-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
main.tex
147 lines (124 loc) · 5.31 KB
/
main.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[osf,sups]{Baskervaldx} % lining figures
\usepackage[bigdelims,cmintegrals,vvarbb,baskervaldx]{newtxmath} % math font
\usepackage{graphicx}
\usepackage{url,hyperref}
% margins
\setlength{\parindent}{0em}
\setlength{\parskip}{1em}
\addtolength{\hoffset}{-3.5em}
\addtolength{\textwidth}{7em}
\addtolength{\voffset}{-5em}
\addtolength{\textheight}{10em}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
{\bf
Localisation de modes normaux~:
application aux galeries de chuchotements
}
{\bf Encadrants}:\\
Rafael Grompone von Gioi \verb+<[email protected]>+\\
Enric Meinhardt-Llopis \verb+<[email protected]>+
{\bf Contexte}\\
Les modes normaux d'une variété compacte~$\Omega$ sont les fonctions propres de
son opérateur de Laplace-Beltrami~$\Delta_\Omega$. Elles sont typiquement des
fonctions ``globales'', supportées par~$\Omega$ entier. Le cas d'école est la
corde vibrante~$\Omega=[0,L]$ aux extréma fixés, où les
fonctions propres sont~$\varphi_n(x)=\sin\frac{\pi n x}L$
pour~$n=1,2,3,\ldots$ qui correspondent à des vibrations
de fréquence~$\mu_n=\frac{\pi n}L$ de la corde toute entière. Sur d'autres
domaines~$\Omega$ la situation est plus intéressante: on voit apparaître
parfois des \emph{modes normaux localisés} sur une toute petite partie
d'$\Omega$.
Ces modes localisés sont le fondement mathématique des ``galeries de
chuchotements'' (\emph{whispering galleries}), des structures architectoniques
où l'on peut parler très bas d'un bout à l'autre de la chambre sans que
personne d'autre puisse entendre la conversation. Si~$\Omega$ est l'intérieur
de la chambre, il y a des fonctions propres de~$\Delta_\Omega$ qui sont
localisées autour de deux points concrets d'$\Omega$ entre lesquels on peut se
chuchoter.
{\bf Objectif du stage}\\
L'objectif de cet stage est trouver des formes~$\Omega$ pour lesquelles il y a
des modes normaux localisés autour de deux points.
Le problème direct, bien connu, consiste à trouver
les premières fonctions propres du Laplacien sur un maillage décrivant la forme
de l'objet. En pratique, c'est le calcul du
spectre~$\mathrm{sp}_{\mathbf{R}}(A)$ d'une matrice~$A$ symétrique définie
positive.
On s'intéresse au problème inverse: étant donné un maillage, comment faire
varier la longueur des liens du maillage---la forme de l'objet---de façon que
son spectre coïncide avec un spectre objectif souhaité?
Matriciellement, on se donne un spectre
objectif~$\Sigma\in\mathbf{R}^n$ et une structure de maillage décrite par une
matrice~$B\in\mathrm{M}_{m,n}(\mathbf{R})$, et on doit trouver des
``poids''~$W\in\mathbf{R}^m$ tels
que~$\mathrm{sp}_\mathbf{R}\left(B^T\mathrm{diag}(W)B\right)=\Sigma$.
\setlength{\tabcolsep}{0pt}
\begin{tabular}{ccccccccccc}
\includegraphics[width=0.093\linewidth]{f/marsmooth.png} &
\includegraphics[width=0.093\linewidth]{f/marbords.png} &
\includegraphics[width=0.093\linewidth]{f/marimba_v01.png} &
\includegraphics[width=0.093\linewidth]{f/marimba_v02.png} &
\includegraphics[width=0.093\linewidth]{f/marimba_v03.png} &
\includegraphics[width=0.093\linewidth]{f/marimba_v04.png} &
\includegraphics[width=0.093\linewidth]{f/marimba_v05.png} &
\includegraphics[width=0.093\linewidth]{f/marimba_v06.png} &
\includegraphics[width=0.093\linewidth]{f/marimba_v07.png} &
\includegraphics[width=0.093\linewidth]{f/marimba_v08.png} &
\includegraphics[width=0.093\linewidth]{f/marimba_v09.png} \\
$1\!\!1_\Omega$ & $W$ &
$\varphi_1$ &
$\varphi_2$ &
$\varphi_3$ &
$\varphi_4$ &
$\varphi_5$ &
$\varphi_6$ &
$\varphi_7$ &
$\varphi_8$ &
$\varphi_9$
\end{tabular}
On va résoudre ce problème par force brute, en minimisant
fonction~$W\mapsto\left\|\mathrm{sp}_\mathbf{R}\left(B^TWB\right)-\Sigma\right\|^2$
avec des méthode d'optimisation modernes; notamment celles utilisées
en~\emph{deep-learning}, pour lesquelles ce problème est d'une taille
considérée petite. Pour cela, il faut une implémentation de la
fonction~$A\mapsto\mathrm{sp}_\mathbf R(A)$ que l'optimiseur puisse dériver
localement. C'est ici qu'il y aura la plupart du travail du stage, qui
pourrait parfaitement être titré~\emph{``a differentiable implementaion of the
eigenvalues computation''}.
Si le stage amène à une conclusion positive, on pourra soumettre une
publication (première!) sur l'application des méthodes de deep learning à la
modélisation d'instruments musicaux.
\vspace{-1.5em}
\renewcommand{\refname}{\normalsize Références}
%
\begin{thebibliography}{99}
\vspace{-1em}
{\scriptsize
\bibitem{drum}
Kac, M..
{\it Can one hear the shape of a drum?}
The american mathematical monthly, (1966)
\bibitem{inverse}
Chu, M., \& Golub, G.
{\it Inverse eigenvalue problems: theory, algorithms, and
applications}, OUP (2005)
\bibitem{localfun}
Nguyen, B. \& Grebenkov, D.~S.
{\it Localization of Laplacian eigenfunctions in circular, spherical
and elliptical domains}, SIAM J. Appl. Math. (2019)
\bibitem{geofun}
Grebenkov, D.~S. \& Nguyen, B.
{\it Geometrical structure of Laplacian eigenfunctions},
SIAM Rev. (2013)
\bibitem{backeigen}
Wang,~W., Dang,~Z., Hu,~Y., Fua,~P., Salzmann,~M.
{\it Backpropagation-Friendly Eigendecomposition},
NeurIPS (2019)
}
\end{thebibliography}
\end{document}
% vim:set tw=79 spell spelllang=fr: