From 51ac022ddf98ff888c959d96c47101b5629b2398 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: sqiportinhsa <97836951+sqiportinhsa@users.noreply.github.com> Date: Sun, 28 Jan 2024 17:56:15 +0300 Subject: [PATCH] added algebra and geometry --- .../2023_Shtepin/header.tex | 202 +++++++ .../2023_Shtepin/images/lec2_1.png | Bin 0 -> 7882 bytes .../2023_Shtepin/images/lec6_1.PNG | Bin 0 -> 53771 bytes .../2023_Shtepin/images/lec6_2.PNG | Bin 0 -> 58739 bytes .../2023_Shtepin/images/lec6_3.PNG | Bin 0 -> 72047 bytes .../2023_Shtepin/images/lec6_4.PNG | Bin 0 -> 82995 bytes .../2023_Shtepin/images/lec6_5.PNG | Bin 0 -> 40198 bytes .../2023_Shtepin/images/logo_ltc.png | Bin 0 -> 216873 bytes .../2023_Shtepin/lections/lec_1.tex | 438 ++++++++++++++ .../2023_Shtepin/lections/lec_10.tex | 545 +++++++++++++++++ .../2023_Shtepin/lections/lec_11.tex | 534 +++++++++++++++++ .../2023_Shtepin/lections/lec_12.tex | 298 ++++++++++ .../2023_Shtepin/lections/lec_13.tex | 398 +++++++++++++ .../2023_Shtepin/lections/lec_14.tex | 0 .../2023_Shtepin/lections/lec_2.tex | 443 ++++++++++++++ .../2023_Shtepin/lections/lec_3.tex | 490 +++++++++++++++ .../2023_Shtepin/lections/lec_4.tex | 482 +++++++++++++++ .../2023_Shtepin/lections/lec_5.tex | 433 ++++++++++++++ .../2023_Shtepin/lections/lec_6.tex | 305 ++++++++++ .../2023_Shtepin/lections/lec_7.tex | 539 +++++++++++++++++ .../2023_Shtepin/lections/lec_8.tex | 258 ++++++++ .../2023_Shtepin/lections/lec_9.tex | 561 ++++++++++++++++++ .../2023_Shtepin/main.tex | 27 + .../2023_Shtepin/title_page.tex | 27 + config.json | 3 +- 25 files changed, 5982 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/header.tex create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec2_1.png create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_1.PNG create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_2.PNG create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_3.PNG create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_4.PNG create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_5.PNG create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/logo_ltc.png create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_1.tex create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_10.tex create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_11.tex create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_12.tex create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_13.tex create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_14.tex create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_2.tex create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_3.tex create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_4.tex create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_5.tex create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_6.tex create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_7.tex create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_8.tex create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_9.tex create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/main.tex create mode 100644 Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/title_page.tex diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/header.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/header.tex new file mode 100644 index 00000000..0c9d6e1c --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/header.tex @@ -0,0 +1,202 @@ +\documentclass[a4paper,11pt]{article} + +%%% Работа с русским языком +\usepackage{cmap} % поиск в PDF +\usepackage{mathtext} % русские буквы в формулах +\usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка +\usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста +\usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы +\usepackage{indentfirst} % красная строка в первом абзаце +\frenchspacing % равные пробелы между словами и предложениями + +%%% Дополнительная работа с математикой +\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % пакеты AMS +\usepackage{icomma} % "Умная" запятая + +%%% Свои символы и команды +\usepackage{centernot} % центрированное зачеркивание символа +\usepackage{stmaryrd} % некоторые спецсимволы +\usepackage{dsfont} +\usepackage{amsthm} + +\renewcommand{\epsilon}{\ensuremath{\varepsilon}} +\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}} +\renewcommand{\kappa}{\ensuremath{\varkappa}} +\renewcommand{\le}{\ensuremath{\leqslant}} +\renewcommand{\leq}{\ensuremath{\leqslant}} +\renewcommand{\ge}{\ensuremath{\geqslant}} +\renewcommand{\geq}{\ensuremath{\geqslant}} +\renewcommand{\emptyset}{\ensuremath{\varnothing}} + +\DeclareMathOperator*{\Mid}{\scalebox{1.1}{$\mid$}} + +\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} +\DeclareMathOperator{\gd}{\text{НОД}} +\DeclareMathOperator{\lf}{\text{НОК}} +\DeclareMathOperator{\rk}{rk} +\DeclareMathOperator{\pr}{pr} +\DeclareMathOperator{\ort}{ort} +\DeclareMathOperator{\im}{Im} +\DeclareMathOperator{\ke}{Ker} +\DeclareMathOperator{\re}{Re} +\DeclareMathOperator{\cha}{char} +\DeclareMathOperator{\ord}{ord} +\DeclareMathOperator{\tr}{tr} +\DeclareMathOperator{\md}{mod} +\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} +\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn} +\DeclareMathOperator{\End}{End} +\DeclareMathOperator{\GL}{GL} +\DeclareMathOperator{\SL}{SL} +\DeclareMathOperator{\diag}{diag} + +\newcommand{\divby}{ + \mathrel{\vbox{\baselineskip.65ex\lineskiplimit0pt\hbox{.}\hbox{.}\hbox{.}}} +} +\newcommand{\notdivby}{\centernot\divby} +\newcommand{\N}{\mathbb{N}} +\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} +\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} +\newcommand{\R}{\mathbb{R}} +\newcommand{\Cm}{\mathbb{C}} +\newcommand{\F}{\mathbb{F}} +\newcommand{\id}{\mathrm{id}} +\newcommand{\imp}[2]{(#1\,\,$\ra$\,\,#2)\,\,} +\newcommand{\nset}[1]{\{1, \dotsc, #1\}} +\newcommand{\Chi}{\scalebox{1.1}{\raisebox{\depth}{$\chi$}}} +\newcommand{\FF}{\scalebox{0.95}{$\mathcal F$}} +\newcommand{\FFF}{\scalebox{0.55}{$\mathcal F$}} +\newcommand{\GG}{\scalebox{0.95}{$\mathcal G$}} +\newcommand{\GGG}{\scalebox{0.55}{$\mathcal G$}} + +\renewcommand\labelitemi{$\triangleright$} + +\let\bs\backslash +\let\vect\overline +\let\normal\trianglelefteqslant +\let\lra\Leftrightarrow +\let\ra\Rightarrow +\let\la\Leftarrow +\let\gl\langle +\let\gr\rangle +\let\sd\leftthreetimes +\let\emb\hookrightarrow +\let\mc\mathcal +\let\mf\mathfrak + +%%% Перенос знаков в формулах (по Львовскому) +\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}} + +%%% Работа с картинками +\usepackage{graphicx} % Для вставки рисунков +\setlength\fboxsep{3pt} % Отступ рамки \fbox{} от рисунка +\setlength\fboxrule{1pt} % Толщина линий рамки \fbox{} +\usepackage{wrapfig} % Обтекание рисунков текстом + +%%% Работа с таблицами +\usepackage{array,tabularx,tabulary,booktabs} % Дополнительная работа с таблицами +\usepackage{longtable} % Длинные таблицы +\usepackage{multirow} % Слияние строк в таблице + +%%% Теоремы +\theoremstyle{plain} +\newtheorem{theorem}{Теорема}[section] +\newtheorem{lemma}{Лемма}[section] +\newtheorem{proposition}{Утверждение}[section] +\newtheorem*{exercise}{Упражнение} +\newtheorem*{problem}{Задача} + +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{definition}{Определение}[section] +\newtheorem*{corollary}{Следствие} +\newtheorem*{note}{Замечание} +\newtheorem*{reminder}{Напоминание} +\newtheorem*{example}{Пример} +\newtheorem*{remarkfrom}{Примечание авторов} +\newtheorem*{agreement}{Соглашение} +\newtheorem*{idea}{Идея доказательства} +\newtheorem*{algorithm}{Алгоритм} + +\theoremstyle{remark} +\newtheorem*{solution}{Решение} + +%%% Оформление страницы +\usepackage{extsizes} % Возможность сделать 14-й шрифт +\usepackage{geometry} % Простой способ задавать поля +\usepackage{setspace} % Интерлиньяж +\usepackage{enumitem} % Настройка окружений itemize и enumerate +\setlist{leftmargin=25pt} % Отступы в itemize и enumerate + +\geometry{top=25mm} % Поля сверху страницы +\geometry{bottom=30mm} % Поля снизу страницы +\geometry{left=20mm} % Поля слева страницы +\geometry{right=20mm} % Поля справа страницы + +\setlength\parindent{15pt} % Устанавливает длину красной строки 15pt +\linespread{1.3} % Коэффициент межстрочного интервала +%\setlength{\abovedisplayskip}{3pt} % Отступы от выключных формул +%\setlength{\belowdisplayskip}{3pt} % Отступы от выключных формул +%\setlength{\abovedisplayshortskip}{3pt} % Отступы от выключных формул +%\setlength{\abovedisplayshortskip}{3pt} % Отступы от выключных формул +%\setlength{\parskip}{0.5em} % Вертикальный интервал между абзацами +%\setcounter{secnumdepth}{0} % Отключение нумерации разделов +%\setcounter{section}{-1} % Нумерация секций с нуля +\usepackage{multicol} % Для текста в нескольких колонках +\usepackage{soulutf8} % Модификаторы начертания + +%%% Содержание +\usepackage{tocloft} +\tocloftpagestyle{main} +%\setlength{\cftsecnumwidth}{2.3em} +%\renewcommand{\cftsecdotsep}{1} +%\renewcommand{\cftsecpresnum}{\hfill} +%\renewcommand{\cftsecaftersnum}{\quad} + +%%% Шаблонная информация для титульного листа +\newcommand{\CourseName}{Алгебра и геометрия} +\newcommand{\FullCourseNameFirstPart}{\so{АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ}} +\newcommand{\SemesterNumber}{II} +\newcommand{\LecturerInitials}{Штепин Вадим Владимирович} +\newcommand{\CourseDate}{весна 2023} +\newcommand{\AuthorInitials}{Терехова Ольга} +\newcommand{\AuthorInitialssecond}{Парфенова Анна} +\newcommand{\VKLink}{https://vk.com/sqiportinhsa} +\newcommand{\VKLinksecond}{https://vk.com/id265834202} +\newcommand{\GithubLink}{https://github.com/MIPT-Group/Lectures_Tex_Club} + +%%% Колонтитулы +\usepackage{titleps} +\newpagestyle{main}{ + \setheadrule{0.4pt} + \sethead{\CourseName}{}{\hyperlink{intro}{\;Назад к содержанию}} + \setfootrule{0.4pt} + \setfoot{ФПМИ МФТИ, \CourseDate}{}{\thepage} +} +\pagestyle{main} + +%%% Нумерация уравнений +\makeatletter +\def\eqref{\@ifstar\@eqref\@@eqref} +\def\@eqref#1{\textup{\tagform@{\ref*{#1}}}} +\def\@@eqref#1{\textup{\tagform@{\ref{#1}}}} +\makeatother % \eqref* без гиперссылки +\numberwithin{equation}{section} % Нумерация вида (номер_секции).(номер_уравнения) +\mathtoolsset{showonlyrefs=true} % Номера только у формул с \eqref{} в тексте. + +%%% Гиперссылки +\usepackage{hyperref} +\usepackage[usenames,dvipsnames,svgnames,table,rgb]{xcolor} +\hypersetup{ + unicode=true, % русские буквы в раздела PDF + colorlinks=true, % Цветные ссылки вместо ссылок в рамках + linkcolor=black!15!blue, % Внутренние ссылки + citecolor=green, % Ссылки на библиографию + filecolor=magenta, % Ссылки на файлы + urlcolor=NavyBlue, % Ссылки на URL +} + +%%% Графика +\usepackage{tikz} % Графический пакет tikz +\usepackage{tikz-cd} % Коммутативные диаграммы +\usepackage{tkz-euclide} % Геометрия +\usepackage{stackengine} % Многострочные тексты в картинках \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec2_1.png b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec2_1.png new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b34f3b4d41bd5ffad02fc2563d00f052681d3a7d GIT binary patch literal 7882 zcmdscc|6qL+xHowBFiY0H6z)^l2FK!HDR=1X6&XWWGyDjHu;8OQjsNg9RR!qtNaloXYYsw*m~A31XH$T4+A6?H|`cE9;{ z07R6G^-o&(+fVk5h323`SqEOc-VDh99>-~xenei1+BBD5g*HT9ynbPPzG-@TdK0og z^M3R5CKNuPgk%RGZU6tW&3T!cn!17nU`7jNWqkf^Y$0S>td9nOOwiB0d*|EjsGiM@ z4Gb6TC`HmbR%%57@D8OcgvCMO6Ox2Hjnxa<#(MzR1&0&r)c2*XiSYsOCW%r^ePjUu zT?EyUkX-s~hav!uD8gj1q|r+JK{((sWx?R#!`?h-v#y&fe4o01%Ufr8b*e+ zWbDoi$T1Y$$J`CuGp10$VN{1xC$r^^oelj21fZY#&-{+I3gU@gm!S;1y|k3WXW%#b ze}9YGvXqO-Q=y0VWS!s4aw$?{~5W^$DnPdus92^odVgw@!jijC| z3u6H~?D}ZKAAC>&-bmbSx*QBH0WrdneWfn}cy3Yyts-Su^E6-<8|vw_%>qW&ncEbD z{@(XYAWix|vk>-ShmtzhaF49S1oyRIRX((e451KUltQtLppfidk^I$93lG*IfXn^A zJsPBC)6DK+T_)giYrE&{!^_!UzPI2=8TZUZATz3duDX6MHQQp~^Yb~=n1?bjj$^h* z8a$L2c}_2I$_z7{czO>2uY-hkF@oK!>7++QLV{p^e=PHs-?Q~<)a4qvjb?X&P~Hq6pU+S#5j^K#TEmQBDO`Ie1G^>sO3`1vKaJtuh}+rmVafQ;hkg3 zb#CTDV89b)C5-CW?J84d@1nbv#_HN+`a`sQRS>Cuy6}kiHbzXJ|m?K=JkY%#B~iYntGp2R0pY)ff9yujgr6 z#^p^|4$mngbVz)>%>sV3(RfA>d*S6K0TwV2rjNFsUtm{T$re7x2Xs!?Jk|bf>9)o1 zRLxVhp3;}CLjhkMNrEYf#ar3xO#;Qhyf9Ej`{@BVoJ=vWQSBJ|ZOIP_28Q&}0`Xx| zE7{`k)669lAID0OP+~#3IGk631fk`rIlJ$_A2BGtJe*xvJ=X4iAt3WZQ($Zp>#@xD z;2X@4F7L0-dZ=mbfvduw7fCJ2{g!uiD{k#6xG$wa>?Uso$b$H7!zy32rqpBgUA49e?kPRY4k`qEz3!xQQT zGm-%@2Tx6G9tCuNeYA{seW(PMWh*6750^cfwSFi9_TQ#3+In*j?meI2#timDiv>+x z;5No@r7E;Yv8_%$c85GOaNLjLYvwx!#pg%jPJEO@tCsBt->CzvEj8xg$Prw`nSEb_qzpF)fyShGx1Lf&1iN} z&1FGI+W7teWn1C%wyuvajDeSp$GhSRYcI!#d!|w>KboMdj%)nT;(vV$lpK(>;kI$A z-e8rfIF=$wXg{*(@*pMoN-EV>7xdh|&&#NDu*^0{QDb9S;b)O<(BT4m6wv-w_swye z`g10UjTL{6R>dt_@W}Ac%Fa&AP0=~; zGM~2pzDOK4h8Btxu6S{TBEm5F>0dHG?Pm0|8j?wy%A2h?tQjO^k;FZ@=xNG;`ly zS#b_1L68$EZG$OZQ4S9ZrF3fs4^`5h4sma~HmBN)l1>A%9>$cSV2qDZ(LZy)Gwu9JFz~BJ zy)g?KH>Pr#gtZg=GXb}#lY8^IoZE7_8=5xJ4p0Y;V@EHg3MfS26ydHz!wQ|Ar+)}z zjT%k_1AS44p1Ko+mpz;4S&Ms+>@w`>UtiyBnAr)8?AA7}s1VoxoSSQ!CseT>4>P3T zCU~%OtM+)oBgU4@I!IzwT*KkfvsJS~3vaf>3OoH&*Ypp2r>RoK2Ha&-Trd4OARUdv z?h_--+6f(>FF#jE^T*S&1%S1xcio^ml3j#1e4ss$cf(Jq(&ZT|88sLuAlY@UP?+~j#N5VC)U$kku9yw1*9~7ux)n)bG2eAzO39(|E+7Y-xOe>n2LDg;=L`Di zl2NPyx;j3P1(=tUh8wSG(SO(K4xx}#JI;loGTJRZ^j!PeF0h~BFHM!zM{6mm+wPN5 z%&S&huESz$>MWvxvecuLRu$kSPMA&Ro!s3;&*nrp`e&T8IzMY_b>d_VA$iKz`gwWL z;(M0>DF;Th3f!QP&aHZTXAQb&n1-#gJbg zebpeG{B_fWL#mNY@?<1vw`lG&#}X{b=_YZF6RZI_D&CXdF2FI&80Tlf+}kn5e-V+@y>UIhgngSN{B~QmC_wf}ke0Q%WNPJLnjyG0c|o;G-x9^=UK^gRh_1r|I;wZaE3t| z(OH01YN$G4kzdr6ztLBIbuQaOU>6vrQWmZiSXasa4RGwc>C63k8FpfX%CqrWd*@8! z(-h!&yb9Dja!dM%J*Ecrz|&xZ$ZKi914UhCMGbMBkT@*Njw zUU~VMZ$?ZJ{$#IT^5<@jP;d&CIn^h;dx>S)q(a*#?SPDl#3{6PuiqRT+O5&B=$iB` zaWHWQs9})tmn3;f$&>{{(mx-cq<_S06qh;+-b(+XX_nu74HhM1%gV@Ka@}jXgbItU zitl4t*uu`}U7B?QNDy_jb7l|n7s;9;8c;Xm%Dtz+Xf}TAB==(P``uT=_;#eBkJblY z!DqDQbJOg_IK=Y0St*#29Bjee@(_z7s^#A~{ztYf3!$p`#$Xjna} zy&00Da7Qeq(m;g!kUdgZa6t4S5ZM)S2~PWpZO-+2*QV-!a+`iFiW>{^ zgOrN~wA00KFW``scd8gwbQRkyY!At+a`-m#W6Zg|wP0R<&nU1^Zs@)7x!!zJYx|^p zIf7sA-OkJ_i07zevc2HZz#rE|k#456rcuSB5B!%v(ZGi4*5R1sLSdL zx@WuNi0W@2QB=~VKJ5BFE&=%#4TnkBm;XYbIzDwfFv2l!`7iY_i>L6yRUJUSH7uC_kyf^(481q<*q!Y*aUcT`$GrM=wLb zs3YWXjzWHS)sULg=9rl7(zmwiHjgQJF$PgiOPh&owJv8KZXIwj%TYZzyaGq6sjqZg z59u2zdN=R6x{Tnj@LQezSl9coV6sObk9Fqu)M1Let!;UcBl-MjVg>G>PdCnL=)TKe znwb}GOp$(3lyrLx_)0!{Q*IM%>kxD$jH2=|v%I-5AXVOe^`vypmEXKDU1z>jtRT^t z@Cj|UYbTIyJF+y^#<+qPIxE=yrW3Pr{a2$?1FTP6PzQGGd-1A?>o)z$Cy>rWn}k$n z3Qn)9pXxd3wM3fs)t2M(E{In>{Q|~ZdBRca2h-Lz5oqc~RQ{=&@ox-~;MpH0ety$v zBCmpWR)&WYZl~iRCwm)=M|7@U0s|)}XU;?WaHU9rF=-ObiRaq<)mQ2}?OvKu*W_BC znJS8)>ue;bt_UTXh2BlNBM1*Cx!dR6p!(JJvn(3l3nQBDPQ^@a5;VOT)n;6P6qe+v z))m&}t)yMm82Es3)5^p^ZX<*?P7(e=SQqVXD!MYu*QCC3A8WzT!=4>4lpggk1I=ly z&JjzWhToaK;JZF7wN+-Hy{K&ZrzdOOeW^BCl`Uyp4Md8?Pe@@I&()mUaVf&D zZn(zskDyD_Hzv7nXk^YERQmVM1;_}c1x1^3?5J;V z5mxs711pcH+u^(sUs$nUIrzpnc?C6Zz{An})36seGu+GHocgh7P?P;*)y3bJD`$PJ zrX}%@>j+O>o$Alxp!K@fqa5*jniI#*Gi%84pG|eC`xc2K*@|*-O**BUh|1`cq^c^U z$g^GVUXUFrqRH~5Iq+t&I>v_-Rho>jw!NHfUHisanfvlpXc)m+V&s;+wJ1n~8_0BF z+;4@X;>!2-d#0Q;_${i?R6j;v^oVzWbE%P?t_CHJ7*_j^U7!62=G5e8Hmo^DwIz6U zi;|JNgsNhtkGh^kXWuC){Q7y5ZRLj8WXm#xb%v}l%rd|RUG0#-7^H2 z=EfE@Gn+7?YFF$@L`f~zCo_U7_-Ca*>ABJK4I=4J{ClHJ=Tn|X^+w&4@)+nk?W zelg+7UnoG4NnsfJc)cn9I9{9bwLR-}PeB27M;e}ggeC1bR4_f=sr<3r*Na^;E4?XM z$u&)j8qLnd$aeJ@bCv7);RTQTvYMtk`xu}(#%GSnTXdV`yKuU5iKkZOh^zM4#|n{O zuPz&F2C56TmsN#xC4c_#L1W?TAgJuomIkme96zoskjdVUnvBnTrZDAmU7o>iYhY!P zwDYqYp4Rfg=3Ppxm)9$!Dmiw=2b0DK{}ecrCoL~0nv?SK*r$BHxJl>GG9F<9)B6&= zg5-Ykrk9}U`&Eb8)3)rp4%PR4`xRGjx%^t#9^dE}R5^KK_S{I>l^9#sP!79NPP&^% z1HTS0bmJeRYWE{S<&~b@O}j7HUN!ply#}AfU%PO*>2?bn*fAD(L=(Wub^NQEK)!sg zxiY>)G}_*3cJ2JV64w1G6qY<#@E;eTy}vXhXJ&59eB=NG3(@rCn>-6_*30hVc$jq4=Qtc6KvRW)vr8#MSl3BZTtWyN=CsCiM z!09-^bs%`rZGESJpZcJ0S^-f+$EsR#kF6T8mYw!WtB za@;CDyHG zWtNJ#^ykv=3j66<$w_{Z(*_fXW;Hsbzk@#CR5C%PF3#!vxwP}fMA`jZ5sZKCbKo6u zocCeN_A*a3tWHk0Jk!DFxJ>15Qw04$QY=O7$WRJ)YegNry4@C3BRnvBz@_T?n05 zZ}UaT5L6)L-U%1f`>7N?;aYa>LoadV?$swu^z3Vy0q{nmohHO_?88TNs?g=ah={)2 z=Obl@5sp<6BR2+QVGs_vl&NdU@2!tqe0c5Lnf z+~ZT8k$?9M-WcPZgrJ+{o6qaup>|y^WkN!)EPQB5nUz6(#@Cwn+G4=W%OM#i2z+OY z3v;wN-q+-aQf@A4^2K(Y#dr@vw7k`TF~0?jZ+*v#n&+2(UXbD~I|b74D83>?xGA{( zR%?;(Y>T5J9IKTZ1Y}&J{|4~aJ9<6QS2a(wbPEsM8~W;YFayE^TND?>4`;|-)ih&N znpL#+f~+8c`y6>+BnT(n;1u$mvn0%R&w!KE4hpVW0M1z!X>uP?Y|HvHSFe5?|JmqqJ5G=ZW1a(Gb!aYu+XGAM8! z4Na*lyFtMr0*UUv!7E_R7vTo%F*QtNJ5^na)da5^ zU_bTI^h{X5c_7?{IrE#BgtyRf>t!&J61G=xtnkZgIdZ5>|7YzruH-_$x&$8->4rgWp8mCGn10s{A7AlrP5 zeG9h+0~%s%!n60f*S+pJ=a^%Rx%^a>uaOed5o2Ltk;+|{QNzN* zWk&uZB7mRtSrgpH!eYjflewbdj6F9%_?~9GWMlc-G#W$AN&HBFp2**~;(0fz>^7+ifELU9#NroyXW1^ZfDmV2XY-9-TZPmc1!dSY^LvEM(JqGHB667ZVp^uHg) zCTczWTIA*yT&th@NP&QppgE54<4W#h~%#s=6?}VD2-Bz7GmSQgZ)pTMzf)? z)X*y~m#i=epFHnpvJ)*oKNoO_2~@*yG(KSDcje>6be4WFN_5Tl&u?A*3rP}GA#pto z;a##h!bNeIVWa;FDC!~k+Fc~!?mj$oO62C_J_6KTZEY0i&{HN>uhjpbLG{# znsJsxKqI38z~t@8PsaaX994g~%+=8JEshTj_2>P4Unu-tgKs2Yl$r~yFPcsh9g&W* z`-?gfDFGBFQGPJSBc*7j<~wo-ViNk{>&DNLc=|};F+CNz_wzyw#ou3c16uRvtzU7j zz&q_yGp70%5Qzdr8>`W9pf@I_6td{maGej)WslH3RHl}~S_&hB$mfsX^@Z#_p_3DsmU5fD^d4D06KkP{2^@~|7 z5lZB06oMO94)?zy1-?^4aMeCTk&QCyk?-Z$xKDrYpIP-BAhSo`WLK-Ba3U4GRRk8F zrT+zm976D0-|?Ht%*^Ub!P$Kc_IvKJk4OK0zD5h4#4{HrS!OC}P0N#qJH$)~A3PQO zv6oeSTDtP_GsXHQdxqQE){K9jZyPl;7UviD%r!lVCmOGVasPg4A~`%1Z_2`}QS#he zc9~BvSsG{gJ^Z_i@;Y#{1*^id0~Am0vKit2{m#p9X2vM;^L*rKjwasH>{-o`{C^*0 z)0SB>k)3u^q1L7mjY+ve9)9*w=D!=AdmJ{}aAS5{at^E7Q)1s9&*eSq-%GF@Pt~vK zYDt>Z_NqS9nsDma-+Pwxq6}uGJpT7an7vSM;G__}1==(ZU3{pH_? z=i<-lNzT*Q`egkCL)mSf|0OT(HBXED-E^(&BJQmBA7z6WEoQs2HywkmUY%8%tE0Cn zxc%u_&qOp;zMF{R;TffYSWCmY73z2zE6v@~y#M_-zW2j8>_30b7Y~IT;~3SD`b2GbXx>MkhSA`jv`=>E@tY_SR!Ee1=X8+HOxHTYtb~Yn+x| z*zy!QSAOl}aM7QYGhfD*M}5raYlz~&PCGS=L8qHf#yS;g=ihT7H2a$1Jz(FiR8-IC zCelRXUSK)UThw!p{=v7m_?SRd3NfJFFvF5F!ri&+t7pTin*VoLHr|PBW(wf>3yGs+)GBx z^L;4}F^@rIzr^0pJBvp#EshH%lb7Zt%Afw-G@>yyL~wS@sf#QXp${@Se2KG18c;eZd$_=G;BW zXQPed!J|vC1soB!nm-yS*21}*s-6Ku!+O99sD$-psFgPzzX8OhvdT?fouYyp?__(*T~^B< zE5=>!*})x5lNn2Rd~D_WMQ<+yuj-H49|Zn9me99Y14|R9wK_e9JJeMQy>SV9-4-iM z;@wyL1Rs2FHl?@iF^=fjUZ1VVx1Z_wyuG=&_(jY9?PY$o783*9uRe!uH}C26+E*dHl$K3 z##0j(-BmVUigRK`nf|P6%)pE5=9aKSU}~02cIgb)s<5MGMEPSvvaF7itGgpHi=*h7 z38{Wj%%+kd#fWru+Mk1xAdgh#n!WBjK|K)$9@7kZ18e$D0}gdwPK?<&B zM`7jJjyD=rv1KtG92^c}sP{O=?ZKy|GwywPJ@~CFOKw#w8Iz@%`@-3EUx#1w#eI?I@AO~Y(R_*WImUp) z#*FtA9ZC^%{Lkf#*mJbC3uBaW%VvWuZ}JzuyA~uwD*N7b-E1*~_f|oU9~JwpXd#Po zW185d;yc%!j^>GI%UVbXcqNKmzY76wG2NE*nO<`_#C}U5PSd8&+V#(hQgg7_m}!!m zD&JuY)2PQPe=X$SDl~HuP$x4Cj8%DKlB50kDbi7F1I)ZWa4Upcow%|RB}Y$<}g+xKg+3OT(j1GKjL z%Rg^fCVQV|a$mYq1`#|5wZ%aeqtdk+rYNZY+?B6v>h1HGA7NyI zoP{zc)xcX(9_KXZ;w?l7x%SwP=9rH(Hz5@cICSX=-KjgO?t>MjKU}C>VN~&R0=>GQ%ZNKRAK?luOjckIe`9gue z6%xzd+^Uc5)tqs3%yXZnndD8zdk%8$rs@=DwI8b=T9Cf;_;;pHc$07gJ=LK+2KQM! z8RymlUwLOnJRQzi(RjGdt@W9x{cWUJIYOxr!}ihXU1`49Dk8iKk^j_bHRiBI@(sp9 z=SVfasM=f47BZ?KS~O=6b1bl`+^UPto{}l$y0kZHyxqGv#An%_66cCh=WVK3M1aYW z69T@8&94O?+?($!-t1jW-45^d;kYik*>5+m;<^1QDg8Cv>;|J3UAnkbGLn_>FIDPefZ4A@#1~oi;|mZbC6dEAw68 zrAAZfw}!?8r4B903s#ujo6in*JhT+c0>u^lY1{ST*vo6ZaN1@ID5eI=iq)^OcfLW2 zbNwm17rRTJ$Og>Sz7Q8#H{B2bGXq3qqH8YzHaS*;RX`?MmsGkEzr$7I^)xd$*D!dSPr*L8oe{h4HZ!{rKj%aDpXm<6ACz`wbR6?FAdm?UKIv zoKMFVSgQ_0VGa)}x;Kv&nVg@)lHm7xDwWGW?1wPxn0uoHtb6L_g`Juk#Z|k!=cGzK z#oK=zv7hhlG`+r1)Oxef4Bh)m*u49ksa~?|6!B&1g64S1A${i`_*MqIOqZQ=gj)}5 zJGn5#1Xu8=+gz?sniiX<8tSbhj_VH%E4j2sWDd2L9OrJ%_Lt;)Y9*&%M_qa9`pNdy zijt>VQjLC7=+NGb4%|jwO1wv}K*O78jd=yVUm*u|-}^lPC=KSx&c~fo-`-`~jMjt)^&Gzp#8GI-dzy)hr%E@4g`=vCU|@aoag0IxVM1PIAp8Fw0b7-804eIbBtgrApQ z#5zI!0%f=FA@E|Bg-l4(VE%AxZ(z}5a_v!)4dZKJtGG2m-77wI{$Cxl%UAp_rs_rT z>2X;LIdUd?tu!cM{KK*yi~&3lBENp0Y5h?+ZyFVj@N`LQUqkgS)r=eA_&Ezw;&fVxP)p&3T4XeE*#>YeU7P#Qd<#`)RC#IXU;3d zh@7{%(N>NbP>Q|Oshu@Cc~QG~z%e>aocwQ?Mgw+WwAD2z61+bESuWn^osI7~ ze9FF+M6Os>IiETrImP^YUu-ePN%SvN`^XqBbqKJO)&<;96XY)>xglJ+t<+f-o_~7( zkW!G>fU3*(I=5fb5(grL#QeSWkB`;m^1K}nv@z8(qaW_lk;o9X-Jj~xwF_t$d+lb( zu$oysm*M(DeK)|ud+S5;m4;lt!Q ztESYEq210`z9a?BM2x99xo}!U0Tkbc*zv;_*f#*~(LC=py%Jk+cUV>xy?%hc$7q1C ztKO;^o?C#~!os_d7rMRP9QS(wGtQ-@#9eSu9zN^Pqj-p6N6x}(icd{?;NsAoYm4s) zuU9fFUWNy7>0MGf>*y0I<(%2~?R$xg9_zv)-r!n@ZJbF%xx(Ah-g*h@n9zcQy3V=6X!n>xnx z9tFV$_0sd-1$gPbD`?lmTimTAJaBhLd^Xl;(1svR<8!^XNi5A&W0wIN_cSx0kv}yT z9tKvT%*F7&MkSQEc8MH1{k4$AOv|mzTZMBW3Vb$u&LmA|H7MVPkm8?6YlFULB2ztE zi;hILvv5Za`*V~@+_XW>0nTG4C&9)T*0MyGe7482n`mCvOv`*$XZ<-`S!`aQ{lqz9 z7PGFb*n%ygK69#@;V0bhk5gPbbsIpDk)hbV!(bEv=v;F;qNF|)M{;NB@mARY`rJ2Y zOGEp%Y0a!ZthP!Hy%sPX*;&qRUvrs^HSrsL{=P3YbR3eB9YMAR4gcR9C=5C9{kX{H z?2(;WgMH!`i*Je;_PA~iKI1%#6h^VJU}>IQdIO76DBNOaQWo=DB{Z}3#ntcF;S0}P zQMltdRlZlZz+iEl;~Cpah4`PWrRtGoRA#PLWfV>l|TNeLU8)xQZ7p9p2NPZTOq4OP?%Ba}pWOt@m{Bgw>~ zlolH`08mG*$u$Hq+fU?)RPa>*t-1gp8tRQ%jS~ zi0LnY-uLF_!oWaJj0d{yTjj%FF-68_4v-m^_dZPm-V^pWWB39i@8vIRG=3|0u`_uQ zINhG&wwXCTW7%bJwMi$+Sn3MVVFo}kJHa;gXLjdZ$Jf}M*_wfy^w*FnmqVB~><-Q<*AU)G5@e2Z%wX{lZC{3>j&t0yVFX}U|@uev8 z*md=h*CXN1Dcj%sl_?uQcVm3C^v||3KY}z((Hy#>t5!;@v48%fhxU5Bn0&jLeI+1? zl+0@YF1b4<&dmLii>R_7{|uIZ|GWUVC#Io$w(wza%<0KDA+$8mqmcYHmtO>zAPm3w z_@Lj!!7 zk1Tj2tT}f-QTRbC{rKxv8y#OMn*NDHrz4|<{Oh3o)ieZ#1nO*xcQu;YaYK|s< z>H0hA-Ibuo7N2A!Z;XnX87{ZcxE?<3m7hz?GNP03O-_dy*YR*V+<0{y)y9e1rk zVWVgI`fS(cJsRu#I>M&-k$I}OV zqB}Um^*VW-=sga&9PBEr3d1eINLgrQhTK;JwBEi!v7%x7(T2H_ST}-h>R44c7>Zv! zya)ovS82vUxBo(%ziq=OgQ{da^QpE1XY{ zj$^?3NC!d9&}vwjZk5=4!7I=3gDwKajBJ-Cix4Wo9^b4Z^~XTJKMgkzS}?<+c;NfV z-TuC%{j=1eryRR)`#q1kc2E;8AP;fuHXBY7@7F9nu|?#`*14jz6(}05z zo87g{tv!y%97k~Q82^1TsrH|g%yjpF;wZ`Y9@4;WKpI|P433)DA3eaQ!H78|ntYam z<2JU#o7tj8Rk7gZ(R%iQ%<%MLZqK$INbR)uV-^fr535VCGJGWVXcL96H)?UP0{260 zD5rYN%Wu2Idl2@$J6o%}&od0FJie!>#8+SVTTpbNTerPoM2{!0kpRrg1k-(0@!J(Z zmkbW@-OQiszd6s{|Z=^i@7|vpRY3G`yhU1+l+IH$lI`)v;Yk zSo<*nX`B3g0ejErpz)@Nl!5Ph%g~Ya;M3{`3#!@_Pac4wk<$QVg4`$gC>l6&AdmF{ zvM>vv7d~d5vfvmbwjkm*U)Y87m;%!wGcR)?Y2r(CUyUEtJe=TS;1NxFLmmDE1^F4I z2DscyNq;+9mFce8wagST{gEWGX-H};El?ENS2yT@%(vI3zb7lvi_N6I%kbRa)6Bo8 z)Mu8SIR{ORz2&W>(=&O+K)abz*k@ql5{P`LM{DUBBiMNKSz@OV{(q-w8T?S3E9J_Y zk7lYerOGq5gIeu>;I)lgp~t3M#1`l97)o{Yx}X`H4h>8!`vnwM?GeL4=TXuJ07t|j zVJBmB4b`LpQ>!7^%wnx!M~y_T~4gUkhSo(CjK+ zIdV`XM|fe|7I!8WC>pexbJwIg3-Z{|AIy3S(x{v-@2<6PeAlru?t8laXLD3X;9#-E zeduSz*`l24FR>d|9rE0NXeiP7LRNbS$gx;7w`N8T;H~cng=waKkT+0@aF~rkzV)BQ z38T3Wg;hPaQM?5bbN}ZTRqV0$A!)+A=)TwIZa*5Zsb^@huZz9u_vcWuaRUd1AeYm@ z2HshEWdyQ{26=bol-X7JZvhUsD?-x;i!GM714SC%UTJ<%&6C*SW3DcZ45wAey^k?m z5*b)7C2VytCkuEcVLzqH?tFvOS6(@*WPjWFJKpy@ z?1eK800J}LE=ok*Nr`n_ArRFdU+K4N?Rm~$8EK*Q{SUVXxt-iA)G*mr0d$sxD~|~V z-*|$o5q;4lP&i&B_x2|OH|Sa|BJ><{foEvlK^GM)_;Y6^TybTgTm5f?Yfz9X2%?&K zS%UeoNjaue(ls+zT3y?@PL=@7ntySzB?lew)lH(mQ}-elBI9hP6KyJ2I9+0EtXS9I z=Iq}kc<*iw4Vn68G0W)9T9%B5%lR;hIc5wz+#K+}(b`E~VbNFQEj!nHgN*|!y+_;m zLnST=d1j?9O|hqgoxGt%*9QJ8MlBe)IPIozUffAlGA$q=OVR>-qN$zBR~orD2Aqa^ z=&j0c&nPu1Axw^Gj?_W*thol8BH{8SmPOUn8;W=DjcW|X4l^A#bsMUJJe~l_%9!#vL`s-4;?Y46Tvu+4+8r)P9TZRJ2{ESt)KmOY z`)MOWM(2ci;6%LdATd*9{X@zs%C-5@{?2M_2$|LCgX~7`2IUs;GnN->3r}ds-A-&g zR6PSyyEj995Yu9q$Ngx~s*=nT8N2-sdU4-aD1~!*G4!$tD>z*Ea*EJVY?Mx+N7p_) zCS@N$L}6&mB3^<_F(1OhG8g&u_WZL`lfIX4Q01l0d$u4E{MG z?i7g9$48o+=nKaF>r>x8AtG3|0Bbh;55t3qU&DzG3y>{On_6V46CMtfkM;B7X-TA- zcL1Dbh~E7Z01=6hdN!D;~Ey^XH%| zGvD+Rb1ZHpJtW5A7pO?&qh@w|2VfEl8_$RjGSn)eSKncs2PIh%px3!VQQCu>2Xg(l zQD6(Vdj6j;Bu|FTi|madIUt5%e`9f&A*>SkK_p4P6PhJ&)s`{q@GsbepSdV|o>a=fWs{i@giV$4%J$ z=Lq2NDZ5;H@SR6&rQr;4My3;kPH@&Opj8lZUAv#IQ*3#6HHbtS4iIdv_gx6Q5T%=s zuy80S5Q%p#uZb@o5TWY_AHI3WM7anT3EddgOYZRt2i=txe8@J;f68&XGWZvN*RI)| zL7lw~5g>v0V`=i@uA2)M&@L-P-G($+`1uvP4)958Sth6dJYX3W2(qd1BU(_A_Su(! zO~!i^1h_*d_L9TpcqWgZAL3kRIIZFiBwJs^1+%v5%PqrPgu@TS&+s6q4KoFVHnbSl z>*(Br)~H(%H>^>rZH1Lg##5F81}^@8tqGW0;J_j&2)y$26M zmon}IA(Q*pv_bWf{Bh64rzEtO(1Fm@-Ho3_i|#ON5b_C+s-C z{+vbA->X1W_HKRZL`xaY_ZAA7b#RnTCr6w2lM zz^sax2fPO31DXMJg67bWFHMZUO{gJ7ea|*n%)Ep1Cvm++VA}l75nVkD?YC+I(|dXI zTK@d`m=L=U__W>KxpyiSZs{>ryvNLH3f`628heEV!b_gruj|Q8V!Zsd?slu!lho;j z%&ko_0hnk)M{A{z&H-A>0+Gk_c^a=II(<{Dk*(g}EDGI^t2--Qas!XNp$v}Xpd5)E zYJdOh%EM=BZc)h2&23igR|Ehzv=owM!`iWT=jYN7A;W5~>k;l8LHXk@Y2(rRC7Qp; zitVMFsOo>JV)YbR=tQ5t^K7&O+WGy3moXcY?EFbDo8QVCgh~btJPunKQr~3!-HtbM zlV{71k9YbtY^3d_gfA+PjGo%6oY1Imk0b{PP=Qzih(0suL{ch%{1S3r8h%SA(eK6| z=5DuGzZ)y*St&NXgZXmJ=+gGoyVwx!FppGf?nch@@syMA+~;+5EODY%1lmjc16wqa zf@69_6-VvX*2&qjZ_ebx{nn4g;T(F0kOeR;f0ZWd$tqiTU8wQq1opbEx|u;o1it~} zdv^R_ziBwzjyOt!%36c6f=O;$Jhkr6%^0b-OWVeC_shqM4IV=;>x=9j#bs>QlIC$w z>#&kAHD~XKK+nzviY*Ww)$b~Npyf6ZWs;!~!58-9_E0c>vPwLo$em)#0i4y>rht*D ztTE!gm#BP=8aFn>BicA7Zf#|8>M%wu-Zw{D>l$h1*ZW<8J`YP4@`A5i=fq>0!JlsA z&K6jAA3uxkbD7JnCz8+&X4#ItXrer9rc-D}6X|3Ejv6bc5Q9I}ih~jYjpZ|k-aQQJ zbVRmQ+6MRAzLsgV&c04)k18xWEx?pBNOwZ)qmDKn)%Xz+h4Y@C;BeuOSbNcxrd}Uy za&Scbb%61$jrG)h80A%JwA(kdcYI24diXI}(a`RK)7AM`3WhJ6glc^gTJZW4u~>6y zd7Sh*JoCp@iq>ybNoMh{`@GTM8*|{IftCTX3K44L^(veF5Ku)qNTPO1TxQ`bo6Bn` zB3a@S@bOdR=Z*S4ZasC~>TOo&Kq8jRytuz$Qd5e3)AMzSQTKtKl?#2_B7HWCPaxv|hLYY{2x^i)soo%**e%Hvu_`lYK$aS>NzZCu_vuLzU*o`M~ahZaAPQX6Aw0JMt| z{duD&h@Rng_Jag?|G%W zOR2qupYCku#r+@BNw9{DNmJ0NmFc!nQlB=H4_O3-YXdyCqKd>;Vy1R}U7YjC5v0`N zx7Juj;Q^~+W;fZgF7$F0`n?L5v;OMUOkSzd*u@12BH(Y7{jV4TNfht5OE(^=S@sxd z)TrG#Oiw)m#aQIb#WJ58%x^K;h`dwgJ9L=@q4~g$HOYXsz*h@+J#SGhbA#w-x*U9Gys2h=>`772!c!8=|lj?tWjm*kz{p;FC5`O1Z z#W5{Z5)+1aG8wqf<--12ju8V-;c}=}+#_N?4y;McH-IwsV-aof1PMO*TNI5ioM^^D z1uNi*V;2l|D=uugt$kizG7o>}g>%{Sj7r_}1`58B=&jYz87+!d9zL@FioY$=mQghi zxI^!jcPCJ^4l!!**?O#xB+h8>6#x*`jd5FQp)v=MaN2wP9n!B3?4e%NP9C;@ zdS+JQuLP_&SnIbK9J^1Oz918fsTd1UzzKLOWY3PnFA|@rzb&5hNQRq8X>tu{39V5MYll4p@)>spP>ND69|;wU#Yl$G<6GUY3a#d=OroLcmr&gGtXoYX60^ z#Ow*VlKqL4sfddHkG_RsHo{qZg!VhS1p?kY6rG0&eR_hC;y<2H&5?Qj#I4xW_$bt+ zM`K-JH8j|#J1-gMx##krEzvKH8gr*U5YhDs=rC^dlP*&8DxgA{BJLlHqMo`bmiHso zd(S4JL&~*l74Hh?H?Sn3l-ZUxhUrC>lvIw?BLr>NLXY z-|o|Bpb8zyy((lgA|tlmp>6?ukhe}hFd*|#ARYC+aJh*EMm=vRIQgqJ895aG>V1$c zdZxK)A0eJ)-#9HApq)F!v*}WVEqXhEM4x}5JOs6|56F*9fRoC5ti7hHpMaSX`vrKX zPh7X93UR1`Qz%|}@jkI4ns~x0K4jI~o&K!;yE072ipIMh&*fU$mLZ1S0oSeZh>8}x zy9t*&#mhW(3GrPTP4FLICR`du6j(2YVRre^=vnK!Bw7@|C3`t<5t5^>KI;^ zHx^DUGwR57QCm5FImji2Aj>q%2A-OB_gh~aOi^J%7z}9=iJi&7_BCKJ=lDIho&z1= zROC2+OMSC`FVS5scx3O}^);@{Hji!jtQPD`P7CIJ7R9lG_rF$ia(?St2i~v$hV8O;FQL9!WY*aT?C^~l-Tpt$sH?oN_VBs(rg;Vaio5$i>m|+G66KQ56Yq%Y zm6XjIU$>wT5P4HsunDd17E2${Pme0SCRS{9%nWYQ;32rFr3r%*ytO*nHyR|lF#f#K zm%G8b>P7mcP@Et>y;2eWG*@l37=vdiFpNr%6}YO5K|1rfgf7|XyBqzzl2{Qkr+m9Y z9)?gU^4teb@6Sb6rR&ox#T_dG%X?_sM2wdF%=8?1S{*QYnL5QS9n+t{iKdvOVTnq! zaVgLXRo7j;(C8A<`rwS`YTD;qa#TVGl)?*RIhBq2AeA}7PO?2TZq13#m*2nG7I71e zJ=0s5o))+bqVYocIkt_JSMxWczNh?(kMoRI^VII#`d&omE4bXbUEQOkAvFputFD~o;dfIOoC(aba$mU%2bL>LhwTo+=1o_WD30iZQ&(L~2>NbuT56*G6pOfB`~Ul9O|5lo++( znnYTC^rq@VyN9u8tIIvEm)o8PVMumCef?cA*4|1t#(UAdE=yz4TgGq&Nv2&X{e?eR zb-AxV9#xPXvZ5Q%D>qKNwEs}eL8y4(8s9b7{oT#j!3GU{6_AOe}GcLA}+RF0bs@G+QY+IHMeI>(P1FVBH1JkZF;kem~f*#U^9y=7#q7 ziY>rRt6w>DV&*)rx*Bb-%H`!J^UyOZN54gS5;qjK0Rw>EgUGST~P z&5`FF>rR?7^}@Qzz%uiY@gJpNep+%mR*IEFK5{ zPLgg^U}CujJ07u!#>$(?D{`$q62yrLmROki0U`F+nu7BGXKSA)VQ!`IIbRK-y8>k8 zUQ4|HT&qM0N$RB-dawK0EAHpJHi$3pVEcwolWap4o_u(vE3YQ;+2ZdGad_(~t^Shh zNLwKyIu)(9h_NqxbU%iJ>763*B3|hDg?0%kVv=xw-*w)51D$=>?Ax3ywXEdYHn%&$DL( zcrQTzXfk{ywn;p@EcVgK0NfP-u$S2G>~URP5ZXzm{Tj(-sm7c@*DBLu|GA;=t9G>>@3%)IeP7 zn)^A8-`-sl(_1Q~=OS05QT#s-%QO5`8Zkcf-D59&=QTUOktFF$t*=D!reRv4e8dz) zZFsJIyEYGZDHxW+kydbL>gyX(r`7aX)m9S&_vNP-&k`B5Gt_15%ki9-7yOxWY-N9M zXy2~)<`!K;C_cIKBTJQITvc&~FwwX%pzEpp`BSzN_ya26;G6kZI zZ-RaS-{+y5x-L23YYL@J#h~|QZgC2)@OHfCF{8JwrO^@@efU$8O=+f_j!Z_68?e!U z+^qJ2ubGAl%mTIj-Q16G5Yy|)i}ysdlC!%ow*bUsztF;hRT21}+h3))^w#JtboJnRj$hh&PIaYaIrMc;RXnNG3)#1Np@S%^5HOcYOm$3A-z zfdq7))8CZIqdRWC4%J5upv$lmirTtG(?aS7zFnUN@aKRdRo4~xtO9q*;M!@%e#tpMy!Ivu*;1?xsai0g+C#LG)(P1`pr%(p2nJa<18o_ zVxC;CM>h`W*+$^xH3oyv$jC6;RHHU$U5xou?mVA*;5@?oG)(mDuY0s#8#XN6j#|W; zGJl-Ac8BCo>G2H#zr$5d;rHS4M}E3VH(p!%QFQ{JB@tZFireWOX}p974^&8pIjkKE~IGN9k6v65)%bp^HPz z*r}8i-C=P!D*4YBE)g=DRcFZ7CyvmlYL#1Zh7)+*6<8VhqLB5+Mi0|4z6Ot{-yXNF zpZThk`b8Ef9{+8R5szg$ldBdk)K5~cT_oj^J6OO7j68DgT^>8uh$ry6q$-6q%!75q zA78`f$o+DfVmuiO6tKuzy290+2R(^AkT{_{JUj&04{4nG2+Fr-(pyqH7aW|xu*!*V zGr7epfgQk-ov21W?jTWz!zqEEb>hF?xQ)v2RB&5Udw2g!*}}bg$-Uc%O%>F^7WysS zfnvZ@KXPq2I_Z_>WV~{3$_u8H@FRQg{T?POYIy4vraWkQZW$;I)Fmx4%5;%rIU-+=*Ka`9XTeO>W(&)lVU!G1L(0BtcL@LxzML? zoRI>>{0!jS`Q|mXl5voGyHjtxi{XEQc(Xx&>;Yof6fx|j^&4d@-l_J&E&_wqYn+$w zf+Sw+e=*t>sF|IR+@3n4Q|_GGULu?2RO!BDi-?BvfE65(fNxikv;Zq+vx8F+a%`n& zx-&AoCzDlM8$Pda4Qr}@wpYy)d8J&?mDDsOGM1(vSGhgI-TpkRRKpT_kb;ZcO`Wx( z{P|x)Yi8UhvN3vTu4y=aARIEM2VELH0hm=B3S=_ls68*2pa$xK{nXctU-`%gBzX~- zB5psolK?(eE&(Le@4%&`yz(|8ldvtlEhII(k9V9;_dbxjIai+_AHVyyTAIOzZTsiPJ9+vo`~B``&p$R7x3mrh~S?F>wXc8 zF6=o;CnHbX7wnBPtY_XI{V(=3w%=4sW7oj&Oa7z#Sl?A7cRTu83}_TPPp~V!9{Z2E z_VovJp<(-I_P1@*x1t)XF0pl^pj_)1T6fx?0}bSM!fP~mHe-aCd-bn0cciJe&o|n_ z6%rbOwZOcHqxw(HBd1m^BMWoqaK2e$Yiw=oUxGNxs59QDflXu~aW%b&89_A6W^e*- zG*M&`B8MAP6pY6@^xKy~gY z4_gpeF~+;D?Lguxl}0eaQl7!4w8mmf|tclQPcV~!m68j@9#`XCKG%f zR{{!9O^t?;R9V<%Wo(7fe_ooh+jTY*p1D~|5A~C~P29z$;chN_UWq_ABzryk{bUf2 zm6_%W;oixq0)PcbvGJYrUq* zO|W3dMQV<^7mt1{HD+2bTm}gT9QE@I4ClL`}Y<6cx`zNsOYK|P%!`_6K^n?f<4UvgD zm|KA%`wNd15JNj9J|uQRtGU1xJZ36(WyP&dT?^bDi=&jS_3oV{r)(Qe7ja1eq($Hg8MTe=cr*9w0zd?DwJLgTT%S04-I#(t2)4CGnUS&XIoGip* zMjN`IeFEt7FsF=2jsdYQP;8gU6Yy9Wx0>}>yihNR5qn07ZQ;J^rxo2-b$iz%dW)^% zEoqw0uvoWL5;kAkAxP{_;<3aSH_zv zD1&wB-#lR2_wDvj5LC7N_V%eKMLPxc{f^X^1JHFAwJVDy&C6?H`|JfHPr`@_>T=Pk zQCFxnnm9AhI+dm?-OFYN3YvMREKq>JgoyTGDAVs<%aA zFfUjD2BltX!c&H1mzTVN4P&+@EFnnqj*Ubfh}7`}((4VwG00dwN065%-kL6MFkkmKJV-HOLFB>dxgR6&6c%vyLXPg+ zpQRPNsT@%RUQrZn_H@x57aO9EY=a>-UIr%s%B z-I1AJM{T2S)M`q6nShMZoY+ht=Z*aEGf>+tTM*J+^)|SXG3OY>kj(a!7V)b&QR34= zy?P@YZzgpnB?W^?qU{7{UJs&rgFQCP*Q=^gzes0$xtXPrO680E4wi5EON#orSIAJH>y-ctdO4>99U687O$ONA!858f{5|{ zKNTKz6?T}5tKI|2=R`P=dOQ=pZH?4EpD&q=Q*fC8-?-T0cD5`Hayy`VSow}MtAJJ% z2qyW0Q6)T~duK1;_+ejn;p6FaJ|F*ZBg&2lKhZDtx43a#bK)?|jFnUGyz6|!4 zMkVRcC^atDj1{e_;@a;sNA?DSY;>#nj2GMk*B-yt)z${&F0gRMDMf(a!s*Oe3)_DC zoG;I1b)pB3l@S7Y+pBd~{Y)EzPm7ZBA%^diD=?h`^EMpI=bEo+Fz4d2+DNn;&$`H& zU%X)4NDV1)F(%}kp!_B~e%f#B!30lrOLgo7vR~Nvf#MrC!5k9pL{K3x2xE_kX(1)L zBS>;jiaxVB06gy)&vyN)W-4EryzdD}A$nY|L6C?mNMG6YJrkHi ztM7c;H1-kI|7+j8aAq!T!s*V3up(%AEBh%br1Duhu_j*{Cm8-M9i@&ec{sl zaWhE`Oo{ikgBZnaOU*hLhi>~Y#8|AaxB#5$kZwr^fzK*G89rgQd=lt&tCt&jbT`h>oI~GQvEzU_v850&%Jk%g$hhsZ zt@N>}q`b@GwBXy-Z=tnEFRK-1K{aMIJF2Vl2n9}z3NN&H+~m$!J{Ms>_Yro8SV+^0v zz+9=^l^Jjbn=@Rp&w-Wn>doyi0=2A<^%h@6d_9yZ@)Qh4;+@9kgd~~p+b0xsybnoY z6tt?t!^yfc>t%g2TAk%<4t+|JyKApjKTfx-(u;e8zb2CIEw``g()-%uI(I7?pk76a z4JQa`%Ki30*jB;IFgjz!!RmoGrI6ff>#S#===_6-4BV;aUR>II;Hk$ zVh_x&g>**_=%o#Q1C!@O%cZKB7(+;}hz-04v3#bLu9D7GBQDoqcnMSp)<+&BRcGMr zwUG@-U&SFuk1wYnZz!1S$=`h*85rsHs1Cm9*8bk^t1QKLvFW_^kenCo)e^Fttia5Q z`V|BWR+j*|ajAVLTB`?qXb}aynWaf~$TYh53iLan*PdG-(3yzjzB!?%S{P;}kxe1I z8wm2vYCZ_>d^oVk^eHcPnEU;NMvbHsW>kqbdZ6!!rxc7pMt79w?-%_LVBQm<*<&_Pn7ky6fk~`G`0jePXQpaG^ok6R43>8{GDvnd9Wmf=IADi)z3)u1 z&mJd532gY(`7A}mOhq1*KQYgq0)QFFXrCzAd=*9LbM0LV)X+TZ?(6W*6Ff|ZX~(Ml zyyQ;3no}#{mQiz>+*83@ z5rbKiHfTmC)eSxV4h_)B(63MZhqH0MNRx>R7~|TDQ-Oq_q+KiT{hXk9jWC9yTpZy> zd71U!(0MpXq?X-U=-u z4Lt;L6lT9Kn)H)-ZkA4O7>gpOhzRPDRI05aQjh%c9D9suQ?jahA0^I&3ohpgjFh;F z+S2DBr^d12v`;rI%Ve>9HSh~Kr%Rm{7Yfc??~m9Tp-?4Hdp5KEn@NI}gX<d* zaW=dI#sN3x{Ampug--K4HivvM(2Y$l;`0(qXrQlsXhN#cjNo*e0>49G)cnni{~RF9 zw1@){nE-)RUB^2n@zYRUkjEjr6o9F5#Z2*_Yg0%1%MiNEvd1l)CvNDFliFT8GoJCn z9G)!P(=oUwTf?&39p0}JY`nj0`VW+LS|CR$ldWoej`!x zhQ|=ijO3z-g@ByR8(|`0zh1SorJc@`mk?mAF^d$xoxc0F>N4_vfN!m3HQYxp@^{8&(M1$n4M{9t2$@(cTa-w_F0J!# z=y;{p7RWzd{OKM6Bd?Vss>V!h#@}TLHJ5i7 zK9UzS>#+8?xO)wk+z}d!b4!NF^V$)&n45Q$9^&&LS`qNIGU%PMWjF~Ao^*bztdi#|Jsvj-#+VCzTO_*&fea%Zp-k{pk!=QrTKs3bEsSh zEoud2n^-pP;F+rzJM-+Z(u$M{c?R})TH{e%n;K1OvFAG-)54Q_BaD9#a~L#4TYnLy z#~}(0hr2f&XLnMU!YL^q9?MfY@{)Q!^KMg$`RwzJI)$l^ovHgE_a4Jz9Md^se6ARP z`WwVZ-1y})`Ss(e_Ze*TJwkZ3AHhqw>VlZ8*yG)8+kP~yZmRap1i3P{Ppww%Z9iyR z{%zK;x#ESzdaR^bJUj+f6cOi7Ajn2YvqFll5m(pO9CJQBWNWT0Y}%G6KaegNFW6fy zn^6UBedLW5VVC&CkQ7o21`o9tC3S)kF(?TGfmN4`kjKYxDNk>mUN;!W3F3ygk7)srRWdl6mBS{{8JfwV@hL60{U;*?q=l4Z6DKlm?8* zZ=x`d3W1Gt3P;d0vk>5{+|Oo~1t5$|ynXd4?921U1ttc+wvrIwuymkmuDD7gMh|#h z%fx!*siR0yB7jgZYGBJc&+d&FZ`0bof_&O%+r*n`IZ&#ZqRj9B?5+;eZMDjmrdi!a z{MgO+cD6(r_~!z+R@=0r9)7A+X^GJGDsP@s4}0Kq^khhJdlxjmTbmdd#c>fkONhV> z|EpdvzdmP6Y11`H9(m{#q2}@CTg8{i^PjS+_FTckHE9kG(<{GU zkb{6lc-e(Tn_I^}~K<5&Ft78BS72IipZwfg-QmOyA zoNoj=E$jTkDhHYS``?}`3ays3SSQ(3;a*`PZCmYUR-FEQyRFt~qfpiRd9UJjnSjFy z;0l!hho~PI_1{~fLPM>&*8*bLOU!yHmi&hRAhtj&7y&2hI=ovC=VlcElT*-zwE(RT zPm>NewJgC6Hkj7;T}9tRdVl=L8qu@f70m&5>%FE|`r@RP$Mz>%9YUk|&eKjB`9SIM ziGH6DW?WAy|1)Msth3wUg@otxQ;$gqisp1p+j@C<-XfcgSPI7#+v}9C*2aPLb~<$i z&L^3*KLB){fK$enHTjv?cTtwiT1=3?`9htn{2gD6O5e7qZeRN|fbLk#w3bs_fT9of ziJp5}0WCdpDbMtj)+!e}RwB)i+?H-?_VG41mY%qVF!+4jd?eBDT(jb!q4q#J7khW( z)0tQQzKa<1lwIB4TXY9L7r#{*vd3Bo2;a+Z>|mRD)C|r{oZad7d}&dbBJ5G6a@sWO z;tl<<KK=cYY*9Si(^=L%jw3EH5$a5>EU3?(@fY=<{SGw#R&%>C;GU-O*U`8;Oj^zF9Sa%Ly(Yo@-q?Yg*yx)j)A zV?g#OsLqo7txD3>WdcS#S3ykEal7HfVW}l*a{CD!?9Sl3CP*FhtA%(m8~HK*LHaMW z3y7l@Y3-bD{n4?$`wI`U@o&IwvIe2n9g@*o%RVwI%*?^l%cODa8XyuQAw1YgJ6~1B zmZ{zVj_i(zyZfi-Bs&hLqB6$ZxrvEMBRcVjt3E@{FfC<}dUY&&3tw6k$Stic(!rWX zla^}m)d(4ZSx$0c-EES$IU7mRy!Ij-yuAiSrrv*o&fA~q6n(Y+VNI14 zk$3=9m!Xs&ni97RJ)4)`V~q=ut4w=KqN5E^`dpNd%Q{uOIRJz*iUttX_km?M4Pq>P ztBJBql{IPOlN@^ouvSTqs{=P1wnbD%pz`An%W$R)EuT#ZKZ1z12Kgp$sIYjK{2Vkz z@jP{vBL;!n^v${Gec_0vHyEBNxb)cO*4_qq-MbWRVX@5iG5B`qFoV)H#AwI@o3VFf z;3ZPWZ$^2kv0phof!%3*W&*mKm?B@j6?A!^antWVmu~q?C-@+KU0r+1-hl;iyY8B6O5(Gy;yJ~8+y|5XBo2Y z&cz=Wf*td0te{f|8TUnrnqT*MFW)}2*}tMwI4H|-Y*ia;XoTIrik=_#BU0a0 z;1|9;I;#K??x8v3y+ZTb!?RED@}wX=-i4LEY@}ywi2kwG(jVf95;e)o?WFK72v0s!tJMwua=| zMCt!>0dDB=j|Tu@^!<}|a`LR9x`@_uzek4(YO|B)+waz&%HBKN;M)@6DU|)j-?w9V z*Ks*BP7vq?ZQlUlP{0=i!^JXOVivF$6aHC2{|hV}pMblV^diCcsoPKLGj&oob{?I& z9{rJWi@EOk<&l2dKS^Nec6%tLyne5m*!v%rF7t|(7)3;pTv0_@{ln1jI7SHxJJoqW zHZTdCz8LO^ON*1iKd30a4$61^hR$A1dE}{DxW=-~g!7D>dG^%Y7rpyrFHzT!U1wWN zYVS}JaTD@r;#jrvWKzyHa3vM-Ju)KzccPTHGvcUE;j zkat1jNojXCU&AfuUDs7U^S)$xQ{iFPep&wEGO{%I?@8+;z``#hV%AQyY5(wo7E#_5 zuLsKwRKUIRrv3vqZ250vqaK}Kh{29d>eAD`8yjnBqb%|^w7)c$9VK1kRZsTTsR>4M zNqsKy)NQ&zt6bic+3rxpMw+^q-FNpSX0|PA_uC$TnV+41cuZi#CUv>*vc1)r6C}*x z_M0>RP}U%v@eF$%RF}iQW-OoO=FzWcD>2p|sZ0#ddmWBfh%Q?_u8R4nShe=ylb-NQ zPRK*Gw8zSoiBP_3PMptuaPQRBAi>S?0-1SybM{tvgSvxm`P;AO%J@wMrg;zV?JKiA z5I6m(X0AV4@(n}WsZDM67~G_adkiP4k=Vf9`~>F0Yi&TXmTHLHK&e{owVAXbmbWZ zdXY;w)k8N|9xv&|r>`aZvMj!h4hDK4X~qacK!qE`;CQTOHfw-GJDYAGZtccaFQ2Vc$FyRJ=*W zI@RFu`17MstY|hu-wb6#as*hQ5FYt(h@~lu&Qnx;kw4mg-gBn|+HY9|QdHk$L*-@p zOx@{wD~eQw9qNkFo#laeUCxqAB3FT~2}keZvMDGXMEV4-q8TB>Ja6CT$H?P_w8+@^ zE5@FQ00j!u7CVq_i#>1zTEEI4@zycXr7PM;Y34?^PdY@8`z0#StwiT}m)MP2Zlq(h zo=d2Xnw|*fAgj%8havj!@5s$n?e*k*XH;SPJ zn|~~`SKdB+c?H+MVQA^gTOVzG>(OAgP~{*jlbwRrcM~Mg(O`n)N+RLi3N>0;Jhyrz zCfmiHPUryEt{XNLj?2mvnC=vEIrPu9?4DxccuDtXYQLH!$hoBk-c2nFB~wJm+k$31 z;3Q|1o;|MTZr?xaJws&9JcVCN>Huk+2+)X z;9}zb(MqfFM-RGgKLfx3$?uMKAK2+>)j%<(95+bjZ@Eo;B-+Bh3Fog6 z#=sA@&0n((K9Rcj;u7#N&rwll&XI=#{2c&2SwLl{`k>z8TX^fbGw|+B@?I&xmjXO~ zQBveKrNC`2XVgApiA3%t5L601vtsL{lh8pigERRuOXb!i08gO7Gp3uf8_!m@c@c5l zM6mk02c*prK)bA>Li6}<72fu1U#c+=0F%KGDE8*K@lcXtbfrsd?zF*YJnwvn`Le>3 zRE^p?u4^#TG@PwCvo)!zp~;moRTzuD0r3s)k3|3tk^8{QnzcUtnf12O3@hDdNa@fn zo5_M_6nD;G?KoB`rOX54FNq?j8r*4=1Q&#m(RTAx4(59E*M3$1@-92m{; zu=H9RzD}2s?kmFw@_5qhRw>M6sy$IwA4X#rd=9kxt4f^ibV)t%MV1$Jq|h zT{&9Hj<&B%k>`B09#WCDygmG3i$#@Fm-%6yZ6=v)Xv#L!R1;ukD}U}kG``*%Mc}k_ zL(wMx(~nE5-~sc4Iyz{GWMF5(PB#6vE2zQLKHb%2aCs|W+kI7NRf)l+-R3)6NiYA@ zSIF)bY(&iasO%EaslPld7sS%<09@i^XWFx3Pc~b1A%f~`e5VIrYo0G5^rg3`&%kr5 zbiU=44rHoPxAijV!OkpKMQq`MgTv^rPQd$kLcQhH!kDU}^wJ}{r_CSS&1+O?x^Z(7 z5yY7UP1>M+?B`BDNC#fMe?{y4b=g~Q?Enm|)+!DM98OdA&g({-Xx)F&FKw(hU8G$- z(JA6*fS$_@4(QUc8F;VIj-yQh4=FZMCG|}GFBHW1EMDZjC-F z^BiiBO7y|F{6cR{cqCP^JNA6NL%@YLG}Z|waN^x7nibU#r;D`b7QjKkIXQK%MjNyR zgQ7gc_b|&xSB*r9b7*C$_E9)ZpJ+3i?Y_?z{lUTcS_WM zIYMx#v^)|$8tmiQ2`*)gz_$}do8x&Ub$#^(U$@FPy{W(W87&A17%l`FI9v^Fhax)_ z_d1;FJ8~Os_X#Q(;?3;wLI!QiI$1EE3-g(|DSO8?x)La1kQ<2JiGC$b;PX`MG}#jM z<|t}t+1dj-1-+_!j{|*xT51-ya@%B#yhBn2T>Xl#_3BPn*3AXP>7viywIzAEnEEn{#W_lEDa z0lTL;O2JEp)+=EcA^2s%CyJoXo6dEro=*P&X9gJzl~CR~0JszzJ_)}^#!n~^ z{}hZ@nE|DdR>{>K_N62{5%W(fQp6v7#dWWt;?qCOZtd_$qY%;3DB1|b5#NSmF0T5Y z6klQx6%FT;Z!UZS^N;-5=^OZdCmUVlLxUS0RFNvf_q-dRtgtcQ+pVts!C?r6HoisK zYipMwX;xFK(>LDv1%`K#Ksr!=J^?bF?!*o6NM9sNh%Z74^Yjq(nN?XMC;rtx)AhB9 zzIyKTTA4ipuKUquzt36u52xftx1Oqn)vvZjfzGQD3Gdq8PViD7an=%8T57U*CC!s& zr@$I>tpwdJ^1C-g@M9#(0I|#5z;ULza}h9av?WXVhuM{16_be-3?&P}x5kpA?&cQU z`$dK;Ww83sy9{*0L=rQo{6P-*_S{=a9=&qCk;~v|tR@Hbqjpf`ab6Bh)*mUE*}Ia8 zj+G@4>0ddGX|Z}PQqJbMBpzR)i%8ryco;Sj_H-8qotqlM$=k;p3;YUHsHkpz)z@?5 z<9@qcFfqh|W|@1h$-^_xhHy^5%s9PIX49!B9uA&5X1&aGe(uO!%-lz&jmJY0vDa^8 z`Y&OU2}e$ptADw4tAGH|gY5z@93pGuszLVB0ebsoX(+K>G@-O{1sG~egCB64|nDj%0?dZvx!V^*Dt-}$uFPRS#GakBNs$jsyH(*D*2mft_wkOSXtrUO?Hb5BT%U@YpGud>Wzmz zXWW)dnGLi1dct$>BEAOegDhymn$7t;_$oOa48_%t@T&COGja!sJx_F=Is&KMA=gdA zdo3tFEv@!I@Z9To7NkNb0ko+5>K=I z=BIf%uK!>`Y2^y5Uu}tBLaH=^C|(X>iMsSlV>Ri{UJXE#Es)1+q3~FWrFaPoxWlKp zf+jZ8PFKw*n$`BSyMsTuVSWe9-Zn3kL3s=~tywx) z14%Msv5VUHX9MnY8otF5u(We9$?HUJ=1GD(rmp;;99KL<<4&e@3}sXUw}7^BC?9t; z?faVvM-MSLzHoYPg|PEn;1j4OTH#46xg!DuvF*=19>xqhd@|x=T^(8B2*nRp-)4Of zlr|NQ=Q!m-4sHJx=zjU1HRUOf?T3F6OJNi6(S4ZJ_b;Ho+`aAn#&9s<+6t2}FjVF* z>mP{y)Tn{u*4ZI@$O5NAgkQ%3|5pQl>u0M4)=Wdk=HC0OU|PQ?m+*e?EASn~ zL|PgB)6L#_Xw`WGIEBZa{FWsk;iP`|<5UZM#NE)AccZ-CNG@5v*f@;-O-IbfC!e=r zyZ$0Ljo>pwQ%We(O3cQ21>1ShW|^1uPggW}Y^*-)NIn%MHYuP9zeyRL6cF_2p>#HnB&&=;gXeF`r$-#$YI!n;dWYi`z2x*- zmTiH%C)86$nquCj6R$}IpL8mEM?DESp9RQ+c9}AWElpiO&78n$u(*bg3W@%xJbn<;R<@mH zq2gNqoP+R>q?hSFxOf(^c@B^U5L7(MPIizX-51>0iMK1BW#+O*^oNhVd{Xv9I=vsM zxkO({-(k%rfB*I4{O4D(R7q)cE#3v@WfK_Py)CCXeK;HHQoBfP2-hriQzhD4DsP@A2XMcD~Th%S5gmi;v)3P zLM$TJvTpEl5p?X{U^zJkT;^=`UN4+!&lT>EZ1U8TE#UfdGX;#J%}BI)CyHv>eO$3!V}k5o9i;O5-H!ik#g>{{cz4FFnW7l9NMP^!R>sa zRnan&PJe783Xb?I*NPMHqcM0)mt|k7ISmJ3(f7S6Xd$BAwJNGHb6vC2*YTS8ez9zM z&pwG{cvwqNPyOrVq+rH~q8ADr6nLau<;Lw>5cT_4Glwx{?JGI$Iswl$=(Veg4ivU8 zF-2ewe}T{`?0K?C+s|@Pr3a@vT66qWn}LR=Vc;g%cTWceIH%(sB-duqQ)^bU z37!gzf@M&Gq@Rn}+2I?O^aOs42mHMu4n8|cvlVRh`HL2ouCI29V%guE7+Iao~V5dVH#jXT%z+rJmqgAnqzJ;V7NrrqerMxug0MJ8*pe{5-H_Z zU(Lpgph2(pE_3E`(L^Q9Z&AOKH)b;z14NoNE;i5}*@9~uzWDnVn%a~EyP^)#6f!SP ztiZEs&)VlbQ-53-d@5l-s_9F+pGdOX~8WX5(VhL3D zVLQob8uB^ylub&1Pw5*mG+u42pmy-T$Lb`Ot*CNrF2fW|u8@Of@bOFi2<+z*Z=Ekz zYrbnySUJ{Z)|Fsy-o&G_f!uzvNcFsD&^gQEwx;K`Ub7JkhdWq>&ekXQ?