-Structural Vector Autoregressions
+
+strukturalne modele VAR
-The model.
+model.
\[\begin{align}
-\text{VAR equation: }&& y_t &= \mathbf{A}_1 y_{t-1} + \dots + \mathbf{A}_p y_{t-p} + \boldsymbol\mu_0 + \epsilon_t\\[1ex]
-\text{structural equation: }&& \mathbf{B}\epsilon_t &= u_t\\[1ex]
-\text{structural shocks: }&& u_t |Y_{t-1} &\sim N_N\left(\mathbf{0}_N,\mathbf{I}_N\right)
+\text{równanie VAR: }&& y_t &= \mathbf{A}_1 y_{t-1} + \dots + \mathbf{A}_p y_{t-p} + \mathbf{A}_d x_{t} + \epsilon_t\\[1ex]
+\text{równanie structuralne: }&& \mathbf{B}\epsilon_t &= u_t\\[1ex]
+\text{structuralne szoki: }&& u_t |Y_{t-1} &\sim N_N\left(\mathbf{0}_N,\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_t^2\right)\right)
\end{align}\]
-
Notation.
+
notacja.
+
+\(y_t\) - wektor \(N\) zmiennych na okres \(t\) \(\mathbf{A}_i\) i \(\mathbf{B}\) - \(N\times N\) macierze parametrów autoregresyjnych i strukturalnych\(\epsilon_t\) i \(u_t\) - wektory \(N\) błędów statystycznych i szoków strukturalnych\(\boldsymbol\sigma_t^2\) - wektor \(N\) wariancji szoków strukturalnych
+
+
+SVAR: hierarchiczne rozkłady a priori
+
+
+
+
+
+normalny-uogólniony normalny rozkład a priori dla \(\mathbf{A}\) i \(\mathbf{B}\)
+wielopoziomowa estymacja wariancji a priori
+rozkład a priori z Minnesoty dla niestacjonarnych szeregów czasowych
+bardziej precyzyjne estymacja i prognozowanie
+
+
+
+
+
+
+rozkład a priori normalny i odwrócony Wisharta dla \(\mathbf{A}\) i \(\mathbf{\Sigma} = (\mathbf{B}'\mathbf{B})^{-1}\)
+estymacja wariancji a priori
+rozkład a priori z Minnesoty dla niestacjonarnych szeregów czasowych
+bardziej precyzyjne estymacja i prognozowanie
+
+
+
+
+SVAR: modelowanie zmienności
+
+
+
+
+
+homoskedastyczność \(\boldsymbol\sigma_{n.t}^2 = 1\)
zmienność stochastyczna
stacjonarny proces Markova dla zmienności
nieparametryczny proces Markova dla zmienności
rozkłady szoków
+
+normalny
+skończona mieszanka rozkładów normalnych
+nieparametryczna mieszanka rozkładów normalnych
+rozkład t-Studenta
+
+
+
+
+
+
+homoskedastyczność
+normalny rozkład szoków
+
+
+
+
+SVAR: identyfikacja
+
+
+
+
+
+restrykcje zerowe
+heteroskedastyczność
+nienormalne rozkłady szoków
+
+
+
+
+
+
+restrykcje znaków
+restrykcje zerowe
+restrykcje narracyjne
+
+
+
+
+strukturalne modele VAR
+
+błędy statystyczne.
+\[\begin{align}
+&&&\\
+\text{równanie strukturalne: }&& \epsilon_t &= \mathbf{B}^{-1}u_t = \mathbf{\Theta}_0 u_t\\[1ex]
+\text{błędy statystyczne: }&& \epsilon_t |Y_{t-1} &\sim N_N\left(\mathbf{0}_N,\Sigma\right)\\[1ex]
+\text{kowariancja: }&& \mathbf\Sigma &= \mathbf{B}^{-1}\mathbf{B}^{-1\prime} = \Theta_0\Theta_0'
+\end{align}\]
+Notacja.
+
+\(\mathbf\Sigma\) - \(N\times N\) kowariancja błędów statystycznych\(\Theta_0 = \mathbf{B}^{-1}\) - \(N\times N\) macierz efektów strukturalnych
+
+
+strukturalne modele VAR
+
+Wstaw równanie VAR w równanie strukturalne :
+\[\begin{align}
+\mathbf{B}y_t &= \mathbf{B}\mathbf{A}_1 y_{t-1} + \dots + \mathbf{B}\mathbf{A}_p y_{t-p} + \mathbf{B}\boldsymbol\mu_0 + u_t\\[1ex]
+&\\
+\end{align}\]
+relacje strukturanlne.
+Niech \(N=2\)
+\[\begin{align}
+\mathbf{B}y_t &= \begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1t}\\y_{2t}\end{bmatrix}
+\end{align}\]
+
+
+strukturalne modele VAR
+
+Wstaw równanie strukturalne dla \(\epsilon_t\) w równanie VAR :
+\[\begin{align}
+y_t &= \mathbf{A}_1 y_{t-1} + \dots + \mathbf{A}_p y_{t-p} + \boldsymbol\mu_0 + \mathbf{B}^{-1}u_t\\[1ex]
+y_t &= \mathbf{A}_1 y_{t-1} + \dots + \mathbf{A}_p y_{t-p} + \boldsymbol\mu_0 + \mathbf{\Theta}_0 u_t
+\end{align}\]
+efekty strukturane.
+Niech \(N=2\)
+\[\begin{align}
+\begin{bmatrix}y_{1t}\\y_{2t}\end{bmatrix} &= \dots +
+\begin{bmatrix}\Theta_{11}&\Theta_{12}\\\Theta_{21}&\Theta_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{1t}\\ u_{2t}\end{bmatrix}
+\end{align}\]
+
+
+identyfikacja modeli strukturalnych
+
+identyfikacja modeli strukturalnych
+
+kowariancja i relacje strukturalne.
+\[\begin{align}
+&\\
+\mathbf\Sigma &= \mathbf{B}^{-1}\mathbf{B}^{-1\prime}\\[1ex]
+\end{align}\]
+
+\(\mathbf\Sigma\) może być estymowana z danychukład równań strukturalnych do rozwiązanie dla \(\mathbf{B}\)
+\(\mathbf\Sigma\) jest macierzą symetryczną \(N\times N\) \(\mathbf\Sigma\) ma \(N(N+1)/2\) unikalnych elementów, tj. równań\(\mathbf{B}\) jest \(N\times N\) macierzą z \(N^2\) elementami do estymacjiniewystarczająca liczba równań do estymacji \(\mathbf{B}\)
+\(\mathbf{B}\) nie jest indentyfikowalna
+
+
+identyfikacja modeli strukturalnych
+
+restrykcje zerowe.
+\[\begin{align}
+&\\
+\mathbf\Sigma &= \mathbf{B}^{-1}\mathbf{B}^{-1\prime}\\[1ex]
+\end{align}\]
+identyfikacja.
+
+jedynie \(N(N+1)/2\) elementów w \(\mathbf{B}\) może być wyestymowanych
+nałożenie \(N(N-1)/2\) restrykcji na \(\mathbf{B}\) ułatwia rozwiązanie
+wiersze w \(\mathbf{B}\) (i kolumny w \(\mathbf\Theta_0\) ) identyfikowane co do znaku
+zmiana znaków wierszy w \(\mathbf{B}\) nie zmienia wartości \(\mathbf\Sigma\)
+często zakładamy trójkątną macierz \(\mathbf{B}\)
+
+
+
+identyfikacja modeli strukturalnych
+
+restrykcje zerowe.
+Niech \(N=2\)
+\[\begin{align}
+\begin{bmatrix}\sigma_1^2&\sigma_{12}\\ \sigma_{12}&\sigma_2^2\end{bmatrix} &\qquad
+\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}\\[1ex]
+\end{align}\]
+
+3 unikalne elementy w \(\mathbf\Sigma\) - 3 równania
+4 elemnty w \(\mathbf{B}\) do rozwiązania
+
+identyfikacja.
+\[\begin{align}
+\begin{bmatrix}\sigma_1^2&\sigma_{12}\\ \sigma_{12}&\sigma_2^2\end{bmatrix} &\qquad
+\begin{bmatrix}B_{11}& 0\\ B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}\\[1ex]
+\end{align}\]
+
+3 równania pozwalaja rozwiązać 3 niewiadome w \(\mathbf{B}\)
+
+
+
+identyfikacja modeli strukturalnych
+
+identyfikacja przez heteroskedastyczność.
+Rozważ:
+
+dwie kowariancje, \(\mathbf\Sigma_1\) and \(\mathbf\Sigma_2\) ,
+macież \(\mathbf{B}_0\) niezmienna w czasie
+kowariancje heteroskedastycznych szoków strukturalnych \(\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_1^2\right)\) i \(\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_2^2\right)\)
+
+\[\begin{align}
+\mathbf\Sigma_1 &= \mathbf{B}_0^{-1}\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_1^2\right)\mathbf{B}_0^{-1\prime}\\[1ex]
+\mathbf\Sigma_2 &= \mathbf{B}_0^{-1}\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_2^2\right)\mathbf{B}_0^{-1\prime}
+\end{align}\]
+
+
+identyfikacja modeli strukturalnych
+
+identyfikacja przez heteroskedastyczność.
