diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/1.1.jpeg b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/1.1.jpeg new file mode 100644 index 00000000..8348c21a Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/1.1.jpeg differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/1.2.jpeg b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/1.2.jpeg new file mode 100644 index 00000000..ef7e7ed6 Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/1.2.jpeg differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/1.3.jpeg b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/1.3.jpeg new file mode 100644 index 00000000..e34241bd Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/1.3.jpeg differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/1.4.jpeg b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/1.4.jpeg new file mode 100644 index 00000000..9da25750 Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/1.4.jpeg differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/1.5.jpeg b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/1.5.jpeg new file mode 100644 index 00000000..c5618f03 Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/1.5.jpeg differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/2.1.jpeg b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/2.1.jpeg new file mode 100644 index 00000000..4b98e82d Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/2.1.jpeg differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/2.2.jpeg b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/2.2.jpeg new file mode 100644 index 00000000..ae3f809f Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/2.2.jpeg differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.1.jpeg b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.1.jpeg new file mode 100644 index 00000000..2ee6368a Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.1.jpeg differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.2.jpeg b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.2.jpeg new file mode 100644 index 00000000..24529c1d Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.2.jpeg differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.3.jpeg b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.3.jpeg new file mode 100644 index 00000000..e7377754 Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.3.jpeg differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.4.jpeg b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.4.jpeg new file mode 100644 index 00000000..41dbbe19 Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.4.jpeg differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.5.jpeg b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.5.jpeg new file mode 100644 index 00000000..57af50eb Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.5.jpeg differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.6.jpeg b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.6.jpeg new file mode 100644 index 00000000..fcd18b5b Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/3.6.jpeg differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/5.jpeg b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/5.jpeg new file mode 100644 index 00000000..7e879008 Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/5.jpeg differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/logo_ltc.png b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/logo_ltc.png new file mode 100644 index 00000000..3938067a Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/logo_ltc.png differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/pravilo_parallelogramma.png b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/pravilo_parallelogramma.png new file mode 100644 index 00000000..bcc9636f Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/pravilo_parallelogramma.png differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/proof1.jpeg b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/proof1.jpeg new file mode 100644 index 00000000..63728aa7 Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/proof1.jpeg differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/proof2.jpeg b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/proof2.jpeg new file mode 100644 index 00000000..8b662c81 Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/proof2.jpeg differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\261\320\270\321\201\321\201\320\265\320\272\321\202\321\200\320\270\321\201\320\260.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\261\320\270\321\201\321\201\320\265\320\272\321\202\321\200\320\270\321\201\320\260.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..ddae8676 Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\261\320\270\321\201\321\201\320\265\320\272\321\202\321\200\320\270\321\201\320\260.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\262\320\267\320\260\320\270\320\274\320\275\321\213\320\271\320\261\320\260\320\267\320\270\321\201.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\262\320\267\320\260\320\270\320\274\320\275\321\213\320\271\320\261\320\260\320\267\320\270\321\201.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..0c42990a Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\262\320\267\320\260\320\270\320\274\320\275\321\213\320\271\320\261\320\260\320\267\320\270\321\201.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\2601.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\2601.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..ca99e31a Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\2601.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\2602.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\2602.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..c6753cc9 Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\2602.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\2603.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\2603.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..5ff9f2b0 Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\2603.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\270\320\271 \320\277\320\260\321\200\320\260\320\261\320\276\320\273\320\276\320\270\320\264.png" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\270\320\271 \320\277\320\260\321\200\320\260\320\261\320\276\320\273\320\276\320\270\320\264.png" new file mode 100644 index 00000000..683ebb3f Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\270\320\271 \320\277\320\260\321\200\320\260\320\261\320\276\320\273\320\276\320\270\320\264.png" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\270\320\271 \321\206\320\270\320\273\320\270\320\275\320\264\321\200.png" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\270\320\271 \321\206\320\270\320\273\320\270\320\275\320\264\321\200.png" new file mode 100644 index 00000000..78dde861 Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\270\320\271 \321\206\320\270\320\273\320\270\320\275\320\264\321\200.png" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\264\320\262\321\203\320\277\320\276\320\273\320\276\321\201\321\202\320\275\321\213\320\271 \320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\276\320\270\320\264.jpg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\264\320\262\321\203\320\277\320\276\320\273\320\276\321\201\321\202\320\275\321\213\320\271 \320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\276\320\270\320\264.jpg" new file mode 100644 index 00000000..6d0116a2 Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\264\320\262\321\203\320\277\320\276\320\273\320\276\321\201\321\202\320\275\321\213\320\271 \320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\276\320\270\320\264.jpg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\264\321\201\320\272.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\264\321\201\320\272.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..30a32a9c Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\264\321\201\320\272.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\272\320\276\320\275\321\203\321\201.jpg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\272\320\276\320\275\321\203\321\201.jpg" new file mode 100644 index 00000000..1085045e Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\272\320\276\320\275\321\203\321\201.jpg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\274\320\265\320\264\320\270\320\260\320\275\320\275\321\213\320\271\320\262\320\265\320\272\321\202\320\276\321\200.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\274\320\265\320\264\320\270\320\260\320\275\320\275\321\213\320\271\320\262\320\265\320\272\321\202\320\276\321\200.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..2a256314 Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\274\320\265\320\264\320\270\320\260\320\275\320\275\321\213\320\271\320\262\320\265\320\272\321\202\320\276\321\200.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\276\320\264\320\275\320\276\320\277\320\276\320\273\320\276\321\201\321\202\320\275\321\213\320\271 \320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\276\320\270\320\264.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\276\320\264\320\275\320\276\320\277\320\276\320\273\320\276\321\201\321\202\320\275\321\213\320\271 \320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\276\320\270\320\264.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..cf988dda Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\276\320\264\320\275\320\276\320\277\320\276\320\273\320\276\321\201\321\202\320\275\321\213\320\271 \320\263\320\270\320\277\320\265\321\200\320\261\320\276\320\273\320\276\320\270\320\264.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\276\320\275\320\261.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\276\320\275\320\261.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..f2ed08f1 Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\276\320\275\320\261.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\320\260\321\200\320\260\320\261\320\276\320\273\320\2601.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\320\260\321\200\320\260\320\261\320\276\320\273\320\2601.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..7be08fe2 Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\320\260\321\200\320\260\320\261\320\276\320\273\320\2601.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\320\260\321\200\320\260\320\261\320\276\320\273\320\2602.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\320\260\321\200\320\260\320\261\320\276\320\273\320\2602.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..632c0afc Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\320\260\321\200\320\260\320\261\320\276\320\273\320\2602.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\320\260\321\200\320\260\320\261\320\276\320\273\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\270\320\271 \321\206\320\270\320\273\320\270\320\275\320\264\321\200.png" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\320\260\321\200\320\260\320\261\320\276\320\273\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\270\320\271 \321\206\320\270\320\273\320\270\320\275\320\264\321\200.png" new file mode 100644 index 00000000..4a149638 Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\320\260\321\200\320\260\320\261\320\276\320\273\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\270\320\271 \321\206\320\270\320\273\320\270\320\275\320\264\321\200.png" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\320\265\321\200\320\265\321\205\320\276\320\2641.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\320\265\321\200\320\265\321\205\320\276\320\2641.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..0347ad1a Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\320\265\321\200\320\265\321\205\320\276\320\2641.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\320\276\320\273\321\217\321\200\320\275\320\260\321\217\321\201\320\272.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\320\276\320\273\321\217\321\200\320\275\320\260\321\217\321\201\320\272.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..9809c913 Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\320\276\320\273\321\217\321\200\320\275\320\260\321\217\321\201\320\272.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\321\200\320\276\320\265\320\272\321\206\320\270\321\217.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\321\200\320\276\320\265\320\272\321\206\320\270\321\217.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..9173a12b Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\320\277\321\200\320\276\320\265\320\272\321\206\320\270\321\217.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\201\320\276\320\276\321\202\320\275\320\276\321\210\320\265\320\275\320\270\320\265.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\201\320\276\320\276\321\202\320\275\320\276\321\210\320\265\320\275\320\270\320\265.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..25debacd Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\201\320\276\320\276\321\202\320\275\320\276\321\210\320\265\320\275\320\270\320\265.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\201\321\204\320\265\321\200\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\260\321\217.