Tutorial_Complex_sampling_R.Rmd

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output:
  knitrBootstrap::bootstrap_document:
    title: "Introducción al muestreo complejo en R"
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    highlight.chooser: TRUE
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#Tutorial de muestreo en R
**Fecha: `r as.character(format(Sys.Date(), format="%B %d, %Y"))`**    

**Por Felipe Jiménez**    

##Introducción   

El presente tutorial tiene como objetivo principal el introducir al usuario en el muestreo simple y  complejo en el ambiente de programación analítica R.Se cubren los siguientes temas:    
 
* La selección de tamaños de muestra simples(`base` y `dplyr`),     
* selección sistemática y cálculo de tamaños de muestra(`SamplinUtil`),        
* cálculo de intervalos de confianza(`DescTools`),    
* selección de muestras con PPT (`pps`),    
* Muestreo complejo con el paquete ` survey `.    
* Comparación de los resultados arrojados en R con información oficial de la Encuesta de Hogares del INEC.     

##Configuración de R y Rstudio

El primer paso para iniciar con el tutorial es instalar [la consola de R](http://cran.rstudio.com/)(En el triste caso de aún no contar con él).   

Posteriormente, es altamente recomendado utilizar el IDE [Rstudio](http://www.rstudio.com/products/rstudio/download/), para una mayor facilidad en el desarrollo de las aplicaciones.    

Una vez con la instalación de nuestras dos herramientas, procedemos a crear un nuevo documento [Rmarkdown](http://rmarkdown.rstudio.com/) Y escogemos las opciones por defecto, como se ilustra en la siguiente figura:

![Rmarkdown](https://www.dropbox.com/s/aes3xp4xs2zrpx7/Captura1.png?dl=1)

Una vez abierto el nuevo documento R markdown, guardarlo y a continuación borrar el código que trae por defecto como ejemplo, a excepción del encabezado encerrado con tres slash (`---`) al inicio del documento.

----------------------------------------------------------------------------- 

## Ejercicios

### Selección de muestras simples

**Muestreo irrestricto Aleatorio[(MIA)](http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030006/lecciones/capituloseis/6_5.html)**:    

El R Base contiene la útil función `sample` en la que se pueden obtener muestras aleatorias con o sin reemplazo de manera sencilla.

Vamos a cargar un dataset para ejemplificar y a cuantificar sus dimensiones:

```{r EJ1.0}

crime<-data.frame(crimtab)
dim(crime)

```

Como podemos ver, el dataset `crime` contiene `r dim(crime)[1] ` filas y `r dim(crime)[2] ` columnas.Seguidamente seleccionamos una muestra  de
30 casos sin reemplazo:    

```{r EJ1.1}

#Selección de la muestra

#Tamaño de la muestra
n<-30

muestramia<- sample(1:nrow(crime),n,replace=FALSE)
muestramia

#Asignar los elementos de la muestra al data frame de datos
crimemuestramia<- crime[muestramia, ]

head(crimemuestramia)

```

#### Selección de muestras simples con `dplyr`

Una forma más sencilla de obtener una muestra es con el paquete `dplyr`.Este paquete es sumamente útil para el tratamiento de datos, adicionalmente contiene una función para obtener muestras simples de un data frame:         

```{r 1.2,message=FALSE}

library(dplyr)

#Muestra sin reemplazo
crimemuestramia2<- crime %.%
  sample_n(size=n,replace=FALSE)

head(crimemuestramia2)

#Muestra con pesos
crimemuestramia3<- crime %.%
  sample_n(size=n,weight=Freq)

head(crimemuestramia3)

#Muestra con una proporción de casos
crimemuestramia4<- crime %.%
  sample_frac(0.05)

head(crimemuestramia4);dim(crimemuestramia4)

```

--------------------------------------------------------------------------

### Selección de muestras sistemáticas(Instalación del paquete  `SamplingUtils`)

Para el ejemplo del muestreo sistemático utilizaremos la función `sys.sample` del paquete `SamplingUtil`.Para instalar este paquete, se debe inicialmente instalar el paquete `devtools` ya que no se encuentra en CRAN.Las instrucciones son las siguientes:

**Instalar devtools:**`install.packages("devtools")`   
**Cargar libreria:** `library(devtools)`     

**Instalar SamplingUtils:**`install_github("DFJL/SamplingUtils")`  

De esta manera podemos proceder a generar la muestra sistemática:

  

```{r EJ1.2}

#Cargar libreria:

library(SamplingUtil)

muestrasis<- sys.sample(nrow(crime),30)
muestrasis

#Asignar los elementos de la muestra al data frame de datos
crimemuestrasis<- crime[muestrasis, ]

head(crimemuestrasis)


```

--------------------------------------------------------------------------------

### Tamaños de muestra simples

En este tutorial veremos tres variantes para cálculo de tamaño muestral asumiendo MIA.Para esto, utilizaremos la data de la ENAHO 2013 y la función `nsize()` incluída en el paquete `SamplingUtil`.   

