From a1d6af9620a62b66a3c5ff92d92c36bb8907644b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: RickGelhausen Date: Tue, 25 Jun 2024 16:59:27 +0200 Subject: [PATCH] Fixed formulas --- exercise-sheet-5.Rmd | 20 +++++++++++--------- 1 file changed, 11 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/exercise-sheet-5.Rmd b/exercise-sheet-5.Rmd index a279aa0..994b305 100644 --- a/exercise-sheet-5.Rmd +++ b/exercise-sheet-5.Rmd @@ -72,27 +72,29 @@ $$ knitr::include_graphics(c("figures/sheet-5/p1.png", "figures/sheet-5/p2.png")) ``` -formuliert werden. Hierbei haben wir "Phantompixel" $ X_{r+1,j} $ und $ X_{i,c+1} $ angenommen, mit $ X_{r+1,j} = X_{r,j} $ und $ X_{i,c+1} = X_{i,c} $, um das Definieren der Summenindizes zu erleichtern. -Abbildung 1 zeigt ein Beispiel einer so erhaltenen Rekonstruktion mit $ \alpha = 0.5 $. +formuliert werden. Hierbei haben wir "Phantompixel" $X_{r+1,j}$ und $X_{i,c+1}$ angenommen, mit $X_{r+1,j} = X_{r,j}$ und $X_{i,c+1} = X_{i,c}$, um das Definieren der Summenindizes zu erleichtern. +Abbildung 1 zeigt ein Beispiel einer so erhaltenen Rekonstruktion mit $\alpha = 0.5$. --- ## Beispiel 2: Bildrekonstruktion -Wir betrachten eine Kette, bestehend aus $ N $ Massepunkten, die durch $ N-1 $ Federn verbunden sind. -Die Massepunkte haben Masse $ m $ und Positionen $ (y_i, z_i) $, mit $ {i = 0, \ldots, N} $. -Die beiden äußersten Massepunkte sind fixiert, $ (y_1, z_1) = (-2, 1) $ sowie $ (y_N, z_N) = (2, 1) $. -Wir wollen eine Ruheposition der Kette finden, was der Minimierung der Kettenenergie $ V(y, z) $ entspricht. +Wir betrachten eine Kette, bestehend aus $N$ Massepunkten, die durch $N-1$ Federn verbunden sind. +Die Massepunkte haben Masse $m$ und Positionen $(y_i, z_i) $, mit ${i = 0, \ldots, N}$. +Die beiden äußersten Massepunkte sind fixiert, $(y_1, z_1) = (-2, 1)$ sowie $(y_N, z_N) = (2, 1)$. +Wir wollen eine Ruheposition der Kette finden, was der Minimierung der Kettenenergie $V(y, z)$ entspricht. Diese setzt sich zusammen aus der Lageenergie der Massen sowie der potentiellen Energie der Federn: $$ V(y, z) = \sum_{i=0}^{N} mgz_i + \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{N-1} D \left( (y_i - y_{i+1})^2 + (z_i - z_{i+1})^2 \right), $$ -wobei $ g $ die Erdbeschleunigung ist und $ D $ die Federkonstante. Wir führen nun zwei Variationen dieses Problems ein. +wobei $g$ die Erdbeschleunigung ist und $D$ die Federkonstante. +Wir führen nun zwei Variationen dieses Problems ein. -1. Unterhalb der Kette befindet sich eine ebene Fläche, die die Kette nach unten beschränkt. Dies drücken wir durch die Nebenbedingung $ z_i \geq 0 $ aus. -2. Unterhalb der Kette befindet sich ein Hügel. Diesen drücken wir durch die Nebenbedingung $ z_i \geq -y_i^2 $ aus. +1. Unterhalb der Kette befindet sich eine ebene Fläche, die die Kette nach unten beschränkt. +Dies drücken wir durch die Nebenbedingung $z_i \geq 0$ aus. +2. Unterhalb der Kette befindet sich ein Hügel. Diesen drücken wir durch die Nebenbedingung $z_i \geq -y_i^2$ aus. Alles zusammen führt uns zu folgenden nichtlinearen Programmen: