00:12:12,436 L'intuizione fondamentale rimane la stessa che abbiamo avuto nel caso discreto, -198 -00:12:12,555 --> 00:12:14,952 +197 +00:12:12,436 --> 00:12:14,870 sapere in che modo un punto differisce dai suoi vicini, -199 -00:12:14,952 --> 00:12:18,162 +198 +00:12:14,870 --> 00:12:18,130 guardare non solo come cambia la funzione da un punto a quello successivo, -200 -00:12:18,162 --> 00:12:20,260 +199 +00:12:18,130 --> 00:12:20,260 ma come cambia la velocità di cambiamento stessa. -201 +200 00:12:22,760 --> 00:12:27,635 Ora, nel mondo del calcolo, scriviamo questo come del-quadro t su del-x-quadrato, -202 +201 00:12:27,635 --> 00:12:31,440 la derivata parziale seconda della nostra funzione rispetto a x. -203 -00:12:32,180 --> 00:12:36,141 +202 +00:12:32,180 --> 00:12:36,050 Nota come questa pendenza aumenta nei punti in cui il grafico curva verso l'alto, -204 -00:12:36,141 --> 00:12:39,780 +203 +00:12:36,050 --> 00:12:39,780 il che significa che il tasso di variazione del tasso di variazione è positivo. -205 +204 00:12:40,580 --> 00:12:44,569 Allo stesso modo, la pendenza diminuisce nei punti in cui il grafico curva verso -206 +205 00:12:44,569 --> 00:12:48,460 il basso, dove il tasso di variazione di questo tasso di variazione è negativo. -207 +206 00:12:49,720 --> 00:12:53,420 Consideratela un’intuizione significativa per problemi ben oltre l’equazione del calore. -208 +207 00:12:53,880 --> 00:12:56,056 Le derivate seconde forniscono una misura di come -209 +208 00:12:56,056 --> 00:12:58,320 un valore si confronta con la media dei suoi vicini. -210 +209 00:12:59,380 --> 00:13:02,440 Si spera che questo dia un tocco di colore aggiunto soddisfacente all'equazione. -211 -00:13:02,920 --> 00:13:06,779 +210 +00:13:02,920 --> 00:13:06,828 È già abbastanza intuitivo leggerlo dicendo che i punti curvi tendono ad appiattirsi, -212 -00:13:06,779 --> 00:13:10,593 +211 +00:13:06,828 --> 00:13:10,508 ma penso che ci sia qualcosa di ancora più soddisfacente nel vedere un'equazione -213 -00:13:10,593 --> 00:13:14,138 +212 +00:13:10,508 --> 00:13:14,098 alle derivate parziali come questa emergere quasi meccanicamente dal pensare a -214 -00:13:14,138 --> 00:13:17,280 +213 +00:13:14,098 --> 00:13:17,280 ciascun punto semplicemente tendendo verso la media dei suoi vicinato. -215 +214 00:13:18,900 --> 00:13:21,029 Prenditi un momento per confrontare questa sensazione -216 +215 00:13:21,029 --> 00:13:23,080 con il caso delle equazioni differenziali ordinarie. -217 +216 00:13:23,540 --> 00:13:26,827 Ad esempio, se abbiamo più corpi nello spazio che si attanagliano a -218 +217 00:13:26,827 --> 00:13:31,179 vicenda con la gravità, ciò che stiamo analizzando è una manciata di numeri che cambiano, -219 +218 00:13:31,179 --> 00:13:33,500 in questo caso le coordinate di ciascun oggetto. -220 +219 00:13:34,100 --> 00:13:38,149 Il tasso di variazione di uno qualsiasi di questi valori dipende dai valori -221 +220 00:13:38,149 --> 00:13:41,880 degli altri numeri e spesso lo scriviamo come un sistema di equazioni. -222 -00:13:41,880 --> 00:13:45,636 +221 +00:13:41,880 --> 00:13:45,758 A sinistra abbiamo la derivata di ogni valore rispetto al tempo, -223 -00:13:45,636 --> 00:13:49,220 +222 +00:13:45,758 --> 00:13:49,220 e a destra c'è una combinazione di tutti gli altri valori. -224 +223 00:13:50,780 --> 00:13:53,337 Nella nostra equazione differenziale parziale, -225 +224 00:13:53,337 --> 00:13:57,855 la differenza è che abbiamo infiniti valori che cambiano da un continuo e, ancora, -226 +225 00:13:57,855 --> 00:14:02,263 il modo in cui uno qualsiasi di questi valori cambia dipende dagli altri valori, -227 +226 00:14:02,263 --> 00:14:06,563 ma, cosa abbastanza utile, ognuno dipende solo dai suoi vicini immediati in un -228 +227 00:14:06,563 --> 00:14:08,740 senso restrittivo della parola prossimo. -229 +228 00:14:09,300 --> 00:14:14,184 Quindi qui, la relazione a destra non è una somma o un prodotto degli altri numeri, -230 +229 00:14:14,184 --> 00:14:17,615 è invece una sorta di derivata, solo una derivata rispetto -231 +230 00:14:17,615 --> 00:14:20,000 allo spazio invece che rispetto al tempo. -232 -00:14:20,880 --> 00:14:25,002 +231 +00:14:20,880 --> 00:14:25,118 In un certo senso, se ci pensi, questa equazione alle derivate parziali -233 -00:14:25,002 --> 00:14:29,240 +232 +00:14:25,118 --> 00:14:29,240 è come un sistema di infinite equazioni, una per ogni punto dell'asta. -234 +233 00:14:31,840 --> 00:14:35,011 Potresti interrogarti sugli oggetti distribuiti in più di una dimensione, -235 +234 00:14:35,011 --> 00:14:36,940 come un piatto o qualcosa di tridimensionale. -236 -00:14:36,940 --> 00:14:40,013 +235 +00:14:36,940 --> 00:14:39,879 In tal caso, l'equazione sembra abbastanza simile, -237 -00:14:40,013 --> 00:14:44,260 +236 +00:14:39,879 --> 00:14:44,260 ma includi anche la derivata seconda rispetto alle altre direzioni spaziali. -238 -00:14:45,660 --> 00:14:48,813 +237 +00:14:45,660 --> 00:14:48,878 E sommare tutte le derivate spaziali seconde in questo modo è -239 -00:14:48,813 --> 00:14:52,017 +238 +00:14:48,878 --> 00:14:51,941 un'operazione abbastanza comune da avere un nome speciale, -240 -00:14:52,017 --> 00:14:55,680 +239 +00:14:51,941 --> 00:14:55,680 il laplaciano, spesso scritto come questo triangolo rovesciato quadrato. -241 -00:14:56,380 --> 00:14:59,659 +240 +00:14:56,380 --> 00:14:59,751 È essenzialmente una versione multivariabile della derivata seconda e -242 -00:14:59,659 --> 00:15:03,220 +241 +00:14:59,751 --> 00:15:03,220 l'intuizione di questa equazione non è diversa dal caso unidimensionale. -243 +242 00:15:03,640 --> 00:15:06,185 Si può ancora pensare che questo Laplaciano misuri -244 +243 00:15:06,185 --> 00:15:08,880 quanto è diverso un punto dalla media dei suoi vicini. -245 +244 00:15:09,540 --> 00:15:13,400 Ma ora, questi vicini non sono solo a destra e a sinistra, sono ovunque. -246 -00:15:15,480 --> 00:15:17,992 +245 +00:15:15,480 --> 00:15:18,060 Per i curiosi tra voi, ho realizzato un paio di video su questo operatore -247 -00:15:17,992 --> 00:15:20,640 +246 +00:15:18,060 --> 00:15:20,640 durante la mia permanenza alla Khan Academy, se volete dargli un'occhiata. -248 +247 00:15:20,960 --> 00:15:23,857 Per quelli di voi che hanno alle spalle il calcolo multivariabile, -249 +248 00:15:23,857 --> 00:15:26,020 è bello pensarlo come la divergenza del gradiente. -250 +249 00:15:26,700 --> 00:15:28,854 Ma non devi preoccuparti di questo, per i nostri -251 +250 00:15:28,854 --> 00:15:31,140 scopi restiamo concentrati sul caso unidimensionale. -252 +251 00:15:31,660 --> 00:15:35,220 Se ritieni di aver capito tutto questo, datti una pacca sulle spalle. -253 +252 00:15:35,680 --> 00:15:39,044 Essere in grado di leggere un PDE non è uno scherzo ed è una potente -254 +253 00:15:39,044 --> 00:15:42,360 aggiunta al tuo vocabolario per descrivere il mondo che ti circonda. -255 +254 00:15:43,040 --> 00:15:46,033 Ma dopo tutto questo tempo passato a interpretare le equazioni, -256 +255 00:15:46,033 --> 00:15:49,120 dico che è giunto il momento di iniziare a risolverle, non è vero? -257 +256 00:15:49,560 --> 00:15:52,759 E credetemi, ci sono pochi esempi di matematica altrettanto soddisfacenti di quello -258 +257 00:15:52,759 --> 00:15:55,920 che Fourier dal pelo di barboncino ha sviluppato qui per risolvere questo problema. -259 +258 00:15:56,560 --> 00:15:58,500 Tutto questo e molto altro nel prossimo capitolo. -260 -00:16:04,699 --> 00:16:07,853 +259 +00:16:04,700 --> 00:16:07,853 Inizialmente ero motivato a trattare questo particolare argomento quando -261 +260 00:16:07,853 --> 00:16:10,920 ho visto in anteprima il nuovo libro di Steve Strogatz Infinite Powers. -262 +261 00:16:11,520 --> 00:16:14,619 Questo non è un messaggio sponsorizzato o qualcosa del genere, -263 +262 00:16:14,619 --> 00:16:18,260 ma tutte le carte in tavola ho due secondi fini egoistici per menzionarlo. +263 +00:16:18,680 --> 00:16:22,833 +La prima è che Steve è stato un sostenitore molto forte, forse addirittura fondamentale, + 264 -00:16:18,680 --> 00:16:21,173 -La prima è che Steve è stato un sostenitore molto forte, +00:16:22,833 --> 00:16:26,566 +del canale fin dall'inizio, e da un bel po' non vedevo l'ora di ripagare quella 265 -00:16:21,173 --> 00:16:23,973 -forse addirittura fondamentale, del canale fin dall'inizio, +00:16:26,566 --> 00:16:27,080 +gentilezza. 266 -00:16:23,973 --> 00:16:27,080 -e da un bel po' non vedevo l'ora di ripagare quella gentilezza. - -267 00:16:27,520 --> 00:16:30,231 E il secondo è fare in modo che più persone amino la matematica, -268 +267 00:16:30,231 --> 00:16:31,400 e il calcolo in particolare. -269 +268 00:16:32,060 --> 00:16:34,861 Potrebbe non sembrare egoistico, ma pensaci, quando sempre più persone -270 +269 00:16:34,861 --> 00:16:37,900 amano la matematica, la base di pubblico potenziale per questi video aumenta. +270 +00:16:38,380 --> 00:16:40,646 +E francamente ci sono pochi modi migliori per convincere le + 271 -00:16:38,380 --> 00:16:40,869 -E francamente ci sono pochi modi migliori per convincere le persone +00:16:40,646 --> 00:16:43,140 +persone ad amare l'argomento che esporle agli scritti di Strogatz. 272 -00:16:40,869 --> 00:16:43,140 -ad amare l'argomento che esporle agli scritti di Strogatz. +00:16:43,860 --> 00:16:46,683 +Quindi, se hai amici che conosci e che pensi apprezzerebbero le idee 273 -00:16:43,860 --> 00:16:46,764 -Quindi, se hai amici che conosci e che pensi apprezzerebbero le idee del +00:16:46,683 --> 00:16:49,588 +del calcolo infinitesimale ma forse sono stati un po' intimiditi dalla 274 -00:16:46,764 --> 00:16:48,913 -calcolo infinitesimale ma forse sono stati un po' +00:16:49,588 --> 00:16:52,412 +matematica in passato, questo libro fa un lavoro davvero eccezionale 275 -00:16:48,913 --> 00:16:51,858 -intimiditi dalla matematica in passato, questo libro fa un lavoro davvero +00:16:52,412 --> 00:16:55,440 +comunicando il cuore dell'argomento sia in modo sostanziale che eccessivo. 276 -00:16:51,858 --> 00:16:55,440 -eccezionale comunicando il cuore dell'argomento sia in modo sostanziale che eccessivo. +00:16:55,440 --> 00:16:58,725 +Il suo tema principale è l'idea di costruire soluzioni a problemi 277 -00:16:55,440 --> 00:16:58,412 -Il suo tema principale è l'idea di costruire soluzioni a +00:16:58,725 --> 00:17:02,160 +complessi del mondo reale partendo da semplici elementi idealizzati, 278 -00:16:58,412 --> 00:17:02,214 -problemi complessi del mondo reale partendo da semplici elementi idealizzati, - -279 -00:17:02,214 --> 00:17:04,700 +00:17:02,160 --> 00:17:04,700 che come vedrai è esattamente ciò che fece Fourier. -280 -00:17:05,440 --> 00:17:08,327 +279 +00:17:05,440 --> 00:17:08,243 E per quelli di voi che già conoscono e amano l'argomento, -281 -00:17:08,327 --> 00:17:10,619 +280 +00:17:08,243 --> 00:17:10,619 non mancheranno nuovi spunti e storie illuminanti. -282 -00:17:10,819 --> 00:17:13,140 +281 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 Sicuramente mi è piaciuto. -283 -00:17:13,140 --> 00:17:14,800 +282 +00:17:12,500 --> 00:17:14,550 Ancora una volta, so che sembra una pubblicità, -284 -00:17:14,800 --> 00:17:16,460 +283 +00:17:14,550 --> 00:17:16,599 ma non lo è, penso solo che il libro ti piacerà. -285 -00:17:16,460 --> 00:17:16,599 +284 +00:17:16,599 --> 00:17:16,599 Grazie. diff --git a/2019/pdes/japanese/auto_generated.srt b/2019/pdes/japanese/auto_generated.srt index f02b660f1..3d84413f4 100644 --- a/2019/pdes/japanese/auto_generated.srt +++ b/2019/pdes/japanese/auto_generated.srt @@ -291,7 +291,7 @@ あるかを明確にすることから始めましょう。 74 -00:03:40,459 --> 00:03:44,865 +00:03:40,460 --> 00:03:44,865 1 次元のロッドがあり、それが x 軸上にあると考えてい 75 @@ -383,23 +383,23 @@ t がもう 1 つあると考える必要があります。 テムを見て、その変化を導関数の言語で説明しました。 97 -00:04:57,600 --> 00:05:00,772 +00:04:57,600 --> 00:05:00,413 しかし、関数全体が時間の経過とともに変化す 98 -00:05:00,772 --> 00:05:03,800 +00:05:00,413 --> 00:05:03,100 る場合、数学的ツールは少し複雑になります。 99 -00:05:03,800 --> 00:05:07,183 +00:05:03,100 --> 00:05:06,726 入力空間に対して複数の次元 (この場合は 1 つは 100 -00:05:07,183 --> 00:05:10,436 +00:05:06,726 --> 00:05:10,212 空間、もう 1 つは時間) を持つこの温度関数を 101 -00:05:10,436 --> 00:05:13,560 +00:05:10,212 --> 00:05:13,560 考えているため、複数の異なる変化率が存在します。 102 @@ -611,19 +611,19 @@ D が特殊な中字 D (del 、これはどこから来たのでしょうか? 154 -00:07:58,560 --> 00:08:00,080 +00:07:58,560 --> 00:07:59,570 どうして自分でこのようなことを思 155 -00:08:00,080 --> 00:08:01,600 +00:07:59,570 --> 00:08:00,580 いつくことができたのでしょうか？ 156 -00:08:01,800 --> 00:08:05,359 +00:08:01,480 --> 00:08:05,202 そのために、連続する点 x が有限個だけである、セットアッ 157 -00:08:05,359 --> 00:08:08,800 +00:08:05,202 --> 00:08:08,800 プの離散バージョンを説明することで物事を単純化しましょう。 158 @@ -779,7 +779,7 @@ T2 として書きましょう。 T2 と同じになるため、T2 は変化する傾向がありません。 196 -00:10:28,339 --> 00:10:32,504 +00:10:28,340 --> 00:10:32,504 デルタ T2 がデルタ T1 よりも大きい場合、つまり差の 197 @@ -1211,7 +1211,7 @@ T2 と同じになるため、T2 は変化する傾向がありません。 以上のことについては次の章で説明します。 304 -00:16:04,699 --> 00:16:06,744 +00:16:04,700 --> 00:16:06,744 私がこの特定のトピックを取り上げようと思ったのは 305 @@ -1311,18 +1311,18 @@ Powers』を初期に読んだときでした。 、新鮮な洞察や啓発的なストーリーに事欠かないでしょう。 329 -00:17:10,819 --> 00:17:13,140 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 確かに楽しかったです。 330 -00:17:13,140 --> 00:17:14,829 +00:17:12,500 --> 00:17:14,585 繰り返しますが、広告のように聞こえるかもしれませんが、そ 331 -00:17:14,829 --> 00:17:16,460 +00:17:14,585 --> 00:17:16,599 うではありません。この本を楽しんでいただけると思います。 332 -00:17:16,460 --> 00:17:16,599 +00:17:16,599 --> 00:17:16,599 ありがとう。 diff --git a/2019/pdes/korean/auto_generated.srt b/2019/pdes/korean/auto_generated.srt index 04f1f99ef..563b40d82 100644 --- a/2019/pdes/korean/auto_generated.srt +++ b/2019/pdes/korean/auto_generated.srt @@ -303,7 +303,7 @@ 무엇인지 명확히 하는 것부터 시작하겠습니다. 77 -00:03:40,459 --> 00:03:43,303 +00:03:40,460 --> 00:03:43,303 우리는 1차원에 막대를 가지고 있으며, 78 @@ -403,23 +403,23 @@ t가 하나 더 있는 것으로 생각해야 합니다. 시스템을 살펴보고 파생 언어의 변화를 설명했습니다. 102 -00:04:57,600 --> 00:05:00,502 +00:04:57,600 --> 00:05:00,174 그러나 시간이 지남에 따라 전체 함수가 103 -00:05:00,502 --> 00:05:03,800 +00:05:00,174 --> 00:05:03,100 변경되면 수학적 도구가 약간 더 복잡해집니다. 104 -00:05:03,800 --> 00:05:07,099 +00:05:03,100 --> 00:05:06,635 입력 공간에 대한 여러 차원(이 경우 공간 105 -00:05:07,099 --> 00:05:10,123 +00:05:06,635 --> 00:05:09,876 및 시간에 대한 차원)을 갖는 이 온도 106 -00:05:10,123 --> 00:05:13,560 +00:05:09,876 --> 00:05:13,560 함수를 생각할 때 다양한 변화율이 작용합니다. 107 @@ -643,15 +643,15 @@ ODE보다 훨씬 더 풍부한 이야기를 전달하는 그런데 이것은 어디서 나온 것일까요? 162 -00:07:58,560 --> 00:08:01,600 +00:07:58,560 --> 00:08:00,580 어떻게 스스로 이런 생각을 할 수 있었나요? 163 -00:08:01,800 --> 00:08:05,174 +00:08:01,480 --> 00:08:05,009 이를 위해 한 행에 유한한 개수의 점 x만 있는 164 -00:08:05,174 --> 00:08:08,800 +00:08:05,009 --> 00:08:08,800 설정의 개별 버전을 설명하여 상황을 단순화하겠습니다. 165 @@ -819,7 +819,7 @@ T3의 평균과 T2의 값입니다. 동일하므로 T2는 변하지 않는 경향이 있습니다. 206 -00:10:28,339 --> 00:10:32,249 +00:10:28,340 --> 00:10:32,249 델타 T2가 델타 T1보다 크면(차이의 차이가 207 @@ -1271,7 +1271,7 @@ PDE를 읽을 수 있다는 것은 농담이 아니며, 다음 장에서 다루겠습니다. 319 -00:16:04,699 --> 00:16:06,664 +00:16:04,700 --> 00:16:06,664 나는 원래 Steve Strogatz의 새 320 @@ -1379,18 +1379,18 @@ PDE를 읽을 수 있다는 것은 농담이 아니며, 통찰력과 계몽적인 이야기가 부족하지 않을 것입니다. 346 -00:17:10,819 --> 00:17:13,140 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 나는 확실히 그것을 즐겼다. 347 -00:17:13,140 --> 00:17:14,828 +00:17:12,500 --> 00:17:14,584 다시 말하지만, 광고처럼 들리겠지만 그렇지 않습니다. 348 -00:17:14,828 --> 00:17:16,460 +00:17:14,584 --> 00:17:16,599 단지 여러분이 이 책을 좋아하실 것이라고 생각합니다. 349 -00:17:16,460 --> 00:17:16,599 +00:17:16,599 --> 00:17:16,599 감사합니다. diff --git a/2019/pdes/marathi/auto_generated.srt b/2019/pdes/marathi/auto_generated.srt index c88d51901..1d714942e 100644 --- a/2019/pdes/marathi/auto_generated.srt +++ b/2019/pdes/marathi/auto_generated.srt @@ -211,7 +211,7 @@ कार्याचे विश्लेषण करत आहोत ते नेमके काय आहे हे स्पष्ट करून सुरुवात करूया. 54 -00:03:40,459 --> 00:03:44,937 +00:03:40,460 --> 00:03:44,937 आमच्याकडे एका परिमाणात रॉड आहे आणि आम्ही त्याचा विचार x-अक्षावर बसलेला आहे, 55 @@ -279,19 +279,19 @@ जसे की पेंडुलमचा कोन आणि कोनीय वेग, व्युत्पन्नांच्या भाषेतील त्या बदलाचे वर्णन करते. 71 -00:04:57,600 --> 00:05:01,091 +00:04:57,600 --> 00:05:00,697 परंतु जेव्हा आपल्याकडे वेळेनुसार संपूर्ण कार्य बदलत असते, 72 -00:05:01,091 --> 00:05:03,800 +00:05:00,697 --> 00:05:03,100 तेव्हा गणिताची साधने थोडी अधिक क्लिष्ट होतात. 73 -00:05:03,800 --> 00:05:08,870 +00:05:03,100 --> 00:05:08,533 आपण या तापमान कार्याचा त्याच्या इनपुट स्पेसच्या अनेक आयामांसह विचार करत असताना, 74 -00:05:08,870 --> 00:05:13,560 +00:05:08,533 --> 00:05:13,560 या प्रकरणात एक जागेसाठी आणि एक वेळेसाठी, खेळाच्या वेळी अनेक भिन्न दर आहेत. 75 @@ -463,15 +463,15 @@ x च्या संदर्भात व्युत्पन्न आहे म्हणून मी हे समीकरण फेकून दिले, पण हे कुठून येते? 117 -00:07:58,560 --> 00:08:01,600 +00:07:58,560 --> 00:08:00,580 तुम्ही स्वतः असा विचार कसा करू शकता? 118 -00:08:01,800 --> 00:08:06,376 +00:08:01,480 --> 00:08:06,266 त्यासाठी, सेटअपच्या वेगळ्या आवृत्तीचे वर्णन करून गोष्टी सुलभ करूया, 119 -00:08:06,376 --> 00:08:08,800 +00:08:06,266 --> 00:08:08,800 जिथे तुमच्याकडे सलग अनेक गुण x आहेत. 120 @@ -611,7 +611,7 @@ x1, x2 आणि x3, संबंधित तापमान T1, T2 आणि T म्हणून T2 बदलण्याची प्रवृत्ती नाही. 154 -00:10:28,339 --> 00:10:34,566 +00:10:28,340 --> 00:10:34,566 जर डेल्टा T2 डेल्टा T1 पेक्षा मोठा असेल, म्हणजे फरकांचा फरक सकारात्मक असेल, 155 @@ -959,7 +959,7 @@ PDE वाचण्यास सक्षम असणे हा काही हे सर्व आणि पुढील अध्यायात. 241 -00:16:04,699 --> 00:16:07,915 +00:16:04,700 --> 00:16:07,915 जेव्हा मला स्टीव्ह स्ट्रॉगॅट्झच्या नवीन पुस्तक Infinite Powers चे प्रारंभिक 242 @@ -1035,18 +1035,18 @@ PDE वाचण्यास सक्षम असणे हा काही तुम्हाला नवीन अंतर्दृष्टी आणि ज्ञानवर्धक कथांची कमतरता दिसणार नाही. 260 -00:17:10,819 --> 00:17:13,140 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 मला नक्कीच मजा आली. 261 -00:17:13,140 --> 00:17:14,816 +00:17:12,500 --> 00:17:14,569 पुन्हा, मला माहित आहे की ते जाहिरातीसारखे वाटत आहे, 262 -00:17:14,816 --> 00:17:16,460 +00:17:14,569 --> 00:17:16,599 परंतु तसे नाही, मला वाटते की तुम्हाला पुस्तक आवडेल. 263 -00:17:16,460 --> 00:17:16,599 +00:17:16,599 --> 00:17:16,599 धन्यवाद. diff --git a/2019/pdes/portuguese/auto_generated.srt b/2019/pdes/portuguese/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..2937380a1 --- /dev/null +++ b/2019/pdes/portuguese/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,1116 @@ +1 +00:00:03,900 --> 00:00:08,290 +Depois de ver como pensamos sobre equações diferenciais ordinárias no capítulo 1, + +2 +00:00:08,290 --> 00:00:12,520 +passamos agora a um exemplo de equação diferencial parcial, a equação do calor. + +3 +00:00:13,400 --> 00:00:17,452 +Para configurar as coisas, imagine que você tem algum objeto, como um pedaço de metal, + +4 +00:00:17,452 --> 00:00:20,759 +e sabe como o calor é distribuído por ele a qualquer momento, ou seja, + +5 +00:00:20,759 --> 00:00:23,880 +qual é a temperatura de cada ponto individual ao longo desta placa. + +6 +00:00:24,640 --> 00:00:27,757 +A questão é: como é que esta distribuição mudará ao longo do tempo, + +7 +00:00:27,757 --> 00:00:30,920 +à medida que o calor flui dos locais mais quentes para os mais frios? + +8 +00:00:31,700 --> 00:00:35,652 +A imagem à esquerda mostra a temperatura de uma placa de exemplo em cores, + +9 +00:00:35,652 --> 00:00:38,340 +com o gráfico dessa temperatura mostrado à direita. + +10 +00:00:39,120 --> 00:00:42,454 +Para dar um exemplo unidimensional concreto, digamos que você tenha duas hastes + +11 +00:00:42,454 --> 00:00:46,163 +diferentes em temperaturas diferentes, onde essa temperatura é uniforme ao longo de cada + +12 +00:00:46,163 --> 00:00:46,580 +uma delas. + +13 +00:00:47,160 --> 00:00:51,866 +Você sabe que ao colocá-los em contato, a temperatura fluirá do quente para o frio, + +14 +00:00:51,866 --> 00:00:54,220 +tendendo a igualar tudo ao longo do tempo. + +15 +00:00:54,600 --> 00:00:56,160 +Mas como exatamente? + +16 +00:00:56,160 --> 00:01:00,040 +Qual será a distribuição da temperatura em cada momento? + +17 +00:01:01,260 --> 00:01:04,535 +Como é típico das equações diferenciais, a ideia é que é mais + +18 +00:01:04,535 --> 00:01:07,969 +fácil descrever como essa configuração muda de momento a momento + +19 +00:01:07,969 --> 00:01:11,140 +do que pular direto para uma descrição da evolução completa. + +20 +00:01:11,820 --> 00:01:15,942 +Escrevemos esta regra de mudança na linguagem das derivadas, embora, como você verá, + +21 +00:01:15,942 --> 00:01:19,580 +precisaremos expandir nosso vocabulário um pouco além das derivadas comuns. + +22 +00:01:20,160 --> 00:01:21,937 +E não se preocupe, aprenderemos como ler as equações + +23 +00:01:21,937 --> 00:01:23,480 +que você está vendo agora em apenas um minuto. + +24 +00:01:24,540 --> 00:01:28,458 +Variações da equação do calor aparecem em muitas outras partes da matemática e da física, + +25 +00:01:28,458 --> 00:01:31,593 +como o movimento browniano, as equações de Black-Scholes das finanças e + +26 +00:01:31,593 --> 00:01:34,814 +todos os tipos de difusão, portanto, há muitos dividendos a serem obtidos + +27 +00:01:34,814 --> 00:01:37,340 +a partir de uma compreensão profunda desta configuração. . + +28 +00:01:38,240 --> 00:01:41,083 +No último vídeo, examinamos maneiras de desenvolver o entendimento e, + +29 +00:01:41,083 --> 00:01:43,804 +ao mesmo tempo, reconhecer a verdade de que a maioria das equações + +30 +00:01:43,804 --> 00:01:46,120 +diferenciais são simplesmente muito difíceis de resolver. + +31 +00:01:46,740 --> 00:01:50,231 +E, de facto, as EDPs tendem a ser ainda mais difíceis do que as EDOs, + +32 +00:01:50,231 --> 00:01:54,620 +em grande parte porque envolvem modelar uma infinidade de valores que mudam em conjunto. + +33 +00:01:55,100 --> 00:01:58,920 +Mas o nosso personagem principal de hoje é uma equação que podemos realmente resolver. + +34 +00:01:59,480 --> 00:02:02,259 +Na verdade, se você já ouviu falar da série de Fourier, + +35 +00:02:02,259 --> 00:02:06,329 +pode estar interessado em saber que este é o problema físico que Babyface Fourier + +36 +00:02:06,329 --> 00:02:10,499 +aqui estava tentando resolver quando tropeçou no canto da matemática que agora está + +37 +00:02:10,499 --> 00:02:11,740 +tão repleto de seu nome . + +38 +00:02:12,440 --> 00:02:15,360 +Iremos nos aprofundar na série de Fourier no próximo capítulo, + +39 +00:02:15,360 --> 00:02:19,300 +mas gostaria de lhe dar pelo menos uma pequena dica da bela conexão que está por vir. + +40 +00:02:22,260 --> 00:02:26,408 +Esta animação que você está vendo agora mostra como vários pequenos vetores rotativos, + +41 +00:02:26,408 --> 00:02:30,700 +cada um girando em alguma frequência inteira constante, podem traçar uma forma arbitrária. + +42 +00:02:31,860 --> 00:02:36,674 +Para ser claro, o que está acontecendo é que esses vetores estão sendo somados, + +43 +00:02:36,674 --> 00:02:41,067 +ponta a ponta, a cada momento, e você pode imaginar que o último tem uma + +44 +00:02:41,067 --> 00:02:45,100 +espécie de lápis na ponta, traçando um caminho à medida que avança. + +45 +00:02:45,880 --> 00:02:49,093 +Para um número finito de vetores, esse traçado geralmente não será + +46 +00:02:49,093 --> 00:02:52,738 +uma réplica perfeita da forma do alvo, que nesta animação é um f minúsculo, + +47 +00:02:52,738 --> 00:02:55,760 +mas quanto mais círculos você incluir, mais próximo ele ficará. + +48 +00:02:56,260 --> 00:02:58,738 +O que você está vendo agora usa apenas 100 círculos, + +49 +00:02:58,738 --> 00:03:02,340 +e acho que você concordaria que os desvios da forma real são insignificantes. + +50 +00:03:03,400 --> 00:03:07,962 +O que é surpreendente é que apenas ajustando o tamanho inicial e o ângulo de cada vetor, + +51 +00:03:07,962 --> 00:03:11,500 +você terá controle suficiente para aproximar qualquer curva desejada. + +52 +00:03:15,080 --> 00:03:18,107 +À primeira vista, isso pode parecer uma curiosidade fútil, + +53 +00:03:18,107 --> 00:03:20,160 +um belo projeto de arte, mas pouco mais. + +54 +00:03:20,800 --> 00:03:23,542 +Na verdade, a matemática que torna isso possível + +55 +00:03:23,542 --> 00:03:26,340 +é a mesma que descreve a física do fluxo de calor. + +56 +00:03:29,840 --> 00:03:31,620 +Mas estamos nos adiantando. + +57 +00:03:32,020 --> 00:03:35,818 +O primeiro passo é simplesmente construir a equação do calor e, para isso, + +58 +00:03:35,818 --> 00:03:39,820 +vamos começar deixando claro qual é exatamente a função que estamos analisando. + +59 +00:03:40,460 --> 00:03:45,250 +Temos uma barra em uma dimensão e pensamos nela como estando sobre um eixo x, + +60 +00:03:45,250 --> 00:03:49,120 +então cada ponto dessa barra é rotulado com um número único, x. + +61 +00:03:51,140 --> 00:03:54,714 +A temperatura é alguma função dessa posição, t de x, + +62 +00:03:54,714 --> 00:03:57,480 +mostrada aqui como um gráfico acima dela. + +63 +00:03:58,880 --> 00:04:01,339 +Mas, na verdade, como o valor muda ao longo do tempo, + +64 +00:04:01,339 --> 00:04:04,800 +deveríamos pensar nesta função como tendo mais uma entrada, t, para o tempo. + +65 +00:04:05,540 --> 00:04:09,534 +Você poderia, se quisesse, pensar neste espaço de entrada como sendo bidimensional, + +66 +00:04:09,534 --> 00:04:13,052 +representando espaço e tempo juntos, com a temperatura sendo representada + +67 +00:04:13,052 --> 00:04:16,619 +graficamente como uma superfície acima dele, cada fatia ao longo do tempo, + +68 +00:04:16,619 --> 00:04:19,899 +mostrando como é essa distribuição em qualquer dado momento. momento. + +69 +00:04:22,680 --> 00:04:26,120 +Ou você pode simplesmente pensar neste gráfico da mudança de temperatura com o tempo. + +70 +00:04:26,500 --> 00:04:27,420 +Ambos são equivalentes. + +71 +00:04:30,520 --> 00:04:33,816 +Esta superfície não deve ser confundida com o que mostrei anteriormente, + +72 +00:04:33,816 --> 00:04:36,120 +o gráfico de temperatura de um corpo bidimensional. + +73 +00:04:36,360 --> 00:04:39,691 +Ao estudar equações como essas, esteja atento se o tempo está sendo + +74 +00:04:39,691 --> 00:04:42,826 +representado com seu próprio eixo ou se está sendo representado + +75 +00:04:42,826 --> 00:04:46,060 +com mudanças literais ao longo do tempo, digamos, em uma animação. + +76 +00:04:47,080 --> 00:04:50,378 +No último capítulo, examinamos alguns sistemas em que apenas alguns + +77 +00:04:50,378 --> 00:04:54,597 +números mudaram ao longo do tempo, como o ângulo e a velocidade angular de um pêndulo, + +78 +00:04:54,597 --> 00:04:57,120 +descrevendo essa mudança na linguagem das derivadas. + +79 +00:04:57,600 --> 00:05:00,256 +Mas quando temos uma função inteira mudando com o tempo, + +80 +00:05:00,256 --> 00:05:03,100 +as ferramentas matemáticas tornam-se um pouco mais complexas. + +81 +00:05:03,100 --> 00:05:06,397 +Como estamos pensando nesta função de temperatura com múltiplas + +82 +00:05:06,397 --> 00:05:10,777 +dimensões para seu espaço de entrada, neste caso uma para espaço e outra para tempo, + +83 +00:05:10,777 --> 00:05:13,560 +existem múltiplas taxas diferentes de mudança em jogo. + +84 +00:05:14,800 --> 00:05:17,572 +Existe a derivada em relação a x, a rapidez com que a + +85 +00:05:17,572 --> 00:05:20,500 +temperatura muda conforme você se move ao longo da barra. + +86 +00:05:21,000 --> 00:05:24,820 +Você pode pensar nisso como a inclinação da nossa superfície quando a corta + +87 +00:05:24,820 --> 00:05:28,590 +paralelamente ao eixo x, ou dado um pequeno passo na direção x e a pequena + +88 +00:05:28,590 --> 00:05:32,360 +mudança na temperatura causada por ele, fornecendo uma razão entre os dois. + +89 +00:05:34,040 --> 00:05:37,651 +Mas há também a taxa com que um único ponto da barra muda com o tempo, + +90 +00:05:37,651 --> 00:05:40,907 +o que podemos considerar como a inclinação da superfície quando + +91 +00:05:40,907 --> 00:05:43,960 +a cortamos na outra direção, paralelamente ao eixo do tempo. + +92 +00:05:44,580 --> 00:05:47,770 +Cada uma destas derivadas conta apenas parte da história de como esta + +93 +00:05:47,770 --> 00:05:50,960 +função de temperatura muda, por isso chamamos-lhes derivadas parciais. + +94 +00:05:51,540 --> 00:05:54,215 +Para enfatizar esse ponto, a notação muda um pouco, + +95 +00:05:54,215 --> 00:05:58,280 +substituindo a letra D por um D encaracolado especial, às vezes chamado de del. + +96 +00:05:59,060 --> 00:06:02,065 +Pessoalmente, acho um pouco bobo mudar a notação para isso, + +97 +00:06:02,065 --> 00:06:04,120 +já que é essencialmente a mesma operação. + +98 +00:06:04,680 --> 00:06:09,608 +Prefiro ver uma notação que enfatize que os termos delT acima nos numeradores referem-se + +99 +00:06:09,608 --> 00:06:14,482 +a diferentes mudanças, um é uma pequena mudança na temperatura após uma pequena mudança + +100 +00:06:14,482 --> 00:06:19,300 +no tempo, o outro é uma pequena mudança na temperatura após um pequeno passo no espaço. + +101 +00:06:22,200 --> 00:06:25,080 +Para reiterar um ponto que afirmei na série de cálculo, + +102 +00:06:25,080 --> 00:06:28,784 +acho que é saudável ler inicialmente derivadas como esta como uma razão + +103 +00:06:28,784 --> 00:06:32,745 +literal entre uma pequena alteração na saída da função e a pequena alteração + +104 +00:06:32,745 --> 00:06:33,980 +na entrada que a causou. + +105 +00:06:34,400 --> 00:06:37,938 +Apenas tenha em mente que o que esta notação pretende codificar é o + +106 +00:06:37,938 --> 00:06:41,321 +limite dessa proporção para ajustes cada vez menores na entrada, + +107 +00:06:41,321 --> 00:06:45,380 +em vez de um valor específico da proporção para um ajuste finitamente pequeno. + +108 +00:06:45,620 --> 00:06:49,440 +Isto vale para derivadas parciais tanto quanto para derivadas comuns. + +109 +00:06:52,980 --> 00:06:56,580 +A equação do calor é escrita em termos dessas derivadas parciais. + +110 +00:06:57,080 --> 00:07:00,073 +Diz-nos que a forma como esta função muda em relação + +111 +00:07:00,073 --> 00:07:03,180 +ao tempo depende de como ela muda em relação ao espaço. + +112 +00:07:03,620 --> 00:07:08,720 +Mais especificamente, é proporcional à segunda derivada parcial em relação a x. + +113 +00:07:09,380 --> 00:07:13,181 +Em um nível elevado, a intuição é que em pontos onde a distribuição de + +114 +00:07:13,181 --> 00:07:17,680 +temperatura se curva, ela tende a mudar mais rapidamente na direção dessa curvatura. + +115 +00:07:18,260 --> 00:07:21,293 +Como uma regra como esta é escrita usando derivadas parciais, + +116 +00:07:21,293 --> 00:07:23,300 +chamamos-lhe equação diferencial parcial. + +117 +00:07:24,000 --> 00:07:26,589 +Isto tem o resultado engraçado de que, para quem está de fora, + +118 +00:07:26,589 --> 00:07:29,918 +o nome soa como uma versão mais domesticada de equações diferenciais ordinárias, + +119 +00:07:29,918 --> 00:07:33,124 +quando, pelo contrário, as equações diferenciais parciais tendem a contar uma + +120 +00:07:33,124 --> 00:07:36,700 +história muito mais rica do que as EDOs e são muito mais difíceis de resolver em geral. + +121 +00:07:37,340 --> 00:07:40,791 +A equação geral do calor aplica-se a corpos em qualquer número de dimensões, + +122 +00:07:40,791 --> 00:07:43,884 +o que significaria mais entradas para a nossa função de temperatura, + +123 +00:07:43,884 --> 00:07:47,560 +mas será mais fácil mantermo-nos concentrados no caso unidimensional de uma barra. + +124 +00:07:48,100 --> 00:07:50,938 +Do jeito que está, representar graficamente isso de uma forma que dê ao tempo + +125 +00:07:50,938 --> 00:07:53,740 +seu próprio eixo já empurra nossos recursos visuais para a terceira dimensão. + +126 +00:07:55,320 --> 00:07:58,320 +Então joguei fora essa equação, mas de onde vem isso? + +127 +00:07:58,560 --> 00:08:00,580 +Como você pôde pensar em algo assim sozinho? + +128 +00:08:01,480 --> 00:08:05,115 +Bem, para isso vamos simplificar as coisas descrevendo uma versão discreta + +129 +00:08:05,115 --> 00:08:08,800 +da configuração, onde você tem apenas um número finito de pontos x seguidos. + +130 +00:08:09,320 --> 00:08:11,728 +É como trabalhar em um universo pixelizado onde, + +131 +00:08:11,728 --> 00:08:14,038 +em vez de termos um continuum de temperaturas, + +132 +00:08:14,038 --> 00:08:16,300 +temos um conjunto finito de valores separados. + +133 +00:08:17,060 --> 00:08:18,260 +A intuição aqui é simples. + +134 +00:08:18,560 --> 00:08:22,666 +Para um determinado ponto, se os seus dois vizinhos de cada lado estiverem, + +135 +00:08:22,666 --> 00:08:25,260 +em média, mais quentes do que ele, ele aquecerá. + +136 +00:08:26,020 --> 00:08:28,660 +Se estiverem mais frios em média, ele esfriará. + +137 +00:08:29,420 --> 00:08:33,761 +Aqui, concentre-se especificamente nesses três pontos vizinhos x1, + +138 +00:08:33,761 --> 00:08:37,260 +x2 e x3, com temperaturas correspondentes T1, T2 e T3. + +139 +00:08:37,530 --> 00:08:43,659 +O que queremos comparar é a média de T1 e T3 com o valor de T2. + +140 +00:08:45,000 --> 00:08:49,180 +Quando esta diferença for maior que zero, T2 tenderá a aquecer. + +141 +00:08:50,540 --> 00:08:53,460 +E quanto maior a diferença, mais rápido ele aquece. + +142 +00:08:55,860 --> 00:08:58,942 +Da mesma forma, se for negativo, T2 tenderá a esfriar, + +143 +00:08:58,942 --> 00:09:01,240 +a uma taxa proporcional a essa diferença. + +144 +00:09:02,940 --> 00:09:07,455 +Mais formalmente, escrevemos que a derivada de T2 em relação ao tempo + +145 +00:09:07,455 --> 00:09:12,100 +é proporcional à diferença entre os seus vizinhos e o seu próprio valor. + +146 +00:09:12,740 --> 00:09:15,380 +Alpha aqui é simplesmente uma constante de proporcionalidade. + +147 +00:09:16,440 --> 00:09:20,150 +Para escrever isto de uma forma que em última análise explicará a segunda + +148 +00:09:20,150 --> 00:09:23,659 +derivada na equação do calor, deixe-me reorganizar um pouco este lado + +149 +00:09:23,659 --> 00:09:27,420 +direito em termos da diferença entre T1 e T2, e da diferença entre T2 e T3. + +150 +00:09:28,020 --> 00:09:30,000 +Você pode verificar rapidamente se esses dois são iguais. + +151 +00:09:30,000 --> 00:09:34,693 +A parte superior tem metade de T1, e na parte inferior há dois sinais + +152 +00:09:34,693 --> 00:09:39,320 +negativos na frente de T1, então é positivo, e a metade foi fatorada. + +153 +00:09:40,500 --> 00:09:43,000 +Da mesma forma, ambos têm metade do T3. + +154 +00:09:44,600 --> 00:09:48,924 +Então, na parte inferior, temos um T2 negativo que é efetivamente escrito duas vezes, + +155 +00:09:48,924 --> 00:09:53,300 +então quando você pega metade disso, é o mesmo que o único T2 negativo escrito em cima. + +156 +00:09:55,440 --> 00:09:57,731 +Como eu disse, a razão para reescrevê-lo é que isso + +157 +00:09:57,731 --> 00:10:00,200 +nos leva um passo mais perto da linguagem dos derivados. + +158 +00:10:01,220 --> 00:10:05,500 +Na verdade, vamos escrevê-los como delta T1 e delta T2. + +159 +00:10:05,900 --> 00:10:08,486 +É o mesmo valor do lado direito, mas estamos adicionando + +160 +00:10:08,486 --> 00:10:10,620 +uma nova perspectiva de como pensar sobre isso. + +161 +00:10:11,060 --> 00:10:13,860 +Em vez de comparar a média dos vizinhos com o T2, + +162 +00:10:13,860 --> 00:10:16,380 +estamos pensando na diferença das diferenças. + +163 +00:10:17,140 --> 00:10:19,400 +Aqui, reserve um momento para verificar se isso faz sentido. + +164 +00:10:19,700 --> 00:10:25,372 +Se essas duas diferenças forem iguais, então a média de T1 e T3 é igual a T2, + +165 +00:10:25,372 --> 00:10:27,700 +portanto T2 não tenderá a mudar. + +166 +00:10:28,340 --> 00:10:35,282 +Se o delta T2 for maior que o delta T1, ou seja, a diferença das diferenças é positiva, + +167 +00:10:35,282 --> 00:10:41,120 +observe como a média de T1 e T3 é maior que T2, então T2 tende a aumentar. + +168 +00:10:42,540 --> 00:10:46,659 +E por outro lado, se a diferença das diferenças for negativa, + +169 +00:10:46,659 --> 00:10:50,313 +o que significa que o delta T2 é menor que o delta T1, + +170 +00:10:50,313 --> 00:10:54,100 +corresponde a uma média desses vizinhos ser menor que T2. + +171 +00:10:54,560 --> 00:10:59,195 +Poderíamos ser especialmente compactos com a nossa notação e escrever todo este termo, + +172 +00:10:59,195 --> 00:11:02,020 +a diferença entre as diferenças, como delta delta T1. + +173 +00:11:03,020 --> 00:11:05,280 +Isso é conhecido na linguagem como uma segunda diferença. + +174 +00:11:05,880 --> 00:11:09,544 +Se parecer um pouco estranho pensar nisso, tenha em mente que é essencialmente uma + +175 +00:11:09,544 --> 00:11:13,120 +forma compacta de escrever a ideia de quanto T2 difere da média de seus vizinhos. + +176 +00:11:13,680 --> 00:11:15,960 +Só tem esse fator extra de metade, só isso. + +177 +00:11:16,560 --> 00:11:18,936 +E esse fator realmente não importa, porque de qualquer forma estamos + +178 +00:11:18,936 --> 00:11:21,520 +escrevendo esta equação em termos de alguma constante de proporcionalidade. + +179 +00:11:22,080 --> 00:11:25,087 +O resultado é que a taxa de variação da temperatura de + +180 +00:11:25,087 --> 00:11:28,260 +um ponto é proporcional à segunda diferença em torno dele. + +181 +00:11:29,120 --> 00:11:33,070 +À medida que passamos deste contexto finito para o caso contínuo infinito, + +182 +00:11:33,070 --> 00:11:36,020 +o análogo de uma segunda diferença é a segunda derivada. + +183 +00:11:38,580 --> 00:11:41,675 +Em vez de observar a diferença entre os valores de temperatura em + +184 +00:11:41,675 --> 00:11:44,583 +pontos separados por uma distância fixa, você considera o que + +185 +00:11:44,583 --> 00:11:47,820 +acontece quando você diminui o tamanho desse passo em direção a zero. + +186 +00:11:48,380 --> 00:11:51,380 +E no cálculo, em vez de falar sobre diferenças absolutas, + +187 +00:11:51,380 --> 00:11:55,260 +que também se aproximariam de zero, pensamos em termos de taxa de variação. + +188 +00:11:55,800 --> 00:11:59,420 +Neste caso, qual é a taxa de variação da temperatura por unidade de distância? + +189 +00:12:00,140 --> 00:12:02,540 +E lembre-se, existem duas taxas distintas de mudança em jogo. + +190 +00:12:02,860 --> 00:12:05,462 +Como essa temperatura muda com o passar do tempo e como a + +191 +00:12:05,462 --> 00:12:08,200 +temperatura muda à medida que você se move ao longo da barra? + +192 +00:12:08,960 --> 00:12:11,960 +A intuição central permanece a mesma que tínhamos no caso discreto. + +193 +00:12:12,200 --> 00:12:14,833 +Para saber como um ponto difere de seus vizinhos, + +194 +00:12:14,833 --> 00:12:18,100 +observe não apenas como a função muda de um ponto para outro, + +195 +00:12:18,100 --> 00:12:20,260 +mas como a própria taxa de variação muda. + +196 +00:12:22,760 --> 00:12:27,991 +Agora, no terreno do cálculo, escrevemos isso como del-quadrado t sobre del x-quadrado, + +197 +00:12:27,991 --> 00:12:31,440 +a segunda derivada parcial de nossa função em relação a x. + +198 +00:12:32,180 --> 00:12:36,302 +Observe como essa inclinação aumenta nos pontos onde o gráfico se curva para cima, + +199 +00:12:36,302 --> 00:12:39,780 +o que significa que a taxa de variação da taxa de variação é positiva. + +200 +00:12:40,580 --> 00:12:45,308 +Da mesma forma, essa inclinação diminui nos pontos onde o gráfico se curva para baixo, + +201 +00:12:45,308 --> 00:12:48,460 +onde a taxa de variação desta taxa de variação é negativa. + +202 +00:12:49,720 --> 00:12:53,420 +Guarde isso como uma intuição significativa para problemas muito além da equação do calor. + +203 +00:12:53,880 --> 00:12:56,216 +As segundas derivadas fornecem uma medida de como + +204 +00:12:56,216 --> 00:12:58,320 +um valor se compara à média de seus vizinhos. + +205 +00:12:59,380 --> 00:13:02,440 +Esperamos que isso dê um toque adicional satisfatório à equação. + +206 +00:13:02,920 --> 00:13:06,473 +Já é bastante intuitivo quando você lê isso dizendo que os pontos curvos + +207 +00:13:06,473 --> 00:13:10,026 +tendem a se achatar, mas acho que há algo ainda mais satisfatório em ver + +208 +00:13:10,026 --> 00:13:13,531 +uma equação diferencial parcial como essa surgir quase mecanicamente ao + +209 +00:13:13,531 --> 00:13:17,280 +pensar em cada ponto como simplesmente tendendo para a média de seu vizinhos. + +210 +00:13:18,900 --> 00:13:21,112 +Reserve um momento para comparar o que isso significa + +211 +00:13:21,112 --> 00:13:23,080 +com o caso das equações diferenciais ordinárias. + +212 +00:13:23,540 --> 00:13:28,205 +Por exemplo, se tivermos vários corpos no espaço puxando uns aos outros com a gravidade, + +213 +00:13:28,205 --> 00:13:31,350 +o que estamos analisando é um punhado de números variáveis, + +214 +00:13:31,350 --> 00:13:33,500 +neste caso as coordenadas de cada objeto. + +215 +00:13:34,100 --> 00:13:38,778 +A taxa de variação de qualquer um destes valores depende dos valores dos outros números, + +216 +00:13:38,778 --> 00:13:41,880 +e muitas vezes escrevemos isto como um sistema de equações. + +217 +00:13:41,880 --> 00:13:45,334 +À esquerda temos a derivada de cada valor em relação ao + +218 +00:13:45,334 --> 00:13:49,220 +tempo e à direita há uma combinação de todos os outros valores. + +219 +00:13:50,780 --> 00:13:55,173 +Na nossa equação diferencial parcial, a diferença é que temos infinitos valores + +220 +00:13:55,173 --> 00:13:57,755 +mudando a partir de um continuum e, novamente, + +221 +00:13:57,755 --> 00:14:01,874 +a maneira como qualquer um desses valores muda depende dos outros valores, + +222 +00:14:01,874 --> 00:14:06,213 +mas de forma bastante útil, cada um depende apenas de seus vizinhos imediatos. + +223 +00:14:06,213 --> 00:14:08,740 +em algum sentido limitante da palavra vizinho. + +224 +00:14:09,300 --> 00:14:13,909 +Então aqui, a relação do lado direito não é uma soma ou produto dos outros números, + +225 +00:14:13,909 --> 00:14:17,366 +é em vez disso uma espécie de derivada, apenas uma derivada em + +226 +00:14:17,366 --> 00:14:20,000 +relação ao espaço em vez de em relação ao tempo. + +227 +00:14:20,880 --> 00:14:25,089 +De certo modo, quando pensamos nisso, esta equação diferencial parcial + +228 +00:14:25,089 --> 00:14:29,240 +é como um sistema de infinitas equações, uma para cada ponto da barra. + +229 +00:14:31,840 --> 00:14:35,194 +Você pode se perguntar sobre objetos espalhados em mais de uma dimensão, + +230 +00:14:35,194 --> 00:14:36,940 +como uma placa ou algo tridimensional. + +231 +00:14:36,940 --> 00:14:39,712 +Nesse caso, a equação parece bastante semelhante, + +232 +00:14:39,712 --> 00:14:44,260 +mas você inclui também a segunda derivada em relação às outras direções espaciais. + +233 +00:14:45,660 --> 00:14:49,017 +E somar todas essas segundas derivadas espaciais como essa é uma + +234 +00:14:49,017 --> 00:14:52,529 +operação tão comum que tem seu próprio nome especial, o Laplaciano, + +235 +00:14:52,529 --> 00:14:55,680 +muitas vezes escrito como um triângulo invertido ao quadrado. + +236 +00:14:56,380 --> 00:14:59,620 +É essencialmente uma versão multivariável da segunda derivada, + +237 +00:14:59,620 --> 00:15:03,220 +e a intuição para esta equação não é diferente do caso unidimensional. + +238 +00:15:03,640 --> 00:15:06,710 +Este Laplaciano ainda pode ser considerado como uma medida de quão + +239 +00:15:06,710 --> 00:15:08,955 +diferente é um ponto da média dos seus vizinhos, + +240 +00:15:08,955 --> 00:15:12,208 +mas agora estes vizinhos não estão apenas à esquerda e à direita dele, + +241 +00:15:12,208 --> 00:15:13,400 +eles estão por toda parte. + +242 +00:15:15,480 --> 00:15:19,417 +Para os curiosos, fiz alguns vídeos durante meu tempo na Khan Academy nesta operadora, + +243 +00:15:19,417 --> 00:15:20,640 +se quiserem dar uma olhada. + +244 +00:15:20,960 --> 00:15:23,562 +Para aqueles que já conhecem o cálculo multivariável, + +245 +00:15:23,562 --> 00:15:26,020 +é bom pensar nisso como a divergência do gradiente. + +246 +00:15:26,700 --> 00:15:28,940 +Mas você não precisa se preocupar com isso, para nossos + +247 +00:15:28,940 --> 00:15:31,140 +propósitos vamos nos concentrar no caso unidimensional. + +248 +00:15:31,660 --> 00:15:35,220 +Se você acha que entende tudo isso, dê um tapinha nas costas. + +249 +00:15:35,680 --> 00:15:38,884 +Ser capaz de ler um EDP não é brincadeira e é um acréscimo + +250 +00:15:38,884 --> 00:15:42,360 +poderoso ao seu vocabulário para descrever o mundo ao seu redor. + +251 +00:15:43,040 --> 00:15:46,162 +Mas depois de todo esse tempo interpretando as equações, + +252 +00:15:46,162 --> 00:15:49,120 +digo que já é hora de começarmos a resolvê-las, não é? + +253 +00:15:49,560 --> 00:15:52,803 +E acredite em mim, existem poucas peças matemáticas tão satisfatórias quanto + +254 +00:15:52,803 --> 00:15:55,920 +a que o Poodlehaired Fourier desenvolveu aqui para resolver esse problema. + +255 +00:15:56,560 --> 00:15:58,500 +Tudo isso e muito mais no próximo capítulo. + +256 +00:16:04,700 --> 00:16:07,896 +Fiquei inicialmente motivado a abordar esse tópico específico quando tive + +257 +00:16:07,896 --> 00:16:10,920 +uma visão antecipada do novo livro de Steve Strogatz, Infinite Powers. + +258 +00:16:11,520 --> 00:16:14,119 +Esta não é uma mensagem patrocinada ou algo parecido, + +259 +00:16:14,119 --> 00:16:18,260 +mas com todas as cartas na mesa, tenho dois motivos ocultos egoístas para mencioná-la. + +260 +00:16:18,680 --> 00:16:22,545 +A primeira é que Steve tem sido um defensor muito forte, talvez até fundamental, + +261 +00:16:22,545 --> 00:16:26,602 +do canal desde o início, e já faz um bom tempo que estou ansioso para retribuir essa + +262 +00:16:26,602 --> 00:16:27,080 +gentileza. + +263 +00:16:27,520 --> 00:16:31,400 +E a segunda é fazer com que mais pessoas amem matemática, e cálculo em particular. + +264 +00:16:32,060 --> 00:16:35,598 +Isso pode não parecer egoísta, mas pense bem: quando mais pessoas amam matemática, + +265 +00:16:35,598 --> 00:16:37,900 +a base de público potencial para esses vídeos aumenta. + +266 +00:16:38,380 --> 00:16:40,760 +E, francamente, há poucas maneiras melhores de fazer com que as + +267 +00:16:40,760 --> 00:16:43,140 +pessoas amem o assunto do que expô-las aos escritos de Strogatz. + +268 +00:16:43,860 --> 00:16:47,099 +Portanto, se você tem amigos que você acha que gostariam das ideias de cálculo, + +269 +00:16:47,099 --> 00:16:50,419 +mas que talvez tenham se sentido um pouco intimidados pela matemática no passado, + +270 +00:16:50,419 --> 00:16:53,658 +este livro faz um trabalho realmente excelente ao comunicar o cerne do assunto, + +271 +00:16:53,658 --> 00:16:55,440 +tanto de forma substantiva quanto acessível. + +272 +00:16:55,440 --> 00:16:58,526 +Seu tema principal é a ideia de construir soluções para problemas + +273 +00:16:58,526 --> 00:17:02,174 +complexos do mundo real a partir de simples blocos de construção idealizados, + +274 +00:17:02,174 --> 00:17:04,700 +o que, como você verá, é exatamente o que Fourier fez. + +275 +00:17:05,440 --> 00:17:07,880 +E para aqueles que já conhecem e amam o assunto, + +276 +00:17:07,880 --> 00:17:10,619 +não faltarão insights novos e histórias esclarecedoras. + +277 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 +Eu certamente gostei. + +278 +00:17:12,500 --> 00:17:14,986 +Mais uma vez, sei que isso parece um anúncio, mas não é, + +279 +00:17:14,986 --> 00:17:16,599 +só acho que você vai gostar do livro. + diff --git a/2019/pdes/tamil/auto_generated.srt b/2019/pdes/tamil/auto_generated.srt index 77d24ebda..ce37f252e 100644 --- a/2019/pdes/tamil/auto_generated.srt +++ b/2019/pdes/tamil/auto_generated.srt @@ -243,7 +243,7 @@ நாம் பகுப்பாய்வு செய்யும் செயல்பாடு சரியாக என்ன என்பதைப் பற்றி தெளிவாகத் தொடங்குவோம். 62 -00:03:40,459 --> 00:03:43,423 +00:03:40,460 --> 00:03:43,423 எங்களிடம் ஒரு பரிமாணத்தில் ஒரு தடி உள்ளது, மேலும் அதை x-அச்சில் 63 @@ -327,23 +327,23 @@ t இன் x, அதற்கு மேலே உள்ள வரைபடம வழித்தோன்றல்களின் மொழியில் அந்த மாற்றத்தை விவரிக்கிறது. 83 -00:04:57,600 --> 00:05:01,095 +00:04:57,600 --> 00:05:00,701 ஆனால் காலப்போக்கில் ஒரு முழு செயல்பாடும் மாறும்போது, 84 -00:05:01,095 --> 00:05:03,800 +00:05:00,701 --> 00:05:03,100 கணிதக் கருவிகள் சற்று சிக்கலானதாக மாறும். 85 -00:05:03,800 --> 00:05:07,131 +00:05:03,100 --> 00:05:06,670 இந்த வெப்பநிலை செயல்பாட்டை அதன் உள்ளீட்டு இடத்திற்கு பல பரிமாணங்களுடன் 86 -00:05:07,131 --> 00:05:10,322 +00:05:06,670 --> 00:05:10,090 நாம் யோசித்துக்கொண்டிருக்கும்போது, இந்த விஷயத்தில் இடத்துக்கு ஒன்று 87 -00:05:10,322 --> 00:05:13,560 +00:05:10,090 --> 00:05:13,560 மற்றும் நேரத்திற்கு ஒன்று, விளையாட்டில் பல வேறுபட்ட விகிதங்கள் உள்ளன. 88 @@ -535,15 +535,15 @@ D என்ற எழுத்தை ஒரு சிறப்பு சுர எனவே நான் இந்த சமன்பாட்டை தூக்கி எறிந்தேன், ஆனால் இது எங்கிருந்து வருகிறது? 135 -00:07:58,560 --> 00:08:01,600 +00:07:58,560 --> 00:08:00,580 இப்படி ஒரு விஷயத்தை நீங்களே எப்படி யோசிக்க முடியும்? 136 -00:08:01,800 --> 00:08:05,225 +00:08:01,480 --> 00:08:05,062 அதற்கு, நீங்கள் ஒரு வரிசையில் பல புள்ளிகள் x மட்டுமே கொண்டிருக்கும், 137 -00:08:05,225 --> 00:08:08,800 +00:08:05,062 --> 00:08:08,800 அமைப்பின் தனித்துவமான பதிப்பை விவரிப்பதன் மூலம் விஷயங்களை எளிதாக்குவோம். 138 @@ -695,7 +695,7 @@ T2 போலவே இருக்கும். T1 மற்றும் T3 இன் சராசரி T2 போலவே இருக்கும், எனவே T2 மாறாது. 175 -00:10:28,339 --> 00:10:32,530 +00:10:28,340 --> 00:10:32,530 டெல்டா T2 டெல்டா T1 ஐ விட பெரியதாக இருந்தால், வேறுபாடுகளின் 176 @@ -1063,7 +1063,7 @@ PDE ஐப் படிக்க முடிவது நகைச்சுவ இவை அனைத்தும் மேலும் அடுத்த அத்தியாயத்தில். 267 -00:16:04,699 --> 00:16:08,254 +00:16:04,700 --> 00:16:08,254 ஸ்டீவ் ஸ்ட்ரோகாட்ஸின் புதிய புத்தகமான இன்ஃபினைட் பவர்ஸின் ஆரம்பக் காட்சியைப் பெற்றபோது, 268 @@ -1155,18 +1155,18 @@ PDE ஐப் படிக்க முடிவது நகைச்சுவ புதிய நுண்ணறிவு மற்றும் அறிவூட்டும் கதைகளுக்கு நீங்கள் பஞ்சமில்லை. 290 -00:17:10,819 --> 00:17:13,140 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 நான் நிச்சயமாக அதை ரசித்தேன். 291 -00:17:13,140 --> 00:17:14,948 +00:17:12,500 --> 00:17:14,733 மீண்டும், இது ஒரு விளம்பரம் போல் தெரிகிறது, ஆனால் அது இல்லை, 292 -00:17:14,948 --> 00:17:16,460 +00:17:14,733 --> 00:17:16,599 நீங்கள் புத்தகத்தை ரசிப்பீர்கள் என்று நினைக்கிறேன். 293 -00:17:16,460 --> 00:17:16,599 +00:17:16,599 --> 00:17:16,599 நன்றி. diff --git a/2019/pdes/telugu/auto_generated.srt b/2019/pdes/telugu/auto_generated.srt index 7c36021c3..d711ca270 100644 --- a/2019/pdes/telugu/auto_generated.srt +++ b/2019/pdes/telugu/auto_generated.srt @@ -219,7 +219,7 @@ మనం విశ్లేషిస్తున్న ఫంక్షన్ ఖచ్చితంగా ఏమిటో స్పష్టంగా తెలుసుకోవడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. 56 -00:03:40,459 --> 00:03:44,741 +00:03:40,460 --> 00:03:44,741 మేము ఒక డైమెన్షన్‌లో రాడ్‌ని కలిగి ఉన్నాము మరియు మేము దానిని x-యాక్సిస్‌పై కూర్చున్నట్లు 57 @@ -295,15 +295,15 @@ t ఉన్నట్లు మనం భావించాలి. కోణం మరియు కోణీయ వేగం వంటివి, ఉత్పన్నాల భాషలో ఆ మార్పును వివరిస్తాయి. 75 -00:04:57,600 --> 00:05:03,800 +00:04:57,600 --> 00:05:03,100 కానీ మనకు మొత్తం ఫంక్షన్ సమయంతో మారుతున్నప్పుడు, గణిత సాధనాలు కొంచెం క్లిష్టంగా మారతాయి. 76 -00:05:03,800 --> 00:05:08,509 +00:05:03,100 --> 00:05:08,147 మేము ఈ ఉష్ణోగ్రత ఫంక్షన్‌ని దాని ఇన్‌పుట్ స్థలానికి బహుళ కొలతలతో ఆలోచిస్తున్నందున, 77 -00:05:08,509 --> 00:05:13,560 +00:05:08,147 --> 00:05:13,560 ఈ సందర్భంలో స్థలం కోసం ఒకటి మరియు సమయం కోసం ఒకటి, ప్లేలో అనేక రకాల మార్పు రేట్లు ఉన్నాయి. 78 @@ -479,15 +479,15 @@ D అక్షరాన్ని ప్రత్యేక కర్లీ Dత కాబట్టి నేను ఈ సమీకరణాన్ని విసిరాను, కానీ ఇది ఎక్కడ నుండి వచ్చింది? 121 -00:07:58,560 --> 00:08:01,600 +00:07:58,560 --> 00:08:00,580 అలాంటిది మీరే ఎలా ఆలోచించగలరు? 122 -00:08:01,800 --> 00:08:06,019 +00:08:01,480 --> 00:08:05,892 దాని కోసం, సెటప్ యొక్క వివిక్త సంస్కరణను వివరించడం ద్వారా విషయాలను సరళీకృతం చేద్దాం, 123 -00:08:06,019 --> 00:08:08,800 +00:08:05,892 --> 00:08:08,800 ఇక్కడ మీరు వరుసగా చాలా పాయింట్లు x మాత్రమే కలిగి ఉంటారు. 124 @@ -615,7 +615,7 @@ T1 మరియు T2 మధ్య వ్యత్యాసం మరియు T ఆ రెండు తేడాలు ఒకేలా ఉంటే, T1 మరియు T3 యొక్క సగటు T2 వలె ఉంటుంది, కాబట్టి T2 మారదు. 155 -00:10:28,339 --> 00:10:35,041 +00:10:28,340 --> 00:10:35,041 డెల్టా T2 డెల్టా T1 కంటే పెద్దది అయినట్లయితే, తేడాల వ్యత్యాసం సానుకూలంగా ఉందని అర్థం, 156 @@ -963,7 +963,7 @@ PDEని చదవడం జోక్ కాదు మరియు మీ చ ఇవన్నీ మరియు తదుపరి అధ్యాయంలో మరిన్ని. 242 -00:16:04,699 --> 00:16:07,963 +00:16:04,700 --> 00:16:07,963 నేను స్టీవ్ స్ట్రోగాట్జ్ యొక్క కొత్త పుస్తకం ఇన్ఫినిట్ పవర్స్ యొక్క ప్రారంభ వీక్షణను 243 @@ -1047,18 +1047,18 @@ PDEని చదవడం జోక్ కాదు మరియు మీ చ మీరు తాజా అంతర్దృష్టులు మరియు జ్ఞానోదయం కలిగించే కథనాల కొరతను కనుగొనలేరు. 263 -00:17:10,819 --> 00:17:13,140 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 నేను ఖచ్చితంగా ఆనందించాను. 264 -00:17:13,140 --> 00:17:14,908 +00:17:12,500 --> 00:17:14,684 మళ్ళీ, అది ప్రకటన లాగా ఉందని నాకు తెలుసు, కానీ అది కాదు, 265 -00:17:14,908 --> 00:17:16,460 +00:17:14,684 --> 00:17:16,599 మీరు పుస్తకాన్ని ఆనందిస్తారని నేను భావిస్తున్నాను. 266 -00:17:16,460 --> 00:17:16,599 +00:17:16,599 --> 00:17:16,599 ధన్యవాదాలు. diff --git a/2019/pdes/turkish/auto_generated.srt b/2019/pdes/turkish/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..0b7fc3beb --- /dev/null +++ b/2019/pdes/turkish/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,1076 @@ +1 +00:00:03,900 --> 00:00:08,566 +Bölüm 1'de adi diferansiyel denklemler hakkında nasıl düşündüğümüzü gördükten sonra, + +2 +00:00:08,566 --> 00:00:12,520 +şimdi bir kısmi diferansiyel denklem örneğine, ısı denklemine dönüyoruz. + +3 +00:00:13,400 --> 00:00:16,939 +Her şeyi ayarlamak için, elinizde bir metal parçası gibi bir nesne olduğunu + +4 +00:00:16,939 --> 00:00:19,967 +ve herhangi bir anda ısının bu nesne üzerinde nasıl dağıldığını, + +5 +00:00:19,967 --> 00:00:23,880 +yani bu levha boyunca her bir noktanın sıcaklığının ne olduğunu bildiğinizi düşünün. + +6 +00:00:24,640 --> 00:00:27,834 +Asıl soru, ısı daha sıcak noktalardan daha soğuk noktalara + +7 +00:00:27,834 --> 00:00:30,920 +doğru akarken bu dağılımın zaman içinde nasıl değişeceği? + +8 +00:00:31,700 --> 00:00:35,930 +Soldaki görüntü, renk kullanılarak örnek bir plakanın sıcaklığını gösterirken, + +9 +00:00:35,930 --> 00:00:38,340 +bu sıcaklığın grafiği sağda gösterilmektedir. + +10 +00:00:39,120 --> 00:00:42,530 +Tek boyutlu somut bir örnek vermek gerekirse, diyelim ki farklı + +11 +00:00:42,530 --> 00:00:46,580 +sıcaklıklarda iki farklı çubuğunuz var ve bu sıcaklık her biri boyunca aynı. + +12 +00:00:47,160 --> 00:00:50,460 +Onları temas ettirdiğinizde, sıcaklığın sıcak olandan soğuk olana doğru + +13 +00:00:50,460 --> 00:00:54,220 +akacağını ve zamanla her şeyi eşit hale getirme eğiliminde olacağını biliyorsunuz. + +14 +00:00:54,600 --> 00:00:56,160 +Ama tam olarak nasıl? + +15 +00:00:56,160 --> 00:01:00,040 +Zamanın her noktasında sıcaklık dağılımı ne olacaktır? + +16 +00:01:01,260 --> 00:01:04,498 +Diferansiyel denklemlerde tipik olarak olduğu gibi, fikir, + +17 +00:01:04,498 --> 00:01:07,517 +bu kurulumun andan ana nasıl değiştiğini tanımlamanın, + +18 +00:01:07,517 --> 00:01:11,140 +doğrudan tam evrimin bir tanımına atlamaktan daha kolay olduğudur. + +19 +00:01:11,820 --> 00:01:14,372 +Bu değişim kuralını türevlerin dilinde yazıyoruz, + +20 +00:01:14,372 --> 00:01:18,354 +ancak göreceğiniz gibi kelime dağarcığımızı sıradan türevlerin ötesinde biraz + +21 +00:01:18,354 --> 00:01:19,580 +genişletmemiz gerekecek. + +22 +00:01:20,160 --> 00:01:21,750 +Merak etmeyin, şu anda gördüğünüz denklemleri + +23 +00:01:21,750 --> 00:01:23,480 +nasıl okuyacağımızı bir dakika içinde öğreneceğiz. + +24 +00:01:24,540 --> 00:01:26,844 +Isı denkleminin varyasyonları, Brown hareketi, + +25 +00:01:26,844 --> 00:01:30,964 +finanstan Black-Scholes denklemleri ve her türlü difüzyon gibi matematik ve fiziğin + +26 +00:01:30,964 --> 00:01:34,838 +diğer birçok bölümünde ortaya çıkar, bu nedenle bu tek kurulumun derinlemesine + +27 +00:01:34,838 --> 00:01:37,340 +anlaşılmasından elde edilecek birçok kazanç vardır. + +28 +00:01:38,240 --> 00:01:42,098 +Son videoda, çoğu diferansiyel denklemin gerçekten çözülemeyecek kadar + +29 +00:01:42,098 --> 00:01:46,120 +zor olduğu gerçeğini kabul ederken anlayış geliştirmenin yollarına baktık. + +30 +00:01:46,740 --> 00:01:50,296 +Ve aslında, PDE'ler ODE'lerden bile daha zor olma eğilimindedir, + +31 +00:01:50,296 --> 00:01:54,620 +çünkü büyük ölçüde birlikte değişen sonsuz sayıda değeri modellemeyi içerirler. + +32 +00:01:55,100 --> 00:01:58,920 +Ancak bugünkü ana karakterimiz gerçekten çözebileceğimiz bir denklem. + +33 +00:01:59,480 --> 00:02:02,850 +Aslında, Fourier serilerini daha önce duyduysanız, bunun, + +34 +00:02:02,850 --> 00:02:06,859 +Bebek Yüz Fourier'in bugün kendi adıyla dolu olan matematik köşesine + +35 +00:02:06,859 --> 00:02:11,740 +rastladığında çözmeye çalıştığı fiziksel problem olduğunu bilmek ilginizi çekebilir. + +36 +00:02:12,440 --> 00:02:15,565 +Fourier serilerini bir sonraki bölümde çok daha derinlemesine inceleyeceğiz, + +37 +00:02:15,565 --> 00:02:18,894 +ancak size en azından gelecek olan güzel bağlantı hakkında küçük bir ipucu vermek + +38 +00:02:18,894 --> 00:02:19,300 +istiyorum. + +39 +00:02:22,260 --> 00:02:26,505 +Şu anda gördüğünüz bu animasyon, her biri sabit bir tamsayı frekansında dönen çok + +40 +00:02:26,505 --> 00:02:30,700 +sayıda küçük dönen vektörün rastgele bir şekli nasıl izleyebileceğini gösteriyor. + +41 +00:02:31,860 --> 00:02:36,082 +Açık olmak gerekirse, olan şey bu vektörlerin her an uçtan + +42 +00:02:36,082 --> 00:02:40,233 +uca birbirine eklenmesidir ve sonuncusunun ucunda bir tür + +43 +00:02:40,233 --> 00:02:45,100 +kalem olduğunu ve ilerlerken bir yol izlediğini hayal edebilirsiniz. + +44 +00:02:45,880 --> 00:02:49,227 +Sonlu sayıda vektör için, bu izleme genellikle bu animasyonda + +45 +00:02:49,227 --> 00:02:52,844 +küçük f harfi olan hedef şeklin mükemmel bir kopyası olmayacaktır, + +46 +00:02:52,844 --> 00:02:55,760 +ancak ne kadar çok daire eklerseniz, o kadar yaklaşır. + +47 +00:02:56,260 --> 00:02:59,137 +Şu anda gördüğünüz şey sadece 100 daire kullanıyor ve sanırım + +48 +00:02:59,137 --> 00:03:02,340 +gerçek şekilden sapmaların ihmal edilebilir olduğunu kabul edersiniz. + +49 +00:03:03,400 --> 00:03:07,211 +Akıllara durgunluk veren şey, sadece her vektörün başlangıç boyutunu ve açısını + +50 +00:03:07,211 --> 00:03:11,500 +değiştirerek, istediğiniz herhangi bir eğriye yaklaşmak için yeterli kontrol sağlamasıdır. + +51 +00:03:15,080 --> 00:03:18,850 +İlk başta, bu boş bir merak, düzgün bir sanat projesi gibi görünebilir, + +52 +00:03:18,850 --> 00:03:20,160 +ancak daha fazlası değil. + +53 +00:03:20,800 --> 00:03:26,340 +Aslında bunu mümkün kılan matematik, ısı akışının fiziğini açıklayan matematikle aynıdır. + +54 +00:03:29,840 --> 00:03:31,620 +Ama kendimizi aşıyoruz. + +55 +00:03:32,020 --> 00:03:35,787 +Birinci adım basitçe ısı denklemini oluşturmaktır ve bunun için analiz + +56 +00:03:35,787 --> 00:03:39,820 +ettiğimiz fonksiyonun tam olarak ne olduğu konusunda net olmakla başlayalım. + +57 +00:03:40,460 --> 00:03:45,183 +Bir boyutta bir çubuğumuz var ve bunu bir x ekseni üzerinde oturuyormuş gibi düşünüyoruz, + +58 +00:03:45,183 --> 00:03:49,120 +bu nedenle çubuğun her noktası benzersiz bir sayı olan x ile etiketleniyor. + +59 +00:03:51,140 --> 00:03:54,373 +Sıcaklık, bu konumun bir fonksiyonudur, x'in t'si, + +60 +00:03:54,373 --> 00:03:57,480 +burada üzerinde bir grafik olarak gösterilmiştir. + +61 +00:03:58,880 --> 00:04:03,320 +Ama aslında, değer zamanla değiştiği için, bu fonksiyonu zaman için bir girdi daha, + +62 +00:04:03,320 --> 00:04:04,800 +t, varmış gibi düşünmeliyiz. + +63 +00:04:05,540 --> 00:04:08,736 +İsterseniz, bu girdi alanını iki boyutlu olarak düşünebilir, + +64 +00:04:08,736 --> 00:04:12,195 +uzayı ve zamanı birlikte temsil edebilir, sıcaklığın üzerinde bir + +65 +00:04:12,195 --> 00:04:15,812 +yüzey olarak grafiğe döküldüğünü, zaman boyunca her bir dilimin size + +66 +00:04:15,812 --> 00:04:19,899 +bu dağılımın herhangi bir anda neye benzediğini gösterdiğini düşünebilirsiniz. + +67 +00:04:22,680 --> 00:04:26,120 +Ya da basitçe sıcaklığın zamanla değişen bu grafiğini düşünebilirsiniz. + +68 +00:04:26,500 --> 00:04:27,420 +İkisi de eşdeğerdir. + +69 +00:04:30,520 --> 00:04:33,320 +Bu yüzey, daha önce gösterdiğim iki boyutlu bir + +70 +00:04:33,320 --> 00:04:36,120 +cismin sıcaklık grafiği ile karıştırılmamalıdır. + +71 +00:04:36,360 --> 00:04:41,440 +Bu gibi denklemleri incelerken zamanın kendi ekseniyle mi yoksa örneğin bir animasyonda + +72 +00:04:41,440 --> 00:04:46,060 +olduğu gibi zaman içindeki gerçek değişimlerle mi temsil edildiğine dikkat edin. + +73 +00:04:47,080 --> 00:04:51,922 +Geçen bölümde, bir sarkacın açısı ve açısal hızı gibi sadece birkaç sayının zaman + +74 +00:04:51,922 --> 00:04:57,120 +içinde değiştiği bazı sistemlere bakmış ve bu değişimi türevlerin diliyle tanımlamıştık. + +75 +00:04:57,600 --> 00:05:00,591 +Ancak zamanla değişen bütün bir fonksiyona sahip olduğumuzda, + +76 +00:05:00,591 --> 00:05:03,100 +matematiksel araçlar biraz daha karmaşık hale gelir. + +77 +00:05:03,100 --> 00:05:08,359 +Bu sıcaklık fonksiyonunun girdi uzayında birden fazla boyut olduğunu düşündüğümüz için, + +78 +00:05:08,359 --> 00:05:13,560 +bu durumda bir uzay ve bir zaman için, oyunda birden fazla farklı değişim oranı vardır. + +79 +00:05:14,800 --> 00:05:17,678 +Çubuk boyunca hareket ettikçe sıcaklığın ne kadar + +80 +00:05:17,678 --> 00:05:20,500 +hızlı değiştiğini gösteren x'e göre türev vardır. + +81 +00:05:21,000 --> 00:05:24,654 +Bunu, x eksenine paralel olarak dilimlediğinizde yüzeyimizin eğimi olarak + +82 +00:05:24,654 --> 00:05:28,458 +düşünebilir veya x yönünde küçük bir adım ve bunun neden olduğu sıcaklıktaki + +83 +00:05:28,458 --> 00:05:32,360 +küçük değişiklik göz önüne alındığında, ikisi arasında bir oran verebilirsiniz. + +84 +00:05:34,040 --> 00:05:38,121 +Ama bir de çubuk üzerindeki tek bir noktanın zamanla değişme oranı var, + +85 +00:05:38,121 --> 00:05:42,712 +yani zaman eksenine paralel olarak diğer yönde kestiğinizde yüzeyin eğimi olarak + +86 +00:05:42,712 --> 00:05:43,960 +düşünebileceğiniz şey. + +87 +00:05:44,580 --> 00:05:47,604 +Bu türevlerin her biri, bu sıcaklık fonksiyonunun nasıl değiştiğine dair + +88 +00:05:47,604 --> 00:05:50,960 +hikayenin yalnızca bir kısmını anlatır, bu yüzden bunlara kısmi türevler diyoruz. + +89 +00:05:51,540 --> 00:05:54,934 +Bu noktayı vurgulamak için gösterim biraz değişir ve D harfi yerine + +90 +00:05:54,934 --> 00:05:58,280 +bazen del olarak adlandırılan özel bir kıvrımlı D harfi kullanılır. + +91 +00:05:59,060 --> 00:06:01,780 +Şahsen, temelde aynı işlem olduğu için bunun gösterimini + +92 +00:06:01,780 --> 00:06:04,120 +değiştirmenin biraz aptalca olduğunu düşünüyorum. + +93 +00:06:04,680 --> 00:06:08,225 +Paylarda yer alan delT terimlerinin farklı değişiklikleri ifade ettiğini + +94 +00:06:08,225 --> 00:06:10,508 +vurgulayan bir gösterim görmeyi tercih ederim; + +95 +00:06:10,508 --> 00:06:14,880 +biri zamanda küçük bir değişiklikten sonra sıcaklıkta meydana gelen küçük bir değişiklik, + +96 +00:06:14,880 --> 00:06:18,425 +diğeri ise uzayda küçük bir adımdan sonra sıcaklıkta meydana gelen küçük + +97 +00:06:18,425 --> 00:06:19,300 +bir değişikliktir. + +98 +00:06:22,200 --> 00:06:25,156 +Kalkülüs serisinde belirttiğim bir noktayı tekrarlamak gerekirse, + +99 +00:06:25,156 --> 00:06:29,008 +başlangıçta bu gibi türevleri, fonksiyonun çıktısındaki küçük bir değişiklik ile buna + +100 +00:06:29,008 --> 00:06:33,039 +neden olan girdideki küçük değişiklik arasındaki gerçek bir oran olarak okumanın sağlıklı + +101 +00:06:33,039 --> 00:06:33,980 +olduğunu düşünüyorum. + +102 +00:06:34,400 --> 00:06:38,041 +Bu gösterimin kodlamak istediği şeyin, son derece küçük bir dürtme + +103 +00:06:38,041 --> 00:06:41,520 +için oranın belirli bir değerinden ziyade, girdiye yapılan daha + +104 +00:06:41,520 --> 00:06:45,380 +küçük ve daha küçük dürtmeler için bu oranın sınırı olduğunu unutmayın. + +105 +00:06:45,620 --> 00:06:49,440 +Bu, sıradan türevler için olduğu kadar kısmi türevler için de geçerlidir. + +106 +00:06:52,980 --> 00:06:56,580 +Isı denklemi bu kısmi türevler cinsinden yazılır. + +107 +00:06:57,080 --> 00:07:00,159 +Bize bu fonksiyonun zamana göre nasıl değiştiğinin, + +108 +00:07:00,159 --> 00:07:03,180 +uzaya göre nasıl değiştiğine bağlı olduğunu söyler. + +109 +00:07:03,620 --> 00:07:08,720 +Daha spesifik olarak, x'e göre ikinci kısmi türev ile orantılıdır. + +110 +00:07:09,380 --> 00:07:13,824 +Yüksek düzeyde sezgi, sıcaklık dağılımının eğri çizdiği noktalarda, + +111 +00:07:13,824 --> 00:07:17,680 +bu eğrilik yönünde daha hızlı değişme eğiliminde olduğudur. + +112 +00:07:18,260 --> 00:07:21,361 +Bunun gibi bir kural kısmi türevler kullanılarak yazıldığından, + +113 +00:07:21,361 --> 00:07:23,300 +buna kısmi diferansiyel denklem diyoruz. + +114 +00:07:24,000 --> 00:07:27,239 +Bu durum, dışarıdan bakan biri için bu ismin adi diferansiyel denklemlerin + +115 +00:07:27,239 --> 00:07:30,263 +daha uysal bir versiyonu gibi görünmesi gibi komik bir sonuç doğurur, + +116 +00:07:30,263 --> 00:07:33,460 +oysa tam tersine kısmi diferansiyel denklemler ODE'lerden çok daha zengin + +117 +00:07:33,460 --> 00:07:36,700 +bir hikaye anlatma eğilimindedir ve genel olarak çözülmesi çok daha zordur. + +118 +00:07:37,340 --> 00:07:40,761 +Genel ısı denklemi herhangi bir sayıda boyuttaki cisimler için geçerlidir, + +119 +00:07:40,761 --> 00:07:43,864 +bu da sıcaklık fonksiyonumuza daha fazla girdi anlamına gelecektir, + +120 +00:07:43,864 --> 00:07:47,560 +ancak bir çubuğun tek boyutlu durumuna odaklanmak bizim için en kolayı olacaktır. + +121 +00:07:48,100 --> 00:07:50,845 +Bu haliyle, bunu zamana kendi eksenini verecek şekilde + +122 +00:07:50,845 --> 00:07:53,740 +grafikleştirmek zaten görsellerimizi üçüncü boyuta itiyor. + +123 +00:07:55,320 --> 00:07:58,320 +Bu denklemi ortaya attım ama bu nereden çıktı? + +124 +00:07:58,560 --> 00:08:00,580 +Böyle bir şeyi kendiniz nasıl düşünebildiniz? + +125 +00:08:01,480 --> 00:08:05,319 +Bunun için, bir satırda yalnızca sonlu sayıda x noktasına sahip olduğunuz, + +126 +00:08:05,319 --> 00:08:08,800 +kurulumun ayrık bir versiyonunu tanımlayarak işleri basitleştirelim. + +127 +00:08:09,320 --> 00:08:11,844 +Bu bir nevi pikselli bir evrende çalışmak gibidir; + +128 +00:08:11,844 --> 00:08:16,300 +burada sıcaklıkların sürekliliğine sahip olmak yerine, sonlu bir dizi ayrı değere sahibiz. + +129 +00:08:17,060 --> 00:08:18,260 +Buradaki sezgi basittir. + +130 +00:08:18,560 --> 00:08:21,970 +Belirli bir nokta için, her iki tarafındaki iki komşusu + +131 +00:08:21,970 --> 00:08:25,260 +ortalama olarak kendisinden daha sıcaksa, ısınacaktır. + +132 +00:08:26,020 --> 00:08:28,660 +Ortalama olarak daha soğuklarsa, soğuyacaktır. + +133 +00:08:29,420 --> 00:08:34,942 +Burada, özellikle bu üç komşu nokta x1, x2 ve x3'e ve bunlara karşılık gelen T1, + +134 +00:08:34,942 --> 00:08:37,260 +T2 ve T3 sıcaklıklarına odaklanın. + +135 +00:08:37,530 --> 00:08:43,659 +Karşılaştırmak istediğimiz şey T1 ve T3'ün ortalaması ile T2'nin değeridir. + +136 +00:08:45,000 --> 00:08:49,180 +Bu fark sıfırdan büyük olduğunda, T2 ısınma eğilimi gösterecektir. + +137 +00:08:50,540 --> 00:08:53,460 +Ve fark ne kadar büyük olursa, o kadar hızlı ısınır. + +138 +00:08:55,860 --> 00:08:58,900 +Aynı şekilde, eğer negatifse, T2 bu farkla orantılı + +139 +00:08:58,900 --> 00:09:01,240 +bir oranda soğuma eğilimi gösterecektir. + +140 +00:09:02,940 --> 00:09:07,330 +Daha resmi olarak, T2'nin zamana göre türevinin komşuları + +141 +00:09:07,330 --> 00:09:12,100 +ile kendi değeri arasındaki farkla orantılı olduğunu yazıyoruz. + +142 +00:09:12,740 --> 00:09:15,380 +Buradaki alfa basitçe bir orantı sabitidir. + +143 +00:09:16,440 --> 00:09:21,339 +Bunu ısı denklemindeki ikinci türevi nihai olarak açıklayacak şekilde yazmak için, + +144 +00:09:21,339 --> 00:09:24,940 +bu sağ eli T1 ile T2 arasındaki fark ve T2 ile T3 arasındaki + +145 +00:09:24,940 --> 00:09:27,420 +fark açısından biraz yeniden düzenleyeyim. + +146 +00:09:28,020 --> 00:09:30,000 +Bu ikisinin aynı olup olmadığını hızlıca kontrol edebilirsiniz. + +147 +00:09:30,000 --> 00:09:35,765 +Üstte T1'in yarısı vardır ve altta T1'in önünde iki eksi işareti vardır, + +148 +00:09:35,765 --> 00:09:39,320 +bu yüzden pozitiftir ve yarısı çıkarılmıştır. + +149 +00:09:40,500 --> 00:09:43,000 +Aynı şekilde, her ikisinde de T3'ün yarısı vardır. + +150 +00:09:44,600 --> 00:09:47,897 +Altta ise iki kez yazılmış negatif bir T2 var, + +151 +00:09:47,897 --> 00:09:53,300 +yani bunun yarısını aldığınızda üstte yazılan tek negatif T2 ile aynı oluyor. + +152 +00:09:55,440 --> 00:09:58,233 +Dediğim gibi, yeniden yazmanın nedeni bizi türevlerin + +153 +00:09:58,233 --> 00:10:00,200 +diline bir adım daha yaklaştırmasıdır. + +154 +00:10:01,220 --> 00:10:05,500 +Aslında bunları delta T1 ve delta T2 olarak yazalım. + +155 +00:10:05,900 --> 00:10:08,260 +Sağ taraftaki aynı değerdir, ancak bunu nasıl + +156 +00:10:08,260 --> 00:10:10,620 +düşüneceğimize yeni bir bakış açısı ekliyoruz. + +157 +00:10:11,060 --> 00:10:16,380 +Komşuların ortalamasını T2 ile karşılaştırmak yerine, farkların farkını düşünüyoruz. + +158 +00:10:17,140 --> 00:10:19,400 +Burada, bunun mantıklı olup olmadığını kontrol etmek için bir dakikanızı ayırın. + +159 +00:10:19,700 --> 00:10:24,185 +Bu iki fark aynıysa, T1 ve T3'ün ortalaması T2 ile aynıdır, + +160 +00:10:24,185 --> 00:10:27,700 +dolayısıyla T2 değişme eğiliminde olmayacaktır. + +161 +00:10:28,340 --> 00:10:32,987 +Delta T2, delta T1'den büyükse, yani farkların farkı pozitifse, + +162 +00:10:32,987 --> 00:10:36,981 +T1 ve T3'ün ortalamasının T2'den nasıl büyük olduğuna, + +163 +00:10:36,981 --> 00:10:41,120 +dolayısıyla T2'nin artma eğiliminde olduğuna dikkat edin. + +164 +00:10:42,540 --> 00:10:48,971 +Diğer taraftan, farkların farkı negatifse, yani delta T2 delta T1'den küçükse, + +165 +00:10:48,971 --> 00:10:54,100 +bu komşuların ortalamasının T2'den küçük olduğu anlamına gelir. + +166 +00:10:54,560 --> 00:10:58,498 +Notasyonumuzda özellikle kompakt olabilir ve bu terimin tamamını, + +167 +00:10:58,498 --> 00:11:02,020 +farklar arasındaki farkı delta delta T1 olarak yazabiliriz. + +168 +00:11:03,020 --> 00:11:05,280 +Bu, jargonda ikinci bir fark olarak bilinir. + +169 +00:11:05,880 --> 00:11:09,449 +Düşünmesi biraz tuhaf geliyorsa, T2'nin komşularının ortalamasından ne + +170 +00:11:09,449 --> 00:11:13,120 +kadar farklı olduğu fikrini yazmanın kompakt bir yolu olduğunu unutmayın. + +171 +00:11:13,680 --> 00:11:15,960 +Sadece fazladan bir yarı faktörü var, hepsi bu. + +172 +00:11:16,560 --> 00:11:19,082 +Ve bu faktör gerçekten önemli değil, çünkü her iki şekilde + +173 +00:11:19,082 --> 00:11:21,520 +de bu denklemi bazı orantı sabitleri cinsinden yazıyoruz. + +174 +00:11:22,080 --> 00:11:25,734 +Sonuç olarak, bir noktanın sıcaklığının değişim oranı, + +175 +00:11:25,734 --> 00:11:28,260 +etrafındaki ikinci farkla orantılıdır. + +176 +00:11:29,120 --> 00:11:36,020 +Bu sonlu bağlamdan sonsuz sürekli duruma geçerken, ikinci farkın analoğu ikinci türevdir. + +177 +00:11:38,580 --> 00:11:43,010 +Aralarında sabit bir mesafe olan noktalardaki sıcaklık değerleri arasındaki farka + +178 +00:11:43,010 --> 00:11:47,820 +bakmak yerine, bu adımın boyutunu sıfıra doğru küçülttüğünüzde ne olacağını düşünürsünüz. + +179 +00:11:48,380 --> 00:11:51,882 +Matematikte de sıfıra yaklaşacak olan mutlak farklardan + +180 +00:11:51,882 --> 00:11:55,260 +bahsetmek yerine değişim oranı açısından düşünürsünüz. + +181 +00:11:55,800 --> 00:11:59,420 +Bu durumda, birim mesafe başına sıcaklıktaki değişim oranı nedir? + +182 +00:12:00,140 --> 00:12:02,540 +Ve unutmayın, iki ayrı değişim oranı söz konusudur. + +183 +00:12:02,860 --> 00:12:05,480 +Zaman ilerledikçe bu sıcaklık nasıl değişiyor ve siz + +184 +00:12:05,480 --> 00:12:08,200 +çubuk boyunca hareket ettikçe sıcaklık nasıl değişiyor? + +185 +00:12:08,960 --> 00:12:11,960 +Temel sezgi, ayrık durumda sahip olduğumuzla aynı kalır. + +186 +00:12:12,200 --> 00:12:14,800 +Bir noktanın komşularından ne kadar farklı olduğunu anlamak + +187 +00:12:14,800 --> 00:12:17,876 +için sadece fonksiyonun bir noktadan diğerine nasıl değiştiğine değil, + +188 +00:12:17,876 --> 00:12:20,260 +değişim oranının kendisinin nasıl değiştiğine de bakın. + +189 +00:12:22,760 --> 00:12:27,132 +Şimdi kalkülüs alanında bunu, fonksiyonumuzun x'e göre ikinci kısmi + +190 +00:12:27,132 --> 00:12:31,440 +türevi olan del x-squared üzerinden del-squared t olarak yazıyoruz. + +191 +00:12:32,180 --> 00:12:37,032 +Grafiğin yukarı doğru kıvrıldığı noktalarda bu eğimin nasıl arttığına dikkat edin, + +192 +00:12:37,032 --> 00:12:39,780 +yani değişim oranının değişim oranı pozitiftir. + +193 +00:12:40,580 --> 00:12:44,206 +Benzer şekilde, bu değişim oranının negatif olduğu, + +194 +00:12:44,206 --> 00:12:48,460 +grafiğin aşağı doğru kıvrıldığı noktalarda da bu eğim azalır. + +195 +00:12:49,720 --> 00:12:53,420 +Bunu ısı denkleminin çok ötesindeki problemler için anlamlı bir sezgi olarak saklayın. + +196 +00:12:53,880 --> 00:12:56,317 +İkinci türevler, bir değerin komşularının ortalamasıyla + +197 +00:12:56,317 --> 00:12:58,320 +nasıl karşılaştırıldığının bir ölçüsünü verir. + +198 +00:12:59,380 --> 00:13:02,440 +Umarım bu, denkleme tatmin edici bir renk katar. + +199 +00:13:02,920 --> 00:13:06,543 +Bunu eğri noktaların düzleşme eğiliminde olduğunu söyleyerek okuduğunuzda zaten + +200 +00:13:06,543 --> 00:13:10,032 +oldukça sezgiseldir, ancak bence bunun gibi kısmi bir diferansiyel denklemin + +201 +00:13:10,032 --> 00:13:13,520 +neredeyse mekanik olarak her noktanın komşularının ortalamasına doğru eğilim + +202 +00:13:13,520 --> 00:13:17,280 +gösterdiğini düşünerek ortaya çıktığını görmenin daha da tatmin edici bir yanı var. + +203 +00:13:18,900 --> 00:13:20,766 +Bunun nasıl bir his olduğunu adi diferansiyel + +204 +00:13:20,766 --> 00:13:23,080 +denklemler ile karşılaştırmak için bir dakikanızı ayırın. + +205 +00:13:23,540 --> 00:13:27,932 +Örneğin, uzayda yerçekimiyle birbirini çeken birden fazla cisim varsa, + +206 +00:13:27,932 --> 00:13:33,500 +analiz ettiğimiz şey bir avuç değişen sayıdır, bu durumda her bir cismin koordinatlarıdır. + +207 +00:13:34,100 --> 00:13:37,682 +Bu değerlerden herhangi biri için değişim oranı diğer sayıların + +208 +00:13:37,682 --> 00:13:41,880 +değerlerine bağlıdır ve bunu genellikle bir denklem sistemi olarak yazarız. + +209 +00:13:41,880 --> 00:13:45,617 +Sol tarafta, her bir değerin zamana göre türevi ve sağ + +210 +00:13:45,617 --> 00:13:49,220 +tarafta da diğer tüm değerlerin bir kombinasyonu var. + +211 +00:13:50,780 --> 00:13:55,442 +Kısmi diferansiyel denklemimizdeki fark, bir süreklilikten değişen sonsuz sayıda + +212 +00:13:55,442 --> 00:13:59,990 +değere sahip olmamızdır ve yine, bu değerlerden herhangi birinin değişme şekli + +213 +00:13:59,990 --> 00:14:03,559 +diğer değerlere bağlıdır, ancak oldukça yardımcı bir şekilde, + +214 +00:14:03,559 --> 00:14:08,740 +her biri yalnızca komşu kelimesinin bazı sınırlayıcı anlamında yakın komşularına bağlıdır. + +215 +00:14:09,300 --> 00:14:14,790 +Yani burada sağ taraftaki ilişki diğer sayıların toplamı ya da çarpımı değil, + +216 +00:14:14,790 --> 00:14:20,000 +bunun yerine bir tür türev, sadece zamana göre değil uzaya göre bir türev. + +217 +00:14:20,880 --> 00:14:24,064 +Bir anlamda, düşündüğünüzde, bu tek kısmi diferansiyel denklem, + +218 +00:14:24,064 --> 00:14:28,294 +çubuk üzerindeki her nokta için bir tane olmak üzere sonsuz sayıda denklemden oluşan + +219 +00:14:28,294 --> 00:14:29,240 +bir sistem gibidir. + +220 +00:14:31,840 --> 00:14:34,810 +Birden fazla boyuta yayılmış nesneleri merak edebilirsiniz, + +221 +00:14:34,810 --> 00:14:36,940 +örneğin bir tabak ya da üç boyutlu bir şey. + +222 +00:14:36,940 --> 00:14:40,633 +Bu durumda denklem oldukça benzer görünür, ancak diğer + +223 +00:14:40,633 --> 00:14:44,260 +uzamsal yönlere göre ikinci türevi de dahil edersiniz. + +224 +00:14:45,660 --> 00:14:48,709 +Ve tüm bu ikinci uzaysal türevleri bu şekilde toplamak, + +225 +00:14:48,709 --> 00:14:52,085 +kendi özel adı olan Laplacian'a sahip olacak kadar yaygın bir + +226 +00:14:52,085 --> 00:14:55,680 +işlemdir ve genellikle bu baş aşağı üçgenin karesi olarak yazılır. + +227 +00:14:56,380 --> 00:14:59,770 +Esasen ikinci türevin çok değişkenli bir versiyonudur ve + +228 +00:14:59,770 --> 00:15:03,220 +bu denklemin sezgisi tek boyutlu durumdan farklı değildir. + +229 +00:15:03,640 --> 00:15:06,946 +Bu Laplacian hala bir noktanın komşularının ortalamasından ne + +230 +00:15:06,946 --> 00:15:09,666 +kadar farklı olduğunu ölçmek olarak düşünülebilir, + +231 +00:15:09,666 --> 00:15:13,400 +ancak şimdi bu komşular sadece solunda ve sağında değil, her yerdedir. + +232 +00:15:15,480 --> 00:15:17,922 +Aranızdaki meraklılar için, Khan Academy'de geçirdiğim süre boyunca bu + +233 +00:15:17,922 --> 00:15:20,640 +operatörle ilgili birkaç video hazırladım, isterseniz onlara göz atabilirsiniz. + +234 +00:15:20,960 --> 00:15:23,468 +Çok değişkenli kalkülüs bilgisine sahip olanlarınız için + +235 +00:15:23,468 --> 00:15:26,020 +bunu gradyanın ıraksaması olarak düşünmek güzel olacaktır. + +236 +00:15:26,700 --> 00:15:29,142 +Ancak bu konuda endişelenmenize gerek yok, amaçlarımız + +237 +00:15:29,142 --> 00:15:31,140 +doğrultusunda tek boyutlu duruma odaklanalım. + +238 +00:15:31,660 --> 00:15:35,220 +Tüm bunları anladığınızı düşünüyorsanız, sırtınızı sıvazlayın. + +239 +00:15:35,680 --> 00:15:38,817 +Bir PDE'yi okuyabilmek şaka değildir ve etrafınızdaki dünyayı + +240 +00:15:38,817 --> 00:15:42,360 +tanımlamak için kelime dağarcığınıza sahip olmak için güçlü bir ektir. + +241 +00:15:43,040 --> 00:15:45,818 +Ancak denklemleri yorumlamak için harcadığımız bunca zamandan sonra, + +242 +00:15:45,818 --> 00:15:49,120 +onları çözmeye başlamanın tam zamanı olduğunu düşünüyorum, sizce de öyle değil mi? + +243 +00:15:49,560 --> 00:15:52,484 +Ve inanın bana, Kaniş Saçlı Fourier'in bu problemi çözmek için + +244 +00:15:52,484 --> 00:15:55,920 +geliştirdiği matematik kadar tatmin edici çok az matematik parçası vardır. + +245 +00:15:56,560 --> 00:15:58,500 +Tüm bunlar ve daha fazlası bir sonraki bölümde. + +246 +00:16:04,700 --> 00:16:07,863 +Bu konuyu ele almak için ilk olarak Steve Strogatz'ın yeni + +247 +00:16:07,863 --> 00:16:10,920 +kitabı Infinite Powers'ı ilk kez gördüğümde motive oldum. + +248 +00:16:11,520 --> 00:16:14,279 +Bu sponsorlu bir mesaj ya da benzeri bir şey değil, + +249 +00:16:14,279 --> 00:16:18,260 +ancak tüm kartlar masada, bundan bahsetmek için iki bencil art niyetim var. + +250 +00:16:18,680 --> 00:16:21,817 +Birincisi, Steve en başından beri kanal için gerçekten güçlü, + +251 +00:16:21,817 --> 00:16:26,169 +hatta belki de çok önemli bir savunucu oldu ve ben de bir süredir bu iyiliğe karşılık + +252 +00:16:26,169 --> 00:16:27,080 +vermek istiyordum. + +253 +00:16:27,520 --> 00:16:31,400 +İkincisi ise daha fazla insanın matematiği ve özellikle de kalkülüsü sevmesini sağlamak. + +254 +00:16:32,060 --> 00:16:34,084 +Bu kulağa bencilce gelmeyebilir, ancak bir düşünün, + +255 +00:16:34,084 --> 00:16:37,082 +daha fazla insan matematiği sevdiğinde, bu videolar için potansiyel izleyici + +256 +00:16:37,082 --> 00:16:37,900 +tabanı daha da büyür. + +257 +00:16:38,380 --> 00:16:40,961 +Ve açıkçası insanlara bu konuyu sevdirmenin, onları Strogatz'ın + +258 +00:16:40,961 --> 00:16:43,140 +yazılarına maruz bırakmaktan daha iyi birkaç yolu var. + +259 +00:16:43,860 --> 00:16:47,516 +Dolayısıyla, kalkülüs fikirlerinden hoşlanacağını düşündüğünüz ancak geçmişte + +260 +00:16:47,516 --> 00:16:50,048 +matematikten biraz korkmuş olan arkadaşlarınız varsa, + +261 +00:16:50,048 --> 00:16:53,658 +bu kitap konunun özünü hem kapsamlı hem de erişilebilir bir şekilde ileterek + +262 +00:16:53,658 --> 00:16:55,440 +gerçekten olağanüstü bir iş çıkarıyor. + +263 +00:16:55,440 --> 00:17:00,043 +Ana teması, karmaşık gerçek dünya sorunlarına basit idealize edilmiş yapı taşlarından + +264 +00:17:00,043 --> 00:17:04,700 +çözümler inşa etme fikridir ki göreceğiniz gibi Fourier'in yaptığı da tam olarak budur. + +265 +00:17:05,440 --> 00:17:08,270 +Konuyu zaten bilen ve sevenler için de yeni bilgiler + +266 +00:17:08,270 --> 00:17:10,619 +ve aydınlatıcı hikâyeler eksik olmayacaktır. + +267 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 +Kesinlikle hoşuma gitti. + +268 +00:17:12,500 --> 00:17:14,360 +Yine, bunun bir reklam gibi göründüğünün farkındayım, + +269 +00:17:14,360 --> 00:17:16,599 +ama değil, sadece gerçekten kitaptan hoşlanacağınızı düşünüyorum. + diff --git a/2019/pdes/ukrainian/auto_generated.srt b/2019/pdes/ukrainian/auto_generated.srt index 5abbcd4a5..aa2070d16 100644 --- a/2019/pdes/ukrainian/auto_generated.srt +++ b/2019/pdes/ukrainian/auto_generated.srt @@ -227,7 +227,7 @@ і для цього давайте почнемо з того, що чітко уточнимо, що таке функція, яку ми аналізуємо. 58 -00:03:40,459 --> 00:03:45,339 +00:03:40,460 --> 00:03:45,339 У нас є стрижень в одному вимірі, і ми думаємо про нього як про ось x, 59 @@ -295,23 +295,23 @@ як-от кут і кутова швидкість маятника, описуючи цю зміну мовою похідних. 75 -00:04:57,600 --> 00:05:00,906 +00:04:57,600 --> 00:05:00,533 Але коли ми маємо цілу функцію, яка змінюється з часом, 76 -00:05:00,906 --> 00:05:03,800 +00:05:00,533 --> 00:05:03,100 математичні інструменти стають трохи складнішими. 77 -00:05:03,800 --> 00:05:07,106 +00:05:03,100 --> 00:05:06,643 Оскільки ми маємо на увазі цю температурну функцію з кількома 78 -00:05:07,106 --> 00:05:10,626 +00:05:06,643 --> 00:05:10,416 вимірами її вхідного простору, у цьому випадку один для простору, 79 -00:05:10,626 --> 00:05:13,560 +00:05:10,416 --> 00:05:13,560 а інший для часу, існує кілька різних швидкостей зміни. 80 @@ -483,15 +483,15 @@ Тому я викинув це рівняння, але звідки воно? 122 -00:07:58,560 --> 00:08:01,600 +00:07:58,560 --> 00:08:00,580 Як ти міг сам придумати щось подібне? 123 -00:08:01,800 --> 00:08:05,977 +00:08:01,480 --> 00:08:05,848 Для цього давайте спростимо речі, описавши дискретну версію налаштування, 124 -00:08:05,977 --> 00:08:08,800 +00:08:05,848 --> 00:08:08,800 де у вас є лише кінцева кількість точок x у рядку. 125 @@ -627,7 +627,7 @@ x1, x2 і x3, з відповідними температурами T1, T2 і T як і T2, тому T2 не матиме тенденції до зміни. 158 -00:10:28,339 --> 00:10:33,986 +00:10:28,340 --> 00:10:33,986 Якщо дельта T2 більша, ніж дельта T1, тобто різниця відмінностей позитивна, 159 @@ -995,7 +995,7 @@ x1, x2 і x3, з відповідними температурами T1, T2 і T Про все це та багато іншого в наступному розділі. 250 -00:16:04,699 --> 00:16:07,578 +00:16:04,700 --> 00:16:07,578 Спочатку я був спонуканий висвітлити цю конкретну тему, 251 @@ -1071,18 +1071,18 @@ x1, x2 і x3, з відповідними температурами T1, T2 і T ви знайдете нестачу в нових думках і повчальних історіях. 269 -00:17:10,819 --> 00:17:13,140 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 Мені, звичайно, сподобалося. 270 -00:17:13,140 --> 00:17:14,657 +00:17:12,500 --> 00:17:14,374 Знову ж таки, я знаю, що це звучить як реклама, 271 -00:17:14,657 --> 00:17:16,460 +00:17:14,374 --> 00:17:16,599 але це не так, я просто думаю, що книга вам сподобається. 272 -00:17:16,460 --> 00:17:16,599 +00:17:16,599 --> 00:17:16,599 Дякую тобі. diff --git a/2019/pdes/vietnamese/auto_generated.srt b/2019/pdes/vietnamese/auto_generated.srt index e8c86eeb0..db6feded1 100644 --- a/2019/pdes/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2019/pdes/vietnamese/auto_generated.srt @@ -35,12 +35,12 @@ Câu hỏi đặt ra là sự phân bố này sẽ thay đổi như thế nào t thời gian khi nhiệt truyền từ điểm ấm hơn đến điểm mát hơn? 10 -00:00:31,700 --> 00:00:35,628 +00:00:31,700 --> 00:00:35,661 Hình ảnh bên trái hiển thị nhiệt độ của một tấm ví dụ sử dụng màu sắc, 11 -00:00:35,628 --> 00:00:38,340 -với biểu đồ nhiệt độ đó được hiển thị ở bên phải. +00:00:35,661 --> 00:00:38,340 +với đồ thị nhiệt độ đó được hiển thị ở bên phải. 12 00:00:39,120 --> 00:00:43,892 @@ -79,1050 +79,1030 @@ mô tả cách thiết lập này thay đổi theo từng thời điểm sẽ d dàng hơn là chuyển thẳng sang mô tả toàn bộ quá trình tiến hóa. 21 -00:01:11,820 --> 00:01:14,708 -Chúng tôi viết quy tắc thay đổi này bằng ngôn ngữ của các đạo hàm, +00:01:11,820 --> 00:01:15,743 +Chúng ta viết quy tắc thay đổi này bằng ngôn ngữ của các đạo hàm, mặc dù như bạn sẽ thấy, 22 -00:01:14,708 --> 00:01:18,459 -mặc dù như bạn sẽ thấy, chúng tôi sẽ cần mở rộng vốn từ vựng của mình ra ngoài các đạo +00:01:15,743 --> 00:01:19,580 +chúng ta sẽ cần mở rộng vốn từ vựng của mình ra ngoài các đạo hàm thông thường một chút. 23 -00:01:18,459 --> 00:01:19,580 -hàm thông thường một chút. - -24 00:01:20,160 --> 00:01:21,734 Và đừng lo lắng, chúng ta sẽ học cách đọc các -25 +24 00:01:21,734 --> 00:01:23,480 phương trình mà bạn đang thấy chỉ sau một phút nữa. +25 +00:01:24,540 --> 00:01:28,953 +Số bị chia của phương trình nhiệt xuất hiện trong nhiều phần khác của toán học và vật lý, + 26 -00:01:24,540 --> 00:01:28,709 -Cổ tức của phương trình nhiệt xuất hiện trong nhiều phần khác của toán học và vật lý, +00:01:28,953 --> 00:01:33,122 +như chuyển động Brown, phương trình Black-Scholes trong tài chính và tất cả các loại 27 -00:01:28,709 --> 00:01:32,830 -như chuyển động Brown, phương trình Black-Scholes trong tài chính và tất cả các loại +00:01:33,122 --> 00:01:37,340 +khuếch tán, do đó, có rất nhiều lợi ích từ sự hiểu biết sâu sắc về cách thiết lập này. 28 -00:01:32,830 --> 00:01:37,146 -khuếch tán, do đó, có rất nhiều cổ tức có được từ sự hiểu biết sâu sắc về cách thiết lập +00:01:38,240 --> 00:01:42,204 +Trong video trước, ta đã xét các cách xây dựng sự hiểu biết đồng thời thừa nhận 29 -00:01:37,146 --> 00:01:37,340 -này. +00:01:42,204 --> 00:01:46,120 +sự thật rằng hầu hết các phương trình vi phân đều quá khó để giải trên thực tế. 30 -00:01:38,240 --> 00:01:42,203 -Trong video trước, chúng ta đã xem xét các cách xây dựng sự hiểu biết đồng thời thừa - -31 -00:01:42,203 --> 00:01:46,120 -nhận sự thật rằng hầu hết các phương trình vi phân đều quá khó để giải trên thực tế. - -32 00:01:46,740 --> 00:01:49,823 Và thực sự, PDE có xu hướng thậm chí còn khó hơn ODE, -33 +31 00:01:49,823 --> 00:01:54,620 phần lớn là do chúng liên quan đến việc lập mô hình vô số giá trị thay đổi cùng lúc. -34 +32 00:01:55,100 --> 00:01:56,990 Nhưng nhân vật chính của chúng ta hôm nay là một -35 +33 00:01:56,990 --> 00:01:58,920 phương trình mà chúng ta thực sự có thể giải được. -36 +34 00:01:59,480 --> 00:02:02,416 Trên thực tế, nếu bạn đã từng nghe nói về chuỗi Fourier, -37 +35 00:02:02,416 --> 00:02:06,382 bạn có thể muốn biết rằng đây chính là bài toán vật lý mà Babyface Fourier ở -38 +36 00:02:06,382 --> 00:02:10,400 đây đang cố gắng giải khi anh ấy tình cờ gặp được một góc của toán học mà giờ -39 +37 00:02:10,400 --> 00:02:11,740 đây đã quá đầy tên anh ấy. -40 +38 00:02:12,440 --> 00:02:15,422 Chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn về chuỗi Fourier trong chương tiếp theo, -41 +39 00:02:15,422 --> 00:02:18,831 nhưng tôi muốn cung cấp cho bạn ít nhất một chút gợi ý về mối liên hệ tuyệt vời -42 +40 00:02:18,831 --> 00:02:19,300 sắp xảy ra. -43 +41 00:02:22,260 --> 00:02:26,507 Hoạt hình mà bạn đang nhìn thấy bây giờ cho thấy có bao nhiêu vectơ quay nhỏ, -44 +42 00:02:26,507 --> 00:02:30,700 mỗi vectơ quay với tần số nguyên không đổi, có thể vẽ ra một hình dạng tùy ý. -45 +43 00:02:31,860 --> 00:02:36,329 Để rõ ràng hơn, điều đang xảy ra là các vectơ này đang được cộng lại với nhau, -46 +44 00:02:36,329 --> 00:02:40,743 từ đầu đến cuối, tại mỗi thời điểm, và bạn có thể tưởng tượng rằng vectơ cuối -47 +45 00:02:40,743 --> 00:02:45,100 cùng có một loại bút chì nào đó ở đầu của nó, vạch ra một đường đi khi nó đi. -48 +46 00:02:45,880 --> 00:02:49,140 Đối với nhiều vectơ hữu hạn, đường vẽ này thường không phải là bản -49 +47 00:02:49,140 --> 00:02:52,645 sao hoàn hảo của hình dạng đích, mà trong hoạt ảnh này là chữ f thường, -50 +48 00:02:52,645 --> 00:02:55,760 nhưng bạn càng bao gồm nhiều vòng tròn thì nó càng gần nhau hơn. -51 +49 00:02:56,260 --> 00:02:59,367 Những gì bạn đang thấy bây giờ chỉ sử dụng 100 vòng tròn và tôi nghĩ -52 +50 00:02:59,367 --> 00:03:02,340 bạn sẽ đồng ý rằng độ lệch so với hình dạng thực là không đáng kể. -53 +51 00:03:03,400 --> 00:03:07,850 Điều đáng kinh ngạc là chỉ bằng cách điều chỉnh kích thước và góc ban đầu của mỗi vectơ, -54 +52 00:03:07,850 --> 00:03:11,500 bạn sẽ có đủ quyền kiểm soát để ước chừng bất kỳ đường cong nào bạn muốn. -55 +53 00:03:15,080 --> 00:03:17,743 Lúc đầu, điều này có vẻ giống như một sự tò mò vu vơ, -56 +54 00:03:17,743 --> 00:03:20,160 một dự án nghệ thuật gọn gàng, nhưng hơn thế nữa. -57 +55 00:03:20,800 --> 00:03:23,662 Trên thực tế, phép toán làm cho điều này trở nên khả thi cũng -58 +56 00:03:23,662 --> 00:03:26,340 giống như phép toán mô tả tính chất vật lý của dòng nhiệt. -59 +57 00:03:29,840 --> 00:03:31,620 -Nhưng chúng ta đang đi trước chính mình. +Nhưng ta đang đi trước vấn đề. -60 +58 00:03:32,020 --> 00:03:35,972 Bước 1 chỉ đơn giản là xây dựng phương trình nhiệt và để làm được điều đó, -61 +59 00:03:35,972 --> 00:03:39,820 hãy bắt đầu bằng cách làm rõ hàm chúng ta đang phân tích chính xác là gì. -62 -00:03:40,459 --> 00:03:45,264 +60 +00:03:40,460 --> 00:03:45,264 Chúng ta có một thanh trong một chiều, và chúng ta đang nghĩ nó nằm trên trục x, -63 +61 00:03:45,264 --> 00:03:49,120 vậy nên mỗi điểm của thanh được đánh dấu bằng một số duy nhất, x. -64 -00:03:51,140 --> 00:03:54,340 -Nhiệt độ là một hàm nào đó của vị trí đó, t theo x, +62 +00:03:51,140 --> 00:03:54,372 +Nhiệt độ là một hàm nào đó của vị trí đó, T theo x, -65 -00:03:54,340 --> 00:03:57,480 -được hiển thị ở đây dưới dạng biểu đồ phía trên nó. +63 +00:03:54,372 --> 00:03:57,480 +được hiển thị ở đây dưới dạng đồ thị phía trên nó. -66 +64 00:03:58,880 --> 00:04:01,438 Nhưng thực sự, vì giá trị thay đổi theo thời gian, -67 +65 00:04:01,438 --> 00:04:04,800 nên chúng ta nên coi hàm này có thêm một đầu vào, t, cho thời gian. -68 +66 00:04:05,540 --> 00:04:08,899 Nếu muốn, bạn có thể coi không gian đầu vào này là hai chiều, -69 +67 00:04:08,899 --> 00:04:13,668 biểu thị không gian và thời gian cùng nhau, với nhiệt độ được biểu thị dưới dạng một bề -70 +68 00:04:13,668 --> 00:04:18,328 mặt phía trên nó, mỗi lát cắt theo thời gian cho bạn biết sự phân bố đó trông như thế -71 +69 00:04:18,328 --> 00:04:19,899 nào tại bất kỳ thời điểm nào. -72 +70 00:04:22,680 --> 00:04:26,120 -Hoặc bạn có thể đơn giản nghĩ về biểu đồ nhiệt độ thay đổi theo thời gian. +Hoặc bạn có thể đơn giản nghĩ về đồ thị nhiệt độ thay đổi theo thời gian. -73 +71 00:04:26,500 --> 00:04:27,420 Cả hai đều tương đương. -74 -00:04:30,520 --> 00:04:34,040 +72 +00:04:30,520 --> 00:04:33,942 Bề mặt này không nên nhầm lẫn với cái tôi vừa trình bày trước đó, -75 -00:04:34,040 --> 00:04:36,120 -biểu đồ nhiệt độ của vật thể hai chiều. +73 +00:04:33,942 --> 00:04:36,120 +đồ thị nhiệt độ của một vật thể hai chiều. -76 +74 00:04:36,360 --> 00:04:39,523 Hãy lưu ý khi bạn nghiên cứu các phương trình như thế này về việc liệu thời -77 +75 00:04:39,523 --> 00:04:41,855 gian có được biểu thị bằng trục riêng của nó hay không, -78 +76 00:04:41,855 --> 00:04:44,852 hay nó được biểu thị bằng những thay đổi theo nghĩa đen theo thời gian, -79 +77 00:04:44,852 --> 00:04:46,060 chẳng hạn như trong ảnh động. -80 +78 00:04:47,080 --> 00:04:52,129 Chương trước, chúng ta đã xem xét một số hệ trong đó chỉ một số ít thay đổi theo thời -81 +79 00:04:52,129 --> 00:04:57,120 gian, như góc và vận tốc góc của con lắc, mô tả sự thay đổi đó theo ngôn ngữ đạo hàm. -82 -00:04:57,600 --> 00:05:00,913 +80 +00:04:57,600 --> 00:05:00,539 Nhưng khi chúng ta có toàn bộ hàm số thay đổi theo thời gian, -83 -00:05:00,913 --> 00:05:03,800 +81 +00:05:00,539 --> 00:05:03,100 các công cụ toán học sẽ trở nên phức tạp hơn một chút. -84 -00:05:03,800 --> 00:05:07,885 -Khi chúng ta đang nghĩ về hàm nhiệt độ này với nhiều chiều cho không gian đầu vào của nó, +82 +00:05:03,100 --> 00:05:07,478 +Khi chúng ta đang nghĩ về hàm nhiệt độ này với nhiều chiều với không gian đầu vào của nó, -85 -00:05:07,885 --> 00:05:11,381 +83 +00:05:07,478 --> 00:05:11,224 trong trường hợp này là một chiều cho không gian và một chiều cho thời gian, -86 -00:05:11,381 --> 00:05:13,560 +84 +00:05:11,224 --> 00:05:13,560 có nhiều tốc độ thay đổi khác nhau đang diễn ra. -87 +85 00:05:14,800 --> 00:05:20,500 Có đạo hàm theo x, nhiệt độ thay đổi nhanh như thế nào khi bạn di chuyển dọc theo thanh. -88 +86 00:05:21,000 --> 00:05:24,692 Bạn có thể coi đây là độ dốc của bề mặt của chúng ta khi bạn cắt -89 +87 00:05:24,692 --> 00:05:28,384 nó song song với trục x hoặc đưa ra một bước nhỏ theo hướng x và -90 +88 00:05:28,384 --> 00:05:32,360 sự thay đổi nhỏ về nhiệt độ do nó gây ra, đưa ra tỷ lệ giữa hai hướng. -91 +89 00:05:34,040 --> 00:05:37,973 Nhưng cũng có tốc độ mà một điểm trên thanh thay đổi theo thời gian, -92 +90 00:05:37,973 --> 00:05:42,306 cái mà bạn có thể nghĩ là độ dốc của bề mặt khi bạn cắt nó theo hướng khác, -93 +91 00:05:42,306 --> 00:05:43,960 song song với trục thời gian. -94 +92 00:05:44,580 --> 00:05:48,729 Mỗi đạo hàm này chỉ kể một phần câu chuyện về sự thay đổi của hàm nhiệt độ này, -95 +93 00:05:48,729 --> 00:05:50,960 vì vậy chúng ta gọi chúng là đạo hàm riêng. -96 +94 00:05:51,540 --> 00:05:54,576 Để nhấn mạnh điểm này, ký hiệu thay đổi một chút, -97 +95 00:05:54,576 --> 00:05:58,280 thay chữ D bằng chữ D xoăn đặc biệt, đôi khi được gọi là del. -98 +96 00:05:59,060 --> 00:06:02,336 Cá nhân tôi nghĩ sẽ hơi ngớ ngẩn khi thay đổi ký hiệu cho điều này, -99 +97 00:06:02,336 --> 00:06:04,120 vì về cơ bản nó là cùng một thao tác. -100 +98 00:06:04,680 --> 00:06:09,533 Tôi muốn thấy ký hiệu nhấn mạnh rằng các số hạng delT trong tử số đề cập đến những -101 +99 00:06:09,533 --> 00:06:14,387 thay đổi khác nhau, một là một sự thay đổi nhỏ về nhiệt độ sau một thay đổi nhỏ về -102 +100 00:06:14,387 --> 00:06:19,300 thời gian, hai là một sự thay đổi nhỏ về nhiệt độ sau một bước nhỏ trong không gian. -103 +101 00:06:22,200 --> 00:06:25,377 Để nhắc lại quan điểm mà tôi đã đưa ra trong loạt bài giải tích, -104 +102 00:06:25,377 --> 00:06:29,238 tôi thực sự nghĩ rằng ban đầu nên đọc đạo hàm như thế này dưới dạng tỷ lệ theo -105 +103 00:06:29,238 --> 00:06:33,100 nghĩa đen giữa một thay đổi nhỏ đối với đầu ra của hàm và thay đổi nhỏ đối với -106 +104 00:06:33,100 --> 00:06:33,980 đầu vào gây ra nó. -107 +105 00:06:34,400 --> 00:06:37,977 Chỉ cần lưu ý rằng ý nghĩa của ký hiệu này để mã hóa là giới hạn của tỷ -108 +106 00:06:37,977 --> 00:06:41,256 lệ đó đối với các chuyển động nhỏ hơn và nhỏ hơn đối với đầu vào, -109 +107 00:06:41,256 --> 00:06:45,380 chứ không phải là một giá trị cụ thể của tỷ lệ đối với một chuyển động nhỏ hữu hạn. -110 +108 00:06:45,620 --> 00:06:49,440 Điều này đúng với đạo hàm riêng cũng giống như đối với đạo hàm thông thường. -111 +109 00:06:52,980 --> 00:06:56,580 Phương trình nhiệt được viết theo các đạo hàm riêng này. -112 +110 00:06:57,080 --> 00:07:00,103 Nó cho chúng ta biết rằng cách hàm số này thay đổi theo -113 +111 00:07:00,103 --> 00:07:03,180 thời gian phụ thuộc vào cách nó thay đổi theo không gian. -114 +112 00:07:03,620 --> 00:07:08,720 Cụ thể hơn, nó tỉ lệ với đạo hàm riêng bậc hai theo x. +113 +00:07:09,380 --> 00:07:13,945 +Ở mức cao, trực quan cho thấy tại những điểm có đường cong phân bố nhiệt độ, + +114 +00:07:13,945 --> 00:07:17,680 +nó có xu hướng thay đổi nhanh hơn theo hướng của đường cong đó. + 115 -00:07:09,380 --> 00:07:14,023 -Ở mức độ cao, trực giác cho thấy tại những điểm có đường cong phân bố nhiệt độ, +00:07:18,260 --> 00:07:20,683 +Vì một quy tắc như thế này được viết bằng đạo hàm 116 -00:07:14,023 --> 00:07:17,680 -nó có xu hướng thay đổi nhanh hơn theo hướng của đường cong đó. +00:07:20,683 --> 00:07:23,300 +riêng nên ta gọi nó là phương trình vi phân từng phần. 117 -00:07:18,260 --> 00:07:20,825 -Vì một quy tắc như thế này được viết bằng đạo hàm riêng +00:07:24,000 --> 00:07:26,447 +Điều này có một kết quả buồn cười là đối với người ngoài, 118 -00:07:20,825 --> 00:07:23,300 -nên chúng ta gọi nó là phương trình vi phân từng phần. +00:07:26,447 --> 00:07:29,611 +cái tên này nghe giống như một phiên bản thuần hơn của các phương trình vi 119 -00:07:24,000 --> 00:07:26,415 -Điều này có một kết quả buồn cười là đối với người ngoài, +00:07:29,611 --> 00:07:32,776 +phân thông thường, trong khi ngược lại, các phương trình vi phân từng phần 120 -00:07:26,415 --> 00:07:29,579 -cái tên này nghe giống như một phiên bản thuần hóa hơn của các phương trình - -121 -00:07:29,579 --> 00:07:32,827 -vi phân thông thường, trong khi ngược lại, các phương trình vi phân từng phần - -122 -00:07:32,827 --> 00:07:35,908 +00:07:32,776 --> 00:07:35,898 có xu hướng kể một câu chuyện phong phú hơn nhiều so với ODE và nói chung -123 -00:07:35,908 --> 00:07:36,700 +121 +00:07:35,898 --> 00:07:36,700 khó giải hơn nhiều. -124 +122 00:07:37,340 --> 00:07:40,886 Phương trình nhiệt tổng quát áp dụng cho các vật thể ở bất kỳ số chiều nào, -125 +123 00:07:40,886 --> 00:07:44,246 điều đó có nghĩa là có nhiều đầu vào hơn cho hàm nhiệt độ của chúng ta, -126 +124 00:07:44,246 --> 00:07:47,560 nhưng chúng ta sẽ dễ dàng tập trung vào trường hợp một chiều của thanh. -127 +125 00:07:48,100 --> 00:07:50,943 Đúng như vậy, việc vẽ đồ thị này theo cách tạo ra trục riêng -128 +126 00:07:50,943 --> 00:07:53,740 của thời gian đã đẩy hình ảnh của chúng ta vào chiều thứ ba. -129 +127 00:07:55,320 --> 00:07:58,320 Vì vậy tôi đã loại bỏ phương trình này, nhưng nó đến từ đâu? -130 -00:07:58,560 --> 00:08:01,600 +128 +00:07:58,560 --> 00:08:00,580 Làm thế nào bạn có thể tự mình nghĩ ra một cái gì đó như thế này? -131 -00:08:01,800 --> 00:08:05,277 +129 +00:08:01,480 --> 00:08:05,116 Để làm được điều đó, hãy đơn giản hóa mọi thứ bằng cách mô tả một phiên bản -132 -00:08:05,277 --> 00:08:08,800 +130 +00:08:05,116 --> 00:08:08,800 riêng biệt của thiết lập, trong đó bạn chỉ có hữu hạn nhiều điểm x liên tiếp. -133 -00:08:09,320 --> 00:08:11,985 +131 +00:08:09,320 --> 00:08:12,101 Điều này giống như làm việc trong một vũ trụ có pixel, -134 -00:08:11,985 --> 00:08:16,300 -nơi thay vì có nhiệt độ liên tục, chúng ta có một tập hợp hữu hạn các giá trị riêng biệt. +132 +00:08:12,101 --> 00:08:16,300 +nơi thay vì có nhiệt độ liên tục, ta có một tập hợp hữu hạn các giá trị riêng biệt. -135 +133 00:08:17,060 --> 00:08:18,260 -Trực giác ở đây rất đơn giản. +Sự trực quan ở đây rất đơn giản. -136 +134 00:08:18,560 --> 00:08:21,764 Đối với một điểm cụ thể, nếu hai điểm lân cận của nó ở -137 +135 00:08:21,764 --> 00:08:25,260 hai bên trung bình nóng hơn điểm đó thì điểm đó sẽ nóng lên. -138 +136 00:08:26,020 --> 00:08:28,660 -Nếu chúng mát hơn ở mức trung bình thì nó sẽ nguội đi. +Nếu chúng lạnh hơn ở mức trung bình thì nó sẽ nguội đi. -139 +137 00:08:29,420 --> 00:08:33,420 Ở đây, đặc biệt tập trung vào ba điểm lân cận x1, -140 +138 00:08:33,420 --> 00:08:37,260 x2 và x3 với nhiệt độ tương ứng là T1, T2 và T3. -141 +139 00:08:37,530 --> 00:08:43,659 Thứ chúng ta muốn so sánh là giá trị trung bình của T1 và T3 với giá trị của T2. -142 +140 00:08:45,000 --> 00:08:49,457 Khi chênh lệch này lớn hơn 0 thì T2 sẽ nóng lên, -143 +141 00:08:49,457 --> 00:08:53,460 chênh lệch càng lớn thì nhiệt độ càng nhanh. -144 +142 00:08:55,860 --> 00:09:01,240 Tương tự, nếu nó âm, T2 sẽ hạ nhiệt với tốc độ tỷ lệ thuận với sự chênh lệch đó. -145 -00:09:02,940 --> 00:09:07,486 -Chính thức hơn, chúng ta viết rằng đạo hàm của T2 theo thời gian tỷ +143 +00:09:02,940 --> 00:09:07,422 +Theo cách chính thức hơn, ta viết rằng đạo hàm của T2 theo thời gian -146 -00:09:07,486 --> 00:09:12,100 -lệ thuận với chênh lệch giữa giá trị lân cận và giá trị của chính nó. +144 +00:09:07,422 --> 00:09:12,100 +tỷ lệ thuận với chênh lệch giữa giá trị lân cận và giá trị của chính nó. -147 +145 00:09:12,740 --> 00:09:15,380 Alpha ở đây đơn giản là một hằng số tỷ lệ. -148 +146 00:09:16,440 --> 00:09:19,999 Để viết điều này theo cách cuối cùng sẽ giải thích đạo hàm -149 +147 00:09:19,999 --> 00:09:23,619 bậc hai trong phương trình nhiệt, hãy để tôi sắp xếp lại vế -150 +148 00:09:23,619 --> 00:09:27,420 phải này một chút về hiệu giữa T1 và T2, và hiệu giữa T2 và T3. -151 +149 00:09:28,020 --> 00:09:30,000 -Bạn có thể nhanh chóng kiểm tra xem hai cái này có giống nhau không. +Bạn có thể kiểm tra nhanh xem hai hiệu này có giống nhau không. -152 +150 00:09:30,000 --> 00:09:36,828 Phía trên có một nửa T1, phía dưới có hai dấu trừ phía trước T1 là dương, -153 +151 00:09:36,828 --> 00:09:39,320 nửa còn lại đã được trừ đi. -154 +152 00:09:40,500 --> 00:09:43,000 Tương tự như vậy, cả hai đều có một nửa T3. -155 +153 00:09:44,600 --> 00:09:48,508 Sau đó, ở phía dưới, chúng ta có một T2 âm được viết hai lần, -156 +154 00:09:48,508 --> 00:09:53,300 vì vậy khi bạn lấy một nửa số đó, nó giống như một T2 âm được viết lên trên. +155 +00:09:55,440 --> 00:09:57,895 +Như tôi đã nói, lý do phải viết lại là vì nó đưa + +156 +00:09:57,895 --> 00:10:00,200 +ta tiến một bước gần hơn đến ngôn ngữ đao hàm. + 157 -00:09:55,440 --> 00:09:57,775 -Như tôi đã nói, lý do phải viết lại nó là vì nó đưa +00:10:01,220 --> 00:10:05,500 +Thật ra, hãy viết những cái này là delta T1 và delta T2. 158 -00:09:57,775 --> 00:10:00,200 -chúng ta tiến một bước gần hơn đến ngôn ngữ phái sinh. +00:10:05,900 --> 00:10:08,283 +Nó có cùng giá trị ở vế phải, nhưng chúng ta đang 159 -00:10:01,220 --> 00:10:05,500 -Thật ra, hãy viết những cái này là delta T1 và delta T2. +00:10:08,283 --> 00:10:10,620 +bổ sung thêm một góc nhìn mới về cách nghĩ về nó. 160 -00:10:05,900 --> 00:10:08,307 -Nó có cùng giá trị ở vế phải, nhưng chúng tôi đang +00:10:11,060 --> 00:10:13,873 +Thay vì so sánh mức trung bình của các lân cận với T2, 161 -00:10:08,307 --> 00:10:10,620 -bổ sung thêm một góc nhìn mới về cách nghĩ về nó. +00:10:13,873 --> 00:10:16,380 +chúng ta đang nghĩ về hiệu số của các chênh lệch. 162 -00:10:11,060 --> 00:10:13,897 -Thay vì so sánh mức trung bình của những người hàng xóm với T2, +00:10:17,140 --> 00:10:19,400 +Ở đây, hãy dành chút thời gian để kiểm tra xem điều này có hợp lý không. 163 -00:10:13,897 --> 00:10:16,380 -chúng tôi đang nghĩ về sự khác biệt của những khác biệt. +00:10:19,700 --> 00:10:23,700 +Nếu hai hiệu số đó bằng nhau thì trung bình của T1 164 -00:10:17,140 --> 00:10:19,400 -Ở đây, hãy dành chút thời gian để kiểm tra xem điều này có hợp lý không. +00:10:23,700 --> 00:10:27,700 +và T3 bằng T2 nên T2 sẽ không có xu hướng thay đổi. 165 -00:10:19,700 --> 00:10:23,662 -Nếu hai sự khác biệt đó bằng nhau thì trung bình của +00:10:28,340 --> 00:10:34,607 +Nếu delta T2 lớn hơn delta T1, nghĩa là hiệu số của các chênh lệch là dương, 166 -00:10:23,662 --> 00:10:27,700 -T1 và T3 bằng T2 nên T2 sẽ không có xu hướng thay đổi. +00:10:34,607 --> 00:10:41,120 +chú ý trung bình của T1 và T3 lớn hơn T2 như thế nào, do đó T2 có xu hướng tăng. 167 -00:10:28,339 --> 00:10:34,393 -Nếu delta T2 lớn hơn delta T1, nghĩa là chênh lệch chênh lệch là dương, +00:10:42,540 --> 00:10:49,166 +Và mặt khác, nếu hiệu số của các chênh lệch là âm, có nghĩa là delta T2 nhỏ hơn delta T1, 168 -00:10:34,393 --> 00:10:41,120 -chú ý trung bình của T1 và T3 lớn hơn T2 như thế nào, do đó T2 có xu hướng tăng. +00:10:49,166 --> 00:10:54,100 +thì nó tương ứng với mức trung bình của các lân cận này nhỏ hơn T2. 169 -00:10:42,540 --> 00:10:46,417 -Và mặt khác, nếu sự khác biệt của sự khác biệt là âm, +00:10:54,560 --> 00:10:59,654 +Chúng ta có thể đặc biệt thu gọn bằng ký hiệu của mình và viết toàn bộ số hạng này, 170 -00:10:46,417 --> 00:10:52,089 -có nghĩa là delta T2 nhỏ hơn delta T1, thì nó tương ứng với mức trung bình của +00:10:59,654 --> 00:11:02,020 +hiệu giữa các hiệu, như delta delta T1. 171 -00:10:52,089 --> 00:10:54,100 -các hàng xóm này nhỏ hơn T2. +00:11:03,020 --> 00:11:05,280 +Điều này được biết với biệt ngữ như một sự chênh lệch thứ hai. 172 -00:10:54,560 --> 00:10:59,654 -Chúng ta có thể đặc biệt thu gọn bằng ký hiệu của mình và viết toàn bộ số hạng này, +00:11:05,880 --> 00:11:08,707 +Nếu bạn cảm thấy hơi kỳ lạ khi nghĩ đến, hãy nhớ rằng, về cơ bản, 173 -00:10:59,654 --> 00:11:02,020 -hiệu giữa các hiệu, như delta delta T1. +00:11:08,707 --> 00:11:12,220 +đó là một cách viết ngắn gọn về ý tưởng về mức chênh lệch của T2 so với mức trung 174 -00:11:03,020 --> 00:11:05,280 -Điều này được biết đến trong biệt ngữ như một sự khác biệt thứ hai. +00:11:12,220 --> 00:11:13,120 +bình của các lân cận. 175 -00:11:05,880 --> 00:11:08,549 -Nếu bạn cảm thấy hơi kỳ lạ khi nghĩ đến, hãy nhớ rằng, về cơ bản, +00:11:13,680 --> 00:11:15,960 +Nó chỉ dư một phần hai. 176 -00:11:08,549 --> 00:11:12,149 -đó là một cách viết ngắn gọn về ý tưởng về mức độ khác biệt của T2 so với mức trung bình +00:11:16,560 --> 00:11:19,040 +Và phần dư đó không thực sự quan trọng, bởi vì dù thế nào đi nữa 177 -00:11:12,149 --> 00:11:13,120 -của các nước láng giềng. +00:11:19,040 --> 00:11:21,520 +ta cũng đang viết phương trình này theo một hằng số tỷ lệ nào đó. 178 -00:11:13,680 --> 00:11:15,960 -Nó chỉ có thừa một nửa thôi. +00:11:22,080 --> 00:11:25,109 +Kết quả cuối cùng là tốc độ thay đổi nhiệt độ của 179 -00:11:16,560 --> 00:11:18,911 -Và yếu tố đó không thực sự quan trọng, bởi vì dù thế nào đi nữa +00:11:25,109 --> 00:11:28,260 +một điểm tỷ lệ thuận với hiệu thứ hai xung quanh nó. 180 -00:11:18,911 --> 00:11:21,520 -chúng ta cũng đang viết phương trình này theo một hằng số tỷ lệ nào đó. +00:11:29,120 --> 00:11:33,094 +Khi chúng ta đi từ bối cảnh hữu hạn này đến trường hợp liên tục vô hạn, 181 -00:11:22,080 --> 00:11:25,109 -Kết quả cuối cùng là tốc độ thay đổi nhiệt độ của +00:11:33,094 --> 00:11:36,020 +dạng tương tự của hiệu số thứ hai là đạo hàm bậc hai. 182 -00:11:25,109 --> 00:11:28,260 -một điểm tỷ lệ thuận với hiệu thứ hai xung quanh nó. +00:11:38,580 --> 00:11:43,174 +Thay vì xét sự chênh lệch giữa các giá trị nhiệt độ tại các điểm cách nhau một khoảng cố 183 -00:11:29,120 --> 00:11:33,062 -Khi chúng ta đi từ bối cảnh hữu hạn này đến trường hợp liên tục vô hạn, +00:11:43,174 --> 00:11:47,820 +định, thay vào đó, bạn phải xét điều gì sẽ xảy ra khi thu nhỏ kích thước của bước đó về 0. 184 -00:11:33,062 --> 00:11:36,020 -dạng tương tự của sai phân thứ hai là đạo hàm bậc hai. +00:11:48,380 --> 00:11:51,352 +Và trong giải tích, thay vì nói về hiệu số tuyệt đối, 185 -00:11:38,580 --> 00:11:41,660 -Thay vì xem xét sự khác biệt giữa các giá trị nhiệt độ tại các +00:11:51,352 --> 00:11:55,260 +nó cũng sẽ tiến tới 0 khi bạn nghĩ về thuật ngữ của sự thay đổi tốc độ. 186 -00:11:41,660 --> 00:11:44,006 -điểm cách nhau một khoảng cố định, thay vào đó, - -187 -00:11:44,006 --> 00:11:47,820 -bạn hãy xem xét điều gì sẽ xảy ra khi bạn thu nhỏ kích thước của bước đó về 0. - -188 -00:11:48,380 --> 00:11:52,173 -Và trong phép tính, thay vì nói về sự khác biệt tuyệt đối, - -189 -00:11:52,173 --> 00:11:55,260 -cũng sẽ tiến tới 0, bạn nghĩ về tốc độ thay đổi. - -190 00:11:55,800 --> 00:11:59,420 Trong trường hợp này, tốc độ thay đổi nhiệt độ trên một đơn vị khoảng cách là bao nhiêu? -191 +187 00:12:00,140 --> 00:12:02,540 Và hãy nhớ rằng có hai tỷ lệ thay đổi riêng biệt đang diễn ra. -192 +188 00:12:02,860 --> 00:12:05,530 Nhiệt độ đó thay đổi như thế nào theo thời gian và nhiệt -193 +189 00:12:05,530 --> 00:12:08,200 độ thay đổi như thế nào khi bạn di chuyển dọc theo thanh? -194 -00:12:08,960 --> 00:12:12,182 -Trực giác cốt lõi vẫn giống như những gì chúng ta có trong trường hợp rời rạc, +190 +00:12:08,960 --> 00:12:11,942 +Sự trực quan cốt lõi tương tự như khi ta có trong trường hợp riêng lẻ, -195 -00:12:12,182 --> 00:12:14,752 +191 +00:12:11,942 --> 00:12:14,588 để biết một điểm khác với các điểm lân cận của nó như thế nào, -196 -00:12:14,752 --> 00:12:17,567 -không chỉ nhìn vào cách hàm thay đổi từ điểm này sang điểm tiếp theo +192 +00:12:14,588 --> 00:12:18,327 +không chỉ nhìn vào cách hàm thay đổi từ điểm này sang điểm tiếp theo mà còn nhìn vào tốc -197 -00:12:17,567 --> 00:12:20,260 -mà còn nhìn vào tốc độ thay đổi của chính nó thay đổi như thế nào. +193 +00:12:18,327 --> 00:12:20,260 +độ thay đổi của chính nó thay đổi như thế nào. -198 +194 00:12:22,760 --> 00:12:27,100 Bây giờ trong phần tính toán, chúng ta viết cái này dưới dạng del bình phương t -199 +195 00:12:27,100 --> 00:12:31,440 trên del x bình phương, đạo hàm riêng cấp hai của hàm số của chúng ta đối với x. -200 +196 00:12:32,180 --> 00:12:36,522 Lưu ý độ dốc này tăng như thế nào tại các điểm mà đồ thị cong lên trên, -201 +197 00:12:36,522 --> 00:12:39,780 nghĩa là tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi là dương. -202 +198 00:12:40,580 --> 00:12:44,764 Tương tự, độ dốc đó giảm tại các điểm mà đồ thị cong xuống, -203 +199 00:12:44,764 --> 00:12:48,460 tại đó tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi này là âm. -204 +200 00:12:49,720 --> 00:12:53,420 -Hãy coi đó như một trực giác có ý nghĩa cho các vấn đề nằm ngoài phương trình nhiệt. +Coi đó như một trực quan có ý nghĩa với các vấn đề nằm ngoài phương trình nhiệt. -205 +201 00:12:53,880 --> 00:12:56,079 Đạo hàm bậc hai đưa ra thước đo về mức độ so sánh một -206 +202 00:12:56,079 --> 00:12:58,320 giá trị với giá trị trung bình của các giá trị lân cận. -207 +203 00:12:59,380 --> 00:13:02,440 -Hy vọng rằng điều đó mang lại một số màu sắc bổ sung thỏa mãn cho phương trình. +Hy vọng rằng điều đó làm phương trình có thêm màu sắc thỏa mái hơn. -208 -00:13:02,920 --> 00:13:06,566 -Nó đã khá trực quan khi bạn đọc nó nói rằng các điểm cong có xu hướng phẳng ra, +204 +00:13:02,920 --> 00:13:06,648 +Nó đã khá trực quan khi bạn thấy nó nói rằng các điểm cong có xu hướng phẳng ra, -209 -00:13:06,566 --> 00:13:10,213 +205 +00:13:06,648 --> 00:13:10,330 nhưng tôi nghĩ còn có điều gì đó thỏa mãn hơn khi thấy một phương trình vi phân -210 -00:13:10,213 --> 00:13:13,815 +206 +00:13:10,330 --> 00:13:13,966 từng phần như thế này xuất hiện gần như một cách máy móc khi nghĩ về từng điểm -211 -00:13:13,815 --> 00:13:17,280 -đơn giản là có xu hướng hướng tới giá trị trung bình của nó. người hàng xóm. +207 +00:13:13,966 --> 00:13:17,280 +đơn giản là có xu hướng hướng tới giá trị trung bình các lân cận của nó. -212 -00:13:18,900 --> 00:13:20,894 -Hãy dành một chút thời gian để so sánh cảm giác này +208 +00:13:18,900 --> 00:13:20,886 +Dành chút thời gian để so sánh cảm giác này với -213 -00:13:20,894 --> 00:13:23,080 -với trường hợp của các phương trình vi phân thông thường. +209 +00:13:20,886 --> 00:13:23,080 +trường hợp của các phương trình vi phân thông thường. -214 -00:13:23,540 --> 00:13:27,656 -Ví dụ: nếu chúng ta có nhiều vật thể trong không gian hút nhau bằng lực hấp dẫn, +210 +00:13:23,540 --> 00:13:27,471 +Ví dụ: nếu ta có nhiều vật thể trong không gian hút nhau bằng lực hấp dẫn, -215 -00:13:27,656 --> 00:13:31,060 +211 +00:13:27,471 --> 00:13:30,983 thì điều chúng ta đang phân tích là một số ít các con số thay đổi, -216 -00:13:31,060 --> 00:13:33,500 +212 +00:13:30,983 --> 00:13:33,500 trong trường hợp này là tọa độ của từng vật thể. -217 +213 00:13:34,100 --> 00:13:37,887 Tốc độ thay đổi của bất kỳ giá trị nào trong số này phụ thuộc vào giá trị -218 +214 00:13:37,887 --> 00:13:41,880 của các số khác và chúng ta thường viết giá trị này dưới dạng hệ phương trình. -219 +215 00:13:41,880 --> 00:13:45,488 Ở bên trái, chúng ta có đạo hàm của từng giá trị theo thời -220 +216 00:13:45,488 --> 00:13:49,220 gian và ở bên phải là sự kết hợp của tất cả các giá trị khác. -221 -00:13:50,780 --> 00:13:53,506 +217 +00:13:50,780 --> 00:13:53,514 Trong phương trình vi phân từng phần của chúng ta, -222 -00:13:53,506 --> 00:13:57,621 +218 +00:13:53,514 --> 00:13:57,642 sự khác biệt là chúng ta có vô số giá trị thay đổi liên tục, và một lần nữa, -223 -00:13:57,621 --> 00:14:02,165 +219 +00:13:57,642 --> 00:14:02,199 cách mà bất kỳ giá trị nào trong số này thay đổi đều phụ thuộc vào các giá trị khác, -224 -00:14:02,165 --> 00:14:06,281 +220 +00:14:02,199 --> 00:14:06,327 nhưng khá hữu ích, mỗi giá trị chỉ phụ thuộc vào các giá trị lân cận của nó. -225 -00:14:06,281 --> 00:14:08,740 -theo một nghĩa hạn chế nào đó của từ hàng xóm. +221 +00:14:06,327 --> 00:14:08,740 +theo một nghĩa hạn chế nào đó của từ lân cận. -226 +222 00:14:09,300 --> 00:14:14,267 Vì vậy, ở đây, hệ thức ở vế phải không phải là tổng hay tích của các số khác, -227 +223 00:14:14,267 --> 00:14:20,000 thay vào đó nó là một loại đạo hàm, chỉ là đạo hàm theo không gian thay vì theo thời gian. -228 +224 00:14:20,880 --> 00:14:25,161 Theo một nghĩa nào đó, khi bạn nghĩ về nó, phương trình vi phân từng phần này giống -229 +225 00:14:25,161 --> 00:14:29,240 như một hệ gồm vô số phương trình, mỗi phương trình ứng với một điểm trên thanh. -230 +226 00:14:31,840 --> 00:14:34,683 Bạn có thể thắc mắc về những vật thể trải rộng ra nhiều chiều, -231 +227 00:14:34,683 --> 00:14:36,940 chẳng hạn như một cái đĩa hoặc thứ gì đó ba chiều. -232 +228 00:14:36,940 --> 00:14:40,117 Trong trường hợp đó, phương trình trông khá giống nhau, -233 +229 00:14:40,117 --> 00:14:44,260 nhưng bạn cũng bao gồm đạo hàm bậc hai đối với các hướng không gian khác. -234 +230 00:14:45,660 --> 00:14:48,947 Và việc cộng tất cả các đạo hàm không gian thứ hai như thế này -235 +231 00:14:48,947 --> 00:14:52,026 đủ phổ biến như một phép toán mà nó có tên đặc biệt riêng, -236 +232 00:14:52,026 --> 00:14:55,680 Laplacian, thường được viết là bình phương của tam giác lộn ngược này. -237 -00:14:56,380 --> 00:14:59,667 -Về cơ bản, nó là một phiên bản đa biến của đạo hàm bậc hai và +233 +00:14:56,380 --> 00:14:59,748 +Về cơ bản, nó là một phiên bản đa biến của đạo hàm bậc hai và sự -238 -00:14:59,667 --> 00:15:03,220 -trực giác của phương trình này không khác với trường hợp một chiều. +234 +00:14:59,748 --> 00:15:03,220 +trực quan của phương trình này không khác với trường hợp một chiều. -239 +235 00:15:03,640 --> 00:15:06,171 Laplacian này vẫn có thể được coi là phép đo mức độ khác -240 +236 00:15:06,171 --> 00:15:08,880 biệt của một điểm so với mức trung bình của các điểm lân cận. -241 -00:15:09,540 --> 00:15:12,578 -Nhưng bây giờ, những người hàng xóm này không chỉ ở bên trái và bên phải, - -242 -00:15:12,578 --> 00:15:13,400 -họ còn ở xung quanh. +237 +00:15:09,540 --> 00:15:13,400 +Nhưng bây giờ, các lân cận này không chỉ ở bên trái và bên phải, họ còn ở xung quanh. -243 -00:15:15,480 --> 00:15:18,041 -Đối với những ai tò mò, tôi đã thực hiện một số video trong thời gian +238 +00:15:15,480 --> 00:15:18,038 +Với những ai tò mò, tôi đã làm một số video trong thời gian -244 -00:15:18,041 --> 00:15:20,640 -làm việc tại Học viện Khan về nhà điều hành này nếu bạn muốn xem chúng. +239 +00:15:18,038 --> 00:15:20,640 +ở Học viện Khan về phép toán này nếu bạn muốn kiểm tra chúng. -245 +240 00:15:20,960 --> 00:15:23,615 -Đối với những người đã thành thạo phép tính đa biến, +Đối với những người đã thành thạo giải tích đa biến, -246 +241 00:15:23,615 --> 00:15:26,020 thật tuyệt khi coi đây là sự phân kỳ của độ dốc. -247 +242 00:15:26,700 --> 00:15:28,941 Nhưng bạn không phải lo lắng về điều đó, vì mục đích -248 +243 00:15:28,941 --> 00:15:31,140 của chúng ta hãy tập trung vào trường hợp một chiều. -249 +244 00:15:31,660 --> 00:15:35,220 Nếu bạn cảm thấy mình hiểu tất cả những điều này, hãy vỗ nhẹ vào lưng mình. -250 +245 00:15:35,680 --> 00:15:39,075 Khả năng đọc PDE không phải là chuyện đùa và đó là một sự bổ -251 +246 00:15:39,075 --> 00:15:42,360 sung hữu ích cho vốn từ vựng mô tả thế giới xung quanh bạn. -252 +247 00:15:43,040 --> 00:15:45,904 Nhưng sau ngần ấy thời gian giải thích các phương trình, -253 +248 00:15:45,904 --> 00:15:49,120 tôi nói rằng đã đến lúc chúng ta bắt đầu giải chúng, phải không? -254 +249 00:15:49,560 --> 00:15:52,623 Và tin tôi đi, hiếm có bài toán nào có thể khiến bạn thỏa mãn như -255 +250 00:15:52,623 --> 00:15:55,920 những gì Poodlehaired Fourier ở đây đã phát triển để giải bài toán này. -256 +251 00:15:56,560 --> 00:15:58,500 Tất cả điều này và nhiều hơn nữa trong chương tiếp theo. -257 -00:16:04,699 --> 00:16:07,856 +252 +00:16:04,700 --> 00:16:07,856 Ban đầu tôi có động lực đề cập đến chủ đề cụ thể này khi tôi có cái -258 +253 00:16:07,856 --> 00:16:10,920 -nhìn đầu tiên về cuốn sách mới Sức mạnh vô hạn của Steve Strogatz. +nhìn đầu tiên về cuốn sách mới Lũy thừa vô cực của Steve Strogatz. -259 +254 00:16:11,520 --> 00:16:14,515 Đây không phải là một tin nhắn được tài trợ hay bất cứ thứ gì tương tự, -260 +255 00:16:14,515 --> 00:16:18,260 nhưng tất cả các lá bài trên bàn tôi đều có hai động cơ thầm kín ích kỷ khi đề cập đến nó. -261 +256 00:16:18,680 --> 00:16:21,140 Đầu tiên là Steve đã là một người ủng hộ thực sự mạnh mẽ, -262 +257 00:16:21,140 --> 00:16:23,940 thậm chí có thể là người chủ chốt cho kênh ngay từ những ngày đầu -263 +258 00:16:23,940 --> 00:16:27,080 thành lập và tôi rất muốn đền đáp lòng tốt đó trong một thời gian khá lâu. -264 +259 00:16:27,520 --> 00:16:31,400 Và thứ hai là làm cho nhiều người yêu thích môn toán, đặc biệt là môn giải tích. -265 +260 00:16:32,060 --> 00:16:34,105 Điều đó nghe có vẻ không ích kỷ nhưng hãy nghĩ mà xem, -266 +261 00:16:34,105 --> 00:16:36,895 khi có nhiều người yêu thích toán học hơn thì lượng khán giả tiềm năng cho -267 +262 00:16:36,895 --> 00:16:37,900 những video này sẽ lớn hơn. -268 +263 00:16:38,380 --> 00:16:40,795 Và thành thật mà nói, có rất ít cách tốt hơn để khiến mọi người yêu -269 +264 00:16:40,795 --> 00:16:43,140 thích chủ đề này hơn là cho họ tiếp xúc với bài viết của Strogatz. -270 +265 00:16:43,860 --> 00:16:46,755 Vì vậy, nếu bạn có những người bạn mà bạn biết là người mà bạn nghĩ -271 +266 00:16:46,755 --> 00:16:49,990 -sẽ thích những ý tưởng về phép tính nhưng có thể trước đây hơi sợ môn toán, +sẽ thích những ý tưởng về giải tích nhưng có thể trước đây hơi sợ môn toán, -272 +267 00:16:49,990 --> 00:16:52,800 thì cuốn sách này đã thực hiện một công việc thực sự xuất sắc khi -273 +268 00:16:52,800 --> 00:16:55,440 truyền đạt trọng tâm của chủ đề một cách thực chất và quá mức. -274 +269 00:16:55,440 --> 00:16:58,510 Chủ đề chính của nó là ý tưởng xây dựng giải pháp cho các vấn đề -275 +270 00:16:58,510 --> 00:17:02,196 phức tạp trong thế giới thực từ các khối xây dựng được lý tưởng hóa đơn giản, -276 +271 00:17:02,196 --> 00:17:04,700 như bạn sẽ thấy chính xác là những gì Fourier đã làm. -277 +272 00:17:05,440 --> 00:17:07,706 Và đối với những người đã biết và yêu thích chủ đề này, -278 +273 00:17:07,706 --> 00:17:10,619 bạn sẽ không thiếu những hiểu biết mới mẻ và những câu chuyện khai sáng. -279 -00:17:10,819 --> 00:17:13,140 +274 +00:17:10,819 --> 00:17:12,060 Tôi chắc chắn rất thích nó. -280 -00:17:13,140 --> 00:17:14,800 +275 +00:17:12,500 --> 00:17:14,550 Một lần nữa, tôi biết điều đó nghe có vẻ giống một quảng cáo, -281 -00:17:14,800 --> 00:17:16,460 +276 +00:17:14,550 --> 00:17:16,599 nhưng không phải vậy, tôi chỉ nghĩ bạn sẽ thích cuốn sách này. -282 -00:17:16,460 --> 00:17:16,599 +277 +00:17:16,599 --> 00:17:16,599 Cảm ơn. diff --git a/2020/better-bayes/french/auto_generated.srt b/2020/better-bayes/french/auto_generated.srt index ec359d222..eeb8744bd 100644 --- a/2020/better-bayes/french/auto_generated.srt +++ b/2020/better-bayes/french/auto_generated.srt @@ -651,826 +651,818 @@ Prenez donc un moment pour vérifier que vous avez bien compris en imaginant une population. 164 -00:09:16,700 --> 00:09:19,076 -Vous pourriez imaginer 10000 patients, parmi lesquels +00:09:16,700 --> 00:09:20,880 +Imaginez 10000 patients, parmi lesquels 10 sont atteints d’un cancer. 165 -00:09:19,076 --> 00:09:20,880 -10 d’entre eux sont atteints d’un cancer. - -166 00:09:22,140 --> 00:09:25,020 Et, en partant sur une sensibilité de 90 %, on s’attend à ce que sur -167 +166 00:09:25,020 --> 00:09:27,900 les 10 cas de cancer, 9 résultats de tests soient des vrais positifs. -168 +167 00:09:29,000 --> 00:09:32,407 D’un autre côté, une spécificité de 91 % signifie que 9 % des -169 +168 00:09:32,407 --> 00:09:35,760 personnes sans cancer obtiennent des résultats faux positifs. -170 +169 00:09:36,660 --> 00:09:39,142 On s’attend donc à ce que 9 % des patients restants, -171 +170 00:09:39,142 --> 00:09:41,860 soit environ 900, aient des résultats faussement positifs. -172 +171 00:09:42,700 --> 00:09:45,314 Ici, avec une prévalence aussi faible, les faux -173 +172 00:09:45,314 --> 00:09:47,820 positifs dominent vraiment les vrais positifs. -174 +173 00:09:47,900 --> 00:09:52,128 Donc, la probabilité qu’un cas positif choisi au hasard dans cette population soit -175 +174 00:09:52,128 --> 00:09:54,982 réellement atteint d’un cancer n’est que d’environ 1 %, -176 +175 00:09:54,982 --> 00:09:57,020 tout comme le prédisait l’approximation. -177 -00:09:58,700 --> 00:10:00,378 -Or, cette approximation ne fonctionne clairement - -178 -00:10:00,378 --> 00:10:01,920 -pas pour des valeurs d’a priori plus élevées. +176 +00:09:58,700 --> 00:10:01,920 +Mais cette approximation ne fonctionne clairement pas pour des a priori plus élevés. -179 +177 00:10:02,420 --> 00:10:05,082 Par exemple, elle prédirait qu'un a priori de -180 +178 00:10:05,082 --> 00:10:07,860 10 % serait mis à jour vers une valeur de 100 %. -181 +179 00:10:08,360 --> 00:10:09,320 Mais ça n’a pas de sens. -182 +180 00:10:10,020 --> 00:10:12,776 Prenons un moment pour réfléchir à ce que devrait être la vraie valeur, -183 +181 00:10:12,776 --> 00:10:14,500 en utilisant toujours une population fictive. -184 +182 00:10:15,060 --> 00:10:17,860 Cette fois, imaginons que 10 personnes sur 100 ont un cancer. -185 +183 00:10:18,540 --> 00:10:20,906 De nouveau, en prenant une sensibilité de 90 % du test, -186 +184 00:10:20,906 --> 00:10:24,117 nous nous attendons à ce que 9 des véritables cas de cancer fournissent des -187 +185 00:10:24,117 --> 00:10:24,920 résultats positifs. -188 +186 00:10:24,920 --> 00:10:26,600 Mais concernant les faux positifs, -189 +187 00:10:26,980 --> 00:10:28,100 Combien va-t-on en trouver ? -190 +188 00:10:29,880 --> 00:10:32,620 Environ 9 % des 90 restants, soit environ 8. -191 +189 00:10:33,820 --> 00:10:36,618 Donc, quand vous voyez un résultat de test positif, -192 +190 00:10:36,618 --> 00:10:41,140 vous avez devant vous soit l'un des 9 vrais positifs, soit l'un des 8 faux positifs. -193 +191 00:10:41,860 --> 00:10:46,920 On a donc un peu plus d’une chance sur deux. 9 sur 17, soit à peu près 53 %. -194 +192 00:10:48,020 --> 00:10:51,368 À ce stade, tout espoir que cette mise à jour bayésienne puisse -195 +193 00:10:51,368 --> 00:10:54,246 être aussi simple qu’une multiplication à l’air perdu, -196 +194 00:10:54,246 --> 00:10:57,700 et on se dit que parfois ce n’est pas aussi simple qu’on aimerait. -197 +195 00:10:59,920 --> 00:11:01,120 Sauf que ce n'est pas le cas ! -198 +196 00:11:01,620 --> 00:11:05,342 Cette approximation peut devenir exacte, à condition que -199 +197 00:11:05,342 --> 00:11:09,000 l’on ne considère plus des probabilités, mais des cotes. -200 +198 00:11:10,320 --> 00:11:13,374 Si vous avez déjà entendu quelqu'un dire quelque chose comme : -201 +199 00:11:13,374 --> 00:11:17,060 « 1 pour 1 », ou « à 2 contre 1 », vous savez déjà ce que c’est qu’une cote. -202 +200 00:11:17,060 --> 00:11:20,060 Pour une probabilité, on prend le rapport entre -203 +201 00:11:20,060 --> 00:11:23,060 le nombre de cas positifs et l’ensemble des cas. -204 +202 00:11:23,400 --> 00:11:25,280 Par exemple 1 sur 5, ou 1 sur 10. -205 +203 00:11:25,880 --> 00:11:30,320 Avec les cotes, on fait le rapport entre tous les cas positifs et tous les cas négatifs. -206 +204 00:11:31,540 --> 00:11:34,161 Généralement, on note les cotes en utilisant deux points pour les -207 +205 00:11:34,161 --> 00:11:37,060 distinguer d’une probabilité, mais ça reste bien une fraction, un nombre. -208 +206 00:11:37,940 --> 00:11:42,706 Du coup, un événement avec une probabilité de 50 % a une cote de 1 pour 1, -209 +207 00:11:42,706 --> 00:11:46,329 une probabilité de 10 % équivaut à une cote de 1 pour 9, -210 +208 00:11:46,329 --> 00:11:50,460 une probabilité de 80 %, une cote de 4 pour 1. Vous voyez l’idée. -211 +209 00:11:51,480 --> 00:11:54,711 C'est la même information : on décrit toujours les chances qu'un -212 +210 00:11:54,711 --> 00:11:58,340 événement aléatoire se produise, mais avec une échelle un peu différente. -213 +211 00:11:59,320 --> 00:12:01,354 Une probabilité est un nombre entre 0 et 1. On a -214 +212 00:12:01,354 --> 00:12:03,680 autant de chances d’avoir un résultat que l’autre à 0,5. -215 +213 00:12:04,800 --> 00:12:09,540 Mais une cote va de 0 à l’infini, et un partage équitable des chances se situe alors à 1. -216 +214 00:12:11,880 --> 00:12:15,316 Ce qui est beau ici, c’est que cette description du théorème -217 +215 00:12:15,316 --> 00:12:19,430 de Bayes est tout à fait exacte : écrivez votre a priori comme une cote, -218 +216 00:12:19,430 --> 00:12:22,360 et multipliez le simplement par le facteur de Bayes. -219 +217 00:12:23,440 --> 00:12:25,220 Réfléchissez à ce que veut vraiment dire une cote a priori. -220 +218 00:12:25,580 --> 00:12:29,260 C'est le nombre de personnes malades divisé par le nombre de personnes saines. -221 +219 00:12:29,700 --> 00:12:33,360 Mettons-le sous forme de fraction pour pouvoir le multiplier. -222 +220 00:12:33,360 --> 00:12:36,236 Si on ne regarde que les personnes ayant un test positif, -223 +221 00:12:36,236 --> 00:12:39,757 l’ensemble de celles qui ont un cancer a diminué par rapport au groupe -224 +222 00:12:39,757 --> 00:12:43,428 initial d’un facteur égal à la probabilité d’obtenir un test positif pour -225 +223 00:12:43,428 --> 00:12:44,420 une personne malade. -226 +224 00:12:45,120 --> 00:12:48,551 De la même manière, l’ensemble des personnes saines a également diminué, -227 +225 00:12:48,551 --> 00:12:52,640 mais cette fois par un facteur égal à la probabilité qu’une personne saine obtienne un -228 +226 00:12:52,640 --> 00:12:53,440 résultat positif. -229 +227 00:12:54,180 --> 00:12:58,658 Le rapport des effectifs de ces groupes, qui est la nouvelle cote a posteriori, -230 +228 00:12:58,658 --> 00:13:02,520 a la même forme que la cote pre-tests, mais multipliée par ce terme, -231 +229 00:13:02,520 --> 00:13:04,760 qui est précisément le facteur de Bayes. -232 +230 00:13:07,800 --> 00:13:10,500 Reprenons notre exemple, où le facteur de Bayes était de 10. -233 +231 00:13:11,000 --> 00:13:13,804 Qu’on peut calculer, pour rappel, comme le rapport d’une -234 +232 00:13:13,804 --> 00:13:16,560 sensibilité de 90 % sur un taux de faux positifs de 9 %. -235 +233 00:13:16,880 --> 00:13:18,731 Quand est-ce plus probable d’avoir un résultat -236 +234 00:13:18,731 --> 00:13:20,740 positif pour une personne malade plutôt que saine ? -237 +235 00:13:21,720 --> 00:13:25,940 Si l'a priori est de 1 %, ça nous donne une cote de 1 pour 99. -238 +236 00:13:26,900 --> 00:13:30,420 Donc, d’après notre règle, la cote est mise à jour à 10 pour 99. -239 +237 00:13:30,420 --> 00:13:33,400 Et vous pouvez la reconvertir en probabilité au besoin. -240 +238 00:13:33,660 --> 00:13:37,220 Ça nous donnerait 10 divisé par 10 plus 99, soit environ 1 sur 11. -241 +239 00:13:38,200 --> 00:13:42,009 Si l'a priori était plutôt de 10 %, comme dans l’exemple qui faisait -242 +240 00:13:42,009 --> 00:13:46,260 dérailler notre approximation tout à l’heure, on aurait une cote de 1 pour 9. -243 +241 00:13:46,940 --> 00:13:49,467 D’après notre règle, cette cote passe à 10 pour 9, -244 +242 00:13:49,467 --> 00:13:52,440 que vous pouvez déjà interpréter de manière assez intuitive. -245 +243 00:13:52,440 --> 00:13:55,660 C'est un peu au-dessus d’un partage équitable des chances, un peu au-dessus de 1 pour 1. -246 +244 00:13:56,340 --> 00:13:58,840 Si vous préférez, on peut reconvertir cette cote en probabilité. -247 +245 00:13:59,180 --> 00:14:03,280 Ça nous donnerait 10 sur 19, soit environ 53 %. -248 +246 00:14:03,280 --> 00:14:05,314 Et c’est d’ailleurs ce qu’on avait déjà trouvé -249 +247 00:14:05,314 --> 00:14:07,220 en réfléchissant à notre population fictive. -250 +248 00:14:08,300 --> 00:14:11,700 Disons qu’on reprend une prévalence de 1 %, mais que le test est plus précis. -251 +249 00:14:12,060 --> 00:14:16,640 Imaginons maintenant que le taux de faux positifs n’est que de 1 %, plutôt que 9 % -252 +250 00:14:17,120 --> 00:14:20,520 Ça voudrait dire que notre facteur de Bayes est de 90 au lieu de 10. -253 +251 00:14:20,840 --> 00:14:22,460 Le test nous aide plus. -254 +252 00:14:23,160 --> 00:14:28,386 Dans ce cas, avec un test plus précis, la cote se déplace à 90 pour 99, -255 +253 00:14:28,386 --> 00:14:31,580 ce qui est un peu moins que 50 % de chances. -256 +254 00:14:31,580 --> 00:14:34,777 Plus précisément, on peut la convertir en probabilité -257 +255 00:14:34,777 --> 00:14:37,560 et trouver qu'elle est à peu près égale à 48 %. -258 +256 00:14:37,560 --> 00:14:40,011 Mais honnêtement, si vous voulez juste vous faire une idée, -259 +257 00:14:40,011 --> 00:14:41,400 une cote est amplement suffisante. -260 +258 00:14:42,220 --> 00:14:44,830 Est-ce que vous voyez le rapport entre la simple définition -261 +259 00:14:44,830 --> 00:14:47,440 de ce facteur et le fait d’éviter d’éventuelles confusions ? -262 +260 00:14:48,240 --> 00:14:51,856 Si une personne est tentée d’associer un peu trop vite le résultat d’un test à la -263 +261 00:14:51,856 --> 00:14:55,429 probabilité d’avoir une maladie, on peut lui montrer qu’il est possible de faire -264 +262 00:14:55,429 --> 00:14:59,354 passer exactement le même test, avec la même précision, à plusieurs patients différents, -265 +263 00:14:59,354 --> 00:15:02,530 que ces patients obtiennent tous exactement le même résultat. Pourtant, -266 +264 00:15:02,530 --> 00:15:06,190 en fonction du contexte, ces résultats peuvent signifier des choses incroyablement -267 +265 00:15:06,190 --> 00:15:06,720 différentes. -268 +266 00:15:06,720 --> 00:15:10,207 Par contre, la seule chose qui ne change pas entre tous ces cas, -269 +267 00:15:10,207 --> 00:15:14,660 c'est le facteur par lequel les cotes a priori de chaque patient sont mises à jour. -270 +268 00:15:16,300 --> 00:15:21,589 Et d'ailleurs, on a choisi comme probabilité a priori la prévalence de la maladie depuis -271 +269 00:15:21,589 --> 00:15:26,880 tout à l’heure. C'est-à-dire la proportion de personnes malades au sein de la population. -272 +270 00:15:27,520 --> 00:15:29,460 Mais ce n’est pas forcément toujours le cas. -273 +271 00:15:29,780 --> 00:15:32,834 Si on connaît d’autres éléments, comme par exemple les symptômes, ou, -274 +272 00:15:32,834 --> 00:15:35,540 dans le cas d'une maladie contagieuse, les personnes contact, -275 +273 00:15:35,540 --> 00:15:38,900 ceux-ci peuvent être pris en compte dans l’a priori et potentiellement faire -276 +274 00:15:38,900 --> 00:15:39,860 une énorme différence. -277 +275 00:15:40,760 --> 00:15:44,460 Par ailleurs, jusqu'ici, on n’a parlé que de résultats de tests positifs, -278 +276 00:15:44,460 --> 00:15:47,460 mais on observe bien plus de résultats négatifs en pratique. -279 +277 00:15:48,100 --> 00:15:50,190 La logique reste exactement la même, mais le facteur -280 +278 00:15:50,190 --> 00:15:52,320 de Bayes que vous calculez aura une allure différente. -281 +279 00:15:52,760 --> 00:15:55,721 À la place on regardera la probabilité d’obtenir un résultat de test -282 +280 00:15:55,721 --> 00:15:58,640 négatif en présence de la maladie, et (au contraire) en son absence. -283 +281 00:15:58,640 --> 00:16:02,839 Du coup, dans notre exemple sur le cancer, ça aurait été le taux de faux -284 +282 00:16:02,839 --> 00:16:07,040 négatifs de 10 % divisé par la spécificité de 91 %, soit environ 1 sur 9. -285 +283 00:16:07,780 --> 00:16:10,988 Autrement dit, observer un résultat de test négatif dans cet -286 +284 00:16:10,988 --> 00:16:14,460 exemple réduirait la cote a priori d’environ un ordre de grandeur. -287 +285 00:16:15,900 --> 00:16:18,420 Si on l’exprime sous la forme d’une équation, voilà à quoi ça ressemble. -288 +286 00:16:18,760 --> 00:16:21,419 Elle nous dit que le risque d'avoir une maladie compte tenu -289 +287 00:16:21,419 --> 00:16:24,655 du résultat d'un test est égal au risque estimé avant de passer le test, -290 +288 00:16:24,655 --> 00:16:26,960 la cote a priori, multiplié par le facteur de Bayes. -291 +289 00:16:26,960 --> 00:16:30,902 On peut comparer ça avec la manière dont on présente habituellement le théorème de Bayes, -292 +290 00:16:30,902 --> 00:16:32,260 qui est un peu plus compliquée. -293 +291 00:16:33,060 --> 00:16:35,899 Si vous ne l’avez jamais vue, ça revient essentiellement à ce qu’on a -294 +292 00:16:35,899 --> 00:16:38,780 fait avec nos populations fictives, mais exprimé de manière symbolique. -295 +293 00:16:39,500 --> 00:16:42,902 Vous vous souvenez qu’à chaque fois, on prenait le nombre de vrais positifs -296 +294 00:16:42,902 --> 00:16:46,260 et qu’on le divisait par la somme des vrais positifs et des faux positifs ? -297 +295 00:16:46,800 --> 00:16:50,531 On va refaire la même chose, sauf qu’au lieu de parler de tailles d’échantillons, -298 +296 00:16:50,531 --> 00:16:52,260 chaque terme désignera une proportion. -299 +297 00:16:52,260 --> 00:16:55,543 La proportion de vrais positifs dans la population est égale à la -300 +298 00:16:55,543 --> 00:16:58,080 probabilité a priori d’être atteint de la maladie, -301 +299 00:16:58,080 --> 00:17:02,260 multipliée par la probabilité d’observer un résultat de test positif dans ce cas-là. -302 +300 00:17:03,000 --> 00:17:06,736 On recopie ce terme au dénominateur, et on calcule la proportion de -303 +301 00:17:06,736 --> 00:17:10,198 faux positifs comme la probabilité a priori de ne pas avoir la -304 +302 00:17:10,198 --> 00:17:14,099 maladie multipliée par la probabilité d'un test positif dans ce cas-là. -305 +303 00:17:15,079 --> 00:17:17,921 Vous pouvez aussi l'écrire en toutes lettres si les termes -306 +304 00:17:17,921 --> 00:17:20,859 de sensibilité et de taux de faux positifs vous parlent plus. -307 +305 00:17:21,380 --> 00:17:24,356 Et c’est vrai que la formule a l’air un peu touffue, vue comme ça, -308 +306 00:17:24,356 --> 00:17:28,000 mais ça correspond simplement à ce qu’on a vu tout à l’heure avec nos populations -309 +307 00:17:28,000 --> 00:17:28,400 fictives. -310 +308 00:17:29,220 --> 00:17:33,140 On peut rendre ça plus concis en décrivant le dénominateur comme -311 +309 00:17:33,140 --> 00:17:37,000 la probabilité d’observer un résultat de test positif au global. -312 +310 00:17:37,980 --> 00:17:42,348 Et même si ça nous donne une expression très élégante, c’est un peu trompeur, -313 +311 00:17:42,348 --> 00:17:46,212 car dès qu’on voudra l’utiliser en pratique, il faudra décomposer le -314 +312 00:17:46,212 --> 00:17:50,580 dénominateur en deux parties distinctes, qui décrivent chacune des situations. -315 +313 00:17:51,700 --> 00:17:53,900 Gardons donc cette représentation un peu plus honnête -316 +314 00:17:53,900 --> 00:17:56,020 et comparons les deux versions du théorème de Bayes. -317 +315 00:17:56,820 --> 00:18:00,280 Et de nouveau, utilisons les termes de sensibilité et taux de faux positifs. -318 +316 00:18:00,660 --> 00:18:03,008 Ça permet au minimum de souligner quels éléments dans les -319 +317 00:18:03,008 --> 00:18:05,640 formules proviennent des caractéristiques de performance du test. -320 +318 00:18:05,640 --> 00:18:09,122 Ce que j’apprécie dans cette manière de présenter à travers les cotes -321 +319 00:18:09,122 --> 00:18:12,456 et le facteur de Bayes, c’est qu’elle sépare clairement ce qui a à -322 +320 00:18:12,456 --> 00:18:15,840 voir avec l'a priori et ce qui a à voir avec la performance du test. -323 +321 00:18:16,660 --> 00:18:20,200 Alors que dans la formulation habituelle, tous ces éléments sont vraiment mélangés. -324 +322 00:18:20,580 --> 00:18:22,360 Et ça a une conséquence très immédiate. -325 +323 00:18:22,480 --> 00:18:26,260 C'est vraiment pratique pour changer la valeur de l’a priori et observer l’effet produit. -326 +324 00:18:26,600 --> 00:18:27,900 C'est ce qu’on faisait plus tôt. -327 +325 00:18:28,420 --> 00:18:30,474 Mais avec l’autre formule, pour pouvoir faire ça, -328 +326 00:18:30,474 --> 00:18:32,200 il faudrait tout recalculer à chaque fois. -329 +327 00:18:32,380 --> 00:18:35,360 On ne peut pas utiliser un facteur de Bayes pré-calculé de la même manière. -330 +328 00:18:35,960 --> 00:18:39,182 La formulation avec les cotes est aussi très pratique lorsqu’on veut effectuer -331 +329 00:18:39,182 --> 00:18:42,120 des mises à jour bayésiennes en série basées sur plusieurs observations. -332 +330 00:18:42,740 --> 00:18:44,860 Par exemple, disons que vous n’avez pas passé un test, mais deux. -333 +331 00:18:45,360 --> 00:18:48,540 Ou que vous voulez inclure une information concernant la présence de certains symptômes. -334 +332 00:18:49,120 --> 00:18:52,111 Dès qu’on obtient une nouvelle information, on va toujours se demander : -335 +333 00:18:52,111 --> 00:18:55,185 dans quel cas est-ce qu’il est plus probable d’observer cette information, -336 +334 00:18:55,185 --> 00:18:56,620 en présence de la maladie, ou non ? -337 +335 00:18:57,240 --> 00:18:59,773 Chaque réponse successive nous donne un nouveau facteur de Bayes, -338 +336 00:18:59,773 --> 00:19:02,000 par lequel on va pouvoir multiplier notre cote précédente. -339 -00:19:02,880 --> 00:19:06,400 -Au-delà de simplifier les calculs, il y a quelque chose que j'aime vraiment dans le fait +337 +00:19:02,880 --> 00:19:06,379 +Il y a quelque chose que j'aime vraiment dans le fait d’utiliser autre chose qu’une -340 -00:19:06,400 --> 00:19:09,920 -d’utiliser un nombre qui n’est pas une probabilité pour mesurer la performance d’un test. +338 +00:19:06,379 --> 00:19:09,920 +probabilité pour mesurer la performance d’un test, en plus de simplifier les calculs. -341 -00:19:10,740 --> 00:19:14,955 +339 +00:19:10,740 --> 00:19:14,885 Par exemple, si on nous dit qu’un test A a un taux de faux positifs de 9 %, -342 -00:19:14,955 --> 00:19:17,340 -c’est une assertion incroyablement ambiguë. +340 +00:19:14,885 --> 00:19:17,340 +c’est une information incroyablement ambiguë. -343 +341 00:19:17,780 --> 00:19:20,134 C’est très facile de se méprendre et penser qu'il y -344 +342 00:19:20,134 --> 00:19:22,580 a 9 % de chances que votre résultat positif soit faux. -345 -00:19:23,300 --> 00:19:26,862 -Mais imaginons qu’à la place, on nous dise à propos du test que son +343 +00:19:23,300 --> 00:19:26,724 +Mais imaginons qu’on nous dise à la place que le facteur de -346 -00:19:26,862 --> 00:19:30,320 -facteur de Bayes pour un résultat positif est, par exemple, de 10. +344 +00:19:26,724 --> 00:19:30,320 +Bayes du test pour un résultat positif est, par exemple, de 10. -347 +345 00:19:30,820 --> 00:19:32,552 Là, on ne peut plus interpréter ça à tort comme -348 +346 00:19:32,552 --> 00:19:34,140 la probabilité d’être atteint d’une maladie. -349 +347 00:19:34,640 --> 00:19:37,019 L’idée au cœur de la définition du facteur de Bayes, -350 +348 00:19:37,019 --> 00:19:39,040 c'est qu’il prend un a priori et agit dessus. -351 -00:19:39,500 --> 00:19:42,722 +349 +00:19:39,500 --> 00:19:42,900 Et ça oblige à considérer cet priori comme quelque chose de complètement distinct, -352 -00:19:42,722 --> 00:19:45,440 -et absolument nécessaire pour pouvoir tirer une quelconque conclusion. +350 +00:19:42,900 --> 00:19:45,440 +et indispensable pour pouvoir tirer une quelconque conclusion. -353 +351 00:19:47,260 --> 00:19:50,740 Cela dit, la forme habituelle a clairement des avantages. -354 +352 00:19:51,080 --> 00:19:54,789 Si on ne la voit pas juste comme une formule à évaluer avec des valeurs données, -355 +353 00:19:54,789 --> 00:19:58,590 mais comme portant cette idée de population fictive qu’on a utilisée tout du long, -356 +354 00:19:58,590 --> 00:20:01,980 on pourrait se dire qu’elle est en fait bien plus utile à notre intuition. -357 +355 00:20:02,560 --> 00:20:05,846 Après tout, c’est sur cette formule qu’on se basait à chaque fois pour -358 +356 00:20:05,846 --> 00:20:09,180 vérifier que nos calculs incluant un facteur Bayes avaient bien du sens. -359 +357 00:20:11,600 --> 00:20:13,451 Comme dans tout processus de conception, on n’a -360 +358 00:20:13,451 --> 00:20:15,380 pas une solution clairement meilleure que l’autre. -361 +359 00:20:15,420 --> 00:20:18,458 Mais il est à peu sûr que le fait de réfléchir sérieusement à cette -362 +360 00:20:18,458 --> 00:20:21,720 question vous permettra de mieux comprendre le sens du théorème de Bayes. -363 +361 00:20:30,100 --> 00:20:32,820 Et puisqu’on parle de choses un peu paradoxales ; Matt Cook, -364 +362 00:20:32,820 --> 00:20:36,120 un ami à moi, a récemment écrit un livre qui traite beaucoup de paradoxes. -365 +363 00:20:37,040 --> 00:20:39,391 Et j’y ai d’ailleurs écrit un petit chapitre sur la question -366 +364 00:20:39,391 --> 00:20:41,820 d’est-ce que les maths ont été plutôt inventées ou découvertes. -367 +365 00:20:42,300 --> 00:20:45,984 Et le livre tisse un lien entre différents concepts paradoxaux qui vous feront réfléchir, -368 +366 00:20:45,984 --> 00:20:48,400 en passant par la philosophie, les maths et ou la physique. -369 +367 00:20:48,820 --> 00:20:51,040 Vous pouvez retrouver tous les détails dans la description. diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/arabic/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/arabic/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..5ed70a004 --- /dev/null +++ b/2020/exponential-and-epidemics/arabic/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,404 @@ +1 +00:00:02,940 --> 00:00:06,955 +إن عبارة النمو الأسي مألوفة لدى معظم الناس، ومع ذلك فإن الحدس + +2 +00:00:06,955 --> 00:00:11,100 +البشري يواجه صعوبة في إدراك ما تعنيه هذه العبارة في بعض الأحيان. + +3 +00:00:11,320 --> 00:00:16,142 +يمكننا أن نرتكز على سلسلة من الأرقام الظاهرة الصغيرة ثم نتفاجأ عندما تبدو + +4 +00:00:16,142 --> 00:00:21,160 +هذه الأرقام فجأة كبيرة، حتى لو كان الاتجاه العام يتبع أسيًا بشكل متسق تمامًا. + +5 +00:00:22,120 --> 00:00:25,995 +هذه هي البيانات الخاصة بالحالات المسجلة لـCOVID-19، المعروف + +6 +00:00:25,995 --> 00:00:30,000 +أيضًا باسم فيروس كورونا، على الأقل في الوقت الذي أكتب فيه هذا. + +7 +00:00:30,420 --> 00:00:34,791 +لن يضيع أحد أبدًا فرصة لدرس الرياضيات، اعتقدت أن هذا قد يكون الوقت + +8 +00:00:34,791 --> 00:00:39,228 +المناسب لنا جميعًا للعودة إلى الأساسيات حول ماهية النمو الأسي حقًا، + +9 +00:00:39,228 --> 00:00:43,600 +ومن أين يأتي، وما يعنيه، وربما الأكثر إلحاحًا كيف لتعرف متى ستنتهي. + +10 +00:00:44,320 --> 00:00:49,800 +النمو الأسي يعني أنه كلما انتقلت من يوم إلى آخر، فإنه يتضمن الضرب ببعض الثوابت. + +11 +00:00:50,380 --> 00:00:54,549 +في بياناتنا، يميل عدد الحالات في كل يوم إلى أن يكون + +12 +00:00:54,549 --> 00:00:59,360 +مضاعفًا لحوالي 1.15 إلى 1.25 من عدد الحالات في اليوم السابق. + +13 +00:01:00,280 --> 00:01:03,919 +تعد الفيروسات مثالاً نموذجيًا لهذا النوع من النمو، + +14 +00:01:03,919 --> 00:01:07,060 +لأن ما يسبب حالات جديدة هي الحالات الموجودة. + +15 +00:01:09,340 --> 00:01:15,636 +إذا كان عدد الحالات في يوم معين هو n، ونقول أن كل فرد مصاب بالفيروس + +16 +00:01:15,636 --> 00:01:21,933 +يتعرض لأشخاص في يوم معين، وكل واحد من هؤلاء التعرض لديه احتمال p أن + +17 +00:01:21,933 --> 00:01:28,600 +يصبح عدوى جديدة، فإن العدد الحالات الجديدة في يوم معين هي e ضرب p ضرب n. + +18 +00:01:29,960 --> 00:01:34,800 +وحقيقة أن n بحد ذاته عامل في تغيره هو ما يجعل الأمور تسير بسرعة، + +19 +00:01:34,800 --> 00:01:39,640 +لأنه إذا أصبح n كبيرًا، فهذا يعني أن معدل النمو نفسه يصبح كبيرًا. + +20 +00:01:40,480 --> 00:01:46,140 +إحدى الطرق للتفكير في هذا الأمر هي أنه عند إضافة الحالات الجديدة للحصول على + +21 +00:01:46,140 --> 00:01:51,800 +نمو اليوم التالي، يمكنك إخراج n، لذا فهو تمامًا مثل الضرب في ثابت أكبر من 1. + +22 +00:01:52,860 --> 00:01:56,940 +يكون هذا أسهل في بعض الأحيان إذا وضعنا المحور الصادي للرسم البياني + +23 +00:01:56,940 --> 00:02:01,142 +لدينا على مقياس لوغاريتمي، مما يعني أن كل خطوة من مسافة ثابتة تتوافق + +24 +00:02:01,142 --> 00:02:05,040 +مع الضرب بعامل معين، في هذه الحالة كل خطوة هي قوة أخرى للرقم 10. + +25 +00:02:05,860 --> 00:02:09,060 +وعلى هذا المقياس، ينبغي أن يبدو النمو الأسي وكأنه خط مستقيم. + +26 +00:02:09,060 --> 00:02:15,182 +بالنظر إلى بياناتنا، يبدو أن الأمر استغرق 20 يومًا للانتقال من 100 إلى 1000، و13 يومًا + +27 +00:02:15,182 --> 00:02:21,164 +للانتقال من ذلك إلى 10000، وإذا قمت بإجراء انحدار خطي بسيط للعثور على أفضل خط مناسب، + +28 +00:02:21,164 --> 00:02:27,216 +فيمكنك النظر إلى المنحدر من هذا الخط لنستنتج أننا نميل إلى الضرب في 10 كل 16 يومًا في + +29 +00:02:27,216 --> 00:02:27,780 +المتوسط. + +30 +00:02:28,620 --> 00:02:33,736 +يتيح لنا هذا الانحدار أيضًا أن نكون أكثر كميًا حول مدى التقارب الأسي بالضبط، + +31 +00:02:33,736 --> 00:02:38,520 +وباستخدام المصطلحات الإحصائية الفنية هنا، الإجابة هي أنه قريب جدًا حقًا. + +32 +00:02:39,040 --> 00:02:42,040 +ولكن قد يكون من الصعب استيعاب ما يعنيه ذلك بالضبط إذا كان صحيحًا. + +33 +00:02:42,580 --> 00:02:46,640 +عندما ترى دولة واحدة لديها، على سبيل المثال، 6000 حالة وأخرى بها 60 + +34 +00:02:46,640 --> 00:02:51,120 +حالة، فمن السهل أن تعتقد أن أداء الدولة الثانية أفضل 100 مرة، وبالتالي جيد. + +35 +00:02:51,680 --> 00:02:56,180 +ولكن إذا كنت في الواقع في موقف حيث تتضاعف الأرقام في 10 كل 16 يومًا، فهناك + +36 +00:02:56,180 --> 00:03:00,920 +طريقة أخرى لرؤية نفس الحقيقة وهي أن الدولة الثانية متأخرة بحوالي شهر عن الأولى. + +37 +00:03:01,600 --> 00:03:04,620 +وهذا بالطبع مثير للقلق إلى حد ما إذا قمت برسم الخط. + +38 +00:03:04,620 --> 00:03:11,660 +إنني أسجل هذا في السادس من مارس، وإذا استمر الاتجاه الحالي، فهذا يعني الوصول إلى مليون + +39 +00:03:11,660 --> 00:03:18,540 +حالة في 30 يومًا، و10 ملايين في 47 يومًا، و100 مليون في 64 يومًا، ومليار في 81 يومًا. + +40 +00:03:19,440 --> 00:03:22,338 +وغني عن القول، على الرغم من ذلك، لا يمكنك رسم خط مثل هذا + +41 +00:03:22,338 --> 00:03:25,440 +إلى الأبد، فمن الواضح أنه يجب أن يبدأ في التباطؤ في مرحلة ما. + +42 +00:03:25,700 --> 00:03:27,520 +لكن السؤال الحاسم هو متى. + +43 +00:03:28,340 --> 00:03:33,262 +هل هو مثل تفشي مرض السارس في عام 2002 والذي أدى إلى وفاة حوالي 8000 حالة، أو + +44 +00:03:33,262 --> 00:03:38,440 +الأنفلونزا الإسبانية في عام 1918 والتي أصابت في النهاية حوالي 27٪ من سكان العالم؟ + +45 +00:03:39,620 --> 00:03:44,320 +بشكل عام، مع عدم وجود سياق، فإن مجرد رسم خط عبر بياناتك ليس طريقة + +46 +00:03:44,320 --> 00:03:49,020 +رائعة للتنبؤات، ولكن تذكر أن هناك سببًا فعليًا لتوقع حدوث أسي هنا. + +47 +00:03:49,340 --> 00:03:53,755 +إذا كان عدد الحالات الجديدة كل يوم متناسبًا مع عدد الحالات الموجودة، + +48 +00:03:53,755 --> 00:03:58,043 +فهذا يعني بالضرورة أنك تضرب كل يوم في عدد ثابت معين، لذا فإن المضي + +49 +00:03:58,043 --> 00:04:01,820 +قدمًا في عدد d من الأيام هو نفس الضرب في عدد d الثابت مرات. + +50 +00:04:02,420 --> 00:04:06,900 +الطريقة الوحيدة التي تتوقف بها هي إذا انخفض الرقم E أو P. + +51 +00:04:07,980 --> 00:04:09,920 +ومن المحتم أن يحدث هذا في نهاية المطاف. + +52 +00:04:10,600 --> 00:04:15,631 +حتى في النموذج الأكثر ضررًا تمامًا للفيروس، والذي سيكون حيث يتعرض كل شخص مصاب + +53 +00:04:15,631 --> 00:04:20,597 +بالعدوى يوميًا لمجموعة فرعية عشوائية من سكان العالم، في مرحلة ما، سيكون معظم + +54 +00:04:20,597 --> 00:04:25,500 +الأشخاص الذين يتعرضون لهم مرضى بالفعل، وبالتالي لا يمكن أن تصبح حالات جديدة. + +55 +00:04:27,780 --> 00:04:33,036 +في معادلتنا، هذا يعني أن احتمال تحول التعرض إلى عدوى جديدة يجب + +56 +00:04:33,036 --> 00:04:38,460 +أن يتضمن عاملاً ما لحساب احتمال إصابة الشخص الذي تتعرض له بالفعل. + +57 +00:04:39,240 --> 00:04:42,753 +بالنسبة لنموذج خلط عشوائي مثل هذا، قد يعني ذلك تضمين + +58 +00:04:42,753 --> 00:04:46,400 +عامل مثل 1 ناقص نسبة الأشخاص المصابين بالفعل في العالم. + +59 +00:04:47,700 --> 00:04:55,680 +بما في ذلك هذا العامل، ومن ثم حل كيفية نمو N، تحصل على ما هو معروف في النموذج. + +60 +00:04:55,680 --> 00:04:59,029 +ليس من الممكن أن يتم ذلك من خلال الأسي في البداية، ولكن في + +61 +00:04:59,029 --> 00:05:02,720 +النهاية سيستقر بمجرد اقترابك من إجمالي حجم السكان، وهو ما تتوقعه. + +62 +00:05:03,360 --> 00:05:09,200 +لا توجد الأسيات الحقيقية أبدًا في العالم الحقيقي، فكل واحدة منها هي بداية منحنى لوجستي. + +63 +00:05:10,040 --> 00:05:13,131 +هذه النقطة هنا، حيث ينتقل المنحنى اللوجستي من الانحناء + +64 +00:05:13,131 --> 00:05:16,560 +لأعلى إلى الانحناء للأسفل بدلًا من ذلك، تُعرف بنقطة الانعطاف. + +65 +00:05:17,320 --> 00:05:21,742 +وهناك، يتوقف عدد الحالات الجديدة كل يوم، الذي يمثله ميل هذا + +66 +00:05:21,742 --> 00:05:26,460 +المنحنى، عن الزيادة ويظل ثابتًا تقريبًا قبل أن يبدأ في الانخفاض. + +67 +00:05:30,140 --> 00:05:35,641 +أحد الأرقام التي يتابعها الناس غالبًا مع الأوبئة هو عامل النمو، والذي يُعرف بأنه + +68 +00:05:35,641 --> 00:05:40,940 +النسبة بين عدد الحالات الجديدة في يوم ما وعدد الحالات الجديدة في اليوم السابق. + +69 +00:05:42,340 --> 00:05:47,540 +فقط للتوضيح، إذا كنت تنظر إلى جميع المجاميع من يوم إلى آخر، ثم تتبع + +70 +00:05:47,540 --> 00:05:53,200 +التغييرات بين تلك المجاميع، فإن عامل النمو هو النسبة بين تغييرين متتاليين. + +71 +00:05:55,440 --> 00:05:59,851 +بينما أنت في الجزء الأسي، يظل هذا العامل ثابتًا فوق الواحد، بينما بمجرد أن + +72 +00:05:59,851 --> 00:06:04,380 +يبدو عامل النمو لديك أقرب إلى الواحد، فهذه علامة على أنك قد وصلت إلى المنعطف. + +73 +00:06:05,560 --> 00:06:08,840 +وهذا يمكن أن يؤدي إلى حقيقة أخرى غير بديهية أثناء متابعة البيانات. + +74 +00:06:09,320 --> 00:06:14,884 +فكر في الشعور الذي ستشعر به إذا كان عدد الحالات الجديدة في يوم ما يزيد بنحو 15% عن عدد + +75 +00:06:14,884 --> 00:06:20,640 +الحالات الجديدة في اليوم السابق، وقارن ذلك بما ستشعر به عندما يكون الأمر على حاله تقريبًا. + +76 +00:06:21,240 --> 00:06:25,040 +بمجرد النظر إلى المجاميع التي نتجت عنها، فإنهم لا يشعرون حقًا بهذا الاختلاف. + +77 +00:06:27,000 --> 00:06:31,818 +ولكن إذا كان عامل النمو واحدًا، فقد يعني ذلك أنك عند نقطة انعطاف لوجستية، مما + +78 +00:06:31,818 --> 00:06:36,760 +يعني أن العدد الإجمالي للحالات سيصل إلى الحد الأقصى بحوالي الضعف أينما كنت الآن. + +79 +00:06:37,200 --> 00:06:41,760 +لكن عامل النمو الأكبر من واحد، على الرغم من أن ذلك قد يبدو دقيقًا، يعني + +80 +00:06:41,760 --> 00:06:46,320 +أنك في الجزء الأسي، مما قد يعني أن هناك مستويات من النمو لا تزال تنتظرك. + +81 +00:06:48,720 --> 00:06:52,373 +الآن، في حين أنه في أسوأ الحالات، تكون نقطة التشبع حول إجمالي + +82 +00:06:52,373 --> 00:06:56,026 +عدد السكان، بالطبع ليس صحيحًا على الإطلاق أن الأشخاص المصابين + +83 +00:06:56,026 --> 00:06:59,680 +بالفيروس يتم توزيعهم بشكل عشوائي بين سكان العالم بهذه الطريقة. + +84 +00:07:00,200 --> 00:07:02,160 +يتجمع الناس في المجتمعات المحلية. + +85 +00:07:03,380 --> 00:07:06,846 +ومع ذلك، إذا قمت بإجراء عمليات محاكاة حيث يكون هناك القليل من + +86 +00:07:06,846 --> 00:07:10,480 +السفر بين المجموعات مثل هذه، فإن النمو في الواقع لا يختلف كثيرًا. + +87 +00:07:14,120 --> 00:07:19,880 +ما ينتهي بك الأمر هو نوع من النمط الكسري، حيث تعمل المجتمعات نفسها مثل الأفراد. + +88 +00:07:20,660 --> 00:07:24,928 +كل واحد لديه بعض التعرض للآخرين، مع بعض احتمال نشر + +89 +00:07:24,928 --> 00:07:29,700 +العدوى، لذلك تنطبق نفس القوانين الأساسية والمسببة الأسية. + +90 +00:07:42,940 --> 00:07:45,916 +ولحسن الحظ، فإن تشبع السكان بالكامل ليس هو الشيء الوحيد + +91 +00:07:45,916 --> 00:07:48,840 +الذي يمكن أن يتسبب في انخفاض العاملين اللذين نهتم بهما. + +92 +00:07:49,660 --> 00:07:52,940 +ويمكن أيضًا أن ينخفض مقدار التعرض عندما يتوقف الناس عن التجمع + +93 +00:07:52,940 --> 00:07:56,380 +والسفر، ويمكن أن ينخفض معدل الإصابة عندما يغسل الناس أيديهم أكثر. + +94 +00:07:57,100 --> 00:08:00,801 +والشيء الآخر الذي يتعارض مع البديهة فيما يتعلق بالنمو الأسي، + +95 +00:08:00,801 --> 00:08:04,320 +وهذه المرة بمعنى أكثر تفاؤلاً، هو مدى حساسيته لهذا الثابت. + +96 +00:08:05,020 --> 00:08:09,416 +على سبيل المثال، إذا كانت النسبة 15%، مثلما أسجل هذا، ونحن الآن عند + +97 +00:08:09,416 --> 00:08:14,200 +21000 حالة، فهذا يعني أنه بعد 61 يومًا من الآن ستصل إلى أكثر من 100 مليون. + +98 +00:08:15,020 --> 00:08:20,487 +ولكن إذا انخفض هذا المعدل إلى 5% من خلال التعرض والعدوى الأقل قليلاً، فهذا + +99 +00:08:20,487 --> 00:08:26,100 +لا يعني أن التوقعات تنخفض أيضًا بعامل 3، بل تنخفض في الواقع إلى حوالي 400000. + +100 +00:08:26,660 --> 00:08:30,200 +لذا، إذا كان الناس قلقين بما فيه الكفاية، فلن يكون هناك الكثير مما يدعو للقلق. + +101 +00:08:30,200 --> 00:08:32,320 +ولكن إذا لم يكن أحد يشعر بالقلق، فهذا هو الوقت الذي يجب أن تقلق فيه. + diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/chinese/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/chinese/auto_generated.srt index 5943c94fa..c6ce49319 100644 --- a/2020/exponential-and-epidemics/chinese/auto_generated.srt +++ b/2020/exponential-and-epidemics/chinese/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:02,939 --> 00:00:07,246 +00:00:02,940 --> 00:00:07,246 大多数人都熟悉指数增长这个词，但人类 2 @@ -55,27 +55,27 @@ 15比1。是 前一天病例数的25例。 15 -00:01:00,280 --> 00:01:03,252 +00:01:00,280 --> 00:01:03,779 病毒是这种增长的教科书例子，因 16 -00:01:03,252 --> 00:01:06,040 +00:01:03,779 --> 00:01:07,060 为导致新病例的原因是现有病例。 17 -00:01:06,040 --> 00:01:11,800 +00:01:09,340 --> 00:01:14,257 如果某一天的病例数为 n，并且我们说每个感染病 18 -00:01:11,800 --> 00:01:16,120 +00:01:14,257 --> 00:01:17,945 毒的人在某一天平均接触了 e 个人， 19 -00:01:16,120 --> 00:01:22,600 +00:01:17,945 --> 00:01:23,477 并且这些接 触中的每一个都有成为新感染者的概率 p ， 20 -00:01:22,600 --> 00:01:28,600 +00:01:23,477 --> 00:01:28,600 那么 某一天的新病例数是 e 乘以 p 乘以 n。 21 @@ -279,27 +279,27 @@ 虑您所接触的人已经被感染的可能性。 71 -00:04:39,240 --> 00:04:42,856 +00:04:39,240 --> 00:04:43,376 对于这样的随机洗牌模型，这可能意味着包括一个 因子， 72 -00:04:42,856 --> 00:04:45,500 +00:04:43,376 --> 00:04:46,400 例如 1 减去世界上已感染的人口比例。 73 -00:04:45,500 --> 00:04:49,349 +00:04:47,700 --> 00:04:51,057 包括这个因素，然后解决 n 如何增长， 74 -00:04:49,349 --> 00:04:52,793 +00:04:51,057 --> 00:04:54,061 你就 得到了商业中所谓的逻辑曲线， 75 -00:04:52,793 --> 00:04:58,465 +00:04:54,061 --> 00:04:59,009 它在开始时与 指数本质上没有区别，但一旦接近总人口规模， 76 -00:04:58,465 --> 00:05:02,720 +00:04:59,009 --> 00:05:02,720 最终就会趋于平稳，这就是这是你所期望的。 77 @@ -311,15 +311,15 @@ 它 们中的每一个实际上都是逻辑曲线的起点。 79 -00:05:10,040 --> 00:05:16,160 +00:05:10,040 --> 00:05:16,560 物流从向上弯曲变为向下弯 曲的这一点被称为拐点。 80 -00:05:16,160 --> 00:05:22,797 +00:05:17,320 --> 00:05:23,210 在那里，每天的新病例数量（由该曲线的斜率表示 ）停止增加， 81 -00:05:22,797 --> 00:05:26,460 +00:05:23,210 --> 00:05:26,460 而是在开始减少之前保持大致恒定。 82 @@ -395,7 +395,7 @@ 意味着仍有几个数量级的增长等待着您。 