+\[\begin{align}
+\mathbf\Sigma_1 &= \mathbf{B}_0^{-1}\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_1^2\right)\mathbf{B}_0^{-1\prime}\\[1ex]
+\mathbf\Sigma_2 &= \mathbf{B}_0^{-1}\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_2^2\right)\mathbf{B}_0^{-1\prime}
+\end{align}\]
+identyfikacja.
-\(\mathbf{B}\) - \(N\times N\) structural matrix of contemporaneous relationships
\(u_t\) - \(N\) -vector of structural shocks at time \(t\)
-Isolating these shocks allows us to identify dynamic effects of uncorrelated shocks on variables \(y_t\)
\(\epsilon_t\) - \(N\) -vector with error terms at time \(t\)
the rest as in the lecture on Bayesian VARs
\(\mathbf\Sigma_1\) i \(\mathbf\Sigma_2\) mają \(N^2+N\) unikalnych elementówwszystkie \(N^2\) elementy w \(\mathbf{B}_0\) mogą być wyestymowane
+oba wektory \(\boldsymbol\sigma_1^2\) i \(\boldsymbol\sigma_2^2\) mogą być wyestymowane dzięki założeniu: \(E\left[\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_i^2\right)\right] = \mathbf{I}_N\)
+
+
+identyfikacja modeli strukturalnych
+
+Rozważ uogólnienie
+\[\begin{align}
+u_t |Y_{t-1} &\sim N_N\left(\mathbf{0}_N, \text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_t^2\right)\right)\\[1ex]
+\mathbf\Sigma_t &= \mathbf{B}_0^{-1}\text{diag}\left(\boldsymbol\sigma_t^2\right)\mathbf{B}_0^{-1\prime}
+\end{align}\]
+identyfikacja.
+
+identyfikacja macierzy \(\mathbf{B}_0\) co do znaków i kolejności wierszy
+szoki są identyfikowalne jeśli wariancje warunkowe nie są proporcjonalne
+wariancje warunkowe \(\boldsymbol\sigma_t^2\) mogą być wyestymowane
+
+modelowanie zmienności.
+Wybierz model dla \(\boldsymbol\sigma_t^2\) o najlepszych właściwościach.
-
+
+identyfikacja modeli strukturalnych
+
+identyfikacja modeli strukturalnych
+
+równanie strukturalne.
+\[\begin{align}
+\text{relacje strukturalne:}&&\mathbf{Q}\mathbf{B}\epsilon_t &= \mathbf{Q}u_t\\[1ex]
+\text{efekty strukturalne:}&&\epsilon_t &= \mathbf{\Theta}_0\mathbf{Q}'\mathbf{Q} u_t\\[1ex]
+\end{align}\]
+identyfikacja co do macierzy obrotu.
+\[\begin{align}
+\mathbf\Sigma &= \mathbf{B}^{-1}\mathbf{Q}'\mathbf{Q}\mathbf{B}^{-1\prime} = \mathbf{\Theta}_0\mathbf{Q}'\mathbf{Q}\mathbf{\Theta}_0^{\prime}\\[1ex]
+\mathbf{Q}'\mathbf{Q} &= \mathbf{I}_N\\[1ex]
+\end{align}\]
+
+funkcja wiarygodności nie zależy od \(\mathbf{Q}\)
+identyfikacja modely zawęża typ \(\mathbf{Q}\)
+restrykcje zerowe zmieniają typ macierzy \(\mathbf{Q}\) do diagonalnej z elementami \(\pm1\)
+
+
+
+identyfikacja modeli strukturalnych
+
+restrykcje znaku.
+\[\begin{align}
+\text{relacje strukturalne:}&&\tilde{\mathbf{B}}\epsilon_t &= \tilde{u}_t\\[1ex]
+\text{efekty strukturalne:}&&\epsilon_t &= \tilde{\mathbf{\Theta}}_0\tilde{u}_t\\[1ex]
+\end{align}\]
+
+restrykcje na znak elementów w \(\tilde{\mathbf{B}}\) i/lub \(\tilde{\mathbf{\Theta}}_0\)
+zawęża zbiór identyfikowalny: model jest identyfikowalny co do macierzy obrotu \(\mathbf{Q}\) koherentnej z restrykcjami
+estymacja ma za cel przybliżenie zbioru identyfikowalnego
+
+restrykcje znaku i zerowe.