$R3OYTdBy zyNj2K@}8TO4gwma$DSinWvr=jm;c=QCr#&ZXxnACx5jx%iqKav_twy_@4zLfaCR${ z{ftd#of-5xA_E|AUY%Wm#OTszwsp_8mn&^$4K(4IUP??lT#)pAwLf0JUzteGlpHY? zO0CGmPFiFnd7rP)Qr)oPmiTmVP=fA->MSFi3{G3Us#@1!NATA%;qf_a!t=lO;&O!y zut?&{o7gzrFR-HJB>A%UXD;}iu=64$K0l3BQ}1m4uwW1}#(1^tWBn820?)Z%$t;hx zvCbWL)`)R21<+1uI@n7y68o*CStBeMs5z9GByQ znelW+Egjk^!fYa4UaWOAg8(SA?mS+5or zG|EyrnN?3oUs0Vo8mm@U{L$2B6o`Ht5xQFInu|lNzAsKKKB8H{iHqpFV5Tu2xqGeP zbQ}0#cgfWeH)e3iyEPQcOG!{@fKwih9qa$>ek)O%cx2GT$@KTE?A;z>Om9hwHVFrqFF|`t3WIClk&G86DjVsRu^K4!eLkD zoF{vG6!#sA?in7U1Fk5b*_2qIjw&Kqxx1Ljdc&4NDO;9KxBW@< zRAajJy-D*%_h>foG39O!`I!h~BA=(gf)^Sv-wI57dj@$t@2TLhv!za7le=k;W28_b z5z0c&X8aJZ@Y713d~qjj>#i*jYjX+d2uTMWDrLkU%3^EuZM0s@R6C>D2*W7M1y$x@AH5+F$Yao z>K(VxCwm6?l=cq(=GWKOSu!^yC#k9XJ42S9u={UVIJ}?h|BlC!nFcD4@>xRq!X0ld zUE`=mI-DNv*K)loh*K8d7B1(Lc&R%cUU2D0Ags5-_Q;3{6*I9xlPip+IrQ2QfK>@o ze#yW;G>ow$?>5{WhP00~YSo_oFdnsD0W=@=NYYH&WXGlc9%&$87M4r+vZ_|7`BnQ&<;V$*oaT#xAx=L+%8 z&Iy&ksDV0^=h3bLOLLCm%1&!}SkOmF+;@~d#H6=Dd@S4o;U>l_+q3J37S11Pmv47G z`1!j!PKkcSLMEq&>wc<)vuR+G^)qF|)7*gHBU+vx_v_~N!1v5jaG-m+;khKlcPk11 zgHhV?x23X@A`7vcq^AeSp*YUW>PtU@>5_^#8ZTEzHW2(7e{hkSH#!`LCu~sN^ME7u z4N-!)6dys)WV_aHXPqwr4_D4xoW$85ViB3U{r(YH!{k5WsT`8Ps=WFKG(@%Yi6Xt0 zFYyP^4))L|Tk6r^RJdjhLab3~EbpDd3r9$axlwk3%_Z8sz(v02v{-?7jE( zZVd^w#-hz4mt7dXzr%hI{lzYFXJC8oVUXD!FNG=<{QgK3D>C)m)X5=sNygv{a^Uvd zR1=1umW=AseG7ZG_A4P;Y{+PZi(Ga5{s}BpbA(|fPx$fDP$E%}EzKf}@yb)PRY@1c zN?zltgiGRPEA{oW>WvA$U&?jd7q;6-rRA-R))5qVv&8ed`CAzIH%Y7;6>pc*IrQ=| zh@|CyvWnrFdE?OF+$?-Sv#Ah7ap`phWmX-rJCY}8gJWHTWk^tdx$aF#Y+?+9ZiZpk zJ#gLJF%7x)zR8?kuPDeV-Fh4C;A^&BxKg2)%IRkYK`C)?>#GzYYQUg9+7J73=UUyL znTf_UCo1hasS6VX7ix1>E^awcnAEW{Z=9g``EtKhM`~>(*?!9XM5+G{)OKY@!VOK6 z+-{hxsl@X47F?9!;`=9ysRzIJ9%D0ae-@l2mvV2Nf?OYypnx`g6GpFarG6sNIVOVjx4 z^cjvH%oXY!1`IMN!fJge%!~u_!lG~2W(&Mh+M9(#fIFHuAT`B#@@7W8Ee`!fs%NNB zAGNyeX)xf!Rkf8FzD}IucwePP{=EI8TV}EQhk6d-cqEG1NTK&szjRG8Or$}p)FU;o zhkq0YS_n)im&1*(1^S`!>x8~ z*4>3+w^C5vmnZzLuR8dGRh|*6sG9w?)V%m1d30f;63f-4LW1{Q)l_XKH<;LsPtny5 z47!~h5)$*Sd?~Z4(HQd9G7KbHNuBNM<4tq?oMI(x{t?MWSds;mTS1QD%Cw=6Z@hnp~Izi$1pKZd^AzprgAi|V@SmO^Ry~%gHY@l>5UHy<0I=oRKV-4 zC%}O$cS>p;{tT z-doHOlFIK%dK}utb$!G(xTk_@bSX@;wjFv&Q(ITFwo##RBcAFPuFpebqkpw5fy1P! z`??{AQ+iR&7fudbuFqWyDRPr~IvONNKVi)fDYCS8) zjlLoG&glIcFzs!~#aFo>*N<)jo@x_!;>lm4h&}Lp7}8>wskh)JbztdjY#sga>ht!I zfc%-t^=Om^@`$-JewW4}{l8oQ#XCs06up!~i;5?5z3i2=$kpMoYq$EkM`tm3oGm!m zumW;}v8=LcELyqN&H2l@zsBc@_a+#gVEDs35=%Mv6@+t&N{_9@e1OLA3u=zw-~s1j=-J(@7%s$fbt!Q0=3h~_KrAepaR zKJ2~P&b^b?TeS7{7hz8Pyu6xRWZoaM$utX5w#bSsHbk?k#K&H?G#bTfp{H7H#rAnd zSJhR1LQjLMZ6`}DFMztJ=4$9OIWSvO?%gObau!g-?IXY+KNZi{yfd8lvvZ?jVMG0o zu8T}M8RF%9;r%;uL=lY#L{fZ&J)4G8o^Y3uDLqR9pIxk`-}TuDxKrR>(v~Mc-s77@ z$$X_DX6mZ1e!Ps=rfIBZseD%)pFXm;D8<7-hf&`D^gTX~Qd5Dwh&?Co&c?iFm&7sA zj=atC&f#Gl74o%=8u^L&yP2B1&%{_OIOppIRX07KUgIm)5&Is#f7M1p&OF&(GK=J7 z;FXB#s8p-*vbo5B*e>RLwI2)fS>J#qfpD2xjuo#zT%CoFhTzMLK6-XDsB&(nW()<*_kAM8h`-o1-?jR;MPu{y*XGVFaZYIv%OF6+SKQS(2oa<}e!D;{=|5v(c;bDHUOJQFITbZtonF$V3 zXVUvJ?n7mHZ)D$r7L*nB6DUyyYr1P_;>A_=u#fXEDfzF7J>ya&UgF7B9vr!#?h%e# z{;(&1Qo4YppF-%QUaCORC<@hp`wMHx?)^_zOx!D>jZnd;r_^N)T<6{a-?x07i@euC zEuoepz;1qvgP8E8mcoSss>RG%1;<-vgyeH$Np8hDB|`Z~gE#u}a#!jnOEZ_K-jh|z zT&ajZ6o&d`O1re4NHaY#GbBj;@y9zR2)GW!BI`*g#g$;zZ}-m>0^GuzQT5vQv4&M~ z6C-gcEVvf+deJr?*U(jWKz2B_wl-E0m_l>r)jGG z>#OCs%~eKXB#Yk}QK}~xWfB|-xUAnxic+`)VIf5a4lQfGzW9wJ;pYG@wKthmTbAF3+bM-}+%(x1499@4_ z=n~$~V&m~qiM^qo@Z5ce>Y~d?eKJH>l05rofzoY?#?J<(z9dA{2AH>RRh2nQQEH5c zww)FBn-2Zi|2&IJrjYY3xI}5kdhuQrKvW9CkZtlw0Tt{pac6svp53l(Deq^Zx;|U; zfhu#C2A}>m7rHnY@m2LMWPw(}ecZWtD!9D$>+R_H$HlE3_<*}>WUb|h7v)+CFC2Pb zO~aUE_H$EIP^gV0&i3A8HRR%rmeZm(< zYj!>!IR!eziGg87;y72(ENRkDpQ8Db0BHG!oC$5DtTujj$UW}5RH?51h}Pq?-IIj z?yTx(`o#)jho%gKPn<1G`%LGb0-RGIl!o065i-M!H}%TQ_mOkotS=j z^&S)2f==tJar1YD7n_DlGVmtjm6|pd8?o?vSTwc|8C^$+MK%cyOPgpxLU45?Q?KA+6)pC&4B43kDAvpElQ z7=I&kW1NVS7^3x@*x#5V4>!W~Uw28}yF2Zu@)h`pJmo{`@7}|`3m-TA@IC2x-mSbP z%hJF>*?UpRF%Of>f9@Us%@jeTgdzR(&Aju6SNfCJF6Q41-I}x=Y1m(O-D9k*vFf zn$DS6Jb!CGyL04C@Fb#>1{S?Eignj}h?f&r3I*@b7s)hWj)-SlaO~4h#JNe6(k7(! z?i3nYHV5BXMH2$c+pVp@Ei%u{10-%5ffUYJ&C+{JcbNtlF}+ak$X`GH`3gErTq)R# zgL1)TgT56>;9l2fjmJbPWbz~>XKl{Cg8FfOvx{7b9MP}4nAj2C#C)QEf1L}7$W0&k zLRFy02h#0?9^K1L0JyH>#5=YHXsIVIAc~hos+k9F!RMfifGC6hEg1QAZp;$_WlW|9 z8TaxPI#=<+i`o$Yre(PwfwWV1+RPXvD*1=&WVpNj&@mFdk@)K0k23h7omlxYofv#e zFw95d>0ax?rKqE|=zzV#zrPCoH7j5cPKZ=@Y4Q$S~|Z}94P0`b86~| z@xHvcd^?_F;i%Z>^j0@k#}4EM%xK&E(Hw0mI>Z>1RZmpH^qB_m;Q%{Lx1jm^stsNP zV2m%eSCu5-f^HN68`H}f_l!xr#l2HjPkB+J3<9-dhSt++&;Dp%#OpsW%m00CJP0?; zfYELtX-eCVhH4n|pMa8Kmqju%4sg9f*{&{bg*^0Ls~)?(|MxTU2sjEg9+6A|%)CvEyNlu{iks;OVIWG&nNu|nFoT11?A^Xy!I!uSt!)4DVlph>PIEG zbt`E6=%$}D;64=(JD>meks=y#2)|sWatoCbQhNeEqAlR7B0QXnMph3XVc;G1c0o_2 zqu2(S^bRzB|NnCjK@Ip~fUq}f8zC(;ifXY3Cef?$x^<@n;-iN1(+xCaD!dAULqiZe zTCrY+@=gQR!>8t-5`P~tT>uf#BVS1~ohaLTr-N!9ZqMyH3$_Ynjtli=(KP*SKXvOr zt2LtWD{(xec08hCUkQ*z(a82dU&NP>yD@t)e+P8V%mp=BAn*1l<;>=V2`K|>G{7aV zq4oIh^4X;F(=tn7HV~0$zJ?~%_fu~+AlrT6tFAjnsr~y^ZU`vJU06Kl&ixo`q!Ei^ zC`=Pw_bzwnQ~m!-4rl~wL?kX9r^iHhv$8BlES0?q;)6W=yNctE$$ux~6H;BvG}fBF zNu%Lt)DYS?g&tu-%v{0nCL~M2vGBidlgQ$M0Z@zj$9^|ro=R}KKMpAuX7?MU2QWy` z%TWIBT%o3r&+exIuHlHXONwU=y9E3C@iOjj`u~4VzDPm3%{+}dHukbF44C=^@TP*` z@dWnXI>r8dQ@DPhyy7na?s6y1U1qK$^k5po3*P-5OpdGppe=X>!M0J20)(zjs?4D( zfrVBan549pv8xN}0g``QKb%!6KC14g811RI7B}PGpK6F63{R;tx^{F58`6sI3a6D{ zJQLS#q#1c!u(smgIiT~?MnJ2?s)|%@y$P2^Z6PX!*Mw0AP6(AgjQ{6I$* zgKy}Mdf;oH2hk6NG`<@%F|x&?Wcbe~<6U70#ItSu&xUX_UdVnDUS3OW-IsVU>Xvz)Dz|wjsA*2O~x%d zvrasFQa$dh9JaI{j+)e8c0QNk%H}3|-T#7nM&%NnY3-s-Im|HR8QyR7$VMrdMyAFK zel8y_JC|GCS7-NgKUKBU*X~yD7=Au|o7L|`IO<$vSrwK;-76dYTpR%l4mFpluY~ji z>y7Vb-1hcErOFFl!WYsZLcRa2+BsUI)NZotU`I3$=#;=82O*E>k^79{(k4QEHf-JL zM#;xH!=GG+v(Ku8GIjfQy6Ilu@QvA-sTyUJNso(D;T#XUaW$XWFOp$k&8}bqRXKJ4 z(WRaMjdqd5&8xT5-PQo+PNl|H{ah@;=DSOhoq%3TIPa$8LJD9tZxd|RD5ch~o6EAQ zQNG6*0_kHdlM(@@zBRTVEvj_?2S)n-ooH6SDW`)+u;uhfMM_5aa#j(p#@x;~ z(RaozO7H%(R%}~*D<^?e=asLQ=EdO8M>4)11<}XWRJ~=8KDc+sC%_(oppjB5ZdtsW z1T(RYJUI>bz$eu?S6EN8AAVVzKJ+oyXzOk9u6>MZ_qc4;f7UyCXT4$ddrUji&z-8- zQ9X8vc5%vOO!x0beuL%bSbHzH`8A8?!`hIcB*WKj+A;se36wPMn}q`vOcSZQi#MFl zA`)%y{N1o91UAw2O8Xpyl;2%{3EBUi3$S6+ts&xcjV)Gb{QVusx3J-uCMP<1?1(|3 zJj@~a?_Ysw#RvYYY8d1TyR%pj(de~&7!4wH9 z-5~0Jf8sSkJkzTkcPSFo%47Sqf9Kg3c|j^YGGfr;93!85w}1roGVB}N&HnFeCJ@v6 z`o$+rRk8?+J6G81GfPw>C{swmRkC6e9Qgx6@6HGmfJ@uF&sm3CK+vi+CG$TY&ZJW! zeaE=gL#9e09J~I^qZX&a!Qefg^Oo!0({eP{Sv3#rIp+hP^NsUBP$UX~=PhFokQRGy zZ^i!|-}Rdag_JN=7fo_pUe;&OMhrMVZaD7_=t6^XCtw6% z@24ZD=ltbzKLtaQG6US06X zrPA99)`&^|YQme=nFd{k`&8gAo`63?s$)%vMzlLEk_*wb1MmQFE83*eH4qIaKRB(* zT%n6yfaQ)y*dS%#iX`9y-=<`1`Zem%46`P0M%H4a>SsS2MmxZbeUahb?(npo`bfJ3SL&-<~+WS zYgQ1(Nd;i`WhG#TWeU9pZS4#^PNJl19zjZJJJcNGCT90>l8W7Wt;+m3ys;te`t8bZ-E0*a;YV)rL0nV;x^yQ;;|+ZZ^p@z$ z*v5Z3{t3s$WVuB8#BtCPBLYn>{04eU9^7|(iO+!)8whO)ZZ5ZL8zJsX(5y72OTUnD zrOukNBNb!i46@R!Eb4z`ojzBUtV-UDl3mCE0q?_)V3Am+^|;49UbQi12@PrR=Nyh? zi)6BxAU!G*HXk^lxz?M|r7hClA*=f(F=}(SJq{z$V$3iYcleX@xX~w|eKymcZNB0H z+HYI;X$;)AaveLr;)z{LM<50#d(YkY$MVEx)K_%n7iH(*dV;GK)q00r8W+rz2Q4KE zSx!Ab;Szv`W;`i1hZ2n~{V_U`59I9Jhm#hv(v0QiKrPS*zb3BkUN=HIKml^2fxA(;5Vmuoy_U23C>#jx+N9dm{kR48Y(=sA(Xz~lnWY8T19-gc3 zS>`neh?}#$sGh#*U?s*zH&2?uKwLkCw^7jm5FXm_3!2?oNN=cQHNttc8aJw^9RVIN zZw^uTy+*WCD~;yDG5smBq4YrXL}X9m>$&E#dUE0Qd1`oum)pe_+FHLf6^R@s?fhBm=7PwQ7kc z5JbkD8@8v~nK)BWmibDGQH=p`A|?!kRcbBD`#vjR*K>vnT8*+9^%Kp^>xt?J2nu^z ziz{w!Mp`xnq08z8UOGAbLfF#^T&|q^pb}|@{hS)899G%3V>0J|>%>3yVEe9EUl*f2gC^M#*U_BJ5`0#^I_Do;p`G5n|m4c5+ zeXoh%-gR=M?!KV2?CaK!?yz}pN2jSirHdzc85h_m_dy<`!57^DE8%vR+oiP%D3LP! z{5Wc%(mRaBkN1iopE%Z#tM4D9njbI7Zc9_(jvr89W5 ziOvk>yMK(@6>d;{!q;LXiPs@Hd_Z&nT&^_SWbtw7i#O0%{D#NuaeK8PbKW7iwd)u= z2M)aE{|yM7^^|zF_{a9D-22hPaLE!)w;lNUtc}jP90~QOExF*v1p2C2nJzz_x;KOz za7W+DJrB2r^_aEfve(nZ>y%z?H5WaeSV3Lj08J59R3XU&CU#GWNv8m+r#Qr__b#yD z3-2l&O!Rw`(txE^BA>`FjT6kD&|BGreRAPK@u5T~SDoPc$3@*mQ@M3q?}n#hiw{H} zMJMgXPc6#Q6>kCOn03-t&OJQC+tbE;E{G_e3thvEz2i4O!7=dOSyuEB)OF}&p4UG= z(ip?Iz*UgkGk5Lt_Q;i2O*au2wTaAzuD2#i`eWoXq3Kjt&=HbUoeZ;dc%tua?L3~= z_wwuHR=nC~9EpUQfJpQB@$B<8EJES=J7Kev;r)SKLVFsT&Z|0%)04NkrfCu>VY$B( z=;0T516%@ zy?VYAo>KWsZ_2f6q20T1K>nwt_95j6vxeyC*M2DUG|rCpgEa)zQ2&W2n*QE1Ry%P>LwVINkW~8yPtb3T zr<`t`vWW8Eu!FUJvMMXmt!Zfe9Hzu%A>3R%1p7_>@@Kzb-f7U<$rWwRy4ZzL31Spu zXd@x<3+$ie0L>cHUB^r;zExaXme>39zTE8u-C(OD=++9(!?mQZwGM9jDH9Fg*2PTQ zes~mwA@&`ByX!MsVJ;@~f;zagBh=Ah;LIk-h2pz3_G{Nnh!~MFvJadPbAH#hi?5&6 zf=p0b0B)M$K2KBF-ul)=91rY$p5E_h&IHG8a@mt^{j;dRU!k+7RCb5}HHC4<2baZs z2~s=J%;eCU92^pxbQIcxgkLw7T3v}N_e}vQP##OIo;Fs*z%=p0Ce3jx4fXoaUW*yu zZYVR(MlbNb=?LJf6gC1L^qG+LQy>BKH?H4z&a zNYDO5f@r?(Y7}Lhcm;u`Sd+$b%~BvEJsDoin~Uru^u%!<{jpbId-J_`>oc-T3}C{t z-HNqj0fdEoJYk1 zme8!*UK0@5hNOh&B?5-tCC#WM$Ytcsw(Y@xDiF=n$n2c47`Um(p?5qvKE^wSBIFZj zKf2uT1D&8v*lhwAGHv+}Ic3Mrp)c0eFE3u7z~lCMzF4>e<$+(Yvl0&E{|7_{DL8sB zvIgmV$*=w-J)yr(7eJ>vcM+wUul~~sXt+A0zP@zGo_Ia4z0vva(TaVmZCXeU5=ntD z((j;s#RGY$b>n&Kh$!Mf3ob1(oQFPt&r!GpJ#2#EymI^UC~vriW}GS&uIsU^KQ^t! zC1?wtosniuxrQcd_q@Vidd^ED#|{K(enVKfc*X9c`DHKR_K+67hUpP{uUctM4_rq@ zK;+jaLR(|kzD8yFzm3ePi2X&0$zW0HEM>VpSl!cWVFEEH(D*kTBXLh9HFW~`Sl*lc z;IMO(<=0H*x0(Dh;`Z%UbJwm#*}_ir7YPCKYNL}7{S$_Q(sl|pQR*X{2I>mEEC-^- zd9(>dvE>8J?jT=m7TlNwAm?!Zskfo^KnMuH4Zw*Lbh*@qj;oZqLl@?DKS7i*^Pxi> z`)PH6s6VO@tHlc?U=|SN?5QLZT>8Q6!{O`Zi)85AVlbntnd5ZJibw;V7sJ_2x8dBfAtJO0By1uEFoYo>t_iYwKuKy^4r;XD@9fn$W+eeg8zA zh)75t=X%;fD{C`&oyAV zB6!)thhDaqb%+O$`FtNDMHod!64kg<+N_*YJ6O^%{FzDR9$FX@SV20xLTn&>5qZ`6 zn36fQ;bb(#x0Mg)20EuEK~Z3`cY2>xyw-gEEVybLXen1gKQ+1k%=*7v06l4KJ051G zG+#s4-_Pxfp@r!C;1U8ANobE2$FRE-8R~1D3;?V*!iu89Og`4%NgN*$eODIOnIhTT z!IobTCBdU|JV>Db^y)KwI@buUY+Z2TkR5iWWb>1RG>syXJo>b-g0e6yT$-ojQ=-5X zV)<7&H|?3fy{Bjm3CCWm|5LYN8j?k5+Ub#zGgI>IF-xPbJv3-8p~JfY{TFm5ZKD?V z+MHdkgZ-{yoIDZT3JHssMfcC-=Y3gXg%wOnq=-ZVc`3zlo;C*qEzc!TjZb6RV4Xe( z$1o(r^0gEk{Nu=QPo~RjUFnu^cMCo`td2_7{5sOAM@mLwM1Hwlw>!k{PT2QTAk#Rt zZI0+XAEX05q(e*3V*Lc%Ang$xXaD~p{h8K4{p>O zpTmX?1clYkJmiJAPURZ}%=x_jRPBL_TSpvnMi9%$4(I?BTfdW6IWDG_Y zPm*<+^#0xVY8Bdyau_`94C93rLo$rIviU52^MnIPE7yXHdPHK6PAFXsNe7}ZN@un1 z8q5ch(cF9W&}>n&m#o|uU3q#g%j)M9=?s(^rv9f?rY5Abr0$=B`lj&1@B3PaXc@@3 zls(3rNn|iORMk5rE;qk7@qZ)Gme-B$q#i(-_Vsa6P;*(+1xgdK-+SZwwDmhF8;*{3 ztpDICC=Vn$g*WpSm*uEb^&oS7i)2X#)G)xMr1#d#Mj*)%+SYEh_wXl^JiD0idgM8n ztDCHxD#&d-D?{J?U9NSHv{VRUMGLya{Xl)R7F{IAL^W1C9c~7h8X3B@RIZwpl%-Qd zVKOPUZV>&#@;RuP`)JbI%BK;2g^+-M#LK!9tld>xU%kT>Ed34u0X~wnv#E}E783CFB=peReTWdRV`#oM`MSDp&4yZU`fwS2P-Rsf{NVH< zFM>gb@n~8VRyI?DP^^b6fW$+qJcC%JDD3j?i%3?eknaYd1uY3$vtKmEE?rIb?f0J{ zL~A!)l$G2@Oz~^ey$c z;xT?_n12qYgk$W%qt*3$h1NDN6iU#AJ3g9xQI(2`6$-Gx7e8}W4AxcM0CO|BhV9tm z08nmY_=Lv#B z+N1~2r##<549q%6-F9rI-I)PL&V?V<5(6x06h%&zL(N9sA1Q%t+6Pl_%^bhJqEntjmCKQMCE{8p5b*SN#q>VTo*$w#T zkJFWL5KTKsA6Mu3VX^2g*t=h})vBUk$Dk{t!M=nFur2FpASSv1Y)EULR+q)gYXyRV znQ=w2SEJ`KI#Lrpaa%`Qm`x0-xarEiDzbzE42A&tsRkbUFS%_1U4Z0(9KVDuO*76TH7~rVkJvAOq>-4j;ksHyBddLm|19_UcR$D>>={J7VC3h})I{XvRZ-OG^QG zJ{3-ewyA7v>zk>OgB8590AU9(7z_dI-vY8>Ep-|4+2+<>ZJjCHskI*cVB1V}aYE?y zKC*NC>25QYwkFRU4Gv`iI7S%g9ddm7B9fy;+eq$2msf@9r$9&SV=g4s00LpWGPf3`Tp+uEPB=qOfxLU#&e3bst7H34>;v>s)9Fz3KqW5X0UMzy?v*#i;e|e- zvmm;J++eU)2rCEQ?TYYowlGM5kAmHOaNJtX%{_R>`!Yg}HdCJt6D}vWq zm|Xs2sO6Nunxsj;-3W}DzSp?@F7Lcj$;Q0R4X6KDWrQRJSO^JvJkh#ifF+w?6m?{U3eEVbTSD(*EBpo-H?)Og2z$OtrXwnRQE;wA2o-4qJe57cCLX7I+z1JfYtfP{IMtiz7BGtut=t~-QrA?%ie z5`bKTpvTbSGqffuccYIb!@p_SX7|IsNX`2*_{i;xAU}0N;`y4|!EYo~p_o_9?I!fV zn*`R+xG3QAIYe0YR3Q|!{FLF!+++ar0?;bxN^RAdgM1gq`uoYLP<=P^Y5hXLy|xyxb|!tvDUeIgkjUpJy|TaW$#kb+^wqlYN)7prBtsH)=ZbVI493 zkmu$ODO!o=?=EM3^jkiJrY?OT8p$Pcc_|dVa^bX`jx&a~ul{&{*+1Lh*^qQLFU>cQ zKpoZdK)Jq2mN-rgcV`Ma!qUngQZuocgsFaM#fMbX@331a~ttL&`P_A8SWj6JcD{3Je}6`GK!1l6iXN7&B0GDv-l-34#Z5ALL? z&IK52>EzOv8gv0Lw?%{4a4DRtu=P0=zr`Z3-&R|75x#+8a&I}84uA_%!XCWZz1ihI z0K%N{XV^LbiD`M6hK0jySV<<$Vd)nFZ!G2B&+^nxM9^`%lBkCfvQlTkdD-v#o`Hu2 zFQ+n9sdbGxAsP>pLYP=9o>yjnlb7iVOYvi_Id-{MIGUyt_D(v;_9g>0!dZO(3A=5p zuM6T{wBLZ6ok27)f5824)k%^Z%l_9rAD_=_q3)3!Lyqp@rGB;%&|9jKlQFOf6t*>- zyl)QQ(%&yg;!6Cg#^nkxY`)QmJ?EzX@<@kcFA(fH9`Z%mqu#`Uw^!-}O;Xi=3D@t( zz7-poW(M-3=v_Q0-}t)0%vRo-&&;w55Uul_8OEOvYz;xWMCsaPf4j<0rSg=ls|LT13W`cc-hh4f{ZiqmKchvlqT}!$Kw7gT7e14N z=w3vz?32-HMokj46|3wyxmzpFAA4g9K_e1qDlcR50po#u9zmtAw|D+^W&UCS#VfKu zhrgOUHby}1R(;8_Qd+z00RW4f^|e?FX1&f*RE3;^4?G2W5&EpkzZnnJU5C0lCn}k{ zpLV)lZbVY&D5jd^0c+exD+Wi~%#}ML(z=}Ozi(dj&7AS>)t&sLKaO74?-Jer=|NrC z$8&bF_NGR)@!3kHq+J@yvvP_>`+(3}blQ92w)GA3@m>98ZZB;%m*vkQdGr!CLt+bL z6fR;a{V!fEIu;DKlBiX@xl7fI;5;tqM|;^p$MH?>&)y4Am>0)%NL8L4Z-jD92FGQ0 zTNxBa(Y3KzRj^}_-QRjcgCayAx%-aHCoc2*CTuV$9k95Jgbz-+#P+#CFuFB^Pm1kM z&4^xWcG8enXrq>1jcJrjPD>n57fWfM1%sG$3&)xf>>*S>zQ`w%CsEMu4x*`6bH&tV z;+Rxu8^4m$$fx+aDk^u4&YUg0Wp(7Sv8($Qx8-7;Q_fL*jq-b9dZDFFst-Nx{Psuo zoh!S*5P1n|vx;^5+N-AzqTuF%6^IXGLU;{GaU+M@lw!bdHJyNZ?CseH&(EmS%b*)$ zrBodoe*xLPxlpmU{H44!he)H(w*;r~x(ZHqVZ4r~34SLG#INpjta?!5W>Pu49`Y zW(8MKxtKqf7CU+Hb|P%(fwQ@>CaL}SMTqk{mVW}%v?g98y4A53d8{4z0a)IKSXyL@ z%%%eJ_KymYR%PYewXhEWeeIW2sz_B&BmsEXBIKOx*U|F#rsuO08)P;+mFYJMJK{&c zGPdlZY$6w#A+rCjNktUpi{;^UmV8FLw{r)w$RcY%2B&?bg50S{_MF_i&G4V}qMYwR z1W8F?n9S9}-yQ>YagyfV=Wvb&vdBF^lHZd5tl^ftTbA`Vc6GN>EJO@Dk@_7=hV$wR zB!^Gg>r`a{%VJqEzk@rHf{Ccfw~q^EYY|k_iuybkvKDkJ;Q}Qt|H)wAKoAnCmI|YW zlzzR0u0}Z+`^2RxVH?d(l|rckjc`&!Mh1^2h15lJi|!uV&*)$8EhHHn?GK4%ARL#KDVozh30Z#Yc#V0Kv;?FoOQwJUhmdF zJqL%o=GHgPiZp^o@%^G_24d;e9F=UT-@eE;MzA(q@4rUVTbvZm>JYl+8uU8BF+nOpfi8m@!52oUn zcJPEf`QFK7Ps{I%e!pIyymz|GvwFeKNO{1pK5BODo2O1>XHxVva3kZ)i4BogAT}d` zmwnb2H6;3acpHd6O$($at*d!gO7A4uA|pNSO5u(j0u3wmm8wg;3@cn}66XGZV(BXz zi@Og`&nl2QzX&8AyIj^{&110stq_kM%UGT1SaXDBkdBP&G4+3s#<=MR~$5(B@lCHZQQoschYFQlxezejzvN*s8CK2&}drZ#Ve?= zYL0+`S31Kr{P(cdt-7l(mVps9indkq1NzfBR^WS?2I`FdFp|< z0d0|rIOse+EO{(tpq9oGb;RYrYLDDLCF>G9!m;PyoFMQ2X%o11T$BUQCx@Fu_Suc6 zT^Wye^}$u`xTs!PT^0fN0Yvi^U`pgAE4H*aIM*`7)yXozrZ#La9Cb3;?*W5pW>B;= z`}yf6hy=4GVN1uVNfdPU6bw>ThkS)&Dk>FfGC1aB<}(QU){Ny z)sv{Sp zx0BtyxCU+7S0X;`Z+h?fX7z9D*Vd#^mkk7~-l9kVm8hJ+bST_MBV6V|98m^c>& z60O)IMALP}RV}JQ&$=z^o&`+=-u1;f3`vjX=94-3nE8Uo(fk#eLL`?U1bk%)@S3Iy zZiJ_R|5glM(Bl1~sWMH|9?~Rx4z(HuK`!k+X$RD)296`y!kQcHgn>7BT20jGi^d0j za(XGai+L&{2+f58{qyhbQB@y_mm8!^$Ypa=PvUpQ4_vgY^~J(+$Ax>PK!bcF;G)L7 zCxuT6-6|ko(ZF^xu7dGF?hiEMhpG>hKo;Ckr%la=^Ml>h%4a&fVZ|DyMt#M<^)R6j z$KO&V5UyQSA6lK=TRiIRTyJg@Fq@T$t>z_CwrMbD#rwG*4}6fO%x1LTyfDA`-eJ@c z|5>ph{-OBI+KN0C5OMz_`60F~5wjyXYb*9oMj2i5oFLb;CeW71Hb*@6#XxSS>mmlV zjPCGME`UIqqpH7cD)H57NW_tQUF=?-QC&Re%I@OyPJ@S2TGRAP;Mv2Sg;Y@G_!pTf zr5lR%UM@o^)?OcY8!W2D@CoZY*5?FnI)vKQkJ%PoGh`EF*7D+HqChQK{>rR`n2s@l5a2CxALP(@4h8fk@@?d(C7`J|GPO4#qo&n#o3nSp?o9 zvGFfKZ8FJ|79#)~GEf+kLmDdP?n`dOx6HS)xS|NX;nn>@zRmG){#6m?W0mdiUK$^> zTt)jxg`u|FUjzkiiAl7{EInCPgKt3@ZjHKGNdQ->tIgDimnG2uNCXKXciK}jwiSiA zdtSS&z6fhptPW!LwV!Ob&-=7(>H0npG!Y;C686NFElFy3Or&bSV>a0(b{`FA;#P!D zyz1CwYkxFib+tQALTet}EnR$?_c@{`cuw}GEOnEtr=M2d<_$IAt8W3chgDUrs1;|f z(RNP8#_j0D9@Dl&zrj^>@$DzI++4eRhFS9UKL46yAe2ODh zEMhjMGa`}9Fofe6_DDFn`)ZLIM|~Relb+W{B23I5Y_?=N-`IUJpiYJoVg{{WX8+-^ ze!=*8Y(`pdh=h6D)N^|2pwE1j7nUqKlPqEtPbEHg?a(m{M8?>s^rHLh)UPPsg&7DG zKqddP+}^m%9}w-BxiV`&v3MIR4ZezmGk-v73MJz|)!kToDwNj8rM^iwiY|gw9Lu$9yZ^T{7g|>#&ynLGd%kps z`^cgqlB!Tgb&}A~e?>eYP`=|$XzO}XWCxf8@s6R{gV*$wqfX|E4Zu5=8C8hqI)tJ% z;J&tHu|A|x!@rB+)VLt<96jgXnB=rfCH3X<7#@A+>vzI>Jm;j*bOd>CaIVnmTiTxv zT1C`Sl=6`=;;s!-0e_9Uaoc{>Zxt&AEd=gEN{Fx6ntnJd;n9{_w0rlwWzCwg7SqVs zn!L#cAjCsxJugU^vQbAqOgbIXwWfrMNJaR)x3qhWg=G*CYU6*q{o5-5^kWOX#fRVH zzZ!;TYyx#*MyASh z{r8-^_0m3h{44d)!b zOKm!|&Y}#k^nsuYbDDo?CY1`(u4721!);u@WNIi(SaMfIyYs6a% z#YdTs*ch2St#69LUxUb43WHX)0ny&H{(iE9@+LGKkU))tr8qZf{|iZ;u^;+hQalWu{0^DJ5q+rUJ!#xgk^&tt}|f!kvqNTC_v zqw7Mw6-|1I1Q7Qvwv~7=N%e2PXc&c&HPC$ww&W!B=)UNQaHR(8TnjAtvlN>?@GZ^o zsEgeZt)5Or@SqJ!Mn&71v;9FXmpF63laVpS>S=3Ss~YOY+5*u;@v1iEJs`om*63e_ z&!n+}Qw!5ukG$@f56%~YG_GgQ=qV}YA}2qa^>R(OG+`LtkM4C23ql(OMR%LC>RmD? z^-LYH+ti1^K6VOlGIlEuv<}nDJ)0)XkfrmJ)2%&g;;3r7qr``oe$hUIG|4T1xqMW% z@&>Tuu~wV z%7!aB{Fi8EGar1UQNTa#_1fTy-_qQJkfd^zs-HLrTpYJ&S_V1DoV0w9Acj*gaUZns&5}YgJ20am*^`ves$IX(6}RO+Y9|pb&h!3QSEiOs)Sr-`4PTl z9}xYgUdCKX&jeLYX3%&|5{%rD(XuJM$=WsbBJ<-aW=j6>6WE-8AK~Fo`v_#~&s9UZ zHl|?W9Fkr!hB*DyVJ=s*7E7g(^Y-F4rA9$`dZZgiEi{BP^BkL+!bWc9`sb2 zoSO|vk0)I4UK0>q1?ZZ5^8&;KgJAjP^00Z?jQ+no+*1Qr`X7@e=xv@l1TfOny^d)Xcn33lf#Z&|g)STmZDryDi3MjuF5y zEyk0JHVfl?!NAc!%}WD45fvZ^E9=tsI%Pjgg*2{{6-*!Kto&}}Ht4L0?h?Fn;W(@% zKG7E#1?;!)4`lyJdz|O$#QCmSka+E8jlMeZ7o@&|x%>_NUJnOk{ z2`IwjKBk!+L^i~*htG(1G zD{2==gGyLh*N7MC7&GVEvkyGtsvomJQ3r|RN zVmq&TB&&vlZ07!>I8sIMeLy5GCV{DEjtb=k{-@EGCroTAew;vd0?SG~s0RptflM6c z`u!%WMHd%M5aD)b=XpRBRDxu2-;B)bK;q#W&{=75#`Ws4*&udTDfWliWxryV z)Brr?V4Mt;F7rM>k7GaBfldDDQ*bN6$a8Al@LPTD-s0Z3(JVtTa)V0LTPODn;NbcW zV@IPSSHp3oA75JqnCG>(&UJZ)di##ox=$1kGWp#3IN98O65At5KrEJrW#>s6w)!dq zwxM%cQX@Lh9WsmNkTJGT7t8ZmAsM$zExo|UvV35?H)c;Ig#HDSYvNoxuG;y>|Aj`u z+RgUJ)}U;K1%g%*Q(fQ;JC8CO8u6-%{PU2*!;LFB!@b`9uak=Z5V)Qgwb$(uI3eFP zJ`_BJMVd>S|6{_%isE0rdR6LBs(%}@je*#Jsx3j}|Nd6jRt7G5AM4mSECy$R;?)Hf zZ`AznzYJZ&6-YvEf7ZkMe{SlZ>jJqURR8|vKe9Nm&i;K$|E`dKzmEUxjsNZp|L&jv sbr}D9cKmy8{!@uTrO5xsonhjH5>32OC{p{AiVXbdT{6@z*R+lJKWjj7i~s-t literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_2.PNG b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_2.PNG new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ae70646059cb3be575861f9ab7ffda4daca3ba81 GIT binary patch literal 58739 zcmeFZ^~2cf5PJ z?)!P}=ly*Dg!_l<PLhdc<*xT7z2 zzb}v~g=fV-<3}EYgxJqOh%^xfEmlOU{mEYOj#;r&rCam1Y@h7Oo2I$VL;KuaWoxGf z73=YNp^ZpNVH5~~Hwrow1r-Yh{uj&V$0y1t;rsvj8u(`xRCEF>^xG@`eKC|1f(1=a z{|5a(ucDy(yZ!&}_yq+bWs=K?^?yDGhO+SV-*@`wdJ$@G6hcxn9N+(447h**R(Kmbd-S7x?#0|GT{ZK0N}g|DHXR|AxkY6ASFWY5BiZgW$h4 z_y3Jpvf6iiny$~g+>b`ojQnt4eovh!Gfup@ToDqVWy;6@UtB?;0wF7;DCE$5HaHu- z`#MjFc5ZSA(WpL-{lC|Q8G{dT+4kOl$cFm<7j7imTT1_^Sk|%sz*&pIu>JcMMbfl$ zI1l2UznAFbzdrpN8nyBP@;@*P)b3`QA2?ERpF#ZA{{`KpKnRjWeZtdBvF|ABl& zsK7;1X=N%Q=)nO`T^Y7EAF^u49oHmb{qKrUe6%0HP&&94SXOR&xaZ=`iyK~UXe6Xc6>dEJb9boP=CAF_&yW8J zZgUw>Rbfoh>}_K*OY5D?#f4$J=}czCi(mP++ifg6p8n_RJFubNG%Jx~nZai^UC*lG zYV1~wvY&G3-)z_Iltw&?M*`@7)~o)Y+*H&S|X&~wb9`J?ESy44C@Q8DzKWVjeq|B_hQzfW`$XNapQTX zMOn{Fo{m)6|2P9s0x@smFer!1w2;jou@_d;)k!1sE2&<+`IhirCh6b*^9@lT;h?fA zz12D2@w%Csc0cHm_<6@J9y|*{Y6lj=+q1lw>RtczdPDD~)X~coKMZ+t#o|Ff;B&NX zoazxXG=e`iP2qJp(Ef}K`}W!GE4-a7H~r>yb8Ym)8+AD|RItkKaEd9X zWy?kjV|_7-w5nLwvX3^#6kPdd{A@ew%trF<6;}9fyOH+$K6jov|LBf?(dK@0b+UYY zvD5dO(cmt4glX)c5)erUjcax%aCO!1cQV7x%YR~$#o6`p(68~VJylk0HcoM&n;GK4 zzg>|n?Csh9(lXc>Zm-L|fba(qC$nySEIPHEcWA?Dkqc{vg2(Xq>aF?S{(Ep!ZyYFS(M@@^Cw$ z(ROY&pJyu6^=RG2DQCLza8O1rUxnb=kvXkD`ad^$5XWO@ls96X_pU<%->H7#1cO!t z1+oAt5O#o_W;UnUaIV;C*pCJD`yM-u7u(Czc71Zp6g%*lIwx*~X2t$CQyF5(lSClm zpRcG5*>^o1QV@#14}17b(?GRIo5aeH0T=ltr9hO4K$7L36Fz)7X_BdwBYkQzm=#oW zv0Wzz?j%hvvmzPIq|)8`NH58rSgg#l%(zdUp0C#jnKXP@2-T}Uq=!E$Y$*q!X&#qS zojQj+-x)CEM!4>czYpa~=5;7#rXb`88Q2U@=<)*@iBq4z35%1Q+u`ava8@5UH+1G} z*VxY6;N8YQ%nIvr_ZNO+3YOQ^ky>OYD?2wAl^Sw;Yv>gjPsE9gu{DXqUZ-u+D@`aG z6nx||8)gp`JkNF6KvWeH4AwfB4`qnoEnEARsG1uH4s|@4b^X8-kHdk+#-)+Qm}gq5 zx%XH<-7dcyTdMu^>SV4qwH)Ra!fdCX6;zpjKSCoY&3kxM`AEc(O6pcL`2%CAnE~M7_Dg z_Vk3+!JXS!Xr@j(r4WYqnIWUwhXDlSnRT%l=6Vo)3j3IzS3^9vwJzfhHKByA>l!UG z(`l;E<*^WJ4Kf8h$oPauZbl~?_ZAeB_m=X#d^`MQTa{A}wIXxbkav?J$W_i$B2il{ zy%U8?fy@RlB9LzjcT`*`NjMAwt(8AulOZGUi?rK-_@nqodhP?m2(2oH9Sm$rP3+h6 zKhF+Uw1f_955}`)Vv~wDiD=oGkcS%DhMvG}ZS``_-LBwM_DYHBH(Ga-)UV;U$tWDQ z`K8}*#b!v3J3i66v8IKfAMv5ux`E*Eb$tk^NHwcFXe3G8R@398)f6s^;Sw*YXl_#s zR;u@tkaEkZQC{+aGMB$!xGSe@pOkJC)qT>Vl=eq%1jJ|jE)?YPa!8;mPdy}HobTta zBfnk}ZmXn=4sP(3k=aND-E6GLQeN=PplnE2;oo%YJS)b`=`ls~<(x^&rkhN8IVo@*6=G z`nWbzSLJfK*Y=_&$_}~gC@KOiR5AQHP(Eh!HF&6SF6sR?x#!%61htn4#}W@k!nAb% zDHO1@4D=Wl4gEQ8rJa#^U5Qn@> z&M`fq>mXb+IsC=L2EJ@@7&6opbs;50u=3{TpiXwlHV4?h!{=Rv@-Z)BOn`H##9M9q zWxUbDZHLi9^dDf*DLxMh8q*c_{spRuD29hov+t#uB%6Cz2Qm>e z9pHhbd=Ott<-HkE)2nC>sDvZa5|aqj5fT_vn{8KM9jjSoWocEj^zfu?QR}{01HR^& z;ZA?LXotYys%-SQNN6~oEEu*y1hyB6GHE2l z9W)-))3fTtna9rYdZAJ z@J9o{dbG??UZ;~8CwhHn66sB3p+NE3Cs2f`H_q*Gm-~c)(I^~7-H)jSRAXt}pSW$7Y#Zn8 z+@Wy)F2=2fznS@!_ZE<4_bwophD;Cq=$w?x72>kpqR)kGqiOi>J>?&_-y9#P3M6@9 zq)yq2F{@Le|50VYwt$wyU=01~ZQ69fZjnFf^ykQ@)qET(K4BU zC$@pseO=U}>mvm+y)$k*4LyPvn}6L{`Tm8BmnhTV&l>bDhrcgAZtdf8cj<&Xd|9_y zidLJfJxyljBPL1XyTDJT##i?|I<8CcKt|6cR*MKqINvX1FOqeY;8J_~=d+Bb8#mF~ zh=2*RT9L*1(T1@Bo5;Uf0fR_ye&){K{fV5yqZQ_Ab)EAwsa=*050F{#O`W6VoPIgs zpV`m6lu{1eC;E;6P!a4>65K^Kn69?To+f{3(*NVm#}b(V+b^q17sp#Y00OUi?*9Yp z2--6|igkT7Mm{f3yPS|wqEi&tSb{Psa){dufD|tsnsdY8Y_zin*JBydG3pyrlz&& znlcvSBkVpF~0GYHxvSu?m0w~!lV348>I>hqE}{1tyf_` zJj==**}rX7%?W;YmWyNf6r_cV%^!}2+_eaTzcqCmstxQZ5)MPmKbw{PsFXpV( z1);Y;P%MP%y~pL@Z;v-8Mzfck<~)r107A^y5gtOJ)~E&L5b@ch#xthKp@<4fUx3yI zQp_bmnDB{Vtd5aRQx{Kgy`I3uX4xnn4FxkUp|2Ha!>I#UbfXQ}$X$Y!zc(-UB)U1> zf^n!NBwP;_*?{N8J@vRaeugG_J<7Ff2OoG>aZlbCMu$$6D}#q`&$gC1r}Q_G%Ut#C z%dVJbWvCoF(o>4ww!=0@zAfttgjUx7Mde;G_M}N`tWu(=7$VZ zv&6vtunk%3`p0<;-HF_N+OBKaJ}-iB4!OLpFC!|Y#o5~*$aTOi0GbG=g7&GodP-qP z@30^yn?Up7)AvQ2TemMA@C4JFpx^Zo&r5Ndwvn9m&-xK;gG>Q9kno2vqAU01?s!`A z@am*z@89)sxf^#vuW;^;4ya{`G*NoS6Ihm`Icc zO+n9BE4Cslf_Vuu6TAxx=Pm*$faN=b+%9AAIf(H`&Um-t68inXa+HWyel#OY)|2l; z1*A!^yQ*qbg(7Mw4|V%qqSvEyerCis5Awq#$-yV#$O>VK8Lkk#K7DWfaP;IRM$1aW zj6w)J>r;YPTjfI*yHjrz1h{r|9~*|oobn$Wx8$o76f(tx4Bkc<2PJ_i>f#sfSq8(Y zg)b(a%kjpVV>!C&l22^J-g2t%xLAln1AoBjlMMi3J>Uoc)lYI`99Ce(+Hf?gWq7aG z0f9~e>Is1YB!OY5GuM}hj_fi(SaSR4n`~rDukCR(l1+D@r1Q%LncTz4*G$q@jx4f^ zMk7iFT~?BfRrHf4KOdXUJAvdyy4DzhtZ84!xL@uYM8??{GxmmPAJk^eA)A+=^XOyx zeC%4gp|erx&#KB+bz3hBNGVZ`0e)K3?&Lv+i}d~egBJ5t)%CQMfD}u7!P7L4Mi<92 zBqIi8^uZk!;=hhO451P@1szyirR7w@oYzf576$0eN@XT_m+SFr{9?6jgK9v(voH8} zaXoUKZzjGZ(9xQS-$g*sW#7PDa*_MASgknaY~Bw)`vDgaZ>U^58U-#+W-=06MpJn{<$%n4!)3f;D zDbv?`pY?vYQm9(oTXDp9DFw@qZi-KqV3j zge{^I;QlC2D!^LJi+K8tG;3Xy$rIwLVYXCYK2}tzz|}wYS$_5#(LF`fM)_9@=ofzy z1wC9lV-3Uu+kYkKewVM_UCw?~G$z=AjSD~x7vD~O*~xHu6>U8Y-oxouC7$8VySE^y z7X5J3zK_o7i)WR|K=Z1`QY_~{`YGj`9Qh+YixX4GD(G;zQ$5d3=Xtih*FONv5M?vE z@D;gAA~qi>Y^duire%>P&nw8C_p?Q2ljV6_qpe#-vC=kH=HK*~H2~R}75~ace?FuM z^Jb7|8*q)dgmDF<($KK{5mhbAB`ts5;n~A;?X*&yj*}JlyYEdyPM>VxesW-?;wFse)el9*%WS?7J>z@tTiE~(fbY)zN?siCtf+LqS!d%sm%IiDBB zaL<7nH#V6{E2vj-{@h~xdpRAJj;B)F`HIku2Hn>PzFyGEDkh;*QG1)@9fSC*T7Q{W zD}w*JW*UTs$D3r$!?tWmKC9_h8&t0y?`u+?uV#j_tJj^T?Rjnki?rTo@D{(}&es|eBi zpe86@qEk_NoAloldtG&%q%Vz$Cz#?5#-8vAO$Z7wWcTrYn1>yJ)TcSt) zgfik8MUA3(z9ZkgjRXU)^5Y~m3Lxj@3zzgJ8#ZbQn|IP zYO=pT*r>OVz1g`Qe!>@9mq(pdai^iweT5M-8cI)PkUEO#Sj=u-@gMeE%=9TsNX~x@4?mrI2rHaT5KKf?sf! zWTc`ap1;6hzvyv&%lk_J z?}I~O+md>e>}UI3Y(rm93j>w`n2)T`guklZZN9rDs``R&TNv@P!N{##8If($^MPK* zRlO@ZU)gZ61Mce+lRSpdGByse=TC$m*~8IB0T5Ils{k@g?d$LS6VxWelCF)UkF9Ih zzHJ}+UW|ss{Y|l2dO2nB!fsT)4-zI@uZW zRA5pYl#AoAKg4IWh(_ksbX6S#ZhB(VCZ|~dH4K3!@|N?RC^+fCi7*-q7^hpto%9o7 zlHq3wdoh|yl@azu-;KQa ziR~BCq7o3ztd;=iuU@Aks$|}E-9+|xz5-ktH|w4)#h$!kJa-^_bkHMhY;@MOnhYld zI)=5``1kZ0@Q%&(k4{a!V|CIygtQH!zO&R{M%_kj4Ue{G_}E#;F3%2n0Qc0;`W=~> z8GWR%pa9Am2l2}F&vzY#)?;*py1a}qLR7SD`r}(qxbCiJYFO6XmyIc(E?hFk=5U4O z5VF@V(R8V`MXCKc6F%GE$F|jc9X8p|HKzR@6aT4&O6lTRmSUtbWYL#n(@kC6$ zoecRR==K$rZzK0dVcgw>5_q)1t5}u@^Zbp5Hm=o!Ar%LFz2pL)6eG(BTKXR}d~I$l ztCZUUZFO5tjZUfSS`DrabyT~6be@X0M|etM4RodTN3PG687tTUQu$l?*1%_Z!Obh( zj2erTg5t&mWt7(wnjY(OO%0nvOG36o`Ffw^K)Y z6;N2EPOsf*$f+3IIGJ@ALpGsAcaU4>>I`7WJ4b>99Jd_#WToVYV;kJ_Lk=f6zM8;? z2Nb2fXn}leds^$FN)2X1-@c4kj&#=-+2HTB9QYm6r>tCUHAqb9)1`|-CTL@|^^IpM z66^roIK}JSce4B@cS;EnxxEXTLke~AinXXW@+D9Eo3*bL!^B#jz>PgEkMYzn|#r&K%|3NF%ic2nc}RaBC~ z2o$BaL1s}Y@wSD3Ql1AL4e)KG`QdStQV-*lp%X8qt9Zzb(w0q0xf^$0XIV~F28oZ) zxq9Z^L+0gabgFm$MXde56#S}M?!;HQ9kR=S zH4$BWFQy@Ik}|fL<6f+HW@yMjb}ub4X^%Z~qa-i9gwlYZn1ms^473AU#03J!@>TL?LhB$6{MkRaJg*V(%mj+a31iZmv)4%U0?G2^3L!V|85_&CPP}|BN^>TJ=)i zHY3jLz<4uaCt768)^Io&v7$Ck3|8H??+=J(@kz3|JJT7Tt!I{73M9j30KM06RKx&1e&hf}d}^i6jYy^XrF z_cP!a2<`K{-_Ba|m^JGc>}n_t4sWMYy;ZRfuLsTY$U@8qrH=j9tJtSMUW~{xsqOoo zf;u>L5^=A02u=ts_ubnp>zg!=P-SGXI{oqpmn6X6%iz@EwN|%i}NF)LCW^EE~P+*i` z6Qk!Q^z&Ck*i~nQmdwOLR^qVgjJeYD$OQjwyBeG0e5~~+ZHu5pa#YQE*6Cmm z$Aa}Jg;kjII9TTZ0nSnMxoFHFP@k2Nmb9Xd^n8Mp2@f77ji?6tfX|=Xje5bEXH+$$ zp&?bp#}y{WbvN@-fDv5y%(CwM`7z(N0C(aPDQp^G0-xt*wT@e)s|jjH z?z=zlAV_t;ISjJo8~x^U+O}A9`Av&!mIS3)(7@b5a&ceIs77$k4r24;is*?2QCma8 z&Aur+W+?&4L!SUtESB$og4t+(z7cU9Hw*NM{^L!XcHO`3do6U7WILxcccev*^&oLN z$=p^H)tx!vQvXBVmT+afQrZ4&fqte!W4v+{+8AIEH{|FuAi`Z^q`Mfj0_B{Mk%+9^ z(L7acB1@gwc&UZ^yR&Fk-w}f|l^1xK62VoJsYh1q3(ww&?Hgr{#7Ts`3 zU%)l@`U{;?1w9HSlhcm#?~zA-r;L6=;vj9U^|Z9UfG$3&r)Gh$|E>J`bLn-NiLY=h zn`4RDNvX8xunY~yyk%3zc;#2ka=nD36Er8(&9g~ftv*Y43$=mEhdcuA0<|D!rsph-{ft2 zAH2*&?y>WBY^VPB7cw$&XWG_C?+|H2_ch(5S!>*@AIP#j({=jc`m%Ek699b%D@gcrkyx2&gFK*vNkD|fBaH$81ar;YKWtWr z;e>tg>or)hVW~rZa?o-Ozf7J{>RLVq~{<= zN=yc*z{41gS9V4(*Y`xqgnz&C_2xe|4bx#*ubXgo3a(D!DGlmwVO3(L1H@VwaeI~n zRNl5u;a_k}6}Ct#T0qzlq1!@CuD!M-XuBwN!7ket^8}`*3{5)|kodKCP+{%O~H<%xL^P^0l+H6_NBT`xM5S{DKq}&F3*XiTu(`^X$yf znhd!{0<2IN4LX6#J=?}1zkYaVMFzZV01fk=ltv7*BpRxcC)TUuZ9a;MU9x`W?arlG zJzWW@u*r|AqeL|Fd;EvZv0uwo#W;dAp9yQRZHPs)j(ILIhQ3S?j`}Q%O<~*X{e2UQ zc&^GQGMjLH%Wmc*l1{GFXKV2Tj7dXjZRpw}caVsJ)=Ya7-Qd?5=m;mP8FGUjx>+lE zVLg6;P0WG~?NFuRtd7_=6_1#{X8e#yHS~=yS57r2c=)5aA2tnM){)lLQlnpS_jS0$ z2AXY0*mN|TS|lNd@3uHDbm@yUGYyCCSeNS4&otiXHN~=p74~`7pkvq&()(F!kI)^( zfqZ-9T<5rDamLFQuA;Ad$%+SAmlRJK6`;<+*gnhJ8OW5>auAxpTyvq>5q_NZNU}+( zs}%k4$xr|wt%-z?XeJ0VHfV;53j@QUKx$C7e!{{Ab^Z&J@r(P&i`4!CW6-eam#H6=INasP>J+4atv2}-C#@~z?z zvShY4n>mKuK>5gxJb^s%cXmE5sz?74Y}k>XpLehSs97azHJGM{#tgP%^l0X;fJO=y zv}1K~JC4kxrm<58-eISz_yZUKND=N*3?C#`I*QNdUgv$_(rgM=O38}1vcKvQEpjdn zx2jh)&8Ay-Fq%&hbv0Ux%!6swi{QF#^&Zt5ifWBd+i=@S{+aGFEaFqM=JUTPp z0C)3{P|bEOXr*>;yLHF&fE*9C$+IJXovI@5YLqNe8mmM36f1xzTP(27Hqwm*beDgZ!;a2@H@L7|YW?!D>udF4KEHhN)2L7pcGgRxEdBabD#6Oxi0Q8T` z;PMLtm@G~ztaJpgX(W8tTq=m5ogCHW^+v@k#*Waz;N20F_6kuu}@z)tM zT)ai0%H@^g`gb?XUiR0f}*5V9y z&yXaZ2_b_ks+ixUGFsP9zdNy~KTaGo$)eU>5vmMn?;2c>1|8qzJ@P1R!I9$NJ>!X4 z*X>Y1Fc1UCorWC+w012@=w8YgddOG6b;~a~nlhdADjn6Xq_~Cn8oG9cb?qZXUH9{~ z90}IJ06cO{Md71T8D74c4pVPmai;NEq!H=-aP2+myMjpa>O}~MCK{hb>Q&!D+cjyI zFU>L(XE%DT&s`hTOpCRSr1@dLs46E#>uvI~A5l&d)4DTFu#4xfEb?b(I!d~T zfPo)k>z-zutOtx9DLeq;B6jDU_yOlJ#+ip~fhOUJX*VTEgA@(}jx!vG4(b`aU<oLqZWGyHjwS5QZysBQp=A@N!gX;seQ@ zdx)e0>lV4@f3#X6Y@!B~QczMflmE){w(-4RspNB5H<0JsDi84|c@|ACV}+^sX(PxC zr=#evdMlPQhSH8>tL>5*77;$G3uY8)REo9m4Vq?h1CX99(?m|5$mV=}Kqt$t^b@C( z`#C<(CDMxZ$IA02*1K%vwO201VK~9922Caj8WW_62ONg1cfUT7AT*u%1{#tK*?BC+ z+0Fg81-7f6B|hkpNBR#*D=w1%9>b4hRgqP?!FJP3p9+^4e%<(|yx#Mg- zlKuX)6GAW~Va<~Hr&9Tcfcmu96`3&0N(3b5Yr-)JkwE3w6~0fhBJzWf?#XY79-F<9 zh>-K27t@2s8RDM-IcKNe=7$Ne*&bB!P-4|}uVbq7<0IX;0o#hFyRPrHE2pfGc0O*v z3d&FX)ud`VUoYrs52r?$sqh|?Gf9?dXc~<<1n08)NLqO;-P$dG!(PyyZ6?oqbQrU# z+4{oX-4Ap7Q2gLtmF9xe4V!j#|D+$%2RPd5oFDT9w5Q8}A$tjkVlLaWsUjV|jo+65 z?^iK11&tNR0_N5WqA4fs9$S5aS(0@bU-AefFHeX#n|JPAS3ue8x@~dQ86=-V@z<%& z^2QuA(-rT9DZ|<9@|ag?3yAMEJ#tZey1i8Vw-eclmu`D!OU_hUYHj52gZ{k=70++~ zt=AcLpcmbh%5_9FA>@oc4HYr$O1R^Kp`cT00FVD!WCmJZiYeoT!28q|-$x7(Ve4yu zLxpsgqd*K6bqj9wi}e9bYRxSq`L}Ds{$J?HUa*`vQe+0+F!5sFZ253$?`dH(72)ts zzlf)+AWz*~9(=hR#itPDf3_fc244-+6#b**qNrijq;~q@;t=uEN4J}lh(XCMKaOhF zd_rCx8t(E3#&S0DBO@U)}jRv*$-nr;|VE$4(M5ii&Wa#!Y{YDZkGbBh;q)}%SqpC?5 zv-DZZn6#fN$st5l@uzI0KL$28>2xiL!$~p=Tf=w*n!aV1-554~(%TtUX^hW-KRd8g zFV%Ukl=qa{Q6V3NVFl&7N6aJAH)yVyj=;+H1k_cdiBdyDCT53J=A!E6-Gb^YLF)lWgV>~eO-=A( zkUH&AmCUT=mP}RC^pU%0+BjDGR@LSU!bnwh!<|a7kCO~*UN;wWh_11g1ELU>J>f;4 zJe$A2g91Ffx*Q6J-y9{!9SSid-lx+b?6};iQvKmH{_f6&u1z1q-uie6^-kc;JN>&r zh=1%OmHYPN0KF?^lIwcja%mT98Pgk0je&fr(yZ9xUO+i)ZJGsaDicM?ya>-Ll8a$$ z^Tl4p*w+2Ctz}%mMu-tHul)+*^M?ldsK(YgJT9x3T9WLX;uVmvd(s1*COAuXSl9G4 z0Qq9@c$7ZzCBplZ7C{Ouy?dSk<0pEMgjbQGgxEpbJlWCsThzz`9mwP(h45aijV#B> zcvKcL)^xcqV=gObKFYFjzl)4rx;a?)bl)*M8n5Bh;ThuzdcDXeC%zNfHxTrF85rc` zGh5>-nfmtuS1rgyBBKgIbEK9$^`&J(ynvfyyfia~_;L(W0slQZ8D2Hi0|T@_v4@wD zU(gtNe70xmw8);cUiB|V)qjR_eMVXjp!vW)%CV_|Yj#96wn_9tnWVX3evNd~#PK9M zR=2b{wSI54wV{i(E~=1$(q5T>BlgiV)I5cbi)g)w^Jq0(X)__G8HZS&?drdq=)otX zSNNtPOA7%MFLRP?rIp&A2EU<9Z(}os&g3XiJh3?a2_MgS^}50Bq|!It0-b9hI~qya zqxj?kBV~|TpTu_^R$ZU^tyk1jNcZwIP^gy!slR@I78CX-wp#UPRn?Xcwr7qNW}6s~W&4X#14lXK^(5d@jJ z8=i2H-f+pMYfgb4*yvfF+3KqMgA4&or8m&qo#8-54`Vp7YMG?l5iHHLX%0xpG3i4x zVJZ%hRWF(r{RvMHc0_Cvx^CA;#aQ>#^2l@B zsX~O(&rX~%mh3=`+7{tU^SK}k+XpGr#(wrE=~>NmUH{zXlyeSWZ@AUMY=DWHFhKXK z6xotbH?w=S5##btIqn$)q~=`3ysIS=I4ofW90_FcxN3qgW@AX zoAydP_+}xN6j5~(Mt!fT9LUKDl%k*1i6t;3bbxs#=s^IYa+1juTK`Db`Dans=~BTD zKS^?jsH?f=g-;Zew{E3CZtwt{PrP1N=%Qt$WsyvSrx(r3^6pn&bhS0f%y!ew^-IOX zlWNv!pmE9q5nN{JCqCAq?+=hbjJ_$PS{Yy!Mc-+44p}ug3;Vbtg&)Pvs)* ziIX_T&Ue3o?r(y$veadykHA)r*y723Rq-1Nf@dL%`P#o%_93}188fPqY&WX}8w01~ zWf(-*_Xyu3K_sjm%i{Yr#-CzN3N}3PF-`6?d6hi|haJ9+%rU36L0ZLU2B{v$B}^JG zjC)yrQpxMjJHy8`&$nl@-jjalSba#0#YO^TEEw8>*Y!cFM5T;ojUAJG?VTmpBhY`n z1VmpRvDCCcqCEMm`+;2DpRm<0(pDdqdh)fZtkw)72Y3kCX<&vCH1@g4gpLMof3(qz zBkrsqT}a-ry$4cH+cQq5B=1s*!HO6wr0+)=_}96g?Q;Zhg+&r%C}ixWM^@;4N_FO9 z_WMe%K?M~SMTHn@yN{@-#k(9VM`KYiiJYX>s|$cy@=~*AdfrU0HV;@08)x$!0f~@A z!YR|kG(>}Emh*?wlp|fQ$kZhzANFvB;=(5I%jl}jDcnA7ovtnGh?!NiC9eiLQ7 z7R2`nC(Rq3LMbhLp2aYwB9EaS8Gf3;RWFtNNT9zHQ|4vgf<+kgDVW;`k`$8s77YS6 zO=T|Zx<=2I>DjhA(}L&@%f90y{|ARd>zcGNt!ML%&g<=7IqG+UyZhE(NWJC<<8^)s{J^ zNbn_+$61lqf_-OyKC{UJY!1m}Ggjhuxf5}rl!0d~@=SB3NV{ebY3h~OGijRzsd`yChIDb2me2LDaor~q`*nu?L&Ps*4} z6>^_u&f5cZ&|D^>rP!4=zXGQl7|lpi?kK9;=DiT2p=4Cy8^J@o$}a-0#5klGR5tOY zW#I?n7N0BRqM-x=z{V~96V{svU5@~GpKf^1n$O? zRC7{&U`KzGdW5e69`ID-K+T$}5P6dXzi(7aZ|um2%mVr4^6-i7NHzzm9xlpjGHI;i zHxWlFTXrp0zmhubZ}HX-ma34RJ6P$fI*D6nOc!;SeiuMq_#++LUpw!Up^{VY?PLvB;o8ZosxFzIILK0cS)k9jm&iOHY9qf)-Sp9MT`>Z0Sh z*c9v5t^Q#+p+?OPeP+h%eH@e0dT4mF6~nim&Rn9$lTp_NOme?%j#~Xq3UHv zgwmYv+0w<(dcY9L#3t}de*>;q$ELd9i3*KXKr5Erpfv+FKp$q3j`h{0%;PmDeZGbj zny#)LboN6$36if%C`M3u$KB-k#z{VoS1UdN!`gTPq~g0&EOpp!sfE;KZ*0 zd~TouL?n}p(hk-LB4vOs*&g(Ogwj08FUGlbt$eju~2_D7*;6B^V9I0I_4GSkoWf2rF zB4P5v$U+`y#M@>6@Ah4C0dHzuFp^_~%jO(vB`9VB&I3!fU8|HKnTsqfW`5i%@ypNEB|^SW)2E6>><(|6GmhqhcgGzt<*)ECeYN|keD zKwZvPodhv|5cU#rF9YXoS$IoDbDoE~^2SMrPD9oDgGwPUO9&xaf6 zW=ly1?BJ}f4%TKP3Vj6FPinah=`&V>(8bWh>=})3_z_A>FS`LIGuh#(p;u*je5LTu zkXJMq@`CkAvpa)lROm#5D|H#6d&+?`; zYh28w1ZB*>gs+B$iY&MJW@_tvbm+!v%$1_kQPVKJNc&Br#ryxr&XG8`+7IN1tBSM~ zC`MQa8)!fCvqG?}X;EyAu~ZC?(WE)6wNGC$c+Q5NOCNJC!D~YaBkP*%Whvx*0}GVr z40aYm`YM{U+!QX35TQn+@Q>oKlc8ueUDJl-wd=u#%o}3y&tsiW963IY=nZ2+2-=_e zlv-DBF6or>tkI@{$Ji$@#$DuJ^-jrY07t?FgCMWpWK_lQTOtP!_YD8tEB?GT*<{`k zJd~NYeIpuv)AsRMe9o$~@ktx&8LqjW`Nf!zls*qal|>>wjj2slwYF6ZhbXo1as3~} zM^!zsP9%R*)psQyQ`I~2L)}jYn@kfmqBd0ZBPYXXNFC;{GxaSgRqLJSdn4;1g2ZxQ z`XHMNCl)0cK6oG|e4Z3WU8KK^u7xl$F;qqyb}uL~9Axc%CI|a;5v*K%5_oYl*uViS zJk)A`HQ&+SVnr(Oy8@}Y$zWKlc$X5b7kJn6#ZG1$*f|MUtOwt=;qG=ON*-YE?wjPP@>?q3;_8ryDCP&KORL7h4yfP0%OnBhdas`h3(DG}w--oMM zlaB@as+)u{IdEc^aQq&Vt;6IXv`-TFJUKs^Zr(6eB-p7iwVioz8NsJFXQd)~l|kZM z(O2_n#4J>Bzdegs#3@-X<@H?7wa{vsUpI4ceT3s1!#9qguQL`$k*-se@4oA^_qRd?>n<{g3f4~7UtOCh=MUOjLpfW zzpdf0LA!n`$YbH_n%0qx4GHJ2)kJA_@|voi*?jVbhAB1*lOzRVm@)6F)~kYvYJ?I| z`-+u!+p>5vEmYZ=hDM4&HHEc?_#U?M?A7+GxwZTK9v_fSW-vw9YobrBG8p_DOq!Zo zaw;Wv?fs#L-XSbqkd{5yi<$gqqDmP|R5`n<`c(iI+N^BStAVnyanuA%eE9&)pJmhC zQJ5J@&l#;F5;~E6xDba(lAuQ|`K#KW`Ys0!W2Rwi_Ma{*#x^<>`74k_b$t^(KhFQG z9Af{4Z>+fc`*Gga+SEfzVmwqi-4If)&Z3Ytk_SfnNY0ik&Kp3n#Rosp$BA;8fe&h z`gpQ$$P5cd_2B9%=G*QYemF&-jJdvoJffG{l z2)1Z^1BT2>9MNWb!);3Z39Tc(1eV?Om)6`%ztVj=Yd+qKkBSZT^!=nvX0R!9dskq- zd>H;m9M;QnSOizjizdy}*0|+e#iC)G7zC}aA0tii*U=wrfO#%vGKT`V<12iY%4fhV zHz}^KE#E~rb`%VUQHpjxW@h$IvMbwQZ2}XnJs~77HWeD6L|F2(1yUbn-U9a; z+lw-WpJEqq%5VZTMZ}nQf*dFh^ZP zPIRGSG|W)WOp#et|E%kpba$RPFmqfFdC|-8qWYP`eW88%dBC2rzMs#FX0|UlnB`Ii zkMoqx2QX~v4$O#8Cblw9FBc=?Z#j%kbbV%TFyYmSLmKqj1UWcGW;r#rrb(sdjz^2l z0DL{PKWFQ`aqP8TcMzv*vpMvzej1`R;Z(vR%!uLmR^l1St!MAdl2fr|LO zaosQW_|``{jNPJy;&M13xfS8`=PlIcyDsqBMYON(OK|{&cBtfin{PEe0SqUDEEgSp zkPe`}mrU}=!A=yPzz2cJxa}aiEr$=p7DQ{SW|e_LLAa0!#&wqgLHzL0M}s*mZXE?}mPER1{BIWuG{;62+#=r_5<1Tg#A!=nEE$9Bv@DTFx1`A^U| z-YZ4%-DedwpgoQUAaj(|vGZ|*Dnj${-Tgxy?Si;!2$>pQ`9Jbfh5{6b@|fAdR@)Z5 z^)nYByHAckB}ISLr#{$94$@x@@I8JRrk83JhVAJ*^*nuN2hMLI7?_=EoU*K%DHN_% zEr~N_{puN_^{j^N@95uhKx=!$+`(`h#s+|Q>_Ae$+T0SlKFt(6Rs2zlBu-rwn;F;% zG=7qYp)hJCBdvd~(Hf2JH5!!`@h;%@ayQpkJ>Bsy?iTeb|L>1~wFJQ|(8G{Y4EK7C zo^jWkK`>^zwH~1SU8+?S1_|($0F#K-Eq}xO39)1M*$)AVCRNr6&JoIE1dsk!EF7RF zAVXbT%SnA1?4H5`#{jy)!(}8zAKnY5s**PCzY;@zfVwbQ{VYfxQ+WhT9L&@Mvy=pr zCJh!5DJuG3k&XN7Xt(#Op#t|3+vB^m5PC8WhQAVL8{87XFu)A3_kM&a;>m`4Fwf6} zcGBG(ftr$Zw>tN@ksiz*x=?xJN~QdG!*aVQe|hLbiPZ$$R6s⪻$?*Kv0Q)X*v1U z;;B^LD?F(Y*7&r%5&XRO{}2aA(gc`3MZpwWJ5W5jffeDejQVrIr*50if!y?B?(Zgx zAS6#&L1gycU#!zJwUx^b-IbWGEFHvXW$f9z>XuyO8 z5lG~t>}!`rD)avKfk8)+^Hrr?+c(d^ngdQ^%?x`04cH(90Xgph%I5WKfC4?JE>E^S%Ne(t@a?U5^(OGyB9R7assUFGmmDOU|r;yGL!vgF5c8S4}ue2WqN zrPQDb$fcPocqEw@wAevlUjZNu6WJtQN9IH@YY!zjBPOUBIU>v5FuZl8sf_KR6`8Ep zZs+BsFj2c#A5`#Ws8hZF9b!{gdaaW!9bLFW^6{SeNPe_(Yd-jWjMpY~mJA}0JoFF) zW+(A+?fiSUHzvTM0rNXzzHKc*4?M`&_`F5&1%^-5`+JF*RpXGuwV=a0!{M6UAUb4i zKW=f;b*Z`!yX>&6S&E^Hk7ds542Oo{gS*}vMmrc_j{4`9W6q$+dkU`|?#X~~Og071 z*tzr{9)H_Hxg+Tn@c2`l=YhvddOEsd?w;!9>rPCX_O587w2k4szh0DXlwt3|vwcsj z^VFgL|0C+Xl4Gy3M-h&Z8QGhVgru@bLa0O`du3;D6_F7cA<2j& z$tKFkD7v4o)8~7Cf4}?wugB+8j`M!MUe9qouj_gqGf7(dPqKKLC^Q1WvDods?We-0 zMsC|Lc&ffxqI8~%A+PQn5O6#Fu_x~8{VNs~0lbIBJc^-iXd9JSu$sc^@4l;)F_~gL zxACv%2PK-6QbI%6lij;>)mMgvuBtDq_`ZmVRP0HX)Sm54`|h%Xuv+6X>+d@J+e0?b zp}^s8tZE3NG#1e-alHk)zDqmS0wN$!zx5;ZSPmM2stJM`=YN2)vNFGv{@RJH8xpcfHMQ85#ngd`8teB+#v7V zPX_te`wrrd&OqtEZ8U|iI1xNw}Up;6cf2<71nqm1+8!r@+}E z(y{@(WFE`_Bj(VV20#&!03fJc(66b8()fLSmRCcF)<`f{9)hTNw3E4(XQZ)8ym;GI z9M`h!x~8s;B2Co9cI)Bui7@8rCFX6`N-GqfdU&7s>(hAV(4pW^sSPSTbzKocfv{04 z>mtn5ZG?bu*)+nB<3og!l@tEYWPUtS*y}Jhj(&R?PwNfWr-Mld#Z`Yy$RUer z#RomSZ%pV)k@&#|c_W&JE|#9P0a*8ncdIHdxCUtKVW+}30Wf}6gx7!mLG76=U^D*w znXP}Fe<|UgW9i5uTffwvOdC58*%ZUA)eRC5ldk6b3;EtX0|f>LO6mrXlLWz-LS=M8 zv_nTpuX5wM@FV@|sL}vBBwN_g`e_n25 zAXSEpqLfMv|Kl%qO!Mxm-H=0#x5^*vC)MVw{r$Sev=ONLv;S1DczyH|k;9DxhzKvq zoYNY=*#1z`s?I|c2osXv_*Asv!maS9^UQm`(spP8j^z9029-v9nC2E7*6`#ZI~=v! z12ficaH?_m7Q6(B{goGc^XcnYph8SAi2MnOY9)2_(&Bxt#H|Y>1_QtqzcET{dR-w7 zH1trM$hq`3eg+&mgg;y}mzx`JcnPKp83Z=makt0(nP(Ran46@)TH=_`M9`3p)tx&i zt%8=a>|B6rJJaP<+h1R9-`;$@a^|q^u_L}hoQfGyxGfxKsO5!)cq>e$)(7l;p11Xa zpZs_|mp+QV42@<%)d}>kATR`Ka;2+#1GQ(nmGG{LY`El=p`-KP1ST@-`D#EAMaj0B zxB-DZ1c4TI$o^pS!#sMmWuY{S5zMzx0)QX z`pqom;&|xPMBtoc;t_-en4ZV?tIkm#Nz|A)Eltt)`Zi#?B7e8q6+k@qi<(ttpu?+G zxHEq04a+qNb4}r#*mG&cQ42{A>eRjcprLkH9;?kI_p9Z5aE4v?IL5En$6ykWif7r{ zgkV*eoqjK@Pj%?f`et@H?NVrz2AX^(h6r?;;iDA&v>2 zGakpja^BNF^Gl0L>#^zT0I%nX(_+9JJg;L_+kWRn2~>ZSafBSBa;#NLP(3>poBWvH zE6pL=WX~AZyM_hzVN-BI4JQ`v8p{FBUDsz+*3VSVcU)sEX5c%q=mNd9nJ0O{fE5(K z#u;1`wqwg-EmzAzsCTJl*;{Whx<(e5mEs%+cj0lr^%R{#ZWbAM3Kc&xm5@tsMeRFi z+`;`K5z=s6l3qWa@MhNhyU*VCY|qK(WBQs~y2p`5<(2NW^bPOBKwUmup21+ zV<7U8$|@)K1X*XoMy@dFz`G-SUv8;v|Adn))1Rb!?_a=$%&EtTGN)%^NEA3CwI2gj zt^=Bj1FTS`=fF^|^Y$~He6rM4<`?17-D`2!BRFZHTE#N*S2{1EFPA{+GrD>yfy2AO zmaAm07={UTJ_obwmH3n&VqX2-`>k)JcR@W@$C+x?MKzcpPr*gWwDUcLW;5-PpB~S@ z`VIi*3L3&O!?x|H=d`!PG&;{%bbdT-R?f#%`WN&(4$x4m7FwbTn+XOYBM@N3E46

