diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/header.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/header.tex new file mode 100644 index 00000000..0c9d6e1c --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/header.tex @@ -0,0 +1,202 @@ +\documentclass[a4paper,11pt]{article} + +%%% Работа с русским языком +\usepackage{cmap} % поиск в PDF +\usepackage{mathtext} % русские буквы в формулах +\usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка +\usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста +\usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы +\usepackage{indentfirst} % красная строка в первом абзаце +\frenchspacing % равные пробелы между словами и предложениями + +%%% Дополнительная работа с математикой +\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % пакеты AMS +\usepackage{icomma} % "Умная" запятая + +%%% Свои символы и команды +\usepackage{centernot} % центрированное зачеркивание символа +\usepackage{stmaryrd} % некоторые спецсимволы +\usepackage{dsfont} +\usepackage{amsthm} + +\renewcommand{\epsilon}{\ensuremath{\varepsilon}} +\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}} +\renewcommand{\kappa}{\ensuremath{\varkappa}} +\renewcommand{\le}{\ensuremath{\leqslant}} +\renewcommand{\leq}{\ensuremath{\leqslant}} +\renewcommand{\ge}{\ensuremath{\geqslant}} +\renewcommand{\geq}{\ensuremath{\geqslant}} +\renewcommand{\emptyset}{\ensuremath{\varnothing}} + +\DeclareMathOperator*{\Mid}{\scalebox{1.1}{$\mid$}} + +\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} +\DeclareMathOperator{\gd}{\text{НОД}} +\DeclareMathOperator{\lf}{\text{НОК}} +\DeclareMathOperator{\rk}{rk} +\DeclareMathOperator{\pr}{pr} +\DeclareMathOperator{\ort}{ort} +\DeclareMathOperator{\im}{Im} +\DeclareMathOperator{\ke}{Ker} +\DeclareMathOperator{\re}{Re} +\DeclareMathOperator{\cha}{char} +\DeclareMathOperator{\ord}{ord} +\DeclareMathOperator{\tr}{tr} +\DeclareMathOperator{\md}{mod} +\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} +\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn} +\DeclareMathOperator{\End}{End} +\DeclareMathOperator{\GL}{GL} +\DeclareMathOperator{\SL}{SL} +\DeclareMathOperator{\diag}{diag} + +\newcommand{\divby}{ + \mathrel{\vbox{\baselineskip.65ex\lineskiplimit0pt\hbox{.}\hbox{.}\hbox{.}}} +} +\newcommand{\notdivby}{\centernot\divby} +\newcommand{\N}{\mathbb{N}} +\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} +\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} +\newcommand{\R}{\mathbb{R}} +\newcommand{\Cm}{\mathbb{C}} +\newcommand{\F}{\mathbb{F}} +\newcommand{\id}{\mathrm{id}} +\newcommand{\imp}[2]{(#1\,\,$\ra$\,\,#2)\,\,} +\newcommand{\nset}[1]{\{1, \dotsc, #1\}} +\newcommand{\Chi}{\scalebox{1.1}{\raisebox{\depth}{$\chi$}}} +\newcommand{\FF}{\scalebox{0.95}{$\mathcal F$}} +\newcommand{\FFF}{\scalebox{0.55}{$\mathcal F$}} +\newcommand{\GG}{\scalebox{0.95}{$\mathcal G$}} +\newcommand{\GGG}{\scalebox{0.55}{$\mathcal G$}} + +\renewcommand\labelitemi{$\triangleright$} + +\let\bs\backslash +\let\vect\overline +\let\normal\trianglelefteqslant +\let\lra\Leftrightarrow +\let\ra\Rightarrow +\let\la\Leftarrow +\let\gl\langle +\let\gr\rangle +\let\sd\leftthreetimes +\let\emb\hookrightarrow +\let\mc\mathcal +\let\mf\mathfrak + +%%% Перенос знаков в формулах (по Львовскому) +\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}} + +%%% Работа с картинками +\usepackage{graphicx} % Для вставки рисунков +\setlength\fboxsep{3pt} % Отступ рамки \fbox{} от рисунка +\setlength\fboxrule{1pt} % Толщина линий рамки \fbox{} +\usepackage{wrapfig} % Обтекание рисунков текстом + +%%% Работа с таблицами +\usepackage{array,tabularx,tabulary,booktabs} % Дополнительная работа с таблицами +\usepackage{longtable} % Длинные таблицы +\usepackage{multirow} % Слияние строк в таблице + +%%% Теоремы +\theoremstyle{plain} +\newtheorem{theorem}{Теорема}[section] +\newtheorem{lemma}{Лемма}[section] +\newtheorem{proposition}{Утверждение}[section] +\newtheorem*{exercise}{Упражнение} +\newtheorem*{problem}{Задача} + +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{definition}{Определение}[section] +\newtheorem*{corollary}{Следствие} +\newtheorem*{note}{Замечание} +\newtheorem*{reminder}{Напоминание} +\newtheorem*{example}{Пример} +\newtheorem*{remarkfrom}{Примечание авторов} +\newtheorem*{agreement}{Соглашение} +\newtheorem*{idea}{Идея доказательства} +\newtheorem*{algorithm}{Алгоритм} + +\theoremstyle{remark} +\newtheorem*{solution}{Решение} + +%%% Оформление страницы +\usepackage{extsizes} % Возможность сделать 14-й шрифт +\usepackage{geometry} % Простой способ задавать поля +\usepackage{setspace} % Интерлиньяж +\usepackage{enumitem} % Настройка окружений itemize и enumerate +\setlist{leftmargin=25pt} % Отступы в itemize и enumerate + +\geometry{top=25mm} % Поля сверху страницы +\geometry{bottom=30mm} % Поля снизу страницы +\geometry{left=20mm} % Поля слева страницы +\geometry{right=20mm} % Поля справа страницы + +\setlength\parindent{15pt} % Устанавливает длину красной строки 15pt +\linespread{1.3} % Коэффициент межстрочного интервала +%\setlength{\abovedisplayskip}{3pt} % Отступы от выключных формул +%\setlength{\belowdisplayskip}{3pt} % Отступы от выключных формул +%\setlength{\abovedisplayshortskip}{3pt} % Отступы от выключных формул +%\setlength{\abovedisplayshortskip}{3pt} % Отступы от выключных формул +%\setlength{\parskip}{0.5em} % Вертикальный интервал между абзацами +%\setcounter{secnumdepth}{0} % Отключение нумерации разделов +%\setcounter{section}{-1} % Нумерация секций с нуля +\usepackage{multicol} % Для текста в нескольких колонках +\usepackage{soulutf8} % Модификаторы начертания + +%%% Содержание +\usepackage{tocloft} +\tocloftpagestyle{main} +%\setlength{\cftsecnumwidth}{2.3em} +%\renewcommand{\cftsecdotsep}{1} +%\renewcommand{\cftsecpresnum}{\hfill} +%\renewcommand{\cftsecaftersnum}{\quad} + +%%% Шаблонная информация для титульного листа +\newcommand{\CourseName}{Алгебра и геометрия} +\newcommand{\FullCourseNameFirstPart}{\so{АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ}} +\newcommand{\SemesterNumber}{II} +\newcommand{\LecturerInitials}{Штепин Вадим Владимирович} +\newcommand{\CourseDate}{весна 2023} +\newcommand{\AuthorInitials}{Терехова Ольга} +\newcommand{\AuthorInitialssecond}{Парфенова Анна} +\newcommand{\VKLink}{https://vk.com/sqiportinhsa} +\newcommand{\VKLinksecond}{https://vk.com/id265834202} +\newcommand{\GithubLink}{https://github.com/MIPT-Group/Lectures_Tex_Club} + +%%% Колонтитулы +\usepackage{titleps} +\newpagestyle{main}{ + \setheadrule{0.4pt} + \sethead{\CourseName}{}{\hyperlink{intro}{\;Назад к содержанию}} + \setfootrule{0.4pt} + \setfoot{ФПМИ МФТИ, \CourseDate}{}{\thepage} +} +\pagestyle{main} + +%%% Нумерация уравнений +\makeatletter +\def\eqref{\@ifstar\@eqref\@@eqref} +\def\@eqref#1{\textup{\tagform@{\ref*{#1}}}} +\def\@@eqref#1{\textup{\tagform@{\ref{#1}}}} +\makeatother % \eqref* без гиперссылки +\numberwithin{equation}{section} % Нумерация вида (номер_секции).(номер_уравнения) +\mathtoolsset{showonlyrefs=true} % Номера только у формул с \eqref{} в тексте. + +%%% Гиперссылки +\usepackage{hyperref} +\usepackage[usenames,dvipsnames,svgnames,table,rgb]{xcolor} +\hypersetup{ + unicode=true, % русские буквы в раздела PDF + colorlinks=true, % Цветные ссылки вместо ссылок в рамках + linkcolor=black!15!blue, % Внутренние ссылки + citecolor=green, % Ссылки на библиографию + filecolor=magenta, % Ссылки на файлы + urlcolor=NavyBlue, % Ссылки на URL +} + +%%% Графика +\usepackage{tikz} % Графический пакет tikz +\usepackage{tikz-cd} % Коммутативные диаграммы +\usepackage{tkz-euclide} % Геометрия +\usepackage{stackengine} % Многострочные тексты в картинках \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec2_1.png b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec2_1.png new file mode 100644 index 00000000..b34f3b4d Binary files /dev/null and b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec2_1.png differ diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_1.PNG b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_1.PNG new file mode 100644 index 00000000..8dcc1a94 Binary files /dev/null and b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_1.PNG differ diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_2.PNG b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_2.PNG new file mode 100644 index 00000000..ae706460 Binary files /dev/null and b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_2.PNG differ diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_3.PNG b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_3.PNG new file mode 100644 index 00000000..49a76127 Binary files /dev/null and b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_3.PNG differ diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_4.PNG b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_4.PNG new file mode 100644 index 00000000..537e351b Binary files /dev/null and b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_4.PNG differ diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_5.PNG b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_5.PNG new file mode 100644 index 00000000..db00730b Binary files /dev/null and b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_5.PNG differ diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/logo_ltc.png b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/logo_ltc.png new file mode 100644 index 00000000..3938067a Binary files /dev/null and b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/logo_ltc.png differ diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_1.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_1.tex new file mode 100644 index 00000000..a0f1a855 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_1.tex @@ -0,0 +1,438 @@ +% 01.02.23 Оля + +\section{Алгебра многочленов} +\subsection{Алгебра многочленов над коммутативным кольцом с единицей} + +\begin{reminder} + Алгебра -- алгебраическая структура, с одной стороны являющаяся кольцом со сложением и умножением, + а с другой стороны линейным пространством со сложением и умножением на скаляр. +\end{reminder} + +\begin{definition} + Последовательность $(a_0, a_1, a_2,\dots), a_i \in R$ называют финитной если + $\exists N : \forall n>N \hookrightarrow a_n = 0$, т.е. если начиная с некоторого номера $N$ все + значения $a_n$ равны нулю. +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть R -- коммутативное кольцо с единицей. Многочлен над R -- финитная последовательность элементов + A = $(a_0, a_1, a_2,\dots), a_i \in R$. Дополнительно будем использовать обозначение $(A)_i = a_i$. +\end{definition} + +\begin{definition} +$R[x]$ -- множество многочленов над кольцом R. +\end{definition} + +\begin{definition} +Пусть $A, B \in R[x]$, тогда верны следующие свойства: +\begin{enumerate} + \item $(A + B)_n = (A)_n + (B)_n$, + \item $(A \cdot B)_n = \displaystyle\sum_{i = 0}^{n}(A)_i \cdot (B)_{n-i}$, + \item $\lambda \in R \; (\lambda A)_n = \lambda \cdot (A)_n$. +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{proposition} + Множество всех многочленов R[x] является коммутативным кольцом с единицей. +\end{proposition} + +\begin{note} + $1 = (1, 0, 0,\dots)$ -- нейтральный по умножению многочлен. +\end{note} +\begin{proof} + Докажем непосредственной проверкой: + + $$(1 \cdot A)_n = \sum_{i = 0}^{n} 1\cdot(A)_n = (A)_n$$ + + Таким образом, $1 \cdot A = A$. Умножение на единицу справа можно проверить аналогично. +\end{proof} + +\begin{definition} + Введем обозначения: $x = (0, 1, 0, 0, \dots)$, $x^2 = (0, 0, 1, 0, \dots)$ и так далее, чтобы многочлен + с единицей на $i$-й позиции записывался как $x^{i}$ (нумерация коэффициентов с нуля). Тогда произвольный многочлен + $A = (a_0, a_1, a_2, \dots)$ можно записать как $A = a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + \dots$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть $P = (a_0, a_1, a_2, \dots)$ -- многочлен. Последний отличный от нуля коэффициент называется + старшим коэффициентом многочлена. Номер старшего коэффициента называется степенью многочлена и + обозначается как $\deg P$. +\end{definition} + +\begin{note} +Будем считать, что степень нулевого многочлена и только нулевого многочлена не определена. +\end{note} + +\begin{reminder} + Делителями нуля называются такие числа $a$ и $b$, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$ но $a \cdot b = 0$. +\end{reminder} + +\begin{definition} + Коммутативное кольцо с единицей называется областью целостности или целостным кольцом если оно + не имеет делителей нуля. +\end{definition} + +\begin{example} + $\mathbb{Z}_n$ -- область целостности тогда и только тогда, когда $n$ -- простое. +\end{example} + +\begin{proposition} + \label{pr1.2} + В области целостности выполняется правило сокращения: + $$ab = ac, a \neq 0 \Rightarrow b = c.$$ +\end{proposition} + +\begin{proof} + $a(b-c) = 0$, $a \neq 0 \Rightarrow b-c = 0$. +\end{proof} + +\begin{proposition} + \label{pr1.3} + Пусть R -- коммутативное кольцо с единицей, $A, B \in R[x]$, тогда: + \begin{enumerate} + \item $\deg(A+B) \leq max(\deg(A), \deg(B))$, + \item $\deg(A \cdot B) \leq \deg(A) + \deg(B)$, + \item Если вдобавок R -- область целостности, то $\deg(AB) = \deg(A) + \deg(B)$. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Обозначим $\deg A = a$, $\deg B = b$. Пусть $n > max(a, b)$, тогда: + $$(A+B)_n = (A)_n + (B)_n = 0 + 0 = 0,$$ а значит $\forall n > max(a, b) \Rightarrow (A+B)_n = 0$. + Тогда номер последнего ненулевого элемента не превосходит $max(a, b)$, а значит + $deg(A+B) \leqslant max(a, b)$ + + \item Пусть $n > a + b$, покажем что $(AB)_n = 0$: + + $$(AB)_n = \sum_{i = 0}^{a}(A_i)(B_{n-i}) + \sum_{i = a+1}^{n}(A_i)(B_{n-i}) = 0 + 0 = 0$$ + + В первой сумме $B_{n-i} = 0$ во всех слагаемых так как $n > a + b$, а значит $n - i > b$ для + всех $i$ от $0$ до $a$. Во второй сумма во всех слагаемых $A_i = 0$ так как $i > a$ на всем + диапазоне суммирования. Таким образом обе суммы равны нулю, а значит $(AB)_n = 0$. + + \item Положим $n = a + b$, тогда: + + $$(AB)_{n} = \sum_{i=0}^{a-1} (A)_i(B)_{n-i} + (A)_a(B)_b + \sum_{i=a+1}^{a+b} (A)_i(B)_{n-i}$$ + + Аналогично предыдущему пункту первое и третье слагаемое будут нулевыми. + При этом $(A)_i \neq 0$ и $(B)_{n-i} = (B)_b \neq 0$, и в силу целостности, + $(A)_i(B)_{n-i} \neq 0$, то есть $(AB)_{n} \neq 0$. \\ Для больших, + чем $n$, номеров сумма будет нулевой, что было показано в предыдущем пункте, + а значит $\deg AB = a$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если R -- область целостности, то R[x] -- область целостности. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Мы уже знаем, что $R[x]$ -- коммутативное кольцо с единицей. Покажем, что в нём нет делителей нуля. + Пусть $A \neq 0, B \neq 0, A, B \in R$. Согласно пункту 3 доказанного выше утверждения и в силу + того, что $\deg(A) \geq 0$ и $\deg(B) \geq 0$, верно $\deg(AB) = \deg(A) + \deg(b) \geq 0$, + а значит $AB \neq 0$. +\end{proof} + +\begin{definition} + Пусть R, S -- кольца с единицей. Отображение $\phi : R \to S$ называется гомоморфизмом колец с единицей если + выполняется: + \begin{enumerate} + \item $\forall r_1, r_2 \in R \;\; \phi(r_1 + r_2) = \phi(r_1) + \phi(r_2)$, + \item $\phi(r_1 \cdot r_2) = \phi(r_1) \cdot \phi(r_2)$, + \item $\phi(1) = 1$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{note} + Условие перехода единицы в единицу является существенным и выполняется не всегда. Рассмотрим, + например, отображение $\phi : R \to S$, где $R = M_n(R)$, $S = M_m(R)$, переводящее матрицу А + размером $n \times n$ в левый верхний угол матрицы размером $m \times m$ (где $m > n$), + заполняя остальное нулями: + \[\phi(A) = \left(\begin{array}{@{}c|c@{}} + A & 0\\ + \hline + 0 & 0 + \end{array}\right)\] + Заметим, что единичная матрица $E_n \in R$ не переходит в единичную матрицу $E_m \in S$, несмотря + на то, что условия 1 и 2 выполнены, а значит отображение $\phi$ не является гомоморфизмом колец + с единицей. +\end{note} + +\begin{proposition}[об универсальности свойства кольца многочленов]~ + + Пусть А -- кольцо с единицей (не обязательно коммутативное), такое что $R \subseteq A$, и пусть + $\forall a\in A \; \forall r \in R$ верно $ar = ra$. Зафиксируем $a \in A$. Тогда существует + единственный гомоморфизм $\phi_a : R[x] \to A$, такой что $\forall r \in R \rightarrow \phi_a(r) = r$ и + $\phi_a(x) = a$. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Докажем единственность полагая существование: + + $$P = \sum_{i = 0} p_ix^i \Rightarrow \phi_a(P) = \sum_{i = 0} \phi(p_i)\cdot\phi(x^i) = \sum_{i = 0}p_i \cdot a^i$$ + + В силу свойств гомоморфизма колец с единицей образ для каждого многочлена задается однозначно. + + \item Покажем, что отображение $\phi_a : R[x] \to A$ является гомоморфизмом колец: + + Выберем два многочлена $P = \displaystyle\sum_{i = 0} p_i x^i$ и + $Q = \displaystyle\sum_{i = 0} q_i x^i$. Их произведение выражается как: + $$P \cdot Q = \displaystyle\sum_{i=0}\displaystyle\sum_{j = 0}(p_i q_j)x^{i+j}.$$ + Тогда верна следующая цепочка равенств: + \begin{align} + \phi_a(P \cdot Q) = \phi_a(\sum_{n = 0}\sum_{i + j = n} A_i B_j) = \sum_{n = 0}\sum_{i + j = n} \phi_a(A_i B_j) = \\ = \sum_{n = 0}\sum_{i + j = n} p_i a^i q_j a^j = (\sum_{i = 0}p_i a^i)(\sum_{j = 0} q_j a^j) = \phi_a(P) \cdot \phi_a(Q) + \end{align} + + Таким образом мы доказали линейность по умножению. Проверка линейности по сложению + предоставляется в качестве упражнения. Истинность $\phi_a(1) = 1$ будем считать очевидной. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + В условиях предыдущего утверждения положим $R = A$, $p \in R[x]$. + Значением многочлена $P$ на элементе $a$ кольца $A$ называется $P(a) = \phi_a(P)$. +\end{definition} + +\begin{note} + Определение выше согласуется с привычным: пусть многочлен $P = \displaystyle\sum_{i} p_i x^i$. + + Тогда его значение на элементе $a$: $P(a) = \displaystyle\sum_{i} p_i a^i$. +\end{note} + +\subsubsection{Применение конструкции значения многочлена} + +\begin{algorithm} + Пусть $F$ -- поле, $F[x]$ -- кольцо многочленов над $F$, V -- линейное пространство над $F$, + $A = \mathcal{L}(V)$ -- кольцо линейных операторов над V. Произведем вложение + $F \subseteq \mathcal{L}(V)$ следующей инъекцией: + $$\alpha \in F \mapsto \alpha \cdot E \in \mathcal{L},$$ где Е -- единичная матрица. + + Возьмем $\psi \in \mathcal{L}(V)$. Рассмотрим $\phi_\psi: F[x] \to \mathcal{L}$ в условиях + предыдущего утверждения. + + Пусть $P = \displaystyle\sum_{i}p_i x^i$, + тогда $\phi_\psi(P) = P(\psi) = \displaystyle\sum_{i} p_i \psi^i$. +\end{algorithm} + +\begin{note} + Кольцо от двух переменных $R[x_1, x_2] = R[x_1][x_2]$ -- кольцо многочленов над $R[x_1]$. +\end{note} + +\begin{note} + $R[[x]]$ -- кольцо формальных степенных рядов. +\end{note} + +\subsection{Многочлены над полем F} +\subsubsection{Алгоритм деления с остатком} + +\begin{theorem} + Пусть $A, B \in F[x]$, F -- поле, $B \neq 0$. Тогда: + \begin{enumerate} + \item Cуществуют $Q, R \in F[x]$ т.ч. $A = QB + R$, где $R = 0$ или $\deg R < \deg B$. + \item Многочлены R и Q определены однозначно. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Индукция по $\deg A$: + + Пусть $A = 0$ или $\deg A \leq B$, тогда очевидно $A = 0 \cdot B +A$. + + Пусть теперь $\deg A \geq \deg B$, и они равны a и b соответственно. Тогда старшие + члены равны $HT(A) = \alpha x^a$ и $HT(B) = \beta x^b$. Подберем моном M такой что + $HT(A) = M \cdot HT(B)$, например $M = \frac{\alpha}{\beta} \cdot x^{a - b}$. + + Введем обозначение $A' = A - MB$, $\deg A' < \deg A$ по построению $M$. По предположению + $A' = Q'B + R'$, где $R' = 0$ или $\deg R' < \deg B$. Тогда искомое разложение: + $$A = A' + MB = Q'B + MB + R' = (Q' + M)B + R'.$$ + + \item Предположим существуют два разложения $A = Q_1 B + R_1 = Q_2 B + R_2$, многочлены + удовлетворяют условиям. Тогда $(Q_1 - Q_2)B = R_2 - R_1$. + + Предположим $Q_1 \neq Q_2$, тогда $\deg((Q_1 - Q_2)B) > \deg(B)$. + При этом $\deg (R_2 - R_1) < \deg B$ так как $\deg R_1 < \deg B$ и $\deg R_2 < \deg B$, + а значит мы пришли к противоречию и $Q_1 = Q_2$. В таком + случае так же верно и $R_1 = R_2$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Для R, являющегося коммутативным кольцом с единицей, но не являющегося полем, доказанное выше + может быть неверно в общем случае, так как обратный к $\beta$ элемент $\beta^{-1}$ не обязан существовать + и построение $M$ не будет корректным. +\end{note} + +\begin{note} + Доказательство существования аналогично делению в столбик, где A' является промежуточным частным. +\end{note} + +\begin{definition} + Пусть $f(x) = a_0 x^n + a_{1} x^{n-1} + \dots + a_n, a_i \in F[x]$, $c \in F$. + Тогда значением многочлена $f(x)$ в элементе поля $F$ называется + $f(c) = a_0 c^n + a_{1} c^{n-1} + \dots + a_n$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Элемент поля $F$ является корнем многочлена $f$, если $f(c) = 0$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Значение F(c) в точке $c \in F$ равно остатку от деления $F$ на $(x-c)$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Рассмотрим многочлен: $$f(x) = q(x)(x-c) + r(x).$$ + При этом $r(x) = 0$ или $\deg r < \deg(x-c) = 1$, а значит $r(x)$ -- константа поля $F$. +\\ + При подстановке точки $c$ получаем значение $f(c) = r$. Тогда верно $f(x) = q(x)(x-c) + r$ и при $x = c$ + верно $f(c) = r$. +\end{proof} + +\begin{theorem}[Безу] + \label{th1.2} + Число $c$ является корнем $f(x) \Leftrightarrow f(x) \vdots (x-c)$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $c$ -- корень $f(x)$, тогда $f(c) = 0$, а значит $(x-c) \, \vert \, f(x)$. В обратную сторону, + если $(x-c) \, \vert \, f(x)$, то $f(x) = q(x)(x-c)$, то есть $f(c) = 0$ и $c$ -- корень. +\end{proof} + +\begin{note} + Для упрощенного деления многочлена на (x-c) не обязательно делить в столбик, можно использовать + схему Горнера. +\end{note} + +\begin{theorem}[Схема Горнера] + Пусть задан многочлен $f(x) \in F[x]$: + \begin{gather*} + f(x) = a_0 x^n + a_{1} x^{n-1} + \dots + a_n, a_i \in F, + \end{gather*} + и необходимо разделить его на $(x-c)$, то есть представить в следующем виде: + \begin{gather*} + f(x) = q(x)(x-c) + r. + \end{gather*} + Для этого получить коэффициенты многочлена $q(x)$: + \begin{gather*} + q(x) = b_0 x^{n-1} + b_1 x^{n-2} + \dots + b_{n-1}. + \end{gather*} + Для этого запишем коэффициенты в таблицу: в верхней строчке коэффициенты $a_i$, под ними + соответствующие $b_i$. Тогда $b_i \cdot c + a_{i+1} = b_{i+1}$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Приравниваем коэффициенты при х в одинаковых степенях в получившемся произведении и в $f(x)$ и + получаем искомое соотношение: + $$(b_0 x^{n-1} + b_1 x^{n-2} + \dots + b_{n-1})(x-c) = b_0 x^n + (b_1 - c \cdot b_0)x^{n-1} + + \dots - b_{n-1}c.$$ +\end{proof} + +\begin{problem} + Обобщить схему Горнера на трехчлен $x^2 + bx + c$. +\end{problem} + +\begin{definition} + $A$ делится на $B$, если существует такой многочлен $Q$ что $A = QB$. Пишут $A \vdots B$ или + $B \vert A$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Многочлены $A$ и $B$ называются ассоциироваными если $B \vert A$ и $A \vert B$, то есть когда верны + представления $A = Q_1 B$, $B = Q_2 A$. При этом: + \begin{eqnarray*} + \deg A = \deg Q_1 + \deg B \geq \deg B, \\ + \deg B = \deg Q_2 + \deg B \geq \deg A, + \end{eqnarray*} + откуда $\deg A = \deg B$, $\deg Q_1 = \deg Q_2 = 0$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть $f(x)$ и $g(x) \in F[x]$ -- ненулевые одновременно многочлены. Многочлен $d(x) \in F[x]$ + называется наибольшим общим делителем (НОД, gcd) если: + \begin{enumerate} + \item $d \vert f$, $d \vert g$. + \item если $d'$ -- общий делитель $f$ и $g$, то $d' \vert d$. + \end{enumerate} + + Иначе говоря, НОД многочленов $f$ и $g$ -- такой общий делитель, который делится на любой общий делитель. + НОД определен с точностью до ассоциированности. +\end{definition} + +\begin{theorem}[о существовании НОД] + \label{th1.4} + Пусть $f, g \in F[x]$ и $f, g$ ненулевые одновременно. Тогда существует + $d(x) = \gd(f, g) \in F[x]$ и, более того, существуют + $u(x), v(x) \in F(x)$, такие что $u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть без ограничения общности $f(x) = 0, g(x) \neq 0$, то есть нулевой ровно один из многочленов. + Тогда верно представление $d(x) = g(x), d = 0\cdot f + 1\cdot g$. + + Пусть теперь оба многочлена ненулевые. Тогда можно выполнить цепочку делений многочленов, где + на каждом новом шаге делимым и делителем будут становиться делитель и частное предыдущего деления + соответственно. Таким образом для каждой пары НОД будет сохраняться, так как если делитель кратен + некоторому многочлену, то делимое и частное будут кратны ему одновременно. Первые несколько шагов: + \begin{align*} + f(x) & = q_1(x)g(x) + r_1(x), \\ + g(x) & = q_2(x)r_1(x) + r_2(x), \\ + r_1(x) & = q_3(x)r_2(x) + r_3(x). + \end{align*} + Продолжая действовать так дойдем до последних двух шагов, после которых остаток будет равен нулю. + При делении степень остатка меньше степени делителя, а значит, в силу конечности номеров старших + членов начальных многочленов, в некоторый момент процесс действительно остановится: + \begin{align*} + r_{n-2}(x) & = q_n(x)r_{n-1}(x) + r_n(x), \\ + r_{n-1}(x) & = q_{n+1}(x)r_{n}(x). + \end{align*} + Получается, что $\gd(f, g)$ = $r_n$ -- последний ненулевой остаток. Проверим: + \begin{enumerate} + \item $r_n \vert r_{n-1}$, $r_n \vert r_{n-2}, \dots$. + Продолжая подниматься наверх получаем $r_n \vert f$, $r_n \vert g$ + \item Теперь будем спускаться вниз, пусть $d' \vert f$, $d' \vert g$. + Таким образом мы дойдем до $d' \vert d$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + $\gd(f, g) = \gd(g_1, r_1) = \gd(r_1, r_2) = \dots = \gd(r_{n-1}, r_n)$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Покажем, что все остатки $r_1, r_2, \dots, r_n$ являются линейными комбинациями многочленов $f$ и $g$: + $$r_1 = f - q_1g$$ + $$r_2 = g - q_2r_1 = -q_2f + (1 + q_1q_2)g$$ + + Спускаясь вниз и подставляя выражения предыдущих остатков в последующие получим все разложения. + Положим $r_{n-2} = u''f + v''g$ и $r_{n-1} = u'f + v'g$. Тогда: + $$d = r_n = r_{n-2} - q_n - r_{n-1} = f(u'' - u'q_n) + g(v'' - v'g_n).$$ + + Таким образом все остатки можно выразить через $f$ и $g$. +\end{proof} + +\begin{exercise} + Докажите, что используя неоднозначность выбора коэффициентов у $u(x)$ и $v(x)$ можно добиться, + чтобы $\deg u < \deg g$, $\deg v < \deg f$. +\end{exercise} + +\subsubsection{Неприводимые многочлены} + +\begin{definition} + Многочлен $P \in F[x]$ степени больше нуля называется неприводимым над полем $F$, если из $P = AB$ + следует $\deg A = 0$ или $\deg B = 0$. + Иначе говоря, многочлен называется неприводимым над полем F, если его нельзя разложить в + произведение двух многочленов более низких степеней из этого же кольца $F[x]$. +\end{definition} + +\begin{note} + Важно над каким полем многочлен является неприводимым, например многочлен $x^2 + 1$ является + приводимым над полем комплексных чисел $\mathbb{C}$, но неприводимым над полем действительных + чисел $\mathbb{R}$. +\end{note} + +\begin{note} + Для многочлена справедлива основная теорема арифметики при разложении на неприводимые множители. +\end{note} diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_10.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_10.tex new file mode 100644 index 00000000..dd206da4 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_10.tex @@ -0,0 +1,545 @@ +\subsubsection{Закон инерции для квадратичной формы. Теоремы Якоби и Сильвестра} + +\begin{definition} + Рассмотрим квадратичную форму $q(x)$. Будем называть $q(x)$ положительно (отрицательно) + определенной, если для всех $x \neq 0$ верно $q(x) > 0$ ($q(x) < 0$). В случае нестрогих неравенств + будем называть $q(x)$ положительно (отрицательно) полуопределенной. +\end{definition} + +\begin{note} + В случае если существуют $x_1$ и $x_2$ такие, что $q(x_1) > 0$ и $q(x_2) < 0$, $q(x)$ не определена. +\end{note} + +\begin{agreement} + До конца раздела будем считать что $V$ -- поле над пространством действительных чисел. +\end{agreement} + +\begin{proposition}~ + \label{pr10.1} + \begin{enumerate} + \item Функция $q(x)$ положительно определена тогда и только тогда когда приводится к каноническому + виду с матрицей $E$. + \item Функция $q(x)$ положительно полуопределена тогда и только тогда когда приводится к + каноническому виду с матрицей, не имеющей $-1$ на главной диагонали. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item \begin{enumerate} + \item Необходимость. + + Пусть $q(x)$ положительно определена. Рассмотрим канонический базис $e$. + В этом базисе $i$-й элемент матрицы $q$ равен $a_{ii} = q(e_i) > 0$. + + В силу того, что в каноническом + базисе матрица может иметь только значения $\pm 1$ и $0$ на главной диагонали, получаем $a_{ii} = 1$. + Таким образом матрица формы $q$ является единичной. + \item Достаточность. + + Пусть $q$ приводится к каноническому виду с $E$. Тогда в каноническом базисе: + $$q(x) = \xi_1^2 + \, \dots \,+ \xi_n^2, \, \text{ где } \, n = \dim V.$$ + Это значит, что для всех $x \neq 0$ верно $q(x) > 0$, так как в каноническом базисе + $x$ представляется в виде $x = (\xi_1 \, \xi_2 \, \dots \, \xi_n)^T$. Таким образом + $q$ положительно определена. + \end{enumerate} + + \item \begin{enumerate} + \item Необходимость. + + Пусть $q(x)$ положительно полуопределена. Тогда в каноническом базисе $i$-й элемент + главной диагонали матрицы $q$ равен $a_{ii} = q(x_i) \geq 0$, + откуда $a_{ii} \in \{0, 1\}$. + + \item Достаточность. + + Пусть в каноническом базисе $a_{ii} \in \{ 0, 1\}$. Тогда $q$ в нем имеет вид: + $$q(x) = \xi_1^2 + \, \dots \,+ \xi_p^2, \, \text{ где } \, p < \dim V.$$ + Таким образом для всех $x$ верно $q(x) \geq 0$, что значит, что $q$ положительно + полуопределена. + \end{enumerate} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{exercise} + Переформулировать утверждение \ref{pr10.1} для отрицательных определенных и полуопределенных функций. +\end{exercise} + +\begin{definition} + Пусть $e$ -- канонический базис. Представим $q(x)$ как: + $$q(x) = \xi_1^2 + \, \dots \,+ \xi_p^2 - \xi^2_{p+1} - \, \dots \,- \xi^2_{p+q}.$$ + Числа $p$ и $q$ называются индексами инерции относительно канонического базиса $e$. +\end{definition} + +\begin{note} + В любом базисе верно $p + q = \rk V$. Далее будет показано, что значения $p$ и $q$ не зависят + от выбора базиса. +\end{note} + +\begin{theorem}[Закон инерции] + Пусть $q \in Q(V)$, $e$ -- канонический базис в $V$, $p$ и $q$ -- положительный и отрицательный + индексы инерции относительно базиса $e$. Тогда верно следующее: + \begin{enumerate} + \item $p = \max\{\dim U \, \vert \, U \leq V : q \vert_{U} \text{ -- положительно определена}\}$, + \item $q = \max\{\dim U \, \vert \, U \leq V : q \vert_{U} \text{ -- отрицательно определена}\}$, + \item Индексы $p$ и $q$ не зависят от выбора базиса в $V$. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Пусть $e = (e_1, e_2, \, \dots \,e_n)$. Рассмотрим следующие подпространства V: + \begin{align*} + U_0 = \langle e_1, e_2, \, \dots \,e_p \rangle && W_0 = \langle e_{p+1}, e_{p+2}, \, \dots \,e_n\rangle. + \end{align*} + Их размерности равны $\dim U_0 = p$ и $\dim W_0 = n-p$ соответственно. + + Пусть $m = \max \{ \dim U \vert U \leq V: q\vert_U \text{ -- положительно определена}\}$. + + По построению $U_0$ верно что $q \vert_{U_0}$ положительно определена, а значит $m \geq p$. Пусть $m > p$. + Тогда по построению $m$ существует $U_1 \leq V$ такое, что $q \vert_{U_1}$ положительно определена + и $\dim U_1 = m$. + При этом по формуле Грассмана: + $$\dim (U \cap W) = \dim U + \dim W_0 - \dim (U + W_0) = m + n - p - \dim (U + W_0) \geq + m + n - p - n > 0.$$ + Тогда $\exists z \in U_1 \cup W_0$. Однако по построению этих подпространств получим: + \begin{align*} + z \in U_1 \, & \Rightarrow q(z) > 0, \\ + z \in W_0 & \Rightarrow q(z) \leq 0. \\ + \end{align*} + Таким образом предположение $m > p$ приводит к противоречию из-за невозможности существования + нетривиального пересечения $U_1$ и $W_0$. Это значит, что $m = p$. + + \item Доказательство аналогично первому пункту. + \item Истинность утверждения вытекает из первых двух пунктов, так как размерность подпространств + не зависит от выбора базисов в них. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + Пусть квадратичная билинейная форма $q$ представляется как: \begin{gather*} + q \leftrightarrow \begin{pmatrix} + a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ + a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} + \end{pmatrix} + \end{gather*} + Главным минором $\Delta_i$ называется определитель левой верхней подматрицы размера $i \times i$: + \begin{gather*} + \Delta_i = \begin{pmatrix} + a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1i} \\ + a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2i} \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{ii} + \end{pmatrix} + \end{gather*} +\end{definition} + +\begin{theorem}[Як\'{о}би] + Пусть $q(x)$ -- квадратичная функция в линейном пространстве над $\R$, $A$ -- её матрица относительно + некоторого базиса $e$ в $V$ и пусть $\forall i \: = 1, \dots n$ верно $\Delta_i \neq 0$. Тогда + существует базис $e'$ в $V$ такой что в нем $q(x)$ принимает вид: + \begin{gather*} + q(x) = \frac{\Delta_0}{\Delta_1} \xi_1^2 + \frac{\Delta_1}{\Delta_2} \xi_2^2 + \, \dots \,+ + \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_n} \xi_n^2, \: \text{где } \, \Delta_0 = 1. + \end{gather*} + Более того, $e'$ можно выбрать так, что матрица перехода $S = S_{e \to e'}$ + является верхнетреугольной. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Индукция по $n$ -- размерности пространства $V$: + \begin{enumerate} + \item База $n = 1$: + + В пространстве размерности $1$ форма принимает вид $q(x) = a_{11} x_1^2$. + + Тогда можно осуществить переход $e_1 \to e'_1 = \frac{1}{a_{11}} e_1$. Для нового базисного вектора: + $$q(e'_1) = f(\frac{e_1}{a_{11}}, \frac{e_1}{a_{11}}) = \frac{1}{a_{11}^2} a_{11} = \frac{1}{a_{11}}.