introducción_estadística_multivariante_AD.Rmd

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title: "Introducción a la estadística multidmensional"
author: "Análisi de datos curso 2021-2022"
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# Introducción a la estadística descriptiva multidimensional

## Vectores aleatorios

* \red{Vector aleatorio}. 
Una \red{variable aleatoria} $p$-dimensional, o \red{vector aleatorio de dimensión} $p$, es un vector (fila) compuesto por $p$ variables aleatorias:
$$
\underline{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_p)
$$

* Como en el caso de las variables aleatorias unidimensionales, es importante distinguir entre los vectores aleatorios (los modelos teóricos), y las realizaciones o  las muestras de los mismos, que corresponden a una o varias mediciones concretas de las variables que forman dichos vectores.

## Vectores aleatorios

* Por ejemplo, si llamamos $X_1$ a la variable aleatoria que da la edad de un individuo (en años), $X_2$ a la que da su altura (redondeada a cm) y $X_3$ a la que da su peso (redondeada a Kg. con una cifra decimal), entonces

$$
\underline{X}=(X_1,X_2,X_3)
$$

es un vector aleatorio de dimensión 3. 

* Cada vez que medimos la edad, la altura y el peso de una persona, y organizamos estos datos en este orden como un vector numérico, obtenemos una realización de $\underline{X}$.

## Vectores aleatorios

* Sea ahora $\underline{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_p)$ un vector aleatorio y, para cada $i=1,\ldots,p$, sean $\mu_i$ y $\sigma_i$ la media y la desviación típica, respectivamente, de su componente $X_i$.

* El \red{valor esperado}, o \red{vector de medias},  de  $\underline{X}$ es el vector formado por los valores esperados, o medias, de sus componentes:
$$
\mbox{E}(\underline{X})=(\mbox{E}(X_1),\ldots,\mbox{E}(X_p))=(\mu_1,\ldots,\mu_p)
$$

* También se suele denotar simplemente $\boldsymbol\mu$.


## Vectores aleatorios

*  El \red{vector de varianzas}  de  $\underline{X}$ es el vector formado por las varianzas de sus componentes:
$$
\mbox{Var}(\underline{X})=(\mbox{Var}(X_1),\ldots,\mbox{Var}(X_p))=(\sigma_1^2,\ldots,\sigma_p^2)
$$

* El \red{vector de desviaciones típicas}  de  $\underline{X}$ es el vector formado por las desviaciones típicas de sus componentes:
$$
\sigma(\underline{X})=(\sigma(X_1),\ldots,\sigma(X_p))=(\sigma_1,\ldots,\sigma_p)
$$




## Vectores aleatorios; tipificación

\red{Tipificación}.


* Cuando sumamos una constante $b$ a una variable aleatoria $X$,  decimos que efectuamos un \red{cambio de origen},  puesto que desplazamos todos los valores de $X$ la cantidad $b$. 

* Cuando multiplicamos una variable aleatoria $X$ por  una constante $a\neq 0$, decimos que efectuamos un \red{cambio de escala}, puesto que la agrandamos (si $|a|>1$) o la encogemos (si $0<|a|<1$) en el factor constante $a$. Si además $a<0$, cambiamos el signo de la variable.

## Vectores aleatorios; tipificación


* Sea $X$  una variable aleatoria de media $\mu_X$ y desviación típica $\sigma_Y$. Recordemos que si $a,b\in \mathbb{R}$, entonces $\red{Y}=a\cdot X+b$ es una variable aleatoria cuya media, varianza y desviación típica, son:
  
  * $\red{\mbox{E}(Y)=\mu_y=\mbox{E}(a\cdot X+b)=a\cdot \mu_X+b},$
  * $\red{\sigma_Y^2=\mbox{Var}(Y)=\mbox{Var}(a\cdot X+b)=a^2\cdot \sigma_X^2},$
  * $\red{\sigma_Y=|a|\cdot \sigma_X}.$
      


## Tipificación de variables aleatorias

Llamaremos  la \red{variable tipificada} de $X$ a la variable aleatoria
$$
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
$$
Por ejemplo, cuando construimos una variable aleatoria normal estándar $Z$ a partir de una variable normal $X$, lo que hacemos es \red{tipificar} esta última. 

Las fórmulas anteriores  implican que si $Z$ es una variable tipificada, entonces $\mbox{E}(Z)=0$ y $\sigma(Z)=1$. 


## Tipificación de variables aleatorias

* Si $\underline{X}=(X_1,\ldots,X_p)$ es un vector aleatorio, su \red{vector tipificado} $\underline{Z}$ se obtiene substituyendo cada $X_i$ por su variable tipificada ${Z}_i$.


*  Matricialmente, $\underline{Z}$ se puede obtener a partir de $\underline{X}$ de la manera siguiente. Para cada $i=1,\ldots, p$, sean $\mu_i$  y $\sigma_i$ la media y la desviación típica de $X_i$, respectivamente. Sean

$$
\boldsymbol\mu=(\mu_1, \mu_2,\ldots, \mu_p)
\qquad
A=\begin{pmatrix}
\sigma_{1}^{-1} & 0 & \ldots & 0\\
0 & \sigma_{2}^{-1}  &\ldots &0\\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
0 & 0 & \ldots &\sigma_{p}^{-1}
\end{pmatrix}
$$
el vector de medias de $\underline{X}$ y ....

## Tipificación de variables aleatorias


la matriz diagonal que tiene en la \red{diagonal principal los inversos de las desviaciones típicas} de las componentes de $\underline{X}$.

Entonces,

$$
\underline{Z}=(\underline{X}-\boldsymbol\mu)\cdot A =\big(A\cdot (\underline{X}-\boldsymbol\mu)^t\big)^t.
$$
(Como ejercicio de manejo de matrices, comprobadlo para $p=3$.)
Esta expresión es un caso particular de \red{transformación lineal
multivariante} de $\underline{X}$. Una transformación lineal general emplearía  una  matriz real cualquiera de $p$ columnas con entradas números reales en el lugar de $A$, y un vector fila real cualquiera de dimensión $p$ en el lugar de $\boldsymbol\mu$.


## Covarianzas

\red{Covarianzas}. Dadas dos variables aleatorias $X_1$ y $X_2$ de medias $\mu_1$ y $\mu_2$, respectivamente, se define su \red{covarianza} como 
$$
\mbox{Cov}(X_1,X_2)=\mbox{E}((X_1-\mu_1) ( X_2-\mu_2)).
$$
Es fácil comprobar que la covarianza también se puede calcular mediante la identidad
$$
\mbox{Cov}(X_1,X_2)=\mbox{E}(X_1\cdot X_2) -\mu_1\cdot \mu_2.
$$


## Covarianzas

En efecto

\begin{eqnarray*}
\mbox{Cov}(X_1,X_2) & = & \mbox{E}((X_1-\mu_1)\cdot ( X_2-\mu_2))
\\ &=&
\mbox{E}(X_1\cdot X_2-\mu_1\cdot X_2-\mu_2\cdot X_1+\mu_1\cdot \mu_2)\\ &=& 
\mbox{E}(X_1\cdot X_2)-\mu_1\cdot \mbox{E}(X_2)-\mu_2\cdot \mbox{E}(X_1)+\mu_1\cdot \mu_2\\ &=&
\mbox{E}(X_1\cdot X_2)-\mu_1\cdot \mu_2-\mu_2\cdot \mu_1+\mu_1\cdot \mu_2\\ &=& \mbox{E}(X_1\cdot X_2)-\mu_1\cdot \mu_2
\end{eqnarray*}


## Covarianzas propiedades

* La covarianza de  $X_1$ y $X_2$ puede tomar cualquier valor real, y mide si las dos variables aleatorias se comportan igual, en el sentido siguiente: si valores grandes de una variable corresponden a valores grandes de la otra, su covarianza es positiva
* En el caso opuesto, si valores grandes de una variable  corresponden a valores pequeños de la otra, su covarianza es negativa. 
* Si las dos variables aleatorias son independientes, entonces su covarianza es 0, puesto que en este caso $\mbox{E}(X_1\cdot X_2) =\mbox{E}(X_1)\cdot \mbox{E}(X_2)=\mu_1\mu_2$.