100 -00:06:48,719 --> 00:06:53,502 +00:06:48,720 --> 00:06:53,502 虽然在最坏的情况下，饱和点确实是在总 人口附近， 101 diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/french/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/french/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..c3f1243a2 --- /dev/null +++ b/2020/exponential-and-epidemics/french/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,556 @@ +1 +00:00:02,940 --> 00:00:06,604 +L'expression croissance exponentielle est familière à la plupart des gens, + +2 +00:00:06,604 --> 00:00:10,660 +et pourtant l'intuition humaine a parfois du mal à vraiment reconnaître ce qu'elle + +3 +00:00:10,660 --> 00:00:11,100 +signifie. + +4 +00:00:11,320 --> 00:00:14,541 +Nous pouvons nous ancrer sur une séquence de petits chiffres en apparence + +5 +00:00:14,541 --> 00:00:17,502 +et être surpris lorsque soudain ces chiffres paraissent importants, + +6 +00:00:17,502 --> 00:00:21,160 +même si la tendance générale suit une exponentielle de façon parfaitement cohérente. + +7 +00:00:22,120 --> 00:00:26,028 +Voici les données concernant les cas enregistrés de COVID-19, + +8 +00:00:26,028 --> 00:00:30,000 +alias le coronavirus, du moins au moment où j'écris ces lignes. + +9 +00:00:30,420 --> 00:00:33,238 +Ne perdant jamais une occasion de faire une leçon de mathématiques, + +10 +00:00:33,238 --> 00:00:36,429 +j'ai pensé que c'était peut-être le bon moment pour nous tous de revenir aux + +11 +00:00:36,429 --> 00:00:39,496 +bases de ce qu'est vraiment la croissance exponentielle, d'où elle vient, + +12 +00:00:39,496 --> 00:00:41,859 +ce qu'elle implique, et peut-être plus important encore, + +13 +00:00:41,859 --> 00:00:43,600 +comment savoir quand elle touche à sa fin. + +14 +00:00:44,320 --> 00:00:47,451 +La croissance exponentielle signifie que lorsque tu passes d'un jour à l'autre, + +15 +00:00:47,451 --> 00:00:49,800 +cela implique une multiplication par une certaine constante. + +16 +00:00:50,380 --> 00:00:54,837 +Dans nos données, le nombre de cas de chaque jour a tendance à être + +17 +00:00:54,837 --> 00:00:59,360 +un multiple d'environ 1,15 à 1,25 du nombre de cas du jour précédent. + +18 +00:01:00,280 --> 00:01:03,642 +Les virus sont un exemple classique de ce type de croissance, + +19 +00:01:03,642 --> 00:01:07,060 +car ce qui provoque de nouveaux cas, ce sont les cas existants. + +20 +00:01:09,340 --> 00:01:14,023 +Si le nombre de cas un jour donné est n, et que nous disons que chaque + +21 +00:01:14,023 --> 00:01:18,376 +individu porteur du virus est exposé à e personnes un jour donné, + +22 +00:01:18,376 --> 00:01:24,246 +et que chacune de ces expositions a une probabilité p de devenir une nouvelle infection, + +23 +00:01:24,246 --> 00:01:28,600 +alors le nombre de nouveaux cas un jour donné est e fois p fois n. + +24 +00:01:29,960 --> 00:01:33,120 +Le fait que n soit lui-même un facteur de son propre changement + +25 +00:01:33,120 --> 00:01:36,528 +est ce qui fait vraiment avancer les choses, car si n devient grand, + +26 +00:01:36,528 --> 00:01:39,640 +cela signifie que le taux de croissance lui-même devient grand. + +27 +00:01:40,480 --> 00:01:44,271 +Une façon de voir les choses est que lorsque tu ajoutes les nouveaux + +28 +00:01:44,271 --> 00:01:48,283 +cas pour obtenir la croissance du jour suivant, tu peux factoriser le n, + +29 +00:01:48,283 --> 00:01:51,800 +ce qui revient à multiplier par une constante plus grande que 1. + +30 +00:01:52,860 --> 00:01:55,947 +C'est parfois plus facile à voir si nous plaçons l'axe des ordonnées de + +31 +00:01:55,947 --> 00:01:57,963 +notre graphique sur une échelle logarithmique, + +32 +00:01:57,963 --> 00:02:00,965 +ce qui signifie que chaque étape d'une distance fixe correspond à une + +33 +00:02:00,965 --> 00:02:03,195 +multiplication par un certain facteur, dans ce cas, + +34 +00:02:03,195 --> 00:02:05,040 +chaque étape est une autre puissance de 10. + +35 +00:02:05,860 --> 00:02:09,060 +À cette échelle, la croissance exponentielle devrait ressembler à une ligne droite. + +36 +00:02:09,060 --> 00:02:13,560 +En regardant nos données, il semble qu'il ait fallu 20 jours pour passer de 100 à 1000, + +37 +00:02:13,560 --> 00:02:16,016 +et 13 jours pour passer de ce chiffre à 10 000, + +38 +00:02:16,016 --> 00:02:20,363 +et si tu fais une simple régression linéaire pour trouver la ligne la mieux ajustée, + +39 +00:02:20,363 --> 00:02:23,943 +tu peux regarder la pente de cette ligne pour en tirer une conclusion + +40 +00:02:23,943 --> 00:02:27,780 +comme nous avons tendance à multiplier par 10 tous les 16 jours en moyenne. + +41 +00:02:28,620 --> 00:02:31,800 +Cette régression nous permet également d'être un peu plus quantitatifs + +42 +00:02:31,800 --> 00:02:34,040 +quant à la précision de l'ajustement exponentiel, + +43 +00:02:34,040 --> 00:02:36,459 +et pour utiliser le jargon statistique technique ici, + +44 +00:02:36,459 --> 00:02:38,520 +la réponse est qu'il est vraiment très proche. + +45 +00:02:39,040 --> 00:02:42,040 +Mais il peut être difficile de digérer exactement ce que cela signifie si c'est vrai. + +46 +00:02:42,580 --> 00:02:46,584 +Lorsque tu vois un pays avec, disons, 6000 cas et un autre avec 60, + +47 +00:02:46,584 --> 00:02:51,120 +il est facile de penser que le second fait 100 fois mieux, et donc très bien. + +48 +00:02:51,680 --> 00:02:54,927 +Mais si tu te trouves dans une situation où les nombres se multiplient + +49 +00:02:54,927 --> 00:02:57,992 +par 10 tous les 16 jours, une autre façon de voir le même fait est + +50 +00:02:57,992 --> 00:03:00,920 +que le deuxième pays a environ un mois de retard sur le premier. + +51 +00:03:01,600 --> 00:03:04,620 +C'est bien sûr plutôt inquiétant si l'on tire à la ligne. + +52 +00:03:04,620 --> 00:03:09,087 +J'enregistre ceci le 6 mars, et si la tendance actuelle se poursuit, + +53 +00:03:09,087 --> 00:03:12,907 +cela signifierait atteindre un million de cas en 30 jours, + +54 +00:03:12,907 --> 00:03:18,540 +atteindre 10 millions en 47 jours, 100 millions en 64 jours, et 1 milliard en 81 jours. + +55 +00:03:19,440 --> 00:03:22,525 +Il va sans dire que tu ne peux pas tracer une telle ligne indéfiniment, + +56 +00:03:22,525 --> 00:03:25,440 +elle doit clairement commencer à ralentir à un moment ou à un autre. + +57 +00:03:25,700 --> 00:03:27,520 +Mais la question cruciale est de savoir quand. + +58 +00:03:28,340 --> 00:03:32,795 +Est-ce comme l'épidémie de SRAS de 2002 qui a plafonné à environ 8000 cas, + +59 +00:03:32,795 --> 00:03:37,845 +ou la grippe espagnole de 1918 qui a finalement infecté environ 27% de la population + +60 +00:03:37,845 --> 00:03:38,440 +mondiale ? + +61 +00:03:39,620 --> 00:03:42,795 +En général, sans contexte, le simple fait de tracer une ligne à travers tes + +62 +00:03:42,795 --> 00:03:45,510 +données n'est pas une excellente façon de faire des prédictions, + +63 +00:03:45,510 --> 00:03:49,020 +mais souviens-toi qu'il y a une raison réelle de s'attendre à une exponentielle ici. + +64 +00:03:49,340 --> 00:03:53,753 +Si le nombre de nouveaux cas chaque jour est proportionnel au nombre de cas existants, + +65 +00:03:53,753 --> 00:03:58,167 +cela signifie nécessairement que chaque jour tu multiplies par une certaine constante, + +66 +00:03:58,167 --> 00:04:01,820 +donc avancer de d jours revient à multiplier par cette constante d fois. + +67 +00:04:02,420 --> 00:04:06,900 +Le seul moyen pour que cela s'arrête est que le nombre E ou P diminue. + +68 +00:04:07,980 --> 00:04:09,920 +Il est inévitable que cela finisse par se produire. + +69 +00:04:10,600 --> 00:04:13,365 +Même dans le modèle le plus parfaitement pernicieux pour un virus, + +70 +00:04:13,365 --> 00:04:16,337 +qui serait celui où chaque jour chaque personne atteinte de l'infection + +71 +00:04:16,337 --> 00:04:19,143 +est exposée à un sous-ensemble aléatoire de la population mondiale, + +72 +00:04:19,143 --> 00:04:22,239 +à un moment donné, la plupart des personnes auxquelles elles sont exposées + +73 +00:04:22,239 --> 00:04:25,500 +seraient déjà malades, et elles ne pourraient donc pas devenir de nouveaux cas. + +74 +00:04:27,780 --> 00:04:31,162 +Dans notre équation, cela signifierait que la probabilité qu'une exposition + +75 +00:04:31,162 --> 00:04:34,722 +devienne une nouvelle infection devrait inclure une sorte de facteur pour tenir + +76 +00:04:34,722 --> 00:04:38,460 +compte de la probabilité qu'une personne à laquelle tu es exposé soit déjà infectée. + +77 +00:04:39,240 --> 00:04:41,446 +Pour un modèle de brassage aléatoire comme celui-ci, + +78 +00:04:41,446 --> 00:04:45,192 +cela pourrait signifier l'inclusion d'un facteur comme 1 moins la proportion de personnes + +79 +00:04:45,192 --> 00:04:46,400 +déjà infectées dans le monde. + +80 +00:04:47,700 --> 00:04:52,412 +En incluant ce facteur, puis en résolvant la croissance de N, + +81 +00:04:52,412 --> 00:04:55,680 +tu obtiens ce qui est connu dans le modèle. + +82 +00:04:55,680 --> 00:04:57,805 +Ce n'est pas possible à partir d'une exponentielle au début, + +83 +00:04:57,805 --> 00:05:00,210 +mais en fin de compte, cela se stabilise une fois que tu t'approches + +84 +00:05:00,210 --> 00:05:02,720 +de la taille totale de la population, ce qui est ce à quoi tu t'attends. + +85 +00:05:03,360 --> 00:05:06,721 +Les vraies exponentielles n'existent essentiellement jamais dans le monde réel, + +86 +00:05:06,721 --> 00:05:09,200 +chacune d'entre elles est le début d'une courbe logistique. + +87 +00:05:10,040 --> 00:05:13,558 +Ce point ici, où la courbe logistique passe d'une courbe ascendante + +88 +00:05:13,558 --> 00:05:16,560 +à une courbe descendante, est appelé le point d'inflexion. + +89 +00:05:17,320 --> 00:05:22,088 +Là, le nombre de nouveaux cas chaque jour, représenté par la pente de cette courbe, + +90 +00:05:22,088 --> 00:05:26,460 +cesse d'augmenter et reste à peu près constant avant de commencer à diminuer. + +91 +00:05:30,140 --> 00:05:34,761 +Un chiffre que les gens suivent souvent avec les épidémies est le facteur de croissance, + +92 +00:05:34,761 --> 00:05:38,240 +qui est défini comme le rapport entre le nombre de nouveaux cas un + +93 +00:05:38,240 --> 00:05:40,940 +jour et le nombre de nouveaux cas le jour précédent. + +94 +00:05:42,340 --> 00:05:46,179 +Pour être clair, si tu regardais tous les totaux d'un jour à l'autre, + +95 +00:05:46,179 --> 00:05:49,141 +puis que tu suivais les changements entre ces totaux, + +96 +00:05:49,141 --> 00:05:53,200 +le facteur de croissance est un rapport entre deux changements successifs. + +97 +00:05:55,440 --> 00:05:59,483 +Tant que tu es sur la partie exponentielle, ce facteur reste constamment au-dessus de un, + +98 +00:05:59,483 --> 00:06:02,358 +alors que dès que ton facteur de croissance se rapproche de un, + +99 +00:06:02,358 --> 00:06:04,380 +c'est le signe que tu as atteint l'inflexion. + +100 +00:06:05,560 --> 00:06:08,840 +Cela peut constituer un autre fait contre-intuitif lorsque l'on suit les données. + +101 +00:06:09,320 --> 00:06:13,057 +Réfléchis à ce que tu ressentirais si le nombre de nouveaux cas était + +102 +00:06:13,057 --> 00:06:16,528 +supérieur d'environ 15 % au nombre de nouveaux cas de la veille, + +103 +00:06:16,528 --> 00:06:20,640 +et compare-le à ce que tu ressentirais si ce nombre était à peu près le même. + +104 +00:06:21,240 --> 00:06:23,122 +Il suffit de regarder les totaux qui en résultent pour + +105 +00:06:23,122 --> 00:06:25,040 +se rendre compte qu'ils ne sont pas vraiment différents. + +106 +00:06:27,000 --> 00:06:30,297 +Mais si le facteur de croissance est de un, cela pourrait signifier que tu + +107 +00:06:30,297 --> 00:06:33,638 +es au point d'inflexion d'une logistique, ce qui signifierait que le nombre + +108 +00:06:33,638 --> 00:06:36,760 +total de cas va plafonner à environ deux fois le nombre de cas actuels. + +109 +00:06:37,200 --> 00:06:40,600 +Mais un facteur de croissance supérieur à un, aussi subtil que cela puisse paraître, + +110 +00:06:40,600 --> 00:06:42,880 +signifie que tu te trouves dans la partie exponentielle, + +111 +00:06:42,880 --> 00:06:46,320 +ce qui pourrait impliquer que des ordres de grandeur de croissance t'attendent encore. + +112 +00:06:48,720 --> 00:06:52,403 +S'il est vrai que dans le pire des cas, le point de saturation se situe autour de + +113 +00:06:52,403 --> 00:06:56,221 +la population totale, il n'est bien sûr pas du tout vrai que les personnes porteuses + +114 +00:06:56,221 --> 00:06:59,680 +du virus sont réparties au hasard dans la population mondiale de cette façon. + +115 +00:07:00,200 --> 00:07:02,160 +Les gens sont regroupés dans des communautés locales. + +116 +00:07:03,380 --> 00:07:06,906 +Cependant, si tu fais des simulations où il y a même un peu de déplacements + +117 +00:07:06,906 --> 00:07:10,480 +entre les grappes comme ici, la croissance n'est en fait pas très différente. + +118 +00:07:14,120 --> 00:07:16,617 +On se retrouve avec une sorte de modèle fractal, + +119 +00:07:16,617 --> 00:07:19,880 +où les communautés elles-mêmes fonctionnent comme des individus. + +120 +00:07:20,660 --> 00:07:23,257 +Chacun d'entre eux est exposé à d'autres personnes, + +121 +00:07:23,257 --> 00:07:26,303 +avec une certaine probabilité de propagation de l'infection, + +122 +00:07:26,303 --> 00:07:29,700 +et les mêmes lois sous-jacentes et exponentielles s'appliquent donc. + +123 +00:07:42,940 --> 00:07:45,849 +Heureusement, la saturation de l'ensemble de la population n'est pas la + +124 +00:07:45,849 --> 00:07:48,840 +seule chose qui peut faire baisser les deux facteurs qui nous intéressent. + +125 +00:07:49,660 --> 00:07:51,866 +La quantité d'exposition peut également diminuer lorsque les gens + +126 +00:07:51,866 --> 00:07:54,140 +cessent de se rassembler et de voyager, et le taux d'infection peut + +127 +00:07:54,140 --> 00:07:56,380 +diminuer lorsque les gens se lavent simplement davantage les mains. + +128 +00:07:57,100 --> 00:08:00,400 +L'autre chose qui est contre-intuitive à propos de la croissance exponentielle, + +129 +00:08:00,400 --> 00:08:03,907 +cette fois dans un sens plus optimiste, c'est à quel point elle est sensible à cette + +130 +00:08:03,907 --> 00:08:04,320 +constante. + +131 +00:08:05,020 --> 00:08:09,188 +Par exemple, s'il est de 15 %, comme c'est le cas au moment où j'enregistre cet article, + +132 +00:08:09,188 --> 00:08:12,607 +et que nous en sommes à 21 000 cas, cela signifierait que dans 61 jours, + +133 +00:08:12,607 --> 00:08:14,200 +tu auras dépassé les 100 millions. + +134 +00:08:15,020 --> 00:08:18,478 +Mais si, grâce à un peu moins d'exposition et d'infection, + +135 +00:08:18,478 --> 00:08:21,996 +ce taux tombe à 5 %, cela ne signifie pas que la projection + +136 +00:08:21,996 --> 00:08:26,100 +baisse également d'un facteur 3, elle tombe en fait à environ 400 000. + +137 +00:08:26,660 --> 00:08:28,487 +Donc si les gens sont suffisamment inquiets, il + +138 +00:08:28,487 --> 00:08:30,200 +y a beaucoup moins de raisons de s'inquiéter. + +139 +00:08:30,200 --> 00:08:32,320 +Mais si personne ne s'inquiète, c'est à ce moment-là que tu dois t'inquiéter. + diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/german/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/german/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..c51698190 --- /dev/null +++ b/2020/exponential-and-epidemics/german/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,572 @@ +1 +00:00:02,940 --> 00:00:06,403 +Der Begriff "exponentielles Wachstum" ist den meisten Menschen vertraut, + +2 +00:00:06,403 --> 00:00:09,913 +und doch fällt es der menschlichen Intuition manchmal schwer zu erkennen, + +3 +00:00:09,913 --> 00:00:11,100 +was er wirklich bedeutet. + +4 +00:00:11,320 --> 00:00:14,569 +Wir können uns an einer Reihe von scheinbar kleinen Zahlen orientieren + +5 +00:00:14,569 --> 00:00:17,818 +und sind dann überrascht, wenn diese Zahlen plötzlich groß erscheinen, + +6 +00:00:17,818 --> 00:00:21,160 +auch wenn der Gesamttrend ganz konsequent einem Exponentialverlauf folgt. + +7 +00:00:22,120 --> 00:00:25,610 +Das hier sind die Daten für die registrierten Fälle von COVID-19, + +8 +00:00:25,610 --> 00:00:30,000 +auch bekannt als Coronavirus, zumindest zu dem Zeitpunkt, an dem ich dies schreibe. + +9 +00:00:30,420 --> 00:00:33,390 +Da ich nie eine Gelegenheit für einen Matheunterricht verpasse, + +10 +00:00:33,390 --> 00:00:37,520 +dachte ich mir, dass dies ein guter Zeitpunkt ist, um uns allen noch einmal zu erklären, + +11 +00:00:37,520 --> 00:00:40,305 +was exponentielles Wachstum eigentlich ist, woher es kommt, + +12 +00:00:40,305 --> 00:00:43,600 +was es bedeutet und vor allem, woran man erkennt, dass es zu Ende geht. + +13 +00:00:44,320 --> 00:00:46,934 +Exponentielles Wachstum bedeutet, dass du von einem + +14 +00:00:46,934 --> 00:00:49,800 +Tag zum nächsten mit einer Konstante multipliziert wirst. + +15 +00:00:50,380 --> 00:00:54,836 +In unseren Daten ist die Zahl der Fälle an jedem Tag in der Regel + +16 +00:00:54,836 --> 00:00:59,360 +ein Vielfaches von etwa 1,15 bis 1,25 der Zahl der Fälle am Vortag. + +17 +00:01:00,280 --> 00:01:03,641 +Viren sind ein Paradebeispiel für diese Art von Wachstum, + +18 +00:01:03,641 --> 00:01:07,060 +denn was neue Fälle verursacht, sind die bestehenden Fälle. + +19 +00:01:09,340 --> 00:01:13,779 +Wenn die Anzahl der Fälle an einem bestimmten Tag n ist und wir sagen, + +20 +00:01:13,779 --> 00:01:18,594 +dass jede Person mit dem Virus an einem bestimmten Tag e Personen ausgesetzt + +21 +00:01:18,594 --> 00:01:23,972 +ist und jede dieser Expositionen eine Wahrscheinlichkeit p für eine Neuinfektion hat, + +22 +00:01:23,972 --> 00:01:28,600 +dann ist die Anzahl der neuen Fälle an einem bestimmten Tag e mal p mal n. + +23 +00:01:29,960 --> 00:01:33,800 +Die Tatsache, dass n selbst ein Faktor für seine eigene Veränderung ist, + +24 +00:01:33,800 --> 00:01:36,799 +macht die Dinge wirklich schnell, denn wenn n groß wird, + +25 +00:01:36,799 --> 00:01:39,640 +bedeutet das, dass die Wachstumsrate selbst groß wird. + +26 +00:01:40,480 --> 00:01:45,240 +Wenn du die neuen Fälle addierst, um das Wachstum des nächsten Tages zu erhalten, + +27 +00:01:45,240 --> 00:01:49,361 +kannst du n herausrechnen, also ist es dasselbe wie die Multiplikation + +28 +00:01:49,361 --> 00:01:51,800 +mit einer Konstante, die größer als 1 ist. + +29 +00:01:52,860 --> 00:01:55,706 +Das ist manchmal leichter zu erkennen, wenn wir die y-Achse unseres + +30 +00:01:55,706 --> 00:01:58,259 +Diagramms auf eine logarithmische Skala legen, was bedeutet, + +31 +00:01:58,259 --> 00:02:01,272 +dass jeder Schritt einer festen Entfernung der Multiplikation mit einem + +32 +00:02:01,272 --> 00:02:05,040 +bestimmten Faktor entspricht, in diesem Fall ist jeder Schritt eine weitere Potenz von 10. + +33 +00:02:05,860 --> 00:02:09,060 +Auf dieser Skala sollte das exponentielle Wachstum wie eine gerade Linie aussehen. + +34 +00:02:09,060 --> 00:02:12,339 +Wenn du dir unsere Daten ansiehst, scheint es 20 Tage zu dauern, + +35 +00:02:12,339 --> 00:02:16,124 +um von 100 auf 1000 zu kommen, und 13 Tage, um davon auf 10.000 zu kommen. + +36 +00:02:16,124 --> 00:02:18,848 +Wenn du eine einfache lineare Regression durchführst, + +37 +00:02:18,848 --> 00:02:22,532 +um die am besten passende Linie zu finden, kannst du die Steigung dieser + +38 +00:02:22,532 --> 00:02:26,266 +Linie betrachten und zu dem Schluss kommen, dass wir im Durchschnitt alle + +39 +00:02:26,266 --> 00:02:27,780 +16 Tage mit 10 multiplizieren. + +40 +00:02:28,620 --> 00:02:31,734 +Mit dieser Regression können wir auch ein wenig genauer bestimmen, + +41 +00:02:31,734 --> 00:02:34,058 +wie eng die exponentielle Anpassung wirklich ist, + +42 +00:02:34,058 --> 00:02:37,311 +und um den statistischen Fachjargon zu verwenden, lautet die Antwort, + +43 +00:02:37,311 --> 00:02:38,520 +dass sie verdammt eng ist. + +44 +00:02:39,040 --> 00:02:42,040 +Aber es kann schwer zu verdauen sein, was genau das bedeutet, wenn es stimmt. + +45 +00:02:42,580 --> 00:02:46,331 +Wenn du ein Land mit, sagen wir, 6000 Fällen siehst und ein anderes mit 60, + +46 +00:02:46,331 --> 00:02:50,675 +ist es leicht zu denken, dass das zweite Land 100 Mal besser dasteht und es ihm deshalb + +47 +00:02:50,675 --> 00:02:51,120 +gut geht. + +48 +00:02:51,680 --> 00:02:53,752 +Wenn du dich aber in einer Situation befindest, + +49 +00:02:53,752 --> 00:02:56,300 +in der sich die Zahlen alle 16 Tage mit 10 multiplizieren, + +50 +00:02:56,300 --> 00:02:59,365 +kann man die gleiche Tatsache auch so sehen, dass das zweite Land etwa + +51 +00:02:59,365 --> 00:03:00,920 +einen Monat hinter dem ersten liegt. + +52 +00:03:01,600 --> 00:03:04,620 +Das ist natürlich ziemlich besorgniserregend, wenn du die Linie ausziehst. + +53 +00:03:04,620 --> 00:03:08,985 +Ich nehme dies am 6. März auf, und wenn der derzeitige Trend anhält, + +54 +00:03:08,985 --> 00:03:13,478 +würde das bedeuten, dass wir in 30 Tagen eine Million Fälle erreichen, + +55 +00:03:13,478 --> 00:03:18,540 +in 47 Tagen 10 Millionen, in 64 Tagen 100 Millionen und in 81 Tagen 1 Milliarde. + +56 +00:03:19,440 --> 00:03:22,766 +Natürlich kann man eine solche Linie nicht ewig ziehen, + +57 +00:03:22,766 --> 00:03:25,440 +sondern sie muss sich irgendwann abschwächen. + +58 +00:03:25,700 --> 00:03:27,520 +Aber die entscheidende Frage ist, wann. + +59 +00:03:28,340 --> 00:03:30,838 +Ist es so wie beim SARS-Ausbruch im Jahr 2002, + +60 +00:03:30,838 --> 00:03:35,303 +bei dem etwa 8000 Fälle auftraten, oder wie bei der Spanischen Grippe im Jahr 1918, + +61 +00:03:35,303 --> 00:03:38,440 +an der schließlich etwa 27% der Weltbevölkerung erkrankten? + +62 +00:03:39,620 --> 00:03:42,684 +Im Allgemeinen ist es keine gute Methode, ohne Kontext einfach eine Linie + +63 +00:03:42,684 --> 00:03:45,748 +durch deine Daten zu ziehen, um Vorhersagen zu treffen, aber denke daran, + +64 +00:03:45,748 --> 00:03:49,020 +dass es einen tatsächlichen Grund gibt, hier einen Exponentialwert zu erwarten. + +65 +00:03:49,340 --> 00:03:53,317 +Wenn die Anzahl der neuen Fälle pro Tag proportional zur Anzahl der bestehenden + +66 +00:03:53,317 --> 00:03:57,245 +Fälle ist, bedeutet das, dass du jeden Tag mit einer Konstante multiplizierst. + +67 +00:03:57,245 --> 00:04:01,074 +d Tage vorwärts zu gehen ist also dasselbe wie d Mal mit dieser Konstante zu + +68 +00:04:01,074 --> 00:04:01,820 +multiplizieren. + +69 +00:04:02,420 --> 00:04:06,900 +Das kann nur aufhören, wenn entweder die Zahl E oder P sinkt. + +70 +00:04:07,980 --> 00:04:09,920 +Es ist unvermeidlich, dass das irgendwann passiert. + +71 +00:04:10,600 --> 00:04:14,194 +Selbst im perfektesten Modell für ein Virus, bei dem jede Person mit + +72 +00:04:14,194 --> 00:04:18,727 +der Infektion jeden Tag einer zufälligen Teilmenge der Weltbevölkerung ausgesetzt ist, + +73 +00:04:18,727 --> 00:04:21,801 +wären die meisten der Menschen, denen sie ausgesetzt sind, + +74 +00:04:21,801 --> 00:04:25,500 +irgendwann bereits krank und könnten nicht mehr zu neuen Fällen werden. + +75 +00:04:27,780 --> 00:04:30,758 +In unserer Gleichung würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit, + +76 +00:04:30,758 --> 00:04:34,119 +dass eine Exposition zu einer Neuinfektion führt, einen Faktor enthalten muss, + +77 +00:04:34,119 --> 00:04:37,523 +der die Wahrscheinlichkeit berücksichtigt, dass jemand, dem du ausgesetzt bist, + +78 +00:04:37,523 --> 00:04:38,460 +bereits infiziert ist. + +79 +00:04:39,240 --> 00:04:41,847 +Für ein Zufallsmischungsmodell wie dieses könnte das bedeuten, + +80 +00:04:41,847 --> 00:04:44,785 +dass man einen Faktor wie 1 minus den Anteil der Menschen in der Welt, + +81 +00:04:44,785 --> 00:04:46,400 +die bereits infiziert sind, einbezieht. + +82 +00:04:47,700 --> 00:04:53,020 +Wenn du diesen Faktor einbeziehst und dann die Lösung für das Wachstum von N findest, + +83 +00:04:53,020 --> 00:04:55,680 +erhältst du das, was im Modell bekannt ist. + +84 +00:04:55,680 --> 00:04:58,315 +Am Anfang ist es nicht möglich, von einem Exponentialwert auszugehen, + +85 +00:04:58,315 --> 00:05:01,665 +aber letztendlich gleicht es sich aus, wenn du dich der Gesamtbevölkerungsgröße näherst, + +86 +00:05:01,665 --> 00:05:02,720 +was ja auch zu erwarten ist. + +87 +00:05:03,360 --> 00:05:06,604 +Echte Exponentiale gibt es in der realen Welt im Grunde genommen nie, + +88 +00:05:06,604 --> 00:05:09,200 +jeder von ihnen ist der Anfang einer logistischen Kurve. + +89 +00:05:10,040 --> 00:05:13,550 +Dieser Punkt hier, an dem die logistische Kurve nicht mehr nach oben, + +90 +00:05:13,550 --> 00:05:16,560 +sondern nach unten verläuft, wird als Wendepunkt bezeichnet. + +91 +00:05:17,320 --> 00:05:21,596 +Dort hört die Zahl der neuen Fälle pro Tag, die durch die Steigung dieser Kurve + +92 +00:05:21,596 --> 00:05:24,963 +dargestellt wird, auf zu steigen und bleibt ungefähr konstant, + +93 +00:05:24,963 --> 00:05:26,460 +bevor sie zu sinken beginnt. + +94 +00:05:30,140 --> 00:05:34,162 +Eine Zahl, die bei Epidemien oft verfolgt wird, ist der Wachstumsfaktor, + +95 +00:05:34,162 --> 00:05:37,799 +der als das Verhältnis zwischen der Zahl der neuen Fälle an einem + +96 +00:05:37,799 --> 00:05:40,940 +Tag und der Zahl der neuen Fälle am Vortag definiert ist. + +97 +00:05:42,340 --> 00:05:45,898 +Nur um das klarzustellen: Wenn du dir alle Summen von einem Tag zum nächsten + +98 +00:05:45,898 --> 00:05:49,133 +ansiehst und dann die Veränderungen zwischen diesen Summen verfolgst, + +99 +00:05:49,133 --> 00:05:53,200 +ist der Wachstumsfaktor ein Verhältnis zwischen zwei aufeinanderfolgenden Veränderungen. + +100 +00:05:55,440 --> 00:05:57,643 +Solange du dich im exponentiellen Bereich befindest, + +101 +00:05:57,643 --> 00:06:00,762 +bleibt dieser Faktor konstant über eins, während es ein Zeichen dafür ist, + +102 +00:06:00,762 --> 00:06:04,380 +dass du den Wendepunkt erreicht hast, sobald dein Wachstumsfaktor näher bei eins liegt. + +103 +00:06:05,560 --> 00:06:08,840 +Das kann zu einer weiteren kontraintuitiven Tatsache führen, wenn du die Daten verfolgst. + +104 +00:06:09,320 --> 00:06:12,987 +Stell dir vor, wie es sich anfühlt, wenn die Zahl der neuen Fälle an + +105 +00:06:12,987 --> 00:06:16,707 +einem Tag etwa 15 % höher ist als die Zahl der neuen Fälle am Vortag, + +106 +00:06:16,707 --> 00:06:20,640 +und stell dem gegenüber, wie es sich anfühlt, wenn sie etwa gleich bleibt. + +107 +00:06:21,240 --> 00:06:23,197 +Wenn man sich die Summen ansieht, die sie ergeben, + +108 +00:06:23,197 --> 00:06:25,040 +fühlen sie sich gar nicht so unterschiedlich an. + +109 +00:06:27,000 --> 00:06:29,904 +Aber wenn der Wachstumsfaktor eins ist, könnte das bedeuten, + +110 +00:06:29,904 --> 00:06:33,379 +dass du dich am Wendepunkt einer Logistik befindest, was bedeuten würde, + +111 +00:06:33,379 --> 00:06:36,760 +dass die Gesamtzahl der Fälle etwa doppelt so hoch sein wird wie jetzt. + +112 +00:06:37,200 --> 00:06:40,240 +Aber ein Wachstumsfaktor, der größer als eins ist, bedeutet, + +113 +00:06:40,240 --> 00:06:43,678 +dass du dich im exponentiellen Bereich befindest, was bedeuten kann, + +114 +00:06:43,678 --> 00:06:46,320 +dass noch Größenordnungen an Wachstum vor dir liegen. + +115 +00:06:48,720 --> 00:06:52,173 +Es stimmt zwar, dass der Sättigungspunkt im schlimmsten Fall bei der + +116 +00:06:52,173 --> 00:06:55,526 +Gesamtbevölkerung liegt, aber es stimmt natürlich überhaupt nicht, + +117 +00:06:55,526 --> 00:06:59,680 +dass die Menschen mit dem Virus so zufällig über die Weltbevölkerung verteilt sind. + +118 +00:07:00,200 --> 00:07:02,160 +Die Menschen sind in lokalen Gemeinschaften zusammengeschlossen. + +119 +00:07:03,380 --> 00:07:06,930 +Wenn du jedoch Simulationen durchführst, bei denen auch nur ein bisschen zwischen + +120 +00:07:06,930 --> 00:07:10,480 +den Clustern hin- und hergefahren wird, ist das Wachstum gar nicht so viel anders. + +121 +00:07:14,120 --> 00:07:16,919 +Das Ergebnis ist eine Art fraktales Muster, bei dem + +122 +00:07:16,919 --> 00:07:19,880 +die Gemeinschaften selbst wie Individuen funktionieren. + +123 +00:07:20,660 --> 00:07:23,689 +Jeder von ihnen ist in gewissem Maße anderen ausgesetzt und hat + +124 +00:07:23,689 --> 00:07:26,623 +eine gewisse Wahrscheinlichkeit, die Infektion zu verbreiten, + +125 +00:07:26,623 --> 00:07:29,700 +sodass dieselben grundlegenden und exponentiellen Gesetze gelten. + +126 +00:07:42,940 --> 00:07:45,870 +Glücklicherweise ist die Sättigung der Gesamtbevölkerung nicht das Einzige, + +127 +00:07:45,870 --> 00:07:48,840 +was dazu führen kann, dass die beiden Faktoren, die uns wichtig sind, sinken. + +128 +00:07:49,660 --> 00:07:51,305 +Die Menge der Exposition kann auch zurückgehen, + +129 +00:07:51,305 --> 00:07:53,122 +wenn die Menschen aufhören zu sammeln und zu reisen, + +130 +00:07:53,122 --> 00:07:55,317 +und die Infektionsrate kann zurückgehen, wenn die Menschen sich + +131 +00:07:55,317 --> 00:07:56,380 +einfach mehr die Hände waschen. + +132 +00:07:57,100 --> 00:08:00,181 +Die andere Sache, die bei exponentiellem Wachstum kontraintuitiv ist, + +133 +00:08:00,181 --> 00:08:03,923 +diesmal in einem optimistischeren Sinne, ist, wie empfindlich es auf diese Konstante + +134 +00:08:03,923 --> 00:08:04,320 +reagiert. + +135 +00:08:05,020 --> 00:08:08,681 +Wenn es zum Beispiel 15 % sind, wie jetzt, während ich das aufzeichne, + +136 +00:08:08,681 --> 00:08:11,672 +und wir jetzt bei 21.000 Fällen sind, würde das bedeuten, + +137 +00:08:11,672 --> 00:08:14,200 +dass du in 61 Tagen über 100 Millionen erreichst. + +138 +00:08:15,020 --> 00:08:19,753 +Aber wenn diese Rate durch eine etwas geringere Exposition und Infektion auf 5 % sinkt, + +139 +00:08:19,753 --> 00:08:23,303 +bedeutet das nicht, dass die Prognose auch um den Faktor 3 sinkt, + +140 +00:08:23,303 --> 00:08:26,100 +sondern dass sie tatsächlich auf etwa 400.000 sinkt. + +141 +00:08:26,660 --> 00:08:28,251 +Wenn die Menschen also ausreichend besorgt sind, + +142 +00:08:28,251 --> 00:08:30,200 +gibt es viel weniger, worüber sie sich Sorgen machen müssen. + +143 +00:08:30,200 --> 00:08:32,320 +Aber wenn sich niemand Sorgen macht, dann solltest du dir Sorgen machen. + diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/hebrew/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/hebrew/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..f5e0a88a6 --- /dev/null +++ b/2020/exponential-and-epidemics/hebrew/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,396 @@ +1 +00:00:02,940 --> 00:00:06,771 +הביטוי צמיחה אקספוננציאלית מוכר לרוב האנשים, ובכל זאת + +2 +00:00:06,771 --> 00:00:11,100 +האינטואיציה האנושית מתקשה באמת לזהות מה המשמעות של זה לפעמים. + +3 +00:00:11,320 --> 00:00:16,270 +אנחנו יכולים לעגן על רצף של מספרים קטנים לכאורה ואז להיות מופתעים כשלפתע המספרים + +4 +00:00:16,270 --> 00:00:21,160 +האלה נראים גדולים, גם אם המגמה הכללית עוקבת אחר אקספוננציאלי באופן עקבי לחלוטין. + +5 +00:00:22,120 --> 00:00:26,322 +זה ממש כאן הם הנתונים עבור המקרים המתועדים של COVID-19, + +6 +00:00:26,322 --> 00:00:30,000 +הלא הוא נגיף הקורונה, לפחות בזמן שאני כותב את זה. + +7 +00:00:30,420 --> 00:00:34,790 +אף פעם לא מבזבז הזדמנות לשיעור מתמטיקה, חשבתי שזה יכול להיות זמן + +8 +00:00:34,790 --> 00:00:38,691 +טוב לכולנו לחזור ליסודות על מהי באמת צמיחה אקספוננציאלית, + +9 +00:00:38,691 --> 00:00:43,600 +מאיפה היא מגיעה, מה היא מרמזת ואולי הכי דחוף איך לדעת מתי זה מגיע לסיומו. + +10 +00:00:44,320 --> 00:00:49,800 +צמיחה אקספוננציאלית פירושה שכאשר עוברים מיום אחד למשנהו, היא כרוכה בהכפלה בקבוע כלשהו. + +11 +00:00:50,380 --> 00:00:55,304 +בנתונים שלנו, מספר המקרים בכל יום נוטה להיות כפולה + +12 +00:00:55,304 --> 00:00:59,360 +של כ-1.15 עד 1.25 ממספר המקרים ביום הקודם. + +13 +00:01:00,280 --> 00:01:07,060 +וירוסים הם דוגמה ספרית לגידול מסוג זה, כי מה שגורם למקרים חדשים הם המקרים הקיימים. + +14 +00:01:09,340 --> 00:01:17,977 +אם מספר המקרים ביום נתון הוא n, ואנו אומרים שכל אדם עם הנגיף נחשף ל-e אנשים ביום נתון, + +15 +00:01:17,977 --> 00:01:23,238 +ולכל אחת מהחשיפות הללו יש סבירות p להפוך לזיהום חדש, + +16 +00:01:23,238 --> 00:01:28,600 +אז המספר של מקרים חדשים ביום נתון הוא e כפול p כפול n. + +17 +00:01:29,960 --> 00:01:35,862 +העובדה ש-n עצמו הוא גורם בשינוי של עצמו היא מה שבאמת גורם לדברים ללכת מהר, + +18 +00:01:35,862 --> 00:01:39,640 +כי אם n גדל, זה אומר שקצב הצמיחה עצמו הולך וגדל. + +19 +00:01:40,480 --> 00:01:46,104 +אחת הדרכים לחשוב על זה היא שכאשר אתה מוסיף את המקרים החדשים כדי לקבל את הצמיחה + +20 +00:01:46,104 --> 00:01:51,800 +של היום הבא, אתה יכול לחשב את ה-n, כך שזה בדיוק כמו הכפלה בקבוע כלשהו שגדול מ-1. + +21 +00:01:52,860 --> 00:01:58,375 +זה לפעמים קל יותר לראות אם שמים את ציר ה-y של הגרף שלנו בסולם לוגריתמי, + +22 +00:01:58,375 --> 00:02:05,040 +כלומר כל צעד ממרחק קבוע מתאים להכפלה בגורם מסוים, במקרה זה כל צעד הוא חזקה נוספת של 10. + +23 +00:02:05,860 --> 00:02:09,060 +בקנה מידה זה, צמיחה אקספוננציאלית צריכה להיראות כמו קו ישר. + +24 +00:02:09,060 --> 00:02:13,795 +בהסתכלות על הנתונים שלנו, נראה שלקח 20 ימים לעבור מ-100 ל-1000, + +25 +00:02:13,795 --> 00:02:20,084 +ו-13 ימים לעבור מזה ל-10,000, ואם תבצע רגרסיה ליניארית פשוטה כדי למצוא את הקו המתאים + +26 +00:02:20,084 --> 00:02:26,448 +ביותר, תוכל להסתכל על השיפוע של הקו הזה כדי להסיק מסקנה כאילו אנחנו נוטים להכפיל ב-10 + +27 +00:02:26,448 --> 00:02:27,780 +כל 16 ימים בממוצע. + +28 +00:02:28,620 --> 00:02:33,661 +הרגרסיה הזו גם מאפשרת לנו להיות קצת יותר כמותיים לגבי עד כמה ההתאמה האקספוננציאלית + +29 +00:02:33,661 --> 00:02:38,520 +באמת קרובה, וכדי להשתמש בז'רגון הסטטיסטי הטכני כאן, התשובה היא שזה ממש קרוב. + +30 +00:02:39,040 --> 00:02:42,040 +אבל זה יכול להיות קשה לעכל בדיוק מה זה אומר אם זה נכון. + +31 +00:02:42,580 --> 00:02:47,140 +כשאתה רואה מדינה אחת עם, נניח, 6000 מקרים ואחרת עם 60, + +32 +00:02:47,140 --> 00:02:51,120 +קל לחשוב שהשנייה מצליחה פי 100 יותר, ומכאן בסדר. + +33 +00:02:51,680 --> 00:02:55,620 +אבל אם אתה באמת במצב שבו המספרים מוכפלים ב-10 כל 16 ימים, + +34 +00:02:55,620 --> 00:03:00,920 +דרך נוספת לראות את אותה עובדה היא שהמדינה השנייה נמצאת בערך חודש אחרי הראשונה. + +35 +00:03:01,600 --> 00:03:04,620 +זה כמובן די מדאיג אם אתה מתווה את הקו. + +36 +00:03:04,620 --> 00:03:12,276 +אני רושם את זה ב-6 במרץ, ואם המגמה הנוכחית תימשך, זה אומר להגיע למיליון מקרים ב-30 יום, + +37 +00:03:12,276 --> 00:03:18,540 +להגיע ל-10 מיליון ב-47 ימים, ל-100 מיליון ב-64 ימים ולמיליארד ב-81 ימים. + +38 +00:03:19,440 --> 00:03:23,198 +מיותר לציין, עם זאת, אתה לא יכול פשוט לשרטט קו כזה לנצח, + +39 +00:03:23,198 --> 00:03:25,440 +ברור שהוא חייב להתחיל להאט מתישהו. + +40 +00:03:25,700 --> 00:03:27,520 +אבל השאלה המכרעת היא מתי. + +41 +00:03:28,340 --> 00:03:32,774 +האם זה כמו התפרצות ה-SARS של 2002 שגמרה כ-8000 מקרים, + +42 +00:03:32,774 --> 00:03:38,440 +או השפעת הספרדית של 1918 שבסופו של דבר הדביקה כ-27% מאוכלוסיית העולם? + +43 +00:03:39,620 --> 00:03:45,860 +באופן כללי, ללא הקשר, רק ציור קו דרך הנתונים שלך הוא לא דרך מצוינת לעשות תחזיות, + +44 +00:03:45,860 --> 00:03:49,020 +אבל זכור, יש סיבה ממשית לצפות כאן מעריכי. + +45 +00:03:49,340 --> 00:03:54,655 +אם מספר המקרים החדשים בכל יום הוא פרופורציונלי למספר המקרים הקיימים, + +46 +00:03:54,655 --> 00:04:00,741 +זה בהכרח אומר שכל יום אתה מכפיל בקבוע כלשהו, כך שהולכת ד ימים קדימה זהה להכפלה + +47 +00:04:00,741 --> 00:04:01,820 +בקבוע d פעמים. + +48 +00:04:02,420 --> 00:04:06,900 +הדרך היחידה לעצור היא אם המספר E או P יורד. + +49 +00:04:07,980 --> 00:04:09,920 +זה בלתי נמנע שזה יקרה בסופו של דבר. + +50 +00:04:10,600 --> 00:04:15,516 +אפילו במודל ההרסני ביותר עבור וירוס, שבו כל יום כל אדם עם הזיהום + +51 +00:04:15,516 --> 00:04:20,356 +נחשף לתת-קבוצה אקראית של אוכלוסיית העולם, בשלב מסוים רוב האנשים + +52 +00:04:20,356 --> 00:04:25,500 +שהם נחשפים אליהם כבר יהיו חולים, ולכן הם לא יכלו להפוך למקרים חדשים. + +53 +00:04:27,780 --> 00:04:33,240 +במשוואה שלנו, זה אומר שההסתברות שחשיפה תהפוך לזיהום חדש תצטרך לכלול + +54 +00:04:33,240 --> 00:04:38,460 +גורם כלשהו כדי להסביר את ההסתברות שמישהו שאתה חשוף אליו כבר נגוע. + +55 +00:04:39,240 --> 00:04:42,752 +עבור מודל דשדוש אקראי כמו זה, פירוש הדבר יכול להיות + +56 +00:04:42,752 --> 00:04:46,400 +הכללת פקטור כמו 1 פחות שיעור האנשים בעולם שכבר נגועים. + +57 +00:04:47,700 --> 00:04:55,680 +אם נכלול את הגורם הזה, ואז תפתור איך N גדל, אתה מקבל את מה שידוע במודל. + +58 +00:04:55,680 --> 00:04:59,288 +זה לא אפשרי מאקספוננציאלי בהתחלה, אבל בסופו של דבר זה מתיישר + +59 +00:04:59,288 --> 00:05:02,720 +ברגע שאתה מתקרב לגודל האוכלוסייה הכולל, וזה מה שהיית מצפה. + +60 +00:05:03,360 --> 00:05:06,816 +אקספוננציאלים אמיתיים למעשה לעולם לא קיימים בעולם האמיתי, + +61 +00:05:06,816 --> 00:05:09,200 +כל אחד מהם הוא תחילתה של עקומה לוגיסטית. + +62 +00:05:10,040 --> 00:05:15,281 +הנקודה הזו ממש כאן, שבה העקומה הלוגיסטית הזו עוברת מהתעקלות כלפי מעלה לכיוון מטה, + +63 +00:05:15,281 --> 00:05:16,560 +ידועה כנקודת הפיתול. + +64 +00:05:17,320 --> 00:05:22,565 +שם, מספר המקרים החדשים בכל יום, המיוצג על ידי השיפוע של עקומה זו, + +65 +00:05:22,565 --> 00:05:26,460 +מפסיק לגדול ונשאר כמעט קבוע לפני שהוא מתחיל לרדת. + +66 +00:05:30,140 --> 00:05:35,314 +מספר אחד שאנשים עוקבים אחריו לעתים קרובות עם מגיפות הוא גורם הגדילה, + +67 +00:05:35,314 --> 00:05:40,940 +המוגדר כיחס בין מספר המקרים החדשים ביום אחד למספר המקרים החדשים ביום הקודם. + +68 +00:05:42,340 --> 00:05:46,884 +רק כדי להיות ברור, אם היית מסתכל על כל הסכומים מהיום למחר, + +69 +00:05:46,884 --> 00:05:53,200 +אז עוקב אחר השינויים בין הסכומים הללו, גורם הצמיחה הוא יחס בין שני שינויים עוקבים. + +70 +00:05:55,440 --> 00:05:59,566 +בזמן שאתה בחלק האקספוננציאלי, גורם זה נשאר בעקביות מעל אחד, + +71 +00:05:59,566 --> 00:06:04,380 +בעוד שברגע שגורם הצמיחה שלך נראה קרוב יותר לאחד, זה סימן שהגעת לנטייה. + +72 +00:06:05,560 --> 00:06:08,840 +זה יכול לגרום לעובדה סותרת נוספת תוך כדי מעקב אחר הנתונים. + +73 +00:06:09,320 --> 00:06:15,100 +חשבו איך זה ירגיש שמספר המקרים החדשים ביום אחד יהיה בערך 15% יותר ממספר + +74 +00:06:15,100 --> 00:06:20,640 +המקרים החדשים ביום הקודם, ועמד זאת לעומת איך שזה יהיה בערך אותו הדבר. + +75 +00:06:21,240 --> 00:06:25,040 +רק כשמסתכלים על הסכומים שהם מתקבלים, הם לא באמת מרגישים כל כך שונים. + +76 +00:06:27,000 --> 00:06:31,662 +אבל אם גורם הצמיחה הוא אחד, זה יכול להיות שאתה בנקודת הפיתול של לוגיסטיקה, + +77 +00:06:31,662 --> 00:06:36,760 +מה שאומר שמספר המקרים הכולל יגיע למקסימום בערך פי שניים בכל מקום שבו אתה נמצא כעת. + +78 +00:06:37,200 --> 00:06:42,497 +אבל גורם צמיחה גדול מאחד, למרות שזה נראה עדין, פירושו שאתה בחלק האקספוננציאלי, + +79 +00:06:42,497 --> 00:06:46,320 +מה שיכול לרמוז שיש סדרי גודל של צמיחה שעדיין מחכים לפניך. + +80 +00:06:48,720 --> 00:06:54,061 +עכשיו, אמנם זה נכון שבמקרה הגרוע ביותר נקודת הרוויה היא סביב כלל האוכלוסייה, + +81 +00:06:54,061 --> 00:06:59,680 +אבל זה כמובן לא נכון שאנשים עם הנגיף מדבבים באופן אקראי ברחבי אוכלוסיית העולם כך. + +82 +00:07:00,200 --> 00:07:02,160 +אנשים מקובצים בקהילות מקומיות. + +83 +00:07:03,380 --> 00:07:08,581 +עם זאת, אם אתה מפעיל סימולציות שבהן יש אפילו קצת מעבר בין אשכולות כמו זה, + +84 +00:07:08,581 --> 00:07:10,480 +הצמיחה למעשה לא כל כך שונה. + +85 +00:07:14,120 --> 00:07:19,880 +מה שאתה בסופו של דבר הוא סוג של דפוס פרקטלי, שבו קהילות עצמן מתפקדות כמו אינדיבידואלים. + +86 +00:07:20,660 --> 00:07:25,612 +לכל אחד יש חשיפה מסוימת לאחרים, עם סבירות מסוימת להפצת הזיהום, + +87 +00:07:25,612 --> 00:07:29,700 +ולכן חלים אותם חוקים בסיסיים ומעוררי אקספוננציאליים. + +88 +00:07:42,940 --> 00:07:45,829 +למרבה המזל, הרוויה של כל האוכלוסייה היא לא הדבר + +89 +00:07:45,829 --> 00:07:48,840 +היחיד שיכול לגרום לשני הגורמים שאכפת לנו מהם לרדת. + +90 +00:07:49,660 --> 00:07:52,992 +כמות החשיפה יכולה לרדת גם כאשר אנשים מפסיקים להתאסף ולנסוע, + +91 +00:07:52,992 --> 00:07:56,380 +ושיעור ההדבקה יכול לרדת כאשר אנשים פשוט שוטפים את ידיהם יותר. + +92 +00:07:57,100 --> 00:08:00,774 +הדבר השני שנוגד את האינטואיציה לגבי צמיחה אקספוננציאלית, + +93 +00:08:00,774 --> 00:08:04,320 +הפעם במובן אופטימי יותר, הוא עד כמה הוא רגיש לקבוע הזה. + +94 +00:08:05,020 --> 00:08:10,499 +לדוגמה, אם זה 15%, כמו שזה כמו שאני רושם את זה, ואנחנו עכשיו ב-21,000 מקרים, + +95 +00:08:10,499 --> 00:08:14,200 +זה אומר ש-61 ימים מהיום אתה מגיע ליותר מ-100 מיליון. + +96 +00:08:15,020 --> 00:08:20,133 +אבל אם באמצעות קצת פחות חשיפה וזיהום, השיעור הזה יורד ל-5%, + +97 +00:08:20,133 --> 00:08:26,100 +זה לא אומר שהתחזית תרד גם בפקטור של 3, הוא למעשה יורד לסביבות 400,000. + +98 +00:08:26,660 --> 00:08:30,200 +אז אם אנשים מודאגים מספיק, יש הרבה פחות מה לדאוג. + +99 +00:08:30,200 --> 00:08:32,320 +אבל אם אף אחד לא מודאג, זה הזמן שאתה צריך לדאוג. + diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/hindi/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/hindi/auto_generated.srt index ee4cdf0fd..f79bcdc19 100644 --- a/2020/exponential-and-epidemics/hindi/auto_generated.srt +++ b/2020/exponential-and-epidemics/hindi/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:02,939 --> 00:00:06,230 +00:00:02,940 --> 00:00:06,230 घातीय वृद्धि वाक्यांश अधिकांश लोगों से परिचित है, 2 @@ -63,31 +63,31 @@ 15 से 1. पिछले दिन केसों की संख्या 25. 17 -00:01:00,280 --> 00:01:03,442 +00:01:00,280 --> 00:01:04,002 वायरस इस प्रकार की वृद्धि का एक पाठ्यपुस्तक उदाहरण हैं, 18 -00:01:03,442 --> 00:01:06,040 +00:01:04,002 --> 00:01:07,060 क्योंकि नए मामलों का कारण मौजूदा मामले ही हैं। 19 -00:01:06,040 --> 00:01:09,683 +00:01:09,340 --> 00:01:12,450 यदि किसी दिए गए दिन में मामलों की संख्या n है, 20 -00:01:09,683 --> 00:01:15,188 +00:01:12,450 --> 00:01:17,149 और हम कहते हैं कि वायरस से पीड़ित प्रत्येक व्यक्ति किसी दिए गए दिन में 21 -00:01:15,188 --> 00:01:20,847 +00:01:17,149 --> 00:01:21,981 औसतन ई लोगों के संपर्क में आता है, और उनमें से प्रत्येक जोखिम में एक नया 22 -00:01:20,847 --> 00:01:26,429 +00:01:21,981 --> 00:01:26,746 संक्रमण बनने की संभावना p होती है , तो किसी दिए गए दिन में नए मामलों की 23 -00:01:26,429 --> 00:01:28,600 +00:01:26,746 --> 00:01:28,600 संख्या ई गुना पी गुना एन है। 24 @@ -287,31 +287,31 @@ शामिल करना होगा कि आप जिस व्यक्ति के संपर्क में आए हैं वह पहले से ही संक्रमित है। 73 -00:04:39,240 --> 00:04:42,434 +00:04:39,240 --> 00:04:42,894 इस तरह के यादृच्छिक फेरबदल मॉडल के लिए, इसका मतलब यह हो सकता है कि दुनिया 74 -00:04:42,434 --> 00:04:45,500 +00:04:42,894 --> 00:04:46,400 में पहले से ही संक्रमित लोगों के अनुपात को घटाकर 1 कारक शामिल किया जाए। 75 -00:04:45,500 --> 00:04:49,307 +00:04:47,700 --> 00:04:51,021 उस कारक को शामिल करने और फिर n कैसे बढ़ता है, इसका समाधान करने पर, 76 -00:04:49,307 --> 00:04:53,683 +00:04:51,021 --> 00:04:54,838 आपको वह मिलता है जिसे व्यवसाय में एक लॉजिस्टिक वक्र के रूप में जाना जाता है, 77 -00:04:53,683 --> 00:04:56,866 +00:04:54,838 --> 00:04:57,614 जो शुरुआत में एक घातीय से अनिवार्य रूप से अप्रभेद्य है, 78 -00:04:56,866 --> 00:05:01,299 +00:04:57,614 --> 00:05:01,480 लेकिन जब आप कुल जनसंख्या आकार के करीब पहुंचते हैं तो अंततः समाप्त हो जाता है, 79 -00:05:01,299 --> 00:05:02,720 +00:05:01,480 --> 00:05:02,720 जो आप यही अपेक्षा करेंगे। 80 @@ -323,19 +323,19 @@ उनमें से हर एक वास्तव में एक लॉजिस्टिक वक्र की शुरुआत है। 82 -00:05:10,040 --> 00:05:14,269 +00:05:10,040 --> 00:05:14,545 यहीं पर यह बिंदु, जहां वह रसद ऊपर की ओर मुड़ने से लेकर नीचे की ओर मुड़ने तक जाती है, 83 -00:05:14,269 --> 00:05:16,160 +00:05:14,545 --> 00:05:16,560 विभक्ति बिंदु के रूप में जाना जाता है। 84 -00:05:16,160 --> 00:05:21,390 +00:05:17,320 --> 00:05:21,961 वहां, इस वक्र के ढलान द्वारा दर्शाए गए प्रत्येक दिन नए मामलों की 85 -00:05:21,390 --> 00:05:26,460 +00:05:21,961 --> 00:05:26,460 संख्या बढ़ना बंद हो जाती है और घटने से पहले लगभग स्थिर रहती है। 86 @@ -419,7 +419,7 @@ है कि विकास की परिमाण के आदेश अभी भी आपके आगे इंतजार कर रहे हैं। 106 -00:06:48,719 --> 00:06:53,503 +00:06:48,720 --> 00:06:53,503 अब जबकि यह सच है कि सबसे खराब स्थिति में संतृप्ति बिंदु कुल आबादी के आसपास है, 107 diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/hungarian/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/hungarian/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..58c6df215 --- /dev/null +++ b/2020/exponential-and-epidemics/hungarian/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,524 @@ +1 +00:00:02,940 --> 00:00:07,049 +Az exponenciális növekedés kifejezés a legtöbb ember számára ismerős, + +2 +00:00:07,049 --> 00:00:11,100 +mégis az emberi intuíció néha nehezen ismeri fel, hogy mit is jelent. + +3 +00:00:11,320 --> 00:00:14,444 +Rögzülhetünk egy sor kis számnak tűnő számon, majd meglepődhetünk, + +4 +00:00:14,444 --> 00:00:17,242 +amikor ezek a számok hirtelen nagynak tűnnek, még akkor is, + +5 +00:00:17,242 --> 00:00:21,160 +ha az általános trend tökéletesen következetesen követi az exponenciális tendenciát. + +6 +00:00:22,120 --> 00:00:27,373 +Ez itt a COVID-19, azaz a koronavírus regisztrált eseteinek adatai, + +7 +00:00:27,373 --> 00:00:30,000 +legalábbis akkor, amikor ezt írom. + +8 +00:00:30,420 --> 00:00:33,263 +Soha nem szoktam elszalasztani a lehetőséget egy matekleckére, + +9 +00:00:33,263 --> 00:00:36,513 +ezért úgy gondoltam, hogy ez egy jó alkalom lenne mindannyiunk számára, + +10 +00:00:36,513 --> 00:00:39,763 +hogy visszatérjünk az alapokhoz, hogy mi is az exponenciális növekedés, + +11 +00:00:39,763 --> 00:00:43,600 +honnan ered, mit jelent, és talán a legfontosabb, hogy honnan tudjuk, mikor ér véget. + +12 +00:00:44,320 --> 00:00:47,015 +Az exponenciális növekedés azt jelenti, hogy egyik napról a + +13 +00:00:47,015 --> 00:00:49,800 +másikra haladva valamilyen állandósággal való szorzást jelent. + +14 +00:00:50,380 --> 00:00:55,401 +Adataink szerint az egyes napok esetszáma általában + +15 +00:00:55,401 --> 00:00:59,360 +az előző napi esetszám 1,15-1,25-szerese. + +16 +00:01:00,280 --> 00:01:03,828 +A vírusok tankönyvi példája ennek a fajta növekedésnek, + +17 +00:01:03,828 --> 00:01:07,060 +mivel az új esetek a már meglévő esetekből adódnak. + +18 +00:01:09,340 --> 00:01:12,463 +Ha az esetek száma egy adott napon n, és azt mondjuk, + +19 +00:01:12,463 --> 00:01:17,205 +hogy minden egyes vírussal fertőzött egyén egy adott napon e emberrel érintkezik, + +20 +00:01:17,205 --> 00:01:22,295 +és minden egyes ilyen érintkezésnek p valószínűsége van arra, hogy új fertőzéssé válik, + +21 +00:01:22,295 --> 00:01:25,650 +akkor az új esetek száma egy adott napon e-szor p-szor n. + +22 +00:01:25,650 --> 00:01:28,600 +Az új esetek száma egy adott napon e-szor p-szor n. + +23 +00:01:29,960 --> 00:01:33,261 +Az a tény, hogy n maga a saját változásának tényezője, az, + +24 +00:01:33,261 --> 00:01:37,345 +ami igazán felgyorsítja a dolgokat, mert ha n nagy lesz, az azt jelenti, + +25 +00:01:37,345 --> 00:01:39,640 +hogy maga a növekedés üteme is nagy lesz. + +26 +00:01:40,480 --> 00:01:44,011 +Ezt úgy is elképzelhetjük, hogy miközben az új eseteket összeadjuk, + +27 +00:01:44,011 --> 00:01:47,697 +hogy megkapjuk a következő napi növekedést, az n-t ki tudjuk szorozni, + +28 +00:01:47,697 --> 00:01:51,800 +tehát ez ugyanolyan, mintha megszoroznánk valamilyen 1-nél nagyobb konstanssal. + +29 +00:01:52,860 --> 00:01:56,967 +Ez néha könnyebben látható, ha grafikonunk y-tengelyét logaritmikus skálára helyezzük, + +30 +00:01:56,967 --> 00:02:01,168 +ami azt jelenti, hogy egy rögzített távolság minden egyes lépése egy bizonyos tényezővel + +31 +00:02:01,168 --> 00:02:05,040 +való szorzásnak felel meg, ebben az esetben minden lépés egy másik 10-es hatványa. + +32 +00:02:05,860 --> 00:02:09,060 +Ezen a skálán az exponenciális növekedésnek egyenes vonalnak kell kinéznie. + +33 +00:02:09,060 --> 00:02:13,380 +Ha megnézzük az adatainkat, úgy tűnik, hogy 20 napba telt, hogy 100-ról 1000-re, + +34 +00:02:13,380 --> 00:02:17,966 +és 13 napba, hogy 10 000-re menjünk, és ha egy egyszerű lineáris regressziót végzünk, + +35 +00:02:17,966 --> 00:02:20,633 +hogy megtaláljuk a legjobban illeszkedő egyenest, + +36 +00:02:20,633 --> 00:02:24,420 +akkor a vonal meredekségét megnézve olyan következtetést vonhatunk le, + +37 +00:02:24,420 --> 00:02:27,780 +hogy átlagosan 16 naponként hajlamosak vagyunk 10-zel szorozni. + +38 +00:02:28,620 --> 00:02:32,204 +Ez a regresszió azt is lehetővé teszi, hogy egy kicsit jobban meg tudjuk határozni, + +39 +00:02:32,204 --> 00:02:34,892 +hogy pontosan mennyire közel van az exponenciális illeszkedés, + +40 +00:02:34,892 --> 00:02:38,520 +és hogy a statisztikai szakzsargont használjam, a válasz az, hogy rohadtul közel van. + +41 +00:02:39,040 --> 00:02:42,040 +De nehéz lehet megemészteni, hogy ez pontosan mit is jelent, ha igaz. + +42 +00:02:42,580 --> 00:02:46,630 +Ha azt látjuk, hogy az egyik országban mondjuk 6000 eset van, a másikban pedig 60, + +43 +00:02:46,630 --> 00:02:50,290 +akkor könnyű azt gondolni, hogy a második ország 100-szor jobban teljesít, + +44 +00:02:50,290 --> 00:02:51,120 +és ezért jól van. + +45 +00:02:51,680 --> 00:02:55,691 +De ha valóban olyan helyzetben vagyunk, amikor a számok 16 naponként 10-zel szorozódnak, + +46 +00:02:55,691 --> 00:02:57,945 +akkor ugyanezt a tényt másképpen is megnézhetjük: + +47 +00:02:57,945 --> 00:03:00,920 +a második ország körülbelül egy hónappal van lemaradva az elsőtől. + +48 +00:03:01,600 --> 00:03:04,620 +Ez persze eléggé aggasztó, ha kihúzzuk a vonalat. + +49 +00:03:04,620 --> 00:03:09,029 +Ezt március 6-án veszem fel, és ha a jelenlegi tendencia folytatódik, + +50 +00:03:09,029 --> 00:03:14,508 +akkor 30 napon belül elérjük az egymillió esetet, 47 napon belül elérjük a 10 milliót, + +51 +00:03:14,508 --> 00:03:18,540 +64 napon belül a 100 milliót, és 81 napon belül az 1 milliárdot. + +52 +00:03:19,440 --> 00:03:22,969 +Mondanom sem kell azonban, hogy nem lehet örökké ilyen vonalat húzni, + +53 +00:03:22,969 --> 00:03:25,440 +egy bizonyos ponton nyilvánvalóan lassulnia kell. + +54 +00:03:25,700 --> 00:03:27,520 +A döntő kérdés azonban az, hogy mikor. + +55 +00:03:28,340 --> 00:03:33,188 +Olyan ez, mint a 2002-es SARS-járvány, amely körülbelül 8000 megbetegedést okozott, + +56 +00:03:33,188 --> 00:03:38,209 +vagy az 1918-as spanyolnátha, amely végül a világ lakosságának mintegy 27%-át fertőzte + +57 +00:03:38,209 --> 00:03:38,440 +meg? + +58 +00:03:39,620 --> 00:03:41,799 +Általánosságban elmondható, hogy kontextus nélkül, + +59 +00:03:41,799 --> 00:03:45,516 +csak egy vonalat húzva az adatokon keresztül nem jó módszer előrejelzések készítésére, + +60 +00:03:45,516 --> 00:03:49,020 +de ne feledje, hogy itt tényleges ok van arra, hogy exponenciális értéket várjunk. + +61 +00:03:49,340 --> 00:03:52,951 +Ha az új esetek száma minden nap arányos a meglévő esetek számával, + +62 +00:03:52,951 --> 00:03:57,730 +akkor ez szükségszerűen azt jelenti, hogy minden nap megszorozzuk valamilyen konstanssal, + +63 +00:03:57,730 --> 00:04:01,820 +így a d nap előrehaladása ugyanaz, mintha d-szer megszoroznánk a konstanssal. + +64 +00:04:02,420 --> 00:04:06,900 +Ez csak akkor áll meg, ha az E vagy a P szám csökken. + +65 +00:04:07,980 --> 00:04:09,920 +Elkerülhetetlen, hogy ez előbb-utóbb bekövetkezzen. + +66 +00:04:10,600 --> 00:04:13,488 +Még a vírus legtökéletesebb ártalmas modellje esetén is, + +67 +00:04:13,488 --> 00:04:17,239 +amikor minden egyes fertőzött személy minden nap a világ népességének egy + +68 +00:04:17,239 --> 00:04:21,546 +véletlenszerű részhalmazával kerül kapcsolatba, egy bizonyos ponton a legtöbb ember, + +69 +00:04:21,546 --> 00:04:25,500 +akivel kapcsolatba kerül, már beteg lenne, és így nem tudna új esetekké válni. + +70 +00:04:27,780 --> 00:04:30,926 +A mi egyenletünkben ez azt jelentené, hogy az új fertőzéssé válás + +71 +00:04:30,926 --> 00:04:33,596 +valószínűségének tartalmaznia kell valamilyen tényezőt, + +72 +00:04:33,596 --> 00:04:37,792 +amely figyelembe veszi annak valószínűségét, hogy valaki, akivel kapcsolatba kerültünk, + +73 +00:04:37,792 --> 00:04:38,460 +már fertőzött. + +74 +00:04:39,240 --> 00:04:42,054 +Egy ilyen véletlenszerű keverési modell esetében ez azt jelentheti, + +75 +00:04:42,054 --> 00:04:45,199 +hogy egy olyan tényezőt kell figyelembe venni, mint 1 mínusz a világon élő, + +76 +00:04:45,199 --> 00:04:46,400 +már fertőzött emberek aránya. + +77 +00:04:47,700 --> 00:04:51,459 +Ha ezt a tényezőt is figyelembe vesszük, majd megoldjuk, + +78 +00:04:51,459 --> 00:04:55,680 +hogy az N hogyan nő, akkor megkapjuk a modellben ismert értéket. + +79 +00:04:55,680 --> 00:04:59,360 +Az exponenciálisból az elején nem lehet, de végül is kiegyenlítődik, + +80 +00:04:59,360 --> 00:05:02,720 +amint megközelítjük a teljes populáció méretét, amit elvárnánk. + +81 +00:05:03,360 --> 00:05:07,037 +Igazi exponenciálisok lényegében soha nem léteznek a való világban, + +82 +00:05:07,037 --> 00:05:09,200 +mindegyik egy logisztikus görbe kezdete. + +83 +00:05:10,040 --> 00:05:15,162 +Ezt a pontot itt, ahol a logisztikus görbe a felfelé ívelésből lefelé ívelésbe megy át, + +84 +00:05:15,162 --> 00:05:16,560 +nevezzük fordulópontnak. + +85 +00:05:17,320 --> 00:05:22,684 +Itt a görbe meredeksége által jelzett napi új esetek száma nem növekszik tovább, + +86 +00:05:22,684 --> 00:05:26,460 +hanem nagyjából állandó marad, mielőtt csökkenni kezdene. + +87 +00:05:30,140 --> 00:05:34,375 +Az egyik szám, amelyet az emberek gyakran követnek a járványokkal kapcsolatban, + +88 +00:05:34,375 --> 00:05:37,816 +a növekedési tényező, amelyet az egyik nap új esetek száma és az + +89 +00:05:37,816 --> 00:05:40,940 +előző nap új esetek száma közötti arányként határoznak meg. + +90 +00:05:42,340 --> 00:05:47,077 +Csak a tisztánlátás kedvéért: ha egyik napról a másikra az összesített értékeket nézzük, + +91 +00:05:47,077 --> 00:05:50,857 +majd az ezek közötti változásokat követjük, akkor a növekedési tényező + +92 +00:05:50,857 --> 00:05:53,200 +a két egymást követő változás közötti arány. + +93 +00:05:55,440 --> 00:05:59,299 +Amíg az exponenciális részen vagy, ez a tényező folyamatosan egy fölött marad, + +94 +00:05:59,299 --> 00:06:02,132 +míg amint a növekedési tényeződ közelebb kerül az egyhez, + +95 +00:06:02,132 --> 00:06:04,380 +az annak a jele, hogy elérted a fordulópontot. + +96 +00:06:05,560 --> 00:06:08,840 +Ez az adatok követése során egy másik, ellenkező értelmű tényt is jelenthet. + +97 +00:06:09,320 --> 00:06:12,975 +Gondoljon bele, milyen érzés lenne, ha az új esetek száma egy + +98 +00:06:12,975 --> 00:06:16,159 +nap körülbelül 15%-kal több lenne, mint az előző nap, + +99 +00:06:16,159 --> 00:06:20,640 +és állítsa szembe azzal, milyen érzés lenne, ha körülbelül ugyanannyi lenne. + +100 +00:06:21,240 --> 00:06:25,040 +Ha csak a végeredményt nézzük, nem igazán érzem, hogy annyira különböznének egymástól. + +101 +00:06:27,000 --> 00:06:29,812 +De ha a növekedési tényező egy, az azt jelentheti, + +102 +00:06:29,812 --> 00:06:33,286 +hogy a logisztika fordulópontjánál vagyunk, ami azt jelentené, + +103 +00:06:33,286 --> 00:06:36,760 +hogy az esetek száma körülbelül kétszer akkora lesz, mint most. + +104 +00:06:37,200 --> 00:06:40,421 +Az egynél nagyobb növekedési tényező azonban - bármennyire is finomnak + +105 +00:06:40,421 --> 00:06:43,053 +tűnik - azt jelenti, hogy az exponenciális résznél jársz, + +106 +00:06:43,053 --> 00:06:46,320 +ami azt jelentheti, hogy nagyságrendekkel nagyobb növekedés vár még rád. + +107 +00:06:48,720 --> 00:06:53,295 +Bár igaz, hogy a legrosszabb esetben a telítettségi pont a teljes népesség körül van, + +108 +00:06:53,295 --> 00:06:56,700 +az természetesen egyáltalán nem igaz, hogy a vírussal fertőzött + +109 +00:06:56,700 --> 00:06:59,680 +emberek véletlenszerűen keverednek a világ népességében. + +110 +00:07:00,200 --> 00:07:02,160 +Az emberek helyi közösségekbe tömörülnek. + +111 +00:07:03,380 --> 00:07:06,979 +Ha azonban olyan szimulációkat futtatunk, ahol még egy kis utazás is van + +112 +00:07:06,979 --> 00:07:10,480 +a klaszterek között, akkor a növekedés valójában nem sokban különbözik. + +113 +00:07:14,120 --> 00:07:18,929 +A végeredmény egyfajta fraktálmintázat, ahol a közösségek maguk is úgy működnek, + +114 +00:07:18,929 --> 00:07:19,880 +mint az egyének. + +115 +00:07:20,660 --> 00:07:23,528 +Mindegyiküknek van némi kitettsége másokkal szemben, + +116 +00:07:23,528 --> 00:07:26,289 +és bizonyos valószínűséggel terjeszti a fertőzést, + +117 +00:07:26,289 --> 00:07:29,700 +így ugyanazok a mögöttes és exponenciális törvények érvényesek. + +118 +00:07:42,940 --> 00:07:45,861 +Szerencsére nem csak a teljes lakosság telítettsége + +119 +00:07:45,861 --> 00:07:48,840 +okozhatja a számunkra fontos két tényező csökkenését. + +120 +00:07:49,660 --> 00:07:52,073 +Az expozíció mennyisége is csökkenhet, ha az emberek abbahagyják + +121 +00:07:52,073 --> 00:07:54,523 +a gyűjtögetést és az utazást, és a fertőzési arány is csökkenhet, + +122 +00:07:54,523 --> 00:07:56,380 +ha az emberek egyszerűen csak többet mosnak kezet. + +123 +00:07:57,100 --> 00:08:00,881 +A másik dolog, ami az exponenciális növekedéssel kapcsolatban - ezúttal egy optimistább + +124 +00:08:00,881 --> 00:08:04,320 +értelemben - ellenkező értelmű, az az, hogy mennyire érzékeny erre az állandóra. + +125 +00:08:05,020 --> 00:08:10,151 +Ha például 15%, mint ahogy most is, amikor ezt felveszem, és most 21.000 esetnél tartunk, + +126 +00:08:10,151 --> 00:08:14,200 +az azt jelenti, hogy 61 nap múlva elérjük a 100 millió feletti értéket. + +127 +00:08:15,020 --> 00:08:19,845 +De ha egy kicsit kevesebb expozíció és fertőzés miatt ez az arány 5%-ra csökken, + +128 +00:08:19,845 --> 00:08:23,657 +az nem jelenti azt, hogy az előrejelzés is 3-szorosára csökken, + +129 +00:08:23,657 --> 00:08:26,100 +hanem valójában 400 000 körülire csökken. + +130 +00:08:26,660 --> 00:08:30,200 +Tehát ha az emberek kellőképpen aggódnak, akkor sokkal kevesebb okuk van az aggodalomra. + +131 +00:08:30,200 --> 00:08:32,320 +De ha senki sem aggódik, akkor érdemes aggódni. + diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/indonesian/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/indonesian/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..85bd6d20f --- /dev/null +++ b/2020/exponential-and-epidemics/indonesian/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,536 @@ +1 +00:00:02,940 --> 00:00:07,333 +Frasa pertumbuhan eksponensial sudah tidak asing lagi bagi kebanyakan orang, + +2 +00:00:07,333 --> 00:00:11,100 +namun intuisi manusia terkadang sulit untuk mengenali apa artinya. + +3 +00:00:11,320 --> 00:00:14,536 +Kita bisa saja terpaku pada deretan angka-angka yang terlihat kecil + +4 +00:00:14,536 --> 00:00:17,895 +dan kemudian terkejut ketika tiba-tiba angka-angka itu terlihat besar, + +5 +00:00:17,895 --> 00:00:21,160 +bahkan jika tren keseluruhan mengikuti eksponensial secara konsisten. + +6 +00:00:22,120 --> 00:00:25,845 +Ini adalah data untuk kasus COVID-19 yang tercatat, + +7 +00:00:25,845 --> 00:00:30,000 +alias virus corona, setidaknya pada saat saya menulis ini. + +8 +00:00:30,420 --> 00:00:32,888 +Tidak pernah menyia-nyiakan kesempatan untuk belajar matematika, + +9 +00:00:32,888 --> 00:00:36,155 +saya pikir ini mungkin saat yang tepat bagi kita semua untuk kembali ke dasar tentang + +10 +00:00:36,155 --> 00:00:39,269 +apa sebenarnya pertumbuhan eksponensial itu, dari mana asalnya, apa implikasinya, + +11 +00:00:39,269 --> 00:00:42,422 +dan mungkin yang paling penting adalah bagaimana cara mengetahui kapan pertumbuhan + +12 +00:00:42,422 --> 00:00:43,600 +eksponensial itu akan berakhir. + +13 +00:00:44,320 --> 00:00:46,991 +Pertumbuhan eksponensial berarti bahwa ketika Anda beranjak dari satu hari ke + +14 +00:00:46,991 --> 00:00:49,800 +hari berikutnya, pertumbuhan tersebut melibatkan perkalian dengan suatu konstanta. + +15 +00:00:50,380 --> 00:00:55,071 +Dalam data kami, jumlah kasus setiap hari cenderung menjadi kelipatan + +16 +00:00:55,071 --> 00:00:59,360 +sekitar 1,15 hingga 1,25 dari jumlah kasus pada hari sebelumnya. + +17 +00:01:00,280 --> 00:01:03,092 +Virus adalah contoh nyata dari pertumbuhan semacam ini, + +18 +00:01:03,092 --> 00:01:07,060 +karena apa yang menyebabkan kasus-kasus baru adalah kasus-kasus yang sudah ada. + +19 +00:01:09,340 --> 00:01:12,429 +Jika jumlah kasus pada hari tertentu adalah n, + +20 +00:01:12,429 --> 00:01:17,096 +dan kita mengatakan bahwa setiap individu dengan virus terpapar pada e + +21 +00:01:17,096 --> 00:01:22,092 +orang pada hari tertentu, dan setiap paparan tersebut memiliki probabilitas + +22 +00:01:22,092 --> 00:01:26,825 +p untuk menjadi infeksi baru, maka jumlah kasus baru pada hari tertentu + +23 +00:01:26,825 --> 00:01:28,600 +adalah e dikali p dikali n. + +24 +00:01:29,960 --> 00:01:33,186 +Fakta bahwa n itu sendiri adalah faktor dalam perubahannya sendiri + +25 +00:01:33,186 --> 00:01:36,991 +adalah apa yang membuat segalanya berjalan cepat, karena jika n menjadi besar, + +26 +00:01:36,991 --> 00:01:39,640 +itu berarti laju pertumbuhan itu sendiri menjadi besar. + +27 +00:01:40,480 --> 00:01:44,330 +Salah satu cara untuk memikirkan hal ini adalah ketika Anda menambahkan kasus baru + +28 +00:01:44,330 --> 00:01:47,763 +untuk mendapatkan pertumbuhan hari berikutnya, Anda dapat memfaktorkan n, + +29 +00:01:47,763 --> 00:01:51,800 +sehingga sama saja dengan mengalikannya dengan suatu konstanta yang lebih besar dari 1. + +30 +00:01:52,860 --> 00:01:56,872 +Hal ini terkadang lebih mudah dilihat jika kita meletakkan sumbu y pada grafik kita + +31 +00:01:56,872 --> 00:02:00,836 +pada skala logaritmik, yang berarti bahwa setiap langkah dengan jarak tetap sesuai + +32 +00:02:00,836 --> 00:02:05,040 +dengan perkalian dengan faktor tertentu, dalam hal ini setiap langkah adalah pangkat 10. + +33 +00:02:05,860 --> 00:02:09,060 +Pada skala ini, pertumbuhan eksponensial akan terlihat seperti garis lurus. + +34 +00:02:09,060 --> 00:02:13,101 +Melihat data kami, sepertinya butuh 20 hari untuk beralih dari 100 ke 1000, + +35 +00:02:13,101 --> 00:02:17,622 +dan 13 hari untuk beralih dari itu ke 10.000, dan jika Anda melakukan regresi linier + +36 +00:02:17,622 --> 00:02:20,387 +sederhana untuk menemukan garis yang paling sesuai, + +37 +00:02:20,387 --> 00:02:24,801 +Anda dapat melihat kemiringan garis tersebut untuk menarik kesimpulan seperti kita + +38 +00:02:24,801 --> 00:02:27,780 +cenderung mengalikan 10 setiap 16 hari secara rata-rata. + +39 +00:02:28,620 --> 00:02:32,025 +Regresi ini juga memungkinkan kita untuk menjadi sedikit lebih kuantitatif + +40 +00:02:32,025 --> 00:02:34,886 +tentang seberapa dekat kecocokan eksponensial yang sebenarnya, + +41 +00:02:34,886 --> 00:02:38,520 +dan menggunakan jargon statistik teknis di sini, jawabannya adalah sangat dekat. + +42 +00:02:39,040 --> 00:02:42,040 +Namun, mungkin sulit untuk mencerna dengan tepat apa artinya jika benar. + +43 +00:02:42,580 --> 00:02:44,811 +Ketika Anda melihat satu negara dengan, katakanlah, + +44 +00:02:44,811 --> 00:02:47,601 +6000 kasus dan negara lain dengan 60 kasus, mudah untuk berpikir + +45 +00:02:47,601 --> 00:02:51,120 +bahwa negara yang kedua bekerja 100 kali lebih baik, dan karenanya baik-baik saja. + +46 +00:02:51,680 --> 00:02:54,646 +Tetapi jika Anda benar-benar berada dalam situasi di mana angka-angka + +47 +00:02:54,646 --> 00:02:57,571 +dikalikan 10 setiap 16 hari, cara lain untuk melihat fakta yang sama + +48 +00:02:57,571 --> 00:03:00,920 +adalah bahwa negara kedua berada sekitar satu bulan di belakang negara pertama. + +49 +00:03:01,600 --> 00:03:04,620 +Hal ini tentu saja agak mengkhawatirkan jika Anda menarik garis. + +50 +00:03:04,620 --> 00:03:09,799 +Saya mencatat ini pada tanggal 6 Maret, dan jika tren saat ini terus berlanjut, + +51 +00:03:09,799 --> 00:03:15,238 +itu berarti mencapai satu juta kasus dalam 30 hari, mencapai 10 juta dalam 47 hari, + +52 +00:03:15,238 --> 00:03:18,540 +100 juta dalam 64 hari, dan 1 miliar dalam 81 hari. + +53 +00:03:19,440 --> 00:03:23,359 +Namun demikian, tentu saja, Anda tidak bisa menarik garis seperti ini selamanya, + +54 +00:03:23,359 --> 00:03:25,440 +jelas harus mulai melambat pada suatu saat. + +55 +00:03:25,700 --> 00:03:27,520 +Tetapi pertanyaan yang krusial adalah kapan. + +56 +00:03:28,340 --> 00:03:33,065 +Apakah ini seperti wabah SARS pada tahun 2002 yang mencapai sekitar 8000 kasus, + +57 +00:03:33,065 --> 00:03:38,085 +atau flu Spanyol pada tahun 1918 yang pada akhirnya menginfeksi sekitar 27% populasi + +58 +00:03:38,085 --> 00:03:38,440 +dunia? + +59 +00:03:39,620 --> 00:03:42,626 +Secara umum, tanpa konteks, hanya dengan menarik garis melalui + +60 +00:03:42,626 --> 00:03:45,393 +data Anda bukanlah cara yang baik untuk membuat prediksi, + +61 +00:03:45,393 --> 00:03:49,020 +tetapi ingat, ada alasan sebenarnya untuk mengharapkan eksponensial di sini. + +62 +00:03:49,340 --> 00:03:53,391 +Jika jumlah kasus baru setiap hari sebanding dengan jumlah kasus yang ada, + +63 +00:03:53,391 --> 00:03:57,011 +itu berarti setiap hari Anda mengalikannya dengan suatu konstanta, + +64 +00:03:57,011 --> 00:04:01,820 +sehingga maju d hari sama dengan mengalikannya dengan konstanta tersebut sebanyak d kali. + +65 +00:04:02,420 --> 00:04:06,900 +Satu-satunya cara untuk berhenti adalah jika salah satu dari angka E atau P turun. + +66 +00:04:07,980 --> 00:04:09,920 +Tidak dapat dipungkiri bahwa hal ini pada akhirnya akan terjadi. + +67 +00:04:10,600 --> 00:04:13,390 +Bahkan dalam model virus yang paling sempurna, + +68 +00:04:13,390 --> 00:04:18,495 +yaitu setiap hari setiap orang dengan infeksi terpapar pada bagian acak dari populasi + +69 +00:04:18,495 --> 00:04:22,709 +dunia, pada suatu saat sebagian besar orang yang terpapar sudah sakit, + +70 +00:04:22,709 --> 00:04:25,500 +sehingga mereka tidak dapat menjadi kasus baru. + +71 +00:04:27,780 --> 00:04:31,287 +Dalam persamaan kami, itu berarti bahwa probabilitas suatu paparan + +72 +00:04:31,287 --> 00:04:34,795 +menjadi infeksi baru harus menyertakan beberapa jenis faktor untuk + +73 +00:04:34,795 --> 00:04:38,460 +memperhitungkan probabilitas seseorang yang terpapar sudah terinfeksi. + +74 +00:04:39,240 --> 00:04:42,693 +Untuk model pengocokan acak seperti ini, hal ini berarti memasukkan + +75 +00:04:42,693 --> 00:04:46,400 +faktor seperti 1 dikurangi proporsi orang di dunia yang sudah terinfeksi. + +76 +00:04:47,700 --> 00:04:52,547 +Dengan memasukkan faktor tersebut, dan kemudian menyelesaikan bagaimana N tumbuh, + +77 +00:04:52,547 --> 00:04:55,680 +Anda akan mendapatkan apa yang diketahui dalam model. + +78 +00:04:55,680 --> 00:04:59,290 +Ini tidak mungkin dari eksponensial di awal, tetapi pada akhirnya akan mendatar + +79 +00:04:59,290 --> 00:05:02,720 +setelah Anda mendekati jumlah total populasi, dan itulah yang Anda harapkan. + +80 +00:05:03,360 --> 00:05:06,648 +Eksponensial sejati pada dasarnya tidak pernah ada di dunia nyata, + +81 +00:05:06,648 --> 00:05:09,200 +setiap eksponensial adalah awal dari kurva logistik. + +82 +00:05:10,040 --> 00:05:13,222 +Titik di sini, di mana kurva logistik berubah dari melengkung + +83 +00:05:13,222 --> 00:05:16,560 +ke atas menjadi melengkung ke bawah, dikenal sebagai titik belok. + +84 +00:05:17,320 --> 00:05:22,608 +Di sana, jumlah kasus baru setiap hari, yang diwakili oleh kemiringan kurva ini, + +85 +00:05:22,608 --> 00:05:26,460 +berhenti meningkat dan tetap konstan sebelum mulai menurun. + +86 +00:05:30,140 --> 00:05:33,672 +Salah satu angka yang sering diikuti oleh orang-orang terkait epidemi + +87 +00:05:33,672 --> 00:05:37,407 +adalah faktor pertumbuhan, yang didefinisikan sebagai rasio antara jumlah + +88 +00:05:37,407 --> 00:05:40,940 +kasus baru pada suatu hari dan jumlah kasus baru pada hari sebelumnya. + +89 +00:05:42,340 --> 00:05:46,878 +Untuk memperjelas, jika Anda melihat semua total dari satu hari ke hari berikutnya, + +90 +00:05:46,878 --> 00:05:49,525 +lalu melacak perubahan di antara total tersebut, + +91 +00:05:49,525 --> 00:05:53,200 +faktor pertumbuhan adalah rasio antara dua perubahan yang berurutan. + +92 +00:05:55,440 --> 00:05:59,103 +Ketika Anda berada di bagian eksponensial, faktor ini tetap konsisten di atas satu, + +93 +00:05:59,103 --> 00:06:01,981 +sedangkan ketika faktor pertumbuhan Anda terlihat mendekati satu, + +94 +00:06:01,981 --> 00:06:04,380 +itu adalah tanda bahwa Anda telah mencapai titik belok. + +95 +00:06:05,560 --> 00:06:08,840 +Hal ini bisa menjadi fakta yang berlawanan dengan intuisi saat mengikuti data. + +96 +00:06:09,320 --> 00:06:13,211 +Pikirkan bagaimana rasanya jika jumlah kasus baru pada suatu hari + +97 +00:06:13,211 --> 00:06:17,574 +sekitar 15% lebih banyak daripada jumlah kasus baru pada hari sebelumnya, + +98 +00:06:17,574 --> 00:06:20,640 +dan bandingkan dengan jumlah kasus yang hampir sama. + +99 +00:06:21,240 --> 00:06:25,040 +Hanya dengan melihat total yang mereka hasilkan, mereka tidak terlalu berbeda. + +100 +00:06:27,000 --> 00:06:29,340 +Tetapi jika faktor pertumbuhannya adalah satu, + +101 +00:06:29,340 --> 00:06:32,029 +itu bisa berarti Anda berada di titik belok logistik, + +102 +00:06:32,029 --> 00:06:35,166 +yang berarti jumlah total kasus akan mencapai sekitar dua kali + +103 +00:06:35,166 --> 00:06:36,760 +lipat dari posisi Anda sekarang. + +104 +00:06:37,200 --> 00:06:39,322 +Namun, faktor pertumbuhan yang lebih besar dari satu, + +105 +00:06:39,322 --> 00:06:42,742 +meskipun kelihatannya tidak terlalu besar, berarti Anda berada di bagian eksponensial, + +106 +00:06:42,742 --> 00:06:45,769 +yang dapat mengimplikasikan bahwa masih banyak lagi pertumbuhan yang menanti + +107 +00:06:45,769 --> 00:06:46,320 +di depan Anda. + +108 +00:06:48,720 --> 00:06:51,485 +Sekarang, meskipun benar bahwa dalam situasi terburuk, + +109 +00:06:51,485 --> 00:06:54,954 +titik jenuhnya ada di sekitar total populasi, tentu saja sama sekali + +110 +00:06:54,954 --> 00:06:58,775 +tidak benar bahwa orang dengan virus secara acak diacak di seluruh populasi + +111 +00:06:58,775 --> 00:06:59,680 +dunia seperti ini. + +112 +00:07:00,200 --> 00:07:02,160 +Orang-orang berkelompok dalam komunitas lokal. + +113 +00:07:03,380 --> 00:07:06,905 +Namun, jika Anda menjalankan simulasi di mana ada sedikit perjalanan di + +114 +00:07:06,905 --> 00:07:10,480 +antara cluster seperti ini, pertumbuhannya sebenarnya tidak jauh berbeda. + +115 +00:07:14,120 --> 00:07:16,867 +Apa yang Anda dapatkan adalah semacam pola fraktal, + +116 +00:07:16,867 --> 00:07:19,880 +di mana komunitas itu sendiri berfungsi seperti individu. + +117 +00:07:20,660 --> 00:07:23,656 +Masing-masing memiliki beberapa paparan terhadap orang lain, + +118 +00:07:23,656 --> 00:07:26,015 +dengan beberapa kemungkinan penyebaran infeksi, + +119 +00:07:26,015 --> 00:07:29,700 +sehingga hukum yang mendasari dan mendorong eksponensial yang sama berlaku. + +120 +00:07:42,940 --> 00:07:45,866 +Untungnya, jenuh dengan seluruh populasi bukanlah satu-satunya + +121 +00:07:45,866 --> 00:07:48,840 +hal yang dapat menyebabkan dua faktor yang kita pedulikan turun. + +122 +00:07:49,660 --> 00:07:53,146 +Jumlah paparan juga dapat berkurang ketika orang berhenti berkumpul dan bepergian, + +123 +00:07:53,146 --> 00:07:56,380 +dan tingkat infeksi dapat berkurang ketika orang lebih sering mencuci tangan. + +124 +00:07:57,100 --> 00:07:59,941 +Hal lain yang berlawanan dengan intuisi tentang pertumbuhan eksponensial, + +125 +00:07:59,941 --> 00:08:02,476 +kali ini dalam arti yang lebih optimis, adalah betapa sensitifnya + +126 +00:08:02,476 --> 00:08:04,320 +pertumbuhan eksponensial terhadap konstanta ini. + +127 +00:08:05,020 --> 00:08:08,260 +Sebagai contoh, jika 15%, seperti yang saya catat saat ini, + +128 +00:08:08,260 --> 00:08:12,634 +dan kami berada di 21.000 kasus sekarang, itu berarti 61 hari dari sekarang Anda + +129 +00:08:12,634 --> 00:08:14,200 +mencapai lebih dari 100 juta. + +130 +00:08:15,020 --> 00:08:18,923 +Tetapi jika melalui paparan dan infeksi yang sedikit lebih sedikit, + +131 +00:08:18,923 --> 00:08:23,746 +angka tersebut turun menjadi 5%, bukan berarti proyeksi juga turun dengan faktor 3, + +132 +00:08:23,746 --> 00:08:26,100 +sebenarnya turun menjadi sekitar 400.000. + +133 +00:08:26,660 --> 00:08:30,200 +Jadi, jika orang-orang cukup khawatir, tidak banyak yang perlu dikhawatirkan. + +134 +00:08:30,200 --> 00:08:32,320 +Tetapi jika tidak ada yang khawatir, saat itulah Anda harus khawatir. + diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/italian/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/italian/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..24f4d08ee --- /dev/null +++ b/2020/exponential-and-epidemics/italian/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,520 @@ +1 +00:00:02,940 --> 00:00:07,449 +L'espressione "crescita esponenziale" è familiare alla maggior parte delle persone, + +2 +00:00:07,449 --> 00:00:11,100 +eppure l'intuito umano a volte fatica a riconoscerne il significato. + +3 +00:00:11,320 --> 00:00:14,429 +Possiamo ancorarci a una sequenza di numeri apparentemente piccoli e poi + +4 +00:00:14,429 --> 00:00:17,368 +rimanere sorpresi quando all'improvviso quei numeri appaiono grandi, + +5 +00:00:17,368 --> 00:00:21,160 +anche se l'andamento generale segue un trend esponenziale in modo perfettamente coerente. + +6 +00:00:22,120 --> 00:00:26,379 +Questi sono i dati relativi ai casi registrati di COVID-19, + +7 +00:00:26,379 --> 00:00:30,000 +alias coronavirus, almeno al momento in cui scrivo. + +8 +00:00:30,420 --> 00:00:33,625 +Non sono mai uno che spreca l'opportunità di una lezione di matematica, + +9 +00:00:33,625 --> 00:00:36,787 +ho pensato che questo potesse essere un buon momento per tutti noi per + +10 +00:00:36,787 --> 00:00:40,394 +tornare alle basi su cosa sia realmente la crescita esponenziale, da dove viene, + +11 +00:00:40,394 --> 00:00:43,600 +cosa implica e, forse più importante, come sapere quando sta per finire. + +12 +00:00:44,320 --> 00:00:47,956 +La crescita esponenziale significa che, passando da un giorno all'altro, + +13 +00:00:47,956 --> 00:00:49,800 +si moltiplica per una certa costante. + +14 +00:00:50,380 --> 00:00:54,870 +Nei nostri dati, il numero di casi in ogni giorno tende ad essere un + +15 +00:00:54,870 --> 00:00:59,360 +multiplo di circa 1,15-1,25 del numero di casi del giorno precedente. + +16 +00:01:00,280 --> 00:01:03,869 +I virus sono un esempio da manuale di questo tipo di crescita, + +17 +00:01:03,869 --> 00:01:07,060 +perché ciò che provoca nuovi casi sono i casi esistenti. + +18 +00:01:09,340 --> 00:01:14,397 +Se il numero di casi in un dato giorno è n, e diciamo che ogni individuo + +19 +00:01:14,397 --> 00:01:18,138 +con il virus è esposto a e persone in un dato giorno, + +20 +00:01:18,138 --> 00:01:24,096 +e ognuna di queste esposizioni ha una probabilità p di diventare una nuova infezione, + +21 +00:01:24,096 --> 00:01:28,600 +allora il numero di nuovi casi in un dato giorno è e per p per n. + +22 +00:01:29,960 --> 00:01:33,221 +Il fatto che n stesso sia un fattore di cambiamento è ciò che + +23 +00:01:33,221 --> 00:01:36,273 +rende le cose davvero veloci, perché se n diventa grande, + +24 +00:01:36,273 --> 00:01:39,640 +significa che il tasso di crescita stesso sta diventando grande. + +25 +00:01:40,480 --> 00:01:44,157 +Un modo per pensare a questo è che mentre aggiungi i nuovi casi + +26 +00:01:44,157 --> 00:01:48,237 +per ottenere la crescita del giorno successivo, puoi fattorizzare l'n, + +27 +00:01:48,237 --> 00:01:51,800 +quindi è come se moltiplicassi per una costante maggiore di 1. + +28 +00:01:52,860 --> 00:01:56,950 +A volte è più facile capirlo se mettiamo l'asse delle y del nostro grafico su una scala + +29 +00:01:56,950 --> 00:02:00,902 +logaritmica, il che significa che ogni passo di una distanza fissa corrisponde a una + +30 +00:02:00,902 --> 00:02:05,040 +moltiplicazione per un certo fattore, in questo caso ogni passo è un'altra potenza di 10. + +31 +00:02:05,860 --> 00:02:09,060 +Su questa scala, la crescita esponenziale dovrebbe apparire come una linea retta. + +32 +00:02:09,060 --> 00:02:13,740 +Osservando i nostri dati, sembra che ci siano voluti 20 giorni per passare da 100 + +33 +00:02:13,740 --> 00:02:16,650 +a 1000 e 13 giorni per passare da questi a 10.000. + +34 +00:02:16,650 --> 00:02:20,817 +Se fai una semplice regressione lineare per trovare la linea più adatta, + +35 +00:02:20,817 --> 00:02:24,640 +puoi osservare la pendenza della linea per trarre una conclusione: + +36 +00:02:24,640 --> 00:02:27,780 +tendiamo a moltiplicare per 10 ogni 16 giorni in media. + +37 +00:02:28,620 --> 00:02:31,965 +Questa regressione ci permette anche di essere un po' più quantitativi su + +38 +00:02:31,965 --> 00:02:34,496 +quanto l'adattamento esponenziale sia davvero vicino e, + +39 +00:02:34,496 --> 00:02:38,520 +per usare il gergo tecnico statistico, la risposta è che è davvero maledettamente vicino. + +40 +00:02:39,040 --> 00:02:42,040 +Ma può essere difficile capire cosa significhi esattamente se è vero. + +41 +00:02:42,580 --> 00:02:46,646 +Quando si vede un paese con, ad esempio, 6000 casi e un altro con 60, + +42 +00:02:46,646 --> 00:02:51,120 +è facile pensare che il secondo stia facendo 100 volte meglio, e quindi bene. + +43 +00:02:51,680 --> 00:02:55,871 +Ma se ti trovi in una situazione in cui i numeri si moltiplicano per 10 ogni 16 giorni, + +44 +00:02:55,871 --> 00:02:58,871 +un altro modo di vedere lo stesso fatto è che il secondo paese + +45 +00:02:58,871 --> 00:03:00,920 +è circa un mese indietro rispetto al primo. + +46 +00:03:01,600 --> 00:03:04,620 +Questo, ovviamente, è piuttosto preoccupante se si tirano le somme. + +47 +00:03:04,620 --> 00:03:10,101 +Sto registrando questo articolo il 6 marzo e, se la tendenza attuale dovesse continuare, + +48 +00:03:10,101 --> 00:03:15,398 +significherebbe raggiungere un milione di casi in 30 giorni, 10 milioni in 47 giorni, + +49 +00:03:15,398 --> 00:03:18,540 +100 milioni in 64 giorni e 1 miliardo in 81 giorni. + +50 +00:03:19,440 --> 00:03:22,887 +Inutile dire che una linea del genere non può essere tracciata all'infinito: + +51 +00:03:22,887 --> 00:03:25,440 +è chiaro che a un certo punto deve iniziare a rallentare. + +52 +00:03:25,700 --> 00:03:27,520 +Ma la domanda cruciale è quando. + +53 +00:03:28,340 --> 00:03:32,567 +È come l'epidemia di SARS del 2002, che si è fermata a circa 8000 casi, + +54 +00:03:32,567 --> 00:03:37,206 +o l'influenza spagnola del 1918, che alla fine ha infettato circa il 27% della + +55 +00:03:37,206 --> 00:03:38,440 +popolazione mondiale? + +56 +00:03:39,620 --> 00:03:42,593 +In generale, in assenza di un contesto, tracciare semplicemente una + +57 +00:03:42,593 --> 00:03:45,478 +linea attraverso i dati non è un ottimo modo per fare previsioni, + +58 +00:03:45,478 --> 00:03:49,020 +ma ricorda che in questo caso c'è un motivo reale per aspettarsi un'esponenziale. + +59 +00:03:49,340 --> 00:03:53,636 +Se il numero di nuovi casi ogni giorno è proporzionale al numero di casi esistenti, + +60 +00:03:53,636 --> 00:03:57,728 +significa necessariamente che ogni giorno si moltiplica per una certa costante, + +61 +00:03:57,728 --> 00:04:01,820 +quindi avanzare di d giorni equivale a moltiplicare per quella costante d volte. + +62 +00:04:02,420 --> 00:04:06,900 +L'unico modo per fermarsi è che il numero E o P scenda. + +63 +00:04:07,980 --> 00:04:09,920 +È inevitabile che questo accada. + +64 +00:04:10,600 --> 00:04:13,609 +Anche nel modello più perfettamente pernicioso per un virus, + +65 +00:04:13,609 --> 00:04:17,359 +in cui ogni giorno ogni persona con l'infezione è esposta a un sottoinsieme + +66 +00:04:17,359 --> 00:04:21,108 +casuale della popolazione mondiale, a un certo punto la maggior parte delle + +67 +00:04:21,108 --> 00:04:25,500 +persone a cui è esposta sarebbe già malata e quindi non potrebbe diventare un nuovo caso. + +68 +00:04:27,780 --> 00:04:31,459 +Nella nostra equazione, ciò significherebbe che la probabilità che un'esposizione + +69 +00:04:31,459 --> 00:04:34,959 +si trasformi in una nuova infezione dovrebbe includere un qualche fattore che + +70 +00:04:34,959 --> 00:04:38,460 +tenga conto della probabilità che qualcuno a cui si è esposti sia già infetto. + +71 +00:04:39,240 --> 00:04:41,656 +Per un modello di rimescolamento casuale come questo, + +72 +00:04:41,656 --> 00:04:45,057 +ciò potrebbe significare includere un fattore come 1 meno la percentuale di + +73 +00:04:45,057 --> 00:04:46,400 +persone nel mondo già infette. + +74 +00:04:47,700 --> 00:04:52,488 +Includendo questo fattore e risolvendo la crescita di N, + +75 +00:04:52,488 --> 00:04:55,680 +si ottiene ciò che è noto nel modello. + +76 +00:04:55,680 --> 00:04:57,673 +All'inizio non è possibile da un esponenziale, + +77 +00:04:57,673 --> 00:05:01,150 +ma alla fine si livella una volta che ci si avvicina alla dimensione totale della + +78 +00:05:01,150 --> 00:05:02,720 +popolazione, come ci si aspetterebbe. + +79 +00:05:03,360 --> 00:05:06,795 +I veri esponenziali sostanzialmente non esistono mai nel mondo reale, + +80 +00:05:06,795 --> 00:05:09,200 +ognuno di essi è l'inizio di una curva logistica. + +81 +00:05:10,040 --> 00:05:13,275 +Questo punto qui, dove la curva logistica passa da una curva verso + +82 +00:05:13,275 --> 00:05:16,560 +l'alto a una curva verso il basso, è noto come punto di inflessione. + +83 +00:05:17,320 --> 00:05:20,045 +A questo punto, il numero di nuovi casi al giorno, + +84 +00:05:20,045 --> 00:05:24,375 +rappresentato dalla pendenza della curva, smette di aumentare e rimane pressoché + +85 +00:05:24,375 --> 00:05:26,460 +costante prima di iniziare a diminuire. + +86 +00:05:30,140 --> 00:05:34,471 +Un numero che viene spesso associato alle epidemie è il fattore di crescita, + +87 +00:05:34,471 --> 00:05:38,240 +definito come il rapporto tra il numero di nuovi casi di un giorno + +88 +00:05:38,240 --> 00:05:40,940 +e il numero di nuovi casi del giorno precedente. + +89 +00:05:42,340 --> 00:05:46,018 +Per essere chiari, se si osservano tutti i totali da un giorno + +90 +00:05:46,018 --> 00:05:49,288 +all'altro e si seguono le variazioni tra questi totali, + +91 +00:05:49,288 --> 00:05:53,200 +il fattore di crescita è un rapporto tra due variazioni successive. + +92 +00:05:55,440 --> 00:05:59,142 +Mentre sei in fase esponenziale, questo fattore rimane costantemente sopra l'uno, + +93 +00:05:59,142 --> 00:06:02,122 +mentre non appena il tuo fattore di crescita si avvicina all'uno, + +94 +00:06:02,122 --> 00:06:04,380 +è segno che hai raggiunto il punto di inflessione. + +95 +00:06:05,560 --> 00:06:08,840 +Questo può essere un altro fatto controintuitivo quando si seguono i dati. + +96 +00:06:09,320 --> 00:06:13,060 +Pensa a come sarebbe se un giorno il numero di nuovi casi fosse superiore di + +97 +00:06:13,060 --> 00:06:16,121 +circa il 15% rispetto al numero di casi del giorno precedente, + +98 +00:06:16,121 --> 00:06:19,814 +e contrasta con la sensazione che si avrebbe se il numero di casi fosse più + +99 +00:06:19,814 --> 00:06:20,640 +o meno lo stesso. + +100 +00:06:21,240 --> 00:06:25,040 +Guardando solo i totali che ne derivano, non sono poi così diversi. + +101 +00:06:27,000 --> 00:06:30,301 +Ma se il fattore di crescita è uno, potrebbe significare che sei al + +102 +00:06:30,301 --> 00:06:33,506 +punto di inflessione di una logistica, il che significherebbe che + +103 +00:06:33,506 --> 00:06:36,760 +il numero totale di casi arriverà a circa due volte quello attuale. + +104 +00:06:37,200 --> 00:06:40,571 +Ma un fattore di crescita superiore a uno, per quanto sottile possa sembrare, + +105 +00:06:40,571 --> 00:06:43,683 +significa che sei nella parte esponenziale, il che potrebbe significare + +106 +00:06:43,683 --> 00:06:46,320 +che ci sono ordini di grandezza di crescita che ti aspettano. + +107 +00:06:48,720 --> 00:06:52,278 +Ora, se è vero che nella peggiore delle ipotesi il punto di saturazione si + +108 +00:06:52,278 --> 00:06:55,789 +aggira intorno alla popolazione totale, non è affatto vero che le persone + +109 +00:06:55,789 --> 00:06:59,680 +affette dal virus vengano distribuite in modo casuale tra la popolazione mondiale. + +110 +00:07:00,200 --> 00:07:02,160 +Le persone sono raggruppate in comunità locali. + +111 +00:07:03,380 --> 00:07:06,982 +Tuttavia, se si eseguono simulazioni in cui c'è anche solo un po' di + +112 +00:07:06,982 --> 00:07:10,480 +viaggio tra i cluster come questo, la crescita non è molto diversa. + +113 +00:07:14,120 --> 00:07:17,000 +Il risultato è una sorta di modello frattale, in + +114 +00:07:17,000 --> 00:07:19,880 +cui le comunità stesse funzionano come individui. + +115 +00:07:20,660 --> 00:07:25,153 +Ognuno ha una certa esposizione agli altri, con una certa probabilità di diffondere + +116 +00:07:25,153 --> 00:07:29,700 +l'infezione, quindi si applicano le stesse leggi di base e di induzione esponenziale. + +117 +00:07:42,940 --> 00:07:45,890 +Fortunatamente, saturare l'intera popolazione non è l'unica + +118 +00:07:45,890 --> 00:07:48,840 +cosa che può far diminuire i due fattori che ci interessano. + +119 +00:07:49,660 --> 00:07:51,753 +La quantità di esposizione può anche diminuire quando le + +120 +00:07:51,753 --> 00:07:53,919 +persone smettono di riunirsi e di viaggiare, e il tasso di + +121 +00:07:53,919 --> 00:07:56,380 +infezione può diminuire quando le persone si lavano di più le mani. + +122 +00:07:57,100 --> 00:08:00,268 +L'altro aspetto controintuitivo della crescita esponenziale, + +123 +00:08:00,268 --> 00:08:04,320 +questa volta in senso più ottimistico, è la sua sensibilità a questa costante. + +124 +00:08:05,020 --> 00:08:09,431 +Ad esempio, se la percentuale è del 15%, come quella che sto registrando, + +125 +00:08:09,431 --> 00:08:14,200 +e siamo a 21.000 casi, significa che tra 61 giorni avrai superato i 100 milioni. + +126 +00:08:15,020 --> 00:08:18,151 +Ma se, grazie a una minore esposizione e infezione, + +127 +00:08:18,151 --> 00:08:23,450 +il tasso scende al 5%, non significa che anche la proiezione si riduca di un fattore 3, + +128 +00:08:23,450 --> 00:08:26,100 +bensì che si riduca a circa 400.000 persone. + +129 +00:08:26,660 --> 00:08:30,200 +Quindi, se le persone sono sufficientemente preoccupate, c'è molto meno da preoccuparsi. + +130 +00:08:30,200 --> 00:08:32,320 +Ma se nessuno si preoccupa, è allora che dovresti preoccuparti. + diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/japanese/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/japanese/auto_generated.srt index c91211251..97c64fafc 100644 --- a/2020/exponential-and-epidemics/japanese/auto_generated.srt +++ b/2020/exponential-and-epidemics/japanese/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:02,939 --> 00:00:05,586 +00:00:02,940 --> 00:00:05,586 指数関数的成長というフレーズはほとんどの人に馴染 2 @@ -83,35 +83,35 @@ 前 日の感染者数の25人。 22 -00:01:00,280 --> 00:01:03,285 +00:01:00,280 --> 00:01:03,817 新たな症例を引き起こすのは既存の症例であるため 23 -00:01:03,285 --> 00:01:06,040 +00:01:03,817 --> 00:01:07,060 、ウイルスはこの種の増加の教科書的な例です。 24 -00:01:06,040 --> 00:01:10,514 +00:01:09,340 --> 00:01:13,160 特定の日の感染者数が n で、ウイルスに感染して 25 -00:01:10,514 --> 00:01:13,870 +00:01:13,160 --> 00:01:16,025 いる各人が特 定の日に平均して e 26 -00:01:13,870 --> 00:01:17,413 +00:01:16,025 --> 00:01:19,049 人の人々に曝露され、それらの曝露それ 27 -00:01:17,413 --> 00:01:22,074 +00:01:19,049 --> 00:01:23,028 ぞれが新たな感染症になる確率 p があるとします。 28 -00:01:22,074 --> 00:01:26,362 +00:01:23,028 --> 00:01:26,689 の場合、 特定の日の新規感染者数は e × 29 -00:01:26,362 --> 00:01:28,600 +00:01:26,689 --> 00:01:28,600 p × n となります。 30 @@ -367,39 +367,39 @@ SARSの流行や、最終的に 世界人口の約27%が感染 何らかの要因が含まれる必要があることを意味します。 93 -00:04:39,240 --> 00:04:41,335 +00:04:39,240 --> 00:04:41,692 このようなランダム シャッフル モデルの場合、1 94 -00:04:41,335 --> 00:04:43,347 +00:04:41,692 --> 00:04:44,046 から既に感染している世 界中の人の割合を引いたよ 95 -00:04:43,347 --> 00:04:45,360 +00:04:44,046 --> 00:04:46,400 うな係数を含めることを意味する可能性があります。 96 -00:04:45,360 --> 00:04:48,805 +00:04:47,700 --> 00:04:50,681 その要素を含めて、n がどのように増加するかを解くと 97 -00:04:48,805 --> 00:04:52,250 +00:04:50,681 --> 00:04:53,662 、業界でロジ スティック曲線として知られている曲線が 98 -00:04:52,250 --> 00:04:55,696 +00:04:53,662 --> 00:04:56,643 得られます。 これは基本的 に、最初は指数関数と区別 99 -00:04:55,696 --> 00:04:58,479 +00:04:56,643 --> 00:04:59,050 がつきませんが、総人口サイズに近づくと最 100 -00:04:58,479 --> 00:05:01,924 +00:04:59,050 --> 00:05:02,032 終的には横ばいになります。 それはあなたが期待してい 101 -00:05:01,924 --> 00:05:02,720 +00:05:02,032 --> 00:05:02,720 ることです。 102 @@ -411,19 +411,19 @@ SARSの流行や、最終的に 世界人口の約27%が感染 はすべて実際にはロジスティック曲線の始まりです。 104 -00:05:10,040 --> 00:05:13,233 +00:05:10,040 --> 00:05:13,441 ロジスティックが上向きの曲線から下向きの曲線に 105 -00:05:13,233 --> 00:05:16,160 +00:05:13,441 --> 00:05:16,560 変わるこの点は、変曲点として知られています。 106 -00:05:16,160 --> 00:05:21,493 +00:05:17,320 --> 00:05:22,053 そこでは、この曲線の傾きで表される毎日の新規感染者数は増 107 -00:05:21,493 --> 00:05:26,460 +00:05:22,053 --> 00:05:26,460 加が止まり、減少し始める前にほぼ一定のままになります。 108 @@ -519,7 +519,7 @@ SARSの流行や、最終的に 世界人口の約27%が感染 っていることを意味している可能性があります。 131 -00:06:48,719 --> 00:06:52,499 +00:06:48,720 --> 00:06:52,499 さて、最悪の状況では飽和点が総人口付近にあるのは事実ですが 132 diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/korean/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/korean/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..f6cefda59 --- /dev/null +++ b/2020/exponential-and-epidemics/korean/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,640 @@ +1 +00:00:02,940 --> 00:00:05,353 +기하급수적 성장이라는 표현은 대부분의 + +2 +00:00:05,353 --> 00:00:07,996 +사람들에게 익숙하지만, 인간의 직관으로는 + +3 +00:00:07,996 --> 00:00:11,100 +그 의미를 제대로 인식하기 어려울 때가 있습니다. + +4 +00:00:11,320 --> 00:00:13,805 +전체 추세가 완벽하게 일관되게 기하급수적인 + +5 +00:00:13,805 --> 00:00:15,981 +추세를 따르고 있더라도, 우리는 작아 + +6 +00:00:15,981 --> 00:00:18,156 +보이는 일련의 숫자에 고정되어 있다가 + +7 +00:00:18,156 --> 00:00:21,160 +갑자기 그 숫자가 커 보이면 놀라게 될 수 있습니다. + +8 +00:00:22,120 --> 00:00:24,544 +이 글은 적어도 제가 이 글을 쓰고 + +9 +00:00:24,544 --> 00:00:26,726 +있는 시점에서 코로나19, 일명 + +10 +00:00:26,726 --> 00:00:30,000 +코로나바이러스의 기록된 사례에 대한 데이터입니다. + +11 +00:00:30,420 --> 00:00:33,113 +수학 수업의 기회를 낭비하고 싶지 않은 저는 우리 + +12 +00:00:33,113 --> 00:00:35,422 +모두가 기하급수적 성장이 실제로 무엇인지, + +13 +00:00:35,422 --> 00:00:37,827 +그것이 어디에서 오는지, 무엇을 의미하는지, + +14 +00:00:37,827 --> 00:00:40,329 +가장 중요한 것은 언제 끝나는지 어떻게 알 수 + +15 +00:00:40,329 --> 00:00:42,926 +있는지 기본으로 돌아갈 수 있는 좋은 시간이라고 + +16 +00:00:42,926 --> 00:00:43,600 +생각했습니다. + +17 +00:00:44,320 --> 00:00:47,113 +기하급수적 성장이란 하루에서 다음 날로 넘어갈 + +18 +00:00:47,113 --> 00:00:49,800 +때마다 일정한 상수를 곱하는 것을 의미합니다. + +19 +00:00:50,380 --> 00:00:54,697 +데이터에서 매일의 사례 수는 전날 사례 수의 + +20 +00:00:54,697 --> 00:00:59,360 +약 1.15~1.25배에 달하는 경향이 있습니다. + +21 +00:01:00,280 --> 00:01:03,293 +바이러스는 이러한 성장의 교과서적인 예로, + +22 +00:01:03,293 --> 00:01:07,060 +새로운 사례를 유발하는 것은 기존 사례이기 때문입니다. + +23 +00:01:09,340 --> 00:01:12,315 +주어진 날의 확진자 수가 n이고, + +24 +00:01:12,315 --> 00:01:15,916 +바이러스에 감염된 각 개인이 주어진 날에 + +25 +00:01:15,916 --> 00:01:19,831 +e명의 사람들에게 노출되고 각 노출이 새로운 + +26 +00:01:19,831 --> 00:01:22,962 +감염이 될 확률이 p라고 가정하면, + +27 +00:01:22,962 --> 00:01:26,564 +주어진 날의 신규 확진자 수는 e 곱하기 + +28 +00:01:26,564 --> 00:01:28,600 +p 곱하기 n이 됩니다. + +29 +00:01:29,960 --> 00:01:33,148 +n이 커지면 성장률 자체가 커진다는 것을 의미하기 + +30 +00:01:33,148 --> 00:01:36,337 +때문에 n 자체가 그 자체로 변화의 요인이 된다는 + +31 +00:01:36,337 --> 00:01:39,640 +사실이 실제로 일을 빠르게 진행하게 하는 요소입니다. + +32 +00:01:40,480 --> 00:01:44,033 +이를 생각하는 한 가지 방법은 다음 날의 성장을 + +33 +00:01:44,033 --> 00:01:47,851 +얻기 위해 새로운 사례를 더할 때 n을 빼면 되므로 + +34 +00:01:47,851 --> 00:01:51,800 +1보다 큰 상수를 곱하는 것과 같다고 생각하면 됩니다. + +35 +00:01:52,860 --> 00:01:55,992 +그래프의 Y축을 로그 눈금으로 표시하면 더 쉽게 + +36 +00:01:55,992 --> 00:01:58,776 +확인할 수 있는데, 이는 고정된 거리의 각 + +37 +00:01:58,776 --> 00:02:01,560 +단계가 특정 계수를 곱하는 것에 해당하며, + +38 +00:02:01,560 --> 00:02:05,040 +이 경우 각 단계는 10의 다른 거듭제곱에 해당합니다. + +39 +00:02:05,860 --> 00:02:07,718 +이 규모에서 기하급수적인 성장은 + +40 +00:02:07,718 --> 00:02:09,060 +직선처럼 보일 것입니다. + +41 +00:02:09,060 --> 00:02:12,304 +데이터를 보면 100에서 1000까지 가는 데 + +42 +00:02:12,304 --> 00:02:15,799 +20일이 걸리고, 거기서 10,000까지 가는 데 + +43 +00:02:15,799 --> 00:02:19,293 +13일이 걸리는 것 같고, 가장 적합한 선을 찾기 + +44 +00:02:19,293 --> 00:02:22,912 +위해 단순 선형 회귀를 하면 그 선의 기울기를 보고 + +45 +00:02:22,912 --> 00:02:26,531 +평균 16일마다 10을 곱하는 경향이 있다는 결론을 + +46 +00:02:26,531 --> 00:02:27,780 +내릴 수 있습니다. + +47 +00:02:28,620 --> 00:02:30,904 +이 회귀를 통해 지수 적합도가 실제로 + +48 +00:02:30,904 --> 00:02:34,168 +얼마나 가까운지 좀 더 정량적으로 파악할 수 있으며, + +49 +00:02:34,168 --> 00:02:36,561 +여기서 전문적인 통계 용어를 사용하자면 + +50 +00:02:36,561 --> 00:02:38,520 +'정말 가깝다'는 답이 나옵니다. + +51 +00:02:39,040 --> 00:02:40,540 +하지만 이것이 사실이라면 정확히 어떤 + +52 +00:02:40,540 --> 00:02:42,040 +의미인지 이해하기 어려울 수 있습니다. + +53 +00:02:42,580 --> 00:02:44,715 +예를 들어 한 국가는 6000건, + +54 +00:02:44,715 --> 00:02:47,636 +다른 국가는 60건의 확진자가 발생하면 후자가 + +55 +00:02:47,636 --> 00:02:50,558 +100배나 더 잘하고 있으니 괜찮다고 생각하기 + +56 +00:02:50,558 --> 00:02:51,120 +쉽습니다. + +57 +00:02:51,680 --> 00:02:53,913 +그러나 실제로 숫자가 16일마다 10씩 + +58 +00:02:53,913 --> 00:02:56,147 +증가하는 상황이라면, 같은 사실을 보는 + +59 +00:02:56,147 --> 00:02:58,483 +또 다른 방법은 두 번째 국가가 첫 번째 + +60 +00:02:58,483 --> 00:03:00,920 +국가보다 약 한 달 뒤처져 있다는 것입니다. + +61 +00:03:01,600 --> 00:03:04,620 +물론 선을 그어버리면 오히려 걱정이 되기도 합니다. + +62 +00:03:04,620 --> 00:03:08,367 +3월 6일에 기록 중인데, 현재 추세가 계속된다면 + +63 +00:03:08,367 --> 00:03:12,115 +30일 만에 100만 건, 47일 만에 1000만 + +64 +00:03:12,115 --> 00:03:15,729 +건, 64일 만에 1억 건, 81일 만에 10억 + +65 +00:03:15,729 --> 00:03:18,540 +건을 달성할 수 있을 것으로 보입니다. + +66 +00:03:19,440 --> 00:03:21,890 +하지만 이런 식으로 영원히 선을 그릴 수는 없으며, + +67 +00:03:21,890 --> 00:03:23,834 +언젠가는 분명히 속도가 느려지기 시작해야 + +68 +00:03:23,834 --> 00:03:25,440 +한다는 것은 말할 필요도 없습니다. + +69 +00:03:25,700 --> 00:03:27,520 +하지만 중요한 질문은 언제입니다. + +70 +00:03:28,340 --> 00:03:31,841 +약 8000명의 감염자를 발생시킨 2002년의 + +71 +00:03:31,841 --> 00:03:35,208 +사스나 전 세계 인구의 약 27%를 감염시킨 + +72 +00:03:35,208 --> 00:03:38,440 +1918년의 스페인 독감과 같은 상황인가요? + +73 +00:03:39,620 --> 00:03:42,093 +일반적으로 컨텍스트가 없는 상태에서 데이터에 + +74 +00:03:42,093 --> 00:03:44,468 +선을 긋는 것만으로 예측을 하는 것은 좋은 + +75 +00:03:44,468 --> 00:03:46,546 +방법이 아니지만, 여기에는 기하급수를 + +76 +00:03:46,546 --> 00:03:49,020 +기대하는 실제 이유가 있다는 것을 기억하세요. + +77 +00:03:49,340 --> 00:03:52,668 +매일 새로운 확진자 수가 기존 확진자 수에 + +78 +00:03:52,668 --> 00:03:56,550 +비례한다면, 매일 어떤 상수를 곱한다는 의미이므로 + +79 +00:03:56,550 --> 00:04:00,710 +앞으로 D일을 이동한다는 것은 그 상수를 D번 곱하는 + +80 +00:04:00,710 --> 00:04:01,820 +것과 같습니다. + +81 +00:04:02,420 --> 00:04:04,660 +멈추는 유일한 방법은 숫자 E + +82 +00:04:04,660 --> 00:04:06,900 +또는 P가 내려가는 경우입니다. + +83 +00:04:07,980 --> 00:04:09,920 +결국 이런 일이 발생하는 것은 피할 수 없는 일입니다. + +84 +00:04:10,600 --> 00:04:13,363 +바이러스에 대한 가장 완벽한 악성 모델, + +85 +00:04:13,363 --> 00:04:16,247 +즉 매일 감염된 각 사람이 전 세계 인구의 + +86 +00:04:16,247 --> 00:04:19,131 +무작위 하위 집합에 노출되는 경우에도 어느 + +87 +00:04:19,131 --> 00:04:21,895 +시점에서 노출되는 대부분의 사람들은 이미 + +88 +00:04:21,895 --> 00:04:25,500 +병에 걸렸을 것이므로 새로운 감염자가 될 수 없습니다. + +89 +00:04:27,780 --> 00:04:31,340 +이 방정식에서 이는 노출이 새로운 감염이 될 확률에는 + +90 +00:04:31,340 --> 00:04:34,900 +노출된 사람이 이미 감염되었을 확률을 설명할 수 있는 + +91 +00:04:34,900 --> 00:04:38,460 +어떤 종류의 요인이 포함되어야 한다는 것을 의미합니다. + +92 +00:04:39,240 --> 00:04:41,518 +이와 같은 무작위 섞기 모델의 경우, + +93 +00:04:41,518 --> 00:04:43,904 +전 세계에서 이미 감염된 사람의 비율을 + +94 +00:04:43,904 --> 00:04:46,400 +뺀 1과 같은 요인을 포함할 수 있습니다. + +95 +00:04:47,700 --> 00:04:51,690 +해당 요소를 포함하고 N이 어떻게 증가하는지 + +96 +00:04:51,690 --> 00:04:55,680 +풀면 모델에서 알려진 값을 얻을 수 있습니다. + +97 +00:04:55,680 --> 00:04:58,663 +처음에는 기하급수적으로 늘어날 수는 없지만, + +98 +00:04:58,663 --> 00:05:01,884 +궁극적으로 전체 인구 규모에 가까워지면 예상대로 + +99 +00:05:01,884 --> 00:05:02,720 +평준화됩니다. + +100 +00:05:03,360 --> 00:05:06,171 +진정한 지수는 본질적으로 현실 세계에 존재하지 + +101 +00:05:06,171 --> 00:05:09,200 +않으며, 모든 지수는 로지스틱 곡선의 시작점입니다. + +102 +00:05:10,040 --> 00:05:13,300 +바로 이 지점에서 물류 곡선이 위쪽으로 휘어지던 것이 + +103 +00:05:13,300 --> 00:05:16,560 +아래쪽으로 휘어지는데, 이 지점을 변곡점이라고 합니다. + +104 +00:05:17,320 --> 00:05:20,221 +이 곡선의 기울기로 표시되는 매일의 + +105 +00:05:20,221 --> 00:05:23,268 +신규 확진자 수는 증가를 멈추고 거의 + +106 +00:05:23,268 --> 00:05:26,460 +일정하게 유지되다가 감소하기 시작합니다. + +107 +00:05:30,140 --> 00:05:33,557 +사람들이 전염병과 관련하여 자주 따르는 숫자 + +108 +00:05:33,557 --> 00:05:36,975 +중 하나는 성장률로, 이는 하루 신규 확진자 + +109 +00:05:36,975 --> 00:05:40,940 +수와 전날 신규 확진자 수 사이의 비율로 정의됩니다. + +110 +00:05:42,340 --> 00:05:45,872 +명확히 하기 위해, 하루에서 다음 날까지의 모든 + +111 +00:05:45,872 --> 00:05:49,536 +합계를 보고 그 합계 사이의 변화를 추적하는 경우 + +112 +00:05:49,536 --> 00:05:53,200 +성장률은 두 개의 연속적인 변화 사이의 비율입니다. + +113 +00:05:55,440 --> 00:05:58,587 +지수 부분에 있는 동안 이 계수는 지속적으로 + +114 +00:05:58,587 --> 00:06:01,483 +1 이상을 유지하지만, 성장 계수가 1에 + +115 +00:06:01,483 --> 00:06:04,380 +가까워지면 변곡점에 도달했다는 신호입니다. + +116 +00:06:05,560 --> 00:06:07,240 +이는 데이터를 추적하는 동안 또 다른 + +117 +00:06:07,240 --> 00:06:08,840 +반직관적인 사실을 만들 수 있습니다. + +118 +00:06:09,320 --> 00:06:12,701 +하루 신규 확진자 수가 전날 신규 확진자 + +119 +00:06:12,701 --> 00:06:16,523 +수보다 15% 정도 많을 때 어떤 느낌이 들지 + +120 +00:06:16,523 --> 00:06:20,640 +생각해보고, 거의 같을 때의 느낌과 대조해 보세요. + +121 +00:06:21,240 --> 00:06:25,040 +총계만 놓고 보면 큰 차이가 느껴지지 않습니다. + +122 +00:06:27,000 --> 00:06:30,301 +그러나 성장률이 1이라면 물류의 변곡점에 + +123 +00:06:30,301 --> 00:06:33,458 +있다는 의미로, 총 사례 수가 지금보다 + +124 +00:06:33,458 --> 00:06:36,760 +약 2배 정도 늘어날 수 있다는 뜻입니다. + +125 +00:06:37,200 --> 00:06:39,479 +하지만 성장률이 1보다 크다는 것은 미묘한 + +126 +00:06:39,479 --> 00:06:41,855 +차이일지라도 기하급수적인 성장을 하고 있다는 + +127 +00:06:41,855 --> 00:06:44,135 +의미이며, 이는 아직 엄청난 규모의 성장이 + +128 +00:06:44,135 --> 00:06:46,320 +기다리고 있다는 것을 의미할 수 있습니다. + +129 +00:06:48,720 --> 00:06:51,340 +최악의 상황에서는 포화점이 전체 인구에 + +130 +00:06:51,340 --> 00:06:53,842 +육박하는 것은 사실이지만, 바이러스에 + +131 +00:06:53,842 --> 00:06:56,582 +감염된 사람들이 이렇게 무작위로 전 세계 + +132 +00:06:56,582 --> 00:06:59,680 +인구에 섞여 있다는 것은 전혀 사실이 아닙니다. + +133 +00:07:00,200 --> 00:07:02,160 +사람들은 지역 커뮤니티에 모여 있습니다. + +134 +00:07:03,380 --> 00:07:05,859 +그러나 이와 같이 클러스터 간에 약간의 + +135 +00:07:05,859 --> 00:07:08,000 +이동이 있는 시뮬레이션을 실행하면 + +136 +00:07:08,000 --> 00:07:10,480 +실제로는 성장률이 크게 다르지 않습니다. + +137 +00:07:14,120 --> 00:07:17,210 +결국 커뮤니티 자체가 개인처럼 기능하는 + +138 +00:07:17,210 --> 00:07:19,880 +일종의 프랙탈 패턴이 만들어집니다. + +139 +00:07:20,660 --> 00:07:23,673 +각각은 다른 사람에게 어느 정도 노출되어 + +140 +00:07:23,673 --> 00:07:26,555 +감염을 확산시킬 확률이 있으므로 동일한 + +141 +00:07:26,555 --> 00:07:29,700 +기본 및 기하급수적 유도 법칙이 적용됩니다. + +142 +00:07:42,940 --> 00:07:45,640 +다행히도 전체 인구가 포화 상태인 것만이 우리가 + +143 +00:07:45,640 --> 00:07:48,340 +우려하는 두 가지 요인을 악화시킬 수 있는 것은 + +144 +00:07:48,340 --> 00:07:48,840 +아닙니다. + +145 +00:07:49,660 --> 00:07:52,803 +사람들이 모임과 여행을 중단하면 노출량이 줄어들고, + +146 +00:07:52,803 --> 00:07:55,187 +사람들이 손을 더 많이 씻으면 감염률이 + +147 +00:07:55,187 --> 00:07:56,380 +낮아질 수 있습니다. + +148 +00:07:57,100 --> 00:07:59,441 +기하급수적 성장에 대해 직관적이지 않은 또 + +149 +00:07:59,441 --> 00:08:02,075 +다른 점은, 이번에는 좀 더 낙관적인 의미에서, + +150 +00:08:02,075 --> 00:08:04,320 +이 상수에 얼마나 민감한가 하는 점입니다. + +151 +00:08:05,020 --> 00:08:07,934 +예를 들어, 지금 기록 중인 것처럼 + +152 +00:08:07,934 --> 00:08:10,848 +15%이고 현재 21,000건이라면 + +153 +00:08:10,848 --> 00:08:14,200 +61일 후 1억 건을 돌파한다는 뜻입니다. + +154 +00:08:15,020 --> 00:08:18,757 +그러나 노출과 감염이 조금 더 줄어들어 그 비율이 + +155 +00:08:18,757 --> 00:08:22,362 +5%로 낮아진다고 해서 예상치도 3배로 낮아지는 + +156 +00:08:22,362 --> 00:08:26,100 +것이 아니라 실제로는 약 40만 명으로 낮아집니다. + +157 +00:08:26,660 --> 00:08:28,382 +따라서 사람들이 충분히 걱정하고 + +158 +00:08:28,382 --> 00:08:30,200 +있다면 걱정할 것이 훨씬 적습니다. + +159 +00:08:30,200 --> 00:08:31,231 +하지만 아무도 걱정하지 않는다면 + +160 +00:08:31,231 --> 00:08:32,320 +바로 그때가 걱정해야 할 때입니다. + diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/marathi/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/marathi/auto_generated.srt index 926c410a1..46b5a6da0 100644 --- a/2020/exponential-and-epidemics/marathi/auto_generated.srt +++ b/2020/exponential-and-epidemics/marathi/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:02,939 --> 00:00:06,546 +00:00:02,940 --> 00:00:06,546 एक्सपोनेन्शिअल ग्रोथ हा वाक्यांश बर्‍याच लोकांना परिचित आहे, 2 @@ -55,27 +55,27 @@ 15 ते 1. आदल्या दिवशीच्या प्रकरणांच्या संख्येपैकी 25. 15 -00:01:00,280 --> 00:01:03,208 +00:01:00,280 --> 00:01:03,726 विषाणू हे अशा प्रकारच्या वाढीचे पाठ्यपुस्तकातील उदाहरण आहेत, 16 -00:01:03,208 --> 00:01:06,040 +00:01:03,726 --> 00:01:07,060 कारण नवीन प्रकरणे अस्तित्वात असलेल्या केसेस कारणीभूत आहेत. 17 -00:01:06,040 --> 00:01:11,907 +00:01:09,340 --> 00:01:14,349 दिलेल्या दिवशी प्रकरणांची संख्या n असल्यास, आणि आम्ही म्हणतो की विषाणू 18 -00:01:11,907 --> 00:01:16,452 +00:01:14,349 --> 00:01:18,229 असलेल्या प्रत्येक व्यक्तीला, एका विशिष्ट दिवशी सरासरी, 19 -00:01:16,452 --> 00:01:23,311 +00:01:18,229 --> 00:01:24,084 ई लोकांच्या संपर्कात आले आहे, आणि त्या प्रत्येकास नवीन संसर्ग होण्याची शक्यता आहे. 20 -00:01:23,311 --> 00:01:28,600 +00:01:24,084 --> 00:01:28,600 , तर दिलेल्या दिवशी नवीन प्रकरणांची संख्या e वेळा p वेळा n आहे. 21 @@ -271,31 +271,31 @@ e किंवा p संख्या कमी झाल्यास थां संसर्ग झाला आहे या संभाव्यतेसाठी काही प्रकारचे घटक समाविष्ट केले पाहिजेत. 69 -00:04:39,240 --> 00:04:42,255 +00:04:39,240 --> 00:04:42,689 यासारख्या यादृच्छिक फेरफार मॉडेलसाठी, याचा अर्थ असा असू शकतो की 1 70 -00:04:42,255 --> 00:04:45,500 +00:04:42,689 --> 00:04:46,400 वजा सारख्या घटकाचा समावेश जगातील आधीच संक्रमित लोकांच्या प्रमाणात आहे. 71 -00:04:45,500 --> 00:04:49,683 +00:04:47,700 --> 00:04:51,349 त्या घटकाचा समावेश करून, आणि नंतर n कसा वाढतो याचे निराकरण केल्याने, 72 -00:04:49,683 --> 00:04:53,624 +00:04:51,349 --> 00:04:54,786 तुम्हाला व्यवसायात लॉजिस्टिक वक्र म्हणून ओळखले जाणारे काय मिळते, 73 -00:04:53,624 --> 00:04:57,020 +00:04:54,786 --> 00:04:57,748 जे सुरुवातीला घातांकापासून वेगळे करता येण्यासारखे नाही, 74 -00:04:57,020 --> 00:05:01,386 +00:04:57,748 --> 00:05:01,556 परंतु तुम्ही एकूण लोकसंख्येच्या आकाराजवळ आल्यावर शेवटी स्तर बाहेर पडतो, 75 -00:05:01,386 --> 00:05:02,720 +00:05:01,556 --> 00:05:02,720 जे तुमची अपेक्षा आहे. 76 @@ -307,19 +307,19 @@ e किंवा p संख्या कमी झाल्यास थां त्यातील प्रत्येक खरोखर लॉजिस्टिक वक्रची सुरुवात आहे. 78 -00:05:10,040 --> 00:05:13,052 +00:05:10,040 --> 00:05:13,249 येथे हा बिंदू, जिथे तो लॉजिस्टिक वरच्या दिशेने वक्र करण्याऐवजी 79 -00:05:13,052 --> 00:05:16,160 +00:05:13,249 --> 00:05:16,560 खाली वळवण्याकडे जातो त्याला इन्फ्लेक्शन पॉइंट म्हणून ओळखले जाते. 80 -00:05:16,160 --> 00:05:21,038 +00:05:17,320 --> 00:05:21,649 तेथे, या वळणाच्या उताराने दर्शविल्या जाणार्‍या नवीन प्रकरणांची 81 -00:05:21,038 --> 00:05:26,460 +00:05:21,649 --> 00:05:26,460 संख्या वाढणे थांबते आणि त्याऐवजी कमी होण्याआधी साधारणपणे स्थिर राहते. 82 @@ -399,7 +399,7 @@ e किंवा p संख्या कमी झाल्यास थां तुमच्या पुढे वाट पाहत आहेत. 101 -00:06:48,719 --> 00:06:53,765 +00:06:48,720 --> 00:06:53,765 आता हे खरे आहे की सर्वात वाईट परिस्थितीत संपृक्तता बिंदू एकूण लोकसंख्येच्या आसपास आहे, 102 diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/persian/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/persian/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..9b5bcb8ef --- /dev/null +++ b/2020/exponential-and-epidemics/persian/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,440 @@ +1 +00:00:02,940 --> 00:00:06,821 +عبارت رشد تصاعدی برای اکثر مردم آشناست، و با این + +2 +00:00:06,821 --> 00:00:11,100 +حال شهود انسان در تشخیص معنای آن گاهی اوقات مشکل دارد. + +3 +00:00:11,320 --> 00:00:14,742 +ما می‌توانیم روی دنباله‌ای از اعداد به‌ظاهر کوچک لنگر بیاندازیم + +4 +00:00:14,742 --> 00:00:18,058 +و وقتی ناگهان آن اعداد بزرگ به نظر می‌رسند، شگفت‌زده می‌شویم، + +5 +00:00:18,058 --> 00:00:21,160 +حتی اگر روند کلی به طور کاملاً ثابت از یک نمایی پیروی کند. + +6 +00:00:22,120 --> 00:00:26,092 +این دقیقاً در اینجا داده‌های مربوط به موارد ثبت‌شده کووید-19، + +7 +00:00:26,092 --> 00:00:30,000 +یا همان کروناویروس است، حداقل در زمانی که من این را می‌نویسم. + +8 +00:00:30,420 --> 00:00:34,813 +هرگز فرصتی را برای درس ریاضی از دست ندهید، فکر می‌کردم این زمان مناسبی برای همه ما + +9 +00:00:34,813 --> 00:00:39,153 +است تا به اصول اولیه این که رشد نمایی واقعا چیست، از کجا می‌آید، به چه چیزی دلالت + +10 +00:00:39,153 --> 00:00:43,600 +می‌کند و شاید مهم‌ترین آن‌ها چگونه است، بازگردیم. تا بداند چه زمانی به پایان می رسد. + +11 +00:00:44,320 --> 00:00:47,089 +رشد نمایی به این معنی است که وقتی از یک روز به + +12 +00:00:47,089 --> 00:00:49,800 +روز دیگر می روید، شامل ضرب در مقداری ثابت است. + +13 +00:00:50,380 --> 00:00:59,360 +در داده‌های ما، تعداد موارد در هر روز مضربی از حدود 1.15 تا 1.25 تعداد موارد روز قبل است. + +14 +00:01:00,280 --> 00:01:03,852 +ویروس ها نمونه کتاب درسی این نوع رشد هستند، زیرا + +15 +00:01:03,852 --> 00:01:07,060 +آنچه باعث موارد جدید می شود موارد موجود است. + +16 +00:01:09,340 --> 00:01:15,909 +اگر تعداد موارد در یک روز معین n باشد، و بگوییم که هر فرد مبتلا به ویروس در یک روز معین + +17 +00:01:15,909 --> 00:01:22,180 +در معرض انفراد قرار گرفته است، و هر یک از آن قرار گرفتن در معرض احتمال p برای تبدیل + +18 +00:01:22,180 --> 00:01:28,600 +شدن به یک عفونت جدید است، آنگاه تعداد موارد جدید در یک روز معین e ضربدر p ضربدر n است. + +19 +00:01:29,960 --> 00:01:34,828 +این واقعیت که n خود عاملی در تغییر خودش است، چیزی است که واقعاً باعث می‌شود همه چیز + +20 +00:01:34,828 --> 00:01:39,640 +سریع پیش برود، زیرا اگر n بزرگ شود، به این معنی است که خود نرخ رشد نیز بزرگ می‌شود. + +21 +00:01:40,480 --> 00:01:44,216 +یکی از راه‌های فکر کردن به این موضوع این است که وقتی موارد جدید را + +22 +00:01:44,216 --> 00:01:47,952 +برای به دست آوردن رشد روز بعد اضافه می‌کنید، می‌توانید n را فاکتور + +23 +00:01:47,952 --> 00:01:51,800 +کنید، بنابراین این دقیقاً مانند ضرب در ثابتی است که بزرگ‌تر از 1 است. + +24 +00:01:52,860 --> 00:01:57,022 +اگر محور y نمودار خود را در یک مقیاس لگاریتمی قرار دهیم، گاهی اوقات + +25 +00:01:57,022 --> 00:02:01,061 +ساده تر می شود، به این معنی که هر مرحله از یک فاصله ثابت مربوط به + +26 +00:02:01,061 --> 00:02:05,040 +ضرب در یک عامل خاص است، در این مورد هر مرحله یک توان 10 دیگر است. + +27 +00:02:05,860 --> 00:02:09,060 +در این مقیاس، رشد نمایی باید مانند یک خط مستقیم باشد. + +28 +00:02:09,060 --> 00:02:13,605 +با نگاهی به داده های ما، به نظر می رسد که 20 روز طول کشید تا از 100 به 1000 + +29 +00:02:13,605 --> 00:02:18,150 +برسیم، و 13 روز طول کشید تا از آن به 10000 برسیم، و اگر یک رگرسیون خطی ساده + +30 +00:02:18,150 --> 00:02:22,158 +برای یافتن بهترین خط مناسب انجام دهید، می توانید به شیب نگاه کنید. + +31 +00:02:22,158 --> 00:02:26,882 +از آن خط برای گرفتن نتیجه ای مانند اینکه ما تمایل داریم به طور متوسط هر 16 روز + +32 +00:02:26,882 --> 00:02:27,780 +در 10 ضرب کنیم. + +33 +00:02:28,620 --> 00:02:31,974 +این رگرسیون همچنین به ما اجازه می دهد کمی بیشتر در مورد اینکه + +34 +00:02:31,974 --> 00:02:35,328 +تناسب نمایی واقعاً چقدر نزدیک است، و برای استفاده از اصطلاحات + +35 +00:02:35,328 --> 00:02:38,520 +تخصصی آماری فنی در اینجا، پاسخ این است که واقعاً نزدیک است. + +36 +00:02:39,040 --> 00:02:42,040 +اما اگر درست باشد، هضم دقیقاً به چه معناست. + +37 +00:02:42,580 --> 00:02:46,821 +وقتی کشوری را می‌بینید که مثلاً 6000 پرونده دارد و کشوری دیگر با 60 مورد، + +38 +00:02:46,821 --> 00:02:51,120 +آسان است فکر کنید که کشور دوم 100 برابر بهتر عمل می‌کند و بنابراین خوب است. + +39 +00:02:51,680 --> 00:02:56,329 +اما اگر واقعاً در موقعیتی هستید که اعداد هر 16 روز در 10 ضرب می شوند، راه دیگری + +40 +00:02:56,329 --> 00:03:00,920 +برای مشاهده همین واقعیت این است که کشور دوم حدود یک ماه از کشور اول عقب تر است. + +41 +00:03:01,600 --> 00:03:04,620 +البته اگر این خط را ترسیم کنید بسیار نگران کننده است. + +42 +00:03:04,620 --> 00:03:09,357 +من این را در 6 مارس ثبت می‌کنم، و اگر روند کنونی ادامه پیدا کند، + +43 +00:03:09,357 --> 00:03:13,802 +به این معنی است که در 30 روز یک میلیون مورد، در 47 روز به 10 + +44 +00:03:13,802 --> 00:03:18,540 +میلیون، در 64 روز به 100 میلیون و در 81 روز به یک میلیارد می‌رسد. + +45 +00:03:19,440 --> 00:03:22,440 +نیازی به گفتن نیست، با این حال، شما نمی توانید برای همیشه چنین + +46 +00:03:22,440 --> 00:03:25,440 +خطی را ترسیم کنید، به وضوح باید در نقطه ای شروع به کند شدن کند. + +47 +00:03:25,700 --> 00:03:27,520 +اما سوال مهم این است که چه زمانی. + +48 +00:03:28,340 --> 00:03:33,257 +آیا این مانند شیوع سارس در سال 2002 است که حدود 8000 مورد را پوشش داد، یا + +49 +00:03:33,257 --> 00:03:38,440 +آنفولانزای اسپانیایی 1918 که در نهایت حدود 27 درصد از جمعیت جهان را مبتلا کرد؟ + +50 +00:03:39,620 --> 00:03:44,180 +به طور کلی، بدون هیچ زمینه‌ای، فقط کشیدن یک خط از طریق داده‌های شما راه خوبی برای + +51 +00:03:44,180 --> 00:03:49,020 +پیش‌بینی نیست، اما به یاد داشته باشید، دلیل واقعی برای انتظار نمایی در اینجا وجود دارد. + +52 +00:03:49,340 --> 00:03:53,521 +اگر تعداد موارد جدید در هر روز متناسب با تعداد موارد موجود باشد، + +53 +00:03:53,521 --> 00:03:57,895 +لزوماً به این معنی است که هر روز شما را در مقداری ثابت ضرب می‌کنید، + +54 +00:03:57,895 --> 00:04:01,820 +بنابراین حرکت به جلو d روز برابر است با ضرب در آن ثابت d بار. + +55 +00:04:02,420 --> 00:04:06,900 +تنها راهی که متوقف می شود این است که عدد E یا P پایین بیاید. + +56 +00:04:07,980 --> 00:04:09,920 +این امری اجتناب ناپذیر است که در نهایت این اتفاق بیفتد. + +57 +00:04:10,600 --> 00:04:15,623 +حتی در کاملا مخرب ترین مدل برای یک ویروس، که در آن هر روز هر فرد مبتلا به عفونت در معرض + +58 +00:04:15,623 --> 00:04:20,647 +یک زیرمجموعه تصادفی از جمعیت جهان قرار می گیرد، در برخی مواقع اکثر افرادی که در معرض آن + +59 +00:04:20,647 --> 00:04:25,500 +قرار می گیرند قبلاً بیمار هستند. و بنابراین آنها نمی توانند به موارد جدید تبدیل شوند. + +60 +00:04:27,780 --> 00:04:33,242 +در معادله ما، این بدان معناست که احتمال اینکه قرار گرفتن در معرض یک عفونت جدید باشد باید + +61 +00:04:33,242 --> 00:04:38,460 +شامل نوعی عامل باشد تا احتمال ابتلای فردی که در معرض آن قرار گرفته‌اید را محاسبه کند. + +62 +00:04:39,240 --> 00:04:42,685 +برای یک مدل تصادفی تصادفی مانند این، این می‌تواند به معنای شامل + +63 +00:04:42,685 --> 00:04:46,400 +فاکتوری مانند 1 منهای نسبت افراد در جهان باشد که قبلاً آلوده شده‌اند. + +64 +00:04:47,700 --> 00:04:55,680 +با احتساب آن فاکتور، و سپس حل چگونگی رشد N، آنچه در مدل شناخته شده است، به دست می آورید. + +65 +00:04:55,680 --> 00:04:59,140 +در ابتدا امکان نمایی وجود ندارد، اما در نهایت زمانی که به + +66 +00:04:59,140 --> 00:05:02,720 +کل جمعیت نزدیک می‌شوید، به سطح می‌رسد، چیزی که انتظار دارید. + +67 +00:05:03,360 --> 00:05:06,310 +نمایی های واقعی اساساً هرگز در دنیای واقعی وجود + +68 +00:05:06,310 --> 00:05:09,200 +ندارند، هر یک از آنها شروع یک منحنی لجستیک است. + +69 +00:05:10,040 --> 00:05:13,371 +این نقطه درست در اینجا، جایی که آن منحنی لجستیک از خمیدگی به سمت بالا + +70 +00:05:13,371 --> 00:05:16,560 +به جای خمیدگی به سمت پایین می رود، به عنوان نقطه عطف شناخته می شود. + +71 +00:05:17,320 --> 00:05:21,994 +در آنجا، تعداد موارد جدید در هر روز، که با شیب این منحنی نشان داده + +72 +00:05:21,994 --> 00:05:26,460 +می‌شود، افزایش نمی‌یابد و قبل از شروع کاهش تقریباً ثابت می‌ماند. + +73 +00:05:30,140 --> 00:05:35,363 +یک عددی که مردم اغلب با اپیدمی ها دنبال می کنند، عامل رشد است که به عنوان + +74 +00:05:35,363 --> 00:05:40,940 +نسبت بین تعداد موارد جدید در یک روز و تعداد موارد جدید در روز قبل تعریف می شود. + +75 +00:05:42,340 --> 00:05:47,770 +فقط برای روشن بودن، اگر به تمام کل ها از یک روز به روز دیگر نگاه می کنید، سپس + +76 +00:05:47,770 --> 00:05:53,200 +تغییرات بین آن کل ها را ردیابی می کنید، ضریب رشد نسبت بین دو تغییر متوالی است. + +77 +00:05:55,440 --> 00:05:58,322 +در حالی که شما در بخش نمایی هستید، این فاکتور به طور مداوم + +78 +00:05:58,322 --> 00:06:01,253 +بالای یک می ماند، در حالی که به محض اینکه فاکتور رشد شما به + +79 +00:06:01,253 --> 00:06:04,380 +یک نزدیک تر به نظر می رسد، نشانه آن است که شما به عطف رسیده اید. + +80 +00:06:05,560 --> 00:06:08,840 +این می‌تواند در حین دنبال کردن داده‌ها، واقعیت غیرقابل پیش‌بینی دیگری را ایجاد کند. + +81 +00:06:09,320 --> 00:06:14,948 +به این فکر کنید که چه حسی دارد که تعداد موارد جدید در یک روز حدود 15 درصد بیشتر از تعداد + +82 +00:06:14,948 --> 00:06:20,640 +موارد جدید روز قبل باشد، و آن را با احساسی که برای یکسان بودن آن احساس می شود مقایسه کنید. + +83 +00:06:21,240 --> 00:06:25,040 +فقط با نگاه کردن به مجموع حاصل از آنها، آنها واقعاً احساس متفاوتی ندارند. + +84 +00:06:27,000 --> 00:06:31,733 +اما اگر ضریب رشد یک باشد، می‌تواند به این معنی باشد که شما در نقطه عطف یک لجستیک + +85 +00:06:31,733 --> 00:06:36,760 +هستید، که به این معنی است که تعداد کل موارد در هر کجا که هستید حدود دو برابر خواهد شد. + +86 +00:06:37,200 --> 00:06:40,190 +اما یک فاکتور رشد بزرگتر از یک، هرچند ظریف به نظر می رسد، به + +87 +00:06:40,190 --> 00:06:43,132 +این معنی است که شما در بخش نمایی قرار دارید، که می تواند به + +88 +00:06:43,132 --> 00:06:46,320 +این معنی باشد که مرتبه های بزرگی از رشد هنوز در انتظار شما هستند. + +89 +00:06:48,720 --> 00:06:52,428 +در حال حاضر، در حالی که این درست است که در بدترین حالت، نقطه اشباع + +90 +00:06:52,428 --> 00:06:55,915 +در حدود کل جمعیت است، البته این که افراد مبتلا به ویروس به طور + +91 +00:06:55,915 --> 00:06:59,680 +تصادفی در سراسر جمعیت جهان به این شکل جابجا می شوند، اصلا درست نیست. + +92 +00:07:00,200 --> 00:07:02,160 +مردم در جوامع محلی دسته بندی شده اند. + +93 +00:07:03,380 --> 00:07:06,955 +با این حال، اگر شبیه‌سازی‌هایی را اجرا کنید که در آن حتی کمی سفر بین + +94 +00:07:06,955 --> 00:07:10,480 +خوشه‌هایی مانند این وجود دارد، رشد در واقع تفاوت چندانی نخواهد داشت. + +95 +00:07:14,120 --> 00:07:17,117 +چیزی که در نهایت به آن می رسید نوعی الگوی فراکتالی + +96 +00:07:17,117 --> 00:07:19,880 +است که در آن جوامع خود مانند افراد عمل می کنند. + +97 +00:07:20,660 --> 00:07:25,244 +هر یک از آنها تا حدودی در معرض دیگران قرار دارند و احتمال انتشار عفونت + +98 +00:07:25,244 --> 00:07:29,700 +وجود دارد، بنابراین همان قوانین اساسی و القاکننده نمایی اعمال می شود. + +99 +00:07:42,940 --> 00:07:45,862 +خوشبختانه، اشباع کل جمعیت تنها چیزی نیست که می تواند + +100 +00:07:45,862 --> 00:07:48,840 +باعث شود دو عاملی که ما به آن اهمیت می دهیم کاهش یابد. + +101 +00:07:49,660 --> 00:07:52,980 +همچنین زمانی که افراد از تجمع و مسافرت خودداری می کنند، میزان قرار گرفتن در معرض آن + +102 +00:07:52,980 --> 00:07:56,380 +کاهش می یابد و زمانی که افراد دست های خود را بیشتر می شویند، میزان عفونت کاهش می یابد. + +103 +00:07:57,100 --> 00:08:00,804 +چیز دیگری که در مورد رشد نمایی مخالف است، این بار به معنای + +104 +00:08:00,804 --> 00:08:04,320 +خوشبینانه تر، این است که چقدر نسبت به این ثابت حساس است. + +105 +00:08:05,020 --> 00:08:09,552 +به عنوان مثال، اگر 15% باشد، مانند آنچه که من این را ضبط می کنم، و ما اکنون در + +106 +00:08:09,552 --> 00:08:14,200 +21000 مورد هستیم، به این معنی است که 61 روز بعد شما به بیش از 100 میلیون می رسید. + +107 +00:08:15,020 --> 00:08:20,592 +اما اگر از طریق کمی کمتر قرار گرفتن در معرض و عفونت، این میزان به 5٪ کاهش یابد، به این + +108 +00:08:20,592 --> 00:08:26,100 +معنی نیست که پیش بینی نیز با ضریب 3 کاهش می یابد، در واقع به حدود 400000 کاهش می یابد. + +109 +00:08:26,660 --> 00:08:30,200 +بنابراین اگر مردم به اندازه کافی نگران باشند، نگرانی کمتری وجود دارد. + +110 +00:08:30,200 --> 00:08:32,320 +اما اگر کسی نگران نیست، آن موقع است که باید نگران باشید. + diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/portuguese/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/portuguese/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..263e786bd --- /dev/null +++ b/2020/exponential-and-epidemics/portuguese/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,516 @@ +1 +00:00:02,940 --> 00:00:06,494 +A frase crescimento exponencial é familiar para a maioria das pessoas, + +2 +00:00:06,494 --> 00:00:10,599 +mas a intuição humana às vezes tem dificuldade em reconhecer realmente o que isso + +3 +00:00:10,599 --> 00:00:11,100 +significa. + +4 +00:00:11,320 --> 00:00:14,628 +Podemos ancorar-nos numa sequência de números aparentemente pequenos e depois + +5 +00:00:14,628 --> 00:00:17,639 +ficar surpreendidos quando, de repente, esses números parecem grandes, + +6 +00:00:17,639 --> 00:00:21,160 +mesmo que a tendência geral siga um exponencial de forma perfeitamente consistente. + +7 +00:00:22,120 --> 00:00:25,538 +Estes aqui são os dados dos casos registrados de COVID-19, + +8 +00:00:25,538 --> 00:00:30,000 +também conhecido como coronavírus, pelo menos no momento em que escrevo isto. + +9 +00:00:30,420 --> 00:00:33,384 +Nunca desperdiçando uma oportunidade com uma aula de matemática, + +10 +00:00:33,384 --> 00:00:36,622 +pensei que este poderia ser um bom momento para todos nós voltarmos ao + +11 +00:00:36,622 --> 00:00:39,860 +básico sobre o que realmente é o crescimento exponencial, de onde vem, + +12 +00:00:39,860 --> 00:00:43,600 +o que implica e, talvez mais urgentemente, como saber quando está chegando ao fim. + +13 +00:00:44,320 --> 00:00:47,888 +O crescimento exponencial significa que conforme você passa de um dia para o outro, + +14 +00:00:47,888 --> 00:00:49,800 +envolve a multiplicação por alguma constante. + +15 +00:00:50,380 --> 00:00:54,698 +Nos nossos dados, o número de casos em cada dia tende a ser um + +16 +00:00:54,698 --> 00:00:59,360 +múltiplo de cerca de 1,15 a 1,25 do número de casos do dia anterior. + +17 +00:01:00,280 --> 00:01:03,817 +Os vírus são um exemplo clássico desse tipo de crescimento, + +18 +00:01:03,817 --> 00:01:07,060 +porque o que causa novos casos são os casos existentes. + +19 +00:01:09,340 --> 00:01:12,615 +Se o número de casos em um determinado dia for n, + +20 +00:01:12,615 --> 00:01:17,463 +e dissermos que cada indivíduo com o vírus está exposto a e pessoas em um + +21 +00:01:17,463 --> 00:01:22,180 +determinado dia, e cada uma dessas exposições tem probabilidade p de se + +22 +00:01:22,180 --> 00:01:27,027 +tornar uma nova infecção, então o número de novos casos em um determinado + +23 +00:01:27,027 --> 00:01:28,600 +dia é e vezes p vezes n. + +24 +00:01:29,960 --> 00:01:33,203 +O facto de n em si ser um factor na sua própria mudança é o que + +25 +00:01:33,203 --> 00:01:36,599 +realmente faz as coisas andarem rapidamente, porque se n aumentar, + +26 +00:01:36,599 --> 00:01:39,640 +significa que a própria taxa de crescimento está a aumentar. + +27 +00:01:40,480 --> 00:01:44,367 +Uma maneira de pensar sobre isso é que, ao adicionar os novos casos + +28 +00:01:44,367 --> 00:01:48,083 +para obter o crescimento do dia seguinte, você pode fatorar o n, + +29 +00:01:48,083 --> 00:01:51,800 +então é o mesmo que multiplicar por alguma constante maior que 1. + +30 +00:01:52,860 --> 00:01:56,759 +Isso às vezes é mais fácil de ver se colocarmos o eixo y do nosso gráfico em uma + +31 +00:01:56,759 --> 00:02:00,851 +escala logarítmica, o que significa que cada passo de uma distância fixa corresponde + +32 +00:02:00,851 --> 00:02:05,040 +à multiplicação por um determinado fator, neste caso cada passo é outra potência de 10. + +33 +00:02:05,860 --> 00:02:09,060 +Nesta escala, o crescimento exponencial deveria parecer uma linha reta. + +34 +00:02:09,060 --> 00:02:14,067 +Olhando para nossos dados, parece que foram necessários 20 dias para ir de 100 a 1.000, + +35 +00:02:14,067 --> 00:02:18,562 +e 13 dias para ir de 10.000, e se você fizer uma regressão linear simples para + +36 +00:02:18,562 --> 00:02:23,228 +encontrar a linha de melhor ajuste, poderá observar a inclinação dessa linha para + +37 +00:02:23,228 --> 00:02:27,780 +tirar uma conclusão como tendemos a multiplicar por 10 a cada 16 dias, em média. + +38 +00:02:28,620 --> 00:02:31,845 +Essa regressão também nos permite ser um pouco mais quantitativos sobre + +39 +00:02:31,845 --> 00:02:34,264 +o quão próximo o ajuste exponencial realmente está e, + +40 +00:02:34,264 --> 00:02:37,444 +para usar o jargão técnico estatístico aqui, a resposta é que ele está + +41 +00:02:37,444 --> 00:02:38,520 +realmente muito próximo. + +42 +00:02:39,040 --> 00:02:42,040 +Mas pode ser difícil digerir exatamente o que isso significa se for verdade. + +43 +00:02:42,580 --> 00:02:46,687 +Quando vemos um país com, digamos, 6.000 casos e outro com 60, + +44 +00:02:46,687 --> 00:02:51,120 +é fácil pensar que o segundo está 100 vezes melhor e, portanto, bem. + +45 +00:02:51,680 --> 00:02:56,172 +Mas se estivermos numa situação em que os números se multiplicam por 10 a cada 16 dias, + +46 +00:02:56,172 --> 00:02:59,184 +outra forma de ver o mesmo facto é que o segundo país está + +47 +00:02:59,184 --> 00:03:00,920 +cerca de um mês atrás do primeiro. + +48 +00:03:01,600 --> 00:03:04,620 +É claro que isso é bastante preocupante se você traçar os limites. + +49 +00:03:04,620 --> 00:03:09,730 +Estou a registar isto no dia 6 de Março e, se a tendência actual continuar, + +50 +00:03:09,730 --> 00:03:15,312 +significaria atingir um milhão de casos em 30 dias, atingir 10 milhões em 47 dias, + +51 +00:03:15,312 --> 00:03:18,540 +100 milhões em 64 dias e mil milhões em 81 dias. + +52 +00:03:19,440 --> 00:03:22,440 +Escusado será dizer, porém, que você não pode simplesmente traçar uma linha como + +53 +00:03:22,440 --> 00:03:25,440 +essa para sempre, ela claramente terá que começar a desacelerar em algum momento. + +54 +00:03:25,700 --> 00:03:27,520 +Mas a questão crucial é quando. + +55 +00:03:28,340 --> 00:03:33,180 +Será como o surto de SARS de 2002, que atingiu o limite de cerca de 8.000 casos, + +56 +00:03:33,180 --> 00:03:38,440 +ou a gripe espanhola de 1918, que acabou por infectar cerca de 27% da população mundial? + +57 +00:03:39,620 --> 00:03:42,736 +Em geral, sem contexto, apenas traçar uma linha através dos + +58 +00:03:42,736 --> 00:03:45,592 +seus dados não é uma ótima maneira de fazer previsões, + +59 +00:03:45,592 --> 00:03:49,020 +mas lembre-se, há uma razão real para esperar um exponencial aqui. + +60 +00:03:49,340 --> 00:03:53,775 +Se o número de novos casos a cada dia for proporcional ao número de casos existentes, + +61 +00:03:53,775 --> 00:03:58,003 +isso necessariamente significa que cada dia você multiplica por alguma constante, + +62 +00:03:58,003 --> 00:04:01,820 +então avançar d dias é o mesmo que multiplicar por essa constante d vezes. + +63 +00:04:02,420 --> 00:04:06,900 +A única maneira de parar é se o número E ou P cair. + +64 +00:04:07,980 --> 00:04:09,920 +É inevitável que isso acabe acontecendo. + +65 +00:04:10,600 --> 00:04:13,570 +Mesmo no modelo mais perfeitamente pernicioso para um vírus, + +66 +00:04:13,570 --> 00:04:17,027 +que seria onde todos os dias cada pessoa com a infecção é exposta a um + +67 +00:04:17,027 --> 00:04:20,679 +subconjunto aleatório da população mundial, em algum momento a maioria das + +68 +00:04:20,679 --> 00:04:23,162 +pessoas a quem estão expostas já estariam doentes, + +69 +00:04:23,162 --> 00:04:25,500 +e então eles não poderiam se tornar novos casos. + +70 +00:04:27,780 --> 00:04:31,291 +Na nossa equação, isso significaria que a probabilidade de uma exposição + +71 +00:04:31,291 --> 00:04:34,659 +se tornar uma nova infecção teria de incluir algum tipo de fator para + +72 +00:04:34,659 --> 00:04:38,460 +explicar a probabilidade de alguém a quem você está exposto já estar infectado. + +73 +00:04:39,240 --> 00:04:41,597 +Para um modelo de embaralhamento aleatório como este, + +74 +00:04:41,597 --> 00:04:45,090 +isso poderia significar incluir um fator como 1 menos a proporção de pessoas no + +75 +00:04:45,090 --> 00:04:46,400 +mundo que já estão infectadas. + +76 +00:04:47,700 --> 00:04:55,680 +Incluindo esse fator e resolvendo como N cresce, você obtém o que é conhecido no modelo. + +77 +00:04:55,680 --> 00:04:57,788 +Não é possível a partir de um exponencial no início, + +78 +00:04:57,788 --> 00:05:01,208 +mas no final das contas ele se estabiliza quando você se aproxima do tamanho total da + +79 +00:05:01,208 --> 00:05:02,720 +população, que é o que você esperaria. + +80 +00:05:03,360 --> 00:05:06,835 +As verdadeiras exponenciais essencialmente nunca existem no mundo real, + +81 +00:05:06,835 --> 00:05:09,200 +cada uma delas é o início de uma curva logística. + +82 +00:05:10,040 --> 00:05:13,225 +Este ponto aqui, onde a curva logística passa de uma curva para + +83 +00:05:13,225 --> 00:05:16,560 +cima para uma curva para baixo, é conhecido como ponto de inflexão. + +84 +00:05:17,320 --> 00:05:21,777 +Aí, o número de novos casos por dia, representado pela inclinação desta curva, + +85 +00:05:21,777 --> 00:05:26,460 +para de aumentar e permanece aproximadamente constante antes de começar a diminuir. + +86 +00:05:30,140 --> 00:05:34,847 +Um número que as pessoas costumam acompanhar nas epidemias é o fator de crescimento, + +87 +00:05:34,847 --> 00:05:38,392 +que é definido como a razão entre o número de novos casos em um + +88 +00:05:38,392 --> 00:05:40,940 +dia e o número de novos casos no dia anterior. + +89 +00:05:42,340 --> 00:05:45,908 +Só para ficar claro, se você estivesse observando todos os totais de + +90 +00:05:45,908 --> 00:05:49,476 +um dia para o outro e acompanhando as alterações entre esses totais, + +91 +00:05:49,476 --> 00:05:53,200 +o fator de crescimento seria uma razão entre duas alterações sucessivas. + +92 +00:05:55,440 --> 00:05:58,079 +Enquanto você está na parte exponencial, esse fator permanece + +93 +00:05:58,079 --> 00:06:00,931 +consistentemente acima de um, ao passo que, assim que seu fator de + +94 +00:06:00,931 --> 00:06:04,380 +crescimento parece mais próximo de um, é um sinal de que você atingiu a inflexão. + +95 +00:06:05,560 --> 00:06:08,840 +Isso pode ser outro fato contra-intuitivo ao seguir os dados. + +96 +00:06:09,320 --> 00:06:12,992 +Pense em como seria se o número de novos casos num dia fosse + +97 +00:06:12,992 --> 00:06:16,967 +cerca de 15% maior do que o número de novos casos no dia anterior + +98 +00:06:16,967 --> 00:06:20,640 +e compare isso com o que seria se fosse praticamente o mesmo. + +99 +00:06:21,240 --> 00:06:25,040 +Apenas olhando para os totais em que resultam, eles não parecem tão diferentes. + +100 +00:06:27,000 --> 00:06:30,183 +Mas se o fator de crescimento for um, isso pode significar que você está no + +101 +00:06:30,183 --> 00:06:33,408 +ponto de inflexão de uma logística, o que significaria que o número total de + +102 +00:06:33,408 --> 00:06:36,760 +casos atingirá o máximo em cerca de duas vezes, onde quer que você esteja agora. + +103 +00:06:37,200 --> 00:06:40,614 +Mas um fator de crescimento maior que um, por mais sutil que possa parecer, + +104 +00:06:40,614 --> 00:06:43,579 +significa que você está na parte exponencial, o que pode implicar + +105 +00:06:43,579 --> 00:06:46,320 +que há ordens de magnitude de crescimento ainda à sua frente. + +106 +00:06:48,720 --> 00:06:52,196 +Agora, embora seja verdade que na pior situação o ponto de saturação se + +107 +00:06:52,196 --> 00:06:55,865 +situa em torno da população total, é claro que não é verdade que as pessoas + +108 +00:06:55,865 --> 00:06:59,680 +com o vírus sejam espalhadas aleatoriamente pela população mundial desta forma. + +109 +00:07:00,200 --> 00:07:02,160 +As pessoas estão agrupadas em comunidades locais. + +110 +00:07:03,380 --> 00:07:07,230 +No entanto, se você executar simulações em que haja um pouco de deslocamento + +111 +00:07:07,230 --> 00:07:10,480 +entre clusters como esse, o crescimento não será muito diferente. + +112 +00:07:14,120 --> 00:07:16,804 +O que se obtém é uma espécie de padrão fractal, + +113 +00:07:16,804 --> 00:07:19,880 +onde as próprias comunidades funcionam como indivíduos. + +114 +00:07:20,660 --> 00:07:25,423 +Cada um tem alguma exposição a outros, com alguma probabilidade de espalhar a infecção, + +115 +00:07:25,423 --> 00:07:29,700 +pelo que se aplicam as mesmas leis subjacentes e indutoras de exponencialidade. + +116 +00:07:42,940 --> 00:07:45,822 +Felizmente, a saturação de toda a população não é a única coisa + +117 +00:07:45,822 --> 00:07:48,840 +que pode fazer com que os dois factores que nos preocupam diminuam. + +118 +00:07:49,660 --> 00:07:53,000 +A quantidade de exposição também pode diminuir quando as pessoas param de se reunir e + +119 +00:07:53,000 --> 00:07:56,380 +viajar, e a taxa de infecção pode diminuir quando as pessoas apenas lavam mais as mãos. + +120 +00:07:57,100 --> 00:08:00,377 +A outra coisa que é contraintuitiva no crescimento exponencial, + +121 +00:08:00,377 --> 00:08:04,320 +desta vez num sentido mais optimista, é a sua sensibilidade a esta constante. + +122 +00:08:05,020 --> 00:08:10,068 +Por exemplo, se for 15%, como estou registrando isso, e estamos com 21.000 casos agora, + +123 +00:08:10,068 --> 00:08:14,200 +isso significaria que daqui a 61 dias você atingirá mais de 100 milhões. + +124 +00:08:15,020 --> 00:08:18,553 +Mas se, através de um pouco menos de exposição e infecção, + +125 +00:08:18,553 --> 00:08:23,884 +essa taxa cair para 5%, isso não significa que a projeção também caia por um fator de 3, + +126 +00:08:23,884 --> 00:08:26,100 +na verdade cai para cerca de 400.000. + +127 +00:08:26,660 --> 00:08:28,825 +Portanto, se as pessoas estiverem suficientemente preocupadas, + +128 +00:08:28,825 --> 00:08:30,200 +haverá muito menos com que se preocupar. + +129 +00:08:30,200 --> 00:08:32,320 +Mas se ninguém está preocupado, é aí que você deve se preocupar. + diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/russian/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/russian/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..24bcbb4f7 --- /dev/null +++ b/2020/exponential-and-epidemics/russian/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,536 @@ +1 +00:00:02,940 --> 00:00:06,082 +Фраза "экспоненциальный рост" знакома большинству людей, + +2 +00:00:06,082 --> 00:00:10,162 +и все же человеческой интуиции иногда бывает трудно по-настоящему понять, + +3 +00:00:10,162 --> 00:00:11,100 +что она означает. + +4 +00:00:11,320 --> 00:00:14,600 +Мы можем зациклиться на последовательности небольших, на первый взгляд, + +5 +00:00:14,600 --> 00:00:17,880 +чисел, а потом удивиться, когда эти числа вдруг покажутся нам большими, + +6 +00:00:17,880 --> 00:00:21,160 +даже если общая тенденция совершенно последовательно следует экспоненте. + +7 +00:00:22,120 --> 00:00:26,329 +Вот здесь приведены данные о зарегистрированных случаях заболевания COVID-19, + +8 +00:00:26,329 --> 00:00:30,000 +он же коронавирус, по крайней мере, на тот момент, когда я это пишу. + +9 +00:00:30,420 --> 00:00:34,089 +Никогда не упускавший возможности провести урок математики, я подумал, + +10 +00:00:34,089 --> 00:00:38,328 +что сейчас самое время вернуться к основам того, что такое экспоненциальный рост, + +11 +00:00:38,328 --> 00:00:42,359 +откуда он берется, что подразумевает и, возможно, самое главное - как понять, + +12 +00:00:42,359 --> 00:00:43,600 +что он подходит к концу. + +13 +00:00:44,320 --> 00:00:46,236 +Экспоненциальный рост означает, что по мере того, + +14 +00:00:46,236 --> 00:00:48,918 +как ты переходишь от одного дня к другому, он подразумевает умножение + +15 +00:00:48,918 --> 00:00:49,800 +на некоторую константу. + +16 +00:00:50,380 --> 00:00:54,731 +В наших данных количество случаев за каждый день, как правило, + +17 +00:00:54,731 --> 00:00:59,360 +кратно примерно 1,15-1,25 от количества случаев за предыдущий день. + +18 +00:01:00,280 --> 00:01:03,866 +Вирусы - это хрестоматийный пример такого роста, потому что то, + +19 +00:01:03,866 --> 00:01:07,060 +что вызывает новые случаи, - это уже существующие случаи. + +20 +00:01:09,340 --> 00:01:13,854 +Если количество случаев заболевания в определенный день равно n, и мы говорим, + +21 +00:01:13,854 --> 00:01:18,598 +что каждый человек с вирусом подвергается воздействию e людей в определенный день, + +22 +00:01:18,598 --> 00:01:22,770 +и каждый из этих воздействий имеет вероятность p стать новым инфектором, + +23 +00:01:22,770 --> 00:01:27,685 +то количество новых случаев заболевания в определенный день равно e, умноженное на p, + +24 +00:01:27,685 --> 00:01:28,600 +умноженное на n. + +25 +00:01:29,960 --> 00:01:33,141 +Тот факт, что n само по себе является фактором собственного изменения, + +26 +00:01:33,141 --> 00:01:35,517 +- вот что действительно заставляет вещи идти быстро, + +27 +00:01:35,517 --> 00:01:37,847 +потому что если n становится большим, это означает, + +28 +00:01:37,847 --> 00:01:39,640 +что и сам темп роста становится большим. + +29 +00:01:40,480 --> 00:01:44,778 +Один из способов думать об этом заключается в том, что, когда ты добавляешь новые случаи, + +30 +00:01:44,778 --> 00:01:47,787 +чтобы получить прирост на следующий день, ты можешь вычесть n, + +31 +00:01:47,787 --> 00:01:51,800 +так что это будет то же самое, что умножить на какую-то константу, которая больше 1. + +32 +00:01:52,860 --> 00:01:57,231 +Иногда это легче увидеть, если мы нанесем ось y нашего графика на логарифмическую шкалу, + +33 +00:01:57,231 --> 00:02:01,258 +что означает, что каждый шаг фиксированного расстояния соответствует умножению на + +34 +00:02:01,258 --> 00:02:05,040 +определенный коэффициент, в данном случае каждый шаг - это очередная сила 10. + +35 +00:02:05,860 --> 00:02:09,060 +На этой шкале экспоненциальный рост должен выглядеть как прямая линия. + +36 +00:02:09,060 --> 00:02:13,824 +Глядя на наши данные, кажется, что для перехода от 100 к 1000 потребовалось 20 дней, + +37 +00:02:13,824 --> 00:02:18,868 +а для перехода от них к 10 000 - 13 дней, и если ты проведешь простую линейную регрессию, + +38 +00:02:18,868 --> 00:02:23,520 +чтобы найти наиболее подходящую линию, то сможешь посмотреть на наклон этой линии, + +39 +00:02:23,520 --> 00:02:27,780 +чтобы сделать вывод, что мы склонны умножать на 10 в среднем каждые 16 дней. + +40 +00:02:28,620 --> 00:02:31,611 +Эта регрессия также позволяет нам немного более количественно оценить, + +41 +00:02:31,611 --> 00:02:33,591 +насколько близка экспоненциальная подгонка, и, + +42 +00:02:33,591 --> 00:02:36,877 +если использовать технический статистический жаргон, ответ заключается в том, + +43 +00:02:36,877 --> 00:02:38,520 +что она действительно чертовски близка. + +44 +00:02:39,040 --> 00:02:42,040 +Но бывает трудно понять, что именно это значит, если это правда. + +45 +00:02:42,580 --> 00:02:46,636 +Когда ты видишь, что в одной стране, скажем, 6000 случаев, а в другой - 60, + +46 +00:02:46,636 --> 00:02:51,120 +легко подумать, что во второй дела обстоят в 100 раз лучше, а значит, все в порядке. + +47 +00:02:51,680 --> 00:02:53,802 +Но если ты действительно находишься в ситуации, + +48 +00:02:53,802 --> 00:02:57,029 +когда числа умножаются на 10 каждые 16 дней, то другой способ посмотреть + +49 +00:02:57,029 --> 00:03:00,920 +на тот же факт заключается в том, что вторая страна отстает от первой примерно на месяц. + +50 +00:03:01,600 --> 00:03:04,620 +Это, конечно, довольно тревожно, если провести линию. + +51 +00:03:04,620 --> 00:03:08,776 +Я записываю это 6 марта, и если нынешняя тенденция сохранится, + +52 +00:03:08,776 --> 00:03:12,668 +это будет означать попадание в миллион случаев за 30 дней, + +53 +00:03:12,668 --> 00:03:18,540 +попадание в 10 миллионов за 47 дней, в 100 миллионов за 64 дня и в 1 миллиард за 81 день. + +54 +00:03:19,440 --> 00:03:22,896 +Однако не стоит говорить, что ты не можешь проводить такую линию вечно, + +55 +00:03:22,896 --> 00:03:25,440 +в какой-то момент она явно должна начать замедляться. + +56 +00:03:25,700 --> 00:03:27,520 +Но решающий вопрос - когда. + +57 +00:03:28,340 --> 00:03:31,200 +Это как вспышка атипичной пневмонии в 2002 году, + +58 +00:03:31,200 --> 00:03:35,520 +которая закончилась примерно 8000 случаев, или испанский грипп 1918 года, + +59 +00:03:35,520 --> 00:03:38,440 +который в итоге заразил около 27% населения Земли? + +60 +00:03:39,620 --> 00:03:44,437 +В общем, без контекста просто провести линию через твои данные - не лучший способ + +61 +00:03:44,437 --> 00:03:49,020 +делать прогнозы, но помни, что здесь есть реальная причина ожидать экспоненту. + +62 +00:03:49,340 --> 00:03:53,283 +Если количество новых дел каждый день пропорционально количеству существующих, + +63 +00:03:53,283 --> 00:03:57,327 +то это обязательно означает, что каждый день ты умножаешь на какую-то константу, + +64 +00:03:57,327 --> 00:04:01,820 +так что двигаться вперед на d дней - это то же самое, что умножать на эту константу d раз. + +65 +00:04:02,420 --> 00:04:06,900 +Это прекратится только в том случае, если либо число E, либо P уменьшится. + +66 +00:04:07,980 --> 00:04:09,920 +Это неизбежно, что в конце концов произойдет. + +67 +00:04:10,600 --> 00:04:13,286 +Даже в самой идеально губительной для вируса модели, + +68 +00:04:13,286 --> 00:04:16,732 +когда каждый человек с инфекцией ежедневно подвергается воздействию + +69 +00:04:16,732 --> 00:04:20,786 +случайного подмножества населения планеты, в какой-то момент большинство людей, + +70 +00:04:20,786 --> 00:04:23,168 +с которыми они сталкиваются, уже будут больны, + +71 +00:04:23,168 --> 00:04:25,500 +и поэтому они не смогут стать новыми больными. + +72 +00:04:27,780 --> 00:04:30,764 +В нашем уравнении это означало бы, что вероятность того, + +73 +00:04:30,764 --> 00:04:34,376 +что контакт станет новой инфекцией, должна включать какой-то фактор, + +74 +00:04:34,376 --> 00:04:38,460 +учитывающий вероятность того, что кто-то, с кем ты общаешься, уже инфицирован. + +75 +00:04:39,240 --> 00:04:42,985 +Для такой модели случайной перетасовки это может означать включение + +76 +00:04:42,985 --> 00:04:46,400 +фактора вроде 1 минус доля людей в мире, которые уже заражены. + +77 +00:04:47,700 --> 00:04:55,680 +Включив этот фактор, а затем решив, как растет N, ты получишь то, что известно в модели. + +78 +00:04:55,680 --> 00:04:59,245 +В начале это невозможно по экспоненте, но в конечном итоге она выравнивается, + +79 +00:04:59,245 --> 00:05:02,720 +когда ты приближаешься к общему размеру популяции, чего и следовало ожидать. + +80 +00:05:03,360 --> 00:05:06,824 +Настоящие экспоненты, по сути, никогда не существуют в реальном мире, + +81 +00:05:06,824 --> 00:05:09,200 +каждая из них - это начало логистической кривой. + +82 +00:05:10,040 --> 00:05:14,930 +Вот эта точка, где логистическая кривая переходит от загиба вверх к загибу вниз, + +83 +00:05:14,930 --> 00:05:16,560 +называется точкой перегиба. + +84 +00:05:17,320 --> 00:05:21,919 +Там количество новых случаев каждый день, представленное наклоном этой кривой, + +85 +00:05:21,919 --> 00:05:26,460 +перестает расти и остается примерно постоянным, прежде чем начнет уменьшаться. + +86 +00:05:30,140 --> 00:05:33,159 +Одно из чисел, которое люди часто сопровождают эпидемиями, + +87 +00:05:33,159 --> 00:05:36,640 +- это коэффициент роста, который определяется как соотношение между + +88 +00:05:36,640 --> 00:05:40,940 +количеством новых случаев в один день и количеством новых случаев в предыдущий день. + +89 +00:05:42,340 --> 00:05:46,057 +Чтобы было понятно, если бы ты смотрел на все итоговые показатели от одного + +90 +00:05:46,057 --> 00:05:49,482 +дня к другому, а затем отслеживал изменения между этими показателями, + +91 +00:05:49,482 --> 00:05:53,200 +то фактор роста - это соотношение между двумя последовательными изменениями. + +92 +00:05:55,440 --> 00:05:58,298 +Пока ты находишься на экспоненциальной части, этот коэффициент + +93 +00:05:58,298 --> 00:06:01,157 +стабильно держится выше единицы, а как только твой коэффициент + +94 +00:06:01,157 --> 00:06:04,380 +роста приближается к единице, это признак того, что ты достиг перегиба. + +95 +00:06:05,560 --> 00:06:08,840 +Это может стать еще одним контринтуитивным фактом, если следить за данными. + +96 +00:06:09,320 --> 00:06:15,338 +Подумай, каково это, когда количество новых дел в один день примерно на 15% больше, + +97 +00:06:15,338 --> 00:06:20,640 +чем в предыдущий, и противопоставь это тому, когда оно примерно одинаково. + +98 +00:06:21,240 --> 00:06:23,885 +Просто посмотри на итоговые показатели, которые они дают в результате, + +99 +00:06:23,885 --> 00:06:25,040 +и не почувствуй особой разницы. + +100 +00:06:27,000 --> 00:06:29,848 +Но если коэффициент роста равен единице, это может означать, + +101 +00:06:29,848 --> 00:06:32,650 +что ты находишься в точке перегиба логистики, а это значит, + +102 +00:06:32,650 --> 00:06:36,760 +что общее количество случаев достигнет максимума примерно в два раза больше, чем сейчас. + +103 +00:06:37,200 --> 00:06:40,681 +Но коэффициент роста больше единицы, хотя это и кажется маловероятным, + +104 +00:06:40,681 --> 00:06:43,378 +означает, что ты находишься на экспоненциальной части, + +105 +00:06:43,378 --> 00:06:46,320 +что может означать, что впереди тебя еще ждут порядки роста. + +106 +00:06:48,720 --> 00:06:52,290 +И хотя верно, что в худшем случае точка насыщения находится примерно на + +107 +00:06:52,290 --> 00:06:54,720 +уровне всего населения, конечно, совсем не факт, + +108 +00:06:54,720 --> 00:06:58,241 +что люди с вирусом случайным образом распределяются по всему населению + +109 +00:06:58,241 --> 00:06:59,680 +планеты именно таким образом. + +110 +00:07:00,200 --> 00:07:02,160 +Люди группируются в местные сообщества. + +111 +00:07:03,380 --> 00:07:06,868 +Однако если ты проведешь симуляцию, в которой между кластерами будет хотя бы немного + +112 +00:07:06,868 --> 00:07:10,480 +путешествий, как в этом случае, то рост на самом деле будет не так уж сильно отличаться. + +113 +00:07:14,120 --> 00:07:17,028 +В итоге получается что-то вроде фрактальной схемы, + +114 +00:07:17,028 --> 00:07:19,880 +где сами сообщества функционируют как индивидуумы. + +115 +00:07:20,660 --> 00:07:23,763 +Каждый из них подвергается некоторому воздействию со стороны других, + +116 +00:07:23,763 --> 00:07:25,967 +с некоторой вероятностью распространяя инфекцию, + +117 +00:07:25,967 --> 00:07:29,700 +поэтому действуют те же основополагающие и вызывающие экспоненциальный рост законы. + +118 +00:07:42,940 --> 00:07:45,786 +К счастью, насыщение всей популяции - не единственное, + +119 +00:07:45,786 --> 00:07:48,840 +что может привести к снижению двух важных для нас факторов. + +120 +00:07:49,660 --> 00:07:52,732 +Количество заражений также может уменьшиться, если люди перестанут собираться и + +121 +00:07:52,732 --> 00:07:54,920 +путешествовать, а уровень инфицирования может снизиться, + +122 +00:07:54,920 --> 00:07:56,380 +если люди просто будут чаще мыть руки. + +123 +00:07:57,100 --> 00:07:59,951 +Другая вещь, которая противопоказана экспоненциальному росту, + +124 +00:07:59,951 --> 00:08:02,342 +на этот раз в более оптимистичном смысле, - это то, + +125 +00:08:02,342 --> 00:08:04,320 +насколько он чувствителен к этой константе. + +126 +00:08:05,020 --> 00:08:08,590 +Например, если она составляет 15%, как сейчас, когда я это записываю, + +127 +00:08:08,590 --> 00:08:11,140 +и у нас сейчас 21 000 кейсов, это будет означать, + +128 +00:08:11,140 --> 00:08:14,200 +что через 61 день ты достигнешь отметки более 100 миллионов. + +129 +00:08:15,020 --> 00:08:20,090 +Но если за счет меньшего воздействия и заражения этот показатель снизится до 5%, + +130 +00:08:20,090 --> 00:08:23,345 +это не значит, что прогноз также снизится в 3 раза, + +131 +00:08:23,345 --> 00:08:26,100 +на самом деле он упадет примерно до 400 000. + +132 +00:08:26,660 --> 00:08:28,721 +Так что если люди достаточно обеспокоены, то поводов + +133 +00:08:28,721 --> 00:08:30,200 +для беспокойства будет гораздо меньше. + +134 +00:08:30,200 --> 00:08:32,320 +Но если никто не беспокоится, то именно тогда тебе стоит забеспокоиться. + diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/spanish/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/spanish/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..61a9986f6 --- /dev/null +++ b/2020/exponential-and-epidemics/spanish/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,520 @@ +1 +00:00:02,940 --> 00:00:07,314 +La frase crecimiento exponencial es familiar para la mayoría de la gente y, sin embargo, + +2 +00:00:07,314 --> 00:00:11,100 +a veces a la intuición humana le cuesta reconocer realmente lo que significa. + +3 +00:00:11,320 --> 00:00:14,522 +Podemos anclarnos en una secuencia de números aparentemente pequeños + +4 +00:00:14,522 --> 00:00:17,771 +y luego sorprendernos cuando de repente esos números parecen grandes, + +5 +00:00:17,771 --> 00:00:21,160 +aunque la tendencia general siga una exponencial perfectamente coherente. + +6 +00:00:22,120 --> 00:00:25,480 +Estos son los datos de los casos registrados de COVID-19, + +7 +00:00:25,480 --> 00:00:30,000 +también conocido como coronavirus, al menos en el momento en que escribo esto. + +8 +00:00:30,420 --> 00:00:33,737 +Como no soy de los que desaprovechan la oportunidad de recibir una lección + +9 +00:00:33,737 --> 00:00:36,921 +de matemáticas, pensé que sería un buen momento para volver a lo básico + +10 +00:00:36,921 --> 00:00:40,017 +sobre lo que es realmente el crecimiento exponencial, de dónde viene, + +11 +00:00:40,017 --> 00:00:43,600 +qué implica y, quizá lo más importante, cómo saber cuándo está llegando a su fin. + +12 +00:00:44,320 --> 00:00:47,955 +El crecimiento exponencial significa que, al pasar de un día a otro, + +13 +00:00:47,955 --> 00:00:49,800 +se multiplica por alguna constante. + +14 +00:00:50,380 --> 00:00:54,836 +En nuestros datos, el número de casos de cada día tiende a ser un + +15 +00:00:54,836 --> 00:00:59,360 +múltiplo de entre 1,15 y 1,25 del número de casos del día anterior. + +16 +00:01:00,280 --> 00:01:03,978 +Los virus son un ejemplo de libro de texto de este tipo de crecimiento, + +17 +00:01:03,978 --> 00:01:07,060 +porque lo que provoca nuevos casos son los casos existentes. + +18 +00:01:09,340 --> 00:01:14,105 +Si el número de casos en un día dado es n, y decimos que cada individuo + +19 +00:01:14,105 --> 00:01:17,547 +con el virus se expone a e personas en un día dado, + +20 +00:01:17,547 --> 00:01:22,312 +y cada una de esas exposiciones tiene una probabilidad p de convertirse + +21 +00:01:22,312 --> 00:01:27,210 +en una nueva infección, entonces el número de nuevos casos en un día dado + +22 +00:01:27,210 --> 00:01:28,600 +es e veces p veces n. + +23 +00:01:29,960 --> 00:01:33,141 +El hecho de que n sea en sí mismo un factor de su propio cambio es lo + +24 +00:01:33,141 --> 00:01:36,549 +que realmente hace que las cosas vayan rápido, porque si n se hace grande, + +25 +00:01:36,549 --> 00:01:39,640 +significa que la propia tasa de crecimiento se está haciendo grande. + +26 +00:01:40,480 --> 00:01:44,253 +Una forma de pensar en esto es que, a medida que sumas los nuevos casos + +27 +00:01:44,253 --> 00:01:47,974 +para obtener el crecimiento del día siguiente, puedes factorizar la n, + +28 +00:01:47,974 --> 00:01:51,800 +de modo que es lo mismo que multiplicar por alguna constante mayor que 1. + +29 +00:01:52,860 --> 00:01:57,033 +Esto a veces es más fácil de ver si ponemos el eje y de nuestro gráfico en una escala + +30 +00:01:57,033 --> 00:02:00,915 +logarítmica, lo que significa que cada paso de una distancia fija corresponde a + +31 +00:02:00,915 --> 00:02:05,040 +multiplicar por un factor determinado, en este caso cada paso es otra potencia de 10. + +32 +00:02:05,860 --> 00:02:09,060 +En esta escala, el crecimiento exponencial debería parecerse a una línea recta. + +33 +00:02:09,060 --> 00:02:13,584 +Observando nuestros datos, parece que tardamos 20 días en pasar de 100 a 1.000, + +34 +00:02:13,584 --> 00:02:18,108 +y 13 días en pasar de ahí a 10.000, y si haces una simple regresión lineal para + +35 +00:02:18,108 --> 00:02:22,859 +encontrar la línea que mejor se ajuste, puedes fijarte en la pendiente de esa línea + +36 +00:02:22,859 --> 00:02:27,780 +para sacar una conclusión como que tendemos a multiplicar por 10 cada 16 días de media. + +37 +00:02:28,620 --> 00:02:31,951 +Esta regresión también nos permite ser un poco más cuantitativos sobre + +38 +00:02:31,951 --> 00:02:34,344 +lo cerca que está realmente el ajuste exponencial, + +39 +00:02:34,344 --> 00:02:38,520 +y para utilizar la jerga estadística técnica, la respuesta es que está jodidamente cerca. + +40 +00:02:39,040 --> 00:02:42,040 +Pero puede ser difícil digerir exactamente lo que eso significa si es cierto. + +41 +00:02:42,580 --> 00:02:46,188 +Cuando ves un país con, digamos, 6.000 casos y otro con 60, + +42 +00:02:46,188 --> 00:02:51,120 +es fácil pensar que el segundo lo está haciendo 100 veces mejor, y por tanto bien. + +43 +00:02:51,680 --> 00:02:54,700 +Pero si en realidad estás en una situación en la que los números se + +44 +00:02:54,700 --> 00:02:57,765 +multiplican por 10 cada 16 días, otra forma de ver el mismo hecho es + +45 +00:02:57,765 --> 00:03:00,920 +que el segundo país está aproximadamente un mes por detrás del primero. + +46 +00:03:01,600 --> 00:03:04,620 +Esto es, por supuesto, bastante preocupante si trazas la línea. + +47 +00:03:04,620 --> 00:03:09,172 +Estoy grabando esto el 6 de marzo, y si continúa la tendencia actual + +48 +00:03:09,172 --> 00:03:14,845 +significaría llegar a un millón de casos en 30 días, llegar a 10 millones en 47 días, + +49 +00:03:14,845 --> 00:03:18,540 +a 100 millones en 64 días y a 1.000 millones en 81 días. + +50 +00:03:19,440 --> 00:03:22,800 +No hace falta decir, sin embargo, que no se puede trazar una línea así eternamente, + +51 +00:03:22,800 --> 00:03:25,440 +es evidente que en algún momento tiene que empezar a ralentizarse. + +52 +00:03:25,700 --> 00:03:27,520 +Pero la cuestión crucial es cuándo. + +53 +00:03:28,340 --> 00:03:33,029 +¿Es como el brote de SARS de 2002, que alcanzó un máximo de unos 8.000 casos, + +54 +00:03:33,029 --> 00:03:38,440 +o la gripe española de 1918, que acabó infectando a cerca del 27% de la población mundial? + +55 +00:03:39,620 --> 00:03:42,737 +En general, sin contexto, trazar simplemente una línea a través + +56 +00:03:42,737 --> 00:03:45,561 +de tus datos no es una buena forma de hacer predicciones, + +57 +00:03:45,561 --> 00:03:49,020 +pero recuerda que aquí hay una razón real para esperar una exponencial. + +58 +00:03:49,340 --> 00:03:53,778 +Si el número de casos nuevos cada día es proporcional al número de casos existentes, + +59 +00:03:53,778 --> 00:03:57,642 +significa necesariamente que cada día se multiplica por alguna constante, + +60 +00:03:57,642 --> 00:04:01,820 +por lo que avanzar d días es lo mismo que multiplicar por esa constante d veces. + +61 +00:04:02,420 --> 00:04:06,900 +La única forma de que se detenga es si baja el número E o el P. + +62 +00:04:07,980 --> 00:04:09,920 +Es inevitable que esto acabe ocurriendo. + +63 +00:04:10,600 --> 00:04:13,552 +Incluso en el modelo más perfectamente pernicioso para un virus, + +64 +00:04:13,552 --> 00:04:17,005 +que sería aquel en el que cada día cada persona infectada se expusiera a un + +65 +00:04:17,005 --> 00:04:19,140 +subconjunto aleatorio de la población mundial, + +66 +00:04:19,140 --> 00:04:23,228 +en algún momento la mayoría de las personas a las que se expusieran ya estarían enfermas, + +67 +00:04:23,228 --> 00:04:25,500 +por lo que no podrían convertirse en nuevos casos. + +68 +00:04:27,780 --> 00:04:31,325 +En nuestra ecuación, eso significaría que la probabilidad de que una exposición se + +69 +00:04:31,325 --> 00:04:34,956 +convierta en una nueva infección tendría que incluir algún tipo de factor para tener + +70 +00:04:34,956 --> 00:04:38,460 +en cuenta la probabilidad de que alguien a quien estés expuesto ya esté infectado. + +71 +00:04:39,240 --> 00:04:41,348 +Para un modelo de barajado aleatorio como éste, + +72 +00:04:41,348 --> 00:04:44,950 +eso podría significar incluir un factor como 1 menos la proporción de personas en + +73 +00:04:44,950 --> 00:04:46,400 +el mundo que ya están infectadas. + +74 +00:04:47,700 --> 00:04:52,504 +Incluyendo ese factor, y resolviendo después cómo crece N, + +75 +00:04:52,504 --> 00:04:55,680 +obtienes lo que se conoce en el modelo. + +76 +00:04:55,680 --> 00:04:58,069 +No es posible a partir de una exponencial al principio, + +77 +00:04:58,069 --> 00:05:01,482 +pero al final se nivela una vez que te acercas al tamaño total de la población, + +78 +00:05:01,482 --> 00:05:02,720 +que es lo que cabría esperar. + +79 +00:05:03,360 --> 00:05:06,755 +Los exponenciales verdaderos esencialmente nunca existen en el mundo real, + +80 +00:05:06,755 --> 00:05:09,200 +cada uno de ellos es el inicio de una curva logística. + +81 +00:05:10,040 --> 00:05:13,397 +Este punto de aquí, donde esa curva logística pasa de curvarse hacia + +82 +00:05:13,397 --> 00:05:16,560 +arriba a curvarse hacia abajo, se conoce como punto de inflexión. + +83 +00:05:17,320 --> 00:05:21,916 +Allí, el número de casos nuevos cada día, representado por la pendiente de esta curva, + +84 +00:05:21,916 --> 00:05:26,460 +deja de aumentar y se mantiene aproximadamente constante antes de empezar a disminuir. + +85 +00:05:30,140 --> 00:05:34,599 +Una cifra que la gente suele seguir con las epidemias es el factor de crecimiento, + +86 +00:05:34,599 --> 00:05:38,145 +que se define como la relación entre el número de casos nuevos de + +87 +00:05:38,145 --> 00:05:40,940 +un día y el número de casos nuevos del día anterior. + +88 +00:05:42,340 --> 00:05:46,538 +Para que quede claro, si observaras todos los totales de un día para otro, + +89 +00:05:46,538 --> 00:05:49,337 +y luego siguieras los cambios entre esos totales, + +90 +00:05:49,337 --> 00:05:53,200 +el factor de crecimiento es una relación entre dos cambios sucesivos. + +91 +00:05:55,440 --> 00:05:58,217 +Mientras estás en la parte exponencial, este factor se mantiene + +92 +00:05:58,217 --> 00:06:01,125 +constantemente por encima de uno, mientras que en cuanto tu factor + +93 +00:06:01,125 --> 00:06:04,380 +de crecimiento se acerca a uno, es señal de que has llegado a la inflexión. + +94 +00:06:05,560 --> 00:06:08,840 +Esto puede suponer otro hecho contraintuitivo al seguir los datos. + +95 +00:06:09,320 --> 00:06:12,940 +Piensa en lo que supondría que el número de casos nuevos de un + +96 +00:06:12,940 --> 00:06:16,962 +día fuera un 15% superior al número de casos nuevos del día anterior, + +97 +00:06:16,962 --> 00:06:20,640 +y compáralo con lo que supondría que fuera más o menos lo mismo. + +98 +00:06:21,240 --> 00:06:25,040 +Sólo mirando los totales que dan como resultado, realmente no parecen tan diferentes. + +99 +00:06:27,000 --> 00:06:30,128 +Pero si el factor de crecimiento es uno, podría significar que estás en el + +100 +00:06:30,128 --> 00:06:33,339 +punto de inflexión de una logística, lo que significaría que el número total + +101 +00:06:33,339 --> 00:06:36,760 +de casos va a alcanzar un máximo de aproximadamente el doble de donde estás ahora. + +102 +00:06:37,200 --> 00:06:40,494 +Pero un factor de crecimiento superior a uno, por sutil que parezca, + +103 +00:06:40,494 --> 00:06:43,311 +significa que estás en la parte exponencial, lo que podría + +104 +00:06:43,311 --> 00:06:46,320 +implicar que aún te esperan órdenes de magnitud de crecimiento. + +105 +00:06:48,720 --> 00:06:52,313 +Ahora bien, aunque es cierto que en el peor de los casos el punto de saturación + +106 +00:06:52,313 --> 00:06:55,996 +se sitúa en torno a la población total, por supuesto no es en absoluto cierto que + +107 +00:06:55,996 --> 00:06:59,680 +las personas con el virus se repartan así aleatoriamente por la población mundial. + +108 +00:07:00,200 --> 00:07:02,160 +Las personas se agrupan en comunidades locales. + +109 +00:07:03,380 --> 00:07:07,166 +Sin embargo, si realizas simulaciones en las que haya incluso un poco de desplazamiento + +110 +00:07:07,166 --> 00:07:10,480 +entre agrupaciones como ésta, el crecimiento en realidad no es muy diferente. + +111 +00:07:14,120 --> 00:07:16,650 +El resultado es una especie de patrón fractal, + +112 +00:07:16,650 --> 00:07:19,880 +en el que las propias comunidades funcionan como individuos. + +113 +00:07:20,660 --> 00:07:25,076 +Cada uno tiene cierta exposición a los demás, con cierta probabilidad de propagar la + +114 +00:07:25,076 --> 00:07:29,700 +infección, por lo que se aplican las mismas leyes subyacentes y de inducción exponencial. + +115 +00:07:42,940 --> 00:07:45,865 +Afortunadamente, saturar a toda la población no es lo único + +116 +00:07:45,865 --> 00:07:48,840 +que puede hacer que bajen los dos factores que nos preocupan. + +117 +00:07:49,660 --> 00:07:51,875 +La cantidad de exposición también puede disminuir cuando la + +118 +00:07:51,875 --> 00:07:54,164 +gente deja de reunirse y viajar, y la tasa de infección puede + +119 +00:07:54,164 --> 00:07:56,380 +disminuir cuando la gente simplemente se lava más las manos. + +120 +00:07:57,100 --> 00:08:00,201 +La otra cosa contraintuitiva del crecimiento exponencial, + +121 +00:08:00,201 --> 00:08:04,320 +esta vez en un sentido más optimista, es lo sensible que es a esta constante. + +122 +00:08:05,020 --> 00:08:08,702 +Por ejemplo, si es del 15%, como lo es mientras estoy grabando esto, + +123 +00:08:08,702 --> 00:08:13,346 +y ahora estamos en 21.000 casos, eso significaría que dentro de 61 días llegarás a más + +124 +00:08:13,346 --> 00:08:14,200 +de 100 millones. + +125 +00:08:15,020 --> 00:08:19,900 +Pero si con un poco menos de exposición e infección, esa tasa baja al 5%, + +126 +00:08:19,900 --> 00:08:25,836 +no significa que la proyección también baje 3 veces, sino que en realidad baja a unos 400. + +127 +00:08:25,836 --> 00:08:26,100 +000. + +128 +00:08:26,660 --> 00:08:28,721 +Así que si la gente está suficientemente preocupada, + +129 +00:08:28,721 --> 00:08:30,200 +hay mucho menos de lo que preocuparse. + +130 +00:08:30,200 --> 00:08:32,320 +Pero si nadie se preocupa, entonces es cuando debes preocuparte. + diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/tamil/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/tamil/auto_generated.srt index 79fb12464..acb322594 100644 --- a/2020/exponential-and-epidemics/tamil/auto_generated.srt +++ b/2020/exponential-and-epidemics/tamil/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:02,939 --> 00:00:06,625 +00:00:02,940 --> 00:00:06,625 அதிவேக வளர்ச்சி என்ற சொற்றொடர் பெரும்பாலான மக்களுக்கு நன்கு தெரியும், 2 @@ -59,31 +59,31 @@ 15 முதல் 1 வரை. முந்தைய நாள் வழக்குகளின் எண்ணிக்கையில் 25. 16 -00:01:00,280 --> 00:01:03,355 +00:01:00,280 --> 00:01:03,900 வைரஸ்கள் இந்த வகையான வளர்ச்சிக்கு ஒரு பாடநூல் உதாரணம், 17 -00:01:03,355 --> 00:01:06,040 +00:01:03,900 --> 00:01:07,060 ஏனெனில் புதிய வழக்குகள் ஏற்கனவே உள்ள வழக்குகள். 18 -00:01:06,040 --> 00:01:10,270 +00:01:09,340 --> 00:01:12,951 ஒரு குறிப்பிட்ட நாளில் உள்ள வழக்குகளின் எண்ணிக்கை n ஆக இருந்தால், 19 -00:01:10,270 --> 00:01:15,974 +00:01:12,951 --> 00:01:17,820 ஒவ்வொரு நபரும் ஒரு குறிப்பிட்ட நாளில் சராசரியாக e நபர்களுக்கு வைரஸால் ஆளாகிறார்கள் என்று 20 -00:01:15,974 --> 00:01:21,101 +00:01:17,820 --> 00:01:22,198 நாங்கள் கூறுகிறோம், மேலும் அந்த வெளிப்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு புதிய தொற்றுநோயாக 21 -00:01:21,101 --> 00:01:26,741 +00:01:22,198 --> 00:01:27,013 மாறுவதற்கான நிகழ்தகவு p. , பின்னர் ஒரு குறிப்பிட்ட நாளில் புதிய வழக்குகளின் எண்ணிக்கை e 22 -00:01:26,741 --> 00:01:28,600 +00:01:27,013 --> 00:01:28,600 பெருக்கல் p முறைகள் n ஆகும். 23 @@ -291,31 +291,31 @@ n ஆனது அதன் சொந்த மாற்றத்திற்க நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதற்கு சில வகையான காரணிகளைச் சேர்க்க வேண்டும். 74 -00:04:39,240 --> 00:04:42,732 +00:04:39,240 --> 00:04:43,235 இது போன்ற ஒரு சீரற்ற ஷிஃபிங் மாடலுக்கு, உலகில் ஏற்கனவே பாதிக்கப்பட்டவர்களின் 75 -00:04:42,732 --> 00:04:45,500 +00:04:43,235 --> 00:04:46,400 விகிதத்தை 1 கழித்தல் போன்ற காரணியை உள்ளடக்கியதாக இருக்கலாம். 76 -00:04:45,500 --> 00:04:49,591 +00:04:47,700 --> 00:04:51,269 அந்த காரணி உட்பட, பின்னர் n எப்படி வளர்கிறது என்பதைத் தீர்ப்பதன் மூலம், 77 -00:04:49,591 --> 00:04:53,285 +00:04:51,269 --> 00:04:54,491 வணிகத்தில் லாஜிஸ்டிக் வளைவு என அறியப்படுவதை நீங்கள் பெறுவீர்கள், 78 -00:04:53,285 --> 00:04:56,809 +00:04:54,491 --> 00:04:57,564 இது தொடக்கத்தில் ஒரு அதிவேகத்திலிருந்து பிரித்தறிய முடியாதது, 79 -00:04:56,809 --> 00:05:01,071 +00:04:57,564 --> 00:05:01,282 ஆனால் நீங்கள் மொத்த மக்கள்தொகை அளவை நெருங்கியதும் இறுதியில் சமன் செய்யும். 80 -00:05:01,071 --> 00:05:02,720 +00:05:01,282 --> 00:05:02,720 நீங்கள் எதிர்பார்ப்பது என்ன. 81 @@ -327,23 +327,23 @@ n ஆனது அதன் சொந்த மாற்றத்திற்க அவை ஒவ்வொன்றும் உண்மையில் ஒரு லாஜிஸ்டிக் வளைவின் தொடக்கமாகும். 83 -00:05:10,040 --> 00:05:13,077 +00:05:10,040 --> 00:05:13,276 இந்த புள்ளி இங்கேயே, அந்த தளவாடமானது மேல்நோக்கி வளைவதிலிருந்து கீழே 84 -00:05:13,077 --> 00:05:16,160 +00:05:13,276 --> 00:05:16,560 வளைந்து செல்வதற்குப் பதிலாக, ஊடுருவல் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. 85 -00:05:16,160 --> 00:05:19,030 +00:05:17,320 --> 00:05:19,867 அங்கு, ஒவ்வொரு நாளும் புதிய வழக்குகளின் எண்ணிக்கை, 86 -00:05:19,030 --> 00:05:22,126 +00:05:19,867 --> 00:05:22,614 இந்த வளைவின் சாய்வால் குறிப்பிடப்படுகிறது, அதிகரிப்பதை 87 -00:05:22,126 --> 00:05:26,460 +00:05:22,614 --> 00:05:26,460 நிறுத்துகிறது மற்றும் அது குறையத் தொடங்கும் முன் தோராயமாக மாறாமல் இருக்கும். 88 @@ -427,7 +427,7 @@ n ஆனது அதன் சொந்த மாற்றத்திற்க வளர்ச்சியின் அளவு இன்னும் உங்களுக்கு முன்னால் காத்திருக்கிறது. 108 -00:06:48,719 --> 00:06:52,258 +00:06:48,720 --> 00:06:52,258 இப்போது மிக மோசமான சூழ்நிலையில் செறிவூட்டல் புள்ளி மொத்த மக்கள்தொகையைச் 109 diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/telugu/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/telugu/auto_generated.srt index 8abc0fa08..d75bb02a6 100644 --- a/2020/exponential-and-epidemics/telugu/auto_generated.srt +++ b/2020/exponential-and-epidemics/telugu/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:02,939 --> 00:00:06,262 +00:00:02,940 --> 00:00:06,262 ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ గ్రోత్ అనే పదం చాలా మందికి సుపరిచితమే, 2 @@ -59,27 +59,27 @@ 15 నుండి 1. మునుపటి రోజు కేసుల సంఖ్య 25. 16 -00:01:00,280 --> 00:01:03,074 +00:01:00,280 --> 00:01:03,569 వైరస్‌లు ఈ రకమైన వృద్ధికి ఒక పాఠ్యపుస్తక ఉదాహరణ, 17 -00:01:03,074 --> 00:01:06,040 +00:01:03,569 --> 00:01:07,060 ఎందుకంటే కొత్త కేసులకు కారణం ప్రస్తుతం ఉన్న కేసులు. 18 -00:01:06,040 --> 00:01:11,621 +00:01:09,340 --> 00:01:14,105 ఒక నిర్దిష్ట రోజులో కేసుల సంఖ్య n అయితే, మరియు వైరస్ ఉన్న ప్రతి వ్యక్తి 19 -00:01:11,621 --> 00:01:17,668 +00:01:14,105 --> 00:01:19,267 ఒక నిర్దిష్ట రోజున సగటున ఇ వ్యక్తులకు బహిర్గతమవుతారని మరియు ఆ ఎక్స్‌పోజర్‌లలో 20 -00:01:17,668 --> 00:01:23,870 +00:01:19,267 --> 00:01:24,562 ప్రతి ఒక్కరు కొత్త ఇన్‌ఫెక్షన్‌గా మారే సంభావ్యతను కలిగి ఉంటారని మేము చెప్తాము , 21 -00:01:23,870 --> 00:01:28,600 +00:01:24,562 --> 00:01:28,600 అప్పుడు ఇచ్చిన రోజులో కొత్త కేసుల సంఖ్య e సార్లు p సార్లు n. 22 @@ -271,31 +271,31 @@ n అనేది దాని స్వంత మార్పుకు కా ఇప్పటికే సోకిన సంభావ్యతను పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి ఒక రకమైన కారకాన్ని కలిగి ఉండాలి. 69 -00:04:39,240 --> 00:04:42,466 +00:04:39,240 --> 00:04:42,930 ఇలాంటి యాదృచ్ఛిక షఫుల్ మోడల్ కోసం, ప్రపంచంలో ఇప్పటికే వ్యాధి సోకిన 70 -00:04:42,466 --> 00:04:45,500 +00:04:42,930 --> 00:04:46,400 వ్యక్తుల నిష్పత్తిలో 1 మైనస్ వంటి కారకాన్ని చేర్చడం అని అర్థం. 71 -00:04:45,500 --> 00:04:49,181 +00:04:47,700 --> 00:04:50,911 ఆ కారకంతో సహా, ఆపై n ఎలా పెరుగుతుందనే విషయాన్ని పరిష్కరిస్తే, 72 -00:04:49,181 --> 00:04:52,863 +00:04:50,911 --> 00:04:54,122 మీరు వ్యాపారంలో లాజిస్టిక్ కర్వ్‌గా పిలవబడే దాన్ని పొందుతారు, 73 -00:04:52,863 --> 00:04:56,841 +00:04:54,122 --> 00:04:57,592 ఇది ప్రారంభంలో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ నుండి ప్రత్యేకంగా గుర్తించలేనిది, 74 -00:04:56,841 --> 00:05:01,829 +00:04:57,592 --> 00:05:01,943 కానీ మీరు మొత్తం జనాభా పరిమాణాన్ని చేరుకున్న తర్వాత చివరికి స్థాయిని అధిగమించవచ్చు. 75 -00:05:01,829 --> 00:05:02,720 +00:05:01,943 --> 00:05:02,720 మీరు ఆశించేది. 76 @@ -307,19 +307,19 @@ n అనేది దాని స్వంత మార్పుకు కా వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నిజంగా లాజిస్టిక్ వక్రరేఖకు నాంది. 78 -00:05:10,040 --> 00:05:13,165 +00:05:10,040 --> 00:05:13,369 ఇక్కడే ఈ బిందువు, ఆ లాజిస్టిక్ పైకి వంగడం నుండి 79 -00:05:13,165 --> 00:05:16,160 +00:05:13,369 --> 00:05:16,560 క్రిందికి వంగడం ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ అంటారు. 80 -00:05:16,160 --> 00:05:21,427 +00:05:17,320 --> 00:05:21,993 అక్కడ, ప్రతి రోజు కొత్త కేసుల సంఖ్య, ఈ వక్రరేఖ యొక్క వాలు ద్వారా ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది, 81 -00:05:21,427 --> 00:05:26,460 +00:05:21,993 --> 00:05:26,460 పెరగడం ఆగిపోతుంది మరియు బదులుగా అది తగ్గడం ప్రారంభించే ముందు దాదాపు స్థిరంగా ఉంటుంది. 82 @@ -395,7 +395,7 @@ n అనేది దాని స్వంత మార్పుకు కా వేచి ఉన్నాయని సూచిస్తుంది. 100 -00:06:48,719 --> 00:06:54,080 +00:06:48,720 --> 00:06:54,080 ఇప్పుడు అధ్వాన్నమైన పరిస్థితిలో సంతృప్త స్థానం మొత్తం జనాభా చుట్టూ ఉంది అనేది నిజం అయితే, 101 diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/thai/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/thai/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..c354621f9 --- /dev/null +++ b/2020/exponential-and-epidemics/thai/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,444 @@ +1 +00:00:02,940 --> 00:00:07,086 +วลีการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลเป็นที่คุ้นเคยสำหรับคนส่วนใหญ่ + +2 +00:00:07,086 --> 00:00:11,100 +แต่สัญชาตญาณของมนุษย์กลับพบว่ามันหมายถึงอะไรในบางครั้งได้ยาก + +3 +00:00:11,320 --> 00:00:15,487 +เราสามารถยึดลำดับของตัวเลขที่ดูเหมือนเล็กๆ แล้วรู้สึกประหลาดใจเมื่อจู่ๆ + +4 +00:00:15,487 --> 00:00:20,407 +ตัวเลขเหล่านั้นก็ดูใหญ่ แม้ว่าแนวโน้มโดยรวมจะเป็นไปตามเลขชี้กำลังอย่างสม่ำเสมออย่างสม + +5 +00:00:20,407 --> 00:00:21,160 +บูรณ์แบบก็ตาม + +6 +00:00:22,120 --> 00:00:27,325 +นี่คือข้อมูลสำหรับบันทึกกรณีของ COVID-19 หรือที่รู้จักในชื่อไวรัสโคโรนา + +7 +00:00:27,325 --> 00:00:30,000 +อย่างน้อยตอนที่ฉันกำลังเขียนบทความนี้ + +8 +00:00:30,420 --> 00:00:32,887 +ไม่มีใครที่จะเสียโอกาสในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ + +9 +00:00:32,887 --> 00:00:37,246 +ฉันคิดว่านี่อาจเป็นช่วงเวลาที่ดีสำหรับเราทุกคนที่จะกลับไปสู่พื้นฐานว่าแท้จริงแล้วกา + +10 +00:00:37,246 --> 00:00:41,604 +รเติบโตแบบทวีคูณคืออะไร มันมาจากไหน ความหมายคืออะไร และอาจเร่งด่วนที่สุดว่าอย่างไร + +11 +00:00:41,604 --> 00:00:43,600 +เพื่อจะได้รู้ว่าเมื่อไรจะถึงจุดสิ้นสุด + +12 +00:00:44,320 --> 00:00:48,074 +การเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลหมายความว่าเมื่อคุณไปจากวันหนึ่งไปยังวันถัดไป + +13 +00:00:48,074 --> 00:00:49,800 +มันเกี่ยวข้องกับการคูณด้วยค่าคงที่ + +14 +00:00:50,380 --> 00:00:56,014 +ในข้อมูลของเรา จำนวนเคสในแต่ละวันมีแนวโน้มที่จะเป็นทวีคูณประมาณ + +15 +00:00:56,014 --> 00:00:59,360 +1.15 ถึง 1.25 ของจำนวนเคสในวันก่อนหน้า + +16 +00:01:00,280 --> 00:01:03,670 +ไวรัสเป็นตัวอย่างในตำราเรียนเกี่ยวกับการเติบโตประเภทนี้ + +17 +00:01:03,670 --> 00:01:07,060 +เพราะสิ่งที่ทำให้เกิดผู้ป่วยรายใหม่ก็คือผู้ป่วยที่มีอยู่ + +18 +00:01:09,340 --> 00:01:17,150 +หากจำนวนเคสในวันที่กำหนดคือ n และเราบอกว่าผู้ติดเชื้อแต่ละคนสัมผัสกับผู้คนในวันที่กำหนด + +19 +00:01:17,150 --> 00:01:23,274 +และการสัมผัสแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็น p ที่จะกลายเป็นการติดเชื้อใหม่ + +20 +00:01:23,274 --> 00:01:28,600 +ดังนั้นจำนวน ของผู้ป่วยรายใหม่ในวันที่กำหนดคือ e คูณ p คูณ n + +21 +00:01:29,960 --> 00:01:34,502 +ความจริงที่ว่า n เองเป็นปัจจัยในการเปลี่ยนแปลงของตัวเอง ก็คือสิ่งที่ทำให้สิ่งต่าง ๆ + +22 +00:01:34,502 --> 00:01:37,044 +ดำเนินไปอย่างรวดเร็ว เพราะถ้า n มีขนาดใหญ่ขึ้น + +23 +00:01:37,044 --> 00:01:39,640 +ก็หมายความว่าอัตราการเติบโตนั้นเพิ่มขึ้นอย่างมาก + +24 +00:01:40,480 --> 00:01:46,501 +วิธีคิดอย่างหนึ่งก็คือ เมื่อคุณเพิ่มกรณีใหม่เพื่อให้ได้การเติบโตในวันถัดไป + +25 +00:01:46,501 --> 00:01:51,800 +คุณสามารถแยก n ออกได้ มันก็เหมือนกับการคูณด้วยค่าคงที่ที่มากกว่า 1 + +26 +00:01:52,860 --> 00:01:57,568 +บางครั้งสิ่งนี้จะง่ายกว่าที่จะดูว่าเราใส่แกน y ของกราฟบนมาตราส่วนลอการิทึม + +27 +00:01:57,568 --> 00:02:02,717 +ซึ่งหมายความว่าแต่ละขั้นตอนของระยะทางคงที่สอดคล้องกับการคูณด้วยตัวประกอบที่แน่นอน + +28 +00:02:02,717 --> 00:02:05,040 +ในกรณีนี้ แต่ละขั้นตอนจะมีกำลังอีก 10 + +29 +00:02:05,860 --> 00:02:09,060 +ในระดับนี้ การเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลควรมีลักษณะเป็นเส้นตรง + +30 +00:02:09,060 --> 00:02:13,791 +เมื่อดูข้อมูลของเรา ดูเหมือนว่าต้องใช้เวลา 20 วันในการเปลี่ยนจาก 100 + +31 +00:02:13,791 --> 00:02:17,425 +เป็น 1,000 และ 13 วันในการเปลี่ยนจาก 100 เป็น 10,000 + +32 +00:02:17,425 --> 00:02:21,608 +และหากคุณทำการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายเพื่อหาเส้นที่พอดีที่สุด + +33 +00:02:21,608 --> 00:02:27,780 +คุณสามารถดูความชันได้ ของเส้นนั้นเพื่อสรุปเหมือนว่าเรามักจะคูณด้วย 10 โดยเฉลี่ยทุกๆ 16 วัน + +34 +00:02:28,620 --> 00:02:33,570 +การถดถอยนี้ยังทำให้เรารู้เชิงปริมาณมากขึ้นอีกหน่อยว่าความพอดีแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลนั้นอ + +35 +00:02:33,570 --> 00:02:38,520 +ยู่ใกล้แค่ไหน และเพื่อใช้ศัพท์เฉพาะทางสถิติทางเทคนิคตรงนี้ คำตอบก็คือ มันใกล้มากจริงๆ + +36 +00:02:39,040 --> 00:02:42,040 +แต่อาจเป็นเรื่องยากที่จะแยกแยะว่านั่นหมายความว่าอย่างไรหากเป็นจริง + +37 +00:02:42,580 --> 00:02:46,184 +เมื่อคุณเห็นประเทศหนึ่งมีผู้ป่วย 6,000 ราย และอีกประเทศมี 60 ราย + +38 +00:02:46,184 --> 00:02:51,120 +เป็นเรื่องง่ายที่จะคิดว่าประเทศที่สองทำได้ดีกว่า 100 เท่า และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเรื่องปกติ + +39 +00:02:51,680 --> 00:02:55,200 +แต่ถ้าคุณอยู่ในสถานการณ์ที่ตัวเลขคูณด้วย 10 ทุกๆ 16 วัน + +40 +00:02:55,200 --> 00:02:59,788 +วิธีดูข้อเท็จจริงเดียวกันอีกวิธีหนึ่งก็คือ ประเทศที่สองนั้นช้ากว่าประเทศแ + +41 +00:02:59,788 --> 00:03:00,920 +รกประมาณหนึ่งเดือน + +42 +00:03:01,600 --> 00:03:04,620 +แน่นอนว่านี่ค่อนข้างน่ากังวลหากคุณขีดเส้นไว้ + +43 +00:03:04,620 --> 00:03:10,261 +ฉันกำลังบันทึกสิ่งนี้ในวันที่ 6 มีนาคม และหากแนวโน้มปัจจุบันยังคงดำเนินต่อไป + +44 +00:03:10,261 --> 00:03:14,876 +ก็หมายความว่ามีผู้ป่วยถึงล้านรายใน 30 วัน ทะลุ 10 ล้านรายใน 47 + +45 +00:03:14,876 --> 00:03:18,540 +วัน 100 ล้านรายใน 64 วัน และ 1 พันล้านรายใน 81 วัน + +46 +00:03:19,440 --> 00:03:22,877 +ไม่จำเป็นต้องพูดว่า คุณไม่สามารถลากเส้นแบบนี้ตลอดไปได้ + +47 +00:03:22,877 --> 00:03:25,440 +มันจะต้องเริ่มช้าลงอย่างชัดเจน ณ จุดหนึ่ง + +48 +00:03:25,700 --> 00:03:27,520 +แต่คำถามสำคัญคือเมื่อไร + +49 +00:03:28,340 --> 00:03:33,260 +มันเหมือนกับการระบาดของโรคซาร์สในปี 2545 ซึ่งมีจำนวนผู้ป่วยประมาณ 8,000 ราย + +50 +00:03:33,260 --> 00:03:38,440 +หรือไข้หวัดใหญ่สเปนในปี 2461 ซึ่งท้ายที่สุดแล้วทำให้ประชากรโลกติดเชื้อประมาณ 27% + +51 +00:03:39,620 --> 00:03:44,752 +โดยทั่วไป เมื่อไม่มีบริบท แค่ลากเส้นผ่านข้อมูลของคุณก็ไม่ใช่วิธีที่ดีในการคาดการณ์ + +52 +00:03:44,752 --> 00:03:49,020 +แต่โปรดจำไว้ว่า มีเหตุผลจริงๆ ที่ต้องคาดหวังค่าเอ็กซ์โปเนนเชียลที่นี่ + +53 +00:03:49,340 --> 00:03:53,336 +ถ้าจำนวนเคสใหม่ในแต่ละวันเป็นสัดส่วนกับจำนวนเคสที่มีอยู่ + +54 +00:03:53,336 --> 00:03:58,735 +จำเป็นต้องหมายความว่าในแต่ละวันคุณคูณด้วยค่าคงที่ ดังนั้นการก้าวไปข้างหน้า d + +55 +00:03:58,735 --> 00:04:01,820 +วันจะเหมือนกับการคูณด้วยค่าคงที่ d ครั้งนั้น + +56 +00:04:02,420 --> 00:04:06,900 +วิธีเดียวที่จะหยุดคือถ้าเลข E หรือ P ลงไป + +57 +00:04:07,980 --> 00:04:09,920 +หลีกเลี่ยงไม่ได้ที่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นในที่สุด + +58 +00:04:10,600 --> 00:04:15,478 +แม้แต่ในรูปแบบที่เป็นอันตรายอย่างสมบูรณ์แบบที่สุดสำหรับไวรัส ซึ่งทุกๆ วัน + +59 +00:04:15,478 --> 00:04:20,093 +ผู้ติดเชื้อแต่ละคน จะต้องสุ่มเสี่ยงต่อประชากรกลุ่มย่อยของโลก ในบางจุด + +60 +00:04:20,093 --> 00:04:25,500 +ผู้คนส่วนใหญ่ที่พวกเขาสัมผัสด้วย จะต้องป่วยอยู่แล้ว จึงไม่อาจเป็นผู้ป่วยรายใหม่ได้ + +61 +00:04:27,780 --> 00:04:32,960 +ในสมการของเรา นั่นหมายถึงความน่าจะเป็นที่การสัมผัสจะกลายเป็นการติดเชื้อครั้งใหม่ + +62 +00:04:32,960 --> 00:04:38,460 +จะต้องรวมปัจจัยบางอย่างเพื่ออธิบายความน่าจะเป็นที่คนที่คุณสัมผัสด้วยจะติดเชื้ออยู่แล้ว + +63 +00:04:39,240 --> 00:04:43,847 +สำหรับโมเดลการสับเปลี่ยนแบบสุ่มแบบนี้ นั่นอาจหมายถึงการรวมปัจจัยอย่างเช่น + +64 +00:04:43,847 --> 00:04:46,400 +1 ลบสัดส่วนของผู้คนในโลกที่ติดเชื้อไปแล้ว + +65 +00:04:47,700 --> 00:04:55,680 +เมื่อรวมปัจจัยนั้นแล้ว จากนั้นแก้หาว่า N เติบโตอย่างไร คุณจะได้สิ่งที่ทราบในแบบจำลองนี้ + +66 +00:04:55,680 --> 00:04:59,591 +มันเป็นไปไม่ได้จากการเอ็กซ์โพเนนเชียลตั้งแต่เริ่มต้น แต่ท้ายที่สุดแล้วก็จะค่อยๆ + +67 +00:04:59,591 --> 00:05:02,720 +ลดลงเมื่อคุณเข้าใกล้ขนาดประชากรทั้งหมด ซึ่งเป็นสิ่งที่คุณคาดหวัง + +68 +00:05:03,360 --> 00:05:06,804 +โดยพื้นฐานแล้วเลขชี้กำลังที่แท้จริงไม่เคยมีอยู่ในโลกแห่งความเป็นจริง + +69 +00:05:06,804 --> 00:05:09,200 +ทุกเลขยกกำลังคือจุดเริ่มต้นของเส้นโค้งลอจิสติกส์ + +70 +00:05:10,040 --> 00:05:16,560 +จุดนี้ตรงนี้ โดยที่เส้นโค้งลอจิสติกเปลี่ยนจากโค้งขึ้น ไปโค้งลงแทน เรียกว่าจุดเปลี่ยนเว้า + +71 +00:05:17,320 --> 00:05:22,804 +ที่นั่น จำนวนผู้ป่วยรายใหม่ในแต่ละวัน ซึ่งแสดงด้วยความชันของเส้นโค้งนี้ + +72 +00:05:22,804 --> 00:05:26,460 +หยุดเพิ่มขึ้นและคงที่โดยประมาณก่อนที่จะเริ่มลดลง + +73 +00:05:30,140 --> 00:05:34,288 +ตัวเลขหนึ่งที่ผู้คนมักตามมาด้วยโรคระบาดคือปัจจัยการเติบโต + +74 +00:05:34,288 --> 00:05:39,652 +ซึ่งกำหนดเป็นอัตราส่วนระหว่างจำนวนผู้ป่วยรายใหม่ในหนึ่งวันกับจำนวนผู้ป่วยรา + +75 +00:05:39,652 --> 00:05:40,940 +ยใหม่ในวันก่อนหน้า + +76 +00:05:42,340 --> 00:05:46,350 +เพื่อให้ชัดเจน หากคุณกำลังดูผลรวมทั้งหมดจากวันหนึ่งไปยังวันถัดไป + +77 +00:05:46,350 --> 00:05:49,189 +แล้วติดตามการเปลี่ยนแปลงระหว่างผลรวมเหล่านั้น + +78 +00:05:49,189 --> 00:05:53,200 +ปัจจัยการเติบโตคืออัตราส่วนระหว่างการเปลี่ยนแปลงสองครั้งติดต่อกัน + +79 +00:05:55,440 --> 00:05:59,440 +ในขณะที่คุณอยู่ในส่วนเอ็กซ์โปเนนเชียล ปัจจัยนี้จะอยู่เหนือค่าหนึ่งอย่างต่อเนื่อง + +80 +00:05:59,440 --> 00:06:02,305 +ในขณะที่ปัจจัยการเจริญเติบโตของคุณเข้าใกล้ค่าหนึ่งมากขึ้น + +81 +00:06:02,305 --> 00:06:04,380 +ก็เป็นสัญญาณว่าคุณได้เข้าสู่จุดเปลี่ยนแล้ว + +82 +00:06:05,560 --> 00:06:08,840 +สิ่งนี้สามารถทำให้เกิดข้อเท็จจริงที่ขัดกับสัญชาตญาณอีกประการหนึ่งในขณะที่ติดตามข้อมูล + +83 +00:06:09,320 --> 00:06:14,943 +ลองคิดดูว่าจำนวนผู้ป่วยรายใหม่จะรู้สึกอย่างไรในหนึ่งวันมากกว่าจำนวนผู้ป่วยรา + +84 +00:06:14,943 --> 00:06:20,640 +ยใหม่ในวันก่อนหน้าประมาณ 15% และเปรียบเทียบกับความรู้สึกที่จะมีจำนวนเท่าๆ กัน + +85 +00:06:21,240 --> 00:06:25,040 +แค่ดูผลรวมที่พวกเขาได้รับ พวกเขาไม่ได้รู้สึกแตกต่างขนาดนั้นจริงๆ + +86 +00:06:27,000 --> 00:06:31,589 +แต่ถ้าปัจจัยการเติบโตเป็นหนึ่ง อาจหมายความว่าคุณอยู่ที่จุดเปลี่ยนของโลจิสติกส์ + +87 +00:06:31,589 --> 00:06:36,760 +ซึ่งหมายความว่าจำนวนคดีทั้งหมดจะเพิ่มขึ้นสูงสุดประมาณสองเท่าไม่ว่าคุณจะอยู่ที่ไหนในตอนนี้ + +88 +00:06:37,200 --> 00:06:40,681 +แต่ปัจจัยการเติบโตที่ใหญ่กว่าปัจจัยหนึ่ง แม้ว่าอาจจะดูละเอียดอ่อนก็ตาม + +89 +00:06:40,681 --> 00:06:43,721 +หมายความว่าคุณอยู่ในส่วนเอ็กซ์โปเนนเชียล ซึ่งอาจบอกเป็นนัยว่าย + +90 +00:06:43,721 --> 00:06:46,320 +ังมีลำดับความสำคัญของการเติบโตที่ยังรออยู่ข้างหน้าคุณ + +91 +00:06:48,720 --> 00:06:53,695 +แม้ว่าในสถานการณ์ที่เลวร้ายที่สุด จุดอิ่มตัวจะอยู่ที่ประมาณประชากรทั้งหมด + +92 +00:06:53,695 --> 00:06:59,680 +แต่ก็ไม่เป็นความจริงเลย ที่ผู้ติดเชื้อไวรัสจะถูกสุ่มสับเปลี่ยนกันไปรอบๆ ประชากรโลกเช่นนี้ + +93 +00:07:00,200 --> 00:07:02,160 +ผู้คนกระจุกตัวอยู่ในชุมชนท้องถิ่น + +94 +00:07:03,380 --> 00:07:08,511 +อย่างไรก็ตาม หากคุณใช้การจำลองที่มีการเดินทางระหว่างคลัสเตอร์ในลักษณะนี้เพียงเล็กน้อย + +95 +00:07:08,511 --> 00:07:10,480 +การเติบโตก็ไม่ได้แตกต่างกันมากนัก + +96 +00:07:14,120 --> 00:07:19,880 +ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปแบบแฟร็กทัล ซึ่งชุมชนเองก็ทำหน้าที่เหมือนปัจเจกบุคคล + +97 +00:07:20,660 --> 00:07:25,518 +แต่ละคนมีโอกาสสัมผัสกับผู้อื่นบ้าง โดยมีความเป็นไปได้ที่จะแพร่เชื้อได้อยู่บ้าง + +98 +00:07:25,518 --> 00:07:29,700 +ดังนั้นจึงใช้กฎหมายพื้นฐานและกฎที่กระตุ้นแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเดียวกัน + +99 +00:07:42,940 --> 00:07:45,858 +โชคดีที่การทำให้ประชากรทั้งหมดอิ่มตัวไม่ใช่สิ่ + +100 +00:07:45,858 --> 00:07:48,840 +งเดียวที่สามารถทำให้ปัจจัยทั้งสองที่เราสนใจลดลง + +101 +00:07:49,660 --> 00:07:53,117 +ปริมาณการสัมผัสอาจลดลงเมื่อผู้คนหยุดรวมตัวและเดินทาง + +102 +00:07:53,117 --> 00:07:56,380 +และอัตราการติดเชื้ออาจลดลงเมื่อผู้คนล้างมือมากขึ้น + +103 +00:07:57,100 --> 00:08:01,258 +อีกสิ่งหนึ่งที่ขัดแย้งกับสัญชาตญาณเกี่ยวกับการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล + +104 +00:08:01,258 --> 00:08:04,320 +คราวนี้ในแง่บวกมากขึ้น ก็คือความอ่อนไหวต่อค่าคงที่นี้ + +105 +00:08:05,020 --> 00:08:09,640 +ตัวอย่างเช่น หากเป็น 15% เหมือนอย่างที่ฉันบันทึกนี้ และตอนนี้เรามีผู้ป่วยถึง + +106 +00:08:09,640 --> 00:08:14,200 +21,000 ราย นั่นก็หมายความว่าภายใน 61 วันนับจากนี้ คุณจะมียอดทะลุ 100 ล้านราย + +107 +00:08:15,020 --> 00:08:19,837 +แต่หากผ่านการสัมผัสและการติดเชื้อน้อยลงเล็กน้อย อัตรานั้นลดลงเหลือ 5% + +108 +00:08:19,837 --> 00:08:25,342 +ไม่ได้หมายความว่าการคาดการณ์จะลดลง 3 เท่าเช่นกัน แต่จริงๆ แล้วจะลดลงเหลือประมาณ + +109 +00:08:25,342 --> 00:08:26,100 +400,000 ราย + +110 +00:08:26,660 --> 00:08:30,200 +ดังนั้นหากผู้คนมีความกังวลเพียงพอ ก็จะมีเรื่องให้กังวลน้อยลงมาก + +111 +00:08:30,200 --> 00:08:32,320 +แต่ถ้าไม่มีใครกังวลก็ควรกังวลเมื่อนั้น + diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/turkish/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/turkish/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..44541b0b6 --- /dev/null +++ b/2020/exponential-and-epidemics/turkish/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,484 @@ +1 +00:00:02,940 --> 00:00:06,527 +Üstel büyüme ifadesi çoğu insana tanıdık gelse de, + +2 +00:00:06,527 --> 00:00:11,100 +insan sezgisi bazen bunun ne anlama geldiğini anlamakta zorlanır. + +3 +00:00:11,320 --> 00:00:16,477 +Küçük görünen bir dizi sayıya demir atabilir ve genel eğilim mükemmel bir tutarlılıkla + +4 +00:00:16,477 --> 00:00:21,160 +üstel bir seyir izlese bile bu sayılar aniden büyük göründüğünde şaşırabiliriz. + +5 +00:00:22,120 --> 00:00:26,532 +İşte tam burada, en azından bunu yazdığım sırada kaydedilen COVID-19, + +6 +00:00:26,532 --> 00:00:30,000 +yani koronavirüs vakalarına ilişkin veriler yer alıyor. + +7 +00:00:30,420 --> 00:00:33,092 +Bir matematik dersi fırsatını asla kaçırmayan biri olarak, + +8 +00:00:33,092 --> 00:00:36,353 +bunun hepimiz için üstel büyümenin gerçekte ne olduğu, nereden geldiği, + +9 +00:00:36,353 --> 00:00:39,614 +ne anlama geldiği ve belki de en önemlisi ne zaman sona ereceğini nasıl + +10 +00:00:39,614 --> 00:00:43,600 +anlayacağımız konusunda temellere geri dönmek için iyi bir zaman olabileceğini düşündüm. + +11 +00:00:44,320 --> 00:00:49,800 +Üstel büyüme, bir günden diğerine geçerken bir sabitle çarpmayı içerdiği anlamına gelir. + +12 +00:00:50,380 --> 00:00:54,985 +Verilerimizde, her günkü vaka sayısı, bir önceki günkü vaka + +13 +00:00:54,985 --> 00:00:59,360 +sayısının yaklaşık 1,15 ila 1,25 katı olma eğilimindedir. + +14 +00:01:00,280 --> 00:01:04,065 +Virüsler bu tür büyümenin ders kitabı niteliğindeki bir örneğidir, + +15 +00:01:04,065 --> 00:01:07,060 +çünkü yeni vakalara neden olan şey mevcut vakalardır. + +16 +00:01:09,340 --> 00:01:15,735 +Belirli bir gündeki vaka sayısı n ise ve virüs taşıyan her bireyin belirli bir günde e + +17 +00:01:15,735 --> 00:01:21,689 +kişiye maruz kaldığını ve bu maruziyetlerin her birinin yeni bir enfeksiyon olma + +18 +00:01:21,689 --> 00:01:28,158 +olasılığının p olduğunu söylersek, belirli bir gündeki yeni vaka sayısı e çarpı p çarpı + +19 +00:01:28,158 --> 00:01:28,600 +n'dir. + +20 +00:01:29,960 --> 00:01:35,677 +N'nin kendi değişiminde bir faktör olduğu gerçeği, işleri gerçekten hızlandıran şeydir, + +21 +00:01:35,677 --> 00:01:39,640 +çünkü n büyürse, büyüme oranının kendisi de büyüyor demektir. + +22 +00:01:40,480 --> 00:01:44,131 +Bunu düşünmenin bir yolu, bir sonraki günün büyümesini elde + +23 +00:01:44,131 --> 00:01:48,391 +etmek için yeni vakaları eklerken, n'yi çarpanlarına ayırabilirsiniz, + +24 +00:01:48,391 --> 00:01:51,800 +böylece 1'den büyük bir sabitle çarpmakla aynı şey olur. + +25 +00:01:52,860 --> 00:01:57,371 +Grafiğimizin y eksenini logaritmik bir ölçeğe koyarsak bunu görmek bazen daha kolay olur, + +26 +00:01:57,371 --> 00:02:01,481 +bu da sabit bir mesafenin her adımının belirli bir faktörle çarpılmasına karşılık + +27 +00:02:01,481 --> 00:02:05,040 +geldiği anlamına gelir, bu durumda her adım 10'un bir başka kuvvetidir. + +28 +00:02:05,860 --> 00:02:09,060 +Bu ölçekte, üstel büyüme düz bir çizgi gibi görünmelidir. + +29 +00:02:09,060 --> 00:02:12,558 +Verilerimize baktığımızda, 100'den 1000'e çıkmak 20 gün, + +30 +00:02:12,558 --> 00:02:17,100 +ondan da 10.000'e çıkmak 13 gün sürmüş gibi görünüyor ve en uygun çizgiyi + +31 +00:02:17,100 --> 00:02:20,353 +bulmak için basit bir doğrusal regresyon yaparsanız, + +32 +00:02:20,353 --> 00:02:25,202 +bu çizginin eğimine bakarak ortalama her 16 günde bir 10 ile çarpma eğiliminde + +33 +00:02:25,202 --> 00:02:27,780 +olduğumuz gibi bir sonuç çıkarabilirsiniz. + +34 +00:02:28,620 --> 00:02:31,873 +Bu regresyon aynı zamanda üstel uyumun gerçekte ne kadar yakın olduğu + +35 +00:02:31,873 --> 00:02:35,405 +konusunda biraz daha niceliksel olmamızı sağlar ve burada teknik istatistik + +36 +00:02:35,405 --> 00:02:38,520 +jargonunu kullanmak gerekirse, cevap gerçekten çok yakın olduğudur. + +37 +00:02:39,040 --> 00:02:42,040 +Ancak eğer doğruysa bunun tam olarak ne anlama geldiğini sindirmek zor olabilir. + +38 +00:02:42,580 --> 00:02:45,846 +Bir ülkede örneğin 6000, diğerinde 60 vaka gördüğünüzde, + +39 +00:02:45,846 --> 00:02:50,088 +ikincisinin 100 kat daha iyi durumda olduğunu ve dolayısıyla iyi olduğunu + +40 +00:02:50,088 --> 00:02:51,120 +düşünmek kolaydır. + +41 +00:02:51,680 --> 00:02:55,440 +Ancak sayıların her 16 günde bir 10 ile çarpıldığı bir durumdaysanız, + +42 +00:02:55,440 --> 00:02:59,845 +aynı gerçeği görmenin başka bir yolu da ikinci ülkenin birincinin yaklaşık bir ay + +43 +00:02:59,845 --> 00:03:00,920 +gerisinde olmasıdır. + +44 +00:03:01,600 --> 00:03:04,620 +Çizginin dışına çıkarsanız bu elbette oldukça endişe vericidir. + +45 +00:03:04,620 --> 00:03:09,311 +Bunu 6 Mart'ta kaydediyorum ve mevcut eğilim devam ederse 30 + +46 +00:03:09,311 --> 00:03:13,618 +gün içinde bir milyon vakaya, 47 gün içinde 10 milyona, + +47 +00:03:13,618 --> 00:03:18,540 +64 gün içinde 100 milyona ve 81 gün içinde 1 milyara ulaşılacak. + +48 +00:03:19,440 --> 00:03:22,854 +Söylemeye gerek yok ama böyle bir çizgiyi sonsuza kadar çizemezsiniz, + +49 +00:03:22,854 --> 00:03:25,440 +belli ki bir noktada yavaşlamaya başlaması gerekiyor. + +50 +00:03:25,700 --> 00:03:27,520 +Ancak asıl önemli soru ne zaman olacağıdır. + +51 +00:03:28,340 --> 00:03:33,350 +Yaklaşık 8000 vakayla sonuçlanan 2002 SARS salgını ya da dünya + +52 +00:03:33,350 --> 00:03:38,440 +nüfusunun yaklaşık %27'sine bulaşan 1918 İspanyol gribi gibi mi? + +53 +00:03:39,620 --> 00:03:42,753 +Genel olarak, bağlam olmadan, verileriniz üzerinden sadece bir + +54 +00:03:42,753 --> 00:03:45,588 +çizgi çizmek tahmin yapmak için harika bir yol değildir, + +55 +00:03:45,588 --> 00:03:49,020 +ancak unutmayın, burada bir üstel beklemek için gerçek bir neden var. + +56 +00:03:49,340 --> 00:03:53,301 +Her gün yeni vaka sayısı mevcut vaka sayısıyla orantılıysa, + +57 +00:03:53,301 --> 00:03:57,659 +bu zorunlu olarak her gün bir sabitle çarptığınız anlamına gelir, + +58 +00:03:57,659 --> 00:04:01,820 +bu nedenle d gün ilerlemek, bu sabitle d kez çarpmakla aynıdır. + +59 +00:04:02,420 --> 00:04:06,900 +Bunun durmasının tek yolu E ya da P rakamlarından birinin düşmesidir. + +60 +00:04:07,980 --> 00:04:09,920 +Bunun eninde sonunda gerçekleşmesi kaçınılmazdır. + +61 +00:04:10,600 --> 00:04:13,474 +Bir virüs için en mükemmel zararlı modelde bile, + +62 +00:04:13,474 --> 00:04:18,284 +ki bu modelde enfeksiyona sahip her kişi her gün dünya nüfusunun rastgele bir alt + +63 +00:04:18,284 --> 00:04:22,918 +kümesine maruz kalır, bir noktada maruz kaldıkları insanların çoğu zaten hasta + +64 +00:04:22,918 --> 00:04:25,500 +olacaktır ve bu nedenle yeni vaka olamazlar. + +65 +00:04:27,780 --> 00:04:31,871 +Denklemimizde bu, bir maruziyetin yeni bir enfeksiyona dönüşme olasılığının, + +66 +00:04:31,871 --> 00:04:35,590 +maruz kaldığınız birinin zaten enfekte olma olasılığını hesaba katmak + +67 +00:04:35,590 --> 00:04:38,460 +için bir tür faktör içermesi gerektiği anlamına gelir. + +68 +00:04:39,240 --> 00:04:41,426 +Bunun gibi rastgele bir karıştırma modeli için bu, + +69 +00:04:41,426 --> 00:04:44,942 +dünyadaki halihazırda enfekte olan insanların oranının 1 eksiği gibi bir faktörün + +70 +00:04:44,942 --> 00:04:46,400 +dahil edilmesi anlamına gelebilir. + +71 +00:04:47,700 --> 00:04:52,656 +Bu faktörü dahil edip N'nin nasıl büyüdüğünü çözdüğünüzde, + +72 +00:04:52,656 --> 00:04:55,680 +modelde bilinen şeyi elde edersiniz. + +73 +00:04:55,680 --> 00:04:59,336 +Başlangıçta bir üstelden mümkün değildir, ancak nihayetinde toplam + +74 +00:04:59,336 --> 00:05:02,720 +nüfus büyüklüğüne yaklaştığınızda, beklediğiniz gibi düzleşir. + +75 +00:05:03,360 --> 00:05:06,820 +Gerçek üstel değerler aslında gerçek dünyada asla var olmazlar, + +76 +00:05:06,820 --> 00:05:09,200 +her biri lojistik bir eğrinin başlangıcıdır. + +77 +00:05:10,040 --> 00:05:14,771 +Lojistik eğrinin yukarı doğru kıvrılmaktan çıkıp aşağı doğru kıvrıldığı bu nokta, + +78 +00:05:14,771 --> 00:05:16,560 +bükülme noktası olarak bilinir. + +79 +00:05:17,320 --> 00:05:22,064 +Burada, bu eğrinin eğimi ile temsil edilen her gün yeni vaka sayısı + +80 +00:05:22,064 --> 00:05:26,460 +artmayı bırakır ve azalmaya başlamadan önce kabaca sabit kalır. + +81 +00:05:30,140 --> 00:05:34,407 +İnsanların salgın hastalıklarla ilgili olarak sıklıkla takip ettikleri bir sayı, + +82 +00:05:34,407 --> 00:05:37,831 +bir gün içindeki yeni vaka sayısı ile bir önceki günkü yeni vaka + +83 +00:05:37,831 --> 00:05:40,940 +sayısı arasındaki oran olarak tanımlanan büyüme faktörüdür. + +84 +00:05:42,340 --> 00:05:45,873 +Açık olmak gerekirse, bir günden diğerine tüm toplamlara bakıyor ve + +85 +00:05:45,873 --> 00:05:49,354 +ardından bu toplamlar arasındaki değişiklikleri takip ediyorsanız, + +86 +00:05:49,354 --> 00:05:53,200 +büyüme faktörü birbirini takip eden iki değişiklik arasındaki bir orandır. + +87 +00:05:55,440 --> 00:05:59,222 +Üstel kısımdayken, bu faktör sürekli olarak birin üzerinde kalır, + +88 +00:05:59,222 --> 00:06:04,380 +oysa büyüme faktörünüz bire yaklaşır yaklaşmaz, bu bükülmeye ulaştığınızın bir işaretidir. + +89 +00:06:05,560 --> 00:06:08,840 +Bu durum, verileri takip ederken bir başka mantıksız gerçeği ortaya çıkarabilir. + +90 +00:06:09,320 --> 00:06:13,134 +Bir gün yeni vaka sayısının bir önceki güne göre yaklaşık %15 + +91 +00:06:13,134 --> 00:06:16,825 +daha fazla olmasının nasıl bir his olduğunu düşünün ve bunu + +92 +00:06:16,825 --> 00:06:20,640 +yaklaşık aynı olmasının nasıl bir his olduğuyla karşılaştırın. + +93 +00:06:21,240 --> 00:06:25,040 +Sadece ortaya çıkardıkları toplamlara bakıldığında, gerçekten farklı hissettirmiyorlar. + +94 +00:06:27,000 --> 00:06:30,143 +Ancak büyüme faktörü bir ise, bu bir lojistiğin bükülme noktasında + +95 +00:06:30,143 --> 00:06:33,240 +olduğunuz anlamına gelebilir; bu da toplam vaka sayısının şu anda + +96 +00:06:33,240 --> 00:06:36,760 +bulunduğunuz yerin yaklaşık iki katında maksimuma ulaşacağı anlamına gelir. + +97 +00:06:37,200 --> 00:06:40,460 +Ancak birden büyük bir büyüme faktörü, her ne kadar ince görünse de, + +98 +00:06:40,460 --> 00:06:43,390 +üstel kısımda olduğunuz anlamına gelir ve bu da önünüzde hala + +99 +00:06:43,390 --> 00:06:46,320 +bekleyen büyüklükte büyüme emirleri olduğu anlamına gelebilir. + +100 +00:06:48,720 --> 00:06:53,936 +Şimdi, en kötü durumda doygunluk noktasının toplam nüfus civarında olduğu doğru olsa da, + +101 +00:06:53,936 --> 00:06:57,745 +virüs taşıyan insanların dünya nüfusu içinde bu şekilde rastgele + +102 +00:06:57,745 --> 00:06:59,680 +dağıldığı elbette doğru değildir. + +103 +00:07:00,200 --> 00:07:02,160 +İnsanlar yerel topluluklarda kümelenmiştir. + +104 +00:07:03,380 --> 00:07:06,644 +Ancak, bu şekilde kümeler arasında az da olsa seyahatin olduğu + +105 +00:07:06,644 --> 00:07:10,480 +simülasyonları çalıştırırsanız, büyüme aslında o kadar da farklı değildir. + +106 +00:07:14,120 --> 00:07:16,920 +Sonuçta ortaya çıkan şey, toplulukların kendilerinin + +107 +00:07:16,920 --> 00:07:19,880 +de bireyler gibi işlev gördüğü bir tür fraktal modeldir. + +108 +00:07:20,660 --> 00:07:25,761 +Her biri, enfeksiyonu yayma olasılığı olan diğerlerine bir miktar maruz kalır, + +109 +00:07:25,761 --> 00:07:29,700 +bu nedenle aynı temel ve üstel neden olan yasalar geçerlidir. + +110 +00:07:42,940 --> 00:07:45,860 +Neyse ki, tüm nüfusu doyurmak, önemsediğimiz iki + +111 +00:07:45,860 --> 00:07:48,840 +faktörün düşmesine neden olabilecek tek şey değil. + +112 +00:07:49,660 --> 00:07:53,164 +İnsanlar toplanmayı ve seyahat etmeyi bıraktığında maruz kalma miktarı da azalabilir + +113 +00:07:53,164 --> 00:07:56,380 +ve insanlar sadece ellerini daha fazla yıkadığında enfeksiyon oranı düşebilir. + +114 +00:07:57,100 --> 00:08:00,056 +Üstel büyümeyle ilgili sezgisel olan bir diğer şey, + +115 +00:08:00,056 --> 00:08:04,320 +bu kez daha iyimser bir anlamda, bu sabite karşı ne kadar hassas olduğudur. + +116 +00:08:05,020 --> 00:08:10,091 +Örneğin, şu anda kaydettiğim gibi %15 ise ve şu anda 21.000 vakaya ulaştıysak, + +117 +00:08:10,091 --> 00:08:14,200 +bu 61 gün sonra 100 milyonun üzerine çıkacağınız anlamına gelir. + +118 +00:08:15,020 --> 00:08:20,316 +Ancak biraz daha az maruz kalma ve enfeksiyon yoluyla bu oran %5'e düşerse, + +119 +00:08:20,316 --> 00:08:26,100 +bu projeksiyonun da 3 kat düşeceği anlamına gelmez, aslında 400.000 civarına düşer. + +120 +00:08:26,660 --> 00:08:30,200 +Yani insanlar yeterince endişeliyse, endişelenecek çok daha az şey var demektir. + +121 +00:08:30,200 --> 00:08:32,320 +Ama kimse endişelenmiyorsa, işte o zaman endişelenmelisiniz. + diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/ukrainian/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/ukrainian/auto_generated.srt index c6364da1a..f7ff57fb3 100644 --- a/2020/exponential-and-epidemics/ukrainian/auto_generated.srt +++ b/2020/exponential-and-epidemics/ukrainian/auto_generated.srt @@ -1,5 +1,5 @@ 1 -00:00:02,939 --> 00:00:06,985 +00:00:02,940 --> 00:00:06,985 Фраза експоненціального зростання знайома більшості людей, 2 @@ -59,27 +59,27 @@ бути кратною приблизно 1.15 до 1.25 від кількості випадків попередньої доби. 16 -00:01:00,280 --> 00:01:03,002 +00:01:00,280 --> 00:01:03,485 Віруси є хрестоматійним прикладом такого зростання, 17 -00:01:03,002 --> 00:01:06,040 +00:01:03,485 --> 00:01:07,060 тому що те, що викликає нові випадки, - це наявні випадки. 18 -00:01:06,040 --> 00:01:11,035 +00:01:09,340 --> 00:01:13,605 Якщо кількість випадків за певний день дорівнює n, і ми кажемо, 19 -00:01:11,035 --> 00:01:16,812 +00:01:13,605 --> 00:01:18,536 що кожна людина з вірусом піддається в середньому e людям за певний день, 20 -00:01:16,812 --> 00:01:21,886 +00:01:18,536 --> 00:01:22,868 і кожне з цих заражень має ймовірність p стати новою інфекцією , 21 -00:01:21,886 --> 00:01:28,600 +00:01:22,868 --> 00:01:28,600 то кількість нових випадків за певний день дорівнює e, помножене на p, помножене на n. 22 @@ -275,31 +275,31 @@ для врахування ймовірності того, що хтось, з ким ви контактували, уже інфікований. 70 -00:04:39,240 --> 00:04:41,451 +00:04:39,240 --> 00:04:41,826 Для моделі випадкового перемішування, подібної до цієї, 71 -00:04:41,451 --> 00:04:44,609 +00:04:41,826 --> 00:04:45,522 це може означати включення такого коефіцієнта, як 1 мінус частка людей у світі, 72 -00:04:44,609 --> 00:04:45,360 +00:04:45,522 --> 00:04:46,400 які вже інфіковані. 73 -00:04:45,360 --> 00:04:49,745 +00:04:47,700 --> 00:04:51,493 Враховуючи цей фактор, а потім вирішуючи, як зростає n, ви отримуєте те, 74 -00:04:49,745 --> 00:04:53,289 +00:04:51,493 --> 00:04:54,560 що в бізнесі називається логістичною кривою, яка, по суті, 75 -00:04:53,289 --> 00:04:57,854 +00:04:54,560 --> 00:04:58,510 не відрізняється від експоненціальної на початку, але зрештою вирівнюється, 76 -00:04:57,854 --> 00:05:02,720 +00:04:58,510 --> 00:05:02,720 коли ви наближаєтеся до загального розміру населення, який це те, що ви очікуєте. 77 @@ -311,23 +311,23 @@ кожна з них насправді є початком логістичної кривої. 79 -00:05:10,040 --> 00:05:14,793 +00:05:10,040 --> 00:05:15,104 Ця точка прямо тут, де логістика переходить від викривлення вгору до викривлення вниз, 80 -00:05:14,793 --> 00:05:16,160 +00:05:15,104 --> 00:05:16,560 відома як точка перегину. 81 -00:05:16,160 --> 00:05:20,638 +00:05:17,320 --> 00:05:21,293 Там кількість нових випадків щодня, представлена нахилом цієї кривої, 82 -00:05:20,638 --> 00:05:24,668 +00:05:21,293 --> 00:05:24,870 припиняє зростати й натомість залишається приблизно постійною, 83 -00:05:24,668 --> 00:05:26,460 +00:05:24,870 --> 00:05:26,460 перш ніж почне зменшуватися. 84 @@ -415,7 +415,7 @@ що може означати, що попереду вас чекає зростання на порядки величини. 105 -00:06:48,719 --> 00:06:52,357 +00:06:48,720 --> 00:06:52,357 Хоча це правда, що в найгіршому випадку точка насичення знаходиться навколо 106 diff --git a/2020/exponential-and-epidemics/vietnamese/auto_generated.srt b/2020/exponential-and-epidemics/vietnamese/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..45123760d --- /dev/null +++ b/2020/exponential-and-epidemics/vietnamese/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,500 @@ +1 +00:00:02,940 --> 00:00:06,825 +Cụm từ tăng trưởng theo cấp số nhân quen thuộc với hầu hết mọi người, + +2 +00:00:06,825 --> 00:00:11,100 +tuy nhiên trực quan của con người đôi khi khó thực sự nhận ra ý nghĩa của nó. + +3 +00:00:11,320 --> 00:00:14,565 +Chúng ta có thể neo đậu vào một chuỗi các con số có vẻ nhỏ và + +4 +00:00:14,565 --> 00:00:17,653 +sau đó ngạc nhiên khi đột nhiên những con số đó trông lớn, + +5 +00:00:17,653 --> 00:00:21,160 +ngay cả khi xu hướng chung tuân theo cấp số nhân một cách hoàn hảo. + +6 +00:00:22,120 --> 00:00:25,789 +Đây là dữ liệu về các trường hợp được ghi nhận của COVID-19, + +7 +00:00:25,789 --> 00:00:30,000 +hay còn gọi là coronavirus, ít nhất là vào thời điểm tôi viết bài này. + +8 +00:00:30,420 --> 00:00:33,702 +Không bao giờ lãng phí cơ hội học toán, tôi nghĩ đây có thể là thời + +9 +00:00:33,702 --> 00:00:37,034 +điểm tốt để tất cả chúng ta quay trở lại những vấn đề cơ bản về tăng + +10 +00:00:37,034 --> 00:00:39,641 +trưởng theo cấp số nhân thực sự là gì, nó đến từ đâu, + +11 +00:00:39,641 --> 00:00:43,600 +nó ngụ ý gì và có lẽ cấp bách nhất là làm thế nào để biết khi nào nó sắp kết thúc. + +12 +00:00:44,320 --> 00:00:47,692 +Tăng trưởng theo cấp số nhân có nghĩa là khi bạn đi từ ngày này sang ngày khác, + +13 +00:00:47,692 --> 00:00:49,800 +nó liên quan đến việc nhân với một hằng số nào đó. + +14 +00:00:50,380 --> 00:00:54,832 +Trong dữ liệu của chúng ta, số ca mắc mỗi ngày có xu hướng + +15 +00:00:54,832 --> 00:00:59,360 +là bội số của khoảng 1,15 đến 1,25 số ca mắc ngày hôm trước. + +16 +00:01:00,280 --> 00:01:03,520 +Virus là một ví dụ trong sách giáo khoa về kiểu tăng trưởng này, + +17 +00:01:03,520 --> 00:01:07,060 +bởi vì nguyên nhân gây ra các ca bệnh mới chính là các ca bệnh hiện có. + +18 +00:01:09,340 --> 00:01:14,032 +Nếu số ca nhiễm trong một ngày nhất định là n và chúng ta nói rằng + +19 +00:01:14,032 --> 00:01:18,864 +mỗi cá nhân nhiễm vi-rút tiếp xúc với e người vào một ngày nhất định + +20 +00:01:18,864 --> 00:01:24,047 +và mỗi trường hợp phơi nhiễm đó có xác suất p trở thành một ca nhiễm mới, + +21 +00:01:24,047 --> 00:01:28,600 +thì số số ca nhiễm mới vào một ngày nhất định là e nhân p nhân n. + +22 +00:01:29,960 --> 00:01:33,186 +Việc bản thân n là một yếu tố tạo nên sự thay đổi của chính nó là + +23 +00:01:33,186 --> 00:01:36,413 +điều thực sự khiến mọi thứ diễn ra nhanh chóng, bởi vì nếu n lớn, + +24 +00:01:36,413 --> 00:01:39,640 +điều đó có nghĩa là tốc độ tăng trưởng của chính nó cũng đang lớn. + +25 +00:01:40,480 --> 00:01:44,214 +Một cách để nghĩ về điều này là khi bạn thêm các trường hợp mới + +26 +00:01:44,214 --> 00:01:48,123 +để có được mức tăng trưởng cho ngày hôm sau, bạn có thể tính ra n, + +27 +00:01:48,123 --> 00:01:51,800 +do đó, nó cũng giống như nhân với một hằng số nào đó lớn hơn 1. + +28 +00:01:52,860 --> 00:01:57,087 +Điều này đôi khi dễ thấy hơn nếu chúng ta đặt trục y của đồ thị theo thang logarit, + +29 +00:01:57,087 --> 00:02:01,164 +có nghĩa là mỗi bước của một khoảng cách cố định tương ứng với việc nhân với một + +30 +00:02:01,164 --> 00:02:05,040 +thừa số nhất định, trong trường hợp này mỗi bước là một lũy thừa khác của 10. + +31 +00:02:05,860 --> 00:02:09,060 +Ở quy mô này, sự tăng trưởng theo cấp số nhân sẽ trông giống như một đường thẳng. + +32 +00:02:09,060 --> 00:02:13,740 +Nhìn vào dữ liệu của chúng ta, có vẻ như phải mất 20 ngày để đi từ 100 lên 1000 + +33 +00:02:13,740 --> 00:02:18,303 +và 13 ngày để đi từ đó lên 10.000 và nếu bạn thực hiện hồi quy tuyến tính đơn + +34 +00:02:18,303 --> 00:02:23,041 +giản để tìm ra đường phù hợp nhất, bạn có thể nhìn vào độ dốc của dòng đó để đưa + +35 +00:02:23,041 --> 00:02:27,780 +ra kết luận giống như chúng ta có xu hướng nhân trung bình với 10 cứ sau 16 ngày. + +36 +00:02:28,620 --> 00:02:31,937 +Phép hồi quy này cũng cho phép chúng ta định lượng hơn một chút + +37 +00:02:31,937 --> 00:02:35,254 +về mức độ chính xác của sự phù hợp theo hàm mũ và sử dụng thuật + +38 +00:02:35,254 --> 00:02:38,520 +ngữ thống kê kỹ thuật ở đây, câu trả lời là nó thực sự rất gần. + +39 +00:02:39,040 --> 00:02:42,040 +Nhưng có thể khó hiểu chính xác điều đó có nghĩa là gì nếu đúng. + +40 +00:02:42,580 --> 00:02:46,799 +Khi bạn thấy một quốc gia có 6000 trường hợp và một quốc gia khác có 60 trường hợp, + +41 +00:02:46,799 --> 00:02:51,120 +thật dễ dàng để nghĩ rằng quốc gia thứ hai đang hoạt động tốt hơn 100 lần và do đó ổn. + +42 +00:02:51,680 --> 00:02:55,745 +Nhưng nếu bạn thực sự đang ở trong tình huống mà các con số cứ 16 ngày lại nhân với 10, + +43 +00:02:55,745 --> 00:02:58,702 +thì một cách khác để nhìn nhận thực tế tương tự là quốc gia thứ + +44 +00:02:58,702 --> 00:03:00,920 +hai chậm hơn quốc gia thứ nhất khoảng một tháng. + +45 +00:03:01,600 --> 00:03:04,620 +Tất nhiên điều này khá đáng lo ngại nếu bạn vạch ra ranh giới. + +46 +00:03:04,620 --> 00:03:09,948 +Tôi đang ghi lại điều này vào ngày 6 tháng 3 và nếu xu hướng hiện tại tiếp tục, + +47 +00:03:09,948 --> 00:03:13,611 +điều đó có nghĩa là sẽ đạt một triệu ca trong 30 ngày, + +48 +00:03:13,611 --> 00:03:18,540 +đạt 10 triệu trong 47 ngày, 100 triệu trong 64 ngày và 1 tỷ trong 81 ngày. + +49 +00:03:19,440 --> 00:03:22,420 +Tuy nhiên, không cần phải nói rằng bạn không thể vẽ ra một đường thẳng như + +50 +00:03:22,420 --> 00:03:25,440 +thế này mãi được, nó rõ ràng phải bắt đầu chậm lại vào một thời điểm nào đó. + +51 +00:03:25,700 --> 00:03:27,520 +Nhưng câu hỏi quan trọng là khi nào. + +52 +00:03:28,340 --> 00:03:33,579 +Nó giống như đợt bùng phát dịch SARS năm 2002 với khoảng 8000 trường hợp mắc bệnh, + +53 +00:03:33,579 --> 00:03:38,440 +hay bệnh cúm Tây Ban Nha năm 1918 khiến khoảng 27% dân số thế giới lây nhiễm? + +54 +00:03:39,620 --> 00:03:44,265 +Nói chung, không có ngữ cảnh, chỉ vẽ một đường qua dữ liệu của bạn không phải là cách + +55 +00:03:44,265 --> 00:03:49,020 +hay để đưa ra dự đoán, nhưng hãy nhớ rằng, có lý do thực sự để mong đợi một số mũ ở đây. + +56 +00:03:49,340 --> 00:03:53,071 +Nếu số ca mắc mới mỗi ngày tỷ lệ thuận với số ca hiện có, + +57 +00:03:53,071 --> 00:03:57,767 +điều đó nhất thiết có nghĩa là mỗi ngày bạn nhân với một hằng số nào đó, + +58 +00:03:57,767 --> 00:04:01,820 +do đó tiến tới d ngày cũng giống như nhân với hằng số đó d lần. + +59 +00:04:02,420 --> 00:04:06,900 +Cách duy nhất để dừng lại là nếu số E hoặc p giảm xuống. + +60 +00:04:07,980 --> 00:04:09,920 +Điều không thể tránh khỏi này cuối cùng sẽ xảy ra . + +61 +00:04:10,600 --> 00:04:13,535 +Ngay cả trong mô hình nguy hiểm nhất đối với vi-rút, + +62 +00:04:13,535 --> 00:04:18,354 +tức là mỗi ngày mỗi người bị nhiễm bệnh tiếp xúc với một nhóm nhỏ dân số thế giới ngẫu + +63 +00:04:18,354 --> 00:04:23,007 +nhiên, tại một thời điểm nào đó, hầu hết những người mà họ tiếp xúc đều đã bị bệnh, + +64 +00:04:23,007 --> 00:04:25,500 +và vì vậy họ không thể trở thành ca bệnh mới. + +65 +00:04:27,780 --> 00:04:31,322 +Trong phương trình của chúng ta, đó có nghĩa là xác suất phơi nhiễm + +66 +00:04:31,322 --> 00:04:34,813 +trở thành một bệnh nhiễm trùng mới sẽ phải bao gồm một số loại yếu + +67 +00:04:34,813 --> 00:04:38,460 +tố để tính đến khả năng người nào đó mà bạn tiếp xúc đã bị nhiễm bệnh. + +68 +00:04:39,240 --> 00:04:41,643 +Đối với mô hình xáo trộn ngẫu nhiên như thế này, + +69 +00:04:41,643 --> 00:04:45,124 +điều đó có thể có nghĩa là bao gồm hệ số như 1 trừ đi tỷ lệ người trên + +70 +00:04:45,124 --> 00:04:46,400 +thế giới đã bị nhiễm bệnh. + +71 +00:04:47,700 --> 00:04:52,183 +Bao gồm yếu tố đó và sau đó giải quyết cách N tăng trưởng, + +72 +00:04:52,183 --> 00:04:55,680 +bạn sẽ có được những gì đã biết trong mô hình. + +73 +00:04:55,680 --> 00:04:58,122 +Điều đó là không thể ngay từ đầu theo cấp số nhân, + +74 +00:04:58,122 --> 00:05:01,379 +nhưng cuối cùng nó sẽ chững lại khi bạn đạt đến tổng quy mô dân số, + +75 +00:05:01,379 --> 00:05:02,720 +đó là những gì bạn mong đợi. + +76 +00:05:03,360 --> 00:05:06,490 +Số mũ thực sự về cơ bản không bao giờ tồn tại trong thế giới thực, + +77 +00:05:06,490 --> 00:05:09,200 +mỗi số mũ đều là điểm bắt đầu của một đường cong logistic. + +78 +00:05:10,040 --> 00:05:15,243 +Điểm này ngay tại đây, nơi đường cong logistic đi từ cong lên đến cong xuống dưới, + +79 +00:05:15,243 --> 00:05:16,560 +được gọi là điểm uốn. + +80 +00:05:17,320 --> 00:05:22,622 +Ở đó, số ca mắc mới mỗi ngày, được biểu thị bằng độ dốc của đường cong này, + +81 +00:05:22,622 --> 00:05:26,460 +ngừng tăng và gần như không đổi trước khi bắt đầu giảm. + +82 +00:05:30,140 --> 00:05:34,940 +Một con số mà người ta thường theo dõi với dịch bệnh là yếu tố tăng trưởng, + +83 +00:05:34,940 --> 00:05:40,308 +được định nghĩa là tỷ lệ giữa số ca mắc mới trong một ngày và số ca mắc mới của ngày + +84 +00:05:40,308 --> 00:05:40,940 +hôm trước. + +85 +00:05:42,340 --> 00:05:46,985 +Nói rõ hơn, nếu bạn đang xem xét tất cả các tổng số từ ngày này sang ngày khác, + +86 +00:05:46,985 --> 00:05:50,005 +sau đó theo dõi những thay đổi giữa các tổng số đó, + +87 +00:05:50,005 --> 00:05:53,200 +hệ số tăng trưởng là tỷ lệ giữa hai thay đổi liên tiếp. + +88 +00:05:55,440 --> 00:05:58,792 +Mặc dù bạn đang ở phần lũy thừa, nhưng hệ số này luôn ở trên một, + +89 +00:05:58,792 --> 00:06:03,160 +trong khi ngay khi hệ số tăng trưởng của bạn gần bằng một thì đó là dấu hiệu cho thấy + +90 +00:06:03,160 --> 00:06:04,380 +bạn đã đạt đến điểm uốn. + +91 +00:06:05,560 --> 00:06:08,840 +Điều này có thể tạo ra một thực tế phản trực quan khác khi theo dõi dữ liệu. + +92 +00:06:09,320 --> 00:06:13,074 +Hãy nghĩ về cảm giác sẽ như thế nào khi số ca mắc mới một ngày sẽ + +93 +00:06:13,074 --> 00:06:16,714 +nhiều hơn khoảng 15% so với số ca mắc mới ngày hôm trước và đối + +94 +00:06:16,714 --> 00:06:20,640 +chiếu điều đó với cảm giác tương tự khi số ca mắc mới ngày hôm trước. + +95 +00:06:21,240 --> 00:06:25,040 +Chỉ cần nhìn vào tổng số mà họ đạt được, họ thực sự không cảm thấy khác biệt lắm. + +96 +00:06:27,000 --> 00:06:31,717 +Nhưng nếu hệ số tăng trưởng là một, điều đó có thể có nghĩa là bạn đang ở điểm uốn của + +97 +00:06:31,717 --> 00:06:36,543 +logistic, điều đó có nghĩa là tổng số ca bệnh sẽ đạt tối đa khoảng hai lần dù bạn đang ở + +98 +00:06:36,543 --> 00:06:36,760 +đâu. + +99 +00:06:37,200 --> 00:06:40,479 +Nhưng một yếu tố tăng trưởng lớn hơn một, mặc dù điều đó có vẻ khó thấy, + +100 +00:06:40,479 --> 00:06:43,444 +có nghĩa là bạn đang ở phần lũy thừa, điều này có thể ám chỉ rằng + +101 +00:06:43,444 --> 00:06:46,320 +có những mức độ tăng trưởng lớn vẫn đang chờ đợi bạn phía trước. + +102 +00:06:48,720 --> 00:06:51,331 +Bây giờ, mặc dù đúng là trong trường hợp xấu nhất, + +103 +00:06:51,331 --> 00:06:55,019 +điểm bão hòa là xung quanh tổng dân số, nhưng tất nhiên không hoàn toàn + +104 +00:06:55,019 --> 00:06:58,604 +đúng khi những người nhiễm vi-rút bị xáo trộn ngẫu nhiên trong dân số + +105 +00:06:58,604 --> 00:06:59,680 +thế giới như thế này. + +106 +00:07:00,200 --> 00:07:02,160 +Mọi người tập trung thành các cộng đồng địa phương. + +107 +00:07:03,380 --> 00:07:06,858 +Tuy nhiên, nếu bạn chạy mô phỏng trong đó thậm chí có một chút di chuyển + +108 +00:07:06,858 --> 00:07:10,480 +giữa các cụm như thế này, thì mức tăng trưởng thực sự không khác biệt nhiều. + +109 +00:07:14,120 --> 00:07:16,973 +Những gì bạn thu được là một loại mô hình phân dạng, + +110 +00:07:16,973 --> 00:07:19,880 +trong đó các cộng đồng tự hoạt động như những cá nhân. + +111 +00:07:20,660 --> 00:07:25,459 +Mỗi người đều có một số tiếp xúc với những người khác, với một số khả năng lây nhiễm, + +112 +00:07:25,459 --> 00:07:29,700 +do đó, các quy luật cơ bản và quy luật lũy thừa giống nhau đều được áp dụng. + +113 +00:07:42,940 --> 00:07:45,842 +May mắn thay, việc bão hòa toàn bộ dân số không phải là điều + +114 +00:07:45,842 --> 00:07:48,840 +duy nhất có thể khiến hai yếu tố mà chúng ta quan tâm đi xuống. + +115 +00:07:49,660 --> 00:07:53,267 +Mức độ phơi nhiễm cũng có thể giảm khi mọi người ngừng tụ tập và đi lại, + +116 +00:07:53,267 --> 00:07:56,380 +và tỷ lệ lây nhiễm có thể giảm khi mọi người rửa tay nhiều hơn. + +117 +00:07:57,100 --> 00:08:00,325 +Một sự phản trực quan khác về sự tăng trưởng theo cấp số nhân, + +118 +00:08:00,325 --> 00:08:04,320 +lần này theo nghĩa lạc quan hơn, đó là mức độ nhạy cảm của nó với hằng số này. + +119 +00:08:05,020 --> 00:08:09,415 +Ví dụ: nếu là 15%, giống như khi tôi đang ghi lại điều này và chúng ta hiện có + +120 +00:08:09,415 --> 00:08:14,200 +21.000 trường hợp, điều đó có nghĩa là 61 ngày kể từ bây giờ bạn sẽ đạt hơn 100 triệu. + +121 +00:08:15,020 --> 00:08:19,895 +Nhưng nếu giảm phơi nhiễm và lây nhiễm một chút, tỷ lệ đó giảm xuống còn 5%, + +122 +00:08:19,895 --> 00:08:23,504 +điều đó không có nghĩa là dự báo cũng giảm theo hệ số 3, + +123 +00:08:23,504 --> 00:08:26,100 +nó thực sự giảm xuống còn khoảng 400.000. + +124 +00:08:26,660 --> 00:08:30,200 +Vì vậy, nếu mọi người đủ lo lắng thì sẽ bớt lo lắng hơn rất nhiều. + +125 +00:08:30,200 --> 00:08:32,320 +Nhưng nếu không có ai lo lắng thì đó là lúc bạn nên lo lắng. + diff --git a/2021/matrix-exponents/arabic/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/arabic/auto_generated.srt index b8731a14f..33cb9d9c2 100644 --- a/2021/matrix-exponents/arabic/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/arabic/auto_generated.srt @@ -195,15 +195,15 @@ في هذا السياق، لا تزال القوى تعني بالضبط ما تتوقعه، وهو الضرب المتكرر. 50 -00:03:53,840 --> 00:03:57,737 +00:03:53,840 --> 00:03:57,968 يتم قياس كل حد في كثيرة الحدود هذه بمقدار 1 مقسومًا على بعض 51 -00:03:57,737 --> 00:04:01,960 +00:03:57,968 --> 00:04:02,440 المضروب، ومع المصفوفات، كل هذا يعني أنك تضرب كل مكون بهذا الرقم. 52 -00:04:01,960 --> 00:04:08,820 +00:04:03,280 --> 00:04:08,820 وبالمثل، من المنطقي دائمًا جمع مصفوفتين معًا، وهذا شيء تفعله مرة أخرى مصطلحًا تلو الآخر. 53 @@ -223,15 +223,15 @@ خذ هذه المصفوفة 2x2 التي تحتوي على pi وpi سالبة خارج مدخلاتها القطرية. 57 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 دعونا نرى ما يعطي المبلغ. 58 -00:04:26,200 --> 00:04:29,821 +00:04:27,280 --> 00:04:30,367 الحد الأول هو مصفوفة الوحدة، وهذا في الواقع ما 59 -00:04:29,821 --> 00:04:33,520 +00:04:30,367 --> 00:04:33,520 نعنيه بالتعريف عندما نرفع مصفوفة إلى القوة صفر. 60 @@ -339,39 +339,39 @@ أحدهما يتضمن العلاقات، والآخر يتعلق بميكانيكا الكم. 86 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 لنبدأ بالعلاقات. 87 -00:06:38,540 --> 00:06:47,300 +00:06:43,080 --> 00:06:49,554 لنفترض أن لدينا حبيبين، فلنسميهما روميو وجولييت، ولندع x يمثل حب جولييت 88 -00:06:47,300 --> 00:06:55,940 +00:06:49,554 --> 00:06:55,940 لروميو، وy يمثل حبه لها، وكلاهما سيكونان قيمتين تتغيران مع مرور الوقت. 89 -00:06:56,900 --> 00:06:59,785 +00:06:56,900 --> 00:06:59,962 هذا مثال تطرقنا إليه بالفعل في الفصل الأول، استنادًا 90 -00:06:59,785 --> 00:07:02,780 +00:06:59,962 --> 00:07:03,140 إلى مقالة لستيفن ستروجاتز، ولكن لا بأس إذا لم ترى ذلك. 91 -00:07:02,780 --> 00:07:09,018 +00:07:03,580 --> 00:07:08,804 وطريقة عمل العلاقة بينهما هي أن المعدل الذي يتغير به حب جولييت 92 -00:07:09,018 --> 00:07:14,960 +00:07:08,804 --> 00:07:13,780 لروميو، وهو مشتق هذه القيمة، يساوي سالب 1 ضرب حب روميو لها. 93 -00:07:14,960 --> 00:07:19,679 +00:07:14,560 --> 00:07:19,471 بمعنى آخر، عندما يعبر روميو عن عدم اهتمام رائع، تزيد مشاعر 94 -00:07:19,679 --> 00:07:24,800 +00:07:19,471 --> 00:07:24,800 جولييت، بينما إذا أصبح مفتونًا جدًا، سيبدأ اهتمامها في التلاشي. 95 @@ -455,15 +455,15 @@ المفيد تجميعها معًا كإحداثيات نقطة واحدة في مساحة ذات أبعاد أعلى. 115 -00:08:58,800 --> 00:09:04,534 +00:08:58,800 --> 00:09:05,165 لذا بالنسبة لروميو وجولييت، فكر في علاقتهما كنقطة في فضاء ثنائي الأبعاد، 116 -00:09:04,534 --> 00:09:09,720 +00:09:05,165 --> 00:09:10,920 حيث يلتقط الإحداثي x مشاعر جولييت، والإحداثي y يلتقط مشاعر روميو. 117 -00:09:09,720 --> 00:09:18,240 +00:09:13,200 --> 00:09:18,240 في بعض الأحيان يكون من المفيد تصور هذه الحالة كسهم من الأصل، وفي أحيان أخرى كنقطة فقط. 118 @@ -503,43 +503,43 @@ x ومشتق y معًا، كنوع من متجه السرعة في مساحة ا يرمز الصف العلوي إلى قاعدة جولييت، بينما يرمز الصف السفلي إلى قاعدة روميو. 127 -00:10:07,800 --> 00:10:13,982 +00:10:07,800 --> 00:10:11,684 إذن ما لدينا هنا هو معادلة تفاضلية تخبرنا أن معدل 128 -00:10:13,982 --> 00:10:20,660 +00:10:11,684 --> 00:10:15,880 تغير بعض المتجهات يساوي مصفوفة معينة مضروبة في نفسها. 129 -00:10:20,660 --> 00:10:26,112 +00:10:19,120 --> 00:10:23,691 سنتحدث بعد قليل عن كيفية حل أسي المصفوفات لهذا النوع من المعادلات، لكن قبل ذلك 130 -00:10:26,112 --> 00:10:31,427 +00:10:23,691 --> 00:10:28,148 دعني أوضح لك طريقة أبسط يمكننا من خلالها حل هذا النظام بالتحديد، نظام يستخدم 131 -00:10:31,427 --> 00:10:36,880 +00:10:28,148 --> 00:10:32,720 الهندسة البحتة، ويساعد في تمهيد الطريق لتصور المصفوفة الأسس في وقت لاحق قليلا. 132 -00:10:36,880 --> 00:10:40,220 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 هذه المصفوفة من نظامنا هي مصفوفة دوران بزاوية 90 درجة. 133 -00:10:40,220 --> 00:10:43,719 +00:10:38,580 --> 00:10:42,457 لأي منكم لا يعرف كيفية التفكير في المصفوفات كتحويلات، 134 -00:10:43,719 --> 00:10:46,700 +00:10:42,457 --> 00:10:45,760 يوجد فيديو عن ذلك على هذه القناة، سلسلة حقًا. 135 -00:10:46,700 --> 00:10:52,503 +00:10:46,400 --> 00:10:52,351 الفكرة الأساسية هي أنه عندما تضرب مصفوفة في المتجه 1 0، فإنها تسحب 136 -00:10:52,503 --> 00:10:58,480 +00:10:52,351 --> 00:10:58,480 العمود الأول، وبالمثل إذا ضربتها في 0 1، فإن ذلك يسحب العمود الثاني. 137 @@ -559,23 +559,23 @@ x ومشتق y معًا، كنوع من متجه السرعة في مساحة ا هاتين النتيجتين الأساسيتين بواسطة إحداثيات هذا المتجه. 141 -00:11:17,720 --> 00:11:23,022 +00:11:17,720 --> 00:11:23,264 لذا بالنظر إلى المصفوفة من نظامنا، لاحظ كيف يمكننا أن نقول من أعمدتها إنها تأخذ متجه 142 -00:11:23,022 --> 00:11:28,637 +00:11:23,264 --> 00:11:29,134 الأساس الأول إلى 0 1، والثاني إلى سالب 1 0، ولهذا السبب أسميها مصفوفة الدوران ذات 90 درجة. 143 -00:11:28,637 --> 00:11:28,700 +00:11:29,134 --> 00:11:29,200 144 -00:11:28,700 --> 00:11:35,145 +00:11:30,880 --> 00:11:36,266 ما يعنيه معادلتنا هو أنه أينما كان روميو وجولييت في مساحة الحالة هذه، 145 -00:11:35,145 --> 00:11:41,960 +00:11:36,266 --> 00:11:41,960 فإن معدل تغيرهما يجب أن يبدو وكأنه دوران بمقدار 90 درجة لمتجه الموضع هذا. 146 @@ -639,19 +639,19 @@ t sin t، ويخبرنا العمود الثاني أنه يأخذ متجه ال بعد t من الوحدات الزمنية، يمكنك ضرب هذه المصفوفة في حالتهما الأولية. 161 -00:13:00,120 --> 00:13:05,644 +00:13:00,120 --> 00:13:06,099 قد يستمتع المشاهدون النشطون بينكم أيضًا بتوقف لحظة والتأكيد على أن الصيغ الصريحة التي 162 -00:13:05,644 --> 00:13:11,040 +00:13:06,099 --> 00:13:11,940 خرجت بها من هذا لـ x من t وy من t تلبي حقًا نظام المعادلات التفاضلية الذي بدأنا به. 163 -00:13:11,040 --> 00:13:18,767 +00:13:17,740 --> 00:13:22,006 قد يتساءل عالم الرياضيات في داخلك عما إذا كان من الممكن حل ليس فقط هذا النظام 164 -00:13:18,767 --> 00:13:26,000 +00:13:22,006 --> 00:13:26,000 المحدد، ولكن أيضًا معادلات مثله لأي مصفوفة أخرى، بغض النظر عن معاملاتها. 165 @@ -671,19 +671,19 @@ t sin t، ويخبرنا العمود الثاني أنه يأخذ متجه ال تتيح لك القدرة على حساب أسس المصفوفات حل هذه المعادلة بشكل صريح. 169 -00:13:46,520 --> 00:13:50,431 +00:13:46,520 --> 00:13:50,646 والمثال الأقل غرابة بكثير هو معادلة شرودنغر الشهيرة، وهي المعادلة 170 -00:13:50,431 --> 00:13:54,520 +00:13:50,646 --> 00:13:54,960 الأساسية التي تصف كيفية تغير الأنظمة في ميكانيكا الكم مع مرور الوقت. 171 -00:13:54,520 --> 00:13:58,326 +00:13:55,680 --> 00:13:58,920 يبدو الأمر مخيفًا جدًا، وأعني أنها ميكانيكا الكم، لذا بالطبع 172 -00:13:58,326 --> 00:14:02,320 +00:13:58,920 --> 00:14:02,320 ستفعل، لكنها في الواقع لا تختلف كثيرًا عن مسرحية روميو وجولييت. 173 @@ -751,19 +751,19 @@ t sin t، ويخبرنا العمود الثاني أنه يأخذ متجه ال وهذه معادلة مهمة للغاية في حد ذاتها. 189 -00:15:11,700 --> 00:15:15,560 +00:15:11,700 --> 00:15:16,300 إنه مفهوم قوي للغاية عندما يكون معدل تغير القيمة متناسبًا مع القيمة نفسها. 190 -00:15:15,560 --> 00:15:20,117 +00:15:16,760 --> 00:15:20,911 هذه هي المعادلة التي تحكم أشياء مثل الفائدة المركبة، أو المراحل 191 -00:15:20,117 --> 00:15:24,533 +00:15:20,911 --> 00:15:24,933 الأولى من النمو السكاني قبل ظهور تأثيرات الموارد المحدودة، أو 192 -00:15:24,533 --> 00:15:29,020 +00:15:24,933 --> 00:15:29,020 المراحل المبكرة من الوباء عندما يكون معظم السكان عرضة للإصابة. 193 @@ -939,19 +939,19 @@ t sin t، ويخبرنا العمود الثاني أنه يأخذ متجه ال بالنسبة لي، هذا جميل للغاية. 236 -00:19:09,680 --> 00:19:14,360 +00:19:09,680 --> 00:19:14,800 لدينا طريقتان مختلفتان تمامًا للتفكير في نفس النظام، وتعطينا نفس الإجابة. 237 -00:19:14,360 --> 00:19:18,649 +00:19:15,480 --> 00:19:19,383 أعني أنه من المطمئن أنهم يفعلون ذلك، ولكن من الغريب مدى اختلاف 238 -00:19:18,649 --> 00:19:22,939 +00:19:19,383 --> 00:19:23,287 طريقة التفكير عندما تتنقل عبر كثير الحدود هذا مقابل عندما تفكر 239 -00:19:22,939 --> 00:19:26,820 +00:19:23,287 --> 00:19:26,820 هندسيًا حول ما يجب أن تعنيه السرعة المتعامدة مع موضع ما. 240 @@ -979,19 +979,19 @@ t sin t، ويخبرنا العمود الثاني أنه يأخذ متجه ال وهي طريقة أخرى لوصف ما يفعله إعداد روميو-جولييت بعد وحدات pi من الزمن. 246 -00:19:54,040 --> 00:19:57,441 +00:19:54,040 --> 00:19:57,752 كما نعلم الآن، فإن هذا له تأثير تدوير كل شيء بمقدار 247 -00:19:57,441 --> 00:20:01,040 +00:19:57,752 --> 00:20:01,680 180 درجة في مساحة الحالة هذه، وهو نفس الضرب في سالب 1. 248 -00:20:01,040 --> 00:20:05,077 +00:20:03,060 --> 00:20:06,070 أيضًا، بالنسبة لأي منكم على دراية بأسس الأعداد التخيلية، من 249 -00:20:05,077 --> 00:20:08,980 +00:20:06,070 --> 00:20:08,980 المحتمل أن يكون هذا المثال بالتحديد بمثابة طن من الأجراس. 250 @@ -1179,19 +1179,19 @@ e إلى mt يصف الدوران في هذه الحالة، والذي يتما لكن في هذا المثال، يبدو التدفق على طول الحقل مختلفًا كثيرًا عما كان عليه من قبل. 296 -00:24:19,200 --> 00:24:23,086 +00:24:19,200 --> 00:24:23,316 إذا انطلق روميو وجولييت من أي مكان في النصف الأيمن العلوي من المستوى، 297 -00:24:23,086 --> 00:24:26,640 +00:24:23,316 --> 00:24:27,080 فسوف تتغذى مشاعرهما من بعضهما البعض ويميل كلاهما نحو اللانهاية. 298 -00:24:26,640 --> 00:24:31,849 +00:24:30,580 --> 00:24:33,785 إذا كانوا في النصف الآخر من الطائرة، حسنًا، دعنا نقول فقط 299 -00:24:31,849 --> 00:24:36,880 +00:24:33,785 --> 00:24:36,880 أنهم يظلون أكثر إخلاصًا لتقاليد عائلة كابوليت ومونتاجو. 300 diff --git a/2021/matrix-exponents/chinese/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/chinese/auto_generated.srt index 0cf92123c..4363e1f64 100644 --- a/2021/matrix-exponents/chinese/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/chinese/auto_generated.srt @@ -227,19 +227,19 @@ e 多次乘以自 身的奇怪方法。 在这种情况下，幂仍然意味着您所 期望的，重复乘法。 58 -00:03:53,840 --> 00:03:58,429 +00:03:53,840 --> 00:03:58,700 该多项式中的每一项都按 1 除以某个 阶乘进行缩放， 59 -00:03:58,429 --> 00:04:01,960 +00:03:58,700 --> 00:04:02,440 对于矩阵，这意味着将每个分量乘以该数字。 60 -00:04:01,960 --> 00:04:05,721 +00:04:03,280 --> 00:04:06,318 同样，将两个矩阵相加总是有意义的， 61 -00:04:05,721 --> 00:04:08,820 +00:04:06,318 --> 00:04:08,820 这是您再次逐项执行 的操作。 62 @@ -263,11 +263,11 @@ e 多次乘以自 身的奇怪方法。 为负 且 pi 位于其对角线条目之外。 67 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 让我们看看总和给出了什么。 68 -00:04:26,200 --> 00:04:33,520 +00:04:27,280 --> 00:04:33,520 第一项是单位矩 阵，这实际上就是我们将矩阵求零次方时的定义。 69 @@ -395,51 +395,51 @@ e 多次乘以自 身的奇怪方法。 一个涉及关系，另一个涉及量子力学。 100 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 让我们从人际关系开始。 101 -00:06:38,540 --> 00:06:44,867 +00:06:43,080 --> 00:06:47,756 假设我们有两个恋人，我们称他们为罗密欧和朱丽叶， 102 -00:06:44,867 --> 00:06:49,349 +00:06:47,756 --> 00:06:51,068 让 x 代表 朱丽叶对罗密欧的爱， 103 -00:06:49,349 --> 00:06:55,940 +00:06:51,068 --> 00:06:55,940 y 代表他对她的爱，这两个值都将随着时 间而变化。 104 -00:06:56,900 --> 00:06:58,895 +00:06:56,900 --> 00:06:59,017 这是我们在第一章中实际触及的一个示例， 105 -00:06:58,895 --> 00:07:01,414 +00:06:59,017 --> 00:07:01,691 基于 Steven Strog atz 的文章， 106 -00:07:01,414 --> 00:07:02,780 +00:07:01,691 --> 00:07:03,140 但如果您没有看到也没关系。 107 -00:07:02,780 --> 00:07:08,870 +00:07:03,580 --> 00:07:08,679 他们的关系的运作方式是，朱 丽叶对罗密欧的爱的变化 108 -00:07:08,870 --> 00:07:14,960 +00:07:08,679 --> 00:07:13,780 率（该值的导数）等于罗密欧对她的 爱的负 1 倍。 109 -00:07:14,960 --> 00:07:18,825 +00:07:14,560 --> 00:07:18,582 换句话说，当罗密欧表现出冷静 的不感兴趣时， 110 -00:07:18,825 --> 00:07:22,867 +00:07:18,582 --> 00:07:22,788 朱丽叶的感情就会增加，而如 果他变得过于痴迷， 111 -00:07:22,867 --> 00:07:24,800 +00:07:22,788 --> 00:07:24,800 她的兴趣就会开始消退。 112 @@ -527,23 +527,23 @@ y 代表他对她的爱，这两个值都将随着时 间而变化。 将它们打包在一起作为高维空间中单个点的坐 标会很有帮助。 133 -00:08:58,800 --> 00:09:03,427 +00:08:58,800 --> 00:09:03,935 因此，对于罗密欧和朱丽叶，将他们的关系视为 2D 134 -00:09:03,427 --> 00:09:07,313 +00:09:03,935 --> 00:09:08,249 空间中的一个点，x 坐标捕捉朱丽叶的感受， 135 -00:09:07,313 --> 00:09:09,720 +00:09:08,249 --> 00:09:10,920 y 坐标捕捉罗密欧的感受。 136 -00:09:09,720 --> 00:09:15,400 +00:09:13,200 --> 00:09:16,560 有时将这种状态描绘为从原点出发的箭头会很有帮助， 137 -00:09:15,400 --> 00:09:18,240 +00:09:16,560 --> 00:09:18,240 有时则将其描绘为一个点。 138 @@ -591,35 +591,35 @@ y 的变化率为 x。 始向量 xy 的乘积。 149 -00:10:02,080 --> 00:10:06,700 +00:10:02,080 --> 00:10:06,940 顶行编码朱丽叶规则，底行编码罗 密欧规则。 150 -00:10:06,700 --> 00:10:14,574 +00:10:07,800 --> 00:10:12,357 所以我们这里有一个微分方程，告诉我们某个向 151 -00:10:14,574 --> 00:10:20,660 +00:10:12,357 --> 00:10:15,880 量的变化率等于某个矩阵乘以它本身。 152 -00:10:20,660 --> 00:10:25,016 +00:10:19,120 --> 00:10:23,245 稍后我们将讨论矩阵 求幂如何求解此类方程，但在此之前， 153 -00:10:25,016 --> 00:10:29,856 +00:10:23,245 --> 00:10:27,830 让我向您展示一种更简单的方 法，我们可以求解这个特定的系统， 154 -00:10:29,856 --> 00:10:34,535 +00:10:27,830 --> 00:10:32,261 该系统使用纯几何，它有助于 为可视化矩阵奠定基础稍后再计算 155 -00:10:34,535 --> 00:10:35,020 +00:10:32,261 --> 00:10:32,720 指数。 156 -00:10:35,020 --> 00:10:37,380 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 我们系统中的这个矩阵是一个 9 0 度旋转矩阵。 157 @@ -659,31 +659,31 @@ y 的变化率为 x。 这两个基本结果的结果。 166 -00:11:17,720 --> 00:11:20,940 +00:11:17,720 --> 00:11:21,087 因此，回顾我们系统中的矩阵，请注意我们如何 167 -00:11:20,940 --> 00:11:24,015 +00:11:21,087 --> 00:11:24,301 从其列中得知它将第一个基向量设为 0 1， 168 -00:11:24,015 --> 00:11:27,821 +00:11:24,301 --> 00:11:28,281 将第二个基向量设为负 1 0，因此我将其称为 90 169 -00:11:27,821 --> 00:11:28,700 +00:11:28,281 --> 00:11:29,200 度旋转矩阵。 170 -00:11:28,700 --> 00:11:31,866 +00:11:30,880 --> 00:11:33,525 对于我们的方程来说，它意味着无 171 -00:11:31,866 --> 00:11:36,220 +00:11:33,525 --> 00:11:37,164 论罗密欧和朱丽叶在这个状态空间中的什么位置， 172 -00:11:36,220 --> 00:11:41,960 +00:11:37,164 --> 00:11:41,960 它们的变化率都必须看起来像 这个位置向量的 90 度旋转。 173 @@ -759,23 +759,23 @@ t sin t，第二列告诉 我们， 始状态。 191 -00:13:00,120 --> 00:13:04,158 +00:13:00,120 --> 00:13:04,491 你们当中活跃的观众可能也会喜欢花点时间停下来确认一下， 192 -00:13:04,158 --> 00:13:07,749 +00:13:04,491 --> 00:13:08,377 您从 中得到的 x of t 和 y of t 193 -00:13:07,749 --> 00:13:11,040 +00:13:08,377 --> 00:13:11,940 的显式公式确实 满足我们开始时的微分方程组。 194 -00:13:11,040 --> 00:13:18,520 +00:13:17,740 --> 00:13:21,870 您的数学家可能想知道是否不仅可 以求解这个特定的系统， 195 -00:13:18,520 --> 00:13:26,000 +00:13:21,870 --> 00:13:26,000 还可以求解任何其他矩阵的类似方程， 无论其系数是什么。 196 @@ -795,19 +795,19 @@ t sin t，第二列告诉 我们， 而另一 方面，计算矩阵指数如何让您显式地求解这个方程。 200 -00:13:46,520 --> 00:13:50,186 +00:13:46,520 --> 00:13:50,388 一个不那么异想天开的例子是薛定谔著名的方程， 201 -00:13:50,186 --> 00:13:54,520 +00:13:50,388 --> 00:13:54,960 它是描述 量子力学中的系统如何随时间变化的基本方程。 202 -00:13:54,520 --> 00:13:58,787 +00:13:55,680 --> 00:13:59,313 它看起来相当 吓人，我的意思是它是量子力学，所以它当然会， 203 -00:13:58,787 --> 00:14:02,320 +00:13:59,313 --> 00:14:02,320 但它实际上与罗密欧与 朱丽叶的设置没有什么不同。 204 @@ -883,15 +883,15 @@ t sin t，第二列告诉 我们， 这本身就是一个非常重要的方程。 222 -00:15:11,700 --> 00:15:15,560 +00:15:11,700 --> 00:15:16,300 当值的变化率与值本身成正比 时，这是一个非常强大的概念。 223 -00:15:15,560 --> 00:15:22,171 +00:15:16,760 --> 00:15:22,782 这是控制诸如复利、有 限资源影响之前人口增长的早期阶段、 224 -00:15:22,171 --> 00:15:29,020 +00:15:22,782 --> 00:15:29,020 或者大多数人 口易受影响时流行病的早期阶段等事物的方程式。 225 @@ -1079,27 +1079,27 @@ t sin t，第二列告诉 我们， 对我来说，这是非常美丽的。 271 -00:19:09,680 --> 00:19:12,708 +00:19:09,680 --> 00:19:12,992 我们对同一个系统有两种完全不同的推理方 式， 272 -00:19:12,708 --> 00:19:14,360 +00:19:12,992 --> 00:19:14,800 它们给了我们相同的答案。 273 -00:19:14,360 --> 00:19:17,744 +00:19:15,480 --> 00:19:18,560 我的意思是，他们确实这么做了，这 让人放心， 274 -00:19:17,744 --> 00:19:21,897 +00:19:18,560 --> 00:19:22,340 但当你苦苦思考这个多项式时，与你用几何推理垂直于某个 275 -00:19:21,897 --> 00:19:25,589 +00:19:22,340 --> 00:19:25,699 位置的速度必然意味着什么时，思维模式是多么不同， 276 -00:19:25,589 --> 00:19:26,820 +00:19:25,699 --> 00:19:26,820 这是多么的不同。 277 @@ -1131,19 +1131,19 @@ t sin t，第二列告诉 我们， 单位时间后执行的操作的另一种方式。 284 -00:19:54,040 --> 00:19:57,977 +00:19:54,040 --> 00:19:58,337 正如我们现在所知，这会产生将状态空间中的所有物体旋转 285 -00:19:57,977 --> 00:20:01,040 +00:19:58,337 --> 00:20:01,680 180 度 的效果，这与乘以负 1 相同。 286 -00:20:01,040 --> 00:20:05,117 +00:20:03,060 --> 00:20:06,100 另外，对于任何熟悉虚数指数的 人来说， 287 -00:20:05,117 --> 00:20:08,980 +00:20:06,100 --> 00:20:08,980 这个特殊的例子可能会引起人们的注意。 288 @@ -1355,19 +1355,19 @@ v 并附加向量 m 乘以 v。 但对于这个例子，沿场的流动看起来与之前有很大不同。 340 -00:24:19,200 --> 00:24:23,243 +00:24:19,200 --> 00:24:23,482 如果罗密欧和朱丽叶从平面右上半部的任何地方开始 ， 341 -00:24:23,243 --> 00:24:26,640 +00:24:23,482 --> 00:24:27,080 他们的感情就会相互影响，并且都趋向于无限。 342 -00:24:26,640 --> 00:24:34,132 +00:24:30,580 --> 00:24:35,189 如果他们在飞机的另一半，那么我们只能说他们更加忠实于凯普莱 343 -00:24:34,132 --> 00:24:36,880 +00:24:35,189 --> 00:24:36,880 特和蒙塔古家族的传统。 344 diff --git a/2021/matrix-exponents/french/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/french/auto_generated.srt index 0996afe11..8cf05f5ba 100644 --- a/2021/matrix-exponents/french/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/french/auto_generated.srt @@ -263,23 +263,23 @@ Dans ce contexte, les puissances signifient toujours exactement ce à quoi on pourrait s’attendre : une multiplication répétée. 67 -00:03:53,840 --> 00:03:57,666 +00:03:53,840 --> 00:03:57,892 Chaque terme de ce polynôme est mis à l'échelle par 1 divisé par une factorielle, 68 -00:03:57,666 --> 00:04:01,633 +00:03:57,892 --> 00:04:02,094 et avec les matrices, tout cela signifie que vous multipliez chaque composant par ce 69 -00:04:01,633 --> 00:04:01,960 +00:04:02,094 --> 00:04:02,440 nombre. 70 -00:04:01,960 --> 00:04:05,744 +00:04:03,280 --> 00:04:06,336 De même, il est toujours judicieux d’additionner deux matrices, 71 -00:04:05,744 --> 00:04:08,820 +00:04:06,336 --> 00:04:08,820 c’est quelque chose que l’on refait terme par terme. 72 @@ -303,15 +303,15 @@ mais je peux vous montrer un exemple assez amusant ici maintenant. Prenez cette matrice 2x2 qui a des pi et pi négatifs en dehors de ses entrées diagonales. 77 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 Voyons ce que donne la somme. 78 -00:04:26,200 --> 00:04:29,730 +00:04:27,280 --> 00:04:30,289 Le premier terme est la matrice identité, c'est en fait ce que l'on 79 -00:04:29,730 --> 00:04:33,520 +00:04:30,289 --> 00:04:33,520 entend par définition lorsque l'on élève une matrice à la puissance zéro. 80 @@ -467,55 +467,55 @@ deux me viennent à l’esprit. L’un concerne les relations et l’autre la mécanique quantique. 118 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 Commençons par les relations. 119 -00:06:38,540 --> 00:06:43,905 +00:06:43,080 --> 00:06:47,045 Supposons que nous ayons deux amants, appelons-les Roméo et Juliette, 120 -00:06:43,905 --> 00:06:48,351 +00:06:47,045 --> 00:06:50,331 et laissons x représenter l'amour de Juliette pour Roméo, 121 -00:06:48,351 --> 00:06:54,177 +00:06:50,331 --> 00:06:54,637 et y représente son amour pour elle, qui seront toutes deux des valeurs qui 122 -00:06:54,177 --> 00:06:55,940 +00:06:54,637 --> 00:06:55,940 changent avec le temps. 123 -00:06:56,900 --> 00:06:59,267 +00:06:56,900 --> 00:06:59,412 Il s'agit d'un exemple que nous avons abordé au chapitre 1, 124 -00:06:59,267 --> 00:07:02,780 +00:06:59,412 --> 00:07:03,140 basé sur un article de Steven Strogatz, mais ce n'est pas grave si vous ne l'avez pas vu. 125 -00:07:02,780 --> 00:07:06,667 +00:07:03,580 --> 00:07:06,835 La façon dont fonctionne leur relation est que la vitesse à 126 -00:07:06,667 --> 00:07:09,777 +00:07:06,835 --> 00:07:09,439 laquelle l'amour de Juliette pour Roméo change, 127 -00:07:09,777 --> 00:07:14,960 +00:07:09,439 --> 00:07:13,780 la dérivée de cette valeur, est égale à moins 1 fois l'amour de Roméo pour elle. 128 -00:07:14,960 --> 00:07:18,028 +00:07:14,560 --> 00:07:17,753 En d’autres termes, lorsque Roméo exprime un désintérêt froid, 129 -00:07:18,028 --> 00:07:21,146 +00:07:17,753 --> 00:07:20,998 c’est à ce moment-là que les sentiments de Juliette augmentent, 130 -00:07:21,146 --> 00:07:24,800 +00:07:20,998 --> 00:07:24,800 tandis que s’il devient trop amoureux, son intérêt commencera à s’estomper. 131 @@ -627,23 +627,23 @@ il est utile de les regrouper sous forme de coordonnées d'un seul point dans un espace de dimension supérieure. 158 -00:08:58,800 --> 00:09:04,083 +00:08:58,800 --> 00:09:04,664 Ainsi, pour Roméo et Juliette, considérez leur relation comme un point dans un espace 2D, 159 -00:09:04,083 --> 00:09:07,547 +00:09:04,664 --> 00:09:08,509 la coordonnée x capturant les sentiments de Juliette et la 160 -00:09:07,547 --> 00:09:09,720 +00:09:08,509 --> 00:09:10,920 coordonnée y capturant ceux de Roméo. 161 -00:09:09,720 --> 00:09:15,618 +00:09:13,200 --> 00:09:16,689 Parfois, il est utile d'imaginer cet état comme une flèche partant de l'origine, 162 -00:09:15,618 --> 00:09:18,240 +00:09:16,689 --> 00:09:18,240 d'autres fois comme un simple point. 163 @@ -699,35 +699,35 @@ nous pourrions réécrire le côté droit de cette équation comme un produit de matrice avec le vecteur d'origine xy. 176 -00:10:02,080 --> 00:10:06,700 +00:10:02,080 --> 00:10:06,940 La rangée du haut code la règle de Juliette et la rangée du bas code la règle de Roméo. 177 -00:10:06,700 --> 00:10:13,548 +00:10:07,800 --> 00:10:11,763 Nous avons donc ici une équation différentielle nous indiquant que le taux de 178 -00:10:13,548 --> 00:10:20,660 +00:10:11,763 --> 00:10:15,880 changement d’un vecteur est égal à une certaine matrice multipliée par elle-même. 179 -00:10:20,660 --> 00:10:24,260 +00:10:19,120 --> 00:10:22,530 Dans un instant, nous parlerons de la façon dont l'exponentiation matricielle résout 180 -00:10:24,260 --> 00:10:27,903 +00:10:22,530 --> 00:10:25,980 ce type d'équation, mais avant cela, laissez-moi vous montrer une manière plus simple 181 -00:10:27,903 --> 00:10:31,249 +00:10:25,980 --> 00:10:29,149 de résoudre ce système particulier, une méthode qui utilise la géométrie pure, 182 -00:10:31,249 --> 00:10:35,020 +00:10:29,149 --> 00:10:32,720 et qui aide à préparer le terrain pour visualiser la matrice. exposants un peu plus tard. 183 -00:10:35,020 --> 00:10:37,380 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 Cette matrice de notre système est une matrice de rotation de 90 degrés. 184 @@ -771,31 +771,31 @@ La façon dont il agit sur tout autre vecteur est le résultat de la mise à l' et de l'addition de ces deux résultats de base par les coordonnées de ce vecteur. 194 -00:11:17,720 --> 00:11:21,466 +00:11:17,720 --> 00:11:21,636 En regardant la matrice de notre système, remarquez comment, à partir de ses colonnes, 195 -00:11:21,466 --> 00:11:25,169 +00:11:21,636 --> 00:11:25,508 nous pouvons dire qu'elle prend le premier vecteur de base à 0 1 et le second à moins 196 -00:11:25,169 --> 00:11:28,700 +00:11:25,508 --> 00:11:29,200 1 0, d'où la raison pour laquelle je l'appelle la matrice de rotation à 90 degrés. 197 -00:11:28,700 --> 00:11:33,159 +00:11:30,880 --> 00:11:34,606 Ce que cela signifie pour notre équation, c'est qu'elle dit que partout où 198 -00:11:33,159 --> 00:11:36,370 +00:11:34,606 --> 00:11:37,289 Roméo et Juliette se trouvent dans cet espace d'état, 199 -00:11:36,370 --> 00:11:40,770 +00:11:37,289 --> 00:11:40,966 leur taux de changement doit ressembler à une rotation de 90 degrés de ce 200 -00:11:40,770 --> 00:11:41,960 +00:11:40,966 --> 00:11:41,960 vecteur de position. 201 @@ -871,31 +871,31 @@ Juliette après t unités de temps, vous pouvez multiplier cette matrice par leu initial. 219 -00:13:00,120 --> 00:13:02,811 +00:13:00,120 --> 00:13:03,033 Les spectateurs actifs parmi vous apprécieront peut-être également de 220 -00:13:02,811 --> 00:13:05,464 +00:13:03,033 --> 00:13:05,905 prendre un moment pour faire une pause et confirmer que les formules 221 -00:13:05,464 --> 00:13:08,310 +00:13:05,905 --> 00:13:08,985 explicites que vous en retirez pour x de t et y de t satisfont réellement 222 -00:13:08,310 --> 00:13:11,040 +00:13:08,985 --> 00:13:11,940 le système d'équations différentielles avec lequel nous avons commencé. 223 -00:13:11,040 --> 00:13:16,208 +00:13:17,740 --> 00:13:20,593 Le mathématicien en vous pourrait se demander s'il est possible de résoudre 224 -00:13:16,208 --> 00:13:21,172 +00:13:20,593 --> 00:13:23,334 non seulement ce système spécifique, mais aussi des équations similaires 225 -00:13:21,172 --> 00:13:26,000 +00:13:23,334 --> 00:13:26,000 pour n'importe quelle autre matrice, quels que soient ses coefficients. 226 @@ -919,27 +919,27 @@ comme e élevé en matrice, et d'un autre côté, comment être capable de calcu les exposants de la matrice vous permet de résoudre explicitement cette équation. 231 -00:13:46,520 --> 00:13:49,770 +00:13:46,520 --> 00:13:49,948 Un exemple beaucoup moins fantaisiste est la célèbre équation de Schrödinger, 232 -00:13:49,770 --> 00:13:52,395 +00:13:49,948 --> 00:13:52,718 qui est l’équation fondamentale décrivant comment les systèmes 233 -00:13:52,395 --> 00:13:54,520 +00:13:52,718 --> 00:13:54,960 de la mécanique quantique évoluent au fil du temps. 234 -00:13:54,520 --> 00:13:57,857 +00:13:55,680 --> 00:13:58,520 Cela semble assez intimidant, et je veux dire que c'est de la mécanique quantique, 235 -00:13:57,857 --> 00:14:00,269 +00:13:58,520 --> 00:14:00,574 donc bien sûr, ce sera le cas, mais ce n'est en fait pas si 236 -00:14:00,269 --> 00:14:02,320 +00:14:00,574 --> 00:14:02,320 différent de la configuration de Roméo et Juliette. 237 @@ -1035,31 +1035,31 @@ dimensionnelle plus élevée, les graphiques sont beaucoup moins utiles. Il s’agit d’une équation très importante en soi. 260 -00:15:11,700 --> 00:15:13,749 +00:15:11,700 --> 00:15:14,142 C'est un concept très puissant lorsque le taux de variation 261 -00:15:13,749 --> 00:15:15,560 +00:15:14,142 --> 00:15:16,300 d'une valeur est proportionnel à la valeur elle-même. 262 -00:15:15,560 --> 00:15:18,757 +00:15:16,760 --> 00:15:19,672 C’est l’équation qui régit des choses comme les intérêts composés, 263 -00:15:18,757 --> 00:15:22,003 +00:15:19,672 --> 00:15:22,629 ou les premiers stades de la croissance démographique avant que les 264 -00:15:22,003 --> 00:15:24,342 +00:15:22,629 --> 00:15:24,759 effets de ressources limitées ne se manifestent, 265 -00:15:24,342 --> 00:15:27,635 +00:15:24,759 --> 00:15:27,759 ou les premiers stades d’une épidémie alors que la majeure partie de 266 -00:15:27,635 --> 00:15:29,020 +00:15:27,759 --> 00:15:29,020 la population est vulnérable. 267 @@ -1275,27 +1275,27 @@ la matrice de rotation que nous avions auparavant. Pour moi, c'est extrêmement beau. 320 -00:19:09,680 --> 00:19:12,902 +00:19:09,680 --> 00:19:13,205 Nous avons deux manières complètement différentes de raisonner sur le même système, 321 -00:19:12,902 --> 00:19:14,360 +00:19:13,205 --> 00:19:14,800 et elles nous donnent la même réponse. 322 -00:19:14,360 --> 00:19:16,580 +00:19:15,480 --> 00:19:17,500 Je veux dire, c'est rassurant qu'ils le fassent, 323 -00:19:16,580 --> 00:19:19,706 +00:19:17,500 --> 00:19:20,345 mais il est fou de voir à quel point le mode de pensée est différent 324 -00:19:19,706 --> 00:19:22,968 +00:19:20,345 --> 00:19:23,314 lorsque vous parcourez ce polynôme par rapport à lorsque vous raisonnez 325 -00:19:22,968 --> 00:19:26,820 +00:19:23,314 --> 00:19:26,820 géométriquement sur ce que doit impliquer une vitesse perpendiculaire à une position. 326 @@ -1335,19 +1335,19 @@ ce qui est une autre façon de décrire ce que fait la configuration Roméo-Juliette après pi unités de temps. 335 -00:19:54,040 --> 00:19:57,517 +00:19:54,040 --> 00:19:57,835 Comme nous le savons maintenant, cela a pour effet de tout faire pivoter de 336 -00:19:57,517 --> 00:20:01,040 +00:19:57,835 --> 00:20:01,680 180 degrés dans cet espace d’états, ce qui équivaut à multiplier par moins 1. 337 -00:20:01,040 --> 00:20:05,087 +00:20:03,060 --> 00:20:06,078 De plus, pour tous ceux d’entre vous qui connaissent les exposants de nombres 338 -00:20:05,087 --> 00:20:08,980 +00:20:06,078 --> 00:20:08,980 imaginaires, cet exemple particulier sonne probablement beaucoup de choses. 339 @@ -1611,19 +1611,19 @@ Mais pour cet exemple, le flux le long du champ est très différent de ce qu’il était auparavant. 404 -00:24:19,200 --> 00:24:22,983 +00:24:19,200 --> 00:24:23,206 Si Roméo et Juliette commencent n'importe où dans cette moitié supérieure droite du plan, 405 -00:24:22,983 --> 00:24:26,640 +00:24:23,206 --> 00:24:27,080 leurs sentiments se nourriront l'un de l'autre et ils tendront tous deux vers l'infini. 406 -00:24:26,640 --> 00:24:31,685 +00:24:30,580 --> 00:24:33,684 S'ils sont dans l'autre moitié de l'avion, disons simplement qu'ils 407 -00:24:31,685 --> 00:24:36,880 +00:24:33,684 --> 00:24:36,880 restent plus fidèles à leurs traditions familiales Capulet et Montagu. 408 diff --git a/2021/matrix-exponents/german/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/german/auto_generated.srt index 74846a6f7..db90dc881 100644 --- a/2021/matrix-exponents/german/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/german/auto_generated.srt @@ -275,23 +275,23 @@ In diesem Zusammenhang bedeuten Potenzen immer noch genau das, was man erwarten würde: wiederholte Multiplikation. 70 -00:03:53,840 --> 00:03:57,559 +00:03:53,840 --> 00:03:57,779 Jeder Term in diesem Polynom wird durch 1 dividiert durch eine Fakultät skaliert, 71 -00:03:57,559 --> 00:04:01,279 +00:03:57,779 --> 00:04:01,719 und bei Matrizen bedeutet das lediglich, dass Sie jede Komponente mit dieser Zahl 72 -00:04:01,279 --> 00:04:01,960 +00:04:01,719 --> 00:04:02,440 multiplizieren. 73 -00:04:01,960 --> 00:04:06,076 +00:04:03,280 --> 00:04:06,604 Ebenso ist es immer sinnvoll, zwei Matrizen zu addieren, 74 -00:04:06,076 --> 00:04:08,820 +00:04:06,604 --> 00:04:08,820 dies geschieht wiederum Term für Term. 75 @@ -319,15 +319,15 @@ Nehmen Sie diese 2x2-Matrix, bei der negative Pi und Pi außerhalb ihrer diagonalen Einträge liegen. 81 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 Mal sehen, was die Summe ergibt. 82 -00:04:26,200 --> 00:04:29,357 +00:04:27,280 --> 00:04:29,971 Der erste Term ist die Identitätsmatrix. Dies ist eigentlich das, 83 -00:04:29,357 --> 00:04:33,520 +00:04:29,971 --> 00:04:33,520 was wir unter Definition verstehen, wenn wir eine Matrix auf die nullte Potenz erheben. 84 @@ -491,51 +491,51 @@ fallen mir zwei ein. Bei dem einen geht es um Beziehungen, bei dem anderen um Quantenmechanik. 124 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 Beginnen wir mit Beziehungen. 125 -00:06:38,540 --> 00:06:45,029 +00:06:43,080 --> 00:06:47,876 Angenommen, wir haben zwei Liebende, nennen wir sie Romeo und Julia, 126 -00:06:45,029 --> 00:06:51,425 +00:06:47,876 --> 00:06:52,603 und x steht für Julias Liebe zu Romeo und y für seine Liebe zu ihr. 127 -00:06:51,425 --> 00:06:55,940 +00:06:52,603 --> 00:06:55,940 Beides sind Werte, die sich mit der Zeit ändern. 128 -00:06:56,900 --> 00:06:58,660 +00:06:56,900 --> 00:06:58,768 Dies ist ein Beispiel, das wir tatsächlich in Kapitel 1 129 -00:06:58,660 --> 00:07:00,987 +00:06:58,768 --> 00:07:01,237 angesprochen haben und das auf einem Artikel von Steven Strogatz basiert, 130 -00:07:00,987 --> 00:07:02,780 +00:07:01,237 --> 00:07:03,140 aber es ist in Ordnung, wenn Sie das nicht gesehen haben. 131 -00:07:02,780 --> 00:07:08,973 +00:07:03,580 --> 00:07:08,766 Ihre Beziehung funktioniert so, dass die Rate, mit der sich Julias Liebe zu Romeo ändert, 132 -00:07:08,973 --> 00:07:14,960 +00:07:08,766 --> 00:07:13,780 die Ableitung dieses Wertes, dem negativen 1-fachen von Romeos Liebe zu ihr entspricht. 133 -00:07:14,960 --> 00:07:18,962 +00:07:14,560 --> 00:07:18,725 Mit anderen Worten: Wenn Romeo kühles Desinteresse zum Ausdruck bringt, 134 -00:07:18,962 --> 00:07:22,743 +00:07:18,725 --> 00:07:22,659 verstärken sich Julias Gefühle, wohingegen ihr Interesse nachlässt, 135 -00:07:22,743 --> 00:07:24,800 +00:07:22,659 --> 00:07:24,800 wenn er sich zu sehr in ihn verliebt. 136 @@ -655,23 +655,23 @@ sie als Koordinaten eines einzelnen Punktes in einem höherdimensionalen Raum zusammenzufassen. 165 -00:08:58,800 --> 00:09:02,477 +00:08:58,800 --> 00:09:02,881 Stellen Sie sich die Beziehung von Romeo und Julia also als einen 166 -00:09:02,477 --> 00:09:06,154 +00:09:02,881 --> 00:09:06,962 Punkt in einem zweidimensionalen Raum vor, wobei die X-Koordinate 167 -00:09:06,154 --> 00:09:09,720 +00:09:06,962 --> 00:09:10,920 Julias Gefühle und die Y-Koordinate die Gefühle Romeos einfängt. 168 -00:09:09,720 --> 00:09:16,239 +00:09:13,200 --> 00:09:17,056 Manchmal ist es hilfreich, sich diesen Zustand als Pfeil vom Ursprung aus vorzustellen, 169 -00:09:16,239 --> 00:09:18,240 +00:09:17,056 --> 00:09:18,240 manchmal einfach als Punkt. 170 @@ -723,39 +723,39 @@ Auf diese Weise als Vektoren aufgestellt, könnten wir die rechte Seite dieser Gleichung als Produkt dieser Matrix mit dem ursprünglichen Vektor xy umschreiben. 182 -00:10:02,080 --> 00:10:06,700 +00:10:02,080 --> 00:10:06,940 Die obere Reihe kodiert Julias Herrschaft und die untere Reihe kodiert Romeos Herrschaft. 183 -00:10:06,700 --> 00:10:12,933 +00:10:07,800 --> 00:10:11,408 Was wir hier also haben, ist eine Differentialgleichung, die uns sagt, 184 -00:10:12,933 --> 00:10:20,660 +00:10:11,408 --> 00:10:15,880 dass die Änderungsrate eines Vektors gleich einer bestimmten Matrix mal sich selbst ist. 185 -00:10:20,660 --> 00:10:24,312 +00:10:19,120 --> 00:10:22,579 Gleich werden wir darüber sprechen, wie die Matrixpotenzierung diese Art von Gleichung 186 -00:10:24,312 --> 00:10:27,042 +00:10:22,579 --> 00:10:25,164 löst, aber vorher möchte ich Ihnen einen einfacheren Weg zeigen, 187 -00:10:27,042 --> 00:10:29,267 +00:10:25,164 --> 00:10:27,272 wie wir dieses spezielle System lösen können, einen, 188 -00:10:29,267 --> 00:10:31,241 +00:10:27,272 --> 00:10:29,141 der reine Geometrie verwendet und dabei hilft, 189 -00:10:31,241 --> 00:10:35,020 +00:10:29,141 --> 00:10:32,720 die Voraussetzungen für die Visualisierung der Matrix zu schaffen Exponenten etwas später. 190 -00:10:35,020 --> 00:10:37,380 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 Diese Matrix aus unserem System ist eine 90-Grad-Rotationsmatrix. 191 @@ -799,31 +799,31 @@ ist ein Ergebnis der Skalierung und Addition dieser beiden Basisergebnisse anhan Koordinaten dieses Vektors. 201 -00:11:17,720 --> 00:11:20,789 +00:11:17,720 --> 00:11:20,928 Wenn wir also auf die Matrix unseres Systems zurückblicken, sehen wir, 202 -00:11:20,789 --> 00:11:24,420 +00:11:20,928 --> 00:11:24,725 wie wir anhand ihrer Spalten erkennen können, dass der erste Basisvektor den Wert 0 203 -00:11:24,420 --> 00:11:26,538 +00:11:24,725 --> 00:11:26,940 1 und der zweite den negativen Wert 1 0 annimmt, 204 -00:11:26,538 --> 00:11:28,700 +00:11:26,940 --> 00:11:29,200 weshalb ich sie die 90-Grad-Rotationsmatrix nenne. 205 -00:11:28,700 --> 00:11:32,535 +00:11:30,880 --> 00:11:34,084 Was es für unsere Gleichung bedeutet, ist, dass es besagt, 206 -00:11:32,535 --> 00:11:36,630 +00:11:34,084 --> 00:11:37,506 wo immer sich Romeo und Julia in diesem Zustandsraum befinden, 207 -00:11:36,630 --> 00:11:41,960 +00:11:37,506 --> 00:11:41,960 ihre Änderungsrate wie eine 90-Grad-Drehung dieses Positionsvektors aussehen muss. 208 @@ -907,31 +907,31 @@ wo Romeo und Julia nach t Zeiteinheiten landen, können Sie diese Matrix mit ihrem Anfangszustand multiplizieren. 228 -00:13:00,120 --> 00:13:02,840 +00:13:00,120 --> 00:13:03,064 Die aktiven Zuschauer unter Ihnen werden es vielleicht auch genießen, 229 -00:13:02,840 --> 00:13:05,716 +00:13:03,064 --> 00:13:06,177 einen Moment innezuhalten und zu bestätigen, dass die expliziten Formeln, 230 -00:13:05,716 --> 00:13:07,620 +00:13:06,177 --> 00:13:08,238 die Sie daraus für x von t und y von t erhalten, 231 -00:13:07,620 --> 00:13:11,040 +00:13:08,238 --> 00:13:11,940 tatsächlich das System der Differentialgleichungen erfüllen, mit dem wir begonnen haben. 232 -00:13:11,040 --> 00:13:16,126 +00:13:17,740 --> 00:13:20,548 Der Mathematiker in Ihnen fragt sich vielleicht, ob es möglich ist, 233 -00:13:16,126 --> 00:13:20,913 +00:13:20,548 --> 00:13:23,191 nicht nur dieses spezielle System, sondern ähnliche Gleichungen 234 -00:13:20,913 --> 00:13:26,000 +00:13:23,191 --> 00:13:26,000 für jede andere Matrix zu lösen, unabhängig von ihren Koeffizienten. 235 @@ -963,27 +963,27 @@ wie Sie diese Gleichung explizit lösen können, indem Sie Matrixexponenten berechnen können. 242 -00:13:46,520 --> 00:13:49,676 +00:13:46,520 --> 00:13:49,850 Ein viel weniger skurriles Beispiel ist Schrödingers berühmte Gleichung, 243 -00:13:49,676 --> 00:13:52,314 +00:13:49,850 --> 00:13:52,633 die grundlegende Gleichung, die beschreibt, wie sich Systeme 244 -00:13:52,314 --> 00:13:54,520 +00:13:52,633 --> 00:13:54,960 in der Quantenmechanik im Laufe der Zeit verändern. 245 -00:13:54,520 --> 00:13:56,718 +00:13:55,680 --> 00:13:57,551 Es sieht ziemlich einschüchternd aus, und ich meine, 246 -00:13:56,718 --> 00:13:59,083 +00:13:57,551 --> 00:13:59,565 es ist Quantenmechanik, also wird es das natürlich auch, 247 -00:13:59,083 --> 00:14:02,320 +00:13:59,565 --> 00:14:02,320 aber es unterscheidet sich eigentlich nicht so sehr vom Romeo-und-Julia-Setup. 248 @@ -1075,23 +1075,23 @@ wenn wir zu höherdimensionaler Varianz gelangen. Dies ist eine äußerst wichtige Gleichung für sich. 270 -00:15:11,700 --> 00:15:13,451 +00:15:11,700 --> 00:15:13,787 Es ist ein sehr wirkungsvolles Konzept, wenn die 271 -00:15:13,451 --> 00:15:15,560 +00:15:13,787 --> 00:15:16,300 Änderungsrate eines Werts proportional zum Wert selbst ist. 272 -00:15:15,560 --> 00:15:19,729 +00:15:16,760 --> 00:15:20,558 Dies ist die Gleichung, die Dinge wie Zinseszinsen oder die frühen Stadien des 273 -00:15:19,729 --> 00:15:24,269 +00:15:20,558 --> 00:15:24,692 Bevölkerungswachstums regelt, bevor die Auswirkungen begrenzter Ressourcen eintreten, 274 -00:15:24,269 --> 00:15:29,020 +00:15:24,692 --> 00:15:29,020 oder die frühen Stadien einer Epidemie, während der Großteil der Bevölkerung anfällig ist. 275 @@ -1315,27 +1315,27 @@ die wir zuvor hatten. Für mich ist das extrem schön. 330 -00:19:09,680 --> 00:19:12,743 +00:19:09,680 --> 00:19:13,031 Wir haben zwei völlig unterschiedliche Denkweisen über dasselbe System, 331 -00:19:12,743 --> 00:19:14,360 +00:19:13,031 --> 00:19:14,800 und sie geben uns die gleiche Antwort. 332 -00:19:14,360 --> 00:19:17,792 +00:19:15,480 --> 00:19:18,603 Ich meine, es ist beruhigend, dass sie das tun, aber es ist erstaunlich, 333 -00:19:17,792 --> 00:19:21,459 +00:19:18,603 --> 00:19:21,941 wie unterschiedlich die Denkweise ist, wenn man durch dieses Polynom tuckert, 334 -00:19:21,459 --> 00:19:25,597 +00:19:21,941 --> 00:19:25,707 und wenn man geometrisch darüber nachdenkt, was eine Geschwindigkeit senkrecht zu einer 335 -00:19:25,597 --> 00:19:26,820 +00:19:25,707 --> 00:19:26,820 Position implizieren muss. 336 @@ -1363,19 +1363,19 @@ Dieser Ausdruck potenziert eine 90-Grad-Rotationsmatrix mal Pi, was eine andere zu beschreiben, was der Romeo-Juliet-Aufbau nach Pi-Zeiteinheiten macht. 342 -00:19:54,040 --> 00:19:57,586 +00:19:54,040 --> 00:19:57,910 Wie wir jetzt wissen, hat dies den Effekt, dass in diesem Zustandsraum alles 343 -00:19:57,586 --> 00:20:01,040 +00:19:57,910 --> 00:20:01,680 um 180 Grad gedreht wird, was einer Multiplikation mit minus 1 gleichkommt. 344 -00:20:01,040 --> 00:20:04,888 +00:20:03,060 --> 00:20:05,929 Und für jeden unter Ihnen, der sich mit Exponenten imaginärer Zahlen auskennt, 345 -00:20:04,888 --> 00:20:08,980 +00:20:05,929 --> 00:20:08,980 wird dieses spezielle Beispiel wahrscheinlich eine Menge Alarmglocken läuten lassen. 346 @@ -1647,19 +1647,19 @@ eines Zustands immer m-mal sich selbst betragen muss. Aber in diesem Beispiel sieht die Strömung entlang des Feldes ganz anders aus als zuvor. 413 -00:24:19,200 --> 00:24:22,989 +00:24:19,200 --> 00:24:23,213 Wenn Romeo und Julia irgendwo in dieser oberen rechten Hälfte der Ebene beginnen, 414 -00:24:22,989 --> 00:24:26,640 +00:24:23,213 --> 00:24:27,080 nähren sich ihre Gefühle gegenseitig und sie tendieren beide zur Unendlichkeit. 415 -00:24:26,640 --> 00:24:32,225 +00:24:30,580 --> 00:24:34,016 Wenn sie sich in der anderen Hälfte des Flugzeugs befinden, dann sagen wir einfach, 416 -00:24:32,225 --> 00:24:36,880 +00:24:34,016 --> 00:24:36,880 dass sie ihren Familientraditionen Capulet und Montagu treuer bleiben. 417 diff --git a/2021/matrix-exponents/hebrew/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/hebrew/auto_generated.srt index a03281a5a..d0a4d436c 100644 --- a/2021/matrix-exponents/hebrew/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/hebrew/auto_generated.srt @@ -1,13 +1,13 @@ 1 -00:00:00,000 --> 00:00:05,975 +00:00:00,000 --> 00:00:05,760 תן לי לשלוף ספר לימוד ישן של משוואות דיפרנציאליות שלמדתי ממנו בקולג', 2 -00:00:05,975 --> 00:00:11,547 +00:00:05,760 --> 00:00:11,439 ובואו נפנה לתרגיל הקטן והמצחיק הזה כאן, שמבקש מהקורא לחשב E בחזקת ב, 3 -00:00:11,547 --> 00:00:17,200 +00:00:11,439 --> 00:00:17,200 שבו נאמר לנו שתהיה מטריצה , ונראה שהרמיזה היא שהתוצאות יהיו גם מטריקס. 4 @@ -191,15 +191,15 @@ בהקשר זה, חזקות עדיין אומרות בדיוק מה שהיית מצפה, כפל חוזר. 49 -00:03:53,840 --> 00:03:57,610 +00:03:53,840 --> 00:03:57,832 כל איבר בפולינום הזה מחולק ל-1 חלקי פקטוראלי כלשהו, 50 -00:03:57,610 --> 00:04:01,960 +00:03:57,832 --> 00:04:02,440 ועם מטריצות, כל מה שפירושו הוא שאתה מכפיל כל רכיב במספר הזה. 51 -00:04:01,960 --> 00:04:08,820 +00:04:03,280 --> 00:04:08,820 כמו כן, תמיד הגיוני לחבר שתי מטריצות, זה משהו שאתה שוב עושה מונח אחר מונח. 52 @@ -219,15 +219,15 @@ קח את המטריצה הזו בגודל 2x2 שיש לה פי ו-pi שליליים מחוץ לערכים האלכסוניים שלה. 56 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 בוא נראה מה הסכום נותן. 57 -00:04:26,200 --> 00:04:29,897 +00:04:27,280 --> 00:04:30,432 המונח הראשון הוא מטריצת הזהות, זה בעצם מה שאנחנו 58 -00:04:29,897 --> 00:04:33,520 +00:04:30,432 --> 00:04:33,520 מתכוונים בהגדרה כשאנחנו מעלים מטריצה לחזקת האפס. 59 @@ -335,43 +335,43 @@ האחד כולל מערכות יחסים, והשני מכניקת קוונטים. 85 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 בואו נתחיל במערכות יחסים. 86 -00:06:38,540 --> 00:06:43,940 +00:06:43,080 --> 00:06:47,164 נניח שיש לנו שני מאהבים, בואו נקרא להם רומיאו ויוליה, 87 -00:06:43,940 --> 00:06:51,840 +00:06:47,164 --> 00:06:52,838 ובואו נניח ל-x לייצג את אהבתה של ג'ולייט לרומיאו, ו-y לייצג את אהבתו אליה, 88 -00:06:51,840 --> 00:06:55,940 +00:06:52,838 --> 00:06:55,940 שניהם עומדים להיות ערכים המשתנים עם הזמן. 89 -00:06:56,900 --> 00:07:01,003 +00:06:56,900 --> 00:07:01,255 זו דוגמה שלמעשה נגענו בה בפרק 1, המבוססת על מאמר של סטיבן סטרוגאץ, 90 -00:07:01,003 --> 00:07:02,780 +00:07:01,255 --> 00:07:03,140 אבל זה בסדר אם לא ראית את זה. 91 -00:07:02,780 --> 00:07:09,899 +00:07:03,580 --> 00:07:09,419 הדרך שבה מערכת היחסים שלהם עובדת היא שהקצב שבו משתנה אהבתה של ג'ולייט לרומיאו, 92 -00:07:09,899 --> 00:07:14,960 +00:07:09,419 --> 00:07:13,780 הנגזרת של הערך הזה, שווה לשלילי פי 1 מאהבתו של רומיאו אליה. 93 -00:07:14,960 --> 00:07:18,621 +00:07:14,560 --> 00:07:18,492 במילים אחרות, כאשר רומיאו מביע חוסר עניין קריר, 94 -00:07:18,621 --> 00:07:24,800 +00:07:18,492 --> 00:07:24,800 אז הרגשות של ג'ולייט מתגברים, בעוד שאם הוא יתאהב מדי, העניין שלה יתחיל לדעוך. 95 @@ -383,11 +383,11 @@ קצב השינוי של אהבתו שווה לגודל אהבתה של ג'ולייט. 97 -00:07:33,280 --> 00:07:37,570 +00:07:33,280 --> 00:07:37,405 אז בעוד שג'ולייט כועסת עליו, רגשותיו נוטים לרדת, 98 -00:07:37,570 --> 00:07:41,700 +00:07:37,405 --> 00:07:41,700 בעוד שאם היא אוהבת אותו, זה הזמן שבו רגשותיו גדלים. 99 @@ -455,15 +455,15 @@ x של t ו-y של t שהופכות את שני הביטויים הללו לנכ זה מועיל לארוז אותם יחד כקואורדינטות של נקודה בודדת במרחב ממדי גבוה יותר. 115 -00:08:58,800 --> 00:09:03,770 +00:08:58,800 --> 00:09:04,461 אז עבור רומיאו ויוליה, חשבו על מערכת היחסים שלהם כנקודה במרחב דו-ממדי, 116 -00:09:03,770 --> 00:09:09,720 +00:09:04,461 --> 00:09:10,920 קואורדינטת ה-x לוכדת את רגשותיה של ג'ולייט וקואורדינטת ה-y לוכדת את זו של רומיאו. 117 -00:09:09,720 --> 00:09:18,240 +00:09:13,200 --> 00:09:18,240 לפעמים זה מועיל לדמיין את המצב הזה כחץ מהמקור, לפעמים רק כנקודה. 118 @@ -499,35 +499,35 @@ x של t ו-y של t שהופכות את שני הביטויים הללו לנכ המשוואה הזו כמכפלה של המטריצה הזו עם הווקטור המקורי xy. 126 -00:10:02,080 --> 00:10:06,700 +00:10:02,080 --> 00:10:06,940 השורה העליונה מקודדת את שלטון ג'ולייט, והשורה התחתונה מקודדת את שלטון רומיאו. 127 -00:10:06,700 --> 00:10:13,359 +00:10:07,800 --> 00:10:11,654 אז מה שיש לנו כאן הוא משוואה דיפרנציאלית שאומרת לנו 128 -00:10:13,359 --> 00:10:20,660 +00:10:11,654 --> 00:10:15,880 שקצב השינוי של וקטור כלשהו שווה למטריצה מסוימת כפול עצמו. 129 -00:10:20,660 --> 00:10:24,143 +00:10:19,120 --> 00:10:22,418 עוד רגע נדבר על איך מעריכי מטריצה פותרים משוואה מסוג זה, 130 -00:10:24,143 --> 00:10:29,337 +00:10:22,418 --> 00:10:27,337 אבל לפני כן הרשו לי להראות לכם דרך פשוטה יותר שבה נוכל לפתור את המערכת הספציפית הזו, 131 -00:10:29,337 --> 00:10:34,103 +00:10:27,337 --> 00:10:31,851 כזו שמשתמשת בגיאומטריה טהורה, והיא עוזרת להגדיר את הבמה להמחשת מטריצה מעריכים 132 -00:10:34,103 --> 00:10:35,020 +00:10:31,851 --> 00:10:32,720 קצת מאוחר יותר. 133 -00:10:35,020 --> 00:10:37,380 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 המטריצה הזו מהמערכת שלנו היא מטריצת סיבוב של 90 מעלות. 134 @@ -563,23 +563,23 @@ x של t ו-y של t שהופכות את שני הביטויים הללו לנכ והוספת שתי תוצאות הבסיס הללו לפי הקואורדינטות של אותו וקטור. 142 -00:11:17,720 --> 00:11:21,399 +00:11:17,720 --> 00:11:21,566 אז במבט לאחור על המטריצה מהמערכת שלנו, שימו לב איך מהעמודות שלה 143 -00:11:21,399 --> 00:11:24,733 +00:11:21,566 --> 00:11:25,052 אנחנו יכולים לדעת שהיא לוקחת את וקטור הבסיס הראשון ל-0 1, 144 -00:11:24,733 --> 00:11:28,700 +00:11:25,052 --> 00:11:29,200 ואת השני לשלילי 1 0, ומכאן למה אני קורא לזה מטריצת סיבוב של 90 מעלות. 145 -00:11:28,700 --> 00:11:36,001 +00:11:30,880 --> 00:11:36,981 המשמעות של המשוואה שלנו היא שזה אומר בכל מקום שבו נמצאים רומיאו ויוליה במרחב המצב הזה, 146 -00:11:36,001 --> 00:11:41,960 +00:11:36,981 --> 00:11:41,960 קצב השינוי שלהם צריך להיראות כמו סיבוב של 90 מעלות של וקטור המיקום הזה. 147 @@ -639,19 +639,19 @@ x של t ו-y של t שהופכות את שני הביטויים הללו לנכ אתה יכול להכפיל את המטריצה הזו במצב ההתחלתי שלהם. 161 -00:13:00,120 --> 00:13:05,674 +00:13:00,120 --> 00:13:06,132 הצופים הפעילים שביניכם עשויים גם ליהנות להקדיש לרגע לעצור ולאשר שהנוסחאות המפורשות שאתם 162 -00:13:05,674 --> 00:13:11,040 +00:13:06,132 --> 00:13:11,940 יוצאים מזה עבור x של t ו-y של t באמת מספקות את מערכת משוואות הדיפרנציאל שאיתה התחלנו. 163 -00:13:11,040 --> 00:13:18,797 +00:13:17,740 --> 00:13:22,022 המתמטיקאי שבכם עשוי לתהות אם אפשר לפתור לא רק את המערכת הספציפית הזו, 164 -00:13:18,797 --> 00:13:26,000 +00:13:22,022 --> 00:13:26,000 אלא משוואות דומות לה עבור כל מטריצה אחרת, לא משנה מה המקדמים שלה. 165 @@ -671,19 +671,19 @@ x של t ו-y של t שהופכות את שני הביטויים הללו לנכ כיצד היכולת לחשב מערכי מטריצה מאפשרת לכם לפתור את המשוואה הזו במפורש. 169 -00:13:46,520 --> 00:13:49,966 +00:13:46,520 --> 00:13:50,155 דוגמה הרבה פחות גחמנית היא המשוואה המפורסמת של שרדינגר, 170 -00:13:49,966 --> 00:13:54,520 +00:13:50,155 --> 00:13:54,960 שהיא המשוואה הבסיסית המתארת כיצד מערכות במכניקת הקוונטים משתנות לאורך זמן. 171 -00:13:54,520 --> 00:13:57,920 +00:13:55,680 --> 00:13:58,574 זה נראה די מפחיד, ואני מתכוון שזו מכניקת הקוונטים, 172 -00:13:57,920 --> 00:14:02,320 +00:13:58,574 --> 00:14:02,320 אז כמובן שזה יקרה, אבל זה בעצם לא כל כך שונה ממערכת רומיאו ויוליה. 173 @@ -751,15 +751,15 @@ x של t ו-y של t שהופכות את שני הביטויים הללו לנכ זו משוואה חשובה מאוד בפני עצמה. 189 -00:15:11,700 --> 00:15:15,560 +00:15:11,700 --> 00:15:16,300 זה מושג חזק מאוד כאשר קצב השינוי של ערך הוא פרופורציונלי לערך עצמו. 190 -00:15:15,560 --> 00:15:22,328 +00:15:16,760 --> 00:15:22,925 זוהי המשוואה השולטת בדברים כמו ריבית דריבית, או השלבים המוקדמים של גידול האוכלוסיה לפני 191 -00:15:22,328 --> 00:15:29,020 +00:15:22,925 --> 00:15:29,020 שהשפעות המשאבים המוגבלים נכנסות, או השלבים המוקדמים של מגיפה בזמן שרוב האוכלוסיה רגישה. 192 @@ -923,15 +923,15 @@ x של t ו-y של t שהופכות את שני הביטויים הללו לנכ בעיני זה מאוד יפה. 232 -00:19:09,680 --> 00:19:14,360 +00:19:09,680 --> 00:19:14,800 יש לנו שתי דרכים שונות לחלוטין להגיב לגבי אותה מערכת, והן נותנות לנו את אותה תשובה. 233 -00:19:14,360 --> 00:19:20,466 +00:19:15,480 --> 00:19:21,037 כלומר, זה מרגיע שהם כן, אבל זה פראי עד כמה שונה צורת החשיבה כשאתה דוחף את 234 -00:19:20,466 --> 00:19:26,820 +00:19:21,037 --> 00:19:26,820 הפולינום הזה לעומת כשאתה חושב גיאומטרי על מה חייבת לרמוז מהירות מאונך למיקום. 235 @@ -947,27 +947,27 @@ x של t ו-y של t שהופכות את שני הביטויים הללו לנכ ויצרה את הזהות השלילית. 238 -00:19:43,560 --> 00:19:47,691 +00:19:43,560 --> 00:19:47,825 ביטוי זה מגדיל את מטריצת הסיבוב של 90 מעלות כפול פי, 239 -00:19:47,691 --> 00:19:53,460 +00:19:47,825 --> 00:19:53,460 וזו דרך נוספת לתאר את מה שמערכת רומיאו-ג'וליה עושה לאחר יחידות זמן pi. 240 -00:19:54,040 --> 00:19:59,404 +00:19:54,040 --> 00:19:59,894 כפי שאנו יודעים כעת, יש לזה את ההשפעה של סיבוב של הכל ב-180 מעלות במרחב המצב הזה, 241 -00:19:59,404 --> 00:20:01,040 +00:19:59,894 --> 00:20:01,680 וזה זהה להכפלה ב-1 שלילי. 242 -00:20:01,040 --> 00:20:05,327 +00:20:03,060 --> 00:20:06,256 כמו כן, לכל אחד מכם שמכיר מעריכים של מספרים דמיוניים, 243 -00:20:05,327 --> 00:20:08,980 +00:20:06,256 --> 00:20:08,980 הדוגמה הספציפית הזו כנראה מצלצלת המון פעמונים. 244 @@ -1043,19 +1043,19 @@ x של t ו-y של t שהופכות את שני הביטויים הללו לנכ אבל זה קצת יותר מעורב כי בדרך כלל יש שילוב של הרבה סיבובים שונים. 262 -00:21:35,220 --> 00:21:40,128 +00:21:35,220 --> 00:21:40,204 לוקח זמן לחפור באמת במשוואה הזו, ואני אשמח לעשות זאת בפרק מאוחר יותר, 263 -00:21:40,128 --> 00:21:44,755 +00:21:40,204 --> 00:21:44,904 אבל כרגע אני לא יכול שלא לרמוז לפחות לעובדה שהיחידה הדמיונית הזו, 264 -00:21:44,755 --> 00:21:50,785 +00:21:44,904 --> 00:21:51,027 שיושבת בצורה כל כך מרושעת במשוואה כה בסיסית עבור כל היקום משחק בעצם את אותו תפקיד כמו 265 -00:21:50,785 --> 00:21:53,520 +00:21:51,027 --> 00:21:53,520 המטריצה מהדוגמה שלנו רומיאו-ג'וליה. 266 @@ -1131,15 +1131,15 @@ x של t ו-y של t שהופכות את שני הביטויים הללו לנכ וכפי שראינו e ל- mt מתאר סיבוב במקרה זה, אשר מסתדר עם הזרימה לאורך שדה זה. 284 -00:23:45,800 --> 00:23:50,059 -כדוגמה נוספת, ככל שרומיאו ויוליה היותר שייקספיריים עשויים להיות +00:23:45,800 --> 00:23:49,744 +כדוגמה נוספת, ככל שרומיאו ויוליה היותר שייקספיריים עשויים 285 -00:23:50,059 --> 00:23:55,584 -משוואות שנראות קצת יותר כמו זו, שבהן השלטון של ג'ולייט סימטרי עם זה של רומיאו, +00:23:49,744 --> 00:23:55,524 +להיות משוואות שנראות קצת יותר כמו זו, שבהן השלטון של ג'ולייט סימטרי עם זה של רומיאו, 286 -00:23:55,584 --> 00:23:58,380 +00:23:55,524 --> 00:23:58,380 ושניהם נוטים להיסחף בתגובה לרגשותיו של זה. 287 @@ -1159,19 +1159,19 @@ x של t ו-y של t שהופכות את שני הביטויים הללו לנכ אבל עבור הדוגמה הזו, הזרימה לאורך השדה נראית שונה בהרבה ממה שהיא נראתה בעבר. 291 -00:24:19,200 --> 00:24:23,441 +00:24:19,200 --> 00:24:23,692 אם רומיאו ויוליה יתחילו בכל מקום בחצי הימני העליון של המטוס, 292 -00:24:23,441 --> 00:24:26,640 +00:24:23,692 --> 00:24:27,080 הרגשות שלהם יזינו זה מזה ושניהם נוטים לאינסוף. 293 -00:24:26,640 --> 00:24:31,968 +00:24:30,580 --> 00:24:33,858 אם הם בחצי השני של המטוס, ובכן בוא נגיד שהם נשארים 294 -00:24:31,968 --> 00:24:36,880 +00:24:33,858 --> 00:24:36,880 נאמנים יותר למסורות המשפחתיות של קפולט ומונטגו. 295 @@ -1223,11 +1223,11 @@ x של t ו-y של t שהופכות את שני הביטויים הללו לנכ וכלל הכוח הזה באמת מבטל את התנאים הפקטוריאליים. 307 -00:25:52,920 --> 00:25:57,922 +00:25:52,920 --> 00:25:58,140 אז מה שנשאר לנו זה ביטוי שנראה כמעט זהה למה שהיה לנו קודם, 308 -00:25:57,922 --> 00:26:01,060 +00:25:58,140 --> 00:26:01,060 אלא שלכל מונח יש מ' נוסף תלוי בו. 309 diff --git a/2021/matrix-exponents/hindi/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/hindi/auto_generated.srt index 06ff40724..90fe4ef19 100644 --- a/2021/matrix-exponents/hindi/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/hindi/auto_generated.srt @@ -235,19 +235,19 @@ इस संदर्भ में, शक्तियों का अभी भी वही मतलब है जो आप उम्मीद करेंगे, बार-बार गुणा करना। 60 -00:03:53,840 --> 00:03:57,540 +00:03:53,840 --> 00:03:57,758 इस बहुपद में प्रत्येक पद को कुछ भाज्य द्वारा विभाजित 1 से मापा जाता है, 61 -00:03:57,540 --> 00:04:01,960 +00:03:57,758 --> 00:04:02,440 और मैट्रिक्स के साथ, इसका मतलब यह है कि आप प्रत्येक घटक को उस संख्या से गुणा करते हैं। 62 -00:04:01,960 --> 00:04:05,729 +00:04:03,280 --> 00:04:06,324 इसी तरह, दो मैट्रिक्स को एक साथ जोड़ना हमेशा समझ में आता है, 63 -00:04:05,729 --> 00:04:08,820 +00:04:06,324 --> 00:04:08,820 यह कुछ ऐसा है जिसे आप फिर से शब्द दर चरण करते हैं। 64 @@ -271,15 +271,15 @@ pi इसके विकर्ण प्रविष्टियों से दूर बैठे हैं। 69 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 देखते हैं योग क्या देता है। 70 -00:04:26,200 --> 00:04:29,715 +00:04:27,280 --> 00:04:30,277 पहला पद पहचान मैट्रिक्स है, जब हम किसी मैट्रिक्स को शून्यवीं 71 -00:04:29,715 --> 00:04:33,520 +00:04:30,277 --> 00:04:33,520 घात तक बढ़ाते हैं तो परिभाषा से हमारा वास्तव में यही मतलब होता है। 72 @@ -431,55 +431,55 @@ pi इसके विकर्ण प्रविष्टियों से एक में रिश्ते शामिल हैं, और दूसरे में क्वांटम यांत्रिकी। 109 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 आइये रिश्तों से शुरुआत करते हैं। 110 -00:06:38,540 --> 00:06:43,798 +00:06:43,080 --> 00:06:46,966 मान लीजिए कि हमारे दो प्रेमी हैं, आइए उन्हें रोमियो और जूलियट कहें, 111 -00:06:43,798 --> 00:06:48,516 +00:06:46,966 --> 00:06:50,453 और आइए x रोमियो के लिए जूलियट के प्यार का प्रतिनिधित्व करें, 112 -00:06:48,516 --> 00:06:52,150 +00:06:50,453 --> 00:06:53,139 और y उसके लिए उसके प्यार का प्रतिनिधित्व करें, 113 -00:06:52,150 --> 00:06:55,940 +00:06:53,139 --> 00:06:55,940 ये दोनों ऐसे मूल्य होंगे जो समय के साथ बदलते हैं। 114 -00:06:56,900 --> 00:06:59,268 +00:06:56,900 --> 00:06:59,413 यह एक उदाहरण है जिसे हमने वास्तव में अध्याय 1 में छुआ था, 115 -00:06:59,268 --> 00:07:02,780 +00:06:59,413 --> 00:07:03,140 जो स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़ लेख पर आधारित था, लेकिन यदि आपने इसे नहीं देखा तो कोई बात नहीं। 116 -00:07:02,780 --> 00:07:08,733 +00:07:03,580 --> 00:07:08,565 जिस तरह से उनका रिश्ता काम करता है वह यह है कि जिस दर पर रोमियो के लिए जूलियट का प्यार 117 -00:07:08,733 --> 00:07:14,754 +00:07:08,565 --> 00:07:13,608 बदलता है, इस मूल्य का व्युत्पन्न, उसके लिए रोमियो के प्यार के नकारात्मक 1 गुना के बराबर 118 -00:07:14,754 --> 00:07:14,960 +00:07:13,608 --> 00:07:13,780 है। 119 -00:07:14,960 --> 00:07:18,495 +00:07:14,560 --> 00:07:18,239 दूसरे शब्दों में, जब रोमियो शांत उदासीनता व्यक्त कर रहा है, 120 -00:07:18,495 --> 00:07:23,209 +00:07:18,239 --> 00:07:23,144 तभी जूलियट की भावनाएँ बढ़ जाती हैं, जबकि यदि वह बहुत अधिक मोहग्रस्त हो जाता है, 121 -00:07:23,209 --> 00:07:24,800 +00:07:23,144 --> 00:07:24,800 तो उसकी रुचि कम होने लगेगी। 122 @@ -583,23 +583,23 @@ pi इसके विकर्ण प्रविष्टियों से करना सहायक होता है। 147 -00:08:58,800 --> 00:09:03,705 +00:08:58,800 --> 00:09:04,244 तो रोमियो और जूलियट के लिए, उनके रिश्ते को 2डी स्थान में एक बिंदु के रूप में सोचें, 148 -00:09:03,705 --> 00:09:06,683 +00:09:04,244 --> 00:09:07,549 एक्स-समन्वय जूलियट की भावनाओं को कैप्चर कर रहा है, 149 -00:09:06,683 --> 00:09:09,720 +00:09:07,549 --> 00:09:10,920 और वाई-समन्वय रोमियो की भावनाओं को कैप्चर कर रहा है। 150 -00:09:09,720 --> 00:09:15,612 +00:09:13,200 --> 00:09:16,685 कभी-कभी इस स्थिति को मूल से एक तीर के रूप में चित्रित करना सहायक होता है, 151 -00:09:15,612 --> 00:09:18,240 +00:09:16,685 --> 00:09:18,240 कभी-कभी केवल एक बिंदु के रूप में। 152 @@ -651,43 +651,43 @@ pi इसके विकर्ण प्रविष्टियों से के उत्पाद के रूप में इस समीकरण के दाहिने हाथ को फिर से लिख सकते हैं। 164 -00:10:02,080 --> 00:10:04,341 +00:10:02,080 --> 00:10:04,459 शीर्ष पंक्ति जूलियट के शासन को एन्कोड करती है, 165 -00:10:04,341 --> 00:10:06,700 +00:10:04,459 --> 00:10:06,940 और निचली पंक्ति रोमियो के शासन को एन्कोड करती है। 166 -00:10:06,700 --> 00:10:13,565 +00:10:07,800 --> 00:10:11,773 तो हमारे पास यहां एक अंतर समीकरण है जो हमें बताता है कि कुछ 167 -00:10:13,565 --> 00:10:20,660 +00:10:11,773 --> 00:10:15,880 वेक्टर के परिवर्तन की दर एक निश्चित मैट्रिक्स समय के बराबर है। 168 -00:10:20,660 --> 00:10:24,217 +00:10:19,120 --> 00:10:22,488 एक क्षण में हम इस बारे में बात करेंगे कि मैट्रिक्स घातांक इस प्रकार के समीकरण को 169 -00:10:24,217 --> 00:10:27,642 +00:10:22,488 --> 00:10:25,732 कैसे हल करता है, लेकिन इससे पहले मैं आपको एक सरल तरीका दिखाता हूं जिससे हम इस 170 -00:10:27,642 --> 00:10:30,672 +00:10:25,732 --> 00:10:28,602 विशेष प्रणाली को हल कर सकते हैं, जो शुद्ध ज्यामिति का उपयोग करता है, 171 -00:10:30,672 --> 00:10:34,097 +00:10:28,602 --> 00:10:31,846 और यह मैट्रिक्स को विज़ुअलाइज़ करने के लिए चरण निर्धारित करने में मदद करता है 172 -00:10:34,097 --> 00:10:35,020 +00:10:31,846 --> 00:10:32,720 घातांक थोड़ी देर बाद। 173 -00:10:35,020 --> 00:10:37,380 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 हमारे सिस्टम का यह मैट्रिक्स 90 डिग्री रोटेशन मैट्रिक्स है। 174 @@ -731,27 +731,27 @@ pi इसके विकर्ण प्रविष्टियों से निर्देशांक द्वारा स्केलिंग और इन दो आधार परिणामों को जोड़ने का परिणाम है। 184 -00:11:17,720 --> 00:11:21,428 +00:11:17,720 --> 00:11:21,597 तो हमारे सिस्टम से मैट्रिक्स को देखते हुए, ध्यान दें कि इसके कॉलम से हम कैसे 185 -00:11:21,428 --> 00:11:24,076 +00:11:21,597 --> 00:11:24,366 बता सकते हैं कि यह पहला आधार वेक्टर 0 1 पर ले जाता है, 186 -00:11:24,076 --> 00:11:27,881 +00:11:24,366 --> 00:11:28,344 और दूसरा नकारात्मक 1 0 पर ले जाता है, इसलिए मैं इसे 90 डिग्री रोटेशन मैट्रिक्स 187 -00:11:27,881 --> 00:11:28,700 +00:11:28,344 --> 00:11:29,200 क्यों कह रहा हूं। 188 -00:11:28,700 --> 00:11:35,482 +00:11:30,880 --> 00:11:36,547 हमारे समीकरण के लिए इसका मतलब यह है कि यह कह रहा है कि जहां भी रोमियो और जूलियट इस राज्य 189 -00:11:35,482 --> 00:11:41,960 +00:11:36,547 --> 00:11:41,960 में हैं, उनके परिवर्तन की दर इस स्थिति वेक्टर के 90 डिग्री रोटेशन की तरह दिखनी चाहिए। 190 @@ -827,27 +827,27 @@ pi इसके विकर्ण प्रविष्टियों से तो आप इस मैट्रिक्स को उनकी प्रारंभिक स्थिति से गुणा कर सकते हैं। 208 -00:13:00,120 --> 00:13:03,807 +00:13:00,120 --> 00:13:04,111 आपके बीच के सक्रिय दर्शक भी थोड़ा रुककर यह पुष्टि करने का आनंद ले सकते हैं कि 209 -00:13:03,807 --> 00:13:06,785 +00:13:04,111 --> 00:13:07,334 टी के एक्स और टी के वाई के लिए आपको जो स्पष्ट सूत्र मिलते हैं, 210 -00:13:06,785 --> 00:13:11,040 +00:13:07,334 --> 00:13:11,940 वे वास्तव में अंतर समीकरणों की उस प्रणाली को संतुष्ट करते हैं जिसके साथ हमने शुरुआत की थी। 211 -00:13:11,040 --> 00:13:16,249 +00:13:17,740 --> 00:13:20,616 आपके अंदर का गणितज्ञ आश्चर्यचकित हो सकता है कि क्या न केवल इस विशिष्ट 212 -00:13:16,249 --> 00:13:21,385 +00:13:20,616 --> 00:13:23,452 प्रणाली को हल करना संभव है, बल्कि किसी भी अन्य मैट्रिक्स के लिए इसके 213 -00:13:21,385 --> 00:13:26,000 +00:13:23,452 --> 00:13:26,000 जैसे समीकरणों को हल करना संभव है, चाहे इसके गुणांक कुछ भी हों। 214 @@ -871,19 +871,19 @@ pi इसके विकर्ण प्रविष्टियों से हैं। 219 -00:13:46,520 --> 00:13:49,609 +00:13:46,520 --> 00:13:49,779 एक बहुत कम सनकी उदाहरण श्रोडिंगर का प्रसिद्ध समीकरण है, 220 -00:13:49,609 --> 00:13:54,520 +00:13:49,779 --> 00:13:54,960 जो मौलिक समीकरण है जो बताता है कि क्वांटम यांत्रिकी में सिस्टम समय के साथ कैसे बदलते हैं। 221 -00:13:54,520 --> 00:13:58,030 +00:13:55,680 --> 00:13:58,668 यह काफी डराने वाला लगता है, और मेरा मतलब है कि यह क्वांटम यांत्रिकी है, 222 -00:13:58,030 --> 00:14:02,320 +00:13:58,668 --> 00:14:02,320 इसलिए निश्चित रूप से यह होगा, लेकिन यह वास्तव में रोमियो और जूलियट सेटअप से अलग नहीं है। 223 @@ -975,23 +975,23 @@ pi इसके विकर्ण प्रविष्टियों से यह अपने आप में बेहद महत्वपूर्ण समीकरण है. 245 -00:15:11,700 --> 00:15:13,669 +00:15:11,700 --> 00:15:14,046 यह एक बहुत शक्तिशाली अवधारणा है जब किसी मूल्य में 246 -00:15:13,669 --> 00:15:15,560 +00:15:14,046 --> 00:15:16,300 परिवर्तन की दर स्वयं मूल्य के समानुपाती होती है। 247 -00:15:15,560 --> 00:15:20,295 +00:15:16,760 --> 00:15:21,073 यह चक्रवृद्धि ब्याज, या सीमित संसाधनों के प्रभाव शुरू होने से पहले जनसंख्या 248 -00:15:20,295 --> 00:15:23,723 +00:15:21,073 --> 00:15:24,195 वृद्धि के शुरुआती चरण, या किसी महामारी के शुरुआती चरण, 249 -00:15:23,723 --> 00:15:29,020 +00:15:24,195 --> 00:15:29,020 जबकि अधिकांश आबादी अतिसंवेदनशील होती है, जैसी चीजों को नियंत्रित करने वाला समीकरण है। 250 @@ -1179,27 +1179,27 @@ pi इसके विकर्ण प्रविष्टियों से मेरे लिए यह बेहद खूबसूरत है. 296 -00:19:09,680 --> 00:19:13,010 +00:19:09,680 --> 00:19:13,323 हमारे पास एक ही प्रणाली के बारे में तर्क करने के दो बिल्कुल अलग-अलग तरीके हैं, 297 -00:19:13,010 --> 00:19:14,360 +00:19:13,323 --> 00:19:14,800 और वे हमें एक ही उत्तर देते हैं। 298 -00:19:14,360 --> 00:19:17,087 +00:19:15,480 --> 00:19:17,961 मेरा मतलब है, यह आश्वस्त करने वाला है कि वे ऐसा करते हैं, 299 -00:19:17,087 --> 00:19:21,177 +00:19:17,961 --> 00:19:21,684 लेकिन यह अजीब है कि जब आप इस बहुपद के माध्यम से आगे बढ़ रहे होते हैं तो विचार का तरीका 300 -00:19:21,177 --> 00:19:25,221 +00:19:21,684 --> 00:19:25,365 कितना अलग होता है, बनाम जब आप ज्यामितीय रूप से तर्क कर रहे होते हैं कि किसी स्थिति के 301 -00:19:25,221 --> 00:19:26,820 +00:19:25,365 --> 00:19:26,820 लंबवत वेग का क्या अर्थ होना चाहिए। 302 @@ -1235,19 +1235,19 @@ pi इसके विकर्ण प्रविष्टियों से क्या करता है। 310 -00:19:54,040 --> 00:19:59,000 +00:19:54,040 --> 00:19:59,454 जैसा कि अब हम जानते हैं, इस अवस्था में हर चीज़ को 180 डिग्री तक घुमाने का प्रभाव होता है, 311 -00:19:59,000 --> 00:20:01,040 +00:19:59,454 --> 00:20:01,680 जो ऋणात्मक 1 से गुणा करने के समान है। 312 -00:20:01,040 --> 00:20:05,010 +00:20:03,060 --> 00:20:06,020 साथ ही, आपमें से जो भी काल्पनिक संख्या घातांक से परिचित है, 313 -00:20:05,010 --> 00:20:08,980 +00:20:06,020 --> 00:20:08,980 उसके लिए यह विशेष उदाहरण संभवतः ढेर सारी घंटियाँ बजा रहा है। 314 @@ -1487,19 +1487,19 @@ pi इसके विकर्ण प्रविष्टियों से लेकिन इस उदाहरण के लिए, मैदान के साथ प्रवाह पहले की तुलना में बहुत अलग दिखता है। 373 -00:24:19,200 --> 00:24:23,177 +00:24:19,200 --> 00:24:23,412 यदि रोमियो और जूलियट विमान के इस ऊपरी दाएँ आधे भाग में कहीं भी यात्रा शुरू करते हैं, 374 -00:24:23,177 --> 00:24:26,640 +00:24:23,412 --> 00:24:27,080 तो उनकी भावनाएँ एक-दूसरे से प्रभावित होंगी और वे दोनों अनंत की ओर बढ़ेंगे। 375 -00:24:26,640 --> 00:24:31,637 +00:24:30,580 --> 00:24:33,654 यदि वे विमान के दूसरे आधे हिस्से में हैं, तो मान लीजिए कि वे 376 -00:24:31,637 --> 00:24:36,880 +00:24:33,654 --> 00:24:36,880 अपनी कैपुलेट और मोंटागु परिवार परंपराओं के प्रति अधिक सच्चे हैं। 377 diff --git a/2021/matrix-exponents/indonesian/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/indonesian/auto_generated.srt index 69c33707a..b6361ca58 100644 --- a/2021/matrix-exponents/indonesian/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/indonesian/auto_generated.srt @@ -259,19 +259,19 @@ Dalam konteks ini, pangkat tetap memiliki arti persis seperti yang Anda harapkan yaitu perkalian berulang. 66 -00:03:53,840 --> 00:03:57,608 +00:03:53,840 --> 00:03:57,830 Setiap suku dalam polinomial ini berskala 1 dibagi beberapa faktorial, 67 -00:03:57,608 --> 00:04:01,960 +00:03:57,830 --> 00:04:02,440 dan dengan matriks, artinya Anda mengalikan setiap komponen dengan angka tersebut. 68 -00:04:01,960 --> 00:04:05,614 +00:04:03,280 --> 00:04:06,231 Demikian pula, selalu masuk akal untuk menjumlahkan dua matriks, 69 -00:04:05,614 --> 00:04:08,820 +00:04:06,231 --> 00:04:08,820 ini adalah sesuatu yang Anda lakukan lagi suku demi suku. 70 @@ -299,15 +299,15 @@ di sini sekarang. Ambil matriks 2x2 yang memiliki pi negatif dan pi berada di luar entri diagonalnya. 76 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 Mari kita lihat apa yang dihasilkan dari penjumlahan tersebut. 77 -00:04:26,200 --> 00:04:29,758 +00:04:27,280 --> 00:04:30,313 Istilah pertama adalah matriks identitas, inilah sebenarnya yang kita 78 -00:04:29,758 --> 00:04:33,520 +00:04:30,313 --> 00:04:33,520 maksud dengan definisi ketika kita menaikkan suatu matriks ke pangkat nol. 79 @@ -471,47 +471,47 @@ ada dua hal yang terlintas dalam pikiran. Yang satu melibatkan hubungan, dan yang lainnya mekanika kuantum. 119 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 Mari kita mulai dengan hubungan. 120 -00:06:38,540 --> 00:06:44,503 +00:06:43,080 --> 00:06:47,487 Misalkan kita mempunyai dua kekasih, sebut saja mereka Romeo dan Juliet, 121 -00:06:44,503 --> 00:06:51,447 +00:06:47,487 --> 00:06:52,619 dan misalkan x mewakili cinta Juliet pada Romeo, dan y mewakili cintanya pada Romeo, 122 -00:06:51,447 --> 00:06:55,940 +00:06:52,619 --> 00:06:55,940 keduanya akan menjadi nilai yang berubah seiring waktu. 123 -00:06:56,900 --> 00:06:59,243 +00:06:56,900 --> 00:06:59,386 Ini adalah contoh yang sebenarnya kita bahas di Bab 1, 124 -00:06:59,243 --> 00:07:02,780 +00:06:59,386 --> 00:07:03,140 berdasarkan artikel Steven Strogatz, tapi tidak apa-apa jika Anda tidak melihatnya. 125 -00:07:02,780 --> 00:07:09,116 +00:07:03,580 --> 00:07:08,886 Cara kerja hubungan mereka adalah tingkat perubahan cinta Juliet pada Romeo, 126 -00:07:09,116 --> 00:07:14,960 +00:07:08,886 --> 00:07:13,780 turunan dari nilai ini, sama dengan negatif 1 kali cinta Romeo padanya. 127 -00:07:14,960 --> 00:07:18,657 +00:07:14,560 --> 00:07:18,407 Dengan kata lain, ketika Romeo menunjukkan ketidaktertarikannya, 128 -00:07:18,657 --> 00:07:23,207 +00:07:18,407 --> 00:07:23,142 saat itulah perasaan Juliet meningkat, sedangkan jika dia terlalu tergila-gila, 129 -00:07:23,207 --> 00:07:24,800 +00:07:23,142 --> 00:07:24,800 minatnya akan mulai memudar. 130 @@ -623,19 +623,19 @@ akan sangat membantu jika Anda mengemasnya bersama-sama sebagai koordinat satu titik dalam ruang berdimensi lebih tinggi. 157 -00:08:58,800 --> 00:09:04,228 +00:08:58,800 --> 00:09:04,825 Jadi bagi Romeo dan Juliet, bayangkan hubungan mereka sebagai sebuah titik dalam ruang 158 -00:09:04,228 --> 00:09:09,720 +00:09:04,825 --> 00:09:10,920 2D, koordinat x menunjukkan perasaan Juliet, dan koordinat y menunjukkan perasaan Romeo. 159 -00:09:09,720 --> 00:09:15,376 +00:09:13,200 --> 00:09:16,546 Terkadang berguna untuk menggambarkan keadaan ini sebagai panah dari titik asal, 160 -00:09:15,376 --> 00:09:18,240 +00:09:16,546 --> 00:09:18,240 di lain waktu hanya sebagai sebuah titik. 161 @@ -687,39 +687,39 @@ Ditetapkan sebagai vektor seperti ini, kita dapat menulis ulang ruas kanan persamaan ini sebagai hasil kali matriks ini dengan vektor asli xy. 173 -00:10:02,080 --> 00:10:06,700 +00:10:02,080 --> 00:10:06,940 Baris atas mengkodekan aturan Juliet, dan baris bawah mengkodekan aturan Romeo. 174 -00:10:06,700 --> 00:10:13,924 +00:10:07,800 --> 00:10:11,981 Jadi yang kita punya di sini adalah persamaan diferensial yang menyatakan 175 -00:10:13,924 --> 00:10:20,660 +00:10:11,981 --> 00:10:15,880 bahwa laju perubahan suatu vektor sama dengan waktu matriks tertentu. 176 -00:10:20,660 --> 00:10:24,229 +00:10:19,120 --> 00:10:22,500 Sebentar lagi kita akan membahas bagaimana eksponensial matriks menyelesaikan persamaan 177 -00:10:24,229 --> 00:10:27,637 +00:10:22,500 --> 00:10:25,727 semacam ini, namun sebelum itu izinkan saya menunjukkan kepada Anda cara yang lebih 178 -00:10:27,637 --> 00:10:30,963 +00:10:25,727 --> 00:10:28,878 sederhana untuk menyelesaikan sistem khusus ini, yang menggunakan geometri murni, 179 -00:10:30,963 --> 00:10:34,452 +00:10:28,878 --> 00:10:32,182 dan ini membantu menyiapkan tahapan untuk memvisualisasikan matriks eksponen beberapa 180 -00:10:34,452 --> 00:10:35,020 +00:10:32,182 --> 00:10:32,720 saat kemudian. 181 -00:10:35,020 --> 00:10:37,380 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 Matriks dari sistem kami ini adalah matriks rotasi 90 derajat. 182 @@ -763,27 +763,27 @@ Cara kerjanya pada vektor lain adalah hasil penskalaan dan penjumlahan dua hasil basis ini dengan koordinat vektor tersebut. 192 -00:11:17,720 --> 00:11:20,000 +00:11:17,720 --> 00:11:20,104 Jadi dengan melihat kembali matriks dari sistem kita, 193 -00:11:20,000 --> 00:11:23,463 +00:11:20,104 --> 00:11:23,724 perhatikan bagaimana dari kolom-kolomnya kita dapat mengetahui bahwa vektor basis 194 -00:11:23,463 --> 00:11:26,208 +00:11:23,724 --> 00:11:26,594 pertama menjadi 0 1, dan vektor basis kedua menjadi negatif 1 0, 195 -00:11:26,208 --> 00:11:28,700 +00:11:26,594 --> 00:11:29,200 oleh karena itu saya menyebutnya matriks rotasi 90 derajat. 196 -00:11:28,700 --> 00:11:35,405 +00:11:30,880 --> 00:11:36,482 Artinya bagi persamaan kita adalah dimanapun Romeo dan Juliet berada dalam ruang keadaan 197 -00:11:35,405 --> 00:11:41,960 +00:11:36,482 --> 00:11:41,960 ini, laju perubahannya harus terlihat seperti rotasi 90 derajat dari vektor posisi ini. 198 @@ -867,27 +867,27 @@ di mana Romeo dan Juliet akan berakhir setelah t satuan waktu, Anda dapat mengalikan matriks ini dengan keadaan awalnya. 218 -00:13:00,120 --> 00:13:03,656 +00:13:00,120 --> 00:13:03,948 Pemirsa aktif di antara Anda mungkin juga senang meluangkan waktu sejenak untuk 219 -00:13:03,656 --> 00:13:07,237 +00:13:03,948 --> 00:13:07,824 berhenti sejenak dan memastikan bahwa rumus eksplisit yang Anda dapatkan untuk x 220 -00:13:07,237 --> 00:13:11,040 +00:13:07,824 --> 00:13:11,940 dari t dan y dari t benar-benar memenuhi sistem persamaan diferensial yang kita mulai. 221 -00:13:11,040 --> 00:13:15,951 +00:13:17,740 --> 00:13:20,451 Ahli matematika di dalam diri Anda mungkin bertanya-tanya apakah 222 -00:13:15,951 --> 00:13:20,560 +00:13:20,451 --> 00:13:22,996 mungkin untuk menyelesaikan tidak hanya sistem spesifik ini, 223 -00:13:20,560 --> 00:13:26,000 +00:13:22,996 --> 00:13:26,000 namun juga persamaan serupa untuk matriks lain, berapa pun koefisiennya. 224 @@ -919,27 +919,27 @@ bagaimana menghitung eksponen matriks memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan ini secara eksplisit. 231 -00:13:46,520 --> 00:13:49,547 +00:13:46,520 --> 00:13:49,713 Contoh yang tidak terlalu aneh adalah persamaan terkenal Schrodinger, 232 -00:13:49,547 --> 00:13:52,271 +00:13:49,713 --> 00:13:52,587 yang merupakan persamaan mendasar yang menggambarkan bagaimana 233 -00:13:52,271 --> 00:13:54,520 +00:13:52,587 --> 00:13:54,960 sistem dalam mekanika kuantum berubah seiring waktu. 234 -00:13:54,520 --> 00:13:57,874 +00:13:55,680 --> 00:13:58,535 Kelihatannya cukup mengintimidasi, dan maksud saya ini adalah mekanika kuantum, 235 -00:13:57,874 --> 00:14:00,516 +00:13:58,535 --> 00:14:00,784 jadi tentu saja itu akan terjadi, tetapi sebenarnya tidak jauh 236 -00:14:00,516 --> 00:14:02,320 +00:14:00,784 --> 00:14:02,320 berbeda dengan pengaturan Romeo dan Juliet. 237 @@ -1031,23 +1031,23 @@ grafik menjadi kurang membantu. Ini adalah persamaan yang sangat penting. 259 -00:15:11,700 --> 00:15:13,444 +00:15:11,700 --> 00:15:13,778 Ini adalah konsep yang sangat kuat ketika laju 260 -00:15:13,444 --> 00:15:15,560 +00:15:13,778 --> 00:15:16,300 perubahan suatu nilai sebanding dengan nilai itu sendiri. 261 -00:15:15,560 --> 00:15:19,616 +00:15:16,760 --> 00:15:20,454 Ini adalah persamaan yang mengatur hal-hal seperti bunga majemuk, 262 -00:15:19,616 --> 00:15:23,980 +00:15:20,454 --> 00:15:24,429 atau tahap awal pertumbuhan penduduk sebelum dampak terbatasnya sumber 263 -00:15:23,980 --> 00:15:29,020 +00:15:24,429 --> 00:15:29,020 daya mulai terjadi, atau tahap awal epidemi ketika sebagian besar penduduk rentan. 264 @@ -1251,27 +1251,27 @@ adalah matriks rotasi yang kita miliki sebelumnya. Bagi saya, ini sangat indah. 314 -00:19:09,680 --> 00:19:12,748 +00:19:09,680 --> 00:19:13,037 Kita mempunyai dua cara berpikir yang sangat berbeda mengenai sistem yang sama, 315 -00:19:12,748 --> 00:19:14,360 +00:19:13,037 --> 00:19:14,800 dan keduanya memberikan jawaban yang sama. 316 -00:19:14,360 --> 00:19:17,150 +00:19:15,480 --> 00:19:18,019 Maksud saya, memang meyakinkan bahwa mereka melakukannya, 317 -00:19:17,150 --> 00:19:21,191 +00:19:18,019 --> 00:19:21,697 tetapi sungguh liar betapa berbedanya cara berpikir saat Anda menelusuri polinomial 318 -00:19:21,191 --> 00:19:25,184 +00:19:21,697 --> 00:19:25,331 ini dibandingkan saat Anda memikirkan secara geometris tentang arti kecepatan yang 319 -00:19:25,184 --> 00:19:26,820 +00:19:25,331 --> 00:19:26,820 tegak lurus terhadap suatu posisi. 320 @@ -1307,19 +1307,19 @@ yang merupakan cara lain untuk menggambarkan apa yang dilakukan pengaturan Romeo-Juliet setelah satuan waktu pi. 328 -00:19:54,040 --> 00:19:57,563 +00:19:54,040 --> 00:19:57,885 Seperti yang kita ketahui sekarang, hal tersebut mempunyai efek memutar 180 329 -00:19:57,563 --> 00:20:01,040 +00:19:57,885 --> 00:20:01,680 derajat pada state space ini, yang sama dengan mengalikan dengan negatif 1. 330 -00:20:01,040 --> 00:20:05,577 +00:20:03,060 --> 00:20:06,442 Selain itu, bagi Anda yang akrab dengan eksponen bilangan imajiner, 331 -00:20:05,577 --> 00:20:08,980 +00:20:06,442 --> 00:20:08,980 contoh khusus ini mungkin menarik banyak perhatian. 332 @@ -1571,19 +1571,19 @@ Namun untuk contoh ini, aliran di sepanjang lapangan terlihat jauh berbeda dari sebelumnya. 394 -00:24:19,200 --> 00:24:22,677 +00:24:19,200 --> 00:24:22,883 Jika Romeo dan Juliet memulai dari mana saja di bagian kanan atas pesawat ini, 395 -00:24:22,677 --> 00:24:26,640 +00:24:22,883 --> 00:24:27,080 perasaan mereka akan saling memberi makan dan keduanya cenderung menuju ketidakterbatasan. 396 -00:24:26,640 --> 00:24:30,650 +00:24:30,580 --> 00:24:33,047 Jika mereka termasuk dalam kelompok yang lain, 397 -00:24:30,650 --> 00:24:36,880 +00:24:33,047 --> 00:24:36,880 anggap saja mereka lebih setia pada tradisi keluarga Capulet dan Montagu. 398 diff --git a/2021/matrix-exponents/italian/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/italian/auto_generated.srt index aa5a944f3..bba8cf067 100644 --- a/2021/matrix-exponents/italian/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/italian/auto_generated.srt @@ -1,17 +1,17 @@ 1 -00:00:00,000 --> 00:00:04,274 +00:00:00,000 --> 00:00:04,326 Vorrei tirare fuori un vecchio libro di testo sulle equazioni differenziali che ho 2 -00:00:04,274 --> 00:00:08,651 +00:00:04,326 --> 00:00:08,756 imparato al college, e passiamo a questo divertente piccolo esercizio qui che chiede 3 -00:00:08,651 --> 00:00:13,234 +00:00:08,756 --> 00:00:13,395 al lettore di calcolare E elevato alla potenza, dove a ci viene detto sarà una matrice , 4 -00:00:13,234 --> 00:00:17,200 +00:00:13,395 --> 00:00:17,200 e l'insinuazione sembra essere che anche i risultati saranno una matrice. 5 @@ -19,39 +19,39 @@ e l'insinuazione sembra essere che anche i risultati saranno una matrice. Offre quindi diversi esempi di ciò che potresti collegare per a. 6 -00:00:22,240 --> 00:00:25,701 +00:00:22,240 --> 00:00:25,759 Ora, estraendo un contesto, mettere una matrice in un esponente come questo 7 -00:00:25,701 --> 00:00:29,027 +00:00:25,759 --> 00:00:29,139 probabilmente sembra una totale sciocchezza, ma ciò a cui si riferisce è 8 -00:00:29,027 --> 00:00:32,762 -un'operazione estremamente bella, e il motivo per cui compare in questo libro +00:00:29,139 --> 00:00:32,844 +un'operazione estremamente bella, e il motivo per cui compare in questo libro è 9 -00:00:32,762 --> 00:00:33,400 -è che è utile. +00:00:32,844 --> 00:00:33,400 +che è utile. 10 00:00:33,880 --> 00:00:37,080 Viene utilizzato per risolvere una classe molto importante di equazioni differenziali. 11 -00:00:37,800 --> 00:00:41,575 +00:00:37,800 --> 00:00:41,456 A sua volta, dato che l'universo è spesso scritto nel linguaggio delle equazioni 12 -00:00:41,575 --> 00:00:44,640 +00:00:41,456 --> 00:00:44,571 differenziali, questo fenomeno appare continuamente anche in fisica, 13 -00:00:44,640 --> 00:00:48,193 +00:00:44,571 --> 00:00:48,182 specialmente nella meccanica quantistica, dove gli esponenti della matrice sono 14 -00:00:48,193 --> 00:00:48,860 +00:00:48,182 --> 00:00:48,860 sparsi ovunque. 15 @@ -59,40 +59,40 @@ sparsi ovunque. Svolgono un ruolo particolarmente importante. 16 -00:00:51,240 --> 00:00:53,848 +00:00:51,240 --> 00:00:53,733 Questo ha molto a che fare con l'equazione di Schròdinger, 17 -00:00:53,848 --> 00:00:56,581 +00:00:53,733 --> 00:00:56,522 di cui parleremo più avanti, e può anche aiutare a comprendere le 18 -00:00:56,581 --> 00:00:59,480 +00:00:56,522 --> 00:00:59,480 tue relazioni sentimentali, ma ancora una volta, tutto a tempo debito. 19 -00:01:05,420 --> 00:01:08,430 +00:01:05,420 --> 00:01:08,483 Gran parte del motivo per cui voglio trattare questo argomento è che esiste 20 -00:01:08,430 --> 00:01:11,281 +00:01:08,483 --> 00:01:11,385 un modo estremamente carino per visualizzare cosa stanno effettivamente 21 -00:01:11,281 --> 00:01:14,252 +00:01:11,385 --> 00:01:14,409 facendo gli esponenti della matrice utilizzando il flusso di cui non molte 22 -00:01:14,252 --> 00:01:17,025 +00:01:14,409 --> 00:01:17,230 persone sembrano parlare, ma per la maggior parte di questo capitolo, 23 -00:01:17,025 --> 00:01:20,074 -analizziamo iniziamo spiegando in cosa consiste esattamente l'operazione +00:01:17,230 --> 00:01:20,254 +analizziamo iniziamo spiegando in cosa consiste esattamente l'operazione e 24 -00:01:20,074 --> 00:01:23,600 -e vediamo se riusciamo a farci un'idea del tipo di problemi che ci aiuta a risolvere. +00:01:20,254 --> 00:01:23,600 +vediamo se riusciamo a farci un'idea del tipo di problemi che ci aiuta a risolvere. 25 00:01:24,060 --> 00:01:27,095 @@ -131,16 +131,16 @@ a una potenza di 2 divisa per un fattoriale, la somma si avvicina a un numero vicino a 7.389, e questo numero è precisamente e per e. 34 -00:02:01,980 --> 00:02:04,922 -Se incrementi questo input di uno, allora, in modo un po' +00:02:01,980 --> 00:02:05,522 +Se incrementi questo input di uno, allora, in modo un po' miracoloso, 35 -00:02:04,922 --> 00:02:07,722 -miracoloso, non importa da dove sei partito, l'effetto +00:02:05,522 --> 00:02:08,407 +non importa da dove sei partito, l'effetto sull'output è 36 -00:02:07,722 --> 00:02:11,140 -sull'output è sempre quello di moltiplicarlo per un altro fattore e. +00:02:08,407 --> 00:02:11,140 +sempre quello di moltiplicarlo per un altro fattore e. 37 00:02:12,260 --> 00:02:16,757 @@ -207,12 +207,12 @@ In modo più caritatevole, potresti vederlo come un esempio del bellissimo ciclo tra scoperta e invenzione in matematica. 53 -00:03:10,700 --> 00:03:13,715 -In entrambi i casi, collegare una matrice anche ad un polinomio potrebbe +00:03:10,700 --> 00:03:13,422 +In entrambi i casi, collegare una matrice anche ad un polinomio 54 -00:03:13,715 --> 00:03:16,400 -sembrare un po' strano, quindi chiariamo cosa intendiamo qui. +00:03:13,422 --> 00:03:16,400 +potrebbe sembrare un po' strano, quindi chiariamo cosa intendiamo qui. 55 00:03:16,900 --> 00:03:19,940 @@ -255,31 +255,31 @@ In questo contesto, le potenze significano ancora esattamente ciò che ti aspett ovvero una moltiplicazione ripetuta. 65 -00:03:53,840 --> 00:03:57,686 +00:03:53,840 --> 00:03:57,913 Ogni termine in questo polinomio viene scalato per 1 diviso per un fattoriale e, 66 -00:03:57,686 --> 00:04:01,960 +00:03:57,913 --> 00:04:02,440 con le matrici, tutto ciò che significa è moltiplicare ciascun componente per quel numero. 67 -00:04:01,960 --> 00:04:05,421 +00:04:03,280 --> 00:04:06,075 Allo stesso modo, ha sempre senso sommare due matrici, 68 -00:04:05,421 --> 00:04:08,820 +00:04:06,075 --> 00:04:08,820 anche questa è una cosa che si fa termine per termine. 69 -00:04:09,540 --> 00:04:13,415 +00:04:09,540 --> 00:04:13,370 Gli astuti tra voi potrebbero chiedersi quanto sia sensato estenderlo all'infinito, 70 -00:04:13,415 --> 00:04:17,201 +00:04:13,370 --> 00:04:17,109 il che sarebbe un'ottima domanda, alla quale rimanderò in gran parte la risposta, 71 -00:04:17,201 --> 00:04:19,800 +00:04:17,109 --> 00:04:19,800 ma posso mostrarvi un esempio piuttosto divertente qui ora. 72 @@ -287,36 +287,36 @@ ma posso mostrarvi un esempio piuttosto divertente qui ora. Prendi questa matrice 2x2 che ha pi e pi negativi fuori dai suoi elementi diagonali. 73 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 Vediamo cosa dà la somma. 74 -00:04:26,200 --> 00:04:29,647 +00:04:27,280 --> 00:04:30,219 Il primo termine è la matrice identità, questo è infatti ciò che 75 -00:04:29,647 --> 00:04:33,520 +00:04:30,219 --> 00:04:33,520 intendiamo per definizione quando eleviamo una matrice alla potenza zero. 76 -00:04:34,460 --> 00:04:38,081 +00:04:34,460 --> 00:04:38,122 Quindi aggiungiamo la matrice stessa, che ci dà il pi greco dei termini diagonali, 77 -00:04:38,081 --> 00:04:40,307 +00:04:38,122 --> 00:04:40,372 quindi aggiungiamo metà della matrice al quadrato, 78 -00:04:40,307 --> 00:04:44,060 +00:04:40,372 --> 00:04:44,166 e continuando farò in modo che il computer continui ad aggiungere sempre più termini, 79 -00:04:44,060 --> 00:04:47,201 -ognuno dei quali richiede di prendere un'altra matrice prodotto per +00:04:44,166 --> 00:04:47,961 +ognuno dei quali richiede di prendere un'altra matrice prodotto per ottenere la nuova 80 -00:04:47,201 --> 00:04:50,300 -ottenere la nuova potenza e quindi aggiungerla a un conteggio corrente. +00:04:47,961 --> 00:04:50,300 +potenza e quindi aggiungerla a un conteggio corrente. 81 00:04:51,160 --> 00:04:55,005 @@ -347,15 +347,15 @@ Per chiunque di voi abbia familiarità con la famosa identità di Eulero, questa è essenzialmente la sua versione a matrice. 88 -00:05:13,020 --> 00:05:16,638 +00:05:13,020 --> 00:05:16,703 Si scopre che in generale, indipendentemente dalla matrice con cui inizi, 89 -00:05:16,638 --> 00:05:20,794 +00:05:16,703 --> 00:05:20,934 man mano che aggiungi sempre più termini, alla fine ti avvicini a un valore stabile, 90 -00:05:20,794 --> 00:05:24,120 +00:05:20,934 --> 00:05:24,120 anche se a volte può volerci un po' di tempo prima di arrivarci. 91 @@ -375,20 +375,20 @@ essere interessati a torturare le loro povere matrici in questo modo? Quali problemi stanno cercando di risolvere? 95 -00:05:40,340 --> 00:05:43,736 -E se sei come me, una nuova operazione è soddisfacente solo quando hai una +00:05:40,340 --> 00:05:43,731 +E se sei come me, una nuova operazione è soddisfacente solo quando hai 96 -00:05:43,736 --> 00:05:45,909 -visione chiara di ciò che sta cercando di fare, +00:05:43,731 --> 00:05:46,214 +una visione chiara di ciò che sta cercando di fare, 97 -00:05:45,909 --> 00:05:49,260 -un'idea di come prevedere l'output in base all'input prima di +00:05:46,214 --> 00:05:49,653 +un'idea di come prevedere l'output in base all'input prima di elaborare 98 -00:05:49,260 --> 00:05:50,800 -elaborare effettivamente i numeri. +00:05:49,653 --> 00:05:50,800 +effettivamente i numeri. 99 00:05:51,520 --> 00:05:54,644 @@ -447,51 +447,51 @@ motivare gli esponenti della matrice, me ne vengono in mente due. Uno riguarda le relazioni e l’altro la meccanica quantistica. 113 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 Cominciamo dalle relazioni. 114 -00:06:38,540 --> 00:06:43,835 +00:06:43,080 --> 00:06:47,071 Supponiamo di avere due amanti, chiamiamoli Romeo e Giulietta, 115 -00:06:43,835 --> 00:06:49,551 +00:06:47,071 --> 00:06:51,125 e lasciamo che x rappresenti l'amore di Giulietta per Romeo e y 116 -00:06:49,551 --> 00:06:55,940 +00:06:51,125 --> 00:06:55,940 rappresenti il suo amore per lei, entrambi valori che cambieranno nel tempo. 117 -00:06:56,900 --> 00:06:59,494 +00:06:56,900 --> 00:06:59,736 Questo è un esempio a cui abbiamo accennato nel capitolo 1, 118 -00:06:59,494 --> 00:07:02,780 +00:06:59,736 --> 00:07:03,140 basato su un articolo di Steven Strogatz, ma va bene se non l'hai visto. 119 -00:07:02,780 --> 00:07:06,840 -Il modo in cui funziona la loro relazione è che la velocità con +00:07:03,580 --> 00:07:06,906 +Il modo in cui funziona la loro relazione è che la velocità 120 -00:07:06,840 --> 00:07:11,724 -cui cambia l'amore di Giulietta per Romeo, la derivata di questo valore, +00:07:06,906 --> 00:07:09,511 +con cui cambia l'amore di Giulietta per Romeo, 121 -00:07:11,724 --> 00:07:14,960 -è pari a meno 1 volte l'amore di Romeo per lei. +00:07:09,511 --> 00:07:13,780 +la derivata di questo valore, è pari a meno 1 volte l'amore di Romeo per lei. 122 -00:07:14,960 --> 00:07:18,275 +00:07:14,560 --> 00:07:18,010 In altre parole, quando Romeo esprime un freddo disinteresse, 123 -00:07:18,275 --> 00:07:20,949 +00:07:18,010 --> 00:07:20,793 è allora che i sentimenti di Giulietta aumentano, 124 -00:07:20,949 --> 00:07:24,800 +00:07:20,793 --> 00:07:24,800 mentre se diventa troppo infatuato, il suo interesse inizierà a svanire. 125 @@ -499,1210 +499,1198 @@ mentre se diventa troppo infatuato, il suo interesse inizierà a svanire. Romeo, invece, è il contrario. 126 -00:07:29,060 --> 00:07:30,996 -La velocità di cambiamento del suo amore è uguale +00:07:29,060 --> 00:07:32,700 +La velocità di cambiamento del suo amore è uguale alla dimensione dell'amore di Giulietta. 127 -00:07:30,996 --> 00:07:32,700 -alla dimensione dell'amore di Giulietta. - -128 00:07:33,280 --> 00:07:38,049 Quindi, mentre Giulietta è arrabbiata con lui, il suo affetto tende a diminuire, -129 +128 00:07:38,049 --> 00:07:41,700 mentre se lei lo ama, è allora che i suoi sentimenti crescono. -130 +129 00:07:42,580 --> 00:07:45,240 Naturalmente, nessuno di questi numeri è fermo. -131 -00:07:45,680 --> 00:07:48,838 +130 +00:07:45,680 --> 00:07:48,726 Mentre l'amore di Romeo aumenta in risposta a Giulietta, -132 -00:07:48,838 --> 00:07:52,360 +131 +00:07:48,726 --> 00:07:52,360 la sua equazione continua ad applicarsi e fa diminuire il suo amore. -133 -00:07:53,360 --> 00:07:55,517 +132 +00:07:53,360 --> 00:07:55,557 Entrambe queste equazioni si applicano sempre, -134 -00:07:55,517 --> 00:07:58,271 +133 +00:07:55,557 --> 00:07:58,363 da ogni punto infinitesimale nel tempo a quello successivo, -135 -00:07:58,271 --> 00:08:01,575 +134 +00:07:58,363 --> 00:08:01,730 quindi ogni piccola variazione di un valore influenza immediatamente la -136 -00:08:01,575 --> 00:08:03,320 +135 +00:08:01,730 --> 00:08:03,320 velocità di variazione dell'altro. -137 +136 00:08:04,120 --> 00:08:06,560 Questo è un sistema di equazioni differenziali. -138 +137 00:08:06,820 --> 00:08:10,579 È un puzzle, in cui la tua sfida è trovare funzioni esplicite -139 +138 00:08:10,579 --> 00:08:14,520 per x di t e y di t che rendano vere entrambe queste espressioni. -140 +139 00:08:15,640 --> 00:08:19,155 Ora, come sistemi di equazioni differenziali, questo è più semplice, -141 +140 00:08:19,155 --> 00:08:23,740 tanto che molti studenti di calcolo potrebbero probabilmente solo indovinare una risposta. -142 +141 00:08:24,300 --> 00:08:26,515 Ma tieni presente che non è sufficiente trovare -143 +142 00:08:26,515 --> 00:08:28,500 una coppia di funzioni che lo rendano vero. +143 +00:08:29,000 --> 00:08:32,167 +Se vuoi effettivamente prevedere dove finiranno Romeo e Giulietta + 144 -00:08:29,000 --> 00:08:32,342 -Se vuoi effettivamente prevedere dove finiranno Romeo e Giulietta dopo +00:08:32,167 --> 00:08:35,528 +dopo un certo punto di partenza, devi assicurarti che le tue funzioni 145 -00:08:32,342 --> 00:08:35,403 -un certo punto di partenza, devi assicurarti che le tue funzioni - -146 -00:08:35,403 --> 00:08:38,840 +00:08:35,528 --> 00:08:38,840 soddisfino l'insieme iniziale di condizioni al tempo t uguale a zero. -147 +146 00:08:39,740 --> 00:08:43,185 Più precisamente, il nostro vero obiettivo oggi è risolvere sistematicamente -148 +147 00:08:43,185 --> 00:08:46,765 versioni più generali di questa equazione, senza fare supposizioni e controlli, -149 +148 00:08:46,765 --> 00:08:49,540 ed è questa domanda che ci porta agli esponenti della matrice. -150 +149 00:08:50,680 --> 00:08:53,669 Molto spesso, quando si hanno più valori che cambiano come questo, -151 +150 00:08:53,669 --> 00:08:57,193 è utile raggrupparli insieme come coordinate di un singolo punto in uno spazio -152 +151 00:08:57,193 --> 00:08:58,220 dimensionale superiore. -153 -00:08:58,800 --> 00:09:02,344 +152 +00:08:58,800 --> 00:09:02,734 Quindi, per Romeo e Giulietta, pensa alla loro relazione come -154 -00:09:02,344 --> 00:09:05,717 +153 +00:09:02,734 --> 00:09:06,478 a un punto in uno spazio 2D, la coordinata x che cattura i -155 -00:09:05,717 --> 00:09:09,720 +154 +00:09:06,478 --> 00:09:10,920 sentimenti di Giulietta e la coordinata y che cattura quelli di Romeo. -156 -00:09:09,720 --> 00:09:15,513 +155 +00:09:13,200 --> 00:09:16,573 A volte è utile immaginare questo stato come una freccia che parte dall'origine, -157 -00:09:15,513 --> 00:09:18,240 +156 +00:09:16,573 --> 00:09:18,240 altre volte semplicemente come un punto. -158 -00:09:18,700 --> 00:09:21,636 +157 +00:09:18,700 --> 00:09:21,745 Tutto ciò che conta davvero è che codifichi due numeri -159 -00:09:21,636 --> 00:09:24,680 +158 +00:09:21,745 --> 00:09:24,680 e d'ora in poi lo scriveremo come un vettore colonna. -160 +159 00:09:25,300 --> 00:09:27,480 E, naturalmente, tutto questo è una funzione del tempo. -161 +160 00:09:28,500 --> 00:09:31,405 Potresti immaginare il tasso di cambiamento di questo stato, -162 +161 00:09:31,405 --> 00:09:33,881 ciò che unisce la derivata di x e la derivata di y, -163 +162 00:09:33,881 --> 00:09:37,120 come una sorta di vettore di velocità in questo spazio degli stati, -164 +163 00:09:37,120 --> 00:09:40,788 qualcosa che trascina il nostro punto in una certa direzione e con una certa -165 +164 00:09:40,788 --> 00:09:43,360 grandezza che indica quanto velocemente sta cambiando. -166 +165 00:09:45,560 --> 00:09:50,198 Ricorda, la regola qui è che il tasso di variazione di x è negativo y, -167 +166 00:09:50,198 --> 00:09:52,420 e il tasso di variazione di y è x. -168 +167 00:09:53,300 --> 00:09:57,289 Impostati come vettori come questo, potremmo riscrivere il lato destro di -169 +168 00:09:57,289 --> 00:10:01,440 questa equazione come prodotto di questa matrice con il vettore originale xy. -170 -00:10:02,080 --> 00:10:04,437 +169 +00:10:02,080 --> 00:10:04,559 La riga superiore codifica la regola di Giulietta -171 -00:10:04,437 --> 00:10:06,700 +170 +00:10:04,559 --> 00:10:06,940 e la riga inferiore codifica la regola di Romeo. +171 +00:10:07,800 --> 00:10:11,816 +Quindi quello che abbiamo qui è un'equazione differenziale che ci dice che il tasso di + 172 -00:10:06,700 --> 00:10:13,563 -Quindi quello che abbiamo qui è un'equazione differenziale che ci dice che il tasso +00:10:11,816 --> 00:10:15,880 +cambiamento di un certo vettore è uguale a una certa matrice moltiplicata per se stessa. 173 -00:10:13,563 --> 00:10:20,114 -di cambiamento di un certo vettore è uguale a una certa matrice moltiplicata per se +00:10:19,120 --> 00:10:22,425 +Tra un attimo parleremo di come l'esponenziazione della matrice risolve questo 174 -00:10:20,114 --> 00:10:20,660 -stessa. +00:10:22,425 --> 00:10:25,940 +tipo di equazione, ma prima lascia che ti mostri un modo più semplice per risolvere 175 -00:10:20,660 --> 00:10:24,239 -Tra un attimo parleremo di come l'esponenziazione della matrice risolve questo +00:10:25,940 --> 00:10:29,163 +questo particolare sistema, un modo che utilizza la geometria pura e aiuta a 176 -00:10:24,239 --> 00:10:27,861 -tipo di equazione, ma prima lascia che ti mostri un modo più semplice per risolvere +00:10:29,163 --> 00:10:32,720 +preparare il terreno per la visualizzazione della matrice esponenti un po' più tardi. 177 -00:10:27,861 --> 00:10:31,613 -questo particolare sistema, un modo che utilizza la geometria pura e aiuta a preparare - -178 -00:10:31,613 --> 00:10:35,020 -il terreno per la visualizzazione della matrice esponenti un po' più tardi. - -179 -00:10:35,020 --> 00:10:37,380 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 Questa matrice del nostro sistema è una matrice di rotazione di 90 gradi. -180 -00:10:38,580 --> 00:10:42,093 +178 +00:10:38,580 --> 00:10:42,304 Per chi di voi non sa come pensare alle matrici come trasformazioni, -181 -00:10:42,093 --> 00:10:45,760 +179 +00:10:42,304 --> 00:10:45,760 c'è un video sull'argomento su questo canale, una serie davvero. -182 -00:10:46,400 --> 00:10:51,706 +180 +00:10:46,400 --> 00:10:51,546 L'idea di base è che quando moltiplichi una matrice per il vettore 1 0, -183 -00:10:51,706 --> 00:10:56,664 +181 +00:10:51,546 --> 00:10:56,621 estrae la prima colonna, e allo stesso modo se la moltiplichi per 0 1, -184 -00:10:56,664 --> 00:10:58,480 +182 +00:10:56,621 --> 00:10:58,480 estrae la seconda colonna. -185 +183 00:10:59,900 --> 00:11:03,604 Ciò significa che quando guardi una matrice, puoi leggere le sue colonne -186 +184 00:11:03,604 --> 00:11:07,360 come se ti dicessero cosa fa a questi due vettori, noti come vettori base. -187 +185 00:11:07,380 --> 00:11:12,000 Il modo in cui agisce su qualsiasi altro vettore è il risultato del ridimensionamento -188 +186 00:11:12,000 --> 00:11:16,620 e della somma di questi due risultati di base in base alle coordinate di quel vettore. -189 -00:11:17,720 --> 00:11:20,664 +187 +00:11:17,720 --> 00:11:20,798 Quindi guardando indietro alla matrice dal nostro sistema, -190 -00:11:20,664 --> 00:11:24,707 +188 +00:11:20,798 --> 00:11:25,025 nota come dalle sue colonne possiamo dire che porta il primo vettore base a 0 1, -191 -00:11:24,707 --> 00:11:28,700 +189 +00:11:25,025 --> 00:11:29,200 e il secondo a meno 1 0, ecco perché la chiamo matrice di rotazione di 90 gradi. -192 -00:11:28,700 --> 00:11:33,120 +190 +00:11:30,880 --> 00:11:34,573 Ciò che significa per la nostra equazione è che ovunque si trovino Romeo -193 -00:11:33,120 --> 00:11:37,540 +191 +00:11:34,573 --> 00:11:38,266 e Giulietta in questo spazio di stati, il loro tasso di cambiamento deve -194 -00:11:37,540 --> 00:11:41,960 +192 +00:11:38,266 --> 00:11:41,960 assomigliare ad una rotazione di 90 gradi di questo vettore di posizione. -195 -00:11:42,700 --> 00:11:45,798 +193 +00:11:42,700 --> 00:11:45,722 L'unico modo in cui la velocità può essere permanentemente perpendicolare +194 +00:11:45,722 --> 00:11:48,662 +alla posizione in questo modo è quando si ruota attorno all'origine con + +195 +00:11:48,662 --> 00:11:51,725 +un movimento circolare, senza mai aumentare o diminuire perché la velocità + 196 -00:11:45,798 --> 00:11:48,659 -alla posizione in questo modo è quando si ruota attorno all'origine +00:11:51,725 --> 00:11:54,380 +di cambiamento non ha componenti nella direzione della posizione. 197 -00:11:48,659 --> 00:11:51,440 -con un movimento circolare, senza mai aumentare o diminuire perché la +00:11:57,060 --> 00:12:01,602 +Più specificamente, poiché la lunghezza di questo vettore velocità è uguale alla 198 -00:11:51,440 --> 00:11:54,380 -velocità di cambiamento non ha componenti nella direzione della posizione. +00:12:01,602 --> 00:12:05,472 +lunghezza del vettore posizione, quindi per ciascuna unità di tempo, 199 -00:11:57,060 --> 00:12:01,529 -Più specificamente, poiché la lunghezza di questo vettore velocità è uguale alla +00:12:05,472 --> 00:12:10,070 +la distanza che questo copre è uguale alla lunghezza dell'arco di un raggio lungo 200 -00:12:01,529 --> 00:12:05,337 -lunghezza del vettore posizione, quindi per ciascuna unità di tempo, +00:12:10,070 --> 00:12:10,800 +quel cerchio. 201 -00:12:05,337 --> 00:12:09,751 -la distanza che questo copre è uguale alla lunghezza dell'arco di un raggio - -202 -00:12:09,751 --> 00:12:10,800 -lungo quel cerchio. - -203 00:12:12,060 --> 00:12:15,285 In altre parole, ruota di un radiante per unità di tempo, -204 +202 00:12:15,285 --> 00:12:19,512 quindi in particolare occorrerebbero 2 unità di tempo pi greco per fare una -205 +203 00:12:19,512 --> 00:12:20,680 rivoluzione completa. -206 +204 00:12:22,620 --> 00:12:25,860 Se vuoi descrivere questo tipo di rotazione con una formula, -207 +205 00:12:25,860 --> 00:12:29,580 possiamo usare una matrice di rotazione più generale, simile a questa. -208 +206 00:12:30,380 --> 00:12:32,280 Ancora una volta, possiamo leggerlo in termini di colonne. -209 +207 00:12:32,780 --> 00:12:38,215 Notate come la prima colonna ci dice che occorre il primo vettore base per costare -210 +208 00:12:38,215 --> 00:12:43,324 t sin t, e la seconda colonna ci dice che occorre il secondo vettore base per -211 +209 00:12:43,324 --> 00:12:48,760 ottenere un costo sin t negativo, entrambi coerenti con la rotazione di t radianti. -212 +210 00:12:49,700 --> 00:12:54,385 Quindi, per risolvere il sistema, se vuoi prevedere dove finiranno Romeo e Giulietta -213 +211 00:12:54,385 --> 00:12:58,960 dopo t unità di tempo, puoi moltiplicare questa matrice per il loro stato iniziale. -214 -00:13:00,120 --> 00:13:03,715 +212 +00:13:00,120 --> 00:13:04,011 Gli spettatori attivi tra voi potrebbero anche divertirsi a prendersi un momento -215 -00:13:03,715 --> 00:13:07,311 +213 +00:13:04,011 --> 00:13:07,903 per fermarsi e confermare che le formule esplicite che ottieni per x di t e y di -216 -00:13:07,311 --> 00:13:11,040 +214 +00:13:07,903 --> 00:13:11,940 t soddisfano davvero il sistema di equazioni differenziali con cui abbiamo iniziato. -217 -00:13:11,040 --> 00:13:15,772 +215 +00:13:17,740 --> 00:13:20,352 Il matematico che è in te potrebbe chiedersi se sia possibile -218 -00:13:15,772 --> 00:13:20,733 +216 +00:13:20,352 --> 00:13:23,092 risolvere non solo questo sistema specifico, ma equazioni simili -219 -00:13:20,733 --> 00:13:26,000 +217 +00:13:23,092 --> 00:13:26,000 per qualsiasi altra matrice, indipendentemente dai suoi coefficienti. -220 +218 00:13:27,120 --> 00:13:31,160 Porre questa domanda significa prepararsi a riscoprire gli esponenti della matrice. -221 -00:13:31,780 --> 00:13:35,128 +219 +00:13:31,780 --> 00:13:35,080 L'obiettivo principale di oggi è che tu capisca come questa equazione ti -222 -00:13:35,128 --> 00:13:38,434 +220 +00:13:35,080 --> 00:13:38,336 permetta di immaginare intuitivamente l'operazione che scriviamo come e -223 -00:13:38,434 --> 00:13:41,783 +221 +00:13:38,336 --> 00:13:41,636 elevato a una matrice e, d'altro canto, come la possibilità di calcolare -224 -00:13:41,783 --> 00:13:45,480 +222 +00:13:41,636 --> 00:13:45,480 gli esponenti della matrice ti permetta di risolvere esplicitamente questa equazione. -225 -00:13:46,520 --> 00:13:49,684 +223 +00:13:46,520 --> 00:13:49,933 Un esempio molto meno stravagante è la famosa equazione di Schrödinger, -226 -00:13:49,684 --> 00:13:52,454 -che è l'equazione fondamentale che descrive come i sistemi +224 +00:13:49,933 --> 00:13:54,059 +che è l'equazione fondamentale che descrive come i sistemi nella meccanica quantistica -227 -00:13:52,454 --> 00:13:54,520 -nella meccanica quantistica cambiano nel tempo. +225 +00:13:54,059 --> 00:13:54,960 +cambiano nel tempo. -228 -00:13:54,520 --> 00:13:57,869 +226 +00:13:55,680 --> 00:13:58,531 Sembra piuttosto intimidatorio, e intendo dire che è meccanica quantistica, -229 -00:13:57,869 --> 00:14:01,791 +227 +00:13:58,531 --> 00:14:01,869 quindi ovviamente lo sarà, ma in realtà non è così diverso dalla configurazione di Romeo -230 -00:14:01,791 --> 00:14:02,320 +228 +00:14:01,869 --> 00:14:02,320 e Giulietta. -231 +229 00:14:03,020 --> 00:14:05,280 Questo simbolo qui si riferisce ad un certo vettore. -232 +230 00:14:05,800 --> 00:14:09,177 È un vettore che raggruppa tutte le informazioni che potrebbero interessarti -233 +231 00:14:09,177 --> 00:14:12,160 in un sistema, come le posizioni e i momenti delle varie particelle. -234 +232 00:14:12,240 --> 00:14:14,476 È analogo al nostro vettore 2D più semplice che -235 +233 00:14:14,476 --> 00:14:16,900 codifica tutte le informazioni su Romeo e Giulietta. -236 -00:14:17,840 --> 00:14:20,720 -L'equazione dice che la velocità con cui questo vettore +234 +00:14:17,840 --> 00:14:20,769 +L'equazione dice che la velocità con cui questo vettore di -237 -00:14:20,720 --> 00:14:23,600 -di stato assomiglia a una determinata matrice si moltiplica. +235 +00:14:20,769 --> 00:14:23,600 +stato assomiglia a una determinata matrice si moltiplica. -238 -00:14:24,560 --> 00:14:28,172 +236 +00:14:24,560 --> 00:14:28,040 Ci sono una serie di cose che rendono l'equazione di Schròdinger notevolmente -239 -00:14:28,172 --> 00:14:31,432 +237 +00:14:28,040 --> 00:14:31,343 più complicata, ma nel profondo della tua mente potresti pensarla come un -240 -00:14:31,432 --> 00:14:33,678 +238 +00:14:31,343 --> 00:14:33,618 punto obiettivo che tu ed io possiamo raggiungere, -241 -00:14:33,678 --> 00:14:37,246 +239 +00:14:33,618 --> 00:14:37,233 con esempi più semplici come Romeo e Giulietta che offrono passi più amichevoli. -242 -00:14:37,246 --> 00:14:38,260 +240 +00:14:37,233 --> 00:14:38,260 pietre lungo la strada. -243 -00:14:39,540 --> 00:14:42,270 +241 +00:14:39,540 --> 00:14:42,172 In realtà, l'esempio più semplice legato alle potenze -244 -00:14:42,270 --> 00:14:45,000 +242 +00:14:42,172 --> 00:14:45,000 ordinarie dei numeri reali di e è il caso unidimensionale. -245 +243 00:14:45,400 --> 00:14:47,862 Questo avviene quando si ha un singolo valore che cambia, -246 +244 00:14:47,862 --> 00:14:50,580 e il suo tasso di cambiamento è uguale ad alcune volte costanti. -247 +245 00:14:51,200 --> 00:14:53,440 Quindi maggiore è il valore, più velocemente cresce. -248 -00:14:55,080 --> 00:14:58,001 +246 +00:14:55,080 --> 00:14:58,055 La maggior parte delle persone si trova più a proprio agio nel visualizzarlo -249 -00:14:58,001 --> 00:15:01,227 +247 +00:14:58,055 --> 00:15:01,339 con un grafico, dove maggiore è il valore del grafico, più ripida è la sua pendenza, -250 -00:15:01,227 --> 00:15:03,580 +248 +00:15:01,339 --> 00:15:03,580 risultando in questa curva verso l'alto sempre più ripida. -251 +249 00:15:04,040 --> 00:15:06,945 Tieni solo presente che quando arriviamo a una varianza dimensionale più elevata, -252 +250 00:15:06,945 --> 00:15:08,080 i grafici sono molto meno utili. -253 +251 00:15:08,880 --> 00:15:11,500 Questa è un'equazione molto importante di per sé. -254 -00:15:11,700 --> 00:15:13,444 +252 +00:15:11,700 --> 00:15:13,778 È un concetto molto potente quando il tasso di -255 -00:15:13,444 --> 00:15:15,560 +253 +00:15:13,778 --> 00:15:16,300 variazione di un valore è proporzionale al valore stesso. -256 -00:15:15,560 --> 00:15:18,899 +254 +00:15:16,760 --> 00:15:19,801 Questa è l’equazione che governa cose come l’interesse composto, -257 -00:15:18,899 --> 00:15:23,317 +255 +00:15:19,801 --> 00:15:23,825 o le prime fasi della crescita della popolazione prima che si manifestino gli effetti -258 -00:15:23,317 --> 00:15:27,684 +256 +00:15:23,825 --> 00:15:27,803 delle risorse limitate, o le prime fasi di un’epidemia mentre la maggior parte della -259 -00:15:27,684 --> 00:15:29,020 +257 +00:15:27,803 --> 00:15:29,020 popolazione è vulnerabile. -260 +258 00:15:31,920 --> 00:15:34,640 Tutti gli studenti di calcolo imparano come la -261 +259 00:15:34,640 --> 00:15:37,360 derivata di e rispetto a rt sia r volte stessa. -262 +260 00:15:38,440 --> 00:15:42,255 In altre parole, questo fenomeno di crescita autorinforzante è la stessa -263 +261 00:15:42,255 --> 00:15:46,280 cosa della crescita esponenziale, e e rispetto a rt risolve questa equazione. -264 -00:15:48,800 --> 00:15:52,407 +262 +00:15:48,800 --> 00:15:52,466 In realtà, un modo migliore di pensarci è che ci sono molte soluzioni diverse a -265 -00:15:52,407 --> 00:15:54,753 +263 +00:15:52,466 --> 00:15:54,849 questa equazione, una per ogni condizione iniziale, -266 -00:15:54,753 --> 00:15:58,676 +264 +00:15:54,849 --> 00:15:58,653 qualcosa come la dimensione dell'investimento iniziale o una popolazione iniziale, -267 -00:15:58,676 --> 00:16:00,120 +265 +00:15:58,653 --> 00:16:00,120 che chiameremo semplicemente x0. -268 -00:16:00,960 --> 00:16:03,710 +266 +00:16:00,960 --> 00:16:03,773 Si noti, a proposito, come maggiore è il valore di x0, -269 -00:16:03,710 --> 00:16:06,710 +267 +00:16:03,773 --> 00:16:06,842 maggiore è la pendenza iniziale della soluzione risultante, -270 -00:16:06,710 --> 00:16:09,860 +268 +00:16:06,842 --> 00:16:09,860 il che dovrebbe avere perfettamente senso data l'equazione. -271 +269 00:16:11,220 --> 00:16:15,886 La funzione e rispetto a rt è solo una soluzione quando la condizione iniziale è 1, -272 +270 00:16:15,886 --> 00:16:19,164 ma se moltiplichi per qualsiasi altra condizione iniziale, -273 +271 00:16:19,164 --> 00:16:22,720 ottieni una nuova funzione che soddisfa ancora questa proprietà. -274 +272 00:16:23,060 --> 00:16:29,960 Ha ancora una derivata che è r per se stessa, ma questa volta inizia da x0 poiché e^0 è 1. -275 +273 00:16:30,780 --> 00:16:33,300 Vale la pena sottolinearlo prima di generalizzare a più dimensioni. -276 +274 00:16:33,800 --> 00:16:37,320 Non pensare alla parte esponenziale come ad una soluzione in sé e per sé. -277 +275 00:16:37,800 --> 00:16:42,380 Pensatelo come qualcosa che agisce su una condizione iniziale per dare una soluzione. -278 -00:16:46,440 --> 00:16:50,287 +276 +00:16:46,440 --> 00:16:50,329 Vedete, nel caso bidimensionale, quando abbiamo un vettore che cambia il -279 -00:16:50,287 --> 00:16:54,451 +277 +00:16:50,329 --> 00:16:54,538 cui tasso di cambiamento è vincolato a essere qualche volta la matrice stessa, -280 -00:16:54,451 --> 00:16:58,299 +278 +00:16:54,538 --> 00:16:58,427 anche la soluzione appare come un termine esponenziale che agisce su una -281 -00:16:58,299 --> 00:17:01,883 +279 +00:16:58,427 --> 00:17:01,837 data condizione iniziale, ma l'esponenziale parte, in tal caso, -282 -00:17:01,883 --> 00:17:06,099 +280 +00:17:01,837 --> 00:17:06,099 produrrà una matrice che cambia nel tempo e la condizione iniziale è un vettore. -283 -00:17:06,900 --> 00:17:10,515 -In effetti, dovresti pensare alla definizione di esponenziazione di matrice +281 +00:17:06,900 --> 00:17:10,224 +In effetti, dovresti pensare alla definizione di esponenziazione di -284 -00:17:10,515 --> 00:17:13,940 -come fortemente motivata dall'assicurarti che questo fatto sia vero. +282 +00:17:10,224 --> 00:17:13,940 +matrice come fortemente motivata dall'assicurarti che questo fatto sia vero. -285 -00:17:14,920 --> 00:17:19,340 +283 +00:17:14,920 --> 00:17:19,415 Ad esempio, se guardiamo indietro al sistema apparso con Romeo e Giulietta, -286 -00:17:19,340 --> 00:17:24,399 +284 +00:17:19,415 --> 00:17:24,324 l'affermazione ora è che le soluzioni assomigliano a e elevata a questa matrice 0, -287 -00:17:24,399 --> 00:17:28,820 +285 +00:17:24,324 --> 00:17:28,820 negativo 1, 1, 0 in tutti i tempi, moltiplicata per una condizione iniziale. -288 +286 00:17:29,560 --> 00:17:31,327 Ma abbiamo già visto la soluzione in questo caso, -289 +287 00:17:31,327 --> 00:17:33,872 sappiamo che assomiglia ad una matrice di rotazione moltiplicata per la -290 +288 00:17:33,872 --> 00:17:34,580 condizione iniziale. -291 -00:17:35,260 --> 00:17:38,632 +289 +00:17:35,260 --> 00:17:38,711 Quindi prendiamoci un momento per rimboccarci le maniche e calcolare il termine -292 -00:17:38,632 --> 00:17:42,342 +290 +00:17:38,711 --> 00:17:42,334 esponenziale utilizzando la definizione che ho menzionato all'inizio e vedere se si -293 -00:17:42,342 --> 00:17:42,680 +291 +00:17:42,334 --> 00:17:42,680 allinea. -294 +292 00:17:43,260 --> 00:17:46,995 Ricorda, scrivere e elevato a potenza di una matrice è una scorciatoia, -295 +293 00:17:46,995 --> 00:17:50,419 una scorciatoia per collegarlo a questo lungo polinomio infinito, -296 +294 00:17:50,419 --> 00:17:52,080 la serie di Taylor per e alla x. -297 +295 00:17:53,100 --> 00:17:56,499 So che potrebbe sembrare piuttosto complicato farlo, ma credimi, -298 +296 00:17:56,499 --> 00:17:59,480 è molto soddisfacente come risulta questo in particolare. -299 +297 00:18:00,180 --> 00:18:03,759 Se ti siedi e calcoli le potenze successive di questa matrice, -300 +298 00:18:03,759 --> 00:18:08,020 ciò che noterai è che cadono in uno schema ciclico ogni quattro iterazioni. -301 +299 00:18:27,280 --> 00:18:30,940 Questo dovrebbe avere senso dato che sappiamo che è una matrice di rotazione di 90 gradi. -302 +300 00:18:31,620 --> 00:18:35,633 Quindi, quando sommi insieme tutte le infinite matrici termine per termine, -303 +301 00:18:35,633 --> 00:18:39,963 ciascun termine nel risultato appare come un polinomio in t con qualche simpatico -304 +302 00:18:39,963 --> 00:18:44,400 schema ciclico nei suoi coefficienti, tutti scalati dal relativo termine fattoriale. -305 -00:18:45,760 --> 00:18:49,444 +303 +00:18:45,760 --> 00:18:49,501 Quelli di voi che sono esperti con la serie di Taylor potrebbero essere in grado di -306 -00:18:49,444 --> 00:18:53,348 -riconoscere che ognuno di questi componenti è la serie di Taylor sia per il seno che per +304 +00:18:49,501 --> 00:18:53,286 +riconoscere che ognuno di questi componenti è la serie di Taylor sia per il seno che -307 -00:18:53,348 --> 00:18:56,945 -il coseno, anche se nel caso dell'angolo in alto a destra è in realtà un seno +305 +00:18:53,286 --> 00:18:56,939 +per il coseno, anche se nel caso dell'angolo in alto a destra è in realtà un seno -308 -00:18:56,945 --> 00:18:57,340 +306 +00:18:56,939 --> 00:18:57,340 negativo. -309 +307 00:18:58,680 --> 00:19:01,257 Quindi ciò che otteniamo dal calcolo è esattamente -310 +308 00:19:01,257 --> 00:19:03,380 la matrice di rotazione che avevamo prima. -311 +309 00:19:07,160 --> 00:19:09,220 Per me questo è estremamente bello. -312 -00:19:09,680 --> 00:19:12,042 +310 +00:19:09,680 --> 00:19:12,264 Abbiamo due modi completamente diversi di ragionare -313 -00:19:12,042 --> 00:19:14,360 +311 +00:19:12,264 --> 00:19:14,800 sullo stesso sistema e ci danno la stessa risposta. -314 -00:19:14,360 --> 00:19:18,449 +312 +00:19:15,480 --> 00:19:19,201 Voglio dire, è rassicurante che lo facciano, ma è assurdo quanto sia diverso il modo -315 -00:19:18,449 --> 00:19:22,682 +313 +00:19:19,201 --> 00:19:23,054 di pensare quando stai attraversando questo polinomio rispetto a quando stai ragionando -316 -00:19:22,682 --> 00:19:26,820 +314 +00:19:23,054 --> 00:19:26,820 geometricamente su ciò che deve implicare una velocità perpendicolare a una posizione. -317 +315 00:19:27,720 --> 00:19:30,667 Si spera che il fatto che questi allineamenti ispiri un po’ di fiducia -318 +316 00:19:30,667 --> 00:19:34,320 nell’affermazione che gli esponenti della matrice risolvono davvero sistemi come questo. -319 -00:19:35,340 --> 00:19:38,552 +317 +00:19:35,340 --> 00:19:38,424 Questo spiega il calcolo che abbiamo visto all'inizio, tra l'altro, -320 -00:19:38,552 --> 00:19:41,300 +318 +00:19:38,424 --> 00:19:41,373 con la matrice che aveva pi negativo e pi fuori dalle diagonali, -321 -00:19:41,300 --> 00:19:42,780 +319 +00:19:41,373 --> 00:19:42,780 producendo l'identità negativa. -322 +320 00:19:43,560 --> 00:19:47,725 Questa espressione espone una matrice di rotazione di 90 gradi per pi greco, -323 +321 00:19:47,725 --> 00:19:51,025 che è un altro modo per descrivere cosa fa la configurazione -324 +322 00:19:51,025 --> 00:19:53,460 Romeo-Giulietta dopo unità di tempo pi greco. -325 -00:19:54,040 --> 00:19:57,642 +323 +00:19:54,040 --> 00:19:57,860 Come ora sappiamo, ciò ha l'effetto di ruotare tutto di 180 gradi -326 -00:19:57,642 --> 00:20:01,040 +324 +00:19:57,860 --> 00:20:01,680 in questo spazio di stato, che equivale a moltiplicare per meno 1. -327 -00:20:01,040 --> 00:20:05,606 +325 +00:20:03,060 --> 00:20:06,464 Inoltre, per chiunque di voi abbia familiarità con gli esponenti dei numeri immaginari, -328 -00:20:05,606 --> 00:20:08,980 +326 +00:20:06,464 --> 00:20:08,980 questo particolare esempio probabilmente vi farà capire qualcosa. -329 +327 00:20:09,360 --> 00:20:11,120 È analogo al 100%. -330 -00:20:11,840 --> 00:20:15,330 +328 +00:20:11,840 --> 00:20:15,198 In effetti, avremmo potuto inquadrare l'intero esempio in cui i sentimenti -331 -00:20:15,330 --> 00:20:17,981 +329 +00:20:15,198 --> 00:20:17,885 di Romeo e Giulietta sono racchiusi in un numero complesso, -332 -00:20:17,981 --> 00:20:21,781 +330 +00:20:17,885 --> 00:20:21,736 e la velocità di variazione di quel numero complesso sarebbe stata i volte se stessa, -333 -00:20:21,781 --> 00:20:25,140 +331 +00:20:21,736 --> 00:20:25,140 poiché anche la moltiplicazione per i agisce come una rotazione di 90 gradi. -334 +332 00:20:25,840 --> 00:20:29,270 Lo stesso identico ragionamento, sia analitico che geometrico, -335 +333 00:20:29,270 --> 00:20:33,680 avrebbe portato a tutta questa idea che e alla potenza che descrive la rotazione. -336 +334 00:20:34,460 --> 00:20:38,570 Questi sono in realtà due dei tanti esempi diversi in matematica e fisica in cui ti -337 +335 00:20:38,570 --> 00:20:42,926 ritrovi ad esporre a potenza un oggetto che agisce come una rotazione di 90 gradi per il -338 +336 00:20:42,926 --> 00:20:43,220 tempo. -339 +337 00:20:43,980 --> 00:20:46,214 Si presenta con i quaternioni o molte delle matrici -340 +338 00:20:46,214 --> 00:20:48,020 che compaiono nella meccanica quantistica. -341 +339 00:20:48,720 --> 00:20:53,453 In tutti questi casi, abbiamo questa idea generale davvero precisa che se prendi qualche -342 +340 00:20:53,453 --> 00:20:58,026 operazione che ruota di 90 gradi su un piano, spesso è un piano in uno spazio ad alta -343 +341 00:20:58,026 --> 00:21:02,706 dimensione che non possiamo visualizzare, allora ciò che otteniamo esponendola tempi di -344 +342 00:21:02,706 --> 00:21:07,280 operazione il tempo è qualcosa che genera tutte le altre rotazioni nello stesso piano. -345 -00:21:09,100 --> 00:21:11,192 -Una delle variazioni più complicate su questo - -346 -00:21:11,192 --> 00:21:13,240 -stesso tema è l'equazione di Schròdinger. +343 +00:21:09,100 --> 00:21:13,240 +Una delle variazioni più complicate su questo stesso tema è l'equazione di Schròdinger. -347 +344 00:21:13,840 --> 00:21:16,310 Non è solo che la derivata di uno stato è uguale ad alcuni -348 +345 00:21:16,310 --> 00:21:18,780 valori della matrice moltiplicati per la forma dello stato. -349 -00:21:19,020 --> 00:21:22,589 +346 +00:21:19,020 --> 00:21:22,523 La natura della matrice rilevante qui è tale che l'equazione descrive -350 -00:21:22,589 --> 00:21:26,400 +347 +00:21:22,523 --> 00:21:26,276 anche una sorta di rotazione, sebbene in molte applicazioni dell'equazione -351 -00:21:26,400 --> 00:21:29,680 +348 +00:21:26,276 --> 00:21:29,680 di Schròdinger sarà una rotazione in una sorta di spazio funzionale. -352 -00:21:30,520 --> 00:21:32,700 +349 +00:21:30,520 --> 00:21:32,703 Tuttavia è un po' più complicato perché in genere -353 -00:21:32,700 --> 00:21:34,800 +350 +00:21:32,703 --> 00:21:34,800 c'è una combinazione di molte rotazioni diverse. -354 -00:21:35,220 --> 00:21:37,934 +351 +00:21:35,220 --> 00:21:37,991 Ci vuole tempo per approfondire davvero questa equazione, -355 -00:21:37,934 --> 00:21:40,227 +352 +00:21:37,991 --> 00:21:40,332 e mi piacerebbe farlo in un capitolo successivo, -356 -00:21:40,227 --> 00:21:43,738 +353 +00:21:40,332 --> 00:21:43,916 ma in questo momento non posso fare a meno di alludere almeno al fatto che -357 -00:21:43,738 --> 00:21:47,529 +354 +00:21:43,916 --> 00:21:47,595 questa unità immaginaria i, che si trova così maliziosamente in un'equazione -358 -00:21:47,529 --> 00:21:51,086 -così fondamentale per tutto l'universo gioca fondamentalmente lo stesso +355 +00:21:47,595 --> 00:21:51,322 +così fondamentale per tutto l'universo gioca fondamentalmente lo stesso ruolo -359 -00:21:51,086 --> 00:21:53,520 -ruolo della matrice del nostro esempio Romeo-Giulia. +356 +00:21:51,322 --> 00:21:53,520 +della matrice del nostro esempio Romeo-Giulia. -360 +357 00:21:54,160 --> 00:21:58,453 Ciò che questo comunica è che il tasso di cambiamento di un certo stato è, -361 +358 00:21:58,453 --> 00:22:01,315 in un certo senso, perpendicolare a quello stato, -362 +359 00:22:01,315 --> 00:22:05,551 e quindi che il modo in cui le cose devono evolversi nel tempo implicherà -363 +360 00:22:05,551 --> 00:22:07,040 una sorta di oscillazione. -364 +361 00:22:11,120 --> 00:22:14,480 Ma l’esponenziazione della matrice può fare molto di più della semplice rotazione. -365 +362 00:22:15,020 --> 00:22:17,113 Puoi sempre visualizzare questo tipo di equazioni -366 +363 00:22:17,113 --> 00:22:19,040 differenziali utilizzando un campo vettoriale. -367 -00:22:20,240 --> 00:22:23,740 +364 +00:22:20,240 --> 00:22:23,593 L'idea è che questa equazione ci dice che la velocità di uno stato è -368 -00:22:23,740 --> 00:22:27,288 -interamente determinata dalla sua posizione, quindi quello che facciamo è +365 +00:22:23,593 --> 00:22:27,092 +interamente determinata dalla sua posizione, quindi quello che facciamo -369 -00:22:27,288 --> 00:22:30,931 -andare in ogni punto dello spazio e disegnare un piccolo vettore che indica +366 +00:22:27,092 --> 00:22:30,543 +è andare in ogni punto dello spazio e disegnare un piccolo vettore che -370 -00:22:30,931 --> 00:22:34,480 -quale deve essere la velocità di uno stato se passa attraverso quel punto. +367 +00:22:30,543 --> 00:22:34,480 +indica quale deve essere la velocità di uno stato se passa attraverso quel punto. -371 +368 00:22:35,340 --> 00:22:38,344 Per il nostro tipo di equazione, ciò significa che andiamo -372 +369 00:22:38,344 --> 00:22:41,400 in ogni punto v nello spazio e associamo il vettore m per v. -373 +370 00:22:54,020 --> 00:22:58,265 Per comprendere intuitivamente come si evolverà una determinata condizione iniziale, -374 +371 00:22:58,265 --> 00:23:02,062 lasci che fluisca lungo questo campo con una velocità sempre corrispondente -375 +372 00:23:02,062 --> 00:23:04,360 al vettore su cui si trova in un dato momento. -376 +373 00:23:05,860 --> 00:23:09,716 Quindi, se si afferma che le soluzioni di questa equazione assomigliano -377 +374 00:23:09,716 --> 00:23:12,609 a e alla mt moltiplicata per una condizione iniziale, -378 +375 00:23:12,609 --> 00:23:16,413 significa che puoi visualizzare cosa fa la matrice e alla mt lasciando -379 +376 00:23:16,413 --> 00:23:21,020 che ogni possibile condizione iniziale scorra lungo questo campo per t unità di tempo. -380 -00:23:25,080 --> 00:23:28,733 +377 +00:23:25,080 --> 00:23:28,594 La transizione dall'inizio alla fine è descritta -381 -00:23:28,733 --> 00:23:32,180 +378 +00:23:28,594 --> 00:23:32,180 da qualunque matrice emerga dal calcolo da e a mt. -382 +379 00:23:33,540 --> 00:23:36,963 Nel nostro esempio principale con la matrice di rotazione di 90 gradi, -383 +380 00:23:36,963 --> 00:23:39,904 il campo vettoriale ha questo aspetto e, come abbiamo visto, -384 +381 00:23:39,904 --> 00:23:43,423 e to mt descrive la rotazione in quel caso, che si allinea con il flusso -385 +382 00:23:43,423 --> 00:23:44,340 lungo questo campo. -386 -00:23:45,800 --> 00:23:49,022 +383 +00:23:45,800 --> 00:23:49,115 Come altro esempio, più Romeo e Giulietta sono shakespeariani potrebbero -387 -00:23:49,022 --> 00:23:51,626 +384 +00:23:49,115 --> 00:23:51,613 avere equazioni che somigliano un po' di più a questa, -388 -00:23:51,626 --> 00:23:54,407 +385 +00:23:51,613 --> 00:23:54,474 dove il governo di Giulietta è simmetrico con quello di Romeo, -389 -00:23:54,407 --> 00:23:58,380 +386 +00:23:54,474 --> 00:23:58,380 ed entrambi sono inclini a lasciarsi trasportare in risposta ai sentimenti dell'altro. -390 +387 00:23:59,360 --> 00:24:02,961 Ancora una volta, il modo in cui è stato definito il campo vettoriale che stai -391 +388 00:24:02,961 --> 00:24:06,700 guardando è andare in ciascun punto v nello spazio e collegare il vettore m per v. -392 +389 00:24:07,160 --> 00:24:10,167 Questo è il modo pittorico per dire che il tasso di cambiamento -393 +390 00:24:10,167 --> 00:24:12,940 di uno stato deve sempre essere uguale a m volte se stesso. -394 +391 00:24:14,160 --> 00:24:18,600 Ma per questo esempio, il flusso lungo il campo appare molto diverso da come era prima. -395 -00:24:19,200 --> 00:24:22,940 +392 +00:24:19,200 --> 00:24:23,252 Se Romeo e Giulietta iniziano da qualche parte in questa metà in alto a destra del piano, -396 -00:24:22,940 --> 00:24:26,640 +393 +00:24:23,252 --> 00:24:27,080 i loro sentimenti si alimenteranno a vicenda ed entrambi tenderanno verso l'infinito. -397 -00:24:26,640 --> 00:24:31,372 -Se sono nell'altra metà dell'aereo, diciamo solo che +394 +00:24:30,580 --> 00:24:33,780 +Se sono nell'altra metà dell'aereo, diciamo solo che rimangono -398 -00:24:31,372 --> 00:24:36,880 -rimangono più fedeli alle tradizioni della famiglia Capuleti e Montagu. +395 +00:24:33,780 --> 00:24:36,880 +più fedeli alle tradizioni della famiglia Capuleti e Montagu. -399 -00:24:38,020 --> 00:24:41,875 -Quindi, anche prima di provare a calcolare l'esponenziale di questa particolare +396 +00:24:38,020 --> 00:24:42,312 +Quindi, anche prima di provare a calcolare l'esponenziale di questa particolare matrice, -400 -00:24:41,875 --> 00:24:45,640 -matrice, puoi già avere un'idea intuitiva di come dovrebbe essere la risposta. +397 +00:24:42,312 --> 00:24:45,640 +puoi già avere un'idea intuitiva di come dovrebbe essere la risposta. -401 -00:24:46,160 --> 00:24:50,366 +398 +00:24:46,160 --> 00:24:50,433 La matrice risultante dovrebbe descrivere la transizione dal tempo 0 al tempo t, -402 -00:24:50,366 --> 00:24:54,885 +399 +00:24:50,433 --> 00:24:55,022 che se si guarda il campo sembra indicare che si schiaccerà lungo una diagonale mentre -403 -00:24:54,885 --> 00:24:59,560 +400 +00:24:55,022 --> 00:24:59,560 si estenderà lungo un'altra, diventando più estremo man mano che t diventa più grande. -404 +401 00:25:00,780 --> 00:25:03,588 Naturalmente, tutto ciò presuppone che e moltiplicato per mt -405 +402 00:25:03,588 --> 00:25:06,720 volte una condizione iniziale risolva effettivamente questi sistemi. -406 +403 00:25:07,640 --> 00:25:11,320 Questo è uno di quei fatti a cui è più facile credere quando lo capisci da solo. -407 +404 00:25:12,300 --> 00:25:14,300 Ma farò un rapido schizzo approssimativo. -408 +405 00:25:16,020 --> 00:25:19,000 Scrivi il polinomio completo che definisce e in mt e -409 +406 00:25:19,000 --> 00:25:22,600 moltiplicalo per un vettore di condizione iniziale sulla destra. -410 +407 00:25:26,540 --> 00:25:29,420 E poi prendiamo la derivata di questo rispetto a t. -411 +408 00:25:30,180 --> 00:25:32,517 Poiché la matrice m è una costante, ciò significa semplicemente -412 +409 00:25:32,517 --> 00:25:34,600 applicare la regola della potenza a ciascuno dei termini. -413 +410 00:25:43,340 --> 00:25:47,000 E quella regola di potere si annulla davvero bene con i termini fattoriali. -414 -00:25:52,920 --> 00:25:57,038 +411 +00:25:52,920 --> 00:25:56,940 Quindi ciò che ci rimane è un'espressione che sembra quasi identica a quella che -415 -00:25:57,038 --> 00:26:01,060 +412 +00:25:56,940 --> 00:26:01,060 avevamo prima, tranne per il fatto che ogni termine ha una m in più appesa ad esso. -416 +413 00:26:01,140 --> 00:26:03,020 Ma questo può essere preso in considerazione a sinistra. -417 -00:26:03,580 --> 00:26:08,348 +414 +00:26:03,580 --> 00:26:08,379 Quindi la derivata dell'espressione è m volte l'espressione originale, -418 -00:26:08,348 --> 00:26:10,340 +415 +00:26:08,379 --> 00:26:10,340 e quindi risolve l'equazione. -419 -00:26:11,420 --> 00:26:15,001 +416 +00:26:11,420 --> 00:26:15,075 Questo in realtà nasconde sotto il tappeto alcuni dettagli necessari per il rigore, -420 -00:26:15,001 --> 00:26:18,626 +417 +00:26:15,075 --> 00:26:18,775 per lo più incentrati sulla questione se questa cosa effettivamente converge o meno, -421 -00:26:18,626 --> 00:26:19,820 +418 +00:26:18,775 --> 00:26:19,820 ma dà l'idea principale. -422 +419 00:26:21,020 --> 00:26:24,518 Nel prossimo capitolo vorrei parlare più approfonditamente delle proprietà -423 +420 00:26:24,518 --> 00:26:28,109 di questa operazione, in particolare della sua relazione con gli autovettori -424 +421 00:26:28,109 --> 00:26:31,468 e gli autovalori, che ci porta a modi più concreti di pensare a come si -425 +422 00:26:31,468 --> 00:26:34,780 esegue effettivamente questo calcolo, che altrimenti sembrerebbe folle. -426 -00:26:36,060 --> 00:26:51,378 +423 +00:26:36,060 --> 00:26:51,832 Inoltre, se il tempo lo permette, potrebbe essere divertente parlare -427 -00:26:51,378 --> 00:27:06,920 +424 +00:26:51,832 --> 00:27:06,920 di cosa significhi elevare e alla potenza dell'operatore derivato. diff --git a/2021/matrix-exponents/japanese/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/japanese/auto_generated.srt index 2d13b4e75..3efc171f0 100644 --- a/2021/matrix-exponents/japanese/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/japanese/auto_generated.srt @@ -299,23 +299,23 @@ とおり、繰り返し乗算を意味します。 76 -00:03:53,840 --> 00:03:57,062 +00:03:53,840 --> 00:03:57,252 この多項式の各項は、1 を階乗で割った値でスケー 77 -00:03:57,062 --> 00:03:59,768 +00:03:57,252 --> 00:04:00,119 リングされます。 行列の場合は、各成分にそ 78 -00:03:59,768 --> 00:04:01,960 +00:04:00,119 --> 00:04:02,440 の数値を乗算することを意味します。 79 -00:04:01,960 --> 00:04:05,390 +00:04:03,280 --> 00:04:06,050 同様に、2 つの行列を加算することは常に意 80 -00:04:05,390 --> 00:04:08,820 +00:04:06,050 --> 00:04:08,820 味があり、これもまた項ごとに実 行します。 81 @@ -343,15 +343,15 @@ の 2x2 行列を考えてみましょう。 87 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 合計が何を与えるか見てみましょう。 88 -00:04:26,200 --> 00:04:30,437 +00:04:27,280 --> 00:04:30,892 最初の項は恒等行列 で、これは実際に行列の 89 -00:04:30,437 --> 00:04:33,520 +00:04:30,892 --> 00:04:33,520 0 乗の定義で意味するものです。 90 @@ -527,63 +527,63 @@ 1 つは量子力学に関するものです。 133 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 人間関係から始めましょう。 134 -00:06:38,540 --> 00:06:42,845 +00:06:43,080 --> 00:06:46,261 恋人が 2 人いるとします。 ロミオとジュリエッ 135 -00:06:42,845 --> 00:06:46,791 +00:06:46,261 --> 00:06:49,178 トと呼びます。 x はジュリエットのロミオ 136 -00:06:46,791 --> 00:06:51,814 +00:06:49,178 --> 00:06:52,890 への愛を表し、y はジュリエットの彼女への愛を表します。 137 -00:06:51,814 --> 00:06:55,940 +00:06:52,890 --> 00:06:55,940 どちらも時間とともに変化する 値になります。 138 -00:06:56,900 --> 00:06:58,927 +00:06:56,900 --> 00:06:59,051 これは、Steven Strogatz 139 -00:06:58,927 --> 00:07:00,549 +00:06:59,051 --> 00:07:00,773 の記事に基づいた、第 1 章で 140 -00:07:00,549 --> 00:07:02,780 +00:07:00,773 --> 00:07:03,140 実際に触れた例ですが、見なくても大丈夫です。 141 -00:07:02,780 --> 00:07:06,155 +00:07:03,580 --> 00:07:06,406 彼らの関係がどのように機能するかというと、ジ 142 -00:07:06,155 --> 00:07:10,117 +00:07:06,406 --> 00:07:09,724 ュリエットのロミオに対する愛の変化率、この値の導関数は 143 -00:07:10,117 --> 00:07:13,052 +00:07:09,724 --> 00:07:12,182 、ロミオの彼女に対する愛のマイナス 1 144 -00:07:13,052 --> 00:07:14,960 +00:07:12,182 --> 00:07:13,780 倍に等しいということです。 145 -00:07:14,960 --> 00:07:17,584 +00:07:14,560 --> 00:07:17,290 言い換えれば、ロミオが冷静に無関心を示 146 -00:07:17,584 --> 00:07:21,257 +00:07:17,290 --> 00:07:21,113 しているときは、ジュリエットの感情が高まるときですが、 147 -00:07:21,257 --> 00:07:24,800 +00:07:21,113 --> 00:07:24,800 ロミオが夢中になりすぎると、彼女の興味は薄れ始めます。 148 @@ -711,27 +711,27 @@ t が 0 に等しい最初の条件セ ケージ化すると便利な ことがよくあります。 179 -00:08:58,800 --> 00:09:02,352 +00:08:58,800 --> 00:09:02,742 したがって、ロミオとジュリエットの場合、彼らの関係を 180 -00:09:02,352 --> 00:09:04,983 +00:09:02,742 --> 00:09:05,663 2D 空間内の 点として考えてください。 181 -00:09:04,983 --> 00:09:07,746 +00:09:05,663 --> 00:09:08,729 x 座標はジュリエットの感情を捉え、y 182 -00:09:07,746 --> 00:09:09,720 +00:09:08,729 --> 00:09:10,920 座標はロミオの感情を捉えます。 183 -00:09:09,720 --> 00:09:13,905 +00:09:13,200 --> 00:09:15,675 この状態を原点からの矢印としてイメージすると役立つ場合も 184 -00:09:13,905 --> 00:09:18,240 +00:09:15,675 --> 00:09:18,240 ありますし、単なる点としてイメージできる場合もありま す。 185 @@ -783,43 +783,43 @@ t が 0 に等しい最初の条件セ 行列と元のベクトル xy の積として書き直すことができます。 197 -00:10:02,080 --> 00:10:04,390 +00:10:02,080 --> 00:10:04,510 上の行はジュリエットのルールをエンコードし、 198 -00:10:04,390 --> 00:10:06,700 +00:10:04,510 --> 00:10:06,940 下の行はロミオのルー ルをエンコードします。 199 -00:10:06,700 --> 00:10:14,485 +00:10:07,800 --> 00:10:12,306 したがって、ここにあるのは、あるベクトルの変化率が特定の 200 -00:10:14,485 --> 00:10:20,660 +00:10:12,306 --> 00:10:15,880 行列自体の積に等しいことを示す微分方程式です。 201 -00:10:20,660 --> 00:10:23,461 +00:10:19,120 --> 00:10:21,773 行列のべき乗がこの種の方程 式をどのように解くか 202 -00:10:23,461 --> 00:10:26,263 +00:10:21,773 --> 00:10:24,427 については後ほど説明しますが、その前に、この特定 203 -00:10:26,263 --> 00:10:29,065 +00:10:24,427 --> 00:10:27,080 のシステムを 解く簡単な方法、純粋な幾何学を使用 204 -00:10:29,065 --> 00:10:32,101 +00:10:27,080 --> 00:10:29,955 する方法を示します。 これは行列を視覚化するための 205 -00:10:32,101 --> 00:10:35,020 +00:10:29,955 --> 00:10:32,720 準備を整えるのに役立ちます。 指数はもう少し後で。 206 -00:10:35,020 --> 00:10:37,380 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 私たちのシステムからのこの行列は 9 0 度の回転行列です。 207 @@ -871,39 +871,39 @@ t が 0 に等しい最初の条件セ ケーリングおよび加算した結果です。 219 -00:11:17,720 --> 00:11:19,916 +00:11:17,720 --> 00:11:20,016 そこで、私たちのシステムの行列を振り返ってみると、 220 -00:11:19,916 --> 00:11:21,848 +00:11:20,016 --> 00:11:22,036 その列から、最初の基 底ベクトルが 0 1 221 -00:11:21,848 --> 00:11:23,868 +00:11:22,036 --> 00:11:24,148 になり、2 番目の基底ベクトルが負の 1 0 222 -00:11:23,868 --> 00:11:26,152 +00:11:24,148 --> 00:11:26,536 になることがどのようにわかるかに注目してく ださい。 223 -00:11:26,152 --> 00:11:28,700 +00:11:26,536 --> 00:11:29,200 したがって、これを 90 度回転行列と呼んでいるのです。 224 -00:11:28,700 --> 00:11:31,828 +00:11:30,880 --> 00:11:33,494 これが私たちの方程式にとって意味すること 225 -00:11:31,828 --> 00:11:36,149 +00:11:33,494 --> 00:11:37,104 は、ロミオとジュリエットがこの状態空間のどこにいても、その 226 -00:11:36,149 --> 00:11:38,980 +00:11:37,104 --> 00:11:39,470 変化率はこの位置ベクトルの 90 度 227 -00:11:38,980 --> 00:11:41,960 +00:11:39,470 --> 00:11:41,960 回転のように見えるはずだということです。 228 @@ -991,35 +991,35 @@ t が 0 に等しい最初の条件セ ができます。 249 -00:13:00,120 --> 00:13:03,147 +00:13:00,120 --> 00:13:03,396 熱心な視聴者の方は、少し立ち止まって、ここから得られる 250 -00:13:03,147 --> 00:13:05,850 +00:13:03,396 --> 00:13:06,322 t の x と t の y に関する明示的な式が、 251 -00:13:05,850 --> 00:13:08,877 +00:13:06,322 --> 00:13:09,599 最初に始めた微分方程式系を実際に満たしているかどうかを 252 -00:13:08,877 --> 00:13:11,040 +00:13:09,599 --> 00:13:11,940 確認するのを楽しむこともできるでしょう。 253 -00:13:11,040 --> 00:13:15,236 +00:13:17,740 --> 00:13:20,056 あなたの中の数学者は、この特定のシステムだけ 254 -00:13:15,236 --> 00:13:20,161 +00:13:20,056 --> 00:13:22,776 でなく、係数が何であっても、他の行列についても同様の方 255 -00:13:20,161 --> 00:13:23,263 +00:13:22,776 --> 00:13:24,489 程式を解くことができるのではない 256 -00:13:23,263 --> 00:13:26,000 +00:13:24,489 --> 00:13:26,000 かと疑問に思うかもしれません。 257 @@ -1051,31 +1051,31 @@ t の x と t の y に関する明示的な式が、 を理解することです。 264 -00:13:46,520 --> 00:13:49,124 +00:13:46,520 --> 00:13:49,267 それほど奇抜ではない例としては、シュレーディンガーの有名 265 -00:13:49,124 --> 00:13:51,078 +00:13:49,267 --> 00:13:51,328 な方程式があります。 これは、量子力学の 266 -00:13:51,078 --> 00:13:53,682 +00:13:51,328 --> 00:13:54,076 システムが時間の経過とともにどのように変化するかを説明す 267 -00:13:53,682 --> 00:13:54,520 +00:13:54,076 --> 00:13:54,960 る基本方程式です。 268 -00:13:54,520 --> 00:13:57,120 +00:13:55,680 --> 00:13:57,893 かなり威圧的に見 えますが、量子力学なので 269 -00:13:57,120 --> 00:14:00,339 +00:13:57,893 --> 00:14:00,633 当然そうなりますが、実際にはロミオとジュリエットの 270 -00:14:00,339 --> 00:14:02,320 +00:14:00,633 --> 00:14:02,320 設定とそれほど違いはありません。 271 @@ -1179,23 +1179,23 @@ t の x と t の y に関する明示的な式が、 これはそれ自体非常に重要な方程式です。 296 -00:15:11,700 --> 00:15:13,630 +00:15:11,700 --> 00:15:14,000 値の変化率が値自体に比例する 場 297 -00:15:13,630 --> 00:15:15,560 +00:15:14,000 --> 00:15:16,300 合、これは非常に強力な概念です。 298 -00:15:15,560 --> 00:15:20,046 +00:15:16,760 --> 00:15:20,846 これは、複利、限られた資源 の影響が始まる前の人 299 -00:15:20,046 --> 00:15:23,785 +00:15:20,846 --> 00:15:24,252 口増加の初期段階、または人口の大部分が 300 -00:15:23,785 --> 00:15:29,020 +00:15:24,252 --> 00:15:29,020 影響を受けやすい流行の初期段階などを支配する方程式です。 301 @@ -1423,27 +1423,27 @@ t の多項式のように見え、そのすべてが関連する階 私にとって、これは非常に美しいことです。 357 -00:19:09,680 --> 00:19:12,183 +00:19:09,680 --> 00:19:12,418 同じシステムについてまったく異なる推論方法が 358 -00:19:12,183 --> 00:19:14,360 +00:19:12,418 --> 00:19:14,800 2 つあり、それらは同じ答えを与えます。 359 -00:19:14,360 --> 00:19:16,950 +00:19:15,480 --> 00:19:17,837 つまり、彼らがそうしているのは安心できる 360 -00:19:16,950 --> 00:19:20,034 +00:19:17,837 --> 00:19:20,644 ことですが、この多項式をざっと計算するときと、位置 361 -00:19:20,034 --> 00:19:23,119 +00:19:20,644 --> 00:19:23,451 に垂直な速度が何を意味する のかを幾何学的に推論す 362 -00:19:23,119 --> 00:19:26,820 +00:19:23,451 --> 00:19:26,820 るときの思考様式がどれほど異なるかは、途方もないことで す。 363 @@ -1483,23 +1483,23 @@ t の多項式のように見え、そのすべてが関連する階 る別の方法です。 372 -00:19:54,040 --> 00:19:57,115 +00:19:54,040 --> 00:19:57,396 現在わかっているように、これにはこの状態空間内のすべてを 373 -00:19:57,115 --> 00:19:59,661 +00:19:57,396 --> 00:20:00,175 180 度回転する効果があり、 これはマイナス 374 -00:19:59,661 --> 00:20:01,040 +00:20:00,175 --> 00:20:01,680 1 を掛けるのと同じです。 375 -00:20:01,040 --> 00:20:04,039 +00:20:03,060 --> 00:20:05,296 また、虚数指数に詳しい人にとって 376 -00:20:04,039 --> 00:20:08,980 +00:20:05,296 --> 00:20:08,980 、この特定の例はおそらく多くの鐘を鳴らしているでしょう。 377 @@ -1783,27 +1783,27 @@ t の多項式のように見え、そのすべてが関連する階 流れが以前とは大きく異なって見えます。 447 -00:24:19,200 --> 00:24:21,642 +00:24:19,200 --> 00:24:21,787 ロミオとジュリエットがこの平面の右上半分のど 448 -00:24:21,642 --> 00:24:24,085 +00:24:21,787 --> 00:24:24,374 こかから出発すると、二 人の感情はお互いに影 449 -00:24:24,085 --> 00:24:26,640 +00:24:24,374 --> 00:24:27,080 響し合い、両方とも無限に向かう傾向があります。 450 -00:24:26,640 --> 00:24:30,002 +00:24:30,580 --> 00:24:32,648 もし彼らが飛行機の反対側にいるなら、彼らはキ 451 -00:24:30,002 --> 00:24:33,976 +00:24:32,648 --> 00:24:35,093 ャピュレット家とモンタギュー家の伝統により忠実であ 452 -00:24:33,976 --> 00:24:36,880 +00:24:35,093 --> 00:24:36,880 り続けているとだけ言っておきましょう。 453 diff --git a/2021/matrix-exponents/korean/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/korean/auto_generated.srt index b333af67c..c24d4a591 100644 --- a/2021/matrix-exponents/korean/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/korean/auto_generated.srt @@ -323,23 +323,23 @@ 기대하는 반복된 곱셈을 정확하게 의미합니다. 82 -00:03:53,840 --> 00:03:56,617 +00:03:53,840 --> 00:03:56,782 이 다항식의 각 항은 1을 일부 계승으로 나눈 83 -00:03:56,617 --> 00:03:59,182 +00:03:56,782 --> 00:03:59,497 값으로 스케일링되며, 행렬의 경우 이는 각 84 -00:03:59,182 --> 00:04:01,960 +00:03:59,497 --> 00:04:02,440 구성 요소에 해당 숫자를 곱한다는 의미입니다. 85 -00:04:01,960 --> 00:04:05,209 +00:04:03,280 --> 00:04:05,904 마찬가지로, 두 행렬을 합치는 것은 항상 의미가 86 -00:04:05,209 --> 00:04:08,820 +00:04:05,904 --> 00:04:08,820 있습니다. 이것은 용어별로 다시 수행하는 작업입니다. 87 @@ -371,19 +371,19 @@ 있는 이 2x2 행렬을 살펴보겠습니다. 94 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 그 합계가 무엇인지 봅시다. 95 -00:04:26,200 --> 00:04:28,538 +00:04:27,280 --> 00:04:29,273 첫 번째 항은 항등 행렬(Identity 96 -00:04:28,538 --> 00:04:30,876 +00:04:29,273 --> 00:04:31,266 Matrix)입니다. 이는 실제로 행렬을 97 -00:04:30,876 --> 00:04:33,520 +00:04:31,266 --> 00:04:33,520 0승으로 올릴 때 정의에서 의미하는 것입니다. 98 @@ -571,67 +571,67 @@ Matrix)입니다. 이는 실제로 행렬을 하나는 양자역학을 포함합니다. 144 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 관계부터 시작해보자. 145 -00:06:38,540 --> 00:06:41,227 +00:06:43,080 --> 00:06:45,066 두 명의 연인이 있다고 가정하고, 146 -00:06:41,227 --> 00:06:44,198 +00:06:45,066 --> 00:06:47,262 그들을 로미오와 줄리엣이라고 부르고, 147 -00:06:44,198 --> 00:06:47,876 +00:06:47,262 --> 00:06:49,980 x는 로미오에 대한 줄리엣의 사랑을 나타내고, 148 -00:06:47,876 --> 00:06:52,120 +00:06:49,980 --> 00:06:53,117 y는 그녀에 대한 그의 사랑을 나타낸다고 가정합니다. 149 -00:06:52,120 --> 00:06:55,940 +00:06:53,117 --> 00:06:55,940 둘 다 시간에 따라 변하는 가치가 될 것입니다. 150 -00:06:56,900 --> 00:06:58,709 +00:06:56,900 --> 00:06:58,819 이것은 Steven Strogatz 151 -00:06:58,709 --> 00:07:01,332 +00:06:58,819 --> 00:07:01,604 기사를 기반으로 1장에서 실제로 다루었던 예이지만, 152 -00:07:01,332 --> 00:07:02,780 +00:07:01,604 --> 00:07:03,140 보지 못하더라도 괜찮습니다. 153 -00:07:02,780 --> 00:07:06,885 +00:07:03,580 --> 00:07:07,018 그들의 관계가 작동하는 방식은 로미오에 대한 줄리엣의 154 -00:07:06,885 --> 00:07:10,717 +00:07:07,018 --> 00:07:10,227 사랑이 변하는 비율, 즉 이 값의 파생물이 그녀에 155 -00:07:10,717 --> 00:07:14,823 +00:07:10,227 --> 00:07:13,665 대한 로미오의 사랑의 마이너스 1배와 같다는 것입니다. 156 -00:07:14,823 --> 00:07:14,960 +00:07:13,665 --> 00:07:13,780 157 -00:07:14,960 --> 00:07:18,410 +00:07:14,560 --> 00:07:18,150 즉, 로미오가 쿨하게 무관심을 표현하면 줄리엣의 158 -00:07:18,410 --> 00:07:21,732 +00:07:18,150 --> 00:07:21,608 감정이 커지는 반면, 줄리엣이 너무 푹 빠지면 159 -00:07:21,732 --> 00:07:24,800 +00:07:21,608 --> 00:07:24,800 줄리엣의 관심은 시들기 시작한다는 것이다. 160 @@ -755,27 +755,27 @@ y(t)에 대한 명시적 함수를 찾는 것이 문제입니다. 함께 패키징하는 것이 도움이 되는 경우가 많습니다. 190 -00:08:58,800 --> 00:09:02,355 +00:08:58,800 --> 00:09:02,746 따라서 로미오와 줄리엣의 경우 그들의 관계를 2D 191 -00:09:02,355 --> 00:09:05,783 +00:09:02,746 --> 00:09:06,551 공간의 한 점으로 생각하고, x 좌표는 줄리엣의 192 -00:09:05,783 --> 00:09:09,593 +00:09:06,551 --> 00:09:10,779 감정을 포착하고 y 좌표는 로미오의 감정을 포착합니다. 193 -00:09:09,593 --> 00:09:09,720 +00:09:10,779 --> 00:09:10,920 194 -00:09:09,720 --> 00:09:13,506 +00:09:13,200 --> 00:09:15,440 때로는 이 상태를 원점으로부터의 화살표로, 195 -00:09:13,506 --> 00:09:18,240 +00:09:15,440 --> 00:09:18,240 때로는 점으로 묘사하는 것이 도움이 될 수 있습니다. 196 @@ -843,75 +843,75 @@ y이고 y의 변화율이 x라는 것입니다. 맨 아래 행은 로미오의 규칙을 인코딩합니다. 212 -00:10:07,800 --> 00:10:12,086 +00:10:07,800 --> 00:10:10,493 따라서 여기에 있는 것은 일부 벡터의 213 -00:10:12,086 --> 00:10:15,965 +00:10:10,493 --> 00:10:12,930 변화율이 특정 행렬 곱하기 자체와 214 -00:10:15,965 --> 00:10:20,660 +00:10:12,930 --> 00:10:15,880 같다는 것을 알려주는 미분 방정식입니다. 215 -00:10:20,660 --> 00:10:23,263 +00:10:19,120 --> 00:10:21,302 잠시 후에 행렬 지수화가 이런 종류의 방정식을 216 -00:10:23,263 --> 00:10:25,465 +00:10:21,302 --> 00:10:23,149 해결하는 방법에 대해 이야기하겠습니다. 217 -00:10:25,465 --> 00:10:28,069 +00:10:23,149 --> 00:10:25,332 하지만 그 전에 이 특정 시스템을 풀 수 있는 218 -00:10:28,069 --> 00:10:30,572 +00:10:25,332 --> 00:10:27,431 더 간단한 방법, 즉 순수 기하학을 사용하는 219 -00:10:30,572 --> 00:10:33,375 +00:10:27,431 --> 00:10:29,781 방법을 보여드리겠습니다. 이 방법은 행렬 시각화를 220 -00:10:33,375 --> 00:10:35,678 +00:10:29,781 --> 00:10:31,712 위한 단계를 설정하는 데 도움이 됩니다. 221 -00:10:35,678 --> 00:10:36,880 +00:10:31,712 --> 00:10:32,720 지수는 조금 나중에. 222 -00:10:36,880 --> 00:10:40,220 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 우리 시스템의 이 행렬은 90도 회전 행렬입니다. 223 -00:10:40,220 --> 00:10:42,251 +00:10:38,580 --> 00:10:40,830 행렬을 변환으로 생각하는 방법에 대해 224 -00:10:42,251 --> 00:10:44,185 +00:10:40,830 --> 00:10:42,973 잘 모르시는 분들을 위해 이 채널에 225 -00:10:44,185 --> 00:10:46,700 +00:10:42,973 --> 00:10:45,760 행렬에 관한 모든 비디오, 시리즈가 있습니다. 226 -00:10:46,700 --> 00:10:50,411 +00:10:46,400 --> 00:10:50,206 기본적인 아이디어는 행렬에 벡터 1 0을 227 -00:10:50,411 --> 00:10:53,154 +00:10:50,206 --> 00:10:53,019 곱하면 첫 번째 열을 꺼내고, 228 -00:10:53,154 --> 00:10:56,866 +00:10:53,019 --> 00:10:56,825 마찬가지로 0 1을 곱하면 두 번째 열을 229 -00:10:56,866 --> 00:10:58,480 +00:10:56,825 --> 00:10:58,480 꺼내는 것입니다. 230 @@ -939,39 +939,39 @@ y이고 y의 변화율이 x라는 것입니다. 크기 조정하고 추가한 결과입니다. 236 -00:11:17,720 --> 00:11:20,488 +00:11:17,720 --> 00:11:20,614 따라서 우리 시스템의 행렬을 다시 살펴보면 열을 통해 237 -00:11:20,488 --> 00:11:23,256 +00:11:20,614 --> 00:11:23,508 첫 번째 기본 벡터를 0 1로 가져오고 두 번째 기본 238 -00:11:23,256 --> 00:11:25,839 +00:11:23,508 --> 00:11:26,209 벡터를 -1 0으로 가져오는 것을 알 수 있으므로 239 -00:11:25,839 --> 00:11:28,607 +00:11:26,209 --> 00:11:29,103 이를 90도 회전 행렬이라고 부르는 이유에 주목하세요. 240 -00:11:28,607 --> 00:11:28,700 +00:11:29,103 --> 00:11:29,200 241 -00:11:28,700 --> 00:11:32,573 +00:11:30,880 --> 00:11:34,116 이것이 우리 방정식에서 의미하는 바는 이 상태 242 -00:11:32,573 --> 00:11:36,447 +00:11:34,116 --> 00:11:37,353 공간에서 로미오와 줄리엣이 어디에 있든 그들의 243 -00:11:36,447 --> 00:11:40,470 +00:11:37,353 --> 00:11:40,715 변화율은 이 위치 벡터의 90도 회전처럼 보여야 244 -00:11:40,470 --> 00:11:41,960 +00:11:40,715 --> 00:11:41,960 한다는 것입니다. 245 @@ -1063,31 +1063,31 @@ sin t cos t로 사용한다는 것을 알려줍니다. 예측하려면 이 행렬에 초기 상태를 곱하면 됩니다. 267 -00:13:00,120 --> 00:13:02,794 +00:13:00,120 --> 00:13:03,014 여러분 중 활동적인 시청자들은 잠시 멈춰서 268 -00:13:02,794 --> 00:13:05,245 +00:13:03,014 --> 00:13:05,668 x(t)와 y(t)에 대해 얻은 명시적 269 -00:13:05,245 --> 00:13:07,808 +00:13:05,668 --> 00:13:08,442 공식이 실제로 우리가 시작한 미분 방정식 270 -00:13:07,808 --> 00:13:11,040 +00:13:08,442 --> 00:13:11,940 시스템을 만족하는지 확인하는 것을 좋아할 것입니다. 271 -00:13:11,040 --> 00:13:16,026 +00:13:17,740 --> 00:13:20,493 여러분 안의 수학자라면 이 특정 시스템뿐만 272 -00:13:16,026 --> 00:13:21,221 +00:13:20,493 --> 00:13:23,361 아니라 계수에 관계없이 다른 행렬에 대해서도 273 -00:13:21,221 --> 00:13:26,000 +00:13:23,361 --> 00:13:26,000 방정식을 풀 수 있는지 궁금할 것입니다. 274 @@ -1123,27 +1123,27 @@ x(t)와 y(t)에 대해 얻은 명시적 것입니다. 282 -00:13:46,520 --> 00:13:49,482 +00:13:46,520 --> 00:13:49,645 훨씬 덜 기발한 예는 슈뢰딩거의 유명한 방정식입니다. 283 -00:13:49,482 --> 00:13:52,050 +00:13:49,645 --> 00:13:52,355 이 방정식은 양자 역학의 시스템이 시간에 따라 284 -00:13:52,050 --> 00:13:54,520 +00:13:52,355 --> 00:13:54,960 어떻게 변하는지 설명하는 기본 방정식입니다. 285 -00:13:54,520 --> 00:13:57,191 +00:13:55,680 --> 00:13:57,953 상당히 위협적으로 보입니다. 양자 역학이므로 286 -00:13:57,191 --> 00:13:59,541 +00:13:57,953 --> 00:13:59,955 당연히 그럴 것입니다. 하지만 실제로는 287 -00:13:59,541 --> 00:14:02,320 +00:13:59,955 --> 00:14:02,320 로미오와 줄리엣 설정과 크게 다르지 않습니다. 288 @@ -1247,27 +1247,27 @@ x(t)와 y(t)에 대해 얻은 명시적 이것은 그 자체로 매우 중요한 방정식이다. 313 -00:15:11,700 --> 00:15:13,577 +00:15:11,700 --> 00:15:13,937 값의 변화율이 값 자체에 비례할 314 -00:15:13,577 --> 00:15:15,560 +00:15:13,937 --> 00:15:16,300 때 이는 매우 강력한 개념입니다. 315 -00:15:15,560 --> 00:15:20,098 +00:15:16,760 --> 00:15:20,894 이는 복리, 제한된 자원의 영향이 시작되기 전 인구 316 -00:15:20,098 --> 00:15:24,168 +00:15:20,894 --> 00:15:24,600 증가의 초기 단계 또는 대부분의 인구가 취약한 317 -00:15:24,168 --> 00:15:28,863 +00:15:24,600 --> 00:15:28,877 전염병의 초기 단계와 같은 것을 지배하는 방정식입니다. 318 -00:15:28,863 --> 00:15:29,020 +00:15:28,877 --> 00:15:29,020 319 @@ -1523,31 +1523,31 @@ Taylor 시리즈에 정통한 분들은 이러한 구성 나에게 이것은 매우 아름답습니다. 382 -00:19:09,680 --> 00:19:11,214 +00:19:09,680 --> 00:19:11,358 우리는 동일한 시스템에 대해 완전히 383 -00:19:11,214 --> 00:19:12,979 +00:19:11,358 --> 00:19:13,289 다른 두 가지 추론 방식을 갖고 있으며, 384 -00:19:12,979 --> 00:19:14,360 +00:19:13,289 --> 00:19:14,800 그들은 동일한 답을 제공합니다. 385 -00:19:14,360 --> 00:19:17,582 +00:19:15,480 --> 00:19:18,412 내 말은, 그들이 그렇게 한다는 것은 안심이 되지만, 386 -00:19:17,582 --> 00:19:20,804 +00:19:18,412 --> 00:19:21,345 이 다항식을 샅샅이 조사할 때와 위치에 수직인 속도가 387 -00:19:20,804 --> 00:19:23,812 +00:19:21,345 --> 00:19:24,082 무엇을 의미해야 하는지에 대해 기하학적으로 추론할 388 -00:19:23,812 --> 00:19:26,820 +00:19:24,082 --> 00:19:26,820 때 사고 방식이 얼마나 다른지는 정말 놀랍습니다. 389 @@ -1591,23 +1591,23 @@ pi를 갖는 행렬을 사용하여 처음에 보았던 설정이 수행하는 작업을 설명하는 또 다른 방법입니다. 399 -00:19:54,040 --> 00:19:56,178 +00:19:54,040 --> 00:19:56,374 우리가 지금 알고 있듯이 이는 이 상태 400 -00:19:56,178 --> 00:19:58,317 +00:19:56,374 --> 00:19:58,708 공간에서 모든 것을 180도 회전시키는 401 -00:19:58,317 --> 00:20:01,040 +00:19:58,708 --> 00:20:01,680 효과가 있으며 이는 -1을 곱하는 것과 같습니다. 402 -00:20:01,040 --> 00:20:04,844 +00:20:03,060 --> 00:20:05,896 또한, 허수 지수에 익숙한 분들이라면 이 403 -00:20:04,844 --> 00:20:08,980 +00:20:05,896 --> 00:20:08,980 특별한 예가 아마도 엄청나게 울릴 것입니다. 404 @@ -1919,27 +1919,27 @@ i를 곱하는 것도 90도 회전처럼 작용하기 흐름이 이전과 많이 달라 보입니다. 481 -00:24:19,200 --> 00:24:21,804 +00:24:19,200 --> 00:24:21,958 로미오와 줄리엣이 비행기의 오른쪽 상단 어디에서든 482 -00:24:21,804 --> 00:24:24,129 +00:24:21,958 --> 00:24:24,420 출발한다면, 그들의 감정은 서로 자극을 받아 483 -00:24:24,129 --> 00:24:26,640 +00:24:24,420 --> 00:24:27,080 둘 다 무한대를 향해 나아가는 경향이 있습니다. 484 -00:24:26,640 --> 00:24:30,245 +00:24:30,580 --> 00:24:32,798 만약 그들이 비행기의 나머지 절반에 있다면, 485 -00:24:30,245 --> 00:24:33,274 +00:24:32,798 --> 00:24:34,661 그들은 Capulet과 Montagu 486 -00:24:33,274 --> 00:24:36,880 +00:24:34,661 --> 00:24:36,880 가족의 전통에 더 충실하다고 가정하겠습니다. 487 diff --git a/2021/matrix-exponents/marathi/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/marathi/auto_generated.srt index 8abf00a2e..66853e774 100644 --- a/2021/matrix-exponents/marathi/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/marathi/auto_generated.srt @@ -235,19 +235,19 @@ या संदर्भात, पॉवर्सचा अर्थ तुम्हाला नक्की काय अपेक्षित आहे, पुनरावृत्ती गुणाकार. 60 -00:03:53,840 --> 00:03:57,540 +00:03:53,840 --> 00:03:57,759 या बहुपदीतील प्रत्येक पदाला 1 ने भागिले काही गुणनूषेने मोजले जाते, 61 -00:03:57,540 --> 00:04:01,960 +00:03:57,759 --> 00:04:02,440 आणि मॅट्रिक्ससह, याचा अर्थ असा आहे की तुम्ही प्रत्येक घटकाला त्या संख्येने गुणा. 62 -00:04:01,960 --> 00:04:05,658 +00:04:03,280 --> 00:04:06,266 त्याचप्रमाणे, दोन मॅट्रिक्स एकत्र जोडणे नेहमीच अर्थपूर्ण आहे, 63 -00:04:05,658 --> 00:04:08,820 +00:04:06,266 --> 00:04:08,820 ही अशी गोष्ट आहे जी तुम्ही पुन्हा टर्म बाय टर्म करता. 64 @@ -267,15 +267,15 @@ हे 2x2 मॅट्रिक्स घ्या ज्यात ऋणात्मक pi आणि pi आहे ज्याच्या कर्ण नोंदी बंद आहेत. 68 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 बेरीज काय देते ते पाहू. 69 -00:04:26,200 --> 00:04:29,860 +00:04:27,280 --> 00:04:30,400 पहिली संज्ञा ओळख मॅट्रिक्स आहे, जेव्हा आपण मॅट्रिक्स शून्य 70 -00:04:29,860 --> 00:04:33,520 +00:04:30,400 --> 00:04:33,520 पॉवरवर वाढवतो तेव्हा आपल्याला व्याख्येनुसार याचा अर्थ होतो. 71 @@ -415,47 +415,47 @@ एक संबंधांचा समावेश आहे आणि दुसरा क्वांटम मेकॅनिक्स. 105 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 चला नात्यापासून सुरुवात करूया. 106 -00:06:38,540 --> 00:06:43,869 +00:06:43,080 --> 00:06:47,019 समजा आपले दोन प्रेमी आहेत, आपण त्यांना रोमिओ आणि ज्युलिएट म्हणू या, 107 -00:06:43,869 --> 00:06:48,572 +00:06:47,019 --> 00:06:50,494 आणि x हे ज्युलिएटचे रोमिओवरील प्रेमाचे प्रतिनिधित्व करू या, 108 -00:06:48,572 --> 00:06:52,804 +00:06:50,494 --> 00:06:53,622 आणि y त्याचे तिच्यावरील प्रेमाचे प्रतिनिधित्व करू या, 109 -00:06:52,804 --> 00:06:55,940 +00:06:53,622 --> 00:06:55,940 ही दोन्ही मूल्ये काळानुसार बदलणारी आहेत. 110 -00:06:56,900 --> 00:06:59,738 +00:06:56,900 --> 00:06:59,912 स्टीव्हन स्ट्रोगॅट्झच्या लेखावर आधारित, आम्ही धडा 1 मध्ये प्रत्यक्षात 111 -00:06:59,738 --> 00:07:02,780 +00:06:59,912 --> 00:07:03,140 स्पर्श केलेले हे एक उदाहरण आहे, परंतु तुम्हाला ते दिसले नाही तर ते ठीक आहे. 