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<!DOCTYPE html>
<html lang="zh-TW">
<head>
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<header>
<nav>
<h1>
<span id="toggle-menu"></span>
<a href="index.html"></a>
</h1>
</nav>
</header>
<main>
<aside>
<nav></nav>
</aside>
<article>
<h2 id="1-12-1">1-12-1 Linear Equation 線性方程式</h2>
<h3>Sets</h3>
<p>
在數學中，集合（Set）是一個基本的概念，是一群具備某種共同特性的對象的集結。這些對象稱為集合的元素（或成員）。集合的元素可以是任何東西，包括數字、字母、符號、物體，甚至是其他集合。
</p>
<h4>集合的表示方法</h4>
<ol>
<li>
列舉法：直接將集合的所有元素列舉出來，用大括號表示。例如，集合 A 包含 1、2 和
3，可以寫作 A = {1, 2, 3}。
</li>
<li>
描述法：用一個性質或條件來描述集合中的元素。例如，集合 B 包含所有小於 5
的正整數，可以寫作 B = {x | x 是小於 5 的正整數}。
</li>
</ol>
<h4>集合的基本概念</h4>
<ol>
<li>空集：不包含任何元素的集合，表示為 ∅ 或 {}。</li>
<li>子集：如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素，則 A 是 B 的子集，記作 A ⊆ B。</li>
<li>真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，且 A ≠ B，則 A 是 B 的真子集，記作 A ⊂ B。</li>
<li>全集：包含所有考慮中的元素的集合，通常用 U 表示。</li>
</ol>
<h4>集合的運算</h4>
<ol>
<li>聯集（Union）：集合 A 和 B 的聯集包含 A 或 B 中的所有元素，記作 A ∪ B。</li>
<li>交集（Intersection）：集合 A 和 B 的交集包含 A 和 B 中的共同元素，記作 A ∩ B。</li>
<li>
差集（Difference）：集合 A 和 B 的差集包含在 A 中但不在 B 中的元素，記作 A - B 或 A \
B。
</li>
<li>
補集（Complement）：在全集 U 中，集合 A 的補集包含不在 A 中的所有元素，記作 A' 或 U -
A。
</li>
</ol>
<h4>集合的特性</h4>
<ul>
<li>元素唯一性：在集合中，每個元素都是唯一的，沒有重複的元素。</li>
<li>無序性：集合中的元素沒有特定的順序。</li>
</ul>
<h3>Symbols</h3>
<p>
在數學中，字母 𝑁 、 𝑍 、 𝑄 、 𝑅 、 𝐶
用來表示不同的數集。這些符號是數學中常用的集合符號，各自的定義如下：
</p>
<ol>
<li>
𝑁 - 自然數集 set of all nonnegative integers.
<br />
定義：自然數集包含所有正整數，有時包括零（取決於定義）。，例如 𝑁 = { 0 , 1 , 2 , 3 , … }
N={0,1,2,3,…} 或 𝑁 = { 1 , 2 , 3 , … } N={1,2,3,…}。用途：用於表示計數和序列的基本數字。
</li>
<li>
𝑍 - 整數集 set of all integers (both positive and negative)
<br />
定義：整數集包含所有正整數、負整數和零，即 𝑍 = { … , − 3 , − 2 , − 1 , 0 ,1 , 2 , 3 , …
}
Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}。用途：用於表示沒有小數或分數的數字，適用於計數、排序和一些代數操作。
</li>
<li>
𝑄 - 有理數集 set of all rational numbers
<br />
定義：有理數集包含所有可以表示為兩個整數之比的數字，其中分母不為零，即 𝑄 = {
<span class="katex">
<span class="katex-mathml">
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mfrac>
<mi>p</mi>
<mi>q</mi>
</mfrac>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">\frac{p}{q}</annotation>
</semantics>
</math>
</span>
</span>
∣p,q∈ Z,q ≠ 0 }。 用途：用於表示可以用分數表示的數字。
</li>
<li>
𝑅 - 實數集 set of all real numbers
<br />
定義：實數集包含所有可以在數線上找到的數字，包括有理數和無理數，即 𝑅 。
用途：用於表示連續的數字範圍，包括所有的整數、分數、小數和無理數（如 π 和 √2 ）。
</li>
<li>
𝐶 - 複數集 set of all complex number
<br />
定義：複數集包含所有形如 𝑎 + 𝑏 𝑖 的數字，其中 𝑎 和 𝑏 是實數， 𝑖 是虛數單位，滿足 𝑖² = −
1 ，即 𝐶 = { 𝑎 + 𝑏 𝑖 ∣ 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑅 } 。
用途：用於表示包含實數和虛數部分的數字，適用於複雜的數學分析和工程應用。
</li>
</ol>
<h4>總結表格</h4>
<table>
<thead>
<tr>
<th>符號</th>
<th>名稱</th>
<th>定義</th>
<th>例子</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>
<span class="katex">
<span class="katex-mathml">
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow><mi mathvariant="double-struck">N</mi></mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">\mathbb{N}</annotation>
</semantics>
</math>
</span>
</span>
</td>
<td>自然數集</td>
<td>