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\201\321\204\320\265\321\200\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\260\321\217.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..a3c7684e Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\201\321\204\320\265\321\200\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\260\321\217.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\206\320\270\320\273\320\270\320\275\320\264\321\200\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\260\321\217\321\201\320\272.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\206\320\270\320\273\320\270\320\275\320\264\321\200\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\260\321\217\321\201\320\272.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..1aba1c6a Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\206\320\270\320\273\320\270\320\275\320\264\321\200\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\260\321\217\321\201\320\272.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\2011.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\2011.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..c72aff89 Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\2011.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\2012.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\2012.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..caa99419 Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\2012.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\2013.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\2013.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..8b1dae3d Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\2013.jpeg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\201\320\276\320\270\320\264.jpg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\201\320\276\320\270\320\264.jpg" new file mode 100644 index 00000000..0eaa9bf9 Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\201\320\276\320\270\320\264.jpg" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\202\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\270\320\271 \320\277\320\260\321\200\320\260\320\261\320\276\320\273\320\276\320\270\320\264.JPG" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\202\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\270\320\271 \320\277\320\260\321\200\320\260\320\261\320\276\320\273\320\276\320\270\320\264.JPG" new file mode 100644 index 00000000..177a0bc3 Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\202\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\270\320\271 \320\277\320\260\321\200\320\260\320\261\320\276\320\273\320\276\320\270\320\264.JPG" differ diff --git "a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\202\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\270\320\271 \321\206\320\270\320\273\320\270\320\275\320\264\321\200.jpeg" "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\202\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\270\320\271 \321\206\320\270\320\273\320\270\320\275\320\264\321\200.jpeg" new file mode 100644 index 00000000..f52ec609 Binary files /dev/null and "b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/images/\321\215\320\273\320\273\320\270\320\277\321\202\320\270\321\207\320\265\321\201\320\272\320\270\320\271 \321\206\320\270\320\273\320\270\320\275\320\264\321\200.jpeg" differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture01.tex b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture01.tex new file mode 100644 index 00000000..e891691f --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture01.tex @@ -0,0 +1,226 @@ +\section{Матрицы} + +\subsection{Матрицы. Специальные виды матриц} + +\begin{definition} + $\textit{Матрицей m$\times$n}$ называется упорядоченный набор из $m \cdot n$ чисел, записанных в таблицу, состоящую из m строк и n столбцов. +\end{definition} + + + +\textbf{Обозначения:} +\begin{itemize} + \item A, B - матрицы + \item (...), ||...|| - матрицы + \item $a_{ij}$ - элемент матрица, расположенный в i-той строке j-того столбца +\end{itemize} + + +\textbf{Специальные виды матриц} +\begin{itemize} + \item $\textit{строка}$ $-$ матрица, состоящая из 1 строки и n столбцов + \item $\textit{столбец}$ $-$ матрица, состоящая из n строк и 1 столбца + \item $\textit{квадратная}$ $-$ матрица, в которой количество строк равняется количеству столбцов + \item $\textit{единичная}$ $-$ матрица, элементы главной диагонали которой являются единицами, а остальные $-$ нулями, обозначается буквой E + \item $\textit{треугольная}$ $-$ матрица, у которой элементы над (нижняя треугольная) или под главной диагональю (верхняя треугольная) являются нулями + \item $\textit{диагональная}$ $-$ матрица, у которой все элементы кроме элементов главной диагонали являются нулями, обозначается diag + \item $\textit{симметрическая}$ $-$ матрица, элементы которой симметричны относительно главной диагонали + \item $\textit{кососимметрическая}$ $-$ матрица, элементы которой симметричны относительно главной диагонали, но противоположны по знаку, элементы главной диагонали $-$ нули + \item $\textit{нулевая}$ $-$ матрица, полностью состоящая из нулей +\end{itemize} + +При этом к квадратным матрицам относятся единичные, треугольные, диагональные, симметрические и кососимметрические. + + + +\subsection{Операции над матрицами} + +\begin{enumerate} + \item A = B, если матрицы имеют одинаковые размеры и равны поэлементно + \item Сложение $C_{m \times n} = A_{m \times n} + B_{m \times n}$ определено для матриц одного размера, при чём $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ + \item Умножение матрицы A на число $\alpha \in \R$ $B = \alpha A, b_{ij} = \alpha a_{ij}$ + \item Транспонирование матрицы $A_{m \times n}^T = B_{n \times m}$, где $b_{ij} = a_{ji}$ + +\end{enumerate} + +\textit{Свойства операций:} +\begin{itemize} + \item A + B = B + A + \item A + (B + C) = (A + B) + C + \item $\alpha$(A + B) = $\alpha$A + $\alpha$B + \item ($\alpha\beta$)A = $\alpha(\beta A)$ + \item ($\alpha + \beta$)A = $\alpha A + \beta A$ + \item $A^T = A$ для симметрической матрицы + \item $A^T = -A$ для кососимметрической матрицы + \item $(A^T)^T = A$ + \item $(A + B)^T = A^T + B^T$ + \item $(\alpha A)^T = \alpha A^T$ +\end{itemize} + + +\subsection{Определитель(детерминант) матрицы} + +\begin{definition} + $\textit{Определитель(детерминант) матрицы}$ $-$ функция или числовая характеристика квадратной матрицы. Обозначается как det A, |A|. +\end{definition} + + Определитель n-мерной матрицы вычисляется как + \begin{enumerate} + \item |$a_{11}$| = $a_{11}$, при n = 1 + \item + $\begin{vmatrix} + a_{11} & a_{12}\\ + a_{21} & a_{22}\\ + \end{vmatrix}$ = $a_{11}a_{22}$ - $a_{12}a_{21}$, при n = 2 + \item + $\begin{vmatrix} + a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ + a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ + a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ + \end{vmatrix}$ = $a_{11} + \begin{vmatrix} + a_{22} & a_{23}\\ + a_{32} & a_{33}\\ + \end{vmatrix}$ - $a_{12} + \begin{vmatrix} + a_{21} & a_{23}\\ + a_{31} & a_{33}\\ + \end{vmatrix}$ + $a_{13} + \begin{vmatrix} + a_{21} & a_{22}\\ + a_{31} & a_{32}\\ + \end{vmatrix}$ = $a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}$ - $a_{11}a_{23}a_{32}$ - $a_{12}a_{21}a_{33}$ - $a_{13}a_{22}a_{31}$, при n = 3 + \end{enumerate} + + \subsection{Решение систем линейных уравнений} + + \begin{definition} + $\textit{Система линейных уравнений}$ $-$ система уравнений вида\\ + $\begin{cases} + a_{11}x_1 + ... + a_{1n}x_n = b_1\\ + ...\\ + a_{m1}x_1 + ... + a_{mn}x_n = b_m\\ + \end{cases}$ + \end{definition} + + A = + $\begin{pmatrix} + a_{11} & ... & a_{1n}\\ + ... & ... & ...\\ + a_{m1} & ... & a_{mn}\\ + \end{pmatrix}$ $-$ матрица системы\\ + \newline + b = + $\begin{pmatrix} + b_{1}\\ + ...\\ + b_{m}\\ + \end{pmatrix}$ $-$ столбец свободных членов\\ + \newline + (A | b) = + $\begin{pmatrix} + a_{11} & ... & a_{1n} & | b_1\\ + ... & ... & ... & | ...\\ + a_{m1} & ... & a_{mn} & | b_{m}\\ + \end{pmatrix}$ $-$ расширенная матрица системы\\ + + \newpage + + $\textit{Совместная}$ система имеет хотя бы одно решение, иначе система считается $\textit{несовместной}$. + + Система называется $\textit{однородной}$, если + $\begin{pmatrix} + b_1\\ + ...\\ + b_m\\ + \end{pmatrix}$ = + $\begin{pmatrix} + 0\\ + ...\\ + 0\\ + \end{pmatrix}$, иначе $\textit{неоднородной}$. + + \begin{theorem} + Однородная система всегда совместна. + \end{theorem} + \begin{proof} + Если $x_1 = x_2 = ... = x_n = 0$, то система имеет решение. + \end{proof} + + $\textbf{Правило Крамера (для двухмерной матрицы)}$. Система + $\begin{cases} + a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1\\ + a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2\\ + \end{cases}$ имеет единстывенное решение $\longleftrightarrow$ det + $\begin{pmatrix} + a_{11} & a_{12}\\ + a_{21} & a_{22}\\ + \end{pmatrix}$ $\ne$ 0.\\ + + Решения могут быть найдены по $\textit{формуле Крамера}$: + + \begin{center} + $ x_1 =\frac{\Delta_1}{\Delta}$, $x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta}$, где + \end{center} + $\Delta$ $-$ определитель матрицы системы;\\ + $\Delta_1$ = + $\begin{vmatrix} + b_1 & a_{12}\\ + b_2 & a_{22}\\ + \end{vmatrix}$; + $\Delta_2$ = + $\begin{vmatrix} + a_{11} & b_1\\ + a_{21} & b_2\\ + \end{vmatrix}$.\\ + + \newline + + \textit{Свойства детерминанта:} + \begin{itemize} + \item det $A^T$ = det A + \item определитель треугольной (и диагональной) матрицы равен производонию диагональных элементов + \item det E = 1 + \item если поменять местами две строки, то детерминант умножится на -1 + \item если в матрице есть нулевая строка, то det A = 0 + \end{itemize} + + \subsection{Умножение матриц} + + Умножение определено только для матриц с количеством столбцов в первой, равным количеству строк во второй. + + \begin{center} + $\begin{pmatrix} + a_1 & ... & a_n\\ + \end{pmatrix}\cdot + \begin{pmatrix*} + b_1\\ + ...\\ + b_n\\ + \end{pmatrix*}$ = + $\begin{pmatrix*} + a_1 b_1 + ... + a_n b_n\\ + \end{pmatrix*}$ + \end{center} + + Матрица C, являющаяся результатом умножения матрицы $A_{n \times m}$ на матрицу $B_{m \times k}$, имеет размеры $n \times k$, причём $c_{ij} = \sum_{S = 1}^{m} a_{is}b_{sj}$.\\ + + Если AB = BA, то такие матрицы A и B называются $\textit{перестановочными}$. Так, единичная матрица является перестановочной с любой другой матрицей подходящего размера. + + \begin{theorem} + Если определено А(ВС), то определено и (AB)C, а результаты этих операций равны. + \end{theorem} + \begin{proof} + Пусть матрицы А, В и С имеют размеры соответственно $m \times n, n \times p$ и $p \times q$. Тогда умножение для них определено и выполняется\\ + + $\begin{cases} + A \cdot (B \cdot C) = A \cdot (BC)_{n \times q} = (ABC)_{m \times q}\\ + (A \cdot B) \cdot C = (AB)_{m \times p} \cdot C = (ABC)_{m \times q}\\ + \end{cases}$ $\longrightarrow$ мы доказали равенство размеров.\\ + \newline + Докажем равенство элементов.\\ + + \newline + + $(AB)_{ij} = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik}b_{kj}$, $(AB)C_{il} = \sum_{j = 1}^{p} (AB)_{ij} \cdot c_{jl} = \sum_{l = 1}^{p}(\sum_{k = 1}^{n} a_{ik}b_{k_j}) \cdot c_{jl} = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} \sum_{j = 1}^{p} b_{kj}c_{jl} = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} \cdot (BC)_{kl} = A(BC)_{il}$ + \end{proof} diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture02.tex b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture02.tex new file mode 100644 index 00000000..c38a84e9 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture02.tex @@ -0,0 +1,170 @@ +\section{Вектор} + +\subsection{Определение вектора} + +\begin{definition} + \textit{Вектор} $-$ направленный отрезок, концы которого упорядочены. +\end{definition} + +Вектор принято обозначать следующим образом: + +\begin{itemize} + \item $\overline{a}, \overline{AB}$ $-$ любой вектор + \item $\overline{0}$ $-$ нулевой вектор +\end{itemize} + +\begin{definition} + Векторы называются $\textit{коллинеарными}$, если существует прямая, которой они параллельны. +\end{definition} + +\begin{definition} + Векторы называются $\textit{компланарными}$, если существует плоскость, которой они параллельны. +\end{definition} + +Нулевой вектор коллинерен и компланарен любому другому вектору. + +\subsection{Операции над векторами} + +\begin{definition} + Два вектора называются $\textit{равными}$, если они + \begin{enumerate} + \item коллинеарны + \item одинаково направлены + \item имеют равные длины + \end{enumerate} +\end{definition} + +Через любую точку пространства можно провести ровно 1 вектор равный данному. Нулевые векторы равны друг другу. + +\begin{definition} + \textit{Сложение} векторов выполняется по правилу параллелограмма: чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить 2 вектора равных данному и по строить на них параллелограмм, тогда его диагональ, исходящая из начальной точки, будет равна сумме векторов. +\end{definition} + +\begin{center} + \includegraphics[width=0.4\textwidth]{images/pravilo_parallelogramma.png} +\end{center} + +\begin{definition} + \textit{Произведение вектора на число} $\overline{b} = \lambda\overline(a)$ $-$ вектор коллинеарный данному, а его модуль равен модулю данного вектора, умноженного на число. При этом + \begin{enumerate} + \item $\lambda = 0 \longrightarrow \overline{b} = \overline{0}$ + \item $\lambda < 0 \longrightarrow \overline{b}$ противоположно направлен $\overline{a}$ + \item $\lambda > 0 \longrightarrow \overline{b}$ сонаправлен $\overline{a}$ + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Разность векторов} определяется через операции сложения и умножения на число $\overline{a} - \overline{b} = \overline{a} + (-1)\overline{b}$. +\end{definition} + +\textit{Свойства операций над векторами:} +\begin{enumerate} + \item $\forall\overline{a},\overline{b}\tab\overline{a} + \overline{b} = \overline{b} + \overline{a}$ + \item $\forall\overline{a},\overline{b},\overline{c}\tab\overline{a} + (\overline{b} + \overline{c}) = (\overline{a} + \overline{b}) + \overline{c}$ + \item $\forall\overline{a}\tab\overline{a} + \overline{0} = \overline{a}$ + \item $\forall\overline{a}\tab\exists(-1)\overline{a} = -\overline{a}$ $-$ противоположный : $\overline{a} + (-\overline{a}) = \overline{0}$ + \item $\forall \alpha,\beta\in\R,\forall\overline{a}\tab(\alpha\beta)\overline{a}=\alpha(\beta\overline{a})$ + \item$\forall\overline{a}\tab1\cdot\overline{a}=\overline{a}$ + \item$\forall\alpha,\beta\in\R\tab(\alpha + \beta)\overline{a} = \alpha\overline{a}+\beta\overline{a}$ + \item$\forall\alpha\in\R,\forall\overline{a},\overline{b}\tab\alpha(\overline{a}+\overline{b})=\alpha\overline{a}+\alpha\overline{b}$ +\end{enumerate} +\subsection{Линейная комбинация. Линейная зависимость и независимость} + +\begin{definition} + Если существует $\overline{a_1}$, ..., $\overline{a_n}$ и $\alpha_1$, ..., $\alpha_n$, то $\overline{b}=\alpha_1\overline{a_1}+...+\alpha_n\overline{a_n}$ $-$ $\textit{линейная комбинация}$. +\end{definition} + +Линейная комбинация называется $\textit{тривиальной}$, если все коэффициенты $\alpha_1=...=\alpha_n=0$, иначе $\textit{нетривиальной}$. + +\begin{definition} + Набор векторов $\overline{a_1}$, ..., $\overline{a_n}$ называют $\textit{линейно зависимым}$, если + \begin{center} + $\exists\alpha_1$, ..., $\alpha_n$ : $\alpha_1^2+...+\alpha_n^2 > 0$ : $\alpha_1\overline{a_1}+...+\alpha_n\overline{a_n} = \overline{0}$ + \end{center} +\end{definition} + +\begin{definition} + Набор векторов называется $\textit{линейно независимым}$, если только тривиальная комбинация дает нулевой вектор. +\end{definition} + +\textit{Свойства:} + +\begin{enumerate} + \item если в наборе есть нулевой вектор, то этот набор линейно зависим + \item если $\exists\overline{a_1}$, ..., $\overline{a_n}$ $-$ линейно зависимая комбинация, то $\forall\overline{b_1}$, ..., $\overline{b_m}}$, то набор $\overline{a_1}$, ..., $\overline{a_n}, \overline{b_1}$, ..., $\overline{b_m}$ $-$ линейно зависмый + \item если набор линейно независим, то его любой непустой поднабор тоже линейно независим + \begin{proof} + Пусть этот поднабор линейно независим, но тогда по свойству 2 весь набор линейно зависм $\longrightarrow$ противоречие. + \end{proof} +\end{enumerate} + +\begin{theorem} + Пусть $\overline{x}$ $-$ линейная комбинация, т.е. $\overline{x}=\alpha_1\overline{a_1}+...+\alpha_n\overline{a_n}$. Тогда разложение $\overline{x}$ единсьвенное $\longleftrightarrow$ $\overline{a_1}$, ..., $\overline{a_n}$ $-$ линейно независмый набор. +\end{theorem} + +\begin{proof} + \tab + $\longrightarrow$\\ + Пусть существует + \begin{center} + $\overline{x}=\alpha_1\overline{a_1}+...+\alpha_n\overline{a_n}\tab(1)$\\ + $\overline{x}=\beta_1\overline{a_1}+...+\beta_n\overline{a_n}\tab(2)$ + \end{center} + Вычтем (1) из (2) $\longrightarrow$ существует $\alpha_i\neq\beta_i$ $\longrightarrow$ нетривиальная $\longrightarrow$ противоречие. + + $\tab\longleftarrow$\\ + Пусть $\overline{a_1}$, ..., $\overline{a_n}$ - линейно зависим $\longrightarrow$ $\exists$нетривиальная линейная комбинация $\gamma_1\overline{a_1}$, ..., $\gamma_n\overline{a_n} = \overline{0}$\\ + + $\overline{x} = \overline{x} + \overline{0} = (\alpha_1 + \gamma_1)\overline{a_1}+...+(\alpha_n + \gamma_n)\overline{a_n}$ $\longrightarrow$ разложение не единственно $\longrightarrow$ противоречие. +\end{proof} + +\begin{theorem}[Критерий линейной зависимости] + Набор из k > 1 элементов линейно зависим $\longleftrightarrow$ существует вектор набора, равный линейной комбинации остальных. +\end{theorem} +\begin{proof} + $\tab\longrightarrow$\\ + Предположим, что $\overline{a_1}$, ..., $\overline{a_k}$ $-$ линейно зависима, тогда $\exists\alpha_1$, ..., $\alpha_k$ : $\alpha_1^2+...+\alpha_k^2$ > 0, $\alpha_1\overline{a_1}+...+\alpha_k\overline{a_k}=\overline{0}$.\\ + Пусть $\alpha_1\neq0$ $\longrightarrow$ $\overline{a_1} = -\frac{\alpha_2}{\alpha_1}\overline{a_2}-...-\frac{\alpha_k}{\alpha_1}\overline{a_2}$ $-$ вектор $\overline{a_1}$ раскладывается по остальным векторам. + + $\tab\longleftarrow$\\ + Пусть $\overline{a_1} = p_2\overline{a_2}+...+p_k\overline{a_k}$, тогда коэффициент при $\overline{a_1}$ = 1 $\longrightarrow$ $1\cdot\overline{a_1}+(-p_2)\overline{a_2}+...+(-p_k)\overline{a_k}=\overline{0}$ $-$ нетривиальная комбинация $\longrightarrow$ линейно зависимая. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Рассмотрим следствия 1 - 3 без доказательства, т.к. они очевидны.\\ + \begin{enumerate} + \item нетривиальная комбинация векторов линейно независимого набора всегда не равна $\overline{0}$ + \item система из одно вектора линейно зависима $\longleftrightarrow$ этот вектор нулевой + \item система из двух векторов линейно зависима $\longleftrightarrow$ эти векторв коллинеарны + \item система из трех векторов линейно зависима $\longleftrightarrow$ эти векторы компланарны + \begin{proof} + Пусть $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ $-$ компланарны. + \begin{enumerate} + \item Пусть $\overline{a}$ и $\overline{b}$ $-$ коллинеарны $\longrightarrow$ из следствия 3 они линейно зависимы, а значит весь набор линейно зависим. + \item Пусть эти векторы неколлинеарны, тогда по правилу параллелограмма $\exists\alpha, \beta$ : $\alpha\overline{a}+\beta\overline{b}=\overline{c}$ + \end{enumerate} + \end{proof} + + \item система из четырех и более векторов линейно зависима всегда + \begin{proof} Пусть даны векторы $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}$. + \begin{enumerate} + \item Если есть нулевой вектор, то набор линейно завсимый + \item если все векторы ненулевые + \begin{enumerate} + \item Если $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ $-$ компланарны, то из следствия 4 вся система линейно зависима + \item Если $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ $-$ некомпланарны достаточно доказать, что $\overline{d}$ является их линейной комбинацией.\\ + Для этого построим плоскость, проходящую через векторы Если $\overline{a}, \overline{b}$C. Проведем через $\overline{d}$ вектор, параллельный $\overline{c}$ $-$ $\overline{c_1}$. + \begin{center} + \includegraphics[width=0.4\textwidth]{images/5.jpeg} + \end{center} + \end{enumerate} + $\overline{f}$ $-$ вектор к точке пересечения $\overline{c_1}$ с плоскостью. Т.к. Если $\overline{a}$ и $\overline{b}$ неколлинеарные, $\overline{f}$ можно разложить по ним:\\ + $\begin{cases} + \overline{f} = \alpha\overline{a}+\beta\overline{b}\\ + \overline{c_1}=\gamma\overline{c}\\ + \end{cases}$ $\longrightarrow$ $\overline{d}=\overline{f}+\overline{c_1}= \alpha\overline{a}+\beta\overline{b}+\gamma\overline{c}$, значит $\overline{d}$ раскладывается по остальным векторам и система линейно зависимая. + \end{enumerate} + \end{proof} + + \end{enumerate} +\end{corollary} diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture03.tex b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture03.tex new file mode 100644 index 00000000..22887361 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture03.tex @@ -0,0 +1,233 @@ +\section{Базис векторного пространства. Системы координат.} + +\subsection{Пространства} + +\begin{definition} + Множество назовем $\textit{замкнутым}$ относительно операции, если результат применения этой операции принадлежит этому множеству. +\end{definition} + +\begin{definition} + Непустое множество, замкнутое относительно линейных операций (сложение и умножение на число), назовем $\textit{векторным пространством}$. +\end{definition} + +Если одно векторное пространство является подмножеством другого, будем называть его $\textit{подпространством}$. + +Само множество является своим подмножеством $\longrightarrow$ пространство является своим подпространством. + + +\subsection{Базис в векторном пространстве} + +\begin{definition} + $\textit{Базис в векторном пространстве}$ $-$ упорядоченный линейно независимый набор векторов, такой, что любой вектор пространства раскладывается по этим векторам. +\end{definition} + +В нулевом пространстве базиса нет. + +В одномерном пространстве базис $-$ любой ненулевой вектор. + +В двумерном пространстве базис $-$ упорядоченная пара неколлинеарных векторов. + +В трехмерном пространстве базис $-$ упорядоченная тройка некомпланарных векторов.\\ + +Любой вектор раскладывается по векторам базиса, и это разложение единственно.\\ + +Пусть существует базис ($\overline{e_1}, \overline{e_2}, \overline{e_3}$), такой что любой вектор в этом базисе $\overline{a} = x_1\overline{e_1} + x_2\overline{e_2} + x_3\overline{e_3}$. Тогда коэффициенты разложения $x_1$, $x_2$, $x_3$ определяются единственным образом и называются $\textit{координатами}$.\\ + +Пусть в этом же базисе существуют вектора $\overline{a}(a_1, a_2, a_3), \overline{b}(b_1, b_2, b_3), \overline{c}(c_1, c_2, c_3)$. Узнаем, является ли этот набор линейно зависимым. Для этого необходимо узнать, существует ли их нетривиальная комбинация: + +\begin{center} + $\alpha\overline{a} + \beta\overline{b} + \gamma\overline{c} = \overline{0}\tab\longleftrightarrow$\\ + + $\alpha + \begin{pmatrix*} + a_1\\ + a_2\\ + a_3\\ + \end{pmatrix*} + \beta + \begin{pmatrix*} + b_1\\ + b_2\\ + b_3\\ + \end{pmatrix*} + \gamma + \begin{pmatrix*} + c_1\\ + c_2\\ + c_3\\ + \end{pmatrix*} = + \begin{pmatrix*} + 0\\ + 0\\ + 0\\ + \end{pmatrix*}$ +\end{center} $\longrightarrow$ по теореме Крамера система имеет единственное решение, отличное от тривиальной комбинации, при +\begin{center} + det = + $\begin{vmatrix} + a_1 & b_1 & c_1\\ + a_2 & b_2 & c_2\\ + a_3 & b_3 & c_3\\ + \end{vmatrix} \longrightarrow$ если det = 0, система линейно зависима, иначе $-$ линейно независима. + +\end{center} + +Аналогично для плоскости. + +\subsection{Декартова и некоторые другие системы координат} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.4\textwidth} + \includegraphics[width=0.5\linewidth]{images/дск.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\begin{definition} + \textit{Декартова система координат} $-$ совокупность точки и базиса. +\end{definition} + +\tab\\ \tab\\ +O $-$ начало координат\\ +$\overline{e_1}, \overline{e_2}, \overline{e_3}$ $-$ базис\\ +$\overline{OM}$ = $x_1\overline{e_1} + x_2\overline{e_2} + x_3\overline{e_3}$ $\longrightarrow$ $x_1, x_2, x_3$ $-$ координаты. + +\tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ + +\textbf{Медианный вектор}\\ + +\begin{wrapfigure}{r}{0.4\textwidth} + \includegraphics[width=0.8\linewidth]{images/медианныйвектор.jpeg} +\end{wrapfigure} + +Пусть $\overline{a}, \overline{b}$ $-$ образующие векторы, $\overline{c}$ $-$ медианный. Тогда $\overline{c}$ = $\frac{\overline{a} + \overline{b}}{2}$.\\ + +Аналогично можно найти координаты середины отрезка, с концами в координатах ($a_1, a_2, a_3$) и ($b_1, b_2, b_3$), M = ($\frac{a_1 - b_1}{2}, \frac{a_2 - b_2}{2}, \frac{a_3 - b_3}{2}$) + +\tab\\ \tab\\ + +\textbf{Вектор, коллинеарный биссектрисе угла} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.4\textwidth} + \includegraphics[width=0.6\linewidth]{images/биссектриса.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ \tab\\ + +Пусть $\overline{d}$ $-$ вектор, коллинеарный биссектрисе угла, построенного на векторах $\overline{a}$ и $\overline{b}$.\\ + +$\overline{d}$ = $\frac{\overline{a}}{|\overline{a}|} + \frac{\overline{b}}{|\overline{b}|}$ + +\tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ +\textbf{Вектор, который делит прямую в соотношении m:n} + +\begin{wrapfigure}{r}{0.4\textwidth} + \includegraphics[width=0.6\linewidth]{images/соотношение.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +$\overline{c}$ = $\frac{n}{m + n}\overline{a} + \frac{m}{m + n}\overline{b}$ + +\tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ + +\begin{definition} + Если базисные векторы попарно ортогональны, то базис \textit{ортогональный}. +\end{definition} + +\begin{definition} + Если базисные векторы попарно ортогональны, а их длины равны 1, то базис \textit{ортонормированный} (ОНБ). +\end{definition} + +\begin{definition} + Система координат с ОНБ $-$ \textit{декартова прямоугольная система координат}. +\end{definition} + +\textbf{Полярная система координат}\\ +\begin{wrapfigure}{l}{0.4\textwidth} + \includegraphics[width=0.6\linewidth]{images/полярнаяск.jpeg} +\end{wrapfigure} + +Координаты задаются длиной радиус-вектора $\overline{r}$ и полярным углом $\phi$.\\ + +$\overline{r}(|\overline{r}|, \phi)$ + +\tab\\ \tab\\ \tab\\ + +\textbf{Цилиндрическая система координат}\\ +\begin{wrapfigure}{l}{0.4\textwidth} + \includegraphics[width=0.6\linewidth]{images/цилиндрическаяск.jpeg} +\end{wrapfigure} + +Координаты задаются длиной радиус-вектора $\overline{r}$, полярным углом $\phi$ и смещением относительно оси z.