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# Efeitos do Plano Amostral {#epa}

## Introdução

O cálculo de desvio padrão e o uso de testes de hipóteses
desempenham papel fundamental em estudos analíticos. Além de
estimativas pontuais, na inferência analítica é necessário
transmitir a ideia de precisão associada a essas estimativas e
construir intervalos de confiança associados. Valores de desvios
padrões, ou alternativamente comprimentos de intervalos de confiança, permitem avaliar a precisão da estimação. O cálculo
do desvio padrão também possibilita a construção de
estatísticas para testar hipóteses relativas a parâmetros do
modelo (tradição de modelagem) ou de parâmetros da população
ão finita (tradição de amostragem). Testes de hipóteses
são também usados na fase de seleção de modelos.

Os pacotes mais comuns de análise estatística incluem em suas
saídas valores de estimativas pontuais e seus desvios padrões,
além de valores-$p$ relativos a hipóteses de interesse. Contudo, as
fórmulas usadas nestes pacotes para o cálculo dos desvios
padrões e obtenção de testes são, em geral, baseadas nas
hipóteses de independência e de igualdade de distribuição
(IID) das observações, ou equivalentemente, de amostragem
aleatória simples com reposição (AASC). Tais hipóteses quase
nunca valem para dados obtidos através de pesquisas por amostragem, como
as que realizam o IBGE e outras agências produtoras de estatísticas.

Este capítulo trata de avaliar o impacto sobre desvios padrões,
intervalos de confiança e níveis de significância de testes
usuais quando há afastamentos das hipóteses IID mencionadas, devidos
ao uso de planos amostrais complexos para obter os dados. Como veremos, o
impacto pode ser muito grande em algumas situações, justificando os
cuidados que devem ser tomados na análise de dados deste tipo. Neste
capítulo, usaremos como referência básica [@Sk89a].

## Efeito do Plano Amostral (EPA) de Kish

Para medir o efeito do plano amostral sobre a variância de um estimador,
Kish(1965) propôs uma medida que denominou `Efeito do Plano Amostral` ($\mathbf{EPA}$) (em inglês, *design effect*  ou,
abreviadamente, *deff*). O objetivo desta medida é comparar
planos amostrais no estágio de planejamento da pesquisa. O $\mathbf{EPA}$
de Kish é uma razão entre variâncias (de aleatorização)
de um estimador, calculadas para dois planos amostrais alternativos. Vamos
considerar um estimador $\hat{\theta}$ e calcular a variância de sua
distribuição induzida pelo plano amostral complexo (verdadeiro) 
$V_{VERD}\left( \hat{\theta}\right)$ e a variância da distribuição do estimador induzida pelo plano de amostragem aleatória simples 
$V_{AAS}\left(\hat{\theta}\right)$.

```{definition}
O **Efeito do Plano Amostral ($EPA$)**  **de Kish** para um estimador $\hat{\theta}$ é
``` 
\begin{equation}
\mathbf{EPA}_{Kish}\left( \hat{\theta}\right) =\frac{V_{VERD}\left( \hat{\theta}\right) }{V_{AAS}\left( \hat{\theta}\right) }. (\#eq:epa1) \end{equation}

Para ilustrar o conceito do $\mathbf{EPA}_{Kish}\left( \hat{\theta}\right)$, vamos considerar um exemplo.

```{example, label="epakish" }
Efeitos de plano amostral de Kish para estimadores de totais
com amostragem conglomerada em dois estágios.
```

[@SilvaMou] estimaram o $\mathbf{EPA}_{Kish}$ para
estimadores de totais de várias variáveis sócio-econômicas
no nível das Regiões Metropolitanas (RMs) utilizando dados do
questionário de amostra do Censo Demográfico de 1980. Essas
medidas estimadas do efeito do plano amostral foram calculadas para
três esquemas amostrais alternativos, todos considerando amostragem
conglomerada de domicílios em dois estágios, tendo o setor
censitário como unidade primária e o domicílio como unidade
secundária de amostragem. Duas das alternativas consideraram seleção de setores com equiprobabilidade via amostragem aleatória
simples sem reposição (AC2AAS) e fração amostral constante
de domicílios no segundo estágio (uma usando o estimador simples ou 
$\pi$-ponderado do total, e outra usando o estimador de razão para o
total calibrando no número total de domicílios da população), e uma terceira alternativa considerou a seleção de setores
com probabilidades proporcionais ao tamanho (número de domicílios
por setor), denominada AC2PPT, e a seleção de $15$ domicílios em
cada setor da amostra, e empregando o correspondente estimador 
$\pi$-ponderado. Os resultados referentes à Região Metropolitana do Rio de Janeiro para algumas variáveis são apresentados na Tabela 
\@ref(tab:epakish) a título de ilustração. Note que a população
alvo considera apenas moradores em domicílios particulares permanentes
na Região Metropolitana do Rio de Janeiro.


Plano amostral                       AC2AAS                                AC2PPT


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Variável                  Estimador Simples   Estimador de Razão   Estimador $\pi$-ponderado
------------------------ ------------------- -------------------- ---------------------------
1) Número total             10,74                 2,00                        1,90
de moradores

2) Número de                5,78                  1,33                        1,28
moradores ocupados


3) Rendimento               5,22                  4,92                        4,49
monetário mensal


4) Número total de          4,59                  2,02                        1,89
filhos nascidos vivos
de mulheres com
15 anos ou mais

5) Número de              111,27                  1,58                        1,55
domicílios
que  têm fogão

6) Número de               7,11                   7,13                        6,41
domicílios que
têm telefone

7) Valor do aluguel ou     7,22                   7,02                        6,45
 prestação mensal

8) Número de               1,80                   1,67                        1,55
domicílios que
têm automóvel
e renda < 5SM

9) Número de
domicílios que            46,58                   2,26                        2,08
têm geladeira
e renda $\geq$ 5SM
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
  Table: (#tab:epakish) Efeitos de plano amostral de Kish para variáveis selecionadas -
  Região Metropolitana do Rio de Janeiro.


Os valores apresentados na Tabela \@ref(tab:epakish)  para a RM do Rio de Janeiro são similares aos observados para as demais RMs, se consideradas as mesmas variáveis. Nota-se grande variação dos valores do EPA, cujos valores mínimo e máximo são de 1,28 e 111,27
respectivamente. Para algumas variáveis (1,2,4,5 e 9), o EPA varia
consideravelmente entre as diferentes alternativas de plano amostral,
enquanto para outras variáveis (3,6,7 e 8) as variações entre os
planos amostrais é mínima.

Os valores elevados do EPA observados para algumas variáveis realçam
a importância de considerar o plano amostral verdadeiro ao estimar
variâncias e desvios padrões associados às estimativas pontuais.
Isso ocorre porque estimativas ingênuas de variância baseadas na
hipótese de AAS subestimam substancialmente as variâncias corretas.

Outra regularidade encontrada nesse valores é que o EPA para o plano
amostral AC2AAS com estimador simples apresenta sempre os valores mais
elevados, revelando que este esquema é menos eficiente que os
competidores considerados. Em geral, o EPA é menor para o esquema
AC2PPT, com valores próximos aos do esquema AC2AAS com estimador de
razão.

Os valores dos EPAs calculados por [@SilvaMou] podem ser
usados para planejar pesquisas amostrais (ao menos nas regiões
metropolitanas), pois permitem comparar e antecipar o impacto do uso de
alguns esquemas amostrais alternativos sobre a precisão de estimadores
de totais de várias variáveis relevantes. Permitem também
calcular tamanhos amostrais para garantir determinado nível de
precisão, sem emprego de fórmulas complicadas. Portanto, tais
valores seriam úteis como informação de apoio ao planejamento de
novas pesquisas por amostragem, antes que as respectivas amostras sejam
efetivamente selecionadas.