Como variable continua se utilizará la Cantidad de personas del hogar (**TamHog**), para el ejemplo de proporciones, se creará la variable Proporción de Hogares Unipersonales.    
    
1. **Error relativo para variables continuas.**  

se desea conocer el tamaño de muestra para que el error relativo no supere el 5%, con un alpha de 5%.  


```{r EJ3.1,message=FALSE}
  
#Generando df de ENAHO2013 a nivel de hogar

df<- ENAHO2013 %.%  #Define nuevo data frame
  mutate(TamHog=as.numeric(TamHog), #Convierte TamHog a numérica
         phu=ifelse(TamHog>1,0,1)) %.% #Crea variable de prop Hog. Unipersonales.
  select(FACTOR:ZONA,TamHog,phu,-REGION) %.% #Selecciona variables de interés.
  group_by(SEGMENTO,CUESTIONARIO,HOGAR,ZONA) %.% #Genera esquema de agrupación.
  summarise(TamHog=mean(TamHog), #Cálculo de variables sumarizadas.
            phu=mean(phu)) %.%
  mutate(id=paste0(SEGMENTO,CUESTIONARIO,HOGAR,ZONA)) #Genera id único para uso posterior.


#Cálculo del tamaño de muestra con error relativo

#Error relativo
r<-0.05

nsizeR<- nsize(x=df$TamHog,r=r,alpha=0.05)

nsizeR

```

2. **Error absoluto para variables continuas.**  

```{r EJ3.2}

#Cálculo del tamaño de muestra con error absoluto

#Igualar el error absoluto con el error relativo

abs<-mean(df$TamHog)*r

nsizeA<- nsize(x=df$TamHog,abs=abs,alpha=0.05)

nsizeA

```

3. **Error relativo para variables dicotómicas.**    


```{r EJ3.3}

#Cálculo de tamaño de muestra para proporción
nsizeP<- nsize(x=df$phu,abs=0.02,alpha=0.05)

nsizeP

```


### Tamaños de muestra estratificados

1. **Asignación proporcional.**  

```{r EJ3.4}

#Cálculo de las proporciones por estrato

Estratos<- df %.%
  select(ZONA,TamHog) %.%
  group_by(ZONA) %.%
  summarise(n=n(),
            s=sd(TamHog)) %.%
  mutate(p=n/sum(n))

Estratos

#Asignación de la muestra proporcional a los estratos
nsizeProp<-nstrata(nsizeR[[2]],Estratos[,4],method="proportional")

nsizeProp

```

2. **Asignación óptima.**  

```{r EJ3.5}


#Asignación de la muestra óptima a los estratos

#Costo de entrevista por estrato
ch<-c(5,10)

nsizeOpt<-nstrata(nsizeR[[2]],Estratos[,4],Estratos[,3],ch,method="optimal")
nsizeOpt

```

3. **Asignación de Neyman.**  

```{r EJ3.6}


#Asignación de la muestra óptima a los estratos(asume costos iguales)

nsizeNeyman<-nstrata(nsizeR[[2]],Estratos[,4],Estratos[,3],method="neyman")
nsizeNeyman

```

--------------------------------------------------------------------------------

### Cálculo de intervalos de confianza asumiendo MIA     

En R existen múltiples posibilidades de calcular los intervalos de confianza.Se utilizará el paquete `DescTools` para este propósito.Este paquete contiene muchas funciones misceláneas de las tareas estadísticas típicas.   

