diff --git "a/_drafts/obsidian-md/blog/2023-09-20-CSP-S-2023-\345\244\215\350\265\233.md" "b/_drafts/obsidian-md/blog/2023-09-20-CSP-S-2023-\345\244\215\350\265\233.md" new file mode 100644 index 0000000..1ac0d50 --- /dev/null +++ "b/_drafts/obsidian-md/blog/2023-09-20-CSP-S-2023-\345\244\215\350\265\233.md" @@ -0,0 +1,171 @@ +考场上 T1, T3 做出来了 + +T2, T4 CF 上有原题 + +这里就记录一下 T2 正解 + +# T2 + +[原题](https://codeforces.com/contest/1223/problem/F) + +## 做法1：dp + +令 $f_i$ 从 $i$ 开头的可消去子串的数量 + +$nxt_i$ 是使得 $\left[i,j\right]$ 可消去的最小的 $j$ + +那么 $f_i=f_{nxt_i+1}+1$ 如果 $nxt_i$ 存在，否则是 $0$ + +$nxt_i$ 可以这么求（$nxt_i$ 存在的话）： + +``` + +nxt[i] := i+1 + +while a[nxt[i]] != a[i]: + +    nxt[i] = nxt[nxt[i]] + 1 + +``` + +但是这么做是 $O(n^2)$ 的，不能拿满分 + +所以引入 $nxta_{i,x}$ 表示使得 $\left[i,j\right]$ 可消去且 $a_{j+1}=x$ 的最小的 $j$ + +那么就有这样的关系 + +若 $nxt_i$ 和 $nxta_{i,x}$ 都存在 + +当 $a_i==a_{i+1}$ 时 $nxt_i=i+1$ 否则 $nxt_i=nxta_{i+1,a_i}+1$ + +当 $x==a_{nxt_i+1}$ 时 $nxta_{i,x}=nxt_i$ 否则 $nxta_{i,x}=nxta_{nxt_i+1,x}$ + +原题的代码：（CCF版缩小了值域 + +$nxt$ 为 $1$，$nxta$ 为 $0$ 表示不存在 + +```cpp +#include +using namespace std; + +const int N = 3e5 + 10; + +int nQ; +int n; +int a[N]; +int dp[N]; +map nxta[N]; + +void input() { +    scanf("%d", &n); +    for (int i = 1; i <= n; i++) +        scanf("%d", &a[i]); +} + +void solve() { +    for (int i = n + 1; i >= 1; i--) { +        nxta[i].clear(); +        dp[i] = 0; +    } +    for (int i = n - 1; i >= 1; i--) { +        int nxt; +        if (a[i] == a[i + 1]) { +            nxt = i + 1; +            nxta[i] = move(nxta[nxt + 1]); +            if (nxt + 1 <= n) nxta[i][a[nxt + 1]] = nxt; +            dp[i] = dp[nxt + 1] + 1; +        } else { +            nxt = nxta[i + 1][a[i]] + 1; +            if (nxt != 1) { +                nxta[i] = move(nxta[nxt + 1]); +                if(nxt + 1 <= n) nxta[i][a[nxt + 1]] = nxt; //*** +                dp[i] = dp[nxt + 1] + 1; +            } +        } +    } + +    long long ans = 0; //*** +    for (int i = 1; i < n; i++) { +        ans += dp[i]; +    } +    cout << ans << endl; +} + +int main() { +    scanf("%d", &nQ); +    for (int iQ = 1; iQ <= nQ; iQ++) { +        input(); +        solve(); +    } +    return 0; +} +``` + +## 做法2：哈希 + +考虑一个栈 S，每次加入一个序列中的元素，如果该元素和栈顶的是相同的，那么就消掉 + +令 $S_i$ 表示到 $a_i$ 为止的栈, $f_i$ 表示 $a_i$ 结尾的可消去子序列的数量 + +如果有 $S_i=S_j$ 那么就说明 $i+1$ 到 $j$ 的区间是可以消去的（证明略，那么这时候 $f_j=f_i+1$ + +接下来状态压缩，令 $g_S$ 表示当前栈为 $S$ 时以当前位置结尾的可消去子序列数量，那么每次更新就是 $ans+=g_S,g_S++$ + +给 $S$ 做一个哈希，然后 $g$ 用 map 维护 + +```cpp +#include +using namespace std; + +typedef long long ll; + + +int n; +string s; +string stk; + +const ll b1=131,b2=151; +const ll mod=1e9+7; + +ll p1[2000010]; +ll p2[2000010]; +ll h1,h2; + +map,int> st; + +ll ans; + +int main(){ +    cin>>n>>s; +    p1[0]=p2[0]=1; +    for(int i=1;i<=n;i++){ +        p1[i]=p1[i-1]*b1%mod; +        p2[i]=p2[i-1]*b2%mod; +    } +    stk='-'; +    h1=(int)stk[0]*p1[0]%mod; +    h2=(int)stk[0]*p2[0]%mod; +    st[make_pair(h1,h2)]++; +    for(char c:s){ +        if(c==stk.back()){ +            h1-=(int)stk.back()*p1[stk.size()-1]%mod; +            h1+=mod; +            h1%=mod; +            h2-=(int)stk.back()*p2[stk.size()-1]%mod; +            h2+=mod; +            h2%=mod; +            stk.pop_back(); +        }else{ +            h1+=(int)c*p1[stk.size()]%mod; +            h1%=mod; +            h2+=(int)c*p2[stk.size()]%mod; +            h2%=mod; +            stk.push_back(c); +        } +        ans+=st[make_pair(h1,h2)]; +        st[make_pair(h1,h2)]++; +    } +    cout< +using namespace std; + +typedef long long ll; + +int n; +string s; +string stk; + +const ll b1=131,b2=151; +const ll mod=1e9+7; +ll p1[2000010]; +ll p2[2000010]; +ll h1,h2; +map,int> st; + +ll ans; + +int main(){ + cin>>n>>s; + p1[0]=p2[0]=1; + for(int i=1;i<=n;i++){ + p1[i]=p1[i-1]*b1%mod; + p2[i]=p2[i-1]*b2%mod; + } + stk='-'; + h1=(int)stk[0]*p1[0]%mod; + h2=(int)stk[0]*p2[0]%mod; + st[make_pair(h1,h2)]++; + for(char c:s){ + if(c==stk.back()){ + h1-=(int)stk.back()*p1[stk.size()-1]%mod; + h1+=mod; + h1%=mod; + h2-=(int)stk.back()*p2[stk.size()-1]%mod; + h2+=mod; + h2%=mod; + stk.pop_back(); + }else{ + h1+=(int)c*p1[stk.size()]%mod; + h1%=mod; + h2+=(int)c*p2[stk.size()]%mod; + h2%=mod; + stk.push_back(c); + } + ans+=st[make_pair(h1,h2)]; + st[make_pair(h1,h2)]++; + } + cout<2022-11-22-Dijkstra最短路算法
blog
2022-11-22-Dijkstra最短路算法

算法过程
...

假设我们用数据结构 维护每个点的

  1. 初始化 并加入 , 其余点的 设为无限大, 所有点标记为未访问
  2. 重复3-5，直到没有未访问的点，算法结束
  3. 从 中选出 最小且未访问的点，记为 （中查询）
  4. 把 标记为已访问并把它从 中删除（中删除）
  5. 对 所有出边进行松弛操作（中修改和插入）

适用范围
...

单源多汇最短路，无负权边

解释
...

已经访问的点是已经确定了最短路的点，未访问的点是有待确认的点

对于一个未访问的点中 最小的点，它的 首先已经被已经访问过的点松弛过了，所以能让它 更小的未访问的点不存在

而其他的点的 都不比它小，且边权非负，也不能让 更小，所以这个点的最短路确定就是 了

对不同的复杂度分析
...

暴力
...

操作3的总复杂度为

操作5的总复杂度为

复杂度

堆
...

操作3总复杂度为

操作4总复杂度为

操作5总复杂度为

复杂度

优先队列
...

类似于堆，但是没有修改和删除操作，所以队内元素有 个

操作3总复杂度为

操作5总复杂度为

复杂度

不过 ，因为 最多是 的

结论
...

稀疏图中，，优先队列复杂度比暴力更优

稠密图中，，暴力复杂度反而更优

代码
...

typedef pair<int, int> pii;
+2022-11-22-Dijkstra最短路算法
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2022-11-22-Dijkstra最短路算法
算法过程
...
假设我们用数据结构 维护每个点的 
  1. 初始化 并加入 , 其余点的 设为无限大, 所有点标记为未访问
  2. 重复3-5，直到没有未访问的点，算法结束
  3. 从 中选出 最小且未访问的点，记为 （中查询）
  4. 把 标记为已访问并把它从 中删除（中删除）
  5. 对 所有出边进行松弛操作（中修改和插入）
适用范围
...
单源多汇最短路，无负权边
解释
...
已经访问的点是已经确定了最短路的点，未访问的点是有待确认的点
对于一个未访问的点中 最小的点，它的 首先已经被已经访问过的点松弛过了，所以能让它 更小的未访问的点不存在
而其他的点的 都不比它小，且边权非负，也不能让 更小，所以这个点的最短路确定就是 了
对不同的复杂度分析
...
暴力
...
操作3的总复杂度为 
操作5的总复杂度为 
复杂度 
堆
...
操作3总复杂度为 
操作4总复杂度为 
操作5总复杂度为 
复杂度 
优先队列
...
类似于堆，但是没有修改和删除操作，所以队内元素有 个
操作3总复杂度为 
操作5总复杂度为 
复杂度 
不过 ，因为 最多是 的
结论
...
稀疏图中，，优先队列复杂度比暴力更优
稠密图中，，暴力复杂度反而更优
代码
...
typedef pair<int, int> pii;
 
 int dis[NV], S;
 bool vis[NV];
diff --git "a/obsidian/blog/2022-11-22-floyd\345\222\214\345\200\215\345\242\236floyd.html" "b/obsidian/blog/2022-11-22-floyd\345\222\214\345\200\215\345\242\236floyd.html"
index 2ded013..1192dd4 100644
--- "a/obsidian/blog/2022-11-22-floyd\345\222\214\345\200\215\345\242\236floyd.html"
+++ "b/obsidian/blog/2022-11-22-floyd\345\222\214\345\200\215\345\242\236floyd.html"
@@ -1,4 +1,4 @@
-2022-11-22-Floyd和倍增Floyd
blog
2022-11-22-Floyd和倍增Floyd
1.Floyd
...
能解决没有负环的图上的多源多汇的最短/最长路问题
修改之后能用来计算连通性（传递闭包），找无向图最小环和检测负环
令 表示从 号结点到 号结点只经过 , 和 到 号结点的最短路径
初始状态
如果到有一条权值为的边（重边就选最小的）如果到没有边
转移方程
可以证明第一维是可以被滚动优化掉的
代码：
// 关于k的循环必须在最外层（因为第一维被滚动掉了）
+2022-11-22-Floyd和倍增Floyd
blog
2022-11-22-Floyd和倍增Floyd
1.Floyd
...
能解决没有负环的图上的多源多汇的最短/最长路问题
修改之后能用来计算连通性（传递闭包），找无向图最小环和检测负环
令 表示从 号结点到 号结点只经过 , 和 到 号结点的最短路径
初始状态
如果到有一条权值为的边（重边就选最小的）如果到没有边
转移方程
可以证明第一维是可以被滚动优化掉的
代码：
// 关于k的循环必须在最外层（因为第一维被滚动掉了）
 for (int k = 1; k <= n; k++) {
     for (int i = 1; i <= n; i++) {
         for (int j = 1; j <= n; j++) {
diff --git "a/obsidian/blog/2022-11-22-\346\225\264\346\225\260\346\225\260\346\215\256\350\214\203\345\233\264\345\222\214memset\345\210\235\345\200\274.html" "b/obsidian/blog/2022-11-22-\346\225\264\346\225\260\346\225\260\346\215\256\350\214\203\345\233\264\345\222\214memset\345\210\235\345\200\274.html"
index 61f07ef..f744e8a 100644
--- "a/obsidian/blog/2022-11-22-\346\225\264\346\225\260\346\225\260\346\215\256\350\214\203\345\233\264\345\222\214memset\345\210\235\345\200\274.html"
+++ "b/obsidian/blog/2022-11-22-\346\225\264\346\225\260\346\225\260\346\215\256\350\214\203\345\233\264\345\222\214memset\345\210\235\345\200\274.html"
@@ -1 +1 @@
-2022-11-22-整数数据范围和memset初值
blog
2022-11-22-整数数据范围和memset初值
整数数据范围
...
int数值估算
最大
0x3f
2*0x3f
0x7f
最小
0xc0
2*0xc0
0x80
0xbf
long long数值估算
最大
0x3f
2*0x3f
0x7f
最小
0xc0
2*0xc0
0x80
memset 初值
...
  1. 正无穷：0x3f, 0x7f
  2. 负无穷：0xc0, 0x80, 0xbf
  3. 两倍不会溢出的：0x3f, 0xc0
Interactive Graph
Table Of Contents
2022-11-22-整数数据范围和memset初值
整数数据范围
memset 初值

\ No newline at end of file
+2022-11-22-整数数据范围和memset初值
blog
2022-11-22-整数数据范围和memset初值
整数数据范围
...
int数值估算
最大
0x3f
2*0x3f
0x7f
最小
0xc0
2*0xc0
0x80
0xbf
long long数值估算
最大
0x3f
2*0x3f
0x7f
最小
0xc0
2*0xc0
0x80
memset 初值
...
  1. 正无穷：0x3f, 0x7f
  2. 负无穷：0xc0, 0x80, 0xbf
  3. 两倍不会溢出的：0x3f, 0xc0
Interactive Graph
Table Of Contents
2022-11-22-整数数据范围和memset初值
整数数据范围
memset 初值

\ No newline at end of file
diff --git "a/obsidian/blog/2022-11-22-\347\272\277\346\256\265\346\240\221\345\244\204\347\220\206\350\264\237\346\225\260\347\253\257\347\202\271\345\200\274.html" "b/obsidian/blog/2022-11-22-\347\272\277\346\256\265\346\240\221\345\244\204\347\220\206\350\264\237\346\225\260\347\253\257\347\202\271\345\200\274.html"
index 1b74bf2..409dfc1 100644
--- "a/obsidian/blog/2022-11-22-\347\272\277\346\256\265\346\240\221\345\244\204\347\220\206\350\264\237\346\225\260\347\253\257\347\202\271\345\200\274.html"
+++ "b/obsidian/blog/2022-11-22-\347\272\277\346\256\265\346\240\221\345\244\204\347\220\206\350\264\237\346\225\260\347\253\257\347\202\271\345\200\274.html"
@@ -1 +1 @@
-2022-11-22-线段树处理负数端点值
blog
2022-11-22-线段树处理负数端点值
如果线段树端点值可以取负数，那么用计算中点（向0取整，即c++的整除）
也就是，如果 能平分就平分，否则左区间比右区间长度小1
如果 能平分就平分，否则左区间比右区间长度多1
e.g.
比如 , 
  1. 正常
  2. 死循环
Interactive Graph
Table Of Contents

\ No newline at end of file
+2022-11-22-线段树处理负数端点值
blog
2022-11-22-线段树处理负数端点值
如果线段树端点值可以取负数，那么用计算中点（向0取整，即c++的整除）
也就是，如果 能平分就平分，否则左区间比右区间长度小1
如果 能平分就平分，否则左区间比右区间长度多1
e.g.
比如 , 
  1. 正常
  2. 死循环
Interactive Graph
Table Of Contents

\ No newline at end of file
diff --git "a/obsidian/blog/2022-12-06-noip2022\346\270\270\345\257\204.html" "b/obsidian/blog/2022-12-06-noip2022\346\270\270\345\257\204.html"
index cd97b5a..195b861 100644
--- "a/obsidian/blog/2022-12-06-noip2022\346\270\270\345\257\204.html"
+++ "b/obsidian/blog/2022-12-06-noip2022\346\270\270\345\257\204.html"
@@ -1 +1 @@
-2022-12-06-NOIP2022游寄
blog
2022-12-06-NOIP2022游寄
T1 (25/100)
...
简单题，但是我错误得估计了复杂度 不够过1000，其实我只要再做个前缀和应该就能100了
T2 (0/100)
...
考场上没思路，事后发现$ k=2n-2 $ 还是很好想的
T3 (0/100)
...
写了个Tarjan缩点和链的情况，预计拿20，但是20炸了，树上dp也没想出来
T4 (8/100)
...
不会写，写个暴力然后就不管了
总结
...
大寄特寄，明年高三的时候希望能考好一点吧
Interactive Graph
Table Of Contents
2022-12-06-NOIP2022游寄
T1 (25/100)
T2 (0/100)
T3 (0/100)
T4 (8/100)
总结

\ No newline at end of file
+2022-12-06-NOIP2022游寄
blog
2022-12-06-NOIP2022游寄
T1 (25/100)
...
简单题，但是我错误得估计了复杂度 不够过1000，其实我只要再做个前缀和应该就能100了
T2 (0/100)
...
考场上没思路，事后发现$ k=2n-2 $ 还是很好想的
T3 (0/100)
...
写了个Tarjan缩点和链的情况，预计拿20，但是20炸了，树上dp也没想出来
T4 (8/100)
...
不会写，写个暴力然后就不管了
总结
...
大寄特寄，明年高三的时候希望能考好一点吧
Interactive Graph
Table Of Contents
2022-12-06-NOIP2022游寄
T1 (25/100)
T2 (0/100)
T3 (0/100)
T4 (8/100)
总结

\ No newline at end of file
diff --git "a/obsidian/blog/2022-12-15-\346\264\233\350\260\267p1654-osu.html" "b/obsidian/blog/2022-12-15-\346\264\233\350\260\267p1654-osu.html"
index d33cc0d..6117179 100644
--- "a/obsidian/blog/2022-12-15-\346\264\233\350\260\267p1654-osu.html"
+++ "b/obsidian/blog/2022-12-15-\346\264\233\350\260\267p1654-osu.html"
@@ -1 +1 @@
-2022-12-15-洛谷P1654-OSU
blog
2022-12-15-洛谷P1654-OSU
定义
...
令 表示 的分数（随机变量），表示从 往前的连续的长度（随机变量），表示第 位是否命中，表示第 位命中的概率
分数的递推式
...
概率为概率为
长度的递推式
...
概率为概率为概率为概率为
期望值的递推式
...
因为与无关，所以可以直接把之前的替换为
Interactive Graph
Table Of Contents
2022-12-15-洛谷P1654-OSU
定义
分数的递推式
长度的递推式
期望值的递推式

\ No newline at end of file
+2022-12-15-洛谷P1654-OSU
blog
2022-12-15-洛谷P1654-OSU
定义
...
令 表示 的分数（随机变量），表示从 往前的连续的长度（随机变量），表示第 位是否命中，表示第 位命中的概率
分数的递推式
...
概率为概率为
长度的递推式
...
概率为概率为概率为概率为
期望值的递推式
...
因为与无关，所以可以直接把之前的替换为
Interactive Graph
Table Of Contents
2022-12-15-洛谷P1654-OSU
定义
分数的递推式
长度的递推式
期望值的递推式