+
+restrykcje zerowe i na znak elementów w \(\tilde{\mathbf{B}}\) i/lub \(\tilde{\mathbf{\Theta}}_0\)
+zawęża zbiór identyfikowalny
+
+
+
+identyfikacja modeli strukturalnych
+
+restrykcje narracyjne.
+
+restrykcje na znak elementów lub wielkości \(u_t\) lub \(\tilde{u}_t\)
+restrykcje w oparciu na narrację, teorię ekonomii i konsensus naukowy
+należy dostosować metody estymacji
+zawęża zbiór identyfikowalny
+
+nowa cecha.
+
+restrykcje zerowe, narracyjne i na znak w jednym modelu w paczce bsvarSIGNs
+
+
+
+modelowanie rozkładu i zmienności
+
+niescentrowana zmienność stochastyczna
+
+
+\[\begin{align}
+&\\
+\text{wariancja warunkowa:}&&\sigma_{n.t}^2 &= \exp\left\{\omega_n h_{n.t}\right\}\\
+\text{w skali log:}&&h_{n.t} &= \rho_n h_{n.t-1} + v_{n.t}\\
+\text{innowacje zmienności:}&&v_{n.t}&\sim N\left(0,1\right)\\
+\end{align}\]
+
+świetna zdolność do prognozowania
+normalizajca \(\sigma_{n.t}^2 = 1\)
+verify_identification() przez ocene restrykcji \(H_0:\omega_n = 0\)
+
+
+scentrowana zmienność stochastyczna
+
+
+\[\begin{align}
+&\\
+\text{wariancja warunkowa:}&&\sigma_{n.t}^2 &= \exp\left\{ \tilde{h}_{n.t}\right\}\\
+\text{w skali log:}&&\tilde{h}_{n.t} &= \rho_n \tilde{h}_{n.t-1} + \tilde{v}_{n.t}\\
+\text{innowacje zmienności:}&&\tilde{v}_{n.t}&\sim N\left(0,\omega_n^2\right)\\
+\end{align}\]
+
+świetna zdolność do prognozowania
+
+
+
+zmienność stochastyczna: rozkłady a priori
+
+
+
+proces Markowa dla zmienności.
+
+
+\[\begin{align}
+&\\
+\text{szoki strukturalne:}&&\mathbf{u}_t\mid s_t \sim N\left( \mathbf{0}_N, \text{diag}\left(\boldsymbol{\sigma}_{s_t}^2\right) \right)\\
+\text{a priori:}&& M^{-1}\left(\boldsymbol{\sigma}_{1}^2, \dots, \boldsymbol{\sigma}_{M}^2\right) \sim Dirichlet(\underline{a}\boldsymbol\imath')\\
+\text{proces Markowa:}&& s_t\sim \text{Markov}(\mathbf{P},\boldsymbol\pi_0)
+\end{align}\]
+
+modelowanie proces Markowa dla zmienności
+zapewnia identyfikację
+poprawa zdolności do prognozowania
+verify_identification() przez ocenę restrykcji \(H_0:\boldsymbol{\sigma}_{1}^2, \dots, \boldsymbol{\sigma}_{M}^2 = 1\)
+
+
+mieszanka rozkładów normalnych.
+
+
+\[\begin{align}
+&\\
+\text{szoki strukturalne:}&&\mathbf{u}_t\mid s_t \sim N\left( \mathbf{0}_N, \text{diag}\left(\boldsymbol{\sigma}_{s_t}^2\right) \right)\\
+\text{a priori:}&& M^{-1}\left(\boldsymbol{\sigma}_{1}^2, \dots, \boldsymbol{\sigma}_{M}^2\right) \sim Dirichlet(\underline{a}\boldsymbol\imath')\\
+\text{prawdopodobieństwo:}&& Pr[s_t]=\boldsymbol\pi_0
+\end{align}\]
+
+modelowanie mieszanki rozkładów normalnych
+zapewnia identyfikację
+verify_identification() przez ocenę restrykcji \(H_0:\boldsymbol{\sigma}_{1}^2, \dots, \boldsymbol{\sigma}_{M}^2 = 1\)
+
+
+rozkład t-studenta.
