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Date: Mon, 30 Oct 2023 17:50:30 +0800
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新增欧拉图
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 .../\346\254\247\346\213\211\350\267\257.md"  | 49 +++++++++++++++++++
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+# 欧拉图(Euler Graph)
+## 定义
+-   **欧拉回路**：通过图中每条边恰好一次的回路
+-   **欧拉通路**：通过图中每条边恰好一次的通路
+-   **欧拉图**：具有欧拉回路的图
+-   **半欧拉图**：具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图
+## 性质
+欧拉图中所有顶点的度数都是偶数。
+
+若 $G$ 是欧拉图，则它为若干个环的并，且每条边被包含在奇数个环内。
+## 判别法
+1.  无向图是欧拉图当且仅当：
+    -   非零度顶点是连通的
+    -   顶点的度数都是偶数
+2.  无向图是半欧拉图当且仅当：
+    -   非零度顶点是连通的
+    -   恰有 2 个奇度顶点
+3.  有向图是欧拉图当且仅当：
+    -   非零度顶点是强连通的
+    -   每个顶点的入度和出度相等
+4.  有向图是半欧拉图当且仅当：
+    -   非零度顶点是弱连通的
+    -   至多一个顶点的出度与入度之差为 1
+    -   至多一个顶点的入度与出度之差为 1
+    -   其他顶点的入度和出度相等
+## 查找无向图欧拉回路
+定义全局变量use[N]，表示点u的前use[u]条边已经被用过了，dfs时只走没用过的边，边为二元组（另一点，反向边的存储位置），记录第二个信息方便标记反向边已经用过
+```cpp
+int use[N];
+vector<array<int, 2>> e[N];
+void dfs(int u)
+{
+    while (use[u] < e[u].size())
+    {
+        auto [v, ind] = e[u][use[u]];
+        if (v == -1)
+        {
+            ++use[u];
+            continue;
+        }
+        e[v][ind][0] = -1;
+        ++use[u];
+        dfs(v);
+    }
+}
+int pos1 = e[u].size(), pos2 = e[v].size();
+e[u].push_back({v, pos2});
+e[v].push_back({u, pos1});
+```