## Covarianzas propiedades

La covarianza es simétrica, $\mbox{Cov}(X_1,X_2)=\mbox{Cov}(X_2,X_1)$.
La covarianza de una variable aleatoria consigo misma es su varianza: 
$$
\mbox{Cov}(X,X)=\mbox{E}((X-\mu)^2)=Var(X).
$$
Para simplificar la notación, se suele utilizar $\sigma$ para indicar las covarianzas. Dadas dos variables aleatorias $X_i$ y $X_j$ que formen parte de un vector aleatorio, escribiremos
$$
\sigma_{i j}=\mbox{Cov}(X_i,X_j)\mbox{ y }
\sigma_{ii}=\mbox{Cov}(X_i,X_i)=\sigma_i^2.
$$


## Covarianzas propiedades

\blue{Definición.} Dado  un vector aleatorio $\underline{X}=(X_1,\ldots,X_p)$
una medida de su dispersión respecto de su valor esperado $\boldsymbol\mu$
es su  \red{matriz de covarianzas}  y se define como



\begin{eqnarray*}
\mbox{Cov}(\underline{X})&=&\mbox{E}((\underline{X}-\boldsymbol\mu)^t\cdot (\underline{X}-\boldsymbol\mu)\\
&=& E\left(\begin{pmatrix} X_1-\mu_1 \\  X_2-\mu_2\\  \vdots \\X_p-\mu_p\end{pmatrix}
\cdot(X_1-\mu_1, X_2-\mu_2,\ldots,X_p-\mu_p)\right)\\ &=&
\begin{pmatrix} \sigma_{1 1} & \sigma_{1 2} & \ldots & \sigma_{1
p}\\
\sigma_{2 1} & \sigma_{2 2} & \ldots & \sigma_{2 p}\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
\sigma_{p 1} & \sigma_{p 2} & \ldots & \sigma_{p p}\\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}



## Covarianzas; propiedades

Es decir, la matriz de covarianzas de $\underline{X}$ tiene como entrada $(i,j)$ la covarianza $\sigma_{ij}$ de $X_i$ y $X_j$. 


Se puede comprobar fácilmente que esta matriz se puede calcular como

$$
\mbox{Cov}(\underline{X})=\mbox{E}((\underline{X}-\mathbf{\mu})^t\cdot (\underline{X}-\mathbf{\mu}))=\mbox{E}(\underline{X}^t\cdot \underline{X})-\boldsymbol\mu^t\cdot \boldsymbol\mu
$$

La matriz de covarianzas de $\underline{X}$ también se suele representar 
por $\Sigma$.

## Covarianzas; Matriz semi-definida positiva

Las matrices de covarianzas satisfacen la propiedad fundamental siguiente.



\red{Definición}

Diremos que  una matriz cuadrada de números reales

$$
M=\begin{pmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} & \ldots & a_{1
n}\\
a_{2 1} & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n}\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}\\
 \end{pmatrix}
 $$    

es semi definida positiva  si ...


## Covarianzas; Matriz semi-definida positiva


para todo 

$$
\scriptsize
\left(\begin{array}{c}
y_1 \\ y_2 \\ \vdots\\  y_p
\end{array}\right)\in\mathbb{R}^n
$$

$$
\scriptsize
\begin{pmatrix} y_{1} & y_{2} & \ldots y_{n} \end{pmatrix}
\cdot 
\begin{pmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} & \ldots & a_{1
n}\\
a_{2 1} & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n}\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}\\
\end{pmatrix}\cdot 
\begin{pmatrix} y_{1} \\
y_{2}\\
\vdots\\
y_{n} 
\end{pmatrix}=
y^t\cdot M\cdot y\geq 0.
$$

Si la desigualdad es estricta la matriz es \red{definida positiva},


## Covarianzas; propiedades

\blue{Teorema}

* Las matrices de covarianzas son simétricas (y por lo tanto diagonalizables) y semidefinidas positivas.
* Las matrices  reales semidefinidas positivas diagonalizan y todos sus valores propios $\lambda\geq 0$.

\textcolor{green}{Demostración}:


Veamos cómo podemos demostrarlo

## Covarianzas; propiedades demostración
Sea 

$$
\Sigma= 
\begin{pmatrix}
\mbox{Cov}(X_1,X_2) & \mbox{Cov}(X_1,X_2) & \ldots & \mbox{Cov}(X_1,X_p)\\
\mbox{Cov}(X_2,X_2) & \mbox{Cov}(X_2,X_2) & \ldots & \mbox{Cov}(X_2,X_p)\\
\vdots & \vdots  & \ddots  & \vdots \\
\mbox{Cov}(X_p,X_2) & \mbox{Cov}(X_p,X_2) & \ldots & \mbox{Cov}(X_p,X_p)\\
\end{pmatrix}
$$

la matriz de covarianzas del vector aleatorio $p$ dimensional 

$$\underline{X}=\begin{pmatrix} X_1\\ X_2\\ \vdots \\ X_p\end{pmatrix}.$$

## Covarianzas; propiedades demostración

Tenemos que demostrar  que para todo vector 

$$a=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots \\ a_p\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^p$$


Se cumple que 

$$a^t \cdot \Sigma \cdot a \geq 0.$$

Recordemos que la varianza de una suma (que siempre es positiva ) es  igual  una suma ponderada de todas las covarianzas, efectivamente 

## Covarianzas; propiedades demostración


\scriptsize
\begin{eqnarray*}
&&\begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & \ldots & a_p
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\mbox{Cov}(X_1,X_2) & \mbox{Cov}(X_1,X_2) & \ldots & \mbox{Cov}(X_1,X_p)\\
\mbox{Cov}(X_2,X_2) & \mbox{Cov}(X_2,X_2) & \ldots & \mbox{Cov}(X_2,X_p)\\
\vdots & \vdots  & \ddots  & \vdots \\
\mbox{Cov}(X_p,X_2) & \mbox{Cov}(X_p,X_2) & \ldots & \mbox{Cov}(X_p,X_p)\\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
a_1 \\ a_2 \\ \vdots\\  a_p
\end{pmatrix}\\ 
&=&\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^p a_i\cdot a_j \cdot
 \mbox{Cov}(X_i,X_j)=  Var\left(\sum_{i=1}^p a_i\cdot  X_i\right)\geq 0
\end{eqnarray*}

Repasad estas propiedades de los temas de variables varias variables aleatorias.

## Correlaciones

\blue{Definición.} \red{Correlaciones}.
Como las covarianzas son difíciles de comparar, para medir si dos variables aleatorias se comportan igual o no, se usa el llamado \red{coeficiente de correlación lineal de Pearson}, que  es una medida adimensional de
la relación entre dos variables.

Definimos la \red{correlación} de las variables $X_i$ y $X_j$ como

$$
Cor(X_i,X_j)=\frac{\sigma_{i j}}{\sigma_{i} \sigma_{j}}.
$$
A menudo denotaremos $Cor(X_i,X_j)$ por medio de $\rho_{ij}$.



## Correlaciones; propiedades

Las correlaciones  tienen las propiedades siguientes:

* $-1\leq \rho_{i j}\leq 1$.
* $\rho_{i j}= \rho_{j i}$ y $\rho_{ii}=1$.
* Si $\sigma_i=\sigma_j=1$, entonces $\rho_{ij}=\sigma_{ij}$.

* Salvo en el signo, $\rho_{i j}$ es invariante por cambios de origen y
escala: es decir, si $a_i,a_j,b_i,b_j\in \mathbb{R}$ y $a_i,a_j\neq 0$,
$$
Cor(a_i\cdot X_i+b_i,a_j\cdot X_j+b_j)=\pm Cor(X_i,X_j)
$$
donde el signo que aparece es el del cociente $a_i/a_j$.



## Correlaciones; propiedades

* Si $\rho_{i j}=\pm 1$, las variables tienen una relación lineal perfecta, es decir, existen $\alpha\neq 0$ y $\beta$ tales que $X_i=\alpha X_j+\beta$. La
pendiente $\alpha$ tiene el mismo signo que la correlación.

* Si $\rho_{i j}=0$, decimos que las variables $X_i$ y $X_j$ son \red{incorreladas}.
Notemos que la correlación es 0 si, y sólo si, la covarianza es 0. Por lo tanto, dos variables aleatorias independientes son incorreladas. El recíproco en general es falso.
 

## Ejemplo correlación no implica independencia.

Un ejemplo muy simple es 

```{r}
x=c(-1,0,1)
x
y=3*x^2+1
y
```
Claramente \red{tienen una dependencia parabólica} pues así hemos definido $y$ en función de $x$

Sin embargo su \red{correlación y su covarianza son cero}

```{r}
cov(x,y)
cor(x,y)
```

## Matriz de correlaciones

La \red{matriz de correlaciones de un vector aleatorio} $\underline{X}=(X_1,\ldots,X_p)$ como

$$
Cor(\underline{X})
=\begin{pmatrix} 1 & \rho_{1 2} & \ldots & \rho_{1 p}\\
\rho_{2 1} & 1 & \ldots & \rho_{2 p}\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
\rho_{p 1} & \rho_{p 2} & \ldots & 1\\
 \end{pmatrix}
 $$

## Matriz de correlaciones; propiedades



\blue{Teorema}

La matriz de correlaciones de un vector aleatorio $\underline{X}$ es igual a la matriz de covarianzas de su vector tipificado $\underline{Z}$:
$$
Cor(\underline{X})=\mbox{Cov}(\underline{Z}).
$$
Es decir, el \red{vector de medias} de $\mathbf{X}$ es la media aritmética de sus filas.
 