sr>seS**x{3KMb8 zKoaB+dT&Z&sf=Y{GmUh-soRZH^mue!t{V!<6&4?Xv|w;lo0IL(sh4uymy9fC%1rJb zTencUf8pHGM)#5ZL6)>XNo&F7#jh&y9>81LcT>pJKWO-TnhkmPdTT>m_;; zMPC=2R&e}Cwck%KD&4_dzFFroG?H>H)AcWqKU7_IW5~Tb4d?%q+OlEYG)RIt6FfTq z75J3MG>f@`^Aqiet37Au=d2|?kYodGC|*#DsuJiM?_!5FCA-hF@=u4J^=pB*|M;0n zJLEmapjI5|%C$0)nBFO+SEGd5|Gu>g!np2aE%6<{wXWyhg5!;S8)&(Y%6C*|DoVK< zTl1Ij zS+?+8ey1@2N`H4V318w|4vJhIys_#WL*_}7myoPpc+Lwb&w?RBD@v|~N>2F9<~tmZ zu0$1GBa?`w-GXC!`Pb+b;VL*QpXL@uj$)s9^lQv?i@!TJa;zj4x`}p)YvX68YxPbk z)(=uEYFIZzX=#svTA;ir+fAP~{&~I9jN<2ig>N#N?$4Rvj=Wr|e6VYO-AqSETdl?! z?7X}Nxp^7*n$9t7s@$T_Ne?5@4@^7qP2jZcNJ+??1*t^i?k|hQjI8%NFU}GJBBU&2 zMnvya25uD%J^W?SFQp&ZjgI>*mh?baJ2rR3?8XIkc-*AC*Yo{(Jzmt!J+FVE4VHOt zPExw%P4v$GdyjbCZWtNz_m68GYub`jmcrlAthq8QWmIVR^J*peZ8}}}Hdss@+voPd zS!m*<%xfZ2)+mMpUj3`Xy`Z9tFENd%0Lr*+!PjRg)m>;bvatblYtY624 z?kSMsT7kp zw-4B!PMEw#f08(6B#=ngliGZ=O2t;MX5u61RFF?#Hs3Egg6S?_@7{?p^Doz5Q_Y~^ zg3&I7pPpNrpD*8em}lVK7)SGc?b8#TfK-EeEE1UX%57ST!)Rks=MO5nr9XQ-*7N85 zhuOiyyl?)f|9FvGu6qAY6h7(-<^ZEmwHJ%PEK~>50H8>nSJNOyf=EJj0Sric#j zLA!gDCgVPw^D%hxttIVFz{`pTINuO9^1&ZGeG*80d|W}uI6;j<_}k1W7YPB z;j$+$Qohh~XWUfvQVIV%sXeN2x%Zf0qR&4^IXopC*{r??)ub>HVF?1B+Bj-cxt+zB zPicm#zG(%>qCbqq)s!Ru#jSuZ;btG|eccRo=$L%t)I<2yV{W ztj0O++JW4D-rqF;_d9`d-wyqtF2U>#U2r`7;3F_^u4dnP3Xl_k&R!>KqD z3gZNJ-!1xzv13VF887B|3pf^D=wC30o@e(^1u`cj=m7}Mzp$LW3V+U|nH#BkTA-h+ znY7R$I0WH)iBf%%Qe(0+nd;i7XIFs(s+JmP{O(Uoi1C@M?P$m`c-f9C46&;)ictiYJwv#2tPIWY$KNaU}3>VIh5Xb{f!woQi zqcM{(Sgf zjg0<%&GB40`1j)!$8NOJ1__9RXiUc`P>9+zXN&eDTsLi?Bx_1q{$c}ao&v^+U*Hei z+$^w4+J$m$PO^vI(wS@8~e z65!&e14JA}ftzpuY+#>6YAwggA2}Lc7TxJ!+E9{tvq9ox7-1PVcN>Vmz2ZPZKCc-k zc@#6+sC89Tn+^`9u#c%4YxpziRwHUWYe`-M>?hC?5u(tU*erZ zG9AcUD&nYU%O9ZFismX-t!WShV}UW1+1Xk&cu00B>Yadr)PHr_fByd&mWQ{%0ip+$ z=g{xkJM^YHmDaCnt~KqWKH6r3SA>FY)kVT%uCIDyi{U`H-5c_{#UpEd}Et|%=eI#G}-hX_MyxIAA*--jXs3mx05F#_3*p@4_Qo+r5)@I zA^4hd_`l%!3#V@eDra}_ry}HI?M+LKqR6S3xlVe+h)e=1M(=+2Q~#Nx-lK$%&tJFi z{v-->%_`^z#ONVG2(JO}X6Lw|yO=CKY99vhiUt5~EMk}w*}#EORq-Iv!UayvDX5?B zD+{-0M7q!RQdMu5*85Zd@M(6Cudh{!3%?w@ z;VKH{Ea?A_2t)^d$`rkD(%rL!WgY3U@}=*^BeMYK4h;Z?SX`)k2xi_tmugI)p{nO?L~o9EVT(i&c7h_7wW5|2D5>`-P+Mx;0XCg6 z&lo;xw+on*E`f_jP(4i|u7b3~$see*1IVXG>lR;iIYsvqg)gaqIRUUO zm3R4Fy3dMW@p7gVeC>Gnh3%R6MyBr)K>pi}Si3}D%1)k?qrPnYE-*|=2b$`30e!Ag zlQJ3tR<+#4IMn4R&VmN~^Z8d7H3>qmgll9Z7OF zKeJ@3J(7YFBgK<@51g-$nX=56E40k%m&s2^Zw zO!N9$e9@FgaF}hLa-hY7*yPK{=3H+P{$`as+JJQZ`Tgau6bJ?7CXL(IPui*|b)wmL z+L6`-nv+ngWvPStGT$%fh)-M=)F3GW^fMRF5ccHu-Uua^=o_UEYv%}?876&wBp;}x z7Qt_1c2v(_9_LtT56Ic2v3pt~(VwH1S^w|kCR_d+o>Vuo6Ux>iI!pFtC^~#?3GE9a zSW~Er3{j@74dfZo+(P!I;IkE#AfxAKOVcM;0k&#%K?4>=P@j&*(X7Z5rx_|iBm$;- zb7x0&!<&#_GtzOuYc{T2%_M}HQ!#<;v;ZD>!P+({xK2Z%60g_&2sm1wpzmop!mEZu z6PJ_p}zOI~YDS=qSMy~S#`us#+ zlY0R8N9Augc7Ni0o(G7ku-W#H$*APlh_vz$1{!omM^|ouos<>^tnDgFjSxqw$Thn; z*H}@V<|8l{iZ#=#4!Eh%tHj-GeLn$p{5?8S7edxRN_Cq*^g0gkbzX6;yZr^^J951c zVU46C!EggV^g4@|cdJp;J0!U=2^pQZ7IRe{^oR{FKO*-$8YVbI(es+j9GJHW!ot&6 z`J%(uSEiR^P<+hLrC6$4EWKnI_I3}broZ@N1@x&==rDtNA;u`xKK>fU%`-Xw%|yv# z7Zv(Hk^lXpYUjZ&@I)Ohv@OtCjd}*<1j`7HIC4;lh6a-UW}Flm-Sy@3`_50muRszM zh3lYb08q@BO6wh8!37OI6dO7uGf$z<`e)ZGo*SY<@Eh<8+Rx3J;JgnGHy*#y2*Gq1 za0OYmHUozsX#R@enyWsfOkMnJpmRDm!rVB>_=z*ZhB^}AbKi8l0OYEpLpq6s`U}OYA<7&j2Tvmv;%QQqcUJf;zI~zNzfA3os z+4W`E-*LIN_HC%at+~jQt&;4g77&oLlVm)d_1W82WPT}vk*M{p4I_7;jV1xjrA?K< zCgqZN`dftf3r0aoDWzec)&G4as{}JaB&ZrrHYGN!PW!FSk`D_ZMxD zUL9FN)i+XG&RIOhglo71er|C_td$Lx%fm75$k*&9nXm=)Zg}C{c;?tAp2vV> zraUYqKu|^h-6%Y&H8Z)chx|ccf%*1L#!so+@Q|eh>b%*A9-IG1GRcpGd?9-K_opw# z2eg<{ukh%x;n+Y4CklP|16rzNb3QDRm#jfriYt6LfaN`xs7rJnBPMi6in1AyQM*Td z`Zaiykij}!#UyAJ%!cDvD}?vG1M}q82=bnjSPbyT1r4YQ?7&g>d3S&pF)2X=g3HIX zAb0HbuR%Dz3!l6}FX0dHQXVjI9e`Xc3ND=~461hbLU?AA0;_h_i{C(za@hOlf6Xn8 zFFMmJlRi?qdLfS>b^pH4OKNVVj;$B+Zuq4!SZE}e`43V;8682+VhJqkYZ^c6$>$No#V&hWPim~N1xGw*gdsz(j(p;qwQ`RDQ$S8L*; zv#}^>!b8Nnq6Yil^phfv07Ic}R0|@&Q|hya0n2~^A?Fx;2K$+GAnc&KWN#-s7&ZD>CG|a#Z_Zdbb zbNI>5*}H+u4dA=}=2*bi*BK}sB~aA~<78hCW_2wA6+&SqQaAY`uQt%*b%R2)SVRmC zDCP9qHsU)#2pRk4Ax}Z+ARw$T`5s^8Ih!+daJ?%|@IUI#36OeO0s#7J+@jnjh(Q%u zu%*Up%)n5*WghkQ4cYuQxiLK2;1(qA4pMKX=VhnNl~1Cln{ytn#x3JiGZidUa}F1# z#swBH32!i3FIWq>%qBO1-(-YC6*q|>;?T^%h*7DHXL#ZP{%_j@#!sNezVG)qgr+0} z0a!0nuA*ZZ%?|Z=CgIMxw!J8l;zuzae|~nw z8!VlTt~Hjie>#%@JpuC3o&XUC`r_f~@WtPIvs3-x?5n(_RrOw#B~FGbNacNg5%_64 zD=2`w2}Wn@`XzOWXsQly0{JWiWfXGR50Y{+Cxe9ms^>cUT;T98z>CTne=U0T07 zRg%U5`OpTIxW9?2UHE;6yM(5ftC^Er6j!cq!{p$uuFP3_u^^b_m#9bzSEScn8!EL* z0W1LhQXGo#xadBsbJF2l;Piv;&w}iIMj6x;Ga!)EJ`?warh}gp_iB6!8&hEL)X%$$ zRT<@94H@=IkZ!z*qSQt=c+gZFnL3+|(}p!|2_a zArkP}M0+Ds?7E!-q?VCCsi_lil8d~893p>PR|^kvq(7VuBJr#&_xwGLJaR& z8mW3q64m8cWL(mtE%BWFRD+x|#7{bnySM}|+Z zTA`dNtkXg0-yN~`e{XbhCzw*Z=oh`ec3S<^ zLVh-7N#OvmJ;od-3tgZ#vV{eR$$=~yQ5_INe0_1aEW(D)ZG-O+N`<|kF&XE4`&aEv zml>^n>H&=3joim`;~soB4q@HS6P%?0Q4#@ukQlO&af0E@@`2otU|zfh-dBa?v|CP+ ztaqtVXMgwzgbXw1!Qu%PB{Fn<>YlBV~o<gC%oIK9gXHbMX~wcEuj_Z0Q#NS56A;5<6U_W^#1c_EamXp7CUxCQY?=Js#fcA_LdV-$Pb zZ;pKpp_2l?fPE#7ELPFIXJNfaJh)tFf}kYaA6Ad0pSv>GmpKDoVj^H%{t7A&o$x$lh`clWZWA8z}zi$ekNfr2oay=hs%w zM0+d_^*}XSxWK9$G|ib2fV{>(zqPz|6V1N>A|v1TZk3&f7e0XrixN&p5#){i;-Dh@ z01Zor`zd&sgbZt-8IZhR{RP>g8~WmzGf`+5hT~i~$Al58?o-MGf1(+1@9}C;uL%3H z;U~^jF|L2<#X@0GH}Fl;qMr`1B8M;#Hc)e36DLAeH5_=(^?a_EQBYfQFNpjmzBS39 zfkK;GKie3QZ@&Y46K~bPWT$=`qaya553euW8AK*_+m~)b_TotBTHHCL?lX;$3qw`nBNkH-?(SH19F*2l-Tj%#YNaF)My-4F{!5YDN5el>Kp0JJeNMQw33GZmN z?UsPTGjsm-&ST_{Cun?xX_z{Qj4{GksW1FD=D-PEg~-f2bj^|p_&9LMZoEs)mY&8S z9F}0{1HevKu()yCRNLu6cKile!N<@ZG0nt3000#k&}wSPk(RvZB5i>J^(ti7v(E(* z{P;*Zu3X4hpF3$@9Z2j=Rp`{yNV1ye0HI7SwkTriMk8pZeBM~}6| z+s}=E*hE^6*b}ux}UdG_9}C9cB7u6dV{5Inj_mSc~jt=*~u8W~Ft6 z>f8P*cPhvZ^rPEP6HjV7`tk3J`vZP|pS4`l-0C|p@#OEHr_l<(OfK9SbR3br&~p7W zTbd8+B6$4g9IDxQ1**oMg(5W?CxAMwKDVLKvI46Ec1`3BG;IK~df-w!uAOglcJeEP z58YX8meutE-`A@~e?d?x0+5v?@{2NaNV?Pw`Cz6#5@GvP;N#GrfwNtW9bCN&y#YAa7Y_6y+~CBJ9=2CRNEt%40L%d1Y}`uW&S#1>&O)hY&ST|d0~f6 zYH)LVfX(hRpMZ%s7RuJI1M;`pJgGI$MxoESS{*$CHAX6H)-rC_DXR#c7_u+dl0Ie* zr-3V(;7k@}QzozgqofPgeSEbLM|5&|eNKJ?lS5L2!h?PVi_=2Q2AIpx(5~%FJn}Be zw`!pM2;`#?`YHluxb8-aM~o85 zMcZ@ro$GVoq&u?==-_ZC9rHz~WOMoTg0KU`iMI7@y%BYOuI;;-wgS4>T4rw)gfBQm{;bmPp zIT?o~<+|oAd1?zHdNNo>ercGJe4C%}GU9^e!gO}W*lJg9BN|Dcdm{fC#{vt2q!j-AxKpL~-sP1YB|VGE`Crs- z(l5V;u_Obhr0#s}aUn0VTtdz1e}upuE)f`bxdU&nmcd7EcB5Dx%C6M#^rcXB^wMH9 z@imxxhGq7DyrDKb#kRy8b$3L|5$*N3`VgG+D!=Tb<3KD0gqJ5m)6YT2KzH&PUyZbLf_!5BvCQgFpwp_K5s^pP$1o_6Ck+iBi7kuV=Ek{% zzV{Uu)sVBS%uVILe@c}+`7kKy8sTz`NtopQUyR)TyPM|x`1q>cKEILxKBc-pTM6PC z9WMYd>N(43H5HLvQ}{lX-ssENnHFmszfO&#dMPkxwl}u+y>yxJJ(!eL!LgG0wgkZ3 ztV5eOdeSs}hl7x1!7}SQd^bs-zjNEgg9|VLZq+^%S8%G5SjPwgsa3@oYggj9MX+J+ zR-+o&PsMEL^;OwBaGB~D9%%45@HggHtU#eq>;bt|rQvad~42fe-oVN{lrGq9xuA z0)>!ws{>yX)n#;g0ne@_$W}=j&CAy&8U0p`%*5r(E4i?W>A-Wx(TfYmi@;u&r>-ns zg*LXMM!DY_VBugdq7>ZX*1cAY|#{aV7F)*3CnCq18x zHCe+gCYqIi{G$>y4-0pUFBx9IsqB@-R?;`BR0!vo6z9Jbt26Pqe%AJo#Rh-wiPC?X z(MgI95;*}UhLFKIKA9x|hhqr%XxJlkccj)wq)vukZ3}%xwWmVAU|~ya^O}4`)3P&8Nvq-QM%xRO;8#`h?a? z=xx*j5vqrr#l=R(d-RaCne02iJ=Z3M-68uEB#NCnGFp7RnM0m)<(Tr=8^apM6^bbbRy!#)<~S zDGJ;SJ)n&ZJhcgOD=9L<3hPSLtl8rOP@;gYZg?cf@E~DGA~i({R5l)+huil z&Fn8W-rTvML)9@@!?}`Jm1%HC9VJz9HVGdVwQIdc?rfavk!qMm|MXkVV;#3;r%l)y zum+lEnYeuY)oF8hi)q*#jKGRFV%x%skjwqJAY)m~HkPKO&P43TNh@Mb9>UUb26m)< zhtZvpXu>nVjKl%&eKLYbAIRaGW7tpnRn4+W7d0y5g zn}e_}U}!M&4>Mgj9K{A<>|m7Nb>lFN^L^fIJwaAuI?yOEX-4kAHBM<umylK6i=*1M-{114hNQidNAYAs6)%dpH#RNMl%5sN zsEMkrpVIVXmU_+E4w;nGhtCMbg+oRdKL$356zqy3k{^wi5`d^GDX3MHovWX) z(&Uo|jZL_jlOaVyk)Fh*)+k_si9BEQyUXu*f(ZY{;OLK+3~MYhy!=*N)ho7GT=nq5 zC)zvYrHHC4{>paT$~W&}jy5leD^WYt>Kz<&;s&aHl2 zC{o)Lu%pK*m-m8Izbe`)jN`Tzw^nmH^h4L+t+C8{I;_vVM=)%sD%tS9+qrSZZi0;9 z{4W6n=o^@DYZ5*Vf%@wo$72Ay`F2-=^lEj7Z`pz8?MZ&8$(+vQc)lX7Yd1!$Tk; zUX&m4Q_qN4^{M%@`j%zn-aw0WzIBrR$|_CYntGumbT8cwe1m!=O)>o%gm;&s7!UzgU9#ibG2X?yT>p7){vKCpR-0 z7W-1Zi<*=xbpa&~>q)&{58gP$e zpOUzt1O@kg02icEU}F?s%h7)v%%Fq>cEG9I2Eo6um+wKxq(pgC>1N6Eac18``vsH< zf)}fXW0`&9kdrc0-cT0$=a!JLOB4frh;2f3rk zu*o_Ej5;jl`HT&Vh}<~CZWzvTj)VkHqM@Q__#YnKuZllIsXxjmQPGgxi57Eyej+rO zVSLA$srv0qw&_Mb&ylzDXKA9S?zsfIg;M{uYF{mhqSwPdC1i|X(I8C+_R+b+UY)u) zLv5S?8M-?GTA&|xJV79IPrZhB!bD+pP(_IXhk=fGKZ6_T_)G7V`oh$jLbhpC`9lU3 z&<0eyKcus<5L?~<)kL<1a!9nq6t0CJMt?e1dxTEwgkF(=t`PCD6EYCk?;QT5<*hc} z+mrK&i2ibACpD&xZVtwU6;Iuc|NCqB8}QfYhI8j#X?{u1FaPy(lG}7@SU2=s;D1>S z*FOoECok3K+#Flv^jUw!g1g*67>RYc^XoKyK^44ro3ikYzq1dz<=R(f(FQR>4Gxuk zscv2TLaGr)E? zwT3n!jV+*4oy9*g{W>3N7jb~HKM4>tSIa_8Idl|bk&52zMvNKQrjtE>F%<0wKXINz z1k8^6n)2zCrV4#0Tkp?fl&-)pG=T6JZIh>EnG~$^i|*zJAv}xtu1<9<1OOo60866& zx7Wl64!E!AZ932rM4XOD3Bl;R>zobX`q8HatfSBT6De__i6I?K3{L~rcAXO<@(mtc zN3p3#x2G6bXZNyQ;pwd5et2Awmn|*chuI@r38npOw%_P!I1b2QZiv|35yg(KC+;eD zk3d*c@PQd`mD&M)Er!Qbv#4Oqhm89qz;pPRz`>xuv_D$z{@S|wce}CbV=%!J*YWy2 zEdH_`5BPnR@%L9$^MsOT4VJLy8a-%II&hNSES5(LhEI&Xsl=^K3rQq`_>Hlf19Gu} zjAFq>tj*v19(=?F3D6#e=^r#75yXiG)GjVa$Sn|ePV@$+t~!Ys7!-UnzC=`mWt@Pc z)fF6lZc?e~09)bt0WZr1O}TzG!m^QC#8KM-*ofnOyB83AwB&expW*}7Ab-rgB?Z{T zN5xNUHV`b_;hL)lkLDQ8|JTT6*EZ#rialuRrPp9D)tidKfdWcwyro-bhrW5Wqb=Mu zmjC?%7J=sc0=L1PIbs?^ijXQ*9F*CU7V)_OkHf(0fB@a(LA9MTv zz0WLM#zP|s0i9xe5P<4+Mvo?Tw-Co4sr`d~T!#dQmXZw_SFdZJnvd|-9AKxM-f z25;J~E+%Y>j^fqFJD+N2f3ji*Iq=k`wN9|+ipS;lvakR7<3Uu?V|~>wBb9ou*XtLC zN>a>hg2Tmc^CpOn)BR?m!MT$fWC(>ctLOd0SQWYYIxj z{B;LWifCpF4W!Z2<3@~A92+AljQG-T(ZG2J2c&X>mnI-~ju*k`bS zQ2JYm`kZ`8#T#ZM!QK;m!q1U0+m9BdVILuDs?&U?S4wIuGrB-%n{yAV4aImr(EPZr z%BA=J;_%O@{&sO_33ceH0B6i}a6XaRWQU1CjAfyucW00)6VG%|*+7bpJf%K+H zWFhY2< z0)xZ!Gbnk9O?J*}32XcrhDGU&hWk?226*!sb>1ws&K?FqEK z5WL8Xw;TWdRxn|ZdjgT=usdixn9_}EmRS-1T0jF*V2nqntQXeJMA^(CVmq_;Q(otT3+=u~mw5 zRuV;Txe$huIXm6_6~S23ulab(N|>2-sS>={#AK+oDyf)2CI9iCvza;;p0|nzXC$9W z6H7K{20cgHPtC(ouNoa1HRgGK06Po?32ypeV`mU=zU{lX1YZ#!g+;#)uzhGWnu;vv zKU`Bw?}jQekvLb``}Mpr>FeveCNH=uAISy*5};J42gBk`F=!t>wi?U>t?eCUaRSTtH2x7FuA?Etu zA;X`p{VnR&=Z+PNkdh?>cKEv+rfEH}+t2W8e~0`s7SSbvz(ixNUGmW5`>5plQR41K zt{{}g{Gz2o=sFlq>At3HYwZ=FjcVt_vG@Oe0w%%Rknal(#oAhRCLvq%Lt~@4oLt# z3{=b0Ti?W>K^d#8mjsN=uyhk2Xh?BlWGF0;bogGC(L2Y1V+ zGaW)OB8?S;ogjozg~UvV5=$ruJ{q9Q*U#{l%!n&&g&M)xUIbxSDQMRjn)K_?@LxZD z_o6CZlW^ZmvOuSW!XFqsy(DrUPcUU^i4ez(aE~CyvqWL!Ul;OI#xo4C7W^K{anF2n7=D9P*N?iVY z6P8G}1i(y!60^kVgg}>rmo97}Vz2P4Eey+ROM*WHBsw*CqvsP~DT`I)`m;MvujmTC z_Rv3r!@R~(5Ho>s2t?q8t!AHT7F`=w-+MmTTKM4{Ss+4P!RV-4Q&W^$H9 z(8kv`BGM!j6e9E5dAG+6q~8Z@(($x6+qAqW3{_*kOFHWXQ#_r807{6nwOr74v0rPtNrM=__TD$ z)mQZypP>^n`>L$M72*%L{R|N7UTcd#r+_$T3UQ9zO7PnnTD~`u-^Tv*g%yAZbs$x_ zGGP0w{T|_ZdAqZEgbYup(e^hs-=)0rPs%BOfcBaQx)e#jVaH1qUkY~ph!4o~OLlZXh z2`a@vP%@8bIlnB_{zPtwKOtyxiR^94q z&EPq}gs*(&LRp7SlhBJ>m8%LCe2zOysDd~e3+a!m?`QIT88GdRaLA?PF3|G;Wo@6+ zu`=4Ad`9n&Z}&jrF9{0jd(oRrwVI#d(Dxj%aIrLBVmW;Kk*qNSYc zYYz1Nws$`g89vK6eBhtw2O6YfU^Uaze4VQxqBjF1;DJoSV*xF~@we4(+;?=gKbTNb zGBY*tCXjJ71ZH<9j7L_&Y{?~0iFds873Q1iW;F&i zU+d)HR^Vq&>Ibd&ac5uazzqTWDZ<{T`+s+a8&elw+ubS?uK&>zEpCE)A-s@>qobcX ztGX;O9SsxL<5zSyErXQz@5&cgroq6q_ft2(r&A$EaDsa;dgFA7%qBN*Qj)&4v+j0D zP2Tey;jt-rvDG+%Pw+DazrDHLN|>(F@bYMdQo%<%0dcKDPT)M(epZjDwMJ`~{a1Wb z4R2z;y@_;}U%$0(bN29|QlBm6h1}y~!iomzy;FBC6kTYZ3Z=QVaBc6;cJpf&+_q?J&1mk(&KnEc-ZS=C)DNH&p+W#zwO=u_T#b*YS{9Ew`4u^m!XD&#Lk$xY{K3Z~8HQS~mOrWPBYrBadJPE> ztt`c%*%gO=l21PRclN>koWgvof#mJ_+waf43gPI9aI*MCL8&8o^Op-J!$Z3dP#axA zH5hSD@JL5-Bg<~>-kLAy^zPAfv@D!_g}e=5+F{!qM^zEyhb^+QN~SJS|6!vWmq3jwu3&N>yW7lcSv_Dv#x6yzbG>cxj< zxQAuHA3!#H#J_;j$?L-Gd|3e)OzMc4_YV`)f(}nlI{`IY8sU6!dA0Z5yqh<}dUx%T zfBK_H#usN~Z#BaFKNWA1zo#YKP<8sSFIett0 zsK!N;Is71?^YU521f%Q+T&80{Jn8+=58^2s@YB25{&U}q{vtc6s-VD53P{loyK(sx z!<-bhmJNvkyY$)b*!DQsa+2g{aPl#&pFvC_W40^rq04EW@!vkg{yEKv*`{!8QEqhq z{G3jOI8}lxEkOs5A`9>C_Vm*+&Tn=Nm!@A9fCmQ)aSBvGy9>C)NZdpJ;aInGcdk*P zJ-XipdUJ-jSrWa+ecRjW`xexJzmryI+$X5Tf5~`f6h?$O8fWP_KRU%t0YgB1-~L1P z8`&Bjr%$s1Ct;^#UONB#On$)3+b6`8s_-lLvBPl99(W^Oh3fjZ`@8P2r8<)oDo}mQ zjv2_-)Hc757)afqxtj`!g6inBVvb==(U@Ps$$s&8-Apmq{IfLLuw1uTH%MLL-|?kB zq{2@t+|(K=ab=T$pZy}}O1E2rV!%9S25x_e(#~aVQNbJY*(wkIB}po*{>eafs(C2e zuDe=Zx|wN2(UT9z*e8FuQ@tnc2DI^UJXBno6=czbKIq0apH?dD%yDjlth?<=RCBG% zv1+?ag#uUgOXqIG#8269ka@|3h1-U2A`V+hCH1kX<8AnoQcP5J_%vC2`LDS|Y`NWI z!+v^`9J*lb3eSmpd%8a7?4^c3t>hJin2~qYl*Ge8c^JJIqo9+|KDNwnp9k4qfvRJ< z(Ca?H5k<;KIL;fcY8sWQ*HE6}etmuSEO$XT*czsLNR2vX=YL>c8qVP5Z&AGyw!8Tj zpyVZNgp!i_$C}#T@n#N8Xv+9?PmJ;4m$yoU@!>yR1wbmi2Zmu>8QxvMOfd6)=F=>N zHsygR2vcx`fK{*h7QT_uXk&gU&M5c-SZ+wxdcUh&w_%}+>67A23leeS~J2UjXAhh}b)s*^;A)5A!h+Rm^rid(Wy zy!X`WC73?fTs@e}o7{AlEg+FWen7Y2MkQs;oRDzc4LVJr9XcavvbfI=o2P{)>usq- zI?*A>G%6m++D>7t8N9EMX*#?2XfL$Ga*7m~4c2nqOrME==Q)qZ-xOs^ z`#nfqWA1g~Xx7v0zXxjcdvW079Ke{m3QdnRaASQkwN3#DLdYm3{_H1)<@CIq0vcQR zd#3bh3*Su?_{@FXKL9%JRQhViIV(+?apHE_niQ2=2L5KD`I}+>3Vw!K%c5L24%%~W z?QaE~qtyML18`%_$*$6vf;RfXSpEYpf1X?EEwr0CAlbV=XG@kP3#%eHFSjL_+Tjd3 zbhtRKcqJq?LEQRuB3m1mC?=Eep0~gk%jJW%KQ2Ky?M-^klj35Bs0zk$Q)WV^zI~~u zi@6b3Kcq1zoIk|>iP~82@%zTyYNgFL;96mMMqt;v+C0xk6z%cmA8{kD{xF44@BAPK zMevh(&^v-hh(ZIR?kiCg{K8II`}9Z-yXc>-^O(1TYbnG?`$~h+%`HBVTvIvh;EiYE z{ZrTc8Hekr20#L`Fq zF(#l3OJBBvG}HrC-vs&dfEoQKtBD@KWDcR^@vZ!(8%mL{FeNpzsh4RNZ|&zqG&%s! zc1D@FZ@v^n=_&B8JxVj%tc$_|;xCBTBGwp?32v@VMWrhz7k>nTmt`uuXulk=)ITLN zm{^L+(KtHs1tGiZ$VnNE7sFjy1MB~W^6Jny6Uv+&tg31OJj!OVaUw^JyJRIRzU^)x zM&`&jIGk z@Mp^%0jkGXlVVk34yX}<;A5S_dck0X7n(i!vt{vHi(4-06G-ZWV2)3<9UKo%1^odB z8Hw3c_lJj7%%8c;Khz+w@7@hG9!J|q7$*!DZd(;I<8c_h^uDQT8^~KENFNoY4u$Sn zuOgF|euzj76|lvWQL3>v24cMg5*X&#maTt3FZ*4h3hHpV=iJODM ziWCif#^ngwb7Vny6~Sl-F+z2Vm=n} zUwv$>=vx0%bvE7vlP$e9=p5&eB3w7eQ3ae2@h!ohdwm(|g+_ED)%_JfU`_%i;F*-7 zu^-MqxX@?75Cxx1cs1xD_xiv0XVc6j6)u&V&;;9buTB}#d0L+P18bwuX3%y*L zJQ%Rnu=GKz#OY+h!XU5`mxcNZW0stPpB;pOm{+@mPmF~%ybT)d3=o`T?w=m8Ey#_h zM0_)7D>sk|X&h8Y(j0iJ-+)Mc*_D*(co>5_v(_zcwsMBWr95aJ5D%$$&`z_EaT><# z81XA|R3-7aC>JSHwBQy8=#sPJK9yHPFU@k=lW4CG@YRs_H-sD_Va>V&LPjiT=K|0+N=%o7rFW@RsbE3uy zsM~;P$_T@uS~+Vt6A_csTkB|?glyG%ehA9Qi0`I%-VoB3*Oq17B2rQQI?D0}$4VK9T*Q-Mcv|JV`* z=>3mYRUg1G;D10DehS(3XX6n7fnV(JQ*o9Z2hE2Xt=5j6YbQ!$%ph!AgenZk>W< z7wP1u24{gK+WfiV?%J30CCB+IH_&ctWNZ(1K%b^kn};Rn`mQ-ZI+X+#Zl0d5(r$n; z&<#|b&7AC&Qy@-HAw1LdOTQRJY+4h56IH&Yut>?(LdX}%(4@=bDK);lx)rGqFPB6m z4sgxv5%aJ)=m73eU|~zx%jkB&dh1Kk<)i?wrvey)Td_&rALK?C#Tw(*CDEWzcB<&BhW4%0WH)*N$HD0B5vZEk z0jLIa^3o7lnQ%b#*(0Kea)Sh2e}p#qZO_hLX;TrU3T~!kN&VO@3~i~T{-*xkD#toN zUNZYuK)Wp|-rjYAXG2gp@ZLM1?R>$%*NR<9s*}%pD zp%*s$HYAwVuW*O_hmWhX0QOqFaq4?0K^zC;K3>=I6=4$^r4p5pT%@BbII0asyl3{d zzPUbASgM~{LLPeBeXQm0lvO{Qd)~jIA5{yestmh|lsMgly#m_vj5@QNNH|wci#J9O z1UV2fY!=HAAg`&XP!}9^x}?OP?>B(I;}D=HqQLZImZv1F)tB%E@EV9$iZl2m- zIm+wFL1mNO|735SSN!UzM8XA#GUr5`{RSl4mQCaa_Qtr#!O`K}XV#Pzl$aj`mJYIy z^#0j?ciT&lqo*L_sN>lMNL%7Scf2liYw&KfJmp)HLT7Wu9T*Muz*e^NoF-ks4QSLm zkpM%S5UUmG2!Z!$s8q62G!`t zY3Ph(-BC&hDr8+VrP_5el{-ehjp3T`Xd33h$15dN*u&NExZZCgg~mF%GipE8x~?uA z?`|BpI`|!iL!wBz`mGMINNL%(Kn-p>2Cj8F8POB(Q*(Z+7x5zdPYcCb7#odssk^UE zGXHna4G>Ep^vLX+@IcE7XC7}bqCgW=Rn><6isA4kWRGKf;ns$V>eP^C8SWt)v7rZjZFI58iT~jOSl&6W5EZAJ9aL%PNk9CWmu=hf3$PCuYDY7IN>=*>Iw7_X zESUvda9zHvTf*maE?8qsPSYt)wZ*Ie3i|^h!ul z_X5m>4xvOS6m|xVH(a%Gj^qKWQ=JI%5_zZaw?3t2BR%9##0&C_{>v*LE3#R1S%ISO zT5kCvJfZeF?f_k#{R&=@@V+A@B`1tC4lnG#9Mq6jc+H>K% zLg`@06-yM2!Cc2==~C){lv77^avf~HWjWJC=>q?|&Bq6(wVzL*`eh;bt8WnJ^W&ps z%>y9o8awgI<9iVk2qopG_k=w8d-QK^me3tS*}{Q=Q)k%vW(f+vN@WSjkL-+mj52L# zlyG=(nRD{^y!G>2+QcRdI%+SvB?v0d0@m`PxmLj9co7##B(THIB};TNUB1#7qE=$l z*|q{mYrmtBvUN>MjEkLw2=(EJmfo`2TZjfj*BTr>uXXhi*1T3MepiP%Fx}=eklx`%YK^g>v89IgzK|xZw z^Flfm7?6IB)9WAi{q0@vdcHhsT^|{y=RA*dKlXjwep_1t+ZdphQd4I8RgQErD98r& zt`>vHP7x>zqEa^IQP`GFV+{+Dc-TwwL?>&g4+?zuM1pArUgRie+Rj@Rpm=$osXoW! zn@}9O6AqwZX0sPzg?Bb}f5jQ@?q<{7aT|=?_gx`Iw>C~ZRuG$;;UThz)UzIU^|I#! z5oFHu-}Lgz?630w@sd0Tzoq@-t>TB+B!N7}7o|SuJtTBc?Q_(0Cp$-lmzTao+yh+M zuBL0>{swUzwl?0ear~77yjp#zhPSJ!;ur9?M1Y*NzhLHwyQw5E$X(2Q+D9B$zvI;*s_iO@uxQ7Q4cGby%xsm9L;Y>sQL%u z*&u7X9Fq}e#ArR7%#k9{U1PN-iTw>-?+EEg3eeb*T$Aw*xf0h)kjlAydf$pi_W#FPL>^B(M7~WrT1>Kpfe!R>}{Sc zqo0I-*hST&>Rz$f8?de>CX z?F|Dwq}^Cf+&|dIrfQ_La00pIdplbnWK_>D8U^m@SJNf%d9eJ_AGqdu4{n4Y{G9va zpp}dv60BrH?mR2oF=6jU+;dm5lQl_rcxfIBVxP;B4a#e98j=K_WsUpXvdW>Og*SM+gXZFL- zcTP2N-gp0;hZ_*prrJ~|t1WjIJC+|apErUoC{SxmAgC&yjU&aM&{ki)Ik3w(e(wB} zjp%ZwMf?x!OZFiU&E(ESxaqW+4Z=-H+)cy^TRt%$r=fZ0q+h)Lm^af6R5Dq!4RUm*NR86y?7aeG0Zi!sBTG?Rp%> z@m2w4yl2a#Y)P&gAd7*lWa;jiy2tnJKVvIly+U02#5<8nO-jj@B~jl+?g2*-&8Lht z`LW$c8_DbafBlh(H9`BM@r<0gmHEqy8ntEeuo=JF+tL)FI&<-{(Ye|b6k=8BgL;d8`uSz6uj~-pjkZY*p>VNO+vAPBW%K%+86(r)qrHB=|&M= z$O3R)(#uU;=pRn=X5ta=HQ$miLG>f}PX)zYZz*u^Z}eO1AL2`^9+RJl5Q^02JIXr#dl>+_~lEGfnE__G@jF|sg$gw4E##( zL(%6f*DD6B&!}G)-I#%o+PFo<#x$z8=Q?tt>55;;Jc-R{LR>S6=2SL3c52;+3$U@h zZGP>?}As=9i!Qr`k`M}miOxPJX0{s{Cm ze_YE$*Z&#lf&uNIn=Nd_o`}Ut!yPzhjfVwAzqBrNMTTZekYZvH*HORC;^Q0GWeRX*6JKXjJLBS~yf6BIF zl9b6Gx7pAOZNN_Cp1pZR7;IH)yavPxc<&q#(2%X%hvVWE<8@7IsKs_aV!CqW>Utq9 zfHHg!Pq5206Q^vt0MalH;Ces;t;$jS&q6IrpWWkr38~HdGtd@lwG3)0@!Jv3RR)!; zz8xm&lnoZDCjp*xmhVvrnq`TTf}HoLP;RXA65tZu6&e!;lEudb`Hc%w{D~n}(XHh_lKfR6V=>nsUd({uBof`D&NnYSQ9TW-GY>=NFh$n(vA0b89xIa)ZOR$MloJMEYoxB37d!h_j zwaw^Dl*^tA6FLhL3Mgr^>tOSC$}~b$4Q>GET@@3<39&YTX50Du25a|O)R%!xclgRi zBd{Z;Ye(Uu+0>3Ab`lD59hMU;!L{-!gjWnNjq8_;+f(%h6KwxF$a@T0#=0Z6+euk0 z32of{Lc^2KENNL&d^4`TLMRFn6)UjZSq6vEs<$z0nInH7W?H+LY*SwxP(Hu75&~U` zS6AFdv~QCscl+6>(eT4UYYkB@7qc?)hV7n)R#(BS9!+>brx2U-XH=6(k&#;mF(sAY zhn@oc*81aJ0W=vWX95()%?-4w@*O4JCSTc=x~PNA z55cB2g7P6vxd!bN)mjB&oS2ZRK|7(G%{v)1yakQZv3S@tyh_fQ)9fWWP;(|lSupi` zMJjRSIMN*@)jYNR=fb(CGuQdJHzZ-6gcAuhy-aNI#C(OB}nZU z@$Q@ZEK93K@rKXm$=?Qw(MeOJ@Ll&c5G{$1rv6ypv)>0fPf=lvoG>65c#5$9)n2cR zG-7?8sk>k$-J}wm{ib=+-lu8CH+VAr_m70Lk!#zadA}pHU9bzE&l2}6v+moI*OU46 z$SM8a)(6u>t&TJRxmBW6zD{J7o@<*|uvKwHB)=iaj#ryd1U5&(=|f9i+N05I@iRAG zOEJ_stZ?6CXQ$vF6KI)m0;6m}banxq`vx~Z3uwkTUBa(}QQLu#0B9(shv~5v-m6zW z;282^%crO?j$sy^HFs%i(*=W=Y(DxozweDz6R_OFA+r$6T6suD3HHU)q1lzmb*HHb zZoQ9(6sj>4apfDL**0TaDO1JCrkgg5X6SyCqIxyy!e=gG>E(XExeoKT&1m5UeH5pn z#Xw6iNla(!{MCKLYUI`?&Tui|(qW|;g!SK%UVXPcAm`uR+eiOfPhorE>DC@H6_vvbp#z{u&9qDgn*jZu2ryjNlM&y$>i} zW6C>z*48BSpqzv@(FUqGZJ?+Z~Kff$&UF z*woE^sHjP(Dvxatdx*M!x@aI#9jP``KP z%w?9yoC}NXj>fLTDefvjxZV1qWK)hyb-PkxIs8JBpP* zwN+83L#T8F9r06*d(Nd6@S?PJkYj3J_{PXB>~%@H@`PKfmjmyk>Ww4`n;|ClA)B{VKG%N&hsR?>n?kndZ}Ph z;N@Ik{JW9#1FlEBmcHzyYA~Cj1u-iEax4alwV<@p2q5H`oY1o41~$%BCJi>$cBb?~ z@mlMO#KylXpPbXDcQMd2!jQ=n|M57yN@wf=t6ETaGRX#V)Dzf$g~BuyED zW4du%br`IamI$43@6i%hyYkggztu*VmeFwS_+#^UZtw|Azb03LarGV-c~XsVJ9GDu z=hc)7-% z%%*Tec8eob?Mp>Kb8O0EbTUvOaSVf1DSv8tlb)BAYJBRp&D>d@l__o*Z|&G>%&wYE zP5mg<>z3#kcU4W;Z0-hGp0ufk!o$dK&czs}grm7~+?dXaFB><}%4bE7f(!GficY#i z=B7xWqpQj`bLWiBbt}C}H*-6T&1Y!RZS{hKshv(w^FRdfcfy9jAo$!<({74Avcg!8s`QbyX0ppbGLhOoyL$7^13`Nie2fc*HD?#WLi$Lu#ZOy+i)AEH`)*Af zK{7Ozjn}XhUB6#l*kX$Ol&;V<5gHURa#lo86oH;+m2d9;N}NKq>Gq^b@q}b^QVHsH z19e04Q`kN7PA^p{uhRTakSYB;y|TUU{n3({^LpvIyxe^2NPX@x!p7WB(^Q)g_>0}o zYB)%8m-}QmXA7Kwp|o~$`&!O$y~Adg?_z|-X`T5sXpmKQ3V~wL~<@Z z|1Ge71{u|>1Q0gu%e(!U%zEkV8f@~}h35y0Y&-GaSTKd92F?AV=j+O*g~`_W)nE#O zf95q=KmWLP!9TWp@2CZj%*}bcM^FU3j}@85pvPe}LT&S|g4khydL!SxEdA{{ zW}H6A+HJU!y;XKYdJ6cO;vr=-72VjwtC#+42U_9vyfq3`vQ~8TKa8nFw4MD1TGcdD zc?SUCNM+JYhu5QY?@RZPNS$Ke>Z=jd-8$^*Yo3f`lb=JVXmTD51L$rqkTa&0yHF>C zexAhn*cH7+ z^2*rEK5D^9ws<{?;dpLA-8O1Ft|SgcAwnFoogQGI$@S_% zcK(bFA@h7y(_SD`E6c>;j17`h+qF@#=lP;FQMtA$@sAQOSTb8umZeQ>#WG&ca5dhG zAs@muD#i!=HS<@!#=UN?GLZVH_FF1i31LRm-js+q1Lmj|C~a-!3; z^?kmOJPZ7uaaz5uR>U3gRgQm|o#uZeK2eRhy_mxA6@(|#Rp?c$c0cnY8+TFV1YiCh zURacnX=Vfip?bJ4y!0uM^Lg=QC8R6bs8=1bhNR#aB?xw5?6TuGgHQv<2?EWd2p#@@ z4MbDVgt&KQSb0GEN8KepW=BCWXIl#pK=EyWi-Jy3{P$AHsK{Q0RDsVjKRas|v08_8 zHXk1`x?IB7_<^$d;;Wq6q*1-HNFw7UFLsWuo*2CcPr-I3sk~6XLt6G3F$arlheIjN zRzTV2xk$RXjf+D3>f_fI+fy6;%KQ03CtB$5W)E0247<%J^%ovCocy&jTQ_AWY}p(6~KQDMDcDz!GlGMzxWYNdr^SQmSu7vbo`-EH7J&{Pg4 z+9t+B7MU071X7iWzEwcpUsvDlWfiZ&o>T~lIs-g1 zd@xDg-&D`Zyi84_)~H?u6jCeR3SumDUk}_YGv0zox4u|y!eoLtVR~eDCoG=C34Rzl z(sP+?w?Nd*$YP^;*bP`L$*A&kwVVq}{<OJM);^xMfEgfUN-|KUL~1Wx>q*Yy1F4VR~fQ&POs-^avF6_9e#jxbz3TIN38c%?76a7 z$sjo1tCF=No$cHNnk$b-*^*vOT9|73kPB2Pzlm*&bte7`A<84G-j^Fn(w-Y*&+wN< zxf0NohzUVslS%`a9(%F3#ln_a$Oo{xFt=f;b*eyO@ zgvl^|Eh>OI(s%?_dn6^=S7BVO>@-{ z7gwNBpFHFw;(hL)_LsS=yFSL2isON`7JYS`N@6zx3d}kC4PO|2d{%C~mU7U}v1{jp zcOL*7rlJe`nb!q`;sK?GPr=`%hRm0ig>v`TDd|lPww3`lgwu#?5pr&V6)_VuRFdyT zTcv4AKm6swc&a#;=m4O(pGTDtolfHTj+-BM9cZWTCRGuOS=z{=X5%N~^CxKexZH9s zNQ|woL~prGjb+YI^}r9nbUfKP>aKNKI!QmIU5j}fl<-d1aylVq!4x^4$Zjb}*uQsu zGpfMLflRg7@Vx`ldURix3_dzOf4eSI)fsc@Tr4!vHCiiFqLuyJnAwG^UbH8fVpq16 zGN;iVDdNJ_k#2ki>2OO?AN*{gcq!)PRz9O(x$*bC=fqcbPRK6Vvr)k~z~#dT8|k&R z)k+~s{L86{@wC@M-IPjFLvXS+6pBQYw0S%7jSI!eXK6N8Z_5Ycti&b`Z{m2fYRRWr z+2`_Ev&^RTRBZM2sH8Nw#-Ej`-RSB2a@`*+rI?Eqb=@{%m5i~?dvKv)&v9( zX#Fk=V`HoLzr)sDwdj}2yY4zzYS8l0Y})x!8=l+?EN>e)rrNxTos`1M9$s26Hk(GUqc z1?ysBJTwKP-^_j3!@T=ji4kGE+%7AyYN@DA8SfQr_Abw7_Y_`8wdZR_5dS_3{)HRN z4}BI#QSidXPM$9uKU~Tm^Q|9cQ`t?D3jsxd^!*lV27B|gW?+_tk37zr5J2oV0=B@I zunyQyR9m+!u^X^6)t8!Hg%_KQ%JqQ`&yTR-Za)NP)m~o0HGaicpcIR357=P)gOz?`(+|MbE{{193N50iNGfkJv~SKi*bTwCk;I zT05mVbgguy37@T4D<9yH&A5MUg}Nq9iYd!*vJ!WBBR)D{R7H%Y8jT92HTjvTJDS7K zMT*A&!I0Z-78>1}N%ZRa{#y%RjkfyuIVk0Uq9aU9cC(%rf+L$AcuayB3HNPXd+`p` zEwduA0S=xMFQ6Zs(n`g;^t9Z_KN+PaXh^mY^i|L^U}ecf1RQwuG_4BDZ;xB)GvXBS z74GBSj-=*gb83e<*SzQ88Y6kTu(fA5^_({uT$73xJlZO+omREkNmtVYy-ij%UT%~u zN)pG2bgaw^GgJi{aiV)cThn=YUV?GjgP_2S^~e0g4CZ52)CW)0A3APQ6%Jn2jj1h6 zFX{_c+x^)Vyh?rdgKWWbpxxiQuFks_lZ{m8C@S$nr^bZs@z^66>`1u0L=*OqB8kM2 zn76l)hY2QS`Z8ym2A3)2Pc_oG@rlgB^yh)IpcjOMy&CsKKJF3|M$J1H4XO46U~xfX zzqv5(R#=AGGKt7bf9ElNK%vv$`VD*Vx7y~g>jml&_Hl9xn1d5jGXrAEA*II4XjG`z z8_J?^W+uujg|v1QJf-@vQ%R{K!B$L22hHqZs)iE>IABgnU72M{)_ zK2`zBbqfc!O3sgvXLz|M1tJ4>qe?h;1P7d2ZeZdr8m$t&{BFT(zsI3+D6P`8qh=1} zyf_}oZrF1vjAzDIgR*WQAK#s{}o=?W1CXwdUz-Zs;@|k&Zx${#iHTS6=iO4egrB|-# zI%;$H>Jt*BC3#sqlPLPrE0f!r=x0Yd@hS!Lad@t7Ekjrs&_r{2!``S8TdIN?Pd3k3 z_jcTa#h-fgy4u9PXSI#`-ND;+A=xsy;P_NiqkVD$2q^sHTnz;jJu2<5{0u z);)j;9H#-7WFv9meF!lh1if6-=Rq<>1j*d;i09Vlj!Bm_H7ka_$HoRqRIitk%Q*|c z1mHto5!kGflo0KWRNtF1+bp!%tmg6X61J9Ur>{|TA=5&mbd1eb^_Y`#4i-&!jr3a0 zid3t96giF<0Pdf&$@z$ZfU=L(J8KDI##zoV_>HYoiE;bJ=QxOhPEC!bWKfNP_b2%5 zcN5;O;Jo?C$nFU7Gs=Bi4c$I|_OQ=Drp>(r_c z?00!tdP*|PwsPT1=gc}}f_@_l)XiXOH%gy1De-5+jrGzi%5iw>8j@Q&64fxzsgdC_ z#yd^Xq)9=h*cR+m0E+XM=7C$=SZB_vnXP_N_%+nOyQMxwyyAW01t4$fIxv!vgS1#JBSef&s zd%bIZ$yj%GaJ+T~DY^!cTyK5W^ODl+bHqHj5H-IjxyXZM62N{CiTS$howGrYdGpit zM@?Q_sWCN~RTczLn)F`cK1|8)RqmR=?tUfG@D7?#=coleOni~grSxb5apJ*go{v6~ z!Q(pejV7t07BA}?^_Gyjklx)cd>q4Dfar;D=&~C3 zn#TLcjqNQ(lLk6Hj|5ACrtkNPXIf(cfhNKx;>I_9E5umYluYCbsJ0wi%qL?CqD-D; ziPRL*Nw+W}O=XM2DM)cPxM_5ltGFEIJptQAV7hqVW_K;O+`0Twl)Cws*cpe*Wlo=` z?j;17lLF(S>=ZoQTeD<|w7`xC7<)jnPAl(V^$@$z!3cPX;*Qvw?m%c=`oHLpuEZWm zc&Ln@VB0o3I%h@kT!F467a53fG ztKoP_;C?@_={3W(9%+W|R;fuE@nBF`C4wf(tt&L63|Zm@&Y9X}G9=XO>)EnxftWfw zTi~29*4qdk`$p>TJaCoPTL)8ElRGJarq^_}>B-T^i^V76BFFgqa=yfrS=mA?ik}VC zo>sv^D1)<51V~&(UNj&&mPlT5|4doFCObV*crJQxDh9R(yE1ji@W?dJ4l48brSs0Ijpw6} ziJpld`@aN|ZjXPKeQf$;%ek{AK$&nP%-35K+F>r?MGGnLnqnlaGJu9(o3-B=Ry?v` zuRk?>#KUo^Ik9- zv^&Jg_&3{NkbEHG?F3di%>GRNB`2rNYs5B0hi6WAigo;!TB=LL%-5NyhT9{o>?SK! zm=R0z)~v|&;n5K3n9fchdqPouSO%>2d5bzx~hl#ditx9D#l`1tN%Onm@3uFbB~53-u$`2aMhLUo%<6Wp7e;vwvV{ zl$nhKg|2!gR!idscm50c&+gR@t<`M@4m~6?oIK~U?=*XU0bxzy@qXr|HKg%ftaBDGo`quGDsd@^Rsay{B%l-^uC~94AJ|0$re*>cAgK)Rl z@{AIRATqR8H7EJ=;#7m2+N*y|6rX{+WcG#X1eN=WtPQOH8d6CXB>ZG67h74tTLnEs z$a&iKNT%~Qd5!Ys>kwQfFIR%1L5_K?uYXElXA;k^Eb~Bh^pew8=Jq6*0t+xusCYp# zBy*+EL|?pU5S}g=C6(8l<>0p=m3KSbtfNZ6=!f4O8uqsHbyNE6Y@}>QC3Ry45R6SG zdoDk~wb(>dBPU1CJl9`%*r}r;@YjawO4MO<8@G{~1sv>NWKB;Q-_fwWy!kW;q3kLAI}nhe zEGU11J^IrzbmPqpL6nrTTxHqcJbb~$BF&KPA?69 zvoi-37LUS{UR`~7U3+o>OQX`zVU^8D9OvC3We+Q@q>lo(yEaiwYyGt!ywRf(Gho5q zR7R#M(`2?ln=oDp<@G{2FluSRAA$tLY_qYU5HXSf}LQZC>VliHj;~tJLl@gjj z9WrBYm9<2ol^T0{RRSOba^E9Yk@&}>O73Qxt{emu4pbuc3t}}^R0pvda_LnPjzD|f z;Fpdtw22;uRs7H%I4{~_#$~IOY z)<7=Vjqi=+u%>B8(YwJEoDT zRU4cn0pPpi9&01Sk!hZb_*MRjHl=;0>Zz@nbs-bxK9Le|Yuj3HYAUol`B;=afWLE? zG^PL;LQuo~Vx*%XtD_xf6KCBeYsx<}iDi1fbfS$De7W^XL%<=Rr6Y-$Hvj@{xrH~@ zbU8b#`Mf*XmW9jTB!cnAi+w!uOe4pUNpsI3au&z3#NkkaG>2qrIMkXTpt|2JZYY1` zCMKWKUz^D-LSVrcH|@ghX#j0g9D{I*R+W?q7e7yVY_a-|g6br^$LHYeQc5a(**L}#B6hvg5Z4g0_@mT*^8kv+B|TX>*Dd>R7b<|JyD19czeF?r9UL+sMj zq`&PAzv#2XJRpnT zsAf6*fKgOnm2A}44+}=p?Z-tXg!5zqV(|RyJ|UFYSHz2|*bO9bG|GE!h@c2lKmPlF z;PEL6VjG%yC^t$r3hZ362k#-q(jU7Icm+Bsurk2A0*Mif>-c+S7<#OLf7yzlr}xvm zS+K+g5@XAE+}Zx6j{oyWKNC>%Az?nCLsbO3$pQj){_})a@H(Ps4F(Y)JVCXQg!?5) z;RDiU&>R2vJ-$YL275;J!I1SLU-j~Stt-ff)?xp0tw0~xg3GTfj#)$fw@MJ1Sjx`ks_ z-gW2z4mMi|S;=kq8Ed$~)vj_t;%ZPDJXw#BF5xe^lD|KYUn3p}Kr#&`p@Ha7HCt}p z4oL7)@Z_N0TfKl~qoRQavEcw9AHOJKKBgh()hFKM^c%h|L;hnNKZDGsgKRQSW!ci*KSkUV9D@|HythTv&1Zhz8g_gt^o?`)Hj0{$E{O2WUGRH~ zZ4-8mE~_aEoBlCl18M4TvCgwU;0~ajyosIbGAq$V7Q*WXQqohw+;A330=Tk?H1Aqy z4NwG?NgwUyolIu}yl8*D+x?(SU7X|`fo$?(YD5+v*Df!1FK03l5{o=C7FIgXX+al4 z$Pen!BR@_u)3AAa+xZnqw^rI%l)U zu-!U)^8cy;2&+`U510VyCY;s%lo>8T?#Vy?eRM)cU=QNu{6G3V6b)jM6+QuvQ<~b7n@az_kU*!f7!~BpyTPROKdv9(ggXYeF0J0& z%sECp-@6y?oKtZ3Ki5KEv5!O?AJ)e5vfk(q{Qg3Fv7o)#lApECbK}3KY!*a{7%|EZ zf>X89M-cx(DnTbcchFV8U>i@pXpSxl+*a}N{{f|p6 zU9=%MQHgeRQ}DsL{P$CWbG;T^EkkvpRA~Qu8}O7s>4*M;NuU1bhx=E^9Q_Evf8Q<^ z4iO-k#V&l$v;1Gn6l5L!=dJ$pt^RYY{&QOWcVYTxvHE9S{pV`+&xQ5>bGfpKQ*?%f zg|`A_1pHIF{8MH9|EgVoUQUC-Di#)2pwWe%vGD_EtYv>JY#d%}g52s5Av{7dIx%1H zH{SazccXv2fz$u}7r0sFroEU|c&Fr_|3Y_L(ENNHh=K@6D~~Z5N}n@X zo-a$7QFh+1zS~BR7#V$h=o36X(IbD<~@{;3ybf=jXOx?&65& zh*%%(bVDT4-6F!kq4GdG{TCs$n(_LOm->Z2fs1iy=r|8CPVYh8{en&ijp!B^_cJtf zEJC4^e_;@gT=+jM!cP(&Xf*657Vpnq4<5y$D#!ev5hKyiMfAFca4tTIBjj-T?6qJ3 zDt2^?z`FF(>lf!h=&?d@ah^hY;N@Rst?!@D2#b&k?a!Ul`Jw&}t;50*qE4E6b#V?t zXy5tHZ2lH$e7q6QAF3!ON?Y;fQuf?LiL524DOVsUq7av8(S-$wS|7R#*vi~#G z|Lv&%bG?6I;s5^_l}^?lTOwPJ!K9S^NIp%9t5xv0+;O>LyD4A4vB@CX++c5O(X?p5 zgh@WMw(VLSwpuz8(#0$<7=t zLF-}L-pI%11MjT_Sv}9ApAZiSwGH3M*SNwTYFR8*?ptuY9TO^WSba0ytzKkie6*S4 z9(l*Eug38z--SS%o(vKK?Iz}kb5jIcs&u@7!PY{*W2;e5cH}L#H}7Y=GUP{ec`ig^ zXgc=I_jeHv&~5qo+R1ROyYxG4DeecWudQdkc}LNThY>qGAb5TLK*9mY6O-Jmvjp*O zdl}p_<$=EGzx3(?@7ezTOl&1kOMM>CWmrMpv8w-QGt9SKUXb4Ng(;`J++56?x*XU)qqZT2P)xu?LapDEUgJ<d>W{#_H+}ADJ(ph| zaob;fRrN!}eSdJY={2P*@$Zz9OBZr1Ey#l*Kb7NxA4o)KYdS9?+F0S;ovlx|H44o7 z^V{I{A1*8${VNZ&vBf=-tF63Hb=4z@9&-w=E?@f^$lD%+9 z^Osv3&#Gi={qHo_eZAkTW(p(OLzGfon1nEv5&D%x;y-NHo^Axn63Y2+>`uo=4_cJL zD8i?rF1#Cy2pEA-p7Sz`T49~dd{6TiO2JAqZVfQ+=KbX=%f}-Q0#A@T+85F^9x4K2Kz=SY=+yU0b(0~YdSZqA-(eR zhV*;hMkTm&-nH`r1}cG$)YdmqSXrNGPm&C{`?N_~@Q_%P6=^g32AJHuGg&lPWT{s2 zg7E^udb2rRv#8vis`I?|bgeH>w;9o^*@!#K#^9b0J@qODU(|i{v$LIP(NeLzk)_tt zAA_Q`4(F7i7``9zZ%6(4;T^p+T;^@1^*^pCfUYLAcI9R6apnFJ6a9{gZMUNJl-U0I zog_SFjgqz)r@4%gLvQ?IwS`7;8q1BTo0lyX8H6gXkqzE5jM3>)HH;PNy~FR2 zi;6)QcN#A~8$umeMW^1-&BL8m?L)%U1hF3`ahQYnEk0TOdBe|bS`29s{n)(eB^e}S zTLtnOk|)JGOT%F~QmzrMPkCYDw0L0GN~j!Q17k*e_KX`1BN6@X$A{~7;cJ*7M~C~- zniWpi4PzjjX~U6onbkEi3BFc@7v7)>R$7%x_Gq_HHy{!lj})tNvi&vX9fx58?0cK@ zz1&eF+%syF#Y0xUx429c#tzWz8*LfCx){D=@n7!b?vn7_L-9)PL!uIg}$2j z`_XQ-;WBa_uBps;{C)xL$7tN{;IikW<)B$Xb5pmnR;)erS*)^1;}>^Vw+kLd2)>5q zlU!Y`(O9WLEN)QYRILX(=3MsS*EGf+BKlhRg6K(;zGp}o-q&1nBhEBXvnpwwY}hx>Gy#Jz3)c} z_NeIk31K#XLDV~oEl1lpK=@@^AM?5v#kW-Q!)9>+@wi&HQMAHoQ(}K>@p;t)vKQyc zMhIh5`;(>+=63|VcBs@kmRmWi_5+!w5h{01v!yJwHL0j6zZie^`^zoeS6^=G2<*+= zFL?XsSwZvT!4NCsmY3(Rs%8*E`R)6&7&UshWUr}AKj`re@q)sxPsbqO=@vcj z4fs2%eli7*f?>NsN5TI6o!b{InTtK+Nm69wF>eeB5N9p@xv@0tobvAG97f9OEs%s< z&3n@q#4lZ8HG@iS+5XRy>DWf-pVbbkwmXHE!BYL?-zt6Vwy%lbGbz*>jmvAXv@$ z#9V%LzEKmbzzjkQ9`3aiz9p8d{d{gW5>hI(jJN2-*848HLN=0~A#e0}E}zXjVF)}o zNeXY<1e=GXfxP%^6vFg3V0Q3!zw=*A5o|=DcbC<{Y8IP&6ymNaKY?6y+c^GVQyNql=`b^UC&fS2K*mhc6GLG8r6 zX3F8N|L6YuU+%xVo0^>{VzO3?R#k3g279IeiVV4b4js z=ox4gwFQjP83@1pI5z<`nAPX^JVVhFw=omTuzBc)G~RKYO&T3*4S2@{x6knPT{Z5t z#eiYVulLTbLNigHq$8WP=|x5J0lV@38QSu14%+uF&1#ZNL|_T5pH(_7#Q-lWY*{-Eh09Ryql1gu)zv65e!al#?0xqmb>b`sF8KOdr8F`-J z>%i`-#}NG#NlLck;!X`9y1 zEP+EscpnUPljK!f_5@h^c@X7h4xbR5%>)gai^`%wUsia9k=m1dbl(@On9fX$j%5P& zfC)p#IRf2`Hduf>4v#N*ia`SdGM@6-YJzt6bUj_|a}!L^cj(Lee4!j9?!SG(kB zrk{g=G!VZWF~QHma~={zg25t3iLF<)KAV4yix>L(42zTlP7)O4+2nTBGtlh%(fPjk z};V?;{im z0=EW<%~v_5*xrYJcy+-S_)$Yt;t2l+=`rtO%={NDas#`c1w9lI{iC}sa=t8AP`)p8 zPv4MDge;q?R!=MZLW&`zF9w5^erSAq=mNWqS~PY&U-1hab)Yhs;KS>eFYG7}Ar)X_ z9ns%2ymM|Z$+B;f;HV0totc3oU3vfWwa?dah&0-;=Z}4@SO5Mp`2PNi!QY>s4gP%p zV9>3o%mq5WM-Ze98%zzcb|fWH6D)hW@&2X5E6hJ#YF<_zUU8Z5%+H>V7jQ-H?vEZ@ z+;!X0SqFto6bcEj)A-^UNGBN;0s5!taeuy+jm5!UPP4w;1n0Mp&X@5WMpb4;HjI8r zp(Qg!=x}ed8I;a3#ag<4Tul$+UET~7TQ2j{!T8*EC&|_i)?1@FTKPLAqBt`i&*VPM zQ43Pia;903ah>TUqrbyjO_~d&2PyXVpgW?^VH{R=X3g}q4WT0*yV%{>u zx|Mu)-<$rC7rBvJ14CK_Xg4nj$V0u|Tyj7|(2w_q_`SjVH0iNo# zb0Sr8vFQ?Ik*c;yyxT+8mzHiE$54{vu7UcPbrFf`=!foe|fiFwZ3I>5>BcIiT$od~| z$|%dq-QUch@u%NeSuB*s>|ZXOzS~*yPPaFu-~ZG-sALk*3baXZNWFioH+!Z;#&Y5* zc@y0E8#tUlB@BHI_C=HPa)n_BrsT{bDyU$&Y}_xIKH9(BveZ_mA> zuHSzZVcePO=+()^wVaU_XVM~g?22ZN>^>C$pziY9moB+%i$`UbKUDmd)uX41CCdLBH+O`m$9y=AZVR zB^D}~2sB+G+;yK{?U@eKVgt+9@>^^*I<}jmxEc?p1&{LtKE@rtzad5M$o9(i$D2?a zCbrwBfdra}HPfd_tX?iHH(5rG5eR?==Xv`+vF9wLxI&pVHCqQ}&rhB9FDk0_2GxJf zp$eUIfzj}=#z#PMDz?;O8EiN>D(B&4QTUJhsH|_qpS~R(>kUZDL|)J6Iq`NqeO>nP zDzr2LD7j2RxJ+@|wnm&S)daJ7&CVJtMkZhs)#Lo3ry_WwsumP~UXth;9}=i{aQ;Lg zb>?Je4uy`z$PDiNgF)ZB*m?K8(P6;u`n39P)MIm#$3t(Q&kH<0k4_3opqR}+(l0Ah z+LW@6V%PUkEi#MTyxt43ha_$CT?m4!H$X|F6&Vt9-&R^|zhOA|f%IcIRhE8Z813x~ z5gxh*ims4aM53~!^ET6;mbj;bJeZ`umy|X($EQv`Mo0=o;TZn<;mEDX+%Q(i+*P4M zIsPlB0Z@o44ur>5=I|h^(5i?U_zT`rYQXThhIJ9@_L#xocjlYj_>;R^d5W zHb6d97WIA*mn)HG_-fpHcnbKhTW_=uK_B_wrLQ8b|TiNTnahJe;v*+ob$XwjRk za;+s#XMqMK#G3o?7N7Mx2RZ^{0#EKu*raE{xRbzB=gw3~yh_a=X_b7v&yl>gnUQR| zAKR(F+%_-#y3Hpdt{M~{U4Bw#3bBK!1gTm$TE}iR7{bw#0YvNQ8st{}{R3VzNC`&& za?(=SaulWeLA#MTv8|vyT2FzYv^4;eqDPOmiVgg@dPMfdgWOLhCh`@S*$21NomjC2 zLSl0qk$l{OAk>NSdiZpE<*nwz=IvoRs zTf&slT7?lvaEG^q;Pa*(LZf`GfoZCIy@dl+Hneje>-?^Fn{QK6H=ndsG#N(PWlF6xBFZr1l`Iob{3@&1;B9%+_m zprSIQn}4J2`BdO@g8Ctn##U*8-DIAfF|Tv*SDu-s#LKBsD{ z$*ZJMrsnl@OKh`__Zc4V;2M1$!JKn9b-YQJq+E-Sb4%{vAFm)ww?MJQKvPoZ%q#$`(6$E#$_D%vB? z%TKKbjME}nA;<{bfTumTt%+zn@+Q5^PxfD+8}M|juy;XTzEnedshY4GlM?gU1^%TA z`Hkf@Gn3`gD!p+$)&}+Aa^ablRfj!Ju^{mco0U$6jc6af8F`3JVLjc#wLR)y)&H*c zPBV$J#vj|;1tVYlP6m+aM%D8yM>Ou3hiQU`^%U=ZULSGrlJj{@Vto7>-4B^+{0M=> zeY)8t|7x4TK0#jWh@%w%(Y74N%yR|Ioc=$;?1pWXEf-KIro{SGb8KyYOY>0bwgq6R zraHtQZpL)aJv(bf*g-WHl<_sN)tC}9@l6|*bMv0fsOz>P<{Z~zHe+#CP9>5o!bqmb zoT`$sZ#vEyZrlrxCDWjAm)AqubNP6W*#4UC23mcUhEhP9x-S1FN^y&}> z`KJ2;{BMqSTiv6s+@N!4`Gr-8>%b{60Wjxnx3Z=BQ3(Qy8lFehyA~izmEb}g)y1+nlN9h6RQXIBUA(nfe9=8&JjVy?&7dkQXSGsm zV-xZ9F=*fg+l7hzXSd_cqmwQl>T?BaAGhF5|M+j5K5Q#&D)NVNCLP6_hx^;yAW-JZ zD$@)v1A>QRyf%QFd+4nfxBpMufNKIf)mJH=v}Gk{O}-EvmnnQ3k3sJDl7Y_npz)6V z&>z^PoDbw)G}xB`pHO}auqfO(f^|H?{<6M4$QlMT$GzFKii8P}Md}*hED%%97*r zV!os-R*P#zrd2&u?a13HG@*G&s|@E*x4(g1)YgOM#g5By7*Bfnb^sRcJlxj;Qg2L+ z7)9J?{*!)JXa@ic?=97~n2?o+t>y0mb=d=^*N?FZk3M8Yhm0a--Cy?}CU^fV?l-ty z0Qe16^=}Fc_SoFEIU!9|#4*OXmA}19g06zrZ359z;(rD_B%|8u5BgcSar1-I!~z!S z0m(Jf0MxHokD5E`%F}&4ebfU}cP`MHM1C|!e>shPqa;bSz+gn%5nC5t2>1qTuyt}p|De`$JKbS1dJbTnp4rkgQHpS#`q&^ zGsUZuC<~oKL4?Mt;Yprx#EgEO^qj^O{=Te8`el=0Q+TOCi+GkCOstrcx-bRUEdtDN zu!zZakl5^w)6BQ2?W*I7^?uOy>v2wfJXNZ7-bCQXXOWLjj@ot4OY`V&B2h`j2~mrlXzGS z+6B=u-@u0@b;W|vfO5I8?hb8nlfycMQ2ZhVHVHXrrOm9|;1cg3r^s;V6ll&{1oq96 z(0huKLz^yNy{WAPu~i&g>ayr`AjE%SPYa7?H|=5WwJ16*DjQJMib}#RV0jm%$L{BZ z==XA#^2%gclLfsBxNH8(pW@aGu`(L{G6f#H z`;p5!;MUW2R~;Xp6qj`#el=GMdGjSSHqL{&_4sM6;2^dOwg86Ab=5geZRF)O*C_l zUM;uqK`QGH&MgCevxa9yW0z+xJxK!4d@+vjk9XiT+iRUPXf!9UNhkQ1%d7)&?E(Ss zF{2r_=~rqR#_+WGk^ouI!RlpRWkLMgk8O$+(y?ir?+M%9>!8}wm<54$UFrB}E-Oa~ zSKBH!Jk=F|MR{<797ASNSFqo@ag(OVsYa631oh2DzdKauv! z7Kb0JT54{&OT;{BkFgstHmLE$zNOx|FUt|$KO&CsI7L$uoc?X@o+2@gEnTcDa`~;I z4Wsg@67LKY$De!`0YzutIy(5nf>~~kM9vhXlps@`UP17PgdgMyan<;s0{ z%jgj$*q`4@LFHeOcZXa$QL&vQVnS_K!)pLRAj*}z(ElUzPo(3klYOe9>Vc-Gf1~K9 zh7e{Aq@K$;bl#!Y4nM*U+i91Sr7I*KP{&EA1ilOE=!(31i-X1X!ZY&1 z>Dt8vE}WJUF93)@lNeE_Cj$jR{PI)I>31OF##!@wGd;?K$mq&BZO(;ShdoeF8M1>V zTSkNGd-M8t@?zbJC#UcYl^yuVJf@(7TexyM_*N1}e81K|X`p)`g+F}lvNZvKVzDOU zOroRPb|xrxyUTa}`u3O_>mstDf1>z3glAfmy-vV}WI5E{{S}pk0k3U8a;XKtv1x&s zdQ;12f4;u>v94%UcPNuHqvj|AQf9}K1LG1y(b@$3D?dr<;sa}K;{lclY3;fRZB1O8{oJ^$8>uQNsjK6hx0&BdT?=y_91Z7wzbevvx9R25cP~|6lHn^a6 z;OFM8I`uZ*#N=|hQAjJywnK`#)xH?L$)eoT63RA3DQKso;qQZ4h zrM~s|&InVjCQ{Hip*^7a0LBRk4fhRyE;O9j#i*mM3YI2>-^gPFRy<-7=eB2@#CA_O z^^4-$Jm8j2f+<6MlG7%1kJRO;ZuJbX6wMdlpEU4)9|)0U?}UnuP?RDmC!ey>UN-tF zbl4{cpc?aN@qtvW}LD4 ze4JUqanptL zIImHFh5p829l#J)U!A}Ty)*pa? zC+qGIOXL!MJnFK}PH$bGiv>!gi5O4iPSW6$q9y@}HM1XBy#@~(qlUhG9>#(JXK=7h zM|ONYzX4U1j0l6CV@E}gCk1r_iAVvCju>8S?aB9ggN#c+VRz3%XchykO@XE!qFadr zKuVFelxNYa0vLsXMO{r)PA&I}GYXfCK%rw%rZDzVIE3#U#1(P^=o*nq5n!}Vq#ifu z9_f6?nkFs>6wykmj8xzKucx>oy)39nUR0OFN#TiTh^HdgHfPh~qkw=wozm$CK6l{- zZ&v@8uy50pfT#h*j{eTrVo=61KakK~o2c)hF#WX$1bwR8dDl-ia0d&Dr(VM+ z(f~ORlsbAm!We?b2L-zT8_ed>1ay-TdR{~Bf44(7PzsaWFIQNJRE!iOCQ)QaQ#5z$ z-h^cIW3J|C?&2lgv(SY4nBmFB&U-R!P(W)$fPz+aIpr-xO5{INRszPD7LbEh z4OjyE3mnr|RkA(e^1n~L`)`ryg@6swvT5#!1qLN|h#6{HH+ys=OnYqvIHgZnNk{Oa zHKJe39zgU_C^*Wt>da^r@)){0Udu_0c&{)chXLIWhiz(%qddSb|3E%~^gMo0R& z-3fO=B>`gcBd+^MQuJ3Z+J;h%pc?2n@++jx4JX2vWKjBoj2V#wwobr{FnPKJE+I3~ zWeb3~nV0o_JOS7gQKa>EPdXt{oo{ptUx8xHq&ZJXaJefZ_}mc^c(LXbYju@+0-<;On`7VxpJ<`H_SX>m>sLk{D9Q%xMLoB+tlSG8{D;;>);Pnrak z0ae^HoiAI|SY+)^*2Ukk3NiM820i-$i0n=uw|m9pi~MleQB|*$;Gs>@>{oX{pc>+3 z_$ww@wZ9~bMD=a}a`?K&s9yh82h>>!PAG7#BmY{5SWw67={!c}G4kVYW(YvceJ{S^#uf)_|#W9Opk+xO`~!3^E(%yu@?Nc~Y$qMuAOe6w(f%*TSYA zJ({s7c{3fr@^cSR|D%pO3=Vs448RhN@9<5%RZsxOFm>H@)5tI7-r^NJ} z#-8;=G%#LW&d|QDxCv9tK+wV%+Ckeg$XXOCDg+tX7~fm2K_N>h#$tZB`%QP5z2#X@ zIuZY|JynKL0-;9X+e|8T@i68*fs~%mw~Fs!4|4PLpc*5cY0})`nob$Tte+NN0gSt{ zA2d{Fz9uA!;UcL?q{S~y(D96@H6}PK8IOL&7RHtLo7|MsTP*1OP`RkwY6j?xv(TqWvNGi3p8+WSadwO`!x zHVUTdMkSt(wduje5K^-y$}G_3wxGQjtqf*-kbq6y$~&K34#{!an2{}&u=>~DLo-p5 z5FNJpXoE^~DV-X+v9Fw+p{Cj1rgqs_{7QcdN?dlWtU>sW&eN^sjn}WeW6ueKMP|W4 z%!B;@G@nomY?aH&Lb)^)QuD8g#26|ZyL_gL&|BcxxSdSb59+5{VogU})+IRr+g|{n zlFm|V!vauLMuLWjPd&s_YuKT;65!LZS`z8=-L}0DLzMcwPM_yLeJCKWafE!{_#TU5 z-CKQ_R5+E3;+eeK3pxR}RbKsqDKYp+ONb?Ox$3x*=WwI58KnXUV^N=4Y^xdtZ|kLS zUdWpQP!tD9r4OUbT4H!cvX$^inR7LtvnZir9g0V?6+9_eaMV3mRdjrRk2%@YG-%Gf~vOLw#AY9f%ih#T(f6Wkk`;5H^WSBaCE4FR!Uxc_L>zzrZaFR$2-HiGzWYER?+BxA z@nYda9c*}r_U@272{4)?eSrXT8MJyFeNrX_fO89z?^xy)uROvXR}}xJfwmiQG_*#A zc2uV@!o8Y_W}@M#Cg=u^?&Me<3|Y524(o85wN&22o5_ zzB%86=0Rea^vU~LL4&}_E#M`8aUW{8*q2vnEpJ2`#u+aXr0H&qenkoXM=G56(^mdd zLqkQtW}w#b-=c$C@+CFD-MlF717UzWv7&P zv~X}(=>aNvv^Pv+y!odR6Y2+}H@s3W#oH&DZJ4CGYp)c)XWhb6TfWgDt{K1QQksu# zVRFZDqy2S7PvAAdgGYvF!OMHy`C90o=IyVc?|7Ak4cOK$tQ-LVL!R~j~g0~g6CGS$K{Ro>S z*n?XPwnv&JZ@(3fC8Ta4XdzlKC*UaF=G-Up3wo4Ft^f0nDq%RTk9#py?M`j#YB93t z>Mi!4$h#lr9rX?N+gIHPtw4UfwDfo!DLqikgx1czP_zLU8^;2^{;gl{1{eAZFcD9P zgX}A!LC0ATm$;pyRps`ZD>&l!{lmj$_tt)*ZQx3!M8JFaxJq;Nr@MTi~!kv=U6s(QB`Ot;pw`ff9 zNo^}k0DiKSaqyoC>hzpo5n7xVvse?-*V0197~LL(;9eR7G!Ms|dYnrz#RblkFFW4{dn@UD&%x4=N_`!25RQB4-vMn^obCTT2{K&c3 zapfNOX=5fWeF8Y%wm?qh-W;tU$H_@bDijhV@70XzJWicY;Jg#zEm$jW-SjI`P`XyWVMr4Wq_b-{kQ1mLVqU;@odn0kxv zX}Z0NI-sV#!gdGahxavmyVZUm;)vn6nle5+zDk@~p84HGJoCM2DjmK^fGIh*MGW_K zDC4dUoupqD`b1H3&3>fs6O)&Y_*2ESl8ESvR3A0=C~iv&zVZZfM#|={6c7EqjoFbe zYA6PZdrA*==E3j4D;Xs5Q09VkbsbeN)&bzNPmd5)l2Y{n5K+ z5*Pp~`DC4`4EtnpyH+MOo7hE_g*OA&t`GeaGT!(xm%3c;S02|qwRikrmId=QbwMkhRiO!L_9NJ%U z4@aL?$y@LOWVUGsXN}!=@;mYFmQvi08*Bb_YP8M)v)N~h#o}mibdPWPW=JS|<0TYU4b3FcCUnB^6)3D$;aRdZ`6*=wd|tB31u6#a7tz5kplG z$wlxC?=m<8%o%c^A27J`Fw;G!2#u!KHB?$%t}W5lV#88cm#dI*4%Bxge8_d=&KB)19G)BgZ1s0+qH)k}eIHoX{W3ikzX&8T4ON$`la#N7?)+H!7ISh97^|4r z9&AZmhXx@~(v#NifNyJ>iV)HO=WXAGyg!oG8g-EZ+|0gg?-g6|wr6&8 z{@-ev=Hg*K<`nV>CAC5eD9dd0XiF^Lpj{pd1{77fM%!(Feh~N8E&BL7-a`jdNux&v z$ZdtW(Xb=f{;?ae2R+r5`=BHLVRZE)%WM_x++RI$IBB5RZr@tn3FC+h$lUr4IqW}z z$GZXC!A*eP`O}=9Y;n`=!;9mz9Q25P{Txd18h?CXXbC?mQM~jwES`BP{~*Iy9y0%U z=Ju2w*I|!n=yes)*nrkXLzlDinP5?}yY8HS3Q2WN`I?wz4WBX~OWafj4_2=s~a@$QQ{qym56OawhNzz7{3K`LA5=VUX(` z7FQiM_jlK|M*bEx(ngY&bwBax} zBHvH_UwIISI;s^FBqzkCS4Wt$Ukiv1gV^6(1uum|uOGrjqqttdsFXF{eb_7)tH6oe zg(=)ktjr;Gw08Xwvn5=d$(i+QDKiVso)&8th3ee5i?t&Ck<1#~o!Js#!vq)uUVom@ zvaDehi1z-aW$sT97@f%XA7ZrexbgeghP(NN#=o6s?aMyD*!P23vQ8N@*M)4E+=1 zB#JZuO>OBeI9pk+J+Q5)Tm$rb&cdG=*WTfXg?f)3OmUB7tEk<7p&!O%OcB;|z5S{x zxqS+PZfnR|+R~}t3Sq<$u(vu&D=D2d8{0jgD%Rn^t~>y!Kv`W#{hR4NPZvC|;t9-8e*{k=H8*ud8tz#qclqvU{bc423 zYt|*XhxJe*Ig}cz>x#ez^T08nKAd$!QF5w*?Xr&64BPvF#^GKEKJVn!>^1TFSO8V* zJZw`&vjW=4_q(IJP1H4pZ8w~G%6tiCLk(^$&eKT#e4 zibhBoQ7L3ONvW(7sGF3W+zTj0h8+q?y^(0Y?lCN9sxYC+wyDgNWol0VRUQ{gkiJ;e z`Y2x9cZWg$Xb_;Gy{5;kTbgh#p~9Zme6?6t;Ow0|MIZ2dn{QA5$M_Pa2r1gvbO^22 z2S2#HwdF-v^(OJgq4|+v^WP-Pq)mLwJkef-M@i+guR{Y-kUfg-QcrK@YPq-W7U|eD z6gSlhZ-|QHF&`y0HR%KPY~`5|D2w3=+yfr8_M1_E*>}ydqAbcs*-^P#Wx+XfDG0?l z&HYY+8|ctgVgIa3UE2YWy%WDM zkTPN?Hezm~A1mlyx%s3b8i2K`#-reO879nzJE)EfnxkMg1h@a|s6{-5x-U_g$kr|7 z2j7vHu~h8hbWr8!nu%^j$s+M^4@hyU*2a&Op!4eh0rg>Z-t0ea)H-@om}s9@a72F% z6seipNlP@SmIsJY19(=dF)KV?)QFJFvp$4j28AU<>rGzLb7l;7g5GZde~fiw=#hUf zUk0o0Ua_)?TviR(|7HzrB#WT*T#}^ubIhl#xoMH{YXeA68BBt%96I-qVHPF#XK#!~ zFC;&t)>tkiecr7?PV`?HFG`#~fc7F3x)6q~h_R96FDX)4M`o}u+aNsB4^TfkAhQg&2NKU=`S?kgy^wGgM!6Ld_3IbVGEIGf!nIu> zQ!ArJ|C9}qXQIp{|3;OX4U{@;-;!gUNBpoHAfAzXoAWuKL@@T}y0b#6ZYI0JLhPY; zy#2fCQzccM6z>)|jngu+a0uJZR?gAvaXldtsjgrs-u6fz^xAU*C`(0Aj6xm{I6mDB zL=ZCw@~)+w<;#kU_CxPpTQ(C`v43mu(CTkJigk6XtWp$hM1;MpT<6%{N0*&?jD3Hu zQ2;Oy*3+@}Q2;X^h!)NOZE(+YGk@=Z#EgTNY?ve(jN=6rTIRA~ejHVJs_dS9Q z1dT8}6+9{Ql5rKx(GnXZmZR8+v|Ls{D1TMJ-bD3(q$CR41j^v7jEnip?>Wr##f;yM zEMb@BB;-<3V@6~49pzF~Lv1B*9e_29^1ka-H$Mnpq7~i?&7w}V5XzVTpy8fX=0j<; zvt7Tf4)yU21BAd(^ppZb3ml!loRb*2tTE`OjQ6P_rH@qwAVBOup9mS;?zeyFK2Wy63Xd6HWnTJOq|;vd1nEcr)Bx$UGaW0d{6tT~knomvPK5sfH{? zcwrdqivDGGi*v3_lt1fQ1Lljb>ZguP0X%H`lK1hv)^TPh`82Qc2z=TmcHA=D>o6*Y?cg(d@|y$a7-X+)s8)G z(TmIaK+&xxeo`f5U?>h^Bx0a`JEFW{6rios&1#`Jf7ctBavYeb_dhHuuN{tNO3b__ z>3I{xSWNDmXgLI+PL>?SZxQo5)AU*m(gt#Glh8N!F4=T5z*Z*<#f{=Y3%;C}RCPQ>y2N#TL6z+-acbRmF<_Na(Im69 zvqmc}S!MltHJsN)B0f4twm*c7Z&9@8lFZ6#SOlc&lI?Nc|Uq{iftTG(of2xF!}mLUJlQD#9DnUc}WjdffcV9RURAcv`$1(tF^}8@|baz*%s+d z{IIv}+^6Hc8$Nl0%zY+KpF?{=o4R=qB~>o}kk*jOc&DF4u*!2;`I+KZIekQ5vZV(? z^9Sg0Em7wwmesAQ2Bq)yZmg$_?iDEvKkkC*fnQYFV(c)vz7oJNfjr8aW2fO(j3RkI zb6e97QukQD^eeg?bE$Wf(8KUmZ1y_P}=DF$Mfk+CV4d5LrieXY7ZE@b?Y_0Q|CBS0Il zUmUPu5BG6`yM8rbA2*oG-}V+fs4-ovbIaM-1_$^4V$<(^7ZQE}PhL|t4QI(%;7B`E zEPg0y^~cGO6Rpy)HLgfJ??3$p^e2vjD;iO9vcjLXF?ql6m0(7jOd35U;tf?yJruJ< zskCAVqCQcxO)`Tx5d1E>;$>M5ag~KJR?JDqLl_#$zrw#+&WDDZ7Z3MDZ;FiOPt9qD zIl8sAA_IQ28O2^dq^}o(bb~IBA@oxJyFOG&c3_y={n^6M=7KBz{&wOecyA|Kfr84wlro`h?hL##^nOOA~EH!ax$ z_)niG+^u{SRzeOr8@#I&WtH73)nO+8acDx9}9Wp8Z!+NoF0PQUU>xeH4I8i$~Z zP(uklbJC4tGiErtna2#9bB0Vk7k#E!dYes=&td6TNMVk>`wBPs;pveB4lgBTX3Hg- zJri3@y9$pSr@OIInSj!?Dv=Jyb|j0g4I+EvC-3r)6N)g1IBE6Y_k~jLRYN>Ew?tg%;%qO4~_fj8#Rd!L}b$D0PQmRs%7+v$0zPOb# zS!D^Gtvb+e56AS&Z9HF+QHUzt2O$SvpexM4BlZt_zM2Ja74oPMpmsvx_S6V(TS_9~2xr|JkRP zIT&7cGra3ChHe;`sLN$1?&}?NQa^fuqo5Qi>6Xlv$XPne5%;RKgwf0w`o}%AoYniF z1GCd$8EAHMOR6yCv%_@+o?kZF_G{7!nYX%H4qmVOhW=gaS>#zSFh&kFw^S#KFv)%SI8 z(=8lO1O?>K(kV7wnTdFrOOT2KcR$T?S=GEojIIw6vFpn^`7ljp3 zI)kA1s5b6J>*o(MmRDnu>ii!kP%)TwyXw1J+y?^H8#LyB_kJ2-(RuVBzQRIE!<^IA zf^xdTc`Dz(ZxZ>((p!;bDa3TN$>|2lFZG{N_sfpOHv+8ihe5k)^omF9oFneau&6h` zxvmaG85)!OxhR4gOzPE}7bI>IuIV}Bg&7Wh{hO(=1ES$w!cy$)?K>&z+TD1<7lU)1 zDc5Sj5{4hRNR(?GW-t0LSaSRV8i5D6&+3QlVGG{<$ig(u*Jpci*R^NkwzLdU$wN#M zMSYeJR>=o<7Ev|*wTmN}5!7@V>gbw8EYsZ*jt8tSqPF-r-iaBaa!XbDL@1?1*#k`7 zoM-p>;}Xh0MOX*$Fi{t4a>0)PDC)Smd*u38aX_kW_o$`sC!b>wU?+i*fwn-2KH;Th zb59t+VdSr+>YPXlB{oNmQ9A3fN(FY-bOz*q95pf0|DvifZu3pD#-ZSl+F>@1LGga~ zRt-jWXMt72&&^zV`?%;k7dB^RO(OTr;yxT^zqK6pEUJ+nDdp_B{`fZ5@-M6iUI1YO zM}DQV&=<7(zR{?Ca5!6*JXfPU^h0NbGY~I5dz+B8`NZ_+ER`m{%b}D`^T>`DXi|i) zOXqqerU15}nH{5YuS8q857cs&uNjl>R=!V8aP06n*<mh-5}b67Sz^8L_q z5P9zW=wukbH(|jW6j|S(U5In(W*}a7EAgRvtCsLb2Un>%%F6E}%r@Yi=U{Ez4d4lO z_+Zo&;qc_UuL{?zIndkq<;FPj_RC*wV3lOV|U&2c5Jf8WxX(Xu|&Sh3W~ z=2AU<<9k8nUFDsbbfGOZkf7;<#UU3@=oDo>)FKuibM5${vYu&kdmXpXAr+m}$*vu z&#g(Fh$*kHNBntj=+&I-pit8oo{l+BDXTm|2IDxxx8&uNAWJ#32Zo3tJ`KLO&H*t ztKs40(vcc}ZZtAoiTu7`$GGs^S_nsfm}k?+&w6_BqZNt)GaO5Fv6=WumbjjnAvV5^ zzqr17YxZ@U`%zZ?gKN4h-{%(1>3E6lWMyIl z`$J5Rb9=B(t`jOf}XoDEotu8OF3_Z zi!@d~V#PAZ6fs?ZBn!8`eT`Q7660a${##Z6z?tWc{W!1f^Ab(Bt~p$Jij$VFrELEj zCyg`wWpm|_=EO%gm1h~vT|%ll4(!1(A$cnGWx9)=DEoI+nBb0{YZAEg2hcIoeV zVsak<89NZ!|JxNWx?NBN3i2T+hA{)|MRPrqlX;~P-k?3~_z>_5pE)Mn*SS92wC(ue zD1Fr&54S!)lpyDhUZ&0vtR#u_lv|bZS+Jz zV#XQ`m(=Pmi@{pFtwn3hsjk3btv0W=t(4wDpYu|U^)E!mTp;`~Am0}18?b)@q)pGAb@Pe`zuf8bEjRGb z@l_o5fz&;tV}AYSRBqdqD3Z!8v%dz_QF!zjf+X_;P!_pElKQaYz2AqmDUi4BljOsJ1VdmS3X(f@A@uV1?%Ccouo28HTBUr{nSW}t1v{J`Eb%K^%q34Rb|7Td|M)u~$!$#cD~L3A zasdFt&-J^S1MU4j%`S6{EaT5>{2uy(9)S77$!FfhrLSxs6&o;H>Ycs>Xuo`Ldzur- zD>JxHWU7FrJ)8hA4>sP^*Yh!Mmf}1OXqg+%#Md!H;xyAYt)wi>+(!s%txiBJ{+Sjp zOGvIYa;RTyWeoZmMzC!8e1;GkvF@_2^RMUAZVndety#9*4l@%sd3@mFS;-8<`$TL-Hd^o$+w^A`#fPRlou$A{Xl{T#Z4kmF>ipBVjc4T6VGMl!S80km43+>`#rX~T8OLBN7?UKC9H zJ$6LvJGVwkgZX;sUz;p9b}k3PHzsklJssI%u^MJr2R--N2W6GhkYn;Zw(;92s)Cv2 z@3@5A!W2WZ;OxzavH^w-)H&P*vXfuf8OpOkFX5rAnt@6c+WqzLf&kIl=s%Hsd zY8<^H(5Q*x4CYhL$DtAf7;S#J7i*WM%}yJ{&%*~32XGQkLfPO6qxu2khi(RB~oHLee3i*U22B&y8SH05Fjr)JW-SZ8FpBOt9P$2*lc=L zXPeWP5x#f*F+HwHiIBZCrPQ&_&4@2{U(>$O!2Al(gpxtFV}j2teuuQ0X*5cKG2_!P zu*~WTXm_|N64ZXuLv>Mlm)5ZgnVCwj%MKk~AcDjq)xWTyIHBw^{F#z_kyt4N)*$S4 ztLTe(FZ_w&x(NQEX?V~+JVTtp%mI#LpJkl*6*{e-#BIDfrY8e}j4 z7bE-ukN@E!;z?7+YCHY%Hh8kn)h541jH!S^6+Q@G0cNgpkKv>$Q3u&q^55&Povn^p+=$A1hBkdz~LV>(a}t1TK=1+B)N>Q$$h` z>%wY+3KYkW9h(mO-j+yRJpBfWeQ}m0vf}+FumQhH$(Vdz1+@@x?sIiDY=^!cS5yUO zigFR!({tREgfYTQdMibZ;S%?cxrl3LJ4k=kOB*6tbA)X1(G(o0gLr%ZQu8U`RQ8;Y zEaoUekcby@3!MV;X%i~)p}s9w!J%aQ1hvkc-;rfKMpMQokU2wNb=X%~cg>I&xE?N) z{C#c75X|6^v|}<7vP& zoqv?xSJP!#F}uXnM>wCW&7w~vdRc1$EMmnkuDbsE`ki62ZU~FW#R6I&oOmIkajhS3 zpd-bzh4-Nw9fTg~9KY;CnlC8;mP>y>xO>~qMvTubM`N7dTj9f4ID|(x0I=pU>kLD~ zaIOvAvKnJ9w8a2ymR-HMVLjm#pQ%ITeCttnCB$tNo)VK$UyGUo0>9kDt(E$lIvVNFT?1k06VIG9GgdGYZjyJ)jr`PP6fb)VuAP~=%?(kF)q?ps zyA9eRn1Q*eM-cE1J{rzFiozd8LA6$PIbd9x98AvFg)l>(rtVhut!lwaSTg?JRAFo( z2tl=QHzX`l&?U``4ZzDPkdl}^;m`oq#7MN;E#ML{XMy@a-sXujGspWfofOobglBke z_=?|oF{WKt^up(Os?!sz?ez?