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<!DOCTYPE html>
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<title>Rlog4.md</title>
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* Copyright (c) Microsoft Corporation. All rights reserved.
* Licensed under the MIT License. See License.txt in the project root for license information.
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<style>
/* Tomorrow Theme */
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/* Original theme - https://github.com/chriskempson/tomorrow-theme */
/* Tomorrow Comment */
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/* Tomorrow Red */
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/* Tomorrow Orange */
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/* Tomorrow Yellow */
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/* Tomorrow Green */
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/*
* Markdown PDF CSS
*/
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background-color: #f8f8f8;
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pre:not(.hljs) {
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background: rgba(127, 127, 127, 0.1);
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.emoji {
height: 1.4em;
}
code {
font-size: 14px;
line-height: 19px;
}
/* for inline code */
:not(pre):not(.hljs) > code {
color: #C9AE75; /* Change the old color so it seems less like an error */
font-size: inherit;
}
/* Page Break : use <div class="page"/> to insert page break
-------------------------------------------------------- */
.page {
page-break-after: always;
}
</style>
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</head>
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startOnLoad: true,
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? 'dark'
: 'default'
});
</script>
<h1 id="what-did-you-learn">What did you learn？</h1>
<blockquote>
<p>一些密码学算法的具体实现 Cryptographic Implementation Details</p>
</blockquote>
<h2 id="number-15-key-generation-encryption-and-decryption-algorithms-for-rsa-oaep-and-ecies"><a href="https://bristolcrypto.blogspot.com/2015/01/key-generation-encryption-and.html">Number 15: Key generation, encryption and decryption algorithms for RSA-OAEP and ECIES.</a></h2>
<h3 id="1-rsa-oaep">1. RSA-OAEP</h3>
<h4 id="11-rsa">1.1 RSA</h4>
<p>略</p>
<h4 id="12-oaep">1.2 OAEP</h4>
<p>Optimal Asymmetric Encryption Padding
它是与非对称加密（通常是 RSA）一起使用的填充方案。它可以给确定性加密方案带来一些随机性。当与 RSA 一起使用时，组合方案被证明是 IND-CCA 安全的。</p>
<p>令</p>
<ul>
<li>$f$ 是一个 $k$ 比特的陷门单向置换（trapdoor one-way permutation）：$f:{0,1}^k \rightarrow {0,1}^k$</li>
<li>$m$ 是一个 $n$ 比特的消息</li>
<li>$G,H$ 是两个伪随机函数，其中 $G:{0,1}^s \rightarrow {0,1}^{n+t},H:{0,1}^{n+t} \rightarrow {0,1}^s,\ where\ k=n+t+s$</li>
<li>$R$ 是一个 $s$ 比特的随机数: $R \overset{$}{\leftarrow} {0,1}^s$</li>
</ul>
<p><strong>Encryption:</strong>
计算 $k$ 比特密文的过程如下：
$$
E(m) = f_{pk}({(m||0^t) \oplus G(R)} || {R \oplus H((m||0^t)\oplus G(R)) })
$$</p>
<p><strong>Decryption:</strong>
通过陷门解密：
$$
D(c) = f_{sk}(c) = {(m||0^t) \oplus G(R)} || {R \oplus H((m||0^t)\oplus G(R)) }
$$</p>
<p>然后</p>
<ol>
<li>令前 $n+t$个比特为 $T:T=(m||0^t) \oplus G(R)$，剩下的 $s$ 比特为 $S:S=R \oplus H((m||0^t)\oplus G(R))$</li>
<li>$R$ 可以根据 $R=S\oplus H(T)$ 计算出来</li>
<li>接着计算 $m||0^t=T\oplus G(R)$</li>
<li>可以通过 $n$ 位消息 $m$ 后面是否正好有 $t$ 个 0 来验证有效性。如果有效，则删除前 $t$ 位并输出 $m$。</li>
</ol>
<p>在实际应用中，我们分别用 RSA 加密和解密函数来代替 $f_{pk}$ 和 $f_{sk}$。</p>
<h3 id="2-ecies">2. ECIES</h3>
<p>Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme</p>
<blockquote>
<p>是 ElGamal 加密方案在椭圆曲线上的一种变体</p>
</blockquote>
<h4 id="21-elliptic-curve">2.1 Elliptic Curve</h4>
<p>定义在素数域 $F_q$，选择一个点 $P$ 并拥有素数阶 $n$
略（看NO.12）</p>
<h4 id="22-ecies">2.2 ECIES</h4>
<p>ECIES 经常与一个对称加密方案和一个 MAC 方案一起使用。</p>
<ul>
<li>symmetric encryption scheme : $Enc_k(m)=c,Dec(c)=m$</li>
<li>MAC scheme : $MAC_k(m)=t,Ver(t,m)=T/F$</li>
<li>Key Derivation Function : $KDF(s_1,s_2)=(k_{enc},k_{MAC})$，其中 $s_1,s_2$ 是俩种子</li>
</ul>
<p><strong>Key Generation：</strong></p>
<ol>
<li>选择一个随机整数 $d \in [1,n-1]$</li>
<li>计算一个新的点 $Q=dP$</li>
<li>公钥是 $Q$，私钥是 $d$</li>
</ol>
<p><strong>Encryption:</strong></p>
<ol>
<li>选择一个随机整数 $k \in [1,n-1]$</li>
<li>计算 $R=kP,z=kQ$，$Z$ 不能是 $\infty$</li>
<li>计算 $(k_1,k_2)=KDF(x_Z,R)$，其中 $x_Z$ 是 $Z$ 的 $x$ 坐标</li>
<li>计算 $c=Enc_{k_1}(m)$，$t=MAC_{k_2}(c)$</li>
<li>输出密文 $(R,c,t)$</li>
</ol>
<p><strong>Decryption:</strong></p>
<ol>
<li>验证 $R$ 是否有效。通过将 $R$ 代入曲线中可以轻松完成此操作。</li>
<li>计算 $Z'=dR$</li>
<li>计算 $(k'<em>1,k'<em>2)=KDF(x</em>{Z'},R)$，其中 $x</em>{Z'}$ 是 $Z'$ 的 $x$ 坐标</li>
<li>验证 $Very(t,c)$</li>
<li>解密 $m'=Dec_{k'_1}(c)$</li>
<li>输出明文 $m'$</li>
</ol>
<p>正确性：$Z'=dR=d(kP)=k(dP)=kQ=Z$</p>
<h2 id="number-16-describe-the-key-generation-signature-and-verification-algorithms-for-dsa-schnorr-and-rsa-fdh"><a href="https://bristolcrypto.blogspot.com/2015/01/52-things-number-15-describe-key.html">Number 16: Describe the key generation, signature and verification algorithms for DSA, Schnorr and RSA-FDH.</a></h2>
