08-Cap8.Rmd

# Testes em Tabelas de Duas Entradas {#testetab2}

## Introdução


Os principais testes em tabelas de duas entradas são os de homogeneidade
e de independência. O `teste de homogeneidade` é apropriado
para estudar a igualdade das distribuições condicionais de uma
variável resposta categórica correspondentes a diferentes
níveis de uma variável preditora também categórica. O `teste de independência` é adequado para estudar a associação
entre duas variáveis categóricas. Enquanto o primeiro teste
se refere às distribuições condicionais da variável
resposta para níveis fixados da variável preditora, o segundo se
refere à distribuição conjunta das duas variáveis
categóricas que definem as celas da tabela. Apesar de conceitualmente
distintas, as duas hipóteses podem ser testadas, no caso de amostragem
aleatória simples, utilizando a mesma estatística de teste
multinomial de Pearson.

Nos testes de homogeneidade e de independência para tabelas de
frequências $L\times C$ obtidas por amostragem aleatória
simples, a estatística de teste de Pearson tem distribuição
assintótica qui-quadrado com $(L-1)(C-1)$ graus de liberdade, isto é 
$\chi ^{2}\left( (L-1)(C-1)\right)$. Para pesquisas com planos amostrais
complexos, esta propriedade assintótica padrão não é
válida. Por exemplo, testes definidos em tabelas de frequências
obtidas mediante amostragem por conglomerados são mais liberais
(rejeitam mais) relativamente aos níveis nominais de significância,
devido à correlação intraclasse positiva das variáveis
usadas para definir a tabela. Além disso, para planos amostrais
complexos, as estatísticas de teste das duas hipóteses devem ser
corrigidas de formas diferentes.

Neste capítulo, apresentamos versões modificadas de procedimentos
clássicos de testes para dados categóricos, de maneira a incorporar
os efeitos de plano amostral na análise. Procedimentos mais recentes,
baseados em ajustes de modelos regressivos, estão disponíveis em
pacotes especializados como o SUDAAN (procedimento CATAN, para dados
tabelados, e procedimento LOGISTIC, para regressão com respostas
individuais binárias, por exemplo), porém não serão aqui
considerados.

## Tabelas 2x2 {#tabelas22}

Para fixar idéias, vamos considerar inicialmente uma tabela de
contingência $2\times 2$, isto é, com $L=2$ e $C=2$, representada
pela Tabela \@ref(tab:tab81). A entrada $p_{lc}$ na Tabela \@ref(tab:tab81) representa
a proporção populacional de unidades no nível $l$ da
variável 1 e $c$ da variável 2, ou seja $p_{lc}=\frac{N_{lc}}{N}$ ,
onde $N_{lc}$ é o número de observações na cela $\left(
l,c\right)$ na população, $N$ é o tamanho da população
e $\sum\nolimits_{l}\sum\nolimits_{c}p_{lc}=1$. Vamos denotar, ainda, as
proporções marginais na tabela por $p_{l+}=\sum\nolimits_{c}p_{lc}$
e $p_{+c}=\sum_{l}p_{lc}$.


|       	|       	|          	| var2     	|          	|
|-------	|-------	|----------	|----------	|----------	|
|       	|       	| 1        	| 2        	| Total    	|
| Var1  	| 1     	| $p_{11}$ 	| $p_{12}$ 	| $p_{1+}$ 	|
|       	| 2     	| $p_{21}$ 	| $p_{22}$ 	| $p_{2+}$ 	|
|       	| Total 	| $p_{+1}$ 	| $p_{+2}$ 	| 1        	|

Table: (#tab:tab81) Tabela 2x2 de proporções.



### Teste de Independência

A hipótese de independência corresponde a 
\[
H_{0}:p_{lc}=p_{l+}p_{+c}\;\;\forall l,c=1,2\;. 
\]

A estatística de teste de Pearson para testar esta hipótese, no caso
de amostragem aleatória simples, é dada por 
\[
X_{P}^{2}\left( I\right) =n\sum\limits_{l=1}^{2}\sum\limits_{c=1}^{2}\frac{
\left( \hat{p}_{lc}-\hat{p}_{l+}\hat{p}_{+c}\right) ^{2}}{\hat{p}_{l+}\hat{p}
_{+c}} 
\]
onde $\hat{p}_{lc}=n_{lc}/n$ , $n_{lc}$ é o número de observações da amostra na cela $\left( l,c\right)$ da tabela, $n$ é o
tamanho total da amostra, $\hat{p}_{l+}=\sum\nolimits_{c}\widehat{p}_{lc}$ e 
$\hat{p}_{+c}=\sum_{l}\hat{p}_{lc}$ .

Sob a hipótese nula, a estatística $X_{P}^{2}\left( I\right)$ tem
distribuição de referência qui-quadrado com um grau de
liberdade. Observe que esta estatística mede uma distância (em certa
escala) entre os valores observados na amostra e os valores esperados
(estimados) sob a hipótese nula de independência.

### Teste de Homogeneidade

No caso do teste de independência, as duas variáveis envolvidas
são consideradas como respostas. No teste de homogeneidade, uma das
variáveis, a variável 2, por exemplo, é considerada a resposta
enquanto a variável 1 é considerada explicativa. Vamos agora
analisar a distribuição da variável 2 (coluna) para cada
nível da variável 1 (linha). Considerando ainda uma tabela $2\times
2,$ queremos testar a hipótese 
\[
H_{0}:p_{1c}=p_{2c}\quad c=1,2\;\;. 
\]
onde agora $p_{lc}$ representa a proporção na linha $l$ de unidades
na coluna $c$. Com as restrições usuais de que as proporções
nas linhas somam $1$, isto é, $p_{11}+p_{12}=p_{21}+p_{22}=1$, a
hipótese nula considerada se reduz a $p_{11}=p_{21}$ e novamente temos
apenas um grau de liberdade.

Para o teste de homogeneidade, usamos a seguinte estatística de teste de
Pearson: 
\[
X_{P}^{2}\left( H\right) =\sum\limits_{l=1}^{2}\sum\limits_{c=1}^{2}\frac{
n_{l+}\left( \widehat{p}_{lc}-\hat{p}_{+c}\right) ^{2}}{\hat{p}_{+c}},
\]
onde $n_{l+}=\sum\nolimits_{c}n_{lc}$ para $l=1,2$ e $\widehat{p}
_{lc}=n_{lc}/n_{l+}$ para $l=1,2$ e $c=1,2$.

Esta estatística mede a distância entre valores observados e
esperados sob a hipótese nula de homogeneidade e tem, também,
distribuição de referência qui-quadrado com um grau de
liberdade. Embora as expressões de $X_{P}^{2}\left( I\right)$ e 
$X_{P}^{2}\left( H\right)$ sejam distintas, seus valores numéricos
são iguais.

### Efeitos de Plano Amostral nas Celas

Para relacionar os testes tratados neste capítulo com o teste de
qualidade de ajuste apresentado no capítulo anterior, observe que os
testes de independência e de homogeneidade são definidos sobre o
vetor de proporções de distribuições multinomiais. No caso
de independência, temos uma distribuição multinomial com
vetor de probabilidades $\left( p_{11},p_{12},p_{21},p_{22}\right) ,$ e no
caso do teste de homogeneidade, temos duas multinomiais (no caso binomiais)
com vetores de probabilidades $\left( p_{11},p_{12}\right)$ e $\left(
p_{21},p_{22}\right)$. O processo de contagem que gera estas multinomiais
pressupõe que as observações individuais (indicadores de classe)
são independentes e com mesma distribuição. Estas hipóteses
só são válidas no caso de amostragem aleatória simples com
reposição.

Quando os dados são gerados através de um plano amostral complexo,
surgem efeitos de conglomeração e estratificação que devem
ser considerados no cálculo das estatísticas de teste. Neste caso,
as frequências nas celas da tabela são estimadas, levando em
conta os pesos dos elementos da amostra bem como o plano amostral
efetivamente utilizado.

Denotemos por $\hat{N}_{lc}$ o estimador do número de observações na cela $\left( l,c\right)$ na população, 
e designemos por $\hat{n}_{lc}=$ $\left( \hat{N}_{lc}/\hat{N}\right) \times n$ o valor
padronizado de $\hat{N}_{lc}$, de modo que 
$\sum\limits_{l=1}^{L}\sum\limits_{c=1}^{C}\hat{n}_{lc}=n$. Sejam, agora, os estimadores das proporções
nas celas dados por $\hat{p}_{lc}=\hat{n}_{lc}/n$ no caso do teste
de independência e por $\hat{p}_{lc}=\hat{n}_{lc}/n_{l+}$ no caso do
teste de homogeneidade. As estatísticas $X_{P}^{2}\left( I\right)$ e 
$X_{P}^{2}\left(H\right)$ calculadas com as estimativas $\hat{n}_{lc}$ no
lugar dos valores $n_{lc}$ não têm, como antes, distribuição
assintótica qui-quadrado com um grau de liberdade.

Por outro lado, é importante observar que as agências produtoras de
dados estatísticos geralmente apresentam os resultados de suas pesquisas
em tabelas contendo as estimativas $\hat{N}_{lc}$, como ilustrado no Exemplo 
\@ref(exm:Analisec) do Capítulo \@ref(ajmodpar). Se calcularmos as estatísticas 
$X_{P}^{2}\left( I\right)$ e $X_{P}^{2}\left( H\right)$ a partir dos
valores dos $\hat{N}_{lc}$ fornecidos, com a estimativa do tamanho da 
população $\hat{N}$ no lugar de $n$, os resultados assintóticos
obtidos para amostragem aleatória simples com reposição (IID)
deixarão de ser válidos. Devemos calcular as estatísticas de
teste $X_{P}^{2}\left( I\right)$ e $X_{P}^{2}\left( H\right)$ a partir dos 
$\hat{n}_{lc}$ anteriormente definidos, que correspondem aos 
$\hat{N}_{lc}$ padronizados para totalizar $n$.

As estatísticas baseadas nos valores estimados $\hat{n}_{lc}$ podem ser
corrigidas para ter distribuição de referência qui-quadrado com
um grau de liberdade, no caso de tabela $2\times 2$. Mas, é importante
observar que os efeitos de plano amostral e as correções a serem
considerados são distintos para as duas estatísticas 
$X_{P}^{2}\left( I\right)$ e $X_{P}^{2}\left(H\right)$.

Para ilustrar esse ponto vamos considerar o `ajuste de EPA médio`,
que será apresentado na próxima seção para o caso de tabelas 
$L\times C$ . Este ajuste, no caso da estatística $X_{P}^{2}\left(
I\right)$, se baseia no EPA médio das estimativas das proporções
nas celas $\hat{p}_{lc}=\hat{n}_{lc}/n$, enquanto que para a
estatística $X_{P}^{2}\left( H\right)$ ele se baseia no EPA médio
das estimativas das proporções nas linhas $\hat{p}_{lc}=\hat{n}
_{lc}/n_{l+}$.

Os valores das estatísticas $X_{P}^{2}\left( I\right)$ e 
$X_{P}^{2}\left( H\right)$ são iguais no caso IID, mas para planos
amostrais complexos, as estatísticas corrigidas pelo EPA médio
são distintas, apesar de terem, para tabelas $2\times 2$, a mesma
distribuição de referência qui- quadrado com um grau de
liberdade. Adiante apresentaremos um exemplo numérico para ilustrar este
ponto.

## Tabelas de Duas Entradas (Caso Geral)

### Teste de Homogeneidade

O teste de homogeneidade pode ser usado para comparar distribuições
de uma variável categórica ($C$ categorias) para um conjunto de $L$
regiões não superpostas, a partir de amostras independentes obtidas
através de um plano amostral com vários estágios. Vamos
considerar uma tabela $L\times C$ e supor que as colunas da tabela
correspondem às classes da variável resposta e as linhas
correspondem às regiões, de modo que as somas da proporções
nas linhas na tabela de proporções são iguais a $1$. A tabela
para a população é da forma da Tabela \@ref(tab:proplinha).


|Região | $1$ | $2$ | $\ldots$ | $c$ | $\ldots$ | $C$ | Total |
|-------|-----|-----|-----------|-----|-----------|-----|-------|
$1$ | $p_{11}$ | $p_{12}$ | $\ldots$ | $p_{1c}$ | $\ldots$ | $p_{1C}$ | $1$ |
$2$ | $p_{21}$ | $p_{22}$ | $\ldots$ | $p_{2c}$ | $\ldots$ | $p_{2C}$ | $1$ |
$\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | . | $\vdots$ | . | $\vdots$ | $\vdots$ |
$l$ | $p_{l1}$ | $p_{l1}$ | $\ldots$ | $p_{lc}$ | $\ldots$ | $p_{lC}$ | $1$ |
$\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | . | $\vdots$ | . | $\vdots$  | $\vdots$ |
$L$ | $p_{L1}$ | $p_{L2}$ | $\ldots$ | $p_{Lc}$ | $\ldots$ | $p_{LC}$ | $1$ |
Total| $p_{+1}$ |$p_{+2}$ | $\ldots$ | $p_{+c}$ | $\ldots$ | $p_{+C}$ | $1$ |

Table:(#tab:proplinha) Proporções de linhas em tabela $L\times C$.

Note que aqui as proporções que aparecem nas linhas da tabela
são proporções calculadas em relação à
freqüência total da linha, e não proporções calculadas
em relação ao total da tabela como na seção anterior.
Portanto, $p_{lc}=N_{lc}/N_{l+}$ para todo $l=1,\ldots ,L$ e $c=1,\ldots ,C$.

Vamos considerar o caso em que $L=2$ regiões devem ser comparadas. Seja 
$\mathbf{p}_{l}=\left( p_{l1},\ldots ,p_{l\;C-1}\right) ^{\prime }$ o vetor
de proporções da $l$-ésima região, sem incluir a proporção 
referente à última categoria ($p_{lC}$), $l=1,2.$ A
hipótese de igualdade das distribuições da resposta nas duas
regiões pode ser expressa como $H_{0}:\mathbf{p}_{1}=\mathbf{p}_{2}$ ,
com $C-1$ componentes em cada vetor, pois em cada região a soma das
proporções é 1.

Seja $\mathbf{p}_{0}=\left( p_{+1},\ldots p_{+\;C-1}\right) ^{\prime }$ o
vetor comum de proporções sob $H_{0}$, desconhecido.
Denotemos por $\mathbf{\hat{p}}_{l}=\left( \hat{p}_{l1},\ldots ,\hat{p}
_{l\;C-1}\right) ^{\prime }$ os vetores de proporções estimadas 
($l=1,2$), baseados em amostras independentes para as diferentes regiões,
onde $\hat{p}_{lc}=\widehat{N}_{lc}/\widehat{N}_{l+}$ é um estimador
consistente da proporção $p_{lc}$ na população
correspondente, e $\widehat{N}_{lc}$ e $\widehat{N}_{l+}$ são
estimadores ponderados das frequências nas celas e nas marginais de
linha da tabela, respectivamente, de modo que $\sum\nolimits_{c=1}^{C}
\widehat{N}_{lc}=\widehat{N}_{l+}$ . Estes estimadores levam em consideração as probabilidades desiguais de inclusão na amostra e os ajustes
por não-resposta. Observe que, se os tamanhos das amostras dos subgrupos
regionais não forem fixados, os $\hat{p}_{lc}$ são estimadores de
razão.