112 -00:07:02,780 --> 00:07:08,906 +00:07:03,580 --> 00:07:08,710 त्यांच्या नातेसंबंधाची कार्यपद्धती अशी आहे की ज्युलिएटचे रोमिओवरील प्रेम ज्या दराने 113 -00:07:08,906 --> 00:07:14,960 +00:07:08,710 --> 00:07:13,780 बदलते, या मूल्याचे व्युत्पन्न, रोमियोच्या तिच्यावरील प्रेमाच्या 1 पट नकारात्मक आहे. 114 -00:07:14,960 --> 00:07:19,368 +00:07:14,560 --> 00:07:19,148 दुसऱ्या शब्दांत सांगायचे तर, जेव्हा रोमियो शांत अनास्था व्यक्त करतो, 115 -00:07:19,368 --> 00:07:24,800 +00:07:19,148 --> 00:07:24,800 तेव्हा ज्युलिएटच्या भावना वाढतात, आणि जर तो खूप मोहित झाला तर तिची आवड कमी होऊ लागते. 116 @@ -551,19 +551,19 @@ तेव्हा त्यांना एका उच्च मितीय जागेत एकाच बिंदूचे समन्वय म्हणून एकत्रित करणे उपयुक्त ठरते. 139 -00:08:58,800 --> 00:09:03,619 +00:08:58,800 --> 00:09:04,149 त्यामुळे रोमिओ आणि ज्युलिएटसाठी, त्यांच्या नातेसंबंधाचा 2D स्पेसमधील एक बिंदू, 140 -00:09:03,619 --> 00:09:09,109 +00:09:04,149 --> 00:09:10,242 ज्युलिएटच्या भावना कॅप्चर करणारा x-समन्वय आणि रोमिओच्या कॅप्चर करणारा y-कोऑर्डिनेट म्हणून 141 -00:09:09,109 --> 00:09:09,720 +00:09:10,242 --> 00:09:10,920 विचार करा. 142 -00:09:09,720 --> 00:09:18,240 +00:09:13,200 --> 00:09:18,240 काहीवेळा ही स्थिती मूळचा बाण म्हणून चित्रित करणे उपयुक्त ठरते, इतर वेळी फक्त बिंदू म्हणून. 143 @@ -611,35 +611,35 @@ मूळ वेक्टर xy सह या मॅट्रिक्सचे गुणाकार म्हणून पुन्हा लिहू शकतो. 154 -00:10:02,080 --> 00:10:06,700 +00:10:02,080 --> 00:10:06,940 वरची पंक्ती ज्युलिएटचा नियम एन्कोड करते आणि खालची पंक्ती रोमियोच्या नियमाला एन्कोड करते. 155 -00:10:06,700 --> 00:10:13,680 +00:10:07,800 --> 00:10:11,839 तर आपल्याकडे जे आहे ते एक विभेदक समीकरण आहे जे आपल्याला सांगते की 156 -00:10:13,680 --> 00:10:20,660 +00:10:11,839 --> 00:10:15,880 काही वेक्टरच्या बदलाचा दर एका विशिष्ट मॅट्रिक्सच्या वेळेइतका असतो. 157 -00:10:20,660 --> 00:10:24,689 +00:10:19,120 --> 00:10:22,935 एका क्षणात आम्ही मॅट्रिक्स घातांक या प्रकारचे समीकरण कसे सोडवते याबद्दल बोलू, 158 -00:10:24,689 --> 00:10:29,286 +00:10:22,935 --> 00:10:27,289 परंतु त्याआधी मी तुम्हाला एक सोपा मार्ग दाखवू या की आम्ही ही विशिष्ट प्रणाली सोडवू शकतो, 159 -00:10:29,286 --> 00:10:33,935 +00:10:27,289 --> 00:10:31,692 जी शुद्ध भूमिती वापरते आणि ती मॅट्रिक्सचे दृश्यमान करण्यासाठी स्टेज सेट करण्यात मदत करते. 160 -00:10:33,935 --> 00:10:35,020 +00:10:31,692 --> 00:10:32,720 घातांक थोड्या वेळाने. 161 -00:10:35,020 --> 00:10:37,380 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 आमच्या प्रणालीतील हे मॅट्रिक्स 90 अंश रोटेशन मॅट्रिक्स आहे. 162 @@ -679,27 +679,27 @@ वेक्टरच्या निर्देशांकांद्वारे हे दोन आधारभूत परिणाम जोडण्याचा परिणाम आहे. 171 -00:11:17,720 --> 00:11:20,441 +00:11:17,720 --> 00:11:20,565 त्यामुळे आमच्या सिस्टीममधील मॅट्रिक्सकडे मागे वळून पाहा, 172 -00:11:20,441 --> 00:11:23,973 +00:11:20,565 --> 00:11:24,258 लक्षात घ्या की त्याच्या कॉलम्सवरून आपण हे कसे सांगू शकतो की ते प्रथम आधार 173 -00:11:23,973 --> 00:11:27,602 +00:11:24,258 --> 00:11:28,052 वेक्टर 0 1 वर घेते, आणि दुसऱ्याला ऋण 1 0, म्हणून मी त्याला 90 डिग्री रोटेशन 174 -00:11:27,602 --> 00:11:28,700 +00:11:28,052 --> 00:11:29,200 मॅट्रिक्स का म्हणत आहे. 175 -00:11:28,700 --> 00:11:35,446 +00:11:30,880 --> 00:11:36,517 आमच्या समीकरणासाठी याचा अर्थ असा आहे की रोमियो आणि ज्युलिएट या स्थितीच्या जागेत कुठेही 176 -00:11:35,446 --> 00:11:41,960 +00:11:36,517 --> 00:11:41,960 असतील, त्यांच्या बदलाचा दर या स्थितीच्या वेक्टरच्या 90 अंश रोटेशनसारखा दिसला पाहिजे. 177 @@ -775,23 +775,23 @@ तर तुम्ही या मॅट्रिक्सला त्यांच्या सुरुवातीच्या स्थितीनुसार गुणाकार करू शकता. 195 -00:13:00,120 --> 00:13:03,630 +00:13:00,120 --> 00:13:03,919 तुमच्यातील सक्रिय दर्शकांना थोडा वेळ विराम द्यावा लागेल आणि याची पुष्टी 196 -00:13:03,630 --> 00:13:07,042 +00:13:03,919 --> 00:13:07,613 करावी लागेल की t च्या x आणि y च्या t साठी तुम्ही यातून बाहेर पडलेल्या 197 -00:13:07,042 --> 00:13:11,040 +00:13:07,613 --> 00:13:11,940 सुस्पष्ट सूत्रांमुळे आम्ही सुरू केलेल्या भिन्न समीकरणांच्या प्रणालीचे समाधान होईल. 198 -00:13:11,040 --> 00:13:18,384 +00:13:17,740 --> 00:13:21,794 तुमच्यातील गणितज्ञांना कदाचित आश्चर्य वाटेल की केवळ या विशिष्ट प्रणालीच नव्हे तर 199 -00:13:18,384 --> 00:13:26,000 +00:13:21,794 --> 00:13:26,000 इतर कोणत्याही मॅट्रिक्ससाठी समीकरणे सोडवणे शक्य आहे का, मग त्याचे गुणांक काहीही असो. 200 @@ -815,23 +815,23 @@ कसे सोडवू देते. 205 -00:13:46,520 --> 00:13:49,429 +00:13:46,520 --> 00:13:49,589 कमी लहरी उदाहरण म्हणजे श्रोडिंगरचे प्रसिद्ध समीकरण, 206 -00:13:49,429 --> 00:13:53,513 +00:13:49,589 --> 00:13:53,897 जे कालांतराने क्वांटम मेकॅनिक्समधील प्रणाली कशा बदलतात याचे वर्णन करणारे 207 -00:13:53,513 --> 00:13:54,520 +00:13:53,897 --> 00:13:54,960 मूलभूत समीकरण आहे. 208 -00:13:54,520 --> 00:13:58,163 +00:13:55,680 --> 00:13:58,781 हे खूपच घाबरवणारे दिसते आणि मला असे म्हणायचे आहे की ते क्वांटम मेकॅनिक्स आहे, 209 -00:13:58,163 --> 00:14:02,320 +00:13:58,781 --> 00:14:02,320 त्यामुळे नक्कीच ते होईल, परंतु प्रत्यक्षात ते रोमियो आणि ज्युलिएट सेटअपपेक्षा वेगळे नाही. 210 @@ -919,23 +919,23 @@ हे स्वतःचे एक अत्यंत महत्त्वाचे समीकरण आहे. 231 -00:15:11,700 --> 00:15:13,609 +00:15:11,700 --> 00:15:13,975 जेव्हा मूल्य बदलण्याचा दर मूल्याच्याच प्रमाणात 232 -00:15:13,609 --> 00:15:15,560 +00:15:13,975 --> 00:15:16,300 असतो तेव्हा ही एक अतिशय शक्तिशाली संकल्पना असते. 233 -00:15:15,560 --> 00:15:20,110 +00:15:16,760 --> 00:15:20,905 हे चक्रवाढ व्याज, किंवा मर्यादित संसाधनांचा प्रभाव येण्याआधी लोकसंख्या 234 -00:15:20,110 --> 00:15:24,469 +00:15:20,905 --> 00:15:24,874 वाढीचे प्रारंभिक टप्पे, किंवा बहुतेक लोकसंख्येला संवेदनाक्षम असताना 235 -00:15:24,469 --> 00:15:29,020 +00:15:24,874 --> 00:15:29,020 महामारीचा प्रारंभिक टप्पा यासारख्या गोष्टी नियंत्रित करणारे समीकरण आहे. 236 @@ -1123,23 +1123,23 @@ t मध्ये बहुपदीसारखे दिसते, ते स माझ्यासाठी, हे अत्यंत सुंदर आहे. 282 -00:19:09,680 --> 00:19:12,155 +00:19:09,680 --> 00:19:12,387 आमच्याकडे एकाच प्रणालीबद्दल तर्क करण्याचे दोन पूर्णपणे 283 -00:19:12,155 --> 00:19:14,360 +00:19:12,387 --> 00:19:14,800 भिन्न मार्ग आहेत आणि ते आम्हाला समान उत्तर देतात. 284 -00:19:14,360 --> 00:19:17,854 +00:19:15,480 --> 00:19:18,659 मला असे म्हणायचे आहे की ते तसे करतात हे आश्वासक आहे, 285 -00:19:17,854 --> 00:19:21,875 +00:19:18,659 --> 00:19:22,320 परंतु जेव्हा तुम्ही या बहुपदी विरूद्ध तुम्ही भौमितिकदृष्ट्या 286 -00:19:21,875 --> 00:19:26,820 +00:19:22,320 --> 00:19:26,820 तर्क करत असता तेव्हा विचार करण्याची पद्धत किती वेगळी असते हे अगदीच खरे आहे. 287 @@ -1171,19 +1171,19 @@ t मध्ये बहुपदीसारखे दिसते, ते स दुसरा मार्ग आहे. 294 -00:19:54,040 --> 00:19:59,031 +00:19:54,040 --> 00:19:59,488 आपल्याला आता माहित आहे की, या स्थितीच्या जागेत सर्वकाही 180 अंश फिरवण्याचा प्रभाव आहे, 295 -00:19:59,031 --> 00:20:01,040 +00:19:59,488 --> 00:20:01,680 जो ऋण 1 ने गुणाकार करण्यासारखा आहे. 296 -00:20:01,040 --> 00:20:05,910 +00:20:03,060 --> 00:20:06,691 तसेच, काल्पनिक संख्या घातांकांशी परिचित असलेल्या तुमच्यापैकी कोणासाठीही, 297 -00:20:05,910 --> 00:20:08,980 +00:20:06,691 --> 00:20:08,980 हे विशिष्ट उदाहरण कदाचित एक टन घंटा वाजवत आहे. 298 @@ -1419,23 +1419,23 @@ mt पर्यंत जे काही मॅट्रिक्स पॉप परंतु या उदाहरणासाठी, शेताच्या बाजूने प्रवाह पूर्वी कसा होता त्यापेक्षा खूप वेगळा दिसतो. 356 -00:24:19,200 --> 00:24:22,920 +00:24:19,200 --> 00:24:23,139 जर रोमियो आणि ज्युलिएट विमानाच्या या वरच्या उजव्या अर्ध्या भागात कुठेही सुरू 357 -00:24:22,920 --> 00:24:26,640 +00:24:23,139 --> 00:24:27,080 झाले तर त्यांच्या भावना एकमेकांपासून दूर होतील आणि ते दोघेही अनंताकडे झुकतात. 358 -00:24:26,640 --> 00:24:30,127 +00:24:30,580 --> 00:24:32,725 जर ते विमानाच्या दुसर्‍या अर्ध्या भागात असतील, 359 -00:24:30,127 --> 00:24:35,099 +00:24:32,725 --> 00:24:35,784 तर आपण असे म्हणूया की ते त्यांच्या कॅप्युलेट आणि मॉन्टॅगू कौटुंबिक 360 -00:24:35,099 --> 00:24:36,880 +00:24:35,784 --> 00:24:36,880 परंपरांशी अधिक खरे आहेत. 361 diff --git a/2021/matrix-exponents/portuguese/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/portuguese/auto_generated.srt index f80ac8b31..80cccdc7e 100644 --- a/2021/matrix-exponents/portuguese/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/portuguese/auto_generated.srt @@ -251,19 +251,19 @@ Neste contexto, as potências ainda significam exatamente o que seria de esperar multiplicação repetida. 64 -00:03:53,840 --> 00:03:57,675 +00:03:53,840 --> 00:03:57,902 Cada termo neste polinômio é escalonado por 1 dividido por algum fatorial e, 65 -00:03:57,675 --> 00:04:01,960 +00:03:57,902 --> 00:04:02,440 com matrizes, tudo isso significa que você multiplica cada componente por esse número. 66 -00:04:01,960 --> 00:04:05,550 +00:04:03,280 --> 00:04:06,179 Da mesma forma, sempre faz sentido somar duas matrizes, 67 -00:04:05,550 --> 00:04:08,820 +00:04:06,179 --> 00:04:08,820 isso é algo que você faz novamente termo por termo. 68 @@ -283,15 +283,15 @@ mas posso mostrar-lhes um exemplo bem divertido aqui agora. Pegue esta matriz 2x2 que tem pi negativo e pi fora de suas entradas diagonais. 72 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 Vamos ver o que a soma dá. 73 -00:04:26,200 --> 00:04:30,078 +00:04:27,280 --> 00:04:30,586 O primeiro termo é a matriz identidade, na verdade é isso que queremos 74 -00:04:30,078 --> 00:04:33,520 +00:04:30,586 --> 00:04:33,520 dizer por definição quando elevamos uma matriz à potência zero. 75 @@ -451,47 +451,47 @@ dois vêm à mente. Um envolvendo relacionamentos e o outro mecânica quântica. 114 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 Vamos começar com relacionamentos. 115 -00:06:38,540 --> 00:06:44,255 +00:06:43,080 --> 00:06:47,304 Suponha que temos dois amantes, vamos chamá-los de Romeu e Julieta, 116 -00:06:44,255 --> 00:06:51,568 +00:06:47,304 --> 00:06:52,709 e vamos representar x o amor de Julieta por Romeu e y representar o amor dele por ela, 117 -00:06:51,568 --> 00:06:55,940 +00:06:52,709 --> 00:06:55,940 sendo que ambos serão valores que mudam com o tempo. 118 -00:06:56,900 --> 00:06:59,076 +00:06:56,900 --> 00:06:59,209 Este é um exemplo que abordamos no capítulo 1, 119 -00:06:59,076 --> 00:07:02,780 +00:06:59,209 --> 00:07:03,140 baseado em um artigo de Steven Strogatz, mas está tudo bem se você não viu isso. 120 -00:07:02,780 --> 00:07:08,728 +00:07:03,580 --> 00:07:08,561 A forma como o relacionamento deles funciona é que a taxa na qual o amor de Julieta 121 -00:07:08,728 --> 00:07:14,960 +00:07:08,561 --> 00:07:13,780 por Romeu muda, a derivada desse valor, é igual a menos 1 vezes o amor de Romeu por ela. 122 -00:07:14,960 --> 00:07:18,206 +00:07:14,560 --> 00:07:17,938 Em outras palavras, quando Romeu expressa um desinteresse frio, 123 -00:07:18,206 --> 00:07:21,198 +00:07:17,938 --> 00:07:21,052 é quando os sentimentos de Julieta aumentam, ao passo que, 124 -00:07:21,198 --> 00:07:24,800 +00:07:21,052 --> 00:07:24,800 se ele ficar muito apaixonado, o interesse dela começará a desaparecer. 125 @@ -599,23 +599,23 @@ Muitas vezes, quando você tem vários valores variáveis como esse, dimensão superior. 151 -00:08:58,800 --> 00:09:02,459 +00:08:58,800 --> 00:09:02,861 Portanto, para Romeu e Julieta, pense no relacionamento deles 152 -00:09:02,459 --> 00:09:06,001 +00:09:02,861 --> 00:09:06,792 como um ponto em um espaço 2D, a coordenada x capturando os 153 -00:09:06,001 --> 00:09:09,720 +00:09:06,792 --> 00:09:10,920 sentimentos de Julieta e a coordenada y capturando os de Romeu. 154 -00:09:09,720 --> 00:09:15,481 +00:09:13,200 --> 00:09:16,608 Às vezes é útil imaginar esse estado como uma seta partindo da origem, 155 -00:09:15,481 --> 00:09:18,240 +00:09:16,608 --> 00:09:18,240 outras vezes apenas como um ponto. 156 @@ -667,43 +667,43 @@ Definidos como vetores assim, poderíamos reescrever o lado direito desta equação como um produto desta matriz com o vetor original xy. 168 -00:10:02,080 --> 00:10:04,390 +00:10:02,080 --> 00:10:04,510 A linha superior codifica o governo de Julieta 169 -00:10:04,390 --> 00:10:06,700 +00:10:04,510 --> 00:10:06,940 e a linha inferior codifica o governo de Romeu. 170 -00:10:06,700 --> 00:10:13,539 +00:10:07,800 --> 00:10:11,758 Então, o que temos aqui é uma equação diferencial que nos diz que a taxa 171 -00:10:13,539 --> 00:10:20,660 +00:10:11,758 --> 00:10:15,880 de variação de algum vetor é igual a uma determinada matriz vezes ela mesma. 172 -00:10:20,660 --> 00:10:24,144 +00:10:19,120 --> 00:10:22,419 Daqui a pouco falaremos sobre como a exponenciação matricial resolve esse 173 -00:10:24,144 --> 00:10:27,722 +00:10:22,419 --> 00:10:25,808 tipo de equação, mas antes disso, deixe-me mostrar uma maneira mais simples 174 -00:10:27,722 --> 00:10:30,594 +00:10:25,808 --> 00:10:28,528 de resolver esse sistema específico, que usa geometria pura, 175 -00:10:30,594 --> 00:10:33,607 +00:10:28,528 --> 00:10:31,382 e que ajuda a preparar o terreno para a visualização da matriz. 176 -00:10:33,607 --> 00:10:35,020 +00:10:31,382 --> 00:10:32,720 expoentes um pouco mais tarde. 177 -00:10:35,020 --> 00:10:37,380 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 Esta matriz do nosso sistema é uma matriz de rotação de 90 graus. 178 @@ -747,31 +747,31 @@ A maneira como ele atua em qualquer outro vetor é resultado do dimensionamento e da adição desses dois resultados básicos pelas coordenadas desse vetor. 188 -00:11:17,720 --> 00:11:20,941 +00:11:17,720 --> 00:11:21,088 Então, olhando novamente para a matriz do nosso sistema, observe como, 189 -00:11:20,941 --> 00:11:24,571 +00:11:21,088 --> 00:11:24,883 a partir de suas colunas, podemos dizer que ele leva o primeiro vetor base para 190 -00:11:24,571 --> 00:11:28,155 +00:11:24,883 --> 00:11:28,630 0 1 e o segundo para menos 1 0, por isso estou chamando-o de matriz de rotação 191 -00:11:28,155 --> 00:11:28,700 +00:11:28,630 --> 00:11:29,200 de 90 graus. 192 -00:11:28,700 --> 00:11:33,141 +00:11:30,880 --> 00:11:34,591 O que isto significa para a nossa equação é que onde quer que Romeu 193 -00:11:33,141 --> 00:11:37,452 +00:11:34,591 --> 00:11:38,193 e Julieta estejam neste espaço de estados, a sua taxa de variação 194 -00:11:37,452 --> 00:11:41,960 +00:11:38,193 --> 00:11:41,960 tem de se parecer com uma rotação de 90 graus deste vetor de posição. 195 @@ -847,27 +847,27 @@ Portanto, para resolver o sistema, se você quiser prever onde Romeu e Julieta t após t unidades de tempo, poderá multiplicar essa matriz por seu estado inicial. 213 -00:13:00,120 --> 00:13:03,711 +00:13:00,120 --> 00:13:04,007 Os espectadores ativos entre vocês também podem gostar de fazer uma pausa 214 -00:13:03,711 --> 00:13:07,302 +00:13:04,007 --> 00:13:07,894 e confirmar se as fórmulas explícitas que você obtém para x de t e y de t 215 -00:13:07,302 --> 00:13:11,040 +00:13:07,894 --> 00:13:11,940 realmente satisfazem o sistema de equações diferenciais com o qual começamos. 216 -00:13:11,040 --> 00:13:16,279 +00:13:17,740 --> 00:13:20,633 O matemático que há em você pode se perguntar se é possível resolver 217 -00:13:16,279 --> 00:13:23,038 +00:13:20,633 --> 00:13:24,364 não apenas este sistema específico, mas equações semelhantes para qualquer outra matriz, 218 -00:13:23,038 --> 00:13:26,000 +00:13:24,364 --> 00:13:26,000 independentemente de seus coeficientes. 219 @@ -891,23 +891,23 @@ como ser capaz de calcular os expoentes da matriz permite resolver explicitament equação. 224 -00:13:46,520 --> 00:13:49,784 +00:13:46,520 --> 00:13:49,963 Um exemplo muito menos extravagante é a famosa equação de Schrodinger, 225 -00:13:49,784 --> 00:13:53,830 +00:13:49,963 --> 00:13:54,232 que é a equação fundamental que descreve como os sistemas na mecânica quântica mudam ao 226 -00:13:53,830 --> 00:13:54,520 +00:13:54,232 --> 00:13:54,960 longo do tempo. 227 -00:13:54,520 --> 00:13:58,864 +00:13:55,680 --> 00:13:59,378 Parece bastante intimidante, e quero dizer, é mecânica quântica, então é claro que vai, 228 -00:13:58,864 --> 00:14:02,320 +00:13:59,378 --> 00:14:02,320 mas na verdade não é tão diferente da configuração de Romeu e Julieta. 229 @@ -999,27 +999,27 @@ os gráficos são muito menos úteis. Esta é uma equação altamente importante por si só. 251 -00:15:11,700 --> 00:15:13,493 +00:15:11,700 --> 00:15:13,837 É um conceito muito poderoso quando a taxa de 252 -00:15:13,493 --> 00:15:15,560 +00:15:13,837 --> 00:15:16,300 variação de um valor é proporcional ao próprio valor. 253 -00:15:15,560 --> 00:15:18,657 +00:15:16,760 --> 00:15:19,581 Esta é a equação que rege coisas como os juros compostos, 254 -00:15:18,657 --> 00:15:22,930 +00:15:19,581 --> 00:15:23,473 ou as fases iniciais do crescimento populacional antes dos efeitos dos recursos 255 -00:15:22,930 --> 00:15:27,257 +00:15:23,473 --> 00:15:27,414 limitados se manifestarem, ou as fases iniciais de uma epidemia enquanto a maior 256 -00:15:27,257 --> 00:15:29,020 +00:15:27,414 --> 00:15:29,020 parte da população é susceptível. 257 @@ -1211,27 +1211,27 @@ Então, o que obtemos do cálculo é exatamente a matriz de rotação que tínha Para mim, isso é extremamente lindo. 304 -00:19:09,680 --> 00:19:12,123 +00:19:09,680 --> 00:19:12,353 Temos duas maneiras completamente diferentes de raciocinar 305 -00:19:12,123 --> 00:19:14,360 +00:19:12,353 --> 00:19:14,800 sobre o mesmo sistema e elas nos dão a mesma resposta. 306 -00:19:14,360 --> 00:19:16,583 +00:19:15,480 --> 00:19:17,503 Quero dizer, é reconfortante que isso aconteça, 307 -00:19:16,583 --> 00:19:20,705 +00:19:17,503 --> 00:19:21,255 mas é incrível o quão diferente é o modo de pensamento quando você está percorrendo esse 308 -00:19:20,705 --> 00:19:24,874 +00:19:21,255 --> 00:19:25,049 polinômio versus quando você está raciocinando geometricamente sobre o que uma velocidade 309 -00:19:24,874 --> 00:19:26,820 +00:19:25,049 --> 00:19:26,820 perpendicular a uma posição deve implicar. 310 @@ -1263,19 +1263,19 @@ que é outra maneira de descrever o que a configuração Romeu-Julieta faz após unidades de tempo. 317 -00:19:54,040 --> 00:19:58,688 +00:19:54,040 --> 00:19:59,113 Como sabemos agora, isso tem o efeito de girar tudo 180 graus neste espaço de estados, 318 -00:19:58,688 --> 00:20:01,040 +00:19:59,113 --> 00:20:01,680 o que é o mesmo que multiplicar por menos 1. 319 -00:20:01,040 --> 00:20:05,835 +00:20:03,060 --> 00:20:06,635 Além disso, para qualquer um de vocês familiarizado com expoentes de números imaginários, 320 -00:20:05,835 --> 00:20:08,980 +00:20:06,635 --> 00:20:08,980 este exemplo em particular provavelmente está soando muito. 321 @@ -1527,19 +1527,19 @@ de um estado deve sempre ser igual a m vezes ela mesma. Mas, neste exemplo, o fluxo ao longo do campo parece muito diferente de como era antes. 383 -00:24:19,200 --> 00:24:23,146 +00:24:19,200 --> 00:24:23,380 Se Romeu e Julieta começarem em qualquer lugar nesta metade superior direita do plano, 384 -00:24:23,146 --> 00:24:26,640 +00:24:23,380 --> 00:24:27,080 seus sentimentos se alimentarão um do outro e ambos tenderão para o infinito. 385 -00:24:26,640 --> 00:24:31,720 +00:24:30,580 --> 00:24:33,705 Se eles estão na outra metade do avião, digamos apenas que eles 386 -00:24:31,720 --> 00:24:36,880 +00:24:33,705 --> 00:24:36,880 permanecem mais fiéis às tradições da família Capuleto e Montagu. 387 diff --git a/2021/matrix-exponents/russian/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/russian/auto_generated.srt index 20e4fd55c..0b57f5dee 100644 --- a/2021/matrix-exponents/russian/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/russian/auto_generated.srt @@ -255,19 +255,19 @@ что и следовало ожидать, — многократное умножение. 65 -00:03:53,840 --> 00:03:57,666 +00:03:53,840 --> 00:03:57,892 Каждый член в этом полиноме масштабируется на 1, деленный на некоторый факториал, 66 -00:03:57,666 --> 00:04:01,680 +00:03:57,892 --> 00:04:02,143 а в случае с матрицами это означает лишь то, что вы умножаете каждый компонент на это 67 -00:04:01,680 --> 00:04:01,960 +00:04:02,143 --> 00:04:02,440 число. 68 -00:04:01,960 --> 00:04:08,820 +00:04:03,280 --> 00:04:08,820 Аналогично, всегда имеет смысл сложить две матрицы, это то, что вы снова делаете почленно. 69 @@ -291,15 +291,15 @@ расположенные за диагональными элементами. 74 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 Посмотрим, что даст сумма. 75 -00:04:26,200 --> 00:04:29,412 +00:04:27,280 --> 00:04:30,018 Первый термин — это единичная матрица. На самом деле это то, 76 -00:04:29,412 --> 00:04:33,520 +00:04:30,018 --> 00:04:33,520 что мы подразумеваем по определению, когда возводим матрицу в нулевую степень. 77 @@ -455,47 +455,47 @@ Один связан с отношениями, а другой — с квантовой механикой. 115 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 Начнем с отношений. 116 -00:06:38,540 --> 00:06:44,543 +00:06:43,080 --> 00:06:47,516 Предположим, у нас есть два любовника, назовем их Ромео и Джульетта, 117 -00:06:44,543 --> 00:06:48,806 +00:06:47,516 --> 00:06:50,667 и пусть x представляет любовь Джульетты к Ромео, 118 -00:06:48,806 --> 00:06:55,940 +00:06:50,667 --> 00:06:55,940 а y представляет его любовь к ней, причем обе ценности будут меняться со временем. 119 -00:06:56,900 --> 00:06:59,357 +00:06:56,900 --> 00:06:59,507 Это пример, которого мы фактически коснулись в главе 1, 120 -00:06:59,357 --> 00:07:02,780 +00:06:59,507 --> 00:07:03,140 на основе статьи Стивена Строгаца, но ничего страшного, если вы его не видели. 121 -00:07:02,780 --> 00:07:08,489 +00:07:03,580 --> 00:07:08,361 Их отношения устроены так, что скорость изменения любви Джульетты к Ромео, 122 -00:07:08,489 --> 00:07:14,960 +00:07:08,361 --> 00:07:13,780 производная от этой величины, равна отрицательной 1 умноженной на любовь Ромео к ней. 123 -00:07:14,960 --> 00:07:19,268 +00:07:14,560 --> 00:07:19,043 Другими словами, когда Ромео выражает хладнокровную незаинтересованность, 124 -00:07:19,268 --> 00:07:23,286 +00:07:19,043 --> 00:07:23,224 чувства Джульетты усиливаются, тогда как, если он слишком увлечется, 125 -00:07:23,286 --> 00:07:24,800 +00:07:23,224 --> 00:07:24,800 ее интерес начнет угасать. 126 @@ -603,23 +603,23 @@ полезно упаковать их вместе как координаты одной точки в многомерном пространстве. 152 -00:08:58,800 --> 00:09:02,616 +00:08:58,800 --> 00:09:03,035 Итак, что касается Ромео и Джульетты, подумайте об их отношениях 153 -00:09:02,616 --> 00:09:07,489 +00:09:03,035 --> 00:09:08,443 как о точке в двумерном пространстве, где координата X отражает чувства Джульетты, 154 -00:09:07,489 --> 00:09:09,720 +00:09:08,443 --> 00:09:10,920 а координата Y отражает чувства Ромео. 155 -00:09:09,720 --> 00:09:16,024 +00:09:13,200 --> 00:09:16,929 Иногда полезно представить это состояние как стрелку от начала координат, 156 -00:09:16,024 --> 00:09:18,240 +00:09:16,929 --> 00:09:18,240 а иногда просто как точку. 157 @@ -667,39 +667,39 @@ уравнения как произведение этой матрицы на исходный вектор xy. 168 -00:10:02,080 --> 00:10:06,700 +00:10:02,080 --> 00:10:06,940 Верхний ряд кодирует правило Джульетты, а нижний ряд кодирует правило Ромео. 169 -00:10:06,700 --> 00:10:12,390 +00:10:07,800 --> 00:10:11,093 Итак, мы имеем здесь дифференциальное уравнение, говорящее нам, 170 -00:10:12,390 --> 00:10:19,504 +00:10:11,093 --> 00:10:15,210 что скорость изменения некоторого вектора равна определенному умножению матрицы 171 -00:10:19,504 --> 00:10:20,660 +00:10:15,210 --> 00:10:15,880 на саму себя. 172 -00:10:20,660 --> 00:10:24,226 +00:10:19,120 --> 00:10:22,497 Через мгновение мы поговорим о том, как возведение матрицы в степень решает 173 -00:10:24,226 --> 00:10:27,699 +00:10:22,497 --> 00:10:25,786 такого рода уравнение, но прежде позвольте мне показать вам более простой 174 -00:10:27,699 --> 00:10:31,265 +00:10:25,786 --> 00:10:29,164 способ решения этой конкретной системы, который использует чистую геометрию 175 -00:10:31,265 --> 00:10:35,020 +00:10:29,164 --> 00:10:32,720 и помогает подготовить почву для визуализации матрицы. показатели немного позже. 176 -00:10:35,020 --> 00:10:37,380 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 Эта матрица из нашей системы представляет собой матрицу вращения на 90 градусов. 177 @@ -739,27 +739,27 @@ и сложения этих двух базисных результатов по координатам этого вектора. 186 -00:11:17,720 --> 00:11:20,850 +00:11:17,720 --> 00:11:20,993 Итак, оглядываясь назад на матрицу нашей системы, обратите внимание, 187 -00:11:20,850 --> 00:11:24,843 +00:11:20,993 --> 00:11:25,167 как по ее столбцам мы можем сказать, что первый базисный вектор принимает значение 0 1, 188 -00:11:24,843 --> 00:11:28,700 +00:11:25,167 --> 00:11:29,200 а второй - отрицательное 1 0, поэтому я называю это матрицей вращения на 90 градусов. 189 -00:11:28,700 --> 00:11:33,164 +00:11:30,880 --> 00:11:34,610 Для нашего уравнения это означает, что где бы Ромео и Джульетта ни 190 -00:11:33,164 --> 00:11:37,428 +00:11:34,610 --> 00:11:38,173 находились в этом пространстве состояний, скорость их изменения 191 -00:11:37,428 --> 00:11:41,960 +00:11:38,173 --> 00:11:41,960 должна выглядеть как поворот этого вектора положения на 90 градусов. 192 @@ -843,27 +843,27 @@ вы можете умножить эту матрицу на их начальное состояние. 212 -00:13:00,120 --> 00:13:03,716 +00:13:00,120 --> 00:13:04,012 Активным зрителям среди вас, возможно, также понравится остановиться на минутку и 213 -00:13:03,716 --> 00:13:07,356 +00:13:04,012 --> 00:13:07,952 подтвердить, что явные формулы, которые вы получаете из этого для x от t и y от t, 214 -00:13:07,356 --> 00:13:11,040 +00:13:07,952 --> 00:13:11,940 действительно удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, с которой мы начали. 215 -00:13:11,040 --> 00:13:18,270 +00:13:17,740 --> 00:13:21,732 Математик внутри вас может задаться вопросом, можно ли решить не только эту конкретную 216 -00:13:18,270 --> 00:13:23,423 +00:13:21,732 --> 00:13:24,577 систему, но и подобные ей уравнения для любой другой матрицы, 217 -00:13:23,423 --> 00:13:26,000 +00:13:24,577 --> 00:13:26,000 независимо от ее коэффициентов. 218 @@ -887,27 +887,27 @@ это уравнение. 223 -00:13:46,520 --> 00:13:49,837 +00:13:46,520 --> 00:13:50,019 Гораздо менее причудливый пример — знаменитое уравнение Шредингера, 224 -00:13:49,837 --> 00:13:53,934 +00:13:50,019 --> 00:13:54,342 фундаментальное уравнение, описывающее, как системы в квантовой механике изменяются 225 -00:13:53,934 --> 00:13:54,520 +00:13:54,342 --> 00:13:54,960 со временем. 226 -00:13:54,520 --> 00:13:58,246 +00:13:55,680 --> 00:13:58,852 Это выглядит довольно устрашающе, я имею в виду, что это квантовая механика, так что, 227 -00:13:58,246 --> 00:14:01,886 +00:13:58,852 --> 00:14:01,951 конечно, так и есть, но на самом деле это не сильно отличается от установки Ромео и 228 -00:14:01,886 --> 00:14:02,320 +00:14:01,951 --> 00:14:02,320 Джульетты. 229 @@ -999,23 +999,23 @@ Это само по себе очень важное уравнение. 251 -00:15:11,700 --> 00:15:13,876 +00:15:11,700 --> 00:15:14,293 Это очень мощная концепция, когда скорость изменения 252 -00:15:13,876 --> 00:15:15,560 +00:15:14,293 --> 00:15:16,300 значения пропорциональна самому значению. 253 -00:15:15,560 --> 00:15:19,275 +00:15:16,760 --> 00:15:20,143 Это уравнение управляет такими вещами, как сложные проценты, 254 -00:15:19,275 --> 00:15:24,695 +00:15:20,143 --> 00:15:25,081 ранние стадии роста населения до того, как начнутся последствия ограниченности ресурсов, 255 -00:15:24,695 --> 00:15:29,020 +00:15:25,081 --> 00:15:29,020 или ранние стадии эпидемии, когда большая часть населения восприимчива. 256 @@ -1223,23 +1223,23 @@ Для меня это чрезвычайно красиво. 307 -00:19:09,680 --> 00:19:12,935 +00:19:09,680 --> 00:19:13,241 У нас есть два совершенно разных способа рассуждения об одной и той же системе, 308 -00:19:12,935 --> 00:19:14,360 +00:19:13,241 --> 00:19:14,800 и они дают нам один и тот же ответ. 309 -00:19:14,360 --> 00:19:19,006 +00:19:15,480 --> 00:19:19,708 Я имею в виду, что это обнадеживает, но просто дико, насколько различен образ мышления, 310 -00:19:19,006 --> 00:19:23,546 +00:19:19,708 --> 00:19:23,840 когда вы пробираетесь через этот полином, и когда вы геометрически рассуждаете о том, 311 -00:19:23,546 --> 00:19:26,820 +00:19:23,840 --> 00:19:26,820 что должна подразумевать скорость, перпендикулярная положению. 312 @@ -1279,19 +1279,19 @@ что делает установка Ромео-Джульетта после единиц времени пи. 321 -00:19:54,040 --> 00:19:57,441 +00:19:54,040 --> 00:19:57,752 Как мы теперь знаем, это приводит к повороту всего на 180 градусов в 322 -00:19:57,441 --> 00:20:01,040 +00:19:57,752 --> 00:20:01,680 этом пространстве состояний, что аналогично умножению на отрицательную 1. 323 -00:20:01,040 --> 00:20:05,444 +00:20:03,060 --> 00:20:06,343 Кроме того, для любого из вас, кто знаком с показателями мнимых чисел, 324 -00:20:05,444 --> 00:20:08,980 +00:20:06,343 --> 00:20:08,980 этот конкретный пример, вероятно, наводит на размышления. 325 @@ -1551,19 +1551,19 @@ Но в этом примере поток вдоль поля выглядит совсем иначе, чем раньше. 389 -00:24:19,200 --> 00:24:22,805 +00:24:19,200 --> 00:24:23,019 Если Ромео и Джульетта начнут где-нибудь в этой верхней правой половине плана, 390 -00:24:22,805 --> 00:24:26,640 +00:24:23,019 --> 00:24:27,080 их чувства будут подпитывать друг друга, и они оба будут стремиться к бесконечности. 391 -00:24:26,640 --> 00:24:31,294 +00:24:30,580 --> 00:24:33,443 Если они находятся на другой половине самолета, скажем так, 392 -00:24:31,294 --> 00:24:36,880 +00:24:33,443 --> 00:24:36,880 они остаются более верными своим семейным традициям Капулетти и Монтегю. 393 diff --git a/2021/matrix-exponents/spanish/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/spanish/auto_generated.srt index bb096215f..20755e020 100644 --- a/2021/matrix-exponents/spanish/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/spanish/auto_generated.srt @@ -255,23 +255,23 @@ En este contexto, potencias sigue significando exactamente lo que cabría espera multiplicación repetida. 65 -00:03:53,840 --> 00:03:57,505 +00:03:53,840 --> 00:03:57,722 Cada término de este polinomio se escala por 1 dividido por algún factorial y, 66 -00:03:57,505 --> 00:04:01,449 +00:03:57,722 --> 00:04:01,899 con las matrices, todo lo que eso significa es que se multiplica cada componente por 67 -00:04:01,449 --> 00:04:01,960 +00:04:01,899 --> 00:04:02,440 ese número. 68 -00:04:01,960 --> 00:04:05,293 +00:04:03,280 --> 00:04:05,972 Asimismo, siempre tiene sentido sumar dos matrices, 69 -00:04:05,293 --> 00:04:08,820 +00:04:05,972 --> 00:04:08,820 esto es algo que se vuelve a hacer término por término. 70 @@ -291,15 +291,15 @@ pero puedo mostrarles un ejemplo bastante divertido aquí ahora. Tome esta matriz de 2x2 que tiene pi y pi negativos en sus entradas diagonales. 74 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 Veamos qué da la suma. 75 -00:04:26,200 --> 00:04:29,683 +00:04:27,280 --> 00:04:30,249 El primer término es la matriz identidad, esto es en realidad lo que 76 -00:04:29,683 --> 00:04:33,520 +00:04:30,249 --> 00:04:33,520 queremos decir por definición cuando elevamos una matriz a la potencia cero. 77 @@ -443,51 +443,51 @@ a los exponentes matriciales, me vienen a la mente dos. Uno que involucra relaciones y el otro, mecánica cuántica. 112 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 Empecemos por las relaciones. 113 -00:06:38,540 --> 00:06:44,252 +00:06:43,080 --> 00:06:47,301 Supongamos que tenemos dos amantes, llamémoslos Romeo y Julieta, 114 -00:06:44,252 --> 00:06:51,282 +00:06:47,301 --> 00:06:52,497 y representemos x el amor de Julieta por Romeo e y represente su amor por ella, 115 -00:06:51,282 --> 00:06:55,940 +00:06:52,497 --> 00:06:55,940 los cuales serán valores que cambiarán con el tiempo. 116 -00:06:56,900 --> 00:06:59,378 +00:06:56,900 --> 00:06:59,530 Este es un ejemplo que abordamos en el capítulo 1, 117 -00:06:59,378 --> 00:07:02,780 +00:06:59,530 --> 00:07:03,140 basado en un artículo de Steven Strogatz, pero está bien si no lo vio. 118 -00:07:02,780 --> 00:07:06,902 +00:07:03,580 --> 00:07:07,032 La forma en que funciona su relación es que la velocidad a la que 119 -00:07:06,902 --> 00:07:10,900 +00:07:07,032 --> 00:07:10,380 cambia el amor de Julieta por Romeo, la derivada de este valor, 120 -00:07:10,900 --> 00:07:14,960 +00:07:10,380 --> 00:07:13,780 es igual a 1 negativo multiplicado por el amor de Romeo por ella. 121 -00:07:14,960 --> 00:07:18,151 +00:07:14,560 --> 00:07:17,881 En otras palabras, cuando Romeo expresa un frío desinterés, 122 -00:07:18,151 --> 00:07:20,704 +00:07:17,881 --> 00:07:20,537 es cuando los sentimientos de Julieta aumentan, 123 -00:07:20,704 --> 00:07:24,800 +00:07:20,537 --> 00:07:24,800 mientras que si él se enamora demasiado, su interés comenzará a desvanecerse. 124 @@ -599,23 +599,23 @@ resulta útil empaquetarlos juntos como coordenadas de un único punto en un esp dimensiones superiores. 151 -00:08:58,800 --> 00:09:04,105 +00:08:58,800 --> 00:09:04,688 Entonces, para Romeo y Julieta, piense en su relación como un punto en un espacio 2D, 152 -00:09:04,105 --> 00:09:09,349 +00:09:04,688 --> 00:09:10,509 la coordenada x captura los sentimientos de Julieta y la coordenada y captura los de 153 -00:09:09,349 --> 00:09:09,720 +00:09:10,509 --> 00:09:10,920 Romeo. 154 -00:09:09,720 --> 00:09:15,374 +00:09:13,200 --> 00:09:16,545 A veces resulta útil imaginar este estado como una flecha desde el origen, 155 -00:09:15,374 --> 00:09:18,240 +00:09:16,545 --> 00:09:18,240 otras veces simplemente como un punto. 156 @@ -667,39 +667,39 @@ Configurado como vectores como este, podríamos reescribir el lado derecho de esta ecuación como un producto de esta matriz con el vector original xy. 168 -00:10:02,080 --> 00:10:04,390 +00:10:02,080 --> 00:10:04,510 La fila superior codifica el gobierno de Julieta 169 -00:10:04,390 --> 00:10:06,700 +00:10:04,510 --> 00:10:06,940 y la fila inferior codifica el gobierno de Romeo. 170 -00:10:06,700 --> 00:10:13,505 +00:10:07,800 --> 00:10:11,738 Entonces, lo que tenemos aquí es una ecuación diferencial que nos dice que la 171 -00:10:13,505 --> 00:10:20,660 +00:10:11,738 --> 00:10:15,880 tasa de cambio de algún vector es igual a cierta matriz multiplicada por sí misma. 172 -00:10:20,660 --> 00:10:24,332 +00:10:19,120 --> 00:10:22,598 En un momento hablaremos sobre cómo la exponenciación matricial resuelve este 173 -00:10:24,332 --> 00:10:27,722 +00:10:22,598 --> 00:10:25,808 tipo de ecuación, pero antes déjame mostrarte una forma más sencilla de 174 -00:10:27,722 --> 00:10:31,300 +00:10:25,808 --> 00:10:29,197 resolver este sistema en particular, una que utiliza geometría pura y ayuda 175 -00:10:31,300 --> 00:10:35,020 +00:10:29,197 --> 00:10:32,720 a preparar el escenario para visualizar matrices. exponentes un poco más tarde. 176 -00:10:35,020 --> 00:10:37,380 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 Esta matriz de nuestro sistema es una matriz de rotación de 90 grados. 177 @@ -743,31 +743,31 @@ La forma en que actúa sobre cualquier otro vector es el resultado de escalar y sumar estos dos resultados básicos según las coordenadas de ese vector. 187 -00:11:17,720 --> 00:11:20,718 +00:11:17,720 --> 00:11:20,855 Entonces, mirando hacia atrás a la matriz de nuestro sistema, 188 -00:11:20,718 --> 00:11:24,201 +00:11:20,855 --> 00:11:24,496 observe cómo a partir de sus columnas podemos decir que lleva el primer 189 -00:11:24,201 --> 00:11:27,635 +00:11:24,496 --> 00:11:28,087 vector base a 0 1 y el segundo a menos 1 0, por eso la llamo matriz de 190 -00:11:27,635 --> 00:11:28,700 +00:11:28,087 --> 00:11:29,200 rotación de 90 grados. 191 -00:11:28,700 --> 00:11:33,208 +00:11:30,880 --> 00:11:34,647 Lo que significa para nuestra ecuación es que dondequiera que estén 192 -00:11:33,208 --> 00:11:37,650 +00:11:34,647 --> 00:11:38,359 Romeo y Julieta en este espacio de estados, su tasa de cambio debe 193 -00:11:37,650 --> 00:11:41,960 +00:11:38,359 --> 00:11:41,960 parecerse a una rotación de 90 grados de este vector de posición. 194 @@ -843,31 +843,31 @@ Entonces, para resolver el sistema, si quieres predecir dónde terminarán Romeo después de t unidades de tiempo, puedes multiplicar esta matriz por su estado inicial. 212 -00:13:00,120 --> 00:13:02,820 +00:13:00,120 --> 00:13:03,042 Los espectadores activos entre ustedes también podrían disfrutar de 213 -00:13:02,820 --> 00:13:05,560 +00:13:03,042 --> 00:13:06,008 tomarse un momento para hacer una pausa y confirmar que las fórmulas 214 -00:13:05,560 --> 00:13:08,180 +00:13:06,008 --> 00:13:08,845 explícitas que se obtienen de esto para x de t e y de t realmente 215 -00:13:08,180 --> 00:13:11,040 +00:13:08,845 --> 00:13:11,940 satisfacen el sistema de ecuaciones diferenciales con el que comenzamos. 216 -00:13:11,040 --> 00:13:15,875 +00:13:17,740 --> 00:13:20,409 El matemático que hay en usted podría preguntarse si es posible 217 -00:13:15,875 --> 00:13:20,862 +00:13:20,409 --> 00:13:23,163 resolver no sólo este sistema específico, sino también ecuaciones 218 -00:13:20,862 --> 00:13:26,000 +00:13:23,163 --> 00:13:26,000 similares para cualquier otra matriz, sin importar sus coeficientes. 219 @@ -891,27 +891,27 @@ cómo poder calcular exponentes matriciales te permite resolver explícitamente ecuación. 224 -00:13:46,520 --> 00:13:49,774 +00:13:46,520 --> 00:13:49,953 Un ejemplo mucho menos caprichoso es la famosa ecuación de Schrodinger, 225 -00:13:49,774 --> 00:13:53,525 +00:13:49,953 --> 00:13:53,910 que es la ecuación fundamental que describe cómo los sistemas en mecánica cuántica 226 -00:13:53,525 --> 00:13:54,520 +00:13:53,910 --> 00:13:54,960 cambian con el tiempo. 227 -00:13:54,520 --> 00:13:57,553 +00:13:55,680 --> 00:13:58,262 Parece bastante intimidante, y quiero decir que es mecánica cuántica, 228 -00:13:57,553 --> 00:14:00,890 +00:13:58,262 --> 00:14:01,102 así que por supuesto que lo será, pero en realidad no es tan diferente de la 229 -00:14:00,890 --> 00:14:02,320 +00:14:01,102 --> 00:14:02,320 configuración de Romeo y Julieta. 230 @@ -1003,27 +1003,27 @@ los gráficos son mucho menos útiles. Esta es una ecuación muy importante por derecho propio. 252 -00:15:11,700 --> 00:15:13,549 +00:15:11,700 --> 00:15:13,904 Es un concepto muy poderoso cuando la tasa de 253 -00:15:13,549 --> 00:15:15,560 +00:15:13,904 --> 00:15:16,300 cambio de un valor es proporcional al valor mismo. 254 -00:15:15,560 --> 00:15:18,812 +00:15:16,760 --> 00:15:19,722 Ésta es la ecuación que rige aspectos como el interés compuesto, 255 -00:15:18,812 --> 00:15:23,215 +00:15:19,722 --> 00:15:23,733 o las primeras etapas del crecimiento demográfico antes de que se produzcan los efectos 256 -00:15:23,215 --> 00:15:27,618 +00:15:23,733 --> 00:15:27,743 de los recursos limitados, o las primeras etapas de una epidemia mientras la mayoría de 257 -00:15:27,618 --> 00:15:29,020 +00:15:27,743 --> 00:15:29,020 la población es susceptible. 258 @@ -1227,23 +1227,23 @@ la matriz de rotación que teníamos antes. Para mí esto es extremadamente hermoso. 308 -00:19:09,680 --> 00:19:12,085 +00:19:09,680 --> 00:19:12,311 Tenemos dos formas completamente diferentes de razonar 309 -00:19:12,085 --> 00:19:14,360 +00:19:12,311 --> 00:19:14,800 sobre el mismo sistema y nos dan la misma respuesta. 310 -00:19:14,360 --> 00:19:18,385 +00:19:15,480 --> 00:19:19,143 Quiero decir, es reconfortante que lo hagan, pero es increíble cuán diferente es el 311 -00:19:18,385 --> 00:19:22,698 +00:19:19,143 --> 00:19:23,069 modo de pensamiento cuando estás recorriendo este polinomio versus cuando estás razonando 312 -00:19:22,698 --> 00:19:26,820 +00:19:23,069 --> 00:19:26,820 geométricamente sobre lo que debe implicar una velocidad perpendicular a una posición. 313 @@ -1279,19 +1279,19 @@ que es otra forma de describir lo que hace la configuración de Romeo-Julieta después de pi unidades de tiempo. 321 -00:19:54,040 --> 00:19:57,514 +00:19:54,040 --> 00:19:57,832 Como ahora sabemos, eso tiene el efecto de rotar todo 180 grados en 322 -00:19:57,514 --> 00:20:01,040 +00:19:57,832 --> 00:20:01,680 este espacio de estados, que es lo mismo que multiplicar por menos 1. 323 -00:20:01,040 --> 00:20:05,126 +00:20:03,060 --> 00:20:06,106 Además, para cualquiera de ustedes que esté familiarizado con los exponentes de números 324 -00:20:05,126 --> 00:20:08,980 +00:20:06,106 --> 00:20:08,980 imaginarios, este ejemplo en particular probablemente les suene un montón de cosas. 325 @@ -1551,19 +1551,19 @@ de un estado siempre debe ser igual a m veces ella misma. Pero en este ejemplo, el flujo a lo largo del campo se ve muy diferente a como era antes. 389 -00:24:19,200 --> 00:24:23,070 +00:24:19,200 --> 00:24:23,299 Si Romeo y Julieta comienzan en cualquier lugar de esta mitad superior derecha del avión, 390 -00:24:23,070 --> 00:24:26,640 +00:24:23,299 --> 00:24:27,080 sus sentimientos se alimentarán el uno del otro y ambos tenderán hacia el infinito. 391 -00:24:26,640 --> 00:24:31,873 +00:24:30,580 --> 00:24:33,800 Si están en la otra mitad del avión, bueno, digamos que se mantienen 392 -00:24:31,873 --> 00:24:36,880 +00:24:33,800 --> 00:24:36,880 más fieles a las tradiciones familiares de los Capuleto y Montagu. 393 diff --git a/2021/matrix-exponents/telugu/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/telugu/auto_generated.srt index 735d07be6..9ecff487e 100644 --- a/2021/matrix-exponents/telugu/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/telugu/auto_generated.srt @@ -247,19 +247,19 @@ ఈ సందర్భంలో, శక్తులు ఇప్పటికీ మీరు ఆశించిన దానినే, పునరావృత గుణకారం అని అర్థం. 63 -00:03:53,840 --> 00:03:59,422 +00:03:53,840 --> 00:03:59,752 ఈ బహుపదిలోని ప్రతి పదం కొంత కారకంతో భాగించబడిన 1తో స్కేల్ చేయబడుతుంది మరియు మాత్రికలతో, 64 -00:03:59,422 --> 00:04:01,960 +00:03:59,752 --> 00:04:02,440 మీరు ప్రతి భాగాన్ని ఆ సంఖ్యతో గుణించాలి. 65 -00:04:01,960 --> 00:04:06,181 +00:04:03,280 --> 00:04:06,689 అదేవిధంగా, రెండు మాత్రికలను జోడించడం ఎల్లప్పుడూ అర్ధమే, 66 -00:04:06,181 --> 00:04:08,820 +00:04:06,689 --> 00:04:08,820 ఇది మీరు పదం వారీగా మళ్లీ చేసే పని. 67 @@ -279,15 +279,15 @@ ఈ 2x2 మ్యాట్రిక్స్‌ను తీసుకోండి, దాని వికర్ణ ఎంట్రీల నుండి ప్రతికూల పై మరియు పై కూర్చుంది. 71 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 మొత్తానికి ఏం ఇస్తుందో చూద్దాం. 72 -00:04:26,200 --> 00:04:29,695 +00:04:27,280 --> 00:04:30,259 మొదటి పదం ఐడెంటిటీ మ్యాట్రిక్స్, ఇది వాస్తవానికి మనం 73 -00:04:29,695 --> 00:04:33,520 +00:04:30,259 --> 00:04:33,520 మాతృకను సున్నా శక్తికి పెంచినప్పుడు నిర్వచనం ద్వారా అర్థం. 74 @@ -423,47 +423,47 @@ ఒకటి సంబంధాలను కలిగి ఉంటుంది మరియు మరొకటి క్వాంటం మెకానిక్స్. 107 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 సంబంధాలతో ప్రారంభిద్దాం. 108 -00:06:38,540 --> 00:06:44,314 +00:06:43,080 --> 00:06:47,347 మనకు ఇద్దరు ప్రేమికులు ఉన్నారని అనుకుందాం, వారిని రోమియో మరియు జూలియట్ అని 109 -00:06:44,314 --> 00:06:50,088 +00:06:47,347 --> 00:06:51,615 పిలుద్దాం మరియు రోమియో పట్ల జూలియట్‌కు ఉన్న ప్రేమను x సూచిస్తాము మరియు ఆమె 110 -00:06:50,088 --> 00:06:55,940 +00:06:51,615 --> 00:06:55,940 పట్ల అతని ప్రేమను y సూచిస్తుంది, ఈ రెండూ కాలంతో పాటు మారే విలువలుగా మారతాయి. 111 -00:06:56,900 --> 00:07:00,801 +00:06:56,900 --> 00:07:01,040 ఇది స్టీవెన్ స్ట్రోగాట్జ్ కథనం ఆధారంగా మేము 1వ అధ్యాయంలో తాకిన ఉదాహరణ, 112 -00:07:00,801 --> 00:07:02,780 +00:07:01,040 --> 00:07:03,140 కానీ మీరు దానిని చూడకుంటే ఫర్వాలేదు. 113 -00:07:02,780 --> 00:07:08,557 +00:07:03,580 --> 00:07:08,418 వారి సంబంధం పని చేసే విధానం ఏమిటంటే, రోమియో పట్ల జూలియట్ ప్రేమ మారే రేటు, 114 -00:07:08,557 --> 00:07:14,960 +00:07:08,418 --> 00:07:13,780 ఈ విలువ యొక్క ఉత్పన్నం, రోమియోకి ఆమె పట్ల ఉన్న ప్రేమకు ప్రతికూలంగా 1 రెట్లు సమానం. 115 -00:07:14,960 --> 00:07:18,650 +00:07:14,560 --> 00:07:18,400 మరో మాటలో చెప్పాలంటే, రోమియో నిరాసక్తతను వ్యక్తం చేస్తున్నప్పుడు, 116 -00:07:18,650 --> 00:07:22,675 +00:07:18,400 --> 00:07:22,589 జూలియట్ యొక్క భావాలు పెరుగుతాయి, అయితే అతను చాలా మోహానికి గురైనట్లయితే, 117 -00:07:22,675 --> 00:07:24,800 +00:07:22,589 --> 00:07:24,800 ఆమె ఆసక్తి క్షీణించడం ప్రారంభమవుతుంది. 118 @@ -563,19 +563,19 @@ సహాయకరంగా ఉంటుంది. 142 -00:08:58,800 --> 00:09:04,452 +00:08:58,800 --> 00:09:05,073 కాబట్టి రోమియో మరియు జూలియట్ కోసం, వారి సంబంధాన్ని 2D స్పేస్‌లో ఒక బిందువుగా భావించండి, 143 -00:09:04,452 --> 00:09:09,720 +00:09:05,073 --> 00:09:10,920 జూలియట్ భావాలను సంగ్రహించే x-కోఆర్డినేట్ మరియు రోమియోలను సంగ్రహించే y-కోఆర్డినేట్. 144 -00:09:09,720 --> 00:09:15,327 +00:09:13,200 --> 00:09:16,516 కొన్నిసార్లు ఈ స్థితిని మూలం నుండి బాణం వలె చిత్రీకరించడం సహాయకరంగా ఉంటుంది, 145 -00:09:15,327 --> 00:09:18,240 +00:09:16,516 --> 00:09:18,240 ఇతర సమయాల్లో కేవలం ఒక బిందువుగా ఉంటుంది. 146 @@ -623,43 +623,43 @@ అసలు వెక్టర్ xyతో ఈ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ఉత్పత్తిగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు. 157 -00:10:02,080 --> 00:10:04,248 +00:10:02,080 --> 00:10:04,361 ఎగువ వరుస జూలియట్ నియమాన్ని ఎన్కోడ్ చేస్తుంది 158 -00:10:04,248 --> 00:10:06,700 +00:10:04,361 --> 00:10:06,940 మరియు దిగువ వరుస రోమియో నియమాన్ని ఎన్కోడ్ చేస్తుంది. 159 -00:10:06,700 --> 00:10:13,798 +00:10:07,800 --> 00:10:11,908 కాబట్టి మనకు ఇక్కడ ఉన్నది ఒక అవకలన సమీకరణం, కొన్ని వెక్టార్ 160 -00:10:13,798 --> 00:10:20,660 +00:10:11,908 --> 00:10:15,880 యొక్క మార్పు రేటు నిర్దిష్ట మాతృక సమయాలకు సమానంగా ఉంటుంది. 161 -00:10:20,660 --> 00:10:24,280 +00:10:19,120 --> 00:10:22,548 ఈ రకమైన సమీకరణాన్ని మ్యాట్రిక్స్ ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ ఎలా పరిష్కరిస్తుంది అనే దాని గురించి 162 -00:10:24,280 --> 00:10:27,900 +00:10:22,548 --> 00:10:25,977 మేము ఒక క్షణంలో మాట్లాడుతాము, కానీ దానికంటే ముందు నేను ఈ నిర్దిష్ట వ్యవస్థను పరిష్కరించగల 163 -00:10:27,900 --> 00:10:31,198 +00:10:25,977 --> 00:10:29,100 సరళమైన మార్గాన్ని మీకు చూపుతాను, ఇది స్వచ్ఛమైన జ్యామితిని ఉపయోగిస్తుంది మరియు ఇది 164 -00:10:31,198 --> 00:10:34,054 +00:10:29,100 --> 00:10:31,805 మ్యాట్రిక్స్‌ను దృశ్యమానం చేయడానికి వేదికను సెట్ చేయడంలో సహాయపడుతుంది. 165 -00:10:34,054 --> 00:10:35,020 +00:10:31,805 --> 00:10:32,720 కొంచెం తరువాత ఘాతాంకాలు. 166 -00:10:35,020 --> 00:10:37,380 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 మా సిస్టమ్ నుండి ఈ మాతృక 90 డిగ్రీల భ్రమణ మాతృక. 167 @@ -703,27 +703,27 @@ ఈ రెండు బేసిస్ ఫలితాలను స్కేలింగ్ చేయడం మరియు జోడించడం వల్ల ఏర్పడుతుంది. 177 -00:11:17,720 --> 00:11:19,991 +00:11:17,720 --> 00:11:20,095 కాబట్టి మా సిస్టమ్ నుండి మాతృకను తిరిగి చూస్తే, 178 -00:11:19,991 --> 00:11:23,446 +00:11:20,095 --> 00:11:23,707 దాని నిలువు వరుసల నుండి మొదటి ప్రాతిపదిక వెక్టార్‌ను 0 1కి మరియు రెండవది 179 -00:11:23,446 --> 00:11:27,185 +00:11:23,707 --> 00:11:27,616 ప్రతికూల 1 0కి ఎలా తీసుకుంటుందో గమనించండి, అందుకే నేను దీనిని 90 డిగ్రీల భ్రమణ 180 -00:11:27,185 --> 00:11:28,700 +00:11:27,616 --> 00:11:29,200 మాతృక అని ఎందుకు పిలుస్తున్నాను. 181 -00:11:28,700 --> 00:11:35,800 +00:11:30,880 --> 00:11:36,813 మా సమీకరణానికి అర్థం ఏమిటంటే, ఈ స్టేట్ స్పేస్‌లో రోమియో మరియు జూలియట్ ఎక్కడ ఉన్నా, 182 -00:11:35,800 --> 00:11:41,960 +00:11:36,813 --> 00:11:41,960 వారి మార్పు రేటు ఈ స్థాన వెక్టర్ యొక్క 90 డిగ్రీల భ్రమణం వలె కనిపించాలి. 183 @@ -795,27 +795,27 @@ గుణించవచ్చు. 200 -00:13:00,120 --> 00:13:03,846 +00:13:00,120 --> 00:13:04,153 మీలో ఉన్న యాక్టివ్ వీక్షకులు కూడా పాజ్ చేయడానికి కొంత సమయాన్ని వెచ్చించి ఆనందించవచ్చు 201 -00:13:03,846 --> 00:13:07,443 +00:13:04,153 --> 00:13:08,046 మరియు మీరు దీని నుండి x యొక్క t మరియు y యొక్క t కోసం పొందే స్పష్టమైన సూత్రాలు మేము 202 -00:13:07,443 --> 00:13:11,040 +00:13:08,046 --> 00:13:11,940 ప్రారంభించిన అవకలన సమీకరణాల వ్యవస్థను నిజంగా సంతృప్తిపరుస్తాయని నిర్ధారించుకోవచ్చు. 203 -00:13:11,040 --> 00:13:17,005 +00:13:17,740 --> 00:13:21,033 మీలోని గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఈ నిర్దిష్ట వ్యవస్థను మాత్రమే కాకుండా, 204 -00:13:17,005 --> 00:13:24,256 +00:13:21,033 --> 00:13:25,037 దాని గుణకాలు ఏమైనప్పటికీ, మరేదైనా మాతృక వంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం సాధ్యమేనా 205 -00:13:24,256 --> 00:13:26,000 +00:13:25,037 --> 00:13:26,000 అని ఆశ్చర్యపోవచ్చు. 206 @@ -839,23 +839,23 @@ అనేది ఈ సమీకరణాన్ని స్పష్టంగా పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. 211 -00:13:46,520 --> 00:13:49,941 +00:13:46,520 --> 00:13:50,129 చాలా తక్కువ విచిత్రమైన ఉదాహరణ ష్రోడింగర్ యొక్క ప్రసిద్ధ సమీకరణం, 212 -00:13:49,941 --> 00:13:54,520 +00:13:50,129 --> 00:13:54,960 ఇది కాలక్రమేణా క్వాంటం మెకానిక్స్‌లోని వ్యవస్థలు ఎలా మారతాయో వివరించే ప్రాథమిక సమీకరణం. 213 -00:13:54,520 --> 00:13:57,697 +00:13:55,680 --> 00:13:58,385 ఇది చాలా భయానకంగా ఉంది మరియు నా ఉద్దేశ్యం ఇది క్వాంటం మెకానిక్స్, 214 -00:13:57,697 --> 00:14:01,645 +00:13:58,385 --> 00:14:01,746 కాబట్టి ఇది ఖచ్చితంగా ఉంటుంది, కానీ వాస్తవానికి ఇది రోమియో మరియు జూలియట్ సెటప్‌కు 215 -00:14:01,645 --> 00:14:02,320 +00:14:01,746 --> 00:14:02,320 భిన్నంగా లేదు. 216 @@ -943,19 +943,19 @@ ఇది దాని స్వంత హక్కులో అత్యంత ముఖ్యమైన సమీకరణం. 237 -00:15:11,700 --> 00:15:15,560 +00:15:11,700 --> 00:15:16,300 విలువ యొక్క మార్పు రేటు విలువకు అనులోమానుపాతంలో ఉన్నప్పుడు ఇది చాలా శక్తివంతమైన భావన. 238 -00:15:15,560 --> 00:15:20,112 +00:15:16,760 --> 00:15:20,906 ఇది సమ్మేళనం వడ్డీ, లేదా పరిమిత వనరుల ప్రభావాలు మొదలయ్యే ముందు జనాభా 239 -00:15:20,112 --> 00:15:24,467 +00:15:20,906 --> 00:15:24,873 పెరుగుదల యొక్క ప్రారంభ దశలు, లేదా జనాభాలో ఎక్కువ మంది అవకాశం ఉన్న 240 -00:15:24,467 --> 00:15:29,020 +00:15:24,873 --> 00:15:29,020 సమయంలో అంటువ్యాధి యొక్క ప్రారంభ దశలు వంటి వాటిని నియంత్రించే సమీకరణం. 241 @@ -1139,27 +1139,27 @@ x0కి ఎంత ఎక్కువ విలువ ఉంటే, ఫలిత నాకు, ఇది చాలా అందంగా ఉంది. 286 -00:19:09,680 --> 00:19:12,145 +00:19:09,680 --> 00:19:12,377 మేము ఒకే వ్యవస్థ గురించి పూర్తిగా భిన్నమైన రెండు మార్గాలను 287 -00:19:12,145 --> 00:19:14,360 +00:19:12,377 --> 00:19:14,800 కలిగి ఉన్నాము మరియు అవి మాకు ఒకే సమాధానాన్ని ఇస్తాయి. 288 -00:19:14,360 --> 00:19:17,248 +00:19:15,480 --> 00:19:18,108 నా ఉద్దేశ్యం, వారు అలా చేస్తారనేది భరోసానిస్తుంది, 289 -00:19:17,248 --> 00:19:21,326 +00:19:18,108 --> 00:19:21,820 కానీ మీరు ఈ బహుపదికి వ్యతిరేకంగా జ్యామితీయంగా ఒక స్థానానికి లంబంగా ఉండే 290 -00:19:21,326 --> 00:19:25,630 +00:19:21,820 --> 00:19:25,737 వేగం దేనిని సూచిస్తుందనే దాని గురించి మీరు తర్కిస్తున్నప్పుడు ఆలోచనా విధానం 291 -00:19:25,630 --> 00:19:26,820 +00:19:25,737 --> 00:19:26,820 ఎంత భిన్నంగా ఉంటుంది. 292 @@ -1187,19 +1187,19 @@ x0కి ఎంత ఎక్కువ విలువ ఉంటే, ఫలిత ఇది రోమియో-జూలియట్ సెటప్ సమయం పై యూనిట్ల తర్వాత ఏమి చేస్తుందో వివరించడానికి మరొక మార్గం. 298 -00:19:54,040 --> 00:19:57,696 +00:19:54,040 --> 00:19:58,031 మనకు ఇప్పుడు తెలిసినట్లుగా, ఈ స్థితి స్థలంలో ప్రతిదానిని 180 డిగ్రీలు 299 -00:19:57,696 --> 00:20:01,040 +00:19:58,031 --> 00:20:01,680 తిప్పే ప్రభావాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇది ప్రతికూల 1తో గుణించినట్లే. 300 -00:20:01,040 --> 00:20:05,629 +00:20:03,060 --> 00:20:06,481 అలాగే, ఊహాత్మక సంఖ్య ఘాతాంకాలను గురించి తెలిసిన మీలో ఎవరికైనా, 301 -00:20:05,629 --> 00:20:08,980 +00:20:06,481 --> 00:20:08,980 ఈ ప్రత్యేక ఉదాహరణ బహుశా టన్ను గంటలు మోగుతుంది. 302 @@ -1423,19 +1423,19 @@ vకి వెళ్తాము మరియు వెక్టర్ m టై ముందు చేసిన దానికి చాలా భిన్నంగా కనిపిస్తుంది. 357 -00:24:19,200 --> 00:24:22,872 +00:24:19,200 --> 00:24:23,090 రోమియో మరియు జూలియట్ విమానం యొక్క కుడి ఎగువ భాగంలో ఎక్కడైనా బయలుదేరినట్లయితే, 358 -00:24:22,872 --> 00:24:26,640 +00:24:23,090 --> 00:24:27,080 వారి భావాలు ఒకదానికొకటి ఫీడ్ అవుతాయి మరియు వారిద్దరూ అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతారు. 359 -00:24:26,640 --> 00:24:31,925 +00:24:30,580 --> 00:24:33,831 వారు విమానంలో మిగిలిన సగంలో ఉన్నట్లయితే, వారు తమ కాపులెట్ మరియు 360 -00:24:31,925 --> 00:24:36,880 +00:24:33,831 --> 00:24:36,880 మాంటాగు కుటుంబ సంప్రదాయాలకు మరింత కట్టుబడి ఉంటారని చెప్పండి. 361 diff --git a/2021/matrix-exponents/turkish/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/turkish/auto_generated.srt index e5ed462ba..0910132be 100644 --- a/2021/matrix-exponents/turkish/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/turkish/auto_generated.srt @@ -1,17 +1,17 @@ 1 -00:00:00,000 --> 00:00:04,345 +00:00:00,000 --> 00:00:04,473 Üniversitede öğrendiğim eski bir diferansiyel denklemler ders kitabını 2 -00:00:04,345 --> 00:00:08,446 -çıkarayım ve okuyucunun bize a'nın bir matris olacağı söylenen +00:00:04,473 --> 00:00:08,820 +çıkarayım ve okuyucunun bize a'nın bir matris olacağı söylenen E'nin 3 -00:00:08,446 --> 00:00:13,037 -E'nin üssünü hesaplamasını isteyen bu komik küçük alıştırmaya dönelim. +00:00:08,820 --> 00:00:12,915 +üssünü hesaplamasını isteyen bu komik küçük alıştırmaya dönelim. 4 -00:00:13,037 --> 00:00:17,200 +00:00:12,915 --> 00:00:17,200 ve ima sonuçların aynı zamanda bir matris olacağı yönünde görünüyor. 5 @@ -99,27 +99,27 @@ birden çok kez çarpmanın tuhaf bir yolu olmadığıdır. Buna saçmalık demek doğru olur. 26 -00:01:33,020 --> 00:01:36,473 +00:01:33,020 --> 00:01:36,354 Gerçek tanım, Taylor serisi dediğimiz, e'nin gerçek sayı 27 -00:01:36,473 --> 00:01:40,040 +00:01:36,354 --> 00:01:40,040 kuvvetlerini tanımlayan belirli bir sonsuz polinomla ilgilidir. 28 -00:01:40,800 --> 00:01:45,356 +00:01:40,800 --> 00:01:45,598 Örneğin, 2 sayısını alıp bu polinoma yerleştirirsem, 29 -00:01:45,356 --> 00:01:51,889 +00:01:45,598 --> 00:01:52,116 her biri 2'nin bir kuvvetinin bir faktöriyele bölünmesine benzeyen daha 30 -00:01:51,889 --> 00:01:58,766 +00:01:52,116 --> 00:01:58,996 fazla terim ekledikçe, toplam 7'ye yakın bir sayıya yaklaşır.389 ve bu sayı 31 -00:01:58,766 --> 00:02:01,260 +00:01:58,996 --> 00:02:01,260 tam olarak e çarpı e'dir. 32 @@ -247,19 +247,19 @@ Bu bağlamda, kuvvetler hala tam olarak beklediğiniz şey anlamına gelir; tekrarlanan çarpma. 63 -00:03:53,840 --> 00:03:57,992 +00:03:53,840 --> 00:03:58,106 Bu polinomdaki her terim 1'e bölünerek bazı faktörlere bölünür 64 -00:03:57,992 --> 00:04:01,960 +00:03:58,106 --> 00:04:02,440 ve matrislerde bunun anlamı her bileşeni o sayıyla çarpmanızdır. 65 -00:04:01,960 --> 00:04:05,843 +00:04:03,280 --> 00:04:06,415 Benzer şekilde, iki matrisi toplamak her zaman mantıklıdır; 66 -00:04:05,843 --> 00:04:08,820 +00:04:06,415 --> 00:04:08,820 bu, terim terim tekrar yapacağınız bir şeydir. 67 @@ -275,1326 +275,1310 @@ bu harika bir soru olurdu, cevabını büyük ölçüde erteleyeceğim, ama şimdi size oldukça eğlenceli bir örnek gösterebilirim. 70 -00:04:20,440 --> 00:04:22,804 -Negatif pi ve pi'nin köşegen girişlerinin +00:04:20,440 --> 00:04:25,220 +Negatif pi ve pi'nin köşegen girişlerinin dışında yer aldığı bu 2x2'lik matrisi alın. 71 -00:04:22,804 --> 00:04:25,220 -dışında yer aldığı bu 2x2'lik matrisi alın. - -72 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 Toplamın ne verdiğini görelim. -73 -00:04:26,200 --> 00:04:29,892 +72 +00:04:27,280 --> 00:04:30,427 İlk terim birim matristir, aslında bir matrisi sıfırıncı -74 -00:04:29,892 --> 00:04:33,520 +73 +00:04:30,427 --> 00:04:33,520 kuvvete yükselttiğimizde tanım gereği bunu kastediyoruz. -75 +74 00:04:34,460 --> 00:04:38,386 Sonra matrisin kendisini ekliyoruz, bu da bize köşegen terimlerin pi değerini veriyor ve -76 +75 00:04:38,386 --> 00:04:41,166 sonra matrisin karesinin yarısını ekliyoruz ve devam ediyorum. -77 +76 00:04:41,166 --> 00:04:43,946 Bilgisayara gittikçe daha fazla terim eklemeye devam edeceğim, -78 +77 00:04:43,946 --> 00:04:47,740 bunların her biri bir matris daha almayı gerektiriyor yeni gücü elde etmek için ürünü -79 +78 00:04:47,740 --> 00:04:50,300 kullanın ve ardından bunu devam eden bir çeteleye ekleyin. -80 +79 00:04:51,160 --> 00:04:54,614 Ve böyle devam ettikçe birim matrisin negatif 1 katı -81 +80 00:04:54,614 --> 00:04:58,200 civarındaki sabit bir değere yaklaşıyor gibi görünüyor. -82 +81 00:04:58,880 --> 00:05:02,100 Bu anlamda sonsuz toplamın o negatif kimliğe eşit olduğunu söylüyoruz. -83 +82 00:05:03,040 --> 00:05:07,520 Bu videonun sonunda bu gerçeğin size tamamen anlamlı gelmesini umuyorum. -84 +83 00:05:07,920 --> 00:05:12,400 Euler'in ünlü kimliğine aşina olanlarınız için bu aslında onun matris versiyonudur. -85 +84 00:05:13,020 --> 00:05:15,953 Genel olarak, hangi matrisle başlarsanız başlayın, -86 +85 00:05:15,953 --> 00:05:21,071 giderek daha fazla terim ekledikçe, sonunda sabit bir değere yaklaştığınız ortaya çıktı, -87 +86 00:05:21,071 --> 00:05:24,120 ancak bazen o noktaya ulaşmanız biraz zaman alabilir. -88 +87 00:05:26,600 --> 00:05:30,927 Tanımı bu şekilde tek başına görmek her türlü soruyu gündeme getiriyor; -89 +88 00:05:30,927 --> 00:05:34,173 en önemlisi, matematikçiler ve fizikçiler neden zayıf -90 +89 00:05:34,173 --> 00:05:37,540 matrislerine bu şekilde eziyet etmekle ilgilensinler ki? -91 +90 00:05:37,900 --> 00:05:39,500 Hangi sorunları çözmeye çalışıyorlar? -92 +91 00:05:40,340 --> 00:05:43,813 Ve eğer benim gibiyseniz, yeni bir operasyon ancak ne yapmaya çalıştığına dair net bir -93 +92 00:05:43,813 --> 00:05:47,246 görüşe sahip olduğunuzda, rakamları gerçekten hesaplamadan önce girdiye dayalı olarak -94 +93 00:05:47,246 --> 00:05:50,800 çıktıyı nasıl tahmin edebileceğinize dair bir fikir sahibi olduğunuzda tatmin edici olur. -95 +94 00:05:51,520 --> 00:05:54,770 Köşegenleri pi olan matrisin bunun gibi negatif birim -96 +95 00:05:54,770 --> 00:05:57,900 matrisle sonuçlanacağını nasıl tahmin edebilirdiniz? -97 +96 00:05:59,100 --> 00:06:02,042 Çoğu zaman matematikte tanımı bir başlangıç noktası olarak değil, -98 +97 00:06:02,042 --> 00:06:03,380 bir hedef olarak görmelisiniz. -99 +98 00:06:03,920 --> 00:06:06,536 Matematikçiler, ders kitaplarının yapısının aksine, -100 +99 00:06:06,536 --> 00:06:10,562 işe önce tanım yapıp sonra birçok teoremi sıralayıp bunları kanıtlayıp örnekler -101 +100 00:06:10,562 --> 00:06:11,720 göstererek başlamazlar. -102 +101 00:06:11,720 --> 00:06:15,220 Matematiği keşfetme süreci genellikle tam tersi şekilde ilerler. -103 +102 00:06:15,460 --> 00:06:18,473 Belirli problemler üzerinde durup dururken başlarlar, -104 +103 00:06:18,473 --> 00:06:22,603 sonra bu problemleri genelleştirirler, sonra bu genel durumlarda yardımcı -105 +104 00:06:22,603 --> 00:06:26,844 olabilecek yapılar bulurlar ve ancak o zaman yeni bir tanım yazarsınız veya -106 +105 00:06:26,844 --> 00:06:28,240 eskisini genişletirsiniz. -107 +106 00:06:29,380 --> 00:06:31,930 Matris üslülerini ne tür spesifik örneklerin motive -108 +107 00:06:31,930 --> 00:06:34,040 edebileceği konusunda akla iki şey geliyor. -109 +108 00:06:34,460 --> 00:06:37,500 Biri ilişkileri içeriyor, diğeri kuantum mekaniğini. -110 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +109 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 İlişkilerle başlayalım. -111 -00:06:38,540 --> 00:06:44,244 +110 +00:06:43,080 --> 00:06:47,366 Diyelim ki iki sevgilimiz var, onlara Romeo ve Juliet adını verelim ve x'in -112 -00:06:44,244 --> 00:06:50,235 +111 +00:06:47,366 --> 00:06:51,427 Juliet'in Romeo'ya olan sevgisini ve y'nin de ona olan sevgisini temsil -113 -00:06:50,235 --> 00:06:55,940 +112 +00:06:51,427 --> 00:06:55,940 etmesine izin verelim; bunların her ikisi de zamanla değişen değerler olacaktır. +113 +00:06:56,900 --> 00:07:00,166 +Bu aslında 1. Bölüm'de Steven Strogatz'ın bir makalesine dayanarak + 114 -00:06:56,900 --> 00:06:59,710 -Bu aslında 1. Bölüm'de Steven Strogatz'ın bir makalesine +00:07:00,166 --> 00:07:03,140 +değindiğimiz bir örnek, ancak bunu görmediyseniz sorun değil. 115 -00:06:59,710 --> 00:07:02,780 -dayanarak değindiğimiz bir örnek, ancak bunu görmediyseniz sorun değil. +00:07:03,580 --> 00:07:09,091 +İlişkilerinin işleyişi şu şekildedir: Juliet'in Romeo'ya olan sevgisinin değişme hızı, 116 -00:07:02,780 --> 00:07:09,046 -İlişkilerinin işleyişi şu şekildedir: Juliet'in Romeo'ya olan sevgisinin değişme +00:07:09,091 --> 00:07:13,780 +bu değerin türevi, Romeo'nun ona olan sevgisinin negatif 1 katına eşittir. 117 -00:07:09,046 --> 00:07:14,960 -hızı, bu değerin türevi, Romeo'nun ona olan sevgisinin negatif 1 katına eşittir. +00:07:14,560 --> 00:07:19,351 +Başka bir deyişle, Romeo soğukkanlılıkla ilgisizliğini dile getirdiğinde 118 -00:07:14,960 --> 00:07:20,179 -Başka bir deyişle, Romeo soğukkanlılıkla ilgisizliğini dile getirdiğinde Juliet'in +00:07:19,351 --> 00:07:24,800 +Juliet'in duyguları artar, oysa aşırı aşık olursa Juliet'in ilgisi azalmaya başlar. 119 -00:07:20,179 --> 00:07:24,800 -duyguları artar, oysa aşırı aşık olursa Juliet'in ilgisi azalmaya başlar. - -120 00:07:27,100 --> 00:07:28,700 Romeo ise tam tersidir. -121 +120 00:07:29,060 --> 00:07:32,700 Aşkının değişim hızı Juliet'in aşkının büyüklüğüne eşittir. -122 +121 00:07:33,280 --> 00:07:38,171 Yani Juliet ona kızdığında sevgisi azalma eğiliminde oluyor, -123 +122 00:07:38,171 --> 00:07:41,700 oysa Juliet onu seviyorsa duyguları artıyor. -124 +123 00:07:42,580 --> 00:07:45,240 Elbette bu sayıların hiçbiri sabit durmuyor. -125 -00:07:45,680 --> 00:07:49,170 +124 +00:07:45,680 --> 00:07:48,922 Juliet'e tepki olarak Romeo'nun sevgisi artarken, -126 -00:07:49,170 --> 00:07:52,360 +125 +00:07:48,922 --> 00:07:52,360 denklemi uygulanmaya devam eder ve sevgisini azaltır. -127 +126 00:07:53,360 --> 00:07:56,897 Bu denklemlerin her ikisi de zamandaki her sonsuz küçük noktadan -128 +127 00:07:56,897 --> 00:08:01,142 diğerine her zaman uygulanır, dolayısıyla bir değerdeki her küçük değişiklik, -129 +128 00:08:01,142 --> 00:08:03,320 diğerinin değişim hızını anında etkiler. -130 +129 00:08:04,120 --> 00:08:06,560 Bu bir diferansiyel denklem sistemidir. -131 +130 00:08:06,820 --> 00:08:10,796 Bu, x(t) ve y(t) için bu ifadelerin her ikisini de doğru kılan -132 +131 00:08:10,796 --> 00:08:14,520 açık fonksiyonları bulmak zorunda olduğunuz bir bilmecedir. -133 +132 00:08:15,640 --> 00:08:19,824 Şimdi, diferansiyel denklem sistemleri ilerledikçe, bu daha basit taraftadır, -134 +133 00:08:19,824 --> 00:08:23,740 öyle ki birçok matematik öğrencisi muhtemelen bir cevabı tahmin edebilir. -135 +134 00:08:24,300 --> 00:08:28,500 Ancak unutmayın, bunu doğru kılan bazı işlev çiftlerini bulmanız yeterli değildir. -136 -00:08:29,000 --> 00:08:32,295 +135 +00:08:29,000 --> 00:08:32,172 Romeo ve Juliet'in bir başlangıç noktasından sonra nereye varacağını -137 -00:08:32,295 --> 00:08:35,544 +136 +00:08:32,172 --> 00:08:35,483 gerçekten tahmin etmek istiyorsanız, fonksiyonlarınızın t eşittir sıfır -138 -00:08:35,544 --> 00:08:38,840 +137 +00:08:35,483 --> 00:08:38,840 zamanındaki başlangıç koşulları kümesiyle eşleştiğinden emin olmalısınız. -139 +138 00:08:39,740 --> 00:08:43,023 Daha da önemlisi, bugünkü asıl amacımız bu denklemin daha genel -140 +139 00:08:43,023 --> 00:08:46,102 versiyonlarını tahmin etmeden ve kontrol etmeden sistematik -141 +140 00:08:46,102 --> 00:08:49,540 olarak çözmektir ve bizi matris üslerine yönlendiren de bu sorudur. -142 +141 00:08:50,680 --> 00:08:52,963 Bunun gibi birden fazla değişen değeriniz olduğunda, -143 +142 00:08:52,963 --> 00:08:56,712 bunları daha yüksek boyutlu bir uzayda tek bir noktanın koordinatları olarak bir araya -144 +143 00:08:56,712 --> 00:08:58,220 paketlemek genellikle yararlı olur. -145 -00:08:58,800 --> 00:09:03,775 +144 +00:08:58,800 --> 00:09:04,596 Romeo ve Juliet için ilişkilerini 2 boyutlu uzayda bir nokta olarak düşünün; -146 -00:09:03,775 --> 00:09:09,073 -x koordinatı Juliet'in duygularını, y koordinatı da Romeo'nun duygularını - -147 -00:09:09,073 --> 00:09:09,720 -yakalıyor. +145 +00:09:04,596 --> 00:09:10,920 +x koordinatı Juliet'in duygularını, y koordinatı da Romeo'nun duygularını yakalıyor. -148 -00:09:09,720 --> 00:09:13,462 +146 +00:09:13,200 --> 00:09:15,413 Bazen bu durumu orijinden gelen bir ok olarak, -149 -00:09:13,462 --> 00:09:18,240 +147 +00:09:15,413 --> 00:09:18,240 bazen de sadece bir nokta olarak resmetmek faydalı olabilir. -150 +148 00:09:18,700 --> 00:09:21,609 Gerçekten önemli olan tek şey iki sayıyı kodlamasıdır -151 +149 00:09:21,609 --> 00:09:24,680 ve ileriye doğru bunu bir sütun vektörü olarak yazacağız. -152 +150 00:09:25,300 --> 00:09:27,480 Ve elbette bunların hepsi zamanın bir fonksiyonudur. -153 -00:09:28,500 --> 00:09:33,286 -Bu durumun değişim oranını, x'in türevi ile y'nin türevini bir araya toplayan +151 +00:09:28,500 --> 00:09:33,319 +Bu durumun değişim oranını, x'in türevi ile y'nin türevini bir araya toplayan şeyi, -154 -00:09:33,286 --> 00:09:36,291 -şeyi, bu durum uzayındaki bir tür hız vektörü olarak, +152 +00:09:33,319 --> 00:09:36,073 +bu durum uzayındaki bir tür hız vektörü olarak, -155 -00:09:36,291 --> 00:09:41,078 +153 +00:09:36,073 --> 00:09:41,007 bizim noktamızı bir yönde ve bir büyüklükte çeken bir şey olarak hayal edebilirsiniz. -156 -00:09:41,078 --> 00:09:43,360 +154 +00:09:41,007 --> 00:09:43,360 bu ne kadar hızlı değiştiğini gösteriyor. -157 -00:09:45,560 --> 00:09:48,893 +155 +00:09:45,560 --> 00:09:48,886 Unutmayın, buradaki kural x'in değişim oranının -158 -00:09:48,893 --> 00:09:52,420 +156 +00:09:48,886 --> 00:09:52,420 negatif y ve y'nin değişim oranının da x olmasıdır. -159 +157 00:09:53,300 --> 00:09:57,398 Bunun gibi vektörler olarak ayarladığımızda, bu denklemin sağ tarafını -160 +158 00:09:57,398 --> 00:10:01,440 bu matrisin orijinal xy vektörüyle çarpımı olarak yeniden yazabiliriz. -161 -00:10:02,080 --> 00:10:06,700 +159 +00:10:02,080 --> 00:10:06,940 Üst satır Juliet'in kuralını, alt satır ise Romeo'nun kuralını kodlar. -162 -00:10:06,700 --> 00:10:13,730 +160 +00:10:07,800 --> 00:10:11,869 Yani burada elimizde bir vektörün değişim hızının belirli bir matris -163 -00:10:13,730 --> 00:10:20,660 +161 +00:10:11,869 --> 00:10:15,880 çarpı kendisine eşit olduğunu söyleyen bir diferansiyel denklem var. -164 -00:10:20,660 --> 00:10:24,088 +162 +00:10:19,120 --> 00:10:22,367 Birazdan matris üstelleştirmesinin bu tür bir denklemi nasıl çözdüğü -165 -00:10:24,088 --> 00:10:27,765 +163 +00:10:22,367 --> 00:10:25,849 hakkında konuşacağız, ancak ondan önce size bu özel sistemi çözmenin daha -166 -00:10:27,765 --> 00:10:30,895 +164 +00:10:25,849 --> 00:10:28,814 basit bir yolunu göstereyim; saf geometri kullanan ve matrisin -167 -00:10:30,895 --> 00:10:35,020 +165 +00:10:28,814 --> 00:10:32,720 görselleştirilmesi için zemin hazırlamaya yardımcı olan bir yol. üsler biraz sonra. -168 -00:10:35,020 --> 00:10:37,380 +166 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 Sistemimizdeki bu matris 90 derecelik bir dönme matrisidir. -169 +167 00:10:38,580 --> 00:10:42,887 Matrisleri dönüşümler olarak nasıl düşüneceğimiz konusunda paslanmış olanlarınız için, -170 +168 00:10:42,887 --> 00:10:45,760 bu kanalda bununla ilgili bir video var, aslında bir seri. -171 +169 00:10:46,400 --> 00:10:52,837 Temel fikir şu; bir matrisi 1 0 vektörüyle çarptığınızda ilk sütunu çıkarırsınız -172 +170 00:10:52,837 --> 00:10:58,480 ve benzer şekilde onu 0 1 ile çarptığınızda ikinci sütunu çıkarırsınız. -173 +171 00:10:59,900 --> 00:11:02,762 Bunun anlamı şu; bir matrise baktığınızda, onun sütunlarını, -174 +172 00:11:02,762 --> 00:11:06,609 onun temel vektörler olarak bilinen bu iki vektöre ne yaptığını anlatacak şekilde -175 +173 00:11:06,609 --> 00:11:07,360 okuyabilirsiniz. -176 +174 00:11:07,380 --> 00:11:11,713 Başka herhangi bir vektör üzerindeki etkisi, bu iki temel sonucun o -177 +175 00:11:11,713 --> 00:11:16,620 vektörün koordinatlarıyla ölçeklendirilmesinin ve eklenmesinin bir sonucudur. -178 -00:11:17,720 --> 00:11:21,570 -Sistemimizdeki matrise dönüp baktığımızda, sütunlarından birinci taban vektörünü +176 +00:11:17,720 --> 00:11:21,375 +Sistemimizdeki matrise dönüp baktığımızda, sütunlarından birinci taban -179 -00:11:21,570 --> 00:11:24,849 -0 1'e ve ikinci taban vektörünü negatif 1 0'a aldığını nasıl +177 +00:11:21,375 --> 00:11:25,030 +vektörünü 0 1'e ve ikinci taban vektörünü negatif 1 0'a aldığını nasıl -180 -00:11:24,849 --> 00:11:28,700 +178 +00:11:25,030 --> 00:11:29,200 söyleyebildiğimize dikkat edin, bu yüzden ona 90 derecelik dönüş matrisi diyorum. -181 -00:11:28,700 --> 00:11:33,029 +179 +00:11:30,880 --> 00:11:34,497 Denklemimiz açısından bunun anlamı şu; Romeo ve Juliet bu durum -182 -00:11:33,029 --> 00:11:37,765 +180 +00:11:34,497 --> 00:11:38,455 uzayında nerede olursa olsun, değişim oranlarının bu konum vektörünün -183 -00:11:37,765 --> 00:11:41,960 +181 +00:11:38,455 --> 00:11:41,960 90 derecelik dönüşü gibi görünmesi gerektiği anlamına geliyor. -184 +182 00:11:42,700 --> 00:11:46,302 Hızın bu şekilde konuma kalıcı olarak dik olabilmesinin tek yolu, -185 +183 00:11:46,302 --> 00:11:48,976 orijin etrafında dairesel hareketle dönmenizdir; -186 +184 00:11:48,976 --> 00:11:52,906 değişim hızının konum yönünde hiçbir bileşeni olmadığından hiçbir zaman -187 +185 00:11:52,906 --> 00:11:54,380 büyümez veya küçülmezsiniz. -188 +186 00:11:57,060 --> 00:12:01,527 Daha spesifik olarak, bu hız vektörünün uzunluğu konum vektörünün -189 +187 00:12:01,527 --> 00:12:06,535 uzunluğuna eşit olduğundan, her zaman birimi için bunun kapsadığı mesafe, -190 +188 00:12:06,535 --> 00:12:10,800 o daire boyunca bir yarıçap değerindeki yay uzunluğuna eşittir. -191 +189 00:12:12,060 --> 00:12:15,831 Başka bir deyişle, birim zamanda bir radyan hızla dönmektedir, -192 +190 00:12:15,831 --> 00:12:20,680 dolayısıyla tam bir devrimi gerçekleştirmek özellikle 2 pi birim zaman alacaktır. -193 +191 00:12:22,620 --> 00:12:26,012 Bu tür bir döndürmeyi bir formülle tanımlamak isterseniz, -194 +192 00:12:26,012 --> 00:12:29,580 buna benzeyen daha genel bir döndürme matrisi kullanabiliriz. -195 +193 00:12:30,380 --> 00:12:32,280 Yine sütunlar cinsinden okuyabiliyoruz. -196 -00:12:32,780 --> 00:12:37,055 +194 +00:12:32,780 --> 00:12:36,920 İlk sütunun bize, birinci temel vektörün cos t sin t'ye, -197 -00:12:37,055 --> 00:12:42,802 +195 +00:12:36,920 --> 00:12:42,585 ikinci sütunun ise ikinci taban vektörün negatif sin t cos t'ye götürüldüğünü -198 -00:12:42,802 --> 00:12:48,760 +196 +00:12:42,585 --> 00:12:48,760 nasıl söylediğine dikkat edin; bunların her ikisi de t radyan döndürmeyle tutarlıdır. -199 -00:12:49,700 --> 00:12:54,017 -Yani sistemi çözmek için, Romeo ve Juliet'in t birim zaman sonra nerede +197 +00:12:49,700 --> 00:12:54,475 +Yani sistemi çözmek için, Romeo ve Juliet'in t birim zaman sonra nerede olacağını -200 -00:12:54,017 --> 00:12:58,960 -olacağını tahmin etmek istiyorsanız, bu matrisi başlangıç durumlarıyla çarpabilirsiniz. +198 +00:12:54,475 --> 00:12:58,960 +tahmin etmek istiyorsanız, bu matrisi başlangıç durumlarıyla çarpabilirsiniz. -201 -00:13:00,120 --> 00:13:03,796 +199 +00:13:00,120 --> 00:13:04,099 Aranızdaki aktif izleyiciler de biraz durup x t ve y t için bundan -202 -00:13:03,796 --> 00:13:07,418 +200 +00:13:04,099 --> 00:13:08,019 çıkaracağınız açık formüllerin başlangıçtaki diferansiyel denklem -203 -00:13:07,418 --> 00:13:11,040 +201 +00:13:08,019 --> 00:13:11,940 sistemini gerçekten karşıladığını doğrulamaktan keyif alabilirler. -204 -00:13:11,040 --> 00:13:15,372 +202 +00:13:17,740 --> 00:13:20,132 İçinizdeki matematikçi sadece bu özel sistemi değil, -205 -00:13:15,372 --> 00:13:20,195 +203 +00:13:20,132 --> 00:13:22,795 katsayıları ne olursa olsun başka herhangi bir matris için -206 -00:13:20,195 --> 00:13:26,000 +204 +00:13:22,795 --> 00:13:26,000 buna benzer denklemleri çözmenin mümkün olup olmadığını merak edebilir. -207 +205 00:13:27,120 --> 00:13:31,160 Bu soruyu sormak kendinizi matris üslerini yeniden keşfetmeye hazırlamaktır. -208 -00:13:31,780 --> 00:13:35,085 -Bugünün ana hedefi, bu denklemin, e'nin bir matrise yükseltilmiş +206 +00:13:31,780 --> 00:13:35,180 +Bugünün ana hedefi, bu denklemin, e'nin bir matrise yükseltilmiş hali -209 -00:13:35,085 --> 00:13:38,630 -hali olarak yazdığımız işlemi sezgisel olarak hayal etmenize nasıl olanak +207 +00:13:35,180 --> 00:13:38,532 +olarak yazdığımız işlemi sezgisel olarak hayal etmenize nasıl olanak -210 -00:13:38,630 --> 00:13:42,366 +208 +00:13:38,532 --> 00:13:42,322 tanıdığını anlamanızdır ve diğer taraftan, matris üslerini hesaplayabilmenin, -211 -00:13:42,366 --> 00:13:45,480 +209 +00:13:42,322 --> 00:13:45,480 bu denklemi açıkça çözmenize nasıl olanak sağladığını anlamaktır. -212 -00:13:46,520 --> 00:13:50,343 +210 +00:13:46,520 --> 00:13:50,658 Çok daha az tuhaf bir örnek, kuantum mekaniğindeki sistemlerin zaman içinde -213 -00:13:50,343 --> 00:13:54,520 +211 +00:13:50,658 --> 00:13:54,960 nasıl değiştiğini açıklayan temel denklem olan Schrödinger'in ünlü denklemidir. -214 -00:13:54,520 --> 00:13:57,992 +212 +00:13:55,680 --> 00:13:58,636 Oldukça korkutucu görünüyor ve kuantum mekaniği demek istiyorum, -215 -00:13:57,992 --> 00:14:02,320 +213 +00:13:58,636 --> 00:14:02,320 elbette öyle olacak, ama aslında Romeo ve Juliet kurgusundan çok da farklı değil. -216 +214 00:14:03,020 --> 00:14:05,280 Buradaki sembol belirli bir vektörü ifade etmektedir. -217 +215 00:14:05,800 --> 00:14:08,362 Çeşitli parçacıkların konumları ve momentumları gibi, -218 +216 00:14:08,362 --> 00:14:12,160 bir sistemde önemseyebileceğiniz tüm bilgileri bir araya toplayan bir vektördür. -219 +217 00:14:12,240 --> 00:14:16,900 Romeo ve Juliet hakkındaki tüm bilgileri kodlayan daha basit 2 boyutlu vektörümüze benzer. -220 +218 00:14:17,840 --> 00:14:20,810 Denklem, bu durum vektörünün belirli bir matrise -221 +219 00:14:20,810 --> 00:14:23,600 benzeme hızının kendisiyle çarpımını söylüyor. -222 -00:14:24,560 --> 00:14:28,467 +220 +00:14:24,560 --> 00:14:28,520 Schrödinger denklemini belirgin şekilde daha karmaşık hale getiren bir dizi şey var, -223 -00:14:28,467 --> 00:14:31,777 -ancak aklınızın bir köşesinde bunu, Romeo ve Juliet'in daha dostane +221 +00:14:28,520 --> 00:14:32,062 +ancak aklınızın bir köşesinde bunu, Romeo ve Juliet'in daha dostane adımlar -224 -00:14:31,777 --> 00:14:35,409 -adımlar sunması gibi daha basit örneklerle sizin ve benim geliştirebileceğimiz +222 +00:14:32,062 --> 00:14:35,370 +sunması gibi daha basit örneklerle sizin ve benim geliştirebileceğimiz -225 -00:14:35,409 --> 00:14:38,260 +223 +00:14:35,370 --> 00:14:38,260 bir hedef noktası olarak düşünebilirsiniz. yol boyunca taşlar. -226 -00:14:39,540 --> 00:14:42,534 -Aslında e'nin sıradan gerçek sayı kuvvetlerine - -227 -00:14:42,534 --> 00:14:45,000 -bağlı en basit örnek tek boyutlu durumdur. +224 +00:14:39,540 --> 00:14:45,000 +Aslında e'nin sıradan gerçek sayı kuvvetlerine bağlı en basit örnek tek boyutlu durumdur. -228 +225 00:14:45,400 --> 00:14:47,920 Bu, tek bir değişen değere sahip olduğunuz ve değişim -229 +226 00:14:47,920 --> 00:14:50,580 oranının bazı sabit çarpı kendisine eşit olduğu zamandır. -230 +227 00:14:51,200 --> 00:14:53,440 Yani değer ne kadar büyük olursa, o kadar hızlı büyür. -231 +228 00:14:55,080 --> 00:14:57,913 Çoğu insan bunu bir grafikle görselleştirmede daha rahattır; -232 +229 00:14:57,913 --> 00:15:00,700 grafiğin değeri ne kadar yüksek olursa eğimi de o kadar dik -233 +230 00:15:00,700 --> 00:15:03,580 olur ve bu da sürekli dikleşen yukarı doğru eğriye neden olur. -234 +231 00:15:04,040 --> 00:15:06,019 Daha yüksek boyutsal farklılıklara ulaştığımızda -235 +232 00:15:06,019 --> 00:15:08,080 grafiklerin çok daha az yararlı olduğunu unutmayın. -236 +233 00:15:08,880 --> 00:15:11,500 Bu başlı başına çok önemli bir denklem. -237 -00:15:11,700 --> 00:15:15,560 +234 +00:15:11,700 --> 00:15:16,300 Bir değerin değişim hızının değerin kendisiyle orantılı olması çok güçlü bir kavramdır. -238 -00:15:15,560 --> 00:15:19,937 +235 +00:15:16,760 --> 00:15:20,747 Bu, bileşik faiz veya sınırlı kaynakların etkileri ortaya çıkmadan -239 -00:15:19,937 --> 00:15:24,576 +236 +00:15:20,747 --> 00:15:24,973 önce nüfus artışının erken aşamaları veya nüfusun çoğunluğunun duyarlı -240 -00:15:24,576 --> 00:15:29,020 +237 +00:15:24,973 --> 00:15:29,020 olduğu bir salgının erken aşamaları gibi şeyleri yöneten denklemdir. -241 -00:15:31,920 --> 00:15:34,695 +238 +00:15:31,920 --> 00:15:34,582 Matematik öğrencilerinin hepsi e üzeri rt'nin -242 -00:15:34,695 --> 00:15:37,360 +239 +00:15:34,582 --> 00:15:37,360 türevinin r çarpı kendisi olduğunu öğreniyorlar. -243 +240 00:15:38,440 --> 00:15:42,424 Başka bir deyişle, bu kendi kendini güçlendiren büyüme olgusu -244 +241 00:15:42,424 --> 00:15:46,280 üstel büyümeyle aynı şeydir ve e üzeri rt bu denklemi çözer. -245 +242 00:15:48,800 --> 00:15:52,606 Aslında bunu düşünmenin daha iyi bir yolu, bu denklemin her başlangıç koşulu -246 +243 00:15:52,606 --> 00:15:55,473 için bir tane olmak üzere birçok farklı çözümü olduğudur; -247 +244 00:15:55,473 --> 00:15:58,884 başlangıç yatırım büyüklüğü veya başlangıç popülasyonu gibi bir şey, -248 +245 00:15:58,884 --> 00:16:00,120 buna sadece x0 diyeceğiz. -249 +246 00:16:00,960 --> 00:16:04,070 Bu arada, x0 değeri ne kadar yüksek olursa, ortaya çıkan çözümün -250 +247 00:16:04,070 --> 00:16:06,941 başlangıç eğiminin de o kadar yüksek olacağına dikkat edin; -251 +248 00:16:06,941 --> 00:16:09,860 denklem göz önüne alındığında bunun tam bir anlamı olmalıdır. -252 +249 00:16:11,220 --> 00:16:15,783 e üzeri rt fonksiyonu, başlangıç koşulu 1 olduğunda yalnızca bir çözümdür, -253 +250 00:16:15,783 --> 00:16:18,947 ancak herhangi bir başlangıç koşuluyla çarparsanız, -254 +251 00:16:18,947 --> 00:16:22,720 bu özelliği hâlâ karşılayan yeni bir fonksiyon elde edersiniz. -255 -00:16:23,060 --> 00:16:26,403 +252 +00:16:23,060 --> 00:16:26,547 Hala r çarpı kendisi olan bir türevi var ama e -256 -00:16:26,403 --> 00:16:29,960 +253 +00:16:26,547 --> 00:16:29,960 üzeri 0 1 olduğundan bu sefer x0'dan başlıyor. -257 +254 00:16:30,780 --> 00:16:33,300 Daha fazla boyuta genelleme yapmadan önce bunun altını çizmeye değer. -258 +255 00:16:33,800 --> 00:16:37,320 Üstel kısmın kendi başına bir çözüm olduğunu düşünmeyin. -259 +256 00:16:37,800 --> 00:16:42,380 Bunu, bir çözüm sağlamak için başlangıç koşuluna göre hareket eden bir şey olarak düşünün. -260 +257 00:16:46,440 --> 00:16:51,288 Görüyorsunuz, iki boyutlu durumda, değişim hızı matris çarpı kendisi ile -261 +258 00:16:51,288 --> 00:16:56,336 sınırlanan değişen bir vektörümüz olduğunda, çözüm de belirli bir başlangıç -262 +259 00:16:56,336 --> 00:16:59,723 koşuluna etki eden üstel bir terim gibi görünüyor, -263 +260 00:16:59,723 --> 00:17:04,705 ancak üstel bu durumda zamanla değişen bir matris üretecektir ve başlangıç -264 +261 00:17:04,705 --> 00:17:06,099 koşulu bir vektördür. -265 +262 00:17:06,900 --> 00:17:10,530 Aslında, matris üssü tanımının, bu gerçeğin doğru olduğundan emin -266 +263 00:17:10,530 --> 00:17:13,940 olmak için yoğun bir şekilde motive edildiğini düşünmelisiniz. -267 -00:17:14,920 --> 00:17:19,422 +264 +00:17:14,920 --> 00:17:19,327 Örneğin, Romeo ve Juliet'le ortaya çıkan sisteme dönüp bakarsak, -268 -00:17:19,422 --> 00:17:22,750 +265 +00:17:19,327 --> 00:17:22,514 şimdi iddia, çözümlerin e'nin bu 0, eksi 1, 1, -269 -00:17:22,750 --> 00:17:27,645 -0 matrisine tüm zamanların çarpımıyla bir başlangıç koşuluyla yükseltilmiş +266 +00:17:22,514 --> 00:17:26,718 +0 matrisine tüm zamanların çarpımıyla bir başlangıç koşuluyla -270 -00:17:27,645 --> 00:17:28,820 -gibi göründüğüdür. +267 +00:17:26,718 --> 00:17:28,820 +yükseltilmiş gibi göründüğüdür. -271 +268 00:17:29,560 --> 00:17:32,048 Ancak bu durumda çözümü zaten görmüştük, bunun bir dönme -272 +269 00:17:32,048 --> 00:17:34,580 matrisi çarpı başlangıç koşulu gibi göründüğünü biliyoruz. -273 +270 00:17:35,260 --> 00:17:38,819 O halde hadi biraz vakit ayırıp kolları sıvayalım ve başta bahsettiğim -274 +271 00:17:38,819 --> 00:17:42,680 tanımı kullanarak üstel terimi hesaplayalım ve doğru olup olmadığına bakalım. -275 +272 00:17:43,260 --> 00:17:47,770 Unutmayın, e üzeri bir matris yazmak, onu bu uzun sonsuz polinoma, -276 +273 00:17:47,770 --> 00:17:52,080 e üzeri x için Taylor serisine yerleştirmenin bir kısaltmasıdır. -277 +274 00:17:53,100 --> 00:17:56,160 Bunu yapmanın oldukça karmaşık görünebileceğini biliyorum, -278 +275 00:17:56,160 --> 00:17:59,480 ama güvenin bana, bu özel şeyin ortaya çıkması çok tatmin edici. -279 +276 00:18:00,180 --> 00:18:03,964 Eğer gerçekten oturup bu matrisin ardışık kuvvetlerini hesaplarsanız, -280 +277 00:18:03,964 --> 00:18:08,020 bunların her dört yinelemede bir döngü düzenine girdiğini fark edeceksiniz. -281 +278 00:18:27,280 --> 00:18:30,237 Bunun 90 derecelik bir dönme matrisi olduğunu bildiğimiz göz önüne alındığında, -282 +279 00:18:30,237 --> 00:18:30,940 bu mantıklı olmalı. -283 +280 00:18:31,620 --> 00:18:35,748 Yani sonsuz sayıda matrisin tümünü terim terim bir araya getirdiğinizde, -284 +281 00:18:35,748 --> 00:18:39,876 sonuçtaki her terim, katsayılarında güzel bir döngü düzenine sahip bir t -285 +282 00:18:39,876 --> 00:18:44,400 polinomu gibi görünür ve bunların tümü ilgili faktöriyel terime göre ölçeklenir. -286 +283 00:18:45,760 --> 00:18:49,453 Taylor serileri konusunda bilgili olanlar, bu bileşenlerin -287 +284 00:18:49,453 --> 00:18:54,272 her birinin sinüs veya kosinüs için Taylor serisi olduğunu fark edebilirler, -288 +285 00:18:54,272 --> 00:18:57,340 ancak sağ üst köşede bu aslında negatif sinüstür. -289 +286 00:18:58,680 --> 00:19:01,080 Yani hesaplamadan elde ettiğimiz şey tam olarak -290 +287 00:19:01,080 --> 00:19:03,380 daha önce sahip olduğumuz rotasyon matrisidir. -291 +288 00:19:07,160 --> 00:19:09,220 Bana göre bu son derece güzel. -292 -00:19:09,680 --> 00:19:12,088 +289 +00:19:09,680 --> 00:19:12,314 Aynı sistem hakkında tamamen farklı iki akıl yürütme -293 -00:19:12,088 --> 00:19:14,360 +290 +00:19:12,314 --> 00:19:14,800 yöntemimiz var ve bunlar bize aynı cevabı veriyor. -294 -00:19:14,360 --> 00:19:18,479 +291 +00:19:15,480 --> 00:19:19,229 Demek istediğim, öyle olmaları güven verici, ancak bu polinom üzerinde gezinirken -295 -00:19:18,479 --> 00:19:22,499 +292 +00:19:19,229 --> 00:19:22,887 düşünce tarzının, bir konuma dik bir hızın ne anlama gelmesi gerektiği hakkında -296 -00:19:22,499 --> 00:19:26,820 +293 +00:19:22,887 --> 00:19:26,820 geometrik olarak akıl yürüttüğünüzde düşünce tarzının bu kadar farklı olması çılgınca. -297 +294 00:19:27,720 --> 00:19:30,942 Umarız bu sıralamaların matris üslü sayıların gerçekten de bu -298 +295 00:19:30,942 --> 00:19:34,320 gibi sistemleri çözdüğü iddiasına biraz güven aşıladığını umarız. -299 +296 00:19:35,340 --> 00:19:40,122 Bu arada, köşegenleri negatif pi ve pi olan matrisin negatif özdeşliği ürettiği, -300 +297 00:19:40,122 --> 00:19:42,780 başlangıçta gördüğümüz hesaplamayı açıklıyor. -301 -00:19:43,560 --> 00:19:47,845 +298 +00:19:43,560 --> 00:19:47,705 Bu ifade, 90 derecelik bir dönüş matrisi çarpı pi'nin üssüdür; bu, -302 -00:19:47,845 --> 00:19:52,735 +299 +00:19:47,705 --> 00:19:52,717 Romeo-Juliet düzeninin pi birim zaman sonrasında ne yaptığını tanımlamanın başka -303 -00:19:52,735 --> 00:19:53,460 +300 +00:19:52,717 --> 00:19:53,460 bir yoludur. -304 -00:19:54,040 --> 00:19:57,352 +301 +00:19:54,040 --> 00:19:57,655 Artık bildiğimiz gibi bunun, bu durum uzayındaki her şeyi 180 -305 -00:19:57,352 --> 00:20:01,040 +302 +00:19:57,655 --> 00:20:01,680 derece döndürme etkisi vardır, bu da negatif 1 ile çarpmakla aynıdır. -306 -00:20:01,040 --> 00:20:05,290 +303 +00:20:03,060 --> 00:20:06,229 Ayrıca, hayali sayı üslerine aşina olanlarınız için, -307 -00:20:05,290 --> 00:20:08,980 +304 +00:20:06,229 --> 00:20:08,980 bu özel örnek muhtemelen bir sürü zil çalıyor. -308 +305 00:20:09,360 --> 00:20:11,120 %100 benzerdir. -309 -00:20:11,840 --> 00:20:16,400 +306 +00:20:11,840 --> 00:20:16,254 Aslında, Romeo ve Juliet'in duygularının karmaşık bir sayı halinde paketlendiği -310 -00:20:16,400 --> 00:20:20,091 +307 +00:20:16,254 --> 00:20:20,007 tüm örneği çerçeveleyebilirdik ve bu karmaşık sayının değişim hızı, -311 -00:20:20,091 --> 00:20:24,380 +308 +00:20:20,007 --> 00:20:24,367 i çarpı kendisi olurdu, çünkü i ile çarpma aynı zamanda 90 derecelik bir dönüş -312 -00:20:24,380 --> 00:20:25,140 +309 +00:20:24,367 --> 00:20:25,140 gibi davranır. -313 +310 00:20:25,840 --> 00:20:29,997 Hem analitik hem de geometrik olarak aynı kesin akıl yürütme çizgisi, -314 +311 00:20:29,997 --> 00:20:33,680 e üzeri dönmeyi tanımladığı kuvvet fikrine yol açmış olabilir. -315 +312 00:20:34,460 --> 00:20:37,984 Bunlar aslında matematik ve fizikteki birçok farklı örnekten ikisi; -316 +313 00:20:37,984 --> 00:20:42,546 kendinizi 90 derecelik bir dönüş çarpı zaman gibi davranan bir nesneyi üstel çıkarırken -317 +314 00:20:42,546 --> 00:20:43,220 buluyorsunuz. -318 +315 00:20:43,980 --> 00:20:48,020 Kuaterniyonlarla veya kuantum mekaniğinde ortaya çıkan birçok matrisle ortaya çıkıyor. -319 +316 00:20:48,720 --> 00:20:52,229 Tüm bu durumlarda, şu gerçekten güzel genel fikre sahibiz: -320 +317 00:20:52,229 --> 00:20:55,561 Eğer bir düzlemde 90 derece dönen bir işlem yaparsanız, -321 +318 00:20:55,561 --> 00:21:00,201 bu genellikle yüksek boyutlu bir uzayda görselleştiremediğimiz bir düzlemdir, -322 +319 00:21:00,201 --> 00:21:05,019 o zaman bunu üstel alarak ne elde ederiz? çalışma süreleri zaman aynı düzlemdeki -323 +320 00:21:05,019 --> 00:21:07,280 diğer tüm dönüşleri üreten bir şeydir. -324 +321 00:21:09,100 --> 00:21:13,240 Aynı temanın daha karmaşık varyasyonlarından biri Schrödinger denklemidir. -325 +322 00:21:13,840 --> 00:21:16,283 Mesele sadece bunun bir durumun türevinin bazı -326 +323 00:21:16,283 --> 00:21:18,780 matris çarpı o durum biçimine eşit olması değil. -327 +324 00:21:19,020 --> 00:21:22,500 Buradaki ilgili matrisin doğası öyledir ki denklem aynı zamanda -328 +325 00:21:22,500 --> 00:21:26,090 bir tür dönmeyi de tanımlar, ancak Schrödinger denkleminin birçok -329 +326 00:21:26,090 --> 00:21:29,680 uygulamasında bu bir tür fonksiyon uzayındaki bir dönme olacaktır. -330 +327 00:21:30,520 --> 00:21:32,965 Yine de biraz daha karmaşık çünkü genellikle birçok -331 +328 00:21:32,965 --> 00:21:34,800 farklı rotasyonun bir kombinasyonu var. -332 +329 00:21:35,220 --> 00:21:39,582 Bu denklemi gerçekten derinlemesine incelemek zaman alır ve bunu daha sonraki bir -333 +330 00:21:39,582 --> 00:21:44,263 bölümde yapmayı çok isterim, ancak şu anda yardım edemem ama en azından böylesine temel -334 +331 00:21:44,263 --> 00:21:48,732 bir denklemde çok şeytani bir şekilde oturan bu hayali i biriminin olduğu gerçeğini -335 +332 00:21:48,732 --> 00:21:53,520 ima ediyorum. evrenin tamamı temelde Romeo-Julia örneğimizdeki matrisle aynı rolü oynuyor. -336 -00:21:54,160 --> 00:21:58,522 +333 +00:21:54,160 --> 00:21:58,335 Bu i'nin ilettiği şey, belirli bir durumun değişim hızının -337 -00:21:58,522 --> 00:22:02,885 -bir bakıma bu duruma dik olduğu ve dolayısıyla olayların zaman +334 +00:21:58,335 --> 00:22:02,369 +bir bakıma bu duruma dik olduğu ve dolayısıyla olayların -338 -00:22:02,885 --> 00:22:07,040 -içinde gelişmesi gereken yolun bir tür salınım içereceğidir. +335 +00:22:02,369 --> 00:22:07,040 +zaman içinde gelişmesi gereken yolun bir tür salınım içereceğidir. -339 +336 00:22:11,120 --> 00:22:14,480 Ancak matris üstelleştirmesi döndürmeden çok daha fazlasını yapabilir. -340 +337 00:22:15,020 --> 00:22:16,987 Bu tür diferansiyel denklemleri her zaman bir -341 +338 00:22:16,987 --> 00:22:19,040 vektör alanı kullanarak görselleştirebilirsiniz. -342 +339 00:22:20,240 --> 00:22:23,787 Buradaki fikir, bu denklemin bize bir durumun hızının tamamen konumu -343 +340 00:22:23,787 --> 00:22:27,231 tarafından belirlendiğini söylemesidir, dolayısıyla yaptığımız şey -344 +341 00:22:27,231 --> 00:22:30,778 uzaydaki her noktaya gitmek ve bir durumun içinden geçmesi durumunda -345 +342 00:22:30,778 --> 00:22:34,480 hızının ne olması gerektiğini gösteren küçük bir vektör çizmek. o nokta. -346 +343 00:22:35,340 --> 00:22:38,343 Bizim denklem tipimiz için bu, uzaydaki her v noktasına -347 +344 00:22:38,343 --> 00:22:41,400 gitmemiz ve m çarpı v vektörünü eklememiz anlamına gelir. -348 +345 00:22:54,020 --> 00:22:58,116 Herhangi bir başlangıç koşulunun nasıl gelişeceğini sezgisel olarak anlamak için, -349 +346 00:22:58,116 --> 00:23:01,762 onun bu alan boyunca, zamanın herhangi bir noktasında üzerinde bulunduğu -350 +347 00:23:01,762 --> 00:23:04,360 vektörle eşleşen bir hızla akmasına izin verirsiniz. -351 +348 00:23:05,860 --> 00:23:09,388 Yani eğer iddia, bu denklemin çözümlerinin e üzeri mt çarpı bir -352 +349 00:23:09,388 --> 00:23:13,136 başlangıç koşuluna benzediği yönündeyse, bu, e üzeri mt matrisinin, -353 +350 00:23:13,136 --> 00:23:16,885 t birim zaman boyunca bu alan boyunca olası her başlangıç koşulunun -354 +351 00:23:16,885 --> 00:23:21,020 akmasına izin vererek ne yaptığını görselleştirebileceğiniz anlamına gelir. -355 -00:23:25,080 --> 00:23:28,630 -Başlangıçtan bitişe geçiş, e'den mt'ye kadar +352 +00:23:25,080 --> 00:23:28,702 +Başlangıçtan bitişe geçiş, e'den mt'ye kadar olan -356 -00:23:28,630 --> 00:23:32,180 -olan hesaplamadan ortaya çıkan matris ile tanımlanır. +353 +00:23:28,702 --> 00:23:32,180 +hesaplamadan ortaya çıkan matris ile tanımlanır. -357 +354 00:23:33,540 --> 00:23:36,589 90 derecelik dönüş matrisi ile ana örneğimizde, -358 +355 00:23:36,589 --> 00:23:41,798 vektör alanı buna benzer ve gördüğümüz gibi e üzeri mt bu durumda bu alan boyunca -359 +356 00:23:41,798 --> 00:23:44,340 akışla aynı hizada olan dönüşü tanımlar. -360 -00:23:45,800 --> 00:23:48,991 -Başka bir örnek olarak, Shakespeare'e daha çok benzeyen Romeo ve - -361 -00:23:48,991 --> 00:23:51,488 -Juliet'in denklemleri buna daha çok benzeyebilir; +357 +00:23:45,800 --> 00:23:50,075 +Başka bir örnek olarak, Shakespeare'e daha çok benzeyen Romeo ve Juliet'in denklemleri -362 -00:23:51,488 --> 00:23:54,541 -burada Juliet'in kuralı Romeo'nunkiyle simetriktir ve her +358 +00:23:50,075 --> 00:23:54,301 +buna daha çok benzeyebilir; burada Juliet'in kuralı Romeo'nunkiyle simetriktir ve her -363 -00:23:54,541 --> 00:23:58,380 +359 +00:23:54,301 --> 00:23:58,380 ikisi de birbirlerinin duygularına tepki olarak kendilerini kaptırmaya eğilimlidir. -364 +360 00:23:59,360 --> 00:24:02,672 Yine, baktığınız vektör alanının tanımlanma şekli, -365 +361 00:24:02,672 --> 00:24:06,700 uzaydaki her v noktasına gidip m çarpı v vektörünü eklemektir. -366 +362 00:24:07,160 --> 00:24:10,050 Bu, bir durumun değişim hızının her zaman m katına -367 +363 00:24:10,050 --> 00:24:12,940 eşit olması gerektiğini söylemenin resimli yoludur. -368 +364 00:24:14,160 --> 00:24:18,600 Ancak bu örnekte, alan boyunca akış daha önce olduğundan çok farklı görünüyor. -369 -00:24:19,200 --> 00:24:22,944 +365 +00:24:19,200 --> 00:24:23,166 Romeo ve Juliet düzlemin sağ üst yarısında herhangi bir yerden yola çıkarsa -370 -00:24:22,944 --> 00:24:26,640 +366 +00:24:23,166 --> 00:24:27,080 duyguları birbirlerinden beslenecek ve ikisi de sonsuza doğru yönelecektir. -371 -00:24:26,640 --> 00:24:31,946 +367 +00:24:30,580 --> 00:24:33,844 Eğer uçağın diğer yarısındalarsa Capulet ve Montagu aile -372 -00:24:31,946 --> 00:24:36,880 +368 +00:24:33,844 --> 00:24:36,880 geleneklerine daha sadık kaldıklarını söyleyebiliriz. -373 +369 00:24:38,020 --> 00:24:41,711 Dolayısıyla, bu özel matrisin üstel değerini hesaplamayı denemeden önce bile, -374 +370 00:24:41,711 --> 00:24:45,640 cevabın nasıl görünmesi gerektiğine dair sezgisel bir anlayışa sahip olabilirsiniz. -375 +371 00:24:46,160 --> 00:24:50,264 Ortaya çıkan matris, 0 zamanından t zamanına geçişi tanımlamalıdır; -376 +372 00:24:50,264 --> 00:24:55,455 alana baktığınızda, bunun bir köşegen boyunca sıkışıp diğer köşe boyunca uzanacağını, -377 +373 00:24:55,455 --> 00:24:59,560 t büyüdükçe daha da aşırı hale geleceğini gösteriyor gibi görünüyor. -378 +374 00:25:00,780 --> 00:25:03,637 Elbette tüm bunlar, e üzeri mt çarpı bir başlangıç -379 +375 00:25:03,637 --> 00:25:06,720 koşulunun bu sistemleri gerçekten çözdüğünü varsayıyor. -380 +376 00:25:07,640 --> 00:25:11,320 Bu, kendiniz çözdüğünüzde inanmanın en kolay olduğu gerçeklerden biridir. -381 +377 00:25:12,300 --> 00:25:14,300 Ama hızlıca kaba bir taslak üzerinden geçeceğim. -382 -00:25:16,020 --> 00:25:19,436 +378 +00:25:16,020 --> 00:25:19,310 e üzeri mt'yi tanımlayan polinomun tamamını yazın -383 -00:25:19,436 --> 00:25:22,600 +379 +00:25:19,310 --> 00:25:22,600 ve sağdaki bir başlangıç koşulu vektörüyle çarpın. -384 +380 00:25:26,540 --> 00:25:29,420 Ve bunun t'ye göre türevini alalım. -385 +381 00:25:30,180 --> 00:25:32,185 M matrisi bir sabit olduğundan, bu sadece kuvvet -386 +382 00:25:32,185 --> 00:25:34,600 kuralının terimlerin her birine uygulanması anlamına gelir. -387 +383 00:25:43,340 --> 00:25:47,000 Ve bu kuvvet kuralı, faktöriyel terimlerle gerçekten güzel bir şekilde iptal edilir. -388 +384 00:25:52,920 --> 00:25:57,014 Böylece elimizde kalan, daha önce sahip olduğumuz ifadenin hemen hemen aynısı olan -389 +385 00:25:57,014 --> 00:26:01,060 bir ifadedir, tek fark, her terimin üzerinde fazladan bir m harfinin bulunmasıdır. -390 +386 00:26:01,140 --> 00:26:03,020 Ancak bu sola doğru hesaba katılabilir. -391 +387 00:26:03,580 --> 00:26:10,340 Yani ifadenin türevi orijinal ifadenin m katıdır ve dolayısıyla denklemi çözer. -392 +388 00:26:11,420 --> 00:26:14,870 Bu aslında titizlik için gereken bazı ayrıntıları halının altına süpürüyor, -393 +389 00:26:14,870 --> 00:26:18,730 çoğunlukla bu şeyin gerçekten birleşip birleşmeyeceği sorusu etrafında yoğunlaşıyor, -394 +390 00:26:18,730 --> 00:26:19,820 ancak ana fikri veriyor. -395 +391 00:26:21,020 --> 00:26:23,828 Bir sonraki bölümde, bu işlemin sahip olduğu özelliklerden, -396 +392 00:26:23,828 --> 00:26:27,104 özellikle de özvektörler ve özdeğerlerle olan ilişkisinden daha fazla -397 +393 00:26:27,104 --> 00:26:30,942 bahsetmek istiyorum; bu da bizi bu hesaplamayı gerçekte nasıl gerçekleştirdiğiniz -398 +394 00:26:30,942 --> 00:26:34,780 hakkında daha somut düşünme yollarına yönlendirir, aksi takdirde çılgınca görünür. -399 -00:26:36,060 --> 00:26:52,536 +395 +00:26:36,060 --> 00:26:52,031 Ayrıca, zaman kalırsa, e'nin türev operatörünün kuvvetinin -400 -00:26:52,536 --> 00:27:06,920 +396 +00:26:52,031 --> 00:27:06,920 ne anlama geldiği hakkında konuşmak eğlenceli olabilir. diff --git a/2021/matrix-exponents/ukrainian/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/ukrainian/auto_generated.srt index bcf1a98ab..b500595bf 100644 --- a/2021/matrix-exponents/ukrainian/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/ukrainian/auto_generated.srt @@ -243,19 +243,19 @@ У цьому контексті степені все ще означають саме те, що ви очікуєте, повторне множення. 62 -00:03:53,840 --> 00:03:57,843 +00:03:53,840 --> 00:03:58,080 Кожен член у цьому поліномі масштабується на 1, поділену на факторіал, 63 -00:03:57,843 --> 00:04:01,960 +00:03:58,080 --> 00:04:02,440 і з матрицями все, що означає, що ви множите кожен компонент на це число. 64 -00:04:01,960 --> 00:04:05,632 +00:04:03,280 --> 00:04:06,245 Так само завжди має сенс складати разом дві матриці, 65 -00:04:05,632 --> 00:04:08,820 +00:04:06,245 --> 00:04:08,820 це те, що ви знову виконуєте член за терміном. 66 @@ -279,15 +279,15 @@ «пі» і «пі» поза її діагональними елементами. 71 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 Подивимося, що дає сума. 72 -00:04:26,200 --> 00:04:29,095 +00:04:27,280 --> 00:04:29,748 Перший термін — це одинична матриця, це фактично те, 73 -00:04:29,095 --> 00:04:33,520 +00:04:29,748 --> 00:04:33,520 що ми маємо на увазі за визначенням, коли підносимо матрицю до нульового степеня. 74 @@ -423,47 +423,47 @@ Один стосується взаємозв’язків, а інший — квантової механіки. 107 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 Почнемо з відносин. 108 -00:06:38,540 --> 00:06:44,546 +00:06:43,080 --> 00:06:47,518 Припустімо, що у нас є двоє коханців, назвемо їх Ромео і Джульєтта, 109 -00:06:44,546 --> 00:06:48,785 +00:06:47,518 --> 00:06:50,652 і нехай x представляє любов Джульєтти до Ромео, 110 -00:06:48,785 --> 00:06:55,940 +00:06:50,652 --> 00:06:55,940 а y представляє його любов до неї, обидві ці цінності будуть змінюватися з часом. 111 -00:06:56,900 --> 00:06:59,168 +00:06:56,900 --> 00:06:59,306 Це приклад, якого ми фактично торкнулися в розділі 1, 112 -00:06:59,168 --> 00:07:02,780 +00:06:59,306 --> 00:07:03,140 заснований на статті Стівена Строгатца, але нічого страшного, якщо ви цього не бачили. 113 -00:07:02,780 --> 00:07:09,141 +00:07:03,580 --> 00:07:08,907 Їхні стосунки функціонують так, що швидкість, з якою змінюється кохання Джульєтти 114 -00:07:09,141 --> 00:07:14,960 +00:07:08,907 --> 00:07:13,780 до Ромео, похідна від цього значення, дорівнює мінус 1 любові Ромео до неї. 115 -00:07:14,960 --> 00:07:18,717 +00:07:14,560 --> 00:07:18,469 Іншими словами, коли Ромео висловлює холодну незацікавленість, 116 -00:07:18,717 --> 00:07:23,309 +00:07:18,469 --> 00:07:23,248 тоді почуття Джульєтти посилюються, тоді як якщо він стає занадто закоханим, 117 -00:07:23,309 --> 00:07:24,800 +00:07:23,248 --> 00:07:24,800 її інтерес почне згасати. 118 @@ -567,15 +567,15 @@ корисно упакувати їх разом як координати однієї точки у просторі більшої вимірності. 143 -00:08:58,800 --> 00:09:04,260 +00:08:58,800 --> 00:09:04,859 Тож для Ромео та Джульєтти подумайте про їхні стосунки як про точку у двовимірному 144 -00:09:04,260 --> 00:09:09,720 +00:09:04,859 --> 00:09:10,920 просторі, де координата x фіксує почуття Джульєтти, а координата y – почуття Ромео. 145 -00:09:09,720 --> 00:09:18,240 +00:09:13,200 --> 00:09:18,240 Іноді корисно уявити цей стан як стрілку від початку координат, іноді просто як точку. 146 @@ -623,35 +623,35 @@ цього рівняння як добуток цієї матриці на вихідний вектор xy. 157 -00:10:02,080 --> 00:10:06,700 +00:10:02,080 --> 00:10:06,940 У верхньому рядку зашифровано правило Джульєтти, а в нижньому – правило Ромео. 158 -00:10:06,700 --> 00:10:12,628 +00:10:07,800 --> 00:10:11,231 Отже, тут ми маємо диференціальне рівняння, яке говорить нам, 159 -00:10:12,628 --> 00:10:20,660 +00:10:11,231 --> 00:10:15,880 що швидкість зміни деякого вектора дорівнює певній матриці, помноженій на саму себе. 160 -00:10:20,660 --> 00:10:24,389 +00:10:19,120 --> 00:10:22,652 За мить ми поговоримо про те, як зведення до степеня матриці розв’язує рівняння 161 -00:10:24,389 --> 00:10:27,746 +00:10:22,652 --> 00:10:25,831 такого типу, але перед цим дозвольте мені показати вам простіший спосіб 162 -00:10:27,746 --> 00:10:31,103 +00:10:25,831 --> 00:10:29,010 розв’язання цієї конкретної системи, який використовує чисту геометрію, 163 -00:10:31,103 --> 00:10:35,020 +00:10:29,010 --> 00:10:32,720 і це допомагає підготувати основу для візуалізації матриці експоненти трохи пізніше. 164 -00:10:35,020 --> 00:10:37,380 +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 Ця матриця з нашої системи є матрицею повороту на 90 градусів. 165 @@ -691,27 +691,27 @@ та додавання цих двох базисних результатів за координатами цього вектора. 174 -00:11:17,720 --> 00:11:20,719 +00:11:17,720 --> 00:11:20,855 Отже, озираючись на матрицю нашої системи, зверніть увагу, 175 -00:11:20,719 --> 00:11:24,938 +00:11:20,855 --> 00:11:25,267 як з її стовпців ми можемо сказати, що вона приймає перший базисний вектор до 0 1, 176 -00:11:24,938 --> 00:11:28,700 +00:11:25,267 --> 00:11:29,200 а другий до мінус 1 0, тому я називаю це матрицею повороту на 90 градусів. 177 -00:11:28,700 --> 00:11:35,070 +00:11:30,880 --> 00:11:36,203 Для нашого рівняння це означає те, що де б не були Ромео і Джульєтта в цьому просторі 178 -00:11:35,070 --> 00:11:41,219 +00:11:36,203 --> 00:11:41,341 станів, їхня швидкість зміни має виглядати як поворот на 90 градусів цього вектора 179 -00:11:41,219 --> 00:11:41,960 +00:11:41,341 --> 00:11:41,960 положення. 180 @@ -791,31 +791,31 @@ sin t cos t, обидва з яких узгоджуються з поворот ви можете помножити цю матрицю на їхній початковий стан. 199 -00:13:00,120 --> 00:13:03,279 +00:13:00,120 --> 00:13:03,540 Активним глядачам серед вас також може бути приємно взяти хвилинку, 200 -00:13:03,279 --> 00:13:05,463 +00:13:03,540 --> 00:13:05,904 щоб зупинитись і підтвердити, що явні формули, 201 -00:13:05,463 --> 00:13:07,694 +00:13:05,904 --> 00:13:08,318 які ви отримуєте з цього для x від t і y від t, 202 -00:13:07,694 --> 00:13:11,040 +00:13:08,318 --> 00:13:11,940 справді задовольняють систему диференціальних рівнянь, з якої ми почали. 203 -00:13:11,040 --> 00:13:18,176 +00:13:17,740 --> 00:13:21,680 Математик у вас може запитати, чи можливо розв’язати не лише цю конкретну систему, 204 -00:13:18,176 --> 00:13:24,366 +00:13:21,680 --> 00:13:25,098 але й подібні рівняння для будь-якої іншої матриці, незалежно від того, 205 -00:13:24,366 --> 00:13:26,000 +00:13:25,098 --> 00:13:26,000 які її коефіцієнти. 206 @@ -843,23 +843,23 @@ sin t cos t, обидва з яких узгоджуються з поворот дозволяє вам явно розв’язувати це рівняння. 212 -00:13:46,520 --> 00:13:49,857 +00:13:46,520 --> 00:13:50,040 Набагато менш примхливим прикладом є знамените рівняння Шредінгера, 213 -00:13:49,857 --> 00:13:53,587 +00:13:50,040 --> 00:13:53,976 яке є фундаментальним рівнянням, що описує, як системи в квантовій механіці 214 -00:13:53,587 --> 00:13:54,520 +00:13:53,976 --> 00:13:54,960 змінюються з часом. 215 -00:13:54,520 --> 00:13:58,511 +00:13:55,680 --> 00:13:59,078 Це виглядає досить лякаюче, і я маю на увазі, що це квантова механіка, тому, звичайно, 216 -00:13:58,511 --> 00:14:02,320 +00:13:59,078 --> 00:14:02,320 так і буде, але насправді це не дуже відрізняється від установки Ромео і Джульєтти. 217 @@ -951,19 +951,19 @@ sin t cos t, обидва з яких узгоджуються з поворот Це дуже важливе рівняння саме по собі. 239 -00:15:11,700 --> 00:15:15,560 +00:15:11,700 --> 00:15:16,300 Це дуже потужна концепція, коли швидкість зміни значення пропорційна самому значенню. 240 -00:15:15,560 --> 00:15:19,273 +00:15:16,760 --> 00:15:20,142 Це рівняння, що регулює такі речі, як складні відсотки, 241 -00:15:19,273 --> 00:15:24,643 +00:15:20,142 --> 00:15:25,033 або ранні стадії зростання населення до того, як почнуть діяти обмежені ресурси, 242 -00:15:24,643 --> 00:15:29,020 +00:15:25,033 --> 00:15:29,020 або ранні стадії епідемії, коли більша частина населення вразлива. 243 @@ -1159,23 +1159,23 @@ sin t cos t, обидва з яких узгоджуються з поворот Для мене це надзвичайно красиво. 291 -00:19:09,680 --> 00:19:12,724 +00:19:09,680 --> 00:19:13,010 У нас є два абсолютно різні способи міркувати про ту саму систему, 292 -00:19:12,724 --> 00:19:14,360 +00:19:13,010 --> 00:19:14,800 і вони дають нам однакову відповідь. 293 -00:19:14,360 --> 00:19:19,309 +00:19:15,480 --> 00:19:19,984 Я маю на увазі, що це заспокоює, але просто дивно, наскільки різний спосіб мислення, 294 -00:19:19,309 --> 00:19:23,559 +00:19:19,984 --> 00:19:23,852 коли ви пхаєте через цей поліном, і коли ви геометрично міркуєте про те, 295 -00:19:23,559 --> 00:19:26,820 +00:19:23,852 --> 00:19:26,820 що має означати швидкість, перпендикулярна до положення. 296 @@ -1203,19 +1203,19 @@ sin t cos t, обидва з яких узгоджуються з поворот що є ще одним способом описати, що робить установка Ромео-Джульєтти після пі одиниць часу. 302 -00:19:54,040 --> 00:19:57,324 +00:19:54,040 --> 00:19:57,624 Як ми тепер знаємо, це призводить до обертання всього на 180 303 -00:19:57,324 --> 00:20:01,040 +00:19:57,624 --> 00:20:01,680 градусів у цьому просторі станів, що те саме, що множення на мінус 1. 304 -00:20:01,040 --> 00:20:05,778 +00:20:03,060 --> 00:20:06,592 Крім того, для будь-кого з вас, хто знайомий з експонентами уявних чисел, 305 -00:20:05,778 --> 00:20:08,980 +00:20:06,592 --> 00:20:08,980 цей конкретний приклад, мабуть, дзвонить у дзвони. 306 @@ -1463,23 +1463,23 @@ sin t cos t, обидва з яких узгоджуються з поворот Але для цього прикладу потік вздовж поля виглядає зовсім інакше, ніж раніше. 367 -00:24:19,200 --> 00:24:22,726 +00:24:19,200 --> 00:24:22,935 Якщо Ромео і Джульєтта починають з будь-якого місця в цій верхній правій половині 368 -00:24:22,726 --> 00:24:24,962 +00:24:22,935 --> 00:24:25,303 площини, їхні почуття живитимуться один від одного, 369 -00:24:24,962 --> 00:24:26,640 +00:24:25,303 --> 00:24:27,080 і вони обоє прагнуть до нескінченності. 370 -00:24:26,640 --> 00:24:31,802 +00:24:30,580 --> 00:24:33,756 Якщо вони в іншій половині літака, скажімо, вони залишаються 371 -00:24:31,802 --> 00:24:36,880 +00:24:33,756 --> 00:24:36,880 більш вірними своїм сімейним традиціям Капулетті та Монтегю. 372 diff --git a/2021/matrix-exponents/vietnamese/auto_generated.srt b/2021/matrix-exponents/vietnamese/auto_generated.srt index def9d175a..6de56e64d 100644 --- a/2021/matrix-exponents/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2021/matrix-exponents/vietnamese/auto_generated.srt @@ -48,7 +48,7 @@ nơi các số mũ ma trận nằm rải rác khắp nơi. 13 00:00:49,140 --> 00:00:50,800 -Họ đóng một vai trò đặc biệt nổi bật. +Chúng đóng một vai trò đặc biệt nổi bật. 14 00:00:51,240 --> 00:00:54,030 @@ -127,19 +127,19 @@ Nếu bạn tăng đầu vào này lên một, thì thật kỳ diệu, bất k hiệu ứng đối với đầu ra luôn là nhân nó với một thừa số khác của e. 33 -00:02:12,260 --> 00:02:16,705 -Vì những lý do mà bạn sẽ thấy sau đây, các nhà toán học bắt đầu quan tâm đến việc cắm +00:02:12,260 --> 00:02:16,740 +Vì những lý do mà bạn sẽ thấy sau đây, các nhà toán học bắt đầu quan tâm đến việc thay 34 -00:02:16,705 --> 00:02:19,703 +00:02:16,740 --> 00:02:19,726 tất cả mọi thứ vào đa thức này, những thứ như số phức và, 35 -00:02:19,703 --> 00:02:24,200 +00:02:19,726 --> 00:02:24,206 cho mục đích của chúng ta ngày nay, ma trận, ngay cả khi những đối tượng đó không ngay 36 -00:02:24,200 --> 00:02:25,700 +00:02:24,206 --> 00:02:25,700 lập tức có ý nghĩa như số mũ. 37 @@ -159,44 +159,44 @@ vô hạn này là exp khi bạn cắm những đầu vào lạ hơn. mũ trong trường hợp số thực, mặc dù rõ ràng những đầu vào này không có ý nghĩa như số mũ. 41 -00:02:40,960 --> 00:02:45,386 +00:02:40,960 --> 00:02:45,369 Tuy nhiên, một quy ước phổ biến không kém là đưa ra một cái gật đầu ít nhẹ nhàng hơn 42 -00:02:45,386 --> 00:02:49,969 +00:02:45,369 --> 00:02:49,934 cho kết nối và chỉ viết tắt toàn bộ là e cho lũy thừa của bất kỳ đối tượng nào bạn đang 43 -00:02:49,969 --> 00:02:54,500 -cắm vào, cho dù đó là số phức hay ma trận, hay tất cả các loại những vật thể kỳ lạ hơn. +00:02:49,934 --> 00:02:54,500 +thay vào, cho dù đó là số phức hay ma trận, hay tất cả các loại những vật thể kỳ lạ hơn. 44 -00:02:55,220 --> 00:02:58,160 -Vì vậy, trong khi phương trình này là một định lý cho số thực, +00:02:55,220 --> 00:02:58,025 +Vậy trong khi phương trình này là một định lý với số thực, 45 -00:02:58,160 --> 00:03:00,260 -nó là định nghĩa cho những đầu vào kỳ lạ hơn. +00:02:58,025 --> 00:03:00,260 +nó là một xác định cho những đầu vào kỳ lạ hơn. 46 00:03:01,040 --> 00:03:03,900 -Một cách hoài nghi, bạn có thể gọi đây là sự lạm dụng ký hiệu một cách trắng trợn. +Thật hoài nghi, bạn có thể gọi đây là lạm dụng ký hiệu trắng trợn. 47 -00:03:04,720 --> 00:03:07,151 -Đáng tin cậy hơn, bạn có thể xem nó như một ví dụ về +00:03:04,720 --> 00:03:07,243 +Đáng tin hơn, bạn có thể xem nó như một ví dụ về chu 48 -00:03:07,151 --> 00:03:09,720 -chu kỳ đẹp đẽ giữa khám phá và phát minh trong toán học. +00:03:07,243 --> 00:03:09,720 +trình đẹp giữa khám phá và phát minh trong toán học. 49 -00:03:10,700 --> 00:03:14,327 +00:03:10,700 --> 00:03:14,592 Trong cả hai trường hợp, việc thế một ma trận vào ngay cả một đa thức có vẻ hơi lạ, 50 -00:03:14,327 --> 00:03:16,400 -vì vậy chúng ta hãy làm rõ ý của chúng ta ở đây. +00:03:14,592 --> 00:03:16,400 +vậy ta hãy làm rõ ý của chúng ta ở đây. 51 00:03:16,900 --> 00:03:19,940 @@ -235,80 +235,80 @@ Trong bối cảnh này, lũy thừa vẫn có ý nghĩa chính xác như bạn phép nhân lặp đi lặp lại. 60 -00:03:53,840 --> 00:03:57,925 +00:03:53,840 --> 00:03:58,167 Mỗi số hạng trong đa thức này được chia tỷ lệ bằng 1 chia cho một số giai thừa 61 -00:03:57,925 --> 00:04:01,960 +00:03:58,167 --> 00:04:02,440 và với ma trận, tất cả điều đó có nghĩa là bạn nhân từng thành phần với số đó. 62 -00:04:01,960 --> 00:04:05,928 +00:04:03,280 --> 00:04:06,484 Tương tự như vậy, việc cộng hai ma trận lại với nhau luôn có ý nghĩa, 63 -00:04:05,928 --> 00:04:08,820 +00:04:06,484 --> 00:04:08,820 đây là điều mà bạn lại thực hiện theo từng số hạng. 64 -00:04:09,540 --> 00:04:12,946 +00:04:09,540 --> 00:04:13,001 Những người thông minh trong số các bạn có thể hỏi rằng việc đưa cái này ra vô tận 65 -00:04:12,946 --> 00:04:14,998 +00:04:13,001 --> 00:04:15,087 là hợp lý như thế nào, đây sẽ là một câu hỏi hay, 66 -00:04:14,998 --> 00:04:17,173 +00:04:15,087 --> 00:04:17,297 một câu hỏi mà phần lớn tôi sẽ trì hoãn câu trả lời, 67 -00:04:17,173 --> 00:04:19,800 -nhưng bây giờ tôi có thể cho bạn xem một ví dụ khá thú vị ở đây. +00:04:17,297 --> 00:04:19,800 +nhưng giờ tôi có thể cho bạn xem một ví dụ khá thú vị ở đây. 68 00:04:20,440 --> 00:04:25,220 Lấy ma trận 2x2 này có pi âm và pi nằm ngoài các mục chéo của nó. 69 -00:04:25,540 --> 00:04:26,200 -Hãy xem số tiền mang lại những gì. +00:04:25,540 --> 00:04:26,640 +Hãy xem tổng này mang lại những gì. 70 -00:04:26,200 --> 00:04:29,673 -Số hạng đầu tiên là ma trận đồng nhất, đây thực sự là ý +00:04:27,280 --> 00:04:30,481 +Số hạng đầu tiên là ma trận đơn vị, đây thực sự là ý nghĩa 71 -00:04:29,673 --> 00:04:33,520 -nghĩa của định nghĩa khi chúng ta nâng ma trận lên lũy thừa 0. +00:04:30,481 --> 00:04:33,520 +của định nghĩa khi chúng ta nâng ma trận lên lũy thừa 0. 72 -00:04:34,460 --> 00:04:38,846 -Sau đó, chúng ta cộng chính ma trận đó, nó cho chúng ta số pi của các số hạng đường chéo, +00:04:34,460 --> 00:04:38,458 +Sau đó, ta cộng chính ma trận đó, nó cho ta số pi của các số hạng đường chéo, 73 -00:04:38,846 --> 00:04:41,527 +00:04:38,458 --> 00:04:41,277 rồi cộng một nửa bình phương của ma trận, và tiếp tục. 74 -00:04:41,527 --> 00:04:44,548 +00:04:41,277 --> 00:04:44,456 Tôi sẽ yêu cầu máy tính tiếp tục cộng thêm nhiều số hạng hơn, 75 -00:04:44,548 --> 00:04:48,399 -mỗi số hạng yêu cầu lấy thêm một ma trận nữa sản phẩm để có được sức mạnh mới, +00:04:44,456 --> 00:04:48,300 +mỗi số hạng yêu cầu lấy thêm một tích ma trận nữa để có được lũy thừa mới, 76 -00:04:48,399 --> 00:04:50,300 +00:04:48,300 --> 00:04:50,300 sau đó thêm nó vào danh sách đang chạy. 77 -00:04:51,160 --> 00:04:55,359 +00:04:51,160 --> 00:04:55,472 Và khi nó tiếp tục, nó dường như đang tiến đến một giá trị ổn định, 78 -00:04:55,359 --> 00:04:58,200 -giá trị này xấp xỉ âm 1 lần ma trận danh tính. +00:04:55,472 --> 00:04:58,200 +giá trị này xấp xỉ âm 1 lần ma trận đơn vị. 79 00:04:58,880 --> 00:05:02,100 @@ -356,7 +356,7 @@ việc tra tấn ma trận nghèo nàn của họ theo cách này? 90 00:05:37,900 --> 00:05:39,500 -Họ đang cố gắng giải quyết vấn đề gì? +Họ đang cố giải bài toán gì? 91 00:05:40,340 --> 00:05:43,841 @@ -375,12 +375,12 @@ một số ý thức về cách dự đoán kết quả đầu ra dựa trên đ thực sự xử lý các con số. 95 -00:05:51,520 --> 00:05:54,734 -Làm thế quái nào mà bạn có thể dự đoán được rằng ma trận có số pi +00:05:51,520 --> 00:05:54,660 +Làm thế quái nào mà bạn có thể dự đoán được rằng ma trận có số 96 -00:05:54,734 --> 00:05:57,900 -nằm ngoài đường chéo sẽ dẫn đến ma trận đồng nhất âm như thế này? +00:05:54,660 --> 00:05:57,900 +pi nằm ngoài đường chéo sẽ dẫn đến ma trận đơn vị âm như thế này? 97 00:05:59,100 --> 00:06:01,194 @@ -427,51 +427,51 @@ Về những loại ví dụ cụ thể nào có thể thúc đẩy các số m Một liên quan đến các mối quan hệ và cơ học lượng tử khác. 108 -00:06:38,180 --> 00:06:38,540 +00:06:38,180 --> 00:06:39,240 Hãy bắt đầu với các mối quan hệ. 109 -00:06:38,540 --> 00:06:43,615 +00:06:43,080 --> 00:06:46,830 Giả sử chúng ta có hai người yêu nhau, hãy gọi họ là Romeo và Juliet, 110 -00:06:43,615 --> 00:06:48,037 +00:06:46,830 --> 00:06:50,099 và hãy để x đại diện cho tình yêu của Juliet dành cho Romeo, 111 -00:06:48,037 --> 00:06:51,952 +00:06:50,099 --> 00:06:52,992 và y đại diện cho tình yêu của anh ấy dành cho cô ấy, 112 -00:06:51,952 --> 00:06:55,940 +00:06:52,992 --> 00:06:55,940 cả hai đều sẽ là những giá trị thay đổi theo thời gian. 113 -00:06:56,900 --> 00:06:59,155 -Đây là một ví dụ mà chúng tôi đã đề cập đến ở chương 1, +00:06:56,900 --> 00:07:01,141 +Đây là một ví dụ mà ta đã đề cập ở chương 1, dựa trên một bài báo của Steven Strogatz, 114 -00:06:59,155 --> 00:07:02,780 -dựa trên một bài báo của Steven Strogatz, nhưng cũng không sao nếu bạn không thấy điều đó. +00:07:01,141 --> 00:07:03,140 +nhưng cũng không sao nếu bạn chưa xem nó. 115 -00:07:02,780 --> 00:07:08,940 +00:07:03,580 --> 00:07:08,739 Cách thức hoạt động của mối quan hệ của họ là tốc độ thay đổi tình yêu của Juliet dành 116 -00:07:08,940 --> 00:07:14,960 +00:07:08,739 --> 00:07:13,780 cho Romeo, đạo hàm của giá trị này, bằng âm 1 nhân tình yêu của Romeo dành cho cô ấy. 117 -00:07:14,960 --> 00:07:18,049 +00:07:14,560 --> 00:07:17,774 Nói cách khác, khi Romeo thể hiện sự thờ ơ lạnh lùng, 118 -00:07:18,049 --> 00:07:22,511 +00:07:17,774 --> 00:07:22,418 đó là lúc tình cảm của Juliet tăng lên, ngược lại nếu anh trở nên quá say mê, 119 -00:07:22,511 --> 00:07:24,800 +00:07:22,418 --> 00:07:24,800 sự quan tâm của cô sẽ bắt đầu phai nhạt. 120 @@ -579,19 +579,19 @@ sẽ rất hữu ích nếu gộp chúng lại với nhau dưới dạng tọa gian có chiều cao hơn. 146 -00:08:58,800 --> 00:09:04,260 +00:08:58,800 --> 00:09:04,859 Vì vậy, đối với Romeo và Juliet, hãy coi mối quan hệ của họ như một điểm trong không 147 -00:09:04,260 --> 00:09:09,720 +00:09:04,859 --> 00:09:10,920 gian 2D, tọa độ x thể hiện cảm xúc của Juliet và tọa độ y thể hiện cảm xúc của Romeo. 148 -00:09:09,720 --> 00:09:16,292 +00:09:13,200 --> 00:09:17,088 Đôi khi sẽ rất hữu ích khi hình dung trạng thái này như một mũi tên từ điểm gốc, 149 -00:09:16,292 --> 00:09:18,240 +00:09:17,088 --> 00:09:18,240 đôi khi chỉ là một điểm. 150 @@ -643,36 +643,36 @@ Thiết lập dưới dạng vectơ như thế này, chúng ta có thể viết của phương trình này dưới dạng tích của ma trận này với vectơ xy ban đầu. 162 -00:10:02,080 --> 00:10:06,700 +00:10:02,080 --> 00:10:06,940 Hàng trên cùng mã hóa quy tắc Juliet và hàng dưới cùng mã hóa quy tắc Romeo. 163 -00:10:06,700 --> 00:10:13,594 -Vì vậy, những gì chúng ta có ở đây là một phương trình vi phân cho chúng ta biết +00:10:07,800 --> 00:10:11,787 +Vậy những gì ta có ở đây là một phương trình vi phân cho chúng ta biết rằng 164 -00:10:13,594 --> 00:10:20,660 -rằng tốc độ thay đổi của một số vectơ bằng một ma trận nhất định nhân với chính nó. +00:10:11,787 --> 00:10:15,880 +tốc độ thay đổi của một số vectơ bằng một ma trận nhất định nhân với chính nó. 165 -00:10:20,660 --> 00:10:24,345 -Sau đây chúng ta sẽ nói về cách lũy thừa ma trận giải loại phương trình này, +00:10:19,120 --> 00:10:22,805 +Sau đây ta sẽ nói về cách lũy thừa ma trận giải loại phương trình này, 166 -00:10:24,345 --> 00:10:27,935 -nhưng trước đó hãy để tôi chỉ cho bạn một cách đơn giản hơn để chúng ta có +00:10:22,805 --> 00:10:27,373 +nhưng trước đó hãy để tôi chỉ cho bạn một cách đơn giản hơn để ta có thể giải hệ cụ thể 167 -00:10:27,935 --> 00:10:31,573 -thể giải hệ thống cụ thể này, một hệ thống sử dụng hình học thuần túy và nó +00:10:27,373 --> 00:10:31,941 +này, một hệ sử dụng hình học thuần túy và nó giúp tạo tiền đề cho việc trực quan hóa ma 168 -00:10:31,573 --> 00:10:35,020 -giúp tạo tiền đề cho việc trực quan hóa ma trận số mũ muộn hơn một chút. +00:10:31,941 --> 00:10:32,720 +trận mũ sau đó. 169 -00:10:35,020 --> 00:10:37,380 -Ma trận này từ hệ thống của chúng tôi là ma trận xoay 90 độ. +00:10:34,000 --> 00:10:37,380 +Ma trận này từ hệ thống của chúng ta là ma trận xoay 90 độ. 170 00:10:38,580 --> 00:10:42,868 @@ -691,15 +691,15 @@ có một video về nó trên kênh này, thực sự là một loạt video. nó sẽ kéo ra cột đầu tiên, và tương tự nếu bạn nhân nó với 0 1, cột thứ hai sẽ ra. 174 -00:10:59,900 --> 00:11:02,436 -Điều này có nghĩa là khi bạn nhìn vào một ma trận, +00:10:59,900 --> 00:11:02,301 +Điều này có nghĩa là khi nhìn vào một ma trận, 175 -00:11:02,436 --> 00:11:06,166 +00:11:02,301 --> 00:11:06,133 bạn có thể đọc các cột của nó và cho bạn biết nó làm gì với hai vectơ này, 176 -00:11:06,166 --> 00:11:07,360 +00:11:06,133 --> 00:11:07,360 được gọi là vectơ cơ sở. 177 @@ -711,472 +711,472 @@ Cách nó hoạt động trên bất kỳ vectơ nào khác là kết quả củ chia tỷ lệ và cộng hai kết quả cơ bản này theo tọa độ của vectơ đó. 179 -00:11:17,720 --> 00:11:20,154 -Vì vậy, nhìn lại ma trận từ hệ thống của chúng ta, +00:11:17,720 --> 00:11:22,118 +Vậy nhìn lại ma trận từ hệ của chúng ta, hãy chú ý làm thế nào từ các cột của nó, 180 -00:11:20,154 --> 00:11:23,735 -hãy chú ý làm thế nào từ các cột của nó, chúng ta có thể biết nó lấy vectơ +00:11:22,118 --> 00:11:26,678 +ta có thể biết nó lấy vectơ cơ sở thứ nhất về 0 1, và vectơ cơ sở thứ hai về âm 1 0, 181 -00:11:23,735 --> 00:11:26,456 -cơ sở thứ nhất về 0 1, và vectơ cơ sở thứ hai về âm 1 0, - -182 -00:11:26,456 --> 00:11:28,700 +00:11:26,678 --> 00:11:29,200 do đó tại sao tôi gọi nó là ma trận xoay 90 độ. -183 -00:11:28,700 --> 00:11:33,075 +182 +00:11:30,880 --> 00:11:34,535 Ý nghĩa của phương trình của chúng ta là nó cho biết dù Romeo và -184 -00:11:33,075 --> 00:11:37,517 +183 +00:11:34,535 --> 00:11:38,247 Juliet ở đâu trong không gian trạng thái này, thì tốc độ thay đổi -185 -00:11:37,517 --> 00:11:41,960 +184 +00:11:38,247 --> 00:11:41,960 của chúng phải giống như một phép quay 90 độ của vectơ vị trí này. -186 +185 00:11:42,700 --> 00:11:46,452 Cách duy nhất để vận tốc có thể vuông góc vĩnh viễn với vị trí như thế -187 +186 00:11:46,452 --> 00:11:49,623 này là khi bạn quay quanh gốc tọa độ theo chuyển động tròn, -188 +187 00:11:49,623 --> 00:11:54,380 không bao giờ tăng hoặc giảm vì tốc độ thay đổi không có thành phần theo hướng của vị trí. -189 +188 00:11:57,060 --> 00:12:02,093 Cụ thể hơn, vì độ dài của vectơ vận tốc này bằng độ dài của vectơ vị trí, -190 +189 00:12:02,093 --> 00:12:06,718 nên với mỗi đơn vị thời gian, khoảng cách mà vectơ này bao phủ bằng -191 +190 00:12:06,718 --> 00:12:10,800 giá trị một bán kính của độ dài cung dọc theo đường tròn đó. -192 +191 00:12:12,060 --> 00:12:16,453 Nói cách khác, nó quay với tốc độ một radian trên một đơn vị thời gian, do đó, -193 +192 00:12:16,453 --> 00:12:20,680 cụ thể là sẽ mất 2 đơn vị pi thời gian để thực hiện một vòng quay hoàn toàn. -194 +193 00:12:22,620 --> 00:12:25,619 Nếu bạn muốn mô tả kiểu xoay này bằng một công thức, -195 +194 00:12:25,619 --> 00:12:29,580 chúng ta có thể sử dụng ma trận xoay tổng quát hơn, trông như thế này. -196 +195 00:12:30,380 --> 00:12:32,280 Một lần nữa, chúng ta có thể đọc nó theo các cột. -197 +196 00:12:32,780 --> 00:12:38,083 Lưu ý rằng cột đầu tiên cho chúng ta biết rằng nó lấy vectơ cơ sở thứ nhất -198 +197 00:12:38,083 --> 00:12:43,456 đó thành cos t sin t, và cột thứ hai cho chúng ta biết rằng nó lấy vectơ cơ -199 +198 00:12:43,456 --> 00:12:48,760 sở thứ hai về âm sin t cos t, cả hai đều phù hợp với việc quay theo radian. -200 +199 00:12:49,700 --> 00:12:54,178 Vì vậy, để giải hệ, nếu bạn muốn dự đoán nơi Romeo và Juliet sẽ đến sau t -201 +200 00:12:54,178 --> 00:12:58,960 đơn vị thời gian, bạn có thể nhân ma trận này với trạng thái ban đầu của chúng. +201 +00:13:00,120 --> 00:13:04,042 +Những người xem tích cực trong số các bạn cũng có thể thích dành chút thời + 202 -00:13:00,120 --> 00:13:03,633 -Những người xem tích cực trong số các bạn cũng có thể thích dành một chút +00:13:04,042 --> 00:13:07,912 +gian để tạm dừng và xác nhận rằng các công thức rõ ràng mà bạn đưa ra cho 203 -00:13:03,633 --> 00:13:07,194 -thời gian để tạm dừng và xác nhận rằng các công thức rõ ràng mà bạn đưa ra +00:13:07,912 --> 00:13:11,940 +x(t) và y(t) thực sự thỏa mãn hệ phương trình vi phân mà chúng ta đã bắt đầu. 204 -00:13:07,194 --> 00:13:11,040 -cho x(t) và y(t) thực sự thỏa mãn hệ phương trình vi phân mà chúng ta đã bắt đầu. - -205 -00:13:11,040 --> 00:13:15,836 +00:13:17,740 --> 00:13:20,388 Nhà toán học trong bạn có thể tự hỏi liệu có thể giải được -206 -00:13:15,836 --> 00:13:20,715 +205 +00:13:20,388 --> 00:13:23,082 không chỉ hệ thống cụ thể này mà còn các phương trình tương -207 -00:13:20,715 --> 00:13:26,000 +206 +00:13:23,082 --> 00:13:26,000 tự cho bất kỳ ma trận nào khác, bất kể hệ số của nó là bao nhiêu. -208 +207 00:13:27,120 --> 00:13:31,160 Đặt câu hỏi này là bạn đang chuẩn bị cho mình khám phá lại số mũ ma trận. +208 +00:13:31,780 --> 00:13:36,417 +Mục tiêu chính của ngày hôm nay là để bạn hiểu cách phương trình này cho bạn hình dung + 209 -00:13:31,780 --> 00:13:36,329 -Mục tiêu chính của ngày hôm nay là để bạn hiểu cách phương trình này cho phép bạn hình +00:13:36,417 --> 00:13:40,788 +một cách trực quan phép toán mà chúng ta viết khi e nâng lên ma trận và mặt khác, 210 -00:13:36,329 --> 00:13:40,878 -dung một cách trực quan phép toán mà chúng ta viết khi e nâng lên ma trận và mặt khác, - -211 -00:13:40,878 --> 00:13:45,480 +00:13:40,788 --> 00:13:45,480 việc tính số mũ ma trận cho phép bạn giải phương trình này một cách rõ ràng như thế nào. -212 -00:13:46,520 --> 00:13:50,053 +211 +00:13:46,520 --> 00:13:50,248 Một ví dụ ít kỳ lạ hơn nhiều là phương trình nổi tiếng của Schrodinger, -213 -00:13:50,053 --> 00:13:54,029 +212 +00:13:50,248 --> 00:13:54,442 đây là phương trình cơ bản mô tả cách các hệ trong cơ học lượng tử thay đổi theo -214 -00:13:54,029 --> 00:13:54,520 +213 +00:13:54,442 --> 00:13:54,960 thời gian. -215 -00:13:54,520 --> 00:13:58,894 +214 +00:13:55,680 --> 00:13:59,403 Nó trông khá đáng sợ, và ý tôi là đó là cơ học lượng tử, nên tất nhiên là như vậy, -216 -00:13:58,894 --> 00:14:02,320 +215 +00:13:59,403 --> 00:14:02,320 nhưng thực ra nó không khác mấy so với thiết lập Romeo và Juliet. -217 +216 00:14:03,020 --> 00:14:05,280 Biểu tượng này ở đây đề cập đến một vectơ nhất định. -218 +217 00:14:05,800 --> 00:14:09,588 Đó là một vectơ tập hợp tất cả thông tin mà bạn có thể quan tâm trong một hệ thống, -219 +218 00:14:09,588 --> 00:14:12,160 chẳng hạn như vị trí và động lượng của các hạt khác nhau. -220 -00:14:12,240 --> 00:14:14,812 -Nó tương tự như vectơ 2D đơn giản hơn của chúng tôi, +219 +00:14:12,240 --> 00:14:14,790 +Nó tương tự như vectơ 2D đơn giản hơn của chúng ta, -221 -00:14:14,812 --> 00:14:16,900 +220 +00:14:14,790 --> 00:14:16,900 mã hóa tất cả thông tin về Romeo và Juliet. -222 +221 00:14:17,840 --> 00:14:20,640 Phương trình cho biết tốc độ mà vectơ trạng thái này -223 +222 00:14:20,640 --> 00:14:23,600 trông giống như một ma trận nhất định nhân với chính nó. -224 -00:14:24,560 --> 00:14:28,417 +223 +00:14:24,560 --> 00:14:28,783 Có một số điều làm cho phương trình Schrodinger trở nên phức tạp hơn đáng kể, +224 +00:14:28,783 --> 00:14:33,169 +nhưng trong thâm tâm, bạn có thể nghĩ nó như một mục tiêu mà ta có thể xây dựng, + 225 -00:14:28,417 --> 00:14:31,830 -nhưng trong thâm tâm, bạn có thể nghĩ về nó như một điểm mục tiêu mà +00:14:33,169 --> 00:14:37,826 +với những ví dụ đơn giản hơn như Romeo và Juliet với các bước làm thân thiện hơn theo 226 -00:14:31,830 --> 00:14:35,292 -bạn và tôi có thể xây dựng, với những ví dụ đơn giản hơn như Romeo và +00:14:37,826 --> 00:14:38,260 +cách đó. 227 -00:14:35,292 --> 00:14:38,260 -Juliet đưa ra những bước đi thân thiện hơn. đá dọc đường đi. - -228 00:14:39,540 --> 00:14:42,142 Trên thực tế, ví dụ đơn giản nhất gắn liền với lũy -229 +228 00:14:42,142 --> 00:14:45,000 thừa số thực thông thường của e là trường hợp một chiều. -230 +229 00:14:45,400 --> 00:14:48,013 Đây là khi bạn có một giá trị thay đổi duy nhất và tốc -231 +230 00:14:48,013 --> 00:14:50,580 độ thay đổi của nó bằng chính nó một số lần không đổi. -232 +231 00:14:51,200 --> 00:14:53,440 -Vì vậy, giá trị càng lớn thì nó càng phát triển nhanh. +Vì vậy, giá trị càng lớn thì nó càng tăng nhanh. + +232 +00:14:55,080 --> 00:14:58,598 +Hầu hết mọi người cảm thấy thoải mái hơn khi hình dung điều này bằng đồ thị, 233 -00:14:55,080 --> 00:14:58,606 -Hầu hết mọi người cảm thấy thoải mái hơn khi hình dung điều này bằng biểu đồ, +00:14:58,598 --> 00:15:01,569 +trong đó giá trị của đồ thị càng cao thì độ dốc của nó càng dốc, 234 -00:14:58,606 --> 00:15:01,590 -trong đó giá trị của biểu đồ càng cao thì độ dốc của nó càng dốc, - -235 -00:15:01,590 --> 00:15:03,580 +00:15:01,569 --> 00:15:03,580 dẫn đến đường cong đi lên ngày càng dốc này. -236 +235 00:15:04,040 --> 00:15:06,720 Chỉ cần lưu ý rằng khi chúng ta đạt được phương sai nhiều chiều hơn, -237 +236 00:15:06,720 --> 00:15:08,080 đồ thị sẽ ít hữu ích hơn rất nhiều. -238 +237 00:15:08,880 --> 00:15:11,500 Đây là một phương trình rất quan trọng theo đúng nghĩa của nó. -239 -00:15:11,700 --> 00:15:13,534 +238 +00:15:11,700 --> 00:15:13,886 Đó là một khái niệm rất mạnh mẽ khi tốc độ thay -240 -00:15:13,534 --> 00:15:15,560 +239 +00:15:13,886 --> 00:15:16,300 đổi của một giá trị tỷ lệ thuận với chính giá trị đó. -241 -00:15:15,560 --> 00:15:20,066 +240 +00:15:16,760 --> 00:15:20,864 Đây là phương trình chi phối những thứ như lãi suất kép hoặc giai đoạn đầu -242 -00:15:20,066 --> 00:15:24,513 +241 +00:15:20,864 --> 00:15:24,915 của quá trình tăng trưởng dân số trước khi bị ảnh hưởng bởi nguồn lực hạn -243 -00:15:24,513 --> 00:15:29,020 +242 +00:15:24,915 --> 00:15:29,020 chế hoặc giai đoạn đầu của dịch bệnh trong khi phần lớn dân số dễ mắc bệnh. -244 +243 00:15:31,920 --> 00:15:34,499 Tất cả học sinh giải tích đều được học về đạo -245 +244 00:15:34,499 --> 00:15:37,360 hàm của e theo rt bằng r nhân chính nó như thế nào. -246 +245 00:15:38,440 --> 00:15:42,301 Nói cách khác, hiện tượng tăng trưởng tự củng cố này giống như sự -247 +246 00:15:42,301 --> 00:15:46,280 tăng trưởng theo cấp số nhân, và e mũ rt giải được phương trình này. -248 +247 00:15:48,800 --> 00:15:52,555 Trên thực tế, cách tốt hơn để nghĩ về nó là có nhiều nghiệm khác nhau -249 +248 00:15:52,555 --> 00:15:55,774 cho phương trình này, một nghiệm cho mỗi điều kiện ban đầu, -250 +249 00:15:55,774 --> 00:16:00,120 đại loại như quy mô đầu tư ban đầu hoặc dân số ban đầu, mà chúng ta sẽ gọi là x0. -251 +250 00:16:00,960 --> 00:16:05,206 Nhân tiện, hãy lưu ý rằng giá trị của x0 càng cao thì độ dốc ban đầu của -252 +251 00:16:05,206 --> 00:16:09,860 nghiệm thu được càng cao, điều này sẽ hoàn toàn có ý nghĩa đối với phương trình. -253 +252 00:16:11,220 --> 00:16:15,141 Hàm e của rt chỉ là một nghiệm khi điều kiện ban đầu là 1, -254 +253 00:16:15,141 --> 00:16:18,997 nhưng nếu bạn nhân với bất kỳ điều kiện ban đầu nào khác, -255 +254 00:16:18,997 --> 00:16:22,720 bạn sẽ nhận được một hàm mới vẫn thỏa mãn tính chất này. -256 +255 00:16:23,060 --> 00:16:29,960 Nó vẫn có đạo hàm bằng r nhân chính nó, nhưng lần này nó bắt đầu ở x0 vì e mũ 0 là 1. -257 +256 00:16:30,780 --> 00:16:33,300 -Điều này đáng được nhấn mạnh trước khi chúng ta khái quát hóa sang nhiều chiều hơn. +Đây là điều đáng được nhấn mạnh trước khi ta tổng quát hóa sang nhiều chiều hơn. -258 +257 00:16:33,800 --> 00:16:37,320 -Đừng nghĩ phần mũ là một giải pháp tự nó. +Đừng nghĩ phần mũ là một nghiệm của chính nó. -259 +258 00:16:37,800 --> 00:16:42,380 -Hãy nghĩ về nó như một cái gì đó hoạt động theo điều kiện ban đầu để đưa ra giải pháp. +Hãy nghĩ về nó như một cái gì đó hoạt động theo điều kiện ban đầu để đưa ra nghiệm. -260 +259 00:16:46,440 --> 00:16:50,404 Bạn thấy đấy, trong trường hợp hai chiều, khi chúng ta có một vectơ thay -261 +260 00:16:50,404 --> 00:16:54,477 đổi có tốc độ thay đổi bị ràng buộc bằng một số ma trận nhân với chính nó, -262 +261 00:16:54,477 --> 00:16:58,442 thì nghiệm trông giống như một số hạng hàm mũ tác dụng lên một điều kiện -263 +262 00:16:58,442 --> 00:17:01,483 ban đầu cho trước, nhưng là hàm mũ trong trường hợp đó, -264 +263 00:17:01,483 --> 00:17:06,099 phần sẽ tạo ra một ma trận thay đổi theo thời gian và điều kiện ban đầu là một vectơ. -265 +264 00:17:06,900 --> 00:17:10,505 Trên thực tế, bạn nên nghĩ định nghĩa về lũy thừa ma trận được -266 +265 00:17:10,505 --> 00:17:13,940 thúc đẩy mạnh mẽ bằng cách đảm bảo rằng thực tế này là đúng. -267 -00:17:14,920 --> 00:17:19,553 +266 +00:17:14,920 --> 00:17:19,360 Ví dụ: nếu chúng ta nhìn lại hệ thống xuất hiện với Romeo và Juliet, +267 +00:17:19,360 --> 00:17:25,087 +thì khẳng định bây giờ là các nghiệm trông giống như e được nâng lũy thừa lên ma trận 0, + 268 -00:17:19,553 --> 00:17:24,925 -thì khẳng định bây giờ là các nghiệm trông giống như e được nâng lên ma trận 0, +00:17:25,087 --> 00:17:28,820 +âm 1, 1, 0 này mọi lúc, nhân với một số điều kiện ban đầu. 269 -00:17:24,925 --> 00:17:28,820 -âm 1, 1, 0 này mọi lúc, nhân với một số điều kiện ban đầu. +00:17:29,560 --> 00:17:32,002 +Nhưng ta đã thấy nghiệm trong trường hợp này, ta biết 270 -00:17:29,560 --> 00:17:31,629 -Nhưng chúng ta đã thấy lời giải trong trường hợp này, +00:17:32,002 --> 00:17:34,580 +nó trông như một ma trận xoay nhân với điều kiện ban đầu. 271 -00:17:31,629 --> 00:17:34,580 -chúng ta biết nó trông giống như một ma trận xoay nhân với điều kiện ban đầu. +00:17:35,260 --> 00:17:38,994 +Vậy hãy dành chút thời gian xắn tay áo lên và tính số mũ bằng cách sử dụng 272 -00:17:35,260 --> 00:17:38,848 -Vì vậy, hãy dành chút thời gian xắn tay áo lên và tính số mũ bằng cách sử +00:17:38,994 --> 00:17:42,680 +định nghĩa mà tôi đã đề cập ở phần đầu và xem liệu nó có thẳng hàng không. 273 -00:17:38,848 --> 00:17:42,680 -dụng định nghĩa mà tôi đã đề cập ở phần đầu và xem liệu nó có thẳng hàng không. - -274 00:17:43,260 --> 00:17:47,344 Hãy nhớ rằng, viết e theo lũy thừa của ma trận là một cách viết tắt, -275 +274 00:17:47,344 --> 00:17:52,080 một cách viết tắt để thế nó vào đa thức vô hạn dài này, chuỗi Taylor của e mũ x. -276 +275 00:17:53,100 --> 00:17:56,480 Tôi biết việc thực hiện việc này có vẻ khá phức tạp, nhưng tin tôi đi, -277 +276 00:17:56,480 --> 00:17:59,480 tôi rất hài lòng khi kết quả của việc này đặc biệt như thế nào. -278 +277 00:18:00,180 --> 00:18:04,048 Nếu bạn thực sự ngồi xuống và tính các lũy thừa liên tiếp của ma trận này, -279 +278 00:18:04,048 --> 00:18:08,020 bạn sẽ nhận thấy rằng chúng rơi vào một mô hình tuần hoàn cứ sau bốn lần lặp. -280 +279 00:18:27,280 --> 00:18:30,940 Điều này sẽ có ý nghĩa vì chúng ta biết đó là ma trận xoay 90 độ. -281 -00:18:31,620 --> 00:18:35,215 -Vì vậy, khi bạn cộng tất cả vô số ma trận theo từng số hạng lại với nhau, +280 +00:18:31,620 --> 00:18:35,074 +Vậy khi bạn cộng tất cả vô số ma trận theo từng số hạng lại với nhau, -282 -00:18:35,215 --> 00:18:39,492 +281 +00:18:35,074 --> 00:18:39,416 mỗi số hạng trong kết quả trông giống như một đa thức trong t với một số kiểu tuần hoàn -283 -00:18:39,492 --> 00:18:43,768 +282 +00:18:39,416 --> 00:18:43,758 đẹp mắt trong các hệ số của nó, tất cả chúng đều được chia tỷ lệ theo số hạng giai thừa -284 -00:18:43,768 --> 00:18:44,400 +283 +00:18:43,758 --> 00:18:44,400 có liên quan. -285 +284 00:18:45,760 --> 00:18:49,406 Những ai am hiểu về chuỗi Taylor có thể nhận ra rằng mỗi -286 +285 00:18:49,406 --> 00:18:53,117 thành phần trong số này là chuỗi Taylor cho sin hoặc cos, -287 +286 00:18:53,117 --> 00:18:57,340 mặc dù trong trường hợp ở góc trên bên phải, nó thực sự là sin âm. +287 +00:18:58,680 --> 00:19:01,102 +Vậy những gì chúng ta được từ quá trình tính toán + 288 -00:18:58,680 --> 00:19:00,946 -Vì vậy, những gì chúng ta nhận được từ quá trình tính +00:19:01,102 --> 00:19:03,380 +chính xác là ma trận xoay mà ta đã có trước đó. 289 -00:19:00,946 --> 00:19:03,380 -toán chính xác là ma trận xoay mà chúng ta đã có trước đó. - -290 00:19:07,160 --> 00:19:09,220 Với tôi, điều này vô cùng đẹp đẽ. +290 +00:19:09,680 --> 00:19:12,168 +Chúng ta có hai cách lý luận hoàn toàn khác nhau về + 291 -00:19:09,680 --> 00:19:12,040 -Chúng ta có hai cách lý luận hoàn toàn khác nhau về cùng +00:19:12,168 --> 00:19:14,800 +cùng một hệ thống và chúng cho ta cùng một câu trả lời. 292 -00:19:12,040 --> 00:19:14,360 -một hệ thống và chúng cho chúng ta cùng một câu trả lời. +00:19:15,480 --> 00:19:17,840 +Nghĩa là thật yên tâm khi chúng hoạt động như vậy, 293 -00:19:14,360 --> 00:19:18,495 -Ý tôi là, thật yên tâm khi họ làm như vậy, nhưng thật hoang đường khi phương +00:19:17,840 --> 00:19:21,497 +nhưng thật bất thường với cách khác biệt của phương thức suy nghĩ khi bạn lướt 294 -00:19:18,495 --> 00:19:22,577 -thức suy nghĩ khác biệt như thế nào khi bạn lướt qua đa thức này so với khi +00:19:21,497 --> 00:19:25,292 +qua đa thức này, so với khi bạn suy luận về mặt hình học về thứ phải ngụ ý là một 295 -00:19:22,577 --> 00:19:26,820 -bạn suy luận về mặt hình học về vận tốc vuông góc với một vị trí phải ngụ ý gì. +00:19:25,292 --> 00:19:26,820 +vận tốc vuông góc với một vị trí. 296 00:19:27,720 --> 00:19:31,063 @@ -1207,19 +1207,19 @@ Biểu thức này đang lũy thừa ma trận xoay 90 độ nhân với pi, đơn vị thời gian pi. 303 -00:19:54,040 --> 00:19:57,378 +00:19:54,040 --> 00:19:57,683 Như chúng ta đã biết, điều đó có tác dụng xoay mọi thứ 180 độ 304 -00:19:57,378 --> 00:20:01,040 +00:19:57,683 --> 00:20:01,680 trong không gian trạng thái này, tương đương với việc nhân với âm 1. 305 -00:20:01,040 --> 00:20:05,873 +00:20:03,060 --> 00:20:06,663 Ngoài ra, đối với bất kỳ ai trong số các bạn quen thuộc với số mũ ảo, 306 -00:20:05,873 --> 00:20:08,980 +00:20:06,663 --> 00:20:08,980 ví dụ cụ thể này có lẽ sẽ gây nhiều ấn tượng. 307 @@ -1263,24 +1263,24 @@ gian. Nó xuất hiện cùng với quaternion hoặc nhiều ma trận xuất hiện trong cơ học lượng tử. 317 -00:20:48,720 --> 00:20:52,504 -Trong tất cả các trường hợp này, chúng ta có một ý tưởng tổng quát thực sự rõ ràng +00:20:48,720 --> 00:20:52,338 +Trong tất cả các trường hợp này, ta có một ý tưởng tổng quát thực sự rõ ràng 318 -00:20:52,504 --> 00:20:56,061 +00:20:52,338 --> 00:20:56,003 rằng nếu bạn thực hiện một số thao tác quay 90 độ trong một mặt phẳng nào đó, 319 -00:20:56,061 --> 00:20:59,801 -thường thì đó là một mặt phẳng trong một không gian nhiều chiều mà chúng ta không +00:20:56,003 --> 00:20:59,762 +thường thì đó là một mặt phẳng trong một không gian nhiều chiều mà ta không thể 320 -00:20:59,801 --> 00:21:03,449 -thể hình dung được, thì chúng ta sẽ thu được gì bằng cách lũy thừa nó thời gian +00:20:59,762 --> 00:21:03,568 +hình dung được, thì chúng ta sẽ thu được gì bằng cách lũy thừa nó thời gian hoạt 321 -00:21:03,449 --> 00:21:07,280 -hoạt động thời gian là thứ tạo ra tất cả các phép quay khác trong cùng mặt phẳng đó. +00:21:03,568 --> 00:21:07,280 +động thời gian là thứ tạo ra tất cả các phép quay khác trong cùng mặt phẳng đó. 322 00:21:09,100 --> 00:21:13,240 @@ -1467,39 +1467,39 @@ của một trạng thái phải luôn bằng m lần chính nó. Nhưng trong ví dụ này, dòng chảy dọc theo trường trông rất khác so với trước đây. 368 -00:24:19,200 --> 00:24:23,083 +00:24:19,200 --> 00:24:23,313 Nếu Romeo và Juliet bắt đầu ở bất kỳ vị trí nào ở nửa trên bên phải của mặt phẳng, 369 -00:24:23,083 --> 00:24:26,640 +00:24:23,313 --> 00:24:27,080 tình cảm của họ sẽ ăn mòn lẫn nhau và cả hai đều có xu hướng tiến về vô cực. 370 -00:24:26,640 --> 00:24:31,633 -Nếu họ ở nửa còn lại của máy bay, hãy cứ nói rằng họ trung +00:24:30,580 --> 00:24:33,704 +Nếu họ ở nửa còn lại của mặt phẳng, hãy cứ nói rằng họ trung 371 -00:24:31,633 --> 00:24:36,880 +00:24:33,704 --> 00:24:36,880 thành hơn với truyền thống gia đình Capulet và Montagu của họ. 372 -00:24:38,020 --> 00:24:42,033 -Vì vậy, ngay cả trước khi bạn thử tính số mũ của ma trận cụ thể này, +00:24:38,020 --> 00:24:41,664 +Vậy, ngay cả trước khi bạn thử tính số mũ của ma trận cụ thể này, 373 -00:24:42,033 --> 00:24:45,640 -bạn đã có thể có được trực giác về câu trả lời sẽ như thế nào. +00:24:41,664 --> 00:24:45,640 +bạn đã có thể có được một trực quan về câu trả lời sẽ trông như thế nào. 374 -00:24:46,160 --> 00:24:50,146 -Ma trận kết quả sẽ mô tả sự chuyển đổi từ thời điểm 0 sang thời điểm t, +00:24:46,160 --> 00:24:50,185 +Ma trận kết quả sẽ mô tả sự dịch chuyển từ thời điểm 0 sang thời điểm t, 375 -00:24:50,146 --> 00:24:54,687 +00:24:50,185 --> 00:24:54,707 mà nếu bạn nhìn vào trường này dường như chỉ ra rằng nó sẽ nén dọc theo một đường 376 -00:24:54,687 --> 00:24:59,560 +00:24:54,707 --> 00:24:59,560 chéo trong khi kéo dài dọc theo một đường chéo khác, trở nên cực đoan hơn khi t lớn hơn. 377 diff --git a/2021/quick-eigen/arabic/auto_generated.srt b/2021/quick-eigen/arabic/auto_generated.srt index a37b4c1df..7c1d5c6a9 100644 --- a/2021/quick-eigen/arabic/auto_generated.srt +++ b/2021/quick-eigen/arabic/auto_generated.srt @@ -7,47 +7,47 @@ الذاتية، ومن قد يستمتع بطريقة سريعة لحسابها في حالة المصفوفات 2x2. 3 -00:00:08,580 --> 00:00:10,634 +00:00:08,580 --> 00:00:11,026 إذا لم تكن على دراية بالقيم الذاتية، فاستمر وألق نظرة 4 -00:00:10,634 --> 00:00:12,880 +00:00:11,026 --> 00:00:13,700 على هذا الفيديو هنا، والذي يهدف في الواقع إلى التعريف بها. 5 -00:00:12,880 --> 00:00:17,488 +00:00:14,680 --> 00:00:18,415 يمكنك التخطي للأمام إذا كان كل ما تريد فعله هو رؤية الخدعة، ولكن 6 -00:00:17,488 --> 00:00:22,380 +00:00:18,415 --> 00:00:22,380 إذا أمكن، أود منك إعادة اكتشافها بنفسك. لذلك، دعونا نضع خلفية صغيرة. 7 -00:00:23,260 --> 00:00:27,837 +00:00:23,260 --> 00:00:28,254 كتذكير سريع، إذا كان تأثير تحويل خطي على متجه معين هو قياس هذا المتجه 8 -00:00:27,837 --> 00:00:32,546 +00:00:28,254 --> 00:00:33,391 بواسطة ثابت ما، فإننا نسميه ناقلًا ذاتيًا للتحويل، ونسمي عامل القياس ذي 9 -00:00:32,546 --> 00:00:37,320 +00:00:33,391 --> 00:00:38,600 الصلة القيمة الذاتية المقابلة، والتي غالبًا ما يُشار إليها بالحرف لامدا. 10 -00:00:37,320 --> 00:00:43,990 +00:00:39,840 --> 00:00:45,893 عندما تكتب هذا كمعادلة، وتعيد الترتيب قليلاً، ما تراه هو أنه إذا كان 11 -00:00:43,990 --> 00:00:50,853 +00:00:45,893 --> 00:00:52,122 عدد لامدا هو قيمة ذاتية لمصفوفة A، فإن المصفوفة A ناقص لامدا مضروبة في 12 -00:00:50,853 --> 00:00:57,523 +00:00:52,122 --> 00:00:58,175 الهوية يجب أن ترسل متجهًا غير صفري، وهو المتجه الذاتي المقابل للمتجه 13 -00:00:57,523 --> 00:01:04,580 +00:00:58,175 --> 00:01:04,580 الصفري، والذي بدوره يعني أن محدد هذه المصفوفة المعدلة يجب أن يكون صفرًا. 14 @@ -91,11 +91,11 @@ تتطلب في حد ذاتها عادةً خطوة أو خطوتين إضافيتين من التبسيط. 24 -00:01:47,760 --> 00:01:50,640 +00:01:47,760 --> 00:01:49,500 بصراحة، العملية ليست فظيعة. 25 -00:01:50,640 --> 00:01:54,680 +00:01:49,580 --> 00:01:54,680 لكن على الأقل بالنسبة للمصفوفات 2×2، هناك طريقة أكثر مباشرة للحصول على هذه الإجابة. 26 @@ -163,15 +163,15 @@ وهي كيف يمكنك استرداد رقمين بسرعة عندما تعرف متوسطهما وتعرف حاصل ضربهما. 42 -00:03:22,460 --> 00:03:24,700 +00:03:22,460 --> 00:03:23,720 وهنا، دعونا نركز على هذا المثال. 43 -00:03:24,700 --> 00:03:28,708 +00:03:24,200 --> 00:03:28,456 أنت تعلم أن القيمتين متباعدتان بالتساوي حول الرقم 7، لذا فإنهما 44 -00:03:28,708 --> 00:03:32,780 +00:03:28,456 --> 00:03:32,780 تبدوان مثل 7 زائد أو ناقص شيء ما، دعنا نسمي ذلك شيئًا d للمسافة. 45 @@ -207,35 +207,35 @@ بالنسبة لأي متوسط m وحاصل p، فإن مربع المسافة سيكون دائمًا m مربعًا ناقص p. 53 -00:04:17,560 --> 00:04:22,238 +00:04:17,560 --> 00:04:22,422 وهذا يعطي الحقيقة الرئيسية الثالثة، وهي أنه عندما يكون لعددين متوسط m 54 -00:04:22,238 --> 00:04:26,782 +00:04:22,422 --> 00:04:27,146 وحاصل ضرب p، يمكنك كتابة هذين الرقمين على صورة m زائد أو ناقص الجذر 55 -00:04:26,782 --> 00:04:31,394 +00:04:27,146 --> 00:04:31,939 التربيعي لـ m تربيع ناقص p. يعد هذا أمرًا سريعًا جدًا لإعادة اشتقاقه 56 -00:04:31,394 --> 00:04:36,340 +00:04:31,939 --> 00:04:37,080 بسرعة إذا نسيته، وهو في الأساس مجرد إعادة صياغة لصيغة الفرق بين المربعات. 57 -00:04:36,340 --> 00:04:41,220 +00:04:37,860 --> 00:04:41,220 ولكن حتى مع ذلك، إنها حقيقة تستحق الحفظ، لذا فهي على أطراف أصابعك. 58 -00:04:41,220 --> 00:04:46,000 +00:04:41,220 --> 00:04:47,160 في الواقع، كتب لنا صديقي تيم من قناة A Capella Science أغنية سريعة لطيفة لجعلها لا تُنسى. 59 -00:04:46,000 --> 00:04:59,100 +00:04:51,900 --> 00:04:57,620 دعوني أوضح لكم كيف يتم ذلك، مثلاً للمصفوفة 3، 1، 4، 1. 60 -00:04:59,100 --> 00:05:01,820 +00:04:58,100 --> 00:05:01,820 عليك أن تبدأ بتذكر الصيغة، وربما تذكرها كلها في رأسك. 61 @@ -243,63 +243,63 @@ ولكن عند كتابتها، فإنك تقوم بملء القيم المناسبة لـ m وp أثناء تقدمك. 62 -00:05:12,340 --> 00:05:18,420 +00:05:12,340 --> 00:05:17,740 إذن في هذا المثال، متوسط القيم الذاتية هو نفس متوسط 3 و1، وهو 2. 63 -00:05:18,420 --> 00:05:21,980 +00:05:18,300 --> 00:05:22,700 لذا فإن الشيء الذي تبدأ كتابته هو 2 ± sqrt(2^2 - ...). 64 -00:05:21,980 --> 00:05:28,060 +00:05:23,540 --> 00:05:32,140 ثم يكون حاصل ضرب القيم الذاتية هو المحدد، وهو في هذا المثال 3*1 - 1*4، أو -1. 65 -00:05:28,060 --> 00:05:31,700 +00:05:32,380 --> 00:05:34,480 إذن هذا هو الشيء الأخير الذي تملأه. 66 -00:05:31,700 --> 00:05:35,480 +00:05:34,880 --> 00:05:38,760 هذا يعني أن القيم الذاتية هي 2±sqrt(5). 67 -00:05:35,480 --> 00:05:39,793 +00:05:40,300 --> 00:05:43,610 ربما تدرك أن هذه هي نفس المصفوفة التي كنت أستخدمها في البداية، 68 -00:05:39,793 --> 00:05:43,560 +00:05:43,610 --> 00:05:46,500 لكن لاحظ مدى قدرتنا على الحصول على الإجابة بشكل مباشر. 69 -00:05:43,680 --> 00:05:45,580 +00:05:48,140 --> 00:05:49,180 هنا، حاول واحدة أخرى. 70 -00:05:45,580 --> 00:05:52,060 +00:05:49,440 --> 00:05:54,480 هذه المرة، متوسط القيم الذاتية هو نفس متوسط 2 و8، وهو 5. 71 -00:05:52,060 --> 00:05:58,900 +00:05:55,100 --> 00:05:59,220 لذا، مرة أخرى، تبدأ في كتابة الصيغة ولكن هذه المرة تكتب 5 بدلاً من m [أغنية]. 72 -00:05:58,900 --> 00:06:08,300 +00:06:02,980 --> 00:06:08,300 ثم المحدد هو 2*8 - 7*1، أو 9. 73 -00:06:09,520 --> 00:06:13,432 +00:06:09,520 --> 00:06:13,742 لذا في هذا المثال، تبدو القيم الذاتية مثل 5 ± 74 -00:06:13,432 --> 00:06:17,600 +00:06:13,742 --> 00:06:18,240 sqrt(16)، والتي يمكن تبسيطها بشكل أكبر إلى 9 و1. 75 -00:06:17,600 --> 00:06:25,380 +00:06:19,420 --> 00:06:24,620 هل ترى ما أعنيه حول كيف يمكنك البدء في كتابة القيم الذاتية أثناء التحديق في المصفوفة؟ 76 -00:06:25,380 --> 00:06:28,160 +00:06:25,280 --> 00:06:28,160 عادةً ما يكون هذا مجرد جزء صغير من التبسيط في النهاية. 77 @@ -355,11 +355,11 @@ sqrt(16)، والتي يمكن تبسيطها بشكل أكبر إلى 9 و1. ماذا عن حاصل ضرب القيم الذاتية ومحددات هذه المصفوفات؟ 90 -00:07:29,700 --> 00:07:32,560 +00:07:29,700 --> 00:07:33,400 بالنسبة للرقم الأول، فهو 0 - 1 أو -1. 91 -00:07:33,200 --> 00:07:38,200 +00:07:33,400 --> 00:07:38,200 ويبدو الثاني أيضًا مثل 0 - 1، لكن الأمر يستغرق لحظة أكثر لرؤيته بسبب الأعداد المركبة. 92 @@ -483,31 +483,31 @@ sqrt(16)، والتي يمكن تبسيطها بشكل أكبر إلى 9 و1. في الاتجاه العام لمتجه بإحداثيات a، b، c. 122 -00:09:50,900 --> 00:09:53,730 +00:09:50,900 --> 00:09:54,300 وبشكل أكثر تحديدًا، يجب أن تفترض أن هذا المتجه تم تسويته، 123 -00:09:53,730 --> 00:09:56,560 +00:09:54,300 --> 00:09:57,700 مما يعني أن تربيع زائد ب تربيع زائد ج تربيع يساوي واحدًا. 124 -00:09:56,560 --> 00:10:03,023 +00:09:58,600 --> 00:10:04,510 عندما تنظر إلى هذه المصفوفة الجديدة، فمن الفوري أن ترى أن متوسط القيم الذاتية لا يزال 125 -00:10:03,023 --> 00:10:09,261 +00:10:04,510 --> 00:10:10,215 صفرًا، وقد تستمتع أيضًا بالتوقف مؤقتًا للحظة قصيرة للتأكد من أن حاصل ضرب تلك القيم 126 -00:10:09,261 --> 00:10:15,500 +00:10:10,215 --> 00:10:15,920 الذاتية لا يزال سالبًا واحدًا. وبعد ذلك، نستنتج ما يجب أن تكون عليه القيم الذاتية. 127 -00:10:15,500 --> 00:10:19,499 +00:10:17,220 --> 00:10:20,367 وهذه المرة، سيكون النهج متعدد الحدود المميز أكثر 128 -00:10:19,499 --> 00:10:23,580 +00:10:20,367 --> 00:10:23,580 تعقيدًا بكثير، وبالتأكيد أصعب في التنفيذ في رأسك. 129 @@ -555,31 +555,31 @@ sqrt(16)، والتي يمكن تبسيطها بشكل أكبر إلى 9 و1. وحاصل ضرب الجذور أسهل من ذلك، فهو مجرد حد ثابت، ولا حاجة لأي تعديلات. 140 -00:11:17,340 --> 00:11:25,320 +00:11:17,340 --> 00:11:20,900 ومن هنا، يمكنك تطبيق صيغة حاصل الضرب المتوسط، وهذا يمنحك الجذور. 141 -00:11:25,320 --> 00:11:30,220 +00:11:25,140 --> 00:11:30,220 ومن ناحية، يمكنك اعتبارها نسخة أخف وزنًا من الصيغة التربيعية التقليدية. 142 -00:11:30,960 --> 00:11:34,110 +00:11:30,960 --> 00:11:33,753 لكن الميزة الحقيقية ليست فقط أن عدد الرموز التي يجب 143 -00:11:34,110 --> 00:11:37,140 +00:11:33,753 --> 00:11:36,440 حفظها أقل، بل أن كل واحد منها يحمل معنى أكبر معه. 144 -00:11:37,380 --> 00:11:40,795 +00:11:36,940 --> 00:11:40,496 أعني أن المغزى الأساسي من خدعة القيمة الذاتية هو أنه نظرًا لأنه 145 -00:11:40,795 --> 00:11:44,424 +00:11:40,496 --> 00:11:44,276 يمكنك قراءة المتوسط وحاصل الضرب مباشرةً من خلال النظر إلى المصفوفة، 146 -00:11:44,424 --> 00:11:48,000 +00:11:44,276 --> 00:11:48,000 فلن تحتاج إلى المرور بالخطوة المتوسطة لإعداد كثيرة الحدود المميزة. 147 @@ -587,15 +587,15 @@ sqrt(16)، والتي يمكن تبسيطها بشكل أكبر إلى 9 و1. يمكنك الانتقال مباشرة إلى كتابة الجذور دون التفكير بشكل صريح في شكل كثيرة الحدود. 148 -00:11:53,840 --> 00:11:58,560 +00:11:53,840 --> 00:11:58,820 لكن للقيام بذلك، نحتاج إلى نسخة من الصيغة التربيعية تحمل فيها الحدود نوعًا ما من المعنى. 149 -00:11:58,560 --> 00:12:04,094 +00:12:00,380 --> 00:12:05,010 أدرك أن هذه خدعة محددة جدًا لجمهور محدد جدًا، ولكن هذا شيء أتمنى لو كنت أعرفه 150 -00:12:04,094 --> 00:12:09,700 +00:12:05,010 --> 00:12:09,700 في الكلية، لذلك إذا كنت تعرف أي طلاب قد يستفيدون من هذا، ففكر في مشاركته معهم. 151 diff --git a/2021/quick-eigen/chinese/auto_generated.srt b/2021/quick-eigen/chinese/auto_generated.srt index ac301389c..f4e62e628 100644 --- a/2021/quick-eigen/chinese/auto_generated.srt +++ b/2021/quick-eigen/chinese/auto_generated.srt @@ -7,55 +7,55 @@ 并且可 能喜欢在 2x2 矩阵的情况下快速计算它们的方法。 3 -00:00:08,580 --> 00:00:11,136 +00:00:08,580 --> 00:00:11,624 如果您不熟悉特征值，请继续观看此处的此视频， 4 -00:00:11,136 --> 00:00:12,880 +00:00:11,624 --> 00:00:13,700 该视频 实际上是为了介绍它们。 5 -00:00:12,880 --> 00:00:17,630 +00:00:14,680 --> 00:00:18,530 如果您只想了解其中的技巧，则可以 跳过，但如果可能的话， 6 -00:00:17,630 --> 00:00:22,380 +00:00:18,530 --> 00:00:22,380 我希望您自己重新发现它。为此，我们 先介绍一些背景知识。 7 -00:00:23,260 --> 00:00:26,144 +00:00:23,260 --> 00:00:26,406 快速提醒一下，如果线性变换对给 8 -00:00:26,144 --> 00:00:29,388 +00:00:26,406 --> 00:00:29,946 定向量的影响是将该向量缩放某个常数， 9 -00:00:29,388 --> 00:00:34,075 +00:00:29,946 --> 00:00:35,060 我们将其称为变 换的特征向量，并将相关缩放因子称为相 10 -00:00:34,075 --> 00:00:37,320 +00:00:35,060 --> 00:00:38,600 应的特征值，通常 用字母表示拉姆达。 11 -00:00:37,320 --> 00:00:43,734 +00:00:39,840 --> 00:00:45,661 当你把它写成一个方程，并稍微重新排列一 下时，你会看到， 12 -00:00:43,734 --> 00:00:49,002 +00:00:45,661 --> 00:00:50,442 如果数字 lambda 是矩阵 A 的特征值， 13 -00:00:49,002 --> 00:00:53,126 +00:00:50,442 --> 00:00:54,185 那么矩阵 A 减去 lambda 14 -00:00:53,126 --> 00:00:59,998 +00:00:54,185 --> 00:01:00,422 乘以恒等式必须发送一些非零向 量，即相应的特征向量到零向量， 15 -00:00:59,998 --> 00:01:04,580 +00:01:00,422 --> 00:01:04,580 这又意味着该修改矩阵的行列式必须 为零。 16 @@ -103,15 +103,15 @@ 该公式本身通常需要一两个以上的简化步骤。 27 -00:01:47,760 --> 00:01:50,640 +00:01:47,760 --> 00:01:49,500 说实话，这个过程并不可怕。 28 -00:01:50,640 --> 00:01:52,660 +00:01:49,580 --> 00:01:52,130 但至少对于 2x2 矩阵，有一种 29 -00:01:52,660 --> 00:01:54,680 +00:01:52,130 --> 00:01:54,680 更直接的方法可以得到这个答案。 30 @@ -195,19 +195,19 @@ 如何快速恢复它们。 50 -00:03:22,460 --> 00:03:24,700 +00:03:22,460 --> 00:03:23,720 在这里 ，我们重点关注这个例子。 51 -00:03:24,700 --> 00:03:27,807 +00:03:24,200 --> 00:03:27,500 您知道这两个值在数字 7 周围均匀分布， 52 -00:03:27,807 --> 00:03:31,070 +00:03:27,500 --> 00:03:30,964 因此 它们看起来像 7 加上或减去某个值， 53 -00:03:31,070 --> 00:03:32,780 +00:03:30,964 --> 00:03:32,780 我们将其称为距离 d。 54 @@ -251,43 +251,43 @@ 距离的平方始终为 m 平方减去 p。 64 -00:04:17,560 --> 00:04:22,166 +00:04:17,560 --> 00:04:22,347 这就给出了第三个关键事实，即当两个数字具有均值 m 65 -00:04:22,166 --> 00:04:26,241 +00:04:22,347 --> 00:04:26,583 和乘积 p 时， 您可以将这两个数字写为 m 66 -00:04:26,241 --> 00:04:31,024 +00:04:26,583 --> 00:04:31,555 加上或减去 m 平方减去 p 的平方根。如果您忘记了， 67 -00:04:31,024 --> 00:04:36,340 +00:04:31,555 --> 00:04:37,080 那么可以快速重新推导它 ，而且它本质上只是平方差公式的改写。 68 -00:04:36,340 --> 00:04:41,220 +00:04:37,860 --> 00:04:41,220 但即便如此，这是一个值得记住的事实，因此它就在您的指尖。 69 -00:04:41,220 --> 00:04:43,362 +00:04:41,220 --> 00:04:43,882 事实上，我来自 A Capella Science 70 -00:04:43,362 --> 00:04:45,340 +00:04:43,882 --> 00:04:46,340 频道的朋友 Tim 给我们写了一首简 短的歌曲， 71 -00:04:45,340 --> 00:04:46,000 +00:04:46,340 --> 00:04:47,160 让它更令人难忘。 72 -00:04:46,000 --> 00:04:59,100 +00:04:51,900 --> 00:04:57,620 让我向您展示它是如何工作的，例如矩阵 3, 1, 4, 1。 73 -00:04:59,100 --> 00:05:01,820 +00:04:58,100 --> 00:05:01,820 你首先要想起这个公式，也许在你的脑海里把它全部陈述出来。 74 @@ -295,75 +295,75 @@ 但是，当您写下来时，您可以随时填写 m 和 p 的适当值。 75 -00:05:12,340 --> 00:05:17,551 +00:05:12,340 --> 00:05:16,968 因此，在本例中，特征值的平均值与 3 和 1 的平均值相同， 76 -00:05:17,551 --> 00:05:18,420 +00:05:16,968 --> 00:05:17,740 即 2。 77 -00:05:18,420 --> 00:05:21,980 +00:05:18,300 --> 00:05:22,700 所以你开始写的是 2 ± sqrt(2^2 - ...)。 78 -00:05:21,980 --> 00:05:27,046 +00:05:23,540 --> 00:05:30,706 那么特征值的乘积就是行列式，在本例中为 3*1 - 1*4， 79 -00:05:27,046 --> 00:05:28,060 +00:05:30,706 --> 00:05:32,140 即 -1。 80 -00:05:28,060 --> 00:05:31,700 +00:05:32,380 --> 00:05:34,480 这就是您填写的最后一项。 81 -00:05:31,700 --> 00:05:35,480 +00:05:34,880 --> 00:05:38,760 这意味着特征值为 2±sqrt(5)。 82 -00:05:35,480 --> 00:05:39,830 +00:05:40,300 --> 00:05:43,638 您可能会意识到这与我一开始使用的矩阵相同， 83 -00:05:39,830 --> 00:05:43,560 +00:05:43,638 --> 00:05:46,500 但请注意我们可以更直接地获得答案。 84 -00:05:43,680 --> 00:05:45,580 +00:05:48,140 --> 00:05:49,180 在这里，尝试另一种。 85 -00:05:45,580 --> 00:05:52,060 +00:05:49,440 --> 00:05:54,480 这次，特征值的平均值与 2 和 8 的平均 值相同，即 5。 86 -00:05:52,060 --> 00:05:58,900 +00:05:55,100 --> 00:05:59,220 再次，您开始写出公式，但这次写 5 代替 m [歌曲]。 87 -00:05:58,900 --> 00:06:08,300 +00:06:02,980 --> 00:06:08,300 那么行列式就是 2*8 - 7*1，即 9。 88 -00:06:09,520 --> 00:06:14,969 +00:06:09,520 --> 00:06:15,400 因此，在本例中，特征值看起来像 5 ± sqrt(16)， 89 -00:06:14,969 --> 00:06:17,600 +00:06:15,400 --> 00:06:18,240 进一步简化为 9 和 1。 90 -00:06:17,600 --> 00:06:22,045 +00:06:19,420 --> 00:06:22,391 你明白我的意思了，当你盯 着矩阵的时候， 91 -00:06:22,045 --> 00:06:25,380 +00:06:22,391 --> 00:06:24,620 你基本上可以开始写下特征值吗？ 92 -00:06:25,380 --> 00:06:28,160 +00:06:25,280 --> 00:06:28,160 这通常只是最后的一点点简化。 93 @@ -423,15 +423,15 @@ 特征值的乘积（这些矩阵的行列式）又如何呢？ 107 -00:07:29,700 --> 00:07:32,560 +00:07:29,700 --> 00:07:33,400 对于第一个，它是 0 减 1，或负 1。 108 -00:07:33,200 --> 00:07:36,533 +00:07:33,400 --> 00:07:36,600 第二个看起来也像 0 减 1，但由于是复数， 109 -00:07:36,533 --> 00:07:38,200 +00:07:36,600 --> 00:07:38,200 需要更多时间才能看到。 110 @@ -579,35 +579,35 @@ lambda 平方减一的特征多项式， 的 向量的一般方向上的自旋观测。 146 -00:09:50,900 --> 00:09:53,119 +00:09:50,900 --> 00:09:53,566 更具体地说，您应该假设该向量已标准 化， 147 -00:09:53,119 --> 00:09:55,672 +00:09:53,566 --> 00:09:56,633 这意味着 a 的平方加上 b 的平方加上 c 148 -00:09:55,672 --> 00:09:56,560 +00:09:56,633 --> 00:09:57,700 的平方等于 1。 149 -00:09:56,560 --> 00:10:03,752 +00:09:58,600 --> 00:10:05,177 当您查看这个新矩阵时，您会立即看到特征值的平均值仍 然为零， 150 -00:10:03,752 --> 00:10:10,944 +00:10:05,177 --> 00:10:11,754 并且您可能还喜欢暂停片刻以确认这些特征值的 乘积仍然为负数。 151 -00:10:10,944 --> 00:10:15,500 +00:10:11,754 --> 00:10:15,920 然后从那里得出特征值一定是什么的结论。 152 -00:10:15,500 --> 00:10:20,437 +00:10:17,220 --> 00:10:21,106 而这一次，特征多项式方法相比之下会麻烦得多， 153 -00:10:20,437 --> 00:10:23,580 +00:10:21,106 --> 00:10:23,580 在你 的头脑中肯定更难做到。 154 @@ -667,31 +667,31 @@ lambda 平方减一的特征多项式， 而根的乘积就更容易了 ，只是常数项，不需要调整。 168 -00:11:17,340 --> 00:11:25,320 +00:11:17,340 --> 00:11:20,900 因此，从那里开始，您将应用 平均乘积公式，这将为您提供根源。 169 -00:11:25,320 --> 00:11:30,220 +00:11:25,140 --> 00:11:30,220 一方面，您可以将其视 为传统二次公式的轻量级版本。 170 -00:11:30,960 --> 00:11:34,446 +00:11:30,960 --> 00:11:34,051 但真正的优势不仅在 于它需要记住的符号更少， 171 -00:11:34,446 --> 00:11:37,140 +00:11:34,051 --> 00:11:36,440 还在于每个符号都承载着更多的含义。 172 -00:11:37,380 --> 00:11:40,532 +00:11:36,940 --> 00:11:40,223 我的意思是，这个特征值技巧的要点在于， 173 -00:11:40,532 --> 00:11:44,349 +00:11:40,223 --> 00:11:44,198 因为您可以直 接通过查看矩阵读出平均值和乘积， 174 -00:11:44,349 --> 00:11:48,000 +00:11:44,198 --> 00:11:48,000 所以您不需要经历设置 特征多项式的中间步骤。 175 @@ -699,27 +699,27 @@ lambda 平方减一的特征多项式， 您可以直接跳到写下根， 而无需明确考虑多项式是什么样的。 176 -00:11:53,840 --> 00:11:57,032 +00:11:53,840 --> 00:11:57,208 但要做到这一 点，我们需要一个二次公式的版本， 177 -00:11:57,032 --> 00:11:58,560 +00:11:57,208 --> 00:11:58,820 其中的项具有某种含义。 178 -00:11:58,560 --> 00:12:01,950 +00:12:00,380 --> 00:12:03,216 我意识到这是针对特定受众的非常特定的技巧， 179 -00:12:01,950 --> 00:12:04,695 +00:12:03,216 --> 00:12:05,512 但我希望我在大学时就知 道这一点， 180 -00:12:04,695 --> 00:12:08,085 +00:12:05,512 --> 00:12:08,349 所以如果您碰巧认识任何可能从中受益的学生， 181 -00:12:08,085 --> 00:12:09,700 +00:12:08,349 --> 00:12:09,700 请考虑与他们 分享。 182 diff --git a/2021/quick-eigen/french/auto_generated.srt b/2021/quick-eigen/french/auto_generated.srt index f75adde12..eb6a518df 100644 --- a/2021/quick-eigen/french/auto_generated.srt +++ b/2021/quick-eigen/french/auto_generated.srt @@ -11,63 +11,63 @@ sont les valeurs propres et les vecteurs propres, et qui pourraient apprécier un moyen rapide de les calculer dans le cas de matrices 2x2. 4 -00:00:08,580 --> 00:00:10,250 +00:00:08,580 --> 00:00:10,569 Si vous n'êtes pas familier avec les valeurs propres, 5 -00:00:10,250 --> 00:00:12,880 +00:00:10,569 --> 00:00:13,700 allez-y et jetez un œil à cette vidéo ici, qui est en fait destinée à les présenter. 6 -00:00:12,880 --> 00:00:16,385 +00:00:14,680 --> 00:00:17,521 Vous pouvez avancer si tout ce que vous voulez, c'est voir l'astuce, 7 -00:00:16,385 --> 00:00:19,992 +00:00:17,521 --> 00:00:20,444 mais si possible, j'aimerais que vous la redécouvertiez par vous-même. 8 -00:00:19,992 --> 00:00:22,380 +00:00:20,444 --> 00:00:22,380 Alors pour cela, décrivons un peu le contexte. 9 -00:00:23,260 --> 00:00:26,728 +00:00:23,260 --> 00:00:27,044 Pour rappel, si l'effet d'une transformation linéaire sur un vecteur donné 10 -00:00:26,728 --> 00:00:29,318 +00:00:27,044 --> 00:00:29,870 est de mettre à l'échelle ce vecteur par une constante, 11 -00:00:29,318 --> 00:00:31,770 +00:00:29,870 --> 00:00:32,544 nous l'appelons vecteur propre de la transformation, 12 -00:00:31,770 --> 00:00:35,516 +00:00:32,544 --> 00:00:36,632 et nous appelons le facteur d'échelle pertinent la valeur propre correspondante, 13 -00:00:35,516 --> 00:00:37,320 +00:00:36,632 --> 00:00:38,600 souvent désignée par la lettre lambda. 14 -00:00:37,320 --> 00:00:42,999 +00:00:39,840 --> 00:00:44,994 Lorsque vous écrivez cela sous forme d'équation et que vous réorganisez un peu, 15 -00:00:42,999 --> 00:00:49,246 +00:00:44,994 --> 00:00:50,663 ce que vous voyez, c'est que si le nombre lambda est une valeur propre d'une matrice A, 16 -00:00:49,246 --> 00:00:54,996 +00:00:50,663 --> 00:00:55,882 alors la matrice A moins lambda fois l'identité doit envoyer un vecteur non nul, 17 -00:00:54,996 --> 00:00:59,184 +00:00:55,882 --> 00:00:59,683 à savoir le vecteur propre correspondant, au vecteur zéro, 18 -00:00:59,184 --> 00:01:04,580 +00:00:59,683 --> 00:01:04,580 ce qui signifie que le déterminant de cette matrice modifiée doit être nul. 19 @@ -123,15 +123,15 @@ qui elle-même nécessite généralement une ou deux étapes de simplification s 32 -00:01:47,760 --> 00:01:50,640 +00:01:47,760 --> 00:01:49,500 Honnêtement, le processus n'est pas terrible. 33 -00:01:50,640 --> 00:01:52,545 +00:01:49,580 --> 00:01:52,080 Mais au moins pour les matrices 2x2, il existe un 34 -00:01:52,545 --> 00:01:54,680 +00:01:52,080 --> 00:01:54,680 moyen beaucoup plus direct d'obtenir cette réponse. 35 @@ -239,19 +239,19 @@ notre troisième fait pertinent, à savoir comment vous pouvez récupérer rapidement deux nombres lorsque vous connaissez leur moyenne et leur produit. 61 -00:03:22,460 --> 00:03:24,700 +00:03:22,460 --> 00:03:23,720 Ici, concentrons-nous sur cet exemple. 62 -00:03:24,700 --> 00:03:28,213 +00:03:24,200 --> 00:03:27,930 Vous savez que les deux valeurs sont uniformément espacées autour du chiffre 7, 63 -00:03:28,213 --> 00:03:30,672 +00:03:27,930 --> 00:03:30,541 elles ressemblent donc à 7 plus ou moins quelque chose, 64 -00:03:30,672 --> 00:03:32,780 +00:03:30,541 --> 00:03:32,780 appelons cela quelque chose d pour la distance. 65 @@ -291,55 +291,55 @@ chaque fois, alors résumons ce que nous venons de faire dans une formule géné Pour toute moyenne m et produit p, la distance au carré sera toujours m au carré moins p. 74 -00:04:17,560 --> 00:04:21,244 +00:04:17,560 --> 00:04:21,389 Cela donne le troisième fait clé, à savoir que lorsque deux nombres ont 75 -00:04:21,244 --> 00:04:24,928 +00:04:21,389 --> 00:04:25,219 une moyenne m et un produit p, vous pouvez écrire ces deux nombres sous 76 -00:04:24,928 --> 00:04:28,254 +00:04:25,219 --> 00:04:28,676 la forme m plus ou moins la racine carrée de m au carré moins p. 77 -00:04:28,254 --> 00:04:31,632 +00:04:28,676 --> 00:04:32,186 C'est assez rapide à recréer à la volée si jamais vous l'oubliez, 78 -00:04:31,632 --> 00:04:35,163 +00:04:32,186 --> 00:04:35,856 et il s'agit essentiellement d'une reformulation de la formule de la 79 -00:04:35,163 --> 00:04:36,340 +00:04:35,856 --> 00:04:37,080 différence des carrés. 80 -00:04:36,340 --> 00:04:39,383 +00:04:37,860 --> 00:04:39,955 Mais c’est quand même un fait qui mérite d’être mémorisé, 81 -00:04:39,383 --> 00:04:41,220 +00:04:39,955 --> 00:04:41,220 donc il est au bout de vos doigts. 82 -00:04:41,220 --> 00:04:43,476 +00:04:41,220 --> 00:04:44,023 En fait, mon ami Tim de la chaîne A Capella Science nous a 83 -00:04:43,476 --> 00:04:46,000 +00:04:44,023 --> 00:04:47,160 écrit un joli jingle rapide pour le rendre un peu plus mémorable. 84 -00:04:46,000 --> 00:04:59,100 +00:04:51,900 --> 00:04:57,620 Laissez-moi vous montrer comment cela fonctionne, disons pour la matrice 3, 1, 4, 1. 85 -00:04:59,100 --> 00:05:00,626 +00:04:58,100 --> 00:05:00,187 Vous commencez par vous rappeler la formule, peut-être 86 -00:05:00,626 --> 00:05:01,820 +00:05:00,187 --> 00:05:01,820 en l’énonçant entièrement dans votre tête. 87 @@ -351,83 +351,83 @@ Mais lorsque vous l’écrivez, vous remplissez les valeurs appropriées de m et p au fur et à mesure. 89 -00:05:12,340 --> 00:05:15,119 +00:05:12,340 --> 00:05:14,808 Ainsi, dans cet exemple, la moyenne des valeurs 90 -00:05:15,119 --> 00:05:18,420 +00:05:14,808 --> 00:05:17,740 propres est la même que la moyenne de 3 et 1, qui est 2. 91 -00:05:18,420 --> 00:05:21,980 +00:05:18,300 --> 00:05:22,700 Donc, la chose que vous commencez à écrire est 2 ± sqrt(2^2 - …). 92 -00:05:21,980 --> 00:05:25,521 +00:05:23,540 --> 00:05:28,549 Ensuite, le produit des valeurs propres est le déterminant, 93 -00:05:25,521 --> 00:05:28,060 +00:05:28,549 --> 00:05:32,140 qui dans cet exemple est 3*1 - 1*4, ou -1. 94 -00:05:28,060 --> 00:05:31,700 +00:05:32,380 --> 00:05:34,480 C'est donc la dernière chose que vous remplissez. 95 -00:05:31,700 --> 00:05:35,480 +00:05:34,880 --> 00:05:38,760 Cela signifie que les valeurs propres sont 2 ± sqrt (5). 96 -00:05:35,480 --> 00:05:39,473 +00:05:40,300 --> 00:05:43,364 Vous reconnaîtrez peut-être qu’il s’agit de la même matrice que celle que j’utilisais 97 -00:05:39,473 --> 00:05:43,560 +00:05:43,364 --> 00:05:46,500 au début, mais remarquez à quel point nous pouvons obtenir la réponse plus directement. 98 -00:05:43,680 --> 00:05:45,580 +00:05:48,140 --> 00:05:49,180 Tiens, essaie-en un autre. 99 -00:05:45,580 --> 00:05:51,285 +00:05:49,440 --> 00:05:53,877 Cette fois, la moyenne des valeurs propres est la même que la moyenne de 2 et 8, 100 -00:05:51,285 --> 00:05:52,060 +00:05:53,877 --> 00:05:54,480 qui est 5. 101 -00:05:52,060 --> 00:05:55,323 +00:05:55,100 --> 00:05:57,065 Encore une fois, vous commencez à écrire la formule 102 -00:05:55,323 --> 00:05:58,900 +00:05:57,065 --> 00:05:59,220 mais cette fois en écrivant 5 à la place de m [chanson]. 103 -00:05:58,900 --> 00:06:08,300 +00:06:02,980 --> 00:06:08,300 Et puis le déterminant est 2*8 - 7*1, ou 9. 104 -00:06:09,520 --> 00:06:14,394 +00:06:09,520 --> 00:06:14,780 Ainsi, dans cet exemple, les valeurs propres ressemblent à 5 ± sqrt(16), 105 -00:06:14,394 --> 00:06:17,600 +00:06:14,780 --> 00:06:18,240 ce qui se simplifie encore davantage en 9 et 1. 106 -00:06:17,600 --> 00:06:21,573 +00:06:19,420 --> 00:06:22,076 Vous voyez ce que je veux dire sur la façon dont vous pouvez commencer 107 -00:06:21,573 --> 00:06:25,380 +00:06:22,076 --> 00:06:24,620 à écrire les valeurs propres pendant que vous regardez la matrice ? 108 -00:06:25,380 --> 00:06:28,160 +00:06:25,280 --> 00:06:28,160 Il ne s’agit généralement que d’une infime simplification à la fin. 109 @@ -511,15 +511,15 @@ ce qui rend notre formule particulièrement simple. Qu’en est-il des produits des valeurs propres, déterminants de ces matrices ? 129 -00:07:29,700 --> 00:07:32,560 +00:07:29,700 --> 00:07:33,400 Pour le premier, c’est 0 moins 1, soit moins 1. 130 -00:07:33,200 --> 00:07:35,658 +00:07:33,400 --> 00:07:35,759 Le second ressemble également à 0 moins 1, mais il faut un 131 -00:07:35,658 --> 00:07:38,200 +00:07:35,759 --> 00:07:38,200 moment de plus pour le voir en raison des nombres complexes. 132 @@ -683,35 +683,35 @@ En mécanique quantique, cela décrirait les observations de spin dans une direction générale d'un vecteur de coordonnées a, b, c. 172 -00:09:50,900 --> 00:09:53,536 +00:09:50,900 --> 00:09:54,067 Plus précisément, vous devez supposer que ce vecteur est normalisé, 173 -00:09:53,536 --> 00:09:56,560 +00:09:54,067 --> 00:09:57,700 ce qui signifie que a au carré plus b au carré plus c au carré est égal à un. 174 -00:09:56,560 --> 00:10:01,444 +00:09:58,600 --> 00:10:03,066 Lorsque vous regardez cette nouvelle matrice, il est immédiat de constater que la moyenne 175 -00:10:01,444 --> 00:10:06,057 +00:10:03,066 --> 00:10:07,284 des valeurs propres est toujours nulle, et vous pourriez également apprécier de vous 176 -00:10:06,057 --> 00:10:10,941 +00:10:07,284 --> 00:10:11,751 arrêter un bref instant pour confirmer que le produit de ces valeurs propres est toujours 177 -00:10:10,941 --> 00:10:15,500 +00:10:11,751 --> 00:10:15,920 négatif. Et puis à partir de là, conclure quelles doivent être les valeurs propres. 178 -00:10:15,500 --> 00:10:19,386 +00:10:17,220 --> 00:10:20,279 Et cette fois, l’approche polynomiale caractéristique serait en comparaison 179 -00:10:19,386 --> 00:10:23,580 +00:10:20,279 --> 00:10:23,580 beaucoup plus lourde, nettement plus difficile à mettre en œuvre dans votre tête. 180 @@ -779,43 +779,43 @@ Et le produit des racines est encore plus simple, c'est juste le terme constant, aucun ajustement n'est nécessaire. 196 -00:11:17,340 --> 00:11:22,557 +00:11:17,340 --> 00:11:19,667 Donc à partir de là, vous appliqueriez la formule du produit moyen, 197 -00:11:22,557 --> 00:11:25,320 +00:11:19,667 --> 00:11:20,900 et cela vous donnerait les racines. 198 -00:11:25,320 --> 00:11:27,623 +00:11:25,140 --> 00:11:27,528 Et d’une part, vous pourriez considérer cela comme une 199 -00:11:27,623 --> 00:11:30,220 +00:11:27,528 --> 00:11:30,220 version plus légère de la formule quadratique traditionnelle. 200 -00:11:30,960 --> 00:11:35,049 +00:11:30,960 --> 00:11:34,585 Mais le véritable avantage n’est pas seulement qu’il y a moins de symboles à mémoriser, 201 -00:11:35,049 --> 00:11:37,140 +00:11:34,585 --> 00:11:36,440 c’est que chacun d’entre eux a plus de sens. 202 -00:11:37,380 --> 00:11:40,356 +00:11:36,940 --> 00:11:40,040 Je veux dire, tout l'intérêt de cette astuce aux valeurs propres est que, 203 -00:11:40,356 --> 00:11:43,776 +00:11:40,040 --> 00:11:43,601 comme vous pouvez lire la moyenne et le produit directement en regardant la matrice, 204 -00:11:43,776 --> 00:11:47,316 +00:11:43,601 --> 00:11:47,287 vous n'avez pas besoin de passer par l'étape intermédiaire de configuration du polynôme 205 -00:11:47,316 --> 00:11:48,000 +00:11:47,287 --> 00:11:48,000 caractéristique. 206 @@ -827,27 +827,27 @@ Vous pouvez passer directement à l’écriture des racines sans jamais penser explicitement à quoi ressemble le polynôme. 208 -00:11:53,840 --> 00:11:56,220 +00:11:53,840 --> 00:11:56,351 Mais pour ce faire, nous avons besoin d’une version de la 209 -00:11:56,220 --> 00:11:58,560 +00:11:56,351 --> 00:11:58,820 formule quadratique où les termes ont une signification. 210 -00:11:58,560 --> 00:12:02,189 +00:12:00,380 --> 00:12:03,416 Je me rends compte qu'il s'agit d'une astuce très spécifique destinée à un public très 211 -00:12:02,189 --> 00:12:05,569 +00:12:03,416 --> 00:12:06,244 spécifique, mais c'est quelque chose que j'aurais aimé connaître à l'université, 212 -00:12:05,569 --> 00:12:08,406 +00:12:06,244 --> 00:12:08,617 donc si vous connaissez des étudiants qui pourraient en bénéficier, 213 -00:12:08,406 --> 00:12:09,700 +00:12:08,617 --> 00:12:09,700 pensez à la partager avec eux. 214 diff --git a/2021/quick-eigen/german/auto_generated.srt b/2021/quick-eigen/german/auto_generated.srt index dd3894a9f..b95fed693 100644 --- a/2021/quick-eigen/german/auto_generated.srt +++ b/2021/quick-eigen/german/auto_generated.srt @@ -1,920 +1,888 @@ 1 -00:00:00,000 --> 00:00:03,823 -Dies ist ein Video für alle, die bereits wissen, was Eigenwerte und Eigenvektoren sind, +00:00:00,000 --> 00:00:02,376 +Dieses Video richtet sich an alle, die bereits wissen, 2 -00:00:03,823 --> 00:00:07,560 -und denen es Spaß machen könnte, diese im Fall von 2x2-Matrizen schnell zu berechnen. +00:00:02,376 --> 00:00:05,399 +was Eigenwerte und Eigenvektoren sind, und die vielleicht Lust haben, 3 -00:00:08,580 --> 00:00:11,267 -Wenn Sie mit Eigenwerten nicht vertraut sind, schauen Sie sich dieses Video hier an, +00:00:05,399 --> 00:00:07,560 +sie im Fall von 2x2-Matrizen schnell zu berechnen. 4 -00:00:11,267 --> 00:00:12,880 -das eigentlich dazu gedacht ist, sie vorzustellen. +00:00:08,580 --> 00:00:12,341 +Wenn du mit Eigenwerten nicht vertraut bist, schau dir dieses Video an, 5 -00:00:12,880 --> 00:00:16,063 -Sie können weitermachen, wenn Sie den Trick nur sehen möchten, +00:00:12,341 --> 00:00:13,700 +in dem sie erklärt werden. 6 -00:00:16,063 --> 00:00:19,499 -aber wenn möglich, möchte ich, dass Sie ihn selbst wiederentdecken. +00:00:14,680 --> 00:00:18,409 +Wenn du nur den Trick sehen willst, kannst du weiterspringen, 7 -00:00:19,499 --> 00:00:22,380 -Lassen Sie uns dazu einen kleinen Hintergrund erläutern. +00:00:18,409 --> 00:00:22,380 +aber wenn möglich, möchte ich, dass du ihn selbst wiederentdeckst. 8 -00:00:23,260 --> 00:00:26,733 -Zur Erinnerung: Wenn die Wirkung einer linearen Transformation auf einen gegebenen +00:00:23,260 --> 00:00:27,299 +Zur Erinnerung: Wenn die Wirkung einer linearen Transformation auf einen bestimmten 9 -00:00:26,733 --> 00:00:29,578 -Vektor darin besteht, diesen Vektor um eine Konstante zu skalieren, +00:00:27,299 --> 00:00:30,088 +Vektor darin besteht, ihn um eine Konstante zu skalieren, 10 -00:00:29,578 --> 00:00:32,717 -nennen wir ihn einen Eigenvektor der Transformation und den entsprechenden +00:00:30,088 --> 00:00:33,791 +nennen wir ihn einen "Eigenvektor" der Transformation und den entsprechenden 11 -00:00:32,717 --> 00:00:35,185 -Skalierungsfaktor nennen wir den entsprechenden Eigenwert, +00:00:33,791 --> 00:00:36,195 +Skalierungsfaktor den entsprechenden "Eigenwert", 12 -00:00:35,185 --> 00:00:37,320 -der oft mit dem Buchstaben bezeichnet wird Lambda. +00:00:36,195 --> 00:00:38,600 +der oft mit dem Buchstaben Lambda bezeichnet wird. 13 -00:00:37,320 --> 00:00:42,817 -Wenn Sie dies als Gleichung schreiben und ein wenig umordnen, sehen Sie, +00:00:39,840 --> 00:00:44,406 +Wenn du das als Gleichung aufschreibst und ein bisschen umordnest, 14 -00:00:42,817 --> 00:00:47,410 -dass, wenn die Zahl Lambda ein Eigenwert einer Matrix A ist, +00:00:44,406 --> 00:00:49,313 +siehst du, dass, wenn die Zahl lambda ein Eigenwert einer Matrix A ist, 15 -00:00:47,410 --> 00:00:53,736 -die Matrix A minus Lambda mal der Identität einen Vektor ungleich Null senden muss, +00:00:49,313 --> 00:00:54,152 +die Matrix (A minus lambda mal die Identität) einen Nicht-Null-Vektor, 16 -00:00:53,736 --> 00:00:59,609 -nämlich den entsprechenden Eigenvektor zum Nullvektor, was wiederum bedeutet, +00:00:54,152 --> 00:00:58,923 +nämlich den entsprechenden Eigenvektor, zum Nullvektor schicken muss, 17 -00:00:59,609 --> 00:01:04,580 -dass die Determinante dieser modifizierten Matrix Null sein muss. +00:00:58,923 --> 00:01:04,580 +was wiederum bedeutet, dass die Determinante dieser veränderten Matrix 0 sein muss. 18 -00:01:06,120 --> 00:01:08,924 -Okay, das ist alles etwas übertrieben, aber ich gehe auch hier davon aus, +00:01:06,120 --> 00:01:08,949 +Okay, das ist alles ein bisschen viel gesagt, aber ich gehe davon aus, 19 -00:01:08,924 --> 00:01:11,540 -dass dies alles eine Rezension für jeden von euch ist, der zuschaut. +00:01:08,949 --> 00:01:11,540 +dass das alles für jeden, der zuschaut, eine Zusammenfassung ist. 20 -00:01:12,820 --> 00:01:15,174 -Die übliche Art und Weise, Eigenwerte zu berechnen, +00:01:12,820 --> 00:01:17,132 +Die übliche Art, Eigenwerte zu berechnen, wie ich es früher gemacht habe und wie ich 21 -00:01:15,174 --> 00:01:17,483 -wie ich es früher gemacht habe und wie ich glaube, +00:01:17,132 --> 00:01:20,177 +glaube, dass es den meisten Schülern beigebracht wird, ist, 22 -00:01:17,483 --> 00:01:20,245 -wie es den meisten Schülern beigebracht wird, besteht darin, +00:01:20,177 --> 00:01:24,084 +den unbekannten Wert Lambda von den Diagonalen abzuziehen und dann zu lösen, 23 -00:01:20,245 --> 00:01:24,048 -den unbekannten Wert Lambda von den Diagonalen zu subtrahieren und dann aufzulösen, +00:01:24,084 --> 00:01:25,860 +wenn die Determinante gleich 0 ist. 24 -00:01:24,048 --> 00:01:25,860 -wann die Determinante gleich Null ist . +00:01:27,760 --> 00:01:31,319 +Dies erfordert immer einige Schritte zur Erweiterung und Vereinfachung, 25 -00:01:27,760 --> 00:01:31,697 -Dies erfordert immer ein paar zusätzliche Schritte zur Erweiterung und Vereinfachung, +00:01:31,319 --> 00:01:33,741 +um ein reines quadratisches Polynom zu erhalten, 26 -00:01:31,697 --> 00:01:34,033 -um ein sauberes quadratisches Polynom zu erhalten, +00:01:33,741 --> 00:01:36,460 +das so genannte "charakteristische Polynom" der Matrix. 