07-Cap7.Rmd

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# Testes de Qualidade de Ajuste {#testqualajust}

## Introdução


Tabelas de distribuições de frequências ocorrem comumente na
análise de dados de pesquisas complexas. Tais tabelas são formadas
pela classificação e cálculo de frequências dos dados da
amostra disponível segundo níveis de uma variável categórica
- tabelas de uma entrada - ou segundo celas de uma classificação
cruzada de duas (ou mais) variáveis categóricas - tabelas de duas
(ou mais) entradas. Neste capítulo concentraremos a atenção em
tabelas de uma entrada, ou equivalentemente nas frequências
absolutas e relativas (ou proporções) correspondentes.

Em muitos casos, o objetivo da análise é testar hipóteses de
bondade de ajuste de modelos para descrever essas distribuições de
frequências. Sob a hipótese de observações IID (distribuição Multinomial) ou equivalentemente, de amostragem aleatória
simples, inferências válidas para testar tais hipóteses podem
ser baseadas na estatística padrão de teste qui-quadrado de Pearson.
Tais testes podem ser facilmente executados usando procedimentos prontos em
pacotes estatísticos padrões tais como o SAS, S-Plus, SPSS, GLIM e
outros.

No caso de planos amostrais complexos, entretanto, os procedimentos de teste
precisam ser ajustados devido aos efeitos de conglomeração,
estratificação e/ou pesos desiguais. Neste capítulo examinaremos
o impacto do plano amostral sobre as estatísticas de teste usuais
notando que, em alguns casos, os valores observados dessas estatísticas
de teste podem ser muito grandes, acarretando inferências incorretas,
conforme já ilustrado no Exemplo \@ref{ex:exebin). Isto
ocorre porque a probabilidade de erros do tipo I (rejeitar a hipótese
nula quando esta é verdadeira) é muito maior que o nível nominal
de significância $\alpha$ especificado.

Para obter inferências válidas usando amostras complexas podemos
introduzir correções na estatística de teste de Pearson, tais
como os ajustes de Rao-Scott, ou alternativamente usar outras
estatísticas de teste que já incorporem o plano amostral, tais como
a estatística de Wald. Os dois enfoques serão ilustrados através
de um exemplo introdutório simples de teste de bondade de ajuste. Os
resultados discutidos neste capítulo são adequados tanto para uma
abordagem de aleatorização, em que os parâmetros se referem
à população finita em questão, quanto para uma abordagem
baseada em modelos, em que os parâmetros especificam algum modelo de
superpopulação.

## Teste para uma Proporção

### Correção de Estatísticas Clássicas

No Exemplo \@ref(exm:exebin) a estatística de teste $Z_{bin},$ que foi utilizada para comparar com um valor hipotético pré-fixado a proporção de empregados cobertos por plano de
saúde, resultou num teste mais liberal do que o teste que empregou a
estatística $Z_{p}$, baseada no plano amostral efetivamente adotado. A
causa disto foi o fato de $Z_{bin}$ não considerar o efeito de conglomeração existente. Vamos examinar com mais detalhes o comportamento
assintótico da estatística de teste $Z_{bin}$, construindo a
estatística de teste $X_{P}^{2}$ de Pearson para o exemplo
correspondente. Para isto, consideremos a Tabela \@ref(tab:prophip) contendo a
distribuição de frequências, onde $n_{j}$ e $p_{oj}$ são
as frequências (absolutas) observadas na amostra e as proporções hipotéticas nas categorias de interesse, respectivamente.


-----------------------------------------------
Categoria          $j$ $n_j$ $p_{0j}$
----------------   --- ----- ---------
Cobertos por        1   840    0,8
planos de saúde

Não cobertos        2   160    0,2

Todos empregados    -   1000   1,0
---------------------------------------------
Table:(#tab:prophip) Frequências observadas e proporções hipotéticas


As proporções populacionais desconhecidas nas categorias são $p_{j}=N_{j}/N$, onde $N$ é o tamanho total da população de empregados e $N_{j}$ é o número de elementos da população na categoria 
$j,\ j=1,2$. Os parâmetros populacionais $p_{j}$
poderiam também ser considerados como pseudo-parâmetros, se vistos
como estimativas de censo para as probabilidades desconhecidas ($\pi _{j}$,
digamos) no contexto de um modelo de superpopulação.

A estatística de teste de Pearson para a hipótese simples de
bondade de ajuste $H_{0}:p_{j}=p_{0j},\ j=1,2$, é dada por 
\begin{equation}
X_{P}^{2}=\sum\limits_{j=1}^{2}\left( n_{j}-n\,p_{0j}\right)
^{2}/\left( n\,p_{0j}\right) =n\sum\limits_{j=1}^{2}\left( 
\widehat{p}_{j}-p_{0j}\right) ^{2}/p_{0j},  
(\#eq:qual1)
\end{equation}
onde as proporções $\widehat{p}_{j}=n_{j}/n$ são estimativas
amostrais usuais das proporções populacionais $p_{j}$, para $j=1,2$.

```{r, echo=FALSE}
p0 <- c(.8, .2)
obs<- c(840, 160)
n<- sum(obs)
phat <- obs/n
# Estatística de Pearson
x2p <- sum((obs-n*p0)^2/(n*p0))
# x2p
```


Como há apenas duas categorias e as proporções devem somar $1$,
observa-se que $p_{2}=1-p_{1},$ $\widehat{p}_{2}=1-\widehat{p}_{1}$ e 
$p_{02}=1-p_{01}$. Isto acarreta na equivalência entre as
estatísticas $Z_{bin}$ e $X_{P}^{2}$ demonstrada pela relação

\begin{equation}
X_{P}^{2}=n\sum\limits_{j=1}^{2}\left( \widehat{p}
_{j}-p_{0j}\right) ^{2}/p_{0j}=\frac{\left( \widehat{p}-p_{0}\right) ^{2}}{
p_{0}\left( 1-p_{0}\right) /n}=Z_{bin}^{2}  
(\#eq:qual2)
\end{equation}
onde $\widehat{p}=\widehat{p}_{1}$ e $p_{0}=p_{01}$ para simplicidade e
coerência com a notação do Exemplo \@ref(exm:exebin).

Sob a hipótese de observações IID, a distribuição
assintótica da estatística $X_{P}^{2}$ é qui-quadrado ($\chi^{2}$). Neste caso, em que há apenas duas categorias e uma restrição (soma das proporções igual a $1$), a distribuição da estatística $X_{P}^{2}$ em \@ref(eq:qual2) tem apenas um grau de liberdade.

