index.qmd

---
title: "" 
author: "<span style='color: #ff68b4;'>by Tomasz Woźniak</span>"
email: "tomasz.wozniak@unimelb.edu.au"
title-slide-attributes:
  data-background-color: "#77001b"
number-sections: false
format: 
  revealjs: 
    theme: [simple, theme.scss]
    slide-number: c
    transition: concave
    smaller: true
    multiplex: true
execute: 
  echo: true
---



```{r palette}
#| echo: false
pin  = "#ff68b4"
dar  = "#77001b"
grad = grDevices::colorRampPalette(c(dar, pin))(5)
```


##  {background-color="#77001b"}

![](bsvars.org.png){.absolute top=80 right=725 width="400"}
![](bsvars.png){.absolute top=80 right=325 width="400"}
![](bsvarSIGNs.png){.absolute top=80 right=-75 width="400"}


## <span style='color: #ff68b4;'>Część pierwsza</span> {background-color="#77001b"}

$$ $$

### Wielowymiarowe bayesowskie dynamiczne modele strukturalne z paczek bsvars i bsvarSIGNs dla R  {style="color:#ff68b4;"}

$$ $$

#### cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs {style="color:#ff68b4;"}

#### strukturalne modele VAR {style="color:#ff68b4;"}

#### identyfikacja modeli strukturalnych{style="color:#ff68b4;"}

#### modelowanie rozkładu i zmienności {style="color:#ff68b4;"}







## <span style='color: #ff68b4;'>Część druga</span> {background-color="#77001b"}

$$ $$

### Analiza efektów australijskiej polityki monetarnej używając paczki bsvars  {style="color:#ff68b4;"}

$$ $$

#### Analiza efektów australijskiej polityki monetarnej {style="color:#ff68b4;"}

#### ustawienie i estymacja modelu {style="color:#ff68b4;"}

#### analizy strukturalne i predyktywne {style="color:#ff68b4;"}





## <span style='color: #ff68b4;'>materiały</span> {background-color="#77001b"} 

$$ $$

### slajdy jako [strona internetowa](https://bsvars.org/2024-12-uek/) {style="color:#ff68b4;"}

### [repozytorium](https://github.com/bsvars/2024-12-uek) na GitHub dla reprodukcji wyników{style="color:#ff68b4;"}

$$ $$

### [bsvars.org](https://bsvars.org/) officjalna strona{style="color:#ff68b4;"}

### paczka [bsvars](https://cran.r-project.org/package=bsvars) na stronach CRAN{style="color:#ff68b4;"}

### paczka [bsvarSIGNs](https://cran.r-project.org/package=bsvarSIGNs) na stronach CRAN{style="color:#ff68b4;"}









## <span style="color: #ff68b4;">cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs</span> {background-color="#77001b"}



## cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

:::: {.columns}

::: {.column width="50%"}
![](bsvars_cran.png){.absolute top=100 width="530"}
:::

::: {.column width="50%"}
![](bsvarSIGNs_cran.png){.absolute top=100 width="530"}
:::

::::




## cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

$$ $$

- bayesowska estymacja modeli strukturalnych VAR
- koherentna struktura kodu, skryptów i objektów
- świetna szybkość obliczeniowa
- najnowsze metody ekonometryczne i numeryczne
- napisane w **C++** dzięki paczkom **Rcpp** i **RcppArmadillo**
- analiza danych w **R**





## <span style="color: #ff68b4;">cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs</span> {background-color="#77001b"}
::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

:::: {.columns}

::: {.column width="50%"}
![](bsvars.png){width="120"}

- ładowanie paczki i danych

```{r}
#| eval: false
library(bsvars)
data(us_fiscal_lsuw)
```

- łatwa inicjalizacja modelu

```{r}
#| eval: false
spec = specify_bsvar$new(us_fiscal_lsuw)
```

- prosta estymacja

```{r}
#| eval: false
burn = estimate(spec, S = 1000)
post = estimate(burn, S = 10000)
```

:::

::: {.column width="50%"}
![](bsvarSIGNs.png){width="120"}

- ładowanie paczki i danych

```{r}
#| eval: false
library(bsvarSIGNs)
data(optimism)
```

- łatwa inicjalizacja modelu

```{r}
#| eval: false
spec = specify_bsvarSIGN$new(optimism)
```

- prosta estymacja

```{r}
#| eval: false
post = estimate(spec, S = 10000)
```

:::

::::






## <span style="color: #ff68b4;">cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs</span> {background-color="#77001b"}

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

:::: {.columns}

::: {.column width="50%"}
![](bsvars.png){width="120"}

- analizy strukturalne
```{r}
#| eval: false
irfs = compute_impulse_responses(post , horizon = 12)
fevd = compute_variance_decompositions(post, horizon = 12)
hds  = compute_historical_decompositions(post)
ss   = compute_structural_shocks(post)
csds = compute_conditional_sd(post)
sddr = verify_identification(post)
```

:::
  
::: {.column width="50%"}
![](bsvarSIGNs.png){width="120"}


- analizy strukturalne
```{r}
#| eval: false
irfs = compute_impulse_responses(post , horizon = 12)
fevd = compute_variance_decompositions(post, horizon = 12)
hds  = compute_historical_decompositions(post)
ss   = compute_structural_shocks(post)
csds = compute_conditional_sd(post)
```

:::
  
::::





## <span style="color: #ff68b4;">cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs</span> {background-color="#77001b"}

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

:::: {.columns}

::: {.column width="50%"}
![](bsvars.png){width="120"}

- analizy predyktywne

```{r}
#| eval: false
fvs  = compute_fitted_values(post)
fore = forecast(post, horizon = 12)
```


- wykresy i podsumowania

```{r}
#| eval: false
plot(irfs)
summary(irfs)
```

:::
  
::: {.column width="50%"}
![](bsvarSIGNs.png){width="120"}

- analizy predyktywne

```{r}
#| eval: false
fvs  = compute_fitted_values(post)
fore = forecast(post, horizon = 12)
```

- wykresy i podsumowania

```{r}
#| eval: false
plot(irfs)
summary(irfs)
```

:::
  
::::






## <span style="color: #ff68b4;">cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs</span> {background-color="#77001b"}

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

:::: {.columns}

::: {.column width="50%"}
![](bsvars.png){width="120"}

- skrypty z przekierowaniem

```{r}
#| eval: false
library(bsvars)
data(us_fiscal_lsuw)

us_fiscal_lsuw |> 
  specify_bsvar$new() |> 
  estimate(S = 1000) |> 
  estimate(S = 10000) -> post

post |> compute_impulse_responses(horizon = 12) |> plot()
post |> compute_variance_decompositions(horizon = 12) |> plot()
post |> compute_historical_decompositions() |> plot()
post |> compute_structural_shocks() |> plot()
post |> compute_conditional_sd() |> plot()
post |> forecast(horizon = 12) |> plot()
post |> verify_identification() |> summary()
```
:::
  
::: {.column width="50%"}
![](bsvarSIGNs.png){width="120"}

- skrypty z przekierowaniem

```{r}
#| eval: false
library(bsvarSIGNs)
data(optimism)

optimism |> 
  specify_bsvarSIGN$new() |> 
  estimate(S = 10000) -> post

post |> compute_impulse_responses(horizon = 12) |> plot()
post |> compute_variance_decompositions(horizon = 12) |> plot()
post |> compute_historical_decompositions() |> plot()
post |> compute_structural_shocks() |> plot()
post |> compute_conditional_sd() |> plot()
post |> forecast(horizon = 12) |> plot()
```
:::
  
::::


## <span style="color: #ff68b4;">cechy paczek bsvars i bsvarSIGNs</span> {background-color="#77001b"}

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

:::: {.columns}

::: {.column width="50%"}
![](bsvars.png){width="120"}

- monitorowanie postępu

![](bsvars_progress.png){width="500"}
:::
  
::: {.column width="50%"}
![](bsvarSIGNs.png){width="120"}

- monitorowanie postępu

![](bsvarSIGNs_progress.png){width="500"}
:::
  
::::





## <span style="color: #ff68b4;">strukturalne modele VAR</span> {background-color="#77001b"}

## strukturalne modele VAR

- podstawowe dla modelowania efektów polityki ekonomicznej
- analiza **dynamicznych efektów przyczynowych** dobrze izolowanej przyczyny
- stosunkowo proste w pracy z danymi i dostarczają *empirycznych dowodów na propagację szoków* przez gospodarki i rynki
- dostarczają empirycznych faktów do uwzględnienia w modelach teoretyczne
- szeroko stosowane w: *polityce pieniężnej* i *fiskalnej*, *rynku finansowym*, ...
- rozszerzalne: *wiele wariantów specyfikacji*
    -   nieliniowość
    -   heteroskedastyczność
    -   zmienne parametry w czasie
    -   modelowanie hierarchiczne bayesowskie
-   zaproponowane przez [Sims (1980)](https://doi.org/10.2307/1912017)

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::



## strukturalne modele VAR

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

### model.
\begin{align}
\text{równanie VAR: }&& y_t &= \mathbf{A}_1 y_{t-1} + \dots + \mathbf{A}_p y_{t-p} + \mathbf{A}_d x_{t} + \epsilon_t\\[1ex]
\text{równanie structuralne: }&& \mathbf{B}\epsilon_t &= u_t\\[1ex]
\text{structuralne szoki: }&& u_t |Y_{t-1} &\sim N_N\left(\mathbf{0}_N,\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_t^2\right)\right)
\end{align}

::: {.fragment}
### notacja.
- $y_t$ - wektor $N$ zmiennych na okres $t$
- $\mathbf{A}_i$ i $\mathbf{B}$ - $N\times N$ macierze parametrów autoregresyjnych i strukturalnych
- $\epsilon_t$ i $u_t$ - wektory $N$ błędów statystycznych i szoków strukturalnych
- $\boldsymbol\sigma_t^2$ - wektor $N$ wariancji szoków strukturalnych
:::




## SVAR: hierarchiczne rozkłady a priori

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

:::: {.columns}
::: {.column width="45%"}
![](bsvars.png){width="120"}

- normalny-uogólniony normalny rozkład *a priori* dla $\mathbf{A}$ i $\mathbf{B}$
- wielopoziomowa estymacja wariancji *a priori*
- rozkład *a priori* z Minnesoty dla niestacjonarnych szeregów czasowych
- bardziej precyzyjne estymacja i prognozowanie
:::
  
::: {.column width="5%"}
:::

::: {.column width="45%"}
![](bsvarSIGNs.png){width="120"}

- rozkład *a priori* normalny i odwrócony Wisharta dla $\mathbf{A}$ i $\mathbf{\Sigma} = (\mathbf{B}'\mathbf{B})^{-1}$
- estymacja wariancji *a priori*
- rozkład *a priori* z Minnesoty dla niestacjonarnych szeregów czasowych
- bardziej precyzyjne estymacja i prognozowanie
:::
::::






## SVAR: modelowanie zmienności

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

:::: {.columns}
::: {.column width="65%"}
![](bsvars.png){width="120"}

- homoskedastyczność $\boldsymbol\sigma_{n.t}^2 = 1$
- zmienność stochastyczna
- stacjonarny proces Markova dla zmienności
- nieparametryczny proces Markova dla zmienności

- rozkłady szoków
  - normalny
  - skończona mieszanka rozkładów normalnych
  - nieparametryczna mieszanka rozkładów normalnych
  - rozkład t-Studenta
:::
  
::: {.column width="5%"}
:::

::: {.column width="30%"}
![](bsvarSIGNs.png){width="120"}

- homoskedastyczność
- normalny rozkład szoków
:::
::::







## SVAR: identyfikacja

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::


:::: {.columns}
::: {.column width="45%"}
![](bsvars.png){width="120"}

- restrykcje zerowe
- heteroskedastyczność
- nienormalne rozkłady szoków
:::
  
::: {.column width="5%"}
:::

::: {.column width="45%"}
![](bsvarSIGNs.png){width="120"}

- restrykcje znaków
- restrykcje zerowe
- restrykcje narracyjne
:::
::::







## strukturalne modele VAR

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

### błędy statystyczne.
\begin{align}
&&&\\
\text{równanie strukturalne: }&& \epsilon_t &= \mathbf{B}^{-1}u_t = \mathbf{\Theta}_0 u_t\\[1ex]
\text{błędy statystyczne: }&& \epsilon_t |Y_{t-1} &\sim N_N\left(\mathbf{0}_N,\Sigma\right)\\[1ex]
\text{kowariancja: }&& \mathbf\Sigma &= \mathbf{B}^{-1}\mathbf{B}^{-1\prime} = \Theta_0\Theta_0'
\end{align}

### Notacja.
- $\mathbf\Sigma$ - $N\times N$ kowariancja błędów statystycznych
- $\Theta_0 = \mathbf{B}^{-1}$ - $N\times N$ macierz efektów strukturalnych