$$ + Тогда в новом базисе $q(x) = a_{11} \xi_1 = \frac{1}{\Delta_1} \xi_1^2$, что и требовалось. + + \item Пусть теорема справедлива для любого $V$ для которого верно $\dim V < n$. + + Рассмотрим пространство $V$ размерности $n$, + и его подпространство $U = \langle e_1, e_2, \, \dots \,e_{n-1} \rangle$. + + По предположению индукции существует базис $e' = \langle e'_1, e'_2, \dots e'_{n-1} \rangle$ в $U$ + такой что $q$ имеет вид: + $$q(x)\vert_U = \frac{\Delta_0}{\Delta_1} \xi_1^2 + \frac{\Delta_1}{\Delta_2} \xi_2^2 + \dots + + \frac{\Delta_{n-2}}{\Delta_{n-1}} \xi_{n-1}^2,$$ и матрица перехода от него к нашему базису + имеет верхнетреугольный вид: + \begin{gather*} + S_{e \to e'} = \begin{pmatrix} + S_{11} & S_{12} & \dots & S_{1, n-1} \\ + 0 & S_{22} & \dots & S_{2, n-1} \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & S_{n-1, n-1} + \end{pmatrix} + \end{gather*} + При этом форма $q(x)\vert_{U}$ невырождена, так как $\Delta_{n-1} \neq 0$. + + Тогда по теореме о невырожденном подпространстве $V = U \oplus U^{\perp}$, + где ортогональное дополнение $U^{\perp}$ используется в смысле $f$ ассоциированного с $q$, + $\dim U^{\perp} = 1$. + + Заметим, что в $U^{\perp}$ есть ненулевой вектор $e$, для которого верно $f(e_n, e) \neq 0$. + + В противном случае для любого вектора $e \in U^{\perp}$ верно $f(e_n, e) = 0$, что значит, + что все вектора $e \in U^{\perp}$ перпендикулярны $e_n$. При этом $e \perp U = \langle e_1, \dots e_n\rangle$, + откуда $e \in \ker f$. + + Это противоречит тому, что $\dim (\ker f) = \dim V - \rk f = 0$, а значит необходимый нам вектор существует. + + Положим $f(e, e_n) = c \neq 0$, + тогда $f(e_n, \frac{e}{c}) = 1$. Пусть $e'_n = \frac{e}{c} \in U^{\perp}$, откуда $f(e_n, e'_n) = 1.$ + + Покажем, что $e' = \langle e'_1, \dots e'_{n-1}, e'_n\rangle$ -- искомый базис. + + Рассмотрим матрицу перехода $S = S_{e \to e'}$. Заметим, что $S_{ni} = 0$ для всех $i < n$ + в силу того, что $e'_i \in U$, а значит при переходе к новому базису вектор $e_n$ не повлияет + на него. Таким образом матрица $S_{e \to e'}$ диагональна. + + Осталось показать, что в новом базисе форма $q$ имеет необходимый вид. Благодаря предположению + индукции мы имеем: + $$q(x)\vert_U = \frac{\Delta_0}{\Delta_1} \xi_1^2 + \frac{\Delta_1}{\Delta_2} \xi_2^2 + \dots + + \frac{\Delta_{n-2}}{\Delta_{n-1}} \xi_{n-1}^2.$$ + + Таким образом необходимо только показать, что коэффициент при $\xi_n$ равен + $\frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_n}$. Заметим, что этот коэффициент равен $q(e'_n)$. + + Вектор $e'_n$ выражается через коэффициенты матрицы перехода и векторы начального базиса: + $$e'_n = S_{1n}e_1 + \dots S_{nn}e_n.$$ Тогда: + \begin{equation*} + \begin{cases} + f(e_1, e'_n) = 0, \\ + f(e_2, e'_n) = 0, \\ + \dots \\ + f(e_{n-1}, e'_n) = 0, \\ + f(e_n, e'_n) = 1. + \end{cases} + \end{equation*} + + Первые $n-1$ значений равны $0$ в силу того, что $e'_n \in U^{\perp}$, $e_i \in U$. + + Тогда $q(e'_n)$ можно выразить следующим образом: \begin{gather*} + q(e'_n) = f(e'_n, e'_n) = f(S_{1n} e_1 + \, \dots \, + S_{n-1, n} e_{n-1} + S_{nn}e_n, e_n') = \\ + = S_{1n} \cdot f(e_1, e'_1) + \, \dots \, + S_{nn} \cdot f(e_n, e'_n) = S_{nn}. + \end{gather*} + + Выразим $S_{nn}$ из системы выше: + + \begin{equation*} + \begin{cases} + f(e_1, e'_n) = f(e_1, S_{1n}e_1 + \dots S_{nn}e_n) = 0, \\ + f(e_2, e'_n) = f(e_2, S_{1n}e_1 + \dots S_{nn}e_n) = 0, \\ + \dots \\ + f(e_{n-1}, e'_n) = f(e_{n-1}, S_{1n}e_1 + \dots S_{nn}e_n) = 0, \\ + f(e_n, e'_n) = f(e_1, S_{1n}e_1 + \dots S_{nn}e_n) = 1. + \end{cases} + \end{equation*} + + В силу невырожденности $q$ матрица перехода невырождена, а значит и система уравнений невырождена, + так как её матрица в точности является матрицей оператора $q$ в базисе $e$. + + Тогда по теореме Крамера для неё существует единственное решение и $S_{nn} = \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_n}$. + + Таким образом мы получили диагональную матрицу $S_{e \to e'}$ и необходимое нам представление + $q$ в базисе $e'$ для пространства размерности $V$, что завершает доказательство по индукции. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note}[О модификациях]~ + Можно построить матрицу $S$, являющуюся верхнетреугольной и имеющей главную диагональ из единиц. + Такая матрица называется унипотентной и $q(x)$ в таком случае принимает вид: + \begin{gather*} + q(x) = \frac{\Delta_0}{\Delta_1} \xi_1^2 + \dots + \frac{\Delta_n}{\Delta_{n-1}} \xi_n^2. + \end{gather*} +\end{note} + +\begin{corollary} + Пусть $q(x)$ -- квадратичная форма с ненулевыми главными минорами. Тогда отрицательный индекс + инертности $q$ равен числу перемен знаков в последовательности главных миноров. +\end{corollary} + +\begin{lemma} + \label{pr10.3} + Пусть $B \in M_n(\R)$ -- квадратная матрица над полем вещественных чисел. Тогда $B$ положительно + определена тогда и только тогда, когда существует невырожденная $A \in M_n(\R)$ такая, что + $B = A^T A$. +\end{lemma} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость. + + Пусть $B$ положительно определена. Тогда она является матрицей некоторой + квадратичной функции $q$, что значит, что существует матрица $S = S_{e \to e'}$ такая, что + $S^T B S = E$. + + Домножим выражение на $(S^T)^{-1}$ слева и на $S^{-1}$ справа и получим $B = (S^T)^{-1} S^{-1}$. + + Тогда искомая $A$ существует и равна $A = S^{-1}$. + \item Достаточность. + + Пусть $B = A^T A$, $\det A \neq 0$? тогда $B$. Возьмем матрицу перехода между базисами $S = A^{-1}$. + + В новом базисе $B' = S^TBS = (A^{-1})^T A^T A A^{-1} = E$, откуда $B$ положительно определена по + утверждению \ref{pr10.1}. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{theorem}[Критерий Сильвестра] + Пусть $q(x) = Q(V)$. Тогда верно следующее: + \begin{enumerate} + \item Форма $q(x)$ положительно определена тогда и только тогда когда для всех $i$ главный минор + положителен: $\Delta_i > 0$. + \item Форма $q(x)$ отрицательно определена тогда и только тогда когда знаки главных миноров чередуются: + $\sgn(\Delta_i) = (-1)^i$. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item \begin{enumerate} + \item Необходимость. + + Пусть $B$ -- матрица квадратичной функции $q(x)$ и $q$ положительно определена. + Тогда по утверждению \ref{pr10.3} верно $B = A^T A$, $\det A \neq 0$. В таком случае: + \begin{gather*} + |B| = |A^T| \cdot |A| = |A|^2 > 0. + \end{gather*} + \item Достаточность. + + Пусть $\Delta_1 > 0, \dots \Delta_n > 0$. Тогда: + \begin{gather*} + q(x) = \frac{\Delta_0}{\Delta_1} \xi_1^2 + \frac{\Delta_1}{\Delta_2} \xi_2^2 + \dots + + \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_n} \xi_n^2, + \end{gather*} + что значит, что $q(x)$ положительно определена так как при $x \neq 0$ верно $q(x) > 0$. + \end{enumerate} + \item Заметим, что если $q(x)$ положительно определена, то $-q(x)$ отрицательно определена. Пусть + $q(x)$ определена отрицательно, тогда $-q(x)$ определена положительно. Выпишем её матрицу: + \begin{gather*} + \begin{pmatrix} + -a_{11} & -a_{12} & \dots & -a_{2n} \\ + -a_{21} & -a_{22} & \dots & -a_{2n} \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + -a_{n1} & -a_{n2} & \dots & -a_{nn} + \end{pmatrix} + \end{gather*} + + Тогда $\Delta_1 = -a_{11} > 0$, откуда $a_{11} < 0$. + + Продолжим вычислять миноры: + $\Delta_2 = \begin{vmatrix} + -a_{11} & -a_{12} \\ + -a_{21} & -a_{22} + \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} + a_{11} & a_{12} \\ + a_{21} & a_{22} + \end{vmatrix} > 0$. + + Вычисляя аналогично миноры большего размера получим, + что знак меняется на каждом шаге, что значит, что $\sgn(\Delta_i) = (-1)^i$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsection{Канонический вид кососимметричных билинейных функций} + +\begin{definition} + Базис $e = \langle e_1, \dots e_n \rangle$ называется симплектическим для билинейной формы $f(x, y)$, + если для $S = 1,\dots n$ верно: + \begin{gather*} + f(e_{2S - 1}, e_{2S}) = 1 \Rightarrow f(e_{2S}, e_{2S-1}) = -1, + \end{gather*} а для остальных значений $i, j$ верно $f(e_i, e_j) = 0$. + Матрица в таком случае имеет следующий вид: + \[A_f = \left(\begin{array}{@{}cccc@{}} + \cline{1-1} + \multicolumn{1}{|c|}{A_1} & 0 & \dots & 0\\ + \cline{1-2} + 0 & \multicolumn{1}{|c|}{A_2} & \dots & 0\\ + \cline{2-2} + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + \cline{4-4} + 0 & 0 & \dots & \multicolumn{1}{|c|}{A_m}\\ + \cline{4-4} + \end{array}\right),\] + + где для всех $i$ матрица $A_i$ нулевая или имеет вид $A_i = + \begin{pmatrix} + 0 &1 \\ + -1 &0 + \end{pmatrix}$. +\end{definition} + +\begin{theorem}[О каноническом виде кососимметричной билинейной функции]~ + + Если $f(x, y)$ -- кососимметричная билинейная функция в $V$, то в $V$ существует симплектический базис. +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + Докажем по индукции по размерности пространства $V$. + \begin{enumerate} + \item Если $f(x, y) = 0$ для всех $x, y$, то $S = 0$ -- очевидно. + \item Если $f \neq 0$, то найдутся векторы $e_1, e_2$ такие, что $f(e_1, e_2) = c \neq 0$. + + Рассмотрим тогда векторы $e_1' = e_1$, $e_2' = \frac{e_2}{c}$, для которых верно $f(e_1', e_2') = 1$. + + Тогда в $V$ существует невырожденное подпространство $U = \langle e'_1, e'_2 \rangle$, + в котором матрица будет иметь вид $A_{f \vert_{U}} = \begin{pmatrix} + 0 &1 \\ + -1 &0 + \end{pmatrix}$. + + По теореме о невырожденном пространстве $V = U \oplus U^{\perp}$. Таким образом + если $\dim V = 2$, то искомый базис получен. Иначе по предположению + индукции искомый базис найдется для $U^{\perp}$, а значит при объединении с $e'_1$ и $e'_2$ + получим базис для $V$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Кососимметричная невырожденная билинейная функция существует только в пространстве чётной размерности. +\end{corollary} + +\begin{exercise} + Доказать следствие, применяя только свойства опредлителей. +\end{exercise} + +\begin{idea} + При транспонировании матрицы $A$ значение определителя не меняется. Тогда если $A = - A^T$, то + $|A| = 0$. +\end{idea} + +\section{Эрмитовы полуторалинейные функции и формы} +\begin{definition} + Если рассматривать $V$ над $\Cm$, то в $V$ не бывает положительных функций в привычном нам виде. + Для сравнения функции с $0$ на комплексных значениях будем считать, что если $q(x) > 0$, то + $q(ix) = f(ix, ix) = -f(x,x) = -q(x) < 0$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Полуторалинейными функциями будем называть такие $f^ V \times V \to \Cm$, для которых верны: + \begin{enumerate} + \item Аддитивность по первому аргументу: $f(x_1 + x_2, y) = f(x_1, y) + f(x_2, y)$, + \item Однородность по первому аргументу: $f(\lambda x, y) = \lambda f(x, y)$ для всех $\lambda \in \Cm$, + \item Аддитивность по второму аргументу: $f(x, y_1 + y_2) = f(x, y_1) + f(x, y_2)$. + \item $f(x, \lambda y) = \overline{\lambda} f(x, y)$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{note} + Первое и второе утверждения вместе называются линейностью по первому аргументу. + Третье и четвертое утверждения вместе называются антилинейностью по второму аргументу. +\end{note} + +\begin{proposition} + Пусть $f$ -- полуторалинейная функция на $V$, $e$ -- базис в $V$, и векторы $x, y \in V$ имеют + координаты $x \leftrightarrow (x_1, x_2, \dots x_n)^T$, $y \leftrightarrow (y_1, y_2, \dots y_n)$. + Тогда: \begin{gather*} + f(x, y) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i \overline{y_j} = x^T A \overline{y}. + \end{gather*} +\end{proposition} + +\begin{definition} + Полученное выше выражение называется полуторалинейной формой от $x$, $y$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Пусть $f$ -- полуторалинейная функция в $V$, $e$, $f$ -- базисы в $V$, $S$ -- матрица перехода + $S = S_{e \to f}$ и функция $f$ представляется в базисах $V$ матрицами + $f \underset{e}{\leftrightarrow} A$, $f \underset{f}{\leftrightarrow} B$, то $B = S^T A \overline{S}$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + В базисе $e$ функция $f$ выражается как $f(x, y) = x^T A \overline{y}$. При переходе к базису + $f$ получим $x = S x'$, $y = S y'$. Тогда: + $$f(x, y) = (Sx')^T A \overline{(Sy')} = (x')^T S^TA \overline{S} \overline{y'} = (x')^TB\overline{y'},$$ + откуда $B = S^TA\overline{S}$. +\end{proof} + +\begin{definition} + Полуторалинейная функция $f(x, y)$ называется эрмитовой или (эрмитово-симметричной) если для всех + $x, y \in V$ верно $f(x, y) = \overline{f(y, x)}$. Матрица называется эрмитово-симметричной если + $A = \overline{A^T}$. +\end{definition} + +\begin{note} + Комплексное сопряжение $\overline{A}$ к матрице $A$ стоит воспринимать как замену всех её элементов + на комплексно-сопряженные к ним. +\end{note} + +\begin{proposition} + Полуторалинейная функция $f$ эрмитова тогда и только тогда, когда в произвольном базисе $e$ её + матрица эрмитова. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость. Пусть $f$ эрмитова. Тогда верно: \begin{gather*} + a_{ij} = f(e_i, e_j) = \overline{f(e_i, e_j)} = \overline{a_{ij}}. + \end{gather*} Отсюда следует $A = \overline{A^T}$. + \item Достаточность. Пусть $A = \overline{A^T}$, откуда $A^T = \overline{A}$. + Тогда: + \begin{gather*} + f(x, y) = (x^T A \overline{y}) = (x^T A \overline{y})^T = \overline{y^T} A^T x = + \overline{y^T} A^T \overline{\overline{x}} = \overline{y^T A \overline{x}} = \overline{f(y, x)}. + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + Пусть $f(x, y)$ -- эрмитова полуторалинейная функция. Будем говорить, что векторы $x, y \in V$ + ортогональны $x \vert y$, если $f(x, y) = f(y, x) = 0$. \\ + Определим ортогональное дополнение как + $U^{\perp} = \{y \in V \vert \forall x \in U \hookrightarrow f(x, y) = 0\}$. +\end{definition} + +\begin{theorem} + Пусть $f$ -- эрмитова полуторалинейная функция и $f \vert_{U}$ -- сужение $f$ на $U$. + Тогда $f \vert_{U}$ невырождена тогда и только тогда, когда $V = U \oplus U^{\perp}$. +\end{theorem} + +\begin{definition} + Пусть $\Delta = \{(x, x) \vert x \in V\}$ -- диагональ декартового квадрата. Тогда функция $q: V \to \Cm$ + назвается эрмитовой квадратичной функцией $q(x) = f(x, x) = f \vert_{\Delta}$, где $f$ -- эрмитова + симметричная функция. +\end{definition} + +\begin{note} + Если $f(x, x) = \overline{f(x, x)}$, то $q(x)$ -- эрмитова квадратичная функция. +\end{note} + +\begin{exercise} + Доказать изоморфизм $Q(V)_{\R}$ и $H(V)_{\R}$ -- пространства эрмитовых симметричных функций. +\end{exercise} + +\begin{idea} + Пусть $q(x)$ -- эрмитова квадратичная функция. Тогда: \begin{gather*} + q(x + y) = f(x + y, x + y) = f(x, x) + \overline{f(y, x)} + f(x, y) + f(y, y) = \\ + = f(x, x) + f(y, x) + f(x, y) + f(y, y) = q(x) + q(y) + 2 \re(f(x, y)). + \end{gather*} + Отсюда получаем: \begin{gather*} + \re(f(x, y)) = \frac{1}{2} (q(x+y) - q(x) - q(y)) + \end{gather*} + Аналогично для аргументов с мнимой частью можно получить: + \begin{gather*} + q(x + iy) = f(x + iy, x + iy) = f(x, x) + \overline{f(iy, x)} + f(x, iy) + f(iy, iy) = \\ + = f(x, x) + f(iy, x) + f(x, iy) + f(iy, iy) = q(x) + q(iy) + 2 \re(-if(x, y)) = \\ + = q(x) + q(y) + 2 \im(f(x, y)). + \end{gather*} +\end{idea} + +\begin{theorem}[О существовании канонического базиса]~ + + Пусть $q$ -- эрмитова квадратичная функция (или соответствующая ей эрмитова симметричная функция $f$). + Тогда в $V$ существует базис $e$, в котором матрица $q(f)$ диагональна, причем на главной диагонали + стоят числа $\pm 1$ и $0$. +\end{theorem} + +\begin{idea} + Пусть $q \neq 0$. Тогда в $V$ существует такой ненулевой вектор $e_1$, что $q(e_1) \neq 0$. + Без ограничения общности можно перейти к $q(e_1) = \pm 1$. \\ Тогда можно рассмотреть пространство + $U = \langle e_1 \rangle$ и ортогональное дополнение к нему, образующие прямую сумму. +\end{idea} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_11.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_11.tex new file mode 100644 index 00000000..18b795de --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_11.tex @@ -0,0 +1,534 @@ +% 19.04.23 + +\begin{reminder} + Функция $q(x)$ называется эрмитовой квадратичной функцией, если она получена сужением на $\Delta \subseteq V \times V$ + эрмитовой полуторалинейной функции $q(x) = f(x, y) \vert_{\Delta} = f(x, x)$. \\ + Таким образом $f(x, y) = \overline{f(y, x)}$, откуда $q(x) = f(x, x) = \overline{f(x, x)} \in \R$. +\end{reminder} + +\begin{proposition} + Пусть $e$ - канонический базис в пространстве $V$, $q(x)$ - квадратичная эрмитова функция. + Тогда: + \begin{enumerate} + \item $q(x)$ положительно определена тогда и только Тогда, когда её матрица в каноническом + базисе единичная + \item $q(x)$ положительно полуопределена тогда и только тогда, когда её матрица в + каноническом базисе не имеет -1 на главной диагонали. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item \begin{enumerate} + \item Необходимость - как в вещественном случае. + \item Достаточность: $$q(x) = x^T A \overline{x} = x^T \overline{x} = \sum_{i=1}^{n} x_i \overline{x_i} + = \sum_{i=1}^{n} |x_i| = 0.$$ + \end{enumerate} + \item \begin{enumerate} + \item Необходимость - как в вещественном случае. + \item Достаточность. Матрица принимает следующий вид: + \begin{gather*} + A = \begin{pmatrix} + E_r & 0 \\ + 0 & 0 \\ + \end{pmatrix} + \end{gather*} + Тогда $r = \rk r$, $q(x) = x^T A \overline{x} = \sum_{i=1}^{r} |x_i|^2 \geq 0$ для всех $x \in V$. + \end{enumerate} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{proposition}[Закон инерции для квадратичных эрмитовых функций]~ + + Пусть $e$ - произвольный канонический базис для $q(x)$ и пусть $p, q$ - положительный и отрицательный + индексы инерции относительно $e$. Тогда: + \begin{enumerate} + \item $p = \max \{\dim U | U \leq V: q \vert_{U} \text{ - положительно опеределена}\}$. + \item $q = \max \{\dim U | U \leq V: q \vert_{U} \text{ - отрицательно опеределена}\}$. + \item $p$ и $q$ не зависят от выбора канонического базиса. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proposition}[Аналог критерия Сильвестра]~ + + Пусть $q(x) \in H(V)$ - эрмитова квадратичная функция, $A$ - её матрица в произвольном базисе, где + выполняется условие эрмитовости $\overline{A^T} = A$. Тогда: + \begin{enumerate} + \item $q(x)$ положительно определена тогда и только тогда, когда $\Delta_1 > 0$, $\Delta_2 > 0$, $\dots$, + $\Delta_n > 0$. + \item $q(x)$ отрицательно определена тогда и только тогда, когда $\Delta_1 > 0$, $\Delta_2 > 0$, $\dots$, + $\sgn (\Delta_n) = (-1)^n$. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\subsection{Евклидовы и Эрмитовы пространства} + +\begin{definition} + Линейное пространство над полем действительных чисел называется Евклидовым, если + на нем определена положительно определенная билинейная симметрическая функция $f(x, y)$. По + определению $f(x, y)$ называется скалярным произведением и обозначается $(x, y)$. + Скалярное произведение можно определить при помощи следующих аксиом: + \begin{enumerate} + \item $(x, y) = (y, x)$ - симметричность, + \item $(x_1 + x_2, y) = (x_1, y) + (x_2, y)$, + \item $\forall \lambda \in \R \hookrightarrow (\lambda x, y) = \lambda(x, y)$, + \item $(x, x) \geq 0$, при этом $(x, x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ - положительная определенность. + \end{enumerate} + Второе и третье свойства вместе называются линейностью по первому аргументу. +\end{definition} + +\begin{example}~ + \begin{enumerate} + \item Пространство $V_3$ со скалярным произведением $(x, y) = |x| |y| \cos\angle (x, y)$, + \item Пространство $\R^n$ со скалярным произведением $(x, y) = x^T E y = x^T y = \displaystyle\sum_{x_i}^{y_i}$. + \item Пространство $M_n(\R)$ со скалярным произведением $(X, Y) = \tr(X^T, Y)$, + \item Пространство $C_{[a, b]}$ со скалярным произведением $ (f, g) = \int_{a}^{b} f(x)g(x) dx$. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{definition} + Длиной вектора $x$ называется $|x| = \sqrt{(x,x)}$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Если $x, y$ - два ненулевых вектора, то можно ввести угол между ними: + $$\phi = \angle (x, y) = \arccos \frac{(x, y)}{\sqrt{(x, x)(y, y)}}.$$ +\end{definition} + +\begin{note} + В понятие скалярного произведения включена возможность введения длины вектора и угла между + векторами. +\end{note} + +\begin{definition} + Пусть $V$ - линейное пространство над $\Cm$. $V$ называется эрмитовым, если на $V$ определена + положительно определенная эрмитова полуторалинейная функция $f(x, y)$. Аналогично с евклидовыми + пространствами $f(x, y)$ называется скалярным произведением и обозначается $(x, y)$. +\end{definition} + +\begin{note} + В отличие от Евклидовых прространств, на эрмитовых пространствах скалярное произведение может + принимать комлексные значениях. +\end{note} + +\begin{note} + Скалярное произведение на Эрмитовых пространствах можно определить при помощи следующих аксиом: + \begin{enumerate} + \item $(x, y) = \overline{y, x}$ - эрмитова симметричность. + \item $(x_1 + x_2, y) = (x_1, y) + (x_2, y)$, + \item $\forall \lambda \in \Cm \hookrightarrow (\lambda x, y) = \lambda(x, y)$ + \item Для всех $x \in V$ верно $(x, x) \in \R$, причем $(x, x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$. + \end{enumerate} +\end{note} + +\begin{example}~ + \begin{enumerate} + \item Эрмитово пространство $\Cm^n$ со скалярным произведением + $(x, y) = x^T \cdot E \cdot \overline{y} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i \overline{y_i}$. + \item Эрмитово пространство $M_n(\Cm)$ со скалярным произведением $(X, Y) = \tr (X^T \overline{Y})$. + \item Пространство $C_{[a, b]}^{\Cm}$ со скалярным произведением $(f, g) = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} dx$. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{note} + Многие утверждения этого раздела верны одновременно и для евклидовых и для эрмитовых пространств, + поэтому в случае, когда это так, будем говорить "пространство со скалярным произведением"\,, подразумевая + любое из них. +\end{note} + +\begin{definition} + Матрицей Грама системы $a_1, a_2, \dots a_k$ называется матрица: + \begin{gather*} + \Gamma(a_1, \dots a_n) = \begin{pmatrix} + (a_1, a_1) & (a_1, a_2) & \dots & (a_1, a_k) \\ + (a_2, a_1) & (a_2, a_2) & \dots & (a_2, a_k) \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + (a_k, a_1) & (a_k, a_2) & \dots & (a_k, a_k) + \end{pmatrix} + \end{gather*} +\end{definition} + +\begin{theorem}~ + \label{th11.1} + \begin{enumerate} + \item + Пусть $e_1, e_2, \dots e_n$ - базис в $V$, $\Gamma = \Gamma(e)$. Тогда $\forall x, y \in V$ верно + $(x, y) = x^T \cdot \Gamma \cdot \overline{y}$ + \item Пусть $a_1, a_2, \dots a_k$ - произвольная система векторов в $V$. Тогда $|\Gamma(a_1, \dots a_n)| \geq 0$, + причем равенство достигается тогда и только тогда, когда система линейно зависима. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item $f(x, y) = x^T \cdot A \cdot \overline{y} = x^T \cdot \Gamma \cdot \overline{y}$, + где $a_{ij} = f(e_i, e_j) = (e_i, e_j) = (\Gamma)_{ij}$. + \item Пусть система линейно независима. Тогда $U = \langle a_1, a_2, \dots a_k \rangle$, + $f \vert_{U}$ - положительно определена, а значит по критерию Сильвестра $|\Gamma(a_1, \dots a_n)| > 0$. + + Пусть теперь система линейно зависима и без ограничения общности: + $$a_k = \lambda_1 a_1 + \dots + \lambda_{k-1} a_{k-1}.$$ + Заметим, что элемент нижней строки матрицы Грама в таком случае равен: + $$(a_k, a_i) = (\lambda_1 a_1 + \dots + \lambda_{k-1} a_{k-1}, a_i) = \lambda_1 (a_1, a_i) + + \lambda_2 (a_2, a_i) + \, \dots \, + \lambda_{k-1} (a_{k-1}, a_i).$$ + Таким образом строки матрицы Грама линейно зависимы, так как последнюю строку можно представить + в виде суммы всех предыдущих с коэффициентами $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\dots$, $\lambda_{k-1}$. + + Тогда матрица Грама вырождена, а значит её определитель равен нулю. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Пусть $\Gamma = \Gamma(a_1, a_2, \dots a_n)$, $n = \dim V$. Тогда $\Gamma$ положительно определена + тогда и только тогда, когда $a_1, a_2, \dots a_n$ - базис в $V$. +\end{corollary} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость. + + Пусть $|\Gamma(a_1, a_2, \dots a_n)| > 0$. Тогда по теореме \ref{th11.1} система + $a_1, a_2, \dots a_n$ линейно независима, а значит является базисом в $V$. + \item Достаточность. + + Пусть система $a_1, a_2, \dots a_n$ является базисом. Тогда она + линейно независима, а значит определитель матрицы Грама $|\Gamma(a_1, a_2, \dots a_n)| > 0$. Тогда по + критерию Сильвестра $\Gamma$ положительно определена. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{theorem}[Неравенство Коши-Буняковского] + Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением, и пусть $x, y \in V$. Тогда: + \begin{gather*} + |(x, y)|^2 \leq (x, x) \cdot (y, y) + \end{gather*} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Пусть $x$ или $y$ - нулевой вектор, тогда $0 = 0$. + \item Пусть $x$ и $y$ ненулевые и коллинеарны, то есть $y = \lambda x$. Тогда: + \begin{gather*} + |(x, \lambda x)|^2 = |\lambda|^2 |(x, x)|^2 = \lambda \overline{\lambda} |(x, x)|^2 = + (x, x) (y, y) + \end{gather*} + \item Пусть $x$ и $y$ ненулевые и неколлинеарны. Тогда система из $x$ и $y$ линейно независима, а значит + по теореме \ref{th11.1}: + \begin{gather*} + 0 < |\Gamma(x, y)| = (x, x)(y, y) - (x, y)(y, x) = (x, x)(y, y) - |(x, y)|^2. + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + В неравенстве Коши-Буняковского равенство достигается тогда и только тогда, когда система один из + векторов нулевой или они коллинеарны. +\end{corollary} + +\begin{corollary}[Корректность определения угла]~ \\ + Пусть $V$ - евклидово пространство, $x, y$ - ненулевые векторы. Тогда по КБ + $|(x, y)| \leq \sqrt{(x, x)(y, y)}$, а значит аргумент $\arccos \frac{(x, y)}{\sqrt{(x, x)(y, y)}}$ + не превосходит 1. +\end{corollary} + +\begin{corollary}[Неравенство треугольника] + Для всех $x, y \in V$ верно: + \begin{gather*} + |x + y| \leq |x| + |y| + \end{gather*} +\end{corollary} + +\begin{proof} + Докажем непосредственной проверкой: + \begin{gather*} + | x + y |^2 = (x+y, x+y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) = (x, x) + 2 \re (x, y) + (y, y). + \end{gather*} + При этом $\re (x, y) \leq |(x, y)| \leq |x| \cdot |y|$, а значит: + \begin{gather*} + |x + y|^2 \leq |x|^2 + 2 |x| \cdot |y| + |y|^2 = (|x| + |y|)^2. + \end{gather*} + Величины $|x|$ и $|y|$ неотрицательны, а значит $|x+y| \leq |x| + |y|$. +\end{proof} + +\subsubsection{Ортогональность в пространстве со скалярным произведением} + +\begin{definition} + $x \perp y$ если $(x, y) = 0$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Система векторов $x_1, x_2, \dots x_k$ называется ортогональной тогда и только тогда, когда + $(x_i, x_j) = 0$ для всех $i \neq j$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Система векторов $x_1, x_2, \dots x_k$ называется ортонормированной тогда и только тогда, когда + она ортогональна и нормирована. Нормированность означает, что $(x_i, x_i) = 1$ для всех $i$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Система подпространств $U_1$, $U_2, \dots$, $U_k$ называется ортогональной тогда и только тогда, + когда для любой системы векторов $u_1 \in U_1$, $u_2 \in U_2$, $\dots u_k \in U_k$ верно, + что она ортогональна. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Пусть $U_1$, $U_2, \dots$, $U_k$ - ортогональная система подпространств. Тогда + \begin{gather*} + U_1 + U_2 + \dots U_k = U_1 \oplus U_2 \oplus \dots \oplus U_k. + \end{gather*} +\end{proposition} + +\begin{proof} + Покажем, что пересечение подпространств $U_i \cap (U_1 + \dots + U_k) = \{0\}$. + + Действительно, пусть $x \in U_i$ и $x \in U_1 + \, \dots \, + U_{i-1} + U_{i+1} \, \dots \, + U_k$. Тогда: + \begin{gather*} + (x, x) = (x_i, x_1 + \, \dots \, + x_{i-1} + x_{i+1} + \, \dots \, + x_k) = 0. + \end{gather*} + + Таким образом $x = 0$, а значит $U_i \cap (U_1 + \dots + U_k) = \{0\}$. +\end{proof} + +\begin{corollary} + \label{col11.1} + Если $U_1$, $U_2, \dots$, $U_k$ - ортогональная система подпространств, то эти подпространства + линейно независимы. +\end{corollary} + +\begin{corollary} + Если векторы $x_1, \, \dots , \, x_k$ ненулевые и образуют ортогональную систему, то они линейно-независимы. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $U_1 = \langle x_1 \rangle$, $U_2 = \langle x_2 \rangle$, $\dots$, $U_k = \langle x_k \rangle$. + Тогда если система $x_1, \, \dots , \, x_k$ линейно зависима, то соответствующие пространства + $U_1$, $U_2, \dots$, $U_k$ линейно зависимы, что противоречит следствию \ref{col11.1}. +\end{proof} + +\begin{proposition} + Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением. Тогда в нём существует ортонормированный базис. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $f(x, y) = (x, y)$, тогда для неё существует канонический базис, в котором $f$ имеет + матрицу $E$. $f(e_i, e_j) = (e_i, e_j) = \delta_{ij}$, откуда этот базис - ортонормированный. +\end{proof} + +\begin{corollary}[Выражение координат векторов и скалярного произведения в ортонормированном базисе] + Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением, $e$ - ортонормированный базис. Пусть + $x \leftrightarrow \alpha$, $y \leftrightarrow \beta$. Тогда: + \begin{enumerate} + \item $(x, y) = \alpha^T \cdot \overline{\beta}$, + \item $\alpha_i = (x, e_i)$. + \end{enumerate} +\end{corollary} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item $f(x, y) = \alpha^T \cdot A \cdot \overline{\beta} = \alpha^T \cdot E \cdot \overline{\beta} + = \alpha^T \cdot \overline{\beta}$. + \item $(x, e_i) = (\alpha_1, \,\dots ,\,) \cdot (0, \, \dots , \, 1, \, \dots , \, 0)^T = + \alpha_i$, + + где единица в столбце координат вектора $e_i$ стоит на $i$-й позиции. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsubsection{Задача об ортогональной проекции} + +\begin{problem} + Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением, $U$ - подпространство $V$. Обозначим + размерность $V$ за $n$, размерность $U$ за $k$. Тогда сужение на $U$ + невырожденной функции $f(x, y)$, являющейся скалярным произведением в $V$, так же будет являться + скалярным произведением и в $U$. \\ + Пространство $V$ будет представляться как $V = U + U^{\perp}$. \\ + Дан базис в $U$, вектор $x \in V$. Требуется представить вектор $x$ в виде суммы его проекций + $\tilde{x} = \pr_U x$ и $\stackrel{o}{x} = \ort_U x$ на $U$ и $U^{\perp}$ соответственно. +\end{problem} + +\begin{algorithm}~ + \begin{enumerate} + \item Зафиксируем в $U$ ортонормированный базис $e_1, \dots e_k$, достроив его до базиса + $e_1, \dots e_n$ в $V$. Тогда: + \begin{gather*} + x = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i e_i + \sum_{i=k+1}^{n}\alpha_i e_i. + \end{gather*} + При этом $\displaystyle\sum_{i=1}^{k} \alpha_i e_i \in U$, + $\displaystyle \sum_{i=k+1}^{n}\alpha_i e_i \in U^{\perp}$. Тогда + $\tilde{x} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k}\alpha_i e_i$, откуда $\stackrel{o}{x} = x - \tilde{x}$. + \item Зафиксируем в $U$ ортогональный базис $e_1, e_2, \dots e_k$, достроив его до + ортогонального базиса $e_1, \dots e_n$ в $V$. Тогда рассмотрим базис $e'$ такой, что + $e'_i = \frac{e_i}{|e_i|}$, очевидно являющийся ортонормированным. Тогда + \begin{gather*} + \tilde{x} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k} (x, e'_i)e'_i = \displaystyle\sum_{i=1}^{k} (x, e'_i) + \frac{e_i}{|e_i|} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \frac{(x, e_i)}{(e_i, e_i)} e_i = + \pr_e x = \frac{(x, e)}{(e, e)} e. + \end{gather*} + \item Зафиксируем произвольный базис $e_1, e_2, \dots e_k$ в $U$, достроив его до базиса + $e_1, \dots e_n$ в $V$. + Тогда необходимые нам векторы выражаются как $\tilde{x} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i e_i$ и $\stackrel{o}{x} = x - \tilde{x} = + x - \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i e_i \perp e_1, \, \dots , \, e_k$. + + Чтобы получить коэффициенты $\lambda_i$ запишем следующую систему: + \begin{eqnarray*} + \begin{cases*} + (x - \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i e_i, e_1) = 0, + \\ + (x - \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i e_i, e_2) = 0, + \\ + \dots + \\ + (x - \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i e_i, e_k) = 0. + \end{cases*} \Leftrightarrow \begin{cases*} + (e_1, e_1) \lambda_1 + (e_2, e_1) \lambda_2 + \, ... \, + (e_k, e_1) = (x, e_1), + \\ + (e_1, e_2) \lambda_1 + (e_2, e_2) \lambda_2 + \, ... \, + (e_k, e_2) = (x, e_2), + \\ + \dots + \\ + (e_1, e_k) \lambda_1 + (e_2, e_k) \lambda_2 + \, ... \, + (e_k, e_k) = (x, e_k). + \end{cases*} + \end{eqnarray*} + Матрица системы является сужением $\Gamma$ на $U$, а значит $|\Gamma \vert_{U} (e_1, \, \dots, \, e_k)| > 0$. + Таким образом по теореме Крамера система имеет единственное решение. + \end{enumerate} +\end{algorithm} + +\begin{note} + Есть и другой способ решения данной задачи, основанный на процедуре ортогонализации Грама-Шмидта. +\end{note} + +\begin{definition} + Процедурой ортогонализации называется любой алгоритм, позволяющий по произвольному базису + в пространстве $V$ построить ортогональный базис. +\end{definition} + +\begin{theorem}[Грама-Шмидта] + Пусть $e$ - произвольный базис в пространстве $V$ со скалярным произведением. Тогда существует + базис $f$ в пространстве $V$, такой что: + \begin{enumerate} + \item Для всех $k = 1, \dots n$ верно $\langle e_1, \, \dots, \, e_k \rangle = \langle f_1, \dots f_k \rangle$ + \item Матрица перехода $S = S_{e \to f}$ унипотентна. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Докажем по индукции по $n = \dim V$. + \begin{enumerate} + \item База $n = 1$ - $f_1 = e_1$, $S = (1)$. + \item Предположим, для подпространства из $k-1$ вектора построено. Покажем, что для подпространства + образованного $e_1, \dots e_k$ можно достроить построенный базис. Выберем + $f_k = \ort e_k \langle f_1, \dots f_{k-1} \rangle$. Тогда: + \begin{enumerate} + \item По построению $f_k$ получаем $f_k \perp \langle f_1, \dots f_{k-1} \rangle$, + откуда $f_1, \dots f_k$ - ортогональная система. + \item Пусть $f_k = 0$. Тогда $e_k \in \langle f_1, \dots f_{k_1} \rangle = \langle e_1, \dots e_{k_1} \rangle$, + а значит базис $e$ - линейно зависимый, что приводит к противоречию. Таким образом $f_k \neq 0$. + \item Покажем, что $\langle f_1, \dots f_{k} \rangle = \langle e_1, \dots e_{k} \rangle$. + Действительно, вектор $f_k$ выражается как: + $$f_k = e_k - \tilde{e_k} \in \langle f_1, \, \dots ,\, f_{k-1}\rangle + = e_k - \displaystyle\sum_{i=1}^{k-1} \lambda_i f_i.$$ + Тогда $e_k = f_k + \displaystyle\sum_{i=1}^{k-1} \lambda_i f_i \in \langle f_1, \dots f_{k} \rangle$. + + При этом по предположению индукции $\langle f_1, \dots f_{k-1} \rangle = + \langle e_1, \dots e_{k-1} \rangle$. \\ Таким образом + $\langle f_1, \dots f_{k} \rangle \subseteq + \langle e_1, \dots e_{k} \rangle$. Покажем включение в обратную сторону. + + Как было показано выше, $f_k = e_k - \tilde{e_k}$, что значит, что $f_k \in \langle e_1, + \, \dots, \, e_k \rangle$. Так же по предположению индукции $\langle f_1, \dots f_{k-1} \rangle = + \langle e_1, \dots e_{k-1} \rangle$, откуда $\langle e_1, \dots e_{k} \rangle \subseteq + \langle f_1, \dots f_{k} \rangle$. + \end{enumerate} + Таким образом построенный базис будет иметь вид $f_1 = e_1$, $f_k = e_k - \tilde{e_k} = + e_k - \displaystyle\sum_{i=1}^{k-1} \frac{(e_k, f_i)}{(f_i, f_i)}f_i$. Осталось показать, что + матрица перехода является унипотентной. Используя выражения $f_k$ через $e_1, \dots e_k$ запишем + матрицу $S_{e \to f}$: + \begin{gather*} + S_{e \to f} = \begin{pmatrix} + 1 & -\alpha & \dots & -\beta_1 \\ + 0 & 1 & \dots & -\beta_2 \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & 1 + \end{pmatrix} + \end{gather*} + Где коэффициент $\alpha$ равен $\alpha = \frac{(e_2, f_1)}{(f_1, f_1)}$, коэффициенты $\beta$ + равны $\beta_i = \frac{(e_k, f_i)}{(f_i, f_i)}$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Процедура ортогонализации Грама-Шмидта дает нулевой вектор на некотором шаге тогда и только тогда, + когда система $e_1, \dots e_n$ линейно зависима, что позволяет использовать её для проверки линейной + независимости системы. +\end{note} + +\begin{exercise} + Пусть по базису $(a_1, \dots a_k)$ при помощи процедуры Грама-Шмидта был построен базис $(f_1, \dots f_k)$. + Доказать, что $|\Gamma(f_1, \dots f_k)| = |\Gamma(a_1, \dots a_k)|$. +\end{exercise} + +\begin{corollary} + $0 \leq |\Gamma(a_1, \dots a_k)| \leq |a_1|^2 \cdot |a_2|^2 \cdot \dots |a_k|^2$. +\end{corollary} + +\begin{corollary} + Если $U \leq V$, $e_1, \dots e_k$ - ортогональный базис в $U$, то существует ортогональный + базис $e_1, \dots e_k, e_{k+1}, \dots e_n$ в $V$. +\end{corollary} + +\begin{idea} + Дополним $e_1, \dots e_k$ до какого-нибудь базиса в $V$, после чего ортогонализируем его. Очевидно, + метод Грама-Шмидта не испортит первые $k$ векторов. +\end{idea} + +\subsubsection{Ортогональные и унитарные матрицы} + +\begin{definition} + Матрица $A \in M_n(\R)$ называется ортогональной, если $A^T A = E$, откуда так же $A A^T = E$. +\end{definition} + +\begin{example} + Матрица поворота $A = \begin{pmatrix} + \cos \phi & - \sin \phi \\ + \sin \phi & \cos \phi \\ + \end{pmatrix}$ +\end{example} + +\begin{definition} + Матрица $A \in M_n(\Cm)$ называется унитарной, если $\overline{A^T} A = E = A \overline{A^T}$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением, $e$ - ортонормированный базис в $V$, + $f$ - произвольный базис в $V$. Тогда матрица перехода $S = S_{e \to f}$ является + ортогональной тогда и только тогда, когда $f$ - ортонормированный базис. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $f(x, y)$ имеет матрицу $\Gamma$. Тогда так как $e$ - ортонормированный базис, его + матрица Грама является единичной $\Gamma(e) = E$. + + Тогда $\Gamma(f) = S^T \cdot \Gamma(e) \cdot \overline{S} = S^T \cdot \overline{S}$. Верна следующая цепочка эквивалентностей: + + $f$ - ортонормированный базис $\Leftrightarrow$ $\Gamma(f) = E$ $\Leftrightarrow$ $S^T \cdot \overline{S} = E$ + $\Leftrightarrow \overline{S^T} \cdot S = E$. +\end{proof} + +\begin{corollary}~ + \begin{enumerate} + \item + Множество всех ортогональных матриц в $GL_n(\R)$ является подгруппой и называется ортогональной + подгруппой, используется обозначение $O_n(\R)$. + \item Множество всех унитарных матриц в $GL_n(\R)$ является подгруппой и называется + унитарной подгруппой, используется обозначение $U_n(\R)$. + \end{enumerate} +\end{corollary} + +\begin{proof}~ + + Пусть $A, B$ - унитарные матрицы, $A = S_{e \to f}$, $B = S_{f \to g}$. + Тогда $A \cdot B = S_{e \to g}$, $A^{-1} = S_{f \to e}$. Таким образом $A\cdot B$ и $A^{-1}$ + так же являются унитарными, а значит $U_n(\R)$ - группа. +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_12.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_12.tex new file mode 100644 index 00000000..637ff5c1 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_12.tex @@ -0,0 +1,298 @@ +\subsection{Изоморфизм евклидовых (эрмитовых) пространств} +\begin{definition} + Пусть $V_1, V_2$ -- евклидовы (эрмитовы) пространства. Тогда $\phi: V_1 \to V_2$ называется изоморфизмом, если: + \begin{enumerate} + \item $\phi$ -- изоморфизм линейного пространства $V_1$ на линейное пространство $V_2$ + \item $\phi$ сохраняет скалярное произведение: $(\phi(x), \phi(y)) = (x, y) \forall x, y \in V$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{proposition} + Два конечномерные евклидовые (эрмитовые) пространства $V_1$ и $V_2$ изоморфны тогда и только тогда, когда $\dim V_1 = \dim V_2$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Необходимость очевидна по соответсвующей теореме для линейных пространств. \\ + Достаточность: пусть $\dim V_1 = \dim V_2$ и $e$ -- ортонормированнй базис в $V_1$, $f$ -- ортонормированный базис в $V_2$. Тогда можно подобрать такой оператор $\phi: V_1 \to V_2$, что $V_1 \cong V_2$ (как и в первом семестре), причем все условия сохранятся: $\phi(e_i) = f_i \forall i$, $\phi(e \alpha) = f \alpha$, $(x, y) = \alpha^T \overline{\beta}$. +\end{proof} + +\begin{theorem}[Рисс] + Пусть $V$ -- конечномерное евклидово пространство. Тогда соответсвия $a (\in V) \to f_a$, такие что $f_a(x) = (x, a)$. В этом случае $f_a(x) \in V^*$ и обратно, если каждый линейный функционал $f$ на $V$ имеет вид $f_a$ для однозначно определенного вектора $a \in V$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + То, что $f_a \in V^*$ очевидно следует из линейности скалярного произведения ($f \neq 0$). Теперь пусть $f: V \to \R$ -- линейный функционал на $V$ и $\dim \ker f = \dim V - \dim \R = n - 1$. + Возьмем $U = \ker f$ и ортогональное дополнение $U^{\perp}$. Пусть $e$ -- единичный вектор из $U^{\perp}$, возьмем $a = f(e)e$. Тогда $f_a(U) = (U, a) = (U, f(e) e) = 0$ и $f_a(e) = (e, a) = (e, f(e)e) = f(e) |e|^2 = f(e)$. Таким образом мы доказали, что $f$ и $f_a$ совпадают на $U, U^{\perp}$, то есть совпадают на всем пространстве $V$. +\end{proof} +\begin{note} + Существует каноническая биекция $\phi: V \to V^*$, для которой верно: $\phi(a) = f_a$, причем $\forall f_a, f_b (\neq = 0) (f_a, f_b) = (a, b)$. +\end{note} + +\begin{theorem}[о каноническом изоморфизме евклидова пространства $V$ и сопряженного $V^*$] + Каноническая биекция $\phi(a) = f_a$ является изоморфизмом евклидовых пространств. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Биективность следует из теоремы Рисса, аддитивность: $f_{a + b} = f_a + f_b$, так как $(x, a + b) = (x, a) + (x, b)$. Также сохраняется скалярное произведение: $(f_a, f_b) = (\phi(a), \phi(b)) = (a, b)$. +\end{proof} + +\begin{note} + Эрмитов случай: пусть $f_a(x) = (x, a) \in V^*$, $\phi: V \to V^*$. Тогда теорема Рисса доказывается (и работает) дословно, но $a = \overline{f(e)} e$. Но в этом случае каноническая биекция $\phi$ -- антилинейна, поэтому она не будет изоморфизмом и скалярное произведение теперь выглядит так: $(f_a, f_b) = (b, a)$. Отсутсвие изоморфизма доказывает следующая цепочка равенств: + \begin{gather*} + f_{\lambda a}(x) = (x, \lambda a) = \overline{\lambda} (x, a) = \overline{\lambda} f_a(x) + \end{gather*} + тогда + \begin{gather*} + (f_a, \lambda f_b) = (f_a, f_{\overline{\lambda} b}) = (\overline{\lambda} b, a) = \overline{\lambda}(b, a) = \overline{\lambda} (f_a, f_b) + \end{gather*} + Вывод: $(\phi(a), \phi(b)) = (f_a, f_b) = (b, a) = \overline{(a, b)}$. Так как скалярное произведение не сохраняется, то $\phi$ -- не изоморфизм. \\ + В эрмитовом случае $\phi$ называется антиизоморфизмом. +\end{note} + +\subsubsection{Свойства операции ортогонального дополнения} +Пусть $\phi: V \to V^*$ -- изоморфизм для Евклидова пространства и антиизоморфизм для Эрмитова. И пусть $\psi: V^* \to V$, ткое что $\phi \circ \psi = \psi \circ \phi = E$. + +\begin{proposition} +\label{pr 12.2} + Пусть $U \subseteq V$, тогда $U^{\perp} = \psi (U^{\circ})$, где $U^{\circ}$ -- аннулятор пространства $U$ в $V^*$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + $y \in U^{\perp} \Leftrightarrow \forall x \in U \hookrightarrow (x, y) = 0 \Leftrightarrow \forall x \in U f_y(x) = 0 \Leftrightarrow f_y \in U^{\circ} \Leftrightarrow \psi(f_y) \in \psi(U^{\circ})$. Значит, мы доказали, что для любого вектора из ортогонального дополнения его образ принадлежит образу аннулятора, а так как в обратную сторону очевидно, то $U^{\perp} = \psi(U^{\circ})$. +\end{proof} + +\begin{proposition} + Свойства ортогонального дополнения: + \begin{enumerate} + \item $(U^{\perp})^{\perp} = U$ + \item $(U + W)^{\perp} = U^{\perp}$ + \item $(U \cap W)^{\perp} = U^{\perp} + W^{\perp}$ + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item $x \in (U^{\perp})^{\perp} \Leftrightarrow \forall y \in U^{\perp} (x, y) = 0$. Но, с другой стороны, $\forall x \in U (x, y) = 0$. Значит, любой вектор из $U$ лежит в $(U^{\perp})^{\perp}$. И из того, что размерности равны, следует равенство пространств: $\dim (U^{\perp})^{\perp} = \dim V - \dim U^{\perp} = \dim V - (\dim V - \dim U) = \dim U$. + \item По утверждению \ref{pr 12.2}: + \begin{gather*} + (U + W)^{\perp} = \psi((U + W)^{\circ}) = \psi(U^{\circ} \cap W^{\circ}) = \psi(U^{\circ} \cap \psi(W^{\circ}) = U^{\perp} \cap W^{\circ} + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Для Евклидова пространства со скалярным произведением выполняются следующие утверждения: + \begin{enumerate} + \item Теорема Пифагора: $|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2$, откуда $|x| \leq |\ort_U x|$ + \item Формула расстояния от вектора до подпространства: $\rho (U, x) = \inf \rho (x, u) = \inf |x - u|$ - по всем $u \in U$. + \end{enumerate} +\end{note} + +\begin{proposition} + $\rho (U, x) = |\ort_U x|$ +\end{proposition} + +\begin{proof} + $|x - u| \geq |\stackrel{\circ}{x - u}|$ -- по определению. Тогда по теореме Пифагора: $|\stackrel{\circ}{x} - \stackrel{\circ}{u}| = |\stackrel{\circ}{x}$ -- ортогональное дополнение. +\end{proof} + +\begin{definition} + Определеим объем системы векторов по индукции: + \begin{enumerate} + \item $V_1(x_1) = |x_1|$ + \item $V_k(x_1, \dots x_k) = V_{k -1} (x_1, \dots, x_{k - 1}) \rho(x_k, \langle x_1, \dots, x_{k - 1} \rangle)$ + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{corollary} + $V_k(x_1, \dots, x_k) \geq 0$, причем равенство достигается только когда $\exists i \hookrightarrow \rho(x_k, \langle x_1, \dots, x_{k - 1} \rangle) = 0$. Что возможно только когда система $\langle x_1, \dots, x_{k - 1} \rangle$ -- линейно зависима. +\end{corollary} + +\begin{theorem}[о геометрическом свойстве определителя Грама системы векторов]~ + Если $x_1, \dots, x_k$ -- система векторов в пространстве со скалярным произведением, то $(V_k)^2(x_1, \dots, x_k) = |\Gamma(x_1, \dots, x_k)|$ +\end{theorem} + +\begin{proof} + Если система $x_1, \dots, x_k$ -- линейно зависима, то $0 = 0$ -- теорема выполняется. Пусть система линейно независима. + \begin{enumerate} + \item Покажем, что преобразование Грама-Шмидта не изменяет левую и правую части равенства: для этого возьмем унипотентную матрицу перехода $S$: $(y_1, \dots, y_k) = (x_1, \dots, x_k)S$, тогда: + \begin{gather*} + |\Gamma(y_1, \dots, y_k)| = |S^T \Gamma(x_1, \dots, x_k)S| = |\det S|^2 |\Gamma(x_1, \dots, x_k)| = |\Gamma (x_1, \dots, x_k)| + \end{gather*} + \item Теперь покажем равенство квадратов объемов индукцией по $k$: при $k = 1$ -- очевидно, что $y_1 = x_1$. Теперь пусть $V_{k - 1} (x_1, \dots, x_{k - 1}) = V_{k - 1}(y_1, \dots, y_{k - 1})$. По определению объема делаем шаг индукции: + \begin{gather*} + \rho(x_k, \langle x_1, \dots, x_{k -1} \rangle) = |\ort_{\langle x_1, \dots, x_{k -1} \rangle} x_k| = |\ort_{\langle x_1, \dots, x_{k -1} \rangle} y_k| = |\ort_{\langle y_1, \dots, y_{k -1} \rangle} y_k| = \rho(y_k, \langle y_1, \dots, y_k \rangle) + \end{gather*} + \item Теперь равенство достаточно доказать для ортонормированного базиса: + \begin{gather*} + (V_k)^2(y_1, \dots, y_k) = (V_{k - 1})^2(y_1, \dots, y_k) \rho^2(y_k, \langle y_1, \dots, y_k \rangle) = (V_{k - 1})^2(y_1, \dots, y_k) |y_k|^2 = \displaystyle\prod_{i = 1}^{k} (y_i, y_i) = |\Gamma (y_1, \dots, y_k) + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Пусть $e = (e_1, \dots, e_n)$ -- базис в $V$. Тогда если $(x_1, \dots, x_n) = (e_1, \dots, e_n)S$. Тогда $V_1(x_1, \dots, x_n) = |\det S| V_n(e_1, \dots, e_n)$ +\end{corollary} + +\begin{proof} + \begin{gather*} + (V_n)^2(x_1, \dots, x_n) = |\Gamma (x_1, \dots, x_n)| = |S^T \Gamma (e_1, \dots, e_n) S| = |\det S|^2 |\Gamma (e_1, \dots, e_n)| = |\det S|^2 (V_n)^2(e_1, \dots, e_n) + \end{gather*} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Пусть $e_1, \dots, e_n$ -- базис в $U$, тогда + \begin{gather*} + \rho(x, U) = \sqrt{\frac{|\Gamma (x, e_1, \dots, e_k)|}{|\Gamma (e_1, \dots, e_k)|}} + \end{gather*} +\end{corollary} + +\begin{proof} + Напрямую следует из того, что $\rho(x, U) = \frac{V_{k + 1}(x, e_1, \dots, k)}{V_k(e_1, \dots, e_k)}$ +\end{proof} + +\section{Сопряженные операторы} +\begin{note} + Далее: $V$ -- пространство со скалярным произведением, $\theta = 2$ в Евклидовом пространстве и $\theta = 1,5$ в Эрмитовом пространстве. $B_{\theta}(V)$ -- множество линейных функций на $V$, $\phi \in L (V)$ +\end{note} + +\begin{definition} + Пусть $l_{\phi}(x, y) = (\phi(x), y)$ -- $\theta$ - линейная функция. +\end{definition} + +\begin{proposition} + \label{pr 12.3} + Если $e$ -- ортонормированный базис в $V$ и $\phi$ в нем имеет вид матрицы $A$, то $l_{\phi}$ имеет вид матрицы $A^T$ в этом же базисе. +\end{proposition} + +\begin{proof} + $x$ имеет координаты $\alpha$, $y$ имеет координаты $\beta$, тогда $(x, y) = x^T B \overline{y}$. С другой стороны, $l_{\phi}(x, y) = (A \alpha, \beta) = (A \alpha)^T \beta = \alpha ^T A^T \beta$, откуда $B = A^T$ +\end{proof} + +\begin{corollary} + Соответствие $\phi \hookrightarrow l_{\phi}$ является линейной биекцией $\mathcal{L}(V)$ на $B_{\theta}(V)$ +\end{corollary} + +\begin{proof} + Жостаточно доказать аддитивность: $l_{\phi + \psi} (x, y) = ((\phi + \psi) (x), y) = (\phi(x), y) + (\psi(x), y) = l_{\phi}(x, y) + l_{\psi}(x, y)$ +\end{proof} + +\begin{definition} + Теперь пусть $r_{\phi}(x, y) = (x, \phi(y))$ -- $\theta$ - линейная функция. +\end{definition} + +\begin{corollary} + Соответсвие $\phi \hookrightarrow r_{\phi}$ является антилинейной биекцией $\mathcal{L}(V) \to B_{\theta}(V)$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + $r_{\lambda \phi} (x, y) = (x, \lambda \phi(y)) = \overline{\lambda} (x, \phi(y)) = \overline{\lambda} r_{\phi}(x, y)$ +\end{proof} + +\begin{definition} + Оператор $\phi^*$ называется сопряженным к оператору $\phi$, если $l_{\phi} = r_{\phi^*}$ +\end{definition} + +\begin{definition} + То же самое, но языком попроще: $(\phi(x), y) = (x, \phi^*(y)) \forall x, y \in V$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + \label{pr 12.4} + Если $e$ -- ортонормированный базис в $V$, $\phi \leftrightarrow A$, то $r_{\phi} \leftrightarrow \overline{A}$. +\end{proposition} + +\begin{corollary} + Если $e$ -- ортонормированный базис в $V$, $\phi \leftrightarrow A$, то $\phi^* \leftrightarrow A^* = \overline{A^T}$ +\end{corollary} + +\begin{proof} + $\phi \leftrightarrow A$ тогда по утверждению \ref{pr 12.3} выше и по \ref{pr 12.4} $l_{\phi} \leftrightarrow A^T$ по определению $r_{\phi^*} \leftrightarrow A^T$ и $\phi^* \leftrightarrow \overline{A^T}$ +\end{proof} + +\begin{corollary} + Для каждого $\phi \in L (V)$ сопряженный оператор $\phi^*$ существует и единственный +\end{corollary} + +\begin{corollary} + $\rk \phi = \rk \phi^*$ +\end{corollary} + +\begin{corollary} + $\overline{\chi_{\phi} (\lambda)} = \chi_{\phi^*}(\overline{\lambda})$ +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $e$ -- ортонормированный базис $\chi_{\phi^*}(\overline{\lambda}) = \det(\overline{A^T} - \overline{\lambda} E) = \det \overline{A^T - \lambda E)} = \overline{\det(A - \lambda E)} = \overline{\chi_{\phi} (\lambda)}$ +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если $\lambda$ -- собственное значение оператора $\phi$, то $\overline{\lambda}$ -- собственное значение оператора $\phi^*$. +\end{corollary} + +\begin{proposition} + Пусть $U$ - инвариантное относительно $\phi$ пространство. Тогда $U^{\perp}$ -- инвариантно относительно $\phi^*$ +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $x$ -- произвольный вектор $U$, $y$ -- произвольный вектор из $U^{\perp}$. Тогда по определению $(x, \phi^*(x)) = (\phi(x), y) = 0$. Значит, и $\phi^*(y) \in U^{\perp}$, то есть инвариантность выполняется. +\end{proof} + +\begin{theorem}[Фредгольм] + \begin{enumerate} + \item $\ker \phi^* = (Im \phi)^{\perp}$ + \item $Im \phi^* = (\ker \phi^*)^{\perp}$ + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Из первого пункта очевидно следует второй, поэтому докажем только первое утверждение теоремы. \\ + Пусть $y \in \ker \phi^*$ или $\phi^*(y) = 0$. Тогда $\forall x \in V \hookrightarrow (x, \phi^*(y)) = 0$. Отсюда по определению вытекает, что $(\phi(x), y) = 0$, поэтому $y \in (Im \phi)^{\perp}$. Мы доказали включение в одну сторону, тогда докажем, что равны размерности, откуда будут равны пространства: $\dim(\ker \phi^*) = \dim V - \dim(Im \phi^*) = \dim V - \rk \phi^* = \dim V - \rk \phi = \dim V - \dim (Im \phi) = \dim (Im \phi)^{\perp}$ +\end{proof} + +\subsection{Свойства операции сопряжения} +\begin{proposition} + \begin{enumerate} + \item $\phi^{**} = \phi$ + \item $(\phi + \psi)^* = \phi^* + \psi^*$ + \item $(\lambda \phi)^* = \overline{\lambda}\phi^*$ + \item $(\phi \psi)^* = \psi^* \phi^*$ + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof} + Доказательство вытекает из свойств матриц соответсвующих операторов. +\end{proof} + +\subsection{Самосопряженный оператор} +\begin{definition} + $\phi \in \mathcal{L}(V)$ назывется самосопряженным, если $\phi^* = \phi$ или $\forall x, y \in V \hookrightarrow (\phi(x), y) = (x, \phi(y))$ +\end{definition} + +\begin{corollary} + Если $e$ -- ортонормированный базис в $V$, то $\phi$ -- самосопряженный тогда и только тогда, когда $A = A^*$ (в Эрмитовом пространстве $A = \overline{A^T}$, в Евклидовом: $A = A^T$ соответственно). +\end{corollary} + +\begin{corollary} + $\phi$ -- самосопряженный в $V$, $U$ -- инвариантно относительно $\phi$. Тогда $U^{\perp}$ инвариантно относительно $\phi$. +\end{corollary} + +\subsection{Инвариантные подпространства малых размерностей} +\begin{proposition} + $\phi \in \mathcal{L}(V)$, $V$ над $\Cm$. + Тогда у $\phi$ обязательно существует одномерное инвариантное подпространство. +\end{proposition} + +\begin{proposition} + Рассмотрим характеристический многочлен $\chi_{\phi}(\lambda)$, тогда существует такое комплексное $\lambda_0$, что $\chi_{\phi}(\lambda_0) = 0$. Следовательно, $\lambda_0$ -- собственное значение, для которого существует собственный вектор $x$, на котором и строится инвариантное подпространство $U = \langle x \rangle$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Представим характеристический многочлен в виде $\chi_{\phi}(\lambda) = p_1(\lambda), \dots, p_s(\lambda)$, $\deg p_k(\lambda) \leq 2$, причем если $\deg p_k(\lambda) = 2$, то $D < 0$. По теореме Гамильтона-Кэли верно, что $\chi_{\phi}(\phi) = p_1(\phi), \dots, p_s(\phi) = 0$. Значит, среди многочленом существует вырожденный. Рассмотрим две ситуации степени этого многочлена: + \begin{enumerate} + \item $\deg p_k(\lambda) = 1$, \\ + $p_k(\lambda) = a(\lambda - \lambda_0)$, где $a \neq 0$. Тогда $p_k(\phi) = a(\phi - \lambda_0 E)$ и из-за вырожденности существует $x \neq 0 \hookrightarrow (\phi - \lambda_0 E)(x) = 0$. + \item $\deg p_k(\lambda) = 2$ \\ + По условию (по предположению) $p_k(\lambda) = a \lambda^2 + b \lambda + c, a \neq 0, D < 0$. Аналогично предыдущему пункту существует такой ненулевой вектор, что $(a\phi^2 + b\phi +cE)(x) = \overline{0}$. Тогда рассмотрим инвариантное подпространство $U = \langle x, \phi(x) \rangle$ и докажем, что его размерность ровно $2$. В противном случае размерность меньше и существует такой вектор, что $\phi(x) = \lambda x$, то есть $(a \lambda^2 + b \lambda + c)(x) = 0$, откуда $a \lambda^2 + b \lambda + c = 0$, то есть $\lambda$ -- корень $p_k(\phi)$ -- противоречит с отрицательностью дискриминанта. + \end{enumerate} +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_13.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_13.tex new file mode 100644 index 00000000..cbca4cae --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_13.tex @@ -0,0 +1,398 @@ +% 10.05.23 + +\subsection{Линейные операторы в пространстве со скалярным произведением} + +\begin{reminder} + Пространство со скалярным произведением называется Евклидовым в случае действительных чисел и Эрмитовым в случае комплексных чисел. +\end{reminder} + +\begin{theorem}[Основная теореиа о самосопряженных операторах] + \label{th 13.1} + Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением и $V \in \mathcal{L}(V)$. Тогда оператор $\phi$ самосопряженный тогда и только тогда, когда в $V$ существует ортонормированный базис, в котором $\phi$ принимает диагональный вид с собственными значениями на главной диагонали. +\end{theorem} + +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item Достаточность. Пусть существует такой ортонормированный базис, что $A_{\phi}$ имеет вид $A_{\phi} = + \begin{pmatrix} + \lambda_1 & \dots & 0 \\ + \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & \dots & \lambda_n \\ + \end{pmatrix}$. + Покажем, что $(\phi(x), y) = (x, \phi(y))$. + \begin{gather*} + (\phi(x), y) = (\phi(\sum_{i} x_i e_i), \sum_{j} y_j e_j) = (\sum_{i} x_i \phi(e_i), \sum_{j} y_j e_j) = + \sum_{i} \sum_{j} x_i \overline{y_j} \lambda_i (e_i, e_j) = \sum_{i} \lambda_i x_i \overline{y_i} \\ + (x, \phi(y)) = (\sum_{i} x_i e_i, \phi(\sum_{j} y_j e_j)) = (\sum_{i} x_i e_i, \sum_{j} y_j \phi(e_j)) = + \sum_{i} \sum_{j} x_i \lambda_j \overline{y_j} (e_i, e_j) = \sum_{i} \lambda_i x_i \overline{y_i} + \end{gather*} + \item Покажем, что все собственные значения самосопряженного оператора $\phi$ вещественные. + Для этого рассмотрим два случая: + \begin{enumerate} + \item Эрмитово пространство: \\ + Пусть $x$ - собственный вектор в $V$, $\lambda$ - соответствующее ему собственное значение. + Тогда $(\lambda x, x) = \lambda (x, x) = (\phi(x), x) = (x, \phi(x)) = (x, \lambda x) = \overline{\lambda} (x, x)$. Значит, $\lambda = \overline{\lambda} \in \R$. + \item Евклидово пространство: \\ + Пусть $e$ - ортонормированный базис. Тогда $A = A^* = A^T = \overline{A^T}$. Рассмотрим комплексное пространство $\Cm^n$ + со стандартным базисом и стандартным скалярным произведением. Определим оператор $\psi$ такой, что $\psi \leftrightarrow A$ (эрмитова матрица).Тогда $\psi$ - самосопряженный, а значит, по доказанному выше все собственные значения $\psi$ - вещественные и он раскладывается в произведение $\chi_{\psi} (\lambda) = (-1)^n \displaystyle\prod_{i = 1}^{n} (-1)^n (\lambda - \lambda_i)$. + Но тогда $\chi_{A} (\lambda) = \displaystyle\prod_{i = 1}^{n} (-1)^n (\lambda - \lambda_i)$, а значит, $\phi$ линейно + факторизуем и все собственные знаечния вещественные. + \end{enumerate} + Покажем теперь, что существует ортонормированный базис $e$, в котором $A_{\phi}$ диагонализуем. Индукция по + размерности пространтсва $n$: + \begin{enumerate} + \item База $n = 1$: $|e_1| = 1$ -- ортонормированный. + \item По предположению верно для $V: \dim V < n$. Переход. Пусть $\lambda_1 \in \R$ - собственное значение оператора $\phi$, $V_{\lambda_1}$ -- собственное подпространство. Тогда $V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_1}^{\perp}$. Для собственного подпространства рассмотрим базис $e_1$, в котором оператор сужения $\phi \vert_{V_{\lambda_1}}$ имеет диагональный вид со значением $\lambda_1$. Для ортогонального дополнения по предположению индукции существует базис $e_2$, в котором выполняются условия. Тогда для $V$ достаточно рассмотреть базис $e = e_1 \sqcup e_2$. + \end{enumerate} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Если $\phi$ самосопряженный оператор в $V$ то $\forall x \in V$ верно $(\phi(x), x) \in \R$. +\end{note} + +\begin{proof} + \begin{gather*} + (\phi(x), x) = (x, \phi(x)) = \overline{(\phi(x), x)} \\ + (\phi(x), x) = \displaystyle \sum_{i}^{n} \lambda_i x_i \overline{x_i} = \displaystyle \sum_{i}^{n} \lambda_i |x_i|^2 \in \R. + \end{gather*} +\end{proof} + +\begin{definition} + Самосопряженный оператор $\phi: V \to V$ называется положительно определенным если $\forall x \neq 0$ верно $(\phi(x), x) > 0$. Пишут $[\phi > 0]$. +\end{definition} + +\begin{corollary} + Оператор $\phi$ положительно определен тогда и только тогда, когда все его собственные значения $\lambda_i$ положительны. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $\phi$ положительно определен. Предположим противное: пусть существует $\lambda \leq 0$ для собственного вектора $x$. + Тогда $(\phi(x), x) = \lambda (x, x) \leq 0$. Противоречие. + В обратную сторону, пусть все собственные значения $\lambda_i$ положительны. Тогда $(\phi(x), x) = \sum_{i} \lambda_i |x_i|^2 > 0$ (в каноническом базисе). Таким образом, $\phi$ положительно определен. +\end{proof} + +\begin{proposition} + Пусть $\lambda_1$, $\lambda_2$ - различные собственные значения самосопряженного оператора $\phi$. + Тогда $V_{\lambda_1} \perp V_{\lambda_2}$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $x \in V_{\lambda_1}$, $y \in V_{\lambda_2}$. Тогда $(\phi(x), y) = (x, \phi(y))$, а значит $(\lambda_1 x, y) = (x, \lambda_2 y)$, то есть $\lambda_1 (x, y) = \overline{\lambda_2} (x, y) = + \lambda_2 (x, y)$. Отсюда $(\lambda_1 - \lambda_2)(x, y) = 0 \Mapsto x \perp y$ +\end{proof} + +\section{Ортогональные и унитарные операторы} + +\begin{definition} + Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением. Оператор $\phi \in \mathcal{L}(V)$ называется ортогональным (если $V$ - евклидово) и унитарным (если $V$ - эрмитово) если $\phi$ сохраняет + скалярное произведение: + \begin{gather*} + \forall x, y \in V \hookrightarrow (\phi(x), \phi(y)) = (x, y). + \end{gather*} +\end{definition} + +\begin{note} + Существует терминология, в которой эрмитовы пространства называются унитарными. Название унитарных операторов произошло от этого названия эрмитовых пространств. +\end{note} + +\begin{proposition} + $\phi \in \mathcal{L}(V)$ является ортогональным (унитарным) тогда и только тогда, когда $\phi$ сохраняет длины векторов, то есть $|\phi(x)| = |x|$ ($\phi$ - изометрический),$[\rho(x, y) = |x - y|]$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item Необходимость. По определению $(\phi(x), \phi(x)) = (x,x)$, а значит, $|\phi(x)| = |x|$. + \item Достаточность. Пусть $f(x ,y)$ - скалярное произведение - $\theta$-линейная симметричная (эрмитова симметричная) функция. Тогда по изоморфизму можно выбрать $q(x) = |x|^2$ - + квадратичную или эрмитову квадратичную функцию Тогда $\phi$ сохраняет $q(x)$ и сохраняет $f(x, y) = (x, y)$. $\phi$ также сохраняет скалярное произведение, так как (в евклидовом случае): $[(x, y) = \frac{1}{4} (q(x + y) - q(x - y))]$ + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{proposition} + \label{pr 13.2} + Пусть $\phi \in \mathcal{L}(V)$ является ортогональным (унитарным). Тогда $\phi^* \phi = \epsilon$ (или $\phi^* = \phi^{-1}$). +\end{proposition} + +\begin{proof} + По определению $(\phi(x), \phi(y)) = (x, y)$. Тогда $(\phi^* \phi(x), y) = (x, y)$. + Тогда $\phi^* \phi (x) = x$ для всех $x$, а значит, $\phi^* \phi = \epsilon$. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если $\phi$ - ортогональный (унитарный) оператор, то $|\det \phi| = 1$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + $e$ -- ортонормированный базис в $V$ и так как $\phi \leftrightarrow A \, \phi^* \leftrightarrow A^{-1} \, \overline{A^T} A = \epsilon \, \overline{\det A} \det A = 1 \, |\det A|^2 = 1$. +\end{proof} + +\begin{proposition} + $\phi \in \mathcal{L}(V)$ является ортогональным (унитарным) тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе $e$ пространтсва $V$ матрица $A_\phi$ является ортогональной (унитарной)(доказательство просто по определению). +\end{proposition} + +\begin{proposition} + \label{pr 13.4} + Пусть $\phi \in \mathcal{L}(V)$, $e$ - ортонормированный базис в $V$. Тогда $\phi$ ортогонален (унитарен) тогда и только + тогда, когда $\phi(e)$ - ортонормированный базис. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $\phi(e) = e' = e A$. Тогда $A$ - матрица перехода от базиса $e$ к $e'$. При этом $A$ - матрица оператора $\phi$ в базисе $e$. По условию $\Gamma(e) = E$. Тогда + \begin{gather*} + \Gamma(e') = \Gamma(\phi(e)) = (A^T \Gamma(e) \overline{A}) = A^T \overline{A} = E + \end{gather*} + Таким образом, $e'$ - ортонормированный базис. + $\overline{A_T} A = E$ тогда и только тогда, когда $\phi$ -- ортогональный (унитарный). +\end{proof} + +\begin{proposition} + Пусть $\phi$ -- ортогональный (унитраный) оператор в $V$ со скалярным произведением, $U$ инвариантно относительно $\phi$. Тогда $U^{\perp}$ - инвариантно относительно $\phi$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $\phi \vert_{U} : U \to U$. Тогда $\forall x \in U \exists x' \in U: x = \phi(x')$. \\ + Пусть $x \in U$, $y \in U^{\perp}$. Покажем, что $\phi(y) \in U^{\perp}$. + \begin{gather*} + (x, \phi(y)) = (\phi(x'), \phi(y)) = (x', y) = 0 \Mapsto \phi(y) \in U^{\perp} + \end{gather*} +\end{proof} + +\begin{theorem} + Пусть $V$ - эрмитово пространство, $\phi$ - унитарный оператор в $V$. Тогда существует ортонормированный базис $e$ в $V_1$ в котором $\phi$ диагонализуем с собственными значениями на главной диагонали, причем $|\lambda_i| = 1$. + $\phi = + \begin{pmatrix} + \lambda_1 & \dots & 0 \\ + \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & \dots & \lambda_n \\ + \end{pmatrix}$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Докажем индукцией по $\dim V$. + \begin{enumerate} + \item База $\dim V = 1$. Пусть $e$ - единичный вектор, $\phi(e) = \lambda e$. Тогда: + \begin{gather*} + (e, e) = (\phi(e), \phi(e)) = (\lambda e, \lambda e) = |\lambda|^2 (e, e), + \end{gather*} + откуда $|\lambda|^2 = 1$, а значит, $|\lambda| = 1$. + \item Пусть для подпространств $V$ размерности меньше $n$ утверждение верно. Возьмем + $\lambda_1$ - произвольное собственное значение оператора $\phi$, $|\lambda_1| = 1$. + Пусть $e_1$ - собственный вектор единичной длины. Тогда $V = \langle e_1 \rangle \oplus + \langle e_1 \rangle^{\perp}$. Для ортогонального дополнения к $\langle e_1 \rangle$ + утверждение верно по индукции. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsection{Канонический вид ортогонального оператора} + +\begin{example}~ + \begin{enumerate} + \item Тривиальный оператор $\epsilon$. + \item Оператор $R(\alpha)$ поворота на угол $\alpha$. + $R(\alpha) = + \begin{pmatrix} + \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\ + \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \\ + \end{pmatrix}$. + \item (Ортогональный) симметричный относительно подпространтсва оператор: \\ + Пусть $V = U \oplus U^{\perp}$, $x = x_1 + x_2$, где $x \in V$, $x_1 \in U$, $x_2 \in U^{\perp}$. + Тогда $\phi(x) = x_1 - x_2$. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{theorem}[о каноническом виде ортогонального оператора] + Пусть $V$ - евклидово пространство, $\phi: V \to V$ -- ортогональный оператор. Тогда существует ортонормированный базис $e$, в котором матрица $\phi$ состоит из матриц поворота и единиц на главной диагонали. + \[\phi = \left(\begin{array}{@{}cccc@{}} + \cline{1-1} + \multicolumn{1}{|c|}{R(\alpha_1)} & 0 & \dots & 0\\ + \cline{1-2} + 0 & \multicolumn{1}{|c|}{R(\alpha_2)} & \dots & 0\\ + \cline{2-2} + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + 0 & 0 & \dots & 1\\ + \end{array}\right),\] +\end{theorem} + +\begin{proof} + $\phi$ имеет в $V$ одномерные или двумерные инвариантные подпространства. Пусть $U$ - + одномерное подпространство, или, если таких нет, двумерное инвариантное подпространство. + \begin{enumerate} + \item Пусть $\dim U = 1$, $e \in U$, $|e|= 1$. Покажем, что в таком случае модуль $\lambda$ равен единице. В $U$ верно $\phi(e) = \lambda e$. Тогда $(e, e) = (\phi(e), \phi(e)) = + \lambda^2 (e, e)$. Отсюда $\lambda^2 = 1$, а значит $\lambda = \pm 1$. + \item Пусть $\dim V = 2$, $(e_1, e_2)$ - ортонормированный базис в $U$. Тогда $A^T A = E$. Найдем вид $A$. + Пусть $ A = \begin{pmatrix} + a & b \\ + c & d + \end{pmatrix}$. Тогда: + \begin{gather*} + \begin{pmatrix} + a & c \\ + b & d + \end{pmatrix} \begin{pmatrix} + a & b \\ + c & d + \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} + 1 & 0 \\ + 0 & 1 + \end{pmatrix} + \end{gather*} + Получим следующую систему уравнений: + \begin{gather*} + a^2 + c^2 = 1 (1) \\ + b^2 + d^2 = 1 (2) \\ + ab + cd = 0 (3) \\ + \end{gather*} + Положим + \begin{gather*} + a = \cos(\alpha), c = \sin(\alpha), b = - \sin(\beta), d = \cos(\beta) + \end{gather*} + Условия $(1)$ и $(2)$ очевидно выполняются. Проверим $(3)$ и найдем при помощи него связь + между углами $\alpha$ и $\beta$. + \begin{gather*} + -\cos(\alpha) \sin(\beta) + \sin(\alpha) \cos(\beta) = 0 \\ + \sin(\alpha - \beta) = 0 \hookrightarrow \alpha - \beta = \pi k, k \in Z + \end{gather*} + Рассмотрим случаи: + \begin{enumerate} + \item $\alpha = \beta$ -- по модулю $2\pi$. + \item $\alpha = \beta + \pi$ -- по модулю $2\pi$. + \item Покажем, что $\alpha + \beta = \pi$ быть не может: + \begin{gather*} + \cos(\beta) = \cos(\alpha - \pi) = -\cos(\alpha) \\ + \sin(\beta) = \sin(\alpha - \pi) = -\sin(\alpha) \Mapsto + A = \begin{pmatrix} + \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ + \sin(\alpha) & -\cos(\alpha) + \end{pmatrix} + \end{gather*} + Где $A^T = A$ и получаем два собственных вектора: $v_1 = (\cos(\frac{\alpha}{2}), \sin(\frac{\alpha}{2}))^T$, $v_{-1} = (-\sin(\frac{\alpha}{2}), \cos(\frac{\alpha}{2}))^T$ -- это противоречит с тем, что нет одномерных инвариантных подпространств. + \end{enumerate} + Теперь пространство $V$ раскладывается в прямую сумму $V = U \oplus U^{\perp}$. По предположению индукции для ортогонального дополнения $U$ теорема верна. Тогда она верна и для всего $V$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Пусть $V$ пространство над $\Cm$, $\dim V = 1$. Тогда: + \begin{gather*} + \phi(z) = r (\cos\phi + i \sin \phi) z = r e^{i \phi} z \\ + \phi(z) = rz \\ + (rz_1, z_2) = (z_1, rz_2) \\. + \end{gather*} + Где $\phi$ -- самосопряженный оператор в $V$. Теперь рассмотрим унитарный оператор $\phi(z) = e^{i\phi} z$, $(e^{i\phi} z_1, e^{i\phi} z_2) = e^{i\phi} e^{-i\phi} (z_1, z_2) = (z_1, z_2)$. +\end{note} + +\begin{theorem}[О полярном разложении линейного оператора] + Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением, $\phi \in \mathcal{L}(V)$. Тогда существуют линейные операторы $\psi$ и $\theta$ $\in \mathcal{L}(V)$ такие, что $\phi = \psi \theta$, где $\psi$ - самосопряженный оператор с неотрицательными собственными значениями, а + $\theta$ - ортогональный (унитарный оператор). +\end{theorem} + +\begin{proof} + Покажем при помощи конструктивного построения $\psi$ и $\theta$. + \begin{enumerate} + \item Рассмотрим вспомогательный оператор $\nu = \phi^* \phi$. + Тогда \begin{gather*} + \nu^* = (\phi^* \phi)^* = \phi^* \phi = \nu. + \end{gather*} + Таким образом $\nu$ - самосопряженный оператор. Пусть $e$ - ортонормированный базис из собственных векторов оператора $\nu$: $e = (e_1, e_2, \dots e_n)$ и $\nu(e_i) = \lambda_i e_i$. + Построенный базис называется первым сингулярным базисом $\phi$. + \item Покажем, что у $\nu$ все собственные значения $\lambda_i \geq 0$: + \begin{gather*} + 0 \leq (\phi(e_i), \phi(e_i)) = (\phi^* \phi(e_i), e_i) = (\lambda_i e_i, e_i) = \lambda_i (e_i, e_i). + \end{gather*} + Таким образом (так как $(e_i, e_i)$) $\lambda_i \geq 0$ для всех $i$. + \item Пусть $f_i = \phi(e_i)$. Покажем, что $f_i \perp f_j$ при $i \neq j$: \begin{gather*} + (f_i, f_j) = (\phi(e_i), \phi(e_j)) = (\phi^* \phi(e_i), e_j) = (\lambda_i e_i, e_j) = + \lambda_i(e_i, e_j) = 0. + \end{gather*} + Для $i = j$ получим $(f_i, f_i) = \lambda_i (e_i, e_i) = \lambda_i$, откуда $|f_i| = \sqrt{\lambda_i}$. + \item Перенумерация векторов базиса $e$. Переупорядочим векторы базиса $e$ так, чтобы + \begin{gather*} + \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n. + \end{gather*} + Пусть ненулевыми будут первые $k$ собственных значений, а $\lambda_{k+1} = \dots = \lambda_n = 0$. + \item Построим второй сингулярный базис $\phi$. Положим $g_i = \frac{f_i}{|f_i|} = \frac{f_i}{\sqrt{\lambda_i}}$, + если $i \leq k$. Дополним его до ортонормированного базиса произвольным образом: $\langle g_1, g_2, \dots g_k \rangle^{\perp} = \langle f_1, f_2, \dots f_k \rangle^{\perp}$. + Полученный базис $g = (g_1, \dots, g_k, g_{k + 1}, \dots, g_n)$ называется вторым сингулярным базисом оператора $\phi$. + \item Заметим, что $f_i = \sqrt{\lambda_i} g_i$ для всех $i$, в том числе для больших, чем $k$, так как $0 = 0$. При этом $e$ - ортонормированный базис, $g$ - тоже ортонормированный базис. Выберем $\theta(e_i) = g_i$ - ортогональный (унитарный) + оператор по \ref{pr 13.4}. Выберем $\psi(g_i) = f_i = \sqrt{\lambda_i} g_i$. оператор $\psi$ в + базисе $g$ будет иметь диагональный вид + $A = \begin{pmatrix} + \sqrt{\lambda_1} & \dots & 0 \\ + \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & \dots & \sqrt{\lambda_n} \\ + \end{pmatrix}$ + а значит, по теореме \ref{th 13.1} оператор $\psi$ -- самосопряженный. + \item Тогда получаем, что + \begin{gather*} + \psi \theta (e_i) = \psi(g_i) = f_i \hookrightarrow \forall i \leq n \\ + \phi(e_i) = f_i \forall i \leq n \Mapsto \phi = \psi \theta + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Пусть дополнительно к условиям теоремы $\phi$ невыроженный оператор. Тогда существуют такие $\psi, \theta \in \mathcal{L}(V)$, что $\psi$ -- положительно определен, $\theta$ -- ортогональный (унитарный) оператор. +\end{corollary} + +\begin{proof} + По условию $\det \phi \neq 0$. Покажем от противного. Пусть у оператора $\psi$ есть нулевое собственное значение $\lambda_i = 0$. Тогда $\det \psi = 0$. Но тогда $\det \phi = 0$ так как $\phi = \psi \theta$. + Противоречие. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если дополнительно к условиям теоремы $\phi$ - невырожденный оператор, а $\psi$ - положительно оперделенный и $\theta$ ортогональный (унитарный), то это найденное разложение единственно. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $\phi = \psi_1 \theta_1 = \psi_2 \theta_2$. + Покажем сначала единственность $\psi$: + \begin{gather*} + \phi \phi^* = (\psi_1 \theta_1) (\psi_1 \theta_1)^* = \psi_1 \theta_1 (\theta_1)^* (\psi_1)^* = \psi_1^2, \theta_1 (\theta_1)^* = \epsilon + \end{gather*} + Последний переход был сделан по утверждению \ref{pr 13.2}. Тогда $(\psi_1)^2 = (\psi_2)^2 = S$ - положительно определенный оператор. Проверим равенство операторов $\psi_1 = \psi_2$. Пусть $\mu_1, \mu_2, \dots \mu_k$ - собственные значения $\psi_1$, + $W_1, W_2, \dots W_k$ - собственные подпространства $\psi_1$. Пусть $\lambda_1, \lambda_2, \dots \lambda_n$ - + собственные значения оператора $S$, и соответственно $V_1, V_2, \dots V_k$ - его собственные подпространства. + Тогда: + \begin{gather*} + \psi_1 \vert_{W_i} = \mu_1 \epsilon \Rightarrow (\psi_1)^2 \vert_{W_i} = S \vert_{W_i} = (\mu_i)^2 \epsilon. + \end{gather*} + Тогда существует такое $i$, что $(\mu_i)^2 = \lambda_i, \psi_1 \vert_{V_i} = \sqrt{\lambda_i} \epsilon, \psi_2 \vert_{V_i} = \sqrt{\lambda_i} \epsilon \Rightarrow W_i = V_i$. Тогда $\psi_1 = \psi_2$. Отсюда же следует единственность $\theta$. +\end{proof} + +\subsection{Приведение квадратичной формы к главным осям} + +\begin{theorem} + \label{th 13.5} + Пусть $V$ - евклидово (эрмитово) пространство, $q(x)$ - квадратичная форма в $V$. Тогда существует ортонормированный базис в $V$, в котором матрица $q$ диагональна. +\end{theorem} + +\begin{proof} + По $q(x)$ можно восстановить полярную функцию $f(x, y)$, которая $\theta$ симмертична в случае евклидова пространства или эрмитово симметрична в случае эрмитова пространства. + По $f(x, y)$ можно восстановить оператор $\phi \in \mathcal{L}(V)$ такой, что $f(x, y) = (\phi(x), y)$. + Покажем, что $\phi$ - самосопряженный. + \begin{enumerate} + \item Евклидов случай: + \begin{gather*} + (\phi(x), y) = f(x, y) = f(y, x) = (\phi(y), x) = (x, \phi(y)). + \end{gather*} + \item Эрмитов случай: + \begin{gather*} + (\phi(x), y) = f(x, y) = \overline{f(y, x)} = \overline{\phi(y), x} = (x, \phi(y)) + \end{gather*} + \end{enumerate} + Тогда по предыдущим теоремам существует базис, в котором матрица $\phi$ диагональна. Теперь мы можем однозначно восстановить матрицу $f$ -- симметричную, то есть получить диагональную матрицу для $q(x)$. +\end{proof} + +\begin{theorem}[Об одновременном приведении двух квадратичных (эрмитовых квадратичных) форм, одна из которых положительно определена, к диагональному виду]~ + Пусть $V$ - линейное пространство над $\R$ (или над $\Cm$), $q_1$, $q_2$ - (эрмитовы) квадратичные формы на $V$ и пусть $q_2$ - положительно опеределена. Тогда в $V$ существует базис + $e$, в котором обе формы одновременно приводятся к диагональному виду. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $f(x, y)$ - полярная функция, соответствующая $q_1(x)$, $g(x, y)$ - полярная функция, соответствующая $q_2(x)$ ($[f(x, y) = \frac{1}{4}(q_1(x + y) = q_1(x - y)]$). Тогда $g(x, y)$ удовлетворяет всем свойствам скалярного произведения. + Примем её за скалярное произведение: $(x, y) = g(x, y)$. Тогда по теореме \ref{th 13.5} существует ортонормированный базис $e$ + относительно скалярного произведения $g$, в котором $f(x, y)$ диагональна. Матрица Грама для ортонормированного базиса $e$ -- единичная. Она же равна матрице скалярного произведения $g(x, y)$. Получаем, что обе матрицы с помощью перехода к базису $e$ стали единичными. + \begin{gather*} + q_1(x) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i |x_i|^2, q_2(x) = \sum_{i=1}^{n} |x_i|^2 + \end{gather*} +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_14.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_14.tex new file mode 100644 index 00000000..e69de29b diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_2.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_2.tex new file mode 100644 index 00000000..b02a6733 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_2.tex @@ -0,0 +1,443 @@ +%08.02.2023 Аня + +\subsection{Основная теорема арифметики} + +\begin{reminder} + Пусть $F$ -- поле. Многочлен $A$ ненулевой степени называется неприводимым над полем $F$, + если из $A = B \cdot C$, где $B, C \in F[x]$ следует, что $\deg B = 0$ или $\deg C = 0$. +\end{reminder} + +\begin{proposition} + Пусть $P$ -- неприводимый над $F$ и $P \, \vert \, (B \cdot C)$. Тогда $P \vert B$ или $P \vert C$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Покажем от противного: пусть $B$ и $C$ не кратны $P$. Тогда $\gd(B, P) = P$ или $\gd(B, P) = 1$. + Первый вариант исключен по предположению, а значит $\gd(B, P) = 1$. Аналогично $\gd(C, P) = 1$. + Тогда по теореме \ref{th1.4}: + \begin{gather*} + \exists u_1, v_1 \in F[x]: u_1B + v_1P = 1,\\ + \exists u_2, v_2 \in F[x]: u_2C + v_2P = 1. + \end{gather*} + Перемножим левые части равенств: + $$u_1v_2BC + (u_1Bv_2 + u_2Cv_1 + v_1v_2P)P = 1$$ + Оба слагаемых в левой части равенства кратны $P$ -- противоречие. +\end{proof} + +\begin{theorem} [основная теорема арифметики для многочлена] + Пусть $F$ -- поле, $A \in F[x], A \neq 0$. Тогда верны следующие утверждения: + \begin{enumerate} + \item Существует разложение $A$ на неприводимые: $$A = \alpha P_1P_2 \dots P_n,$$ + где $\alpha \in F^*$, $P_i$ неприводимый над $F$ многочлен. + \item Пусть A представляется в виде неприводимых многочленов двумя различными способами: + $$A = \alpha \cdot P_1P_2 \dots P_n = \beta \cdot Q_1Q_2 \dots Q_m,$$ + где $\beta\in F^*$, $Q_j$ -- неприводимый над $F$ многочлен. + + Тогда $n = m$ и существует перестановка $\sigma\in S_n$ такая, что многочлены ассоциированы: + \begin{gather*} + P_i \thicksim Q_j \, (1 \leq i \leq n), \text{ где } j = \sigma(i). + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Докажем существование разложения на неприводимые множители индукцией по $\deg A$: + \begin{enumerate} + \item Если $\deg A = 0$, то $A = \alpha$, $\alpha \in F^*$. + \item Пусть $A$ неприводим над $F$, $\deg A \geq 1$. Будем считать, что в таком случае + разложение получено: $A = P$. + + Пусть теперь $A$ приводим над $F$, тогда его можно представить в виде $A = B \cdot C$, + $B, C \in F[x]$, $\deg B < \deg A$, $\deg C < \deg A$. Тогда к $B$ и $C$ применимо + предположение индукции и, перемножая их, получим разложение для $A$. + \end{enumerate} + \item Пусть существуют два разложения многочлена $A$ на неприводимые: + \begin{gather*} + A = \alpha \cdot P_1P_2 \dots P_n = \beta \cdot Q_1Q_2...Q_m. + \end{gather*} + Покажем по индукции по $n$: + \begin{enumerate} + \item В случае $n=1$ из неприводимости $P_1$ следует, что $m$ так же равно единице. + Таким образом, $A = \alpha \cdot P_1 = \beta \cdot Q_1$, а значит многочлены $P_1$ и $Q_1$ + ассоциированы. + \item Пусть теперь $n > 1$, тогда многочлен $P_n$ делит произведение $Q_1Q_2 \dots Q_m$. + + Тогда существует такое $j \in \{ 1, \dots, m\}$, что $P_n \vert Q_j$. + Из неприводимости многочленов $P_n$ и $Q_j$ существует такая $\gamma \in F^*$, что $Q_j = \gamma P_n$. + Теперь можно подставить выражение для $Q_j$ в представление для $A$ справа: + \begin{gather*} + A = \alpha \cdot P_1P_2 \dots P_n = \beta \cdot Q_1Q_2 \dots Q_{j-1} \cdot \gamma + P_n \cdot Q_{j+1} \dots Q_m. + \end{gather*} + + Согласно утверждению \ref{pr1.3} + кольцо многочленов является областью целостности, а значит по утверждению \ref{pr1.2} + можно выполнить сокращение многочлена $P_n$ в обеих частях равенства. + + По предположению индукции число множителей слева и справа после сокращения совпадает и + существует биекция $\sigma: \{ 1, \dots , n - 1\} \longrightarrow \{ 1, \dots , j - 1, j + 1, \dots , n \}$, + такая что $P_i \thicksim Q_{\sigma(i)}$. Доопределим биекцию: + $\sigma(n) = j$. Теперь $\sigma$ удовлетворяет всем условиям, + поэтому доказано для $n$. + \end{enumerate} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Пусть $A$ представим в виде $A = \alpha P_1^{k_1}P_2^{k_2} \dots P_s^{k_s}$ -- попарно не + ассоциированные неприводимые множители. Тогда утверждается, что всякий делитель $D\mid A$ + имеет вид: $$D = \beta P_1^{m_1}P_2^{m_2} \dots P_s^{m_s}, \text{ где } 0 \leq m_i \leq k_i.$$ +\end{corollary} + +\begin{proof} + Очевидно, что разложение $D$ не может содержать множителей, не содержащихся в $A$, так как тогда $A$ будет иметь + ещё одно разложение на неприводимые множители. + Пусть $A$ представляется в виде $A = D \cdot Q$, где + $Q = \alpha_1 P_1^{l_1}P_2^{l_2} \dots P_s^{l_s}$ и + $D = \beta P_1^{m_1} \dots P_s^{m_s}$. Тогда $k_i = m_i + l_i$ и поэтому $0 \leq m_i \leq k_i$. +\end{proof} + +\subsubsection{Кратные корни многочленов} + +Пусть $f \in F[x]$, $c$ -- корень $f$. По теореме \ref{th1.2} Безу $(x-c) \vert f(x)$: +\begin{gather*} + f(x) = q_1(x)(x - c). +\end{gather*} + +При этом многочлен $q_1(x)$ так же может быть кратен $(x-c)$, а значит для некоторых $f(x)$ может +существовать цепочка равенств: +\begin{gather*} + f(x) = q_1(x)(x - c) = q_2(x)(x-c)^2 = \, \dots +\end{gather*} + +\begin{definition} + Корень многочлена $f(x)$ называется корнем кратности $k$ если $f$ кратно $(x-c)^k$, но не кратно $(x-c)^{k+1}$. +\end{definition} + +\begin{note} + $c$ -- корень кратности $k$ $\lra f(x) = q_k(x) (x-c)^k$, $q_k(c) \neq 0$. +\end{note} + +\begin{proposition} + \label{pr1.7} + Пусть $f$ - многочлен из $F[x]$. Тогда сумма кратностей всех корней многочлена $f$ не превосходит $n = \deg(f)$ +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $c_1$, $c_2$, $\dots c_s$ - корни многочлена, $k_1$ ,$k_2$, $\dots ,k_s$ -- соответствующие им + кратности: + \begin{gather*} + f(x) \, \vdots \, (x - c_1)^{k_1}, \\ + \dots \\ + f(x) \, \vdots \, (x - c_s)^{k_s}. + \end{gather*} + При этом многочлены $(x-c_i)$ и $(x-c_j)$ неприводимы и неассоциированы для всех различных $i$ и $j$. + Это очевидно, так как они имеют первую степень, а значит разложиться могли бы только в произведение констант. + Поэтому многочлен $f(x)$ кратен так же произведению $(x-c_i)$ в соответствующих степенях: + \begin{gather*} + f(x) \, \vdots \, (x-c_1)^{k_1} \cdot \, \dots \, \cdot (x-c_s)^{k_s}. + \end{gather*} + Таким образом, сумма степеней не превосходит степень $f(x)$. +\end{proof} + +\begin{note} + Рассмотрим кольцо $\Z_6[x]$ и многочлен $f(x) = x^2 + x$ над ним. Он имеет четыре корня - $0$, $2$, $3$, $5$, + а значит сумма кратностей корней гарантированно превосходит степень многочлена. + Является ли это противоречием к утверждению \ref{pr1.7}? Нет, потому что $\Z_6[x]$ не является полем. + Заметим, что здесь ещё и разложение на неприводимые не является единственным: + $$x^2 + x = x(x+1) = (x+3)(x+4).$$ + И снова это происходит потому что основная теорема арифметики доказана в предположении многочлена над полем. +\end{note} + +\subsection{Основная теорема алгебры} + +\begin{definition} + Если F -- поле, такое что в кольце $F[x]$ всякий многочлен имеет хотя бы один корень из $F$, то + $F$ алгебраически замкнуто. +\end{definition} + +\begin{theorem}[Основная теорема алгебры]~ + \label{ota} + + Всякий многочлен положительной степени из кольца $\Cm[x]$ имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный. + Альтернативная формулировка: поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. +\end{theorem} + +\begin{definition} + Будем говорить, что для комплексной последовательности $z_n$ существует предел + $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {z_n} = z$, + если существует предел действительной последовательности $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {|z_n - z|} = 0$. +\end{definition} + +\begin{agreement} + Далее будем использовать обозначения: $z_n = x_n + i y_n$, $z = x + i y$. +\end{agreement} + +\begin{lemma} + \label{lemma1} + $\exists \displaystyle\lim_{n\to \infty} {z_n} = z \lra$ $\exists \displaystyle\lim_{n\to \infty} {x_n} = x, \exists \displaystyle\lim_{n\to \infty} {y_n} = y$. +\end{lemma} + +\begin{idea} + Теорема Пифагора. +\end{idea} + +\begin{lemma} + \label{lemma2} + Если существует предел $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {z_n} = z$, то существует и предел $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {|z_n|} = |z|$. +\end{lemma} + +\begin{idea} + Использовать неравенство треугольника. +\end{idea} + +\begin{lemma} + \label{lemma3} + Если для комплексных последовательностей $z_n$ и $w_n$ существуют пределы \\ + $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {z_n} = z$ и $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {w_n} = w$, + то существуют и пределы $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {z_n + w_n} = z + w$ и + $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {z_n \cdot w_n} = z \cdot w$. +\end{lemma} + +\begin{idea} + Воспользоваться аналогичными свойствами пределов действительных последовательностей из курса + математического анализа первого семестра. +\end{idea} + +\begin{note} + Фактически лемма равносильна тому, что многочлен является непрерывной функцией над полем $\Cm$. +\end{note} + +\begin{definition} + Будем говорить, что последовательность $z_n$ сходится к бесконечности, если для действительной + последовательности $|z_n|$ существует предел $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {|z_n|} = +\infty$. +\end{definition} + +\begin{lemma} + \label{lemma4} + Пусть $\{ z_n \}$ -- произвольная последовательность поля $\Cm$. Тогда из нее можно извлечь подпоследовательность, + сходящуюся к конечному числу $z_0$ или к бесконечности. +\end{lemma} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Пусть существует константа $C > 0$, такая что для всех $n$ верно $|z_n| \leq C$. + + Тогда, так как верно $|x_n| \leq |z_n|$, последовательность $\{ x_n \}$ ограничена, + а значит, по теореме Больцано-Вейерштрасса из неё можно извлечь сходящуюся подпоследовательность $x_{n_k}$. + + Рассмотрим теперь последовательность $\{y_{n_k}\}$, являющуюся подпоследовательностью $\{y_n\}$ с индексами, + соответствующими сходящейся подпоследовательности $\{x_n\}$. + Аналогично для этой последовательности верно $|y_{n_k}| \leq |z_{n_k}|$ для всех $n_k$, + а значит последовательность ограничена, и теореме Больцано-Вейерштрасса из + неё можно извлечь сходящуюся подпоследовательность $\{y_{n_{k_s}}\}$. + + Для упрощения записи обозначим $i = n_{k_s}$. + Тогда последовательности $\{x_i\}$ и $\{y_i\}$ сходятся, а значит сходится и + соответствующая последовательность $\{ z_n \}$ (по лемме \ref{lemma1}). + + \item + Пусть теперь $\{ |z_n| \}$ не ограничена. Тогда из нее можно извлечь подпоследовательность с + монотонно возрастающим модулем (сходящуюся к бесконечности) следующим образом: + + Из неограниченности получим $\forall N \; \exists k: |z_k| > N$. Построим тогда подпоследовательность $z_i = z_{n_k}$, + каждый раз выбирая $n_k$ так чтобы $z_{n_k}$ было больше $i$ и $n_k > n_{k-1}$. Таким образом $z_{n_k}$ стремится к бесконечности. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{lemma} + \label{lemma5} + Пусть $f \in \Cm[x]$ и $\deg f = m \geq 1$. Тогда если $z_n$ сходится к бесконечности то $f(z_n)$ сходится к бесконечности. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Представим многочлен $f(x)$ в следующем виде: + $$f(z) = a_0 z^m + a_1 z^{m-1} \dots + a_{m-1} z + a_m = z^m (a_0 + \frac{a_1}{z} + \dots + \frac{a_m}{z^m}), \; a_0 \neq 0.$$ + Подставим последовательность $z_n$. Тогда модуль $|z_n|^m$ сходится к бесконечности, а значение + в скобках сходится к $a_0$, так как мы положили его ненулевым. Отсюда $|f(z_n)|$ сходится + к бесконечности, и значит, $f(z_n)$ тоже сходится к бесконечности. +\end{proof} + +\begin{reminder} + $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi)$. +\end{reminder} + +\begin{lemma}[Д'Аламбера] + \label{lemma6} + Пусть $f(x)$ -- многочлен положительной степени из кольца $\Cm[z]$, имеющий в $z_0$ ненулевое + значение: $f(z_0) \neq 0$. Тогда для любой $\epsilon$-окрестности $U_{\varepsilon}(z_0)$ найдется + $z \in U_{\varepsilon}(z_0)$, такое что $|f(z)| < |f(z_0)|$. +\end{lemma} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Зафиксируем $\varepsilon > 0$. Разделим $f(z)$ на $z - z_0$ с остатком. Мы знаем, + что остаток имеет смысл значения многочлена в точке $z_0$. Таким образом, + $f(z) = q_1(z) (z-z_0) + r_0$, где $r_0 = f(z_0)$. + \item Разделим теперь многочлен $q_1$ на $z - z_0$ и подставим полученное выражение + в полученное выше разложение для $f$. Получаем $f = q_2(z)(z-z_0)^2 + r_1(z-z_0) + r_0$, где $r_1 = q_1(z_0)$. + \item Продолжим делить остатки на $z-z_0$ и получим следующее выражение для $f(x)$: + \begin{gather*} + f(z) = f(z_0) + \frac{f'(z)}{1!}(z - z_0) + \frac{f''(z_0)}{2!}(z - z_0)^2 + \dots. + \end{gather*} + В выражении выше $r_0 = f(z_0)$, $r_1 = f'(z_0)$, $\dots$, $r_k = \frac {f^{(k)}(z_0)}{k!}$. + Такое разложение напоминает разложение в ряд Тейлора. + \item + Обозначим главную часть за $\alpha (z - z_0)^p, \alpha \neq 0, p \in \N$. Получим представление + $f(z)$ в виде: + \begin{gather*} + f(z) = f(z_0) + \alpha (z-z_0)^p + o(z-z_0)^p = f(z_0) + (z - z_0)^p \left( \alpha + + \frac{o(z-z_0)^p}{(z-z_0)^p} \right), + \end{gather*} + при этом $o(z - z_0)^p $ кратно $(z - z_0)^p$. Так как последнее частное стремится + к 0 при $z$, стремящимся к $z_0$, верно: + \begin{gather*} + \exists \varepsilon_1 < \varepsilon: \, \forall z \in U_{\varepsilon_1}(z_0) \hookrightarrow + \left| \frac {o(z-z_0)^p}{(z-z_0)^p} \right| < \frac {|\alpha |}{2}. + \end{gather*} + Таким образом: + \begin{gather*} + \arg(\alpha) - \frac {\pi}{6} \leq \arg(\alpha + \frac {o(z - z_0)^p}{(z - z_0)^p}) \leq + \arg(\alpha) + \frac {\pi}{6}; \; \alpha \in [\alpha_0; \alpha_0 + \frac {\pi}{3}] + \end{gather*} + Тогда если записать $z$ как $z = z_0 + r \cdot e^{i\phi}$, где $r = |z|$, $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi)$, то справедливо: + $$\arg \left( e^{\pi\phi} \left( \alpha + \frac {o(z-z_0)^p}{(z-z_0)^p}\right) \right) = + \pi \phi + \alpha_0 + \beta \cdot \frac{\pi}{3}; 0 \leq \beta \leq 1$$ + Так как $\phi$ -- любое вещественное число, то теорема доказана. + \end{enumerate} + + \begin{center} + \includegraphics[width=1\textwidth]{images/lec2_1.png} + \end{center} +\end{proof} + +\begin{note} + Идея леммы заключается в том, чтобы приблизить значение $z$ к $z_0$, то есть найти значение, + при котором $|f(z)| < |f(z_0)|$, но при этом сколь угодно близкое к $z_0$. +\end{note} + +\begin{reminder} + Основная теорема алгебры утверждает, что любой многочлен в поле комплексных чисел имеет хотя бы один корень. +\end{reminder} + +\begin{proof} + Пусть $f(x)$ -- многочлены положительной степени. Пусть $A = \inf |f(z)|$, $z \in \Cm$. + Покажем, что инфимум достигается, то есть что существует такое комплексное число $z_n \in \Cm$, + что $|f(z_n)| = A$: + \begin{enumerate} + \item + По определению инфимума существует последовательность ${z_n}$ такая, что $|f(z_n)|$ стремится к конечному $A$. + \item + По лемме \ref{lemma4} из неё можно извлечь подпоследовательность ${z_{n_k}}$ такую, что она + сходится к $z_0$ или к бесконечности. + \item + По лемме \ref{lemma5} второй случай не реализуется, так как иначе $|f(z_{n_k})|$ также + сходится к бесконечности. + \item + Тогда для подпоследовательности существует конечный предел $\displaystyle\lim_{k\to \infty} + {z_{n_k}} = z_0 \in \Cm$, откуда существует и предел $\displaystyle\lim_{k\to \infty} + {f(z_{n_k})} = f(z_0)$, а значит, по лемме \ref{lemma2}, существует предел модуля такой функции, равный + $\displaystyle\lim_{k\to \infty} {|f(z_{n_k})|} = |f(z_0)| = A$. + \item + Если оказалось так, что $A \neq 0$, то по лемме \ref{lemma6} найдется $z \in U_{\epsilon}(z)$ такой что: + $$|f(x)| < |f(z_0)| = A = inf(|f(z)|),$$ что противоречит определению инфимума. Таким образом $A = 0$ + и инфимум достигается, а значит $f(z)$ имеет хотя бы один корень. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsubsection{Следствия из основной теоремы алгебры} + +\begin{corollary} + Всякий многочлен $f$ положительной степени из кольца $\Cm[z]$ можно разложить в произведение + линейных многочленов из $\Cm[z]$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + По основной теореме алгебры у $f$ существует хотя бы один корень $c_1$. Тогда справедливо представление: + $$f(z) = q_1(z) (z - c_1) = q_2(z)(z - c_1)(z - c_2) \dots = \alpha (z - c_1)(z - c_2) \dots (z - c_n),$$ + где $\deg f = n$. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Всякий многочлен $f$ степени $n$ из $\Cm[z]$ имеет ровно $n$ корней в $\Cm$, если каждый корень + учесть с его кратностью. +\end{corollary} + +\begin{proof} + $f(z) = \alpha(z-c_1)^{k_1}\dots(z - c_s)^{k_s}$, $n = k_1 + \dots + k_s$, где $k_i$ -- кратность корня $c_i$. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если $f \in \R[x]$ и $c \in \Cm \backslash \R$ -- корень $f$ кратности $k$, то $\overline{c}$ тоже корень $f$ той же кратности $k$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + \begin{align*} + f(x) & = a_0 x^n + \, \dots \, + a_{n-1} x + a_n, \\ + f(c) & = a_0 c^n + \, \dots \, + a_{n-1} c + a_n = 0, \\ + f(\overline{c}) & = a_0 \overline{c}^n + \, \dots \, + a_{n-1} \overline{c} + a_n = 0. + \end{align*} + Кратность $c$ как корня $f$ равна количеству нулевых остатков $r_0$, $r_1$, $\dots$, $r_n$ + Для доказательства кратности сопряженного применим сопряжение ко всей схеме Горнера. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Всякий многочлен $f \in \R[x]$, $\deg(f) \geq 1$ раскладывается над $\R[x]$ в произведение многочленов + 1-ой и 2-ой степеней, причем квадратные многочлены имеют отрицательный дискриминант. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Индукция по степени $f$: + \begin{enumerate} + \item Если $\deg f = 1$ или $\deg f = 2$, то истинность очевидна. + \item Пусть теперь многочлен имеет степень, большую $2$. Пусть $c$ -- корень $f$, $c \in \R$, то есть + справедливо представление $f(x) = q(x)(x-c)$. Тогда по предположению индукции можно разложить + $q(x)$ и получить разложение для $f(x)$. + + Теперь пусть $c \in \Cm \backslash \R$. Тогда $f$ кратен $x - c$ и $x - \overline{c}$, + а значит, кратен их произведению: $$f(x) = q(x)(x^2 - 2 Re(c) \cdot x + |c|^2).$$ + Произведение корней, в свою очередь, является многочленом степени $2$ из кольца $\R[x]$, + имеющим отрицательный дискриминант. Остается только применить предположение индукции к + многочлену $q(x)$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Всякий многочлен из $\R[x]$ положительной нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Действительно, если многочлен имеет комплексный корень, то сопряженное к нему число также является корнем. + Тогда если отбросить все комплексные корни, то мы отбросим четное число корней, а значит, останется + хотя бы один действительный корень. +\end{proof} + +\begin{corollary}[об описании неприводимых многочленов над полями $\R$, $\Cm$]~ + \begin{enumerate} + \item Над полем комплексных чисел $\Cm$ неприводимыми являются многочлены первой степени и только они. + \item Над полем действительных чисел $\R$ неприводимыми являются многочлены первой степени и многочлены второй степени с отрицательным дискриминантом. + \end{enumerate} +\end{corollary} + +\begin{proposition} + Для любого натурального $n \in \N$ существует многочлен из $\Q[x]$ степени $n$, являющийся неприводимым над $\Q$. +\end{proposition} + +\begin{example} + $x^2 + 2$ -- неприводим, $x^3 + 2$ -- неприводим $\dots $ $x^n + 2$ -- неприводим. Для + доказательства нужно использовать достаточное условие Эйзенштейна. +\end{example} + +\begin{remarkfrom} +Критерий Эйзенштейна приведен, например, в лекциях Вадима Владимировича 2021го года: + +Пусть многочлен $f(x)$ представим в следующем виде: +$$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1}x + a_n, \; a_i \in \Z.$$ +Если существует такое простое число $p$, что $p \vert a_0$ и $p \vert a_i \; \forall i > 0, p \vert a_n$, но $a_n$ не делится на $p^2$, то $f(x)$ неприводим над $\Q$. +\end{remarkfrom} + +\begin{idea} + Доказывается от противного. Предположим, что многочлен приводим, тогда существует его разложение + на произведение двух многочленов. После этого попробуем получить коэффициенты в явном виде - должно получиться.) +\end{idea} diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_3.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_3.tex new file mode 100644 index 00000000..a7f7ab71 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_3.tex @@ -0,0 +1,490 @@ +% 15.02.23 Оля + +\subsection{Кратные корни многочленов. Продолжение.} + +\begin{definition} + Рассмотрим $F[x]$ -- кольцо многочленов над полем $F$. + Формальной производной многочлена $x^n$ называется $\frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1}$, + так же используется обозначение $(x^n)'$. Распространим $\frac{d}{dx}$ на остальные векторы + $F[x]$ по линейности. Тогда дифференцирование является линейным оператором: + $\frac{d}{dx}: F[x] \to F[x]$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Формальная производная $\frac{d}{dx}$ удовлетворяет правилу Лейбница: + $$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'.$$ +\end{proposition} + +\begin{proof} + Обе части являются линейными по многочленам $f$ и $g$, поэтому достаточно доказать правило + для базисных векторов. Рассмотрим $f = x^m$ и $g = x^l$ -- базисные векторы в кольце $F[x]$. + Тогда: $$(x^m \cdot x^l)' = (x^{m+l})' = (m+n) \cdot x^{m+l-1}.$$ + Так же можно продифференцировать $f$ и $g$ по отдельности: + \begin{align*} + (x^m)' = m \cdot x^{m-1} && (x^l)' = l \cdot x^{l-1} + \end{align*} + Отсюда очевидно, что равенство действительно выполняется: + \begin{gather*} + f' \cdot g + f \cdot g' = m \cdot x^{m-1} \cdot x^{l} + x^{m} \cdot l \cdot x^{l-1} = + (m+l) \cdot x^{m+l-1} = (f+g)' + \end{gather*} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Произведение нескольких многочленов и возведение многочлена в степень так же удовлетворяют + привычным правилам: + \begin{enumerate} + \item $(f_1 f_2 \dots f_n)' = f_1' f_2 \dots f_n + f_1 f_2' \dots f_n + \dots + f_1 f_2 \dots f_n'$, + \item $(f^n)' = n \cdot f^{n-1} f'$. + \end{enumerate} +\end{corollary} + +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item Индукция по $n$: + + База: для $n = 2$ доказано в утверждении 1. + + Переход: докажем, что из истинности утверждения для 2 и для $n-1$ многочленов следует его + истинность для $n$: + \begin{align*} + (f_1 f_2 \dots f_n)' = ((f_1 f_2 \dots f_{n-1}) \cdot f_n)' = (f_1 f_2 \dots f_{n-1})' + \cdot f_n + (f_1 f_2 \dots f_{n-1}) \cdot f_n' = \\ = + (f_1' f_2 \dots f_{n-1} + f_1 f_2' \dots f_{n-1} + \dots + f_1 f_2 \dots f_{n-1}') + \cdot f_n + f_1 f_2 \dots f_n \cdot f_n' = \\ = f_1' f_2 \dots f_n + f_1 f_2' \dots f_n + + \dots + f_1 f_2 \dots f_n'. + \end{align*} + + \item Докажем используя результат, полученный в предыдущем пункте: + \begin{align*} + (f^n)' = (f \cdot f \cdot \dots f)' = f' \cdot f \dots f + f \cdot f' \dots f + + \dots f \cdot f \dots f' = n \cdot f^{n-1} f'. + \end{align*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + Число $c \in F$ называется корнем многочлена $f \in F[x]$ кратности + $R$ если $f$ представим в виде $f(x) = q(x) (x-c)^R$, где $q(c) \neq 0$. +\end{definition} + +\begin{theorem}[о кратности корня x] + Пусть $F$ -- поле, $f \in F[x]$, $c \in F$ -- корень многочлена $f$. Тогда верно следующее: + \begin{enumerate} + \item c -- кратный корень f $\Leftrightarrow$ $f(c) = 0$ и $f'(c) = 0$. + \item с -- корень кратности $R$ $\Rightarrow$ $f(c) = 0$, $f'(c) = 0$, $\dots$, + $f^{(R-1)}(c) = 0$. + \item В условиях предыдущего пункта при выполнении дополнительного условия на характеристику + поля $char F = 0$ или $char F > R$, верно так же $f^{(R)}(c) \neq 0$. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item \begin{enumerate} + \item Необходимость. + + По условию $f(x) = q(x) (x-c)$. Продифференцируем $f$: + $$f'(x) = q'(x) (x-c) + q(x).$$ + Тогда $f'(c) = q(c)$. При этом многочлен $q(x)$ кратен $(x-c)$ в силу того, что $c$ - кратный корень $f$. + Таким образом вся производная $f'$ кратна $(x-c)$. + + \item Достаточность. + + Пусть $f(c) = f'(c) = 0$, тогда $q(c) = 0$, а значит $q(x)$ кратен $(x-c)$. + + \end{enumerate} + + \item Пусть $c$ -- корень кратности $R$. Тогда многочлен $f$ представим в виде $f = q(x) (x-c)^R$, где $q(c) \neq 0$. + Возьмем производную от $f$: + $$f'(x) = q'(x) (x-c)^R + R \cdot q(x) (x-c)^{R-1}.