Calcularemos el intervalo de confianza para la media del Tamaño del hogar, con el tamaño de muestra obtenida en el ejercicio anterior y posteriormente se comparará el error obtenido(suponiendo que el valor verdadero es el de total de la encuesta)     

```{r 4.1}

#Muestra sin reemplazo
muestra<- df %.%
  sample_n(size=nsizeR[[2]],replace=FALSE)

#Carga de paquete DescTools

library(DescTools)

#Intervalos de confianza 95% clásicos

ICTamHog<- MeanCI(muestra$TamHog, trim = 0,conf.level = 0.95, na.rm = FALSE)

ICTamHog

#Media del total de la encuesta
mean(df$TamHog)

#Diferencia relativa

difR<-paste0(abs(round((ICTamHog[1]-mean(df$TamHog))/mean(df$TamHog),3))*100,"%")

```

De esta manera, con este ejercicio comprobamos que el valor estimado cumple con los requisitos del error relativo deseado en el cálculo del tamaño muestral, ya que la diferencia fue de **`r difR`** inferior al `r r*100 ` % deseado.


### Selección de muestra con ppt(Paquete `pps`)

Hemos abarcado aspectos básicos del muestreo de elementos.A partir de ahora veremos algunos ejemplos de muestreo complejo.    

Existen diversos paquetes para selecciones de muestras complejas en R, como el `sampling` o el `samplingbook`.En este caso se utilizará el `pps` que se concentra en muestreo mediante ppt y permite la selección sistemática estratificada.     

En el siguiente ejercicio se seleccionará una muestra de UPM utilizando como tamaño la cantidad de hogares, estratificada por Zona,utilizando como base el tamaño de muestra ya calculado para la variable Tamaño del hogar.  

Se debe obtener una muestra proporcional para cada estrato y seleccionar en cada conglomerado una submuestra de 5 hogares.

```{r 5.1}

#Generar el dataframe de UPMS y su respectivo tamaño

UPMs<- df %.%
  mutate(TamHog=as.numeric(TamHog)) %.%
  select(SEGMENTO,ZONA,TamHog) %.%
  group_by(SEGMENTO,ZONA) %.%
  summarise(Mta=n()) %.%
  arrange(ZONA)

head(UPMs)

#Se asigna proporcionalmente la muestra a cada estrato

#Recordemos la distribución proporcional de los estratos:
nsizeProp

#Cálculo del número de UPMs por estrato
b<-5
aurbano<- ceiling(nsizeProp[1]/b)
arural<- ceiling(nsizeProp[2]/b)

#Unir en un solo objeto para facilitar input de función
asizeppt<-rbind(aurbano,arural)
asizeppt

#Selección de la muestra con PPT(sistemática)
library(pps)
muestrappt<-ppssstrat(UPMs$Mta,UPMs$ZONA,asizeppt)
muestraUPMs<-UPMs[muestrappt,]

#Muestra de la selección
head(muestraUPMs)
tail(muestraUPMs)

#Verificar selección por estrato
Freq(muestraUPMs$ZONA)

#Procedimiento para seleccionar submuestras en cada cluster de tamaño fijo

#Listado de segmentos seleccionados
segs<- unique(muestraUPMs$SEGMENTO)
sample<- list()

#Identifica el número de columna del id(se requiere para el ciclo)

idcolnum<-which( colnames(df)=="id" )

#Ciclo para seleccionar la muestra en cada segmento
for(i in 1:length(segs)){
  subsample<-df[which(df$SEGMENTO==segs[i]),]
  sample[[i]]<-sys.sample(nrow(subsample),b)
 #Previene de los números que se pasan del total del segmento
  #if(sample[[i]][b]>nrow(subsample)){
  #  sample[[i]][b]<-1
  #  }
 #Asigna en cada elemento de las submuestras los elem. seleccionados
 sample[[i]]<-subsample[unlist(sample[[i]]),idcolnum]
 }

#Genera el data frame de ids seleccionados(ya que estaban en una lista)
sampledf<-data.frame(id=unlist(sample))

#Uniendo el data frame de datos con la muestra seleccionada mendiante la llave creada
muestrappt<-inner_join(unique(sampledf),unique(df),by="id")

#Verificar el procedimiento
head(muestrappt)
Freq(muestrappt$ZONA)

