From 35c8d5f4fe137bd73aadd81aa60a34a920ca0b09 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Valeriy Zainullin <valeriy.zainullin@yandex.ru>
Date: Wed, 25 Oct 2023 06:01:45 +0300
Subject: [PATCH] Start working on third lecture.

---
 .../TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture2.tex     |  2 ++
 .../TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture3.tex     | 27 +++++++++++++++++++
 .../TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture4.tex     |  0
 Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/main.tex  |  6 +++--
 4 files changed, 33 insertions(+), 2 deletions(-)
 create mode 100644 Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture3.tex
 create mode 100644 Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture4.tex

diff --git a/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture2.tex b/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture2.tex
index ff778bf4..f8e69f3c 100644
--- a/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture2.tex
+++ b/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture2.tex
@@ -326,3 +326,5 @@ \section{Степенные ряды и элементарные функции}
 \begin{definition}
 	$\cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$, $\sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$.
 \end{definition}
+
+{\color{red} Определение натурального логарифма комплексного числа.}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture3.tex b/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture3.tex
new file mode 100644
index 00000000..3bfe35d6
--- /dev/null
+++ b/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture3.tex
@@ -0,0 +1,27 @@
+% Лекция от 16 сентября.
+
+\section{Интегрирование}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $\alpha, \beta \in \R$, $\alpha \leq \beta$, $z: [\alpha, \beta] \to \Cm$, $(\forall t \in [\alpha, \beta]) \,\, z = x(t) + i y(t)$, $x$ и $y$ непрерывны; $z$ называется \it{параметризацией кривой}. (Модифицировано автором.)
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $z_1: [\alpha_1, \beta_1] \to \Cm$, $z_2: [\alpha_2, \beta_2] \to \Cm$, $z_1$ и $z_2$ -- параметризации кривых; $z_1$ и $z_2$ эквивалентны, если существует непрерывная функция $\varphi: [\alpha_1, \beta_1] \to [\alpha_2, \beta_2]$ такая, что $z_1 = z_2 \circ \varphi$.
+\end{definition}
+
+\begin{anote}
+	Получилось отношение эквивалентности: рефлексивно, достаточно взять тождественное отображение, оно непрерывно; симметрично, т.к. $\varphi^{-1}$ существует и непрерывна по свойствам непрерывных функций из $\R$ в $\R$, $z_1 \circ \varphi^{-1} = z_2 \circ \varphi \circ \varphi^{-1} = z_2$; транзитивно: если $z_1 = z_2 \circ \varphi_1$, $z_2 = z_3 \circ \varphi_2$, то $\varphi_1 = (z_3 \circ \varphi_2) \circ \varphi_1 = z_3 \circ (\varphi_2 \circ \varphi_3)$, при этом $\varphi_2 \circ \varphi_3$ непрерывна как композиция непрерывных функций.
+\end{anote}
+
+\begin{definition}
+	Класс эквивалентности параметризаций кривых по определенному отношению эквивалентности называется кривой.
+\end{definition}
+
+\begin{anote}
+	У любых двух эквивалентных параметризаций одно и то же множество значений: $(\forall t \in [\alpha_1, \beta_1]) \, \, z_1(t) = (z_2 \circ \varphi)(t)$, тогда $z_1([\alpha_1, \beta_1]) = z_2(\varphi([\alpha_1, \beta_1])) \subset z_2([\alpha_2, \beta_2])$. Можно показать в другую сторону благодаря симметричности определенного нами отношения.
+\end{anote}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $z: [\alpha, \beta] \to \Cm$, $z$ -- параметризация кривой; \it{образом кривой} называется $z([\alpha, \beta])$.
+\end{definition}
diff --git a/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture4.tex b/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture4.tex
new file mode 100644
index 00000000..e69de29b
diff --git a/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/main.tex b/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/main.tex
index 7a51db43..b59b2c45 100644
--- a/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/main.tex
+++ b/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/main.tex
@@ -12,8 +12,10 @@
     \selectfont
     
     \newpage
-    \input{lectures/lecture1}
-    \input{lectures/lecture2}
+    \input{lectures/lecture1} %  2 сентября
+    \input{lectures/lecture2} %  9 сентября
+    \input{lectures/lecture3} % 16 сентября
+    \input{lectures/lecture4} % 23 сентября
     
     \input{preamble/gratitude}
 \end{document}
\ No newline at end of file