}ICqDte(eCOMZSxRe{MY9=?$wV42ld1_E3x%Jk|CS zZ*mf6$%l)HEXx+D+GL5=*qoS&{Va9x0V%$w!vren$a05qX}57GRNT0&vrbzu*)S5U zXr|3&M9(Z&-12Fzm#fClsuEl1J^721cb>o3ViK}{^8L|B9)c8S?o)9VRePj$mSy+P z`;19vA=5RT5@m=J{Kn^WAQ5$0P@HgAX#~d}XxOz-oz#fR7}u=b34FzAAHo}I^JofD zsRarJJ&!h%o09)#P7Cz>wTh0qH7*vc*M|wdnyyb&h&^U6?AC1e0~7b_^FNTyvg|3G{|~jc~m27sTWJjq`Hr+;XMXFFa0;s&-pHQGX;XLC~lZtOD=0r)|$B=(4R0N#MB|NioxYdB&+uqm69<{Hf`4CMQr* z#N$ofP8XqHuJv6erNb>>#LRsS^cUt66SwlMWNtCaoWLy8UqMJ-m_6meg{oDM-9BeVcjayHkX%J{U_YO1=h9#}D& z$kTJ~eF#X1Ay+IKHSdn4>3r1L+M<%?dyaf$@A0hkovFa1?dcKk0apF^^v>;q;K+aJ z{_EQ&u(NBXlOW*5<;od-clDbN+QpN@Z`0lI(;*+J?PSs;`xG7}#}!4jqK@_Vpop3~ z!w0FEgMrbLIBHsz=;Hm;KwSo=d-_ltoU&iO$RvR!(ZQrh40JWG zty0FgR7O*pTpCrf%gmScs=ly;gFPm`fNIxa+HE z>|bxum-p~U=%r+&{<~-tfTyNfh(fli<45q;yfVcFQAx#CK`)bCX{Y#_>1;Mj0^RX0 z=d|nJkf*;5gcDvFUY*1blNGg1nuyK6r>rqthev}7S8Pemk6qTi`7_%Acmh*{lXlz` zYcA;y%H%Ez&}8YB?ju)%z(=lpx8pap+DfiLn}j0qr6)K4f)W^|!_yiscz%EKe|xPw zgXn*Oq}McCL(niLAg5t7QJyt^mc?xVP*$m2LiY#%08>S+fGU`!=0br2E64N#W#|Ba zry7<6`{ZWndBrzrl4Ou5nBx6sEE)w-H_b~%1O%jI!Xe6_G6#QP##i=me6Tktr#F^zMmMawYO+P@RS2|S59 z`w0N@p}_D0?%#o8yYe=)0dKjPZ+Qwtj`!!NSJDOlkS<{HV2NlB&!GD=5Dtk4m5qS> z?0A`^!#Mo6mUfn1?4 zu`w(UsDcYeHAsMhF0r-Rhqqod0!6cwy#5kr{TZNKj0pugCd&!!BM=)MX8L5&Hhdor zN=e0E8VCO%%nJl?1n2IK7Xockk=UUnrPSq5yJO=&T1$X8FcQuF|Kx1}*;5b1Y30<< z) Q4+vhmAkA)cKvFBXty4h4>ElIt6}`jj?&c0nq+BNCyZY9aARu&?@Tg#k^DUN zgB!&s^H09>3gkP1A_Y;=Z_{QnCi`itK9Xfc@<05BVhcw&0lRi=p|Dz$CAB*KKqB!2 zfCa%qNLtJVR7W7u_zwv13+yFw)~CZ*rmTQSNvd0M+HD zHebL0^FHY%5R8%mgs=YwNd>M_uF6#BEsO`HJQ%L=6PgS1@?~3{<(Q5LR?(>G3CFy zMD*qpVKNy9ylTg?2f2k6ptC%>|H4RdSacnejfOw`H0#WPM=yYB}@i{OW#f7ZBnF-OOUT;IM)*;=E%l9v#Q?%v= zVV-M9*z#7m?4SZ#`e1$sgXKnW{&c#q_t|xY`-35ELd*GgJNk~M5>jensECAOs;c<- zVqXHVg2HG_aZJa0<)e^!ai|*m!J*5 zlGda$yE=1S;uIZg+hDDPxh;1>g?O|z^7$_<_A@$cSfQBL_2OMmacAZ^T zzr;l`Fc2x=C@DNhE}!+^pR;n8UfXQ~6|Nte4fLsT#-%qI#IcA+{7*hFjY53H?Uw5+ z+C%mNACQ7c`N>EX*&2X~-55NR3ewJd3G^C&{=XnUSb;AJHDcjsp}Plr@06slo&o9} zT9Xm}Mh>7b-f~CCNRCb@0m|Yn4>cwU7IPAY4FxI`z->@4nF28+iM(LdNHF0U>zT)E^?_^WOfH7S5=4psvaoeI zx_?s069Bj~j63VurSij`Q^kn}2ZC-qkFUZq7WB++KH%YN@Y!C@|FCEj-V`aH-OU5j zT9Tn9qVrT+&zi<{(mXL4l;Ynw944-=DK^Gnp9yDD%QLE-_mx?&1nOpv1&BdFAd8*iB0)SP z$SE9sy74V1^nGyU|DN4SfT$Vj$x5Y7X_YQq^tY=q<%$d-2YX3H?XyYC5OBQwZN-QP zJhW0dE`~w)eu#VQZEW7qXgKmV zl<-4=+yma8qZ~{oKF&Ik)&A7g(m=$QBL_*fu^hqweTxm!q709@>zYoJUU@BZ*ZmyP zphfrrXw;2c+6K;2pWmr_z*wQcA=P`qIz=em>;WzR_*cB;V zQeHh&!SV61((4ra@sx+N&_YwLHZ;)t%{cBzhA3~i^vX-|J?ADiramK z5;GbgCX`gMBuTOI_TdPwUO*x76j*I0L|zP*PX6z0B1AG3U4Ql|PF8OH*{|oil45vI z{3xoyU--D(#9tT0)N5TMug$N2{D1$=et=f{))j>MhQhqI7m+D=z9{9z(l&q`=X-rV zFNP*5w%g+_^O{^lxWK0dh=n~@IbK7>mj4zbcOY1d1a^cU(K>{Z0KGFA%!fJ!j4ZGx z+V?@ICXm9k+r7}}9+^qTD-S`$q+y3sJdNlDEYF>O(1{@5geHr%aS-0@2{&JVKRWpH zX(l!x8Y-zv7sU!_7uoP$O5IupVk8@o60;z}pc2g%u6U6Q&10MXXZReVmSBvcCW8%T%& zP^s71E7tg3G>E#^dGW)~-=BHFP5}1Vn#M27#i=U9Mh zv=%PN@MqHjuVM)-8cQ30`c|78;A?Qn3av5N_##rZliNIwSNz7O=`zC<7V?@buXsQ$>M9>QHVq&0reZ91zi8J$J z;IkO(Y$wruNKfF7k=(w|E+~UUAP?+jQDUeHa{p~zFeEsfumou*5X$9J3du+gv*(@pAniO9X?N}{WyyOw|fO2w7=7^)(1vO|g=*_XezvBc_bL>z}I9F)% zzs?K7H|316SNjMyh`iFMTuog{ESnIouxX*(}6_$ZBo zpq>J6Kv6t_zbYv#GMg~0+$lHwnGbN%B?FxfMWC(IVmMdM#hp}A7WKa+431&+w@%kk zXU4S+l?bKja!AR58!IGN4@cIE1v62XXOu1ah=v%Zyc$1DwF}VdDQ2(vI-&PPY5UO1 z5jc-pCP8*ENB8W1UoeJ08aRrr{U|S%fzZSaX*N77GIgWFa7KkFr*Y7xHqh$PUWw~` zYhRA@`~qaBdIcDdazPq*j>9|z-|v)nyKbrEn+MAZWc67A9@m&39>ntT|8@zhBMe!j z*wwp!(coH90ydrJaVfA(Aqpe9OSWnAGuEjbBXE8fTOC(zeZ?#^rRK2wnu3L zMA1yZLg;O}yD$2RA7Vh-3!f|?2Nq?-~InjJwCABN?xOa&S}^^i7!AW6Z)T2~StFKelmvtlAr2OiKr+7CR_!+{|N2A zx9aw1791ho4}@ctA#-~>2{hu=i4;uDe=k4{bQvHOI62$+kP5g~S@`U!LFMjlyxkXH zSbbv5f@Y*(%mu#A>OJA~DA+}8S>L_KNhJHhm*@b+Z8rR|YjU8eXBJ>FRpa2(jlvdT z0*6Vh^tk~weH^_bOR);gwA)W|eSm4W0NS>YV>U^`JU2Q?9JwH|hmhx7Fqd@VjUl)= ztbmn(XNtLUfxq?}d>kHtpks&PEb+qr75}y-|CeH5V=|!wSs@bFlOLg}z@OHq|5=W& zG5EUQ4y@m@MU#6OA=^#IM#YXIj&p*=`G{g$7;jBJU*B!bgkZ!+J?!_q7Sl1rL%y$r z%Te<4ttnlqQ(&N;fymkUAS2_3pNq#+VY007g)ON0N>`qBr`RDhY#zIzrf z>271}AarR^7-~06emn@Vvka9#pRCCD-P&;ir-9`xM|J(!yAPX=zUQfYS0_u%fp<+K zB)pv_{H7hxPL{~8AG^5EWjV*Q{(CKFz%joEk37STeFIfl8fWiHc>PH%W$Rd|5hzf| zJ31j1tqRnwa0;@t3194)iy68}SS>6O_9(3qfJ&xUKrXC2h$@H~M-CdZ0Qyf#*H@Re zV^Ivm{PFd?%DUX5be(-*<=WE%{HKxkp%#g4$R(vSYa5pX0F95q(k|(VsBQ>N8Y)7d z88%7V!TxN#?+4W50X&*ayStGk9X*=e^Narb%x?Fg=<(#urw4=r_Pz z0kiAJ0_$c%o=03zSqbSVN(HhR;{l?iu8M<>TTV;lkKabekit<&SUFu?FBmj z&|p1Nh{LHYeEO8JpJ7zb!LO^xN1+ zY`zn&dFE$pOCYY*Q_OMi%jj`BGJb{}DORSkuHvH4l98#y>$W_R4D8=gDYT*Z+q&9) zk8K$LerfO^QD?_0)eqb$cx}$$z)b=Xn-4!ahVeJIgExh}Q5*#EYLdCaHFg0pM=R*m zX=A@1k1{gOX=LyLfB-AJUFgTwVkVBY|2WwRwYENZ!kNIbwsZXvO!TOd zvj>$ja#S`}c7B-88R)18^ zfK6saTJ=c4p6%r4+l?X|{EUn0s3ZGze^zAgqi&t_VRU9T?BHT9_F^phjvwE*`6mn^ zxMVg{AMI1!`7RQybs|ux_J9ME)aRx@!!t;Fe%5g7#KvOUi!j!~`^L|Z_MiEeKe@bmBzI_=4ThP2Cju4I;GYeuh zp2cxS{Vz~q&tY-I))Jsq6!Ju9ev+v68 z{cEg=dsoDmxXC6@es(OEStdQ^K$`cDNCr{}i z3N%M3+4CfCUF7?$LPmF;+aqm(w=$9+xg%9!uc7gdM_aDk$k(Ae$M0XXM;s^Tvl`Fl zUb4Fz?H3s0ha%M6R&MlA%Qr9bI(SHnm;VIZSyn)?TwO#13xqLmzKRp&?HuC4?Yyj} z;S+@0v}SOFFn3$R5H3DSb(<48Q9lLc-GJNqDBa&e$)Ab(k^l1o_*kh-`yLh>>vBKf zphVuoIsqf8Wo%h@#FLTTg< ztk*>PUL@)HSNB?xZ7x#U+oSN!m?Vv~K=g9=d}8JtX%GqKU&FBSD^Xmq#xKK={9lBJ{C}b-^h;CL&nT zDcDH;8HoN9Vz)xR+Yzv`AB#u&xbt*?qu5c!KL)8z^74hD^2RU+yc!~wYk9X)5d`U~ zXSem!{Cc0t`mPa!f|qwPWNocwWWo(ty=&Bx=@}o13GOZie+%4oqRaRhm~KXzggxJe zSST5aOUCp)@L2!{#xE$-laTbBAhg=mtYrxYD+oq_uk88GYhP|-6jR_8tm;dKB<4>8 zSCb4`fn8p-k1S7Ax3@VH6OV3F;^25IA}%cg3j<>S1|_rnt9wbG?Y@77!eeayU->5m z4CE#J+Mn?TaL}V|;w$n+A{VKGW5$(|yMQ-;W(h*6d_m@BB9?rAw&Y`5GCljsr1$dc zPBV~TqmsH_%BUQ(y{6m7q^5)@yWTpH_qiEXpNKa$mEFh^HIc2? zx@YC~c0W~ni|I|aVa~8=*w_Xj1<^SzuZ;AQG8VNcQ zE?NMBcfsq9W8tX~;Wkg8G}H#AGj5C)C&oXk-w+p`6j*`9qw#hwWxrynJdXY(^Gjr0 zaA}Fta#05s1`EOOjA?E~J0!wzIifW-6;8WYY{C{7pL_IHTrBX_ zFH4Le$8|CHen=}#F4IK3Vmkk5#&%`Gn$WNH<+Gp#NQ}M*N)~fFj4;fD zwWBxZ7eHmJ>UdydK2uyzU{ArJK!IrD088!Ykae9(xAj?OS-R)fvjCv6){qV=Js8Dh zR`ndG-8TKyq~9cfD_VpYA>%z;oh**Y^Cz-(#&xSF&*sUDOjItN zAcHo|uxt9Gvrda!FrzhhiPkEeG+JXYC*;=4k>=;YD;2Ae;nWY`z0zOL%J$b^6elQ) za;;c#Tc!a>V>Ti9v5%=;ql%A_ESwLPOv@keaRyi_&w{5|Y$ib&b! z!_S$UAEzCTMv`w^YG#NHpz?~hmU5$OvT2~#)w>KPu&C?h94f>fs6Lm1y?_WWalx6*G=)@xN{qXjMlHE>AQRdc?CWWuB>~=og5) zu}gU(z+>z=wesj)qDghe`F77~kY9j@^)_Zr7?jq(bvCw^o#VL`hDlC^?odD|R`(>Z z^#NZ%pr74ZzFA^x2CyUr@SWePc-0X6O3+YNL~h!z8w|7F>UJD{RQAAC3X2U)xJfi$ zeO-zei5zk?;Z=9eCD|8^HvkOP@j~8TYAQK{+|IwV`K>Ax%v)*cpj$+>fJVTC=?W$l z9@V0c2rL2i(pu9n+syn_pzeX&h}zK=aHRy^*AzbJpCt1$0OhSmp3>=A(XxyChr6H9 zb~}9VLeQz6Q?t%&?5$!P*5LuftI5)XAKzG%#1BVi$K|Fee)+4-0ssYeLIxd~!k+~- zDxEnw?YA4dAoUESjdiuiBV*(W21JLl&`_V;Q7V|t{7kNex`=wu`-f9ci2oBlbpk@B zY#SYY)M8TG_bOqi%HP$v+eaVH^Bsm3{Pb`_FAI}52=1v z^rqM8sP?x-v7o4?pnUebgK-%5BHMUdAeV8XFw+(w*=H6enZN9@=e zrpQ^e4#Vj-Y1kG9vCKk<-Z7TdwM$F9DN_2fO4bxo-WFv|Zzr358PY6~B*yl6BvXBH zhSSwiDr#P0D}G1D1kBQ_o{PE2yY9}zWyzVXqR}yoH^)ZIt(~aORhsb4j0on>y{XMJ zGw`jvHgyLX`zszPw?831QHUjt6Pq1!KV#A%5Q`x>f}0wac5OO>IxYSFI*dWgcraKhm|HH^#j68!JyUwV`?yMGAgSe>BK z-aj^UARTFe6gNdtWt8jIugYIJ6iyN&8U$^udnVv;4 z5PkdhL_9jcL=;HOgZk4^Ui=qX!V;&>0+Fgh%j3dGa<~{N2aa`P?nx$z*1m&m4<>^6 zLP=^~`>)(c0bRl1*BPv#^suSF?lcb5c9lfV{%w;_jiSuGs#8{>>)ur$u&oI1CUs~! z)F$brj-ZOD<9N)1%*4Nsb2T6K0wqw+$E6Syfc%( zxb^D0<+I&SU=RVBTBf{)vRluhPS%6UFoc~jXjBjcNnHWqpIgFlNdh)mpjBI{we?$w zsIpGD|3*PpWr9RrQ5YqvnMwAq5Ou)wm5`EJrK8YH-FStQ4}a#8mJls@iREaT_4ZXa zHUF7E`U5K?u;GN94v{~|%U4W}o%kVUWw%W9+RqFZ^F%sY@!fYMACVbWHu&Ze(6sfP z6F>JK@)(>9SQMKB_h26c0tdPwE~m%-QwTru*u90Vxgda&W(Nq%_k>uhlIQWK=P zUUQI-1hTh}a!Q7?h9m4{sZR+~>qx$!gHvuROPu#!<@AI;{RtXDP{@NFq@FS7^z+j5 zUKSIfLG*ZTm8c{mXGT}64;o1QD- zL)rc?6+#u1LQRdKlDSXh#3jeNISI6JD+nB{^)a@(TZgXO@$s>Q@EzOtq~YjA+OkTR z>aTj;BL}`01&<9xaBJM`Sq><<0r4c{`aOm85296f+P0C!LmsZ7F#YxrUk438W`!ZQ z$s#VDMO2|HRr&Q)ax}E*Ta?tH1m4S(4|sp!&}@_C^-#8EfPqnm0ME&eDuA2>pdC%D zL*p_%y4!DqH>+{=tVD>p|Khz{_rAVXm$sU5q$e}=_!};ngmyCk`n=W zL~e#zS1chn__Zr+&2+dU(H%YUpHxP2cYWd+m)EgP6Fq6(mXkAZ1&?W4`S$0LmBn4} zhKfvBZ3ma#+k~cVs2aVmAmrcLn9oF1s3T*s)MRvE*Vnipu_B(?`1I4 zyx!Gk{BKQA4)OqkWafV4N^zn>I~PbKWZpr;vyl`yq6st38>aI6b_)DZO=O>6kOEK{ zB-o5uK%ug#&J}ROe|P9YG=KZ3iC|qv@saRHcf_6&Ig|v@4oFF>rDcYsvWHM_5lJ@N zC-^57IX;3ILFsK8#R{^vY0M(>j{C%*n7qg9l&Nc9Gm4bM@aZuMn4)&uk!TZJ`dvN2 zx;~IYtyN#*+mo2eKk?hOyDbkkk0P!9gLs)8GGjgux%Hr_M_;{sKBK(A-XfYS<$V~I zA$=eq1bQWX$RSxk)hUy+? z`x_3f{frmRu@9ws)c~z@{7^!)dJdeA2x1H&u^U-AfcIXsDr*fwv176zp+N zcRW=1zdkdf2vV%yiE{;A_H8<4E+`PFH4jf=_Rrl7Ago3AUkGK3ynSV`M2~3-0c0z1 zZtbCCIA{-a7^E;}oq)FeN5gW0zTIZ133?1tF3q0go#&e&E>Fn$!{2`}*qV8~ z=h?TsQALkr((e<*wp!a|{LsGcN5~4K?Lx|Ye8}^)p*HDC))0T3sO4T27m<^x{~QRS zWB4%SShLXGNvIDvEu!40w$oNeiiwsH%O?HhaWaPtF@HX?Rw`gg>Bkqh1)`ILCCcNo z^tJWVecfNLe3(dLbg>&cJX7yl+N7+W%{mY?%$u;wly_6Zn)k^eVn`wEon&Lvj8rax5AtYzKsR_vtkY!zm#L$x=e~7JwpB^5IZcfM+@CEl2OQVWK zDh2FN3t_rav~yPnDjfiAq6YVhQ z_{MsXatRFqtwj!VXf!q#ir?^AX!Zs>5fhrrt&GD@q6fF3cW8tTJoR-a<6fz{5hTs5 znmA*Ois1X{tXToUug0xh`rf2UgyH)msxh!4$-Wn#>)Msn#%_a49ILQ*InP7*vPTc; zGOpg9^(`FEfMAuu@OjtL!rCcwC?VU;s$1HsLU>+c0RCEcOX zJ+@egi?t^N@8{~N;mwbJ1{)lUlXlw6W3XZDRUS>*l8_QZnx#@h-YhT;0^3hcH3n#~ zi&(u0yp*Bnv$D2)oIdB2;S7AFsX$G5uig^C_O;*|G}bsx6h!+oggjFqw8d0|mL+!{ zN&KM@xHhhU*l&(oGVXVLl^0?`^#1-NAbMynIg=&PSoTMs5r^}DhvKr7Gkjm7b@f3a z4Lsf{Hk?bL$4x%++ep8;cgKbGt$XM4 zPP%7I!EW06=O7v-6FxAP&lR9YQXntRU7g*)lWh>Z1XBVcn|5+=@5LUa2fySE;RW!S z8y27VARdp(HoYb@L>${NA`1`u+dIpZ5%tITZkBL*S2&yJAdcl5iiGrB183BzoM389i+egh0aGgHkYF{5f91`{0%W*=dPnhCC%I^Hodp(T8JJKn z_ZENh@6*<)`WBY@pRqQ|hGsV%d7Jy-^x|&vzUod)aoT$m+dosF_QES9?ODDO@%zx- z$Z0>xb7^D2+-51ZUNEwfS8vt_FY0@4Hpf0CLIs(;tY}es?4}z5EloeaYSS4sxG)MUP?+n%f7zI<3jy0R{UZ4R-V>%mY5m$E?~l_Tk*x57`~(n0Tz zYzVlCKjkgdj)Iqiajl+~5e>2wEHdFHJ8?y#qGjdnSaTI!Pa9!by>c6%9X*g;kRClpX92+raSR#2$v*37p+NMKMv^!wg)k}EbC!VV>8NGW7B|f^a1T5 zxJ6?XtuLpdKWBqV5zwVpB?jvV>$6fRM+Aa&g>ZW&pu|In<3h`**8;;hi6(+G#WIV9p~dZ&lRYJ2l4$t6LJWm$uamB$9pLUu-HWOj#dR`-4Smamg5*L4iv+>^A3S-( zurDx`J@&=r1_vVy>KH+4sh`kzvfU{(WP<&>t7lXZ7ohFC!*bi(^tKC7RtcHZWVvL+ z8I+PazPv=nb_;zL2hRm5HBM+UF}L750rxVkPn5pED^U@$k#+RfOXEL-(S@z;;KiZK zAkN*$EX&UVh}{Z;CZeyzc-20r0OLe}N^^LavH^m-9@dkt!Zm3U`#Tw3!vwkP#U+&y zr{J$7S+8$8K;>nkX`5s-;k;aQI%00&TZ}w6AVwkB7|hF-PKPLbdE|9fA^v+mc)_&# zX?KcY>CRHgc0W>{28tY4pcKD=F>(2jw~F=7mJi`wu?#`!hl@#n;qsE;VlwngDeE77j8olV0^hy_q$EBT_b|=8iN~ zLoC#_4)`q5b?3NF&HmNz_ae!vY^ozXtiZSO9ZYVa?USilDR#cOha5s3+m|z1rQJ72 zCD?BsrSrR0sztu?M+tN>^~zNL;;z{MyuWWUU&fPQn{E~4yyk#?ex3C5Hc3!)MWb!; z;3BN+%L1RAwlmd;vTb7vUn*4+-W5m!yk9`d0EH2nTj>iL>X*>cGRpKBIP#;I2$*li5t{ze#skbpuB&{>(W87IhWT-|`_5y*Rrz*Y`^YGYbvDF}= zLZVs6w&o@|m||OIt@1doS|`077RHYoc8tId#UypJNwugAz7wPd@1!l59YZq>B%Vwo@x;%RX@nb zMkfL6y)WBD4h-crm(@_FNn|v&chPHdM9pFoYG@oT6staEWbOwLB-_#lA{m)!JO#WI zQMv0tBIkhc1Gi}vAJ+F6cnQuwjT_mkd9~W+*D*R^QtcJa?pkQ3!AlZs4s=Pw=)|feSx#+jnz@V1&IEvfOu&|(Q{(+L=L|AMg#8z`2cie zg0IM!(X2n%5HVv|op*LX^64W6p$sWKOp`OCoZ?BNdcVk=Z`L@9~Q{BPcQ@!Aa4 zo;5dD2Mqr^;1rib)YdLqp)z_ns6)qSYt3@dN{hI|_lk)1QI^%#RMl^Hs_ud{e5 zz8%G1T!E-R`Y~qrS1{Msu=|%4(~T@pB_m1@&EJG7FBUyY&y{SL@CM$u`IM8R0z8rN zqH`1Ub~zDAXJOJ)dy_#?MQnqf{m{@VT!k$X6X5~gC7c7``dl@nSc0*i-%L*Ccq%)0 zHd=s?^W)X2KmWbc3Fo?wmrm?k3Tz&b(?L^`yg5kn$#T5T5uq0I4)`Om=ZGNe9|-Cc zOwDkWL$7ZpA0-?uSJ_>N9AEo=?^tEZJtWxB`!tt`dynjrAm4u!XLd-T=;}4_`C12H z%q2U$Zv+6NNA!U)ZTbX?^0D(U$rC`XO4UURIy|2lh?TjBD>x&LO^bHsN8#VIHOO|5 z-LGoLVtm?ze0SY~mtdD>I~dF%?El|ZM+J`69t?+?hJ@cadR?|NHgE)dxu>Tuo}EHb zxn4gw4QBdpvz?fry|A*|Jhj#uQ|!Y>JL{jH1`$Vtz;**Za=`g)w5AzwdQ~}#7_@ZM zV2<{uoDsTyIZtC{9|zgG(};gxy}6|5Be*$AZHnP5%tG3;;HXj|Mx0vJ;NQ5`k05amP}f}aI{ zEgZqL4NlY=|7<-d|EZ~N;8tFA6#Dxg0M{9+wc5^`yznd+6e1}gdD+8A)@CAPFJCz> zxBioa=c%3YymM#w`?8g@H=hc=Ac(wO>|D=!8Q&vw$q-}?3{U})=6Ngcop0_f{rKQs z=~lPVXy=w<6iQM|lP8WK;p&4fym$bNUB^ekL?z%*m~OE`U5q-R#vH+v)63pkn)h~% z7^nZ@IPu=+3vZ-KYpa#yhyLq-UVsR6rpN^R^Nu`VDPkd3BkfiOf3V@Gq8BtJXU@ZK z2jX}zYvlhqAl?!o7MjEp%@_SP!fMZBxb3(SNIO|e9c0THTJhu*9K{YN53UK++aku7 z?)SZWv509L)6e*`qeb15%rqtGMH*t;$y{O*qfxs-1NeO@1&;L`jmB-Q=Jdgv-n(Np zdz~bf)e@kd!d~Tn?sZjH(_W@!R8Pd?*9^*9XmTEXa;UTw+NtwUjBj3Yq%2 zINIMN{QC6YU&an!{!;t@xccj;s`l><6sFlAC?Sf3G}0j@2na|^ONg{mQqm35jUq^g zq%@*{(j7_)5{gK-Gy;;|x$t~{_r32J{&UXI9c!;OKXX3w3ATnv`BMBf3jW6^V*={; z1E`wRJx+hiUj@{MB!;ib8Cc}lMmBG?2YEy8O7t7*M-s;G(^9T+h29+;Qg0duR{YKU zvz5re)>em^s2ucjI1T1kQGlllMHk7g@k%>unr=~0Vu>9Be4TopvJ7~NU?cjCM&KHx zM{~C*c;?k#86kI0&M0Hx@xfY#3Bl47XKeNX;m9k`e&TH=O3k2EH98`IK0e^_Njrdfkm ziaTpM+aA6M<}vT`C)B0Z!B$yN$G|22JPipFc#OkvN;UORK`7aPuPs3(l|zccSARo9 zPclIE-}P`8%^+|C?6B1;Yd?DTf7iE5r`~4{J!5GIbnJk3{#+ zq!zN%-@>Bi)r>OK{fA>6JR(|yY=Y10-&%q0GMP4Woc!7v(YCi?dd zeAsdV)Gy(!QyD8MqA|1ni)kSZ_)E1d50tpkWy!QjQ ztGRu5Q>T*X?uNW7`W0~O0ij;DB@}BORBgdOOfsU8I5IrmY3xe{A?Kf;gpQWsHwn7# zXFEm7Bu&T01@g$mbx?Tq0-umTkYc$oU!hWNkIfT5tyoOyb5vL+Qm+@p2usCKP>WSKb9mx^lUhbfsRRx^P z)|gLPlx$TU_iA5(RQ%kRu+xCU9j5)%hM$%>(cT^1=WVMdH5?>bQy9v$oEXb?M)ob( z`!Y?l5$soTk9b{HhmCovzIcD(e0|eQ@jH2pBPc4W_!CcvW_pkAVjVzdZ4ACmi?oA3 z-zZZS#|Evc3*Rr?2nGJ}_xn44^j~gB@VEKVE}%@vx-ERkGd3X&ZM%%!l`!jBE8dN7 zcXD54)m-7D8&&9yL1ra{b2&QMtDx^-Y7YhQ`!^Oi80;7X1U0AZvB7M~lJ8MF>W3Wf zZrH~TU#3JXAyaRfO}X=Fz~2fvAt(y23Y(|#%+ykGPtxb>epn<5YX{YuR6{PXp9(uM ziV=U)uxrwULBZS(t%aJmQ9-^}Pt2)^uNe?3F&F8OQy-Hkb#2YGt)Kc|e*S3+Ycfzm zIc~OThTrz)tAbTnTj0W0BUlx5Lykf#I~#)0rPONgIA+;&4_N}-5p_YGbw#1 zIuu6abS<60E8ORTR~O9?z4-V0^}fO@_=7|5PU&ZTG}8&+5O!Ub4hjACV#-?dHJFB3 z61L)ngryTGDHM{BOvFUcJ}$rbZwaG~6seJP1>U!RBDrP0rW8krdWh9o{=cgPgg9=62SipSmSu|k?+AO6sSNQoV(#%znw}@EO3=t>Jbt*!`>Wy3)b;n~VcIm?QKo%e z?jmWobYI-2_xs%P26cBGs_101-}%UjL`qwa&hvfV`(m;G4rc22Hp$XZXhP$FX$@omm>Fvl#&5S zvS@^J5_dO@)TmYByTzAZ#i@eaQ;l!d-`0$U>JqGc%CWk;7U3R1%f0v!^X1>(p=tuG z52h!NGzvFxbNT25WJW!a98QQxx;3at_f5TS{8{0;T#c=S4Q5JyooolR zI+bkt3j26zMvyfjyMCcT;>e#+pKB2p#|tVkw=?SB`1*<(8rbfO4hy&}A$~(X%hoQ0{R2?np-T7C*P@*jRO4brLJE?d>PfIK< zb@ww3)}0pi$moQ0^NTex!Rp^&3PPL@HA>khZzxf&hPPv}$~qEleoPyq18+@Tn+X!e zJo%nmUz+oHpH*XrNN(j>PLLUS42iCdsd4ti$7sxC{oi$EME|_ne_5CtmF0P_;G=Qx z3Q8PR{N=NqGSe)hfFVKEDfImexYn@znQ9YjBMIT#0`%47yfR2At5@twaa-Y|8t39T zA_9fgKZ`#ncGMa?r~Ps3dvMxdIP2F7$=dq#lA#Zuy=0p6g+*&St-^O;`f;`e$}wW> z#y@(kI2fAByc4O@N){X+>I$lFTR6BKZ6iSrOcwMS@Mz1sbd9hcyW*jM$P~r5C9s{YTy5Eno%jg%%xDt(B`J51$D40Ww+LRjc)bo`^jg{%LFf43 z^Xc<8>@)d-xI<_%3fQ#pO=qiuFx20lX%uOYL=jstj7YwC0A z+i$MDpLglVCI8j224)H$90X}&wrxV@(AFp>PG>N$hwK4lthm0=J*LC7<5-$EJU92H zB{Ammt5~&zX!Wvs;1zud%6>H$Qu8W&%1pfN=|u_1YPt1`^TO?%-0B@sDYjo5xSavp zA)iql!mN4D`LAvja-T0S?@Ab!Q;`V#UNMx;V%-fWx*;`U@v-G-X#5$nOef^tzUBJO z6)~h3UA|@5DG;;~M$E7lIi+J5QSW{HFoJhA>ji|9>Mh2RUy=@#6$$ysfT|)2A@Xwf z&o0%tk0mwKuHhA7CE|GKSS=)V@rFIKdN)>12);$*5*NWBvZg>*x6_hx-iAC}-!_fM zB)61uwXsZpnk5>{YEhQ?ND5No@5vzRnizB#08Ncahg9gM?p>tkkPgeEX1}nv{f@@y z(iji+lOZ5b1VYsErd_n?-NE3OF|f_%|7M6Cf7g#?4a$Z@^nEK#=Y52NbrXz_RN8~0 zXzomMJScBgzOiJ{lfc=BXvVCYLNu2?-*{c=szj&i)5}!(S{PR&>wIVpK;`C4v)$q) zjHmKfBw_n(p;eng_j8q>0EI;p6~!&tp4~kiSE)whjW>@oqt~ywdHg_eP4I^epA#&z zlMqii3Wcss?DF|x^0EB58>)gg((I*_vAGpTwK0DjUpM_;yZllI_ z5hoAH-71CHu^hQeUaGUR$zI$#t!A4*U`{PoynD^ZlDp@$A>sFINe8Wnv<|Cu@ctH8e&I2P*%;e=tEXLG+Bu8>+I zD{r?|<0-@wN0&GG_XSc%pg)r9OU|v{`mJx``^uz8lcj>_kwlW*mCeIPtQ3!+iy?dX6$+8SYH6u>dJbx&xbe1EJNw}SC?pO(533zI-7aKZ{S#|Zy zik0cm$8l4OEtrwIYBj(OV%`@)p10Q;+8`@Dci7xJQ;zYOa@!KI;eXrEg`A`7iTLrI z_64)|PM8&KO*bj!JkE>GBSiImUM|I38I3&R-xz!;$0E6KEjDCLz#G$nf?~%mn9C)M zR{99pgTD2Qc$)TTXZ6WcL`#-%rSki+EU))ee{Q9s78lOQ^R=VD(7=8pbN;f{8%6hu zz`>RcOVFY0+Fiq0$!ZRs#Cg|CgxPu)oQB_C`z7!EKC%KWt%ksIkB~hRUgA#a>>aT- z{-7`cQ5q&?c?l`jpsRBr#+!N5rs0yInEOSPjrT)m0SAV{zKBA)Mqf%2+r;KJ?>oZ6 zs-SV^jmkM|hhN`-EWSH#SzX)VOHYVbc$c^7QEpupCi$B5WxR%O>G!?h!gojeG14x` zRx6%{hV8Q{=TDocGoeZs0MJvNc=`!VOa~XCddOY(FttC?x7A|Ca-<`w&Cjuo9S$Gm zUc8M}JP^|~@%(B;vQq&kahpYd+6t$6bo`Ea*UV=yZncr>+~T&ACR>9>WWsVs`w$}r09}B zNERd{R$WhU)aEcTAql83+^-5MA2HR@{UOIld(yAw7A1a%jp>wqgn9N&f;%_e3L5$m z(982R2*(O&G=-7qc|K6FQmR@48wqD@s?p*qp~=Q55EW&8a%)fu+Go5Tbooq5l#yjYiLhc!j^Qqu$u-Jx97Y$I;{YM!@plwq-I?bFQZ zTzzPDz<@{v=FV|Maf%N2@k1>lJ|6eced4>86AiNAW{cm7w2BEb_x|SljWZecd#^wz zT~2Z@1Fx~&)A#ttRD!cI0z)T*e?#=jHpHDJ!!X(}Yjo**sm#&{%uJb{+LeaOx0U9A z1eAI??kyv-VgDoou=o4MyLgLN?9{_AE$6+6VI~ z*b-?Uy;OZaYpthb=uH#3a?iFRS|S$MMERP<^TTPR9{PrL4j#`l`{VMkT6_?d_0=Aq zqu=kG%rk(9mgmxS0;_JE{K(&!p(J@qz>G+$fi98bt7Ox~I`7B!r8&MoD?P#n4aHmM@ z+ZBmVh+YSwHB|z5GOgvfDfwkK{`1e!C?m_Lh=3ch`E(@Le0L#%BG91j{@qr+>xNlU zO-?9>0CiWEcX#m!#*;CJ9(3Z=eW98dY9*H17MUqtL}_{@9DNr=cvj4(o%XDeD{%!a_(;YIz z?WKc``>$WtRfj`4t^pLN%P){feG8$2n3&1T$7zbs!6%|Qcm7`5Z>jcmm`EkfZy3=4 z4LVPn_UyJVOlusw{^OT4h@vvolUuhA!L(TrS^G-T~1-~D*<5q)&$ zsJ*l=RsM2qVFl!JehUnK#3(%|o-<`Kgn*2c_CzZY_Z=bz!aXu6WDIhJg0bA|k@A6phs2QJ;XV+mlG>ks9uIcIZ zegx7SmoeQDJ|6s2<`^DhXJ5eU9v+7}a-zLK#j{-$aetn9Gh!aKcWbyJX53yLV-BH% zV_&+z)5m?;oyX|5&PA0$ukM9k|5Po6Sf-d7gv0klnYj~gsgpEuZO4$UKi_MiLXs6) zNDW1&)&OnaZ%?>yqRAg?jOOn*A9zMrU6d>pq$#kJ`!0^5`4orP6I>8dfm+l?!CaBg z!%!V^E)X%de+rD6U-oqTlu1PT$_#|8!&U5T59CGDdaQge^>@st`g-?QXN;^WIdV1*Mrd%jQ0Am2|jhVtSsV}mC4 z61>EWJ1g>r*^K0!wtcbVdMf&V(j1PqiJ^1JKPlHyKc~)_qC?rz{T56z;D6OP0WVZ4 zAyNc87N4LWp^{70S`L{b4kQ5kdHpmQG0o~OKw(UzIxMykDp65{-5E|3$=zyie3}ffC8DvtjIfaaLd40v7Y2T7CN24g z#FURCXw!?r3bWUPuhI5P z$MV}xH)q>YBPd)0)66UxB~G3VogX7+-IcR{15g!G^sGG&Fq}ep-U{J`>9OHtAl^S> zgY2?DgGk!|818jR4Il9QS)t^o=dU19zBDwjeuu)e#k3JZD{B0(J6&* zPpdTNm_2FCsSTPDKFy5HJ3rr$-7*zC*sQoks}&`vO!ELvlz+$0wa+18o&8)ri+<}YVHr-RvwqSakuJ{ZH-BuRJW_wTQ&sSx3*t5e9s08;ll0k(7)ZfAarer{aU*e?9-$#3`= z%h;E061Yi2o!IZ#Z6rtao%$ZweeGc^(mBDg?^ja{+(rnQI7b&wT~qosg^|`59geRd zI$At=k$S6aSFs;{L4s(rPr>Hx1254QPLK~OBhXu#$_!coJQuA5Z*qo!Ax@Z&JWKu2 z=`JOvAk@S|;0cl{l*aO~n(6w9Coqw3JXu{z@QG zf@AvXy?<|86bh}@s>$1zJyFeIMobY9Cle~QS2P4`A8jPDPPSWp?^fdgWHI9u-J}0W zgh}%A^O}#`ds&Gl?-c-kyLFhJ3WqEe&|R^1-=MUF^QS*84rfXf4%qX>NflxxG(Pb$ zts+D|nxsaUeawMQI)h;~C+PMnH?>ClBNlAwc7K$Ng~eM$3j|$ay#_&^cu^SI&j=a_^D*Mk;QUX5KS~Mh}+%OyyQdp%S>1zg3@2SqMA)Gw|jJTsb)DB(J1)D;4Pj26#>4cq7~XhiPv!I~6@nd9kFks1k>y|3B^ zIR%g{KJH6zPx&fbDX%15G};h&WmUE+_wPzsT|&Q>H8z#RE%1;@K=j4HSGU(4zYtIkxhH}ovXGgC#qpXQ?#v2mgFv-n z?f%{MaIEVmFTY(|}RAf1B2;yAZlhlWXt#Lbo1H4B7225 z3W_xI+jjQ#W%jmplVq!OZ}DK*5Tu5RX_Lqwl?8K zm3EM*e6ZSp8?s zlZ<>`^AFiu;qBLA!L96VLUn@+9&^z0Qq3cW>e_`9X?nnoingalDhl z>TN%?1ASJ_Hy3YBqXqKI{NE>SKngdG8%e7y>m3YvO4?Qh`MX6={t~C#Hu;_+Ay7HG zW`~V%{E&y~{Ny(C7gEm$CSS43Xr0M5K*Ny=Mso!mWyU_%8W}YHuzXCuF6Q~? z!tQ)4zY%QbV~rPD6gvL9#k`Q)xk1c2>`BY8dQ&WZ!ZXsr^rd-n)=!At1S_@YtaJ$g zWM|=5lP}yo@6eP5zvq6+7_NVSReb=KD-YF#kjRiexYLc)^aP5;F+>x=fz4KIif)@q z!0Hv)3aanjcysOinZ1cvW)j#)jkC5hUElsyc{*Z!invmG(ghIH;d><5KXm9I>jSV^ z{mOFqZ(nf3GPi0l)3uCt?iSDAGYrOxOrlWORiTN8++&BspjS;#`VKY7f~Z1H4qm;~s{ z2wiEZ6J%*NM~ZdGEM{pae)u7LL!$>0TqGG_($#`ERbf|Z$2rpZU1m^LliGhrqJrOD zWw>YEix`kp5Z|E+z^egPP#^faaV5cdV!4Q_hyO;XjPoLLlt?pxEb%GQybA9%W` zoT4<}Du!6Dh#>qO60f#d!=GR;c2B6ugC^*BSa1?c#PfV-mCYa5@3c#%0~vAbD>nb+9&&0vaT^nO~3wok`LB( z=4yTTte>C}O)cQof?haNoLHiE8@LdZ8CM&zY(v>bp^Vu=dv6X4+rDYOj?SvrY*36`Yf}NxLIWlEbFWd-vnSr0)jbJWR?!7 z&mvgel~NkR8~@Q(JbLMcIhfaVk+Jv*7_tgLhzOUJXEk}}x*aPctBkUAv=hCbCc{(< zTFBD3t@+|aCt5OXGIVmHut}UoSSrNe^ErK9E7$z@c1Wf&vpF>?1XE>y2`Qy;&&C3!S+_GrYp=Cc38TMCmn+pa%w>9+eOVMwKq&|fon@D4 z?M`;nruUv!h8WhD^|OPfztm~u1HZfp6wBY?BaQn7EMswqOnJ3B9boH&?M zS3bD-iUizN$eS?;nTSeOhS`VbXi$!c1`TzF+q3@wEWPBHxLfJK8h!JocGKY6hAOMY zqW)&*>yeEVM+Bcp;l{A!nC5@ub+Az=Ieo|r)cf6HqtotA(o{YR73JD>GR#=dUlk*? z-R{+idLPUSzR%x9!(0Fj5xY?p^8ybi;Ol(uUp2bLF;291Ph~qYO`p;1_Qi-j-(>JO z+!r@$Ld4LSjYJQC>C+2NaQZ}~7$ov{-l(KoZ6&xYXN5jok>?b%fZt{Ml**^3=Bgg& zPiFy?hi-naf;?1hjTe%Bby6y-8kcf$m?Y6cc#nSUxv<^7PQzA}c=Z{y_Xp#8S>|8{ zD8WiJO??LZm6WWzp;xGq$b}jaM~oJ-JNubcBo^|piQC9z+t0eHN7lkU^98&nAFoc< zIe}(hm{Kx?rriS33;?Z}v8H>iT&RMLkV^3Y2vE6pu2P|bxra+XjTEgf>EKKLTaY;XN&cllY zmHAZ_ub-H&?*H^ztx3lb8zIBkdx3VHR}RwJ;IS000NcSUB@g>577!{~ERp_h&MX;z z#6w%n4nIvV+z6`IS5uCi3~Cb7>P9X0i7m&<(w{&*D+(Wde-Np8p){_W=jx$v>iea_ zxIV+$sAa?3A#FaR18h}5WWrJmMjIf|EdGn=6yRYQ`@KAvGw8(FcT3cI(&xay2^M)N zNL~xF@Ciwx*HwhcrIHf6x1-_9#0`Tjv7;UKOg(`@9*lxX8vsuVWly{AoV_e+WYf8d zo;|X3|DED&(Z|~2FUyBS(}%y#^bN#bP?I2XP+A%cD(RUS{3oA)rjd4Je{;NPH%Y+s z6A`;ELcrpiatXjeZMQt~}sUW%Y*J;0@hltp8f}m&T*@3TGLbi_UiV}27;W!ZE^3t*bk8h@xRBT zR~8pK?~RKW@5Po`L+8n?>~~Z81Ax!(dY-=^?rJqjers57&}cnoRDb<2ce#3FJpMbr z|Fc1n-!o-7Q$EUtOP#r*zSOp)oV$CkpO#n}DKzfZb>8|Cyicodzk2LxWENRD#S8x!pn<&PXG}RZX znl4E5@;{4ecuNN?7%^}W=*nsTyG5#^$VXz#SjS?$DytFWiFIo>Ee;yCfAqC~qY(h_ z^cc4kTIWV#AFlasB^+G=Zx2AmUeH9D&TiZ^5vAIl5x?(Ry88cjU1m|!;kyy+Wd%uW z3E*<8S3eU%nS%HhpX`5Zs+7JR&S3YH>|Uz$I-q3-|LVJfatRqu|%>mr8# z&o_RCDnX11k=#F^NthX>k;mMWRB9$qBEA|%)aLRiIMV|6ek)CH&|{YDspQzYeO_XO z4<)H7>$tEHCwg-G1?)+U-_FKT-f&*unR{K9{_C}BY|o3a7e;juu3oP{7EMfBumDG) zdGcr{Q}kOkbOfuTOrxpR*m}OH{#&H>(%@$03q!f4y2hUtWj9yb57LgfYHqrv|Kh8? zqQgBd&i}&Q_hfvJ?9};jjjGO-TGw50tu$OZ>ThX>-}$Nd@fx2{&}r^#q@Jz8{&Qbs zGL*7QAbVn=W^+(*IMS%@!@`NFirs|c^SMzf8ith3MdI}PC%4yg_OizY8*|pP4+l5x zY%==tGdzn3sTRBE)*-ds5+PvdOf2&mepENfxFCe9!|A!+xT|a9=p%FN;8FHh|5sRI zjo{$ftP9KTg3OQkqm4zm^gnJp%RiWOGMo*|3}RKsJ{D6pJb#w2;%wL`$i;oMax@e7 z>g@~5hGn<$+QvWEl^Z=@)xFcd4c}65#cd3CZ*D4XpSWo0*NYmtT_4-s_~Y@Ir6bpc zZR?#JpWUB%%WjEX`E4R+>35%A>;OMb@m(lKGO6>Y2&(t}mKy{gJe;iU&;}wdM}U@P z(`r%i!_H2^bvr4yIG~_+n@`qzAi~G82ytsH|IMbqlZXX>f_k680{F0valk4|hb-QV z2;Dbl`CF^0BW=sx-_xeQW6t`DF-Y*z8}R?VmR9xV6%M-L8R!~p)gBwam}~F!L&xj| z(n!V|JvijxPM??YBO=BkuLlEP4X?^sVHd<*77~jn=-(vXK2@#3Rr?z+*UZZpPov9l zC9)Y=r{N8GpE|D$F&UA?TfqCLB4Jp#DA<0y&>92%Lxb?qa!#pJB!PUVdUa=a}p(eDq4I3_x?8fC;R-B1d-$BiRUIvp{Adp7feLM#{CY+qT_U z(*v{nmT3M=4@ZTPA@^lS3zfWPkyX|cj;6Gza3kFm*~IktA=B6!mtUjd=xE@|}Y1kjo0reO36r{MJ}s(#VDE(rN$^?3?;~b`Vf5arAuH6d95W zeCVR*v5Sd@izb-6{kDFlzpr^B(_@e!ZjI~jUF5X(R@24G;*JkrFlrqFV87c`^pyyS zk*nq%Ng4yAhVXbbqib!O+jslISJ0AH00b~H@aX)EFA6}bq`{f{b_rY-vS=3r-3B+G z{q^Fr9p|qAvWd`pcGiRJ-=pk8t!B$p4PW%f8h^QG6c-PyF_gn9Yu+1`IoX0K2eY)l z4gHsoPmPN4{YyuoBw11i8mHp!Zin7EX(<6E-S@O=bMV8LP^R7b*mT+ltb5_}R1pB? zSS|Yt^u=KJpzVkVnFEek-n`T-kC1$;Xq%Itr@q~odU1hEJiO4?tU4?0O|P8QXhpoh97Y~D^F;eo^Z3)-&-;CE2H?v=PMujhP z=|zeV+rtLHS)LG23p>IN@L@g^U}PTSiyy>WDz_c0V5g~b>cNPUo5@*X$Kc%M(6X9K z)7!~Q%fk?MaFz3+=3Z)XEz8LM^4g7e^q|}H=uygU^ncieoDMMoEdRuE$nn#M>5nMV zwI4~IaL<0uQ~p9oWt;)N8E;5<#bbL_*&ZmUbw5a7NHm)4XR%wFDIweh%|{7XQ27wK%oU(Fa+);&he09`+>ZO0xzw?%WgF>@+f!5Ufe@+ zF+{BwV}PYraSQ`@A1o`Z5%=v~u(A1GO?>iP{oRCVobnotmD}KytE*0K^1sh3!Ad+W z=Ku0m3pxbdL=GF|?AL(9ZW4rPk9jWK`ze`B2?z>b^TP6Vmo)uC5Ea%$0AnCXf{X~} z&@&S-6(ZwcnIrs3zMULjGM4YmQ%)nYT|C4LYw@T=^stSts%#CAS0EP{@W59>qQ!XubHat)K?qen!~ z8v-+lX=E`UvItLnu~?=e9~Q|jq{ZmQvunP6pVsbY>fwgr#Gt_>q_YIPp=^5S1K zzVAIpYiyx=Km(ySyU-Wuz54~=noS77wMUHCicdC3;}h<)oShwwHC^FHCntA)1|EDm zlr~o2n=tU|`cuhB4TgUWiDdvacnhX;%Hn=>8nAi>!CCbGH1CGJg@7wZD^NepoS zCoqvTyf;fuM~qZdgwtudpET6&_jrY z#BblXA0+W-b02#}T7NMvS%zg`V%xKM%VyzU~D= zuI-v1qQB}S^*j6qbK1I5>GEGDqf)CyDKvp%m{}R#dXg1M!1d5CE7R1b$7-fvm9HV$ z@N(d%b?I@WEAc(QjPa6a$Kq+7jLM*K{-E)~`?`AEzD}v>;6X3Q}WY^-{pTwKGpnpZ(R>|OzxPlz&?SS z4-zZWDi)_DSyNFGYQ{>6YYBj&jW$1s?K+bs9a;surmoJgmcE;YYvnU>mv2YJHeT>Q zk~NOk(&nX-us0@Cq~dxFv|a?(OeW+YPw`?g5`<`!SKL@uXy_>YsGhi7$fIE_d?Ugn zfrdfi#gY3887a95a;c^BJ2<(eS-D*31gUph$}4|CKIV5wH`wXNXfVmMq4#rMMKZ3D zJl(?{qqA8v@g!jayk`Z*nJV{suTPlg4`L56W2D5xDWE_+&2z1je*WiWuPFeRJ|o(A zmo{&|XhvFvO`;J}jB9t%C<6g4xb5I~dpO_~TPPZL96&fp2;(UD!qtcIsnLStEH5ea zNiZ%eL}=_28E-PHq*;Q=*_USdKa4cnqGfO@nHo5dG?S!?uRHAT>+q3aEJz^Mg#6XI zux{Kf6+>;hX|6*Kjvl2dJeZzwQ4#2@UFo^v!4lX+Ny1KVkYshz7njAJs7}a}MM|M< zGD7szyJt^CQiPrwPOd&;*_G0a$FG)?y}9Bfg@%rvLu?_QO)8U4vO>Nwdc61RD(AWL z`RZl#;hb&DDv(C#-fo6t^?T*hsY!8MtC1e9#!?c@*h_Tr7yJq6o7+}Ey~F3ttSq9e z9HHs*Yew={vPH({+j!0)@$W;?qQv*L)tMRb=7i1g{_mkoLz85&@j_obM@=@*z5H!TBD@!K>P z%?H$2#u7*XW(6pAlL0MyFmgNT**=GI3XmH|j#a+Ox|~0KRRI9DKm5+xcOP|f6Y0vaguKIB zt=KiqkH^>A0Mv3J#t+-wUv>n@kmEqY5Y|)k!SZB560SskEax&GbthNzykzKjvr|cp zd5j*y7vkhieVfr;9Es-nvs!l&?*Cpyyapt(K141B8DUe>gOPxoiXo{3+HS-Y2FQL- z?SEzltXSQ_&476K#p@XAmTinYB_nQjKkVfjsLW8?QO3M0qcRk4bpf4G2N8C}Mgwn0 z;B6wiO}(*V{P}^ohj_er{!lN?wInF$yb#?9OBQjl zn!NaqeHzQ4(3RNUmEOJPb0T<@#d&LKo+p+R2*Z~ho=AAo3QA)YsTV*1+C@10T?=EU zDM+%Ob#)YOiT4v&Ve$e|w_itj;hG#;Y6)Z6y9H7DIm*HnsPt+?KzzUtP>v3gfaKAP zW~f>gU}2~+oOx4<8^7_r0CTqR>aETCU6o1R1Or!HBvExi>*wbmFWEH7(0#vRu_KX~ zPW_mLOk6(y_w{D|hJQS_5_1VglU)K@T>3STTw1-=aiDdMrI5=#8e97e<=+w($fMG6 z*F>BPCN`O+*y`fL9DP4CB{J@qhNcg|mCyLuVQG$_0sa_>V3O9}iW&HqX!*I-Gtzqz z_jew}*+@jll>c4_0*NltmO_?RVSjh>Me`OSc8zyM>7{>xCf5g&wmxX1k}QV+bN@gPmh?&5-mHkk&Kc>s zcY!UCe-uq}#}rn<$qyr$&yfi*xPu>wEEYE2uTcK5uItfv9+U}Bz9hO*X*E(Lol~6Z z$gl+`j$W%{f0}T32$J7c!fyk{1S* zfR;6T|C^UY*#7DWySk57_Z1AJoG0@>mMv14Dc$(Q@PfbTuQj4kZr01mg2y!1J(LfKGS)M<2ON*I_r`sv_E`-H+lSBg3G!;>rAu?xr zHNM6l2nJ*(es;2S=SIegww|pSvr>|=eMgaID#~~ue$$Q0=vox+zES0E=&LyRNZ#gH zpT9b6eevW=H!~NFbWjK?fJBi9Gf{l=wvSa=3j<*Y=k`%JYqq8b7K*1Digq%8uN)lj zHr_G($9jkHPujgvHb85{<|V2&>%3?KOTxlyN#0HxHE^>?(O!V{=jT=~%ZpOeO(^?u z9}sf4n5TfM zVxf$R)c_K}IGpfEvo(L95X#%A3m9lwc<0Hh0+99Cd?16Gd#DO|5Wa)EwRnGn5Sz4UPAf zNePa5s$SMvxiVT$i zTcR6=_eo}D*&c+?a1_xKbRo_kv9fipfhIjpzza-=pi%k!Ha*nS0(-VJr_v9s7Q4P^23=9QETCn!nRLT1I z3|g}kkZ7a=6NfhbY7Uu>{^08IC2A4PUOA7Cg|iK9L9`uI08)4Wr>7S>b5kU|#{Oo^ zyxTpVAqW6r=55p1#>6y+OZvSX8Kge%|mQi}2*qA?aWV za(~7fg&HmRb2>_R`Qzj%bL41kGyH`Bx{OYHLrZdb_a#oXNI@NdDyiTXGyZ`4Fku&Z z*4&GhNpDr-LCrvmRfJG`tg_#}3zi5ck|$xGg^`kN&~g7_TR(ZrKQpw z{PS0PC<(F~E3=X|V}}F|wc8e;cK!QsWtSkY zHN`fP5bfEkEXAcV^+7tG1z^wGa~!64)1vhukTPx1vNaDZMW28tts9 zr(DjO$e3M<)SgjSrClsYbUy=Snw7vqfALSY~qbPp(K_l0B}cc2{rh-|g<9_1~_ z&51{HrxJ))zGMZiK)?VZ?<=)n+Q8O%8^b%yEQC>Tw*d~D1QU0d?Fggj{*XGy1o}yp zKZW4P4avlW?htlv=^~^?5hCv%B6#mU83r8|)nIbZMRXjj+cDs$$u%6kLrNqi9lw34fIXt(#lV3~U<8Y+x@3x9 zCd-wzOaM1zh@)l2m`S{%nWY0$meonu8faxN$&=0$ESDK(lyYnw zm}1@)ahu{iX#BXg(ePIo_h9np_vG(WYd$_1$@xhL`S_gE+^-NQGNkN}HT`_5AFi>v zIOKkD58uS^f;5IcMEnKd`UWe5zmQy7?+x8N*IIhC)mT)R#3JewE~C@^H|UWPJ{Z&@ z&SBBnLDThsV;%|pQj)|1kjc6N4y}NVLTR(0$DIP8BmW9e8-nEV!A`8gxFsOKF;??Y ziS9b4%qHac@*{CA^FESvrWUgR$nZUF*h@&Ps{fKMyW>5rdRd3(<9%XuVj_PlI$G@9 zhvpgs>R+)CTa3C2|7Phc=JB&AKb!-iBa=+JE83?5#ExpF>U z=F8ED$6m>Ucl7r4`ZqL2(uAEb-iD@|3fTfYY?9cp+iMN>&F??0-f9I=x%Z)?6Ep}ZKriQTmg{JEsn!5jx6VuPwG7-Y zv|q7?p2)>K$)%`AG2YF5_V+A|j(u28|`(^TTkyVxf)&?j5hVD~Gs@Z&pB*uxnuccm9zzXW?1R(1nYTYM`YP27| zJ-Sfgy8dv$gPJB*iX`wlu>6@{%j+ISsk$JyEiEC|+0yY}lT#xKoNQjW_Lt@SM!ti4 zrl)RA;6wVq?I3(ph8rY+>zBSi7LP?8c-8fRGPfaqJNN8WwtJ>CZKmtmx53{VKYvg` zAj=zAV{3@ur+qD0{WC(emNn#0B{=2nH1N?Bs!Rk$Mp?KY+{15B@_1IlI}OR9t^#4#ts37mW$6u0n(Sg3~fYn*O_WtM>HUnKK8WKhn<< zPzsjtM=uQGJ9$72NCi7$wx!e0bJ|+xcey5M3`Xqg%HXtgCJzRx9JmL&Yo|J8`noqN zXL0=;>2L3}x)*&wRbwsor(0hXo+lc3Hzj6NHZbq#0U^PnW)=EA5Mo4xPAnhL{NilO zMeq{|1HzymB9q71qqUM_1ifl8ZaW=_In{l(NIvt}I$> zu~Gb4j{>*R9}8?+saA4W@LLT@N!+G=l8hI97pq&^&w#ksRTKVi#0|gi)E5^Kr#aw( z+inx$RQkRB3~+}MaLq8vR$rYzP_O-RW7h_bDsA z6bb6C&l4dDc@4Cfh3*oBQpn%!mX^SmPi`*KMXm#p|2VCL$_wZ*zKR0;w+M*xzM~IO z2f=Pvd29bX_$)mFDEQ7@!(@gRq8c^gt;Q?$aEpu($6#o<+%LjaYRGYTm7)TWwK+K2{o4X9DRy#aqZA3%!@rVC2T=kV#$&Dh52C8)M z1CXP$(gts9*b-avpleGbPB(}v>*&IY#GyOT-z#^%8yD58pMO>4+gf9d_Kf=p7!rS? z_ph=ZOQE!@ZUF*gyKz|y8*6b^(B8@Ri)U#aazjbT z;8jOsTJ<3hxYLUuw2#Ml{(#*wypv2$vF_xWF8v8&jjNqS)eIS~G$@AU01Gk2)gK-VwQ0K>r-hPJ{HD zE8uvKG(_|a`||{bM*n?4_?Vd}jGHZN7#VhC{)!Kbko?w*qPZTlUFU5Q zSuM!Xc)4B;&wGYrP|gYPsn%sykASO`PQ|~+@qgEC4=LWKmw%zh{o4=q91t`1J_SSU zH%3jq3IxT5uh-f$iPXOlUK97OMnnXh&KRQ+$^t?jl)UK2lVOVaqR!Ez0{b8#NY<8zw z!wU208o2Gr5`;n(j~Yc02pfWwGu}sDdJ*y8g*FX_W3;6ARcA6D#u_aW*lNB$UNz}n z`Yf3G1ery^mx23OV4GnMF7)Z@i3B;(z!r?qsfao6_VyFB87xp7KGJ?`XbS)~7oYWL z$yP)y{eKsdm4OzU(Tp^E#x%7V79To%;5%O%y7gmu69RdJnN?lLNKfn$&JV(>JYg-L zTM+(ak{xS^5ltbmBP9xY;)&fKbQ2Ydwj{>yXj!IZY=^$wkA%bDA36McV>^?sVI+0L z{ADO8|M4Y9?nTNnyV70^Jrx{^} z`=D~CQ2MKB6^ABn0T63`e#|H{x>yxdl~Ls28IO8WU&!S5McniEvf5NQ4UiQxFk(O8 zeghp1;h_Wz3(cs_8ZiHaU^Y_zVNXhZ$>{`GSswjU$Q~g3@w-z#iy$AQhpxiUSdL;G zJ47a@|EId|aHsn1z_06EU8*ZS=W{;yeZSwY^#&u?O+hD^-e%LT9^gTBj+Da} zyb*kpoLo4Hw4Tie7(i2Xpc=jpEbQK86~lU5hb(X4L&1y^;jRN}zt(&jb)r%*T41;BMnzW$Xry&aHfjoKwl93;NGO>u`9 zS-It1y|lFr$~HR!sm-_?93EuR;ad^yXa$KT)K$cf4&LM_LE8_U4SeXB@a`}6Wk~ko5Q9ysZpybk2(oXD7g+}5&0T@u zvxOI=Yt=5xR36fc#4FwQzz4Py>}S&4t-(W`<_D;1hhQ8BDoJ88kbEgEn6({hk}fDc zFGr9PD?Z4?!Qk?8wF!Wa?c+AA`i!HyytngL5u z#rv|bKPLk}AP*HRG75`9()5S!M9G(i8aNyzBi+#2q=sEjC^!X&!9HLA*FC6A89Au` zLP*sWFDiPG?ztvsQVpnKg58~oQy&14Yo3iVZ;T-N_O%*-uXWO&Y+O_*yg>6c^^)Oi z|IB5{m5J5h&B$V#4FK?5{cQ*iI#5Y)fsfcW@md7eeHg#jq|b>df#-1wU2x%Htjuc# z7myTizM8eQ9t6+ef6_T>2N*y+sC);-6HCHN+u7nXriuiXM?ibE96_M84N$O@-|mSV zBUjV$4ME0bIBtUy_2u_eCl+x?I&zJ|3W&S{?i#{$~_Z{1lblG@b^+P;xv@Kmvt_ z^BiZLSUWVjC+E7g2uU!SYi10ZSzObq+SEMa5%nm{_sB^l$VY<}~gD>ZJsaeaWo$J~Hi_4oM`Ue?w4AB9=p4Z+b+ zDhFy7p3dT=A}kCL7+2%)9D$OeClKF^PCvi|YDI%>G)uMH{HB6+*i5Iv9v9CE>x_#4 ziw7x|CYEndDX3$fAKZY5^2>gTF>Q$3C^rrB%uIg2*EiO{Vn$PId)9bF-NwHs_d|^9 z`h6=nL*UoryWY@TH59k1r!7#NAoYnjvHOta1o=Mq4{cmC``sji@^D|1K_EEQM%6v@ z6Jld>9yTM;Y@xTNvH>bTS^O36sE}wAa@}EOoWnzOHMp?qgo_Q=5)=9VK0M6O!;?T6 zaZ?B;19~MPx3$r>O{SshgX>IO>@P^kBl%5<;-9HS+hu+MwS5xvCodz{Yi*}*%KV>& z-~XZ`wX**pl|3{=brD`qUc#1#-q1kQO7LXP?jc!l>kS~WDn?nDhdjdx9EURqP&)@G z7(=Bq#vBzio>}_&fFw|wv6{YsIj`hd)hr(Kfu9Vb!8iEJn|jBpF>nP4|cIG zXabE(t?&nPem zqJC)#oHt9xPrDg#@9!z6+QPnp)_wRn@U|NOqzxLSVzsl>|C<-y-3kdX=g}UZWc~nB zyo?fBjkX1SWDTa>+yD&jIqB1MSV9zXDiQZ<%*OF# z`H&YXJXD}Z4Cb<eM6 zJLptv9+?=ZZgEk(0ulo5`5Nb=X|I`bC9#!4|2PxPLSia*i!kcj>hqxfj|LSb%gsMa zqFb;(q-)?wzF$0VVYv-~e_$XvPg~_aU^xVVnWL7GPtKs>CkHmASG$@)$may-(LRE> z)fc_YXyf>z6}u{H?h>0d`|Z6FTl*!uyYt=*^-m&SO>um5Y`ByggCyiHX*89}HF>xL z25$xFnyMis1!vYn?-|I`{3L*m3Jz$sTL$KR%!{uFox5{jO-dHeY=^k_4UCcLjlh)l zIyABC1j|4;*UC^JC2U0OZAqbL$+HsxZ*+z}|5`!1)`a8!v0>1u-`gQ--n4xo89z3d zRL+n2M`B%lbxfTDl@RWu-igdXWV*XH;XOGUJtAca5kqpQ-StiAeVbAsljkotdiqlf z(RS`$ZsS^O7$w*BpS1FAkY~jkoE&p31zV!GHA1t0^q!>uQtK;)0zQ-Og=*?`Byt~p z;ds7JjW7-EoW=S&N7^sLcqfdtA6SfBo_;)9Q8dr8y5{{f(U9wRA3#+)bq9;^@Mlg; zB5^@-S1eNbbW8=93sT^%H7{M+I~~H^{1c`BZh_>`7WjcAg7rRZs`CwhD8v0{MM1Q9 zLq4x>NLM92T@kGeT_R?j0f{*LQ0lr(X(3#4_W~K8?qkN}@Ui}41M#$&REn5fG&m8A z-t7Q(Y3SRY@3CwczCY8kR!CAywGha|S~ni;aC?BS^6S<8m^(WL{R5X*p2}D|;t1|H z%cp%iSO){7#N-%4E98?wY4935cZgp}IV|lm&bRkL=B$z<1MOfec(&u*@!=$5Znr5r zg~7~g8XeZ%>l*WCP2EWO6KSOfFrt&$M}>^+U+o20*W$u$B^NzOe+JmE5USH!O=-7b zw4UDZSYQMb0z|j^l23j*O9ZnMeN0r6%-W}g(uE9wPizj97uyu+*|nn+=X67hcJid3 z`g(QWqmPR(M3iyhJ9T)}PBUT@Wt>qmsSM;?<;jHto7||Lzd+z;XbrxL>lG7J#4CAK z(fbb5Ls6m{#(xM>YKNg7IZFHTq<@C9MeS{dImt#gC0&_g|15frRnq7Z4B7jg8cf;S z+V=~3CmYqTa=>P+NJ3&siQI)I5}Da|*fk zV!CEWl53QdrdiWbjHRln-$b~#ol-|_$otw-_PWQZ!X6tCj+~o(LV3dd_qe5kj$1+U z>q;Ntg=W{-f0|a2modflG)<8|1>L_#s(1c1co`0(^=8~}K?<`8B`}Q)i_JtSn8inY zoAxWD)d|VIpC6RrRS;#H{1!(-b9@+O)$7FNoHX-zqdon=M-| zQ^{UPNleT>dESMwPICX)jqCUmC{VX(=sKLq5(3BzD`;4CLM5>s=0wtMjrRG?`Gjin zIU|$3x3zyOA0F7u`G4JB-_y8ieB<7U^you^{=H;{_Ijx%P6FC?C10~X&l6W@|A&lHRz=GFnAB-Pt`_rGNN}-zJtzkFkFA0{gZ+ab6eXgp}SAUvn9m z5jsT>tqP3ql7`Xy;5I$_uVvL;DJN^^(D}nICxhWPP1;KxY9{c%0}YK6LZQB8rTBgg zYWqlcbh(;{eEwjKb132ON@9UpjOg0KZf-yHO3rlPamC9kOXmp!$KI!qy;q6zoQg?% z7!ecjwnAscV3Nc+UfxTt!UrgHT`r#%M4OJxEhJs}(39dkDr(vo=<#0c$;e#VX^E@c z5@Wd3Cg@ma`9H_TmAo5Y4Lp-iVc(in1^1b%j+ z$41aehDw=&z!lm`3G4-YCo2&ta{+lG|3H!QVt<&!RC>{iO*5G}ilwi^FPNp8XITkV ztL9uOtjyO2+NZ459I+{Lk;(HB-)bfX=7rWF-+mG0kfl-Q4(>#pF&O^y9i2^Hm_`LRa5?l85wCNX~kD@Kgf0dY0G6KO#O zJFlm+K^n5Iq{N3-9~Y^AO@;v(^o2O+0(t#_jPkYT;}_?mDOY(7t6oGd1uC(rQfc*! zdLYf^1z5>GJi?h89Lr~qjXAAATWl~OS^@r zwN2TS__N>>_*-ZWSkO#~np`$U8-O1{?z)$x^T?en^VYVM&1-=){8mdt1H1*0lzyY1la)R5nEXgM%?nVhgTKx7!tHTGAo`9n7 z6d5$Q-&1rIDa5O;q%PVO6 zyjO+OWK^Zx$!NN@$cvJerjlZ=Ps^T);o)5!P(dNJ5&cWm=E)c{$YXwbfcOY#aDf4YHw+lXBKLhAprh)p@lZt>vLo??#lIonyN+pe%f6#;*W_LrDsQ+@WTwc*yiGx-s5?b#Y5E!c`5Ec!-+&@ExfGNVj5#bz^1bF11I9l&Vf2RWgbyCVQ zwS@n#RnS{tpCDrvLmh;=Wg7;*{rJ8vJ4s}BfT@K^b8*c=p$ycU9LjG{lW`!=y9PUl zk|7RDncZ#Je<(3LJPzKxoMOxGrs|)F5=KuS9=b6!zf`%g0Etk3xOpJcGH1!>$0M%e z<%O<)^fxAIoVu{~M`c~;&f5-#&<2D`83o&9Onl+5PpbF_@aImh2TmqwfnG6@KnoyY zU3v>E4VwUur08>z-@oTyV=a0{(v3Gt=S#e|*u~N&j*Il@LMS53;{JXVw{fjh@#QeJn0plN&Z>M&DM1H4{B=$r)tz29 zdy>6V3Ur$WPSTwFVk>(UZowRnZc%Wb5IKcS12l}6KB^-0aD4}WX#Ahq))fqxdJ5yU z1R*K9hS(&G?{yoL6W=X9PrC(ZXAD^Mv!hnA7xprYRh&Kz_iWAgd;;HAeD8@ihRJ?; z>Fj}xWdSQc`g6ZtKcfDlOgCxbtD$BK`j)Sp^dsvW*%(IyFzte^J2ZCY@hyLi2cDQf z5n-6^gLsu>cJX)}K?BnWCr0?8n-UQnpX#HZj@JkYUS6hK5|M-k1cUtVudYa5YMO{k zLcDIjaXoV899)8Rq0M%1Q<^(s z6g&YFh2nrPspZ2@fm#q&*GR)Yt!V1xriQIwbgclrYK8HRcpzQ}!+~2PQ5}2Ueo(({ zo4e0vsZ+_ey^0`s%mOe-%yQ6<&X>jZ@Tw}beDZ`4w-iS3L<e;FUo>e9M!B{t60S>x&cK8BDrE?7# z1wUDH?;e^N1>j$+n0`=fq0;S0w>Px+p$GSPVJ%|h_1_jL2jKTNDOF1E--qqfdl;Z- zVZLalJBogikS7NuzFy_>t#IJKrQ5#A*T(K~dHR)eZKju+a&G>{imql!&z!egSNzJ3 z{A(0L(-Y?03a{J!%b=%9JTJla$mz|%f@m^bVYbZU+3S)FT3f#4ZsLJ20MaBJTtSDR zLX2)StR)QZ=60cfc-{5_0Ds#JaJUc03q^>r!a%4Ay(HO6P54bL+6V+)%z<2FqKJ<( zWp|@LLo&s0B=UiYXrk{`Q?$KWc4=y%e-_#EU9i4X!ZNPc(h4q)P0K2+g@7ix*QaV? zorBy}DO@1pnh@Inj>zZDGk6!l6`Av*2u04^6yJ$n0M8{cvilARWxTN`|vod z_4u>-xZz3U=jZaG)vL=TP)*K)1XU8*&wgti1VgmC0WfJgY1p4s93ls`IKfJkxSL}l zLes~sr;L;X+)Zft@+KfoK7cwuhvAWntLzk-?t$OxkIXy08-hOFmWw`D)jo&0pt6nu ziC&YS3m0iGJ&NM|_4}e>|!Mi*KKRt<6+SBKM!&u^?&B9Xd zJ!B0_29mWGsx3e~u}qi@=3a|%u%mvM1|@zW*Q&i>>QDzK~}W=RJNopMsl)e&G-FpF&g#Ho8nj)PLG4Zc>L`5L$0 z4U$v*;8VJpMgqf8C?Wn zW)wQCC4=xxdpdO7T|JwUD+J7X44>zTrJ3rurIaU~FXCDP~!=F`IqQS_&jTYP1 z5BDeQj9o{aln4`%CQRLmn=@r%)|(+875Gwd)yKbjcH2A~B(Ki}%D60P_q1|npC7qk zmDYbT4{0e%fuBd=?3If(?C|Vjss_b=cLGH#EO8kq^kZ5n!f-I~)Pg*2_pLMF-serV%Pfj8WwC8((60>500tO~AQeEq>H?p6?o$nMEQSx11^zk%~Ncz{QVX_>gP|_`Jc%|ByparQ zCTf3fUh4z%M@S`MNsocAAT8zW<*E#s>_dgrLmgOV zDV2L~WA5o4Oq58zgnR7!vFHQjYA$HP^3s~5rK~fHF>x&`XAn6E2r*ny$1KG@L;9i8 zIIg;04!D4r`4%94b<%CR1JLQ#Aa1;*!mjEJyQgFawcJ!&zo`h>{y~q=nkDi4FqYwQ zP}nn8ey-qYPz=$0_|jSS&CY`dUV@dIrf?)Lt=zJnk8(cXuzzPL9=Uzj?2aUx4?VmX z8Y*w|mBq))tA{n}Zow!fME(>^x>pn4hOa0uF{UL*49-AABRR6d0{Ab@ z=eGcaPxQqo=Pk>tOOL#)U$IC)awaa3gxuvUFaS=x)&O}$SuPaf3Ks4KbQe`4f0h(B zez^hiYsKFmj744*V7i6AB}vbcu6;(p2$O+6r$zreMoKi7Z` z=>6nGFt4MAvP)&a8Uizd%kKV(wUsx-pgzd#@-e7Xvf3bXv}zvO`L!TC^&d{_Q^{h>OWxe)22Vu&_{RC0HW`o{7-HW^!J0I zU_e$R4B-@P1t+=hpa82bKra|tcQges(Fy}&gH8`9e^(MT3y=W{{1PCH-Je%yRlKth z@v9Lg(U@e0AFHijWTt2`xW8cFJ{t?AI`|E`2+HDPRHwEm^oBw?GsSi?eT(;Jpq{ z1hANv+$i?HTS#N-<=5!QM$1>tkjbh3L0ABaWX=j4s-s+yN<-s-{j^$~~d zZzfEuyXfSw{|{aAd%!_mynXVA*gY0)g_gy+D__0Bm;#BYHOZ4yBa5ydnw<={zv4or z$Y0~ovHhMFG(RX{Kg93cKtK(&zb$8$T47+T&kBd^{~Jf8&75?Y;7S=opsy4WtH=X) z2`G;s_;9(?#vqQ>ckz7L4E!Qi^GKa5+PjeT&bt}xyTjHdPVT&=(g&ClNb!*1v6Qnz zp_Jy&O8Mh?f36N_*=lp*$y!uSqJa-o&-KJbJM7f=8da!bz6t#R(>X%mKcjH1M9vQr zGA8Whm;YW`4TdT9G=ccyU!`wWo$1#HpTMwt8g6?S2?>P=2J=%Twt2 zf@UA^<3CLNSS&57DmS`zuA1KQURyCqi|sxnBLUog$ME7)H)(qvwBH}XoA%59!VUh- z4EDniWCBf%Sp19I6>So+!G2~loV07!I0o<2qwztt?L7Wn6nzy)KvV;BCZ%Z5f!?mc z{y6@|UmUaUx+9xNdc?Nv|%~`q$jr zt&IcVLcnrFf@yQ{P(Yngasks!WFDYTevc=HT~bMD32g@vZ z#-!zYIbfreN|otO`tsv$+uAFx`lU4(DJm>Kw#qw0I2rV<+Nh}#Pml1nk=7D~2Yj;AB4lm^fA zAvf`tS^J9)Dg7QY^n$q@KM7$o`}N;HWO!igf%!@#DUGFib3&BNuK)xV-VhpM)oKd{ zl{kCQNInCuC4$CN)g8F+A*GEbN3OivpHP4PXZV1ZD9RBeDLd-zT&D;w}D8p?*W@!BI$O$5;_k;TXvxT4Mx0 zg2wxDn(~@5P)BzIBp>tv@zXQ6{M|EXjvIpJ2=cB|f=dNQn=bzTU7a5pJ!0cv7p z81%iVBF_2`h7H;Ak(iTYP3Y~Ny)xd`Pc?_D12vblY}E5e&Ga)7S|bE_yn1g35yb!X zqCm>AJy5Lg%m4dx{`ox!QcYjw>j&rr^g;dm#o-TjXr_t9zaQVf{}$o*|Nibo%A_05 z^Zu`&86sy2ZY)L1ozlN|0a}JHO=@|M~|Y0=g$hG@beDpR4=(g(BFf z@4=+TIHCLfpVxl`+W%ZO^o1W2bO#{4@;{e-_65f)@Rk~12 zw~gX9z(P#FXg~U&YlMSq4D-!;^gnNj2#8xV_>FRT{_6svIvS#L{=dEL`#$`M`F-Wm S@{4%jmx`hWszBbv|Nj8zyl2t? literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_4.PNG b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_4.PNG new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..537e351b0a0f44aa4019a019bb11c2eb0bc67b12 GIT binary patch literal 82995 zcmeFZS7V1L$caBeB}RSl;K36~iML7*9w1OaU&xQZcmCKtvUu=- z;(_GbH!7}h+o?z}YSD{YX&SPPP9pT$PoL_k=oW)NQoMl+c}9d6mtlfPBOw-Ztr!yX zHk$hBVyB`*zxZmW-Ez_T%^9;#)#-8nc7K2Waer^q{L!|Yyo*ynjmM9z!po+TCeAXE zkI !u9xqkR#nDZoE79>D9fWT1up&;S4X5hhBWuPfF6{fk2I0ayxf3}{skCI7EK z7lLP`m_zt~Uk&<+kRhUq5UPmHoBz*ueNltY{(H;+{#=0&4llY@K|A{2h5Yy34EVqN z&~^Qv_rMhsdYH{RickIj`7XFTjQ{JGz(4=@@(`*2clG{v??ET`e~-rh7MA}l%m3Ro z{t%MJPZYW@ygUhu}T_F^@;4M(02OWX1EcjDlXO#}!2&J|gpDX})IH`Ox=j(H}<+`E1rj|NL(li}0o8S34Q@E^5Qf0DROS zQfCbf@X~D)&AZDhE%nmGBY*9eeg`0+zoyXfIvG1?%8HewOMS^y(aXNraMb_!sGs+} zF)F9}Jwzic1^xEXc23P=pYXy;f63 z-MXG{A94{3Xna5RG**Ha3R2his(QOf6P5ohi800J_QLSyWTJ#qdgMQdS@0|aMNJj9 znGT@seAFts%Z$A^%=56TZM$NCOuTLa+*|2(dCz#W&@_1rs>QU! zC#!}DJ&yn+GS`fr-j0QzpW1$tyno6Gb`R^j(L4*XqiL&>b`PUp!B~d<+-ug-w44Qm z@b4QA#3t=KNZbCrZ`M_!s35Z{u2OrwnV0o7Uq8w1x#Tjzf45GGypEuR6x`SaPlI4? zw0+xyk~I@0aA`p(;OSb|wrhn0PoVEIY?w2@cU(>)I*RcXAh4?6tNKMm_4vNjtt zM-^eJxoqSl^zVYzcB0u|3?dH%r!JRzfFU=9eH$E3d%vC-1n9m#A=>+oR>c9Kr2TQ+!rRaq{12&Pa8tE>BdCE9jTlWi%$q{a{_qOnR z4M%bbnyh%yt4(G*3iWj9p5@s@Ogy#2QqSYIkHY?AwDf?JKK%SUzX4zL@0`b8L}3E`~V1uUVywnQv@E1QZo_&|)nsq#3YHhf$ze4b;I0|t2#Hu?e zDD{`)+V96w;GPrsfC}^~eJ`X>!~h)0ZEUCYMDsMuG*qoG)zk_vetnoD$Y&<8&H7it z89?#DwbKN@n3B|6qBN%Gwh~u>&nmNVW32~Y#KXUl{Uu&yAC%e`7rO)~qscbA}$Sc-^`aL_JjXh#r)=P z0uPSCD)aLqagn#2qW=!)AUPuKMwBp;QljziaFo5~JMSslC1fe_4C1<#cx`wqiC+G* znK5cE*)P~FxPko!<9nZWKuKcmeKnyIFisqFezjZAf=S`$VYS@(+3={33qvFb{S}{8 zrux@|fR%|Wp+&FTi!~B`yYGl;E*O0KLQi8au8#)V4trS0)s4&*-~PLfN9f=#9_eo# z4G1XuFicm0FsjX+klRQ~7^%{}o3b3i3qD`LJ!KZF1Sc~F2lrZmWzCP>`f~}HY zFCe8}5jVau@Xv}8;7I`;!%vfEmwP-@h%Vi21 zc0c_Hirx>wgnDT>>u#NUiaVHV;r6xbdU!@J8<#i;};g>lhtqU zpN>2A0-8ir@H_dIo>$~Pf-7P{88K5owXBNq`i#o0#7gZnxC3Zb*37ps3HjX}pezG|-qP|n}+py^=sas95`x`>{ z`*0-KwHrfpxu170+>Cux*%AXDc2hPdGk%Ow!5jPFkq9v})Kt#<-h1QVMLG^B(*B{Z zr>6w{#VY~XKH_`Ag*2q#2;E_VYD(cE_S9{IqdNsJHe}ZM4|9t1wB^)n>YwM|YmH#` zzlqvFqa2!&)V2Hhu+63ED7F8kZRHC;P4m=O{SHG6(uXr21_DxD=ITbS(E|)(BxzAV zLqUE0ouy{R!7wX=6Lp5f3#+#nws^kZhQV7Q*)2ZpHymD$@Owx+Cp6CP4$3<3-ku7@8JQGvM=ckdwCcYzc!N?I0N*MxH)Wnq3f1-X zg)rFz_8z8@y)4Uct@ourA1xMD^lv(Ht_9SC64r5(o96y*iWjYY1vH5WRHUr2-dO9# zlX1Vu!eK2$*wDfrfCy2mvJgOVT?`;-1Lm4hcXX-0QG+!2Wx9ieO;yh)V@T1pv z@r!>V-i0#04}E>O@DjmC*2jn7Rh{zFd9{*TzJ|RZCiC3?*)L|`;Ih|v#;F7Mb0Fd; z?rtIV)K!YtXu!Nbxa;LysF9u04i2Ltr_%R|5_11e<91s3{$sPi4(!vQ_g-7tH|{5_ zHs?F<65^yfP3Usn=6HEmllcMYB{*Z(_5@D+gUqH9 zUARY040Vq0R`ZA)@5A1cO+(tFF1qx$94wokd3=}aAy~5%CD^14m#GIXP%me*u2~d? zmA*|#_Q%CDxwEVs?P9Ws%wML6iJ_+-5wBh|5;ToIkH^f3dC2 zEZGJ>^7Y@~80!cLm5*68%^BN9tKxYpKG#d+Y{xdIWZ8-^KWupS9_AV}0KXlMxeCmU ziExEC7CBJPxGUP|>qdjFqBZqA({TUcVnReMHMpPNZc+TF!DZVc(%}P@vPEt@+F{Jq z8qNBWxaigwaem?kV1**LtaLz)AL=LNpxagCF`ysp+D2jbrxum8@FzkwO#}U#CaZrY zp|=!MH)85@QLo_L^;C&%4KiGBD(jzRf!3MLICZ^{H%}BE)FK@UXE&7@cl@5>j#Y#w z8&xKAU(a++H$Tb__q2-ym1w}+1V82vgiEGVgnAe$CUNHhEKFq?J9aRA`6Sc0Lq>vw zo}#faNJ-n>BW)u&>H!Bzvh5Gc>z)bpJBsl+3E^C{FN88Bo6PT~6v*K=L`!4>22 zn1&AJj9_S{e2cuSq`A*j`Q|$I9)TGlS1$8VIDXR@WF+|(pFrq?%%XE!%4Tb}k#9WM z>r`XwMJJT|e70iwH~p(cR}xA;&bV2r)re4-XfNXIH%wk_SQX^lYg*npqm=@?!(^7 z0<7T}7S!ja*0qa)vuR?#YK~LnP~7B}5`^_6)pVW4YUgAxccC*4hf*o%7q2X&A@TUA zut=FI)mZO)*H8SFPw3--n*F&|FO_39sf>wEA<%O*tUVdmHlEZFQ?^GZ1r+SKMiVf> ztxa6r+=3cw&Z3>xuOHtxo~W6VAm=@B*`0Ss*&56+G2!)keO+FS+`p^o;mK3*R=;SA{NSy!Re9=M7?n8le@W{)%+-NiGO3lzXjI#e229bVMdh@n84Hpxa^lLNC zVqNdqOO8}CL1#c(_i7NkI&ul%LErAXA3LKc z>jR-|!l8fdJ1K+S9+7WXDK{EOuOWEYJX^WG+4I3@3w*LQuvx7-<#-t47^f;U=W};c zYl}Qodf4h@_?9Tw5Eqpv*nhpf1JNf^N*Iy)P`1_SW|ga%sB{2o!