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\newcommand\green[1]{\textcolor{green}{#1}}
\ifLuaTeX
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\fi
\begin{document}
\frame{\titlepage}
\begin{frame}{Introducción}
\protect\hypertarget{introducciuxf3n}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Uno de los problemas centrales del análisis de datos es la
\red{reducción de la dimensionalidad}.
\item
Este concepto consiste en describir con cierta precisión los valores
de las \(p\) variables por un pequeño subconjunto \(r<p\) de ellas con
una pérdida mínima de información.
\item
Éste es el objetivo del \red{análisis de componentes principales}:
dadas \(n\) observaciones de \(p\) variables se analiza,
\red{si es razonable}, representar esta información en un
\red{espacio con menos variables}.
\item
Para alcanzar dicho objetivo, vamos a realizar un
\red{ajuste ortogonal por mínimos cuadrados}.
\end{itemize}
\end{frame}
\hypertarget{anuxe1lisis-de-componentes-principales}{%
\section{Análisis de Componentes
Principales}\label{anuxe1lisis-de-componentes-principales}}
\begin{frame}{Introducción: Matriz (tabla) de datos.}
\protect\hypertarget{introducciuxf3n-matriz-tabla-de-datos.}{}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{c|cccc|cc|}
Ind. & $x_1$ & $x_2$ & $\ldots$ & $x_p$ & $v_1$ & $v_2$\\
\hline
$1$ & $x_{11}$ & $x_{12}$ & $\ldots$ & $x_{1p}$ & $v_{11}$ & $v_{12}$ \\
$2$ & $x_{21}$ & $x_{22}$ & $\ldots$ & $x_{2p}$ & $v_{21}$ & $v_{22}$ \\
$3$ & $x_{31}$ & $x_{32}$ & $\ldots$ & $x_{3p}$ & $v_{31}$ & $v_{32}$ \\
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\
$n$ & $x_{n1}$ & $x_{n2}$ & $\ldots$ & $x_{np}$ & $v_{n1}$ & $v_{n2}$ \\
\hline
$su_1$ &$su_{11}$ &$su_{12}$ & $\ldots$ &$su_{1p}$ &\multicolumn{2}{|c}{}\\
$su_2$ &$su_{21}$ &$su_{22}$ & $\ldots$ &$su_{2p}$ &\multicolumn{2}{|c}{}\\
\cline{1-5}
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}
\begin{frame}{Introducción: Matriz (tabla) de datos.}
\protect\hypertarget{introducciuxf3n-matriz-tabla-de-datos.-1}{}
\begin{itemize}
\item
Donde las variables \(x_1,\ldots, x_n\)
\red{describen una concepto común} de los \(n\) individuos observados.
\item
Las variables \(v_1\), \(v_2\) \red{son de perfil (o explicativas)} y
los individuos \(s_1\), \(s_2\) son individuos
\red{suplementarios o ilustrativos}.
\item
Tanto los individuos como las variables suplementarias ayudan a
\red{interpretar la variabilidad de los datos}.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Objetivos del análisis}
\protect\hypertarget{objetivos-del-anuxe1lisis}{}
\blue{Objetivos del análisis}
\begin{itemize}
\item
\red{Reducción de la dimensionalidad} (factorialidad).
\item
Lo que se busca es un \red{espacio de variables más reducido y fácil
de interpretar}.
\item
El problema es que si reducimos el número de variables es posible que
\red{perdamos parte toda la variabilidad de los datos originales}.
\item
Así la idea básica es
\red{consentir una pérdida de información para lograr una
ganancia en la significación}.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Análisis Factorial}
\protect\hypertarget{anuxe1lisis-factorial}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Algunos autores consideran el \red{ACP como una parte del Análisis
Factorial}.
\item
En las \red{técnicas de Análisi Factorial} se postula que
\red{la variabilidad total} se puede explicar mediante distintos tipos
de factores:
\item
\red{factores comunes} subyacentes (\(F_i\)).
\item
\red{factores específicos} de las variables (\(E_i\)).
\item
\red{Error o fluctuaciones aleatorias} (\(A_i\)).