Entretanto, esses valores têm pouca utilidade em termos de usos
analíticos dos dados da amostra do Censo Demográfico 80. é que
tais valores, embora tendo sido estimados com essa amostra, foram calculados
para planos amostrais distintos do que foi efetivamente adotado para seleção da amostra do censo. A amostra de domicílios usada no censo
é estratificada por setor censitário com seleção
sistemática de uma fração fixa (25% no Censo 80) dos
domicílios de cada setor. Já os planos amostrais considerados na
tabulação dos EPAs eram planos amostrais em dois estágios, com
seleção de setores no primeiro estágio, os quais foram
considerados por sua similaridade com os esquemas adotados nas principais
pesquisas domiciliares do IBGE tais como a PNAD e a PME (Pesquisa Mensal de
Emprego). Portanto, a utilidade maior dos valores tabulados dos EPAs seria a
comparação de planos amostrais alternativos para planejamento de
pesquisas futuras, e não a análise dos resultados da amostra do
censo 80.

## Efeito do Plano Amostral Ampliado

O que se observou no Exemplo \@ref(exm:epakish) com respeito à dificuldade de
uso dos EPAs de Kish calculados para fins analíticos também se
aplica para outras situações e é uma deficiência estrutural
do conceito de EPA proposto por Kish. Para tentar contornar essa
dificuldade, é necessário considerar um conceito ampliado de EPA,
correspondente ao conceito de *misspecification effect*  `meff`
proposto por p. 24, [@SHS89], que apresentamos e
discutimos nesta seção.

Para introduzir este conceito ampliado de EPA, que tem utilidade também
para fins de inferência analítica, vamos agora considerar um modelo
subjacente às observações usadas para o cálculo do estimador
pontual $\hat{\theta}$. Designemos por $v_{0}=\widehat{V}_{IID}\left( \hat{\theta}\right)$ um estimador usual (consistente) da variância de $\hat{\theta}$ calculado sob a hipótese (ingênua) de que as observações são IID. A inadequação da hipótese de IID poderia
ser consequência ou de estrutura da população ou de efeito de
plano amostral complexo. Em qualquer dos casos, a estimativa $v_{0}$ da variância de $\hat{\theta}$ calculada sob a hipótese de observações IID se afastaria da variância de $\hat{\theta}$ sob o plano
amostral (ou modelo) verdadeiro, denotada 
$V_{VERD}\left( \hat{\theta}\right)$. Note que 
$V_{VERD}\left( \hat{\theta}\right) =V_{M}\left( \hat{\theta}\right)$ na abordagem baseada em modelos e $V_{VERD}\left( \hat{\theta}\right) =V_{p}\left( \hat{\theta}\right)$ na abordagem de aleatorização.

Para avaliar se este afastamento tende a ser grande ou pequeno, vamos considerar a distribuição de $v_{0}$ com relação à
distribuição de aleatorização verdadeira (ou do modelo
verdadeiro) e localizar $V_{VERD}\left( \hat{\theta}\right)$ com relação a esta distribuição de referência. Como em geral seria
complicado obter esta distribuição, vamos tomar uma medida de centro ou locação da mesma e compará-la a $V_{VERD}\left(\hat{\theta}\right)$.

Podemos desta forma introduzir uma medida de efeito da especificação
incorreta do plano amostral (ou do modelo) sobre a estimativa $v_{0}$ da variância do estimador $\hat{\theta}$.

```{definition}
O efeito da especificação incorreta do plano amostral (ou do modelo) sobre a estimativa $v_{0}$ da variância do estimador $\hat{\theta}$ é 
```

\begin{equation}
\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right) =\frac{V_{VERD}\left(\hat{
\theta}\right) }{E_{VERD}\left( v_{0}\right) }\;.  (\#eq:epa2)
\end{equation}


Desta forma, o $\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right)$ mede a
tendência de $v_{0}$ a subestimar ou superestimar $V_{VERD}\left( \hat{\theta}\right) ,$ variância `verdadeira` de $\hat{\theta}$. Quanto mais afastado de $1$ for o valor de $\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right)$, mais incorreta será considerada a especificação do plano amostral ou do modelo.

Enquanto a medida proposta por Kish baseia-se nas distribuições
induzidas pela aleatorização dos planos amostrais comparados, o 
$\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right)$ pode ser calculado com
respeito a distribuições de aleatorização ou do modelo
envolvido, bastando calcular $V_{VERD}$ e $E_{VERD}$ da Definição 
\@ref(eq:epa2) com relação à distribuição correspondente.

Em geral, são esperadas as seguintes consequências sobre o 
$\mathbf{EPA}$ ao ignorar o plano amostral efetivamente adotado e admitir que a seleção da amostra foi AAS:


1.  Ignorar os pesos em $v_{0}$ pode inflacionar o $\mathbf{EPA}$;

2.  Ignorar conglomeração em $v_{0}$ pode inflacionar o 
$\mathbf{EPA}$;

3.  Ignorar estratificação em $v_{0}$ pode reduzir o $\mathbf{EPA}$.


Combinações destes aspectos num mesmo plano amostral, resultando na
especificação incorreta do plano amostral subjacente a $v_{0},$
podem inflacionar ou reduzir o $\mathbf{EPA}$. Nesses casos é
difícil prever o impacto de ignorar o plano amostral (ou modelo)
verdadeiro sobre a análise baseada em hipóteses IID. Por essa
razão, é recomendável ao menos estimar os EPAs antes de concluir
a análise padrão, para poder então avaliar se há impactos
importantes a considerar.

```{example, label = "deffuni"}
Efeitos de plano amostral para estimação de
médias na amostragem estratificada simples com alocação
desproporcional
```

Neste exemplo consideramos uma população de $N=749$ empresas, para
as quais foram observadas as seguintes variáveis:

1. pessoal ocupado em 31/12/94 (PO);

2. total de salários pagos no ano de 94 (SAL);

3. receita total no ano de 94 (REC).

A ideia é considerar o problema de estimar as médias
populacionais das variáveis SAL e REC (variáveis de pesquisa, nesse
exemplo), usando amostras estratificadas simples com alocação
desproporcional, implicando em unidades amostrais com pesos desiguais numa situação bastante simples. A variável PO é a variável de
estratificação. As médias populacionais das variáveis de
pesquisa (SAL e REC) são conhecidas, porém supostas
desconhecidas para efeitos do presente exercício, em que se
supõe que amostragem seria usada para sua estimação.

Para estimar estas médias, as empresas da população foram
divididas em dois estratos, definidos a partir da variável PO, conforme
indicado na Tabela  \@ref(tab:estempr).


 Estrato         Condição                Tamanho
--------  --------------------------  ------------------
   1       empresas com PO  $>21$       $161$ empresas
   2       empresas com PO $\leq21$     $588$ empresas

Table:(#tab:estempr) Definição da estratificação da população de empresas

Foram então selecionadas de cada um dos estratos amostras aleatórias
simples sem reposição de $30$ empresas, implicando em uso de alocação igual e em frações amostrais desiguais, em vista dos
diferentes tamanhos populacionais dos estratos. Como o estrato 1 contém
cerca de $21\%$ das observações da população, a proporção de $50\%$ das observações da amostra no estrato 1 (das maiores empresas) na amostra é bem maior do que seria esperado sob
amostragem aleatória simples da população em geral. Desta forma,
a média amostral de uma variável de pesquisa $y$ qualquer (SAL ou
REC) dada por 
\[
\bar{y}=\frac{1}{n}\sum\limits_{h=1}^{2}\sum\limits_{i\in s_{h}}y_{hi} \]
tenderia a superestimar a média populacional $\overline{Y}$ 
dada por $\overline{Y}=\frac{1}{N}\sum\limits_{h=1}^{2}\sum_{i\in U_{h}}y_{hi},$ onde $y_{hi}$ é o valor da variável de pesquisa $y$
para a $i-$ésima observação do estrato $h$, $(h=1,2)$. Neste
caso, um estimador não-viciado da média populacional $\bar{Y}$ seria
dado por

\[
\bar{y}_{w}=\sum\limits_{h=1}^{2}W_{h}\bar{y}_{h} 
\]
onde $W_{h}=\frac{N_{h}}{N}$ é a proporção de observações da população no estrato $h$ e 
$\bar{y}_{h}=\frac{1}{n_{h}}\sum\limits_{i\in s_{h}}y_{hi}$ é a média amostral dos $y^{^{\prime}}s$ no estrato $h$, $(h=1,2)$.

Com a finalidade de ilustrar o cálculo do $\mathbf{EPA}$, vamos
considerar o estimador não-viciado $\bar{y}_{w}$ e calcular sua
variância sob o plano amostral realmente utilizado (amostra
estratificada simples - AES com alocação igual). Essa variância
poderá então ser comparada com o valor esperado (sob a distribuição induzida pelo plano amostral estratificado) do estimador da
variância obtido sob a hipótese de amostragem aleatória simples.

No presente exercício, a variância do estimador $\bar{y}_{w}$ pode
ser obtida de duas formas: calculando a expressão da variância
utilizando os dados de todas as unidades da população (que são
conhecidos, mas admitidos desconhecidos para fins do exercício de estimação de médias via amostragem) e por simulação.

A variância de $\bar{y}_{w}$ sob a distribuição de aleatorização verdadeira é dada por 
\begin{equation}
V_{p}\left( \bar{y}_{w}\right) =\sum\limits_{h=1}^{2}W_{h}^{2}\left(
1-f_{h}\right) \frac{S_{h}^{2}}{n_{h}}  (\#eq:epa3)
\end{equation}
onde $f_{h}=n_{h}/N_{h}$ , $n_{h}$ é o número de observações
na amostra no estrato $h,$ e $S_{h}^{2}=\frac{1}{N_{h}-1}\sum\limits_{i\in
U_{h}}\left( y_{hi}-\overline{Y}_{h}\right) ^{2}$ é a variância
populacional da variável de pesquisa $y$ dentro do estrato $h$, com 
$\overline{Y}_{h}=\frac{1}{N_{h}}\sum\limits_{i\in U_{h}}y_{hi}$
representando a média populacional da variável $y$ dentro do estrato 
$h$.

Um estimador usual da variância de $\bar{y}_{w}$ sob amostragem
aleatória simples é $v_{0}=\left( 1-f\right) \frac{s^{2}}{n}$ onde 
$s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{h=1}^{2}\sum\limits_{i\in s_{h}}\left(y_{hi}-\bar{y}\right) ^{2}$ e $f=\sum_{h=1}^{2}n_{h}/\sum_{h=1}^{2}N_{h} =n/N$.

O cálculo do $\mathbf{EPA}$ foi feito também por meio de simulação. Geramos $500$ amostras de tamanho $60$, segundo o plano amostral
estratificado considerado. Para cada uma das $500$ amostras e cada uma das
duas variáveis de pesquisa (SAL e REC) foram calculados:


1.  média amostral ($\bar{y}$);

2.  estimativa ponderada da média ($\bar{y}_{w}$);

3.  estimativa da variância da estimativa ponderada da média 
($\bar{y}_{w}$) considerando observações IID $\left( v_{0}\right)$;

4.  estimativa da variância da estimativa ponderada da média 
($\bar{y}_{w}$) considerando o plano amostral verdadeiro $\left( \hat{V}_{AES}\ \left( \bar{y}_{w}\right) \right)$.



Note que na apresentação dos resultados os valores dos salários
foram expressos em milhares de Reais (R\$ $1.000,00$) e os valores das
receitas em milhões de Reais (R\$ $1.000.000,00$). Como a população é conhecida, os parâmetros populacionais de interesse podem
ser calculados, obtendo-se os valores na primeira linha da Tabela \@ref(tab:proestmed).

```{r message=FALSE, warning=FALSE, echo=FALSE}
source("Lab4a.R")
```

```{r proestmed, echo=FALSE}
tab_43 <- data.frame(
"Quantidade de interesse" = c("Média Populacional", "Média de estimativas de média AAS",
  "Média de estimativas de média AES"),
Salários = c(med_pop[1], mean_est_aas[1], mean_est_aes[1] ),
Receitas = c(med_pop[2], mean_est_aas[2], mean_est_aes[2] )  
)
knitr::kable(tab_43, booktabs=TRUE, caption = "Propriedades dos estimadores da média das variáveis de pesquisa" )    
```



Em contraste com os valores dos parâmetros populacionais, calculamos a
média das médias amostrais não ponderadas ($\bar{y}$) dos
salários e das receitas obtidas nas $500$ amostras simuladas, obtendo os
valores na segunda linha da Tabela \@ref(tab:proestmed)  . Como previsto, observamos um
vício para cima na estimativa destas médias, da ordem de $105\%$
para os salários e de $98,9\%$ para as receitas.

Usamos também o estimador $\bar{y}_{w}$ para estimar a média dos
salários e das receitas na população, obtendo para esse
estimador as médias apresentadas na terceira linha da Tabela \@ref(tab:proestmed). Observamos ainda um pequeno vício da ordem de $-1,95\%$ e $-2,51\%$
para os salários e receitas, respectivamente. Note que o estimador $\bar{y}_{w}$ é não-viciado sob o plano amostral adotado, entretanto o
pequeno vício observado na simulação não pode ser ignorado
pois é significantemente diferente de $0$ ao nível de
significância de $5\%$, apesar do tamanho razoável da simulação ($500$ replicações).

Além dos estimadores pontuais, o interesse maior da simulação
foi comparar valores de estimadores de variância, e consequentemente
de medidas do efeito do plano amostral. Como o estimador pontual dado pela
média amostral não ponderada ($\bar{y}$) é grosseiramente
viciado, não consideramos estimativas de variância para esse
estimador, mas tão somente para o estimador não-viciado dado pela
média ponderada $\bar{y}_{w}$. Para esse último, consideramos dois
estimadores de variância, a saber o estimador ingênuo sob a
hipótese de AAS (dado por $v_{0}$) e um estimador não viciado da
variância sob o plano amostral 
$\hat{V}_{AES}\left( \bar{y}_{w}\right)$ , que foi obtido substituindo as variâncias dentro dos
estratos $S_{h}^{2}$ por estimativas amostrais não viciadas dadas por $s_{h}^{2}=\frac{1}{n_{h}-1}\sum_{i=1}^{n_{h}}(y_{hi}-\overline{y}_{h})^{2}$, 
$h=1,2$, na fórmula de $V_{AES}\left( \bar{y}_{w}\right)$ conforme
definida em \@ref(eq:epa3).