```


### Diseños de muestreo Complejos

#### Especificación diseños muestrales complejos(paquete `survey`)

Un paquete robusto para el cálculo correcto de estadísticos en diseños complejos es el `survey`.A continuación se ejemplifica la función `svydesign`, la cuál establece los diferentes parámetros para poder calcular los errores muestrales adecuadamente.Inicialmente utilizaremos la muestra con ppt seleccionada en el ejercicio anterior.         


```{r EJ 6.1,message=FALSE}

#Generar probabilidades

#Recordemos las medidas de tamaño por UPM:
UPMs

#Cálculo de prob en Primera etapa

#Estrato Urbano

UPMU<- UPMs %.%
  filter(ZONA=="Urbana") %.%
  group_by(ZONA) %.%
  mutate(fa=Mta/(sum(Mta)/aurbano),
         fb=b/Mta)

#Estrato Rural

UPMR<- UPMs %.%
  filter(ZONA=="Rural") %.%
  group_by(ZONA) %.%
  mutate(fa=Mta/(sum(Mta)/arural),
         fb=b/Mta)

#Unir ambos estratos

UPMs <- rbind(UPMU,UPMR)

#Incluir probabilidades en data frame de muestra
muestrappt2<- left_join(muestrappt,UPMs,by=c("SEGMENTO","ZONA"))


#Cargar paquete de muestreo complejo
library(survey)

#Establecer el diseño muestral
design1<-svydesign(data=muestrappt2,id=~SEGMENTO+id,
                   strata=~ZONA,pps="brewer",prob=~fa+fb)

#Resumen del diseño
summary(design1)

```

#### Estadísticos en diseños muestrales complejos

```{r EJ 6.2,message=FALSE}

#Calculando estadísticos de TamHog

TamHogmc<- svymean(~TamHog,design=design1,deff=TRUE)

#Media del Tamaño del hogar
TamHogmc
#Efecto del diseño
deff(TamHogmc)
#Intervalo de confianza
confint(TamHogmc)
#Coeficiente de variación
cv(TamHogmc)

#Diferencia relativa

difRc<-paste0(abs(round((TamHogmc[1]-mean(df$TamHog))/mean(df$TamHog),3))*100,"%")

```

De esta manera, con este ejercicio comprobamos que el valor estimado cumple con los requisitos del error relativo deseado en el cálculo del tamaño muestral, ya que la diferencia fue de **`r difRc`** inferior al `r r*100 ` % deseado.

#### Ejemplo con diseño complejo real

Finalmente, se desarrollará un ejemplo con un diseño complejo real,utilizando la ENAHO 2012.   

El diseño muestral se detalla a continuación:   

**Diseño muestral:** diseño probabilístico, estratificado y bietápico. En la primera etapa se seleccionaron segmentos censales o unidades primarias de muestreo (UPM) con probabilidad proporcional al tamaño (PPT), y en la segunda etapa se seleccionaron las viviendas o unidades secundarias de muestreo (USM) con probabilidades iguales de selección dentro de cada segmento, mediante muestreo sistemático con arranque aleatorio.       