\end{itemize}
\[X_1=\alpha_{1 1} F_1+ \alpha_{1 2} F_2+\cdots +\alpha_{1 k} F_k+ E_1+ A_1\]
\[X_2=\alpha_{2 1} F_1+ \alpha_{2 2} F_2+\cdots +\alpha_{2 k} F_k+ E_2+ A_2\]
\[\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\]
\[X_p=\alpha_{p 1} F_1+ \alpha_{p 2} F_2+\cdots +\alpha_{p k} F_k+ E_p+ A_p\]
\end{frame}
\begin{frame}{Análisis Factorial}
\protect\hypertarget{anuxe1lisis-factorial-1}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Podríamos decir que en un Análisis Factorial se fija a priori la
cantidad de varianza de cada variable que debe quedar interpretada por
los factores comunes.
\item
Este valor recibe el nombre de comunalidad y se suele representar como
\(h_i^2\).
\end{itemize}
Utilizaremos las siguientes notaciones:
\begin{itemize}
\tightlist
\item
La comunalidad de la variable \(X_i\),\(h_i^2\), es la varianza
explicada por \(F_1,F_2,\ldots F_k.\)
\item
La diferencia \(s_i^2-h_i^2\) es la varianza de la variable \(X_i\)
que explican los factores específicos y aleatorios.
\end{itemize}
\[\color{red}{\mbox{Var. observada = Var. común + Var. específica y aleatorios}}.\]
\end{frame}
\hypertarget{el-problema-de-los-componentes-principales}{%
\section{El problema de los Componentes
Principales}\label{el-problema-de-los-componentes-principales}}
\begin{frame}{El problema de los Componentes Principales}
\protect\hypertarget{el-problema-de-los-componentes-principales-1}{}
\red{Todos los factores son comunes}
\[X_1=\alpha_{1 1} CP_1+ \alpha_{1 2} CP_2+\cdots +\alpha_{1 p} CP_p\]
\[X_2=\alpha_{2 1} CP_1+ \alpha_{2 2} CP_2+\cdots +\alpha_{2 p} CP_p\]
\[\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\]
\[X_p=\alpha_{p 1} CP_1+ \alpha_{p 2} CP_2+\cdots +\alpha_{p p} CP_p\]
Se trata de encontrar unas nuevas variables \(CP_1,\ldots CP_p\), a las
que llamaremos componentes principales, de forma que:
\end{frame}
\begin{frame}{El problema de los Componentes Principales}
\protect\hypertarget{el-problema-de-los-componentes-principales-2}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Se cumplan las condiciones anteriores.
\item
El origen de las variables esté situado en el vector de medias o
centro de gravedad de las observaciones.
\item
Sean incorreladas entre si \(Cor(CP_i,CP_j)=0\) para
\(i\not= j, i,j =1,\ldots,p\).
\item
Se cumple que \(Var(CP_1)\geq Var(CP_2)\geq\cdots\geq Var(CP_p)\) y
hagan máximas estas varianzas.
\item
Se conserva la varianza total (inercia) de la nube de puntos.
\end{itemize}
\end{frame}
\hypertarget{tipos-de-a.c.p.}{%
\section{Tipos de A.C.P.}\label{tipos-de-a.c.p.}}
\begin{frame}{Tipos de A.C.P:}
\protect\hypertarget{tipos-de-a.c.p}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Sobre los datos centrados: a cada variable se le resta su media
\(x_i-\overline{x}_i\);
\red{en estas notas solo consideraremos este caso}.
\item
Sobre los datos tipificados \(\frac{x_{i}-\overline{x}_i}{s_i}\).
\item
En el primer caso las variables centradas tienen media cero y la misma
varianza que las variables originales: se le suele llamar ACP de
covarianzas.
\item
En el segundo caso las variables tipificadas tienen media cero y
varianza 1: se le suele llamar ACP de correlaciones o normado.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Tipos de A.C.P:}
\protect\hypertarget{tipos-de-a.c.p-1}{}
Recordemos que dada una matriz de datos \(\mathbf{X}\) (\(n\times p\) es
decir de \(n\) individuos y \(p\) variables) representábamos por
\(\tilde{\mathbf{X}}\) la matriz de datos centrada. Entonces:
\begin{itemize}
\tightlist
\item
La matriz de covarianzas de \(\mathbf{X}\) viene dada por
\end{itemize}
\[\mathbf{S}=1/n \tilde{\mathbf{X}}^t\tilde{\mathbf{X}}\]
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Si llamamos \(\mathbf{Z}\) a la tabla de los datos tipificados, la
matriz de correlaciones viene dada por
\end{itemize}
\[\mathbf{R}=1/n \mathbf{Z}^t\mathbf{Z}\]
\end{frame}
\begin{frame}{A.C.P propiedades}
\protect\hypertarget{a.c.p-propiedades}{}
\blue{Propiedades}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Los
\red{componentes principales vienen determinadas por los vectores propios ortonormales}
(ordenados de mayor a menor valor propio) de la matriz de covarianzas
(para datos centrados) y de la matriz de correlaciones (para los datos
tipificados).