@MP29SjM18d4tE z3uiqi^3C>IT|BQ={OMIeUw&^u`)P{DOezhu%-6_@eP~2O^W`fFwsYi&rY<>gYK-a) zSO2<01WIKr1~N-U^X*BA{pqI!qSoM@)#UecrdmD_yt6Nk;B5M?`s#_cb!*A@ihiCU zHC}Q?PA4*$O>1Vel6X!*tBgv#(A>nwA;V|2D-TVViXtB}ACMR-3io27yuS?7zkU|^ z_JbEA3f0^ck;wLK$XmxzMRBJ{u@AeBBeDc`MrMY>fZZ7I#HH&NntW`pILV2O8z%By zsFNPV*rmc<8&lVB6c@T^XL3uU{=%9zPtOKwrMze087vXy-z^j)SH^+{$7V?Sd6YZN z>U-T+D(2IE2_>0$t#|q7vpy>*En91XcW$rq+RXTPdD4{H*lr91AIi&=#a?1(h`@F= z9afvX0e$;{D@^yf9exAzYc@5V9xl$cSfs$^`ir$}(zBTl@@snmUNEMwu_jbli!1@` z6?5)eIV0EBBJi;5l?k!diNX}j;&+|Vlm~NwF-Ki}nW|P*)6AJ+NWI#p?CIZjB0Fz> z;`s)hZ@&fRa|@fNx%aC;bB;y9=WK@|(qt|LT0Wqqb^L{?7ahJ|)~rgypdL{mNUEV` zEV!2PK}zhmvYVqqa8Fd-qsI(Jt8Gjuf26!n3|Uei0o08*hCnISifgo&~b9qEx29$H+*!el|k& zl|-eo%pd9Z7Q1jK&Ln{)Ts0T}J|#CF{l#8pU~=s-f2BA1zWK%|mV}2w${2;Iv;}@h zg|*N(mLr5{m<_wHV64}7u&hlbbccGytn9UzILG|Y?4o0j#iR;U&Q*;U@rf4IXLPGB zB~6#_%&Aa>Tf9D^=;^VV_C5ZldLDuGD=dbUskJ_-MnG7onzpoRQ z2cZ+4*{PK)<_~+v+Vn20H(&{Hy%%dcaABkIZIwF#4O(V8Jjp4q(>5_R;oo?Ylr5skcL1oI&iWtK1lMnCMkM#&&>l00t$nP+$O78Go3Egd^LZ<9(;PDxmedS z{nX8{5#yO=+?Nh=AHMCTt6fUL=+DEnKA(?MRGY(llB2Q5om5C#S$cX-$QJ1qteuq}ul`fD7!DPx=QYScy$Sh&CW zUOoNJa9q=z)Hk90ineVXpk@|L<}?nwkF=MHO&^B5Y{`lV;LLarQw4j=8BvA;6rNQ` zJ=~}P$G1FJ=GB;r?ssNd=fdwl3c{M>XvS}OD~1Lvn452|nI=L1!zS}O9&%03@rY=_ z)m)t8KOPi8FiUkaG@NX}&=ernzJ1z!-(y=^C+lS(hWvckmYUL=q|N1w{8r!ys-(P2rqL7AAUF`qb8oX+l~yO(dgtVHbE! zWCS{PZ;n@p*o@wWYy5uiA4!2KHLkMS$2HGX{n?4}iD*QX#d_x<-}&+vc_WI4yPQ5 zn_-HJ85>cwKb$=hw_`W>d7(Ymk!C+v@Fu@Ug118SEtc|S(1X;~dFtmALjRKmxVt^0 z8Tz=s?=*_MOTO95q0@HlgG{Q$X+^5P&8&jxUuzACXj6DW&PBBdpm8 zZ_!esIdbB@46jY!FJ9u={;~C)rebL2`mKT|fD()SPRX6g9?^sKFih{OKl8inA~D@( z%J+nHI$fv-X2A9?VaH_9O`57BAE&Gho!2phe)Kk>bPeC=N1%wM+Pb5myDEdb5~odt zHAm>cx?rKVap>rFE4`P1uy%ESuY@ijKU2E)qpodFxR|CAZemoahrPWCuF1|nVUfxR z=Qu0(&DBijH*?;ea4dIkoT8WMd)Y1t zKA$@*c%_66`_^ry=u6yin0iaf6~`3z%Q?)>Z897)@~r=q>GgufO}59JRxdI4GTsXf zvuuzdUDIu+YT_#g&rnslX>=eF^X?xYwo;6&{7Yq#>m8r^xpj;tZlh{zgC?`qJbXPUt~EM zHjoehaGy>ZFB#d-u8hcZtk*hVD4bEpc?)i{oOQUx^)C{-apc(peJv38F!|<&nVzKA zGZV3>@pRg7)@dSQ;D_M#B1Yyg<7(Vyip)fLN5!i8Hk}myY9c)bB7=dm4WO-Ixfyv+ zeXb7{%>}PCU+TAY1n&>7_(#{Tm}w|}4QUCKCqARanySrJ^ao6?jMe>k{hYTMsQEpn zTLSm&#{vPK+4y4|d6o3`h63wwJz$Ej_^LfOGxmqgE73Wk8@Oc()Lqi^Km3v~<2Dq` z`gEd|7xwwolYasT89!F^zdt#dMAEnZO;nuwq}O{8{TwUScL~Ni7N*R z*f)i@DPK7P1s`1zlJ-AWn4GE*_HvP1cNEY>@;}j9hbf8uNMC3AUi&w6aiaOw=^Ws| zsi~!#R5#Hl2{-uRQD|SFDJ*_Qps+PT};s-_mq0ZmNv$?H?gy#&Kai_{>j!gDF z)j?~W))jsD>Kl5NIdSDdmrhp&h2KLTpJBNtPCfe0b%va2$0lp~@XF!wqxiy?%~al8 znm>=3o`=2oVSy(1^QLObEcu~Xe1#OtHxGJB`iTL-J5R!4wsU2jHG9bq0u;;!={q*+clyn038s}qNp2M&BOtKO}QDBoEp4?ByCI~s`x z85wn0oc|)f-4DXy72~0cB;m3(5?`zT#_1fc7au#qR?cm|Jz4f@MRin?l(aa6)asGU z_By6qc2kJ#X$4iv`macI1x3|OCvMVi<%UR7)Zt%|pZ|uCl2)B}oLTcuev2T@>c+8j zksr>ymfH^Ye^n;p2b*N;VJj0!Oq?u}y8IQXcojk#YBe>&YZmp_D~UOQofrRE%H+`E za}PO=o$d8fxor*l58x_2OuF{Iw|TNUWRY%YD(uj$*$GS-0lf-GJn|`bS=;fuzq2m$ zx?`{CV`PH{`hNkjz{W`2&M$R0=TWH$QN-Dspb^)pO-D3X?Dm>RN0E6~BT@(=Z1m;oija!?&(B%mhrxYQHS;XTkn#M%N79-miRxru#m(_HVtCzm0sKXSM8E1zD)v9bVdh<6yIx*khv{?Ce#hX>bRB>&O*(xK~4{MW@qoY zqz%_PbIv&gPS5Yp-74zia0V|^;+B(DVHXC=WZKuewnJX0Q*=+kU&~IRi6tdo7~sAp zc|t!=c5O#UbGt--H(6@+ajFO08Ub>N)Wx;^dqd%op|YrNtgke|t594zX6#eQsH^mo8#XK1o<6uY8$O?;V5$Bv!*#e+_+M z3-u(@mVqG6!0le-3Ov|r)0^P^Jzw)IkpyL*?#$b_Q$K*Bx}@*o$=211_I$5xbe5a! z%RNaSrx;|X)o5rbkKrMJRh72dQmp`d6h?aPNlL70w)yh2U@Bv8nF1lC3lJu!PhPz( zEfCB5;H}8oTFqH;_@@4Q)8*#m(AS$;6mR_Ii@x_s4sZBn+|gez_zIb0D$~VATYJ>@ z(|;1Y*^qC$z1kzMskgGykIb~lSWqBabl*UH=BT8&u+MDiNLR^nvZmvTUCcmImS5tg z#*;pe_D%j=o@OOI((bfIb7MwqTiozjIj+wb^5=Yom#h=g4u@TI3H0RK9rJm?TXHu5 zJN!HsuY;9+^>?I$&8q&H+dVvh-Sh32*otp zgNE){se*;Yk6A89r)1WaQ{_f(%`Q!1Ym%mDr^T03%YyzKumIlxig^Qr~z zEXnG7NPjK;qX_(N+NT`dn2ThW$Yx0xBC2K`@`A@ZFXnR^tPDs*>Ra3z$U zFae$ii7e`6w5)0_JCBS>JU|Nq{bI4ofd$=p2_Y6#p%`ZPj(ThyZ76kI6$G&272ZQw z>dSfqPPGU-X1iaywsk87l5;GU>oP-rGz##ccpO>`hw?*sttn9t5R2M;MYx92Si=^{ zC`x@hJW9rlkOAQwl&1BigO%1#GPbaf_Wa#@>-^OlXPzH)p|_E3 ze9=?0x0ugv;z&9dr#g5jdQbn+xWOhwEn&EyWW40%@dPT0Eb=^7FabmC7X3zl%{WLb z)Gco-OTs#G??fW^99$9A-`N)C?=E?TvAtveqZxq9`cc7TI@0_Ad@cI=o*iP83<`!j z8sB-O$Jo^ctXpD)y4Os@OmgoY4{&&ju(oZnP`V0nXWBB7uXNVRLwdRgmIVrVbP@B1 z)+kB;VGchBmP@J6AKd$kYjJz+7P$oGGJdfsX9K_ zo{yxr8s}Kn@U7#_y&!{afdS8)=^L9&(^B?h2G`p|C;oT!$Iptw4n}m5+?w1pIc2Z% zUYt>qW-4}s6X6h0nS7&SaV#aw`K=-iJj7e^2R>A|AHK>T@GeHpV^)y)T=eL-0$1U< z`PWUU>c&(t{4fSV+cSu`A0zn1v;H*tm1aTj&mr52hAdZEyf6^GIYXZAD0JvB_y(z6 zHPCIUqLpnZ+U~EOVE|q$XtTs^DZ_@Ak1}sZpU_b4A^j>dJIJ?qq&EHrKIDN}$Xm`W zjb4t+vVD?{?NAE*h)81Crb3T7O?!5H1E2UkJWWavlBTB!cc`Gi`=%jDSY?i@|BxE% zVxEr09)JH6LD-8#sn*{$ecj#Vj+wK0mOhEdHTv`4i186H=WP zfgvBU#W&-z*JvM@M|Z^dG%AFz;%v?%$cFc8=&Pf3i@F}Ad@AJ^#Xw*3TcuFgaM8B( z`7k=IbsujPYDBK|hZi>P5#@0Q;fSsFOw%L7)xQ9@q9^D&YZ{ywn+dSWZ*7Q1A~1%M zaxT{I{;;Ar_2wAxJRVJpZ}e5ufk%k;ZC-QUIOl3oVN04xpmgtFZX|f=QTR$x~{KWo~_yJSeZ+CL0wCcOttAy8f73l$E z1z6VQ_P1uD&bOD+j7~C)J9{PWTHo($!M{5`L%b{zpYm$_@iY}gLYClF$$hTv*UA#~ zz3V=BWY_{Q#yMo45^O+E4%wM10_8&`=mO^p*bn_H$2vi~!O2?Z1FUoC?G^-Jbv`#H zeUOEEct#B(FQ};+ep^FZjI?wPPrII@M6N)F{FH}pA=x$HXbeuuR*&Eh$5kjOcKg;Wa3 z^A88cHH;(dKyCpER}@m6gya#4Gkpz&+l7#Q-lA+vz5p(6o=I%sV?`w3o=m=eKCCQ2 zmT(U`x)HUc;4(#$$@`iQev^0+sWdemNa(?BP`Wvq2_E%w@KQzQ977h%^!B0TTlU_k ztYhvV=aW@8{+Oi!6CG#~b|B*5EII#&bcF|DS<%wx{Sj9qc))jv?pH;d`M>$d^+4w7 zJjH-SFnZVjXCh!O#lOs7B&YG&0%Eieavdfv|8e?8>Om#cPLQV}`!b(vL-LDEP5qbuJ>OG%QKi9yi{T`j0b( z2)R3F?|I$)I*Y(uk=#evkkbRfrPp7QW!sV@r_AZSgL^Tb-#>o^UcY!HA-lKw-WMy< zT2~+m5O{B}TwNAze5=*H{}k+qM&t$%-LmKWw1((&p65gd`GV)iBl5go_Gj9%9YL*# zl0u$Oq%mC8y-$$%O#>|!UYG;;ustzD^m>e-AM52d3-8c}3UcrkjCT$nr5;PI#GoI2 za)`W1X_FD>t^-l4`i9Dijn^1=(M=LLJZCiW1985Hmq9|eiKBU1m<((r$XU4$p4QAd zYjK~LC4e*f1=wLd5_bKDh1KJf7upaLPXnqS3FN&%@vTyj1&P%`;`u2~?&a7; z?4QFX`9RGBDOmCT6`KC5@+A3C1Z2>N2Y-ANpTxlxFRQDR}F} zIDDDka{){K3MKX`^(=?Rf3y$1#iXzB@ZxLAa_XpC{1Y<1*Gy%_vHHD!ciQxow%#KstkBi-jgxxE1>c)pb1@(ZPgwf)yhAW@%f;l(yf4l5z>I)H zW+ON*-7BA?p50UDv>vh>JySwAv@J`}5^VfF}(qgO!* zw=j80C9!xwMOhXvuCA!7HTiv$rURKivN(!*zbNGbO`kMh1W$STRMg9llQak}P))VK z^gDhkHFZ=(Ea>g20V?0f_kMZY=imyoxq4AsVp2x1Ho3Rh> zVAs-wci}~t6KMn-;h4QMka4_UKY#P00i-kS$?v+E|Gu)Fsg+y#l)%2KtI6@=Fa_+< zHX!{@C(1LEEEhvt_f5v|9ykA|&9QDzZoajB@#nd|K$Q1VQz9@EihgXepsRW%So5q`4 zAdkhpHgxb7NO|!XO%6OEw$bHaEGi?7CD8Hm!zz4?l8O=fVVa9M;g;|=3lICr4Ve_* z-RtYKSb1v|Q4WW2Ji`?+M~6!9O&QXg@0I0B4!`&mxW$kA`}4N- zJAaY+sZOTyj~ocXiLhiU#`S$}9D@EhldnFSO5mA+4Bwd3-LeicLtqStUn$@NyS=)W zAEdeN(`m|yElB=EpSLeGahT;=nJD8r=)UPd8O`1SAE@MoQv2313^W|eeBB0_n;L7p z;CFGd9pM)s&WAU0n9@T=B_H`;Z3M?dRmkE+)5D^c#zEo7?eaVwQwfNcu8Icmzy7-4 zr&F-lhAS%;sMAd0qfFGIrz2X+K*!H6Nlot!G|``fRTvHfXYqAfoTnyGxZi025>zgk zWJ|IVSDnc;#t6KKJGRj7ucoERmfsTJ_4OYCNX3IGOijpwU8)nLZ*Vv#4L;coi4wG*2*q$Lf@Cc=2)*q2le)~XVYX9WJu7&k z?lsWeG`N|3bmw3kcUUyYtp_4^<@JoVAiy%LXeeDFJ<7F*6mu=9qn?I^NV*9RG>Sj_iA3)IVSvBpn+KGA2}Rx4zdcNVVUQB+)&M#1IS5G!T4-Dq zTBci44@x0!9whfyC(KiRQ_;j>oWoc_#2G2tpGg80cj?8)M3aCu3vUWKkC}U`1A9G9 zsOLFFzFW9hro}#&LO_D`IFoPxD-L{3L(zGMEk~1)Y@6P4SGc8=MC#@Y18-bb2Dee; zKamo~AQb4yQ^g=S0Qx0_Q+{c(o4r}rI2JRwg|H5$BohhV8VHo2)$dem9|ujjt)=p& zYIuC9v7{ONj<{KDq4M`_r~MZO5_mABc4pp|nrrC$tTn z|LT+rqSiP{qf6gY!hDn*4}hRuI8OlwXV9$wl)zAUNlTN-VHohlELwp=$z9+`F7?8K zeS@Zt=`qIx&44^%wwr2_dRw!;bpy;=iuvkyjLug(H63|Ynk!VP9lf2v_Qu}@psKP5 z(5Vaqc()O$){2Cy#?=WV$xm2ZGj<|67b)-P+AT-(6#K35JxQ76K*eGKAwwHSesYk_ z*iW9nrqu!Q>w||Lz&wuikNcJFd!k%`hl`F+PwlRuByji`6?^=3K%UHnk-JkX3Y}xf z*SJWoo;Bd|;MvqCws#JYscLt8k>knl`D>bz%)^D7Gmqw*;36N$i>$`{Fy8%)TkYuUa5(Xd^avOT7EFHE6~R9r#eQrs>8pJG z`@I{G9v9=aZ5bp(rz~F$;oeW9x_ZQd;rJ05f zu7E}RxYyf67S%NoZ1ZL`kP+Kd4by~kP4_xQ0U<&kkSXSFjiwZl>Zj|Lnfv88*c>Hz z>niy}%uABvN!9Y*!Y7R1pJfj-l!vtqzlFS#FaKCx4H{VoQI-nV_qO@l(;92`8X5|} zkH|$JC6{WJoiB0Sw13epb?VmTEmP`x>UFV_klF=9(KAnV`hoV#k+##C)#IZvFRgx& zX1kF8zl`Y}4M;1CxxiCWq2z{@zgbI2pz(oWd!E(LKbZ%HkJUTop;BZ+K8NMb{#U|E zVlb+3GJYPfh;(olnv)>!(33|pkySCMP2>N0XgiNKW$|t# z{q`kKeyhNW&mWtb_5e1IqF7-2`~AQcf=dL!JLyAD(5#m}7EYxCQ$+Zku~-})zKZEA zwf7%>6f4FYb2cgDHCX^(a!2@H0G?nV1V#9Oii31c(0ncmB_fTE89fD9k)|OnUH(x8 zQ5Et9_9o1;n>&s}3YM<<6E5u`a$-b&kjhc(o(*@=-!xnj9`eSWr+kNRb$2rPgqsY8>_@tc8(!1EYTu zi0OLhmgQ^G_C);)ft0A){!hapX%i?6LPV2Oi;R z#cWuL;F?>18lI=}7~b|N$Uy0Sv{jKB07C(pmZa2aez~d6TF1}x9V4$GEQN*()dSa@ z#0U-3I8`IW=P8{>6*yI#L;y7lpHGWm@K=5qTZj#eca7CilCi3 z!j8Q>B$W%RumJC?7M2;;^Ip&FMB;I6$qMr9%%jiUJ!wnTfZw>n`#*%3=wuFs8BJoo z1_+$hdkL^T_y91yxM1yzM8^taaM9=xcar&85jr-m7^vWSj|UJE!7&rmyJ>PvyDFPD z4I={<>wTJ@@2GcV3PnEE9{>D4Ian?xIVFQSmzWx7_$Zqz6<$rbpC?!81VE>H>Braz z=#?WUyTb}D5*Z;V24e1jXa<6Dm#@;yBikl9^K@b8VCE%JQF6n<0fU#Yatg>LyykBt z1OSjK1)0J)rpQSVPBJK>Kj;i*PLlRx)ZDQ+4OMvy--?rPFtutMdB^smOSF_>2%J;= z{?$QLkv2@A_BxpM4Uy#Of~CGodU(pJO9iZ_D(NV*cC)oxD#|Rt7pRoJAx%&&^!cl~v#)Km0?zxloNP!t*EAdV`sE_3pDk2w7%pWfX$HwZ+GmK^Ad4dYt(LhOKt_R=y~08vM9Fw zmT>WL-1sTwlm&8+?J}|fE6ir$-=q<+=`77L5W~enuIWjl(EK9v zuJc*pxx<){O{Ih+2aE4 zapYcS_Mpi~E!_uYox#}jaHP7^gDQr3%XQfipsP*A1mGn$)`GE!g6?M}z6(ol2=)Ko z;=JP+d;Bm6Gu^9-s-!>((uUqWi}o&=`cm-;XX?glYR>y=rwy2s+A-}=I?QhWCzAMl z?0*9ngTJABIsaR&Jksric{wfcRPoEaSoaqB-MP5yN}T%eL}>bj>Il)8Nvhw$Qb$6{ zm&nKS|C0syG&NS@bF+mlnoI4c57rV+#CK{CiofXu{9XS$Nz*bu@TV)TtA z93Wsn9pTHLYYApXJm{Y9SVi$QQfLsjEi&z+G0k^W%^#u0+jZ??@1!N3BgAVN&PY4xWM&;$l6 z(3Em#y`_ZUnZ+`&x(7knhA^GVa`rP22sxlJ2pSXDYRn`q^38hc&)~6u*7Mr$t{uVp zAh6Qtgyi6(l_>hyXx--`HBHmFQUH1Vp{XOx&$K9iiu}Q(8dry1<7j5RyTJ%hm$ZW* zXQY?44UK^WfLFh#e!Je{b=d))%;vO-x;?piaV-sBssb$pP1&!0fCC!@jXA)HA5+6D z4`hr6jX^1wufKsJw1b?8DR7p_(v~9cXneay!LcIq2Hr%%uXXv0A?|=S1ls zSqxgj`KNAi__bU_E&rC6BQnb6w3uVx&(IK2e*?E^vThFP4WmY!7r@O?Vb9EN-nfqI zIE|?;?)lt#gke@DK~K?L9IUcSgUswV#BVU8(0eBQdx@OS)viRltGDA@vaQzN!MQCN zzBlmL>jdy_I5La}&}dB63uscv6)Zk468obk#JG5vX2Kd7c2Iw1z~ErUr|%V?`JdS| zW-0I{qAV$6w=90UW;E_S$TTKE)Oupv5gCyc<0y6bjVN4c^-QrJ$Qpxx{>rexp)4bh z9-XE1{Pd{v6Cul z`)OD9e$%Ao2oYrgz5w+_72M`HD@TkF4%Rx0XcqRzq6=jyJTEx&h<1C{0?Ne7Zp_bkt1}}kp_N^-wy=X1Q;KjsPL52K*}Xe*kksQI-n++fB9vD zODXKN6y&^~859T#TgMcXf#Abr*MX|T;0wfKILn0Rmb|D`3UY7^<|2AF0gz$W?IZ#5#9Eahh#(_He0&)x(te|uE2uFg0 zV#;Xq70DrBO$ji4#ou7oZMb-zkfQ)Zm7hT94Gk-;IN@K8-VeYdULDat3iN(lbFNw0 zd_0f6*rF(&u7Pk2R+iP!20#`rt?#{$k_p*zvniT^_!EG2zFAnZsf1raj>bf7SZXw; zsxGTvf3sXy4unO2vHn3vZ8(hkXO9UDLHQNa{&9~eRaK6++!S8`=aRk)?V&%`Xj3O( zN<=$NU7xN#26F>{#7)2aSO?%}0>s0}^%E_W8$hI)*qWcsoB^gb6qXbq@UU)O^$oNe zs1=}>{wSm^bA@Rjx>S_mdrX7I;?@ThwXCnW@;h;v?Nvv%8M9luMz#Q~TFdwgI+xc@4%4MZACKLc)YpT z@oRJbYOmR65=5sFq~6NMsPBfn=5pSiEL}~q3WWL`fUz9>riw=go)jStL%Z*~JV60M zg@(U`E})s&EO~L}3)jeds0B@$%Bhc3;|gb#RFK9ocIB-@lOwXPl!&ioA(C-CCXZ5y z=qLT6j+(Kb9@lXh#CT6j|Jc?C00-vl=4F;^h0vN9i4897$*))j=6-c2+C~Z38C-q> zJUhry)vhmqhD1DZYImANK+v8I%#lCPIO-p1tF}<;X!5$^s%_9HN=9@(@vS3*WQ31{ zZnT!4yIwP9=X2C+0flTRkb)hwEfseKKwldRFl6mO=Im|zC&z32$$5IqQ8Z*YM#vy| z{i!X93<7d+DE{D6V{`}A5Qi*>7Li;Cqy^+qW% zXcQYsF12(jQHsZ-B?cy#-AiL0u>4zkYTb4K{!1nwe2G-$f3^zLb4q9&TvsfZ=wytj z5wT7`DWwI&d;b%*a;u7N%E%e;r`G3VPfZ0c_#xwRNCkyFugKtXa>8z6>iX~xsO+*` z-?yhpX^`#HycDlWWAU)P0(${5`T)NPTB-89;36vrPe&9NMNkVn_QHY z+!6=Cg#tlrugaR!=k97=gx^fF+iX`3Wi;`@)^snJ1T+262qv_@#weZ|bo2v;_Ob!^ zo4V*YIY6e1-z;y|<26gM{~c3w-59s956z_l`V9s{pUZJ@FS6q_^Vb$O35crO28(Y}9P@qVo-Tt-DGH>c;MKw2!r#an1QMAcg8^3M zsnC6G!^}R1)-phd^JX#$DPNRaC&+3n^*313a3nKQzG^*w38^^z;6!e~MF)jZwLHE9 ztTZ^2^GL2}b_||81Y*N99Aq&0m)-B5?G;Vy&KB^WLKDLPf>n%MhnA*lW*R$#898&8 zI%dCbv@PK#b2@CQwMr6tJlAp0OrfZtF78pRKEJ?`l%QJ^NIai(PV+%KN`eAl0&1jR zB{$*=P*#tUYXW$F_n%h)nDY06?(2gnA2f&`NNSm33EUiy#CV-t3XA8=Wx85k0S+~# z*$%=ORLcZn(16`@=YAe}M-g~g;Rj!6Th~ulYm_W$vF0)GH?6amk?>su8-UXm!8F`( zPp36NyF@r0=F)GA;@Qlz11RBPZv>PB+y|o-Upvsb(5Jx%2gpwSUgq65#ThH*c>hrp z>G{0dhD|jHBlqz`AFaR&RJ3>#5%WC73Lct=7ozY^&svJw^Axi#Q%JfyfLlDh=J}(C z;;vo{F8?LTh_1kYsi-vQqXT+7aUWtCl$E`N59P+MfIk;i!RA5sKlTKD;0N^^hEA7- zdg=oE4p5OML>Jfl=-)SKeASXPO?nYJF4+TkoCwh7XO;nFCxAt-Ue&7|PknosTBa-#oVOQOBau== zj!ic^?-Lwpl`h>qt z0wx|eWwY8F*#P$#L{wU+i;TZ~eBZVm3JbWtUIKt=(A7)J5h>c+@bWA3{bYN_6xbFo zukeV4PPD;ku0K~BybdCBr_TtE{o-(y_<0gcSN719{1Gs-ifI)R&zaeleH8#MN!cDt zTp7~XV$>4fWyHOg)f$PKm!@OJ7XCSnhT+%mHOIoz!Q#eH0td6 zR|rqQw3qrnJOD)xguqh36S@${`w~SvP+ij#b#XT)X@SHLiW=3!9178<)_Ll!!l7h` zk=9QsA{|H-g;1m6(uAqOGruuNbs9&JW-5C-=A;YcIryQ4&=`hqu&>$PXpH-R)b5Xb z#w|cun**ayt*Bdi$VT!Vlx)9c>F}HaRQ8VM8*be2iK(Ds!LU2Uxizbnc9_9Z|2k_o zl9@U*1>Lu*Qx&_%jZGi=z|gkvWKF0Jf}^}~*Ize-52HZr+Xns({k{7=NC-}M#NxZ} zudt!!d^NK%2~@~;OpTW#>nWIIv60wvf2&Yw$zC_JPv2`yPdFztSigMH+S+!*&Wn4{ z+y~11u`5q=31|V;9gZh*rMH(`9rMo+5DJURr5Y=^1fiXSeJ%*zXAV_X)F1#)E!a$= zN-Z=J0lg$5-mopOJrb3J+{->j)QwVR1DX-81_G5pz>$q(a-TlD7md(yE&0v5IKSDa zJ#lvXZ8m#SoL+!q3{S??qndYs+f)?Eog8=HdQHH_FtMzi-9uy@nFL1KyYEP-XdE~Z z_?scvA7@?l&4ldS`OgIkIMx#PbzRd$)3p?=UZ{3dSVD8n`?GuAT=j*6HXjX{ zpmFH+!OVboD?@0l9zh=i00bKC>|*~k8hBY|CI1W6f(aNq^j8a^YWS!@ zjasNBa41V$z337EO3kAmJa`;C?Qou*c_RAw1UsVkv=H@Yr2rR;*4Z;R6Y-l4UVD2E zHPy|NJ`~$}bVKF|xj;kSGiGskn>W6t!z=zo?M=PD@jVqaSA^H}HMENFkJv!W0(1ry z(1w)~Bg8L1KNxZdemg=!d2FlSo9V8MZ>fou+6+9kZ#B6|dhiHI54Mg=7tGXH-#`M} z9PT&y*~DPet!3DW7Up;T+2Hv7;n2P(4!l(}F zK}JN4y)`gEj|>b)O&yz*llM>vWF13P;@!W2r|IMt>Ye|GtM`tl`hDZaISvjXTUPc~ zwv5Qm-aCb|SA>RSlbvyFGBUDCR%x0kD=S3%Oo1x}MMH^}IhEKlP>xdx&!TrBMhiRLf7Ra#bp#2lP|b*!_Y8E+iwEESW%+%~)+O z|D-*18R~21%Wob#+dhVby|Zhxs#3gxIBJ$rwwTs;0?xg$6>bNs-UQjJ&P<3r92?>6<`AzlT z6(N05gLh9K|E}GG3+esEVaLu=$}oO_dV|N$?NwQ5+ecSbhO2I0HsCkRe|w|szTuFW zzJ%u6%QH#6mY2al;sDYtUF|FQ-{n;>{RltUyb~uQtUeV+M1_+pb#?xDWsVYht{yM? zIu-xdbAi5*n;#}pd~B1rK4_Ou{MGT*C?M~nK-wdI9D4V{e{96`9h(g1Mv|?6cf$pD zb0pv%NstAQGGleneohrY(QN;}F>jP6G^op6URhurj$-N({=cj(N26hwPmAZq{qM)n zYci&UMdcxwqxHXEKo5QU0Q~JkhngdF2DKhDvo`2nzv{HQ`YE~RX2JKv|K$aHj}1T| za`jk-*VgEFz&jUxU>21Yc5gZ+_U4018x}!&z`Kdj+f{X;yE^m$!Yj%5ru$#eZ;%`h z2U{LNWKc7W;GJbrEPCQ1WPPHU+6-bI^ePlEAaFSEK=K)&1{@-gMqa-nM?dCv5H@gn>_{}y*4v9zW=8ZtnYEu>(Mb+7dZUM4c| zacBk06!-R14n@NJ0VH)@d%Fp}>J+qYC5CXgFV6tpD^gQMy8 z6YoepsjFzD%dk&>H{Fd!nL|Luk;wqZ}5yij-1rPu$p>n{nq{Uu>q0y$mY48+h)>(Gug2kZ4T< z6GA1(0RYVvbB#2N+PJk4N`6qe@0cVr78@C}cAF?6e0U7Sz8%Jq^9^^GR<>plk{|WP znR6f!xzRX&t*l5+o(F}hS9|r@3|M9tc~V?d=I2WdjUF`({r+_#9L>^j&7<~cJtD^y zXmS)mVBWokf~TPX$@#If;3-_#<`WyVDA_}mH+i%VtP3lr_o*xobb3)&hfjB0zYgva z#3aiuu)xAB2p6gtzW(a9-;sO|Lw7G3f6_imGJUyV1pyq(K)_rF8D0z*dqa%p-6t2V zp#i@gd3r43hcB(`u#!Cr1yJ}p@?QgNR8iOlFY(&kESi|nnzIJ*YKilINQHSm40-jR zLoxOPNlA$b*|CI!D}zp*uArr;!S`*WdGS??fH=yKr7$4qGKo;FX4tx0u28nPquRI8 zkvM_UzX-)XVM1`|Wkq@~PH{5sp*ET`Hjb|y;bbRw zB-DikPyqRsjr66{Fj6-TEW&1y7ammX=6hU-0k3|gk|RaA_sc0C4(|}KwP**i7t77d zpW=Lhwv7U2N#bLNAUE>PKrClTgsH(CJ29^8dUG3z)+ocvF{#(le>#}Ez5-kv|4w{v zJ4p=-hIAmfqyU$v3y=Bny-nH_Q#VX6bhBTIdIqWcG}!2c>^ax5`S%TplvO=iQ5xGt z0ce-SI+6uIPv0M+Q?!+@P$W+6QKgxuxGNIF5O&DC19U{?ck`LUl+r@$QwD- z1+KqGQp?QrT{EdJG^ZCT++S#z@EByC{V}X3mQ--1FWN*a^Gwh}tCv!Nx55(s3K+S> zAmlKSMc2I~dkp?C4b?AhZ6xJC{VvhQ_;VzE53_F@;d0z}Q3&)q3 zOOlf&N2d}^BQAuWm7NS;jYhyS;`v3P@ClzZZi)9U$nZL-fe;wU)UXC3QVb|^R6W`X+U$pKTs1ZM{0Qlz&PCoFZFpH3h zlH!(5TsWZ=73{J4p9wjBPaligJk0*N`|#D8-q?`Zz?ZLVm)SLAlQ;2ZhRh@f53?yQ z3$pL&r9hQheRD}WzrOJE4b!0yXY-e54?8y39qTb@&Tm9K<4L+|u*(r1U}?)3r~j^g zSu(vI?7K9HyVtJJHvRr%4tv3(%_31XS>AB9utZl+FX}YlHO3O^TONAy{CGKg|K0iH zx8xjXqjIPUF5z(#dZa9h!8`NX0?tIMc}_R+3X_l1>q8eNN)07$EeFJ#Xc?=C6Mj0M zs>v8<=Xgr2EJ|`&rs!6Weal1ByBB_#{I*cY{P0RPG+@J>bsZTli9D+2o4j%}MY?c|3nG)ko2n(xo=EQ;=S=s%7bjHU#mVEur&Q;X zX{_`;Ck%XP!93yC%xxuIQeCZ!&pF@eyz*I(Au8}%(JU^e*b?dR{+qe#?q>;3T0Ve}tQ9U#79_oIU_c5=I~WMhmYRR*DgRpOjWKo6PU8HGwt7 zqS+iD?0IdlPVCi-W9$>i%V}b(;hCZ;O=}Hb((~1U%Jr+)lP|IKU!O}!&LMOmw_FlGz-=xv zxhU^pc-8$_1Lu}ZoTD-BeI&h4#yAmuvb1d>K1y1+Q2(Mh>Dd$#I(DsLiI;7DH*?t7 zA|wLOo@k&4laUa)XHLE1m1mPpi8i8jl;&`CI|J+%k%8n=Wf zD(pk_`v*miHtTtjd9IZ9=YpVLFR3THS!UmY~FYvk>4>(?18Om83UeH6GK!$ z&~Q;y?xiSKL!|B^VgL#}oefa#q+JwEHg$dloJ8cC!%|Nv7-=Mx%tWb$x3^J{O3?!N zJSY`TzmPadv19cAe$fEuU>hwZ9||8bW+h}4>O2_VC1nLH>V)Lanh>;@#NHm+zuWzM zOAL#9ie%Xu4I27v8UHP}o?Jwt?7a;_GAEoDICnYznji9O+UWB+mX{Bsm~LMbZmIOG z#H?mBeC*;ok-Y(h+~)_bZi6RO*ONv(QOoo6-R3(>&^>n;1>I(!TSN3j(`o0Q>LqSGwmWqM5!nTyxREnXD)bd3e|+=VTjPo1DbQ?+aNl(!-G+N^+9b*kk(KFersU#;dHS z6Olh0CFe4pMYRpTyif59YStcE6V}r0e4zv zzuLVF0R1^mkatfoqebgLIErAu-1F4oMld3_;4?xBEe-At{7&y5_|;l$5}rB5kU|(j zB(1l4osyN&RXLlmZOa2pR=qQ;Y!1R3Ga!Q*NIDcevpH9I5Ls~LH4nS!6e*EW%cM^p zS&RYQ9@l&5J6akal=aRa*Umfh*3xqfWtjZXo)os*U8EY>4qE#`4}&^14hb}z!2-&h zz*1e@^1Ao+)M+vbH;i17RBRZx8gD-k;g?ia-I|_Phc!+xc#ixj3F`y8Y#MRR+2Fp2 zak2jI$vA_k3J#6Ya^_b+h0{nC4$4Y7>ShizT|D&|o!MTzqB|oJqEBQn3o=aPve7+$ zgN8?oqH*@!8F(%ZoWrq!T=lJm*pCO9TDkcKNio?T=VZbM&vTbH4=Z5#-3zLk?F~pF z;aw13p&kdQtVC%Jc?Iged=Ff|c99PhRo27>CZq5^t9>?eQz5!s#$c;o{z-6QlJ*H+ z$Q-mnl`P-1 zMi?Y`u;DR68&3JO@Er%nX&Qj%B$_N`Xr@sal_sHSAd179ygXXcD?8h1_YSB|fo~uT zc7(L=h|Y*Q!}0f&gd|6QGDSgo^2}hXM(*(w+;8MH)Pt=gX#w<$2DydYK%fNx^Azb<$n{@E{CW#%d*bI7X&M$ zS4I{#FSyaxI6Y@}r2wWnDHNa)-)~bhC#;QBxjsOg=|KK0#&RA@?=Rdaeo^<4!qWnI zF(O%hjjP2iBH8Iuq|(~$d2;@n|s(X)5fKeulG!$6r|dL!kmo;?(8t=wf?m=m3v6TXsU|s-^gU| zRL_Ic{`HW412XY|>mts57$^?f?Wtzy;m@Fx#<{8-PV&S(C(SNku2-Y z>q{1{uXW=vJM3#s*4Gk+(ey2{9XX1Ium6Pm&<{O|ypO^_0 z%Cc{{mQ8&VnvbUII;axfh*a0KT|e=gkC;3<@|vI@vag&9IR&MoC;3);-ympdIu5-E zf9SWn1%8eP_WUuSf&b85gBFE1{v12E8sj|87XzzYuk}?2!LYn;kSyC9l}6_9(VPO8 zTz7I$@PItc*dJ8S&W}$+8^c9hbuBLbIm|}plMCP@@_Jt1NPwCT8|?vIkO>Wt+J-TIU~16Xn!kkt|G1SOWgQTXc%687s-19Cif zoC7o$la6h_q96C<+?bw>&|!Ld0F{OLT`yeJx_=_q&3Ni7d^!c+M~93G1D0>IDvJmz z!qhZ79tz1enP<&CEo<0biDr%a9-E8Qw6*K&DMbZ!F#1=3!duM8j7i~5Q=gAxNh6?C z-2>7~hIT=xtOg>v*54v`$TL@$EbfmV{MxS6m#FnHtGbqBP0eOX*@5r`y^M<{BN&Pv z)io&Yb3IvcyY}M#g0m;y4?D(09_$7M2VHMleueFc%)Ls1YpT$ADUrx| zF4{BpB?J3>D$mL1IR_(h9VE5p9y6+PbseW@II908Hk(8YuQXwJZL^nrO{KoDPf%R< z*_f?obRpPL4;>f1YG{A|=cBi06ONqS&L-|T^UC~SkM{dvWqOc>xlI}>F3}^A+aZ!? z$JVCbBU9@Gr1;l>6pDSML-wdhY7~_2eRud%6xF#qI<-=MPlN|M19^%dFA!JKrUxqSFiqgbHb_$%3=0>q5e0YOiq@K;alNkBFrcM6J=rHeY*&T^nZ?|}7B zpCL(4^EGwpz3ZZS%a-2i*xOg&rtphW!t`iD1*-6vAVH^i~ z82%265_zS43U8qvScX~W{{f$5`)-h8&d)o0Y5J}<*Dynf-Ue;)#y0?_Og41_r*a)X zzSb_L5;PXHZW_2KQy(&W8W9uDvWHQ!#~Cim-#YIusp%;FZ0G_Ye4W0xKV+?rLz;a2hF=E$0$u(|lcm{CH}^?kKsX zGW(>7=zQl|w_8xlp9goFa7C@N#FL3yDeNUW=(3jf}?$Tg; zggBD~1@Z)*aj*@wyh@-bE2xcp*MtcCq&(OCX^=qY&{$|(tC_tG7A3^a1+RJoCm{D} zKDsFKE9#-0a=w{+sL|#XJ4nKfJGW2P5rlLH|I0!%WDsiy-D$L(9(3jU38MAd?EXu+ z46|0Ehq5!iyVzOVa}_FI^*P_1Fi-HiT)CXx8oMGDoaCnDnYFCQFBlF34rRogEoE$O zd8`0Y$vs(9P;gpdG_JR=M^cw3(Q^}i*_IM7tl~XRYI9OGRi&CvP>qnELTZOYqto=i zBDK2tu8`OVGCKaoYl_}Qkd(1ufn#i``<$jH8%**UM9rRA#Gis}udtUzTXa`v=(0c2 z{afAtCVegv9+!~SO2F0n z=?Ve|)D4c|&gI$vjZA5%NiN8ET-gJ=#3xa0#*}wQbc$lv<+)0b5M?mkbTWRqH~8Bu^r>zAF!78nnpbD`${#AM z^(~%fjF{@sxsDlHD!CsTkVd|WK`#01;%`aFr11pBm;E%X{x@)UgmyTPDM7$!r(K)L zqvogYWeqVz5d`twNCH1>*?0F)t>%i06*|n}4qPJ}m~LpqKC_>|tAvo; zGsqja>^CKJukIaxm~;h%1nucY%FK0FpHnPCwRir*b8COJVA!#TK~=E~Rw zdLC_aTA@gp?Ar1`;(?8uc)Ir3@8D7!Zj<)y+Y2ZrEsnPAIjS~_0{D>mBw)$n=XH({ zxnSUPhDO6|QosfB))N*tPng1lngnw{AMcXHcOki*y!g3P3(2=HFO^(aLOC|HJDAWg z!wD7H(5y&GugD5jJUCV8OgxKgu4BN}X*2yEz!mnz?m@w}8LeR8a9I3Ee-H4&hah3i zd2oQZG=H3a=w332C=g^51<~_5R3})rQ3fQxxv=iva;^U()uI&z-0E4mQ@RJS+1uI& zg_T#uz8^MRuS3hMoO>ArzyZo5w+|WCLzZcQ%-4Izq?C5$w51Cnt&`o!F!*LjCe20Y zvRuFJM`t-CEJK6X$N94qpQ{{Z@~`=VPUb2R^L1~iEp78#L8Qxsqs%Q?O=OV~1{(9D zXth{)JhuMFa(vuz&hTBHDT>(pYG%|gPCS5Js-gULRtADPj1Ppv{7^)mr4kfBK(N9L zE!X$O;S+DtGUia~;id@Lr}rhDQw^$DT=iWv#Cvlg$$~$P*#glxh+Y2j7IM#-$uJVf z8HD5D0dFxSiGLI?5SF7h7D9hApnYX0^!EUfT|BpE$J)1C1_>TP^0OKyiLoWzBu@P{ zecb#S5=ZYK1-*mD=|D~R&xAJ?7h9x3_)=Jy+kt9#d#?5ai)T>Ktl`a@IX{lSdh%hU z_~F-Ds=%rN`6h_*S;|rmOK`DaIP*i{Q-bxqAyrF0p%PhAt^?9fuC6z$YR1mKF4JS` zFy+Q@b7D+Y0uE|K5Rk`;^+9j8UL5*jtjd=?nQb5RMYsW!b&YkrE_8Qi7N)59lb|)p zzKx?agfzFkF>$p|CtQk$vr-8peq1YlL&c}D_nX|tSFksMeo`zL@I!QQ`utX4Q*D=}Z{Z#8@LSJx z-#EsjmH47X5OJ)*J_1>|D>)M9Vp_mmE8QjbQn#DUY3zk3yHyDhx^!A9M14lx&u1gge*y*CCWm1MjAf0lgDf~SNU4dyy5V3 zHcwa)#ebVjuo^|OIBnQYf|7%UvVgn55=T)~&+)FjE~kiB(WK)X?5eS85PnE;bTvBI zes~iZxn~2Ll~ZX}@lemHX$wd=)5AB0F9GNBx#oSTzO|x;3RXBKj6Nm4vg+%Apw#Z4 zTpo`A;K|bx@BbG{W zjjN~lzz#~s_lmx<9T-vX zv8$hTKh)SrHGtsr`D(OeJu)K+_0+_|Ba!QbiQkjHb7K3KnY;#R>o8Z;6wfMzH5*M{ zU+pI+KDb?1Oo?N*vUM-p2sRSb+K4c}N=;xDazs-FOG~CrsPnnl-kH0V^kBNkG5yKg zCOnbn9%`W9jaMbujd33-&yn|^%?3q!{h_SeZ>5>9m8;{VgoB-wpTW zA8)II3z*OnZyore#|;?ciRxAD%nfL@cmzL@WCQg}KepC-hn6fGnM7u@{{yMK(8edFMvx7SDIm zcEe_qgS0T@6FkdVCN4`Er}>f(g~PIcBklEeP?*#8<`tLD3l-nc5~L$6IWF;r`Y9C@ z*XLvyYB`fAntgu$PCQu;N%=k8<1;Xl;&`F^-VYbb$^O3RhK$y8 zYsssFg6aetgbo#N8o1X}Yqi7iD2nvcZGgt%(^K3=LCb9;nS;-XTHT~qrMMF9el5Nc zt9Ek)+oNPDeoB1Oc!O&m>OpwQ{^j5a>QIfSb7=OxHiFr=_U4|hAc|DnQ#71vbV>F* zEYfZc&;_G({;nn0V57U)OrD8jjOOP$ePRyUjX#oCR-8skG!r)X@w9!D*{Nr^G0~i1 z^?ilBf3T%t8qbpP>gWln!!fiD$z1&JZiVYN@^dTe(2}*f0^i!m!z4(aU9+|@BJi_F z`WfOFACP4!Ci-?qS#>w|3Wb#_`OoTKip}IsVG0MS-G|&iUov71kCG7zaq_j*B%tsa zhSP{9pmg9@>{^eMzaF8qX7bXtWpxOQ3@^(C&_{#*q2J+YW*jQ{$*G#^sy2qkgTX$K#m-#n{(2CWJBzeFW0r^Q6WDJ0{eEWAe!#bfD; z7~+!ilTW|9PVjli;{S$6u`_OHgH7*z~b!QoS1R{|61rG-nK5Z2c^p4+9q;55HXdd{&69Wme$Zas9I200v^|nt->@LA?F9WpF>(oIY@iBa-x> zp)YL=5lsUxw=oW*e?k7zcRQ(o`9U?_3h8)lm>D$FV_A*#Nq=ze&-ONs>#bl7?H#oC z)w!dcagO|Ts>j?w!OZk!AsXFIXgf+X(LNJ8aBzT6VF;8L)=d#B;T(p>CVqdL=)=9p zsB0+;OH?CCnDI0^0T7ttd_D-e?hlbBx5~_Yo4&_5*8m+4j7Gc1>ne+OLQrGfr&=Im zRS)rM9MU2?wGfbZ?EINv)@Krt9c)Jn#1kNnNpgvwdrlEq$-!?u9+fn}>&-aLs_c}?9)u{dgGWDskod3yx9A4)&^R%o=7=jLuh-AcB@!Rl2P&Lw(5q1Z%- zCR`s!Jq!lP8lJ3jz7G5q^VyPU!SOFYtl8VQVfV~aF(!QRB?!5qnl_5_GXOQQ>pq-h zD848^RA)-o(+`MDMrkP)LfOyme!P%bMBdsdY#L6yl8;V2gHkS|4P{#$YR#seJgigwE$Zg&B$<<8g4RB=zaSpFr}g3{2~AbF?c{rM_wHL|jaD#&))W^3 zHAnq8U~+V6C6_haj7WzXV8}9=Evg4v>96)cb^SE>8rl_Fo@2H8V#4{bfkxY%2UtnEjGlpC9T#r?QajCKvgh z$rc6EEac;5}{GtHi$LFOzw=9z~xrKbCZXe=itu zVp6$~CN8)4=%c=vfiYYrmp2=#{Nw4=*Jz4)3I8>Eb3G}4?_d+$22`Ck{6age^ zEKNNSbW)NoT?MpvlSMGMShdHn?&<7Pr^q!@a z8|x_5%Q~uK($t=Ojy0Y#o>Y(9XZ!EuE((eURUJ)Fo|8#?j0zft$&R&0ADDU8M0*5g zcZmf@PtyKtO`;am6fl>dXWu$@2eLPR09$j-l@BjeiT7FYzW#{_oM1Ki%f*S00X(dv zdh?q_fI9zbj1HMeEZ-0hCoykOUzGL1X1x*xo+$5ADeSnYU zd=^V{k6eZlyDs^gT#=$CiI0XX3!L{R5nn2OK)?0%sql1z95x=#ozGcU3q*F zf1}m(%cI6SqW?{wCY_>D%7(M1$eyOJ`JIpFZp0fddg0Zmsg7x0Gmd0{g@=lwiUJ02 z2hjC7ns#(XLDQ+L+WGr>_PrB)Dg@Xqe0~nc`sAms1WzXID7`y0DLAX-`hT-CLqF^} zr!vpeVBidQUJV9nDcyw8R?H$Ie*s4jGTrd)`~iZpZv6rUnO}C^HK#F&k87dP!;j#o zpjvRGCAT`n0H-Q7W=Qn+cFV6k)aEL&DHesWHBF!E1&^oDUD|Z(kZko!AI|>$XY00Yek9`;bTSmEIs@ z;9*<9(pAHB5DIzmob|j{_K8k1rFYwZ))Mk29xT~1-e_%fAL#?K#zW!KcP}tpp-O+L zZCTz@`6J|oH2YTC)?Z3uw}E{5oSS!MbhTBKIr*Y$_5MXzVa%o=SJ`)WLyMTYrJWbV zfA762Ja+!3`&f<5+v$rpZ-DM~D*kde*2Z3?dMNEiPV#kem!YJ z=7ue;*$DL88$k%9KA4@)zIgiUzXFOc|NXs`N8N&>yOYeWm`la3!25Q6g!)XKgKA($ zg7yL!Lb`7I#0qO}7i*NrA-9g3>J^8cA1k$KlV{^71PZD5JqUwk(`<7)8YW(s>ZD)x z#jJEX(GQ1;3GT0v*rL78{s$IS8eC0YYdXd4g*1E9zyneOooV2`90YZ?r< ztZV6S5Ck6LCnBM!bMbZj+umHYa4nPRo10gTPKVixDclt82(S ztW%8rOhg-BCe3m= zq1mx2>WT8e2kGAvO`cibmm|Kb+o+`aP9D#!RGUZ6K4kHXUzCyfYjYf&H7UCF3za{J zFR<}&rG27v8?P^u2|X}S+4dw#Xbh^sGw1nlUz&~L3S!p1E;j049Q8Np%DMbu);|B@ zJGTN>c!~s$od{7l_21B~@K3Smg{Z+2tw5goebAxm?(#gp_I%41#&;XPZ@hG3|GN#X zTd!dK$+&!f-!g_T$5US7wkE#Yjg55tbp50AF4T-Z(8qi|O8qCN5}t>O?%vH5!iB8oc!jTERc>?U zJamRiet2}rDEGyn(aFU!E|qIVoiSvD#7MSPcbe=Sm`fg3Y`E6`{O!Tupo_r$PR-_r z&M=kRb>`u>?u+?OKW;ZXDBmRj1@=Z_!&8is`CbhM1t32n1NaDw z?yZB^hj)Ci!qlz(+a$A1YiJ2xEpjl+L4)u9jk=npclYn_2yZZ;J`10H&1_J-MQa>?J6{#@(SHzdwEP^IG;np9lfO_UWp}zd0-E>v2w7da zqjxyuX&gR_zK*5mVXOQM4Zg<&IUOUOJx45Zv&da zEtn0T*}tq8&RorH01~aqiEh$f&6xs|6uT%An<_1*qYKVKR8Qt&J*msYdwWf+ zTsTlZou#=6+`={j7}xCyS*8b)EGNI|aRum|CW>x3+;cAL=;=?l4y={+G{}06)eLqVn&z2Tk-(k| zz}xjbFa5?C>AT~uOZc*|*c9!M5Z^g5Z>yy+k}iGOFXsM$vRl{f!C&U@udA)JR>dCp zyWtDqz{c;cI#~d5W;oKSvea$KBxow9ne&Gm7AWKt85vcj6@^9RxY8Ib0@~YaovM=o z;9Y;-vHLxw>$w=_(h~EJOQtG4z4lg2dsh^cKys0{)Hg3e^HOnoNd~u~bYid{rGF^v zqDK2y$d7#+wv|G*E=Q^dm0tjvfy;Z}KIwk_8|ThG03(++L+b7qhQg$O^+!hhzVL(< z8a{OihFJe-9AM7`%UG=>mT}*K#IU-f|4(Qyip6Rrv$?BBNUCpq8*fOsT(*_2C4tTr zoY|oZiI=+|bt*{sy3ek4UtzY@t^5diW|{}$gr0BioR)7W@to6{0yX!m@kX+;u%UyQ zU9__;j=wMBKU~OWW30A&jraNK@hn%cQglB-wNNKmtwx2XLwv?dih(aj<&xH*nv;}f zMKB4NSWteLJ73z}0twzudD`6(!Olv5({V zX(RWJ+ix(_Tn-1xs`dM$GN-P-c{CMqfc9pkIA+7?^Vi11 znKzp)lpzz!u)of5I%0h?baIOR4}gi|WKDpcWyK%8At?r<9B_;Cb7QtY4Sl4> z;#h4%u6pF)eOekp{&48vd5@e^-No9jWqYXgHwt*TzDA&Vlf@}!VpgS~#!YaDrF5Z2 zs6OiSaCWk5f$(`-8v|0;hizmNn#C7-b%iLd2$cGiZ~o4x)fKw6Vq=3f{=`hIbIIu9 z*U^_TowYS-Lif9PVOz@%$hi0fJKLYIL94Be-dNAuD? zd6{T28*4)h{v*X>^$AD#!+?La+Q@Cg@h}ff_*uFs`L7?JT%8xhIr@T8>H1k$)dj0V zFo+D6j;}LM^Ova|B5Z36v(e+@PKhTV{|Z6MGaH}u^0jTFo8vsC3l( zwhOz%a{bOHwJNtEzAzzd62ZpJ5JQr7{unyrem=yTK3t8?Ap%(+ zkN#R1>84;;7#&bcHm!$V2*y9Ax_8MDQhOWG?+xBCER+KqbIT~~OcS48W@(=w4=?Iy=-Hm&!Xy)v7e4mi5V1P+vF?gWdvnY2>qq>)QTl65 zf_~EbZUg>?xW@z(qSV9)4lq6-lYbrLH-lQG)9T|;s^qf}jg%WSgb;3!{Q5CDsh=ZR z787TAehAJ*wG*GaWZ#Ees{cg*iTF(45oSv2F5jHn8?HbXAT) zCrdfrNxzV(_l6NR!*FqoWE=Ud5^p}9LD5;>IC(5hoo%yM&PZU+3*VscU1+ z=jn2NKy^zIB*D(UB%(m5rXhR&?dm&I*1q!MY=~7G1=7AO@f6lG~X(nhesVhZGF;;jquxh2$c#W z4X#G&9Yaig8`)S-a4}py=6M>cMuwvB*k}LW-^Ry6xqoqb?}5zK~|Off8C=UM&p|l zk#!Ff;11Kc9z}V}t%ncxEB9L3+tt<8uS=@m!yU;O!akTZNg%xcFe=hGHw|8vwIVyX z9(^HP?32_O!+%%ej0>Yr=H;D0VV4I+cT`*Reu)cB+ni*~+^bo2l!M`%^JQcX=0WbR5PsCd&_SIH*Snx0H*1tVArsvLCa?`VDb z*4{_k$h5}=(il_K42xQuZO9iW$X~!G9T|_1un$N9 zOjI2uDslt8GMGFA^m_gg^wT(v!>4j`c7Etq|JLRzPp-PN9(nBd@OnCHz;=!w{ACLX z+00-(3@;&>!z{hCnSc-%ag7(B#Ryh>;pXux^=;kevqk2eY~v zDS~qmQzE>nFH0riCyak$>ke=zUi9Ma;qtH6Hjk7vDZ`3CIeSK;uMU`N^Rlvj)b`w=X_lZV#3%p)5lt;0Q;b2=clD~YDJ4j7p~ zMqF_Pz+&UA1n0}dLWh|nh8?+6hzYe6O;n7JKiyiru3ar_@rjmeU^Mapp3F z>-y7wqm5#DZLyj0mKX7Pw!C5O(U?#A_kewgw(TsEME8}``o6`#KaEeXZ{z1oKO`Fl zy_rW6g1h?C=aj5H3yg9`hElmx*a`I?7En)w{`}PSy&{u_3xX*(gURA}D`_e0TusTU zU*L`exe58@%OqAHCq)W}3=6{4dXvt0%V8NKzTD<~k_hK6@pbk@m$CcX+L{y14tm>l2aW&~cztVabym=wl4HF$7;%ktn;(KgIC z-OLkrj0iLhOu~B{Y3Sj@G-($>Iz`rXafg$Pb?sIS3NimDNLJz;LcY*bmpIa-!G_3f zd=0xrmMm0&%Kv-+KMVkidA7Ur$ROi6u7}j*UJoD36(Oc8r|&c3Y94;Ay67XZp05Mt zQmr1UnFLSnKZhn~YpK&6t_bQog-dHPWk|0!vD8hhr-=PQy!~P7A9t;gtO^9twxrW>U0i)b!_RjdtOzK^0SM&4r;i zfu7+6?9kZ`EYeNK)4(-_K8d@PA@)VpW;q|Y{3qxNiq*a|!9m%$L9|ICFDyq)3JvU9uVHtGIRR8oH|##c&AsACU{^ zEF`+JW)+4qcOS3BgDAwi#y{wLrAuh}-7xLV7dHzB5MJela?eLQ_^bPCPZUQTbKj!c z@^>PlM379xl9|igRVdocF4jz=Gzy>g^bX(N6@lvRXnl^j! z5zYCrFZA|bZ3ov-Xx3EW;rznQ@#xOqWxT|JhmGh3kBWu^_c@_ZGLv}51M=0tZ+s@l zsqr^12&(=5^ap?gP7EJE3`J*ap#1)gxly~lxl=F>yw!}0aarH%`re~?zViAV(l#Kv z+eS}v7M`T)!37KH{V$AS$KddwQAMe@t6+ta4K%};usAA=RpVZmgKm+zBbe7m_F{}#Gt5TAxG zVQ_=#yKs;jN*ITrS#xX)j->o)H=-Q^l$saMBap7hd~mp_c^2BbRzb-GM+9cm5lA?2gjl4+4^9+w_{fE7l}W%IQ?Xt={xxJ ziGO$)s8=1FQYCe|mF<>JI)D7fG$oG$E=(%-GITfP5>d&u%4SMD`jv4o%Y@|(5*SLk z^!es_To`}gcdh}NM#8_p>> z4WkblIW@@2Yexe}zLc)7BF)0awJ0)OQrX^YN_5)6*w$Cz&zhfi&oZr)_EopCV!*Pt`vJX0bzv+?fD>FVmAU8wd50Zr(gzqjNb)xSG9FSua zypSk->%GCvATR=8iE2d^mhLgMpXwF;TCU%7Y zacFibwDE3w-A+}TXsPXXJFCI5b^PdDOf&?M#0X<-`(!N8S-p+)rSl!wF%c_+a8NoaT;ldN1Qsj}I zS7a27IJtTl!NHAYo&O{@Wuh(Q3Yn5#<4>>st^cga!~ogWVZxv(gkbW99*odMtqU;@ z^e_=lk24(H5?~aycGzvthm+O?1AC$bU02$GG>2{uy+9`b5WO`d)R;(#3sa$aaqt24 z)3)tDM_^YtL0B^MvxerY?Y}z6`6UfkVC2Bu+bee)hjpD_-Z(0ZS-?4vbPWE1ji%xW_65%mpnaT_(k_I;%8(#)~=^ooFR9VRXfx} zwC&~@+fB(eGNrWF)3Asv;t94|JKZ@jVDtRZteF3<_ z3GGW=4=y&le+0N;OusKj!BH|MRI`QnVs_n6t3r(0nVeW^J~(*$=@i>lXbc?R#BVL3 zU?E6BsHHORJ8krTjRiT5!`!}ZJ2O@Vj~gWV2-@g(MICJ^XWVu+29d?dm?O)ahmKr0 zgpwSH^vaF`$~f_*pR4es!7HI1+iZPWOrER3Kf#W3 zFU;=XbZ8{7wBd8llZ{o8Cv!+n|E}Jy%zZ36I^&4z(_6mY`l4|kKlj3MF30?#?KK-( zv|dlL#jVvTP`tDJ+IQiGd~`Ss_12suP02Y4-TQEoAwQe)#c$ShV}y9$ln{slPMT9- zb#yG?tT=b_xQ{sRMa#H_sS;Ed(br^T%|ks(Cz)jP9E2q|>uPC3rV{nmH$;Wy&vW7h1oZ+h(g#JTwe{yDJIGivkxy+ zvLExYd+t830^8~zvZ-oKQbKl;Y{w*Uo!Lnb(54(`{ig-c&;d|JNa*|g8BsY*1m=@b z9m9wG-3+NSa==+1^PXsw=o8hydo)D!?c<6?nOza$TFru1Xu!9-TZmEGZo?Uwh*=4( zTxSnhmVXPLRr>VYXEI8*+B`R;GDz3U{w|4dzV{p#v-YuyTJ#gIkczWG79qvaYl37OfO*BFG=*HCKBN)bJUg{Xxeo&FNSfJB{3==4*QU` z^VDR}%Aw>Nym#(o1E|BVfA?pNQy8stR9`pi-KF7lx;J^bT%s@WLz6I8`h}*6rlT+0 zl~+zPr0p$HBy0a4Q*Rv=-=-pI(mlTiR-@hXYU>6Q}T#yU@g}jFyTQP!^KmgxB9vJ zxn5$Z)j)#LW53k<56}smMSNhJ&S~WDQja+PXCb+8Su{QkP8e{#bJ0NsX%*LJL85EdyGYA>i?~8X55Qt~t^h*n zrLYly7jhn@p+&WFx;76ni6S3Qw_}p2sx2cKPj!ubHVR!eO5|(>%+P@tx3_-UfisOU zvUI42m|bjm2l8}(ulbCLo$Is(0_ki3Ffo=D)-{i)ck!3qN@pd7F9nn6#kATHMc)qM zc53Ypzl~4BA?ye`Oq~zFq)2^f|EKPy1GUJD=fnAmFjpR=nLq$;Oq#Nac7Kj^bwktl zI!IJ0#fDAYmKQo0v3;Rk3VwN9#f%`YGja$1t`c0-VgJTNp|1=MoAcC@+YfwNpzlz9@ktfI zBR-kyeYfs#g``#Q7+Uv(=|u`;qlk+~H~bh@m0pZwDJzYiDk_AJFbB{yLHDhE*W8l!EVUOEKCMW?Joh@^CZgf ztu1jRUXZzgBz1Sj=~HLgo!d87rqK$84lQeM{8neomxJRe$Pyh_6`0H_ez65)so3oT z$#keM+VqwFxUcwMU*bq^3|~yY1!?xEdk_TmF(G*+eD)Ug8Hn@BIjV)92NDS^0;PW3i)@V___ zM0a4ayyBeaN4KcmAZtkmE$SOk?HGR4sY*^46OmOS7>ZJ|7Y7V#nZ6Srp)|2omKvpZ z%TojJI7?*s&puVUMt@TRXpZ%!zlHJR!vZdZ) zHpB(L&mwOC6K|>B-+7cuGiwBS@}^ayu!SMN;e07H!sxJKa-R8Lgm^@Otrvj!KgmSr zWI{Fvh#MXI5k*)rm$GJ-6>*dsLLe9_JOen*va`3%z}y91KTxseWP*6#Tct2>aHf3- z9E%|lV;7knft$6A0U4;Mk<1bTun^>^0O#aMdimzIAYH;xLJ_S@NEVMnc!0RW!tC87 z0?h06EB;kGyNYhT#`56K!i$G6-eSk3S+HfpBmRVH5hTsi??{JsoLcJ>d5Ty8)ni~~ z3HJMadViSv8d%nEKj|pj7`g$PMM1}_JIw0DO{q`iv2oQ{g0X}tnMqcbp#2bXf$1z# zNPHTEEAl=Zf=;5pK|aj86ifweR($61iI&Hbq|TkTE@kn=LC=_4s->Og<%T~!DgS1< z)7>Z3R^1Wd6M`>_koGx5aAY|tbZ694W&Z$UnPVcHoxfdp6M#xJYXYr$*uj{q%{*Q= z0wh_b=6@D&uU!GC`t@MobgGsQeB&~hKQh-<3#)@Xvo1e(KcOi7!h466JcE0t2~uD> zZs&2FtqTr8rpG^ay#7hhdo4DVurCAb?JS{)*RQ`<;!`i&7hNI6-&#(2{mXk4#!cczffYn;+bfyB<=CcF}p+g~+0Qba7={o)Dz-jFpOh6XI z%^1iJdDg8t(E0g6Ym8e@=g%xZNCj((wYQPK*NO(WYgc^yyqq5xXggKJX9Re?u@L1Q zrNucfB!z;T2u|NY-NH8KhZ{DK38g4|h4%hJW2*LRI~{L%jG(t*jAoR8?V>H8r=QU8 zh`JLg6~8jpDhL!K5&5A+wHp>8^0vA@fOeCU5J2a8dQ0J0@0)X_K)jY{)!R8rOTWdR zQLDhTi2%tO;VWT&Q|PP_;%cXkX%|X?;hml4DIPNM-R8 zgsyONa1tv0z~N@t>eNgb#Mg}7-D&k?e!GiD+PDq=`~zt5af!%k)Rz1wEUBO%Av`Pa zub?^)h%b9f>h-OfE1afUoNo-zX0GQ2#n4pNoe7XnkcbZRhr_8W=;9J#9c0dpg6BVC zu7Xr3;7%{;kkG zs)N01(yW|I0^fCf31UV?NuX*CN1gKx&iS*}k!}i~9bMs8SXhv4R)@RJSuQbstf1nv z1gZVVqX?%BV&dpuZwlHZgM{Hp#+u7s7J$2% z-6He98CWHd{u&r`+rq;OLjnUyr20AW??0*y9bw&ODFh;&?$!{^||2qGcHFp&qpHt&Y1O3X7uspqf{%KR)ts0I$D^V z46(sPajrni<+Oe5_KyfG#}sl?U+C|$JpQnk4~)F(M+%yw2eLa7sk^bK#o`3A=(4J6+w+C3$6 zxnxEWXI-Q&%`luT%6J~P`%bSvK+r+mV3k+|whEO=5L>^D)ZIXJF{=8y0)oU1tJPYAU4; zbj~z|51Bx{3kxM}x)z4~8KYhTzpx>oH?RUy#&|++9X-4nwksyyq23ps-XOPC%g;&t za(a87D6XoDq0ylIQfxpHoK9XJfJZ77^;B$cp5Xwzm{@Ig#*FB}RCa+6`-JxOnWA@R zXCUPvD5XqATxyGFwr73Oy@gm<$Vc%>d;V777wB*0nt37zFQj2#=I2cS5BHasPL7|P zb(%r4=3+iQqENq$i&0aZdTW`}Q{}cgsXFYaXUJ1Mfr76cXGbD_O~xa*l?^PgfxHJL z!XBHvkJ5IiaWSQ-Pr}rrIm)U_y^ct|ZBJWB5>F>!sr2J(%97oPc`~|eLs%+%fQOo0 ztQMq^#5r4sS=p`A0)#C*;d{Y8d>UN-K#P{yBfhgu`rw5e3n3fKBDH$jo`KQdh z_b)ihg`T*qz4h7ncA=Yjd1UVY>jD6bq@owyxRUE8&tJU<5W}QTk(M_HV`^sPlWAP7 zUu~cac*{S{Ito+CB#}S0!;zYE_f`4@8_$&PeZYD@H$o>pk=3(K+BsaYSQztJ!sAj5Lr9)BpJ4Lv&_JXbk@$-JjMv@tb#Elw6AUSmuz;tU1keRnn3Yc%6?FOa4CmhSRTu4J-@!{VX zevM;W+rxT|#JB%x>0b*Fq<5f^u8&*))R-)${ynHA4#A;!)WaTJzic6rx{*KN>ISGG z;h(d>$db`ohjFhE`kQ26X=G>JvC-C^pxkdOPe`2ce)%EC3+WYJ^3{=sD>fJLZgm?U zS^K|UqYNNmC5wLwX4s&XxuY!>1H(r5s7z33BK5H2O2MA`S=eoTQtH@=78YR-ziJ+& zA|PokXsrExG}Tv6BC8Tif6+_({Ge}5PTR~*+lwD$5gil`367}J$ zjn}xML&hPI;miRe6mdLcQd!};l=jo4c)3q|Svj-ov(0ReKAU+hgpF-Q)*JnjT{S#R zy-+8!|8`j)E_p(9Cbz*@MIt?n+9q=;mg)+wt9 z+1|}9Q*^#abwgtP;*X~D$ACE9wfdU;hGlQ%DED9zT+(g|GNcGl;;kidFtONKf94HS z)LEq+0qp)P^WQlbb#g|~K`tG?62DU?~XK~xfi=d~jpM5UdeD-DOP=h6r-X4jSg{jcs z-_~PB_?`X2geB9>jx~>H7fXLljLzfLmnpkQA(HSR^e>7gdd^%(H+ZB_FWL=1V|vZ0 zEPTuUQnwi<&G@>Vh`RTbX?|15{~JG@;y(H+>m{L=!2Z*Z!n(P>d0M+O&NlkjGQCUi zPZt1@op^Hqq9}S^AQu3WA>H?ifo!&jnO+tZXOoih=vRqF8Be8Cpm zI{OfiZ;mQ-0@6!>^;U|4(>x3$4*0Uympto3?S^V-iN!_%EZ6)^X^eC-OcIHC z8k5{|hyHT30rs%sTRCMdj=tP{c=9hZzQv2s`UCF{9fOT5#;gZ}onL_L931ac?@;(m zk55AQv`1M71q3_wi}ao|2^C1ze31=SA=J&cgO4WMs}xT+hJ97(ef_BCM0OEU`!)Ej8q2>wa{t9ri?NJ zd|}b|ITcQ+b~%WH6o}yx*$2k;iS=O(;Tmhn8hn-gV)?Y3{aWAHyQQv$G;JtriG|X& zp&$bAJx4=+H|K9i?nl%Up+g0>)1HU`kZ42l;c=3EmXPZ|kz(DTdU9P?W6mMOlz%F2 zD$Z7O7lq92SUIOAeJRS9oX=U_Cz1Iw81Ap75{#2-OwLH0%~STGb_vZ7Ln`t(ZS?Lk zvXwr^1ZCdlHk3C0D-2+Q=qF$gJ556TRjU!rxlg+gRpbd0Dc;$5d+;s4`|6StLG|qB z`s!r_e8>3G{O}c*ZQS~wLT0(O{LJN1_rpD@-K&+%gbd!D(26?6(*2UnR483y$cdma z+5r}^%{z~zrbS5)9&9MATE6-@4VNE|0d^^lavq^{EEyW8RLw7s*7+x~$6{@TlK13% zev4UUm`-MDHrV0vP`j2FQOFvVK1~Fn?;h7jfA+w4O494U=3Hj z?ltqqPLF5yTG7)o0cWt6U(GZa&FX*C{G{A;737~+(24xOQh}@jRKse_#6jw;f$g{a zO;9Gn?crhz^^7C61#U1ehG8lN4!FV+t}Ny3L#RY| zL+}Gnlw1&eAjuQ#Z~o{^$G#G?4k6I8-Hu(P8{43s?x=Tz4>_x+YJFH0koYw%eVQsz zOs>(}SoxQ;$jl~amoozb8VhdeKg`VF#9Il@xdvqVG_Bv^ASkEv-OY%5SCM&!Gv4ZL z^grhy-+>M9llO0W@u1qR_2*T0T@(lfl1_Z{iczcP}+PS^=efJuW}WlMcPm*fsD@``dYS95x;Z<(q+l$g}Fji_5` zmkKGVQ$+QT5vNF#^nT9A3ywPle?JP>%l)VTyFyx;Y;L=o--Er|zCZz7rQMW0i~a+B z<99H@5~!N#71foSMUhDpLT$M|9Xo_Y?;Ts*7sLu?gt3o%^-I+u&O-gDju`+@Ej4z+ zXqj^1J2xef4ypTei#b2tA})u&*)VLTG7MAuG}!xoP*N_%tFJ0>93j+Yws+I_NV}{j z#!N%4I`iuk)3%9@iO)q@{rpO^5<>73O5qTWi3?xQS2MqzN=m&Q%iL07=x@rWjb?N2 zs69)Gl!MrJ3j_6<&#C;6*z>;wHS9n8>(c&#;L-UVi^ zWYepL+Gfd8^PsFOh8Vf-2O(BMXu*k~^90m;RJkkm3*hU-6H0cDvc+lopr^oS_}d)O z8ErX_M-~sAM-gwN;$Hb2W#6vSmoe1iOSRMlbd-OnZ!>V?**ZikhI}WvL;4HMufKf3 z5@RpQdZy&=oYj*~-kAoT;u{(nxH?WZ4zI2;m2{gojSc53H$;UJ6*_}P15PIC*`#5l zLCi@3eySB_v&GFJtKc0h-E8n911{jByqgH2kD|i%1r6ccjgyBjgeEx`V)yD<9PLxB z0q(sDG%aBu?N=lvt&bM>UNf8(2gPEOuuGzLon`@0ui5N>V4YCJJ5CTnT^j8(o=SG`Qgh98Dm7&6F*l=((D-zHI{xsQdTH?qSCr7v{+ znYY$gUno?54PQ0S%p97r9|KRrlFl-6phn=n_+h1f*!o z8yy41#;E--Nc=+J-s7!Uwc|8Nl@;S&XCp`hWify#wZu0-H~!cOY;B$gv_p1}u!Fb?FiT4LJ}Tlo|})VR|}R z&iH;#dVyWeu9W>1FU8r*hoKMufB)dfftNJ~BRBT{?{9`aNH6rkVpHNj>R{q%80L`| zJN`c$+u%O9^d1@2a#I32qVNKuSxDgPCXcXd3#33+4H*PLD_4$jR{f zH=qW8gK&lywiRYTFk;EFvc3-_IZTqb?{sAT=P&x06G#^Kv3&6(C*#Qmglz)8bSTXh zM0T%&1D7b+E0sh0b}%YSvCQ?<{Hz%UztKfiCA(5WgHUe8r~hZsr)EI}T>B1xHhKUx za2MP^1BMZMX!Zl}^>c{pe${yN7($T>rBx)AZ-K3l8w2>tp&Rc$hWk2M@r#9X2=avP zDqiDnI*qgKXyZBql~_s(kehk?0Mdv6lgcE_0Ab`%H?QN2t1Pe!jPd60p5%S25rBR# zw^X?T{a!>Z>|R0#9HGZ1IO^I_ucp)_Op)y2tIn+K39mR$@~%#^|V zx}V#?fJ2q#0Gx`Rtylq$D38Or7i1fd9^VJ~95x_|R&An)0T{Ny{{lpOeNx4Idx%l4 z+R|MECyNB?B|ANI-jOa5tGuUvy>kO158k|)cJ9mouA)p3ly#4LQ(SX2r?RBeW! zwfY}o{L}`J)Z79E8XPAQ0xu3E_TN2D{>vDse+K#gbe8w-V3X#Q&wF};T^d}{U`h$X z>JtH04{$NzEu&JAV&8FU3?Boi%)qr3n*-ICEtv`8ggZb&LY^rex+6XS^8$edT1TpT zffjEGN`XwOK{9LxSg!QRmThfrbn9&QHi8SK2&gn^Ohpe$VQkibh}i1@Jp|pVOype# z<73A|MDtXIrn>67sv*H7K=LTR`ydkvEBH^T|DRU{FwsF*Q?4D%G~mj8xZF&3>PfmqclGZ1|~c?0+BZzv)MdWuLkC`bUHMw_o|bW0qBf>lP}!MS^UQwkf-oVUZm ze*_Ngqw=>7cv4qDa#dSA=Xs&!1r(xVFc)w!HP;KmpjQ|^x)ZBHH;1|~Fa<$3fDRre z%JUMKJF%tLQG0+o=Gg4DzZsQE+{?%hhsq?aheP@8PMp+Km^t1raa*fen8J;L#XN1!)N6Yx7_7IQr3~c zfg=P6IM;Qm!+5N)+3b#%`Tt`9c0i1az_+K(JgF@Z%GrMgcDIftCZc%2bntE?Z07bz z02Ge228d7Krov2)k3aq&z!oIe0n+Q0G2y58r+^cAb$gMt?s5<>Ux3ni(eZV|D@|prZ)5XRk}2^#=xiB0Uw%nAX>pev5v3BON+e z^!D*HuB9b`1CX_q2&rcOX;8UJHd&Dbywn(3U7!HBxpSDKY8p~x*8HPhGqAlot z*iF~>AZ)@t-BvQ46#9EP&ZT;(n0nkpOykZB!-*z;{&QnL(l7^Qt)c)Tvs(|f2A@Ji zOuU%%QW+H_UQ#mPWOKL#K*qy2GvE}+zYBzJ>(BrcK9Z?S; zepnoAl<}|4lDnbQyx5~hb8W^QWsiOr7A`+}_~;|!BV^$2cg<(_$b7)V?s9K__4GCK zefOPN=^Be(`G0?Eg@C;22FSMOTDO|1);iHAQ97S2*qwXviBmyx0M>)T%PXKjOc3*4 z!gZMKrGR90#g#A~KSbJ+^%ulSs!?@FoW5M~6rdg0Q}F>P%R|UA2GXakzIlGLo#;zG z!ARPnth7*is3#5%5(Zi(T*d$0Um~yyfjLlPtI%@*^S03+cH)Df2n+JD7) z^m7M7U%0Wv^#O3WQ$w320m-ncrv>(^Sdw$m7yr^?bDnd9!=I(XyQ~wCl4$MI5YIy# z1b+3S=TARZb#w0xs*~Zfp8(smwF2M7EH4(8n{V7TD3W}Z(t8)5n(|9n)gH99VT40g z9VUj2)j}o~$cCyy@BRGG?jSbRSORdneB2V(`Ck*yi}+i*DOw=K*ede+9)ZqfFuB+$SzsB@)P%^b9$gN#`Yed@kkj8pin*{CuUL$tvtZa{zf|K z!+vN+zC8gEHY+P;G0NpvW|+ zO}S;yt%Ae)`vHZJK9ovwz}-#F9twZ;r>2zd$Pf@{txU1;maS3Ek*td_%LlaunlMXg zY+vh?>sR2RA-KYM(bGXowrSZ`>|UwX{MVAf-{@XiCBNs?ymxDp=bG@x)mOuZ)dwv-+tHKh<* zC^Z5(SRaRl{xq4RgBu{UwkRVyWUB9E7etu;;+#1rh~|=T7YNITVst;nh%{_k;$Jlw z{#t67_@!aeYf#E3>fq<6MrJKrX5#&{Ljf_KG_J{N)A2;b?_$liieA6wub0`tww&cP zqdOR&{PZM@94nPOyt`PNC5psgAFZ+w9&76A+JW=}%&2J)U{>eJ>k;!uv!dXu9bm{; zflMx1NfEFiRLldWO#@gEpGm{=sD3QV1^5B&Rg8E(v~US-%)aOHNOu%snTYi=S5J)_ zNe@8c?e;VIzCg_zC4X|-2Jq4g1hHjm$4Z#PBBI||0L)IkB4?-GzCEhdGE6QLpibRj z&VuTnZ9&l4E2o+cgQz5WOc8T}@KRb9{=$2dSo!%2vSj+_g5BMKhNq^kjlKn+4k%rQ z#!R5#zmaOC%P&S92%InWfOV^lipu57X9@q4>XQ=vi@5EdSoj{Z+L6L43&Nr`R41Z6 znzKNV3sVGSP5p+lVm+pvRiH7*Fw=3of`>H?3=BgxFGjhGS?zbBG6Ea0PU+k5%_h@g z9Q))5-q#WidSw1e`(p-k81c(ZXkl*A^OXHJ@*xsW*g_BNvM#)LcOFUn6g*;4<(mxn zI=BntN4IARap6IOQJuzhSLf~1{bM7?{_P`O!iXq6NF z3GIQ;G#DN7*sW333rpm}4s9G^i9edmo8G=4d3YoCIXxY`Mfdm1e|I6glCru_ z)b4&E*6r`QreufFWWzGG%oyCmP@aL*oEz`Fo%#;5bSLNy%c}L`@33Rv!ErP*z+*0@@?CU|4uh9K5e?U$f6(;sU032+Fg2C?aETWeS;w1PJ(I%1xn zK}c<)SDNAnvK8Z;7#p*+vw=BD+L}2Uwoavtf$i@^SydbnJgezr?WK0WJPT-F4Lv+l z33=?Pdr}=YzxNIc2CGwl7p*qLU` zqqSbmP{C>uunm;yG7L| z?oq_hLg-Exu!y_pk$vMJl-xpuC<+dis-_deXBWg?kWyiHuK2R8Iy|>*qFV*9%-6Wt zW8irC6E5amEHxc-*df%3FMSY3UQhF$E|bX0zkvj zD#-Cx`^Ks+hjK}DN<3j%)n2+1tdoijWJKxHxsT|M{pgkDG?AlOy_VmzD(H!7m5?ME zG*O2_A(aGeeV<2SR(b6$hF%ItJ)GXQe5XKkc3aYrojF?k_B#+EBx-@mOgEQl#i|0h zqX%*pLdE=l?5k<7MavZeWGxqK=!p#HZG3w6^X@Tz#^L?p1GRHd3-hd~c;Xil9QR&B zZm((hz(H&VO@LPGC5;{zBP0tbfDo=>;l8P_uU~VpxY@hN)LqoW^I@7YUDITocY3WA zR4Au#xt9GP{wLkoCF+Xj`Jd7uh0=PU>1zT%^-GQxb)L`9ZEr;|xs%c!slC;bnc9;? z3*(saG+m(^!ee9uH2ubL&K+}G@`M}CEe#^9zVRuXZ?rlHSyq8l3){5qBr0??-RvJf z0XQGiKk+$>)PN4TQ<)jFcNC`8u9*=p{|HaX-8jTlDzz526VV$-hRK3 z?~oeDd6}1PxrX*CJ!}?~o!m9SOFidZhCeMk=PflR|+CmA__7LzUPgP#t{P3l1 zujf#I8E-&c)#0Dub+?C!69Z*@^mnu;{y5a{HPuy@4UF}kKu`RK`h6!tA{hz>8dzBH znY@mheR`#|iJ=J@1?>nn!|yk-Nez~DD#lHUF2so-Qqq}G89j#N7d1IC+ zTCeoaC8NO3@$(IvaYqz!Uk~$E`*M7jXVeT=5z~)YFSI!hR4Rdjf=Bq-h*Jn3b z%ymM3aP@TE1-6sqwlVBf#6nnYoQ7H%a!Al?m0pn)5(>bwe?k)DW?g>hhcbcMXgrwJ z=YB*H>)t##n&7qBPAesvumrBAy*9P}2hB=BxgkMkMhHo(SL8^w;jTLr#^$pi*HLi< zfou+r-`MCIZQ3VFBt5_Rc92Uv8)xc1wqeZx8U^|kTQdx7MfvwMhj`ir#BwfLBNo9- z8%3CXet}c3MTo5)(T^uY>|^ah9-a(kMo8B5YV;NU*5Tuqi-M1kVB{3$rie$Mg5XyZ zx0Ty{s5J9Vv-bm$g%1qkM$T2qU&-#61r)S4^30H*(oL@(FT_-WS!|O2@5CjZa|%-( z7R}q($5lQ4yjrVz`oDSt_Chtc4GJs>ol&J16{(g)A;e;Ft`oK zUl)BSJHW*G)3A?bk?4m2`6ChRu1Fy|e;&@vCYV|1wan)jIS~@ZB3YJ}rU9{es;=dw zo%iYe5;le#$Y*wC11vpnRP?AZfABzpGc1f>bMlumQ^CRp?wqk^F53!6py00q20XJ^ zL8`JF$2sEI;02n{E{?nms}#d~tg5%FXN8QUHPjCO`;>I}v|oBPBnWs$OdZ za&n^6iR&^7*XzpuO&tery~54DvaHo(HafgvFJ)%M0(aoV_dv89WKqOe%^ zR;HCWa>S$#!28S$^{!yykZr!bQs?kg0#kGA6y&9_`abdIKs>-(eS+S(KiJ92oOnNI zYmRc#G!HYr_({O&?gF;>iUrHP+GT!B`2!wGk)GDQt@2bCBi!S(dV|QU)@i!sVj1}j zbHfasCiw+l$ALEFv*6CZU*QJ0K_G%>vd?8ZJp##;ayv~Cgwr zuy#}=o>PV4X({|_tOFacds2kz73bI^KQI+`=74h#by%^t&-b&pbkq&^&Xw$`SAi?# zeYeSsGjbz+cGkl%3O3O#G(}MW-X^f^SGq>Q-t0`MX!9_ks%x!RjMdKIxv^Rqg6*P) zUZ&o!_9&8{Yt4i4T20U!P53b@&X2nH@Z(3@+H0SJukTcq0Z@)N>wIV+lpOlm&nY#p z$si*DO_)OM`_(dj6Zb^@3ri;_qmq$}YoPgJ$W38^FAVOzgFB}}k;k`Ap-}S?O0=Pm z{}3&LIcL}ORq5UGtX#%V<4mnMm!>C|g7%Gm)^_tSn5z}dwyvW!V@cwkE>2(M zcDGI}8^8Q24xF3OxX15@o=G~z613hmi?`^k0gPc5$Zx>zZHphSTPHGKfXdHzG7R_y$`~7@Ns-Zap2i5 zy)nx?bn=C>@4tui9&A~BNQv3KzjWaRwiKBV9OWh)!~$x87+z>lr(I^L|w$M zRG?_TOc%>f)r}xlzKWNb<^^yB<%NpzcL+^5Q6jM4YhW-=mfv9dPPerb)zqf+(nSFa)Ep>^pA@}C$X#DeHo3FOdE5C+9v*MY>o)@1!+pL{Y z3fX8TV+*HY!