27 -00:01:34,033 --> 00:01:36,460 -das sogenannte charakteristische Polynom der Matrix. +00:01:37,360 --> 00:01:39,900 +Die Eigenwerte sind die Wurzeln dieses Polynoms. 28 -00:01:37,360 --> 00:01:39,900 -Die Eigenwerte sind die Wurzeln dieses Polynoms. +00:01:40,100 --> 00:01:42,914 +Um sie zu finden, musst du also die quadratische Formel anwenden, 29 -00:01:40,100 --> 00:01:42,952 -Um sie zu finden, muss man also die quadratische Formel anwenden, +00:01:42,914 --> 00:01:46,540 +die wiederum in der Regel ein oder zwei weitere Schritte der Vereinfachung erfordert. 30 -00:01:42,952 --> 00:01:46,540 -die wiederum normalerweise ein oder zwei weitere Vereinfachungsschritte erfordert. +00:01:47,760 --> 00:01:49,500 +Ehrlich gesagt, ist der Prozess nicht schrecklich. 31 -00:01:47,760 --> 00:01:50,640 -Ehrlich gesagt ist der Prozess nicht schrecklich. +00:01:49,580 --> 00:01:53,066 +Aber zumindest für 2x2-Matrizen gibt es einen viel direkteren Weg, 32 -00:01:50,640 --> 00:01:53,402 -Aber zumindest für 2x2-Matrizen gibt es einen viel direkteren Weg, +00:01:53,066 --> 00:01:54,680 +um zu dieser Antwort zu kommen. 33 -00:01:53,402 --> 00:01:54,680 -zu dieser Antwort zu gelangen. +00:01:55,400 --> 00:01:58,503 +Und wenn du diesen Trick wiederentdecken willst, gibt es nur drei relevante Fakten, 34 -00:01:55,400 --> 00:01:57,402 -Und wenn Sie diesen Trick wiederentdecken möchten, +00:01:58,503 --> 00:02:00,978 +die du wissen musst, von denen jeder für sich genommen wissenswert 35 -00:01:57,402 --> 00:01:59,797 -müssen Sie nur drei relevante Fakten kennen, die jeweils für +00:02:00,978 --> 00:02:02,900 +ist und dir bei anderen Problemlösungen helfen kann. 36 -00:01:59,797 --> 00:02:02,900 -sich wissenswert sind und Ihnen bei der Lösung anderer Probleme helfen können. +00:02:03,820 --> 00:02:08,772 +Nummer 1: Die Spur einer Matrix, die die Summe der beiden diagonalen Einträge ist, 37 -00:02:03,820 --> 00:02:08,934 -Erstens ist die Spur einer Matrix, die die Summe dieser beiden Diagonaleinträge ist, +00:02:08,772 --> 00:02:10,919 +ist gleich der Summe der Eigenwerte. 38 -00:02:08,934 --> 00:02:10,919 -gleich der Summe der Eigenwerte. +00:02:11,700 --> 00:02:14,658 +Eine andere, für unsere Zwecke nützlichere Formulierung ist, 39 -00:02:11,700 --> 00:02:14,627 -Oder anders ausgedrückt, was für unsere Zwecke nützlicher ist: +00:02:14,658 --> 00:02:18,441 +dass der Mittelwert der beiden Eigenwerte gleich dem Mittelwert dieser beiden 40 -00:02:14,627 --> 00:02:18,484 -Der Mittelwert der beiden Eigenwerte ist derselbe wie der Mittelwert dieser beiden +00:02:18,441 --> 00:02:19,460 +Diagonaleinträge ist. 41 -00:02:18,484 --> 00:02:19,460 -diagonalen Einträge. +00:02:21,000 --> 00:02:25,845 +Nummer 2: Die Determinante einer Matrix, unsere übliche ad-bc-Formel, 42 -00:02:21,000 --> 00:02:26,052 -Zweitens ist die Determinante einer Matrix, unsere übliche ad-bc-Formel, +00:02:25,845 --> 00:02:28,960 +ist gleich dem Produkt der beiden Eigenwerte. 43 -00:02:26,052 --> 00:02:28,960 -gleich dem Produkt der beiden Eigenwerte. +00:02:30,060 --> 00:02:33,246 +Das macht Sinn, wenn du verstehst, dass Eigenwerte beschreiben, 44 -00:02:30,060 --> 00:02:34,034 -Und das sollte einigermaßen Sinn machen, wenn man versteht, dass Eigenwerte beschreiben, +00:02:33,246 --> 00:02:36,532 +wie stark ein Operator den Raum in eine bestimmte Richtung dehnt, 45 -00:02:34,034 --> 00:02:37,115 -wie stark ein Operator den Raum in eine bestimmte Richtung ausdehnt, +00:02:36,532 --> 00:02:40,266 +und dass die Determinante beschreibt, wie stark ein Operator Flächen (oder 46 -00:02:37,115 --> 00:02:41,000 -und dass die Determinante beschreibt, wie stark ein Operator Flächen oder Volumina als +00:02:40,266 --> 00:02:41,760 +Volumina) als Ganzes skaliert. 47 -00:02:41,000 --> 00:02:41,760 -Ganzes skaliert. +00:02:42,800 --> 00:02:45,403 +Bevor wir nun zum dritten Fakt kommen, solltest du beachten, 48 -00:02:42,800 --> 00:02:44,883 -Bevor wir nun zur dritten Tatsache kommen, beachten Sie, +00:02:45,403 --> 00:02:49,160 +dass du die ersten beiden Werte aus der Matrix ablesen kannst, ohne viel aufzuschreiben. 49 -00:02:44,883 --> 00:02:47,880 -dass Sie diese ersten beiden Werte im Wesentlichen aus der Matrix ablesen können, +00:02:49,760 --> 00:02:51,320 +Nimm diese Matrix hier als Beispiel. 50 -00:02:47,880 --> 00:02:49,160 -ohne wirklich viel aufzuschreiben. +00:02:51,820 --> 00:02:55,083 +Du kannst sofort erkennen, dass der Mittelwert der Eigenwerte 51 -00:02:49,760 --> 00:02:51,320 -Nehmen Sie diese Matrix hier als Beispiel. +00:02:55,083 --> 00:02:57,820 +derselbe ist wie der Mittelwert von 8 und 6, also 7. 52 -00:02:51,820 --> 00:02:55,078 -Sie können sofort erkennen, dass der Mittelwert der Eigenwerte +00:02:59,580 --> 00:03:03,153 +Die meisten Schülerinnen und Schüler, die lineare Algebra studieren, 53 -00:02:55,078 --> 00:02:57,820 -derselbe ist wie der Mittelwert von 8 und 6, also 7. +00:03:03,153 --> 00:03:06,157 +sind ziemlich geübt darin, die Determinante zu bestimmen, 54 -00:02:59,580 --> 00:03:03,764 -Ebenso sind die meisten Studenten der linearen Algebra ziemlich geübt darin, +00:03:06,157 --> 00:03:09,110 +die in diesem Fall 48 - 8 beträgt. Du weißt also sofort, 55 -00:03:03,764 --> 00:03:07,841 -die Determinante zu finden, die sich in diesem Fall als 48 minus 8 ergibt. +00:03:09,110 --> 00:03:11,700 +dass das Produkt unserer beiden Eigenwerte 40 ist. 56 -00:03:07,841 --> 00:03:11,700 -Sie wissen also sofort, dass das Produkt der beiden Eigenwerte 40 ist. +00:03:12,780 --> 00:03:14,843 +Nimm dir jetzt einen Moment Zeit, um zu sehen, 57 -00:03:12,780 --> 00:03:14,855 -Nehmen Sie sich nun einen Moment Zeit, um zu sehen, +00:03:14,843 --> 00:03:17,170 +wie du die dritte wichtige Tatsache ableiten kannst, 58 -00:03:14,855 --> 00:03:17,130 -ob Sie unsere dritte relevante Tatsache ableiten können, +00:03:17,170 --> 00:03:19,452 +nämlich wie du zwei Zahlen wiederherstellen kannst, 59 -00:03:17,130 --> 00:03:19,564 -nämlich wie Sie zwei Zahlen schnell wiederherstellen können, +00:03:19,452 --> 00:03:21,560 +wenn du ihren Mittelwert und ihr Produkt kennst. 60 -00:03:19,564 --> 00:03:21,560 -wenn Sie ihren Mittelwert und ihr Produkt kennen. +00:03:22,460 --> 00:03:23,720 +Konzentrieren wir uns auf dieses Beispiel. 61 -00:03:22,460 --> 00:03:24,700 -Konzentrieren wir uns hier auf dieses Beispiel. +00:03:24,200 --> 00:03:28,061 +Du weißt, dass die beiden Werte gleichmäßig um 7 herum angeordnet sind, 62 -00:03:24,700 --> 00:03:28,635 -Sie wissen, dass die beiden Werte gleichmäßig um die Zahl 7 verteilt sind, +00:03:28,061 --> 00:03:32,780 +also sehen sie aus wie 7 plus oder minus etwas; nennen wir dieses Etwas "d" für Abstand. 63 -00:03:28,635 --> 00:03:32,780 -also wie 7 plus oder minus etwas aussehen, nennen wir das etwas d für Distanz. +00:03:33,560 --> 00:03:36,380 +Du weißt auch, dass das Produkt dieser beiden Zahlen 40 ist. 64 -00:03:33,560 --> 00:03:36,380 -Sie wissen auch, dass das Produkt dieser beiden Zahlen 40 ist. +00:03:38,600 --> 00:03:41,875 +Um nun d zu finden, beachte, dass sich dieses Produkt wirklich schön ausdehnt, 65 -00:03:38,600 --> 00:03:41,860 -Um nun d zu finden, beachten Sie, dass sich dieses Produkt sehr gut ausdehnt, +00:03:41,875 --> 00:03:43,700 +es ergibt sich eine Differenz von Quadraten. 66 -00:03:41,860 --> 00:03:43,700 -es ergibt sich als Differenz von Quadraten. +00:03:44,560 --> 00:03:50,510 +Von dort aus kannst du also direkt d finden: d^2 ist 7^2 - 40 oder 9, 67 -00:03:44,560 --> 00:03:48,912 -Von dort aus können Sie also direkt d finden. d zum Quadrat ist +00:03:50,510 --> 00:03:53,400 +was bedeutet, dass d selbst 3 ist. 68 -00:03:48,912 --> 00:03:53,400 -7 zum Quadrat minus 40 oder 9, was bedeutet, dass d selbst 3 ist. +00:03:56,380 --> 00:04:01,100 +Mit anderen Worten: Die beiden Werte für dieses sehr spezielle Beispiel sind 4 und 10. 69 -00:03:56,380 --> 00:04:01,048 -Mit anderen Worten: Die beiden Werte für dieses sehr spezielle Beispiel betragen 4 und 10. +00:04:01,680 --> 00:04:04,603 +Aber unser Ziel ist ein schneller Trick, und du willst das nicht jedes Mal neu 70 -00:04:01,048 --> 00:04:01,100 - +00:04:04,603 --> 00:04:06,898 +durchdenken, also lass uns das, was wir gerade gemacht haben, 71 -00:04:01,680 --> 00:04:03,696 -Aber unser Ziel ist ein schneller Trick, und Sie möchten +00:04:06,898 --> 00:04:08,120 +in eine allgemeine Formel packen. 72 -00:04:03,696 --> 00:04:05,713 -nicht jedes Mal darüber nachdenken, also fassen wir das, +00:04:08,640 --> 00:04:15,680 +Für jeden Mittelwert m und jedes Produkt p ist der Abstand zum Quadrat immer m^2 - p. 73 -00:04:05,713 --> 00:04:08,120 -was wir gerade gemacht haben, in einer allgemeinen Formel zusammen. +00:04:17,560 --> 00:04:20,503 +Daraus ergibt sich die dritte wichtige Tatsache: 74 -00:04:08,640 --> 00:04:12,122 -Für jeden Mittelwert m und jedes Produkt p ist +00:04:20,503 --> 00:04:24,166 +Wenn zwei Zahlen einen Mittelwert m und ein Produkt p haben, 75 -00:04:12,122 --> 00:04:15,680 -das Distanzquadrat immer m zum Quadrat minus p. +00:04:24,166 --> 00:04:27,950 +kannst du diese beiden Zahlen als m ± sqrt(m^2 - p) schreiben. 76 -00:04:17,560 --> 00:04:21,270 -Dies ergibt die dritte wichtige Tatsache: Wenn zwei Zahlen einen Mittelwert m und +00:04:27,950 --> 00:04:32,034 +Dies ist schnell wieder abrufbar, wenn du es einmal vergessen hast, 77 -00:04:21,270 --> 00:04:24,800 -ein Produkt p haben, können Sie diese beiden Zahlen als m plus oder minus der +00:04:32,034 --> 00:04:37,080 +und ist im Grunde nur eine Umformulierung der Formel für die Differenz der Quadrate. 78 -00:04:24,800 --> 00:04:27,108 -Quadratwurzel von m zum Quadrat minus p schreiben. +00:04:37,860 --> 00:04:40,158 +Aber es lohnt sich trotzdem, diese Tatsache auswendig zu lernen, 79 -00:04:27,108 --> 00:04:30,140 -Dies lässt sich ziemlich schnell im Handumdrehen wieder herleiten, +00:04:40,158 --> 00:04:41,220 +damit du sie immer parat hast. 80 -00:04:30,140 --> 00:04:33,715 -falls Sie es jemals vergessen, und es handelt sich im Wesentlichen nur um eine +00:04:41,220 --> 00:04:45,225 +Mein Freund Tim vom Kanal acapellascience hat uns sogar einen kurzen Jingle geschrieben, 81 -00:04:33,715 --> 00:04:36,340 -Umformulierung der Formel für die Differenz der Quadrate. +00:04:45,225 --> 00:04:47,160 +um ihn ein bisschen einprägsamer zu machen. 82 -00:04:36,340 --> 00:04:38,425 -Dennoch ist es eine Tatsache, die es wert ist, +00:04:51,900 --> 00:04:55,173 +m plus oder minus Quadratwurzel aus mir zum Quadrat minus p (ping!) Ich zeige dir mal, 83 -00:04:38,425 --> 00:04:41,220 -im Gedächtnis zu bleiben, sodass Sie sie immer zur Hand haben. +00:04:55,173 --> 00:04:57,620 +wie das funktioniert, zum Beispiel für die Matrix [[3,1], [4,1]]. 84 -00:04:41,220 --> 00:04:43,689 -Tatsächlich hat uns mein Freund Tim vom Sender A Capella Science einen netten +00:04:58,100 --> 00:04:59,925 +Du fängst damit an, dir die Formel ins Gedächtnis zu 85 -00:04:43,689 --> 00:04:46,000 -kurzen Jingle geschrieben, um es ein bisschen unvergesslicher zu machen. +00:04:59,925 --> 00:05:01,820 +rufen und sie vielleicht in deinem Kopf aufzuschreiben. 86 -00:04:46,000 --> 00:04:53,246 -Lassen Sie mich Ihnen zeigen, wie das funktioniert, +00:05:06,200 --> 00:05:09,566 +Aber wenn du es aufschreibst, trägst du die entsprechenden 87 -00:04:53,246 --> 00:04:59,100 -beispielsweise für die Matrix 3, 1, 4, 1. +00:05:09,566 --> 00:05:11,620 +Werte für m und p nach und nach ein. 88 -00:04:59,100 --> 00:05:00,531 -Sie beginnen damit, dass Sie sich die Formel ins Gedächtnis +00:05:12,340 --> 00:05:15,039 +In diesem Beispiel ist der Mittelwert der Eigenwerte 89 -00:05:00,531 --> 00:05:01,820 -rufen und vielleicht alles in Ihrem Kopf formulieren. +00:05:15,039 --> 00:05:17,740 +also derselbe wie der Mittelwert von 3 und 1, also 2. 90 -00:05:06,200 --> 00:05:08,770 -Aber wenn Sie es aufschreiben, geben Sie nach +00:05:18,300 --> 00:05:22,700 +Das, was du zu schreiben beginnst, ist also 2 ± sqrt(2^2 - ...). 91 -00:05:08,770 --> 00:05:11,620 -und nach die entsprechenden Werte für m und p ein. +00:05:23,540 --> 00:05:28,230 +Dann ist das Produkt der Eigenwerte die Determinante, 92 -00:05:12,340 --> 00:05:15,351 -In diesem Beispiel ist der Mittelwert der Eigenwerte +00:05:28,230 --> 00:05:32,140 +die in diesem Beispiel 3*1 - 1*4 oder -1 ist. 93 -00:05:15,351 --> 00:05:18,420 -also derselbe wie der Mittelwert von 3 und 1, also 2. +00:05:32,380 --> 00:05:34,480 +Das ist also der letzte Punkt, den du ausfüllst. 94 -00:05:18,420 --> 00:05:21,980 -Sie beginnen also mit dem Schreiben von 2 ± sqrt(2^2 - …). +00:05:34,880 --> 00:05:38,760 +Das bedeutet, dass die Eigenwerte 2±sqrt(5) sind. 95 -00:05:21,980 --> 00:05:25,136 -Dann ist das Produkt der Eigenwerte die Determinante, +00:05:40,300 --> 00:05:42,742 +Du erkennst vielleicht, dass es sich um dieselbe Matrix handelt, 96 -00:05:25,136 --> 00:05:28,060 -die in diesem Beispiel 3*1 - 1*4 oder -1 beträgt. +00:05:42,742 --> 00:05:44,621 +die ich am Anfang verwendet habe, aber merke dir, 97 -00:05:28,060 --> 00:05:31,700 -Das ist also das Letzte, was Sie ausfüllen. +00:05:44,621 --> 00:05:46,500 +wie viel direkter wir die Antwort bekommen können. 98 -00:05:31,700 --> 00:05:35,480 -Das bedeutet, dass die Eigenwerte 2±sqrt(5) sind. +00:05:48,140 --> 00:05:49,180 +Hier, versuch eine andere. 99 -00:05:35,480 --> 00:05:38,839 -Sie erkennen vielleicht, dass es sich hierbei um dieselbe Matrix handelt, +00:05:49,440 --> 00:05:53,955 +Dieses Mal ist der Mittelwert der Eigenwerte derselbe wie der Mittelwert von 2 und 8, 100 -00:05:38,839 --> 00:05:41,244 -die ich zu Beginn verwendet habe, aber beachten Sie, +00:05:53,955 --> 00:05:54,480 +nämlich 5. 101 -00:05:41,244 --> 00:05:43,560 -wie viel direkter wir zur Antwort gelangen können. +00:05:55,100 --> 00:05:57,160 +Also fängst du wieder an, die Formel aufzuschreiben, 102 -00:05:43,680 --> 00:05:45,580 -Hier, versuchen Sie es mit einem anderen. +00:05:57,160 --> 00:05:59,220 +aber dieses Mal schreibst du 5 anstelle von m [Lied]. 103 -00:05:45,580 --> 00:05:51,490 -Diesmal ist der Mittelwert der Eigenwerte derselbe wie der Mittelwert von 2 und 8, +00:06:02,980 --> 00:06:08,300 +Und dann ist die Determinante 2*8 - 7*1, also 9. 104 -00:05:51,490 --> 00:05:52,060 -also 5. +00:06:09,520 --> 00:06:14,783 +In diesem Beispiel sehen die Eigenwerte also wie 5 ± sqrt(16) aus, 105 -00:05:52,060 --> 00:05:55,448 -Also fängst du wieder an, die Formel aufzuschreiben, +00:06:14,783 --> 00:06:18,240 +was sich noch weiter zu 9 und 1 vereinfacht. 106 -00:05:55,448 --> 00:05:58,900 -aber dieses Mal schreibst du 5 anstelle von m [Lied]. +00:06:19,420 --> 00:06:22,078 +Verstehst du, was ich damit meine, dass du einfach anfangen kannst, 107 -00:05:58,900 --> 00:06:08,300 -Und dann ist die Determinante 2*8 - 7*1 oder 9. +00:06:22,078 --> 00:06:24,620 +die Eigenwerte aufzuschreiben, während du auf die Matrix starrst? 108 -00:06:09,520 --> 00:06:14,031 -In diesem Beispiel sehen die Eigenwerte also wie 5 ± sqrt(16) aus, +00:06:25,280 --> 00:06:28,160 +Normalerweise ist es nur eine kleine Vereinfachung am Ende. 109 -00:06:14,031 --> 00:06:17,600 -was sich noch weiter vereinfacht als 9 und 1 ergibt. +00:06:29,060 --> 00:06:31,079 +Ehrlich gesagt, verwende ich diesen Trick oft, 110 -00:06:17,600 --> 00:06:21,706 -Verstehen Sie, was ich damit meine, dass Sie im Grunde mit dem Aufschreiben +00:06:31,079 --> 00:06:34,388 +wenn ich schnelle Notizen zur linearen Algebra skizziere und kleine Matrizen 111 -00:06:21,706 --> 00:06:25,380 -der Eigenwerte beginnen können, während Sie auf die Matrix starren? +00:06:34,388 --> 00:06:35,720 +als Beispiele verwenden möchte. 112 -00:06:25,380 --> 00:06:28,160 -Normalerweise handelt es sich am Ende nur um die kleinste Vereinfachung. +00:06:36,180 --> 00:06:38,522 +Ich habe an einem Video über Matrixexponenten gearbeitet, 113 -00:06:29,060 --> 00:06:31,335 -Ehrlich gesagt habe ich diesen Trick häufig verwendet, +00:06:38,522 --> 00:06:41,067 +in dem Eigenwerte häufig vorkommen, und mir ist klar geworden, 114 -00:06:31,335 --> 00:06:34,561 -wenn ich kurze Notizen zur linearen Algebra skizziere und kleine Matrizen als +00:06:41,067 --> 00:06:43,975 +dass es sehr praktisch ist, wenn die Schüler die Eigenwerte von kleinen 115 -00:06:34,561 --> 00:06:35,720 -Beispiele verwenden möchte. +00:06:43,975 --> 00:06:46,479 +Beispielen ablesen können, ohne den roten Faden zu verlieren, 116 -00:06:36,180 --> 00:06:38,406 -Ich habe an einem Video über Matrixexponenten gearbeitet, +00:06:46,479 --> 00:06:48,620 +weil sie sich in einer anderen Berechnung verzetteln. 117 -00:06:38,406 --> 00:06:40,864 -in dem Eigenwerte häufig auftauchen, und mir ist klar geworden, +00:06:49,740 --> 00:06:53,480 +Ein weiteres unterhaltsames Beispiel sind die drei verschiedenen Matrizen, 118 -00:06:40,864 --> 00:06:43,782 -dass es einfach sehr praktisch ist, wenn Schüler die Eigenwerte aus kleinen +00:06:53,480 --> 00:06:57,520 +die in der Quantenmechanik häufig vorkommen, die sogenannten Pauli-Spin-Matrizen. 119 -00:06:43,782 --> 00:06:46,508 -Beispielen herauslesen können, ohne den Hauptgedankenweg zu verlieren, +00:06:58,600 --> 00:07:00,777 +Wenn du dich mit Quantenmechanik auskennst, weißt du, 120 -00:06:46,508 --> 00:06:48,620 -indem sie sich in einem anderen verzetteln Berechnung. +00:07:00,777 --> 00:07:03,599 +dass die Eigenwerte von Matrizen für die Physik, die sie beschreiben, 121 -00:06:49,740 --> 00:06:52,277 -Schauen Sie sich als weiteres unterhaltsames Beispiel diesen +00:07:03,599 --> 00:07:06,704 +von großer Bedeutung sind. Wenn du dich nicht mit Quantenmechanik auskennst, 122 -00:06:52,277 --> 00:06:55,814 -Satz aus drei verschiedenen Matrizen an, der in der Quantenmechanik häufig vorkommt. +00:07:06,704 --> 00:07:09,768 +soll dies nur ein kleiner Einblick sein, wie diese Berechnungen tatsächlich 123 -00:06:55,814 --> 00:06:57,520 -Sie sind als Pauli-Spinmatrizen bekannt. +00:07:09,768 --> 00:07:11,220 +für reale Anwendungen relevant sind. 124 -00:06:58,600 --> 00:07:00,990 -Wenn Sie sich mit der Quantenmechanik auskennen, wissen Sie, +00:07:12,540 --> 00:07:16,087 +Der Mittelwert der Diagonalen ist in allen drei Fällen 0, 125 -00:07:00,990 --> 00:07:04,204 -dass die Eigenwerte von Matrizen für die von ihnen beschriebene Physik von großer +00:07:16,087 --> 00:07:19,940 +also ist auch der Mittelwert der Eigenwerte in allen Fällen 0, 126 -00:07:04,204 --> 00:07:06,987 -Bedeutung sind. Und wenn Sie sich mit Quantenmechanik nicht auskennen, +00:07:19,940 --> 00:07:23,060 +was unsere Formel besonders einfach aussehen lässt. 127 -00:07:06,987 --> 00:07:10,318 -geben Sie mir hier einen kleinen Einblick in die große Bedeutung dieser Berechnungen +00:07:25,380 --> 00:07:28,800 +Was ist mit den Produkten der Eigenwerte, den Determinanten dieser Matrizen? 128 -00:07:10,318 --> 00:07:11,220 -für reale Anwendungen. +00:07:29,700 --> 00:07:33,400 +Bei der ersten ist es 0 - 1 oder -1. 129 -00:07:12,540 --> 00:07:16,415 -Der Mittelwert der diagonalen Einträge ist in allen drei Fällen Null. +00:07:33,400 --> 00:07:36,034 +Die zweite sieht auch wie 0 - 1 aus, aber es dauert einen Moment länger, 130 -00:07:16,415 --> 00:07:20,070 -Der Mittelwert der Eigenwerte ist also in all diesen Fällen Null, +00:07:36,034 --> 00:07:38,200 +um sie zu erkennen, weil es sich um komplexe Zahlen handelt. 131 -00:07:20,070 --> 00:07:23,060 -was unsere Formel besonders einfach erscheinen lässt. +00:07:38,840 --> 00:07:41,360 +Und das Ergebnis sieht aus wie -1 - 0. 132 -00:07:25,380 --> 00:07:28,800 -Was ist mit den Produkten der Eigenwerte, den Determinanten dieser Matrizen? +00:07:42,060 --> 00:07:45,920 +In allen Fällen vereinfachen sich die Eigenwerte also auf ±1. 133 -00:07:29,700 --> 00:07:32,560 -Für die erste ist es 0 minus 1 oder minus 1. +00:07:46,720 --> 00:07:49,775 +Aber in diesem Fall brauchst du die Formel nicht, um zwei Werte zu finden, 134 -00:07:33,200 --> 00:07:35,624 -Das zweite sieht ebenfalls aus wie 0 minus 1, aber aufgrund der +00:07:49,775 --> 00:07:53,280 +wenn du weißt, dass sie gleichmäßig um 0 herum angeordnet sind und ihr Produkt -1 ist. 135 -00:07:35,624 --> 00:07:38,200 -komplexen Zahlen dauert es einen Moment länger, bis man es erkennt. +00:07:54,640 --> 00:07:58,937 +Wenn du neugierig bist: Im Kontext der Quantenmechanik beschreiben diese Matrizen 136 -00:07:38,840 --> 00:07:41,360 -Und das letzte sieht aus wie minus 1 minus 0. +00:07:58,937 --> 00:08:02,030 +Beobachtungen, die du über den Spin eines Teilchens in x-, 137 -00:07:42,060 --> 00:07:45,920 -In allen Fällen betragen die Eigenwerte also vereinfacht plus und minus 1. +00:08:02,030 --> 00:08:03,760 +y- oder z-Richtung machen kannst. 138 -00:07:46,720 --> 00:07:50,018 -Allerdings benötigen Sie in diesem Fall wirklich keine Formel, um zwei Werte zu finden, +00:08:03,760 --> 00:08:07,390 +Die Tatsache, dass ihre Eigenwerte ±1 sind, entspricht der Vorstellung, 139 -00:07:50,018 --> 00:07:53,280 -wenn Sie wissen, dass sie gleichmäßig um 0 herum liegen und ihr Produkt negativ 1 ist. +00:08:07,390 --> 00:08:10,213 +dass die Werte für den Spin, die du beobachten würdest, 140 -00:07:54,640 --> 00:07:57,400 -Wenn Sie neugierig sind: Im Kontext der Quantenmechanik +00:08:10,213 --> 00:08:14,045 +entweder ganz in der einen oder ganz in der anderen Richtung liegen würden, 141 -00:07:57,400 --> 00:08:00,604 -beschreiben diese Matrizen Beobachtungen, die Sie möglicherweise +00:08:14,045 --> 00:08:17,020 +im Gegensatz zu etwas, das kontinuierlich dazwischen liegt. 142 -00:08:00,604 --> 00:08:03,760 -über den Spin eines Teilchens in x-, y- oder z-Richtung machen. +00:08:18,320 --> 00:08:21,987 +Vielleicht fragst du dich, wie genau das funktioniert oder warum man 2x2 Matrizen 143 -00:08:03,760 --> 00:08:06,473 -Und die Tatsache, dass ihre Eigenwerte plus und minus 1 sind, +00:08:21,987 --> 00:08:25,520 +mit komplexen Zahlen verwendet, um den Spin in drei Dimensionen zu beschreiben. 144 -00:08:06,473 --> 00:08:10,149 -entspricht der Vorstellung, dass die Werte für den Spin, die Sie beobachten würden, +00:08:26,100 --> 00:08:28,033 +Und das sind berechtigte Fragen, die den Rahmen dessen, 145 -00:08:10,149 --> 00:08:13,606 -entweder vollständig in eine Richtung oder vollständig in eine andere Richtung +00:08:28,033 --> 00:08:29,760 +worüber ich hier sprechen möchte, sprengen würden. 146 -00:08:13,606 --> 00:08:17,020 -verlaufen würden, im Gegensatz zu etwas, das kontinuierlich dazwischen liegt. +00:08:30,480 --> 00:08:33,008 +Weißt du, es ist witzig, ich habe diesen Abschnitt geschrieben, 147 -00:08:18,320 --> 00:08:21,986 -Vielleicht fragen Sie sich, wie das genau funktioniert oder warum Sie 2x2-Matrizen +00:08:33,008 --> 00:08:35,497 +weil ich einen Fall haben wollte, in dem du 2x2-Matrizen hast, 148 -00:08:21,986 --> 00:08:25,520 -mit komplexen Zahlen verwenden, um den Spin in drei Dimensionen zu beschreiben. +00:08:35,497 --> 00:08:37,709 +die nicht nur ein Spielzeug oder eine Hausaufgabe sind, 149 -00:08:26,100 --> 00:08:28,677 -Und das wären berechtigte Fragen, die knapp außerhalb des Rahmens dessen liegen, +00:08:37,709 --> 00:08:40,198 +sondern tatsächlich in der Praxis vorkommen, und dafür ist die 150 -00:08:28,677 --> 00:08:29,760 -worüber ich hier sprechen möchte. +00:08:40,198 --> 00:08:41,700 +Quantenmechanik hervorragend geeignet. 151 -00:08:30,480 --> 00:08:32,956 -Wissen Sie, es ist lustig, ich habe diesen Abschnitt geschrieben, +00:08:41,700 --> 00:08:44,200 +Aber nachdem ich es gemacht habe, habe ich gemerkt, 152 -00:08:32,956 --> 00:08:35,320 -weil ich einen Fall haben wollte, in dem es 2x2-Matrizen gibt, +00:08:44,200 --> 00:08:48,240 +dass das ganze Beispiel den Punkt, den ich zu machen versuche, irgendwie untergräbt. 153 -00:08:35,320 --> 00:08:38,060 -die nicht nur Spielzeugbeispiele oder Hausaufgaben sind, sondern solche, +00:08:48,740 --> 00:08:53,268 +Wenn du für diese speziellen Matrizen die traditionelle Methode mit charakteristischen 154 -00:08:38,060 --> 00:08:40,011 -bei denen sie tatsächlich in der Praxis auftauchen, +00:08:53,268 --> 00:08:57,640 +Polynomen verwendest, ist sie im Grunde genauso schnell, vielleicht sogar schneller. 155 -00:08:40,011 --> 00:08:41,700 -und die Quantenmechanik ist dafür großartig. +00:08:58,240 --> 00:09:01,851 +Ich meine, schau dir die erste an: Die entsprechende Determinante 156 -00:08:41,700 --> 00:08:44,672 -Aber die Sache ist die: Nachdem ich es gemacht hatte, wurde mir klar, +00:09:01,851 --> 00:09:05,409 +gibt dir direkt ein charakteristisches Polynom von lambda^2 - 1, 157 -00:08:44,672 --> 00:08:48,240 -dass das ganze Beispiel den Punkt, den ich ansprechen wollte, irgendwie untergräbt. +00:09:05,409 --> 00:09:08,200 +und das hat eindeutig Wurzeln von plus und minus 1. 158 -00:08:48,740 --> 00:08:53,217 -Für diese speziellen Matrizen ist die herkömmliche Methode mit charakteristischen +00:09:08,840 --> 00:09:11,760 +Die gleiche Antwort erhältst du, wenn du die zweite Matrix, lambda^2 - 1, verwendest. 159 -00:08:53,217 --> 00:08:57,640 -Polynomen im Wesentlichen genauso schnell. Es könnte tatsächlich schneller sein. +00:09:13,880 --> 00:09:18,007 +Und was die letzte Matrix angeht, vergiss die traditionellen Berechnungen. 160 -00:08:58,240 --> 00:09:01,576 -Ich meine, schauen Sie sich das erste an. Die relevante Determinante +00:09:18,007 --> 00:09:22,740 +Sie ist bereits eine Diagonalmatrix, also sind die diagonalen Einträge die Eigenwerte! 161 -00:09:01,576 --> 00:09:05,299 -liefert direkt ein charakteristisches Polynom vom Lambda-Quadrat minus eins, +00:09:24,300 --> 00:09:26,920 +Das Beispiel ist jedoch nicht völlig verloren. 162 -00:09:05,299 --> 00:09:08,200 -und das hat offensichtlich Wurzeln von plus und minus eins. +00:09:27,380 --> 00:09:31,027 +Der eigentliche Geschwindigkeitsvorteil ergibt sich in dem allgemeineren Fall, 163 -00:09:08,840 --> 00:09:11,760 -Dieselbe Antwort, wenn Sie die zweite Matrix erstellen, Lambda-Quadrat minus eins. +00:09:31,027 --> 00:09:34,767 +in dem du eine Linearkombination dieser drei Matrizen nimmst und dann versuchst, 164 -00:09:13,880 --> 00:09:17,338 -Und was die letzte Matrix betrifft, vergessen Sie jegliche Berechnungen, +00:09:34,767 --> 00:09:36,060 +die Eigenwerte zu berechnen. 165 -00:09:17,338 --> 00:09:20,418 -ob traditionell oder nicht, sie ist bereits eine Diagonalmatrix, +00:09:36,820 --> 00:09:39,680 +Du könntest das so schreiben: a mal das erste, 166 -00:09:20,418 --> 00:09:22,740 -also sind diese Diagonaleinträge die Eigenwerte. +00:09:39,680 --> 00:09:42,420 +plus b mal das zweite, plus c mal das dritte. 167 -00:09:24,300 --> 00:09:26,920 -Allerdings geht das Beispiel für unsere Sache nicht völlig verloren. +00:09:43,020 --> 00:09:46,352 +In der Quantenmechanik würde dies Spin-Beobachtungen in einer allgemeinen 168 -00:09:27,380 --> 00:09:30,795 -Sie werden die Beschleunigung tatsächlich im allgemeineren Fall spüren, +00:09:46,352 --> 00:09:49,280 +Richtung eines Vektors mit den Koordinaten [a, b, c] beschreiben. 169 -00:09:30,795 --> 00:09:34,684 -wenn Sie eine lineare Kombination dieser drei Matrizen nehmen und dann versuchen, +00:09:50,900 --> 00:09:56,080 +Genauer gesagt solltest du davon ausgehen, dass dieser Vektor normalisiert ist, 170 -00:09:34,684 --> 00:09:36,060 -die Eigenwerte zu berechnen. +00:09:56,080 --> 00:09:57,700 +also a^2 + b^2 + c^2 = 1. 171 -00:09:36,820 --> 00:09:39,679 -Sie könnten dies schreiben als a mal das erste, +00:09:58,600 --> 00:10:02,137 +Wenn du dir diese neue Matrix ansiehst, siehst du sofort, 172 -00:09:39,679 --> 00:09:42,420 -plus b mal das zweite, plus c mal das dritte. +00:10:02,137 --> 00:10:05,552 +dass der Mittelwert der Eigenwerte immer noch Null ist. 173 -00:09:43,020 --> 00:09:46,355 -In der Quantenmechanik würde dies Spinbeobachtungen in einer allgemeinen +00:10:05,552 --> 00:10:09,089 +Du könntest auch kurz innehalten, um dir zu vergewissern, 174 -00:09:46,355 --> 00:09:49,280 -Richtung eines Vektors mit den Koordinaten a, b, c beschreiben. +00:10:09,089 --> 00:10:14,029 +dass das Produkt dieser Eigenwerte immer noch -1 ist, und dann daraus schließen, 175 -00:09:50,900 --> 00:09:53,595 -Genauer gesagt sollten Sie davon ausgehen, dass dieser Vektor normalisiert ist, +00:10:14,029 --> 00:10:15,920 +was die Eigenwerte sein müssen. 176 -00:09:53,595 --> 00:09:56,560 -was bedeutet, dass a zum Quadrat plus b zum Quadrat plus c zum Quadrat gleich eins ist. +00:10:17,220 --> 00:10:20,377 +Und dieses Mal wäre der charakteristische Polynom-Ansatz im Vergleich 177 -00:09:56,560 --> 00:10:00,118 -Wenn Sie sich diese neue Matrix ansehen, sehen Sie sofort, +00:10:20,377 --> 00:10:23,580 +dazu viel umständlicher und definitiv schwieriger im Kopf zu erledigen. 178 -00:10:00,118 --> 00:10:03,496 -dass der Mittelwert der Eigenwerte immer noch Null ist, +00:10:25,080 --> 00:10:27,919 +Um das klarzustellen: Die Formel für das mittlere Produkt unterscheidet 179 -00:10:03,496 --> 00:10:08,080 -und Sie können auch gerne einen kurzen Moment innehalten, um zu bestätigen, +00:10:27,919 --> 00:10:31,350 +sich nicht grundlegend von der Suche nach den Wurzeln des charakteristischen Polynoms; 180 -00:10:08,080 --> 00:10:11,941 -dass das Produkt dieser Eigenwerte immer noch negativ Eins ist. +00:10:31,350 --> 00:10:33,440 +das kann nicht sein, denn sie lösen dasselbe Problem. 181 -00:10:11,941 --> 00:10:15,500 -Und dann daraus schließen, was die Eigenwerte sein müssen. +00:10:34,160 --> 00:10:36,205 +Eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist, dass die 182 -00:10:15,500 --> 00:10:19,510 -Und dieses Mal wäre der charakteristische Polynomansatz im Vergleich +00:10:36,205 --> 00:10:38,856 +Mittelwert-Produkt-Formel ein guter Weg ist, um quadratische Aufgaben 183 -00:10:19,510 --> 00:10:23,580 -dazu viel umständlicher und definitiv schwieriger im Kopf umzusetzen. +00:10:38,856 --> 00:10:41,660 +zu lösen (und einige Zuschauer des Kanals werden das vielleicht erkennen). 184 -00:10:25,080 --> 00:10:27,652 -Um es klarzustellen: Die Verwendung der Mittelwertproduktformel +00:10:42,540 --> 00:10:45,440 +So sieht es aus: Wenn du versuchst, die Wurzeln einer Quadratwurzel 185 -00:10:27,652 --> 00:10:30,907 -unterscheidet sich nicht vom Finden von Wurzeln des charakteristischen Polynoms. +00:10:45,440 --> 00:10:48,426 +anhand ihrer Koeffizienten zu finden, ist das eine weitere Situation, 186 -00:10:30,907 --> 00:10:33,440 -Ich meine, das kann nicht sein, sie lösen das gleiche Problem. +00:10:48,426 --> 00:10:51,199 +in der du die Summe von zwei Werten kennst und auch ihr Produkt, 187 -00:10:34,160 --> 00:10:36,211 -Eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, besteht tatsächlich darin, +00:10:51,199 --> 00:10:54,100 +aber du versuchst, die ursprünglichen zwei Werte wiederherzustellen. 188 -00:10:36,211 --> 00:10:38,017 -dass die mittlere Produktformel eine gute Möglichkeit ist, +00:10:55,560 --> 00:10:59,994 +Wenn das Polynom so normalisiert wird, dass der führende Koeffizient 1 ist, 189 -00:10:38,017 --> 00:10:39,547 -quadratische Gleichungen im Allgemeinen zu lösen, +00:10:59,994 --> 00:11:04,370 +ist der Mittelwert der Wurzeln das -½-fache dieses linearen Koeffizienten, 190 -00:10:39,547 --> 00:10:41,660 -und einige Zuschauer des Kanals werden dies möglicherweise erkennen. +00:11:04,370 --> 00:11:06,880 +also das -1-fache der Summe dieser Wurzeln. 191 -00:10:42,540 --> 00:10:45,873 -Denk darüber nach. Wenn Sie versuchen, die Wurzeln eines Quadrats anhand der +00:11:08,020 --> 00:11:10,180 +Für das Beispiel auf dem Bildschirm ergibt das den Mittelwert 5. 192 -00:10:45,873 --> 00:10:48,341 -Koeffizienten zu finden, ist das eine weitere Situation, +00:11:11,980 --> 00:11:14,168 +Und das Produkt der Wurzeln ist sogar noch einfacher, 193 -00:10:48,341 --> 00:10:51,848 -in der Sie die Summe zweier Werte und auch deren Produkt kennen, aber versuchen, +00:11:14,168 --> 00:11:16,520 +es ist nur der konstante Begriff, keine Anpassungen nötig. 194 -00:10:51,848 --> 00:10:54,100 -die beiden ursprünglichen Werte wiederherzustellen. +00:11:17,340 --> 00:11:19,120 +Von dort aus wendest du also die Formel für das 195 -00:10:55,560 --> 00:10:57,905 -Wenn das Polynom insbesondere so normalisiert wird, +00:11:19,120 --> 00:11:20,900 +mittlere Produkt an und erhältst so die Wurzeln. 196 -00:10:57,905 --> 00:11:01,468 -dass dieser führende Koeffizient Eins ist, dann ist der Mittelwert der Wurzeln +00:11:25,140 --> 00:11:27,798 +Einerseits kannst du dir das als eine leichtere Version 197 -00:11:01,468 --> 00:11:04,038 -negativ und halb so groß wie dieser lineare Koeffizient, +00:11:27,798 --> 00:11:30,220 +der traditionellen quadratischen Formel vorstellen. 198 -00:11:04,038 --> 00:11:06,880 -der wiederum negativ ist und die Summe dieser Wurzeln beträgt. +00:11:30,960 --> 00:11:33,850 +Aber der eigentliche Vorteil ist, dass man sich weniger Symbole merken muss, 199 -00:11:08,020 --> 00:11:10,180 -Für das Beispiel auf dem Bildschirm ergibt das einen Mittelwert von fünf. +00:11:33,850 --> 00:11:36,440 +sondern dass jedes einzelne von ihnen mehr Bedeutung mit sich bringt. 200 -00:11:11,980 --> 00:11:13,811 -Und das Produkt der Wurzeln ist noch einfacher, +00:11:36,940 --> 00:11:39,661 +Der Sinn dieses Eigenwerttricks besteht darin, 201 -00:11:13,811 --> 00:11:16,520 -es ist nur der konstante Term, es sind keine Anpassungen erforderlich. +00:11:39,661 --> 00:11:44,120 +dass du den Mittelwert und das Produkt direkt aus der Matrix ablesen kannst, 202 -00:11:17,340 --> 00:11:22,942 -Von dort aus würden Sie also die mittlere Produktformel anwenden, +00:11:44,120 --> 00:11:48,000 +ohne den Zwischenschritt des charakteristischen Polynoms zu machen. 203 -00:11:22,942 --> 00:11:25,320 -und das ergibt die Wurzeln. +00:11:48,420 --> 00:11:50,847 +Du kannst direkt mit dem Aufschreiben der Wurzeln beginnen, 204 -00:11:25,320 --> 00:11:27,641 -Und einerseits könnte man sich das als eine leichtere +00:11:50,847 --> 00:11:53,640 +ohne dir vorher Gedanken darüber zu machen, wie das Polynom aussieht. 205 -00:11:27,641 --> 00:11:30,220 -Version der traditionellen quadratischen Formel vorstellen. +00:11:53,840 --> 00:11:56,856 +Aber dafür brauchen wir eine Version der quadratischen Formel, 206 -00:11:30,960 --> 00:11:32,948 -Der eigentliche Vorteil besteht jedoch nicht nur darin, +00:11:56,856 --> 00:11:58,820 +in der die Begriffe eine Bedeutung haben. 207 -00:11:32,948 --> 00:11:35,186 -dass man sich weniger Symbole merken muss, sondern auch darin, +00:12:00,380 --> 00:12:03,755 +Mir ist klar, dass dies ein sehr spezieller Trick für ein sehr spezielles Publikum ist, 208 -00:11:35,186 --> 00:11:37,140 -dass jedes einzelne Symbol eine größere Bedeutung hat. +00:12:03,755 --> 00:12:06,133 +aber ich wünschte, ich hätte ihn schon in der Schule gekannt. 209 -00:11:37,380 --> 00:11:39,973 -Ich meine, der springende Punkt bei diesem Eigenwerttrick ist, +00:12:06,133 --> 00:12:08,434 +Wenn du also Schüler kennst, die davon profitieren könnten, 210 -00:11:39,973 --> 00:11:43,389 -dass Sie den Zwischenschritt der Einrichtung des charakteristischen Polynoms nicht +00:12:08,434 --> 00:12:09,700 +solltest du ihn mit ihnen teilen. 211 -00:11:43,389 --> 00:11:46,888 -durchlaufen müssen, da Sie den Mittelwert und das Produkt direkt aus der Betrachtung +00:12:10,280 --> 00:12:12,560 +Die Hoffnung ist, dass es nicht nur eine weitere Sache ist, 212 -00:11:46,888 --> 00:11:48,000 -der Matrix ablesen können. +00:12:12,560 --> 00:12:15,715 +die man auswendig lernen muss, sondern dass der Rahmen einige andere schöne Fakten 213 -00:11:48,420 --> 00:11:50,869 -Sie können direkt mit dem Aufschreiben der Wurzeln beginnen, +00:12:15,715 --> 00:12:18,793 +verstärkt, die man wissen sollte, z.B. wie die Spur und die Determinante mit den 214 -00:11:50,869 --> 00:11:53,640 -ohne jemals explizit darüber nachzudenken, wie das Polynom aussieht. +00:12:18,793 --> 00:12:19,820 +Eigenwerten zusammenhängen. 215 -00:11:53,840 --> 00:11:56,440 -Dazu benötigen wir jedoch eine Version der quadratischen Formel, +00:12:20,560 --> 00:12:23,634 +Wenn du diese Fakten beweisen willst, nimm dir übrigens einen Moment Zeit, 216 -00:11:56,440 --> 00:11:58,560 -bei der die Begriffe eine bestimmte Bedeutung haben. +00:12:23,634 --> 00:12:26,668 +um das charakteristische Polynom für eine allgemeine Matrix zu erweitern, 217 -00:11:58,560 --> 00:12:02,434 -Mir ist klar, dass dies ein sehr spezieller Trick für ein ganz bestimmtes Publikum ist, +00:12:26,668 --> 00:12:29,620 +und denke gründlich über die Bedeutung der einzelnen Koeffizienten nach. 218 -00:12:02,434 --> 00:12:05,869 -aber ich wünschte, ich wüsste das im College. Wenn Sie also Studenten kennen, +00:12:32,400 --> 00:12:34,246 +Vielen Dank an Tim, dass er dafür gesorgt hat, 219 -00:12:05,869 --> 00:12:09,700 -die davon profitieren könnten, sollten Sie darüber nachdenken, es mit ihnen zu teilen. +00:12:34,246 --> 00:12:37,114 +dass diese fiese Produktformel für mindestens ein paar Monate in unseren 220 -00:12:10,280 --> 00:12:13,243 -Die Hoffnung besteht darin, dass es sich nicht nur um eine weitere Sache handelt, +00:12:37,114 --> 00:12:37,940 +Köpfen hängen bleibt. 221 -00:12:13,243 --> 00:12:16,423 -die Sie sich merken, sondern dass die Rahmung einige andere nette Fakten unterstreicht, - -222 -00:12:16,423 --> 00:12:19,241 -die es zu wissen gilt, etwa wie die Spur und die Determinante mit Eigenwerten - -223 -00:12:19,241 --> 00:12:19,820 -zusammenhängen. - -224 -00:12:20,560 --> 00:12:23,790 -Wenn Sie diese Tatsachen übrigens beweisen möchten, nehmen Sie sich einen Moment Zeit, - -225 -00:12:23,790 --> 00:12:26,575 -um das charakteristische Polynom für eine allgemeine Matrix zu entwickeln, - -226 -00:12:26,575 --> 00:12:29,620 -und denken Sie dann gründlich über die Bedeutung jedes dieser Koeffizienten nach. - -227 -00:12:32,400 --> 00:12:35,386 -Vielen Dank an Tim, der dafür gesorgt hat, dass diese gemeine Produktformel - -228 -00:12:35,386 --> 00:12:37,940 -mindestens ein paar Monate lang in unseren Köpfen hängen bleibt. - -229 00:12:41,700 --> 00:12:46,000 -Wenn Sie nichts über die Alcappella-Wissenschaft wissen, schauen Sie sich das bitte an. +Wenn du acapellascience noch nicht kennst, solltest du es dir unbedingt ansehen. -230 +222 00:12:46,280 --> 00:12:49,580 -Insbesondere Ihre molekulare Form ist eines der großartigsten Dinge im Internet. +Vor allem "The Molecular Shape of You" ist eine der besten Sachen im Internet. diff --git a/2021/quick-eigen/hebrew/auto_generated.srt b/2021/quick-eigen/hebrew/auto_generated.srt index c22c5136c..d713ab1b2 100644 --- a/2021/quick-eigen/hebrew/auto_generated.srt +++ b/2021/quick-eigen/hebrew/auto_generated.srt @@ -7,47 +7,47 @@ ועשוי ליהנות מדרך מהירה לחשב אותם במקרה של מטריצות 2x2. 3 -00:00:08,580 --> 00:00:12,880 +00:00:08,580 --> 00:00:13,700 אם אינך מכיר ערכים עצמיים, עיין בסרטון זה המציג אותם. 4 -00:00:12,880 --> 00:00:16,756 +00:00:14,680 --> 00:00:17,821 אתה יכול לדלג קדימה אם אתה רק רוצה לראות את הטריק, 5 -00:00:16,756 --> 00:00:22,380 +00:00:17,821 --> 00:00:22,380 אבל אם אפשר אני רוצה שתגלה אותו מחדש בעצמך, אז בשביל זה בוא נניח קצת רקע. 6 -00:00:23,260 --> 00:00:27,840 +00:00:23,260 --> 00:00:28,257 כתזכורת מהירה, אם ההשפעה של טרנספורמציה ליניארית על וקטור נתון היא לשנות את קנה המידה 7 -00:00:27,840 --> 00:00:31,834 +00:00:28,257 --> 00:00:32,615 שלו לפי קבוע כלשהו, אנו קוראים לזה "וקטור עצמי" של הטרנספורמציה, 8 -00:00:31,834 --> 00:00:35,455 +00:00:32,615 --> 00:00:36,566 ואנו קוראים לגורם קנה המידה הרלוונטי "הערך העצמי" המקביל, 9 -00:00:35,455 --> 00:00:37,320 +00:00:36,566 --> 00:00:38,600 המסומן לעתים קרובות עם האות למבדה. 10 -00:00:37,320 --> 00:00:43,838 +00:00:39,840 --> 00:00:45,756 כשאתה כותב את זה כמשוואה ואתה מסדר קצת מחדש, מה שאתה רואה הוא שאם 11 -00:00:43,838 --> 00:00:50,554 +00:00:45,756 --> 00:00:51,851 המספר למבדה הוא ערך עצמי של מטריצה A, אז המטריצה (A פחות למבדה כפול 12 -00:00:50,554 --> 00:00:58,258 +00:00:51,851 --> 00:00:58,843 הזהות) חייבת לשלוח איזה וקטור שאינו אפס, כלומר וקטור עצמי המתאים לוקטור האפס, 13 -00:00:58,258 --> 00:01:04,580 +00:00:58,843 --> 00:01:04,580 אשר בתורו אומר שהדטרמיננטה של המטריצה המשתנה הזו חייבת להיות 0. 14 @@ -87,11 +87,11 @@ שבדרך כלל דורשת שלב אחד או שניים נוספים של פישוט. 23 -00:01:47,760 --> 00:01:50,640 +00:01:47,760 --> 00:01:49,500 בכנות, התהליך לא נורא. 24 -00:01:50,640 --> 00:01:54,680 +00:01:49,580 --> 00:01:54,680 אבל לפחות עבור מטריצות 2x2, יש דרך הרבה יותר ישירה להגיע לתשובה הזו. 25 @@ -163,15 +163,15 @@ והיא איך לשחזר שני מספרים כשאתה יודע את הממוצע שלהם ואתה מכיר את המוצר שלהם. 42 -00:03:22,460 --> 00:03:24,700 +00:03:22,460 --> 00:03:23,720 הנה, בואו נתמקד בדוגמה זו. 43 -00:03:24,700 --> 00:03:27,827 +00:03:24,200 --> 00:03:27,521 אתה יודע ששני הערכים מרווחים באופן שווה סביב 7, 44 -00:03:27,827 --> 00:03:32,780 +00:03:27,521 --> 00:03:32,780 כך שהם נראים כמו 7 פלוס מינוס משהו; בואו נקרא לזה משהו "ד" למרחק. 45 @@ -203,39 +203,39 @@ עבור כל ממוצע, m ומכפלה, p, המרחק בריבוע תמיד יהיה m^2 - p. 52 -00:04:17,560 --> 00:04:24,660 +00:04:17,560 --> 00:04:24,940 זה נותן את עובדת המפתח השלישית, שהיא שכאשר לשני מספרים יש ממוצע m ומכפלה p, 53 -00:04:24,660 --> 00:04:31,481 +00:04:24,940 --> 00:04:32,030 אתה יכול לכתוב את שני המספרים האלה כ-m ± sqrt(m^2 - p). אי פעם תשכח מזה, 54 -00:04:31,481 --> 00:04:36,340 +00:04:32,030 --> 00:04:37,080 וזה בעצם רק ניסוח מחדש של נוסחת ההבדל בין הריבועים. 55 -00:04:36,340 --> 00:04:41,220 +00:04:37,860 --> 00:04:41,220 אבל אפילו עדיין זו עובדה שכדאי לשנן כך שתהיה לך אותה בקצה האצבעות. 56 -00:04:41,220 --> 00:04:43,489 +00:04:41,220 --> 00:04:44,158 למעשה, חברי טים מהערוץ acapellascience כתב לנו 57 -00:04:43,489 --> 00:04:46,000 +00:04:44,158 --> 00:04:47,160 ג'ינגל מהיר כדי להפוך אותו לקצת יותר בלתי נשכח. 58 -00:04:46,000 --> 00:04:55,419 +00:04:51,900 --> 00:04:56,012 m פלוס מינוס squaaaare שורש שלי בריבוע מינוס p (פינג!) הרשו לי להראות לכם איך זה עובד, 59 -00:04:55,419 --> 00:04:59,100 +00:04:56,012 --> 00:04:57,620 נניח עבור המטריצה [[3,1], [4,1]]. 60 -00:04:59,100 --> 00:05:01,820 +00:04:58,100 --> 00:05:01,820 אתה מתחיל בלהעלות לראש את הנוסחה, אולי לציין את הכל בראש שלך. 61 @@ -243,63 +243,63 @@ m פלוס מינוס squaaaare שורש שלי בריבוע מינוס p (פי אבל כשאתה כותב את זה, אתה ממלא את הערכים המתאימים של m ו-p תוך כדי. 62 -00:05:12,340 --> 00:05:18,420 +00:05:12,340 --> 00:05:17,740 אז בדוגמה זו, הממוצע של הערכים העצמיים זהה לממוצע של 3 ו-1, שהם 2. 63 -00:05:18,420 --> 00:05:21,980 +00:05:18,300 --> 00:05:22,700 אז הדבר שאתה מתחיל לכתוב הוא 2 ± sqrt(2^2 - …). 64 -00:05:21,980 --> 00:05:28,060 +00:05:23,540 --> 00:05:32,140 אז המכפלה של הערכים העצמיים היא הקובע, שבדוגמה זו הוא 3*1 - 1*4, או -1. 65 -00:05:28,060 --> 00:05:31,700 +00:05:32,380 --> 00:05:34,480 אז זה הדבר האחרון שאתה ממלא. 66 -00:05:31,700 --> 00:05:35,480 +00:05:34,880 --> 00:05:38,760 זה אומר שהערכים העצמיים הם 2±sqrt(5). 67 -00:05:35,480 --> 00:05:39,560 +00:05:40,300 --> 00:05:43,431 אולי תזהו שזו אותה מטריצה שבה השתמשתי בהתחלה, אבל 68 -00:05:39,560 --> 00:05:43,560 +00:05:43,431 --> 00:05:46,500 שימו לב כמה יותר ישיר אנחנו יכולים להגיע לתשובה. 69 -00:05:43,680 --> 00:05:45,580 +00:05:48,140 --> 00:05:49,180 הנה, נסה עוד אחד. 70 -00:05:45,580 --> 00:05:52,060 +00:05:49,440 --> 00:05:54,480 הפעם הממוצע של הערכים העצמיים זהה לממוצע של 2 ו-8, שהוא 5. 71 -00:05:52,060 --> 00:05:58,900 +00:05:55,100 --> 00:05:59,220 אז שוב, אתה מתחיל לכתוב את הנוסחה אבל הפעם כותב 5 במקום m [שיר]. 72 -00:05:58,900 --> 00:06:08,300 +00:06:02,980 --> 00:06:08,300 ואז הקובע הוא 2*8 - 7*1, או 9. 73 -00:06:09,520 --> 00:06:17,600 +00:06:09,520 --> 00:06:18,240 אז בדוגמה זו, הערכים העצמיים נראים כמו 5 ± sqrt(16), מה שמפשט עוד יותר כמו 9 ו-1. 74 -00:06:17,600 --> 00:06:21,220 +00:06:19,420 --> 00:06:21,839 אתה מבין למה אני מתכוון לגבי איך אתה יכול בעצם 75 -00:06:21,220 --> 00:06:25,380 +00:06:21,839 --> 00:06:24,620 להתחיל לרשום את הערכים העצמיים תוך כדי מבטים במטריצה? 76 -00:06:25,380 --> 00:06:28,160 +00:06:25,280 --> 00:06:28,160 זה בדרך כלל רק המעט הקטן ביותר של פישוט בסוף. 77 @@ -355,11 +355,11 @@ m פלוס מינוס squaaaare שורש שלי בריבוע מינוס p (פי מה לגבי מכפלת הערכים העצמיים, הקובעים של המטריצות הללו? 90 -00:07:29,700 --> 00:07:32,560 +00:07:29,700 --> 00:07:33,400 עבור הראשון, זה 0 - 1 או -1. 91 -00:07:33,200 --> 00:07:38,200 +00:07:33,400 --> 00:07:38,200 גם השני נראה כמו 0 - 1, אבל זה לוקח עוד רגע לראות בגלל המספרים המרוכבים. 92 @@ -471,27 +471,27 @@ m פלוס מינוס squaaaare שורש שלי בריבוע מינוס p (פי במכניקת הקוונטים, זה יתאר תצפיות ספין בכיוון כללי של וקטור עם קואורדינטות [a, b, c]. 119 -00:09:50,900 --> 00:09:56,560 +00:09:50,900 --> 00:09:57,700 ליתר דיוק, עליך להניח שהווקטור הזה מנורמל, כלומר a^2 + b^2 + c^2 = 1. 120 -00:09:56,560 --> 00:10:04,625 +00:09:58,600 --> 00:10:05,975 כאשר אתה מסתכל על המטריצה החדשה הזו, זה מיידי לראות שהממוצע של הערכים העצמיים עדיין אפס, 121 -00:10:04,625 --> 00:10:11,603 +00:10:05,975 --> 00:10:12,356 ואולי גם תהנה לעצור לרגע קצר כדי לאשר שהמכפלה של אותם ערכים עצמיים עדיין -1, 122 -00:10:11,603 --> 00:10:15,500 +00:10:12,356 --> 00:10:15,920 ומשם לסיים מה הערכים העצמיים חייבים להיות. 123 -00:10:15,500 --> 00:10:20,997 +00:10:17,220 --> 00:10:21,547 והפעם, הגישה הפולינומית האופיינית תהיה בהשוואה הרבה יותר מסורבלת, 124 -00:10:20,997 --> 00:10:23,580 +00:10:21,547 --> 00:10:23,580 בהחלט קשה יותר לעשות בראש שלך. 125 @@ -539,23 +539,23 @@ m פלוס מינוס squaaaare שורש שלי בריבוע מינוס p (פי והתוצר של השורשים הוא אפילו יותר קל, זה רק המונח הקבוע שאין צורך בהתאמות. 136 -00:11:17,340 --> 00:11:25,320 +00:11:17,340 --> 00:11:20,900 אז משם, היית מיישם את נוסחת המוצר הממוצעת וזה נותן לך את השורשים. 137 -00:11:25,320 --> 00:11:30,220 +00:11:25,140 --> 00:11:30,220 מצד אחד, אתה יכול לחשוב על זה כעל גרסה קלה יותר של הנוסחה הריבועית המסורתית. 138 -00:11:30,960 --> 00:11:37,140 +00:11:30,960 --> 00:11:36,440 אבל היתרון האמיתי הוא שיש פחות סמלים לשנן, זה שלכל אחד מהם יש יותר משמעות. 139 -00:11:37,380 --> 00:11:42,722 +00:11:36,940 --> 00:11:42,503 כל העניין של טריק הערך העצמי הזה הוא שבגלל שאתה יכול לקרוא את הממוצע והמכפל ישירות 140 -00:11:42,722 --> 00:11:48,000 +00:11:42,503 --> 00:11:48,000 מהסתכלות על המטריצה, אתה לא צריך לעבור את שלב הביניים של הגדרת הפולינום האופייני. 141 @@ -563,15 +563,15 @@ m פלוס מינוס squaaaare שורש שלי בריבוע מינוס p (פי אתה יכול לקפוץ ישר לרשום את השורשים מבלי לחשוב באופן מפורש על איך נראה הפולינום. 142 -00:11:53,840 --> 00:11:58,560 +00:11:53,840 --> 00:11:58,820 אבל לשם כך אנו זקוקים לגרסה של הנוסחה הריבועית שבה המונחים נושאים איזושהי משמעות. 143 -00:11:58,560 --> 00:12:04,568 +00:12:00,380 --> 00:12:05,300 אני מבין שזהו טריק מאוד ספציפי, לקהל מאוד ספציפי, אבל זה משהו שהלוואי שידעתי בקולג', 144 -00:12:04,568 --> 00:12:09,700 +00:12:05,300 --> 00:12:09,700 אז אם במקרה אתה מכיר סטודנטים שיכולים להפיק מכך תועלת, שקלו לשתף אותו איתם. 145 diff --git a/2021/quick-eigen/hindi/auto_generated.srt b/2021/quick-eigen/hindi/auto_generated.srt index 46c05241d..5873b013a 100644 --- a/2021/quick-eigen/hindi/auto_generated.srt +++ b/2021/quick-eigen/hindi/auto_generated.srt @@ -11,59 +11,59 @@ eigenvalues और eigenvectors क्या हैं, और जो 2x2 मै मामले में उनकी गणना करने के त्वरित तरीके का आनंद ले सकते हैं। 4 -00:00:08,580 --> 00:00:11,446 +00:00:08,580 --> 00:00:11,993 यदि आप स्वदेशी मूल्यों से अपरिचित हैं, तो आगे बढ़ें और यहां इस वीडियो को देखें, 5 -00:00:11,446 --> 00:00:12,880 +00:00:11,993 --> 00:00:13,700 जो वास्तव में उन्हें पेश करने के लिए है। 6 -00:00:12,880 --> 00:00:16,216 +00:00:14,680 --> 00:00:17,384 यदि आप सिर्फ ट्रिक देखना चाहते हैं तो आप आगे बढ़ सकते हैं, 7 -00:00:16,216 --> 00:00:20,627 +00:00:17,384 --> 00:00:20,959 लेकिन यदि संभव हो तो मैं चाहूंगा कि आप इसे अपने लिए फिर से खोजें।तो उसके लिए, 8 -00:00:20,627 --> 00:00:22,380 +00:00:20,959 --> 00:00:22,380 आइए एक छोटी सी पृष्ठभूमि बताएं। 9 -00:00:23,260 --> 00:00:26,542 +00:00:23,260 --> 00:00:26,841 एक त्वरित अनुस्मारक के रूप में, यदि किसी दिए गए वेक्टर पर एक रैखिक 10 -00:00:26,542 --> 00:00:29,824 +00:00:26,841 --> 00:00:30,422 परिवर्तन का प्रभाव उस वेक्टर को कुछ स्थिरांक द्वारा स्केल करना है, 11 -00:00:29,824 --> 00:00:33,204 +00:00:30,422 --> 00:00:34,110 तो हम इसे परिवर्तन का एक आइजनवेक्टर कहते हैं, और हम संबंधित स्केलिंग 12 -00:00:33,204 --> 00:00:37,320 +00:00:34,110 --> 00:00:38,600 कारक को संबंधित आइगेनवैल्यू कहते हैं, जिसे अक्सर अक्षर से दर्शाया जाता है।लैम्ब्डा. 13 -00:00:37,320 --> 00:00:43,352 +00:00:39,840 --> 00:00:45,314 जब आप इसे एक समीकरण के रूप में लिखते हैं, और आप थोड़ा पुनर्व्यवस्थित करते हैं, 14 -00:00:43,352 --> 00:00:49,842 +00:00:45,314 --> 00:00:51,205 तो आप जो देखते हैं वह यह है कि यदि संख्या लैम्ब्डा मैट्रिक्स ए का एक आइगेनवैल्यू है, 15 -00:00:49,842 --> 00:00:55,646 +00:00:51,205 --> 00:00:56,471 तो मैट्रिक्स ए माइनस लैम्ब्डा बार पहचान को कुछ गैर-शून्य वेक्टर भेजना होगा, 16 -00:00:55,646 --> 00:00:59,463 +00:00:56,471 --> 00:00:59,936 अर्थात् संबंधित eigenvector, शून्य वेक्टर के लिए, 17 -00:00:59,463 --> 00:01:04,580 +00:00:59,936 --> 00:01:04,580 जिसका अर्थ है कि इस संशोधित मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य होना चाहिए। 18 @@ -115,11 +115,11 @@ eigenvalues इस बहुपद की जड़ें हैं। जिसके लिए आमतौर पर सरलीकरण के एक या दो और चरणों की आवश्यकता होती है। 30 -00:01:47,760 --> 00:01:50,640 +00:01:47,760 --> 00:01:49,500 ईमानदारी से कहूँ तो, यह प्रक्रिया भयानक नहीं है। 31 -00:01:50,640 --> 00:01:54,680 +00:01:49,580 --> 00:01:54,680 लेकिन कम से कम 2x2 मैट्रिक्स के लिए, इस उत्तर तक पहुंचने का एक अधिक सीधा तरीका है। 32 @@ -211,15 +211,15 @@ eigenvalues के योग के बराबर है। पुनर्प्राप्त कर सकते हैं जब आप उनका माध्य जानते हैं और आप उनका उत्पाद जानते हैं। 54 -00:03:22,460 --> 00:03:24,700 +00:03:22,460 --> 00:03:23,720 यहां, आइए इस उदाहरण पर ध्यान केंद्रित करें। 55 -00:03:24,700 --> 00:03:28,248 +00:03:24,200 --> 00:03:27,968 आप जानते हैं कि दोनों मान संख्या 7 के चारों ओर समान दूरी पर हैं, 56 -00:03:28,248 --> 00:03:32,780 +00:03:27,968 --> 00:03:32,780 इसलिए वे 7 प्लस या माइनस कुछ की तरह दिखते हैं, आइए दूरी के लिए इसे कुछ डी कहते हैं। 57 @@ -259,39 +259,39 @@ eigenvalues के योग के बराबर है। किसी भी माध्य m और गुणनफल p के लिए, दूरी का वर्ग सदैव m वर्ग शून्य से p होगा। 66 -00:04:17,560 --> 00:04:22,660 +00:04:17,560 --> 00:04:22,861 यह तीसरा मुख्य तथ्य देता है, जो यह है कि जब दो संख्याओं का माध्य m और गुणनफल p होता है, 67 -00:04:22,660 --> 00:04:27,587 +00:04:22,861 --> 00:04:27,982 तो आप उन दो संख्याओं को m जोड़ या m वर्ग के वर्गमूल को घटा p के रूप में लिख सकते हैं। 68 -00:04:27,587 --> 00:04:32,340 +00:04:27,982 --> 00:04:32,922 यदि आप कभी भी इसे भूल जाते हैं तो इसे तुरंत पुनः प्राप्त करना शालीनता से तेज़ है, 69 -00:04:32,340 --> 00:04:36,340 +00:04:32,922 --> 00:04:37,080 और यह मूल रूप से वर्गों के अंतर के फार्मूले का एक पुनर्लेखन मात्र है। 70 -00:04:36,340 --> 00:04:41,220 +00:04:37,860 --> 00:04:41,220 लेकिन फिर भी, यह एक तथ्य है जो याद रखने लायक है इसलिए यह आपकी उंगलियों पर है। 71 -00:04:41,220 --> 00:04:43,528 +00:04:41,220 --> 00:04:44,089 वास्तव में, चैनल ए कैपेला साइंस से मेरे मित्र टिम ने इसे 72 -00:04:43,528 --> 00:04:46,000 +00:04:44,089 --> 00:04:47,160 थोड़ा और यादगार बनाने के लिए हमें एक अच्छा त्वरित जिंगल लिखा। 73 -00:04:46,000 --> 00:04:59,100 +00:04:51,900 --> 00:04:57,620 आइए मैं आपको दिखाता हूं कि यह कैसे काम करता है, मान लीजिए मैट्रिक्स 3, 1, 4, 1 के लिए। 74 -00:04:59,100 --> 00:05:01,820 +00:04:58,100 --> 00:05:01,820 आप सूत्र को ध्यान में रखकर शुरुआत करें, हो सकता है कि यह सब अपने दिमाग में बता दें। 75 @@ -299,67 +299,67 @@ eigenvalues के योग के बराबर है। लेकिन जब आप इसे लिखते हैं, तो आप आगे बढ़ते हुए एम और पी के उचित मान भरते हैं। 76 -00:05:12,340 --> 00:05:18,420 +00:05:12,340 --> 00:05:17,740 तो इस उदाहरण में, eigenvalues का माध्य 3 और 1 के माध्य के समान है, जो कि 2 है। 77 -00:05:18,420 --> 00:05:21,980 +00:05:18,300 --> 00:05:22,700 तो आप जो चीज़ लिखना शुरू करते हैं वह 2 ± sqrt(2^2 - …) है। 78 -00:05:21,980 --> 00:05:28,060 +00:05:23,540 --> 00:05:32,140 फिर eigenvalues का उत्पाद निर्धारक है, जो इस उदाहरण में 3*1 - 1*4, या -1 है। 79 -00:05:28,060 --> 00:05:31,700 +00:05:32,380 --> 00:05:34,480 तो यह अंतिम चीज़ है जिसे आप भरते हैं। 80 -00:05:31,700 --> 00:05:35,480 +00:05:34,880 --> 00:05:38,760 इसका मतलब है कि स्वदेशी मान 2±sqrt(5) हैं। 81 -00:05:35,480 --> 00:05:39,707 +00:05:40,300 --> 00:05:43,543 आप पहचान सकते हैं कि यह वही मैट्रिक्स है जिसका उपयोग मैं शुरुआत में कर रहा था, 82 -00:05:39,707 --> 00:05:43,560 +00:05:43,543 --> 00:05:46,500 लेकिन ध्यान दें कि हम सीधे तौर पर कितना अधिक उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। 83 -00:05:43,680 --> 00:05:45,580 +00:05:48,140 --> 00:05:49,180 यहाँ, एक और प्रयास करें. 84 -00:05:45,580 --> 00:05:52,060 +00:05:49,440 --> 00:05:54,480 इस बार, eigenvalues का माध्य 2 और 8 के माध्य के समान है, जो कि 5 है। 85 -00:05:52,060 --> 00:05:58,900 +00:05:55,100 --> 00:05:59,220 तो फिर, आप सूत्र लिखना शुरू करें लेकिन इस बार m [गीत] के स्थान पर 5 लिखें। 86 -00:05:58,900 --> 00:06:08,300 +00:06:02,980 --> 00:06:08,300 और फिर निर्धारक 2*8 - 7*1, या 9 है। 87 -00:06:09,520 --> 00:06:14,159 +00:06:09,520 --> 00:06:14,527 तो इस उदाहरण में, eigenvalues 5 ± sqrt(16) जैसा दिखता है, 88 -00:06:14,159 --> 00:06:17,600 +00:06:14,527 --> 00:06:18,240 जो 9 और 1 के रूप में और भी सरल हो जाता है। 89 -00:06:17,600 --> 00:06:21,519 +00:06:19,420 --> 00:06:22,039 आप देख रहे हैं कि मेरा मतलब क्या है कि जब आप मैट्रिक्स को देख रहे 90 -00:06:21,519 --> 00:06:25,380 +00:06:22,039 --> 00:06:24,620 हों तो आप मूल रूप से आइगेनवैल्यू को कैसे लिखना शुरू कर सकते हैं? 91 -00:06:25,380 --> 00:06:28,160 +00:06:25,280 --> 00:06:28,160 यह आम तौर पर अंत में सरलीकरण का सबसे छोटा सा हिस्सा है। 92 @@ -435,15 +435,15 @@ eigenvalues के योग के बराबर है। इन आव्यूहों के निर्धारक, eigenvalues के उत्पादों के बारे में क्या? 110 -00:07:29,700 --> 00:07:32,560 +00:07:29,700 --> 00:07:33,400 पहले वाले के लिए, यह 0 शून्य से 1, या नकारात्मक 1 है। 111 -00:07:33,200 --> 00:07:35,936 +00:07:33,400 --> 00:07:36,027 दूसरा भी 0 घटा 1 जैसा दिखता है, लेकिन जटिल संख्याओं 112 -00:07:35,936 --> 00:07:38,200 +00:07:36,027 --> 00:07:38,200 के कारण इसे देखने में एक क्षण अधिक लगता है। 113 @@ -595,35 +595,35 @@ eigenvalues के योग के बराबर है। वेक्टर की सामान्य दिशा में स्पिन अवलोकनों का वर्णन करेगा। 150 -00:09:50,900 --> 00:09:53,876 +00:09:50,900 --> 00:09:54,476 अधिक विशेष रूप से, आपको यह मान लेना चाहिए कि यह वेक्टर सामान्यीकृत है, 151 -00:09:53,876 --> 00:09:56,560 +00:09:54,476 --> 00:09:57,700 जिसका अर्थ है कि एक वर्ग जमा बी वर्ग जमा सी वर्ग एक के बराबर है। 152 -00:09:56,560 --> 00:10:01,524 +00:09:58,600 --> 00:10:03,140 जब आप इस नए मैट्रिक्स को देखते हैं, तो यह तुरंत देखने को मिलता है कि eigenvalues 153 -00:10:01,524 --> 00:10:06,121 +00:10:03,140 --> 00:10:07,344 का माध्य अभी भी शून्य है, और आप यह पुष्टि करने के लिए एक संक्षिप्त क्षण के 154 -00:10:06,121 --> 00:10:11,086 +00:10:07,344 --> 00:10:11,884 लिए रुकने का आनंद भी ले सकते हैं कि उन eigenvalues का उत्पाद अभी भी नकारात्मक है। 155 -00:10:11,086 --> 00:10:15,500 +00:10:11,884 --> 00:10:15,920 और फिर वहां से, यह निष्कर्ष निकाला गया कि स्वदेशी मूल्य क्या होने चाहिए। 156 -00:10:15,500 --> 00:10:20,361 +00:10:17,220 --> 00:10:21,046 और इस बार, विशेषता बहुपद दृष्टिकोण तुलनात्मक रूप से बहुत अधिक बोझिल होगा, 157 -00:10:20,361 --> 00:10:23,580 +00:10:21,046 --> 00:10:23,580 निश्चित रूप से आपके दिमाग में इसे करना कठिन होगा। 158 @@ -683,31 +683,31 @@ eigenvalues के योग के बराबर है। और जड़ों का उत्पाद और भी आसान है, यह केवल स्थिर पद है, किसी समायोजन की आवश्यकता नहीं है। 172 -00:11:17,340 --> 00:11:25,320 +00:11:17,340 --> 00:11:20,900 तो वहां से, आप माध्य उत्पाद फॉर्मूला लागू करेंगे, और इससे आपको जड़ें मिलेंगी। 173 -00:11:25,320 --> 00:11:30,220 +00:11:25,140 --> 00:11:30,220 और एक ओर, आप इसे पारंपरिक द्विघात सूत्र के हल्के वजन वाले संस्करण के रूप में सोच सकते हैं। 174 -00:11:30,960 --> 00:11:34,413 +00:11:30,960 --> 00:11:34,022 लेकिन वास्तविक लाभ सिर्फ यह नहीं है कि इसमें याद रखने के लिए कम प्रतीक हैं, 175 -00:11:34,413 --> 00:11:37,140 +00:11:34,022 --> 00:11:36,440 बल्कि यह है कि उनमें से प्रत्येक अपने साथ अधिक अर्थ रखता है। 176 -00:11:37,380 --> 00:11:40,851 +00:11:36,940 --> 00:11:40,555 मेरा मतलब है, इस eigenvalue ट्रिक का पूरा बिंदु यह है कि क्योंकि आप 177 -00:11:40,851 --> 00:11:43,762 +00:11:40,555 --> 00:11:43,586 मैट्रिक्स को देखकर सीधे माध्य और उत्पाद को पढ़ सकते हैं, 178 -00:11:43,762 --> 00:11:48,000 +00:11:43,586 --> 00:11:48,000 इसलिए आपको विशेषता बहुपद की स्थापना के मध्यवर्ती चरण से गुजरने की आवश्यकता नहीं है। 179 @@ -719,27 +719,27 @@ eigenvalues के योग के बराबर है। बिना आप सीधे जड़ों को लिखने के लिए आगे बढ़ सकते हैं। 181 -00:11:53,840 --> 00:11:56,310 +00:11:53,840 --> 00:11:56,446 लेकिन ऐसा करने के लिए, हमें द्विघात सूत्र के एक संस्करण 182 -00:11:56,310 --> 00:11:58,560 +00:11:56,446 --> 00:11:58,820 की आवश्यकता है जहां पद कुछ प्रकार का अर्थ रखते हैं। 183 -00:11:58,560 --> 00:12:02,126 +00:12:00,380 --> 00:12:03,363 मुझे एहसास है कि यह एक बहुत ही विशिष्ट दर्शकों के लिए एक बहुत ही विशिष्ट चाल है, 184 -00:12:02,126 --> 00:12:04,812 +00:12:03,363 --> 00:12:05,610 लेकिन मैं चाहता हूं कि यह कुछ ऐसा है जो मैं कॉलेज में जानता, 185 -00:12:04,812 --> 00:12:07,938 +00:12:05,610 --> 00:12:08,226 इसलिए यदि आप किसी ऐसे छात्र को जानते हैं जो इससे लाभान्वित हो सकता है, 186 -00:12:07,938 --> 00:12:09,700 +00:12:08,226 --> 00:12:09,700 तो इसे उनके साथ साझा करने पर विचार करें। 187 diff --git a/2021/quick-eigen/italian/auto_generated.srt b/2021/quick-eigen/italian/auto_generated.srt index 57d34c257..8b4c57d5c 100644 --- a/2021/quick-eigen/italian/auto_generated.srt +++ b/2021/quick-eigen/italian/auto_generated.srt @@ -7,810 +7,802 @@ Questo è un video per chiunque sappia già cosa sono gli autovalori e gli autov e a chi potrebbe interessare un modo rapido per calcolarli nel caso di matrici 2x2. 3 -00:00:08,580 --> 00:00:10,707 -Se non hai familiarità con gli autovalori, dai +00:00:08,580 --> 00:00:13,643 +Se non hai familiarità con gli autovalori, dai un'occhiata a questo video che li presenta. 4 -00:00:10,707 --> 00:00:12,880 -un'occhiata a questo video che li presenta. +00:00:13,643 --> 00:00:13,700 + 5 -00:00:12,880 --> 00:00:15,758 +00:00:14,680 --> 00:00:17,071 Puoi saltare oltre se vuoi solo vedere il trucco, 6 -00:00:15,758 --> 00:00:19,270 +00:00:17,071 --> 00:00:19,988 ma se possibile mi piacerebbe che tu lo riscoprissi da solo, 7 -00:00:19,270 --> 00:00:22,380 +00:00:19,988 --> 00:00:22,380 quindi per questo tracciamo un po' di background. 8 -00:00:23,260 --> 00:00:26,696 -Come rapido promemoria, se l'effetto di una trasformazione lineare su un +00:00:23,260 --> 00:00:27,107 +Come rapido promemoria, se l'effetto di una trasformazione lineare su un dato 9 -00:00:26,696 --> 00:00:29,241 -dato vettore è di ridimensionarlo di una certa costante, +00:00:27,107 --> 00:00:31,497 +vettore è di ridimensionarlo di una certa costante, lo chiamiamo "autovettore" 10 -00:00:29,241 --> 00:00:32,856 -lo chiamiamo "autovettore" della trasformazione e chiamiamo il fattore +00:00:31,497 --> 00:00:35,492 +della trasformazione e chiamiamo il fattore di scala rilevante il corrispondente 11 -00:00:32,856 --> 00:00:35,579 -di scala rilevante il corrispondente "autovalore", +00:00:35,492 --> 00:00:38,600 +"autovalore", spesso indicato con la lettera lambda. 12 -00:00:35,579 --> 00:00:37,320 -spesso indicato con la lettera lambda. +00:00:39,840 --> 00:00:43,756 +Quando lo scrivi come un'equazione e lo riorganizzi un po', 13 -00:00:37,320 --> 00:00:42,060 -Quando lo scrivi come un'equazione e lo riorganizzi un po', +00:00:43,756 --> 00:00:48,717 +quello che vedi è che se il numero lambda è un autovalore di una matrice A, 14 -00:00:42,060 --> 00:00:47,359 -quello che vedi è che se il numero lambda è un autovalore di una matrice A, +00:00:48,717 --> 00:00:54,592 +allora la matrice (A meno lambda per l'identità) deve inviare un vettore diverso da zero, 15 -00:00:47,359 --> 00:00:52,727 -allora la matrice (A meno lambda per l'identità) deve inviare un vettore +00:00:54,592 --> 00:00:58,509 +vale a dire il corrispondente autovettore, al vettore zero, 16 -00:00:52,727 --> 00:00:58,096 -diverso da zero, vale a dire il corrispondente autovettore, al vettore zero, - -17 -00:00:58,096 --> 00:01:03,534 +00:00:58,509 --> 00:01:03,600 il che a sua volta significa che il determinante di questa matrice modificata -18 -00:01:03,534 --> 00:01:04,580 +17 +00:01:03,600 --> 00:01:04,580 deve essere 0. -19 -00:01:06,120 --> 00:01:08,700 +18 +00:01:06,120 --> 00:01:08,607 Ok, è tutto un po' lungo da dire, ma, ancora una volta, -20 -00:01:08,700 --> 00:01:11,540 +19 +00:01:08,607 --> 00:01:11,540 suppongo che tutto questo sia una recensione per chiunque guardi. -21 +20 00:01:12,820 --> 00:01:16,459 Quindi, il modo usuale per calcolare gli autovalori, come lo facevo io, -22 +21 00:01:16,459 --> 00:01:20,300 e come credo che alla maggior parte degli studenti venga insegnato a farlo, -23 +22 00:01:20,300 --> 00:01:24,495 è sottrarre il valore sconosciuto lambda dalle diagonali e poi risolvere quando il -24 +23 00:01:24,495 --> 00:01:25,860 determinante è uguale a 0. -25 +24 00:01:27,760 --> 00:01:31,987 Fare ciò richiede sempre alcuni passaggi per espandere e semplificare per ottenere un -26 +25 00:01:31,987 --> 00:01:36,410 polinomio quadratico pulito, noto come "polinomio caratteristico" della matrice. -27 +26 00:01:36,410 --> 00:01:36,460 -28 +27 00:01:37,360 --> 00:01:39,900 Gli autovalori sono le radici di questo polinomio. -29 +28 00:01:40,100 --> 00:01:42,749 Quindi per trovarli devi applicare la formula quadratica, -30 +29 00:01:42,749 --> 00:01:46,540 che di per sé richiede in genere uno o due passaggi aggiuntivi di semplificazione. -31 -00:01:47,760 --> 00:01:50,640 +30 +00:01:47,760 --> 00:01:49,500 Onestamente, il processo non è terribile. -32 -00:01:50,640 --> 00:01:52,835 +31 +00:01:49,580 --> 00:01:52,351 Ma almeno per le matrici 2x2 esiste un modo molto -33 -00:01:52,835 --> 00:01:54,680 +32 +00:01:52,351 --> 00:01:54,680 più diretto per ottenere questa risposta. -34 +33 00:01:55,400 --> 00:01:58,894 E se vuoi riscoprire questo trucco, ci sono solo tre fatti rilevanti che devi conoscere, -35 +34 00:01:58,894 --> 00:02:01,525 ognuno dei quali vale la pena conoscere a sé stante e può aiutarti -36 +35 00:02:01,525 --> 00:02:02,900 con altri problemi di risoluzione. -37 +36 00:02:03,820 --> 00:02:08,744 Numero 1: La traccia di una matrice, che è la somma di questi due elementi diagonali, -38 +37 00:02:08,744 --> 00:02:10,919 è uguale alla somma degli autovalori. -39 +38 00:02:11,700 --> 00:02:14,717 Oppure, in un altro modo, più utile per i nostri scopi, -40 +39 00:02:14,717 --> 00:02:19,460 è che la media dei due autovalori è uguale alla media di questi due elementi diagonali. -41 +40 00:02:21,000 --> 00:02:26,122 Numero 2: Il determinante di una matrice, la nostra solita formula ad-bc, -42 +41 00:02:26,122 --> 00:02:28,960 è uguale al prodotto dei due autovalori. -43 +42 00:02:30,060 --> 00:02:33,944 E questo dovrebbe avere senso se si capisce che gli autovalori descrivono quanto -44 +43 00:02:33,944 --> 00:02:37,875 un operatore allunga lo spazio in una particolare direzione e che il determinante -45 +44 00:02:37,875 --> 00:02:41,760 descrive quanto un operatore ridimensiona le aree (o i volumi) nel loro insieme. -46 +45 00:02:42,800 --> 00:02:46,003 Ora, prima di arrivare al terzo fatto, nota come puoi essenzialmente -47 +46 00:02:46,003 --> 00:02:49,160 leggere questi primi due valori dalla matrice senza scrivere molto. -48 +47 00:02:49,760 --> 00:02:51,320 Prendi questa matrice qui come esempio. -49 +48 00:02:51,820 --> 00:02:57,820 Puoi subito sapere che la media degli autovalori è uguale alla media di 8 e 6, che è 7. -50 +49 00:02:59,580 --> 00:03:03,479 Allo stesso modo, la maggior parte degli studenti di algebra lineare sono -51 +50 00:03:03,479 --> 00:03:08,222 abbastanza esperti nel trovare il determinante, che in questo caso risulta essere 48 - 8. -52 +51 00:03:08,222 --> 00:03:11,700 Quindi sai subito che il prodotto dei nostri due autovalori è 40. -53 +52 00:03:12,780 --> 00:03:15,721 Ora prenditi un momento per vedere come puoi ricavare quello che -54 +53 00:03:15,721 --> 00:03:18,663 sarà il nostro terzo fatto rilevante, ovvero come recuperare due -55 +54 00:03:18,663 --> 00:03:21,560 numeri quando conosci la loro media e conosci il loro prodotto. -56 -00:03:22,460 --> 00:03:24,700 +55 +00:03:22,460 --> 00:03:23,720 Ecco, concentriamoci su questo esempio. -57 -00:03:24,700 --> 00:03:28,007 +56 +00:03:24,200 --> 00:03:27,712 Sai che i due valori sono equamente distanziati attorno a 7, -58 -00:03:28,007 --> 00:03:32,780 +57 +00:03:27,712 --> 00:03:32,780 quindi sembrano 7 più o meno qualcosa; chiamiamolo qualcosa "d" per distanza. -59 +58 00:03:33,560 --> 00:03:36,380 Sai anche che il prodotto di questi due numeri è 40. -60 +59 00:03:38,600 --> 00:03:41,734 Ora per trovare d, nota che questo prodotto si espande molto bene, -61 +60 00:03:41,734 --> 00:03:43,700 funziona come una differenza di quadrati. -62 +61 00:03:44,560 --> 00:03:50,210 Quindi da lì puoi trovare direttamente d: d^2 è 7^2 - 40 o 9, -63 +62 00:03:50,210 --> 00:03:53,400 il che significa che d stesso è 3. -64 +63 00:03:56,380 --> 00:04:01,100 In altre parole, i due valori per questo esempio molto specifico risultano essere 4 e 10. -65 +64 00:04:01,680 --> 00:04:04,964 Ma il nostro obiettivo è un trucco veloce e non vorrai pensarci ogni volta, -66 +65 00:04:04,964 --> 00:04:08,120 quindi concludiamo ciò che abbiamo appena fatto in una formula generale. -67 +66 00:04:08,640 --> 00:04:15,680 Per qualsiasi media m e prodotto p, la distanza al quadrato sarà sempre m^2 - p. -68 -00:04:17,560 --> 00:04:22,358 +67 +00:04:17,560 --> 00:04:22,547 Ciò fornisce il terzo fatto chiave, ovvero che quando due numeri hanno una media -69 -00:04:22,358 --> 00:04:27,038 +68 +00:04:22,547 --> 00:04:27,412 m e un prodotto p, puoi scrivere quei due numeri come m ± sqrt(m^2 - p) Questo -70 -00:04:27,038 --> 00:04:31,067 +69 +00:04:27,412 --> 00:04:31,599 è abbastanza veloce da ricalcolare al volo se tu dimenticatelo mai, -71 -00:04:31,067 --> 00:04:36,340 +70 +00:04:31,599 --> 00:04:37,080 ed è essenzialmente solo una riformulazione della formula della differenza dei quadrati. -72 -00:04:36,340 --> 00:04:41,220 +71 +00:04:37,860 --> 00:04:41,220 Ma è comunque un fatto che vale la pena memorizzare per averlo sulla punta delle dita. -73 -00:04:41,220 --> 00:04:43,512 +72 +00:04:41,220 --> 00:04:44,165 Infatti, il mio amico Tim del canale acapellascience ci ha -74 -00:04:43,512 --> 00:04:46,000 +73 +00:04:44,165 --> 00:04:47,160 scritto un breve jingle per renderlo un po' più memorabile. -75 -00:04:46,000 --> 00:04:52,503 +74 +00:04:51,900 --> 00:04:54,739 m più o meno radice squaaaare di me al quadrato meno p (ping!) Lascia -76 -00:04:52,503 --> 00:04:59,100 +75 +00:04:54,739 --> 00:04:57,620 che ti mostri come funziona, ad esempio per la matrice [[3,1], [4,1]]. -77 -00:04:59,100 --> 00:05:01,820 +76 +00:04:58,100 --> 00:05:01,820 Inizi ricordando la formula, magari affermandola tutta nella tua testa. -78 +77 00:05:06,200 --> 00:05:11,620 Ma quando lo scrivi, inserisci i valori appropriati di m e p man mano che procedi. -79 -00:05:12,340 --> 00:05:18,420 +78 +00:05:12,340 --> 00:05:17,740 Quindi in questo esempio la media degli autovalori è uguale alla media di 3 e 1, che è 2. -80 -00:05:18,420 --> 00:05:21,980 +79 +00:05:18,300 --> 00:05:22,700 Quindi la cosa che inizi a scrivere è 2 ± sqrt(2^2 - …). -81 -00:05:21,980 --> 00:05:25,500 +80 +00:05:23,540 --> 00:05:28,518 Quindi il prodotto degli autovalori è il determinante, -82 -00:05:25,500 --> 00:05:28,060 +81 +00:05:28,518 --> 00:05:32,140 che in questo esempio è 3*1 - 1*4 o -1. -83 -00:05:28,060 --> 00:05:31,700 +82 +00:05:32,380 --> 00:05:34,480 Quindi questa è l'ultima cosa da compilare. -84 -00:05:31,700 --> 00:05:35,480 +83 +00:05:34,880 --> 00:05:38,760 Ciò significa che gli autovalori sono 2±sqrt(5). -85 -00:05:35,480 --> 00:05:40,120 +84 +00:05:40,300 --> 00:05:43,787 Potresti riconoscere che questa è la stessa matrice che stavo usando all'inizio, -86 -00:05:40,120 --> 00:05:43,560 +85 +00:05:43,787 --> 00:05:46,500 ma nota quanto più direttamente possiamo ottenere la risposta. -87 -00:05:43,680 --> 00:05:45,580 +86 +00:05:48,140 --> 00:05:49,180 Ecco, provane un altro. -88 -00:05:45,580 --> 00:05:52,060 +87 +00:05:49,440 --> 00:05:54,480 Questa volta la media degli autovalori è uguale alla media di 2 e 8, che è 5. -89 -00:05:52,060 --> 00:05:55,274 +88 +00:05:55,100 --> 00:05:57,036 Quindi, di nuovo, inizi a scrivere la formula, -90 -00:05:55,274 --> 00:05:58,900 +89 +00:05:57,036 --> 00:05:59,220 ma questa volta scrivendo 5 al posto di m [canzone]. -91 -00:05:58,900 --> 00:06:08,300 +90 +00:06:02,980 --> 00:06:08,300 E quindi il determinante è 2*8 - 7*1, ovvero 9. -92 -00:06:09,520 --> 00:06:14,560 +91 +00:06:09,520 --> 00:06:14,960 Quindi in questo esempio gli autovalori appaiono come 5 ± sqrt(16), -93 -00:06:14,560 --> 00:06:17,600 +92 +00:06:14,960 --> 00:06:18,240 che semplifica ulteriormente come 9 e 1. -94 -00:06:17,600 --> 00:06:21,288 +93 +00:06:19,420 --> 00:06:21,885 Capisci cosa intendo quando dico che puoi praticamente -95 -00:06:21,288 --> 00:06:25,380 +94 +00:06:21,885 --> 00:06:24,620 iniziare a scrivere gli autovalori mentre guardi la matrice? -96 -00:06:25,380 --> 00:06:28,160 +95 +00:06:25,280 --> 00:06:28,160 In genere si tratta solo di una piccola semplificazione alla fine. +96 +00:06:29,060 --> 00:06:32,252 +Onestamente, mi sono ritrovato a usare molto questo trucco quando sto abbozzando + 97 -00:06:29,060 --> 00:06:32,486 -Onestamente, mi sono ritrovato a usare molto questo trucco quando sto abbozzando appunti +00:06:32,252 --> 00:06:35,720 +appunti rapidi relativi all'algebra lineare e voglio usare piccole matrici come esempi. 98 -00:06:32,486 --> 00:06:35,720 -rapidi relativi all'algebra lineare e voglio usare piccole matrici come esempi. - -99 00:06:36,180 --> 00:06:38,496 Ho lavorato a un video sugli esponenti delle matrici, -100 +99 00:06:38,496 --> 00:06:41,627 in cui gli autovalori compaiono spesso, e mi sono reso conto che è molto -101 +100 00:06:41,627 --> 00:06:44,802 utile se gli studenti riescono a leggere gli autovalori da piccoli esempi -102 +101 00:06:44,802 --> 00:06:48,620 senza perdere la linea di pensiero principale impantanandosi in un modo diverso calcolo. +102 +00:06:49,740 --> 00:06:53,440 +Come altro esempio divertente, dai un'occhiata a questo insieme di tre diverse matrici, + 103 -00:06:49,740 --> 00:06:52,209 -Come altro esempio divertente, dai un'occhiata a questo +00:06:53,440 --> 00:06:55,543 +che ricorrono spesso nella meccanica quantistica, 104 -00:06:52,209 --> 00:06:55,585 -insieme di tre diverse matrici, che ricorrono spesso nella meccanica quantistica, - -105 -00:06:55,585 --> 00:06:57,520 +00:06:55,543 --> 00:06:57,520 sono conosciute come matrici di spin di Pauli. -106 +105 00:06:58,600 --> 00:07:01,828 Se conosci la meccanica quantistica, saprai che gli autovalori delle matrici -107 +106 00:07:01,828 --> 00:07:03,966 sono molto rilevanti per la fisica che descrivono, -108 +107 00:07:03,966 --> 00:07:07,027 e se non conosci la meccanica quantistica, lascia che questo sia solo un -109 +108 00:07:07,027 --> 00:07:10,633 piccolo assaggio di come questi calcoli siano effettivamente rilevanti per la realtà. -110 +109 00:07:10,633 --> 00:07:11,220 applicazioni. -111 +110 00:07:12,540 --> 00:07:15,896 La media della diagonale in tutti e tre i casi è 0, -112 +111 00:07:15,896 --> 00:07:19,381 quindi la media degli autovalori in tutti i casi è 0, -113 +112 00:07:19,381 --> 00:07:23,060 il che rende la nostra formula particolarmente semplice. -114 +113 00:07:25,380 --> 00:07:28,800 Che dire dei prodotti degli autovalori, i determinanti di queste matrici? -115 -00:07:29,700 --> 00:07:32,560 +114 +00:07:29,700 --> 00:07:33,400 Per il primo è 0 - 1 o -1. -116 -00:07:33,200 --> 00:07:35,798 +115 +00:07:33,400 --> 00:07:35,894 Anche il secondo sembra 0 - 1, ma ci vuole un attimo -117 -00:07:35,798 --> 00:07:38,200 +116 +00:07:35,894 --> 00:07:38,200 in più per vederlo a causa dei numeri complessi. -118 +117 00:07:38,840 --> 00:07:41,360 E l'ultimo sembra -1 - 0. -119 +118 00:07:42,060 --> 00:07:45,920 Quindi in tutti i casi gli autovalori si semplificano in ±1. -120 +119 00:07:46,720 --> 00:07:50,042 Anche se in questo caso non hai davvero bisogno della formula per trovare due -121 +120 00:07:50,042 --> 00:07:53,280 valori se sai che sono equidistanti attorno allo 0 e il loro prodotto è -1. -122 +121 00:07:54,640 --> 00:07:57,697 Se sei curioso, nel contesto della meccanica quantistica, -123 +122 00:07:57,697 --> 00:08:02,389 queste matrici descrivono le osservazioni che potresti fare sullo spin di una particella -124 +123 00:08:02,389 --> 00:08:03,760 nelle direzioni x, y o z. -125 -00:08:03,760 --> 00:08:08,218 +124 +00:08:03,760 --> 00:08:08,140 Il fatto che i loro autovalori siano ±1 corrisponde all'idea che i valori -126 -00:08:08,218 --> 00:08:12,276 +125 +00:08:08,140 --> 00:08:12,343 dello spin che osserveresti sarebbero o interamente in una direzione o -127 -00:08:12,276 --> 00:08:17,020 +126 +00:08:12,343 --> 00:08:17,020 interamente in un'altra, invece di qualcosa che varia continuamente nel mezzo. -128 +127 00:08:18,320 --> 00:08:22,062 Forse ti chiederesti come funziona esattamente o perché dovresti usare matrici -129 +128 00:08:22,062 --> 00:08:25,520 2x2 che hanno numeri complessi per descrivere lo spin in tre dimensioni. -130 +129 00:08:26,100 --> 00:08:27,968 E quelle sarebbero domande giuste, appena fuori -131 +130 00:08:27,968 --> 00:08:29,760 dall’ambito di ciò di cui voglio parlare qui. -132 +131 00:08:30,480 --> 00:08:34,348 Sai, è divertente, ho scritto questa sezione perché volevo alcuni casi in cui hai matrici -133 +132 00:08:34,348 --> 00:08:37,530 2x2 che non siano solo esempi di giocattoli o problemi di compiti a casa, -134 +133 00:08:37,530 --> 00:08:39,636 ma in cui effettivamente emergono nella pratica, -135 +134 00:08:39,636 --> 00:08:41,700 e la meccanica quantistica è ottima per questo. -136 -00:08:41,700 --> 00:08:45,034 +135 +00:08:41,700 --> 00:08:44,947 Ma il fatto è che dopo averlo realizzato mi sono reso conto che l'intero -137 -00:08:45,034 --> 00:08:48,240 +136 +00:08:44,947 --> 00:08:48,240 esempio in un certo senso mina il punto che sto cercando di sottolineare. -138 +137 00:08:48,740 --> 00:08:52,152 Per queste specifiche matrici, quando si utilizza il metodo tradizionale, -139 +138 00:08:52,152 --> 00:08:55,657 quello con i polinomi caratteristici, è sostanzialmente altrettanto veloce; -140 +139 00:08:55,657 --> 00:08:57,640 potrebbe effettivamente essere più veloce. +140 +00:08:58,240 --> 00:09:03,191 +Voglio dire, dai un'occhiata al primo: il determinante rilevante ti dà direttamente un + 141 -00:08:58,240 --> 00:09:03,136 -Voglio dire, dai un'occhiata al primo: il determinante rilevante ti dà direttamente +00:09:03,191 --> 00:09:08,200 +polinomio caratteristico di lambda^2 - 1, e chiaramente, che ha radici di più e meno 1. 142 -00:09:03,136 --> 00:09:08,144 -un polinomio caratteristico di lambda^2 - 1, e chiaramente, che ha radici di più e meno 1. - -143 -00:09:08,144 --> 00:09:08,200 - - -144 00:09:08,840 --> 00:09:11,760 Stessa risposta quando crei la seconda matrice, lambda^2 - 1. -145 -00:09:13,880 --> 00:09:17,844 +143 +00:09:13,880 --> 00:09:17,734 E per quanto riguarda l'ultima matrice, dimentica di fare qualsiasi calcolo, -146 -00:09:17,844 --> 00:09:20,292 +144 +00:09:17,734 --> 00:09:20,237 tradizionale o meno, è già una matrice diagonale, -147 -00:09:20,292 --> 00:09:22,740 +145 +00:09:20,237 --> 00:09:22,740 quindi quelle voci diagonali sono gli autovalori! -148 +146 00:09:24,300 --> 00:09:26,920 Tuttavia l’esempio non è del tutto perduto per la nostra causa. -149 +147 00:09:27,380 --> 00:09:31,793 Il punto in cui sentirai effettivamente la velocità è nel caso più generale in cui prendi -150 +148 00:09:31,793 --> 00:09:36,060 una combinazione lineare di queste tre matrici e poi provi a calcolare gli autovalori. -151 +149 00:09:36,820 --> 00:09:42,420 Potresti scriverlo come a per il primo, più b per il secondo, più c per il terzo. -152 +150 00:09:43,020 --> 00:09:46,035 Nella meccanica quantistica, ciò descriverebbe le osservazioni di -153 +151 00:09:46,035 --> 00:09:49,280 spin in una direzione generale di un vettore con coordinate [a, b, c]. -154 -00:09:50,900 --> 00:09:55,064 +152 +00:09:50,900 --> 00:09:55,903 Più specificamente, dovresti presupporre che questo vettore sia normalizzato, -155 -00:09:55,064 --> 00:09:56,560 +153 +00:09:55,903 --> 00:09:57,700 ovvero a^2 + b^2 + c^2 = 1. -156 -00:09:56,560 --> 00:10:01,094 +154 +00:09:58,600 --> 00:10:02,747 Quando guardi questa nuova matrice, è immediato vedere che la media -157 -00:10:01,094 --> 00:10:05,829 +155 +00:10:02,747 --> 00:10:07,077 degli autovalori è ancora zero, e potresti anche divertirti a fermarti -158 -00:10:05,829 --> 00:10:11,565 +156 +00:10:07,077 --> 00:10:12,321 per un breve momento per confermare che il prodotto di quegli autovalori è ancora -1, -159 -00:10:11,565 --> 00:10:15,500 +157 +00:10:12,321 --> 00:10:15,920 e poi da lì concludere quali devono essere gli autovalori. -160 -00:10:15,500 --> 00:10:19,755 +158 +00:10:17,220 --> 00:10:20,569 E questa volta, il caratteristico approccio polinomiale sarebbe, in confronto, -161 -00:10:19,755 --> 00:10:23,580 +159 +00:10:20,569 --> 00:10:23,580 molto più macchinoso, decisamente più difficile da realizzare a mente. -162 +160 00:10:25,080 --> 00:10:27,567 Per essere chiari, usare la formula del prodotto medio non è -163 +161 00:10:27,567 --> 00:10:30,707 fondamentalmente diverso dal trovare le radici del polinomio caratteristico; -164 +162 00:10:30,707 --> 00:10:33,440 Voglio dire, non può essere, stanno risolvendo lo stesso problema. -165 +163 00:10:34,160 --> 00:10:36,756 Un modo per pensarci, in realtà, è che la formula del prodotto -166 +164 00:10:36,756 --> 00:10:39,269 medio è un buon modo per risolvere la quadratica in generale -167 +165 00:10:39,269 --> 00:10:41,660 (e alcuni spettatori del canale potrebbero riconoscerlo). -168 -00:10:42,540 --> 00:10:46,277 +166 +00:10:42,540 --> 00:10:46,334 Questo a riguardo: quando stai cercando di trovare le radici di una quadratica dati i -169 -00:10:46,277 --> 00:10:50,188 +167 +00:10:46,334 --> 00:10:50,129 suoi coefficienti, questa è un'altra situazione in cui conosci la somma di due valori -170 -00:10:50,188 --> 00:10:54,100 +168 +00:10:50,129 --> 00:10:54,100 e conosci anche il loro prodotto, ma stai cercando di recuperare i due valori originali . -171 +169 00:10:55,560 --> 00:10:59,296 Nello specifico, se il polinomio è normalizzato in modo che questo -172 +170 00:10:59,296 --> 00:11:02,920 coefficiente iniziale sia 1, la media delle radici sarà -½ volte -173 +171 00:11:02,920 --> 00:11:06,880 questo coefficiente lineare, che è -1 volte la somma di quelle radici. -174 +172 00:11:08,020 --> 00:11:10,180 Per l'esempio sullo schermo la media è 5. -175 +173 00:11:11,980 --> 00:11:14,062 E il prodotto delle radici è ancora più semplice, -176 +174 00:11:14,062 --> 00:11:16,520 è solo il termine costante senza bisogno di aggiustamenti. -177 -00:11:17,340 --> 00:11:25,320 +175 +00:11:17,340 --> 00:11:20,900 Quindi da lì applicheresti la formula del prodotto medio e questo ti dà le radici. -178 -00:11:25,320 --> 00:11:27,670 +176 +00:11:25,140 --> 00:11:27,576 Da un lato, potresti considerarla una versione -179 -00:11:27,670 --> 00:11:30,220 +177 +00:11:27,576 --> 00:11:30,220 più leggera della tradizionale formula quadratica. -180 -00:11:30,960 --> 00:11:34,588 +178 +00:11:30,960 --> 00:11:34,177 Ma il vero vantaggio è che ci sono meno simboli da memorizzare, -181 -00:11:34,588 --> 00:11:37,140 +179 +00:11:34,177 --> 00:11:36,440 ognuno di essi porta con sé più significato. -182 -00:11:37,380 --> 00:11:40,024 +180 +00:11:36,940 --> 00:11:39,693 Il punto centrale di questo trucco con gli autovalori è che, -183 -00:11:40,024 --> 00:11:43,405 +181 +00:11:39,693 --> 00:11:43,214 poiché puoi leggere la media e il prodotto direttamente guardando la matrice, -184 -00:11:43,405 --> 00:11:46,872 +182 +00:11:43,214 --> 00:11:46,826 non è necessario passare attraverso il passaggio intermedio di impostazione del -185 -00:11:46,872 --> 00:11:48,000 +183 +00:11:46,826 --> 00:11:48,000 polinomio caratteristico. -186 +184 00:11:48,420 --> 00:11:50,981 Puoi saltare direttamente a scrivere le radici senza -187 +185 00:11:50,981 --> 00:11:53,640 mai pensare esplicitamente a come appare il polinomio. -188 -00:11:53,840 --> 00:11:56,238 +186 +00:11:53,840 --> 00:11:56,370 Ma per fare ciò abbiamo bisogno di una versione della formula -189 -00:11:56,238 --> 00:11:58,560 +187 +00:11:56,370 --> 00:11:58,820 quadratica in cui i termini abbiano un qualche significato. -190 -00:11:58,560 --> 00:12:02,696 +188 +00:12:00,380 --> 00:12:03,840 Mi rendo conto che questo è un trucco molto specifico, per un pubblico molto specifico, -191 -00:12:02,696 --> 00:12:04,905 +189 +00:12:03,840 --> 00:12:05,688 ma è qualcosa che vorrei conoscere al college, -192 -00:12:04,905 --> 00:12:08,007 +190 +00:12:05,688 --> 00:12:08,284 quindi se conosci qualche studente che potrebbe trarne beneficio, -193 -00:12:08,007 --> 00:12:09,700 +191 +00:12:08,284 --> 00:12:09,700 considera di condividerlo con loro. -194 -00:12:10,280 --> 00:12:12,930 +192 +00:12:10,280 --> 00:12:12,854 La speranza è che non sia solo un'altra cosa da memorizzare, -195 -00:12:12,930 --> 00:12:16,517 +193 +00:12:12,854 --> 00:12:16,400 ma che l'inquadratura rafforzi altri fatti interessanti che vale la pena conoscere, -196 -00:12:16,517 --> 00:12:19,820 +194 +00:12:16,400 --> 00:12:19,820 come il modo in cui la traccia e il determinante si relazionano agli autovalori. -197 +195 00:12:20,560 --> 00:12:23,738 Se vuoi dimostrare questi fatti, prenditi un momento per espandere -198 +196 00:12:23,738 --> 00:12:26,584 il polinomio caratteristico di una matrice generale e pensa -199 +197 00:12:26,584 --> 00:12:29,620 attentamente al significato di ciascuno di questi coefficienti. -200 +198 00:12:32,400 --> 00:12:35,209 Mille grazie a Tim, per aver assicurato che questa formula di prodotto -201 +199 00:12:35,209 --> 00:12:37,940 mediocre rimarrà impressa nella nostra testa almeno per alcuni mesi. -202 +200 00:12:41,700 --> 00:12:46,000 Se non conosci la scienza dell'acapella, dai un'occhiata. -203 +201 00:12:46,280 --> 00:12:48,205 "The Molecular Shape of You", in particolare, -204 +202 00:12:48,205 --> 00:12:49,580 è una delle cose più belle su Internet. diff --git a/2021/quick-eigen/japanese/auto_generated.srt b/2021/quick-eigen/japanese/auto_generated.srt index a8cbbcfc3..a3e44dc4e 100644 --- a/2021/quick-eigen/japanese/auto_generated.srt +++ b/2021/quick-eigen/japanese/auto_generated.srt @@ -11,75 +11,75 @@ 計算する方法を楽しみたい人を対象としたビデオです。 4 -00:00:08,580 --> 00:00:10,684 +00:00:08,580 --> 00:00:11,085 固有値に慣れていない場合は、実際に固有値を紹介 5 -00:00:10,684 --> 00:00:12,880 +00:00:11,085 --> 00:00:13,700 することを目的とし たこのビデオをご覧ください。 6 -00:00:12,880 --> 00:00:15,755 +00:00:14,680 --> 00:00:17,010 コツを知りたいだけなら読み飛ばしていただいて 7 -00:00:15,755 --> 00:00:18,880 +00:00:17,010 --> 00:00:19,543 も構いませんが、できればご自身で再発見していただき 8 -00:00:18,880 --> 00:00:22,380 +00:00:19,543 --> 00:00:22,380 たいと思います。そのために、 少し背景を説明しましょう。 9 -00:00:23,260 --> 00:00:26,138 +00:00:23,260 --> 00:00:26,400 簡単に思い出していただきたいのですが、特定のベクト 10 -00:00:26,138 --> 00:00:28,906 +00:00:26,400 --> 00:00:29,420 ルに対する線形変換の効果がそのベクトルをある定数で 11 -00:00:28,906 --> 00:00:30,898 +00:00:29,420 --> 00:00:31,594 スケーリングすることである場合、そ 12 -00:00:30,898 --> 00:00:33,666 +00:00:31,594 --> 00:00:34,614 れを変換の固有ベクトルと呼び、関連するスケーリング 13 -00:00:33,666 --> 00:00:36,877 +00:00:34,614 --> 00:00:38,116 係数を対応する固有値と呼び、多く の場合文字で表されます。 14 -00:00:36,877 --> 00:00:37,320 +00:00:38,116 --> 00:00:38,600 ラムダ。 15 -00:00:37,320 --> 00:00:41,922 +00:00:39,840 --> 00:00:44,016 これを方程式として書き、少し整理すると、数値ラムダ 16 -00:00:41,922 --> 00:00:45,639 +00:00:44,016 --> 00:00:47,390 が行列 A の固有値である場合、行列 A 17 -00:00:45,639 --> 00:00:49,179 +00:00:47,390 --> 00:00:50,603 からラムダを掛けた恒等式はゼロ以外のベ 18 -00:00:49,179 --> 00:00:53,074 +00:00:50,603 --> 00:00:54,137 クトルを送信する必要があることがわかります。 19 -00:00:53,074 --> 00:00:57,676 +00:00:54,137 --> 00:00:58,314 対応する固有ベクトルをゼロ ベクトル に変換します。 20 -00:00:57,676 --> 00:01:02,101 +00:00:58,314 --> 00:01:02,330 これは、この変更された行列の行列式がゼロでなければ 21 -00:01:02,101 --> 00:01:04,580 +00:01:02,330 --> 00:01:04,580 ならないことを意味 します。 22 @@ -143,19 +143,19 @@ 1 つまたは 2 つの単純化ステップが必要です。 37 -00:01:47,760 --> 00:01:49,200 +00:01:47,760 --> 00:01:48,630 正直なところ、このプロセスはそれ 38 -00:01:49,200 --> 00:01:50,640 +00:01:48,630 --> 00:01:49,500 ほどひどいものではありません。 39 -00:01:50,640 --> 00:01:52,613 +00:01:49,580 --> 00:01:52,070 しかし、少なくとも 2x2 行列の場合、こ 40 -00:01:52,613 --> 00:01:54,680 +00:01:52,070 --> 00:01:54,680 の答えを得るもっと直接的な方法があります。 41 @@ -279,19 +279,19 @@ つの数値を迅速に復元できるかということです。 71 -00:03:22,460 --> 00:03:24,700 +00:03:22,460 --> 00:03:23,720 ここでは、 この例に焦点を当ててみましょう。 72 -00:03:24,700 --> 00:03:27,393 +00:03:24,200 --> 00:03:27,060 2 つの値は数字の 7 の周りに等間隔に配置されているこ 73 -00:03:27,393 --> 00:03:30,086 +00:03:27,060 --> 00:03:29,920 とがわかります。そのため、7 プラスまたはマイナスの何か 74 -00:03:30,086 --> 00:03:32,780 +00:03:29,920 --> 00:03:32,780 のように見えます。これを距離を表す何か d と呼びます。 75 @@ -351,67 +351,67 @@ d の 2 乗は、7 の 2 乗から 40 m の二乗から p を引いたものになります。 89 -00:04:17,560 --> 00:04:20,193 +00:04:17,560 --> 00:04:20,297 これにより、3 番目の重要な事実が得られます。 90 -00:04:20,193 --> 00:04:22,598 +00:04:20,297 --> 00:04:22,797 つまり、2 つの数値が平均 m と積 p 91 -00:04:22,598 --> 00:04:24,888 +00:04:22,797 --> 00:04:25,177 を持つ場合、これら 2 つの数値は、m 92 -00:04:24,888 --> 00:04:27,980 +00:04:25,177 --> 00:04:28,391 プラスまたはマイナス m の 2 乗の平方根から p 93 -00:04:27,980 --> 00:04:30,270 +00:04:28,391 --> 00:04:30,771 を引いたものとして書けるということです。 94 -00:04:30,270 --> 00:04:33,362 +00:04:30,771 --> 00:04:33,985 これは、忘れた場合にその場で再導出するのにかなり高速 95 -00:04:33,362 --> 00:04:36,340 +00:04:33,985 --> 00:04:37,080 であり、本質的には二乗差の公式を言い換えただけです。 96 -00:04:36,340 --> 00:04:38,720 +00:04:37,860 --> 00:04:39,499 しかし、それでも、これは覚えておく価値の 97 -00:04:38,720 --> 00:04:41,220 +00:04:39,499 --> 00:04:41,220 ある事実なので、すぐに覚えておきましょう。 98 -00:04:41,220 --> 00:04:42,674 +00:04:41,220 --> 00:04:43,027 実際、A Capella Science 99 -00:04:42,674 --> 00:04:44,268 +00:04:43,027 --> 00:04:45,007 チャンネルの友人の Tim が、少しでも思い出 100 -00:04:44,268 --> 00:04:46,000 +00:04:45,007 --> 00:04:47,160 に残るように、素敵 なジングルを書いてくれました。 101 -00:04:46,000 --> 00:04:52,390 +00:04:51,900 --> 00:04:54,690 たとえば行列 3、1、4、1 の場合、こ 102 -00:04:52,390 --> 00:04:59,100 +00:04:54,690 --> 00:04:57,620 れがどのように機能するかを説明しましょう。 103 -00:04:59,100 --> 00:05:00,416 +00:04:58,100 --> 00:04:59,900 まずは公式を思い出し、頭の中で 104 -00:05:00,416 --> 00:05:01,820 +00:04:59,900 --> 00:05:01,820 すべてを述べることから始めます。 105 @@ -423,107 +423,107 @@ m の二乗から p を引いたものになります。 p の適切な値を入力します。 107 -00:05:12,340 --> 00:05:15,235 +00:05:12,340 --> 00:05:14,911 したがって、この例では、固有値の平均は 108 -00:05:15,235 --> 00:05:18,420 +00:05:14,911 --> 00:05:17,740 3 と 1 の平均と同じ 2 になります。 109 -00:05:18,420 --> 00:05:20,200 +00:05:18,300 --> 00:05:20,500 したがって、書き始めるのは 2 ± 110 -00:05:20,200 --> 00:05:21,980 +00:05:20,500 --> 00:05:22,700 sqrt(2^2 - …) です。 111 -00:05:21,980 --> 00:05:24,825 +00:05:23,540 --> 00:05:27,565 は行列式で、この例では 3 掛ける 1 マ 112 -00:05:24,825 --> 00:05:28,060 +00:05:27,565 --> 00:05:32,140 イナス 1 掛ける 4、つまりマイナス 1 です。 113 -00:05:28,060 --> 00:05:31,700 +00:05:32,380 --> 00:05:34,480 これが最後に入力するも のです。 114 -00:05:31,700 --> 00:05:34,382 +00:05:34,880 --> 00:05:37,633 つまり、固有値は 2 プラスまたはマイナス 115 -00:05:34,382 --> 00:05:35,480 +00:05:37,633 --> 00:05:38,760 5 の平方根です。 116 -00:05:35,480 --> 00:05:38,173 +00:05:40,300 --> 00:05:42,366 これが私が最初に使用したのと同じ行列であるこ 117 -00:05:38,173 --> 00:05:40,866 +00:05:42,366 --> 00:05:44,433 とに気づくかもしれませ んが、より直接的に答 118 -00:05:40,866 --> 00:05:43,560 +00:05:44,433 --> 00:05:46,500 えを得ることができることに注目してください。 119 -00:05:43,680 --> 00:05:45,580 +00:05:48,140 --> 00:05:49,180 ここで、別のものを試してください。 120 -00:05:45,580 --> 00:05:48,721 +00:05:49,440 --> 00:05:51,883 今回は、固有値の平均は 2 と 121 -00:05:48,721 --> 00:05:52,060 +00:05:51,883 --> 00:05:54,480 8 の平均と同じ 5 になります。 122 -00:05:52,060 --> 00:05:55,669 +00:05:55,100 --> 00:05:57,274 もう一度、式を書き始めますが、今回は 123 -00:05:55,669 --> 00:05:58,900 +00:05:57,274 --> 00:05:59,220 m の代わりに 5 を書 きます。 124 -00:05:58,900 --> 00:06:03,485 +00:06:02,980 --> 00:06:05,575 すると、行列式は 2 掛ける 8 から 125 -00:06:03,485 --> 00:06:08,300 +00:06:05,575 --> 00:06:08,300 7 掛ける 1、つまり 9 になります 。 126 -00:06:09,520 --> 00:06:11,956 +00:06:09,520 --> 00:06:12,149 したがって、この例では、固有値は 5 127 -00:06:11,956 --> 00:06:15,163 +00:06:12,149 --> 00:06:15,610 プラスマイナス 16 の平方根のようになり、さら 128 -00:06:15,163 --> 00:06:17,600 +00:06:15,610 --> 00:06:18,240 に単純化して 9 と 1 になります。 129 -00:06:17,600 --> 00:06:20,400 +00:06:19,420 --> 00:06:21,292 基本的に行列を見つめながら固有値を 130 -00:06:20,400 --> 00:06:24,290 +00:06:21,292 --> 00:06:23,892 書き留め始める方法について、私が言いたいことはわか 131 -00:06:24,290 --> 00:06:25,380 +00:06:23,892 --> 00:06:24,620 りましたか? 132 -00:06:25,380 --> 00:06:28,160 +00:06:25,280 --> 00:06:28,160 通常、これは最後にほんの少し簡略化するだけです。 133 @@ -603,19 +603,19 @@ m の代わりに 5 を書 きます。 これらの行列の行列式である固有値の積はどうなるでしょうか? 152 -00:07:29,700 --> 00:07:32,560 +00:07:29,700 --> 00:07:33,400 最初の値は 0 から 1 を引く、つまりマイナス 1 です。 153 -00:07:33,200 --> 00:07:35,275 +00:07:33,400 --> 00:07:35,392 2 番目も 0 から 1 を引いたように見 154 -00:07:35,275 --> 00:07:37,728 +00:07:35,392 --> 00:07:37,747 えますが、複素数であるため、確認するのに少し時間がか 155 -00:07:37,728 --> 00:07:38,200 +00:07:37,747 --> 00:07:38,200 かります。 156 @@ -811,43 +811,43 @@ m の代わりに 5 を書 きます。 を持つベクトルの一般 的な方向でのスピン観測を記述します。 204 -00:09:50,900 --> 00:09:52,862 +00:09:50,900 --> 00:09:53,257 より具体的には、このベクトルは正規化されている、つ 205 -00:09:52,862 --> 00:09:54,748 +00:09:53,257 --> 00:09:55,524 まり、a の 2 乗と b の 2 乗と c の 206 -00:09:54,748 --> 00:09:56,560 +00:09:55,524 --> 00:09:57,700 2 乗が 1 に等しいと仮定する必要があります。 207 -00:09:56,560 --> 00:10:00,316 +00:09:58,600 --> 00:10:02,035 この新しい行列を見ると、固有値の平均がまだゼロで 208 -00:10:00,316 --> 00:10:02,977 +00:10:02,035 --> 00:10:04,468 あることがすぐにわかります。また 209 -00:10:02,977 --> 00:10:07,203 +00:10:04,468 --> 00:10:08,333 、少しの間立ち止まって、これらの固有値の積がまだ負の 210 -00:10:07,203 --> 00:10:11,273 +00:10:08,333 --> 00:10:12,055 1 であることを確認する のも楽しいかもしれません。 211 -00:10:11,273 --> 00:10:15,500 +00:10:12,055 --> 00:10:15,920 そしてそこから、固有値が何であるべきかを結論付けます。 212 -00:10:15,500 --> 00:10:19,466 +00:10:17,220 --> 00:10:20,342 そして今回の特徴的な多項式アプローチは、それに比べては 213 -00:10:19,466 --> 00:10:23,580 +00:10:20,342 --> 00:10:23,580 るかに面倒で、頭の中 で実行するのは間違いなく困難です。 214 @@ -927,39 +927,39 @@ m の代わりに 5 を書 きます。 それ は単なる定数項であり、調整は必要ありません。 233 -00:11:17,340 --> 00:11:25,320 +00:11:17,340 --> 00:11:20,900 そこから、平均積の式を 適用すると、根が得られます。 234 -00:11:25,320 --> 00:11:27,438 +00:11:25,140 --> 00:11:27,336 一方で、これは従来の 2 次公 235 -00:11:27,438 --> 00:11:30,220 +00:11:27,336 --> 00:11:30,220 式の軽量バージョンと考えることもできます。 236 -00:11:30,960 --> 00:11:32,986 +00:11:30,960 --> 00:11:32,756 しかし、本当の利点は、暗記す る記号が少 237 -00:11:32,986 --> 00:11:35,012 +00:11:32,756 --> 00:11:34,553 ないというだけではなく、それぞれの記号が 238 -00:11:35,012 --> 00:11:37,140 +00:11:34,553 --> 00:11:36,440 より多くの意味を持っているということです。 239 -00:11:37,380 --> 00:11:40,831 +00:11:36,940 --> 00:11:40,534 つまり、この固有値トリックの要点は、行列を見て平均と 240 -00:11:40,831 --> 00:11:44,282 +00:11:40,534 --> 00:11:44,129 積を直接読み 取ることができるため、特性多項式を設定 241 -00:11:44,282 --> 00:11:48,000 +00:11:44,129 --> 00:11:48,000 するという中間ステップを 経る必要がないということです。 242 @@ -971,27 +971,27 @@ m の代わりに 5 を書 きます。 に考えることなく、すぐに根を書き留めることができます。 244 -00:11:53,840 --> 00:11:56,139 +00:11:53,840 --> 00:11:56,266 しかし、そのた めには、項が何らかの意 245 -00:11:56,139 --> 00:11:58,560 +00:11:56,266 --> 00:11:58,820 味を持つ二次公式のバージョンが必要です。 246 -00:11:58,560 --> 00:12:01,345 +00:12:00,380 --> 00:12:02,710 これが非常に特定の対象者向けの非常に特殊なトリックである 247 -00:12:01,345 --> 00:12:03,931 +00:12:02,710 --> 00:12:04,873 ことは承知していますが、大学時代に知っておきたかっ 248 -00:12:03,931 --> 00:12:06,716 +00:12:04,873 --> 00:12:07,203 たことなので、これから恩恵を受ける可能性のある学生を知っ 249 -00:12:06,716 --> 00:12:09,700 +00:12:07,203 --> 00:12:09,700 ている場合は、その人たちと共有することを検討してく ださい。 250 diff --git a/2021/quick-eigen/korean/auto_generated.srt b/2021/quick-eigen/korean/auto_generated.srt index a1c73bf26..bed575d13 100644 --- a/2021/quick-eigen/korean/auto_generated.srt +++ b/2021/quick-eigen/korean/auto_generated.srt @@ -11,67 +11,67 @@ 방법을 즐기는 모든 사람을 위한 비디오입니다. 4 -00:00:08,580 --> 00:00:10,916 +00:00:08,580 --> 00:00:11,362 고유값에 대해 잘 모르신다면 실제로 고유값을 5 -00:00:10,916 --> 00:00:12,880 +00:00:11,362 --> 00:00:13,700 소개하는 이 동영상을 시청해 보세요. 6 -00:00:12,880 --> 00:00:15,629 +00:00:14,680 --> 00:00:16,908 요령만 보고 싶다면 건너뛰셔도 됩니다. 7 -00:00:15,629 --> 00:00:19,130 +00:00:16,908 --> 00:00:19,745 하지만 가능하다면 직접 재발견해 보시기 바랍니다. 8 -00:00:19,130 --> 00:00:22,380 +00:00:19,745 --> 00:00:22,380 이를 위해 약간의 배경 지식을 설명하겠습니다. 9 -00:00:23,260 --> 00:00:26,027 +00:00:23,260 --> 00:00:26,279 다시 한번 말씀드리자면, 주어진 벡터에 대한 10 -00:00:26,027 --> 00:00:28,795 +00:00:26,279 --> 00:00:29,299 선형 변환의 효과가 해당 벡터를 어떤 상수로 11 -00:00:28,795 --> 00:00:31,784 +00:00:29,299 --> 00:00:32,560 스케일링하는 것이라면, 이를 변환의 고유벡터라고 12 -00:00:31,784 --> 00:00:34,662 +00:00:32,560 --> 00:00:35,701 부르고 관련 스케일링 인자를 해당 고유값이라고 13 -00:00:34,662 --> 00:00:37,320 +00:00:35,701 --> 00:00:38,600 부릅니다. 종종 문자로 표시됩니다. 람다. 14 -00:00:37,320 --> 00:00:42,361 +00:00:39,840 --> 00:00:44,415 이것을 방정식으로 작성하고 약간 재배열하면 숫자 15 -00:00:42,361 --> 00:00:47,962 +00:00:44,415 --> 00:00:49,498 람다가 행렬 A의 고유값이면 행렬 A에서 람다를 곱한 16 -00:00:47,962 --> 00:00:53,190 +00:00:49,498 --> 00:00:54,243 항등식은 0이 아닌 벡터를 보내야 한다는 것을 알 17 -00:00:53,190 --> 00:00:58,791 +00:00:54,243 --> 00:00:59,326 수 있습니다. 해당 고유벡터를 0 벡터로 변환합니다. 18 -00:00:58,791 --> 00:01:04,393 +00:00:59,326 --> 00:01:04,410 이는 수정된 행렬의 행렬식이 0이어야 함을 의미합니다. 19 -00:01:04,393 --> 00:01:04,580 +00:01:04,410 --> 00:01:04,580 20 @@ -139,15 +139,15 @@ 단순화 단계가 더 필요합니다. 36 -00:01:47,760 --> 00:01:50,640 +00:01:47,760 --> 00:01:49,500 솔직히 그 과정은 나쁘지 않습니다. 37 -00:01:50,640 --> 00:01:52,585 +00:01:49,580 --> 00:01:52,035 그러나 적어도 2x2 행렬의 경우에는 이 답을 38 -00:01:52,585 --> 00:01:54,680 +00:01:52,035 --> 00:01:54,680 얻을 수 있는 훨씬 더 직접적인 방법이 있습니다. 39 @@ -271,19 +271,19 @@ 숫자를 빠르게 복구할 수 있는 방법입니다. 69 -00:03:22,460 --> 00:03:24,700 +00:03:22,460 --> 00:03:23,720 여기서는 이 예에 중점을 두겠습니다. 70 -00:03:24,700 --> 00:03:27,281 +00:03:24,200 --> 00:03:26,940 두 값은 숫자 7 주위에 균등한 간격으로 71 -00:03:27,281 --> 00:03:29,862 +00:03:26,940 --> 00:03:29,681 배치되어 있으므로 7에 더하기 또는 빼기 72 -00:03:29,862 --> 00:03:32,780 +00:03:29,681 --> 00:03:32,780 값처럼 보입니다. 거리를 d라고 부르겠습니다. 73 @@ -343,67 +343,67 @@ d 제곱은 7의 제곱 빼기 40, 항상 m 제곱에서 p를 뺀 값이 됩니다. 87 -00:04:17,560 --> 00:04:20,519 +00:04:17,560 --> 00:04:20,635 이것은 세 번째 핵심 사실을 제공합니다. 즉, 88 -00:04:20,519 --> 00:04:23,478 +00:04:20,635 --> 00:04:23,711 두 숫자가 평균 m과 곱 p를 가질 때 이 두 89 -00:04:23,478 --> 00:04:26,551 +00:04:23,711 --> 00:04:26,905 숫자를 m 더하기 또는 빼기 m 제곱 빼기 p의 90 -00:04:26,551 --> 00:04:28,828 +00:04:26,905 --> 00:04:29,272 제곱근으로 쓸 수 있다는 것입니다. 91 -00:04:28,828 --> 00:04:32,014 +00:04:29,272 --> 00:04:32,584 이것은 잊어버린 경우 즉석에서 다시 파생하는 것이 92 -00:04:32,014 --> 00:04:35,201 +00:04:32,584 --> 00:04:35,896 상당히 빠르며 본질적으로 제곱의 차이 공식을 다시 93 -00:04:35,201 --> 00:04:36,340 +00:04:35,896 --> 00:04:37,080 표현한 것입니다. 94 -00:04:36,340 --> 00:04:38,682 +00:04:37,860 --> 00:04:39,472 하지만 그럼에도 불구하고 외울 가치가 있는 95 -00:04:38,682 --> 00:04:41,220 +00:04:39,472 --> 00:04:41,220 사실이기 때문에 아직은 미루어 두고 있습니다. 96 -00:04:41,220 --> 00:04:42,834 +00:04:41,220 --> 00:04:43,226 사실 A Capella Science 채널의 97 -00:04:42,834 --> 00:04:44,320 +00:04:43,226 --> 00:04:45,072 내 친구 Tim이 좀 더 기억에 남을 수 98 -00:04:44,320 --> 00:04:46,000 +00:04:45,072 --> 00:04:47,160 있도록 멋지고 빠른 노래를 만들어 주었습니다. 99 -00:04:46,000 --> 00:04:52,861 +00:04:51,900 --> 00:04:54,896 행렬 3, 1, 4, 1에 대해 이것이 100 -00:04:52,861 --> 00:04:59,100 +00:04:54,896 --> 00:04:57,620 어떻게 작동하는지 보여드리겠습니다. 101 -00:04:59,100 --> 00:05:00,250 +00:04:58,100 --> 00:04:59,673 공식을 염두에 두는 것부터 시작합니다. 102 -00:05:00,250 --> 00:05:01,820 +00:04:59,673 --> 00:05:01,820 어쩌면 머리 속으로 모든 것을 설명할 수도 있습니다. 103 @@ -415,95 +415,95 @@ d 제곱은 7의 제곱 빼기 40, 값을 채워가면서 쓰게 됩니다. 105 -00:05:12,340 --> 00:05:15,380 +00:05:12,340 --> 00:05:15,039 따라서 이 예에서 고유값의 평균은 106 -00:05:15,380 --> 00:05:18,420 +00:05:15,039 --> 00:05:17,740 3과 1의 평균인 2와 같습니다. 107 -00:05:18,420 --> 00:05:20,055 +00:05:18,300 --> 00:05:20,321 따라서 쓰기 시작하는 것은 2 108 -00:05:20,055 --> 00:05:21,980 +00:05:20,321 --> 00:05:22,700 ± sqrt(2^2 - …)입니다. 109 -00:05:21,980 --> 00:05:28,060 +00:05:23,540 --> 00:05:32,140 는 행렬식입니다. 110 -00:05:28,060 --> 00:05:29,945 +00:05:32,380 --> 00:05:33,467 이 예에서는 3 곱하기 1 빼기 1 곱하기 4 또는 111 -00:05:29,945 --> 00:05:31,700 +00:05:33,467 --> 00:05:34,480 -1이므로 이것이 마지막으로 채워지는 값입니다. 112 -00:05:31,700 --> 00:05:33,590 +00:05:34,880 --> 00:05:36,820 고유값은 2 더하기 또는 빼기 113 -00:05:33,590 --> 00:05:35,480 +00:05:36,820 --> 00:05:38,760 5의 제곱근이라는 의미입니다. 114 -00:05:35,480 --> 00:05:38,236 +00:05:40,300 --> 00:05:42,415 이것이 제가 처음에 사용했던 것과 동일한 행렬이라는 115 -00:05:38,236 --> 00:05:40,803 +00:05:42,415 --> 00:05:44,384 것을 알 수 있을 것입니다. 그러나 우리가 답을 116 -00:05:40,803 --> 00:05:43,560 +00:05:44,384 --> 00:05:46,500 얼마나 더 직접적으로 얻을 수 있는지 주목하십시오. 117 -00:05:43,680 --> 00:05:45,580 +00:05:48,140 --> 00:05:49,180 여기, 다른 것을 시도해 보세요. 118 -00:05:45,580 --> 00:05:48,918 +00:05:49,440 --> 00:05:52,036 이번에는 고유값의 평균이 2와 119 -00:05:48,918 --> 00:05:52,060 +00:05:52,036 --> 00:05:54,480 8의 평균인 5와 같습니다. 120 -00:05:52,060 --> 00:05:55,251 +00:05:55,100 --> 00:05:57,022 그래서 다시 공식을 쓰기 시작합니다. 121 -00:05:55,251 --> 00:05:58,900 +00:05:57,022 --> 00:05:59,220 이번에는 m [노래] 자리에 5를 씁니다. 122 -00:05:58,900 --> 00:06:08,300 +00:06:02,980 --> 00:06:08,300 그리고 행렬식은 2*8 - 7*1, 즉 9입니다. 123 -00:06:09,520 --> 00:06:14,008 +00:06:09,520 --> 00:06:14,364 따라서 이 예에서 고유값은 5 ± sqrt(16)처럼 124 -00:06:14,008 --> 00:06:17,600 +00:06:14,364 --> 00:06:18,240 보이며 이는 9와 1로 더욱 단순화됩니다. 125 -00:06:17,600 --> 00:06:21,490 +00:06:19,420 --> 00:06:22,020 기본적으로 행렬을 쳐다보는 동안 고유값을 기록하기 126 -00:06:21,490 --> 00:06:25,380 +00:06:22,020 --> 00:06:24,620 시작할 수 있다는 것이 무슨 뜻인지 아시겠습니까? 127 -00:06:25,380 --> 00:06:28,160 +00:06:25,280 --> 00:06:28,160 일반적으로 마지막에는 가장 작은 단순화에 불과합니다. 128 @@ -583,15 +583,15 @@ d 제곱은 7의 제곱 빼기 40, 이 행렬의 행렬식인 고유값의 곱은 어떻습니까? 147 -00:07:29,700 --> 00:07:32,560 +00:07:29,700 --> 00:07:33,400 첫 번째 값은 0 - 1 또는 -1입니다. 148 -00:07:33,200 --> 00:07:35,700 +00:07:33,400 --> 00:07:35,799 두 번째도 0-1처럼 보이지만 복소수 149 -00:07:35,700 --> 00:07:38,200 +00:07:35,799 --> 00:07:38,200 때문에 보는 데 시간이 더 걸립니다. 150 @@ -787,47 +787,47 @@ c를 갖는 벡터의 일반적인 방향으로 스핀 관찰을 설명합니다. 198 -00:09:50,900 --> 00:09:52,892 +00:09:50,900 --> 00:09:53,294 더 구체적으로 말하면, 이 벡터가 정규화되어 199 -00:09:52,892 --> 00:09:54,248 +00:09:53,294 --> 00:09:54,922 있다고 가정해야 합니다. 즉, 200 -00:09:54,248 --> 00:09:56,560 +00:09:54,922 --> 00:09:57,700 a 제곱 + b 제곱 + c 제곱은 1과 같습니다. 201 -00:09:56,560 --> 00:10:00,663 +00:09:58,600 --> 00:10:02,352 이 새로운 행렬을 보면 고유값의 평균이 여전히 202 -00:10:00,663 --> 00:10:05,240 +00:10:02,352 --> 00:10:06,538 0이라는 것을 즉시 확인할 수 있으며 고유값의 곱이 203 -00:10:05,240 --> 00:10:09,975 +00:10:06,538 --> 00:10:10,868 여전히 음수인지 확인하기 위해 잠시 멈춰서 즐길 수도 204 -00:10:09,975 --> 00:10:14,553 +00:10:10,868 --> 00:10:15,054 있습니다. 그리고 거기에서 고유값이 무엇인지 결론을 205 -00:10:14,553 --> 00:10:15,500 +00:10:15,054 --> 00:10:15,920 내립니다. 206 -00:10:15,500 --> 00:10:17,889 +00:10:17,220 --> 00:10:19,101 그리고 이번에는 특징적인 다항식 접근 207 -00:10:17,889 --> 00:10:20,621 +00:10:19,101 --> 00:10:21,250 방식이 비교해 보면 훨씬 더 번거롭고 머리 208 -00:10:20,621 --> 00:10:23,580 +00:10:21,250 --> 00:10:23,580 속에서 수행하기가 확실히 더 어려울 것입니다. 209 @@ -903,43 +903,43 @@ a 제곱 + b 제곱 + c 제곱은 1과 같습니다. 단지 상수항일 뿐이며 조정이 필요하지 않습니다. 227 -00:11:17,340 --> 00:11:21,692 +00:11:17,340 --> 00:11:19,281 따라서 거기에서 평균 곱 공식을 228 -00:11:21,692 --> 00:11:25,320 +00:11:19,281 --> 00:11:20,900 적용하면 뿌리가 나옵니다. 229 -00:11:25,320 --> 00:11:27,663 +00:11:25,140 --> 00:11:27,569 한편으로는 이것을 전통적인 이차 공식의 230 -00:11:27,663 --> 00:11:30,220 +00:11:27,569 --> 00:11:30,220 더 가벼운 버전으로 생각할 수도 있습니다. 231 -00:11:30,960 --> 00:11:32,754 +00:11:30,960 --> 00:11:32,550 하지만 진짜 장점은 기억해야 할 232 -00:11:32,754 --> 00:11:34,548 +00:11:32,550 --> 00:11:34,141 기호가 적다는 것뿐만 아니라 각 233 -00:11:34,548 --> 00:11:37,140 +00:11:34,141 --> 00:11:36,440 기호가 더 많은 의미를 담고 있다는 것입니다. 234 -00:11:37,380 --> 00:11:40,797 +00:11:36,940 --> 00:11:40,499 내 말은, 이 고유값 트릭의 요점은 행렬을 보면서 235 -00:11:40,797 --> 00:11:44,460 +00:11:40,499 --> 00:11:44,313 평균과 곱을 직접 읽을 수 있기 때문에 특성 다항식을 236 -00:11:44,460 --> 00:11:48,000 +00:11:44,313 --> 00:11:48,000 설정하는 중간 단계를 거칠 필요가 없다는 것입니다. 237 @@ -951,31 +951,31 @@ a 제곱 + b 제곱 + c 제곱은 1과 같습니다. 않고도 바로 근을 쓰는 것으로 넘어갈 수 있습니다. 239 -00:11:53,840 --> 00:11:56,200 +00:11:53,840 --> 00:11:56,330 하지만 그렇게 하려면 용어가 어떤 의미를 240 -00:11:56,200 --> 00:11:58,560 +00:11:56,330 --> 00:11:58,820 전달하는 이차 공식의 버전이 필요합니다. 241 -00:11:58,560 --> 00:12:01,297 +00:12:00,380 --> 00:12:02,670 나는 이것이 매우 특정한 청중을 위한 매우 구체적인 242 -00:12:01,297 --> 00:12:03,846 +00:12:02,670 --> 00:12:04,803 트릭이라는 것을 알고 있지만 대학에서 알았더라면 243 -00:12:03,846 --> 00:12:06,490 +00:12:04,803 --> 00:12:07,014 좋았을 것입니다. 따라서 이로부터 이익을 얻을 수 244 -00:12:06,490 --> 00:12:08,944 +00:12:07,014 --> 00:12:09,068 있는 학생을 알고 있다면 그들과 공유하는 것을 245 -00:12:08,944 --> 00:12:09,700 +00:12:09,068 --> 00:12:09,700 고려하십시오. 246 diff --git a/2021/quick-eigen/portuguese/auto_generated.srt b/2021/quick-eigen/portuguese/auto_generated.srt index 40bcc29af..39edcf279 100644 --- a/2021/quick-eigen/portuguese/auto_generated.srt +++ b/2021/quick-eigen/portuguese/auto_generated.srt @@ -7,59 +7,59 @@ Este é um vídeo para quem já sabe o que são autovalores e autovetores e que pode gostar de uma maneira rápida de calculá-los no caso de matrizes 2x2. 3 -00:00:08,580 --> 00:00:10,120 +00:00:08,580 --> 00:00:10,414 Se você não está familiarizado com autovalores, 4 -00:00:10,120 --> 00:00:12,880 +00:00:10,414 --> 00:00:13,700 vá em frente e dê uma olhada neste vídeo aqui, que na verdade pretende apresentá-los. 5 -00:00:12,880 --> 00:00:16,712 +00:00:14,680 --> 00:00:17,786 Você pode pular se tudo o que quiser é ver o truque, mas, se possível, 6 -00:00:16,712 --> 00:00:20,274 +00:00:17,786 --> 00:00:20,673 gostaria que você o redescobrisse por si mesmo. Então, para isso, 7 -00:00:20,274 --> 00:00:22,380 +00:00:20,673 --> 00:00:22,380 vamos apresentar um pequeno histórico. 8 -00:00:23,260 --> 00:00:26,738 +00:00:23,260 --> 00:00:27,054 Como um rápido lembrete, se o efeito de uma transformação linear em um 9 -00:00:26,738 --> 00:00:29,922 +00:00:27,054 --> 00:00:30,529 determinado vetor é dimensionar esse vetor por alguma constante, 10 -00:00:29,922 --> 00:00:33,498 +00:00:30,529 --> 00:00:34,430 chamamos isso de autovetor da transformação e chamamos o fator de escala 11 -00:00:33,498 --> 00:00:37,320 +00:00:34,430 --> 00:00:38,600 relevante de autovalor correspondente, geralmente denotado pela letra lambda. 12 -00:00:37,320 --> 00:00:42,174 +00:00:39,840 --> 00:00:44,245 Quando você escreve isso como uma equação e reorganiza um pouco, 13 -00:00:42,174 --> 00:00:47,477 +00:00:44,245 --> 00:00:49,058 o que você vê é que se o número lambda é um autovalor de uma matriz A, 14 -00:00:47,477 --> 00:00:52,929 +00:00:49,058 --> 00:00:54,006 então a matriz A menos lambda vezes a identidade deve enviar algum vetor 15 -00:00:52,929 --> 00:00:58,157 +00:00:54,006 --> 00:00:58,750 diferente de zero, a saber o autovetor correspondente, ao vetor zero, 16 -00:00:58,157 --> 00:01:04,580 +00:00:58,750 --> 00:01:04,580 o que por sua vez significa que o determinante desta matriz modificada deve ser zero. 17 @@ -107,15 +107,15 @@ Portanto, para encontrá-los, é necessário aplicar a fórmula quadrática, que normalmente requer mais uma ou duas etapas de simplificação. 28 -00:01:47,760 --> 00:01:50,640 +00:01:47,760 --> 00:01:49,500 Honestamente, o processo não é terrível. 29 -00:01:50,640 --> 00:01:52,745 +00:01:49,580 --> 00:01:52,238 Mas pelo menos para matrizes 2x2, há uma maneira 30 -00:01:52,745 --> 00:01:54,680 +00:01:52,238 --> 00:01:54,680 muito mais direta de chegar a essa resposta. 31 @@ -215,19 +215,19 @@ nosso terceiro facto relevante, que é como pode recuperar rapidamente dois números quando conhece a sua média e conhece o seu produto. 55 -00:03:22,460 --> 00:03:24,700 +00:03:22,460 --> 00:03:23,720 Aqui, vamos nos concentrar neste exemplo. 56 -00:03:24,700 --> 00:03:28,340 +00:03:24,200 --> 00:03:28,065 Você sabe que os dois valores estão espaçados uniformemente em torno do número 7, 57 -00:03:28,340 --> 00:03:30,826 +00:03:28,065 --> 00:03:30,705 então eles se parecem com 7 mais ou menos alguma coisa, 58 -00:03:30,826 --> 00:03:32,780 +00:03:30,705 --> 00:03:32,780 vamos chamar isso de algo d para distância. 59 @@ -271,47 +271,47 @@ Para qualquer média m e produto p, a distância ao quadrado sempre será m ao quadrado menos p. 69 -00:04:17,560 --> 00:04:21,233 +00:04:17,560 --> 00:04:21,377 Isso fornece o terceiro fato importante, que é que quando dois números 70 -00:04:21,233 --> 00:04:24,854 +00:04:21,377 --> 00:04:25,142 têm uma média m e um produto p, você pode escrever esses dois números 71 -00:04:24,854 --> 00:04:28,114 +00:04:25,142 --> 00:04:28,529 como m mais ou menos a raiz quadrada de m ao quadrado menos p. 72 -00:04:28,114 --> 00:04:32,149 +00:04:28,529 --> 00:04:32,724 Isso é decentemente rápido para derivar novamente na hora, caso você esqueça, 73 -00:04:32,149 --> 00:04:36,340 +00:04:32,724 --> 00:04:37,080 e é essencialmente apenas uma reformulação da fórmula da diferença de quadrados. 74 -00:04:36,340 --> 00:04:39,173 +00:04:37,860 --> 00:04:39,810 Mas mesmo assim, é um fato que vale a pena memorizar, 75 -00:04:39,173 --> 00:04:41,220 +00:04:39,810 --> 00:04:41,220 por isso está na ponta dos seus dedos. 76 -00:04:41,220 --> 00:04:43,153 +00:04:41,220 --> 00:04:43,622 Na verdade, meu amigo Tim, do canal A Capella Science, 77 -00:04:43,153 --> 00:04:46,000 +00:04:43,622 --> 00:04:47,160 escreveu-nos um jingle rápido e agradável para torná-lo um pouco mais memorável. 78 -00:04:46,000 --> 00:04:59,100 +00:04:51,900 --> 00:04:57,620 Deixe-me mostrar como isso funciona, digamos, para a matriz 3, 1, 4, 1. 79 -00:04:59,100 --> 00:05:01,820 +00:04:58,100 --> 00:05:01,820 Você começa lembrando a fórmula, talvez afirmando tudo em sua cabeça. 80 @@ -323,71 +323,71 @@ Mas quando você escreve, você preenche os valores apropriados de m e p à medida que avança. 82 -00:05:12,340 --> 00:05:18,420 +00:05:12,340 --> 00:05:17,740 Portanto, neste exemplo, a média dos autovalores é igual à média de 3 e 1, que é 2. 83 -00:05:18,420 --> 00:05:21,980 +00:05:18,300 --> 00:05:22,700 Então o que você começa a escrever é 2 ± sqrt(2^2 -…). 84 -00:05:21,980 --> 00:05:28,060 +00:05:23,540 --> 00:05:32,140 Então o produto dos autovalores é o determinante, que neste exemplo é 3*1 - 1*4, ou -1. 85 -00:05:28,060 --> 00:05:31,700 +00:05:32,380 --> 00:05:34,480 Então essa é a última coisa que você preenche. 86 -00:05:31,700 --> 00:05:35,480 +00:05:34,880 --> 00:05:38,760 Isso significa que os autovalores são 2±sqrt(5). 87 -00:05:35,480 --> 00:05:39,735 +00:05:40,300 --> 00:05:43,565 Você pode reconhecer que esta é a mesma matriz que eu estava usando no início, 88 -00:05:39,735 --> 00:05:43,560 +00:05:43,565 --> 00:05:46,500 mas observe como podemos chegar à resposta de forma muito mais direta. 89 -00:05:43,680 --> 00:05:45,580 +00:05:48,140 --> 00:05:49,180 Aqui, tente outro. 90 -00:05:45,580 --> 00:05:52,060 +00:05:49,440 --> 00:05:54,480 Desta vez, a média dos autovalores é igual à média de 2 e 8, que é 5. 91 -00:05:52,060 --> 00:05:55,513 +00:05:55,100 --> 00:05:57,180 Então, novamente, você começa a escrever a fórmula, 92 -00:05:55,513 --> 00:05:58,900 +00:05:57,180 --> 00:05:59,220 mas desta vez escrevendo 5 no lugar de m [música]. 93 -00:05:58,900 --> 00:06:08,300 +00:06:02,980 --> 00:06:08,300 E então o determinante é 2*8 - 7*1, ou 9. 94 -00:06:09,520 --> 00:06:14,634 +00:06:09,520 --> 00:06:15,039 Portanto, neste exemplo, os autovalores se parecem com 5 ± sqrt(16), 95 -00:06:14,634 --> 00:06:17,600 +00:06:15,039 --> 00:06:18,240 o que simplifica ainda mais como 9 e 1. 96 -00:06:17,600 --> 00:06:21,520 +00:06:19,420 --> 00:06:22,040 Você entende o que quero dizer sobre como você pode basicamente 97 -00:06:21,520 --> 00:06:25,380 +00:06:22,040 --> 00:06:24,620 começar a escrever os autovalores enquanto olha para a matriz? 98 -00:06:25,380 --> 00:06:28,160 +00:06:25,280 --> 00:06:28,160 Normalmente é apenas uma pequena simplificação no final. 99 @@ -459,15 +459,15 @@ o que faz com que a nossa fórmula pareça especialmente simples. E os produtos dos autovalores, os determinantes dessas matrizes? 116 -00:07:29,700 --> 00:07:32,560 +00:07:29,700 --> 00:07:33,400 Para o primeiro, é 0 menos 1 ou menos 1. 117 -00:07:33,200 --> 00:07:35,631 +00:07:33,400 --> 00:07:35,733 O segundo também se parece com 0 menos 1, mas demora 118 -00:07:35,631 --> 00:07:38,200 +00:07:35,733 --> 00:07:38,200 um pouco mais para ver por causa dos números complexos. 119 @@ -619,35 +619,35 @@ Na mecânica quântica, isso descreveria observações de spin na direção geral de um vetor com coordenadas a, b, c. 156 -00:09:50,900 --> 00:09:53,439 +00:09:50,900 --> 00:09:53,951 Mais especificamente, você deve assumir que este vetor é normalizado, 157 -00:09:53,439 --> 00:09:56,560 +00:09:53,951 --> 00:09:57,700 o que significa que a ao quadrado mais b ao quadrado mais c ao quadrado é igual a um. 158 -00:09:56,560 --> 00:10:01,157 +00:09:58,600 --> 00:10:02,804 Quando você olha para esta nova matriz, é imediato ver que a média 159 -00:10:01,157 --> 00:10:05,892 +00:10:02,804 --> 00:10:07,134 dos autovalores ainda é zero, e você também pode gostar de fazer uma 160 -00:10:05,892 --> 00:10:11,451 +00:10:07,134 --> 00:10:12,217 breve pausa para confirmar que o produto desses autovalores ainda é negativo um. 161 -00:10:11,451 --> 00:10:15,500 +00:10:12,217 --> 00:10:15,920 E a partir daí, concluindo quais devem ser os autovalores. 162 -00:10:15,500 --> 00:10:19,458 +00:10:17,220 --> 00:10:20,335 E desta vez, a abordagem polinomial característica seria, em comparação, 163 -00:10:19,458 --> 00:10:23,580 +00:10:20,335 --> 00:10:23,580 muito mais complicada, definitivamente mais difícil de fazer na sua cabeça. 164 @@ -715,39 +715,39 @@ E o produto das raízes é ainda mais fácil, é apenas o termo constante, sem necessidade de ajustes. 180 -00:11:17,340 --> 00:11:22,891 +00:11:17,340 --> 00:11:19,816 Então, a partir daí, você aplicaria a fórmula média do produto, 181 -00:11:22,891 --> 00:11:25,320 +00:11:19,816 --> 00:11:20,900 e isso lhe daria as raízes. 182 -00:11:25,320 --> 00:11:27,721 +00:11:25,140 --> 00:11:27,630 E por um lado, você poderia pensar nisso como uma 183 -00:11:27,721 --> 00:11:30,220 +00:11:27,630 --> 00:11:30,220 versão mais leve da fórmula quadrática tradicional. 184 -00:11:30,960 --> 00:11:34,756 +00:11:30,960 --> 00:11:34,326 Mas a verdadeira vantagem não é apenas o fato de haver menos símbolos para memorizar, 185 -00:11:34,756 --> 00:11:37,140 +00:11:34,326 --> 00:11:36,440 é que cada um deles carrega consigo mais significado. 186 -00:11:37,380 --> 00:11:40,169 +00:11:36,940 --> 00:11:39,845 Quero dizer, o objetivo desse truque de autovalor é que, 187 -00:11:40,169 --> 00:11:43,791 +00:11:39,845 --> 00:11:43,616 como você pode ler a média e o produto diretamente olhando para a matriz, 188 -00:11:43,791 --> 00:11:48,000 +00:11:43,616 --> 00:11:48,000 não precisa passar pela etapa intermediária de configurar o polinômio característico. 189 @@ -759,27 +759,27 @@ Você pode ir direto para escrever as raízes sem nunca pensar explicitamente na aparência do polinômio. 191 -00:11:53,840 --> 00:11:56,121 +00:11:53,840 --> 00:11:56,247 Mas, para fazer isso, precisamos de uma versão da fórmula 192 -00:11:56,121 --> 00:11:58,560 +00:11:56,247 --> 00:11:58,820 quadrática em que os termos tenham algum tipo de significado. 193 -00:11:58,560 --> 00:12:02,257 +00:12:00,380 --> 00:12:03,473 Sei que este é um truque muito específico para um público muito específico, 194 -00:12:02,257 --> 00:12:05,029 +00:12:03,473 --> 00:12:05,792 mas é algo que eu gostaria de saber na faculdade, então, 195 -00:12:05,029 --> 00:12:08,046 +00:12:05,792 --> 00:12:08,316 se você conhece algum aluno que possa se beneficiar com isso, 196 -00:12:08,046 --> 00:12:09,700 +00:12:08,316 --> 00:12:09,700 considere compartilhá-lo com ele. 197 diff --git a/2021/quick-eigen/russian/auto_generated.srt b/2021/quick-eigen/russian/auto_generated.srt index edce81d92..6eb01c6b5 100644 --- a/2021/quick-eigen/russian/auto_generated.srt +++ b/2021/quick-eigen/russian/auto_generated.srt @@ -7,67 +7,67 @@ и кому может понравиться быстрый способ их вычисления в случае матриц 2x2. 3 -00:00:08,580 --> 00:00:10,846 +00:00:08,580 --> 00:00:11,278 Если вы не знакомы с собственными значениями, посмотрите это видео, 4 -00:00:10,846 --> 00:00:12,880 +00:00:11,278 --> 00:00:13,700 которое на самом деле предназначено для ознакомления с ними. 5 -00:00:12,880 --> 00:00:16,461 +00:00:14,680 --> 00:00:17,583 Вы можете пропустить это, если все, что вам нужно, это увидеть трюк, 6 -00:00:16,461 --> 00:00:20,043 +00:00:17,583 --> 00:00:20,486 но, если возможно, я бы хотел, чтобы вы открыли его для себя заново. 7 -00:00:20,043 --> 00:00:22,380 +00:00:20,486 --> 00:00:22,380 Итак, давайте изложим небольшую предысторию. 8 -00:00:23,260 --> 00:00:26,863 +00:00:23,260 --> 00:00:27,192 Напомним, что если результатом линейного преобразования данного вектора является 9 -00:00:26,863 --> 00:00:29,266 +00:00:27,192 --> 00:00:29,813 масштабирование этого вектора на некоторую константу, 10 -00:00:29,266 --> 00:00:31,624 +00:00:29,813 --> 00:00:32,386 мы называем его собственным вектором преобразования, 11 -00:00:31,624 --> 00:00:35,317 +00:00:32,386 --> 00:00:36,415 а соответствующий коэффициент масштабирования называем соответствующим собственным 12 -00:00:35,317 --> 00:00:37,320 +00:00:36,415 --> 00:00:38,600 значением, часто обозначаемым буквой лямбда. 13 -00:00:37,320 --> 00:00:42,401 +00:00:39,840 --> 00:00:44,451 Когда вы запишите это в виде уравнения и немного перестроите, вы увидите, 14 -00:00:42,401 --> 00:00:46,795 +00:00:44,451 --> 00:00:48,439 что если число лямбда является собственным значением матрицы A, 15 -00:00:46,795 --> 00:00:50,229 +00:00:48,439 --> 00:00:51,555 то матрица A минус лямбда, умноженная на единицу, 16 -00:00:50,229 --> 00:00:55,859 +00:00:51,555 --> 00:00:56,665 должна отправить некоторый ненулевой вектор, а именно соответствующий собственный 17 -00:00:55,859 --> 00:00:59,704 +00:00:56,665 --> 00:01:00,155 вектор нулевому вектору, что, в свою очередь, означает, 18 -00:00:59,704 --> 00:01:04,580 +00:01:00,155 --> 00:01:04,580 что определитель этой модифицированной матрицы должен быть равен нулю. 19 @@ -119,11 +119,11 @@ которая сама по себе обычно требует еще одного или двух шагов упрощения. 31 -00:01:47,760 --> 00:01:50,640 +00:01:47,760 --> 00:01:49,500 Честно говоря, процесс не так уж и страшен. 32 -00:01:50,640 --> 00:01:54,680 +00:01:49,580 --> 00:01:54,680 Но, по крайней мере, для матриц 2x2 есть гораздо более прямой способ получить ответ. 33 @@ -223,19 +223,19 @@ если вы знаете их среднее значение и их произведение. 57 -00:03:22,460 --> 00:03:24,700 +00:03:22,460 --> 00:03:23,720 Давайте сосредоточимся на этом примере. 58 -00:03:24,700 --> 00:03:28,112 +00:03:24,200 --> 00:03:27,823 Вы знаете, что два значения равномерно распределены вокруг числа 7, 59 -00:03:28,112 --> 00:03:31,525 +00:03:27,823 --> 00:03:31,447 поэтому они выглядят как 7 плюс-минус что-то, назовем это чем-то d, 60 -00:03:31,525 --> 00:03:32,780 +00:03:31,447 --> 00:03:32,780 обозначающим расстояние. 61 @@ -279,47 +279,47 @@ d в квадрате равно 7 в квадрате минус 40 или 9, расстояния всегда будет равен m в квадрате минус p. 71 -00:04:17,560 --> 00:04:22,575 +00:04:17,560 --> 00:04:22,773 Это дает третий ключевой факт: когда два числа имеют среднее значение m и произведение p, 72 -00:04:22,575 --> 00:04:27,479 +00:04:22,773 --> 00:04:27,870 вы можете записать эти два числа как m плюс или минус квадратный корень из m в квадрате 73 -00:04:27,479 --> 00:04:30,377 +00:04:27,870 --> 00:04:30,882 минус p. Это достаточно быстро пересчитать на лету, 74 -00:04:30,377 --> 00:04:33,219 +00:04:30,882 --> 00:04:33,836 если вы когда-нибудь забудете об этом, и, по сути, 75 -00:04:33,219 --> 00:04:36,340 +00:04:33,836 --> 00:04:37,080 это просто перефразирование формулы разности квадратов. 76 -00:04:36,340 --> 00:04:39,098 +00:04:37,860 --> 00:04:39,759 Но тем не менее, это факт, который стоит запомнить, 77 -00:04:39,098 --> 00:04:41,220 +00:04:39,759 --> 00:04:41,220 чтобы он был на кончиках ваших пальцев. 78 -00:04:41,220 --> 00:04:44,300 +00:04:41,220 --> 00:04:45,048 На самом деле, мой друг Тим с канала A Capella Science написал нам симпатичный джингл, 79 -00:04:44,300 --> 00:04:46,000 +00:04:45,048 --> 00:04:47,160 чтобы сделать его немного более запоминающимся. 80 -00:04:46,000 --> 00:04:59,100 +00:04:51,900 --> 00:04:57,620 Позвольте мне показать вам, как это работает, скажем, для матрицы 3, 1, 4, 1. 81 -00:04:59,100 --> 00:05:01,820 +00:04:58,100 --> 00:05:01,820 Вы начинаете с того, что вспоминаете формулу, возможно, проговаривая ее в уме. 82 @@ -327,79 +327,79 @@ d в квадрате равно 7 в квадрате минус 40 или 9, Но когда вы записываете это, вы по ходу дела вводите соответствующие значения m и p. 83 -00:05:12,340 --> 00:05:15,601 +00:05:12,340 --> 00:05:15,236 Итак, в этом примере среднее значение собственных значений 84 -00:05:15,601 --> 00:05:18,420 +00:05:15,236 --> 00:05:17,740 совпадает со средним значением 3 и 1, что равно 2. 85 -00:05:18,420 --> 00:05:21,980 +00:05:18,300 --> 00:05:22,700 Итак, вы начинаете писать 2 ± sqrt(2^2 - …). 86 -00:05:21,980 --> 00:05:25,485 +00:05:23,540 --> 00:05:28,498 Тогда произведение собственных значений является определителем, 87 -00:05:25,485 --> 00:05:28,060 +00:05:28,498 --> 00:05:32,140 который в этом примере равен 3*1 - 1*4 или -1. 88 -00:05:28,060 --> 00:05:31,700 +00:05:32,380 --> 00:05:34,480 Итак, это последнее, что вы заполняете. 89 -00:05:31,700 --> 00:05:35,480 +00:05:34,880 --> 00:05:38,760 Это означает, что собственные значения равны 2±sqrt(5). 90 -00:05:35,480 --> 00:05:40,042 +00:05:40,300 --> 00:05:43,800 Возможно, вы заметили, что это та же самая матрица, которую я использовал вначале, 91 -00:05:40,042 --> 00:05:43,560 +00:05:43,800 --> 00:05:46,500 но обратите внимание, насколько точнее мы можем получить ответ. 92 -00:05:43,680 --> 00:05:45,580 +00:05:48,140 --> 00:05:49,180 Вот, попробуй еще один. 93 -00:05:45,580 --> 00:05:51,340 +00:05:49,440 --> 00:05:53,919 На этот раз среднее значение собственных значений совпадает со средним значением 2 и 8, 94 -00:05:51,340 --> 00:05:52,060 +00:05:53,919 --> 00:05:54,480 то есть 5. 95 -00:05:52,060 --> 00:05:58,900 +00:05:55,100 --> 00:05:59,220 Итак, вы снова начинаете записывать формулу, но на этот раз вместо m [песня] пишете 5. 96 -00:05:58,900 --> 00:06:08,300 +00:06:02,980 --> 00:06:08,300 И тогда определитель 2*8 - 7*1, или 9. 97 -00:06:09,520 --> 00:06:14,829 +00:06:09,520 --> 00:06:15,250 Итак, в этом примере собственные значения выглядят как 5 ± sqrt(16), 98 -00:06:14,829 --> 00:06:17,600 +00:06:15,250 --> 00:06:18,240 что еще больше упрощается до 9 и 1. 99 -00:06:17,600 --> 00:06:21,007 +00:06:19,420 --> 00:06:21,697 Вы понимаете, что я имею в виду, когда говорю о том, 100 -00:06:21,007 --> 00:06:25,380 +00:06:21,697 --> 00:06:24,620 как можно начать записывать собственные значения, глядя на матрицу? 101 -00:06:25,380 --> 00:06:28,160 +00:06:25,280 --> 00:06:28,160 Обычно это лишь малейшее упрощение в конце. 102 @@ -467,15 +467,15 @@ d в квадрате равно 7 в квадрате минус 40 или 9, А как насчет произведений собственных значений, определителей этих матриц? 118 -00:07:29,700 --> 00:07:32,560 +00:07:29,700 --> 00:07:33,400 Для первого это 0 минус 1 или минус 1. 119 -00:07:33,200 --> 00:07:35,906 +00:07:33,400 --> 00:07:35,998 Второе тоже выглядит как 0 минус 1, но на его рассмотрение 120 -00:07:35,906 --> 00:07:38,200 +00:07:35,998 --> 00:07:38,200 требуется больше времени из-за комплексных чисел. 121 @@ -627,39 +627,39 @@ d в квадрате равно 7 в квадрате минус 40 или 9, в общем направлении вектора с координатами a, b, c. 158 -00:09:50,900 --> 00:09:53,620 +00:09:50,900 --> 00:09:54,168 Точнее, вы должны предположить, что этот вектор нормализован, 159 -00:09:53,620 --> 00:09:56,560 +00:09:54,168 --> 00:09:57,700 то есть квадрат плюс b в квадрате плюс с в квадрате равны единице. 160 -00:09:56,560 --> 00:09:59,861 +00:09:58,600 --> 00:10:01,619 Когда вы посмотрите на эту новую матрицу, сразу увидите, 161 -00:09:59,861 --> 00:10:03,684 +00:10:01,619 --> 00:10:05,114 что среднее значение собственных значений по-прежнему равно нулю, 162 -00:10:03,684 --> 00:10:07,796 +00:10:05,114 --> 00:10:08,875 и вам также может понравиться сделать короткую паузу, чтобы убедиться, 163 -00:10:07,796 --> 00:10:11,793 +00:10:08,875 --> 00:10:12,530 что произведение этих собственных значений по-прежнему отрицательно. 164 -00:10:11,793 --> 00:10:15,500 +00:10:12,530 --> 00:10:15,920 А затем сделать вывод, какими должны быть собственные значения. 165 -00:10:15,500 --> 00:10:20,593 +00:10:17,220 --> 00:10:21,229 И на этот раз характеристический полиномиальный подход будет намного более громоздким, 166 -00:10:20,593 --> 00:10:23,580 +00:10:21,229 --> 00:10:23,580 и его определенно сложнее будет реализовать в уме. 167 @@ -723,39 +723,39 @@ d в квадрате равно 7 в квадрате минус 40 или 9, никаких корректировок не требуется. 182 -00:11:17,340 --> 00:11:25,320 +00:11:17,340 --> 00:11:20,900 Отсюда вы можете применить формулу среднего продукта, и это даст вам корни. 183 -00:11:25,320 --> 00:11:27,700 +00:11:25,140 --> 00:11:27,607 И с одной стороны, вы можете думать об этом как об 184 -00:11:27,700 --> 00:11:30,220 +00:11:27,607 --> 00:11:30,220 облегченной версии традиционной квадратичной формулы. 185 -00:11:30,960 --> 00:11:34,561 +00:11:30,960 --> 00:11:34,153 Но настоящее преимущество не только в том, что нужно запоминать меньше символов, 186 -00:11:34,561 --> 00:11:37,140 +00:11:34,153 --> 00:11:36,440 но и в том, что каждый из них несет в себе больше смысла. 187 -00:11:37,380 --> 00:11:40,789 +00:11:36,940 --> 00:11:40,490 Я имею в виду, что весь смысл этого трюка с собственными значениями заключается в том, 188 -00:11:40,789 --> 00:11:44,002 +00:11:40,490 --> 00:11:43,837 что, поскольку вы можете считать среднее значение и произведение непосредственно, 189 -00:11:44,002 --> 00:11:46,432 +00:11:43,837 --> 00:11:46,367 глядя на матрицу, вам не нужно проходить промежуточный шаг по 190 -00:11:46,432 --> 00:11:48,000 +00:11:46,367 --> 00:11:48,000 настройке характеристического полинома. 191 @@ -767,19 +767,19 @@ d в квадрате равно 7 в квадрате минус 40 или 9, как выглядит полином. 193 -00:11:53,840 --> 00:11:58,560 +00:11:53,840 --> 00:11:58,820 Но для этого нам нужна версия квадратной формулы, в которой члены несут какой-то смысл. 194 -00:11:58,560 --> 00:12:02,289 +00:12:00,380 --> 00:12:03,499 Я понимаю, что это очень специфический трюк для очень специфической аудитории, 195 -00:12:02,289 --> 00:12:06,065 +00:12:03,499 --> 00:12:06,659 но мне хотелось бы знать об этом в колледже, поэтому, если вы знаете студентов, 196 -00:12:06,065 --> 00:12:09,700 +00:12:06,659 --> 00:12:09,700 которым это может быть полезно, подумайте о том, чтобы поделиться им с ними. 197 diff --git a/2021/quick-eigen/spanish/auto_generated.srt b/2021/quick-eigen/spanish/auto_generated.srt index e8da6b46f..d3ae69cd2 100644 --- a/2021/quick-eigen/spanish/auto_generated.srt +++ b/2021/quick-eigen/spanish/auto_generated.srt @@ -11,67 +11,67 @@ valores propios y los vectores propios, y que pueda disfrutar de una forma rápida de calcularlos en el caso de matrices de 2x2. 4 -00:00:08,580 --> 00:00:10,233 +00:00:08,580 --> 00:00:10,549 Si no está familiarizado con los valores propios, 5 -00:00:10,233 --> 00:00:12,880 +00:00:10,549 --> 00:00:13,700 continúe y mire este video aquí, que en realidad está destinado a presentarlos. 6 -00:00:12,880 --> 00:00:16,404 +00:00:14,680 --> 00:00:17,536 Puedes saltar adelante si todo lo que quieres hacer es ver el truco, 7 -00:00:16,404 --> 00:00:19,724 +00:00:17,536 --> 00:00:20,227 pero si es posible, me gustaría que lo redescubras por ti mismo. 8 -00:00:19,724 --> 00:00:22,380 +00:00:20,227 --> 00:00:22,380 Entonces, para eso, expongamos un poco de contexto. 9 -00:00:23,260 --> 00:00:26,775 +00:00:23,260 --> 00:00:27,095 Como recordatorio rápido, si el efecto de una transformación lineal en un 10 -00:00:26,775 --> 00:00:29,672 +00:00:27,095 --> 00:00:30,256 vector dado es escalar ese vector mediante alguna constante, 11 -00:00:29,672 --> 00:00:31,952 +00:00:30,256 --> 00:00:32,743 lo llamamos vector propio de la transformación, 12 -00:00:31,952 --> 00:00:35,467 +00:00:32,743 --> 00:00:36,578 y llamamos al factor de escala relevante el valor propio correspondiente, 13 -00:00:35,467 --> 00:00:37,320 +00:00:36,578 --> 00:00:38,600 a menudo denotado con la letra lambda. 14 -00:00:37,320 --> 00:00:41,840 +00:00:39,840 --> 00:00:43,942 Cuando escribes esto como una ecuación y lo reorganizas un poco, 15 -00:00:41,840 --> 00:00:46,986 +00:00:43,942 --> 00:00:48,612 lo que ves es que si el número lambda es un valor propio de una matriz A, 16 -00:00:46,986 --> 00:00:52,271 +00:00:48,612 --> 00:00:53,409 entonces la matriz A menos lambda multiplicada por la identidad debe enviar 17 -00:00:52,271 --> 00:00:57,417 +00:00:53,409 --> 00:00:58,079 algún vector distinto de cero, es decir el vector propio correspondiente, 18 -00:00:57,417 --> 00:01:02,771 +00:00:58,079 --> 00:01:02,939 al vector cero, lo que a su vez significa que el determinante de esta matriz 19 -00:01:02,771 --> 00:01:04,580 +00:01:02,939 --> 00:01:04,580 modificada debe ser cero. 20 @@ -123,15 +123,15 @@ Entonces, para encontrarlos hay que aplicar la fórmula cuadrática, que normalmente requiere uno o dos pasos más de simplificación. 32 -00:01:47,760 --> 00:01:50,640 +00:01:47,760 --> 00:01:49,500 Honestamente, el proceso no es terrible. 33 -00:01:50,640 --> 00:01:52,744 +00:01:49,580 --> 00:01:52,236 Pero al menos para matrices de 2x2, hay una forma 34 -00:01:52,744 --> 00:01:54,680 +00:01:52,236 --> 00:01:54,680 mucho más directa de llegar a esta respuesta. 35 @@ -235,15 +235,15 @@ nuestro tercer hecho relevante, que es cómo puedes recuperar rápidamente dos números cuando conoces su media y conoces su producto. 60 -00:03:22,460 --> 00:03:24,700 +00:03:22,460 --> 00:03:23,720 Aquí, centrémonos en este ejemplo. 61 -00:03:24,700 --> 00:03:29,005 +00:03:24,200 --> 00:03:28,772 Sabes que los dos valores están espaciados uniformemente alrededor del número 7, 62 -00:03:29,005 --> 00:03:32,780 +00:03:28,772 --> 00:03:32,780 por lo que parecen 7 más o menos algo, llamémoslo d para la distancia. 63 @@ -287,43 +287,43 @@ Para cualquier media m y producto p, la distancia al cuadrado siempre será m al cuadrado menos p. 73 -00:04:17,560 --> 00:04:21,234 +00:04:17,560 --> 00:04:21,379 Esto nos da el tercer hecho clave, que es que cuando dos números tienen 74 -00:04:21,234 --> 00:04:24,959 +00:04:21,379 --> 00:04:25,251 una media m y un producto p, puedes escribir esos dos números como m más 75 -00:04:24,959 --> 00:04:27,562 +00:04:25,251 --> 00:04:27,956 o menos la raíz cuadrada de m al cuadrado menos p. 76 -00:04:27,562 --> 00:04:32,053 +00:04:27,956 --> 00:04:32,624 Esto es bastante rápido para volver a derivar sobre la marcha si alguna vez lo olvidas, 77 -00:04:32,053 --> 00:04:36,340 +00:04:32,624 --> 00:04:37,080 y es esencialmente solo una reformulación de la fórmula de diferencia de cuadrados. 78 -00:04:36,340 --> 00:04:41,220 +00:04:37,860 --> 00:04:41,220 Pero aún así, es un hecho que vale la pena memorizar y que está al alcance de tu mano. 79 -00:04:41,220 --> 00:04:43,707 +00:04:41,220 --> 00:04:44,310 De hecho, mi amigo Tim del canal A Capella Science nos escribió 80 -00:04:43,707 --> 00:04:46,000 +00:04:44,310 --> 00:04:47,160 un lindo jingle rápido para hacerlo un poco más memorable. 81 -00:04:46,000 --> 00:04:59,100 +00:04:51,900 --> 00:04:57,620 Déjame mostrarte cómo funciona esto, digamos para la matriz 3, 1, 4, 1. 82 -00:04:59,100 --> 00:05:01,820 +00:04:58,100 --> 00:05:01,820 Empiece por recordar la fórmula, tal vez expresándolo todo en su cabeza. 83 @@ -331,79 +331,79 @@ Empiece por recordar la fórmula, tal vez expresándolo todo en su cabeza. Pero cuando lo escribes, completas los valores apropiados de myp a medida que avanzas. 84 -00:05:12,340 --> 00:05:15,321 +00:05:12,340 --> 00:05:14,988 Entonces, en este ejemplo, la media de los valores 85 -00:05:15,321 --> 00:05:18,420 +00:05:14,988 --> 00:05:17,740 propios es la misma que la media de 3 y 1, que es 2. 86 -00:05:18,420 --> 00:05:21,980 +00:05:18,300 --> 00:05:22,700 Entonces, lo que empiezas a escribir es 2 ± sqrt(2^2 -…). 87 -00:05:21,980 --> 00:05:25,721 +00:05:23,540 --> 00:05:28,832 Entonces el producto de los valores propios es el determinante, 88 -00:05:25,721 --> 00:05:28,060 +00:05:28,832 --> 00:05:32,140 que en este ejemplo es 3*1 - 1*4, o -1. 89 -00:05:28,060 --> 00:05:31,700 +00:05:32,380 --> 00:05:34,480 Entonces eso es lo último que debes completar. 90 -00:05:31,700 --> 00:05:35,480 +00:05:34,880 --> 00:05:38,760 Esto significa que los valores propios son 2±sqrt(5). 91 -00:05:35,480 --> 00:05:39,796 +00:05:40,300 --> 00:05:43,612 Quizás reconozcas que esta es la misma matriz que estaba usando al principio, 92 -00:05:39,796 --> 00:05:43,560 +00:05:43,612 --> 00:05:46,500 pero observa cuánto más directamente podemos llegar a la respuesta. 93 -00:05:43,680 --> 00:05:45,580 +00:05:48,140 --> 00:05:49,180 Toma, prueba con otro. 94 -00:05:45,580 --> 00:05:52,060 +00:05:49,440 --> 00:05:54,480 Esta vez, la media de los valores propios es la misma que la media de 2 y 8, que es 5. 95 -00:05:52,060 --> 00:05:55,642 +00:05:55,100 --> 00:05:57,258 Entonces, nuevamente, comienzas a escribir la fórmula, 96 -00:05:55,642 --> 00:05:58,900 +00:05:57,258 --> 00:05:59,220 pero esta vez escribes 5 en lugar de m [canción]. 97 -00:05:58,900 --> 00:06:08,300 +00:06:02,980 --> 00:06:08,300 Y luego el determinante es 2*8 - 7*1, o 9. 98 -00:06:09,520 --> 00:06:14,694 +00:06:09,520 --> 00:06:15,103 Entonces, en este ejemplo, los valores propios se ven como 5 ± sqrt(16), 99 -00:06:14,694 --> 00:06:17,600 +00:06:15,103 --> 00:06:18,240 lo que se simplifica aún más como 9 y 1. 100 -00:06:17,600 --> 00:06:21,272 +00:06:19,420 --> 00:06:21,874 ¿Ves lo que quiero decir acerca de cómo básicamente puedes 101 -00:06:21,272 --> 00:06:25,380 +00:06:21,874 --> 00:06:24,620 comenzar a escribir los valores propios mientras miras la matriz? 102 -00:06:25,380 --> 00:06:28,160 +00:06:25,280 --> 00:06:28,160 Por lo general, al final es sólo una mínima simplificación. 103 @@ -475,15 +475,15 @@ lo que hace que nuestra fórmula parezca especialmente simple. ¿Qué pasa con los productos de los valores propios, los determinantes de estas matrices? 120 -00:07:29,700 --> 00:07:32,560 +00:07:29,700 --> 00:07:33,400 Para el primero, es 0 menos 1 o 1 negativo. 121 -00:07:33,200 --> 00:07:35,724 +00:07:33,400 --> 00:07:35,823 El segundo también parece 0 menos 1, pero lleva un 122 -00:07:35,724 --> 00:07:38,200 +00:07:35,823 --> 00:07:38,200 momento más verlo debido a los números complejos. 123 @@ -631,35 +631,35 @@ En mecánica cuántica, esto describiría observaciones de espín en una dirección general de un vector con coordenadas a, b, c. 159 -00:09:50,900 --> 00:09:53,383 +00:09:50,900 --> 00:09:53,883 Más específicamente, debes asumir que este vector está normalizado, 160 -00:09:53,383 --> 00:09:56,560 +00:09:53,883 --> 00:09:57,700 lo que significa que a al cuadrado más b al cuadrado más c al cuadrado es igual a uno. 161 -00:09:56,560 --> 00:10:01,371 +00:09:58,600 --> 00:10:02,999 Cuando observa esta nueva matriz, es inmediato ver que la media de los valores 162 -00:10:01,371 --> 00:10:06,121 +00:10:02,999 --> 00:10:07,343 propios sigue siendo cero, y también puede disfrutar haciendo una breve pausa 163 -00:10:06,121 --> 00:10:11,115 +00:10:07,343 --> 00:10:11,910 para confirmar que el producto de esos valores propios sigue siendo uno negativo. 164 -00:10:11,115 --> 00:10:15,500 +00:10:11,910 --> 00:10:15,920 Y luego a partir de ahí, concluir cuáles deben ser los valores propios. 165 -00:10:15,500 --> 00:10:19,540 +00:10:17,220 --> 00:10:20,400 Y esta vez, el enfoque polinomial característico sería, en comparación, 166 -00:10:19,540 --> 00:10:23,580 +00:10:20,400 --> 00:10:23,580 mucho más engorroso, definitivamente más difícil de hacer en tu cabeza. 167 @@ -719,39 +719,39 @@ Y el producto de las raíces es aún más fácil, es sólo el término constante no se necesitan ajustes. 181 -00:11:17,340 --> 00:11:23,136 +00:11:17,340 --> 00:11:19,925 Entonces, a partir de ahí, aplicarías la fórmula del producto medio, 182 -00:11:23,136 --> 00:11:25,320 +00:11:19,925 --> 00:11:20,900 y eso te dará las raíces. 183 -00:11:25,320 --> 00:11:27,633 +00:11:25,140 --> 00:11:27,538 Y, por un lado, se podría considerar esto como una 184 -00:11:27,633 --> 00:11:30,220 +00:11:27,538 --> 00:11:30,220 versión más ligera de la fórmula cuadrática tradicional. 185 -00:11:30,960 --> 00:11:34,668 +00:11:30,960 --> 00:11:34,248 Pero la verdadera ventaja no es sólo que hay menos símbolos que memorizar, 186 -00:11:34,668 --> 00:11:37,140 +00:11:34,248 --> 00:11:36,440 sino que cada uno de ellos tiene más significado. 187 -00:11:37,380 --> 00:11:40,556 +00:11:36,940 --> 00:11:40,248 Quiero decir, el objetivo de este truco de valores propios es que, 188 -00:11:40,556 --> 00:11:43,970 +00:11:40,248 --> 00:11:43,803 como puedes leer la media y el producto directamente mirando la matriz, 189 -00:11:43,970 --> 00:11:48,000 +00:11:43,803 --> 00:11:48,000 no necesitas pasar por el paso intermedio de configurar el polinomio característico. 190 @@ -763,27 +763,27 @@ Puedes pasar directamente a escribir las raíces sin pensar explícitamente en cómo se ve el polinomio. 192 -00:11:53,840 --> 00:11:56,104 +00:11:53,840 --> 00:11:56,228 Pero para hacer eso, necesitamos una versión de la fórmula 193 -00:11:56,104 --> 00:11:58,560 +00:11:56,228 --> 00:11:58,820 cuadrática donde los términos tengan algún tipo de significado. 194 -00:11:58,560 --> 00:12:02,610 +00:12:00,380 --> 00:12:03,769 Me doy cuenta de que este es un truco muy específico para una audiencia muy específica, 195 -00:12:02,610 --> 00:12:04,958 +00:12:03,769 --> 00:12:05,733 pero es algo que desearía saber en la universidad, 196 -00:12:04,958 --> 00:12:08,180 +00:12:05,733 --> 00:12:08,429 así que si conoces a algún estudiante que pueda beneficiarse de esto, 197 -00:12:08,180 --> 00:12:09,700 +00:12:08,429 --> 00:12:09,700 considera compartirlo con ellos. 198 diff --git a/2021/quick-eigen/ukrainian/auto_generated.srt b/2021/quick-eigen/ukrainian/auto_generated.srt index a8431fd64..c4c68e145 100644 --- a/2021/quick-eigen/ukrainian/auto_generated.srt +++ b/2021/quick-eigen/ukrainian/auto_generated.srt @@ -7,59 +7,59 @@ і кому може сподобатися швидкий спосіб їх обчислення у випадку матриць 2x2. 3 -00:00:08,580 --> 00:00:12,880 +00:00:08,580 --> 00:00:13,700 Якщо ви не знайомі з власними значеннями, подивіться це відео, яке ознайомлює з ними. 4 -00:00:12,880 --> 00:00:16,197 +00:00:14,680 --> 00:00:17,368 Ви можете пропустити вперед, якщо ви просто хочете побачити трюк, 5 -00:00:16,197 --> 00:00:19,565 +00:00:17,368 --> 00:00:20,098 але якщо можливо, я хотів би, щоб ви знову відкрили його для себе, 6 -00:00:19,565 --> 00:00:22,380 +00:00:20,098 --> 00:00:22,380 тож для цього давайте трохи розповімо про передісторію. 7 -00:00:23,260 --> 00:00:26,692 +00:00:23,260 --> 00:00:27,005 Як швидке нагадування, якщо результатом лінійного перетворення на даному 8 -00:00:26,692 --> 00:00:28,996 +00:00:27,005 --> 00:00:29,519 векторі є його масштабування на певну константу, 9 -00:00:28,996 --> 00:00:31,301 +00:00:29,519 --> 00:00:32,033 ми називаємо це «власним вектором» перетворення, 10 -00:00:31,301 --> 00:00:35,297 +00:00:32,033 --> 00:00:36,393 а відповідний коефіцієнт масштабування ми називаємо відповідним «власним значенням», 11 -00:00:35,297 --> 00:00:37,320 +00:00:36,393 --> 00:00:38,600 яке часто позначається як з буквою лямбда. 12 -00:00:37,320 --> 00:00:42,337 +00:00:39,840 --> 00:00:44,393 Коли ви записуєте це у вигляді рівняння та трохи змінюєте порядок, 13 -00:00:42,337 --> 00:00:47,055 +00:00:44,393 --> 00:00:48,675 ви бачите, що якщо число лямбда є власним значенням матриці A, 14 -00:00:47,055 --> 00:00:52,522 +00:00:48,675 --> 00:00:53,637 то матриця (A мінус лямбда, помножена на ідентичність) повинна надіслати 15 -00:00:52,522 --> 00:00:58,663 +00:00:53,637 --> 00:00:59,210 деякий ненульовий вектор, а саме відповідний власний вектор до нульового вектора, 16 -00:00:58,663 --> 00:01:04,580 +00:00:59,210 --> 00:01:04,580 що, у свою чергу, означає, що визначник цієї модифікованої матриці має бути 0. 17 @@ -111,11 +111,11 @@ яка сама зазвичай вимагає ще одного або двох кроків спрощення. 29 -00:01:47,760 --> 00:01:50,640 +00:01:47,760 --> 00:01:49,500 Чесно кажучи, процес не страшний. 30 -00:01:50,640 --> 00:01:54,680 +00:01:49,580 --> 00:01:54,680 Але принаймні для матриць 2x2 є набагато більш прямий спосіб отримати цю відповідь. 31 @@ -203,19 +203,19 @@ їх середнє значення та добуток. 52 -00:03:22,460 --> 00:03:24,700 +00:03:22,460 --> 00:03:23,720 Зупинимося на цьому прикладі. 53 -00:03:24,700 --> 00:03:27,780 +00:03:24,200 --> 00:03:27,471 Ви знаєте, що два значення рівномірно розподілені навколо 7, 54 -00:03:27,780 --> 00:03:32,072 +00:03:27,471 --> 00:03:32,029 тому вони виглядають як 7 плюс або мінус щось; давайте назвемо це щось "d" 55 -00:03:32,072 --> 00:03:32,780 +00:03:32,029 --> 00:03:32,780 для відстані. 56 @@ -255,47 +255,47 @@ d^2 дорівнює 7^2 - 40 або 9, що означає, що саме d д Для будь-якого середнього, m і добутку, p, квадрат відстані завжди дорівнюватиме m^2 - p. 65 -00:04:17,560 --> 00:04:20,628 +00:04:17,560 --> 00:04:20,749 Це дає третій ключовий факт, який полягає в тому, 66 -00:04:20,628 --> 00:04:24,065 +00:04:20,749 --> 00:04:24,321 що коли два числа мають середнє значення m і добуток p, 67 -00:04:24,065 --> 00:04:27,379 +00:04:24,321 --> 00:04:27,766 ви можете записати ці два числа як m ± sqrt(m^2 - p). 68 -00:04:27,379 --> 00:04:32,412 +00:04:27,766 --> 00:04:32,997 Це досить швидко для повторного визначення на льоту, якщо ви ніколи не забувайте, 69 -00:04:32,412 --> 00:04:36,340 +00:04:32,997 --> 00:04:37,080 і це, по суті, просто перефразування формули різниці квадратів. 70 -00:04:36,340 --> 00:04:41,220 +00:04:37,860 --> 00:04:41,220 Але навіть це факт, який варто запам’ятати, щоб мати його на кінчиках пальців. 71 -00:04:41,220 --> 00:04:44,244 +00:04:41,220 --> 00:04:44,978 Насправді мій друг Тім з каналу acapellascience написав для нас короткий джингл, 72 -00:04:44,244 --> 00:04:46,000 +00:04:44,978 --> 00:04:47,160 щоб зробити його трохи більш запам’ятовуваним. 73 -00:04:46,000 --> 00:04:52,819 +00:04:51,900 --> 00:04:54,877 m плюс або мінус squaaaare корінь з me в квадраті мінус p (ping!) Дозвольте 74 -00:04:52,819 --> 00:04:59,100 +00:04:54,877 --> 00:04:57,620 мені показати вам, як це працює, скажімо, для матриці [[3,1], [4,1]]. 75 -00:04:59,100 --> 00:05:01,820 +00:04:58,100 --> 00:05:01,820 Ви починаєте з того, що згадуєте формулу, можливо, викладаючи все це в своїй голові. 76 @@ -303,71 +303,71 @@ m плюс або мінус squaaaare корінь з me в квадраті м Але коли ви записуєте це, ви заповнюєте відповідні значення m і p по ходу. 77 -00:05:12,340 --> 00:05:18,420 +00:05:12,340 --> 00:05:17,740 Отже, у цьому прикладі середнє власних значень таке ж, як середнє 3 і 1, тобто 2. 78 -00:05:18,420 --> 00:05:21,980 +00:05:18,300 --> 00:05:22,700 Отже, те, що ви починаєте писати, це 2 ± sqrt(2^2 - …). 79 -00:05:21,980 --> 00:05:27,542 +00:05:23,540 --> 00:05:31,408 Тоді добуток власних значень є визначником, який у цьому прикладі дорівнює 3*1 - 1*4, 80 -00:05:27,542 --> 00:05:28,060 +00:05:31,408 --> 00:05:32,140 або -1. 81 -00:05:28,060 --> 00:05:31,700 +00:05:32,380 --> 00:05:34,480 Тож це останнє, що ви заповнюєте. 82 -00:05:31,700 --> 00:05:35,480 +00:05:34,880 --> 00:05:38,760 Це означає, що власні значення дорівнюють 2±sqrt(5). 83 -00:05:35,480 --> 00:05:40,007 +00:05:40,300 --> 00:05:43,773 Можливо, ви впізнаєте, що це та сама матриця, яку я використовував на початку, 84 -00:05:40,007 --> 00:05:43,560 +00:05:43,773 --> 00:05:46,500 але зауважте, наскільки чіткіше ми можемо отримати відповідь. 85 -00:05:43,680 --> 00:05:45,580 +00:05:48,140 --> 00:05:49,180 Ось, спробуй інший. 86 -00:05:45,580 --> 00:05:52,060 +00:05:49,440 --> 00:05:54,480 Цього разу середнє власних значень таке ж, як середнє 2 і 8, тобто 5. 87 -00:05:52,060 --> 00:05:58,900 +00:05:55,100 --> 00:05:59,220 Отже, ви знову починаєте писати формулу, але цього разу пишете 5 замість m [пісня]. 88 -00:05:58,900 --> 00:06:08,300 +00:06:02,980 --> 00:06:08,300 І тоді визначник 2*8 - 7*1 або 9. 89 -00:06:09,520 --> 00:06:15,044 +00:06:09,520 --> 00:06:15,481 Отже, у цьому прикладі власні значення виглядають як 5 ± sqrt(16), 90 -00:06:15,044 --> 00:06:17,600 +00:06:15,481 --> 00:06:18,240 що ще більше спрощує як 9 і 1. 91 -00:06:17,600 --> 00:06:21,589 +00:06:19,420 --> 00:06:22,086 Ви розумієте, що я маю на увазі про те, як ви можете просто 92 -00:06:21,589 --> 00:06:25,380 +00:06:22,086 --> 00:06:24,620 почати записувати власні значення, дивлячись на матрицю? 93 -00:06:25,380 --> 00:06:28,160 +00:06:25,280 --> 00:06:28,160 Зазвичай це лише найменше спрощення в кінці. 94 @@ -435,15 +435,15 @@ m плюс або мінус squaaaare корінь з me в квадраті м А як щодо добутків власних значень, детермінантів цих матриць? 110 -00:07:29,700 --> 00:07:32,560 +00:07:29,700 --> 00:07:33,400 Для першого це 0 - 1 або -1. 111 -00:07:33,200 --> 00:07:36,350 +00:07:33,400 --> 00:07:36,424 Другий також виглядає як 0 - 1, але він потребує трохи більше, 112 -00:07:36,350 --> 00:07:38,200 +00:07:36,424 --> 00:07:38,200 щоб побачити через комплексні числа. 113 @@ -587,35 +587,35 @@ m плюс або мінус squaaaare корінь з me в квадраті м в загальному напрямку вектора з координатами [a, b, c]. 148 -00:09:50,900 --> 00:09:56,560 +00:09:50,900 --> 00:09:57,700 Точніше, ви повинні припустити, що цей вектор нормалізований, тобто a^2 + b^2 + c^2 = 1. 149 -00:09:56,560 --> 00:10:00,132 +00:09:58,600 --> 00:10:01,866 Коли ви дивитеся на цю нову матрицю, відразу бачите, 150 -00:10:00,132 --> 00:10:03,435 +00:10:01,866 --> 00:10:04,886 що середнє власних значень все ще дорівнює нулю, 151 -00:10:03,435 --> 00:10:08,085 +00:10:04,886 --> 00:10:09,139 і ви можете також насолоджуватися короткою паузою, щоб переконатися, 152 -00:10:08,085 --> 00:10:11,523 +00:10:09,139 --> 00:10:12,283 що добуток цих власних значень все ще дорівнює -1, 153 -00:10:11,523 --> 00:10:15,500 +00:10:12,283 --> 00:10:15,920 а потім з цього висновку якими мають бути власні значення. 154 -00:10:15,500 --> 00:10:20,573 +00:10:17,220 --> 00:10:21,213 І цього разу характерний поліноміальний підхід був би набагато більш громіздким, 155 -00:10:20,573 --> 00:10:23,580 +00:10:21,213 --> 00:10:23,580 безперечно важчим для виконання у вашій голові. 156 @@ -675,39 +675,39 @@ m плюс або мінус squaaaare корінь з me в квадраті м А добуток коренів ще простіше, це просто постійний член, без коригувань. 170 -00:11:17,340 --> 00:11:25,320 +00:11:17,340 --> 00:11:20,900 Отже, звідти ви б застосували формулу середнього продукту, і це дає вам коріння. 171 -00:11:25,320 --> 00:11:27,643 +00:11:25,140 --> 00:11:27,549 З одного боку, ви можете думати про це як про 172 -00:11:27,643 --> 00:11:30,220 +00:11:27,549 --> 00:11:30,220 полегшену версію традиційної квадратичної формули. 173 -00:11:30,960 --> 00:11:35,188 +00:11:30,960 --> 00:11:34,709 Але справжня перевага полягає в тому, що потрібно запам’ятати менше символів, 174 -00:11:35,188 --> 00:11:37,140 +00:11:34,709 --> 00:11:36,440 а кожен із них має більше значення. 175 -00:11:37,380 --> 00:11:39,947 +00:11:36,940 --> 00:11:39,614 Вся суть цього трюку з власними значеннями полягає в тому, 176 -00:11:39,947 --> 00:11:43,212 +00:11:39,614 --> 00:11:43,013 що оскільки ви можете зчитувати середнє значення та добуток безпосередньо, 177 -00:11:43,212 --> 00:11:46,781 +00:11:43,013 --> 00:11:46,730 дивлячись на матрицю, вам не потрібно проходити через проміжний крок встановлення 178 -00:11:46,781 --> 00:11:48,000 +00:11:46,730 --> 00:11:48,000 характеристичного полінома. 179 @@ -719,19 +719,19 @@ m плюс або мінус squaaaare корінь з me в квадраті м як виглядає поліном. 181 -00:11:53,840 --> 00:11:58,560 +00:11:53,840 --> 00:11:58,820 Але для цього нам потрібна версія квадратичної формули, де терміни мають певне значення. 182 -00:11:58,560 --> 00:12:02,558 +00:12:00,380 --> 00:12:03,725 Я розумію, що це дуже специфічний трюк для дуже конкретної аудиторії, 183 -00:12:02,558 --> 00:12:07,072 +00:12:03,725 --> 00:12:07,501 але я хотів би знати про це в коледжі, тож якщо ви випадково знаєте студентів, 184 -00:12:07,072 --> 00:12:09,700 +00:12:07,501 --> 00:12:09,700 яким це може бути корисно, поділіться з ними. 185 diff --git a/2021/quick-eigen/vietnamese/auto_generated.srt b/2021/quick-eigen/vietnamese/auto_generated.srt index 06b4662f2..31482031d 100644 --- a/2021/quick-eigen/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2021/quick-eigen/vietnamese/auto_generated.srt @@ -1,568 +1,784 @@ 1 -00:00:00,060 --> 00:00:01,989 -Đây là video dành cho những ai đã biết giá trị riêng và vectơ riêng là gì cũng +00:00:00,000 --> 00:00:03,780 +Đây là video dành cho những ai đã biết giá trị riêng và vectơ riêng là gì cũng như 2 -00:00:04,000 --> 00:00:07,680 -như những người có thể thích cách tính chúng nhanh chóng trong trường hợp ma trận 2x2. +00:00:03,780 --> 00:00:07,560 +những người có thể thích cách tính chúng nhanh chóng trong trường hợp ma trận 2x2. 3 -00:00:08,480 --> 00:00:11,920 -Nếu bạn không quen với các giá trị riêng, hãy tiếp tục và xem video này ở đây, +00:00:08,580 --> 00:00:11,950 +Nếu bạn không quen với các giá trị riêng, hãy tiếp tục và xem video này ở đây, 4 -00:00:11,920 --> 00:00:16,560 -video này thực ra nhằm giới thiệu chúng. Bạn có thể bỏ qua phần tiếp theo nếu tất cả những gì +00:00:11,950 --> 00:00:13,700 +video này thực ra nhằm giới thiệu chúng. 5 -00:00:16,560 --> 00:00:20,960 -bạn muốn làm là xem thủ thuật, nhưng nếu có thể, tôi muốn bạn tự mình khám phá lại nó. Vì vậy, chúng ta +00:00:14,680 --> 00:00:17,946 +Bạn có thể bỏ qua phần tiếp theo nếu tất cả những gì bạn muốn làm là xem thủ thuật, 6 -00:00:20,960 --> 00:00:25,360 -hãy trình bày một chút thông tin cơ bản. Xin nhắc lại, nếu hiệu ứng của phép biến đổi tuyến tính trên +00:00:17,946 --> 00:00:20,435 +nhưng nếu có thể, tôi muốn bạn tự mình khám phá lại nó. Vì vậy, 7 -00:00:25,360 --> 00:00:31,040 -một vectơ nhất định là chia tỷ lệ vectơ đó theo một hằng số nào đó, thì chúng ta gọi nó là +00:00:20,435 --> 00:00:22,380 +chúng ta hãy trình bày một chút thông tin cơ bản. 8 -00:00:31,040 --> 00:00:36,880 -vectơ riêng của phép biến đổi và chúng ta gọi hệ số tỷ lệ liên quan là giá trị riêng tương ứng, +00:00:23,260 --> 00:00:27,028 +Xin nhắc lại, nếu hiệu ứng của phép biến đổi tuyến tính trên một vectơ 9 -00:00:36,880 --> 00:00:42,000 -thường được ký hiệu bằng chữ cái lambda. Khi bạn viết cái này dưới dạng một phương trình, và sắp +00:00:27,028 --> 00:00:30,107 +nhất định là chia tỷ lệ vectơ đó theo một hằng số nào đó, 10 -00:00:42,000 --> 00:00:51,200 -xếp lại một chút, điều bạn thấy là nếu số lambda là giá trị riêng của ma trận A, thì +00:00:30,107 --> 00:00:33,928 +thì chúng ta gọi nó là vectơ riêng của phép biến đổi và chúng ta gọi hệ 11 -00:00:51,280 --> 00:00:57,440 -ma trận A trừ lambda nhân đẳng thức phải gửi một vectơ khác 0, cụ thể là vectơ riêng tương +00:00:33,928 --> 00:00:38,600 +số tỷ lệ liên quan là giá trị riêng tương ứng, thường được ký hiệu bằng chữ cái lambda. 12 -00:00:57,440 --> 00:01:03,600 -ứng với vectơ 0, điều này có nghĩa là định thức của ma trận được sửa đổi này phải +00:00:39,840 --> 00:00:45,525 +Khi bạn viết cái này dưới dạng một phương trình, và sắp xếp lại một chút, 13 -00:01:03,600 --> 00:01:09,680 -bằng 0. Được rồi, điều đó hơi khó nói, nhưng một lần nữa, tôi cho rằng tất cả những điều này chỉ là đánh +00:00:45,525 --> 00:00:50,366 +điều bạn thấy là nếu số lambda là giá trị riêng của ma trận A, 14 -00:01:09,680 --> 00:01:15,920 -giá cho bất kỳ ai trong số các bạn đang xem. Vì vậy, cách thông thường để tính giá trị riêng, +00:00:50,366 --> 00:00:55,513 +thì ma trận A trừ lambda nhân đẳng thức phải gửi một vectơ khác 0, 15 -00:01:15,920 --> 00:01:19,680 -cách tôi đã từng làm và cách tôi tin rằng hầu hết học sinh được dạy để thực +00:00:55,513 --> 00:01:01,660 +cụ thể là vectơ riêng tương ứng với vectơ 0, điều này có nghĩa là định thức của 16 -00:01:19,680 --> 00:01:24,880 -hiện, là trừ giá trị chưa biết lambda khỏi các đường chéo, rồi giải khi nào định thức +00:01:01,660 --> 00:01:04,580 +ma trận được sửa đổi này phải bằng 0. 17 -00:01:24,880 --> 00:01:31,680 -bằng 0 . Việc thực hiện điều này luôn bao gồm một số bước bổ sung để mở rộng và đơn giản hóa +00:01:06,120 --> 00:01:08,028 +Được rồi, điều đó hơi khó nói, nhưng một lần nữa, 18 -00:01:31,680 --> 00:01:37,360 -để có được một đa thức bậc hai rõ ràng, còn được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận. Các +00:01:08,028 --> 00:01:10,738 +tôi cho rằng tất cả những điều này chỉ là đánh giá cho bất kỳ ai trong 19 -00:01:37,360 --> 00:01:42,160 -giá trị riêng là nghiệm của đa thức này, do đó, để tìm chúng, bạn phải áp dụng công +00:01:10,738 --> 00:01:11,540 +số các bạn đang xem. 20 -00:01:42,160 --> 00:01:46,480 -thức bậc hai, bản thân công thức này thường yêu cầu một hoặc hai bước đơn giản hóa nữa. +00:01:12,820 --> 00:01:15,724 +Vì vậy, cách thông thường để tính giá trị riêng, 21 -00:01:47,440 --> 00:01:53,280 -Thành thật mà nói, quá trình này không có gì đáng lo ngại, nhưng ít nhất đối với ma trận 2x2, có một cách trực tiếp hơn nhiều để +00:01:15,724 --> 00:01:20,584 +cách tôi đã từng làm và cách tôi tin rằng hầu hết học sinh được dạy để thực hiện, 22 -00:01:53,280 --> 00:01:57,920 -bạn có thể tìm ra câu trả lời. Và nếu bạn muốn khám phá lại thủ thuật này, chỉ có ba sự thật +00:01:20,584 --> 00:01:25,860 +là trừ giá trị chưa biết lambda khỏi các đường chéo, rồi giải khi nào định thức bằng 0 . 23 -00:01:57,920 --> 00:02:01,680 -liên quan mà bạn cần biết, mỗi sự thật đều đáng biết theo cách riêng của nó và có thể giúp bạn +00:01:27,760 --> 00:01:32,135 +Việc thực hiện điều này luôn bao gồm một số bước bổ sung để mở rộng và đơn giản hóa để 24 -00:02:01,680 --> 00:02:07,600 -giải quyết vấn đề khác. Số một, vết của ma trận, là tổng của hai phần tử chéo +00:01:32,135 --> 00:01:36,460 +có được một đa thức bậc hai rõ ràng, còn được gọi là "đa thức đặc trưng của ma trận". 25 -00:02:07,600 --> 00:02:13,520 -này, bằng tổng các giá trị riêng. Hoặc một cách khác để diễn đạt nó, hữu ích hơn cho mục đích +00:01:37,360 --> 00:01:39,900 +Các giá trị riêng là nghiệm của đa thức này. 26 -00:02:13,760 --> 00:02:18,960 -của chúng ta, đó là giá trị trung bình của hai giá trị riêng giống với giá trị trung bình của hai phần tử đường chéo +00:01:40,100 --> 00:01:42,902 +Do đó, để tìm chúng, bạn phải áp dụng công thức bậc hai, 27 -00:02:18,960 --> 00:02:27,760 -này. Số hai, định thức của ma trận, công thức ad-bc thông thường của chúng ta, bằng tích của +00:01:42,902 --> 00:01:46,540 +bản thân công thức này thường yêu cầu một hoặc hai bước đơn giản hóa nữa. 28 -00:02:27,760 --> 00:02:32,480 -hai giá trị riêng. Và điều này sẽ khá hợp lý nếu bạn hiểu rằng các giá trị riêng mô tả +00:01:47,760 --> 00:01:49,500 +Thành thật mà nói, quá trình này không tệ, 29 -00:02:32,480 --> 00:02:37,520 -mức độ mà một toán tử kéo dài không gian theo một hướng cụ thể và định thức mô tả mức độ mà +00:01:49,580 --> 00:01:52,205 +nhưng ít nhất đối với ma trận 2x2, có một cách trực 30 -00:02:37,520 --> 00:02:43,440 -một toán tử chia tỷ lệ cho các diện tích hoặc thể tích nói chung. Bây giờ trước khi chuyển sang thực +00:01:52,205 --> 00:01:54,680 +tiếp hơn nhiều để bạn có thể tìm ra câu trả lời. 31 -00:02:43,440 --> 00:02:48,000 -tế thứ ba, hãy chú ý cách về cơ bản bạn có thể đọc hai giá trị đầu tiên này ra khỏi ma trận mà +00:01:55,400 --> 00:01:59,087 +Và nếu bạn muốn khám phá lại thủ thuật này, chỉ có ba sự thật liên quan mà bạn cần biết, 32 -00:02:48,000 --> 00:02:52,960 -không cần phải viết ra nhiều. Lấy ma trận này ở đây làm ví dụ. Ngay lập tức, bạn có thể biết rằng giá trị +00:01:59,087 --> 00:02:01,532 +mỗi sự thật đều đáng biết theo cách riêng của nó và có thể 33 -00:02:52,960 --> 00:03:00,720 -trung bình của các giá trị riêng bằng giá trị trung bình của 8 và 6, tức là 7. Tương tự như vậy, hầu hết +00:02:01,532 --> 00:02:02,900 +giúp bạn giải quyết vấn đề khác. 34 -00:03:00,720 --> 00:03:05,040 -học sinh đại số tuyến tính đều được luyện tập khá tốt trong việc tìm định thức, trong trường hợp này kết +00:02:03,820 --> 00:02:10,919 +Số một, vết của ma trận, là tổng của hai phần tử chéo này, bằng tổng các giá trị riêng. 35 -00:03:05,040 --> 00:03:11,680 -quả là 48 trừ 8. Vì vậy, ngay lập tức, bạn biết rằng tích của hai giá trị riêng là 40. +00:02:11,700 --> 00:02:14,855 +Hoặc một cách khác để diễn đạt nó, hữu ích hơn cho mục đích của chúng ta, 36 -00:03:12,720 --> 00:03:17,360 -Bây giờ hãy dành một chút thời gian để xem liệu bạn có thể rút ra được thực tế liên quan thứ ba của chúng ta hay +00:02:14,855 --> 00:02:17,456 +đó là giá trị trung bình của hai giá trị riêng giống với giá 37 -00:03:17,360 --> 00:03:22,480 -không, đó là cách bạn có thể nhanh chóng tìm ra hai số khi bạn biết giá trị trung bình và tích của chúng. Ở đây, +00:02:17,456 --> 00:02:19,460 +trị trung bình của hai phần tử đường chéo này. 38 -00:03:22,480 --> 00:03:27,760 -hãy tập trung vào ví dụ này. Bạn biết rằng hai giá trị cách đều nhau xung quanh số 7, nên +00:02:21,000 --> 00:02:26,505 +Số hai, định thức của ma trận, công thức ad-bc thông thường của chúng ta, 39 -00:03:27,760 --> 00:03:32,720 -chúng trông giống như 7 cộng hoặc trừ gì đó, hãy gọi đó là d cho khoảng cách. +00:02:26,505 --> 00:02:28,960 +bằng tích của hai giá trị riêng. 40 -00:03:33,680 --> 00:03:36,320 -Bạn cũng biết rằng tích của hai số này là 40. +00:02:30,060 --> 00:02:33,942 +Và điều này sẽ khá hợp lý nếu bạn hiểu rằng các giá trị riêng mô tả mức độ 41 -00:03:38,400 --> 00:03:43,120 -Bây giờ để tìm d, hãy chú ý rằng tích này mở rộng rất đẹp, nó hoạt động như một sự khác biệt của các hình +00:02:33,942 --> 00:02:37,825 +mà một toán tử kéo dài không gian theo một hướng cụ thể và định thức mô tả 42 -00:03:43,120 --> 00:03:51,680 -vuông. Vì vậy, từ đó, bạn có thể trực tiếp tìm thấy d. d bình phương là 7 bình trừ 40, hay 9, có nghĩa là +00:02:37,825 --> 00:02:41,760 +mức độ mà một toán tử chia tỷ lệ cho các diện tích hoặc thể tích nói chung. 43 -00:03:51,680 --> 00:04:00,480 -chính d bằng 3. Nói cách khác, hai giá trị cho ví dụ rất cụ thể này là 4 và +00:02:42,800 --> 00:02:45,900 +Bây giờ trước khi chuyển sang thực tế thứ ba, hãy chú ý cách về cơ bản bạn có 44 -00:04:00,560 --> 00:04:05,760 -10. Nhưng mục tiêu của chúng ta là một thủ thuật nhanh và bạn sẽ không muốn mỗi lần phải nghĩ đến điều này, vì +00:02:45,900 --> 00:02:49,160 +thể đọc hai giá trị đầu tiên này ra khỏi ma trận mà không cần phải viết ra nhiều. 45 -00:04:05,760 --> 00:04:11,280 -vậy hãy tóm tắt những gì chúng ta vừa làm trong một công thức chung. Với bất kỳ giá trị trung bình +00:02:49,760 --> 00:02:51,320 +Lấy ma trận này ở đây làm ví dụ. 46 -00:04:11,920 --> 00:04:15,520 -m và tích p nào, bình phương khoảng cách luôn bằng m bình phương trừ p. +00:02:51,820 --> 00:02:54,869 +Ngay lập tức, bạn có thể biết rằng giá trị trung bình của các 47 -00:04:17,600 --> 00:04:22,960 -Điều này đưa ra thực tế quan trọng thứ ba, đó là khi hai số có trung bình m và tích p, +00:02:54,869 --> 00:02:57,820 +giá trị riêng bằng giá trị trung bình của 8 và 6, tức là 7. 48 -00:04:22,960 --> 00:04:28,240 -bạn có thể viết hai số đó dưới dạng m cộng hoặc trừ căn bậc hai của m bình trừ p. +00:02:59,580 --> 00:03:03,582 +Tương tự như vậy, hầu hết học sinh đại số tuyến tính đều được luyện tập 49 -00:04:29,040 --> 00:04:32,960 -Điều này có thể được tìm lại nhanh chóng nếu bạn quên và về cơ bản +00:03:03,582 --> 00:03:07,808 +khá tốt trong việc tìm định thức, trong trường hợp này kết quả là 48 trừ 8. 50 -00:04:32,960 --> 00:04:36,160 -nó chỉ là cách diễn đạt lại sự khác biệt của công thức bình phương. +00:03:07,808 --> 00:03:11,700 +Vì vậy, ngay lập tức, bạn biết rằng tích của hai giá trị riêng là 40. 51 -00:04:36,960 --> 00:04:40,880 -Nhưng dù vậy, đó là một sự thật đáng ghi nhớ nên nó nằm trong tầm tay bạn. +00:03:12,780 --> 00:03:15,626 +Bây giờ hãy dành một chút thời gian để xem liệu bạn có thể rút ra được 52 -00:04:40,880 --> 00:04:45,200 -Trên thực tế, bạn tôi, Tim, từ kênh A Capella Science đã viết cho chúng tôi một đoạn nhạc ngắn hay và thú vị để khiến nó +00:03:15,626 --> 00:03:17,590 +thực tế liên quan thứ ba của chúng ta hay không, 53 -00:04:45,200 --> 00:04:56,880 -trở nên đáng nhớ hơn một chút. Hãy để tôi chỉ cho bạn cách thức hoạt động của nó, chẳng hạn đối với ma trận 3, 1, 4, 1. +00:03:17,590 --> 00:03:20,597 +đó là cách bạn có thể nhanh chóng tìm ra hai số khi bạn biết giá trị trung 54 -00:04:57,120 --> 00:05:01,600 -Bạn bắt đầu bằng cách ghi nhớ công thức, có thể ghi nhớ tất cả trong đầu. +00:03:20,597 --> 00:03:21,560 +bình và tích của chúng. 55 -00:05:06,560 --> 00:05:11,440 -Nhưng khi bạn viết nó ra, bạn sẽ điền vào các giá trị thích hợp cho m và p. +00:03:22,460 --> 00:03:23,720 +Ở đây, hãy tập trung vào ví dụ này. 56 -00:05:12,080 --> 00:05:17,520 -Vì vậy, trong ví dụ này, giá trị trung bình của các giá trị riêng giống với giá trị trung +00:03:24,200 --> 00:03:27,718 +Bạn biết rằng hai giá trị cách đều nhau xung quanh số 7, 57 -00:05:18,080 --> 00:05:22,640 -bình của 3 và 1, tức là 2, vậy số bạn bắt đầu viết là 2 cộng hoặc trừ căn +00:03:27,718 --> 00:03:32,780 +nên chúng trông giống như 7 cộng hoặc trừ gì đó, hãy gọi đó là d cho khoảng cách. 58 -00:05:23,440 --> 00:05:29,120 -bậc hai của 2 bình phương trừ, sau đó là tích của các giá trị riêng là định thức, trong +00:03:33,560 --> 00:03:36,380 +Bạn cũng biết rằng tích của hai số này là 40. 59 -00:05:29,120 --> 00:05:34,000 -ví dụ này là 3 nhân 1 trừ 1 nhân 4, hoặc âm 1, vậy đó là kết quả cuối +00:03:38,600 --> 00:03:41,262 +Bây giờ để tìm d, hãy chú ý rằng tích này mở rộng rất đẹp, 60 -00:05:34,800 --> 00:05:38,640 -cùng bạn điền vào, nghĩa là giá trị riêng là 2 cộng hoặc trừ căn bậc hai của 5. +00:03:41,262 --> 00:03:43,700 +nó hoạt động như một sự khác biệt của các hình vuông. 61 -00:05:40,160 --> 00:05:43,840 -Bạn có thể nhận ra rằng đây chính là ma trận mà tôi đã sử dụng lúc đầu, nhưng +00:03:44,560 --> 00:03:48,249 +Vì vậy, từ đó, bạn có thể trực tiếp tìm thấy d. 62 -00:05:43,840 --> 00:05:46,400 -hãy chú ý xem chúng ta có thể nhận được câu trả lời trực tiếp hơn bao nhiêu. +00:03:48,249 --> 00:03:53,400 +d bình phương là 7 bình trừ 40, hay 9, có nghĩa là chính d bằng 3. 63 -00:05:48,000 --> 00:05:52,480 -Đây, thử cái khác xem. Lần này, giá trị trung bình của các giá trị riêng giống với giá trị trung bình của +00:03:56,380 --> 00:04:01,100 +Nói cách khác, hai giá trị cho ví dụ rất cụ thể này là 4 và 10. 64 -00:05:53,040 --> 00:05:56,960 -2 và 8, tức là 5. Vì vậy, một lần nữa, bạn bắt đầu viết công thức, nhưng lần này +00:04:01,680 --> 00:04:04,973 +Nhưng mục tiêu của chúng ta là một thủ thuật nhanh và bạn sẽ không muốn mỗi lần phải nghĩ 65 -00:05:56,960 --> 00:06:06,640 -viết 5 thay cho m, và khi đó định thức là 2 nhân 8 trừ 7 nhân 1, hoặc 9. +00:04:04,973 --> 00:04:08,120 +đến điều này, vì vậy hãy tóm tắt những gì chúng ta vừa làm trong một công thức chung. 66 -00:06:07,360 --> 00:06:14,240 -Vì vậy, trong ví dụ này, các giá trị riêng trông giống như 5 cộng hoặc trừ căn bậc hai của 16, thậm chí +00:04:08,640 --> 00:04:11,883 +Với bất kỳ giá trị trung bình m và tích p nào, 67 -00:06:15,440 --> 00:06:21,280 -còn đơn giản hóa hơn nữa thành 9 và 1. Bạn hiểu ý tôi về cách về cơ bản bạn có thể +00:04:11,883 --> 00:04:15,680 +bình phương khoảng cách luôn bằng m bình phương trừ p. 68 -00:06:21,520 --> 00:06:25,040 -bắt đầu viết ra các giá trị riêng trong khi bạn đang nhìn chằm chằm vào ma trận phải không? +00:04:17,560 --> 00:04:23,146 +Điều này đưa ra thực tế quan trọng thứ ba, đó là khi hai số có trung bình m và tích p, 69 -00:06:25,040 --> 00:06:28,000 -Cuối cùng, nó thường chỉ là một chút đơn giản hóa nhỏ nhất. +00:04:23,146 --> 00:04:28,411 +bạn có thể viết hai số đó dưới dạng m cộng hoặc trừ căn bậc hai của m bình trừ p. 70 -00:06:28,880 --> 00:06:32,720 -Thành thật mà nói, tôi thấy mình đã sử dụng thủ thuật này rất nhiều khi phác thảo các ghi chú nhanh liên quan đến +00:04:28,411 --> 00:04:33,355 +Điều này có thể được tìm lại nhanh chóng nếu bạn quên và về cơ bản nó chỉ là 71 -00:06:32,720 --> 00:06:37,280 -đại số tuyến tính và muốn sử dụng các ma trận nhỏ làm ví dụ. Tôi đang làm một video về số mũ ma +00:04:33,355 --> 00:04:37,080 +cách diễn đạt lại sự khác biệt của công thức bình phương. 72 -00:06:37,280 --> 00:06:42,560 -trận, trong đó các giá trị riêng xuất hiện rất nhiều và tôi nhận ra rằng sẽ rất hữu ích nếu +00:04:37,860 --> 00:04:41,220 +Nhưng dù vậy, đó là một sự thật đáng ghi nhớ nên nó nằm trong tầm tay bạn. 73 -00:06:42,560 --> 00:06:46,880 -học sinh có thể đọc các giá trị riêng từ các ví dụ nhỏ mà không làm mất dòng suy nghĩ chính +00:04:41,220 --> 00:04:44,190 +Trên thực tế, bạn tôi, Tim, từ kênh A Capella Science đã viết cho chúng tôi 74 -00:06:46,880 --> 00:06:52,160 -do bị sa lầy vào một cách khác. phép tính. Một ví dụ thú vị khác, hãy xem bộ ba ma +00:04:44,190 --> 00:04:47,160 +một đoạn nhạc ngắn hay và thú vị để khiến nó trở nên đáng nhớ hơn một chút. 75 -00:06:52,160 --> 00:06:56,240 -trận khác nhau này, chúng xuất hiện rất nhiều trong cơ học lượng tử. Chúng được gọi là ma +00:04:51,900 --> 00:04:57,620 +Hãy để tôi chỉ cho bạn cách thức hoạt động của nó, chẳng hạn đối với ma trận 3, 1, 4, 1. 76 -00:06:56,240 --> 00:07:02,240 -trận spin Pauli. Nếu bạn biết cơ học lượng tử, bạn sẽ biết rằng các giá trị riêng của ma trận rất +00:04:58,100 --> 00:05:01,820 +Bạn bắt đầu bằng cách ghi nhớ công thức, có thể ghi nhớ tất cả trong đầu. 77 -00:07:02,240 --> 00:07:07,040 -phù hợp với tính chất vật lý mà chúng mô tả. Và nếu bạn không biết cơ học lượng tử, hãy xem qua +00:05:06,200 --> 00:05:11,620 +Nhưng khi bạn viết nó ra, bạn sẽ điền vào các giá trị thích hợp cho m và p. 78 -00:07:07,040 --> 00:07:11,280 -đây một chút về cách những phép tính này thực sự rất phù hợp với các ứng dụng thực tế. +00:05:12,340 --> 00:05:15,039 +Vậy trong ví dụ này, giá trị trung bình của các giá trị 79 -00:07:11,600 --> 00:07:15,840 -Giá trị trung bình của các mục chéo trong cả ba trường hợp đều bằng 0. +00:05:15,039 --> 00:05:17,740 +riêng giống với giá trị trung bình của 3 và 1, tức là 2. 80 -00:07:17,680 --> 00:07:22,080 -Vì vậy, giá trị trung bình của các giá trị riêng trong tất cả các trường hợp này đều bằng 0, điều này làm cho công thức của chúng ta +00:05:18,300 --> 00:05:22,700 +vậy số bạn bắt đầu viết là 2 cộng hoặc trừ căn bậc hai của 2 bình trừ. 81 -00:07:22,080 --> 00:07:28,880 -trông đặc biệt đơn giản. Thế còn tích của các giá trị riêng, các yếu tố quyết định của các ma trận này thì sao? +00:05:23,540 --> 00:05:27,757 +sau đó là tích của các giá trị riêng là định thức, 82 -00:07:29,520 --> 00:07:35,440 -Đối với số đầu tiên, nó là 0 trừ 1 hoặc âm 1. Số thứ hai cũng trông giống như 0 trừ 1, +00:05:27,757 --> 00:05:32,140 +trong ví dụ này là 3 nhân 1 trừ 1 nhân 4, hoặc âm 1, 83 -00:07:35,440 --> 00:07:39,840 -nhưng phải mất một chút thời gian mới thấy được vì là số phức. Và số cuối cùng có dạng +00:05:32,380 --> 00:05:34,480 +vậy đó là kết quả cuối cùng bạn điền vào, 84 -00:07:39,840 --> 00:07:45,840 -âm 1 trừ 0. Vì vậy, trong mọi trường hợp, các giá trị riêng được đơn giản hóa thành cộng và trừ 1. +00:05:34,880 --> 00:05:38,760 +nghĩa là giá trị riêng là 2 cộng hoặc trừ căn bậc hai của 5. 85 -00:07:46,560 --> 00:07:50,320 -Mặc dù trong trường hợp này, bạn thực sự không cần công thức để tìm hai giá trị nếu bạn biết +00:05:40,300 --> 00:05:43,229 +Bạn có thể nhận ra rằng đây là ma trận mà tôi dùng lúc đầu, 86 -00:07:50,320 --> 00:07:56,320 -rằng chúng cách đều nhau quanh 0 và tích của chúng âm 1. Nếu bạn tò mò, trong bối cảnh cơ +00:05:43,229 --> 00:05:46,500 +nhưng chú ý cách mà ta có thể nhận được câu trả lời trực tiếp hơn. 87 -00:07:56,320 --> 00:08:01,040 -học lượng tử, những ma trận này mô tả những quan sát mà bạn có thể thực hiện về spin của +00:05:48,140 --> 00:05:49,180 +Đây, thử cái khác xem. 88 -00:08:01,040 --> 00:08:06,560 -hạt theo hướng x, y hoặc z. Và thực tế là các giá trị riêng của chúng là cộng và trừ +00:05:49,440 --> 00:05:51,935 +Lần này, giá trị trung bình của các giá trị riêng 89 -00:08:06,560 --> 00:08:11,360 -1 tương ứng với ý tưởng rằng các giá trị của spin mà bạn quan sát được sẽ hoàn toàn theo +00:05:51,935 --> 00:05:54,480 +giống với giá trị trung bình của 2 và 8, tức là 5. 90 -00:08:11,360 --> 00:08:16,640 -một hướng này hoặc hoàn toàn theo một hướng khác, trái ngược với một cái gì đó liên tục nằm ở +00:05:55,100 --> 00:05:59,220 +Vì vậy, một lần nữa, bạn bắt đầu viết công thức, nhưng lần này viết 5 thay cho m, 91 -00:08:16,640 --> 00:08:22,240 -giữa. Có thể bạn sẽ thắc mắc điều này hoạt động chính xác như thế nào hoặc tại sao bạn lại sử dụng ma +00:06:02,980 --> 00:06:08,300 +và khi đó định thức là 2 nhân 8 trừ 7 nhân 1, hoặc 9. 92 -00:08:22,240 --> 00:08:27,360 -trận 2x2 có số phức để mô tả spin trong không gian ba chiều. Và đó sẽ là những câu hỏi công +00:06:09,520 --> 00:06:13,849 +Vì vậy, trong ví dụ này, các giá trị riêng trông giống như 5 cộng hoặc 93 -00:08:27,360 --> 00:08:31,600 -bằng, nằm ngoài phạm vi những gì tôi muốn nói ở đây. Bạn biết đấy, thật buồn cười, tôi viết phần +00:06:13,849 --> 00:06:18,240 +trừ căn bậc hai của 16, thậm chí còn đơn giản hóa hơn nữa thành 9 và 1. 94 -00:08:31,600 --> 00:08:36,480 -này vì tôi muốn một số trường hợp trong đó bạn có ma trận 2x2 không chỉ là ví dụ đồ chơi hoặc bài +00:06:19,420 --> 00:06:22,020 +Bạn hiểu ý tôi về cách về cơ bản bạn có thể bắt đầu viết ra các giá 95 -00:08:36,480 --> 00:08:40,960 -tập về nhà, những ma trận mà chúng thực sự xuất hiện trong thực tế và cơ học lượng tử rất phù hợp +00:06:22,020 --> 00:06:24,620 +trị riêng trong khi bạn đang nhìn chằm chằm vào ma trận phải không? 