Rao e Scott(1981) obtiveram resultados gerais para a distribuição
assintótica da estatística de teste $X_{P}^{2}$ de Pearson sob
planos amostrais complexos. Com apenas duas celas, a distribuição
assintótica da estatística de teste $X_{P}^{2}$ é a distribuição da variável aleatória $dW$, onde $W$ tem distribuição $\chi ^{2}\left( 1\right)$ (qui-quadrado com um grau de liberdade) e $d$
é o efeito de plano amostral (EPA) da estimativa $\widehat{p}$ da proporção $p$. O efeito de plano amostral nesse caso é dado por $d=V_{p}\left( \widehat{p}\right) /V_{bin}\left( \widehat{p}\right)$.

Para uma amostra de empregados selecionada por amostragem aleatória
simples, teríamos $d=1$ pois $V_{p}\left( \widehat{p}\right)$ e 
$V_{bin}\left( \widehat{p}\right)$ seriam iguais. Neste caso, a
estatística $X_{P}^{2}$ de teste seria assintoticamente 
$\chi ^{2}\left(1\right)$. Como a amostra foi efetivamente selecionada por amostragem de
conglomerados, devido à correlação intraclasse positiva o efeito
de plano amostral $d$ é maior que um, e portanto a distribuição
assintótica da estatística de teste $X_{P}^{2}$ não é mais 
$\chi ^{2}\left( 1\right)$.

Considerando que o impacto da correlação intraclasse positiva na
distribuição assintótica da estatística $X_{P}^{2}$ de
Pearson pode levar a inferências incorretas caso se utilize a distribuição assintótica usual, o próximo passo é derivar um
procedimento de teste válido. Isto é feito introduzindo uma correção em $X_{P}^{2}.$ Para isto, observe que a esperança
assintótica de $X_{P}^{2}$ é $E_{p}\left( X_{P}^{2}\right) =d$. Como 
$E_{p}\left( X_{P}^{2}/d\right) =$ 
$E\left( \chi ^{2}\left( 1\right) \right)=1$, obtemos então a correção simples de Rao-Scott para $X_{P}^{2}$ dividindo o valor observado da estatística de teste pelo
efeito do plano amostral $d$, isto é,

\begin{equation}
X_{P}^{2}(d)=X_{P}^{2}/d\mbox{,}  
(\#eq:qual3)
\end{equation}
que tem, no caso de duas celas, distribuição assintótica 
$\chi^{2}\left( 1\right)$.

Outra estatística comumente usada para testar a mesma hipótese de
bondade de ajuste no caso de proporções é a estatística do
teste da Razão de Verossimilhança (RV), dada por 
\begin{equation}
X_{RV}^{2}=2n\sum\limits_{j=1}^{2}\widehat{p}_{j}\log \left( 
\widehat{p}_{j}/p_{0j}\right) =2n\log \left( \frac{\widehat{p}\left( 1-
\widehat{p}\right) }{p_{0}\left( 1-p_{0}\right) }\right) .
(\#eq:qual4)
\end{equation}

No caso de amostragem aleatória simples, a estatística $X_{RV}^{2}$
é também distribuída assintoticamente como $\chi ^{2}\left(1\right)$, quando a hipótese nula é verdadeira. Para planos
amostrais complexos, a estatística corrigida correspondente é 
\begin{equation}
X_{RV}^{2}(d)=X_{RV}^{2}/d\;\;.  
(\#eq:qual5)
\end{equation}

Vamos calcular os valores das estatísticas de Pearson e de RV, com suas
correções de Rao-Scott, para os dados do Exemplo \@ref(exm:exebin). Para
as correções, primeiro é preciso calcular o efeito do plano
amostral


```{r, echo=FALSE}
p <- p0[1]
m <- 50
# Efeito do plano amostral
d <- (p*(1-p)/m)/ (p*(1-p)/n)
# d
# Estatística de Peason corrigida
x2pd <- x2p/d
# x2pd
# valor-p do teste
# pchisq(x2pd, 1, lower.tail = F)
```



\[
\begin{array}{llcll}
d & = & V_{p}\left( \widehat{p}\right) /V_{bin}\left( \widehat{p}\right) & =
& \frac{p\left( 1-p\right) /m}{p\left( 1-p\right) /n} \\ 
& = & \frac{0,0032}{0,00016} & = & 20
\end{array}
\]
onde $m=50$ é o número de empregados por empresa (tamanho do
conglomerado) e $n=1.000$ é o número de empregados na amostra.

O valor da estatística de teste de Pearson é 
\[
X_{P}^{2}=\frac{\left( 0,84-0,80\right) ^{2}}{\left( 0,80\times 0,20\right)
/1.000}=10 
\]
com $p$valor $0,0016$. O valor da estatística de teste de Pearson com a
correção de Rao-Scott $X_{P}^{2}(d)$ é então dado por 
\[
X_{P}^{2}(d)=X_{P}^{2}/d=10/20=0,5 
\]
com $p$valor $0,4795$. Observe que $Z_{p}^{2}=0,707^{2}=0,5$ , e também
que $X_{P}^{2}(d)=Z_{bin}^{2}/d= 3,162^{2}/20=0,5$ ou seja, $Z_{p}^{2}=X_{P}^{2}(d)$ 
conforme esperado. Os valores da estatística do
teste da Razão de Verossimilhança e sua correção de
Rao-Scott são dados respectivamente por 

```{r, echo=FALSE}
# Estatística da RV
x2rv <- 2*n*sum(phat*log(phat/p0))
#x2rv
```

\[
X_{RV}^{2}=2\times 1.000\times \log \left( \frac{0,84\times 0,16}{0,80\times
0,20}\right) =10,56\;, 
\]
com $p$valor $0,0012$, e 


```{r, echo=FALSE}
# Estatística da RV corrigida
x2rvd <- x2rv/d
#x2rvd
# valor-p do teste
#pchisq(x2rvd, 1, lower.tail = FALSE)
```



\[
X_{RV}^{2}(d)=X_{LR}^{2}/d=10,56/20=0,528\;\;, 
\]
com $p$valor de $0,4675$.

Como se pode notar, as estatísticas baseadas na Razão de
Verossimilhança oferecem resultados semelhantes às
versões correspondentes baseadas na estatística de Pearson. Em ambos
os casos, as decisões baseadas nas estatísticas sem correção
seriam incorretas no sentido de rejeitar a hipótese nula. Também em
ambos os casos a correção de Rao-Scott produziu efeito semelhante.