Sejam $\mathbf{\hat{V}}_{p}\left( \widehat{\mathbf{p}}_{1}\right)$ e 
$\mathbf{\hat{V}}_{p}\left( \widehat{\mathbf{p}}_{2}\right)$ estimadores
consistentes das matrizes de variância de aleatorização dos
vetores $\widehat{\mathbf{p}}_{1}$ e $\widehat{\mathbf{p}}_{2}$ ,
respectivamente. A estatística de Wald baseada no plano amostral 
$X_{W}^{2}\left( H\right)$ para efetuar o teste de homogeneidade no caso de
duas regiões $\left( L=2\right)$ é dada por 
\begin{equation}
X_{W}^{2}\left( H\right) =\left( \mathbf{\hat{p}}_{1}-\mathbf{\hat{p}}
_{2}\right) ^{^{\prime }}\left[ \mathbf{\hat{V}}_{p}\left( \widehat{\mathbf{p
}}_{1}\right) +\mathbf{\hat{V}}_{p}\left( \widehat{\mathbf{p}}_{2}\right)
\right] ^{-1}\left( \mathbf{\hat{p}}_{1}-\mathbf{\hat{p}}_{2}\right) ,
(\#eq:Tab1)
\end{equation}
pois as amostras são disjuntas e supostas independentes.

No caso, a estatística de Wald $X_{W}^{2}\left( H\right)$ tem distribuição assintótica qui-quadrado com $\left( 2-1\right) \times
\left( C-1\right)$ graus de liberdade. Quando o número de unidades
primárias de amostragem na amostra de cada região é grande, a
estatística de Wald funciona adequadamente. Caso contrário, ocorre
problema de instabilidade e usamos, alternativamente, uma estatística
F-corrigida de Wald. Freitas et al.(1997) descrevem uma aplicação da
estatística $X_{W}^{2}\left( H\right)$ para testar a hipótese de
igualdade das pirâmides etárias estimadas pela Pesquisa sobre
Padrões de Vida 96/97 (PPV) e da Pesquisa Nacional por Amostra de
Domicílios 95 para as regiões Sudeste e Nordeste. Tal compara\c{c
}ão fez parte do processo de avaliação da qualidade dos
resultados da PPV.

Designemos por $f=m-H$ o número total de graus de liberdade
disponível para estimar $\left[ \mathbf{\hat{V}}_{p}\left( \widehat{
\mathbf{p}}_{1}\right) +\mathbf{\hat{V}}_{p}\left( \widehat{\mathbf{p}}
_{2}\right) \right] ,$ onde $m$ e $H$ são os números totais de
conglomerados e de estratos nas amostras das duas regiões,
respectivamente. As correções F da estatística $X_{W}^{2}\left(
H\right)$ são dadas por 

\begin{equation}
F_{1.p}=\frac{f-\left( C-1\right) +1}{f\left( C-1\right) }X_{W}^{2}\left(
H\right) , (\#eq:Tab2) 
\end{equation}

que tem distribuição de referência $F$ com $\left(C-1\right)$ e 
$\left( f-\left( C-1\right)+1\right)$ graus de liberdade e, ainda, 

\begin{equation}
F_{2.p}=X_{W}^{2}\left( H\right) /\left(C-1\right) (\#eq:Tab3)
\end{equation}

que tem distribuição de referência `F` com $\left(C-1\right)$ e $f$ graus de liberdade.

As estatísticas $F_{1.p}$ e $F_{2.p}$ podem amenizar o efeito de
instabilidade, quando $f$ não é grande relativamente ao número
de classes ($C$) da variável resposta.

No caso de $L=2$ regiões, a estatística de teste de homogeneidade de
Pearson é dada por 
\begin{equation}
X_{P}^{2}\left( H\right) =\left( \mathbf{\hat{p}}_{1}-\mathbf{\hat{p}}
_{2}\right) ^{^{\prime }}\left( \mathbf{\hat{P}}/\widehat{n}_{1+}+\mathbf{
\hat{P}}/\widehat{n}_{2+}\right) ^{-1}\left( \mathbf{\hat{p}}_{1}-\mathbf{
\hat{p}}_{2}\right) \;\;,  (\#eq:Tab4)
\end{equation}
onde $\mathbf{\hat{P}=diag}\left( \mathbf{\hat{p}}_{0}\right) -\mathbf{\hat{p
}}_{0}\mathbf{\hat{p}}_{0}^{^{\prime }}$ e $\mathbf{\hat{p}}_{0}$ é o
estimador do vetor comum de proporções sob a hipótese de
homogeneidade.

Neste caso, $\mathbf{\hat{P}}/\widehat{n}_{1+}$ é o estimador da matriz
de covariância de $\mathbf{\hat{p}}_{0}$ na primeira região e 
$\mathbf{\hat{P}}/\widehat{n}_{2+}$ na segunda. Observe que \@ref(eq:Tab4) e \@ref(eq:Tab1)
têm a mesma forma, diferindo só no estimador da matriz de
covariância usado para definir a métrica de distância. No caso
da estatística $X_{P}^{2}\left( H\right)$, o estimador da matriz de
covariância baseia-se nas hipóteses relativas à distribuição
multinomial, apropriadas para a amostragem aleatória simples. A
distribuição de referência da estatística $X_{P}^{2}\left(
H\right)$ é qui-quadrado com $\left( C-1\right)$ graus de liberdade.

Para introduzir em $X_{P}^{2}\left( H\right)$ o ajuste de EPA médio e o
ajuste de Rao-Scott de primeira ordem, é preciso calcular estimativas de
efeitos de plano amostral das estimativas das proporções nas linhas
em ambas as regiões. O ajuste de segunda ordem de Rao-Scott, por sua
vez, depende da matriz de efeito multivariado do plano amostral. As
estimativas de efeitos de plano amostral na região $l$ são da forma 
\begin{equation}
\hat{d}_{lc}=\widehat{n}_{l+}\hat{V}_{lc}/\left( \hat{p}_{+c}\left( 1-\hat{p}
_{+c}\right) \right) ,\ \;l=1,2\mbox{ e }c=1,\ldots ,C,  (\#eq:Tab5)
\end{equation}
onde $\hat{V}_{lc}$ é o $c$-ésimo elemento da diagonal de $\mathbf{
\hat{V}}_{p}\left( \widehat{\mathbf{p}}_{l}\right)$.

