From 35e29de69ab67d63bcc4d7af542aed4a418ce691 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Daniil Maximov Date: Fri, 22 Dec 2023 17:44:54 +0300 Subject: [PATCH] Moved proof near the theorem, moved the corollary to examples --- .../2023_Konovalov/lectures/11lecture.tex | 42 +++++++++++++++++++ .../2023_Konovalov/lectures/12lecture.tex | 42 ------------------- .../2023_Konovalov/lectures/14lecture.tex | 8 ++-- 3 files changed, 45 insertions(+), 47 deletions(-) diff --git a/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/11lecture.tex b/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/11lecture.tex index 8a694cb4..0ca0dae6 100644 --- a/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/11lecture.tex +++ b/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/11lecture.tex @@ -77,6 +77,48 @@ Если в условиях последней теоремы $\{A_n\}_{n = 1}^\infty$ сходятся на $Y$ не просто поточечно, а по норме операторов, то предел тоже является линейным ограниченным оператором. \end{corollary} +\begin{proof} (теоремы \ref{op_cont_th}) + \begin{enumerate} + \item (Идея) Пусть $\wdt{A}$ --- некоторое продолжение оператора $A$ по условию теоремы. Тогда несложно заметить, что по условию выполнено утверждение: + \[ + \forall x \in E_1\ \exists \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq D(A) \such \lim_{n \to \infty} x_n = x \wedge \wdt{A}x_n = Ax_n \xrightarrow[n \to \infty]{} \wdt{A}x + \] + Стало быть, нужно отталкиваться от поточечного определения $\wdt{A}$. + + \item (Существование) Определим $\wdt{A}$ согласно идее (оператор $A$ непрерывен, поэтому пределы всегда есть): + \[ + \forall x \in E_1\ \forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq D(A) \such \lim_{n \to \infty} x_n = x \Ra \wdt{A}x := \lim_{n \to \infty} Ax_n + \] + Теперь, покажем корректность такого определения: + \begin{itemize} + \item Значение $\wdt{A}$ не зависит от рассматриваемой последовательности $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq D(A)$, $\lim_{n \to \infty} x_n = x$. Действительно, рассмотрим 2 последовательности $\lim_{n \to \infty} x_{n, 1} = \lim_{n \to \infty} x_{n, 2} = x$. Тогда, можно написать следующее неравенство: + \[ + \|Ax_{1, n} - Ax_{2, m}\| \le \|A\| \cdot \|x_{1, n} - x_{2, m}\| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0 + \] + Более строго, нужно поочерёдно устремить в бесконечность $n, m \to \infty$ и тем самым сделать 2 предельных перехода. + + \item Почему $\wdt{A}$ --- линейный оператор? Это тривиально из линейности предела: + \begin{multline*} + \forall x, y \in E_1,\ \alpha, \beta \in \K\ \ \wdt{A}(\alpha x + \beta y) = \lim_{n \to \infty} A(\alpha x_n + \beta y_n) = + \\ + \alpha \lim_{n \to \infty} Ax_n + \beta \lim_{n \to \infty} Ay_n = \alpha Ax + \beta Ay + \end{multline*} + + \item Почему $\wdt{A}$ --- ограниченный оператор? Воспользуемся старым добрым предельным переходом: + \[ + \|\wdt{A}x_n\| = \|Ax_n\| \le \|A\| \cdot \|x_n\| \Ra \|\wdt{A}x\| \le \|A\| \cdot \|x\| \Ra \|\wdt{A}\| \le \|A\| + \] + При этом из определения $\wdt{A}$ сразу следует, что $\|\wdt{A}\| \ge \|A\|$. Таким образом, мы сразу установили равенство $\|\wdt{A}\| = \|A\|$ + \end{itemize} + + \item (Единственность) Предположим, есть 2 продолжающих оператора: $\wdh{A}$ и $\wdt{A}$. Как мы и требовали, они должны быть согласованы с $A$. Стало быть, можно записать следующее: + \[ + \forall x \in E_1\ \ \wdh{A}x = \lim_{n \to \infty} Ax_n = \wdt{A}x + \] + Следовательно, $\wdh{A} = \wdt{A}$. + \end{enumerate} +\end{proof} + \subsection*{Применение теоремы Банаха-Штейнгауза} \begin{problem} diff --git a/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/12lecture.tex b/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/12lecture.tex index e2368ac1..a863d425 100644 --- a/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/12lecture.tex +++ b/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/12lecture.tex @@ -2,48 +2,6 @@ Доказать, что для любой точки $x_0 \in [-\pi; \pi]$ существует функция $f \in C_{2\pi}$ такая, что частные суммы Фурье $S_n(f, x_0)$ расходятся. \end{exercise} -\begin{proof} (теоремы \ref{op_cont_th}) - \begin{enumerate} - \item (Идея) Пусть $\wdt{A}$ --- некоторое продолжение оператора $A$ по условию теоремы. Тогда