\item
Así en el ACP de covarianzas cada variable interviene con su propia
varianza mientras que el ACP de correlaciones todas las variables
tienen varianza 1.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{A.C.P: interpretación geométrica}
\protect\hypertarget{a.c.p-interpretaciuxf3n-geomuxe9trica}{}
Supongamos que \(p=2\) y que la \red{nube de puntos} de nuestra tabla de
datos es la de la siguiente figura:
\begin{center}\includegraphics{AnalisisComponentesPrincipales_fusion_files/figure-beamer/inter_geom1-1} \end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{Interpretación geométrica}
\protect\hypertarget{interpretaciuxf3n-geomuxe9trica}{}
La siguiente figura muestra las dos \red{componentes principales}, es
decir, las direcciones de las proyecciones que tienen máxima
variabilidad.
\begin{center}\includegraphics{AnalisisComponentesPrincipales_fusion_files/figure-beamer/inter2-1} \end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{Interpretación geométrica}
\protect\hypertarget{interpretaciuxf3n-geomuxe9trica-1}{}
Si projectamos en la dirección de la \red{primera componente},
obtendremos las proyecciones siguientes (en \blue{azul}):
\begin{center}\includegraphics{AnalisisComponentesPrincipales_fusion_files/figure-beamer/inter3-1} \end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{Interpretación geométrica}
\protect\hypertarget{interpretaciuxf3n-geomuxe9trica-2}{}
Lo que significa que la varianza de los puntos azules es máxima; en el
sentido de que cualquier otra dirección o recta las proyecciones sobre
ésta tendrán´n a lo más igual varianza. \medskip
Los puntos azules representan las coordenadas que tienen los puntos de
nuestra tabla de datos (centrada) tomando como eje de abcisas el
\red{primer componente} \(CP_1\).
\end{frame}
\begin{frame}{Interpretación geométrica}
\protect\hypertarget{interpretaciuxf3n-geomuxe9trica-3}{}
Si projectamos en la dirección del \red{segundo componente}, obtendremos
las proyecciones siguientes (en \green{verde}):
\begin{center}\includegraphics{AnalisisComponentesPrincipales_fusion_files/figure-beamer/inter4.1-1} \end{center}
\end{frame}
\hypertarget{acp-covarianzas}{%
\section{ACP covarianzas:}\label{acp-covarianzas}}
\begin{frame}{ACP covarianzas:}
\protect\hypertarget{acp-covarianzas-1}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Sea \(\mathbf{S}\) la matriz de covarianzas de orden \(p\). Calculamos
sus valores propios
\end{itemize}
\[\lambda_1\geq \lambda_2\geq\ldots\geq\lambda_p\]
y los correspondientes vectores propios ortonormales (perpendiculares y
de norma 1)
\[\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_p\]
\begin{itemize}
\item
Las \red{direcciones de los componentes principales} quedan
determinadas por su respectivo vector propio.
\item
\red{Cálculo de las coordenadas de la nueva matriz de datos respecto
a las nuevas variables $CP$:}
\[\mathbf{CP}= \tilde{\mathbf{X}} \mathbf{u},\] donde \(\mathbf{u}\)
es la matriz de los vectores propios.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Ejemplo}
\protect\hypertarget{ejemplo}{}
Vamos a realizar un ACP sobre el ejemplo de la estatura de un niño
recién nacido.