+
+
+\[\begin{align}
+&&&\\
+\text{szoki strukturalne:}&&\mathbf{u}_t\mid\mathbf{x}_t &\sim t\left( \mathbf{0}_N, \mathbf{I}_N, \nu \right)
+\end{align}\]
+
+\(\nu\) - szacowane z danych stopnie swobodygrube ogony zapewniają identyfikację
+poprawa zdolności do prognozowania
+verify_identification() przez ocenę restrykcji \(H_0:\nu \rightarrow\infty\)
+
+
+
+
+
+
+Australian Monetary Policy Analysis
+
+System of four variables.
+Based on Turnip (2017)
+\[\begin{align}
+y_t = \begin{bmatrix} \Delta rgdp_t & \pi_t & cr_t & \Delta rtwi_t \end{bmatrix}'
+\end{align}\]
+A lower-triangular identification pattern.
+\[\begin{align}
+\begin{bmatrix}
+B_{11}&0&0&0\\
+B_{21}&B_{22}&0&0\\
+B_{31}&B_{32}&B_{33}&0\\
+B_{41}&B_{42}&B_{43}&B_{44}
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix} \Delta rgdp_t \\ \pi_t \\ cr_t \\ \Delta rtwi_t \end{bmatrix} \end{align}\]
+
+In the extended model, the monetary policy shock is not identified
+Use identification via heteroskedasticity to identify it
+
+
+
+Four-Variable Monetary System
+
+
# Gross domestic product (GDP); Chain volume = readrba:: read_rba (series_id = "GGDPCVGDP" )= xts:: xts (rgdp_dwnld$ value, rgdp_dwnld$ date, tclass = 'yearqtr' )= na.omit (400 * diff (log (rgdp_tmp)))= xts:: to.quarterly (drgdp, OHLC = FALSE )# Consumer price index; All groups; Quarterly change (in per cent) = readrba:: read_rba (series_id = "GCPIAGSAQP" )= 4 * xts:: xts (picpi_dwnld$ value, picpi_dwnld$ date, tclass = 'yearqtr' )= xts:: to.quarterly (pi, OHLC = FALSE )# Interbank Overnight Cash Rate = readrba:: read_rba (series_id = "FIRMMCRID" ) # Cash Rate Target = xts:: xts (cr_dwnld$ value, cr_dwnld$ date)= xts:: to.quarterly (cr_tmp, OHLC = FALSE )# Real Trade-Weighted Index = readrba:: read_rba (series_id = "FRERTWI" )= xts:: xts (rtwi_dwnld$ value, rtwi_dwnld$ date, tclass = 'yearqtr' )= 100 * na.omit (diff (log (rtwi_tmp)))= xts:: to.quarterly (rtwi, OHLC = FALSE )= na.omit (merge (drgdp, pi, cr, drtwi))plot (y, main = "Australian monetary system" ,legend.loc = "bottomleft" , col = c ("#FF00FF" ,"#990099" ,"#ededed" ,"#330033" ))
+
+Four-Variable Monetary System
+Model Estimation
+
+Lower-triangular model with zero prior mean for \(\mathbf{A}\) .
+
+
# estimation - lower-triangular model ############################################################ library (bsvars)set.seed (123 )= specify_bsvar$ new (as.matrix (y), p = 4 , stationary = rep (TRUE , 4 )|> estimate (S = 1000 ) |> estimate (S = 5000 ) -> post
+
+
**************************************************|
+bsvars: Bayesian Structural Vector Autoregressions|
+**************************************************|
+ Gibbs sampler for the SVAR model |
+**************************************************|
+ Progress of the MCMC simulation for 1000 draws
+ Every draw is saved via MCMC thinning
+ Press Esc to interrupt the computations
+**************************************************|
+**************************************************|
+bsvars: Bayesian Structural Vector Autoregressions|
+**************************************************|
+ Gibbs sampler for the SVAR model |
+**************************************************|
+ Progress of the MCMC simulation for 5000 draws
+ Every draw is saved via MCMC thinning
+ Press Esc to interrupt the computations
+**************************************************|
+
+
+
+Compute impulse responses
+
+
+
|> compute_impulse_responses (horizon = 20 ) |> plot ()
+
+
+
+Compute forecast error variance decompositions
+
+
+
|> compute_variance_decompositions (horizon = 20 ) |> plot ()
+
+
+
+Compute structural shocks
+
+
+
|> compute_structural_shocks () |> plot ()
+
+
+
+Compute fitted values
+
+
+
|> compute_fitted_values () |> plot ()
+
+
+
+Compute forecasts
+
+
+
|> forecast (horizon = 8 ) |> plot (data_in_plot = 0.3 )
+
+
+
+
@@ -630,6 +1509,44 @@ 