\ No newline at end of file
diff --git "a/obsidian/blog/2022-12-20-osu\346\213\223\345\261\225.html" "b/obsidian/blog/2022-12-20-osu\346\213\223\345\261\225.html"
index fd4de36..bcee561 100644
--- "a/obsidian/blog/2022-12-20-osu\346\213\223\345\261\225.html"
+++ "b/obsidian/blog/2022-12-20-osu\346\213\223\345\261\225.html"
@@ -1,4 +1,4 @@
-2022-12-20-OSU拓展
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2022-12-20-OSU拓展
题面
...
B 君并不喜欢 OSU，但是 B 君觉得 OSU 这个题不错。
输入 和 ，一共有 次点击，每次可以可能成功或失败。
对于一段长度为 连续极长的成功点击序列，得分是 。
已知第 次点击的成功率是 。
问期望得分是多少？
因为得分可能很大，并且不是整数，只需要输出得分模 1000000007 的结果即可。
解法
...
对算法正确性的说明：2023-01-17-再看OSU拓展
#include <bits/stdc++.h>
+2022-12-20-OSU拓展
blog
2022-12-20-OSU拓展
题面
...
B 君并不喜欢 OSU，但是 B 君觉得 OSU 这个题不错。
输入 和 ，一共有 次点击，每次可以可能成功或失败。
对于一段长度为 连续极长的成功点击序列，得分是 。
已知第 次点击的成功率是 。
问期望得分是多少？
因为得分可能很大，并且不是整数，只需要输出得分模 1000000007 的结果即可。
解法
...
对算法正确性的说明：2023-01-17-再看OSU拓展
#include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 int n, m, mod = 1000000007;
 long long p[100020];
diff --git "a/obsidian/blog/2023-01-08-\346\240\221\347\212\266\346\225\260\347\273\204bit\346\255\243\347\241\256\346\200\247\347\232\204\350\257\201\346\230\216.html" "b/obsidian/blog/2023-01-08-\346\240\221\347\212\266\346\225\260\347\273\204bit\346\255\243\347\241\256\346\200\247\347\232\204\350\257\201\346\230\216.html"
index bb721b6..9b9002f 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-01-08-\346\240\221\347\212\266\346\225\260\347\273\204bit\346\255\243\347\241\256\346\200\247\347\232\204\350\257\201\346\230\216.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-01-08-\346\240\221\347\212\266\346\225\260\347\273\204bit\346\255\243\347\241\256\346\200\247\347\232\204\350\257\201\346\230\216.html"
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-2023-01-08-树状数组BIT正确性的证明
blog
2023-01-08-树状数组BIT正确性的证明
假设树状数组是 ，表示 到 这个区间的和
询问
...
根据定义，已经包含 到 这个区间了，所以在的时候不断 就可以求所要的前缀和了
而对于显然有 ，于是这个过程一定可以终止
更新
...
比如修改 ，显然 需要更新，接下来证明要更新的是 ，之类的
分两步
第一步：证明 真包含于 
...
设（显然任意整数都能写成这个形式），则，
不难发现 ，其中 ，由此得出
第二部：证明对任意满足 的 ， 不包含 
...
设，则，其中
不难发现 
从而 即 不包含 
所以在时不断 ，显然这个过程也一定会终止
Interactive Graph
Table Of Contents
2023-01-08-树状数组BIT正确性的证明
询问
更新
第一步：证明 真包含于 
第二部：证明对任意满足 的 ， 不包含 

\ No newline at end of file
+2023-01-08-树状数组BIT正确性的证明
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2023-01-08-树状数组BIT正确性的证明
假设树状数组是 ，表示 到 这个区间的和
询问
...
根据定义，已经包含 到 这个区间了，所以在的时候不断 就可以求所要的前缀和了
而对于显然有 ，于是这个过程一定可以终止
更新
...
比如修改 ，显然 需要更新，接下来证明要更新的是 ，之类的
分两步
第一步：证明 真包含于 
...
设（显然任意整数都能写成这个形式），则，
不难发现 ，其中 ，由此得出
第二部：证明对任意满足 的 ， 不包含 
...
设，则，其中
不难发现 
从而 即 不包含 
所以在时不断 ，显然这个过程也一定会终止
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2023-01-08-树状数组BIT正确性的证明
询问
更新
第一步：证明 真包含于 
第二部：证明对任意满足 的 ， 不包含 

\ No newline at end of file
diff --git "a/obsidian/blog/2023-01-08-\346\254\247\346\213\211\346\263\225\347\232\204\350\257\257\345\267\256\345\210\206\346\236\220.html" "b/obsidian/blog/2023-01-08-\346\254\247\346\213\211\346\263\225\347\232\204\350\257\257\345\267\256\345\210\206\346\236\220.html"
index d74a5de..e3f7a8b 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-01-08-\346\254\247\346\213\211\346\263\225\347\232\204\350\257\257\345\267\256\345\210\206\346\236\220.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-01-08-\346\254\247\346\213\211\346\263\225\347\232\204\350\257\257\345\267\256\345\210\206\346\236\220.html"
@@ -1 +1 @@
-2023-01-08-欧拉法的误差分析
blog
2023-01-08-欧拉法的误差分析
要解的微分方程：，而 是已知的
欧拉法(Euler's method):
其中 
要满足的条件：
  1. 存在常数 满足: 对于所有的 , 
  2. 存在常数 满足: 对于所有的 , 
令 表示 时的累积误差
, 其中 
那么
所以
所以累积误差是 的
不过在实际情况中，这个式子经常过高估计欧拉法的误差
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+2023-01-08-欧拉法的误差分析
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2023-01-08-欧拉法的误差分析
要解的微分方程：，而 是已知的
欧拉法(Euler's method):
其中 
要满足的条件：
  1. 存在常数 满足: 对于所有的 , 
  2. 存在常数 满足: 对于所有的 , 
令 表示 时的累积误差
, 其中 
那么
所以
所以累积误差是 的
不过在实际情况中，这个式子经常过高估计欧拉法的误差
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\ No newline at end of file
diff --git "a/obsidian/blog/2023-01-17-\345\206\215\347\234\213osu\346\213\223\345\261\225.html" "b/obsidian/blog/2023-01-17-\345\206\215\347\234\213osu\346\213\223\345\261\225.html"
index 5b9874e..cabbb36 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-01-17-\345\206\215\347\234\213osu\346\213\223\345\261\225.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-01-17-\345\206\215\347\234\213osu\346\213\223\345\261\225.html"
@@ -1 +1 @@
-2023-01-17-再看OSU拓展
blog
2023-01-17-再看OSU拓展
书接上文：2022-12-20-OSU拓展
我终于想明白算法的正确性了
二项式定理做法
...
正解做法
...
对比 和 
它们的组合意义相同：把 个不同球放进 个不同的盒子中，第一个盒子和最后一个盒子非空，中间的盒子可以是空盒的时候的方案数，由此可以看出正解的正确性。
不过它是怎么推导出来的我还没有想通
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2023-01-17-再看OSU拓展
二项式定理做法
正解做法

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2023-01-17-再看OSU拓展
书接上文：2022-12-20-OSU拓展
我终于想明白算法的正确性了
二项式定理做法
...
正解做法
...
对比 和 
它们的组合意义相同：把 个不同球放进 个不同的盒子中，第一个盒子和最后一个盒子非空，中间的盒子可以是空盒的时候的方案数，由此可以看出正解的正确性。
不过它是怎么推导出来的我还没有想通
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2023-01-17-再看OSU拓展
二项式定理做法
正解做法

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diff --git "a/obsidian/blog/2023-02-05-latex\345\222\214markdown\345\206\262\347\252\201.html" "b/obsidian/blog/2023-02-05-latex\345\222\214markdown\345\206\262\347\252\201.html"
index d01fb2b..32c6f85 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-02-05-latex\345\222\214markdown\345\206\262\347\252\201.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-02-05-latex\345\222\214markdown\345\206\262\347\252\201.html"
@@ -1 +1 @@
-2023-02-05-latex和markdown冲突
blog
2023-02-05-latex和markdown冲突
Jekyll有时候会把latex公式里的一些符号当成markdown的符号处理掉，然后mathjax就不能正常渲染数学公式了，需要在一些地方用反斜杠escape掉那些字符才行，但是这么做这些latex就不能在其他地方正常渲染了...
用 Obsidian 之后就好很多
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+2023-02-05-latex和markdown冲突
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2023-02-05-latex和markdown冲突
Jekyll有时候会把latex公式里的一些符号当成markdown的符号处理掉，然后mathjax就不能正常渲染数学公式了，需要在一些地方用反斜杠escape掉那些字符才行，但是这么做这些latex就不能在其他地方正常渲染了...
用 Obsidian 之后就好很多
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diff --git "a/obsidian/blog/2023-02-08-\347\275\221\347\273\234\346\265\201\345\205\245\351\227\250.html" "b/obsidian/blog/2023-02-08-\347\275\221\347\273\234\346\265\201\345\205\245\351\227\250.html"
index 172d8d7..aa983f7 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-02-08-\347\275\221\347\273\234\346\265\201\345\205\245\351\227\250.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-02-08-\347\275\221\347\273\234\346\265\201\345\205\245\351\227\250.html"
@@ -1,4 +1,4 @@
-2023-02-08-网络流入门
blog
2023-02-08-网络流入门
注：本文只考虑整数容量、整数流，但一部分论证可以直接推广到非整数流的问题上
什么是网络流
...
首先，网络（flow network）是指一个有向图 ，其中有两个特殊点: 源点（source）和汇点（sink）（）
容量网络（capacity network）：加了容量的网络，上面每条边的权值等于这条边的容量
...
容量 是一个 的映射, 规定：
如果 那么 
否则 
cap.png
流量网络（flow network）：加了流量的网络，x/y表示流量/容量
...
flow.png
流量 也是的映射
它要满足如下三个性质：
  1. 容量限制：
  2. 斜对称性（skew symmetry）：
  3. 流守恒性：流入一个点的流量等于流出这个点的流量 
注意到由1和2:
流的大小定义为 
为了便于讨论，定义符号 
那么有:
  2. 第二个参数也是同理
由此可以推出 
残量网络（residual network）：中所有结点和剩余容量大于 的边和反向边构成的图，一般记作 
...
形式化地，，其中 ，其中 即剩余流量（residual capacity）
res.png
最大流
...
最大流就是大小最大的流
增广路径就是残量网络上从源点到汇点的一条路径
aug.png
不停地找增广路径（然后在残量图上修改相应的流量）直到没有任何增广路径，我们就可以得到最大流 - 这就是增广路定理（之后会论证这个定理）
实际上流的斜对称性就是用来“退流”的，比如我们之前选的流不够好，它就能撤销掉之前的流
算法
...
Ford-Fulkerson: 每次通过dfs找一条增广路径
...
复杂度: 其中是最大流
是最简单的最大流算法，但是复杂度很差，在有些图上运行时间会和容量成正比
Ford-Fulkerson Killer（如果每次dfs运气不好都过中间那条边的话，算法就要找200次增广路了）
ffkill.png
Edmond-Karp动能算法: 每次通过bfs找一条增广路径
...
找到的增广路径叫做最短步数增广路(SAP, Shortest Augmenting Path)
复杂度：证明
实际效果: 1秒可以处理上万个节点的稀疏图，通常运行速度达不到这个上界这么慢
代码
...
int pre[NV], flow[NV];
+2023-02-08-网络流入门
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2023-02-08-网络流入门
注：本文只考虑整数容量、整数流，但一部分论证可以直接推广到非整数流的问题上
什么是网络流
...
首先，网络（flow network）是指一个有向图 ，其中有两个特殊点: 源点（source）和汇点（sink）（）
容量网络（capacity network）：加了容量的网络，上面每条边的权值等于这条边的容量
...
容量 是一个 的映射, 规定：
如果 那么 
否则 
cap.png
流量网络（flow network）：加了流量的网络，x/y表示流量/容量
...
flow.png
流量 也是的映射
它要满足如下三个性质：
  1. 容量限制：
  2. 斜对称性（skew symmetry）：
  3. 流守恒性：流入一个点的流量等于流出这个点的流量 
注意到由1和2:
流的大小定义为 
为了便于讨论，定义符号 
那么有:
  2. 第二个参数也是同理
由此可以推出 
残量网络（residual network）：中所有结点和剩余容量大于 的边和反向边构成的图，一般记作 
...
形式化地，，其中 ，其中 即剩余流量（residual capacity）
res.png
最大流
...
最大流就是大小最大的流
增广路径就是残量网络上从源点到汇点的一条路径
aug.png
不停地找增广路径（然后在残量图上修改相应的流量）直到没有任何增广路径，我们就可以得到最大流 - 这就是增广路定理（之后会论证这个定理）
实际上流的斜对称性就是用来“退流”的，比如我们之前选的流不够好，它就能撤销掉之前的流
算法
...
Ford-Fulkerson: 每次通过dfs找一条增广路径
...
复杂度: 其中是最大流
是最简单的最大流算法，但是复杂度很差，在有些图上运行时间会和容量成正比
Ford-Fulkerson Killer（如果每次dfs运气不好都过中间那条边的话，算法就要找200次增广路了）
ffkill.png
Edmond-Karp动能算法: 每次通过bfs找一条增广路径
...
找到的增广路径叫做最短步数增广路(SAP, Shortest Augmenting Path)
复杂度：证明
实际效果: 1秒可以处理上万个节点的稀疏图，通常运行速度达不到这个上界这么慢
代码
...
int pre[NV], flow[NV];
 
 bool bfs() {
     queue<int> q;
diff --git "a/obsidian/blog/2023-02-10-konig\345\256\232\347\220\206\345\222\214\345\214\210\347\211\231\345\210\251\347\256\227\346\263\225(\345\205\266\345\256\236\346\230\257\345\242\236\345\271\277\350\267\257\347\256\227\346\263\225).html" "b/obsidian/blog/2023-02-10-konig\345\256\232\347\220\206\345\222\214\345\214\210\347\211\231\345\210\251\347\256\227\346\263\225(\345\205\266\345\256\236\346\230\257\345\242\236\345\271\277\350\267\257\347\256\227\346\263\225).html"
index 2470c36..a7a2065 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-02-10-konig\345\256\232\347\220\206\345\222\214\345\214\210\347\211\231\345\210\251\347\256\227\346\263\225(\345\205\266\345\256\236\346\230\257\345\242\236\345\271\277\350\267\257\347\256\227\346\263\225).html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-02-10-konig\345\256\232\347\220\206\345\222\214\345\214\210\347\211\231\345\210\251\347\256\227\346\263\225(\345\205\266\345\256\236\346\230\257\345\242\236\345\271\277\350\267\257\347\256\227\346\263\225).html"
@@ -1,4 +1,4 @@
-2023-02-10-Konig定理和匈牙利算法(其实是增广路算法)
blog
2023-02-10-Konig定理和匈牙利算法(其实是增广路算法)
Konig定理
...
点覆盖：节点的集合，满足每条边至少有一个端点被选
最小点覆盖: 点数最少的点覆盖
Konig定理: 在一个二分图中，最大匹配数等于最小点覆盖
证明：
...
首先，因为匹配边没有共同的端点，而一个点覆盖中每条边至少有一个端点被选，所以所有点覆盖大于等于最大匹配
接下来我们只要能构造出一个等于最大匹配数的点覆盖就可以证明Konig定理
在最大匹配中，一条边有四种情况：
  1. 匹配边
  2. 非匹配边，两端点都参与匹配
  3. 非匹配边，只有左端点参与匹配
  4. 非匹配边，只有右端点参与匹配
接下来我们这么构造点覆盖：
  1. 对于只有左端参与匹配的非匹配边，选取它的左端点
  2. 把端点被选中的边去掉，重复步骤1
  3. 对于剩下的匹配边选它们的右端点
首先，选的点都是匹配边的端点，所以选出来了最大匹配数个点，也是因为这个，所有匹配边肯定被覆盖。接下来考虑所有非匹配边，重复过步骤1之后，所有第三种边都被覆盖；在最后一步之后，就能把第二种和第四种覆盖。于是所有边都被覆盖了，选出来的点确实组成点覆盖。
Q.E.D
匈牙利算法 (其实是增广路算法)
...
交错路(alternating path)：由匹配边与非匹配边交错而成 (只有一条边也可以)
增广路(augmenting path): 起点和终点都不参与匹配的交错路
枚举起点，不停找增广路
/image/konig/aug.png
找到之后反转一下（匹配边变非匹配边，反之亦然）就能使匹配数增加一
inv.png
没有增广路之后就得到了最大匹配
注意到这个过程中原先的匹配点不会变成非匹配点，只可能会新增匹配点
枚举起点时，每个非匹配点只需要被枚举一次，如果以它为起点存在增广路，那增广后它就不能再作为起点，因为它变成匹配点了，而如果不存在增广路，也就是找不到终点是非匹配点的交错路，那之后也不可能再找到增广路，因为不会新增非匹配点。
在此基础上，我们只需要枚举左侧点，假设左侧点都被增广过之后，右侧点还有未匹配的，那么以它们为起点不可能有增广路，因为以它们为起点的增广路的终点一定在左侧点中（因为增广路长度肯定是奇数）但是这与所有左侧点已经被增广过矛盾（增广的时候就应该找到这条增广路了）
综上，我们只需要枚举每个左侧点1次
代码
...
//假设左边的点编号为[1,nL]
+2023-02-10-Konig定理和匈牙利算法(其实是增广路算法)
blog
2023-02-10-Konig定理和匈牙利算法(其实是增广路算法)
Konig定理
...
点覆盖：节点的集合，满足每条边至少有一个端点被选
最小点覆盖: 点数最少的点覆盖
Konig定理: 在一个二分图中，最大匹配数等于最小点覆盖
证明：
...
首先，因为匹配边没有共同的端点，而一个点覆盖中每条边至少有一个端点被选，所以所有点覆盖大于等于最大匹配
接下来我们只要能构造出一个等于最大匹配数的点覆盖就可以证明Konig定理
在最大匹配中，一条边有四种情况：
  1. 匹配边
  2. 非匹配边，两端点都参与匹配
  3. 非匹配边，只有左端点参与匹配
  4. 非匹配边，只有右端点参与匹配
接下来我们这么构造点覆盖：
  1. 对于只有左端参与匹配的非匹配边，选取它的左端点
  2. 把端点被选中的边去掉，重复步骤1
  3. 对于剩下的匹配边选它们的右端点
首先，选的点都是匹配边的端点，所以选出来了最大匹配数个点，也是因为这个，所有匹配边肯定被覆盖。接下来考虑所有非匹配边，重复过步骤1之后，所有第三种边都被覆盖；在最后一步之后，就能把第二种和第四种覆盖。于是所有边都被覆盖了，选出来的点确实组成点覆盖。
Q.E.D
匈牙利算法 (其实是增广路算法)
...
交错路(alternating path)：由匹配边与非匹配边交错而成 (只有一条边也可以)
增广路(augmenting path): 起点和终点都不参与匹配的交错路
枚举起点，不停找增广路
/image/konig/aug.png
找到之后反转一下（匹配边变非匹配边，反之亦然）就能使匹配数增加一
inv.png
没有增广路之后就得到了最大匹配
注意到这个过程中原先的匹配点不会变成非匹配点，只可能会新增匹配点
枚举起点时，每个非匹配点只需要被枚举一次，如果以它为起点存在增广路，那增广后它就不能再作为起点，因为它变成匹配点了，而如果不存在增广路，也就是找不到终点是非匹配点的交错路，那之后也不可能再找到增广路，因为不会新增非匹配点。
在此基础上，我们只需要枚举左侧点，假设左侧点都被增广过之后，右侧点还有未匹配的，那么以它们为起点不可能有增广路，因为以它们为起点的增广路的终点一定在左侧点中（因为增广路长度肯定是奇数）但是这与所有左侧点已经被增广过矛盾（增广的时候就应该找到这条增广路了）
综上，我们只需要枚举每个左侧点1次
代码
...
//假设左边的点编号为[1,nL]
 bool vst[NV]; //表示右侧的点在这轮寻找增广路的时候有没有被访问过
 int match[NV]; //表示右侧的点匹配上了左侧的哪个点
 
diff --git "a/obsidian/blog/2023-02-18-\345\217\230\350\264\250\351\207\217\347\263\273\347\273\237\344\270\255\345\212\233\344\270\216\345\212\250\351\207\217\347\232\204\345\205\263\347\263\273.html" "b/obsidian/blog/2023-02-18-\345\217\230\350\264\250\351\207\217\347\263\273\347\273\237\344\270\255\345\212\233\344\270\216\345\212\250\351\207\217\347\232\204\345\205\263\347\263\273.html"
index 3abb0d0..e83e16d 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-02-18-\345\217\230\350\264\250\351\207\217\347\263\273\347\273\237\344\270\255\345\212\233\344\270\216\345\212\250\351\207\217\347\232\204\345\205\263\347\263\273.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-02-18-\345\217\230\350\264\250\351\207\217\347\263\273\347\273\237\344\270\255\345\212\233\344\270\216\345\212\250\351\207\217\347\232\204\345\205\263\347\263\273.html"
@@ -1 +1 @@
-2023-02-18-变质量系统中力与动量的关系
blog
2023-02-18-变质量系统中力与动量的关系
由牛顿第二定律可以得出不变时 
那么在会变时还是这样的吗？
实际上会变时方程是这样的：
其中是指时刻时，增加的质量速度从变成，或者减少的质量速度从变成
证明
...
在到的时候，
再将除到右边即可得到上述方程
例子：火箭方程
...
一个真空中的火箭以相对自身的速度向反方向喷射气体，那么我们可以得到如下方程
初末初末
Interactive Graph
Table Of Contents
2023-02-18-变质量系统中力与动量的关系
证明
例子：火箭方程

\ No newline at end of file
+2023-02-18-变质量系统中力与动量的关系
blog
2023-02-18-变质量系统中力与动量的关系
由牛顿第二定律可以得出不变时 
那么在会变时还是这样的吗？
实际上会变时方程是这样的：
其中是指时刻时，增加的质量速度从变成，或者减少的质量速度从变成
证明
...
在到的时候，
再将除到右边即可得到上述方程
例子：火箭方程
...
一个真空中的火箭以相对自身的速度向反方向喷射气体，那么我们可以得到如下方程
初末初末
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2023-02-18-变质量系统中力与动量的关系
证明
例子：火箭方程

\ No newline at end of file
diff --git "a/obsidian/blog/2023-02-20-\344\272\221\345\233\276\345\272\212\347\202\270\344\272\206.html" "b/obsidian/blog/2023-02-20-\344\272\221\345\233\276\345\272\212\347\202\270\344\272\206.html"
index dd10356..20e8f47 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-02-20-\344\272\221\345\233\276\345\272\212\347\202\270\344\272\206.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-02-20-\344\272\221\345\233\276\345\272\212\347\202\270\344\272\206.html"
@@ -1 +1 @@
-2023-02-20-云图床炸了
blog
2023-02-20-云图床炸了
云图床好像在进行维护工作，虽然上面说“请过几分钟回来”，但是它已经维护了好几天了...
我目前博客里大部分图片都上传在它上面，希望它赶快搞好吧。
所以这段时间很多图片都不会显示。
2023/3/19更新：原来是被攻击了，似乎现在开始恢复了
现在彻底寄了
Interactive Graph
Table Of Contents

\ No newline at end of file
+2023-02-20-云图床炸了
blog
2023-02-20-云图床炸了
云图床好像在进行维护工作，虽然上面说“请过几分钟回来”，但是它已经维护了好几天了...
我目前博客里大部分图片都上传在它上面，希望它赶快搞好吧。
所以这段时间很多图片都不会显示。
2023/3/19更新：原来是被攻击了，似乎现在开始恢复了
现在彻底寄了
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Table Of Contents

\ No newline at end of file
diff --git "a/obsidian/blog/2023-02-23-\346\257\222\347\230\244\351\242\230,\347\272\252\345\277\265\344\270\200\344\270\213.html" "b/obsidian/blog/2023-02-23-\346\257\222\347\230\244\351\242\230,\347\272\252\345\277\265\344\270\200\344\270\213.html"
index 4a4ffd7..c261041 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-02-23-\346\257\222\347\230\244\351\242\230,\347\272\252\345\277\265\344\270\200\344\270\213.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-02-23-\346\257\222\347\230\244\351\242\230,\347\272\252\345\277\265\344\270\200\344\270\213.html"
@@ -1,4 +1,4 @@
-2023-02-23-毒瘤题,纪念一下
blog
2023-02-23-毒瘤题,纪念一下
提交次数多达两页半
#include <bits/stdc++.h>
+2023-02-23-毒瘤题,纪念一下
blog
2023-02-23-毒瘤题,纪念一下
提交次数多达两页半
#include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 
 typedef long long ll;
diff --git "a/obsidian/blog/2023-03-04-\345\277\253\350\257\273\346\250\241\347\211\210.html" "b/obsidian/blog/2023-03-04-\345\277\253\350\257\273\346\250\241\347\211\210.html"
index 8a4fb66..4fb723f 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-03-04-\345\277\253\350\257\273\346\250\241\347\211\210.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-03-04-\345\277\253\350\257\273\346\250\241\347\211\210.html"
@@ -1,4 +1,4 @@
-2023-03-04-快读模版
blog
2023-03-04-快读模版
// orz laofudasuan
+2023-03-04-快读模版
blog
2023-03-04-快读模版
// orz laofudasuan
 // modified
 
 namespace io {
diff --git "a/obsidian/blog/2023-03-10-vscode\351\205\215\347\275\256.html" "b/obsidian/blog/2023-03-10-vscode\351\205\215\347\275\256.html"
index 1e49375..287018f 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-03-10-vscode\351\205\215\347\275\256.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-03-10-vscode\351\205\215\347\275\256.html"
@@ -1 +1 @@
-2023-03-10-VSCode配置
blog
2023-03-10-VSCode配置
推荐OI类和装饰性拓展
...
  1. Material Icon Theme
  2. Competitive Programming Helper (cph)
  3. TabOut
  4. C/C++
  5. Code Runner
  6. Error Lens
配置文件：
Interactive Graph
Table Of Contents
2023-03-10-VSCode配置
推荐OI类和装饰性拓展

\ No newline at end of file
+2023-03-10-VSCode配置
blog
2023-03-10-VSCode配置
推荐OI类和装饰性拓展
...
  1. Material Icon Theme
  2. Competitive Programming Helper (cph)
  3. TabOut
  4. C/C++
  5. Code Runner
  6. Error Lens
配置文件：
Interactive Graph
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2023-03-10-VSCode配置
推荐OI类和装饰性拓展

\ No newline at end of file
diff --git "a/obsidian/blog/2023-03-15-1\347\273\264dp\345\233\233\350\276\271\345\275\242\344\270\215\347\255\211\345\274\217\344\274\230\345\214\226(\345\206\263\347\255\226\345\215\225\350\260\203\346\200\247\344\274\230\345\214\226).html" "b/obsidian/blog/2023-03-15-1\347\273\264dp\345\233\233\350\276\271\345\275\242\344\270\215\347\255\211\345\274\217\344\274\230\345\214\226(\345\206\263\347\255\226\345\215\225\350\260\203\346\200\247\344\274\230\345\214\226).html"
index dac2bdd..ae0f8c3 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-03-15-1\347\273\264dp\345\233\233\350\276\271\345\275\242\344\270\215\347\255\211\345\274\217\344\274\230\345\214\226(\345\206\263\347\255\226\345\215\225\350\260\203\346\200\247\344\274\230\345\214\226).html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-03-15-1\347\273\264dp\345\233\233\350\276\271\345\275\242\344\270\215\347\255\211\345\274\217\344\274\230\345\214\226(\345\206\263\347\255\226\345\215\225\350\260\203\346\200\247\344\274\230\345\214\226).html"
@@ -1,4 +1,4 @@
-2023-03-15-1维DP四边形不等式优化(决策单调性优化)
blog
2023-03-15-1维DP四边形不等式优化(决策单调性优化)
对序列切割问题，令 ，即 到 的最优解
其中 表示 到 作为一段的代价
若对所有 有 (四边形不等式)，即可使用此优化 (所以叫四边形不等式优化)
这是因为若四边形不等式满足，则
大大小小
于是如果 大小
那对于所有 有 大小(*)
(*)就是强化版决策单调性
令 表示 的决策
那么 不降就是普通的决策单调性(**)，它可以由(*)得出
用 合并 数组中一段相同的值，并用队列维护 
求出后就从右到左看它能更新哪些 ，如果能整个更新，就把这块丢掉，否则就在第一个不能整块更新的块里二分，正确性由(*)和(**)保证

+2023-03-15-1维DP四边形不等式优化(决策单调性优化)
blog
2023-03-15-1维DP四边形不等式优化(决策单调性优化)
对序列切割问题，令 ，即 到 的最优解
其中 表示 到 作为一段的代价
若对所有 有 (四边形不等式)，即可使用此优化 (所以叫四边形不等式优化)
这是因为若四边形不等式满足，则
大大小小
于是如果 大小
那对于所有 有 大小(*)
(*)就是强化版决策单调性
令 表示 的决策
那么 不降就是普通的决策单调性(**)，它可以由(*)得出
用 合并 数组中一段相同的值，并用队列维护 
求出后就从右到左看它能更新哪些 ，如果能整个更新，就把这块丢掉，否则就在第一个不能整块更新的块里二分，正确性由(*)和(**)保证

 struct Info {
     int l, r, pre;
 } q[N];
diff --git "a/obsidian/blog/2023-03-25-2\347\273\264dp\345\233\233\350\276\271\345\275\242\344\270\215\347\255\211\345\274\217\344\274\230\345\214\226(\345\206\263\347\255\226\345\215\225\350\260\203\346\200\247\344\274\230\345\214\226).html" "b/obsidian/blog/2023-03-25-2\347\273\264dp\345\233\233\350\276\271\345\275\242\344\270\215\347\255\211\345\274\217\344\274\230\345\214\226(\345\206\263\347\255\226\345\215\225\350\260\203\346\200\247\344\274\230\345\214\226).html"
index 97f9e3c..89384b0 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-03-25-2\347\273\264dp\345\233\233\350\276\271\345\275\242\344\270\215\347\255\211\345\274\217\344\274\230\345\214\226(\345\206\263\347\255\226\345\215\225\350\260\203\346\200\247\344\274\230\345\214\226).html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-03-25-2\347\273\264dp\345\233\233\350\276\271\345\275\242\344\270\215\347\255\211\345\274\217\344\274\230\345\214\226(\345\206\263\347\255\226\345\215\225\350\260\203\346\200\247\344\274\230\345\214\226).html"
@@ -1,4 +1,4 @@
-2023-03-25-2维DP四边形不等式优化(决策单调性优化)
blog
2023-03-25-2维DP四边形不等式优化(决策单调性优化)
对于区间DP问题，都可以列出转移方程：
其中
令 表示使 最优的 
如果 满足：
  1. 区间包含单调性：对于所有 
  2. 四边形不等式：对于所有 
那么对于所有 有 
这样在枚举决策就只用枚举 到 了
当然，要注意边界情况，即 和 
显然这会让复杂度从 降低到 （均摊枚举决策的循环）
证明在这篇论文里（这个优化英文叫 Knuth-Yao quadruple inequality speed-up）
就算与也有关，只要它的前两个参数满足上面两个条件，优化还是能用，证明在这篇论文里

+2023-03-25-2维DP四边形不等式优化(决策单调性优化)
blog
2023-03-25-2维DP四边形不等式优化(决策单调性优化)
对于区间DP问题，都可以列出转移方程：
其中
令 表示使 最优的 
如果 满足：
  1. 区间包含单调性：对于所有 
  2. 四边形不等式：对于所有 
那么对于所有 有 
这样在枚举决策就只用枚举 到 了
当然，要注意边界情况，即 和 
显然这会让复杂度从 降低到 （均摊枚举决策的循环）
证明在这篇论文里（这个优化英文叫 Knuth-Yao quadruple inequality speed-up）
就算与也有关，只要它的前两个参数满足上面两个条件，优化还是能用，证明在这篇论文里

 struct Opt {
     int v, k;
 } f[N][N];
diff --git "a/obsidian/blog/2023-03-26-\344\270\244\351\201\223\346\234\211\346\204\217\346\200\235\347\232\204\345\276\256\347\247\257\345\210\206\351\242\230\347\233\256.html" "b/obsidian/blog/2023-03-26-\344\270\244\351\201\223\346\234\211\346\204\217\346\200\235\347\232\204\345\276\256\347\247\257\345\210\206\351\242\230\347\233\256.html"
index 64db3ea..39573c7 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-03-26-\344\270\244\351\201\223\346\234\211\346\204\217\346\200\235\347\232\204\345\276\256\347\247\257\345\210\206\351\242\230\347\233\256.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-03-26-\344\270\244\351\201\223\346\234\211\346\204\217\346\200\235\347\232\204\345\276\256\347\247\257\345\210\206\351\242\230\347\233\256.html"
@@ -1 +1 @@
-2023-03-26-两道有意思的微积分题目
blog
2023-03-26-两道有意思的微积分题目
第一题
...
1.jpeg
相当于在近似在到的曲线下方面积, 所以结果是 
第二题
...
2.jpeg
原式拆成个各自相减得到趋于无穷，增长快过趋于无穷，求和相当于积分
Interactive Graph
Table Of Contents
2023-03-26-两道有意思的微积分题目
第一题
第二题

\ No newline at end of file
+2023-03-26-两道有意思的微积分题目
blog
2023-03-26-两道有意思的微积分题目
第一题
...
1.jpeg
相当于在近似在到的曲线下方面积, 所以结果是 
第二题
...
2.jpeg
原式拆成个各自相减得到趋于无穷，增长快过趋于无穷，求和相当于积分
Interactive Graph
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2023-03-26-两道有意思的微积分题目
第一题
第二题

\ No newline at end of file
diff --git "a/obsidian/blog/2023-04-14-wqs\344\272\214\345\210\206.html" "b/obsidian/blog/2023-04-14-wqs\344\272\214\345\210\206.html"
index cddb9cd..4246a36 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-04-14-wqs\344\272\214\345\210\206.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-04-14-wqs\344\272\214\345\210\206.html"
@@ -1 +1 @@
-2023-04-14-wqs二分
blog
2023-04-14-wqs二分
引入
...
我们有时候需要解决在一定限制下的最优化问题，通常它们可以写成如下形式：在 的情况下使 最小化（最大化）。
但是很多时候这样的问题难以直接解决，而相应的没有限制的问题通常会更容易解决（即求 的最小值）。
所以如果能从无限制问题中的结果得到有限制问题的结果，我们就能更容易地解决原问题。
Lagrange Sufficiency Theorem:
...
对于问题 ：使 最小化，其中 
考虑无限制问题 ：使 最小化，其中 。
若 有满足 的解 ，那 也是原问题 的一个解。
该定理可以用反证法简单地证明。
由上述定理可以看到，如果 关于 有单调性，就可以通过二分 和解决 （比 简单）来找到答案
如果问题 关于不同的限制 具有凸性（a.k.a. ）那么 关于 就有单调性
一般来说，凸性可以通过暴力算法打印数据找规律猜蒙凑得出
经典题目
...
Interactive Graph
Table Of Contents
2023-04-14-wqs二分
引入
Lagrange Sufficiency Theorem:
经典题目

\ No newline at end of file
+2023-04-14-wqs二分
blog
2023-04-14-wqs二分
引入
...
我们有时候需要解决在一定限制下的最优化问题，通常它们可以写成如下形式：在 的情况下使 最小化（最大化）。
但是很多时候这样的问题难以直接解决，而相应的没有限制的问题通常会更容易解决（即求 的最小值）。
所以如果能从无限制问题中的结果得到有限制问题的结果，我们就能更容易地解决原问题。
Lagrange Sufficiency Theorem:
...
对于问题 ：使 最小化，其中 
考虑无限制问题 ：使 最小化，其中 。
若 有满足 的解 ，那 也是原问题 的一个解。
该定理可以用反证法简单地证明。
由上述定理可以看到，如果 关于 有单调性，就可以通过二分 和解决 （比 简单）来找到答案
如果问题 关于不同的限制 具有凸性（a.k.a. ）那么 关于 就有单调性
一般来说，凸性可以通过暴力算法打印数据找规律猜蒙凑得出
经典题目
...
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2023-04-14-wqs二分
引入
Lagrange Sufficiency Theorem:
经典题目

\ No newline at end of file
diff --git "a/obsidian/blog/2023-04-17-dev-c++\347\277\273\346\226\260.html" "b/obsidian/blog/2023-04-17-dev-c++\347\277\273\346\226\260.html"
index 93f44b8..b80ee35 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-04-17-dev-c++\347\277\273\346\226\260.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-04-17-dev-c++\347\277\273\346\226\260.html"
@@ -1 +1 @@
-2023-04-17-Dev-C++翻新
blog
2023-04-17-Dev-C++翻新
Dev C++ 是一个很常用的 C++ IDE，但是它的年代有点太老了，所以它现在用它可能有一些问题，所以我们需要翻新它。
这里的 Dev C++ 是 Bloodshed Dev C++ 5.11
翻新编译器
...
让AStyle能工作
...
Dev C++ 的 AStyle 是用来格式化代码的一个程序 (ctrl+shift+A调用)，但是由于它会在DevCpp\AStyle下创建临时文件，而Program Files (x86) 下的文件夹有权限问题，所以它无法正常工作（调用之后没有效果）
要解决这个问题，一个方法就是设置 Dev C++ 每次都按管理员身份启动（右键dev c++快捷方式 - 属性 - 兼容性 - 以管理员身份运行此程序 打勾），但是这样每次都会弹出 UAC 窗口，很麻烦
另一个解决办法就是用目录联接（快捷方式不行）把 Astyle 放到一个没有权限问题的地方。具体做法：先把AStyle文件夹剪切到 D:\ 然后在 DevCpp 文件夹中以管理员身份启动命令行，输入 mklink /J AStyle D:\AStyle 即可
美化 Dev C++
...
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2023-04-17-Dev-C++翻新
翻新编译器
让AStyle能工作
美化 Dev C++

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+2023-04-17-Dev-C++翻新
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2023-04-17-Dev-C++翻新
Dev C++ 是一个很常用的 C++ IDE，但是它的年代有点太老了，所以它现在用它可能有一些问题，所以我们需要翻新它。
这里的 Dev C++ 是 Bloodshed Dev C++ 5.11
翻新编译器
...
让AStyle能工作
...
Dev C++ 的 AStyle 是用来格式化代码的一个程序 (ctrl+shift+A调用)，但是由于它会在DevCpp\AStyle下创建临时文件，而Program Files (x86) 下的文件夹有权限问题，所以它无法正常工作（调用之后没有效果）
要解决这个问题，一个方法就是设置 Dev C++ 每次都按管理员身份启动（右键dev c++快捷方式 - 属性 - 兼容性 - 以管理员身份运行此程序 打勾），但是这样每次都会弹出 UAC 窗口，很麻烦
另一个解决办法就是用目录联接（快捷方式不行）把 Astyle 放到一个没有权限问题的地方。具体做法：先把AStyle文件夹剪切到 D:\ 然后在 DevCpp 文件夹中以管理员身份启动命令行，输入 mklink /J AStyle D:\AStyle 即可
美化 Dev C++
...
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2023-04-17-Dev-C++翻新
翻新编译器
让AStyle能工作
美化 Dev C++

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diff --git "a/obsidian/blog/2023-05-12-\351\233\206\345\220\210dp.html" "b/obsidian/blog/2023-05-12-\351\233\206\345\220\210dp.html"
index 0020f83..1094690 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-05-12-\351\233\206\345\220\210dp.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-05-12-\351\233\206\345\220\210dp.html"
@@ -1 +1 @@
-2023-05-12-集合DP
blog
2023-05-12-集合DP
我们想要知道的是：对于某个集合, (子集dp) 或者 (超集dp)，表示集合的某个性质
这里的加法也可以换成 min,max
求加法的相应dp叫做 SOS(sum on supersets/subsets) dp，求min,max的相应dp叫做 MOS(min/max on supersets/subsets) dp
这里以 SOS dp 为例子，我们通过二进制表示集合，这样就可以把每个集合映射到一个整数了
令 为msk改变后p位能形成的msk子集/超集的结果
子集dp:
若的第位是若的第位是
超集dp:
若的第位是若的第位是
可以看到，子集dp和超集dp的转移方程基本是一样的，除了条件要反一下
外层循环枚举，内层循环枚举，这一维可以滚动数组优化，且两层循环的枚举顺序可以任意
结果就是 
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+2023-05-12-集合DP
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2023-05-12-集合DP
我们想要知道的是：对于某个集合, (子集dp) 或者 (超集dp)，表示集合的某个性质
这里的加法也可以换成 min,max
求加法的相应dp叫做 SOS(sum on supersets/subsets) dp，求min,max的相应dp叫做 MOS(min/max on supersets/subsets) dp
这里以 SOS dp 为例子，我们通过二进制表示集合，这样就可以把每个集合映射到一个整数了
令 为msk改变后p位能形成的msk子集/超集的结果
子集dp:
若的第位是若的第位是
超集dp:
若的第位是若的第位是
可以看到，子集dp和超集dp的转移方程基本是一样的，除了条件要反一下
外层循环枚举，内层循环枚举，这一维可以滚动数组优化，且两层循环的枚举顺序可以任意
结果就是 
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diff --git "a/obsidian/blog/2023-06-25-\346\234\200\345\260\217\350\264\271\347\224\250\346\234\200\345\244\247\346\265\201.html" "b/obsidian/blog/2023-06-25-\346\234\200\345\260\217\350\264\271\347\224\250\346\234\200\345\244\247\346\265\201.html"
index d17aed1..9018811 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-06-25-\346\234\200\345\260\217\350\264\271\347\224\250\346\234\200\345\244\247\346\265\201.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-06-25-\346\234\200\345\260\217\350\264\271\347\224\250\346\234\200\345\244\247\346\265\201.html"
@@ -1 +1 @@
-2023-06-25-最小费用最大流
blog
2023-06-25-最小费用最大流
一个重要的定理(Negative Cycle Optimality Conditions)：一个流的费用是最小的(在大小相同的流之中)，当且仅当它对应的残量网络中不存在负环。
正方向是显然的，反方向不好证明，本文暂时略过。
由这个定理，我们可以得到负环消去算法：先找到一个最大流，然后不停地找负环，沿负环增广，直到没有负环为止。
但是更常见的算法是 SSP (Successive Shortest Path) 算法，也就是把EK算法中的bfs换成SPFA。要证明这个算法的正确性，我们需要证明算法过程中不会产生负环。
欲证明：如果一个残量图中没有负环，那么经过一条最短路增广之后不会产生负环
证明：
使用反证法。
假设沿最短路增广后产生了一个负环，由于原先没有负环，必定与的反向路径有一个非空交集。因为是负环，所以，于是，因为增广前后没有变化，所以在增广之前的图中存在，把中替换为，会得到一条新的路径，也可能还会出现与不相连的几个环圈，但是注意到这几个环圈肯定在增广之前就存在(因为增广前后没有变化)，而且增广前没有负环，所以一定比更短，但是这与是最短路矛盾。
Q.E.D
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+2023-06-25-最小费用最大流
blog
2023-06-25-最小费用最大流
一个重要的定理(Negative Cycle Optimality Conditions)：一个流的费用是最小的(在大小相同的流之中)，当且仅当它对应的残量网络中不存在负环。
正方向是显然的，反方向不好证明，本文暂时略过。
由这个定理，我们可以得到负环消去算法：先找到一个最大流，然后不停地找负环，沿负环增广，直到没有负环为止。
但是更常见的算法是 SSP (Successive Shortest Path) 算法，也就是把EK算法中的bfs换成SPFA。要证明这个算法的正确性，我们需要证明算法过程中不会产生负环。
欲证明：如果一个残量图中没有负环，那么经过一条最短路增广之后不会产生负环
证明：
使用反证法。
假设沿最短路增广后产生了一个负环，由于原先没有负环，必定与的反向路径有一个非空交集。因为是负环，所以，于是，因为增广前后没有变化，所以在增广之前的图中存在，把中替换为，会得到一条新的路径，也可能还会出现与不相连的几个环圈，但是注意到这几个环圈肯定在增广之前就存在(因为增广前后没有变化)，而且增广前没有负环，所以一定比更短，但是这与是最短路矛盾。
Q.E.D
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diff --git "a/obsidian/blog/2023-07-17-\344\270\215\345\212\250\347\202\271\346\263\225\346\261\202\346\225\260\345\210\227\351\200\232\351\241\271.html" "b/obsidian/blog/2023-07-17-\344\270\215\345\212\250\347\202\271\346\263\225\346\261\202\346\225\260\345\210\227\351\200\232\351\241\271.html"
index 4bcb703..ac6d6d1 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-07-17-\344\270\215\345\212\250\347\202\271\346\263\225\346\261\202\346\225\260\345\210\227\351\200\232\351\241\271.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-07-17-\344\270\215\345\212\250\347\202\271\346\263\225\346\261\202\346\225\260\345\210\227\351\200\232\351\241\271.html"
@@ -1 +1 @@
-2023-07-17-不动点法求数列通项
blog
2023-07-17-不动点法求数列通项
今天复习数列，碰到了这个东西。
假设我们有这样的一个递推式 ，那么要求它的通项公式。我们可以先求出它的不动点 ，然后在递推式两端减去不动点 这样有时候能凑出一些特殊的容易处理的结构。
下面是几个例子。
1
...
，其中
首先求不动点 显然是有解的
然后两式相减得 
于是 
2
...
，其中对于所有 ，且 ，，
求不动点
不会有增根，因为
我们把复数解也考虑进来，那么不动点有1个或者2个
式子两端减去一个不动点 
如果只有一个不动点，那么由 可得 由此，对上式两端取倒数，然后进行一定处理后能得到 形成等差数列(如果不是全为的常数列)
如果有两个不动点，记为 ，那么有
做商(假设不是常数列，那么两式都不为0)
于是 形成等比数列
其中不动点为复数的情况比较有意思，它们对应的是周期数列(证明见参考资料)
3
...
牛顿迭代法求 
首先 得 
式子两端各自减去两个不动点，然后再做商可得
参考资料
...
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2023-07-17-不动点法求数列通项
1
2
3
参考资料

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+2023-07-17-不动点法求数列通项
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2023-07-17-不动点法求数列通项
今天复习数列，碰到了这个东西。
假设我们有这样的一个递推式 ，那么要求它的通项公式。我们可以先求出它的不动点 ，然后在递推式两端减去不动点 这样有时候能凑出一些特殊的容易处理的结构。
下面是几个例子。
1
...
，其中
首先求不动点 显然是有解的
然后两式相减得 
于是 
2
...
，其中对于所有 ，且 ，，
求不动点
不会有增根，因为
我们把复数解也考虑进来，那么不动点有1个或者2个
式子两端减去一个不动点 
如果只有一个不动点，那么由 可得 由此，对上式两端取倒数，然后进行一定处理后能得到 形成等差数列(如果不是全为的常数列)
如果有两个不动点，记为 ，那么有
做商(假设不是常数列，那么两式都不为0)
于是 形成等比数列
其中不动点为复数的情况比较有意思，它们对应的是周期数列(证明见参考资料)
3
...
牛顿迭代法求 
首先 得 
式子两端各自减去两个不动点，然后再做商可得
参考资料
...
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2023-07-17-不动点法求数列通项
1
2
3
参考资料

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diff --git "a/obsidian/blog/2023-08-24-\345\271\273\345\275\261\345\235\246\345\205\213.html" "b/obsidian/blog/2023-08-24-\345\271\273\345\275\261\345\235\246\345\205\213.html"
index f6d4c29..7c63fdf 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-08-24-\345\271\273\345\275\261\345\235\246\345\205\213.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-08-24-\345\271\273\345\275\261\345\235\246\345\205\213.html"
@@ -1 +1 @@
-2023-08-24-幻影坦克
blog
2023-08-24-幻影坦克
所谓的幻影坦克是一类图片，在预览和点开的时候显示不一样的图
它们是通过 PNG 格式的 Alpha 通道实现的
令一个像素点在亮背景下显示颜色 ，在暗背景下显示颜色 
设能达成效果的颜色为 
可列出方程组
可得
当 三个分量都相等时方程才有解，所以幻影坦克一般都是灰度图
得
可以看到，为了让值得范围保持在 内，A图偏亮，B图偏暗
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+2023-08-24-幻影坦克
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2023-08-24-幻影坦克
所谓的幻影坦克是一类图片，在预览和点开的时候显示不一样的图
它们是通过 PNG 格式的 Alpha 通道实现的
令一个像素点在亮背景下显示颜色 ，在暗背景下显示颜色 
设能达成效果的颜色为 
可列出方程组
可得
当 三个分量都相等时方程才有解，所以幻影坦克一般都是灰度图
得
可以看到，为了让值得范围保持在 内，A图偏亮，B图偏暗
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diff --git "a/obsidian/blog/2023-09-20-csp-s-2023-\345\244\215\350\265\233.html" "b/obsidian/blog/2023-09-20-csp-s-2023-\345\244\215\350\265\233.html"
new file mode 100644
index 0000000..c230ba5
--- /dev/null
+++ "b/obsidian/blog/2023-09-20-csp-s-2023-\345\244\215\350\265\233.html"
@@ -0,0 +1,116 @@
+2023-09-20-CSP-S-2023-复赛
blog
考场上 T1, T3 做出来了
T2, T4 CF 上有原题
这里就记录一下 T2 正解
T2
...
做法1：dp
...
令 从 开头的可消去子串的数量
是使得 可消去的最小的 
那么 如果 存在，否则是 
可以这么求（存在的话）：