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
$x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$&Sexo\\
\hline
78&48.2&2.75&29.5& Niña\\
69&45.5&2.15&26.3& Niña\\
77&46.3&4.41&32.2& Niña\\
88&49&5.52&36.5& Niño\\
67&43&3.21&27.2& Niña\\
80&48&4.32&27.7& Niña\\
74&48&2.31&28.3& Niña\\
94&53&4.3&30.3& Niño\\
102&58&3.71&28.7& Niño
\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}
\begin{frame}{Ejemplo}
\protect\hypertarget{ejemplo-1}{}
Donde:
\begin{itemize}
\tightlist
\item
\(x_1:\) edad en días
\item
\(x_2:\) estatura al nacer en cm.
\item
\(x_3:\) peso en Kg. al nacer
\item
\(x_4:\) aumento en tanto por ciento de su peso con respecto de su
peso al nacer.
\item
El sexo es una variable de perfil que podría ayudarnos a explicar
algunos de los resultados del análisis de componentes principales.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]{Código para la carga de datos}
\protect\hypertarget{cuxf3digo-para-la-carga-de-datos}{}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{n }\OtherTok{=} \DecValTok{9}
\NormalTok{p }\OtherTok{=} \DecValTok{4}
\NormalTok{X }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{78}\NormalTok{,}\FloatTok{48.2}\NormalTok{,}\FloatTok{2.75}\NormalTok{,}\FloatTok{29.5}\NormalTok{,}\DecValTok{69}\NormalTok{,}\FloatTok{45.5}\NormalTok{,}\FloatTok{2.15}\NormalTok{,}\FloatTok{26.3}\NormalTok{,}
\DecValTok{77}\NormalTok{,}\FloatTok{46.3}\NormalTok{,}\FloatTok{4.41}\NormalTok{,}\FloatTok{32.2}\NormalTok{, }\DecValTok{88}\NormalTok{,}\DecValTok{49}\NormalTok{,}\FloatTok{5.52}\NormalTok{,}\FloatTok{36.5}\NormalTok{, }\DecValTok{67}\NormalTok{,}\DecValTok{43}\NormalTok{,}\FloatTok{3.21}\NormalTok{,}\FloatTok{27.2}\NormalTok{,}
\DecValTok{80}\NormalTok{,}\DecValTok{48}\NormalTok{,}\FloatTok{4.32}\NormalTok{,}\FloatTok{27.7}\NormalTok{, }\DecValTok{74}\NormalTok{,}\DecValTok{48}\NormalTok{,}\FloatTok{2.31}\NormalTok{,}\FloatTok{28.3}\NormalTok{, }\DecValTok{94}\NormalTok{,}\DecValTok{53}\NormalTok{,}\FloatTok{4.3}\NormalTok{,}\FloatTok{30.3}\NormalTok{,}
\DecValTok{102}\NormalTok{,}\DecValTok{58}\NormalTok{,}\FloatTok{3.71}\NormalTok{,}\FloatTok{28.7}\NormalTok{),}\AttributeTok{nrow=}\NormalTok{n,}\AttributeTok{byrow=}\NormalTok{T)}
\NormalTok{Datos}\OtherTok{=} \FunctionTok{as.data.frame}\NormalTok{(X)}
\FunctionTok{names}\NormalTok{(Datos) }\OtherTok{=} \FunctionTok{paste}\NormalTok{(}\StringTok{"x"}\NormalTok{,}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{p),}\AttributeTok{sep=}\StringTok{""}\NormalTok{)}
\NormalTok{Sexo }\OtherTok{=} \FunctionTok{as.factor}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\StringTok{"Niña"}\NormalTok{,}\StringTok{"Niña"}\NormalTok{,}\StringTok{"Niña"}\NormalTok{,}\StringTok{"Niño"}\NormalTok{,}
\StringTok{"Niña"}\NormalTok{,}\StringTok{"Niña"}\NormalTok{,}\StringTok{"Niña"}\NormalTok{,}\StringTok{"Niño"}\NormalTok{,}\StringTok{"Niño"}\NormalTok{))}
\NormalTok{Datos}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Sexo}\OtherTok{=}\NormalTok{Sexo}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]{Código diagrama matricial}
\protect\hypertarget{cuxf3digo-diagrama-matricial}{}
El siguiente código dibuja un diagrama matricial de las variables.