\\ + +$\overline{r}(|\overline{r}|, \phi, h)$ + +\tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ +\textbf{Сферическая система координат}\\ +\begin{wrapfigure}{l}{0.4\textwidth} + \includegraphics[width=0.5\linewidth]{images/сферическая.jpeg} +\end{wrapfigure} + +Координаты задаются длиной радиус-вектора $\overline{r}$, азимутальным углом $\phi\in[0, 2\pi]$ и зенитным углом $\theta\in[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.\\ + +$\overline{r}(|\overline{r}|, \theta, \phi)$ +\tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ +\newpage + +\subsection{Переход в новую систему координат} + +Пусть имеются две системы координат и вектор $\overline{a}$:\\ +\tab\\ +$\tab$($\overline{e_1}, \overline{e_2}, \overline{e_3})$ $-$ "старая" система координат, $\overline{a}$(x, y, z)\\ +$\tab$($\overline{e_1'}, \overline{e_2'}, \overline{e_3'})$ $-$ "новая" система координат, $\overline{a}$(x', y', z')\\ + +Тогда базисные векторы новой системы координат выражаются следующим образом:\\ +\tab\\ +$\overline{e_1'}$ = $a_{11}\overline{e_1} + a_{21}\overline{e_2} + a_{31}\overline{e_3}$\\ +$\overline{e_2'}$ = $a_{12}\overline{e_1} + a_{22}\overline{e_2} + a_{32}\overline{e_3}$\\ +$\overline{e_3'}$ = $a_{13}\overline{e_1} + a_{23}\overline{e_2} + a_{33}\overline{e_3}$\\ + +В новой системе координат $\overline{a}$ = $x'\overline{e_1'} + y'\overline{e_2'} + z'\overline{e_3'}$ = $x'(a_{11}\overline{e_1} + a_{21}\overline{e_2} + a_{31}\overline{e_3}) + y'(a_{12}\overline{e_1} + a_{22}\overline{e_2} + a_{32}\overline{e_3}) + z'(a_{13}\overline{e_1} + a_{23}\overline{e_2} + a_{33}\overline{e_3})$ = $\overline{e_1}(a_{11}x' + a_{12}y' + a_{13}z') + \overline{e_2}(a_{21}x' + a_{22}y' + a_{23}z') + \overline{e_3}(a_{31}x' + a_{32}y' + a_{33}z')\tab\longrightarrow$\\ +\tab\\ +x = $a_{11}x' + a_{12}y' + a_{13}z'$\\ +y = $a_{21}x' + a_{22}y' + a_{23}z'$\\ +z = $a_{31}x' + a_{32}y' + a_{33}z'$\\ + +\begin{definition} + \textit{Матрица перехода} от базиса e к базису e' имеет вид\\ + \begin{center} + S = + $\begin{pmatrix} + a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ + a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ + a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ + \end{pmatrix}$ + \end{center} +\end{definition} + +Столбцами S являются координаты новых базисных векторов в старом базисе.\\ + +\begin{center} + $\begin{pmatrix*} + x\\ + y\\ + z\\ + \end{pmatrix*}$ = S + $\begin{pmatrix*} + x'\\ + y'\\ + z'\\ + \end{pmatrix*}$, $\tab$ ($\overline{e_1'}, \overline{e_2'}, \overline{e_3'}$) = ($\overline{e_1}, \overline{e_2}, \overline{e_3}$)S, $\tab$ e' = eS +\end{center} + +\textbf{Основное свойство матрицы перехода:} по теореме о линейной независимости, det S $\neq$ 0. + +Рассмотрим старое начало координат О и новое О'. Тогда вектор, соединяющий их\\ + +\begin{wrapfigure}{l}{0.4\textwidth} + \includegraphics[width=0.6\linewidth]{images/переход1.jpeg} +\end{wrapfigure} + +$\overline{OO'}$ = $\beta_1\overline{e_1} + \beta_2\overline{e_2} + \beta_3\overline{e_3}$ \\ + +Пусть существует произвольная точка М, такая что $\overline{OM}$ = $\overline{OO'} + \overline{O'M}$. Тогда ее координаты\\ + +x = $a_{11}x' + a_{12}y' + a_{13}z' + \beta_1$\\ +y = $a_{21}x' + a_{22}y' + a_{23}z' + \beta_2$\\ +z = $a_{31}x' + a_{32}y' + a_{33}z' + \beta_3$\\ diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture04_05.tex b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture04_05.tex new file mode 100644 index 00000000..7da33055 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture04_05.tex @@ -0,0 +1,344 @@ +\section{Скалярное, векторное и смешанное произведения} + +\subsection{Скалярное произведение} + +\begin{definition} + \textit{Скалярное произведение} c = $(\overline{a}, \overline{b})$ определяется по следующим правилам: + + \begin{enumerate} + \item Если $\overline{a}$ = 0 или $\overline{b}$ = 0, то с = 0 + \item Если $\overline{a}$ $\neq$ 0 и $\overline{b}$ $\neq$ 0, то с = $|\overline{a}|\cdot|\overline|b|\cdot cos(\overline{a}, \overline{b})$ + \end{enumerate} +\end{definition} + +\textit{Свойства скалярного произведения:} + +\begin{enumerate} + \item ($\overline{a}, \overline{b}$) = 0 $\longleftrightarrow$ + $\begin{gathered} + \overline{a} = \overline{0}\\ + \overline{b} = \overline{0}\\ + \overline{a} \perp \overline{b}\\ + \end{gathered}$ + \item $\forall\overline{a}, \overline{b}\hookrightarrow(\overline{a}, \overline{b}) = (\overline{b}, \overline{a})$ + \item $\forall\overline{a}$ $(\overline{a}, \overline{a}) = |\overline{a}|^2\geq0$ $-$ скалярный квадрат + \item $\forall\overline{a}$ $(\overline{a}, \overline{a}) = 0 \longleftrightarrow \overline{a} = \overline{0}$ +\end{enumerate} + +\begin{lemma} + Пусть $\overline{a}$ $-$ фиксированный вектор, тогда $\forall\overline{x}$ + \begin{center} + ($\overline{a}, \overline{x}$) = 0 $\longrightarrow \overline{a} = \overline{0}$ + \end{center} +\end{lemma} + +Для векторов ортонормированного базиса: +\begin{center} + ($\overline{e_i}, \overline{e_j}$) = + $\begin{cases} + 0, i \neq j\\ + 1, i = j\\ + \end{cases}$ +\end{center} + +Пусть базис $\overline{e_1}, \overline{e_2}, \overline{e_3}$ $-$ ортогональный, тогда координаты вектора $\overline{a}$ находятся по формулам: + +\begin{center} + $a_1$ = $\dfrac{(\overline{a}, \overline{e_1})}{|\overline{e_1}|^2 }$, $a_2$ = $\dfrac{(\overline{a}, \overline{e_2})}{|\overline{e_2}|^2 }$, $a_3$ = $\dfrac{(\overline{a}, \overline{e_3})}{|\overline{e_3}|^2 }$ +\end{center} + +В ортонормированном базисе: + +\begin{center} + $\overline{a}$ = $(\overline{a}, \overline{e_1})\overline{e_1} + (\overline{a}, \overline{e_2})\overline{e_2} + (\overline{a}, \overline{e_3})\overline{e_3}$ +\end{center} + +\begin{theorem} + \textit{Свойство линейности скалярного произведения:} + \begin{center} + $\forall\alpha,\beta\in\R, \forall\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$\\ + $(\alpha\overline{a} + \beta\overline{b}, \overline{c})$ = $\alpha(\overline{a}, \overline{c}) + \beta(\overline{b}, \overline{c})\tab(1)$\\ + $(\overline{c}, \alpha\overline{a} + \beta\overline{b})$ = $\alpha(\overline{c}, \overline{a}) + \beta(\overline{c}, \overline{b})\tab(2)$ + \end{center} +\end{theorem} +\begin{proof} + (2) следует из (1), поэтому докажем только (1)\\ + + Рассмотрим случаи. + + \begin{enumerate} + \item $\overline{c} = \overline{0} \longrightarrow$ утверждение верно + \item $\overline{c} \neq \overline{0} \longrightarrow$ Рассмотрим ортогональный базис, в котороом $\overline{c}$ = $\overline{e_1}$. Докажем равенство, эквивалентное (1): + \[ + \dfrac{(\alpha\overline{a} + \beta\overline{b}, \overline{c})}{|\overline{c}|^2} = \dfrac{\alpha(\overline{a}, \overline{c})}{|\overline{c}|^2} + \dfrac{\beta(\overline{b}, \overline{c})}{|\overline{c}|^2} + \] + Слева первая координата вектора $\alpha\overline{a} + \beta\overline{b}$ в базисе.\\ + Справа также первая координата ветора $\alpha\overline{a} + \beta\overline{b}$ в базисе $\longrightarrow$ ч.т.д. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если в каком-то базисе у векторов равные координаты, то данные векторы равны в любом базисе. +\end{corollary} + +Пусть имеется двумерный базис $\overline{e_1}$, $\overline{e_2}$, $\overline{a}(a_1, a_2)$, $\overline{b}(b_1, b_2)$, тогда +\[ +(\overline{a}, \overline{b}) = (a_1\overline{e_1} + a_2\overline{e_2}, b_1\overline{e_1} + b_2\overline{e_2}) = a_1 b_1(\overline{e_1}, \overline{e_1}) + a_1 b_2(\overline{e_1}, \overline{e_2}) + a_2 b_1(\overline{e_2}, \overline{e_1}) + a_2 b_2(\overline{e_2}, \overline{e_2}) +\] +Аналогично для трехмерного пространства.\\ + +\begin{theorem} + Рассмотрим базис $\overline{e_1}, \overline{e_2}, \overline{e_3}$. Тройка $\overline{e_1}*, \overline{e_2}*, \overline{e_3}*$ определяется однозначно и образует базис, если она является $\textit{биортогональным (взаимным)}$ базисом, т.е. выполняется следующее условие + \[ + (\overline{e_i}, \overline{e_j}*) = + \begin{cases} + 0, i \neq j\\ + 1, i = j\\ + \end{cases} + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + \tab\\ + \begin{enumerate} + \item Определяется однозначно.\\ + + $\overline{e_1}* \perp \overline{e_2}, \overline{e_3}$\\ + $\overline{e_1}$ направлен в то же полупространство, что и $\overline{e_1}*$ $\longrightarrow$ $(\overline{e_1}*, \overline{e_1})$ определено однозначно $\longrightarrow$ |$\overline{e_1}*$| определено однозначно.\\ + Аналогично для $\overline{e_2}*, \overline{e_3}*$ $\longrightarrow$ ч.т.д. + + \item Образует базис.\\ + + Пусть $\overline{x}$ раскладывается по $\overline{e_1}*, \overline{e_2}*, \overline{e_3}*$ $\longrightarrow$ $\overline{x} = \alpha_1\overline{e_1}* + \alpha_2\overline{e_2}* + \alpha_3\overline{e_3}*$\\ + Скаляроне умножение на $\overline{e_1}$: ($\overline{x}, \overline{e_1}$) = $\alpha_1(\overline{e_1}, \overline{e_1}*) + \alpha_2(\overline{e_2}, \overline{e_2}*) + \alpha_3(\overline{e_3}, \overline{e_3}*)$, что по определению равно $\alpha_1$ $\longrightarrow$ $\alpha_1$ определяется однозначно. + + Аналогично для $\alpha_2$ и $\alpha_3$, значит, по теореме о линейной независимости, ч.т.д. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + \tab\\ + \begin{enumerate} + \item Для $\overline{e_1}*, \overline{e_2}*, \overline{e_3}*$ базис $\overline{e_1}, \overline{e_2}, \overline{e_3}$ $-$ биортогональный. + \item Ортонормированный базис взаимен самому себе. + \item Пусть известны координаты $\overline{a}(a_1, a_2, a_3)$ в базисе $\overline{e_1}, \overline{e_2}, \overline{e_3}$ и $\overline{b}(b_1, b_2, b_3)$ в базисе $\overline{e_1}*, \overline{e_2}*, \overline{e_3}*$ $\longrightarrow$ + \[ + (\overline{a}, \overline{b}) = \alpha_1 \beta_1* + \alpha_2 \beta_2* + \alpha_3 \beta_3* + \] + \end{enumerate} +\end{corollary} + +\textbf{Нахождение проекции вектора}\\ +\begin{wrapfigure}{l}{0.4\textwidth} + \includegraphics[width=0.84\linewidth]{images/проекция.jpeg} +\end{wrapfigure} + +Пусть $\overline{a}$ $-$ вектор, который проецируем, $\overline{b}$ $-$ вектор, на который проецируем, $\overline{c}$ $-$ ортогональная составляющая. + +\[ +\text{Пр}_{\overline{b}}^{\overline{a}} = |\overline{a}| \cdot cos\thinspace\phi \cdot \dfrac{\overline{b}}{|\overline{b}|} = \dfrac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|^2}\overline{b}, +\] + +где $\dfrac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|^2}$ $-$ численное значение проекции + +\tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ + +\subsection{Векторное произведение} + +\begin{definition} + Упорядоченную тройку векторов $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ назовем $\textit{правой}$, если при рассмотрении из полупространства, в которое направлен вектор $\overline{c}$ крачайший поворот от $\overline{a}$ к $\overline{b}$ направлен против часовой стрелки.\\ + + Иначе $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ $-$ $\textit{левая}$ тройка. +\end{definition} + +Если $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ $-$ правая, то $\overline{c}, \overline{a}, \overline{b}$ $-$ правая, а $\overline{b}, \overline{a}, \overline{c}$ $-$ левая. + +\begin{definition} + $\textit{Векторное произведение}$ $\overline{a}$ и $\overline{b}$ $\overline{c} = [\overline{a}, \overline{b}]$ определяется следующим образом: + \begin{enumerate} + \item если $\overline{a}$ и $\overline{b}$ $-$ коллинеарные (включая $\overline{0}$), то $\overline{c} = 0$ + \item если $\overline{a}$ и $\overline{b}$ $-$ неколлинеарные, то + \begin{itemize} + \item $|\overline{c}| = |\overline{a}|\cdot|\overline{b}|\cdot sin(\overline{a}, \overline{b})$ + \item $\overline{a}\perp\overline{c}$, $\overline{b}\perp\overline{c}$ + \item $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ $-$ правая тройка + \end{itemize} + \end{enumerate} +\end{definition} + +\textit{Свойства векторного произведения:} + +\begin{enumerate} + \item $[\overline{a}, \overline{b}]$ = $\overline{0}$ $\longleftrightarrow$ $\overline{a}$ и $\overline{b}$ $-$ коллинеарные + \item $\forall\overline{a}, \overline{b}$ $[\overline{a}, \overline{b}] = - [\overline{b}, \overline{a}]$ + \item $|[\overline{a}, \overline{b}]|$ $-$ площадь параллелограмма, построенного на векторах $\overline{a}, \overline{b}$ + \item Свойство линейности векторного произведени: + \[ + \forall\alpha, \beta \in \R\tab\forall\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\hookrightarrow[\alpha\overline{a} + \beta\overline{b}, \overline{c}] = \alpha[\overline{a}, \overline{c}] + \beta[\overline{b}, \overline{c}] + \] +\end{enumerate} + +Пусть известны базис $\overline{e_1}, \overline{e_2}, \overline{e_3}$, $\overline{a}(a_1, a_2, a_3)$, $\overline{b}(b_1, b_2, b_3)$ $\longrightarrow$ + +\begin{center} + $[\overline{a}, \overline{b}]$ = $[a_1\overline{e_1} + a_2\overline{e_2} + a_3\overline{e_3}, b_1\overline{e_1} + b_2\overline{e_2} + b_3\overline{e_3}]$ = $\sum a_i b_j [\overline{e_i}, \overline{e_j}]$ = $[\overline{e_1}, \overline{e_2}](a_1 b_2 - a_2 b_1) + [\overline{e_2}, \overline{e_3}](a_2 b_3 - a_3 b_2) + [\overline{e_3}, \overline{e_1}](a_3 b_1 - a_1 b_3)$ = + $\begin{vmatrix} + [\overline{e_2}, \overline{e_3}] & [\overline{e_3}, \overline{e_1}] & [\overline{e_1}, \overline{e_2}]\\ + a_1 & a_2 & a_3\\ + b_1 & b_2 & b_3\\ + \end{vmatrix}$ +\end{center} + +В правом ОНБ: +\[ + [\overline{a}, \overline{b}] = + \begin{vmatrix} + \overline{e_1} & \overline{e_2} & \overline{e_3}\\ + a_1 & a_2 & a_3\\ + b_1 & b_2 & b_3\\ + \end{vmatrix} +\] +\subsection{Смешанное произведение} + +\begin{definition} + \textit{Смешанное