несложно заметить, что по условию выполнено утверждение: - \[ - \forall x \in E_1\ \exists \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq D(A) \such \lim_{n \to \infty} x_n = x \wedge \wdt{A}x_n = Ax_n \xrightarrow[n \to \infty]{} \wdt{A}x - \] - Стало быть, нужно отталкиваться от поточечного определения $\wdt{A}$. - - \item (Существование) Определим $\wdt{A}$ согласно идее (оператор $A$ непрерывен, поэтому пределы всегда есть): - \[ - \forall x \in E_1\ \forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq D(A) \such \lim_{n \to \infty} x_n = x \Ra \wdt{A}x := \lim_{n \to \infty} Ax_n - \] - Теперь, покажем корректность такого определения: - \begin{itemize} - \item Значение $\wdt{A}$ не зависит от рассматриваемой последовательности $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq D(A)$, $\lim_{n \to \infty} x_n = x$. Действительно, рассмотрим 2 последовательности $\lim_{n \to \infty} x_{n, 1} = \lim_{n \to \infty} x_{n, 2} = x$. Тогда, можно написать следующее неравенство: - \[ - \|Ax_{1, n} - Ax_{2, m}\| \le \|A\| \cdot \|x_{1, n} - x_{2, m}\| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0 - \] - Более строго, нужно поочерёдно устремить в бесконечность $n, m \to \infty$ и тем самым сделать 2 предельных перехода. - - \item Почему $\wdt{A}$ --- линейный оператор? Это тривиально из линейности предела: - \begin{multline*} - \forall x, y \in E_1,\ \alpha, \beta \in \K\ \ \wdt{A}(\alpha x + \beta y) = \lim_{n \to \infty} A(\alpha x_n + \beta y_n) = - \\ - \alpha \lim_{n \to \infty} Ax_n + \beta \lim_{n \to \infty} Ay_n = \alpha Ax + \beta Ay - \end{multline*} - - \item Почему $\wdt{A}$ --- ограниченный оператор? Воспользуемся старым добрым предельным переходом: - \[ - \|\wdt{A}x_n\| = \|Ax_n\| \le \|A\| \cdot \|x_n\| \Ra \|\wdt{A}x\| \le \|A\| \cdot \|x\| \Ra \|\wdt{A}\| \le \|A\| - \] - При этом из определения $\wdt{A}$ сразу следует, что $\|\wdt{A}\| \ge \|A\|$. Таким образом, мы сразу установили равенство $\|\wdt{A}\| = \|A\|$ - \end{itemize} - - \item (Единственность) Предположим, есть 2 продолжающих оператора: $\wdh{A}$ и $\wdt{A}$. Как мы и требовали, они должны быть согласованы с $A$. Стало быть, можно записать следующее: - \[ - \forall x \in E_1\ \ \wdh{A}x = \lim_{n \to \infty} Ax = \wdt{A}x - \] - Следовательно, $\wdh{A} = \wdt{A}$. - \end{enumerate} -\end{proof} - \section{Сопряжённое пространство} \begin{note} diff --git a/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/14lecture.tex b/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/14lecture.tex index 88078102..a56f9202 100644 --- a/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/14lecture.tex +++ b/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/14lecture.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \begin{corollary} Пусть $M \subset E$ --- линейное многообразие, причём $\cl M \neq E$ и дополнительно $x_0 \notin \cl M$. Тогда существует функционал $f \in E^*$, обладающий следующими свойствами: \begin{enumerate} - \item $\ker f \subseteq M$ + \item $\ker f \supseteq M$ \item $f(x_0) = 1$ @@ -60,10 +60,6 @@ \] \end{proof} -\begin{corollary} (из следствия) - Если $E \neq \{0\}$, то и $E^* \neq \{0\}$. -\end{corollary} - \begin{corollary} Если точки $x, y \in E$ таковы, что $\forall f \in E^*\ f(x) = f(y)$, то $x = y$. \end{corollary} @@ -86,6 +82,8 @@ \begin{example} Приведём пару примеров использования следствий теоремы Хана-Банаха (далее номер примера соответствует следствию, которое оно использует): \begin{enumerate} + \item[2.] Можно задаться серьёзным вопросом: <<А верно ли, что если $E \neq \{0\}$, то и $E^* \neq \{0\}$?>> То есть всегда ли есть нетривиальный функционал для нетривиального пространства $E$? Оказывается да, ровно это нам доказывается второе следствие. + \item[2.] При помощи этого следствия можно, например, провести \textit{опорную гиперплоскость}. Рассмотрим вещественное пространство $E$, сферу $S := S(0, 1)$ и точку $x_0 \in S$. Гиперплоскость должна задаваться уравнением $f(x) = \alpha$, где $f \in E^*$ как минимум. И нам нужна такая гиперплоскость, что $f(x_0) = \alpha$, а сфера лежит по одну сторону от этой гиперплоскости, то есть (не умаляя общности, можем выбрать знак неравенства): \[ \forall x \in S\ \ f(x) \le \alpha = f(x_0)