En efecto, si  $Z_i=\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}$ y $Z_j=\frac{X_j-\mu_j}{\sigma_j}$ son las variables tipificadas de $X_i$ y $X_j$, respectivamente, entonces



## Matriz de correlaciones; propiedades


\begin{eqnarray*}
\mbox{Cov}(Z_i,Z_j)&=& Cor(Z_i,Z_j)=Cor\left(\frac{1}{\sigma_i}X_i-\frac{\mu_i}{\sigma_i},\frac{1}{\sigma_j}X_j-\frac{\mu_j}{\sigma_j},\right)
\\ &=& Cor(X_i,X_j)
\end{eqnarray*}

donde la primera igualdad es consecuencia de la tercera propiedad de las correlaciones en la lista anterior, y la última igualdad es consecuencia de la cuarta propiedad en la misma.


## Descripción de datos multivariantes

* Los vectores aleatorios son el  modelo teórico que usaremos cuando manejemos simultáneamente diversas variables aleatorias  sobre los mismos individuos. 
Las realizaciones de un vector aleatorio serán las observaciones de las variables que lo componen sobre individuos concretos de la población.

* \red{Datos multivariantes}.
 Supongamos  que hemos obtenido los valores de $p$ variables aleatorias $X_1,\ldots,X_p$ sobre un conjunto de $n$ individuos u objetos. Es decir, tenemos $n$ observaciones de $p$ variables. En cada observación, los valores que toman estas variables forman un vector que será una realización del vector aleatorio $\underline{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_p)$.
 
 
 
## Estadística descriptiva multivariante


Las observaciones de vectores aleatorios multidimensionales dan lugar a muestras multivariantes que  se representan de manera matricial. 

En general cada \red{fila} es una realización de $\underline{X}$:

$$
\mathbf{X}=\begin{pmatrix}
x_{1 1} & x_{1 2} &\ldots & x_{1 p}\\
x_{2 1} & x_{2 2} &\ldots & x_{2 p}\\
\vdots & \vdots   &       &\vdots\\ 
x_{n 1} & x_{n 2} &\ldots & x_{n p}
\end{pmatrix}
$$


## Descripción de datos multivariantes; notación


Utilizaremos las  notaciones siguientes:
 
* Denotaremos por 
$$
\mathbf{x}_{i\bullet}=(x_{i 1},x_{i 2},\ldots, x_{i p})
$$
la $i$-ésima realización de $\underline{X}$, es decir,
el vector fila compuesto por las observaciones de las $p$ variables sobre el $i$-ésimo individuo.

* Denotaremos por
 $$
 \mathbf{x}_{\bullet j}=\begin{pmatrix}x_{1 j} \\ x_{2 j}\\ \vdots \\ x_{n j}
\end{pmatrix}
$$ el vector columna compuesto  por las $n$ observaciones de la  $j$-ésima variable.
 

## Descripción de datos multivariantes; notación



De esta manera, podremos expresar la matriz de datos $\mathbf{X}$ por filas o por columnas:
$$
\mathbf{X}=\begin{pmatrix}\mathbf{x}_{1\bullet}\\ \mathbf{x}_{2\bullet}\\\vdots \\
\mathbf{x}_{n\bullet}\end{pmatrix},\qquad
\mathbf{X}=(\mathbf{x}_{\bullet1},\mathbf{x}_{\bullet 2},\ldots,\mathbf{x}_{\bullet p})
$$

## Descripción de datos multivariantes; fórmulas matriciales


Con estas notaciones  podemos generalizar al caso multidimensional algunas definiciones ya conocidas
de los estadísticos más usuales de una muestra.
Dada una matriz $\mathbf{X}$ de $n$ observaciones de un vector aleatorio $\underline{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_p)$:
 
* El \red{vector de medias} de $\mathbf{X}$ es el vector fila cuyas entradas son las medias aritméticas de las realizaciones de cada variable $X_i$:
$$
\overline{\mathbf{X}}=(\overline{{\mathbf{x}}}_{\bullet1}, \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 2},\ldots,\overline{\mathbf{x}}_{\bullet p})
$$
donde,  para cada $j=1,\ldots,p$,

## Descripción de datos multivariantes; fórmulas matriciales

$$
\overline{\mathbf{x}}_{\bullet j}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_{i j}.
$$
Observemos que
$$
\begin{array}{rl}
\overline{\mathbf{X}} & \displaystyle = (\overline{{\mathbf{x}}}_{\bullet1}, \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 2},\ldots,\overline{\mathbf{x}}_{\bullet p})
= \frac{1}{n}
\Big(\sum_{i=1}^n x_{i 1}, \sum_{i=1}^n x_{i 2},\ldots,
\sum_{i=1}^n x_{i p}\Big)\\[1ex] & \displaystyle =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n
(x_{i 1}, x_{i 2},\ldots,x_{i p} )
=
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {\mathbf{x}_{i\bullet}}
\end{array}
$$

## Descripción de datos multivariantes; fórmulas matriciales




* El \red{vector de varianzas}  de $\mathbf{X}$ es el vector fila cuyas entradas son las varianzas de las realizaciones de cada variable $X_i$:

$$
s^2_{\mathbf{X}}=(s^2_{1},s^2_2,\ldots,s^2_p)
$$

donde 

$$
s_j^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {(x_{ij}-\overline{\mathbf{x}}_{\bullet j})^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_{i j}^2}-\overline{\mathbf{x}}_{\bullet j}^2.
$$

* El \red{vector de varianzas muestrales}  de $\mathbf{X}$ es el vector fila cuyas entradas son las varianzas muestrales de las realizaciones de cada variable $X_i$:

$$
\widetilde{s}^2_{\mathbf{X}}=(\widetilde{s}^2_{1},
\widetilde{s}^2_2,\ldots,\widetilde{s}^2_p)
$$
donde 

$$
\widetilde{s}_j^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(x_{ij}-\overline{\mathbf{x}}_{\bullet j})^2}=\frac{n}{n-1}s_j^2
$$



## Descripción de datos multivariantes; fórmulas matriciales

* Los vectores de desviaciones típicas $s_{\mathbf{X}}$ y desviaciones típicas muestrales $\widetilde{s}_{\mathbf{X}}$ se definen como las raíces cuadradas positivas de los vectores de varianzas y varianzas muestrales, respectivamente.
 
* Como en el caso unidimensional, $\overline{\mathbf{X}}$ es un estimador de $\mbox{E}(\underline{X})=\boldsymbol\mu$. 
Tanto ${s}^2_{\mathbf{X}}$ como $\widetilde{s}^2_{\mathbf{X}}$ son estimadores del vector de varianzas de $\underline{X}$: el primero es el máximo verosímil y el segundo  es insesgado.Por lo tanto ambos son estimadores 
del vector de desviaciones típicas de $\underline{X}$.

* \red{Observación}. \red{Supondremos en lo que sigue que nuestras matrices de datos no tienen ninguna columna constante, es decir, ninguna columna de varianza 0.}

## Centralización de una matriz de datos

\red{Centralización de una matriz de datos.}
Para centrar una matriz de datos $\mathbf{X}$, se resta a cada columna su media aritmética:

$$
\widetilde{\mathbf{X}}=
\begin{pmatrix}
x_{1 1}- \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 1}& x_{1 2}- \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 2} &\ldots & x_{1 p}-
\overline{\mathbf{x}}_{\bullet p}\\
x_{2 1} - \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 1}& x_{2 2}- \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 2} &\ldots & x_{2 p}-
\overline{\mathbf{x}}_{\bullet p}\\
\vdots & \vdots   & \ddots      &\vdots\\ 
x_{n 1} - \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 1}& x_{n 2}- \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 2} &\ldots & x_{n p}-
\overline{\mathbf{x}}_{\bullet p}
\end{pmatrix}
$$
Llamamos al resultado  la \red{matriz de datos centrados} de $\mathbf{X}$.

## Centralización de una matriz de datos; cálculo matricial

Vamos a ver que esta igualdad admite un cálculo matricial  sencillo. 
Sea $\mathbf{1}_n$ un vector columna formado por $n$ $1$'s, de manera que $\mathbf{1}^t_n$ es un vector fila de $n$ columnas, cada una de las cuales es un 1.
Observemos que

$$
\mathbf{1}_n\cdot\overline{\mathbf{X}}
=\begin{pmatrix}1 \\ 1\\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}\cdot
(\overline{\mathbf{x}}_{\bullet 1},\overline{\mathbf{x}}_{\bullet 2},\ldots,\overline{\mathbf{x}}_{\bullet p})=
\begin{pmatrix}
\overline{\mathbf{x}}_{\bullet 1} & \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 2} & \ldots& \overline{\mathbf{x}}_{\bullet p}\\
\overline{\mathbf{x}}_{\bullet 1} & \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 2} & \ldots& \overline{\mathbf{x}}_{\bullet p}\\
\vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
\overline{\mathbf{x}}_{\bullet 1} & \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 2} & \ldots& \overline{\mathbf{x}}_{\bullet p}\\
\end{pmatrix}
$$

y por lo tanto

## Centralización de una matriz de datos; cálculo matricial

$$
\widetilde{\mathbf{X}}=
\begin{pmatrix}
x_{1 1} & x_{1 2} &\ldots & x_{1 p}\\
x_{2 1} & x_{2 2} &\ldots & x_{2 p}\\
\vdots & \vdots   &       &\vdots\\ 
x_{n 1} & x_{n 2} &\ldots & x_{n p}
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\overline{\mathbf{x}}_{\bullet 1} & \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 2} & \ldots& \overline{\mathbf{x}}_{\bullet p}\\
\overline{\mathbf{x}}_{\bullet 1} & \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 2} & \ldots& \overline{\mathbf{x}}_{\bullet p}\\
\vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
\overline{\mathbf{x}}_{\bullet 1} & \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 2} & \ldots& \overline{\mathbf{x}}_{\bullet p}\\
\end{pmatrix}
=\mathbf{X}-\mathbf{1}_n\cdot\overline{\mathbf{X}}
$$



## Centralización de una matriz de datos; cálculo matricial

Vamos a calcular ahora $\overline{\mathbf{X}}$ de manera matricial a partir de $\mathbf{X}$.