O efeito de plano amostral $d=20$ observado neste exemplo é muito grande
e pouco comum na prática. Isto ocorreu neste caso porque o coeficiente
de correlação intraclasse assume o valor máximo $\rho =1$ (todos
os valores dentro de um conglomerado são iguais, e portanto a
homogeneidade é máxima). Na prática, as correlações
intraclasse observadas são usualmente positivas mas menores que um, e
portanto as estimativas de efeito de plano amostral $\widehat{d}$
correspondentes são maiores que um. Para conglomerados de tamanho
médio igual a $20$ ($m=20$) como neste exemplo, os valores típicos
de $\widehat{d}$ são menores que $3$, tendo em correspondência
correlações intraclasse estimadas positivas $\widehat{\rho }<0,1$.

Os resultados do exemplo discutido nesta seção ilustram bem a
importância de considerar o plano amostral na construção de
estatísticas de teste para proporções simples, embora num caso
um tanto extremo. Ilustram também um dos enfoques existentes para tratar
do problema, a saber a correção de estatísticas de teste usuais
(de Pearson e da Razão de Verossimilhança).

### Estatística de Wald

Como alternativa à estatística de teste de Pearson, podemos usar a
estatística de bondade de ajuste $X_{N}^{2}$ de Neyman. No caso
de duas celas, ela se reduz a 
\begin{equation}
X_{N}^{2}=n\sum\limits_{j=1}^{2}\left( \hat{p}_{j}-p_{0j}\right) ^{2}/\hat{p}
_{j}=\frac{\left( \widehat{p}-p_{0}\right) ^{2}}{\hat{p}\left( 1-\hat{p}
\right) /n}\;\;\mbox{.}  
(\#eq:qual6)
\end{equation}
Note que a expressão de $X_{N}^{2}$ em \@ref(eq:qual6) pode ser obtida
substituindo-se no denominador de $X_{P}^{2}$ em \@ref(eq:qual2) a proporção hipotética $p_{0}$ pela proporção estimada $\hat{p}$.

A estatística de Neyman é um caso particular da estatística de
bondade de ajuste de Wald. Esta última estatística difere das
estatísticas de Pearson , da Razão de Verossimilhança e de
Neyman por incorporar automaticamente o plano amostral. Para o caso de duas
celas, ela se reduz a 
\begin{equation}
X_{W}^{2}=\left( \widehat{p}-p_{0}\right) ^{2}/\hat{V}_{p}\left( \widehat{p}
\right) \mbox{,}  
(\#eq:qual7)
\end{equation}
onde $\hat{V}_{p}\left( \widehat{p}\right)$ é uma estimativa da
variância de aleatorização de $\hat{p}$, correspondente ao plano
amostral efetivamente utilizado.

O efeito do termo $\hat{V}_{p}\left( \widehat{p}\right)$, que aparece no
denominador de $X_{W}^{2}$, é incorporar na estatística de bondade
de ajuste o efeito do plano amostral utilizado. No caso particular de
amostragem aleatória simples, usamos no lugar de $\widehat{V}_{p}\left( 
\widehat{p}\right)$ a variância 
$\widehat{V}_{bin}\left( \widehat{p}\right) =$ $\widehat{p}\left( 1-\widehat{p}\right) /n$. Neste caso,
estatística resultante $X_{bin}^{2}$ coincide com a estatística $X_{N}^{2}$ de Neyman.

Para o plano amostral de conglomerados considerado no Exemplo \@ref(exm:exebin),
a estatística $X_{W}^{2}$, sem qualquer ajuste auxiliar, já é
distribuída assintoticamente como qui-quadrado com um grau de liberdade.
O valor da estatística de Wald para esse exemplo é

```{r, echo=FALSE}
x2n <- 1000* sum((phat-p0)^2/phat)
vhatp <- (phat[1]*phat[2])/m # variância usa número efetivo
# Estatística de Wald
x2w <- ((phat[1]-p0[1])^2)/vhatp
# x2w
# pchisq(x2w,1, lower.tail = FALSE)
```


\[
X_{W}^{2}=\left( 0,84-0,80\right) ^{2}/0,002743=0,583\;\;\mbox{.} 
\]
Observe que o valor desta estatística é bem próximo dos valores
das estatísticas de Pearson e da Razão de Verossimilhança com a
correção de Rao-Scott.

A estatística de Wald, pelo uso de uma estimativa apropriada da
variância, reflete a complexidade do plano amostral e fornece uma
estatística de teste assintoticamente válida, não necessitando
que seja feito qualquer ajuste auxiliar. Esta pode ser considerada uma
vantagem em relação às estatísticas com correção de
Rao-Scott. Entretanto, no caso de mais de duas celas, pode haver
desvantagens no uso da estatística de Wald baseada no plano amostral,
devido à instabilidade nas estimativas de variância em pequenas
amostras.

Reproduzimos na Tabela \@ref(tab:testprop) os resultados para todas as
estatísticas de teste consideradas até agora, para facilidade de
comparação.


```{r  testprop, echo=FALSE}
vobs= round(c(x2p, x2pd,x2rv, x2rvd, x2w ),2)
valorp = round(c(pchisq(c(x2p, x2pd,x2rv, x2rvd, x2w), 1, lower.tail = FALSE)),4)
testprop <- data.frame(Estatística = c("Pearson","Pearson ajustada","RV", "RV ajustada", "Wald"),
  gl = rep(1, 5), vobs,valorp)
knitr::kable(testprop, booktabs=TRUE,align="lccc",
  caption = "Valores observados e valores-p de estatísticas de testes para os dados do Exemplo 4.4")
```


Nesta seção foram apresentadas as duas principais abordagens para
incorporar o efeito do plano amostral na estatística de teste:

1.  a metodologia de ajuste de Rao-Scott para as estatísticas de
teste de Pearson e da Razão de Verossimilhança;

2.  e a estatística de Wald baseada no plano amostral.


Ambas as abordagens são facilmente generalizáveis para tabelas de
uma ou duas entradas com número de linhas e colunas maior que dois.
Vamos considerar na próxima seção o caso geral de testes de
bondade de ajuste e apresentar mais detalhes sobre as estatísticas de
teste alternativas. Depois, introduziremos os testes de independência e
de homogeneidade para tabelas de duas entradas. A ênfase será dada
nos procedimentos baseados na estatísticas de teste de Wald baseadas no
plano amostral e nas estatísticas de Pearson e da RV com os vários
ajustes de Rao-Scott.

## Teste para Várias Proporções

Neste seção vamos considerar extensões do problema de testes de
bondade de ajuste, aumentando o número de proporções envolvidas.
O caso de tabelas de duas entradas será considerado no capítulo
seguinte.

A hipótese de bondade de ajuste para $J\geq 2$ celas pode ser escrita
como $H_{0}:p_{j}=p_{0j}\;,\;j=1,\ldots ,J$, onde $p_{j}=N_{j}/N$ são as
proporções populacionais desconhecidas nas celas e $p_{0j}$ são
as proporções hipotéticas das celas. Essa hipótese pode
também ser escrita, usando notação vetorial, como 
$H_{0}:\mathbf{p=p}_{0}$ , onde $\mathbf{p=}\left( p_{1},\ldots ,p_{J-1}\right) ^{^{\prime}}$é o vetor de proporções populacionais desconhecidas e 
$\mathbf{p}_{0}\mathbf{=}\left( p_{01},\ldots ,p_{0\,J-1}\right) ^{^{\prime}}$é o vetor de proporções hipotéticas.

O vetor de estimativas consistentes das proporções das celas,
baseado em $n$ observações, é denotado por 
$\widehat{\mathbf{p}}\mathbf{=}\left(\widehat{p}_{1},\ldots,\widehat{p}_{J-1}\right) ^{^{\prime}}$, onde $\widehat{p}_{j}=\widehat{n}_{j}/n$. Os $\widehat{n}_{j}$ são
as frequências ponderadas nas celas, considerando as diferentes
probabilidades de inclusão dos elementos e ajustes por não-resposta,
onde os pesos amostrais são normalizados de modo que $\sum_{j=1}^{J}\widehat{n}_{j}=n$. Se $n$ não for fixado de antemão, os 
$\widehat{p}$ serão estimadores de razões, o que é comum quando trabalhamos
com subgrupos da população. Observe que apenas $J-1$ componentes
são incluídos em cada um dos vetores $\mathbf{p,\;p}_{0}$ e $\widehat{\mathbf{p}}$, pois a soma das proporções nas $J$ categorias
é igual a $1$, e portanto a proporção na $J$-ésima categoria
é obtida por diferença.

### Estatística de Wald Baseada no Plano Amostral

A estatística de Wald baseada no plano amostral $X_{W}^{2}$, para o
teste da hipótese simples de bondade de ajuste, foi anteriormente
introduzida no caso de duas celas como uma alternativa à estatística
de Pearson ajustada. No caso de mais de duas celas, a estatística de
bondade de ajuste de Wald é dada por 
\begin{equation}
X_{W}^{2}=\left( \widehat{\mathbf{p}}\mathbf{-p}_{0}\right) ^{^{\prime }}
\widehat{\mathbf{V}}_{p}^{-1}\left( \widehat{\mathbf{p}}-\mathbf{p}_{0}\right) \;\mbox{,} 
(\#eq:qual8)
\end{equation}
onde $\widehat{\mathbf{V}}_{p}$ denota um estimador consistente da matriz de
covariância de aleatorização verdadeira $\mathbf{V}_{p}$ do
estimador $\widehat{\mathbf{p}}$ do vetor de proporções 
$\mathbf{p}$. Uma estimativa $\widehat{\mathbf{V}}_{p}$ pode ser obtida pelo método
de linearização, usando-se por exemplo o pacote **SUDAAN**.

Sob a hipótese nula $H_{0}$, a estatística $X_{W}^{2}$ tem distribuição assintótica qui-quadrado com $J-1$ graus de liberdade,
fornecendo assim um procedimento de teste válido no caso de amostras
complexas. Na prática, espera-se que $X_{W}^{2}$ funcione adequadamente
se o número de unidades primárias de amostragem selecionadas for
grande e o número de celas componentes do vetor $\mathbf{p}$ for
relativamente pequeno. Neste caso, podemos obter um estimador estável de 
$\mathbf{V}_{p}$. Observe que \@ref(eq:qual7) é um caso particular de \@ref(eq:qual8).

### Situações Instáveis

Se o número $m$ de unidades primárias de amostragem disponíveis
for pequeno, pode ocorrer um problema de instabilidade na estimativa $\widehat{\mathbf{V}}_{p}$, devido ao pequeno número de graus de
liberdade $f=m-H$ disponível para a estimação da variância.
A instabilidade da estimativa $\widehat{\mathbf{V}}_{p}$ pode tornar a
estatística de Wald muito liberal.

é comum contornar esta instabilidade corrigindo a estatística de
Wald, mediante emprego da chamada `estatística de Wald F-corrigida`
. Há duas propostas alternativas de estatísticas 
__F__-corrigidas de Wald. A primeira é dada por 
\begin{equation}
F_{1.p}=\frac{f-J+2}{f\left( J-1\right) }X_{W}^{2}\;\;,  
(\#eq:qual9)
\end{equation}
que tem distribuição assintótica de referência $F$ com $J-1$
e $f-J+2$ graus de liberdade. A segunda é dada por 
\begin{equation}
F_{2.p}=\frac{X_{W}^{2}}{\left( J-1\right) },  
(\#eq:qual10)
\end{equation}
que tem distribuição assintótica de referência $F$ com $J-1$
e $f$ graus de liberdade. No caso $J=2$, as duas correções
reproduzem a estatística original.

O efeito de uma correção $\mathbf{F}$ à estatística $X_{W}^{2}$ pode ser visualizado facilmente no caso de duas celas. Se $f$ for
pequeno, então o $p$valor de $X_{W}^{2}$, obtido a partir de uma
distribuição __F__ com $1$ e $f$ graus, é maior que o $p$
valor obtido numa distribuição qui-quadrado com um grau de
liberdade. Quando $f$ aumenta a diferença diminui, tornando a correção desprezível, quando $f$ for grande.

[@TR87] analisaram o desempenho das diferentes estatísticas
de teste de bondade de ajuste, no caso de instabilidade. Eles verificaram
que a estatística de Wald F-corrigida $F_{1.p}$ não apresentou, em
geral, o melhor desempenho nesta comparação, contudo, comportou-se
relativamente bem nos casos padrões, onde a instabilidade não era
muito grave. As estatísticas __F__-corrigidas de Wald são bastante
utilizadas na prática, e estão implementadas em pacotes para
análise de dados de pesquisas amostrais complexas.

### Estatística de Pearson com Ajuste de Rao-Scott {#raoscott}

O exemplo introdutório serviu para mostrar que, na presença de
efeitos de plano amostral importantes, as estatísticas clássicas de
teste precisam ser ajustadas para terem a mesma distribuição
assintótica de referência que a obtida para o caso de amostragem
aleatória simples. Inicialmente, vamos considerar a estatística de
teste $X_{P}^{2}$ de Pearson$.$ Essa estatística pode ser escrita em
forma matricial como 
\begin{equation}
X_{P}^{2}=n\sum\limits_{j=1}^{J}\left( \widehat{p}_{j}-p_{0j}\right)
^{2}/p_{0j}=n\left( \widehat{\mathbf{p}}-\mathbf{p}_{0}\right) ^{^{\prime }}
\mathbf{P}_{0}^{-1}\left( \widehat{\mathbf{p}}-\mathbf{p}_{0}\right) 
(\#eq:qual11)
\end{equation}
onde 
$\mathbf{P}_{0}=diag\left( \mathbf{p}_{0}\right) -\mathbf{p}_{0}\mathbf{p}_{0}^{^{\prime }}$ e $\mathbf{P}_{0}/n$ é a matriz 
$\left( J-1\right)\times \left( J-1\right)$ de covariância multinomial de 
$\widehat{\mathbf{p}}$ sob a hipótese nula, e $diag\left( \mathbf{p}_{0}\right)$
representa uma matriz diagonal com elementos $p_{0j}$ na diagonal.

A matriz de covariância $\mathbf{P}_{0}/n$ é uma generalização do caso $J=2$ celas para o caso de mais de duas celas ($J>2$).
Observe que a expressão de $X_{P}^{2}$ tem a mesma forma da
estatística de Wald, com $\mathbf{P}_{0}/n$ no lugar de 
$\widehat{\mathbf{V}}_{p}$. No caso de apenas duas celas, $X_{P}^{2}$ reduz-se à
fórmula simples antes considerada 
$X_{P}^{2}=\left( \widehat{p}_{1}-p_{01}\right) ^{2}/\left[ p_{01}\left( 1-p_{01}\right) /n\right]$,
onde o denominador corresponde à variância da binomial sob a
hipótese nula.

Para examinar a distribuição assintótica da estatística $X_{P}^{2}$ de Pearson, vamos generalizar os resultados anteriores, do caso
de duas celas para o caso $J>2$. Neste caso, $X_{P}^{2}$ é
assintoticamente distribuído como uma soma ponderada 
$\delta_{1}W_{1}+\delta _{2}W_{2}+\ldots +\delta _{J-1}W_{J-1}$ de $J-1$
variáveis aleatórias independentes $W_{j}$ , cada uma tendo distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade. Os pesos $\delta _{j}$
são os autovalores da matriz de efeito multivariado de plano amostral 
$\mathbf{\Delta }=\mathbf{P}_{0}^{-1}\mathbf{V}_{p}$, onde 
$\mathbf{V}_{p}\mathbf{/}n$ é a matriz de covariância do estimador $\widehat{\mathbf{p}}$ do vetor de proporção $\mathbf{p}$ baseada no plano
amostral verdadeiro. Tais autovalores são também chamados efeitos
generalizados de plano amostral. Observe que, em geral, eles não
coincidem com os efeitos univariados de plano amostral $d_{j}$.

No caso de amostragem aleatória simples, os efeitos generalizados de
plano amostral $\delta_{j}$ são todos iguais a um, pois neste caso 
$\mathbf{\Delta =I}$, matriz identidade. Neste caso, a soma 
$\sum_{j=1}^{J-1}\delta _{j}W_{j}$ se reduz a $\sum_{j=1}^{J-1}W_{j},$ cuja
distribuição é $\chi ^{2}$ com $J-1$ graus de liberdade. Assim,
sob amostragem aleatória simples, a estatística $X_{P}^{2}$ é
distribuída assintoticamente como qui-quadrado com $J-1$ graus de
liberdade.

No caso de plano amostral mais complexo, envolvendo estratificação
e/ou conglomeração, os efeitos generalizados de plano amostral
não são iguais a um. Devido aos efeitos de conglomeração, os 
$\delta _{j}$ tendem a ser maiores que um, e assim a distribuição
assintótica da variável aleatória $\sum_{j=1}^{J-1}\delta_{j}W_{j}$ 
será diferente de uma qui-quadrado com $J-1$ graus de
liberdade. Desta forma, a estatística $X_{P}^{2}$ requer correções
semelhantes às introduzidas no caso de duas celas. No caso
geral, há mais de uma possibilidade de correção e consideraremos
as  `correções de primeira ordem e de segunda ordem de Rao-Scott`
, desenvolvidas por [@Rao]. A correção de primeira ordem
tem por objetivo corrigir a esperança assintótica da estatística 
$X_{P}^{2}$ de Pearson, e a de segunda ordem também envolve correção da variância. 
Tecnicamente, os dois ajustes são baseados nos
autovalores da matriz de efeito multivariado de plano amostral estimada
$\widehat{\mathbf{\Delta }}$.

Inicialmente, consideramos um `ajuste simples de EPA médio` à
estatística $X_{P}^{2}$, devido a [@fellegi] e [@holt80a], e o ajuste de primeira ordem de Rao-Scott. Estes ajustes
são úteis nos casos em que não é possível obter uma
estimativa adequada $\mathbf{\hat{V}}_{p}$ para a matriz de covariância
de aleatorização. Quando esta estimativa está disponível,
deve-se usar o ajuste mais preciso de segunda ordem.

O ajuste de EPA médio é baseado nos efeitos univariados de plano
amostral estimados $\hat{d}_{j}$ das estimativas $\hat{p}_{j}$. O ajuste
da estatística \@ref(eq:qual11) é feito dividindo o valor observado da
estatística $X_{P}^{2}$ de Pearson pela média $\hat{d}_{.}$ dos
efeitos univariados de plano amostral: 
\begin{equation}
X_{P}^{2}\left( \hat{d}_{.}\right) =X_{P}^{2}/\hat{d}_{.}  
(\#eq:qual12)
\end{equation}
onde $\hat{d}_{.}=\sum_{j=1}^{J}\hat{d}_{j}/J$ é um estimador da
média $\bar{d}$ dos efeitos de plano amostral desconhecidos.

Estimamos os efeitos do plano amostral por $\hat{d}_{j}=\hat{V}_{p}\left(\hat{p}_{j}\right) /\left( \hat{p}_{j}\left( 1-\hat{p}_{j}\right) /n\right)$, onde $\hat{V}_{p}\left( \hat{p}_{j}\right)$ é a estimativa da
variância de aleatorização do estimador de proporção $\hat{p}_{j}$ . 
Este ajustamento requer que estejam disponíveis as
estimativas dos efeitos de plano amostral dos estimadores das proporções das $J$ celas. 
A correlação intraclasse positiva fornece uma
média $\hat{d}_{.}$ maior que $1$ e, portanto, o ajuste do EPA médio
tende a remover a liberalidade de $X_{P}^{2}$.

