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towardsdatascience.com/two-way-anova-test-with-python-a112e2396d78
·发表于Towards Data Science ·6 分钟阅读·2023 年 1 月 5 日
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图片由Sergey Pesterev拍摄，Unsplash提供
方差分析测试旨在检验三个或更多组之间均值的统计显著差异。常用的方差分析有两种类型，**单因素方差分析测试**和**双因素方差分析测试**。唯一的区别在于影响因变量的自变量的数量。
双因素方差分析是单因素方差分析的扩展，考察**两个不同的分类自变量或两个独立因素**对**一个连续因变量**的影响。
双因素方差分析不仅旨在测试每个独立因素的主要效应，还测试两个因素是否相互影响以影响因变量，即是否存在两个独立因素之间的相互作用。[2]
方差分析使用 F 检验，这是一种组间比较检验，用于检验统计显著性。它将每个组在不同因素（因素 A、因素 B、因素 A 与因素 B 之间的相互作用）下的均方差与因变量的总体方差进行比较。最后，基于 F 检验统计量做出结论。
在双因素方差分析表中：
变异性的总量来自四个可能的来源，即：
-
因素 A 下的组间变异，称为处理（A）
-
因素 B 下的组间变异，称为处理（B）
-
由于因素 A 和因素 B 之间的相互作用引起的平方和，称为相互作用（AB）
-
组内变异，称为误差（E）
图片 1. SS 和 d.f. 的示意图 作者提供
类似于平方和 (SS)，d.f. (SSTO) = d.f. (SSA) + d.f. (SSB) + d.f. (SSAB) + d.f. (SSE)
SS 除以其 d.f.将得到均方 (MS)。
两因素 ANOVA 测试的假设与单因素 ANOVA 测试相同，即所有的参数检验假设，包括样本数据的随机性和独立性、正态性及方差齐性。如果你想了解更多细节，可以参考上一篇文章。
两因素 ANOVA 有三组假设：
集 1：
H₀: μₐ₁= μₐ₂ = μₐ₃ = … = μₐ𝒸
H₁: 不是所有的μₐᵢ在因素 A 下都是相等的，其中 i = 1, 2, 3, …, c。
显著性水平 = α
图片 2. 用于测试因素 A 主效应的 F 检验统计量。作者提供的图片。
集 2：
H₀: μᵦ₁= μᵦ₂ = μᵦ₃ = … = μᵦᵣ
H₁: 不是所有的μᵦᵢ在因素 B 下都是相等的，其中 i = 1, 2, 3, …, r。
显著性水平 = α
图片 3. 用于测试因素 B 主效应的 F 检验统计量。作者提供的图片。
集 3：
H₀: 一个独立变量的效应不依赖于另一个独立变量的效应，即因素 A 和因素 B 之间没有交互作用
H₁: 因素 A 和因素 B 之间存在交互作用
显著性水平 = α
图片 4. 用于测试两个独立因素之间是否存在交互作用的 F 检验统计量。作者提供的图片。
如果你执行带有交互作用的两因素 ANOVA 测试，你需要测试上述提到的所有 3 组假设。但如果你执行无交互作用的测试，你只需要测试集 1 和集 2 的假设。
最后，带有交互作用的两因素 ANOVA 表格如下所示：
表 1. 带交互作用的两因素 ANOVA 示例表。作者提供的图片。
两因素 ANOVA 表格（无交互作用）如下所示：
表 2. 无交互作用的两因素 ANOVA 示例表。作者提供的图片。
平衡设计是指所有组合组的样本量相等的情况。在不平衡设计中，各组的样本量不相等。在两因素 ANOVA 中，如果组的样本量差异过大，普通的方差分析方法可能不够充分。对于不平衡设计，需要使用回归方法。另一种方法是尽力确保设计的平衡。
一个数据集，students.csv，包含 8239 行学生特征数据。每一行代表一个独特的学生。它包含与学生相关的 16 个特征，我们将只关注 3 个特征：专业、性别和薪资。
基于两个因素，专业和性别，是否存在不同性别和专业毕业生的年均薪资显著差异，以及性别和专业之间是否存在交互作用，显著性水平为 5%？
从给定的数据集中，我们需要筛选出已毕业的学生并进行随机抽样。在这种情况下，它随机抽取了每组 40 名学生，即不同的（专业和性别）组合，以使其成为平衡设计。之后，选择关注的三个变量的数据集，即分类变量major, gender和数值变量salary。
图 5. 数据处理以实现平衡设计。图像来源：作者。
根据假设检验的五步过程：
集合 1：
H₀: μₐ₁= μₐ₂ = μₐ₃ = … = μₐ₆
H₁: 在不同专业下薪资均值不相等
集合 2：
H₀: μᵦ₁= μᵦ₂
H₁: 在不同性别下薪资均值不相等
集合 3：
H₀: 专业和性别之间没有交互作用
H₁: 专业和性别之间存在交互作用
α = 0.05
根据 F 检验统计量：
图 6. 具有交互作用的 ANOVA 表：方差分析的正常方法。图像来源：作者。
我们还可以使用statsmodels包得到相同的结果，它使用回归方法。由于statsmodels使用回归方法，它也适用于不平衡设计，即你无需做大量工作来确保平衡设计。
图 7. 具有交互作用的 ANOVA 表：回归方法。图像来源：作者。
以下显示了专业和性别对薪资的交互作用图：
图 8. 专业和性别对薪资的交互作用图。图像来源：作者
对于集合 1 和集合 2：由于 F 值 > F 临界值或 p 值 < 0.05，零假设被拒绝。∴我们有足够的证据表明，不同研究科目或性别的毕业生的平均薪资不相同，显著性水平为 5%。
对于集合 3：未能拒绝零假设。∴我们没有足够的证据表明研究科目和性别之间存在交互作用，显著性水平为 5%。此外，从交互作用图[4]中可以看出，没有交互作用，主要效应即专业和性别效应都显著。例如，生物学专业的男性毕业生的平均薪资会显著更高。
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[1] “单因素方差分析假设检验 • SOGA • 地球科学系。” [在线]. 可用：www.geo.fu-berlin.de/en/v/soga/Basics-of-statistics/ANOVA/One-way-ANOVA-Hypothesis-Test/index.html
[2] 双向方差分析 — 维基百科
[3] Kiernan, D. (2014). 第六章：双向方差分析。Open SUNY 教科书。
[4] 第七章 方差分析与交互 | STA 265 讲义（统计与数据科学方法）。 (无日期). 取自 2023 年 1 月 2 日，campus.murraystate.edu/academic/faculty/cmecklin/STA265/_book/anova-with-interaction.html#the-interactive-two-way-anova-model