$$ + Продолжим брать производные. Тогда для + k-производной кратность корня $c$ не меньше $R-k$. + + \item Кратность корня для производной в точности равна $R-k$, а значит $f^{(R-1)}$ имеет $c$ + в качестве простого корня (кратности 1). + + Предположим противное. + Пусть $(f^{(R-1)})' (c) = 0$. Тогда $c$ -- кратный корень $f^{(R-1)}$, что приводит к противоречию. + + Таким образом $f^{R}(c) \neq 0$. В обратную сторону, пусть + $f(c) = f'(c) = \dots = f^{(R-1)} (c) = 0$. Если $c$ -- корень кратности 1, то $f'(c) \neq 0$, + противоречие. Если $c$ -- корень кратности 2, то $f^{(2)} (c) \neq 0$. + + Аналогично если $c$ -- + корень кратности $R-1$, то $f^{(R-1)} (c) \neq 0$. Таким образом $c$ -- корень кратности не + менее чем $R$. При этом если он имеет кратность большую, чем $R$, то $f^{(R)} = 0$, чего не + может быть, а значит $R$ -- корень кратности ровно $R$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\section{Инвариантные подпространства} + +\begin{reminder} + Пусть $V$ -- линейное пространство над полем $F$. Линейным оператором называется отображение + $\phi: V \to V$, такое что выполняются следующие аксиомы: + \begin{enumerate} + \item $\phi (x+y) = \phi(x) + \phi (y)$ + \item $\phi(\lambda x) = \lambda \cdot \phi(x)$ + \end{enumerate} + +\end{reminder} + +\begin{reminder} + Пусть $e = (e_1, e_2, \dots, e_n)$ -- базис в $V$. Тогда равенство + $\phi(e_i) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} a_{kj} e_k$ можно принять за определение матрицы + оператора. Иначе говоря в j-ом столбце матрицы оператора стоят координаты вектора $\phi(e_{j})$ + относительно начального базиса. В силу произвольности выбора вектора $e_j$ верно: + $\forall j \; \phi(e_j) = e \cdot A_{*j} \Leftrightarrow \phi(e) = e \cdot A$. +\end{reminder} + +\begin{example} + Пусть $x \in V$, $x \xleftrightarrow[e]{} \alpha$, $x = e \alpha$. + Чтобы получить координаты образа вектора $x$ под действием оператора $\phi$ нужно матрицу + оператора $A_{\phi}$ умножить на вектор $x$: + $$\phi(x) = \phi(e) \alpha = e A \alpha \Rightarrow \phi(x) \xleftrightarrow[e]{} A \alpha.$$ +\end{example} + +\begin{reminder} + Изменение матрицы оператора при переходе от одного базиса к другому осуществляется следующим образом: + + Пусть $e$ и $f$ -- два базиса в $V$. Пусть матрицы $\phi$ в этих базисах равны $A$ и $B$ + соответственно, тогда $\phi(e) = eA$, $\phi(f) = fB$. + Матрицу перехода от $e$ к $f$ назовем $S$: $f = e \cdot S$, $|S| \neq 0$. + Тогда: + $$\phi(f) = \phi(e) \cdot S = e A \cdot S = f \cdot S^{-1} A S.$$ + Таким образом, $B = S^{-1} A S$. +\end{reminder} + +\begin{note} + Матрицы $A$ и $S^{-1} A S$ называются подобными. Матрица любого линейного оператора + определена с точностью до подобия. +\end{note} + +\begin{reminder} + Пусть $V$ -- линейное пространство, $\dim V = n$. Множество всех линейных + операторов на $V$ обозначается как $\mathcal{L}(V)$ и является линейным пространством, + $\dim \mathcal{L}(V) = n^2$. \\ + Произведение (композиция) линейных операторов определяется как + $(\phi \psi)(x) \stackrel{def}{=} \phi(\psi(x))$, где $\phi, \psi \in \mathcal{L}(V)$. + Оно обладает свойством ассоциативности из-за ассоциативности перемножения матриц, а значит + $\mathcal{L}(V)$ является алгеброй. +\end{reminder} + +\begin{definition} + Пусть $V$ -- линейное пространство, $\phi: V \to V$. Подпространство $U \leq V$ называется + инвариантным если для всех $x \in U$ выполняется $\phi(x) \in U$. Другими словами, действие + оператора $\phi$ на вектор из $U$ не выводит его за пределы $U$, а значит + $\phi(U) \subset U \Leftrightarrow \phi(U) \leq U$. +\end{definition} + +\begin{example} + Рассмотрим следующие примеры инвариантных подпространств: + \begin{enumerate} + \item $O: x \to 0 \; \forall x \in V$. Тогда $U \leq V \Leftrightarrow O(U) = \{0\} \leq U$, + а значит любое подпространство $V$ является инвариантным относительно $O$. + \item Тождественное отображение $id(x) = x$. Тогда $id(U) = U$, + а значит любое подпространство инвариантно. + \item Рассмотрим $V_3$ и проекцию на подпространство $(e_1, e_2)$. Тогда инвариантными будут + являться все $V_3$, нулевое подпространство, а так же линейная оболочка $(e_1, e_2)$, + любая прямая в этой плоскости, линейная оболочка $e_3$ и линейная оболочка $e_3$ + и некоторого вектора из плоскости $(e_1, e_2)$. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{proposition} + Пусть $\phi: V \to V$ -- линейный оператор, $U$ -- инвариантное подпространство. Тогда в базисе, + согласованном с $V$ оператор $\phi$ имеет матрицу с левым нижним углом нулей: + \[\phi(A) = \left(\begin{array}{@{}c|c@{}} + A & B\\ + \hline + 0 & C + \end{array}\right)\] + Здесь $A \in M_k(F)$, $k = \dim U$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + $U$ инвариантно относительно $\phi$, а значит $\phi(e_1), \phi(e_2), \dots \phi(e_k) \in U$. + Тогда для базисного вектора из $U$ ненулевыми могут быть только первые $k$ элементов + соответствующего ему столбца. +\end{proof} + +\begin{note} + Блок нулей в левом нижнем углу означает, что $\phi(e_1), \phi(e_2), \dots \phi(e_k) \in U$, + а значит подпространство $U$ является инвариантным относительно $\phi$. +\end{note} + +\begin{note} + Чтобы блок нулей был и выше и ниже главной диагонали, необходимо и достаточно, чтобы + пространство раскладывалось в прямую сумму двух подпространств, + являющихся инвариантными относительно $\phi$. +\end{note} + +\begin{theorem} + Пусть $\phi: V \to V$, $U_1$ и $U_2$ -- инвариантные подпространства. + Тогда $U_1 \cap U_2$ и $U_1 \oplus U_2$ так же являются инвариантными относительно $\phi$. +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item $\phi(U1 \cap U2) \subset \phi(U1) \cap \phi(U2) \subset U1 \cap U2$. + \item $\phi(U1 \oplus U2) = \phi(U1) \oplus \phi(U2) \subset U1 \oplus U2$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{proposition} + Для линейного оператора $\phi: V \to V$ его ядро $\ker \phi$ и образ $\im \phi$ являются + инвариантными подпространствами. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item $\phi(ker (\phi)) = \{0\} \in ker \phi$. + \item Пусть $y \in \im \phi$. Тогда $\phi(y) \in \im \phi$, так как $y \in V$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{theorem}[о коммутирующих линейных операторах] + \label{th3.2} + Пусть $\phi, \psi \in \mathcal{L}(V)$ и верно $\phi \psi = \psi \phi$. Тогда подпространства + $\ker \phi$, $\ker \psi$, $\im \psi$, $\im \phi$ являются инвариантными + относительно обоих операторов. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Докажем, что $\ker \phi$ и $\im \phi$ инвариантны относительно $\psi$, доказательство для + инвариантности $\ker \psi$ и $\im \psi$ относительно $\phi$ симметрично. + \begin{enumerate} + \item Пусть $x \in \ker \phi$. Тогда $\phi(\psi(x)) = \psi(\phi(x)) = \psi(0) = 0$, + а значит $\psi(x) \in \ker \phi$. + \item Пусть $y \in \im \phi$. Тогда $\psi(y) = \psi(\phi(x)) = \phi(\psi(x)) \in \im \phi$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Рассмотрим многочлен $P \in F[x]$. По определению $P(\phi) \in F[x]$. + Тогда по доказанной выше теореме \ref{th3.2} подпространства $\ker P(\phi)$ и $\im P(\phi)$ + инвариантны относительно $\phi$, так как $P(x) x = x P(x)$, + а значит $P(\phi) \cdot \phi = \phi \cdot P(\phi)$. +\end{note} + +\begin{note} + Пусть $U$ инвариантно относительно $\phi$, $\psi \in \mathcal{L}(V)$. + Тогда $U$ инвариантно так же относительно оператора $\alpha \phi + \beta \psi$, где + $\alpha, \beta \in F$ и операторов $\phi \psi$, $\psi \phi$. Так же если $P(x, y) \in F[x, y]$, + то $U$ инвариантно относительно $P(\phi, \psi)$. +\end{note} + +\subsection{Собственные значения и векторы} + +\begin{definition} + Пусть $\phi: V \to V$. Ненулевой вектор + $x \in V: \phi(x) = \lambda x$ называется собственным вектором оператора $\phi$, + отвечающим собственному значению $\lambda$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Число $\lambda \in F$ называется собственным значением оператора $\phi$, если существует собственный + вектор $x \in V$, такой что $\phi(x) = \lambda x$, то есть если некоторый $x$ отвечает $\lambda$. +\end{definition} + +\begin{note} + Пусть $x$ -- собственный вектор, отвечающий собственному значению $\lambda$. Тогда верно + $\phi(x) = \lambda x$, а значит $\phi^2(x) = \lambda^2 x$, $\dots$, $\phi^n(x) = \lambda^n x$. +\end{note} + +\begin{corollary} + Пусть $P \in F[x]$. Тогда $(P(\phi))(x) = P(\lambda) \cdot x$. В частности + если $P$ аннулирует $\phi$, то есть $P(\phi) = 0$, + то каждое собственное значение $\phi$ является корнем $P$. +\end{corollary} + +\begin{definition} + Пусть $\lambda$ -- собственное значение оператора $\phi: V \to V$. Собственным подпространством + оператора $\phi$, отвечающим $\lambda$ называется подпространство + $V_{\lambda} = \ker (\phi - \lambda \epsilon) \leq V$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + $V_{\lambda} \neq \{0\} \Leftrightarrow \lambda$ -- собственное значение оператора $\phi$. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость. Пусть $V_\lambda \neq \{0\}$, $\exists x \neq 0: \; (\phi - \lambda E)(x) = 0$. + Тогда $\phi(x) = \lambda x$, а значит $x$ -- собственный вектор, + $\lambda$ -- собственное значение. + \item Достаточность. Пусть $\lambda$ -- собственное значение оператора $\phi$. + Тогда $\exists x \neq 0: \: \phi(x) = \lambda(x)$, где $\lambda$ -- собственное значение. + Значит $(\phi - \lambda E)x = 0$, откуда $x \in \ker(\phi - \lambda E)$ и $V_\lambda \neq \{0\}.$ + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Начиная с этого момента будем называть собственными подпространствами только такие $V_{\lambda}$, + которые отличны от нуля, что равносильно тому, что $\lambda$ -- собственное значение. + Действительно, доопределение собственных подпространств для несобственных $\lambda$ + не представляет интереса, так как они будут нулевыми. +\end{note} + +\begin{reminder} + Подпространства $U_1, U_2, \dots U_n$ называются линейно независимыми, если из равенства + $x_1 + x_2 + \dots + x_n = \bar{0}$, где $x_i \in U_i$, следует, что $x_1 = x_2 = \dots = x_n = 0$. +\end{reminder} + +\begin{theorem}[О линейной независимости собственных подпространств, отвечающих попарно различным собственным значениям] + \label{o_lnz} + Пусть $\phi: V \to V$, $\lambda_1, \lambda_2, \dots \lambda_n$ -- различные собственные значения. + Тогда $V_{\lambda_1}, ..., V_{\lambda_n}$ линейно независимы. +\end{theorem} + +\begin{proof} + От противного. Пусть существует такой набор + $x_1 \in V_{\lambda_1}, x_2 \in V_{\lambda_2}, \dots, + x_n \in V_{\lambda_n}$, что хотя бы один вектор ненулевой, но $x_1 + x_2 + \dots + x_n = \bar{0}$. + + Назовем все такие наборы опровергающими, а мощностью набора будем считать количество ненулевых + векторов. Из всех подходящих наборов выберем один наименьшей мощности. Пусть + указанный выше набор без ограничения общности -- искомый. Перенумеруем множества и $x_i$ так, + чтобы ненулевыми были первые $j$ векторов. Тогда $x_1 + x_2 + \dots + x_j = 0$, и все + $x_i \neq 0$ в силу перенумерации. Применим к сумме оператор $\phi$: + $$\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + ... + \lambda_j x_j = 0.$$ + Умножим изначальную сумму на $-\lambda_1$ и сложим с получившейся: + \begin{align*} + (\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \, \dots \, + \lambda_j x_j) + (-\lambda_1 x_1 - \lambda_2 x_2 + - \, \dots \, - \lambda_j x_j) = \\ = (\lambda_2 - \lambda_1) x_2 + \, \dots \, + (\lambda_j - + \lambda_1) x_j = 0. + \end{align*} + Таким образом мы получили опровергающий набор меньшей мощности, что приводит к противоречию. +\end{proof} + +\subsubsection{Нахождение собственных подпространств и векторов} + +\begin{algorithm}[Нахождения собственных векторов]~ + + Пусть в $V$ фиксирован базис $e = (e_1, e_2, \dots, e_n)$, оператор $\phi$ имеет матрицу $A$. + Тогда собственным будет являться такой вектор $x$, что $Ax = \lambda x$: + \begin{equation*} + \left( + \begin{array}{cccc} + a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ + a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} + \end{array} + \right) \left( + \begin{array}{c} + x_{1}\\ + x_{2}\\ + \vdots\\ + x_{n} + \end{array} + \right) = \left( + \begin{array}{c} + \lambda x_{1}\\ + \lambda x_{2}\\ + \vdots\\ + \lambda x_{n} + \end{array} + \right) + \end{equation*} + Данное равенство равносильно следующему: + \begin{equation*} + \left( + \begin{array}{cccc} + a_{11} - \lambda & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ + a_{21} & a_{22} - \lambda & \ldots & a_{2n}\\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} - \lambda + \end{array} + \right) \left( + \begin{array}{c} + x_{1}\\ + x_{2}\\ + \vdots\\ + x_{n} + \end{array} + \right) = \left( + \begin{array}{c} + 0\\ + 0\\ + \vdots\\ + 0 + \end{array} + \right) + \end{equation*} + По теореме Крамера наличие у данной системы ненулевого решения равносильно ненулевому определителю + $\det (A - \lambda E) = 0$. Такой определитель называется характеристическим многочленом + оператора $\phi$ относительно базиса $e$: + $$\chi(\lambda) = (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1} tr A \lambda^{n-1} + \dots + det A.$$ + Таким образом, собственными значениями будут $\lambda$, являющиеся корнями характеристического + многочлена. Собственными будут векторы, являющиеся решениями систем с подставленными + собственными значениями $\lambda$. +\end{algorithm} + +\begin{theorem} + Верны следующие свойства характеристического многочлена: + \begin{enumerate} + \item Корни $\chi(\lambda)$ принадлежащие полю $F$ и только они являются собственными + значениями $\phi$. + \item Многочлен $\chi(\lambda)$ не зависит от выбора базиса. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Пусть $\lambda_0$ – корень $\chi_{\phi}(\lambda)$, тогда $|A - \lambda_0 E| = 0$. + Это значит, что система $A - \lambda_0 E$, имеет ненулевое решение при $x_0 \neq 0$. + Тогда $\phi(x_0) = \lambda_0$, а значит $\lambda_0$ - собственное значение $\phi$. + В силу равносильных переходов, обратное утверждение тоже верно. + + \item Наряду с $e$ выберем базис $f$, обозначим за $S$ матрицу перехода между ними: + $S = S_{e \to f}$. Тогда $\phi \xleftrightarrow[e]{} A$, $\phi \xleftrightarrow[f]{} B$, + $B = S^{-1}AS$. Верна следующая цепочка равенств: + \begin{align*} + \chi_b(\lambda) = |B &- \lambda E| = |S^{-1}AS - \lambda E| + = |S^{-1}AS - S^{-1} \lambda E S| = \\ &= |S^{-1}(A - \lambda E)S| + = |S^{-1}| \cdot |A - \lambda E| \cdot |S| = |A - \lambda E| = \chi_a(\lambda). + \end{align*} + Таким образом, характеристический многочлен одинаков для всех базисов. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + В дальнейшем будем использовать следующее определение: характеристическим многочленом оператора + $\phi: V \to V$ называется определитель $|A - \lambda E| = \chi_A(\lambda)$, + где $A$ -- матрица $\phi$ в произвольном базисе. +\end{definition} + +\begin{corollary} + От выбора базиса не зависят так же коэффициенты характеристического многочлена, в частности + $det A$ и $tr A$, поэтому часто пишут $det \phi$ и $tr \phi$ соответственно. +\end{corollary} + + +\begin{algorithm}[Нахождения собственных подпространств]~ + + Выпишем $\chi_{\phi}(\lambda)$ и найдем его корни принадлежащие $F$. + Пусть $\lambda_1, \lambda_2, \dots \lambda_k$ -- полученные собственные значения. + Для каждого собственного значения $\lambda_j$ находим $\ker B_j = \ker (A - \lambda E)$ -- + подпространство таких векторов, для которых $Ax = \lambda x$. Оно очевидно совпадает с $V_j$. +\end{algorithm} + +\begin{corollary} + Если $V$ -- линейное пространство над $\Cm$, $\dim V \geq 1$, то всякий линейный оператор $\phi: V \to V$ имеет в $V$ имеет хотя бы один собственный вектор. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $\chi_{\phi}(t)$ -- характеристический многочлен. По теореме \ref{ota} многочлен $\chi_{\phi}(t)$ + имеет хотя бы один корень $\lambda_0$. Следовательно, $\lambda_0$ -- + собственное значение для оператора $\phi$ и, значит, существует собственный вектор с собственным + значением $\lambda_0$. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если $V$ - линейное пространство над $\R$ и $\dim V = 2k + 1, k \geq 0, k \in \Z$, то всякий линейный оператор $\phi: V \to V$ имеет хотя бы один собственный вектор. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Аналогично предыдущему следствию в таком пространстве существует хотя бы один корень $\lambda_0 \in \R$. +\end{proof} diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_4.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_4.tex new file mode 100644 index 00000000..b75e0215 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_4.tex @@ -0,0 +1,482 @@ +%22.02.2023 Аня + +\section{Линейные операторы} +\subsection{Диагонализуемость линейного оператора} + +\begin{definition} + Линейный оператор $\phi: V \to V$ над полем $F$ называется диагонализируемым, если в $V$ + существует базис $e$, такой что $A_{\phi}$ -- диагональная матрица. +\end{definition} + +\begin{theorem}[критерий диагонализируемости линейного оператора] + \label{theorem4.1} + Пусть $V$ - пространство над полем $F$, оператор $\phi: V \to V$. Пусть $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k$ -- все + попарно различные собственные значения, тогда следующие условия эквивалентны: + \begin{enumerate} + \item $\phi$ -- диагонализируем. + \item В $V$ существует базис, состоящий из собственных векторов оператора $\phi$. + \item $V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus V_{\lambda_k}$. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item $1 \Rightarrow 2$ \\ + Так как $\phi$ диагонализируем, то существует базис, в котором матрица оператора выглядит + следующим образом: + \begin{equation*} + \left( + \begin{array}{cccc} + \lambda_{1} & 0 & \ldots & 0\\ + 0 & \lambda_{2} & \ldots & 0\\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + 0 & 0 & \ldots & \lambda_n + \end{array} + \right) + \end{equation*} + Значит, $\phi(e_i) = \lambda_i e_i$ для любого $i$, откуда $e_1, \dots, e_n$ -- собственные + векторы для $\phi$. Значит, $e$ -- базис из собственных векторов. + \item $2 \Rightarrow 3$ \\ + Пусть $e$ -- базис из собственных векторов оператора $\phi$. Перегруппируем базисные векторы + по собственным значениям: + $$\underbrace{(e_{11}, \dots, e_{1s_1})}_{\lambda_1} \underbrace{(e_{21}, \dots, e_{2s_2})}_{\lambda_2} + \dots \underbrace{(e_{k1}, \dots, e_{ks_k})}_{\lambda_k}$$ + Теперь $\langle e_{11}, \dots, e_{1s_1} \rangle \subseteq V_{\lambda_1}$, + $\dots, \langle e_{k1}, \dots, e_{ks_k} \rangle \subseteq V_{\lambda_k}$, + откуда $V = V_{\lambda_1} + \dots + V_{\lambda_k}$. По лемме \ref{o_lnz} собственные подпространства + линейно независимы. Тогда по теореме о характеризации прямой суммы + $V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus V_{\lambda_k}$. + \item $3 \Rightarrow 1$ \\ + Известно, что $V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus V_{\lambda_k}$. + Выберем в каждом $V_{\lambda_i}$ базис: $e_{i_1}, \dots, e_{is_i}$. Тогда, объединяя базисы + собственных подпространств, получим базис всего пространства $V$. + При этом по диагонали будут стоять сначала $s_1$ значений $\lambda_1$, + затем $s_2$ значений $\lambda_2$ и так далее. Остальные значения -- нули. + Значит, $\phi$ -- диагонализируем. + \begin{equation*} + \left( + \begin{array}{ccccc} + \lambda_{1} & 0 & \ldots & 0 & 0\\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ + 0 & \ldots & \lambda_{1} & \ldots & 0\\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ + 0 & 0 & \ldots & \ldots & \lambda_n + \end{array} + \right) + \end{equation*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Пусть $\phi$ - диагонализируемый и базис такой, что матрица диагональная, $\dim V = n$. + \begin{enumerate} + \item Все базисные векторы - собственные. + \item По главной диагонали - собственные значения $\phi$. + \item $\tr \phi = \sum_{i=1}^n \lambda_i$ (с учётом кратности). + \item $\det \phi = \prod_{i=1}^n \lambda_i$. + \item $\chi _{\lambda} (t) = \prod_{i=1}^n (\lambda_i - t)$ + (раскладывается на линейные множители над $F$). + \end{enumerate} +\end{note} + +\begin{corollary} + Если характеристический многочлен линейного оператора не раскладывается на линейные множители + над $F$, то такой оператор заведомо не диагонализуем. +\end{corollary} + +\begin{example} + Рассмотрим следующий оператор $\phi$: + \begin{equation*} + \phi = + \left( + \begin{array}{cc} + \cos{\phi} & - \sin{\phi} \\ + \sin{\phi} & \cos{\phi} \\ + \end{array} + \right) + \end{equation*} + Его характеристический многочлен записывается как: + \begin{equation*} + \chi_{\phi}(t) = \det + \left( + \begin{array}{cc} + \cos{\phi} & - \sin{\phi} \\ + \sin{\phi} & \cos{\phi} \\ + \end{array} + \right) = t^2 - 2\cos{\phi} t + 1 + \end{equation*} + $D = 4 \cos^2{\phi} - 4 = - 4\sin^2{\phi} < 0$, что значит, многочлен не раскладывается на множители + и матрица не диагонализируема. +\end{example} + +\subsection{Алгебраическая и геометрическая кратности собственных значений} + +\begin{definition} + Пусть $\phi: V \to V$, $\lambda \in F$ -- его собственное значение, $\chi_{\phi}(\lambda) = 0$. + Кратность корня $\lambda$ как корня характеристического многочлена называется алгебраической + кратностью собственного значения $\lambda$. Обозначение: $alg(\lambda) \geq 1$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Размерность собственного подпространства $V_{\lambda}$ называется геометрической кратностью + собственного значения $\lambda$. Обозначение: $geom(\lambda) = \dim V_{\lambda} \geq 1$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + \label{pr4.1} + Пусть $\phi: V \to V$ и $U$ -- инвариантное подпространство относительно $\phi$. + Пусть $\psi = \phi \vert_{U}$. Тогда $\chi_{\phi} \vdots \chi_{\psi}$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $e$ -- базис в $V$, согласованный с инвариантным подпространством $U$: + $$e = (\underbrace{e_{1}, \dots, e_{k}}_{U}, e_{k + 1}, \dots, e_n).$$ + Матрица $A_{\phi}$ имеет следующий вид: + \[A_{\phi} = \left(\begin{array}{@{}c|c@{}} + B & C\\ + \hline + 0 & D + \end{array}\right)\] + Тогда характеристический многочлен записывается следующим образом: + \[\chi_{\phi}(\lambda) = \det \left(\begin{array}{@{}c|c@{}} + B - \lambda E & C\\ + \hline + 0 & D - \lambda E + \end{array}\right) = |B - \lambda E| \cdot |D - \lambda E| = \chi_{\psi} \cdot \chi_D\] +\end{proof} + +\begin{corollary} + Для любого собственного значения $\lambda$: $geom(\lambda) \leq alg(\lambda)$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Подпространство $U = V_{\lambda}$ инвариантно относительно оператора $\phi$. Тогда $\psi$ имеет + на $U$ следующую матрицу: + \begin{equation*} + \psi = + \left( + \begin{array}{ccc} + \lambda & \dots & 0 \\ + \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & \dots & \lambda \\ + \end{array} + \right) + \end{equation*} + Характеристический многочлен $\chi_{\psi}$ записывается как + $\chi_{\psi} = (\lambda - t)^k$, где $k = \dim V_{\lambda} = geom(\lambda)$. + По утверждению \ref{pr4.1} $\chi_{\phi} \vdots \chi_{\psi}$, откуда следует, что + $\chi_{\phi} \vdots (\lambda - t)^k$. Значит, $alg(\lambda) \geq geom(\lambda)$. +\end{proof} + +\begin{theorem}[критерий диагонализируемости в терминах алгебраической и геометрической кратностей линейного оператора] + Пусть $\phi: V \to V$, $\dim V = n$. $\phi$ -- диагонализируем тогда и только тогда, когда: + \begin{enumerate} + \item $\chi_{\phi}(t)$ разлагается на линейные множители над $F$. Далее будет использоваться + формулировка "оператор $\phi$ линейно факторизуем над полем $F$". + \item Для любого собственного значения $\lambda$ оператора $\phi$ выполнено $alg(\lambda) = geom(\lambda).$ + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость \\ + Пусть $\phi$ диагонализуем над $F$. Тогда существует базис, в котором матрица оператора $\phi$ + имеет диагональный вид и по теореме \ref{theorem4.1} верно + $V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus V_{\lambda_k}$. + Тогда по свойству прямой суммы: + $$\sum_{i=1}^k geom(\lambda_i) = \sum_{i=1}^k \dim V_{\lambda_i} = + \dim V = n = \deg \chi \geq \sum_{i=1}^k alg(\lambda_i)$$ + С одной стороны, выполнено неравенство выше, но, с другой стороны, по предыдущему следствию, + $geom(\lambda) \leq alg(\lambda)$, откуда верно, что $alg(\lambda_i) = geom(\lambda_i)$ для всех $i$. + \item Достаточность \\ + Пусть $\phi$ линейно факторизуем над $F$ и $alg(\lambda_i) = geom(\lambda_i)$. + Докажем диагонализируемость оператора $\phi$: + $$\dim(V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus V_{\lambda_k}) = + \sum_{i=1}^k \dim V_{\lambda_i} = \sum_{i=1}^k geom(\lambda_i) = \sum_{i=1}^k alg(\lambda_i) = n$$ + Последнее равенство следует из линейной факторизуемости $\phi$. + Отсюда получаем, что $V$ представляется в виде прямой суммы собственных подпространств + $V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus V_{\lambda_k}$. Тогда по теореме + \ref{theorem4.1} $\phi$ диагонализуем. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{example}~ + + Пример не диагонализируемого линейного оператора на $\Cm$ - Жорданова клетка порядка n. + \begin{equation*} + J_n(\lambda) = + \left( + \begin{array}{cccc} + \lambda & 1 & \dots & 0 \\ + \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ + \vdots & \dots & \lambda & 1 \\ + 0 & \dots & \dots & \lambda \\ + \end{array} + \right) + \end{equation*} +\end{example} + +\begin{proof} + Запишем характеристический многочлен для Жордановой клетки порядка $n$: + \begin{equation*} + \chi_{J_n}(t) = \det + \left( + \begin{array}{cccc} + \lambda - t & 1 & \dots & 0 \\ + \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ + \vdots & \dots & \lambda - t & 1 \\ + 0 & \dots & \dots & \lambda - t \\ + \end{array} + \right) = (\lambda - t)^n + \end{equation*} + Таким образом, $alg(\lambda) = \dim V_{\lambda} = n$. Так как $\ker B = \ker (J_n(\lambda) - \lambda E)$, + ядро этой матрицы состоит из нулей и единичной диагонали размером $(n - 1) \times (n - 1)$. + Тогда $rk B = n - 1$. Получаем, что $\dim \ker B = n - (n - 1) = 1$, то есть + $V_{\lambda} = \langle e_1 \rangle$; $geom(\lambda) = 1$. \\ + Таким образом, Жорданова клетка порядка 2 и выше является не диагонализируемой. +\end{proof} + +\subsection{Приведение линейного оператора к верхнетреугольному виду} + +\begin{agreement} + В этом разделе будем считать, что оператор $\phi: V \to V$ линейно факторизуем над полем $F$ и + характеристический многочлен имеет вид $\chi_{\phi}(t) = \prod_{i=1}^n (\lambda_i - t)$. + Размерность пространства $V$ равна $\dim_F V = n$. +\end{agreement} + +\begin{proposition} + \label{prop4.2} + Следующие условия на подпространстве $U$ эквивалентны: + \begin{enumerate} + \item $U$ -- инвариантно относительно $\phi$. + \item $\exists \lambda \in F: U$ - инвариантно относительно $\phi - \lambda E$. + \item $\forall \lambda \in F \hookrightarrow U$ - инвариантно относительно $\phi - \lambda E$ + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item ($1 \Rightarrow 3$): Нужно доказать, что $\forall x \in U \hookrightarrow \phi(x) \in U$. + + Пусть $\lambda \in F$, тогда $\forall x \in U \hookrightarrow (\phi - \lambda E)(x) = \phi(x) - \lambda x$, + где обе части принадлежат $U$. Значит и все выражение принадлежит $U$. + \item ($3 \Rightarrow 2$): Очевидно. + \item ($2 \Rightarrow 1$): Пусть $\exists \lambda \in F: U$ инвариантно относительно + $\phi - \lambda E$, тогда верно: + $$\forall x \in U \hookrightarrow \phi(x) = (\phi - \lambda E)(x) + (\lambda E)(x) \in U.$$ + Следовательно, $U$ инвариантно относительно $\phi$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{proposition} + \label{utv4.3} + Пусть $\phi: V \to V$, $\phi$ линейно факторизуем над $F$ и $n = \dim V$, тогда в $V$ найдется + $(n - 1)$ -- мерное подпространство, инвариантное относительно $\phi$. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item + По определению линейной факторизуемости $\phi$ его характеристический многочлен представляется в виде: + $$\chi_{\phi}(t) = \prod_{i=1}^n (\lambda_i - t),$$ + где $\lambda_i$ -- собственные значение для $\phi$. + \item + Рассмотрим собственное подпространство $V_{\lambda_n} = \ker (\phi - \lambda_n \epsilon) \neq \{ \overline{0} \}$. + Из того, что ядро не пусто, следует, что $\im(\phi - \lambda_n E)$ не совпадает с $V$. Значит + размерность образа $(\phi - \lambda_n \epsilon)$ не превышает $n - 1$. + Тогда существует подпространство $U$ такое, что $\dim U = n - 1$ и образ оператора + $\phi - \lambda_n \epsilon$ + лежит в $U$. + \item + Докажем, что такое подпространство инвариантно. Пусть $x \in U$, тогда: + $$(\phi - \lambda_n \epsilon)(x) \in \im(\phi - \lambda_n E) \subseteq U.$$ + Значит, $U$ инвариантно относительно $\phi - \lambda_n \epsilon$, и тогда, по утверждению + \ref{prop4.2} $U$ инвариантно и относительно $\phi$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Предположение линейной факторизации можно ослабить и заменить на то, что $\phi$ имеет хотя бы одно характеристическое значение (хотя бы один корень). +\end{note} + +\subsection{Флаг подпространства} + +\begin{definition} + Флагом подпространства над $V$ называется цепочка инвариантных подпространств: + $$\{ \overline{0} \} = V_0 < V_1 < \dots < V_n = V, \dim V_k = k$$ +\end{definition} + +\begin{theorem}[о приведении линейного оператора к верхнетреугольному виду]~ \\ + Пусть $\phi: V \to V$, $\phi$ линейно факторизуем над $F$ и $n = \dim V$. Тогда в $V$ существует + базис $e$, в котором матрица $\phi$ -- верхнетреугольная: + \begin{equation*} + \left( + \begin{array}{ccc} + \lambda_1 & \dots & * \\ + \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & \dots & \lambda_n \\ + \end{array} + \right) + \end{equation*} +\end{theorem} + +\begin{idea} + Построить в $V$ флаг инвариантных подпространств относительно $\phi$. +\end{idea} + + +\begin{proof} + Докажем индукцией по $n$. + \begin{enumerate} + \item База $n = 1$: $\{ \overline{0} \} < U_1 = V_1$ - флаг существует. + \item + Шаг индукции: пусть для $V$ с $\dim V < n$ утверждение справедливо. Докажем для пространства + $V$ размерности $n$. + + По утверждению \ref{utv4.3} в $V$ найдется $U_{n - 1} < V$; $\dim U_{n - 1} = n - 1$. + Рассмотрим функцию $\psi = \phi \mid_{U_{n - 1}}$, тогда по \ref{pr4.1} + $\chi_{\phi} \vdots \chi_{\psi}$. Где $\chi_{\phi}$ раскладывается на $n$ линейных множителей. + Очевидно, что тогда характеристический многочлен $\chi_{\psi}$ состоит из тех линейных множителей, + которые входили в $\chi_{\phi}$. Следовательно, $\chi_{\psi}$ раскладывается на линейные множители. + Тогда к определителю $\psi: U_{n - 1} \to U_{n - 1}$ применимо предположение индукции: + $$\{ \overline{0} \} < U_1 < \dots < U_{n - 1} < U_n = V (*)$$ + Тут первые $n - 1$ подпространств инвариантны относительно $\psi$, значит, инвариантны и относительно $\phi$. \\ + Выберем базис $e$ в $V$, согласованный с разложением $(*)$, где $(e_1, \dots, e_k)$ -- базис в $U_k$, + тогда в матрице базиса $e$ в первой строке будет столбец, согласованный с $U_1$, то есть + $\lambda_1$ и нули снизу, далее столбец, согласованный с $U_2$ и так далее. + \begin{equation*} + \phi_e = + \left( + \begin{array}{cccc} + \lambda_1 & * & \dots & * \\ + 0 & \lambda_2 & \dots & * \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & \lambda_n \\ + \end{array} + \right) + \end{equation*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + В условиях предыдущей теоремы, если $e$ -- базис, в котором $\phi$ имеет верхнетреугольную матрицу, + то $(\phi - \lambda_k E) U_k \subseteq U_{k - 1}$, для всех $k = 1, 2, \dots, n$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + $U_k = U_{k - 1} \oplus \langle e_k \rangle$ \\ + $(\phi - \lambda_k E) U_{k - 1} \subseteq U_{k - 1}$ \\ + $(\phi - \lambda_k E) e_k = \sum_{i=1}^{k - 1} a_{ik}e_i \in U_{k - 1}$ +\end{proof} + +\begin{corollary} + \label{col2} + В условиях предыдущей теоремы $\forall k = 1, \dots, n \hookrightarrow (\phi - \lambda_k E)(\phi - \lambda_{k + 1} E) \dots (\phi - \lambda_n E) V \subseteq U_{k - 1}$. (первые несколько скобок - множители $\chi$) +\end{corollary} + +\begin{proof} + $\chi(V) = (\phi - \lambda_k E) \dots (\phi - \lambda_{n - 1} E) U_{n - 1} \subseteq \dots \subseteq U_{k - 1}$. +\end{proof} + +\begin{theorem}[Гамильтона - Кэли] + \label{th4.4} + Пусть $\phi: V \to V$, $\phi$ -- линейно факторизуем над $F$. Пусть $\chi_{\phi}(t) \in F[t]$ -- характеристический многочлен, тогда $\chi_{\phi}(\phi) = 0$ (нулевой оператор).\\ + (Иначе: $A \in M_n(F), \chi_A(t)$ -- характеристический многочлен матрицы $A$, то $\chi_A(A) = 0$) +\end{theorem} + +\begin{proof} + По определению характеристического многочлена $\chi_{\phi}(t) = \prod_{i=1}^n (\lambda_i - t)$, $n = \dim V$, тогда верно и $\chi_{\phi}(\phi) = (-1)^n \prod_{i=1}^n (\phi - \lambda_i E)$. Домножим обе части на $V$: $\chi_{\phi}(\phi) V = (-1)^n \prod_{i=1}^n (\phi - \lambda_i E) V$, причем базис $e$ пространства согласован с разложением во флаг инвариантных подпространств. Тогда по второму следствию \ref{col2} получаем $\chi_{\phi}(\phi) V = (-1)^n (\phi - \lambda_1 E) U_1 = (-1)^n (\phi(e_1) - \lambda_1 E) = \overline{0}$. Значит, все векторы аннулируются под действием $\chi_{\phi}(\phi) = 0$. \\ + (Неправильное доказательство: подставить вместо $t$ матрицу $A$ и получить $\chi_{A}(A) = \det (A - AE) = \det 0 = 0$) +\end{proof} + +\begin{note} + Теорема Гамильтона-Кэли справедлива для любого линейного оператора над любым полем. +\end{note} + +\subsection{Аннулирующие многочлены} + +\begin{definition} + $\phi: V \to V$, $P \in F[t]$ называется аннулирующим для оператора $\phi$, если $P(\phi) = 0$ (иначе говоря: $\forall x \in V \hookrightarrow P(\phi) = \overline{0}$). +\end{definition} + +\begin{note} + Если $\dim V = n$, то у любого $\phi$ существует аннулирующий многочлен. +\end{note} + +\begin{proof} + Если $\phi$ соответствует матрица $A$ размером $n$ на $n$ и $\dim M_n(F) = n^2$. \\ + Тогда если рассмотреть все матрицы вида $E, A, A^2, \dots, A^{n^2}$, то существуют $\alpha_i \in F: \sum_{i = 0}^{n^2} \alpha_i A^i = 0$, тогда аннулирующий многочлен выглядит как $P = \sum_{i = 0}^{n^2} \alpha_i t^i$. +\end{proof} + +\begin{definition} + Аннулирующий многочлен для $\phi$ минимальной возможной степени называется минимальным многочленом оператора $\phi$ и обозначается: $\mu_{\phi}$. +\end{definition} + +\begin{example} + $\phi = E$, $E(x) = x \forall x$, тогда $\mu(t) = t - 1$, $\mu(E) = E - 1 \cdot E = 0$ +\end{example} + +\begin{theorem} + \label{th4.5} + Пусть $\phi: V \to V$, $\mu(t)$ -- минимальный многочлен $\phi$ и пусть $P(t)$ -- аннулирующий многочлен оператора $\phi$. Тогда $P \vdots \mu$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $P(t) = Q(t) \cdot \mu(t) + R(t)$, $\deg R < \deg \mu$ или $R = 0$. \\ + От противного, пусть $R \neq 0$ тогда выразим этот остаток из предыдущего выражения: + $R(\phi) = P(\phi) - Q(\phi) \cdot \mu (\phi) = 0$ -- так как аннулирующий и минимальный + многочлены зануляются, то и остаток равен нулю. Противоречие. Значит, $\mu(t) \vert P(t)$. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Минимальный многочлен линейного оператора $\phi$ определяется с точностью до ассоциированности. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $\mu$ и $\mu'$ -- два минимальных многочлена, тогда по предыдущей теореме + $\mu \vert \mu'$ и $\mu' \vert \mu$, откуда следует, что $\mu \sim \mu'$. +\end{proof} + +\begin{corollary} + $\mu _{\phi} \vert \chi_{phi}$. +\end{corollary} + +\begin{reminder} + Многочлены $P$ и $Q$ называются взаимно простыми, если $\gd(P, Q) = 1$. Многочлены взаимно просты тогда и только тогда, когда $\exists u, v \in F[x]: u \cdot P + v \cdot Q = 1$. +\end{reminder} + +\begin{theorem}[о взаимно простых делителях аннулирующего многочлена]~ + \label{th4.6} + + Пусть $\phi: V \to V$ и пусть $f$ -- аннулирующий многочлен оператора $\phi$. + Пусть $f = f_1 \cdot f_2$, где многочленый $f_1$ и $f_2$ взаимно простые. + Пусть $V_1 = \ker f_1(\phi)$, $V_2 = \ker f_2(\phi)$, тогда $V = V_1 \oplus V_2$, + причем и $V_1$, и $V_2$ инвариантны относительно $\phi$. +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item По теореме о представлении НОД в виде линейной комбинации: + $$\exists u_1, u_2 \in F[t] \hookrightarrow u_1(t)f_1(t) + u_2(t)f_2(t) = 1$$ + Если подставить оператор, получим $u_1(\phi)f_1(\phi) + u_2(\phi)f_2(\phi) = E$. \\ + По утверждению о коммутирующих операторах: $f_i(\phi) \cdot \phi = \phi \cdot f_i(\phi)$, + где $V_1$ и $V_2$ инвариантны относительно оператора $\phi$. + \item Покажем теперь, что $\im f_1(\phi) \subseteq V_2; \im f_2(\phi) \subseteq V_1$. + Для этого рассмотрим некоторый вектор $y \in \im f_1(\phi)$ и докажем, + что существует такой вектор $x \in V$, что $y = f_1(\phi) x \in V_2$. + Для этого рассмотрим $f_2(\phi) y = f_1(\phi) f_2(\phi) x = f(\phi) x = 0 \cdot x = 0$. + Значит, $y \in \ker f_2(\phi) = V_2$. + + Таким образом, любой вектор из ядра $f_1(\phi)$ + лежит в $V_2$, откуда следует вложенность. Для $V_1$ доказательство аналогично. + \item Теперь докажем, что $V = V_1 + V_2$. Пусть $x \in V$, тогда: + $$x = Ex = (f_1(\phi)u_1(\phi) + f_2(\phi)u_2(\phi)) x = f_2(\phi) x' + f_1(\phi) x'',$$ + где первое слагаемое принадлежит $V_1$, а второе - $V_2$ + (по предыдущему пункту доказательства). Значит, вектор принадлежит сумме. + \item Последним шагом докажем, что сумма прямая, то есть $V = V_1 \oplus V_2$. + Пусть $x \in V_1 \land V_2$. Значит, для $x$ верно $f_1(\phi) x = 0$ и $f_2(\phi) x = 0$. + Из этого можно получить равенство: + $$x = Ex = (f_1(\phi)u_1(\phi) + f_2(\phi)u_2(\phi)) x = \overline{0} + \overline{0} = \overline{0}.$$ + Так как $x$ -- произвольный вектор из пересечения, то пересечение пусто и, значит, сумма прямая. + \end{enumerate} +\end{proof} diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_5.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_5.tex new file mode 100644 index 00000000..14c77d2e --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_5.tex @@ -0,0 +1,433 @@ +% 01.03.23 Оля + +\begin{reminder} + Вспомним теорему с предыдущей лекции: пусть $\phi \in \mathcal{L}(V)$, $f$ -- + аннулирующий многочлен для $\phi$, раскладывающийся на произведение двух взаимно-простых + многочленов: $f = f_1 \cdot f_2$, $\gd (f_1, f_2) = 1$. + Тогда $V$ раскладывается в прямую сумму $V = V_1 \oplus V_2$, + где $V_i = \ker f_i(\phi)$ -- инвариантные подпространства. +\end{reminder} + +\begin{corollary} + Пусть $\phi \in \mathcal{L}(V)$, $f$ -- аннулирующий многочлен для $\phi$, такой что $f$ + раскладывается в произведение $f = f_1 \cdot f_2 \dots f_n$ попарно взаимно-простых многочленов. + Тогда $V$ раскладывется в прямую сумму $V = V_1 \oplus V_2 \oplus \dots V_n$, + где $V_i = \ker f_i(\phi)$ -- инвариантные подпространства. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Индукция по $n$: + \begin{enumerate} + \item База: случай $n = 2$ доказан в теореме \ref{th4.6} + \item Рассмотрим случай $n$ сомножителей. Тогда f можно разложить следующим образом: + $$f = (f_1 \cdot f_2 \cdot ... \cdot f_{n-1}) \cdot f_n,$$ при этом $(f_1 \dots f_{n-1})$ + и $f_n$ взаимно просты. + Тогда по теореме \ref{th4.6}: + $$V = \ker (f_1(\phi) \cdot f_2(\phi) \cdot ... \cdot f_{n-1}(\phi)) \oplus V_n.$$ + При этом многочлен $f_1 f_2 \dots f_n$ -- аннулирующий многочлен сужения $\phi_{v'}$, + а значит по предположению индукции: + $$V' = \ker (f_1(\phi) \vert_{V'}) \oplus \dots \oplus \ker (f_n(\phi) \vert_{V'}).$$ + Осталось проверить только что $\forall i \; \ker f_i(\phi) \vert_{V'} = \ker f_i(\phi) = V_i$. + + Вложение вправо очевидно: пусть $x \in V'$ и $f_i(\phi) \vert_{V'} x = 0$, тогда верно и + $f_i(\phi) x = 0$. + + В обратную сторону, пусть $x \in \ker f_i(\phi)$ то есть $\ker f_i(\phi) x = 0$. Тогда полное + произведение операторов $f_1(\phi) f_2(\phi) ... f_{n-1}(\phi) = 0$, а значит $x \in V'$. + Таким образом $x \in \ker f_i(\phi) \vert_{V'}$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\section{Корневые подпространства} + +\begin{definition} + $\phi : V \to V$, $V$ -- линейное пространство над полем $F$, $\lambda \in f$. + Вектор $x \in V$ называют корневым для $\phi$ отвечающим $\lambda \in F$, если + $\exists k \in \N \; : (\phi - \lambda \epsilon)^k x = 0$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Число $k$ -- высота корневого вектора $x$, отвечающего $\lambda$ из $F$, если $k$ -- наименьшее + число такое что $(\phi - \lambda \epsilon)^k x = 0$. + Будем считать, что нулевой вектор имеет высоту 0. +\end{definition} + +\begin{example} + Пусть $x$ -- собственный вектор для $\phi$, соответствующий собственному значению $\lambda$. + Тогда $\phi(x) = \lambda x$, а значит $x$ -- корневой вектор высоты 1 для оператора $\phi$ + так как $(\phi - \lambda \epsilon) x = 0$. + Следствия верны и в обратную сторону, а значит собственные векторы являются корневыми векторами + высоты 1. +\end{example} + +\begin{example} + Пусть $\phi = \frac{d}{dx}$, $V = \R_n[x] = \{ c \in \R_n[x] \, \vert \deg f \leq n\}$. $V$ -- + корневое пространство для $\phi$ с собственным значением $\lambda = 0$. + Тогда $\phi^{n+1}(V) = \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} = 0$. + Максимальную высоту при этом имеет $f(x) = x^n$. +\end{example} + + +\begin{proposition} + Пусть $V^{\lambda}$ -- множество всех корневых векторов для $\phi$ относящихся к $\lambda$. + Тогда $V^{\lambda}$ -- подпространство в $V$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $x, y \in V^{\lambda}$, $s$ и $t$ -- высоты $x$ и $y$ соответственно. + Положим $M = max(s, t)$. Тогда верно следующее: + \begin{eqnarray} + (\phi - \lambda \epsilon)^M(x+y) = (\phi - \lambda \epsilon)^M x + + (\phi - \lambda \epsilon)^M y = 0 + 0 = 0. + \end{eqnarray} + Таким образом замкнутость относительно сложения выполняется. Замкнутость относительно умножения + на скаляры предлагается проверить самостоятельно. +\end{proof} + +\begin{definition} + Построенное подпространство $ V^{\lambda}$ называется корневым для оператора $\phi$ + относящегося к $\lambda$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Корневое подпространство $ V^{\lambda}$ отлично от нулевого тогда и только тогда когда + $\lambda$ -- собственное значение оператора $\phi$. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + + Достаточность. Пусть $\lambda$ -- собственное значение оператора $\phi$, тогда + $V_{\lambda} \neq \{ 0\}$. Однако $V_{\lambda} \subseteq V^{\lambda}$, а значит + $V^{\lambda}$ -- ненулевое. + + Неоходимость. Пусть корневое подпространство $ V^{\lambda}$ отлично от нуля. Пусть есть вектор + $x$ высоты $k$ такой что $x \in V^{\lambda}$. Тогда $y = (\phi - \lambda \epsilon)^{k-1} x \neq 0$, + а $(\phi - \lambda \epsilon)y = (\phi - \lambda \epsilon)^{k} x = 0$. + Таким образом $\phi(y) = \lambda y$, а значит $x$ -- собственный вектор $\phi$, $\lambda$ -- + собственное значение. +\end{proof} + +\begin{agreement} + Начиная с этого момента корневыми подпространствами будем называть только те $V^{\lambda}$, + для которых $\lambda$ -- собственное значения оператора $\phi$. +\end{agreement} + +\begin{reminder} + Подпространство $W$ называется дополнительным к $V^{\lambda}$, + если их пересечение состоит только из нуля. +\end{reminder} + +\begin{reminder} + Оператор $\phi$ действует невырожденным образом когда $\ker(\phi - \lambda \epsilon) = 0$. +\end{reminder} + +\begin{theorem}[о свойствах корневых подпространств]~ + \label{th5.1} + + Пусть $V^{\lambda}$ -- корневое подпространство для $\phi$ отвечающее $\lambda$. Тогда + \begin{enumerate} + \item $V^{\lambda}$ инвариантно относительно $\phi$. + \item Подпространство $V^{\lambda}$ имеет единственное собственное значение $\lambda$. + \item Если $W$ -- тоже инвариантное относительно $\phi$ подпространство, при этом являющееся + дополнительным к $V^{\lambda}$, то на $W$ оператор + $\phi - \lambda \epsilon$ действует невырожденным образом. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Пусть m -- максимальная высота векторов $x \in V^{\lambda}$, в силу конечномерности + $V^{\lambda}$ такая существует и является конечным числом. + Тогда $V^{\lambda} = \ker (\phi - \lambda \epsilon)^m$. + + Операторы $\phi$ и $\epsilon$ + коммутируют с $\phi$, а значит и оператор $(\phi - \lambda \epsilon)^m$ коммутирует с + $\phi$. Таким образом, можно записать + $(\phi - \lambda \epsilon)^m \phi = \phi (\phi - \lambda \epsilon)^m$. + Тогда по теореме \ref{th3.2} получаем, что $\ker (\phi - \lambda \epsilon)^m$ + инвариантно относительно $\phi$. + \item Докажем от противного, пусть в $V^{\lambda}$ найдется ненулевой собственный вектор $x$ + с собственным значением $\mu \neq \lambda$, то есть $\phi(x) = \mu x$. Применим к этому + вектору оператор $(\phi - \lambda \epsilon)$: + $$(\phi - \lambda \epsilon) x = \phi(x) - (\lambda \epsilon)(x) = (\mu - \lambda) x.$$ + Тогда при многократном применении + получим $(\phi - \lambda \epsilon)^m x = (\mu - \lambda)^m x = 0$, + так как $x \in V^{\lambda}$ и должен аннулироваться. Тогда $\mu - \lambda = 0$, + что дает противоречие. + \item По условию $V$ представляется как $V = V^{\lambda} \oplus W$. При этом подпространства + $V^{\lambda}$ и $W$ инвариантны относительно $\phi$, а значит, согласно утверждению + \ref{prop4.2}, они так же инвариантны относительно $(\phi - \lambda \epsilon)$. + Нам нужно доказать, что $\phi - \lambda \epsilon$ невырожден на $W$, то есть что + $\ker (\phi - \lambda \epsilon) \vert_{W} = \{0\}$. + + Докажем от противного, пусть $\exists x \neq 0$ такое что + $x \in \ker (\phi - \lambda \epsilon) \vert_{W}$. + Отсюда следует, что вектор $x$ лежит в пространстве $W$, так как лежит в ядре сужения + оператора на это подпространство. + + Однако $(\phi - \lambda \epsilon) x = 0$, а значит х -- собственный для $\phi$ + с собственным значением $\lambda$. Тогда вектор $x$ так же лежит и в пространстве + $V^{\lambda}$, что приводит к + противоречию с тем, что по условию $V^{\lambda} \cap W = \{0\}$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Корневое подпространство $V^{\lambda}$ - максимальное по включению инвариантное подпространство, + на котором $\phi$ имеет единственное собственное значение $\lambda$. +\end{corollary} + +\begin{theorem}[о разложении пространства V в прямую сумму корневых]~ + \label{th5.2} + + Пусть $\phi \in \mathcal{L}$, $\phi$ -- линейно факторизуем над $F$ + (характеристический многочлен раскладывается в произведение линейных множителей над F). + Тогда пространство $V$ есть прямая сумма корневых подпространств: + $V = V^{\lambda_1} \oplus V^{\lambda_2} \oplus \, \dots \, \oplus V^{\lambda_k}$, где все $\lambda$ попарно различны. +\end{theorem} + +\begin{proof} + По условию $\phi$ линейно факторизуем, а значит + $\chi_{\phi}(t) = \displaystyle\prod_{i= 1}^{k} (\lambda_i - t)^{m_i}$, где + $\lambda_i$ -- собственные значения. Многочлены $(\lambda_i - t)^{m_i}$ попарно взаимно просты + из попарной различности $\lambda_i$, поэтому по следствию из теоремы \ref{th4.6} можно заключить: + $$V = \ker (\phi - \lambda_1 \epsilon)^{m_1} \oplus \ker (\phi - \lambda_2 \epsilon)^{m_2} + \oplus \dots \oplus \ker (\phi - \lambda_k \epsilon)^{m_k}$$ + При этом $\ker (\phi - \lambda_i \epsilon)^{m_i} \subseteq V^{\lambda_i}$ для всех $i$, + а значит вектор $x \in V$ представим в виде суммы + $x = x_1 + \dots + x_k$, где $x_i \in V^{\lambda_i}$. + Отсюда очевидно, что пространство $V$ является суммой подпространств: + $$V = V^{\lambda_1} + V^{\lambda_2} + \dots V^{\lambda_k}.$$ + + Осталось доказать что $V^{\lambda_i} \subseteq \ker(\phi - \lambda_i \epsilon)^{m_i}$, + в таком случае сумма будет прямой. Докажем от противного, пусть существует индекс $i$ такой, + что $\ker (\phi - \lambda_i \epsilon) \leq V^{\lambda_i}$. Тогда найдется вектор + $x \in V^{\lambda_i}$ такой, что он не лежит в ядре. Обозначим высоту $x$ за $M > m_i$, тогда: + $$\chi_{\phi}(\phi) x = \left(\displaystyle\prod_{j \neq i} (\phi - \lambda_j \epsilon)^{m_j}\right) \cdot + (\phi - \lambda_i \epsilon)^{m_i} x = \displaystyle\prod_{j \neq i} + ((\phi - \lambda_j \epsilon)^{m_j})x' \neq 0.$$ + Если найдется такой $j$ что $(\phi - \lambda_j \epsilon)x = 0$, то у $x'$ есть собственное значение + $\lambda_j$, что приводит к противоречию с пунктом 2 теоремы \ref{th5.1}. + В противном случае возникает противоречие с + $\chi_{\phi}(\phi) = 0$ по теореме \ref{th4.4} (Гамильтона-Кэли). + + Таким образом, $V^{\lambda_i} = \ker(\phi - \lambda_i \epsilon)^{m_i}$, а значит $V$ представляется + в виде прямой суммы $V^{\lambda_i}$: + + $$V = V^{\lambda_1} \oplus V^{\lambda_2} \oplus \, \dots \, \oplus V^{\lambda_k}.$$ +\end{proof} + +\begin{remarkfrom} + В записи лекции Вадима Владимировича за 2021 год приводится ещё один вариант доказательства. + После получения $V = V^{\lambda_1} + V^{\lambda_2} + \dots V^{\lambda_k}$ покажем, что подпространства + $V^{\lambda_i}$ линейно независимы. + + Для того, чтобы показать линейную независимость подпространств покажем, что равенство нулю суммы + $x_1 + x_2 + \, \dots \, + x_k = 0$, где $x_i \in V^{\lambda_i}$, равносильно тому, что все $x_i = 0$. + + Рассмотрим оператор $\psi = \displaystyle\prod_{j = 2}^{k} (\phi - \lambda_j \epsilon)^{m_j}$ и применим его + к левой и правой частям равенства. Все $x_j$ при $j \geq 2$ аннулируются этим оператором так как + в произведении присутствуют $(\phi - \lambda_j \epsilon)^{m_j}$, аннулирующие соответствующие $x_j$. + + Правая часть после применения оператора так же остается нулевой, откуда $\psi x_1 = 0$. + При этом операторы $(\phi - \lambda_j \epsilon)^{m_j}$ невырождены на $V^{\lambda_1}$, а значит + и оператор $\psi$ невырожден на $V^{\lambda_1}$. Таким образом произведение $\psi x_1$ может быть + нулевым только если $x_1 = 0$. Проводя аналогичные рассуждения для всех $x_i$ получим, что + все эти векторы обязаны быть нулевыми, а значит подпространства $V^{\lambda_i}$ линейно независимы. + + По теореме о характеризации прямой суммы $V = V^{\lambda_1} \oplus V^{\lambda_2} \oplus \, \dots \, \oplus V^{\lambda_k}.$ +\end{remarkfrom} + +\begin{corollary} + В условиях теоремы 2 $\dim V^{\lambda_i} = m_i = alg(\lambda_i)$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $\dim V^{\lambda_i} = n_i$. Выберем базис согласованный с разложением в прямую сумму. + Тогда матрица $A_{\phi}$ имеет диагональный вид: + \[A_{\phi} = \begin{pmatrix} + A_1 & 0 & \dots & 0\\ + 0 & A_2 & \dots & 0\\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + 0 & 0 & \dots & A_n + \end{pmatrix}\] + где $A_i \in M_{n_i}(F)$. + Тогда $\chi_{\phi} (t)$ раскладывется по условию фактороизуемости: + $\chi_{\phi} (t) = \prod \chi_{\phi \vert_{V^{\lambda_i}}} (t)$. + Тогда $\chi_{\phi \vert_{V^{\lambda_i}}} (t) = (\lambda_i - t)^{n_i}$, при этом + $\chi_{\phi \vert_{V^{\lambda_i}}} (t) \vert \chi_{\phi} (t)$, а значит степень + не превосходит алгебраическую кратность $\lambda_i$, то есть $n_i \leq m_i$. + $$\sum n_i = \displaystyle\sum_{i = 1}^{k} \dim V = n, \; + \displaystyle\sum_{i = 1}^{k} m_i = \deg \chi = n,$$ + а значит равенство точное: $n_i = m_i$. +\end{proof} + +\subsection{Нильпотентные операторы} +\begin{definition} + Оператор $\phi: V \to V$ называется нильпотентным если $\exists k \in \N :\: \phi^k = 0$. +\end{definition} + +\begin{note} + Нильпотентные операторы не стоит путать с непотентными и унипотентными. Слово происходит от + nil -- ноль и potention -- возведение в степень. +\end{note} + +\begin{definition} + Наименьшее натуральное число $k$ такое что $\phi^k = 0$, $\phi^{k-1} \neq 0$ называют + индексом нильпотентности или (ст\'{у}пенью нильпотентности) относительно $\phi$. +\end{definition} + +\begin{example} + $V^{\lambda}$ -- корневое для оператора $\phi$, $\exists k: (\phi - \lambda \epsilon)^k + \vert_{V^{\lambda}} = 0$, а значит на $V^{\lambda}$ оператор $(\phi - \lambda \epsilon)$ + -- нильпотентный. +\end{example} + +\begin{example} + На $\R_n[x] \phi = \frac{d}{dx}$ имеет ступень нильпотентности $n+1$. +\end{example} + +\begin{definition} + Пусть $\phi$ -- нильпотентный и $x \in V$ -- вектор, имеющий высоту $k$. + Рассмотрим $U = \langle x, \phi(x), \dots \phi^{k-1}(x)\rangle$. + Построенное инвариантное подпространство $U$ называется циклическим подпространством, + порожденным вектором $x$. +\end{definition} + +\begin{note} + Очевидно что циклическое подпространство порожденное вектором $x$ является наименьшим + $\phi$--инвариантным линейным подпространством порожденным $x$. +\end{note} + +\begin{proposition} + Векторы $x, \phi(x), \dots \phi^{k-1}(x)$ образуют базис циклического подпространства + образованного $x$ если высота вектора $x$ относительно нильпотентного оператора $\phi$ равна $k$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Достаточно доказать линейную независимость этих векторов. Пусть есть некоторая нетривиальная + линейная комбинация $\displaystyle\sum_{s = 0}^{k-1} \alpha_i \phi^{s}(x) = 0$ + и пусть $\alpha_l$ -- лидер строки, тогда все предыдущие слагаемые можно выбросить из суммы + в силу того, что они нулевые. Применим $\phi^{k-l-1}$ к оставшимся в сумме слагаемым: + $\alpha_l \phi^{k-1}(x) + \alpha_{l+1} \phi^{k}(x) + \dots = 0$. + Тогда $\alpha_l = 0$, так как все последующие слагаемые равны нулю в силу того, что высота + порождающего подпространство вектора равна $k$. Противоречие получено. +\end{proof} + +\begin{note} + Найдем матрицу нильпотентного оператора $\phi \vert_{V}$ в следующем базисе: + $e_1 = \phi^{k-1}(x)$, $e_2 = \phi^{k-2}(x)$, $\dots$, $\phi^0(x) = x$. + Применим к ним оператор $\phi$: $\phi(e_1) = 0$, $\phi(e_2) = e_1$, $\dots$, $\phi(e_k) = e_{k-1}$ + Тогда матрица преобразования $A$ имеет вид жордановой клетки $J_k(0)$: + \[A_{\phi}^{e} = \begin{pmatrix} + 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 + \end{pmatrix}\] + Это верно в силу того, что $i$-й столбец матрицы является координатами $\phi(e_i)$, равного, + как было сказано ранее, $e_{i-1}$ для $i > 0$ и 0 для $i - 0$. Так же $\rk A = k-1$. +\end{note} + +\begin{definition} + Построенный базис в циклическом подпространстве называется циклическим базисом. +\end{definition} + +\begin{theorem}[о нильпотентном операторе]~ + \label{th5.3} + + Пусть $\phi: V \to V$ -- нильпотентный оператор индекса нильпотентности $k$, + (то есть $\phi^k = 0$, $\phi^{k-1} \neq 0$), $x$ -- ненулевой вектор $x \in V$ + высоты $k$ (то есть $\phi^k(x) = 0$, $\phi^{k-1}(x) \neq 0$), + $U = \langle x, \phi(x), \dots \phi^{k-1}(x) \rangle$ -- циклическое подпространство, инвариантное $\phi$. + Тогда найдется $\phi$-инвариантное пространство $W$ дополнительное к $U$ такое что $V = U \oplus W$. +\end{theorem} + +\begin{idea} + Найти $\phi$-инвариантное подпространство $W$ такое что: + \begin{equation} + \begin{cases} + U \cap W = {0},\\ + U + W = V. + \end{cases} + \end{equation} + Для этого покажем что существуют подпространства $W$ инвариантные относительно $\phi$ + и удовлетворяющие первому условию и среди всех таких выберем максимальное по размерности. + $U + W < V \Rightarrow \exists W' = W + \langle y\rangle$, $y \notin W$ такое что $W'$ + $\phi$-инвариантно и удовлетворяет первому условию. +\end{idea} + +\begin{proof}~ + + \begin{enumerate} + \item Пусть $W$ -- максимальное $\phi$-инвариантное подпространство в $V$, + такое что $U \cap W = {0}$. Предположим что $U + W < V$. + Тогда найдется ненулевой $a \in V$, такой что $ a \notin U + W$. Пусть $l$ -- наименьшее + значение для которого $z = \phi^{l-1}(a) \notin W + U$, $\phi^l(a) \in W + U$. + Такое очевидно найдется так как $a \notin W + U$ и $\phi^{k}(a) = 0 \in W + U$. + Таким образом в этом пункте мы нашли вектор $z \notin U+W$, такой что $\phi(z) \in U + W$. + + \item Пусть $\phi(z) = \displaystyle\sum_{s = 0}^{k-1} \alpha_s \phi^s(x) + w$, + при этом $\phi^s(x) \in U$, $w \in W$. Тогда: + $$\phi^{k}(z) = \alpha_0 \phi^{k-1}(x) + 0 + \dots + 0 + \phi^{k-1}(w) = 0$$ + Тогда $\alpha_0 \phi^{k-1}(x) + \phi^{k-1}(w) = 0$. + В силу линейной независимости линейных подпространств + $\alpha_o \phi^{k-1}(x) = 0$, $\phi^{k-1}(w) = 0$. + При этом в силу того, что $\phi^{k-1}(x) \neq 0$, получаем $\alpha_0 = 0$. + + \item Введем вектор $y = z - \displaystyle\sum_{s = 1}^{k-1} \alpha_s \phi^{s-1}(x) \notin U + W$ + (так как $z \notin U+W$, а сумма принадлежит $U$). + Введем пространство $W' = W + \langle y \rangle$, $\dim W' = \dim W + 1$. + Покажем что вновь построенное подпространство так же инвариантно $\phi$: + $$\phi(y) = \phi(z) - \displaystyle\sum_{s=1}^{k-1} \alpha_s \phi^s (x) = \phi(z) - + \displaystyle\sum_{s=0}^{k-1} \alpha_s \phi^s (x) = w \in W.$$ + + \item Покажем теперь что $W'$ удовлетворяет условию $U \cap W' = {0}$. + Пусть $0 \neq u \in U \cap W'$, $u \notin U \cap W = \{ 0 \}$. + Тогда $u$ представим в виде $u = \widetilde{w} + \lambda y$, $\lambda \neq 0$. Отсюда + $y = \frac{1}{\lambda} u - \frac{1}{\lambda} \widetilde{w} \in U + W$. + Значит $U \cap W \neq \{0\}$ -- противоречие. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{theorem}[о разложении в прямую сумму циклических подпространств для нильпотентного оператора] + Пусть $\phi: V \to V$, зафиксируем индекс нильпотентности $k$. Тогда существует разложение $V$ + в прямую сумму инвариантных циклических подпространств $V = V_1 \oplus V_2 \oplus \dots V_s$. + При этом количество слагаемых $s = \dim (\ker \phi) = \dim V_0 = geom(0)$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Индукция по $n = \dim V$. + \begin{enumerate} + \item База: $n = 1 \Rightarrow \phi = 0$, $alg(0) = geom(0) = 1$. + \item Предположение индукции: для пространства $V$ размерности менее $n$ утверждение выполняется. + Пусть теперь $\dim V = n$. + Тогда существует $x$ высоты $k$ такой что $\phi^k(x) = 0$, $\phi^{k-1}(x) \neq 0$. + Пусть $U = \langle x, \phi(x), \dots, \phi^{k-1}(x) \rangle$ -- $\phi$-инвариантное подпространство. + По теореме \ref{th5.3} существует $\phi$-инвариантное подпространство $W$, такое что + $V = U \oplus W$, $\dim W \leq n-1$. Тогда $W$ раскладывается в прямую сумму + $\phi$-инвариантных циклических подпространств. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{problem} + Рассмотрим оператор лапласа $\Delta = \frac{\delta^2}{\delta x^2} + \frac{\delta^2}{\delta y^2}$, + действующий в пространстве $V = \R_2[x, y] = \langle 1, x, y, x^2, xy, y^2 \rangle$, $\dim V = 6$. Требуется: + \begin{enumerate} + \item Доказать $\Delta$-нильпотентность, + \item Найти матрицу $\Delta$ в данном базисе, + \item Разложить $V$ в прямую сумму циклических подпространств и выбрать циклический базис + в каждом из них, + \item Проверить, что в получившемся базисе $\Delta$ имеет Жорданову нормальную форму, + \item Доказать, что в пространстве однородных многочленов степени $k$ в $R[x,y]$ есть два + собственных вектора с собственным значением 0. + \end{enumerate} +\end{problem} + +\begin{reminder} + Многочлен степени $k$ называется однородным если верно: + $$\forall \lambda \in F \hookrightarrow f(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots \lambda x_k) + = \lambda^k f(x_1, x_2, \dots x_k).$$ +\end{reminder} diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_6.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_6.tex new file mode 100644 index 00000000..ea6c5200 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_6.tex @@ -0,0 +1,305 @@ +\section{Жорданова нормальная форма линейного оператора} + +\begin{reminder} + Жордановой клеткой, относящейся к $\lambda \in F$, называется следующая матрица: + \[J_{k}(\lambda) = \begin{pmatrix} + \lambda & 1 & 0 & \dots & 0\\ + 0 & \lambda & 1 & \dots & 0\\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & \lambda & 1\\ + 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda \\ + \end{pmatrix}\] +\end{reminder} + +\begin{definition} + Жордановой матрицей называется блочно-диагональная матрица, по главной диагонали которой идут + Жордановы клетки, а остальное заполнено нулями: + \[J_{k}(\lambda) = \begin{pmatrix} + J_{k_1}(\lambda_1) & \dots & 0 & 0 \\ + \vdots & J_{k_2}(\lambda_2) & \dots & 0 \\ + 0 & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & J_{k_n}(\lambda_n) \\ + \end{pmatrix}\] +\end{definition} + +\begin{theorem}[Камиль Жордан] + Пусть $\phi : V \to V$, $\chi_{\phi}$ раскладывается на линейные множители над $F$. + Тогда В $V$ существует базис (Жордановый базис), в котором $\phi$ имеет Жорданову матрицу. +\end{theorem} + +\begin{note} + Жроданова матрица определена с точностью до перестановки Жордановых клеток, поэтому базис не единственен в общем случае. +\end{note} + +\begin{proof} + На предыдущих лекциях было доказано: + \begin{enumerate} + \item $V = V^{\lambda_1} \oplus V^{\lambda_2} \oplus \dots V^{\lambda_k}$ (подпространства инвариантны), где $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ -- все попарно различные собственные значения оператора $\phi$. Тогда в базисе согласованном с таким разложением матрица имеет вид: + \[A = \begin{pmatrix} + A_1 & \dots & 0 & 0 \\ + \vdots & A_2 & \dots & 0 \\ + 0 & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & A_k \\ + \end{pmatrix}\] + \item Было доказано, что для $V^{\lambda_i}$ оператор $\phi_{\lambda_i} = \phi - \lambda_i E$ нильпотентен, а значит V + раскладывается в сумму циклических подпространств: $V^{\lambda_i} = \displaystyle\sum_{j = 1}^{geom(\lambda_i)} V_{ij}$. + \end{enumerate} + Пусть $\dim V_{ij} = k$. Покажем, что на $V_{ij}$ оператор $\phi$ в подходящем базисе имеет вид $J_k(\lambda_i)$:\\ + Пусть $k$ - индекс нильпотентности $\phi_{\lambda_i}$ на $V_{ij}$, пусть $x$ - корневой вектор максимальной высоты $k$.\\ + Рассмотрим базис $\langle \phi_{\lambda_i}^{k-1} x, \phi_{\lambda_i}^{k-2} x, \dots, \phi_{\lambda_i}^{1} x \rangle$. + Обозначим базисные вектора за $f_{ij}$ следующим образом: + \begin{gather*} + f_{i1} = \phi_{\lambda_i}^{k - 1},\\ + f_{i2} = \phi_{\lambda_i}^{k - 2},\\ + \dots + \end{gather*} + Подействуем на базис оператором $\phi_{\lambda_i}$. Под действием этого оператора каждый базисный + вектор перейдет в предыдущий (первый перейдет в $0$): $\phi_{\lambda_i}(f_{i1}) = \overline{0}, \dots, \phi_{\lambda_i}(f_{ik}) = f_{i(k - 1)}$. + Тогда матрица оператора $\phi_{\lambda_i}$ будет иметь в базисе $f$ вид $J_k(0)$. + Тогда $\phi \vert_{V_{ij}} = \lambda_1 \epsilon + J_k(0) = J_k(\lambda_i)$ + Мы доказали, что в подходящем базисе сужение на подпространство имеет вид Жордановой клетки. Тогда из + $V = \displaystyle\sum_{i = 1}^{k} \displaystyle\sum_{j = 1}^{geom(\lambda_i)} V_{ij}$ + вытекает, что матрица оператора в подходящем базисе (Жордановом базисе) имеет вид Жордановой матрицы. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если $V$ - линейное пространство над полем комплексных чисел, то всякий оператор в таком пространстве имеет Жорданову нормальную форму. +\end{corollary} + +\subsection{Жорданова диаграмма} + +\begin{definition} + ЖД соотв ЖМ $J$ называется набор точек на плоскости, в котором точка с координатой $(i, j)$ + изображает вектор $f_{ij}$ ЖБ. Под каждым столбцом ЖД указывается соответствующее векторам этого + столбца собственные значения. +\end{definition} + +\begin{example} + Пусть $\phi$ имеет в некотором базисе следующую матрицу -- + \[A = \begin{pmatrix} + \lambda & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 & 0\\ + 0 & \lambda & 1 & 0 & 0 & 0 &0 & 0\\ + 0 & 0 & \lambda & 0 & 0 & 0 &0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & \lambda & 1 & 0 &0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda & 0 &0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu &1 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\mu & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 & \nu + \end{pmatrix}\] + Четыре Жордановы клетки: порядков $2$ и $3$ с собственным значением $\lambda$, порядка $2$ с собственным значением $\mu$ и порядка $1$ с собственным значением $\nu$. \\ Такая матрица является Жордановой. Начнем выписывать Жорданов базис: $f_{11}, f_{12}, f_{13}, f_{21}, f_{22}, f_{31}, f_{32}, f_{41}$. + В общем случае если мы пишем Жорданов базис в виде $f_{ij}$, коэффициенты означают номер клетки и + номер вектора относительно данной клетки соответственно. Теперь вектор $f_{ij}$ можно сопоставить + точке на графике с координатами $(i, j)$. Если под каждым столбцом указать соответствующие векторам столбца собственные значения, то полученный график называется Жордановой диаграммой. + \begin{center} + \includegraphics[width = 0.4\textwidth]{images/lec6_1.PNG} + \end{center} +\end{example} + +\begin{note} + Столбцы не обязательно должны быть отсортированы в порядке невозрастания, диаграмма соответствует + конкретной матрице и меняется при перестановке клеток местами. +\end{note} + +\begin{proposition}[Свойства Жордановой диаграммы]~ + \begin{enumerate} + \item Соответствие Жордановой матрицы $J$ и Жордановой диаграммы $J$ взаимно однозначно. + \item Векторы Жордановой диаграммы, относящиеся к собственному значению $\lambda_i$, образуют базис + в корневом подпространстве $V^{\lambda_i}$. + \item Если вектор $f_{ij}$ относится к собственному значению $\lambda_i$, + то он является корневым вектором, относящимся к $\lambda_i$ высоты $j$, + то есть $\phi_{\lambda_i}^j f_{ij} = \overline{0}$, но $\phi_{\lambda_i}^{j-1} f_{ij} \neq \overline{0}$. + На высоте 1 в Жордановой диаграммы находятся собственные векторы оператора $\phi$. + \item Если $f_{ij}$ относится к собственному значению $\lambda_{j}$, то $\phi_{\lambda_i} f_{ij} = f_{i(j-1)}$. + %Нарисовать диаграмму со стрелочками вниз и нули на нижней линии. + \item Каждый столбец в Жордановой диаграмме является изображением циклического подпространства для оператора $\phi_{\lambda_i}$. Общее число столбцов в Жордановой диаграмме $\displaystyle\sum_{i=1}^{k} geom(\lambda_i)$. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\subsection{Построение Жордановой диаграммы линейного оператора} + +\begin{proposition} + Пусть $\phi : V \to V$. Тогда справедливы следующие вложения: + \begin{enumerate} + \item $\ker \phi^0 \subseteq \ker \phi \subseteq \ker \phi^2 \subseteq \dots$ + \item $\im \phi^0 \supseteq \im \phi \supseteq \im^2 \supseteq \dots$ + \end{enumerate} + Причем обе цепочки стабилизируются за конечное число шагов. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Индукция по $n \in \Z_{\geq 0}$: + + \begin{enumerate} + \item База индукции: $\ker \phi^0 = \ker E = {\overline{0}} \subseteq \ker \phi \; \forall \phi$ и аналогично $\im \phi^0 = \im E = V \supseteq \im \phi \forall \phi$. + \item Докажем, что $\ker \phi^n \subseteq \ker \phi^{n+1}$ (где $n \in \N$): + + Если $x \in \ker \phi^n$, тогда $\phi^n x = 0$ и $\phi ^{n + 1} x = \phi (\phi ^ n x) = \phi (\overline{0}) = \overline{0}$. \\ + Докажем теперь аналогичное вложение для образов: пусть $y \in \im \phi^{n + 1}$, тогда существует $x$, такой что $y = \phi^{n + 1} x = \phi^n(\phi(x)) = \phi^n z \in \im \phi^n$. Следовательно, $\im \phi^{n + 1} \subseteq \im \phi^n$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{algorithm}[Построение Жордановой диаграммы] + +Покажем, как это использовать для нахождения Жордановой матрицы. Обозначим размерности ядер за $n_i$ соответственно: $\dim \ker \phi^i = n_i$. Выпишем для одного подпространства $U_{\lambda}$ все вложенные в него: +\begin{eqnarray} + \{0\} \subseteq \ker \phi_{\lambda} = \langle f_{11}, f_{12}\rangle \subseteq \ker \phi_{\lambda}^2 + = \langle f_{11}, f_{21}, f_{12}, f_{22} \rangle \subseteq \ker \phi_{\lambda}^3 = + \langle f_{11}, f_{21}, f_{12}, f_{22}, f_{13} \rangle, \\ (n_1 = 2, n_2 = 4, n_3 = 5). +\end{eqnarray} +Тогда число точек в Жордановой диаграмме на высоте $j$ равно $d_j = n_j - n_{j-1}$, откуда для нашего примера соответствующие $d$ равны $d_1 = 2-0=2, d_2 = 4-2=2, d_3 = 5-4=1$. + +Если в корневом пространстве $V^{\lambda}$ ввести обозначения $d_j$ - число векторов (точек) на высоте $j$, то $d_j = n_j - n_{j-1}$, где $n_0 = 0$, $n_k = \dim \ker (\phi - \lambda_i E)^k$. +Это работает, потому что при применении оператора $j$ раз обнулятся все векторы на высоте не выше $j$, +тогда при применении на $1$ раз меньше обнулятся все, кто ниже, искомое количество - те, кто обнуляется при применении $j$ раз и не обнуляется при применении на 1 раз меньше. + +Строим ядра (и образы) до тех пор, пока они не стабилизируются (будут равны). +\end{algorithm} + +\begin{agreement} + При построении будем упорядочивать столбцы по невозрастанию. +\end{agreement} + +\begin{note} + Описание ядер $\phi_{\lambda_i}^k$ и вычисление их размерностей можно производить в любом базисе. +\end{note} + +\begin{theorem}[] + Жорданова нормальная форма линейного оператора $\phi$ опеределена однозначно с точностью до перестановки Жордановых клеток, стоящих на главной диагонали. + Утверждение складывается из двух промежуточных: + \begin{enumerate} + \item Сумма порядков клеток, относящихся к собственному значению $\lambda_i$, не зависит от выбора Жорданова базиса. + \item Для оператора $\phi$, имеющего единственное собственное значение, порядки Жордановых клеток определяются однозначно. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Зафиксируем Жорданов базис и корневое подпространство $V^{\lambda_i}$ и выберем все векторы Жорданова базиса, относящиеся к $\lambda_i$. Обозначим $V(\lambda_i) = \langle f_{ij} | f_{ij}$ относящиеся к $\lambda_i \rangle$. \\ + Пусть $l_i$ - максимальный порядок Жордановых клеток Жордановой матрицы, отвечающих $\lambda_i$, $(J_k(\lambda_i) - \lambda_i \epsilon)^{l_i} = 0$. + Оператор нильпотентен и за несколько его применений все векторы базиса обратятся в 0. + Таким образом $(\phi - \lambda_i \epsilon)^{l_i} \vert_{V(\lambda_i)} = 0$. + $\forall i V(\lambda_i) \subseteq V^{\lambda_i}$ -- так как все векторы аннулируются. + \begin{enumerate} + \item $V = V^{\lambda_1} \oplus V^{\lambda_2} \dots \oplus V^{\lambda_k}$ + \item $V = V(\lambda_1) \oplus V(\lambda_2) \dots \oplus V(\lambda_k)$. + \end{enumerate} + По теореме о характеризации прямой суммы второе выражение является прямой суммой, а значит верны вложения и в обратную сторону(из соображений размерности). + \item Пусть единственное собственное значение -- 0. Покажем, что размеры клеток в Жордановой нормальной форме определены однозначно. + Как было доказано на предыдущих лекциях, из того, что оператор нильпотентен, существует разложение в прямую сумму циклических подпространств. + \begin{center} + \includegraphics[width = 0.2\textwidth]{images/lec6_5.PNG} + \end{center} + Длины строк определены однозначно: $d_j = n_j - n_{j-1}$, $n_j = \dim ker \phi^j$. Таким образом порядок клеток тоже можно определить однозначно. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsubsection{Эффективный способ построения Жорданова базиса} + +\begin{lemma}[О восстановленных циклических цепочках]~ + Пусть $\phi$ - линейно факторизуемый оператор в $V$, + $z_1$, $z_2$, $\dots$ $z_n$ -- линейно независимая система собственных векторов оператора $\phi$, относящихся к $\lambda$ (собственное значение), $x_i$ имеет высоту $l_i$. + Пусть $\langle \phi_{\lambda}^{l_i-1} x_i, \phi_{\lambda_i}^{l_i-2} x_i, \dots, \phi_{\lambda}^{1} x_i, x_i \rangle$ -- циклическая целочисленная цепочка, такая что $\phi_{\lambda}^{l_i - 1} x_i = z_i$. Тогда $\bigcup\limits_{i = 1}^n (\phi_{\lambda}^{l_i - 1} x_i \dots \phi_{\lambda} x_i, x_i)$ -- тоже линейно независимая система. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Пусть полученная система линейно зависима. Тогда сумма $\displaystyle\sum_{i} \displaystyle\sum_{j} \alpha_{ij} f_{ij} = \overline{0}$ -- нетривиальная линейная комбинация. + Пусть $f_{ij} = \phi_{\lambda}^{l_i - j}$ имеет высоту $j$, тогда $\phi_{\lambda}^j(f_{ij}) = \phi_{\lambda}^{l_i} x_i = \overline{0}$, причем $\phi_{\lambda}^{j - 1}(f_{ij}) = \phi_{\lambda}^{l_i - 1} x_i \neq \overline{0}$. + \begin{center} + \includegraphics[width = 0.45\textwidth]{images/lec6_2.PNG} + \end{center} + Пусть $\alpha_{it}$ - ненулевой коэффициент с наибольшим вторым индексом. Подейтсвуем $\phi_{\lambda}^{t-1}$ на сумму по $i, j$. + Тогда: $$\phi_{\lambda}^{t-1} (\alpha_{it} f_{it}) = \alpha_{it} \phi_{\lambda}^{t-1} \phi_{\lambda}^{l_i - t} x_i + = \alpha_{it} \phi_{\lambda}^{l_i - 1}x_i = \alpha_{it} z_i.$$ Таким образом,для всех коэффициентов верно $\displaystyle\sum_{i = 1}^n \alpha_{it}z_i = \overline{0}, \alpha_{it} \neq 0$, что приводит к противоречию с линейной зависимостью системы векторов $z_1, \dots z_n$. +\end{proof} + +\begin{algorithm}[Построение Жорданова базиса]~ + +Будем строить Жорданов базис отдельно для каждого корневого подпространаства $V^{\lambda}$, и пусть высоты циклических подпространств идут в порядке невозрастания, наибольшая высота равна $l$ ($\dim V^{\lambda} = d$) и пусть таких цепочек $n$ штук, следующая высота $p$ и таких цепочек $m$. \\ + \begin{center} + \includegraphics[width = 0.5\textwidth]{images/lec6_4.PNG} + \end{center} +Пусть $z_1, \dots, z_n$ -- линейно независимая система собственных векторов. Восстановлены циклические цепочки $f_{i1}, \dots f_{il}, 1 \leq i \leq n$. Причем $\ker \phi_{\lambda} = \{ f_{11} \dots f_{n1} \dots \}$. +$\dim Im \phi_{\lambda} = d - \dim \ker \phi_{\lambda} = d - n_1$ - все точки диаграммы кроме самых верхних(то же самое: все точки без нижнего слоя). +$\dim \ker \phi_{\lambda}^2 = n_2$, $\dim \im \phi_{\lambda}^2 = d - n_2$ - все точки кроме верхних двух слоев(то же самое: без двух нижних строчек). +Таким образом, на каждом шаге мы снимаем верхний слой (на каждом шаге у нас "тает" слой, совсем как мороженое). +После того как мы сняли все слои кроме последнего, остался слой из собственных векторов: +$\im \phi_{\lambda}^{l-1} = \langle z_1, z_2, \dots, z_n\rangle$. + +Рассмотрим циклическую цепочку, порожденную $x_i$: +$$\bigcup\limits_{i = 1}^n (\phi_{\lambda}^{l - 1} x_i \dots \phi_{\lambda} x_i, x_i)$$ +Это линейно независимая система векторов в количестве $l \cdot n$. Тогда если $n \cdot l = d$, Жорданов базис построен. Если же $n \cdot l < d$, то строим базис дальше. Теперь пусть есть циклические цепочки меньших высот (высоты $p$). +Снова рассматриваем образ соответствующий нижнему слою ($\im \phi_{\lambda}^{p -1 }$). +Однако теперь в него так же попадут векторы из линейной оболочки уже построенной части базиса.\\ +$\im \phi_{\lambda}^{p - 1} \supseteq \langle \phi_{\lambda}^{p - 1}(x_i), \phi_{\lambda}^{p - 1}(\phi_{\lambda} x_i), \dots \phi_{\lambda}^{p - 1}(\phi_{\lambda}^{l - p} x_i \rangle$. Дополняем в $\im \phi_{\lambda}^{p -1}$ линейную оболочку до базиса векторами $y_1, \dots y_n$ -- собственные векторы с собственным значением $\lambda$. По $y_1, \dots y_n$ восстанавливаем циклические цепочки и присоединяем к Жорданову базису. +\end{algorithm} + +\begin{example} + Рассмотрим матрицу и найдем для нее Жорданову диаграмму, Жорданову нормальную форму, Жорданов базис: + \[A = \begin{pmatrix} + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ + 1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ + -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ + \end{pmatrix}\] + + \begin{enumerate} + \item Находим характеристический многочлен как определитель: + $\chi_{\phi}(\lambda) = \det (A - \lambda E) = \lambda^4 (1 - \lambda)$. (можно посчитать по теореме Лапласса относительно 3 и 4 столбцов) + Тогда собственные значения $\lambda_1 = 0$, $alg(0) = 4$, $\lambda_2 = 1$, $alg(1) = 1$ (так как была теорема о том, что $geom(\lambda) \leq alg(\lambda)$, но при этом хотя бы $1$, то $geom(1) = 1$). + Пространство представляется в виде $V = V^0 + V^1$ + \item Для всех собственных значений $\lambda$: + $\{0\} \subseteq \ker \phi \subseteq \phi^2 \dots$ \\ + Ищем ранг матрицы $A$: $\dim \im \phi = rk A$, $rk A = 3$, $n_1 = \dim \ker \phi = 5 - 3 = 2$. + Находим матрицу для $\phi^2$ возводя $A$ в квадрат. + \[A^2 = \begin{pmatrix} + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ + -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + \end{pmatrix}\] + $rg A^2 = 3$, $n_2 = \dim \ker \phi^2 = 5 - 2 = 3$. + Стабилизации не произошло, поэтому вычисляем $A^3$. + \[A^3 = \begin{pmatrix} + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + \end{pmatrix}\] + Заметим, что при умножении первый столбец не изменился, + а значит нам повезло, и он является собственным вектором для $\lambda = 1$. + Полученная матрица состоит только из первого столбца, остальные значения - нули, + при этом первый столбец сохраняется при умножении на $A$, а значит $A^3 = A^4 = A^5 = \dots$, $rk A^3 = 1 = rk A^4 = \dots$, стабилизация произошла. ($n_3 = \dim \ker \phi^3 = 5 - 1 = 4$) + \item Жорданова диаграмма имеет вид: + \begin{center} + \includegraphics[width = 0.35\textwidth]{images/lec6_3.PNG} + \end{center} + \begin{eqnarray} + d_1 = n_1 - 0 = 2 \\ + d_2 = n_2 - n_1 = 1 \\ + d_3 = n_3 - n_2 = 1 \\ + d_4 = d_5 = \dots = 0 + \end{eqnarray} + \item Жорданова нормальная форма имеет вид: + \[J = \begin{pmatrix} + 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ + \end{pmatrix}\] + Матрица состоит из трех Жордановых клеток: размера $3$ (с собственным значением $0$), размера $1$(с собственным значением $0$), размера $1$(с собственным значением $1$).\\ + Теперь подберем базис, соответствующий этой матрице: для выбора векторов, выберем сначала первые: + $\langle f_{12}, f_{21}\rangle = \langle e_3, e_4\rangle$ + $Im \phi^2 = \langle (1, 1, 1, 1, -1)^T, (0, 0, 0, 1, 0)^T \rangle$. + Тогда так как $e_3$ не лежит в образе, а $e_4$ лежит, то они соответствуют векторам: $f_{11} = e_4 = (0, 0, 0, 1, 0)^T$, $f_{21} = (0, 0, 1, 0, 0)^T$. Как мы уже выяснили $f_{31} = (1, 1, 1, 1, -1)^T$. Тогда пусть $f_{13} = e_2 = (0, -1, 0, 0, 0)^T$ и $f_{12} = (0, 1, 1, 0, -1)^T$. + \item Теперь можно сказать, что Жорданов базис равен $(f_{11}, f_{12}, f_{13}, f_{21}, f_{31})$. + Типичная ошибка - выписывать векторы из диаграммы сверху вниз, а не снизу вверх. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{exercise} + Найти матрицу перехода от $A$ и $J$ как $S^{-1}AS = J$. +\end{exercise} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_7.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_7.tex new file mode 100644 index 00000000..c5aaeb28 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_7.tex @@ -0,0 +1,539 @@ +% 22.03.23 Оля + +\subsection{Приложения Жордановой нормальной формы} + +\subsubsection{Вычисление минимального многочлена} + +\begin{reminder} + Пусть $\phi: V \to V$. Многочлен $P \in F[x]$ называется аннулирующим для $\phi$, + если $P(\phi) = 0$. +\end{reminder} + +\begin{reminder} + Аннулирующий многочлен минимальной степени называется минимальным многочленом $\mu(\phi)$. +\end{reminder} + +\begin{reminder} + Если $P$ -- аннулирующий для $\phi$, $\mu$ -- минимальный многочлен для $\phi$, то $\mu \vert P$. +\end{reminder} + +\begin{proposition} + \label{pr7.1} + Пусть пространство $V$ раскладывается в прямую сумму инвариантных относительно оператора $\phi$ + подпространтсв: $V = V_1 \oplus V_2 \oplus \dots \oplus V_k$. Введем обозначение + $\psi_i = \phi \vert_{V_i}$. Тогда $\mu_{\psi_i} \vert \mu_{\phi}$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + По определению $\mu_{\phi} (\phi) = 0$, + тогда $\mu_{\phi} (\phi) |_{V_i} = \mu_{\phi} (\psi_i) = 0$. Значит $\mu_{\phi}$ -- + аннулирующий для $\phi$ и $\mu_{\psi_i} \vert \mu_{\phi}$ для всех $i$ по теореме \ref{th4.5}. +\end{proof} + +\begin{corollary} + В условиях утверждения \ref*{pr7.1} для аннулирующего многочлена $\mu_{\phi}$ оператора $\phi$ + верно $\mu_{\phi} = \lf(\mu_{\psi_1}, \mu_{\psi_2}, \dots, \mu_{\psi_k})$. +\end{corollary} + + +\begin{proof} + Многочлен $\mu$ минимальной степени, удовлетворяющий условию $\forall i \; \mu_{\psi_i} \vert \mu$ + является наименьшим общим кратным многочленов $\mu_{\psi_1}, \mu_{\psi_2}, \dots, \mu_{\psi_k}$ + по определению. + + Покажем, что $\mu(\phi) = 0$: так как для всех $i$ верно, что $\mu(\psi_i) \vert \mu$ и + $\mu_{\psi_i} (\psi_i) = 0$, то так же верно $\mu(\phi \vert_{V_i}) = \mu(\psi_i) = 0$ для всех $i$. + По условию $V = V_1 \oplus V_2 \oplus \dots \oplus V_k$, а значит $\phi$ полностью определяется + своими сужениями $\phi \vert_{V_i}$, аннулирующимися многочленом $\mu$. + Отсюда следует, что и $\phi$ аннулируется многочленом $\mu$. + + Так как $\mu$ -- аннулятор $\phi$, по теореме $\ref{th4.5}$ $\mu_{\phi} \vert \mu$. При этом + $\mu_{\phi}$ является общим кратным многочленов $\mu_{\psi_1}, \mu_{\psi_2}, \dots, \mu_{\psi_k}$, + а значит кратен их НОК, то есть $\mu \vert \mu_{\phi}$. Отсюда следует, что $\mu \sim \mu_{\phi}$, + а значит $\mu_{\phi} = \lf(\mu_{\psi_1}, \mu_{\psi_2}, \dots, \mu_{\psi_k})$. +\end{proof} + +\begin{proposition} + Пусть матрица отображения имеет вид Жордановой клетки: $J = J_k(\lambda)$. + Тогда его минимальный многочлен имеет вид $\mu_j(x) = (x - \lambda)^k$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Так как матрица отображения имеет вид Жордановой клетки, + его характеристический многочлен $\chi_J(x)$ представляется как: + $$\chi_J(x) = (\lambda - x)^k = (-1)^k (x - \lambda)^k \sim (x - \lambda)^k.$$ + По теореме \ref{th4.4} Гамильтона-Кэли $\mu_J \vert \chi_J$, значит $\mu_J (x) = (x - \lambda)^t$, $t \leq k$. + В данном случае Жорданова диаграмма преобразования имеет вид столбца, а значит + $(J - \lambda \epsilon)^t f_{1k} \neq 0$. Если $t < k$, то $(J - \lambda \epsilon)^t \neq 0$, + что приводит к противоречию с определением минимального многочлена $\mu_J(J) = 0$. + Таким образом $t$ не может быть меньше $k$, а значит $t = k$. +\end{proof} + +\begin{proposition} + Пусть $\phi: V \to V$ -- линейно-факторизуемый оператор. Тогда минимальный многочлен + представляется в виде произведения: + \begin{eqnarray*} + \mu(\phi) = \prod_{i = 1}^{k} (x - \lambda_i)^{l_i}, + \end{eqnarray*} + где $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k$ -- попарно-различные собственные значения, + $l_1, l_2, \dots, l_k$ -- максимальные порядки клеток, относящихся к соответствующим + собственным значениям. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Благодаря линейной факторизуемости $V$ раскладывается в прямую сумму корневых + подпространств: $V = V^{\lambda_1} \oplus V^{\lambda_2} \oplus \dots V^{\lambda_k}$. + При этом каждое из них так же можно предстваить в виде суммы: + $$V^{\lambda_i} = \displaystyle\sum_{j = 1}^{geom(\lambda_i)} V_{ij},$$ + где все $V_{ij}$ соответствуют оператору $(\phi - \lambda_i \epsilon)$. + Положим $\dim V_{ij} = m_{ij}$. + Пусть в циклическом базисе $V_{ij}$ верно $\phi \leftrightarrow J_{m_{ij}} (\lambda_i)$, + тогда по утверждению \ref{pr7.1}: + $$\mu_i = \lf((x - \lambda_i)^{\alpha_1}, \dots, + (x - \lambda_i)^{\alpha_k}) = (x - \lambda_i)^{\max(\alpha_s)} = (x - \lambda_i)^{l_1},$$ + где $l_i = \max(\alpha_1, \dots, \alpha_k)$. + + По следствию из утверждения \ref{pr7.1}: $$\mu_{\phi} = \lf((x - \lambda_1)^{l_1}, \dots, + (x - \lambda_k)^{l_k}) = \prod_{i = 1}^{k} (x - \lambda_i)^{l_i}.$$ +\end{proof} + +\begin{corollary} + Пусть $\phi: V \to V$ -- линейно-факторизуемый оператор. Тогда $\phi$ диагонализируема тогда и + только тогда, когда $\mu_{\phi}(x)$ не имеет кратных корней. +\end{corollary} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость. Пусть $\phi$ -- диагонализируем. Тогда $\forall i \: l_i = 1$, а значит + $\mu_{\phi} = \prod_{i=1}^{k} (x - \lambda_i)$. Тогда все корни простые + (имеют кратность равную 1). + \item Достаточность. Пусть $\mu_{\phi} = \prod_{i=1}^{k} (x - \lambda_i)$. + Тогда для всех $i$ верно $l_i = 1$. Таким образом нет Жордановых клеток порядка больше 1, + а значит оператор $\phi$ диагонализируем.\\ + Если бы было хотя бы две клетки, отвечающие одному значению, в НОК было бы два члена + соответствующих этому значению, и степень $\mu_i$ была бы меньше, чем степень многочлена. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsubsection{Вычисление многочлена от линейного оператора} + +\begin{agreement} + До конца раздела будем считать, что оператор $\phi$ линейно факториуем над $F$. +\end{agreement} + +\begin{proposition} + Для дифференцируемого $k-1$ раз многочлена верно: $$f^{(k-1)}(x) = C_n^{k-1} (k-1)! x^{n-k+1}.$$ +\end{proposition} + +\begin{proof} + $$f^{(k-1)}(x) = n(n-1)\dots(n-k+2) x^{n - k + 1} = \frac{n!}{(n-k+1)! (k+1)!} (k+1)! x^{n-k+1} + = C_n^{k-1} (k-1)! x^{n-k+1}.$$ +\end{proof} + +\begin{algorithm}[Вычисление многочлена от линейного оператора]~ + +Рассмотрим вычисление многочлена от оператора $\phi$ на примере многочлена $f(x) = x^k$. +В случае, если мы научимся возводить матрицу преобразования $A$ в любую степень, более сложные +многочлены можно будет представить в виде суммы необходимых нам степеней матрицы $A$. + +Для матрицы, приведенной к Жордановой нормальной форме, возведение в степень $k$ поризводится +следующим образом: + +\begin{eqnarray*} + A^{k} = \begin{pmatrix} + A_1 & 0 & \dots & 0 \\ + 0 & A_2 & \dots & 0 \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + 0 & 0 & \dots & A_n + \end{pmatrix}^k = \begin{pmatrix} + A_1^k & 0 & \dots & 0 \\ + 0 & A_2^k & \dots & 0 \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + 0 & 0 & \dots & A_n^k + \end{pmatrix} +\end{eqnarray*} + +Таким образом для возведения матрицы в степень достаточно научиться возводить в степень +Жордановы клетки, из которых состоит наша матрица. + + Рассмотрим Жорданову клетку $J = J_k(\lambda)$. Её можно представить в следующем виде: + \begin{eqnarray*} + J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} + \lambda & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & \lambda & 1 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & \lambda & \dots & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \lambda + \end{pmatrix} = \lambda E + J_k(0) = \begin{pmatrix} + \lambda & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & \lambda & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & \lambda & \dots & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \lambda + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 + \end{pmatrix} + \end{eqnarray*} + Тогда возведение $J$ в степень можно представить как: + $$J_k(\lambda)^n = (\lambda E + J_k(0))^n = \displaystyle\sum_{s = 0}^{n} C_n^s + (\lambda E)^{n-s} J_k(0)^s.$$ + Возведение $\lambda E$ в $(n-s)$-ю степень очевидно дает $\lambda^{n-s} E$. Рассмотрим + возведение матрицы $J_k(0)$ в $s$-ю степень. Заметим, что с каждым следующим умножением на + $J_k(0)$ диагональ из единиц смещается вверх на одну строку, и $J_k(0)^{k-1} \neq 0$, + $J_k(0)^k = 0$: + \begin{eqnarray*} + J_k(0) = \begin{pmatrix} + 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix}, \; \; J_k(0)^2 = \begin{pmatrix} + 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix}, \\ \\ J_k(0)^{k-1} = \begin{pmatrix} + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix}, \; \; J_k(0)^k = \begin{pmatrix} + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix}. + \end{eqnarray*} + + Для $s \geq k$ получим $J_k(0)^s = 0$. Таким образом все слагаемые с $s \geq k$ в сумме выше + нулевые и достаточно вычислять её до значения $s = k-1$. Подставляя получившиеся матрицы + в формулу получаем следующую матрицу: + \begin{gather*} + J_k(\lambda)^n = \displaystyle\sum_{s = 0}^{k-1} C_n^s + (\lambda E)^{n-s} J_k(0)^s = \\ = \begin{pmatrix} + \lambda^n & C_n^1 \lambda^{n-1} & C_n^2 \lambda^{n-2} & \dots & C_n^{k-1} \lambda^{n-k+1} \\ + 0 & \lambda^n & C_n^1 \lambda^{n-1} & \dots & C_n^{k-2} \lambda^{n-k+2} \\ + 0 & 0 & \lambda^n & \dots & C_n^{k-1} \lambda^{n-k+3} \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda^n + \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} + f(\lambda) & \frac{f'(\lambda)}{1!} & \frac{f''(\lambda)}{2!} & \dots & \frac{f^{(k-1)}(\lambda)}{(k-1)!} \\ + 0 & f(\lambda) & \frac{f'(\lambda)}{1!} & \dots & \frac{f^{(k-2)}(\lambda)}{(k-2)!} \\ + 0 & 0 & f(\lambda) & \dots & \frac{f^{(k-3)}(\lambda)}{(k-3)!} \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & f(\lambda) + \end{pmatrix} + \end{gather*} + + Пусть S -- матрица перехода от начального базиса к жордановому. Тогда $J = S^{-1} A S$, + $A = S J S^{-1}$. Возведение в степень матрицы $A$ в начальном базисе будет осуществляться + следующим образом: $$A^n = (S J S^{-1}) (S J S^{-1} \dots (S J S^{-1})) = S J^n S^{-1}.$$ + + Матрица для более сложного многочлена является суммой матриц соответствующих слагаемых. +\end{algorithm} + +\subsubsection{Примечание Жордановой нормальной формы к вычислению аналитической функции от линейных операторов} + +\begin{definition} + Функция называется аналитической, если она представляется сходящимся степенным рядом. +\end{definition} + +\begin{agreement} + До конца раздела $\phi: V \to V$, $V$ -- вещественное или комплексное. +\end{agreement} + +\begin{definition} + Функция $||\cdot||: V \to \R$ называется нормой если + \begin{enumerate} + \item $||x|| > 0$, если $x \neq 0$, + \item $|| \lambda x|| = |\lambda| \cdot ||x||$, + \item $||x + y|| \leq ||x|| + ||y||$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{example}~ + \begin{enumerate} + \item $x$ -- координатный столбец, + $||x|| = \underset{i}{\max} |x_i|$ -- максимум из модулей координат. + \item $x$ -- координатный столбец, $||x|| = \sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^2}$ + -- Евклидова норма. + \item $x$ -- координатный столбец, $||x|| = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_i|$ + -- Манхеттенская норма. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{definition} + Последовательность векторов $\{x^m\}$ сходится по норме к $x_0$, + если $||x^m - x_0|| \to 0$ при $m \to +\infty$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Ряд $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} x^m$ называется сходящимся, если он сходится по норме + $S^n = \displaystyle\sum_{m=1}^{n}x^m$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Ряд $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} x^m$ называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд + $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} ||x^m||$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Если ряд $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_m x^m$ сходится абсолютно, то он сходится, + и для сумм верно: + $$||\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} x^m|| \leq \displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} ||x^m||.$$ +\end{proposition} + +\begin{proposition} + Если ряд $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_m x^m$ сходится абсолютно и $\phi: \N \to \N$, то + ряд $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_{\phi(m)} x^{\phi(m)}$ сходится и для этих двух рядов + верно: $$||\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_{\phi(m)} x^{\phi(m)}|| = + ||\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_m x^m||$$ +\end{proposition} + +\begin{definition} + \label{def6.8} + Пусть $\phi: V \to V$, $V$ конечномерно над $\R$ или $\Cm$. Тогда: + $$||\phi|| \overset{\text{def}}{=} \underset{x \neq 0}{\max} \frac{||\phi(x)||}{||x||} = + \underset{||x|| = 1}{\max} \frac{||\phi(x)||}{||x||} = \underset{||x|| = 1}{\max} ||\phi(x)||.$$ +\end{definition} + +\begin{note} + Если $\lambda$ -- собственное значение оператора $\phi$, то $||\phi|| \geq \lambda$. +\end{note} + +\begin{proposition}[о свойствах нормы оператора]~ + \begin{enumerate} + \item Определение \ref{def6.8} опеределяет норму в $\mathcal{L}(V)$. + \item $||\phi(x)|| \leq ||\phi|| \cdot ||x||$. + \item $||\phi \cdot \psi|| \leq ||\phi|| \cdot ||\psi||$. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Докажем неравенство треугольника для нормы: + \begin{multline*} + ||\phi + \psi|| \overset{\text{def}}{=} \underset{x \neq 0}{\max} + \frac{||(\phi + \psi)(x)||}{||x||} \leq \underset{x \neq 0}{\max} + \frac{||\phi(x)|| + ||\psi(x)||}{||x||} \leq \\ \leq \underset{x \neq 0}{\max} + \frac{||\phi(x)||}{||x||} + \underset{x \neq 0}{\max} + \frac{||\psi(x)||}{||x||} = ||\phi|| + ||\psi|| + \end{multline*} + + \item Докажем непосредственной проверкой: + \begin{eqnarray*} + ||\phi(x)|| = \frac{||\phi(x)||}{||x||} ||x|| \leq \underset{x \neq 0}{\max} + \frac{||\phi(x)||}{||x||} ||x|| = ||\phi|| \cdot ||x|| + \end{eqnarray*} + \item Докажем непосредственной проверкой: + \begin{multline*} + ||\phi \cdot \psi|| = \underset{x \neq 0}{\max} \frac{||\phi \cdot \psi(x)||}{||x||} = + \underset{\psi(x) \neq 0}{\max} \frac{||\phi(x)||}{||x||} = + \underset{\psi(x) \neq 0}{\max} \frac{||\phi \cdot \psi(x)||}{||\psi(x)||} \cdot + \frac{||\psi(x)||}{||x||} \leq \\ \leq \underset{\psi(x) \neq 0}{\max} + \frac{||\phi \cdot \psi(x)||}{||\psi(x)||} \cdot \underset{\psi(x) \neq 0}{\max} + \frac{||\psi(x)||}{||x||} \leq ||\phi|| \cdot ||\psi|| + \end{multline*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{theorem} + Пусть ряд $f(t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_m t^m$ сходится при $|t| < R$. + Тогда ряд $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_m \phi^m$ сходится абсолютно для любого оператора + $\phi: ||\phi|| = R_0 < R$. Более того, $f(\phi) = \displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_m \phi^m$ + -- задает линейный оператор в $V$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + $\forall x \in V$ докажем, что ряд $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_m \phi^m(x)$ + сходится абсолютно: + \begin{multline*} + \displaystyle\sum_{m} |a_m| \cdot ||\phi^m(x)|| \leq \displaystyle\sum_{m} |a_m| \cdot + ||\phi^m|| \cdot ||x|| \leq \\ \leq ||x|| \displaystyle\sum_{m} |a_m| \cdot ||\phi^m|| = + ||x|| \displaystyle\sum_{m} |a_m| R_0^m \text{\: -- \, сходится при } R_0 < R. + \end{multline*} + Ряд $f(t) = \displaystyle\sum_{m} a_m t^m$ сходится при $|t| < R$, + а значит $\displaystyle\sum_{m} |a_m| |t|^m$ сходится при $|t| < R$ по теореме Абеля. +\end{proof} + +\begin{note} + \begin{gather*} + exp(\phi) = \epsilon + \frac{\phi}{1!} + \dots + \frac{\phi^n}{n!} + \dots, \, R = +\infty \\ + sin(\phi) = \phi - \frac{\phi^3}{3!} + \dots + (-1)^n \frac{\phi^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots, + \, R = +\infty \\ + cos(\phi) = \epsilon - \frac{\phi^2}{2!} + \frac{\phi^4}{4!} - \dots + + (-1)^n \frac{\phi^{2n}}{(2n)!} + \dots, \, R = +\infty + \end{gather*} +\end{note} + +\section{Линейные рекурренты} + +\begin{definition} + Будем рассматривать последовательности $(a_0, a_1, \dots)$, $a_i \in F$. Множество всех таких + последовательностей будем обозначать $F^{\infty}$. +\end{definition} + +\begin{definition} + \label{def7.1} + Зафиксируем многочлен $p(x) \in F[x]$ степени $S$, + $p(x) = x^s + p_{s-1} x^{s-1} + \dots + p_1 x + p_0$. + Линейным рекуррентным соотношением с характеристическим многочленом $p(x)$ + назывется последовательность $a_n$ такая что $\forall n \in \N \cup \{0\}$ верно: + \begin{eqnarray*} + a_{n+s} + p_{s-1} a_{n + s - 1} + \dots + p_1 a_{n+1} + p_0 a_n = 0, \: p_0 \neq 0 + \end{eqnarray*} + Рекуррентное соотношение выражает $a_{n + s}$ через $s$ предыдущих членов. + $V_p$ - множество всех последовательностей, удовлетворяющих рекуррентному соттношению выше. +\end{definition} + +\begin{proposition} + $V_p$ - линейное пространство над $F$ и $\dim V_p = s$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Если $\{a_n\}$ и $\{ b_n \}$ удовлетворяют условию определения \ref{def7.1}, + то и $\{a_n + b_n\}$ удовлетворяют этому условию. + Базис в $V_p$: + \begin{gather*} + e_0 = (\underbrace{1,\, 0,\, 0,\, \dots,\, 0,}_{S}\, -p_0,\, \dots) \\ + e_1 = (\underbrace{0,\, 1,\, 0,\, \dots,\, 0,}_{S}\, -p_1, \dots) \\ + \dots \\ + e_{s-1} = (\underbrace{0,\, 0,\, 0,\, \dots,\, 1,}_{S}\, -p_{s-1}, \dots) + \end{gather*} +\end{proof} + +\begin{proposition} + \label{pr7.2} + Рассмотрим оператор $\phi: F^{\infty} \to F^{\infty}$, такой что + $\phi(a_0, a_1, \dots, a_n, \dots) = (a_1, a_2, \dots, a_{n-1}, \dots)$. + Тогда $V_p = \ker p(\phi)$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + По определению ядра отображения последовательность $\{b_n\}$ лежит в $\ker p(\phi)$ тогда + и только тогда, когда верно $p(\phi) (b_n) = (0) \in F^{+\infty}$. При этом имеет место + следующая равносильность: + \begin{eqnarray*} + (\phi^s + p_{s-1} \phi^{s-1} + \dots p_1 \phi + p_0 \epsilon) (b_n) = (0) \Leftrightarrow + b_{n+s} + p_{s-1} b_{n+s-1} + \dots p_1 b_{n+1} + p_0 b_n = (0) + \end{eqnarray*} + Второе равенство эквивалентно тому, что $\{b_n\}$ лежит в $V_p$, а значит верно вложение $V_p$ и + $\ker p(\phi)$ друг в друга в обе стороны. +\end{proof} + +\begin{note} + Оператор $\phi$ называется оператором левого сдвига. $V_p$ инварианто относительно $\phi$. +\end{note} + +\begin{corollary} + Пусть $\psi_p = \phi \vert_{V_p}$. Тогда $p(\psi_p) = 0$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + $p(\phi) \vert_{V_p} = 0$ так как $V_p = \ker p(\phi)$. +\end{proof} + +\begin{proposition} + $\mu_{\psi_p} (x) = p(x)$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $a_n \in V_p$, тогда $p(\phi) (a_n) = (0)$. По следствию из утверждения \ref{pr7.2} + для сужения $\psi_p = p(\phi) \vert_{V_p}$ так же верно $\psi_p (a_n) = (0)$, а + значит $p(\psi_p) (a_n) = 0$. Таким образом $p$ - аннулирующий многочлен для $\psi_p$ и по + теореме \ref{th4.5} $\mu \vert p$, где $\mu = \mu_{\psi_p}$. + По определению минимального многочлена $\mu(\psi_p) = 0$, тогда и $\mu(\phi) \vert_{V_p} = 0$. + + Отсюда следует, что $V_p$ вложено в $\ker \mu(\phi) = V_{\mu}$ (равенство верно по утверждению + \ref{pr7.2}). Из вложенности $V_p \subseteq V_{\mu}$ и кратности $\mu \vert p$ получаем + равенство степеней многочленов $\deg p = \deg \mu$, откуда следует их ассоциированность. +\end{proof} + +\begin{definition} + Пусть $p(x) = x^s + p_{s-1} x^{s-1} + \dots + p_1 x + p_0 \in F[x]$, $p_0 \neq 0$.\\ + Сопутствующей матрицей для многочлена $p(x)$ называется матрица размера $s \times s$ вида: + \begin{gather*} + \begin{pmatrix} + 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ + -p_0 & -p_1 & -p_2 & \dots & -p_{s-2} & -p_{s-1} + \end{pmatrix} + \end{gather*} +\end{definition} + +\begin{proposition} + \label{pr7.4} + Пусть $\psi_p = \phi_p \vert_{V_p}$. В базисе $(e_0, e_1, \dots, e_{s-1})$ из стандартных + последовательностей оператор $\psi_p$ имеет в точности сопутвующую матрицу $A_p$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + \begin{flalign*} + &\psi_p(e_0) = (0, 0, \dots, 0, 0,\, -p_0, \dots) = -p_0 e_{s-1} \\ + &\psi_p(e_1) = (1, 0, \dots, 1, 0,\, -p_1, \dots) = e_0 - p_1 e_{s-1} \\ + &\dots \\ + &\psi_p(e_i) = (0, 0, \dots 1, 0, \dots, 0,\, -p_i, \dots) = e_{i-1} - p_i e_{s-1} + \end{flalign*} + При этом для $e_i$ единица стоит на $i-1$ позиции, $-p_i$ всегда стоит на $s$-й позиции. +\end{proof} + +\begin{proposition} + $\chi_{\psi_p} (x) = \chi_{A_p}(x) = (-1)^s p(x)$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Из утверждения \ref{pr7.4} следует $\chi_{\phi_p}(x) = \chi_{A_p}(x) = (-1)^s p(x)$. + Докажем наше утверждение по индукции: + \begin{enumerate} + \item База $s = 2$: + \begin{gather*} + \begin{vmatrix} + -x & 1 \\ + -p_0 & x - p_1 + \end{vmatrix} = x^2 + p_1 x + p_0 \text{ -- верно.} + \end{gather*} + \item Пусть для матрицы размера $s$ минор размера $(s-1) \times (s-1)$ в правом нижнем углу + имеет определитель равный: $$M_{2\dots s}^{2\dots s} = (-1)^{s-1}(x^{s-1} + p_{s-1}x^{s-2} + + \dots p_2 x + p_1).$$ + Покажем, что переход индукции верен. Для этого вычислим определитель матрицы $M_{A_p}$, + разложив его по верхнему столбцу: + + \begin{gather*} + \chi_{A_p} = \begin{vmatrix} + -x & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & -x & 1 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & -x & \dots & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ + 0 & 0 & 0 & \dots & -x & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & -x + \end{vmatrix} = \\ = -x (-1)^{s-1} (x^{s-1} + p_{s-1}x^{s-2} + \dots p_2 x + p_1) + + (-p_s)(-1)^{s-1} = (-1)^s p_s(x). + \end{gather*} + \end{enumerate} + \end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_8.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_8.tex new file mode 100644 index 00000000..4cf8ff5d --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_8.tex @@ -0,0 +1,258 @@ +% 29.03.23 + +\begin{theorem}[Основная теорема о линейных рекуррентах] + Пусть $V_p$ - пространство линейных рекуррент, относящихся к $p(x)$ и пусть $p(x)$ + раскладывается на линейные множители: $p(x) = \displaystyle\prod_{i=1}^{k}(x -\lambda_i)^{l_i}$, + $\lambda_i \in F$ - попарно различные. + Тогда для любой $\{a_n\}_{n=0}^{\infty} \in V_p$ справедливо представление: + \begin{gather*} + a_n = \sum_{i=1}^{k}\sum_{s=1}^{l_i} c_{is} \cdot C_n^{s - 1} \lambda_i^{n + 1 - s} + \end{gather*} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Ранее было доказано, что $\mu_{\psi_p} ~ \chi_{\psi_p}$. Теперь наша цель разложить пространство + в прямую сумму корневых подпространств и найти для каждого циклическое подпространство + $\langle b_1^{(i)}, \dots b_{l_i}^{(i)} \rangle$ такое, что: + \begin{gather*} + (\phi - \lambda_i \epsilon)b_1^{(i)} = 0, \\ + (\phi - \lambda_i \epsilon) b_{s}^{(i)} = b_{s-1}^{(i)}. + \end{gather*} + Заметим, что если $b_s^{(i)}$ построены, то они дают Жорданов базис в $V_p$. + При этом $l_1 + l_2 +\dots l_k = s = \dim V_p$. Получаем: + \begin{gather*} + \prod_{i=1}^{k}(\phi - \lambda_i \epsilon)^{l_i} (b_s^{(i)}) = 0 \Leftrightarrow p(\phi) (b_s^{(i)}) = 0 \Leftrightarrow b_s^{(i)} \in V_p + \end{gather*} + + Для упрощения вычислений отбросим индекс $i$, считая, что мы всё время работаем с одним и тем же собственным значением. + + \begin{gather*} + b_1 = (1, \lambda, \lambda^2, \dots, \lambda^n, \dots) \\ + (\phi - \lambda \epsilon)b_1 = (\lambda, \lambda^2, \dots, \lambda^{n + 1}, \dots) - (\lambda, \lambda^2, \dots, \lambda^{n + 1}, \dots) = 0 + \end{gather*} + + Таким образом мы доказали, что $b_1 = \{\lambda^n\}_{n=0}^{\infty}$ - собственный вектор. + Пусть вектор высоты $s-1$ построен. Тогда $b_{s-1} = f_{s-1}(n) \lambda^n, b_s = f_s(n) \lambda^n$. Заметим, что: $$f_s(n+1) \lambda^{n+1} - f_s(n) \lambda^{n+1} - f_{s-1}(n) \lambda^{n} \vdots \lambda^{n + 1}.$$ Разделим на $\lambda^{n + 1}$: $$f_s(n+1) - f_s(n) = \frac{f_{s-1}(n)}{\lambda}.$$ + При $\lambda = 1$ решением этого уравнения является $f_s(n) = C_n^{s-1}$, что можно доказать + самостоятельно в качестве упражнения (на самом деле это следует из формулы $C_n^{s - 1} + C_n^s = C_{n + 1}^s$). В общем случае будем искать решение в виде квазимногочлена: + $f_s(n) = C_n^{s-1} \cdot \lambda^{\alpha(s)}$. Подставим это решение в полученное выше уравнение: + $$C_{n+1}^{s-1} \lambda^{\alpha(s)} + C_n^{s-1} \lambda^{\alpha(s)} + = C_n^{s-2} \lambda^{\alpha(s-1) - 1}.