O ajuste do EPA médio não corrige exatamente a esperança
assintótica de $X_{P}^{2}$ , pois a média dos efeitos univariados de
plano amostral não é igual à média dos efeitos generalizados
de plano amostral. Sob a hipótese nula, a esperança assintótica
de $X_{P}^{2}$ é $E\left( X_{P}^{2}\right) =\sum_{j=1}^{J-1}\delta _{j}$
, logo 
$E\left( X_{P}^{2}/\bar{\delta}\right) =E\left( \chi ^{2}\left(J-1\right) \right) =J-1$, 
onde a média dos autovalores é $\bar{\delta}=\sum_{j=1}^{J-1}\delta _{j}/\left( J-1\right)$. Este raciocínio
conduz ao ajuste de primeira ordem de Rao-Scott para $X_{P}^{2}$, dado por 
\begin{equation}
X_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.}\right) =X_{P}^{2}/\hat{\delta}_{.}\;\;\mbox{,}
(\#eq:qual13)
\end{equation}
onde $\hat{\delta}_{.}$ é um estimador da média $\bar{\delta}$ dos
autovalores desconhecidos da matriz de efeitos multivariados de plano
amostral $\mathbf{\Delta }$.

Podemos estimar a média dos efeitos generalizados usando os efeitos
univariados de plano amostral estimados, pela equação

\[
\left( J-1\right) \hat{\delta}_{.}=\sum_{j=1}^J\frac{\hat{p}_{j}}{p_{0j}}\left( 1-\hat{p}_{0j}\right)
 \hat{d}_{j}\mbox{,} 
\]
sem estimar os próprios autovalores. Alternativamente, $\hat{\delta}_{.}$
pode ser obtido a partir da estimativa da matriz de efeitos multivariados 
$\mathbf{\hat{\Delta}}=n\mathbf{P}_{0}^{-1}\mathbf{\hat{V}}_{p}$, pela equação 
$\hat{\delta}_{.}=tr\left( \mathbf{\hat{\Delta}}\right) /\left(J-1\right)$, 
isto é, dividindo o traço de $\mathbf{\hat{\Delta}}$ pelo número de graus de liberdade.

A estatística ajustada $X_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.}\right)$ só
tem distribuição assintoticamente qui-quadrado com 
$\left(J-1\right)$ graus de liberdade se os autovalores forem iguais. Na
prática, esta estatística funciona bem se a variação dos
autovalores estimados for pequena. No cálculo de $X_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.}\right)$
só são necessários os efeitos multivariados
de plano amostral dos $\hat{p}_{j}$ que aparecem na diagonal da matriz $\mathbf{\hat{\Delta}}$.
Assim, esta estatística é adequada em
análises secundárias de tabelas de contingência, se forem
divulgadas as estimativas de efeito de plano amostral correspondentes. O
ajuste de primeira ordem de Rao-Scott 
$X_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.}\right)$ é mais exato do que o ajuste do EPA médio da
estatística $X_{P}^{2}\left( \hat{d}_{.}\right)$, que é considerada
uma alternativa conservadora de $X_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.}\right)$.

A correção de primeira ordem de Rao-Scott \@ref(eq:qual13) é
introduzida na estatística de Pearson com o objetivo de tornar a
média assintótica da estatística ajustada igual ao número de
graus de liberdade da distribuição de referência. Se a variação dos autovalores estimados
$\hat{\delta}_{j}$ for grande, então
será também necessária uma correção da variância de $X_{P}^{2}$. 
Isto é obtido através de uma `correção de segunda ordem de Rao-Scott`, baseada no método de [@sat]. A estatística de Pearson com ajuste de Rao-Scott de segunda ordem é dada por 
\begin{equation}
X_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.},\hat{a}^{2}\right) =
X_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.}\right) /\left( 1+\hat{a}^{2}\right) , 
 (\#eq:qual14)
\end{equation}
onde $\hat{a}^{2}$ é um estimador do quadrado do coeficiente de variação 
$a^{2}$ dos autovalores desconhecidos dado por 
\[
\hat{a}^{2}=\sum_{j=1}^{J-1}\hat{\delta}_{j}^{2}/\left( \left( J-1\right)
 \hat{\delta}_{.}^{2}\right) -1\;\;. 
\]

Um estimador da soma dos quadrados dos autovalores é dado por 
\[
\sum_{j=1}^{J-1}\hat{\delta}_{j}^{2}=tr\left( \mathbf{\hat{\Delta}}^{2}\right) =n^{2}\sum\limits_{j=1}^{J}\sum\limits_{k=1}^{J}
\hat{V}_{p}^{2}\left( \hat{p}_{j},\hat{p}_{k}\right) /p_{0j}p_{0k}, 
\]
onde $\hat{V}_{p}\left( \hat{p}_{j},\hat{p}_{k}\right)$ são os
estimadores das covariâncias de aleatorização de $\hat{p}_{j}$ e 
$\hat{p}_{k}$. Os graus de liberdade também devem ser corrigidos. A
estatística $X_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.},\hat{a}^{2}\right)$ é
assintoticamente qui-quadrado com graus de liberdade com ajuste de
Satterthwaite dados por $gl_{S}=\left( J-1\right) /\left( 1+\hat{a}^{2}\right)$.

Observe que, para o ajuste de segunda ordem, é necessária estimativa
completa da matriz de variância $\mathbf{\hat{V}}_{p}$, enquanto que
para o ajuste de primeira ordem só precisamos conhecer estimativas das
variâncias $\hat{V}_{p}$.

Em situações instáveis, pode ser necessário fazer uma correção F ao ajuste de primeira ordem de Rao-Scott \@ref(eq:qual13). A
estatística F-corrigida é definida por 
\begin{equation}
FX_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.}\right) =X_{W}^{2}/\left( \left( J-1\right) 
\hat{\delta}_{.}\right) \;\;.  
(\#eq:qual15)
\end{equation}

A estatística $FX_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.}\right)$ tem distribuição de referência $F$  com $J-1$ e $f$ graus de liberdade. [@TR87] observaram que esta estatística, em situações
instáveis, é melhor que a estatística sem correção de
primeira ordem.

```{example, label= "exe71"}
Teste de bondade de ajuste para a distribuição etária da PPV
96-97 na Região Sudeste.
```