произведение} векторов $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ определяется как + \[ + (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) = ([\overline{a}, \overline{b}], \overline{c}) + \] +\end{definition} + +\begin{theorem} + Смешенное произведение равно объему ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ +\end{theorem} + +\begin{proof} + \tab\\ + \begin{enumerate} + \item $\overline{a}, \overline{b}$ $-$ коллинеарны $\longrightarrow$ + $\begin{cases} + (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) = 0\\ + V = 0\\ + \end{cases}$ + \item $\overline{a}, \overline{b}$ $-$ неколлинеарны + \begin{itemize} + \item $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ $-$ компланарны $\longrightarrow$ + $\begin{cases} + (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) = 0\\ + V = 0\\ + \end{cases}$ + \item $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ $-$ некомпланарны $\longrightarrow$ + \[ + V = S_{\text{осн}}\cdot h = |[\overline{a}, \overline{b}]|\cdot|\overline{c}|\cdot|cos\thinspace\phi| = |(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})| + \] + \end{itemize} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\textit{Свойства смешанного произведения:} + +\begin{enumerate} + \item $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})$ = $(\overline{b}, \overline{c}, \overline{a})$ = $(\overline{c}, \overline{a}, \overline{b})$ = -$(\overline{a}, \overline{c}, \overline{b})$ = -$(\overline{b}, \overline{a}, \overline{c})$ = -$(\overline{c}, \overline{b}, \overline{a})$ + \begin{corollary} + $([\overline{a}, \overline{b}], \overline{c})$ = $(\overline{a}, [\overline{b}, \overline{c}])$ + \end{corollary} + \item Линейность смешанного произведения: + \[ + \forall\alpha_1, \alpha_2\tab\forall\overline{a_1}, \overline{a_2}, \overline{b}, \overline{c}\hookrightarrow (\alpha_1\overline{a_1} + \alpha_2\overline{a_2}, \overline{b}, \overline{c}) = \alpha_1(\overline{a_1}, \overline{b}, \overline{c}) + \alpha_2(\overline{a_2}, \overline{b}, \overline{c}) + \] +\end{enumerate} + +\begin{theorem} + \[ + [\overline{a}, \overline{b}], [\overline{b}, \overline{c}], [\overline{c}, \overline{a}] - \text{линейно независимые} \longleftrightarrow \overline{a}, \overline{b}, \overline{c} - \text{линейно независимые} + \] +\end{theorem} +\begin{proof} + \tab\\ + \begin{enumerate} + \item $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ - компланарные $\longrightarrow$ векторные произведения или равны $\overline{0}$, или перпендикулярны векторам $\longrightarrow$ линейно зависимые + \item $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ - некомпланарные $\longrightarrow$ $\exists \alpha,\beta,\gamma$ : + \[ + \alpha[\overline{a}, \overline{b}] + \beta[\overline{b}, \overline{c}] + \gamma[\overline{c}, \overline{a}] = \overline{0} + \] + Скалярно домножим на $\overline{a}$ и получим + \[ + 0 + \beta(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) + 0 = 0 + \] + $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ $-$ некомпланарны $\longrightarrow$ $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})\neq 0$ $\longrightarrow$ $\beta$ = 0, аналогично для $\alpha$ и $\gamma$ $\longrightarrow$ $\alpha=\beta=\gamma=0$ $-$ тривиальная комбинация $\longrightarrow$ $[\overline{a}, \overline{b}], [\overline{b}, \overline{c}], [\overline{c}, \overline{a}]$ $-$ линейно независимые + + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Попарные векторные произведения линейно независимых векторов образуют базис. +\end{corollary} + +\underline{\textbf{Задача.}} C помощью смешанного произведения определить, является ли тройка линейно зависимой.\\ + +В базисе $\overline{e_1}, \overline{e_2}, \overline{e_3}$ заданы векторы $\overline{a}(a_1, a_2, a_3), \overline{b}(b_1, b_2, b_3), \overline{c}(c_1, c_2, c_3)$ $\longrightarrow$ + +\begin{center} + $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})$ = $(\overline{a}, [\overline{b}, \overline{c}])$ = $(a_1\overline{e_1} + a_2\overline{e_2} + a_3\overline{e_3}$, $[\overline{e_1}, \overline{e_2}](b_1 c_2 - b_2 c_1) + [\overline{e_2}, \overline{e_3}](b_2 c_3 - b_3 c_2) + [\overline{e_3}, \overline{e_1}](b_3 c_1 - b_1 c_3))$ = + $\begin{vmatrix} + [\overline{e_2}, \overline{e_3}] & [\overline{e_3}, \overline{e_1}] & [\overline{e_1}, \overline{e_2}]\\ + b_1 & b_2 & b_3\\ + c_1 & c_2 & c_3\\ + \end{vmatrix}(\overline{e_1}, \overline{e_2}, \overline{e_3})$ +\end{center} + +В правом ОНБ ($\overline{e_1}, \overline{e_2}, \overline{e_3}$) = 1 + +\begin{enumerate} + \item $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ $-$ линейно зависимые в любом базисе $\longleftrightarrow$ \\ + $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})$ = + $\begin{vmatrix} + [\overline{e_2}, \overline{e_3}] & [\overline{e_3}, \overline{e_1}] & [\overline{e_1}, \overline{e_2}]\\ + b_1 & b_2 & b_3\\ + c_1 & c_2 & c_3\\ + \end{vmatrix}(\overline{e_1}, \overline{e_2}, \overline{e_3})$ $\neq$ 0 + + \item $\overline{a}, \overline{b}$ $-$ коллинеарные, а значит, линейно зависимые для любого базиса $\longleftrightarrow$ [$\overline{a}, \overline{b}$] = 0 $\longleftrightarrow$ + $\begin{vmatrix} + a_1 & a_2\\ + b_1 & b_2\\ + \end{vmatrix}$ = + $\begin{vmatrix} + a_1 & a_3\\ + b_1 & b_3\\ + \end{vmatrix}$ = + $\begin{vmatrix} + a_2 & a_3\\ + b_2 & b_3\\ + \end{vmatrix}$ = 0 +\end{enumerate} +\underline{\textbf{Некоторые полезные формулы.}} + +Площадь параллелограмма на векторах $\overline{a}, \overline{b}$ +\[ +S\mkern-2mu{\rotatebox{-60}{\(\lozenge\)}}_{(\overline{a}, \overline{b})} = |[\overline{a}, \overline{b}]| +\] +Тогда +\begin{center} + $|S\mkern-2mu{\rotatebox{-60}{\(\lozenge\)}}_{(\overline{a}, \overline{b})}|^2$ = $|[\overline{a}, \overline{b}]|^2$ = $|\overline{a}|^2\cdot|\overline{b}|^2\cdot sin^2 \phi$ = $|\overline{a}|^2\cdot|\overline{b}|^2\cdot(1 - cos^2\phi)$ = + $\begin{vmatrix} + |\overline{a}|^2 & (\overline{a}, \overline{b})\\ + (\overline{a}, \overline{b}) & |\overline{b}|^2\\ + \end{vmatrix}$ +\end{center} + +\begin{definition} + Пара некомпланарных векторов ориентирована $\textit{положительно}$, если кратчайший поворот от одного вектора к другому направлен против часовой стрелки. Иначе пара ориентирована $\textit{отрицательно}$. +\end{definition} + +Пусть ($\overline{a}, \overline{b}$) $-$ положительно ориентирована, $\overline{n}$ $-$ $\textit{нормальный вектор}$ к плоскости, образованной $\overline{a}, \overline{b}$, т.е. |$\overline{n}$| = 1, $\overline{n}\perp$ плоскости ($\overline{a}, \overline{b}$) +\[ +S_{\pm}\mkern-2mu{\rotatebox{-60}{\(\lozenge\)}}_{(\overline{a}, \overline{b})} = (\overline{a}, \overline{b}, \overline{n}) +\] +\begin{lemma} + \textit{Двойное векторное произведение.} + \[ + [\overline{a}, [\overline{b}, \overline{c}]] = \overline{b}(\overline{a}, \overline{c}) - \overline{c}(\overline{a}, \overline{b}) + \] +\end{lemma} + + diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture06_07.tex b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture06_07.tex new file mode 100644 index 00000000..d017cbfb --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture06_07.tex @@ -0,0 +1,609 @@ +\section{Прямые на плоскости} + +\subsection{Векторное параметрическое уравнение прямой} + +Пусть на плоскости задана система координат O, $\overline{e_1}$, $\overline{e_2}$. + +\begin{wrapfigure}{l}{0.4\textwidth} + \includegraphics[width=0.84\linewidth]{images/1.1.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ +$\overline{a} \neq \overline{0}$ $-$ направляющий вектор\\ + +\underline{\textit{Векторное параметрическое уравнение прямой:}} +\[ +\overline{r} = \overline{r_0} + \overline{a}t, t\in\R +\] +\[ +\begin{pmatrix} + x\\ + y\\ +\end{pmatrix} = +\begin{pmatrix} + x_0\\ + y_0\\ +\end{pmatrix} + +\begin{pmatrix} + a_x\\ + a_y\\ +\end{pmatrix}t +\] +\tab\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ + +\subsection{Общее уравнение прямой} + +\begin{theorem} + Любая прямая на плоскости может быть задана $\underline{\text{общим уравнением прямой}}$: + \[ + Ax + By + C = 0, A^2 + B^2 > 0 + \] +\end{theorem} +\begin{proof} + Точка $\overline{r}$ лежит на прямой тогда и только тогда, когда $\overline{r}$ - $\overline{r_0}$ и $\overline{a}$ $-$ коллинеарны, т.е. + \[ + \begin{vmatrix} + x - x_0 & y - y_0\\ + a_x & a_y\\ + \end{vmatrix} = 0 + \] + \[ + \Longleftrightarrow + \] + \[ + a_y(x - x_0) - a_x(y-y_0) = 0 + \] + \[ + \Longleftrightarrow + \] + \[ + a_y x - a_x y +(a_x y_0 - a_y x_0) = 0, + \] + \tab\\ + где $a_y$ = A, $- a_x$ = B, $a_x y_0 - a_y x_0$ = C +\end{proof} + +\begin{corollary} + В любой системе координат направляющий вектор прямой может быть выбран как (B, -A). +\end{corollary} + +\begin{theorem} + Если существует общее уравнение прямой, то оно задает прямую в любой системе координат. +\end{theorem} +\begin{proof} + Рассмотрим точку ($x_0$, $y_0$), такую что + \[ + Ax_0 + By_0 + C = 0 + \] + Рассмотрим прямую, проходящую через точку ($x_0$, $y_0$), с направляющим вектором (В, -А). Подставив данные в векторное параметрическое уравнение прямой, получим искомое уравнение. +\end{proof} + +\begin{theorem} + Два уравнения задают одну прямую + \[ + \begin{cases} + A_1 x + B_1 y + C_1 = 0\\ + A_2 x + B_2 y + C_2 = 0\\ + \end{cases} \Longleftrightarrow \exists\lambda\neq 0 : A_1 = \lambda A_2, B_1 = \lambda B_2, C_1 = \lambda C_2 + \] +\end{theorem} +\begin{proof} + \tab\\ + $\tab\Longleftarrow$\\ + Пусть $A_1 = \lambda A_2, B_1 = \lambda B_2, C_1 = \lambda C_2, \lambda\neq 0$. Подставим в общее уравнение прямой: + \[ + A_1 x + B_1 y + C_1 = \lambda A_2 x + \lambda B_2 y + \lambda C_2 = \lambda(A_2 x + B_2 y + C_2) = 0, + \] + а т.к. $\lambda\neq 0$, получаем + \[ + \begin{cases} + A_1 x + B_1 y + C_1 = 0\\ + A_2 x + B_2 y + C_2 = 0\\ + \end{cases} - \text{одна прямая} + \] + + $\tab\Longrightarrow$\\ + Т.к. заданные уравнения задают одну прямую, их направляющие векторы ($B_1$, -$A_1$) и ($B_2$, -$A_2$) $-$ коллинеарны $\Longrightarrow$ $\exists\lambda\neq 0$ : $A_1 = \lambda A_2, B_1 = \lambda B_2$, значит, чтобы уравнения были равносильны, необходимое условие: $C_1 = \lambda C_2$ +\end{proof} + +\subsection{Каноническое уравнение прямой} + +Пусть задано 2 точки $\overline{r_1}$ и $\overline{r_2}$, значит направляющий вектор $\overline{a} = \overline{r_2} - \overline{r_1}$ $\Longrightarrow$ +\[ +\overline{r} = \overline{r_1} + t(\overline{r_2} - \overline{r_1}) +\] +$-$ $\underline{\text{уравнение прямой через пару точек}}$.\\ + +Распишем координаты векторов. +\[ +\begin{cases} + x = x_0 + a_x t\\ + y = y_0 + a_y t\\ +\end{cases} \Longrightarrow \dfrac{x - x_0}{a_x} = \dfrac{y - y_0}{a_y} +\] +Получили $\underline{\text{каноническое уравнение прямой}}$, причем при записи допускается, что $a_x$ или $a_y$ = 0. В таком случае задается прямая, параллельная одной из осей координат.\\ + +Аналогично для двух заданных точек $\overline{r_1}(x_1, y_1)$ и $\overline{r_2}(x_2, y_2)$: +\[ +\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} +\] + +\begin{corollary} + Если задано каноническое уравнение прямой, то в знаменателях дробей стоят соответствующие координаты направляющего вектора. Это верно в любой системе координат. +\end{corollary} + +\subsection{Уравнение прямой через нормальный вектор} + +Если задать на прямой точку, ненулевой нормальный вектор $\overline{n}$ к этой прямой, то эта прямая задается однозначно. + +\begin{wrapfigure}{l}{0.4\textwidth} + \includegraphics[width=0.84\linewidth]{images/1.2.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +\[ +(\overline{r} - \overline{r_0}, \overline{n}) = 0 \Longleftrightarrow (\overline{r}, \overline{n}) = (\overline{r_0}, \overline{n}) = d +\] + +\[ +\overline{r_M} = k\overline{n}, k = \dfrac{d}{(\overline{n}, \overline{n})} +\] + +\[ +\Longrightarrow \overline{r_M} = \dfrac{d}{(\overline{n}, \overline{n})}\overline{n} +\] + +\tab\\ +\textbf{В ОНБ.} + +\[ +(\overline{r}, \overline{n}) = d, \text{где } \overline{r}(x, y), \overline{n}(n_x, n_y) \Longrightarrow n_x x + n_y y = d \Longrightarrow +\] если в ОНБ задано общее уравнение прямой, то вектор (А, В) $-$ один из нормальных векторов. + +\subsection{Расстояние от точки до прямой} + +\underline{В произвольной системе координат.}\\ + +Пусть заданы точка M : $\overline{r_1}$ и прямая l : ($\overline{r}$ - $\overline{r_0}$, $\overline{n}$) = 0. + +\begin{wrapfigure}{l}{0.4\textwidth} + \includegraphics[width=0.84\linewidth]{images/1.3.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +Тогда расстояние от точки М до прямой l \\ +$\rho$ = |$\overline{MN}$|, $\overline{MN}$ = k$\overline{n}$ + +Мы знаем, что $\overline{ON}$ $-$ радиус-вектор точки, принадлежащей l $\Longrightarrow$ + +\[ +(\overline{r_1} + k\overline{n} - \overline{r_0}, \overline{n}) = 0, k = \dfrac{(\overline{r_0} - \overline{r_1}, \overline{n})}{(\overline{n}, \overline{n})} \Longrightarrow +\] +\[ +|\overline{MN}| = k\overline{n} = \dfrac{|(\overline{r_0} - \overline{r_1}, \overline{n})|}{|\overline{n}|} = |(\overline{r_0} - \overline{r_1}, \dfrac{\overline{n}}{|\overline{n}|})| +\] + +\tab\\ + +\underline{В ОНБ.}\\ + +Пусть заданы точка М($x_1$, $y_1$) и прямая l : Ax + By + C = 0. Тогда в ОНБ расстояние от точки до прямой вычисляется как: +\[ +\rho = \dfrac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} +\] + +В любой системе координат прямая разбивает плоскость на 2 полуплоскости. Допустим, существует точка, лежащая вне прямой. Подставим эту точку в уравнение прямой, тогда в одной полуплоскости получим отрицательное значение, а в другой положительное. + +\begin{wrapfigure}{l}{0.4\textwidth} + \includegraphics[width=0.84\linewidth]{images/1.4.