A matriz estimada de efeito multivariado de plano amostral é 
\begin{equation}
\mathbf{\hat{\Delta}=}\frac{\widehat{n}_{1+}\times \widehat{n}_{2+}}{
\widehat{n}_{1+}+\widehat{n}_{2+}}\mathbf{\hat{P}}^{-1}\left( \mathbf{\hat{V}
}_{p}\left( \widehat{\mathbf{p}}_{1}\right) +\mathbf{\hat{V}}_{p}\left( 
\widehat{\mathbf{p}}_{2}\right) \right) \;\;.  (\#eq:Tab6)
\end{equation}

A estatística de Pearson com ajuste de EPA médio é dada por 
\begin{equation}
X_{P}^{2}\left( H;\hat{d}_{\cdot }\right) =X_{P}^{2}\left( H\right) /\hat{d}
_{\cdot },  (\#eq:Tab7)
\end{equation}
onde $\hat{d}_{\cdot }=\sum\limits_{l=1}^{2}\sum\limits_{c=1}^{C}\hat{d}
_{lc}/2C$ é a média das estimativas dos efeitos univariados de plano
amostral.

Usando os autovalores $\hat{\delta}_{c}$ de $\mathbf{\hat{\Delta}}$, o
ajuste de primeira ordem de Rao-Scott é dado por 
\begin{equation}
X_{P}^{2}\left( H;\hat{\delta}_{.}\right) =X_{P}^{2}\left( H\right) /\hat{
\delta}_{.},  (\#eq:Tab8)
\end{equation}
onde 
\[
\hat{\delta}_{.}=\frac{tr\left( \mathbf{\hat{\Delta}}\right) }{\left(
C-1\right) }=\frac{1}{C-1}\sum\limits_{l=1}^{2}\left( 1-\frac{\widehat{n}
_{l+}}{\widehat{n}_{1+}+\widehat{n}_{2+}}\right) \sum\limits_{c=1}^{C}\frac{
\hat{p}_{lc}}{\hat{p}_{+c}}\left( 1-\hat{p}_{lc}\right) \hat{d}_{lc} 
\]
é um estimador da média $\bar{\delta}$ dos autovalores $\delta _{c}$
da matriz $\mathbf{\Delta }$, desconhecida, de efeito multivariado do plano
amostral. Como a soma dos autovalores de $\mathbf{\hat{\Delta}}$ é igual
ao traço de $\mathbf{\hat{\Delta}}$, esta correção pode ser
obtida sem ser necessário calcular os autovalores.

As distribuições de referência, tanto de $X_{P}^{2}\left( H;\hat{
d}_{\cdot }\right)$ como de $X_{P}^{2}\left( H;\hat{\delta}_{.}\right)$,
são qui-quadrado com $\left( C-1\right)$ graus de liberdade. Estes
ajustes corrigem a estatística $X_{P}^{2}\left( H\right)$ de modo a
obter estatísticas com valor esperado igual ao da distribuição
qui-quadrado de referência. Tal correção é apropriada quando
houver pouca variação das estimativas dos autovalores $\hat{\delta}
_{c}$. Quando isto não ocorrer, pode ser introduzido o ajuste de segunda
ordem de Rao-Scott, que para a estatística de Pearson é dado por 
\begin{equation}
X_{P}^{2}\left( H;\hat{\delta}_{.},\hat{a}^{2}\right) =X_{P}^{2}\left( H;
\hat{\delta}_{.}\right) /\left( 1+\hat{a}^{2}\right)  (\#eq:Tab9)
\end{equation}
onde $\hat{a}^{2}$ é o quadrado do coeficiente de variação dos
quadrados das estimativas dos autovalores $\hat{\delta}_{c}$, dado por 
\[
\hat{a}^{2}=\sum\limits_{c=1}^{C}\hat{\delta}_{c}^{2}/\left( \left(
C-1\right) \hat{\delta}_{.}^{2}\right) -1,
\]
onde a soma dos quadrados dos autovalores pode ser obtida a partir do 
traço de $\mathbf{\hat{\Delta}}^{2}$
\[
\sum\limits_{c=1}^{C}\hat{\delta}_{c}^{2}=tr\left( \mathbf{\hat{\Delta}}
^{2}\right) \;\;. 
\]

A estatística de Pearson com a correção de segunda ordem de
Rao-Scott $X_{P}^{2}\left( H;\hat{\delta}_{.},\hat{a}^{2}\right)$ tem
distribuição de referência qui-quadrado com graus de liberdade
com ajuste de Satterhwaite $gl_{S}=\left( C-1\right) /\left( 1+\hat{a}
^{2}\right)$.

Quando as estimativas $\mathbf{\hat{V}}_{p}\left( \widehat{\mathbf{p}}
_{1}\right)$ e $\mathbf{\hat{V}}_{p}\left( \widehat{\mathbf{p}}_{2}\right)$
das matrizes de covariâncias regionais são baseadas em números
relativamente pequenos de unidades primárias de amostragem selecionadas,
pode-se usar a estatística F-corrigida de Pearson. Ela é dada, no
caso de duas regiões, por 
\[
FX_{P}^{2}\left( H;\hat{\delta}_{.}\right) =X_{P}^{2}\left( H;\hat{\delta}
_{.}\right) /\left( C-1\right),
\]
e tem distribuição de referência `F` com $\left(C-1\right)$ e
$f$ graus de liberdade.

### Teste de Independência

Vamos considerar o teste de independência no caso geral de tabela 
$L\times C$, onde os dados são extraídos de uma única população, 
sem fixar marginais. Consideremos a Tabela \@ref(tab:tab83) com as 
proporções nas celas a nível da população, onde agora
novamente se tem $p_{lc}=N_{lc}/N$.


|          	|          	|          	| Var2     	|          	|          	|          	|          	|
|----------	|----------	|----------	|----------	|----------	|----------	|----------	|----------	|
| Var 1    	| 1        	| 2        	| $\ldots$ 	| c        	| $\ldots$ 	| C        	| Total    	|
| 1        	| $p_{11}$ 	| $p_{12}$ 	| $\ldots$ 	| $p_{1c}$ 	| $\ldots$ 	| $p_{1C}$ 	| $p_{1+}$ 	|
| 2        	| $p_{21}$ 	| $p_{22}$ 	| $\ldots$ 	| $p_{2c}$ 	| $\ldots$ 	| $p_{2C}$ 	| $p_{2+}$ 	|
| $\vdots$ 	| $\vdots$ 	| $\vdots$ 	| .        	| $\vdots$ 	| .        	| $\vdots$ 	| $\vdots$ 	|
| l        	| $p_{l1}$ 	| $p_{l2}$ 	| $\ldots$ 	| $p_{lc}$ 	| $\ldots$ 	| $p_{lC}$ 	| $p_{l+}$ 	|
| $\vdots$  | $\vdots$ 	| $\vdots$ 	| .        	| $\vdots$ 	| .        	| $\vdots$ 	| $\vdots$ 	|
| L        	| $p_{L1}$ 	| $p_{L2}$ 	| $\ldots$ 	| $p_{Lc}$ 	| $\ldots$ 	| $p_{LC}$ 	| $p_{L+}$ 	|
| Total    	| $p_{+1}$ 	| $p_{+2}$ 	| $\ldots$ 	| $p_{+c}$ 	| $\ldots$ 	| $p_{+c}$ 	| 1        	|

Table:(#tab:tab83) Proporções por cela na população.


Estamos interessados em testar a hipótese de independência 
\[
H_{0}:p_{lc}=p_{l+}p_{+c},\quad l=1,\ldots ,L-1,\ c=1,\ldots,C-1, 
\]
onde $p_{l+}=\sum_{c=1}^{C}p_{lc}$ , $p_{+c}=\sum_{l=1}^{L}p_{lc}$ e 
$\sum_{c=1}^{C}\sum_{l=1}^{L}p_{lc}=1$.