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{pairs}\NormalTok{(Datos[,}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{4}\NormalTok{],}\AttributeTok{pch=}\DecValTok{21}\NormalTok{,}
\AttributeTok{bg =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\StringTok{"red"}\NormalTok{, }\StringTok{"blue"}\NormalTok{)[}\FunctionTok{unclass}\NormalTok{(Datos}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Sexo)],}
\AttributeTok{main=}\StringTok{"Diagrama matricial de las variables.}
\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{ Azul Niño, Rojo Niña"}\NormalTok{)}
\FunctionTok{legend}\NormalTok{(}\DecValTok{15}\NormalTok{,}\SpecialCharTok{{-}}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\AttributeTok{legend=}\FunctionTok{levels}\NormalTok{(Datos}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Sexo),}\AttributeTok{pch=}\DecValTok{21}\NormalTok{,}
\AttributeTok{pt.bg=}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\StringTok{"red"}\NormalTok{, }\StringTok{"blue"}\NormalTok{),}\AttributeTok{title=}\StringTok{"Sexo"}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
que producen este gráfico\ldots{}
\end{frame}
\begin{frame}{Diagrama matricial}
\protect\hypertarget{diagrama-matricial}{}
\includegraphics{AnalisisComponentesPrincipales_fusion_files/figure-beamer/unnamed-chunk-2-1.pdf}
\end{frame}
\begin{frame}{Cálculos básicos}
\protect\hypertarget{cuxe1lculos-buxe1sicos}{}
En lo que sigue todos los datos se redondean al tercer decimal.
Daremos el código de R que realiza el cálculo, en el código no se
redondea: La matriz centrada de los datos anteriores es:
\[
\tilde{\mathbf{X}}=
\left(
\begin{array}{rrrr}
-3.000 & -0.578 & -0.881 & -0.133 \\
-12.000 & -3.278 & -1.481 & -3.333 \\
-4.000 & -2.478 & 0.779 & 2.567 \\
7.000 & 0.222 & 1.889 & 6.867 \\
-14.000 & -5.778 & -0.421 & -2.433 \\
-1.000 & -0.778 & 0.689 & -1.933 \\
-7.000 & -0.778 & -1.321 & -1.333 \\
13.000 & 4.222 & 0.669 & 0.667 \\
21.000 & 9.222 & 0.079 & -0.933
\end{array}
\right)
\]
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]{Cálculos básicos}
\protect\hypertarget{cuxe1lculos-buxe1sicos-1}{}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{colMeans}\NormalTok{(X)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [1] 81.000000 48.777778 3.631111 29.633333
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{n}\OtherTok{=}\FunctionTok{dim}\NormalTok{(X)[}\DecValTok{1}\NormalTok{]}
\NormalTok{n}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [1] 9
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{Hn}\OtherTok{=}\FunctionTok{diag}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n))}\SpecialCharTok{{-}}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n}\CommentTok{\# matriz centralizadora}
\FunctionTok{dim}\NormalTok{(Hn)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [1] 9 9
\end{verbatim}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]{Cálculos básicos}
\protect\hypertarget{cuxe1lculos-buxe1sicos-2}{}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# filas 1 a 9 y columnas 1 a 4 }
\CommentTok{\# de la matriz centralizadora}
\FunctionTok{round}\NormalTok{(Hn[}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{9}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{4}\NormalTok{],}\DecValTok{4}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 0.8889 -0.1111 -0.1111 -0.1111
