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  站点总字数: 14k 字 + class="white-color">14.6k 字 diff --git a/2023-09-28-CyrxNote-Chemistry-001/index.html b/2023-09-28-CyrxNote-Chemistry-001/index.html index d0c5bd34..f6dd08cb 100644 --- a/2023-09-28-CyrxNote-Chemistry-001/index.html +++ b/2023-09-28-CyrxNote-Chemistry-001/index.html @@ -1008,7 +1008,7 @@

花絮   站点总字数: 14k 字 + class="white-color">14.6k 字 diff --git a/2023-10-04-CyrxNote-Math-003/index.html b/2023-10-04-CyrxNote-Math-003/index.html index 4ab13241..cbc742fd 100644 --- a/2023-10-04-CyrxNote-Math-003/index.html +++ b/2023-10-04-CyrxNote-Math-003/index.html @@ -1035,7 +1035,7 @@

 站点总字数: 14k 字 + class="white-color">14.6k 字 diff --git a/2023-10-09-CyrxNote-Math-004/index.html b/2023-10-09-CyrxNote-Math-004/index.html index de22ef71..1836e0fb 100644 --- a/2023-10-09-CyrxNote-Math-004/index.html +++ b/2023-10-09-CyrxNote-Math-004/index.html @@ -454,7 +454,7 @@

cyrxdzj的文化课学习笔记
文章字数:   - 719 + 1.4k
@@ -498,6 +498,34 @@

可以计算得出，当 $x=0$ 时，函数值为 $0$。当 $x=2$ 时，函数值取到最小值，为 $-4$。当 $x=4$ 时，函数值再次为 $0$。

因此，可以得出 $2\le m\le4$。如果 $m$ 太小，函数值就不够小；如果 $m$ 太大，函数值就会超过 $0$。

+

3、当给出的函数不标准的时候

有些问题给出的函数，不会给 $f(x)$ 这种标准的形式，而是各种各样乱七八糟的形式。

+

已知 $f(2x-1)=4x^2$，则下列结论中正确的是：

+

A. $f(3)=-9$

+

B. $f(-3)=-4$

+

C. $f(x)=x^2$

+

D. $f(x)=(x+1)^2$

+

对于这类问题，首先为了避免混淆，先将题干中给出的函数变量改个名字，变成 $f(2a-1)=4a^2$。

+

然后，对于每个选项，挨个儿解出函数括号内的数对应的 $a$ 是多少。

+

例如，A 选项，我们可得 $2a-1=3$，解得 $a=2,4a^2=16\neq-9$。A 选项错误。

+

B 选项，我们可得 $2a-1=-3$，解得 $a=-1,4a^2=4\neq-4$，B 选项错误。

+

C 和 D 选项，我们可得 $2a-1=x$，稍稍细心计算，得 $a=\frac{x+1}{2}$，由此可得 $4a^2=(x+1)^2$，D 选项正确而 C 选项错误。

+

对于此类问题，应将题干中给出的原函数传入的参数（即 $2a-1$）和选项中给出的待验证函数传入的参数（即 $3$、$-3$、$x$）进行比对，要求两者相等，得出原函数传入的参数中的字母具体是什么（即，当 $2a-1=3$ 时 $a=2$），然后将字母代入计算。为避免混淆，可以将原函数中的字母统一更名。

+

4、仔细分析更复杂的函数

设 $f(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}$，则下列结论正确的是？请注意本题多选。

+

A. $f(-x)=-f(x)$

+

B. $f(\frac{1}{x})=-f(x)$

+

C. $f(-\frac{1}{x})=f(x)$

+

D. $f(-x)=f(x)$

+

我们可以发现，$x^2=(-x)^2$，$x$ 的正负性并不影响平方的结果。因此，$\frac{1+x^2}{1-x^2}=\frac{1+(-x)^2}{1-(-x)^2}$，由此可得 $f(-x)=f(x)$，A 选项错误，D 选项正确。

+

顺便说一句，这样的函数叫做偶函数，函数关于 $y$ 轴对称，图象如下：

+

+

同时，我们可以得到 $f(\frac{1}{x})=f(-\frac{1}{x})$，这一条待会有用。

+

接下来，细心推出以下式子：

+

$f(\frac{1}{x})\\=\frac{1+\frac{1}{x}^2}{1-\frac{1}{x}^2}\\=\frac{x^2+1}{x^2}\div\frac{x^2-1}{x^2}\\=\frac{1+x^2}{x^2-1}$

+

至此，函数 $f(\frac{1}{x})$ 计算完毕。

+

而函数 $f(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}$，可以很容易地发现 $f(\frac{1}{x})=-f(x)$，B 选项正确，C 选项错误。图象如下：