Como neste exercício a população é conhecida, podemos
calcular $V_{AES}\left(\bar{y}_{w}\right)$ através das
variâncias de $y$ dentro dos estratos $h=1,2$ ou através da simulação. Esses valores são apresentados respectivamente na primeira e
segunda linhas da Tabela \@ref(tab:varest), para as duas variáveis de pesquisa consideradas.

```{r varest, echo=FALSE}
tab_44 <- data.frame(
"Quantidade de interesse" = c("Variância do estimador AES", "Média de estimativas de variância AES", "Valor esperado AES do estimador AAS de variância","Média de estimativas de variância AAS"),
Salários= c(mat_cov_aleat_verd[1,1], mean_cov_mat_aes_est[1,1], 1613.3 , mean_cov_mat_aas_est[1,1]),
Receitas = c(mat_cov_aleat_verd[2,2], mean_cov_mat_aes_est[2,2], 1.1880, mean_cov_mat_aas_est[2,2])  
 )
knitr::kable(tab_44, booktabs= TRUE, caption = "Propriedades dos estimadores de variância do estimador ponderado da média")
```

Os valores de $E_{VERD}\left( v_{0}\left( \overline{SAL}_{w}\right) \right)$
e de $E_{VERD}\left( v_{0}\left( \overline{REC}_{w}\right) \right)$ foram
também calculados a partir das variâncias dentro e entre estratos na
população, resultando nos valores na linha 3 da Tabela \@ref(tab:varest),
e estimativas desses valores baseadas nas 500 amostras da simulação
são apresentadas na linha 4 da Tabela  \@ref(tab:varest). Os valores para o 
$\mathbf{EPA}$ foram calculados tanto com base nas estimativas de simulação como nos valores populacionais das variâncias, cujos cálculos estão ilustrados a seguir: 


$\mathbf{EPA}\left(\overline{SAL}_{w},v_{0}\left(\overline{SAL}_{w}\right)\right)=$

```{r, echo=FALSE}
cat(paste0(tab_44[2,2],"/",tab_44[4,2],"=", round(tab_44[2,2]/tab_44[4,2],3)))
```


$\mathbf{EPA}\left( \overline{REC}_{w},v_{0}\left( \overline{REC}_{w}\right)\right)=$


```{r, echo=FALSE}
cat(paste0(tab_44[2,3],"/",tab_44[4,3],"=", round(tab_44[2,3]/tab_44[4,3],3)))
```

$\mathbf{EPA}\left( \overline{SAL}_{w},v_{0}\left( \overline{SAL}_{w}\right)\right)=$

```{r, echo=FALSE}
cat(paste0(tab_44[1,2],"/",tab_44[3,2],"=", round(tab_44[1,2]/tab_44[3,2],3)))
```

$\mathbf{EPA}\left( \overline{REC}_{w},v_{0}\left( \overline{REC}_{w}\right)\right)=$

```{r, echo=FALSE}
cat(paste0(tab_44[1,3],"/",tab_44[3,3],"=", round(tab_44[1,3]/tab_44[3,3],3)))
```


A Tabela \@ref(tab:eparec) resume os principais resultados deste exercício,
para o estimador ponderado da média $\bar{y}_{w}$. Apesar das diferenças entre os resultados da simulação e suas contrapartidas
calculadas considerando conhecidos os valores da população, as
conclusões da análise são similares:


1.  ignorar os pesos na estimação da média provoca vícios
substanciais, que não podem ser ignorados; portanto, o uso do estimador
simples de média ($\bar{y}$) é desaconselhado;

2.  ignorar os pesos na estimação da variância do estimador
ponderado $\bar{y}_{w}$ também provoca vícios substanciais, neste
caso, superestimando a variância por ignorar o efeito de estratificação; os efeitos de plano amostral são substancialmente menores que $1$
para as duas variáveis de pesquisa consideradas (salários e
receita); portanto o uso do estimador ingênuo de variância $v_{0}$
é desaconselhado.


Essas conclusões são largamente aceitas pelos amostristas e
produtores de dados baseados em pesquisas amostrais para o caso da estimação de médias e totais, e respectivas variâncias. Entretanto
ainda há exemplos de usos indevidos de dados amostrais nos quais os
pesos são ignorados, em particular para a estimação de
variâncias associadas a estimativas pontuais de médias e totais. Tal
situação se deve ao uso ingênuo de pacotes estatísticos
padrões desenvolvidos para analisar amostras IID, sem a devida consideração dos pesos e plano amostral.


```{r eparec, echo=FALSE}
epa_df <- data.frame(
Variável = c("Salário", "Salário", "Receita", "Receita"),
Estimativa= c("Variância", "EPA", "Variância", "EPA"),
Simulação =c(tab_44[2,2], tab_44[2,2]/tab_44[4,2] ,tab_44[2,3], tab_44[2,3]/tab_44[4,3]),  
População=c(tab_44[1,2], tab_44[1,2]/tab_44[3,2] ,tab_44[1,3], tab_44[1,3]/tab_44[4,3])
)
knitr::kable(epa_df ,booktabs=TRUE, digits = c(0,0,3,3), caption = "Valores dos Efeitos de Plano amostral(EPA) para as médias de Salário e Receita." )
```


                  
```{remark} 
Neste exemplo não foi feito uso analítico dos dados e sim
descritivo, onde é usual incorporar os pesos no cálculo de
estimativas e variâncias.
Não seria esperado usar um estimador ponderado para a média e
não considerar os pesos no cálculo de variâncias, como fizemos
neste exemplo.
```

```{remark}
O exemplo mostra que ignorar a estratificação ao calcular $v_{0}$
diminui o $\mathbf{EPA}$.
```

Um outro exemplo relevante é utilizado a seguir para ilustrar o fato de
que o conceito do $\mathbf{EPA}$ adotado aqui é mais abrangente do que o
definido por Kish, em particular porque a origem do efeito pode estar na
estrutura da população e não no plano amostral usado para obter
os dados.

```{example, label= "exe43"}
População conglomerada com conglomerados de tamanho 2 
[@SHS89], p. 25
```

Considere uma população de conglomerados de tamanho 2, isto é,
onde as unidades (elementares ou de referência) estão grupadas em
pares (exemplos de tais populações incluem pares de irmãos
gêmeos, casais, jogadores numa dupla de vôlei de praia ou tênis,
etc.). Suponha que os valores de uma variável de pesquisa medida nessas
unidades têm média $\theta$ e variância $\sigma ^{2}$, além
de uma correlação $\rho$ entre os valores dentro de cada par
(correlação intraclasse, veja [@SilvaMou], cap. 2 e [@haggard].
Suponha que um único par é sorteado ao acaso da
população e que os valores $y_{1}$ e $y_{2}$ são observados para
as duas unidades do par selecionado. O modelo assumido pode então ser
representado como 
\[
\left\{ 
\begin{array}{l}
E_{M}\left( Y_{i}\right) =\theta \\ 
V_{M}\left( Y_{i}\right) =\sigma ^{2} \\ 
CORR_{M}\left( Y_{1};Y_{2}\right) =\rho
\end{array}
\right. \;\;i=1,2. 
\]

Um estimador não viciado para $\theta$ é dado por 
$\widehat{\theta }=(y_{1}+y_{2})/2$ , a média amostral. Assumindo a (falsa) hipótese
de que o esquema amostral é AASC de unidades individuais e não de
pares, ou equivalentemente, que $y_{1}$ e $y_{2}$ são 
observações de variáveis aleatórias IID, a variância de 
$\widehat{\theta }$ é dada por 
\[
V_{AAS}\left( \widehat{\theta }\right) =\sigma ^{2}/2 
\]
com um estimador não viciado dado por 
\[
v_{0}\left( \widehat{\theta }\right) =(y_{1}-y_{2})^{2}/4\;. 
\]

Entretanto, na realidade a variância de $\widehat{\theta }$ é dada
por 
\[
V_{VERD}\left( \widehat{\theta }\right) =V_{M}\left( \widehat{\theta }
\right) =\sigma ^{2}(1+\rho )/2 
\]
e o valor esperado do estimador de variância 
$v_{0}\left( \widehat{\theta }\right)$ é dado por 
\[
E_{VERD}\left[ v_{0}\left( \widehat{\theta }\right) \right] =\sigma
^{2}(1-\rho )/2\;. 
\]

Consequentemente, considerando as equações \@ref(eq:epa1) e \@ref(eq:epa2), tem-se que 
\[
\mathbf{EPA}_{Kish}\left( \hat{\theta}\right) =1+\rho 
\]
e 
\[
\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right) =(1+\rho )/(1-\rho )\;. 
\]