Observemos que cuando multiplicamos $\mathbf{1}_n^t$ por una matriz de $n$ filas, obtenemos un vector
fila formado por las sumas de sus columnas:


## Centralización de una matriz de datos; cálculo matricial

\scriptsize
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{n}\cdot\mathbf{1}_n^t \cdot \mathbf{X}
&=&
\frac{1}{n}\cdot (1,1,\ldots,1)  \cdot 
\begin{pmatrix}
x_{1 1} & x_{1 2} &\ldots &x_{1 p}\\
x_{2 1} & x_{2 2} &\ldots & x_{2 p}\\
\vdots & \vdots   &       &\vdots\\ 
x_{n 1} &x_{n 2} &\ldots & x_{n p}
\end{pmatrix}
\\
&=&
\frac{1}{n}
\big(x_{1 1} +\cdots + x_{n1},\ldots,x_{1 p} +\cdots + x_{np}\big)
\\
&=& (\overline{\mathbf{x}}_{\bullet 1},\ldots,\overline{\mathbf{x}}_{\bullet p})
\end{eqnarray*}
\normalsize






## Centralización de una matriz de datos; cálculo matricial

Combinando las igualdades

$$
\widetilde{\mathbf{X}}=\mathbf{X}-\mathbf{1}_n\cdot\overline{\mathbf{X}}\quad\mbox{ y }\quad
\overline{\mathbf{X}}=\frac{1}{n} \mathbf{1}_n^t\cdot \mathbf{X}
$$
concluimos que
$$
\widetilde{\mathbf{X}}=\mathbf{X}-\frac{1}{n}\mathbf{1}_n \cdot \mathbf{1}_n^t\cdot \mathbf{X}
=(I_n-\frac{1}{n}\mathbf{1}_n \cdot \mathbf{1}_n^t)\cdot \mathbf{X}
$$
Definimos la matriz centralizadora como

$$
\mathbf{H}_n=I_n-\frac{1}{n} \mathbf{1}_n\cdot \mathbf{1}_n^t.
$$

## Centralización de una matriz de datos; cálculo matricial  propiedades

\blue{Teorema}
$\widetilde{\mathbf{X}}=\mathbf{H}_n\cdot \mathbf{X}$.
 

A esta matriz $\mathbf{H}_n$ se la llama la \red{matriz centralizadora}  de orden $n$. Notemos que

$$
\mathbf{H}_n = \begin{pmatrix}1 & 0 & \ldots & 0\\
0 & 1 & \ldots & 0\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
0 & 0 & \ldots & 1\\
\end{pmatrix}-\frac{1}{n} \begin{pmatrix}1 \\ 1\\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}\cdot
(1,1,\ldots,1)=...
$$

## Centralización de una matriz de datos; cálculo matricial  propiedades


\begin{eqnarray*}
&=&
\begin{pmatrix}1 & 0 & \ldots & 0\\
0 & 1 & \ldots & 0\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
0 & 0 & \ldots & 1\\
\end{pmatrix}-\frac{1}{n} 
\begin{pmatrix}1 & 1& \ldots & 1\\
1 & 1 & \ldots & 1\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
1 & 1 & \ldots & 1\\
\end{pmatrix}
\\
&=& \begin{pmatrix}1-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n}& \ldots & -\frac{1}{n}\\
-\frac{1}{n} & 1-\frac{1}{n}& \ldots & -\frac{1}{n}\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} & \ldots & 1-\frac{1}{n}\\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}


## Centralización de una matriz de datos; cálculo matricial propiedades

Se comprueban fácilmente las dos propiedades siguientes:

* $\mathbf{H}_n\cdot \mathbf{H}_n = \mathbf{H}_n$; es decir,  $\mathbf{H}_n$ es una matriz \red{idempotente}.
* $\mathbf{H}_n$ es simétrica, tiene rango $n-1$ y $\mathbf{H}_n \cdot \mathbf{1}_n^t=0$.
 


## Ejemplo centrado matricial


 \blue{Ejemplo}
Consideremos la matriz de datos
$$
\mathbf{X}=\begin{pmatrix}
1&-1&3\\
1&0&3\\
2&3&0\\
3&0&1
\end{pmatrix}
$$
que contiene $n=4$ observaciones de   $p=3$ variables. Para centralizarla a mano, basta restar a cada columna su media aritmética. Como

\begin{eqnarray*}
\mathbf{x}_{\bullet 1}&=&\frac{1+1+2+3}{4}=1.75,\
\mathbf{x}_{\bullet 2}=\frac{-1+0+3+0}{4}=0.5,\\
\mathbf{x}_{\bullet 3}&=&\frac{3+3+0+1}{4}=1.75
\end{eqnarray*}


## Ejemplo centrado matricial


su matriz centralizada es
$$
\widetilde{\mathbf{X}}=\begin{pmatrix}
1-1.75&-1-0.5&3-1.75\\
1-1.75&0-0.5&3-1.75\\
2-1.75&3-0.5&0-1.75\\
3-1.75&0-0.5&1-1.75
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
-0.75&-1.5&1.25\\
-0.75&-0.5&1.25\\
0.25&2.5&-1.75\\
1.25 &-0.5&-0.75
\end{pmatrix}
$$

## Ejemplo centrado matricial

Para calcularla matricialmente, observemos que
\begin{eqnarray*}
\mathbf{H}_4 &=& \left(
\begin{array}{rrrr}
 3/4 & -1/4 & -1/4 &   -1/4 \\
 -1/4 & 3/4 & -1/4 &   -1/4 \\
 -1/4 & -1/4 & 3/4 &   -1/4 \\
 -1/4 & -1/4 & -1/4 &   3/4
\end{array}
\right) \\ &=&
\left(\begin{array}{rrrr}
0.75 & -0.25 & -0.25 &   -0.25 \\
 -0.25 & 0.75 & -0.25 &   -0.25 \\
 -0.25 & -0.25 & 0.75 &   -0.25 \\
 -0.25 & -0.25 & -0.25 &   0.75
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}

## Ejemplo centrado matricial

y por lo tanto
\begin{eqnarray*}
\widetilde{\mathbf{X}}&=&
\mathbf{H}_4\cdot \mathbf{X}
\\ &=&
\left(\begin{array}{rrrr}
0.75 & -0.25 & -0.25 &   -0.25 \\
 -0.25 & 0.75 & -0.25 &   -0.25 \\
 -0.25 & -0.25 & 0.75 &   -0.25 \\
 -0.25 & -0.25 & -0.25 &   0.75
\end{array}\right)\cdot
\begin{pmatrix}
1&-1&3\\
1&0&3\\
2&3&0\\
3&0&1
\end{pmatrix}
\\ &=&
\begin{pmatrix}
-0.75&-1.5&1.25\\
-0.75&-0.5&1.25\\
0.25&2.5&-1.75\\
1.25 &-0.5&-0.75
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}


## Ejemplo centrado matricial

Si queremos realizar estos cálculos con R , entramos la matriz de datos, definimos la matriz centralizadora y operamos:


```{r centra4,size="scriptsize"}
X=cbind(c(1,1,2,3),c(-1,0,3,0),c(3,3,0,1))
# vector de medias
colMeans(X)
#Construimos la matriz centralizadora H4
H4=diag(4)-1/4
H4
X.centr=H4%*%X
X.centr
```


## Observación

\blue{Observación}. Si hubiéramos partido de la matriz de datos $\textbf{X}$ dada como un `data frame`, lo que será muy común en la práctica, lo más sencillo es primero convertir el `data frame` en una matriz aplicándole `as.matrix` (y cambiándole el nombre, para no reescribir el `data frame`) y luego operar con esta matriz.




## Tipificación de datos

* Dado un vector de datos, llamaremos \red{vector de datos tipificados}  al vector que se obtiene restando
 a cada valor la media aritmética del vector y dividiendo  el resultado por su desviación típica. 
 De esta manera, se obtiene un vector de datos de  media aritmética $0$
y varianza~$1$.

* Dada una matriz de datos $\mathbf{X}$, llamaremos su \red{matriz tipificada}  a la matriz $\mathbf{Z}$ que se obtiene tipificando cada columna. Es decir, la tipificación de una matriz de datos $\mathbf{X}$ consiste en primero calcular  su matriz centrada $\widetilde{\mathbf{X}}$ y a continuación dividir cada columna de esta última por la desviación típica $s_i$ de la correspondiente columna de $\mathbf{X}$, es decir ...

