planning_hebdomadaire.txt

PARTIE A : modélisation, analyse, simulation
============================================

Dans la premiere partie du stage, il est question de calculer à la main les
modes normaux de formes simples, et d'arriver à les simuler avec une fonction
écrite en Python.

A.1.
Étude analytique des modes normaux d'un intervalle ouvert, fermé, d'un cercle,
d'un rectangle, d'un disque, d'une ellipse, d'un anneau, d'une sphère.
Idéntifier dans quels cas on y trouve des modes normaux localisés.

A.2.
Étude algèbrique du problème discretisé dans le cas uni-dimensionnel et
bi-dimensionnel séparable.  Il faut comprendre comment représenter un
intervalle de taille arbitraire sur une discrétisation de résolution donnée (la
taille de l'intervale n'est pas nécéssairement un multiple entier du pas de
discrétisation).  Comparer les trois modèles habituels pour représenter un
sous-domaine de forme arbitraire : grille fixe avec poids sur les arêtes,
grille fixe avec poids sur els noeuds, grille de topologie fixe avec position
arbitraire des noeuds.

A.3.
Simulation par ordinateur du spectre pour plusieurs cas simples.  Notamment, il
faut voir à partir de quelle résolution (pas de discrétisation) on est capable
de retrouver les comportements attendus selon (A.1).  Il faut donc répondre à
la question : quelle résolution est nécéssaire pour modèler les N premiers
éléments propres ?  Quel N a-t-on besoin pour voir apparaître les premiers
modes "intéressants" ?

A.4.
Essayer et comparer au moins trois décompositions spéctrales accessibles en
Python: linalg, cholmod, chu, ...  Étudier le temps de calcul, la précision, et
la robustesse de chacune sur les domaines connus (notamment, jusqu'à quelle
fréquence un même modèle discret tient).


PARTIE B : optimisation et conception
=====================================

Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la conception de formes dont les
modes normaux sont localisés sur une partie pré-déterminée du domaine.  On
modèle cette conception comme un problème d'optimisation.  Pour faire une
descente de gradient, il faut savoir calculer les dérivées des éléments propres
par rapport aux paramètres de forme.

B.1.
Calcul différentiel avec matrices.  Calculer les dérivées de fonctions
matricielles usuelles : trace, déterminant, k-ième valeur propre, k-ième valeur
singulière, k-ième vecteur propre, etc.  À noter que le calcul de ces dérivées
et beaucoup plus simple que le calcul des éléments propres eux-mêmes.

B.2.
Implémentation d'une méthode d'optimisation "par force brute" : descente de
gradient et recherche linéaire.

B.3.
Résolution numérique du problème spéctrale inverse: changer les paramètres de
forme pour obtenir une forme avec les N premiers valeurs propres prescrits.

B.4.
Définition d'une énérgie qui force le k-ième mode normal a être localisé dans
une partie du domaine.  Définition d'une énérgie qui force le k-ième mode
normal à être localisé quelque part.  Implémentation de ces énérgies et leurs
dérivées, puis optimisation par descente de gradient.

B.5.
Réponse à des questions qualitatives, en s'appuyant sur des expériences
numériques : dans l'ouvert défini par toutes les formes possibles, est que les
formes avec modes localisés sont rares?  sont-elles denses?  Si c'est le cas,
il veut dire que l'on peut modifier très légérement une forme quelconque afin
d'obtenir une forme avec un mode localisé.  Mais il veut dire aussi que la
notion de localisation n'est pas stable numériquement.  C'est une question
ouverte!