## [2,] -0.1111 0.8889 -0.1111 -0.1111
## [3,] -0.1111 -0.1111 0.8889 -0.1111
## [4,] -0.1111 -0.1111 -0.1111 0.8889
## [5,] -0.1111 -0.1111 -0.1111 -0.1111
## [6,] -0.1111 -0.1111 -0.1111 -0.1111
## [7,] -0.1111 -0.1111 -0.1111 -0.1111
## [8,] -0.1111 -0.1111 -0.1111 -0.1111
## [9,] -0.1111 -0.1111 -0.1111 -0.1111
\end{verbatim}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]{Cálculos básicos}
\protect\hypertarget{cuxe1lculos-buxe1sicos-3}{}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{cX}\OtherTok{=}\NormalTok{Hn}\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{X }\CommentTok{\# matriz centrada cálculo matricial}
\FunctionTok{round}\NormalTok{(cX,}\DecValTok{3}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] -3 -0.578 -0.881 -0.133
## [2,] -12 -3.278 -1.481 -3.333
## [3,] -4 -2.478 0.779 2.567
## [4,] 7 0.222 1.889 6.867
## [5,] -14 -5.778 -0.421 -2.433
## [6,] -1 -0.778 0.689 -1.933
## [7,] -7 -0.778 -1.321 -1.333
## [8,] 13 4.222 0.669 0.667
## [9,] 21 9.222 0.079 -0.933
\end{verbatim}
\end{frame}
\begin{frame}{Ejemplo}
\protect\hypertarget{ejemplo-2}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
La matriz de covarianzas de los datos anteriores es:
\end{itemize}
\[
\mathbf{S}=
\begin{pmatrix}
119.333 & 43.133 & 6.148 & 12.511 \\
43.133 & 17.193 & 1.148 & 1.886 \\
6.148 & 1.148 & 1.111 & 2.428 \\
12.511 & 1.886 & 2.428 & 8.624
\end{pmatrix}
\]
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Los valores propios son:
\end{itemize}
\[\lambda_1=136.615,\quad \lambda_2=8.861,\quad \lambda_3 = 0.738,\quad \lambda_4 = 0.047.\]
\end{frame}
\begin{frame}{Ejemplo}
\protect\hypertarget{ejemplo-3}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Los vectores propios ortonormales correspondientes a los valores
propios, son las columnas de la siguiente matriz:
\end{itemize}
\[
\left(
\begin{array}{rrrr}
0.934 & -0.022 & 0.256 & 0.247 \\
0.339 & 0.354 & -0.661 & -0.568 \\
0.047 & -0.248 & 0.566 & -0.785 \\
0.097 & -0.902 & -0.421 & -0.013
\end{array}
\right)
\]
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]{Ejemplo}
\protect\hypertarget{ejemplo-4}{}
\begin{verbatim}
## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 119.333333 43.133333 6.147778 12.511111
## [2,] 43.133333 17.192840 1.147802 1.886296
## [3,] 6.147778 1.147802 1.110610 2.427852
## [4,] 12.511111 1.886296 2.427852 8.624444
\end{verbatim}
\begin{verbatim}
## eigen() decomposition
## $values
## [1] 136.61529623 8.86125966 0.73789460 0.04677667
##
## $vectors
## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 0.93439437 -0.02238785 0.2555755 0.24715806
## [2,] 0.33947477 0.35413519 -0.6610845 -0.56772562
## [3,] 0.04701065 -0.24770838 0.5656945 -0.78512437
## [4,] 0.09723192 -0.90151407 -0.4214714 -0.01342527
\end{verbatim}
\end{frame}
\begin{frame}{Ejemplo}
\protect\hypertarget{ejemplo-5}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Las expresiones de las variables nuevas \(CP_i\) en función de las
antiguas, notemos que se calculan sobre los datos centrados, son:
\end{itemize}
\[
\begin{array}{rl}
CP_1 = & 0.934\cdot \tilde{X}_1 + 0.339\cdot \tilde{X}_2 + 0.047\cdot
\tilde{X}_3\\ & + 0.097 \cdot \tilde{X}_4, \\
CP_2 = & -0.022\cdot \tilde{X}_1 +0.354\cdot \tilde{X}_2 -0.248 \cdot
\tilde{X}_3 \\ & -0.902 \cdot \tilde{X}_4, \\
CP_3 = & 0.256\cdot \tilde{X}_1 -0.661 \cdot \tilde{X}_2 +0.566\cdot \tilde{X}_3
\\ &-0.421\cdot \tilde{X}_4, \\
CP_4 = & 0.247 \cdot \tilde{X}_1 - 0.568\cdot \tilde{X}_2 - 0.785\cdot
\tilde{X}_3 \\ & - 0.013 \cdot \tilde{X}_4.