## Tipificación de datos

$$
\mathbf{Z}=\begin{pmatrix}
\frac{x_{1 1}- \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 1}}{s_1}& \frac{x_{1 2}- \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 2}}{s_2} &\ldots & \frac{x_{1 p}- \overline{\mathbf{x}}_{\bullet p}}{s_p}\\[2ex]
\frac{x_{2 1} - \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 1}}{s_1}& \frac{x_{2 2}- \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 2}}{s_2} &\ldots & \frac{x_{2 p}- \overline{\mathbf{x}}_{\bullet p}}{s_p}\\[2ex]
\vdots & \vdots   & \ddots      &\vdots\\ 
\frac{x_{n 1} - \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 1}}{s_1}& \frac{x_{n 2}- \overline{\mathbf{x}}_{\bullet 2}}{s_2} &\ldots & \frac{x_{n p}-
\overline{\mathbf{x}}_{\bullet p}}{s_p}
\end{pmatrix}
$$

## Tipificación de datos


Si llamamos $\mathbf{D}$ a la matriz diagonal $p\times p$ que tiene en su diagonal principal 
las desviaciones típicas de las columnas correspondientes de $\mathbf{X}$, entonces 
$\mathbf{D}^{-1}$ es la matriz diagonal $p\times p$ que tiene en su diagonal principal 
los inversos de estas desviaciones típicas.
$$
\mathbf{D}=
\begin{pmatrix} 
{s_1} & 0 & \ldots & 0\\
 0 & {s_2}  & \ldots & 0\\
 \vdots & \vdots & & \vdots\\
 0 & 0 & \ldots  & {s_p}
\end{pmatrix}
\qquad
\mathbf{D}^{-1}=
\begin{pmatrix} 
\frac{1}{s_1} & 0 & \ldots & 0\\
 0 & \frac{1}{s_2}  & \ldots & 0\\
 \vdots & \vdots & & \vdots\\
 0 & 0 & \ldots  & \frac{1}{s_p}
\end{pmatrix}
$$
es inmediato comprobar que la matriz tipificada $\mathbf{Z}$  de $\mathbf{X}$ se obtiene como
$$
\mathbf{Z}=\widetilde{\mathbf{X}}\cdot
\mathbf{D}^{-1}=\mathbf{H}_n\cdot \mathbf{X}\cdot \mathbf{D}^{-1}
$$



## Ejemplo tipificación de datos

 \blue{Ejemplo}
Vamos a tipificar la matriz de datos 
$$
\mathbf{X}=\begin{pmatrix}
1&-1&3\\
1&0&3\\
2&3&0\\
3&0&1
\end{pmatrix}
.
$$

Calculamos las varianzas de las columnas: son
$$
s^2_1=\frac{11}{16},\quad s^2_2=\frac{9}{4},\quad s^2_3=\frac{27}{16}
$$
Entonces
$$
\mathbf{D}^{-1}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{{11}/{16}}} & 0                  & 0 \\
0                             & \frac{1}{\sqrt{{9}/{4}}}& 0\\
0                             & 0 &\frac{1}{\sqrt{{27}/{16}}}  
\end{pmatrix}
$$
y por lo tanto



## Ejemplo tipificación de datos

\begin{eqnarray*}
\mathbf{Z} & = &  \mathbf{H}_4\cdot \mathbf{X} \cdot  \mathbf{D}^{-1}
\\
& = & 
 \left(
\begin{array}{rrrr}
 3/4 & -1/4 & -1/4 &
   -1/4 \\
 -1/4 & 3/4 & -1/4 &
   -1/4 \\
 -1/4 & -1/4 & 3/4 &
   -1/4 \\
 -1/4 & -1/4 & -1/4 &
   3/4
\end{array}
\right) \cdot 
\left(
\begin{array}{rrr}
1&-1&3\\
1&0&3\\
2&3&0\\
3&0&1
\end{array}
\right)
\\ 
&\cdot &
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{{11}/{16}}} & 0                  & 0 \\
0                             & \frac{1}{\sqrt{{9}/{4}}}& 0\\
0                             & 0 &\frac{1}{\sqrt{{27}/{16}}}  
\end{pmatrix}
=
\left(
\begin{array}{rrr}
 -{3}/{\sqrt{11}} & -1 & {5}/({3 \sqrt{3}}) \\
 -{3}/{\sqrt{11}} & -{1}/{3} & {5}/({3 \sqrt{3}}) \\
 {1}/{\sqrt{11}} & {5}/{3} & -{7}/({3 \sqrt{3}}) \\
 {5}/{\sqrt{11}} & -{1}/{3} & -{3}/({3 \sqrt{3}})
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

## Ejemplo tipificación de datos

Para tipificar con R , hay que recordar que para aplicar funciones a las columnas de una matriz, hay que usar la construcción `apply(matriz,MARGIN=2,fun)`.

```{r tipi1,size="scriptsize"}
X=cbind(c(1,1,2,3),c(-1,0,3,0),c(3,3,0,1))
#Vector de medias
m=apply(X,MARGIN=2,mean)  #o m=colMeans(X)
m
#Vector de desviaciones típicas
desv.tip.muest=apply(X,MARGIN=2,sd)
n=dim(X)[1]
desv.tip=desv.tip.muest*sqrt((n-1)/n)
desv.tip
```

y ahora ...

## Ejemplo tipificación de datos

```{r tipi2,size="scriptsize"}
#Matriz diagonal de inversas de desviaciones típicas
Dm=diag(1/desv.tip)
Dm
#Construimos la matriz centralizadora H4
H4=diag(4)-1/4
H4
#Calculamos la matriz de datos tipificados de forma matricial
Z=H4%*%X%*%Dm
Z
```



## Covarianzas muestrales


Dada una matriz de datos $\mathbf{X}=(\mathbf{x}_{\bullet 1},\mathbf{x}_{\bullet 2},\ldots,\mathbf{x}_{\bullet p})$, se 
define la \red{covarianza} de las columnas $\mathbf{x}_{\bullet i}$ y
$\mathbf{x}_{\bullet j}$ como
$$
s_{i j}=\frac{1}{n} \sum_{k =1}^n\big((x_{k i}-\overline{\mathbf{x}}_{\bullet i})(x_{kj}-\overline{\mathbf{x}}_{\bullet j})\big)= 
\frac{1}{n} \Big(\sum_{k =1}^n x_{k i}\cdot  x_{k j}\Big) - \overline{\mathbf{x}}_{\bullet i} \overline{\mathbf{x}}_{\bullet j}
$$
y se define la \red{covarianza muestral} de $\mathbf{x}_i$ y
$\mathbf{x}_j$ como
$$
\widetilde{s}_{ij} =
\frac{1}{n-1} \sum_{k =1}^n\big((x_{k i}-\overline{\mathbf{x}}_{\bullet i})(x_{kj}-\overline{\mathbf{x}}_{\bullet j})\big)= 
\frac{n}{n-1} s_{ij}
$$


## Matriz de covarianzas muestrales

El estadístico $s_{i j}$ es el estimador máximo verosímil de la covarianza $\sigma_{i j}$ de las variables aleatorias $X_i$ y $X_j$, mientras que $\tilde{s}_{ij}$ es un estimador insesgado de dicha covarianza.

Es inmediato comprobar que 
$$ 
s_{i j}= s_{j i},\ \widetilde{s}_{i j}= \widetilde{s}_{j i},\
s_{i i}=s_{i}^2,\ \widetilde{s}_{ii}=\widetilde{s}_i^2
$$


## Ejemplo  cálculo de la matriz de covarianzas muestrales


La covarianza de las dos primeras columnas de la matriz de datos
$$
\mathbf{X}=\begin{pmatrix}
1&-1&3\\
1&0&3\\
2&3&0\\
3&0&1
\end{pmatrix}
$$


se obtendría de la manera siguiente
$$
s_{12}=\frac{1}{4}(1\cdot (-1)+1\cdot 0+2\cdot 3+3\cdot 0)-1.75\cdot 0.5=1.25-0.875=0.375
$$
Su covarianza muestral se obtendría multiplicando por $4/3$ este valor
$$
\widetilde{s}_{12} = \frac{4}{3} s_{12}=0.5.
$$


## Ejemplo  cálculo de la matriz de covarianzas muestrales

La covarianza muestral de dos vectores  de datos de la misma longitud se puede calcular con R  mediante la función `cov`:

```{r}
x1=c(1,1,2,3)
x2=c(-1,0,3,0)
cov(x1,x2)   #covarianza muestral
(3/4)*cov(x1,x2)  #covarianza a secas
sum(x1*x2)/4-mean(x1)*mean(x2)
```

## Ejemplo  cálculo de la matriz de covarianzas muestrales

Recalquemos que, como en el caso de la varianza con `var`, R  calcula con `cov` la versión muestral de la covarianza. Para pasar de la covarianza muestral a la covarianza, hay que multiplicar por $(n-1)/n$.

