原文：
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·发布于 Towards Data Science ·4 分钟阅读·2023 年 3 月 6 日
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图片来源：Karsten Würth 在 Unsplash
在机器学习和深度学习中，我们大多数时候都在处理向量。而向量空间模型可以将数据之间的关系表示为向量。此外，从几何角度来看，它还能够比较两个向量的相似性，无论是使用两个向量之间的距离（欧几里得距离）还是两个向量之间的角度（余弦相似度）。
让我们从二维空间中的向量几何开始。
Image 1. 二维空间中向量的示例。 （图片来源：作者）
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如果 u = (u₁, u₂) 和 v = (v₁, v₂) 满足 u₁ = v₁ 且 u₂ = v₂，则这两个向量相等。
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向量 u 和 v 的和定义为 u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂)
Image 2. 向量和的示例。 （图片来源：作者）
- 标量 k 与向量 u 的乘积定义为 ku = (ku₁, ku₂)
Image 3. 向量与标量相乘的示例。 图片来源：作者。
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向量的负向量 -v 被定义为与 v 具有相同大小但方向相反的向量。
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向量的差定义为 u-v = u + (-v)
Image 4. 向量差的示例。 （图片来源：作者）
- 向量的长度通常称为范数。
Image 5. 向量的长度，范数。 （图片来源：作者）
- 两点之间的距离定义如下：
Image 6. 两点之间的距离。 （图片来源：作者）
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如果 n 是正整数，存在一系列 n 个实数 v₁, v₂, …, vₙ，则我们写作：v = (v₁, v₂, …, vₙ)
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所有具有 n 个分量的向量的集合称为欧几里得 n 空间，记作 Rⁿ。
Rⁿ 中向量的属性
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u + v = v + u
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u + (v + w) = (u + v) + w
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k(u + v) = ku + kv
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(k + m)u = ku + mu
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u + 0 = 0 + u = u
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u + (-u) = 0
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1u = u
其中 u, v, w 是向量，k, m 是常数
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如果 u 和 v 是 Rⁿ 中的向量，则欧几里得内积定义为
u . v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ
由此得到：
图片 7. 柯西-施瓦茨不等式的证明。（作者提供的图片）
图片 8. 证明 u.v=1/4||u+v||² -1/4||u-v||²
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属性：
u.v = v.u
(u + v).w = u.w + v.w
(ku).v = k(u.v)
v.v ≥ 0，v.v = 0 当且仅当 v = 0
其中 u, v, w 是向量，k 是常数
- Rⁿ 中的范数定义为：
图片 9. Rⁿ 中的范数。（作者提供的图片）
- Rⁿ 中两点之间的欧几里得距离定义为：
图片 10. Rⁿ 中两点之间的欧几里得距离。（作者提供的图片）
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属性：
||u|| ≥ 0，||u|| = 0 当且仅当 u = 0
||ku|| = |k| ||u||
||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||
d(u, v) ≥ 0，d(u, v) = 0 当且仅当 u = v
d(u, v) = d(v, u)
d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v)
其中 u, v, w 是向量，k 是常数
如果 u 和 v 是欧几里得 n 空间中的向量，则 u 和 v 之间的角度 (θ) 定义为：
cosθ 的推导可以参考 图片 7。
图片 11. Rⁿ 中两向量之间的角度。（作者提供的图片）
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[1] 向量空间 — 维基百科
[2] 欧几里得空间 — 维基百科
[3] 国防医学院讲座 — 朱伟达，欧几里得向量空间，2008