保持最大偏差的所有有界可观察量空间上的线性映射
在本文中，我们确定了有界可观测空间上的所有双射线性映射，这些映射保持了固定动量或方差（a fixed moment or the variance）。 还提供了相应结果的非线性版本。
在量子力学的希尔伯特空间形式主义中，有几种线性算符的结构在理论中扮演着重要的角色。
其中包括以下内容。 希尔伯特空间 H 上所有自伴有界线性算符的 Jordan 代数 B s (H) 称为有界可观测量，H 上所有投影（即自伴幂等）的格 P (H) 称为量子事件， H 上所有正迹类算子的凸集 S(H) 与迹 1 称为（混合）状态，以及所有正有界线性算子的所谓效应代数 E(H)，其主要化为恒等式 I。 这些结构在量子理论的概率方面起着至关重要的作用。
正如一般数学中任何代数结构的情况一样，对上述结构的自同构的研究非常重要。 人们可以在 [7] 中找到对这些自同构的有趣统一处理。 在我们最近的论文 [16, 1] 中，我们展示了有关自同构的局部行为的一些结果，而在 [17, 18, 19] 中，我们已经开始研究这些自同构如何通过它们的保留特性来表征。
对保护器问题（更准确地说，线性保护器问题，所谓的 LPP）的系统研究构成了矩阵理论的一部分。 事实上，该领域代表了矩阵理论中最活跃的研究领域之一（我们仅参考两篇调查论文 [13, 14]）。 在过去的几十年中，对无限维情况也给予了相当大的关注，即关于一般 Hilbert 空间或 Banach 空间上线性算子代数的线性保护器问题（再一次，我们只参考了一篇调查论文 [6] ）。 从本文的角度来看，最重要的一点是，在大多数情况下，线性保护器问题的解决方案提供了关于基础代数（矩阵代数，或更一般地说，算子代数）的自同构的重要新信息 ) 因为它们展示了这些自同构是如何由它们的各种保留属性决定的。 这些性质主要涉及某个重要的数值量或它们对应于算子的集合（如范数、谱），或者它们涉及一个显着的算子集合（例如，投影集），或者它们涉及算子之间的重要关系 （例如，交换性）。 这种结果可能有助于更好地理解底层代数自同构的行为。
在我们上面提到的论文 [17, 18, 19] 中，我们已经开始从类似的保护者的角度研究希尔伯特空间效应代数的自同构和有界可观测量的乔丹代数的自同构。 在那里，我们考虑了保留所有具有物理意义的数量、关系或属性的变换。 例如，对于 observables，在 [18] 中，我们确定了 B s (H) 的所有双射变换（假设没有线性），它们保持顺序（在自伴随算子中，这只是通常的顺序）。 在 [19] 中，我们描述了 B s (H) 的那些双射的一般形式，它们保持交换性（在量子理论中，表达式兼容性用于代替交换性）并且在交换算子对上乘法。
我们现在转向本文的内容。 在经典概率论中，平均值（或更一般地说，矩）和方差是随机变量最重要的特征之一。 因此，对于量子力学变量，即可观测量也是如此，也就不足为奇了。 本文的主要目的是表明，任何这些量的保持或多或少完全表征了 B s (H) 的线性变换之间的自同构。
Nonlinear regular bijection from Q to itself
从 Q 到自身的非线性正则双射
是否存在双射 ϕ:Q→Q
使得 ϕ 是非线性的（即不同于 x↦ax+b），
ϕ 是正则的：ϕ 在 R 上的扩展 ϕ^ 是 C2？
如果我们需要 C∞ 呢？