Vamos considerar um teste da bondade de ajuste da distribuição das
idades para a Pesquisa sobre Padrões de Vida (PPV) 96/97, para os
subgrupos de 0 a 14; de 15 a 29; de 30 a 44; de 45 a 59 e de 60 e mais anos
de idade. As proporções correspondentes para a população
foram obtidas da Contagem Populacional de 96. Na Região Sudeste, o
número de estratos é $H=15$ e o número total de conglomerados
(setores) na amostra da PPV é $m=276$ e portanto $f=m-H=261$. As informações utilizadas neste exemplo são apresentadas na Tabela \@ref(tab:ppcount).


```{r ppcount, warning=FALSE, message=FALSE, echo=FALSE}
library(survey)
ppv1 <- readRDS("~\\GitHub\\adac\\data\\ppv.rds")
# cria idade categorizada
ppv1<-transform(ppv1,idatab=cut(v02a08,
c(0,14,29,44,59,200), include.lowest=T), one=1)

# Objeto de desenho da PPV
ppv.des<-svydesign(id=~nsetor,strat=~estratof,weights=~pesof,
data=ppv1,nest=TRUE)
# Considera região sudeste
ppv.se.des<-subset(ppv.des,regiao==2)
# estima proporções nas classes de IDATAB
ppv.id<-svymean(~idatab,ppv.se.des,deff=T)
vhat<-vcov(ppv.id)
ppv.id <- data.frame(ppv.id)
freq <- svyby(~one, ~idatab, ppv.se.des, unwtd.count)$counts
# matriz de variância-covariância estimada
idad_tab <- c("0-14", "15-29", "30-44","45-59","60+")
tab73 <- data.frame(idade= idad_tab, prop_contagem= c(0.2842, 0.2747, 0.2263, 0.1261, 0.0860), frequência= freq, prop_est_ppv= ppv.id$mean,epa = ppv.id$deff) 
knitr::kable(tab73, booktabs= TRUE, digits=c(0,4,0,4,4), align = "lcccc",
 caption = "Vetores de proporções por classes de idade da PPV 96/97 e Contagem
 96 e EPAs calculados para a PPV - Região Sudeste")
```


Os valores dos EPAs observados na PPV ( coluna 5 da Tabela \@ref(tab:ppcount)
mostram que o plano amostral não pode ser ignorado na análise.
Queremos testar a hipótese $H_{0}:\mathbf{p=p}_{0}$ usando as
estimativas de proporções obtidas pela amostra da PPV. O vetor de
proporções populacionais $\mathbf{p}_{0}$ foi obtido dos resultados
da Contagem Populacional de 96, que é uma pesquisa censitária. Neste exemplo, vamos calcular a estatística de Pearson e suas correções, e também a estatística de Wald baseada no plano amostral.
Calculamos a matriz $\widehat{\mathbf{V}}_{p}$ pela aplicação do método de linearização de Taylor descrito na Seção \@ref(taylor) através da fórmula \@ref(eq:estpa22) obtendo


```{r  vahat, echo= FALSE}
dimnames(vhat) <- list(idad_tab, idad_tab)
knitr::kable(10^6*vhat, digits=3)
```


Para obter a estatística de Pearson \@ref(eq:qual11), vamos calcular a
matriz de covariância populacional e uma estimativa dessa matriz de
covariância sob suposição de distribuição multinomial,
dada por $\mathbf{P}_{0}/n=\frac{diag\left( \mathbf{p}_{0}\right) -\mathbf{p}_{0}\mathbf{p}_{0}^{^{\prime }}}{8.903}$, resultando em 


```{r, echo=FALSE}
p0 <- c(0.2842, 0.2774, 0.2263, 0.1261, 0.0860)
n <- sum(freq)
p0v <- matrix(p0,ncol=1)
p0n <- (diag(p0)-p0v%*%t(p0v))/n
knitr::kable(round(10^6*p0n,3))
```

Para obter os diversos ajustes desta estatística precisamos usar os
valores dos EPAs, listados na coluna 5 da Tabela \@ref(tab:ppcount). Estes valores
foram obtidos através do pacote SUDAAN. Para obter as diferentes correções da estatística de Pearson, precisamos calcular as seguintes
quantidades: 

```{r, echo=FALSE, eval=FALSE}
dhat <- tab73$epa
dhatdot <- mean(dhat)
dhatdot
```

\[
\hat{d}_{.}=\sum_{j=1}^{5}\hat{d}_{j}/5=2,376\;\;\mbox{,} 
\]

```{r, echo=FALSE, eval=FALSE}
phat <- tab73$prop_est_ppv
deltahatdot <- sum(phat*(1-p0)*dhat/(4*p0))
deltahatdot
```


\[
\hat{\delta}_{.}=\sum_{j=1}^5\frac{\hat{p}_{j}}{4p_{0j}}
\left( 1-\hat{p}_{0j}\right) \hat{d}_{j}=2,457\;\;, 
\]

```{r, echo=FALSE, eval=FALSE}
nppv <- sum (freq)
raz <- matrix(NA,5,5)
for(i in 1:5){
  for(j in 1:5){
    raz[i,j]<- vhat[i,j]^2/(p0[i]*p0[j])
  }
}
ahat2_1 <- nppv^2* sum(raz)/(4*deltahatdot^2)
ahat2_1
```



\[
1+\hat{a}^{2}=8903^{2}\sum\limits_{j=1}^{5}\sum\limits_{k=1}^{5}\left( \hat{V}_{p}^{2}\left( \hat{p}_{j},\hat{p}_{k}\right) /p_{0j}p_{0k}\right) /\left(
4\times 2,457^{2}\right) =1,253\;\;. 
\]

Podemos então calcular a estatística $X_{P}^{2}$ de Pearson usando \@ref(eq:qual11), resultando em 


```{r, echo=FALSE, eval=FALSE}
x2p <-nppv* sum((phat -p0)^2/p0)
x2p
```

\[
X_{P}^{2}=11,64 
\]
com $4$ g.l. e um $p$valor $0,020$ .

A estatística de Pearson com ajustamento de EPA médio é
calculada usando \@ref(eq:qual12), resultando em 

```{r, echo=FALSE, eval=FALSE}
x2p/dhatdot
```


\[
X_{P}^{2}\left( \hat{d}_{.}\right) =11,64/2,376=4,901 
\]
com $4$ g.l. e um $p$valor $0,298$ .

A estatística de Pearson com ajustamento de Rao-Scott de primeira ordem,
dada por \@ref(eq:qual13), resulta em
```{r, echo=FALSE, eval=FALSE}
x2p/deltahatdot 
```

\[
X_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.}\right) =11,64/2,457=4,74 
\]
com $4$ g.l. e um $p$valor $0,315$ .