## strukturalne modele VAR

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

Wstaw *równanie VAR* w *równanie strukturalne*:

\begin{align}
\mathbf{B}y_t &= \mathbf{B}\mathbf{A}_1 y_{t-1} + \dots + \mathbf{B}\mathbf{A}_p y_{t-p} + \mathbf{B}\boldsymbol\mu_0 + u_t\\[1ex]
&\\
\end{align}

### relacje strukturanlne.

Niech $N=2$

\begin{align}
\mathbf{B}y_t &= \begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1t}\\y_{2t}\end{bmatrix}
\end{align}





## strukturalne modele VAR

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

Wstaw *równanie strukturalne* dla $\epsilon_t$ w *równanie VAR*:

\begin{align}
y_t &= \mathbf{A}_1 y_{t-1} + \dots + \mathbf{A}_p y_{t-p} + \boldsymbol\mu_0 + \mathbf{B}^{-1}u_t\\[1ex]
y_t &= \mathbf{A}_1 y_{t-1} + \dots + \mathbf{A}_p y_{t-p} + \boldsymbol\mu_0 + \mathbf{\Theta}_0 u_t
\end{align}

### efekty strukturane.

Niech $N=2$

\begin{align}
\begin{bmatrix}y_{1t}\\y_{2t}\end{bmatrix} &= \dots +
\begin{bmatrix}\Theta_{11}&\Theta_{12}\\\Theta_{21}&\Theta_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{1t}\\ u_{2t}\end{bmatrix}
\end{align}




## <span style="color: #ff68b4;">identyfikacja modeli strukturalnych</span>  {background-color="#77001b"}

## identyfikacja modeli strukturalnych

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

### kowariancja i relacje strukturalne.

\begin{align}
&\\
\mathbf\Sigma &= \mathbf{B}^{-1}\mathbf{B}^{-1\prime}\\[1ex]
\end{align}

- $\mathbf\Sigma$ może być estymowana z danych
- układ równań strukturalnych do rozwiązanie dla $\mathbf{B}$
- $\mathbf\Sigma$ jest macierzą *symetryczną* $N\times N$
- $\mathbf\Sigma$ ma $N(N+1)/2$ unikalnych elementów, tj. równań
- $\mathbf{B}$ jest $N\times N$ macierzą z $N^2$ elementami do estymacji
- niewystarczająca liczba równań do estymacji $\mathbf{B}$
- $\mathbf{B}$ <text style="color:#77001b;">**nie jest indentyfikowalna**</text>




## identyfikacja modeli strukturalnych

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

### restrykcje zerowe.

\begin{align}
&\\
\mathbf\Sigma &= \mathbf{B}^{-1}\mathbf{B}^{-1\prime}\\[1ex]
\end{align}

### identyfikacja.

- jedynie $N(N+1)/2$ elementów w $\mathbf{B}$ może być wyestymowanych
- nałożenie $N(N-1)/2$ restrykcji na $\mathbf{B}$ ułatwia rozwiązanie
- wiersze w $\mathbf{B}$ (i kolumny w $\mathbf\Theta_0$) identyfikowane co do znaku
- zmiana znaków wierszy w $\mathbf{B}$ nie zmienia wartości $\mathbf\Sigma$ 
- często zakładamy trójkątną macierz $\mathbf{B}$



## identyfikacja modeli strukturalnych

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

### restrykcje zerowe.

Niech $N=2$ 

\begin{align}
\begin{bmatrix}\sigma_1^2&\sigma_{12}\\ \sigma_{12}&\sigma_2^2\end{bmatrix} &\qquad
\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}\\[1ex]
\end{align}

- 3 unikalne elementy w $\mathbf\Sigma$ - 3 równania
- 4 elemnty w $\mathbf{B}$ do rozwiązania

### identyfikacja.

\begin{align}
\begin{bmatrix}\sigma_1^2&\sigma_{12}\\ \sigma_{12}&\sigma_2^2\end{bmatrix} &\qquad
\begin{bmatrix}B_{11}& 0\\ B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}\\[1ex]
\end{align}

- 3 równania pozwalaja rozwiązać 3 niewiadome w $\mathbf{B}$









## identyfikacja modeli strukturalnych

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

### identyfikacja przez heteroskedastyczność.

Rozważ: 

- dwie kowariancje, $\mathbf\Sigma_1$ and $\mathbf\Sigma_2$,
- macież $\mathbf{B}_0$ niezmienna w czasie
- kowariancje heteroskedastycznych szoków strukturalnych $\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_1^2\right)$ i $\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_2^2\right)$

\begin{align}
\mathbf\Sigma_1 &= \mathbf{B}_0^{-1}\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_1^2\right)\mathbf{B}_0^{-1\prime}\\[1ex]
\mathbf\Sigma_2 &= \mathbf{B}_0^{-1}\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_2^2\right)\mathbf{B}_0^{-1\prime}
\end{align}