Vamos escrever a hipótese de independência numa forma alternativa
mas equivalente, usando contrastes de proporções: 
\[
H_{0}:f_{lc}=p_{lc}-p_{l+}p_{+c}=0,\quad l=1,\ldots ,L-1,\ c=1,\ldots
,C-1.
\]

Consideremos o vetor $\mathbf{f}$ com $\left( L-1\right) \left( C-1\right)$
componentes formado pelos contrastes $f_{lc}$ arranjados em ordem de linhas: 
\[
\mathbf{f}=\left( f_{11},\ldots ,f_{1\;C-1},\ldots ,f_{L-1\;1},\ldots
,f_{L-1\;C-1}\right) ^{\prime }. 
\]

Um teste da hipótese de independência pode ser definido em termos da
distância entre uma estimativa consistente do vetor de contrastes 
$\mathbf{f}$ e o vetor nulo com mesmo número de componentes. O vetor de
estimativa consistente de $\mathbf{f}$ é denotado por 
$\mathbf{\hat{f}}=\left( \hat{f}_{11},\ldots ,\hat{f}_{1\;C-1},\ldots ,\hat{f}
_{L-1\;1},\ldots ,\hat{f}_{L-1\;C-1}\right) ^{^{\prime }}$, onde $\hat{f}
_{lc}=\hat{p}_{lc}-\hat{p}_{l+}\hat{p}_{+c}$, onde $\hat{p}_{lc}=\hat{n}
_{lc}/n$. Os $\hat{n}_{lc}$ são as frequências ponderadas nas celas,
considerando as diferentes probabilidades de inclusão e ajustes por
não-resposta, onde os pesos amostrais são normalizados de modo que 
$\sum_{c=1}^{C}\sum_{l=1}^{L}\hat{n}_{lc}=n$. Se $n$ não for fixado de
antemão, os $\hat{p}_{lc}$ serão estimadores de razões. Apenas 
$\left( L-1\right) \left( C-1\right)$ componentes são incluídos no
vetores $\mathbf{f}$ e $\mathbf{\hat{f}}$, pois a soma das 
proporções nas celas da tabela é igual a 1.

### Estatística de Wald Baseada no Plano Amostral

A estatística de Wald baseada no plano amostral $X_{W}^{2}\left(I\right)$, 
para o teste de independência, tem a forma da expressão \@ref(eq:Tab8), com $\mathbf{\hat{f}}$ no lugar de 
$\mathbf{\hat{p}}$, o vetor $\mathbf{0}_{\left( L-1\right)\left( C-1\right)}$ no lugar de 
$\mathbf{p}_{0}$ e a estimativa baseada no plano amostral 
$\mathbf{\hat{V}}_{\mathbf{f}}$ da matriz de covariância de $\mathbf{\hat{f}}$ no lugar de $\mathbf{
\hat{V}}_{p}$. Assim, a estatística de teste de independência de
Wald é dada por 
\begin{equation}
X_{W}^{2}\left( I\right) =\mathbf{\hat{f}}^{\prime }\mathbf{\hat{V}}_{
\mathbf{f}}^{-1}\mathbf{\hat{f}\;\;},  (\#eq:Tab10)
\end{equation}
que é assintoticamente $\chi ^{2}\left( \left( L-1\right) \left(
C-1\right) \right)$.

A estimativa $\mathbf{\hat{V}}_{\mathbf{f}}$ da matriz de covariância de 
$\mathbf{\hat{f}}$ pode ser obtida pelo método de linearização
de Taylor apresentado na Seção \@ref(taylor), considerando o vetor de
contrastes $\mathbf{f}$ como uma função (não-linear) do vetor $\mathbf{p}$, isto é, 
$\mathbf{f=g}\left( \mathbf{p}\right) \mathbf{=g}\left( p_{11},\ldots ,p_{1\;C-1},\ldots ,p_{L-1\;1},\ldots,p_{L-1\;C-1}\right)$. Assim, a matriz de covariância de 
$\mathbf{\hat{f}}$ pode ser estimada por

\begin{equation}
\mathbf{\hat{V}}_{\mathbf{f}}=\mathbf{\Delta g}\left( \mathbf{\hat{p}}
\right) \mathbf{\hat{V}}_{p}^{-1}\mathbf{\Delta g}\left( \mathbf{\hat{p}}
\right) ^{^{\prime }},  (\#eq:Tab11)
\end{equation}
onde $\mathbf{\Delta g}\left( \mathbf{p}\right)$ é a matriz jacobiana
de dimensão $\left(L-1\right)\left( C-1\right)\times\left( L-1\right)\left( C-1\right)$ dada por

\[
\mathbf{\Delta g}\left( \mathbf{p}\right) =\left[ \partial \mathbf{g}
/\partial p_{11},\ldots ,\partial \mathbf{g}/\partial p_{1\;C-1},\ldots
,\partial \mathbf{g}/\partial p_{L-1\;1},\ldots ,\partial \mathbf{g}
/\partial p_{L-1\;C-1}\right] 
\]
e $\mathbf{\hat{V}}_{p}$ é uma estimativa consistente da matriz de
covariância de $\mathbf{\hat{p}}$.

é possível ainda introduzir, no caso de se ter o número $m$ de
unidades primárias pequeno, correção na estatística de Wald,
utilizando as propostas alternativas de estatísticas F-corrigidas, como
em \@ref(eq:qual9) e \@ref(eq:qual10), com $\left( L-1\right) \left( C-1\right)$ no
lugar de $J-1$, obtendo-se 
\[
F_{1.p}=\frac{f-\left( L-1\right) \left( C-1\right) -1}{f\left( L-1\right)
\left( C-1\right) }X_{W}^{2}\left( I\right),
\]
que tem distribuição assintótica $\mathbf{F}$ com 
$\left(L-1\right) \left( C-1\right)$ e $f-\left( L-1\right) \left(C-1\right) -1$ graus de liberdade e 
\[
F_{2.p}=\frac{X_{W}^{2}\left( I\right) }{\left( L-1\right) \left( C-1\right) 
}, 
\]
que tem distribuição assintótica $\mathbf{F}$ com 
$\left(L-1\right) \left( C-1\right)$ e $f$ graus de liberdade.

### Estatística de Pearson com Ajuste de Rao-Scott

Na presença de efeitos de plano amostral importantes, as
estatísticas clássicas de teste precisam ser ajustadas para terem a
mesma distribuição assintótica de referência que a obtida
para o caso de amostragem aleatória simples.

A estatística de teste de independência $X_{P}^{2}\left( I\right)$
de Pearson para a tabela $L\times C$ é dada por 
\[
X_{P}^{2}\left( I\right) =n\sum\limits_{l=1}^{L}\sum\limits_{c=1}^{C}\frac{
\left( \hat{p}_{lc}-\hat{p}_{l+}\hat{p}_{+c}\right) ^{2}}{\hat{p}_{l+}\hat{p}
_{+c}}.
\]

Esta estatística pode ser escrita em forma matricial como 
\begin{equation}
X_{P}^{2}\left( I\right) =n\;\mathbf{\hat{f}}^{\prime }\;\widehat{\mathbf{P}}
_{0\mathbf{f}}\;\mathbf{\hat{f}},  (\#eq:Tab12)
\end{equation}
onde

\begin{equation}
\widehat{\mathbf{P}}_{0\mathbf{f}}=\mathbf{\Delta g}\left( \mathbf{\hat{p}}
\right) \mathbf{\hat{P}}_{0}\mathbf{\Delta g}\left( \mathbf{\hat{p}}\right)
^{\prime },  (\#eq:Tab13)
\end{equation}
\[
\mathbf{\hat{P}}_{0}=diag\left( \mathbf{\hat{p}}_{0}\right) -\mathbf{\hat{p}}
_{0}\mathbf{\hat{p}}_{0}^{^{\prime }}, 
\]
$\widehat{\mathbf{P}}_{0}/n$ estima a matriz $\left( L-1\right) \left(
C-1\right) \times \left( L-1\right) \left( C-1\right)$ de covariância
multinomial de $\mathbf{\hat{p}}$ sob a hipótese nula, $\mathbf{\hat{p}}_{0}$ 
é o vetor com componentes $\hat{p}_{l+}$ $\hat{p}_{+c}$, e 
$diag\left( \mathbf{\hat{p}}_{0}\right)$ representa a matriz diagonal com
elementos $\hat{p}_{l+}$ $\hat{p}_{+c}$ na diagonal.

Observemos que a forma de $X_{P}^{2}\left( I\right)$ como expressa em \@ref(eq:Tab12)
é semelhante à da estatística de Wald dada em \@ref(eq:Tab10),
a diferença sendo a estimativa da matriz de covariância de 
$\mathbf{\hat{f}}$ usada em cada uma dessas estatísticas.

Como nos testes de qualidade de ajuste e de homogeneidade no caso de plano
amostral complexo, podemos introduzir correções simples na
estatística de Pearson em \@ref(eq:Tab12) para obter estatísticas
de teste com distribuições assintóticas conhecidas.

Inicialmente, vamos considerar ajustes baseados nos efeitos univariados de
plano amostral estimados, $\hat{d}_{lc}$, das estimativas das proporções
nas celas $\hat{p}_{lc}$. O ajuste mais simples é feito
dividindo-se o valor da estatística $X_{P}^{2}$ de Pearson pela
média $\hat{d}_{.}$ dos efeitos univariados de plano amostral: 
\[
X_{P}^{2}\left( I;\hat{d}_{.}\right) =X_{P}^{2}\left( I\right) /\hat{d}
_{.}, 
\]
onde $\hat{d}_{.}=\sum_{c=1}^{C}\sum_{l=1}^{L}\hat{d}_{lc}/\left(
LC\right)$ é um estimador da média dos efeitos univariados de plano
amostral desconhecidos.

Estimamos os efeitos do plano amostral por 
$\hat{d}_{lc}=\hat{V}_{p}\left(\hat{p}_{lc}\right) /\left( \hat{p}_{lc}\left( 1-\hat{p}_{lc}\right) /n\right)$, onde $\hat{V}_{p}\left( \hat{p}_{lc}\right)$
é a estimativa da variância de aleatorização do estimador de
proporção $\hat{p}_{lc}$. Este ajustamento requer que estejam
disponíveis as estimativas dos efeitos de plano amostral dos
estimadores das proporções nas $L\times C$ celas da tabela.

A seguir vamos apresentar as correções de primeira e de segunda
ordem de Rao-Scott para a estatística $X_{P}^{2}\left( I\right)$ de
Pearson para o teste de independência. Estas correções
baseiam-se nos autovalores da matriz estimada de efeito multivariado de
plano amostral, dada por 
\begin{equation}
\mathbf{\hat{\Delta}}=n\;\mathbf{\hat{P}}_{0\mathbf{f}}^{-1}\;\mathbf{\hat{V}
}_{\mathbf{f}},  (\#eq:Tab14)
\end{equation}
onde $\mathbf{\hat{V}}_{\mathbf{f}}$ foi definido em \@ref(eq:Tab11) e $\mathbf{
\hat{P}}_{0\mathbf{f}}$ definido em \@ref(eq:Tab13).

O ajuste de Rao-Scott de primeira ordem para $X_{P}^{2}\left( I\right)$
é dado por 
\begin{equation}
X_{P}^{2}\left( I;\hat{\delta}_{.}\right) =X_{P}^{2}\left( I\right) /\hat{
\delta}_{.},  (\#eq:Tab15)
\end{equation}
onde $\hat{\delta}_{.}$ é um estimador da média $\bar{\delta}$ dos
autovalores desconhecidos da matriz $\mathbf{\Delta }$ de efeitos
multivariados de plano amostral.

Podemos estimar a média dos efeitos generalizados, usando os efeitos
univariados nas celas e nas marginais da tabela, por 
\[
\begin{array}{lll}
\hat{\delta}_{.} & = & \frac{1}{\left( L-1\right) \left( C-1\right) }
\sum\limits_{l=1}^{L}\sum\limits_{c=1}^{C}\frac{\hat{p}_{lc}\left( 1-\hat{p}
_{lc}\right) }{\hat{p}_{l+}\hat{p}_{+c}}\hat{d}_{lc} \\ 
&  & -\sum\limits_{l=1}^{L}\left( 1-\hat{p}_{l+}\right) \hat{d}
_{l+}-\sum\limits_{c=1}^{C}\left( 1-\hat{p}_{+c}\right) \hat{d}_{+c},
\end{array}
\;
\]
sem precisar calcular a matriz de efeitos multivariados de plano amostral. A
distribuição assintótica de $X_{P}^{2}\left( I;\hat{\delta}
_{.}\right)$, sob $H_{0}$, é qui-quadrado com 
$\left( L-1\right) \times \left( C-1\right)$ graus de liberdade.

O ajuste de Rao-Scott de segunda ordem é definido por 
\[
X_{P}^{2}\left( I;\hat{\delta}_{.};\hat{a}^{2}\right) =X_{P}^{2}\left(
I\right) /\left( \hat{\delta}_{.}\left( 1+\hat{a}^{2}\right) \right), 
\]
onde $\hat{\delta}_{.}$ é um estimador da média dos autovalores de 
$\mathbf{\hat{\Delta}}$, dado por

\[
\hat{\delta}_{.}=\frac{tr\left( \mathbf{\hat{\Delta}}\right) }{\left(
L-1\right) \left( C-1\right) } 
\]
e $\hat{a}^{2}$ é um estimador do quadrado do coeficiente de variação 
dos autovalores desconhecidos de $\mathbf{\Delta}$,  $\delta _{k}$, 
$k=1,\ldots ,\left( L-1\right) \left( C-1\right)$, dado por

\[
\hat{a}^{2}=\sum\limits_{k=1}^{\left( L-1\right) \left( C-1\right) }\hat{
\delta}_{k}^{2}/\left( \left( L-1\right) \left( C-1\right) \hat{\delta}
_{.}^{2}\right) -1. 
\]

Um estimador da soma dos quadrados dos autovalores é 
\[
\sum\limits_{k=1}^{\left( L-1\right) \left( C-1\right) }\hat{\delta}
_{k}^{2}=tr\left( \mathbf{\hat{\Delta}}^{2}\right).
\]

A estatística $X_{P}^{2}\left( I;\hat{\delta}_{.};\hat{a}^{2}\right)$
é assintoticamente qui-quadrado com graus de liberdade com ajuste de
Satterthwaite $gl_{S}=\left( L-1\right) \left( C-1\right) /\left( 1+\hat{a}
^{2}\right) .$

Em situações instáveis, pode ser necessário fazer uma correção
F ao ajuste de primeira ordem de Rao-Scott \@ref(eq:Tab15). A
estatística F-corrigida é definida por 
\begin{equation}
FX_{P}^{2}\left( \hat{\delta}_{.}\right) =X_{P}^{2}\left( \hat{\delta}
_{.}\right) /\left( L-1\right) \left( C-1\right) \;\;.  (\#eq:Tab16)
\end{equation}

A estatística \@ref(eq:Tab16) tem distribuição de referência $F$
com $\left( L-1\right)$ $\times\left( C-1\right)$ e $f$ graus
de liberdade.

```{example, label= "exe81"}
Correções de EPA médio das estatísticas $X_{P}^{2}\left(I\right)$ e $X_{P}^{2}\left(H\right)$.
```

Considerando os dados do Exemplo \@ref(exm:pnad6), vamos 
testar a hipótese de independência entre as variáveis Sexo (sx)
e Rendimento médio mensal (re). Vamos fazer também um teste de
homogeneidade, para comparar as distribuições de renda para os dois
sexos.