_l|FQB!M*54+Cn+ggVCAz0ehx%wj(N|azP#;~)of+M-n3H)DS{KLj? zT!X)osS^;_dFA3>Ei61cbP+h51qjS)6ZoNSp`svsa{3cw;a1i27i? zIo`@RTx6X~T?6JDAz)GBvKDarEQJj@7hC1;azRn{V?HSs^<^xd*az z=1mA^hb9~SQ;PZOV6~cpAF#_EDe=531*4Eb(X=M98$x8k-V8Q3!?xizmv2NcyYZ{$ zv|1I$y|_n;E1gMy0e__FgOZa24Ii6djEJbEexV5!v6p=D8-(ja2J0vXh+`Ceq4s6t zxeL8C9h!oaoqw0N&^-KYTx;M=>CKRvcl)ci32t00-t`U+84MUQksG1s1b<44C7aSt z?yR+;r$0<9%nTa+^)W5g?)9HwS7UAQymJRb$c&kMs10&ZPvug}H#hziY702)+uDW) zxP_ef4JdIK3Gt_YNgHG(q7|_k0ht^05ax|dwMx?fNa~4~V0BrY9fB4OmJI4s{KFOY z!l>S@w#*n)WOB3xCaFY#?U1VXHkNgHf05ujzSla+6O%1SEgSBzZaVM#ylp>F5B2zDrhtq2$nu0XPib%e6zT_4Ua@NDgbR_St9uRVUguKDO&obUlRS~p z1WEs9uD_TfLjMibMUt9_3i9&S^oaHo+HfVGW5XVDBbqHog63&22Xot-1Cxkng(SBs zLM)QU4DjR5%MEXcg&nCy9qs14x21nwJj9NEJKn6oSJJs2NUgIbAY-i0E>$wLj z;Pn{UpQJP&VQxy^G+q4YY!k9zA0-`y_=diX_AGPY*^4D<+yab$MSw*o2*p2zz37I; z5M$YRwCi@K&v#Z&G?87`^1SqGzB<-;QPT{DHZHpU=tnZ)E+I#08?|ByIjCF{*P^w} zZ~LTB)!$3w^NKft35@YQ7Si=A{ocYZa&0*!PAH+f4=Z$}5S|}g(Oh1_VrOmW)DuqW z`BQoX3Hf8Jv$SL+zB+-c6149TRXP^vq|KN3P2qTV&2xQ#sZ>i>6|t!h8A?XB7D+q( zW$vxoEi(cIfnplxf|S64BNF0YZ{>c+2JSMkH6RBB-qK5lAN#3jhTYQile8F92t}|{ zxhRO4+f1=}oPwN#*EGVM&UjreyeVz&Akpw$4Ej4!t16yHm&M-BrUrw`Lv}h|WLs&I zgF}D?d^hN4Dv2v&8Y;2^KSc>i9hJte#xA#pD`X>dL)@#w8r(S9Wqaj$c)Kvr_ML7* zb)N*!D<5JHU#7afFD*Y6SEa*pGrXxM4%?<5d|#BwtBiW8<>VH6QqoH&v_=!gvZ2(H zjG?cQBh)k)i#UJDfJwFcs-2cc>;!Ag4dlALvqa`ebt{6}LqFda3P2h%q8Ogov>Z*{ zrJzwLi&3^wowyehWJbbX*_B7~Wpn?YeyY05l`$X5=KaqxalxUhlE+LRT>~mR)J=NF zs`+dLbx%Mv>3I94sY|`_A6HBDhjucwofXzw?N7&xwcpolyeNhn@B~f3EByFoT)PFg z#G^9U|D0Gml9lomRgAa$v~POxw`&@1T4sxnMi;ZLG=K|2F{6{(m#yBPogyj&BVtux zHOsj3`%JU#sei|ZKI`PNcrKwJls3}D@k@LIir?0xY)Rz0G5*YTv|ZxfU&{j?w&g_I zD-bzQ7UO<8>7iF0y{Lfd+l2zRZu@){X8wfWMMo+F7;#187gvYrT(Z}kc&T~82@ds`v|=S zEF`t6foq96sMzzxn@~kgdFsm&4yf6RILmfwjG4tfn!k2d@>R|Bw+Bk>y zu0oYcamI>T#NeaygD~jh6FG=E%jY+zU&bXiMkt$8`BFN}2vAMEX2#pAL^Hj$@XR`ink9d}BD7+y zY*qNw5jhRYV%xGPUCEB$ikq4iL|ln8+;{vXu=(o|>N##T&Hme{-618WMPSVX=11UY z9hsL^1SVw!>{m-UE{7GzskeDBspvwnB(mo(yId~DsZU{;0uz9KX8dOsOv_d)o zOzF~B#I{M=k)eyVP>?4576v#BvS_(SJdDEc&L-}*xev9ez*sNu*%4vUj2;q< zRUsyc7|2sa=ZI@%*g;T3MjUyc3Xj;=yYXLy{UaasOXx<^`>ZpOW?6h~ayY%HRN*ic zcSl7*k*)9cq)2rnie3O~>+Txv@mv#T>qX+aFUVz%3qXxI#NHx~f7P(TPBR#(yNg(m z{-U#L@%%$|oZ3_D)kLi`IkZ#2U{}41-apvKhQhep+qtSq=AccZxDyMRO)OwMGXhO zk;G?X+N;un#Wxe#4zx~G5@v9fLgSjyBFQrZ$lk=^06mk{|8lI;&{~-|{Fchk=k^lR zZR$A??TaP>AdQ4woLNW#$w6|#HpoVFaE1T@!|L6PHm)cZt2?dJe7^u$m+h7X%<+|Q zgIdgB6Bc|MpF^*V4~7spAnFrBvjRfh;sZy{HM1eMfw;}odxe}P-D6Fea9OMX zlo0X5?)S?Hs0Af7j{dxA&x5zY-V=^voZL!A@)!$k$Qrs;B{k~^t(_@ATjU4}q}{aW zoD?vnki3r`Q=V^zdCldah8F?{hzLBUFHcmj%0)1zDPqG(-<^OVCq814O@U+~N#sVQ zW(V%;1$d7!ueIQw`*be7`C;0ub1G5r)DY;B0I4`XGGzQ300k-2365tkdBk zR{Mz&eEU<_++n2om!D=5Ooty{3q|kmfeCIR@%y!RsF*)EPh36p$j%whH3pixhmAY6 zeD8;7McTH`*e@XWWB^I?GPMpJy7;pb3a3fb3>2r`#om*I!~402F;s2^G=gNJ*{hK% z1vr9%WX{@beS!t=1Vk#Yz8-6Ur)J4*)3>nozc{8~^=ShKBS)Iz-m!3cc5X&|u;HgWjU>ie=_M|hQf`9-IALV2A%r}+?n0!MA@?WMlK{braBV{rGg0Vd!5<*u<4 zX1i5nLFN2bJ!ed;&uObSI%D(ds*Kc*@sXjNCe~pUKFRQF;?tO0JIKq=zE6Q_rJxen zti1`;-9e6B&;!JF_K%2m70gu{ll0O4r7k^8?DHs+S)jG5X}W0W+L8y$jq)%a$$uD^ z;nb50R%#7+4I=x)o#L8KotJdkohQI?gJG8YW>-M{|R!r-<*4$(R!`!CO|PVAd4JPZQGjx;kTu0vMRtd7JP&w>>M#jrTAbqH#7}^h#ynY*l4OTd#a`HY&$qSA{&4IgD zxOSA|4WvHo)6)VL2Yv%iXsSj)Agd8~OnYCG2=TCo;n8f!F+m8@Rh!~?X*HB7bR9;Y z8wb93F6=Upuz-Ex#lFGDI-n#Fwl;MK(?Uu3ZKCdTUPmTW*O8?GKH7pr5c)6 z0xE^^HoxCloA-N!zNX)dRXF)KH4gb(>*x^Bx3sepWtqkQwEnQu*U=Z9+_jtts7 zk~4bJeK&JwDB-*cob)~RH-H=L_rSK5e`>(x5`zsm^d|U>eG&~2DG!8Y=bxS4q5Jfy z?ig36B9{=(FHPIzd*LkOgm`GJuIzgT+Qz1)za`|ouRYHixU$+b;s}T>*$uX7Z3Anf z_P&4?ckfC;p*Pir+Tb8_lr(bvf;rG$LFey5m{n-#)6w@J?F8bwQK0_sr;1dDTMY;^ zTLtjaL&0IU@s08F_u`=6^`%wdT0+hl#_hWkYyEWj*8VUZ<|s@rKpahpX9maVr8m6U z*^ggsjQpTL#@3oH#H=^hI6pKfNDXT(!)|SzwM{m{)SLen|EP`1Hp`+90705sG1CIm zOHhPSiY=eUMeV%1Ky*uTKkKNr#rW`WRVw{=x#MggUUrl6KGKG^K(w9;`=@Ms*cMl{`z1G>{@}OG{?z^_<~4Wr zDCMAB`jT=3%r}2CWs#DIQKlO4!8=BEj$A7&mxe!K2_Eh2WC)YKg4X8wZS8aVh4HZLFt@`xz+YcB;Ef#ZFF zw%l|J@NIteNb96^jSVnt-9@+(3EK@oeLNkItm-jl5&&Z>S!QKTUBtqf;7V293VSe(fFu`Opt&cW#Ja58`d%g;Nhsyk~roxQF=7^stOc|#bG2(*OzLuX&c zdPjd?l9U(}A$qt6*(sGzZ$Lq-Y4qQ%8xCrttqwl!I*P&ELG!pf zx@1<0N{)s)R-FVMcZiKD9DK=jDpZ8|EAz_PM9Hks6AwqsqZ+?9Q>R?a?RfirvF*>E z`TpIrXKQQ6SLS4UYYUVL&1HxmNUd>k@H$7R+D0bJ6^r_wI_=OS%v)}~AEV$=DhZs= z35$WNKPTgyH4s;D7fIJ?RJ+R1zV}ZnS%WvvEkg#@i=aS@+9RC5Gzo)sI0a)DKPhx@OtS1;T3+ zhGT7e2iM0_!~6DLOSqph5$t-WlKJqw4=rgkuG^%sIUQ{ApBCEf#!^7+T=zfl()q{V z3bws`uRW0mIUu~|hkLf4JaOxE^pNE^*+R*LnIVTv4Q%*Rq}&*GuJ2Fh$540mqAMP* zF{LiI<-$GrG<2wrsyr3iQ>yoSf+TxT-yW?d9`fgv(%9tq;^pon6iFL_k}T7BV(c9D zgm$4BfIu}T^|f{pe;sKt%F_38=fD%(#3Q6aZ?U`6wfBIkIkV>r;*KN&L(nyELJoU! z-s$3TsVv4*Ie+t4ES`IcMmHKmv?|LB57n!C))n-kgls3IZgcWFqsbY`u8G~&rPMN? zyg+}(_2erPaQkrYNwCvTPM*j2$VibU#6G*W&HLRvQ<7|b{g_J{(nWQoK{l){cHXpY zgWo-Of{TNV2r5a?p7={L>N1uOYgyw=4v`wj*Q@qAL&zf==@- zPLD1Gsl+t9tk_;@E$8l}XpB>(LruD`jlST^FJsX<$^Eb&+<^@)o}S=thta(}T|D)=yqoVwx_HSaqp}VAp9y*k6kVXlm z1nH2J4(XQeQlwFlkY*5&mK2bd4v~`Xe$V)Qp7nd)wOIVe3^Vt+&%O6P*Y&xE1rIPm z8GSeazj3f2$HycDQQ4?pg7)V$vPFL0k)Pfh?|gO48LRpE*%K5DqIBIQzm5Dz)eAlt z_kJG=wW^IsBzaXL{Co{Dmmic_oDv+&ycc2J)d&uw8^LpHO!)ng#eEcZ*hy1cX>;^t<*L}~H=|e=BY{0RXgRu~48BTipcl^*L&6g|H#x1Yw5_&1O<&J!jD3pac z>iB;1?z}?2@SpJpaT;4KV61Z(#<3e?Uf4DvQn5uCtVogxO63?f3#-(cL>7{EAyKQatXvFrB-Ea1$5It(BSq=Xuu4+Fo?*um(6M0KA%k3k6y z$VUq?ZQqVTN3xaqvs+8}*|K?4P z{NI@<3AsQ8`Yuy!_O{K8RQC_xhLs06VdvehOpIZN)v+(aw|qr!_g*eGMK?O>-^QaW{52Gq|HdE(-6elk+a5ew#{Hp`yupBTGzZBTA zlr}zvpQ<|xgUnUlCB8PZ8`@kKK0j|7?hHkg+?z^1RFJkb-=S0TLTWAbY4bY*74?3q z5{(_Ki7GSrS@XNSrah@W?O07(3Zpn5Iw};Iz9ob1Iv^?awFJ-=$3+YVIsdzjJcktUw89pHqFzr3u@Q3~Ot|LPPE0i`NT%*KZch7a_{G2X zNFyMCwdQT6+j~>yWnfF)HoXZVyIl;&rloeekJMBwX8cSKxVdC;8VUu}!mF={o1*Bs3VJxl#6-u9w)8oqYV(-Jm&9;gUL~D+HL0g^pf!p?MllNv&584 z@=FEmtHhmBZH%y0H#~qklR$Qum$+`A5Kw2-3zWGzf(VoZ!G0&Ng}#d+60X&Da(5Ci z_6(hIg+$JEAQoKmFp2}i$jec?*U3D5oa$*HQAVqi>8G` zCe{*)FV^ezy4jL1ID(1zAfU_FxqL%n<9DY2#N677W7FY#w;2B!Dypb;?#+Jw+Aq+D z$tb)^qfg9Vm?}EtJk8EM>bJGuwc-xnt*&MB?r`y@k8 z%>m1wcrd3skVf*RF~cwgt9)%&ukRGsd^uql;sPz4YnZsdUs@z-yLfN;2I%#i^u%7i zy7r4$Z>vFor`PN5P@5KgJ73GZN*=YOA2Q5YJLlzdh`~y3t_N+lBx%W5DT8S)vc@u1 z1t#Wv0wshNm@x?H8pl3FUmhzt%xHvCSx{K3K0o2NA5d!AHKm^PwF$XJCGHUL;1-Rn zvsZw|Oq~M;pd`voSUi3~(S_#+dJsFOC*~-~kQMqanzyWha{^at=aC(R82Cpb1RQ~8 zX5)F&pGq9nY#PAuZg#35cb{#y%Wr__nVpvRFCtuea&tMKDU4eLi z=nT2q1P8R5`z*utkcPuUe3N4pbOPMT#1rggwEW0C&&!F*rQ|-hAy_1t+t1p)@?)yA z(zG1kGG{(ULzVo++^l!&ShAlp^Pa2Bho71eKT`Zd1b4Z!@&S^#<1@{C|K~oE!-T`R zjkj$f>v1-5>!dgljZ_EJ+W=+it(0wLgF!%)lKUyeCbt8|J^3tIk55yHMx_`-Awq-< zlcK8PJ2rF};(D*b3ZX|d6;jaV`_4Dz7Tuncifc7<9Pzk$UFlC57YVESJ`Lq`5k6-X zb$vPS8cBxsQ>p2k+ay#V)$QK2(gs8Qw&?aBWKw?Jn){}QFebkhf<7o6KZ=Wuaalaq z?Ic@9G4>cEZE)PPi1oe=(p`f(Z&{be9JDtDtIW{!CwMH_caz@7VQvLaafV~!$?sO5 zvr90DbH~U?LY+0-_8w%h$*xOKv+7SDP&rD00hIXT<`K#D2-(4Vy!Km57wXvhAHN|r z#L`|+PT-5K#X6fr25!Dxo~O`MPELJ$8ds~CisH|o&c?Z1UCz0dGTsNxKfyKqxI>e0 zCVX%YiJ(1`GBw6Yi-#b^?RSHW+j(J{-WARzTR<7u;7v?o7VbrdURw-@Ezik}+b+-> zF_BW6v*!36szk;Hg`<{|^%+&_np#mxcvpH=ah>AZ$UsUt_Dpx{0HD~%LSlP0Eq z^6DaLHfd{5RE7hOF%hTBX<(j)_7<31VlnGJt(v*fsv1_H+Ye+J9L;1s$f^g~i)GyF z-+#J%BrWTU8>(Ha_N-l_yKVMlJBXjE(%7|{N~aEY9Ke`rSQD$MpZla@IP|`Vdn&7L zO{}Zl$YuhWj8(U$=r!X?YhdWK^09vIr5g5-(PP5kc!+DXk|EEkj^XawLi$sY8CN+w z!=dt8ZVJdk`caJ2K+ClF?la5BPPKL1XCaOQE!Qy)6Biny+qQ;J5C_BT!!MkES91#| zD6ESM9gvHfiB)OzTQPm^H@LZ+Y8?XMuUu?g=|;k5aziI|aj#vSI9c}ee&D&G73}G4 zM!KPgIf_zb+vzR}c&r)Szj;9RZPm3(?|n|-Q1#F6;tQt(29h(bN2 zm*;zbZ5tlzi3UN6yuGUoXZoSs08WaUBt5qEq?!fye%3jZ3#cfpY%yIlBO8s(sbcMo z3@bORkvflEbvIwtU)+|dU8iWml9}U7?vSdZHz&z=-;S8l7!Mx9RsBY|X2s-f)A~R~ zauSW-Z~g%RyI4*NCW*`tsuv8tguxd=E1~RfvDzqq>JSCj618c(dxS4BFxL|+a;W~` zt$~Vk*sxIG3vNrQB04wv{BK1>KPu=xrkx7wQHk4B2$IKvN^eY;?8fr=5@3*zoF1w$ zO(}R)j3!trF%=RrEgd&9V~cJUrKo;>e|2w)T5&2W36@UMkgv;SDbv|O^&PdHL@mSz zo!O;bFxs(0PLk9&_i)!j{EE)We&9M{U>rnwZEM+@i%PzM0 ziY%mGR`oMa$OooBb@n6Kk65OI&X*>dIU96ZFmOq*S)OsQEo5B99;tD31uuQj?G;O_ z)hI1bK^wKxYYsUoF6@{HX|-lY1ZHm1Sp`#2(b{P%k>`-SzrP+6Lsycy*}DPln^E{| z=BHMIp6dzr`P>ZS%mm-@H$sSGi9Lr}aZ}%<>oI zmpBwq^EIfY1DYxHRVcO9mGKg^cC1z?lqZ~Sgm%Z_BgJrH_3W5!`U=^(J)|`^;Z^ht zr_b|$9!^H`4f%3ClX13{a|v?E51BR2ze@4~tHebAUe7A8pK!H$EaWU7kB9X0yX|nC zg-=?AellYG_Ab@9TQ=2W+4my!bd_~O4^6{YT>^0BTz~YPDkOd-BZaM~uJ}gPvoyY) z4LD%yVYsbJjA1&dbJdQ^)Eo6;hp9ZsG_UAzCpo_%cWY{zI6G^Dd;**GST`t@l{+@6$@7t3vf!v>ix+V#B86ZxW8|S~9 z=1p{Y&q!2JT?#>3c}ngpkkbBZsFC^NMpWv`HK97^5)Ox`I}g@XGxNcRTnxRXEr^)J zsZR*Ug1ecy%upnE@{ONrPe;o5h)3-7yiTpr#!=4-4ZndeKj`tAjNCDOuZqmoyO22M z4ux!-Q}Qn-bV%^K)0ml=Gm6y>DVl8ZQMq7^C2A8?Z~@+)t$uMjfP1LIWbz&`y)T*s z*Z?cWfo@28MGjL4O%xyHvt@#{;J=o!yAeI6SwyCzA4Vxw%tMmpDtS9>c>;d0S<0d? zrx3}J3|#9bbU=mM2jNuu>zWdjjjT;GKrOqJ2EBa2I`mf^b(zLR7-yKC;<Vc1E5dmFEf%tc-$0hJonvsxjoK#^sRGZKSwL@OMw%1q6;A;BZ@w3xJ+ zwz4`LJEk$rK-~0`Ph9j^cJcY}r4FQ80mU9_AX}EQ^mn66`DQxnuw4qwD9ev*kVXH_Z)`l39r2aeZpz~8;-hP-U&MYgo_1@>Az zSCn60;Nww;!Ho2VWb#uDMPHx$gYXy31=MBqg*NNj@q8);iy}U**sc8)PF=pm(M`T; ziw|?ozUEJ!fx`z5rl6&uMK6Z-yz1v;je2#YTz{xwrWBmeevBL9z0{&h0~@yoMxY3n z8nPJ4lQpKS*&!OGVo`*4s)n?Il_5a}wS(sAn`kn^q4D{Ns{8KAGIow#ArYpu-}H9o zlo^RD8vLIxlWc!;sXW>l6og_3&fUX+P*|&uep45_&&p-GOAvOe4`WMb<66$6o$84< zn++q!G*lw=(bueWu99PrX{Qo(wT!&zq?~ILBp6r(nu^u5-Aep)(E#={=p+-Ve+v52 zqpty^o9BKO8d2w&<+m?*^x2!yRehk^(|^Z>qlQpY0z~>{*Jankh_ycvLZcczK&%C= z(HDo@%9?tQOF-;_zYqFRYjjEXYo>Zm%CfY){_wyN`hvVHE>BsqtC?ZM&}^JiSXl8h z4p~S;6=P*!Hp8b8sTVJXjfg+cI2$eao5A>YGKC!9O5-}|BQnjXqHxyZtiD?6@2lbJ_oeGhMpREBgqth0`FIcapc z5hiqq|1!$#c%3Yu-K|SpuVlbuT_yjMO3DurIQ5jx5q}M3>kU;EPf6Z!XLl-IvUuLO zg$F-Q;?Bpehl-3BPqCE+D9V4pf{|zoFVE!?hGXU*qYkr6osFPve|;1g`ltk=n=8w9Z<=Do?{6t|jG6%REMj zp{JPof>T>2_R---(nL$1=kNH@ntu;TUHv^JqJ5HpZ@bhMj8Ec`-%&Ok+ZIkMbk$93 zF8JpWd>pf!B3PH9%`HNvqoyB+F3@fApt*aPMtwR0fiY^f@?GIOHNJDFN%RIl>Y8Yu;rN94ih=mEaaV>_-FJ&{cjKl`$Pcij^Dw(VyO336Mdx$d& zBRPbEk(%nGVpxJ)_~JCV9vy^MU@i{e0h$cMI%M;2Y7kO`Xk8Z!P$Fq9WmGfwS;a7- z!{{GGT3EcKDiuVNc-v}G_u9UanapY?nVR<0uOr}EF0wvyws_miU*E0tpK>*9y>w4* z(&>Hpr_U>ZjgIq~jHbDZyrO9PTg&1RNvjiNAXt2BQAjuOS`sC8$e0C2kSvA(f+$cW z+NwHlS>Qz+aSutpcVzo^cs%O65mgE&8z+M@3-P)BXV}PesLZ&4J}9cOy1VPa%SQkn zCH~$G<%~@i04ai? z&zc8q6t?5r&66rLRJ{-c4%xe_(8Z{fH)NSbH_lNVwD-Ehf4a_TBx8qgI&pM)<{1HF z|Cr6neK3X3Nw&R8E*?qnbyk-PI+Go!uj)d@ zTFzseZ9p9mi)|GGF3p43i={5!R|ypFW&fx$T%CNndc zYTu!j&zu;-0y7RQxYZ3Fm)A+azDIBHlD!Z@$9hQ)yk<`PW*cN0;B2EgKk{U}p1nrL@Ajafn{9rw=! z%tHXR%ZMaQ`H#B@koq49=vC2INfhxYRkdM6b1B5yjq$RjjU1BQ(b*_4R_uX*I$LRt z`koN^%41-PUf6ZTxu?cNJ(YE`*VQxaZ@T_`aA&%nVF*=$r#56Mr2A1m>l@|9U(0l$W|3-xEk02J#WO~JO^{iax+OpJw-blxnb%5?&?%8d)@5kG`-yv~l zN=R6F|7|!`@hVGfF2^MPwY-nnDq7Hh4j5SapOP6nr7JK!vMqeHEcS0#R0<+`g{HM? zI$rc#Q-aXxfB{U*xBb)UNXa;h1|DTG5Y|s%qps(pbzF3El)(71Tsx$o<}R{9-Q4(A zyT4O3PO%?taD>N90EUwPU0+y*nXYV@E*DE|ru6ZM{DPc9?qFRshDH3l-vV8pwLb)W z^Zg3^_}IDp8_4S0tAAX>yNI+hcBpZ(>osZu&3^@3X@7?g#r^s%Kg6fn&rI&t_O-nz zP(r$1x`zQylhH6OMz)vxXRj-}>x}BiJJoQh!>t>VDWPPo!*2}Kf~{xSdD0e6q-CPT z`nmm%N;OWr7)1tOvS(fpqZ&VR*>zDAt+XRFjTa2{#!tmJ{sbqU^qEH8c!?!eNMe@E zq!_U>GKZNabJ?Qjo!MTBU@blYP_Wc5m8MU`X z4|l!3jyjQI#DrG9#>QHL9FAGXCpf=-Xcyxgz7`^aJ^Gmy4^bH(Mysz#cw27TCpW$N zmG4l(X--6%q~SepPp#D{)|GZsdOcoG8@4M*+i3!s*!3?Msw|e@C6GlN33JBpywjoJ zN);njt`=k^8(ohGzd{>OU=LThRpuY?9mggo3v)8sd|T!GrCayG!aAfm!!VH=8A8RY zWZHCDlu;g7}MfK)&ehP1V&HRF7@<5!Hx4nE&h9<$B8AHjM{PPoah_+(TdJ@+64qVlT z{7hEj_zmmP*-;} zDJk*r!~Lr@s^~C{2u9bmHF3|??AXZ3q8q2euL%QOHU;e8Eb^Ttye7n?f}0=H<=$3W z)+K!Jc;tY&>+I5wO=;uHI6_?-z>cBE%}RxPZ%&i2N<_$>ft*9PKU0~KH_{ac8?(Q0 z{-es(Y|Fq=PfY|GJ;yJVtJ;1saL2e78y-vay|JJTVp#G$@2ETJmhx##B2K0d=Ybv! zWG4|)mvibS1dxE}F+9}NL_QomCE2!eFIiOC4eRmTpBf=WAkMXTWHEKDHSq=9T1%Nq zKByp5j&OLQ?G?b4WF#z`igNKKtQ#{-&#n9>tR+0(c(v(u@#KcQHvS~~uaa5t>>xc_ zSjoWUtC>jHpt9Rwhhk+_Y-S}52kbBP&@dt0mtPrCt+MRmfFm-)cCwni)cbewpb2|B z(jZby+zUaZ*6m^bOEueLa8kIFjgH8Li>S&R&ag&qgjZ$V)xK^f>D-w{-5_jkLkVY3 zRp6ZaLYBT3GJ&nv7(PrSo0ly2u^lHnlK|}?(dKhw}91aDGDZSqA3Wx3V(L)(sa^YsW<({xBZCv%Vm z6(2+Hj(ImmaXTq?K!aR%A0Vc$rEynd%;e$sqsne&p8@ttQbsjRDMtH%r6i+i1{SkR z-^z6v-`iNUkdc@b@_M`hO!E6-QmKsf3Yn}ZIid=3?eV8X-cDC;x6rjTBXoPi`_eAk z%gt3Iox#(JAvaa}k^r3I^Eg6>L9e_SFO;|FS2vzLU>7+Jb45&qU$MrXV0o(SFrKka zQa7=^gonmt8?s>Rc0J(FXDlhJ5;+(===&W8yxAStoZcC)R;10XT9PfSZRy!zc+GE# zpV<@8yZPliaMHZDm$?^a@ESyn9!t$OFF`jtuVYK@GeqoAVy$4LKXVx8-V`oJE*MEv zNX1AUDnn?7bZ{P=?E~q4Gt(P>yQsvWHnhNF)N6*{p2b{Ef2)0(#_$ziPzkcq6=`CH zGuG#~AQFkELiV+tqR67;{3)1zAHVXvK5uylq|f*j4$kr}GE3d6vRlSwlDfmd@$=`! zQ{}%z^ce;_M8;X6QT9ox0+bkGA;cu)6?ju`k}T&c5f#um=(0=y7++?NCsEmxXzQ|R z1CDvO1D>MqESS-Mo#*VksHabA-NI2fR~x3yaSU}1*>qC?I$-AGT=xu`n$fqnk5PR9 z_VIe|foConib5u0NEK(YxjppWm2_z+stT!T+6n-ekggY+yvs&0(1r@wbbw6T4R3EB zfzLJI6wkYL__5Hht_0nE!>VfF>$_YMG$L2eH1ky)zdYGq504qzg6p>ayV0`SkmKEU z!AMG8v?o5NM7`cpR9rIq3YiMd)_JI?fuO9VHCN`a#VfoVe?^YE1?xr9Wsh$jv3smo zhk2lS;ms*eMv9(ol)*e?_J_!!#)ZDCW73hNKS ztuE!9nSdyzmL~D9p7{2U-Q0P6`||$BY*rEQQdZ4@=cPvM0!gKQy9DE#!}kp{U*LSp8Me~^9a zmOM&uayy1O&tG0C*UW;606>I3gDUP5eekJ&%qM@oPNk%87UmCVOKwOfMFMJ#ShW94 z?2yaIgH25psyPE$8L^$(F+W1_0e$;`ivbhQdc(*?qKXb;oZ{<<%4q7RRfj-gzJ3#H zW!3eDXs3#t=AKn3ilI1WY~N{Ua*!|fRMeto^nL@u@I4%;N5oDLtt!qn``-bVekzxq z}ZAG(yj6LB$L zxQ4Bb|Lk?#p$o^suu7e#O8X9?p++fp#q4OYOd0EbeyyM*cjG>QAz^DLEJ3g+dvqS1 ze`npjVKMm8Z`jFPV${zc28U{SDK5E$Gs=^NRK|7H@Y6T-da3wH90V=2 z;KWRj(GPsHFp$k}KO`oH$ZbsnHB;xr&cJv~N0`h*fVVg`=y2hVMz3>ZtN-`|n&VRC zmM|5$=<*J`!6NGjKZYH(9zWP~LPxLe%WcXnSq9fuA&l?=_8?ojH5Wm)^yJEjKzqGI zq^X0Gp0f=9N;B7oo=l4icwMFA%czw(=k`83h7CG3=p+l*E#kWiFNliVTIirR?BZB! zyFuLDUR`a6YEwu_r%f7sxj|&?7&DgO4qKdMD8yb*#SCtdS!hU|AQ?oZ% zs7p6QB%;%NrQ@s1UVC_4qv$7e&Pao-tikwmiYUR3$0{x^qR ze!R~kc2%K6sA~XHMKVh=G#q4_bJB6LnGzFKVzqqVkzbUsJwsSqi~9OeF~D++le}?BFY9i&OCe@rZw0 zJemw6oP98;Tdb_XMOMZ1(X4h|N2+PS&=@w4X};W}Ya=5~r%WcS7>wX`{fx37K*Riv z;6BnrbA!8nkIwrFa{>UvWh+j^}l?P0xH zk0&TrnKo8H!ow*_=CWRA7o&0mP%@yfawOI zkd>F{?n3|lG+ zDb+NplpvzFchA@>JT zm&gnpdNkMe&jjmTh5GAn&kJ=y*$))b-U7DU5eV+B8sckr(S?Kzu-wDu`Ka=_Xn8A8Wk^c8oTx5wu#u|Qhm1RoTDh5UE9HV zO}Gj-mx1^?ixF*Ql$PST=ukBH%jo0Jr-M; zj8LCL$(6l05SPyYLY}sG{bz&!_NwoYN>7+kMEH5ad(W9Zn+o$Mcmf9>!B$8Da(kc@47VDlx1{`w17Z6tV*zzYZ zuQoLk%fGKOOrsUPeY7tP3d@!&?Q6rTJ?I=z@)`MZ%$m=R<{%H^9s?hGPc>m;`~YR) z9Ril0=Wb2Zfh|XPjyy)QVE&X6s};wA@D0bnQP0o2b#5xM5^zWI&4*iw**KMFjJN+i z;K3H?FR~5)ZwnNJ1qDUrX)Jjpr**C{b`W{kE0!t4yn75jYMLs~_i^=GYRY9QA$W`V z+=Njliu$=f<~=0rGJYb9U^Q*gA9dC?m(|oxz6sQ?_d%y-Sx-e)cnaM>^j6%V7%2{XH2m8*Lqt!fe3l}d+ zaD2vqPKizXtF{u}UbPTzA8!6epnhCi%}1~Lb%SgVvLxpY&iyTx8E^Z*&R2cn79EvU zr(>Kp187F)ukOBYpMc;_S{qqa9!x22L#?x4&ClTE(lSc_;b@!xnA?;H}fywc5 z?*}F2go@2QBCe_lYN}Q{CJfr=x52G@l2YtZ@0cFQ#`6&%fo^XQdQQ7UA-yp#GPr6+ z8lz-%v3k*xCpb%wh>;jua^|3kP(+M2PC9|&FEw^(y9#--Ie5iim8x1Y&>%KE$5M(^ zacx+NdDb*3JAHY8(#Ca-vJ5}Wp!u^H8}f<~29Fa0)ra#(ep=`}GQK!$hrZ%|@U6N` z%aw7xA-+-87$378^y0uMUC6s)_eg! zWJCvi2i3@j@@YlMkn+E81f~F~bi$>VYR=<({P*62w*wO!Juwj{=*8+_qzZcn3V+L^ zuUlovFAu~^Ju+R56ZQn-c#Fs~ZOg0~w_!=~y2PT5XIrDBT(F{59l){eWktmR`1b$v zM<|><;L7in(;zJfH-9&ZPFQ4a0MMF4v{X0xNy&%DwvR3s-{vH80HAO$_(04Ak>CFN zIB#Sep0hb5Xw4zbp3dP6LVOz<2jRH=I6^S3}(t>x{P7 zOizgZX{+@AUaOZm7?`7mfmiP7E{J5(Sh!e@76f!AX%!nlRGsThVw#t}Js_Bhp+33U6dqp?vr7u{g2GNK=rOo4EUe{rPVkz~Qsg)_94OanXpBtsyT4v!mXl zo&Vtv|N8_l4barMs={VLR=e6;`VG)3x&~g3<<1GsI;FBy3Gos%~`M`tU}Y;=VZ~t9$&ioxzaN4Sb$wOFx%?8OkN-td9O$?Cf!QP@_K(TkWri=9!p)E5 z%g+O%!!D?1R)HK${zB!+Q#&SWm!A(@4nJo>2|u@YV3d$t>OMg6hT$xyG~rsS&XMRsxN zxc{o>v#%yb8j`JgGk;$1O_8ylIN0Y~kUf93uCs9_x9!+!=Qp`UdEllKS1(i$|NNlj z*l2Vz$90H_^X!r6`rI4GPG88MWv>~MK!Vwqtt>kfP8s!U=L^x`^^8}w9PYI1+3TfS z(>j|*8q=DjN*;%A!HeV8oS_LMyt7`vwNu}K7{3vQru3(u&GT?3 zod!n(42X#+X%KJ?HG(HWhlz43YOO**4fS`aQq>n}|KV}}_pU^T=DkUj+y;ppE+A{} zi#V>xRG|uYX%LuC<2V68;Hgi#W3(?j^$B9l9rypOXQU2W->#&14lpt2!E{yc>_e>s zF7zVBW+;2}#pkUjFYf)9JA&N*kXs-oG3?m%c;hEtQn;ZmssVs+&x7~evlI3If-}wIdvQTVgAtN_p`Q;KkzvjSgu=T*qA0(W|bD{s% z`mVDL;8!Q@n+`UCT`~HDZ~V1Ca!2OYJG9Q8eav~?Z!?QM+aWMXb$tl0FTc}XGO2Rp zxcPyv;}AH@dX3w_s}P0LK(MWHsrriGpjn> zn0m7{A8&s4n0=@GOsM#f-J{8_u63cORJW<*`E z4~*-B-K5wp9sI!t-%LY2sr53eQSSCE@NSC#!c0=lw&v}4jRKwsIR#Q;cNBOcaSbqZ zzkxY64L=eY1v?Mi4O3<;Jjh$P3QOun$VT^F9o=C)pdwZ24rvA8q3KP@DH2=>!UJpB@e;I7U%4pHABU zJn;T|zwu-gH{fErIoS;(dE)#EFw*-X8Ci?KgF1k?BN+W2(is2cw|{9%K53#IiH`sO z-QyWG(b4GrkCVi~osQgKp1NMnAqy2eO1`$`mAg`toBn&Brt)m9bl5S9xQu2*@F2>N zeSq({s&y&S&H;kZu@SC1S@7UNL$fsTx!n9X4>-|#$i#)*xXKW_+8E@&YMIjplu7F# z7C{*JK+inh7QHb&u}U}iZYUmsPrH?_ZyxpRAPFt`^FaRhRJkR<)pWJV@%b?PWU}Fv zi5H+Zt6{NYWY-e~rxKlm=ha*kTh0bjym2S+9wfrF5GPk#e-=f4tPy84kmFe{zV)e4 zOh-ynqW8n=-$_bhqzQ^&4ah<#tB-<6Lkkv1)s}$A|M;juJy&Y}4#(5#?h2?xyuFV|vTL=KaJDctxpFowMC}k_MGoRd$$d6QiAm7TS6A zYQ0%_mK24FpUc%}4dkkUwLSU*=(}D3^z346ucvPo-n@7D??oB+10l}Ea)0vga0ldY zxPS8?meBUT_3!=A{v9&GrKh@c49P6dNz#62koxm!NHuaO_cjz|cozW7|GZhl#$oaX z$GP^vfA!yzktT%w@rV!V=TjBqNHk>k z+m+K@2lIvmSJ5bI%{-v_QB^oyt|4m`WK`&aurIi?oi2}lVu988Fdn6P7$h2OA^noy z1q-5;(s6Xj%szjfA%P*VYYNFolaQO(w=K|U!NMV#P3s@tIUP#%TUO)X>_U*v^I6~& z>YRAo8k>8HEJJ|9Xy@+jZJ7JNK@TyEe+ZO@>+=NwWPkFc;nf;mK-oSn@QYI}9TDsX5LGAf{Ou;AE%AsxB zm1#t#uC#8Q)%R~t8(JHIp|0brj6nZsEye4fEk(R$0dUnPM?r%?pTqvr z#p9h!2d>eNHy%C!I6eoW2Mp%XKOr-+#|hgGWvyG0xCdl45DyVekh=Vo@bvLxrl*sH z>@fBwnB5Z>G=%+MKz8zR(w8^~ARo^_Frkg!D>DI?+U^NT>2FYr=rw@StP!|TE;9J~ zmGzwqX+)g!kdsvF^#j@Ef>$9u08{=u2i)U?!N?^dAQyBShrq>@>->Fx*;VmL-RF-C z7)75&21;Xz+KRMa`j6I^Bb+uy@|}KJW&Cjag*4LoJC_Ro8OBFbrU(N{lzH5I)rSdY)&oO z7`PCzHb1{o=UC{a7YDhA=bSo1QCaCEfX=W5Mk2HX`o7a&*1feBytn@~qt7x>oG|t2 zqLyLe0|3e~SKhGj+_`?Co7`})2@Y1Os1xuMmN;2x8&T^ff+AnKoBJ6uEu^2J4W$z) zq^_THRrBg+|LC4clgN&)T#=8u*6}PYqJfY4CfOXVX{Y`jC@a4Lg{WUsb-P+l+b|%? zF6@A!Z5IS~dkk>Z#EJ!xnkWed`q?%7uNI)Z5eg)hj?4$005G>{(sp;fF5Ob9RrLUw zuWkf{7xQ}oXX4T>x>b%fht%s19rxyXCzWWFIoXX38q>uHi1^Ux{q}>KKq)#0aJS8+ zwhkwz;?_(`x5zQHqp&|Kn0zOrD3p$Bpa|pt!80XyS2U83xo2RLX`6KdjCes;JFfz_ zDSePl6FdQ>&~LCN^lF4DL1G07?GSeRqn_)*SM_` z4tawGM|#e$#&U0eQ%Y!oAZg+@+C$Jt9|R(aTLf?ZNOh4Vu4l=jmt~NqT0Bj?pyQeK zO0`aI<@&l&uv6n)^Ztftth?I(5Cl^J%3x8KA~xc3`D_+hr4d(?@FfUY&L*usBWkkoJ)u{2D6(bco({ z-`EIEAD)6Z??YZs-=C51elm=@(1HA{+wLzvdlH8d2Heph{fDlvL1*Ou^;tT%FF~P{ zQr8k5c4L(X^ui7YO9XCR@)MhIkAwz!9E#}>0~ERm-w zAh12x@MV6uYDqy!0|N^?74{k_^Js13o?#3T{(wOBoW6Ds_DNcgz^qy|-%*mI?CT9jPI6Sx6f$A6Mi4}DNzFF|YUtPg}(*}YRP*~+;I5WT0le)&OtS3jbyvu0g}|%Hn;m0zKp>b;fy*^d?f1h_ z@Ac?xW&>f-5Y>bO4m)f@K4zpV8=cAR0ceBvJ8986{wl}58Ih#{UVdYgq0wG0TG;@L+8tW*U3lHmBCoHW2Rg7tMGUHg=x_&P zIZ|KSuv{(@^_LY8zXs{kWeLhGg(^ANXX~o^LJ?T(evjZIEt$$y@u_Sgs|x;TjP>uY zNmWl*#RIc_%Zz4x^k%F@V2@Ig;v1zvI>YbWaxTfIY1LIXPTwx9rGGL`wPBz2fxT?| zX(UnrR4-PSE9Be`7vD^y@@bG_p|RcDx*69&fqUtzdVg`M`5|;0&?Oh*ocX82?TJZT zfh@UFSt2g+Pn#o$BMITRj&CmnKRX@=&b@+vL*mC~EmIy_p1_aHl~LJA^aX`YK$b&G zsl3tpbd^O*5Y3mVGayAT$OVuYjhLR7((k>rWt|!A32GiN0Y&qp$mG+IwkWYD!OBYW=p~x`%ZK!kV`k4S7`% zq*dD>>Kw~Is9W%cXRP#_r1_8%W}X)m@HzWi31_Ss$*D&1 zxYbRpe|ohBdBbvJw_O4!OP^CBZRKV9z=IeE4pBCCSej<(s8r}Z0?!mSjiJ&w>MUHG z>krzZsER>fzFpc$ixN7qh8t(Q!_VIl=eB*Kk|Se!IYIY>XI;HglQ1&aJUBVH+U$Vx z{KH!ore^~EC9Tu-lSzkI)QSWbovvLt?}-8p6Ryy|{k_IC2_uamF{^!_!4b%cAocZe z!6kJ~-2*&11aolu*DNpdjxelUFrGLw!hQjaNo9*-#7mcM5I-<=(a$6Ribgt0!igp@n?_vx0N@6#}rWjxhnhN39_l%ce)oyUAo zX$ONa(!5>Le=@&ZzufXD&>W4&Das`v8qOjC91qG z?G`izQ>Si1#{hG+btXttMaln3x&Fb-nT)?QI0Zc4yhu(TDvvsAF}L z&r2CAifNjXW}O{Uo zW8_=ao(#1ko-=WLl|bktl4`WVyWzd*a8XVd?rHX`5#S-`x}r#0_{^|%z5TpNijWwr zCIxZ>=Ig%JFy&XuwD6ZNxWAW{o;5EOZ~wTo1e`+_zmi=l*jv6R z$gNtBb>!f#jk0jnFbI^Rm&?Y`wb`L}KhK1Zx)>)w+TveKa<&8TKS8S45W&DRGf0 z8iAr2Q5a>opjDCwUoa7`Pm`|7y8O+xOQ7?x^WTxQApaGiX{q{!Z-zJES7ffIq=C)A zsqHqQ9FY{|!EYmVLaUa>&iqQ37SS{FbqYGeffJ^-r5+I7v4vEayh?+6YK(u;p-t#I zvNTa|qM2YTIF1b>j|`3`p3ZWz1{qLfz!XOh#?}-%1~@mZ zbPi;{A_}n*p>LrR>2X-7Z+|L2Xk{XW5mvsaA)8yFjA~wq=4`ftJ4ml<45EUs#IB4n zma%8*%?@Gjlz|Pc(#+GCRa-^63Gss2WL znG(c-UXbO7klu^|%SA3(FJ~e*%B}!jsrJ3){}eW0>-vC(ibbGIc_eJT56O$;=;X3Y~XKrUby% zFai*kX13k)RP`>wc)AvUlD4M4n0!p9-70Ejw5N}LtQ{=Kli(uLh;}Rq z;UyW26)-0mW)NZedl*GLWHNo{Tp@uj!3k|7Kavj&nWd{Tj{U|28JntoTguz4xgQTA z*6ygzSoRBF)k7%5%ZT~FvB|9erRQAJ3YxF>od9nah|ilCz3~}TTvULufrdu6rRUA!*UbsbH#HP&?CH zwR2+uK>|*Nw!RS{fvt3*cnDnbe}o!zuY`18f^)LNBl+G@qOqS|L>tQB@J@;KITM)k z$)Lqv3cOZ!eyweGoL>6@iiYgd88z`yF%vT_T>va8ARxX7m03U|j#_wV*xzDOXKw8c zZ)Y+wd4SCg5OdFxSckRRgF}5-R#1d>O5@9NFn|e#nob}<%38D9BW)6J;PYUrHSn$| zxAqBgHWf`QV+JGi1BXYu`<(QXrYSPB~S!%vArA{m1v7uEGo6g{cXI zv0zVvpw+|=rV-bVvHtt#gwYTW{J^%m3y#qH#94X$tRE@{X(G>Uf>p5+=VRJ&F(p1c ze)k7_3o*@~ou|y5i2lF!t~?yd^?x&sQ_{)Sm?$+SBU?nfiXjS>wT$dUA&splWtp;s z#IZ)jlzkax-^+SLwxcYE5h~OO*^UY=kwh6 z{d{f{+rQ5Mq(5orSrY>iW=X(3ao_X3{ zlXNRmZ}ASlWwR=&J}x|!^E7c0||^J9I=B)cH6Eu8tx~%mQd92`=Ox~N2NU@B17#> z**l&Gp)V3dF&&Y{99LoUTS4JGBeJz(2x=~w%rWOVz75QAOp@l-9F9hgoK1CN0e3<9 z(+98tD(FUO7E6=iwUq#=ihcSsM#R6Stbhur`p~D5R8tr{zP-j%lg6HUK%pUb(n8Wj z=uZ+~7?(jHJwNt47EUhY+>U<=rRCmbgB6WZjQ-WaW8%-G-=Z&IikRYa^Z7+TKJ340 zz~66wXQYHa6Dpq%>u4GVOrfoVO4_>qT9i~G=64YSKFi;tOZgi#2~R+~7Jx*GANUhm z?(TceC>f6PN|}LbP+P~E4Zf%nX5nQ{TI5To!R3A)VZv}AIE<_H?X#@+b%9WUO%oH<^leadftIA$iHw4z%3)k zo4*0O;a}FQeh`||pQzf?zjw_Ndtn_=sh#I4`Rj*m6){lxF1c*FWq%){u)tN431H}Z z0JyL00W_u*oJz}9a35%!g;ISBGpT-cg#h+#@%)L95}}(XLjz z-{ywPWOJET&A#zNnVGKNv>HH%sBfbo4swanfB@iv{5qN5i_;0Ug)QKYHx6DH7m!@z z4&Z{*g`a@NWTKf9erFQE*WTF~J@-XAujv(7FTXn+x(TGQ)cy7DI9}VGaHk=UF$#~r z-zoVS?xwj)yE2{Kx8`fXq5hA;2G*{Hn06RP(L)*1M@)tHAN32(2lDV3o#|(YL^+k-4p6rk&b(>TL7tk5J;Z1Q|@%-*^wJW{xQCe~!8o zJUEVuaUg`ytOA&US%}z4FKaIz;I)OFbsx}1=z{K3qZi;=G`d#_0kUnMrvlkW7CL ze#^GIFj%id)vQuh#yAY0YwBH>pbdMdCh=-mv0B%87UhWx@)R`&Vr<_1wBLi=$v-!g zA+X=zQ-2P%)_DuyC3oG&j3CSJEwZ@-zAJ6QSKjBqF1*L*%v-Awvkvgerae$3bcoS~ z=S^D)>K&Hysd~_^h&h20s@T}EqT@JN;MN4=rEmU;3iVO}OLi9*N79+EU+QGN22nZq zdU5ml2j?yCDxf-~Vg&N;Ol`$awOk9P~`~kK#?(QnV62`){3xj&Jq*2 z(4t^c`byCml#H_ymkteGKkr+|TAzZRn9K%ra ziIEft16R|AKJenaMbKO=tJ@j6Uane-;K$5=%7p4?WOo3+ih)*3DHwR?0D~D9UI_&Z z2Rvrp4k|9p=ufDqdE-;N>!!AYL{jM^U%iL#R^;+oJl6QygAL}^0U=@L*mxygv*h`!{J|AHlMp$u- zv)bM_VTa0tRnqsaYGOi}I3}1(>$7Bfmga0B6}CC44Tkr>a&ZX+Bd*R^I$ZvwUvG~K z5K<0u6A}5P)*X_hWSJcC;wyE2RfKiCINr3a5GQ7n7^eftT>KVTCy+=0y)-`kX(Gp= z)-Ogb)&gp^#IKDt?~e9qK~9Z0O>@Dn)Cu(Nx2?j==!z3^rj(5l*||AJHv{&r7e5li zSq*_0rXneUuS?ji+ftaxaKe{CQChyDE=}Gv99*%0nCSsyc7S~y_q6vS;(FF9%{v8X zyBe;#C3G40IWScD(P!nA!jVOBi7bl_NXua3DYJqRY76TB%IpxJt>PT0s^ zdrg`8`4RmpBtam&F$EH!LW*5>qv*Tx@LR(7dxAQV7vU~kMv+A=vF-HRwCo|4RSEwD)Z{e ztV)9NJHmSYqRirfxtqDXWt%M)EQk!qpSHYI>qqkX#Rhhj9D7b02)3?H)G&0HY-eYj;hAB0jWZJO}NU@lQiYE?}ueVpJ`dQmboQO7c zJLL{Ia%sZC`?Httl*1mtaVTRD)l1%l^MqW5NlO|d8JJOSuxxnu0B85^kskE0rT9Mwnn65AeN9jdboKe5%LjJT@w58rgh{>On4 z&S>^h%rj_LG}?;Nfe=Dv)<{m>wNIf=QjGk8$3ii{6DgXVoO18sJKN#`6!-q(kSLS; zyVud=;XWkzZ|?>@7!V_?)x)P~+B@yEEF%!>$Onv(#pCdDZt{h9x%@zEf+je~B7;rOPjVBa}mk9}uUscP2$ zUQFQt_(v|$iT1m`y{7gmJ~L%tYi=1(T4u$d=XRT}&UCu}qFi{bnMIw^IY!hRS2PQD z#>y;>GXs5h+^G&J3~_){RDw``Kx#6eP|(+T^C~X(1gP$QuOpBd0wV-h@!P8v7F`J`ESpp)s$XZnxR%IC0gW{v>iEY)`S21$pPKiO! z$ zfu)~vY;qhUFmP)^o;}jk^Dj!f*cdE%2pAqRdmvYIFSufEGc)a+L;8u^PL1Wr?bB=P=|?GC3&NT!F5Z7}p@4_N*IG3L6UK!CqcK?w2`Qub z#Lj~uwvGfXNw@U)p1%BcR?l27Wc3wN(Z_53l1UO@j(u5+&dWm+;{OP#n!-lf$54Cm zHNukF)j@kR39*k(sM0r~=jD3tEfLJNV?GzkEJf~(15Lx5onae`S8%=V01Wk59{ZE| zsb{#30p270n8te@<_hom9(g`y{)h9b(L|S0`krs6*isII)^tBu!(GU|f4Shoc z4PjD>e*t4&(hK|8HZDFxY2+y6$Hjq5N(Z_Owh-KEj}Yd7%X`P~^d6ENDl8^1?sFrp z6j3Bei_Q+nHeB4z)PjZHNsLlMpY3^5hU%9kReT~R6H>Hsrfci$JBc!(H!t71{x!K2 zE;nJ(8W9SV(*8MQso@3mo^YTdbZ<1)`g>&5*@LN#+HQ|j2VG;g6~a&;-?@Y4q)6Hy z3LBA*uD(&#cJ`O(prefu-@Nd7))i8Jn}gh$r;!v63G=0|xnX7!4VB^ao!E80X6LFi z%wbrl*!9i8i+y6b9S~m9*v7?@4~R(1i5&At1HTKDcy{`peDXa5hgl?y3~J6PObg!F zK@P9=A+B01Q$tV$AcZY>y;PB(OQ|6qf@MI7$)HyOaL&3$2gBeB& zh*5Ms+@tdIWAYjnuu0q~EX4y%s|KqvWh1pbp$Y*0)aZN*2`9!{% zV8PL!_Y1F=JVIK2lg-f5Sk~OG3C%_iZ}yPB-|^CY3yQ*MUB{nHg-GzDF9;Yr5;QX? zhsTg6{Kr9C!w15Es^AR$<<0r1xl=09ZMoL+HyGlE0ksZ^<;_OWtT7s;TlRC23_*c# z9W9?fJYYpGZ)QMq(rjaz>91dp7^VzkBY#QvqUQ2u18DyL?E3$8_b(3#G3>v)yXU<< X2Yg)cy+U4W@J~ZcOEp`?;@bZKXDL3| literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_5.PNG b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/lec6_5.PNG new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..db00730baa1901a1e6d695c2f75911d072896efc GIT binary patch literal 40198 zcmeFZWmHw)7c~q>DN=$UeL+$QC8aOjARrn|Z-GU(gV4{Qn znXyGTMM8og$%u=*a7Esk!$^KHKGn9Q?mUIg+#GO34{4tM#!9LcI%m2=Kk-1A;Ny>v z*dBXx;vdl@o{M}q3OkzbRUxXWKx;Xq6fk^c(z`P-Yj(43laeqqz&qI7IP0RwZ z77ZB{4~q2fuV2vgL=3YCR1{2zFVeri^w2P&b@>0+r=V>d$S8P&c`}&)u0z}bdKk-6pfEYaBx8y4VAu7GO@DO zD3oeXPhUQIO066f9i8nAb2OW-%6HrxkwC|#qzypFj&VQU8s_ZP-~aHpI};&DN2fK7 zNyha1g~hB{C9UhW%9SACR$*v4L+|G1M*oYE-7oOdHPsEgM5NKvv=z7b_OMrlLxoXi zSW1Q2D7{9radpw_RuM&h*bB3%3N#VvGq%UPe;Pta4#?U!TlOlST!}vMI^+oKuc)%S z>%#jad_#Ob*_s-`>#*LntJ9c0LUz;+f)Ytx=Cu9N zZMS~iX#Ud8I{+73pejcU?i+JCtXxqQ9A`Z_9Yu54QkVD2IRPTcUmgxOOAaN0kNQPc z(tPe%LHQd4nHnGl5=$xF!ab0&A=g)XH(jA5qek(Ymbw*d20nV_ljxM$A9*r9zcJIx zgqx2tTZO4v2JX#Ky$z+{fBCZLmECiUle$0*5c0nZz#|qYl8PB0jyU8JrMHh!eIbmT zX{Kh6^NZAy2+8#8!*ZVkkp*nhpffBh*7qlJ6+wszUl z{I<#I=WR~LeI3UnR*&k@hN-yNSOa(fvra>YO@HuSd6U$?SL`8xATcQg!7#=1+6vSP z4d*V7mu>2Fh{a7O<~)cU&srK5+ncwp;TAI2Ja1m=i}>x#MlwBCFS!SE`0D>pYj^>2 zFYA#zc?k3qDreBE2FLvTtF8))F1gietzgO>WixC_;3OOuzQhhIXLt-5heLea0qu-#qqCYpb7bpJjC zDL;=8PK_smGEMl1p8?Ku#dB#ijP}4f$@?0{S4?;Q+JU9E)PsfHA%Kt&&+{3sF8-fn zNk2eAg~ZnWlt%sfNbe#jWWaFOhRLegW^oBVpCXo|V+Q+RlZIEz^7N_ly?gg&rT$%q ziwmA?x$0)d8>%T8L0XO2jk7@KN7KMN*`~HU%`6#{^4l)SMWCXbKXdy(nvuAg1C!k zq(3Hd(J}FMqhez4eB)b*Fy}TMB5(9{ zGQk@X>VGUuF;D$xfuTkKP#%5${uEQ(7n-X`k*(bRJ}NnxIXH*uWp}n_HR_Cs*sZ(8 zUu=;BTiDJu!pEJmSx8+4PG_;~H;sH^(6ETeO~0#6Ul;u^=wt~PuYx~UJ$x08gn~~! zRHVVNIbB?sHCbQ;4~Qv38e4Nfj#c-E|<|8RjR8~i#jhEpSro%MmVxD%c;E{gg|LPq)-x#?L98B>N=wPZ~ z*6Rgtl~P^7QL3!>Rv%VN?-}@{MO^twX5M~rBo%-|>{@s4f^4-1jc%H%<72v-DLw7w zZlkjO#MF8Z29>8Ne?gtGM*2ayB7o?4h{eU!yG~%0FoV4@HxP*4{h?8P3zacO3QT*QcsSh%EF*@w zsOPN@QG3Ug6YnjjD!w_YP|@Y*=i9rU?w)9WVST(V_UF6&Hi#ie!PgejxAC5Q5%;e$ zcgm}>oDy|5GM4qbO<83urlk)XCF$??neJ|yE!u@q z%^XNEAwjQ{dO)T@Y`Ia$x?4H(l!r(C`$sai?Ma&mC+pC>aoj;J?z^1D!9M%=P2f8CY31SG7)>KF%Htd7Ao7q8r)0$T1 zUte8x?~8>+Bgn+W?i~Bd+h{}Bw3GAeQl%5*Mf_m-vhw3v3>J?p_QH~+#H z835Rl5EO!rc5rxTlyX~qZ7|6uuxGB$E_$bLmdWEl0q+f8g2kfpsN(~hiK_f6i^-RK zE}P60{ElUx&CINV(8+OyFY^R0N;`2l+g0d^gEl7OGG}!3GD}%BIpd|Myu=3{ zxHl9V*}?xuL-rp-k?yrlrbc!8`QpSU8JG(@CmL%sy1?R^ngsYo;|54F6-q`%N9pE{ zC}cRUxT_|^LiQO)39XP_3;k6a8 z`TKehArLpqhYhM*&+glP@grJ5!^~FRXbBg(_#|-I^|``j?-~c@9$L6++j;JNa;iJI znH5Z|>*_b_v(T*4>h0yiSo&Aj#tQ`aX6HK0#Ex?R{*N;KfMm}eGvlCzaSRF-cGqEu z7_rax9AB|M?{1xeRcl0z)ik-IkkDUE9D0dKKD$Qa-J>9b4^2lw0W>mNSjX)htaS-=}i>Zo2sHB8|$c)b>-)fA!Mu2O$W{{%zTOJj@Ti=y=4h zJtG}=e(blMbAGb*d#9zrem3Og89+E!B0L>qk-GW7XVWNtMz4blX1~7luY$jM?TbWv zQu>rmJY5zA1YlI_Kb zR*X05;0Dg6EOcTJQZ$$p)))^jniSTWCCj7i8Uz}`@8LL`y&d?HceAaYZhRH$Fn7VIhjC7|CGaUWD z+FWjaQo1d@BQ^?8V2u1XcKAQ90AWNCdr!`mo8rD@gK}4}9_xvA+Y+0|+!|SOotIRzkH}852^jv_lKfwkW*{LUIXME)fGllh z*3j0`d@-Z6e&@V$)8fF#WuD2*EdSbBpW@#ge4$^TRCYjl8BtI$T_Hp1BDX+h#&t*M zlII-{8R|e(UJ~`(5juKCk)s~C-p^H8jZ6OQc~n$Eyc1u|zrq%C=lQLB*~DR%5Aj(2 ztY&JuH^l}K^@@`4E$U-o&?wkn9Zz-(Uwg-okG7WblIXBCDO2&69AxxKJ=IP~P%r~J2fP_TFCtTYnPHVeN| zML`KgVb~(hCg?<(uBorX97MW)DhW`ZpF7H*nsodv?3rrd8qHGjb4f@jiYDA{QpZIW zps)An&BGzm@R1K0?FT~eox_7Zj=^AbTIPSrLWbff8vb!xnhEchcDnb~MU<(r6czso z!&IY-jr0iHqeoGj9656C?hQvuX7h(_TsNc;&A)6pz^o-Quvhycu!9& z+z!_w;tF+}-4B+r2D^tcasxRRZ<|p+P*}}ny3IE@VP^G|udWEX6?Es*3C@M{#-K53MD8qZS`NF^25Y`)#O^9>@j~{;eMPLu_g^qJ=$AP znsJ)l+pK2&#R@w7-LQJ((q5+q2xXvgkQ0>08g!ImY_+v{QC1cg74} zo<9#qjfV+S6~$!lW5S0*?9o6MxjMkV7t!Jce=89E?c2A5FBnwazm}9Zl=Zu+W&Z4u z-{NgNU(~@U4r*UteAAJvV1bLS_K`ZfpAjA#cQ=)U4?~-7t^@n<@7Y`3``Z~l1MvC9 zZUsch;=>`(P1mpQw#v!Mei)n{Y8nr|bK|!6WQJBQ$+-Lex|MP+~{I%7(qklw%L-gMmP`ju1VE)m*-4hf*bIPn{xa)Tg z9vfbs-A7vJ2{ckpQ;3q#{--Ld(eKfj zte`ozZrFS|)#O&muo;Q@Z~Ixn64#MPL42V|C_p2KW01#FskNR%3M-f`nZ7h%9u)4S zaG7OlblEGJm3emO@6L!mLhvqX1;6NrzEEwfjY|liym5(K7Cmoo6J+P*F|JU`#j`{w zCzJDT<$ca_KkkUgmHPXYkmq)wh5MjY&VYjXLIuj7?Xo?gR#8!DwAQBqO4z(?YW|x* zGlj0E^FulouJHkxWeKUX538Zgf2*Lc;>PSPuGfJ`VY=zYJ({6VS`LbL8eiw0?t20S4BmC zOh~#y2Kvz+o08yp-B`YACjk%y)_PcKXX*KPX|VpT+FK>?2A(Hbp@`+~dX<~zop_h* zL`jD0v)ViN;mGpup(Kx8uCA=Rxj)q zq_l7Chk2!|c;mRQw#Ew?+7I8~OLF+5Lo7=9DwkcRmw^~*BK}cs5UB0d@5F9Cwh@6r zt=Rx{CQ$s=SBe%=Wbl@+R_P@WJLC6^2vpFYAxgveL7aZo7L(oC@j9#=#(hV$779t+ zv9M*4;fX?-fRs*^b-S`pJ!zJ#d}RTb5h^)v<< zWo2dQ%3L8VV%8{hY%=N6)X>oTDwc|2h;6|;ML9wahHD}DzPdjYxOI8yIa6hNb#ZL` zX-1*K3+~*g*sJ|n65DJj-H+2^LSD1Vlp6H3(JLz}LCZsz3obVS2g@OB?*uT1{dufs zUkN?A5<$l%f1r$Gi2gf<{a)PzJCR)|qk(s(24P_6JhA!&bhN%yL9LewICFe`#X>_C zR{j%DHfTM~%*?nkH-|C;jy6Z7&=WECKzNA1fB@Btj%UuZ(DP!`ggPznxelQGkEwi) z{IDhKGX7E6GX!$-tcGH~Re&-~X*Ii7hdy{J+H!O4q0!=5Z)jpNgW*z)zhAo{R;!4f zM{wu_n^ptj94GH)RFn(TFXmZ^QB}loQc0%zbL%<+aO*}nMLz>&Xh3){ z0YlHPrFNs;+4`E#ZbrTN)s%=%>}Xi37ZhQ03ke!J%miMCxRgBG{>1877TtH@+jEWa zp4U@8me7|=0YC76-xV3P=RSxR``{nQeqBUE#_Avqp0rO0(L1d5;ZrOX6ojN2%r!Vw z81)iu&Nny0(sjoj(0`ugC?rV-p1@WEsX9MVI~@Ak^#lwo&8%2%Pu!g$mNbzGk3rf= z?>qRrD2(@mLTm0Te~_xd4?;zzSlaqV{5l2@3pA&!JVB3>E+yeBTAQZ*_lCyClA_91 z>*oYY0wR>&8^|0V)HR0=S7wwX16jPUj(HS5jx?p`w%`6E{{)#J5~SrKMsN$wQ8ygi z<%MI_V=t;52@8^z^EEOO4rBSYD;fV3Vi%#}k7w;v1M&RV7wSNHwl54g*wVU{$uOoL zlID4ke@l!QgAQNuPZJJJ1{m3Kjt$-atfjX(l6^3){yG?^k*q+1>Z|bi3c+w>9*xoP zaK3fZKKl93)%Yp=CjUq_V$T>)3M)whG7e+QCsB*!e<_F_Vg`ea7o>u0MZ;-6#;DQg zY$Y9-GcH6w-DJ@d!$hsXFw`3n7x$?B{gvu~fPrZ&+_Wyeef5ji1iglv+xfvx<)EB1 zW`ICE>)$r2BLE190@_AB528^tIiBi&MICM-&CqpZ#kYFDDxv8YgJ|myItaoO@EgM_ zuEbDyCtO}Hv{1EdA2(Yk8NcVD?Vr9vLJS_y^M`|hQ!DKd{zK5qZti^fB3MrzTOK&fX5Au z>u{&7F&SMSSS))$M1?uO=Pld?q;L1dEktxZu094?yk9%${M)k((}3d2qW-~?X7OP< z#Sp0Yu+5>m#2j@lRw0SvUs~9t4UU^MHci(B8_a7hBI4a`VgcB-bEo65+!-gkwBzQI z(XcZPlm3zLe+2!x40t@*uXYbmmI!}c)y(&Ln!b*Z*5%Y2f~@rOypDeuez|aW4fI2$ ztQ)pr7gNor>O!?X*4C*_#}oWDyoo1)!+uCr0p7~Wk*)2o0{`xYH|o8sB7^%VnBsN5 zir?eo;+z+?JlQI?M~-NU3vz~Abokv4KTfWkv|jhiXPp(B!anXTqu}eT`{OR0(oNPI z9M|1kpJHj$I;YUSRH|}_0ID2ae-ckTr65kc_Z7T5gGCG7$-g7Y&B^U=N9$(_x^)WGG!I!0-m>dS4V0L1-=!@)};|#+~i-^!0?eFWW zdT4t8K2hSJ2Q3eqdPQZ06?RWp3P0UKAD4=04UFl>L${nbI(~+k0pW_yqsA$Ni`0!@ zoef?#`??;@TuL6NFu@@=U11AK$9!jLF1YS!N!)XVdjte9C42h{+5|Wq9haJls%n;@K}fiYdv{oSuYP45!J6@*w#*F^eUZQD(mQJx&@ z&++8h?v0P3(InokoqzqlN~}dFbX#beS>bgx)64G@cQxv4Gnx)}Jx22M#bioTtS8og zT=ThyqC>tJ`(TsK*|AcbZjCs*4Il3|w>F)X90~^Ve?N7towFKMuhm)D4o81L+C=+l za!W=g(=P;_nM=V}CD)l^7@qDO;65@GQwrL{6SaUPNo=y9fnJr~G0e@UsE=FJ-=F?Q zp%##lEu>9SkPoQS3C5DsM<$>%GZJFP_$+<#e7fAAGp_*IZgnE@!**%oOTL858`waj zcp%$Ep!MluF}xn*Fluj(SGL96>Mah+;=oUjrWy6x?Pbc7IrsRIR)blgi><~v3RU}N z{@NLJ;l|V5>XoN0X>&rmYPA$qF;C%*ax-Ym;|kGLD~8xF%%wp!$u=9!q1UrwRY>CG z+Di(Wkmj^GEmTKuk;IU+dl>?nSvMcDT8|GTLAM=A7B| zJWdUsbeB@#hc^~wkE5uQwbzi~(p&0-DU+KxkKOBBPYYwNNqwiefLf1FIJ8$ExV=U> zXU}!qcdMI@X6+i%_?5byTGnmhFODu-I?*rYvomlmKBw~X)^kI2EiSr1`#YGba#$$r zj?F0zlmxD7S}v=8nM31#tLMx9(K+MANu9?3QdxB402zbUDBY8&+$ zRpixA1xelcE_~2OJ$&MQ>019YjDH8!FXKXO!ln*1Hmrk!r^!_|3oXgy64%CF(%$eC zmz8dYz?tD9&Q9}O-1-dmG0sat@%Y%()~jQImJpkkxoe{o)o^SlUav#-;nPHht6^g; z(yXkUoP;&q>TKoDk~Kux3Hh6&nuNt_X4d{O-|3}?VWfR^knBvea;o3pdwi2v8E8Af^=*)Uj?kH?H3*D74Hyl{Mk^#~HgO20}%={^=as&+i{` z-LO@RKJ22Pd5wQVBcmHsV_&rGjGZkl8jR)5DLQ=jCTUGMKp$HrN`8S5c9Z4hnfOUB zE1Sfv4~?;3J|dIr5owdDLJ0Sl(J!P&uYM1Y!8j5?Pv|z36^zB&n%oXoN*Z^g&JWiy zyoBy}4e{^R{gjv54crma$>t!*z%Wh{!lCjyD$mDulSK%aGOSl4VKnk9|)phOTZUqz?Dbj%!QHG!vXMo2^R7E%NFWhm3Mt69;C742<8H3e zG*w{~;#GP$w2`UM%ZbZJZXZpruv3T=Pu_F+wjeo~7#Ve0$(J>scqrbXSvFzD^8uc$&_}A^#j$3!oB+5>2NDJ+L&Ca zi@kkR3RX6d6GuKv;ckvs29jiDBozw|4=?)f!tBa{tD4`N+ZPQjzZB?yu2)5oWKGv zk$Kmj*a^?<`t?F;`PIB*I%IyNGfpt=P9W1s_@df$G z@#MpmftyCTioU)TI^trPktL(!&euBV5z)Z|&u?=}-l2gNSp(Ul50*e+h3>Uw( ztRxKAmJGkvjbqg@HaD|}IUTz6b9xoO8`gZ5LXfB0i8IpZ!bZYw7zB(GyvFDs^L~u$ zu>sOX4_J|DgXYS8zdLtKU%&5;X6TK7?QJIMk;pJpYg3Cm+@er9+aBWFHcn5@m)n(K zl4@ol?5HEaeDVDBYX}>V$p&Agjr8pJ2Mf~UDT|#x$-|AGzAH&3+N(LcFF_9-!;lmV zoG1e?;#4$~Gbu+b`27@+vq9_Ty+Z3l9ogOW#*e3dSkIIe9_qlv57$@>+kCI>`-Y{u zkqBa{o*?_9pJ%i1LHyAvN}Ep_`q&jvs?GEur-3$4M^76 zblvViGJseDe9-^QppPobmJa&{Qi=ui%Q19vai3~dk`y??1mJB2mCD<-In$0m%i3`& z_j=u-cf72dl|*g@02O&`>_M|pfd7Y;Hgp1d-=S%GuTq7H9xUjr+p%A@RCxPpjh0Ph z8iPXA{!jX@uM#0UMO*Hy3mA&0w%fYL2Q{QR|RKW&!VGn65Qo253eWGM+)w*Y7|_d^rk;$fEh3K4Gd>|HDtg?JN` z;!4p`rG8D4vr(N4^iIKAnR8hXUcA>so>yHndNbH6%KEa5e!+Wi=%L2JkEpa;f>iK$wndAgJ*VNYWiXnH1|8oQP8R`< z=_+fh3+sjRxiJPPTv zp2WyFgbnlUb10SX(HC)_S0`9`GKmRJGldePhs8!CfudeW<7rr|X8~5um3>w4$$?G+ zhD+wk^*-*(Y7_E}fMs}pgU9o6hlbM<^6QD%+1wQq7v|FY1kVj>pUKrK0#efuzIQx? zvxbnPS}!Z0y6&6zNB0W+fYLENTsP}B>-HF45WrZZQ>$2zG##;GBQ-5Uit&j)&hJPn z-*TE9LGNFP1Dgen>`nj@%2TFv-1mHw0TZb8i5bs{U+`bRJ@Cew#yC@gs~=WgYkTyM zJLCC%%h{YAV^TGW%BLGfMrUWQnexqA5i41n5!^uE7U3QvDtGiYDJ{MDNpw2z(x^*y zHM|yKFbwq4>(gA1?*ldn|8wq(*_vY_`ts`RJk{qC+zRB;e8GPCHOZ2vA`B zRXkVEqI!4UQWp7}SJpZkpS|>Au^CR!1DZd(>ktI)(8~h1gjN`Kt0ZuHHBh8F?asPY zxb?0DBwEJ0=+jN9^wR~yk(y|p6WX2+d5 zkBly?b;K~*6Rqb)eaOY;x0UEA{ZPJv6#wO~-8l_vHVteJrMEcITYDnaO&!M%C=S%6 zUXG-B@yzQnq-i(1e?%xl#=ukq)CsNtoTBoS>FU<-6FdFeAAPZCk9JtQY)f}98oVx> z-_xsOq^XUL2jAsM@Rl4k=_?aMwRql(=UgOiLQ^vezJAjfRb^y^j zM$vdmBKg(b8){o@Ivj{qHpW3uVWWEy!hJ|;e`z<8E)wvZPG5>|BqR2C-8DK+=+ZoQ zokgp*i-sV`R5cllxw>dLdQX55V}<>}`BhF%mVJB&ngi*px>I-h)2Zf$O8D;2iFX%j zqhr&}Fn;H*9<@TtvVwm2D?}}_1@?%ys%ceV320Cqt-}n$0Kva77k{^Y>o)Dri?&>` zQXC5RhFq&($H=eNlZJ4*E*vg4bEh;ZDb{#69CE!NI!&&@%(_*tsw&|?fj69~fz{AU z+={jpc!IG^dK+F)&bm9k+I?Edw`Fo=x7S?NKR8(VC5QXl$hIufa>+d)X5g`cRj}=j zW(7$c>WlNy<0tmy%#yPDr<_M$itvX56|G!u0uO!Iiu-LFmvoPoR0Hl^4JSr@4igv= zBD6Rx(&m8Ic&oO!kDF^WSSA!{*2~6~zS2+1H8M2(0Rvli;d+ilVO=>ga*ECFNJXq2 zQ`1_)<|eNJN4L<@*N?=0HG?^w;#**Z0G$QL}EXCQvc%EkTPzecmslk%~3$|XU zCRh?JP-n`W1evgZPbsJfoxX4ABqSWn9VJQ*plI&xM z4Z^Xeu(LB=LQa|twBE#XW_vn^N!F}i>gVOI(b~@>!J676u zxss?{S9LoAot}^9+xL%2mcA9;p+nhePDdp=jm}gXKAE`vk!OR^t$JdIn`C-td<|Ah ztRd(fu$kI;kKOaY4NnN)CLLlb@qY(Rk*{}UY5R|s(7R#39&V+oFy3Md;9y#721!U z3F`WYR>#~Addogn5GNI|ikN7|s$VM)@Si3};Na?vH`xoIV0NT}Sl-c5l?5Xo5yByx zsp^2^>FRC6se{#;(Q0nuM?X{{<9$IYPV${FAoj@2I9p{aY;&)Pl(eLTx1WCD44PVc z;f;DE^4cPgQ`+uIx$1idI(?4Y%N9wTR5g*N3YfRA=y=+-Ir9 zBTek9coR*QfAj1bUHf0~^jPK$;F%cJ3lrsUTk=0rMwss2rUn?GC+fZfR$_ z1r-{vpAI>nFh?>imZY3Wb#t_1TPSoJkMerAmsT^97+(_CuN+FF} zSSKweShTpLohb0uJ*>xK?>lUI!Jn0gEr0w)H;JE)fkDRHJaMd8Rcb3~@dZO>k->ba zR^vtMALdv{zD?9B-@h?L<>_m#tL{G?)nHb&}pvRTR<~ z8BuwhKof{CHe>_wImWvEuen;3CY|d^TH@kQSnWb&y~8>MCX#5>r$HH=p(TI(G=-C5 zEO8YTm6fiC;Sn=7t!jwjO1Z<2m_Fe&fb4vz_uePa@m0vO{?*H|k*!i=UkG+jco(sA z3|a_(e$LkNB`{}I>+$l4Gu$+~GWM~0x4N;kIqYUE-vEO@Gihe`WF29A$qNNRWih3;EHK%SXw>HyMdxa66AW$k*nJ5*IFrbqY6E5|2$w z=!5-_#o3#)_0gsV8f0XAxj{k#1amLEr3#7i+jYEnK;4uf(vsvU6g@@ z`N9eFO+1&*9+`FwvFDlf zKr;NnfU_L<%}u4g7Z}l(kLmk6RY)x8Wzck+wxv^a;R;q|YrAjKpUCpL^+q>GKH(9+^A4j+jSDtT6}@QSiQt=Gdi5vMh1otg*E!rq9}&KV8nbvT zPHl+tLFMBQT6;qA#|382yR#a*EpS$TO`>S)xa@DhTFA%*oPa8C2Y)XR=39~Up}U8L zBAuX)8}4U*GtQgeG=5uD?=1R_oFM&2y|laoBQ|Y;x>D6)2&dVII65{dWIfrd1`JX= zxm!nyES~J2`?N-om9#3`_cbwCrvS5EL$e`txlv(3-EeqKmsrO!W7e({HUfMRx7Lfg z$`M5Me-^Vp(pI`JI?eQ5xq!&K98Z@gibIUfUf$%_o5BL1-~oyY}Wkt zwVfgQkKC_+tutSl)BXHT8qXG1f;2s-Yr12({YEfu4v135uMUKDnGC*%R!|tTTcJD8IZbvc_?%Z#EEP62l~VvEK^>4i?@~d!-|p3*TYjs(@t`oIvh}JLohg`c z{bD3>JkvT&x+SNP!Sz%V>!7P0S2mti2j`BnEbrTK09t`4t3F=$0vQSa__zFC;hQeB zGz(mxwOXpOutXQahEC}Ma2K3f;F}j8n5UHxe#5T4!Pd5cqmur%-vu-Zf;m7Gw<1pPOWBUuBOat73H)X%+Li^@{yH%?ztWY-~E0JI6z-R zU@{S(IEL{24I+8H$r7D|+`^JbAQw_?#Ox-$V)VZ!xUL^aL9ZluTz8j}Gfy;S-RrOe zoE-=f1U9LTd9G~nKUbgK&(mqFx$Cnfvk4}N3)7fBUZR(&jJ~n%0|+{56t6>#kmpPl z?t%>Os72y}?0a1?{Wj4<$?x=~-Gpe{cN=+2eZNB|m6*`J!e;zwe#W|4!hE8Lq$lec zFw=;a0hmF3Ola(Ma+9^&;KohGegay%l|q7o`KK1Ax=- zGl1!i&t&qwKc)b^z(tCu%VhQYgFM~f)QaH!VHrXU;B{yZ6gD$a&UI+Wy`+5){eiY| z>)weR6#X||;Qi8tQeA)bt{2EwI8J9vbJ@nliR@-0wEONS2VmMx!eiZJ2pfn3`aZjve!lt#Y|M@@ zM0wYill?oa%tqzJ1S(Z7ur+nZFsTaQihlU;!4TnUaoxYSxlo!0%pHv?tBVk@pE$^T z8B(22H1U65^xoVGwMK4`}kmJW$y$rgj3^d(b9J?@vm z$1DZU?0O{w@)6N|1l=2gh$k6vS&vD3U%N%^OjULsUc$JqL>wK9va+^vd}MKl>%~Ck zK%7xc{qOTnMn(N`G~sa~!{YZB*ji$MG^`5D68_HfP{o*-7(-*rR_XV1aHag$t=^Ep z3by}uC_O`SY{4lGuG?JGGQ7IL*6;q{93g!2!@%%NRY|(h8MZ-uFRl=piHV8;jJnk1 z-y{IZ@6){>VB#sC!q-3Wsl~AS9)Cc?B-+@(Ch&N0bL0wB10RcgD_$uZ(k3;YA+oV3 zE<0oHA72zC4)tis2Z&DxOBj1S>3+A`4}O)33}s4$tW@-tM1%`p(=w<0G}ug3AwvDi z0%bU|eT_Ww$72uqipGhFFjWAX0NyB}MKiNjjdqn=+@xF>38`z}r>82~P3rEayGDHZ z3~niCBVtH?5Wq)Kkt0?AE)*_GwfT4yf#L%iG~<>CKpcXdU!1xR*URRBcrKhQD(B(= zGnXSitSq2Rs1c^)O5aE3{o{c1b0rwca1%aTd|2=D!>hueGpvm8HGi&!PXw_4r~p}6 zeEq0Q8||J%x;>)cI{ak(Q*f6xp-FllNjP2tMYa^-g(-7VoLu}lWfB-z>?5nafJ#W| zCwph;c5{?1`QP*wz%s?|h@kH5m7;293&6m>qqXixk+9tZY!;CZTe0L?V_aJ>82M3R z@28_@RoIgULJ4mZ5)&sW8{Ek*D{FI{XC_M7eD<`wftG<`>Qwm!VFmCU;WL&2vqJs$ zo=fj~+Rfx;3e#OV9H2!of)!`uUEirZYb1($40iejuxDj0zuXCizPN3go`H+TVLT9H zHfr2;u-Z%KV3OnY3`igi;M5azy2|RI7yKj=M7!K*j>4G~e?iHU1PMq5YDGV$+MvKy zk-*_jC9wUG#q}Ykg_J%!%I8;mgFp8)UX>sP(>#9)$j%4ea$*$ahv~2it{<-3Fc;X} z?_@mIgs>+C+fK}0wWf!`Z{M0nB_`5?acy+8l8_8*%Z8}gObyG8Eg3DBR;zvhXmNXR z_!~SB%r;g^9z0 zkBfR~h(Q7M5k24(PZ>@`A&*dxsLzil7h-r8+~v4!=HF1Edj^D!+{ySNT|uJMsJpza}&VK;g_6fe#o_+C!%GqQZbgVB{f}Z!`4ae6+`Z^ z0|xp=A!Sv5;hh$QAx0C%a_*&whJ0bJPp8q+LFTHtXd%6Y(`G_@YrK?!Yh;ARyNcne z!eC^j+rF2jws-kk2=3*stJ@qn+!4Yiz>u5j{z0K8JsrxsjqiCajBO4$jM(T z10dQgDsjW;L>kMl4sqV#w@(TGRjYTvCCuiA!QgvXY*SNH!1b^T?qGJT8Ux9w#4UVm zfdPTTyXTz?H%dUacsWh|v{vZxW4V^IWx4ak_He^kl3@lmwi`%$6xvG;FVkU+uQjmg z9z-i?lKk|=7MMHPs|!7RUI2A=uIam3B_`otV}K8}SWdA|Rm%m;UtLun35^PAahZ>m zRa47lPMcV~|EGlA&q4XlW<~l1YtBYxkY6YAj_;G}7w#D7KQz*nJc)ntL z7{RUx4x{wm6}Y4}O-n?~w#(O+el={DMB-5JiC@-^UH5$9+e77S`@~^V(sc6$132qU zr|Rrf-%*YnpK@?zVz zY-&}KIZYDbqY$N=-8pZ#6?faH0iu9%qV&C`Bvl{y;A?^cjJPqavyLJ1pPuZuZE);T zE%X?R@|SHhx0B4&1bhEXG)(mC*s8Ey60M)9QcrufZ!(-i60329%pffMdLq$AQ$11W zA*rt^0p9787YPpb@;i4-RSQq&Z=k!)r$YSU?T-d|642vUgm2DYfMY$ez(x_iu{cnh45sPR zz}k}u`w;mW)e{xe+?DdqG(6Z*{*CL_y)NN8q1=mpEwZZ$5xk)F1|dQJ{2m@}J=d7vP18?vaQeam6MnqS09?784-XVLymTsPE}Vyu z8R_Md8Rgy0msAW$Ty z;j55mW@(gXSiqq4d_}L2=m~Mfk~}|}*`&ys3O-@loGdN18XyWiv=7@L9?~}l4k{+M z)m3$)+InICYRkDqYQUltarWkQa0IK2#L=mzlk*KaaqK%5zp#4@kaLJmOz7Pgrd=Oy z%?6Jb3%Fy?ekX+--o1N9ill=moVKCsg-TPOHK7&)2zJ6>5OQrmva={Qm|G1Y<1UJK zS@2@pSjS~(iBsTDR^sfRIGP#IV|CwU9xZphe0%%g3Rn1L-j&;v(RJ-eru0@hDxb^X zri-oZOh4(ec!b@vpJ(AwrO9CMj|DYs(Tk%^7AmhZzhv(VGyH`qEuVOwOS{k%y{Cke z%s)<%*2N%+h>hMfk5mU6{W5V)Y(y4_b^v0cJ&=Rn0{6+8!SrH8`1^5z!PjjiGLWXlE%!Rbbt`|# zSuad4CdC2b>q~M%g$j725VBX@cncO^suv_gDE;jE#nCG--$YI~S$P5JZJr?lpH#vq z<0mbtq;+P(1h8Dyso`qR!A|(b{a1Cik@*tjtKECyIB(M*T5f7{N49JT(EBtT+;O|A zR^QPkj}$PUeUDA1pm(a=Ws&^wDlt+R)t?T~duEw|0N+3qzTrhu4tZ;d@3k&dBW<5o zmTh#py^bn#K2xxZX&5ZB%{?y~O&Cxw)r55ihk5 zuA31^Vhc$o`Z7ec;x1*5$q*^=ZHk|7d_Fb$l`i7UK4!a`UF3MocMXre`PHaRbZ-W@ zd;u*)Vs@5*sGwF!5<=2Ik5?8vf)-bDy#QBv1D_Vo)9zQ76JRGjJQ0LHCngK_ah^2OB z$t)&|D^o55l#K`cpiKxXBAfzx{#iv&=}W4tPeADxaS8vhs3+4qg>}yyz363gh(8Rn zMob$d#-P1PhnvH~g?^yfC&y7U@C4c@h}k{;ypjx#AeUFi>YBI!?@WdFm3wJ)v5Gr5 zXA#Gc=BiEUzJbgincEs&Z>+gHz95vLncI33E^xti{w35pw>mL{5{dT3>S7b7xIbX= zwAyF~zEC<;N9kT@Jd`TcYcTE8rw5UTSZ8bHO{bdPRxL!Pql8{VLk1@aY0$)sb9C0# z)sL`prigN@B)3;{n{G?&F2?VhMm-qs!~)ynq^?8trp*1*$Mq6WMNBj2AnrQHRp^HjSkdu>jfV{Q1eYMAAee&DG zbsKxRCm82vKXF&$w5+2*2_!!|5DRcWB`B%bjDH~4hv@>0I!(#vjg_mH!rBmkbv9a$ zGu;eCko*q79Ic1v4K6B;Vmc6jM#@A2Zrw1($BQiZwx2drsvlIgI&2DoGYU~#i%xIEJRDc?4c{B9}Z1=U*z`I~4{ zT~feXZ<^MvRml!o$lW^d*Y=c-Z+*+}S}4B7AGq<6)PgDvu!ty&(nb+QzH?5uld1Kc zvQ@u{iua5m$wYoZ2y5RDIkE3}j5?6(HNR$;Qr%44<>4k% zx9!PNHZJolG(um~gz6n`yxZxUNjbR-^X6q;_tH>+`Fib?Q{ZOo<oc1f8Sf-PkpC2oXy~f5rP`+o;RKdAKEu3`BujELlP^94dbM?Rx1O zar_7p)J!Gljk3_i#%BpC>m%yVnYg6ZuTM2~yXU;INymUq@j~rc%E18H0E|Veri?