96 -00:08:40,960 --> 00:08:46,400 -cho điều đó. Nhưng vấn đề là, sau khi tôi làm nó, tôi nhận ra rằng toàn bộ ví dụ này đã làm +00:06:25,280 --> 00:06:28,160 +Cuối cùng, nó thường chỉ là một chút đơn giản hóa nhỏ nhất. 97 -00:08:46,400 --> 00:08:51,440 -giảm đi quan điểm mà tôi đang cố gắng đưa ra. Đối với những ma trận cụ thể này, khi bạn sử +00:06:29,060 --> 00:06:32,332 +Thành thật mà nói, tôi thấy mình đã sử dụng thủ thuật này rất nhiều khi phác thảo các 98 -00:08:51,440 --> 00:08:56,400 -dụng phương pháp truyền thống, phương pháp có đa thức đặc trưng, về cơ bản nó cũng nhanh như vậy. Nó +00:06:32,332 --> 00:06:35,720 +ghi chú nhanh liên quan đến đại số tuyến tính và muốn sử dụng các ma trận nhỏ làm ví dụ. 99 -00:08:56,400 --> 00:09:01,280 -thực sự có thể nhanh hơn. Ý tôi là, hãy nhìn vào cái đầu tiên. Định thức liên quan trực tiếp cho +00:06:36,180 --> 00:06:40,149 +Tôi đang làm một video về số mũ ma trận, trong đó các giá trị riêng xuất hiện rất 100 -00:09:01,280 --> 00:09:07,120 -bạn một đa thức đặc trưng của lambda bình phương trừ một, và rõ ràng nó có nghiệm cộng +00:06:40,149 --> 00:06:44,311 +nhiều và tôi nhận ra rằng sẽ rất hữu ích nếu học sinh có thể đọc các giá trị riêng từ 101 -00:09:07,120 --> 00:09:11,680 -và trừ một. Câu trả lời tương tự khi bạn thực hiện ma trận thứ hai, lambda bình phương trừ một. +00:06:44,311 --> 00:06:48,620 +các ví dụ nhỏ mà không làm mất dòng suy nghĩ chính do bị sa lầy vào một phép tính khác. 102 -00:09:14,000 --> 00:09:18,400 -Và đối với ma trận cuối cùng, hãy quên thực hiện bất kỳ phép tính nào, truyền thống hay cách khác, +00:06:49,740 --> 00:06:52,915 +Một ví dụ thú vị khác, hãy xem bộ ba ma trận khác nhau này, 103 -00:09:18,400 --> 00:09:24,720 -nó đã là ma trận đường chéo, vì vậy các mục đường chéo đó là giá trị riêng. Tuy nhiên, ví dụ +00:06:52,915 --> 00:06:57,520 +chúng xuất hiện rất nhiều trong cơ học lượng tử. Chúng được gọi là ma trận spin Pauli. 104 -00:09:24,720 --> 00:09:29,760 -này không hoàn toàn không phù hợp với mục đích của chúng ta. Trường hợp bạn thực sự sẽ cảm thấy tốc độ tăng lên là +00:06:58,600 --> 00:07:02,854 +Nếu bạn biết cơ học lượng tử, bạn sẽ biết rằng các giá trị riêng của ma trận rất phù hợp 105 -00:09:29,760 --> 00:09:34,720 -trong trường hợp tổng quát hơn, trong đó bạn lấy tổ hợp tuyến tính của ba ma trận này và sau đó cố +00:07:02,854 --> 00:07:06,487 +với tính chất vật lý mà chúng mô tả. Và nếu bạn không biết cơ học lượng tử, 106 -00:09:34,720 --> 00:09:40,960 -gắng tính các giá trị riêng. Bạn có thể viết cái này là a nhân số thứ nhất, cộng b nhân số thứ hai, cộng +00:07:06,487 --> 00:07:10,789 +hãy xem qua đây một chút về cách những phép tính này thực sự rất phù hợp với các ứng dụng 107 -00:09:40,960 --> 00:09:46,800 -c nhân số thứ ba. Trong cơ học lượng tử, điều này mô tả các quan sát spin theo hướng tổng +00:07:10,789 --> 00:07:11,220 +thực tế. 108 -00:09:46,800 --> 00:09:52,960 -quát của vectơ có tọa độ a, b, c. Cụ thể hơn, bạn nên giả sử rằng vectơ này +00:07:12,540 --> 00:07:15,859 +Giá trị trung bình của các mục chéo trong cả ba trường hợp đều bằng 0. 109 -00:09:52,960 --> 00:09:57,680 -đã được chuẩn hóa, nghĩa là a bình phương cộng b bình phương cộng c bình phương bằng một. +00:07:15,859 --> 00:07:20,020 +Vậy giá trị trung bình của các giá trị riêng trong tất cả các trường hợp này đều bằng 0, 110 -00:09:58,640 --> 00:10:03,600 -Khi bạn nhìn vào ma trận mới này, bạn có thể thấy ngay rằng giá trị trung bình của các giá trị +00:07:20,020 --> 00:07:23,060 +điều này làm cho công thức của chúng ta trông đặc biệt đơn giản. 111 -00:10:03,600 --> 00:10:08,240 -riêng vẫn bằng 0 và bạn cũng có thể dừng lại một lát để xác nhận rằng tích của các giá trị +00:07:25,380 --> 00:07:28,800 +Thế còn tích các giá trị riêng, các định thức của các ma trận này thì sao? 112 -00:10:08,240 --> 00:10:15,680 -riêng đó vẫn là giá trị âm. Và từ đó rút ra giá trị riêng phải là gì. +00:07:29,700 --> 00:07:33,400 +Đối với số đầu tiên, nó là 0 trừ 1 hoặc âm 1. 113 -00:10:17,040 --> 00:10:21,440 -Và lần này, cách tiếp cận đa thức đặc trưng sẽ cồng kềnh hơn rất nhiều, chắc +00:07:33,400 --> 00:07:35,799 +Số thứ hai cũng trông giống như 0 trừ 1, nhưng phải 114 -00:10:21,440 --> 00:10:27,600 -chắn khó thực hiện hơn trong đầu bạn. Nói rõ hơn, việc sử dụng công thức tích trung +00:07:35,799 --> 00:07:38,200 +mất một chút thời gian mới thấy được vì là số phức. 115 -00:10:28,240 --> 00:10:32,640 -bình không khác với việc tìm nghiệm của đa thức đặc trưng. Ý tôi là, không thể nào, họ đang giải quyết +00:07:38,840 --> 00:07:41,360 +Và số cuối cùng có dạng âm 1 trừ 0. 116 -00:10:32,640 --> 00:10:36,880 -cùng một vấn đề. Trên thực tế, có một cách để nghĩ về điều này là công thức tích trung bình là một +00:07:42,060 --> 00:07:45,920 +Vậy trong mọi trường hợp, các giá trị riêng được đơn giản hóa thành cộng và trừ 1. 117 -00:10:36,880 --> 00:10:41,520 -cách hay để giải phương trình bậc hai nói chung và một số người xem kênh có thể nhận ra điều này. +00:07:46,720 --> 00:07:50,043 +Mặc dù trong trường hợp này, bạn thực sự không cần công thức để tìm hai giá 118 -00:10:42,320 --> 00:10:46,880 -Hãy nghĩ về nó. Khi bạn đang cố gắng tìm nghiệm của một phương trình bậc hai, với các hệ số đã cho, +00:07:50,043 --> 00:07:53,280 +trị nếu bạn biết rằng chúng cách đều nhau quanh 0 và tích của chúng âm 1. 119 -00:10:46,880 --> 00:10:51,680 -đó là một tình huống khác khi bạn biết tổng của hai giá trị và bạn cũng biết tích của chúng, +00:07:54,640 --> 00:07:57,497 +Nếu bạn tò mò, trong bối cảnh cơ học lượng tử, 120 -00:10:51,680 --> 00:10:57,040 -nhưng bạn đang cố gắng khôi phục hai giá trị ban đầu. Cụ thể, nếu đa thức được chuẩn hóa +00:07:57,497 --> 00:08:02,057 +những ma trận này mô tả những quan sát mà bạn có thể thực hiện về spin của 121 -00:10:57,040 --> 00:11:02,560 -sao cho hệ số cao nhất này bằng 1, thì giá trị trung bình của các nghiệm sẽ âm +00:08:02,057 --> 00:08:03,760 +hạt theo hướng x, y hoặc z. 122 -00:11:02,560 --> 00:11:06,800 -một nửa lần hệ số tuyến tính này, tức là âm một lần tổng của các nghiệm đó. +00:08:03,760 --> 00:08:08,126 +Và thực tế là các giá trị riêng của chúng là cộng và trừ 1 tương ứng với ý tưởng 123 -00:11:07,760 --> 00:11:14,160 -Đối với ví dụ trên màn hình, điều đó tạo nên giá trị trung bình là 5. Và tích của căn lại càng dễ dàng hơn, +00:08:08,126 --> 00:08:12,653 +rằng các giá trị của spin mà bạn quan sát được sẽ hoàn toàn theo một hướng này hoặc 124 -00:11:14,160 --> 00:11:18,640 -nó chỉ là số hạng không đổi, không cần điều chỉnh. Vì vậy, từ đó, bạn sẽ áp dụng công thức +00:08:12,653 --> 00:08:17,020 +hoàn toàn theo một hướng khác, trái ngược với một cái gì đó liên tục nằm ở giữa. 125 -00:11:18,640 --> 00:11:26,480 -tích trung bình và điều đó mang lại cho bạn các nghiệm. Và một mặt, bạn có thể coi đây +00:08:18,320 --> 00:08:21,851 +Có thể bạn sẽ thắc mắc điều này hoạt động chính xác như thế nào hoặc tại sao 126 -00:11:26,480 --> 00:11:32,080 -là phiên bản nhẹ hơn của công thức bậc hai truyền thống. Nhưng lợi thế thực sự không chỉ +00:08:21,851 --> 00:08:25,520 +bạn lại sử dụng ma trận 2x2 có số phức để mô tả spin trong không gian ba chiều. 127 -00:11:32,080 --> 00:11:36,160 -là việc ghi nhớ ít ký hiệu hơn mà còn ở chỗ mỗi ký hiệu đều mang nhiều ý nghĩa hơn. +00:08:26,100 --> 00:08:29,760 +Và đó sẽ là những câu hỏi công bằng, nằm ngoài phạm vi những gì tôi muốn nói ở đây. 128 -00:11:36,160 --> 00:11:41,440 -Ý tôi là, toàn bộ mục đích của thủ thuật giá trị riêng này là vì bạn có thể đọc giá +00:08:30,480 --> 00:08:34,205 +Bạn biết đấy, thật buồn cười, tôi viết phần này vì tôi muốn một số trường hợp trong 129 -00:11:41,440 --> 00:11:46,080 -trị trung bình và tích trực tiếp từ việc nhìn vào ma trận, nên bạn không cần phải trải qua bước +00:08:34,205 --> 00:08:37,309 +đó bạn có ma trận 2x2 không chỉ là ví dụ đồ chơi hoặc bài tập về nhà, 130 -00:11:46,080 --> 00:11:50,240 -trung gian để thiết lập đa thức đặc trưng. Bạn có thể chuyển thẳng sang viết nghiệm mà không +00:08:37,309 --> 00:08:40,946 +những ma trận mà chúng thực sự xuất hiện trong thực tế và cơ học lượng tử rất phù 131 -00:11:50,240 --> 00:11:54,560 -cần phải suy nghĩ rõ ràng xem đa thức trông như thế nào. Nhưng để làm được điều +00:08:40,946 --> 00:08:41,700 +hợp cho điều đó. 132 -00:11:54,560 --> 00:11:58,800 -đó, chúng ta cần một phiên bản của công thức bậc hai trong đó các số hạng mang một ý nghĩa nào đó. +00:08:41,700 --> 00:08:44,943 +Nhưng vấn đề là, sau khi tôi làm nó, tôi nhận ra rằng toàn bộ 133 -00:12:00,480 --> 00:12:05,040 -Tôi nhận thấy đây là một thủ thuật rất cụ thể dành cho một đối tượng rất cụ thể, nhưng đó là điều tôi ước mình biết ở +00:08:44,943 --> 00:08:48,240 +ví dụ này đã làm giảm đi quan điểm mà tôi đang cố gắng đưa ra. 134 -00:12:05,040 --> 00:12:09,200 -trường đại học, vì vậy nếu bạn biết bất kỳ sinh viên nào có thể hưởng lợi từ điều này, hãy cân nhắc việc chia sẻ nó +00:08:48,740 --> 00:08:52,672 +Đối với những ma trận cụ thể này, khi bạn sử dụng phương pháp truyền thống, 135 -00:12:09,200 --> 00:12:14,320 -với họ. Hy vọng rằng đó không chỉ là một điều nữa mà bạn ghi nhớ mà việc đóng khung củng cố +00:08:52,672 --> 00:08:56,139 +phương pháp có đa thức đặc trưng, về cơ bản nó cũng nhanh như vậy. 136 -00:12:14,320 --> 00:12:18,560 -một số sự thật thú vị khác đáng để biết, chẳng hạn như dấu vết và định thức có liên quan như thế +00:08:56,139 --> 00:08:57,640 +Nó thực sự có thể nhanh hơn. 137 -00:12:18,560 --> 00:12:23,680 -nào với giá trị riêng. Nhân tiện, nếu bạn muốn chứng minh những sự thật đó, hãy dành một chút thời +00:08:58,240 --> 00:09:03,337 +Ý tôi là, hãy nhìn vào cái đầu tiên. Định thức liên quan trực tiếp cho bạn một đa thức 138 -00:12:23,680 --> 00:12:28,320 -gian để mở rộng đa thức đặc trưng cho một ma trận tổng quát, sau đó suy nghĩ kỹ về ý +00:09:03,337 --> 00:09:08,200 +đặc trưng của lambda bình phương trừ một, và rõ ràng nó có nghiệm cộng và trừ một. 139 -00:12:28,320 --> 00:12:35,680 -nghĩa của từng hệ số này. Cảm ơn Tim rất nhiều vì đã đảm bảo rằng công thức sản phẩm tầm +00:09:08,840 --> 00:09:11,760 +Câu trả lời tương tự khi bạn thực hiện ma trận thứ hai, lambda bình phương trừ một. 140 -00:12:35,680 --> 00:12:44,240 -thường này sẽ đọng lại trong đầu chúng ta ít nhất vài tháng. Nếu bạn không biết về khoa học acappella, +00:09:13,880 --> 00:09:17,474 +Và đối với ma trận cuối cùng, hãy quên thực hiện bất kỳ phép tính nào, 141 -00:12:44,240 --> 00:12:48,960 -vui lòng kiểm tra nó. Hình dạng phân tử của bạn nói riêng +00:09:17,474 --> 00:09:20,360 +truyền thống hay cách khác, nó đã là ma trận đường chéo, 142 -00:12:48,960 --> 00:12:50,640 -là một trong những điều tuyệt vời nhất trên internet. +00:09:20,360 --> 00:09:22,740 +vì vậy các mục đường chéo đó là giá trị riêng. + +143 +00:09:24,300 --> 00:09:26,920 +Tuy nhiên, ví dụ này không hoàn toàn không phù hợp với mục đích của chúng ta. + +144 +00:09:27,380 --> 00:09:31,481 +Trường hợp bạn thực sự sẽ cảm thấy tốc độ tăng lên là trong trường hợp tổng quát hơn, + +145 +00:09:31,481 --> 00:09:34,390 +trong đó bạn lấy tổ hợp tuyến tính của ba ma trận này và sau + +146 +00:09:34,390 --> 00:09:36,060 +đó cố gắng tính các giá trị riêng. + +147 +00:09:36,820 --> 00:09:39,620 +Bạn có thể viết cái này là a nhân số thứ nhất, + +148 +00:09:39,620 --> 00:09:42,420 +cộng b nhân số thứ hai, cộng c nhân số thứ ba. + +149 +00:09:43,020 --> 00:09:46,031 +Trong cơ học lượng tử, điều này mô tả các quan sát + +150 +00:09:46,031 --> 00:09:49,280 +spin theo hướng tổng quát của vectơ có tọa độ a, b, c. + +151 +00:09:50,900 --> 00:09:54,090 +Cụ thể hơn, bạn nên giả sử rằng vectơ này đã được chuẩn hóa, + +152 +00:09:54,090 --> 00:09:57,700 +nghĩa là a bình phương cộng b bình phương cộng c bình phương bằng 1. + +153 +00:09:58,600 --> 00:10:04,215 +Khi bạn nhìn vào ma trận mới này, bạn có thể thấy ngay rằng giá trị trung bình của + +154 +00:10:04,215 --> 00:10:10,101 +các giá trị riêng vẫn bằng 0 và bạn cũng có thể dừng lại một lát để xác nhận rằng tích + +155 +00:10:10,101 --> 00:10:15,920 +của các giá trị riêng đó vẫn là giá trị âm. Và từ đó rút ra giá trị riêng phải là gì. + +156 +00:10:17,220 --> 00:10:21,201 +Và lần này, cách tiếp cận đa thức đặc trưng sẽ cồng kềnh hơn rất nhiều, + +157 +00:10:21,201 --> 00:10:23,580 +chắc chắn khó thực hiện hơn trong đầu bạn. + +158 +00:10:25,080 --> 00:10:29,209 +Nói rõ hơn, việc sử dụng công thức tích trung bình không khác với việc tìm nghiệm + +159 +00:10:29,209 --> 00:10:33,440 +của đa thức đặc trưng. Ý tôi là, không thể nào, họ đang giải quyết cùng một vấn đề. + +160 +00:10:34,160 --> 00:10:37,785 +Trên thực tế, có một cách để nghĩ về điều này là công thức tích trung bình là một cách + +161 +00:10:37,785 --> 00:10:41,451 +hay để giải phương trình bậc hai nói chung và một số người xem kênh có thể nhận ra điều + +162 +00:10:41,451 --> 00:10:41,660 +này. + +163 +00:10:42,540 --> 00:10:46,190 +Hãy nghĩ về nó. Khi bạn đang cố gắng tìm nghiệm của một phương trình bậc hai, + +164 +00:10:46,190 --> 00:10:50,028 +với các hệ số đã cho, đó là một tình huống khác khi bạn biết tổng của hai giá trị + +165 +00:10:50,028 --> 00:10:54,100 +và bạn cũng biết tích của chúng, nhưng bạn đang cố gắng khôi phục hai giá trị ban đầu. + +166 +00:10:55,560 --> 00:10:59,730 +Cụ thể, nếu đa thức được chuẩn hóa sao cho hệ số cao nhất này bằng 1, + +167 +00:10:59,730 --> 00:11:04,377 +thì giá trị trung bình của các nghiệm sẽ âm một nửa lần hệ số tuyến tính này, + +168 +00:11:04,377 --> 00:11:06,880 +tức là âm một lần tổng của các nghiệm đó. + +169 +00:11:08,020 --> 00:11:10,180 +Đối với ví dụ trên màn hình, điều đó tạo nên giá trị trung bình là 5. + +170 +00:11:11,980 --> 00:11:16,520 +Và tích của căn lại càng dễ dàng hơn, nó chỉ là số hạng không đổi, không cần điều chỉnh. + +171 +00:11:17,340 --> 00:11:19,177 +Vậy, từ đó, bạn sẽ áp dụng công thức tích trung + +172 +00:11:19,177 --> 00:11:20,900 +bình và điều đó mang lại cho bạn các nghiệm. + +173 +00:11:25,140 --> 00:11:30,220 +Và một mặt, bạn có thể coi đây là phiên bản nhẹ hơn của công thức bậc hai truyền thống. + +174 +00:11:30,960 --> 00:11:33,747 +Nhưng lợi thế thực sự không chỉ là việc ghi nhớ ít ký hiệu + +175 +00:11:33,747 --> 00:11:36,440 +hơn mà còn ở chỗ mỗi ký hiệu đều mang nhiều ý nghĩa hơn. + +176 +00:11:36,940 --> 00:11:40,574 +Toàn bộ mục đích của thủ thuật giá trị riêng này là vì bạn có thể đọc + +177 +00:11:40,574 --> 00:11:43,846 +giá trị trung bình và tích trực tiếp từ việc nhìn vào ma trận, + +178 +00:11:43,846 --> 00:11:48,000 +nên bạn không cần phải trải qua bước trung gian để thiết lập đa thức đặc trưng. + +179 +00:11:48,420 --> 00:11:51,054 +Bạn có thể chuyển thẳng sang viết nghiệm mà không cần + +180 +00:11:51,054 --> 00:11:53,640 +phải suy nghĩ rõ ràng xem đa thức trông như thế nào. + +181 +00:11:53,840 --> 00:11:56,287 +Nhưng để làm được điều đó, ta cần một phiên bản của công + +182 +00:11:56,287 --> 00:11:58,820 +thức bậc hai trong đó các số hạng mang một ý nghĩa nào đó. + +183 +00:12:00,380 --> 00:12:03,538 +Tôi nhận thấy đây là một thủ thuật rất cụ thể dành cho một đối tượng rất cụ thể, + +184 +00:12:03,538 --> 00:12:05,605 +nhưng đó là điều tôi ước mình biết ở trường đại học, + +185 +00:12:05,605 --> 00:12:08,257 +vậy nếu bạn biết bất kỳ sinh viên nào có thể hưởng lợi từ điều này, + +186 +00:12:08,257 --> 00:12:09,700 +hãy cân nhắc việc chia sẻ nó với họ. + +187 +00:12:10,280 --> 00:12:13,553 +Hy vọng rằng đó không chỉ là một điều nữa mà bạn ghi nhớ mà việc đóng + +188 +00:12:13,553 --> 00:12:16,125 +khung củng cố một số sự thật thú vị khác đáng để biết, + +189 +00:12:16,125 --> 00:12:19,820 +chẳng hạn như dấu vết và định thức có liên quan như thế nào với giá trị riêng. + +190 +00:12:20,560 --> 00:12:23,127 +Nhân tiện, nếu bạn muốn chứng minh những sự thật đó, + +191 +00:12:23,127 --> 00:12:27,197 +hãy dành một chút thời gian để mở rộng đa thức đặc trưng cho một ma trận tổng quát, + +192 +00:12:27,197 --> 00:12:29,620 +sau đó suy nghĩ kỹ về ý nghĩa của từng hệ số này. + +193 +00:12:32,400 --> 00:12:35,239 +Cảm ơn Tim rất nhiều vì đã đảm bảo rằng công thức tích trung + +194 +00:12:35,239 --> 00:12:37,940 +bình này sẽ lưu lại trong đầu chúng ta ít nhất vài tháng. + +195 +00:12:41,700 --> 00:12:46,000 +Nếu bạn không biết về khoa học acappella, vui lòng kiểm tra nó. + +196 +00:12:46,280 --> 00:12:49,580 +Hình dạng phân tử của bạn nói riêng là một trong những điều tuyệt vời nhất trên internet. diff --git a/2023/barber-pole-1/hungarian/auto_generated.srt b/2023/barber-pole-1/hungarian/auto_generated.srt index e65f839d6..3d938695a 100644 --- a/2023/barber-pole-1/hungarian/auto_generated.srt +++ b/2023/barber-pole-1/hungarian/auto_generated.srt @@ -55,602 +55,582 @@ mert pár évvel ezelőtt Steve Mold készített egy remek videót erről a polarizált-fény-cukros-vízen-át jelenségről. 15 -00:00:50,500 --> 00:00:52,685 -Nagyon jól sikerült, ami nem is meglepő, mert minden, +00:00:50,500 --> 00:00:54,207 +Minden amit Steve készít az zseniális, de még ha láttad is a videóját, 16 -00:00:52,685 --> 00:00:55,276 -amit Steve készít az zseniális. De még ha láttad is a videóját, +00:00:54,207 --> 00:00:58,698 +akkor is elég gazdag ez a jelenség ahhoz, hogy még sok mindent el lehessen magyarázni 17 -00:00:55,276 --> 00:00:57,948 -akkor is elég gazdag ez a jelenség ahhoz, hogy még sok mindent el +00:00:58,698 --> 00:00:58,960 +róla. 18 -00:00:57,948 --> 00:00:58,960 -lehessen magyarázni róla. +00:00:59,220 --> 00:01:02,929 +Valójában olyan sokrétű ez a jelenség, hogy még akkor is lesz mit elmagyarázni, 19 -00:00:59,220 --> 00:01:02,798 -Valójában olyan sokrétű ez a jelenség, hogy még akkor is lesz mit elmagyarázni, +00:01:02,929 --> 00:01:04,319 +ha te készítettél róla videót. 20 -00:01:02,798 --> 00:01:04,319 -ha te is készítettél erről videót. - -21 00:01:04,819 --> 00:01:07,730 Érdekelne, Steve, hogy amikor ezt a videót készítetted, -22 +21 00:01:07,730 --> 00:01:10,797 vetettél-e egy pillantást az üveg oldalára? Mondjuk akkor, -23 +22 00:01:10,797 --> 00:01:13,240 amikor a szoba többi lámpája le volt kapcsolva. -24 +23 00:01:13,920 --> 00:01:14,260 Nem. -25 +24 00:01:15,100 --> 00:01:16,920 Nem, soha sem gondoltam az üveg oldalára. -26 +25 00:01:17,760 --> 00:01:17,920 Fantasztikus! -27 +26 00:01:18,220 --> 00:01:21,986 Tehát ha az adott kísérletnél lekapcsoljuk a szobában a világítást, -28 +27 00:01:21,986 --> 00:01:26,140 és felkapcsoljuk a fehér lámpát, érdekelne, hogy szerinted mi fog történni. -29 +28 00:01:26,760 --> 00:01:31,679 Hát, gondolom lesz egy kis szóródás, de ha belegondolunk abba, -30 +29 00:01:31,679 --> 00:01:37,380 hogy amikor csak a csövet nézzük, akkor semmiféle szűrőt nem alkalmazunk. -31 +30 00:01:37,760 --> 00:01:41,220 Úgy értem, az ösztönöm azt súgja, hogy semmi sem fog történni. +31 +00:01:41,840 --> 00:01:44,768 +Nekem is ez lett volna a tippem, de nézd csak mi lesz amikor + 32 -00:01:41,840 --> 00:01:44,319 -Nekem is ez lett volna a tippem, de akkor hadd mutassam meg azt, +00:01:44,768 --> 00:01:47,600 +lekapcsoljuk a szoba világítását és felkapcsoljuk a lámpát. 33 -00:01:44,319 --> 00:01:47,600 -hogy hogyan néz ki, amikor lekapcsoljuk a szoba világítását és felkapcsoljuk a lámpát. - -34 00:01:48,440 --> 00:01:48,560 Ú! -35 +34 00:01:49,240 --> 00:01:52,780 És aztán, ha elfordítjuk az első polarizálót, akkor csíkokat láthatunk. -36 +35 00:01:52,780 --> 00:01:53,180 -Hűha. +Hűha! -37 +36 00:01:53,300 --> 00:01:56,060 Mintha az átlós csíkok felsétálnának a csövön. -38 +37 00:01:56,440 --> 00:01:56,860 Azta. -39 +38 00:01:58,320 --> 00:01:59,260 De miért átlósak a csíkok? -40 +39 00:01:59,840 --> 00:02:01,160 -Pontosan, miért is átlósak? +Ezaz. Miért átlósak? -41 +40 00:02:01,480 --> 00:02:02,200 -Miért történne velük egyáltalán bármi is? +Miért néznek ki bárhogy is? -42 +41 00:02:02,480 --> 00:02:03,420 -Úgy értem, miért is történne? +Úgy értem, miért színes egyáltalán? -43 +42 00:02:05,200 --> 00:02:11,560 Valamiért a cukros víz szétválasztja a fényt ezekre a különböző színsávokra, -44 +43 00:02:11,560 --> 00:02:17,920 de ezt olyan érdekes módon teszi, hogy a színek spirálokat alkotnak a csőben. -45 +44 00:02:19,080 --> 00:02:22,549 A másik érdekes dolog, amit meg akarok mutatni az a szín, -46 +45 00:02:22,549 --> 00:02:25,900 ami kijön a csőből, miután áthaladt a második szűrőn is. -47 +46 00:02:27,100 --> 00:02:31,300 Ahogy elforgatjuk az első szűrőt, kölönböző színárnyalatokon haladunk keresztül. -48 +47 00:02:32,200 --> 00:02:35,329 És ez mindegyik szűrővel működik! Ha a második szűrőt forgatjuk, -49 +48 00:02:35,329 --> 00:02:37,640 akkor is fogunk találkozni mindenféle színekkel. -50 +49 00:02:38,800 --> 00:02:41,500 -Ő egyébként Quinn. Nagyon kedves volt, és elkészítette ezt az egész demonstrációt. +Ő egyébként Quinn. Kedves volt, és elkészítette ezt a kísérletet. -51 +50 00:02:42,320 --> 00:02:45,341 És amit igazán szeretek ebben a kísérletben, az az, -52 +51 00:02:45,341 --> 00:02:49,642 hogy ha igazán át akarod látni az egészet, és teljesen meg akarod érteni, -53 +52 00:02:49,642 --> 00:02:54,058 hogy mi történik, ahhoz nagyon szilárd megérzésekre van szükséged a fénnyel -54 +53 00:02:54,058 --> 00:02:58,649 kapcsolatos számos alapvető koncepcióhoz, mint pédául a polarizáció, a szórás, -55 +54 00:02:58,649 --> 00:03:00,800 és hogy hogyan működik a törésmutató. -56 +55 00:03:01,800 --> 00:03:05,700 Kezdjük azzal, hogy megmutatom a lezajlott folyamatok átfogó magyarázatát. -57 +56 00:03:05,700 --> 00:03:09,860 Útközben pedig jegyezd fel a kérdéseidet, amikre még nem találtuk meg a választ. -58 +57 00:03:11,020 --> 00:03:15,602 Az egészet kezdjük azzal, hogy a polarizált fényt egy terjedő hullámnak tekintjük, -59 +58 00:03:15,602 --> 00:03:17,700 amely egy irányba periódikusan kileng. -60 +59 00:03:17,700 --> 00:03:22,860 Feltételezem, hogy a nulladik kérdésed az lenne, hogy mi is ez a kilengés. -61 +60 00:03:23,420 --> 00:03:26,955 Egy pillanatig tegyük félre ezt a kérdést. Csak fogadjuk el, -62 +61 00:03:26,955 --> 00:03:31,938 hogy az x tengely mentén egy irányba terjed, és periódikusan kileng az x-re merőleges -63 +62 00:03:31,938 --> 00:03:33,040 z tengely irányába. -64 +63 00:03:33,700 --> 00:03:37,337 Amikor pedig ez az egyenesen haladó fény átmegy a cukros vízen, -65 +64 00:03:37,337 --> 00:03:39,100 a kilengés iránya elcsavarodik. -66 +65 00:03:39,780 --> 00:03:42,040 Tehát az első fontos kérdés az lenne, hogy miért? -67 +66 00:03:42,300 --> 00:03:45,080 Miért csavarja el a cukor a fény kilengésének irányát? -68 +67 00:03:45,080 --> 00:03:49,398 És csak hogy kristálytiszta legyen, mit értek csavarodás alatt. -69 +68 00:03:49,398 --> 00:03:53,784 Ha csak egy a henger tengelyére merőleges szeletet figyelsz meg, -70 +69 00:03:53,784 --> 00:03:58,709 és húzol egy vonalat, amely mutatja a fény kilengését az adott szeleten, -71 +70 00:03:58,709 --> 00:04:03,635 akkor ha azt végig tolod a hengeren, a kilengés iránya lassan elfordul a -72 +71 00:04:03,635 --> 00:04:05,120 henger tengelye körül. -73 +72 00:04:05,860 --> 00:04:10,720 Lényeges, hogy a csavarodás mértéke a fény frekvenciájától függ. -74 +73 00:04:10,720 --> 00:04:14,771 A magasabb frekvenciájú fény, például az ibolya, nagyobb mértékben csavarodik el, -75 +74 00:04:14,771 --> 00:04:17,339 mint az alacsony frekvenciájú fény, például a vörös. -76 -00:04:18,300 --> 00:04:21,212 -Tehát a második fontos kérdés amire meg kell találnunk a választ az az, +75 +00:04:18,300 --> 00:04:20,877 +A második fontos kérdés amire választ szeretnénk az az, -77 -00:04:21,212 --> 00:04:23,640 +76 +00:04:20,877 --> 00:04:23,640 hogy miért függ a csavarodási mérték a fény frekvenciájától? -78 +77 00:04:24,240 --> 00:04:28,330 Bármilyen magyarázatra is jutunk arra vonatkozóan, hogy a csavarás miért történik, -79 +78 00:04:28,330 --> 00:04:32,420 az el kell áruljon valamit arról is, hogy miért függ annak mértéke a frekvenciától. -80 +79 00:04:33,660 --> 00:04:36,500 Gondoljuk csak át, mit jelent az, hogy a különböző -81 +80 00:04:36,500 --> 00:04:38,840 színű fények eltérő mértékben csavarodnak! -82 +81 00:04:38,840 --> 00:04:41,782 A demonstrációban fehér fénnyel világítottuk meg a hengert, -83 +82 00:04:41,782 --> 00:04:45,460 a fehér fény pedig nem egy tiszta szinuszhullám, hanem valami bonyolultabb. -84 -00:04:45,860 --> 00:04:49,706 -Úgy érdemes rá gondolni, mint sok különböző szabályos szinuszhullám kombinációjára, +83 +00:04:45,860 --> 00:04:49,521 +Úgy gondolj rá, mint sok különböző szabályos szinuszhullám kombinációjára, -85 -00:04:49,706 --> 00:04:52,500 +84 +00:04:49,521 --> 00:04:52,500 amelyek mindegyike megfelel a szivárvány valamelyik színének. -86 +85 00:04:53,380 --> 00:04:59,520 Ebben az animációban a kilengés irányát minden szinuszhullámnál egy vonallal ábrázolom. -87 +86 00:05:00,280 --> 00:05:05,710 Tehát a kulcsgondolat az lenne, hogy ahogy ezek a hullámok a csőben haladnak különböző -88 +87 00:05:05,710 --> 00:05:10,890 szabályos frekvenciákkal, ezáltal különböző sebességgel csavarodva - a lila fény a -89 +88 00:05:10,890 --> 00:05:16,195 leggyorsabban, a vörös fény pedig a leglassabban - mindegyik hullám kilengési iránya -90 +89 00:05:16,195 --> 00:05:16,820 elkülönül. -91 +90 00:05:17,200 --> 00:05:21,980 Például, mire eléri a cső végét, mindegyiknek megvan a saját különálló kilengési iránya. -92 +91 00:05:22,620 --> 00:05:26,380 De egy dolgot fontos megjegyezni: ez még mindig fehér fény. -93 +92 00:05:26,420 --> 00:05:31,670 Ha belenéznél a henger innenső végébe, a fény semmilyen módon nem tűnne színesnek, -94 +93 00:05:31,670 --> 00:05:35,592 mert még ha a kilengési irányok eltérőek is, a színösszetétel -95 +94 00:05:35,592 --> 00:05:38,060 nem változott a henger elejéhez képest. -96 +95 00:05:38,520 --> 00:05:42,633 Ahhoz, hogy bármit is észrevegyünk a fényhullámok szétválásából az egészet -97 +96 00:05:42,633 --> 00:05:47,240 áteresztjük egy második ugyanolyan, de függőleges irányú lineáris polarizáló szűrőn. -98 +97 00:05:47,840 --> 00:05:52,577 Ennek az a hatása, hogy a szűrőn áthaladó fény adott frekvenciájú komponenseinek -99 +98 00:05:52,577 --> 00:05:57,373 intenzitása attól függően változik, hogy a kilengés iránya milyen szöget zár be a -100 +99 00:05:57,373 --> 00:05:57,900 szűrővel. -101 +100 00:05:57,900 --> 00:06:00,553 Az eredmény pedig az lesz, hogy azok a színek, -102 +101 00:06:00,553 --> 00:06:04,504 amelyek hegyesebb szöget zárnak be a szűrő irányával szinte teljesen, -103 +102 00:06:04,504 --> 00:06:08,400 míg a szűrőre merőleges színek csak nagyon kis mértékben haladnak át. -104 +103 00:06:10,480 --> 00:06:18,148 Tehát a szűrőből kilépő fény az összes tiszta frekvencia kiegyensúlyozatlan kombinációja, -105 +104 00:06:18,148 --> 00:06:20,960 ezért a fény színe sem fehér már. -106 +105 00:06:21,880 --> 00:06:26,865 Ekkor kell észre vennünk, hogy ha mondjuk a kezdeti polarizáló szűrőt elforgatjuk, -107 +106 00:06:26,865 --> 00:06:30,890 akkor ez megváltoztatja az összes fénykomponens kilengési irányát, -108 +107 00:06:30,890 --> 00:06:34,975 ami a színek másik kombinációját eredményezi. Ezért a kezdeti szűrő -109 +108 00:06:34,975 --> 00:06:39,300 elforgatása megváltoztatja a színt, amit a másik szűrőből látsz kijönni. -110 +109 00:06:39,900 --> 00:06:41,560 Ráadásul ezt otthon is kipróbálhatod. -111 +110 00:06:41,580 --> 00:06:43,000 -Nem kell ehhez a kísérlethez semmi értékes vagy veszélyes. +Nem kell semmi értékes vagy veszélyes. -112 +111 00:06:43,400 --> 00:06:46,486 Kezdd azzal, hogy csinálsz egy nagyon sűrű cukor oldatot. -113 +112 00:06:46,486 --> 00:06:49,838 Pár polarizáló szűrőt is be kell szerezned. Úgy állítsd össze, -114 +113 00:06:49,838 --> 00:06:53,136 hogy a fény átvilágítson az első szűrőn, majd a cukros vízen, -115 +114 00:06:53,136 --> 00:06:54,680 végül pedig a második szűrőn. -116 +115 00:06:55,140 --> 00:06:58,835 És ha felülről nézed meg a kísérletet, miközben elforgatod az egyik szűrőt, -117 +116 00:06:58,835 --> 00:07:00,440 különböző színeket láthatsz majd. -118 +117 00:07:01,780 --> 00:07:07,387 Ami engem nem hagyott igazán nyugodni Quinn demonstrációjában az az volt, -119 +118 00:07:07,387 --> 00:07:11,480 hogy a csíkok oldalról nézve átlósak a henger oldalán. -120 +119 00:07:12,180 --> 00:07:13,860 -Szánj rá egy pillanatot és gondold végig a kísérletet! +Szánj rá egy pillanatot és gondolkodj el ezen! + +120 +00:07:14,080 --> 00:07:18,260 +A színek egyenlő arányban vannak jelen a cső bármely pontján ezért a keverékük fehér, 121 -00:07:14,080 --> 00:07:17,206 -A cső bármely pontján, a színek egyenlő arányban vannak jelen ezért a színek +00:07:18,260 --> 00:07:20,740 +még akkor is ha minden szín másképp van elforgatva. 122 -00:07:17,206 --> 00:07:20,740 -kombinációja továbbra is fehér, még akkor is ha az összes szín másképp van el forgatva. - -123 00:07:21,060 --> 00:07:23,240 Még mindig fenn áll az egyensúly a szinek között. -124 +123 00:07:23,720 --> 00:07:28,020 Ha belenéznél a cső végébe, a lámpa felé, a fény fehér lenne. -125 +124 00:07:28,440 --> 00:07:31,160 De hát akkor miért látunk különböző színeket oldalról nézve? -126 +125 00:07:32,060 --> 00:07:36,027 Ezt az animációt úgy készítettem el, hogy hagytam egy halvány sávot a hengerben, -127 +126 00:07:36,027 --> 00:07:38,280 ami az egyes színek kilengési irányát jelenti. -128 +127 00:07:38,460 --> 00:07:40,220 De ez csak egy animáció. -129 +128 00:07:40,380 --> 00:07:41,900 Ez egy vázlatos ábrázolás. -130 +129 00:07:41,900 --> 00:07:45,367 Miért van az, hogy a fehér fény miközben kölcsönhatásba -131 +130 00:07:45,367 --> 00:07:49,020 lép a csőben lévő molekulákkal megkülönböztet néhány színt? -132 +131 00:07:49,360 --> 00:07:51,100 És miért lesznek a csíkok ettől átlósak? -133 +132 00:07:51,460 --> 00:07:54,380 Nem az lenne a logikus, hogyha a kísérlet teljesen szimmetrikus lenne? -134 +133 00:07:57,280 --> 00:07:59,720 -Ezek lennének a főbb kérdések, amelyekre választ kéne találnunk. +Ezek lennének a főbb kérdések amelyekre választ kéne találnunk. -135 +134 00:08:00,120 --> 00:08:01,880 Miért csavarja el a fény irányát a cukros víz? -136 +135 00:08:02,520 --> 00:08:05,840 Miért függ a csavarodás mértéke a fény frekvenciájától? -137 +136 00:08:05,840 --> 00:08:09,142 És ha megtaláljuk a választ az előző kettőre akkor is miért -138 +137 00:08:09,142 --> 00:08:12,280 rendeződnek különböző színeket ezekben az átlós csíkokba? +138 +00:08:13,800 --> 00:08:16,255 +Ezeket a kérdéseket magadtól is meg tudod válaszolni, + 139 -00:08:13,800 --> 00:08:15,788 -Ezekre a kérdésekre választ kaphatsz, ha van néhány kulcsfontosságú ismereted az +00:08:16,255 --> 00:08:18,120 +ha van pár fontos ismereted az optikáról. 140 -00:08:15,788 --> 00:08:17,874 -optikával kapcsolatban és ha ezeknek az ismereteknek a segítségével jó irányba tudsz +00:08:18,580 --> 00:08:22,375 +Az első kérdéshez meg kell értenünk a körkörösen polarizált fényt. 141 -00:08:17,874 --> 00:08:18,120 -elindulni. +00:08:22,375 --> 00:08:27,416 +A szacharóz egy királis molekula, ami azt jelenti, hogy különbözik a saját tükörképétől, 142 -00:08:18,580 --> 00:08:22,448 -Az első kérdés megköveteli a körkörösen polarizált fény megértését, mivel a kulcs az, +00:08:27,416 --> 00:08:30,305 +mint a bal kezünk a jobbtól. És az eltérő hatások, 143 -00:08:22,448 --> 00:08:24,968 -hogy a szacharóz egy királis molekula, ami azt jelenti, +00:08:30,305 --> 00:08:34,780 +amelyeket a jobbra és a balra csavarodó körkörösen polarizált fényre gyakorol, 144 -00:08:24,968 --> 00:08:27,172 -hogy a tükörképi párjukkal nem hozhatók fedésbe. +00:08:34,780 --> 00:08:37,159 +végül megmagyarázzák majd a jelenség okát. 145 -00:08:27,172 --> 00:08:30,726 -Tehát a molekula különbözik a saját tükörképétől, mint a bal kezünk a jobbtól. +00:08:38,240 --> 00:08:41,355 +A második kérdésre a választ akkor találhatjuk meg ha megértjük, 146 -00:08:30,726 --> 00:08:34,505 -És az eltérő hatások, amelyeket a jobbra és a balra csavarodó körkörösen polarizált +00:08:41,355 --> 00:08:44,039 +hogy miért lassul le a fény, amikor áthalad egy anyagon. 147 -00:08:34,505 --> 00:08:37,159 -fényre gyakorol, végül megmagyarázzák majd a jelenség okát. +00:08:44,660 --> 00:08:48,259 +Ha elég mélyre ásunk a lassulás eredetében kellő matematikai megértéssel, 148 -00:08:38,240 --> 00:08:41,355 -A második kérdésre a választ akkor találhatjuk meg ha megértjük, +00:08:48,259 --> 00:08:51,080 +magyarázatot kapunk a színek szétválasának a természetére. 149 -00:08:41,355 --> 00:08:44,039 -hogy miért lassul le a fény, amikor áthalad egy anyagon. +00:08:51,600 --> 00:08:54,013 +A harmadik kérdésre a választ ott kell keresni, 150 -00:08:44,660 --> 00:08:48,271 -Ha elég mélyre ásunk ennek a lassulásnak az eredetében a kellően matematikai megértéssel, - -151 -00:08:48,271 --> 00:08:51,080 -akkor végül magyarázatot kapunk a színek szétválasának a természetére. - -152 -00:08:51,600 --> 00:08:54,627 -A harmadik kérdésre a választ azon tény magyarázatánál kell keresni, - -153 -00:08:54,627 --> 00:08:57,172 +00:08:54,013 --> 00:08:56,929 hogy a fény nem egy irányba pattan vissza a felületekről, -154 -00:08:57,172 --> 00:08:58,840 +151 +00:08:56,929 --> 00:08:58,840 mint ahogy azt egy sima lövedék tenné. -155 +152 00:08:58,840 --> 00:09:04,940 Történetesen a fény visszaverődésének iránya függ a polarizáció irányától. -156 +153 00:09:06,260 --> 00:09:10,883 Nem az a célom ezzel a videóval, hogy a válaszok tény felsorolásnak tűnjenek, -157 +154 00:09:10,883 --> 00:09:14,617 hanem inkább rá szeretnélek vezetni a lényeges felismerésekre, -158 +155 00:09:14,617 --> 00:09:17,700 amelyek abból fakadnak, hogy mi is a fény valójában. -159 +156 00:09:18,180 --> 00:09:21,492 A következő nagy felismerésünk a nulladik kérdéshez fog kapcsolódni, -160 +157 00:09:21,492 --> 00:09:23,220 hogy mi is a fénynek ez a kilengése? -161 +158 00:09:23,800 --> 00:09:25,420 -Ez a kérdés pedig visszavezethető arra, hogy mi a fény? - -162 -00:09:26,080 --> 00:09:27,875 -Ha kíváncsi vagy a teljes magyarázatra, nézd meg a következő videót, +Ez pedig visszavezethető arra, hogy mi a fény? -163 -00:09:27,875 --> 00:09:30,113 -ami ennek a videónak a folytatása lesz, és ott minden levegőben lógó kérdésre választ - -164 -00:09:30,113 --> 00:09:30,400 -kapsz majd. +159 +00:09:26,080 --> 00:09:30,400 +Ha kíváncsi vagy a teljes magyarázatra, nézd meg a következő videót! diff --git a/2023/barber-pole-1/vietnamese/auto_generated.srt b/2023/barber-pole-1/vietnamese/auto_generated.srt index f64863787..748fbb1a1 100644 --- a/2023/barber-pole-1/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2023/barber-pole-1/vietnamese/auto_generated.srt @@ -1,13 +1,13 @@ 1 -00:00:00,000 --> 00:00:03,301 +00:00:00,000 --> 00:00:03,317 Về cơ bản, quá trình thiết lập ở đây bắt đầu với một hình trụ chứa 2 -00:00:03,301 --> 00:00:06,652 -đầy nước đường và chúng tôi sắp chiếu một ít ánh sáng trắng vào nó, +00:00:03,317 --> 00:00:06,634 +đầy nước đường và chúng ta sắp chiếu một ít ánh sáng trắng vào nó, 3 -00:00:06,652 --> 00:00:10,200 +00:00:06,634 --> 00:00:10,200 nhưng trước khi nó đến đó, nó sẽ đi qua một bộ lọc phân cực tuyến tính. 4 @@ -19,642 +19,634 @@ Và điều đó có nghĩa là, về cơ bản, là nếu bạn nhìn vào tấ điểm của bộ lọc đó, những sóng đó sẽ chỉ dao động theo một hướng, ví dụ như lên và xuống. 6 -00:00:20,780 --> 00:00:25,045 -Và đừng lo lắng, trong vài phút nữa chúng ta sẽ đi vào chi tiết hơn về cụ thể sự +00:00:20,780 --> 00:00:25,176 +Và đừng lo lắng, trong vài phút nữa ta sẽ đi vào chi tiết hơn về cụ thể sự lắc lư 7 -00:00:25,045 --> 00:00:28,099 -lắc lư là gì và tầm quan trọng của hướng lắc lư đó là gì, +00:00:25,176 --> 00:00:30,002 +là gì và tầm quan trọng của hướng lắc lư đó là gì, nhưng bỏ qua phần mấu chốt trước tiên, 8 -00:00:28,099 --> 00:00:32,575 -nhưng bỏ qua phần mấu chốt trước tiên, bản demo cũng bao gồm một phân cực tuyến tính +00:00:30,002 --> 00:00:34,345 +bản demo cũng bao gồm một phân cực tuyến tính thứ hai bộ lọc đi ra ở đầu bên kia 9 -00:00:32,575 --> 00:00:37,050 -thứ hai bộ lọc đi ra ở đầu bên kia và tôi muốn bạn dự đoán những gì chúng ta sẽ thấy +00:00:34,345 --> 00:00:38,420 +và tôi muốn bạn dự đoán những gì chúng ta sẽ thấy khi chúng ta bật đèn lên. 10 -00:00:37,050 --> 00:00:38,420 -khi chúng ta bật đèn lên. - -11 00:00:39,040 --> 00:00:42,616 Bây giờ tôi nghi ngờ rằng một số khán giả có thể đã hiểu được một chút -12 +11 00:00:42,616 --> 00:00:45,033 về những gì đang diễn ra, bởi vì vài năm trước, -13 +12 00:00:45,033 --> 00:00:48,760 Steve Mold đã làm một video thực sự xuất sắc về hiện tượng chiếu ánh sáng -14 +13 00:00:48,760 --> 00:00:50,020 phân cực qua nước đường. -15 +14 00:00:50,500 --> 00:00:53,293 Nó thực sự được thực hiện rất tốt, điều này không có gì ngạc nhiên vì -16 +15 00:00:53,293 --> 00:00:55,847 mọi thứ Steve làm đều như vậy, nhưng ngay cả khi bạn đã xem nó, -17 +16 00:00:55,847 --> 00:00:58,960 đây là một hiện tượng đủ phong phú đến mức vẫn còn nhiều điều cần giải thích. -18 +17 00:00:59,220 --> 00:01:01,811 Trên thực tế, ngay cả khi bạn làm video đó, thì đây vẫn là một -19 +18 00:01:01,811 --> 00:01:04,319 hiện tượng đủ phong phú để có nhiều điều cần giải thích hơn. -20 +19 00:01:04,819 --> 00:01:07,287 Tôi tò mò không biết, Steve, khi anh làm video đó, -21 +20 00:01:07,287 --> 00:01:11,401 anh có tình cờ nhìn rõ được mặt kính không, có thể là khi phần còn lại của đèn trong -22 +21 00:01:11,401 --> 00:01:13,240 phòng đã tắt hoặc thứ gì đó tương tự? -23 +22 00:01:13,920 --> 00:01:14,260 KHÔNG. -24 +23 00:01:15,100 --> 00:01:16,920 Không, tôi không nghĩ về góc nhìn từ bên cạnh. -25 +24 00:01:17,760 --> 00:01:17,920 Tuyệt vời. -26 -00:01:18,220 --> 00:01:20,757 -Vì vậy, với cách bố trí mà chúng ta đang xem xét bây giờ, - -27 -00:01:20,757 --> 00:01:22,901 -khi chúng ta tắt đèn trong phòng và bật đèn lên, +25 +00:01:18,220 --> 00:01:22,499 +Vậy với cách bố trí mà ta đang xét bây giờ, khi ta tắt đèn trong phòng và bật đèn lên, -28 -00:01:22,901 --> 00:01:26,140 +26 +00:01:22,499 --> 00:01:26,140 tôi tò mò liệu bạn có dự đoán nào về những gì bạn có thể nhìn thấy không. -29 +27 00:01:26,760 --> 00:01:29,920 -Chà, tôi cho là sẽ có một số sự phân tán. +Chà, tôi cho là sẽ có một số tán xạ. -30 +28 00:01:30,620 --> 00:01:34,027 Nhưng nếu chúng ta chỉ nhìn vào cái ống, thì chúng ta sẽ không -31 +29 00:01:34,027 --> 00:01:37,380 áp dụng bất kỳ loại bộ lọc nào mà chỉ nhìn thẳng vào cái ống. -32 +30 00:01:37,760 --> 00:01:41,220 Vì vậy, ý tôi là, bản năng của tôi là sẽ không có chuyện gì xảy ra. -33 +31 00:01:41,840 --> 00:01:43,260 Đó cũng là dự đoán của tôi. -34 +32 00:01:43,500 --> 00:01:45,956 Nhưng hãy để tôi chỉ cho bạn xem nó trông như thế -35 +33 00:01:45,956 --> 00:01:48,560 nào khi chúng ta tắt đèn trong phòng và bật đèn lên. -36 +34 00:01:49,240 --> 00:01:53,488 Và sau đó nếu bạn xoay kính phân cực ban đầu, bạn có thể thấy những sọc đó, -37 +35 00:01:53,488 --> 00:01:56,060 những sọc chéo đó dường như đi lên trong ống. -38 +36 00:01:56,440 --> 00:01:56,860 Tuyệt vời. -39 +37 00:01:58,320 --> 00:01:59,260 Nhưng tại sao lại là đường chéo? -40 +38 00:01:59,840 --> 00:02:00,260 Chính xác. -41 +39 00:02:00,500 --> 00:02:01,160 Tại sao lại có đường chéo? -42 +40 00:02:01,480 --> 00:02:02,200 Nhưng tại sao bất cứ điều gì? -43 +41 00:02:02,480 --> 00:02:03,420 Ý tôi là, tại sao lại thế? -44 +42 00:02:05,200 --> 00:02:10,520 Có điều gì đó về sự tương tác với nước đường sẽ tách ánh sáng thành các dải màu khác nhau. -45 +43 00:02:10,520 --> 00:02:10,580 -46 +44 00:02:10,840 --> 00:02:13,898 Nhưng nó thực hiện điều đó theo cách thực sự hấp dẫn, -47 +45 00:02:13,898 --> 00:02:17,920 trong đó màu sắc xuất hiện tạo thành những đường xoắn ốc dọc theo ống. -48 +46 00:02:19,080 --> 00:02:22,597 Và điều khác tôi muốn bạn chú ý là màu sắc thoát -49 +47 00:02:22,597 --> 00:02:25,900 ra khỏi ống sau khi nó đi qua bộ lọc thứ hai. -50 +48 00:02:27,100 --> 00:02:31,300 -Khi chúng tôi xoay bộ lọc đầu tiên, bạn sẽ xoay qua một nhóm màu sắc riêng biệt. +Khi chúng ta xoay bộ lọc đầu tiên, bạn sẽ xoay qua một nhóm màu sắc riêng biệt. -51 +49 00:02:32,200 --> 00:02:33,680 Và nó không nhất thiết phải là bộ lọc đầu tiên. -52 +50 00:02:33,680 --> 00:02:37,640 Nếu bạn xoay bộ lọc thứ hai đó, bạn cũng xoay qua các màu khác nhau này. -53 +51 00:02:38,800 --> 00:02:41,500 Nhân tiện, đó là Quinn, người đã vui lòng thiết lập toàn bộ bản demo này. -54 -00:02:42,320 --> 00:02:47,266 +52 +00:02:42,320 --> 00:02:47,282 Và điều tôi thích ở thiết lập này là nếu bạn muốn thực sự hiểu những gì bạn đang nhìn, -55 -00:02:47,266 --> 00:02:50,451 +53 +00:02:47,282 --> 00:02:50,476 với cảm giác thỏa mãn sâu sắc về những gì đang diễn ra, -56 -00:02:50,451 --> 00:02:54,943 -nó đòi hỏi bạn phải có trực giác rất vững chắc về một số khái niệm cơ bản khác +54 +00:02:50,476 --> 00:02:54,982 +nó đòi hỏi bạn phải có trực quan rất vững chắc về một số khái niệm cơ bản khác -57 -00:02:54,943 --> 00:02:59,662 -nhau về ánh sáng , như sự phân cực, cách hoạt động của sự tán xạ và cách hoạt động +55 +00:02:54,982 --> 00:02:59,659 +nhau về ánh sáng, như sự phân cực, cách hoạt động của sự tán xạ và cách hoạt động -58 -00:02:59,662 --> 00:03:00,800 +56 +00:02:59,659 --> 00:03:00,800 của chỉ số khúc xạ. -59 +57 00:03:01,800 --> 00:03:04,107 Để bắt đầu, hãy để tôi chỉ cho bạn cấu trúc tổng -60 +58 00:03:04,107 --> 00:03:06,320 thể để giải thích những gì đang diễn ra ở đây. -61 +59 00:03:06,600 --> 00:03:09,860 Và trên đường đi, hãy ghi lại nhiều câu hỏi khác nhau mà chúng ta vẫn cần trả lời. -62 +60 00:03:11,020 --> 00:03:14,221 Tiền đề cơ bản cho toàn bộ vấn đề là hãy nghĩ về ánh sáng -63 +61 00:03:14,221 --> 00:03:17,700 phân cực như một sóng lan truyền đang dao động theo một hướng. -64 +62 00:03:17,700 --> 00:03:22,860 -Và tôi cho rằng câu hỏi số 0 là để chúng ta làm rõ chính xác thì cái gì đang ngọ nguậy. +Và tôi cho rằng câu hỏi số 0 là để chúng ta làm rõ chính xác thì cái gì đang lắc qua lại. -65 +63 00:03:23,420 --> 00:03:26,528 Tạm hoãn điều đó vào lúc này, chúng ta sẽ chỉ nói nếu chúng ta -66 +64 00:03:26,528 --> 00:03:29,734 nghĩ về nó như truyền theo một hướng, chẳng hạn dọc theo trục x, -67 +65 00:03:29,734 --> 00:03:33,040 sự dao động xảy ra vuông góc với hướng đó, chẳng hạn theo hướng z. -68 +66 00:03:33,700 --> 00:03:39,100 Điều gì đang xảy ra khi nó đi qua ống nước đường này là hướng lắc lư đó bị xoắn lại. -69 +67 00:03:39,780 --> 00:03:42,040 Và vì vậy câu hỏi quan trọng đầu tiên là tại sao? -70 +68 00:03:42,300 --> 00:03:45,080 Điều gì về sự tương tác với đường gây ra sự thay đổi này? -71 +69 00:03:45,080 --> 00:03:49,984 Và để bạn hiểu rõ ý tôi khi nói xoắn, nếu bạn tập trung chú ý vào một -72 +70 00:03:49,984 --> 00:03:54,819 lát cắt vuông góc với trục của hình trụ và vẽ một đường cho biết ánh -73 +71 00:03:54,819 --> 00:03:59,794 sáng đang lắc lư trên lát cắt đó như thế nào, thì nếu bạn di chuyển nó -74 +72 00:03:59,794 --> 00:04:05,120 cắt hình trụ xuống, hướng lắc liên quan từ từ quay quanh trục của hình trụ. -75 +73 00:04:05,860 --> 00:04:10,720 Điều quan trọng là tốc độ nó bị xoắn lại phụ thuộc vào tần số của ánh sáng. -76 +74 00:04:10,720 --> 00:04:13,662 Ánh sáng tần số cao hơn, chẳng hạn như màu tím, -77 +75 00:04:13,662 --> 00:04:17,339 thực sự bị xoắn nhanh hơn ánh sáng tần số thấp, như màu đỏ. -78 +76 00:04:18,300 --> 00:04:20,871 Vì vậy, câu hỏi quan trọng thứ hai chúng ta cần trả -79 +77 00:04:20,871 --> 00:04:23,640 lời là tại sao tốc độ xoắn đó lại phụ thuộc vào tần số? -80 +78 00:04:24,240 --> 00:04:28,739 Dù chúng ta đưa ra lời giải thích nào cho lý do tại sao sự xoắn lại xảy ra ngay từ đầu, -81 +79 00:04:28,739 --> 00:04:32,420 -nó sẽ đưa ra một số trực giác về sự phụ thuộc vào tần số sẽ đến từ đâu. +nó sẽ đưa ra một số trực quan về sự phụ thuộc vào tần số sẽ đến từ đâu. -82 -00:04:33,660 --> 00:04:36,195 -Chúng ta hãy dành một chút thời gian để suy nghĩ xem việc các màu sắc +80 +00:04:33,660 --> 00:04:36,151 +Chúng ta dành chút thời gian để nghĩ xem việc các màu sắc khác -83 -00:04:36,195 --> 00:04:38,840 -khác nhau của ánh sáng đang bị xoắn với tốc độ khác nhau có nghĩa là gì. +81 +00:04:36,151 --> 00:04:38,840 +nhau của ánh sáng đang bị xoắn với tốc độ khác nhau có nghĩa là gì. -84 -00:04:38,840 --> 00:04:42,039 -Trong bản demo, chúng ta chiếu ánh sáng trắng và ánh sáng +82 +00:04:38,840 --> 00:04:42,202 +Trong bản thử nghiệm, chúng ta chiếu ánh sáng trắng và ánh sáng -85 -00:04:42,039 --> 00:04:45,460 +83 +00:04:42,202 --> 00:04:45,460 trắng không phải là sóng hình sin thuần túy, nó phức tạp hơn. -86 +84 00:04:45,860 --> 00:04:49,779 Và bạn thường nghĩ về nó như sự kết hợp của nhiều sóng hình sin thuần túy khác nhau, -87 +85 00:04:49,779 --> 00:04:52,500 mỗi sóng tương ứng với một trong các màu sắc của cầu vồng. -88 +86 00:04:53,380 --> 00:04:58,107 Đối với hoạt ảnh này, tôi sẽ biểu diễn sơ đồ hướng dao động cho từng tần số thuần túy, -89 +87 00:04:58,107 --> 00:04:59,520 chỉ bằng một đường thẳng. -90 +88 00:05:00,280 --> 00:05:04,906 Vì vậy, ý tưởng chính là khi tất cả các sóng khác nhau truyền xuống ống, -91 +89 00:05:04,906 --> 00:05:08,835 với các tần số thuần túy khác nhau xoắn với tốc độ khác nhau, -92 +90 00:05:08,835 --> 00:05:12,637 ánh sáng tím xoắn nhanh nhất và ánh sáng đỏ xoắn chậm nhất, -93 +91 00:05:12,637 --> 00:05:16,820 thì hướng phân cực của mỗi màu thuần khiết đó sẽ có được tách ra. -94 +92 00:05:17,200 --> 00:05:21,980 Ví dụ, khi bạn đi đến cuối ống, chúng đều có những hướng lắc lư riêng biệt. -95 +93 00:05:22,620 --> 00:05:26,380 Nhưng có một điều quan trọng cần hiểu là đây vẫn là ánh sáng trắng. -96 -00:05:26,420 --> 00:05:29,643 +94 +00:05:26,420 --> 00:05:29,659 Nếu bạn đặt mắt vào đầu ống và nhìn về phía ngọn đèn, -97 -00:05:29,643 --> 00:05:33,404 -nó sẽ không có màu sắc gì cả, bởi vì ngay cả khi các hướng ngọ +95 +00:05:29,659 --> 00:05:33,440 +nó sẽ không có màu sắc gì cả, bởi vì ngay cả khi các hướng dao -98 -00:05:33,404 --> 00:05:38,060 -nguậy khác nhau thì vẫn có cùng một lượng mỗi màu như trước đây. lúc bắt đầu. +96 +00:05:33,440 --> 00:05:38,060 +động khác nhau thì vẫn có cùng một lượng mỗi màu như trước đây. lúc bắt đầu. -99 +97 00:05:38,520 --> 00:05:41,215 Để thấy bất kỳ bằng chứng nào về sự tách biệt này, -100 +98 00:05:41,215 --> 00:05:45,496 một điều bạn có thể làm là cho tất cả đi qua bộ lọc phân cực tuyến tính thứ hai, -101 +99 00:05:45,496 --> 00:05:47,240 chẳng hạn theo hướng thẳng đứng. -102 +100 00:05:47,840 --> 00:05:52,992 Hiệu ứng này là lượng ánh sáng có tần số nhất định đi qua bằng -103 +101 00:05:52,992 --> 00:05:57,900 với thành phần hướng phân cực của nó thẳng hàng với bộ lọc. -104 +102 00:05:57,900 --> 00:06:03,368 Vì vậy, các màu sắp xếp rất gần với bộ lọc đó sẽ đi qua gần như hoàn toàn, -105 +103 00:06:03,368 --> 00:06:08,400 trong khi các màu ở góc vuông góc hơn với bộ lọc chỉ đi qua rất yếu. -106 +104 00:06:10,480 --> 00:06:13,942 Vì vậy, ánh sáng phát ra ở đầu bên kia của bộ lọc này là sự kết hợp không -107 +105 00:06:13,942 --> 00:06:17,263 cân bằng của tất cả các tần số thuần túy, đó là lý do tại sao những gì -108 +106 00:06:17,263 --> 00:06:20,960 chúng ta nhìn thấy ở đầu bên kia không còn là màu trắng mà là một số màu khác. -109 +107 00:06:21,880 --> 00:06:24,613 Và lưu ý rằng nếu chúng ta xoay toàn bộ thiết lập, -110 +108 00:06:24,613 --> 00:06:27,293 chẳng hạn bằng cách xoắn bộ lọc phân cực ban đầu, -111 +109 00:06:27,293 --> 00:06:31,635 thì điều đó sẽ thay đổi các thành phần của từng tần số thuần túy theo chiều dọc, -112 +110 00:06:31,635 --> 00:06:34,476 dẫn đến sự cân bằng khác nhau của tất cả các màu đó, -113 +111 00:06:34,476 --> 00:06:39,300 đó là lý do tại sao việc xoay bộ lọc ban đầu sẽ thay đổi màu bạn nhìn thấy ở đầu bên kia. -114 +112 00:06:39,900 --> 00:06:41,560 Và nhân tiện, đây là điều bạn có thể làm ở nhà. -115 +113 00:06:41,580 --> 00:06:43,000 Bạn không cần một thiết lập quá cầu kỳ. -116 +114 00:06:43,400 --> 00:06:46,431 Bắt đầu bằng cách tạo ra một hỗn hợp nước đường khá đậm đặc, -117 +115 00:06:46,431 --> 00:06:50,158 sau đó bạn sẽ cần sử dụng một số bộ lọc phân cực để có thể truyền ánh sáng -118 +116 00:06:50,158 --> 00:06:53,388 trước tiên qua một trong những bộ lọc đó, sau đó qua nước đường, -119 +117 00:06:53,388 --> 00:06:54,680 rồi qua bộ lọc thứ hai. . -120 +118 00:06:55,140 --> 00:06:57,405 Và nếu bạn nhìn toàn bộ thiết lập này từ trên xuống, -121 +119 00:06:57,405 --> 00:07:00,440 khi bạn xoay một trong những bộ lọc đó, bạn sẽ thấy các màu khác nhau. -122 +120 00:07:01,780 --> 00:07:04,995 Nhưng ngay cả khi bạn hiểu điều này, điều thực sự khiến tôi -123 +121 00:07:04,995 --> 00:07:08,157 phải gãi đầu khi Quinn cho tôi xem bản demo này là tại sao -124 +122 00:07:08,157 --> 00:07:11,480 bạn lại nhìn thấy các sọc chéo khi nhìn hình trụ từ bên cạnh. -125 +123 00:07:12,180 --> 00:07:13,860 Ý tôi là, hãy dành một chút thời gian để suy nghĩ về điều này. -126 +124 00:07:14,080 --> 00:07:17,935 Tại bất kỳ điểm nào trong ống, mặc dù tất cả các màu đã được xoay khác nhau, -127 +125 00:07:17,935 --> 00:07:20,740 nhưng một lần nữa, ánh sáng ở điểm đó vẫn là màu trắng. -128 +126 00:07:21,060 --> 00:07:23,240 Nó vẫn là sự cân bằng như nhau của tất cả các màu sắc khác nhau. -129 +127 00:07:23,720 --> 00:07:28,020 Nếu bạn dán mắt vào trong ống và nhìn về phía đèn, bạn sẽ thấy màu trắng. -130 +128 00:07:28,440 --> 00:07:31,160 Vậy tại sao việc xem nó từ bên cạnh lại thay đổi những gì bạn nhìn thấy? -131 -00:07:32,060 --> 00:07:35,145 -Theo cách tôi thực hiện hoạt hình này, tôi chỉ để lại một bóng +129 +00:07:32,060 --> 00:07:35,120 +Theo cách tôi thực hiện hoạt ảnh này, tôi chỉ để lại một bóng -132 -00:07:35,145 --> 00:07:38,280 +130 +00:07:35,120 --> 00:07:38,280 mờ tượng trưng cho hướng lắc lư của mỗi màu dọc theo đường ống. -133 +131 00:07:38,460 --> 00:07:40,220 -Nhưng đó chỉ là phim hoạt hình. +Nhưng đó chỉ là một hoạt hình. -134 +132 00:07:40,380 --> 00:07:41,900 -Đó là một biểu diễn sơ đồ. +Đó là một sơ đồ biểu diễn. -135 +133 00:07:41,900 --> 00:07:45,554 Tại sao cách ánh sáng tương tác với các phân tử bên trong -136 +134 00:07:45,554 --> 00:07:49,020 ống lại có thể phân biệt màu sắc theo bất kỳ cách nào? -137 +135 00:07:49,360 --> 00:07:51,100 Và tại sao các sọc lại có đường chéo? -138 +136 00:07:51,460 --> 00:07:54,380 Bạn có nghĩ rằng thiết lập phải hoàn toàn đối xứng từ trên xuống dưới không? -139 +137 00:07:57,280 --> 00:07:59,720 -Vì vậy đây là những câu hỏi chính mà chúng ta cần phải trả lời. +Vậy đây là những câu hỏi chính mà ta cần phải trả lời. -140 +138 00:08:00,120 --> 00:08:01,880 Tại sao đường lại làm cho ánh sáng bị xoắn? -141 +139 00:08:02,520 --> 00:08:05,840 Tại sao tốc độ xoắn của nó lại phụ thuộc vào tần số của ánh sáng? -142 +140 00:08:05,840 --> 00:08:08,726 Và tại sao, ngay cả khi bạn hiểu cả hai sự thật đó, -143 +141 00:08:08,726 --> 00:08:12,280 bạn vẫn thấy các màu khác nhau xuất hiện trên các sọc chéo này? -144 +142 00:08:13,800 --> 00:08:18,120 -Bạn có thể trả lời những câu hỏi này nếu bạn có một số trực giác quan trọng về quang học. +Bạn có thể trả lời những câu hỏi này nếu bạn có một số trực quan quan trọng về quang học. -145 -00:08:18,580 --> 00:08:22,308 +143 +00:08:18,580 --> 00:08:22,054 Câu hỏi đầu tiên đòi hỏi phải hiểu ánh sáng phân cực tròn, -146 -00:08:22,308 --> 00:08:27,996 -vì điều quan trọng là sucrose là một phân tử bất đối, nghĩa là có sự thuận tay đối với nó. +144 +00:08:22,054 --> 00:08:25,645 +vì điều quan trọng là saccarozơ là một phân tử bất đối xứng, -147 -00:08:27,996 --> 00:08:28,060 - +145 +00:08:25,645 --> 00:08:28,060 +nghĩa là có một sự thuận tay đối với nó. -148 +146 00:08:28,120 --> 00:08:29,480 Nó khác với hình ảnh phản chiếu của nó. -149 +147 00:08:29,480 --> 00:08:33,293 Và những hiệu ứng hơi khác nhau mà nó gây ra đối với ánh sáng phân cực -150 +148 00:08:33,293 --> 00:08:37,159 tròn thuận tay phải và thuận tay trái cuối cùng giải thích cho sự xoắn. -151 +149 00:08:38,240 --> 00:08:41,227 Câu hỏi thứ hai đòi hỏi phải hiểu tại sao ánh sáng -152 +150 00:08:41,227 --> 00:08:44,039 dường như chậm lại khi nó đi qua một chất liệu. -153 +151 00:08:44,660 --> 00:08:47,792 Sự hiểu biết đầy đủ về mặt toán học về nguồn gốc của sự chậm -154 +152 00:08:47,792 --> 00:08:51,080 lại đó cuối cùng sẽ giải thích được sự phân tách màu sắc ở đây. -155 +153 00:08:51,600 --> 00:08:55,700 Và câu hỏi thứ ba bắt nguồn từ thực tế là khi ánh sáng tán xạ khỏi một vật liệu, -156 +154 00:08:55,700 --> 00:08:58,840 nó không giống như một viên đạn nảy theo bất kỳ hướng cũ nào. -157 +155 00:08:58,840 --> 00:09:04,940 Hướng tán xạ phụ thuộc vào hướng phân cực và có lý do rất chính đáng cho điều đó. -158 +156 00:09:06,260 --> 00:09:09,907 Mục đích của tôi là làm cho tất cả những câu trả lời này ít giống -159 +157 00:09:09,907 --> 00:09:13,720 những sự thật mà tôi đang truyền lại từ trên cao mà giống những khám -160 +158 00:09:13,720 --> 00:09:17,700 phá tất yếu xuất phát từ sự hiểu biết cơ bản về ánh sáng thực sự là gì. -161 +159 00:09:18,180 --> 00:09:21,836 Để làm được điều đó, chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách quay lại câu hỏi số 0, -162 +160 00:09:21,836 --> 00:09:23,220 chính xác thì lắc lư là gì? -163 +161 00:09:23,800 --> 00:09:25,420 Tức là, ánh sáng là gì? -164 +162 00:09:26,080 --> 00:09:28,837 Nếu bạn tò mò về lời giải thích đầy đủ diễn ra như thế nào, -165 +163 00:09:28,837 --> 00:09:30,400 hãy cùng tôi xem video tiếp theo. diff --git a/2023/barber-pole-2/vietnamese/auto_generated.srt b/2023/barber-pole-2/vietnamese/auto_generated.srt index b2294c895..a0c20c3df 100644 --- a/2023/barber-pole-2/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2023/barber-pole-2/vietnamese/auto_generated.srt @@ -1,18 +1,18 @@ 1 -00:00:00,000 --> 00:00:02,959 -Trong video trước, bạn và tôi đã xem bản demo này ở đây, +00:00:00,000 --> 00:00:03,036 +Trong video trước, bạn và tôi đã xem thử nghiệm này ở đây, 2 -00:00:02,959 --> 00:00:06,854 +00:00:03,036 --> 00:00:06,896 nơi chúng tôi chiếu ánh sáng phân cực tuyến tính qua một ống chứa đầy nước 3 -00:00:06,854 --> 00:00:10,645 -đường và chúng tôi đã thấy nó tạo ra những sọc chéo màu này một cách khá +00:00:06,896 --> 00:00:10,808 +đường và chúng tôi đã thấy nó tạo ra những sọc chéo màu này một cách khá bí 4 -00:00:10,645 --> 00:00:11,580 -bí ẩn như thế nào. +00:00:10,808 --> 00:00:11,580 +ẩn như thế nào. 5 00:00:12,520 --> 00:00:15,498 @@ -143,11 +143,11 @@ Và thay vì mô tả bản chất lực, bạn có thể thấy bài viết nà đây chỉ là một cách để nói lực nào sẽ tác dụng lên một đơn vị điện tích. 37 -00:02:13,220 --> 00:02:15,663 -Và trong ngữ cảnh này, trường từ có nghĩa là có +00:02:13,220 --> 00:02:15,689 +Và trong ngữ cảnh này, một trường có nghĩa là có 38 -00:02:15,663 --> 00:02:18,260 +00:02:15,689 --> 00:02:18,260 một giá trị gắn liền với mỗi điểm trong không gian. 39 @@ -168,30 +168,30 @@ Tôi đưa ra định luật Coulomb để nhấn mạnh rằng đó không ph 43 00:02:36,100 --> 00:02:38,400 -Có nhiều cách khác mà các khoản phí ảnh hưởng lẫn nhau. +Có nhiều cách khác mà các điện tích ảnh hưởng lẫn nhau. 44 00:02:38,740 --> 00:02:42,160 Ví dụ, đây là một hiện tượng mà chỉ riêng định luật này không thể giải thích được. 45 -00:02:42,900 --> 00:02:46,943 +00:02:42,900 --> 00:02:46,966 Nếu bạn lắc lư một điện tích lên xuống, thì sau một khoảng thời gian trễ một chút, 46 -00:02:46,943 --> 00:02:51,327 -điện tích thứ hai cách một khoảng về bên phải của nó cũng sẽ được tạo ra để ngọ nguậy lên +00:02:46,966 --> 00:02:51,326 +điện tích thứ hai cách một khoảng về bên phải của nó cũng sẽ được tạo ra để dao động lên 47 -00:02:51,327 --> 00:02:51,620 +00:02:51,326 --> 00:02:51,620 xuống. 48 -00:02:52,280 --> 00:02:55,672 -Chúng ta có thể viết ra định luật thứ hai mà bạn có thể coi là một thuật ngữ +00:02:52,280 --> 00:02:55,627 +Chúng ta có thể viết ra định luật thứ hai mà bạn có thể coi là một số hạng 49 -00:02:55,672 --> 00:02:59,020 +00:02:55,627 --> 00:02:59,020 hiệu chỉnh để thêm vào định luật Coulomb, mô tả những gì đang diễn ra ở đây. 50 @@ -271,12 +271,12 @@ Cách nghĩ về điều này là bất kỳ dạng ảnh hưởng nào cũng không thể lan truyền nhanh hơn tốc độ này, c. 69 -00:04:11,780 --> 00:04:14,062 -Trên thực tế, một mô tả chính xác hơn về định luật +00:04:11,780 --> 00:04:13,942 +Thực tế, một mô tả chính xác hơn về định luật 70 -00:04:14,062 --> 00:04:16,480 -Coulomb cũng sẽ liên quan đến số hạng trễ như thế này. +00:04:13,942 --> 00:04:16,480 +Coulomb cũng sẽ liên quan đến số hạng trễ pha như này. 71 00:04:16,480 --> 00:04:19,524 @@ -295,428 +295,428 @@ Một lần nữa, cách trực quan để đọc phương trình này là sự Và thực sự, cách tôi viết bây giờ có hơi sai một chút. 75 -00:04:29,800 --> 00:04:35,573 -Thay vì vectơ gia tốc ở đây, tôi thực sự nên viết một cái gì đó giống như một perp, +00:04:29,800 --> 00:04:33,808 +Thay vì vectơ gia tốc ở đây, tôi thực sự nên viết một cái gì 76 -00:04:35,573 --> 00:04:41,760 -biểu thị thành phần của vectơ gia tốc đó vuông góc với đường thẳng nối giữa hai điện tích. +00:04:33,808 --> 00:04:37,817 +đó giống như một sự vuông góc, biểu thị thành phần của vectơ 77 +00:04:37,817 --> 00:04:41,760 +gia tốc đó vuông góc với đường thẳng nối giữa hai điện tích. + +78 00:04:42,320 --> 00:04:45,453 Nói cách khác, khi bạn dao động điện tích đầu tiên đó, -78 +79 00:04:45,453 --> 00:04:49,897 hướng mà điện tích thứ hai dao động luôn vuông góc với đường thẳng giữa chúng -79 +80 00:04:49,897 --> 00:04:54,512 và mức độ dao động của nó ngày càng yếu đi khi đường thẳng giữa chúng thẳng hàng -80 +81 00:04:54,512 --> 00:04:55,880 hơn với gia tốc ban đầu. -81 +82 00:04:57,180 --> 00:05:00,702 Như trước đây, đây là thứ bạn có thể thấy được viết ra theo cách -82 +83 00:05:00,702 --> 00:05:04,280 mô tả một thành phần của điện trường gây ra bởi chỉ một điện tích. -83 +84 00:05:04,820 --> 00:05:08,021 Một lần nữa, điều đó có nghĩa là lực nào sẽ tác dụng lên điện -84 +85 00:05:08,021 --> 00:05:11,120 tích thứ hai tại tất cả các điểm có thể có trong không gian. -85 +86 00:05:12,280 --> 00:05:15,541 Thành phần này của trường chỉ khác 0 khi điện tích đầu tiên của -86 +87 00:05:15,541 --> 00:05:19,160 chúng ta chuyển động bằng cách nào đó, khi nó có vectơ gia tốc trên đó. -87 +88 00:05:19,580 --> 00:05:24,720 -Và do độ trễ này, các hiệu ứng trên trường này có xu hướng tỏa ra xa điện tích. +Và do số hạng trễ pha này, các hiệu ứng trên trường này có xu hướng tỏa ra xa điện tích. -88 +89 00:05:25,060 --> 00:05:27,340 Đây là lý do tại sao tôi viết nó ra với chỉ số dưới rad. -89 +90 00:05:27,820 --> 00:05:32,240 Đây là thành phần của điện trường sẽ tỏa ra khỏi một điện tích nhất định. -90 +91 00:05:33,120 --> 00:05:37,100 Ví dụ, khi điện tích dao động lên xuống, bạn sẽ có các sóng lan truyền này. -91 +92 00:05:37,100 --> 00:05:39,884 Và đối với nhiều trường vectơ tôi sẽ trình bày, -92 +93 00:05:39,884 --> 00:05:43,540 cường độ của trường được minh họa bằng độ mờ của mỗi vectơ nhỏ. -93 +94 00:05:44,280 --> 00:05:48,874 Ảnh hưởng bức xạ này là ánh sáng, hay nói chung hơn là bức xạ điện từ, -94 +95 00:05:48,874 --> 00:05:53,340 bao gồm những thứ như sóng vô tuyến và tia X và tất cả những thứ tốt. -95 -00:05:54,820 --> 00:05:58,679 -Xin lưu ý thêm, đôi khi bạn thấy sự lan truyền này được mô tả theo một cách rất khác, - 96 -00:05:58,679 --> 00:06:02,360 -đặt các trường ở phía trước và giữa, sử dụng cái được gọi là phương trình Maxwell. +00:05:54,820 --> 00:05:58,590 +Lưu ý thêm, đôi khi bạn thấy sự lan truyền này được mô tả theo một cách rất khác, 97 -00:06:02,880 --> 00:06:06,409 -Vì mục đích của chúng ta, tôi chỉ muốn tập trung vào một định luật này và +00:05:58,590 --> 00:06:02,360 +đặt các trường ở phía trước và giữa, sử dụng cái được gọi là phương trình Maxwell. 98 -00:06:06,409 --> 00:06:09,940 -chỉ ra nó có thể đưa chúng ta đi bao xa khi nói đến trực giác về ánh sáng. +00:06:02,880 --> 00:06:06,336 +Vì mục đích của chúng ta, tôi chỉ muốn tập trung vào một định luật này 99 -00:06:11,620 --> 00:06:14,251 -Đối với những hình ảnh động mà tôi sắp trình chiếu, +00:06:06,336 --> 00:06:09,940 +và chỉ ra nó có thể đưa ta đi bao xa khi nói đến sự trực quan về ánh sáng. 100 -00:06:14,251 --> 00:06:18,098 -tất cả những gì tôi thực sự đã làm đều được mã hóa trong một định luật này, +00:06:11,620 --> 00:06:14,196 +Đối với những hình ảnh động mà tôi sắp trình chiếu, 101 -00:06:18,098 --> 00:06:21,590 -nó cho chúng ta biết thành phần này của điện trường ở mọi điểm trong +00:06:14,196 --> 00:06:17,961 +tất cả những gì tôi thực sự đã làm đều được mã hóa trong một định luật này, 102 -00:06:21,590 --> 00:06:25,640 -không gian sẽ như thế nào, được xác định bởi lịch sử gia tốc của một phí cụ thể. +00:06:17,961 --> 00:06:21,379 +nó cho chúng ta biết thành phần này của điện trường ở mọi điểm trong 103 +00:06:21,379 --> 00:06:25,640 +không gian sẽ như thế nào, được xác định bởi lịch sử gia tốc của một điện tích cụ thể. + +104 00:06:26,360 --> 00:06:30,277 Ví dụ, nếu tôi đặt điện tích đó dao động lên xuống theo hướng z và -104 +105 00:06:30,277 --> 00:06:34,311 minh họa thành phần này của điện trường ở mọi nơi trên mặt phẳng xy, -105 +106 00:06:34,311 --> 00:06:38,580 bạn sẽ thấy những đường truyền tròn có cường độ bằng nhau theo mọi hướng. -106 +107 00:06:40,760 --> 00:06:44,980 Sẽ dễ nghĩ hơn một chút nếu chúng ta chỉ tập trung vào một trục, chẳng hạn như trục x. -107 +108 00:06:45,960 --> 00:06:49,650 Lúc đầu, khi tôi thực hiện hoạt hình này, tôi cho rằng có một loại lỗi nào đó, -108 +109 00:06:49,650 --> 00:06:52,360 bởi vì gần điện tích, nó trông có vẻ quanh co và sai trái. -109 +110 00:06:52,820 --> 00:06:56,647 Nhưng khi bạn nghĩ về nó, đây thực sự là điều bạn nên mong đợi, -110 +111 00:06:56,647 --> 00:07:00,534 bởi vì hãy nhớ rằng, mỗi một vectơ này được cho là vuông góc với -111 +112 00:07:00,534 --> 00:07:05,140 đường nối giữa điểm đó và nơi điện tích ở một thời điểm nào đó trong quá khứ. -112 +113 00:07:06,460 --> 00:07:10,479 Tại những điểm cách điện tích đủ xa, đó là nơi mà thành phần này của trường -113 +114 00:07:10,479 --> 00:07:14,394 dù sao cũng chiếm ưu thế, sự dao động trong trường về cơ bản là song song -114 +115 00:07:14,394 --> 00:07:18,625 với sự dao động trong điện tích, đó là lý do tại sao khi nghĩ về sóng ánh sáng, -115 +116 00:07:18,625 --> 00:07:22,540 chúng ta Có thể an toàn khi coi hướng dao động vuông góc với hướng truyền. -116 +117 00:07:22,540 --> 00:07:26,529 Như tôi đã nói, sự truyền lan này chỉ với một điện tích cũng mạnh như nhau -117 +118 00:07:26,529 --> 00:07:29,507 theo mọi hướng vuông góc với sự dao động lắc lư của nó, -118 +119 00:07:29,507 --> 00:07:33,390 và tôi thực sự cần nhấn mạnh rằng sự truyền lan này thực sự có rất nhiều -119 +120 00:07:33,390 --> 00:07:34,720 cường độ trong từ trường. -120 +121 00:07:37,040 --> 00:07:41,533 Có thể hơi bận khi cố gắng minh họa trường vectơ ba chiều đầy đủ trên màn hình -121 +122 00:07:41,533 --> 00:07:45,800 như thế này, vì vậy sẽ rõ ràng nếu chúng ta chỉ tập trung vào mặt phẳng xz. -122 +123 00:07:46,300 --> 00:07:51,838 Lưu ý rằng sóng ở đây mạnh nhất theo hướng x, nhưng nó vẫn truyền theo tất cả các hướng -123 +124 00:07:51,838 --> 00:07:57,440 khác, chỉ là sự truyền lan đó yếu hơn theo các hướng phù hợp hơn với sự dao động ban đầu. -124 +125 00:07:58,000 --> 00:08:05,538 Ở mức độ cao nhất, điều duy nhất quan trọng hơn là -125 +126 00:08:05,538 --> 00:08:13,520 hướng sóng sẽ di chuyển theo hướng mà nó sẽ di chuyển. -126 +127 00:08:14,280 --> 00:08:16,612 Vậy nếu chúng ta xét sự dao động ở cực trị, nơi -127 +128 00:08:16,612 --> 00:08:18,800 duy nhất không có sự truyền sóng là ở trục z. -128 +129 00:08:18,800 --> 00:08:21,160 Bởi vì định luật của chúng ta có 1 chia cho r trong đó, -129 +130 00:08:21,160 --> 00:08:24,279 nên cường độ sóng do chỉ một hạt gây ra sẽ giảm dần khi bạn đi ra xa hơn, -130 +131 00:08:24,279 --> 00:08:25,080 tỷ lệ với 1 trên r. -131 -00:08:25,080 --> 00:08:28,460 -Nhưng hãy chú ý điều gì sẽ xảy ra nếu tôi lấy cả một hàng điện tích, - 132 -00:08:28,460 --> 00:08:32,772 -chẳng hạn như định hướng dọc theo trục y, và tôi cho tất cả chúng bắt đầu ngọ nguậy lên +00:08:25,080 --> 00:08:28,498 +Nhưng hãy chú ý điều gì sẽ xảy ra nếu tôi lấy cả một hàng điện tích, 133 -00:08:32,772 --> 00:08:37,035 -xuống theo hướng z, và tôi minh họa các hiệu ứng kết hợp mà tất cả chúng có trên thành +00:08:28,498 --> 00:08:32,710 +chẳng hạn như định hướng dọc theo trục y, và tôi cho tất cả chúng bắt đầu lắc lư lên 134 -00:08:37,035 --> 00:08:38,260 -phần này của điện trường. +00:08:32,710 --> 00:08:37,021 +xuống theo hướng z, và tôi minh họa các hiệu ứng kết hợp mà tất cả chúng có trên thành 135 +00:08:37,021 --> 00:08:38,260 +phần này của điện trường. + +136 00:08:39,020 --> 00:08:41,838 Tác động của tất cả các điện tích này giao thoa giải cấu trúc dọc theo hướng y, -136 +137 00:08:41,838 --> 00:08:43,600 nhưng chúng giao thoa tăng cường dọc theo hướng x. -137 +138 00:08:43,600 --> 00:08:44,420 Đây là hiện tượng một chùm ánh sáng tập trung dọc theo một chiều. -138 +139 00:08:44,420 --> 00:08:48,290 Vì vậy, nếu bạn tập trung vào trường dọc theo trục x, -139 +140 00:08:48,290 --> 00:08:53,880 thay vì giảm dần theo tỷ lệ 1 trên r, hiệu ứng kết hợp này giảm nhẹ hơn nhiều. -140 +141 00:08:55,700 --> 00:08:59,341 Ở mức cực đoan, bạn có thể có được thứ gì đó gần tùy ý với sự truyền sóng -141 +142 00:08:59,341 --> 00:09:01,949 hình sin thuần túy mà chúng ta đã minh họa trước đó, -142 +143 00:09:01,949 --> 00:09:05,738 nếu ở một khoảng cách nào đó bạn có một số lượng lớn điện tích dao động đồng -143 +144 00:09:05,738 --> 00:09:06,920 bộ với nhau như thế này. -144 -00:09:07,400 --> 00:09:12,122 -Một điều đáng nhấn mạnh khi bạn nhìn thấy ánh sáng được minh họa bằng sóng hình - 145 -00:09:12,122 --> 00:09:16,018 -sin như thế này là mặc dù sóng đó được vẽ theo hai hoặc ba chiều, +00:09:07,400 --> 00:09:12,141 +Một điều đáng nhấn mạnh khi bạn nhìn thấy ánh sáng được minh họa bằng sóng hình 146 -00:09:16,018 --> 00:09:19,382 -nhưng nó chỉ mô tả điện trường dọc theo đường một chiều, +00:09:12,141 --> 00:09:16,053 +sin như thế này là mặc dù sóng đó được vẽ theo hai hoặc ba chiều, 147 -00:09:19,382 --> 00:09:21,980 -cụ thể là đáy của tất cả các sóng đó. vectơ. +00:09:16,053 --> 00:09:19,431 +nhưng nó chỉ mô tả điện trường dọc theo đường một chiều, 148 -00:09:22,400 --> 00:09:25,880 -Chỉ là để vẽ các vectơ bạn phải đi ra khỏi đường thẳng đó. +00:09:19,431 --> 00:09:21,980 +cụ thể là đáy của tất cả các sóng vectơ đó. 149 -00:09:27,180 --> 00:09:29,930 -Tuyệt vời, vì vậy một trong những điều quan trọng cuối cùng cần làm +00:09:22,400 --> 00:09:25,880 +Chỉ là để vẽ các vectơ bạn phải đi ra khỏi đường thẳng đó. 150 -00:09:29,930 --> 00:09:32,600 -nổi bật trước khi chúng ta quay lại với nước đường là sự phân cực. +00:09:27,180 --> 00:09:29,824 +Tuyệt vời, vậy một trong những điều quan trọng cuối cùng cần 151 +00:09:29,824 --> 00:09:32,600 +làm nổi bật trước khi ta quay lại với nước đường là sự phân cực. + +152 00:09:33,180 --> 00:09:37,753 Trong mọi thứ tôi vừa trình bày, điện tích chỉ dao động theo một hướng duy nhất, -152 +153 00:09:37,753 --> 00:09:41,480 giống như trục z, và điều này gây ra ánh sáng phân cực tuyến tính. -153 +154 00:09:41,480 --> 00:09:43,260 Nhưng nó không nhất thiết phải xảy ra như vậy. -154 +155 00:09:43,260 --> 00:09:47,972 Ví dụ, nếu tôi đặt điện tích quay theo một vòng tròn nhỏ dọc theo mặt phẳng yz, -155 +156 00:09:47,972 --> 00:09:51,742 nghĩa là vectơ gia tốc của nó cũng quay theo một vòng tròn nhỏ, -156 +157 00:09:51,742 --> 00:09:54,040 hãy chú ý xem trường trông như thế nào. -157 +158 00:09:54,800 --> 00:09:58,240 Điều này được biết một cách thích hợp là ánh sáng phân cực tròn. -158 +159 00:09:58,960 --> 00:10:02,380 Thành thật mà nói, dễ dàng nhất là nghĩ về một điểm của điện trường. -159 +160 00:10:03,000 --> 00:10:07,235 Ý nghĩa của việc ánh sáng bị phân cực tròn là tại thời điểm đó, -160 +161 00:10:07,235 --> 00:10:10,280 vectơ điện trường chỉ quay theo một vòng tròn. -161 +162 00:10:10,680 --> 00:10:14,570 Mọi người thường thấy sự phân cực tròn hơi khó hiểu và tôi -162 +163 00:10:14,570 --> 00:10:18,526 nghi ngờ một phần lý do là vì khó minh họa bằng sơ đồ tĩnh, -163 +164 00:10:18,526 --> 00:10:22,680 nhưng cũng hơi khó hiểu khi bạn cố nghĩ về toàn bộ điện trường. -164 +165 00:10:23,420 --> 00:10:26,070 Ví dụ, đây là trường trông như thế nào trên mặt phẳng -165 +166 00:10:26,070 --> 00:10:28,820 xy khi tôi đặt điện tích nhỏ đó quay theo một vòng tròn. -166 +167 00:10:30,960 --> 00:10:33,705 Nó chắc chắn rất đẹp, tôi có thể nhìn nó cả ngày, -167 +168 00:10:33,705 --> 00:10:36,560 nhưng bạn có thể hiểu tại sao nó có vẻ hơi khó hiểu. -168 +169 00:10:37,120 --> 00:10:41,548 Điều cuối cùng tôi sẽ đề cập là trong khi mọi thứ ở đây đều là mô tả cổ điển về ánh sáng, -169 +170 00:10:41,548 --> 00:10:44,600 những điểm quan trọng vẫn được giữ vững trong cơ học lượng tử. -170 +171 00:10:45,040 --> 00:10:49,700 Bạn vẫn có sóng lan truyền, vẫn có sự phân cực có thể là tuyến tính hoặc tròn. -171 +172 00:10:50,100 --> 00:10:54,316 Sự khác biệt chính với cơ học lượng tử là năng lượng trong sóng này không -172 +173 00:10:54,316 --> 00:10:58,760 tăng giảm liên tục như bạn mong đợi, nó diễn ra theo từng bước nhỏ riêng biệt. -173 +174 00:10:59,380 --> 00:11:02,845 Tôi có một video khác trình bày chi tiết hơn, nhưng với mục đích của chúng ta, -174 +175 00:11:02,845 --> 00:11:04,600 suy nghĩ về nó một cách cổ điển là được. -175 +176 00:11:05,300 --> 00:11:08,391 Một phần lý do khiến tôi muốn trải qua điều đó là vì thực lòng mà nói, -176 +177 00:11:08,391 --> 00:11:11,700 việc tạo hoạt ảnh rất thú vị và tôi thích một cái cớ cho một bài học cơ bản. -177 -00:11:12,360 --> 00:11:15,303 -Nhưng bây giờ chúng ta hãy quay lại bản demo của chúng ta và xem cách - 178 -00:11:15,303 --> 00:11:18,247 -chúng ta có thể xây dựng trực giác cho một số câu hỏi chính của mình, +00:11:12,360 --> 00:11:16,201 +Nhưng giờ chúng ta quay lại bản thử nghiệm của mình và xem cách chúng ta có thể tạo một 179 -00:11:18,247 --> 00:11:21,106 -bắt đầu từ tiền đề rất cơ bản này rằng việc lắc một điện tích ở một +00:11:16,201 --> 00:11:19,955 +trực quan cho các câu hỏi chính của mình, bắt đầu từ tiền đề rất cơ bản này rằng việc 180 -00:11:21,106 --> 00:11:23,840 -vị trí sẽ gây ra rung lắc cho một điện tích khác sau đó một chút. +00:11:19,955 --> 00:11:23,840 +lắc một điện tích ở một vị trí sẽ gây ra việc lắc một chút cho một điện tích khác sau đó. 181 00:11:24,180 --> 00:11:26,639 @@ -819,23 +819,23 @@ nó mạnh nhất theo phương vuông góc với hướng dao động, nhưng yếu hơn theo tất cả các hướng khác. 206 -00:12:54,640 --> 00:12:58,643 -Vì vậy, hãy nghĩ về cách bố trí của chúng ta, và đối với một tần số ánh sáng cụ thể, +00:12:54,640 --> 00:12:58,315 +Vậy nghĩ về cách bố trí của chúng ta, và với một tần số ánh sáng cụ thể, 207 -00:12:58,643 --> 00:13:01,610 -khả năng một người quan sát nhìn vào một điểm cụ thể trong ống +00:12:58,315 --> 00:13:02,745 +khả năng một người quan sát nhìn vào một điểm cụ thể trong ống sẽ nhìn thấy ánh sáng đó 208 -00:13:01,610 --> 00:13:03,400 -sẽ nhìn thấy ánh sáng đó là bao nhiêu. +00:13:02,745 --> 00:13:03,400 +là bao nhiêu. 209 -00:13:04,300 --> 00:13:08,339 -Một lần nữa, hiện tượng chính của nước đường mà chúng tôi vẫn chưa +00:13:04,300 --> 00:13:08,544 +Một lần nữa, chìa khóa của hiện tượng với nước đường mà chúng ta vẫn chưa 210 -00:13:08,339 --> 00:13:12,560 +00:13:08,544 --> 00:13:12,560 giải thích được là hướng phân cực dần bị xoắn lại khi nó đi xuống ống. 211 @@ -903,20 +903,20 @@ Tương tự, hãy tưởng tượng có một dải ruy băng đi xuống ống luôn thẳng hàng với hướng phân cực của màu này. 227 -00:14:12,840 --> 00:14:15,382 +00:14:12,840 --> 00:14:15,476 Sau đó, hãy đặt mình vào vị trí của người quan sát, 228 -00:14:15,382 --> 00:14:18,316 +00:14:15,476 --> 00:14:18,517 khi bạn nhìn vào những điểm mà dải ruy băng có vẻ rất mỏng, 229 -00:14:18,316 --> 00:14:22,423 -bạn sẽ thấy rất ít ánh sáng đỏ, trong khi đó nếu bạn quét mắt qua những điểm mà dải +00:14:18,517 --> 00:14:22,573 +bạn sẽ thấy rất ít ánh sáng đỏ, trong khi đó nếu quét mắt qua những điểm mà dải 230 -00:14:22,423 --> 00:14:25,260 -ruy băng có vẻ dày hơn, bạn' bạn sẽ thấy nhiều đèn đỏ hơn. +00:14:22,573 --> 00:14:25,260 +ruy băng có vẻ dày hơn, bạn sẽ thấy nhiều đèn đỏ hơn. 231 00:14:25,960 --> 00:14:29,851 @@ -1031,16 +1031,16 @@ Vì vậy, khi bạn quét mắt từ trên xuống dưới, lượng màu cụ mà bạn nhìn thấy có thể khác nhau, chẳng hạn như từ đậm đến nhạt. 259 -00:16:14,960 --> 00:16:19,732 -Bản demo đầy đủ có ánh sáng trắng về cơ bản là sự kết hợp của tất cả các mẫu +00:16:14,960 --> 00:16:19,814 +Thử nghiệm đầy đủ có ánh sáng trắng về cơ bản là sự kết hợp của tất cả các mẫu 260 -00:16:19,732 --> 00:16:24,381 -màu thuần túy chuyển từ sáng sang tối này với các ranh giới chéo giữa điểm +00:16:19,814 --> 00:16:24,731 +màu thuần túy chuyển từ sáng sang tối này với các ranh giới chéo giữa điểm mạnh 261 -00:16:24,381 --> 00:16:29,340 -mạnh và điểm yếu, do đó bạn nhìn thấy ranh giới chéo giữa các màu bên trong ống. +00:16:24,731 --> 00:16:29,340 +và điểm yếu, do đó bạn nhìn thấy ranh giới chéo giữa các màu bên trong ống. 262 00:16:31,220 --> 00:16:35,224 @@ -1064,7 +1064,7 @@ Ví dụ, nếu bạn nhìn vào đỉnh của một sóng ánh sáng khi nó tr 267 00:16:49,236 --> 00:16:52,822 -thì các đỉnh trong nước sẽ truyền đi khoảng 1.Chậm hơn 33 lần +thì các đỉnh trong nước sẽ truyền đi khoảng chậm hơn 1.33 lần 268 00:16:52,822 --> 00:16:55,540 @@ -1103,12 +1103,12 @@ có tác dụng làm lệch pha của sóng một chút về phía sau và về điều này mang lại vẻ ngoài tổng thể là sóng đó di chuyển chậm hơn khi nó đi qua vật liệu. 277 -00:17:30,700 --> 00:17:35,620 -Bỏ qua những gì đang xảy ra với đường, đặc tính liên quan của sucrose ở đây là nó +00:17:30,700 --> 00:17:35,827 +Bỏ qua những gì đang xảy ra với đường, đặc tính liên quan của saccarozơ ở đây là nó được 278 -00:17:35,620 --> 00:17:40,840 -được gọi là phân tử bất đối, nghĩa là về cơ bản nó khác với hình ảnh phản chiếu của nó. +00:17:35,827 --> 00:17:40,840 +gọi là phân tử bất đối xứng, nghĩa là về cơ bản nó khác với hình ảnh phản chiếu của nó. 279 00:17:41,000 --> 00:17:42,767 @@ -1239,90 +1239,86 @@ Chà, mỗi khi tôi làm nó chậm lại, làm lùi pha của nó một chút nó sẽ khiến tổng dao động tuyến tính dao động theo một hướng hơi khác. 311 -00:19:46,280 --> 00:19:50,536 -Vì vậy, nếu sóng ánh sáng phân cực tròn biểu thị bởi vectơ bên trái đó bị +00:19:46,280 --> 00:19:50,580 +Vì vậy, nếu sóng ánh sáng phân cực tròn biểu thị bởi vectơ bên trái đó 312 -00:19:50,536 --> 00:19:54,102 -chậm đi một chút mỗi khi nó chạy ngang qua một phân tử đường, +00:19:50,580 --> 00:19:54,516 +bị chậm đi một chút mỗi khi nó chạy ngang qua một phân tử đường, 313 -00:19:54,102 --> 00:19:58,761 +00:19:54,516 --> 00:19:59,422 hoặc ít nhất là chậm lại nhiều hơn so với sóng ánh sáng quay ngược chiều của nó, 314 -00:19:58,761 --> 00:20:03,420 -thì hiệu ứng trên tổng là làm quay chậm phân tử đường. hướng phân cực tuyến tính. +00:19:59,422 --> 00:20:03,420 +thì hiệu ứng trên tổng là làm quay chậm hướng phân cực tuyến tính. 315 -00:20:04,220 --> 00:20:07,325 +00:20:04,220 --> 00:20:07,832 Và do đó, khi bạn nhìn vào các lát cắt ngày càng sâu hơn trong ống, 316 -00:20:07,325 --> 00:20:10,476 +00:20:07,832 --> 00:20:11,497 hướng phân cực thực sự bị xoắn theo cách chúng ta đã mô tả trước đó, 317 -00:20:10,476 --> 00:20:14,267 -biểu thị các hiệu ứng tổng hợp với nhiều phân tử đường khác nhau hơi khác nhau đối +00:20:11,497 --> 00:20:15,109 +biểu thị các hiệu ứng tổng hợp với rất rất nhiều phân tử đường khác 318 -00:20:14,267 --> 00:20:17,555 -với ánh sáng thuận tay trái như thế nào so với ánh sáng thuận tay trái. +00:20:15,109 --> 00:20:19,200 +nhau là sự khác biệt nhỏ của ánh sáng phía bên trái so với ánh sáng bên phải. 319 -00:20:17,555 --> 00:20:19,200 -chúng dành cho người thuận tay phải. +00:20:20,040 --> 00:20:23,962 +Một cách hay để kiểm tra xem bạn có hiểu mọi thứ cho đến thời điểm này hay không, 320 -00:20:20,040 --> 00:20:23,450 -Một cách hay để kiểm tra xem bạn có hiểu mọi thứ cho đến thời điểm này hay không, +00:20:23,962 --> 00:20:27,789 +hãy xem liệu chỉ cần nhìn vào hướng của các lát cắt chéo trên ống của chúng ta, 321 -00:20:23,450 --> 00:20:26,777 -hãy xem liệu chỉ cần nhìn vào hướng của các lát cắt chéo trên ống của chúng ta, +00:20:27,789 --> 00:20:31,138 +bạn có thể suy ra loại ánh sáng nào mà đường đang chậm lại nhiều hơn, 322 -00:20:26,777 --> 00:20:29,689 -bạn có thể suy ra loại ánh sáng nào mà đường đang chậm lại nhiều hơn, +00:20:31,138 --> 00:20:33,100 +ánh sáng bên trái hoặc ánh sáng bên phải. 323 -00:20:29,689 --> 00:20:33,100 -ánh sáng thuận tay trái hay ánh sáng thuận tay trái hay không. đèn thuận tay phải. - -324 00:20:35,920 --> 00:20:39,288 Tôi sẽ gọi đây là câu trả lời một phần cho câu hỏi số một của chúng ta, -325 +324 00:20:39,288 --> 00:20:42,330 bởi vì nó vẫn khiến chúng ta thắc mắc tại sao ngay từ đầu lại có -326 +325 00:20:42,330 --> 00:20:46,353 chiết suất và nó có thể phụ thuộc chính xác như thế nào vào sự phân cực của ánh sáng, -327 +326 00:20:46,353 --> 00:20:48,740 chứ không chỉ vào vật chất mà nó truyền qua bởi vì. +327 +00:20:49,200 --> 00:20:53,542 +Ngoài ra, như tôi đã nói lúc đầu, một trực quan đủ mạnh ở đây cũng sẽ trả lời + 328 -00:20:49,200 --> 00:20:53,487 -Ngoài ra, như tôi đã nói lúc đầu, trực giác đủ mạnh ở đây cũng sẽ trả lời cho +00:20:53,542 --> 00:20:57,940 +cho ta tại sao cường độ của hiệu ứng này lại phụ thuộc vào tần số của ánh sáng. 329 -00:20:53,487 --> 00:20:57,940 -chúng ta tại sao cường độ của hiệu ứng này lại phụ thuộc vào tần số của ánh sáng. - -330 00:20:58,780 --> 00:21:12,662 Tại thời điểm này, tôi nghĩ chúng ta đã trình bày khá đủ cho một video, -331 +330 00:21:12,662 --> 00:21:28,859 vì vậy tôi sẽ đưa ra một cuộc thảo luận về nguồn gốc của chiết suất trong một video -332 +331 00:21:28,859 --> 00:21:30,980 riêng biệt. diff --git a/2023/moser-reboot/hungarian/auto_generated.srt b/2023/moser-reboot/hungarian/auto_generated.srt index 433d74475..c2fa54522 100644 --- a/2023/moser-reboot/hungarian/auto_generated.srt +++ b/2023/moser-reboot/hungarian/auto_generated.srt @@ -7,12 +7,12 @@ Ez egy nagyon híres elrettentő példa a matematikában, amelyet Moser körproblémájaként ismerünk. 3 -00:00:04,780 --> 00:00:06,843 -Lehet, hogy néhányan már láttátok ezt korábban, +00:00:04,780 --> 00:00:08,038 +Talán már néhányan láttátok ezt korábban, de el szeretném elmagyarázni, 4 -00:00:06,843 --> 00:00:09,080 -de most szeretném elmagyarázni, hogy mi is történik. +00:00:08,038 --> 00:00:09,080 +hogy hogyan működik ez. 5 00:00:09,740 --> 00:00:13,289 @@ -47,20 +47,20 @@ majd ugyanezt végigjátszod, és összeszámolod, hogy hány tartomány keletke akkor nyolcat kapsz. 13 -00:00:39,540 --> 00:00:42,991 +00:00:39,540 --> 00:00:42,881 Adj a körhöz egy ötödik pontot, kösd össze az előző néggyel, 14 -00:00:42,991 --> 00:00:46,329 -számold össze a régiók számát, és ha figyelmesen csinálod, +00:00:42,881 --> 00:00:46,387 +számold össze a tartományok számát, és ha figyelmesen csinálod, 15 -00:00:46,329 --> 00:00:48,140 +00:00:46,387 --> 00:00:48,140 összesen tizenhatot kell kapnod. 16 00:00:48,960 --> 00:00:52,280 -Talán erősen sejted, hogy mi lesz a következő érték, de vajon az életedet tennéd rá? +Erősen sejted, hogy mi lesz a következő érték? De vajon az életedet tennéd rá? 17 00:00:52,540 --> 00:00:56,055 @@ -75,942 +75,926 @@ Adjunk hozzá egy hatodik pontot, kössük össze az összes előzővel, akkor a végén nem a várt kettő hatványát kapjuk, hanem csak egyel kevesebbet. 20 -00:01:04,040 --> 00:01:06,083 -Néhányan talán már emelik is a kezüket, mondván: +00:01:04,040 --> 00:01:07,960 +Páran talán már emelik is a kezüket mondván: Nem attól függ, hogy hova tesszük a pontokat? 21 -00:01:06,083 --> 00:01:07,960 -Nem attól függ, hogy hova tesszük a pontokat? - -22 00:01:08,860 --> 00:01:11,525 Nézd meg például, hogyan tűnik el ez a középső tartomány, -23 +22 00:01:11,525 --> 00:01:14,100 ha mindent szép szimmetrikusan helyezek el a kör mentén. -24 +23 00:01:14,320 --> 00:01:17,945 Tehát igen, ettől is függ, de most csak azokat az eseteket fogjuk vizsgálni, -25 +24 00:01:17,945 --> 00:01:20,300 amikor nem metszi egymást három vonal egy pontban. +25 +00:01:20,540 --> 00:01:23,468 +Ha véletlenszerűen választjuk a pontokat, szinte biztos, + 26 -00:01:20,540 --> 00:01:23,778 -Ez lenne az általános eset. Ha véletlenszerűen választjuk a pontokat, +00:01:23,468 --> 00:01:27,887 +hogy soha nem esik egybe három vonal. De a határeseteket félretéve ez a feladat olyan 27 -00:01:23,778 --> 00:01:26,230 -szinte biztos, hogy soha nem esik egybe három vonal. +00:01:27,887 --> 00:01:31,741 +bosszantó. Olyan meggyőzőnek tűnik, hogy a kettő hatványaival van dolgunk, 28 -00:01:26,230 --> 00:01:28,959 -De a határeseteket félretéve ez a feladat olyan bosszantó. - -29 -00:01:28,959 --> 00:01:31,920 -Olyan meggyőzőnek tűnik, hogy a kettő hatványaival van dolgunk, - -30 -00:01:31,920 --> 00:01:33,540 +00:01:31,741 --> 00:01:33,540 amíg épphogy meg nem törik a minta. -31 +29 00:01:33,920 --> 00:01:37,080 Fura módon nagyon szenzitív vagyok az ilyenekre. -32 +30 00:01:37,360 --> 00:01:40,280 Fiatalabb koromban még egy verset és egy dalt is írtam erről. -33 -00:01:40,740 --> 00:01:43,481 -És persze butaság az elvárásunk, mert ez csak egy jó példa arra, - -34 -00:01:43,481 --> 00:01:46,475 -amit a matematikus Richard Guy a kis számok erős törvényének nevezett, +31 +00:01:40,740 --> 00:01:44,562 +És persze butaság az elvárásunk. Richard Guy matematikus ezt a kis számok -35 -00:01:46,475 --> 00:01:49,385 -amit úgy foglal össze egy mondatban, hogy: "Nincs elegendő kis szám, +32 +00:01:44,562 --> 00:01:48,797 +erős törvényének nevezte, amit úgy foglalt össze, hogy: "Nincs elegendő kis szám, -36 -00:01:49,385 --> 00:01:52,000 +33 +00:01:48,797 --> 00:01:52,000 hogy megfeleljen a velük szemben támasztott sokféle igénynek." -37 +34 00:01:52,800 --> 00:01:56,691 De azt hiszem, amit igazán szeretek ebben a problémában, hogy ha leülünk, -38 +35 00:01:56,691 --> 00:02:00,950 és megpróbáljuk kitalálni, hogy mi is az igazi minta, mi történik itt valójában, -39 +36 00:02:00,950 --> 00:02:04,105 egyrészt egy nagyon jó feladatot kapunk problémamegoldásra, -40 +37 00:02:04,105 --> 00:02:08,680 ami önmagában egész tanulságos, de az sem véletlen, hogy a kettő hatványaival kezdődik. -41 +38 00:02:09,039 --> 00:02:10,620 Ennek nagyon jó oka van. -42 +39 00:02:11,100 --> 00:02:13,957 És az sem véletlen egybeesés, hogy egy kicsit később, -43 +40 00:02:13,957 --> 00:02:16,920 a tizedik iterációnál egy újabb kettes hatványba futunk. -44 +41 00:02:22,100 --> 00:02:26,300 Tehát van ez a minta, és azt akarjuk megtalálni, hogy milyen függvény írja le. -45 +42 00:02:26,540 --> 00:02:29,881 Ha egy kör kerületére n pontot teszünk, és ezeket összekötjük -46 +43 00:02:29,881 --> 00:02:33,977 az összes lehetséges húrral, majd megszámoljuk, hány részre vágódott a kör, -47 +44 00:02:33,977 --> 00:02:36,780 akkor ha a válasz nem a kettő hatványa, mégis mi az? -48 +45 00:02:36,980 --> 00:02:38,660 Az n milyen függvényét kéne használnunk? -49 +46 00:02:39,340 --> 00:02:42,987 A matematika első számú problémamegoldási szabálya: Ha elakadsz, -50 +47 00:02:42,987 --> 00:02:47,140 próbálj meg az adott problémához kapcsolódó egyszerűbb példákat megoldani. -51 +48 00:02:47,480 --> 00:02:51,260 Segít megvetni a lábad, és néha ezek a válaszok hasznosak lesznek az eredeti kérdéshez. -52 +49 00:02:51,720 --> 00:02:57,132 Ebben az esetben két bemelegítő példa jut eszembe: "Hány darab húr van ezen az ábrán?", -53 +50 00:02:57,132 --> 00:03:01,500 és "A körön belül összesen hány pontban metszik egymást ezek a húrok?". -54 +51 00:03:02,200 --> 00:03:03,940 Az első kérdés viszonylag barátságos. -55 +52 00:03:04,420 --> 00:03:08,840 A húrok mindegyike egyértelműen megfeleltethető a kör egy-egy pontpárjának. -56 +53 00:03:09,640 --> 00:03:13,800 Tehát gyakorlatilag azt akarjuk megszámolni, hogy hány különböző pontpár van. -57 +54 00:03:14,300 --> 00:03:16,980 Van egy függvény, amely ezt teszi, a neve "n alatt a kettő". -58 +55 00:03:17,420 --> 00:03:22,733 Definíció szerint ez az n elemű halmazból kiválasztható egyedi párok számát számolja, -59 +56 00:03:22,733 --> 00:03:24,340 ahol a sorrend nem számít. -60 +57 00:03:25,000 --> 00:03:29,523 A kiszámolásához úgy érdemes gondolkodnod, hogy n lehetőségből választhatod -61 +58 00:03:29,523 --> 00:03:33,331 ki az első elemet, és egyel kevesebb lehetőségből választhatsz, -62 +59 00:03:33,331 --> 00:03:38,212 hogy melyik legyen a második. Ezeket simán összeszorozva túl nagy értéket kapunk, -63 +60 00:03:38,212 --> 00:03:42,140 mivel minden párt kétszer számolunk, csak a sorrendjük különbözik. -64 +61 00:03:42,680 --> 00:03:44,160 És ne feledd, minket nem érdekel a sorrend. -65 +62 00:03:44,740 --> 00:03:46,420 Ennek figyelembevételéhez osztani kell kettővel. -66 +63 00:03:46,420 --> 00:03:51,341 Így például a hét alatt a kettő úgy néz ki, mint hétszer hat osztva kettővel, -67 +64 00:03:51,341 --> 00:03:55,695 ami hétszer három, vagyis huszonegy. Ha összeszámoljuk a hét elemből -68 +65 00:03:55,695 --> 00:03:59,860 alkotott egyedi párok számát, akkor valóban huszonegy van belőlük. -69 +66 00:04:01,400 --> 00:04:04,940 A diagramon található metszéspontok megszámlálása egy kicsit bonyolultabb. -70 +67 00:04:05,340 --> 00:04:08,867 Egy ötlet lehetne mondjuk, hogy a húrpárok száma kell, -71 +68 00:04:08,867 --> 00:04:12,460 mivel minden metszéspont két különböző húrból származik. -72 +69 00:04:13,020 --> 00:04:16,700 Ez azonban nem lenne teljesen helyes, mert a hozzárendelés nem egyedi. -73 +70 00:04:17,100 --> 00:04:20,260 Találhatsz olyan húr párt, amely nem metszi egymást a körön belül. -74 +71 00:04:20,980 --> 00:04:22,240 Mint mondtam, ez egy kicsit trükkös. -75 -00:04:22,560 --> 00:04:25,378 -Arra bátorítanálak téged, hogy próbálj elgondolkodni ezen. +72 +00:04:22,560 --> 00:04:25,110 +Arra bátorítanálak téged, hogy gondolkodj el ezen. -76 -00:04:25,378 --> 00:04:28,866 +73 +00:04:25,110 --> 00:04:28,760 Ha ezt megteszed és adsz magadnak pár pillanatot, talán szerencséd lesz, -77 -00:04:28,866 --> 00:04:31,160 +74 +00:04:28,760 --> 00:04:31,160 és észreveszel egy kulcsfontosságú összefüggést. -78 +75 00:04:31,900 --> 00:04:36,920 Minden metszéspont egyedileg hozzárendelhető a külső pontok egy négyeséhez. -79 +76 00:04:37,720 --> 00:04:41,375 Ha egy adott pontnégyes esetében megnézzük a két egymást keresztező húrt, -80 +77 00:04:41,375 --> 00:04:45,080 akkor ezek mindig a körön belül metszik egymást, és ez fordítva is így van, -81 +78 00:04:45,380 --> 00:04:48,740 minden metszéspont megfelel valamilyen pontnégyesnek. -82 +79 00:04:50,660 --> 00:04:53,969 Tehát most azt akarod megszámolni, hogy hány különböző -83 +80 00:04:53,969 --> 00:04:57,460 módon tudsz négy elemet kiválasztani "n" darab elem közül. -84 +81 00:04:58,240 --> 00:05:00,380 Ez nagyon hasonlít az előző kérdésre. -85 -00:05:00,760 --> 00:05:03,535 +82 +00:05:00,760 --> 00:05:03,643 A függvény, amely ezt megválaszolja, az "n alatt a négy", -86 -00:05:03,535 --> 00:05:07,124 -amely definíció szerint az "n" méretű halmazból kiválasztható pontnégyesek +83 +00:05:03,643 --> 00:05:06,725 +amely definíció szerint az "n" méretű halmazból kiválasztható -87 -00:05:07,124 --> 00:05:11,000 -számát adja vissza, és kiszámításának módja hasonló ahhoz, amit korábban láttunk. +84 +00:05:06,725 --> 00:05:11,000 +pontnégyesek számát adja vissza. Kiszámolni hasonlóan kell mint amit korábban láttunk. -88 +85 00:05:11,000 --> 00:05:14,921 Gondolhatnád, hogy az első elemnél "n" választási lehetőséged van, -89 +86 00:05:14,921 --> 00:05:19,194 a következő elemnél "n" mínusz egy, a harmadik elemnél "n" mínusz kettő, -90 +87 00:05:19,194 --> 00:05:22,940 az utolsó elemnél pedig "n" mínusz három választási lehetőséged. -91 +88 00:05:23,800 --> 00:05:26,900 Ez azonban durván túlbecsülné az összdarabszámot, -92 +89 00:05:26,900 --> 00:05:31,180 mivel a négy elem különböző sorrendje külön-külön meg lenne számolva. -93 +90 00:05:31,640 --> 00:05:35,421 Hogy ezt figyelembe vegyük, osszuk el a túlszámlálás mértékével, -94 +91 00:05:35,421 --> 00:05:39,320 azaz a négy elem permutációinak számával. Ez pont négy faktoriális. -95 +92 00:05:40,120 --> 00:05:44,329 Ha például kiszámolod a "négy alatt a négy"-et, minden kiesik, -96 +93 00:05:44,329 --> 00:05:49,140 és csak egyet kapunk. És valóban egyetlen metszéspont van ezen az ábrán. -97 +94 00:05:49,800 --> 00:05:55,610 Ha a "hat alatt a négy"-et számoljuk, 15-öt kapunk, és ha megnézzük ezt az ábrát, -98 +95 00:05:55,610 --> 00:06:00,500 akkor a metszéspontok megszámolásával tényleg 15 különbözőt találunk. +96 +00:06:01,320 --> 00:06:05,713 +És még ha kézzel soha nem is akarnánk megszámolni, de ha lenne egy olyan ábránk, + +97 +00:06:05,713 --> 00:06:08,316 +amelynek 100 különböző pontja van a körvonalon, + +98 +00:06:08,316 --> 00:06:11,896 +és megrajzolnánk az összes összekötő vonalat, akkor arra jutnánk, + 99 -00:06:01,320 --> 00:06:05,478 -És még ha kézzel soha nem is akarnánk megszámolni, ha lenne egy olyan ábránk, +00:06:11,896 --> 00:06:15,475 +hogy valahol középen "100 alatt a 4", vagyis nagyjából négymillió 100 -00:06:05,478 --> 00:06:09,369 -amelynek 100 különböző pontja van a külsején, és megrajzolnánk az összes +00:06:15,475 --> 00:06:16,940 +metszéspontnak kell lennie. 101 -00:06:09,369 --> 00:06:12,035 -összekötő vonalat, akkor arra következtethetnénk, +00:06:17,840 --> 00:06:20,880 +Valószínűleg kitaláltad már, de ezek többek sima bemelegítő kérdéseknél, 102 -00:06:12,035 --> 00:06:14,967 -hogy valahol a közepén kell lennie 100 választ négyet, +00:06:21,140 --> 00:06:24,600 +mert megadják a minket érdeklő kérdés megválaszolásához szükséges információkat. 103 -00:06:14,967 --> 00:06:16,940 -vagy éppen négymillió metszéspontnak. +00:06:24,740 --> 00:06:26,980 +Hány részre van feldarabolva a kör? 104 -00:06:17,840 --> 00:06:20,880 -Valószínűleg kitaláltad már, de ezek többek sima bemelegítő kérdéseknél, +00:06:27,400 --> 00:06:30,620 +A trükk az, hogy felhasználunk egy nagyon szép kis tényt a síkgráfokról. 105 -00:06:21,140 --> 00:06:22,907 -mert megadják a szükséges információkat ahhoz, +00:06:31,080 --> 00:06:34,536 +Itt a gráf szó egy olyan diagrammot jelent, amelynek csomópontjai és 106 -00:06:22,907 --> 00:06:24,600 -hogy megválaszoljuk a minket érdeklő kérdést. +00:06:34,536 --> 00:06:37,742 +azokat összekötő vonalai vannak. A sík része pedig azt jelenti, 107 -00:06:24,740 --> 00:06:26,980 -Hány részre van feldarabolva a kör? +00:06:37,742 --> 00:06:41,700 +hogy ezt a diagramot úgy lehet megrajzolni, hogy a vonalak nem metszik egymást. 108 -00:06:27,400 --> 00:06:30,620 -A trükk az, hogy felhasználunk egy nagyon szép kis tényt a síkbeli gráfokról. +00:06:42,280 --> 00:06:45,414 +A gráfelméleti szakzsargonban a csomópontokat csúcsoknak, 109 -00:06:31,080 --> 00:06:33,850 -Itt a grafikon szót egy olyan diagram értelmében használom, +00:06:45,414 --> 00:06:49,250 +az őket összekötő vonalakat pedig éleknek nevezzük. A csodálatos tény, 110 -00:06:33,850 --> 00:06:36,667 -amelynek csomópontjai és az azokat összekötő vonalak vannak, +00:06:49,250 --> 00:06:53,465 +amit ki tudunk használni, hogy ha a csúcsok számából kivonjuk az élek számát, 111 -00:06:36,667 --> 00:06:40,083 -és a síkszerűség azt jelenti, hogy ezt a diagramot úgy lehet megrajzolni, +00:06:53,465 --> 00:06:58,275 +majd ehhez hozzáadjuk azon tartományok számát, amelyekre ez a gráf a síkot felszabdalta, 112 -00:06:40,083 --> 00:06:41,700 -hogy a vonalak nem metszik egymást. +00:06:58,275 --> 00:07:03,084 +beleértve a végtelen külső tartományt is, akkor mindig kettőt kapunk, függetlenül attól, 113 -00:06:42,280 --> 00:06:45,937 -A gráfelméleti szakzsargonban ezeket a csomópontokat általában csúcsoknak, +00:07:03,084 --> 00:07:05,300 +hogy milyen síkbeli gráfból indultunk ki. 114 -00:06:45,937 --> 00:06:49,693 -az őket összekötő vonalakat pedig éleknek nevezzük, és az a csodálatos tény, +00:07:05,840 --> 00:07:06,800 +Ez valójában nagyon szórakoztató. 115 -00:06:49,693 --> 00:06:52,765 -amit kihasználhatunk, hogy ha összeszámoljuk a csúcsok számát, +00:07:07,000 --> 00:07:07,780 +Próbáld ki magad. 116 -00:06:52,765 --> 00:06:57,106 -majd kivonjuk az élek teljes számát, és figyelembe vesszük azoknak a régióknak a számát, +00:07:08,120 --> 00:07:12,423 +Rajzolj bármilyen gráfot, győződj meg róla, hogy a vonalak nem metszik egymást, 117 -00:06:57,106 --> 00:07:01,008 -amelyekre ez a gráf a síkot felszabdalta, beleértve a végtelen külső régiót is, +00:07:12,423 --> 00:07:16,565 +majd számold meg a csúcsok számát, vond ki az élek számát, és számold hozzá, 118 -00:07:01,008 --> 00:07:05,300 -akkor mindig kettőt kapunk, függetlenül attól, hogy milyen síkbeli gráfból indultunk ki. +00:07:16,565 --> 00:07:20,707 +hogy hány tartományra vágja a síkot a gráf. Mindegy milyen ábrát választasz, 119 -00:07:05,840 --> 00:07:06,800 -Ez valójában nagyon szórakoztató. +00:07:20,707 --> 00:07:22,160 +a válasz mindig kettő lesz. 120 -00:07:07,000 --> 00:07:07,780 -Próbáld ki magad. +00:07:23,180 --> 00:07:28,047 +Úgy lehet ezzel a leggyakrabban találkozni, hogy V mínusz E plusz F egyenlő kettővel, 121 -00:07:08,120 --> 00:07:12,707 -Rajzolj bármilyen grafikont, győződj meg róla, hogy a vonalak nem metszik egymást, +00:07:28,047 --> 00:07:31,839 +mivel az egyenlet eredetileg a háromdimenziós poliéderek csúcsait, 122 -00:07:12,707 --> 00:07:16,853 -majd számold meg a csúcsok számát, vond le az élek számát, és számold meg, +00:07:31,839 --> 00:07:36,933 +éleit és felületeit írta le. Ha tudni akarod, miért igaz ez a mágikus tény, gondolj arra, 123 -00:07:16,853 --> 00:07:20,667 -hány régióra vágja a síkot, és mindegy, milyen diagramot választasz, +00:07:36,933 --> 00:07:41,518 +hogy a gráfodat egy triviális esetből építed fel, ahol egyetlen csomópontod van, 124 -00:07:20,667 --> 00:07:22,160 -a válasz mindig kettő lesz. +00:07:41,518 --> 00:07:42,820 +és még nincsenek éleid. 125 -00:07:23,180 --> 00:07:27,264 -Gyakrabban ezt úgy írják, hogy v mínusz e plusz f egyenlő kettővel, +00:07:43,460 --> 00:07:47,710 +Ekkor V egyenlő lenne eggyel, F szintén egyenlő lenne eggyel a végtelen 126 -00:07:27,264 --> 00:07:31,288 -mivel az egyenlet eredetileg a háromdimenziós poliéderek csúcsait, +00:07:47,710 --> 00:07:51,960 +külső tartomány miatt, és E nulla, tehát az egyenlet nyilvánvalóan igaz. 127 -00:07:31,288 --> 00:07:36,033 -éleit és felületeit írta le, és ha tudni akarod, miért igaz ez a mágikus tény, +00:07:52,600 --> 00:07:55,865 +Ha a gráfodat ezután élenként építed fel, akkor az egyik eset, 128 -00:07:36,033 --> 00:07:39,877 -gondolj arra, hogy a gráfodat egy triviális esetből építed fel, +00:07:55,865 --> 00:07:59,080 +ami történhet, hogy minden új élhez egy új csúcsot vezetsz be. 129 -00:07:39,877 --> 00:07:42,820 -ahol egyetlen csomópontod van, és nincsenek élei. +00:07:59,780 --> 00:08:04,780 +Tehát E eggyel nő, de V is eggyel nő, így az egyenlet egyensúlyban marad. 130 -00:07:43,460 --> 00:07:46,973 -Tehát v egyenlő lenne eggyel, f szintén egyenlő lenne eggyel, +00:08:05,500 --> 00:08:08,560 +De ha egy új élhez nem hozunk létre egy új csúcsot, 131 -00:07:46,973 --> 00:07:51,960 -mert a végtelen külső tartomány miatt, és e nulla, tehát az egyenlet nyilvánvalóan igaz. +00:08:08,560 --> 00:08:12,797 +vagyis az élt egy már létező csúcshoz kötjük, akkor ez azt eredményezi, 132 -00:07:52,600 --> 00:07:56,189 -Ha a gráfodat egyszerre csak egy-egy éllel építed fel, akkor az egyik dolog, +00:08:12,797 --> 00:08:17,210 +hogy egy új bezárt terület keletkezik, így E eggyel nő, de F is eggyel nő, 133 -00:07:56,189 --> 00:07:59,080 -ami történhet, hogy minden új élhez egy új csúcsot vezetsz be. +00:08:17,210 --> 00:08:19,800 +ami ismét egyensúlyban hagyja az egyenletet. 134 -00:07:59,780 --> 00:08:04,780 -Tehát e eggyel nő, de v is eggyel nő, így az egyenlet egyensúlyban marad. +00:08:20,920 --> 00:08:24,625 +Tehát ahogy felépítesz egy akármilyen bonyolult gráfot, 135 -00:08:05,500 --> 00:08:08,513 -De ha egy új él nem egy új csúcsnak felel meg, +00:08:24,625 --> 00:08:27,140 +V mínusz E plusz F mindig kettő marad. 136 -00:08:08,513 --> 00:08:12,746 -vagyis egy már létező csúcshoz kapcsolódik, akkor ez azt jelenti, +00:08:27,600 --> 00:08:31,595 +Ennek az egyenletnek van egy neve, Euler karakterisztikus képletének hívják, 137 -00:08:12,746 --> 00:08:16,978 -hogy egy új területet zár be, így e eggyel nő, de f is eggyel nő, +00:08:31,595 --> 00:08:36,109 +és emlékszem, amikor nemrég készítettem erről egy videót. Volt benne valami buta vicc, 138 -00:08:16,978 --> 00:08:19,800 -ami ismét egyensúlyban hagyja az egyenletet. +00:08:36,109 --> 00:08:39,429 +hogy az Euler németül szépet jelen, és elég sokan kommentálták, 139 -00:08:20,920 --> 00:08:24,776 -Tehát ahogy felépítesz egy potenciálisan bonyolult grafikont, +00:08:39,429 --> 00:08:43,840 +hogy Euler valójában egy személy, beszélek németül, és ez nem azt jelenti, hogy szép. 140 -00:08:24,776 --> 00:08:27,140 -v mínusz e plusz f mindig kettő marad. +00:08:44,580 --> 00:08:47,480 +Mindenesetre a mi céljainkra ez egy olyan eszközt ad, 141 -00:08:27,600 --> 00:08:31,532 -Ennek az egyenletnek van egy neve, Euler karakterisztikus képletének hívják, +00:08:47,480 --> 00:08:51,240 +amellyel megszámolhatjuk, hogy egy sík gráf hány részre vágja a teret. 142 -00:08:31,532 --> 00:08:36,026 -és emlékszem, amikor nemrég készítettem egy videót erről, volt benne valami hülye vicc, +00:08:51,720 --> 00:08:54,008 +Kicsit átrendezve az egyenletet, az élek száma 143 -00:08:36,026 --> 00:08:39,499 -hogy az Euler németül a szépet jelenti, és elég sokan kommentálták, +00:08:54,008 --> 00:08:56,540 +mínusz a csúcsok száma plusz kettőt kell kiszámolni. 144 -00:08:39,499 --> 00:08:43,840 -hogy Euler valójában egy személy, beszélek németül, és ez nem azt jelenti, hogy szép. +00:08:57,020 --> 00:09:00,954 +Ez pontosan az az eszköz, amivel a körkérdésünket szeretnénk megérteni, 145 -00:08:44,580 --> 00:08:47,457 -Mindenesetre a mi céljainkra ez egy olyan eszközt ad, +00:09:00,954 --> 00:09:04,670 +bár ebben az esetben nem érdekel minket a végtelen külső tartomány, 146 -00:08:47,457 --> 00:08:51,240 -amellyel megszámolhatjuk, hogy egy sík gráf hány régióra vágja a teret. +00:09:04,670 --> 00:09:07,020 +ezért elég ha E mínusz V plusz egynek írom. 147 -00:08:51,720 --> 00:08:56,540 -Kicsit átrendezve, az élek száma mínusz a csúcsok száma plusz kettő. +00:09:07,820 --> 00:09:10,704 +Elsőre talán panaszkodni fogsz, hogy ebben az esetben nem 148 -00:08:57,020 --> 00:09:00,911 -Ez pontosan az az eszköz, amivel a körkérdésünket szeretnénk megérteni, +00:09:10,704 --> 00:09:14,185 +használhatjuk az Euler-formulát, mert az csak síkgráfokra vonatkozik, 149 -00:09:00,911 --> 00:09:04,587 -bár ebben az esetben nem érdekel minket a végtelen külső tartomány, +00:09:14,185 --> 00:09:17,020 +a mi esetünkben pedig a vonalak abszolút metszik egymást. 150 -00:09:04,587 --> 00:09:07,020 -ezért e helyett e mínusz v plusz egynek írom. +00:09:17,200 --> 00:09:19,720 +Még azt is megszámoltuk, hányszor keresztezik egymást. 151 -00:09:07,820 --> 00:09:10,707 -És elsőre talán panaszkodni fogsz, de ebben az esetben nem +00:09:20,240 --> 00:09:23,954 +De a kulcs az, hogy ezt egy új gráfként kell kezelnünk, 152 -00:09:10,707 --> 00:09:14,377 -használhatjuk az Euler-formulát, mert az csak síkbeli gráfokra vonatkozik, +00:09:23,954 --> 00:09:28,928 +ahol ezek a metszéspontok maguk is csúcsok, így a csúcsok száma itt nem n, 153 -00:09:14,377 --> 00:09:17,020 -és a mi esetünkben a vonalak abszolút metszik egymást. +00:09:28,928 --> 00:09:31,780 +hanem n plusz az "n alatt a 4" metszéspont. 154 -00:09:17,200 --> 00:09:19,720 -Még azt is megszámoltuk, hányszor keresztezik egymást. +00:09:32,060 --> 00:09:36,298 +Ez viszont feldarabolja az összes húrunkat nagyobb számú élre. 155 -00:09:20,240 --> 00:09:23,674 -De a kulcs az, hogy ezt egy új gráfként kezeljük, +00:09:36,298 --> 00:09:39,931 +Kezdetben nagyon bosszantónak és bonyolultnak tűnhet, 156 -00:09:23,674 --> 00:09:28,826 -ahol ezek a metszéspontok maguk is csúcsok, így a csúcsok száma itt nem n, +00:09:39,931 --> 00:09:45,381 +hogy pontosan hány darab lesz az "n alatt a 2" húrból, de nagyon könnyű átlátni, 157 -00:09:28,826 --> 00:09:31,780 -hanem n plusz az n választ 4 metszéspontot. +00:09:45,381 --> 00:09:51,100 +ha rájössz, hogy minden metszéspont két különálló vonalat négy különálló éllé alakít. 158 -00:09:32,060 --> 00:09:36,765 -Ez viszont feldarabolja az összes akkordunkat egy nagyobb számú élre, ez sokkal több, +00:09:51,100 --> 00:09:55,540 +Tehát valójában minden egyes metszéspont két újabb élt hoz létre. 159 -00:09:36,765 --> 00:09:41,142 -mint az n választ 2-t, és kezdetben nagyon bosszantónak és bonyolultnak tűnhet, +00:09:56,620 --> 00:10:01,360 +Nézzük meg például ezt az egyszerű ábrát, ahol három egyenes és két metszéspont van. 160 -00:09:41,142 --> 00:09:45,847 -hogy pontosan mennyire darabolta fel őket, de az egyik módja, ahogyan gondolhatsz rá, +00:10:02,020 --> 00:10:07,580 +Az élek száma a vágás után úgy néz ki, hogy 3 plusz 2-szer 2, azaz 7. 161 -00:09:45,847 --> 00:09:49,732 -hogy minden metszéspont veszi azt, ami két különálló vonalként indult, +00:10:08,060 --> 00:10:12,670 +Ha négy olyan vonalad lenne, amelyek három különböző ponton metszik egymást, 162 -00:09:49,732 --> 00:09:51,100 -és négy vonallá alakítja. +00:10:12,670 --> 00:10:17,340 +akkor a kis vonalak száma a feldarabolás után 4 plusz 2-szer 3, azaz 10 lenne. 163 -00:09:51,100 --> 00:09:55,540 -Tehát valójában minden egyes metszéspont két újabb éllel bővül. +00:10:17,340 --> 00:10:23,109 +És a számunkra fontos diagram esetében, ahol "n alatt a 2" különálló vonallal kezdtük, 164 -00:09:56,620 --> 00:10:01,360 -Nézzük meg például ezt az egyszerű ábrát, ahol három egyenes és két metszéspont van. +00:10:23,109 --> 00:10:26,359 +és középen "n alatt a 4" ponton feldarabolódnak, 165 -00:10:02,020 --> 00:10:07,580 -Az élek száma a vágás után úgy néz ki, hogy 3 plusz 2-szer 2, azaz 7. +00:10:26,359 --> 00:10:30,140 +a végén "n alatt a 2" plusz 2-szer "n alatt a 4" él lesz. 166 -00:10:08,060 --> 00:10:12,670 -Ha négy olyan vonalad lenne, amelyek három különböző ponton metszik egymást, +00:10:30,680 --> 00:10:34,230 +És valójában ennél valamivel több is van, mivel a kört is beleszámoljuk. 167 -00:10:12,670 --> 00:10:17,340 -akkor a kis vonalak száma a feldarabolás után 4 plusz 2-szer 3, azaz 10 lenne. +00:10:34,230 --> 00:10:38,560 +Tehát meg kell számolnunk az n különböző ívet is, amelyek az ábra szélén helyezkednek el. 168 -00:10:17,340 --> 00:10:23,028 -És a számunkra fontos diagram esetében, ahol n válasszunk 2 különálló vonallal kezdtük, +00:10:39,340 --> 00:10:43,777 +Mindezzel tehát megvan az eredeti kérdés megválaszolásához szükséges információ. 169 -00:10:23,028 --> 00:10:26,584 -és ezek középen n válasszunk 4 ponton feldarabolódnak, +00:10:43,777 --> 00:10:48,106 +Vegyük elő az Euler-képletünk azon változatát, amely a tartományokat számolja. 170 -00:10:26,584 --> 00:10:30,140 -a végén n válasszunk 2 plusz 2-szer n válasszunk 4 élt. +00:10:48,106 --> 00:10:51,284 +Helyettesítsük be a csúcsok számára vonatkozó kifejezést, 171 -00:10:30,680 --> 00:10:34,230 -És valójában ennél valamivel több is van, mivel a kört is beleszámoljuk, +00:10:51,284 --> 00:10:55,886 +ami n plusz az "n alatt a 4" metszéspont. Ugyanígy az élek számára vonatkozó kicsit 172 -00:10:34,230 --> 00:10:38,560 -meg kell számolnunk az n különböző ívet is, amelyek az ábra külső részén helyezkednek el. +00:10:55,886 --> 00:10:59,611 +nagyobb képletet, "n alatt a 2" plusz 2-szer "n alatt a 4" plusz n. 173 -00:10:39,340 --> 00:10:44,017 -Mindezzel tehát megvan az eredeti kérdés megválaszolásához szükséges információ, +00:10:59,611 --> 00:11:03,775 +Ebben a nagy képletben sok minden szépen kiesik, például hozzáadsz egy n-t, 174 -00:10:44,017 --> 00:10:48,579 -elővesszük az Euler-képletünk azon változatát, amely a régiók számát számolja, +00:11:03,775 --> 00:11:07,501 +de kivonsz egy n-t is, és hozzáadod az "n alatt a 4" két példányát, 175 -00:10:48,579 --> 00:10:51,408 -bedugjuk a csúcsok számára vonatkozó kifejezést, +00:11:07,501 --> 00:11:11,775 +de kivonod az "n alatt a 4" egy másik példányát, és mire minden köd eloszlik, 176 -00:10:51,408 --> 00:10:56,606 -ami n plusz az n választ 4 metszéspontot, és bedugjuk a kicsit nagyobb kifejezést az élek +00:11:11,775 --> 00:11:15,720 +a kérdésre adott válasz 1 plusz "n alatt a 2" plusz "n alatt a 4" lesz. 177 -00:10:56,606 --> 00:10:59,839 -új számára, n choose 2 plusz 2-szer n choose 4 plusz n, +00:11:16,320 --> 00:11:19,380 +Egyrészt, végeztél, választ adtál a kérdésre. 178 -00:10:59,839 --> 00:11:04,979 -és a kifejezésben sok szép törlés van, például hozzáadsz egy n-t, de kivonsz egy n-t is, +00:11:19,940 --> 00:11:22,655 +Ha adok egy ilyen kör ábrát n ponttal a kerületén, 179 -00:11:04,979 --> 00:11:10,060 -és hozzáadod az n choose 4 két példányát, de kivonod az n choose 4 egy másik példányát, +00:11:22,655 --> 00:11:25,424 +ennek a képletnek a segítségével ki tudod számolni, 180 -00:11:10,060 --> 00:11:14,911 -és amikor minden por leülepszik, a kérdésre adott válasz 1 plusz n choose 2 plusz n +00:11:25,424 --> 00:11:27,820 +hogy hány tartományra van felszabdalva a kör. 181 -00:11:14,911 --> 00:11:15,720 -choose 4 lesz. +00:11:28,580 --> 00:11:31,200 +De persze még nem végeztünk igazán, mert nem ez zavart minket. 182 -00:11:16,320 --> 00:11:19,380 -Egyrészt, végeztél, válaszoltál a kérdésre. +00:11:31,620 --> 00:11:34,612 +Miért van az, hogy ez úgy néz ki, mintha 2 hatványai lennének, 183 -00:11:19,940 --> 00:11:22,779 -Adok egy ilyen kördiagramot n ponttal a határon, +00:11:34,612 --> 00:11:36,180 +aztán csak 1-gyel marad el ettől? 184 -00:11:22,779 --> 00:11:27,820 -és ennek a képletnek a segítségével kiszámolhatod, hány régióra van felszabdalva a kör. +00:11:36,600 --> 00:11:41,000 +Ez nem csak véletlen egybeesés, és a válasz kulcsa a Pascal-háromszögben rejlik. 185 -00:11:28,580 --> 00:11:31,200 -De persze még nem végeztünk igazán, mert ez még nem vakarja meg a viszketést. +00:11:41,700 --> 00:11:46,026 +Tudod, ez az a háromszög, ahol minden tag a felette lévő két másik tag összege. 186 -00:11:31,620 --> 00:11:36,180 -Miért van az, hogy ez úgy néz ki, mintha 2 hatványa lenne, és aztán csak 1-gyel marad el? +00:11:46,026 --> 00:11:49,920 +Alapvetően két tényt akarok bemutatni ezzel a háromszöggel kapcsolatban. 187 -00:11:36,600 --> 00:11:41,000 -Ez nem csak véletlen egybeesés, és a válasz kulcsa a Pascal-háromszög figyelembevétele. +00:11:50,520 --> 00:11:54,218 +Az első az, hogy a háromszögön belül minden kifejezés úgy néz ki, 188 -00:11:41,700 --> 00:11:44,803 -Ismered ezt a háromszöget, ez az a háromszög, ahol minden tag úgy néz ki, +00:11:54,218 --> 00:11:57,020 +mint n és k bizonyos értékei esetén "n alatt a k". 189 -00:11:44,803 --> 00:11:46,774 -mint a felette lévő két különböző tag összege, +00:11:57,640 --> 00:12:01,621 +Vagyis a válasz arra a kérdésre, hogy hányféleképpen lehet egy k méretű 190 -00:11:46,774 --> 00:11:49,920 -és alapvetően két tényt kell bemutatnunk ezzel a háromszöggel kapcsolatban. +00:12:01,621 --> 00:12:06,100 +részhalmazt kiválasztani egy n méretű halmazból, ebben a háromszögben fellelhető. 191 -00:11:50,520 --> 00:11:54,218 -Az első az, hogy a háromszögön belül minden kifejezés úgy néz ki, +00:12:06,620 --> 00:12:10,100 +Csak úgy kell ehhez eljárni, hogy a sorokat és oszlopokat 0-tól kezdve indexeljük. 192 -00:11:54,218 --> 00:11:57,020 -hogy n és k bizonyos értékei esetén n választ k-t. +00:12:10,540 --> 00:12:14,775 +Például, ha a 0, 1, 2, 3, 4, 5. sorig számolsz, 193 -00:11:57,640 --> 00:12:01,700 -Vagyis a válasz arra a kérdésre, hogy hányféleképpen lehet egy k méretű +00:12:14,775 --> 00:12:19,100 +a 0, 1, 2, 3. elemig számolsz, akkor 10-et látsz. 194 -00:12:01,700 --> 00:12:06,100 -részhalmazt kiválasztani egy n méretű halmazból, ebben a háromszögben látható. +00:12:19,640 --> 00:12:22,040 +És valóban, "5 alatt a 3" egyenlő 10-zel. 195 -00:12:06,620 --> 00:12:10,100 -A gondolkodás módja az, hogy a sorokat és oszlopokat 0-tól kezdve indexeljük. +00:12:22,860 --> 00:12:25,635 +Ha még sosem láttad ezt, és tudni akarod, miért igaz, 196 -00:12:10,540 --> 00:12:14,775 -Például, ha a 0, 1, 2, 3, 4, 5. sorig számolsz, +00:12:25,635 --> 00:12:28,720 +van egy nagyon jó feladat, amit szívből ajánlok gyakorlásra. 197 -00:12:14,775 --> 00:12:19,100 -a 0, 1, 2, 3. elemig számolsz, akkor 10-et látsz. +00:12:29,320 --> 00:12:31,878 +De térjünk rá a második dologra, amit tudnunk kell. 198 -00:12:19,640 --> 00:12:22,040 -És valóban, 5 válasszuk ki a 3-at, az egyenlő 10. +00:12:31,878 --> 00:12:34,880 +Figyeljük meg, mi történik, ha összeadjuk a háromszög sorait. 199 -00:12:22,860 --> 00:12:25,736 -Ha még sosem láttad ezt, és tudni akarod, miért igaz, +00:12:35,540 --> 00:12:39,567 +Kapunk 1-et, majd 1 plusz 1 az 2, 1 plusz 2 plusz 1 az 4, 200 -00:12:25,736 --> 00:12:28,720 -van egy nagyon szép érv, csak gyakorlatként hagyom fent. +00:12:39,567 --> 00:12:45,400 +1 plusz 3 plusz 3 plusz 1 az 8, és ahogy folytatjuk, mindig 2-es hatványokat kapunk. 201 -00:12:29,320 --> 00:12:31,878 -De térjünk rá a második dologra, amit tudnunk kell, +00:12:46,180 --> 00:12:48,489 +Ezen a ponton talán már kicsit óvakodsz attól, 202 -00:12:31,878 --> 00:12:34,880 -figyeljük meg, mi történik, ha összeadjuk a háromszög sorait. +00:12:48,489 --> 00:12:52,174 +hogy túl gyorsan vonj le következtetéseket a 2-es hatványokra vonatkozóan, 203 -00:12:35,540 --> 00:12:39,567 -Kapunk 1-et, majd 1 plusz 1 az 2, 1 plusz 2 plusz 1 az 4, +00:12:52,174 --> 00:12:54,140 +de ebben az esetben ez egy valódi minta. 204 -00:12:39,567 --> 00:12:45,400 -1 plusz 3 plusz 3 plusz 1 az 8, és ahogy folytatjuk, mindig 2-es hatványokat kapunk. +00:12:54,560 --> 00:12:58,500 +És többféleképpen is eljuthatunk oda, hogy miért kell itt kettő hatványoknak lennie. 205 -00:12:46,180 --> 00:12:48,485 -Lehet, hogy ezen a ponton egy kicsit óvakodsz attól, +00:12:59,080 --> 00:13:01,824 +De az egyik módja, amit szeretek, ha arra gondolunk, 206 -00:12:48,485 --> 00:12:51,704 -hogy túl gyorsan vonj le következtetéseket a 2-es hatalmakra vonatkozóan, +00:13:01,824 --> 00:13:04,310 +hogy ahogy az első sorból a következőbe lépünk, 207 -00:12:51,704 --> 00:12:54,140 -de ebben az esetben ez egy valódi minta, nem trükköznek. +00:13:04,310 --> 00:13:07,780 +az 1-es szám mintha két példányt küldene magából a következő sorba. 208 -00:12:54,560 --> 00:12:58,500 -És többféleképpen is elgondolkodhatunk azon, hogy miért kell itt 2-es erősségűnek lennie. - -209 -00:12:59,080 --> 00:13:01,543 -De az egyik, amit szeretek, ha arra gondolunk, - -210 -00:13:01,543 --> 00:13:04,058 -hogy ahogy az első sorból a következőbe lépünk, - -211 -00:13:04,058 --> 00:13:07,780 -az 1-es szám mintha két példányt adományozna magából a következő sorba. - -212 00:13:08,580 --> 00:13:11,900 Hasonlóképpen, ahogy a második sorból a harmadikba lépünk, -213 +209 00:13:11,900 --> 00:13:16,178 minden egyes szám két példányt ad magából a következő sornak, és általában, -214 +210 00:13:16,178 --> 00:13:20,455 ahogy egyik sorból a másikba lépünk, minden szám két példányt ad magából az -215 +211 00:13:20,455 --> 00:13:21,300 alatta lévőnek. -216 +212 00:13:21,920 --> 00:13:24,720 -Tehát ahogy összeadja az egyes sorok összegét, logikus, +Tehát ahogy összeadod az egyes sorok összegét, logikus, -217 +213 00:13:24,720 --> 00:13:27,820 hogy ezek az összegek minden egyes ismétléskor megduplázódnak. -218 +214 00:13:28,860 --> 00:13:32,080 -Visszatérve az eredeti kérdésünkhöz, gondolkodjunk el azon, hogy ez mit jelent. +Visszatérve az eredeti kérdésünkhöz. Mit is jelent mindez amire rájöttünk? -219 +215 00:13:32,700 --> 00:13:37,320 -A kérdésünkre adott válasz úgy nézett ki, hogy 1 plusz n válasszon 2 plusz n válasszon 4. +A kérdésünkre adott válasz úgy nézett ki, hogy 1 plusz "n alatt a 2" plusz "n alatt a 4". -220 +216 00:13:37,320 --> 00:13:41,183 -A Pascal-háromszög kontextusában ezt úgy is felfoghatjuk, +A Pascal-háromszög szemléletében ezt úgy is felfoghatjuk, -221 +217 00:13:41,183 --> 00:13:45,980 mint a háromszög valamelyik sorában lévő 0., 2. és 4. tagok összeadását. -222 +218 00:13:46,800 --> 00:13:49,173 Például, ha n egyenlő 5-tel, akkor ez úgy néz ki, -223 +219 00:13:49,173 --> 00:13:51,120 mintha 1 plusz 10 plusz 5-t adnánk össze. -224 +220 00:13:51,700 --> 00:13:56,316 Mivel minden egyes szám a felette lévő két szám összege, ez ugyanaz, -225 +221 00:13:56,316 --> 00:14:00,798 mint az előző sor első 5 elemének összeadása, ami ebben az esetben -226 +222 00:14:00,798 --> 00:14:05,080 az egész előző sor összeadását jelenti, ezért a szám 2 hatványa. -227 +223 00:14:05,080 --> 00:14:07,720 -Ugyanez vonatkozik az összes olyan számra, amely 5 vagy annál kevesebb. +Ugyanez vonatkozik az összes olyan számra, amely 5 vagy kevesebb. -228 +224 00:14:08,160 --> 00:14:11,845 Amikor ezt a képletet a Pascal-háromszögben helyezzük el, -229 +225 00:14:11,845 --> 00:14:16,420 és az előző sorhoz viszonyítjuk, akkor az előző sor egészét adjuk össze. -230 -00:14:17,320 --> 00:14:21,225 +226 +00:14:17,320 --> 00:14:21,156 A pont, ahol ez megszakad, az n egyenlő 6, mert ebben az esetben, -231 -00:14:21,225 --> 00:14:25,721 +227 +00:14:21,156 --> 00:14:25,574 amikor ezt az előző sorhoz viszonyítjuk, és összeadjuk a sor első 5 elemét, -232 -00:14:25,721 --> 00:14:27,260 -ez nem fedi le az egészet. +228 +00:14:25,574 --> 00:14:27,260 +az nem fedi le az egész sort. -233 -00:14:27,520 --> 00:14:32,070 -Konkrétan csak 1-gyel marad el, ezért hiányzik a 2-es hatvány, +229 +00:14:27,520 --> 00:14:32,162 +Konkrétan csak 1-gyel marad el, ezért hiányoljuk annyira a 2-es hatvány, -234 -00:14:32,070 --> 00:14:34,960 -és ezért marad el konkrétan csak 1-gyel. +230 +00:14:32,162 --> 00:14:34,960 +és ez az igazi magyarázat az 1-es eltérésre. -235 +231 00:14:35,680 --> 00:14:38,360 Figyeljük meg azt is, mi történik, ha n egyenlő 10. -236 +232 00:14:38,740 --> 00:14:42,939 Ha megnézzük a 10. sort, és ezeket a kifejezéseket az előzőhöz viszonyítjuk, -237 +233 00:14:42,939 --> 00:14:46,374 akkor a 9. sor első 5 elemének összeadása pontosan a sor fele, -238 +234 00:14:46,374 --> 00:14:50,519 és mivel a háromszög szimmetrikus, ez azt jelenti, hogy ha összeadjuk őket, -239 +235 00:14:50,519 --> 00:14:54,663 akkor pontosan a 2-es hatvány felét kapjuk, ami önmagában természetesen egy -240 +236 00:14:54,663 --> 00:14:55,700 másik 2-es hatvány. +237 +00:14:56,240 --> 00:14:58,690 +Sajnos nem tudom, hogy ez volt-e az utolsó alkalom, + +238 +00:14:58,690 --> 00:15:01,660 +hogy 2-es hatványt találunk, de emiatt jó kihívásnak ígérkezik. + +239 +00:15:02,180 --> 00:15:05,218 +Talán valaki, aki jobban ért a diofántoszi egyenletekhez mint én, + +240 +00:15:05,218 --> 00:15:07,060 +elő tud állni valami okos bizonyítékkal. + 241 -00:14:56,240 --> 00:15:00,111 -És egy kihívásként, nem tudom, hogy ez volt-e az utolsó alkalom, +00:15:09,340 --> 00:15:13,344 +Összefoglalva a bemutatottakat, a húrok teljes számának és a metszéspontok 242 -00:15:00,111 --> 00:15:01,660 -hogy 2-es hatványt láttál. +00:15:13,344 --> 00:15:17,295 +teljes számának megszámlálásával kezdtük, ami a megfelelő összefüggéseket 243 -00:15:02,180 --> 00:15:04,980 -Talán valamelyikőtök, aki jobban ért a diafantikus egyenletekhez, +00:15:17,295 --> 00:15:21,140 +kihasználva ugyanaz, mint az "n alatt a 2" és "n alatt a 4" kiszámítása. 244 -00:15:04,980 --> 00:15:07,060 -mint én, elő tud állni valami okos bizonyítékkal. +00:15:21,520 --> 00:15:24,680 +Az Euler-formulát alkalmazva, így pontos zárt formájú 245 -00:15:09,340 --> 00:15:13,554 -Visszalépve, összefoglalva, az akkordok teljes számának és a metszéspontok +00:15:24,680 --> 00:15:27,840 +kifejezést kapunk a körön belüli tartományok számáról. 246 -00:15:13,554 --> 00:15:18,499 -teljes számának megszámlálásával kezdtük, ami a helyes asszociációkra gondolva ugyanaz, +00:15:27,840 --> 00:15:31,668 +Ezt összekapcsolva a Pascal-háromszöggel egy nagyon szemléletes kapcsolatot 247 -00:15:18,499 --> 00:15:21,140 -mint az n válassz 2 és n válassz 4 kiszámítása. +00:15:31,668 --> 00:15:35,800 +kapunk a 2-es hatványokra, és arra, hogy miért szakad ez meg, amikor megtörténik. 248 -00:15:21,520 --> 00:15:24,865 -Az Euler-formulát alkalmazva, így pontos zárt formájú +00:15:37,280 --> 00:15:40,858 +Tehát igen, Moser körproblémája egy figyelmeztető történet arról, 249 -00:15:24,865 --> 00:15:27,840 -kifejezést kapunk a körön belüli régiók számára. +00:15:40,858 --> 00:15:45,250 +hogy óvakodjunk a bizonyítékok nélküli mintáktól. Egyfajta mélyebb jelentése az, 250 -00:15:27,840 --> 00:15:31,713 -Ezt összekapcsolva a Pascal-háromszöggel, egy nagyon zsigeri kapcsolatot - -251 -00:15:31,713 --> 00:15:35,800 -kapunk a 2-es hatványokkal és azzal, hogy miért törnek meg, amikor megtörnek. - -252 -00:15:37,280 --> 00:15:40,783 -Tehát igen, Moser körproblémája egy figyelmeztető történet arról, - -253 -00:15:40,783 --> 00:15:45,348 -hogy óvakodjunk a bizonyítékok nélküli mintáktól, de mélyebb szinten azt is elmondja, - -254 -00:15:45,348 --> 00:15:49,860 -hogy amit néha véletlennek tartunk, az még mindig hagy teret a kielégítő megértésnek. +00:15:45,250 --> 00:15:49,860 +hogy a véletlennek tűnő események mögött sokszor felfedezhető összefüggések húzódnak. diff --git a/2023/prism/arabic/auto_generated.srt b/2023/prism/arabic/auto_generated.srt index ce2ae6b18..102ec4f46 100644 --- a/2023/prism/arabic/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/arabic/auto_generated.srt @@ -71,35 +71,35 @@ c، وهي سرعة الضوء، ولكن داخل الزجاج ستكون تل داخل وسط مثل هذا تسمى معامل الانكسار لذلك الوسط. 19 -00:01:24,220 --> 00:01:31,294 +00:01:24,220 --> 00:01:30,993 سبب استخدامنا لكلمة انكسار بدلًا من مؤشر التباطؤ هو أنه إذا دخل شعاع من الضوء إلى 20 -00:01:31,294 --> 00:01:38,800 +00:01:30,993 --> 00:01:38,180 هذا الزجاج بزاوية، فإن نتيجة هذا التباطؤ هي أن ينحني قليلاً، أو باستخدام اللغة، ينكسر. 21 -00:01:38,800 --> 00:01:43,692 +00:01:38,640 --> 00:01:43,563 الطريقة التي كان يشرح بها أستاذ الفيزياء في المدرسة الثانوية هذا الأمر دائمًا هي تخيل 22 -00:01:43,692 --> 00:01:48,754 +00:01:43,563 --> 00:01:48,658 دبابة تنتقل من منطقة ما حيث يمكنها الانتقال بسرعة نسبية، مثل الخرسانة، إلى شيء أبطأ، مثل 23 -00:01:48,754 --> 00:01:53,817 +00:01:48,658 --> 00:01:53,752 الطين، حيث إذا كانت قادمة بزاوية، فعندئذ كأحد أجزائها يضرب المداس المنطقة البطيئة أولاً، 24 -00:01:53,817 --> 00:01:58,709 +00:01:53,752 --> 00:01:58,676 وسيكون هذا المداس أبطأ بينما يكون المداس الآخر أسرع، مما يتسبب في توجيه الخزان بأكمله 25 -00:01:58,709 --> 00:02:03,544 +00:01:58,676 --> 00:02:03,542 قليلاً حتى يدخل ذلك المداس الثاني أيضًا في الوحل، ثم يستمر في السير بشكل مستقيم أبطأ 26 -00:02:03,544 --> 00:02:04,000 +00:02:03,542 --> 00:02:04,000 قليلاً. 27 @@ -135,23 +135,23 @@ c، وهي سرعة الضوء، ولكن داخل الزجاج ستكون تل ما يحدث مع المنشور إذن هو أن المقدار المحدد الذي يبطئه الضوء يعتمد قليلاً على تردده. 35 -00:02:43,780 --> 00:02:48,440 +00:02:43,780 --> 00:02:47,950 على سبيل المثال، الضوء الأزرق، الذي له تردد عالٍ نسبيًا، سوف 36 -00:02:48,440 --> 00:02:53,100 +00:02:47,950 --> 00:02:52,120 يتباطأ بقوة أكبر من الضوء الأحمر، الذي له تردد منخفض نسبيًا. 37 -00:02:53,100 --> 00:02:57,876 +00:02:52,980 --> 00:02:57,796 معظم الضوء الذي تراه ليس موجة جيبية نقية، وخاصة الضوء الأبيض القادم من 38 -00:02:57,876 --> 00:03:02,653 +00:02:57,796 --> 00:03:02,612 الشمس ليس موجة جيبية نظيفة، إنه شيء أكثر فوضوية، ولكن يمكن التعبير عنه 39 -00:03:02,653 --> 00:03:07,700 +00:03:02,612 --> 00:03:07,700 كمجموع مجموعة من الموجات الجيبية النظيفة ، كل منها يتوافق مع لون طيفي نقي. 40 @@ -187,7 +187,7 @@ c، وهي سرعة الضوء، ولكن داخل الزجاج ستكون تل فهل ذلك مجرد صدفة أم أنه ضروري؟ 48 -00:03:39,679 --> 00:03:43,366 +00:03:39,680 --> 00:03:43,366 إذا كان لديك مستوى عالٍ بما فيه الكفاية للتفسيرات، فأنت تريد أن تشعر 49 @@ -535,55 +535,55 @@ c، وهي سرعة الضوء، ولكن داخل الزجاج ستكون تل إحدى العواقب المتعددة لذلك وهي سرعة الضوء. 135 -00:10:08,600 --> 00:10:13,371 +00:10:08,600 --> 00:10:13,739 على وجه الخصوص، عندما تحصل على شحنة تتأرجح لأعلى ولأسفل في حركة جيبية نظيفة 136 -00:10:13,371 --> 00:10:17,891 +00:10:13,739 --> 00:10:18,608 ولطيفة، يمكنك التفكير في هذه التأثيرات المتموجة في المجال الكهربائي على 137 -00:10:17,891 --> 00:10:22,600 +00:10:18,608 --> 00:10:23,680 أنها تصف القوة التي سيتم تطبيقها على شحنة أخرى نتيجة لهذا التسارع الماضي . 138 -00:10:22,600 --> 00:10:27,518 +00:10:24,340 --> 00:10:28,380 سأعترف بحرية أنني استمتعت كثيرًا في هذا الفيديو فقط بمحاكاة كيفية 139 -00:10:27,518 --> 00:10:32,361 +00:10:28,380 --> 00:10:32,359 استجابة المجال الكهربائي للشحنات المتسارعة، وأنني أفعل نفس الشيء 140 -00:10:32,361 --> 00:10:37,280 +00:10:32,359 --> 00:10:36,400 نوعًا ما هنا، ولكن هناك حقيقتان مهمتان لسعينا وراء مؤشر الانكسار. 141 -00:10:37,280 --> 00:10:42,352 +00:10:36,920 --> 00:10:42,390 الأول هو أنه عندما يكون لديك عدة شحنات مختلفة تتأرجح لأعلى ولأسفل، فإن التأثير الصافي 142 -00:10:42,352 --> 00:10:47,661 +00:10:42,390 --> 00:10:48,116 على المجال الكهربائي هو مجرد مجموع ما سيكون عليه لكل شحنة على حدة، وهو ما تتوقعه نوعًا ما. 143 -00:10:47,661 --> 00:10:47,720 +00:10:48,116 --> 00:10:48,180 144 -00:10:47,720 --> 00:10:53,203 +00:10:48,600 --> 00:10:53,863 والطريقة التي يتم بها ذلك هي أنه إذا كان لديك صف من الشحنات المتذبذبة بشكل متزامن 145 -00:10:53,203 --> 00:10:58,619 +00:10:53,863 --> 00:10:59,063 مع بعضها البعض، أو لأغراضنا اليوم، مستوى من الشحنات، كلها تهتز لأعلى ولأسفل بشكل 146 -00:10:58,619 --> 00:11:04,102 +00:10:59,063 --> 00:11:04,327 متزامن داخل هذا المستوى، فإن تأثيرات كل فرد تميل الشحنات إلى إلغاء بعضها البعض في 147 -00:11:04,102 --> 00:11:09,720 +00:11:04,327 --> 00:11:09,720 معظم الاتجاهات، باستثناء العمودي على ذلك المستوى، فإنها في الواقع تتداخل بشكل بناء. 148 @@ -611,15 +611,15 @@ c، وهي سرعة الضوء، ولكن داخل الزجاج ستكون تل الصورة الكاملة للضوء في ثلاثة أبعاد ستبدو بهذا الشكل. 154 -00:11:38,160 --> 00:11:41,040 +00:11:38,160 --> 00:11:41,340 يميل هذا إلى أن يكون أكثر انشغالًا بعض الشيء، لذلك عادةً ما نرسم الموجة الجيبية فقط. 155 -00:11:41,040 --> 00:11:46,374 +00:11:42,920 --> 00:11:47,299 لذا، بالتفكير مرة أخرى في السؤال عن سبب تسبب التفاعلات مع طبقة 156 -00:11:46,374 --> 00:11:51,540 +00:11:47,299 --> 00:11:51,540 من المادة في ارتداد إلى مرحلة الموجة، فلنبدأ بالتفكير مليًا. 157 @@ -759,23 +759,23 @@ c، وهي سرعة الضوء، ولكن داخل الزجاج ستكون تل تخيل أن الموجة الأولى تصف المكون y لبعض المتجهات الدوارة. 191 -00:14:28,480 --> 00:14:36,260 +00:14:28,480 --> 00:14:31,800 ويتوافق طول هذا المتجه مع سعة الموجة، ثم يتوافق الدوران الأولي لهذا المتجه مع طور الموجة. 192 -00:14:36,260 --> 00:14:43,486 +00:14:32,480 --> 00:14:41,640 ثم فكر بالمثل في تلك الموجة الثانية باعتبارها تصف المركبة y لمتجه دوار آخر، حيث تتوافق 193 -00:14:43,486 --> 00:14:50,380 +00:14:41,640 --> 00:14:50,380 السعة مرة أخرى مع طول ذلك المتجه، ويخبرنا طور الموجة بالزاوية الأولية لذلك المتجه. 194 -00:14:52,780 --> 00:14:57,380 +00:14:52,780 --> 00:14:57,720 الآن، للتفكير في مجموع الموجتين، فكر فقط في إضافة هذين المتجهين من الرأس إلى الذيل. 195 -00:14:57,380 --> 00:15:04,740 +00:14:58,400 --> 00:15:04,740 ولأن كلاهما لهما نفس التردد الذي يدوران به، فإن مجموعهما يدور بشكل متماثل معهما. 196 @@ -1047,15 +1047,15 @@ c، وهي سرعة الضوء، ولكن داخل الزجاج ستكون تل من حيث التكرار، وعدد الدورات التي تقوم بها هذه العملية لكل وحدة وقت. 263 -00:20:17,700 --> 00:20:21,653 +00:20:17,700 --> 00:20:21,846 لكن عند القيام بالرياضيات، غالبًا ما يكون من الطبيعي التحدث عن التردد الزاوي، والذي يمكنك 264 -00:20:21,653 --> 00:20:25,520 +00:20:21,846 --> 00:20:25,900 التفكير فيه على أنه يصف مقدار الزاوية التي تغطيها هذه العملية بالراديان لكل وحدة زمنية. 265 -00:20:25,520 --> 00:20:28,920 +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 لذا فإن المصطلح هو نفس التردد ولكن مضروبًا في 2pi. 266 @@ -1479,23 +1479,23 @@ t مثل الجذر التربيعي لـ k مقسومًا على m، والذي من المشاهدين قد يستمتعون به، ونظرًا لأنه موسم العطلات، يبدو أنه يستحق الذكر سريعًا. 371 -00:28:31,480 --> 00:28:36,141 +00:28:31,480 --> 00:28:36,366 الفرضية هي أن كل صفحة بها اقتباس يتعلق بالرياضيات، وقد استمتعت كثيرًا بتنسيقها 372 -00:28:36,141 --> 00:28:41,040 +00:28:36,366 --> 00:28:41,500 جميعًا، محاولًا تقييد نفسي بالاقتباسات التي تنقل بعض الأفكار المثيرة للتفكير حقًا. 373 -00:28:41,040 --> 00:28:45,718 +00:28:42,100 --> 00:28:46,429 وبعد ذلك بغض النظر عن المحتوى، فقد صنعت بشكل أساسي نوع دفتر الملاحظات الذي أستمتع به 374 -00:28:45,718 --> 00:28:50,286 +00:28:46,429 --> 00:28:50,656 كثيرًا في تدوين الملاحظات، وهو شيء يمكن حمله بسهولة مع خطوط شبكية باهتة جدًا مفيدة 375 -00:28:50,286 --> 00:28:55,240 +00:28:50,656 --> 00:28:55,240 للرسوم البيانية، ولكن بخلاف ذلك غير مزعجة، وكلها مربوطة بهذا الجلد الصناعي الناعم اللطيف. 376 diff --git a/2023/prism/chinese/auto_generated.srt b/2023/prism/chinese/auto_generated.srt index 9c68722e3..e691ec4e4 100644 --- a/2023/prism/chinese/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/chinese/auto_generated.srt @@ -75,43 +75,43 @@ 间的特定比率称为该介质的折射率。 20 -00:01:24,220 --> 00:01:28,848 +00:01:24,220 --> 00:01:28,651 我们使用折射一词而不是减速指数的原因是， 21 -00:01:28,848 --> 00:01:35,791 +00:01:28,651 --> 00:01:35,299 如果一束光以一定角度进入玻璃，那么减速的结果是它会稍微弯曲， 22 -00:01:35,791 --> 00:01:38,800 +00:01:35,299 --> 00:01:38,180 或者用行话来说，它会折射。 23 -00:01:38,800 --> 00:01:43,000 +00:01:38,640 --> 00:01:42,866 我的高中物理老师总是解释这一点的方式是想象一辆坦克从 24 -00:01:43,000 --> 00:01:47,200 +00:01:42,866 --> 00:01:47,093 某个可以相对较快地行驶的区域（例如混凝土）进入较慢的 25 -00:01:47,200 --> 00:01:50,430 +00:01:47,093 --> 00:01:50,344 区域（例如泥浆），如果它以一定角度进入， 26 -00:01:50,430 --> 00:01:53,823 +00:01:50,344 --> 00:01:53,758 那么作为它的其中一个履带首先撞击慢速区域， 27 -00:01:53,823 --> 00:01:57,215 +00:01:53,758 --> 00:01:57,172 该履带将行驶得较慢，而另一个履带速度较快， 28 -00:01:57,215 --> 00:02:01,092 +00:01:57,172 --> 00:02:01,073 导致整个坦克稍微转向，直到第二个履带也进入泥浆， 29 -00:02:01,092 --> 00:02:04,000 +00:02:01,073 --> 00:02:04,000 然后它继续直线行驶，只是速度慢一点。 30 @@ -147,27 +147,27 @@ 体量在一定程度上取决于它的频率。 38 -00:02:43,780 --> 00:02:48,440 +00:02:43,780 --> 00:02:47,950 例如，具有相对较高频率的蓝光会比具有 39 -00:02:48,440 --> 00:02:53,100 +00:02:47,950 --> 00:02:52,120 相对较低频率的红光更剧烈地减慢速度。 40 -00:02:53,100 --> 00:02:56,611 +00:02:52,980 --> 00:02:56,520 你看到的大部分光都不是干净的纯正弦波， 41 -00:02:56,611 --> 00:03:01,786 +00:02:56,520 --> 00:03:01,737 特别是来自太阳的白光不是干净的正弦波，它是更混乱的东西， 42 -00:03:01,786 --> 00:03:05,297 +00:03:01,737 --> 00:03:05,277 但它可以表示为一堆干净的正弦波的总和， 43 -00:03:05,297 --> 00:03:07,700 +00:03:05,277 --> 00:03:07,700 每一个对应一种纯光谱颜色。 44 @@ -207,7 +207,7 @@ 这只是巧合还是有必要？ 53 -00:03:39,679 --> 00:03:43,500 +00:03:39,680 --> 00:03:43,500 如果你对解释有足够高的标准，你会希望这两个事实都 54 @@ -579,55 +579,55 @@ 只是其多重后果之一就是它的速度是光速。 146 -00:10:08,600 --> 00:10:14,200 +00:10:08,600 --> 00:10:14,632 特别是，当你得到一个电荷以干净的正弦运动上下振荡时， 147 -00:10:14,200 --> 00:10:18,723 +00:10:14,632 --> 00:10:19,504 你可以将电场中的这些波纹效应视为描述由于过 148 -00:10:18,723 --> 00:10:22,600 +00:10:19,504 --> 00:10:23,680 去的加速度而施加到另一个电荷上的力。 149 -00:10:22,600 --> 00:10:27,413 +00:10:24,340 --> 00:10:28,360 我坦率地承认，我在模拟电场如何响应加速电荷的视 150 -00:10:27,413 --> 00:10:32,854 +00:10:28,360 --> 00:10:32,904 频中感到有点太有趣了，而且我在这里也做了同样的事情， 151 -00:10:32,854 --> 00:10:37,040 +00:10:32,904 --> 00:10:36,400 但是对于我们追求的有两个重要事实折射率。 152 -00:10:37,040 --> 00:10:41,074 +00:10:36,920 --> 00:10:41,173 首先，当多个不同的电荷上下振荡时， 153 -00:10:41,074 --> 00:10:47,720 +00:10:41,173 --> 00:10:48,180 对电场的净效应只是每个单独电荷的总和，这正是您所期望的。 154 -00:10:47,720 --> 00:10:52,329 +00:10:48,600 --> 00:10:53,025 其产生的方式是，如果有一排电荷彼此同步振荡， 155 -00:10:52,329 --> 00:10:56,310 +00:10:53,025 --> 00:10:56,846 或者对于我们今天的目的，一个电荷平面， 156 -00:10:56,310 --> 00:10:59,872 +00:10:56,846 --> 00:11:00,266 所有电荷都在该平面内同步上下摆动， 157 -00:10:59,872 --> 00:11:05,110 +00:11:00,266 --> 00:11:05,294 那么每个电荷的影响电荷往往在大多数方向上相互抵消， 158 -00:11:05,110 --> 00:11:09,720 +00:11:05,294 --> 00:11:09,720 除了垂直于该平面之外，它们实际上是相长干涉。 159 @@ -655,15 +655,15 @@ 三维光的更完整的图像看起来更像是这样的。 165 -00:11:38,160 --> 00:11:41,040 +00:11:38,160 --> 00:11:41,340 这往往有点忙，所以通常我们只绘制正弦波。 166 -00:11:41,040 --> 00:11:46,167 +00:11:42,920 --> 00:11:47,129 因此，回想一下为什么与一层材料的相互作用会 167 -00:11:46,167 --> 00:11:51,540 +00:11:47,129 --> 00:11:51,540 导致波相位的反冲的问题，让我们开始仔细思考。 168 @@ -807,31 +807,31 @@ 想象一下，第一个波描述了某个旋转矢量的 y 分量。 203 -00:14:28,480 --> 00:14:32,370 +00:14:28,480 --> 00:14:32,740 该矢量的长度与波的振幅相对应，然后 204 -00:14:32,370 --> 00:14:36,260 +00:14:32,740 --> 00:14:37,000 该矢量的初始旋转与波的相位相对应。 205 -00:14:36,260 --> 00:14:42,759 +00:14:37,690 --> 00:14:43,531 然后类似地，将第二个波视为描述另一个旋转矢量的 y 分量， 206 -00:14:42,759 --> 00:14:46,345 +00:14:43,531 --> 00:14:46,754 其中振幅又与该矢量的长度相对应， 207 -00:14:46,345 --> 00:14:50,380 +00:14:46,754 --> 00:14:50,380 而波的相位告诉我们该矢量的初始角度。 208 -00:14:52,780 --> 00:14:57,380 +00:14:52,780 --> 00:14:57,720 现在考虑两个波的总和，只需考虑将这两个向量首尾相连即可。 209 -00:14:57,380 --> 00:15:04,740 +00:14:58,400 --> 00:15:04,740 因为它们旋转时的频率相同，所以它们的总和与它们同步旋转。 210 @@ -1131,19 +1131,19 @@ 每单位进行的循环数来表达事物时间。 284 -00:20:17,700 --> 00:20:20,557 +00:20:17,700 --> 00:20:20,696 但在做数学时，通常更自然地讨论角频率， 285 -00:20:20,557 --> 00:20:24,467 +00:20:20,696 --> 00:20:24,796 您可以将角频率视为描述该过程每单位时间覆盖的角度（以 286 -00:20:24,467 --> 00:20:25,520 +00:20:24,796 --> 00:20:25,900 弧度为单位）。 287 -00:20:25,520 --> 00:20:28,920 +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 因此该项与频率相同，但乘以 2 pi。 288 @@ -1591,35 +1591,35 @@ Universe”频道的朋友 Mithena 它似乎值得快速提及。 399 -00:28:31,480 --> 00:28:34,558 +00:28:31,480 --> 00:28:34,706 前提是每一页都有一条与数学相关的引言， 400 -00:28:34,558 --> 00:28:39,257 +00:28:34,706 --> 00:28:39,631 我在整理它们时获得了很多乐趣，试图限制自己使用引言来传达一 401 -00:28:39,257 --> 00:28:41,040 +00:28:39,631 --> 00:28:41,500 些真正发人深省的想法。 402 -00:28:41,040 --> 00:28:44,514 +00:28:42,100 --> 00:28:45,315 然后除了内容之外，我基本上制作了一种我最喜欢在 403 -00:28:44,514 --> 00:28:47,686 +00:28:45,315 --> 00:28:48,250 其中做笔记的笔记本，这种笔记本很容易携带， 404 -00:28:47,686 --> 00:28:50,557 +00:28:48,250 --> 00:28:50,906 带有非常微弱的网格线，有助于绘制图表， 405 -00:28:50,557 --> 00:28:54,031 +00:28:50,906 --> 00:28:54,121 但在其他方面并不引人注目，全部装订在这种漂亮的 406 -00:28:54,031 --> 00:28:55,240 +00:28:54,121 --> 00:28:55,240 柔软人造皮革中。 407 diff --git a/2023/prism/french/auto_generated.srt b/2023/prism/french/auto_generated.srt index 2a99d6184..31fc477b4 100644 --- a/2023/prism/french/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/french/auto_generated.srt @@ -99,51 +99,51 @@ Et le rapport spécifique entre la vitesse de la lumière dans le vide et la vit à l’intérieur d’un milieu comme celui-ci est appelé indice de réfraction de ce milieu. 26 -00:01:24,220 --> 00:01:27,653 +00:01:24,220 --> 00:01:27,507 La raison pour laquelle nous utilisons le mot réfraction au lieu 27 -00:01:27,653 --> 00:01:31,298 +00:01:27,507 --> 00:01:30,997 d'indice de ralentissement est que si un faisceau de lumière pénètre 28 -00:01:31,298 --> 00:01:35,155 +00:01:30,997 --> 00:01:34,690 dans ce verre selon un angle, alors une conséquence de ce ralentissement 29 -00:01:35,155 --> 00:01:38,800 +00:01:34,690 --> 00:01:38,180 est qu'il se plie un peu, ou pour utiliser le jargon, il se réfracte. 30 -00:01:38,800 --> 00:01:42,076 +00:01:38,640 --> 00:01:41,937 La façon dont mon professeur de physique au lycée expliquait toujours cela était 31 -00:01:42,076 --> 00:01:45,595 +00:01:41,937 --> 00:01:45,478 d'imaginer un tank allant d'une région où il peut se déplacer relativement rapidement, 32 -00:01:45,595 --> 00:01:48,184 +00:01:45,478 --> 00:01:48,083 comme le béton, vers quelque chose de plus lent, comme la boue, 33 -00:01:48,184 --> 00:01:51,703 +00:01:48,083 --> 00:01:51,625 où s'il arrive sous un angle, alors comme l'un de ses Les bandes de roulement touchent 34 -00:01:51,703 --> 00:01:55,262 +00:01:51,625 --> 00:01:55,207 d'abord la région lente, cette bande de roulement ira plus lentement tandis que l'autre 35 -00:01:55,262 --> 00:01:58,701 +00:01:55,207 --> 00:01:58,667 est plus rapide, ce qui fera que tout le réservoir se dirigera un peu jusqu'à ce que 36 -00:01:58,701 --> 00:02:01,289 +00:01:58,667 --> 00:02:01,272 cette deuxième bande de roulement entre également dans la boue, 37 -00:02:01,289 --> 00:02:04,000 +00:02:01,272 --> 00:02:04,000 puis elle continuera tout droit en voyageant un peu plus lentement. 38 @@ -187,35 +187,35 @@ Ce qui se passe donc avec un prisme, c'est que la quantité spécifique de ralentissement de la lumière dépend un peu de sa fréquence. 48 -00:02:43,780 --> 00:02:47,614 +00:02:43,780 --> 00:02:47,211 Par exemple, la lumière bleue, qui a une fréquence relativement élevée, 49 -00:02:47,614 --> 00:02:51,022 +00:02:47,211 --> 00:02:50,261 serait ralentie de manière plus agressive que la lumière rouge, 50 -00:02:51,022 --> 00:02:53,100 +00:02:50,261 --> 00:02:52,120 qui a une fréquence relativement basse. 51 -00:02:53,100 --> 00:02:56,570 +00:02:52,980 --> 00:02:56,479 La plupart de la lumière que vous voyez n'est pas une onde sinusoïdale pure et propre, 52 -00:02:56,570 --> 00:02:59,482 +00:02:56,479 --> 00:02:59,414 en particulier la lumière blanche provenant du soleil n'est pas une onde 53 -00:02:59,482 --> 00:03:02,195 +00:02:59,414 --> 00:03:02,149 sinusoïdale propre, c'est quelque chose de beaucoup plus compliqué, 54 -00:03:02,195 --> 00:03:05,625 +00:03:02,149 --> 00:03:05,608 mais elle peut être exprimée comme la somme d'un groupe d'ondes sinusoïdales propres. 55 -00:03:05,625 --> 00:03:07,700 +00:03:05,608 --> 00:03:07,700 , chacun correspondant à une couleur spectrale pure. 56 @@ -259,7 +259,7 @@ aurait-il quelque chose à voir avec la couleur de la lumière? Est-ce juste une coïncidence ou est-ce nécessaire? 66 -00:03:39,679 --> 00:03:42,072 +00:03:39,680 --> 00:03:42,072 Si vous avez un niveau d’explication suffisamment élevé, 67 @@ -755,75 +755,75 @@ Cela détermine la vitesse à laquelle tout type d'influence se propage, mais l'une des multiples conséquences de cela est la vitesse de la lumière. 190 -00:10:08,600 --> 00:10:12,018 +00:10:08,600 --> 00:10:12,281 En particulier, lorsque vous obtenez une charge oscillant de haut en bas 191 -00:10:12,018 --> 00:10:15,436 +00:10:12,281 --> 00:10:15,963 dans un joli mouvement sinusoïdal net, vous pouvez considérer ces effets 192 -00:10:15,436 --> 00:10:18,901 +00:10:15,963 --> 00:10:19,695 d'ondulation dans le champ électrique comme décrivant la force qui serait 193 -00:10:18,901 --> 00:10:22,600 +00:10:19,695 --> 00:10:23,680 appliquée à une autre charge assise là à la suite de cette accélération passée. 194 -00:10:22,600 --> 00:10:26,120 +00:10:24,340 --> 00:10:27,280 J'admets librement que je me suis un peu trop amusé dans cette vidéo 195 -00:10:26,120 --> 00:10:29,590 +00:10:27,280 --> 00:10:30,178 à simuler simplement la façon dont le champ électrique réagit à des 196 -00:10:29,590 --> 00:10:32,906 +00:10:30,178 --> 00:10:32,948 charges accélératrices, et que je fais un peu la même chose ici, 197 -00:10:32,906 --> 00:10:37,040 +00:10:32,948 --> 00:10:36,400 mais il y a deux faits importants pour notre poursuite de la index de réfraction. 198 -00:10:37,040 --> 00:10:40,672 +00:10:36,920 --> 00:10:40,749 La première est que lorsque plusieurs charges différentes oscillent de haut en bas, 199 -00:10:40,672 --> 00:10:44,087 +00:10:40,749 --> 00:10:44,350 l’effet net sur le champ électrique n’est que la somme de ce qu’il serait pour 200 -00:10:44,087 --> 00:10:47,720 +00:10:44,350 --> 00:10:48,180 chaque charge individuelle, ce qui correspond un peu à ce à quoi on peut s’attendre. 201 -00:10:47,720 --> 00:10:51,330 +00:10:48,600 --> 00:10:52,066 La façon dont cela se manifeste est que si vous avez une rangée de charges 202 -00:10:51,330 --> 00:10:54,218 +00:10:52,066 --> 00:10:54,838 oscillant de manière synchronisée les unes avec les autres, 203 -00:10:54,218 --> 00:10:56,914 +00:10:54,838 --> 00:10:57,426 ou pour notre propos d'aujourd'hui, un plan de charges, 204 -00:10:56,914 --> 00:11:00,525 +00:10:57,426 --> 00:11:00,893 toutes se tortillant de haut en bas en synchronisation au sein de ce plan, 205 -00:11:00,525 --> 00:11:04,280 +00:11:00,893 --> 00:11:04,497 alors les effets de chaque individu les charges ont tendance à s'annuler dans 206 -00:11:04,280 --> 00:11:07,312 +00:11:04,497 --> 00:11:07,409 la plupart des directions, sauf perpendiculairement à ce plan, 207 -00:11:07,312 --> 00:11:09,720 +00:11:07,409 --> 00:11:09,720 elles interfèrent en fait de manière constructive. 208 @@ -863,19 +863,19 @@ unidimensionnelle. Une image plus complète de la lumière en trois dimensions ressemblerait davantage à ceci. 217 -00:11:38,160 --> 00:11:39,464 +00:11:38,160 --> 00:11:39,600 Cela a tendance à être un peu plus chargé, donc 218 -00:11:39,464 --> 00:11:41,040 +00:11:39,600 --> 00:11:41,340 généralement nous dessinons simplement l'onde sinusoïdale. 219 -00:11:41,040 --> 00:11:46,226 +00:11:42,920 --> 00:11:47,178 En repensant à la question de savoir pourquoi les interactions avec une couche de 220 -00:11:46,226 --> 00:11:51,540 +00:11:47,178 --> 00:11:51,540 matériau provoqueraient un rebond dans la phase de l'onde, commençons à y réfléchir. 221 @@ -1067,43 +1067,43 @@ Mais voici une très belle façon d’y penser. Imaginez que la première vague décrit la composante y d'un vecteur en rotation. 268 -00:14:28,480 --> 00:14:32,096 +00:14:28,480 --> 00:14:32,439 La longueur de ce vecteur correspond à l'amplitude de notre onde, 269 -00:14:32,096 --> 00:14:36,260 +00:14:32,439 --> 00:14:37,000 puis la rotation initiale de ce vecteur correspond à la phase de notre onde. 270 -00:14:36,260 --> 00:14:40,655 +00:14:37,690 --> 00:14:41,640 Et puis, de la même manière, considérez cette deuxième vague comme décrivant la 271 -00:14:40,655 --> 00:14:45,325 +00:14:41,640 --> 00:14:45,837 composante y d'un autre vecteur rotatif, où encore une fois l'amplitude correspond à 272 -00:14:45,325 --> 00:14:49,940 +00:14:45,837 --> 00:14:49,984 la longueur de ce vecteur, et la phase de l'onde nous indique l'angle initial de ce 273 -00:14:49,940 --> 00:14:50,380 +00:14:49,984 --> 00:14:50,380 vecteur. 274 -00:14:52,780 --> 00:14:54,804 +00:14:52,780 --> 00:14:54,953 Maintenant, pour réfléchir à la somme des deux vagues, 275 -00:14:54,804 --> 00:14:57,380 +00:14:54,953 --> 00:14:57,720 pensez simplement à ajouter ces deux vecteurs de la pointe à la queue. 276 -00:14:57,380 --> 00:15:02,106 +00:14:58,400 --> 00:15:02,471 Et comme ils ont tous les deux la même fréquence lorsqu’ils tournent, 277 -00:15:02,106 --> 00:15:04,740 +00:15:02,471 --> 00:15:04,740 leur somme tourne en même temps qu’eux. 278 @@ -1491,19 +1491,19 @@ il est naturel de formuler les choses en termes de fréquence, de nombre de cycles que ce processus fait par unité. temps. 374 -00:20:17,700 --> 00:20:20,282 +00:20:17,700 --> 00:20:20,407 Mais lorsqu'on fait des mathématiques, il est souvent plus naturel de 375 -00:20:20,282 --> 00:20:22,827 +00:20:20,407 --> 00:20:23,076 parler de la fréquence angulaire, que l'on pourrait considérer comme 376 -00:20:22,827 --> 00:20:25,520 +00:20:23,076 --> 00:20:25,900 décrivant l'angle couvert par ce processus en radians par unité de temps. 377 -00:20:25,520 --> 00:20:28,920 +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 Le terme est donc le même que la fréquence mais multiplié par 2 pi. 378 @@ -2083,35 +2083,35 @@ et étant donné que c'est la période des fêtes, il semble mériter d'être mentionné rapidement. 522 -00:28:31,480 --> 00:28:35,033 +00:28:31,480 --> 00:28:35,204 Le principe est que chacune des pages contient une citation liée aux mathématiques, 523 -00:28:35,033 --> 00:28:37,359 +00:28:35,204 --> 00:28:37,642 et j'ai eu beaucoup de plaisir à les organiser toutes, 524 -00:28:37,359 --> 00:28:41,040 +00:28:37,642 --> 00:28:41,500 en essayant de me limiter à des citations véhiculant une idée véritablement stimulante. 525 -00:28:41,040 --> 00:28:44,455 +00:28:42,100 --> 00:28:45,260 Et puis, mis à part le contenu, j'ai essentiellement créé le genre de 526 -00:28:44,455 --> 00:28:47,042 +00:28:45,260 --> 00:28:47,654 cahier dans lequel j'aime le plus prendre des notes, 527 -00:28:47,042 --> 00:28:50,604 +00:28:47,654 --> 00:28:50,950 quelque chose qui est facilement portable avec un quadrillage très léger 528 -00:28:50,604 --> 00:28:53,092 +00:28:50,950 --> 00:28:53,253 utile pour les diagrammes, mais autrement discret, 529 -00:28:53,092 --> 00:28:55,240 +00:28:53,253 --> 00:28:55,240 le tout relié dans ce joli simili cuir doux. 530 diff --git a/2023/prism/german/auto_generated.srt b/2023/prism/german/auto_generated.srt index 5b03a7325..679705c8f 100644 --- a/2023/prism/german/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/german/auto_generated.srt @@ -91,51 +91,51 @@ Geschwindigkeit innerhalb eines solchen Mediums wird Brechungsindex für dieses genannt. 24 -00:01:24,220 --> 00:01:28,358 +00:01:24,220 --> 00:01:28,182 Der Grund dafür, dass wir das Wort Brechung anstelle des Verlangsamungsindex verwenden, 25 -00:01:28,358 --> 00:01:32,309 +00:01:28,182 --> 00:01:31,965 besteht darin, dass, wenn ein Lichtstrahl in einem Winkel in dieses Glas eindringt, 26 -00:01:32,309 --> 00:01:35,884 +00:01:31,965 --> 00:01:35,388 die Folge dieser Verlangsamung darin besteht, dass er sich ein wenig biegt, 27 -00:01:35,884 --> 00:01:38,800 +00:01:35,388 --> 00:01:38,180 oder um es in der Fachsprache auszudrücken: er wird gebrochen. 28 -00:01:38,800 --> 00:01:42,380 +00:01:38,640 --> 00:01:42,243 Die Art und Weise, wie mein Physiklehrer an der Highschool dies immer erklärte, 29 -00:01:42,380 --> 00:01:45,558 +00:01:42,243 --> 00:01:45,441 bestand darin, sich einen Panzer vorzustellen, der von einer Umgebung, 30 -00:01:45,558 --> 00:01:49,229 +00:01:45,441 --> 00:01:49,135 in der er sich relativ schnell fortbewegen kann, wie Beton, in etwas Langsameres, 31 -00:01:49,229 --> 00:01:52,809 +00:01:49,135 --> 00:01:52,738 wie Schlamm, gelangt, wo er schräg eindringt, da eine der Ketten zuerst auf den 32 -00:01:52,809 --> 00:01:56,793 +00:01:52,738 --> 00:01:56,747 langsamen Bereich trifft, fährt diese Kette langsamer, während die andere schneller ist, 33 -00:01:56,793 --> 00:01:59,344 +00:01:56,747 --> 00:01:59,315 was dazu führt, dass der gesamte Panzer ein wenig lenkt, 34 -00:01:59,344 --> 00:02:03,104 +00:01:59,315 --> 00:02:03,099 bis auch die zweite Kette in den Schlamm eindringt. Dann fährt er geradeaus weiter, 35 -00:02:03,104 --> 00:02:04,000 +00:02:03,099 --> 00:02:04,000 nur etwas langsamer. 36 @@ -187,31 +187,31 @@ Bei einem Prisma ist es also so, dass der spezifische Betrag, um den das Licht abgebremst wird, ein wenig von seiner Frequenz abhängt. 48 -00:02:43,780 --> 00:02:48,312 +00:02:43,780 --> 00:02:47,835 Beispielsweise würde blaues Licht, das eine relativ hohe Frequenz hat, 49 -00:02:48,312 --> 00:02:53,100 +00:02:47,835 --> 00:02:52,120 stärker abgebremst als rotes Licht, das eine relativ niedrige Frequenz hat. 50 -00:02:53,100 --> 00:02:56,078 +00:02:52,980 --> 00:02:55,983 Das meiste Licht, das Sie sehen, ist keine reine Sinuswelle, 51 -00:02:56,078 --> 00:02:59,350 +00:02:55,983 --> 00:02:59,281 insbesondere das weiße Licht der Sonne ist keine reine Sinuswelle, 52 -00:02:59,350 --> 00:03:02,817 +00:02:59,281 --> 00:03:02,776 es ist etwas viel Unordentlicheres, aber es kann als Summe einer Reihe 53 -00:03:02,817 --> 00:03:06,479 +00:03:02,776 --> 00:03:06,469 sauberer Sinuswellen ausgedrückt werden , wobei jede einzelne einer reinen 54 -00:03:06,479 --> 00:03:07,700 +00:03:06,469 --> 00:03:07,700 Spektralfarbe entspricht. 55 @@ -255,7 +255,7 @@ Verlangsamung irgendetwas mit der Farbe des Lichts zu tun haben? Ist das nur ein Zufall oder ist das notwendig? 65 -00:03:39,679 --> 00:03:43,832 +00:03:39,680 --> 00:03:43,832 Wenn Du einen ausreichend hohen Anspruch an Erklärungen hast, möchtest Du, 66 @@ -743,75 +743,75 @@ Eine von mehreren Konsequenzen daraus ist jedoch, dass es sich um die Lichtgeschwindigkeit handelt. 187 -00:10:08,600 --> 00:10:10,982 +00:10:08,600 --> 00:10:11,166 Insbesondere wenn eine Ladung in einer schönen, 188 -00:10:10,982 --> 00:10:14,160 +00:10:11,166 --> 00:10:14,589 sauberen Sinusbewegung auf und ab schwingt, kannst Du dir diese 189 -00:10:14,160 --> 00:10:17,834 +00:10:14,589 --> 00:10:18,546 Welleneffekte im elektrischen Feld als Beschreibung der Kraft vorstellen, 190 -00:10:17,834 --> 00:10:21,507 +00:10:18,546 --> 00:10:22,503 die aufgrund der vergangenen Beschleunigung auf eine andere dort sitzende 191 -00:10:21,507 --> 00:10:22,600 +00:10:22,503 --> 00:10:23,680 Ladung ausgeübt würde. 192 -00:10:22,600 --> 00:10:25,872 +00:10:24,340 --> 00:10:27,073 Ich gebe offen zu, dass es mir etwas zu viel Spaß gemacht hat, 193 -00:10:25,872 --> 00:10:29,716 +00:10:27,073 --> 00:10:30,283 in diesem Video zu simulieren, wie das elektrische Feld auf beschleunigte 194 -00:10:29,716 --> 00:10:33,144 +00:10:30,283 --> 00:10:33,146 Ladungen reagiert, und dass ich hier im Grunde das Gleiche mache, 195 -00:10:33,144 --> 00:10:37,040 +00:10:33,146 --> 00:10:36,400 aber es gibt zwei wichtige Fakten für unsere Suche nach dem Brechungsindex. 196 -00:10:37,040 --> 00:10:40,701 +00:10:36,920 --> 00:10:40,780 Das erste ist, dass, wenn mehrere unterschiedliche Ladungen auf und ab oszillieren, 197 -00:10:40,701 --> 00:10:43,840 +00:10:40,780 --> 00:10:44,089 der Gesamteffekt auf das elektrische Feld einfach die Summe dessen ist, 198 -00:10:43,840 --> 00:10:47,720 +00:10:44,089 --> 00:10:48,180 was er für jede einzelne Ladung wäre, was in etwa dem entspricht, was man erwarten würde. 199 -00:10:47,720 --> 00:10:51,586 +00:10:48,600 --> 00:10:52,312 Was sich herrausstellt ist, dass, wenn Sie eine Reihe von Ladungen haben, 200 -00:10:51,586 --> 00:10:55,924 +00:10:52,312 --> 00:10:56,476 die synchron miteinander schwingen, oder für unsere heutigen Zwecke eine Ebene von 201 -00:10:55,924 --> 00:10:59,634 +00:10:56,476 --> 00:11:00,037 Ladungen, die alle innerhalb dieser Ebene synchron auf und ab wackeln, 202 -00:10:59,634 --> 00:11:04,024 +00:11:00,037 --> 00:11:04,251 dann neigen die Auswirkungen jeder Einzelnen Ladung in den meisten Richtungen dazu, 203 -00:11:04,024 --> 00:11:07,263 +00:11:04,251 --> 00:11:07,362 sich gegenseitig aufzuheben, außer senkrecht zu dieser Ebene, 204 -00:11:07,263 --> 00:11:09,720 +00:11:07,362 --> 00:11:09,720 dort interferieren sie tatsächlich konstruktiv. 205 @@ -843,23 +843,23 @@ das elektrische Feld auf einer einzigen eindimensionalen Linie dar. Ein vollständigeres Bild von Licht in drei Dimensionen würde eher so aussehen. 212 -00:11:38,160 --> 00:11:39,674 +00:11:38,160 --> 00:11:39,831 Das ist tendenziell etwas unübersichtlicher, daher 213 -00:11:39,674 --> 00:11:41,040 +00:11:39,831 --> 00:11:41,340 zeichnen wir normalerweise nur die Sinuswelle. 214 -00:11:41,040 --> 00:11:44,452 +00:11:42,920 --> 00:11:45,721 Denken wir also noch einmal an die Frage, warum Wechselwirkungen 215 -00:11:44,452 --> 00:11:49,177 +00:11:45,721 --> 00:11:49,600 mit einer Materialschicht zu einer Rückverschiebung in der Phase der Welle führen würden, 216 -00:11:49,177 --> 00:11:51,540 +00:11:49,600 --> 00:11:51,540 und beginnen wir damit, darüber nachzudenken. 217 @@ -1051,43 +1051,43 @@ Aber hier ist eine wirklich schöne Möglichkeit, darüber nachzudenken. Stell dir vor, dass die erste Welle die y-Komponente eines rotierenden Vektors beschreibt. 264 -00:14:28,480 --> 00:14:32,016 +00:14:28,480 --> 00:14:32,352 Die Länge dieses Vektors entspricht der Amplitude unserer Welle, 265 -00:14:32,016 --> 00:14:36,260 +00:14:32,352 --> 00:14:37,000 und die anfängliche Drehung dieses Vektors entspricht der Phase unserer Welle. 266 -00:14:36,260 --> 00:14:39,659 +00:14:37,690 --> 00:14:40,745 Und dann stell dir diese zweite Welle auf ähnliche Weise so vor, 267 -00:14:39,659 --> 00:14:43,424 +00:14:40,745 --> 00:14:44,129 dass sie die y-Komponente eines anderen rotierenden Vektors beschreibt, 268 -00:14:43,424 --> 00:14:48,078 +00:14:44,129 --> 00:14:48,311 wobei wiederum die Amplitude der Länge dieses Vektors entspricht und die Phase der Welle 269 -00:14:48,078 --> 00:14:50,380 +00:14:48,311 --> 00:14:50,380 uns den Anfangswinkel dieses Vektors angibt. 270 -00:14:52,780 --> 00:14:54,620 +00:14:52,780 --> 00:14:54,756 Um nun über die Summe der beiden Wellen nachzudenken, 271 -00:14:54,620 --> 00:14:57,380 +00:14:54,756 --> 00:14:57,720 denk einfach darüber nach, diese beiden Vektoren von oben nach unten zu addieren. 272 -00:14:57,380 --> 00:15:01,207 +00:14:58,400 --> 00:15:01,696 Und weil beide die gleiche Frequenz haben, während sie rotieren, 273 -00:15:01,207 --> 00:15:04,740 +00:15:01,696 --> 00:15:04,740 rotiert ihre Summe gewissermaßen im Gleichschritt mit ihnen. 274 @@ -1491,19 +1491,19 @@ Häufigkeit zu formulieren, also auf die Anzahl der Zyklen, die dieser Prozess pro Zeiteinheit. 374 -00:20:17,700 --> 00:20:19,626 +00:20:17,700 --> 00:20:19,719 Bei der Mathematik ist es jedoch oft natürlicher, 375 -00:20:19,626 --> 00:20:22,939 +00:20:19,719 --> 00:20:23,193 über die Winkelfrequenz zu sprechen, die man sich als Beschreibung vorstellen könnte, 376 -00:20:22,939 --> 00:20:25,520 +00:20:23,193 --> 00:20:25,900 wie viel Winkel dieser Prozess im Bogenmaß pro Zeiteinheit abdeckt. 377 -00:20:25,520 --> 00:20:28,920 +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 Der Term ist also derselbe wie die Frequenz, jedoch multipliziert mit 2 pi. 378 @@ -2095,35 +2095,35 @@ von dem ich glaube, dass es vielen Zuschauern gefallen wird, und angesichts der Feiertage scheint es eine kurze Erwähnung wert zu sein. 525 -00:28:31,480 --> 00:28:34,960 +00:28:31,480 --> 00:28:35,127 Die Prämisse ist, dass auf jeder Seite ein Zitat steht, das mit Mathematik zu tun hat, 526 -00:28:34,960 --> 00:28:38,159 +00:28:35,127 --> 00:28:38,481 und es hat mir viel Spaß gemacht, sie alle zu kuratieren und mich auf Zitate zu 527 -00:28:38,159 --> 00:28:41,040 +00:28:38,481 --> 00:28:41,500 beschränken, die eine wirklich zum Nachdenken anregende Idee vermitteln. 528 -00:28:41,040 --> 00:28:44,731 +00:28:42,100 --> 00:28:45,515 Und abgesehen vom Inhalt habe ich im Grunde genommen die Art von Notizbuch erstellt, 529 -00:28:44,731 --> 00:28:47,162 +00:28:45,515 --> 00:28:47,765 in der ich mir selbst am liebsten Notizen mache, etwas, 530 -00:28:47,162 --> 00:28:50,332 +00:28:47,765 --> 00:28:50,699 das leicht zu transportieren ist und sehr schwache Gitternetzlinien hat, 531 -00:28:50,332 --> 00:28:52,981 +00:28:50,699 --> 00:28:53,150 die für Diagramme nützlich sind, aber ansonsten unauffällig, 532 -00:28:52,981 --> 00:28:55,240 +00:28:53,150 --> 00:28:55,240 alles in diesem schönen weichen Kunstleder gebunden. 533 diff --git a/2023/prism/hebrew/auto_generated.srt b/2023/prism/hebrew/auto_generated.srt index 73b3c6aa1..410d1d144 100644 --- a/2023/prism/hebrew/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/hebrew/auto_generated.srt @@ -67,35 +67,35 @@ נקרא מדד השבירה של המדיום הזה. 18 -00:01:24,220 --> 00:01:31,289 +00:01:24,220 --> 00:01:30,988 הסיבה שאנחנו משתמשים במילה שבירה במקום במדד האיטה היא שאם קרן אור נכנסת לזכוכית 19 -00:01:31,289 --> 00:01:38,800 +00:01:30,988 --> 00:01:38,180 הזו בזווית, אז תוצאה של ההאטה הזו היא שהיא מתכופפת קצת, או בשפה המקצועית, האור משתבר. 20 -00:01:38,800 --> 00:01:42,323 +00:01:38,640 --> 00:01:42,185 הדרך שבה מורה לפיזיקה בתיכון שלי תמיד הסביר את זה היית כך: 21 -00:01:42,323 --> 00:01:47,518 +00:01:42,185 --> 00:01:47,413 תדמיתו לכם טנק שמקדם באזור שבו הוא יכול להתקדם מהר יחסית, כמו קרטה, אל משהו איטי יותר, 22 -00:01:47,518 --> 00:01:51,997 +00:01:47,413 --> 00:01:51,920 כמו בוץ. אם הטנק מגיע לאזור האיטי בזווית, הקרן שלו תתנגש במקום האיטי קודם. 23 -00:01:51,997 --> 00:01:55,938 +00:01:51,920 --> 00:01:55,887 הקרן הזו תתקדם איטית יותר בעוד הקרן השנייה עדיין מתקדמת מהר יותר. 24 -00:01:55,938 --> 00:02:01,014 +00:01:55,887 --> 00:02:00,995 מכאן ייגרר הטנק להסיע בנטייה קלה עד שהקרן השנייה תיכנס גם היא לאזור האיטי. לאחר מכן, 25 -00:02:01,014 --> 00:02:04,000 +00:02:00,995 --> 00:02:04,000 הטנק ימשיך להתקדם יוון, רק במהירות מעט יותר איטית. 26 @@ -127,19 +127,19 @@ אז מה שקורה עם פריזמה היא שהמידה בה האור מאט תלויה קצת בתדירות שלו. 33 -00:02:43,780 --> 00:02:53,100 +00:02:43,780 --> 00:02:52,120 למשל, אור כחול, שתדירותו גבוהה יחסית, יאט בצורה חזקה יותר מאור אדום, שתדירותו נמוכה יחסית. 34 -00:02:53,100 --> 00:02:57,966 +00:02:52,980 --> 00:02:57,886 רוב האור שאתה רואה הוא לא גל סינוס טהור ונקי, במיוחד האור הלבן שמגיע 35 -00:02:57,966 --> 00:03:01,704 +00:02:57,886 --> 00:03:01,655 מהשמש זהו לא גל סינוס נקי, הוא משהו הרבה יותר מורכב, 36 -00:03:01,704 --> 00:03:07,700 +00:03:01,655 --> 00:03:07,700 אך הוא יכול להיות מובע כסכום של המון גלי סינוס נקיים, כל אחד מתואם לצבע ספקטרלי טהור. 37 @@ -171,7 +171,7 @@ האם זה רק מקרה חשאי או שזה נדרש? 44 -00:03:39,679 --> 00:03:45,764 +00:03:39,680 --> 00:03:45,764 אם יש לך סטנדרט גבוה מספיק עבור הסברים, אתה תרצה ששתי העובדות האלו ירגישו כאילו הן התגלו, 45 @@ -507,55 +507,55 @@ מתוצאות הרבות של זה היא שזו אף המהירות שבה מטיילת האור. 128 -00:10:08,600 --> 00:10:14,262 +00:10:08,600 --> 00:10:14,699 בפרט, כאשר אתה מקבל מטען מתנודד למעלה ולמטה בתנועה סינוסואידיונית חלקה, 129 -00:10:14,262 --> 00:10:20,869 +00:10:14,699 --> 00:10:21,816 אתה יכול לראות את התנודות האלו בשדה החשמלי כתיאור לכוח שישפיע על מטען אחר שנמצא שם, 130 -00:10:20,869 --> 00:10:22,600 +00:10:21,816 --> 00:10:23,680 כתוצאה מהתאוצה הקודמת. 131 -00:10:22,600 --> 00:10:26,680 +00:10:24,340 --> 00:10:27,748 אני מודה בחופשיות שנהנתי קצת יותר מידי בסרטון ההוא, 132 -00:10:26,680 --> 00:10:30,447 +00:10:27,748 --> 00:10:30,894 פשוט מדמה כיצד השדה החשמלי מגיב למטענים מואצים, 133 -00:10:30,447 --> 00:10:37,040 +00:10:30,894 --> 00:10:36,400 ושאני חצי מעשה את אותו הדבר כאן, אך יש שני עובדות חשובות למעקב שלנו אחרי מדד השבירה. 134 -00:10:37,040 --> 00:10:41,284 +00:10:36,920 --> 00:10:41,395 הראשון הוא שכאשר יש לך מספר מטענים שונים שמתנדנדים מעלה ומטה, 135 -00:10:41,284 --> 00:10:46,008 +00:10:41,395 --> 00:10:46,375 השלכה הכוללת על השדה החשמלי היא פשוט הסכום של מה שהיה לכל מטען לחוד, 136 -00:10:46,008 --> 00:10:47,720 +00:10:46,375 --> 00:10:48,180 שזה בערך מה שהיינו מצפים. 137 -00:10:47,720 --> 00:10:54,351 +00:10:48,600 --> 00:10:54,965 הדרך שבה זה מנהל עצמו היא שאם יש לך שורה של מטענים מתנדנדים בהסנכרון עם אחד את השני, 138 -00:10:54,351 --> 00:11:00,592 +00:10:54,965 --> 00:11:00,957 או למטרותינו היום, מישור של מטענים, הכול מתנודד מעלה ומטה בהסנכרון בתוך המישור, 139 -00:11:00,592 --> 00:11:06,209 +00:11:00,957 --> 00:11:06,349 אז ההשפעות של כל מטען בודד מטילות עליהם לבטל אחד את השני ברוב הכיוונים, 140 -00:11:06,209 --> 00:11:09,720 +00:11:06,349 --> 00:11:09,720 אך אנכי למישור, הם למעשה מתערבבים באופן בונה. 141 @@ -583,15 +583,15 @@ תמונה מלאה יותר של אור בשלושה מידות הייתה נראית כמו משהו בסגנון זה. 147 -00:11:38,160 --> 00:11:41,040 +00:11:38,160 --> 00:11:41,340 זה בדרך כלל יותר עמוס, ולכן בדרך כלל אנו מסתפקים בציור של גל הסינוס. 148 -00:11:41,040 --> 00:11:48,997 +00:11:42,920 --> 00:11:49,453 אז בחזרה לשאלה מדוע תהליכים עם שכבה של חומר יגרמו לקפיצה חזרה לשלב הגל, 149 -00:11:48,997 --> 00:11:51,540 +00:11:49,453 --> 00:11:51,540 בואו נתחיל לחשוב על זה. 150 @@ -727,31 +727,31 @@ דמיינו שהגל הראשון מתאר את הרכיב y של וקטור מסתובב מסוים. 183 -00:14:28,480 --> 00:14:32,169 +00:14:28,480 --> 00:14:32,520 אורך הוקטור הזה מתאים לאמפליטודה של הגל שלנו, 184 -00:14:32,169 --> 00:14:36,260 +00:14:32,520 --> 00:14:37,000 ואז הסיבוב התחילי של הוקטור מתאים לשלב של הגל שלנו. 185 -00:14:36,260 --> 00:14:42,589 +00:14:37,690 --> 00:14:43,378 ואז תחשבו באופן דומה על הגל השני כאחד המתאר את רכיב ה-y של וקטור מסתובב נוסף, 186 -00:14:42,589 --> 00:14:49,730 +00:14:43,378 --> 00:14:49,796 שם שוב המשרעת מתאימה לאורך של אותו וקטור, והפאזה של הגל מספרת לנו על הזווית ההתחלתית של 187 -00:14:49,730 --> 00:14:50,380 +00:14:49,796 --> 00:14:50,380 הווקטור. 188 -00:14:52,780 --> 00:14:57,380 +00:14:52,780 --> 00:14:57,720 כעת, כדי לחשוב על סכום שני הגלים, פשוט תחשוב על הוספת שני הווקטורים, קצה-אל-זנב. 189 -00:14:57,380 --> 00:15:04,740 +00:14:58,400 --> 00:15:04,740 וכיוון שלשניהם יש את אותה התדירות כאשר הם מסתובבים, הסכום שלהם משתולל בתאום עמם. 190 @@ -1027,15 +1027,15 @@ מספר המחזורים שהתהליך מבצע ליחידת זמן. 258 -00:20:17,700 --> 00:20:21,504 +00:20:17,700 --> 00:20:21,689 אבל בעת עשיית מתמטיקה, לעיתים קרובות זה טבעי יותר לדבר על התדר הזוויתי, 259 -00:20:21,504 --> 00:20:25,520 +00:20:21,689 --> 00:20:25,900 שניתן לחשוב עליו כמציין את כמה מהזווית שהתהליך הזה מכסה ברדיאנים ליחידת זמן. 260 -00:20:25,520 --> 00:20:28,920 +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 אז המונח הוא אותו דבר כמו התדר אך מוכפל ב-2 פאי. 261 @@ -1439,23 +1439,23 @@ E בגדלה המקורי מתארת את עצמת הגל, ואז q מתארת ובהתחשב בעובדה שזו עונת החגים, נראה שהאזכור המהיר שלה שווה. 361 -00:28:31,480 --> 00:28:36,997 +00:28:31,480 --> 00:28:37,263 ההנחה היא שבכל אחת מהדפים יש ציטוט שקשור למתמטיקה, וקיבלתי הנאה רבה מהתמטנות על כולם, 362 -00:28:36,997 --> 00:28:41,040 +00:28:37,263 --> 00:28:41,500 מנסה להגביל את עצמי לציטוטים שמעלים רעיון שהוא ממש מעורר מחשבה. 363 -00:28:41,040 --> 00:28:46,078 +00:28:42,100 --> 00:28:46,762 ואז מלבד התוכן, יצרתי בעיקר את סוג המחברת שאני הכי אוהב לרשום בה, 364 -00:28:46,078 --> 00:28:50,583 +00:28:46,762 --> 00:28:50,930 משהו שניתן לנשיאה בקלות עם קווים עדינים שמועזרים לתרשימים, 365 -00:28:50,583 --> 00:28:55,240 +00:28:50,930 --> 00:28:55,240 אך מצד שני לא מפריעים, הכל קשור בתוך עטיף עור שקרים רך ונעים. 366 diff --git a/2023/prism/hindi/auto_generated.srt b/2023/prism/hindi/auto_generated.srt index 80c63123f..476ab796e 100644 --- a/2023/prism/hindi/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/hindi/auto_generated.srt @@ -1,362 +1,362 @@ 1 -00:00:00,000 --> 00:00:03,975 -मुझे हाल ही में एहसास हुआ कि मैं वास्तव में यह नहीं समझता कि प्रिज्म कैसे काम करता है, +00:00:00,000 --> 00:00:03,170 +मुझे हाल ही में यह एहसास हुआ कि मैं ठीक से समझ नहीं पा रहा हूँ कि प्रिज्म कैसे 2 -00:00:03,975 --> 00:00:06,260 -और मुझे संदेह है कि अधिकांश लोग भी नहीं समझते हैं। +00:00:03,170 --> 00:00:06,260 +काम करता है, और मेरा अनुमान है कि बहुत सारे लोग भी इसे समझ नहीं पा रहे होंगे। 3 00:00:11,400 --> 00:00:15,180 -संभवतः यह अब तक के सबसे व्यापक रूप से मान्यता प्राप्त भौतिकी प्रयोगों में से एक है। +विवादास्पद रूप से यह फिजिक्स के प्रयोगों में सबसे अधिक पहचाने जाने वाला एक प्रयोग है। 4 00:00:15,700 --> 00:00:19,220 -आख़िरकार, कितने अन्य लोगों ने एक प्रतिष्ठित एल्बम कवर के रूप में स्थान अर्जित किया है? +आखिरकार, कितने ही लोगों ने एक प्रतीकात्मक एल्बम कवर के रूप में अपनी जगह बनाई है? 5 -00:00:19,800 --> 00:00:23,880 -निश्चित रूप से, पिंक फ़्लॉइड के कुछ डिज़ाइन विकल्प वास्तविक भौतिकी के बिल्कुल विपरीत हैं। +00:00:19,800 --> 00:00:22,176 +बिल्कुल, पिंक फ़्लॉयड के कुछ डिज़ाइन विकल्प वास्तविक 6 -00:00:24,280 --> 00:00:27,100 -जैसे उन्होंने प्रिज्म के अंदर की रोशनी को सफेद क्यों बनाया? +00:00:22,176 --> 00:00:23,880 +भौतिकी विज्ञान के पूरी तरह विपरीत हैं। 7 -00:00:27,520 --> 00:00:31,485 -और हैरानी की बात यह है कि आप सभी रंगों को एक अलग सेट के रूप में क्यों चित्रित करेंगे, +00:00:24,280 --> 00:00:27,100 +जैसे कि उन्होंने प्रिज्म के अंदर की रोशनी को सफेद क्यों बनाया? 8 -00:00:31,485 --> 00:00:34,666 -जैसे कि एक बच्चा इंद्रधनुष बनाता है, इस तथ्य के बावजूद कि प्रिज्म से +00:00:27,520 --> 00:00:31,314 +और आश्चर्यजनक रूप से, आप सभी रंगों को क्यों अलग-अलग सेट के रूप में बनाएंगे, 9 -00:00:34,666 --> 00:00:37,848 -जुड़े न्यूटन के मूल प्रयोग में मुख्य बिंदुओं में से एक यह था कि सूरज +00:00:31,314 --> 00:00:35,407 +जैसे कि एक बालक इंद्रधनुष बना रहा हो, इसके बावजूद की प्रिज्म से संबंधित न्यूटन के 10 -00:00:37,848 --> 00:00:40,200 -की रोशनी में रंगों का एक निरंतर स्पेक्ट्रम होता है? +00:00:35,407 --> 00:00:39,800 +मूल प्रयोग में एक प्रमुख बिंदु यह था कि सूरज की रोशनी में एक निरंतर रंगों का स्पेक्ट्रम 11 -00:00:41,060 --> 00:00:44,314 -फिर भी, इसे अलग रखते हुए, यह अच्छी बात है कि यह पॉप संस्कृति में है, +00:00:39,800 --> 00:00:40,200 +होता है? 12 -00:00:44,314 --> 00:00:47,994 -और किसी भी स्वाभिमानी भौतिकी प्रेमी को पता होना चाहिए कि यह कैसे काम करता है, +00:00:41,060 --> 00:00:44,732 +फिर भी, इसे अलग करते हुए, यह काफी निराला है कि यह पॉप संस्कृति का हिस्सा बन चुका है, 13 -00:00:47,994 --> 00:00:51,862 -लेकिन मुझे जो बात समझ में आई वह यह है कि अगर दबाया जाता है तो मेरी समझ बहुत तेज़ी +00:00:44,732 --> 00:00:48,146 +और हर एक स्व-सम्मानित भौतिक विज्ञानी को इसकी कार्य प्रणाली का ज्ञान होना चाहिए। 14 -00:00:51,862 --> 00:00:52,900 -से दीवार से टकराती है। +00:00:48,146 --> 00:00:51,041 + लेकिन मैंने यह महसूस किया कि अगर ज़्यादा सवालों का सामना करना पड़े, 15 -00:00:52,900 --> 00:00:56,176 -देखिए, सामान्य व्याख्या जो आपको उदाहरण स्वरूप एक हाई स्कूल +00:00:51,041 --> 00:00:52,900 +तो मेरी समझ बहुत तेजी से स्थगित हो जाती है। 16 -00:00:56,176 --> 00:00:59,620 -की भौतिकी कक्षा में सुनने को मिल सकती है, वह कुछ इस प्रकार है। +00:00:52,900 --> 00:00:56,204 +देखिए, मानक व्याख्या जो आपको उदाहरण स्वरूप एक उच्च विद्यालय 17 -00:01:00,300 --> 00:01:04,483 -जब प्रकाश किसी माध्यम जैसे कांच, में प्रवेश करता है, तो वह धीमा हो जाता है, +00:00:56,204 --> 00:00:59,620 +की भौतिकी कक्षा में सुनने को मिल सकती है, वह कुछ इस प्रकार है। 18 -00:01:04,483 --> 00:01:07,455 -इस अर्थ यह है कि यदि आप तरंगों के शिखरों की ओर देखें, +00:01:00,300 --> 00:01:04,572 +जब प्रकाश किसी माध्यम, जैसे कांच, में प्रवेश करता है, तो वह धीमा हो जाता है, 19 -00:01:07,455 --> 00:01:10,812 -तो निर्वात में वे शिखर प्रकाश की गति, c, से चल रहे होते हैं, +00:01:04,572 --> 00:01:09,510 +इस अर्थ में कि यदि आप लहरों के शिखरों की ओर देखें, तो निर्वात में वे शिखर प्रकाश की गति, 20 -00:01:10,812 --> 00:01:14,060 -परन्तु कांच के भीतर उन शिखरों की गति थोड़ी सी धीमी होती है। +00:01:09,510 --> 00:01:14,060 +c, से चल रहे होते हैं, परन्तु कांच के भीतर उन शिखरों की गति थोड़ी सी धीमी होती है। 21 -00:01:14,720 --> 00:01:18,986 -और निर्वात में प्रकाश की गति और किसी माध्यम के अंदर की गति के +00:01:14,720 --> 00:01:18,959 +और निर्वात में प्रकाश की गति और इस तरह के किसी माध्यम के अंदर की 22 -00:01:18,986 --> 00:01:23,460 -बीच के विशिष्ट अनुपात को उस माध्यम के लिए अपवर्तनांक कहा जाता है। +00:01:18,959 --> 00:01:23,460 +गति के बीच का विशिष्ट अनुपात, उस माध्यम का अपवर्तन सूचकांक कहलाता है। 23 -00:01:24,220 --> 00:01:29,080 -इसे धीमा कहने के बजाय हम अपवर्तन शब्द का उपयोग इसलिए करते हैं क्योंकि अगर किसी प्रकाश की +00:01:24,220 --> 00:01:28,855 +मंदता के सूचकांक के बजाय हम अपवर्तन शब्द का उपयोग इसलिए करते हैं क्योंकि अगर किसी प्रकाश 24 -00:01:29,080 --> 00:01:31,701 -किरण को एक कोण पर इस कांच में प्रवेश कराया जाए, +00:01:28,855 --> 00:01:31,512 +की किरण को एक कोण पर इस कांच में प्रवेश कराया जाए, 25 -00:01:31,701 --> 00:01:36,015 -तो तरंग के धीमा होने का एक परिणाम यह होता है कि वह थोड़ी सी झुकती चली जाती है, +00:01:31,512 --> 00:01:35,106 +तो इस मंदी का एक परिणाम यह होता है कि वह थोड़ी सी झुकती चली जाती है, 26 -00:01:36,015 --> 00:01:38,800 -या आम भाषा में कहा जाता है, वह अपवर्तित हो जाता है। +00:01:35,106 --> 00:01:38,180 +या जैसा कि आम भाषा में कहा जाता है, वह अपवर्तित हो जाता है। 27 -00:01:38,800 --> 00:01:41,993 -जिस तरह से मेरे हाई स्कूल के भौतिकी शिक्षक ने हमेशा इसे समझाया, +00:01:38,640 --> 00:01:42,826 +मेरे हाई स्कूल के भौतिक विज्ञान के अध्यापक ने हमेशा इसे इस प्रकार समझाया था जैसे आप एक 28 -00:01:41,993 --> 00:01:46,235 -वह किसी ऐसे क्षेत्र से जाने वाले एक टैंक की कल्पना करे, जहां यह अपेक्षाकृत तेज़ी से, +00:01:42,826 --> 00:01:47,013 +टैंक की कल्पना कर रहे हों जो एक क्षेत्र से जा रहा है जहां वह अपेक्षाकृत तेजी से यात्रा 29 -00:01:46,235 --> 00:01:49,379 -कंक्रीट की तरह, किसी धीमी चीज़ में, जैसे कीचड़ में जा सकता है, +00:01:47,013 --> 00:01:50,237 +कर सकता है, जैसे कंक्रीट, और वहा से कुछ धीमी चीज़ में, जैसे कीचड़, 30 -00:01:49,379 --> 00:01:53,470 -जहां अगर यह एक कोण पर आ रहा है, फिर जैसे ही उसका एक कदम सबसे पहले धीमे क्षेत्र से +00:01:50,237 --> 00:01:54,520 +जहां अगर यह किसी कोण पर आ रहा है, तो जैसे ही इसका एक पहिया धीमे क्षेत्र में पहले पहुंचता 31 -00:01:53,470 --> 00:01:56,664 -टकराता है, वह कदम धीमा होने लगता है जबकि दूसरा तेज चल रहा होगा, +00:01:54,520 --> 00:01:56,878 +है, वह धीमा हो जायेगा जबकि दूसरा तेज धून्दता है, 32 -00:01:56,664 --> 00:02:01,055 -जिससे पूरा टैंक थोड़ा सा हिल जाएगा जब तक कि दूसरा कदम भी कीचड़ में प्रवेश नहीं कर जाता, +00:01:56,878 --> 00:02:01,160 +इसके कारण पूरे टैंक को थोड़ा सा मोड़ना पड़ता है जब तक कि दूसरा पहिया भी कीचड़ में प्रवेश 33 -00:02:01,055 --> 00:02:04,000 -फिर वह थोड़ा धीमी गति से यात्रा करते हुए सीधे चलता रहता है। +00:02:01,160 --> 00:02:04,000 +नहीं कर लेता, फिर यह सीधे जाता है, सिर्फ थोड़ा धीमे गति से. 34 -00:02:04,880 --> 00:02:07,862 -हम थोड़ी देर में वास्तविक तरंग के झुकने के वजह पर वापस आएंगे, +00:02:04,880 --> 00:02:07,650 +हम थोड़ी देर में वास्तविक वजह पर झुकने के पीछे वापस आएंगे, 35 -00:02:07,862 --> 00:02:12,094 -लेकिन इस समय हाई स्कूल के भौतिक विज्ञान के छात्र आमतौर पर स्नेल के नियम नियम सीखते हैं, +00:02:07,650 --> 00:02:11,265 +लेकिन इस समय उच्च विद्यालय के भौतिक विज्ञान के छात्र आमतौर पर स्नेल के नियम, 36 -00:02:12,094 --> 00:02:14,740 -जिससे चीजों में कितना झुकाव होता है, यह समझ में आता है। +00:02:11,265 --> 00:02:14,740 +जो यथार्थ में चीजों को कितना झुकता है, यह स्पष्ट करता है, कानून सीखते हैं। 37 -00:02:15,260 --> 00:02:18,171 +00:02:15,260 --> 00:02:17,981 यदि आप कांच और पानी की सीमा पर लंबवत रेखा खींचते हैं, 38 -00:02:18,171 --> 00:02:21,838 +00:02:17,981 --> 00:02:21,409 और उस लंबवत रेखा और प्रकाश की किरण के बीच के कोण का विचार करते हैं, 39 -00:02:21,838 --> 00:02:25,829 -तो स्नेल का नियम हमें यह बताता है कि इस कोण का sine जिसे प्रकाश की गति से +00:02:21,409 --> 00:02:25,542 +तो स्नेल का नियम हमें यह बताता है कि इस कोण का साइन जिसे प्रकाश की गति से विभाजित 40 -00:02:25,829 --> 00:02:30,358 -विभाजित किया गया है, उसका मान स्थिर रहता है। इसलिए, प्रकाश की गति जितनी कम होती है, +00:02:25,542 --> 00:02:29,775 +किया गया है, वह हमेशा एक निरंतर मान रखता है। इसलिए, प्रकाश की गति जितनी कम होती है, 41 -00:02:30,358 --> 00:02:34,349 -उस कोण की मात्रा कम हो जाती है और इससे आप गणना कर सकते हैं कि चीजें कितनी +00:02:29,775 --> 00:02:33,656 +उस कोण की मात्रा कम हो जाती है, और यह आपको यह गणना करने की अनुमति देता है कि 42 -00:02:34,349 --> 00:02:35,320 -अपवर्तित होती हैं। +00:02:33,656 --> 00:02:35,320 +वस्तुओं का अपवर्तन कितना होता है। 43 -00:02:36,240 --> 00:02:39,549 -तो फिर, प्रिज्म के साथ जो हो रहा है, वह यह है कि प्रकाश की +00:02:36,240 --> 00:02:39,633 +तो, प्रिज्म के साथ जो हो रहा है, वह यह है कि प्रकाश की धीमी 44 -00:02:39,549 --> 00:02:43,140 -धीमी गति की विशिष्ट मात्रा उसकी आवृत्ति पर थोड़ी निर्भर करती है। +00:02:39,633 --> 00:02:43,140 +गति की विशिष्ट मात्रा थोड़ी सी उसकी आवृत्ति पर निर्भर करती है। 45 -00:02:43,780 --> 00:02:48,237 -उदाहरण के लिए, नीली रोशनी, जिसकी आवृत्ति अपेक्षाकृत अधिक होती है, लाल रोशनी, +00:02:43,780 --> 00:02:47,570 +उदाहरण के लिए, नीली रोशनी, जिसकी आवृत्ति सापेक्ष रूप से अधिक होती है, 46 -00:02:48,237 --> 00:02:53,100 -जिसकी आवृत्ति अपेक्षाकृत कम होती है, की तुलना में अधिक आक्रामक रूप से धीमी हो जाएगी। +00:02:47,570 --> 00:02:52,120 +वह लाल रोशनी से अधिक तेजी से धीमी हो जाएगी, जिसकी आवृत्ति सापेक्ष रूप से कम होती है। 47 -00:02:53,100 --> 00:02:56,569 -आप जो अधिकांश प्रकाश देखते हैं वह एक स्वच्छ और प्योर sine तरंग नहीं है, +00:02:52,980 --> 00:02:56,659 +आप जो अधिकांश प्रकाश देखते हैं वह एक स्वच्छ और पवित्र साइन वेव नहीं होता, 48 -00:02:56,569 --> 00:03:00,279 -विशेष रूप से सूर्य से आने वाला सफेद प्रकाश, वह एक प्योर sine तरंग नहीं होता, +00:02:56,659 --> 00:03:00,190 +विशेषकर सूर्य से आने वाला सफेद प्रकाश, वह एक शुद्ध साइन वेव नहीं होता, 49 -00:03:00,279 --> 00:03:03,845 -वह कुछ ज्यादा ही गड़बड़ होता है, लेकिन इसे कई स्पष्ट sine वेव्स के योग के +00:03:00,190 --> 00:03:03,771 +वह कुछ ज्यादा ही गड़बड़ होता है, लेकिन इसे कई स्वछ साइन वेव्स के योग के 50 -00:03:03,845 --> 00:03:07,700 -रूप में व्यक्त किया जा सकता है, प्रत्येक शुद्ध वर्णक्रमीय रंग के अनुरूप होता है। +00:03:03,771 --> 00:03:07,700 +रूप में पेश किया जा सकता है, प्रत्येक एक शुद्ध वाणीज्यिक रंग के अनुरूप होता है। 