## identyfikacja modeli strukturalnych

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

### identyfikacja przez heteroskedastyczność.
\begin{align}
\mathbf\Sigma_1 &= \mathbf{B}_0^{-1}\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_1^2\right)\mathbf{B}_0^{-1\prime}\\[1ex]
\mathbf\Sigma_2 &= \mathbf{B}_0^{-1}\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_2^2\right)\mathbf{B}_0^{-1\prime}
\end{align}


### identyfikacja.

- $\mathbf\Sigma_1$ i $\mathbf\Sigma_2$ mają $N^2+N$ unikalnych elementów
- wszystkie $N^2$ elementy w $\mathbf{B}_0$ mogą być wyestymowane
- oba wektory $\boldsymbol\sigma_1^2$ i $\boldsymbol\sigma_2^2$ mogą być wyestymowane dzięki założeniu: $E\left[\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_i^2\right)\right] = \mathbf{I}_N$


## identyfikacja modeli strukturalnych

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

Rozważ uogólnienie

\begin{align}
u_t |Y_{t-1} &\sim N_N\left(\mathbf{0}_N, \text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_t^2\right)\right)\\[1ex]
\mathbf\Sigma_t &= \mathbf{B}_0^{-1}\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_t^2\right)\mathbf{B}_0^{-1\prime}
\end{align}

### identyfikacja.

- identyfikacja macierzy $\mathbf{B}_0$ co do znaków i kolejności wierszy
- szoki są identyfikowalne jeśli wariancje warunkowe nie są proporcjonalne
- wariancje warunkowe $\boldsymbol\sigma_t^2$ mogą być wyestymowane


### modelowanie zmienności.

Wybierz model dla $\boldsymbol\sigma_t^2$ o najlepszych właściwościach.



## <span style="color: #ff68b4;">identyfikacja modeli strukturalnych</span> {background-color="#77001b"}

```{r Alternative_Identification}
#| echo: false
#| cache: true

set.seed(1)

ax_lim = 3.6
T = 500
df = 3
B = matrix(c(1,-1,1,1), 2, 2)
Bit = t(solve(B))
en = matrix(rnorm(2 * T), T, 2)
et = sqrt((df - 2) / df) * matrix(rt(2 * T, df = df), T, 2)

yn = en %*% Bit
yt = et %*% Bit

par(
  bg = "#77001b",
  mfrow = c(1,2),
  col = scales::alpha("#ff68b4", .5),
  col.main = "#ff68b4",
  col.lab = "#ff68b4"
)
plot(
  x = yn[,1], y = yn[,2], 
  ylim = c(-ax_lim, ax_lim), 
  xlim = c(-ax_lim, ax_lim),
  bty="n", pch = 16,
  ylab = "y", xlab = "x",
  axes = FALSE,
  main = "homoskedastyczość i rozkład normalny"
)
abline(a = 0, b = 1, col = "#ff68b4")
abline(a = 0, b = -1, col = "#ff68b4")

plot(
  x = yt[,1], y = yt[,2], 
  ylim = c(-ax_lim, ax_lim), 
  xlim = c(-ax_lim, ax_lim),
  bty="n", pch = 16,
  ylab = "", xlab = "x",
  axes = FALSE,
  main = "heteroskedastyczność i rozkład leptokurtyczny"
)
abline(a = 0, b = 1, col = "#ff68b4")
abline(a = 0, b = -1, col = "#ff68b4")

```










## identyfikacja modeli strukturalnych

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

### równanie strukturalne.

\begin{align}
\text{relacje strukturalne:}&&\mathbf{Q}\mathbf{B}\epsilon_t &= \mathbf{Q}u_t\\[1ex]
\text{efekty strukturalne:}&&\epsilon_t &= \mathbf{\Theta}_0\mathbf{Q}'\mathbf{Q} u_t\\[1ex]
\end{align}

### identyfikacja co do macierzy obrotu.

\begin{align}
\mathbf\Sigma &= \mathbf{B}^{-1}\mathbf{Q}'\mathbf{Q}\mathbf{B}^{-1\prime} = \mathbf{\Theta}_0\mathbf{Q}'\mathbf{Q}\mathbf{\Theta}_0^{\prime}\\[1ex]
\mathbf{Q}'\mathbf{Q} &= \mathbf{I}_N\\[1ex]
\end{align}