A Figura \@ref(fig:epacong) plota os valores de $\mathbf{EPA}_{Kish}\left( \hat{\theta}\right)$ e $\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right)$ para valores de $\rho$ entre $0$ e $0,8$. Como se pode notar, o efeito da especificação inadequada do plano amostral ou da estrutura populacional pode ser severo, com valores de $\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right)$ chegando a $9$. Um aspecto importante a notar é que o $\mathbf{EPA}_{Kish}\left( \hat{\theta}\right)$ tem variação muito mais modesta que o $\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right)$.


```{r epacong, echo=FALSE,fig.cap ="Valores de EPA e EPA de Kish para conglomeração"}
ro <- seq(0, 1, by =0.01)
epa <- (1+ro)/(1-ro)
epak <- 1+ro
plot(ro, epa, ylim = c(0,10) ,type="l", xlab = expression(italic(rho)),
  ylab = expression(italic(EPA)))
lines(ro, epak, lty= 2 )
legend("topleft", c("EPA", "EPA_KISH"), lty= c(1,2))
```


Este exemplo ilustra bem dois aspectos distintos do uso de medidas como o
efeito de plano amostral. O primeiro é que as duas medidas são
distintas, `embora os respectivos estimadores baseados numa particular
amostra coincidam`. No caso particular deste exemplo, o 
$\mathbf{EPA}_{Kish}\left( \hat{\theta}\right)$ cresce pouco com o valor do coeficiente
de correlação intraclasse $\rho$, o que implica que um plano
amostral conglomerado como o adotado (seleção ao acaso de um par da
população) seria menos eficiente que um plano amostral aleatório
simples (seleção de duas unidades ao acaso da população),
mas a perda de eficiência seria modesta. Já se o interesse é
medir, a posteriori, o efeito da má especificação do plano
amostral no estimador de variância, o impacto, medido pelo $\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right)$, seria muito maior.

Vale ainda notar que o $\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right)$ mede
o impacto da má especificação do plano amostral ou do modelo
para a estrutura populacional. Neste exemplo, ignorar a estrutura da população (o fato de que as observações são pareadas) poderia
provocar subestimação da variância do estimador de média,
que seria tanto maior quanto maior fosse o coeficiente de correlação
intraclasse $\rho$. Efeitos como esse são comuns também devido ao
planejamento amostral, mesmo em populações onde a conglomeração é imposta artificialmente pelo amostrista.

## Intervalos de Confiança e Testes de Hipóteses {#icth}

A partir da estimativa pontual $\hat{\theta}$ de um parâmetro 
$\theta$ (da população finita ou do modelo de superpopulação) é
possível construir um intervalo de confiança de nível de confiança aproximado $\left( 1-\alpha \right)$ a partir da distribuição assintótica de 
\[
t_{0}=\frac{\hat{\theta}-\theta }{v_{0}^{1/2}} 
\]
que, sob a hipótese de que as observações são IID,
frequentemente é $N\left( 0;1\right)$.

Neste caso, um intervalo de confiança de nível de confiança
aproximado $\left( 1-\alpha \right)$ é dado por 
$\left[ \hat{\theta}-z_{\alpha /2}v_{0}^{1/2},\hat{\theta}+z_{\alpha /2}v_{0}^{1/2}\right]$,
onde $z_{\alpha }$ é definido por 
$\int_{z_{\alpha }}^{+\infty }\varphi\left( t\right) dt=\alpha$ , onde $\varphi$ é a função de densidade da distribuição normal padrão.

Vamos analisar o efeito de um plano amostral complexo sobre o intervalo de confiança. No caso de um plano amostral complexo, a distribuição que é aproximadamente normal é a de 
\[
\frac{\hat{\theta}-\theta }{\left[ \widehat{V}_{VERD}\left( \hat{\theta}\right) \right] ^{1/2}}. 
\]

Por outro lado, para obter a variância da distribuição
assintótica de $t_{0}$ note que 
\[
\frac{\hat{\theta}-\theta }{v_{0}^{1/2}}=\frac{\hat{\theta}-\theta }{\left[ 
\widehat{V}_{VERD}\left( \hat{\theta}\right) \right] ^{1/2}}\times \frac{
\left[ \widehat{V}_{VERD}\left( \hat{\theta}\right) \right] ^{1/2}}{
v_{0}^{1/2}}\;. 
\]

Como o primeiro fator tende para uma $N\left( 0;1\right)$, a variância
assintótica de $t_{0}$ é aproximadamente igual ao quadrado do
segundo fator, isto é, a 
$\frac{\widehat{V}_{VERD}\left( \hat{\theta}\right) }{v_{0}}$ que é um estimador para $\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right)$. Porém quando a amostra é grande esse valor
aproxima o 
$\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right) =\frac{V_{VERD}\left( \hat{\theta}\right) }{E_{VERD}\left( v_{0}\right) }$, pois 
$v_{0}$ é aproximadamente igual a $E_{VERD}\left( v_{0}\right)$ e 
$\widehat{V}_{VERD}\left( \hat{\theta}\right)$ é aproximadamente igual a $V_{VERD}\left( \hat{\theta}\right)$. Logo temos que a distribuição assintótica verdadeira de $t_{0}$ é dada por 
\[
t_{0}\sim N\left[ 0;\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right)
\right] \;. 
\]

Dependendo do valor de 
$\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right)$, o
intervalo de confiança baseado na distribuição assintótica
verdadeira de $t_{0}$ pode ser bem distinto daquele baseado na distribuição assintótica obtida sob a hipótese de observações IID.
Em geral, a probabilidade de cobertura assintótica do 
intervalo $\left[\hat{\theta}-z_{\alpha /2}v_{0}^{1/2},
\hat{\theta}+z_{\alpha/2}v_{0}^{1/2}\right]$ será aproximadamente igual a

\[
2\Phi \left( z_{\alpha /2}/\left[ \mathbf{EPA}\left( \hat{\theta}
,v_{0}\right) \right] ^{1/2}\right) -1\;\;, 
\]
onde $\Phi$ é a função de distribuição acumulada de uma 
$N\left( 0;1\right)$. Calculamos esta probabilidade para alguns valores do $\mathbf{EPA}$, que apresentamos na Tabela \@ref(tab:procob).


$\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right)$    $1-\alpha=0.95$      $1-\alpha=0.99$
-----------------------------------------------   ----------------     ---------------
                    0,90                                 0,96                0,99
                    0,95                                 0,96                0,99
                    1,0                                  0,95                0,99
                    1,5                                  0,89                0,96
                    2,0                                  0,83                0,93
                    2,5                                  0,78                0,90
                    3,0                                  0,74                0,86
                    3,5                                  0,71                0,83
                    4,0                                  0,67                0,80

Table:(#tab:procob) Probabilidades de cobertura para níveis nominais de 95% e 99%

À medida que o valor do $\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right)$
aumenta, a probabilidade real de cobertura diminui, sendo menor que o valor
nominal para valores de 
$\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right)$
maiores que 1.

Utilizando a correspondência existente entre intervalos de confiança
e testes de hipóteses, podemos derivar os níveis de
significância nominais e reais subtraindo de $1$ os valores da Tabela 
\@ref(tab:procob). Por exemplo, para $\alpha =0,05$ e $\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right) =2$, o nível de significância real seria
aproximadamente $1-0,83=0,17$.

```{example, label= "exebin"}
Teste de hipótese sobre proporção
```
Vamos considerar um exemplo hipotético de teste de hipótese sobre
uma proporção, semelhante ao de [@Sud76], apresentado em
p. 196, [@lethonen]. Uma amostra de $m=50$ conglomerados
é extraída de uma grande população de empresas industriais
(conglomerados). Suponhamos que cada empresa $i=1,\ldots ,50$ da amostra
tenha $n_{i}=20$ empregados. O tamanho total da amostra de empregados
(unidades elementares) é $n=\sum_{i}n_{i}=1.000$. Queremos estudar o
acesso dos trabalhadores das empresas a planos de saúde.

