Stat_methods_hw_1.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "36b600c3",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Задание №1\n",
    "##  Вопрос №1"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "184cf1e7",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Определение 1: Вероятность $P(A)$ численная мера степени объективности события $A$.\n",
    "\n",
    "Определение 2: Классическая вероятность: Пусть $w_1, w_2, ..., w_n$ пространство элементарных исходов,  они образуют полную группу событий, события попарно несовместимы, равновероятны, то есть их вероятность равна $P(w_i) = \\frac{1}{n}$. В этом пространстве рассмотрим некоторое события $A$, вероятность данного события будет равно сумме вероятностей всех элементарных исходов, удовлетворяющих $A$, то есть $P(A) = k/n$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "1ce3f33f",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Вопрос №2"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "1f7a8cee",
   "metadata": {},
   "source": [
    "По всей видимости речь идет об подозрении в убийстве жены. То есть событие $A$ - бил, $B$ - убил. Прокурор говорит об условной вероятности события $P(B|A)$, то есть какова вероятность того, что O. J. Simpson убил при условии, что ранее он бил. Адвокат переводит все в рассмотрение другой условной вероятности $P(A|B)$, что не одно и тоже с $P(B|A)$. Взаимосвязь этих вероятностей опеределяется по формуле Байеса:\n",
    "$$\n",
    "P(B|A) = \\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}\n",
    "$$\n",
    "То есть судья ошибся принимаю во внимание доводы адвоката.\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "a8883685",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Вопрос №3"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "159660a0",
   "metadata": {},
   "source": [
    "В расчетах прокурора присутствует манипуляция. Прокурор догадывается, что эти два события зависимы, и хочет показать, что вероятность независимой реализации двух событий мала. Но эти два события могут быть зависимыми не только от одной гипотезы, которая выгодна прокурору(\"невнимательное\" отношение родителей детей), но и от ряда других гипотез, например наследственный фактор, или влияние среды и т.п. Вероятность, гибели второго ребенка, во всех этих случаях будет выше, но какой вклад (опять же по формуле Байеса), дает именно гипотеза \"по причине родителей\", остается тайной. Требуется дополнительные исследования для оценки вероятностей."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "326d8b75",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Вопрос№4"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "9f110303",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Ситуация достаточно неприятная, так как оценить параметры распределения случайной величины выраженные последовательность: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11... не представляется возможным. Возможно мы имеем тут случай, случайного блуждания с шагом $\\Delta x = 1$ и вероятностью роста, по тем данным, которые у нас есть $p=1$ или мы имеем, некоторую линейную зависимость с наличием шума, который еще не проявился."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "f5fa2f15",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Вопрос №5"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "6ac88f9b",
   "metadata": {},
   "source": []
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "4a418686",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Вопрос №6"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "67a0adc1",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Для того, что бы ответить на этот вопрос, нужно знать условные вероятности и вероятности событий. Событие $A$ - человек выглядит специфично (как в описание к заданию), $B$ - человек христианин (не сатанист). Тогда по формуле Байеса:\n",