O ajustamento de Rao-Scott de primeira ordem F-corrigido para a
estatística de Pearson, dado por \@ref(eq:qual15), resulta em 
```{r, echo=FALSE, eval=FALSE}
J <- length(phat)
x2p/ ((J-1)*deltahatdot)
```

\[
FX_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.}\right) =4,74/4=1,85
\]
com $4$ e $261$ g.l e um $p$valor $0,318$ .

O ajustamento de Rao-Scott de segunda ordem para a estatística de
Pearson, dado por \@ref(eq:qual14), resulta em

```{r, echo=FALSE, eval=FALSE}
(x2p/deltahatdot)/ahat2_1
```

\[
X_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.},\hat{a}^{2}\right) =4,74/1,253=3,784 
\]
com $4$/$1,253=3,19$ g.l. e $p$valor $0,314$ .

A estatística de Wald baseada no plano amostral (veja equação 
\@ref(eq:qual8) resulta em 

```{r, echo =FALSE, eval=FALSE}
phatv <- matrix(phat[-5], ncol=1)
p0v <- matrix(p0[-5], ncol=1)
vhat0 <- vhat[-5,-5]
x2w <-  t(phatv-p0v)%*% solve(vhat0)%*%(phatv-p0v)
x2w
```


\[
X_{W}^{2}=5,691 
\]
com $4$ g.l. e um $p$valor $0,223$ .

As estatísticas F-corrigidas de Wald, definidas em \@ref(eq:qual9) e \@ref(eq:qual10), resultam em 



```{r, echo=FALSE, eval=FALSE}
# número de estratos da PPV-sudeste
nestrat <- length(unique(ppv1$estratof[ppv1$regiao == 2]))
# número de setores da PPV-sudeste
nsetor <- length(unique(ppv1$nsetor[ppv1$regiao == 2]))
f <- nsetor -nestrat
f1p <- ((f-J+2)/(f*(J-1)))*x2w
f1p
```

\[
F_{1.p}=\frac{261-5+2}{261\times 4}\times 5,690661=1,406 
\]
com $4$ e $259$ g.l. e um $p$valor $0,232$ , e 


```{r, echo=FALSE, eval=FALSE}
f2p <- x2w/(J-1)
f2p
```

\[
F_{2.p}=5,691/4\mbox{ }=1,423 
\]
com 4 e 261 gl e um $p$valor $0,228$ .

A Tabela \@ref(tab:estaltteste) resume os valores das diversas estatísticas de
teste calculadas, bem como das informações comparativas com as
respectivas distribuições de referência.



---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
           Estatística                                      Tipo          Valor    Distribuição              valor-$p$
----------------------------------------------------- ------------------  ------ -----------------------   ----------
$X_{P}^{2}$                                            Adequada para IID  11,640    $\chi ^{2}(4)$            0,020

$X_{P}^{2}\left( \hat{d}_{.}\right)$                   Ajustes e          4,901     $\chi ^{2}(4)$            0,298

$X_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.}\right)$              correções da       4,740     $\chi ^{2}(4)$            0,315

$FX_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.}\right)$             Estatística        1,850    $F\left( 4;261\right)$     0,318

$X_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.},\hat{a}^{2}\right)$  $X_{P}^{2}$        3,784    $\chi ^{2}(3,19)$          0,314

$X_{W}^{2}$                                            Baseadas no        5,691     $\chi ^{2}(4)$            0,223

$F_{1.p}$                                              plano              1,406   $F\left( 4;259\right)$      0,232

$F_{2.p}$                                              amostral           1,423   $F\left( 4;261\right)$      0,228
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Table:(#tab:estaltteste)Valores e valores-p de estatísticas alternativas de teste


Examinando os resultados da Tabela \@ref(tab:estaltteste), verificamos que o teste
clássico de Pearson rejeita a hipótese nula $H_{0}$ no nível 
$\alpha =5\%$, diferentemente de todos os outros testes. Os valores das
estatísticas com ajustes de Rao-Scott (com ou sem correção F)
são semelhantes e parecem corrigir exageradamente o $p$-valor dos testes.
A estatística de Wald baseada no plano amostral e suas correções
F, que têm valores quase iguais, produzem uma correção menor no 
$p$-valor do teste. Nesse exemplo, como o número de graus de liberdade
(dado pelo número de unidades primárias na amostra menos o
número de estratos)$f=m-H=261$ é grande, a correção F tem
pouco efeito, tanto nas estatísticas com ajustes de primeira e segunda
ordem de Rao-Scott, como na estatística Wald.

## Laboratório de R

Exemplo 7.1 pode ser substituído por: Criar variável ITAB (Não aparece)

```{r}
ppv1<-transform(ppv1,idatab = cut(v02a08,
c(0,14,29,44,59,200),include.lowest=T))
```

```{r}
ppv.des<-svydesign(id=~nsetor,strat=~estratof,weights=~pesof,
data=ppv1,nest=TRUE)
ppv.se.des<-subset(ppv.des,regiao==2)
```


```{r}
ppv.id<-svymean(~idatab,ppv.se.des,deff=T)
vhvat<-vcov(ppv.id)
```

```{r estpropclas}
library(xtable)
fr_ppv_id<- data.frame(ppv.id)
row.names(fr_ppv_id) <- NULL
fr_ppv_id <- cbind(idade= c("0 a 14 anos","15 a 29 anos", "30 a 44 anos","45 a 59 anos", "60 anos e mais"), fr_ppv_id)
knitr::kable(fr_ppv_id, booktabs= TRUE, digits=c(0,4,4,3), caption="Estimativas das proporções nas classes") 

```


Estatística de Wald calculada a partir da fórmula \@ref(eq:qual8)


```{r}
#Vetor de proporções estimadas
phat<-coefficients(ppv.id)
# Vetor de proporções obtido na Contagem Populacional de 1996
p0<-c(.2842,.2774,.2263,.1261,.086)
# Estatística de Wald
x2_w<-matrix((phat-p0)[-5],nrow=1)%*%solve(vhat[-5,-5])%*%
matrix((phat-p0)[-5],ncol=1)
x2_w
```

```{r}
#Cálculo do p-valor
round(pchisq(x2_w,4,lower.tail=FALSE),digits=3)
```


Estatística de Pearson calculada a partir da fórmula 7.11

```{r}
n<-8903
P0<-diag(p0)-matrix(p0,ncol=1)%*%matrix(p0,nrow=1)
x2_p<-n*matrix((phat-p0)[-5],nrow=1)%*%solve(P0[-5,-5])%*%
matrix((phat-p0)[-5],ncol=1)
x2_p
```

Cálculo do valor-p:

```{r}
round(pchisq(x2_p,4,lower.tail=FALSE),digits=3)
```