Dada una matriz de datos $\mathbf{X}$,  llamaremos su \red{matriz de covarianzas}  a  la matriz

$$
\mathbf{S}=(s_{i j})_{i,j=1,\ldots,p}=
\begin{pmatrix}  
 s_{1 1} & s_{1 2} & \ldots & s_{1 p}\\
 s_{2 1} & s_{2 2} & \ldots & s_{2 p}\\
  \vdots & \vdots  &        & \vdots\\
 s_{p 1} & s_{p 2} & \ldots & s_{p p}
\end{pmatrix}
$$


## Matriz de varinzas covarianzas; propiedades

La matriz de covarianzas de  $\mathbf{X}$  representa la variabilidad conjunta de
los datos de dicha matriz. Es una matriz simétrica y semidefinida positiva y por lo tanto tiene todos sus valores propios  $\geq 0$). Además, se tiene el resultado siguiente, que permite su cálculo matricial.

\blue{Teorema}
Si $\mathbf{S}$ es la matriz de covarianzas de $\mathbf{X}$, entonces

$$
\mathbf{S}=\frac{1}{n} \widetilde{\mathbf{X}}^t\cdot \widetilde{\mathbf{X}}= 
\frac{1}{n} \mathbf{X}^t\cdot \mathbf{H}_n\cdot \mathbf{X}.
$$
 

## Matriz de varianzas covarianzas; ejemplo

\blue{Ejemplo.} Continuemos con  la tabla de datos:

$$
\mathbf{X}=\begin{pmatrix}
1&-1&3\\
1&0&3\\
2&3&0\\
3&0&1
\end{pmatrix}
$$
Vamos a calcular a mano su matriz de covarianzas y comprobar que coincide con la dada por la fórmula anterior.
Para realizar los cálculos a mano, es costumbre organizar los datos y los cálculos intermedios necesarios en una tabla como la siguiente:


## Matriz de varianzas covarianzas; ejemplo
\begin{center}
\begin{tabular}{|r||r|r|r|r|r|r|r|r|r|}
\hline
$i$&$x_1$&$x_2$&$x_3$&$x_1^2$&$x_2^2$&$x_3^2$&$x_1\cdot x_2$&$x_1\cdot  x_3$&$x_2\cdot x_3$
\\\hline\hline
1&1&-1&3&1&1&9&-1&3&-3\\
2&1&0&3&1&0&9&0&3&0\\
3&2&3&0&4&9&0&6&0&0\\
4&3&0&1&9&0&1&0&3&0\\\hline
Suma&7&2&7&15&10&19&5&9&-3\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Estos productos entre columnas reciben el nombre de \red{productos cruzados}.

## Matriz de varianzas covarianzas; ejemplo


Así tenemos que 
$$
\scriptsize
\begin{array}{l}
\displaystyle \overline{x}_1= \frac{7}{4},\quad \overline{x}_2= \frac{2}{4},\quad 
\overline{x}_3= \frac{7}{4}\\[2ex]
\displaystyle 
s_1^2=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_{i 1}^2-\overline{\mathbf{x}}_1^2=\frac{15}{4}
-\left( \frac{7}{4}\right)^2=\frac{11}{16}\\[2ex]
\displaystyle 
s_2^2=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_{i 2}^2-\overline{\mathbf{x}}_2^2=\frac{10}{4} -\left(
\frac{2}{4}\right)^2=\frac{9}{4}\\[2ex]
\displaystyle 
s_3^2=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_{i 3}^2-\overline{\mathbf{x}}_3^2=\frac{19}{4}
-\left( \frac{7}{4}\right)^2=\frac{27}{16}\\[2ex]
\displaystyle 
s_{1 2}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^n x_{i 1} \cdot  x_{i 2} -\overline{\mathbf{x}}_1
\overline{\mathbf{x}}_2=  \frac{5}{4}-\frac{7}{4}\cdot \frac{2}{4}=\frac{3}{8}\\[2ex]
\displaystyle 
s_{1 3}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^n x_{i 1} \cdot x_{i 3} -\overline{\mathbf{x}}_1
\overline{\mathbf{x}}_3=  \frac{9}{4}-\frac{7}{4}\cdot  \frac{7}{4}=-\frac{13}{16}\\[2ex]
\displaystyle 
s_{2 3}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^n x_{i 2} \cdot x_{i 3} -\overline{\mathbf{x}}_2
\overline{\mathbf{x}}_3=  \frac{-3}{4}-\frac{2}{4}\cdot  \frac{7}{4}=-\frac{13}{8}
\end{array}
$$

## Matriz de varianzas covarianzas; ejemplo

... por lo tanto, la matriz de covarianzas es 
$$\mathbf{S}= \begin{pmatrix}
 {11}/{16} & {3}/{8}& -{13}/{16} \\
{3}/{8} & {9}/{4}  & -{13}/{8}\\
   -{13}/{16} & -{13}/{8}&  {27}/{16}
 \end{pmatrix}
 $$

## Matriz de varianzas covarianzas; ejemplo

En forma matricial es 

\begin{eqnarray*}
\mathbf{S}&=& \frac{1}{4} \mathbf{X}^t\cdot \mathbf{H}_4\cdot \mathbf{X}\\
& = & \frac{1}{4}\left(
\begin{array}{cccc}
 1 & 1 & 2 & 3 \\
 -1 & 0 & 3 & 0 \\
 3 & 3 & 0 & 1
\end{array}
\right)\cdot 
\left(
\begin{array}{cccc}
 3/4 & -1/4 & -1/4 &
   -1/4 \\
 -1/4 & 3/4 & -1/4 &
   -1/4 \\
 -1/4 & -1/4 & 3/4 &
   -1/4 \\
 -1/4 & -1/4 & -1/4 &
   3/4
\end{array}
\right)
\\ & \cdot &  
\left(
\begin{array}{ccc}
 1 & -1 & 3 \\
 1 & 0 & 3 \\
 2 & 3 & 0 \\
 3 & 0 & 1
\end{array}
\right) = \ldots =\left(
\begin{array}{ccc}
 {11}/{16} & {3}/{8} & -{13}/{16} \\
 {3}/{8} & {9}/{4} & -{13}/{8} \\
 -{13}/{16} & -{13}/{8} & {27}{/16}
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}


## Matriz de varianzas covarianzas; ejemplo

Con R, efectuaríamos esta operación de la manera siguiente:

```{r}
X=cbind(c(1,1,2,3),c(-1,0,3,0),c(3,3,0,1))
n=dim(X)[1]
H4=diag(4)-1/4
S=(1/n)*t(X)%*%H4%*%X
S
```

## Matriz de varianzas covarianzas; la función cov

La instrucción `cov` aplicada a una matriz de datos $\mathbf{X}$ calcula la matriz de \red{covarianzas muestrales} de $\mathbf{X}$
$$
\widetilde{\mathbf{S}}=(\widetilde{s}_{i j})_{i,j=1,\ldots,p}=
\begin{pmatrix}  
 \widetilde{s}_{1 1} & \widetilde{s}_{1 2} & \ldots & \widetilde{s}_{1 p}\\
 \widetilde{s}_{2 1} & \widetilde{s}_{2 2} & \ldots & \widetilde{s}_{2 p}\\
  \vdots & \vdots  &        & \vdots\\
\widetilde{s}_{p 1} & \widetilde{s}_{p 2} & \ldots & \widetilde{s}_{p p}
\end{pmatrix}
$$

## Matriz de varianzas covarianzas; ejemplo

Para obtener la matriz de covarianzas, es suficiente multiplicar dicha matriz por $(n-1)/n$. Por ejemplo:


```{r cov1,size="scriptsize"}
X=cbind(c(1,1,2,3),c(-1,0,3,0),c(3,3,0,1))
cov(X)  #matriz de covarianzas muestrales
(3/4)*cov(X)  #matriz de covarianzas
```


## Variables redundantes

\blue{Definición.}

Decimos que  en una matriz de datos hay \red{variables redundantes} cuando una o más
columnas aportan la misma información que otra. 
La redundancia de variables se puede manifestar por ejemplo si una columna
$\mathbf{x}_{\bullet j}$ depende linealmente de otras columnas
$$\mathbf{x}_{\bullet 1},\mathbf{x}_{\bullet 1},\ldots ,\mathbf{x}_{\bullet j-1},\mathbf{x}_{\bullet j+1},\ldots \mathbf{x}_{\bullet i_p},$$ es  decir, si existen $a_1,\ldots,a_{j-1},a_{j+1},\ldots a_p,b\in \mathbb{R}$ tales que

$$
\mathbf{x}_{\bullet j}=a_1\cdot  \mathbf{x}_{\bullet 1}+\cdots+
a_{j-1} \cdot \mathbf{x}_{\bullet j-1}+a_{j+1}\cdot  +\mathbf{x}_{\bullet j+1}
+\cdots a_p\cdot \mathbf{x}_{\bullet i_p}+b\cdot \mathbf{1}_n
$$
para $i=1,2,\ldots,n$.