+ funkcja wiarygodności nie zależy od $\mathbf{Q}$
+ identyfikacja modely zawęża typ $\mathbf{Q}$
+ restrykcje zerowe zmieniają typ macierzy $\mathbf{Q}$ do diagonalnej z elementami $\pm1$


## identyfikacja modeli strukturalnych

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

### restrykcje znaku.

\begin{align}
\text{relacje strukturalne:}&&\tilde{\mathbf{B}}\epsilon_t &= \tilde{u}_t\\[1ex]
\text{efekty strukturalne:}&&\epsilon_t &= \tilde{\mathbf{\Theta}}_0\tilde{u}_t\\[1ex]
\end{align}

+ restrykcje na znak elementów w $\tilde{\mathbf{B}}$ i/lub $\tilde{\mathbf{\Theta}}_0$
+ zawęża zbiór identyfikowalny: model jest identyfikowalny co do macierzy obrotu $\mathbf{Q}$ koherentnej z restrykcjami
+ estymacja ma za cel przybliżenie zbioru identyfikowalnego

### restrykcje znaku i zerowe.

+ restrykcje zerowe i na znak elementów w  $\tilde{\mathbf{B}}$ i/lub $\tilde{\mathbf{\Theta}}_0$
+ zawęża zbiór identyfikowalny




## identyfikacja modeli strukturalnych

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

### restrykcje narracyjne.

+ restrykcje na znak elementów lub wielkości $u_t$ lub $\tilde{u}_t$
+ restrykcje w oparciu na narrację, teorię ekonomii i konsensus naukowy
+ należy dostosować metody estymacji
+ zawęża zbiór identyfikowalny

### nowa cecha.

+ restrykcje zerowe, narracyjne i na znak w jednym modelu w paczce **bsvarSIGNs**



















## <span style='color: #ff68b4;'>modelowanie rozkładu i zmienności</span> {background-color="#77001b"}



## niescentrowana zmienność stochastyczna

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

![](bsvars.png){.absolute top=-10 right=10 width="120"}

\begin{align}
&\\
\text{wariancja warunkowa:}&&\sigma_{n.t}^2 &= \exp\left\{\omega_n h_{n.t}\right\}\\
\text{w skali log:}&&h_{n.t} &= \rho_n h_{n.t-1} + v_{n.t}\\ 
\text{innowacje zmienności:}&&v_{n.t}&\sim N\left(0,1\right)\\
\end{align}

- świetna zdolność do prognozowania
- normalizajca $\sigma_{n.t}^2 = 1$
- `verify_identification()` przez ocene restrykcji $H_0:\omega_n = 0$







## scentrowana zmienność stochastyczna

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

![](bsvars.png){.absolute top=-10 right=10 width="120"}

\begin{align}
&\\
\text{wariancja warunkowa:}&&\sigma_{n.t}^2 &= \exp\left\{ \tilde{h}_{n.t}\right\}\\
\text{w skali log:}&&\tilde{h}_{n.t} &= \rho_n \tilde{h}_{n.t-1} + \tilde{v}_{n.t}\\ 
\text{innowacje zmienności:}&&\tilde{v}_{n.t}&\sim N\left(0,\omega_n^2\right)\\
\end{align}

- świetna zdolność do prognozowania




## zmienność stochastyczna: rozkłady a priori

```{r plot_cv_prior}
#| echo: false
p_svnc_log      = function(x,t){
  # log-variances non-centered SV
  (pi*sqrt(t*sigma.omega.sq))^(-1)*besselK(abs(x)/sqrt(t*sigma.omega.sq),0)
}
p_sv_log        = function(x,t){
  # log-variances SV
  gamma((sigma.nu+1)/2)/gamma((sigma.nu)/2)*pi^(-1/2)*((t+1)*sigma.s)^(-1/2)*(1+((t+1)*sigma.s)^(-1)*x^(2))^(-(sigma.nu+1)/2)
}
p_svnc          = function(x,t){
  # variances non-centered SV
  (pi*sqrt(t*sigma.omega.sq)*x)^(-1)*besselK(abs(log(x))/sqrt(t*sigma.omega.sq),0)
}
p_sv            = function(x,t){
  # variances SV
  gamma((sigma.nu+1)/2)/gamma((sigma.nu)/2)*pi^(-1/2)*sigma.s^(sigma.nu/2)*(t+1)^(-1/2)*(x)^(-1)*(sigma.s+(t+1)^(-1)*(log(x))^(2))^(-(sigma.nu+1)/2)
}

T               = 5
zlimabrar       = 2.5
grid            = seq(from=-2.5, to=2.5, by=0.00001)
grid_var        = seq(from=0.00000001, to=3.2, by=0.00001)

s               = 0.1
sigma.omega.sq  = s   # conditional variance hyper-parameter
sigma.s         = s   # log-conditional variance hyper-parameter
sigma.nu        = 3   # log-conditional variance hyper-parameter

plot(
  x = grid_var, 
  y = p_svnc(grid_var,T), 
  type = "l", 
  main = "", 
  col = pin, 
  lwd = 2,
  xlim = c(0,3), 
  ylim = c(0,zlimabrar), 
  xlab = "wariancja warunkowa", 
  ylab = "rozkład", 
  frame.plot = FALSE, 
  axes = FALSE
)
lines(
  x = grid_var, 
  y = p_sv(grid_var, T), 
  col = dar,
  lwd = 2
)
legend(
  "topright",
  legend = c("niescentrowana", "scentrowana"),
  col = c(pin, dar),
  lwd = 2,
  bty = "n"
)
axis(2, c(0,1,2), c(0,1,2))
axis(1, c(0,1,2,3), c(0,1,2,3))
abline(h = 0, lwd = 0.5)
```







## proces Markowa dla zmienności.

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

![](bsvars.png){.absolute top=-10 right=10 width="120"}

\begin{align}
&\\
\text{szoki strukturalne:}&&\mathbf{u}_t\mid s_t \sim N\left( \mathbf{0}_N, \text{diag}\left(\boldsymbol{\sigma}_{s_t}^2\right) \right)\\
\text{a priori:}&& M^{-1}\left(\boldsymbol{\sigma}_{1}^2, \dots, \boldsymbol{\sigma}_{M}^2\right) \sim Dirichlet(\underline{a}\boldsymbol\imath')\\
\text{proces Markowa:}&& s_t\sim \text{Markov}(\mathbf{P},\boldsymbol\pi_0)
\end{align}

- modelowanie proces Markowa dla zmienności
- zapewnia identyfikację
- poprawa zdolności do prognozowania
- `verify_identification()` przez ocenę restrykcji $H_0:\boldsymbol{\sigma}_{1}^2, \dots, \boldsymbol{\sigma}_{M}^2 = 1$









## mieszanka rozkładów normalnych.

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

![](bsvars.png){.absolute top=-10 right=10 width="120"}

\begin{align}
&\\
\text{szoki strukturalne:}&&\mathbf{u}_t\mid s_t \sim N\left( \mathbf{0}_N, \text{diag}\left(\boldsymbol{\sigma}_{s_t}^2\right) \right)\\
\text{a priori:}&& M^{-1}\left(\boldsymbol{\sigma}_{1}^2, \dots, \boldsymbol{\sigma}_{M}^2\right) \sim Dirichlet(\underline{a}\boldsymbol\imath')\\
\text{prawdopodobieństwo:}&& Pr[s_t]=\boldsymbol\pi_0
\end{align}

- modelowanie mieszanki rozkładów normalnych
- zapewnia identyfikację
- `verify_identification()` przez ocenę restrykcji $H_0:\boldsymbol{\sigma}_{1}^2, \dots, \boldsymbol{\sigma}_{M}^2 = 1$




## rozkład t-studenta.

::: footer
[bsvars.org](https://bsvars.org)
:::

![](bsvars.png){.absolute top=-10 right=10 width="120"}


\begin{align}
&&&\\
\text{szoki strukturalne:}&&\mathbf{u}_t\mid\mathbf{x}_t &\sim t\left( \mathbf{0}_N, \mathbf{I}_N, \nu \right)
\end{align}

- $\nu$ - szacowane z danych stopnie swobody
- grube ogony zapewniają identyfikację
- poprawa zdolności do prognozowania
- `verify_identification()` przez ocenę restrykcji $H_0:\nu \rightarrow\infty$



##  {background-color="#77001b"}

![](social_uek.png){.absolute top=10 right=10 width="1000"}






















## <span style='color: #ff68b4;'>Australian Monetary Policy Analysis</span> {background-color="#77001b"}

$$ $$

[Download reproduction script](https://github.com/bsvars/2024-12-uek/blob/master/bsvars_oz.R)



