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12. 子群	zk basic abstract algebra group theory subgroup

WTF zk 教程第 12 讲：子群

这一讲，我们介绍子群的概念。子群可以看作是群的"儿子"，是群中一部分元素构成的集合，同时满足群的定义。它能够帮助我们理解群的内部结构。

1. 子群的定义

设 $(G,🐔)$ 是一个群， $H$ 是 $G$ 的一个非空子集。如果 $H$ 对于群运算 $🐔$ 也构成一个群，那么 $(H,🐔)$ 被称为 $(G,🐔)$ 的子群，记作 $(H,🐔)\le (G,🐔)$。有时为了方便，在上下文明确的情况下可以省略运算符号，用集合表示一个群，比如 $H\le G$

为了成为子群， $H$ 中的元素需要属于 $G$ ，另外还须满足群的 4 个基本性质：封闭性，结合律，存在单位元，存在逆元。

让我们通过一些例子来理解子群的概念：

1.1 整数加法群的子群

考虑整数加法群 $(\mathbb{Z},+)$，可以找到一些它的子群，比如：

• 偶数群： 由所有偶数构成的子集和加法运算构成的群。

  • 封闭性：任意两个偶数相加仍然是偶数。

  • 结合律: 显然满足。

  • 单位元： $0$ 是整数加法的单位元，也是偶数群的单位元。

  • 逆元：每个偶数的逆元是其相反数，也是偶数。

偶数群子群满足封闭性、结合律、单位元和逆元的要求，因此它是整数加法群的子群。

1.2 正整数模 5 乘法群的子群

考虑正整数模 5 乘法群 $({\mathbb{Z}}_5^{\ast },\times )$，其中 ${\mathbb{Z}}_5^{\ast }=\{1,2,3,4\}$ 。它的子群有：

• 单位元子群 $⟨1⟩$： 由单位元 $1$ 构成的子集。这种只包含单位元这一个元素的子群也叫平凡子群。

  • 封闭性： $1\times 1=1$，仍然属于单位元子群。

  • 结合律: 显然满足。

  • 单位元： $1$ 是整数乘法的单位元，也是单位元子群的单位元。

  • 逆元： $1$ 的逆元是 $1$，也是单位元子群。

• 子集 $\{1,4\}$ 构成的子群。

  • 封闭性：根据两两相乘表格，运算结果仍然属于 $\{1,4\}$。

    ×	1	4
    1	1	4
    4	4	1

  • 结合律: 显然满足。

  • 单位元： $1$ 是群的单位元。

  • 逆元：模 5 下，1 的逆元是 1，4 的逆元是 4。

• 子集 $\{1,2,3,4\}$ 构成的子群，它其实等于正整数模 5 乘法群本身。

这 3 个子群满足封闭性、结合律、单位元和逆元的要求，因此它们都是正整数模 5 乘法群的子群。那么子集 $\{1,2,3\}$ 可以构成子群吗？请试图证明。

1.3 整数模 6 加法群的子群

考虑整数模 6 加法群 $({\mathbb{Z}}_6,+)$，其中 ${\mathbb{Z}}_6=\{0,1,2,3,4,5\}$ 。它的子群有：

• 单位元子群 $⟨0⟩$： 由单位元 $0$ 构成的子集。

• 由子集 $\{0,3\}$ 构成的子群。

  • 封闭性：两两相加，运算结果仍然属于 $\{0,3\}$。

  • 结合律: 显然满足。

  • 单位元： $0$ 是群的单位元。

  • 逆元：模 6 下，0 的加法逆元是 0，3 的加法逆元是 3。

• 由子集 $\{0,2,4\}$ 构成的子群。

  • 封闭性：两两相加，运算结果仍然属于 $\{0,2,4\}$。

  • 结合律: 显然满足。

  • 单位元： $0$ 是群的单位元。

  • 逆元：模 6 下，0 的加法逆元是 0，2 和 4 互为加法逆元。

• 由子集 ${\mathbb{Z}}_6=\{0,1,2,3,4,5\}$ 构成的子群，它其实等于母群。

这 4 个子群满足封闭性、结合律、单位元和逆元的要求，因此它们都是整数模 6 加法群的子群。那么子集 $\{0,1,3,5\}$ 可以构成子群吗？请试图证明。

2. 子群的性质

有了子群的定义，我们可以推导出一些有关子群的重要性质：

• 原群的单位元也是子群的单位元： $H\le G⟺e_H=e_G$，其中 $e_H,e_G$ 为 $H,G$ 的单位元。

点我展开证明👀

设 $H$ 是群 $G$ 的子群， $e_G$ 是 $G$ 的单位元， $e_H$ 是 $H$ 的单位元。对于 $H$ 中的任意元素 $h$，由群的定义可知：

$h🐔e_H=h$

由于 $H\le G$， $e_H$ 也是 $G$ 中的元素。那么 $h🐔e_H$ 也是 $G$ 中的运算。考虑 $G$ 的单位元 $e_G$，有：

$h🐔e_H=h=h🐔e_G$

等式两边同时消去 $h$，有 $e_H=e_G$，因此原群的单位元也是子群的单位元。证毕。

• 元素 $a$ 在子群中，那么它在原群中的逆元 $a^{-1}$ 也在该子群中：

点我展开证明👀

设 $H$ 是群 $G$ 的子群， $a$ 是 $H$ 中的元素， $a_G^{\prime }$ 是 $a$ 在 $G$ 中的逆元，$a_H^{\prime }$ 是 $a$ 在 $H$ 中的逆元。我们有：