+

+

可以恰好发现 $f(x)$ 与 $f(\frac{1}{x})$ 关于 $x$ 轴对称。

+

对于此类问题，应细心审题，谨慎作答，答后验证。

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cyrxdzj的文化课学习笔记
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dengziyue


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如何使用luogu-card


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数学cyrxdzj的文化课学习笔记 数学003 一元二次不等式2023-10-04 20:57:512023-10-08 18:45:00
数学cyrxdzj的文化课学习笔记 数学004 函数2023-10-09 07:01:122023-10-09 18:48:51
化学cyrxdzj的文化课学习笔记 化学001 氧化还原反应2023-09-28 20:25:462023-09-28 21:08:06
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数学cyrxdzj的文化课学习笔记 数学003 一元二次不等式2023-10-04 20:57:512023-10-08 18:45:00
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]]> @@ -27,7 +27,7 @@ /2023-10-09-CyrxNote-Math-004/ - 1、思维杂题

已知 $A=B=${$0,1,2,3$}，则 $f:A\rightarrow B$ 有多少种值域？

可以发现，值域一定是集合 $B$ 的子集，同时值域不能为空集。而一个集合的非空子集的数量是 $2^n-1$ 个，所以值域有 $15$ 种。

若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为“同族函数”。那么，函数 $y=x^2,x\in${$-1,0,1,2$} 有多少个同族函数？

可以很容易地得到，该函数的值域为 {$0,1,4$}，由此可知定义域符合如下性质：

  1. $0$ 必须出现；
  2. $\pm1$ 至少出现一个，也可以都出现，共 $3$ 种可能；
  3. $\pm2$ 同上；
  4. 其它数均不能出现。

综上，相同的值域，定义域有 $9$ 种可能。

但是题中要求定义域不同，而上面 $9$ 种定义域有一种其实就是题中提到的。因此，答案为 $8$。

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 {$1,2,3,4$}，值域为 {$7,8,9$}，且对任意的 $x<y$ 都有 $f(x)\le f(y)$，则满足条件的不同函数共有多少个？

值域中每一个数，都至少有一个定义域中的数与之对应；而定义域中的每一个数，都恰好对应一个值域中的数。分析题目，题中要求定义域中有 $4$ 个数，可值域只有 $3$ 个数，换句话说，恰好有 $2$ 个定义域的数，对应的值域中的数，是同一个。

而题中还说 $x<y,f(x)\le f(y)$，结合上文，我们可以列出不等式：

这个式子中的 $3$ 个不等号有且只有 $1$ 个实际上是取等号的。如果有大于 $1$ 个不等号实际上取等号，就会导致函数可能的值的数量小于 $3$，值域中有数找不到定义域中的数与之对应；而如果没有不等号实际上取等号，就会导致 $4$ 个 $x$ 产生了 $4$ 个 $f(x)$，可值域的大小才 $3$ 个。

而任何一个不等号实际上取了等号，我们都能构造出对应关系。

因此，满足条件的不同函数，有 $3$ 个。

2、与一元二次函数结合起来

前置知识

已知函数 $f(x)=x^2-4x$ 在 $[0,m]$ 上的值域为 $[-4,0]$，则实数 $m$ 的取值范围是？

首先，通过图象，我们可以看出 $x^2-4x$ 的情况：

可以计算得出，当 $x=0$ 时，函数值为 $0$。当 $x=2$ 时，函数值取到最小值，为 $-4$。当 $x=4$ 时，函数值再次为 $0$。

因此，可以得出 $2\le m\le4$。如果 $m$ 太小，函数值就不够小；如果 $m$ 太大，函数值就会超过 $0$。

]]> + 1、思维杂题

已知 $A=B=${$0,1,2,3$}，则 $f:A\rightarrow B$ 有多少种值域？

可以发现，值域一定是集合 $B$ 的子集，同时值域不能为空集。而一个集合的非空子集的数量是 $2^n-1$ 个，所以值域有 $15$ 种。

若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为“同族函数”。那么，函数 $y=x^2,x\in${$-1,0,1,2$} 有多少个同族函数？

可以很容易地得到，该函数的值域为 {$0,1,4$}，由此可知定义域符合如下性质：

  1. $0$ 必须出现；
  2. $\pm1$ 至少出现一个，也可以都出现，共 $3$ 种可能；
  3. $\pm2$ 同上；
  4. 其它数均不能出现。

综上，相同的值域，定义域有 $9$ 种可能。

但是题中要求定义域不同，而上面 $9$ 种定义域有一种其实就是题中提到的。因此，答案为 $8$。

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 {$1,2,3,4$}，值域为 {$7,8,9$}，且对任意的 $x<y$ 都有 $f(x)\le f(y)$，则满足条件的不同函数共有多少个？