Usando-se conhecimento do ano anterior, foi estabelecida a hipótese de
que a proporção de trabalhadores cobertos por planos de saúde
é $80\%$, ou seja $H_{0}:p=p_{0}=0,8$. Vamos adotar o nível de
significância $\alpha =5\%$.

A estimativa obtida na pesquisa foi $\widehat{p}=n_{A}/n=0,84$, onde 
$n_{A}=840$ é o número de trabalhadores na amostra com acesso a
planos de saúde. Ignorando o plano amostral e a conglomeração
das unidades elementares na população, podemos considerar um teste
binomial e usar a aproximação normal $N(0;1)$ para a estatística
de teste 
\begin{equation}
Z=|\widehat{p}-p_{0}|/\sqrt{p_{0}\left( 1-p_{0}\right) /n},  (\#eq:epa4)
\end{equation}
onde o denominador é o desvio padrão da estimativa $\widehat{p}$ sob
a hipótese nula.

Vamos calcular o valor da estatística $Z$, supondo que tenha sido usada
amostragem aleatória simples com reposição (AASC) de
empregados. Vamos também considerar uma abordagem baseada no plano
amostral de conglomerados. O desvio padrão de $\widehat{p}$, no
denominador de $Z$, será baseado na hipótese de distribuição
binomial, com tamanhos amostrais diferentes para as duas abordagens.

Para o teste baseado na amostragem aleatória simples, ignoramos a
conglomeração e usamos na fórmula do desvio padrão o tamanho
total da amostra de unidades elementares (empregados), isto é, 
$n=1.000$. O valor da estatística de teste $Z$ definida em \@ref(eq:epa4)
é, portanto,

\begin{equation}
Z_{bin}=|0,84-0,8|/\sqrt{0,8\left( 1-0,8\right) /1.000}=3,162>Z_{0,025}=1,96
(\#eq:epa5)
\end{equation}
onde $\sqrt{0,8\left( 1-0,8\right) /1.000}=0,0126$ é o desvio padrão
de $\widehat{p}$ sob a hipótese nula. Este\ resultado sugere a rejeição da hipótese $H_{0}$.

Por outro lado, é razoável admitir que se uma empresa for coberta
por plano de saúde, cada empregado dessa empresa terá acesso ao
plano. Essa é uma informação importante que foi ignorada no
teste anterior. De fato, selecionar mais de uma pessoa numa empresa não
aumenta nosso conhecimento sobre a cobertura por plano de saúde no
local. Portanto, o `tamanho efetivo` da amostra é $\overline{n}=50$
, em contraste com o valor $1.000$ usado no teste anterior. O termo 
`tamanho efetivo` foi introduzido em [@Kish65]  para
designar o tamanho de uma amostra aleatória simples necessário para estimar $p$
com a mesma precisão obtida por uma amostra conglomerada de tamanho $n$
(neste caso, igual a $1.000$) unidades elementares.

Usando o tamanho efetivo de amostra, temos a estatística de teste
baseada no plano amostral verdadeiro 
\[
Z_{p}=|\widehat{p}-p_{0}|/\sqrt{p_{0}\left( 1-p_{0}\right) /50}=0,707 ,
\]
onde o valor $\sqrt{0,8\left( 1-0,8\right) /50}=0,0566$ é muito maior
que o valor do desvio padrão obtido no teste anterior. Portanto, o valor
observado de $Z_{p}$ é menor que o de $Z_{bin}$, e o novo teste sugere a
não rejeição da mesma hipótese nula.

Neste exemplo, portanto, se verifica que ignorar a conglomeração
pode induzir a uma decisão incorreta de rejeitar a hipótese nula,
quando a mesma não seria rejeitada se o plano amostral fosse
corretamente incorporado na análise. Efeitos desse tipo são mais
difíceis de antecipar para inferência analítica, particularmente
quando os planos amostrais empregados envolvem combinação de
estratificação, conglomeração e probabilidades desiguais de
seleção. Por essa razão, a recomendação é procurar
sempre considerar o plano amostral na análise, ao menos como forma de
verificar se as conclusões obtidas por formas ingênuas de
análise ignorando os pesos e plano amostral são as mesmas.

## Efeitos Multivariados de Plano Amostral

O conceito de efeito de plano amostral introduzido em \@ref(eq:epa2) é
relativo a inferências sobre um parâmetro univariado $\theta$.
Consideremos agora o problema de estimação de um vetor 
$\mathbf{\theta}$ de $K$ parâmetros. Seja $\mathbf{\hat{\theta}}$ um
estimador de $\mathbf{\theta}$ e seja $\mathbf{V}_{0}$ um estimador da
matriz $K\times K$ de covariância de $\mathbf{\hat{\theta}}$, baseado
nas hipóteses de independência e igualdade de distribuição
das observações (IID), ou equivalentemente, de amostragem
aleatória simples com reposição (AASC). é
possível generalizar a equação \@ref(eq:epa2), definindo o
`efeito multivariado do plano amostral de` 
$\mathbf{\hat{\theta}}$ \textbf{e} $\mathbf{V}_{0}$ como 
\begin{equation}
\mathbf{EMPA}(\mathbf{\hat{\theta},V}_{0})=\mathbf{\Delta =E}_{VERD}\left( 
\mathbf{V}_{0}\right) ^{-1}\mathbf{V}_{VERD}(\mathbf{\hat{\theta}),}
(\#eq:epa6)
\end{equation}
onde $\mathbf{E}_{VERD}\left( \mathbf{V}_{0}\right)$ é o valor esperado
de $\mathbf{V}_{0}$ e, $\mathbf{V}_{VERD}(\mathbf{\hat{\theta})}$ é a
matriz de covariância de $\mathbf{\hat{\theta}}$, ambas calculadas com
respeito \`{a} distribuição de aleatorização induzida pelo
plano amostral efetivamente utilizado, ou alternativamente sob o `modelo correto`.

Os autovalores $\delta _{1}\geq \ldots \geq \delta _{K}$ da matriz $\mathbf{\Delta }$ são denominados `efeitos generalizados do plano amostral`. A partir deles, e utilizando resultados padrões de teoria das matrizes (p.64, [@Johnson]) é possível definir
limitantes para os efeitos (univariados) do plano amostral para combinações lineares $\mathbf{c}^{^{\prime }}\widehat{\mathbf{\theta }}$ das
componentes de $\widehat{\mathbf{\theta }}$. Temos os seguintes resultados: 
\begin{eqnarray*}
\delta _{1} &=&\max \mathbf{EPA}(\mathbf{c}^{^{\prime }}\widehat{\mathbf{
\theta }}\mathbf{,c}^{^{\prime }}\mathbf{V}_{0}\mathbf{c)}, \\
\delta _{K} &=&\min \mathbf{EPA}(\mathbf{c}^{^{\prime }}\widehat{\mathbf{\theta }}\mathbf{,c}^{^{\prime }}\mathbf{V}_{0}\mathbf{c)}.
\end{eqnarray*}

No caso particular onde $\mathbf{\Delta =I}_{K\times K}$ , temos $\delta_{1}=\ldots =\delta _{K}=1$ e os efeitos (univariados) do plano amostral das combinações lineares para componentes de $\mathbf{\hat{\theta}}$
são todos iguais a $1$. Para ilustrar esse conceito, vamos reconsiderar
o Exemplo \@ref(exm:deffuni) de estimação de médias com amostragem
estratificada desproporcional anteriormente apresentado, mas agora
considerando a natureza multivariada do problema (há duas variáveis
de pesquisa).

```{example , label="deffmult"}
Efeitos Multivariados do Plano Amostral para as médias
de Salários e de Receitas
```