+nxt[i] := i+1
+
+while a[nxt[i]] != a[i]:
+
+    nxt[i] = nxt[nxt[i]] + 1
+
+
但是这么做是 的，不能拿满分
所以引入 表示使得 可消去且 的最小的 
那么就有这样的关系
若 和 都存在
当 时 否则 
当 时 否则 
原题的代码：（CCF版缩小了值域
为 ，为 表示不存在
#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+
+const int N = 3e5 + 10;
+
+int nQ;
+int n;
+int a[N];
+int dp[N];
+map<int, int> nxta[N];
+
+void input() {
+    scanf("%d", &n);
+    for (int i = 1; i <= n; i++)
+        scanf("%d", &a[i]);
+}
+
+void solve() {
+    for (int i = n + 1; i >= 1; i--) {
+        nxta[i].clear();
+        dp[i] = 0;
+    }
+    for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
+        int nxt;
+        if (a[i] == a[i + 1]) {
+            nxt = i + 1;
+            nxta[i] = move(nxta[nxt + 1]);
+            if (nxt + 1 <= n) nxta[i][a[nxt + 1]] = nxt;
+            dp[i] = dp[nxt + 1] + 1;
+        } else {
+            nxt = nxta[i + 1][a[i]] + 1;
+            if (nxt != 1) {
+                nxta[i] = move(nxta[nxt + 1]);
+                if(nxt + 1 <= n) nxta[i][a[nxt + 1]] = nxt; //***
+                dp[i] = dp[nxt + 1] + 1;
+            }
+        }
+    }
+
+    long long ans = 0; //***
+    for (int i = 1; i < n; i++) {
+        ans += dp[i];
+    }
+    cout << ans << endl;
+}
+
+int main() {
+    scanf("%d", &nQ);
+    for (int iQ = 1; iQ <= nQ; iQ++) {
+        input();
+        solve();
+    }
+    return 0;
+}
+
做法2：哈希
...
考虑一个栈 S，每次加入一个序列中的元素，如果该元素和栈顶的是相同的，那么就消掉
令 表示到 为止的栈, 表示 结尾的可消去子序列的数量
如果有 那么就说明 到 的区间是可以消去的（证明略，那么这时候 
接下来状态压缩，令 表示当前栈为 时以当前位置结尾的可消去子序列数量，那么每次更新就是 
给 做一个哈希，然后 用 map 维护
#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+
+typedef long long ll;
+
+
+int n;
+string s;
+string stk;
+
+const ll b1=131,b2=151;
+const ll mod=1e9+7;
+
+ll p1[2000010];
+ll p2[2000010];
+ll h1,h2;
+
+map<pair<ll,ll>,int> st;
+
+ll ans;
+
+int main(){
+    cin>>n>>s;
+    p1[0]=p2[0]=1;
+    for(int i=1;i<=n;i++){
+        p1[i]=p1[i-1]*b1%mod;
+        p2[i]=p2[i-1]*b2%mod;
+    }
+    stk='-';
+    h1=(int)stk[0]*p1[0]%mod;
+    h2=(int)stk[0]*p2[0]%mod;
+    st[make_pair(h1,h2)]++;
+    for(char c:s){
+        if(c==stk.back()){
+            h1-=(int)stk.back()*p1[stk.size()-1]%mod;
+            h1+=mod;
+            h1%=mod;
+            h2-=(int)stk.back()*p2[stk.size()-1]%mod;
+            h2+=mod;
+            h2%=mod;
+            stk.pop_back();
+        }else{
+            h1+=(int)c*p1[stk.size()]%mod;
+            h1%=mod;
+            h2+=(int)c*p2[stk.size()]%mod;
+            h2%=mod;
+            stk.push_back(c);
+        }
+        ans+=st[make_pair(h1,h2)];
+        st[make_pair(h1,h2)]++;
+    }
+    cout<<ans<<endl;
+    return 0;
+}
+
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T2
做法1：dp
做法2：哈希

\ No newline at end of file
diff --git "a/obsidian/blog/2023-09-20-\347\203\255\344\272\214\345\210\260\345\205\213\345\212\263\344\277\256\346\226\257\345\210\260\347\206\265.html" "b/obsidian/blog/2023-09-20-\347\203\255\344\272\214\345\210\260\345\205\213\345\212\263\344\277\256\346\226\257\345\210\260\347\206\265.html"
index e418c2a..49b44be 100644
--- "a/obsidian/blog/2023-09-20-\347\203\255\344\272\214\345\210\260\345\205\213\345\212\263\344\277\256\346\226\257\345\210\260\347\206\265.html"
+++ "b/obsidian/blog/2023-09-20-\347\203\255\344\272\214\345\210\260\345\205\213\345\212\263\344\277\256\346\226\257\345\210\260\347\206\265.html"
@@ -1 +1 @@
-2023-09-20-热二到克劳修斯到熵
blog
热力学第二定律
...
  1. 开尔文：不可能从单一热源吸收热量，使之完全变为有用的功而不产生其他影响（"单一热源"指温度均匀并且恒定不变的热源，"其他影响"是指除了从单一热源吸热，把所吸收的热全部用来做功以外的其他任何变化
  2. 克劳修斯：不可能把热量从低温物体转移到高温物体而不引起其他变化
    ”其他影响“、”其他变化“包括机器状态的变化
    两种表述等价：
    若有一个热机违反1，则将其与一个卡诺热机相连，使其对卡诺机做功逆向运行，就违反了2，故2推出1
    若有一个热机违反2，则使其在另一个热机运行后把能量重新运回去就违反了1，故1推出2
卡诺定理
...
任意热机效率小于等于可逆热机，等号当且仅当可逆热机
一个热机从 处吸收 的热量，做 的功，在 处释放 的热量
将其与一个效率为 可逆热机连接（该可逆热机反向运转）
则运行一次 处少了 的热量，处多了相应的热量
那么必须 否则违背热力学第二定律
若该热机不可逆，则 否则整个循环不产生任何影响，违背不可逆性
若该热机可逆，则有 和 故 
克劳修斯不等式
...
等号当且仅当在可逆循环取到
把一个循环分解成无数个卡诺循环和不可逆的类似循环
每个小循环满足 （由卡诺定理
全部积起来即可得证
熵
...
可逆过程中，
熵增原理
...
对于一个从 到 的过程，补上一个从 到 的可逆过程形成循环
用体积和温度表示熵
...
假设物质的量不变


（叫做化学常数
另一种形式 
Interactive Graph
Table Of Contents
热力学第二定律
卡诺定理
克劳修斯不等式
熵
熵增原理
用体积和温度表示熵

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+2023-09-20-热二到克劳修斯到熵
blog
热力学第二定律
...
  1. 开尔文：不可能从单一热源吸收热量，使之完全变为有用的功而不产生其他影响（"单一热源"指温度均匀并且恒定不变的热源，"其他影响"是指除了从单一热源吸热，把所吸收的热全部用来做功以外的其他任何变化
  2. 克劳修斯：不可能把热量从低温物体转移到高温物体而不引起其他变化
    ”其他影响“、”其他变化“包括机器状态的变化
    两种表述等价：
    若有一个热机违反1，则将其与一个卡诺热机相连，使其对卡诺机做功逆向运行，就违反了2，故2推出1
    若有一个热机违反2，则使其在另一个热机运行后把能量重新运回去就违反了1，故1推出2
卡诺定理
...
任意热机效率小于等于可逆热机，等号当且仅当可逆热机
一个热机从 处吸收 的热量，做 的功，在 处释放 的热量
将其与一个效率为 可逆热机连接（该可逆热机反向运转）
则运行一次 处少了 的热量，处多了相应的热量
那么必须 否则违背热力学第二定律
若该热机不可逆，则 否则整个循环不产生任何影响，违背不可逆性
若该热机可逆，则有 和 故 
克劳修斯不等式
...
等号当且仅当在可逆循环取到
把一个循环分解成无数个卡诺循环和不可逆的类似循环
每个小循环满足 （由卡诺定理
全部积起来即可得证
熵
...
可逆过程中，
熵增原理
...
对于一个从 到 的过程，补上一个从 到 的可逆过程形成循环
用体积和温度表示熵
...
假设物质的量不变


（叫做化学常数
另一种形式 
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热力学第二定律
卡诺定理
克劳修斯不等式
熵
熵增原理
用体积和温度表示熵

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+_目录
blog
_目录
标题29日期
CSP-S-2023-复赛2023-09-20
热二到克劳修斯到熵2023-09-20
幻影坦克2023-08-24
不动点法求数列通项2023-07-17
最小费用最大流2023-06-25
集合DP2023-05-12
Dev-C++翻新2023-04-17
wqs二分2023-04-14
两道有意思的微积分题目2023-03-26
2维DP四边形不等式优化(决策单调性优化)2023-03-25
1维DP四边形不等式优化(决策单调性优化)2023-03-15
VSCode配置2023-03-10
快读模版2023-03-04
毒瘤题,纪念一下2023-02-23
云图床炸了2023-02-20
变质量系统中力与动量的关系2023-02-18
Konig定理和匈牙利算法(其实是增广路算法)2023-02-10
网络流入门2023-02-08
latex和markdown冲突2023-02-05
再看OSU拓展2023-01-17
树状数组BIT正确性的证明2023-01-08
欧拉法的误差分析2023-01-08
OSU拓展2022-12-20
洛谷P1654-OSU2022-12-15
NOIP2022游寄2022-12-06
Floyd和倍增Floyd2022-11-22
Dijkstra最短路算法2022-11-22
整数数据范围和memset初值2022-11-22
线段树处理负数端点值2022-11-22
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Table Of Contents

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Table Of Contents

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