<h3 id="1-digital-signature-scheme-dsa">1. Digital Signature Scheme (DSA)</h3>
<blockquote>
<p>也叫 Digital Signature Standard (DSS)</p>
</blockquote>
<p>安全性基于计算离散对数的困难性。此外，没有在标准模型下的已知证明。</p>
<h4 id="11-domain-parameter-generation">1.1 Domain Parameter Generation</h4>
<ol>
<li>选择一个素数 $p$，其中 $2^{L−1}<p<2^L$，$L$ 是 64 的倍数，且 $512≤L≤1024$。</li>
<li>选择 $p−1$ 的素因数 $q$，其中 $2^{159}<q<2^{160}$。</li>
<li>计算 $q$ 阶子群的生成元 $g$：选择一个随机整数 $r$，其中 $1<r<p−1$，令 $g=r^{(p−1)/q}\ mod\ p$ 且 $g\neq1$。</li>
</ol>
<blockquote>
<p>了解即可</p>
</blockquote>
<h4 id="12-key-generation">1.2 Key Generation</h4>
<ol>
<li>选择一个随机整数 $x$，其中 $0<x<q$。</li>
<li>计算 $y=g^x\ mod\ p$。</li>
</ol>
<p>公钥是 $y$，私钥是 $x$。</p>
<h4 id="13-signing">1.3 Signing</h4>
<ol>
<li>选择一个随机整数 $k$，其中 $0<k<q$。</li>
<li>计算 $r=(g^k\ mod\ p)\ mod\ q$。</li>
<li>计算 $s=k^{-1}\cdot(H(m)+x\cdot r)\ mod\ q$，其中 $H(m)$ 是消息 $m$ 的哈希值（SHA-1）。</li>
</ol>
<p>对消息 $m$ 的签名是 $(r,s)$。</p>
<h4 id="14-verification">1.4 Verification</h4>
<ol>
<li>计算 $u_1=H(m)\cdot s^{-1}\ mod\ q$。</li>
<li>计算 $u_2=r\cdot s^{-1}\ mod\ q$。</li>
<li>计算 $v=(g^{u_1}\cdot y^{u_2}\ mod\ p)\ mod\ q$。</li>
<li>如果 $v=r$，则签名有效。</li>
</ol>
<h4 id="15-correctness">1.5 Correctness</h4>
<p>$$
v=g^{u_1}\cdot y^{u_2}=g^{H(m)\cdot s^{-1}}\cdot g^{x\cdot r\cdot s^{-1}}=g^{H(m)\cdot s^{-1}+x\cdot r\cdot s^{-1}}=g^{(H(m)+x\cdot r)\cdot s^{-1}}=g^k=r
$$</p>
<h3 id="2-schnorr-signature-scheme">2. Schnorr Signature Scheme</h3>
<p>Schnorr 签名是一种重要的基于 DLP 的签名方案。它适用于任何素数阶群，并且其安全性在 DL 假设下的随机预言模型中得到了证明。</p>
<h4 id="21-domain-parameter-generation">2.1 Domain Parameter Generation</h4>
<ol>
<li>选择一个素数 $p$</li>
<li>选择一个 $p-1$ 的素因数 $q$</li>
<li>选择 $q$ 阶子群的生成元</li>
</ol>
<h4 id="22-key-generation">2.2 Key Generation</h4>
<ol>
<li>选择一个随机整数 $x$，其中 $0<x<q$</li>
<li>计算 $y=g^x\ mod\ p$</li>
</ol>
<p>公钥是 $y$，私钥是 $x$</p>
<h4 id="23-signing">2.3 Signing</h4>
<ol>
<li>选择一个随机整数 $k$，其中 $0<k<q$</li>
<li>计算 $a=g^k\ mod\ p$</li>
<li>计算 $r=H(m||a)$</li>
<li>计算 $s=(k+x\cdot r)\ mod\ q$</li>
</ol>
<p>对消息 $m$ 的签名是 $(r,s)$</p>
<h4 id="24-verification">2.4 Verification</h4>
<ol>
<li>计算 $v=g^s\cdot y^{-r}\ mod\ p$</li>
<li>如果 $v=a$，则签名有效</li>
</ol>
<h4 id="25-correctness">2.5 Correctness</h4>
<p>$$
v=g^s\cdot y^{-r}=g^{k+x\cdot r}\cdot g^{-r\cdot x}=g^k\cdot g^{x\cdot r}\cdot g^{-r\cdot x}=a
$$</p>
<h3 id="3-rsa-fdh">3. RSA-FDH</h3>
<p>RSA-FDH (full domain hash)是一种基于 RSA 的签名方案，遵循 <strong>hash-then-sign</strong> paradigm。它利用哈希函数（哈希函数的输出范围等于 RSA 模数）为普通 RSA 签名方案生成看起来随机的输出。因此，它可以防止对普通 RSA 签名方案的代数攻击，并且能够对任意长度的消息进行签名。但在实践中很难创建这样的哈希函数。 RSA-FDH 可以在随机预言模型中证明是 EU-CMA 安全的。</p>
<h4 id="31-key-generation">3.1 Key Generation</h4>
<ol>
<li>选择两个大素数 $p,q$，计算 $N=p\cdot q$</li>
<li>选择一个整数 $e$，其中 $1<e<\phi(N)$ 且 $gcd(e,\phi(N))=1$</li>
<li>计算 $d=e^{-1}\ mod\ \phi(N)$</li>
</ol>
<p>公钥是 $(N,e)$，私钥是 $(d,p,q)$</p>
<h4 id="32-signing">3.2 Signing</h4>
<ol>
<li>计算 $s=H(m)^d\ mod\ N$</li>
</ol>
<p>对消息 $m$ 的签名是 $s$</p>
<h4 id="33-verification">3.3 Verification</h4>
<ol>
<li>计算 $s^e\overset{?}{=}H(m)\ mod\ N$</li>
</ol>
<h3 id="4-correctness">4. Correctness</h3>
<p>$$
s^e\ mod\ N=H(m)^{d\cdot e}\ mod\ N=H(m)^1\ mod\ N=H(m)
$$</p>
<h2 id="number-17-describe-and-compare-the-round-structure-of-des-and-aes"><a href="https://bristolcrypto.blogspot.com/2015/01/52-things-number-17-describe-and.html">Number 17: Describe and compare the round structure of DES and AES.</a></h2>
<p>DES 与 AES 都属于迭代分组密码（iterated block ciphers），特点：</p>
<ul>
<li>通过重复使用简单的轮函数获得安全性</li>
<li>轮数 $r$ 可变，一般 $r$ 越大，安全性越高</li>
<li>每轮的轮密钥都是主密钥通过 key schedule 生成的</li>
<li>轮加密是一个可逆的过程，注意轮函数本身n不一定是可逆的</li>
</ul>
<h3 id="1-des">1. <strong>DES</strong></h3>
<ol>
<li>本质属于 Feistel 网络</li>
</ol>
<p>$$
L_{i+1}=R_i\
R_{i+1}=L_i\oplus F(R_i,K_i)
$$</p>
<ol start="2">
<li>轮函数 $F$ 本身不需要可逆，我们只需要使用相反顺序的轮密钥来解密即可；加解密使用相同的操作</li>
<li>参数：
<ul>
<li>轮数：16</li>
<li>分组长度：64 bits</li>
<li>密钥长度：56 bits</li>
<li>Feistel 迭代之前和之后执行一次permutation</li>
</ul>
</li>
<li>轮函数操作（具体不写，没意思）：
<ul>
<li>Expansion Permutation</li>
<li>Round Key Addition</li>
<li>Splitting</li>
<li>S-Box</li>
<li>P-Box</li>
</ul>
</li>
</ol>
<h3 id="2-aes">2. <strong>AES</strong></h3>
<ol>
<li>不依赖于 Feistel 网络，而是使用了 SPN（Substitution-Permutation Network）</li>
<li>加密和解密操作不同，基于 $F_2^8$ 上的有限域运算</li>
<li>参数：
<ul>
<li>轮数：10/12/14</li>
<li>分组长度：128 bits</li>
<li>密钥长度：128/192/256 bits</li>
</ul>
</li>
<li>轮函数操作（具体不写，没意思）：
<ul>
<li>SubBytes</li>
<li>ShiftRows</li>
<li>MixColumns</li>
<li>AddRoundKey</li>
</ul>
</li>
</ol>
<h2 id="number-18-draw-a-diagram-or-describe-the-ecb-cbc-and-ctr-modes-of-operation"><a href="https://bristolcrypto.blogspot.com/2015/02/52-things-number-18-draw-diagram-or.html">Number 18: Draw a diagram (or describe) the ECB, CBC and CTR modes of operation</a></h2>
<p>密码学必学内容，具体自己看对应链接，这里只简单过一下</p>
<p>分组密码可以解决一个块的加密问题，而<strong>操作模式</strong>（Modes of operation）可以解决多个块的加密问题。</p>
<p><strong><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/File:ECB_encryption.svg">ECB</a></strong>
明文被分为 $m$ 个块，每个块使用相同的密钥单独加密，但重复的明文块会产生相同的密文块.
<img src="assets/Rlog4/image.png" alt="Alt text">
<strong><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/File:CBC_encryption.svg">CBC</a></strong>
CBC 模式消除了 ECB 模式的局限性。每个明文在加密之前都与先前的密文进行异或，其中第一个明文块与随机初始化向量 (IV) 进行异或。CBC是实践中最常用的模式。
<img src="assets/Rlog4/image-1.png" alt="Alt text">
<strong><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/File:CTR_encryption_2.svg">CTR</a></strong>
它在某种意义上就像流密码。 CTR 模式通过重复加密“计数器”的连续值来生成密钥流。
<img src="assets/Rlog4/image-2.png" alt="Alt text"></p>
<p>p.s.：一些操作模式除了保证明文的机密性之外，还保证其真实性。有关更多信息，请参阅 <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Authenticated_encryption">AEAD</a> 模式。</p>
<h2 id="number-19-the-shamir-secret-sharing-scheme"><a href="https://bristolcrypto.blogspot.com/2015/02/52-things-number-19-shamir-secret.html">Number 19: The Shamir secret sharing scheme.</a></h2>
<p>如果我们有一个秘密 $S$ 和 $n$ 个参与方，我们可以将 $S$ 分成 $n$ 个部分并将其分发给各个参与方。秘密可以以这样的方式划分：可以设置阈值 $k$，使得当秘密 $S$ 的 $k$ 部分已知时，可以计算整个秘密。如果 $S$ 的 $k−1$ 或更少部分已知，则无法计算 $S$。该方案称为 $(k,n)$ threshold scheme。</p>
<p>以一个例子说明：
$S=1425,\ n=5,\ k=3$</p>
<p>首先确定多项式的阶数（order），即 $k−1$，然后随机选取系数，即随机选取$a_1,a_2$，例如：
$$
f(x)=S+a_1x+a_2x^2=1425+64x+112x^2
$$</p>
<p>然后可以计算 $n$ 个点：
$$
f(1)=1425+64+112=1601\
f(2)=1425+128+448=2001\
f(3)=1425+192+1008=2625\
f(4)=1425+256+1792=3473\
f(5)=1425+320+2816=4545
$$
然后将这些点分发给 $n$ 个参与方。</p>
<p>解密的话，只需要 $k$ 个点即可，然后使用拉格朗日插值法或者列线性方程组即可得到多项式，最后得到 $S$。
<img src="assets/Rlog4/image-3.png" alt="Alt text"></p>
<blockquote>
<p>听不懂这儿的基本可以告别密码学了</p>
</blockquote>
<h2 id="number-20-how-are-merkle-damgaard-style-hash-functions-constructed"><a href="https://bristolcrypto.blogspot.com/2015/02/52-things-number-20-how-are-merkle.html">Number 20: How are Merkle-Damgaard style hash functions constructed?</a></h2>
<p>英文教材里基本有，这里简单说一下。</p>
<p>Merkle-Damgaard (MD) 哈希函数是通过扩展抗碰撞压缩函数的域而构建的哈希函数。即，将一个小的压缩函数扩展成一个安全变长的哈希函数</p>
<h3 id="1-secure-hash-function">1. Secure Hash Function</h3>
<p>安全哈希函数 $h$ 的特点：</p>
<ul>
<li>Pre-image resistant : 给定 $h(x)$，计算 $x$ 是困难的</li>
<li>Second pre-image resistance : 给定 $x$，计算 $y$, 使得 $h(x)=h(y)$ 是困难的</li>
<li>Collision Resistance: 找到 $x,y$，使得 $h(x)=h(y)$ 是困难的</li>
</ul>
<h3 id="2-compression-function">2. Compression Function</h3>
<p>$$
h:{0,1}^n\times {0,1}^r \rightarrow{0,1}^n
$$
顾名思义就是把 $n+r$ 位的输入压缩成 $n$ 位的输出，当然也是 Collision Resistance 的。可以理解为固定输入长度的哈希函数。</p>
<h3 id="3-merkle-damgaard-hash-function-construction">3. Merkle-Damgaard hash function Construction</h3>
<p>将 “固定输入长度” 变为 “变长输入长度”，维基百科截下来的图：
<img src="assets/Rlog4/image-4.png" alt="Alt text">
教材上截下来的图：
<img src="assets/Rlog4/image-5.png" alt="Alt text"></p>
<p>输入 $M$ 被分成 $n$ 个块 $M_1,M_2,...,M_m$，然后通过迭代的方式计算哈希值：
$$
S_0=IV\qquad i=0,\cdots m-1\
S_{i+1}=f(S_{i},M_i)\
h(M)=S_m
$$</p>
<p>MD 结构最重要的是，如果压缩函数是抗碰撞的，那么整体结构也是抗碰撞的</p>
<p>P.S. : 注意到上图有个 “finalisation” 阶段，这个阶段是为了防止长度扩展攻击（length extension attack）</p>
<blockquote>
<p>如果 $N$ 是一个块，且已知 $h(M)=x$ ，那么可以通过 $h(M||N)=f(x,N)$ 轻易计算 $M||N$ 的哈希值</p>
</blockquote>
</body>
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"></script>
<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [['$', '$']]}, messageStyle: "none" });</script>
</html>