## Variables redundantes

* En este caso diremos que se da \red{redundancia por dependencia lineal}, y es la única que consideraremos en esta lección, por lo que cuando hablemos de variables redundantes, nos referiremos realmente a  variables redundantes por dependencia lineal.


* Diremos que una matriz de datos \red{tiene $k$ variables redundantes}  $\mathbf{x}_{\bullet l_1},\ldots, \mathbf{x}_{\bullet l_k}$  cuando estas $k$ variables dependen linealmente del resto de variables,
$\{\mathbf{x}_{\bullet  1},\ldots,\mathbf{x}_{\bullet p}\}-\{\mathbf{x}_{\bullet l_1},\ldots, \mathbf{x}_{\bullet l_k}\}$, pero no entre ellas.


## Variables redundantes; ejemplo

Por ejemplo,en la tabla o  matriz de datos 

$$
\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 2\\
3 & 0 & 7\\
-2 & 4 & 1
\end{array}\right)
$$
$\mathbf{x}_{\bullet  3}$ es \red{redundante}, puesto que
$$
\left(\begin{array}{c}
2\\
7\\
1
\end{array}\right)
=2\left(\begin{array}{c}
1 \\
3 \\
-2 
\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}
 -1 \\
0 \\
 4 
\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}
1 \\
1\\
1
\end{array}\right)
$$

## Variables redundantes; ejemplo

Despejando en esta igualdad cada una de las otras dos columnas, vemos que también son redundantes, pero esta redundancia se debe a la misma relación. Por tanto, no podemos decir que esta matriz tenga tres variables redundantes, sólo tiene  una.
En cambio la matriz de datos
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 4 & 3&-5 & 4\\
3 & 9 & 7& -13 & 8\\
-2 & -2 & 0&4 & 1
\end{array}\right)
$$ 
tiene \red{dos variables redundantes}, dadas por las relaciones lineales
$$
\mathbf{x}_{\bullet 4}=\mathbf{x}_{\bullet 1}-2\mathbf{x}_{\bullet 2}+2\cdot \mathbf{1}_3,\quad
\mathbf{x}_{\bullet 5}=\mathbf{x}_{\bullet 3}+\mathbf{1}_3
$$
\red{Observad que}, en estas relaciones, $\mathbf{x}_{\bullet 4}$ no depende de $\mathbf{x}_{\bullet 5}$ ni viceversa.


## Propiedades para detectar variables redundantes

\red{¿Cómo detectar variables reduntantes?}

\blue{Teorema.}
Sea $\mathbf{S}$ la matriz de covarianzas de una matriz de datos $\mathbf{X}$ de $p$  variables. Entonces, 
el número de variables redundantes de $\mathbf{X}$ es igual a la multiplicidad de 0 como valor propio de $\mathbf{S}$. En particular:
 
* Si $|\mathbf{S}|\neq 0$, entonces no existe ninguna variable redundante.

* Si $|\mathbf{S}|=0$, entonces existe al menos una variable redundante.

* Si el rango de $\mathbf{S}$ es $k$, entonces existen $p-k$ variables redundantes.
 
 
Como la matriz de covarianzas muestrales $\widetilde{\mathbf{S}}$ de $\mathbf{X}$ es un múltiplo escalar de 
$\mathbf{S}$, este resultado también vale para $\widetilde{\mathbf{S}}$.


## Variables redundantes; ejemplo

Recordemos que en un ejemplo anterior 


$$
\mathbf{X}=\begin{pmatrix}
1&-1&3\\
1&0&3\\
2&3&0\\
3&0&1
\end{pmatrix}
$$
Para comprobar si tiene variables redundantes, vamos a calcular el determinante de su matriz de covarianzas muestrales:



```{r}

X=cbind(c(1,1,2,3),c(-1,0,3,0),c(3,3,0,1))
det(cov(X))
```

Como este determinante es diferente de 0, esta matriz de datos no contiene variables redundantes.




## Variables redundantes; ejemplo
Consideremos la tabla de datos siguiente:


\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{|r||r|r|r|}
\hline
$i$&$x_1$&$x_2$&$x_3$
\\\hline\hline
1 & 1 & 0 & -1 \\
2 & 1 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 1 & 0 \\
4 &0 & 3 & 0\\ \hline
\end{tabular}
\end{table}


Deseamos saber si contiene variables redundantes. Vamos a calcular a manualmente  su matriz de covarianzas:


## Variables redundantes; ejemplo


\begin{eqnarray*}
\mathbf{S}&=&\frac{1}{4} \mathbf{X}^t\cdot \mathbf{H}_4\cdot \mathbf{X}\\
& = & \frac{1}{4}\left(
\begin{array}{cccc}
  1 & 1 & 1 & 0 \\
 0 & 2 & 1 & 3 \\
 -1 & 1 & 0 & 0
\end{array}
\right)\cdot 
\left(
\begin{array}{cccc}
 3/4 & -1/4 & -1/4 &
   -1/4 \\
 -1/4 & 3/4 & -1/4 &
   -1/4 \\
 -1/4 & -1/4 & 3/4 &
   -1/4 \\
 -1/4 & -1/4 & -1/4 &
   3/4
\end{array}
\right)
\\ &\cdot& 
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1 \\
 1 & 2 & 1 \\
 1 & 1 & 0 \\
 0 & 3 & 0
 \end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{rrr}
 {3}/{16} & -{3}/{8} & 0 \\
 -{3}/{8} & {5}/{4} & {1}/{2} \\
 0 & {1}/{2} & {1}/{2}
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}



## Variables redundantes; ejemplo

Calculemos su determinate 

$$
\det(\mathbf{S})=
\begin{vmatrix}
 {3}/{16} & -{3}/{8} & 0 \\
 -{3}/{8} & {5}/{4} & {1}/{2} \\
 0 & {1}/{2} & {1}/{2}
\end{vmatrix}=0
$$
Por lo tanto, existe al menos una variable
redundante. 



* Ahora bien, por un lado,  $|\mathbf{S}|=0$ implica que el rango de $\mathbf{S}$ es $\leq 2$.
* Por otra parte es claro que el rango de $\mathbf{S}$ es como mínimo 2, puesto que, por ejemplo, las dos primeras columnas son linealmente independientes (en la última fila, la primera columna tiene un 0 y la segunda, una entrada $\neq 0$).
* Por lo tanto, el rango de $\mathbf{S}$ es 2 y $\mathbf{X}$ contiene una  única variable redundante.

## Variables redundantes; ejemplo con R

Para comprobar esto mismo con R, usaremos la matriz de covarianzas muestrales:

```{r conRredu,size="scriptsize"}
X=matrix(c(1,0,-1,1,2,1,1,1,0,0,3,0),nrow=4
         , byrow=TRUE)
S=cov(X)
det(S)
qr(S)$rank
eigen(S)$values
```


## Variables redundantes; ejemplo con R


Obtenemos que el rango es 2, y también observamos que $\mathbf{S}$ tiene un solo valor propio igual a 0 
(el último, `3.238150e-17` es 0 salvo por error de cálculo). 

\red{Cada uno de estos dos resultados (equivalentes) implica que hay una variable redundante.}



## Varianza total, varianza media y varianza generalizada 

Como la matriz de covarianzas como medida
de variabilidad es difícil de interpretar, debido a que no es una única cantidad sino toda una matriz, es de desear la existencia de un índice que mida esta variabilidad. Hay diversas propuestas al respecto. Veamos varias:
 
* La \red{varianza total} de $\mathbf{X}$ es la suma de las varianzas de sus columnas.

* La \red{varianza media} de $\mathbf{X}$ es la media de las varianzas de sus columnas, es decir, la varianza total partida por el número de columnas.


## Varianza total, varianza media y varianza generalizada 

* La \red{varianza generalizada} de $\mathbf{X}$ es el determinante de su matriz de covarianzas. La  \red{desviación típica generalizada} de $\mathbf{X}$
es la raíz cuadrada positiva de su varianza generalizada. Se puede demostrar que ésta última es el (hiper)volumen del (hiper)poliedro de $\mathbb{R}^p$ definido por las filas de $\mathbf{X}$ consideradas como puntos de $\mathbb{R}^p$.
 

## Correlaciones

\blue{Definición.} 
Se define la \red{correlación lineal de Pearson} de las dos columnas 
$\mathbf{x}_{\bullet i}$ y $\mathbf{x}_{\bullet j}$ de una matriz de datos $\underline{X}$
como 
$$
r_{i j}=\frac{s_{i j}}{s_i s_j}
$$
Observad que 
$$
\frac{\widetilde{s}_{i j}}{\widetilde{s}_i\cdot \widetilde{s}_j}=
\frac{\frac{n}{n-1}\cdot {s}_{i j}}{\sqrt{\frac{n}{n-1}}\cdot {s}_i \cdot\sqrt{\frac{n}{n-1}}\cdot{s}_j}=
\frac{s_{i j}}{s_i \cdot s_j}=r_{i j}
$$
y por lo tanto este coeficiente de correlación se puede calcular también a partir de la covarianza y las desviaciones típicas muestrales por medio de esta misma fórmula.