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +Чтобы задать отрезок на прямой, необходимо задать точки его концов +\[ +\overline{r} = \overline{r_0} + t\overline{a}, t\in[t_1, t_2] +\] + +\tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ + +\subsection{Пучок прямых} + +\begin{definition} + \textit{Пучок прямых} $-$ множество всех прямых, проходящих через заданную фиксированную точку. +\end{definition} + +\begin{theorem} + Пусть даны прямые + \[ + \begin{cases} + A_1 x + B_1 y + C_1 = 0\\ + A_2 x + B_2 y + C_2 = 0\\ + \end{cases} - \text{пересекающиеся} \Longrightarrow \text{пучок}. + \] тогда + \begin{enumerate} + \item Для любой прямой пучка $\exists\alpha, \beta, \alpha^2 + \beta^2 > 0$ : + \[ + \alpha(A_1 x + B_1 y + C_1) + \beta(A_2 x + B_2 y + C_2) = 0 - \text{уравнение этой прямой.} + \] + \item $\forall\alpha,\beta$, $\alpha^2 + \beta^2 > 0$: + \[ + \alpha(A_1 x + B_1 y + C_1) + \beta(A_2 x + B_2 y + C_2) = 0 - \text{уравнение какой-то прямой из пучка.} + \] + \end{enumerate} +\end{theorem} +\begin{wrapfigure}{l}{0.4\textwidth} + \includegraphics[width=0.84\linewidth]{images/1.5.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +\begin{proof} + Возьмем на $l_3$ точку ($x_1$, $y_1$), отличную от ($x_0$, $y_0$). + Тогда + \[ + (A_2 x_1 + B_2 y_1 + C_2)(A_1 x_1 + B_1 y_1 + C_1) - (A_1 x + B_1 y + C_1)(A_2 x + B_2 y + C_2) = 0, + \] + где $(A_2 x_1 + B_2 y_1 + C_2)$ = $\alpha$, $(-(A_1 x + B_1 y + C_1))$ = $\beta$ $\Longrightarrow$ $\alpha^2 + \beta^2 > 0$, т.к. ($x_1$, $y_1$) $\neq$ ($x_0$, $y_0$), но при этом ($x_1$, $y_1$) и ($x_0$, $y_0$) удовлетворяют этому уравнению. + + Осталось доказать, что полученное уравнение $-$ уравнение прямой, т.е. коэффициенты при x и y не могут одновременно равняться нулю, т.е. + \[ + \left[ + \begin{gathered} + \alpha A_1 + \beta A_2 \neq 0\\ + \alpha B_1 + \beta B_2 \neq 0\\ + \end{gathered} + \right. + \] + Рассмотрим противное. + $\begin{vmatrix} + A_1 & A_2\\ + B_1 & B_2\\ + \end{vmatrix}$ $\neq$ 0, т.к. прямые различны $\Longrightarrow$ система имеет единственное решение при $\alpha$ = $\beta$ = 0 $\Longrightarrow$ противоречие +\end{proof} +\section{Плоскости в пространстве} + +\subsection{Векторное параметрическое уравнение плоскости} + +Пусть задана система координат O, $\overline{e_1}$, $\overline{e_2}$, $\overline{e_3}$. + +\begin{wrapfigure}{l}{0.4\textwidth} + \includegraphics[width=0.84\linewidth]{images/2.1.jpeg} +\end{wrapfigure} + +$\alpha$ $-$ плоскость в этой системе координат.\\ + +$\overline{p}$, $\overline{q}$ $-$ неколлинеарные и параллельные $\alpha$ вектора.\\ + +\underline{Векторное параметрическое уравнение плоскости} +\[ +\overline{r} = \overline{r_0} + t_1\overline{p} + t_2\overline{q},\tab t_1, t_2\in\R +\] +\[ +\begin{pmatrix} + x\\ + y\\ + z\\ +\end{pmatrix} = +\begin{pmatrix} + x_0\\ + y_0\\ + z_0\\ +\end{pmatrix} + +\begin{pmatrix} + p_x\\ + p_y\\ + p_z\\ +\end{pmatrix}t_1 + +\begin{pmatrix} + q_x\\ + q_y\\ + q_z\\ +\end{pmatrix}t_2 +\] +\tab\\ + +\subsection{Общее уравнение плоскости} + +Заметим, что точка принадлежит плоскости $\Longleftrightarrow$ $\overline{r} - \overline{r_0}$, $\overline{p}$, $\overline{q}$ $-$ компланарны, т.е. ($\overline{r} - \overline{r_0}, \overline{p}, \overline{q}$) = 0 $\Longrightarrow$ + +\[ +\begin{vmatrix} + x - x_0 & y - y_0 & z - z_0\\ + p_x & p_y & p_z\\ + q_x & q_y & q_z\\ +\end{vmatrix} = 0 +\] +\[ +\Longrightarrow +\begin{vmatrix} + p_y & p_z\\ + q_y & q_z\\ +\end{vmatrix}(x - x_0) + +\begin{vmatrix} + p_x & p_z\\ + q_x & q_z\\ +\end{vmatrix}(y - y_0) + +\begin{vmatrix} + p_x & p_y\\ + q_x & q_y\\ +\end{vmatrix}(z - z_0) = 0 +\] + +Таким образом, получили \underline{общее уравнение плоскости} + +\[ +\begin{cases} + Ax + By + Cz + D = 0\\ + A^2 + B^2 + C^2 > 0 (\text{т.к. $\overline{p}$ и $\overline{q}$ - неколлинеарные}) +\end{cases} +\] + +\begin{theorem} + Пусть в любой системе координат заданы общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 и вектор $\overline{a}(\alpha, \beta, \gamma)$ (возможен случай $\overline{a} = \overline{0}$).\\ + + Тогда $\overline{a}$ параллелен плоскости $\Longleftrightarrow$ $A\alpha + B\beta + C\gamma$ = 0 +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $\overline{r_0}(x_0, y_0, z_0)\in$плоскости $\Longrightarrow$ + \[ + Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0\eqno{(1)} + \] + + $\overline{a}$ параллельно плоскости $\Longleftrightarrow$ $\overline{r_0} + \overline{a}$ принадлежит плоскости $\Longleftrightarrow$ + \[ + A(x_0 + \alpha) + B(y_0 + \beta) + C(z_0 + \gamma) + D = 0\eqno{(2)} + \] + + Вычитая (1) из (2), получим $A\alpha + B\beta + C\gamma$ = 0 +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если задано уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 ($A^2 + B^2 + C^2 > 0$), то оно задает плоскость. +\end{corollary} +\begin{proof} + Мы можем переписать уравнение в следующем виде + + \begin{itemize} + \item При C $\neq$ 0: + \[ + \begin{vmatrix} + x + \dfrac{DA}{A^2 + B^2 + C^2} & y + \dfrac{DB}{A^2 + B^2 + C^2} & z + \dfrac{DC}{A^2 + B^2 + C^2}\\ + 0 & -C & B\\ + C & 0 & -A\\ + \end{vmatrix} = 0 + \] + где $\overline{p}$ = (0, -C, B) и $\overline{q}$ = (C, 0, -A) $-$ неколлинеарные вектора $\Longrightarrow$ уравнение задает плоскость. + + \item При С = 0: + \[ + \begin{vmatrix} + x + \dfrac{DA}{A^2 + B^2} & y + \dfrac{DB}{A^2 + B^2} & z + 0\\ + -B & A & 0\\ + 0 & 0 & 1\\ + \end{vmatrix} = 0 + \] + где $\overline{p}$ = (-B, A, 0) и $\overline{q}$ = (0, 0, 1) $-$ неколлинеарные вектора $\Longrightarrow$ уравнение задает плоскость. + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{theorem} + Пусть плоскости П$_1$ и П$_2$ заданы следующими уравнениями + \[ + A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\\ + A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\\ + \] + Тогда П$_1$ параллельна П$_2$ $\Longleftrightarrow$ $\exists\lambda\neq 0 : A_1 = \lambda A_2$, $B_1 = \lambda B_2$, $C_1 = \lambda C_2$, $D_1 = \lambda D_2$ +\end{theorem} + +\subsection{Уравнение плоскости через 3 точки} + +Пусть $\overline{r_1}(x_1, y_1, z_1)$, $\overline{r_2}(x_2, y_2, z_2)$, $\overline{r_3}(x_3, y_3, z_3)$ не лежат на одной прямой. Тогда +\[ +\overline{r} = \overline{r_1} + t_1(\overline{r_2} - \overline{r_1}) + t_2(\overline{r_3} - \overline{r_1}) +\] +\[ +\begin{vmatrix} + x - x_1 & y - y_1 & z - z_1\\ + x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1\\ + x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1\\ +\end{vmatrix} = 0 +\] +\clearpage +\subsection{Уравнение плоскости через нормальный вектор} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.4\textwidth} + \includegraphics[width=0.84\linewidth]{images/2.2.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +Пусть заданы точка $\overline{r_0}$, принадлежащая плоскости, и нормальный вектор $\overline{n}$. Тогда +\[ +(\overline{r} - \overline{r_0}) = 0, \tab (\overline{r}, \overline{n}) = d +\] + +В ОНБ один из способов задать нормалный вектор $\overline{n}$ = (A, B, C). + +\tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ +\subsection{Расстояние от точки до плоскости} + +\underline{В произвольной системе координат.}\\ + +Пусть заданы точка $M_0$($\overline{r_1}$) и плоскость ($\overline{r} - \overline{r_0}$, $\overline{n}$) = 0. Тогда расстояние от $M_0$ до плоскости +\[ +\rho = \dfrac{|(\overline{r_1} - \overline{r_0}, \overline{n})|}{|\overline{n}|} +\] + +\underline{В ОНБ.}\\ + +\[ +\overline{n}(A, B, C), M(x_1, y_1, z_1), Ax + By + Cz + D = 0 \Longrightarrow +\] +\[ +\rho = \dfrac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} +\] +\subsection{Пучок плоскостей} + +\begin{definition} + \textit{Пучок плоскостей} $-$ множество плоскостей, проходящих через одну прямую. +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Связка плоскостей} $-$ множество плоскостей, проходящих через одну точку. +\end{definition} +\clearpage +\section{Прямые в пространстве} + +\subsection{Способы задания прямой в пространстве} + +\underline{Каноническое уравнение прямой}\\ + +\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth} + \includegraphics[width=0.84\linewidth]{images/3.1.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +\[ +\begin{cases} + \overline{r} = \overline{r_0} + \overline{a}t\\ + x = x_0 + a_xt\\ + y = y_0 + a_yt\\ + z = z_0 + a_zt\\ +\end{cases} +\] +\[ +\Longrightarrow \tab \dfrac{x - x_0}{a_x} = \dfrac{y - y_0}{a_y} = \dfrac{z - z_0}{a_z} +\] +\tab\\ +\underline{Через пару точек $\overline{r_1}$ и $\overline{r_2}$}\\ + +\[ +\overline{r} = \overline{r_1} + t(\overline{r_2} - \overline{r_1}) +\] +\[ +\Longleftrightarrow +\] +\[ +\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{z - z_1}{z_2 - z_1} +\] + +\underline{Через направляющий вектор}\\ + +\[ +[\overline{r} - \overline{r_0}, \overline{a}] = \overline{0}\\ +\] +\[ +[\overline{r}, \overline{a}] = \overline{d} +\] + +\underline{Через две плоскости}\\ + +Пусть заданы две плоскости П$_1$ и П$_2$, тогда прямая $-$ пересечение этих плоскостей. + +\subsection{Углы между прямыми и плоскостями} + +\begin{definition} + Углом между плоскостями ($\overline{r} - \overline{r_{01}}, \overline{n_1}$) = 0 и ($\overline{r} - \overline{r_{02}}, \overline{n_2}$) = 0 называется угол между их нормальными векторами $\overline{n_1}$ и $\overline{n_2}$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Углом между плоскостью ($\overline{r} - \overline{r_{0}}, \overline{n}$) = 0 и прямой $\overline{r}$ = $\overline{r_0} + t\overline{a}$ называется угол $\dfrac{\pi}{2} - \alpha$, где $\alpha$ - угол между векторами $\overline{n}$ и $\overline{a}$. +\end{definition} + +\subsection{Расстояния между точками, прямыми и плоскостями в пространстве} + +\underline{Расстояние от точки до прямой в пространстве}\\ + +\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth} + \includegraphics[width=0.84\linewidth]{images/3.2.jpeg} +\end{wrapfigure} +\tab\\ + + 1 способ. Проведем плоскость П, которая проходит через точку М перпендикулярно прямой l. Тогда + \[ + \rho = \rho(M, N) + \] + + \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ + +\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth} + \includegraphics[width=0.84\linewidth]{images/3.3.jpeg} +\end{wrapfigure} +\tab\\ + + 2 способ. Спроецируем $\overline{a}$ на прямую l и найдем ортогональную составляющую $-$ искомое расстояние. + + \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ + +\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth} + \includegraphics[width=0.84\linewidth]{images/3.4.jpeg} +\end{wrapfigure} +\tab\\ + + 3 способ. \[ + \rho = \dfrac{S\mkern-2mu{\rotatebox{-60}{\(\lozenge\)}}}{|\overline{b}|} = \dfrac{|[\overline{a}, \overline{b}]|}{|\overline{b}|} + \] + + \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ +\underline{Расстояние между прямыми в пространстве}\\ + +Пусть заданы две прямые $l_1$ и $l_2$.\\ + +Если $l_1$ || $l_2$, то расстояние от любой точки $l_1$ до $l_2$ $-$ искомое.\\ + +Если $l_1$ и $l_2$ $-$ скрещивающиеся (возможно пересечение), то\\ + +\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth} + \includegraphics[width=0.84\linewidth]{images/3.6.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +1 способ. Проведем плоскость через $l_1$ параллельно $l_2$ и посчитаем расстояние от точки на $l_2$ до плоскости.\\ + +2 способ. Проведем через прямые параллельные плоскости, а к ним проведем общий перпендикуляр, тогда искомое расстояние $-$ скалярная проекция $\overline{a}$ на него.\\ + +3 способ. \[ +\rho = \dfrac{|(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})|}{|[\overline{a}, \overline{b}]|} +\] +\section{Алгебраические линии и поверхности} + +В пространстве рассмотрим уравнения вида +\[ +A_1 x^{\alpha_1}y^{\beta_1}z^{\gamma_1} + A_2 x^{\alpha_2}y^{\beta_2}z^{\gamma_2} + ... + A_k x^{\alpha_k}y^{\beta_k}z^{\gamma_k} = 0,\tab \alpha_i, \beta_i, \gamma_i \in \Z \geq 0 +\] + +\begin{definition} + \textit{Степень уравнения}, или \textit{порядок алгебраической поверхности} $-$ + \[ + T = \underset{i=1..k}{max}(\alpha_i + \beta_i + \gamma_i) + \] + + Аналогично на плоскости задается алгебраическая линия порядка T = $\underset{i=1..k}{max}(\alpha_i + \beta_i)$ +\end{definition} + +\begin{theorem} + Алгебраическая поверхность(линия) порядка p в любой системе координат может быть задана уравнением порядка p. +\end{theorem} +\begin{proof} + \[ + \begin{cases} + x = a_{11}x' + a_{12}y' + a_{13}z'\\ + y = a_{21}x' + a_{22}y' + a_{23}z'\\ + z = a_{31}x' + a_{32}y' + a_{33}z'\\ + \end{cases} + \] + Подставив полученные координаты в уравнение, получим, что максимальная степень m такая, что порядок не увеличится. + + Заметим также, что если порядок уменьшится, то при обратной замене он должен увеличиться, значит получим противоречие $\Longrightarrow$ порядок не изменился. +\end{proof} + +\begin{lemma} + Пусть существует алгебраическая поверхность(линия) порядка n. Тогда прямая и алгебраическая поверхность(линия) могут иметь 0, 1, ..., n или бесконечно много общих точек. +\end{lemma} + diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture08_09.tex b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture08_09.tex new file mode 100644 index 00000000..c17105e0 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture08_09.tex @@ -0,0 +1,379 @@ +\section{Линии второго порядка} + +\begin{definition} + \textit{Линиями второго порядка} на плоскоти называются алгебраические линии следующего вида + \[ + \begin{cases} + Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0\\ + A^2 + B^2 + C^2 > 0\\f + \end{cases} + \] +\end{definition} +\textbf{В ПДСК:} $\Delta$ = +$\begin{vmatrix} + A & B\\ + B & C\\ +\end{vmatrix} +$ $-$ неизменная величина при изменении системы координат.