$$ В силу того, что $C_{n+1}^{s-1} = C_n^{s-1} + C_n^{s-2}$, + получаем $\alpha(s) = \alpha(s-1) - 1$. В силу того, что при $s = 1$ мы должны получить собственный + вектор $b_1$, полученный ранее, верно $f_1(n) = 1$, а значит $\alpha(1) = 0$. + Тогда $\alpha(2) = \alpha(1) - 1 = -1$, и $\alpha(s) = 1 - s$. + Отсюда следует, что $f_s(n) = C_{n}^{s-1} \lambda^{1-s}$, а значит $b_s = C_{n}^{s-1} \lambda^{n+1-s}$. + Таким образом, мы получили Жорданов базис, отвечающий $\lambda$: $b_1, b_2, \dots, b_l$. +\end{proof} + +\begin{example}[Числа Фибоначчи] + Элементы последовательности задаются соотношением: $$x_{n+2} = x_{n+1} + x_n,$$ а значит, характеристический многочлен выглядит следующим образом: $p(x) = x^2 - x - 1$. Дискриминант $D = 5$, + размерность пространтсва равна $\dim V_p = 2$, корни равны $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$. + Тогда сама последовательность имеет вид $a_n = c_1(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n + c_2(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n$. Константы можно найти из начальных условий, например + для $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ получается формула Бинэ: $$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n - \frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n.$$ + При этом $\gd(a_n, a_m) = a_{\gd(n, m)}, \\ F_z \in \Cm$: $F_{z + 1} = F_{z + 1} + F_z$, $F_z |_{\N} = {a_n}$. +\end{example} + +\subsection{Приложение линейных рекуррент к расширению полей} + +\begin{theorem} + Пусть дан многочлен $p(x) \in F[x]$ и $p$ неприводим над полем $F$. Тогда существует расширение + $K$ поля $F$ в котором $p$ имеет хотя бы один корень. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $\deg p = s$, $A_p$ - сопутствующая матрица для многочлена $p$. В качестве искомого поля + будем рассматривать кольцо $K = F[A_p]$ с единицей, то есть кольцо многочленов от матрицы $A_p$. \\ + Сначала проверим, что оно является расширением поля $F$ и само является полем.\\ + Пусть $\alpha \in F$. Тогда можно сопоставить число $\alpha \in F$ элементу + $\alpha E \in K = F[A_p]$. Таким образом $F \subset K$. + + Если $f \in F[A_p]$ - не константа, то к $f$ есть обратный многочлен в этом же поле. \\ + $f = \alpha \in F = const$, тогда $\alpha^{-1} = f^{-1}$, Утверждается, что $f$ не кратно $p$. Докажем от противного: пусть кратно, тогда $f(A_p) = p(A_p) \cdot q(A_p) = 0$, откуда $\gd(f, p) = 1$. + + По свойству наименьшего общего делителя для многочленов: + \begin{gather*} + \exists u(x), v(x) \in F[x]: u(x)f(x) + v(x)p(x) = 1, \\ + u(A_p) \cdot f(A_p) + v(A_p) \cdot p(A_p) = E. + \end{gather*} + Из того, что $p(A_p) = 0$ получаем $f^{-1}(A_p) = u(A_p)$ и приходим к противоречию. \\ + Таким образом, $F[A]$ - поле. У многочлена $p(x)$ есть корень $A_p \in F[A_p]$ так как $p(A_p) = 0$. +\end{proof} + +\begin{example} + Над $\R$ многочлен $p(x) = x^2 + x + 1$ не имеет корней. Матрица $A_p$ имеет вид: + \begin{gather*} + \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + -1 & 0 + \end{pmatrix} + \end{gather*} + Множество решений в терминах матрицы при этом имеет следующий вид (в данном случае получаем, что $y$ -- коэффициент перед мнимой частью, а $x$ -- перед действительной): + $$\R[A_p] = \{x E - y A_p \vert x, y \in \R\} = \{\begin{pmatrix} + x & -y \\ + y & x + \end{pmatrix}\}.$$ + Покажем, что $A_p$ соответсвует $-i$ в введенных обозначениях: \\ + $$A_p^2 = \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + -1 & 0 + \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + -1 & 0 + \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} + -1 & 0 \\ + 0 & -1 + \end{pmatrix},$$ + что соответствует $-1 \in \R$. При этом верно: + \begin{align*} + A_p^3 = A_p \cdot A_p^2 = -A_p, && A_p^4 = (-A_p) \cdot A_p = 1 \in \R. + \end{align*} + Таким образом, + \begin{gather*} + i \longleftrightarrow \begin{pmatrix} + 0 & -1 \\ + 1 & 0 + \end{pmatrix} = R(\frac{\pi}{2}). + \end{gather*} +\end{example} + +\begin{corollary} + Пусть $p(x) \in F[x]$ - произвольный многочлен. Тогда существует расширение $\tilde{F}$ поля $F$, в котором $p(x)$ раскладывается на линейные множители. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Дедукция по количеству неприводимых множителей, на которые раскладывается многочлен $p$: + \begin{enumerate} + \item База: пусть $p$ раскладывается в произведение $s$ линейных множителей: $p(x) = \displaystyle\prod_{i = 1}^s (x - \lambda_i)$ -- все доказано. + \item Предположим, что для многочлена $p$, у которого разложении на неприводимые множители больше чем $t$ множителей, разложение существует. Докажем, что тогда можно разложить и в случае, если есть ровно $t$ неприводимых множителей: + + Пусть $p_i \vert p$ и $p_i$ неприводим, $\deg p_i \geq 2$. Расширим $F$ до поля $F_1$ такого, что $p_i$ имеет корень $\alpha$ в $F_1$. \\ + $p_i(x) = (x - \alpha) q_i(x)$, в $F_1$ имеет больше $t$ неприводимых множителей. Теперь к $p(x)$ применимо предположение дедукции. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + Минимальное поле, в котором многочлен $p$ раскладывается на линейные множители, называется полем разложения многочлена. +\end{definition} + +\begin{note} + Поле разложения многочлена единственно с точностью до изоморфизма, однако это утверждение в курсе доказано не будет. +\end{note} + +\begin{corollary} + Теорема \ref{th4.4} Гамильтона-Кэли справедлива над любым полем. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $A \in M_n(F)$, по теореме Гамильтона-Кэли $\chi_A (A) = 0$. \\ + $\tilde{F} \supset F: \tilde{F}$ -- поле разложения $\chi_A(x)$. Тогда по теореме Гамильтона-Кэли $\chi_A(A) = 0$ в $F$. +\end{proof} + +\begin{theorem} + Если $p$ - простое число, то найдется поле $F_{p^n}$, состоящее из $p^n$ элементов, где $n$ - любое натуральное число. +\end{theorem} + +\begin{idea} + Пусть такое поле существует. Тогда $F_{p^n}^* = F_{p^n} \setminus \{0\}$ - группа по умножению. + Тогда по теореме Лагранжа $x \in F_{p^n}$, $x^{p^n - 1} = 1$, $p^n - 1 = \ord x$. Рассмотрим $f(x) = x^{p^n} - x$(коэффициенты из $F_p$) -- корни, обратные $F_{p^n}$. +\end{idea} + +\begin{proof} + Пусть $f(x) \in F_p[x]$, $f(x) = x^{p^n} - x$. Пусть $\tilde{F}$ -- поле разложения $f$. Тогда + в $\tilde{F}$ у $f$ имеется $p^n$ корней. Рассмотрим $F_{p^n}$ -- множество корней $f$. Проверим, + что оно является полем: + \begin{enumerate} + \item $a \in F_{p^n} \Leftrightarrow a^{p^n} = a$. + \item $a, b \in F$, тогда $(a \cdot b)^{p^n} = a^{p^n} \cdot b^{p^n} = a \cdot b$ -- замкнутость относительно умножения. + \item Если $a \neq 0$, то $a^{-1} \in F_{p^n}$ т.к. $(a^{-1})^{p^n} = (a^{p^n})^{-1} = a^{-1}$ -- существование обратного элемента. + \item По построению $F_p \subset \tilde{F}$, откуда $char \tilde{F} = p$. + \end{enumerate} + В любом поле характеристики $p$ справедлива формула Бинома Ньютона: $(a+b)^p = a^p + b^p$, $a, b \in F_p$. \\ + \begin{gather*} + (a + b)^p = a^p + C_p^1 a^{p - 1} b + C_p^2 a^{p - 1} b^2 + \dots + b^p = a^p + b^p, \\ + C_p^k = \frac{p!}{k!(p - k)!}, \\ + C_p^k \equiv 0 (mod p). + \end{gather*} + Докажем, что $(a+b)^{p^n} = a^{p^n} + b^{p^n}$ если $a, b \in F$. Индукция по $n$: + \begin{enumerate} + \item $n=1$: как было доказано выше, $(a+b)^p = a^p + b^p$ + \item Предположим, что для $n-1$ верно. Пусть $a$, $b \in F_{p^n}$. Тогда: + $$(a+b)^{p^n} = ((a+b)^p)^{p^{n-1}} = (a^p + b^p)^{p^{n-1}} = a^{p^n} + b^{p^n}.$$ + \end{enumerate} +\end{proof} + +\section{Билинейные операторы} + +\begin{definition} + Пусть $V$ - линейное пространство над $F$. Функция $f: V \times V \to F$ называется билинейной, если выполняются следующие условия: + \begin{enumerate} + \item Аддитивность по первому аргументу $f(x_1 + x_2, y) = f(x_1, y) + f(x-2, y)$. + \item Линейность по первому аргументу $f(\lambda x, y) = \lambda f(x, y)$. + \item Аддитивность по втроому аргументу. + \item Линейность по второму аргументу. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{example}~ + \begin{enumerate} + \item $V_3$, скалярное произведение - билинейный оператор: $(x, y) = |x| \cdot |y| \cos(\phi)$ + \item Пусть $f$, $g$ - линейные функции на $V$, тогда $h(x, y) = f(x) \cdot g(y)$ - билинейная функция $h: V \times V \to V$. + \item $V = M_{n \times m}(F)$ и $f(X, Y) = tr(X^T A Y)$, где $A \in M_n(F)$. \\ + Покажем аддитивность и линейность: $$f(X_1 + X_2, Y) = tr((X_1 + X_2)^T A Y) = tr(X_1^T A Y) + tr(X_2^T A Y) = f(X_1, Y) + f(X_2, Y),$$ + $$f(\lambda X, Y) = tr((\lambda X)^T A Y) = \lambda f(X, Y).$$ + Важный частный случай - при $m=1$: $$f(X, Y) = X^T \cdot A \cdot Y = (x_1, x_2, \dots x_n) + \cdot A \cdot (y_1, \dots y_n)^T = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{m} a_{ij} x_i y_j \in F.$$ + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{note} + $f(0, y) = 0$ так как $f(0, y) = f(0 \cdot x, y) = 0 \cdot f(x, y) = 0$. +\end{note} + +\begin{definition} + Если $x, y \in F^n$, то выражение $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{m} a_{ij} x_i y_j$ называется билинейной формой от координатных столбцов $x$ и $y$. Билинейная форма сама является билинейной функцией: $F^n \times F^n \to F$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + \label{pr8.1} + Если $f(x, y)$ -- билинейная функция $V \times V \to F$, то она может быть записана в виде билинейной формы от координат $x$ и $y$ при добавлении коэффициентов $a_{ij} = f(e_i, e_j)$ - значения функции $f$ на базисных векторах. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $f(x, y)$ - билинейная функция, $e = (e_1, \dots e_n)$ - базис в $V$. Запишем разложения векторов $x$ и $y$ по базису: + \begin{align*} + x = \sum_{i=1}^{n} x_i e_i && y = \sum_{j=1}^{n} y_j e_j + \end{align*} + Тогда верно следующее: + \begin{gather*} + f(x, y) = f(\sum_{i=1}^{n} x_i e_i, \sum_{j=1}^{n} y_j e_j) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} x_i y_j f(e_i, e_j) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i y_j + \end{gather*} +\end{proof} + +\begin{proposition} + \label{pr8.2} + Пусть $f(x, y)$ -- билинейная функция в $V$. $e$, $e'$ -- базисы в $V$. $A$, $A'$ -- + матрицы билинейной формы $f$ в этих базисах. Тогда $A' = S^T A S$, где $S$ -- матрица перехода + между $e$ и $e'$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $x$ и $y$ имеют в $e$ координаты $\alpha$ и $\beta$ соответственно.\\ Было доказано, что $\alpha = S \alpha'$, $\alpha` = s^{-1} \alpha$, $\beta = S \beta'$. Тогда: + $$f(x, y) = x^T A y = \alpha^T A \beta = (S \alpha')^T A (S \beta) = (\alpha')^T S^T A S \beta' = (\alpha')^T A' \beta'.$$ Из последнего равенства сразу следует, что $S^T A S = A'$. +\end{proof} + +\begin{note} + В отличие от билинейной формы, матрица линейного оператора $A' = S^{-1} A S$. +\end{note} + +\begin{proposition}[Инварианты матрицы $A$ билинейной формы] + $rk A$ не зависит от выбора базиса, где $A$ -- матрица билинейной функции. +\end{proposition} + +\begin{proof} + $\rk (A') = \rk (S^T A S) \leq rk A$. При этом $A = (S^T)^{-1} A' S{-1}$, откуда $\rk A \leq \rk A'$, а значит, ранги равны. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Определители $A$ и $A'$ над полем вещественных чисел всегда имеют одинаковый знак: $\det A' = \det(S^T A S) = (\det S)^2 det A$, где $(\det S)^2 > 0$. +\end{corollary} diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_9.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_9.tex new file mode 100644 index 00000000..024cecb1 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_9.tex @@ -0,0 +1,561 @@ +%05.04.23 Оля + +\subsection{Симметричные и кососимметричные билинейные функции и формы} + +\begin{definition} + Билинейная функция $f(x, y)$ называется симметричной если для всех $x, y \in V$ верно + $f(x, y) = f(y, x)$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Билинейная функция $f(x, y)$ называется кососимметричной, если для всех $x, y \in V$ верно: + \begin{enumerate} + \item $f(x, y) = -f(y, x)$, + \item $f(x, x) = 0$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{note} + Первое условие следует из истинности второго. +\end{note} + +\begin{proof} + Заметим, что: + \begin{gather*} + 0 = f(x+y, x+y) = f(x, x) + f(x, y) + f(y, x) + f(y, y). + \end{gather*} + При этом $f(x, x) = 0$ и $f(y, y) = 0$ по второму условию, а значит $f(x, y) = - f(y, x)$. +\end{proof} + +\begin{note} + Если $\cha F \neq 2$, то и из первого условия следует второе. +\end{note} + +\begin{proof} + $f(x, x) = - f(x, x)$, откуда $2 f(x, x) = 0$, а значит, при $\cha F \neq 2$ обязательно + верно $f(x, x) = 0$. +\end{proof} + +\begin{agreement} + В случае $\cha F \neq 2$ оставим в определении только первое условие, + в противном случае только второе. +\end{agreement} + +\begin{agreement} + Будем обозначать как $B^{+}(V)$ пространство симметричных билинейных функций, как $B^-(V)$ -- + пространство кососимметричных функций. +\end{agreement} + +\begin{proposition} + Пусть $\cha F \neq 2$. Тогда $B(V) = B^+ (V) \oplus B^- (V)$. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Докажем, что $B^+(V) \cap B^-(V) = \{0\}$. Предположим, f является симметричной + и кососимметричной одновременно. Тогда для любых $x, y \in V$: + \begin{enumerate} + \item $f(x, y) = - f(y, x)$ -- из кососимметричности, + \item $f(x, y) = f(y, x)$ -- из симметричности. + \end{enumerate} + Таким образом для всех $x, y \in V$ верно $f(y, x) = 0$. \\ Это означает, что $f$ является + тождественно нулевой, а значит $B^+(V) \cap B^-(V) = \{0\}$. + + \item Покажем теперь, что любая функция из $B(V)$ лежит в $B^+(V) + B^-(V)$. + + Рассмотрим $f \in B(V)$. Через неё можно выразить следующие две функции: + \begin{enumerate} + \item $f^+(x, y) = \frac{f(x, y) + f(y, x)}{2} \in B^+(V)$ - симметризация $f$, + \item $f^-(x, y) = \frac{f(x, y) - f(y, x)}{2} \in B^-(V)$ - антисимметризация $f$. + \end{enumerate} + Тогда $f = f^+ + f^- \in B^+ + B^-$, а значит $B(V) \subseteq B^+ + B^-$. При этом + $B^+, B^-$ лежат в $B(V)$ по определению, а значит $B(V) = B^+ + B^-$. + По доказанному в предыдущем пункте сумма $B^+ + B^-$ является прямой. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Для поля характеристики 2 утверждение неверно. +\end{note} + +\begin{example} + Рассмотрим поле $V = (F_2)^2$ и функцию $f(x, y) = x_1 y_2 + x_2 y_1$ на нем. Для неё верно: + \begin{enumerate} + \item $f(y, x) = y_1 x_2 + y_2 x_1 = f(x, y)$ - симметричность, + \item $f(x, x) = x_1 x_2 + x_2 x_1 = 2 x_1 x_2 = 0$ - кососимметричность. + \end{enumerate} + Таким образом ненулевая функция $f$ является одновременно симметричной и кососимметричной. +\end{example} + +\begin{proposition} + Пусть $f \in B(V)$, $e$ - базис в $V$, и $A$ - матрица функции $f$ относительно базиса $e$. + Тогда $f$ симметрична тогда и только тогда, когда $A$ симметрична. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость. Пусть $f$ - симметричная. + Тогда $a_{ij} = f(e_i, e_j) = f(e_j, e_i) = a_{ji}$, а значит матрица $A$ так же симметрична. + \item Достаточность. Пусть $A = A^T$. Тогда верно: + \begin{enumerate} + \item $f(x, y) = x^T A y$, + \item $f(y, x) = y^T A x$. + \end{enumerate} + Таким образом, $f(x, y) = (x^T A y)^T = y^T A^T x = y^T A x = f(y, x)$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{proposition} + \label{pr9.3} + Пусть $f \in B(V)$, $e$ - базис, $A$ - матрица $f$ в базисе $e$. + Тогда $f$ кососимметрична тогда и только + тогда, когда $A^T = -A$ и $a_{ii} = 0$ для всех $i$. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость. Пусть $f(x, y) = - f(y, x)$. Тогда + $a_{ij} = f(e_i, e_j) = - f(e_j, e_i) = -a_{ij}$, а значит $A = - A^T$. + При этом $f(x, x) = - f(x, x) = 0$, а значит так же верно $a_{ii} = f(e_i, e_i) = 0$. + \item Достаточность. Пусть $A^T = - A$ и $a_{ii} = 0$. Тогда по утверждению \ref{pr8.1} + верно следующее представление $f(x, x)$ в виде билинейной формы: + \begin{gather*} + f(x, x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} x_i^2 + + \sum_{i < j} (a_{ij} + a_{ji}) x_i x_j = 0. + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Если $\cha F \neq 2$, утверждение \ref{pr9.3} можно сформулировать без второго условия на + матрицу $A$. +\end{note} + +\begin{proof} + Проверим достаточность. Пусть $A^T = A$. Покажем, что $f(x, y) = - f(y, x)$: + \begin{gather*} + f(x, y) + f(y, x) = x^T A y + (y^T A x)^T = x^T A y + x^T A^T y = x^T (A - A) y = 0. + \end{gather*} +\end{proof} + +\subsubsection{Ядро симметричных и кососимметричных билинейных функций} + +\begin{agreement} + Многие утверждения, доказываемые в этом разделе верны и для симметричных и для кососимметричных + функций. Чтобы показать, что функция $f$ лежит в $B^+$ или в $B^-$ будем использовать + обозначение $f \in B^{\pm}$. +\end{agreement} + +\begin{definition} + \label{def8.5} + Пусть $f \in B^{\pm}(V)$. Тогда ядром $f$ является: + $$\ker f = \{x \in V \vert \, \forall y \in V \hookrightarrow f(x, y) = 0\} = + \{y \in V \vert \, \forall x \in V \hookrightarrow f(x, y) = 0\},$$ + где сначала выписано левое ядро, а затем правое ядро, и они равны. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Пусть $f \in B^{\pm} (V)$. Тогда верны следующие свойства: + \begin{enumerate} + \item $\ker f \leq V$, + \item $\dim \ker f = \dim V - \rk f$. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Очевидно из опеределения $\ker f$. + \item Пусть $y \in \ker f$, что эквивалентно тому, что для любого вектора $x \in V$ верно + $f(x, y) = 0$ (по определению \ref{def8.5} ядра (косо)симметричной билинейной функции). + + Рассмотрим базис $e$ в пространстве $V$. Тогда утверждение $\forall x \in V \hookrightarrow + f(x, y) = 0$ в силу линейности эквивалентно тому, что $\forall i = 1, 2, \dots n + \hookrightarrow f(e_i, y) = 0$. Представим это в виде системы уравнений: + \begin{gather*} + \begin{cases*} + (1, 0, 0, \dots 0) A y = 0, \\ + (0, 1, 0, \dots 0) A y = 0, \\ + \dots \\ + (0, 0, 0, \dots 1) A y = 0. + \end{cases*} \; \Leftrightarrow E A y = 0 \; \Leftrightarrow \; Ay = 0. + \end{gather*} + Таким образом размерность $\ker f$ равна размерности пространства решений системы $Ay = 0$. + Его размерность равна $\dim V - \rk A$, где $A$ - матрица преобразования $f$. \\ + Получаем $\dim \ker f = \dim V - \rk f$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + Функция $f \in B^{\pm}(V)$ называется невырожденной над $V$, если выполняется одно из трех + эквивалентных условий: + \begin{enumerate} + \item $\det A \neq 0$, $A$ - матрица $f$ относительно произвольного базиса $e$ в $V$, + \item $\rk f = \dim V$, + \item $\ker f = \{0\}$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item $(1) \Rightarrow (2)$: + + $\det A \neq 0$, значит $\rk A = n = \dim V$ по теореме Фробениуса. + \item $(2) \Rightarrow (3)$: + + Пусть $\rk F = \dim V$. Тогда $\dim \ker F = \dim V - \rk F = 0$, а значит $\ker F \{0\}$. + \item $(3) \Rightarrow (1)$: + + $\ker F = \{0\}$, откуда $\rk f = n = \dim V$. При этом $\rk f = \rk A$, а значит + $M_{1\dots n}^{1\dots n} = \det A \neq 0$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + Пусть $f \in B^{\pm}(V)$. Будем говорить, что $x$ ортогонально $y$ относительно $f$ если + $f(x, y) = 0$, что равносильно $f(y, x) = 0$. Обозначение: $x \perp y$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть $U \leq V$. Ортогональным дополнением к $U$ относительно функции $f \in B^{\pm}(V)$ + называется подпространство $U^{\perp} = \{y \in V \,\vert \, \forall x \in U \hookrightarrow + f(x, y) = 0\}$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + \label{pr8.8} + Пусть $U \leq V$, $U^{\perp}$ - ортогональное дополнение к $U$ относительно $f \in B^{\pm}(V)$. + Тогда: + \begin{enumerate} + \item $U^{\perp} \leq V$, + \item $\dim U^{\perp} \geq \dim V - \dim U$, + \item Если $f \vert_{U}$ невырождена, то имеет место равенство: + \begin{gather*} + \dim U^{\perp} = \dim V - \dim U. + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Очевидно из опеределения. + \item Пусть $\dim U = k$, $e$ - базис в $V$, согласованный с базисом в $U$, то есть + \begin{align*} + (e_1, \dots e_k) & \text{ - базис в U}, \\ + (e_1, \dots e_k, \dots e_n) & \text{ - базис в V}, + \end{align*} + Пусть $y \in U^{\perp}$. В силу выбора базисов это равносильно тому, что для всех значений + $i = 1, \dots k$ верно $F(e_i, y) = 0$. + Таким образом $^k A y = 0$, где $^k A$ - подматрица в $A$, состоящая из первых $k$ строк. + В таком случае верно $\rk \, ^k A \leq k$, а значит: + \begin{gather*} + \dim U^{\perp} = \dim V - \rk \, ^k A \geq \dim V - k = \dim V - \dim U. + \end{gather*} + \item Пусть $f \vert_{U}$ невырождена, то есть $| M_{12\dots k}^{12\dots k} | \neq 0$. + Тогда в предыдущем пункте достигается точное равенство $\rk \, ^k A = k$, + откуда получается искомое $\dim U^{\perp} = \dim V - \dim U$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Из равенства $\dim U^{\perp} \dim V - \dim U$ не следует невырожденность $f \vert_{U}$. +\end{note} + +\begin{example} + Пусть $A = \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + 1 & 0 \\ + \end{pmatrix}$, $U = \langle e_1 \rangle$. Тогда: + \begin{gather*} + U^{\perp} = \left\{ y \in V \,\Big\vert \begin{pmatrix} + 0 & 1 + \end{pmatrix} \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + 1 & 0 + \end{pmatrix} \begin{pmatrix} + y_1 \\ + y_2 + \end{pmatrix} = 0 \right\} = \left\{ y \in V \,\big\vert \, y_2 = 0\right\} = \left\{ + \begin{pmatrix} + y_1 \\ + 0 + \end{pmatrix}\right\} = \langle e_1 \rangle. + \end{gather*} + Таким образом, $U^{\perp} = U$, $\dim U^{\perp} = 2 - 1 = 1$. Однако $f \vert_{U} = \{0\}$ - + вырождено. +\end{example} + +\begin{example} + Покажем, что неравенство во втором пункте утверждения \ref{pr8.8} может быть строгим: + \begin{multline*} + \text{Пусть } A = \begin{pmatrix} + 0 & 0 \\ + 0 & 1 \\ + \end{pmatrix} \text{, } U = \langle e_1 \rangle. \text{ Тогда: } \\ + U^{\perp} = \left\{ y \in V \,\Big\vert \begin{pmatrix} + 0 & 1 + \end{pmatrix} \begin{pmatrix} + 0 & 0 \\ + 0 & 1 + \end{pmatrix} \begin{pmatrix} + y_1 \\ + y_2 + \end{pmatrix} \right\} = \left\{ y \in V \,\Big\vert \begin{pmatrix} + y_1 \\ + y_2 + \end{pmatrix} = 0 \right\} = V. + \end{multline*} +\end{example} + +\begin{definition} + Подпространство $U \leq V$ назовем невырожденным относительно функции $f \in B^{\pm}(V)$, если + сужение $f$ на $U$ невырожденно. +\end{definition} + +\begin{note} + Построенные выше примеры показывают, что у пространства, на котором $f$ невырождена, могут быть + вырожденные подпространства, и наоборот, у пространства на котором $f$ вырождена, могут + быть невырожденные подпространства. +\end{note} + +\begin{theorem} + \label{th8.1} + Пусть $U \leq V$, $f \in B^{\pm}(V)$. Тогда $U$ невырожденно относительно $f$ тогда и только + тогда когда $V$ раскладывается в прямую сумму подпространств: $V = U \oplus U^{\perp}$. +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость. Пусть $f \vert_{U}$ невырождено. Покажем, что тогда + $\ker f \vert_{U} = \{0\}$. + \begin{multline*} + \ker f \vert_{U} = \{y \in U \vert \, \forall x \in U \hookrightarrow f(x, y) = 0\} = \\ + = \{y \in V \vert \, \forall x \in U \hookrightarrow f(x, y) = 0\} \cap U + = U^{\perp} \cap U = \{0\}, + \end{multline*} + где первое равенство получено по определению ядра $f$ над $U$, а третье по определению + ортогонального дополнения. Из соображений размерностей подпространств получим: + \begin{multline*} + dim (U + U^{\perp}) = \dim U + \dim U^{\perp} - \dim (U \cap U^{\perp}) = \\ = + \dim U + \dim U^{\perp} \geq \dim U + \dim V - \dim U = \dim V. + \end{multline*} + Так как $U + U^{\perp} \leq V$, получаем равенство размерностей $\dim (U + U^{\perp}) = \dim V$, + а значит и равенство подпространств: $U + U^{\perp} = V$. + + По теореме о характеристике прямой суммы получаем $V = U \oplus U^{\perp}$. + + \item Пусть $V = U \oplus U^{\perp}$. Но $\ker (f \vert_{U}) = U \cap U^{\perp} = \{0\}$, + а значит $f$ невырождена на $U$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Пусть $f \vert_{U}$ невырождена. Тогда по теореме \ref{th8.1} верно $V = U \oplus U^{\perp}$. + Выберем базис $e$, согласующийся с разложением. Тогда матрица $A$ в нем имеет вид + $A = \left(\begin{array}{@{}c|c@{}} + A_{U} & 0\\ + \hline + 0 & A_{U^{\perp}} + \end{array}\right)$. +\end{note} + +\subsection{Квадратичные билинейные формы} + +\begin{definition} + Пусть $f \in B(V)$, $f: V \times V \to F$. Тогда $\Delta = \{(x, x) \in V \times V\}$ - + диагональ в пространстве $V$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть $f \in B^{+}(V)$. Квадратичной функцией на $V$ называется произвольное сужение симметричной + билинейной функции $f$ на диагональ $\Delta$: + \begin{gather*} + q(x) = f(x, y) \vert_{\Delta} = f(x, x): \, V \to F. + \end{gather*} +\end{definition} + +\begin{note} + В пространстве $V_3$ верно $(x, y)\vert_{\Delta} = (x, x) = |x|^2 \geq 0$. +\end{note} + +\begin{note} + Сужать кососимметричные функции на диагональ мы не будем, так как сужение является нулевой + функцией и не представляет интереса. +\end{note} + +\begin{agreement} + Будем обозначать как $Q(V)$ множество всех квадратичных функций на $V$. +\end{agreement} + +\begin{theorem} + Линейные пространства $B^+(V)$ и $Q(V)$ изоморфны, изоморфизм осужествляет отображение $\phi$ + сужения на диагональ $\Delta \subset V \times V$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $\phi: B^+(V) \to Q(V)$, переводящее $f(x, x) \in B^+(V)$ в $q(x) \to Q(V)$. + Операции сложения и умножения на скаляр сохраняются. Покажем его биективность: + \begin{enumerate} + \item Отображение $\phi$ сюрьективно по определению квадратичной функции. + \item Проверим инъективность $\phi$. Пусть $\phi(f) = q$, $\phi(g) = q$, покажем, что тогда + $f = g$. + + По определению $q(x) = f(x, x)$, тогда: + \begin{gather*} + q(x \pm y) = f(x \pm y, x \pm y) = f(x, x) \pm 2 f(x, y) + f(y, y) = + q(x) \pm 2 f(x, y) + q(y). + \end{gather*} + Аналогично $q(x \pm y) = q(x) \pm 2 g(x, y) + q(y)$, откуда: + \begin{gather*} + f(x, y) = \frac{1}{4} (q(x+y) - q(x-y)) = g(x, y). + \end{gather*} + \end{enumerate} + Таким образом полученное отображение - биекция, сохраняющая необходимые операции, а значит + получен изоморфизм между $B^+(V)$ и $Q(V)$. +\end{proof} + +\begin{definition} + Выражение $f(x, y)$ через $q(x)$ и $q(y)$ называется поляризационным тождеством. + Обратное отображение $\psi:\, Q(V) \to B^+(V)$ называется поляризацией, + $f(x, y)$ - полярной функцией к $q(x)$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Базис в $V$ называется ортогональным относительно $f$ если для всех $i$, $j$, $i \neq j$ верно + $a_{ij} = f(e_i, e_j) = 0$. +\end{definition} + +\begin{note}~ + + Ортогональный базис выгоден в силу того, что в нем наиболее просто представимы $f$ и $g$: + \begin{align*} + f(x, y) = & \lambda_1 x_1 y_1 + \lambda_2 x_2 y_2 + \dots \lambda_n x_n y_n, \\ + g(x, y) = & \lambda_1 x_1^2 + \lambda_2 x_2^2 + \dots \lambda_n x_n^2. + \end{align*} + Записанные выше представления называются диагональным видом $f$ и $g$. Количество + ненулевых коэффициентов $\lambda_i$ равно рангу матриц $f$ и $q$ в силу того, что матрица + в ортогональном базисе будет иметь диагональный вид со значенимями $\lambda_i$ на диагонали. +\end{note} + +\begin{theorem}[Лагранжа] + Всякую билинейную симметричную функцию $f$ и ассоциированную с ней квадратичную функцию + подходящим выбором базиса можно привести к диагональному виду. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Индукция по размерности пространства. + \begin{enumerate} + \item База: при $n=1$ матрица уже имеет диагональный вид. + \item Предположение индукции: пусть для пространств $V$ размерности меньшей чем $n$ + теорема верна. Совершим переход к подпространствам размерности $n+1$. + + Если функция $f$ тождественно нулевая, её матрица так же очевидно диагональная. + + В случае ненулевой функции $f$ в силу поляризационного тождества функция $q$ так же является + ненулевой. Тогда существует вектор $e_1$, такой что $q(e_1) = a_{11} = f(e_1, e_1) \neq 0$. + Рассмотрим тогда $U = \langle e_1 \rangle$. Тогда $f \vert_{U}$ невырождена, а значит + $V = U \oplus U^{\perp}$. + + По предположению индукции в $U^{\perp}$ найдется ортогональный относительно сужения + $f \vert_{U^{\perp}}$ базис $(e_2, \dots e_n)$. Матрица $A_{U^{\perp}}$ в нем будет иметь вид: + \begin{gather*} + A_{U^{\perp}} = \begin{pmatrix} + \lambda_2 & 1 & \dots & 0 \\ + 0 & \lambda_3 & \dots & 0 \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & \lambda_n + \end{pmatrix} + \end{gather*} + В силу того, что $U$ и $U^{\perp}$ образуют прямую сумму, равную всему пространству $V$, + при добавлении в $(e_2, \dots e_n)$ вектора $e_1$ получится базис в $V$, + являющийся ортогональным относительно $f$. Матрица $f$ в базисе $(e_1, e_2, \dots e_n)$ имеет + вид: + \begin{gather*} + A = \begin{pmatrix} + \lambda_1 & 1 & \dots & 0 \\ + 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & \lambda_n + \end{pmatrix} + \end{gather*} + При этом коэффициенты в матрице равны $\lambda_i = q(e_i)$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Полученные базис и коэффициенты определены неоднозначно. Например мы можем растянуть один из + базисных векторов $e_i$ в $c_i$ раз и получить $e'_i = e_i c_i$. Тогда: + \begin{gather*} + \lambda'_i = q(e'_i) = q(c_i e_i) = f(c_i e_i,\, c_i e_i) = c_i^2 f(e_i, e_i) + = c_i^2 q(e_i) = c_i^2 \lambda_i. + \end{gather*} +\end{note} + +\begin{definition} + Пусть $F = \R$. Вид квадратичной функции + \begin{align*} + q(x) = x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \dots - x_{p+q}^2, + \end{align*} + где $p + q = \rk q$, называется каноническим видом квадратичной функции в $V$ над $\R$. +\end{definition} + +\begin{corollary} + Если $F = \R$, то всякую квадратическую функцию выбором базиса можно привести к каноническому виду + выбором базиса. +\end{corollary} + +\begin{exercise} + Пусть $V$ - пространство над полем $\Cm$. Доказать, что любую функцию в комплексном пространстве + можно привести к виду $q(x) = x_1^2 + x_2^2 + \dots x_p^2$, $r = \rk q$. +\end{exercise} + +\begin{note} + В практических задачах проще искать не канонический базис, а преобразование координат, приводящее + к каноническому виду: + \begin{gather*} + \begin{pmatrix} + x_1 \\ + x_2 \\ + \vdots \\ + x_n + \end{pmatrix} = S \begin{pmatrix} + \xi_1 \\ + \xi_2 \\ + \vdots \\ + \xi_n + \end{pmatrix}, + \end{gather*} + где $\xi_i$ - канонические координаты. +\end{note} + +\begin{algorithm}[Поиск преобразования, приводящего к каноническому виду]~\\ + В нашем базисе $q(x)$ имеет следующее предстваление: + \begin{gather*} + q(x) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_i x_j + \end{gather*} + Его можно преобразовать к виду: + \begin{gather*} + q(x) = \frac{1}{a_{11}} (a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n)^2 - + \sum_{i=2}^{n}\sum_{j=2}^{n} a_{ij}x_i x_j. + \end{gather*} + Сумма после вынесения первого слагаемого не содержит $x_1$ ни в одном члене. Обозначим тогда + $(a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n)$ за $\xi_1$, который будет являться первым + искомым каноническим вектором. После этого $q(x)$ можно записать как: + \begin{gather*} + q(x) = \lambda_1 \xi_1^2 + \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_i x_j. + \end{gather*} + Таким образом можно продолжать преобразования суммы до получения разложения в канонический вид: + \begin{gather*} + q(x) = \lambda_1 \xi_1^2 + \lambda_2 \xi_2^2 + \dots \lambda \xi_n^n + \end{gather*} + При этом столбцы матрицы $S$ будут являться координатами векторов базиса в каноническом базисе. +\end{algorithm} + +\begin{definition} + Квадратичная функция $q(x)$ называется положительно определенной (отрицательно опеределенной), + если для всех $x \neq 0$ верно $q(x) > 0$ ($q(x) < 0$). +\end{definition} + +\begin{definition} + Квадратичная функция $q(x)$ называется положительно полуопределенной (отрицательно полуоопределенной) + если для всех $x \in V$ верно $q(x) \geq 0$ ($q(x) \leq 0$). +\end{definition} diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/main.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/main.tex new file mode 100644 index 00000000..035962d8 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/main.tex @@ -0,0 +1,27 @@ +\input{header} + +\begin{document} + \input{title_page} + + \newpage + \hypertarget{intro}{} + \tableofcontents + \linespread{1} + \selectfont + + \newpage + \input{lections/lec_1.tex} + \input{lections/lec_2.tex} + \input{lections/lec_3.tex} + \input{lections/lec_4.tex} + \input{lections/lec_5.tex} + \input{lections/lec_6.tex} + \input{lections/lec_7.tex} + \input{lections/lec_8.tex} + \input{lections/lec_9.tex} + \input{lections/lec_10.tex} + \input{lections/lec_11.tex} + \input{lections/lec_12.tex} + \input{lections/lec_13.tex} + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/title_page.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/title_page.tex new file mode 100644 index 00000000..2f9bd294 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/title_page.tex @@ -0,0 +1,27 @@ +\begin{titlepage} + \clearpage\thispagestyle{empty} + \centering + + \textbf{Московский физико-технический институт \\ Физтех-школа прикладной математики и информатики} + \vspace{33ex} + + {\textbf{\FullCourseNameFirstPart}} + + \SemesterNumber\ СЕМЕСТР + \vspace{1ex} + + Лектор: \textit{\LecturerInitials} + + \includegraphics[width=0.4\textwidth]{images/logo_ltc.png} + + \begin{flushright} + \noindent + Автор: \href{\VKLink}{\textit{\AuthorInitials}}, \href{\VKLinksecond}{\textit{\AuthorInitialssecond}} + + \href{\GithubLink}{\textit{Проект на Github}} + \end{flushright} + + \vfill + \CourseDate + \pagebreak +\end{titlepage} \ No newline at end of file diff --git a/config.json b/config.json index 82aaf68d..6edcc14d 100644 --- a/config.json +++ b/config.json @@ -38,6 +38,7 @@ "l/2/Algebra_and_Coding_Theory/2023_Vyalyj" ], "sqiportinhsa": [ - "l/3/Group_Theory/2023_Shtepin" + "l/3/Group_Theory/2023_Shtepin", + "l/2/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin" ] }