<span class="katex">
<span class="katex-mathml">
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mo stretchy="false">{</mo>
<mn>0</mn>
<mo separator="true">,</mo>
<mn>1</mn>
<mo separator="true">,</mo>
<mn>2</mn>
<mo separator="true">,</mo>
<mn>3</mn>
<mo separator="true">,</mo>
<mo>…</mo>
<mo stretchy="false">}</mo>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">\{0, 1, 2, 3}</annotation>
</semantics>
</math>
</span>
</span>
或
<span class="katex">
<span class="katex-mathml">
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mo stretchy="false">{</mo>
<mn>1</mn>
<mo separator="true">,</mo>
<mn>2</mn>
<mo separator="true">,</mo>
<mn>3</mn>
<mo separator="true">,</mo>
<mo>…</mo>
<mo stretchy="false">}</mo>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">\{1, 2, 3}</annotation>
</semantics>
</math>
</span>
</span>
</td>
<td>0, 1, 2, 3, 4</td>
</tr>
<tr>
<td>
<span class="katex">
<span class="katex-mathml">
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow><mi mathvariant="double-struck">Z</mi></mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">\mathbb{Z}</annotation>
</semantics>
</math>
</span>
</span>
</td>
<td>整數集</td>
<td>
<span class="katex">
<span class="katex-mathml">
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mo stretchy="false">{</mo>
<mo>…</mo>
<mo separator="true">,</mo>
<mo>−</mo>
<mn>3</mn>
<mo separator="true">,</mo>
<mo>−</mo>
<mn>2</mn>
<mo separator="true">,</mo>
<mo>−</mo>
<mn>1</mn>
<mo separator="true">,</mo>
<mn>0</mn>
<mo separator="true">,</mo>
<mn>1</mn>
<mo separator="true">,</mo>
<mn>2</mn>
<mo separator="true">,</mo>
<mn>3</mn>
<mo separator="true">,</mo>
<mo>…</mo>
<mo stretchy="false">}</mo>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">
\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}
</annotation>
</semantics>
</math>
</span>
</span>
</td>
<td>-2, -1, 0, 1, 2</td>
</tr>
<tr>
<td>
<span class="katex">
<span class="katex-mathml">
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">\mathbb{Q}</annotation>
</semantics>
</math>
</span>
</span>
</td>
<td>有理數集</td>
<td>
所有能表示為
<span class="katex">
<span class="katex-mathml">
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mfrac>
<mi>p</mi>
<mi>q</mi>
</mfrac>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">\frac{p}{q}</annotation>
</semantics>
</math>
</span>
</span>
的數，其中
<span class="katex">
<span class="katex-mathml">
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mi>p</mi>
<mo separator="true">,</mo>
<mi>q</mi>
<mo>∈</mo>
<mi mathvariant="double-struck">Z</mi>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">p, q \in \mathbb{Z}</annotation>
</semantics>
</math>
</span>
</span>
且
<span class="katex">
<span class="katex-mathml">
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mi>q</mi>
<mo mathvariant="normal">≠</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">q \neq 0</annotation>
</semantics>
</math>
</span>
</span>
</td>
<td>
<span class="katex">
<span class="katex-mathml">