\\ + +\begin{proposition} + Существует ПДСК, в которой тип кривой второго порядка может быть записан одним из 9 способов (канонических уравнений): + \begin{itemize} + \item $\Delta$ > 0 - эллиптический тип + \begin{enumerate} + \item $\dfrac{x^2}{a^2}$ + $\dfrac{y^2}{b^2}$ = 1, $a\geq b>0$ $-$ эллипс + \item $\dfrac{x^2}{a^2}$ + $\dfrac{y^2}{b^2}$ = 0 $-$ пара мнимых пересекающихся прямых + \item $\dfrac{x^2}{a^2}$ + $\dfrac{y^2}{b^2}$ = -1 $-$ мнимый эллипс + \end{enumerate} + \item $\Delta$ < 0 - гиперболический тип + \begin{enumerate} + \item $\dfrac{x^2}{a^2}$ - $\dfrac{y^2}{b^2}$ = 1, $a\geq b>0$ $-$ гипербола + \item $\dfrac{x^2}{a^2}$ - $\dfrac{y^2}{b^2}$ = 0 $-$ пара пересекающихся прямых + \end{enumerate} + \item $\Delta$ = 0 - параболический тип + \begin{enumerate} + \item $y^2$ = 2px, p > 0 $-$ парабола + \item $y^2$ = $a^2$, a > 0 $-$ пара параллельных прямых + \item $y^2$ = 0 $-$ пара совпадающих прямых + \item $y^2$ = -$a^2$, a > 0 $-$ пара мнимых параллельных прямых + \end{enumerate} + \end{itemize} +\end{proposition} + +\subsection{Поворот системы координат} + +$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0$\\ + +Будем считать, что $B\geq 0$, $A\geq C$. Обнулим коэффициент при ху.\\ + +Существует угол $\alpha$, на котороый можно повернуть систему координат так, чтобы коэффициент В стал равен 0. +\[ +\begin{cases} + x = cos \alpha \cdot x' - sin \alpha \cdot y'\\ + y = sin \alpha \cdot x' + cos \alpha \cdot y' +\end{cases} \Longrightarrow +\] +\[ +A'x'^2 + 2B'x'y' + C'y'^2 + 2D'x' + 2E'y' + F' = 0 +\] +\[ +A' = A cos^2\alpha + 2B sin \alpha \cdot cos \alpha + C sin^2\alpha +\] +\[ +2B' = -2A sin \alpha \cdot cos \alpha + 2B cos^2\alpha - 2B sin^2\alpha + 2C sin \alpha \cdot cos \alpha +\] +\[ +C' = A sin^2\alpha - 2B sin \alpha \cdot cos \alpha + C cos^2\alpha\\ +\] +При замене координат A' + C' = A + C, $\Delta = \begin{vmatrix} + A' & B'\\ + B' & C'\\ +\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} + A & B\\ + B & C\\ +\end{vmatrix}$\\ + +Покажем, что существует угол $\alpha$ такой что, при повороте системы координат на него, В = 0. +Т.к. $2B' = -2A sin \alpha \cdot cos \alpha + 2B cos^2\alpha - 2B sin^2\alpha + 2C sin \alpha \cdot cos \alpha$ +\[ +tg \alpha = \dfrac{2B}{A - C} +\] +\begin{enumerate} + \item Если А = С, то в качестве угла $\alpha$ можно взять угол $\dfrac{\pi}{4}$ + \item Если А $\neq$ C + \[ + tg^2\alpha + \dfrac{A - C}{B}tg \alpha - 1 = 0 \tab - \text{всегда имеет хотя бы одно решение} + \] + $\Longrightarrow$ всегда можно сделать поворот системы координат $\Longrightarrow$ + \[ + \begin{cases} + B' = 0\\ + A' + C' = A + C\\ + \Delta = const\\ + \end{cases} + \] +\end{enumerate} + +\section{Эллипс} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} + \includegraphics[width=0.84\linewidth]{images/эллипс1.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +Каноническое уравнение эллипса +\[ +\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1, \tab a\geq b > 0 +\] + +\underline{Свойства множества точек эллипса:} +\begin{enumerate} + \item Непустое + \item Ограниченное + \item Обладает осевой и центральной симметрией +\end{enumerate} + +\clearpage +\subsection{Свойства фокусов и эксцентрисетета эллипса} + +Рассмотрим a $\neq$ b. Эллипс пересекает оси координат в вершинах эллипса $-$ $\pm$a, $\pm$b\\ + +Пусть c = $\sqrt{a^2 - b^2}$, тогда фокусы эллипса $-$ точки $F_1$(c, 0), $F_2$(-c, 0).\\ + +Эксцентриситет $\varepsilon$ = $\dfrac{c}{a}$ = $\dfrac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$, $\varepsilon\in[0, 1)$, причем если $\varepsilon$ = 0, то этот эллипс - окружность.\\ + +\subsection{Расстояние от точки на эллипсе до фокусов и директрис} + +Из теоремы Пифагора +\[ +\rho(F_1, A) = (x_0 - c)^2 + y_0^2 = x_0^2 - 2x_0c + c^2 - \dfrac{x_0^2b^2}{a^2} + b^2 = x_0^2 \dfrac{a^2 - b^2}{a^2} - 2x_0\varepsilon a + a^2 = (x_0\varepsilon - a)^2 +\] +Аналогично находится $\rho(F_2, A)$, таким образом +\[ +\rho(F_1, A) = a - x_0\varepsilon +\] +\[ +\rho(F_2, A) = x_0\varepsilon + a +\] + +\begin{theorem} + $\rho(F_1, A)$ + $\rho(F_2, A)$ = 2a +\end{theorem} +\begin{proof} + $\rho(F_1, A) + \rho(F_2, A)$ = $a - x_0\varepsilon + x_0\varepsilon + a$ = 2a +\end{proof} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.45\textwidth} + \includegraphics[width=1.0\linewidth]{images/эллипс2.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +\begin{definition} + Директрисы эллипса задаются уравнением x = $\pm\dfrac{a}{\varepsilon}$ +\end{definition} + +У окружности директрис $\underline{\text{нет}}$.\\ + +\begin{proposition} + Расстояние от точки на эллипсе до фокуса $\rho(F_1, A)$ относится к расстоянию от этой точки до ближайшей директрисы $\rho_1$ как эксцентрисетет. + \[ + \dfrac{\rho(F_1, A)}{\rho_1} = \varepsilon + \] +\end{proposition} +\begin{proof} + Это следует из того, что $\rho(F_1, A) = a - x_0\varepsilon$ и $\rho_1 = \dfrac{a}{\varepsilon} - x_0$ +\end{proof} + +\clearpage + +\subsection{Касательные к эллипсу} + +\begin{proposition} + Пусть эллипс задан уравнением $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, точка A($x_0$, $y_0$) лежит на эллипсе. Тогда уравнение касательной к эллипсу, проведенной через точку А имеет вид + \[ + \dfrac{xx_0}{a^2} + \dfrac{yy_0}{b^2} = 1 + \] +\end{proposition} +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item Касательные вертикальны $\Longrightarrow$ x = $\pm$a $\longrightarrow$ $x_0$ = $\pm$a, $y_0$ = 0 $\Longrightarrow$ верно. + \item Касательные не вертикальны $\Longrightarrow$ + \[ + y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0)\eqno{(*)} + \] + Продифференцируем уравнение эллипса по х: + \[ + \dfrac{2x}{a^2} + \dfrac{2yy'}{b^2} = 0 \tab\Longrightarrow\tab y'(x_0) = - \dfrac{x_0}{y_0}\cdot\dfrac{b^2}{a^2} + \] + Подставим в уравнение (*) + \[ + y - y_0 = - \dfrac{x_0}{y_0}\cdot\dfrac{b^2}{a^2}\cdot(x - x_0) + \] + Домножив на $\dfrac{y_0}{b^2}$, получим + \[ + \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = \dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1, (\text{т.к точка А лежит на эллипсе)} + \] + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsection{Оптическое свойство эллипса} +\begin{wrapfigure}{l}{0.45\textwidth} + \includegraphics[width=1.0\linewidth]{images/эллипс3.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +\begin{theorem} + Пусть M($x_0$, $y_0$) - точка на эллипсе, $M_1M_2$ - касательная, проходящая через эту точку. Тогда, углы $F_1MM_2$ и $F_2MM_1$ равны. +\end{theorem} +\begin{proof} + Достаточно доказать, что + \[ + \angle(\overline{n}, \overline{F_1M}) = \angle(\overline{n}, \overline{F_2M}) + \] + \[ + \begin{cases} + \overline{F_1M}(x_0 + c, y_0)\\ + \overline{F_2M}(x_0 - c, y_0)\\ + \overline{n}(\dfrac{x_0}{a^2}, \dfrac{y_0}{b^2}) + \end{cases} \Longrightarrow + \] + \clearpage + Докажем, что $\dfrac{(\overline{F_1M}, \overline{n})}{|\overline{F_1M}|\cdot|\overline{n}|}$ = $\dfrac{(\overline{F_2M}, \overline{n})}{|\overline{F_2M}|\cdot|\overline{n}|}$ + \[ + \dfrac{(x_0 - c)\dfrac{x_0}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2}}{a - \varepsilon x_0} = \dfrac{(x_0 + c)\dfrac{x_0}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2}}{a + \varepsilon x_0} \tab\Longrightarrow\tab\text{верно} + \] +\end{proof} + +\section{Гипербола} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.55\textwidth} + \includegraphics[width=1.0\linewidth]{images/гипербола1.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +Каноническое уравнение гиперболы +\[ +\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1, \tab a, b \neq 0 +\] + +\underline{Свойства множества точек гиперболы:} +\begin{enumerate} + \item Непустое + \item Неограниченное + \item Обладает осевой и центральной симметрией +\end{enumerate} + +\tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ + +\subsection{Свойства фокусов и эксцентрисетета гиперболы} + +Из уравнения гиперболы y = $\pm\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}$.\\ + +Пусть x > 0, тогда y = $\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}$ $\Longrightarrow$ множество точек гиперболы находится ниже прямой y = $\dfrac{b}{a}x$. Аналогично при x < 0 множество точек гиперболы находится ниже прямой y = -$\dfrac{b}{a}x$.\\ + +Пусть c = $\sqrt{a^2 + b^2}$, тогда фокусы эллипса $-$ точки $F_1$(c, 0), $F_2$(-c, 0).\\ + +Эксцентриситет $\varepsilon$ = $\dfrac{c}{a}$ = $\dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}$, $\varepsilon > 1$.\\ + +\subsection{Расстояние от точки на гиперболе до фокусов и директрис} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.6\textwidth} + \includegraphics[width=0.8\linewidth]{images/гипербола2.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +Пусть А($x_0$, $y_0)$ - точка на гиперболе. Тогда расстояния от нее до фокусов равны + +\[ +\rho(F_1, A) = |a - \varepsilon x_0| +\tab\\ +\rho(F_2, A) = |a + \varepsilon x_0| +\] + +Знак, с которым раскрываются модули, зависит от того, на какой ветви гиперболы находится точка А +\begin{enumerate} + \item x > 0 $\Longrightarrow$ + $\begin{cases} + \rho(F_1, A) = \varepsilon x_0 - a\\ + \rho(F_2, A) = a + \varepsilon x_0 + \end{cases}$ + \item x < 0 $\Longrightarrow$ + $\begin{cases} + \rho(F_1, A) = a - \varepsilon x_0\\ + \rho(F_2, A) = -a - \varepsilon x_0 + \end{cases}$ +\end{enumerate} + +\begin{proposition} + $|\rho(F_1, A)$ - $\rho(F_2, A)|$ = 2a +\end{proposition} +\tab\\ +\begin{definition} + Директрисы гиперболы задаются уравнением x = $\pm\dfrac{a}{\varepsilon}$ +\end{definition} + +\begin{proposition} + Расстояние от точки на гиперболе до фокуса $\rho(F_1, A)$ относится к расстоянию от этой точки до ближайшей директрисы $\rho_1$ как эксцентрисетет. + \[ + \dfrac{\rho(F_1, A)}{\rho_1} = \varepsilon + \] +\end{proposition} +\clearpage + +\subsection{Касательные к гиперболе} + +Пусть гипербола задана уравнением $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, точка A($x_0$, $y_0$) лежит на гиперболе. Тогда уравнение касательной к гиперболе, проведенной через точку А имеет вид + \[ + \dfrac{xx_0}{a^2} - \dfrac{yy_0}{b^2} = 1 + \] +\subsection{Оптическое свойство гиперболы} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.55\textwidth} + \includegraphics[width=.8\linewidth]{images/гипербола3.jpeg} +\end{wrapfigure} +\tab\\ +\begin{theorem} + Пусть A($x_0$, $y_0$) - точка на гиперболе, через которую провели касательную. Тогда, углы, образованные этой касательной и фокальными радиусами точки, равны. +\end{theorem} +\tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ +\section{Парабола} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.6\textwidth} + \includegraphics[width=.8\linewidth]{images/парабола1.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +Каноническое уравнение параболы +\[ +y^2 = 2px, p > 0 +\] + +\underline{Свойства множества точек эллипса:} +\begin{enumerate} + \item Непустое + \item Неограниченное + \item Симметричное относительно одной из осей +\end{enumerate} +\clearpage + +\subsection{Свойства фокуса и эксцентрисетета параболы} + +Эксцентрисетет параболы равен 1, фокус один и находится в точке с координатами ($\dfrac{p}{2}$, 0). + +\subsection{Расстояние от точки на параболы до фокуса и директрисы} + +Пусть А($x_0$, $y_0)$ - точка на параболе. Тогда расстояние от нее до фокуса равно + +\[ +\rho(F, A) = x_0 + \dfrac{p}{2} +\] + +\begin{definition} + Директриса параболы задается уравнением x = -$\dfrac{p}{2}$ +\end{definition} + +Расстояние от точки А($x_0$, $y_0)$ на параболе до директрисы равно $x_0 + \dfrac{p}{2}$ + +\subsection{Касательные к параболе} + +Пусть парабола задана уравнением $y^2 = 2px$, точка A($x_0$, $y_0$) лежит на параболе. Тогда уравнение касательной к параболе, проведенной через точку А имеет вид + \[ + yy_0 = p(x + x_0) + \] + +\subsection{Оптическое свойство параболы} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} + \includegraphics[width=1.0\linewidth]{images/парабола2.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ +\begin{theorem} + Параллельные лучи приходят в фокус параболы и проходят одинаковые расстояния. +\end{theorem} diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture10.tex b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture10.tex new file mode 100644 index 00000000..b02f975b --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture10.tex @@ -0,0 +1,232 @@ +\section{Поверхности второго порядка} + +Пусть задана плоскость, а в ней линия, заданная функцией f(x, z). Начнем вращать линия вокруг оси Oz. Каждая точка на линии описывает окружность радиусом |x|, при этом z сохраняется, но изменяется координата по y, т.е. |x| = $\sqrt{x^2 + y^2}$ $\Longrightarrow$ +\[ +f(\sqrt{x^2 + y^2}, z)\cdot f(-\sqrt{x^2 + y^2}, z) = 0 - \underline{\text{уравнение поверхности вращения}} +\] + +Рассмотрим линию в пространстве и вектор $\overline{a}\neq\overline{0}$. Назовем линию \textit{направляющей} и проведем через каждую точку, лежащую на ней, \textit{образующие}, параллельные $\overline{a}$. Таким образом, получим \underline{цилиндрическую поверхность}.