51 -00:03:08,280 --> 00:03:11,474 +00:03:08,280 --> 00:03:11,282 इसलिए जब आप इस तरह के प्रिज्म में सफेद रोशनी चमकाते हैं, 52 -00:03:11,474 --> 00:03:15,229 -तो उसके सभी अलग-अलग घटक थोड़ी अलग मात्रा में अपवर्तित हो जाते हैं, +00:03:11,282 --> 00:03:14,864 +तो उसके सभी अलग-अलग घटक थोड़ी अलग मात्रा में अपवर्तनीत हो जाते हैं, 53 -00:03:15,229 --> 00:03:17,920 -जिससे शुद्ध इंद्रधनुष के रंगों का अलगाव होता है। +00:03:14,864 --> 00:03:17,920 +जिससे शुद्ध इंद्रधनुष के रंगों का प्रचुर पृथक्करण होता है। 54 -00:03:18,620 --> 00:03:22,641 -यह सामान्य स्पष्टीकरण है, और वह अपने आप में गलत तो नहीं है, +00:03:18,620 --> 00:03:22,546 +यह मान्य व्याख्यान है, और वह अपने आप में गलत तो नहीं है, 55 -00:03:22,641 --> 00:03:26,060 +00:03:22,546 --> 00:03:26,060 बस यह है की सभी मुख्य तत्वों को ऊपर से दिया गया है। 56 00:03:26,680 --> 00:03:28,680 -प्रकाश इस तरह धीमा क्यों होगा? +प्रकाश ऐसे क्यों धीमी गति का अपनाता है? 57 00:03:29,040 --> 00:03:31,240 -और धीमा होने से मुख्य रूप से क्या मतलब हैं? +और धीमा होने से हम मुख्य रूप से क्या मतलब हैं? 58 -00:03:31,740 --> 00:03:34,255 -और यदि आप इसे समझते भी हैं, तो इसकी धीमी गति की +00:03:31,740 --> 00:03:34,473 +और यदि आप यह समझते भी हैं, तो इसकी धीमी होने की 59 -00:03:34,255 --> 00:03:36,980 -मात्रा का प्रकाश के रंग से कोई लेना-देना क्यों होगा? +00:03:34,473 --> 00:03:36,980 +मात्रा का प्रकाश के रंग से क्या सम्बंध होगा? 60 00:03:37,200 --> 00:03:39,280 -क्या ये महज़ एक संयोग है या ये ज़रूरी है? +क्या यह सिर्फ एक संयोग है या यह आवश्यक है? 61 -00:03:39,679 --> 00:03:42,373 -यदि आपके पास स्पष्टीकरण के लिए पर्याप्त उच्च मानक हैं, +00:03:39,680 --> 00:03:42,556 +यदि आपके पास स्पष्टीकरणों के लिए पर्याप्त रूप से उच्च मानक हैं, 62 -00:03:42,373 --> 00:03:44,920 -तो आप चाहते हैं कि ये दोनों तथ्य खोजे गए महसूस हों, +00:03:42,556 --> 00:03:45,117 +तो आप चाहेंगे कि ये दोनों तथ्य खोजे गए होने का अनुभव हो, 63 -00:03:44,920 --> 00:03:47,320 -बजाय यह महसूस करने के कि उन्हें सौंप दिया गया था। +00:03:45,117 --> 00:03:47,320 +बजाय इसके कि लगे कि उन्हें आपको सौंप दिया गया है। 64 -00:03:47,960 --> 00:03:52,165 -जो पहला स्पष्टीकरण मैंने देखा कि इस विषय के उपर फेनमैन व्याख्या से आया था, +00:03:47,960 --> 00:03:52,865 +जो पहला स्पष्टीकरण मैंने देखा कि इस विषय के उपर फेय्नमैन प्रवचनों से थोड़ी सी भावना देता 65 -00:03:52,165 --> 00:03:56,987 -और मेरा बहुत सारा काम इस वीडियो के साथ बस उसके कुछ मुख्य बिंदुओं को एनीमेशन के माध्यम +00:03:52,865 --> 00:03:57,660 +है, और मेरा बहुत सारा काम इस वीडियो के साथ बस उसके कुछ मुख्य बिंदुओं को सक्रीय करना है। 66 -00:03:56,987 --> 00:03:57,660 -से बताना है। +00:03:58,100 --> 00:04:01,806 +यह में सवाल उठाता है की हमें वास्तव में सामग्री में प्रत्येक अलग-अलग हिलने-डुलने 67 -00:03:58,100 --> 00:04:02,552 -यह सवाल उठाता है कि हमें वास्तव में पदार्थ में प्रत्येक अलग-अलग हिलने-डुलने वाले आवेश +00:04:01,806 --> 00:04:05,558 +वाले आवेश और उन आवेशों से उत्पन्न होने वाली प्रकाश तरंगों के बारे में सोचना चाहिए। 68 -00:04:02,552 --> 00:04:06,279 -और उन आवेशों से उत्पन्न होने वाली प्रकाश तरंगों के बारे में सोचना चाहिए। +00:04:05,558 --> 00:04:08,029 + ये सभी आवेश एक-दूसरे के ऊपर सुपरिम्पोज़ हो जाते हैं, 69 -00:04:06,279 --> 00:04:09,075 - ये सभी आवेश एक-दूसरे के ऊपर सुपरिम्पोज़ हो जाते हैं, +00:04:08,029 --> 00:04:11,964 +जिससे ऐसा प्रतीत होता है कि यह एक पूरी की पूरी गड़बड़ होनी चाहिए, लेकिन अस्तित्व में, 70 -00:04:09,075 --> 00:04:12,078 -जिससे ऐसा प्रतीत होता है कि यह एक आवेश का जाल होना चाहिए, +00:04:11,964 --> 00:04:15,533 +इसे समझना केवल समझने योग्य ही नहीं है, बल्कि यह संतोषजनक रूप से स्पष्टीकरण भी 71 -00:04:12,078 --> 00:04:16,220 -लेकिन वास्तव में यह न केवल समझने योग्य है, बल्कि संतोषजनक रूप से व्याख्या भी है। +00:04:15,533 --> 00:04:16,220 +प्रदान करता है। 72 -00:04:16,860 --> 00:04:19,486 -उदाहरण के लिए, यह बताता है कि ये रंग पर क्यो निर्भर करता है, +00:04:16,860 --> 00:04:19,894 +उदाहरण के लिए, यह बताता है कि इसे रंग पर क्यों आश्रित करना पड़ता है, 73 -00:04:19,486 --> 00:04:22,198 -और मुख्य अंतर्ज्ञान वास्तव में इस बात पर निर्भर करता है कि यदि +00:04:19,894 --> 00:04:22,621 +और वहां की प्रमुख समझ वास्तव में इस बात पर है कि अगर आप बच्चे 74 -00:04:22,198 --> 00:04:25,040 -आप किसी बच्चे को झूले पर धकेलने में सक्षम नहीं होते, तो क्या होगा। +00:04:22,621 --> 00:04:25,040 +को झूले पर धकेलने में सक्षम नहीं होते, तो क्या होता है। 75 00:04:25,540 --> 00:04:27,520 -मेरे साथ रहो, मैं वादा करता हूँ कि बाद में इसका मतलब समझ आएगा। +मेरे साथ बने रहें, मैं वादा करता हूं कि बाद में इसका मतलब समझ आएगा। 76 -00:04:28,540 --> 00:04:31,881 -इसके अलावा, जब मैंने पैट्रियन पर इस विषय को कवर करने की बात कहीं, +00:04:28,540 --> 00:04:31,805 +इसके अलावा, जब मैंने Patreon पर इस विषय को कवर करने की बात कहीं, 77 -00:04:31,881 --> 00:04:34,920 -तो बहुत सारे लोगों के पास अपवर्तनांक के बारे में कई सवाल थे। +00:04:31,805 --> 00:04:34,920 +तो बहुत सारे लोगों के पास अपवर्तन सूचक के बारे में कई सवाल थे। 78 -00:04:34,920 --> 00:04:39,512 -उदाहरण के लिए, कई लोगों ने पूछा कि इस संख्या का 1 से कम होना कैसे संभव है, +00:04:34,920 --> 00:04:39,708 +उदाहरण के लिए, बहुत सारे लोगों ने पूछा कि यह संख्या 1 से कम कैसे हो सकती है, 79 -00:04:39,512 --> 00:04:43,431 -जो वास्तव में होता है, बावजूद इसके कि प्रकाश की गति से तेज़ गति +00:04:39,708 --> 00:04:43,750 +जो कि वास्तव में होती है, हालांकि इसका यह संदर्भ दिया जाता है कि 80 -00:04:43,431 --> 00:04:46,860 -से यात्रा करने वाली किसी चीज़ की असंभवता प्रतीत होती है। +00:04:43,750 --> 00:04:46,860 +प्रकाश की गति से अधिक गति से कुछ भी चलना असंभव है। 81 -00:04:47,400 --> 00:04:51,069 -द्विअपवर्तन के बारे में भी एक प्रश्न था, जहां एक सामग्री में अपवर्तन के दो +00:04:47,400 --> 00:04:51,093 +द्विअपवर्तन के बारे में भी एक प्रश्न था, जिसमें किसी पदार्थ में दो विभिन्न 82 -00:04:51,069 --> 00:04:55,180 -अलग-अलग सूचकांक हो सकते हैं, जिससे जब आप इसे देखते हैं तो आपको दोगुना दिखाई देता है। +00:04:51,093 --> 00:04:55,180 +अपवर्तनांक हो सकते हैं, जिससे भितर देखने पर आपको यथार्थ दृश्य दोगुना दिखाई देता है। 83 -00:04:55,280 --> 00:04:58,492 -और वास्तव में बार्बरपोल घटना के बारे में पिछले दो वीडियों में रखे गए अंतिम +00:04:55,280 --> 00:04:58,511 +और वास्तव में, नाई की खम्भा घटना के बारे में पिछले दो वीडियों में रखे गए अंतिम 84 -00:04:58,492 --> 00:05:01,620 -पहेली की टुकड़े को स्थापित करने में वास्तव में अच्छी तरह से जुड़ा हुआ है। +00:04:58,511 --> 00:05:01,620 +पहेली की टुक को स्थापित करने में यह बहुत ही सुंदर तरीके से खुद को जोड़ता है। 85 00:05:02,140 --> 00:05:07,960 -और कुछ लोगों ने यह भी पूछा कि प्रकाश धीमा होने का मतलब इस तरह झुकना क्यों है। +और कुछ लोगों ने यह भी पूछा कि प्रकाश की गति में कमी क्यों इस तरह के मोड़ का कारण बनती है। 86 00:05:08,000 --> 00:05:11,340 -और मैं सहमत हूं कि यह टैंक सादृश्य से बेहतर व्याख्या का हकदार है। +और मैं सहमत हूं, यह टैंक के तुल्यता की तुलना में एक बेहतर व्याख्या का हकदार है। 87 -00:05:11,840 --> 00:05:15,345 +00:05:11,840 --> 00:05:15,636 मैं वादा करता हूं कि हम इन सभी प्रश्नों का उत्तर बाद में देंगे, 88 -00:05:15,345 --> 00:05:19,234 -लेकिन सबसे पहले अपना अधिकांश समय इस महत्वपूर्ण प्रश्न पर खर्च करके कुछ +00:05:15,636 --> 00:05:20,322 +लेकिन पहले यह सहज होता है की हम अपना अधिकांश समय इस मुख्य प्रश्न पर वितत करें, 89 -00:05:19,234 --> 00:05:24,000 -जमीनी कार्य करना उचित है कि किसी माध्यम से गुजरने पर प्रकाश तरंग की गति क्यों बदलती है। +00:05:20,322 --> 00:05:24,000 +कि किसी माध्यम से गुजरने से प्रकाश तरंग की गति क्यों बदलती है। 90 00:05:24,560 --> 00:05:27,907 -और इसके लिए, मैं चाहता हूं कि आप अपनी वस्तुओं, जैसे कांच, +और इसके लिए, मैं चाहता हूं कि आप अपनी सामग्री, जैसे कांच, 91 00:05:27,907 --> 00:05:31,082 @@ -367,1514 +367,1490 @@ जो सभी प्रकाश की यात्रा की दिशा के लंबवत हैं। 93 -00:05:34,120 --> 00:05:36,416 -और हम प्रकाश तरंग का उन परतों में से केवल एक के +00:05:34,120 --> 00:05:36,392 +और हम अपना ध्यान प्रकाश तरंग पर उन परतों में से 94 -00:05:36,416 --> 00:05:38,760 -प्रभाव पर अपना ध्यान केंद्रित करके शुरुआत करेंगे। +00:05:36,392 --> 00:05:38,760 +केवल एक के प्रभाव पर केंद्रित करने से शुरु करेंगे। 95 -00:05:39,320 --> 00:05:44,458 -वास्तविक प्रभाव बहुत कम होगा, लेकिन यदि आप मुझे इसे एक पल के लिए बढ़ा-चढ़ाकर बताने दें, +00:05:39,320 --> 00:05:42,940 +वास्तविक प्रभाव बहुत नन्हा होगा, लेकिन यदि आप मुझे इसे एक पल के 96 -00:05:44,458 --> 00:05:46,560 -तो यह तरंग के फेज को पीछे धकेल देगा। +00:05:42,940 --> 00:05:46,560 +लिए बढ़ा-चढ़ाकर बताने दें, तो यह लहर के चरण को पीछे हटा देता है। 97 -00:05:47,420 --> 00:05:50,262 -और जब तरंग शब्दावली की बात आती है तो यह सुनिश्चित करना कि हम सभी एक ही पृष्ठ पर हैं, +00:05:47,420 --> 00:05:49,490 +और शायद यह सुनिश्चित करने के लिए अस्थायी शायद हो सके 98 -00:05:50,262 --> 00:05:51,600 -शायद यह एक संक्षिप्त जानकारी के लायक है। +00:05:49,490 --> 00:05:51,600 +कि तरंग शब्दावली के मामले में हम सभी एक ही पेज पर हैं। 99 -00:05:51,960 --> 00:05:55,646 -यदि आप x के sine फ़ंक्शन को ग्राफ़ करते हैं, और उसके सामने कुछ शब्द रखते हैं, +00:05:51,960 --> 00:05:55,835 +यदि आप x के साइन फ़ंक्शन को ग्राफ़ करते हैं, और उसके सामने कुछ शब्द रखते हैं, 100 -00:05:55,646 --> 00:05:59,238 -जो यह निर्धारित करता है कि वह तरंग कितनी ऊचाई तक दोलन(oscillation) करती है, +00:05:55,835 --> 00:05:58,965 +जो यह निर्धारित करता है कि वह तरंग कितनी ऊचाई तक दोलन करती है, 101 -00:05:59,238 --> 00:06:02,594 +00:05:58,965 --> 00:06:02,493 तो इसे हम 'अम्प्लीट्यूड' कहते हैं, जब आप x के सामने कोई शब्द रखते हैं, 102 -00:06:02,594 --> 00:06:04,580 +00:06:02,493 --> 00:06:04,580 तो यह उसके दोलन की गति पर प्रभाव डालता है। 103 -00:06:04,960 --> 00:06:07,920 -अगर इसका उद्देश्य समय के साथ एक तरंग को वर्णन करना है, +00:06:04,960 --> 00:06:07,756 +अगर इसका उद्देश्य समय के साथ एक लहर को वर्णन करना है, 104 -00:06:07,920 --> 00:06:12,710 -तो उस शब्द को कोणीय आवृत्ति कहा जाएगा, वहीं अगर यह अंतरिक्ष में एक तरंग को वर्णन करने के +00:06:07,756 --> 00:06:10,863 +तो उस शब्द को कोणीय आवृत्ति कहा जाएगा, वहीं अगर यह अंतरिक्ष 105 -00:06:12,710 --> 00:06:14,540 -लिए है, तो वह wave number कहलाएगा। +00:06:10,863 --> 00:06:14,540 +में एक लहर को वर्णन करने के लिए है, तो वह स्थिरांक तरंग संख्या कहलाएगा। 106 -00:06:14,960 --> 00:06:18,560 -फिर यदि आप उस sine फ़ंक्शन में कोई अन्य संख्या जोड़ते हैं, +00:06:14,960 --> 00:06:18,385 +फिर यदि आप उस साइन फ़ंक्शन में कोई अन्य संख्या जोड़ते हैं, 107 -00:06:18,560 --> 00:06:23,564 -और देखते हैं कि जैसे आप उस संख्या को बदलते हैं, तरंग बाएं और दाएँ खिसकती रहती है, +00:06:18,385 --> 00:06:21,171 +और देखते हैं कि जैसे आप उस संख्या को बदलते हैं, 108 -00:06:23,564 --> 00:06:25,700 -वह शब्द तरंग के फेज व्यक्त करता है। +00:06:21,171 --> 00:06:25,700 +तरंग समन्वय बाएं और दाएँ स्लाइड होती है, वह शब्द तरंग के चरण का वर्णन करता है। 109 -00:06:26,660 --> 00:06:30,500 -इसलिए जब मैं कहता हूँ कि हमारी प्रकाश तरंग कांच की परत से टकराने से उसका फेज वापस +00:06:26,660 --> 00:06:30,453 +इसलिए जब मैं कहता हूँ कि हमारी प्रकाश तरंग एक कांच की परत से टकराने से उसका चरण 110 -00:06:30,500 --> 00:06:34,246 -लौट जाता है, मेरा मतलब है कि यदि आप कांच से टकराने से पहले उसका वर्णन करने वाला +00:06:30,453 --> 00:06:34,105 +पीछे की ओर खिसक जाता है, तो मेरा मतलब यह होता है कि यदि आप जो कोई भी फ़ंक्शन 111 -00:06:34,246 --> 00:06:37,946 -कोई भी तरंग का फ़ंक्शन लेते हैं, तो उसके बाद उसका वर्णन करने वाला फ़ंक्शन लगभग +00:06:34,105 --> 00:06:37,898 +उसे कांच से टकराने से पहले विवरण देता है, तो फ़ंक्शन जो उसके बाद वह दिखता है वह 112 -00:06:37,946 --> 00:06:41,740 -वैसा ही दिखता है, बस साथ में उस sine फ़ंक्शन के इनपुट में कुछ अतिरिक्त जोड़ा गया। +00:06:37,898 --> 00:06:41,740 +लगभग समान है, सिर्फ़ साइन फ़ंक्शन के इनपुट में कुछ अतिरिक्त चीज जोड़ी गई होती है। 113 -00:06:42,300 --> 00:06:45,587 -जैसा कि मैंने कहा, वास्तव में यह एक बहुत छोटी संख्या होगी, +00:06:42,300 --> 00:06:45,665 +जैसा कि मैंने कहा, वास्तविकता में यह बहुत ही छोटी संख्या होगी, 114 -00:06:45,587 --> 00:06:48,428 -वह उस परत के बहुत ही छोटी मोटाई के समानुपाती होगी, +00:06:45,665 --> 00:06:48,230 +वह उस परत के बहुत ही छोटी मोटाई के अनुरूप होगी, 115 -00:06:48,428 --> 00:06:51,827 +00:06:48,230 --> 00:06:51,489 लेकिन मैं इसे बड़ा और विशाल बताने के लिए चित्रण करता रहूंगा, 116 -00:06:51,827 --> 00:06:54,000 -और बाईं ओर इस फेज बदलाव पर नज़र रखूंगा। +00:06:51,489 --> 00:06:54,000 +और बाईं ओर इस चरण किक के मूल्य की पहचान रखूंगा। 117 -00:06:54,740 --> 00:06:58,200 -मान लीजिए कि आप जाते हैं और कांच की अन्य परतों का एक गुच्छा जोड़ते हैं, +00:06:54,740 --> 00:06:57,943 +मान लीजिए कि आप जाते हैं और कांच की कई अन्य परतें जोड़ते हैं, 118 -00:06:58,200 --> 00:07:00,940 -प्रत्येक तरंग के फेज पर अपना स्वयं का किकबैक भी लगाता है। +00:06:57,943 --> 00:07:00,940 +प्रत्येक एक अलग-अलग किकबैक को लहर के चरण पर लागू करते हैं। 119 00:07:01,340 --> 00:07:03,840 -आपके लिए सवाल यह है कि वह नई तरंग कैसी दिखती है? +आपके लिए प्रश्न यह है कि वह नयी लहर कैसी दिखती है? 120 -00:07:04,300 --> 00:07:08,418 -यदि प्रत्येक परत द्वारा लागू किया गया फेज बदलाव का मान शून्य के करीब है, +00:07:04,300 --> 00:07:08,268 +यदि प्रत्येक परत द्वारा लागू किया गया फेज किक का मान शून्य के करीब है, 121 -00:07:08,418 --> 00:07:10,280 -तो तरंग शायद ही प्रभावित होती है। +00:07:08,268 --> 00:07:10,280 +तो वेव बिलकुल प्रभावित नहीं होती है। 122 00:07:10,520 --> 00:07:15,780 -लेकिन, फेज बदलाव जितनी बड़ी होती है, तरंग उन सभी परतों के बीच उतनी ही अधिक दब जाती है। +लेकिन, उस फेज किक जितनी बड़ी होती है, उतनी ही अधिक लहर उन सभी परतों के बीच सिकुड़ जाती है। 123 -00:07:16,700 --> 00:07:19,088 -बेशक, यहां यह सब बहुरूपदर्शक और अजीब दिखता है, +00:07:16,700 --> 00:07:19,358 +मानो तो, यहां यह सब कलाईडोस्कोपिक और अजीब दिखता है, 124 -00:07:19,088 --> 00:07:22,951 -लेकिन यह वास्तव में सिर्फ इसलिए है क्योंकि मेरे पास परतों का एक अलग सेट है, +00:07:19,358 --> 00:07:23,192 +लेकिन वास्तविकता में यह सिर्फ क्योंकि मेरे पास एक विशिष्ट सेट है परतों का, 125 -00:07:22,951 --> 00:07:25,340 -प्रत्येक एक अवास्तविक रूप से बड़ी किक लगाता है। +00:07:23,192 --> 00:07:25,340 +प्रत्येक अत्यधिक अवास्तविक किक लगा रहा है। 126 -00:07:25,920 --> 00:07:30,246 -ध्यान दें कि क्या होता है यदि मैं परतों के घनत्व को दोगुना करके इसे सुचारू कर दूं, +00:07:25,920 --> 00:07:29,453 +ध्यान दें कि अगर मैं परतों की घनत्व को दोगुना करके इसे हल्का करता हूं, 127 -00:07:30,246 --> 00:07:32,540 -लेकिन प्रत्येक में केवल आधा फेज किक लागू हो। +00:07:29,453 --> 00:07:32,540 +लेकिन हर एक केवल आधे फेज किक को लागू करता है, तो क्या होता है। 128 -00:07:33,260 --> 00:07:36,472 -और फिर मैं इसे दोबारा करता हूं, मैं परतों के घनत्व को दोगुना कर देता हूं, +00:07:33,260 --> 00:07:36,539 +और फिर मैं यही काम दोबारा करता हूं, मैं परतों की घनत्व को दोगुना कर देता हूं, 129 -00:07:36,472 --> 00:07:38,600 -लेकिन प्रत्येक परत केवल आधा फेज किक ही लगाती हूं। +00:07:36,539 --> 00:07:38,600 +लेकिन प्रत्येक को मात्र आधे चरण का झटका लगती हूं। 130 -00:07:39,560 --> 00:07:44,694 -जैसे-जैसे मैं इसे बार-बार जारी रखता हूं, एक ऐसी स्थिति आती है जहां कांच की लगातर +00:07:39,560 --> 00:07:44,650 +जब मैं इसे बार-बार जारी रखता हूं, एक ऐसी स्थिति की ओर प्रस्थान करता हूं जहां आपके 131 -00:07:44,694 --> 00:07:49,005 -परतें होती है, प्रत्येक परत फेज में बस एक छोटा सा बदलाव करती है और, +00:07:44,650 --> 00:07:49,802 +पास कांच की निरंतरता होती है, प्रत्येक परत बस एक छोटी अनंतिम चरण किक लागू करती है, 132 -00:07:49,005 --> 00:07:54,013 -तो यह स्थिति एक ऐसी तरंग की तरह हो जाती है जो केवल धीरे-धीरे यात्रा कर रही है, +00:07:49,802 --> 00:07:54,644 +तो यह स्थिति एक ऐसी लहर की तरह हो जाती है जो केवल धीरे-धीरे यात्रा कर रही है, 133 -00:07:54,013 --> 00:07:57,754 -समान आवृत्ति के साथ ऊपर और नीचे दोलन(oscillate) कर रही है, +00:07:54,644 --> 00:07:59,735 +समान आवृत्ति के साथ ऊपर और नीचे दोल रही है, किंतु एक तरंगदैर्ध्य के साथ जिसे कुचल 134 -00:07:57,754 --> 00:08:00,480 -किंतु तरंगदैर्ध्य(wavelength) घटती जाती है। +00:07:59,735 --> 00:08:00,480 +दिया गया है। 135 00:08:00,920 --> 00:08:04,080 -यह यहीं अपवर्तनांक के साथ पहला मुख्य विचार है। +यही यहाँ अपवर्तनांक के साथ पहली मुख्य विचारधारा है। 136 -00:08:04,560 --> 00:08:07,790 -यह पूछने के बजाय कि कांच में प्रकाश धीमा क्यों हो जाता है, +00:08:04,560 --> 00:08:08,233 +इसके बजाय कि हम पूछें कि प्रकाश कांच में क्यों धीमा होता है, 137 -00:08:07,790 --> 00:08:11,458 -हमें वास्तव में यह पूछने की ज़रूरत है कि उसका उस कांच की एक परत के +00:08:08,233 --> 00:08:13,653 +वास्तव में हमें यह पूछना चाहिए कि उसका एक विशिष्ट परत के साथ अंतर्क्रिया क्यों लहर के चरण 138 -00:08:11,458 --> 00:08:15,400 -साथ संपर्क में आने से क्यों तरंग के फेज में बदलाव का कारण क्यों बनती है? +00:08:13,653 --> 00:08:15,400 +में प्रतिघात का कारण बनती है? 139 -00:08:16,200 --> 00:08:20,168 -और फिर जब हम गणितीय विश्लेषण करना चाहते हैं और यह समझना चाहते हैं कि प्रकाश +00:08:16,200 --> 00:08:19,852 +और फिर जब हम गणितीय विश्लेषण करना चाहते हैं और यह समझना चाहते हैं कि 140 -00:08:20,168 --> 00:08:23,928 -कितना धीमा हो जाता है, जो यह समझने के लिए महत्वपूर्ण है कि यह क्यों रंग +00:08:19,852 --> 00:08:23,505 +प्रकाश कितना धीमा हो जाता है, जो यह समझने के लिए महत्वपूर्ण है कि यह 141 -00:08:23,928 --> 00:08:27,740 -पर निर्भर करता है, तो वास्तविक प्रश्न यह है कि फेज बदलाव कितनी ज्यादा है? +00:08:23,505 --> 00:08:27,740 +क्यों रंग पर निर्भर करता है, तो वास्तविक प्रश्न यह है कि चरण किक कितनी मजबूत है? 142 00:08:29,140 --> 00:08:32,960 -यहां से, प्रकाश क्या है इसके मूल सिद्धांतों पर वापस जाना सहायक होगा। +यहां से, प्रकाश वास्तव में क्या है, उसके आधारभूत संकल्पनाओं पर लौटना सहायक होता है। 143 -00:08:33,159 --> 00:08:35,290 -यह कुछ ऐसा है जिसके बारे में हमने पिछले वीडियो में बहुत बात की थी, +00:08:33,159 --> 00:08:35,313 +यह वह विषय है जिस पर हमने पिछले वीडियो में काफी चर्चा की थी, 144 -00:08:35,290 --> 00:08:36,880 -लेकिन दोबारा करना कभी भी नुकसान नहीं पहुंचाती है, +00:08:35,313 --> 00:08:38,280 +लेकिन समीक्षा करना कभी भी हानिकारक नहीं होता है, तो मुझे मूलभूत बातें दोहराने दीजिए। 145 -00:08:36,880 --> 00:08:38,280 -इसलिए मुझे आवश्यक बातों पर चर्चा करने दीजिए। +00:08:38,840 --> 00:08:42,457 +जैसा कि आप में से कई लोग जानते हैं, प्रकाश विद्युत चुंबकीय क्षेत्र में एक तरंग है, 146 -00:08:38,840 --> 00:08:41,859 -जैसा कि आप में से कई लोग जानते हैं, प्रकाश विद्युत चुंबकीय(electromagnetic) +00:08:42,457 --> 00:08:44,680 +लेकिन यहां हम केवल विद्युत क्षेत्र का आरेखण करेंगे। 147 -00:08:41,859 --> 00:08:44,680 -क्षेत्र में एक तरंग है, लेकिन यहां हम केवल विद्युत क्षेत्र का दिखाएंगे। +00:08:45,320 --> 00:08:49,086 +विद्युत फील्ड 3डी अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को एक छोटे से तीन 148 -00:08:45,320 --> 00:08:50,263 -विद्युत फील्ड 3D स्पेस में प्रत्येक बिंदु को एक छोटे से 3D वेक्टर के साथ जोड़ता है, +00:08:49,086 --> 00:08:52,793 +आयामी वेक्टर के साथ जोड़ता है, जो आपको यह बताता है कि अंतरिक्ष 149 -00:08:50,263 --> 00:08:54,029 -जो आपको यह बताता है कि स्पेस में उस बिंदु पर एक कल्पनात्मक इकाई +00:08:52,793 --> 00:08:56,560 +में उस बिंदु पर एक कल्पनात्मक इकाई चार्ज पर कौन सी बल लागू होगी। 150 -00:08:54,029 --> 00:08:56,560 -आवेश (unitcharge) पर कौन सा बल लगाया जाएगा। +00:08:58,120 --> 00:09:03,068 +प्रकाश के साथ जो मुख्य घटना होती है वह यह है कि अगर आपके पास एक आवेशित कण होता है और 151 -00:08:58,120 --> 00:09:03,164 -प्रकाश के साथ जो मुख्य घटना होती है वह यह है कि अगर आपके पास एक आवेशित(charged) कण होता +00:09:03,068 --> 00:09:08,191 +कुछ उसे हिलाने का कारण बनता है, तो यह आवेश से दूर विद्युत क्षेत्र में फैलने वाले तरंगों 152 -00:09:03,164 --> 00:09:07,980 -है और कुछ उसे हिलाने का कारण बनता है, तो यह आवेश(charge) से दूर विद्युत क्षेत्र में +00:09:08,191 --> 00:09:13,140 +के रूप में परिणामित होता है, और यह प्रसार गति द्वारा यात्रा करता है c, प्रकाश की गति। 153 -00:09:07,980 --> 00:09:13,140 -फैलने वाले तरंगों के रूप में परिणामित होता है, और यह प्रसार प्रकाश की गति (c) से होता है । +00:09:13,740 --> 00:09:18,195 +जब भी वे तरंगें किसी अन्य आवेशित कण तक पहुंचती हैं, तो वे उसे हलचल में दालती हैं, 154 -00:09:13,740 --> 00:09:16,220 -जब भी वे तरंगें किसी अन्य आवेशित कण तक पहुंचती हैं, +00:09:18,195 --> 00:09:20,857 +भले ही प्रारंभिक हड़बड़ी की तुलना में कुछ कमजोर, 155 -00:09:16,220 --> 00:09:19,417 -तो वे उसे ऊपर-नीचे झकझोरने का कारण बनती हैं, भले ही प्रारंभिक तरंग +00:09:20,857 --> 00:09:23,520 +और वह अपनी खुद की प्रणामी तरंगें उत्पन्न करती है। 156 -00:09:19,417 --> 00:09:23,520 -की तुलना में थोड़ा अधिक कमजोर हो, और बदले में वह अपने स्वयं के प्रसार का कारण बनती है। +00:09:24,480 --> 00:09:27,968 +हमने पिछले वीडियो में इसे इस तरह से विवरण दिया था कि, 157 -00:09:24,480 --> 00:09:27,576 -हमने पिछले वीडियो में इसे इस तरह से समझाया था कि, +00:09:27,968 --> 00:09:31,972 +अगर किसी समय कोई चार्ज त्वरण कर रहा है, तो थोड़ी देरी के बाद, 158 -00:09:27,576 --> 00:09:30,796 -अगर किसी समय कोई चार्ज त्वरण(accelerate) कर रहा है, +00:09:31,972 --> 00:09:36,365 +जो इस गति सी पर निर्भर करती है, उस त्वरण का अस्तित्व दूसरे चार्ज पर 159 -00:09:30,796 --> 00:09:34,635 -जो प्रकाश की गति (c) पर निर्भर करती है, तो थोड़ी देरी के बाद, +00:09:36,365 --> 00:09:37,980 +एक बल को उत्पन्न करता है। 160 -00:09:34,635 --> 00:09:37,980 -उस त्वरण के कारण दूसरे चार्ज पर एक बल उत्पन्न होता है। +00:09:38,700 --> 00:09:42,873 +हमने इसे विशेष बल कानून के संदर्भ में समझाया, यह मैक्सवेल के समीकरणों के निष्कर्षण 161 -00:09:38,700 --> 00:09:41,318 -हमने इसका वर्णन करते हुए विशिष्ट बल कानून पर गौर किया, +00:09:42,873 --> 00:09:45,789 +का उत्सर्जन हो सकता है, लेकिन यहां हमारे उद्देश्य के लिए, 162 -00:09:41,318 --> 00:09:44,365 -यह मैक्सवेल के समीकरणों के निष्कर्षण की व्युत्पत्ति हो सकती है, +00:09:45,789 --> 00:09:49,811 +मुख्य बात यह है कि आपके दिमाग में यह बात समझनी चाहिए कि प्रारंभिक त्वरण किसी भी 163 -00:09:44,365 --> 00:09:48,460 -लेकिन यहां हमारे उद्देश्य के लिए मुख्य बात यह है कि आपके दिमाग में यह बात समझनी चाहिए +00:09:49,811 --> 00:09:53,834 +प्रकार के प्रभाव को किसी अन्य स्थान पर ले जाने में लगने वाला समय बिल्कुल सी गति 164 -00:09:48,460 --> 00:09:52,411 -कि प्रारंभिक त्वरण किसी भी प्रकार के प्रभाव को किसी अन्य स्थान पर ले जाने में लगने +00:09:53,834 --> 00:09:54,840 +के ही बराबर होता है। 165 -00:09:52,411 --> 00:09:54,840 -वाला समय बिल्कुल प्रकाश की गति के ही बराबर होता है। +00:09:55,300 --> 00:09:58,215 +और वास्तव में, आपको सी को प्रकाश की गति के रूप में नहीं, 166 -00:09:55,300 --> 00:09:58,033 -और वास्तव में, आपको c को प्रकाश की गति के रूप में नहीं, +00:09:58,215 --> 00:10:00,620 +बल्कि कारण संबंध की गति के रूप में सोचना चाहिए। 167 -00:09:58,033 --> 00:10:00,620 -बल्कि लेकिन कार्य-कारण की गति के रूप में सोचना चाहिए। +00:10:00,940 --> 00:10:05,320 +यह यह निर्धारित करता है कि किसी भी प्रकार का प्रभाव कितनी तेजी से फैलता है, 168 -00:10:00,940 --> 00:10:04,988 -यह निर्धारित करता है कि किसी भी प्रकार का प्रभाव कितनी तेजी से फैलता है, +00:10:05,320 --> 00:10:08,260 +बस इसके कई अनुप्रण के एक है कि यह प्रकाश की गति है। 169 -00:10:04,988 --> 00:10:08,260 -बस इसके कई परिणामों में से एक यह है कि यह प्रकाश की गति है। +00:10:08,600 --> 00:10:12,396 +विशेष रूप से, जब आपको एक स्वच्छ साइनसोयडल गति में ऊपर और नीचे ओस्किलेट 170 -00:10:08,600 --> 00:10:11,952 -विशेष रूप से, जब आपको एक अच्छा स्वच्छ साइनसोइडल गति में ऊपर और नीचे +00:10:12,396 --> 00:10:16,300 +होते हुए चार्ज की श्रृंखला मिलती है, तो आप इन तरंगित प्रभावों को विद्युत 171 -00:10:11,952 --> 00:10:15,402 -दोलन(ओस्किलेट) करने वाला चार्ज मिलता है, तो आप विद्युत क्षेत्र में इन +00:10:16,300 --> 00:10:20,043 +क्षेत्र में विवेचन कर सकते हैं , जो पिछले त्वरण के फलस्वरूप वहां बैठे 172 -00:10:15,402 --> 00:10:18,902 -तरंग प्रभावों के बारे में उस बल का वर्णन करने के बारे में सोच सकते हैं +00:10:20,043 --> 00:10:23,680 +हुए अन्य चार्ज पर लागू होने वाली बल के रूप में व्याख्यायित होते हैं। 173 -00:10:18,902 --> 00:10:22,600 -जो उस पिछले त्वरण के परिणामस्वरूप वहां बैठे किसी अन्य चार्ज पर लागू होगा। . +00:10:24,340 --> 00:10:27,641 +मैं स्वतंत्रतापूर्वक मानता हूं कि मैंने उस वीडियो में बहुत अधिक मज़ा किया, 174 -00:10:22,600 --> 00:10:26,097 -मेरा ऐसा मनाना है कि मैंने उस वीडियो में बहुत अधिक मज़ा किया, +00:10:27,641 --> 00:10:31,426 +जहां मैंने दिखाया कि विद्युत क्षेत्र त्वरित आवेशों के प्रति कैसे प्रतिक्रिया करता है, 175 -00:10:26,097 --> 00:10:31,173 -जहां मैंने दिखाया कि विद्युत क्षेत्र त्वरित(accelerated) आवेशों के प्रति कैसे प्रतिक्रिया +00:10:31,426 --> 00:10:34,375 +और मैं यहाँ भी वही काम कर रहा हूं, लेकिन हमारे अनुसरण की दृष्टि से 176 -00:10:31,173 --> 00:10:35,911 -करता है, और मैं यहाँ भी वही काम कर रहा हूं, लेकिन अपवर्तनांक की हमारी खोज के लिए दो +00:10:34,375 --> 00:10:36,400 +दो महत्वपूर्ण तथ्य हैं अपवर्तन सूचकांक के लिए। 177 -00:10:35,911 --> 00:10:37,040 -महत्वपूर्ण तथ्य हैं। +00:10:36,920 --> 00:10:41,456 +पहली बात यह है कि जब आपके पास विभिन्न आवेश होते हैं जो ऊपर और नीचे हिल रहे होते हैं, 178 -00:10:37,040 --> 00:10:41,052 -पहला यह है कि जब आपके ऊपर और नीचे कई अलग-अलग आवेश दोलन करते हैं, +00:10:41,456 --> 00:10:45,885 +तो इनका विद्युत क्षेत्र पर कुल प्रभाव वही होता है जो प्रत्येक आवेश के लिए होता है, 179 -00:10:41,052 --> 00:10:46,114 -तो विद्युत क्षेत्र पर कुल प्रभाव प्रत्येक व्यक्तिगत आवेश के योग के बराबर होता है, +00:10:45,885 --> 00:10:48,180 +जो किसी प्रकार से आपकी उम्मीद के अनुरूप है। 180 -00:10:46,114 --> 00:10:47,720 -जो कि आप अपेक्षा करते हैं। +00:10:48,600 --> 00:10:53,381 +इसका अर्थ यह है कि यदि आपके पास एक साथ डोलने वाले आवेशों की एक कतार है, 181 -00:10:47,720 --> 00:10:52,863 -इसका अर्थ यह है कि यदि आपके पास एक साथ डोलने(oscillate) वाले आवेशों की एक कतार है, +00:10:53,381 --> 00:10:58,495 +या हमारे आज के उद्देश्यों के लिए, सर्वश्रेष्ठ तरीके से तालमेल में हिलने वाली 182 -00:10:52,863 --> 00:10:58,379 -या हमारे आज के उद्देश्यों के लिए, सबसे अच्छे तरीके से तालमेल में हिलने वाली आवेशों की एक +00:10:58,495 --> 00:11:03,809 +आवेशों की एक प्लेन है, तो प्रत्येक व्यक्तिगत आवेश के प्रभाव का परस्पर कैंसिलेशन 183 -00:10:58,379 --> 00:11:03,770 -प्लेन है, तो प्रत्येक व्यक्तिगत आवेश का प्रभाव अधिकांश दिशाओं में आपस में निस्क्रिय हो +00:11:03,809 --> 00:11:09,720 +होता है,अधिकांश दिशाओं में, लेकिन उस प्लेन के लंबवत, उनका निर्माणात्मक हस्तक्षेप होता है। 184 -00:11:03,770 --> 00:11:09,224 -जाते है, लेकिन उस प्लेन के लंबवत, उनका निर्माणात्मक हस्तक्षेप(constructively interfere) +00:11:10,120 --> 00:11:12,560 +यह विधि से आप प्रकाश की एक संयुक्त किरण प्राप्त कर सकते हैं। 185 -00:11:09,224 --> 00:11:09,720 -होता है। +00:11:12,900 --> 00:11:17,163 +महत्वपूर्ण बात यह है कि अगर आपके पास एक-दूसरे के साथ समन्वयित ऊपर और नीचे लहराती 186 -00:11:10,120 --> 00:11:12,560 -यह विधि से आप प्रकाश की एक संकेन्द्रित(concentrated) किरण प्राप्त कर सकते हैं। +00:11:17,163 --> 00:11:19,636 +आवेशों की एक परत है, तो यह परत इतनी दूर से भी, 187 -00:11:12,900 --> 00:11:17,319 -महत्वपूर्ण बात यह है कि यदि आपके पास आवेशों की एक परत है जो एक-दूसरे के साथ ऊपर-नीचे +00:11:19,636 --> 00:11:22,794 +बिजली के क्षेत्र में एक सुंदर साइनसाइड लहर उत्पन्न करती है, 188 -00:11:17,319 --> 00:11:21,740 -घूम रही है, तो उस परत से बहुत दूर भी, यह विद्युत क्षेत्र में एक अच्छी साइनसॉइडल तरंग +00:11:22,794 --> 00:11:25,900 +जिसे हम रोशनी को प्रस्तुत करने के लिए खींचना पसंद करते हैं। 189 -00:11:21,740 --> 00:11:25,900 -उत्पन्न करती है जिसे हम रोशनी को प्रस्तुत करने के लिए चित्र बनाना पसंद करते हैं। +00:11:27,640 --> 00:11:30,243 +जब मैं ऐसे एक प्रकाश तरंग का चित्रण करता हूँ, तो यह वास्तव 190 -00:11:27,640 --> 00:11:30,268 -जब मैं ऐसे एक प्रकाश तरंग का चित्रण करता हूँ, तो यह वास्तव में +00:11:30,243 --> 00:11:32,980 +में केवल एक एक-आयामी रेखा पर विद्युत क्षेत्र को ही दर्शाता है। 191 -00:11:30,268 --> 00:11:32,980 -केवल एक एक-आयामी (1D) रेखा पर विद्युत क्षेत्र को चित्रित करता है। +00:11:33,480 --> 00:11:37,640 +तीन आयामों में प्रकाश की एक अधिक पूर्ण चित्रण इस प्रकार दिखाई दे सकता है। 192 -00:11:33,480 --> 00:11:37,640 -तीन आयामों(3D) में प्रकाश की एक अधिक पूर्ण चित्रण इस प्रकार दिखाई देगी।। +00:11:38,160 --> 00:11:41,340 +वह अधिकांशत: थोड़ा और व्यस्त होता है, इसलिए हम आमतौर पर केवल साइन वेव को ही खींचते हैं। 193 -00:11:38,160 --> 00:11:41,040 -यह थोड़ा अधिक व्यस्त हो जाता है, इसलिए आमतौर पर केवल sine वेव को ही खींचते हैं। +00:11:42,920 --> 00:11:47,611 +तो, सामग्री की एक परत से अंतर्क्रिया क्यों तरंग के चरण में किकबैक पैदा करती है, 194 -00:11:41,040 --> 00:11:46,403 -तो इस प्रश्न पर विचार करते हुए कि वस्तु की एक परत से संपर्क क्यों तरंग +00:11:47,611 --> 00:11:51,540 +इस प्रश्न पर विचार करते हुए, चलो इसकी चिंतन-मनन करना शुरू करते हैं। 195 -00:11:46,403 --> 00:11:51,540 -के फेज में बदलाव त्पन्न क्यों करेगी, आइए इस पर विचार करना शुरू करें। +00:11:52,060 --> 00:11:55,978 +जब एक प्रकाश किरण किसी सामग्री, जैसे कांच, में प्रवेश करती है, 196 -00:11:52,060 --> 00:11:55,478 -जब एक प्रकाश किरण किसी वस्तु, जैसे कांच, में प्रवेश करती है, +00:11:55,978 --> 00:12:00,581 +तो यह उस सामग्री के अंदर के सभी चार्ज, अर्थात इलेक्ट्रॉन या कभी-कभार आयन, 197 -00:11:55,478 --> 00:11:59,176 -तो यह उस वस्तु के अंदर के सभी आवेशों, आप जानते हैं, इलेक्ट्रॉनों, +00:12:00,581 --> 00:12:03,940 +को उस प्रकाश तरंग के उत्तर में हिलने पर मजबूर करती है। 198 -00:11:59,176 --> 00:12:03,940 -या शायद कभी-कभी आयन को, उस प्रकाश तरंग के जवाब में ऊपर और नीचे घूमने का कारण बनती है। +00:12:04,520 --> 00:12:09,114 +आप शायद यह सोच रहे होंगे की सभी चार्जेज के प्रसारों को मिलाना एक पूरा डरावना सपना होगा, 199 -00:12:04,520 --> 00:12:08,047 -आप सोच सकते हैं कि उन सभी आरोपों से सभी प्रसार को एक साथ जोड़ना पूरी तरह से एक +00:12:09,114 --> 00:12:11,620 +लेकिन हम इसे एक एक परत के हिसाब से सोच सकते हैं। 200 -00:12:08,047 --> 00:12:11,620 -दुःस्वप्न है, लेकिन हम इसके बारे में एक समय में एक परत के बारे में सोच सकते हैं। +00:12:12,660 --> 00:12:16,033 +जब प्रकाश तरंग इस परत को ऊपर और नीचे हिलने का कारण बनती है, 201 -00:12:12,660 --> 00:12:16,684 -जैसे ही प्रकाश तरंग इस परत को ऊपर और नीचे हिलने का कारण बनती है, +00:12:16,033 --> 00:12:19,913 +तो यह हिलना अपनी स्वतंत्र द्वितीयक वाली प्रकाश तरंग उत्पन्न करती है, 202 -00:12:16,684 --> 00:12:21,328 -वह हिलने से उसी आवृत्ति पर अपनी दूसरी क्रम की प्रकाश तरंग उत्पन्न होती है, +00:12:19,913 --> 00:12:24,300 +जो समान आवृत्ति पर होती है, और यह उस परत के समकोणीय दोनों दिशाओं में फैलती है। 203 -00:12:21,328 --> 00:12:24,300 -और यह उस परत के लंबवत दोनों दिशाओं में फैलती है। +00:12:24,900 --> 00:12:28,019 +तब इस प्रकार, समग्र विद्युत क्षेत्र जैसा दिखता है वो प्रारंभिक 204 -00:12:24,900 --> 00:12:27,882 -तब पूरा विद्युत क्षेत्र, दूसरे क्रम की तरंग के साथ +00:12:28,019 --> 00:12:31,040 +प्राप्त होने वाली प्रकाश लहर के साथ द्वितीयक्रम लहर को जोड़कर। 205 -00:12:27,882 --> 00:12:31,040 -जोड़ी गई प्रारंभिक आने वाली प्रकाश तरंग जैसा दिखता है। +00:12:32,580 --> 00:12:36,194 +यहां हो रही सबसे अधिक भ्रामक बातें बाएं तरफ की हैं, 206 -00:12:32,580 --> 00:12:36,624 -यहां जो कुछ हो रहा है उसका अब तक का सबसे विचलित करने वाला हिस्सा बाईं ओर की हर चीज है, +00:12:36,194 --> 00:12:39,600 +और यह वास्तव में प्रकाश के परावर्तन का प्रतीक है। 207 -00:12:36,624 --> 00:12:39,600 -और यह वास्तव में वापस परावर्तित होने वाले प्रकाश से मेल खाता है। +00:12:40,220 --> 00:12:43,122 +और अनुभव से, आप सभी जानते हैं कि जब आप पानी या कांच को देखते हैं, 208 -00:12:40,220 --> 00:12:43,478 -और अनुभव से, आप सभी जानते हैं कि जब आप पानी को देखते हैं या कांच को देखते हैं, +00:12:43,122 --> 00:12:46,860 +तो प्रकाश न केवल उसमें से गुजरता है, बल्कि उसका कुछ हिस्सा वापस परावर्तित भी होता है। 209 -00:12:43,478 --> 00:12:46,860 -तो प्रकाश न केवल उसमें से गुजरता है, बल्कि उसका कुछ भाग वापस परावर्तित हो जाता है। +00:12:46,860 --> 00:12:50,229 +हम वास्तव में इस पर की चर्चा कर सकते हैं कि यह कितना मात्रा में है, 210 -00:12:46,860 --> 00:12:50,160 -हम वास्तव में इस पर की बात कर सकते हैं कि यह कितना मात्रा में है, - -211 -00:12:50,160 --> 00:12:54,560 +00:12:50,229 --> 00:12:54,589 लेकिन ध्यान केंद्रित रखने के उद्देश्य से, हम इसे आज के लिए पूरी तरह से नजरअंदाज करेंगे, -212 -00:12:54,560 --> 00:12:57,860 +211 +00:12:54,589 --> 00:12:57,860 और केवल उस परत के दाएं ओर क्या हो रहा है, उसपर ही केंद्रित रहेंगे। -213 +212 00:12:58,440 --> 00:13:00,200 आप शायद अनुमान लगा सकते हैं कि मैं क्या कहने जा रहा हूँ। +213 +00:13:00,860 --> 00:13:04,199 +यह निकलता है कि जब आप उस द्वितीयक्रमी दोलन को जोड़ते हैं, + 214 -00:13:00,860 --> 00:13:04,243 -यह पता चलता है कि जब आप उस दूसरे क्रम के दोलन को जोड़ते हैं, +00:13:04,199 --> 00:13:07,308 +तो समग्र प्रभाव प्रवेशित प्रकाश के लगभग समान होता है, 215 -00:13:04,243 --> 00:13:07,126 -तो पूरा प्रभाव आने वाली रोशनी के लगभग समान होता है, +00:13:07,308 --> 00:13:09,900 +लेकिन केवल थोड़ी सी अवधारणा में पीछे होता है। 216 -00:13:07,126 --> 00:13:09,900 -लेकिन बस थोड़ा सा फेज वापस स्थानांतरित हो जाता है। +00:13:10,220 --> 00:13:15,833 +और फिर क्योंकि इस तरह के कई क्रमिक चरण स्थानांतरण प्रकाश की मंदी के समान हैं, 217 -00:13:10,220 --> 00:13:15,905 -और फिर क्योंकि इस तरह चरण में कई क्रमिक बदलाव प्रकाश के धीमा होने के समान हैं, +00:13:15,833 --> 00:13:18,640 +इससे अंततः अपवर्तनांक की व्याख्या होगी। 218 -00:13:15,905 --> 00:13:18,640 -यह अंततः अपवर्तनांक की व्याख्या करेगा। +00:13:19,460 --> 00:13:22,668 +लेकिन बेहद उत्सुक दर्शकों के मन में इस बात का सवाल जरूर उठेगा कि, 219 -00:13:19,460 --> 00:13:22,429 -लेकिन निश्चित रूप से, पर्याप्त रूप से उत्सुक दर्शक अब अपने हाथ उठाएंगे +00:13:22,668 --> 00:13:25,440 +जब हम उन्हें मिलाते हैं, तो यह प्रभाव क्यों पैदा होता है? 220 -00:13:22,429 --> 00:13:25,440 -और पूछेंगे कि जब आप उन्हें एक साथ जोड़ते हैं तो यह प्रभाव क्यों होता है? +00:13:26,240 --> 00:13:30,240 +और इसलिए, यहां दो लहरों को एक साथ मिलाने की सोच पर एक बात चीत करना फायदेमंद हो सकता है। 221 -00:13:26,240 --> 00:13:28,690 -और इसलिए यहां दो तरंगों को एक साथ जोड़ने के बारे में कैसे सोचा जाए, +00:13:30,840 --> 00:13:33,367 +यदि आप किसी विशेष आयाम, कुछ विशेष फ़्रीक्वेंसी, 222 -00:13:28,690 --> 00:13:30,240 -इस पर एक छोटा सा साइडबार उपयोगी हो सकता है। +00:13:33,367 --> 00:13:37,948 +और किसी विशेष फेज़ के साथ एक साइन वेव खींचते हैं, और फिर आप एक और साइन वेव खींचते हैं, 223 -00:13:30,840 --> 00:13:33,571 -यदि आप किसी विशेष एंप्लीट्यूड, कुछ विशेष फ़्रीक्वेंसी, +00:13:37,948 --> 00:13:41,476 +जिसमें उसका अपना आयाम, फ़्रीक्वेंसी, और फेज़ होता है, तो सामान्यत: 224 -00:13:33,571 --> 00:13:37,893 -और किसी विशेष फेज़ के साथ एक sine वेव खींचते हैं, और फिर आप एक और sine वेव खींचते हैं, +00:13:41,476 --> 00:13:45,742 +इन दो वेव्स का योग जब आप इन प्रारंभिक मापदंडों को बदलते हैं, वह कैसा दिखाई देगा, 225 -00:13:37,893 --> 00:13:42,115 -जिसमें उसका अपना एंप्लीट्यूड, फ़्रीक्वेंसी(frequency), और फेज़ होता है, तो सामान्यत: +00:13:45,742 --> 00:13:47,480 +इसके बारे में सोचना बहुत कठिन है। 226 -00:13:42,115 --> 00:13:45,890 -जब आप मापदंडों(parameters) में बदलाव करते हैं तो तरंगों का योग कैसा दिखेगा, +00:13:52,180 --> 00:13:57,162 +उस विशेष स्थिति में जहां आवृत्तियाँ एक समान होती हैं, जो हमारे उदाहरण के लिए सत्य है, 227 -00:13:45,890 --> 00:13:47,480 -इसका अनुमान लगाना थोड़ा कठिन है। +00:13:57,162 --> 00:14:00,580 +परिणाम भी उसी आवृत्ति के साथ एक साइन वेव की तरह दिखाई देगा। 228 -00:13:52,180 --> 00:13:57,127 -उस विशेष स्थिति में जहां आवृत्तियाँ एक समान होती हैं, जो हमारे उदाहरण के लिए सत्य है, +00:14:01,380 --> 00:14:04,920 +लेकिन फिर भी, वह लहर का सटीक वर्णन कैसे करें, इसके बारे में सोचना थोड़ा कठिन होता है। 229 -00:13:57,127 --> 00:14:00,580 -परिणाम भी उसी आवृत्ति के साथ एक sine तरंग की तरह दिखाई देगा। +00:14:05,240 --> 00:14:10,061 +इसमें कुछ अंपलीट्यूड और कुछ फेज हैं, और अगर मैं आपसे पूछूं कि प्रारंभिक तरंगों 230 -00:14:01,380 --> 00:14:04,920 -लेकिन फिर भी, यह सोचना थोड़ा मुश्किल है कि उस तरंग का सटीक वर्णन कैसे किया जाए। +00:14:10,061 --> 00:14:14,637 +के अंपलीट्यूड और फेज के आधार पर उन दोनों संख्याओं की ठोस गणना करने के लिए, 231 -00:14:05,240 --> 00:14:09,905 -इसमें कुछ अंपलीट्यूड और कुछ फेज हैं, और अगर मैं आपसे पूछूं कि प्रारंभिक तरंगों के +00:14:14,637 --> 00:14:19,520 +तो यह तुरंत स्पष्ट नहीं होगा कि आप त्रिगोनोमेट्री पहचान के बिना ऐसा कैसे करेंगे। 232 -00:14:09,905 --> 00:14:14,001 -अंपलीट्यूड और फेज के आधार पर उन दोनों संख्याओं की ठोस गणना करने के लिए, +00:14:20,120 --> 00:14:22,140 +लेकिन, इसके बारे में सोचने का यह एक सचमुच बहुत अच्छा तरीका है। 233 -00:14:14,001 --> 00:14:18,609 -तो यह तुरंत स्पष्ट नहीं होगा कि आप त्रिगोनोमेट्री पहचान(trig identities) के बिना +00:14:22,280 --> 00:14:26,860 +कल्पना करें कि पहली लहर किसी घूर्णीय वेक्टर के y-अंश को वर्णित करती है। 234 -00:14:18,609 --> 00:14:19,520 -ऐसा कैसे करेंगे। +00:14:28,480 --> 00:14:32,301 +उस वेक्टर की लंबाई हमारी तरंग के आयाम के साथ समकक्ष होती है, 235 -00:14:20,120 --> 00:14:22,140 -लेकिन यहां इसके बारे में सोचने का एक बहुत अच्छा तरीका है। +00:14:32,301 --> 00:14:37,000 +और फिर वेक्टर के प्रारंभिक रोटेशन से हमारी तरंग के फ़ेज़ का समन्वय होता है। 236 -00:14:22,280 --> 00:14:26,860 -कल्पना करें कि पहली तरंग किसी घूर्णीय(rotating) वेक्टर के y-घटक को दर्शाता है। +00:14:37,690 --> 00:14:41,899 +और फिर उसी तरह से दूसरी लहर को सोचें जो किसी अन्य घूमते हुए वेक्टर के 237 -00:14:28,480 --> 00:14:32,171 -उस वेक्टर की लंबाई हमारी तरंग के एंप्लीट्यूड के साथ मेल करता है, +00:14:41,899 --> 00:14:46,470 +y-घटक का विवरण देती है, जहां फिर से आयाम उस वेक्टर की लंबाई से मेल खाता है, 238 -00:14:32,171 --> 00:14:36,260 -और फिर वेक्टर के प्रारंभिक रोटेशन से हमारी तरंग के फ़ेज़ का मेल खाता है। +00:14:46,470 --> 00:14:50,380 +और लहर का चरण हमें उस वेक्टर के प्रारंभिक कोण की जानकारी देता है। 239 -00:14:36,260 --> 00:14:40,903 -और फिर उसी तरह उस दूसरी लहर के बारे में सोचें जो किसी अन्य घूर्णन वेक्टर +00:14:52,780 --> 00:14:55,273 +दो तरंगों के योग के बारे में सोचने के लिए, बस उन दो 240 -00:14:40,903 --> 00:14:46,182 -के y-घटक का दर्शाता है, जहां फिर से एंप्लीट्यूड उस वेक्टर की लंबाई से मेल खाता है, +00:14:55,273 --> 00:14:57,720 +वेक्टरों को टिप से टेल तक जोड़ने के बारे में सोचें। 241 -00:14:46,182 --> 00:14:50,380 -और तरंग का फेज हमें उस वेक्टर के प्रारंभिक कोण की जानकारी देता है। +00:14:58,400 --> 00:15:01,792 +और क्योंकि उन दोनों की आवृत्ति समान होती है जब वे घूमते हैं, 242 -00:14:52,780 --> 00:14:55,102 -अब दो तरंगों के योग के बारे में सोचने के लिए, बस उन +00:15:01,792 --> 00:15:04,740 +तो उनका योग उन्हीं के साथ तालमेल बनाकर रोटेट होता है। 243 -00:14:55,102 --> 00:14:57,380 -दो वैक्टरों को टिप टू टेल जोड़ने के बारे में सोचें। +00:15:07,400 --> 00:15:11,552 +इसलिए अगर आप हमारी परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाली तरंग के आयाम पर विचार करना चाहते हैं, 244 -00:14:57,380 --> 00:15:01,988 -और क्योंकि उन दोनों की आवृत्ति समान है क्योंकि वे दोनों घूमते हैं, +00:15:11,552 --> 00:15:13,864 +तो यह इस वेक्टर योग की लंबाई के आधार पर होता है, 245 -00:15:01,988 --> 00:15:04,740 -उनका योग उनके साथ लॉकस्टेप में घूमता है। +00:15:13,864 --> 00:15:16,460 +और ठीक वैसे ही चरण वेक्टर योग के कोण के अनुरूप होता है। 246 -00:15:07,400 --> 00:15:10,478 -इसलिए अगर आप परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाली हमारी तरंग के एंप्लीट्यूड +00:15:17,020 --> 00:15:20,522 +कुछ मामलों में यह आपको उन बातों के बारे में बताता है जो आपको शायद पहले से ही पता हो, 247 -00:15:10,478 --> 00:15:13,733 -पर विचार करना चाहते हैं, तो यह इस वेक्टर योग की लंबाई के आधार पर होता है, +00:15:20,522 --> 00:15:23,488 +जैसे कि अगर दोनों चरण समान होते हैं, तो आपको संरचनात्मक हस्तक्षेप मिलता 248 -00:15:13,733 --> 00:15:16,460 -और ठीक वैसे ही फेज वेक्टर योग के कोण(angle) के अनुरूप होता है। +00:15:23,488 --> 00:15:25,920 +है और आपके पास एक बड़ी लहर होती है जो परिणामस्वरूप होती है। 249 -00:15:17,020 --> 00:15:19,934 -कुछ मामलों में यह आपको ऐसी बातें बताता है जो शायद आप पहले से ही जानते हों, +00:15:26,380 --> 00:15:29,625 +और अगर चरण 180 डिग्री सिंक में नहीं होते, तो आपको विनाशक 250 -00:15:19,934 --> 00:15:22,810 -जैसे कि अगर दोनों फेज समान होते हैं, तो आपको संपोषी व्यतिकरण(constructive +00:15:29,625 --> 00:15:33,440 +प्रक्षेपण मिलता है जिससे अपेक्षाकृत छोटी परिणामस्वरूप तरंग होती है। 251 -00:15:22,810 --> 00:15:25,920 -interference) मिलता है और आपके पास एक बड़ी तरंग होती है जो परिणामस्वरूप होती है। +00:15:34,360 --> 00:15:38,529 +जो बात थोड़ी कम स्पष्ट होती है, लेकिन जो हमारे चर्चा के लिए आवश्यक है, 252 -00:15:26,380 --> 00:15:28,524 -और अगर फेज 180 डिग्री सिंक(sync) में नहीं होते, +00:15:38,529 --> 00:15:42,933 +वह यह है कि अगर दूसरी लहर का चरण पहली लहर के चरण से ठीक 90 डिग्री पीछे हो, 253 -00:15:28,524 --> 00:15:32,054 -तो आपको विनाशी व्यतिकरण(deconstructive interference) मिलता है जिससे अपेक्षाकृत +00:15:42,933 --> 00:15:47,220 +अर्थात एक चौथाई चक्र से बाहर समन्वय में, और अगर वह दूसरी लहर पहली लहर की 254 -00:15:32,054 --> 00:15:33,440 -छोटी परिणामस्वरूप तरंग होती है। +00:15:47,220 --> 00:15:51,507 +तुलना में बहुत ही छोटी होती है, तो अगर आप बाईं ओर नीचे की ओर छोटे वेक्टर 255 -00:15:34,360 --> 00:15:38,362 -जो बात थोड़ी कम स्पष्ट होती है, लेकिन जो हमारे चर्चा के लिए आवश्यक है, +00:15:51,507 --> 00:15:56,205 +योग की ओर देखते हैं, तो आप देखेंगे कि इसका परिणामस्वरूप जो लहर उत्पन्न होती है, 256 -00:15:38,362 --> 00:15:42,702 -वह यह है कि अगर दूसरी तरंग का फेज पहली तरंग के फेज से ठीक 90 डिग्री पीछे हो, +00:15:56,205 --> 00:16:01,080 +वह लगभग पहली लहर के समान होती है, बस उसका चरण थोड़ा सा पीछे स्थानांतरित हो जाता है। 257 -00:15:42,702 --> 00:15:45,916 -अर्थात 1/4 चक्र (cycle) से बाहर समन्वय(out of sync) में, +00:16:01,520 --> 00:16:07,360 +इसके अलावा, उस चरण विक्रम का आकार दूसरी लहर के विशेष आयाम पर निर्भर करता है। 258 -00:15:45,916 --> 00:15:49,636 -और अगर वह दूसरी तरंग पहली तरंग की तुलना में बहुत ही छोटी होती है, +00:16:08,580 --> 00:16:12,719 +इसलिए, हमारे पिछले एनिमेशन पर वापस जाते हुए, जहां हमारे पास कांच की एक परत 259 -00:15:49,636 --> 00:15:53,131 -तो अगर आप बाईं ओर नीचे की ओर छोटे वेक्टर योग की ओर देखते हैं, +00:16:12,719 --> 00:16:16,804 +में हिलते हुए चार्ज होते हैं, जो दूसरे क्रम के प्रसारण का कारण बनते हैं, 260 -00:15:53,131 --> 00:15:56,513 -तो आप देखेंगे कि इसका परिणामस्वरूप जो तरंग उत्पन्न होती है, +00:16:16,804 --> 00:16:20,060 +जिन्हें आने वाले प्रकाश के साथ जोड़ने की आवश्यकता होती है, 261 -00:15:56,513 --> 00:16:01,080 -वह लगभग पहली तरंग के समान होती है, बस उसका फेज थोड़ा सा पीछे स्थानांतरित जाता है। +00:16:20,060 --> 00:16:24,255 +इसका यह मतलब है कि उस दूसरी लहर का चरण पहली लहर के चरण की तुलना में ठीक एक 262 -00:16:01,520 --> 00:16:07,360 -इसके अलावा, उस फेज शिफ्ट का आकार दूसरी तरंग के विशेष एंप्लीट्यूड पर निर्भर करता है। +00:16:24,255 --> 00:16:25,580 +चौथाई चक्र पीछे होता है। 263 -00:16:08,580 --> 00:16:12,762 -तो हमारे पिछले एनीमेशन को देखते हुए, जहां हमारे पास कांच की एक परत में हिलते +00:16:26,020 --> 00:16:28,760 +इसलिए जब आप इन्हें मिलाते हैं, तो आपको यह लघु चरण स्थानांतरण मिलता है। 264 -00:16:12,762 --> 00:16:16,238 -हुए चार्ज होते हैं, जो दूसरे क्रम के प्रसारण का कारण बनते हैं, +00:16:29,320 --> 00:16:33,806 +और फिर, महत्वपूर्ण रूप से, उस चरण परिवर्तन का आकार बड़ा होता है जब वह द्वितीयक्रम की 265 -00:16:16,238 --> 00:16:19,442 -जिन्हें आने वाले प्रकाश के साथ जोड़ने की आवश्यकता होती है, +00:16:33,806 --> 00:16:38,240 +लहर अधिक होती है, और उसका छोटा होना उस समय होता है जब द्वितीयक्रम की लहर कम होती है। 266 -00:16:19,442 --> 00:16:23,679 -इसका यह मतलब है कि उस दूसरी तरंग का फेज पहली तरंग के फेज की तुलना में ठीक एक +00:16:39,220 --> 00:16:42,722 +फिर भी, बहुत उत्सुक दर्शक अपने हाथ उठाएंगे और पूछेंगे, 267 -00:16:23,679 --> 00:16:25,580 -चौथाई चक्र(1/4 cycle) पीछे होता है। +00:16:42,722 --> 00:16:45,460 +यह कैसे सटीक एक चौथाई चक्र पीछे हो जाता है? 268 -00:16:26,020 --> 00:16:28,760 -इसलिए जब आप इन्हें मिलाते हैं, तो आपको यह छोटा फेज में बदलाव मिलता है। +00:16:46,020 --> 00:16:49,700 +एक बहुत अच्छा कारण है, लेकिन वह आज हमारे लिए थोड़ा ज्यादा विस्तृत है। 269 -00:16:29,320 --> 00:16:33,891 -और फिर, महत्वपूर्ण रूप से, उस फेज परिवर्तन का आकार बड़ा होता है जब वह द्वितीयक्रम +00:16:49,860 --> 00:16:51,715 +यदि आप उत्सुक हैं, तो मैं आपको इस मामले पर फेनमैन 270 -00:16:33,891 --> 00:16:38,240 -की तरंग बड़ी होती है, और तब छोटा होता है जब वह दूसरे क्रम की तरंग छोटी होती है +00:16:51,715 --> 00:16:53,720 +व्याख्यानों का अवलोकन करने की दृढ़ता से सलाह देता हूँ। 271 -00:16:39,220 --> 00:16:42,618 -फिर भी, बहुत उत्सुक दर्शक अपने हाथ उठाएंगे और पूछेंगे, +00:16:54,460 --> 00:16:57,613 +हमारे उद्देश्यों के लिए, एक सेकंड के लिए पीछे हटें और सोचें कि 272 -00:16:42,618 --> 00:16:45,460 -यह कैसे सटीक 1/4 चक्र( cycle) पीछे हो जाता है? +00:16:57,613 --> 00:17:00,966 +प्रिज्म के मुख्य प्रश्न का स्पष्टीकरण करने के लिए आपको क्या चाहिए, 273 -00:16:46,020 --> 00:16:49,700 -एक बहुत अच्छा कारण है, लेकिन आज हमारे लिए यह थोड़ा अधिक विस्तृत है। +00:17:00,966 --> 00:17:04,319 +जो यह है कि अपवर्तन का सूचकांक आखिरकार रंग पर क्यों निर्भर करता है। 274 -00:16:49,860 --> 00:16:51,941 -यदि आप उत्सुक हैं, तो मैं आपको इस मामले पर फेनमैन व्याख्यानों +00:17:05,000 --> 00:17:09,317 +जैसा कि आप अब जानते हैं, वह सूचकांक इस बात पर निर्भर करता है कि कांच की प्रत्येक 275 -00:16:51,941 --> 00:16:53,720 -पर एक नज़र डालने के लिए अत्यधिक प्रोत्साहित करता हूँ। +00:17:09,317 --> 00:17:13,528 +परत लहर के चरण को कितना प्रतिबिम्बित करती है, और वह चरण किक उस कांच के परत में 276 -00:16:54,460 --> 00:16:57,695 -हमारे उद्देश्यों के लिए, एक सेकंड के लिए पीछे हटें और सोचें कि +00:17:13,528 --> 00:17:17,579 +चार्ज दोलन से उत्पन्न होने वाली द्वितीयक्रम तरंग की शक्ति पर निर्भर करती है। 277 -00:16:57,695 --> 00:17:01,136 -प्रिज्म के मुख्य प्रश्न का स्पष्टीकरण करने के लिए आपको क्या चाहिए, +00:17:18,000 --> 00:17:21,321 +इसलिए, आपको पूरी गहराई से खोदना होगा और समझना होगा कि आने वाली 278 -00:17:01,136 --> 00:17:04,319 -यही कारण है कि अपवर्तनांक आखिरकार रंग पर क्यों निर्भर करता है। +00:17:21,321 --> 00:17:24,960 +प्रकाश तरंग का प्रतिक्रिया में उन आवेशों की हिलने की मात्रा कितनी है। 279 -00:17:05,000 --> 00:17:09,243 -जैसा कि आप अब जानते हैं, वह अपवर्तनांक इस बात पर निर्भर करता है कि कांच की प्रत्येक +00:17:25,700 --> 00:17:29,441 +तो चलिए उस परत पर ज़ूम करें और उन चार्ज किये गए कणों में से प्रत्येक के 280 -00:17:09,243 --> 00:17:11,618 -परत तरंग के फेज को कितना प्रतिबिम्बित करती है, +00:17:29,441 --> 00:17:33,286 +बारे में विचार करते हैं, और हालांकि विशेष मॉलिकुलर संरचना बहुत जटिल होगी, 281 -00:17:11,618 --> 00:17:15,963 -और वह फेज में परिवर्तन उस कांच के परत में चार्ज दोलन से उत्पन्न होने वाली द्वितीयक्रम +00:17:33,286 --> 00:17:37,079 +हम उन चार्जों में से प्रत्येक को इस तरह से मॉडल करने वाले हैं जैसे कि वह 282 -00:17:15,963 --> 00:17:17,579 -तरंग की शक्ति पर निर्भर करती है। +00:17:37,079 --> 00:17:41,080 +किसी संतुलन स्थिति से एक स्प्रिंग, या शायद सेट के स्प्रिंग्स से जकड़ा हुआ हो। 283 -00:17:18,000 --> 00:17:21,421 -इसलिए आपको गहराई से जानने और यह समझने की ज़रूरत है कि आने +00:17:41,600 --> 00:17:46,697 +मेरा यह कहने का अर्थ शाब्दिक रूप से नहीं है, मैं इसका मतलब यह है कि अगर हम इस 284 -00:17:21,421 --> 00:17:24,960 -वाली प्रकाश तरंग की प्रतिक्रिया में वे आवेश कितने हिलते हैं। +00:17:46,697 --> 00:17:52,056 +चार्ज के स्थिरता से विस्थापन का वर्णन एक छोटे राशिमान x के साथ करते हैं जो समय पर 285 -00:17:25,700 --> 00:17:29,885 -तो आइए उस परत पर ज़ूम करें और उन आवेशित कणों में से प्रत्येक के बारे में सोचें, +00:17:52,056 --> 00:17:55,847 +निर्भर होगा, तो हमारे मानदंड के अनुसार, चार्ज पर लागू बल, 286 -00:17:29,885 --> 00:17:33,076 -और भले ही विशिष्ट आणविक संरचना कुछ बहुत जटिल होने जा रही है, +00:17:55,847 --> 00:18:00,421 +जो इसे उस स्थिरता की ओर खींचेगा, विस्थापन के आकार के अनुपात में होगा, 287 -00:17:33,076 --> 00:17:36,790 -हम उन आवेशों में से प्रत्येक को इस तरह मॉडल करने जा रहे हैं जैसे कि यह +00:18:00,421 --> 00:18:02,840 +जिसका एक छोटा अनुपातिक निरंतर k होगा। 288 -00:17:36,790 --> 00:17:41,080 -किसी से बंधा हो एक स्प्रिंग, या शायद स्प्रिंग्स के एक सेट द्वारा संतुलन की स्थिति। +00:18:03,320 --> 00:18:05,440 +यही वह कानून है जो निर्देशित करता है कि स्प्रिंग्स कैसे काम करते हैं। 289 -00:17:41,600 --> 00:17:45,742 -मेरा शाब्दिक अर्थ यह नहीं है, निश्चित रूप से, मेरा मतलब सिर्फ यह है कि +00:18:05,900 --> 00:18:10,164 +आप यह पूछ सकते हैं कि क्या यह सही है, और विचार यह है कि बहुत छोटे स्थानांतरण के लिए, 290 -00:17:45,742 --> 00:17:49,944 -अगर हम इस चार्ज के संतुलन से इसके विस्थापन का वर्णन एक छोटे वेक्टर x के +00:18:10,164 --> 00:18:11,820 +यह वास्तव में एक उत्तम अनुमान है। 291 -00:17:49,944 --> 00:17:54,554 -साथ करते हैं जो समय पर निर्भर करेगा, तो हमारे मॉडल में, चार्ज पर लगाया गया बल, +00:18:11,820 --> 00:18:16,140 +भौतिकी के सभी क्षेत्रों में यह एक आम चीज है, हम इसे रैखिक पुनर्स्थापन बल कहेंगे। 292 -00:17:54,554 --> 00:17:58,755 -खींच रहा है यह उस संतुलन पर वापस आता है, उस विस्थापन के आकार के लिए कुछ +00:18:16,540 --> 00:18:20,577 +विचार यह है कि शायद वास्तविक बल कानून स्थिति पर एक बहुत ज्यादा जटिल तरीके से निर्भर 293 -00:17:58,755 --> 00:18:02,840 -आनुपातिक होने जा रहा है, थोड़ा आनुपातिकता स्थिरांक(constant) k के साथ। +00:18:20,577 --> 00:18:24,760 +करता है, लेकिन हम मूल रूप से संतुलन के आस-पास के कम स्तर के अनुमान का उपयोग कर रहे हैं। 294 -00:18:03,320 --> 00:18:05,440 -यह वही नियम है जो नियंत्रित करता है कि स्प्रिंग्स कैसे काम करते हैं। +00:18:25,700 --> 00:18:29,340 +यदि मैं इसे सिमुलेशन के रूप में चलाता हूँ, इस बल कानून को प्लग-इन करता हूँ, 295 -00:18:05,900 --> 00:18:10,135 -आप पूछ सकते हैं कि क्या यह सटीक है, और विचार यह है कि बहुत छोटे विस्थापनों के लिए, +00:18:29,340 --> 00:18:31,880 +तो समय के सापेक्ष विस्थापन का यह दृश्य कैसा दिखता है। 296 -00:18:10,135 --> 00:18:11,820 -यह वास्तव में एक अच्छा अनुमान है। +00:18:32,460 --> 00:18:37,593 +जो चीज आपको मिलती है वह साइन तरंग की तरह दिखती है, इसे सरल हार्मोनिक गति कहते हैं, 297 -00:18:11,820 --> 00:18:13,917 -भौतिकी के सभी क्षेत्रों में यह एक सामान्य चीज है, +00:18:37,593 --> 00:18:40,747 +और इस तरंग की आवृति हम दोनों के लिए बहुत अहम होगी, 298 -00:18:13,917 --> 00:18:16,140 -हम इसे रैखिक पुनर्स्थापन(linear restoring) बल कहेंगे। +00:18:40,747 --> 00:18:44,767 +और इसे जानने के लिए हमें एक विशेष अवकल समीकरण को सुलझाना पड़ेगा, 299 -00:18:16,540 --> 00:18:20,553 -विचार यह है कि शायद वास्तविक बल नियम स्थिति पर एक बहुत ज्यादा जटिल तरीके से निर्भर +00:18:44,767 --> 00:18:48,478 +क्योंकि बल वास्तव में द्रव्यमान गुणा त्वरण के समान होता है, 300 -00:18:20,553 --> 00:18:24,760 -करता है, लेकिन हम मूल रूप से संतुलन के आस-पास के कम स्तर के अनुमान का उपयोग कर रहे हैं। +00:18:48,478 --> 00:18:51,880 +और त्वरण वही होता है जो विस्थापन का दूसरा अवकल होता है। 301 -00:18:25,700 --> 00:18:29,197 -यदि मैं इसे केवल एक सिमुलेशन के रूप में चलाता हूं, इस बल नियम को जोड़कर, +00:18:52,340 --> 00:18:55,589 +तो हम जो कह रहे हैं वह यह हैं, हमें ऐसा फ़ंक्शन चाहिए जिसका दूसरा 302 -00:18:29,197 --> 00:18:31,880 -तो समय के एक कार्य के रूप में वह विस्थापन कैसा दिखता है। +00:18:55,589 --> 00:18:58,740 +व्युत्पन्न वही कार्य को किसी निश्चित स्थिरांक के साथ दर्शाता हो। 303 -00:18:32,460 --> 00:18:36,972 -आपको जो मिलता है वह sine तरंग की तरह दिखती है, इसे सरल हार्मोनिक गति कहते हैं, +00:18:59,360 --> 00:19:01,125 +आप में से जो भी अवकल समीकरण के छात्र हैं, उन्हें 304 -00:18:36,972 --> 00:18:39,885 -और इस तरंग की आवृति हम दोनों के लिए बहुत अहम होगी, +00:19:01,125 --> 00:19:03,000 +यह सोचने में मजा आ सकता है कि वे इसे कैसे हल करेंगे। 305 -00:18:39,885 --> 00:18:44,397 -और इसे जानने के लिए हमें एक विशेष अवकल(differential) समीकरण को सुलझाना पड़ेगा, +00:19:03,240 --> 00:19:06,347 +मैं पूर्ण विवरण पर नहीं जाऊंगा, लेकिन उत्तर अनुभवसाधारित है, 306 -00:18:44,397 --> 00:18:47,653 -क्योंकि बल वास्तव में द्रव्यमान x त्वरण के समान होता है, +00:19:06,347 --> 00:19:09,760 +और जिसने भी थोड़ा-बहुत कैलकुलस सीखा हो, वह इसे खुद ही जांच सकता है। 307 -00:18:47,653 --> 00:18:51,880 -और त्वरण वही होता है जो विस्थापन का दूसरा अवकल(second derivative) होता है। +00:19:09,760 --> 00:19:14,522 +इसका निष्कर्ष यह निकलता है कि यदि प्रारंभिक स्थिति ऐसी हो कि हमारे छोटे चार्ज की 308 -00:18:52,340 --> 00:18:55,357 -तो हम जो कह रहे हैं वह यह हैं, हमें ऐसा फ़ंक्शन चाहिए जिसका दूसरा +00:19:14,522 --> 00:19:19,284 +गति शून्य हो, लेकिन वह समतुल्य स्थिति से थोड़ा x नॉट वेक्टर द्वारा अनुपस्थित है, 309 -00:18:55,357 --> 00:18:58,740 -व्युत्पन्न वही कार्य को किसी निश्चित स्थिरांक(constant) के साथ दर्शाता हो। +00:19:19,284 --> 00:19:24,340 +तो आगे समय में उसकी स्थिति x नॉट से गुणा की एक कोसाइन अभिव्यक्ति की तरह दिखाई देती है। 310 -00:18:59,360 --> 00:19:01,132 -आप में से जो भी अवकल(differential) समीकरण के छात्र हैं, +00:19:25,400 --> 00:19:29,958 +तो इस लहर का आयाम किसी तरह से अरूचिकर है, यह सिर्फ इस पर निर्भर करता है कि हमने शुरू में 311 -00:19:01,132 --> 00:19:03,000 -उन्हें यह सोचने में मजा आ सकता है कि वे इसे कैसे हल करेंगे। +00:19:29,958 --> 00:19:33,288 +लहर को कितनी दूर खींचा है, लेकिन असली गुच्छा यह आवृत्ति शब्द है, 312 -00:19:03,240 --> 00:19:06,261 -मैं पूर्ण विवरण पर नहीं जाऊंगा, लेकिन उत्तर काफी सहज है, +00:19:33,288 --> 00:19:34,620 +k का वर्गमूल m से विभाजित। 313 -00:19:06,261 --> 00:19:09,760 -और जिसने भी थोड़ा-बहुत कैलकुलस सीखा हो, वह इसे स्वयं जांच सकता है। +00:19:35,320 --> 00:19:38,620 +और अगर आप इसके बारे में सोचें, तो आशा है कि यह कम-से-कम थोड़ा अनुभवयोग्य होना चाहिए। 314 -00:19:09,760 --> 00:19:14,583 -जिस तरह से यह हिलाता है वह यह है कि यदि प्रारंभिक स्थिति यह है कि हमारे छोटे चार्ज में +00:19:39,000 --> 00:19:42,743 +उदाहरण के लिए, यदि आप k को बढ़ाते हैं, जो एक प्रकार से उस स्प्रिंग की 315 -00:19:14,583 --> 00:19:18,685 -शून्य का वेग है, लेकिन यह थोड़ा वेक्टर x शून्य द्वारा संतुलन से ऑफसेट है, +00:19:42,743 --> 00:19:46,540 +शक्ति को बढ़ाने जैसा है, तो इसके परिणामस्वरूप ज्यादा तेज़ दोलन होता है। 316 -00:19:18,685 --> 00:19:23,563 -तो जिस तरह से यह समय के साथ विकसित होता है वह x शून्य को कोसाइन से गुणा करने जैसा दिखता +00:19:47,020 --> 00:19:50,824 +जबकि यदि आप कण का द्रव्यमान m बढ़ाते हैं, तो ज्यादा जडता होती है, 317 -00:19:23,563 --> 00:19:24,340 -है अभिव्यक्ति। +00:19:50,824 --> 00:19:53,360 +और इसका परिणामस्वरूप धीरे धीरे दोलन होता है। 318 -00:19:25,400 --> 00:19:27,865 -तो इस तरंग का एंप्लीट्यूड किसी तरह से अरूचिकर है, +00:19:54,220 --> 00:19:57,455 +इस अवधारणा, k का वर्गमूल जो m से विभाजित है, का एक विशेष नाम है, 319 -00:19:27,865 --> 00:19:31,563 -यह सिर्फ इस पर निर्भर करता है कि हमने शुरू में तरंग को कितनी दूर खींचा है, +00:19:57,455 --> 00:20:00,740 +इसे हमारे सरल हार्मोनिक ऑसिलेटर की गूँजन फ़्रीक्वेंसी कहा जाता है। 320 -00:19:31,563 --> 00:19:34,620 -लेकिन मुख्य बात यह आवृत्ति शब्द है, k का वर्गमूल m से विभाजित। +00:20:01,100 --> 00:20:04,640 +और थोड़ा और सटीक होने पर, मैं इसे गूंजनशील कोणीय आवृत्ति कहना चाहिए। 321 -00:19:35,320 --> 00:19:38,620 -और यदि आप इसके बारे में सोचते हैं, तो उम्मीद है कि यह कम से कम थोड़ा सहज होना चाहिए। +00:20:05,100 --> 00:20:07,633 +यह भौतिक विज्ञान के साथ हमेशा एक अजनबी बात होती है, 322 -00:19:39,000 --> 00:19:44,026 -उदाहरण के लिए, यदि आप k बढ़ाते हैं, जो कि उस स्प्रिंग की ताकत बढ़ाने जैसा है, +00:20:07,633 --> 00:20:10,362 +जब भी आपके पास किसी प्रकार की चक्रीय प्रक्रिया होती है, 323 -00:19:44,026 --> 00:19:46,540 -तो इसके परिणामस्वरूप तेज़ दोलन होता है। +00:20:10,362 --> 00:20:14,358 +जंबिश्रेणी परेड की एक सहज वर्णना करते हैं, तो आवृत्ति के संदर्भ में चीजों को कहना 324 -00:19:47,020 --> 00:19:50,845 -जबकि यदि आप कण का द्रव्यमान m बढ़ाते हैं, तो बहुत अधिक जड़ता होती है, +00:20:14,358 --> 00:20:17,380 +स्वाभाविक है, यह प्रक्रिया प्रति इकाई समय कितने चक्र बनाती है। 325 -00:19:50,845 --> 00:19:53,360 -और इसके परिणामस्वरूप धीमी गति से दोलन होता है। +00:20:17,700 --> 00:20:21,553 +लेकिन गणित करते समय, अक्सर कोणीय आवृत्ति के बारे में बात करना अधिक स्वाभाविक होता है, 326 -00:19:54,220 --> 00:19:57,355 -इस शब्द, k के वर्गमूल को m से विभाजित करने का एक विशेष नाम है, +00:20:21,553 --> 00:20:25,138 +जिसे आप इस प्रक्रिया द्वारा प्रति इकाई समय रेडियन में कितना कोण समाहित होता है, 327 -00:19:57,355 --> 00:20:00,740 -इसे हमारे सरल हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए गुंजयमान आवृत्ति कहा जाता है। +00:20:25,138 --> 00:20:25,900 +ऐसा सोच सकते हैं। 328 -00:20:01,100 --> 00:20:04,640 -और थोड़ा अधिक सटीक होने पर, मुझे इसे गुंजयमान कोणीय आवृत्ति कहना चाहिए। +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 +इसलिए यह शब्द आवृत्ति के समान ही है, बस इसे 2 पाई से गुणा किया गया है। 329 -00:20:05,100 --> 00:20:09,310 -यह भौतिकी के साथ हमेशा एक अजीब सी बात है, जहां जब भी आपके पास किसी प्रकार की चक्रीय +00:20:29,320 --> 00:20:33,092 +उदाहरण के लिए, यदि आपके पास कोसाइन अभिव्यक्ति जैसा कुछ हो, 330 -00:20:09,310 --> 00:20:11,716 -प्रक्रिया होती है, जब आप एक सहज विवरण देते हैं, +00:20:33,092 --> 00:20:37,120 +जिसे आप ऐसे साइकली वेक्टर के एक्स घटक के रूप में समझ सकते हैं, 331 -00:20:11,716 --> 00:20:14,924 -तो आवृत्ति के संदर्भ में चीजों को वाक्यांशित करना स्वाभाविक है, +00:20:37,120 --> 00:20:41,020 +तो कोसाइन में टी के सीधे सामने वाला पद कोणीय आवृत्ति होती है। 332 -00:20:14,924 --> 00:20:17,380 -यह प्रक्रिया प्रति यूनिट कितने चक्र बनाती है समय। +00:20:41,440 --> 00:20:43,880 +यही कारण है कि कोणीय आवृत्ति गणित को थोड़ा और स्पष्ट बनाती है। 333 -00:20:17,700 --> 00:20:21,166 -लेकिन गणित करते समय, अक्सर कोणीय आवृत्ति के बारे में बात करना अधिक स्वाभाविक होता है, +00:20:44,160 --> 00:20:47,723 +उदाहरण के लिए, हमारी सरल हार्मोनिक गति में, t के सामने बैठा हुआ व्यंजक के 334 -00:20:21,166 --> 00:20:23,706 -जिसे आप यह बताने के रूप में सोच सकते हैं कि यह प्रक्रिया प्रति +00:20:47,723 --> 00:20:51,720 +वर्गमूल को के से विभाजित करना दिखता है, जिसे मैं ओमेगा उप r के रूप में लिख रहा हूं। 335 -00:20:23,706 --> 00:20:25,520 -इकाई समय रेडियन में कितने कोण को कवर करती है। +00:20:52,340 --> 00:20:56,090 +चलिए सभी को एक साथ बांध लेते हैं और इसे हमारा समाधान कहते हैं सीधे मामले में, 336 -00:20:25,520 --> 00:20:28,920 -तो यह शब्द आवृत्ति के समान है लेकिन 2 पाई से गुणा किया गया है। +00:20:56,090 --> 00:20:59,120 +जहां हमारे चार्ज युक्त कण पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है। 337 -00:20:29,320 --> 00:20:32,860 -उदाहरण के लिए, यदि आपके पास कोसाइन अभिव्यक्ति जैसा कुछ है, +00:20:59,780 --> 00:21:04,768 +लेकिन निःसंदेह, हमारी रुचि इस बात में है कि जब आप इस सामग्री पर प्रकाश की किरण पड़ती है, 338 -00:20:32,860 --> 00:20:37,420 -जिसे आप साइक्लिंग वेक्टर के एक्स घटक का वर्णन करने के रूप में सोच सकते हैं, +00:21:04,768 --> 00:21:09,700 +तो क्या होता है, जो स्वाभाविक रूप से इस चार्ज को हिलाती है, लेकिन प्रश्न यह है कि कितना। 339 -00:20:37,420 --> 00:20:41,020 -तो उस कोसाइन में टी के ठीक सामने बैठा शब्द कोणीय आवृत्ति है। +00:21:10,460 --> 00:21:14,920 +हमारे समीकरण में, ऐसा लगता है मानो हम प्रकाश तरंग के अनुरूप एक नया बल पद जोड़ रहे हैं। 340 -00:20:41,440 --> 00:20:43,880 -यही कारण है कि कोणीय आवृत्ति गणित को थोड़ा साफ बनाती है। +00:21:15,300 --> 00:21:19,109 +वह बल भी किसी कोसाइन फ़ंक्शन के अनुसार ऊपर और नीचे दोलता है, 341 -00:20:44,160 --> 00:20:47,866 -उदाहरण के लिए, हमारी सरल हार्मोनिक गति में, t के सामने बैठा पद k के वर्गमूल +00:21:19,109 --> 00:21:24,480 +लेकिन इस बार यह एक विशिष्ट कोणीय आवृत्ति के साथ होता है जिसे मैं ओमेगा सब एल कहता हूं। 342 -00:20:47,866 --> 00:20:51,720 -को m से विभाजित करने जैसा दिखता है, जिसे मैं ओमेगा उप r के रूप में लिख रहा हूं। +00:21:25,020 --> 00:21:29,654 +यहां E शून्य लहर की ताकत का विवरण देता है, और फिर q हम जिस कण को मॉडल कर रहे हैं, 343 -00:20:52,340 --> 00:20:55,926 -आइए उन सभी को पैकेज करें और इसे सरल मामले में अपना समाधान कहें, +00:21:29,654 --> 00:21:31,180 +उसके आवेश का विवरण देता है। 344 -00:20:55,926 --> 00:20:59,120 -जहां हमारे चार्ज कण पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है। +00:21:31,980 --> 00:21:34,900 +हमेशा की तरह, इसके बारे में सोचना तब अधिक आसान होता है जब हम प्रकाश 345 -00:20:59,780 --> 00:21:03,104 -लेकिन निःसंदेह, हमारी रुचि इस बात में है कि जब आप इस सामग्री +00:21:34,900 --> 00:21:37,821 +तरंग का केवल एक हिस्सा चित्रित करते हैं, और इस स्थिति में हम उसे उस 346 -00:21:03,104 --> 00:21:06,320 -पर प्रकाश की किरण डालते हैं तो क्या होता है, जो सहज रूप से +00:21:37,821 --> 00:21:40,700 +सामग्री की परत के तल पर चित्रित करने वाले हैं, जिसकी हमें परवाह है। 347 -00:21:06,320 --> 00:21:09,700 -इस चार्ज को हिलाने का कारण बनता है, लेकिन सवाल यह है कि कितना। +00:21:41,100 --> 00:21:44,072 +आपको लग सकता है कि हवा के झोंके हमारी छोटी गेंद को 348 -00:21:10,460 --> 00:21:14,920 -हमारे समीकरण में, यह प्रकाश तरंग के अनुरूप एक नया बल शब्द जोड़ने जैसा दिखता है। +00:21:44,072 --> 00:21:47,220 +एक साफ साइनसॉइडल पैटर्न में ऊपर और नीचे ले जा रहे हैं। 349 -00:21:15,300 --> 00:21:19,685 -वह बल किसी प्रकार के कोसाइन फ़ंक्शन के अनुसार भी ऊपर और नीचे दोलन करता है, +00:21:47,780 --> 00:21:51,120 +या एक और उपमा के तौर पर देखें, यह झूले पर बच्चे को धकेलने जैसा है। 350 -00:21:19,685 --> 00:21:24,480 -लेकिन इस बार एक विशिष्ट कोणीय आवृत्ति के साथ जिसे मैं ओमेगा सब एल कहने जा रहा हूं। +00:21:51,120 --> 00:21:54,785 +गुरुत्वाकर्षण के बल की वजह से झूला स्वचालित रूप से दोलेगा, 351 -00:21:25,020 --> 00:21:29,668 -यहां E शून्य तरंग की ताकत का वर्णन करता है, और फिर q हम जिस कण को मॉडल कर रहे हैं, +00:21:54,785 --> 00:21:59,506 +परन्तु आप जो झूला धकेल रहे हैं एक बाहरी बल लगा रहे हैं जो खुद भी समय के साथ 352 -00:21:29,668 --> 00:21:31,180 -उसके आवेश का वर्णन करता है। +00:21:59,506 --> 00:22:00,500 +दोल रहा होता है। 353 -00:21:31,980 --> 00:21:34,716 -हमेशा की तरह, इस बारे में सोचना बहुत आसान है जब हम केवल उस +00:22:01,240 --> 00:22:05,762 +हालाँकि यहाँ एक प्रमुख अंतर यह है कि आमतौर पर उस बाहरी बल की आवृत्ति 354 -00:21:34,716 --> 00:21:37,638 -प्रकाश तरंग का एक उपसमूह खींचते हैं, और इस मामले में हम इसे उस +00:22:05,762 --> 00:22:10,220 +का उस छोटे ओसीलेटर की स्वतः गूँजान आवृत्ति से कोई सम्बन्ध नहीं होता। 355 -00:21:37,638 --> 00:21:40,700 -सामग्री की परत के तल पर खींचने जा रहे हैं जिसकी हम परवाह करते हैं। +00:22:10,940 --> 00:22:15,173 +एक बेहतर तुलना यह होगी कि आप झूले पर बच्चे को एक चक्रीय बल से धकेल रहे हो, 356 -00:21:41,100 --> 00:21:44,086 -आप शायद हवा के झोंकों के बारे में सोच सकते हैं जो हमारी छोटी +00:22:15,173 --> 00:22:18,560 +जो कि झूले के स्वाभाविक क्रियाकलाप से कोई सम्बन्ध नहीं रखता। 357 -00:21:44,086 --> 00:21:47,220 -सी गेंद को एक साफ साइनसॉइडल पैटर्न में ऊपर और नीचे उड़ा रहे हैं। +00:22:19,180 --> 00:22:23,274 +और मेरा सबसे पसंदीदा हिस्सा, जब मैं सचमुच अपनी भांजी के साथ ऐसा करने की कोशिश कर रहा था, 358 -00:21:47,780 --> 00:21:51,120 -या एक अन्य सादृश्य के रूप में, यह एक बच्चे को झूले पर धकेलने के समान है। +00:22:23,274 --> 00:22:27,000 +वह यह है कि किसी बिंदु पर वह खुद से हल्के स्वर में कहती है, माँ ऐसा नहीं करती है। 359 -00:21:51,120 --> 00:21:54,354 -गुरुत्वाकर्षण बल के कारण झूला अपने आप दोलन करेगा, +00:22:27,600 --> 00:22:31,654 +अब, आने वाली प्रकाश के प्रतिक्रिया में हमारे चार्ज की कितनी कंपन हो रही है इसे 360 -00:21:54,354 --> 00:21:58,882 -लेकिन आप धक्का देने वाले के रूप में एक बाहरी बल लगा रहे हैं जो समय के +00:22:31,654 --> 00:22:35,760 +समझने की कोशिश में, मैं इसे सिमुलेट करके और परिणाम का चित्रण करके शुरू करता हूं। 361 -00:21:58,882 --> 00:22:00,500 -साथ स्वयं दोलन कर रहा है। +00:22:37,040 --> 00:22:41,321 +आप देखेंगे कि शुरुआत में थोड़ा समय लगता है जैसे की उसे खुद को संभालने की जरुरत होती है, 362 -00:22:01,240 --> 00:22:05,606 -हालाँकि यहाँ एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि सामान्य तौर पर उस बाहरी बल की +00:22:41,321 --> 00:22:44,629 +लेकिन उसके बाद, धन्यवाद स्वरूप, यह बहुत ही साफ़ एवं सुंदर दिखती है, 363 -00:22:05,606 --> 00:22:10,220 -आवृत्ति का उस छोटे थरथरानवाला की गुंजयमान आवृत्ति से कोई लेना-देना नहीं है। +00:22:44,629 --> 00:22:46,040 +बिलकुल एक और साइन वेव की तरह। 364 -00:22:10,940 --> 00:22:14,725 -बेहतर सादृश्य यह होगा कि आप बच्चे को चक्रीय बल के साथ झूले पर धकेल रहे हैं, +00:22:46,040 --> 00:22:49,020 +अब आप सोच रहे होंगे, हाँ हाँ, सब कुछ साइन वेव्स हैं, 365 -00:22:14,725 --> 00:22:18,560 -जिसका इससे कोई लेना-देना नहीं है कि झूला स्वाभाविक रूप से क्या करना चाहता है। +00:22:49,020 --> 00:22:53,126 +लेकिन यह समझना महत्वपूर्ण है कि इसका स्वरूप उस साइन वेव से बहुत भिन्न है 366 -00:22:19,180 --> 00:22:23,061 -और सचमुच अपनी भतीजी के साथ ऐसा करने की कोशिश में मेरा पसंदीदा हिस्सा +00:22:53,126 --> 00:22:54,420 +जिसे हमने पहले देखा था। 367 -00:22:23,061 --> 00:22:27,000 -यह है कि कुछ बिंदु पर वह धीरे से खुद से कहती है, माँ ऐसा नहीं करती है। +00:22:54,860 --> 00:23:00,618 +पहले, बिना किसी बाहरी ताकत के, उस तरंग की आवृत्ति स्प्रिंग स्थिरांक और द्रव्यमान पर 368 -00:22:27,600 --> 00:22:31,705 -अब, यह समझने की कोशिश में कि आने वाली रोशनी की प्रतिक्रिया में हमारा चार्ज कितना +00:23:00,618 --> 00:23:06,720 +निर्भर थी, जिसका अर्थ है कि यह केवल और केवल कांच के बनावट के गुणधर्मों पर निर्भर करता है। 369 -00:22:31,705 --> 00:22:35,760 -दोलन कर रहा है, मुझे इसे अनुकरण करने और परिणाम की साजिश रचने से शुरू करना चाहिए। +00:23:07,140 --> 00:23:11,027 +इसके उलट, इस बाहरी साइकलन निर्माण बल के साथ, स्थिर अवस्था 370 -00:22:37,040 --> 00:22:41,726 -आप देखेंगे कि शुरुआत में थोड़ा समय लगता है जैसे की उसे खुद को संभालने की जरुरत होती है, +00:23:11,027 --> 00:23:14,780 +में फ़्रिक्वेंसी प्रकाश की फ़्रिक्वेंसी के समान होती है। 371 -00:22:41,726 --> 00:22:46,040 -लेकिन उसके बाद, यह बहुत ही साफ़ एवं सुंदर दिखती है, बिलकुल एक और sine वेव की तरह। +00:23:15,200 --> 00:23:18,308 +और फिर हमारे पहले मामले में, लहर की आयामना बिल्कुल अरुचिपूर्ण थी, 372 -00:22:46,040 --> 00:22:49,036 -अब आप सोच रहे होंगे, हाँ हाँ, सब कुछ sine तरंगें हैं, +00:23:18,308 --> 00:23:22,360 +यह केवल इस बात पर निर्भर करती है कि आपने शुरुआत में स्प्रिंग को कितनी दूर तक खींचा था। 373 -00:22:49,036 --> 00:22:53,143 -लेकिन यह समझना महत्वपूर्ण है कि इसका स्वरूप उस sine तरंग से बहुत भिन्न है +00:23:22,660 --> 00:23:25,312 +लेकिन दूसरे मामले में, इस लहर की ऊचाई वास्तव में 374 -00:22:53,143 --> 00:22:54,420 -जिसे हमने पहले देखा था। +00:23:25,312 --> 00:23:27,640 +वह स्थान है जहाँ सबसे रोचक घटनाएँ होती हैं। 375 -00:22:54,860 --> 00:23:00,720 -पहले, बिना किसी बाहरी ताकत के, उस तरंग की आवृत्ति स्प्रिंग स्थिरांक और द्रव्यमान तक +00:23:28,080 --> 00:23:32,480 +प्रकाश तरंग के प्रतिक्रिया में यह आवेश वास्तव में कितना दोलेगा? 376 -00:23:00,720 --> 00:23:06,720 -कम हो जाती थी, जिसका अर्थ है कि यह विशेष रूप से कांच के भौतिक गुणों पर निर्भर करता है। +00:23:33,420 --> 00:23:36,031 +फिर भी, मैं इसके हल के पूरे विवरण पर नहीं जाऊंगा, 377 -00:23:07,140 --> 00:23:10,624 -इसके विपरीत, इस बाहरी साइकलिंग ड्राइविंग बल के साथ, +00:23:36,031 --> 00:23:38,852 +लेकिन यदि आप में से कोई उत्सुक कैलकुलस विद्यार्थी है, 378 -00:23:10,624 --> 00:23:14,780 -उस स्थिर अवस्था में आवृत्ति प्रकाश की आवृत्ति के समान होती है। +00:23:38,852 --> 00:23:41,307 +तो आप इस अभ्यास से गुजरने का आनन्द ले सकते हैं। 379 -00:23:15,200 --> 00:23:18,462 -और फिर हमारे पहले मामले में, तरंग की एंप्लीट्यूड बिल्कुल अरुचिपूर्ण थी, +00:23:41,307 --> 00:23:45,852 + अगर आप बस यह अनुमान लगाते हैं कि समाधान प्रकाश की ही आवृत्ति वाली कोसाइन तरंग के समान 380 -00:23:18,462 --> 00:23:22,360 -यह केवल इस बात पर निर्भर करती है कि आपने शुरुआत में स्प्रिंग को कितनी दूर तक खींचा था। +00:23:45,852 --> 00:23:50,397 +दिखता है, और आप आयाम का हल निकालते हैं, तो आप इस समीकरण का एक स्पष्ट समाधान प्राप्त कर 381 -00:23:22,660 --> 00:23:25,197 -लेकिन दूसरे मामले में, इस तरंग की एंप्लीट्यूड वास्तव +00:23:50,397 --> 00:23:51,860 +सकते हैं जो इस तरह दिखता है। 382 -00:23:25,197 --> 00:23:27,640 -में वह जगह है जहां सभी दिलचस्प चीजें घटित होती हैं। +00:23:52,500 --> 00:23:55,695 +यह थोड़ी देर के लिए समझने लायक है, और स्पष्टता के लिए, 383 -00:23:28,080 --> 00:23:32,480 -प्रकाश तरंग की प्रतिक्रिया में यह आवेश वास्तव में कितना दोलन करेगा? +00:23:55,695 --> 00:24:00,460 +यह केवल स्थिर स्थिति में चीजों का वर्णन कर रहा है, जब सब कुछ शुरू हो चुका होता है। 384 -00:23:33,420 --> 00:23:35,981 -फिर भी, मैं इसके हल के पूरे विवरण पर नहीं जाऊंगा, +00:24:00,820 --> 00:24:04,000 +एक पूरी तरह से वर्णनात्मक समाधान विशेष रूप से अधिक जटिल होगा। 385 -00:23:35,981 --> 00:23:38,747 -लेकिन यदि आप में से कोई उत्सुक कैलकुलस विद्यार्थी है, +00:24:04,440 --> 00:24:07,352 +जैसा कि मैंने कहा, यहां सब कुछ आयाम के आधार पर होता है, 386 -00:23:38,747 --> 00:23:41,154 -तो आप इस अभ्यास से गुजरने का आनन्द ले सकते हैं। +00:24:07,352 --> 00:24:10,159 +जो यहाँ पर बड़े संग्रह के स्थिरांकों की तरह दिखता है, 387 -00:23:41,154 --> 00:23:45,610 - अगर आप बस यह अनुमान लगाते हैं कि समाधान प्रकाश की ही आवृत्ति वाली cosine तरंग के समान +00:24:10,159 --> 00:24:14,060 +जिसमें से अधिकांश काफी स्पष्ट होने चाहिए अगर आप इसे एक पल के लिए सोचते हैं। 388 -00:23:45,610 --> 00:23:48,018 -दिखता है, और आप एंप्लीट्यूड का हल निकालते हैं, +00:24:14,300 --> 00:24:17,298 +उदाहरण के लिए, यह आने वाली प्रकाश तरंग की ताकत के अनुपातिक होता है, 389 -00:23:48,018 --> 00:23:51,860 -तो आप इस समीकरण का एक स्पष्ट समाधान प्राप्त कर सकते हैं जो इस तरह दिखता है। +00:24:17,298 --> 00:24:20,120 +इसलिए प्रकाश की ताकत जितनी अधिक होगी, दोलन भी उतना ही अधिक होगा। 390 -00:23:52,500 --> 00:23:55,845 -यह थोड़ी देर के लिए खोलने लायक है, और स्पष्ट होने के लिए, +00:24:20,540 --> 00:24:23,580 +यह चार्ज के अनुपात में भी है, जो फिर से समझने में योग्य है। 391 -00:23:55,845 --> 00:24:00,460 -यह केवल स्थिर स्थिति में चीजों का वर्णन कर रहा है, चीजों के उठने और चलने के बाद। +00:24:24,040 --> 00:24:29,190 +और वास्तविक रूप से, मुद्दे का मूल मामला इस पर निर्भर करता है कि यहां हर में क्या बैठा है, 392 -00:24:00,820 --> 00:24:04,000 -एक पूर्णतः वर्णनात्मक समाधान विशेष रूप से अधिक जटिल होगा। +00:24:29,190 --> 00:24:33,140 +उन्नत आवृत्ति के वर्ग और प्रकाश की आवृत्ति के वर्ग के बीच के अंतर पर। 393 -00:24:04,440 --> 00:24:07,633 -जैसा कि मैंने कहा, यहां जो कुछ भी दिलचस्प है वह एंप्लीट्यूड पर निर्भर करता है, +00:24:33,640 --> 00:24:38,323 +और थोड़ा संवेदन विकसित करने के लिए, एक पल सोचिए कि अगर आनेवाली प्रकाश 394 -00:24:07,633 --> 00:24:10,260 -जो यहां स्थिरांकों(constants) के एक बड़े संग्रह की तरह दिखता है, +00:24:38,323 --> 00:24:43,140 +की आवृत्ति इस ओसीलेटर की स्वरेणु आवृत्ति के बहुत करीब होती तो क्या होता। 395 -00:24:10,260 --> 00:24:13,413 -जिनमें से अधिकांश को काफी स्पष्ट होने चाहिए यदि आप इसके बारे में सोचने के लिए +00:24:44,020 --> 00:24:48,713 +यह एक बच्चे को झूले पर धकेलने की सामान्य स्थिति के समान है, 396 -00:24:13,413 --> 00:24:14,060 -कुछ समय निकालें। +00:24:48,713 --> 00:24:52,860 +जहां आपके बल की गति झूले की गति के बहुत करीब होती है। 397 -00:24:14,300 --> 00:24:17,498 -उदाहरण के लिए, यह उस आने वाली प्रकाश तरंग की ताकत के समानुपाती होता है, +00:24:53,620 --> 00:24:57,961 +इस मामले में, सिमुलेशन चलाते समय, ध्यान दें कि उस कण के दोलन कैसे 398 -00:24:17,498 --> 00:24:20,120 -इसलिए प्रकाश जितना अधिक मजबूत होगा, दोलन उतना ही अधिक होगा। +00:24:57,961 --> 00:25:02,040 +बार-बार बढ़ते जा रहे हैं और समय के साथ काफी वृद्धि हो जाती है। 399 -00:24:20,540 --> 00:24:23,580 -यह चार्ज के समानुपाती भी है, जो फिर से समझ में आता है। +00:25:03,320 --> 00:25:07,624 +आप में से कुछ लोग लंदन के मिलेनियम ब्रिज के प्रसिद्ध उदाहरण से परिचित होंगे, 400 -00:24:24,040 --> 00:24:28,488 -और वास्तविक रूप से, मूल मामला इस पर निर्भर करता है कि यहां हर(denominator) में क्या है, +00:25:07,624 --> 00:25:12,040 +जहां इसके उद्घाटन के दिन यह इंजीनियरों की उम्मीद से कई अधिक ओसीलेट करने लगा था। 401 -00:24:28,488 --> 00:24:32,887 -गुंजयमान आवृत्ति के वर्ग(sq. of resonant freq.) और प्रकाश की आवृत्ति के वर्ग के बीच के +00:25:12,460 --> 00:25:17,020 +और जो हो रहा था वह यह था कि भीड़ के कदमों की आवृत्ति एक गूँजन आवृत्ति के साथ 402 -00:24:32,887 --> 00:24:33,140 -अंतर। +00:25:17,020 --> 00:25:21,580 +बहुत करीब से मेल खाती थी, जिससे यह चिंताजनक रूप से अधिक आयाम उत्पन्न होता था। 403 -00:24:33,640 --> 00:24:36,755 -और थोड़ा अंतर्ज्ञान विकसित करने के लिए, इस बारे में सोचने के +00:25:23,220 --> 00:25:27,993 +इसके उलट, अगर प्रकाश की आवृत्ति, ωL, गूंजन आवृत्ति से बहुत कम है, 404 -00:24:36,755 --> 00:24:39,973 -लिए एक क्षण लें कि क्या होगा यदि आने वाली प्रकाश की आवृत्ति इस +00:25:27,993 --> 00:25:31,320 +तो सिमुलेशन में क्या होता है, इस पर ध्यान दें। 405 -00:24:39,973 --> 00:24:43,140 -ऑस्किलेटर की गुंजयमान आवृत्ति(resonant freq.) के बहुत करीब थी। +00:25:33,500 --> 00:25:38,201 +इस कोणीय अनुकरण के लिए, पूर्ण गति में चीजें आने से पहले थोड़ा समय लगता है, 406 -00:24:44,020 --> 00:24:47,891 -यह एक बच्चे को झूले पर धकेलने की सामान्य स्थिति के समान है, +00:25:38,201 --> 00:25:43,342 +अंततः यह एक सुंदर साइनसॉइडल गति ढूंढ लेता है, लेकिन उस गति का आयाम तुलना में काफी 407 -00:24:47,891 --> 00:24:52,860 -जहां आपके बल की आवृत्ति झूले द्वारा किए जाने वाले कार्य के काफी करीब होती है। +00:25:43,342 --> 00:25:44,220 +संयमी होता है। 408 -00:24:53,620 --> 00:24:57,664 -इस मामले में, सिमुलेशन चलाते हुए, ध्यान दें कि उस कण का दोलन +00:25:44,900 --> 00:25:49,220 +तो हमारी समीकरण हमें यह बता रही है कि आवृत्तियों के बीच ज्यादा अंतर हो, 409 -00:24:57,664 --> 00:25:02,040 -कैसे बढ़ेगा और बढ़ेगा और बढ़ेगा, जो समय के साथ काफी बड़ा हो जाएगा। +00:25:49,220 --> 00:25:54,080 +तो हमारा हर कुछ अधिक होगा, और इसपर विचार करने पर, कुल प्रभाव उस चार्ज पर कम होगा। 410 -00:25:03,320 --> 00:25:07,569 -आप में से कुछ लोग लंदन के मिलेनियम ब्रिज के प्रसिद्ध उदाहरण से परिचित होंगे, +00:25:54,700 --> 00:25:57,540 +और फिर से, यह कुछ ऐसी चीज़ है जिसे आप मेरी भतीजी के साथ की गई फ़िल्मांकन में देख सकते हैं। 411 -00:25:07,569 --> 00:25:12,040 -जहां इसके उद्घाटन के दिन यह इंजीनियरों की उम्मीद से कई अधिक ऑस्किलेट करने लगा था। +00:25:57,900 --> 00:26:00,950 +चूंकि मैं एक ऐसी फ़्रीक्वेंसी के साथ बल लगा रहा हूँ, 412 -00:25:12,460 --> 00:25:17,047 -और जो हो रहा था वह यह था कि भीड़ के कदमों की आवृत्ति एक गूँजन आवृत्ति के साथ बहुत +00:26:00,950 --> 00:26:04,403 +जो स्विंग की प्राथमिकता से बहुत अलग है, वह अंततः मेरे बल की 413 -00:25:17,047 --> 00:25:21,580 -करीब से मेल खाती थी, जिससे यह चिंताजनक रूप से अधिक एंप्लीट्यूड उत्पन्न हो गया था। +00:26:04,403 --> 00:26:09,180 +फ़्रीक्वेंसी के समान आवृत्ति पर दोलन करने लगती है, लेकिन उसका आयाम काफी कम होता है। 414 -00:25:23,220 --> 00:25:28,742 -इसके विपरीत, ध्यान दें कि सिमुलेशन में क्या होता है यदि प्रकाश की आवृत्ति, +00:26:10,580 --> 00:26:16,146 +एक कदम पीछे लेते हुए, इसका अर्थ है कि जब आप किसी पदार्थ, जैसे काँच, में प्रकाश डालते हैं, 415 -00:25:28,742 --> 00:25:31,320 -ωL, गुंजयमान आवृत्ति से बहुत कम है। +00:26:16,146 --> 00:26:20,413 +तो यह सिर्फ इतना नहीं होता कि यह पदार्थ के आवेशों में हिलने लगता है, 416 -00:25:33,500 --> 00:25:38,060 -इस विशेष सिमुलेशन के लिए, पूर्ण गति में चीजें आने से पहले थोड़ा समय लगता है, +00:26:20,413 --> 00:26:24,557 +बल्कि उन हिलनों का विशेष आकार प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करता है, 417 -00:25:38,060 --> 00:25:41,554 -अंततः यह एक सुंदर साइनसॉइडल गति ढूंढ लेता है, लेकिन उस गति +00:26:24,557 --> 00:26:26,660 +जिसका कारण यह हर मौखिक पद होता है। 418 -00:25:41,554 --> 00:25:44,220 -का एंप्लीट्यूड तुलना में बहुत अधिक मामूली है। +00:26:26,920 --> 00:26:29,913 +और जितना अधिक वे हिलते हैं, उस परत के कारण उत्पन्न होने वाली 419 -00:25:44,900 --> 00:25:50,063 -तो हमारा समीकरण हमें जो बता रहा है वह यह है कि उन आवृत्तियों के बीच अंतर जितना बड़ा होगा, +00:26:29,913 --> 00:26:32,368 +द्वितीयक्रम की तरंग का आकार उतना ही बड़ा होता है, 420 -00:25:50,063 --> 00:25:54,080 -हर उतना ही बड़ा होगा, इसलिए उस चार्ज का समग्र झुकाव उतना ही छोटा होगा। +00:26:32,368 --> 00:26:36,000 +जो कि बारी-बारी से समग्र तरंग के अवस्था में अधिक परिवर्तन का कारण बनता है। 421 -00:25:54,700 --> 00:25:57,540 -और फिर, यह कुछ ऐसा है जिसे आप मेरी भतीजी के साथ फुटेज में देख सकते हैं। +00:26:36,460 --> 00:26:41,467 +क्योंकि फेज में बहुत सारे अलग-अलग परिवर्तन, प्रकाश की इस स्पष्ट मंदता का कारण बनते हैं, 422 -00:25:57,900 --> 00:26:01,660 -चूँकि मैं एक आवृत्ति के साथ एक बल लगा रहा हूँ जो कि स्विंग जो +00:26:41,467 --> 00:26:44,540 +यह मतलब है कि प्रकाश की गति कितनी धीमी होगी, वह अंतत: 423 -00:26:01,660 --> 00:26:06,269 -करना चाहता है उससे बहुत अलग है, वह मेरे बल के समान आवृत्ति पर दोलन करती है, +00:26:44,540 --> 00:26:46,760 +प्रकाश की फ़्रीक्वेंसी पर निर्भर करेगी। 424 -00:26:06,269 --> 00:26:09,180 -लेकिन वह अपेक्षाकृत कम एंप्लीट्यूड पर जा रही है। +00:26:47,440 --> 00:26:49,800 +इसलिए, यही असली कारण है कि प्रिज्म कैसे काम करते हैं। 425 -00:26:10,580 --> 00:26:16,347 -पीछे हटते हुए, इसका मतलब यह है कि जब आप कांच जैसी किसी सामग्री में प्रकाश डालते हैं, +00:26:50,120 --> 00:26:52,620 +जब तक आप हार्मोनिक ऑसिलेटर तक नहीं पहुंच जाते, 426 -00:26:16,347 --> 00:26:20,689 -तो यह सिर्फ उस सामग्री के आवेशों में कंपन उत्पन्न नहीं करता है, +00:26:52,620 --> 00:26:55,440 +तब तक आप वास्तव में प्रकाश का पृथक्करण समझ नहीं सकते। 427 -00:26:20,689 --> 00:26:26,660 -बल्कि उन कंपनों का विशिष्ट आकार प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करता है। इस हर पद का परिणाम. +00:26:57,120 --> 00:26:59,318 +अब, मैंने कई विवरण छोड़ दिए हैं, और फिर एक बार, 428 -00:26:26,920 --> 00:26:31,379 -और जितना अधिक वे हिलते हैं, उस परत के कारण होने वाली इस दूसरे क्रम की तरंग का आकार +00:26:59,318 --> 00:27:03,165 +मैं जिज्ञासु दर्शकों को फेंमन व्याख्यानों की जांच करने के लिए प्रोत्साहित करता हूं, 429 -00:26:31,379 --> 00:26:36,000 -उतना ही बड़ा होता है, जो बदले में समग्र तरंग के चरण में एक बड़े बदलाव का कारण बनता है। +00:27:03,165 --> 00:27:04,540 +जिन पर इसका अधिकांश आधारित है। 430 -00:26:36,460 --> 00:26:41,477 -क्योंकि चरण में कई अलग-अलग बदलाव प्रकाश की इस स्पष्ट मंदी का कारण बनते हैं, +00:27:05,020 --> 00:27:08,383 +एक काफी महत्वपूर्ण विवरण है, जिसे उल्लेख न करना सम्भवतः कुछ अपराधिक होगा, 431 -00:26:41,477 --> 00:26:46,760 -इसका मतलब है कि यह कितनी धीमी होगी यह अंततः प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करती है। +00:27:08,383 --> 00:27:12,292 +वह यह है कि जब हम अपने चार्ज का मॉडलिंग एक छोटे हार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में इस रैखिक 432 -00:26:47,440 --> 00:26:49,800 -तो यही असली कारण है कि प्रिज्म क्यों काम करते हैं। +00:27:12,292 --> 00:27:16,383 +बहाल करने वाले बल के साथ कर रहे हैं, तो वहाँ वास्तव में उस चार्ज की वेग पर निर्भर एक शब्द 433 -00:26:50,120 --> 00:26:52,709 -जब तक आप चालित हार्मोनिक ऑसिलेटर तक नहीं पहुंच जाते तब +00:27:16,383 --> 00:27:17,020 +भी होना चाहिए। 434 -00:26:52,709 --> 00:26:55,440 -तक आप वास्तव में प्रकाश पृथक्करण की व्याख्या नहीं कर सकते। +00:27:17,400 --> 00:27:19,480 +आप इसे एक प्रकार की खिंचाव बल के रूप में सोच सकते हैं। 435 -00:26:57,120 --> 00:27:00,991 -अब, मैंने कई विवरण छोड़ दिए हैं, और फिर, मैं जिज्ञासु दर्शकों को फेनमैन व्याख्यानों +00:27:19,960 --> 00:27:22,431 +यह उपादान इस तथ्य का हिसाब रखता है कि आने वाली प्रकाश तरंग 436 -00:27:00,991 --> 00:27:04,540 -पर एक नज़र डालने के लिए प्रोत्साहित करता हूं, जिन पर इसका बहुत कुछ आधारित है। +00:27:22,431 --> 00:27:24,820 +से ऊर्जा के स्रोत को सामग्री द्वारा अवशोषित किया जाता है। 437 -00:27:05,020 --> 00:27:08,030 -एक बहुत ही महत्वपूर्ण विवरण जिसका उल्लेख न करना थोड़ा आपराधिक होगा वह +00:27:25,440 --> 00:27:29,724 +इसके बिना, यह पूरी व्याख्या ऐसा प्रतीत होती है कि प्रकाश हमेशा हर पदार्थ के माध्यम 438 -00:27:08,030 --> 00:27:10,998 -यह है कि जब हम अपने चार्ज को इस रैखिक पुनर्स्थापना(linear restoring) +00:27:29,724 --> 00:27:34,319 +से होकर गुजरता है, सिर्फ कांच और पानी ही नहीं। जबकि, जैसा कि आप खुद चारोओर देख सकते हैं, 439 -00:27:10,998 --> 00:27:13,880 -बल के साथ एक छोटे हार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में मॉडलिंग कर रहे हैं, +00:27:34,319 --> 00:27:38,140 +ऐसे अनेक पदार्थ हैं जिनमें प्रकाश मुख्यतः प्रतिबिम्बित और अवशोषित होता है। 440 -00:27:13,880 --> 00:27:17,020 -तो वास्तव में एक शब्द भी होना चाहिए जो उस चार्ज के वेग पर निर्भर करता है। +00:27:38,940 --> 00:27:42,092 +जैसा कि मैंने शुरू में बताया था, Patreon पर लोगों ने अपवर्तनांक (Index of 441 -00:27:17,400 --> 00:27:19,480 -आप इसे एक प्रकार की ड्रैग फोर्स के रूप में सोच सकते हैं। +00:27:42,092 --> 00:27:45,500 +refraction) के बारे में कई प्रश्न पूछे थे, जैसे कि यह कैसे एक से कम हो सकता है, 442 -00:27:19,960 --> 00:27:22,548 -यह शब्द इस तथ्य को दर्शाता है कि आने वाली प्रकाश +00:27:45,500 --> 00:27:47,545 +और क्यों धीरे होने से मोड़ने का अर्थ निकलता है, 443 -00:27:22,548 --> 00:27:24,820 -तरंग से ऊर्जा वस्तु द्वारा अवशोषित होती है। +00:27:47,545 --> 00:27:50,995 +इसलिए मैंने उन प्रश्नों में से कुछ का उत्तर देने के लिए एक पूरक वीडियो बनाया है, 444 -00:27:25,440 --> 00:27:29,690 -इसके बिना, यह पूरी व्याख्या ऐसा प्रतीत होती है कि प्रकाश हमेशा हर पदार्थ के माध्यम +00:27:50,995 --> 00:27:52,700 +जो कुछ ही दिनों में प्रकाशित होना चाहिए। 445 -00:27:29,690 --> 00:27:34,299 -से होकर गुजरता है, सिर्फ कांच और पानी ही नहीं। जबकि, जैसा कि आप खुद चारो ओर देख सकते हैं, +00:27:53,180 --> 00:27:58,032 +इस दौरान, लुकिंग ग्लास यूनिवर्स चैनल के मेरे मित्र मिथेना ने एक जोड़ी 446 -00:27:34,299 --> 00:27:38,140 -ऐसे बहुत से पदार्थ हैं जिनमें प्रकाश ज्यादातर परावर्तित और अवशोषित होता है। +00:27:58,032 --> 00:28:03,647 +वीडियो की शुरुआत की है, जो संबंधित हैं लेकिन निश्चित रूप से अलग समस्या लेते हैं, 447 -00:27:38,940 --> 00:27:42,580 -जैसा कि मैंने शुरुआत में उल्लेख किया था, पैट्रियन पर लोगों के पास अपवर्तनांक +00:28:03,647 --> 00:28:07,460 +कि क्या प्रकाश की गति किसी माध्यम में धीमी हो जाती है, 448 -00:27:42,580 --> 00:27:45,559 -के बारे में कई प्रश्न थे, जैसे कि यह एक से कम कैसे हो सकता है, +00:28:07,460 --> 00:28:12,660 +न की स्वच्छ और शुद्ध साइन लहर के चोटियों का पालन करने की भावना में, बल्कि क 449 -00:27:45,559 --> 00:27:48,917 -और धीमा होने का अर्थ झुकना क्यों है, इसलिए मैंने उनमें से कुछ प्रश्नों +00:28:13,040 --> 00:28:15,725 +मैं निश्चित रूप से इस वीडियो के अस्तित्व का ऋणी हूं, 450 -00:27:48,917 --> 00:27:52,700 -का उत्तर देते हुए एक पूरक वीडियो बनाया, जो कुछ ही दिनों में प्रकाशित होना चाहिए। +00:28:15,725 --> 00:28:20,033 +उनके साथ इस विषय पर कई वार्तालाप की वजह से, और यहां के दर्शकों को निश्चित रूप से इसे 451 -00:27:53,180 --> 00:27:58,077 -इस बीच, चैनल लुकिंग ग्लास यूनिवर्स से मेरे मित्र मिथेना ने संबंधित लेकिन निश्चित रूप से +00:28:20,033 --> 00:28:22,060 +देखने में मजा आएगा, खासकर दूसरे वाले को। 452 -00:27:58,077 --> 00:28:02,975 -विशिष्ट प्रश्न पर वीडियो की एक जोड़ी डाली कि क्या प्रकाश एक माध्यम में धीमा हो जाता है, +00:28:23,340 --> 00:28:25,467 +वैसे, कुछ सहयोगियों और मैंने यह नोटबुक बनाई है, 453 -00:28:02,975 --> 00:28:07,706 -स्वच्छ शुद्ध साइन तरंग के शिखर का अनुसरण करने के अर्थ में नहीं। एक स्थिर स्थिति में, +00:28:25,467 --> 00:28:29,012 +जिसे मुझे लगता है बहुत सारे दर्शक पसंद करेंगे, और चूंकि यह त्योहारों का समय है, 454 -00:28:07,706 --> 00:28:12,660 -लेकिन उस माध्यम से जानकारी भेजने की कोशिश के अर्थ में, जैसे कि एक छोटे तरंग पैकेट के साथ। +00:28:29,012 --> 00:28:31,140 +इसका संक्षेप में उल्लेख करना योग्य जान पड़ता है। 455 -00:28:13,040 --> 00:28:15,935 -मैं निश्चित रूप से इस वीडियो के अस्तित्व का श्रेय इस विषय पर +00:28:31,480 --> 00:28:34,592 +अधिप्रेमन यह है कि प्रत्येक पृष्ठ पर एक उद्धरण है जो गणित से संबंधित है, 456 -00:28:15,935 --> 00:28:19,021 -उनके साथ की गई कई बातचीतों को देता हूं, और यहां के दर्शक निश्चित +00:28:34,592 --> 00:28:36,809 +और मैंने उन सभी को संपादित करने में बहुत आनंद लिया, 457 -00:28:19,021 --> 00:28:22,060 -रूप से इसे देखने का आनंद लेंगे, खासकर दूसरे वीडियो को देखने में। +00:28:36,809 --> 00:28:40,135 +किसी सच में सोचने पर विवेक उत्तेजक विचार को संदर्भित करने वाले उद्धरणो तक खुद 458 -00:28:23,340 --> 00:28:25,455 -वैसे, कुछ सहयोगियों और मैंने यह नोटबुक बनाई है, +00:28:40,135 --> 00:28:41,500 +को सीमित करने की कोशिश करते हुए। 459 -00:28:25,455 --> 00:28:27,878 -मुझे लगता है कि बहुत सारे दर्शक इसका आनंद ले सकते हैं, +00:28:42,100 --> 00:28:46,513 +और फिर सामग्री के अलावा, मैंने वही नोटबुक तैयार की जिसमें मुझे नोट लिखने में सबसे अधिक 460 -00:28:27,878 --> 00:28:31,140 -और यह देखते हुए कि यह छुट्टियों का मौसम है, इसका उल्लेख करना उचित लगता है। +00:28:46,513 --> 00:28:49,507 +आनंद आता है। यह कुछ ऐसा है जो आसानी से ले जाया जा सकता है, 461 -00:28:31,480 --> 00:28:34,605 -आधार यह है कि प्रत्येक पृष्ठ पर एक उद्धरण है जो गणित से संबंधित है, +00:28:49,507 --> 00:28:52,551 +रेखांकन के लिए फीकी ग्रिडलाइन्स के साथ, लेकिन अन्यथा विनीत, 462 -00:28:34,605 --> 00:28:36,857 -और मुझे उन सभी को संकलित करने में बहुत मज़ा आया, +00:28:52,551 --> 00:28:55,240 +सब कुछ इस सुंदर और नरम कृत्रिम चमड़े में संरक्षित है। 463 -00:28:36,857 --> 00:28:39,982 -कुछ वास्तविक विचारोत्तेजक विचार व्यक्त करने वाले उद्धरणों तक खुद को +00:28:55,680 --> 00:29:09,202 +अगर वह आपकी पसंद है, तो आप उन्हें 3ब्लू1ब्राउन 464 -00:28:39,982 --> 00:28:41,040 -सीमित करने की कोशिश की। - -465 -00:28:41,040 --> 00:28:44,707 -और फिर सामग्री से हटकर, मैंने मूल रूप से उस तरह की नोटबुक बनाई जिसमें - -466 -00:28:44,707 --> 00:28:48,061 -नोट्स लेने में मुझे सबसे ज्यादा मजा आता है, कुछ ऐसा जो आसानी से - -467 -00:28:48,061 --> 00:28:51,676 -पोर्टेबल हो और रेखाचित्रों के लिए बहुत ही हल्की ग्रिडलाइन मददगार हो, - -468 -00:28:51,676 --> 00:28:55,240 -लेकिन अन्यथा विनीत, सभी इस अच्छे नरम कृत्रिम चमड़े में बंधे हुए हैं। - -469 -00:28:55,680 --> 00:29:09,053 -अगर वह आपकी पसंद है, तो आप उन्हें 3blue1brown - -470 -00:29:09,053 --> 00:29:23,300 +00:29:09,202 --> 00:29:23,300 स्टोर में अन्य गणितीय सामानों के साथ पा सकते हैं। diff --git a/2023/prism/indonesian/auto_generated.srt b/2023/prism/indonesian/auto_generated.srt index 8f90ae0a3..7eb388b54 100644 --- a/2023/prism/indonesian/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/indonesian/auto_generated.srt @@ -99,51 +99,51 @@ Dan perbandingan spesifik antara cepat rambat cahaya dalam ruang hampa dan cepat rambat di dalam medium seperti ini disebut indeks bias medium tersebut. 26 -00:01:24,220 --> 00:01:29,206 +00:01:24,220 --> 00:01:28,994 Alasan kita menggunakan kata refraksi dan bukan indeks perlambatan adalah jika 27 -00:01:29,206 --> 00:01:32,488 +00:01:28,994 --> 00:01:32,136 seberkas cahaya memasuki kaca ini pada suatu sudut, 28 -00:01:32,488 --> 00:01:36,654 +00:01:32,136 --> 00:01:36,125 maka konsekuensi dari perlambatan ini adalah ia sedikit membelok, 29 -00:01:36,654 --> 00:01:38,800 +00:01:36,125 --> 00:01:38,180 atau dalam istilahnya, ia membias. 30 -00:01:38,800 --> 00:01:42,502 +00:01:38,640 --> 00:01:42,365 Cara yang selalu dijelaskan oleh guru fisika SMA saya adalah dengan membayangkan sebuah 31 -00:01:42,502 --> 00:01:45,951 +00:01:42,365 --> 00:01:45,837 tangki bergerak dari suatu tempat di mana ia dapat bergerak dengan relatif cepat, 32 -00:01:45,951 --> 00:01:48,518 +00:01:45,837 --> 00:01:48,419 seperti beton, ke sesuatu yang lebih lambat, seperti lumpur, 33 -00:01:48,518 --> 00:01:51,378 +00:01:48,419 --> 00:01:51,298 yang jika masuk pada suatu sudut, maka sebagai salah satu sudutnya. 34 -00:01:51,378 --> 00:01:54,996 +00:01:51,298 --> 00:01:54,939 tapak pertama menyentuh bagian yang lambat, tapak tersebut akan bergerak lebih lambat 35 -00:01:54,996 --> 00:01:58,699 +00:01:54,939 --> 00:01:58,665 sementara tapak lainnya lebih cepat, menyebabkan seluruh tangki bergerak sedikit hingga 36 -00:01:58,699 --> 00:02:00,760 +00:01:58,665 --> 00:02:00,740 tapak kedua tersebut juga masuk ke dalam lumpur, 37 -00:02:00,760 --> 00:02:04,000 +00:02:00,740 --> 00:02:04,000 kemudian tapak tersebut terus lurus hanya dengan melaju sedikit lebih lambat. 38 @@ -191,35 +191,35 @@ Apa yang terjadi dengan prisma adalah bahwa jumlah spesifik perlambatan cahaya sedikit bergantung pada frekuensinya. 49 -00:02:43,780 --> 00:02:47,449 +00:02:43,780 --> 00:02:47,063 Misalnya, cahaya biru, yang memiliki frekuensi relatif tinggi, 50 -00:02:47,449 --> 00:02:50,828 +00:02:47,063 --> 00:02:50,087 akan diperlambat lebih agresif dibandingkan cahaya merah, 51 -00:02:50,828 --> 00:02:53,100 +00:02:50,087 --> 00:02:52,120 yang memiliki frekuensi relatif rendah. 52 -00:02:53,100 --> 00:02:56,442 +00:02:52,980 --> 00:02:56,349 Sebagian besar cahaya yang Anda lihat bukanlah gelombang sinus murni murni, 53 -00:02:56,442 --> 00:03:00,004 +00:02:56,349 --> 00:02:59,940 khususnya cahaya putih yang datang dari matahari bukanlah gelombang sinus murni, 54 -00:03:00,004 --> 00:03:02,071 +00:02:59,940 --> 00:03:02,024 ini adalah sesuatu yang jauh lebih berantakan, 55 -00:03:02,071 --> 00:03:05,545 +00:03:02,024 --> 00:03:05,527 namun dapat dinyatakan sebagai jumlah dari sekumpulan gelombang sinus murni. , 56 -00:03:05,545 --> 00:03:07,700 +00:03:05,527 --> 00:03:07,700 masing-masing sesuai dengan warna spektral murni. 57 @@ -263,7 +263,7 @@ perlambatannya ada hubungannya dengan warna cahaya? Apakah itu hanya kebetulan atau memang perlu? 67 -00:03:39,679 --> 00:03:42,583 +00:03:39,680 --> 00:03:42,583 Jika Anda memiliki standar penjelasan yang cukup tinggi, 68 @@ -735,79 +735,79 @@ Ini menentukan seberapa cepat suatu pengaruh bergerak, hanya saja salah satu dari banyak konsekuensinya adalah kecepatan cahaya. 185 -00:10:08,600 --> 00:10:12,053 +00:10:08,600 --> 00:10:12,319 Secara khusus, ketika Anda mendapatkan muatan yang berosilasi ke atas dan 186 -00:10:12,053 --> 00:10:14,246 +00:10:12,319 --> 00:10:14,682 ke bawah dalam gerakan sinusoidal yang bersih, 187 -00:10:14,246 --> 00:10:17,746 +00:10:14,682 --> 00:10:18,452 Anda dapat menganggap efek riak di medan listrik ini sebagai menggambarkan 188 -00:10:17,746 --> 00:10:21,386 +00:10:18,452 --> 00:10:22,373 gaya yang akan diterapkan pada muatan lain yang berada di sana sebagai akibat 189 -00:10:21,386 --> 00:10:22,600 +00:10:22,373 --> 00:10:23,680 dari percepatan yang lalu. 190 -00:10:22,600 --> 00:10:27,413 +00:10:24,340 --> 00:10:28,360 Saya akui dengan bebas bahwa saya terlalu bersenang-senang dalam video itu hanya dengan 191 -00:10:27,413 --> 00:10:31,132 +00:10:28,360 --> 00:10:31,466 menyimulasikan bagaimana medan listrik merespons percepatan muatan, 192 -00:10:31,132 --> 00:10:33,758 +00:10:31,466 --> 00:10:33,659 dan bahwa saya melakukan hal yang sama di sini, 193 -00:10:33,758 --> 00:10:37,040 +00:10:33,659 --> 00:10:36,400 namun ada dua fakta penting untuk mengejar kita indeks bias. 194 -00:10:37,040 --> 00:10:40,752 +00:10:36,920 --> 00:10:40,834 Yang pertama adalah ketika Anda memiliki beberapa muatan berbeda yang berosilasi 195 -00:10:40,752 --> 00:10:44,282 +00:10:40,834 --> 00:10:44,555 ke atas dan ke bawah, efek total pada medan listrik hanyalah jumlah dari apa 196 -00:10:44,282 --> 00:10:47,720 +00:10:44,555 --> 00:10:48,180 yang akan terjadi pada masing-masing muatan, dan itulah yang Anda harapkan. 197 -00:10:47,720 --> 00:10:51,473 +00:10:48,600 --> 00:10:52,203 Cara kerjanya adalah jika Anda mempunyai deretan muatan yang berosilasi secara 198 -00:10:51,473 --> 00:10:55,227 +00:10:52,203 --> 00:10:55,807 sinkron satu sama lain, atau untuk tujuan kita saat ini, sebuah bidang muatan, 199 -00:10:55,227 --> 00:10:59,266 +00:10:55,807 --> 00:10:59,684 yang semuanya bergerak ke atas dan ke bawah secara sinkron di dalam bidang tersebut, 200 -00:10:59,266 --> 00:11:01,642 +00:10:59,684 --> 00:11:01,965 maka efek dari masing-masing muatan akan berubah. 201 -00:11:01,642 --> 00:11:04,588 +00:11:01,965 --> 00:11:04,793 muatan cenderung saling menghilangkan di sebagian besar arah, 202 -00:11:04,588 --> 00:11:08,056 +00:11:04,793 --> 00:11:08,123 kecuali tegak lurus terhadap bidang tersebut, muatan tersebut sebenarnya 203 -00:11:08,056 --> 00:11:09,720 +00:11:08,123 --> 00:11:09,720 berinterferensi secara konstruktif. 204 @@ -843,19 +843,19 @@ sebenarnya hanya menggambarkan medan listrik pada satu garis satu dimensi. Gambaran cahaya tiga dimensi yang lebih lengkap akan terlihat seperti ini. 212 -00:11:38,160 --> 00:11:39,645 +00:11:38,160 --> 00:11:39,800 Itu cenderung sedikit lebih sibuk, jadi biasanya 213 -00:11:39,645 --> 00:11:41,040 +00:11:39,800 --> 00:11:41,340 kita hanya menggambar gelombang sinusnya saja. 214 -00:11:41,040 --> 00:11:46,390 +00:11:42,920 --> 00:11:47,312 Jadi pikirkan kembali pertanyaan mengapa interaksi dengan lapisan material akan 215 -00:11:46,390 --> 00:11:51,540 +00:11:47,312 --> 00:11:51,540 menyebabkan kickback fase gelombang, mari kita mulai memikirkannya baik-baik. 216 @@ -1039,39 +1039,39 @@ Tapi inilah cara yang bagus untuk memikirkannya. Bayangkan gelombang pertama menggambarkan komponen y dari beberapa vektor yang berputar. 261 -00:14:28,480 --> 00:14:32,062 +00:14:28,480 --> 00:14:32,402 Panjang vektor tersebut sesuai dengan amplitudo gelombang kita, 262 -00:14:32,062 --> 00:14:36,260 +00:14:32,402 --> 00:14:37,000 dan kemudian rotasi awal vektor tersebut sesuai dengan fase gelombang kita. 263 -00:14:36,260 --> 00:14:40,926 +00:14:37,690 --> 00:14:41,884 Dan kemudian bayangkan gelombang kedua tersebut menggambarkan komponen y dari 264 -00:14:40,926 --> 00:14:45,533 +00:14:41,884 --> 00:14:46,024 vektor berputar lainnya, yang sekali lagi amplitudonya sesuai dengan panjang 265 -00:14:45,533 --> 00:14:50,380 +00:14:46,024 --> 00:14:50,380 vektor tersebut, dan fase gelombang memberi tahu kita sudut awal vektor tersebut. 266 -00:14:52,780 --> 00:14:54,756 +00:14:52,780 --> 00:14:54,902 Sekarang untuk memikirkan tentang jumlah kedua gelombang, 267 -00:14:54,756 --> 00:14:57,380 +00:14:54,902 --> 00:14:57,720 coba pikirkan tentang menjumlahkan kedua vektor tersebut dari ujung ke ujung. 268 -00:14:57,380 --> 00:15:02,051 +00:14:58,400 --> 00:15:02,424 Dan karena keduanya memiliki frekuensi yang sama saat keduanya berputar, 269 -00:15:02,051 --> 00:15:04,740 +00:15:02,424 --> 00:15:04,740 jumlah putarannya sejajar dengan keduanya. 270 @@ -1435,19 +1435,19 @@ saat Anda memberikan deskripsi intuitif, wajar jika Anda mengutarakannya dalam bentuk frekuensi, jumlah siklus yang dihasilkan oleh proses ini per unit. waktu. 360 -00:20:17,700 --> 00:20:20,474 +00:20:17,700 --> 00:20:20,609 Namun saat mengerjakan matematika, sering kali lebih wajar jika membicarakan 361 -00:20:20,474 --> 00:20:22,961 +00:20:20,609 --> 00:20:23,217 frekuensi sudut, yang dapat Anda bayangkan sebagai gambaran seberapa 362 -00:20:22,961 --> 00:20:25,520 +00:20:23,217 --> 00:20:25,900 besar sudut yang dicakup oleh proses ini dalam radian per satuan waktu. 363 -00:20:25,520 --> 00:20:28,920 +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 Jadi sukunya sama dengan frekuensi namun dikalikan 2 pi. 364 @@ -1995,35 +1995,35 @@ dan karena ini adalah musim liburan, buku catatan ini layak untuk disebutkan secara singkat. 500 -00:28:31,480 --> 00:28:35,070 +00:28:31,480 --> 00:28:35,243 Premisnya adalah setiap halaman memiliki kutipan yang berkaitan dengan matematika, 501 -00:28:35,070 --> 00:28:38,228 +00:28:35,243 --> 00:28:38,552 dan saya bersenang-senang menyusun semuanya, mencoba membatasi diri pada 502 -00:28:38,228 --> 00:28:41,040 +00:28:38,552 --> 00:28:41,500 kutipan yang menyampaikan ide yang benar-benar menggugah pikiran. 503 -00:28:41,040 --> 00:28:44,520 +00:28:42,100 --> 00:28:45,320 Dan selain dari isinya, pada dasarnya saya membuat jenis buku catatan yang 504 -00:28:44,520 --> 00:28:48,186 +00:28:45,320 --> 00:28:48,712 paling saya sukai untuk membuat catatan, sesuatu yang mudah dibawa-bawa dengan 505 -00:28:48,186 --> 00:28:50,831 +00:28:48,712 --> 00:28:51,160 garis kisi yang sangat samar yang berguna untuk diagram, 506 -00:28:50,831 --> 00:28:54,219 +00:28:51,160 --> 00:28:54,295 tetapi sebaliknya tidak mengganggu, semuanya diikat dengan kulit imitasi 507 -00:28:54,219 --> 00:28:55,240 +00:28:54,295 --> 00:28:55,240 lembut yang bagus ini. 508 diff --git a/2023/prism/italian/auto_generated.srt b/2023/prism/italian/auto_generated.srt index e718cc2d4..1b00bce0b 100644 --- a/2023/prism/italian/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/italian/auto_generated.srt @@ -31,20 +31,20 @@ Floyd sono completamente contrarie alla fisica reale. Ad esempio, perché hanno reso bianca la luce all'interno del prisma? 9 -00:00:27,520 --> 00:00:31,354 +00:00:27,520 --> 00:00:31,407 E sorprendentemente, perché dovresti disegnare tutti i colori come un insieme discreto, 10 -00:00:31,354 --> 00:00:34,491 +00:00:31,407 --> 00:00:34,588 come un bambino che crea un arcobaleno, nonostante uno dei punti chiave 11 -00:00:34,491 --> 00:00:37,629 -dell'esperimento originale di Newton che coinvolgeva i prismi fosse +00:00:34,588 --> 00:00:37,770 +dell'esperimento originale di Newton che coinvolgeva i prismi fosse che 12 -00:00:37,629 --> 00:00:40,200 -che la luce solare contiene uno spettro continuo di colori? +00:00:37,770 --> 00:00:40,200 +la luce solare contiene uno spettro continuo di colori? 13 00:00:41,060 --> 00:00:43,881 @@ -71,167 +71,167 @@ Vedete, la spiegazione standard, quella che potreste sentire ad esempio in una lezione di fisica al liceo, è più o meno questa. 19 -00:01:00,300 --> 00:01:03,295 +00:01:00,300 --> 00:01:03,434 Quando la luce entra in un mezzo, come il vetro, rallenta, 20 -00:01:03,295 --> 00:01:05,783 -nel senso che se guardi le creste dell'onda, +00:01:03,434 --> 00:01:07,897 +nel senso che se guardi le creste dell'onda, nel vuoto quelle creste viaggiano alla 21 -00:01:05,783 --> 00:01:09,591 -nel vuoto quelle creste viaggiano alla velocità c, la velocità della luce, +00:01:07,897 --> 00:01:12,306 +velocità c, la velocità della luce, ma all'interno del vetro quelle creste saranno 22 -00:01:09,591 --> 00:01:14,060 -ma all'interno del vetro quelle creste saranno viaggiando un po' più lentamente. +00:01:12,306 --> 00:01:14,060 +viaggiando un po' più lentamente. 23 -00:01:14,720 --> 00:01:18,766 +00:01:14,720 --> 00:01:18,868 E il rapporto specifico tra la velocità della luce nel vuoto e la velocità 24 -00:01:18,766 --> 00:01:23,460 +00:01:18,868 --> 00:01:23,460 all'interno di un mezzo come questo è chiamato indice di rifrazione per quel mezzo. 25 -00:01:24,220 --> 00:01:29,195 +00:01:24,220 --> 00:01:28,911 Il motivo per cui usiamo la parola rifrazione invece dell'indice di rallentamento 26 -00:01:29,195 --> 00:01:32,551 +00:01:28,911 --> 00:01:32,229 è che se un raggio di luce entra nel vetro con un angolo, 27 -00:01:32,551 --> 00:01:36,832 +00:01:32,229 --> 00:01:36,234 allora una conseguenza di questo rallentamento è che si piega un po', 28 -00:01:36,832 --> 00:01:38,800 +00:01:36,234 --> 00:01:38,180 o per usare il gergo, si rifrange. 29 -00:01:38,800 --> 00:01:42,593 -Il modo in cui il mio insegnante di fisica del liceo lo spiegava sempre era immaginare +00:01:38,640 --> 00:01:42,069 +Il modo in cui il mio insegnante di fisica del liceo lo spiegava sempre era 30 -00:01:42,593 --> 00:01:46,255 -un carro armato che va da una regione dove può viaggiare relativamente velocemente, +00:01:42,069 --> 00:01:45,769 +immaginare un carro armato che va da una regione dove può viaggiare relativamente 31 -00:01:46,255 --> 00:01:50,135 -come il cemento, verso qualcosa di più lento, come il fango, dove se entra da un angolo, +00:01:45,769 --> 00:01:49,108 +velocemente, come il cemento, verso qualcosa di più lento, come il fango, 32 -00:01:50,135 --> 00:01:53,361 -allora come uno dei suoi i battistrada colpiscono prima la regione lenta, +00:01:49,108 --> 00:01:52,628 +dove se entra da un angolo, allora come uno dei suoi i battistrada colpiscono 33 -00:01:53,361 --> 00:01:56,457 -quel battistrada andrà più lentamente mentre l'altro è più veloce, +00:01:52,628 --> 00:01:56,193 +prima la regione lenta, quel battistrada andrà più lentamente mentre l'altro è 34 -00:01:56,457 --> 00:02:00,250 -facendo sterzare un po' l'intero serbatoio finché anche il secondo battistrada +00:01:56,193 --> 00:01:59,758 +più veloce, facendo sterzare un po' l'intero serbatoio finché anche il secondo 35 -00:02:00,250 --> 00:02:04,000 -non entra nel fango, quindi continua dritto viaggiando solo un po' più lentamente. +00:01:59,758 --> 00:02:03,323 +battistrada non entra nel fango, quindi continua dritto viaggiando solo un po' 36 +00:02:03,323 --> 00:02:04,000 +più lentamente. + +37 00:02:04,880 --> 00:02:07,189 Torneremo tra poco sul vero motivo della flessione, -37 +38 00:02:07,189 --> 00:02:10,476 ma a questo punto gli studenti di fisica delle scuole superiori in genere -38 +39 00:02:10,476 --> 00:02:13,896 imparano una legge nota come legge di Snell che specifica esattamente quanto -39 +40 00:02:13,896 --> 00:02:14,740 le cose si piegano. -40 -00:02:15,260 --> 00:02:19,179 -Se tracciamo una linea perpendicolare al confine tra il vetro e l'acqua - 41 -00:02:19,179 --> 00:02:23,356 -e consideriamo l'angolo tra quella linea perpendicolare e il raggio di luce, +00:02:15,260 --> 00:02:19,197 +Se tracciamo una linea perpendicolare al confine tra il vetro e l'acqua e 42 -00:02:23,356 --> 00:02:27,378 -la legge di Snell ci dice che il seno di questo angolo diviso per la velocità +00:02:19,197 --> 00:02:23,188 +consideriamo l'angolo tra quella linea perpendicolare e il raggio di luce, 43 -00:02:27,378 --> 00:02:30,627 -della luce è sempre una costante , quindi più lenta è la luce, +00:02:23,188 --> 00:02:27,338 +la legge di Snell ci dice che il seno di questo angolo diviso per la velocità 44 -00:02:30,627 --> 00:02:34,598 -più basso sarà l'angolo e questo ti consente di calcolare quanto le cose +00:02:27,338 --> 00:02:30,690 +della luce è sempre una costante , quindi più lenta è la luce, 45 -00:02:34,598 --> 00:02:35,320 -si rifrangono. +00:02:30,690 --> 00:02:35,320 +più basso sarà l'angolo e questo ti consente di calcolare quanto le cose si rifrangono. 46 -00:02:36,240 --> 00:02:39,690 +00:02:36,240 --> 00:02:39,796 Ciò che succede con un prisma, quindi, è che la quantità specifica 47 -00:02:39,690 --> 00:02:43,140 +00:02:39,796 --> 00:02:43,140 di rallentamento della luce dipende un po' dalla sua frequenza. 48 -00:02:43,780 --> 00:02:47,274 +00:02:43,780 --> 00:02:46,907 Ad esempio, la luce blu, che ha una frequenza relativamente alta, 49 -00:02:47,274 --> 00:02:50,928 +00:02:46,907 --> 00:02:50,177 verrebbe rallentata in modo più aggressivo rispetto alla luce rossa, 50 -00:02:50,928 --> 00:02:53,100 +00:02:50,177 --> 00:02:52,120 che ha una frequenza relativamente bassa. 51 -00:02:53,100 --> 00:02:56,369 +00:02:52,980 --> 00:02:56,173 La maggior parte della luce che vedi non è un'onda sinusoidale pura, 52 -00:02:56,369 --> 00:03:00,355 +00:02:56,173 --> 00:03:00,108 in particolare la luce bianca proveniente dal sole non è un'onda sinusoidale pulita, 53 -00:03:00,355 --> 00:03:04,072 -è qualcosa di molto più confuso, ma può essere espressa come la somma di un gruppo +00:03:00,108 --> 00:03:03,626 +è qualcosa di molto più confuso, ma può essere espressa come la somma di un 54 -00:03:04,072 --> 00:03:07,700 -di onde sinusoidali pulite , ciascuno corrispondente ad un colore spettrale puro. +00:03:03,626 --> 00:03:07,700 +gruppo di onde sinusoidali pulite , ciascuno corrispondente ad un colore spettrale puro. 55 -00:03:08,280 --> 00:03:10,844 +00:03:08,280 --> 00:03:10,895 Quindi, quando si illumina un prisma con luce bianca, 56 -00:03:10,844 --> 00:03:14,500 +00:03:10,895 --> 00:03:14,625 tutti i diversi componenti vengono rifratti in quantità leggermente diverse, 57 -00:03:14,500 --> 00:03:17,920 +00:03:14,625 --> 00:03:17,920 causando questa iconica separazione dei colori puri dell'arcobaleno. 58 -00:03:18,620 --> 00:03:22,144 +00:03:18,620 --> 00:03:22,253 Questa è la spiegazione standard, e non è sbagliata di per sé, 59 -00:03:22,144 --> 00:03:26,060 +00:03:22,253 --> 00:03:26,060 è solo che tutti i componenti chiave vengono tramandati dall'alto. 60 @@ -255,7 +255,7 @@ dovrebbe avere qualcosa a che fare con il colore della luce? È solo una coincidenza o è necessario? 65 -00:03:39,679 --> 00:03:42,550 +00:03:39,680 --> 00:03:42,550 Se hai uno standard sufficientemente elevato per le spiegazioni, 66 @@ -267,91 +267,91 @@ vuoi che entrambi questi fatti si sentano scoperti, piuttosto che sentirsi come se fossero stati tramandati. 68 -00:03:47,960 --> 00:03:51,283 -La prima spiegazione che ho visto e che ha iniziato a dare questa sensazione è venuta +00:03:47,960 --> 00:03:51,062 +La prima spiegazione che ho visto e che ha iniziato a dare questa sensazione è 69 -00:03:51,283 --> 00:03:54,491 -dalle lezioni di Feynman sull'argomento, e molto di ciò che mi piacerebbe fare +00:03:51,062 --> 00:03:52,947 +venuta dalle lezioni di Feynman sull'argomento, 70 -00:03:54,491 --> 00:03:57,660 -con questo video è semplicemente animare molti dei punti chiave che lui espone lì. +00:03:52,947 --> 00:03:56,049 +e molto di ciò che mi piacerebbe fare con questo video è semplicemente animare 71 -00:03:58,100 --> 00:04:01,870 -Implica davvero scavare a fondo per pensare a ogni singola carica oscillante +00:03:56,049 --> 00:03:57,660 +molti dei punti chiave che lui espone lì. 72 -00:04:01,870 --> 00:04:05,543 -nel materiale e alle onde luminose che si propagano causate da ciascuna di +00:03:58,100 --> 00:04:01,954 +Implica davvero scavare a fondo per pensare a ogni singola carica oscillante 73 -00:04:05,543 --> 00:04:09,118 -quelle cariche e a come tutte si sovrappongono l'una sull'altra, +00:04:01,954 --> 00:04:05,558 +nel materiale e alle onde luminose che si propagano causate da ciascuna 74 -00:04:09,118 --> 00:04:11,861 -il che sembra che dovrebbe essere un disastro completo, +00:04:05,558 --> 00:04:08,961 +di quelle cariche e a come tutte si sovrappongono l'una sull'altra, 75 -00:04:11,861 --> 00:04:16,220 -ma in realtà risulta essere non solo comprensibile, ma esplicativo in modo soddisfacente. +00:04:08,961 --> 00:04:11,765 +il che sembra che dovrebbe essere un disastro completo, 76 -00:04:16,860 --> 00:04:19,410 -Ad esempio, spiega perché deve dipendere dal colore, +00:04:11,765 --> 00:04:16,220 +ma in realtà risulta essere non solo comprensibile, ma esplicativo in modo soddisfacente. 77 -00:04:19,410 --> 00:04:23,596 -e l'intuizione chiave si riduce davvero a cosa succede se non sei bravo a spingere +00:04:16,860 --> 00:04:19,536 +Ad esempio, spiega perché deve dipendere dal colore, 78 -00:04:23,596 --> 00:04:25,040 -un bambino su un'altalena. +00:04:19,536 --> 00:04:23,727 +e l'intuizione chiave si riduce davvero a cosa succede se non sei bravo a spingere 79 -00:04:25,540 --> 00:04:27,520 -Abbi pazienza, ti prometto che avrà senso più tardi. +00:04:23,727 --> 00:04:25,040 +un bambino su un'altalena. 80 -00:04:28,540 --> 00:04:32,093 -Inoltre, quando ho menzionato su Patreon l'intenzione di trattare questo argomento, +00:04:25,540 --> 00:04:27,520 +Abbi pazienza, ti prometto che avrà senso più tardi. 81 -00:04:32,093 --> 00:04:34,920 -molte persone hanno avuto molte domande sull'indice di rifrazione. +00:04:28,540 --> 00:04:32,112 +Inoltre, quando ho menzionato su Patreon l'intenzione di trattare questo argomento, 82 -00:04:34,920 --> 00:04:38,850 -Ad esempio, numerose persone hanno chiesto come sia possibile che questo numero +00:04:32,112 --> 00:04:34,920 +molte persone hanno avuto molte domande sull'indice di rifrazione. 83 -00:04:38,850 --> 00:04:42,683 -sia inferiore a 1, cosa che realmente accade, nonostante ciò sembri implicare +00:04:34,920 --> 00:04:38,916 +Ad esempio, numerose persone hanno chiesto come sia possibile che questo numero 84 -00:04:42,683 --> 00:04:46,860 -l'impossibilità che qualcosa viaggi a una velocità superiore a quella della luce. +00:04:38,916 --> 00:04:42,813 +sia inferiore a 1, cosa che realmente accade, nonostante ciò sembri implicare 85 -00:04:47,400 --> 00:04:49,590 -C'era anche una domanda sulla birifrangenza, +00:04:42,813 --> 00:04:46,860 +l'impossibilità che qualcosa viaggi a una velocità superiore a quella della luce. 86 -00:04:49,590 --> 00:04:53,615 -ovvero quando un materiale può avere due diversi indici di rifrazione che ti fanno vedere +00:04:47,400 --> 00:04:51,335 +C'era anche una domanda sulla birifrangenza, ovvero quando un materiale può avere due 87 -00:04:53,615 --> 00:04:55,180 -doppio quando lo guardi attraverso. +00:04:51,335 --> 00:04:55,180 +diversi indici di rifrazione che ti fanno vedere doppio quando lo guardi attraverso. 88 -00:04:55,280 --> 00:04:58,582 +00:04:55,280 --> 00:04:58,495 E questo in realtà si lega molto bene all'inserimento del pezzo finale 89 -00:04:58,582 --> 00:05:01,620 +00:04:58,495 --> 00:05:01,620 del puzzle degli ultimi due video sul fenomeno del palo del barbiere. 90 @@ -371,19 +371,19 @@ E sono d'accordo, questo merita una spiegazione migliore rispetto all'analogia del carro armato. 94 -00:05:11,840 --> 00:05:14,730 +00:05:11,840 --> 00:05:14,778 Prometto che affronteremo tutte queste domande più tardi, 95 -00:05:14,730 --> 00:05:18,817 +00:05:14,778 --> 00:05:18,933 ma è logico gettare prima alcune basi dedicando la maggior parte del nostro tempo 96 -00:05:18,817 --> 00:05:22,803 +00:05:18,933 --> 00:05:22,986 alla domanda chiave: perché passare attraverso un mezzo cambierebbe la velocità 97 -00:05:22,803 --> 00:05:24,000 +00:05:22,986 --> 00:05:24,000 di un'onda luminosa. 98 @@ -399,87 +399,87 @@ come se fosse suddiviso in una serie di strati distinti, tutti perpendicolari alla direzione in cui viaggia la luce. 101 -00:05:34,120 --> 00:05:36,680 +00:05:34,120 --> 00:05:36,697 E inizieremo focalizzando la nostra attenzione sull'effetto 102 -00:05:36,680 --> 00:05:38,760 +00:05:36,697 --> 00:05:38,760 di uno solo di questi strati sull'onda luminosa. 103 -00:05:39,320 --> 00:05:43,713 +00:05:39,320 --> 00:05:43,759 L'effetto reale sarebbe minuscolo, ma se mi permettete di esagerare per un momento, 104 -00:05:43,713 --> 00:05:46,560 +00:05:43,759 --> 00:05:46,560 quello che fa è riportare indietro la fase dell'onda. 105 -00:05:47,420 --> 00:05:49,522 -E forse vale la pena fare una breve digressione per essere sicuri che siamo tutti +00:05:47,420 --> 00:05:49,417 +E forse vale la pena fare una breve digressione per essere sicuri che siamo 106 -00:05:49,522 --> 00:05:51,600 -sulla stessa lunghezza d'onda quando si tratta della terminologia delle onde. +00:05:49,417 --> 00:05:51,600 +tutti sulla stessa lunghezza d'onda quando si tratta della terminologia delle onde. 107 -00:05:51,960 --> 00:05:54,475 +00:05:51,960 --> 00:05:54,581 Se vai a rappresentare graficamente la funzione seno di x, 108 -00:05:54,475 --> 00:05:57,246 -quando gli metti un termine davanti, che influenza l'altezza +00:05:54,581 --> 00:05:58,092 +quando gli metti un termine davanti, che influenza l'altezza dell'oscillazione 109 -00:05:57,246 --> 00:06:00,785 -dell'oscillazione dell'onda su e giù, questo è ciò che chiamiamo ampiezza, +00:05:58,092 --> 00:06:00,625 +dell'onda su e giù, questo è ciò che chiamiamo ampiezza, 110 -00:06:00,785 --> 00:06:04,580 +00:06:00,625 --> 00:06:04,580 quando metti un termine davanti a x, questo sarà influenzano la rapidità con cui oscilla. 111 -00:06:04,960 --> 00:06:07,545 +00:06:04,960 --> 00:06:07,511 Se questo fosse inteso per descrivere un'onda nel tempo, 112 -00:06:07,545 --> 00:06:09,665 +00:06:07,511 --> 00:06:09,750 quel termine sarebbe chiamato frequenza angolare, 113 -00:06:09,665 --> 00:06:12,378 +00:06:09,750 --> 00:06:12,435 mentre se fosse inteso per descrivere un'onda nello spazio, 114 -00:06:12,378 --> 00:06:14,540 +00:06:12,435 --> 00:06:14,540 quella costante sarebbe chiamata numero d'onda. 115 -00:06:14,960 --> 00:06:18,785 +00:06:14,960 --> 00:06:18,799 Quindi se aggiungi qualche altra costante all'interno di quella funzione seno, 116 -00:06:18,785 --> 00:06:22,104 +00:06:18,799 --> 00:06:22,298 e noti come quando cambi quella costante, in un certo senso fa scorrere 117 -00:06:22,104 --> 00:06:25,700 +00:06:22,298 --> 00:06:25,700 l'onda a destra e a sinistra, quel termine descrive la fase dell'onda. 118 -00:06:26,660 --> 00:06:30,397 +00:06:26,660 --> 00:06:30,440 Quindi, quando dico che la nostra onda luminosa che colpisce uno strato di vetro fa sì 119 -00:06:30,397 --> 00:06:34,135 +00:06:30,440 --> 00:06:34,221 che la sua fase venga respinta indietro, intendo dire che se prendi qualunque funzione 120 -00:06:34,135 --> 00:06:37,916 +00:06:34,221 --> 00:06:38,046 la descriva prima che colpisca il vetro, allora la funzione che la descrive dopo sembra 121 -00:06:37,916 --> 00:06:41,740 +00:06:38,046 --> 00:06:41,740 quasi la stessa, solo con qualcosa in più aggiunto all'input di quella funzione seno. 122 @@ -499,11 +499,11 @@ ma continuerò a disegnarlo come qualcosa di esagerato e terrò traccia del valo di quel kick di fase qui a sinistra. 126 -00:06:54,740 --> 00:06:57,485 +00:06:54,740 --> 00:06:57,461 Diciamo che aggiungi un po' di altri strati di vetro, 127 -00:06:57,485 --> 00:07:00,940 +00:06:57,461 --> 00:07:00,940 ognuno dei quali applica il proprio contraccolpo alla fase dell'onda. 128 @@ -511,11 +511,11 @@ ognuno dei quali applica il proprio contraccolpo alla fase dell'onda. La domanda per te è: che aspetto ha quella nuova ondata? 129 -00:07:04,300 --> 00:07:08,006 +00:07:04,300 --> 00:07:08,133 Se il valore del kick di fase applicato da ogni strato è vicino allo zero, 130 -00:07:08,006 --> 00:07:10,280 +00:07:08,133 --> 00:07:10,280 allora l'onda non viene quasi influenzata. 131 @@ -555,27 +555,27 @@ E poi lo faccio di nuovo, raddoppio la densità degli strati, ma faccio in modo che ciascuno applichi solo metà del calcio di fase. 140 -00:07:39,560 --> 00:07:43,692 -Mentre continuo così ancora e ancora, avvicinandomi a una situazione in cui hai +00:07:39,560 --> 00:07:43,647 +Mentre continuo così ancora e ancora, avvicinandomi a una situazione in cui 141 -00:07:43,692 --> 00:07:47,618 -un continuum di vetro, ogni strato applica solo un minuscolo calcio di fase +00:07:43,647 --> 00:07:47,680 +hai un continuum di vetro, ogni strato applica solo un minuscolo calcio di 142 -00:07:47,618 --> 00:07:51,078 -infinitesimale, quello che ottieni è identico, indistinguibile da, +00:07:47,680 --> 00:07:51,552 +fase infinitesimale, quello che ottieni è identico, indistinguibile da, 143 -00:07:51,078 --> 00:07:53,868 +00:07:51,552 --> 00:07:54,241 un'onda che viaggia semplicemente più lentamente, 144 -00:07:53,868 --> 00:07:56,915 +00:07:54,241 --> 00:07:57,199 oscillando verso l'alto e giù con la stessa frequenza, 145 -00:07:56,915 --> 00:08:00,480 +00:07:57,199 --> 00:08:00,480 ma con una lunghezza d'onda che è stata un po' accartocciata. 146 @@ -583,27 +583,27 @@ ma con una lunghezza d'onda che è stata un po' accartocciata. Questa qui è la prima idea chiave con l'indice di rifrazione. 147 -00:08:04,560 --> 00:08:07,426 +00:08:04,560 --> 00:08:07,482 Invece di chiederci perché la luce rallenta nel vetro, 148 -00:08:07,426 --> 00:08:10,970 +00:08:07,482 --> 00:08:11,095 quello che dobbiamo veramente chiederci è perché la sua interazione 149 -00:08:10,970 --> 00:08:15,400 +00:08:11,095 --> 00:08:15,400 con un singolo strato di quel vetro provoca un contraccolpo nella fase dell'onda? 150 -00:08:16,200 --> 00:08:19,909 +00:08:16,200 --> 00:08:19,976 E poi quando vogliamo fare un calcolo quantitativo e capire esattamente 151 -00:08:19,909 --> 00:08:24,288 +00:08:19,976 --> 00:08:24,435 quanto rallenta la luce, il che è fondamentale per capire perché dipende dal colore, 152 -00:08:24,288 --> 00:08:27,740 +00:08:24,435 --> 00:08:27,740 invece la vera domanda è: quanto è forte quell'impulso di fase? 153 @@ -611,32 +611,32 @@ invece la vera domanda è: quanto è forte quell'impulso di fase? Da qui, è utile tornare ai fondamenti di cosa sia la luce. 154 -00:08:33,159 --> 00:08:35,428 +00:08:33,159 --> 00:08:35,412 Questo è qualcosa di cui abbiamo parlato molto nell'ultimo video, 155 -00:08:35,428 --> 00:08:38,280 +00:08:35,412 --> 00:08:38,280 ma un piccolo ripasso non fa mai male, quindi permettimi di riassumere l'essenziale. 156 -00:08:38,840 --> 00:08:42,551 +00:08:38,840 --> 00:08:42,477 Come molti di voi sanno, la luce è un'onda nel campo elettromagnetico, 157 -00:08:42,551 --> 00:08:44,680 +00:08:42,477 --> 00:08:44,680 ma qui disegneremo solo il campo elettrico. 158 -00:08:45,320 --> 00:08:49,103 +00:08:45,320 --> 00:08:49,178 Il campo elettrico associa ogni punto nello spazio 3D con un piccolo 159 -00:08:49,103 --> 00:08:52,831 -vettore tridimensionale che indica quale forza verrebbe applicata a +00:08:49,178 --> 00:08:52,869 +vettore tridimensionale che indica quale forza verrebbe applicata 160 -00:08:52,831 --> 00:08:56,560 -un'ipotetica unità di carica situata in quel punto dello spazio. +00:08:52,869 --> 00:08:56,560 +a un'ipotetica unità di carica situata in quel punto dello spazio. 161 00:08:58,120 --> 00:09:01,980 @@ -655,1366 +655,1350 @@ increspature che si propagano nel campo elettrico lontano dalla carica, e che la propagazione viaggia alla velocità c, la velocità della luce. 165 -00:09:13,740 --> 00:09:17,113 +00:09:13,740 --> 00:09:17,120 Ogni volta che queste increspature raggiungono un'altra particella carica, 166 -00:09:17,113 --> 00:09:19,206 -la fanno oscillare su e giù, anche se un po' +00:09:17,120 --> 00:09:21,086 +la fanno oscillare su e giù, anche se un po' più debolmente dell'oscillazione iniziale, 167 -00:09:19,206 --> 00:09:21,213 -più debolmente dell'oscillazione iniziale, - -168 -00:09:21,213 --> 00:09:23,520 +00:09:21,086 --> 00:09:23,520 e questo a sua volta causa le sue stesse propagazioni. -169 -00:09:24,480 --> 00:09:28,927 +168 +00:09:24,480 --> 00:09:28,998 Il modo in cui lo abbiamo descritto nell'ultimo video è che se ad un certo punto -170 -00:09:28,927 --> 00:09:33,636 +169 +00:09:28,998 --> 00:09:34,019 nel tempo una carica accelera, dopo un piccolo ritardo, che dipende da questa velocità c, -171 -00:09:33,636 --> 00:09:37,980 +170 +00:09:34,019 --> 00:09:37,980 l'esistenza di quell'accelerazione induce una forza su un'altra carica. -172 -00:09:38,700 --> 00:09:41,746 +171 +00:09:38,700 --> 00:09:41,780 Abbiamo esaminato la legge di forza specifica che descrive questo, -173 -00:09:41,746 --> 00:09:44,974 +172 +00:09:41,780 --> 00:09:45,045 è qualcosa che può essere derivato a valle delle equazioni di Maxwell, -174 -00:09:44,974 --> 00:09:48,838 +173 +00:09:45,045 --> 00:09:48,954 ma per i nostri scopi qui, la cosa principale da tenere a mente è che la quantità di -175 -00:09:48,838 --> 00:09:52,839 +174 +00:09:48,954 --> 00:09:52,816 tempo necessaria all'accelerazione iniziale per causare qualsiasi tipo di influenza -176 -00:09:52,839 --> 00:09:54,840 +175 +00:09:52,816 --> 00:09:54,840 altrove viaggia esattamente alla velocità c. -177 +176 00:09:55,300 --> 00:09:58,954 E in realtà, dovresti pensare a c non tanto come la velocità della luce in sé, -178 +177 00:09:58,954 --> 00:10:00,620 ma come la velocità della causalità. -179 +178 00:10:00,940 --> 00:10:04,231 Determina la velocità con cui viaggia qualsiasi tipo di influenza, -180 +179 00:10:04,231 --> 00:10:08,260 è solo che una delle molteplici conseguenze di ciò è che è la velocità della luce. -181 -00:10:08,600 --> 00:10:11,886 +180 +00:10:08,600 --> 00:10:12,233 In particolare, quando si ottiene una carica che oscilla su e giù con un -182 -00:10:11,886 --> 00:10:15,397 +181 +00:10:12,233 --> 00:10:16,115 movimento sinusoidale pulito, si può pensare a questi effetti di increspatura -183 -00:10:15,397 --> 00:10:18,908 +182 +00:10:16,115 --> 00:10:19,997 nel campo elettrico come a una descrizione della forza che verrebbe applicata -184 -00:10:18,908 --> 00:10:22,600 +183 +00:10:19,997 --> 00:10:23,680 a un'altra carica seduta lì come risultato di quell'accelerazione passata. +184 +00:10:24,340 --> 00:10:27,376 +Ammetterò liberamente che mi sono divertito un po' troppo in quel video + 185 -00:10:22,600 --> 00:10:25,301 -Ammetterò liberamente che mi sono divertito un po' +00:10:27,376 --> 00:10:31,086 +semplicemente simulando come il campo elettrico risponde alle cariche in accelerazione, 186 -00:10:25,301 --> 00:10:28,690 -troppo in quel video semplicemente simulando come il campo elettrico +00:10:31,086 --> 00:10:34,038 +e che sto facendo la stessa cosa qui, ma ci sono due fatti importanti 187 -00:10:28,690 --> 00:10:32,521 -risponde alle cariche in accelerazione, e che sto facendo la stessa cosa qui, +00:10:34,038 --> 00:10:36,400 +per la nostra ricerca dell'energia indice di rifrazione. 188 -00:10:32,521 --> 00:10:36,008 -ma ci sono due fatti importanti per la nostra ricerca dell'energia +00:10:36,920 --> 00:10:40,690 +Il primo è che quando si hanno più cariche diverse che oscillano su e giù, 189 -00:10:36,008 --> 00:10:37,040 -indice di rifrazione. +00:10:40,690 --> 00:10:44,560 +l'effetto netto sul campo elettrico è proprio la somma di quello che sarebbe 190 -00:10:37,040 --> 00:10:40,553 -Il primo è che quando si hanno più cariche diverse che oscillano su e giù, +00:10:44,560 --> 00:10:48,180 +per ogni singola carica, che è più o meno quello che ci si aspetterebbe. 191 -00:10:40,553 --> 00:10:43,972 -l'effetto netto sul campo elettrico è proprio la somma di quello che +00:10:48,600 --> 00:10:52,934 +Il modo in cui funziona è che se si ha una fila di cariche che oscillano in sincronia 192 -00:10:43,972 --> 00:10:47,720 -sarebbe per ogni singola carica, che è più o meno quello che ci si aspetterebbe. +00:10:52,934 --> 00:10:56,009 +tra loro, o per i nostri scopi di oggi, un piano di cariche, 193 -00:10:47,720 --> 00:10:52,192 -Il modo in cui funziona è che se si ha una fila di cariche che oscillano in sincronia +00:10:56,009 --> 00:10:59,538 +tutte che si muovono su e giù in sincronia all'interno di quel piano, 194 -00:10:52,192 --> 00:10:55,365 -tra loro, o per i nostri scopi di oggi, un piano di cariche, +00:10:59,538 --> 00:11:03,570 +allora gli effetti di ogni individuo le cariche tendono ad annullarsi a vicenda 195 -00:10:55,365 --> 00:10:59,214 -tutte che si muovono su e giù in sincronia all'interno di quel piano, +00:11:03,570 --> 00:11:07,451 +nella maggior parte delle direzioni, tranne che perpendicolare a quel piano, 196 -00:10:59,214 --> 00:11:03,686 -allora gli effetti di ogni individuo le cariche tendono ad annullarsi a vicenda nella - -197 -00:11:03,686 --> 00:11:07,379 -maggior parte delle direzioni, tranne che perpendicolare a quel piano, - -198 -00:11:07,379 --> 00:11:09,720 +00:11:07,451 --> 00:11:09,720 in realtà interferiscono in modo costruttivo. -199 +197 00:11:10,120 --> 00:11:12,560 In questo modo è possibile ottenere un fascio di luce concentrato. -200 +198 00:11:12,900 --> 00:11:17,095 La cosa importante è che se hai uno strato di cariche che si muovono su e giù in -201 +199 00:11:17,095 --> 00:11:19,788 sincronia tra loro, anche lontano da quello strato, -202 +200 00:11:19,788 --> 00:11:24,035 produce questa bella onda sinusoidale nel campo elettrico che ci piace così tanto -203 +201 00:11:24,035 --> 00:11:25,900 disegnare per rappresentare leggero. -204 -00:11:27,640 --> 00:11:29,607 -Quando disegno un'onda luminosa come questa, +202 +00:11:27,640 --> 00:11:30,502 +Quando disegno un'onda luminosa come questa, in realtà rappresenta -205 -00:11:29,607 --> 00:11:32,980 -in realtà rappresenta solo il campo elettrico su un'unica linea unidimensionale. +203 +00:11:30,502 --> 00:11:32,980 +solo il campo elettrico su un'unica linea unidimensionale. -206 +204 00:11:33,480 --> 00:11:37,640 Un'immagine più completa della luce in tre dimensioni sarebbe più simile a questa. -207 -00:11:38,160 --> 00:11:39,532 +205 +00:11:38,160 --> 00:11:39,669 Questo tende ad essere un po' più impegnativo, -208 -00:11:39,532 --> 00:11:41,040 +206 +00:11:39,669 --> 00:11:41,340 quindi di solito disegniamo solo l'onda sinusoidale. -209 -00:11:41,040 --> 00:11:46,546 -Quindi, ripensando alla domanda sul perché le interazioni con uno strato di materiale +207 +00:11:42,920 --> 00:11:47,014 +Quindi, ripensando alla domanda sul perché le interazioni con uno strato di -210 -00:11:46,546 --> 00:11:51,540 -causerebbero un contraccolpo nella fase dell'onda, iniziamo a rifletterci. +208 +00:11:47,014 --> 00:11:51,540 +materiale causerebbero un contraccolpo nella fase dell'onda, iniziamo a rifletterci. -211 -00:11:52,060 --> 00:11:55,286 +209 +00:11:52,060 --> 00:11:55,401 Quando un raggio di luce entra in un materiale, come il vetro, -212 -00:11:55,286 --> 00:11:59,485 +210 +00:11:55,401 --> 00:11:59,538 fa sì che tutte le cariche all'interno di quel materiale, sai, gli elettroni, -213 -00:11:59,485 --> 00:12:03,940 +211 +00:11:59,538 --> 00:12:03,940 o forse lo ione occasionale, si muovano su e giù in risposta a quell'onda luminosa. -214 +212 00:12:04,520 --> 00:12:08,192 Potresti pensare che mettere insieme tutte le propagazioni di tutte quelle -215 +213 00:12:08,192 --> 00:12:11,620 accuse sia un vero incubo, ma possiamo pensarci uno strato alla volta. -216 -00:12:12,660 --> 00:12:15,985 +214 +00:12:12,660 --> 00:12:15,834 Poiché l'onda luminosa fa oscillare questo strato su e giù, -217 -00:12:15,985 --> 00:12:19,831 +215 +00:12:15,834 --> 00:12:19,749 tale oscillazione produce la propria onda luminosa di secondo ordine alla -218 -00:12:19,831 --> 00:12:24,300 +216 +00:12:19,749 --> 00:12:24,300 stessa frequenza e si propaga in entrambe le direzioni perpendicolari a quello strato. -219 +217 00:12:24,900 --> 00:12:27,870 Il campo elettrico complessivo, quindi, assomiglia all’onda -220 +218 00:12:27,870 --> 00:12:31,040 luminosa iniziale in arrivo sommata all’onda del secondo ordine. -221 +219 00:12:32,580 --> 00:12:37,037 La parte di gran lunga più distraente di ciò che sta accadendo qui è tutto a sinistra, -222 +220 00:12:37,037 --> 00:12:39,600 e questo in realtà corrisponde alla luce riflessa. -223 -00:12:40,220 --> 00:12:43,889 +221 +00:12:40,220 --> 00:12:43,809 E per esperienza, sapete tutti che quando guardate l'acqua o guardate il vetro, -224 -00:12:43,889 --> 00:12:46,860 +222 +00:12:43,809 --> 00:12:46,860 la luce non solo la attraversa, ma una parte di essa viene riflessa. -225 +223 00:12:46,860 --> 00:12:50,291 E potremmo avere una discussione molto interessante su come quantificare -226 +224 00:12:50,291 --> 00:12:54,334 esattamente quanto, ma per restare concentrati, lo ignoreremo completamente per oggi, -227 +225 00:12:54,334 --> 00:12:57,860 e ci concentreremo solo su ciò che sta accadendo a destra di quello strato. -228 +226 00:12:58,440 --> 00:13:00,200 Probabilmente puoi prevedere cosa dirò. -229 -00:13:00,860 --> 00:13:04,359 +227 +00:13:00,860 --> 00:13:04,313 Si scopre che quando si aggiunge l'oscillazione del secondo ordine, -230 -00:13:04,359 --> 00:13:07,518 +228 +00:13:04,313 --> 00:13:07,411 l'effetto complessivo è quasi identico alla luce in entrata, -231 -00:13:07,518 --> 00:13:09,900 +229 +00:13:07,411 --> 00:13:09,900 ma solo leggermente spostato indietro nella fase. -232 -00:13:10,220 --> 00:13:14,135 +230 +00:13:10,220 --> 00:13:14,237 E poiché molti successivi spostamenti di fase come questo equivalgono al -233 -00:13:14,135 --> 00:13:18,640 +231 +00:13:14,237 --> 00:13:18,640 rallentamento della luce, questo spiegherà in definitiva l'indice di rifrazione. -234 +232 00:13:19,460 --> 00:13:22,368 Ma ovviamente gli spettatori sufficientemente curiosi ora alzeranno la -235 +233 00:13:22,368 --> 00:13:25,440 mano e si chiederanno: perché si ottiene questo effetto quando li si somma? -236 +234 00:13:26,240 --> 00:13:28,200 E quindi qui potrebbe valere la pena approfondire -237 +235 00:13:28,200 --> 00:13:30,240 brevemente come pensare di sommare due onde insieme. -238 -00:13:30,840 --> 00:13:34,100 +236 +00:13:30,840 --> 00:13:33,856 Se disegni un'onda sinusoidale con un'ampiezza particolare, +237 +00:13:33,856 --> 00:13:38,229 +una frequenza specifica e una fase specifica, e poi disegni un'altra onda sinusoidale, + +238 +00:13:38,229 --> 00:13:40,693 +anch'essa con la sua ampiezza, frequenza e fase, + 239 -00:13:34,100 --> 00:13:37,841 -una frequenza specifica e una fase specifica, e poi disegni un'altra onda +00:13:40,693 --> 00:13:44,664 +in generale è molto difficile pensare a quale sarà la somma di queste due onde 240 -00:13:37,841 --> 00:13:41,006 -sinusoidale, anch'essa con la sua ampiezza, frequenza e fase, +00:13:44,664 --> 00:13:47,480 +dovrebbe apparire mentre modifichi i parametri iniziali. 241 -00:13:41,006 --> 00:13:45,226 -in generale è molto difficile pensare a quale sarà la somma di queste due onde dovrebbe - -242 -00:13:45,226 --> 00:13:47,480 -apparire mentre modifichi i parametri iniziali. - -243 -00:13:52,180 --> 00:13:56,353 +00:13:52,180 --> 00:13:56,460 Nel caso specifico in cui le frequenze sono le stesse, come nel nostro esempio, -244 -00:13:56,353 --> 00:14:00,580 +242 +00:13:56,460 --> 00:14:00,580 anche il risultato apparirà come un'onda sinusoidale con la stessa frequenza. -245 +243 00:14:01,380 --> 00:14:03,375 Ma anche in questo caso, è un po’ complicato pensare -246 +244 00:14:03,375 --> 00:14:04,920 esattamente a come descrivere quell’onda. -247 +245 00:14:05,240 --> 00:14:08,887 Ha una certa ampiezza e una certa fase, e se ti chiedessi di calcolare -248 +246 00:14:08,887 --> 00:14:12,328 concretamente entrambi questi numeri, in base alle ampiezze e alle -249 +247 00:14:12,328 --> 00:14:15,821 fasi delle onde iniziali, non è immediatamente chiaro come potresti -250 +248 00:14:15,821 --> 00:14:19,520 farlo senza lanciare un mucchio di identità trigonometriche al problema. -251 +249 00:14:20,120 --> 00:14:22,140 Ma ecco un modo davvero carino di pensarci. -252 +250 00:14:22,280 --> 00:14:26,860 Immagina che la prima onda descriva la componente y di un vettore rotante. -253 -00:14:28,480 --> 00:14:32,132 +251 +00:14:28,480 --> 00:14:32,367 La lunghezza di quel vettore corrisponde all'ampiezza della nostra onda, -254 -00:14:32,132 --> 00:14:36,260 +252 +00:14:32,367 --> 00:14:37,000 e quindi la rotazione iniziale di quel vettore corrisponde alla fase della nostra onda. +253 +00:14:37,690 --> 00:14:41,920 +E poi allo stesso modo pensa a quella seconda onda come se descrivesse la componente + +254 +00:14:41,920 --> 00:14:45,950 +y di un altro vettore rotante, dove ancora una volta l'ampiezza corrisponde alla + 255 -00:14:36,260 --> 00:14:41,019 -E poi allo stesso modo pensa a quella seconda onda come se descrivesse la componente y di +00:14:45,950 --> 00:14:50,380 +lunghezza di quel vettore, e la fase dell'onda ci dice l'angolo iniziale di quel vettore. 256 -00:14:41,019 --> 00:14:45,779 -un altro vettore rotante, dove ancora una volta l'ampiezza corrisponde alla lunghezza +00:14:52,780 --> 00:14:55,227 +Ora per pensare alla somma delle due onde, pensa solo 257 -00:14:45,779 --> 00:14:50,380 -di quel vettore, e la fase dell'onda ci dice l'angolo iniziale di quel vettore. +00:14:55,227 --> 00:14:57,720 +ad aggiungere questi due vettori dalla punta alla coda. 258 -00:14:52,780 --> 00:14:55,058 -Ora per pensare alla somma delle due onde, pensa solo +00:14:58,400 --> 00:15:02,129 +E poiché entrambi hanno la stessa frequenza mentre ruotano, 259 -00:14:55,058 --> 00:14:57,380 -ad aggiungere questi due vettori dalla punta alla coda. +00:15:02,129 --> 00:15:04,740 +la loro somma ruota in sincronia con loro. 260 -00:14:57,380 --> 00:15:01,709 -E poiché entrambi hanno la stessa frequenza mentre ruotano, +00:15:07,400 --> 00:15:10,228 +Quindi, se vuoi pensare all'ampiezza dell'onda risultante, 261 -00:15:01,709 --> 00:15:04,740 -la loro somma ruota in sincronia con loro. +00:15:10,228 --> 00:15:12,768 +si riduce alla lunghezza di questa somma vettoriale, 262 -00:15:07,400 --> 00:15:10,420 -Quindi, se vuoi pensare all'ampiezza dell'onda risultante, +00:15:12,768 --> 00:15:16,460 +e allo stesso modo la fase corrisponde all'angolo di quella somma vettoriale. 263 -00:15:10,420 --> 00:15:12,808 -si riduce alla lunghezza di questa somma vettoriale, +00:15:17,020 --> 00:15:20,001 +In alcuni casi questo ti dice cose che probabilmente già sapevi, 264 -00:15:12,808 --> 00:15:16,460 -e allo stesso modo la fase corrisponde all'angolo di quella somma vettoriale. +00:15:20,001 --> 00:15:23,029 +ad esempio se le due fasi fossero le stesse, allora si otterrebbe 265 -00:15:17,020 --> 00:15:19,883 -In alcuni casi questo ti dice cose che probabilmente già sapevi, +00:15:23,029 --> 00:15:25,920 +un'interferenza costruttiva e si otterrebbe un'onda più grande. 266 -00:15:19,883 --> 00:15:22,791 -ad esempio se le due fasi fossero le stesse, allora si otterrebbe +00:15:26,380 --> 00:15:30,284 +E se le fasi fossero sfasate di 180 gradi, si otterrebbe un'interferenza 267 -00:15:22,791 --> 00:15:25,920 -un'interferenza costruttiva e si otterrebbe un'onda più grande. +00:15:30,284 --> 00:15:33,440 +decostruttiva con un'onda risultante relativamente piccola. 268 -00:15:26,380 --> 00:15:30,263 -E se le fasi fossero sfasate di 180 gradi, si otterrebbe un'interferenza +00:15:34,360 --> 00:15:38,557 +Ciò che è un po' meno ovvio, ma ciò che è cruciale per la nostra discussione qui, 269 -00:15:30,263 --> 00:15:33,440 -decostruttiva con un'onda risultante relativamente piccola. +00:15:38,557 --> 00:15:43,010 +è che se la fase di quella seconda ondata sembra essere esattamente 90 gradi dietro la 270 -00:15:34,360 --> 00:15:38,631 -Ciò che è un po' meno ovvio, ma ciò che è cruciale per la nostra discussione qui, +00:15:43,010 --> 00:15:46,645 +fase della prima, quindi una specie di quarto di ciclo fuori sincrono, 271 -00:15:38,631 --> 00:15:42,952 -è che se la fase di quella seconda ondata sembra essere esattamente 90 gradi dietro la +00:15:46,645 --> 00:15:50,279 +e se quello anche la seconda onda è molto piccola rispetto alla prima, 272 -00:15:42,952 --> 00:15:46,478 -fase della prima, quindi una specie di quarto di ciclo fuori sincrono, +00:15:50,279 --> 00:15:53,811 +quindi se osservate la piccola somma vettoriale in basso a sinistra, 273 -00:15:46,478 --> 00:15:50,004 -e se quello anche la seconda onda è molto piccola rispetto alla prima, +00:15:53,811 --> 00:15:58,367 +noterete come questo significa che l'onda risultante è quasi identica all'onda iniziale, 274 -00:15:50,004 --> 00:15:53,431 -quindi se osservate la piccola somma vettoriale in basso a sinistra, +00:15:58,367 --> 00:16:01,080 +ma appena spostata indietro nella sua fase da un po'. 275 -00:15:53,431 --> 00:15:57,752 -noterete come questo significa che l'onda risultante è quasi identica all'onda - -276 -00:15:57,752 --> 00:16:01,080 -iniziale, ma appena spostata indietro nella sua fase da un po'. - -277 00:16:01,520 --> 00:16:04,530 Inoltre, la dimensione di tale sfasamento dipende -278 +276 00:16:04,530 --> 00:16:07,360 dall’ampiezza specifica di quella seconda onda. -279 +277 00:16:08,580 --> 00:16:11,491 Quindi, guardando indietro alla nostra animazione precedente, -280 +278 00:16:11,491 --> 00:16:14,966 dove abbiamo alcune cariche oscillanti in uno strato di vetro che causano -281 +279 00:16:14,966 --> 00:16:18,394 queste propagazioni del secondo ordine che devono essere sommate insieme -282 +280 00:16:18,394 --> 00:16:21,635 alla luce in arrivo, il modo in cui funziona è che la fase di quella -283 +281 00:16:21,635 --> 00:16:25,580 seconda onda è esattamente un quarto di ciclo indietro rispetto alla fase del primo. -284 +282 00:16:26,020 --> 00:16:28,760 Quindi quando li sommi insieme, ottieni questo piccolo spostamento di fase. -285 +283 00:16:29,320 --> 00:16:33,754 E poi, in modo critico, la dimensione di quello sfasamento è maggiore quando l’onda del -286 +284 00:16:33,754 --> 00:16:38,240 secondo ordine è più grande, e poi minore quando l’onda del secondo ordine è più piccola. -287 +285 00:16:39,220 --> 00:16:42,566 Ancora una volta, gli spettatori più curiosi alzeranno la mano e diranno: -288 +286 00:16:42,566 --> 00:16:45,460 perché sembra che siamo esattamente un quarto di ciclo indietro? -289 +287 00:16:46,020 --> 00:16:49,700 C'è una ragione molto carina, ma per noi oggi è un po' troppo dettagliata. -290 -00:16:49,860 --> 00:16:51,571 +288 +00:16:49,860 --> 00:16:51,711 Se sei curioso, ti incoraggio vivamente a dare -291 -00:16:51,571 --> 00:16:53,720 +289 +00:16:51,711 --> 00:16:53,720 un'occhiata alle lezioni di Feynman sull'argomento. -292 -00:16:54,460 --> 00:16:57,553 +290 +00:16:54,460 --> 00:16:57,615 Per i nostri scopi, facciamo un passo indietro per un secondo e -293 -00:16:57,553 --> 00:17:01,129 +291 +00:16:57,615 --> 00:17:01,263 pensiamo a cosa è necessario per spiegare la questione chiave dei prismi, -294 -00:17:01,129 --> 00:17:04,319 +292 +00:17:01,263 --> 00:17:04,319 motivo per cui l'indice di rifrazione dipenderebbe dal colore. -295 -00:17:05,000 --> 00:17:09,293 +293 +00:17:05,000 --> 00:17:09,298 Come ora sapete, quell'indice dipende da quanto ciascuno strato di vetro respinge -296 -00:17:09,293 --> 00:17:13,436 -la fase dell'onda, e quel calcio di fase dipende dalla forza dell'onda del +294 +00:17:09,298 --> 00:17:13,648 +la fase dell'onda, e quel calcio di fase dipende dalla forza dell'onda del secondo -297 -00:17:13,436 --> 00:17:17,579 -secondo ordine risultante dalle oscillazioni di carica in uno strato di quel vetro. +295 +00:17:13,648 --> 00:17:17,579 +ordine risultante dalle oscillazioni di carica in uno strato di quel vetro. -298 +296 00:17:18,000 --> 00:17:21,342 Quindi è necessario approfondire e capire esattamente quanto -299 +297 00:17:21,342 --> 00:17:24,960 oscillano quelle cariche in risposta a un’onda luminosa in arrivo. -300 +298 00:17:25,700 --> 00:17:30,000 Quindi ingrandiamo quello strato e pensiamo a ciascuna di quelle particelle cariche, -301 +299 00:17:30,000 --> 00:17:34,047 e anche se la struttura molecolare specifica sarà qualcosa di molto complicato, -302 +300 00:17:34,047 --> 00:17:38,095 modelleremo ciascuna di quelle cariche come se fosse legata a qualche posizione -303 +301 00:17:38,095 --> 00:17:41,080 di equilibrio da una molla, o forse da un insieme di molle. -304 -00:17:41,600 --> 00:17:45,750 +302 +00:17:41,600 --> 00:17:45,793 Non intendo questo alla lettera, ovviamente, intendo solo che se descriviamo -305 -00:17:45,750 --> 00:17:49,848 +303 +00:17:45,793 --> 00:17:49,932 lo spostamento di questa carica dal suo equilibrio con un piccolo vettore x -306 -00:17:49,848 --> 00:17:54,376 +304 +00:17:49,932 --> 00:17:54,507 che dipenderà dal tempo, allora nel nostro modello, la forza applicata alla carica, -307 -00:17:54,376 --> 00:17:58,527 +305 +00:17:54,507 --> 00:17:58,483 che tira tornare a quell'equilibrio, sarà qualcosa di proporzionale alla -308 -00:17:58,527 --> 00:18:02,840 +306 +00:17:58,483 --> 00:18:02,840 dimensione di quello spostamento, con una piccola costante di proporzionalità k. -309 +307 00:18:03,320 --> 00:18:05,440 Questa è la stessa legge che regola il funzionamento delle molle. -310 -00:18:05,900 --> 00:18:09,638 +308 +00:18:05,900 --> 00:18:09,688 Potresti chiederti se è accurato, e l'idea è che per spostamenti molto piccoli, -311 -00:18:09,638 --> 00:18:11,820 +309 +00:18:09,688 --> 00:18:11,820 in realtà è un'approssimazione davvero buona. -312 +310 00:18:11,820 --> 00:18:14,224 Questa è una cosa molto comune da fare in tutta la fisica, -313 +311 00:18:14,224 --> 00:18:16,140 la chiameremmo una forza di ripristino lineare. -314 -00:18:16,540 --> 00:18:19,164 +312 +00:18:16,540 --> 00:18:19,157 L'idea è che forse la legge della forza effettiva dipende dalla -315 -00:18:19,164 --> 00:18:21,865 +313 +00:18:19,157 --> 00:18:22,020 posizione in un modo molto più complicato, ma fondamentalmente stiamo -316 -00:18:21,865 --> 00:18:24,760 +314 +00:18:22,020 --> 00:18:24,760 adottando un'approssimazione di ordine basso vicino all'equilibrio. -317 +315 00:18:25,700 --> 00:18:29,144 Se lo eseguo come una simulazione, inserendo questa legge di forza, -318 +316 00:18:29,144 --> 00:18:31,880 ecco come appare lo spostamento in funzione del tempo. -319 -00:18:32,460 --> 00:18:35,155 +317 +00:18:32,460 --> 00:18:35,035 Ciò che ottieni assomiglia a un'onda sinusoidale, -320 -00:18:35,155 --> 00:18:39,099 +318 +00:18:35,035 --> 00:18:38,898 questo si chiama movimento armonico semplice, e la frequenza di quest'onda +319 +00:18:38,898 --> 00:18:42,659 +avrà molta importanza per te e me, e scoprirlo si riduce a risolvere una + +320 +00:18:42,659 --> 00:18:46,471 +certa equazione differenziale, perché la forza è davvero è la stessa cosa + 321 -00:18:39,099 --> 00:18:43,043 -avrà molta importanza per te e me, e scoprirlo si riduce a risolvere una certa +00:18:46,471 --> 00:18:50,334 +di massa per accelerazione, e l'accelerazione è la stessa cosa di derivata 322 -00:18:43,043 --> 00:18:46,887 -equazione differenziale, perché la forza è davvero è la stessa cosa di massa +00:18:50,334 --> 00:18:51,880 +seconda di quello spostamento. 323 -00:18:46,887 --> 00:18:50,781 -per accelerazione, e l'accelerazione è la stessa cosa di derivata seconda - -324 -00:18:50,781 --> 00:18:51,880 -di quello spostamento. - -325 00:18:52,340 --> 00:18:55,560 Quindi quello che stiamo dicendo è che vogliamo una funzione la cui derivata -326 +324 00:18:55,560 --> 00:18:58,740 seconda assomigli ad una certa costante moltiplicata per la funzione stessa. -327 +325 00:18:59,360 --> 00:19:01,011 Tutti gli studenti di equazioni differenziali tra voi -328 +326 00:19:01,011 --> 00:19:03,000 potrebbero divertirsi a pensare a come risolvere questo problema. -329 -00:19:03,240 --> 00:19:06,340 +327 +00:19:03,240 --> 00:19:06,429 Non entrerò nei dettagli completi, ma la risposta è ragionevolmente -330 -00:19:06,340 --> 00:19:09,760 +328 +00:19:06,429 --> 00:19:09,760 intuitiva e chiunque conosca un po' di calcolo può verificarlo da solo. +329 +00:19:09,760 --> 00:19:13,221 +Il modo in cui si scopre è che se la condizione iniziale è che la + +330 +00:19:13,221 --> 00:19:15,896 +nostra piccola carica ha una velocità pari a zero, + 331 -00:19:09,760 --> 00:19:13,534 -Il modo in cui si scopre è che se la condizione iniziale è che la nostra +00:19:15,896 --> 00:19:19,042 +ma è spostata dall'equilibrio da un piccolo vettore x zero, 332 -00:19:13,534 --> 00:19:17,567 -piccola carica ha una velocità pari a zero, ma è spostata dall'equilibrio +00:19:19,042 --> 00:19:22,976 +allora il modo in cui si evolve nel tempo assomiglia a x zero moltiplicato 333 -00:19:17,567 --> 00:19:21,289 -da un piccolo vettore x zero, allora il modo in cui si evolve nel tempo +00:19:22,976 --> 00:19:24,340 +per un coseno espressione. 334 -00:19:21,289 --> 00:19:24,340 -assomiglia a x zero moltiplicato per un coseno espressione. - -335 -00:19:25,400 --> 00:19:27,869 +00:19:25,400 --> 00:19:27,661 Quindi l'ampiezza di quest'onda non è interessante, -336 -00:19:27,869 --> 00:19:30,668 +335 +00:19:27,661 --> 00:19:30,444 dipende solo da quanto tiriamo indietro l'onda originariamente, -337 -00:19:30,668 --> 00:19:33,220 +336 +00:19:30,444 --> 00:19:33,141 ma il nocciolo della questione è questo termine di frequenza, -338 -00:19:33,220 --> 00:19:34,620 +337 +00:19:33,141 --> 00:19:34,620 radice quadrata di k divisa per m. -339 +338 00:19:35,320 --> 00:19:38,620 E se ci pensi, si spera che questo sia almeno un po’ intuitivo. -340 -00:19:39,000 --> 00:19:43,762 +339 +00:19:39,000 --> 00:19:43,825 Ad esempio, se aumenti k, che è un po' come aumentare la forza di quella molla, -341 -00:19:43,762 --> 00:19:46,540 +340 +00:19:43,825 --> 00:19:46,540 il risultato sarà un'oscillazione più veloce. -342 -00:19:47,020 --> 00:19:49,535 +341 +00:19:47,020 --> 00:19:49,713 Mentre se aumenti m, la massa della particella, -343 -00:19:49,535 --> 00:19:53,360 +342 +00:19:49,713 --> 00:19:53,360 c'è molta più inerzia e il risultato è un'oscillazione più lenta. -344 +343 00:19:54,220 --> 00:19:57,435 Questo termine, radice quadrata di k divisa per m, ha un nome speciale, -345 +344 00:19:57,435 --> 00:20:00,740 si chiama frequenza di risonanza del nostro oscillatore armonico semplice. -346 +345 00:20:01,100 --> 00:20:04,640 Ed essendo un po' più preciso, dovrei chiamarla frequenza angolare di risonanza. -347 -00:20:05,100 --> 00:20:07,564 +346 +00:20:05,100 --> 00:20:07,419 Questo è sempre un po' imbarazzante con la fisica, -348 -00:20:07,564 --> 00:20:10,388 +347 +00:20:07,419 --> 00:20:10,284 dove ogni volta che si ha un qualche tipo di processo ciclico, +348 +00:20:10,284 --> 00:20:14,059 +quando si dà una descrizione intuitiva, è naturale esprimere le cose in termini di + 349 -00:20:10,388 --> 00:20:13,480 -quando si dà una descrizione intuitiva, è naturale esprimere le cose +00:20:14,059 --> 00:20:17,380 +frequenza, il numero di cicli che questo processo compie per unità tempo. 350 -00:20:13,480 --> 00:20:17,380 -in termini di frequenza, il numero di cicli che questo processo compie per unità tempo. - -351 -00:20:17,700 --> 00:20:21,051 +00:20:17,700 --> 00:20:21,287 Ma quando si fa matematica, spesso è più naturale parlare della frequenza angolare, -352 -00:20:21,051 --> 00:20:23,644 +351 +00:20:21,287 --> 00:20:23,892 che potresti pensare come se descrivesse l'angolo coperto da -353 -00:20:23,644 --> 00:20:25,520 +352 +00:20:23,892 --> 00:20:25,900 questo processo in radianti per unità di tempo. -354 -00:20:25,520 --> 00:20:28,920 +353 +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 Quindi il termine è uguale alla frequenza ma moltiplicato per 2 pi greco. -355 -00:20:29,320 --> 00:20:32,498 +354 +00:20:29,320 --> 00:20:32,362 Quindi, per esempio, se hai qualcosa come un'espressione coseno, -356 -00:20:32,498 --> 00:20:36,367 +355 +00:20:32,362 --> 00:20:36,293 che potresti pensare come se descrivesse la componente x di un vettore ciclico come -357 -00:20:36,367 --> 00:20:40,144 +356 +00:20:36,293 --> 00:20:40,130 questo, allora il termine che si trova proprio davanti alla t in quel coseno è la -358 -00:20:40,144 --> 00:20:41,020 +357 +00:20:40,130 --> 00:20:41,020 frequenza angolare. -359 +358 00:20:41,440 --> 00:20:43,880 Questo è il motivo per cui la frequenza angolare rende i calcoli un po’ più chiari. -360 +359 00:20:44,160 --> 00:20:46,601 Ad esempio, nel nostro movimento armonico semplice, -361 +360 00:20:46,601 --> 00:20:50,405 il termine seduto davanti a t assomiglia alla radice quadrata di k divisa per m, -362 +361 00:20:50,405 --> 00:20:51,720 che scrivo come omega sub r. -363 -00:20:52,340 --> 00:20:55,687 +362 +00:20:52,340 --> 00:20:55,774 Raccogliamo tutto questo e chiamiamola la nostra soluzione nel caso semplice, -364 -00:20:55,687 --> 00:20:59,120 +363 +00:20:55,774 --> 00:20:59,120 dove non c'è alcuna forza esterna che agisce sulla nostra particella carica. -365 +364 00:20:59,780 --> 00:21:04,656 Ma ovviamente, ciò che ci interessa è cosa succede quando si illumina un raggio di luce -366 +365 00:21:04,656 --> 00:21:08,425 su questo materiale, che intuitivamente fa oscillare questa carica, -367 +366 00:21:08,425 --> 00:21:09,700 ma la domanda è quanto. +367 +00:21:10,460 --> 00:21:12,607 +Nella nostra equazione, questo sembra aggiungere un + 368 -00:21:10,460 --> 00:21:12,769 -Nella nostra equazione, questo sembra aggiungere un nuovo +00:21:12,607 --> 00:21:14,920 +nuovo termine di forza corrispondente all'onda luminosa. 369 -00:21:12,769 --> 00:21:14,920 -termine di forza corrispondente all'onda luminosa. - -370 00:21:15,300 --> 00:21:19,798 Quella forza oscilla su e giù anche secondo una sorta di funzione coseno, -371 +370 00:21:19,798 --> 00:21:24,480 ma questa volta con una frequenza angolare distinta che chiamerò omega sub l. +371 +00:21:25,020 --> 00:21:28,294 +E nulla qui descrive la forza dell'onda, quindi q descrive + 372 -00:21:25,020 --> 00:21:27,912 -E nulla qui descrive la forza dell'onda, quindi q +00:21:28,294 --> 00:21:31,180 +la carica di qualunque particella stiamo modellando. 373 -00:21:27,912 --> 00:21:31,180 -descrive la carica di qualunque particella stiamo modellando. +00:21:31,980 --> 00:21:34,856 +Come al solito, è molto più semplice pensarci quando disegniamo 374 -00:21:31,980 --> 00:21:34,798 -Come al solito, è molto più semplice pensarci quando disegniamo +00:21:34,856 --> 00:21:37,778 +solo un sottoinsieme di quell'onda luminosa, e in questo caso la 375 -00:21:34,798 --> 00:21:36,956 -solo un sottoinsieme di quell'onda luminosa, +00:21:37,778 --> 00:21:40,700 +disegneremo sul piano dello strato di materiale che ci interessa. 376 -00:21:36,956 --> 00:21:40,700 -e in questo caso la disegneremo sul piano dello strato di materiale che ci interessa. - -377 00:21:41,100 --> 00:21:43,991 Potresti pensare a raffiche di vento che spingono la nostra -378 +377 00:21:43,991 --> 00:21:47,220 pallina sulla molla su e giù secondo uno schema sinusoidale pulito. -379 +378 00:21:47,780 --> 00:21:51,120 O come altra analogia, è simile a spingere un bambino su un'altalena. -380 -00:21:51,120 --> 00:21:55,208 +379 +00:21:51,120 --> 00:21:55,069 L'altalena oscillerebbe da sola a causa della forza di gravità, -381 -00:21:55,208 --> 00:22:00,500 +380 +00:21:55,069 --> 00:22:00,500 ma tu come spintore stai applicando una forza esterna che a sua volta oscilla nel tempo. -382 +381 00:22:01,240 --> 00:22:05,654 Sebbene una differenza fondamentale qui sia che la frequenza di quella forza esterna in -383 +382 00:22:05,654 --> 00:22:09,617 generale non ha nulla a che fare con la frequenza di risonanza di quel piccolo -384 +383 00:22:09,617 --> 00:22:10,220 oscillatore. -385 -00:22:10,940 --> 00:22:14,771 +384 +00:22:10,940 --> 00:22:14,679 L'analogia migliore sarebbe se spingessi il bambino sull'altalena con una forza -386 -00:22:14,771 --> 00:22:18,560 +385 +00:22:14,679 --> 00:22:18,560 ciclica che non ha nulla a che fare con ciò che l'altalena vuole fare naturalmente. -387 +386 00:22:19,180 --> 00:22:22,989 E la mia parte preferita nel provare letteralmente a farlo con mia nipote è -388 +387 00:22:22,989 --> 00:22:27,000 che a un certo punto mormora dolcemente a se stessa, non è così che fa la mamma. -389 +388 00:22:27,600 --> 00:22:31,780 Ora, nel tentativo di capire quanto oscilla la nostra carica in risposta alla luce -390 +389 00:22:31,780 --> 00:22:35,760 in arrivo, vorrei iniziare semplicemente simulandola e tracciando il risultato. -391 -00:22:37,040 --> 00:22:41,567 +390 +00:22:37,040 --> 00:22:41,568 Noterai che c'è un piccolo periodo di avvio in cui deve andare avanti, ma poi, -392 -00:22:41,567 --> 00:22:46,040 +391 +00:22:41,568 --> 00:22:46,040 fortunatamente, sembra bello e pulito, proprio come un'altra onda sinusoidale. -393 -00:22:46,040 --> 00:22:48,992 +392 +00:22:46,040 --> 00:22:48,933 Ora potresti pensare, sì sì, tutto è un'onda sinusoidale, -394 -00:22:48,992 --> 00:22:53,277 +393 +00:22:48,933 --> 00:22:53,222 ma è importante capire che questa ha un carattere molto diverso dall'onda sinusoidale -395 -00:22:53,277 --> 00:22:54,420 +394 +00:22:53,222 --> 00:22:54,420 che abbiamo visto prima. +395 +00:22:54,860 --> 00:23:00,824 +Prima, senza forze esterne, la frequenza di quell'onda dipendeva dalla costante della + 396 -00:22:54,860 --> 00:23:00,552 -Prima, senza forze esterne, la frequenza di quell'onda dipendeva dalla costante +00:23:00,824 --> 00:23:06,720 +molla e dalla massa, cioè dipende esclusivamente dalle proprietà materiali del vetro. 397 -00:23:00,552 --> 00:23:06,313 -della molla e dalla massa, cioè dipende esclusivamente dalle proprietà materiali del - -398 -00:23:06,313 --> 00:23:06,720 -vetro. - -399 00:23:07,140 --> 00:23:10,285 Al contrario, con questa forza motrice ciclica esterna, -400 +398 00:23:10,285 --> 00:23:14,780 la frequenza in quello stato stazionario è la stessa della frequenza della luce. -401 -00:23:15,200 --> 00:23:19,199 +399 +00:23:15,200 --> 00:23:19,129 E poi nel nostro primo caso, l'ampiezza dell'onda era poco interessante, -402 -00:23:19,199 --> 00:23:22,360 +400 +00:23:19,129 --> 00:23:22,360 dipende solo da quanto hai tirato fuori la molla all'inizio. -403 +401 00:23:22,660 --> 00:23:25,285 Ma nel secondo caso, l’ampiezza di quest’onda è in realtà -404 +402 00:23:25,285 --> 00:23:27,640 il luogo in cui accadono tutte le cose interessanti. -405 +403 00:23:28,080 --> 00:23:32,480 Esattamente quanto oscillerà questa carica in risposta all'onda luminosa? -406 -00:23:33,420 --> 00:23:37,275 +404 +00:23:33,420 --> 00:23:37,395 Ancora una volta, non entrerò nei dettagli completi per risolvere questo problema, -407 -00:23:37,275 --> 00:23:40,898 -ma tutti gli studenti appassionati di calcolo tra voi potrebbero divertirsi a +405 +00:23:37,395 --> 00:23:41,035 +ma tutti gli studenti appassionati di calcolo tra voi potrebbero divertirsi -408 -00:23:40,898 --> 00:23:44,381 -svolgere l'esercizio in cui se indovini che una soluzione assomiglia a +406 +00:23:41,035 --> 00:23:44,531 +a svolgere l'esercizio in cui se indovini che una soluzione assomiglia a -409 -00:23:44,381 --> 00:23:48,144 +407 +00:23:44,531 --> 00:23:48,028 un'onda coseno con la stessa frequenza della luce, e risolvi l'ampiezza, -410 -00:23:48,144 --> 00:23:51,860 +408 +00:23:48,028 --> 00:23:51,860 puoi ottenere una soluzione concreta a questa equazione che assomiglia a questa. -411 -00:23:52,500 --> 00:23:55,712 +409 +00:23:52,500 --> 00:23:55,595 Vale la pena di disimballarlo per un po' e, per essere chiari, -412 -00:23:55,712 --> 00:23:58,254 +410 +00:23:55,595 --> 00:23:58,199 questo descrive solo le cose allo stato stazionario, -413 -00:23:58,254 --> 00:24:00,460 +411 +00:23:58,199 --> 00:24:00,460 dopo che le cose si sono alzate e sono andate. -414 +412 00:24:00,820 --> 00:24:04,000 Una soluzione completamente descrittiva sarebbe notevolmente più complicata. -415 -00:24:04,440 --> 00:24:07,618 +413 +00:24:04,440 --> 00:24:07,504 Come ho detto, tutto ciò che è interessante qui si riduce all'ampiezza, -416 -00:24:07,618 --> 00:24:09,793 +414 +00:24:07,504 --> 00:24:09,718 che qui appare come una vasta raccolta di costanti, -417 -00:24:09,793 --> 00:24:13,056 +415 +00:24:09,718 --> 00:24:13,038 la maggior parte delle quali dovrebbe essere piuttosto intuitiva se ti prendi -418 -00:24:13,056 --> 00:24:14,060 +416 +00:24:13,038 --> 00:24:14,060 un momento per pensarci. -419 -00:24:14,300 --> 00:24:17,543 +417 +00:24:14,300 --> 00:24:17,462 Ad esempio, è proporzionale alla forza dell'onda luminosa in arrivo, -420 -00:24:17,543 --> 00:24:20,120 +418 +00:24:17,462 --> 00:24:20,120 quindi più forte è la luce, maggiori sono le oscillazioni. -421 +419 00:24:20,540 --> 00:24:23,580 È anche proporzionale alla carica, il che ha ancora senso. -422 -00:24:24,040 --> 00:24:28,112 +420 +00:24:24,040 --> 00:24:27,998 E il vero nocciolo della questione si riduce a cosa c'è qui al denominatore, +421 +00:24:27,998 --> 00:24:32,574 +la differenza tra il quadrato della frequenza di risonanza e il quadrato della frequenza + +422 +00:24:32,574 --> 00:24:33,140 +della luce. + 423 -00:24:28,112 --> 00:24:31,078 -la differenza tra il quadrato della frequenza di risonanza +00:24:33,640 --> 00:24:36,898 +E per sviluppare un po' di intuizione, prenditi un momento per pensare 424 -00:24:31,078 --> 00:24:33,140 -e il quadrato della frequenza della luce. +00:24:36,898 --> 00:24:40,111 +a cosa accadrebbe se la frequenza della luce in arrivo fosse qualcosa 425 -00:24:33,640 --> 00:24:36,656 -E per sviluppare un po' di intuizione, prenditi un momento per +00:24:40,111 --> 00:24:43,140 +di molto vicino alla frequenza di risonanza di questo oscillatore. 426 -00:24:36,656 --> 00:24:39,763 -pensare a cosa accadrebbe se la frequenza della luce in arrivo fosse +00:24:44,020 --> 00:24:47,857 +Questo è analogo alla situazione normale che spinge un bambino su un'altalena, 427 -00:24:39,763 --> 00:24:43,140 -qualcosa di molto vicino alla frequenza di risonanza di questo oscillatore. +00:24:47,857 --> 00:24:50,577 +dove la frequenza della tua forza si allinea abbastanza 428 -00:24:44,020 --> 00:24:47,881 -Questo è analogo alla situazione normale che spinge un bambino su un'altalena, +00:24:50,577 --> 00:24:52,860 +strettamente con ciò che l'altalena vuole fare. 429 -00:24:47,881 --> 00:24:51,091 -dove la frequenza della tua forza si allinea abbastanza strettamente - -430 -00:24:51,091 --> 00:24:52,860 -con ciò che l'altalena vuole fare. - -431 00:24:53,620 --> 00:24:57,605 In questo caso, eseguendo la simulazione, notate come le oscillazioni di quella -432 +430 00:24:57,605 --> 00:25:02,040 particella cresceranno, cresceranno e cresceranno, diventando piuttosto grandi nel tempo. -433 +431 00:25:03,320 --> 00:25:07,088 Alcuni di voi potrebbero conoscere il famoso esempio del Millennium Bridge di Londra, -434 +432 00:25:07,088 --> 00:25:09,849 dove il giorno della sua inaugurazione ha iniziato a oscillare -435 +433 00:25:09,849 --> 00:25:12,040 molto più di quanto gli ingegneri si aspettassero. -436 +434 00:25:12,460 --> 00:25:15,352 E quello che stava succedendo è che la frequenza dei passi -437 +435 00:25:15,352 --> 00:25:19,079 della folla si allineava molto strettamente con una frequenza di risonanza, -438 +436 00:25:19,079 --> 00:25:21,580 causando questa ampiezza preoccupantemente elevata. -439 +437 00:25:23,220 --> 00:25:27,713 Al contrario, notiamo cosa succede nella simulazione se la frequenza della luce, -440 +438 00:25:27,713 --> 00:25:31,320 ωL, è qualcosa di molto più piccola della frequenza di risonanza. +439 +00:25:33,500 --> 00:25:36,978 +Per questa particolare simulazione ci vuole un po' di tempo prima che le + +440 +00:25:36,978 --> 00:25:41,123 +cose entrino nel loro pieno svolgimento, alla fine trova un bel movimento sinusoidale, + 441 -00:25:33,500 --> 00:25:36,030 -Per questa particolare simulazione ci vuole un po' +00:25:41,123 --> 00:25:44,220 +ma l'ampiezza di quel movimento è molto più modesta in confronto. 442 -00:25:36,030 --> 00:25:38,929 -di tempo prima che le cose entrino nel loro pieno svolgimento, +00:25:44,900 --> 00:25:47,894 +Quindi quello che la nostra equazione ci dice è che maggiore 443 -00:25:38,929 --> 00:25:42,241 -alla fine trova un bel movimento sinusoidale, ma l'ampiezza di quel +00:25:47,894 --> 00:25:51,134 +è la differenza tra quelle frequenze, maggiore è il denominatore, 444 -00:25:42,241 --> 00:25:44,220 -movimento è molto più modesta in confronto. +00:25:51,134 --> 00:25:54,080 +quindi minore è l'oscillazione complessiva di quella carica. 445 -00:25:44,900 --> 00:25:47,927 -Quindi quello che la nostra equazione ci dice è che maggiore è +00:25:54,700 --> 00:25:57,540 +E ancora, questo è qualcosa che puoi vedere nel filmato con mia nipote. 446 -00:25:47,927 --> 00:25:51,003 -la differenza tra quelle frequenze, maggiore è il denominatore, +00:25:57,900 --> 00:26:01,641 +Poiché applico una forza con una frequenza molto diversa da quella 447 -00:25:51,003 --> 00:25:54,080 -quindi minore è l'oscillazione complessiva di quella carica. +00:26:01,641 --> 00:26:05,494 +che vuole fare l'oscillazione, lei finisce per oscillare alla stessa 448 -00:25:54,700 --> 00:25:57,540 -E ancora, questo è qualcosa che puoi vedere nel filmato con mia nipote. - -449 -00:25:57,900 --> 00:26:01,713 -Poiché applico una forza con una frequenza molto diversa da quella che - -450 -00:26:01,713 --> 00:26:05,420 -vuole fare l'oscillazione, lei finisce per oscillare alla stessa - -451 -00:26:05,420 --> 00:26:09,180 +00:26:05,494 --> 00:26:09,180 frequenza della mia forza, ma con un'ampiezza relativamente bassa. -452 +449 00:26:10,580 --> 00:26:14,803 Facendo un passo indietro, ciò significa che quando si illumina un materiale, -453 +450 00:26:14,803 --> 00:26:19,350 come il vetro, non si verificano solo oscillazioni nelle cariche di quel materiale, -454 +451 00:26:19,350 --> 00:26:23,898 ma la dimensione specifica di tali oscillazioni dipende dalla frequenza della luce, -455 +452 00:26:23,898 --> 00:26:26,660 come un conseguenza di questo termine denominatore. -456 -00:26:26,920 --> 00:26:29,900 +453 +00:26:26,920 --> 00:26:29,833 E più questi si muovono, maggiore è la dimensione dell'onda -457 -00:26:29,900 --> 00:26:32,740 +454 +00:26:29,833 --> 00:26:32,795 del secondo ordine causata da quello strato, che a sua volta -458 -00:26:32,740 --> 00:26:36,000 +455 +00:26:32,795 --> 00:26:36,000 provoca uno spostamento maggiore della fase dell'onda complessiva. -459 +456 00:26:36,460 --> 00:26:39,998 Poiché molti diversi spostamenti di fase sono ciò che causa questo -460 +457 00:26:39,998 --> 00:26:43,432 apparente rallentamento della luce, significa che la quantità di -461 +458 00:26:43,432 --> 00:26:46,760 rallentamento dipende in definitiva dalla frequenza della luce. -462 +459 00:26:47,440 --> 00:26:49,800 Quindi questo è il vero motivo per cui i prismi funzionano. +460 +00:26:50,120 --> 00:26:52,688 +Non è possibile spiegare veramente la separazione della + +461 +00:26:52,688 --> 00:26:55,440 +luce finché non si arriva all'oscillatore armonico pilotato. + +462 +00:26:57,120 --> 00:26:59,731 +Ora, ho tralasciato una serie di dettagli e, ancora una volta, + 463 -00:26:50,120 --> 00:26:52,824 -Non è possibile spiegare veramente la separazione della luce +00:26:59,731 --> 00:27:03,462 +incoraggio gli spettatori curiosi a dare un'occhiata alle conferenze di Feynman su cui si 464 -00:26:52,824 --> 00:26:55,440 -finché non si arriva all'oscillatore armonico pilotato. +00:27:03,462 --> 00:27:04,540 +basa gran parte di questo. 465 -00:26:57,120 --> 00:26:59,674 -Ora, ho tralasciato una serie di dettagli e, ancora una volta, +00:27:05,020 --> 00:27:07,943 +Un dettaglio piuttosto importante che sarebbe un po' criminale per 466 -00:26:59,674 --> 00:27:02,188 -incoraggio gli spettatori curiosi a dare un'occhiata alle +00:27:07,943 --> 00:27:10,954 +non parlare è che quando modelliamo la nostra carica come un piccolo 467 -00:27:02,188 --> 00:27:04,540 -conferenze di Feynman su cui si basa gran parte di questo. +00:27:10,954 --> 00:27:13,616 +oscillatore armonico con questa forza di ripristino lineare, 468 -00:27:05,020 --> 00:27:07,471 -Un dettaglio piuttosto importante che sarebbe un po' +00:27:13,616 --> 00:27:17,020 +dovrebbe esserci anche un termine che dipende dalla velocità di quella carica. 469 -00:27:07,471 --> 00:27:10,353 -criminale per non parlare è che quando modelliamo la nostra carica +00:27:17,400 --> 00:27:19,480 +Potresti pensare a questo come a una sorta di forza di trascinamento. 470 -00:27:10,353 --> 00:27:13,665 -come un piccolo oscillatore armonico con questa forza di ripristino lineare, +00:27:19,960 --> 00:27:22,530 +Questo termine spiega il fatto che l'energia dell'onda 471 -00:27:13,665 --> 00:27:17,020 -dovrebbe esserci anche un termine che dipende dalla velocità di quella carica. +00:27:22,530 --> 00:27:24,820 +luminosa in arrivo viene assorbita dal materiale. 472 -00:27:17,400 --> 00:27:19,480 -Potresti pensare a questo come a una sorta di forza di trascinamento. - -473 -00:27:19,960 --> 00:27:22,086 -Questo termine spiega il fatto che l'energia - -474 -00:27:22,086 --> 00:27:24,820 -dell'onda luminosa in arrivo viene assorbita dal materiale. - -475 00:27:25,440 --> 00:27:28,636 Senza di essa, tutta questa spiegazione sembrerebbe implicare che la luce -476 +473 00:27:28,636 --> 00:27:31,746 passa sempre attraverso ogni materiale, non solo vetro e acqua, quando, -477 +474 00:27:31,746 --> 00:27:33,993 come puoi vedere semplicemente guardandoti intorno, -478 +475 00:27:33,993 --> 00:27:37,232 ci sono tutti i tipi di materiali per i quali la luce viene principalmente -479 +476 00:27:37,232 --> 00:27:38,140 riflessa e assorbita. +477 +00:27:38,940 --> 00:27:42,462 +Come ho detto all'inizio, le persone su Patreon avevano numerose domande sull'indice + +478 +00:27:42,462 --> 00:27:45,944 +di rifrazione, ad esempio come può essere inferiore a uno e perché il rallentamento + +479 +00:27:45,944 --> 00:27:49,342 +implica una flessione, quindi ho realizzato un video supplementare rispondendo ad + 480 -00:27:38,940 --> 00:27:42,056 -Come ho detto all'inizio, le persone su Patreon avevano numerose domande +00:27:49,342 --> 00:27:52,700 +una manciata di queste domande, che dovrebbero essere pubblicato in pochi giorni. 481 -00:27:42,056 --> 00:27:45,536 -sull'indice di rifrazione, ad esempio come può essere inferiore a uno e perché il +00:27:53,180 --> 00:27:57,105 +Nel frattempo, la mia amica Mithena del canale Looking Glass Universe ha appena 482 -00:27:45,536 --> 00:27:48,814 -rallentamento implica una flessione, quindi ho realizzato un video supplementare +00:27:57,105 --> 00:28:00,932 +pubblicato un paio di video sulla questione correlata ma decisamente distinta 483 -00:27:48,814 --> 00:27:50,716 -rispondendo ad una manciata di queste domande, +00:28:00,932 --> 00:28:04,809 +se la luce rallenta in un mezzo, non nel senso di seguire le creste di un'onda 484 -00:27:50,716 --> 00:27:52,700 -che dovrebbero essere pubblicato in pochi giorni. - -485 -00:27:53,180 --> 00:27:57,027 -Nel frattempo, la mia amica Mithena del canale Looking Glass Universe ha appena - -486 -00:27:57,027 --> 00:28:00,923 -pubblicato un paio di video sulla questione correlata ma decisamente distinta se - -487 -00:28:00,923 --> 00:28:04,771 -la luce rallenta in un mezzo, non nel senso di seguire le creste di un'onda - -488 -00:28:04,771 --> 00:28:07,272 +00:28:04,809 --> 00:28:07,360 sinusoidale pura e pulita in uno stato stazionario, -489 -00:28:07,272 --> 00:28:10,687 +485 +00:28:07,360 --> 00:28:10,844 ma nel senso di cercare di inviare informazioni attraverso quel mezzo, -490 -00:28:10,687 --> 00:28:12,660 +486 +00:28:10,844 --> 00:28:12,660 come con un piccolo pacchetto d'onda. -491 -00:28:13,040 --> 00:28:15,801 +487 +00:28:13,040 --> 00:28:15,726 Devo sicuramente l'esistenza di questo video alle molte -492 -00:28:15,801 --> 00:28:18,056 +488 +00:28:15,726 --> 00:28:18,077 conversazioni avute con lei su questo argomento, -493 -00:28:18,056 --> 00:28:22,060 +489 +00:28:18,077 --> 00:28:22,060 e agli spettatori qui piacerà sicuramente dare un'occhiata, soprattutto al secondo. -494 +490 00:28:23,340 --> 00:28:25,777 A proposito, io e alcuni collaboratori abbiamo realizzato questo -495 +491 00:28:25,777 --> 00:28:27,952 taccuino che penso potrebbe piacere a molti spettatori e, -496 +492 00:28:27,952 --> 00:28:31,140 dato che è il periodo delle vacanze, sembra che valga la pena menzionarlo brevemente. -497 -00:28:31,480 --> 00:28:35,285 +493 +00:28:31,480 --> 00:28:35,469 La premessa è che ciascuna pagina contenga una citazione correlata alla matematica, -498 -00:28:35,285 --> 00:28:38,321 +494 +00:28:35,469 --> 00:28:38,650 e mi sono divertito molto a curarle tutte, cercando di limitarmi a -499 -00:28:38,321 --> 00:28:41,040 +495 +00:28:38,650 --> 00:28:41,500 citazioni che trasmettano qualche idea veramente stimolante. -500 -00:28:41,040 --> 00:28:44,389 +496 +00:28:42,100 --> 00:28:45,199 E poi, a parte il contenuto, ho praticamente realizzato il tipo di -501 -00:28:44,389 --> 00:28:46,889 +497 +00:28:45,199 --> 00:28:47,513 quaderno in cui mi piace di più prendere appunti, -502 -00:28:46,889 --> 00:28:51,389 +498 +00:28:47,513 --> 00:28:51,677 qualcosa che sia facilmente trasportabile con griglie molto deboli utili per i diagrammi, -503 -00:28:51,389 --> 00:28:55,240 +499 +00:28:51,677 --> 00:28:55,240 ma per il resto discreto, il tutto rilegato in questa bella morbida ecopelle. -504 +500 00:28:55,680 --> 00:29:09,983 Se questo sembra il tuo vicolo, puoi trovarli nel negozio -505 +501 00:29:09,983 --> 00:29:23,300 3blue1brown accanto a molti altri prodotti matematici. diff --git a/2023/prism/japanese/auto_generated.srt b/2023/prism/japanese/auto_generated.srt index 5480c44a1..d53894712 100644 --- a/2023/prism/japanese/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/japanese/auto_generated.srt @@ -111,51 +111,51 @@ の間の特定の比は、その媒体の屈折率と呼ばれます。 29 -00:01:24,220 --> 00:01:29,134 +00:01:24,220 --> 00:01:28,925 速度低下の指標の代わりに屈折という言葉を使用する理由は、光 30 -00:01:29,134 --> 00:01:34,049 +00:01:28,925 --> 00:01:33,631 線がこのガラスに角度を付けて入射すると、この速度低下の結果 31 -00:01:34,049 --> 00:01:38,800 +00:01:33,631 --> 00:01:38,180 として光線が少し曲がり、専門用語で言えば屈折するためです。 32 -00:01:38,800 --> 00:01:41,890 +00:01:38,640 --> 00:01:41,750 私の高校の物理教師がいつもこれを説明していた方法は、 33 -00:01:41,890 --> 00:01:44,981 +00:01:41,750 --> 00:01:44,860 戦車がコンクリート のような比較的速く移動できる領域 34 -00:01:44,981 --> 00:01:47,239 +00:01:44,860 --> 00:01:47,133 から泥のようなゆっくりとした領域に移 35 -00:01:47,239 --> 00:01:50,330 +00:01:47,133 --> 00:01:50,243 動し、そこで斜めに進入する場合、その領域の1つとして 36 -00:01:50,330 --> 00:01:52,469 +00:01:50,243 --> 00:01:52,396 タンクを想像すると いうものでした。 37 -00:01:52,469 --> 00:01:55,798 +00:01:52,396 --> 00:01:55,746 最初にトレッドが低速領域に到達すると、そのトレッドは 38 -00:01:55,798 --> 00:01:58,888 +00:01:55,746 --> 00:01:58,856 遅くなり、もう一方のトレッドは速くなり、タンク全体が 39 -00:01:58,888 --> 00:02:01,979 +00:01:58,856 --> 00:02:01,966 少し方向を変え、2 番目のトレッドも泥の中に入ると、 40 -00:02:01,979 --> 00:02:04,000 +00:02:01,966 --> 00:02:04,000 少しだけゆっくりと直進し続けます。 41 @@ -199,31 +199,31 @@ る具体的な量はその周波数に少し依存するということです。 51 -00:02:43,780 --> 00:02:48,619 +00:02:43,780 --> 00:02:48,110 たとえば、比較的高い周波数を持つ青色の光は、比較的低 52 -00:02:48,619 --> 00:02:53,100 +00:02:48,110 --> 00:02:52,120 い周波数を持つ赤色の光よりも積極的に減速されます。 53 -00:02:53,100 --> 00:02:56,750 +00:02:52,980 --> 00:02:56,659 あなたが目にする光のほとんどは、きれいな純粋な正弦波ではあ 54 -00:02:56,750 --> 00:03:00,399 +00:02:56,659 --> 00:03:00,339 りません。 特に、太 陽から来る白色光はきれいな正弦波では 55 -00:03:00,399 --> 00:03:03,043 +00:03:00,339 --> 00:03:03,004 なく、もっと乱雑なものですが、きれいな正 56 -00:03:03,043 --> 00:03:06,693 +00:03:03,004 --> 00:03:06,684 弦波の束として表現できます。 、それぞれが純粋なスペクトル 57 -00:03:06,693 --> 00:03:07,700 +00:03:06,684 --> 00:03:07,700 色に対応します。 58 @@ -271,7 +271,7 @@ それは単なる偶然でしょうか、それとも必然なのでしょうか？ 69 -00:03:39,679 --> 00:03:43,500 +00:03:39,680 --> 00:03:43,500 十分に高い説明基準を持っている場合は、これらの事実が伝えられ 70 @@ -779,75 +779,75 @@ x の関数サインをグラフにすると、波が上下に振動する高さ の結果のうちの 1 つであるというだけです。 196 -00:10:08,600 --> 00:10:12,025 +00:10:08,600 --> 00:10:12,289 特に、きれいな正弦波運動で上下に振動する電荷を 197 -00:10:12,025 --> 00:10:15,451 +00:10:12,289 --> 00:10:15,979 取得した場合、電場 におけるこれらの波紋効果は 198 -00:10:15,451 --> 00:10:18,280 +00:10:15,979 --> 00:10:19,027 、過去の加速の結果としてそこにある別 199 -00:10:18,280 --> 00:10:22,600 +00:10:19,027 --> 00:10:23,680 の電荷に加えられる力を説明していると考えることができます。 200 -00:10:22,600 --> 00:10:26,090 +00:10:24,340 --> 00:10:27,255 このビデオでは、電界が加速電荷にどのように反 201 -00:10:26,090 --> 00:10:29,581 +00:10:27,255 --> 00:10:30,171 応するかをシミュ レートするだけで少し楽しみ 202 -00:10:29,581 --> 00:10:32,438 +00:10:30,171 --> 00:10:32,556 すぎたこと、そしてここでも同じこと 203 -00:10:32,438 --> 00:10:37,040 +00:10:32,556 --> 00:10:36,400 をしているようなものであることは率直に認めますが、屈折率。 204 -00:10:37,040 --> 00:10:40,701 +00:10:36,920 --> 00:10:40,780 1 つ目は、複数の異なる電荷が上下に振動してい 205 -00:10:40,701 --> 00:10:44,363 +00:10:40,780 --> 00:10:44,641 る場合、電界への最終的な影響は、それぞれの電荷 206 -00:10:44,363 --> 00:10:47,720 +00:10:44,641 --> 00:10:48,180 の合計にすぎず、これは予想どおりのことです。 207 -00:10:47,720 --> 00:10:51,268 +00:10:48,600 --> 00:10:52,006 それがどのように振り分けられるかというと、互いに同 208 -00:10:51,268 --> 00:10:54,816 +00:10:52,006 --> 00:10:55,412 期して振動す る電荷の列がある場合、または今日の目 209 -00:10:54,816 --> 00:10:58,365 +00:10:55,412 --> 00:10:58,819 的では、電荷の面があり、 その面内ですべてが同期し 210 -00:10:58,365 --> 00:11:01,061 +00:10:58,819 --> 00:11:01,408 て上下に小刻みに揺れている場合、それ 211 -00:11:01,061 --> 00:11:04,610 +00:11:01,408 --> 00:11:04,814 ぞれの効果が電荷は、その平面に垂直な方向を除くほと 212 -00:11:04,610 --> 00:11:08,158 +00:11:04,814 --> 00:11:08,221 んどの方向 で互いに打ち消し合う傾向があり、実際に 213 -00:11:08,158 --> 00:11:09,720 +00:11:08,221 --> 00:11:09,720 は建設的に干渉します。 