Vamos considerar as variáveis Salário (em R\$ $1.000$) e Receita (em
R\$ $1.000.000$) definidas na população de empresas do Exemplo 
\@ref(exm:deffuni) e calcular a matriz $\mathbf{EMPA}\left( \mathbf{\hat{\theta},V}_{0}\right)$, onde $\mathbf{\hat{\theta}=}\left( \overline{SAL}_{w},\overline{REC}_{w}\right) ^{\prime }$. Neste exemplo, os dados populacionais
são conhecidos, e portanto podemos calcular a covariância dos
estimadores $\left( \overline{SAL}_{w},\overline{REC}_{w}\right)$. Usando a
mesma notação do Exemplo \@ref(exm:deffuni), temos que 
\[
COV_{AES}(\overline{SAL}_{w},\overline{REC}_{w}\mathbf{)=}\sum\limits_{h=1}^{2}W_{h}^{2}\frac{\left( 1-f_{h}\right) }{n_{h}}S_{SAL,REC}^{\left( h\right) } 
\]
onde 
\[
S_{SAL,REC}^{\left( h\right) }=\frac{1}{N_{h}-1}\sum\limits_{i\in
U_{h}}\left( SAL_{hi}-\overline{SAL}_{h}\right) \left( REC_{hi}-\overline{REC
}_{h}\right) \;. 
\]

Substituindo os valores conhecidos na população das variáveis 
$SAL_{hi}$ e $REC_{hi}$, obtemos para esta covariância o valor 
\[
COV_{AES}(\overline{SAL}_{w},\overline{REC}_{w}\mathbf{)=\;}3.2358
\]
e portanto a matriz de variância $\mathbf{V}_{AES}(\overline{SAL}_{w},\overline{REC}_{w})$ dos estimadores ponderados da média fica igual a

```{r, echo=FALSE, comment=NA }
dimnames(mat_cov_aleat_verd)<- list(c("SAL", "REC"),c("SAL", "REC"))
mat_cov_aleat_verd
```


onde os valores das variâncias em \@ref(eq:epa7) foram os calculados no
Exemplo \@ref(exm:deffuni) e coincidem, respectivamente, com os valores usados
nos numeradores de $\mathbf{EPA}\left( \overline{SAL}_{w}\right)$ e de 
$\mathbf{EPA}\left( \overline{REC}_{w}\right)$ lá apresentados. Para
calcular o $\mathbf{EMPA}(\mathbf{\hat{\theta},V}_{0})$ é
preciso agora obter $\mathbf{E}_{VERD}\left(\mathbf{V}_{0}\right)$.

Neste exemplo, a matriz de efeito do plano amostral $\mathbf{EMPA}(\mathbf{\hat{\theta},V}_{0})=\mathbf{\Delta }$ pode também ser calculada
através de simulação, de modo análogo ao que foi feito no
Exemplo \@ref(exm:deffuni). Para isto, foram utilizadas outras $500$ amostras de
tamanho $60$ segundo o plano amostral descrito no Exemplo \@ref(exm:deffuni).
Para cada uma das $500$ amostras foram calculadas estimativas:


1.  da variância da média amostral ponderada do salário e da
receita assumindo observações IID;

2.  da covariância entre médias ponderadas do salário e da
receita assumindo observações IID;

3.  da variância da média amostral ponderada do salário e da
receita considerando o plano amostral verdadeiro;

4.  da covariância entre médias ponderadas do salário e da
receita considerando o plano amostral verdadeiro.


A partir da simulação foram obtidos os seguintes resultados:

- A matriz de covariância das médias amostrais ponderadas de salário e da receita, assumindo observações IID  $E_{AES}\left(V_{0}\right)$: 


```{r, echo=FALSE, comment=NA}
dimnames(mean_cov_mat_aas_est)<- list(c("SAL", "REC"),c("SAL", "REC"))
mean_cov_mat_aas_est
```


- A matriz de covariância das médias ponderadas de salário e da receita considerando o plano amostral verdadeiro $V_{AES}\left(\hat{\theta}\right)$:


```{r, echo=FALSE, comment=NA}
dimnames(mean_cov_mat_aes_est) <- list(c("SAL", "REC"),c("SAL", "REC"))
mean_cov_mat_aes_est
```


- A matriz $\Delta$ definida em \@ref(eq:epa6)


 $\Delta = \left[ E_{AES}\left( V_{0}\right)\right]^{-1}V_{AES}(\hat{\theta})$ 


```{r, echo=FALSE, comment=NA}
DELTA
```


Os autovalores `r epa[1]` e `r epa[2]` de 
$\mathbf{\Delta}$ fornecem os efeitos generalizados do plano amostral.

Da mesma forma que o $\mathbf{EPA}\left( \hat{\theta},v_{0}\right)$
definido em \@ref(eq:epa2) para o caso uniparamétrico foi utilizado para
corrigir níveis de confiança de intervalos e níveis de
significância de testes, o $\mathbf{EMPA}(\mathbf{\hat{\theta},V}_{0})$
definido em \@ref(eq:epa6) pode ser utilizado para corrigir níveis de
confiança de regiões de confiança e níveis de
significância de testes de hipóteses no caso multiparamétrico.
Para ilustrar, vamos considerar o problema de testar a hipótese $H_{0}:\mathbf{\mu }=\mathbf{\mu }_{0}$, onde $\mathbf{\mu }$ é o vetor de
médias de um vetor de variáveis de pesquisa $\mathbf{y}$. A
estatística de teste usualmente adotada para este caso é a $T^{2}$
de Hottelling dada por 
\begin{equation}
T^{2}=n\left( \mathbf{\bar{y}-\mu }_{0}\right) ^{^{\prime }}\mathbf{S}
_{y}^{-1}\left( \mathbf{\bar{y}-\mu }_{0}\right) , (\#eq:epa11) 
\end{equation}
onde 
\begin{eqnarray*}
\mathbf{\bar{y}} &=&\frac{1}{n}\sum\limits_{i\in s}\mathbf{y}_{i},\quad 
\mathbf{S}_{y}=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i\in s}\left( \mathbf{y}_{i}-
\mathbf{\bar{y}}\right) \left( \mathbf{y}_{i}-\mathbf{\bar{y}}\right)
^{^{\prime }},\mbox{ e } \\
\mathbf{\mu }_{0} &=&\left( \mu _{10},\mu _{20},\ldots ,\mu _{K0}\right)
^{^{\prime }}\;\;.
\end{eqnarray*}

Se as observações $\mathbf{y}_{i}$ são IID normais, a
estatística $T^{2}$ tem a distribuição 
$\frac{\left( n-1\right) }{\left( n-K\right)}\mathbf{F}\left( K;n-K\right)$ sob $H_{0}$, onde $\mathbf{F}\left( K;n-K\right)$ denota uma variável aleatória com
distribuição $\mathbf{F}$ com $K$ e $\left( n-K\right)$ graus de
liberdade. Mesmo se as observações $\mathbf{y}_{i}$ não forem
normais, $T^{2}$ tem distribuição assintótica 
$\chi ^{2}\left(K\right)$ quando $n\rightarrow \infty$, [@Johnson], p.191.

Contudo, se for utilizado um plano amostral complexo, $T^{2}$ tem
aproximadamente a distribuição da variável $\sum\limits_{i=1}^{K}$ $\delta _{i}Z_{i}^{2}$, onde $Z_{1},\ldots ,Z_{K}$
são variáveis aleatórias independentes com distribuição
normal padrão e os $\delta _{i}$ são os autovalores da matriz $\mathbf{\Delta }=\Sigma _{AAS}^{-1}\Sigma$, onde $\Sigma _{AAS}=E_{p}(\mathbf{S}_{y}/n)$ e $\Sigma =V_{p}(\mathbf{\bar{y})}$.