\end{array}
\]
\end{frame}
\begin{frame}{Ejemplo}
\protect\hypertarget{ejemplo-6}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
La nueva matriz de datos respecto de las nuevas variables será:
\end{itemize}
\[
\mathbf{CP}= \tilde{\mathbf{X}} \mathbf{u} =
\left(
\begin{array}{rrrr}
-3.054 & 0.201 & -0.827 & 0.280 \\
-12.719 & 2.480 & -0.333 & 0.103 \\
-4.293 & -3.295 & -0.025 & -0.228 \\
7.373 & -6.736 & -0.183 & 0.029 \\
-15.299 & 0.565 & 1.029 & 0.183 \\
-1.354 & 1.319 & 1.463 & -0.321 \\
-6.997 & 1.411 & -1.460 & -0.233 \\
13.677 & 0.437 & 0.629 & 0.282 \\
22.666 & 3.618 & -0.292 & -0.095 \\
\end{array}
\right)
\]
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]{Ejemplo}
\protect\hypertarget{ejemplo-7}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Se puede observar que si se multiplican escalarmente dos columnas
cualesquiera, el resultado es nulo. Es decir, las columnas de la nueva
matriz de datos son ortogonales dos a dos.
\end{itemize}
\begin{verbatim}
## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] -3.053710 0.2010126 -0.82701014 0.28011692
## [2,] -12.719190 2.4798083 -0.33296991 0.10258907
## [3,] -4.292542 -3.2947403 -0.02544479 -0.22791715
## [4,] 7.372657 -6.7363084 -0.18344827 0.02874558
## [5,] -15.299325 0.5653125 1.02890237 0.18327243
## [6,] -1.354027 1.3192330 1.46314663 -0.32050161
## [7,] -6.996545 1.4105455 -1.46023526 -0.23340514
## [8,] 13.676731 0.4374966 0.62864176 0.28187987
## [9,] 22.665952 3.6176402 -0.29158239 -0.09477995
\end{verbatim}
\end{frame}
\begin{frame}{Ejemplo}
\protect\hypertarget{ejemplo-8}{}
Como podemos observar, nuestro análisis que interpretado por la variable
de perfil sexo ya que distingue entre niños y niñas con las dos primeras
componentes.
\includegraphics{AnalisisComponentesPrincipales_fusion_files/figure-beamer/plotACP1-1.pdf}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]{Ejemplo}
\protect\hypertarget{ejemplo-9}{}
El siguiente código dibuja todos los componentes
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{pairs}\NormalTok{(solacp}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{scores,}\AttributeTok{pch=}\DecValTok{21}\NormalTok{,}
\AttributeTok{bg =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\StringTok{"red"}\NormalTok{, }\StringTok{"blue"}\NormalTok{)[}\FunctionTok{unclass}\NormalTok{(Datos}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Sexo)],}
\AttributeTok{main=}\StringTok{"Diagrama matricial de }
\StringTok{los componentes principales"}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}
\begin{frame}{Ejemplo}
\protect\hypertarget{ejemplo-10}{}
\includegraphics{AnalisisComponentesPrincipales_fusion_files/figure-beamer/pairsacptodos1-1.pdf}
\end{frame}
\hypertarget{acp-correlaciones.}{%
\section{ACP correlaciones.}\label{acp-correlaciones.}}
\begin{frame}{ACP correlaciones.}
\protect\hypertarget{acp-correlaciones.-1}{}
Sea \(\mathbf{R}\) la matriz de correlaciones de orden \(p\).
Calcularemos sus valores propios
\[\lambda_1\geq \lambda_2\geq\ldots\geq\lambda_p.\]
y los correspondientes vectores propios ortonormales.
\[\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_p.\]
Las direcciones de los componentes principales quedan determinadas por
el vector propio correspondiente.
\end{frame}
\begin{frame}{ACP correlaciones.}
\protect\hypertarget{acp-correlaciones.-2}{}
\blue{Cálculo de las coordenadas de la nueva matriz de datos respecto de las
nuevas variables $CP$:} \[\mathbf{CP}= \mathbf{Z} \mathbf{u},\] donde
\(Z\) es la matriz de datos tipificados y \(\mathbf{u}\) es la matriz de
los vectores propios.
\end{frame}
\begin{frame}{Ejemplo}
\protect\hypertarget{ejemplo-11}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Realicemos un análisis ACP de correlaciones con el ejemplo anterior.