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<mo separator="true">,</mo>
<mn>3</mn>
<mo separator="true">,</mo>
<mo>−</mo>
<mn>4.5</mn>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">\frac{1}{2}, 3, -4.5</annotation>
</semantics>
</math>
</span>
</span>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<span class="katex">
<span class="katex-mathml">
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow><mi mathvariant="double-struck">R</mi></mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">\mathbb{R}</annotation>
</semantics>
</math>
</span>
</span>
</td>
<td>實數集</td>
<td>包含所有在數線上的數字，包含有理數和無理數</td>
<td>-1, 0, 1.5, √2, π</td>
</tr>
<tr>
<td>
<span class="katex">
<span class="katex-mathml">
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow><mi mathvariant="double-struck">C</mi></mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">\mathbb{C}</annotation>
</semantics>
</math>
</span>
</span>
</td>
<td>複數集</td>
<td>
形如
<span class="katex">
<span class="katex-mathml">
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">a + bi</annotation>
</semantics>
</math>
</span>
</span>
的數字，其中
<span class="katex">
<span class="katex-mathml">
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo separator="true">,</mo>
<mi>b</mi>
<mo>∈</mo>
<mi mathvariant="double-struck">R</mi>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">a, b \in \mathbb{R}</annotation>
</semantics>
</math>
</span>
</span>
和
<span class="katex">
<span class="katex-mathml">
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<msup>
<mi>i</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">i^2 = -1</annotation>
</semantics>
</math>
</span>
</span>
</td>
<td>2 + 3i, -1 - i, 4</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<h3>線性方程組的解</h3>
<p>𝑅²代表二維平面空間，有XY軸，意思是所有實數 𝑅 皆能位於該平面上。</p>
<p>假設有一組2個式子的線性方程組，畫在𝑅²平面上就是兩條線，兩條線相交部分就是解。</p>
<p>以上情境共有以下幾種解：</p>
<ul>
<li>唯一解：如果方程組有一個唯一的解，這通常發生在兩條直線相交於一點。</li>
<li>無限多解：如果方程組有無限多解，這通常發生在兩條直線重合的情況下。</li>
<li>無解：如果方程組無解，這通常發生在兩條直線平行且不重合的情況下。</li>
</ul>
<p>𝑅³代表三維立體空間，有XYZ軸，所有實數 𝑅 皆能位於該空間內。</p>
<p>假設有一組2個式子的線性方程組，畫在𝑅³空間內就是3個面，三個面相交部分就是解。</p>
<p>以上情境共有以下幾種解：</p>
<ol>
<li>
唯一解
<br />
如果三個平面交於一個點，那麼方程組有唯一解。這種情況對應於係數矩陣 𝐴 的行列式不為零
<br />
（即 ∣ 𝐴 ∣ ≠ 0 ），表示三個平面在空間中相交於一點。
</li>
<li>
無限多解
<br />
無限多解的情況分為以下幾種：
<ul>
<li>
<strong>三個平面相交於一條直線：</strong>
<br />
如果三個平面相交於一條直線，方程組有無限多解。這表示方程組的增廣矩陣的秩小於未知數的數目，但等於係數矩陣的秩。
</li>
<li>
<strong>三個平面重合：</strong>
<br />
如果三個平面完全重合，方程組有無限多解。這表示三個平面的方程是同一個平面的不同表示形式，對應的增廣矩陣和係數矩陣的秩相同，且小於未知數的數目。
</li>
<li>
<strong>兩個平面重合並與第三個平面相交於一條直線：</strong>
如果其中兩個平面重合，而這兩個平面又與第三個平面相交於一條直線，方程組也有無限多解。這對應於方程組的增廣矩陣的秩等於係數矩陣的秩，且小於未知數的數目。
<br />
</li>
</ul>
</li>
<li>
無解
<br />
無解的情況分為以下幾種：
<br />
<ul>
<li>
<strong>平行且不重合的三個平面：</strong>
<br />
如果三個平面都是相互平行且不重合，則方程組無解。這表示增廣矩陣的秩大於係數矩陣的秩。
</li>
<li>
<strong>兩個平面平行且不重合，並與第三個平面相交：</strong>
<br />
如果兩個平面平行且不重合，而第三個平面與它們中的每一個都相交，則方程組無解。這表示增廣矩陣的秩大於係數矩陣的秩。
</li>
</ul>
</li>
</ol>
<h4>高頻專有詞 consistent</h4>
<p>consistent 代表一個方程組有一個、多個或無限多個解。</p>
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