A variável `sx` tem dois níveis: sx(1)-Homens, sx(2)- Mulheres e a
variável `re` tem três níveis: re(1)- Menos de salário
mínimo, re(2) - de 1 a 5 salário mínimos e re(3)- mais de 5
salários mínimos. A Tabela \@ref(tab:frqamost)  apresenta as
frequências nas celas para a amostra pesquisada.


```{r frqamost, echo=FALSE}
library(anamco) # carrega dados
freq.sx.re <-table(pnadrj90$sx, pnadrj90$re , dnn= c("Sexo", "Renda_Mensal"))
freq.sx.re <- addmargins(freq.sx.re)
knitr::kable(freq.sx.re, caption= "Frequências Amostrais por celas na PNADRJ90")

```

No teste de homogeneidade das distribuições de renda, consideramos
fixadas as marginais `4276` e `2231` da variável Sexo na tabela de
frequências amostrais. Usando a library survey, calculamos as
estimativas das proporções nas linhas da tabela. Nestas
estimativas são considerados os pesos das unidades da amostra e o plano
amostral utilizado na pesquisa (PNAD 90), conforme descrito no Exemplo \@ref(exm:pnad6).

Vamos considerar o teste de homogeneidade entre as variáveis Sexo e Renda
e calcular o efeito de plano amostral médio das estimativas
das proporções nas celas da tabela. A Tabela \@ref(tab:proplinha) contém, para cada sexo,
as estimativas: da proporção na linha, do
desvio-padrão da estimativa da proporção na linha ($\times10.000$), e do efeito de plano amostral da estimativa de proporção na linha.


```{r proplinha,message=FALSE, warning=FALSE, echo=FALSE}
library(survey)
pnadrj90<-transform(pnadrj90,sx=factor(sx),id=factor(id),ae=factor(ae),ht=factor(ht),re=factor(re))
pnad.des<-svydesign(id=~psu,strata=~stra,weights=~pesopes,data=pnadrj90,nest=TRUE)
marg_re <- svyby(~re,~sx,pnad.des,svymean,keep.var=T,deff = TRUE)
marg_re <- transform (marg_re, se.re1= 10000*se.re1, se.re2= 10000*se.re2,se.re3= 10000*se.re3)
marg_re <- unlist(marg_re)
result <- data.frame(
Est = rep(c("prop_lin","SE_prop_lin", "Def_prop_lin"),2),  
Sexo = rep(1:2,c(3,3)),
r1 = marg_re[c(c("re11","se.re11","DEff.re11" ), c("re12","se.re12","DEff.re12" ))] ,
r2 = marg_re[c(c("re21","se.re21","DEff.re21" ), c("re22","se.re22","DEff.re22" ))],
r3 =  marg_re[c(c("re31","se.re31","DEff.re31" ), c("re32","se.re32","DEff.re32" ))]
)
knitr::kable(result ,booktabs=TRUE, digits=c(3,3,3), align= c("l","c","c","c", "c"), row.names= FALSE, caption="Proporções nas linha, desvios padrões e EPAs de re para cada nivel de sx")

```

As mesmas estimativas para a tabela marginal de `Rendas` são dadas por: 


```{r, echo=FALSE}
marg_re_pop <-as.data.frame(svymean(~re,pnad.des, deff=TRUE ))
marg_re_pop<- transform(marg_re_pop, SE=10000*SE )
knitr::kable(marg_re_pop ,booktabs=TRUE, digits=3,
  caption="Proporções nas linha, desvios padrões e EPAs de `re` na população")
```


Vamos calcular, a título de ilustração, o efeito do plano amostral da estimativa na cela (1,1) da Tabela \@ref(tab:proplinha), apresentado na cela (1,7) dessa tabela.


```{r message=FALSE, warning=FALSE, echo=FALSE}
# cria dummy para re=1
pnad.des <- update(pnad.des, 
  ind_rend1= as.numeric(re==1))
# proporção de re=1 quando  sx= 1:
prop_re1_des <- svymean(~ind_rend1, subset(pnad.des, sx==1))
# objeto de desenho AAS
pnad.des_AAS<-svydesign(id=~1,data=pnadrj90)
# dummy para re=1
pnad.des_AAS <- update(pnad.des_AAS, 
  ind_rend1= as.numeric(re==1))
# proporção de re=1 quando sx=1
prop_re1_AAS <- svymean(~ind_rend1, subset(pnad.des_AAS, sx==1))
# round(attr(prop_re1_des,"var")/attr(prop_re1_AAS,"var"),2)
```

A estimativa do efeito médio de plano amostral para corrigir a
estatística $X_{P}^{2}\left( H\right)$ é $\hat{d}_{.}=1,802$
, calculada tomando a média dos EPAs das celas correspondentes aos
níveis 1 e 2 da variável `sx`.

Vamos agora considerar o teste de independência entre as variáveis
Sexo e Renda e calcular o efeito de plano amostral médio das
estimativas das proporções nas celas da tabela. A Tabela \@ref(tab:propcelas) contém, em cada cela, as estimativas: da proporção na cela, do desvio-padrão da estimativa da proporção na cela ($\times 10.000$), e do efeito de plano amostral da estimativa de proporção na cela.


```{r, propcelas, echo=FALSE}
sx.re_mean<-svymean(~interaction(sx,re),pnad.des,deff=T)
frame_sx_re <- as.data.frame(sx.re_mean)
frame_sx_re <- transform(frame_sx_re, SE = 10000*SE)
frame_sx_re<-unlist(frame_sx_re)
result <- data.frame(
Est = rep(c("prop_lin","SE_prop_lin", "Def_prop_lin"),2),  
Sexo = rep(1:2,c(3,3)),
r1 = frame_sx_re[c(c("mean1","SE1","deff1"),c("mean2","SE2","deff2"))],
r2 = frame_sx_re[c(c("mean3","SE3","deff3"),c("mean4","SE4","deff4") )],
r3 = frame_sx_re[c(c("mean5","SE5","deff5"),c("mean6","SE6","deff6") )]
)  
knitr::kable(result,booktabs=TRUE, digits=3, align= c("l","c", "c", "c", "c"),row.names=FALSE,
  caption="Proporções nas cela, desvios padrões e EPAs")
```

Tabela de proporções de `sx` para a população inteira:

```{r, echo=FALSE}
marg_sx_pop <-data.frame(svymean(~sx,pnad.des, deff=TRUE ))
marg_sx_pop <- transform(marg_sx_pop, SE = 10000*SE)
knitr::kable(marg_sx_pop, digits=3,
  caption="Proporções nas linha, desvios padrões e EPAs de sx na população")
```



Vamos calcular, a título de ilustração, o efeito de plano
amostral na cela (1,1) da Tabela \@ref(tab:propcelas) A estimativa da variância
do estimador de proporção nesta cela é 
$\left(0,0038343\right) ^{2}$. Sob amostragem aleatória simples com reposição, a estimativa da variância do estimador de proporção na
cela é: $0,073\times \left( 1-0,073\right) /6.507$. A
estimativa do efeito de plano amostral do estimador de proporção na
cela é

\[
\frac{\left( 0,0038343\right) ^{2}}{0,073\left( 1-0,073\right) /6.507}\cong
1,414\;\;. 
\]

Portanto, a estimativa do efeito médio de plano amostral requerida para
corrigir a estatística $X_{P}^{2}\left( I\right)$ é $\hat{d}_{.}=1,640,$ calculada tomando a média dos EPAs das celas correspondentes aos níveis 1 e 2 da variável `sx`.