=S zR(^M$r8gIL%5gn1P$6%BzOF-@jO|aHpY+{q&i!Ij#H<;I@UBUQp7n6|j^J!Z)|vKq zg3qjO=BAZ%(IEWcrmc~{YApW7xtjn*ABar1$pmjde9qi|}7= z>nV@t8eRB@cvS=5>#;KB+&b=NNJIP_#?dA6qfe{91mj7MVKbfH9*K#G%Z*HVd(~;( zG7PDD=3$x`$4$x14X9P<`(vs~`;PX4&7B^J(|$P$iIT)Ged{SKuUX9qYE3n&NG3Yc zeB!o&CaK7K?C7>SK4}OH!l*RE_Q>5P&p~?m_jGsT{dx(7bIiK7ACF|Z9i}_uO=3Lo zvfVP`OTF3bc}yoLI5*?}?im+_j+8~XCdKrlJZsjOX{lU~(_Q-s4HLJE#m$j*t_swu z`Ydnd#qmrBvt;|8Zs#(z(viDTe41EAtD!X#{6&L6o&x6pb?h&O7P^ycTC6O@GmFVr zi2VvMY438#sVTOV12Iqt8Jn;wr4|Rb@L}1?+S;_usH2w=k>CIt72>e+?%6hsT@QNm z$wD;C$kK9pb=&p&@yntzSVh1%xoDEES*JtwDEC%uGf`~4H#tE93g0X7ip}V!?nkGo zeW}F+XPcKKeA+I|Y!{8=(_>G(kM=t=agT>D0f;URhg37Z|NIR=jySNd-%u8+A->xvJ4x zeM|5@$l3VgH;LZy90iMR_Mc|}Gf6`ciu>Yc@Z%)*Go{Y%3a{{NaeL(AnYqL&S+SXd zCSD?bj>7~!Ea;>1c2D~V{snuDaaUhLWzP)Pn_6Pfleda&8?JOItCZ!o9g%EVU*iOp zxS4i{MwHjx0~l1;tDtY72BperblGO*TOPP@BHIzGzW%&MM63;d$zW@uUft`}1Wsiq zg-6k>`*y#5-&3hh&qHch#C*Q06w@Q-C}97dN{r}Hg#174y=Plf-S$096%nOa5KxNJ zL@6RwY7`NbDoBTbBE8*oDM>_BKxu-~t2CvB8ahG61f>TFz1Prt2?YKtdY^NCpWwNk z7xId0Unx6lueIi!V~#Oa4%~U59K~rBoC-H-J?7%KQcNS7enxjbXnL3a%u?k@U|Plj z?B2IlO(Xr^w-l%zQ#w`R;B0DeP499NighCY*#y_Eoq@V4h>G%@^1!m-&6__wrwRnY zt`em#THU8mXXc#5NZ6Zr++}msyp~JA%b_=x6BytC!Pwl?<8y_l9%4bo8R8vMk8K?Y zC{K_KPmFw4IjK0%V0)MzW2N;s_UvkSFS{n z0rJXGxS(?Q1wqH&f)5ur!m}9e1{^(_|CSnY+n|L;ETz^nwycAg!b$jqqJLtcZMJZ!F=mY)eK@+GS1|c=AZO>}F>as}FHRAvD}Y(~4g!WJIfz;&J-Takb4&el z<(&Ug%LZ`)IZ&-VpK%b?PptpSgg#qgVT| zw^i5-Jj_AcTZ7?_XINNSqz21<%UTnq29LQ8AZ_*|ICYJR(J_vt1l~*!;fwg}wu}L zfM)8&_hX_LQ#k_W6hB&c&Rw5F))U4M&l{pQlZ|6wc(3P?` zqJB)<5+s_U+Cvk0qdS`2X`$BW=QRx*%e6qqq1`VA-CTi63iBVO+BH<5h#iQAuGT|% zN8n!S#|+^qmcVsTpZq-Y^^rL&!I2IV7#`%0umj|55k=!9g^Z^s%qXljFP&mTxT z{L&%I{%liVu^^$a+;6LLvDzzq&gi!PJI;)sCFU<_e<|Sk{kJ@)CJ|~~3 zs#3*z{`s6#@6Pgoqe!p3E85;s zd)x5*sRa1F`#E^cBy|)3IvAb%b%99KQq9%h9OdovOCvIjeew z{n>6#24Oxxa5VhjE^&KlvNm)Fh;u0vdq1w1zO(;>q%t4RhJDkUz$~nzXYdRR64e`_LV5p^4X4MPg4`ps7{$e z{RwddM@j6?Jsc%#LWRkR*ao%lhse6C8YTpNuKRR>Z$Q|2bSD({r+Wg1oi{y(`ga=> zy#n1^3+`GUqu%N7s8Ndg-VJjhGa=?$8o95?;|!4y>QMAN@~ zYfq7%29fsz*nJFbIui6|3bq>pgV8(LA1Z-hV0}r(;y&1_9t^(PI({b{BrCtnuHN{M zDa*U7>472bIZ7@=&wP7Z8eEZ}Dro^6Osy)m^rIR!+XC4s@mu7ISB?A#@6 zuKDv%w+Eox*K~}G?2_!4uEXx4Tn9ysjg3Dp017}BV5*bdHuhtpqZbKtCM*nhF;5J@ zny?WQq5W5=P42$%tdrHb>qYc8|DCMAFWP`q>&Z4w_xisRki3X4leNEpUq~LazrzFO z!|!!|S(`_Ez4T7Rzl+{-v;hXx$6`Rw61|vwQAqS^bklqff4zaoXKOgw1|dp?k&-Om z50L}W@>A{8r)?Pp)B}Zms9BfJ7+-Q{`dwdL8^^sMn|A+AhTFp%rWQ#+xwCKiS1Krd2^pH0i zdijtzha4NSfKA|;FXkAZWZQt)C)B+0qesF(hW0_F6+tF;MHL^>Oq$uh)46lve6uN@BAqJ}zdom*%U1SQ|(+3Y>qUEWh0T(cB!Boa`hd zEPQ&n=q=vQuDjybFR~NitBZ((HTT1nju=sMId!k@A8DXheVc5E;b*1$C$fST_Y(Z3 z|Mo>-459opPd}e&fHjN>Q02*?Dj|4b@`YPXh%y$qC_SAow_nGbt~7%_vNb5{ylKSG zd%icIICWQYu2YLd_6Rcb*wV*=ni%J83upo~_rZ>HFDm(8lF^$Jb23|qnt6`B!+q|n ze)k&prCdieFcEvV5@lSuR!h1(pEEu@80|Q^hD5LB0CPNzatVYl2pH@3ZC&rwxGqI1 z9Hf6fMfl2$J&ZC6hD6a!lm*&Ft;zy&C3(XSJTdoe4QLab_u({tPCWareZ>!#5n~w- z6vODEwPbhNKnw>x!#k<4W!f$Q!-1X58()HBFDaL=>nZ$)3!pp-jmbw=w@2K@@MMhF zm1c1+fOMz?{z~YN-s%p$9r|T26j866X-;br1wh>)&nD>ExyKJn5RV^ckX7hV1nHD< z$&*+1?jH=N0~XRL$daohmj+dXLa6!lh8qRA3SKdt*PYrBRss+zzXsXA&pL*)p zluW5lF{5)W-GU-uf9c-7>T^Rrpsh+#*ll#_y5whN{p07)=nhSEqy^mAQa*{U){M9_ zHu#QrdI8yhO6d-Q!P|rXhk;t%g`g`2f#AluR>2CRAz#uDsH9J^?I}6iyeqwlkuWsl ztppx>d#Nndw=-nwy1Xr9wmoIS<@f_wbDwjD2Orsn)K5MH6Y5as!+ETpF1u?~@vE^o_~e zu7kYM0fSU~cYPjW)ROCu_VyB{LE;#x!d?wV=J4>xnF%|aR7UJoQ%hF$0pFAZ1^d#2 z-AOhH_jcX>5?C;(>j&6lwkXvQdKl9wqBOl02`Zz{@wsLTXl;DdG4mS91PKIR!Uc@v2 zW*(Vfauecomj_3?d7+29Rb^9VG{BKNt0E{L?qO&$Hg3uVYsMp50h34&G!EW5?-Wdq zF|oS`w6>ot_%a|Vq1|}?h@_j-5&t--xUTNt#{PG^7~xZWp3>IN7nHVh-Q34%5m8@) z=O=Q{id2%rrwG*+~7qOl)@Ax(>v)RAgsd{L9B(Uz6YU#&U!__54Bga z`@yLxNftCR_Tiw{5yF3m($!FZmLcHQZMpk%H1~Key}GK(eCAEMr|KIfC)tk@?Q>yo z+QT9u(w~g?cdjX7WTe@+Uu3q2={h}sP^OplGTQP=;)|D2QBjQThurngVuq4DJjzz8 z7Yg==)3lYUr<3b@iH9pUZI8A`9GBuz8-e@W_tf)O@iFQ6u99bqXL{N@!evI@bAdLC z=eDCol9uAud(1RDCfM`J9>R*MMCF3*m`Qz;mcNjCnDg5p0rAuvWZW~?F!h;`GZdZ2!N)#6xrRM29Z}%ousauantKieg?q%GhN9}D zM0}+QJPYMvI)5lv_vB~0x)^E4VQgN}{=OIbxh6e#%HSC-^j=%?<|{F{IBYWMsGm&@ zx3|+E(3t`;!}W4MuBZg=Y+IRVIM<3R1D9!Mu9Y%=#dJtt@zD4<^CxWx#pe!O;_-3~ z9;KI)(Qj5Bl@S!y=Q2A|_C94&mUxinT)8zz4?2z>R1U4jz;BwEswvAMd5g|Oma!TJ zEGgrHn3Vct2g`2W62Wt-mCSZnM2Xfe=7$@HPq?(QQnk@wA~?Intb(7QYEQ>L8&;~G z`+>>MOxovI{*2Ajzt%n31Azk@;w}2)JX^*lX98pCnEMgP zSeDK{mX+P}qdq&74erxMrHF)2Mt)& z=rII_(>K-2P8`Y?noX1sk zgKj%f=)u!8PN{H-yW(XA8eRkDiUU2`wF~D${F{@XeWe!}4vgq51M%(G;5)d9>B~Ss zSZ>Ic&^^VaAREppk4p1%Dx>*%mKpN1ARl^8n7MngJ&|PT=eO70!?RW-#$d;)fS(QJ zDTN;oO%p+)#1V%FnBmuhZdf@?SyT2y4=%q?a&OE0NG`qGFe6p-iH6H==l#gP9<*&g zi=;dj&3QXw9p`qzQP-5@a&^UN(#dyV--;i)58TA#`{P(mL`ovi($~v!`%L(Yb4e zk~!&SC?|VtQ_j)l6ka2 zU6HaAtDa3PYUP5DWC|nL>lxF;d4bbtd6L?%oyku<^nw@DUNdnUj6Ns~r3mDEzRSzg zd6%jrrnX!z5uGC^!D1y@VlzP-Vf6X&%$6f{dm{bN;ibw3{E0>I)Ctb62*)(&-Lq;-%BzPPrhe6i*Unl&c3Ys^ zI7ydTH`x4nSU+elnwgx z{Fl7x4S1O!Ss4L`=Mt??14g4VJ3fy2;)3e2!uI{!(v|h8qX;VTcp~SDtPH3BqB=2) z#f{M8J4^DA+Z_ucJ|&UraR5Nb(SyPtaLARfw76Tf}}$!DYKy3j=Y_@ zRBM5kh@ON9;*gHwWlt5Z3{-=?v91pUkPS(Mly}t?H6Z!Gm+c%ZV^E_ z5jNAk@B=kOHOt%-?*|s7c|)AKg`c~KJdRf_;vTT1YuGG89AF*7?(|QxdLxg0#PZwJ zF4w3ptpo#yNOQTP1BCZ>CIZTelB1wWrevp3#eXlQ@hUtErg|>zUaUkcA(K`@m^^&gF%JVPG zsFF0bsJ&gRsD>?iTM8!E@YKqARi29aR%7lIm{k<-_)|id%7Bb=m{9w-X2(Sk0{Jf`k+}@;8IK4#`J|X9H@kFe(Ce= zhwThI%AX#LTdG(-pt*bn%h{p~>&nHA9+Bj`MPx>!0j(=%{%-otBjlE9IC}gUEaDU6 ziN(?uQ9?R3lZM-|vEpygPT4D6Z_-oJOdKv+%2sehaZyh3a@SuU{^#4No=4NyqzQ`G zF}^P+_h!*zoZBzX%Z5Z*WmJ5=0%rav_xV-`a|qKHaa>n;%jCc<^bJ!|x4+1v;cxC%Bi9-RK=FpVT75I*SxRATNwz!#3ncAZ` zzwf77h!cLBHG>W?Uxp@%g;4*+ciW%7E?%?nH83%6D?)v&+0h>AuxSy=FVXDz^89g6 z_B*%NH=t#l$elX>p2|Xopjk!Nqs^5#Xmruh_!fb|Vpq3j2{ouU6jol_3sVsMIs~@h zq>OF zL^@aE1ksHlP>yC|MTSwf32iV`UK}C4vm=7NO$YossY>pG`(R;ZHc)(L z)x>piyXJ6AT1_Y}jRi42P~-Btv&FSjC+Xf4GCOiatYt!JTk;$~&O@E?lW3F-33#6B zH!nm8G%mwMe^-^F9dHG;B^s8C!fMRtS>2sZv^qYZ@WKx)r-=syI3?|&v&`{!SrfFgDIdgAf(CdlCqp;p4YP&xavxD}9i8n=W_=+Pa%!X65L$IoyAuTT_EM}3tN6ZncB>+6hIWFTCJOeO|vu<~k+jS1w zEYP3bUSDqKdUc;u{i15hb@=Vc=t#Ck4iqaD&2eTPh~*?zkdl$e1w_c`X`ZNj$l|J2 zfepO>GY6vB^2>{IyRMIz>|+-kT@B?&S?)Z+2E>_Tq?Y;r!QB_kiP2Ih5r=qKEjZ+k zejocCOTYmYxvv<`8(2L}9Ud#K&?IPIR2_zWed$SL&&@Who7jYoq95y_2qnM2JDny_ zB+rreNawcNW?&itTuujEfVSjBJ?rWoqkC9ah`$qMG@{&9bzk zx<$UK>fop{lI)qkP_U) zX8m&t+zti>Nw=V#IGriWQ0hMY24ii^8E1Zq{l>5G*1VrDwZrHWZf=Z7ZjAVM4~@3L zmT?8~;|@vADEn3#R%#Mh27H)kHm4CJ0w)ccJ(N_=qCC&beJQ2VC<6UxFGn@)CfKHt zRL)6GoNTt#^Tw+?Ig>~JdLx+Dl!tWb`@f$9`HeItLOR>`x(yx-u##^MOic1sP4K#$ zJ6ym2|8o&y4$@WgXgug^{pWQMJusL;@96%05BYUEanC7qgO9|?`@pV0;e=wANC)G5lXP|G<=b9%w1>2tD1?j;!EhGL$Z0HJunfn ze=CBr>veIE`Tc8}Z$l`4d_2iUIHOt6D>>yisUYeWTF0Oqw*#gt!+($MoP^ zFq8JT*Wb|@_AMfGGohWuMkps^;>ZpnN)&zY#uLkl)&iBt{c%?GTmG+i4=%`g+6`C_ zRc+$p>LpV)h`rh1h?f(Ww~l_8@RGmxBr}KwOasbr9AgyYfa{Hn7N!*lBOgDUgImUa~xssenP?qV{=g8H% zk+zgIxcBB>5mNnaq|N-+eOMkp-JI(p^dSAL{d#K;FD(I!2}R#T?7uTQ1yoyFYz=&! z?NlXtqBZnXsF#eq0 zrT*(W-|r2tIQ2P2DOZRqeR(Ei@m@!wRDMm^T!d%0ri|gGDVgw;h2xxUvC7aVl6;!+ z*DsOFcS4m_q$atR@%n7wYY3o-I@$V#;g$OqM?@KpI1{Nd`|W*B@4ibUbccDemckm% zr7ZT?(KF<&HBcGsYKLc!msdA-Yl~_7jCk4B?B$r^PRWcIrO^7;xuLA|YR}zzy4WX9 zP!*HAn&L(zkdJ?|2c>*cO`;Pw_oXGp6_{(yCJwpzGq*Ov8BN+II9lvGB#OiQe3;fe z{%qpuF(Am$e~Y6T(B#4R53Ma&`A?g9hN&O6 z2OLcX9P$hOYV({@&)dFe2>6jr81Cth1OlSoks=|zoGf4?GA~)g@yP`gsYf(Vl1Z5z@ zJGh=+vluwAH*>z8lffdF$23#Xao|QAj$l45FC2ur_#RbY^KIT`mLJ{#eD@@6{N;dU z#sKl#O(JPzr$Nm80GYNRo!;{>Ufc?kwSe4*4*-$!yitnRNl4(XDePbk+bxFJ%l9NP zA>x6aZQDV*7OQJ!!yd>7jbl*&WoNBtBV~s=mK$LvH?hhd9?JK`yEd?@Y3hR8Xe#%? z*uZZXRdKbkz~SeblwwZE^&4)Hia7s~jb%>^d#<5gj65&SN`Z;5n4OBM*=Ef5YT)7N z5Z*oIqwiukP{qq|P1^LM1jz$ z!e~FZ##2HqGr5|{p~vDQowvWxck^JdvhF5q;tY4be-B=Ug67HmVm`7#z}&lkny~D@ z?4ohG%dIoLb{Wh5PF7{FrpzJ+s;_y9Q)1xzf?v9@8@&TfgqVf<{VnM3)?J+i=h1KL z1!e6T+@$8<0pfFY*Zmb=8WWN0|BQS#5pndVA?onhc)Zy+Z2g=w6rOa-8~P;IdTU<) z!YS^xUAFTjer@v@PIT=+SEza&T(2$X+@Nu}-NRYU@}6E9gR&RjH=AJfFUNQClQ=MK zCq-!dt}-LP4dx4#jS^8F-L*#q#c*l{H%w-J?-X$%jF-fuunHlL(Q<1c;cfi{ta3v} zhp2=ZVvs~4fr;1+oT*}zwm!eb88*20+q{aLQ#XRTeecCxI9k_)!HYklmz>fdj3BvU z)bBh-mBhm=F95JSb#gv#vi>XD%lpxUk7J%rR}8^NUb;F*PH)}moOF!|@Ik|~HQ#g{ zInXq*HC&jFOnap^^v^$f3eveL8#5i+Wwy#yH}hAADEXM<^uLeJnjUVi;G}v3a(m^w zN>WW->qY7b$kAkS$Z%L}{`v77uW(cOq{Z$;9PWdm`S7Nty0-WP>GJKN(fX|=!Vibr zOaRV?0StLFrBLe3+?l|t1Ba11-yZayexFfoyY%IIO$l!`&E+tm1xIy8hC{8_QI&_* z&;?~_>RFBSIG2)5XbE? z-1|$jlWI9S#LReZlWY&C%fiJ^dcBThM1e9dhe7PXC{e;z3mf@nSGizDe`hnK#K6r4 zB^GDhbG9LEuhmxXz!hxMaFC(H^&I&CmKeTI4ah!Uvgwj)dAo-^BAbOLDq0= zJjceW?s8WiudQdj_U7Pi#A>QYi$>+ZDH2;*#WwtL_VzIJ8 z%sVup{;$giPcNm)x<$rH$)hTJNBk?C{H1@vseJTf&K}GgR-&ek!&_s|Q|DRXKb?+c z1MN`xl>%pcerh~8RN+*QqVa(1fvGleMx2JI2caNn!v+O983HeI#FiCQ}2xg-BLr7we{P)&u+jHZ#>p}x)Mz?mwNX~$k+6Z zixoA<5ZRfn@js$zUNdq=1N^HOlk!8JE~2j=stj>@fUb3xF`J;ExR`SP&aForwag2@ zlRq~sC$4zjJ;&QDLiw3RW4EAWBXoSTiAfUpIl*L zp!xMN87vPxwIe%kj;>(g>7*mKJ~aH7t8FKR@6DERv0Sc^izz7)xRV|_hVxZi+l?sW zp7a?k>px^MG&YPUbV@ybG$KVbQd9a4S39>&#psNU}_CcJOvaQUTCgLk&ImNjZhq*k_>k zRu7|(Vc^I784MjUs_?a^$F|i!lZ)6}be!?tz~rzfbwpZO{v!w7`g&Yi>8<9xd}=rR znK}d%urxZSufIk-KFn7mGEV+kNItjI<=Y1YF;P)tv`<@ZH&CUDS zZpe1sfhVb9Hx;41A$-TEq3o=h4T}W_Gz6I&$ z{35nR-WAtNBh4IAj6SrExuEcAhTEyydJC?@`QC1af20>R=sk$J_0C|MKWBa9OW-Sm z=s`RM3p3={y$r81g+MlHcLS*z%dfj@J&?6a7d)@OP^AgWPzjd$dT;UI&J}h87`Jj{ z6z*n~X8{jf8l3J~zR@n9dqzuEY3X73(Ur&jUcKhs=h3UKphdS<;U)ML3n&inl@2l( zID)nuO-s(56T0p`6*6Bi9Ur?b0zCp&0ZZ!@Be>VUic6}n?NdMe@x?i*$R}j~Jc03l zT+>qD`tk*)f`nYrWBm%1@rgxXsN2)EW0(yNRnX6Pk}o>Q7WkxP{>Fkl=8oBK73pB}YMyZ(i-JM-!@76P0 zclbTGw-IW2z263omw$jPKB}AI7t;c$&Vb~hw(V`dS}V?lH|m8?Y{`DR8pvng2|aYK zjyXtYe!rJdu80LR$9RT}guyFUn(~d2oesjp+avAC1q0M53WVOTq)QzLxVlezu2#~( z?gf!c&rh=7;H%&Lj(xQ9u<#}?OI!xV|M5kqVgTtN0i=V>tzfaMhAiGeFJ=qo${e*> zr~aLT4JG-aue{S9Rai{-@WkJOCMpmNjJV)@5V+?_by za?%pl&N*OMPlww<9|d`Kx5*gp*gvaEyt+lelxMq5Nff0;)+TX-3b3cE_k6Co&v5pq z794R9k?yR#{NV7l%%MK<3sceXn3r*->Jas8SsKYxE&vnu@z7?aZleg)S!e-8;+*S( zfWHeYGq0sc$$~RWwt~sF!{5cKf#*5}8J#ooG#54Halr#WjK$6FG?MVJSMP8*PwD38 zZ2PUmp750U<6PpJDmNm8675}T|3~wN)`ILrXOMeNk0Y>i(_~4d7?ng3=uOf?Qg)7!5;^VI7t#ox$YWlBk3sNiEYg?|JU`5 zV6JGa5RZ7`R~ul`8J{Ho97wve*9I|1G6z~-&S>GhO2goY+>_hp8$Q^>a-X!8hC zQu5_G*f9huot+D)$j;n@9e3`b@#DD;yf8QMl_^Os^;;;D60@l{Dg|KP$|9hC^e>DsukDk6PT^->Ut?#^3$5!bz z87`Bp4PXE0x!_#stjip#uFHG8;cyG-7`7i`X$N+Z6)>q9WKgufae>ZkNGsF_c96QU?Ka-WSR!MvfY( zd-yI!W}j<`%e|%F*yl3n+`Zg0wjRIbI{!;3Tpj-ee+`r)g&_MgS#WmzjU%V42g>Rm zf&OU@fMMD_zlF=>fU;Ook=UGRPbjqxZz+3Hpz<<;ZMNj-a6cCqjMmg(v6~prfo1$K zzy0K*n%O)nie=!d&e+_*Pi^{gz%RAWMme+mMr{PBO3E(UDo?;ATk?5#T2kS1g+<4V zn2KD&*kzgr{T8}ArkvyxF=P?BneGq5&XLkI)k#$hwtUKhX{SP|-`$2!l=iJoe@ceG k0K#7Y;r}}TA@GROqnW94f;taM0sii*YTYTiZTaH=0Zs-W>Hq)$ literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/logo_ltc.png b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/images/logo_ltc.png new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3938067a8136770c6ec6fe17260d39d4ab32762c GIT binary patch literal 216873 zcmeFa2{@H$A3yGWn;Fv-W~RkhilH*5ELo17CP_kyq_XeCad7P0(OXg3l0*q3TN1Ko zS0+Tro?|T`WXta0{O{)+=RD7OYUX`^*YAH_|LcEUx~?gm&hy;&^IbpR&-Z&jbK~?W zRhAz(e_&!_Vo^JBOq+>mw>%TmcK`3c1D|xTJNPp({Y%PLS^4xI7C19YUTxK*yuTfm zk&zZ;V)`vSGOXfc)#;sq6GNj;_x3l*KK~ zMJ(+tv6c=lc<|lB^zQ;G(Z9@aQx8)|@I_JN7d18i`Kwqg{o8mK6*sW;4IzB>#`v?I zj+P?YmUx`2v$>^;8`v5@?FsNM+Lo{k|A))L*Xb8K+TdJpcpKc`JQ)3-Hy#g2PxiDk z&cfB)(piD;qAAwP)R~Xh!d%u0=ZrN44`GWnwYC&-bg+hY=P0Y}Y-#FZc?|rgz$Ydu zCMqN|qI62}xN=iG!lzvZA8YuWABAvoLir{olTfv#_=D{9nGRsVS@GfOj!< zFt=1Yroaa_C2VVJA!}tOE+J)lSX@Y2Qd&kxLR1?3BqL)gWNL1TvBF?X%`j$GlzoBg zkKxQ+A!C59r}~8j&K%r>E*x14F-sX4D{)aFQwcLkA!%_5@SC~0ln_QtOv=K{OibKN z%9M6DEoWQcnx^*1yF$CN0CyCXmNXZ`h*}CAmK2i`k}#K&5i+wh6BRPEFq6Vyz#0;w z7JR($y2?0voU`mL2cx2X4Ue;OaW{3g{KFb(kS2}OG^^)TR))frH1BVkrslQ|kShq% zHfU~R>R@dNVy6h72wga+C$g|~wnaRXqp7ng2$+`6cm+OloP(RCvx}t#uaz?n%WLZB zXm4w73JF5Q&B0w@Ejedll2`>zuG-|YJT8wpYjYQv1smP7sfF{(I^Ljt3O zHQE0gD*ROx8KmdS ziYnDiTT~vZ9sA>~$AeEjf3Ps|{#YqmSuvvg*WRm1x}x89i|10Z{};dAoR$6JGs*`` z@$U|Q^6JX zLKvG-11XG6(?CjNGio5Dv1u9zVQfYXq%by311XKosDY5irfDFAu^Bax!q_woq%=08 z20|K}rhyQ~X4F6mW79N{(%6g|2x)AZ20|E{Q3ENAP18V1V>4;7&8UHp#-?c?gs~Ylkiz&!)2Or@3H=uO_IJzrY-YI2-ypBt_}Tu2`By$=VlvtB zH{&uf)4zQ6g11*|zWRCP0eNV0`paLKznQyvx;5-yUw)g3$zRiB``12a+I$39ESp+@ zWwB{Uuq-y+8J5LnM1p0p8B}3eFm0wbSQwkx8J5K+z<_132{2$;Yyu2e7MlPAmc=H( zfMu}>Fko410t|#KHUS1Kj7@+6%VHB?z_Qo`7_clh0R}9KO@IN*ViRD%ve*O|2w7|b z3|JVO00WlACcuDYu?a9>S!@CfSQeWA1D3@mz<_132`~_{*aR4`F#dlCF#hU`J^sqD z-@Tmdn%=%Y|Dv{g{?%{3|LvRavwz4nulw%e73|Z))m#NX8kw0tnOyqNC_Ok69Q*2Z z>;vyf4d+HptD;Bychs12b8Y+nZHk%Pz*89$F46r3W@psDzr2v|W&C(5qDMxp8grs| zO;?@VIc__?+E>Ax%)HiFq4;lDaFm~Zk-G9X!!yq~{$_fnx?$k!@3|3m`0j7!XPm_U zW`HI*=K0?Y0rhPEn<=0{tG^io+I$q0ZmEC$e^)D!e@|}sb#aqnQ z_xG+0k>X{iEi88USEW~A+@PDmzql>w2H^M?k?2llW0xYlyL+dl<&hQkgSlWbDbd-Y z&7AA_wkcVsXO0s&U8W8FCB+kqlZ3I#2Gc*_JAt1QR3eun zlSf|4`}jZo#JI6$8GlGZgS*f@U4tB(>IZLrW4Mj#F1oXDHy3+%WNHfPKJ;2P zI4l%b!S}mrKri{Ej!VwdvBy5DE<2G|`X>g`?L5>*YIWVXS56iq`ePS2(aqB$H2C6T zWp3Kp$*tH-AM1L}1k~n#r@NK(d+exwp|FJXxp?6VR_u3Q>87{0=*a0GjcF)a8Ez^p z^yQU+ULQ*TRe7e0?yRb%lVfA;g2^Y(io_pG86`PfuM0OF-`gK~a_Evp&YR}Aso?E2 z8BuQFI44ST+sdD&?q=b-a@{|srSiw{ui;xqQ;l}s+jqsN>)HMZZkr#laZUyfqn7H{ zLaZT-H#rO6du{~1z@v-^OMP?VHO9UaAkyi80{;tO#aV>PAKsOxq=&bOg|K78N z^INSwjh!m59Uf@R)t-GK6RsxqQ8i2<>UfQr@yybjd^!5X*Eu;FaCPDr+OO8U&Nm@Dq!q>L=mgg0>A8ou_pd((YM!4O@(7<0Kk zo_qX><)k;&)P0K>gjYz4eNVd#`m-{;2^M=uBcWfvyN?_Ze+*;CA2Qk_o)xNb`;U^v zPwHIW!&fn3Slja+z1Q#}XvrO;N6pGJmdZ`{Gw*2ce;n1cOQ*i}<|A$nx6alpX=gK! zAK12MV)+Zn*~5~1>@(J{xO}v~)-HxWMwzrb*_?ehAF%fw6<#v)VW-%zMnx_ikwIY% zlGlzi%s)z-(R0ASqt@PBH|)u@pWEw4ZjR=CE2T12`;=sSZ&&Ogm%KvPW2%f-iXpC? zP3W%}%p|^jbJ_xL(_O-kw`eP7j#p21mdsmDtJhcDgVNb`OIYqLcgssASy@8cQ-d1I z4oj#l1P2GFSi2PlV62-S;nqJzF54+5B1O-{9S#SMvtyH^7h^XJu5QoLiL;^GNqvJQ zI%x(W8oSTskLam<_xJmrTh77~vvH3~6?0@-I`5w{Tn(+=$1&Fu(Ahfq{9Zx>es_a3 z>HYrPQ`=D{|JPx<-<(M=87b)2J{kGQNKsEC=)OZJaJogs{#$?RbRQ5Gj}ICz#{>r0 zk=Tx5nB5*k+`oSx1gg`c%_G`EOZj1J#-bxt=x8C0P<&a3cg>#gGM~)oKBtvbp!2pW z{fkGvTT|O5eTJ^oEIBf~mu{L1p|lRe2}p8RkGmV~xX&Ncp-?OnS=U}`@$T-yi?|!8 zKw*K{bH-pl&o5ny)0JDo8=4b1fVtmQJ@D$!2|2gaPA}^~414}5W0!_yd?OoLYKTCQ zRZ?t4Gq$w+0!nb5pL6^@GClm&QETsVakRf7!dzJld7`OvG0dUs=PvFZZ?lWf2L6Kd zwy0Hc=R3Pr<(T>=dk2w2uN%HcZQvMv14jUdr(9 zx{ar#SkY+Hy4zyB@4TEoSwidwrXvNulXhHvK4S&e@iB6151v}@t}4qIy%Q0Y%)(WF z2E_fBdQz!n%Bg{vs94d#o^7YF7w6j2ef5u4F^E^=!baxjZhv1L`Y-99cToULZOY^r zJ)X91ZJd26B$PIWkYz_SjYjr$82V zB`{7iKfCzNu&T%dQu7;LhMnl#r$YcSYy8w6_hSnn3(68kZ-PtbKgMJvlvM{5R}(xZ ze0UrfuGBtBcj?+cC*$(_PYCKBO)SaW))1~azSmcQ>X$)!L%0yso?YQR1cJIXKHEa;(JWtRcd(8 zFQQqS8GY9pq}Z&oyyeR2Z6e1of!@QZ5n8eb!TJjNU3V7Pn!d-z5n5i)M#akGO>Gz< zryv{>?{yj)=3eqB9mP1j=ATW|{vrDR(BTfQAJ-~l+F^{ltHB|+ULH^cMddbN9j0S5{!KczzeCbEXR zmY&|mw$sw4%posrjORJAAvc`AskuvTs?o8nm0&!0zfWc=F zoXj7GemEM#E)wTC(}j;b_R+303B zZRhjBIE(bI_B_rQ09Mj|TVh@Sh|w;KTZYbZrEkObdCc^L1)_lCA-cy@;-XqO-|-snVP9#+D0M^{UYpBh@rmJv$%8;cG5HQ!edJ?} zvUm?zXHw7R$GcfS?e$r`Q9Jz61b@+sXbF`^`9j?-9qSho8gxQ!4Sa^W8q`q+e^rbI zR+%bP++F9fG_hT4rHIYDBbBy(L1Qg1(&L!25f44{Dob%L=y`K&317^XlDkQF?|MS( zr)rhn3b1QE8Z%{#ArVnAHUYj~|7{zo0he;;_cIV&Z4`bI3=kKaLmU?|JxhI_uoV8S zF$!k?SWS2L(rb(4bn?uIdD^)k`;LMNDImDs<<=-F&R1NV>}Wzoxa;)9z|~-9deTS$W~9j>da+qu|0XIa9;HWj|3Xvc{Pcqx!BxV0pc<5B1(UD( zXhQo!X}`cq!!Et9@Lp(-3)eFav1i>Qjfr(!y$vCWIXsv4)CqH&*&Ll1VMDJM!FN%f z9?=Ltyk>8^q@50}#2CqdB)6z*m7-n5dGC;mFpkuVQdCN?W1#zOw{;jt%$j8OA*4@;cbj~o+7!@Q; zoDo-wiW>A4T2HfAT(=LMYdWQ_Rk9BPGd-n}SROz|2w#ZS*OpIQZbM5AHW}`u$v9YQ z+c-CDy)$`3YEACPQBN%o>y3BfBWb~0IltGNFXoC|R7w&4Gi2+RYm84Mngd(!jFlo? zK^0~PLg=ws`kNT9_4hF}N5k*Vg31fFa*R}-R7QE``nc4gB_C8eSA#Pu>+^I{#d^q{ z>Z39FdpfT!)TT@+l>SOZfwOvfeLpisR}*L0Se5fK$hec?WyBNavQvi=Ycw*;NUTYE zY_GRsg`-;?Uk3`udE25^-bycSm{^+w5JJNTI6$U09yg{%%ZOhH4H2P!oZwk|Bh84G%i-{|2{l(kpEj-HWI_vDJv zSvQEkx*p0vJ&8KO;YGUCXsy*-wdT9;fX2Fo!(NA<8Q<%HiL6sdXowNED-uKj7(`SY z%uAliEK$B{{nCLRBwBGI?Xp*7khsM zh`B?d{2&c6_j90>^&VE1(-@E6rOv*D)c8=y$~9ACo&SI!gyrDfJp7-6d7jlyMafY@ zvH7TcQh625gggE$DK4f(CzqbrF@QCFTh^onu`d9_*yF}gq@UO%O#(4zaj}PE%p|t}akN+IHC<1k?qUe_)w+ zWic*Wk8ZkpoPm8oF!-W>0Dkp}n(Y$+*1KocYq>e*djm1lkmmF5=4u8ie^bgOMJ}c#x=~?v48+tt@22v+Z0l1tvv2PPTq&2->Rz$F;M zxLT+H;;3YN^f@)CHx4bMGvOedPY%2(zudCTmp?{I6~nwJbh1YH5F|ALzj@~|p4h#_ z()V*0ri^^-GX)u8K;^G=zK>~#y*UEFwC?WN2~}DI%X2P(sO{_cX%8b)`35$ctqT|D zwI&~ju&}6L0t?FIAPC_-T?96+91~w$I@F2^ORN_*_yg7alP7IQ-<5yEgzMji+a9ps zw)dBNy8t!ke?)&}vY7POg@c?rZL{IoD=y7BT&*JY?g1ZaQ^LcW=Uz{C+^O@fy06S{ zUSr^KvNbBM=gngOi-!zQf%|rGc6N4^FEjYmFNiQ3zx%2bd7Ni5`WD`~wJBEoSLQO! zRxZ*=)1}OVr#{@;vaF^QLZ1_c@&l#Q8*Fgt9zrGiO-FE5~ zVJw2B)v9{!+gMEWUcZIKDrbw<3+kuFDu!;q)9ZJi{Pc8wI7BY6IBQviONpy}i^svZ zc;u7p$av>y3_kEr>>QY0*^*u6@@J|PHo8_kb+O!fapua@wmtF=(inT=ZwDSp@JsnN zt6^K&RWP%;DQm74Y)t@=M2-^?TVoDEsC_w-Vq$wNJBzRyXO!nC_TSWklpj_JF1-xw+T8dm8kdIYmc zAtmZ~7KWgu$&;5l#{lsrQ9OJ94R@EzNL36K5|lftjHA5X|2KL{_AitWTN$fexXip4 zKmyi=6C-ii@?ggkJ^51DCylJwz5TLl&+MAw@qUcyjn|)^mItt-px%txpo=eMWI$PY zQC|E3g{z$|sqZe|$r!D#)4K~y9{LNct0unWk9UQ_8=jX5q+Hu}3bYvhAdu(OZJ%Nk z@;uu)ax)KoNjqwY(X&NmcR}__NH;BAr0yx9c9kySzuHwYfk}3zz5>m5@@g;f?eqz# z+|vc+-lg6vO{oCQ5LY#_=TUC&uLgHfrGNX9cC@jPR>&=p%#*RUT6>^n98NH1l$y!U zu&uD3M3j5BR!t$0on;CvBvFynmv(j_0v7q7bF2#M!|U&?&ST@oiBf^+sM4uxzZm-;gEll1hxIUZ5 zL)PxTc1fBBP0(bXXfyI+EwXRZTv++C6<{}--b)broFD|8Ens}|N`AnbVedu` zyxTzEHnZX{?`olnbL65ueIHAvNa1DK7nO?#9&iCp=(I8Uh?j#F;5L$NFV^2Qv-3vT z`hQ@-S7#tPn3u-Z&Qowf6p5-eKX=dWC_YAhf5%I@zC|4rl*1epMOR;J3vYNAw>YA?T9r5`k)>^`Jx7EbF8;z;G(|JP_PVwCpSir*SVm;ze*=zD(LdrA+}8ey z$_pC#!q)!LK4#^x!xx^tMn7&zJC#bL)%p- zwo-_Vad%^=f!d)^u%BA91nK4XaWV$hUqldBa&USk;5r8q!&ES;-^H|CNUeYv(6Ve- zYp=vCnY;_po#&U>M;aC7P{s~7kNvl{8ydFKI?wm@sNMSc*EZCK(#U5tvr*{*>-<1l z=6XpS_bGyV6>aIu9}Dex*)sHd&d%yFepS4pl=0*1~4<4zqVjiy(9NxLtTdI95+}xb~4N zVbPhwT=#qGeL>|RuN5pmRZ+SCc`EuvrV@ z(sA9#PAq*YI{PA5>pnV2Io^UTE+VDGdV)yn!@bHl2$e6sksMSKIJSP)7}ciXJ_H+1 zl4s%wVb#&%Nuda!Hr8%SU@t0z`e|jHxs%FV?}*CtL4|gP#mDCRru+nQI*I2s*kjB1 z0CTT+Gd&ZabYgn~sVS z%rIFmn)Y2_C(m1jrKKI9f%<$nZ!WJMVy^A<3z9R|a*xIYjYtWXfBrO_jLL|GuV9lI zEly9z(Hb>E56UTZ^8D-bRC`zT)<-dk0~0U=(nFW5!FFcW4p(OGPfNBmg38X1 z>>?@ehN3DB<9vyglDjhxh;}VP& zIl8z<<74l}xj_;mKJ&CAD!$oCl*j%tm^LMw>#4?=jR!hmet~;;Z+j+fDyH>6)w>|% z88`3xw;D69p}UCV`A#RIWDN(lz=kh5ytY^hV0EnDl~H(%k$ha2p<8*S zX?_M-Rq5uZ_T!wbp4J=+R?ZW>g-T^!CV<+AmSL&sah&OKM|s%#Psr;NQenc{dWlL{ zr>)bt4J_Ku39k`SLy~yqUy^ttN*SZE>bo1FQNvVA%&@UmWtLcL()vTAdFJP+-I<=9 z5bhh1d&o%t3Br{|ihpN1!3&4Acl-@%MScdXkn7@=Ccp{_3;u=G!Goj@@WyGA_{e#fOjnTu%wv6R71m0X-;HS zsDWBs<4!H5eP-%bA2U+yN8pydzu-f{QktQ6V4R;Um?M&sigl~|7Q)JrA^I(ims8#h zbJPsoH7aoFK=DzxJP{j6{0fby(9}VVi!KF)t|+z|wltmUg>t#Q9GMf{>|h+m>D;9_ zNdc(9`7jl)m1v%wHRkhiwTtHm76$6{9?bbhYh&hp#`P&vM0bTQZ~%sXZ(j=t5a*2b z$ha(}VRuI8awG+zusaaRuFaW#3{&G~u!CW2PCv7@AH`JXz>~$I$-$v+ods;G6Iy&R z`R|}HBKp)^Z@WxFgSkHEZX@@1JweJ0=5oXevHF9_F}MrZ5e|h1`(B+be-|EjOAu0P z?7PgP*eR9ci3bHv|3jBgFOEXkL1j6zO-UA1^Djqp`+V!1iiR0U#9L|zrP(r)cz#s2 zy6(wGi-g3o4Ac;jMHoG{n4I*=SP^h2$5lxo5tu7{ow^ERnWNgj>pkj$6t))bip||x}{*=Z#K0me+?wTD{^;}ImGWn zvcu4#3k2%j47?O>7XH)+nJ#^N2N z`Qcu73{FF^UGqaY&UR&?T0&laC-K9CogG#kZ(XSI)-y4Ye{|{FqW%?YFH+zl8*Ar* zPs(TXjHMQo_D-%1h9_JOzacw2A?;>lzSd!=oL_qYDG$dv3VU6dR4ZlVGsA(ea8tE$ zdFQS@%HIEj=D)c$6$!ofM#Jvv3B3D|-Mzf14$T1nk;!F#yq&g6sIE&pN~ z_|2)hC(BnTIZxtoXX~6&E5Asu*z?r80!#9tE~)YIBEHLpTcF9as{3r^qArWf>mTx) zz>`&wKOc)@m?LpqYU7#QM%!V8ofdf!%mkLt0KUQo_v;>U!Wqb&NvRNDF`CdYWQ{3g z-#u)F>PUqCNViSiEtmx#bJ|d%?dS}p7U{RQ2|cwNv@6lgC+@BEU~=R;d)a9Mp%8{-j=@`>iows8 z==Y;?t@OX?PU#=~G1JYJM)FuK_#C1*^bIc8oBed{N{S72pCS9|b)ujnht zd**lw0<|;k4YpHng5M11?67*^{X9)Gh%o~&={%svquN_6h~~7w>mtg`_oA6OtrGFm zWt?d+c?@?!ICApcC$x@VYL5dGV+Gr^g{AnR%r%g(LCrO98}XB1427aE>G9t`xT}XW zfm4OX?1~41BSFp`YnIYi_6}ij4IzIfE+0g1I~v}0G$nDJjI6clogAmkaH<+pyPQk! zb(i(|8G(k*J;ap>;p`+gR{76>h;;#jN1oKdqmGG^mT}*PgoYj6De+5vv%~25mFR~E zg8{&L^5jMsZpbo*DyV;&vlG>YpL#p7m)xnv7VOZy8|3>k>HK^lh=&eSnAhff0_ch? z#q?!`pkb+MMq(}nF?V%_%iEzsfi^GJv6W8DQRa?9hp>B4rKcdwR#>!EZz0Sn)wI-t z=l9qkqO}fEZ5{7fkDfcyfeFFdr&1)p>8jek^BKPyIyTM&g+0n5@G2Chf?lhv-B-D} zoABfiM@Mh&N&$^4cv8*LDpW7BRIhm_Y+Z`oOEwQM9y>g1!MZE+zF>3F$ZeKf7(0G%;a;gh72`83QqK$pziE{gx25vFPUN)J!|bJU?D z3O9$RaC0?<`2h>gz}PF?8+;NOj(Ht9KsOksmVis0_kq}QWU!0#l)gbzAGPRwHec8A zg{dP-N0t!z{#?81>>9q9#48P>!TY12N$<}7w{d+R?EnicUy=QEwWrHE5M^pi^oKqI z=7GT^E`3zXJcTm7;;tZm|8L3rALv?R5=_41HlIa$Iq)%b59qq|rl$CeABM1Xxbe9b z$BbX|JR4+kvlJYR65a8%Q~>?yuQ8MS`^EJxuf&9PRX0v0%N~OeqVid&#P+~5hMB8_g~}YqUouHX4i|0KS7CeD)wb()6zJ9uqlJ7q0O zlQF03=|}*mBJ(G$^=YKV7X*40JXShw$HJPW^wfL$h5%m-|CR>Z(c6sNTq<|#v!%M+ zm?%{J{U3_EnTY99kIymv5*R^jFv~0FM+w zod)_h^%+{W0}=e#t?^JjD%qaDh`MUmNI~)6!JVo|7 z)P4!jqS&brP!sige{83+7ENU(^LSL_15v*h=4Dizg%}gA7P&@006?X_ygF8|7->z=;L)q!A&i>xvY_SGZ~|Yz)`|$^r!k&cG20XGEw$7j<}GE;*`5Tt)YQiIt= zk^hYve1*JLZl!$f?P+WiggYC>TYF@dp+dHDP$a22+cu$LyfJ3&Ib$VRxeq45x$`s? z2s0TpBqEdgX+2ufgn2e9Jpma zPHqkZqpac8d7oY{f}r^4f1U3$`5Cda8aU=iFTZ=jwWyXpzdU>TIwwjxFmEI>+mLOWF(TVP@d zaq#5G6o@fV=tqq`MI$_1xu9r;+@r(A#eEZ?r!slU*waAQ+20qhVsOPzhEh=K`UcM7 z!S&<5;~m$&s~Ky3S+B@(f1mfI{EJ?ftU*IqMz4Q$d7*#}RTU!p$p+wX2YtXVgrxK{ zfa?D=;D_9_(1Z<;Da`KJE+22X*O?4 zZq9zIXP>D=SYTFWEOvJMMW=&BfBiZ)X!j_~ZfR`3#^(TI^FS2YOf~~p8J8q+?uLEn z#IplHVZMtAAyn*O{EY95@drM5+Xw!t{TL8Fv4u_kM{t&@=|p{FsVpcAC;D3#q2P^ zE`2*%v$t)7g8B{PvIi@w;7D4Qv~NcVJ5P+=4~z}M;45@rH93m?bfJWPD2Moh;%k3< zpq3Rr*%aF16^mfeH}HaE~r} zCzsbbcN(9uyP;SH8UQBwDASM=`Ye^>Z*VS-Fw>usBFGwaL!<7`%r9(=`fLofl`Kzx z`^8Y3^f$1@sLfuao!SF*f|d%Heh4hgySk8~m2S6G#~e2Ej)8zmk$@jPi9Y;L<7NcW z;Qx4>mZ68u!QpFZQ&Xu$;G`bgyKA%yRD}goZ)1(dWA_jZ+GKs3B}bZMlo&nD@khjS zkCDx%ni4-`PRaF?d+p{kCtGgr`}4=6{ztCw*^b?EJA?&eH2oi;>7(2tCtkg7c=dW8 z9_QmL-YrrjjvtY_xBA__d;3Bo##P>$bCrZ(E2Dc&M1{VQIC^R8uSp%kuJe8E?G;Mf zZwz|;@#p%Zl8Uez8E(DKh1HJi^+!7O>BT{X86np*&w^7O3dCx?WN64pUWRi|?8`f^ zUfkccEGftsT~raB@B~)Y-XbT*PeX=+G5mo)9JXF~aR<2BJAwGHcg~tE!*$7;2Y;A# zc2#3&0Wf8S!(R3RJ5GABa{c2;(77QF&V4HdZJ@uKct`fav!TbUV{K-7)dc2V(liHuQWGb z(71Q#$psm_W*skb)G#E_ z5sQERKHwT^1IVWEy^NQxWakMh3x>eG01A=^9EQKm)$xCwx#QRz^O3~>?~nn zdwcb1(wKZjyXb9Hj!fyue`<%uv;hu~oAQ>e8{DN9!}H9sn)xNMHUF7 z>Vn?O2Hpma!t@~IJF=JgZzDx7soh>QZD2*!5H%@7N-sly(AEwz*`!^qQ1L-8>4mq z0=}iY2`eLI%P@0`>__kG>~-%ZZWx>SxtEX6f_`+Ufcl2ojKVASqc+fq*nqpqG(kZ| zqM$^;62DaWFj@w0R0qJoz>cOG$0AwVS**3BVVR>FmdMalsLX<+qqK0re6OGPF_&a; z&~w76;|7m9q__Uw2YGsDe!A9v&^q%JWAA5a7p%6Lmj!*~CHKKIze9Fo5D79e_F3UU zS=k`9nD}R<^TSEB;+yI##t7`!^NI7>tel|t;LzAJlP(gZ@5|2<-nu-Mw9U=Pe(b92 z-F-8O(bbG$+DzJ^nB-6*$yclmUJSBe!@Xqk7$oDGLDh$exzS=5&gY6%pfwi-J6mYX z`{^|~FV%Q;j0g8mhqWK<5s1%|umsdyv7I+JM}|6}?!ZZfsCaE95tQ!OVN4O4K3VQ+ z$IsXG(Mhp$@3oE?ZBXRl6rv!1ud^_nzj?1P2{nJgN4L95r~LG(f|8SizP^GnRSN7X znwnThcNsj`;Ljc^EyFBPua_KK7+qEbF15JbMdk_1^;Da8>7dv=zXDdxyJ+ktk>J^2 zpUA-8RXV}mEDPm$+-gl?Mu!w;J|EF(85Yd7+jg+YR#A>oY`pL-B96H`P0%g=RJ Tsu7 zg{Y`nAGXYS>ZP)N_YR}gd=Cq4Up8SnG@dnVqBkZ-#>d3z^#d6ZuzoRlCi52|Jprsy z?vrKWa_%Kx48!5#6LnGdH)5Z^nz?@eM4{?2y~jpCYwB7Ckx-;0=;K?AR8)34TnIOg zWz35far7u_((-X~&7B~(*L(;H@ZC_j$Rc~FgBTZq!8zbcWNaCtMXfx%^`so{fs%f; zE-n$hnq_O_D1biacat8DpRj8gex34ol_e_Q=pJfi`24?#b{EloJmaV4NbowBeAU)B zERfjr2rXPxy^ZY>N5|J3L~A^4XW&$~5qEE?j3qwF-Qj`Ddk!eTSC15^WZzLImU^67 zdubhSpmdN?ZMDeJxZDif8a*xEDWF)pTzpm-)!G~CR;N-Kt-Xu>QWmCY7q^AAA@}NP z=I^vIstX1`M@A~1eE!$UN^k6$y;&!SrSINz@SJ2k9UxX;I7e5SttvUH;z3U5x$eE} z@pv8JDf1DKwa@2Ax~6Bvx%##+gg9hRT`jEy*INuiY}XUTrSdyq%DqatB#{~>%J|S> zqV@nnWfJnm*^8Ca{9!5fcLVOf4{q(d1JqXbELXsd4RZh+C!6Zl9BC~T8;;T&{2l<4 zma$3wLd-^-iq^yHfH<`f67myWZJnqX(FGq1iq2bL@fm7<_jw&;7-dq_F}v|65Sr;z zjSp#d)@>Ps_)en0r|^XybS zsf#hh^6DTQmDs@_PfnltElLMda*wP9R&T{Cex1h87e2p$k4|fScuE zYbM`{x82GsvM_Q`Bi+*sieSJ}{6wY9<& zp2^8Bx#>l=&^v708sKdkg%VbIAHd`PS;FIqsjg1H4W{b~mwVM1pnqi^Oaw(c7cBbD z1Z_mfnjDpMC>?tnJqXX!)4gzJSzs!LRKkc~EAtQ$%DI4hS*b%MSO9x>(I_HM72`Wm zqfgcMQtv^cVkF~xN;HfSf={!a&MeVhs7ofEFQ1!$j4h$6EIYYyzb)QDeg46sk^Eo_ zqp_J>e5}|99c%-?b|jSNy!YVwHkyrQR3(t|3EM zFH)!>fvjYroi0yXk%?*Ai<@J`Pmf^Ry>O=?ylR`-`qm%_g2g-Z{JfS-Olpu4v9&kO zd78POF(X8~AuOh&pnRSV`CEs3DC%Ck7SQ(U#n`Up_B4hXt8xxTZ_zn!JIUQrb%Ry> z5cr8og)qpZpRBAb={5%Eqca|Y)-xg~wit1~efq1dW2u<1(Rz3i7|SyduGvAl7=ej# zj?}CuF&i#ng!}%sh`^NW%8n}$+K9)G6h5zmkZ51UPx{-05N(8bV&cHZ9VE68`DKeb zD_fJ}58TGSg|xk`+pW4hAt0$id}O52qm?5h2)zSDi8|zpaFXFpf`l%3L(;IgF0E2K zjIPu~ePPU*QmU|p;7zt!o_=?y;a!=vijKKD@KTq~D=}vF@)N2)eR#jwk_d)U$=?>S zx{&=8={>s+m~dD)U;ZHl1m>|CIsJ%*#|IBSCNC-A6;ZiNV;gMewh5F>Is<^?Oj&0V zP?~WOPM_-B@#TEvdyK%%#0!S28r#gxdxsR1l~(_#v+~RnZoB~c?jR{tKCjBo$l7l^ zd$nWC6P&Oee2?;zI+%6U;Ocz|+gm})My(V`3(8+W{^%80b**DV6wX6dj#CLI;kj{y#Z-+8?v>0;&k_yVp#SesL39y9f zRjbtFP5`#~WOBC0*b)5}E4-m)YlGf!mL_A3mV&@-d9A%*iglyF3m^9-Kma6PmG#&L z-nK;JZIdwseJ8htUujfEEXT>b&MK`!Xt#(ggtxu?#?_rno+;YSe)`rG5O7H|Nhr0Q zMBGDNpX8v=MMEJr&kj=!zMWp<8b_dFt0uzc(o)G;Q+tGXMm0fJD3Ko<HD+#jan$R?L-(%hhZreyP>vbO!@CXXeEQMnm>L#l%lb_<4J86icU${jkws& z@nd7i6>~ZF6#G!_-~W2hwGB$8f$=_y0riqWc|l zHXYsOa1!DL3iAbBa~$h+zX7#5z)oI0I5g9&4QyuQF$HleG(q*9?d;&hm!`g* zzVRamK5?!NOX)0B*GD?N%UMhXbc%9SRrU<9_2J-^$9KcZlPAW|rUpkDix(a5v4zJs zYP)$~9tsJy@bNiKY7dG~tUxp;?B4g@D1DyJ$mN9^Yru$&ybiq8yCX3=)eH{fSj+_7@gFw5C&NhbCA^_3Zij529l|JR`k|g z7iVN#D?h-ntM*Q_cITV&1fKqQh!ObFI@U=Af{ory>mIg$3fj&l-IEk3TkE-tM@y}q z&YRwn>Gdt_<=lu6uWwS&_8zUf8(dBqA3>dwk`VQTxg4>P$^of(PR{P$2oTsE&%BP4 zRDwd(^oF8U5aaCsS13*9uWiSO>C0GSF<&1XI2`ypMg z(EvpWXdq_wHHaM~9VVW7Ei0@*dXQMWUZl>Mn7ux~ z=*4`JBwIMI=qXX?`MxNM;4-`LUdxCu|52gD?qk;-1tuomSc3)`A$9B3S0maOec~m% z5-$Q-M-?BFdOS*3SFin4+plYQ-BE3g;JUiH^KN6dS<5TCb`3i9-42jyI}~~F{S6^z z9{Ky-J}c@Z^4iDR=~}KIDBGqP5chtH(^j6T*KK$mf11!+0eq%jfn5u`93>dx`1(Qi z(uXB-ujnu8>>onkpL;3Q<}*|I5pTVkHPSy5FbUq}HNf)A-rl#}=e(P*x$4elYV6)~ z^S8+3gO!)#EU1vK!dF$W58v0ks(ogZMY5)b{}gGkSFfxT_d&A1IX9;N^v|@-Kz|On zrqST-1xFWii2Q1;Dk$&9g+V-5vH+;uLH)Wx^ZX^GH>8BBq^4zIly%@Qz-vxZdCj|C z=Tabe>X#=&;WaB}hYPe0FpfZ!BKu{zb^~%7JkPiFeGw4PGtc%{ZXf`t-JIzcm3%zA zBN^)uCRM~aJX1hy(zB%mYY(OL^(d7Biwj0vlRP+Ur_F%wm_qNu{M3t`frQdBX=0@P zv^1YtlC<0@MO$0Q9cPNLP8R#3@;prw)?Zj&TaiKU08xV`6q7nK!me8+)&SOE=S3V8 z`6qh}*r}Ao{YY_i701m&kKmP8y^5wfLR&n@N9u-aTam9GiKA1vl28!I9 zdB>Qr{Sy(%!*PSw#O6;pHRr@Y2|NCitvaz@SFdfouiM&}ml2;0NFtENvyF_MbHQ~$ z0rEsWo}LY2Q|RF5LKM?d3ctV3f2)*%SFt;JTA3}?K9oi3Wy}63DEWw#l|od{eys3) z!;+7WEgRGsqZpGBqLc7*@5_98?C)x))Sq&3zpGM#mX(U%KXqWt$O8d20W}K~S^(x$ z?E8$xL%D~v*IW2_y{=kJXI!h##8yCTE^HKyRNId}>oZDwuht1GeX?=yUK-9)@YIEn zUeyG|_Wb^E`rg5AMN}9=9wodzs`#0(*5DBwse`Harm#KOXE;0n_YoMS<-4l_j5P%l zL;IzKSxy#|zvk^u>s_76KyGC(*WdbB9B&zZlJfWhPw|s^A(XvUAX-;xlZd3PsZ34U zD;~zw!XjPowE+qrPRGEmdV6e7d0|Obo~1gK>}k1S4K-o36k7MZY&K{a-XAn3V&tXm ztB5ii#F@Z-orVS_G>T4oe+30<;qkt-^*`vLh|N`5IA?!A5}RINlp<2`cPg<-qkE)K z!D5xO{3T6^-0Z;I=hFqfDdsL#@>HXgV(sZ!8Ba=vu;N)Lgvii*QE~4lLijZ20{){f zCGP}!(^97Mun=R;W~zW+hA{B#7tRTJAIGKa8f}caa)Z;#dv(a#uySrSaS7E)4KMMR z*eiyfr0hp)4W8q0>~UG_Eucv)I;unvLiN?v*J;g<)%%RqpuaH;8l)W-Sbdh?QHjke zQsZ?Fp=GEVoK%eq$)0(f1jePXo_gr!2i*AL*6Sv%4)o=qYc8Kuyg~J}?ZU>NWaKrMRA6-vIxL!~s@545 zo#h&dbJc`O?~l{rZ(HOxc+GJU+pj-YAaYVDn|dv~XP@S-xn`iWhM-3GQA0bmx4yf<2E*T*nx|3jCTI6K#*QrTz*TjH1LHa3B%y3Ch>`dGEN;(8ls4=w)bShZ$ih zvfoqNc$tOk_IEW02X7C7ccGmha+cZK-+e!?>$HB?^k`wDk2{LHM;u~QODyr|#%@$0 zstxZJpj4)78k|=Wwf4$OeEus!Fedpq2e5Jq#g)-*9O_%eq84NQ z;FjEAjyNYfstmdZ8*22~;vl%6Q!+3yP^27g_%v&JsXgkeZga%Q$;q_$*AQKM+6QeXMhno zn&dK)DVRP$Ab=L2zQFXi5JkV*==ABD+%3uM?n$72HTp&1^+718hq;#jc*PvluQ-{q z8KIz&PD!-p5Hw*PF!d||{wQN4r((R#fvdTV3|9kk5@3OJ9ftq=fWJK)Tr@7q-6YS4 zeqNeB0a8knKBdXmUm{3Be>^3n^NEb)NH$=%S1$p&kd43_7MWD1Mi~1H*sn*UzZx*4g9oce8V+ocoSe!mF zQVsa~Bl?GoTqwf;FA8D-Rr9MYesr~`MO_PbXdh$Ie-9BJ<^c9AqczpfznyM|`bAtZ zzf)r)H2s3gDo5N9yDy7d7wMC_sMrE}vw7|pBqSstDB!NJq;Y2l;p)iBHvLQ#%O!>& zCij=VB`1p{gTs^)PJN?1>Y#d^^iGqs%_`1$xDwW98NOwB zwPS2~s`SsH7bwz!h@d5*nx9UC7ku8JCFzq0X2YmVXtIL5I51$cM_Rf7Zw*33LWEgg zPXy#@s_{f_imB_xc6kg53Vh&1Gs?)ei~T{rcMG(MrMw;I7$=sjQMNvc@bqMRk@aQz z#L`Cf8h3*-u_Qq3b~uHiB_*jy|5jzL2pi9oGC-lx=Zy9)RZD3jIU6t`IMW7AE)5sg zrG$ZZfvGZvcu}k_y$pVry@lDGt#8>F#3}U>>q7<}V~-PyG<8*6b#-;Iy~p;nX62Mv z+ihoMNzxGe)&=W%xWi{2RKpD$)v%N|^GRzXpUF}8Jq=jS-;O+oyH1YO_Q8n zZi5BS%LHS<|6gV9Y4Q>~xvV%R;a5w%N&kb^;YNj-F|d+~ilvICuJGvij+g6KoR+57 z@2G_)D3Qj*XC~qg$v*CW;Cxh=c+qHaDvq7?&dB< z!11>=b)0*3rDk;gMxwT%>&1!oSvfiW_rYfysx+0Z2eMTN=!TlxySPZm8hflia%f$C z!PVI4Jyg+YKl$L^M0`boWkY^_Ouyr5KGD-=?s@C_^s=x-^ibkXJX zHno^~Q?>|N;;NixT^xFllY1}hz0OW*4cVi5?2vu>1&@Yhp%DSbIHL+TVJg1?O>sKn zw&60Sz>t{_HdMrIckTna!c>J1oL7D$E4?%U$W4(cKsm^qy)Ki>o&vVOrnKy{J<9Gj zMo$=f@l147x;i7dY6PF70`JPy?`Q9z&45@RdPV`SeH|%KasUSnQW@V0n+3mz*MDn4 z*s0Cpy3 zW8)!>*=qx`Lt2*o@<)9ldfLip2fegr+KTM1{x2hb(?mE#p7;~@;d$);@rYj~4sMb1 zhBJ)#={x+_5kEgUc=tCDBYr*jKR!6SLY=eNMTI>>GdGhO*o-6wl~J-ouAQ)FjX+)$ z{Bp$a@$ZknGUDgo51%hRaukgCbx=n9hW>{UzoiD48QdqK?d4$7|7LA56-2jTUlS^sXt5B#5L z%AAK$1FZw`@am4-_Ty`81gX8r+I7P=O&jT<1j2B6%Qx!vaj5j*M`Z;m+(gZ*%*%2W z5jj#unW5Y6mI(mh%lQlUO-*KfDi5ZYUzl-%(M8ueU~{QabMJ?#{E#hDNdODE%lqx4 z@?ib?GP8?13`Cee0e-=GrIR*yIYHGa?_k$})3Lu!IJrIWX=#B3H<~%&WRWLqJ6jqt z-e~A|a;=mxvk%0>6@(+V>tcpJ&rh$8hs_o({FX=Mg~y8wXw1OtQq*+jQYvga+^Qmr zy~Hz|Q{(EO<%d6WR#z7)*ZNnQtA7jA+lTFQd=<=w0{`TzbS}?-@Kf@-2tmd&E2BU` z_@WzS=IMl%ev46N@xujUBk}H!hp8kG^>=OodZow|nhSXf88ktW(7g)dy zD_UfpCJl|ByH~(r^o<_Bbh;yD=4uVwpys`6*O_OQpwMOXR+xS?$w3VGWycjl!;!}1 znY)zmzTOz~1t5aet#RNhELizR*_Qix_i#_@`W-KfqiEk-PO#VygnyL;i|C^@j-owL zJrIjn*i_V#+?V<$-+vr#08{T}0)MFq#DxRi8SCSqzf-*^sUe8H-PmX0)qE}^h~)i$ z==u(*CbP9`9Pj9zu^^*})F`Nkhym$Rq8AVqfkB!`6{L3~og}DNKw3mZIt(BpHPSml zsnU^N14IIZ5(0!k2+4nfFy*fQd)ErOSWEMs_B?yo+sXKdN%FMnq78xM#;_*rcBsO$b+2IKPDXjuLXWH8;?zN?k1 ziytKaXWCx;ZQAaGX#-;U51L8n|6wAmtoEbpjqU$at?>FUF^TPBR?R_kq<48W3I&Wi zL(=k=hB7ddmDC8C3lOzawcsjK=(Oz+v(kWtMMYMTdY*p zhFKhpTJ%rO^jhL?JFXy4U77lFH@&aT54W47Mw#gNF>(K&^uB=HzbLZ!SISY(r|%b| zHA>u6#}Ztz%6sS2j(h7ipys7hnLB%nW)%0o z2?0ibr4CuVQMg8b(Xo@UybKbTgoGQuY=yEIo3N~NIOD$aH$q0HjEQg4tN&HOUUU34 z^bY}mF8=9}(}s7IdRLGBeWiY;9jEaR2{0h{FQ*{>b9En;3n#z};RE<{9^^j*Wre21 zE0iW^5AV;ARDSc%giP+g8OD$ydAH`k_n*nF<=$K2Kpp7C`;ETY;BgS;Ro*U*BmFat zBjD)YzE$n%Kk}C7wJd6$!%q3XH`>pC8*uRF9$|I?o~?Opu+v{iPOmp|v0(eC=VFAC z3XsAwJMv7&kT$*llYJ9Q_}flD_xJFIPX(_oE8E>EcTeyI`M>`|b7PnP{*V0*F_u3^ zu6}+2627)OLkNU{{}p_ZUjGz)@4^2zfLN|=#>S5dk1OW>EMMr+6$&C7*_TBxGruF? zsQ;<4_#p8Yl+eBBg#(EkcvF#t8Koa-OWWjuz38@w+GyrK18Nr6{{lebjVvXMdKAe7 zLBuCnGW%&u-BS}o-$vgQ%V%czcKSh+-R=MBQSRyf?cM)i332<;<$>L_C8zq6`;|Fn zk^j5fd;coj3lN!G>82(xL7j2Qh4N3lAGO0Cv9dDPd&7;>uzCr_TZ9YYOB$yKO8%+p z)Jf?fs@Z=y#M|llglhl%Cj+@7*>PJVt)>2&Y8o0IGhy%ITi<~Xx1_^mRoiM$S% zZHo2u^z;o4rDXLDz7xUkz=wzDvZw=cVf$A=x%AQKm|LyU>bJ6aHwFy`NEk6gQvPNA z#T-6f*nP?S%J=0T67%>3=JNzZD2B(5QS{l-M-7f0J7$0mkG_29@ZszT3O+wSpQmev z*u=w2Y$7f^$uM!&tVqrOU=ouf;F^ySksi=jGu5=N05u>_46GVA6F)p@Obq-slt@c` zqN1NgC+;M|?~l(xCrF##s-*4*q#RUCo6a)-W$G=}u!wN<`myNkh@%md4e%!|s130r zG{czq{KS>qj}2-&*qHi+#IUqyGHMHUwnH;^6sX~E!8;vh`%vbLFfZR(9AN$)94vW% z9puNgbX1FYE-}1BK<=-Xxm_^3nfNEPd<-hGxBJ00&Z$~9ov zkz#IMWAVte|CcplHUat(^H3a{@335L(w`{b&l!FU>qZ$=`md~1slw&Uf)2LTe9^}g z(oD9WgoTkp7?CmQWuy!_x6PTMGSbYYm^SQA=Wmyzn=aqYU=SG$1~Is$CVAV=-X+A} z5&qpc!P2Z&!lvtEc$CdR!*jy@D^3Ct6&?q5xbYku1y4UO+*MU|LI-uC{9d)Hf7Su#_yAV;NTHrNG$GQ&12*O2El9Vr>g3s*jmMo-dL0que53gV}&k55bn*NBl)5HeB%Wb zwvX2~lBZJBk$rT>1>Q+rKo zjW$s(NN;3iYQeaUzQT!;qU7+N_{{0<$qz%rz1&rPW{U5)&CU3vl zk+ySKk+xHC(d@hFb#C>v$~1o|p%!fJ??xOtvHDdX#d9`V%dR^6Qs_$@96_|^;32cP3hTm=0#HG+ zxcDl{}aIVwzVKAJlBlyVaw^sHGQ?l2e^Ks||2irO3hJZ9|MQVozkE`zteQAb# z3H!;`yY1xYVH7QD`E!b50b=E=aOu%Se<2Bw^RrxQ?5YGqjmk?L=#oT5gYwxY6xpUD ztTm)`*k)ULno8uGP9$Ci<#9liRMGZE_3i>rag78Z`5FSN8haxHYE6 zC9MxNqqnM^yyjw}!x5Q4F$t4qoZnbi=1Zu8gg<*$8|>U%*+lLhgq>hlW;iKsZo-lW zM@D{&xvFsC>h%(dt488yg!?FJs?|Ll--CnyW3AROzxE_lDCzX%d)IR+UuLyCLWR$rK&dG%4kh+lb(*Gs9J+e>K$J)7h=Fl`5`lArK@ zB63<55)o{5Er5^Q`tQ}kmmZ<-#B%)xLC8T})d|)u>$&ooiw3D?ZastGnEuS21T(%d z)D=s%I$kO(Q?Iyuiwf1;tun6u84?Ig4Jimm67GEH z-*wr)HlkU29EGHSGRUt%807D)a+kDqzWNv(+wu%g6Vg%Io|2RDMOA;=X)Zt+YB!XE z@kA?8+TVE-BOKC>ZuwlgG0i~H4otXx(3iVlGF`2tGPzW8-I$}^Q_OX#7& zLlX)QmJt?k<_j2+$m|*KS|8t`cc#`iUp~afmjvLnM`!}j=d7M5r!($u=f46qdw~9p zm5CW7$_f40berp(TU~z%lB}f(NZ)T7iwrNV^h#E$T5c7c?aM3A&aj#PX4skh=@~vd ze(GZq^){bCl|r)5)V90#;IrVolR8${N7w14L*RotbHfE|XP;{#Bb0xgd|S$p9nwa| zgDs|ku&##ttjUv1CaSLsmXbu@ZQypCnB%aqK59J__H=H-iu)iNvgq5;z_;YoDpImB zb>Q)fW)KD{SZt3bufwVD?}7$f#|0vs5yH0`ybB4xg(b6gJTP(YrjG8;Qho>uK^ zDLf28$q4u>PHPKU0%4vUp~2PM+S`QB9Z=!mX!d9G@q~L!3B|ORuYez$E9QtNH|dLw zshPD^1)Jj$;f)a~&iq3jSAdm+0cur-bQw3s@tj;&+=v0uv`A4*$nJ6|B=be+#s}g@ zW;(Lo>}Hbv1<+ZmQP;D_@NRtQaHMZW!xtvV8}c58c^|V9dwx49ca#NH9C(ha&m{U; z;ieSu^R_5H@~Ue8WXfm}^@cxr^zd{jhQ3qU7SmYO=^WBV;16y+10&#@IXGsMObq2n z-z%w%uO3BZyGya9NA7f09^USNc%GIOXgkBU0^f~={qAdTt3r7Ny5b562C^reS|cQ% zQu6a;tp%Fl1V3t4D`&qJ(#wl0ocphd3Uztv+51PV*WZ6)zw8a`waBrOn0AF!M$%ws zj^FmEZC^6HQ`A-|X45OaZIz57@^QT^L}7KV zAmYG{cg_pOSVryus!aUiO0yzT2UMDtNVe@3YNBQ z%DiCxkNngR`*-}@^UL!XyqaXr%=b$Ao!RL{0I=cJFMLQ|o>6|zXsgHs=8g4mq=LZq zu&j`$rrxoLq@Wb6BhIjct|Rn_uFYgRF3$T5(q+dFRVk0gh>1=1kZCF@*4e*c#ZB9a34@3O=Y!Tuc8gRXzOy zS-sjPv_bAm&UvEIq3VKyX@uJq*;6<2(>8wJ@$OG0KH>WsEqW+NV}?Pz?{ijGM#e

C`Z3B?#P9d`uo+9wzUMa~|eQn|@5t8U;V|F1{zy zC%j(A6qKUo=YGu2$#XJ6-Zy2sIeP#<)-HHe)(j9*zw+|zBXGj(Ec6UEDh{ccX5PsAhs{bP&P zx$a?z0DF6_`s_A>Y&8`DUogo3m~Cel{EL8mel~w_{K@54HR{X3nqA5#3gBrD;$);d z-FwEmZTbb5OoLhx`z_UbEt~G9nrbGfn{C{K=G{*a%#I_6YRRf3S;lf?y?G@wuC}B3 z`XM$W@@k!It-B@um~AF8JVq3s23J0Vb_JQG;CimRR;);Exy;?K@f{w~nzH6`*bNLx zVJPwni`=-K;&Fh+4gT&i{iQP7hecyLK*Dd5p`o;wi|NdmJjmQ7^c&2qaq8@Z;?5}$ zshx-Kj+)6!pDq#GPAep5oWc0W-%1xgbjv(~k*ehWe&}QnZ9}!ddoxxsKV3pj?!ie8 ziB0V;7ylaS;J|euLT5Y&d{wi+!a$|nK0l0g^QRMnpmHT0{;9IUM4z1Pia0sj860Ih*gQSVS@6;0JYkS4{aO=h z^vshf$g;2@cV=gnsV_0n+;1FUYCxB98#_Xy=8EE#JB>T(&{`J$d{-l6EJHo&inJ%S zwDc(bXK#iBUhQeC0V2+3c;S4LZnvH7**;SbYc)N?ph&A&ar3PSZM-NhRL*{?dUJD> z&`|R7ppLP;%p-jBnvEV8W0Dvb!}#1U$($@${@lzUK2t&MG(sTNj)InK;^XUR#lnS_ zmZoq?hps!oKMXCMCl--xtbvtuu>?Yop_#l^9W9mkZsHlUZ)pPX-(aX((Wh;jZ z%BZ3R^TUV3_@aCiJU1G!%!TAlDhD}27K+AIIE zt>DegD(EY8_`15|(u(Rah`Q>jPFO|l%F6_9q z+Q?PXpNv9UQPR{fCQ|3{O`Q7akqJ8{VFUrRlDa@>hcP5HGIA=I3+)kpDtWkCiS=PH zqOl7L#OXBn>BbC=htp{%11)bNBm}2p!_RgB)Mw(Swe}L^;qQ_?Lh@7xyEC`Ue?~cr8u}V zSl}1s8t{de(&)-OU%R;!TxL=&HDF@I6`Fv)H@D($Y^6_6aJ1c7fcZDK!{|*XYjB&W zTGS*~xnHSUQs*XH>|K!Nh??pnNIP0SPcdYk+@9D&aRNgehGI@3KdQu)5o)7*SIKa2 zz|pldS}hc{1_|yP5#HAS^7&eA^5|>zSifu;NMdxt z;bcph$+p|eHJBWxI@N=Mvt{G{F*|H>Jp0pgYJ@o9v+-3E!rc4?l)GD{)gGmV1~z%B z?>twxL@_IeHW$%CrJ9eA70&lVr>>gb4@QwA;@o={51zd4Z=!F+0jaiY!qO(yB$Zbt zj~rxYY8h6kgJ6+|Oe%c$#aZ*RYi}D$INY9pbwwq2UOHx0`cC?xzjZFKieZZD_bg;yV#S!}jTSN>HMx`zP=v!H zx>NIH6mE2gT0?qz8oQ=Pz0p+=wr`enQ}zVsHwi|}3HXullyV=Joqj`gJ=J?FDyLQ$gK2*H6GWZw{6z@o9!1BR50jq51MYr2n!*ph+pB^bXQh6Iz8= z*F0k_0)b*=Y_soJfXmjzx%v6%1G+D)syzD*JG6HJhySM&MYbJi#I{!kprfpmGy23# zXw;uMXQLC6if?x}&%M}qV($W>uZF@>0m>~6mOGZDqx144o{=80zb#dBUg*5kRSsTq zg5NX&BI(x7Tj+)Rytzs}-V}qSu3-&p=NG-V3!BQHE~kFXKcfIxG$$v=Y>J7w9B56o zz(guX{-@Sp{ z-Y3Nu(PM-Y)P`g~JnG+e@~cn`89Y$=N9kfDP%Mgl0<|1EvxAqh5Hz%S^=j zN6j#5eP*1g-O7^5-JCkInRPGW#0lC!1x3_wz);NO%t=Kz6a7IhX}CZbLWQb2D+vq! zw%qfo_2$@G%ZKvWNWjUzSNGy8*AmhYjMR^Lm-rW0LeH1Pcf>EG>WZaloDY1o)wK0y7YKd~z9)5rOulsKH*c$H{c_O;)R@(*?`gdG%O z3SE~S=Pj@nbgbi*5SLqLuWv@t$ZJ-O&k-k;{rxR#Ke#P46L7Rq6{^ebBm8`@ynl9cOn^GS3j zHj~RHFfP>)9XwQJsiJm8$0|(Bq3?{Q)a6*a?0FAa>+pnz^Eq~51?QW1!mmHCxvyGx zAmftwZTA~`ub+vC&!B{=n2yx41Q0_%TJNLi;^PxOyH)W5E{9t~Ac}NepqyxnFC`Eg zIED{a$t$e)mSMw`%0vV`zcV)s62m#$oVBgLhmAm&$ud52WiKnsS5g7^51O6FJvDsV_ogG z=BqM^9v-Kgkba53NzO7Z=)d9X8yPqapU8i8GEK>-DEkVQs2eoM=eHo~2)T2bbs73Z zS*>*@3HHaLQ1h`X3d=$lwh-I5PGgK^%VbrN?(kE`ysr+F^fhY0A+PM(4UQ?t#=*@( zS)brwA@&g^t#ORv#=@GG>QifLdii^CsMbj4lfFCKddbD)=jS?5aV3lin3gHEIn!+7 zlZ6JWB9-+77jPGh_sCi#qZ^~!dz^>FTi;f>A_ zFMOf7_ACBtD$|EE^_#EuFBB^KSFio?rky|L_~=$6e!F&a28N-n9>KV*qkdy6HPVRB z$36lxlBxaIcI+$V5LkO8%^X31T_hYt(T3y7hRTtWwzq`>}B6j^TgrYuMxa zN$8M=YUJ2dAyF7}>*kDbaxB-@R;0yTxl^4ed4piCy3?lpSn}tmFB&xrn<@-3VJaJ= z7itkEkB(j%kEKlEcOYM$nP?7WVikNy`jLpV={Sg!5q19 zPDm8%wuPFIi>LGymv%N?;@)t(;=MCVZdwdI24QGdz4F5+O!os zZf|8}QZA1vpEP3R=2X<2yGy$gK`7j|+@J%yg{L_Y{ur&UO_MMUtzZrwtTq+bj|U!QMz;g0UbR(z64p+BEO% zNc^{2OjF<+KYU{hDP*AOy~5e2J13k>y)*!OD_3-Wi?+-BAW!gR;mg z?LIw`5Jd_3b@f-Q_kXZOD4jBb_HMLCN##QodtGU2xf?a)QB9|!Bg@QEF1J5s(YiYw zA$H3i>eZX8Dd`#RRxwr5dR;W5)FqTX76lAo-TP}(1j~;GQ1^=;n7`{xX=NxFn7KEun9U|e zr5Ng+`6VzS)KB&nd<$wd(q1L_?s3tfbt%z_2mH2-QKH<|90K23|1eDstF%zx>~~bG zLvg!c9M9#1maUTpg^-jtZwG$i?3XS-$EP}Iohy24=P!?C^EN^4v9${Mb zzP4XbA24$QTa1mZH1YX!j;(s%B=@H7Rc-&YY`Z~IAuxXTnb96IxK|&Rmia)zRTGTg z%EQyMslhL^xxr5eoN6!s(mcsSZ=KqSE96Pymv(mTdDx~gWC0{uv(EG^JC?FGXjoQa zBf6)QvpLD{F`!LY^ywvirEH?8xxho@$UKLS5#&FPOLk#z;%CS%Q`%NGJN3hz2b9JT z=#G$WfzWc|8x=uI%~Ev`M7qWmmQ^wN9g(e7v6`=MI6-S4Q7`2GSAf%SpE71EuhceW z!T8C8!q51P($yj7%=+o*mt7z3zInl8h~;ccIDFpuI7wHEF63vpq_mYmfnH!G1k}mc zxM4!kyb}wH+5_*x1o(fs6>%g4ocYNY1>Q3dtF0W2wdCQ^#KS4RBH#c`zuxhT&_G{` z;J-Z4L0oaa^T^D^+q(m;?DwF z15dhpOx@VlBKRUp-in!t;O@X|=W%5-Jp$qAv|_(|0e` z`N>&)-Z4~I%q)zT>|5&an)gGy$q8MXTZ;v28{{pkHcKke3$$wC^YMw4x5j3RY7JwE z-!r*f{0ZCCnyni9BeGXJ9`5HQY}V~X^GImO?O@y8s?MK>LT zz1o7CwRj#M3anXgot7g+2V;`_ZYOd(7ApC&yoY5bNV;Ga;&0-xEa+J1(veaGmS1dX z>7Ac#iD&LZ{fFY>UqPLK>gXuw{*&^IyfK=?f(Tt5CTH;M!{_YRhQ>uB_(w41ZjJGp zOLywQA?Q8`Hl%6NJY{|@Xyf`?`!qeC*s@wOPuK{&G~at7;jT-lh@>m}L0kvV_YW0E zc&6b;cr5#ZACaR^IuGh-T zDqvaP=*i|v&km$!>Jx(NuR0q zmEcO+hxZ+8?0L06x+wVuOk7Y$j}>(}GkwRpy%wn1TU+`yp;SeoLT}SbfK#q-k8?XZ zLPML)aWH|Tje7634$k4$1E^+PAlf`El(ZP;XD*_3&EJ1AxKL7H+kwy%ge~3C^g~~Q z#Qrrd^qv6SBEf{uZGJkh(%duqi%Rp2`>-01yZ*G&4e$JO(61}*?vExurXVaQyOL=e z$Gwg&8JfgW&aye3bCrUv48E<&@BA|4ibjJPk{9vD5Aicz*-skBi!moxkw54lsM%um56MuwkS zQSJcAWV0qpqP3eh9^HEwoAP+md$F^oGljOqp-ZBF@x%&9e0;AsdUJ23CYgIhZD-Zj zFDrYyt)}8fGSdpCb3gjcrw2wn`)+17bfTGV=c2fE3wJ)fc^APAb3=FB9@i8ou=$2u z;LT4s!*S$3g#|`^)`UT)&PQHd-m*j@X!s%-!{0xp zO?OPBL{!r7R*W3LI1jIABW6aj$a(6m_>7sQJH9n{SG{V;k}59M&h(X>sDB-pRIzjL z^R@3K{0!tqAwe10W5G*-r1)!hj>lJ7*jHCoNZG?vmhMs~9JdRf?WX5v z-x_8Ok6znuYR||sB5{774KMe0T55DPty&N@-+91X0|$L?pbXTWJ1Nysdzl_WU4$Y+zPZ>r81LK|0!B@9^ZGM<0N6gf~KYN)W;c9Ih@|aM( zlcQz&l%mx|f))DPg`8#c|6N0dzT6aiTgKPK_}ay5{kwK#ImP@p4+`i@9!JL0OyYOD zo{guzx9iF_b#D4yGrJ@}{K|v+M*mm%J^9mB~ZJ5Ov+& zN~f8CE89z^y?7y*IrmB1x6O+gV#A%*zR}-Fw0d0{)8ezff)ZjHslRQjun!yd49U>N zB?AR=f;xM=v>yO!xQKtLH1l6rOSkTpwfsg`!8g)^3gZrL*0GLLSW3+qYV`ngc#ix! zK20T=M%&OfcL(6_K3LKh4=Se0*h{^fowSC>ifI9tE?v48cm6Plwj|Ciwt{Z)YjqP7 zQ~=gKbr20bo8}H~!+d&m4rXe1=_N9wo>v#v2!R0_U*}1)>Ta;RbY1Ks_KAPB`1XWT zMnHp%Oj!fxVC{*Rv3^dEBdbwIA+Cd&b1PLBk75^6F)k>4%jXQv;p2OL;l|ay?DS8^ zh6||LSGQWaONz=CJSH+%(<}y^N*^llSivX01y3;rqPUiLb!{gi!8)E^!yA8Sm?epZ z#k})6KhN4Hn_uS-B3B2Ywl24S`&R(F#a7d(tM+h?h``Cii%8Gb^YX;4rug?YZ@yGd zx1p(@j(}ZMDi)WGNs)GOtB*RoUb96|zHm4RV#Fu!;^G=S@Vuhu+GYZIJ$u}0^@w4^ zLL0$W^zhRn`L&n^d!~$VK4`scQ=3dkEx~)vQ{rNfFfeuZxoI{(5!uLlPe|~gf}yGoq15~7@Ktg{F%Ad=uQ_#XI?+~)B}(l2 zL-%&$I6~8~m1m9|tt7|G*AuhUcId;uf2!Lqct1~D5V8clM?WiMg2tuk%W`ub%v z?%7X}!uu>j$&^xVj=!BT6!J%45;)TYwB#MyOgtLs-QyPDTG0%7J8nk8&t7A|@8>Naq1q=VI4G93mXy5HGNJEhtF*r} z<(qzVy}Q9afTb_0G#&S)^eAPcR-@AB#2132V1I^lyl{PG??