$a🐔a_H^{\prime }=e$

$a🐔a_G^{\prime }=e$

因此 $a🐔a_H^{\prime }=a🐔a_G^{\prime }$，我们在等式两端左 🐔 $a_G^{\prime }$ 可以消去 $a$，有 $a_H^{\prime }=a_G^{\prime }$。证毕。

• 子群的交集仍是子群： 若 $H_1\le G$ 和 $H_2\le G$，则 $H_1\cap H_2\le G$。我们可以用这个方法构建子群。

注意， $H_1\cup H_2$ 则不一定是 $G$ 的子群，比如 $2$ 和 $3$ 属于 $2\mathbb{Z}$ （2 的倍数） 和 $3\mathbb{Z}$ （整数中 3 的倍数）的并集，但它们的和 $5$ 却不属于并集。

点我展开证明👀

考虑群 $(G,\cdot )$ 及其子群 $H_1$ 和 $H_2$：

1. 封闭性： 设 $a,b\in H_1\cap H_2$。则 $a,b\in H_1$ 且 $a,b\in H_2$。由于 $H_1$ 是 $G$ 的子群，$a\cdot b\in H_1$。同理，由于 $H_2$ 是 $G$ 的子群，$a\cdot b\in H_2$。因此，$a\cdot b\in H_1\cap H_2$。所以，$H_1\cap H_2$ 对于群 $G$ 的运算是封闭的。

2. 结合律： 显然满足。

3. 单位元： 由于 $H_1$ 和 $H_2$ 都是 $G$ 的子群，它们都包含 $G$ 的单位元 $e$。因此他们的交集也包含 $G$ 的单位元，即 $e\in H_1\cap H_2$。

4. 逆元： 设任意 $a\in H_1\cap H_2$。由于 $H_1$ 和 $H_2$ 都是 $G$ 的子群，它们包含 $a$ 在 $G$ 中的逆元素。因此，他们的交集也包含 $a$ 在 $G$ 中的逆元素，$a^{-1}\in H_1\cap H_2$。

由封闭性、结合律、单位元和逆元素的性质，我们得知 $H_1\cap H_2$ 满足子群的定义。

证毕

3. 子群的检验

在第一节中，我们用群公理来检验子群：先检验是否为子集，然后检验封闭性、结合律、单位元和逆元，如果都满足，即为子群。这样检验有些麻烦，这一节我们介绍个更方便的子群的的检验方法。

给定一个群 $(G,🐔)$，集合 $H$ 为 $G$ 的子集，那么 $H$ 为 $G$ 的子群当且仅当对于任意 $a，b\in H$，有 $a🐔b^{-1}\in H$。

点我展开证明👀

我们分别证明充分性和必要性。

充分性（ $\Rightarrow$）：

假设 $H$ 是 $G$ 的子群。我们需要证明对于任意 $a,b\in H$，都有 $a🐔b^{-1}\in H$。

由于 $H$ 是 $G$ 的子群，所以满足：

1. 封闭性： 对于任意 $a,b\in H$，有 $a🐔b\in H$。
2. 逆元存在： 对于任意 $a\in H$，有 $a^{-1}\in H$。

设 $c=b^{-1}$，有 $c\in H$，因此根据封闭性 $a🐔c\in H$，也就是 $a🐔b^{-1}\in H$。充分性证明完毕。

必要性（ $\Leftarrow$）：

反过来，假设 $H\subseteq G$，对于任意 $a,b\in H$，都有 $a🐔b^{-1}\in H$。我们需要证明 $H$ 是 $G$ 的子群。

1. 封闭性： 对于任意 $a,b\in H$，有 $b^{-1}\in H$，根据假设，有 $a🐔(b^{-1}{)}^{-1}\in H$，而 $(b^{-1}{)}^{-1}=b$，因此有 $a🐔b\in H$。封闭性证明完毕。
2. 结合律： 对于任意 $a,b,c\in H$，有 $a,b,c\in G$，因此 $(a🐔b)🐔c=a🐔(b🐔c)$。
3. 单位元存在： 我们令 $b=a$，则有 $a🐔a^{-1}\in H$，而 $a🐔a^{-1}=e$ 为单位元，因此单位元存在。
4. 逆元存在： 令 $a=e$，对于任意 $b\in H$，有 $e🐔b^{-1}\in H$，也就是 $b^{-1}\in H$，因此逆元存在。

综上所述，$H$ 满足群公理的 4 个性质且 $H\subseteq G$，因此 $H$ 是 $G$ 的子群。

证毕。

我们考虑正整数模 $5$ 乘法群的例子，它对应的集合为模 $5$ 的单元集 ${\mathbb{Z}}_5^{\ast }=\{1,2,3,4\}$，它的子集 $\mathbb{H}=\{1,4\}$，运算符号为模运算乘法。下表给出了任意 $a,b\in \mathbb{H}$， $a\cdot b^{-1}$ 的结果，可以看到它们都属于 $\mathbb{H}$，因此满足封闭性。

$a$	$b$	$b^{-1}$	$a\cdot b^{-1}$
1	1	1	1
1	4	4	4
4	1	1	4
4	4	4	1

4. 总结

子群是群论中一个关键的概念，通过构建子群，我们可以更好地理解母群的结构和性质。在后续学习中，子群将为我们深入了解群的各种性质提供坚实的基础。