Calculando as estatísticas $X_{P}^{2}\left( I\right)$ e 
$X_{P}^{2}\left( H\right)$ para os testes clássicos de independência
e homogeneidade a partir da Tabela \@ref(tab:propcelas), obtemos os valores 
$X_{P}^{2}\left( I\right) =X_{P}^{2}\left( H\right) =227,025$, com distribuição de referência $\chi ^{2}\left( 2\right)$, resultado que
indica rejeição da hipótese de independência entre `sx` e `re`,
bem como da hipótese de igualdade de distribuição de renda para
os dois sexos a partir do teste de homogeneidade. O valor comum das
estatísticas $X_{P}^{2}\left( I\right)$ e $X_{P}^{2}\left( H\right)$
foi calculado sem considerar os pesos e o plano amostral. Considerando
estes últimos, mediante a correção de EPA médio das
estatísticas clássicas, obtemos os valores $X_{P}^{2}\left( I;\hat{d}
_{.}\right) =137,117$ e $X_{P}^{2}\left( H;\hat{d}_{.}\right) =124,742$, que
também indicam a rejeição das hipóteses de independência
e de homogeneidade.

Vale ressaltar que apesar de todos os testes mencionados indicarem forte
rejeição das hipóteses de independência e de homogeneidade,
os valores das estatísticas de teste $137,117$ e $124,742$ , calculados
considerando os pesos e plano amostral, são bem menores que o valor 
$227,025$ obtido para o caso de amostra IID. Sob a hipótese nula, a
distribuição de referência de todas essas estatísticas de
teste é $\chi ^{2}\left( 2\right)$, mostrando novamente que a
estatística de teste calculada sob a hipótese de amostra IID tem
maior tendência a rejeitar a hipótese nula.

A partir da Tabela \@ref(tab:propcelas), examinando as estimativas das proporções nas celas da tabela para cada sexo, observamos uma ordenação
estocástica das distribuições de renda para os dois sexos, com
proporções maiores em valores mais altos para o nível 1 da
variável sexo, que é o sexo masculino.

## Laboratório de R  

Vamos reproduzir alguns resultados usando dados da PNAD90 para o Rio de Janeiro, descritos no Exemplo \@ref(exm:pnad6). 

```{example, label= "exe82"}
Estimativas de medidas descritivas em tabelas
```
```{r, message=FALSE, warning=FALSE}
library(survey)
library(anamco) #carrega dados
names(pnadrj90)
n <- nrow (pnadrj90)
```

- Transformação em fatores:
```{r}
unlist(lapply(pnadrj90, mode))
pnadrj90<-transform(pnadrj90,sx=factor(sx),id=factor(id),ae=factor(ae),ht=factor(ht),re=factor(re))
```
Definição do objeto de desenho:

```{r}
pnad.des<-svydesign(id=~psu,strata=~stra,weights=~pesopes,data=pnadrj90,nest=TRUE)
```

- Estimativas de proporções:

```{r}
svymean(~sx,pnad.des)         #estimativa de proporção para sx
svymean(~re,pnad.des)         #estimativa de proporçâo para re
svymean(~ae,pnad.des)         #estimativa de proporção para ae
ht.mean<-svymean(~ht,pnad.des)
```

- Exemplos de funções extratoras e atributos:


```{r}
coef(ht.mean)                         #estimativas das proporções
attributes(ht.mean)                          #ver atributos
vcov(ht.mean)                         #estimativas de variâncias e covariâncias
attr(ht.mean, "var")
```

- Estimativas de proporções nas classes de renda por domínios definidos pela variável `sx`:

```{r, echo=FALSE, results='asis'}
prop_class_re <- svyby(~re,~sx,pnad.des, svymean,keep.var=TRUE)
knitr::kable(prop_class_re, booktabs=TRUE, digits= c(3,3,3,3,3,3),
  caption= "Proporções nas classes de renda por sexo")
```

- Estimativas das proporções nas classes de renda e a tabela cruzada das variáveis sexo e renda:

```{r}
svymean(~re,pnad.des,deff=T)
round(svytable(~sx+re,pnad.des,Ntotal=1),digits=3)
svyby(~re,~sx,pnad.des,svymean,keep.var=T)
svymean(~I((sx==1&re==1)*1), pnad.des, deff=T)
```


```{r}
#proporções nas celas
svytable(~sx+re,pnad.des,Ntotal=1)
# porcentagens nas celas
svytable(~sx+re,pnad.des,Ntotal=100)
# produz se e deff
sx.re_mean <- data.frame(svymean(~interaction(sx,re), pnad.des, deff=T))


# média de epas para correção de testes
mean(sx.re_mean$deff)
```

```{example, label="exe83"}
Testes de Hipóteses
```

- Teste de independência e homogeneidade baseado nos dados da amostra sem considerar o plano amostral:

```{r}
attach(pnadrj90)
tab.amo <- table(sx,re)
chisq.test(tab.amo)
```


```{remark}
Identificar resultados dos testes obtidos pela library `survey` [@R-survey] com as fórmulas do texto:
```
  
  
```{r}
n <- nrow (pnadrj90)
pearson <- chisq.test( pnadrj90$sx, pnadrj90$re, correct = FALSE )

# teste Chi-quadrado para ponderado pelo pesos
pearsonPond <- chisq.test(svytable(~ sx+re , pnad.des, Ntotal = n), correct = FALSE)


# teste Chi-quadrado de Pearson com ajuste de Rao-Scott
pearsonF <-svychisq( ~ sx+re , pnad.des, statistic = "F", na.rm=TRUE)
# teste Chi-quadrado de Pearson com ajuste de Rao-Scott
pearsonChisq <-svychisq( ~ sx+re , pnad.des, statistic = "Chisq", na.rm=TRUE)
# teste de Wald baseado no desenho amostral
pearsonWald <- svychisq( ~ sx+re , pnad.des, statistic = "Wald", na.rm=TRUE)
# teste de Wald com ajuste
pearsonAdjWald <-svychisq( ~ sx+re , pnad.des, statistic = "adjWald", na.rm=TRUE)
# teste Chi-quadrado de Pearson: distribuição assintótica exata

```

```{r}
result <- data.frame(
Metodo = c("AASR", "AASRPOND", "RAO-SCOTT", "RAO.SCOTT.F", "WALD","ADJWALD" ), Estatistica = c(pearson$statistic, pearsonPond$statistic, pearsonChisq$statistic, pearsonF$statistic, pearsonWald$statistic, pearsonAdjWald$statistic), 
Valorp = c(pearson$p.value, pearsonPond$p.value, pearsonChisq$p.value, pearsonF$p.value, pearsonWald$p.value, pearsonAdjWald$p.value)
  
)
knitr::kable(result,digits= c(0,3, 5),booktabs=TRUE )

```