## Australian Monetary Policy Analysis

::: footer 
[bsvars.org](https://bsvars.org) 
:::

### System of four variables.

Based on [Turnip (2017)]( https://doi.org/10.1111/1475-4932.12345)

\begin{align}
y_t = \begin{bmatrix} \Delta rgdp_t & \pi_t & cr_t & \Delta rtwi_t \end{bmatrix}'
\end{align}

### A lower-triangular identification pattern.

\begin{align}
\begin{bmatrix}
B_{11}&0&0&0\\
B_{21}&B_{22}&0&0\\
B_{31}&B_{32}&B_{33}&0\\
B_{41}&B_{42}&B_{43}&B_{44}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \Delta rgdp_t \\ \pi_t \\ cr_t \\ \Delta rtwi_t \end{bmatrix} \end{align}


## Four-Variable Monetary System

```{r} 
#| label: data
#| cache: true
#| warning: false
#| fig-align: "center"
#| fig-height: 6
#| output-location: slide

# Gross domestic product (GDP); Chain volume
rgdp_dwnld      = readrba::read_rba(series_id = "GGDPCVGDP")
rgdp_tmp        = xts::xts(rgdp_dwnld$value, rgdp_dwnld$date, tclass = 'yearqtr')
drgdp           = na.omit(400 * diff(log(rgdp_tmp)))
drgdp           = xts::to.quarterly(drgdp, OHLC = FALSE)

# Consumer price index; All groups; Quarterly change (in per cent)
picpi_dwnld     = readrba::read_rba(series_id = "GCPIAGSAQP")
pi              = 4 * xts::xts(picpi_dwnld$value, picpi_dwnld$date, tclass = 'yearqtr')
pi              = xts::to.quarterly(pi, OHLC = FALSE)

# Interbank Overnight Cash Rate
cr_dwnld        = readrba::read_rba(series_id = "FIRMMCRID")   # Cash Rate Target
cr_tmp          = xts::xts(cr_dwnld$value, cr_dwnld$date)
cr              = xts::to.quarterly(cr_tmp, OHLC = FALSE)

# Real Trade-Weighted Index
rtwi_dwnld      = readrba::read_rba(series_id = "FRERTWI")
rtwi_tmp        = xts::xts(rtwi_dwnld$value, rtwi_dwnld$date, tclass = 'yearqtr')
rtwi            = 100 * na.omit(diff(log(rtwi_tmp)))
drtwi            = xts::to.quarterly(rtwi, OHLC = FALSE)

y               = na.omit(merge(drgdp, pi, cr, drtwi))
plot(y, main = "Australian monetary system",
     legend.loc = "bottomleft", col = c("#FF00FF","#990099","#77001b","#330033"))
```


::: footer 
[bsvars.org](https://bsvars.org) 
:::



## Model Estimation

::: footer 
[bsvars.org](https://bsvars.org) 
:::


### Lower-triangular model with zero prior mean for $\mathbf{A}$.

```{r}
#| cache: true
#| eval: true
# estimation - lower-triangular model
############################################################
library(bsvars)
set.seed(123)

spec = specify_bsvar$new(
  as.matrix(y), 
  p = 4, 
  stationary = rep(TRUE, 4)
)
spec |>
  estimate(S = 1000) |>
  estimate(S = 5000) -> post
```




## Compute impulse responses

::: footer 
[bsvars.org](https://bsvars.org) 
:::

```{r}
#| cache: true

post |> 
  compute_impulse_responses(horizon = 20) |> 
  plot()

```






## Compute forecast error variance decompositions

::: footer 
[bsvars.org](https://bsvars.org) 
:::

```{r}
#| cache: true

post |> 
  compute_variance_decompositions(horizon = 20) |> 
  plot()

```








## Compute structural shocks

::: footer 
[bsvars.org](https://bsvars.org) 
:::

```{r}
#| cache: true

post |> 
  compute_structural_shocks() |> 
  plot()

```


## Compute fitted values

::: footer 
[bsvars.org](https://bsvars.org) 
:::

```{r}
#| cache: true

post |> 
  compute_fitted_values() |> 
  plot()

```




## Compute forecasts

::: footer 
[bsvars.org](https://bsvars.org) 
:::

```{r}
#| cache: true

post |> 
  forecast(horizon = 8) |> 
  plot(data_in_plot = 0.3)

```





##  {background-color="#77001b"}

![](social_uek.png){.absolute top=10 right=10 width="1000"}