214 @@ -887,23 +887,23 @@ x の関数サインをグラフにすると、波が上下に振動する高さ 三次元の光の全体像は、次のようになります。 223 -00:11:38,160 --> 00:11:39,599 +00:11:38,160 --> 00:11:39,750 これは少し複雑になる傾向があるため 224 -00:11:39,599 --> 00:11:41,040 +00:11:39,750 --> 00:11:41,340 、通常は正弦波を描画するだけです。 225 -00:11:41,040 --> 00:11:44,540 +00:11:42,920 --> 00:11:45,793 それでは、なぜ材料層との相互作用が波の位相 226 -00:11:44,540 --> 00:11:48,040 +00:11:45,793 --> 00:11:48,666 へのキックバックを引 き起こすのかという問 227 -00:11:48,040 --> 00:11:51,540 +00:11:48,666 --> 00:11:51,540 題を振り返って、じっくり考えてみましょう。 228 @@ -1107,43 +1107,43 @@ x の関数サインをグラフにすると、波が上下に振動する高さ 最初の波が回転ベクトルの y 成分を表すと想像してください。 278 -00:14:28,480 --> 00:14:32,546 +00:14:28,480 --> 00:14:32,933 そのベクトルの長さは波の振幅に対応し、そのベ 279 -00:14:32,546 --> 00:14:36,260 +00:14:32,933 --> 00:14:37,000 クトルの最初の回転は波の位相に対応します。 280 -00:14:36,260 --> 00:14:40,966 +00:14:37,690 --> 00:14:41,920 そして、同様に、その 2 番目の波を別の回転ベクトルの y 281 -00:14:40,966 --> 00:14:43,476 +00:14:41,920 --> 00:14:44,175 成分を表すものとして考えます。 282 -00:14:43,476 --> 00:14:48,183 +00:14:44,175 --> 00:14:48,406 ここでも振幅はそのベクトルの 長さに対応し、波の位相はそのベ 283 -00:14:48,183 --> 00:14:50,380 +00:14:48,406 --> 00:14:50,380 クトルの初期角度を示します。 284 -00:14:52,780 --> 00:14:54,958 +00:14:52,780 --> 00:14:55,120 ここで 2 つの波の合計について考えるために、これら 285 -00:14:54,958 --> 00:14:57,380 +00:14:55,120 --> 00:14:57,720 2 つのベクトルの先端と尾部を加算することを考えてください。 286 -00:14:57,380 --> 00:15:01,196 +00:14:58,400 --> 00:15:01,687 そして、両方が回転するときに両方とも同じ周波数を持って 287 -00:15:01,196 --> 00:15:04,740 +00:15:01,687 --> 00:15:04,740 いるため、それらの合計はそれらと同期して回転します。 288 @@ -1547,27 +1547,27 @@ k の平方根を m で割ったこの項には特別な名前 を表現するのが自然です。 時間。 388 -00:20:17,700 --> 00:20:19,633 +00:20:17,700 --> 00:20:19,727 しかし、数学を行う場合、多くの場合、角周波数に 389 -00:20:19,633 --> 00:20:21,567 +00:20:19,727 --> 00:20:21,755 ついて話す方が 自然です。 これは、このプロセ 390 -00:20:21,567 --> 00:20:22,997 +00:20:21,755 --> 00:20:23,254 スが単位時間あたりにどれだけの角 391 -00:20:22,997 --> 00:20:25,520 +00:20:23,254 --> 00:20:25,900 度をカバーするかをラジアンで説明すると考えることができます。 392 -00:20:25,520 --> 00:20:27,597 +00:20:26,000 --> 00:20:27,784 したがって、この項は周波数と同じですが、2 393 -00:20:27,597 --> 00:20:28,920 +00:20:27,784 --> 00:20:28,920 π を掛けたものになります。 394 @@ -2191,35 +2191,35 @@ Universe チャンネ ルの Mithena する価値があると思います。 549 -00:28:31,480 --> 00:28:34,776 +00:28:31,480 --> 00:28:34,935 前提として、各ページには数学に関連した引用が含まれており、 550 -00:28:34,776 --> 00:28:37,963 +00:28:34,935 --> 00:28:38,275 真に示唆に富んだアイデアを伝える引用に制限するよう努めな 551 -00:28:37,963 --> 00:28:41,040 +00:28:38,275 --> 00:28:41,500 がら、すべてのページを厳選するのがとても楽しかったです。 552 -00:28:41,040 --> 00:28:44,559 +00:28:42,100 --> 00:28:45,356 そして、内容はさておき、私は基本的に、私がメモをとるのが最 553 -00:28:44,559 --> 00:28:46,744 +00:28:45,356 --> 00:28:47,378 も楽しい種類のノー トを作りました。 554 -00:28:46,744 --> 00:28:50,263 +00:28:47,378 --> 00:28:50,635 簡単に持ち運べて、図に役立つ非常に薄いグリッド線があり、 555 -00:28:50,263 --> 00:28:53,783 +00:28:50,635 --> 00:28:53,892 それ 以外は目立たないもので、すべてこの素敵な柔らかい合成 556 -00:28:53,783 --> 00:28:55,240 +00:28:53,892 --> 00:28:55,240 皮革で綴じられています。 557 diff --git a/2023/prism/korean/auto_generated.srt b/2023/prism/korean/auto_generated.srt index 09ad256cc..52deef8b2 100644 --- a/2023/prism/korean/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/korean/auto_generated.srt @@ -119,51 +119,51 @@ 비율을 해당 매질의 굴절률이라고 합니다. 31 -00:01:24,220 --> 00:01:27,827 +00:01:24,220 --> 00:01:27,674 감속 지수 대신 굴절이라는 단어를 사용하는 32 -00:01:27,827 --> 00:01:31,134 +00:01:27,674 --> 00:01:30,840 이유는 빛의 광선이 이 유리에 비스듬히 33 -00:01:31,134 --> 00:01:34,591 +00:01:30,840 --> 00:01:34,150 들어가면 이러한 감속의 결과로 빛이 약간 34 -00:01:34,591 --> 00:01:38,800 +00:01:34,150 --> 00:01:38,180 구부러지거나, 용어를 사용하면 굴절되기 때문입니다. 35 -00:01:38,800 --> 00:01:41,805 +00:01:38,640 --> 00:01:41,664 고등학교 물리학 선생님이 항상 설명하신 방식은 36 -00:01:41,805 --> 00:01:44,926 +00:01:41,664 --> 00:01:44,805 탱크가 콘크리트처럼 상대적으로 빠르게 이동할 수 37 -00:01:44,926 --> 00:01:48,163 +00:01:44,805 --> 00:01:48,062 있는 지역에서 진흙처럼 느린 곳으로 이동하는 것을 38 -00:01:48,163 --> 00:01:51,400 +00:01:48,062 --> 00:01:51,320 상상하는 것이었습니다. 트레드가 느린 영역에 먼저 39 -00:01:51,400 --> 00:01:54,752 +00:01:51,320 --> 00:01:54,693 닿으면 해당 트레드가 느리게 진행되고 다른 트레드가 40 -00:01:54,752 --> 00:01:57,988 +00:01:54,693 --> 00:01:57,950 더 빨라져 두 번째 트레드도 진흙에 들어갈 때까지 41 -00:01:57,988 --> 00:02:00,647 +00:01:57,950 --> 00:02:00,626 전체 탱크가 조금씩 방향을 바꾸게 되고, 42 -00:02:00,647 --> 00:02:04,000 +00:02:00,626 --> 00:02:04,000 그런 다음 조금 더 천천히 직선으로 계속 이동합니다. 43 @@ -219,35 +219,35 @@ 것입니다. 56 -00:02:43,780 --> 00:02:46,716 +00:02:43,780 --> 00:02:46,407 예를 들어 상대적으로 높은 주파수를 갖는 57 -00:02:46,716 --> 00:02:49,780 +00:02:46,407 --> 00:02:49,149 파란색 빛은 상대적으로 낮은 주파수를 갖는 58 -00:02:49,780 --> 00:02:53,100 +00:02:49,149 --> 00:02:52,120 빨간색 빛보다 더 적극적으로 속도가 느려집니다. 59 -00:02:53,100 --> 00:02:56,132 +00:02:52,980 --> 00:02:56,037 당신이 보는 빛의 대부분은 깨끗한 순수 사인파가 60 -00:02:56,132 --> 00:02:59,052 +00:02:56,037 --> 00:02:58,981 아니며, 특히 태양에서 나오는 백색광은 깨끗한 61 -00:02:59,052 --> 00:03:01,747 +00:02:58,981 --> 00:03:01,698 사인파가 아니며 훨씬 더 지저분한 것이지만 62 -00:03:01,747 --> 00:03:04,892 +00:03:01,698 --> 00:03:04,869 깨끗한 사인파 묶음의 합으로 표현될 수 있습니다. 63 -00:03:04,892 --> 00:03:07,700 +00:03:04,869 --> 00:03:07,700 , 각각은 순수한 스펙트럼 색상에 해당합니다. 64 @@ -299,7 +299,7 @@ 그것은 단지 우연인가, 아니면 꼭 필요한 것인가? 76 -00:03:39,679 --> 00:03:42,039 +00:03:39,680 --> 00:03:42,039 설명에 대한 기준이 충분히 높다면 이 77 @@ -855,83 +855,83 @@ x의 함수 사인을 그래프로 표시하면 그 앞에 결과 중 하나는 그것이 빛의 속도라는 것입니다. 215 -00:10:08,600 --> 00:10:12,100 +00:10:08,600 --> 00:10:12,370 특히 깨끗한 정현파 운동으로 위아래로 진동하는 216 -00:10:12,100 --> 00:10:15,465 +00:10:12,370 --> 00:10:15,994 전하를 얻을 때 전기장의 이러한 파문 효과는 217 -00:10:15,465 --> 00:10:18,830 +00:10:15,994 --> 00:10:19,619 과거 가속의 결과로 거기에 있는 다른 전하에 218 -00:10:18,830 --> 00:10:22,600 +00:10:19,619 --> 00:10:23,680 가해지는 힘을 설명하는 것으로 생각할 수 있습니다. 219 -00:10:22,600 --> 00:10:25,488 +00:10:24,340 --> 00:10:26,752 나는 그 비디오에서 전기장이 가속 전하에 어떻게 220 -00:10:25,488 --> 00:10:28,269 +00:10:26,752 --> 00:10:29,074 반응하는지 시뮬레이션하는 것만으로도 너무 재미 221 -00:10:28,269 --> 00:10:30,943 +00:10:29,074 --> 00:10:31,308 있었고 여기서도 같은 일을 하고 있다는 것을 222 -00:10:30,943 --> 00:10:33,938 +00:10:31,308 --> 00:10:33,809 자유롭게 인정할 것입니다. 그러나 우리가 추구하는 223 -00:10:33,938 --> 00:10:37,040 +00:10:33,809 --> 00:10:36,400 데에는 두 가지 중요한 사실이 있습니다. 굴절 지수. 224 -00:10:37,040 --> 00:10:40,481 +00:10:36,920 --> 00:10:40,548 첫 번째는 위아래로 진동하는 여러 가지 전하가 있을 225 -00:10:40,481 --> 00:10:43,922 +00:10:40,548 --> 00:10:44,176 때 전기장에 대한 순 효과는 각 개별 전하의 합계일 226 -00:10:43,922 --> 00:10:47,126 +00:10:44,176 --> 00:10:47,554 뿐이라는 것입니다. 이는 여러분이 기대하는 바와 227 -00:10:47,126 --> 00:10:47,720 +00:10:47,554 --> 00:10:48,180 같습니다. 228 -00:10:47,720 --> 00:10:51,153 +00:10:48,600 --> 00:10:51,896 그것이 흔들리는 방식은 서로 동기화되어 진동하는 229 -00:10:51,153 --> 00:10:54,587 +00:10:51,896 --> 00:10:55,192 일련의 전하가 있거나 오늘날 우리의 목적을 위해 230 -00:10:54,587 --> 00:10:58,147 +00:10:55,192 --> 00:10:58,610 전하 평면이 해당 평면 내에서 동기화되어 위아래로 231 -00:10:58,147 --> 00:11:01,708 +00:10:58,610 --> 00:11:02,028 흔들리는 경우 각 개인의 효과는 다음과 같습니다. 232 -00:11:01,708 --> 00:11:05,014 +00:11:02,028 --> 00:11:05,203 전하는 대부분의 방향에서 서로 상쇄되는 경향이 233 -00:11:05,014 --> 00:11:08,193 +00:11:05,203 --> 00:11:08,255 있지만 평면에 수직인 경우를 제외하면 실제로 234 -00:11:08,193 --> 00:11:09,720 +00:11:08,255 --> 00:11:09,720 건설적으로 간섭합니다. 235 @@ -975,19 +975,19 @@ x의 함수 사인을 그래프로 표시하면 그 앞에 그림은 다음과 같이 보일 것입니다. 245 -00:11:38,160 --> 00:11:39,643 +00:11:38,160 --> 00:11:39,798 조금 더 바쁜 경향이 있으므로 246 -00:11:39,643 --> 00:11:41,040 +00:11:39,798 --> 00:11:41,340 일반적으로 사인파를 그립니다. 247 -00:11:41,040 --> 00:11:46,290 +00:11:42,920 --> 00:11:47,230 따라서 물질층과의 상호작용이 파동 위상에 반동을 248 -00:11:46,290 --> 00:11:51,540 +00:11:47,230 --> 00:11:51,540 일으키는 이유에 대한 질문을 다시 생각해 봅시다. 249 @@ -1111,16 +1111,16 @@ x의 함수 사인을 그래프로 표시하면 그 앞에 때문에 이것이 궁극적으로 굴절률을 설명할 것입니다. 279 -00:13:19,460 --> 00:13:21,505 -하지만 물론, 충분히 호기심이 많은 시청자들은 +00:13:19,460 --> 00:13:21,218 +하지만 물론, 충분히 호기심이 많은 280 -00:13:21,505 --> 00:13:23,394 -이제 손을 들고 '왜 합치면 효과가 +00:13:21,218 --> 00:13:23,153 +시청자들은 이제 손을 들고 '왜 합치면 281 -00:13:23,394 --> 00:13:25,440 -나오는 걸까? '라고 묻게 될 것입니다. +00:13:23,153 --> 00:13:25,440 +효과가 나오는 걸까? '라고 묻게 될 것입니다. 282 00:13:26,240 --> 00:13:28,130 @@ -1207,43 +1207,43 @@ x의 함수 사인을 그래프로 표시하면 그 앞에 y 성분을 설명한다고 상상해 보세요. 303 -00:14:28,480 --> 00:14:32,149 +00:14:28,480 --> 00:14:32,498 해당 벡터의 길이는 파동의 진폭에 해당하고, 304 -00:14:32,149 --> 00:14:36,260 +00:14:32,498 --> 00:14:37,000 해당 벡터의 초기 회전은 파동의 위상에 해당합니다. 305 -00:14:36,260 --> 00:14:39,487 +00:14:37,690 --> 00:14:40,590 그리고 유사하게 두 번째 파동을 다른 회전 306 -00:14:39,487 --> 00:14:43,387 +00:14:40,590 --> 00:14:44,095 벡터의 y 성분을 설명하는 것으로 생각하면 됩니다. 307 -00:14:43,387 --> 00:14:46,614 +00:14:44,095 --> 00:14:46,996 여기서 진폭은 해당 벡터의 길이에 해당하고 308 -00:14:46,614 --> 00:14:50,380 +00:14:46,996 --> 00:14:50,380 파동의 위상은 해당 벡터의 초기 각도를 알려줍니다. 309 -00:14:52,780 --> 00:14:55,172 +00:14:52,780 --> 00:14:55,348 이제 두 파동의 합을 생각해 보려면 두 벡터를 310 -00:14:55,172 --> 00:14:57,380 +00:14:55,348 --> 00:14:57,720 끝에서 꼬리까지 더하는 것을 생각해 보세요. 311 -00:14:57,380 --> 00:15:01,196 +00:14:58,400 --> 00:15:01,687 그리고 둘 다 회전하는 것과 동일한 주파수를 갖기 312 -00:15:01,196 --> 00:15:04,740 +00:15:01,687 --> 00:15:04,740 때문에 그 합은 그들과 같은 속도로 회전합니다. 313 @@ -1691,27 +1691,27 @@ k의 제곱근을 m으로 나눈 이 항은 자연스럽습니다. 시간. 424 -00:20:17,700 --> 00:20:19,811 +00:20:17,700 --> 00:20:19,914 그러나 수학을 할 때 각진동수에 대해 이야기하는 425 -00:20:19,811 --> 00:20:21,453 +00:20:19,914 --> 00:20:21,636 것이 더 자연스러운 경우가 많습니다. 426 -00:20:21,453 --> 00:20:23,330 +00:20:21,636 --> 00:20:23,604 이는 이 프로세스가 단위 시간당 라디안으로 427 -00:20:23,330 --> 00:20:25,520 +00:20:23,604 --> 00:20:25,900 다루는 각도를 설명하는 것으로 생각할 수 있습니다. 428 -00:20:25,520 --> 00:20:27,494 +00:20:26,000 --> 00:20:27,695 따라서 항은 주파수와 동일하지만 429 -00:20:27,494 --> 00:20:28,920 +00:20:27,695 --> 00:20:28,920 2pi를 곱한 것입니다. 430 @@ -1911,20 +1911,20 @@ k의 제곱근을 m으로 나눈 이 항은 보입니다. 479 -00:22:46,040 --> 00:22:47,865 -이제 여러분은 '예, 모든 것이 +00:22:46,040 --> 00:22:48,472 +이제 여러분은 '예, 모든 것이 사인파이다'라고 480 -00:22:47,865 --> 00:22:50,022 -사인파이다'라고 생각할 수도 있습니다. +00:22:48,472 --> 00:22:50,635 +생각할 수도 있습니다. 그러나 이것은 앞서 481 -00:22:50,022 --> 00:22:52,013 -그러나 이것은 앞서 본 사인파와 매우 다른 +00:22:50,635 --> 00:22:52,527 +본 사인파와 매우 다른 특성을 가지고 482 -00:22:52,013 --> 00:22:54,420 -특성을 가지고 있다는 것을 이해하는 것이 중요합니다. +00:22:52,527 --> 00:22:54,420 +있다는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 483 00:22:54,860 --> 00:22:58,913 @@ -2387,39 +2387,39 @@ k의 제곱근을 m으로 나눈 이 항은 것 같습니다. 598 -00:28:31,480 --> 00:28:34,198 +00:28:31,480 --> 00:28:34,328 전제는 모든 페이지에 수학과 관련된 인용문이 있고, 599 -00:28:34,198 --> 00:28:36,541 +00:28:34,328 --> 00:28:36,784 진정으로 생각을 자극하는 아이디어를 전달하는 600 -00:28:36,541 --> 00:28:38,978 +00:28:36,784 --> 00:28:39,338 인용문으로 제한하려고 노력하면서 모든 페이지를 601 -00:28:38,978 --> 00:28:41,040 +00:28:39,338 --> 00:28:41,500 큐레이팅하는 데 많은 재미를 느꼈습니다. 602 -00:28:41,040 --> 00:28:44,019 +00:28:42,100 --> 00:28:44,856 그리고 내용과는 별도로 저는 기본적으로 제가 메모하는 603 -00:28:44,019 --> 00:28:46,799 +00:28:44,856 --> 00:28:47,429 것을 가장 좋아하는 종류의 노트북을 만들었습니다. 604 -00:28:46,799 --> 00:28:49,679 +00:28:47,429 --> 00:28:50,094 다이어그램에 도움이 되는 매우 희미한 격자선이 있어 605 -00:28:49,679 --> 00:28:52,558 +00:28:50,094 --> 00:28:52,759 쉽게 휴대할 수 있으면서도 눈에 띄지 않는 노트북을 606 -00:28:52,558 --> 00:28:55,240 +00:28:52,759 --> 00:28:55,240 모두 이 멋진 부드러운 인조 가죽으로 묶었습니다. 607 diff --git a/2023/prism/marathi/auto_generated.srt b/2023/prism/marathi/auto_generated.srt index a102c940d..a6312e0a2 100644 --- a/2023/prism/marathi/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/marathi/auto_generated.srt @@ -87,43 +87,43 @@ विशिष्ट गुणोत्तराला त्या माध्यमासाठी अपवर्तन निर्देशांक म्हणतात. 23 -00:01:24,220 --> 00:01:29,029 +00:01:24,220 --> 00:01:28,825 स्लोइंगच्या निर्देशांकाऐवजी आपण अपवर्तन हा शब्द वापरण्याचे कारण 24 -00:01:29,029 --> 00:01:32,562 +00:01:28,825 --> 00:01:32,207 म्हणजे जर प्रकाशाचा किरण या काचेत कोनात शिरला, 25 -00:01:32,562 --> 00:01:38,800 +00:01:32,207 --> 00:01:38,180 तर या मंदीचा परिणाम म्हणजे तो थोडासा वाकतो किंवा लिंगोचा वापर करून तो अपवर्तन होतो. 26 -00:01:38,800 --> 00:01:42,946 +00:01:38,640 --> 00:01:42,812 माझ्या हायस्कूलच्या भौतिकशास्त्राच्या शिक्षकाने नेहमी ज्याप्रकारे हे समजावून 27 -00:01:42,946 --> 00:01:47,038 +00:01:42,812 --> 00:01:46,930 सांगितले की एखाद्या टाकीची कल्पना करणे म्हणजे एखाद्या प्रदेशातून ती तुलनेने 28 -00:01:47,038 --> 00:01:51,184 +00:01:46,930 --> 00:01:51,103 वेगाने जात आहे, काँक्रीट सारखी, हळू हळू, चिखलात, जिथे ती एका कोनात येत असेल, 29 -00:01:51,184 --> 00:01:54,523 +00:01:51,103 --> 00:01:54,462 तर त्याच्यापैकी एक म्हणून. ट्रेड्स प्रथम संथ प्रदेशावर आदळते, 30 -00:01:54,523 --> 00:01:58,830 +00:01:54,462 --> 00:01:58,797 ती पायरी हळू जाईल तर दुसरी वेगवान असेल, ज्यामुळे संपूर्ण टाकी थोडीशी वाहून जाईल 31 -00:01:58,830 --> 00:02:01,738 +00:01:58,797 --> 00:02:01,724 जोपर्यंत तो दुसरा ट्रेड देखील चिखलात प्रवेश करत नाही, 32 -00:02:01,738 --> 00:02:04,000 +00:02:01,724 --> 00:02:04,000 नंतर तो थोडा हळू प्रवास करत सरळ पुढे जातो. 33 @@ -167,27 +167,27 @@ कमी होतो हे त्याच्या वारंवारतेवर अवलंबून असते. 43 -00:02:43,780 --> 00:02:47,784 +00:02:43,780 --> 00:02:47,363 उदाहरणार्थ, तुलनेने उच्च वारंवारता असलेला निळा प्रकाश, 44 -00:02:47,784 --> 00:02:53,100 +00:02:47,363 --> 00:02:52,120 तुलनेने कमी वारंवारता असलेल्या लाल प्रकाशापेक्षा अधिक आक्रमकपणे मंद होईल. 45 -00:02:53,100 --> 00:02:56,550 +00:02:52,980 --> 00:02:56,459 तुम्‍हाला दिसणारा बहुतांश प्रकाश हा स्वच्छ शुद्ध साइन लहरी नसतो, 46 -00:02:56,550 --> 00:03:00,108 +00:02:56,459 --> 00:03:00,045 विशेषत: सूर्याकडून येणारा पांढरा प्रकाश हा स्वच्छ साईन वेव्ह नसतो, 47 -00:03:00,108 --> 00:03:03,665 +00:03:00,045 --> 00:03:03,631 तो काहीतरी जास्त गोंधळलेला असतो, परंतु तो स्वच्छ साइन लहरींचा समूह 48 -00:03:03,665 --> 00:03:07,700 +00:03:03,631 --> 00:03:07,700 म्हणून व्यक्त केला जाऊ शकतो. , प्रत्येक शुद्ध वर्णक्रमीय रंगाशी संबंधित आहे. 49 @@ -231,7 +231,7 @@ हा केवळ योगायोग आहे की आवश्यक आहे? 59 -00:03:39,679 --> 00:03:42,605 +00:03:39,680 --> 00:03:42,605 तुमच्याकडे स्पष्टीकरणासाठी पुरेसा उच्च दर्जा असल्यास, 60 @@ -639,63 +639,63 @@ oscillates प्रभावित करते. फक्त त्याच्या अनेक परिणामांपैकी एक म्हणजे प्रकाशाचा वेग. 161 -00:10:08,600 --> 00:10:13,090 +00:10:08,600 --> 00:10:13,436 विशेषत:, जेव्हा तुम्हाला एका छान स्वच्छ सायनसॉइडल मोशनमध्ये वर-खाली होत असलेला चार्ज 162 -00:10:13,090 --> 00:10:17,581 +00:10:13,436 --> 00:10:18,273 मिळतो, तेव्हा तुम्ही विद्युत क्षेत्रामध्ये या लहरी प्रभावांचा विचार करू शकता जे त्या 163 -00:10:17,581 --> 00:10:22,283 +00:10:18,273 --> 00:10:23,338 भूतकाळातील प्रवेगाच्या परिणामी तेथे बसलेल्या दुसर्‍या चार्जवर लागू होणार्‍या बलाचे वर्णन 164 -00:10:22,283 --> 00:10:22,600 +00:10:23,338 --> 00:10:23,680 करतात. 165 -00:10:22,600 --> 00:10:27,392 +00:10:24,340 --> 00:10:28,342 मी मोकळेपणाने कबूल करेन की त्या व्हिडिओमध्ये विद्युत क्षेत्र प्रवेगक शुल्काला 166 -00:10:27,392 --> 00:10:32,308 +00:10:28,342 --> 00:10:32,448 कसे प्रतिसाद देते याचे अनुकरण करताना मला खूप मजा आली आणि मी येथेही तेच करत आहे, 167 -00:10:32,308 --> 00:10:37,040 +00:10:32,448 --> 00:10:36,400 परंतु आमच्या पाठपुराव्यासाठी दोन महत्त्वाच्या तथ्ये आहेत. अपवर्तन निर्देशांक. 168 -00:10:37,040 --> 00:10:41,038 +00:10:36,920 --> 00:10:41,135 पहिली गोष्ट म्हणजे जेव्हा तुमच्याकडे अनेक वेगवेगळे शुल्क वर-खाली होत असतात, 169 -00:10:41,038 --> 00:10:44,352 +00:10:41,135 --> 00:10:44,630 तेव्हा विद्युत क्षेत्रावरील निव्वळ परिणाम हा प्रत्येक वैयक्तिक 170 -00:10:44,352 --> 00:10:47,720 +00:10:44,630 --> 00:10:48,180 शुल्कासाठी किती असेल याची बेरीज असते, जे तुम्हाला अपेक्षित असते. 171 -00:10:47,720 --> 00:10:53,092 +00:10:48,600 --> 00:10:53,757 हे ज्या प्रकारे हलते ते म्हणजे जर तुमच्याकडे चार्जेसची एक पंक्ती एकमेकांशी समक्रमित 172 -00:10:53,092 --> 00:10:56,481 +00:10:53,757 --> 00:10:57,011 होत असेल किंवा आज आमच्या हेतूंसाठी, चार्जेसचे प्लेन, 173 -00:10:56,481 --> 00:11:00,126 +00:10:57,011 --> 00:11:00,510 सर्व त्या प्लेनमध्ये समक्रमितपणे वर आणि खाली फिरत असतील, 174 -00:11:00,126 --> 00:11:05,563 +00:11:00,510 --> 00:11:05,729 तर प्रत्येक व्यक्तीचे परिणाम चार्ज त्या विमानाला लंब वगळता बहुतेक दिशानिर्देशांमध्ये 175 -00:11:05,563 --> 00:11:09,720 +00:11:05,729 --> 00:11:09,720 एकमेकांना रद्द करतात, ते प्रत्यक्षात रचनात्मकपणे हस्तक्षेप करतात. 176 @@ -727,15 +727,15 @@ oscillates प्रभावित करते. तीन मितींमध्ये प्रकाशाचे अधिक पूर्ण चित्र यासारखे काहीतरी दिसेल. 183 -00:11:38,160 --> 00:11:41,040 +00:11:38,160 --> 00:11:41,340 ते थोडेसे व्यस्त असते, म्हणून सहसा आपण फक्त साइन वेव्ह काढतो. 184 -00:11:41,040 --> 00:11:46,239 +00:11:42,920 --> 00:11:47,188 त्यामुळे साहित्याच्या थराशी परस्परसंवाद का होतो या 185 -00:11:46,239 --> 00:11:51,540 +00:11:47,188 --> 00:11:51,540 प्रश्नाचा विचार करून तरंगाच्या टप्प्यावर परत येऊ या. 186 @@ -895,39 +895,39 @@ oscillates प्रभावित करते. कल्पना करा की पहिली लहर काही फिरणाऱ्या वेक्टरच्या y-घटकाचे वर्णन करते. 225 -00:14:28,480 --> 00:14:32,307 +00:14:28,480 --> 00:14:32,671 त्या वेक्टरची लांबी आपल्या लहरीच्या मोठेपणाशी जुळते आणि नंतर 226 -00:14:32,307 --> 00:14:36,260 +00:14:32,671 --> 00:14:37,000 त्या वेक्टरचे प्रारंभिक रोटेशन आपल्या लहरीच्या टप्प्याशी जुळते. 227 -00:14:36,260 --> 00:14:41,093 +00:14:37,690 --> 00:14:42,034 आणि मग त्याचप्रमाणे दुसर्‍या फिरणार्‍या वेक्टरच्या y-घटकाचे वर्णन करणार्‍या 228 -00:14:41,093 --> 00:14:45,800 +00:14:42,034 --> 00:14:46,264 दुसर्‍या तरंगाचा विचार करा, जिथे पुन्हा मोठेपणा त्या व्हेक्टरच्या लांबीशी 229 -00:14:45,800 --> 00:14:50,380 +00:14:46,264 --> 00:14:50,380 सुसंगत आहे आणि तरंगाचा टप्पा आम्हाला त्या वेक्टरचा प्रारंभिक कोन सांगतो. 230 -00:14:52,780 --> 00:14:54,781 +00:14:52,780 --> 00:14:54,929 आता दोन लहरींच्या बेरजेबद्दल विचार करण्यासाठी, 231 -00:14:54,781 --> 00:14:57,380 +00:14:54,929 --> 00:14:57,720 फक्त त्या दोन वेक्टर्सच्या टोकाला शेपटीत जोडण्याचा विचार करा. 232 -00:14:57,380 --> 00:15:02,186 +00:14:58,400 --> 00:15:02,540 आणि त्या दोघांची वारंवारिता सारखीच असल्यामुळे ते दोघेही फिरतात, 233 -00:15:02,186 --> 00:15:04,740 +00:15:02,540 --> 00:15:04,740 त्यांची बेरीज लॉकस्टेपमध्ये फिरते. 234 @@ -1263,19 +1263,19 @@ oscillates प्रभावित करते. ही प्रक्रिया प्रति युनिट किती चक्रे बनवते यानुसार गोष्टींचा शब्दप्रयोग करणे स्वाभाविक आहे. 317 -00:20:17,700 --> 00:20:21,006 +00:20:17,700 --> 00:20:21,167 वेळ परंतु गणित करत असताना, कोनीय वारंवारताबद्दल बोलणे अधिक स्वाभाविक आहे, 318 -00:20:21,006 --> 00:20:24,849 +00:20:21,167 --> 00:20:25,197 ज्याचा आपण प्रति युनिट वेळेत रेडियनमध्ये किती कोन समाविष्ट करतो याचे वर्णन करताना आपण 319 -00:20:24,849 --> 00:20:25,520 +00:20:25,197 --> 00:20:25,900 विचार करू शकता. 320 -00:20:25,520 --> 00:20:28,920 +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 तर संज्ञा वारंवारता सारखीच आहे परंतु 2 pi ने गुणाकार केली आहे. 321 @@ -1739,27 +1739,27 @@ t समोर बसलेली संज्ञा m ने भागलेल घेतील आणि हा सुट्टीचा हंगाम असल्याने त्याचा त्वरित उल्लेख करणे योग्य वाटते. 436 -00:28:31,480 --> 00:28:34,087 +00:28:31,480 --> 00:28:34,212 आधार असा आहे की प्रत्येक पानावर गणिताशी संबंधित कोट आहे, 437 -00:28:34,087 --> 00:28:37,334 +00:28:34,212 --> 00:28:37,616 आणि मला ते सर्व क्युरेट करण्यात खूप मजा आली, काही खर्‍या अर्थाने विचार 438 -00:28:37,334 --> 00:28:41,040 +00:28:37,616 --> 00:28:41,500 करायला लावणार्‍या कल्पना सांगणार्‍या अवतरणांमध्ये स्वतःला रोखण्याचा प्रयत्न केला. 439 -00:28:41,040 --> 00:28:45,888 +00:28:42,100 --> 00:28:46,586 आणि मग आशय बाजूला ठेवून, मी मुळात अशा प्रकारची नोटबुक बनवली ज्यामध्ये 440 -00:28:45,888 --> 00:28:50,252 +00:28:46,586 --> 00:28:50,624 मला सर्वात जास्त नोट्स घेण्यास आवडते, जे डायग्रामसाठी उपयुक्त, 441 -00:28:50,252 --> 00:28:55,240 +00:28:50,624 --> 00:28:55,240 परंतु अन्यथा बिनधास्त, सर्व काही या छान मऊ फॉक्स लेदरमध्ये बांधलेले आहे. 442 diff --git a/2023/prism/portuguese/auto_generated.srt b/2023/prism/portuguese/auto_generated.srt new file mode 100644 index 000000000..c0acebcc0 --- /dev/null +++ b/2023/prism/portuguese/auto_generated.srt @@ -0,0 +1,1932 @@ +1 +00:00:00,000 --> 00:00:03,234 +Percebi recentemente que realmente não entendia como funciona + +2 +00:00:03,234 --> 00:00:06,260 +um prisma e suspeito que a maioria das pessoas também não. + +3 +00:00:11,400 --> 00:00:13,180 +Indiscutivelmente, este é um dos experimentos de + +4 +00:00:13,180 --> 00:00:15,180 +física mais amplamente reconhecidos de todos os tempos. + +5 +00:00:15,700 --> 00:00:19,220 +Afinal, quantos outros conquistaram um lugar como capa de álbum icônico? + +6 +00:00:19,800 --> 00:00:21,775 +Claro, algumas das escolhas de design do Pink + +7 +00:00:21,775 --> 00:00:23,880 +Floyd são completamente contrárias à física real. + +8 +00:00:24,280 --> 00:00:27,100 +Por exemplo, por que eles tornaram a luz dentro do prisma branca? + +9 +00:00:27,520 --> 00:00:30,623 +E, surpreendentemente, porque é que desenharíamos todas as cores como + +10 +00:00:30,623 --> 00:00:33,460 +um conjunto discreto, como uma criança a desenhar um arco-íris, + +11 +00:00:33,460 --> 00:00:36,786 +apesar de um dos pontos-chave na experiência original de Newton envolvendo + +12 +00:00:36,786 --> 00:00:40,200 +prismas ter sido o facto de a luz solar conter um espectro contínuo de cores? + +13 +00:00:41,060 --> 00:00:44,732 +Ainda assim, deixando isso de lado, é legal que isso esteja na cultura pop, + +14 +00:00:44,732 --> 00:00:48,550 +e qualquer entusiasta da física que se preze deveria saber como isso funciona, + +15 +00:00:48,550 --> 00:00:52,900 +mas o que percebi é que meu entendimento atingiu um muro muito rapidamente se pressionado. + +16 +00:00:52,900 --> 00:00:57,707 +Veja, a explicação padrão, o que você pode ouvir em uma aula de física no ensino médio, + +17 +00:00:57,707 --> 00:00:59,620 +por exemplo, é mais ou menos assim. + +18 +00:01:00,300 --> 00:01:03,698 +Quando a luz entra em um meio, como o vidro, ela desacelera, + +19 +00:01:03,698 --> 00:01:06,873 +no sentido de que se você olhar para as cristas da onda, + +20 +00:01:06,873 --> 00:01:09,993 +no vácuo essas cristas viajam a c, a velocidade da luz, + +21 +00:01:09,993 --> 00:01:14,060 +mas dentro do vidro essas cristas estarão viajando um pouco mais devagar. + +22 +00:01:14,720 --> 00:01:19,090 +E a razão específica entre a velocidade da luz no vácuo e a velocidade + +23 +00:01:19,090 --> 00:01:23,460 +dentro de um meio como este é chamada de índice de refração desse meio. + +24 +00:01:24,220 --> 00:01:27,723 +A razão pela qual usamos a palavra refração em vez de, digamos, + +25 +00:01:27,723 --> 00:01:32,322 +o índice de desaceleração, é que se um feixe de luz entra neste vidro em um ângulo, + +26 +00:01:32,322 --> 00:01:36,263 +então uma consequência dessa desaceleração é que ele se curva um pouco, + +27 +00:01:36,263 --> 00:01:38,180 +ou usando a linguagem, ele refrata. + +28 +00:01:38,640 --> 00:01:42,294 +E a maneira como meu professor de física do ensino médio sempre explicava isso era + +29 +00:01:42,294 --> 00:01:45,816 +imaginar um tanque indo de alguma região onde pode viajar relativamente rápido, + +30 +00:01:45,816 --> 00:01:49,646 +como concreto, para algo mais lento, como lama, onde se estiver entrando em um ângulo, + +31 +00:01:49,646 --> 00:01:52,772 +então como um dos sua banda de rodagem atinge primeiro a região lenta, + +32 +00:01:52,772 --> 00:01:56,471 +aquela banda de rodagem vai andando mais devagar enquanto a outra está mais rápida, + +33 +00:01:56,471 --> 00:02:00,169 +fazendo com que a coisa toda gire um pouco, até que aquela segunda banda de rodagem + +34 +00:02:00,169 --> 00:02:04,000 +também entre na lama, depois continua em linha reta, só andando um pouco mais devagar . + +35 +00:02:04,880 --> 00:02:07,106 +Voltaremos um pouco ao motivo real da curvatura, + +36 +00:02:07,106 --> 00:02:10,559 +mas neste ponto os estudantes de física do ensino médio geralmente aprendem + +37 +00:02:10,559 --> 00:02:13,831 +uma lei conhecida como lei de Snell, que especifica exatamente o quanto + +38 +00:02:13,831 --> 00:02:14,740 +as coisas se dobram. + +39 +00:02:15,260 --> 00:02:20,094 +Se traçarmos uma linha perpendicular à fronteira entre o vidro e a água e considerarmos + +40 +00:02:20,094 --> 00:02:23,281 +o ângulo entre essa linha perpendicular e o feixe de luz, + +41 +00:02:23,281 --> 00:02:27,951 +então a lei de Snell nos diz que o seno deste ângulo dividido pela velocidade da luz + +42 +00:02:27,951 --> 00:02:29,160 +é sempre um constante. + +43 +00:02:29,940 --> 00:02:32,537 +Portanto, quanto mais lenta a luz, menor será o ângulo, + +44 +00:02:32,537 --> 00:02:35,320 +e isso permite calcular a quantidade de refração das coisas. + +45 +00:02:36,240 --> 00:02:39,909 +O que acontece com um prisma, então, é que a quantidade específica + +46 +00:02:39,909 --> 00:02:43,140 +de desaceleração da luz depende um pouco de sua frequência. + +47 +00:02:43,780 --> 00:02:46,984 +Por exemplo, a luz azul, que tem uma frequência relativamente alta, + +48 +00:02:46,984 --> 00:02:50,093 +seria desacelerada de forma mais agressiva do que a luz vermelha, + +49 +00:02:50,093 --> 00:02:52,120 +que tem uma frequência relativamente baixa. + +50 +00:02:52,980 --> 00:02:56,719 +Agora, a maior parte da luz que você vê não é uma onda senoidal pura e limpa, + +51 +00:02:56,719 --> 00:03:00,220 +em particular a luz branca que vem do sol não é uma onda senoidal limpa, + +52 +00:03:00,220 --> 00:03:04,535 +é algo muito mais confuso, mas pode ser expressa como a soma de um monte de ondas limpas. + +53 +00:03:04,535 --> 00:03:07,700 +ondas senoidais, cada uma correspondendo a uma cor espectral pura. + +54 +00:03:08,280 --> 00:03:11,211 +Então, quando você direciona luz branca para um prisma como esse, + +55 +00:03:11,211 --> 00:03:15,210 +todos esses diferentes componentes são refratados em quantidades ligeiramente diferentes, + +56 +00:03:15,210 --> 00:03:17,920 +causando essa separação icônica das cores puras do arco-íris. + +57 +00:03:18,620 --> 00:03:22,063 +Então essa é a explicação padrão, e não é errada em si, + +58 +00:03:22,063 --> 00:03:26,060 +é apenas que todos os componentes-chave são transmitidos do alto. + +59 +00:03:26,680 --> 00:03:28,680 +Por que a luz desaceleraria assim? + +60 +00:03:29,040 --> 00:03:31,240 +E o que exatamente queremos dizer com desacelerar? + +61 +00:03:31,740 --> 00:03:34,385 +E mesmo que você entenda isso, por que a quantidade + +62 +00:03:34,385 --> 00:03:36,980 +de desaceleração teria algo a ver com a cor da luz? + +63 +00:03:37,200 --> 00:03:39,280 +Isso é apenas uma coincidência ou é necessário? + +64 +00:03:39,680 --> 00:03:42,765 +Se você tiver um padrão suficientemente alto para explicações, + +65 +00:03:42,765 --> 00:03:45,312 +você deseja que ambos os fatos pareçam descobertos, + +66 +00:03:45,312 --> 00:03:47,320 +em vez de parecer que foram transmitidos. + +67 +00:03:47,960 --> 00:03:51,050 +A primeira explicação que vi que começou a dar esse sentimento veio das + +68 +00:03:51,050 --> 00:03:54,226 +palestras de Feynman sobre o assunto, e muito do que eu gostaria de fazer + +69 +00:03:54,226 --> 00:03:57,660 +com esse vídeo é simplesmente animar muitos dos pontos-chave que ele aborda ali. + +70 +00:03:58,100 --> 00:04:02,010 +Envolve realmente se aprofundar para pensar em cada carga oscilante + +71 +00:04:02,010 --> 00:04:05,747 +individual no material e na propagação das ondas de luz causadas + +72 +00:04:05,747 --> 00:04:09,140 +por cada uma dessas cargas, e como todas elas se sobrepõem. + +73 +00:04:09,320 --> 00:04:12,605 +O que parece ser uma bagunça completa, mas na verdade acaba + +74 +00:04:12,605 --> 00:04:16,220 +sendo não apenas compreensível, mas satisfatoriamente explicativo. + +75 +00:04:16,860 --> 00:04:21,027 +Por exemplo, explica por que depende da cor, e a intuição principal aí realmente + +76 +00:04:21,027 --> 00:04:25,040 +se resume ao que acontece se você for ruim em empurrar uma criança no balanço. + +77 +00:04:25,540 --> 00:04:27,520 +Tenha paciência comigo, prometo que isso fará sentido mais tarde. + +78 +00:04:28,540 --> 00:04:32,131 +Além disso, quando mencionei no Patreon a intenção de abordar esse assunto, + +79 +00:04:32,131 --> 00:04:34,920 +muita gente teve muitas dúvidas sobre o índice de refração. + +80 +00:04:34,920 --> 00:04:38,956 +Por exemplo, muitas pessoas perguntaram como é possível que este número + +81 +00:04:38,956 --> 00:04:42,992 +seja inferior a 1, o que realmente acontece, apesar de parecer implicar + +82 +00:04:42,992 --> 00:04:46,860 +a impossibilidade de algo viajar mais rápido que a velocidade da luz. + +83 +00:04:47,400 --> 00:04:49,566 +Houve também uma pergunta sobre birrefringência, + +84 +00:04:49,566 --> 00:04:52,704 +que é quando um material pode ter dois índices de refração diferentes, + +85 +00:04:52,704 --> 00:04:55,180 +fazendo com que você veja o dobro ao olhar através dele. + +86 +00:04:55,280 --> 00:04:58,273 +E isso realmente combina muito bem com a colocação da peça final do + +87 +00:04:58,273 --> 00:05:01,620 +quebra-cabeça dos dois últimos vídeos sobre o fenômeno do poste de barbeiro. + +88 +00:05:02,140 --> 00:05:05,240 +E algumas pessoas também perguntaram por que a desaceleração + +89 +00:05:05,240 --> 00:05:08,188 +da luz implicaria uma curvatura como essa, e concordo que + +90 +00:05:08,188 --> 00:05:11,340 +isso merece uma explicação melhor do que a analogia do tanque. + +91 +00:05:11,840 --> 00:05:14,727 +Prometo que abordaremos todas essas questões mais tarde, + +92 +00:05:14,727 --> 00:05:17,362 +mas faz sentido primeiro estabelecer algumas bases, + +93 +00:05:17,362 --> 00:05:21,466 +gastando a maior parte do nosso tempo na questão-chave de por que a passagem por + +94 +00:05:21,466 --> 00:05:24,000 +um meio mudaria a velocidade de uma onda de luz. . + +95 +00:05:24,560 --> 00:05:27,890 +E para isso, quero que você pense no seu material, como o vidro, + +96 +00:05:27,890 --> 00:05:30,657 +como sendo dividido em um monte de camadas distintas, + +97 +00:05:30,657 --> 00:05:33,680 +todas perpendiculares à direção em que a luz está viajando. + +98 +00:05:34,120 --> 00:05:38,760 +E começaremos focando nossa atenção no efeito de apenas uma dessas camadas na onda de luz. + +99 +00:05:39,320 --> 00:05:44,146 +O verdadeiro efeito seria minúsculo, mas se você me deixar exagerar por um momento, + +100 +00:05:44,146 --> 00:05:46,560 +o que ele faz é retroceder a fase da onda. + +101 +00:05:47,420 --> 00:05:49,450 +E talvez valha a pena fazer um breve aparte para ter certeza de que + +102 +00:05:49,450 --> 00:05:51,600 +estamos todos na mesma página quando se trata da terminologia das ondas. + +103 +00:05:51,960 --> 00:05:55,126 +Se você fizer o gráfico da função seno de x, quando você colocar algum + +104 +00:05:55,126 --> 00:05:58,961 +termo na frente dela, afetando o quão alto aquela onda oscila para cima e para baixo, + +105 +00:05:58,961 --> 00:06:02,573 +isso é o que chamamos de amplitude, quando você colocar um termo na frente de x, + +106 +00:06:02,573 --> 00:06:04,580 +isso vai afetar a rapidez com que ele oscila. + +107 +00:06:04,960 --> 00:06:07,520 +Se o objetivo fosse descrever uma onda ao longo do tempo, + +108 +00:06:07,520 --> 00:06:10,257 +esse termo seria chamado de frequência angular, ao passo que, + +109 +00:06:10,257 --> 00:06:12,465 +se o objetivo fosse descrever uma onda no espaço, + +110 +00:06:12,465 --> 00:06:14,540 +essa constante seria chamada de número de onda. + +111 +00:06:14,960 --> 00:06:18,570 +Então, se você adicionar alguma outra constante dentro dessa função senoidal, + +112 +00:06:18,570 --> 00:06:21,626 +e perceber como, à medida que você altera o que é essa constante, + +113 +00:06:21,626 --> 00:06:25,700 +ela desliza a onda para a esquerda e para a direita, esse termo descreve a fase da onda. + +114 +00:06:26,660 --> 00:06:30,382 +Então, quando digo que nossa onda de luz atingindo uma camada de vidro faz com + +115 +00:06:30,382 --> 00:06:34,152 +que sua fase seja retrocedida, quero dizer, se você pegar qualquer função que a + +116 +00:06:34,152 --> 00:06:37,828 +descreva antes de atingir o vidro, então a função que a descreve depois disso + +117 +00:06:37,828 --> 00:06:41,740 +parece quase a mesma, apenas com algo extra adicionado à entrada dessa função seno. + +118 +00:06:42,300 --> 00:06:45,238 +Como eu disse, na verdade será um número muito pequeno, + +119 +00:06:45,238 --> 00:06:48,281 +algo proporcional à espessura infinitesimal dessa camada, + +120 +00:06:48,281 --> 00:06:51,953 +mas continuarei desenhando como algo exagerado e acompanhando o valor + +121 +00:06:51,953 --> 00:06:54,000 +daquele chute de fase aqui à esquerda . + +122 +00:06:54,740 --> 00:06:57,815 +Digamos que você adicione um monte de outras camadas de vidro, + +123 +00:06:57,815 --> 00:07:00,940 +cada uma também aplicando seu próprio retrocesso à fase da onda. + +124 +00:07:01,340 --> 00:07:03,840 +A questão para você é como é essa nova onda? + +125 +00:07:04,300 --> 00:07:07,312 +Se o valor desse impulso de fase aplicado por cada camada for algo + +126 +00:07:07,312 --> 00:07:10,280 +realmente próximo de zero, então a onda dificilmente será afetada. + +127 +00:07:10,520 --> 00:07:15,780 +Mas quanto maior o impulso de fase, mais a onda fica comprimida entre todas essas camadas. + +128 +00:07:16,700 --> 00:07:19,613 +Reconheço que aqui tudo parece caleidoscópico e estranho, + +129 +00:07:19,613 --> 00:07:22,627 +mas isso é só porque tenho um conjunto discreto de camadas, + +130 +00:07:22,627 --> 00:07:25,340 +cada uma aplicando um efeito irrealisticamente grande. + +131 +00:07:25,920 --> 00:07:29,276 +Observe o que acontece se eu suavizar dobrando a densidade das camadas, + +132 +00:07:29,276 --> 00:07:32,540 +mas fazendo com que cada uma aplique apenas metade do aumento de fase. + +133 +00:07:33,260 --> 00:07:35,823 +E então faço isso de novo, duplico a densidade das camadas, + +134 +00:07:35,823 --> 00:07:38,600 +mas faço com que cada uma aplique apenas metade do chute de fase. + +135 +00:07:39,560 --> 00:07:43,711 +À medida que continuo isso repetidamente, abordando uma situação em que você + +136 +00:07:43,711 --> 00:07:47,917 +tem um continuum de vidro, cada camada aplicando apenas um pequeno impulso de + +137 +00:07:47,917 --> 00:07:51,583 +fase infinitesimal, o que você acaba é idêntico, indistinguível de, + +138 +00:07:51,583 --> 00:07:55,627 +uma onda que está simplesmente viajando mais devagar, oscilando para cima. + +139 +00:07:55,627 --> 00:08:00,480 +e para baixo com a mesma frequência, mas com um comprimento de onda que foi meio amassado. + +140 +00:08:00,920 --> 00:08:04,080 +Esta aqui é a primeira ideia chave com o índice de refração. + +141 +00:08:04,560 --> 00:08:07,983 +Em vez de perguntar por que a luz fica mais lenta no vidro, + +142 +00:08:07,983 --> 00:08:11,463 +o que realmente precisamos perguntar é por que sua interação + +143 +00:08:11,463 --> 00:08:15,400 +com uma única camada desse vidro causa um retrocesso na fase da onda? + +144 +00:08:16,200 --> 00:08:19,995 +E então, quando queremos ser quantitativos e entender exatamente o quanto + +145 +00:08:19,995 --> 00:08:24,098 +a luz desacelera, o que é fundamental para entender por que ela depende da cor, + +146 +00:08:24,098 --> 00:08:27,740 +em vez disso, a verdadeira questão é quão forte é esse impulso de fase? + +147 +00:08:29,140 --> 00:08:32,960 +A partir daqui, é útil voltar aos fundamentos do que é a luz. + +148 +00:08:33,159 --> 00:08:36,717 +Falamos muito sobre isso no último vídeo, mas uma pequena revisão nunca é demais, + +149 +00:08:36,717 --> 00:08:38,280 +então deixe-me repassar o essencial. + +150 +00:08:38,840 --> 00:08:42,383 +Como muitos de vocês sabem, a luz é uma onda no campo eletromagnético, + +151 +00:08:42,383 --> 00:08:44,680 +mas aqui desenharemos apenas o campo elétrico. + +152 +00:08:45,320 --> 00:08:50,844 +O campo elétrico associa cada ponto no espaço 3D a um pequeno vetor tridimensional que + +153 +00:08:50,844 --> 00:08:56,560 +informa qual força seria aplicada a uma carga unitária hipotética naquele ponto do espaço. + +154 +00:08:58,120 --> 00:09:01,953 +A principal coisa que acontece com a luz é que se você tem uma partícula + +155 +00:09:01,953 --> 00:09:05,367 +carregada e algo faz com que ela se mova para cima e para baixo, + +156 +00:09:05,367 --> 00:09:09,516 +isso resulta nessas ondulações de propagação no campo elétrico longe da carga, + +157 +00:09:09,516 --> 00:09:13,140 +e essa propagação está viajando na velocidade c, A velocidade da luz. + +158 +00:09:13,740 --> 00:09:16,407 +Sempre que essas ondulações atingem outra partícula carregada, + +159 +00:09:16,407 --> 00:09:18,735 +elas fazem com que ela se mova para cima e para baixo, + +160 +00:09:18,735 --> 00:09:22,165 +embora um pouco mais fracamente do que o movimento inicial, e isso, por sua vez, + +161 +00:09:22,165 --> 00:09:23,520 +causa suas próprias propagações. + +162 +00:09:24,480 --> 00:09:28,823 +A forma como descrevemos isto no último vídeo foi que se em algum momento + +163 +00:09:28,823 --> 00:09:32,345 +uma carga estiver a acelerar, então após um pequeno atraso, + +164 +00:09:32,345 --> 00:09:36,923 +que depende desta velocidade c, a existência dessa aceleração induz uma força + +165 +00:09:36,923 --> 00:09:37,980 +sobre outra carga. + +166 +00:09:38,700 --> 00:09:41,398 +Examinamos a lei de força específica que descreve isso, + +167 +00:09:41,398 --> 00:09:44,481 +é algo que pode ser derivado a jusante das equações de Maxwell, + +168 +00:09:44,481 --> 00:09:48,576 +mas para nossos propósitos aqui, a principal coisa a ter em mente é que a quantidade + +169 +00:09:48,576 --> 00:09:52,527 +de tempo que essa aceleração inicial leva para causar qualquer tipo de influência + +170 +00:09:52,527 --> 00:09:54,840 +em outro lugar viaja exatamente na velocidade c. + +171 +00:09:55,300 --> 00:09:58,937 +E realmente, você deveria pensar em c não tanto como a velocidade da luz em si, + +172 +00:09:58,937 --> 00:10:00,620 +mas como a velocidade da causalidade. + +173 +00:10:00,940 --> 00:10:04,443 +Ela determina a rapidez com que qualquer tipo de influência viaja, + +174 +00:10:04,443 --> 00:10:08,260 +só que uma das múltiplas consequências disso é que é a velocidade da luz. + +175 +00:10:08,600 --> 00:10:12,407 +Em particular, quando você obtém uma carga oscilando para cima e para baixo + +176 +00:10:12,407 --> 00:10:16,215 +em um movimento senoidal limpo e agradável, você pode pensar nesses efeitos + +177 +00:10:16,215 --> 00:10:20,122 +de ondulação no campo elétrico como uma descrição da força que seria aplicada + +178 +00:10:20,122 --> 00:10:23,680 +a outra carga ali colocada como resultado daquela aceleração passada. . + +179 +00:10:24,340 --> 00:10:28,291 +Admito francamente que me diverti demais naquele vídeo apenas simulando como + +180 +00:10:28,291 --> 00:10:32,756 +o campo elétrico responde a cargas aceleradas, e que estou fazendo a mesma coisa aqui, + +181 +00:10:32,756 --> 00:10:36,400 +mas há dois fatos importantes para nossa busca pelo índice de refração. + +182 +00:10:36,920 --> 00:10:40,738 +A primeira é que quando temos múltiplas cargas diferentes oscilando para cima + +183 +00:10:40,738 --> 00:10:44,312 +e para baixo, o efeito líquido no campo eléctrico é apenas a soma do que + +184 +00:10:44,312 --> 00:10:48,180 +seria para cada carga individual, o que é mais ou menos o que seria de esperar. + +185 +00:10:48,600 --> 00:10:52,729 +A forma como isso acontece é que se você tiver uma fileira de cargas oscilando + +186 +00:10:52,729 --> 00:10:56,127 +em sincronia umas com as outras, ou para nossos propósitos hoje, + +187 +00:10:56,127 --> 00:11:00,571 +um plano de cargas oscilando para cima e para baixo em sincronia dentro desse plano, + +188 +00:11:00,571 --> 00:11:04,805 +então os efeitos de cada carga individual tendem para se anularem na maioria das + +189 +00:11:04,805 --> 00:11:07,419 +direções, exceto perpendicularmente a esse plano, + +190 +00:11:07,419 --> 00:11:09,720 +eles na verdade interferem construtivamente. + +191 +00:11:10,120 --> 00:11:12,560 +É assim que você pode obter um feixe de luz concentrado. + +192 +00:11:12,900 --> 00:11:13,860 +Isso é o importante. + +193 +00:11:14,040 --> 00:11:18,094 +Se tivermos uma camada de cargas balançando para cima e para baixo em sincronia + +194 +00:11:18,094 --> 00:11:22,250 +umas com as outras, mesmo longe dessa camada, ela produz uma bela onda sinusoidal + +195 +00:11:22,250 --> 00:11:25,900 +no campo elétrico que gostamos tanto de desenhar para representar a luz. + +196 +00:11:27,640 --> 00:11:30,330 +Quando desenho uma onda de luz como esta, na verdade estou apenas + +197 +00:11:30,330 --> 00:11:32,980 +representando o campo elétrico em uma única linha unidimensional. + +198 +00:11:33,480 --> 00:11:37,640 +Uma imagem mais completa da luz em três dimensões seria mais ou menos assim. + +199 +00:11:38,160 --> 00:11:39,816 +Isso tende a ser um pouco mais movimentado, então + +200 +00:11:39,816 --> 00:11:41,340 +normalmente desenhamos apenas a onda senoidal. + +201 +00:11:42,920 --> 00:11:46,969 +Então, pensando na questão de por que as interações com uma camada de + +202 +00:11:46,969 --> 00:11:51,540 +material causariam um retrocesso na fase da onda, vamos começar a pensar nisso. + +203 +00:11:52,060 --> 00:11:55,175 +Quando um feixe de luz entra em um material, como o vidro, + +204 +00:11:55,175 --> 00:11:58,660 +ele faz com que todas as cargas dentro desse material, você sabe, + +205 +00:11:58,660 --> 00:12:02,461 +elétrons ou talvez um íon ocasional, se mexam para cima e para baixo em + +206 +00:12:02,461 --> 00:12:03,940 +resposta a essa onda de luz. + +207 +00:12:04,520 --> 00:12:08,045 +Você pode pensar que somar todas as propagações de todas essas cargas é + +208 +00:12:08,045 --> 00:12:11,620 +um pesadelo completo, mas podemos pensar nisso em uma camada de cada vez. + +209 +00:12:12,660 --> 00:12:16,806 +À medida que a onda de luz faz com que esta camada se mexa para cima e para baixo, + +210 +00:12:16,806 --> 00:12:20,503 +esse movimento produz a sua própria onda de luz de segunda ordem na mesma + +211 +00:12:20,503 --> 00:12:24,300 +frequência e propaga-se em ambas as direcções perpendiculares a essa camada. + +212 +00:12:24,900 --> 00:12:27,844 +O campo elétrico geral, então, parece-se com a + +213 +00:12:27,844 --> 00:12:31,040 +onda de luz inicial somada à onda de segunda ordem. + +214 +00:12:32,580 --> 00:12:36,605 +De longe, a parte que mais distrai o que está acontecendo aqui é tudo à esquerda, + +215 +00:12:36,605 --> 00:12:39,600 +e isso na verdade corresponde à luz sendo refletida de volta. + +216 +00:12:40,220 --> 00:12:43,869 +E por experiência, todos vocês sabem que quando olham para a água ou para o vidro, + +217 +00:12:43,869 --> 00:12:46,860 +a luz não apenas passa por ela, mas parte dela é refletida de volta. + +218 +00:12:46,860 --> 00:12:51,083 +E poderíamos ter toda uma discussão interessante sobre quantificar exatamente quanto, + +219 +00:12:51,083 --> 00:12:54,815 +mas no espírito de manter o foco, vamos ignorar completamente isso por hoje + +220 +00:12:54,815 --> 00:12:57,860 +e focar apenas no que está acontecendo à direita dessa camada. + +221 +00:12:58,440 --> 00:13:00,200 +Você provavelmente pode prever o que vou dizer. + +222 +00:13:00,860 --> 00:13:04,818 +Acontece que quando você adiciona essa oscilação de segunda ordem, + +223 +00:13:04,818 --> 00:13:09,900 +o efeito geral é quase idêntico ao da luz que entra, mas apenas muda um pouco de fase. + +224 +00:13:10,220 --> 00:13:14,485 +E então, como muitas mudanças sucessivas de fase como esta são a mesma coisa + +225 +00:13:14,485 --> 00:13:18,640 +que a desaceleração da luz, isto acabará por explicar o índice de refração. + +226 +00:13:19,460 --> 00:13:22,576 +Mas é claro que os espectadores suficientemente curiosos agora levantarão + +227 +00:13:22,576 --> 00:13:25,440 +a mão e perguntarão: por que esse efeito ocorre quando você os soma? + +228 +00:13:26,240 --> 00:13:28,433 +E aqui pode valer a pena uma pequena barra lateral + +229 +00:13:28,433 --> 00:13:30,240 +sobre como pensar em adicionar duas ondas. + +230 +00:13:30,840 --> 00:13:34,177 +Se você desenhar uma onda senoidal com alguma amplitude específica, + +231 +00:13:34,177 --> 00:13:36,877 +alguma frequência específica e alguma fase específica, + +232 +00:13:36,877 --> 00:13:40,411 +e então desenhar outra onda senoidal, também com sua própria amplitude, + +233 +00:13:40,411 --> 00:13:44,485 +frequência e fase, em geral é muito difícil pensar sobre qual é a soma dessas duas + +234 +00:13:44,485 --> 00:13:47,480 +ondas deve parecer quando você ajusta os parâmetros iniciais. + +235 +00:13:52,180 --> 00:13:54,845 +No caso específico em que as frequências são iguais, + +236 +00:13:54,845 --> 00:13:58,970 +o que é verdade para o nosso exemplo, o resultado também se parecerá com uma onda + +237 +00:13:58,970 --> 00:14:00,580 +senoidal com a mesma frequência. + +238 +00:14:01,380 --> 00:14:04,920 +Mas mesmo assim é um pouco complicado pensar exatamente como descrever essa onda. + +239 +00:14:05,240 --> 00:14:10,017 +Tem alguma amplitude e alguma fase, e se eu pedir para você calcular concretamente ambos + +240 +00:14:10,017 --> 00:14:13,400 +os números com base nas amplitudes e fases das ondas iniciais, + +241 +00:14:13,400 --> 00:14:17,963 +não fica imediatamente claro como você faria isso sem lançar um monte de identidades + +242 +00:14:17,963 --> 00:14:19,520 +trigonométricas no problema . + +243 +00:14:20,120 --> 00:14:22,140 +Mas aqui está uma maneira muito boa de pensar sobre isso. + +244 +00:14:22,280 --> 00:14:26,860 +Imagine que a primeira onda descreve a componente y de algum vetor rotativo. + +245 +00:14:28,480 --> 00:14:32,552 +O comprimento desse vetor corresponde à amplitude da nossa onda, + +246 +00:14:32,552 --> 00:14:37,000 +e então a rotação inicial desse vetor corresponde à fase da nossa onda. + +247 +00:14:37,690 --> 00:14:41,878 +Da mesma forma, pense na segunda onda como descrevendo a componente + +248 +00:14:41,878 --> 00:14:47,053 +y de outro vetor rotativo, onde a amplitude corresponde ao comprimento desse vetor, + +249 +00:14:47,053 --> 00:14:50,380 +e a fase da onda nos diz o ângulo inicial desse vetor. + +250 +00:14:52,780 --> 00:14:55,085 +Agora, para pensar na soma das duas ondas, basta + +251 +00:14:55,085 --> 00:14:57,720 +pensar em adicionar esses dois vetores de ponta a ponta. + +252 +00:14:58,400 --> 00:15:02,259 +E como ambos têm a mesma frequência em que ambos giram, + +253 +00:15:02,259 --> 00:15:04,740 +sua soma gira em sincronia com eles. + +254 +00:15:07,400 --> 00:15:10,667 +Então, se quisermos pensar na amplitude da nossa onda resultante, + +255 +00:15:10,667 --> 00:15:14,034 +ela se resume ao comprimento desta soma vetorial e, da mesma forma, + +256 +00:15:14,034 --> 00:15:16,460 +a fase corresponde ao ângulo dessa soma vetorial. + +257 +00:15:17,020 --> 00:15:20,281 +Em alguns casos, isso lhe diz coisas que você provavelmente já sabia, + +258 +00:15:20,281 --> 00:15:23,077 +como se as duas fases fossem iguais, então você obteria uma + +259 +00:15:23,077 --> 00:15:25,920 +interferência construtiva e o resultado seria uma onda maior. + +260 +00:15:26,380 --> 00:15:28,955 +E se as fases estivessem 180 graus fora de sincronia, + +261 +00:15:28,955 --> 00:15:32,390 +então você obteria interferência desconstrutiva com uma onda resultante + +262 +00:15:32,390 --> 00:15:33,440 +relativamente pequena. + +263 +00:15:34,360 --> 00:15:38,442 +O que é um pouco menos óbvio, mas o que é crucial para a nossa discussão aqui, + +264 +00:15:38,442 --> 00:15:42,939 +é que se a fase da segunda onda estiver exatamente 90 graus atrás da fase da primeira, + +265 +00:15:42,939 --> 00:15:45,833 +então uma espécie de quarto de ciclo fora de sincronia, + +266 +00:15:45,833 --> 00:15:49,761 +e se isso segunda onda também é muito pequena em comparação com a primeira, + +267 +00:15:49,761 --> 00:15:53,741 +então se você olhar para a pequena soma vetorial no canto inferior esquerdo, + +268 +00:15:53,741 --> 00:15:58,237 +você notará como isso significa que a onda resultante é quase idêntica à onda inicial, + +269 +00:15:58,237 --> 00:16:01,080 +mas acabou de voltar para dentro sua fase um pouquinho. + +270 +00:16:01,520 --> 00:16:04,716 +Além disso, o tamanho dessa mudança de fase depende + +271 +00:16:04,716 --> 00:16:07,360 +da amplitude específica dessa segunda onda. + +272 +00:16:08,580 --> 00:16:12,977 +Então, olhando para nossa animação anterior, onde temos algumas cargas oscilantes + +273 +00:16:12,977 --> 00:16:17,267 +em uma camada de vidro causando essas propagações de segunda ordem que precisam + +274 +00:16:17,267 --> 00:16:21,450 +ser adicionadas junto com a luz que entra, a forma como funciona é que a fase + +275 +00:16:21,450 --> 00:16:25,580 +dessa segunda onda é exatamente um quarto de ciclo atrás da fase do primeiro. + +276 +00:16:26,020 --> 00:16:28,760 +Então, quando você os soma, obtém essa pequena mudança de fase. + +277 +00:16:29,320 --> 00:16:33,898 +E então, criticamente, o tamanho dessa mudança de fase é maior quando a onda + +278 +00:16:33,898 --> 00:16:38,240 +de segunda ordem é maior, e menor quando a onda de segunda ordem é menor. + +279 +00:16:39,220 --> 00:16:42,676 +Mais uma vez, os espectadores muito curiosos levantarão a mão e perguntarão: + +280 +00:16:42,676 --> 00:16:45,460 +por que é que estamos exatamente um quarto de ciclo atrasados? + +281 +00:16:46,020 --> 00:16:49,700 +Há uma razão muito boa, mas é um detalhe um pouco demais para nós hoje. + +282 +00:16:49,860 --> 00:16:51,790 +Se você estiver curioso, recomendo fortemente que você + +283 +00:16:51,790 --> 00:16:53,720 +dê uma olhada nas palestras de Feynman sobre o assunto. + +284 +00:16:54,460 --> 00:16:59,418 +Para nossos propósitos, pare por um segundo e pense no que você precisa para explicar + +285 +00:16:59,418 --> 00:17:04,319 +a questão-chave dos prismas, e é por isso que o índice de refração dependeria da cor. + +286 +00:17:05,000 --> 00:17:09,027 +Como você sabe agora, esse índice depende de quanto cada camada de vidro + +287 +00:17:09,027 --> 00:17:13,276 +retrocede a fase da onda, e esse retrocesso de fase depende da força da onda + +288 +00:17:13,276 --> 00:17:17,579 +de segunda ordem resultante das oscilações de carga em uma camada desse vidro. + +289 +00:17:18,000 --> 00:17:21,291 +Portanto, você precisa se aprofundar e entender exatamente o + +290 +00:17:21,291 --> 00:17:24,960 +quanto essas cargas oscilam em resposta a uma onda de luz que chega. + +291 +00:17:25,700 --> 00:17:30,064 +Então, vamos ampliar essa camada e pensar em cada uma dessas partículas carregadas, + +292 +00:17:30,064 --> 00:17:33,857 +e mesmo que a estrutura molecular específica seja algo muito complicado, + +293 +00:17:33,857 --> 00:17:37,598 +vamos modelar cada uma dessas cargas como se estivessem ligadas a algum + +294 +00:17:37,598 --> 00:17:41,080 +posição de equilíbrio por uma mola, ou talvez um conjunto de molas. + +295 +00:17:41,600 --> 00:17:46,130 +Não quero dizer isto literalmente, claro, só quero dizer que se descrevermos + +296 +00:17:46,130 --> 00:17:50,425 +o deslocamento desta carga do seu equilíbrio com um pequeno vector x que + +297 +00:17:50,425 --> 00:17:54,661 +vai depender do tempo, então no nosso modelo, a força aplicada à carga, + +298 +00:17:54,661 --> 00:17:59,957 +puxando de volta a esse equilíbrio, será algo proporcional ao tamanho desse deslocamento, + +299 +00:17:59,957 --> 00:18:02,840 +com uma pequena constante de proporcionalidade k. + +300 +00:18:03,320 --> 00:18:05,440 +Esta é a mesma lei que rege o funcionamento das molas. + +301 +00:18:05,900 --> 00:18:08,541 +Você pode perguntar se isso é exato, e a ideia é que, + +302 +00:18:08,541 --> 00:18:11,820 +para deslocamentos muito pequenos, é realmente uma boa aproximação. + +303 +00:18:11,820 --> 00:18:16,140 +Isso é algo muito comum em toda a física; chamaríamos isso de força restauradora linear. + +304 +00:18:16,540 --> 00:18:20,397 +A ideia é que talvez a lei da força real dependa da posição de uma forma muito mais + +305 +00:18:20,397 --> 00:18:24,254 +complicada, mas estamos basicamente a fazer uma aproximação de baixa ordem perto do + +306 +00:18:24,254 --> 00:18:24,760 +equilíbrio. + +307 +00:18:25,700 --> 00:18:29,103 +Se eu apenas executar isso como uma simulação, inserindo esta lei de força, + +308 +00:18:29,103 --> 00:18:31,880 +aqui está como esse deslocamento se parece em função do tempo. + +309 +00:18:32,460 --> 00:18:37,342 +O que você obtém parece uma onda senoidal, isso é chamado de movimento harmônico simples, + +310 +00:18:37,342 --> 00:18:40,976 +e a frequência dessa onda vai importar muito para você e para mim, + +311 +00:18:40,976 --> 00:18:44,719 +e descobrir isso se resume a resolver uma certa equação diferencial, + +312 +00:18:44,719 --> 00:18:48,245 +porque a força é realmente é o mesmo que massa vezes aceleração, + +313 +00:18:48,245 --> 00:18:51,880 +e a aceleração é o mesmo que a segunda derivada desse deslocamento. + +314 +00:18:52,340 --> 00:18:55,394 +Então, o que estamos dizendo é que queremos alguma função cuja + +315 +00:18:55,394 --> 00:18:58,740 +segunda derivada se pareça com uma certa constante vezes essa função. + +316 +00:18:59,360 --> 00:19:01,179 +Qualquer estudante de equações diferenciais entre + +317 +00:19:01,179 --> 00:19:03,000 +vocês pode gostar de pensar em como resolver isso. + +318 +00:19:03,240 --> 00:19:06,541 +Não vou entrar em detalhes completos, mas a resposta é razoavelmente intuitiva, + +319 +00:19:06,541 --> 00:19:09,760 +e qualquer pessoa que conheça um pouco de cálculo pode verificar por si mesmo. + +320 +00:19:09,760 --> 00:19:13,312 +A forma como isso acontece é que se a condição inicial é que nossa + +321 +00:19:13,312 --> 00:19:17,182 +pequena carga tenha uma velocidade zero, mas seja desviada do equilíbrio + +322 +00:19:17,182 --> 00:19:20,893 +por um pequeno vetor x-nada, então a maneira como ela evolui ao longo + +323 +00:19:20,893 --> 00:19:24,340 +do tempo parece x-nada multiplicado por uma expressão de cosseno. + +324 +00:19:25,400 --> 00:19:27,988 +Portanto, a amplitude dessa onda é meio desinteressante, + +325 +00:19:27,988 --> 00:19:30,804 +depende apenas de quão longe puxamos as coisas originalmente, + +326 +00:19:30,804 --> 00:19:34,620 +mas o ponto principal é esse termo de frequência, raiz quadrada de k dividido por m. + +327 +00:19:35,320 --> 00:19:38,620 +E se você pensar bem, esperamos que isso seja pelo menos um pouco intuitivo. + +328 +00:19:39,000 --> 00:19:43,927 +Por exemplo, se você aumentar k, o que é como aumentar a resistência daquela mola, + +329 +00:19:43,927 --> 00:19:46,540 +isso resultará em uma oscilação mais rápida. + +330 +00:19:47,020 --> 00:19:50,132 +Já se você aumentar m, a massa da partícula, há muito + +331 +00:19:50,132 --> 00:19:53,360 +mais inércia e isso resulta em uma oscilação mais lenta. + +332 +00:19:54,220 --> 00:19:57,322 +Este termo, raiz quadrada de k dividido por m, tem um nome especial, + +333 +00:19:57,322 --> 00:20:00,740 +é chamado de frequência de ressonância do nosso oscilador harmônico simples. + +334 +00:20:01,100 --> 00:20:04,640 +E sendo um pouco mais preciso, devo chamar isto de frequência angular ressonante. + +335 +00:20:05,100 --> 00:20:09,177 +Isso é sempre um pouco estranho com a física, onde sempre que você tem algum tipo de + +336 +00:20:09,177 --> 00:20:11,959 +processo cíclico, quando você dá uma descrição intuitiva, + +337 +00:20:11,959 --> 00:20:14,549 +é natural formular as coisas em termos de frequência, + +338 +00:20:14,549 --> 00:20:17,380 +o número de ciclos que esse processo faz por unidade tempo. + +339 +00:20:17,700 --> 00:20:21,103 +Mas ao fazer contas, muitas vezes é mais natural falar sobre a frequência angular, + +340 +00:20:21,103 --> 00:20:23,727 +que você poderia considerar como uma descrição de quanto ângulo + +341 +00:20:23,727 --> 00:20:25,900 +esse processo cobre em radianos por unidade de tempo. + +342 +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 +É igual à frequência, mas multiplicado por 2 pi. + +343 +00:20:29,320 --> 00:20:32,805 +Então, por exemplo, se você tiver algo como uma expressão de cosseno, + +344 +00:20:32,805 --> 00:20:37,136 +que você pode pensar como uma descrição da componente x de um vetor cíclico como este, + +345 +00:20:37,136 --> 00:20:41,020 +então o termo situado bem na frente de t nesse cosseno é a frequência angular. + +346 +00:20:41,440 --> 00:20:43,880 +É por isso que a frequência angular torna a matemática um pouco mais limpa. + +347 +00:20:44,160 --> 00:20:46,584 +Por exemplo, em nosso movimento harmônico simples, + +348 +00:20:46,584 --> 00:20:49,913 +o termo antes de t se parece com a raiz quadrada de k dividido por m, + +349 +00:20:49,913 --> 00:20:51,720 +que estou escrevendo como ômega sub r. + +350 +00:20:52,340 --> 00:20:55,949 +Vamos empacotar tudo isso e chamar isso de nossa solução no caso simples, + +351 +00:20:55,949 --> 00:20:59,120 +onde não há força externa agindo sobre nossa partícula carregada. + +352 +00:20:59,780 --> 00:21:03,178 +Mas é claro, o que nos interessa é o que acontece quando você + +353 +00:21:03,178 --> 00:21:06,685 +lança um feixe de luz sobre esse material, o que intuitivamente + +354 +00:21:06,685 --> 00:21:09,700 +faz com que essa carga balance, mas a questão é quanto. + +355 +00:21:10,460 --> 00:21:12,786 +Na nossa equação, isto parece adicionar um novo + +356 +00:21:12,786 --> 00:21:14,920 +termo de força correspondente à onda de luz. + +357 +00:21:15,300 --> 00:21:19,783 +Essa força oscila para cima e para baixo, também de acordo com algum tipo de função + +358 +00:21:19,783 --> 00:21:24,480 +cosseno, mas desta vez com uma frequência angular distinta, que chamarei de ômega sub l. + +359 +00:21:25,020 --> 00:21:28,241 +E nada aqui descreve a força da onda, e então q descreve + +360 +00:21:28,241 --> 00:21:31,180 +a carga de qualquer partícula que estamos modelando. + +361 +00:21:31,980 --> 00:21:34,965 +Como sempre, é muito mais fácil pensar nisso quando desenhamos + +362 +00:21:34,965 --> 00:21:37,572 +apenas um subconjunto dessa onda de luz e, neste caso, + +363 +00:21:37,572 --> 00:21:40,700 +vamos desenhá-la no plano da camada de material que nos interessa. + +364 +00:21:41,100 --> 00:21:44,134 +Você pode pensar em rajadas de vento soprando nossa bolinha + +365 +00:21:44,134 --> 00:21:47,220 +na mola para cima e para baixo em um padrão sinusoidal limpo. + +366 +00:21:47,780 --> 00:21:51,120 +Ou, como outra analogia, é semelhante a empurrar uma criança num balanço. + +367 +00:21:51,120 --> 00:21:55,424 +O balanço oscilaria sozinho devido à força da gravidade, mas você, + +368 +00:21:55,424 --> 00:22:00,500 +como empurrador, está aplicando uma força externa que oscila ao longo do tempo. + +369 +00:22:01,240 --> 00:22:05,730 +Embora uma diferença fundamental aqui seja que a frequência dessa força externa em + +370 +00:22:05,730 --> 00:22:10,220 +geral não tem nada a ver com a frequência de ressonância daquele pequeno oscilador. + +371 +00:22:10,940 --> 00:22:14,774 +A melhor analogia seria se você empurrasse a criança no balanço com uma força + +372 +00:22:14,774 --> 00:22:18,560 +cíclica que não tem nada a ver com o que o balanço naturalmente deseja fazer. + +373 +00:22:19,180 --> 00:22:23,113 +E minha parte favorita em literalmente tentar fazer isso com minha sobrinha é que + +374 +00:22:23,113 --> 00:22:27,000 +em algum momento ela murmura suavemente para si mesma: não é assim que a mãe faz. + +375 +00:22:27,600 --> 00:22:31,758 +Agora, ao tentar compreender o quanto a nossa carga está a oscilar em resposta + +376 +00:22:31,758 --> 00:22:35,760 +à luz que entra, deixe-me começar apenas por simulá-la e traçar o resultado. + +377 +00:22:37,040 --> 00:22:41,679 +Você notará que há um pequeno período de inicialização em que ele precisa começar, + +378 +00:22:41,679 --> 00:22:46,040 +mas depois disso, felizmente, parece bonito e limpo, como outra onda senoidal. + +379 +00:22:46,040 --> 00:22:49,296 +Agora você pode estar pensando, sim, sim, tudo são ondas senoidais, + +380 +00:22:49,296 --> 00:22:53,462 +mas é importante entender que esta tem um caráter muito diferente da onda senoidal que + +381 +00:22:53,462 --> 00:22:54,420 +vimos anteriormente. + +382 +00:22:54,860 --> 00:22:58,854 +Anteriormente, sem quaisquer forças externas, a frequência dessa + +383 +00:22:58,854 --> 00:23:01,742 +onda descia até à constante da mola e à massa, + +384 +00:23:01,742 --> 00:23:06,720 +o que significa que depende exclusivamente das propriedades do material do vidro. + +385 +00:23:07,140 --> 00:23:10,618 +Por outro lado, com esta força motriz externa do ciclo, + +386 +00:23:10,618 --> 00:23:14,780 +a frequência nesse estado estacionário é igual à frequência da luz. + +387 +00:23:15,200 --> 00:23:19,269 +E então, no nosso primeiro caso, a amplitude da onda foi meio desinteressante, + +388 +00:23:19,269 --> 00:23:22,360 +depende apenas de quão longe você puxou a mola para começar. + +389 +00:23:22,660 --> 00:23:25,177 +Mas no segundo caso, a amplitude desta onda é + +390 +00:23:25,177 --> 00:23:27,640 +onde todas as coisas interessantes acontecem. + +391 +00:23:28,080 --> 00:23:32,480 +Exatamente quanto essa carga oscilará em resposta à onda de luz? + +392 +00:23:33,420 --> 00:23:37,029 +Novamente, não vou entrar em detalhes completos sobre como resolver isso, + +393 +00:23:37,029 --> 00:23:40,688 +mas qualquer estudante de cálculo ansioso entre vocês pode gostar de fazer + +394 +00:23:40,688 --> 00:23:44,347 +o exercício em que, se você apenas adivinhar que uma solução se parece com + +395 +00:23:44,347 --> 00:23:48,054 +uma onda cosseno com a mesma frequência da luz, e você resolve a amplitude, + +396 +00:23:48,054 --> 00:23:51,860 +você pode obter uma solução concreta para esta equação que se parece com esta. + +397 +00:23:52,500 --> 00:23:55,459 +Vale a pena descompactar um pouco e, só para ficar claro, + +398 +00:23:55,459 --> 00:23:58,265 +isso apenas descreve as coisas no estado estacionário, + +399 +00:23:58,265 --> 00:24:00,460 +depois que as coisas começaram a funcionar. + +400 +00:24:00,820 --> 00:24:04,000 +Uma solução totalmente descritiva seria notavelmente mais complicada. + +401 +00:24:04,440 --> 00:24:07,527 +Como eu disse, tudo o que é interessante aqui se resume à amplitude, + +402 +00:24:07,527 --> 00:24:09,764 +que aqui parece uma grande coleção de constantes, + +403 +00:24:09,764 --> 00:24:13,030 +a maioria das quais deve ser bastante intuitiva se você parar um momento + +404 +00:24:13,030 --> 00:24:14,060 +para pensar sobre isso. + +405 +00:24:14,300 --> 00:24:17,186 +Por exemplo, é proporcional à força da onda de luz que chega, + +406 +00:24:17,186 --> 00:24:20,120 +portanto, quanto mais forte a luz, maiores serão as oscilações. + +407 +00:24:20,540 --> 00:24:23,580 +Também é proporcional à carga, o que novamente faz sentido. + +408 +00:24:24,040 --> 00:24:28,126 +E o verdadeiro cerne da questão se resume ao que está no denominador aqui, + +409 +00:24:28,126 --> 00:24:32,758 +a diferença entre o quadrado da frequência de ressonância e o quadrado da frequência + +410 +00:24:32,758 --> 00:24:33,140 +da luz. + +411 +00:24:33,640 --> 00:24:36,655 +E para construir um pouco de intuição, pare um momento para + +412 +00:24:36,655 --> 00:24:39,923 +pensar no que aconteceria se a frequência da luz que chega fosse + +413 +00:24:39,923 --> 00:24:43,140 +algo muito próximo da frequência de ressonância deste oscilador. + +414 +00:24:44,020 --> 00:24:48,012 +Isto é análogo à situação normal que empurra uma criança num baloiço, + +415 +00:24:48,012 --> 00:24:52,860 +onde a frequência da sua força se alinha bastante com o que o baloiço pretende fazer. + +416 +00:24:53,620 --> 00:24:57,728 +Neste caso, executando a simulação, observe como as oscilações daquela partícula + +417 +00:24:57,728 --> 00:25:02,040 +irão crescer e crescer e crescer, tornando-se bastante grandes com o passar do tempo. + +418 +00:25:03,320 --> 00:25:07,375 +Alguns de vocês devem conhecer o famoso exemplo da Ponte do Milénio em Londres, + +419 +00:25:07,375 --> 00:25:11,533 +onde no dia da sua inauguração começou a oscilar muito mais do que os engenheiros + +420 +00:25:11,533 --> 00:25:12,040 +esperavam. + +421 +00:25:12,460 --> 00:25:17,046 +E o que estava acontecendo é que a frequência dos passos da multidão se alinhava muito + +422 +00:25:17,046 --> 00:25:21,580 +de perto com uma frequência ressonante, causando essa amplitude preocupantemente alta. + +423 +00:25:23,220 --> 00:25:27,848 +Por outro lado, observe o que acontece na simulação se a frequência da luz, + +424 +00:25:27,848 --> 00:25:31,320 +ωL, for algo muito menor que a frequência de ressonância. + +425 +00:25:33,500 --> 00:25:36,928 +Para esta simulação em particular, leva um pouco de tempo antes que as + +426 +00:25:36,928 --> 00:25:40,984 +coisas entrem em pleno andamento, eventualmente encontra um bom movimento senoidal, + +427 +00:25:40,984 --> 00:25:44,220 +mas a amplitude desse movimento é muito mais modesta em comparação. + +428 +00:25:44,900 --> 00:25:49,281 +Então, o que a nossa equação nos diz é que quanto maior for a diferença entre essas + +429 +00:25:49,281 --> 00:25:51,941 +frequências, maior será o denominador e, portanto, + +430 +00:25:51,941 --> 00:25:54,080 +menor será a oscilação geral dessa carga. + +431 +00:25:54,700 --> 00:25:57,540 +E, novamente, isso é algo que você pode ver na filmagem da minha sobrinha. + +432 +00:25:57,900 --> 00:26:01,479 +Como estou aplicando uma força com uma frequência muito diferente + +433 +00:26:01,479 --> 00:26:06,360 +daquela que o balanço quer fazer, ela acaba oscilando na mesma frequência da minha força, + +434 +00:26:06,360 --> 00:26:09,180 +mas está indo com uma amplitude relativamente baixa. + +435 +00:26:10,580 --> 00:26:15,638 +Recuando, o que isso significa é que quando você ilumina um material, como o vidro, + +436 +00:26:15,638 --> 00:26:19,553 +não é apenas que ela induz oscilações nas cargas desse material, + +437 +00:26:19,553 --> 00:26:23,949 +mas o tamanho específico dessas oscilações depende da frequência da luz, + +438 +00:26:23,949 --> 00:26:26,660 +como um consequência deste termo denominador. + +439 +00:26:26,920 --> 00:26:31,516 +E quanto mais se mexem, maior é o tamanho desta onda de segunda ordem causada por + +440 +00:26:31,516 --> 00:26:36,000 +essa camada, o que por sua vez provoca uma mudança maior na fase da onda global. + +441 +00:26:36,460 --> 00:26:39,732 +Como muitas mudanças diferentes na fase são o que causa essa + +442 +00:26:39,732 --> 00:26:43,112 +aparente desaceleração da luz, isso significa que a quantidade + +443 +00:26:43,112 --> 00:26:46,760 +de desaceleração dependerá, em última análise, da frequência da luz. + +444 +00:26:47,440 --> 00:26:49,800 +Então essa é a verdadeira razão pela qual os prismas funcionam. + +445 +00:26:50,120 --> 00:26:52,806 +Você não pode explicar verdadeiramente a separação + +446 +00:26:52,806 --> 00:26:55,440 +da luz até chegar ao oscilador harmônico acionado. + +447 +00:26:57,120 --> 00:26:59,798 +Agora, deixei de fora uma série de detalhes e, mais uma vez, + +448 +00:26:59,798 --> 00:27:03,574 +encorajo os espectadores curiosos a dar uma olhada nas palestras de Feynman nas quais + +449 +00:27:03,574 --> 00:27:04,540 +muito disso se baseia. + +450 +00:27:05,020 --> 00:27:09,084 +Um detalhe muito importante que seria um pouco criminoso não mencionar é que quando + +451 +00:27:09,084 --> 00:27:13,342 +modelamos a nossa carga como um pequeno oscilador harmónico com esta força restauradora + +452 +00:27:13,342 --> 00:27:17,020 +linear, deveria haver também um termo que depende da velocidade dessa carga. + +453 +00:27:17,400 --> 00:27:19,480 +Você pode pensar nisso como uma espécie de força de arrasto. + +454 +00:27:19,960 --> 00:27:22,338 +Este termo explica o fato de que a energia da + +455 +00:27:22,338 --> 00:27:24,820 +onda de luz que chega é absorvida pelo material. + +456 +00:27:25,440 --> 00:27:28,441 +Sem ela, toda esta explicação pareceria implicar que a luz passa + +457 +00:27:28,441 --> 00:27:31,628 +sempre através de todos os materiais, não apenas do vidro e da água, + +458 +00:27:31,628 --> 00:27:34,168 +quando, como se pode perceber apenas olhando em volta, + +459 +00:27:34,168 --> 00:27:38,140 +há todo o tipo de materiais nos quais a luz é maioritariamente reflectida e absorvida. + +460 +00:27:38,940 --> 00:27:42,275 +Como mencionei no início, o pessoal do Patreon tinha inúmeras perguntas + +461 +00:27:42,275 --> 00:27:45,704 +sobre o índice de refração, como como ele pode ser menor que um e por que + +462 +00:27:45,704 --> 00:27:49,132 +desacelerar implica curvatura, então fiz um vídeo suplementar respondendo + +463 +00:27:49,132 --> 00:27:52,700 +a algumas dessas perguntas, que deveriam ser publicado em apenas alguns dias. + +464 +00:27:53,180 --> 00:27:56,596 +Enquanto isso, meu amigo Mithuna, do canal Looking Glass Universe, + +465 +00:27:56,596 --> 00:28:01,135 +acaba de lançar alguns vídeos sobre a questão relacionada, mas definitivamente distinta, + +466 +00:28:01,135 --> 00:28:04,908 +de se a luz desacelera em um meio, não no sentido de seguir as cristas de + +467 +00:28:04,908 --> 00:28:07,764 +uma onda senoidal pura e limpa. em estado estacionário, + +468 +00:28:07,764 --> 00:28:11,028 +mas no sentido de tentar enviar informações através desse meio, + +469 +00:28:11,028 --> 00:28:12,660 +como um pequeno pacote de ondas. + +470 +00:28:13,040 --> 00:28:15,765 +Definitivamente devo a existência deste vídeo a muitas + +471 +00:28:15,765 --> 00:28:18,789 +conversas com ela sobre esse assunto, e os espectadores aqui + +472 +00:28:18,789 --> 00:28:22,060 +certamente vão gostar de dar uma olhada, especialmente no segundo. + +473 +00:28:23,340 --> 00:28:26,806 +A propósito, alguns colaboradores e eu fizemos este caderno que acho que muitos + +474 +00:28:26,806 --> 00:28:29,103 +espectadores podem gostar, e como é época de festas, + +475 +00:28:29,103 --> 00:28:31,140 +parece que vale a pena mencioná-lo rapidamente. + +476 +00:28:31,480 --> 00:28:35,026 +A premissa é que cada uma das páginas tem uma citação relacionada à matemática, + +477 +00:28:35,026 --> 00:28:37,554 +e eu me diverti muito fazendo a curadoria de todas elas, + +478 +00:28:37,554 --> 00:28:41,500 +tentando me restringir a citações que transmitissem alguma ideia genuinamente instigante. + +479 +00:28:42,100 --> 00:28:46,952 +E além do conteúdo, basicamente fiz o tipo de caderno que mais gosto de fazer anotações, + +480 +00:28:46,952 --> 00:28:51,750 +algo que é facilmente portátil, com linhas de grade muito tênues, úteis para diagramas, + +481 +00:28:51,750 --> 00:28:55,240 +mas discreto, tudo encadernado neste belo couro sintético macio. + +482 +00:28:55,680 --> 00:29:09,123 +Se esse for o seu caso, você pode encontrá-los na loja + +483 +00:29:09,123 --> 00:29:23,300 +3blue1brown ao lado de muitos outros produtos matemáticos. + diff --git a/2023/prism/russian/auto_generated.srt b/2023/prism/russian/auto_generated.srt index de2ceba7c..dc650abbb 100644 --- a/2023/prism/russian/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/russian/auto_generated.srt @@ -79,47 +79,47 @@ внутри такой среды называется показателем преломления этой среды. 21 -00:01:24,220 --> 00:01:28,876 +00:01:24,220 --> 00:01:28,678 Причина, по которой мы используем слово «преломление» вместо показателя замедления, 22 -00:01:28,876 --> 00:01:32,701 +00:01:28,678 --> 00:01:32,341 заключается в том, что если луч света входит в это стекло под углом, 23 -00:01:32,701 --> 00:01:36,859 +00:01:32,341 --> 00:01:36,322 то следствием этого замедления является то, что он немного изгибается или, 24 -00:01:36,859 --> 00:01:38,800 +00:01:36,322 --> 00:01:38,180 выражаясь на жаргоне, преломляется. 25 -00:01:38,800 --> 00:01:42,523 +00:01:38,640 --> 00:01:42,386 Мой школьный учитель физики всегда объяснял это следующим образом: я представляю, 26 -00:01:42,523 --> 00:01:46,291 +00:01:42,386 --> 00:01:46,179 как танк движется из какой-то области, где он может двигаться относительно быстро, 27 -00:01:46,291 --> 00:01:49,515 +00:01:46,179 --> 00:01:49,423 например, из бетона, в нечто более медленное, например, из грязи, где, 28 -00:01:49,515 --> 00:01:53,102 +00:01:49,423 --> 00:01:53,033 если он приближается под углом, то как один из его гусеницы сначала попадают в 29 -00:01:53,102 --> 00:01:56,598 +00:01:53,033 --> 00:01:56,551 медленную область, эта гусеница будет двигаться медленнее, а другая быстрее, 30 -00:01:56,598 --> 00:02:00,049 +00:01:56,551 --> 00:02:00,024 заставляя весь танк немного поворачивать, пока эта вторая гусеница также не 31 -00:02:00,049 --> 00:02:04,000 +00:02:00,024 --> 00:02:04,000 войдет в грязь, затем он продолжает двигаться прямо, просто двигаясь немного медленнее. 32 @@ -171,27 +171,27 @@ величина замедления света немного зависит от ее частоты. 44 -00:02:43,780 --> 00:02:47,507 +00:02:43,780 --> 00:02:47,116 Например, синий свет, имеющий относительно высокую частоту, 45 -00:02:47,507 --> 00:02:53,100 +00:02:47,116 --> 00:02:52,120 будет замедляться более агрессивно, чем красный свет, имеющий относительно низкую частоту. 46 -00:02:53,100 --> 00:02:56,610 +00:02:52,980 --> 00:02:56,519 Большая часть света, который вы видите, не является чистой синусоидальной волной, 47 -00:02:56,610 --> 00:03:00,378 +00:02:56,519 --> 00:03:00,318 в частности, белый свет, исходящий от Солнца, не является чистой синусоидальной волной, 48 -00:03:00,378 --> 00:03:04,146 +00:03:00,318 --> 00:03:04,117 это нечто гораздо более запутанное, но его можно выразить как сумму совокупности чистых 49 -00:03:04,146 --> 00:03:07,700 +00:03:04,117 --> 00:03:07,700 синусоидальных волн. , каждый из которых соответствует чистому спектральному цвету. 50 @@ -235,7 +235,7 @@ Это просто совпадение или так необходимо? 60 -00:03:39,679 --> 00:03:42,697 +00:03:39,680 --> 00:03:42,697 Если у вас достаточно высокий стандарт объяснений, вы хотите, 61 @@ -691,71 +691,71 @@ но одним из многочисленных последствий этого является то, что это скорость света. 174 -00:10:08,600 --> 00:10:12,148 +00:10:08,600 --> 00:10:12,422 В частности, когда вы видите заряд, колеблющийся вверх и вниз в красивом 175 -00:10:12,148 --> 00:10:15,794 +00:10:12,422 --> 00:10:16,349 чистом синусоидальном движении, вы можете думать об этих волновых эффектах 176 -00:10:15,794 --> 00:10:19,926 +00:10:16,349 --> 00:10:20,800 в электрическом поле как об описании силы, которая будет приложена к другому заряду, 177 -00:10:19,926 --> 00:10:22,600 +00:10:20,800 --> 00:10:23,680 находящемуся там в результате этого прошлого ускорения. 178 -00:10:22,600 --> 00:10:26,790 +00:10:24,340 --> 00:10:27,839 Я открыто признаю, что в этом видео я получил слишком много удовольствия, 179 -00:10:26,790 --> 00:10:31,037 +00:10:27,839 --> 00:10:31,386 просто моделируя, как электрическое поле реагирует на ускоряющиеся заряды, 180 -00:10:31,037 --> 00:10:35,737 +00:10:31,386 --> 00:10:35,312 и что здесь я делаю то же самое, но есть два важных факта для нашего исследования. 181 -00:10:35,737 --> 00:10:37,040 +00:10:35,312 --> 00:10:36,400 показатель преломления. 182 -00:10:37,040 --> 00:10:40,629 +00:10:36,920 --> 00:10:40,704 Во-первых, когда у вас есть несколько разных зарядов, колеблющихся вверх и вниз, 183 -00:10:40,629 --> 00:10:44,263 +00:10:40,704 --> 00:10:44,535 суммарное воздействие на электрическое поле представляет собой просто сумму того, 184 -00:10:44,263 --> 00:10:47,720 +00:10:44,535 --> 00:10:48,180 что было бы для каждого отдельного заряда, что вполне соответствует ожиданиям. 185 -00:10:47,720 --> 00:10:50,625 +00:10:48,600 --> 00:10:51,389 Это проявляется в том, что если у вас есть ряд зарядов, 186 -00:10:50,625 --> 00:10:55,139 +00:10:51,389 --> 00:10:55,723 колеблющихся синхронно друг с другом, или, для наших целей сегодня, плоскость зарядов, 187 -00:10:55,139 --> 00:10:58,408 +00:10:55,723 --> 00:10:58,861 все синхронно колеблющиеся вверх и вниз внутри этой плоскости, 188 -00:10:58,408 --> 00:11:02,870 +00:10:58,861 --> 00:11:03,144 то эффекты каждого отдельного заряда Заряды имеют тенденцию нейтрализовать друг друга 189 -00:11:02,870 --> 00:11:07,488 +00:11:03,144 --> 00:11:07,578 в большинстве направлений, за исключением направления, перпендикулярного этой плоскости, 190 -00:11:07,488 --> 00:11:09,720 +00:11:07,578 --> 00:11:09,720 они фактически конструктивно интерферируют. 191 @@ -787,15 +787,15 @@ Более полная картина света в трех измерениях выглядела бы примерно так. 198 -00:11:38,160 --> 00:11:41,040 +00:11:38,160 --> 00:11:41,340 Обычно это немного сложнее, поэтому обычно мы просто рисуем синусоидальную волну. 199 -00:11:41,040 --> 00:11:45,990 +00:11:42,920 --> 00:11:46,983 Итак, возвращаясь к вопросу о том, почему взаимодействие со слоем 200 -00:11:45,990 --> 00:11:51,540 +00:11:46,983 --> 00:11:51,540 материала может вызвать откат в фазу волны, давайте начнем его обдумывать. 201 @@ -975,39 +975,39 @@ Представьте себе, что первая волна описывает y-компоненту некоторого вращающегося вектора. 245 -00:14:28,480 --> 00:14:31,917 +00:14:28,480 --> 00:14:32,244 Длина этого вектора соответствует амплитуде нашей волны, 246 -00:14:31,917 --> 00:14:36,260 +00:14:32,244 --> 00:14:37,000 а затем начальное вращение этого вектора соответствует фазе нашей волны. 247 -00:14:36,260 --> 00:14:40,904 +00:14:37,690 --> 00:14:41,864 А затем аналогичным образом подумайте об этой второй волне как описывающей 248 -00:14:40,904 --> 00:14:45,673 +00:14:41,864 --> 00:14:46,150 y-компоненту другого вращающегося вектора, где амплитуда снова соответствует 249 -00:14:45,673 --> 00:14:50,380 +00:14:46,150 --> 00:14:50,380 длине этого вектора, а фаза волны сообщает нам начальный угол этого вектора. 250 -00:14:52,780 --> 00:14:54,847 +00:14:52,780 --> 00:14:55,000 Теперь, чтобы подумать о сумме двух волн, просто 251 -00:14:54,847 --> 00:14:57,380 +00:14:55,000 --> 00:14:57,720 подумайте о сложении этих двух векторов от кончика к хвосту. 252 -00:14:57,380 --> 00:15:01,828 +00:14:58,400 --> 00:15:02,231 И поскольку они оба имеют одинаковую частоту вращения, 253 -00:15:01,828 --> 00:15:04,740 +00:15:02,231 --> 00:15:04,740 их сумма вращается синхронно с ними. 254 @@ -1371,19 +1371,19 @@ y-компоненту другого вращающегося вектора, которые этот процесс совершает на единицу. время. 344 -00:20:17,700 --> 00:20:21,136 +00:20:17,700 --> 00:20:21,303 Но при математических расчетах зачастую более естественно говорить об угловой частоте, 345 -00:20:21,136 --> 00:20:22,992 +00:20:21,303 --> 00:20:23,249 которую можно рассматривать как описание того, 346 -00:20:22,992 --> 00:20:25,520 +00:20:23,249 --> 00:20:25,900 какой угол охватывает этот процесс в радианах в единицу времени. 347 -00:20:25,520 --> 00:20:28,920 +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 Таким образом, этот термин тот же, что и частота, но умноженный на 2 пи. 348 @@ -1887,31 +1887,31 @@ y-компоненту другого вращающегося вектора, что сейчас сезон отпусков, кажется, о нем стоит кратко упомянуть. 473 -00:28:31,480 --> 00:28:35,015 +00:28:31,480 --> 00:28:35,186 Идея состоит в том, что на каждой странице есть цитата, связанная с математикой, 474 -00:28:35,015 --> 00:28:38,246 +00:28:35,186 --> 00:28:38,571 и мне было очень весело курировать их все, пытаясь ограничиться цитатами, 475 -00:28:38,246 --> 00:28:41,040 +00:28:38,571 --> 00:28:41,500 передающими какую-то действительно заставляющую задуматься идею. 476 -00:28:41,040 --> 00:28:43,963 +00:28:42,100 --> 00:28:44,805 А затем, помимо содержания, я, по сути, сделал блокнот, 477 -00:28:43,963 --> 00:28:48,035 +00:28:44,805 --> 00:28:48,573 в котором мне больше всего нравится делать заметки, что-то легко переносимое, 478 -00:28:48,035 --> 00:28:50,906 +00:28:48,573 --> 00:28:51,230 с очень слабыми линиями сетки, полезными для диаграмм, 479 -00:28:50,906 --> 00:28:55,240 +00:28:51,230 --> 00:28:55,240 но в остальном ненавязчивым, все в красивом мягком переплете из искусственной кожи. 480 diff --git a/2023/prism/spanish/auto_generated.srt b/2023/prism/spanish/auto_generated.srt index cf4f10d6a..9cf6da9a0 100644 --- a/2023/prism/spanish/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/spanish/auto_generated.srt @@ -95,47 +95,47 @@ Y la relación específica entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad dentro de un medio como este se llama índice de refracción de ese medio. 25 -00:01:24,220 --> 00:01:29,275 +00:01:24,220 --> 00:01:29,060 La razón por la que usamos la palabra refracción en lugar de índice de desaceleración 26 -00:01:29,275 --> 00:01:32,627 +00:01:29,060 --> 00:01:32,269 es que si un rayo de luz entra en este vidrio en ángulo, 27 -00:01:32,627 --> 00:01:36,977 +00:01:32,269 --> 00:01:36,435 entonces una consecuencia de esta desaceleración es que se dobla un poco, 28 -00:01:36,977 --> 00:01:38,800 +00:01:36,435 --> 00:01:38,180 o usando la jerga, se refracta. 29 -00:01:38,800 --> 00:01:42,451 +00:01:38,640 --> 00:01:42,314 La forma en que mi profesor de física de la escuela secundaria siempre explicaba 30 -00:01:42,451 --> 00:01:46,238 +00:01:42,314 --> 00:01:46,125 esto era imaginar un tanque yendo desde una región donde puede viajar relativamente 31 -00:01:46,238 --> 00:01:50,070 +00:01:46,125 --> 00:01:49,981 rápido, como el concreto, a algo más lento, como el barro, donde si viene en ángulo, 32 -00:01:50,070 --> 00:01:53,631 +00:01:49,981 --> 00:01:53,565 entonces como uno de sus La banda de rodadura llega primero a la región lenta, 33 -00:01:53,631 --> 00:01:56,877 +00:01:53,565 --> 00:01:56,832 esa banda de rodadura irá más lenta mientras que la otra es más rápida, 34 -00:01:56,877 --> 00:02:00,618 +00:01:56,832 --> 00:02:00,597 lo que hace que todo el tanque gire un poco hasta que la segunda banda de rodadura 35 -00:02:00,618 --> 00:02:04,000 +00:02:00,597 --> 00:02:04,000 también entre en el barro, luego continúa recto viajando un poco más lento. 36 @@ -179,31 +179,31 @@ Entonces, lo que sucede con un prisma es que la cantidad específica que la luz desacelera depende un poco de su frecuencia. 46 -00:02:43,780 --> 00:02:47,672 +00:02:43,780 --> 00:02:47,263 Por ejemplo, la luz azul, que tiene una frecuencia relativamente alta, 47 -00:02:47,672 --> 00:02:50,687 +00:02:47,263 --> 00:02:49,961 se ralentizaría de forma más agresiva que la luz roja, 48 -00:02:50,687 --> 00:02:53,100 +00:02:49,961 --> 00:02:52,120 que tiene una frecuencia relativamente baja. 49 -00:02:53,100 --> 00:02:56,455 +00:02:52,980 --> 00:02:56,362 La mayor parte de la luz que ves no es una onda sinusoidal pura y limpia, 50 -00:02:56,455 --> 00:03:00,218 +00:02:56,362 --> 00:03:00,157 en particular la luz blanca que proviene del sol no es una onda sinusoidal limpia, 51 -00:03:00,218 --> 00:03:03,891 +00:03:00,157 --> 00:03:03,859 es algo mucho más desordenado, pero se puede expresar como una suma de un montón 52 -00:03:03,891 --> 00:03:07,700 +00:03:03,859 --> 00:03:07,700 de ondas sinusoidales limpias. , cada uno correspondiente a un color espectral puro. 53 @@ -247,7 +247,7 @@ desaceleración tendría algo que ver con el color de la luz? ¿Es sólo una coincidencia o es necesario? 63 -00:03:39,679 --> 00:03:42,871 +00:03:39,680 --> 00:03:42,871 Si tiene un estándar suficientemente alto para las explicaciones, 64 @@ -699,67 +699,67 @@ Determina qué tan rápido viaja cualquier tipo de influencia, solo que una de las múltiples consecuencias de eso es que es la velocidad de la luz. 176 -00:10:08,600 --> 00:10:12,028 +00:10:08,600 --> 00:10:12,293 En particular, cuando una carga oscila hacia arriba y hacia abajo en un 177 -00:10:12,028 --> 00:10:15,647 +00:10:12,293 --> 00:10:16,191 movimiento sinusoidal limpio y agradable, se puede pensar que estos efectos 178 -00:10:15,647 --> 00:10:19,076 +00:10:16,191 --> 00:10:19,884 ondulantes en el campo eléctrico describen la fuerza que se aplicaría a 179 -00:10:19,076 --> 00:10:22,600 +00:10:19,884 --> 00:10:23,680 otra carga que se encuentra allí como resultado de esa aceleración pasada. 180 -00:10:22,600 --> 00:10:27,374 +00:10:24,340 --> 00:10:28,327 Admito libremente que me divertí demasiado en ese video simplemente simulando cómo 181 -00:10:27,374 --> 00:10:32,495 +00:10:28,327 --> 00:10:32,604 responde el campo eléctrico a las cargas aceleradas, y que estoy haciendo lo mismo aquí, 182 -00:10:32,495 --> 00:10:37,040 +00:10:32,604 --> 00:10:36,400 pero hay dos hechos importantes para nuestra búsqueda del índice de refracción. 183 -00:10:37,040 --> 00:10:40,436 +00:10:36,920 --> 00:10:40,500 La primera es que cuando tienes múltiples cargas diferentes oscilando hacia 184 -00:10:40,436 --> 00:10:43,921 +00:10:40,500 --> 00:10:44,175 arriba y hacia abajo, el efecto neto sobre el campo eléctrico es solo la suma 185 -00:10:43,921 --> 00:10:47,720 +00:10:44,175 --> 00:10:48,180 de lo que sería para cada carga individual, que es más o menos lo que cabría esperar. 186 -00:10:47,720 --> 00:10:52,211 +00:10:48,600 --> 00:10:52,912 La forma en que se produce es que si tienes una fila de cargas que oscilan en sincronía 187 -00:10:52,211 --> 00:10:55,529 +00:10:52,912 --> 00:10:56,097 entre sí, o para nuestros propósitos de hoy, un plano de cargas, 188 -00:10:55,529 --> 00:10:59,511 +00:10:56,097 --> 00:10:59,919 todas moviéndose hacia arriba y hacia abajo en sincronía dentro de ese plano, 189 -00:10:59,511 --> 00:11:03,900 +00:10:59,919 --> 00:11:04,133 entonces los efectos de cada individuo Las cargas tienden a cancelarse entre sí en la 190 -00:11:03,900 --> 00:11:07,576 +00:11:04,133 --> 00:11:07,661 mayoría de las direcciones, excepto en las perpendiculares a ese plano, 191 -00:11:07,576 --> 00:11:09,720 +00:11:07,661 --> 00:11:09,720 en realidad interfieren constructivamente. 192 @@ -795,19 +795,19 @@ representa el campo eléctrico en una sola línea unidimensional. Una imagen más completa de la luz en tres dimensiones se parecería más a esto. 200 -00:11:38,160 --> 00:11:39,556 +00:11:38,160 --> 00:11:39,701 Esto tiende a estar un poco más ocupado, por lo 201 -00:11:39,556 --> 00:11:41,040 +00:11:39,701 --> 00:11:41,340 que generalmente solo dibujamos la onda sinusoidal. 202 -00:11:41,040 --> 00:11:46,475 +00:11:42,920 --> 00:11:47,382 Entonces, volviendo a la pregunta de por qué las interacciones con una capa de material 203 -00:11:46,475 --> 00:11:51,540 +00:11:47,382 --> 00:11:51,540 causarían un retroceso en la fase de la onda, comencemos a pensarlo detenidamente. 204 @@ -983,39 +983,39 @@ Pero aquí hay una manera realmente agradable de pensarlo. Imagine que la primera onda describe la componente y de algún vector giratorio. 247 -00:14:28,480 --> 00:14:32,100 +00:14:28,480 --> 00:14:32,445 La longitud de ese vector se corresponde con la amplitud de nuestra onda, 248 -00:14:32,100 --> 00:14:36,260 +00:14:32,445 --> 00:14:37,000 y luego la rotación inicial de ese vector se corresponde con la fase de nuestra onda. 249 -00:14:36,260 --> 00:14:41,207 +00:14:37,690 --> 00:14:42,136 Y luego, de manera similar, piense en esa segunda onda como si describiera el componente 250 -00:14:41,207 --> 00:14:46,099 +00:14:42,136 --> 00:14:46,533 y de otro vector giratorio, donde nuevamente la amplitud se corresponde con la longitud 251 -00:14:46,099 --> 00:14:50,380 +00:14:46,533 --> 00:14:50,380 de ese vector, y la fase de la onda nos dice el ángulo inicial de ese vector. 252 -00:14:52,780 --> 00:14:54,923 +00:14:52,780 --> 00:14:55,082 Ahora, para pensar en la suma de las dos ondas, 253 -00:14:54,923 --> 00:14:57,380 +00:14:55,082 --> 00:14:57,720 solo piense en sumar esos dos vectores de punta a cola. 254 -00:14:57,380 --> 00:15:02,242 +00:14:58,400 --> 00:15:02,588 Y debido a que ambos tienen la misma frecuencia a medida que ambos giran, 255 -00:15:02,242 --> 00:15:04,740 +00:15:02,588 --> 00:15:04,740 su suma gira al mismo ritmo que ellos. 256 @@ -1371,19 +1371,19 @@ cuando das una descripción intuitiva, es natural expresar las cosas en término frecuencia, el número de ciclos que este proceso realiza por unidad. tiempo. 344 -00:20:17,700 --> 00:20:21,111 +00:20:17,700 --> 00:20:21,277 Pero cuando se hacen matemáticas, suele ser más natural hablar de la frecuencia angular, 345 -00:20:21,111 --> 00:20:23,756 +00:20:21,277 --> 00:20:24,050 que se podría considerar como una descripción de cuánto ángulo cubre 346 -00:20:23,756 --> 00:20:25,520 +00:20:24,050 --> 00:20:25,900 este proceso en radianes por unidad de tiempo. 347 -00:20:25,520 --> 00:20:28,920 +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 Entonces el término es el mismo que la frecuencia pero multiplicado por 2 pi. 348 @@ -1931,31 +1931,31 @@ creo que muchos espectadores podrían disfrutar y, dado que es temporada navideña, parece que vale la pena mencionarlo rápidamente. 484 -00:28:31,480 --> 00:28:35,481 +00:28:31,480 --> 00:28:35,674 La premisa es que cada una de las páginas tiene una cita relacionada con las matemáticas, 485 -00:28:35,481 --> 00:28:38,727 +00:28:35,674 --> 00:28:39,076 y me divertí mucho seleccionándolas todas, tratando de limitarme a citas 486 -00:28:38,727 --> 00:28:41,040 +00:28:39,076 --> 00:28:41,500 que transmitan alguna idea genuinamente estimulante. 487 -00:28:41,040 --> 00:28:44,504 +00:28:42,100 --> 00:28:45,305 Y luego, aparte del contenido, básicamente hice el tipo de cuaderno en 488 -00:28:44,504 --> 00:28:48,018 +00:28:45,305 --> 00:28:48,557 el que más disfruto tomando notas, algo que sea fácilmente portátil con 489 -00:28:48,018 --> 00:28:50,945 +00:28:48,557 --> 00:28:51,266 líneas de cuadrícula muy tenues, útiles para los diagramas, 490 -00:28:50,945 --> 00:28:55,240 +00:28:51,266 --> 00:28:55,240 pero por lo demás discreto, todo encuadernado en este agradable y suave cuero sintético. 491 diff --git a/2023/prism/tamil/auto_generated.srt b/2023/prism/tamil/auto_generated.srt index a86dca92a..bf54b3289 100644 --- a/2023/prism/tamil/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/tamil/auto_generated.srt @@ -99,43 +99,43 @@ அந்த ஊடகத்திற்கான ஒளிவிலகல் குறியீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. 26 -00:01:24,220 --> 00:01:28,950 +00:01:24,220 --> 00:01:28,749 மெதுவான குறியீட்டுக்குப் பதிலாக நாம் ஒளிவிலகல் என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்துவதற்குக் 27 -00:01:28,950 --> 00:01:32,622 +00:01:28,749 --> 00:01:32,265 காரணம், இந்த கண்ணாடியில் ஒரு ஒளிக்கற்றை ஒரு கோணத்தில் நுழைந்தால், 28 -00:01:32,622 --> 00:01:36,852 +00:01:32,265 --> 00:01:36,315 இந்த மந்தநிலையின் விளைவு என்னவென்றால், அது சிறிது வளைந்து அல்லது லிங்கோவைப் 29 -00:01:36,852 --> 00:01:38,800 +00:01:36,315 --> 00:01:38,180 பயன்படுத்தினால், அது ஒளிவிலகுகிறது. 30 -00:01:38,800 --> 00:01:42,983 +00:01:38,640 --> 00:01:42,849 எனது உயர்நிலைப் பள்ளி இயற்பியல் ஆசிரியர் எப்போதுமே இதை விளக்கிய விதம் என்னவென்றால், 31 -00:01:42,983 --> 00:01:47,067 +00:01:42,849 --> 00:01:46,959 ஏதோ ஒரு பகுதியில் இருந்து ஒரு தொட்டியானது ஒப்பீட்டளவில் விரைவாகப் பயணிக்கக்கூடிய, 32 -00:01:47,067 --> 00:01:51,051 +00:01:46,959 --> 00:01:50,969 கான்கிரீட் போன்ற, மெதுவாக, சேறு போன்றவற்றுக்குச் செல்வதாகக் கற்பனை செய்வதாகும். 33 -00:01:51,051 --> 00:01:55,284 +00:01:50,969 --> 00:01:55,229 ட்ரெட்ஸ் முதலில் மெதுவான பகுதியைத் தாக்கும், அந்த ஜாக்கிரதையானது மெதுவாகச் செல்லும், 34 -00:01:55,284 --> 00:01:59,567 +00:01:55,229 --> 00:01:59,539 மற்றொன்று வேகமாக இருக்கும், இதனால் இரண்டாவது ஜாக்கிரதையும் சேற்றில் நுழையும் வரை முழு 35 -00:01:59,567 --> 00:02:04,000 +00:01:59,539 --> 00:02:04,000 தொட்டியும் சிறிது சிறிதாகத் திசைதிருப்பப்படும், பின்னர் அது சிறிது மெதுவாகப் பயணிக்கிறது. 36 @@ -183,31 +183,31 @@ குறிப்பிட்ட அளவு அதன் அதிர்வெண்ணில் சிறிது சார்ந்துள்ளது. 47 -00:02:43,780 --> 00:02:47,260 +00:02:43,780 --> 00:02:46,894 எடுத்துக்காட்டாக, ஒப்பீட்டளவில் அதிக அதிர்வெண் கொண்ட நீல ஒளி, 48 -00:02:47,260 --> 00:02:51,920 +00:02:46,894 --> 00:02:51,064 ஒப்பீட்டளவில் குறைந்த அதிர்வெண் கொண்ட சிவப்பு ஒளியைக் காட்டிலும் மிகவும் ஆக்ரோஷமாக 49 -00:02:51,920 --> 00:02:53,100 +00:02:51,064 --> 00:02:52,120 வேகத்தைக் குறைக்கும். 50 -00:02:53,100 --> 00:02:56,385 +00:02:52,980 --> 00:02:56,291 நீங்கள் பார்க்கும் பெரும்பாலான ஒளி சுத்தமான தூய சைன் அலை அல்ல, 51 -00:02:56,385 --> 00:02:59,982 +00:02:56,291 --> 00:02:59,919 குறிப்பாக சூரியனில் இருந்து வரும் வெள்ளை ஒளி சுத்தமான சைன் அலை அல்ல, 52 -00:02:59,982 --> 00:03:03,737 +00:02:59,919 --> 00:03:03,704 இது மிகவும் குழப்பமான ஒன்று, ஆனால் இது சுத்தமான சைன் அலைகளின் தொகுப்பாக 53 -00:03:03,737 --> 00:03:07,700 +00:03:03,704 --> 00:03:07,700 வெளிப்படுத்தப்படலாம். , ஒவ்வொன்றும் ஒரு தூய நிறமாலை நிறத்துடன் தொடர்புடையது. 54 @@ -251,7 +251,7 @@ இது வெறும் தற்செயலானதா அல்லது அவசியமா? 64 -00:03:39,679 --> 00:03:42,644 +00:03:39,680 --> 00:03:42,644 உங்களிடம் போதுமான உயர் தரமான விளக்கங்கள் இருந்தால், 65 @@ -715,71 +715,71 @@ அதன் பல விளைவுகளில் ஒன்று ஒளியின் வேகம் தான். 180 -00:10:08,600 --> 00:10:12,053 +00:10:08,600 --> 00:10:12,320 குறிப்பாக, நீங்கள் ஒரு நல்ல சுத்தமான சைனூசாய்டல் இயக்கத்தில் மேலும் கீழும் 181 -00:10:12,053 --> 00:10:15,553 +00:10:12,320 --> 00:10:16,090 ஊசலாடும் மின்னூட்டத்தைப் பெறும்போது, அந்த கடந்த முடுக்கத்தின் விளைவாக அங்கு 182 -00:10:15,553 --> 00:10:19,146 +00:10:16,090 --> 00:10:19,959 அமர்ந்திருக்கும் மற்றொரு மின்னூட்டத்தில் பயன்படுத்தப்படும் விசையை விவரிக்கும் 183 -00:10:19,146 --> 00:10:22,600 +00:10:19,959 --> 00:10:23,680 வகையில் மின்புலத்தில் ஏற்படும் இந்த அலைச்சல் விளைவுகளை நீங்கள் நினைக்கலாம். 184 -00:10:22,600 --> 00:10:26,255 +00:10:24,340 --> 00:10:27,393 மின்னழுத்தம் மின்னழுத்தம் எவ்வாறு துரிதப்படுத்தும் கட்டணங்களுக்கு பதிலளிக்கிறது 185 -00:10:26,255 --> 00:10:30,185 +00:10:27,393 --> 00:10:30,675 என்பதை உருவகப்படுத்தி, அந்த வீடியோவில் நான் மிகவும் வேடிக்கையாக இருந்தேன் என்பதையும், 186 -00:10:30,185 --> 00:10:33,475 +00:10:30,675 --> 00:10:33,423 அதையே நான் இங்கே செய்கிறேன் என்பதையும் நான் தாராளமாக ஒப்புக்கொள்கிறேன், 187 -00:10:33,475 --> 00:10:37,040 +00:10:33,423 --> 00:10:36,400 ஆனால் எங்கள் முயற்சிக்கு இரண்டு முக்கியமான உண்மைகள் உள்ளன. ஒளிவிலகல் குறியீடு. 188 -00:10:37,040 --> 00:10:40,766 +00:10:36,920 --> 00:10:40,849 முதலாவதாக, நீங்கள் பல்வேறு கட்டணங்கள் மேலும் கீழும் ஊசலாடும் போது, 189 -00:10:40,766 --> 00:10:45,773 +00:10:40,849 --> 00:10:46,127 மின்சார புலத்தில் நிகர விளைவு என்பது ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட கட்டணத்திற்கும் என்னவாக இருக்கும், 190 -00:10:45,773 --> 00:10:47,720 +00:10:46,127 --> 00:10:48,180 இது நீங்கள் எதிர்பார்ப்பது போன்றது. 191 -00:10:47,720 --> 00:10:52,388 +00:10:48,600 --> 00:10:53,081 அது அசைக்கப்படும் வழி என்னவென்றால், உங்களிடம் ஒன்றோடொன்று ஒத்திசைக்கப்படும் கட்டணங்கள் 192 -00:10:52,388 --> 00:10:56,627 +00:10:53,081 --> 00:10:57,151 வரிசையாக இருந்தால், அல்லது இன்று எங்கள் நோக்கங்களுக்காக, கட்டணங்களின் விமானம், 193 -00:10:56,627 --> 00:11:00,383 +00:10:57,151 --> 00:11:00,756 அந்த விமானத்திற்குள் ஒத்திசைவாக மேலும் கீழும் அசைந்து கொண்டிருந்தால், 194 -00:11:00,383 --> 00:11:03,817 +00:11:00,756 --> 00:11:04,053 ஒவ்வொரு நபரின் விளைவுகளும் அந்த விமானத்திற்கு செங்குத்தாக தவிர, 195 -00:11:03,817 --> 00:11:07,412 +00:11:04,053 --> 00:11:07,504 பெரும்பாலான திசைகளில் கட்டணம் ஒருவரையொருவர் ரத்து செய்ய முனைகிறது, 196 -00:11:07,412 --> 00:11:09,720 +00:11:07,504 --> 00:11:09,720 அவை உண்மையில் ஆக்கப்பூர்வமாக தலையிடுகின்றன. 197 @@ -819,15 +819,15 @@ முப்பரிமாணத்தில் ஒளியின் முழுப் படம் இதைப் போன்றே இருக்கும். 206 -00:11:38,160 --> 00:11:41,040 +00:11:38,160 --> 00:11:41,340 அது கொஞ்சம் பிஸியாக இருக்கும், எனவே பொதுவாக நாம் சைன் அலையை வரைவோம். 207 -00:11:41,040 --> 00:11:46,389 +00:11:42,920 --> 00:11:47,311 எனவே, பொருளின் அடுக்குடன் தொடர்புகொள்வது ஏன் அலையின் கட்டத்திற்கு ஒரு கிக்பேக்கை 208 -00:11:46,389 --> 00:11:51,540 +00:11:47,311 --> 00:11:51,540 ஏற்படுத்தும் என்ற கேள்வியை மீண்டும் சிந்தித்து, அதைச் சிந்திக்கத் தொடங்குவோம். 209 @@ -1015,39 +1015,39 @@ விவரிக்கிறது என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். 255 -00:14:28,480 --> 00:14:31,887 +00:14:28,480 --> 00:14:32,211 அந்த வெக்டரின் நீளம் நமது அலையின் வீச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது, 256 -00:14:31,887 --> 00:14:36,260 +00:14:32,211 --> 00:14:37,000 பின்னர் அந்த திசையனின் ஆரம்ப சுழற்சி நமது அலையின் கட்டத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. 257 -00:14:36,260 --> 00:14:41,104 +00:14:37,690 --> 00:14:42,043 பின்னர் இதேபோல் அந்த இரண்டாவது அலையை மற்றொரு சுழலும் திசையனின் y-கூறு விவரிப்பதாக 258 -00:14:41,104 --> 00:14:46,362 +00:14:42,043 --> 00:14:46,769 நினைத்துப் பாருங்கள், அங்கு மீண்டும் அலைவீச்சு அந்த திசையனின் நீளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, 259 -00:14:46,362 --> 00:14:50,380 +00:14:46,769 --> 00:14:50,380 மேலும் அலையின் கட்டம் அந்த திசையனின் ஆரம்ப கோணத்தை நமக்கு சொல்கிறது. 260 -00:14:52,780 --> 00:14:54,756 +00:14:52,780 --> 00:14:54,902 இப்போது இரண்டு அலைகளின் கூட்டுத்தொகையைப் பற்றி சிந்திக்க, 261 -00:14:54,756 --> 00:14:57,380 +00:14:54,902 --> 00:14:57,720 அந்த இரண்டு திசையன்களின் முனையையும் வால் வரை சேர்ப்பதைப் பற்றி சிந்திக்கவும். 262 -00:14:57,380 --> 00:15:01,151 +00:14:58,400 --> 00:15:01,648 மேலும் அவை இரண்டும் சுழலும் அதே அலைவரிசையைக் கொண்டிருப்பதால், 263 -00:15:01,151 --> 00:15:04,740 +00:15:01,648 --> 00:15:04,740 அவற்றின் கூட்டுத்தொகை அவற்றுடன் லாக் ஸ்டெப்பில் சுழல்கிறது. 264 @@ -1407,19 +1407,19 @@ அடிப்படையில் விஷயங்களைச் சொல்வது இயற்கையானது. நேரம். 353 -00:20:17,700 --> 00:20:20,890 +00:20:17,700 --> 00:20:21,045 ஆனால் கணிதத்தைச் செய்யும்போது, கோண அதிர்வெண்ணைப் பற்றி பேசுவது மிகவும் இயல்பானது, 354 -00:20:20,890 --> 00:20:23,496 +00:20:21,045 --> 00:20:23,778 இந்த செயல்முறை ஒரு யூனிட் நேரத்திற்கு ரேடியன்களில் எவ்வளவு கோணத்தை 355 -00:20:23,496 --> 00:20:25,520 +00:20:23,778 --> 00:20:25,900 உள்ளடக்கியது என்பதை விவரிப்பதாக நீங்கள் நினைக்கலாம். 356 -00:20:25,520 --> 00:20:28,920 +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 எனவே காலமானது அதிர்வெண்ணைப் போன்றது ஆனால் 2 பை ஆல் பெருக்கப்படுகிறது. 357 @@ -1943,35 +1943,35 @@ E இல்லை இங்கே அலையின் வலிமையை மேலும் இது விடுமுறை காலம் என்பதால் அதை விரைவாகக் குறிப்பிடுவது மதிப்பு. 487 -00:28:31,480 --> 00:28:33,631 +00:28:31,480 --> 00:28:33,734 ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் கணிதத்துடன் தொடர்புடைய மேற்கோள்கள் உள்ளன, 488 -00:28:33,631 --> 00:28:36,157 +00:28:33,734 --> 00:28:36,382 மேலும் நான் மிகவும் வேடிக்கையாக இருந்தேன், அவை அனைத்தையும் நிர்வகிப்பதில் 489 -00:28:36,157 --> 00:28:38,445 +00:28:36,382 --> 00:28:38,780 நான் மிகவும் மகிழ்ச்சியடைந்தேன், சில உண்மையான சிந்தனையைத் தூண்டும் 490 -00:28:38,445 --> 00:28:41,040 +00:28:38,780 --> 00:28:41,500 கருத்தை வெளிப்படுத்தும் மேற்கோள்களுக்கு என்னை கட்டுப்படுத்த முயற்சிக்கிறேன். 491 -00:28:41,040 --> 00:28:44,721 +00:28:42,100 --> 00:28:45,506 பின்னர் உள்ளடக்கத்தைத் தவிர, நான் அடிப்படையில் குறிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வதை மிகவும் 492 -00:28:44,721 --> 00:28:48,402 +00:28:45,506 --> 00:28:48,913 ரசிக்கும் வகையிலான நோட்புக்கை உருவாக்கினேன், வரைபடங்களுக்கு உதவியாக மிகவும் மங்கலான 493 -00:28:48,402 --> 00:28:52,215 +00:28:48,913 --> 00:28:52,441 கிரிட்லைன்களுடன் உடனடியாக எடுத்துச் செல்லக்கூடிய ஒன்று, ஆனால் மற்றபடி கட்டுப்பாடற்றது, 494 -00:28:52,215 --> 00:28:55,240 +00:28:52,441 --> 00:28:55,240 இவை அனைத்தும் இந்த நல்ல மென்மையான ஃபாக்ஸ் லெதரில் பிணைக்கப்பட்டுள்ளன. 495 diff --git a/2023/prism/telugu/auto_generated.srt b/2023/prism/telugu/auto_generated.srt index 6efa1bb5c..8361ddb33 100644 --- a/2023/prism/telugu/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/telugu/auto_generated.srt @@ -83,39 +83,39 @@ నిర్దిష్ట నిష్పత్తిని ఆ మాధ్యమానికి వక్రీభవన సూచిక అంటారు. 22 -00:01:24,220 --> 00:01:29,563 +00:01:24,220 --> 00:01:29,336 మందగించే సూచికకు బదులుగా మనం వక్రీభవనం అనే పదాన్ని ఉపయోగించటానికి కారణం ఏమిటంటే, 23 -00:01:29,563 --> 00:01:34,445 +00:01:29,336 --> 00:01:34,010 కాంతి పుంజం ఈ గాజులోకి ఒక కోణంలో ప్రవేశిస్తే, ఈ మందగమనం యొక్క పర్యవసానంగా 24 -00:01:34,445 --> 00:01:38,800 +00:01:34,010 --> 00:01:38,180 అది కొద్దిగా వంగడం లేదా లింగో ఉపయోగించి, అది వక్రీభవనం చెందుతుంది. 25 -00:01:38,800 --> 00:01:43,071 +00:01:38,640 --> 00:01:42,938 నా హైస్కూల్ ఫిజిక్స్ టీచర్ దీన్ని ఎల్లప్పుడూ వివరించే విధానం ఏమిటంటే, 26 -00:01:43,071 --> 00:01:46,488 +00:01:42,938 --> 00:01:46,376 ట్యాంక్ ఏదో ఒక ప్రాంతం నుండి కాంక్రీట్ లాగా, నెమ్మదిగా, 27 -00:01:46,488 --> 00:01:49,538 +00:01:46,376 --> 00:01:49,447 బురద వంటి వాటిలోకి వేగంగా ప్రయాణించగలదని ఊహించడం. 28 -00:01:49,538 --> 00:01:54,725 +00:01:49,447 --> 00:01:54,666 ట్రెడ్‌లు ముందుగా నెమ్మదిగా ఉన్న ప్రాంతాన్ని తాకుతాయి, ఆ ట్రెడ్ నెమ్మదిగా వెళుతుంది, 29 -00:01:54,725 --> 00:01:59,972 +00:01:54,666 --> 00:01:59,947 మరొకటి వేగంగా ఉంటుంది, ఆ రెండవ ట్రెడ్ కూడా బురదలోకి ప్రవేశించే వరకు మొత్తం ట్యాంక్‌ను 30 -00:01:59,972 --> 00:02:04,000 +00:01:59,947 --> 00:02:04,000 కొద్దిగా నడిపిస్తుంది, తర్వాత అది కొంచెం నెమ్మదిగా ప్రయాణిస్తుంది. 31 @@ -167,27 +167,27 @@ మొత్తం దాని ఫ్రీక్వెన్సీపై కొద్దిగా ఆధారపడి ఉంటుంది. 43 -00:02:43,780 --> 00:02:47,922 +00:02:43,780 --> 00:02:47,486 ఉదాహరణకు, సాపేక్షంగా అధిక పౌనఃపున్యం కలిగిన నీలిరంగు కాంతి, 44 -00:02:47,922 --> 00:02:53,100 +00:02:47,486 --> 00:02:52,120 సాపేక్షంగా తక్కువ పౌనఃపున్యం కలిగిన ఎరుపు కాంతి కంటే దూకుడుగా మందగిస్తుంది. 45 -00:02:53,100 --> 00:02:56,251 +00:02:52,980 --> 00:02:56,156 మీరు చూసే కాంతిలో ఎక్కువ భాగం క్లీన్ ప్యూర్ సైన్ వేవ్ కాదు, 46 -00:02:56,251 --> 00:02:59,979 +00:02:56,156 --> 00:02:59,916 ప్రత్యేకించి సూర్యుడి నుండి వచ్చే తెల్లని కాంతి క్లీన్ సైన్ వేవ్ కాదు, 47 -00:02:59,979 --> 00:03:04,706 +00:02:59,916 --> 00:03:04,681 ఇది చాలా గజిబిజిగా ఉంటుంది, అయితే ఇది స్వచ్ఛమైన సైన్ వేవ్‌ల సమూహంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. 48 -00:03:04,706 --> 00:03:07,700 +00:03:04,681 --> 00:03:07,700 , ప్రతి ఒక్కటి స్వచ్ఛమైన వర్ణపట రంగుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. 49 @@ -231,7 +231,7 @@ ఇది కేవలం యాదృచ్చికమా లేదా ఇది అవసరమా? 59 -00:03:39,679 --> 00:03:42,676 +00:03:39,680 --> 00:03:42,676 మీరు వివరణల కోసం తగినంత ఉన్నత ప్రమాణాలను కలిగి ఉన్నట్లయితే, 60 @@ -643,59 +643,59 @@ దాని యొక్క బహుళ పరిణామాలలో ఒకటి కాంతి వేగం. 162 -00:10:08,600 --> 00:10:13,145 +00:10:08,600 --> 00:10:13,496 ప్రత్యేకించి, మీరు చక్కని క్లీన్ సైనూసోయిడల్ మోషన్‌లో పైకి క్రిందికి డోలనం 163 -00:10:13,145 --> 00:10:17,630 +00:10:13,496 --> 00:10:18,326 చేస్తున్నప్పుడు, విద్యుత్ క్షేత్రంలో ఈ అలల ప్రభావాలను ఆ గత త్వరణం ఫలితంగా 164 -00:10:17,630 --> 00:10:22,600 +00:10:18,326 --> 00:10:23,680 అక్కడ కూర్చున్న మరొక ఛార్జ్‌కు వర్తించే శక్తిని వివరిస్తున్నట్లు మీరు భావించవచ్చు. 165 -00:10:22,600 --> 00:10:27,304 +00:10:24,340 --> 00:10:28,269 వేగవంతమైన ఛార్జీలకు ఎలక్ట్రిక్ ఫీల్డ్ ఎలా స్పందిస్తుందో అనుకరిస్తూ నేను 166 -00:10:27,304 --> 00:10:32,662 +00:10:28,269 --> 00:10:32,743 ఆ వీడియోలో కొంచెం చాలా సరదాగా ఉన్నాను మరియు నేను ఇక్కడ కూడా అదే పని చేస్తున్నాను, 167 -00:10:32,662 --> 00:10:37,040 +00:10:32,743 --> 00:10:36,400 కానీ మా సాధన కోసం రెండు ముఖ్యమైన వాస్తవాలు ఉన్నాయి. వక్రీభవన సూచిక. 168 -00:10:37,040 --> 00:10:41,799 +00:10:36,920 --> 00:10:41,938 మొదటిది ఏమిటంటే, మీరు అనేక విభిన్న ఛార్జీలు పైకి క్రిందికి డోలనం చేస్తున్నప్పుడు, 169 -00:10:41,799 --> 00:10:46,559 +00:10:41,938 --> 00:10:46,956 విద్యుత్ క్షేత్రంపై నికర ప్రభావం అనేది ప్రతి ఒక్క ఛార్జ్‌కు ఎంత మొత్తంలో ఉంటుంది, 170 -00:10:46,559 --> 00:10:47,720 +00:10:46,956 --> 00:10:48,180 ఇది మీరు ఆశించే రకం. 171 -00:10:47,720 --> 00:10:53,059 +00:10:48,600 --> 00:10:53,725 ఇది కదిలించే మార్గం ఏమిటంటే, మీరు ఒకదానికొకటి సమకాలీకరించడంలో ఛార్జీల వరుసను కలిగి 172 -00:10:53,059 --> 00:10:56,468 +00:10:53,725 --> 00:10:56,998 ఉంటే లేదా ఈ రోజు మా ప్రయోజనాల కోసం, ఛార్జ్‌ల విమానం, 173 -00:10:56,468 --> 00:10:59,620 +00:10:56,998 --> 00:11:00,024 ఆ విమానంలో సమకాలీకరణలో పైకి క్రిందికి వంగి ఉంటే, 174 -00:10:59,620 --> 00:11:04,766 +00:11:00,024 --> 00:11:04,964 ప్రతి వ్యక్తి యొక్క ప్రభావాలు ఛార్జ్ చాలా దిశలలో ఒకదానికొకటి రద్దు చేయబడుతుంది, 175 -00:11:04,766 --> 00:11:09,720 +00:11:04,964 --> 00:11:09,720 ఆ విమానానికి లంబంగా తప్ప, అవి వాస్తవానికి నిర్మాణాత్మకంగా జోక్యం చేసుకుంటాయి. 176 @@ -727,15 +727,15 @@ మూడు కోణాలలో కాంతి యొక్క పూర్తి చిత్రం ఇలాంటిదే కనిపిస్తుంది. 183 -00:11:38,160 --> 00:11:41,040 +00:11:38,160 --> 00:11:41,340 అది కొంచెం రద్దీగా ఉంటుంది, కాబట్టి సాధారణంగా మనం సైన్ వేవ్‌ని గీస్తాము. 184 -00:11:41,040 --> 00:11:46,120 +00:11:42,920 --> 00:11:47,090 కాబట్టి పదార్థపు పొరతో పరస్పర చర్యలు ఎందుకు వేవ్ యొక్క దశకు కిక్‌బ్యాక్‌ను 185 -00:11:46,120 --> 00:11:51,540 +00:11:47,090 --> 00:11:51,540 కలిగిస్తాయి అనే ప్రశ్నకు తిరిగి ఆలోచిస్తూ, దాని గురించి ఆలోచించడం ప్రారంభిద్దాం. 186 @@ -907,39 +907,39 @@ మొదటి వేవ్ కొన్ని తిరిగే వెక్టార్ యొక్క y-భాగాన్ని వివరిస్తుందని ఊహించండి. 228 -00:14:28,480 --> 00:14:32,200 +00:14:28,480 --> 00:14:32,554 ఆ వెక్టర్ యొక్క పొడవు మన వేవ్ యొక్క వ్యాప్తికి అనుగుణంగా ఉంటుంది, 229 -00:14:32,200 --> 00:14:36,260 +00:14:32,554 --> 00:14:37,000 ఆపై ఆ వెక్టర్ యొక్క ప్రారంభ భ్రమణం మన వేవ్ యొక్క దశకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. 230 -00:14:36,260 --> 00:14:40,885 +00:14:37,690 --> 00:14:41,847 ఆపై అదే విధంగా మరొక భ్రమణ వెక్టర్ యొక్క y-భాగాన్ని వివరిస్తున్నట్లు ఆ రెండవ 231 -00:14:40,885 --> 00:14:45,754 +00:14:41,847 --> 00:14:46,222 వేవ్ గురించి ఆలోచించండి, ఇక్కడ మళ్లీ వ్యాప్తి ఆ వెక్టర్ యొక్క పొడవుకు అనుగుణంగా 232 -00:14:45,754 --> 00:14:50,380 +00:14:46,222 --> 00:14:50,380 ఉంటుంది మరియు వేవ్ యొక్క దశ ఆ వెక్టర్ యొక్క ప్రారంభ కోణాన్ని తెలియజేస్తుంది. 233 -00:14:52,780 --> 00:14:54,874 +00:14:52,780 --> 00:14:55,029 ఇప్పుడు రెండు తరంగాల మొత్తం గురించి ఆలోచించడానికి, 234 -00:14:54,874 --> 00:14:57,380 +00:14:55,029 --> 00:14:57,720 ఆ రెండు వెక్టర్‌ల చిట్కాను తోకకు జోడించడం గురించి ఆలోచించండి. 235 -00:14:57,380 --> 00:15:01,424 +00:14:58,400 --> 00:15:01,884 మరియు అవి రెండూ తిరిగేటటువంటి ఫ్రీక్వెన్సీని కలిగి ఉన్నందున, 236 -00:15:01,424 --> 00:15:04,740 +00:15:01,884 --> 00:15:04,740 వాటి మొత్తం రకం వాటితో లాక్‌స్టెప్‌లో తిరుగుతుంది. 237 @@ -1259,19 +1259,19 @@ ఫ్రీక్వెన్సీ పరంగా, ఈ ప్రక్రియ యూనిట్‌కు చేసే చక్రాల సంఖ్య పరంగా పదజాలం చేయడం సహజం. సమయం. 316 -00:20:17,700 --> 00:20:21,069 +00:20:17,700 --> 00:20:21,233 కానీ గణితాన్ని చేస్తున్నప్పుడు, కోణీయ పౌనఃపున్యం గురించి మాట్లాడటం చాలా సహజం, 317 -00:20:21,069 --> 00:20:23,532 +00:20:21,233 --> 00:20:23,816 ఈ ప్రక్రియ యూనిట్ సమయానికి రేడియన్‌లలో ఎంత కోణాన్ని కవర్ 318 -00:20:23,532 --> 00:20:25,520 +00:20:23,816 --> 00:20:25,900 చేస్తుందో వివరించడం గురించి మీరు ఆలోచించవచ్చు. 319 -00:20:25,520 --> 00:20:28,920 +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 కాబట్టి పదం పౌనఃపున్యం వలె ఉంటుంది కానీ 2 పైతో గుణించబడుతుంది. 320 @@ -1755,35 +1755,35 @@ E ఇక్కడ తరంగ బలాన్ని వివరిస్తు అనిపించింది. 440 -00:28:31,480 --> 00:28:34,624 +00:28:31,480 --> 00:28:34,776 ఆవరణ ఏమిటంటే, ప్రతి పేజీలో గణితానికి సంబంధించిన ఒక కోట్ ఉంటుంది మరియు నేను 441 -00:28:34,624 --> 00:28:36,595 +00:28:34,776 --> 00:28:36,841 వాటన్నింటిని క్యూరేట్ చేయడంలో చాలా ఆనందించాను, 442 -00:28:36,595 --> 00:28:39,865 +00:28:36,841 --> 00:28:40,269 కొన్ని వాస్తవిక ఆలోచనలను రేకెత్తించే ఆలోచనను తెలియజేసే కోట్‌లకు నన్ను పరిమితం 443 -00:28:39,865 --> 00:28:41,040 +00:28:40,269 --> 00:28:41,500 చేసుకోవడానికి ప్రయత్నించాను. 444 -00:28:41,040 --> 00:28:45,137 +00:28:42,100 --> 00:28:45,891 ఆపై కంటెంట్‌ను పక్కన పెడితే, నేను ప్రాథమికంగా నోట్‌బుక్‌ని తయారు చేసాను, 445 -00:28:45,137 --> 00:28:49,627 +00:28:45,891 --> 00:28:50,046 నోట్స్ తీసుకోవడంలో నేను చాలా ఆనందించాను, ఇది రేఖాచిత్రాలకు ఉపయోగపడే చాలా మందమైన 446 -00:28:49,627 --> 00:28:54,285 +00:28:50,046 --> 00:28:54,357 గ్రిడ్‌లైన్‌లతో సులభంగా పోర్టబుల్ అవుతుంది, అయితే ఈ చక్కటి మృదువైన ఫాక్స్ లెదర్‌తో 447 -00:28:54,285 --> 00:28:55,240 +00:28:54,357 --> 00:28:55,240 కట్టుబడి ఉంటుంది. 448 diff --git a/2023/prism/turkish/auto_generated.srt b/2023/prism/turkish/auto_generated.srt index d99c4fbe7..78f690ea0 100644 --- a/2023/prism/turkish/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/turkish/auto_generated.srt @@ -23,15 +23,15 @@ Elbette Pink Floyd'un bazı tasarım tercihleri gerçek fiziğe tamamen aykırı Mesela prizmanın içindeki ışığı neden beyaz yapmışlar? 7 -00:00:27,520 --> 00:00:31,714 +00:00:27,520 --> 00:00:31,581 Ve şaşırtıcı bir şekilde, Newton'un prizmalarla ilgili orijinal deneyindeki kilit 8 -00:00:31,714 --> 00:00:36,005 +00:00:31,581 --> 00:00:35,940 noktalardan birinin güneş ışığının sürekli bir renk spektrumu içermesi olmasına rağmen, 9 -00:00:36,005 --> 00:00:40,200 +00:00:35,940 --> 00:00:40,200 neden tüm renkleri ayrı bir küme halinde çizesiniz ki, gökkuşağı yapan bir çocuk gibi? 10 @@ -79,39 +79,39 @@ Ve ışığın boşluktaki hızı ile buna benzer bir ortamın içindeki hızı arasındaki spesifik orana o ortamın kırılma indisi denir. 21 -00:01:24,220 --> 00:01:29,031 +00:01:24,220 --> 00:01:28,826 Yavaşlama indeksi yerine kırılma kelimesini kullanmamızın nedeni, 22 -00:01:29,031 --> 00:01:33,259 +00:01:28,826 --> 00:01:32,875 eğer bir ışık huzmesi bu cama belirli bir açıyla girerse, 23 -00:01:33,259 --> 00:01:38,800 +00:01:32,875 --> 00:01:38,180 bu yavaşlamanın bir sonucu olarak biraz bükülmesi veya deyimle kırılmasıdır. 24 -00:01:38,800 --> 00:01:42,023 +00:01:38,640 --> 00:01:41,883 Lisedeki fizik öğretmenimin bunu her zaman açıklaması, 25 -00:01:42,023 --> 00:01:46,887 +00:01:41,883 --> 00:01:46,778 bir tankın beton gibi nispeten hızlı ilerleyebileceği bir bölgeden çamur gibi daha 26 -00:01:46,887 --> 00:01:51,868 +00:01:46,778 --> 00:01:51,791 yavaş bir şeye doğru gittiğini hayal etmekti; lastik izleri ilk olarak yavaş bölgeye 27 -00:01:51,868 --> 00:01:55,971 +00:01:51,791 --> 00:01:55,920 çarpar, bu lastik sırtı daha yavaş giderken diğeri daha hızlı olacak, 28 -00:01:55,971 --> 00:02:01,069 +00:01:55,920 --> 00:02:01,051 ikinci lastik de çamura girene kadar tüm tankın biraz yön değiştirmesine neden olacak, 29 -00:02:01,069 --> 00:02:04,000 +00:02:01,051 --> 00:02:04,000 ardından biraz daha yavaş ilerlemeye devam edecek. 30 @@ -159,31 +159,31 @@ O halde prizmada olan şey, ışığın yavaşlattığı spesifik miktarın biraz da onun frekansına bağlı olmasıdır. 41 -00:02:43,780 --> 00:02:47,236 +00:02:43,780 --> 00:02:46,872 Örneğin, nispeten yüksek frekansa sahip olan mavi ışık, 42 -00:02:47,236 --> 00:02:51,618 +00:02:46,872 --> 00:02:50,794 nispeten düşük frekansa sahip olan kırmızı ışığa göre daha agresif bir 43 -00:02:51,618 --> 00:02:53,100 +00:02:50,794 --> 00:02:52,120 şekilde yavaşlayacaktır. 44 -00:02:53,100 --> 00:02:56,292 +00:02:52,980 --> 00:02:56,198 Gördüğünüz ışığın çoğu temiz bir saf sinüs dalgası değildir, 45 -00:02:56,292 --> 00:02:59,955 +00:02:56,198 --> 00:02:59,891 özellikle güneşten gelen beyaz ışık temiz bir sinüs dalgası değildir, 46 -00:02:59,955 --> 00:03:03,513 +00:02:59,891 --> 00:03:03,479 çok daha karmaşık bir şeydir, ancak bir grup temiz sinüs dalgasının 47 -00:03:03,513 --> 00:03:07,700 +00:03:03,479 --> 00:03:07,700 toplamı olarak ifade edilebilir. her biri saf bir spektral renge karşılık gelir. 48 @@ -223,7 +223,7 @@ Ve bunu anlasanız bile, yavaşlama miktarının neden ışığın rengiyle bir Bu sadece bir tesadüf mü yoksa gerekli mi? 57 -00:03:39,679 --> 00:03:42,765 +00:03:39,680 --> 00:03:42,765 Açıklamalar konusunda yeterince yüksek bir standardınız varsa, 58 @@ -235,19 +235,19 @@ bu iki gerçeğin de aktarılmış gibi hissetmek yerine keşfedilmiş gibi hiss istersiniz. 60 -00:03:47,960 --> 00:03:50,362 +00:03:47,960 --> 00:03:50,407 Bu duyguyu vermeye başladığını gördüğüm ilk açıklama, 61 -00:03:50,362 --> 00:03:53,477 +00:03:50,407 --> 00:03:53,399 Feynman'ın konuyla ilgili derslerinden geldi ve bu videoda yapmak 62 -00:03:53,477 --> 00:03:56,725 +00:03:53,399 --> 00:03:56,708 istediğim şeylerin çoğu, onun orada dile getirdiği birçok önemli noktayı 63 -00:03:56,725 --> 00:03:57,660 +00:03:56,708 --> 00:03:57,660 basitçe canlandırmak. 64 @@ -283,24 +283,24 @@ bir çocuğu salıncakta itmekte başarısız olduğunuzda ne olacağıyla ilgil Sabırlı olun, söz veriyorum bu daha sonra mantıklı olacaktır. 72 -00:04:28,540 --> 00:04:31,881 +00:04:28,540 --> 00:04:31,782 Ayrıca Patreon'da bu konuyu ele alma niyetimden bahsettiğimde 73 -00:04:31,881 --> 00:04:34,920 +00:04:31,782 --> 00:04:34,920 birçok insanın kırılma indeksi hakkında birçok sorusu vardı. 74 -00:04:34,920 --> 00:04:39,009 -Örneğin, çok sayıda kişi bu sayının 1'den düşük olmasının nasıl mümkün +00:04:34,920 --> 00:04:39,751 +Örneğin, çok sayıda kişi bu sayının 1'den düşük olmasının nasıl mümkün olduğunu sordu; 75 -00:04:39,009 --> 00:04:42,880 -olduğunu sordu; bu gerçekten de oluyor, her ne kadar bu bir şeyin ışık +00:04:39,751 --> 00:04:43,583 +bu gerçekten de oluyor, her ne kadar bu bir şeyin ışık hızından daha 76 -00:04:42,880 --> 00:04:46,860 -hızından daha hızlı gitmesinin imkansızlığını ima ediyor gibi görünse de. +00:04:43,583 --> 00:04:46,860 +hızlı gitmesinin imkansızlığını ima ediyor gibi görünse de. 77 00:04:47,400 --> 00:04:51,027 @@ -375,15 +375,15 @@ Ve belki de konu dalga terminolojisine geldiğinde hepimizin aynı fikirde olduğundan emin olmak için kısa bir kenara değer. 95 -00:05:51,960 --> 00:05:56,055 +00:05:51,960 --> 00:05:56,129 Sinüs x fonksiyonunun grafiğini çizerseniz, önüne bir terim koyduğunuzda, 96 -00:05:56,055 --> 00:06:00,317 +00:05:56,129 --> 00:06:00,467 o dalganın yukarı ve aşağı salınımını etkileyen, genlik dediğimiz şey budur, 97 -00:06:00,317 --> 00:06:04,580 +00:06:00,467 --> 00:06:04,580 x'in önüne bir terim koyduğunuzda, bu ne kadar hızlı salındığını etkiler. 98 @@ -639,67 +639,67 @@ Herhangi bir etkinin ne kadar hızlı yayılacağını belirler; bunun birçok sonucundan biri de ışık hızıdır. 161 -00:10:08,600 --> 00:10:13,177 +00:10:08,600 --> 00:10:13,531 Özellikle, güzel, temiz bir sinüzoidal hareketle yukarı ve aşağı salınan bir yük elde 162 -00:10:13,177 --> 00:10:16,371 +00:10:13,531 --> 00:10:16,971 ettiğinizde, elektrik alanındaki bu dalgalanma etkilerinin, 163 -00:10:16,371 --> 00:10:20,949 +00:10:16,971 --> 00:10:21,902 geçmişteki ivmenin bir sonucu olarak orada bulunan başka bir yüke uygulanacak kuvveti 164 -00:10:20,949 --> 00:10:22,600 +00:10:21,902 --> 00:10:23,680 tanımladığını düşünebilirsiniz. 165 -00:10:22,600 --> 00:10:27,536 +00:10:24,340 --> 00:10:28,463 Elektrik alanının hızlanan yüklere nasıl tepki verdiğini simüle eden bu videoda 166 -00:10:27,536 --> 00:10:32,164 +00:10:28,463 --> 00:10:32,328 biraz fazla eğlendiğimi ve burada da bir bakıma aynı şeyi yaptığımı açıkça 167 -00:10:32,164 --> 00:10:37,040 +00:10:32,328 --> 00:10:36,400 itiraf etmeliyim, ancak arayışımız için iki önemli gerçek var. kırılma indeksi. 168 -00:10:37,040 --> 00:10:41,134 +00:10:36,920 --> 00:10:41,237 Birincisi, yukarı ve aşağı salınan birden fazla farklı yükünüz olduğunda, 169 -00:10:41,134 --> 00:10:45,506 +00:10:41,237 --> 00:10:45,846 elektrik alanı üzerindeki net etki, her bir yük için ne olacağının toplamıdır, 170 -00:10:45,506 --> 00:10:47,720 +00:10:45,846 --> 00:10:48,180 ki bu da beklediğiniz türden bir şeydir. 171 -00:10:47,720 --> 00:10:52,120 +00:10:48,600 --> 00:10:52,824 Sallanma şekli şu ki, eğer birbirleriyle senkronize olarak salınan bir dizi 172 -00:10:52,120 --> 00:10:56,693 +00:10:52,824 --> 00:10:57,214 yük varsa veya bugünkü amaçlarımız açısından, hepsi o düzlem içinde senkronize 173 -00:10:56,693 --> 00:11:00,109 +00:10:57,214 --> 00:11:00,493 olarak yukarı ve aşağı hareket eden bir yük düzlemi varsa, 174 -00:11:00,109 --> 00:11:04,451 +00:11:00,493 --> 00:11:04,662 o zaman her bir bireyin etkileri Yükler çoğu yönde birbirlerini iptal etme 175 -00:11:04,451 --> 00:11:09,083 +00:11:04,662 --> 00:11:09,108 eğilimindedirler, ancak bu düzleme dik olanlar dışında aslında yapıcı girişimde 176 -00:11:09,083 --> 00:11:09,720 +00:11:09,108 --> 00:11:09,720 bulunurlar. 177 @@ -735,15 +735,15 @@ elektrik alanını tek boyutlu bir çizgi üzerinde gösteriyor. Işığın üç boyutlu daha kapsamlı bir resmi daha çok buna benzer bir şeye benzeyecektir. 185 -00:11:38,160 --> 00:11:41,040 +00:11:38,160 --> 00:11:41,340 Bu biraz daha yoğun olabilir, bu yüzden genellikle sadece sinüs dalgasını çizeriz. 186 -00:11:41,040 --> 00:11:46,445 +00:11:42,920 --> 00:11:47,357 Öyleyse, bir malzeme katmanıyla etkileşimlerin neden dalganın fazında bir geri tepmeye 187 -00:11:46,445 --> 00:11:51,540 +00:11:47,357 --> 00:11:51,540 neden olacağı sorusunu yeniden düşünerek, bunu derinlemesine düşünmeye başlayalım. 188 @@ -907,35 +907,35 @@ Ama işte bunu düşünmenin gerçekten güzel bir yolu. İlk dalganın dönen bir vektörün y bileşenini tanımladığını düşünün. 228 -00:14:28,480 --> 00:14:32,244 +00:14:28,480 --> 00:14:32,602 Bu vektörün uzunluğu dalgamızın genliğine karşılık gelir ve 229 -00:14:32,244 --> 00:14:36,260 +00:14:32,602 --> 00:14:37,000 ardından o vektörün ilk dönüşü dalgamızın fazına karşılık gelir. 230 -00:14:36,260 --> 00:14:40,660 +00:14:37,690 --> 00:14:41,644 Ve sonra benzer şekilde ikinci dalganın başka bir dönen vektörün y 231 -00:14:40,660 --> 00:14:45,585 +00:14:41,644 --> 00:14:46,071 bileşenini tanımladığını düşünün; burada genlik yine o vektörün uzunluğuna 232 -00:14:45,585 --> 00:14:50,380 +00:14:46,071 --> 00:14:50,380 karşılık gelir ve dalganın fazı bize o vektörün başlangıç açısını söyler. 233 -00:14:52,780 --> 00:14:57,380 +00:14:52,780 --> 00:14:57,720 Şimdi iki dalganın toplamını düşünmek için, bu iki vektörü uçtan uca eklemeyi düşünün. 234 -00:14:57,380 --> 00:15:01,507 +00:14:58,400 --> 00:15:01,955 Ve her ikisi de dönerken aynı frekansa sahip olduklarından, 235 -00:15:01,507 --> 00:15:04,740 +00:15:01,955 --> 00:15:04,740 toplamları da onlarla uyumlu bir şekilde döner. 236 @@ -1047,11 +1047,11 @@ Neden tam olarak bir döngünün çeyreği geride kalıyor? Çok güzel bir nedeni var ama bugün bizim için biraz fazla detay oldu. 263 -00:16:49,860 --> 00:16:51,903 +00:16:49,860 --> 00:16:51,829 Eğer merak ediyorsanız, Feynman'ın konuyla ilgili 264 -00:16:51,903 --> 00:16:53,720 +00:16:51,829 --> 00:16:53,720 derslerine göz atmanızı şiddetle tavsiye ederim. 265 @@ -1215,15 +1215,15 @@ sıfır ile dengelenmişse, o zaman zaman içindeki evrim şekli x sıfır çarp kosinüs gibi görünür. ifade. 305 -00:19:25,400 --> 00:19:27,872 +00:19:25,400 --> 00:19:27,988 Yani bu dalganın genliği pek ilgi çekici değil, 306 -00:19:27,872 --> 00:19:31,220 +00:19:27,988 --> 00:19:31,492 bu sadece dalgayı başlangıçta ne kadar geriye çektiğimize bağlı, 307 -00:19:31,220 --> 00:19:34,620 +00:19:31,492 --> 00:19:34,620 ama önemli olan frekans terimi, k'nin karekökü bölü m'dir. 308 @@ -1231,27 +1231,27 @@ ama önemli olan frekans terimi, k'nin karekökü bölü m'dir. Ve eğer düşünürseniz, bunun en azından biraz sezgisel olacağını umarız. 309 -00:19:39,000 --> 00:19:43,775 +00:19:39,000 --> 00:19:43,680 Örneğin, eğer k'yi arttırırsanız, bu yayın kuvvetini arttırmaya benzer, 310 -00:19:43,775 --> 00:19:46,540 +00:19:43,680 --> 00:19:46,540 o zaman daha hızlı bir salınımla sonuçlanır. 311 -00:19:47,020 --> 00:19:49,708 +00:19:47,020 --> 00:19:49,587 Oysa parçacığın kütlesi olan m'yi arttırırsanız, 312 -00:19:49,708 --> 00:19:53,360 +00:19:49,587 --> 00:19:53,360 çok daha fazla atalet olur ve bu da daha yavaş bir salınımla sonuçlanır. 313 -00:19:54,220 --> 00:19:57,971 +00:19:54,220 --> 00:19:57,810 Karekök k'nın m'ye bölünmesiyle elde edilen bu terimin özel bir adı vardır; 314 -00:19:57,971 --> 00:20:00,740 +00:19:57,810 --> 00:20:00,740 buna basit harmonik osilatörümüz için rezonans frekansı denir. 315 @@ -1271,31 +1271,31 @@ sezgisel bir tanım verdiğinizde, bazı şeyleri frekansa, bu sürecin birim başına yaptığı döngü sayısına göre ifade etmek doğaldır. zaman. 319 -00:20:17,700 --> 00:20:21,094 +00:20:17,700 --> 00:20:21,259 Ancak matematik yaparken açısal frekanstan bahsetmek genellikle daha doğaldır; 320 -00:20:21,094 --> 00:20:23,672 +00:20:21,259 --> 00:20:23,962 bunu bu sürecin birim zamanda radyan cinsinden ne kadar açı 321 -00:20:23,672 --> 00:20:25,520 +00:20:23,962 --> 00:20:25,900 kapsadığını tanımladığını düşünebilirsiniz. 322 -00:20:25,520 --> 00:20:28,920 +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 Yani terim frekansla aynıdır ancak 2 pi ile çarpılır. 323 -00:20:29,320 --> 00:20:32,417 +00:20:29,320 --> 00:20:32,479 Örneğin, eğer kosinüs ifadesine benzer bir şey varsa, 324 -00:20:32,417 --> 00:20:36,775 +00:20:32,479 --> 00:20:36,925 bunun gibi bir döngüsel vektörün x bileşenini tanımladığını düşünebilirsin, 325 -00:20:36,775 --> 00:20:41,020 +00:20:36,925 --> 00:20:41,020 o zaman bu kosinüsteki t'nin tam önünde duran terim açısal frekanstır. 326 @@ -1303,11 +1303,11 @@ o zaman bu kosinüsteki t'nin tam önünde duran terim açısal frekanstır. Açısal frekansın matematiği biraz daha anlaşılır hale getirmesinin nedeni budur. 327 -00:20:44,160 --> 00:20:47,476 +00:20:44,160 --> 00:20:47,543 Örneğin, basit harmonik hareketimizde t'nin önünde duran terim, 328 -00:20:47,476 --> 00:20:51,720 +00:20:47,543 --> 00:20:51,720 k'nin karekökünün m'ye bölünmesine benziyor, bunu omega alt r olarak yazıyorum. 329 @@ -1559,11 +1559,11 @@ Bu durumda, simülasyonu çalıştırırken, o parçacığın salınımlarının büyüyüp büyüyeceğine ve zamanla oldukça büyük hale geleceğine dikkat edin. 391 -00:25:03,320 --> 00:25:07,576 +00:25:03,320 --> 00:25:07,353 Bazılarınız Londra'daki Millennium Bridge'in açılış gününde mühendislerin 392 -00:25:07,576 --> 00:25:12,040 +00:25:07,353 --> 00:25:12,040 beklediğinden çok daha fazla salınım yapmaya başladığı ünlü örneğini biliyor olabilir. 393 @@ -1711,19 +1711,19 @@ halbuki sadece etrafa bakarak anlayabileceğiniz gibi, ışığın çoğunlukla yansıtıldığı ve emildiği her türlü malzeme vardır. 429 -00:27:38,940 --> 00:27:42,844 +00:27:38,940 --> 00:27:42,709 Başlangıçta bahsettiğim gibi, Patreon'daki insanların kırılma indeksi hakkında, 430 -00:27:42,844 --> 00:27:46,331 +00:27:42,709 --> 00:27:46,244 nasıl birden az olabileceği ve yavaşlamanın neden bükülme anlamına geldiği 431 -00:27:46,331 --> 00:27:49,864 +00:27:46,244 --> 00:27:49,825 gibi çok sayıda sorusu vardı, bu yüzden bu soruların bir kısmını yanıtlayan 432 -00:27:49,864 --> 00:27:52,700 +00:27:49,825 --> 00:27:52,700 ek bir video hazırladım. sadece birkaç gün içinde yayınlandı. 433 @@ -1775,31 +1775,31 @@ hoşuna gideceğini düşündüğüm bu not defterini hazırladık ve tatil sezonu olduğu göz önüne alındığında, hemen bahsetmeye değer görünüyor. 445 -00:28:31,480 --> 00:28:34,590 +00:28:31,480 --> 00:28:34,740 Buradaki öncül şu ki, sayfaların her birinde matematikle ilgili bir 446 -00:28:34,590 --> 00:28:37,106 +00:28:34,740 --> 00:28:37,376 alıntı var ve ben de hepsini düzenlerken çok eğlendim, 447 -00:28:37,106 --> 00:28:41,040 +00:28:37,376 --> 00:28:41,500 kendimi gerçekten düşündürücü bazı fikirleri aktaran alıntılarla sınırlamaya çalıştım. 448 -00:28:41,040 --> 00:28:45,562 +00:28:42,100 --> 00:28:46,285 Ve sonra içeriğin yanı sıra, not almaktan en çok keyif aldığım türden bir not defteri 449 -00:28:45,562 --> 00:28:50,296 +00:28:46,285 --> 00:28:50,665 yaptım, diyagramlar için yararlı olan çok soluk kılavuz çizgileriyle kolayca taşınabilir, 450 -00:28:50,296 --> 00:28:52,978 +00:28:50,665 --> 00:28:53,147 ancak bunun dışında göze çarpmayan, tamamı bu hoş, 451 -00:28:52,978 --> 00:28:55,240 +00:28:53,147 --> 00:28:55,240 yumuşak suni deriyle ciltlenmiş bir defter. 452 diff --git a/2023/prism/ukrainian/auto_generated.srt b/2023/prism/ukrainian/auto_generated.srt index 9b1067ff7..7606aec7a 100644 --- a/2023/prism/ukrainian/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/ukrainian/auto_generated.srt @@ -83,47 +83,47 @@ всередині такого середовища називається показником заломлення цього середовища. 22 -00:01:24,220 --> 00:01:28,772 +00:01:24,220 --> 00:01:28,579 Причина, чому ми використовуємо слово заломлення замість індексу сповільнення, 23 -00:01:28,772 --> 00:01:32,691 +00:01:28,579 --> 00:01:32,331 полягає в тому, що якщо промінь світла входить у це скло під кутом, 24 -00:01:32,691 --> 00:01:37,762 +00:01:32,331 --> 00:01:37,186 то наслідком цього сповільнення є те, що воно трохи згинається, або, кажучи на жаргоні, 25 -00:01:37,762 --> 00:01:38,800 +00:01:37,186 --> 00:01:38,180 воно заломлюється. 26 -00:01:38,800 --> 00:01:42,688 +00:01:38,640 --> 00:01:42,552 Те, як мій учитель фізики в середній школі це завжди пояснював, полягало в тому, 27 -00:01:42,688 --> 00:01:46,768 +00:01:42,552 --> 00:01:46,658 щоб уявити танк, який прямує з певної області, де він може рухатися відносно швидко, 28 -00:01:46,768 --> 00:01:50,175 +00:01:46,658 --> 00:01:50,088 як бетон, у щось повільніше, як бруд, де, якщо він заходить під кутом, 29 -00:01:50,175 --> 00:01:53,536 +00:01:50,088 --> 00:01:53,469 то як один із своїх протектор спочатку потрапляє на повільну ділянку, 30 -00:01:53,536 --> 00:01:56,752 +00:01:53,469 --> 00:01:56,705 цей протектор рухатиметься повільніше, тоді як інший буде швидшим, 31 -00:01:56,752 --> 00:02:00,784 +00:01:56,705 --> 00:02:00,763 змушуючи весь танк трохи керувати, доки другий протектор також не ввійде в багнюку, 32 -00:02:00,784 --> 00:02:04,000 +00:02:00,763 --> 00:02:04,000 а потім він продовжує рух прямо, просто рухаючись трохи повільніше. 33 @@ -171,27 +171,27 @@ величина сповільнення світла трохи залежить від його частоти. 44 -00:02:43,780 --> 00:02:47,657 +00:02:43,780 --> 00:02:47,249 Наприклад, синє світло, яке має відносно високу частоту, 45 -00:02:47,657 --> 00:02:53,100 +00:02:47,249 --> 00:02:52,120 сповільнюється агресивніше, ніж червоне світло, яке має відносно низьку частоту. 46 -00:02:53,100 --> 00:02:56,442 +00:02:52,980 --> 00:02:56,350 Більшість світла, яке ви бачите, не є чистою синусоїдальною хвилею, 47 -00:02:56,442 --> 00:03:00,326 +00:02:56,350 --> 00:03:00,265 зокрема біле світло, що виходить від сонця, не є чистою синусоїдальною хвилею, 48 -00:03:00,326 --> 00:03:03,865 +00:03:00,265 --> 00:03:03,834 це щось набагато брудніше, але його можна виразити як суму групи чистих 49 -00:03:03,865 --> 00:03:07,700 +00:03:03,834 --> 00:03:07,700 синусоїдальних хвиль. , кожен з яких відповідає чистому спектральному кольору. 50 @@ -235,7 +235,7 @@ Це просто збіг чи це необхідно? 60 -00:03:39,679 --> 00:03:42,994 +00:03:39,680 --> 00:03:42,994 Якщо у вас достатньо високий стандарт пояснень, ви хочете, 61 @@ -675,71 +675,71 @@ просто одним із багатьох наслідків цього є швидкість світла. 170 -00:10:08,600 --> 00:10:11,858 +00:10:08,600 --> 00:10:12,109 Зокрема, коли ви отримуєте заряд, який коливається вгору-вниз у 171 -00:10:11,858 --> 00:10:15,116 +00:10:12,109 --> 00:10:15,619 приємному чистому синусоїдальному русі, ви можете думати про ці 172 -00:10:15,116 --> 00:10:17,610 +00:10:15,619 --> 00:10:18,306 хвилясті ефекти в електричному полі як про силу, 173 -00:10:17,610 --> 00:10:20,563 +00:10:18,306 --> 00:10:21,486 яка буде прикладена до іншого заряду, що знаходиться там, 174 -00:10:20,563 --> 00:10:22,600 +00:10:21,486 --> 00:10:23,680 у результаті цього минулого прискорення. 175 -00:10:22,600 --> 00:10:27,766 +00:10:24,340 --> 00:10:28,655 Відверто визнаю, що мені було занадто весело в цьому відео, просто симулюючи, 176 -00:10:27,766 --> 00:10:32,933 +00:10:28,655 --> 00:10:32,970 як електричне поле реагує на прискорювальні заряди, і що я роблю те саме тут, 177 -00:10:32,933 --> 00:10:37,040 +00:10:32,970 --> 00:10:36,400 але є два важливі факти для нашого пошуку показник заломлення. 178 -00:10:37,040 --> 00:10:40,270 +00:10:36,920 --> 00:10:40,325 Перший полягає в тому, що коли у вас є кілька різних зарядів, 179 -00:10:40,270 --> 00:10:44,646 +00:10:40,325 --> 00:10:44,939 які коливаються вгору та вниз, чистий ефект на електричне поле є просто сумою того, 180 -00:10:44,646 --> 00:10:47,720 +00:10:44,939 --> 00:10:48,180 що було б для кожного окремого заряду, чого ви б очікували. 181 -00:10:47,720 --> 00:10:52,681 +00:10:48,600 --> 00:10:53,363 Справа в тому, що якщо у вас є ряд зарядів, що коливаються синхронно один з одним, 182 -00:10:52,681 --> 00:10:55,790 +00:10:53,363 --> 00:10:56,347 або, для наших сьогоднішніх цілей, площина зарядів, 183 -00:10:55,790 --> 00:10:58,779 +00:10:56,347 --> 00:10:59,217 які синхронно рухаються вгору-вниз у цій площині, 184 -00:10:58,779 --> 00:11:03,323 +00:10:59,217 --> 00:11:03,579 тоді вплив кожного окремого заряди мають тенденцію компенсувати один одного 185 -00:11:03,323 --> 00:11:07,328 +00:11:03,579 --> 00:11:07,424 в більшості напрямків, за винятком перпендикуляру до цієї площини, 186 -00:11:07,328 --> 00:11:09,720 +00:11:07,424 --> 00:11:09,720 вони фактично конструктивно взаємодіють. 187 @@ -771,15 +771,15 @@ Більш повна картина світла в трьох вимірах виглядала б приблизно так. 194 -00:11:38,160 --> 00:11:41,040 +00:11:38,160 --> 00:11:41,340 Це, як правило, трохи зайнятіше, тому зазвичай ми просто малюємо синусоїду. 195 -00:11:41,040 --> 00:11:46,481 +00:11:42,920 --> 00:11:47,387 Отже, повертаючись до питання про те, чому взаємодія з шаром матеріалу 196 -00:11:46,481 --> 00:11:51,540 +00:11:47,387 --> 00:11:51,540 спричиняє віддачу до фази хвилі, давайте почнемо обмірковувати це. 197 @@ -939,39 +939,39 @@ Уявіть, що перша хвиля описує y-компонент деякого обертового вектора. 236 -00:14:28,480 --> 00:14:31,937 +00:14:28,480 --> 00:14:32,266 Довжина цього вектора відповідає амплітуді нашої хвилі, 237 -00:14:31,937 --> 00:14:36,260 +00:14:32,266 --> 00:14:37,000 а потім початкове обертання цього вектора відповідає фазі нашої хвилі. 238 -00:14:36,260 --> 00:14:40,878 +00:14:37,690 --> 00:14:41,840 І тоді так само подумайте про цю другу хвилю як про опис y-компоненти 239 -00:14:40,878 --> 00:14:46,619 +00:14:41,840 --> 00:14:46,999 іншого обертового вектора, де знову ж таки амплітуда відповідає довжині цього вектора, 240 -00:14:46,619 --> 00:14:50,380 +00:14:46,999 --> 00:14:50,380 а фаза хвилі повідомляє нам початковий кут цього вектора. 241 -00:14:52,780 --> 00:14:55,162 +00:14:52,780 --> 00:14:55,338 Тепер, щоб подумати про суму двох хвиль, просто подумайте 242 -00:14:55,162 --> 00:14:57,380 +00:14:55,338 --> 00:14:57,720 про додавання цих двох векторів від кінчика до хвоста. 243 -00:14:57,380 --> 00:15:01,684 +00:14:58,400 --> 00:15:02,108 І оскільки вони обидва мають однакову частоту обертання обох, 244 -00:15:01,684 --> 00:15:04,740 +00:15:02,108 --> 00:15:04,740 їхня сума обертається начебто в ногу з ними. 245 @@ -1315,15 +1315,15 @@ кількості циклів, які цей процес робить на одиницю час. 330 -00:20:17,700 --> 00:20:21,181 +00:20:17,700 --> 00:20:21,350 Але під час математики часто природніше говорити про кутову частоту, 331 -00:20:21,181 --> 00:20:25,520 +00:20:21,350 --> 00:20:25,900 яку можна вважати описом того, який кут охоплює цей процес у радіанах за одиницю часу. 332 -00:20:25,520 --> 00:20:28,920 +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 Таким чином, цей термін такий самий, як частота, але помножений на 2 пі. 333 @@ -1803,27 +1803,27 @@ E нуль тут описує силу хвилі, а потім q описує що зараз святковий сезон, здається, варто коротко згадати про нього. 452 -00:28:31,480 --> 00:28:35,180 +00:28:31,480 --> 00:28:35,358 Передумова полягає в тому, що на кожній сторінці є цитата, пов’язана з математикою, 453 -00:28:35,180 --> 00:28:38,616 +00:28:35,358 --> 00:28:38,960 і мені було дуже весело підбирати їх усі, намагаючись обмежити себе цитатами, 454 -00:28:38,616 --> 00:28:41,040 +00:28:38,960 --> 00:28:41,500 які передають якусь щиру ідею, що спонукає до роздумів. 455 -00:28:41,040 --> 00:28:45,695 +00:28:42,100 --> 00:28:46,408 І окрім вмісту, я, по суті, створив блокнот, у якому мені найбільше подобається 456 -00:28:45,695 --> 00:28:50,060 +00:28:46,408 --> 00:28:50,447 робити нотатки, щось, що легко переноситься з дуже слабкими лініями сітки, 457 -00:28:50,060 --> 00:28:55,240 +00:28:50,447 --> 00:28:55,240 корисними для діаграм, але в іншому ненав’язливим, все в цій гарній м’якій штучній шкірі. 458 diff --git a/2023/prism/vietnamese/auto_generated.srt b/2023/prism/vietnamese/auto_generated.srt index 0f4afcbd7..631e5abcf 100644 --- a/2023/prism/vietnamese/auto_generated.srt +++ b/2023/prism/vietnamese/auto_generated.srt @@ -91,80 +91,80 @@ Và tỉ số riêng giữa tốc độ ánh sáng trong chân không và tốc trong một môi trường như thế này được gọi là chiết suất của môi trường đó. 24 -00:01:24,220 --> 00:01:29,101 +00:01:24,220 --> 00:01:28,793 Lý do chúng ta sử dụng từ khúc xạ thay vì chỉ số chuyển động chậm lại là vì 25 -00:01:29,101 --> 00:01:32,441 +00:01:28,793 --> 00:01:31,922 nếu một chùm ánh sáng đi vào kính này theo một góc, 26 -00:01:32,441 --> 00:01:37,900 -thì hậu quả của sự giảm tốc độ này là nó bị uốn cong một chút, hay sử dụng biệt ngữ, +00:01:31,922 --> 00:01:37,337 +thì hậu quả của sự giảm tốc độ này là nó bị uốn cong một chút, hoặc dùng từ chuyên ngành, 27 -00:01:37,900 --> 00:01:38,800 -nó sẽ khúc xạ. +00:01:37,337 --> 00:01:38,180 +đó là khúc xạ. 28 -00:01:38,800 --> 00:01:43,073 -Cách mà giáo viên vật lý trung học của tôi luôn giải thích điều này là hãy tưởng tượng +00:01:38,640 --> 00:01:42,783 +Và cách giáo viên vật lý trung học của tôi luôn giải thích điều này là tưởng tượng 29 -00:01:43,073 --> 00:01:47,494 +00:01:42,783 --> 00:01:47,276 một chiếc xe tăng đi từ một khu vực nơi nó có thể di chuyển tương đối nhanh, như bê tông, 30 -00:01:47,494 --> 00:01:50,638 -đến một nơi chậm hơn, như bùn, nơi nếu nó lao tới theo một góc, +00:01:47,276 --> 00:01:50,421 +đến một nơi chậm hơn như bùn, nơi nếu nó lao tới theo một góc, 31 -00:01:50,638 --> 00:01:54,273 +00:01:50,421 --> 00:01:54,115 thì đó là một trong những phần của nó. Bánh lốp chạm vào vùng chậm trước, 32 -00:01:54,273 --> 00:01:57,270 +00:01:54,115 --> 00:01:57,160 bánh lốp đó sẽ đi chậm hơn trong khi bánh lốp kia nhanh hơn, 33 -00:01:57,270 --> 00:02:01,052 +00:01:57,160 --> 00:02:01,004 khiến cả xe bị bẻ lái một chút cho đến khi bánh lốp thứ hai cũng đi vào bùn, 34 -00:02:01,052 --> 00:02:04,000 +00:02:01,004 --> 00:02:04,000 sau đó nó tiếp tục đi thẳng chỉ di chuyển chậm hơn một chút. 35 -00:02:04,880 --> 00:02:07,785 -Chúng ta sẽ quay lại lý do thực sự của sự uốn cong một chút, +00:02:04,880 --> 00:02:07,765 +Chúng ta sẽ quay lại lý do thực sự của sự bẻ cong một chút, 36 -00:02:07,785 --> 00:02:11,167 -nhưng tại thời điểm này, học sinh vật lý trung học thường học một định +00:02:07,765 --> 00:02:10,940 +nhưng tại thời điểm này, học sinh vật lý trung học thường học một 37 -00:02:11,167 --> 00:02:14,740 -luật gọi là định luật Snell quy định chính xác mức độ uốn cong của mọi thứ. +00:02:10,940 --> 00:02:14,740 +định luật gọi là định luật Snell quy định chính xác mức độ bẻ cong của mọi thứ. 38 -00:02:15,260 --> 00:02:19,379 +00:02:15,260 --> 00:02:19,404 Nếu bạn vẽ một đường vuông góc với ranh giới giữa thủy tinh và nước, 39 -00:02:19,379 --> 00:02:22,603 +00:02:19,404 --> 00:02:22,647 rồi xét góc giữa đường vuông góc đó và chùm ánh sáng, 40 -00:02:22,603 --> 00:02:27,678 +00:02:22,647 --> 00:02:27,752 định luật Snell cho chúng ta biết rằng sin của góc này chia cho tốc độ ánh sáng luôn 41 -00:02:27,678 --> 00:02:32,573 -là một hằng số. , do đó ánh sáng càng chậm thì góc đó sẽ càng thấp và điều đó cho +00:02:27,752 --> 00:02:32,857 +là một hằng số. Do đó ánh sáng càng chậm thì góc đó sẽ càng thấp và điều đó cho phép 42 -00:02:32,573 --> 00:02:35,320 -phép bạn tính toán mức độ khúc xạ của mọi vật. +00:02:32,857 --> 00:02:35,320 +bạn tính toán mức độ khúc xạ của mọi vật. 43 00:02:36,240 --> 00:02:39,723 @@ -175,27 +175,27 @@ Khi đó, điều đang xảy ra với lăng kính là lượng ánh sáng chậm lại phụ thuộc một chút vào tần số của nó. 45 -00:02:43,780 --> 00:02:48,264 +00:02:43,780 --> 00:02:47,792 Ví dụ, ánh sáng xanh có tần số tương đối cao sẽ bị 46 -00:02:48,264 --> 00:02:53,100 +00:02:47,792 --> 00:02:52,120 chậm lại mạnh hơn ánh sáng đỏ có tần số tương đối thấp. 47 -00:02:53,100 --> 00:02:56,405 +00:02:52,980 --> 00:02:56,312 Hầu hết ánh sáng bạn nhìn thấy không phải là sóng hình sin thuần khiết, 48 -00:02:56,405 --> 00:02:59,986 +00:02:56,312 --> 00:02:59,923 đặc biệt ánh sáng trắng phát ra từ mặt trời không phải là sóng hình sin sạch, 49 -00:02:59,986 --> 00:03:03,659 +00:02:59,923 --> 00:03:03,626 nó là thứ gì đó hỗn tạp hơn nhiều, nhưng nó có thể được biểu thị dưới dạng tổng 50 -00:03:03,659 --> 00:03:07,700 +00:03:03,626 --> 00:03:07,700 của một loạt các sóng hình sin sạch , mỗi cái tương ứng với một màu quang phổ thuần túy. 51 @@ -211,11 +211,11 @@ tất cả các thành phần khác nhau đó sẽ bị khúc xạ với lượn gây ra sự phân tách mang tính biểu tượng của các màu cầu vồng thuần khiết. 54 -00:03:18,620 --> 00:03:22,312 -Vì vậy, đó là lời giải thích tiêu chuẩn và bản chất nó không sai, +00:03:18,620 --> 00:03:22,040 +Vậy đó là lời giải thích chuẩn và bản chất nó không sai, 55 -00:03:22,312 --> 00:03:26,060 +00:03:22,040 --> 00:03:26,060 chỉ là tất cả các thành phần chính đều được truyền lại từ trên cao. 56 @@ -239,7 +239,7 @@ chậm lại lại liên quan gì đến màu sắc của ánh sáng? Đó chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên hay là cần thiết? 61 -00:03:39,679 --> 00:03:43,396 +00:03:39,680 --> 00:03:43,396 Nếu bạn có tiêu chuẩn đủ cao để giải thích, bạn muốn cả hai sự thật này 62 @@ -280,7 +280,7 @@ Ví dụ, nó giải thích tại sao nó phải phụ thuộc vào màu sắc, 71 00:04:19,632 --> 00:04:23,699 -và trực giác quan trọng ở đó thực sự phụ thuộc vào điều gì sẽ xảy ra nếu bạn không giỏi +và trực quan quan trọng ở đó thực sự phụ thuộc vào điều gì sẽ xảy ra nếu bạn không giỏi 72 00:04:23,699 --> 00:04:25,040 @@ -328,7 +328,7 @@ Và điều đó thực sự có mối liên hệ rất tốt với việc ghép 83 00:04:58,373 --> 00:05:01,620 -ghép cuối cùng từ hai video cuối cùng về hiện tượng cột cắt tóc. +ghép cuối cùng từ hai video cuối cùng về hiện tượng cột sọc màu. 84 00:05:02,140 --> 00:05:05,049 @@ -367,20 +367,20 @@ Và đối với điều này, tôi muốn bạn nghĩ về vật liệu của b được chia thành nhiều lớp riêng biệt, tất cả đều vuông góc với hướng ánh sáng truyền đi. 93 -00:05:34,120 --> 00:05:36,399 -Và chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách tập trung sự chú ý vào +00:05:34,120 --> 00:05:36,440 +Và ta sẽ bắt đầu bằng cách tập trung sự chú ý vào tác 94 -00:05:36,399 --> 00:05:38,760 -tác động của chỉ một trong những lớp đó lên sóng ánh sáng. +00:05:36,440 --> 00:05:38,760 +động của chỉ một trong những lớp đó lên sóng ánh sáng. 95 -00:05:39,320 --> 00:05:43,823 +00:05:39,320 --> 00:05:43,970 Hiệu ứng thực sự sẽ rất nhỏ, nhưng nếu bạn cho phép tôi phóng đại nó một chút, 96 -00:05:43,823 --> 00:05:46,560 -thì tác dụng của nó là đẩy lùi pha của làn sóng. +00:05:43,970 --> 00:05:46,560 +thì tác dụng của nó là đẩy lùi pha của sóng. 97 00:05:47,420 --> 00:05:49,493 @@ -391,15 +391,15 @@ Và có lẽ cũng đáng để nói ngắn gọn sang một bên để đảm b tất cả chúng ta đều có cùng quan điểm khi nói đến thuật ngữ sóng. 99 -00:05:51,960 --> 00:05:55,803 +00:05:51,960 --> 00:05:55,900 Nếu bạn vẽ đồ thị hàm sin của x, khi bạn đặt một số hạng nào đó trước nó, 100 -00:05:55,803 --> 00:06:00,321 -ảnh hưởng đến độ cao mà sóng dao động lên xuống, đó là cái mà chúng ta gọi là biên độ, +00:05:55,900 --> 00:06:00,213 +ảnh hưởng đến độ cao mà sóng dao động lên xuống, đó là cái mà ta gọi là biên độ, 101 -00:06:00,321 --> 00:06:04,580 +00:06:00,213 --> 00:06:04,580 khi bạn đặt một số hạng trước x, điều này sẽ ảnh hưởng đến tốc độ dao động của nó. 102 @@ -427,55 +427,55 @@ và chú ý xem khi bạn thay đổi hằng số đó là gì, nó sẽ trượt sóng sang trái và phải, thuật ngữ đó mô tả pha của sóng. 108 -00:06:26,660 --> 00:06:30,298 -Vì vậy, khi tôi nói rằng sóng ánh sáng của chúng ta chạm vào một lớp +00:06:26,660 --> 00:06:30,403 +Vậy khi tôi nói rằng sóng ánh sáng của chúng ta chạm vào một lớp thủy 109 -00:06:30,298 --> 00:06:34,041 -thủy tinh làm cho pha của nó bị đảo ngược, ý tôi là nếu bạn lấy bất kỳ +00:06:30,403 --> 00:06:34,146 +tinh làm cho pha của nó bị đảo ngược, nghĩa là nếu bạn lấy bất kỳ hàm 110 -00:06:34,041 --> 00:06:37,680 -hàm nào mô tả nó trước khi nó chạm vào kính, thì hàm mô tả nó sau đó +00:06:34,146 --> 00:06:38,798 +nào mô tả nó trước khi nó chạm vào kính, thì hàm mô tả nó sau đó trông gần giống nhau, 111 -00:06:37,680 --> 00:06:41,740 -trông gần giống nhau, chỉ với thêm một chút gì đó vào đầu vào của hàm sin đó. +00:06:38,798 --> 00:06:41,740 +chỉ với thêm một chút gì đó vào đầu vào của hàm sin đó. 112 -00:06:42,300 --> 00:06:45,329 -Như tôi đã nói, trên thực tế đó sẽ là một con số rất nhỏ, +00:06:42,300 --> 00:06:45,158 +Như đã nói, trên thực tế đó sẽ là một con số rất nhỏ, 113 -00:06:45,329 --> 00:06:48,358 +00:06:45,158 --> 00:06:48,229 một con số tỷ lệ thuận với độ dày vô cùng nhỏ của lớp đó, 114 -00:06:48,358 --> 00:06:52,119 +00:06:48,229 --> 00:06:52,041 nhưng tôi sẽ tiếp tục vẽ nó như một thứ gì đó phóng đại và theo dõi giá 115 -00:06:52,119 --> 00:06:54,000 -trị của cú đá pha đó ở đây bên trái. +00:06:52,041 --> 00:06:54,000 +trị của cú đẩy pha đó ở đây bên trái. 116 -00:06:54,740 --> 00:06:57,345 +00:06:54,740 --> 00:06:57,367 Giả sử bạn đi và thêm một loạt các lớp kính khác, 117 -00:06:57,345 --> 00:07:00,940 -mỗi lớp cũng tác dụng lực đẩy ngược của riêng chúng lên pha của sóng. +00:06:57,367 --> 00:07:00,940 +mỗi lớp cũng tác dụng cú đẩy ngược của riêng chúng lên pha của sóng. 118 00:07:01,340 --> 00:07:03,840 -Câu hỏi dành cho bạn là làn sóng mới đó trông như thế nào? +Câu hỏi dành cho bạn là sóng mới đó trông như thế nào? 119 -00:07:04,300 --> 00:07:07,230 -Nếu giá trị của lực đẩy pha được áp dụng bởi mỗi +00:07:04,300 --> 00:07:07,199 +Nếu giá trị của cú đẩy pha được áp dụng bởi mỗi 120 -00:07:07,230 --> 00:07:10,280 +00:07:07,199 --> 00:07:10,280 lớp gần bằng 0 thì sóng hầu như không bị ảnh hưởng. 121 @@ -483,32 +483,32 @@ lớp gần bằng 0 thì sóng hầu như không bị ảnh hưởng. Nhưng pha đó càng lớn thì sóng càng bị ép vào nhau giữa tất cả các lớp đó. 122 -00:07:16,700 --> 00:07:19,682 +00:07:16,700 --> 00:07:19,700 Phải thừa nhận rằng, ở đây nó trông rất vạn hoa và kỳ lạ, 123 -00:07:19,682 --> 00:07:23,077 +00:07:19,700 --> 00:07:23,115 nhưng đó thực sự chỉ là do tôi có một tập hợp các lớp riêng biệt, 124 -00:07:23,077 --> 00:07:25,340 -mỗi lớp áp dụng một cú hích lớn phi thực tế. +00:07:23,115 --> 00:07:25,340 +mỗi lớp áp dụng một cú đẩy lớn phi thực tế. 125 -00:07:25,920 --> 00:07:30,172 +00:07:25,920 --> 00:07:30,300 Hãy chú ý điều gì sẽ xảy ra nếu tôi làm phẳng nó bằng cách tăng gấp đôi mật độ các lớp, 126 -00:07:30,172 --> 00:07:32,540 -nhưng mỗi lớp chỉ áp dụng một nửa cú đá theo pha. +00:07:30,300 --> 00:07:32,540 +nhưng mỗi lớp chỉ áp dụng một nửa cú đẩy pha. 127 -00:07:33,260 --> 00:07:36,642 -Và sau đó tôi làm điều đó một lần nữa, tôi tăng gấp đôi mật độ của các lớp, +00:07:33,260 --> 00:07:36,395 +Và sau đó tôi làm lại điều đó, tăng gấp đôi mật độ của các lớp, 128 -00:07:36,642 --> 00:07:38,600 -nhưng mỗi lớp chỉ áp dụng một nửa cú đá pha. +00:07:36,395 --> 00:07:38,600 +nhưng mỗi lớp chỉ áp dụng một nửa cú đẩy pha. 129 00:07:39,560 --> 00:07:44,726 @@ -547,16 +547,16 @@ Thay vì hỏi, tại sao ánh sáng chậm lại trong thủy tinh, với một lớp thủy tinh đó lại gây ra hiện tượng giật ngược pha của sóng? 138 -00:08:16,200 --> 00:08:20,891 +00:08:16,200 --> 00:08:20,848 Và sau đó, khi chúng ta muốn định lượng và hiểu chính xác ánh sáng chậm lại bao nhiêu, 139 -00:08:20,891 --> 00:08:24,450 +00:08:20,848 --> 00:08:24,374 điều này rất quan trọng để hiểu tại sao nó phụ thuộc vào màu sắc, 140 -00:08:24,450 --> 00:08:27,740 -thay vào đó, câu hỏi thực sự là, lực pha đó mạnh đến mức nào? +00:08:24,374 --> 00:08:27,740 +thay vào đó, câu hỏi thực sự là cú đẩy pha đó mạnh như thế nào? 141 00:08:29,140 --> 00:08:32,960 @@ -611,15 +611,15 @@ chúng sẽ khiến nó dao động lên xuống, mặc dù yếu hơn một ch chuyển động lắc lư ban đầu, và điều đó lại gây ra sự lan truyền của chính nó. 154 -00:09:24,480 --> 00:09:28,942 -Cách chúng tôi mô tả điều này trong video trước là nếu tại một thời điểm nào đó +00:09:24,480 --> 00:09:28,905 +Cách chúng ta mô tả điều này trong video trước là nếu tại một thời điểm nào đó 155 -00:09:28,942 --> 00:09:33,963 +00:09:28,905 --> 00:09:33,946 một điện tích đang tăng tốc, thì sau một độ trễ nhỏ, điều này phụ thuộc vào tốc độ c này, 156 -00:09:33,963 --> 00:09:37,980 +00:09:33,946 --> 00:09:37,980 sự tồn tại của gia tốc đó sẽ gây ra một lực tác dụng lên điện tích khác. 157 @@ -659,63 +659,63 @@ Nó xác định tốc độ di chuyển của bất kỳ loại ảnh hưởng chỉ là một trong nhiều hệ quả của điều đó là tốc độ ánh sáng. 166 -00:10:08,600 --> 00:10:13,266 +00:10:08,600 --> 00:10:13,626 Đặc biệt, khi bạn nhận được một điện tích dao động lên xuống theo một chuyển động 167 -00:10:13,266 --> 00:10:17,933 +00:10:13,626 --> 00:10:18,653 hình sin rõ ràng, bạn có thể coi những hiệu ứng gợn sóng này trong điện trường là 168 -00:10:17,933 --> 00:10:22,600 +00:10:18,653 --> 00:10:23,680 mô tả lực sẽ tác dụng lên một điện tích khác nằm ở đó do gia tốc trong quá khứ đó. 169 -00:10:22,600 --> 00:10:27,413 +00:10:24,340 --> 00:10:28,360 Tôi sẽ thoải mái thừa nhận rằng tôi đã có quá nhiều niềm vui trong video mô phỏng cách 170 -00:10:27,413 --> 00:10:32,392 +00:10:28,360 --> 00:10:32,518 điện trường phản ứng với các điện tích tăng tốc và ở đây tôi cũng đang làm điều tương tự, 171 -00:10:32,392 --> 00:10:37,040 +00:10:32,518 --> 00:10:36,400 nhưng có hai sự thật quan trọng cho việc chúng ta theo đuổi mục tiêu chỉ số khúc xạ. 172 -00:10:37,040 --> 00:10:41,479 +00:10:36,920 --> 00:10:41,600 Đầu tiên là khi bạn có nhiều điện tích khác nhau dao động lên xuống, 173 -00:10:41,479 --> 00:10:45,982 +00:10:41,600 --> 00:10:46,348 hiệu ứng thực lên điện trường chỉ là tổng của mỗi điện tích riêng lẻ, 174 -00:10:45,982 --> 00:10:47,720 +00:10:46,348 --> 00:10:48,180 đó là loại mà bạn mong đợi. 175 -00:10:47,720 --> 00:10:52,263 +00:10:48,600 --> 00:10:52,961 Cách nó diễn ra là nếu bạn có một hàng điện tích dao động đồng bộ với nhau, 176 -00:10:52,263 --> 00:10:56,268 +00:10:52,961 --> 00:10:56,806 hoặc theo mục đích của chúng ta ngày nay, một mặt phẳng điện tích, 177 -00:10:56,268 --> 00:10:59,736 +00:10:56,806 --> 00:11:00,135 tất cả đều dao động lên xuống đồng bộ trong mặt phẳng đó, 178 -00:10:59,736 --> 00:11:04,220 +00:11:00,135 --> 00:11:04,440 thì tác động của mỗi cá thể điện tích có xu hướng triệt tiêu lẫn nhau theo 179 -00:11:04,220 --> 00:11:07,627 +00:11:04,440 --> 00:11:07,711 hầu hết các hướng, ngoại trừ vuông góc với mặt phẳng đó, 180 -00:11:07,627 --> 00:11:09,720 +00:11:07,711 --> 00:11:09,720 chúng thực sự giao thoa tăng cường. 181 @@ -723,16 +723,16 @@ chúng thực sự giao thoa tăng cường. Đây là cách bạn có thể có được một chùm ánh sáng tập trung. 182 -00:11:12,900 --> 00:11:18,039 +00:11:12,900 --> 00:11:18,136 Điều quan trọng là nếu bạn có một lớp điện tích dao động lên xuống đồng bộ với nhau, 183 -00:11:18,039 --> 00:11:22,332 -thậm chí ở xa lớp đó, nó sẽ tạo ra một làn sóng hình sin đẹp mắt trong +00:11:18,136 --> 00:11:22,572 +thậm chí ở xa lớp đó, nó sẽ tạo ra một sóng hình sin đẹp mắt trong điện 184 -00:11:22,332 --> 00:11:25,900 -điện trường mà chúng ta rất thích vẽ để thể hiện. ánh sáng. +00:11:22,572 --> 00:11:25,900 +trường mà chúng ta rất thích vẽ để thể hiện. ánh sáng. 185 00:11:27,640 --> 00:11:30,365 @@ -747,19 +747,19 @@ chỉ mô tả điện trường trên một đường một chiều. Một bức tranh đầy đủ hơn về ánh sáng theo không gian ba chiều sẽ trông giống như thế này. 188 -00:11:38,160 --> 00:11:39,693 +00:11:38,160 --> 00:11:39,853 Điều đó có xu hướng bận rộn hơn một chút, vì vậy 189 -00:11:39,693 --> 00:11:41,040 +00:11:39,853 --> 00:11:41,340 thông thường chúng ta chỉ vẽ sóng hình sin. 190 -00:11:41,040 --> 00:11:46,290 +00:11:42,920 --> 00:11:47,230 Vì vậy, hãy nghĩ lại câu hỏi tại sao sự tương tác với một lớp vật liệu lại 191 -00:11:46,290 --> 00:11:51,540 +00:11:47,230 --> 00:11:51,540 gây ra phản ứng ngược pha của sóng, chúng ta hãy bắt đầu suy nghĩ kỹ về nó. 192 @@ -919,39 +919,39 @@ Nhưng đây thực sự là một cách hay để nghĩ về nó. Hãy tưởng tượng rằng sóng đầu tiên mô tả thành phần y của một vectơ quay nào đó. 231 -00:14:28,480 --> 00:14:31,845 +00:14:28,480 --> 00:14:32,165 Độ dài của vectơ đó tương ứng với biên độ sóng của chúng ta, 232 -00:14:31,845 --> 00:14:36,260 +00:14:32,165 --> 00:14:37,000 và sau đó góc quay ban đầu của vectơ đó tương ứng với pha của sóng của chúng ta. 233 -00:14:36,260 --> 00:14:40,854 +00:14:37,690 --> 00:14:41,818 Và sau đó hãy nghĩ tương tự về sóng thứ hai đó khi mô tả thành phần 234 -00:14:40,854 --> 00:14:45,515 +00:14:41,818 --> 00:14:46,008 y của một vectơ quay khác, trong đó biên độ lại tương ứng với độ dài 235 -00:14:45,515 --> 00:14:50,380 +00:14:46,008 --> 00:14:50,380 của vectơ đó và pha của sóng cho chúng ta biết góc ban đầu của vectơ đó. 236 -00:14:52,780 --> 00:14:55,031 +00:14:52,780 --> 00:14:55,197 Bây giờ để nghĩ về tổng của hai sóng, chỉ cần 237 -00:14:55,031 --> 00:14:57,380 +00:14:55,197 --> 00:14:57,720 nghĩ đến việc cộng hai vectơ đó từ đầu đến đuôi. 238 -00:14:57,380 --> 00:15:01,533 +00:14:58,400 --> 00:15:01,978 Và bởi vì cả hai đều có cùng tần số khi cả hai đều quay, 239 -00:15:01,533 --> 00:15:04,740 +00:15:01,978 --> 00:15:04,740 nên tổng của chúng quay cùng bước với chúng. 240 @@ -1019,23 +1019,23 @@ nhưng chỉ bị dịch chuyển trở lại theo hướng của nó. từng gi Hơn nữa, độ lớn của sự dịch pha đó phụ thuộc vào biên độ cụ thể của sóng thứ hai đó. 256 -00:16:08,580 --> 00:16:11,509 -Vì vậy, nhìn lại hoạt hình trước đây của chúng ta, +00:16:08,580 --> 00:16:11,461 +Vì vậy, nhìn lại hoạt ảnh trước đây của chúng ta, 257 -00:16:11,509 --> 00:16:15,816 -trong đó chúng ta có một số điện tích dao động trong một lớp thủy tinh gây +00:16:11,461 --> 00:16:15,552 +trong đó chúng ta có một số điện tích dao động trong một lớp thủy tinh 258 -00:16:15,816 --> 00:16:19,836 -ra sự lan truyền bậc hai này cần được thêm vào cùng với ánh sáng tới, +00:16:15,552 --> 00:16:19,817 +gây ra sự lan truyền bậc hai này cần được thêm vào cùng với ánh sáng tới, 259 -00:16:19,836 --> 00:16:24,029 +00:16:19,817 --> 00:16:24,024 cách nó diễn ra là pha của sóng thứ hai đó chính xác là chậm một phần tư 260 -00:16:24,029 --> 00:16:25,580 +00:16:24,024 --> 00:16:25,580 chu kỳ so với pha đầu tiên. 261 @@ -1083,15 +1083,15 @@ những gì bạn cần để giải thích câu hỏi then chốt về lăng k đó là lý do tại sao chiết suất hoàn toàn phụ thuộc vào màu sắc. 272 -00:17:05,000 --> 00:17:09,103 +00:17:05,000 --> 00:17:09,125 Như bạn đã biết, chỉ số đó phụ thuộc vào mức độ mỗi lớp kính 273 -00:17:09,103 --> 00:17:13,274 -đẩy lùi pha của sóng và lực đẩy pha đó phụ thuộc vào cường độ +00:17:09,125 --> 00:17:13,251 +đẩy lùi pha của sóng và cú đẩy pha đó phụ thuộc vào cường độ 274 -00:17:13,274 --> 00:17:17,579 +00:17:13,251 --> 00:17:17,579 của sóng bậc hai do dao động điện tích trong lớp kính đó tạo ra. 275 @@ -1220,7 +1220,7 @@ Tôi sẽ không xem xét chi tiết đầy đủ, nhưng câu trả lời khá 306 00:19:06,475 --> 00:19:09,760 -quan và bất kỳ ai biết một chút phép tính có thể tự mình kiểm tra. +quan và bất kỳ ai biết một chút giải tích có thể tự mình kiểm tra. 307 00:19:09,760 --> 00:19:15,013 @@ -1295,19 +1295,19 @@ khi bạn đưa ra một mô tả trực quan, việc diễn đạt mọi thứ số chu kỳ mà quá trình này tạo ra trên mỗi đơn vị là điều tự nhiên. thời gian. 325 -00:20:17,700 --> 00:20:20,741 -Nhưng khi làm toán, thường tự nhiên hơn khi nói về tần số góc, +00:20:17,700 --> 00:20:20,919 +Nhưng khi tính toán, thường tự nhiên hơn khi nói về tần số góc, 326 -00:20:20,741 --> 00:20:24,699 -mà bạn có thể coi là mô tả góc mà quá trình này bao phủ tính bằng radian trên một +00:20:20,919 --> 00:20:25,044 +bạn có thể coi là mô tả góc trong cả quá trình này bằng bao nhiêu radian trên một 327 -00:20:24,699 --> 00:20:25,520 +00:20:25,044 --> 00:20:25,900 đơn vị thời gian. 328 -00:20:25,520 --> 00:20:28,920 +00:20:26,000 --> 00:20:28,920 Vì vậy, số hạng giống như tần số nhưng được nhân với 2 pi. 329 @@ -1327,518 +1327,510 @@ thì số hạng đứng ngay trước t trong cosin đó là tần số góc. Đây là lý do tại sao tần số góc làm cho phép toán rõ ràng hơn một chút. 333 -00:20:44,160 --> 00:20:46,922 -Ví dụ, trong chuyển động điều hòa đơn giản của chúng ta, +00:20:44,160 --> 00:20:48,021 +Ví dụ, trong chuyển động điều hòa đơn giản, số hạng đứng trước t trông 334 -00:20:46,922 --> 00:20:50,169 -số hạng đứng trước t trông giống như căn bậc hai của k chia cho m, +00:20:48,021 --> 00:20:51,720 +giống như căn bậc hai của k chia cho m, mà tôi đang viết là omega r. 335 -00:20:50,169 --> 00:20:51,720 -mà tôi đang viết là omega sub r. +00:20:52,340 --> 00:20:55,669 +Hãy gói gọn tất cả những điều đó lại và gọi đó là nghiệm của chúng ta trong trường 336 -00:20:52,340 --> 00:20:55,730 -Hãy gói gọn tất cả những điều đó lại và gọi đó là giải pháp của chúng ta trong trường +00:20:55,669 --> 00:20:59,120 +hợp đơn giản, trong đó không có ngoại lực nào tác dụng lên hạt tích điện của chúng ta. 337 -00:20:55,730 --> 00:20:59,120 -hợp đơn giản, trong đó không có ngoại lực nào tác dụng lên hạt tích điện của chúng ta. +00:20:59,780 --> 00:21:03,086 +Nhưng tất nhiên, điều chúng ta quan tâm là điều gì xảy ra khi 338 -00:20:59,780 --> 00:21:03,051 -Nhưng tất nhiên, điều chúng ta quan tâm là điều gì xảy ra khi +00:21:03,086 --> 00:21:06,446 +bạn chiếu một chùm ánh sáng lên vật liệu này, sự trực quan này 339 -00:21:03,051 --> 00:21:06,217 -bạn chiếu một chùm ánh sáng lên vật liệu này, điều này trực +00:21:06,446 --> 00:21:09,700 +khiến cho điện tích này dao động, nhưng câu hỏi là bao nhiêu. 340 -00:21:06,217 --> 00:21:09,700 -giác khiến cho điện tích này dao động, nhưng câu hỏi là bao nhiêu. - -341 00:21:10,460 --> 00:21:12,771 Trong phương trình của chúng ta, điều này giống như việc -342 +341 00:21:12,771 --> 00:21:14,920 thêm một số hạng lực mới tương ứng với sóng ánh sáng. -343 +342 00:21:15,300 --> 00:21:19,717 Lực đó cũng dao động lên xuống theo một loại hàm cosine nào đó, -344 +343 00:21:19,717 --> 00:21:24,480 nhưng lần này với tần số góc riêng biệt mà tôi sẽ gọi là omega sub l. -345 +344 00:21:25,020 --> 00:21:28,018 Ở đây không có gì mô tả cường độ của sóng, còn q mô tả -346 +345 00:21:28,018 --> 00:21:31,180 điện tích của bất kỳ hạt nào mà chúng ta đang mô hình hóa. -347 +346 00:21:31,980 --> 00:21:34,762 Như thường lệ, sẽ dễ nghĩ hơn nhiều khi chúng ta chỉ vẽ một -348 +347 00:21:34,762 --> 00:21:37,685 tập hợp con của sóng ánh sáng đó và trong trường hợp này chúng -349 +348 00:21:37,685 --> 00:21:40,700 ta sẽ vẽ nó trên mặt phẳng của lớp vật liệu mà chúng ta quan tâm. -350 +349 00:21:41,100 --> 00:21:44,128 Bạn có thể nghĩ đến những cơn gió thổi quả bóng -351 +350 00:21:44,128 --> 00:21:47,220 nhỏ của chúng ta lên xuống theo hình sin rõ ràng. -352 +351 00:21:47,780 --> 00:21:51,120 Hay như một phép so sánh khác, nó tương tự như việc đẩy một đứa trẻ lên xích đu. -353 +352 00:21:51,120 --> 00:21:55,904 Chiếc xích đu sẽ tự dao động do lực hấp dẫn, nhưng bạn với tư cách là người -354 +353 00:21:55,904 --> 00:22:00,500 đẩy đang tác dụng một ngoại lực mà chính nó cũng dao động theo thời gian. -355 +354 00:22:01,240 --> 00:22:05,563 Mặc dù điểm khác biệt chính ở đây là tần số của ngoại lực đó nói -356 +355 00:22:05,563 --> 00:22:10,220 chung không liên quan gì đến tần số cộng hưởng của bộ dao động nhỏ đó. -357 +356 00:22:10,940 --> 00:22:14,820 Sự tương tự tốt hơn sẽ là nếu bạn đẩy đứa trẻ trên xích đu bằng một lực tuần hoàn -358 +357 00:22:14,820 --> 00:22:18,560 không liên quan gì đến những gì chiếc xích đu muốn thực hiện một cách tự nhiên. -359 +358 00:22:19,180 --> 00:22:23,557 Và điều tôi thích nhất khi cố gắng làm điều này với cháu gái mình là đến một lúc nào đó, -360 +359 00:22:23,557 --> 00:22:27,000 cô ấy nhẹ nhàng lẩm bẩm với chính mình, đây không phải là cách mẹ làm. -361 +360 00:22:27,600 --> 00:22:31,653 Bây giờ, khi cố gắng hiểu điện tích của chúng ta dao động bao nhiêu để phản -362 +361 00:22:31,653 --> 00:22:35,760 ứng với ánh sáng tới, hãy để tôi bắt đầu bằng cách mô phỏng nó và vẽ kết quả. -363 -00:22:37,040 --> 00:22:41,514 +362 +00:22:37,040 --> 00:22:41,617 Bạn sẽ nhận thấy rằng có một khoảng thời gian khởi động ngắn mà nó gần như phải bắt đầu, -364 -00:22:41,514 --> 00:22:46,040 -nhưng sau đó, may mắn thay, nó trông đẹp và sạch sẽ, giống như một làn sóng hình sin khác. +363 +00:22:41,617 --> 00:22:46,040 +nhưng sau đó, may mắn thay, nó trông đẹp và sạch sẽ, giống như một sóng hình sin khác. -365 +364 00:22:46,040 --> 00:22:49,062 Bây giờ bạn có thể đang nghĩ, vâng, mọi thứ đều là sóng hình sin, -366 +365 00:22:49,062 --> 00:22:51,855 nhưng điều quan trọng là phải hiểu rằng sóng này có đặc điểm -367 +366 00:22:51,855 --> 00:22:54,420 rất khác với sóng hình sin mà chúng ta đã thấy trước đó. -368 +367 00:22:54,860 --> 00:23:00,647 Trước đó, không có ngoại lực nào, tần số của sóng đó giảm xuống hằng số lò xo và -369 +368 00:23:00,647 --> 00:23:06,720 khối lượng, nghĩa là nó chỉ phụ thuộc hoàn toàn vào tính chất vật liệu của thủy tinh. -370 +369 00:23:07,140 --> 00:23:10,854 Ngược lại, với lực truyền động đạp xe bên ngoài này, -371 +370 00:23:10,854 --> 00:23:14,780 tần số ở trạng thái ổn định đó bằng tần số của ánh sáng. -372 +371 00:23:15,200 --> 00:23:19,305 Và trong trường hợp đầu tiên của chúng ta, biên độ của sóng gần như không thú vị, -373 +372 00:23:19,305 --> 00:23:22,360 nó chỉ phụ thuộc vào việc ban đầu bạn đã kéo lò xo ra bao xa. -374 +373 00:23:22,660 --> 00:23:25,100 Nhưng trong trường hợp thứ hai, biên độ của sóng -375 +374 00:23:25,100 --> 00:23:27,640 này thực sự là nơi xảy ra tất cả những điều thú vị. -376 +375 00:23:28,080 --> 00:23:32,480 Chính xác thì điện tích này sẽ dao động bao nhiêu để phản ứng với sóng ánh sáng? -377 +376 00:23:33,420 --> 00:23:37,456 Một lần nữa, tôi sẽ không đi sâu vào chi tiết đầy đủ của cách giải bài toán này, -378 +377 00:23:37,456 --> 00:23:41,095 nhưng bất kỳ học sinh ham học toán nào trong số các bạn đều có thể thích -379 +378 00:23:41,095 --> 00:23:44,882 thú khi thực hiện bài tập trong đó nếu bạn đoán rằng một nghiệm trông giống -380 +379 00:23:44,882 --> 00:23:48,520 như một sóng cosin có cùng tần số với ánh sáng, và bạn giải tìm biên độ, -381 +380 00:23:48,520 --> 00:23:51,860 bạn có thể có nghiệm cụ thể cho phương trình này trông như thế này. -382 +381 00:23:52,500 --> 00:23:55,335 Điều này đáng để giải thích một chút và nói rõ hơn, -383 +382 00:23:55,335 --> 00:23:57,897 đây chỉ là mô tả mọi thứ ở trạng thái ổn định, -384 +383 00:23:57,897 --> 00:24:00,460 sau khi mọi thứ đã ổn định và đi vào hoạt động. -385 +384 00:24:00,820 --> 00:24:04,000 -Một giải pháp mô tả đầy đủ sẽ phức tạp hơn đáng kể. +Một nghiệm mô tả đầy đủ sẽ phức tạp hơn đáng kể. -386 -00:24:04,440 --> 00:24:07,460 +385 +00:24:04,440 --> 00:24:07,520 Như tôi đã nói, mọi điều thú vị ở đây đều phụ thuộc vào biên độ, -387 -00:24:07,460 --> 00:24:09,830 +386 +00:24:07,520 --> 00:24:09,937 ở đây trông giống như một tập hợp lớn các hằng số, -388 -00:24:09,830 --> 00:24:12,991 -hầu hết các hằng số này sẽ khá trực quan nếu bạn dành một chút thời - -389 -00:24:12,991 --> 00:24:14,060 -gian để suy nghĩ về nó. +387 +00:24:09,937 --> 00:24:14,060 +hầu hết các hằng số này sẽ khá trực quan nếu bạn dành một chút thời gian để nghĩ về nó. -390 +388 00:24:14,300 --> 00:24:17,527 Ví dụ, nó tỷ lệ thuận với cường độ của sóng ánh sáng tới đó, -391 +389 00:24:17,527 --> 00:24:20,120 do đó ánh sáng càng mạnh thì dao động càng nhiều. -392 +390 00:24:20,540 --> 00:24:23,580 Nó cũng tỷ lệ thuận với điện tích, điều này một lần nữa có ý nghĩa. -393 +391 00:24:24,040 --> 00:24:27,652 Và trọng tâm thực sự của vấn đề nằm ở mẫu số ở đây, -394 +392 00:24:27,652 --> 00:24:33,140 sự khác biệt giữa bình phương tần số cộng hưởng và bình phương tần số ánh sáng. -395 -00:24:33,640 --> 00:24:38,307 -Và để hình thành một chút trực giác, hãy dành chút thời gian để suy nghĩ xem điều gì +393 +00:24:33,640 --> 00:24:38,275 +Và để tạo một chút trực quan, hãy dành chút thời gian để suy nghĩ xem điều gì sẽ -396 -00:24:38,307 --> 00:24:43,140 -sẽ xảy ra nếu tần số của ánh sáng tới rất gần với tần số cộng hưởng của bộ dao động này. +394 +00:24:38,275 --> 00:24:43,140 +xảy ra nếu tần số của ánh sáng tới rất gần với tần số cộng hưởng của bộ dao động này. -397 +395 00:24:44,020 --> 00:24:47,943 Điều này tương tự như tình huống thông thường đẩy một đứa trẻ lên xích đu, -398 +396 00:24:47,943 --> 00:24:52,336 trong đó tần số lực của bạn thẳng hàng khá chặt chẽ với những gì chiếc xích đu muốn -399 +397 00:24:52,336 --> 00:24:52,860 thực hiện. -400 +398 00:24:53,620 --> 00:24:57,830 Trong trường hợp này, khi chạy mô phỏng, hãy chú ý xem dao động của hạt đó -401 +399 00:24:57,830 --> 00:25:02,040 sẽ lớn dần như thế nào, lớn dần và lớn dần, trở nên khá lớn theo thời gian. -402 +400 00:25:03,320 --> 00:25:07,309 Một số bạn có thể biết ví dụ nổi tiếng về Cầu Thiên niên kỷ ở London, -403 +401 00:25:07,309 --> 00:25:12,040 nơi vào ngày khai trương nó bắt đầu dao động nhiều hơn những gì các kỹ sư mong đợi. -404 +402 00:25:12,460 --> 00:25:18,910 Và điều đang diễn ra là tần số bước đi của đám đông xếp rất gần với tần số cộng hưởng, -405 +403 00:25:18,910 --> 00:25:21,580 gây ra biên độ cao đáng lo ngại này. -406 +404 00:25:23,220 --> 00:25:28,393 Ngược lại, hãy chú ý điều gì xảy ra trong mô phỏng nếu tần số của ánh sáng, -407 +405 00:25:28,393 --> 00:25:31,320 ωL, nhỏ hơn nhiều so với tần số cộng hưởng. -408 +406 00:25:33,500 --> 00:25:37,073 Đối với mô phỏng cụ thể này, phải mất một chút thời gian trước khi mọi thứ -409 +407 00:25:37,073 --> 00:25:41,123 bắt đầu hoạt động hoàn toàn, cuối cùng nó tìm thấy một chuyển động hình sin đẹp mắt, -410 +408 00:25:41,123 --> 00:25:44,220 nhưng biên độ của chuyển động đó khiêm tốn hơn nhiều khi so sánh. -411 +409 00:25:44,900 --> 00:25:49,518 Vì vậy, điều mà phương trình cho chúng ta biết là sự chênh lệch giữa các tần số -412 +410 00:25:49,518 --> 00:25:54,080 đó càng lớn thì mẫu số càng lớn, do đó tổng dao động của điện tích đó càng nhỏ. -413 +411 00:25:54,700 --> 00:25:57,540 Và một lần nữa, đây là điều bạn có thể thấy trong đoạn phim với cháu gái tôi. -414 -00:25:57,900 --> 00:26:02,725 -Khi tôi tác dụng một lực có tần số rất khác so với tần số mà cú đánh mong muốn, +412 +00:25:57,900 --> 00:26:02,760 +Khi tôi tác dụng một lực có tần số rất khác so với tần số mà xích đu cần để đẩy, -415 -00:26:02,725 --> 00:26:06,103 -cuối cùng cô ấy dao động ở cùng tần số với lực của tôi, +413 +00:26:02,760 --> 00:26:06,120 +cuối cùng cô bé dao động ở cùng tần số với lực của tôi, -416 -00:26:06,103 --> 00:26:09,180 -nhưng cô ấy đang dao động ở biên độ tương đối thấp. +414 +00:26:06,120 --> 00:26:09,180 +nhưng cô bé đang dao động ở biên độ tương đối thấp. -417 +415 00:26:10,580 --> 00:26:15,940 Lùi lại, điều này có nghĩa là khi bạn chiếu ánh sáng vào một vật liệu, như thủy tinh, -418 +416 00:26:15,940 --> 00:26:21,237 nó không chỉ gây ra sự dao động trong điện tích của vật liệu đó mà kích thước cụ thể -419 +417 00:26:21,237 --> 00:26:26,660 của những dao động đó phụ thuộc vào tần số của ánh sáng, như một hệ quả của mẫu số này. -420 +418 00:26:26,920 --> 00:26:31,370 Và những dao động đó càng lắc lư thì kích thước của sóng bậc hai do lớp đó -421 +419 00:26:31,370 --> 00:26:36,000 gây ra càng lớn, từ đó gây ra sự dịch chuyển lớn hơn về pha của sóng tổng thể. -422 +420 00:26:36,460 --> 00:26:39,875 Bởi vì có rất nhiều sự dịch chuyển pha khác nhau là nguyên nhân -423 +421 00:26:39,875 --> 00:26:42,490 gây ra sự chậm lại rõ ràng này đối với ánh sáng, -424 +422 00:26:42,490 --> 00:26:46,760 điều đó có nghĩa là mức độ chậm lại cuối cùng phụ thuộc vào tần số của ánh sáng. -425 +423 00:26:47,440 --> 00:26:49,800 Vì vậy, đó là lý do thực sự tại sao lăng kính hoạt động. -426 +424 00:26:50,120 --> 00:26:52,686 Bạn không thể giải thích thực sự sự phân tách ánh sáng -427 +425 00:26:52,686 --> 00:26:55,440 cho đến khi bạn nghiên cứu bộ dao động điều hòa điều khiển. -428 +426 00:26:57,120 --> 00:26:59,521 Bây giờ, tôi đã bỏ qua một số chi tiết, và một lần nữa, -429 +427 00:26:59,521 --> 00:27:03,124 tôi khuyến khích những khán giả tò mò hãy xem qua các bài giảng của Feynman mà phần -430 +428 00:27:03,124 --> 00:27:04,540 lớn nội dung này đều dựa trên đó. -431 -00:27:05,020 --> 00:27:09,003 -Một chi tiết khá quan trọng mà tội phạm nhỏ không nên nhắc đến là khi chúng ta mô +429 +00:27:05,020 --> 00:27:08,886 +Một chi tiết khá quan trọng, có chút tội lỗi khi không nhắc đến là khi ta mô -432 -00:27:09,003 --> 00:27:12,939 +430 +00:27:08,886 --> 00:27:12,953 hình hóa điện tích của mình như một dao động điều hòa nhỏ với lực phục hồi tuyến -433 -00:27:12,939 --> 00:27:17,020 -tính này, thực sự cũng phải có một thuật ngữ phụ thuộc vào vận tốc của điện tích đó. +431 +00:27:12,953 --> 00:27:17,020 +tính này, thực sự cũng nên có một số hạng phụ thuộc vào vận tốc của điện tích đó. -434 +432 00:27:17,400 --> 00:27:19,480 Bạn có thể coi đây là một loại lực kéo. -435 +433 00:27:19,960 --> 00:27:24,820 Thuật ngữ này giải thích thực tế là năng lượng từ sóng ánh sáng tới được vật liệu hấp thụ. -436 +434 00:27:25,440 --> 00:27:29,689 Nếu không có nó, toàn bộ lời giải thích này dường như ngụ ý rằng ánh sáng luôn truyền -437 +435 00:27:29,689 --> 00:27:32,012 qua mọi vật liệu, không chỉ thủy tinh và nước, -438 +436 00:27:32,012 --> 00:27:34,680 khi mà bạn có thể biết chỉ bằng cách nhìn xung quanh, -439 +437 00:27:34,680 --> 00:27:38,140 có tất cả các loại vật liệu mà ánh sáng chủ yếu bị phản xạ và hấp thụ. -440 +438 00:27:38,940 --> 00:27:43,040 Như tôi đã đề cập lúc đầu, mọi người trên Patreon có rất nhiều câu hỏi về chỉ số khúc xạ, -441 +439 00:27:43,040 --> 00:27:46,503 chẳng hạn như làm thế nào nó có thể nhỏ hơn một và tại sao sự chậm lại đồng -442 +440 00:27:46,503 --> 00:27:49,920 nghĩa với việc bị uốn cong, vì vậy tôi đã tạo một video bổ sung để trả lời -443 +441 00:27:49,920 --> 00:27:52,700 một số câu hỏi đó, lẽ ra là được xuất bản chỉ trong vài ngày. -444 -00:27:53,180 --> 00:27:56,985 +442 +00:27:53,180 --> 00:27:56,976 Trong khi đó, bạn tôi Mithena từ kênh Looking Glass Universe vừa đưa ra một -445 -00:27:56,985 --> 00:28:00,941 +443 +00:27:56,976 --> 00:28:00,922 cặp video về câu hỏi liên quan nhưng chắc chắn khác biệt về việc liệu ánh sáng -446 -00:28:00,941 --> 00:28:04,797 +444 +00:28:00,922 --> 00:28:04,768 có chậm lại trong một môi trường hay không, không phải theo nghĩa là đi theo -447 -00:28:04,797 --> 00:28:08,002 +445 +00:28:04,768 --> 00:28:07,964 các đỉnh của một sóng hình sin thuần túy. ở trạng thái ổn định, -448 -00:28:08,002 --> 00:28:11,107 +446 +00:28:07,964 --> 00:28:11,061 nhưng theo nghĩa là cố gắng gửi thông tin qua phương tiện đó, -449 -00:28:11,107 --> 00:28:12,660 -giống như với một gói sóng nhỏ. +447 +00:28:11,061 --> 00:28:12,660 +giống như với một phần sóng nhỏ. -450 +448 00:28:13,040 --> 00:28:17,472 Tôi chắc chắn có được sự tồn tại của video này là nhờ nhiều cuộc trò chuyện với cô ấy -451 +449 00:28:17,472 --> 00:28:22,060 về chủ đề này và người xem ở đây chắc chắn sẽ thích xem qua, đặc biệt là ở video thứ hai. -452 +450 00:28:23,340 --> 00:28:27,103 Nhân tiện, tôi và một số cộng tác viên đã tạo ra cuốn sổ tay này mà tôi nghĩ nhiều -453 +451 00:28:27,103 --> 00:28:31,140 người xem có thể thích thú và vì đang là mùa nghỉ lễ nên nó có vẻ đáng được đề cập nhanh. -454 -00:28:31,480 --> 00:28:34,623 +452 +00:28:31,480 --> 00:28:34,774 Tiền đề là mỗi trang đều có một câu trích dẫn liên quan đến toán học và -455 -00:28:34,623 --> 00:28:37,896 +453 +00:28:34,774 --> 00:28:38,205 tôi đã rất vui khi tuyển chọn tất cả chúng, cố gắng hạn chế bản thân trong -456 -00:28:37,896 --> 00:28:41,040 +454 +00:28:38,205 --> 00:28:41,500 những câu trích dẫn truyền tải một số ý tưởng thực sự kích thích tư duy. -457 -00:28:41,040 --> 00:28:45,716 +455 +00:28:42,100 --> 00:28:46,427 Và sau đó, ngoài nội dung, về cơ bản, tôi đã tạo ra loại sổ ghi chép mà tôi thích -458 -00:28:45,716 --> 00:28:50,278 +456 +00:28:46,427 --> 00:28:50,648 ghi chú nhất, một thứ dễ mang theo với các đường lưới rất mờ hữu ích cho sơ đồ, -459 -00:28:50,278 --> 00:28:55,240 +457 +00:28:50,648 --> 00:28:55,240 nhưng mặt khác lại không phô trương, tất cả đều được bọc trong loại da giả mềm đẹp này. -460 +458 00:28:55,680 --> 00:29:09,914 Nếu điều đó có vẻ phù hợp với bạn, bạn có thể tìm thấy chúng trong -461 +459 00:29:09,914 --> 00:29:23,300 cửa hàng 3blue1Brown bên cạnh rất nhiều mặt hàng toán học khác.