\item
La matriz tipificada de datos es: \[
\mathbf{Z}=
\left(
\begin{array}{rrrr}
-0.275 & -0.139 & -0.836 & -0.045 \\
-1.099 & -0.791 & -1.405 & -1.135 \\
-0.366 & -0.598 & 0.739 & 0.874 \\
0.641 & 0.054 & 1.792 & 2.338 \\
-1.282 & -1.393 & -0.400 & -0.829 \\
-0.092 & -0.188 & 0.654 & -0.658 \\
-0.641 & -0.188 & -1.254 & -0.454 \\
1.190 & 1.018 & 0.635 & 0.227 \\
1.922 & 2.224 & 0.075 & -0.318
\end{array}
\right)
\]
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Ejemplo}
\protect\hypertarget{ejemplo-12}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
La matriz de correlaciones \(\mathbf{R}\) vale, en este caso: \[
\mathbf{R} =
\left(
\begin{array}{rrrr}
1.000 & 0.952 & 0.534 & 0.390 \\
0.952 & 1.000 & 0.263 & 0.155 \\
0.534 & 0.263 & 1.000 & 0.784 \\
0.390 & 0.155 & 0.784 & 1.000
\end{array}
\right)
\]
\item
Los valores propios de dicha matriz son: \[
2.560,\quad 1.229,\quad 0.208,\quad 0.00325.
\]
\item
La matriz de los vectores propios es: \[
\left(
\begin{array}{rrrr}
0.573 & 0.359 & -0.038 & 0.736 \\
0.478 & 0.578 & 0.145 & -0.646 \\
0.499 & -0.459 & -0.707 & -0.201 \\
0.442 & -0.572 & 0.691 & -0.029
\end{array}
\right)
\]
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Ejemplo}
\protect\hypertarget{ejemplo-13}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Las expresiones de las variables nuevas \(CP_i\) en función de las
antiguas \(Z_i\)son:
\end{itemize}
\[
\begin{array}{rl}
CP_1 = & 0.573\cdot Z_1 +0.478\cdot Z_2 +0.499\cdot Z_3\\ & +0.442 \cdot Z_4,
\\
CP_2 = & 0.359\cdot Z_1 + 0.578\cdot Z_2 -0.459 \cdot Z_3 \\ & -0.572 \cdot Z_4,
\\
CP_3 = & -0.038\cdot Z_1 +0.145 \cdot Z_2 -0.707\cdot Z_3 \\ &+0.691\cdot Z_4,
\\
CP_4 = & 0.736 \cdot Z_1 - 0.646\cdot Z_2 - 0.201\cdot Z_3 \\ & - 0.029 \cdot
Z_4.
\end{array}
\]
\end{frame}
\begin{frame}{Ejemplo}
\protect\hypertarget{ejemplo-14}{}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
La nueva matriz de datos respecto de las nuevas variables será:
\end{itemize}
\[
\mathbf{CP} = \mathbf{Z} \mathbf{u} =
\begin{pmatrix}
-0.661 & 0.231 & 0.550 & 0.057 \\
-2.209 & 0.443 & 0.137 & 0.018 \\
0.259 & -1.316 & 0.008 & -0.058 \\
2.319 & -1.899 & 0.332 & 0.008 \\
-1.965 & -0.608 & -0.444 & 0.061 \\
-0.107 & -0.065 & -0.941 & -0.058 \\
-1.282 & 0.497 & 0.570 & -0.085 \\
1.585 & 0.594 & -0.189 & 0.084 \\
2.061 & 2.122 & -0.023 & -0.027
\end{pmatrix}
\]
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Se puede observar que si calculamos el producto escalar de dos
columnas cualesquiera, es resultado es nulo. Es decir, las columnas de
la nueva matriz de datos son ortogonales dos a dos.
\end{itemize}
\end{frame}
\hypertarget{propiedades-acp-covarianzas.}{%
\section{Propiedades ACP
covarianzas.}\label{propiedades-acp-covarianzas.}}
\begin{frame}{Propiedades ACP covarianzas.}
\protect\hypertarget{propiedades-acp-covarianzas.-1}{}
Sea \(\mathbf{X}\) una matriz de datos \(n\times p\) y sea
\[
\mathbf{S}=\begin{pmatrix}
s_1^2& s_{ 1 2}&\ldots &s_{1 p}\\
s_{2 1}& s_{2}^2&\ldots &s_{2 p}\\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
s_{p 1}& s_{ p 2}&\ldots &s_{p}^2
\end{pmatrix}
\] su matriz de covarianzas.
Recordemos que \(s_i^2\) es la varianza de la variable \(\mathbf{x}_i\)