## Correlaciones; propiedades

La correlación $r_{i j}$ estima el parámetro poblacional $\rho_{i
j}=Cor(X_i,X_j)$, y tiene las propiedades siguientes:
 
* $-1\leq r_{i j}\leq 1$.

* $r_{i i}=1$.

* $r_{i j}$ tiene el mismo signo que $s_{i j}$.

* $r_{i j}=\pm 1$ si y, sólo si, existe una relación lineal perfecta entre las
variables $\mathbf{x}_{\bullet i}$ y $\mathbf{x}_{\bullet j}$. O sea, si, y sólo si, existen valores $a,b\in \mathbb{R}$ tales que $\mathbf{x}_{\bullet j}= a \mathbf{x}_{\bullet i} +b\cdot \mathbf{1}_n$. 
La pendiente $a$ de esta recta tiene el mismo signo
que la correlación entre las variables.
 


## Correlaciones; ejemplo

En ejemplos anteriores hemos calculado la covarianza y las varianzas de las dos primeras columnas de la matriz de datos

$$
\mathbf{X}=\begin{pmatrix}
1&-1&3\\
1&0&3\\
2&3&0\\
3&0&1
\end{pmatrix}
$$

Hemos obtenido

$$
s_{12}=0.375,\quad s_1=\sqrt{\frac{11}{16}}=0.82916,\quad s_2=\sqrt{\frac{9}{4}}=1.5
$$





## Correlaciones:  ejemplo

y por lo tanto su correlación es

$$
r_{1 2}=\frac{0.375}{0.82916\cdot 1.5}=0.3015.
$$

Con R, la correlación de Pearson de dos vectores se puede calcular por medio de la función `cor`:

```{r}
x1=c(1,1,2,3)
x2=c(-1,0,3,0)
cor(x1,x2)  
```

## Matriz de correlaciones


\blue{Definición.}

Llamaremos la \red{matriz de correlaciones} (\red{de pearson}) de la matriz de datos $\mathbf{X}$ a 
$$
\mathbf{R}=(r_{i j})_{i,j=1,\ldots,p}=
\begin{pmatrix}
1 & r_{1 2} & \ldots & r_{1 p}\\
r_{2 1} & 1 & \ldots & r_{2 p}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
r_{p 1} & r_{p 2} & \ldots & 1
\end{pmatrix}
$$

## Matriz de correlaciones; propiedades

\blue{Propiedades}

Esta matriz tiene las propiedades siguientes:
 
* La matriz $\mathbf{R}$ es semi-definida positiva.

* Si todas las variables son incorreladas entonces $\mathbf{R}=I_p$ y
$\det(\mathbf{R})=1$.

* $\mathbf{R}$ cumple las mismas
propiedades que la matriz de covarianzas por lo que concierne a las variables redundantes. Por ejemplo,
 si $\det(\mathbf{R})=0$, entonces hay
al menos una variable redundante.

* $|\mathbf{R}|\leq 1$.

## Matriz de correlaciones; cálculo matricial
 
La matriz de correlaciones de puede calcular de forma matricial de la manera siguiente.
Recordemos que 
$$\mathbf{D}=
\begin{pmatrix}
 s_1 & 0 & \ldots & 0\\
0 & s_2  & \ldots & 0\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
0 & 0 & \ldots  & s_p  
\end{pmatrix}
\qquad
\mathbf{D}^{-1}=
\begin{pmatrix} 
\frac{1}{s_1} & 0 & \ldots & 0\\
 0 & \frac{1}{s_2}  & \ldots & 0\\
 \vdots & \vdots & & \vdots\\
 0 & 0 & \ldots  & \frac{1}{s_p}
\end{pmatrix}
$$

## Matriz de correlaciones; cálculo matricial 

\blue{Propiedad}
$$\mathbf{R}=
\mathbf{D}^{-1}\cdot\mathbf{S}\cdot \mathbf{D}^{-1}.$$

De este resultado podemos despejar la matriz de covarianzas, y obtenemos  que
$$
\mathbf{S}= \mathbf{D} \cdot\mathbf{R}\cdot \mathbf{D}
$$

Tenemos también el resultado siguiente.

 \blue{Teorema}
 Si $\mathbf{Z}$ es la \red{matriz de datos tipificados} de $\mathbf{X}$, entonces \red{la matriz de covarianzas} de $\mathbf{Z}$ es igual a la \red{matriz de correlaciones} de $\mathbf{X}$.
 
## Matriz de correlaciones;  ejemplo cálculo matricial 

\blue{Ejemplo}

Continuemos nuestra tabla/matriz  de datos:

$$
\mathbf{X}=\begin{pmatrix}
1&-1&3\\
1&0&3\\
2&3&0\\
3&0&1
\end{pmatrix}
$$
En otros ejemplos ya hemos calculado su matriz de inversos de desviaciones típicas 
$$
\mathbf{D}^{-1}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{{11}/{16}}} & 0                  & 0 \\
0                             & \frac{1}{\sqrt{{9}/{4}}}& 0\\
0                             & 0 &\frac{1}{\sqrt{{27}/{16}}}  
\end{pmatrix}
$$

y su matriz de covarianzas...




## Matriz de correlaciones;  ejemplo cálculo matricial 
 
... ya estaba calculada y es  
 
 
$$
\qquad
\mathbf{S}= \begin{pmatrix}
 {11}/{16} & {3}/{8}& -{13}/{16} \\
{3}/{8} & {9}/{4}  & -{13}/{8}\\
   -{13}/{16} & -{13}/{8}&  {27}/{16}
 \end{pmatrix}
$$


y por lo tanto su matriz de correlaciones es


## Matriz de correlaciones;  ejemplo cálculo matricial 


\begin{eqnarray*}
\mathbf{R}
&=&
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{{11}/{16}}} & 0                  & 0 \\
0                             & \frac{1}{\sqrt{{9}/{4}}}& 0\\
0                             & 0 &\frac{1}{\sqrt{{27}/{16}}}  
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
 \frac{11}{16} & \frac{3}{8}& -\frac{13}{16} \\[1.5ex]
\frac{3}{8} & \frac{9}{4}  & -\frac{13}{8}\\[1.5ex]
   -\frac{13}{16} & -\frac{13}{8}&  \frac{27}{16}
   \end{pmatrix}
\\ 
&\cdot &
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{{11}/{16}}} & 0                  & 0 \\
0                             & \frac{1}{\sqrt{{9}/{4}}}& 0\\
0                             & 0 &\frac{1}{\sqrt{{27}/{16}}}  
\end{pmatrix}
\\
&=&
\begin{pmatrix}
           1  & -0.7745967 & 0\\
   -0.7745967 &          1 & 0.6324555\\
            0 &  0.6324555 & 1.0000000
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}


## Matriz de correlaciones;  ejemplo cálculo matricial 

La matriz de correlaciones de una matriz de datos se puede calcular con R con la misma función `cor`.


```{r}
X=matrix(c(1,0,-1,1,2,1,1,1,0,0,3,0),nrow=4, 
         byrow=TRUE)
cor(X)
```

Naturalmente ... \red{obtenemos el mismo resultado}.

## Matriz de correlaciones;  ejemplo cálculo matricial 


```{r}
D=matrix(c(1/sqrt(11/16),
           0,0,0,1/sqrt(9/4),
           0,0,0,1/sqrt(27/16))
  ,byrow=TRUE,ncol=3)
D
S=matrix(c(11/16,   3/8, -13/16,
             3/8,   9/4, -13/8,
          -13/16, -13/8,  27/16),nrow=3, 
         byrow=TRUE)
```


## Matriz de correlaciones;  ejemplo cálculo matricial 


```{r}
D_inv=solve(D)
# inversa de la matriz D
D_inv%*%S%*%D_inv

```





## Matriz de correlaciones;  ejemplo cálculo matricial 

Comprobemos que da lo mismo que el producto de matrices anterior

```{r}
#Matriz diagonal de inversas de desviaciones típicas
desv.tip=apply(X,MARGIN=2,sd)*sqrt(3/4)
Dm=diag(1/desv.tip)
#Matriz de covarianzas
S=(3/4)*cov(X)  
Dm%*%S%*%Dm
```


## Matriz de correlaciones;  ejemplo cálculo matricial 

* También podemos comprobar que esta matriz de correlaciones es la matriz de covarianzas de su matriz de datos tipificados. 

* Recordemos que la matriz de datos tipificados  la hemos calculado en el Ejemplo  anterior

```{r}
H4=diag(4)-1/4
Z=H4%*%X%*%Dm
(3/4)*cov(Z)
```


## Ejercicio 

Consideremos la siguiente matriz de datos 

$$
\mathbf{X}=
\begin{pmatrix}
 1 & 0 & -1 \\
 1 & 1 & 1 \\
 1 & 1 & 0 \\
 0 & -2 & 0
\end{pmatrix}
$$
Calculad de forma matricial las matrices siguientes:

* Su matriz de datos tipificados $\mathbf{Z}$
* Su matriz de covarianzas $\mathbf{S}$
* Su matriz de correlaciones $\mathbf{R}$

Determinad si esta matriz de datos tiene variables redundantes.