Vamos analisar o efeito do plano amostral sobre o nível de
significância deste teste. Para simplificar, consideremos o caso em que $\delta _{1}=\ldots =\delta _{K}=\delta$. Neste caso, o nível de
significância real é dado aproximadamente por 
\begin{equation}
P\left(\chi ^{2}\left( K\right) >\chi _{\alpha }^{2}\left( K\right) /\delta\right)  (\#eq:epa12)
\end{equation}
onde $\chi _{\alpha }^{2}\left( K\right)$ é o quantil superior 
$\alpha$
de uma distribuição $\chi ^{2}$ com $K$ graus de liberdade, isto
é, o valor tal que 
$P\left[ \chi ^{2}\left( K\right) >\chi _{\alpha}^{2}\left( K\right) \right] =\alpha$ .

A Tabela \@ref(tab:nivsig) apresenta os níveis de significância reais para 
$\alpha =5\%$ para vários valores de $K$ e $\delta$. Mesmo quando os
valores dos $\delta _{i}$ são distintos, os valores da Tabela \@ref(tab:nivsig) 
podem ser devidamente interpretados. Para isso, consideremos o $p$valor do
teste da hipótese $H_{0}:\mathbf{\mu }=\mathbf{\mu }_{0}$, sob a
hipótese de amostragem aleatória simples com reposição e sob
o plano amostral efetivamente utilizado. Por definição este valor
é dado por 
\[
p\mbox{valor}_{AAS}\left( \mathbf{\bar{y}}\right) =P\left[ \chi ^{2}\left(
K\right) >\left( \mathbf{\bar{y}-\mu }_{0}\right) ^{^{\prime }}\mathbf{
\Sigma }_{AAS}^{-1}\left( \mathbf{\bar{y}-\mu }_{0}\right) \right] 
\]
e $H_{0}$ é rejeitada com nível de significância $\alpha$ se valor-$p$ $_{AAS}<\alpha$.

O verdadeiro valor-$p$ pode ser definido analogamente como 
\begin{equation}
p\mbox{valor}_{VERD}\left( \mathbf{\bar{y}}\right) =P\left[ \chi ^{2}\left(K\right) >\left( \mathbf{\bar{y}-\mu }_{0}\right) ^{^{\prime }}\mathbf{\Sigma }_{VERD}^{-1}\left( \mathbf{\bar{y}-\mu }_{0}\right) \right] \;.
(\#eq:epa13)
\end{equation}

Os valores na Tabela \@ref(tab:nivsig)  podem ser usados para quantificar a
diferença entre estes valores-$p$. Consideremos a região
crítica do teste de nível $\alpha$ baseado na hipótese de AAS: 
\begin{eqnarray}
RC_{AAS}\left( \mathbf{\bar{y}}\right) &=&\left\{ \mathbf{\bar{y}:}\left( 
\mathbf{\bar{y}-\mu }_{0}\right) ^{^{\prime }}\mathbf{\Sigma }
_{AAS}^{-1}\left( \mathbf{\bar{y}-\mu }_{0}\right) >\chi _{\alpha
}^{2}\left( K\right) \right\} (\#eq:epa14)  \\
&=&\left\{ \mathbf{\bar{y}:}p\mbox{valor}_{AAS}\left( \mathbf{\bar{y}}
\right) <\alpha \right\}.  \nonumber
\end{eqnarray}

Pode-se mostrar que o máximo de $p$valor$_{VERD}\left( \mathbf{\bar{y}}\right)$ quando $\mathbf{\bar{y}}$ pertence à $RC_{AAS}\left( \mathbf{\bar{y}}\right)$ é dado por: 

\begin{equation}
\max_{\mathbf{\bar{y}\in }RC_{AAS}\left( \mathbf{\bar{y}}\right) }p
\mbox{valor}_{VERD}\left( \mathbf{\bar{y}}\right) =P\left( \chi ^{2}\left(K\right) >\chi _{\alpha }^{2}\left( K\right) /\delta _{1}\right).
(\#eq:epa15)
\end{equation}

Observe que o segundo membro de \@ref(eq:epa15) é da mesma forma que o
segundo membro de \@ref(eq:epa12). Logo, os valores da Tabela \@ref(tab:nivsig)  podem
ser interpretados como valores máximos de $p$valor$_{VERD}\left( \mathbf{\bar{y}}\right)$ para $\mathbf{\bar{y}}$ na região 
$RC_{AAS}\left(\mathbf{\bar{y}}\right)$, considerando-se $\delta_{1}$ no lugar de $\delta$.

|          |    | K  |    |    |
|:--------:|----|----|---:|---:|
| $\delta$ |  1 |  2 |  3 |  4 |
|    0,9   |  4 |  4 |  3 |  3 |
|    1,0   |  5 |  5 |  5 |  5 |
|    1,5   | 11 | 14 | 16 | 19 |
|    2,0   | 17 | 22 | 27 | 32 |
|    2,5   | 22 | 30 | 37 | 44 |
|    3,0   | 26 | 37 | 46 | 53 |

Table:(#tab:nivsig) Níveis de significância (%) verdadeiros do teste T2 para o nível nominal
de 5% assumindo autovalores iguais a $\delta$.

```{r nivsig, echo=FALSE,eval=FALSE}
K <- 1:4
delta <- c(.9, seq(1, 3, by=.5))
qsup <- qchisq(.95, c(1:4))
mat.res <- matrix(NA, length(delta), length(K))
for(i in 1:length(delta)){
mat.res[i,] <- round(pchisq(qsup/delta[i], K, lower.tail = FALSE)*100, 0)
}
mat.res <- cbind(delta, mat.res)
df.res <- as.data.frame (mat.res)
names(df.res)<- c("delta", "K=1","K=2", "K=3", "K=4")
knitr::kable(df.res, booktabs=TRUE, 
caption="Níveis de significância (%) verdadeiros do teste T2 para o nível nominal
de 5% assumindo autovalores iguais a delta.")
```

## Laboratório de R

Utilizando o R, obtemos a seguir alguns resultados descritos nos Exemplos \@ref(exm:deffuni) e \@ref(exm:deffmult). Na simulação, usamos a library `sampling` [@R-sampling] para gerar amostras estratificadas de tamanho 30, com estratos definidos na Tabela \@ref(tab:estempr), para obter os valores nas Tabelas \@ref(tab:proestmed)
e \@ref(tab:varest).


```{r, code=readLines('Lab4a.R', encoding= "UTF-8")}
```

```{example, label="eqmean" }
Teste da igualdade de médias para duas populações
```

Para exemplificar o material descrito na Seção \@ref(icth), vamos utilizar o data frame `amolim`, contendo dados da `Amostra do Censo Experimental de Limeira`.

```{r}
# carregar dados
library(anamco)
dim(amolim)
names(amolim)
```
- Objeto de desenho para os dados da Amostra de Limeira:

```{r}
library(survey)
amolim.des<-svydesign(id=~setor+domic, weights=~pesof,
  data=amolim)
```

- Vamos estimar, a renda média por raça:

```{r}
svyby(~renda, ~raca, amolim.des, svymean)
```

- Vamos estimar, a renda média por sexo:

```{r}
svyby(~renda, ~sexo, amolim.des, svymean)
```
- Vamos testar a igualdade de rendas por sexo:

```{r}
svyttest(renda ~ sexo, amolim.des)
```

- Vamos testar a igualdade de rendas por raça:

```{r}
svyttest(renda ~ raca, amolim.des)
```