\\ + +\underline{Коническая поверхность} образована прямыми, проходящими через все точки направляющей кривой и точку, лежащую вне этой кривой.\\ + +\begin{definition} + \textit{Поверхность второго порядка} задается следующим образом + \[ + \begin{cases} + A_1x^2 + A_2y^2 + A_3z^2 + 2A_4xy + 2A_5xz + 2A_6yz + 2A_7x + 2A_8y + 2A_9z + A_{10} = 0\\ + A_1^2 + A_2^2 + A_3^2 + A_4^2 + A_5^2 + A_6^2 > 0 + \end{cases} + \] +\end{definition} + +Всего 17 типов поверхностей второго порядка.\\ + +Прямая и поверхность второго порядка имеют либо 0, либо 1, либо 2 общие точки, либо прямая целиком принадлежит поверхности.\\ + +\begin{definition} + Прямая, целиком лежащая на поверхности, называется \textit{прямолинейной образующей} этой поверхности. +\end{definition} + +\subsection{Эллипсоид} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} + \includegraphics[width=1.0\linewidth]{images/эллипсоид.jpg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +\underline{Уравнение:} +\[ +\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1 \tab a, b, c > 0 +\] + +\underline{Основные сечения:} +\begin{itemize} + \item Эллипсы +\end{itemize} + +\underline{Свойства:} +\begin{itemize} + \item Центральная и осевая симметрии + \item Ограниченность + \item Если 2 коэффициента равны, то это эллипсоид вращения + \item Если все коэффициенты совпадают, то это сфера + \item Нет прямолинейных образующих +\end{itemize} + +\subsection{Эллиптический параболоид} +\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} + \includegraphics[width=1.0\linewidth]{images/эллиптический параболоид.JPG} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +\underline{Уравнение:} +\[ +\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 2z \tab a, b > 0 +\] + +\underline{Основные сечения:} +\begin{itemize} + \item Эллипс - 1 сечение + \item Параболы - 2 сечения +\end{itemize} + +\underline{Свойства:} +\begin{itemize} + \item Неограниченность + \item Осевая симметрия + \item Если a = b, то это параболоид вращения + \item Нет прямолинейных образующих +\end{itemize} +\tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ +\subsection{Гиперболический параболоид} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} + \includegraphics[width=0.7\linewidth]{images/гиперболический параболоид.png} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +\underline{Уравнение:} +\[ +\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 2z \tab a, b > 0 +\] + +\underline{Основные сечения:} +\begin{itemize} + \item Параболы - 2 сечения + \item Гипербола - 1 сечение +\end{itemize} + +\clearpage +\underline{Свойства:} +\begin{itemize} + \item Неограниченность + \item Осевая симметрия + \item Через каждую точку можно провести 2 прямолинейные образующие +\end{itemize} + + +\subsection{Однополостный гиперболоид} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} + \includegraphics[width=0.7\linewidth]{images/однополостный гиперболоид.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\underline{Уравнение:} +\[ +\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1 \tab a, b, c > 0 +\] + +\underline{Основные сечения:} +\begin{itemize} + \item Эллипс - 1 сечение + \item Гиперболы - 2 сечения +\end{itemize} + +\underline{Свойства:} +\begin{itemize} + \item Неограниченность + \item Центральная и осевая симметрии + \item Если 2 коэффициента равны, то это гиперболоид вращения + \item Через каждую точку можно провести 2 прямолинейные образующие +\end{itemize} + +\tab\\ \tab\\ +\subsection{Конус} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} + \includegraphics[width=0.5\linewidth]{images/конус.jpg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +\underline{Уравнение:} +\[ +\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 0 \tab a, b, c > 0 +\] + +\underline{Основные сечения:} +\begin{itemize} + \item Эллипс + \item Парабола + \item Гипербола +\end{itemize} +\clearpage +\underline{Свойства:} +\begin{itemize} + \item Неограниченность + \item Центральная и осевая симметрии + \item Если 2 коэффициента равны, то это гиперболоид вращения + \item Через каждую точку можно провести 1 прямолинейную образующую, через вершину проходят все линейные образующие +\end{itemize} + +\subsection{Двуполостный гиперболоид} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} + \includegraphics[width=.7\linewidth]{images/двуполостный гиперболоид.jpg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +\underline{Уравнение:} +\[ +-\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1 \tab a, b, c > 0 +\] + +\underline{Основные сечения:} +\begin{itemize} + \item Эллипс - 1 сечение + \item Гипербола - 2 сечения +\end{itemize} + +\underline{Свойства:} +\begin{itemize} + \item Неограниченность + \item Центральная и осевая симметрии + \item Нет прямолинейных образующих +\end{itemize} + +\tab\\ \tab\\ \tab\\ +\subsection{Параболический цилиндр} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} + \includegraphics[width=.5\linewidth]{images/параболический цилиндр.png} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +\underline{Уравнение:} +\[ +y^2 = 2px +\] +\clearpage +\subsection{Гиперболический цилиндр} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} + \includegraphics[width=.5\linewidth]{images/гиперболический цилиндр.png} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +\underline{Уравнение:} +\[ +\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 +\] + +\tab\\ \tab\\ \tab\\ \tab\\ +\subsection{Эллиптический цилиндр} + +\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} + \includegraphics[width=.5\linewidth]{images/эллиптический цилиндр.jpeg} +\end{wrapfigure} + +\tab\\ + +\underline{Уравнение:} +\[ +\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 +\] + + diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/main.tex b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/main.tex new file mode 100644 index 00000000..f63d01f1 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/main.tex @@ -0,0 +1,14 @@ +\input{preamble/preamble} + +\begin{document} + \input{preamble/title_page} + \newpage + \hypertarget{intro}{} + \tableofcontents + + \linespread{1} + \selectfont + + \newpage + \input{lectures/lecture} +\end{document} diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/preamble/preamble.tex b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/preamble/preamble.tex new file mode 100644 index 00000000..42b80435 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/preamble/preamble.tex @@ -0,0 +1,167 @@ +\documentclass[a4paper,12pt]{article} + +%%% Работа с русским языком +\usepackage{cmap} % поиск в PDF +\usepackage{mathtext} % русские буквы в формулах +\usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка +\usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста +\usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы +\usepackage{indentfirst} % красная строка в первом абзаце +\frenchspacing % равные пробелы между словами и предложениями + +%%% Дополнительная работа с математикой +\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % пакеты AMS +\usepackage{icomma} % "Умная" запятая + +%%% Свои символы и команды +\usepackage{centernot} % центрированное зачеркивание символа +\usepackage{stmaryrd} % некоторые спецсимволы + +\renewcommand{\epsilon}{\ensuremath{\varepsilon}} +\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}} +\renewcommand{\kappa}{\ensuremath{\varkappa}} +\renewcommand{\le}{\ensuremath{\leqslant}} +\renewcommand{\leq}{\ensuremath{\leqslant}} +\renewcommand{\ge}{\ensuremath{\geqslant}} +\renewcommand{\geq}{\ensuremath{\geqslant}} +\renewcommand{\emptyset}{\ensuremath{\varnothing}} + +\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} +\DeclareMathOperator{\ke}{Ker} +\DeclareMathOperator{\im}{Im} +\DeclareMathOperator{\re}{Re} + +\newcommand{\N}{\mathbb{N}} +\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} +\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} +\newcommand{\R}{\mathbb{R}} +\newcommand{\Cm}{\mathbb{C}} +\newcommand{\F}{\mathbb{F}} +\newcommand{\id}{\mathrm{id}} +\newcommand\tab[1][1cm]{\hspace*{#1}} + +\newcommand{\imp}[2]{ + (#1\,\,$\ra$\,\,#2)\,\, +} +\newcommand{\System}[1]{ + \left\{\begin{aligned}#1\end{aligned}\right. +} +\newcommand{\Root}[2]{ + \left\{\!\sqrt[#1]{#2}\right\} +} + +\renewcommand\labelitemi{$\triangleright$} + +\let\bs\backslash +\let\lra\Leftrightarrow +\let\ra\Rightarrow +\let\la\Leftarrow +\let\emb\hookrightarrow + +%%% Перенос знаков в формулах (по Львовскому) +\newcommand{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}} + +%%% Работа с картинками +\usepackage{graphicx} % Для вставки рисунков +\setlength\fboxsep{3pt} % Отступ рамки \fbox{} от рисунка +\setlength\fboxrule{1pt} % Толщина линий рамки \fbox{} +\usepackage{wrapfig} % Обтекание рисунков текстом + +%%% Работа с таблицами +\usepackage{array,tabularx,tabulary,booktabs} % Дополнительная работа с таблицами +\usepackage{longtable} % Длинные таблицы +\usepackage{multirow} % Слияние строк в таблице + +%%% Теоремы +\theoremstyle{plain} +\newtheorem{theorem}{Теорема}[section] +\newtheorem{lemma}{Лемма}[section] +\newtheorem{proposition}{Утверждение}[section] +\newtheorem*{exercise}{Упражнение} +\newtheorem*{problem}{Задача} + +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{definition}{Определение}[section] +\newtheorem*{corollary}{Следствие} +\newtheorem*{note}{Замечание} +\newtheorem*{reminder}{Напоминание} +\newtheorem*{example}{Пример} + +\theoremstyle{remark} +\newtheorem*{solution}{Решение} + +%%% Оформление страницы +\usepackage{extsizes} % Возможность сделать 14-й шрифт +\usepackage{geometry} % Простой способ задавать поля +\usepackage{setspace} % Интерлиньяж +\usepackage{enumitem} % Настройка окружений itemize и enumerate +\setlist{leftmargin=25pt} % Отступы в itemize и enumerate + +\geometry{top=25mm} % Поля сверху страницы +\geometry{bottom=30mm} % Поля снизу страницы +\geometry{left=20mm} % Поля слева страницы +\geometry{right=20mm} % Поля справа страницы + +\setlength\parindent{15pt} % Устанавливает длину красной строки 15pt +\linespread{1.3} % Коэффициент межстрочного интервала +%\setlength{\parskip}{0.5em} % Вертикальный интервал между абзацами +%\setcounter{secnumdepth}{0} % Отключение нумерации разделов +%\setcounter{section}{-1} % Нумерация секций с нуля +\usepackage{multicol} % Для текста в нескольких колонках +\usepackage{soulutf8} % Модификаторы начертания + +%%% Содержаниие +\usepackage{tocloft} +\tocloftpagestyle{main} +%\setlength{\cftsecnumwidth}{2.3em} +%\renewcommand{\cftsecdotsep}{1} +%\renewcommand{\cftsecpresnum}{\hfill} +%\renewcommand{\cftsecaftersnum}{\quad} + +%%% Шаблонная информация для титульного листа +\newcommand{\CourseName}{Аналитческая геометрия} +\newcommand{\FullCourseNameFirstPart}{\so{АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ}} +\newcommand{\SemesterNumber}{I} +\newcommand{\LecturerInitials}{Олег Константинович Подлипский} +\newcommand{\CourseDate}{осень 2023} +\newcommand{\AuthorInitials}{Анастасия Петракова} +\newcommand{\VKLink}{https://vk.com/prizrakkota} +\newcommand{\GithubLink}{https://github.com/MIPT-Group/Lectures_Tex_Club} + +%%% Колонтитулы +\usepackage{titleps} +\newpagestyle{main}{ + \setheadrule{0.4pt} + \sethead{\CourseName}{}{\hyperlink{intro}{\;Назад к содержанию}} + \setfootrule{0.4pt} + \setfoot{ФПМИ МФТИ, \CourseDate}{}{\thepage} +} +\pagestyle{main} + +%%% Нумерация уравнений +\makeatletter +\def\eqref{\@ifstar\@eqref\@@eqref} +\def\@eqref#1{\textup{\tagform@{\ref*{#1}}}} +\def\@@eqref#1{\textup{\tagform@{\ref{#1}}}} +\makeatother % \eqref* без гиперссылки +\numberwithin{equation}{section} % Нумерация вида (номер_секции).(номер_уравнения) +\mathtoolsset{showonlyrefs=false} % Номера только у формул с \eqref{} в тексте. + +%%% Гиперссылки +\usepackage{hyperref} +\usepackage[usenames,dvipsnames,svgnames,table,rgb]{xcolor} +\hypersetup{ + unicode=true, % русские буквы в раздела PDF + colorlinks=true, % Цветные ссылки вместо ссылок в рамках + linkcolor=black!15!blue, % Внутренние ссылки + citecolor=green, % Ссылки на библиографию + filecolor=magenta, % Ссылки на файлы + urlcolor=NavyBlue, % Ссылки на URL +} + +%%% Графика +\usepackage{tikz} % Графический пакет tikz +\usepackage{tikz-cd} % Коммутативные диаграммы +\usepackage{tkz-euclide} % Геометрия +\usepackage{stackengine} % Многострочные тексты в картинках +\usetikzlibrary{angles, babel, quotes} diff --git a/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/preamble/title_page.tex b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/preamble/title_page.tex new file mode 100644 index 00000000..04f3d558 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/preamble/title_page.tex @@ -0,0 +1,27 @@ +\begin{titlepage} + \clearpage\thispagestyle{empty} + \centering + + \textbf{Московский физико-технический институт \\ Физтех-школа прикладной математики и информатики} + \vspace{33ex} + + {\textbf{\FullCourseNameFirstPart}} + + \SemesterNumber\ СЕМЕСТР + \vspace{1ex} + + Лектор: \textit{\LecturerInitials} + + \includegraphics[width=0.4\textwidth]{images/logo_ltc.png} + + \begin{flushright} + \noindent + Автор: \href{\VKLink}{\textit{\AuthorInitials}} + \\ + \href{\GithubLink}{\textit{Проект на Github}} + \end{flushright} + + \vfill + \CourseDate + \pagebreak +\end{titlepage}