    "$$\n",
    "P(B|A) = \\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)},\n",
    "$$ где\n",
    "$$\n",
    "P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\\bar B)(1-P(B))\n",
    "$$\n",
    "То есть не хватает эмпирических вероятностей. Сколько христиан/сатанистов в доли населений $P(B)$, $P(\\bar B)$ соответственно. Доля христиан, которые одеваются специфично $P(A|B)$, сколько среди сатанистов таких людей $P(A|\\bar B)$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "394db7be",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Задача №1 "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "57c18fef",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Теоретически такие измерения возможны, но на практике придумать методику измерений ввиду большего количества измерений не представляется возможным. \n",
    "\n",
    "Рассуждая теоретически: абсолютная погрешность убывает со скоростью $\\sqrt(n)$. \n",
    "\n",
    "Результат отклонения среднего измеренного значения от истинного значения веса:\n",
    "$<x> - \\sigma_{<x>} \\leq \\bar x \\leq  <x> + \\sigma_{<x>} $\n",
    "Отклонение среднего измеренного значения от истинного значения веса, по условию задачи не должно превышать массу атома железа или $ 9,3 \\cdot 10^{-26} $ \n",
    "$$ \\sigma_{<x>} = \\frac{\\sigma_{x}}{\\sqrt(n)} = 9,3 \\cdot 10^{-26} $$\n",
    "Так как нахождение значения между двумя рисками циферблата равномерно распределено, то дисперсия конкретного измерения $$\\sigma_{x} = \\frac{a - b}{2\\sqrt(3)} = 0,29$$\n",
    "$$ n = \\left( \\frac{\\sigma_{x}}{\\sigma_{<x>}}\\right) ^2 = \\left( \\frac{0,29}{9,3 \\cdot 10^{-26}} \\right) ^{2} = 3 \\cdot 10^{50}  $$\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "f5d26b64",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Задача №2"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "97faf298",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Рассмотрим вторую последовательность за шаг до окончания, возможны два варианта РОРР, или ООРР, но в эту последовательность уже входит последовательность ООР, то есть последовательность ООРР - не будет реализовываться в эксперименте. Если же рассматривать первую последовательность за шаг, до окончания последовательности, то возможны оба варианта РООР и ОООР. То есть комбинация может завершиться одним из трех вариантов: РООР, РООР или ОООР. В двух случаях из трех она завершается ООР, тогда вероятность завершения комбинацией ООР равна: $P(ООР) = \\frac{2}{3}$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "054bdfeb",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Задача №3"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "d85e68e3",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Частотный подход:\n",
    "Обозначим вероятность выигрыша Алисы, как $ p $. Тогда вероятность выигрыша Боба, это три проигрыша Алисы:\n",
    "    $$ P(Bob) = (1-p)^3$$\n",
    "Вероятность выигрыша Алисы тогда, есть результат не выигрыша Боба:\n",
    "    $$ P(Alisa) = 1 - P(Bob) = 1 - (1-p)^3$$\n",
    "Вероятность $p$ можно оценить данных эмпирических данных, как $p= \\frac{5}{8}$.\n",
    "Тогда получаем:\n",
    "    $$ P(Alisa) =  1 - (1-p)^3 = 1 - \\left(1 - \\frac{5}{8}\\right)^3 = 1 - \\frac{27}{512} =  \\frac{485}{512} = 0,947 $$\n",
    "Байесовский подход:\n",
    "На сколько наша оценка вероятности $p$ верна? Рассмотрим условную вероятность, оценки вероятности $p$ победы Алисы после того, как событие из условия задачи произошло:\n",
    "    $$ P(p|A = 5, B = 3) $$\n",
    "Тогда, ввиду непрерывности изменения вероятности в диапазона $ p = 0 \\dots 1 $, получаем математическое ожидание вероятности победы Боба:\n",
    "    $$ E(Bob) = \\int_0^1 (1-p)^3 P(p|A = 5, B = 3) \\,\\mathrm{d}p $$\n",
    "По формуле Байеса, определим вероятность $P(p|A = 5, B = 3)$:\n",
    "$$P(p|A = 5, B = 3) = \\frac{P(A = 5, B = 3|p)P(p)}{\\int_0^1 P(A = 5, B = 3|p)P(p) \\,\\mathrm{d}p}$$ (1)\n",
    "Предположим, что плотность распределения вероятности $p(p)$ распределена по равновероятному закону, а значит \n",
    "$P(p) =\\int_0^p \\frac{1}{1-0} \\,\\mathrm{d}p = p $.\n",
    "$$P(A = 5, B = 3|p)P(p) =  \\binom{8}{5} p^5 q^3 = \\frac{8!}{5!3!}p^5 (1-p)^3 $$\n",
    " $$ E(Bob) = \\frac{\\int_0^1 (1-p)^6 p^6 \\,\\mathrm{d}p}{\\int_0^1 (1-p)^3 p^6 \\,\\mathrm{d}p} $$\n",
    "Воспользуемся формулой:\n",
    "$$ \\int_0^1 (1-p)^{m-1} p^{n-1} \\,\\mathrm{d}p = \\frac {\\Gamma(m)\\Gamma(n)}{\\Gamma(m+n)} $$\n",
    "$$ \\Gamma(n+1) = n!$$\n",
    "Тогда получаем:\n",
    "$$E(Bob) = \\frac{ \\frac{6!6!}{13!}}{\\frac{6!3!}{10!}} = \\frac{10}{143} $$\n",
    "И вероятность победы Алисы:\n",
    "$$P(Alisa) = 1 - \\frac{10}{143} = 0,93 $$\n",
    "Видим, что вероятность победы Алисы чуть ниже, чем в случае апостериорно вычисленной вероятности. Заметим, что в случае если $p=0,5$, мы получим $P(Alisa) =  1 - (1-p)^3 = 1 - \\frac{1}{8}  = \\frac{7}{8} = 0.875$. То есть байесовский подход более аккуратно учитывает результат случайно возникающей апостериорной вероятности.\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "561099e7",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Задача №4"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "aabd09fa",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Обозначим:\n",
    "\n",
    "$A$ - человек болен, $P(A) = \\frac{1}{140}$;\n",
    "\n",
    "$(-|A)$ - человек получил отрицательный тест, при том, что он болен, $P(-|A)=0,08$;\n",
    "\n",
    "$(-|\\bar A)$ - человек получил отрицательный тест, при том, что он не болен, $P(-|\\bar A)=1 - P(-|A)=0,92$;\n",
    "\n",
    "$(+|\\bar A)$ - человек получил положительный тест, при том, что он не болен, $P(+|\\bar A)=0,02$;\n",
    "\n",
    "$(+|A)$ - человек получил положительный тест, при том, что он болен, $P(+|A)=1-P(+|\\bar A) = 0,98$;\n",
    "\n",
    "\n",
    "Необходимо найти вероятность события: $P(A|++-)$. \n",
    "По формуле Байеса:\n",
    "$$\n",
    "P(A|++-) = \\frac{P(++-|A)P(A)}{P(++-)}\n",
    "$$\n",
    "События $P(+|A)$ и $P(-|A)$ - независимые, тогда по теореме умножения: \n",
    "$$\n",
    "P(++-|A) = P(-++|A) = P(+|A)P(+|A)P(-|A) = 0,98 \\cdot 0,98 \\cdot 0,08\n",
    "$$\n",
    "Для определения вероятности $P(++-)$, разобьём пространство исходов на случае, когда человек болен и не болен.\n",
    "Тогда получим:\n",
    "$$\n",
    "P(++-) = P(++-|A)P(A) + P(++-|\\bar A)P(\\bar A) = P(+|A)P(+|A)P(-|A)P(A) + P(+|\\bar A)P(+|\\bar A)P(-|\\bar A)P(A)P(\\bar A)=\n",
    "0,98 \\cdot 0,98 \\cdot 0,08 \\cdot \\frac{1}{140} + 0,02 \\cdot 0,02 \\cdot 0,92 \\cdot \\frac{139}{140} = 0.0005488 + 0.0003653 = 0.000914\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "P(A|++-) = \\frac{0.0005488}{0.000914} = 0.60\n",
    "$$\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "db6f614f",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Задача №5"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "41307a72",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Рассуждаем аналогично, но вероятность $P(++-)$ состоит из последовательной реализации событий:\n",
    "$$P(++-)=P(-++) = P(+)P(+)P(-)$$\n",
    "Так как события получения положительного и отрицательного теста независимы, то не важно в каком порядке мы сдаем анализы.\n",
    "$$P(++-)=P(-++)$$\n",
    "Для определения вероятности $P(+)$ и $P(-)$, разобьём пространство исходов на случае, когда человек болен и не болен.\n",
    "$$P(++-)= (P(+|A)P(A) + P(+|\\bar A)P(\\bar A))^2 (P(-|A)P(A) + P(-|\\bar A)P(\\bar A)) = 0.00066 $$\n",
    "$$\n",
    "P(A|++-) = \\frac{0.0005488}{0.00066} = 0.83\n",
    "$$"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.9.7"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}