值域中每一个数，都至少有一个定义域中的数与之对应；而定义域中的每一个数，都恰好对应一个值域中的数。分析题目，题中要求定义域中有 $4$ 个数，可值域只有 $3$ 个数，换句话说，恰好有 $2$ 个定义域的数，对应的值域中的数，是同一个。

而题中还说 $x<y,f(x)\le f(y)$，结合上文，我们可以列出不等式：

这个式子中的 $3$ 个不等号有且只有 $1$ 个实际上是取等号的。如果有大于 $1$ 个不等号实际上取等号，就会导致函数可能的值的数量小于 $3$，值域中有数找不到定义域中的数与之对应；而如果没有不等号实际上取等号，就会导致 $4$ 个 $x$ 产生了 $4$ 个 $f(x)$，可值域的大小才 $3$ 个。

而任何一个不等号实际上取了等号，我们都能构造出对应关系。

因此，满足条件的不同函数，有 $3$ 个。

2、与一元二次函数结合起来

前置知识

已知函数 $f(x)=x^2-4x$ 在 $[0,m]$ 上的值域为 $[-4,0]$，则实数 $m$ 的取值范围是？

首先，通过图象，我们可以看出 $x^2-4x$ 的情况：

可以计算得出，当 $x=0$ 时，函数值为 $0$。当 $x=2$ 时，函数值取到最小值，为 $-4$。当 $x=4$ 时，函数值再次为 $0$。

因此，可以得出 $2\le m\le4$。如果 $m$ 太小，函数值就不够小；如果 $m$ 太大，函数值就会超过 $0$。

3、当给出的函数不标准的时候

有些问题给出的函数，不会给 $f(x)$ 这种标准的形式，而是各种各样乱七八糟的形式。

已知 $f(2x-1)=4x^2$，则下列结论中正确的是：

A. $f(3)=-9$

B. $f(-3)=-4$

C. $f(x)=x^2$

D. $f(x)=(x+1)^2$

对于这类问题，首先为了避免混淆，先将题干中给出的函数变量改个名字，变成 $f(2a-1)=4a^2$。

然后，对于每个选项，挨个儿解出函数括号内的数对应的 $a$ 是多少。

例如，A 选项，我们可得 $2a-1=3$，解得 $a=2,4a^2=16\neq-9$。A 选项错误。

B 选项，我们可得 $2a-1=-3$，解得 $a=-1,4a^2=4\neq-4$，B 选项错误。

C 和 D 选项，我们可得 $2a-1=x$，稍稍细心计算，得 $a=\frac{x+1}{2}$，由此可得 $4a^2=(x+1)^2$，D 选项正确而 C 选项错误。

对于此类问题，应将题干中给出的原函数传入的参数（即 $2a-1$）和选项中给出的待验证函数传入的参数（即 $3$、$-3$、$x$）进行比对，要求两者相等，得出原函数传入的参数中的字母具体是什么（即，当 $2a-1=3$ 时 $a=2$），然后将字母代入计算。为避免混淆，可以将原函数中的字母统一更名。

4、仔细分析更复杂的函数

设 $f(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}$，则下列结论正确的是？请注意本题多选。

A. $f(-x)=-f(x)$

B. $f(\frac{1}{x})=-f(x)$

C. $f(-\frac{1}{x})=f(x)$

D. $f(-x)=f(x)$

我们可以发现，$x^2=(-x)^2$，$x$ 的正负性并不影响平方的结果。因此，$\frac{1+x^2}{1-x^2}=\frac{1+(-x)^2}{1-(-x)^2}$，由此可得 $f(-x)=f(x)$，A 选项错误，D 选项正确。

顺便说一句，这样的函数叫做偶函数，函数关于 $y$ 轴对称，图象如下：

同时，我们可以得到 $f(\frac{1}{x})=f(-\frac{1}{x})$，这一条待会有用。

接下来，细心推出以下式子：

$f(\frac{1}{x})\\=\frac{1+\frac{1}{x}^2}{1-\frac{1}{x}^2}\\=\frac{x^2+1}{x^2}\div\frac{x^2-1}{x^2}\\=\frac{1+x^2}{x^2-1}$

至此，函数 $f(\frac{1}{x})$ 计算完毕。

而函数 $f(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}$，可以很容易地发现 $f(\frac{1}{x})=-f(x)$，B 选项正确，C 选项错误。图象如下：

可以恰好发现 $f(x)$ 与 $f(\frac{1}{x})$ 关于 $x$ 轴对称。

对于此类问题，应细心审题，谨慎作答，答后验证。

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