**Dominios de estudio:** las seis regiones de planificación y las zonas urbana y rural.     

```{r EJ 6.3,message=FALSE}

#Objetos para generar variables(debido a que el Dataframe de ENAHO2012 tiene las labels del SPSS y no los valores)

profesionales<- c("Profesionales científicos e intelectuales")
tecnicos<- c("Técnicos y profesionales de nivel medio")

#Generando df de ENAHO2012 a nivel de hogar

df12<- ENAHO2012 %.%  #Define nuevo data frame
  mutate(pobre=ifelse(np=="No pobre",0,1), #Crea variable de pobreza.
         Profesional=ifelse(OcupFuerzaTrab==profesionales,1,0), #Crea flag de Profesional.
         Tecnico=ifelse(OcupFuerzaTrab==tecnicos,1,0)) %.%  #Crea flag de tecnico.
  select(FACTOR:ZONA,pobre,Profesional,Tecnico,ipcn) %.% #Selecciona variables de interés.
  group_by(SEGMENTO,CUESTIONARIO,HOGAR,ZONA,REGION) %.% #Genera esquema de agrupación.
  summarise(Factor=mean(FACTOR),
            pobre=mean(pobre),
            Profesionales=sum(Profesional),
            Tecnicos=sum(Tecnico),
            Ingreso=mean(ipcn)) %.%
  mutate(id=paste0(SEGMENTO,CUESTIONARIO,HOGAR,ZONA,REGION)) #Genera id único para uso posterior.

#Establecer el diseño muestral

design2<-svydesign(data=df12,id=~SEGMENTO+id,
                   strata=~REGION+ZONA,pps="brewer",weights=~Factor)

summary(design2)

#Calculando estadísticos de Pobreza por hogar nacionales

#Porcentaje de pobreza
pobremc<- svymean(~pobre,design=design2,deff=TRUE,na.rm=TRUE)

#Media de pobreza
pobremc
#Efecto del diseño
deff(pobremc)
#Intervalo de confianza
confint(pobremc)
#Coeficiente de variación
cv(pobremc)

#Total de pobres
pobretmc<-svytotal(~pobre,design=design2, deff=TRUE,na.rm=TRUE)

pobretmc

#Efecto del diseño
deff(pobretmc)
#Intervalo de confianza
confint(pobretmc)
#Coeficiente de variación
cv(pobretmc)

#Estimación de quantiles(Ingreso per cápita)
ingresoq<- svyquantile(~Ingreso,quantile= seq(0.2,1,0.2),design=design2, deff=TRUE,na.rm=TRUE)

ingresoq

#Cálculo de razón(Profesionales/Técnicos)
ptratio<- svyratio(~Profesionales, ~Tecnicos, design=design2, deff=TRUE,na.rm=TRUE)

ptratio

#Efecto del diseño
deff(ptratio)
#Intervalo de confianza
confint(ptratio)
#Coeficiente de variación
cv(ptratio)

#Estimaciones por estrato(Zona)

pobremZ<-svyby(~pobre, ~ZONA, design2, svymean,deff=TRUE,na.rm=TRUE)

#Media de pobreza por zona
pobremZ
#Efecto del diseño
deff(pobremZ)
#Intervalo de confianza
confint(pobremZ)
#Coeficiente de variación
cv(pobremZ)

#Estimaciones por estrato(Región)

pobremR<-svyby(~pobre,~REGION, design2, svymean,deff=TRUE,na.rm=TRUE)

#Media de pobreza por zona
pobremR
#Efecto del diseño
deff(pobremR)
#Intervalo de confianza
confint(pobremR)
#Coeficiente de variación
cv(pobremR)

#Estimaciones combinadas

pobremZR<-svyby(~pobre,~REGION+ZONA, design2, svymean,deff=TRUE,na.rm=TRUE)

```

```{r EJ 6.3.2,message=FALSE,results='asis',echo=FALSE}

#Pasando a porcentajes:

pobremZR<- mutate(pobremZR,pobre=pobre*100,
                  se=se*100)

#Generar en formato tabla resultado de estimaciones de pobreza por estratos

colnames(pobremZR)<-c("Región","Zona","% Pobreza","SE","DEFF")

library(stargazer)

stargazer(pobremZR, type="html",summary=FALSE,
          title = "Costa Rica:Estimaciones de pobreza por estrato",
          notes = "Fuente:ENAHO 2012,INEC",
          digits=2,header=FALSE,
          rownames=FALSE)

```


#### Comparativa de las estimaciones publicadas y estimadas en el ejercicio     

Para comparar la calidad de las estimaciones, se realizará una comparación entre la medición puntual de % de hogares pobres por Región.[Acá(página 68 del documento)](https://www.dropbox.com/s/psqdvbt8r4nwcja/Resultados%20Generales%20ENAHO-2012.pdf?dl=0) se encuentra el resultado oficial.       

```{r EJ 6.4,message=FALSE,echo=FALSE,fig.align='center',fig.height=12,fig.width=16,dev='png'}

#Generando resultados oficiales
pobreoR<- data.frame(REGION=pobremR[,1],pobre=c(16.3,34.5,26.6,34.6,26.2,24.6),
                     se=c(0.7,1.9,2.1,1.8,1.6,2.0))
pobreoR<- mutate(pobreoR,Estimacion="INEC")

#Generar data frame para gráfico
pobremR<- select(pobremR,REGION,pobre,se) %.%
  mutate(Estimacion="Ejercicio",se=se*100,pobre=pobre*100)

pobre<- rbind(pobreoR,pobremR)
pobre$Estimacion<- factor(pobre$Estimacion,c("INEC","Ejercicio"))

library(tidyr)

pobre<- gather(pobre,Indicador,Pobreza,-REGION,-Estimacion,-se)

#Generación de gráfico de comparación

library(ggplot2)

#parametros del plot
breaks<- round(seq(min(pobre$Pobreza)-1,max(pobre$Pobreza)+1,length.out =10),0)

pobre<- mutate(pobre,labels=ifelse(Estimacion=="Ejercicio",as.character(REGION),""))


pobreplot<- ggplot(pobre, aes(x=Estimacion,
                              y=Pobreza,
                              group=REGION,
                              fill=REGION))+
  geom_point(aes(fill=REGION,
                 colour=REGION,
                 size=se),shape=21)+
  geom_line()+
  geom_text(aes(label=labels),size=4,hjust=-0.4)+
  scale_size_continuous(name="Error\nEstándar",range = c(5,20))+
  scale_y_continuous(breaks=breaks)+
  scale_fill_discrete(guide=FALSE)+
  scale_colour_discrete(guide=FALSE)+
  theme_minimal()+
    labs(x = "Estimación",y = "% Pobreza")+
  ggtitle(expression(atop("Costa Rica:Comparativa de las estimaciones de Pobreza por Región",atop(italic("Según Estimación oficial y estimación del ejercicio"), ""))))+
  theme(axis.text.x = element_text(hjust=0, vjust=1),
         plot.title = element_text(size = 18, face = "bold", colour = "black", vjust = -1),
        strip.text.x = element_text(size=14,face="bold"),
        strip.text.y = element_text(size=11),
        strip.background = element_rect(colour="gray11", fill="gray87"))

pobreplot


```

## Resumen  de las funciones más relevantes utilizadas

Paquete|Tipo |Función
------ |----- | -------------
Base   |Selección de muestra| `sample(x=data, size=n, replace = FALSE, prob = NULL)` 
dplyr  |Selección de muestra| `sample_n(tbl=dataframe, size=n, replace = FALSE, weight = NULL, .env = parent.frame())`
SamplingUtil |Selección de muestra(sistemática)| `sys.sample(N=Total, n=muestra)`     
SamplingUtil |Tamaño de muestra|`nsize(x=data, r = error_relativo, abs = error_absoluto, alpha = 0.05)`     
SamplingUtil |Tamaño de muestra(Estratificada)|`nstrata(n=tamaño muestra, wh=vector pesos, sh = vector desviaciones, ch = vector de costos, method = c("proportional","optimal", "neyman")`  
DescTools |Intervalos de Confianza|`MeanCI(variable=df$variable,conf.level = 0.95, na.rm = FALSE)`
pps       |Selección PPT sistemática|`ppssstrat(UPMs$Mta,UPMs$Estrato,asize=Tamaño muestra por Estrato)`
survey |Configuración de diseño complejo | `svydesign(data=dataframe,id=~ID_Etapa_1+...+ID_Etapa i,strata=~Estrato_1+...+Estrato_n,pps="brewer",prob=~fa+...+fk)+weights=Factor Expansión`
survey |Estimación compleja(media)|`svymean(~variable,diseño,deff=TRUE,na.rm=TRUE)`
survey |Estimación compleja(estratos)|`svyby(~variable,~Estrato 1+...+Estrato_n,diseño,c(svymean,svyratio,svytotal),deff=TRUE,na.rm=TRUE)`
survey |Estimación compleja(cuantiles)|`svyquantile(~variable,quantile= vector de valores,diseño, deff=TRUE,na.rm=TRUE)`
survey |Estimación compleja(razones)|`svyratio(~denominador,~numerador,diseño, deff=TRUE,na.rm=TRUE)`
survey |Estimación compleja(totales)|`svytotal(~variable,diseño, deff=TRUE,na.rm=TRUE)`
survey |Estimación compleja(Intervalo)|`confint(Objeto de svymean,svyratio,svytotal)`
survey |Estimación compleja(Coeficiente de variación)|`cv(Objeto de svymean,svyratio,svytotal)`
survey |Estimación compleja(Efecto del diseño)|`deff(Objeto de svymean,svyratio,svytotal)`


## Repositorio del tutorial


[Acá](https://github.com/DFJL/Complex_Sampling_R) se encuentra el código para reproducir todos los ejercicios de este tutorial.                   


## Sesión de R

```{r session}

sessionInfo()

```

## Referencias

```{r Ref,echo=FALSE,message=FALSE,results="asis",warning=FALSE}

library(knitcitations)

survey <- citep("10.1002/9780470580066")
#MIA<- citep("http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030006/lecciones/capituloseis/6_5.html")
#ENAHO12<-citep("http://www.inec.go.cr/anda4/index.php/catalog/130")
#ENAHO13<-citep("http://www.inec.go.cr/anda4/index.php/catalog/137")

bibliography()

```