`?1Rkt>wf-&_{!FeYkuC_5QeIs}5M@3HQYvMP&*ErUEyaXH!2_ao~hIZjj-8cX)bBkWK)jbPi z-j5jt8=FCQ0AX9L3U&m;< zuxDX>|HytLq|SHUg2um1tspn8etD#>4lGPHG78^cZI$jqYwQ`TK9?XL@V?e}{B60z zU6LMP!zKWxRBE%=Zorf!8=fe#8Ao5x90Y}gdyWG8r3loVJo3W!aqJrw2dE~iP$z)h z(E_v99KkKO01aBNq9!vk)Xjb~sy#G5R&nY2VRK%ntMcWG9ki#_m39U)@Eh!_--~1L zv8W_2?V28F;~ao~gztzPEi=lfDX~i_moRr~-`5Qd?0N6Gn<2ldbCPWbY`&g zjI8&3@AiP1pR<0?Rblnhn42t-(sAOs9WQ;{`-3|sR%%CsJYXCS_N3C7EJ{}FDi(WI z0406@D8$w`hI7%U{$~{z@41{&oLq~o-`U%k3KF?mH2cdvOh zq-%JgZOt}KOW|OnbtH`9-=?&OWVvo=%J?e&k?ppwYmQ^g_a4s{h!Xra8?)t&7nT{6 zf4fSiw}K`l0{{NeFWKxA*oWYz6Zu@i^WEacP2rGVy)KXEZO~i=WS{PgMMlSHUTR+` zaeeGFS6<`qP<)i`saX2`wKt>DxDXsJcU-OeL;so7G;bGobr5SYyRcQIMPHwMMKviH zcP$bCM3eOdIPcwf9FV8yG4HMbQMOw?=r>^Ep|67^^#IeT$uf;RLKvosM9x;7w|A>- zVcbtcMAMChEcelBWY#To`g?KLKIar(-vz2R#O=K3H+__-5mbc|Ib^o+Xg5+ijj1RG5Zvq%N<`rtnMJZ7eSNB8cXI^?9lbt-`qteFQpN0!UWV+3IA0R)qb$GU}}SOVos#%{);7S zfXBjkFBQ&0RQG{+p&PE2%9wtQL~UuPO|_g90*bipR-$)i*X(p^TxRn~i6ijWa}r4R z?YEnqRyA+JS^stGNt&t8wsk!!5(IpiF^!rhL9*_1y&9l<>-5lG>B&DC;_n?)H$~{S zKDMEkE603bajZI&A&XS)Y%6V!3LREv(kEBZC^123&R{YNh!hc~>~iIxfY20p&(Ac2 zuYJk$AzFtR?+Vq$GUMIC)_$$X`KipRkth*WHy03i&bHUIHU454RX5 z8>+qwiU4@9v9M)yIX<>{rOw+vKSA>V!`wp~dn%>Oma+DFT>Cam~vwRl- zcVFrqmAAj4y%MY2R=$n=X$9xL?y+#EpJ_3u)z|JXc$4|`DKpU7Sx!>il9{8r)%Rlz zE5#z;E^mJ#v?%G|Tn~!`K&ou?6$f8){je3s`E+Dx(JA4+{+j`BrdhTEC1xKlCn0$H zJ+c2?*eec1mu9q3&^Qb$^@9nVjL6>cZ#@e(N=1&>*MjupJS**aK^v&aXF#?vJtGnr z0SFoby2fxQC}O>^14=ibF6oo3g>ipx0Py*BnsH@=3l zF(OA$hg;1zWj{`D7NT*Y6ISy$bg8^X%2Hq#Fse9tk!u#}h8m8ogb(_M)seNB!q=uK zA4{#Lo-?3jgog!%`wolUd`}$thF(<%_5LybvsCG(9&{FqGXy+rt#(E4N2SzM8X^F2+X1+M3GfdvmQ5T$}l#u5L$To2U zjeJbXu3_;QtWhmFLgD^~Lr8PO0l!4h$TT9pw(_DqruY)(DZK!p{bS1suV0n->`OiP z0q6cZR)O^K>cm3WZN;b6{*8{q?FXuDJ+ud#zhZqviKoA_pu5PMIBmY}?ez*6KV|M? zYKA^QFh8E|s6E(zJJ)qs_!gRXY~_1PYZpox`m1M$C#ED_!m@jb+)h-&XUz}VC>;LO zQ8kInY=-C1F7hf}6>A;cn&@K3&gQB(HeLMXr#jTb!l}vyK^Ergsni8M5OlnhaA*Dm z4#K<5KtDMzm_Awj_~MWvd?9s*gvA1{ZVz_V1O)7=M{{R}9Cnv`2}fusmPSN{3!oRx z{nv|K(Xq&poBdXR8~k|pKQi}5Uv#!#TJu8EvuTDdHmr$MvVK_ z!`r$#)GxM{y&t6N6WJ;zS8-b5LFS|wr*%0P^ww^aGaOb*%DVHM?F2_&!opxp@5YxS zA_+@k(FJP}he2Wd3p4YA%RI)u7o3;7vEB_pnJT2ov)*E~mIb=#gWc}VrXNrD!TtHSP$iL4P$ABw z=fBRD)eO@!MG~&#kiynQ&K;dSRoODuZ}`?5ihT+yiq6`vHPl?zzQ<~Z^+&TPuow<0 zwO-~*o^`$2R5AI*FSo^?j+v32s!iec_mZ~@9&C<;g6;pfKa6IG#}DR)-8r&mx$*7Y zsjuxrNq*s`Zv9%?Xg-sNkpNr#c#K8&(vyt}{g%RU{JqT7AYaZ1xpRg7cza-9i@B~w zyt|1D4zfw%a~#b7YI8h*NhtHu40p8YyU4Fp3xXV>D4*mWE4FVBDyP_G)%JW~LG$rl zJ}zKBpkNP$LZ|&QkCmTi73T*CWPP#-`l7Twwwj)PNGn14<6^pb2;j&GZDwH~kmlj) z1PCvDRw)U%ifg3W(NjQCajCA(mjN8v6A^MeWfjOn=#ipp3+%V{8kz>=?bR*^h&fqc zw9!hwExfux)a%<(K(p2cnzg6Nb*Cqa-#+=>OY%_%$cqkfVJxg~Hm(!jr#Ew<^J+Gm zx{mD(>fK~}GMMIt-Kh%Bf8WvB54kfUBs)%S$k8#xy}cHtd_$ePRB zxFL2}!3YIG=z>bK^GkTT^9p*p$B-Qa>;-l)x&LxJw}g)mmPIs-;<4N2P~0-(7s$My zF91V79w+O4FL&o|MZ5^&L2dH zUFB!}-$K49CLMhg;YZluOxbZVJGB_!VZhRSnsOpx{+5ap;@3ZPRx9m-Z+4gX(}SSs z`-iQd)7zgJ?rdisLW$k^6MG2mOFRKn(dNoKb2p)#i^kUoUs_hX-5YRC5gOOZn!mq1 z+*JLtw=n78q*CQGVX8YDVjBMFcDb=2pD*US%zs8fjsOXMU zbq2HSs3Z=YPw^F-tInFy?IymDmomIeYsWFWnPjZ#w{YBR!!oIIiRF-AAJBEh)zHk5 zZ&M5lZA<-F7F3_|pDQACJ4MAAV-W0FIiR@meQ|H^*oG}5n!;0fX&7J}z9)Mb3qyy7 zCO%17!+Wb#EaxU8MWVj{VFZOngfBJTNjSXpJF>g8{%+20m)IfVx+rYz51~UHC~r)B zin%_>e!tCv>@3)Hc;XaPhW|IT7SlyWm(94OIkT3Ji(#*O&*)n+Kx^)p){`mQ%g3nz zt^L?VH@x<2(#io4xjdZ0&2q%V>6)&PD>#21j-G+xGh3skyzJN~s#i>9V59PE%Kse| zNR0Gf-&}l=-Bru@k_x*E3=;Lqu-i_<{yKQhd3k2@$uBZ~w*GS+QrdPq7YzC8oq}9n zpFGgTBnK#?%Cig~5z22%JT+00e|IYRwL+XY-)e%E^QJ> zImzJzy01d|wxf1&(9^0f&m&*@Q7iDaLG0d(J@M0sE|yfcWDRYqLSTaLz_lZ++qeL@ z>&EArQeFJ%*)MgRp0XXQoJ*HX?OMhcUOH5>uq#I?!S+v<0ekHqs#m_Us z2r)pR%Lv%t_*F0w>Sjt;Y`PHV!6_DSUL$PCE!k2Eyj575M^9Or1ydL^#`vn@xhyUC z=Si;IYgZgV{UdF&J2i;icPo{}CWBkr7~SsbR;nFE5@k!l-j*ZMUQVJoa0#>&dg z!3uOi#%I?Illz!-mKAM&^WoK?`aT~jUVh8sL#Db0fAOJ{yPN2?>w`uvt?NIivR3Tt z6vJY_Qa>^NV>(jwPVZ^T4t|(hb{BPR_F=n1hFu2%>dL>|hJ$~Lk&J>>n)fsA?9ct{ z*dO_s0VvB|imyD`qb~ZZm)tqQLYU`Rg`njoG~K1M04N}`zzUsx2HAOZ7laB%dhn!_ zF{U3^!~)!sHSej`YwcwNF7eW!k5x^E*J61+l68s$t-}i{OBC(l%?BEVniua&T-)_# z=d(4?ILgXRxWG_4!4@XkN>aLB=%2L5eNIA4_&C5JMuI~;n)?eji9^?b3aGw`-fP*_ zPI5g-4*!~14{+~~LvZ%o-WfottC3Sx*dgnyDng>rgcFf5JE?fq39z+t8RY;fq$6tx z1sD^B3pTk~n%8~(JLCa0Z=IV60v6#lFNm$n{z-5?Tc?0#`a$Cg!k{9673u&4C+Rgy z8o%Mm$+djH)*O2niMWmRBV}D0BR8-x#e}0n?mR;0UOd7j*R<*)*h0<|h8MNanG@E z)&_XN2I|(lT4Cc`U0Hh_TxM!!_SmJ?Zmz@13)4a)T?2cFNH9(r?yK-LZM7Lqs8UnI zWV4)_mF}#Xy5UW5wed#2q6n)2bU-dR1VkvGv|Ur!fedx?(;z#+c_AMyxEi3A8GuiIvnOjL; z4X(~btCV_5-7@SyB7woT>~T#C(Uq?`HVwo9v#-8tKl=!g;>GFtrhzd77ejyg)ZvGy z7n99gWD(37PeoaP=_s3p6L(lT?G{eiy6(rN#!fmfd`+J&N~rK;F8?mi`1Zrrv7))$ zjNcUtoKn0!n>4{peSZ%blM-7tdh5Bqxf@a~^EcRoaCI_!S3%dITJ;b+xj)`0hA(1P=S z7D+I5MM_ym@OjMYhNkD&idbKR_i#va?cO{1$(j{-TVb)T0_`Pf?B!OB@})xm@ZHUx zE!;f)9NqkV-n_%+*MQ)1n)bXp8oN_~#L*b@2e01wYnu1!eZNi3${@^mKo%E22slE^2Qf0a$Z-DdXf6vF2jJ3&o7R&6WRH={DJp8tws&=!{j> zo8NTy=b@F~6b=uY@%b(L-ec($OO=!YJB0o>8)o(whA?^=@%wJ164JU{f@Lmq98C7E z-WO6e0ci7?EVEi2i?Z4Z83dBcBz8Wc2QR8U=am6q?T^Q|^2@R^>#sN7iQVQNEw1pf zP}R$H`tnW+M5n$@#8Z}P-W+1GzYx7D?}8>mnD5VGoJe{d-xh`y>Iq@7;I)8RzE= zoU`}ZYklim-&)&-C(xh%AqG}{;*{StW~Pa;5c+h5mjP!B_9n7`Y+;i2)o%1D&UlH+`XMX7vFidRDX6(`yY6Rzt53|W(<5&l?V%62D?9u(kH&H6S@E2HmusoF<1vxo6 z)!pEa_0rF$!%ni;8En=HM+(0{+Ev^|?+kr2NZEPPZl<)1XyoVJ<1xKZ9(O8}ac!kr z%|Zun;8UK%$s0d%E1ubCfU>s+NRuXLT?;(Ar42#Lh5POJJ)*07f zrUI)HlEuwTdO4=mrb`7hV*LYm3lr|flEt7=WyN2g)@aQ5k%J^S)|8&9G-Q4akKq7UG%I0XQBc-s5_Opj9p=OF{oaz zr*9Wdw>rqR?d+~YU>6o2Vg|S2@Dyva$&zS&3a`zg;fVdP;R)V7${KwS=dTD1xWB-c za(Vky16slznLQKLS=?Py-d8*ub!ZEg@&TBc<4xPaAKlMV3%jY-|5+89W zM!CkWta$PBaWo-02ZA7n$5`BxL#ok#@8LDwMA?_c>e+YDN~;V3G08LI&0-vC`*`H| zyW!FCH+%rBMPHhxTw3AZGV%OAzV#C5<;0l9m=*_O0l~_IG`VN81QksL~>nvMT_wDYZ3^spUOf(X?M|G{PC1_obe=Ql(Mp*soAD2Do& zfAr#FJ^E}dCm1T<8Lt^@>bJ0~dW@8t{@CYeBe=Ht`PX>zT%m`>0>5kt?Z9Rw4JNL9y82cA<`I$a9 zB*z0f*<|PVdLyc5{fmup3rsha5e-Vfyo=N&vE^yt7dha3Q-UGZ2S8@hFqf<}XYW z(7EIbM+MGQgZY6=?P15aCHO5PMtg^bX!yr-Rfm@}BMc8JQ}KyW5O%F6Jk%;RMBh89 zT3i4f$h&nxzq*6Mq7SPsP@D)T8?jID0xGUXx3kgnJI}0Tz4ZJ@O z4qto-wF5!VoYY|j(6^>F3?vN~ezOwA`i?4iwdm#TuPn2 zN==P}MzO(a@xPL*gfDCO$P>o~*|HsvsBX8gipMz!yp#wZxM2$$h}p~c!QHM1j-x4DeA9mlr3hqlnVETG7uoVfe(0@ zLkUn;XBRmIaPYQzDN5+yy9-{J;Q>bw1KM{{_K|KXqYb;Qrc9T|wlR>B0yr%fa zF0|q*k;!>sNTDq?QIA9r9|I@zC9(*+;3wI50^G4Ze3)&%jzNH1Z~$XBy7w{1PVp^J zh7Xwk4KeXD`6C5rLxi^sI>C;IV@{ZjsaVWqbaWgj-prbH`>0#esCff`v$2_hwH9~l z^D|!)(qg5R?CK7pLR7g8GE&m@aYnL`5tEF=Az$(Lt~+ayd8ej50KY(8CZtdTs&q!x zhRyd%RMk+&pN?Q(qNN#wgttKC^}BOP~aFQ-1de{9etci3%HBSCy1Pie@;+cE4W zZ@~kg&5-1qj-H!S#A_BsV)G=3_p)D?KL>?kMjBk#(y{awI(o=jc18y6d)CA!i{y+a zrgyu6vB)q1DU|s5uwHU5P+$o!6vW!O5+J7fXx=>!f~RU12^>}Ik~)XK1}rp`ffWL?zTM6SbS<~v+wrV)&oaPztNYe40ujDqOV z;%91&5F>;#-Ha4C*2MR#g9;?^k=Z^}4VY=lRkws6 zPYDCzPm#Fd`GH^{$Bg~@Xz)mcz_A~~uF4_1t6G^ri6Wle{a@IUewiz1ksEmpv=8XN z4z&;P*`X|lslsZr^81H{%;8f+joe7Kq?H}+^NszL+RWUit)Kh{MFB@sbE1cDuKJGU zc4ZH$_zpyGFga2SG=`;Q`2#5?fS43EhUK6GTY69X$d8!BlGAqEsH{)dfm5}4bR~rJ z&ZuXRlRtO;niu*yfR+3}>aFDrt)n(V0hb?=LgQcz_I~7bSsvwAOIyP_CcyP9uU!>+ z>IS*KSGa)>>8Up@H~o`5=<6DOLeoV7kH7RRfhU;)@neP%ggZXyu^yaMzUn$|Hx-tUQ z3HNk`c(^{NQSY18`+%s8+=Bfel({>4dTsvvH?E?XTc<=#?(XtE!?AIYx~%Fpyr#AF z_dh{u1^E8X5t1WP*2Z{witzjBrL1SAf;}Di*BdwP-ZxiQG5#bGJ^O|n9&K(V(yngT zGO^XVsXMv20FFwAaxF(Zqoq{P5+q%a3<$BX7H@n+bGDu*NA>{C%gYQPI!e99h;b@F z<*lk)W=&9JcjUKKLjCEBoNcq@ZJ9FNe;CSO-n@*m9=*)IrL-AD?F(;SRM8$A8Y-)l zGgq8q(<;%u!Tf14E!d2TX#(v#qSh@v$$SSG#T+Mtl9Wn zs`2)yJm4wFo= z!iNgkCw{Yvl--$g8Xtm6wlcf#RW&M%&lNz4#Atdtau9 zl#hLTndFGceLP?gpQ|00BD}G3s$r%5ESCZ`)YJ!_r$OWy$!}!t8t5zy%;E+swySQo zDmn71>Y5wdFyI>8EN}o#!Pb0&k?xvbb%$a|KPilw5^oIo=l@t~*;IqcCh?&ZT+cY< zI{TfBKlp!slp>L49`T%uI-2QNy+;81Vb@ z3XcJUT}3oId_^eDWZ<|wrkyw^cIz)ZHmBN!i1lt44Ag~B7fk}HWAKrHc>h-2O*R!I z6NoA0H*&O)m!;iu1t6xifAl?K-5=?7#}N)zi1g?NlRXC4wMQ;S!L%Z*9@MLE(+0?S zM_a)%V~2K4eA+1(<99(s^0kh5aJvq_p-5Ht^y_VyoAedCxL?)(_m^kEjQ@re&-Cl0 zs505oXF$}A7M9TtF7i)?(r?TJ17%le2#}q~@4=ToIqfj74@TT0@=5^Z3C;A(&Nh21 z;nL|OyXY$9o9xk&@cP*!bUMgK=7de|8eD3$?UN3Ei66TR3@uVX7myvdH>*D;xZjUp zfZ3dyL?9)I@UEjH=qn=+9l)s9VUpw7AxMOg<17xtkpR!Z2B1(IfC&3%tb|wIe4-#M zsS44TMWnQK!E{+5Eb+DmgJQqzweK@`7`JpTpX<>QVIR-06gXU9d!X7Yb#vEO0ko~1 zS1DRJ6kTD3K010*heuEMvBF*CRZtNe%v#84i%&Rnr6r+Onm$Z<*S?qyylqI%K;t=H zjDna);=FERC2sVyq0*H<-?iwL15KF5Hc(kN)`_PifC|2chnzFY;F*uX&jHm1gaJgx z)N7d$OLZ=-3H&%97~whc6Ys;CC(ltdkGiXw16Xu^XH<~4Sv;W~@Rk*N0$VdwFBK&? z$fc)ue&hmp;fcN&x~uZ%5*a{~#sgBoTbP~P6{ZY?G{wLabcda>%0Z@`(L`ym6|bb* ztN}AXa&whX;mH-ie#@=AFg6HaxOrHTM4D2rvYk!DaHkvTjX#*C23j~*_%omB1G4E_ za3<11O8qu|o^Ft)&^gWLSsTru`b}yBBlgBt@n2l9NB7#Sy+4Hef8T%P#dCg@U=elY zEIH8qq-<$$3=5r^Ij0a0d&8ZAbT@_k1E@KU0R`Oynm^yo4v*FqVmkZTQxu1mMjtVF zE;*P$R9C02b?SSL`IqcQ4^(=7T-?qZCeEaOmw@3GhZ9o$YVJTv>lQgk21G1`x>-Tx zy#=7=2JzY9+eUQGq|Uh%Uca>ju=T^bC^>7cu9`TYd2~zE50979JNhuNhReDsc${0F>p|n*!;2@ zDR}JqtCVp*)_ypT3V`*ypXv<9?H^cb0{A1@E6$Bb>O~c8gaDPKD_;*1{SD%rqjb)s z=J9tPPdw-duimT(`-;MZZRL(d;u z&bD|N=zXdj_X@=$4zp}GG}(`N!6;StO}q#*1b?)!$$58LtynxCpCi z*cv)xypXUTAw*GB)nme>w6hD`R&8jsX2CxS>W~RTLW+HbgxRpH zT_+T9@-lyz%Hc7RHc$8WiTcThpr$1(E8nNF?l4lc{{75=DOglOCWMB0Gc}utmJ11@ zb{be4d}0ovd_DfK9N|4!TFK($yh=HlpbtF>X~AH@HpiT*#c}r z4y%Upb_J`9=!5-p>&pA3-jKJ=f!R^xpcV{fHJwF zpTxy59x0Y9b=yYJD%W{q#$)1YOIdXah;kzy1`q2a*svOKSRb4S&|z?t6#nf&YnHc1eu0pZ$!r8k;d~*?m{AT$h-?K9o004 zm55gZl}Ab9M)zLsR^yI6MtSxXS_=~0hM8v-E5y`dn$FT*e{jRK}yGG9X7 z94u(bAhKq7KkO#$ej5;?0i*mjSpzk44~r)VrP-9{4f850g57MpODV-KELOb{AtY@t zv&v6o52exqC+_)$(r+!KHnew(FoO~@B=eTXOu4O(F&p7>t3l-mu*{hiszJ^D1|WXg zB@eFZ65GuVXVKTA$!rj){k>1W<>S;*0Oa;>0chBaX^LMsGqG-oRPO)NH*ajf?kyw4 zbSj(q-~x_GD}c~u{-k_8452)f!%cG$zv4jb0vQsvir6N$LVFn@9f^7gsdrShNW{Uj z;|y>03`CaZ9tgPT6^^OgabIcc`CiHcqS>HP{?6nA*ndHtg6qRShjL~@ zOQ7ILi#GfCHAmX>B(Ts0%D2d8~YB4Kz|xWLkT=516b)Mo6Q z*#Nn*kQ{X2bZ4|eLW5P%Ym)NvKA=*^Q+-U$gBhT9%lL`??hyYZpk)K$toVioL{u5s zH;jU}zHaS`v4(E0Jo0sknFT@#-J;lo#+|D2T)%t%Pd=+rQ;Gg@{s2gjd;cXtE(|LEE{p0})6d$slHG~KsD%6V> z3mu`RmdMyg8LDQ@VT=4ki0}isxX>O{HE-TL07U&Y>-{bY@gRRt=i7S^nsa)JaGY@WUp`TOigd~EQIj)q8B|;2T zyxj;P020bsAqjd%eDC>HdMIo1TN<^N1*w6gVgn9Qna4Riq9HV*O&`rCA6m5-a01dF zmAW6qEvON1FWVDdOvstctT3b(?)PRL77vUN05$(coR48>TQ4#m_{Op6_UeAH{oHLH zyY6=;n!C@|-q9f^4!(rXBpvpf$OUS~tA@y*8ILhtg(UWRSz4NnTjKV(kEdn?$a8{x z#4L@;XuN{|q(L;_|HyQ2-rqbDED@w_338K1(bK8d7b4w@~RG;G*!n8-?Qc`~H zdpG$_9ijc+TZAJ6XZiz4Z%V&y@x6AdheZ-L7^9L>d;5yrM=)82SEGE@9{*@LN#L|h zSn=m@jLHckLL zWnnoK2W3$&8PR;)LM~Bh%4T4;FVgPpqM=^mVH6-=-F@B9$$7ddFU&_OAHP@uuI;<7 zPy&di(-nCA?fcxc9lC=20@dMBPq+E;mSv4H z=<0CE_K0&3Qwp^H)}Wm@14qQ%`EeOLKC|;^}fP*yuBO%Ev(cy!4vZST%5vsx&z~7&+dVifIbS@yLX>K z)aU{GtgN}V0l07iz|e5$+Ni1E-}gQjzL1bM1W=*e$i66Br=;i;U0ot5+Qvu=0rv#C zQ^RD*Ic*}IgpPeB`69hS72P5;{0{CM!hb+(C5FhzBu(=+omnNR|A7HjT6ER0t}oyg z(mHGXVpqIJr8GUkEoR~ISaUrWya7f=4g)=aRG3Rc90(2$nwkx6jK^Z2kF=Yy>3EDsB{nV1aW+lTp*Iz? zTB^ra<#fM&#@_Rh*OWG8!LB2?)0a_i0qc;Iv>LOO&mnS$m)9=Ho4P9Pqibizg0%MK zD^c*Q*u6|eW~OVA(=d-3>CTVA)#l!X1Q(1rm_guk-^nRAaL$nsBRPoH_{5V@v)5z+ zhb#0R_hp#EQOvmb*b=C^ot;4)M8X+4p6N|k=^J1@gW^7z^oxFVVz;(@uq*}pp(c0J zSguK~0W6PgzSna?2X%Jcc6#%HWuyd3`WMx-{aHjq>3ty z+f<{Yqvhdk1GzWhT{gLUW6+{zzk6zoVvteO*3{`K+Dq!(tXTzn;fC0#0uTNy`19Uz z?E?#$jTu3-C%^l}Vq&viNN$bI-?A*a-j?(ZrV@9S;~$9*eyH>6`fR`5W!GfKz;La@ z5Gf>99T-{G@mlg3%T?Hg>dp3jBfmh5LP9Jd%RXgx#?Fny@)Fa;8R)`y2XH zytIokI^v#mWN~Hb(p(&NVH1-1S@R5YzmBqdFuXUBa!pOA+^pAIA$9A4F3$VHH-2~k zax(FDuBi`84ch=XA!>pv@wb5FK;@v{R$b>CuI?ZqzcnZz(luH$eLP3bf$2p`IMc@I zT2=qbGs((t|J?buQt4HlR;#iMq*)sk9VqnmCZW9IskNVem=p=o3kE5VQ?Sn^Dwe)K z0y4dSvGi#udh|=&kgFEE-5)R+wTFWwEkbLtiJ{)V$-KNXb-3NfwV>Xv>V&ic)x#(g z+c3Y3PtPvH9#+o;!~lU36(rH<-#cjAM|y1SottGj15T)bfWCB*UE6y<*)QFWxXa1( zU~Yd~ezoC(e+Oj%G_J>~r$%I^)UeLSu*Vs-*xZG3H+?(M=2UU!VNVK0W zcKb-k5HtvJwMNqLXG%t~{SQp?@mMd${$Q?l(zv>m-FhXGgLYHKySH_A*6wi>7zl5o ziCT=M>f|tDgKVR1JfHI|m9a2qt+@0kOQBb$x3K4YGL{VWdoB!-(Xwg;kfpm0*A? zi+LS_L>?(O^((~1K^`wu`JNAIqTq`S&7n_$T-lbJ+E+1-y7g*w%R<>b5}b)wGADGx2_?T16mjiefHAaS+{)M@+%3M5;P6Gnn2 zE3n?eKAr?uBgYTj!O-{tZy<|61$RVjfzHdVm(s{9q~$u8E@0fAL+QWPaPS)OXWDqtXkJAf>Kp1N9p>}NXz>xY?{K`QQspH{X(T_0@ zT%<0aC^KhxC@BP??>T#|T7H2#`v#Tu#w7uSFvQWR0KJ?2XO8vJpb8etKkCaD@+t<`!; zJwks}*s|c$?Sh>Ib}T`exPiFx7HYVKVd+gECBogk<2Bd?`8&}~+7DT^ES8R2{>44j zcG@x9oeaS2`xckJhK(>J{3TtzKU-8(#-~sM_?FY<)f{Y{Qo;~~Yg^v5f_jTgYC-?- zw6wJOn)VS@IA>2bFP&bnm!>0~bKOb_rmD0^>c72cWapakrV zWVs&nK@`BqKyni3{qTJHOov3nv(ahdccI+v>0-H$u?mrRL`r!26q|uobf`k-<~6L@ z1`-pc{91Dln}u6IIpSq&L#FPbrP|^mmGymdEr@y`#)=ZOhhtPllYZuKb#`PJVf;6f>kf9<<_q zQfckwJdp=*{yym-rfv+m{Y+wp>O&B|&&S>KHvMWa9FeR2=#BPH&gMx3|4|;o(4_wa zdc*oFQ2A>49syFlK7&@uEi51504JF|=zhs#XNIl0a--c^=#Nm60zgSBhWY>{X(bwp z9SqiG5^JboUIpWu zOiqpp<;s9o&DonB(rOYdtA>()!7#*CC>HbqLTwzYRMW=+IWu=B#wO0q8|>f^*Aq|0 zb~@38{8?I3iox%bNTC8qU7qUso}Tptd>u9L5s}0c*m_X#j%70|D2djimA#6Xh%^Wg zqtLD|N8%9dzZR*1lmZnt*>ve%>rm|S*KuT6Spfxd#`?|@MWPQ?nDm70>HprlnD_tR zyXc}yM3dL-YMs@KwX8pnLS5I%K0m8WRA4{sY!N$6gM;BS$0!KXqc1&E0NwvE{t!Uc zYmxJ@Lb+0EUVl+|OS5&5xhqy3jDwgfr!bc_p90;sqE%R^+ZMP1A-!Kh{9{cdIwR>K zshI{$I17W;2By;s&ON=RT4R)^JP@)PEUiq!WV+%-Qn`LD$$liB0GM9LSfDC9d5hNG zmx7pQ-jwTRHvJw_xUEQ?hppX^EGxD{8Q4EFSpP3Vlv#H>qW1mDOR#VK&EvCD-qh%(!ySKRyVe)^$L^ zqM`GsU~y-Hm^@8(c(5-|&&nNORcW6q0G|a0+gQ(A_=mpNZknRbpMy4>FuxtkX}pbc zqP)=xYNXm>tJvrxx~$xTe9S4+K)%_2@@s(KEZqo*YOwNm?gcy{eR*Co@*0 zPQ%vFdj|*9A8K(Aky3o|Fo5gn9nD-?Z7@QQRdyT|= zN(q}^q=9sFgsM@aWi9yebNr<0?8XgPkM#L>k3{9V*dnv&j2*~nm93jdm6$`G- z*|=w{&@f8eX2hr2J}@lj!@o6O7(vxy2g-_xPx%w_LSWOOg(&wFVTfPPg5LZME5v7Q z%vjKLE|BIck}G1Q#Rn0|P-vhgXl(cK37y1%;-2DS>Ug2(IA~VPaH9P7b(s zLed^kD2S!g@w7aOO}b<$X}xDZ@N04-W1yS8Ea*6Fq>9GcDssC$a8rpm@dUiGN3iP% zgS)daK7y4aAz_^U!aa&GXwFfmhr7Lv4VZ5%;byXXSDcbFk92BJ0rRA4IACV$yo!eQ z_5c$8#nt56q0CGzeVV9&aNh+o9^#|RO3t4>QQ$ow=DbYNIJH4gn$bqQlUXFAU zgeU-8f)SP__buJ|!gKu8DDoW_iQl~#y5Oh-ec-pvvgVw1m(Fxhi$cyrR=L_Ei0ur6 zBu;Gn+H@nc8<5!$pK?|5P9UEYTps%?;dGg`BUjz!`+H2jXt*2c99h zQsMoDy3qXo{-{osobxJgndQeecM|SV`6VZDRkb^0b1N|lLDYdFkc@#5w0EPUxC&k zzJZi4ZL%9Dh>^S&Y(6_9AxDIiBg}HaMDq`5-q1PVsS$*ZX%nVg1d>P(XI;xkR$N5O` zEmuQ({PfHxXRT*Y?B{!1x%6?kJM(bRVxcp+QoYB!{3^&;{UEF8dCynkt8}g)%3K#r zW+EvtQsT~+e3OlV0`iwp7ETchPqmI4WTxroN0KJ5zTZyc=cvU^5$24}suE~rZEj$t z#5jkmPe%x;jTJ0>Pdl>8qlI{1YjO80eAhyN%R8O;znoa{@BkC7hGI(H`(N~#vz-H( zU#@K(=B-MS^*}l(B@J=k;>>|uRhUW=HGP1*yi~dCv;qirK+*wCSr*Gq4m8(dxKhBI zfQGEHypSUHJKHiC{xywQj5F@7mg=@61gs-d^!(h7aky2=Aj3zh}Rfek?pinobE+%$O zOuI}uIqLuHb(-=0z1OKw(*i`!{<~-()!i?IzK7*G{!AV;Zv_DF62AerY;wqwIZw{J z0QqvSLn}AXIYB8>h(eqC{5Y9u^@w7HZr?c+a4c+-24Z#E1RN$aWkg|`@5(?7L6M7h z-$XgV*&M>K52he7VMacfFI6Oty(a$2t_c5_m=nWb4#8)dpgjO~BduBSiO-qO5qF@O znF+0Qu616*z~}+47`VX2*Uj%EzcSOB#oCtq4`60_vANpl;ClOvo3eYM4tv&($ z!f(suGzj39@779MjTz9SEvo%M`K8;R(wHDrW~$TM=j!TG23G_l{ub6qf{4zLD%?3B zh@jJhchUmZ^BK7a6DNSrCAx?ZEulIZPTgCPLVo?1&Pf_o1SUZai1^HDkt_;WH+E`$ zS`c{luw{K`BgnIN{GY8E1CQ8Af=H44FsuPUT_Fo}+d**>`#EFYXJJn{pUZpukbKzg z*Jpy%#1R_A&#OK9yw$ceoHG`={UvTsS05@*z1Cc&%q zNh{Jc6icoSBp0}3_4SI>Nmya@Cw#b04-IJ5W?$8Hc7XIC#Al2=I0sB@O@@e_jTvZ! zbrb|)P&M}j=b{n+QS8INi}xUZIHVK2JO&YbDLL;nb&f2O}+NK8Z;&ZdfttY zD;uDuThd~vcY)|g7^*#|i=d?BL4jQjrauZARaMljItvt=smTWFNu@y6s=b2=!%9m- zqzMf6z_vZRPQlaNor)SXcTXMptg2TerwPiMlDhjdBSl3(XkB6_cNeYi7uyH?`?pCh z%PP=L`uL4N)yz(ss6%f`iWPYX%WUXJQk5M1{MBR{Yk=irK+%GoGW)>f2tAIG6F#un zbrKcDV!$^ntz2%&0KTE*|0S;P{w1!r82kr_>!J40mTl05P5uZgaGOZaxaONu_aFXz zDdLB96&Sfp4Vtw!b~sf?wp&!K>BR!suI29`SH0JrI0Ruu2Y!^dZKFsK?|Ln}c0Ze) z0W`BS0)SEC^Wc}Q)=5a2+HTCe7ms0#fNZs-9P>i7bGbtsQf1IH9H%&|2B5A=!oF3h z(KH5ixdEA;ODW?$CWT|dIxs3R9&W9K--tuQ_cf6$iSmI|z1 zNk}>IX#DTcYkuNXM^$feGNug8sTF|K8^A6XfuNVoj<^?7hbdJA8Lz=$Ue}?9pm7P? z6fm($9ykOc+jv}ab;8V71t4lGVsjbvDS*P&m!^)%ZXxxO(+kKGK4LFJSrg{`E0}+H6Fc;LzGzz|5`JXfSywt*1gNMnK-SYH`Sv zv@k%RLS!7kkMJ!`)-ebddn@Wu5tyoRcvM@Zj!cq5$lKHsV1~7%c1jTI-WZaksJ#Zw@ z?*p;%aDplfCKY9=G#nu;A9hpvI%JT`Au-4ULDPbqlH1#0{w6r9|5)qles!;Avn+Ad zx!ad{zCe^%Hvp~x+(2eZL?fvuV}ccrto`>z`MPTd^fsXHhI0J<(i`AIJ!)8gp9WdC z{uSENq~38dUj7eUy#gfN&|9M3RtqiP>jyW-ij|t#{MuD=vJ8&vKQTOZVACIJ2#7%M z4sXaXkIh3%*cpJ1i*w#a_+=N!QFa=Za`oHZQu%eQ5Sg%KxwDU{0n7Rn)E|nn;wBBnxR;xxv zF%gdoEp#?!KE7a0J&LQX*M9ra#yz;H&X+DX#cxCFVyCm2au8Rn4Q9V?qnAg)o_;T} z`_8fqWXzWl>;L(f1GW$PbOo;QZ{qHo|9R(Zs~m+T&fk_JxKat?lhZo)D|knw0TzIN zi6Dg4;?EZp*Ab)-xD;`gRD(owZbY8ERGN5T<#A7*^a6K5x@KJl>j%vO2~J$FD? z8Zu&EQU*Q!W%mlfFXAMcizdPg6)^xcNNlRxv? z)m7l66z)@j^UBpcGm)pU_NlY&`L&FetWnTq1Ou7Cpfv)tJ7|4a+Vc!Su|tyq(kW<+CZO7iwEq>x(zbw8$$7qO*hpHWsE% zX1S?VVLB9YPjFD3IpQy>gvob}4=Wy6|8Nw2T&s|6-Hse1zyQ0-Yo)?;(K+G7JsXW= zylnr1)-jl*exzOB6+~KjzZt_jJ~u9=3l`UI=;$0z%gWN?3=r8`pY=4Iw;7{~Fm6t# z{K@0^@x>?dN8V;qxq1iHJn zUEz&0sVwXp7u#rV8g+~_OO4PLmuzWTTI8+-U-IQCH8xCN%3t8!txN)w2MU!LA|!OU zPr~Lj+ehpWM#{Ld0XBb~JevF@UU2_&!(-ljj_`}}Td{JH5BuV&zqajA9lBSU)#A!g z-iK);iOI1N_hgfM^L{&}Vzh_<84Pyw`T4H!4+<|$%#w9ZMf!h2?ggiH zeXaaE{IQ$HTf5%j3#$~1+wKE-Bhy1zXTlra(#j&P(%qusZC%ETR5XLL5yli4QOx(c z{tryye}=1GlfJSWdu%F$P9esf@5cN!g=>9WMRiTZ$Qd~fPQr(hhpg9`PJR^9 zfM-N~9#T;7TX=aF@=)3zSKRi?^zd!FPih~3XVPF#WJy7+XKP)s|JX1ao772D{D8@- z^Q+WMa7hr~tmLMB$F-v^z6T%CX4ci`c=$tE%ew2TZA$(XvdKeReD(EV+6z3@?a{ZK zau*#g z{aE4%J6l>IsNYQ3TueGWJ9VQilCqCN*z*1{Sna*H=1uM3gV}?Qt=bc4{mLGU(mOMO zp-{mXlsTMloGKD*a9KoG`X*h+5fJqVyQk^Q^uZ-WT~_v_+2fPh|I2ZaXCi`+_Emio z9?o{gEI48}m7A~3uq2L!ZMTx%&_|%C#F2+8JW2B)X?10*2HSsLZN0@)B0Y(ISNrk` zIzRh4!6jPI-e|ZmDrL{)c?v&J*QTZUt53EZ(B07vjkKRhX^lE%ii+QQW3#ij+ogK! zc6}F4R@6Ch;YX1&ja9-1ZidLipyR~X-gnU7;!sebOC|a$2W;&7dmGbFn{4w~CcaU# z@>nJaKPeOKdn;l3&|t%NdAjb&QOs$G^6X8M`8T_BG9yjJ-C7BMrSCUC^-kj`tAo{7 z2&6tOrQ@$Gpu6)?pH9K2ts8^b4QF9?$nOt*u(&Wb-eW;I+Jx~Ht1MG3zK0eW5vt^2a`Cis}2cqCu>=BxA%3fUCRk+ zJvR5}h@Jt)?DMy&KQK38?*?ve?qPl^yv2e$7{+@K*ue(o(#*Dh4x|-u@HZ}4DN^(> zO5lo*%8qv8Ns29-ityvK>p2|zc)LF)o<-CYS~N!wgN^^~lgxkfNew1tY;EiEs&6J+ zbWM!RO8jM6r7M;h83mc<#Re~ByO}EC(FQ}PgZAcHgIKC?yPV;YiDj$qzzTkwmgz86 z{Llv1;?j`O)SA7r?0J3eixFKHJb$urSXL=1c9heGA77)lL2I*C=kT#g54;i3-rDFto10W1Z=D`)-0kzZ-B8FKumys9{z2z!4jp!9BdvC3kk-fc)@>#;3>ZH| zwjak)ZVL{cs4c@VCFJt9PdRhgUoZW_(naNQ_nX`8FDj*vA|j)fMob=^uNVGja+P`a zf)>21Q;i1GW7{nSjsmbgN9moX2JLdxfiG4K36Yh%c#`j!VDIB&Z($?ho>+$I$K)|{ zfYuf-EvsaWzb#Yt)`~y6H}h!3tYb>KBw;iY-mNM4r*rJxbKj{(9}#pKiel4rX3x>a+K(*1RnW-v z?`de^7UjFWk$5(xSl>l({Ca+%H{hpv=3v4eg3m89%vWczwOI1taK z;dfFXvg_aXL?0`Pxkmmw@DGoh1y&#i`U=3JjHPcCb>L zBSuXsre;0r_WbRcTPPM@ns)mPZ!dvQm2!P2_G1@^NSn2y%;gyQr(!121}`c%$-h$5 zYqpZYeUg%~<(h-ZW0Q!fZa1~@{XM=@e)qt4dcBeqRL9ITel8DS+6eTxY9CBKUjBOGgpk_mkt7o)Zq+ z0ztuw)*$As#v-jpTZ={*F*Su*%eyU7w(d5Lmh$Q9?^m+xCg;NjoFu%bTDPis=##5# z-g4ZquL+k-5S35E`8ho5QoqnvYbZ6i!_MpoI|xdm(3N9RFMBKfO-L0&YtGlacx_J0 zu2`4GhhorJFrxui!3uOyZA^L5HnPa=I<_}BQ{=M+wg?FTKU&!74$iqy-DO=x9 z>^p$Gk!QXiQefaad{vDXe&tBMuh&yIrv_rb#&p{^0Bhs>hi`O zriOyEyThQ$^NVSi<``9&aSOo;F@oV7FW}~~Ih~7;l~oL0VQu?M;p3+#q4c$P?}sIV zi8J-cL0tpp>YP8aJNI7nd-YuhpyU=-YNPOGjrKkT*qmnZ?!NXLp|u*x*~3Z?{+dmf z7w6F=rKi4jETWZa+Q>g)l8w~qWyO8d8gNwxqlDZ;<^kF*r&~(eNazp5CpZGt!ZXVo z&ypEzuXO*R%!cEL97|hkT2Ahb$J=XFF@6ZVSp)z5*B;sbxD^n3al6zr8C?1TJd@=k z+^4*knE0AMCW9;r70z54PHj4vt38!>PMbFRk2T&Wx+8LFNGtw6GevbEaPdelE;p1C z0^W0g1%i=zx;L4S+KV@&YWJRH(Md}vT~R^NN*%0^em#R&H(ECQ{x9+U8ehl;$)S2t zto*eFA}ELSFlT=jwzJd$847>1s2GJm3OLcra_vEQA@AfO;T2(8=Qn zVG&aNKFadU@{;R24^)c~j)Q&mjWygC^^+-O-L&US{0%JLP<{teD5FSZG z8ZGT%GZ}4Bxn^zM&WPP=tyG8n2Le~TopbQf(bfst`2dibKl&&PVpRI4_RZJ{%l+{k z$8va`|BKWXCIq9@Hlu{jl~57I>a2c&fH5SlfgqY@{-6p=e#GxB8x9W zE^v=$JC`|M;?rAy76>znmoly#2p$haPor)B7%|ARx%H+zqA^3vFuDtZC4%ae!~O zW6P^uuU-jcj!woKTK|vNCl`(^sqa$f$4gI_*?>r&#%ZS&UbhO~+hx^iPx2=Sz1!wt%e*}*XB_el89 zI{_J`0`qB}B_LfrAMl`4cAh=jBm#TU*s8V;SaVn1t9DLjO$UNuSh z2psFy6VsJwPIj|#@xRad7~&|;TZccUpKX7iZD;{#0RwabS5}OcjsS-y=e(X6y2xps zS+l~DG!R3{5C0tb_@o;|L}Yk=|7rit1H4Lyqk8>afvGl7`g`f0P!4~L^Z3Twk*c)4kQChV-|~ZPsN#~4_&mUeRj*9w9F-@saxHF$rNbK@AlG8 z^4Zq*B|g=*K51)yu1Komu3@B$JdBHiJoq@@J}RFDpV zL$^VQfOI#~-HnKV#GwyJ9U2bZUEkUVF6eK3@4jO&?!AAUz4uyc&iOpgjBUGN#mPLJ z+RtNQx2tkuxOM?mDq&2H`?tcvbwg+mDm#Z~@8bBK*KG)i@w-pn7!_n89G{EY6g)I0 z5_cr(39-r;20U8JQfrx8Q^;VgTE272Ia%AfxznD>$ZIvqv6Y{{p-NBo{fkF$es1S_ zJR7<)b0_+N=;YvoB3Gisym7|9(&>a&$#YMBMR#87n{5g>ubb@XxTl(M`Q6c(Sc+kH zQV#_!;Sh4W!!~a{^pJ_7Tnq%$$)%9u829#%}G0~rXfmRE+5ce~gv)!14+uHw8 zlwt5O02cabpxt`cr~XHqWB=wLZ=LtnV)oeU)U1i?#wPo*c0c!L`qIf34WlUHpV&Pz z=447=vP*5Le6~41q^FJTL1gJvJ|Q7g$f;}82~H7Odv z#XSv1b#%ZVA59_3d6qKiSF#RDyp}A8&5uTd1Q+=${DEoeXwL>I>kRntiDQ+C=oC+Q zeiTl$doP)H@Z3ng=$Xo%>08a2dlY~!CO8`F%h5Q&6PcZ3S)Db%#gL61FA((Ch4hRN z2^3pw#{XOTE=`8Xp9|p4haxvg>@Rfqxbqp=qIRbZoJ_T^3=bylE~#_Wte`SK>_zTe zki`#|_<|MU8m&v2z8tc;qAP9(qw`I*D4VJCPzte& z=_{F_!;mbq(jK$f{|XPlT70)Ytqj13m4JBWD)Y68?TX8cV&fr#4LTG7Sr;~H@`fvh zwj)G)*_b{01Op3)cSG4 z>nGabVze6~ta-}$zS_zpAi9+^3H0zOX7sW34Na8{$qzI7O4OX>I3x>g_b0l?A#MpB zYk?4zC%W$+5u1k0^wGZ&^LXaEMz+Q1@BOQEcA$16+eqJe15UCCCd5r4UkeGzbC}=X z7hdx<>FYfl7@p7_G?xH6xA2>hr?0IfqCNO!|rx;Tcd+C#Rs0GU2hPXlXY7x z)i-66-G?E_UGt%9Kmihv5-o}USLoro9j38Ty0OXq5t(*_^I+~aHDd?4mv89(248jw zCp#|>*fUpVs>{d-D-xq?iW$2V2b0x~$ipVxy-I^6UzSThGz(0Pd5m|Ei3D5HO%+SX zmPGxopQuqSnP}}#WM4ns*%T8S*f7s|;|pv|^R;H*KR5(g{lrKH{f`E>c%%8{lm~FK zY?Si}?ySLZ8rzLPH1T`ZvebKMF-&*&Kqyfl|0=YjKz#dyK`CsswffIVlhKP}>46os z!pS9!f-R(C2M%tk9%N=484T#bu<8v~s&g$IYiWmL5L=({=##qjMYfElh*uDwABAsc z;VyC1qlnw*=IOX8%hTN?oU*`I)Q|M_l;Y(+TCRi9rY=Z*V>s%Q`T^lB&7>{+Il=O`D4cNkke^m!Rh1m` zRgCR>on7*i+nfoL+qpOd{mJUrBLBg;>iH~BR;)KG?fYW2vHsD(FrTSrVfl|{7tabG!S#xor3Fo@`wt4%u z(5gEn_t?xFT~$Ov)(fY6t2Lm)7*eljN-k~fK9zrO?4e_!b#NX|j4{FwyU32Pa6Yeo zJRBb^uKP*7G5A-P&rdJxHM0(rQ3+olM7a4BD{dDLt=JtznK~h>`cU}mB^M0U$$A+y zc&PUZmG4LqFdv(+DK4kUp!;f17KL}~xk_;s!l0BfjzkX+kc%_N&gp+yc&^$2AEP}T zvHjT#q>zZ%dRAlNM=8U27CHKg=IDWB{#-3WZL@H)k=!$lb?=+%ZZsEj0&3DblPq2M z9Kdwi#aL?t^l576$#I6jODu2XQa3k>dItnFe4=FUqW}?Mko<|sLd7Jx61nJot+O_39IUP3}|*M9>x zDw89QW}_N|^FgvRum2+gZMpwBL0t}8C)Y@>M#@@wRYegWL)F?s28W)_{d^*|m;sH& zbk>L6@(U&^cD~Jf+jqM1NS!$9m>fd!ZRo+W-0}1jN;eJubf+~Ku81clZxIE|_b5I? z<;btw?;t?L^GYx7nXVd(d4{!Kc^vksn6D8~yj8La0Nheo3uPl?89Pz0Xvtnx_|4I) zgArEw$|iX_U^hVKVUyDuTu8njcDxP)LO#t$&yfARy}&XJ1B+e=!!Ui{Y9A%yEO{8o z11ZX`u;_dFUd3o$9$)ZlP|!h6UQ_gvfaTps1*H%Jkm)a)=eduh5KUv#_04G`W&Ry3 z3zYV>V@|n#?fR7DSNWvh+HxSxP$1#TtO6*T$(HbdX8+*kDl^eQ^p3W#`*l{$1d46_ zg|hG!uLkY?MKGF(p;8EoPXKVAJNobd&&KozOb5PsCS8E_Vt72$cYI#SN!7rm%KL|0 zu`PYZcVKB>zOagpf{$5e`}m7YvDNW_q-LUC-w@GO z>A)B~TkW(is!P)2Za(VXHHDB}rXT!>vh`Y`ul|}lzLdnf{Im}fL4l`WU9lVP5r{vO zueSQLyW)k8PG-oDMrwkn3u8T1c@O($S5w(UZ#+90dvyG!cKCltp8{<{$obug}Dk<>_S#IQv>_GCCQR7c)VayYgDBH?>@ z6^~6#cx!+SB$OJc3Q-CchV?QurUFUer+1SNo+fesbVZ{>DU9ZA)UKYeSD{AJ=wmIfor0Lxq9T%&SEXK;MZz_Iym^?_WP;jD>Ha zd_&0oc=Wq7ZGFBQzwRV2 z^z${n|IeN!!^v9>(MO3&pNq>`16m)f5ua2exh&GrvkGVNXt`B@ue+75;m1U>_fcPx zt`+eS7JB(@qXy9&ldc}U5}=;IV3)EgQt#t!`D?AAw+BIz-%ggQLU*mVcRrZsszT)b z>kZY98yg+Jw4O6dejIyrl+LLoFOu?Kl_vD&!{OilIPcS(_Ofx0B1Ul{Qe{^$3He}; z;+|!|>M-Fq_xHoXhY3jqeU;`M9TrU1z7MQ*Ih*Bsd|@mD=iMWF^$MrSrsHbQZVWhS zc8SkvGLQwKw@Yqb!+7$Mq2OETgOaxrI-R(+!-j`~ze64;h~hROJKGBUJp?E3vdT@9 zrGu{@f9Fcm1Dw=%3vkj}=;2&Uv_xw3N?%EbOPYh7@1k>dZfVSs*gqAUF?(3}zi%b% zR@B@;7^bT`>uZ4MJF24O!Fdg+t7nZUriZ^201BN4SKi;1!Y-nCs8HU9~r+G8i4*ATiM_uBGzLH=4>` zTpY6(UfM1j#F@lnzv;lRL7Q?l=9!ml!?}{oXuTa}M-?FE52DZoAt|z`dv%G3#6Ud(w77wxcYDh=lr}pVXfsNi)Om z!q^X2k%Os}b70QOaW)G5YA&YDIa+Q1#lFgh3A5VCsXI(R`;rfu{j|p2eR}6tvPw5U z^&47~u3Oe<$)RSfieK7U8;qekRC>b5$+f>f&V{ z``DOD{rQ(-8k(62gy8!Dr;~SI`SWEKASh6iQ{gaLp=<>88|sHE2iD7b*^7+yE%VHszXNCh7^eB>19J#Yj2r)5b)qyy41o}I?^+>88oErX+ z@^FTv?RGNr#3-{=o}R);bFP+Pskp&;Q-;H#nz~~LtL1mOo zRP!MK#mCh|n)3AN&DVcjtabO1nEQ|(!Y5m4G%{&_&1pw&=o*FA6F2H@v&pjEOV`hL z)cdm9fw#OE?$*qxrR)XQK{>|=WZ%7V5fR}zb3&$`1hlA~OlBc=w z>wHO4qYiv-tI8t8LBk4rkWcw&X*fS2iQs=#2<0Bo%*AfA1wBo z9Yb0Ii?dpS)uwE8oO;y9*Rf<~q9>+}eve>jH!7#$h`%8_DYrD_pO+#OXW`a|10p`l`cH#WpUwP*L&q$x;G!k#8xT1 zY9U4bX1{#}FX%9e-!W;b395)p&~owkl{MwH^h+|FiNY~Hl588HI1Iw-S zDP2u6ld@!mm=q)W^n;DS*}1=1uiAm2v%QF% zDosLkV>%d7*F>>D@~3g@j1C?yRRtK4a>yivp(3c5cPlAk!h8aXigdgw0V^m3IUskP zPRL-2kzk%dlFH1g5DBjkn=dwCinrWdNC z%=TOfPJkwIjx3>}>e&WirjDFmJg!dVgP9rZOv-jTVk3kzi=~ZK=M&&9POlNQGg}>N zPi>G4x>4*CG#+(>P_W^)m*-sEO*K+No1N(Q?!7G4uWfE^GrS)iA}Ln|(1HfL^HT-3 z3X9e^@J>Cm`@0FYg2bMJ1>mK&`aAhA^r8=#|aE3%P})xk!tBMBL1ACn9H2EG0_MiIdA-1 zh~fvv09^={0=qR0z05y;un=;&F8HC+22KVS>FJCPl7~yQe?qnf1A#JI{kMWZ}9(oYh8n zPvf>v8Lui-dXhJ|WiaVtl3uSRYl^J{1oPO~mVEP1G$bkipcUc50|m5;AtL-{Q$DNb z302K79mkB3^aBgjHjQr!8SSiKL(q+y9PkQ;aqm2j0(S4nToE2%*Jr)s*fo(dY6@;a zy6{Rd!N_t)A)+=vK;*B=@Zr-&28{ORDCaS(o%JF{CWhjtTBsM~9WVOGkcPXp?J>bE zHk$##tZtaDrmsck+Ol!#WXs-tf9!QVrl;xLklfq+L#morqGPw9sJ94dO~sdsm)eco zxS8Jm%sCGS#gT`r;`+-2iV<3vstql~Lk+3W+#As7?HuUtqYfeF$^NN10p%+tOy*sVz#YB!Y6TFuUN*#WN*+0eswneXsLIvR!>1mj9_h|pbyaVx@|Hl|`* ze!hfW<8hEJsf_^c&F*&qeSSUQL8H&|7GN=;#OrZHOyLRo+~#ircIjE)bXb-(Ia=Ul z?Y%#92Vu<&`*KuI@?x&PzXIk-qwWkGJ7qhExKGq>4q&()Adh8d(eg^o?XURdeHOne z+p`}>)62w|23?}~_n}}zCW)VM2%kpf1d6-4wO?(YZ7x=v^C`0TS!aW2oF}yI^AGacOVjb}f=w zR6-OC8!m2c@RxBApBhKIS0sn&X9x4S7b+Zy(8&_|xzX*`lWhKYKz@1K9d2rP(Y5t9 z*3!)H>B9w6p_#ZBIDXGX-H5p(+~45DJe&*HwpJ7<1RtTn5a@ck6d+@;N!&wDi+>;p zUZvYTh#-yEi?+smNURSp1(YF!t|IBX(u5BfG?-OPj-qAmefg4#MN(Z@TluDmK_Xcr zXRN&ts?kpPfZ}Z$SaO(+-AYXsHe2U-vEs=2X15NC{b}aZsqF5XlcfLEae-f5zj#`Z zBEZnjPA4B-ne^O*v!7o6as+F=kNN{v*W&3RdA_4D_lKrzT$k~`Wh{jF+SWb}Q39&I zU+ml?g3y5Epo?YRJv~+%Nr1IOo^nhn%zpBkERUq1kPxAdJRB4;<+MJi8yE@~o0jo` zy^Ke}mK&t)k0yE$^Rs0z!S*}&mgFs*71_1|hsj>%CI1*Ug59d@g2KGs zvU7qyioi)NQR*K3eDmzSw*g((7&)j!WEiDqO*=0OANea^S0PZEmj~vh>Ey;LJ%GLEq zSMo{<7Kv&4a&;cc8WWGq!g|LxLW29DH+KBiUdHHe39cXR-G^#<03UU15;dBy_llqA zt&dBJwX@J0PK^62NyUDaq*{OeDL|yrzB-gf*H`~J0oOg8-f&)|DAizr^AA&`o{c!g z6+OMx%>GW?-zBp7GwBgD0rhQNlIMs1EzI_{>g1%PGxM;*#kf`7Gq`?vJ zs?oV~fOc^gTvKa9s;K5EUHUHcJQV>`9Z=lN%O6JDrWs0(C%FPno-)g)o`dDMrZwFI zPy<1BLLc60jT7h!Y1NQ`Q1Hb+^+2P&=^S_;J6}5sj}Lz_lRr19-BCiP`E%DBxrr|Z zUqH;S@H6IjDw+LJw-v1UqVEtH50$CdEGL*}r(XNo~JyIcczY31_3USsYj=T7iC|5`ex zqr;Bi9u=432e9WSmy79X<30xJsZSKQ7+!I77ivoX83y~&#PyZNgZuY#7aUCqpWGj+3^LgyAp5>1Ys6MO4w%e z@B_z!0MKoa7kuoQVv9KzLTU3hrx?xaQ6gcp1q8_JqFUda?W$+m4nh{9*Z0QUrm=34 zFDlxS(qyevsyq_!9Rsq^igIfJ!KGyV2{2bDElH!Yk00)z`Crc-^hyp|XRhJqE19Ck zT4nfGZr_=&v>)JvKmiei$N9?a*VY8IYMP-y>QBHrCwZf2KhxhT9si1{ikb+;(ij+wpIKOL;q&&o6(#dH??+!V1SDGo(u zPYzrxH*GcfBy?40=?G0j?y;PKii7G(WHfjc7x~!kUl*xYaP#4}-ccekQ{M5@JxCo( z`&{O7D1{*)RK%ufR_YO`w_(I2;zN9p1L64D^HvLq79JF6tA!Q_eJ#V!9NmzD^pVr* zkHW5rG=fYfr&sYJorT40%O)M!O;az|U~osmr?KUI16Er@jGps7vp}NsSE!bx!-SQl ziTK*(JC{9B1Ng(k{%v#+ov@j99S|n9+Xx_vfXBvi+$LEHi~e954&8agaDO&FY<1pu z@0b4g1zrh0*1?ESC7yi%^O?*zf4^SfJ zyITR(>ioiwqX!e2AUvY3=sFfw90D(y{MKI$T*9J>=APr0=TGqhI}nU05e!{T=hV~k z$~3H$FDd-TVKFoxTJV?133Vftxd4^pm^{`H%OA;AsBhfAKHX`HU8N7jA{S>y&~j5@ zb#PII>6`GiHGdWm&_R<;cIZ3#nU4_~DF*=^j3Way`sH(vWh+SWZuC$7CaCTO*jLF| zO`($Wx8JXG`lmYtc+?q?8~T~orQ1jp^7dCQ#fOJl4SsqV^U9_ygRBcv2VOuhWF;iM zXy*YcqN{thHV4AtIsC#pQoMq|emwOQj$SLvpWhNXhoPQOzt@Y1)3Yzv>C#lb&laH$ zHb-Hm9%e|bf->uMA^OsD# zQvYrWyR}{PaIo68@ebefB=p8;ntj0{Wsw6YSV9qAhKc;_fz|S?MfNW$heNvfpXBhE zO}ib#cEOEyb==b%9BcBiew9gQt*M2#%qE(OTd^XyQ2LwY&PUu3i-t^Su^cj?)K}dZ z$QCmHc}UB+Pkt9k9n(Dzk?glEec_?R$vf;~`mn%jJqtg{TzG`}otQnxLTJsU-R z98N)j(h$FM+-AQR`@Ck!)b%ZsgbxC`+wqgTbHXcp*+A;s2}AR$)TBO8QWC09kn)$S zrZ{uecx7WPDyzj3a&K!qVw--OaS+l~ZXkBmuA4sQeLekDGhy^;th+g8k7B{)Vv{bT z%W4*H9S&c@Dcc_y8~`^1e8F2601hy4{FvGVo$uDU-o?Su=XuKNzP&ysdiR(qXqXrL zC-lMaMB9j|mj*)_l6~~Po==vdn6cBh*pqM!nJ2YA8t`TS$GWw1%-K;?{#C6ATqo8n zP?C^c2Al-C!W+i3@TXy(A3$U{y4E0FWRj3o2+h_rs?Ph(>ouD`_%=oebSGJ>BBV_M4RX3rZ8gz(n+ll!LU%W7lTwIGVIRNu1=BM=9b10Z zB^HQwY?fl-kMMC6K)$d(aXxyi-X7YSxQVaTh~@k365ZB3`Fyy>#t5Tb18Ol5yI`H$ z&y}Yc)7kfu*S^zX#Lf{f^DMj2U}pf#Hs%qP8U%`C^d+7j=Z@Zj9z+&2BxzR+j^YzU zR^(NKoKZ4xWUlXwh8Z+dt1b5}_olLkW@O8K&f(V(4L(<&b~Y{4VgAi0pd-mC1@?sq zR3ui0eT|Ji8FvJ2jf3Fn0dw&Od0^Yoetq+m396ttEgZ9;9!zC2Gvz+N;tGX5Jn#GM z1H|im8wENLL73T*U_mFVMY?C$NG=QgFr(SnvGdS@$o^3c#>M)Bai;^-11-X* z0=3aa+$MN+g1-Q&5wp-t1$2?blv1pc(>63p@XxIvI@=1|Nc(-5t?3R16l09%w_R_B zlZCz;s=5>tVx?ek(G~d%q*8EX9d0QJQ7Y|SfD^}N715_4f&4p@4J>a&vxMg+|D(@K zbfA}=fE(owh00>=L_KP#hy5`EJvqRoF+J@;!C?Wv za->t!(#^-I23Op?vCoHdy^olk+h58AxQItZj$?-s7^HFc?tH)4bgX3a{e?fJwB<8D zd^t}wV4@>EsacU(RolVDU!+rUh)~0M-t=XI`hoTaF9`eW*WI>YESGw+dyPcS)5<*= z#fMYIro|z$p_d_uMZZj7@zHEp=to8O5C0a58bG;d2WMYE1JcY-)rM0_gAiEPJU7*2+t>#!8b&Tl$wWOEBeZa=WNQ%FPlFR0}dOF9yV0%Nz$qgi<5 zm!D{R{Lj$8zdqXxEc3AnfMDHTn@@ejZfq+wpj2-&GIG?}Mm(_K8=RE2*Sm>Ycv#WK zL-+aSkNy@;rgp1nCG6+DgFSJ``3QqW2#SsHD_DYrw+_R-!e8B2hkGT-v3D+<>+1-N z>z9;aOOCP@qDuY=-5j-Yd3}jah9QPLM8?qX2TxS3g|#x~XD=s3Hr*Y0;%F~q+nxQA zJkIT~*%a#>V;9L^)AyNv#?<><+|ZG}?2bIm7hwqeQ8$P`!VuCHsODqUJW+GcJ2JhF zsBiN_H8I!t4@^4K?kne466^PtXVJiSHyxz=F%%2EGxN$H#`e!gyn%3O`y|w5_Id0n zA;=j0u1toK!W#YE506Q6-j2$DhTWINW090mMky#wfERdPH*d63fTL&$&pEyN?X1)u zo+)R$tTEUKs?Fk~L+f}Osa8-N^s+e!&6xBR5B#p-;514XYN!7xYq)!#p%fwJYa-2M znmz#peNsSdMm#I)0hvGoNSlRnZk^y=Qd*A|%fl;QNNV?VGXwJuM~hfWpZns_8)5UF zOtHY-Y6&{a2b88L4oIBIa>V@hKo7KA5gJ8sye)BzJ+^PInxFfxSNkpROni~OAvdD1 zqtR4olD*|A#vUSFwzaWK4Sc+H=Y(2e9a(BB@QFnA@1LK$sAN*%y>N}Q1)}Lb2 zyWeNRnY4Mc@ANNCX;1OduNQ-I$6tYE(rxS2$lpe;Uccdc&TR4P*3PtWq7Yg!qp%BB z!Uo4f{CFGo#6c&STVhNC1@a|7zYV1<7lXjUv-8 zjjMk7c#&n6*^Fj4xADKgTL#3nEZw}V_NLbuD<>$}rJ6SDJHPTR>ziO@9|OEo`A^A@ z!|2q*ez#@;xewd%`bP6N8kJ4$xgI4}ikCho4_m#ej~Ui?5Tm&Avs`4@D}tP{diKLe zRhj3TTuK9~bF8vr&rN;s^&}vKvrLv&d9#Yh$Cf7?E?^u-Nkyekh2yTFx%Wv(t88gS znn99Z>bSFOxD%&qZL*T6p-J`v5sMpCTaayH>}>o!k2fHCH|1?1z&)*yru2|%G)IS7 zq3{_q;0^UUh-Ty&(EiV?G5*|vr4dnT_*W=#u|N8{Fn654suy-t5V6I81X3U3%K7bb zyQ4ir7N~X%SDH(h`D%(jb{ZDfKAo;rIHwvn2o=uqqmH}!@MthfqN_eCJxnNaH-$^S zFhpDIS($-sb^fsyzI2%p@3#x?4R%8yA%s`@(NFWeutkP#DZkW*VWGs*xHKH4 z^6|VVn%Jc&vPyU@)71BwJF`Lh|h3+849mXbL<4;)qwkC5(!(xm%h zLC2>kgmj@q=s3&oZg`lnvU(_`rEPU|*&75?oZhsy0p&@JD&5&;A~pV=E9ZH|fR-jM zTS27@JSy3iFobX}oqxKa6VF)_5A5yqB0im~h%rJG&Ts!dqg+2Rk}pdTgf~RyLiUaF zGVLDsa-Ot=7Z`^!P!%CLBO)o=uFT+Od*?`(^Jal*T4^@0CYK{}eB@9E{`NCV8ye!A z=8_Hz2s0_NZkVS~2p2-~(J#gTdFnK@E(zG+X6KCg-uajoQXNQ~X0;=aa9$1()Qw!5 z{yYh?AJI*B_EUb`c}$Nmf^?MSimTybu@b@$o>p=~n#`YY9Q*ny4P3slKRecE-e%?$ z#`8O)^ZG}vyC(YLuX4|7(fX` zBvj!P7LG^+NR@mH5_;%9WdD}m-t5^l1{kK;L#Qc1%GH~QHKHR&k;*$FIqYJYWToPM_Yz}*v z)Flfhr^MsFVVu%wYGzRAu+L;4Dy%jC8?orMSTd3w#LqP+b61&wWl{3T2HZG; z(i^*HD4EhFN|vxAj+}l z?rjX*5zGn^VU8^Xy70!xWb_u?Do&Cnrd=B3kOsvzKn?TqDB=4(u0G)0wiPGHVZ(3{aeGYT;Ivq0utGMmx2ic+BpV`O>y zcAkSUAdg$aw8Y{tyQ!6t=kf@5`j+#us}(byewEejCklpmSft#$%Q=AN?9r}eyr3n2 zpvnv4@I1*e9NNv0`j6+3oWP;6F8Fj?;GT?66He_Ng?gWZxEGBwF{z~n9hH;(Ogxu= zdfFY$BG6c+KCp`=Kp;dg}KMgDNX@lF;91j2$q;$KBY_H#E#| z-jb`K|8|K^nY}U|=i-=f;Zk9*@QM?p1%#Qu2eKd&y~)sCH97f#9DU#adJ!S*&FP&{?8rc#QS7I$-7x^>2>;HWX*GZued=xAMj!}wLv1nyj zq;{wJ;0274Cm>^J_Y4;klAz6WA~XLF9(qgPfzA-gU8H;O^;b#dL)8DbY(8rM_=)FolRIlfqoKuu z`2-me|LEik14(Ip7E|*XOK@yIkCw=8*s-QmscL7J##3G)(29?UMT>E(ZX^8^iw|S$ zx6(I!^)I^GAaH-@$O6pZ38hj2I7v4&kT=!&_Ja6-thT_QxMabvHGYP`E>Sixc1)3C zCQbi_Y2?=2>dsbW$8w;^Ef>b{3o%Y z*aTI83-f1vlr``A-Ohx{!}^Nq09ue>DK2P4D--N>gUWw)^Z$W4JtRQkN024Eci^3d zZScdx1CuJe^RxacF^g+uz}tN3BK}<Ol3|0!wQH63NXQ7DG&yDXoqZY?|5)Ds$9cT$#e*x~-(|*;a0}Ufecb*;i5U|=i#3tY=1~~rmdaAWTp{~oC5rMZ z`A))=9zey|iU=`9(a#3V*_!?qhd;Yl($F=Cl|LYE(&{~~tz!i#K_GzpZdp6pEvCDq%=yb!Xx?8 zo~~LbiriCIq>tMWMJifNIGVEXe8agIOM&}%MO4cbI9ft6+;Vkm8muRBhTr3nE%REf zki_^d6i^h>TXll0z$6=s&?c!?$a}&RJ8gX)grl=4yu+*cx=o+EZcliOUOmxhr$F}t zLrMBPPpuZlVY=!t_mbWwP)!KtIh4QwH^lA(sii8~;Hv&V+v9pqnYzHsP}wJ{$m+*3 z()bI?MBGl!#kz2hN&9J|#|tTd<+dY8`}5TxgM5bkDh8tIb9$$IJLYuXFn9HH7(+@Q zmOe?jJ`+sP=^Ew`XJXnO$EjB>*Z2JxU*@h(%>Iw1tn@IY6B|UszW0jD$OP$vLZnm* zLXa#G{;Ak=>m~DaYaS1o=** zmSV_DsG#8CQw;ZS9n~gLI&DBiSV^b`uuGxv(mI(kydVNJjGaERi;2f6>Z3MGUFW)fU*)&Vq4qNs>^eZuoiT z68sHZgXN7M?YK-kkZ=midF498v-(>Aq-hO}G7CIj=;Dxw0D9+gtM|lyUH31wYI`Rd zT3g22^k;tiB$H)ms|>K+GGec{B6|o%+1e$2-ayrHS4x!Z)C|Fc$8w)`J_ux69C~(5 z&a7oJY3aQOk9>iQh5y~p1x)E)k8>zep3zP@p!fr&9Mf6EO*2RbXo)re-%6&@ySfaa zXujtp%X$~jIWSuuvKk8QM4P5K`RHIjNA%z*n(AyaqPOvMjWxZ_mbfYAam)i{+#bGyF=JjNGgnJlOlo9drkEsjWwpM?7l5lWGR^Jh-_W!uPOu&*8?`oE z?`Po!+R*F|kgje46{}E+6v~SCY`uhvnC9#Qj>ApGyuHr}HY^LlvHg&^?PkWrTrLJA z8bYz&;15-bmx=@LRpg}_CjbIw-33_ghAtoE1NpXTfHIl{Pv^IZ>}!aG4FB}{!-cQg zc=<$9W~&F&ir(~1@g}LRD0Nh<@!s?0KHg23O!Ts=+=5PZi(kLk_gf~}GL>P$Mo=YO zJB5PX;kwAN{TJr{)E*P{e3cQRY#O5X=xL$t)cSh9!UyPINi;Qi59? z%^W20x0P;uPgMj(anNJ;qK+o+Ea;@Q^hlq7sLGobQYb7$*=1t&S4)ScS90LV8?5UU z@7wqc9#&!##6%=^dV$PC8QxqL{}#jDW<{{ztTHx7P769^KnGmMHeSTu&~Y0IM7usU zt_jCOTeyafoFA?x>x_@WX#q8*K!YAt{Z8H!R6ZV60Z`)F0* z9>1^<4u97EI4tY{D4n0D*ox7`A7PHCJ{l~s%i@{;<81~0?=9s2j6~9bGtmh#U5lmL zlswS(O;!MqTX*>r9UUUUDcSD!lYj5uQZS{WOrZwux@SLbArtN@l_n_mS~Kkn0jD68 z3`Nfq;7fy#_KDT{5Qi{{pr;854AEXs`jwBD)U@vx&t|p1O`R!&i+pMK1GL9$Qe63t z53d1S*&dM1FZf()Ajs$$%JZTmg@ojclW_m4i7-6PCB%wyu9fJouJ4GQc)th8$P0cKR~dKxInm`aYm%!oEuC4l}hu#VHrh;iolLJAJTX?mGRX1Ny+C zDo1)5 ztTrmPYCLSCMo&Iphq?WUNM{!@q@1u4Sxe9uC>fLTb8grm?n5`a>zL0pIcZ4Uh{Nd( zYD{{bm5GDGecd6mS3O;1g&9D7d!nKB>cCEx55?942K2S7xUCmcS#B7jpYr(6KKJP< zhS_gwM^rcrDTIX##Ijn=r|w zt#CwqoZFgarwY0CCbJJ93(zP$mR)UV~nkY!tK{BoO7D-0fMXauS3eLY3 zJB@UpSLYSiACPjs>zT@yV0m59-b04L;l&9U{UoZbk%F%EdlgCK#364IHT=&fTdv-) z1V-Auo$H0Y(U3$4V8(3!`*JHoG!$ih6Apq%2dNzYx>9EVoZv6ArF<5&i#HMibbbl) z--6`9AQ)(ST)S}HS>35h39NH34yQugP>UoO-(UHGTU!lir5d8~_;lHOvK&h-tDZej;K< z|3|E*3BZ`C3JbxiFXG0EMBK>vRbx_zy67KJn}qj$m#nVagJn|XVZ>2sfV}mxx+Bg1 z68wnH9+eJ~ym!h{p(bA_G#jhgjQd%KknMDf(x-#aY=@^=k|tgrrahYterojU%y3pq zP6QJgSBM%PT8meVnumaFaxmS8%RUf-Gw!n$s2HV0OwHqL_Gw)nU^>pUSLHMNL{a%h z83s{^ghH5TCuOpuw3viLo#JxrT;b(nBb++H1|gvzQUNR$F4s(-ACbPZW7=~0GqHZE z*9a8*@i);f0Zwtx`x>wc(}!!uP339YJv|pl5FlPu%G_7g%pNKbBH$5O8o5E4!rtW% zhe|s!xSobh*966Llz?F+jmu8D=&akYZpbl&>)X#bff7{_5KLBbo*NA2y?#icU^B&^gXGuKr*RnDmIe42F#vQmO~h$N5epL0N61 zCH)da92ksi)XR@U1R*0x`{TD}+TGn-f-G)V@yxw_S3X{@%LQn8LiaO*S&Orfg)A? zpvKp0ve_02Ts_w0<{X(_gbDk%zgibGJx?LB`s_{&Uek|%Zm5DvMJgHX=Jx9EK>ggX4m&1nKVQai_*MFmNHhCh+%cnsYK!xZ^7YR`3L9$>7rUX8dT1dK-pUqWmWsMH+>Dg8cW1$&9X1Vd{6-*gcvNHhKlvU)CJMI-ckf{Xo+{Z zaB-&*t5i=85;7F+YCtsz)VaRBrfcAoe*0p3W}&;)!oA5_lUn#4RtuNWejbovQq80N zyDdTdRN8%RJ&zMGQ5Tcg^d$~LApJ^PhM(9&qGNF`+;Wc3jorOtPfN>_?H=7m)=kDE zEzQ&ixd>Q1=zRv}RtA~d_lY&gpJh9|_CGNdHq%L@L`I!%;vrGPA}TEo<~7(t+yD zFDuE_e&bQGl0Rzx7%evR z&V1ANI9qxMhv+C6Cg2}GYJeGA61|2)sQ^*He4seDHjqAKi#|u03`S($4)>3aflw;neE4@IkCt? zg}|4jqne9=)~9}81YeaP&8iT7a3xmM+bgyw2^?8h$7n$2t$}pYr*UCU`1u4)|p4^BPgO=`{@@0-w zDA2fiG(s2PA!@JA#vOhlE%L3%0Bj-D@r;MGid_!ijg|xGAv%-3#3GqS!}<=+)xs}` zmUC{`KK)QXxPA7l7(=I@d&9sotKG?;oT3x1@U}H02 zhcmic-A2JQAZ8q?od>z_Cj#l!HrArsuRa09&h^avG6$4#hPpA?BNO{0xzl7iJY0)# z5l|V_E%(n!-a&XyV_%Qiadm#znh8X}(+#fVRb3g$+5R^seR$7%yY$f+S^&eP@lFpd ztjyhsOJ16!BbLo-{8g8MN9x`%f5iSS2lgG662x!WA4b%6?U_e$A%F?VsZKF&ytM> zorK(0hypkE*2;7Tla=62dJq}5P5&QdZypHc`u+jWsc+knblSAoPAV1Bk$oGjPS%ip znTl)^%D#_|$|*&%g^+|0BMeyv<&-V^7Gg-2!5Hfd#>~9;Gh>+Pd%o}cd!Ikfk(%eZ zpZmV<&vjj&>vP@nSIe=54_4b2^mR5Qh_CYHFV(Vc(??S6#P+v?lSRUsp%CHyG8aQ* zpQxx9B<&1FSSeIdVwbk!b%W^+K)<W;YNwzfQ8cX9G%eS9bws zxWHOJ4w8nluIY;P>{0(QpNw&Txd%9q|F^3k1T`GQ$w2jk(jChOLEJc9@t;>u#u34< z%FBB$gU`F2kK&iWzCHLj_Vw-71DTiqNwSkVnIvnSDWm^3Eiz=}CO?|tx4u_e!4nRv zao@UfNYQELQlWTR6K47yrolPuKflbYC*H>YvdUTr^#5Jg6iST;wav9406b^x(pn}t zodBJls5F;i4Q->^mWA<7QkMR!I>PB|MeeIpI{||~)~A##NgbRI4IjT;dA$EA%_@s@WPNyG z$jwjIBn|^+l)hFI7utJp9uOvT9()}M{u4;=pCS$b)xh4Q;`0h+bS=g+SGYw6qX^dRaCw?w8=@?mj$K~sZ{dbE+RqQOiSNwCh zFd+SaJHIcux(8kK5Nh1E2XySx;pHuI>8sQxYeoa<>yaR?4yworyUc$MH3OYR)!#-< zr=es9&|cHrpN{Z>v(5=8Am0S;)LWGy!$`bNLG6?eUO5utv{2Ol^oM=C?TjkZe^m$n z?lBwL9$^5{bgB|SU}jVI?1VVG_Oj+cU)f4_9PEM53m%Nv_B`!4T^ zc&J8gR`d#5ri-WdXmW&tPWO`jS{?ZGlX-9=9N8&RNLbGd1JwEyhmFL>vXon&p|6d& zv=dg&O}Hx$x@`6I&qzlE{=Pvs->2=?ca;;cmt^@d|Jln7-@hrPsYCOycD6FmKIT8) zCDxS?>Cdbmj%|WE)AsFf0=tQ{DdlK7E#rGTyrOOK85CH|+~+ZHVC3LRb_HP5KURGH z5*Vv=cL!KJ)&-_^i}xx(@fCi&obm%xzkFHOQqytLtIv{H0twiSb$Pdf9AlvO*Gpz` znD`8TK4^a3?=5TzYkQ`}NW8Wij#w6-yP$qGg*(K+6>tV`U72krOA*5SOwS*f_yvjr z(XnC?d=0E9u-G%I$=?@AkpYfr@y9m7;~h?z$P!m-mf?XM*zQsyLh~(GpDbhSCZlPJwFV*JMsHn%4-1kB77&f zyOxa5owqLiB@-*>0TuDzB)_{@r(7~>@Wa}8Gap>qF^=K($L>DZQ5W779rkpn`T-Ej zcp7Z-7_~5vM0NquJ;*v%W*^koW8zPACPS>{-77#5?Ii0uCeE5!sKTjKv+4>4kQU^s zZWjyPQlK2dJj>}tWK~dKfgVf<2R!#aE|fybI(BLjjx^&}27xlwC-2005c3575^j#|HC?729Atnlw!y1ZFKmBbwE3x+T$y}VxJbKw3|xXocb$_ zMYjr-yWbN%SrC7DTM!1=*f-i6pEI@3p1x-1!&h|HGJ!>PREb~V3zfXHj+1hL+eoB$ z)y<(6)TzRN*BLvKY-d*L(H8d{ERjNj#9LIo$P#rI2PVMiFCQ@2cW_-^w&M)lv;(yz5?z{-K)BPbh7tAmG zd}deog$tS=81tI^cR*XB^>_+`jlExySRZXtBHcUrOI;^$CxpLmnJpgb`pDZ^l%v0G zgR01{7tPEH;tgG+q3|U64Q=uEDhsZ9xtN0H0U0A>TEpcTJVC$0(^m5nm zJY^B5HKMhU;K1cP!`6j4UI#RG_Te}J9A>S0;kB^2?(dJFfqtAi8z*0Rx<8Qi{m!F~ z*8#t$unR##%W9BV}=OMOn&NgdWmE zgBXbCle#wD^%I_4(YN@Q`c4?_zR2R`RF5;0?skBHSPWVYs{XHIN#HX=tA`{7qRs@k zC6+C<-31+-AcIAjj`T{AMk%4E(A(TVwpO`y@J(+@pVTKkXnS$t;S(qE9ydZ+mayH24={3-zy4TAJHdbfaBAV)fcmQEdNw&|=DVMG zpId9SZ5|w-!E{_D@$>Uny@!@(Bnxy(K`c<;vEN(~Dp^B4zl)(n94sgOpP;f;RJd^A$3NbiX6wBLAQvl*z>Ne9eXF=CX2i82@b1SJ zlE;GGk&DXP+zPK;06DOD_lq>JO;y8X-o-!-s`kZ)IA6BMonIf7l4LHm9!~@9fMJ)G`1uYQv#sK_!`^ zx0ApDc$BDOL35VEYjgSwNNH_`X*;}1w50Ge3ka&7xBr><^ZsF;1<6a*OZsUa=SVNi zcwS`g1!EiH63lFON&{aJ@Hnxl_qQv~X~tSF_H(a8YTs6#*)?^q+h4cahgzIIpRyOAAXd(t_NP0>qis(uNG%dh?cAOr+eS#+&Qb6|t)-QqhO_&gl|UFH=%wvx z;JfxWgI@aMA%jfdg}yfn{c1(P;GoVGsDpoz{8J_u~LmMkv5Y}07{p!Ua){#yB1#n>aRgy=sGoO3a;-nzMM z<9`%oWUd7f-ro%B{p?gb`^qA^B(tk$O0c$AME0|nF5aw}qt7U-Z&3uB7)T=?`m!U@)nwB){*o^Nkov)#p%A%(9hW=?or08A1~&Nxz>BjIk>$ z@zn8hbJFtKbuiob#SZ6@9y7%%Rw$z+!BQG?pGJ7g(H<%f+{EJ@F#C3>9*Yzm%BR>8 z7cH&xWpD|NCY~3qpKb3cC0_G!DUmJkZdI+m>|E^i=~J>U47PQ?8|8Z0hj8bPRdw4O zCdqOxUB`UxJ`wI~_UF!lo6oaV<}}^%^(4K%d^gH4Y=uw0*yiZrUf_10L2iI$U%bEO zoV4_FI^+ER12b+Fkg)KyP`6jgjA`Odjk3488oHe_>py4j_I7`)*e#PJ93P031CRFx zjD9R|`ZSpPZfIlbIM#?d6Po3Odb5W_Gzg5b0`HIbb>)_LYUIf?)NpyZV|Byo`C+Sj zLp6dW;4uEDr&kd?R_>(!nc-<0TQdz?uRXB1AI)DHc)nas@;(NR-nVl!#mwHTIdWh= zh$5)viusD-!Ol!3$|ky)H)4VDYFt7foJ)pr3Gv$IhK~;__AmYOVU}!3R@;s4Ew{2k zT-Z5acQs3~ta$h8;|FfCvWRA(D4&cy-4hOqDhpzW-(v3_O;+sc>6<(Q#8nBYO|+Y= zX~@@Jz5>kyB8+@Ngv+dRwCDn04hD?9K3zt(8li^%DHwdb2T+j%`uRNBlmxY$uNY4! zmBU+`w+{D&*N%-;R%VVt`wY5N&$Hg%?x};LjZ8`GL|$**cNwD`8Ol~z?hnHAm6VE{ zboHZoCjG7#twSI8cuZ75v){8)bA_&U9>o8*x0}1r4&dhmEy68J3zbh6&o!#0PnAr< zRXnt=?tH0hljTdgKq~3g(aPGa6RODqA*mOu2oShAqtiAmCBD9tk`mE;rD4C))VLkt z*RTz$5z5N`b6vu|3#Ps$Kgy885!TI<-^_i+uAuDlolSZl@swX57;gqth*Yx#mbNlK zN_?BHp+k7AKDE+IIacAZfa;$4@J2{gxWUj9zPoP{uX0LZo5sg&qKe8AtKns?>f#3G z7c{&)Telz_(b8aEoi}zw%*TQs606m`c=)~MPu9dwWq7I$*W^mzT;-mG?iG%>FFvtF zRt?ziOI?*&Qhh6`%;BWP)vc7j-9|fmdHQl^P?O8q;Q1*Hog_kt)2XKHhuRwYnxXEk@IgtNX%zF7#f{Oy)oezrJo!o3G^u~|}J37&3CT~hSaibgHB)z}mloJ?4L zX7 zk6QRb|84Jo)d(ydt7!PLV#^Kv6lg?>};vMzXf-xFFj*kp- zEXE7NU?wAGR*WAZYaF#niQgP%GO6A+NO#@{i!DTsJJXKkK@g?KrUk|YZtPS(tx%bDbX$=S;4>X>$A+iCtb$4a^fy_NSB zyQJ>wpCmXCwuNn|-0+9)w-V`8DS_@=%8Q{jd zK5L3cP${Qj$0e|Wb(lppqh3=prGK?(3}n%T(NmB`J7#BKyKP~CHnHdxx8=%j37!{a zL|yyvFO14nBrk7P#`+?BTog#yedzs@a>L_XzD+!gmWt#Nhb=s>2YCMmhkgp=FKR^% z30e@QZY^wFU9Z4RtZ(d74Z1p!pWo8Z8Jz!ImU@ zpO+O23-WdP_eTj=m1BiTsi(!oGjhHC12mX+AdT=P-L^)TQrp{$4hup!UX+DN2UE|y z1_ZsIvLMG{!R4ruY14g?>+dFNy_@&KJTz&8hz@<}`G$>A%Fd6zgzF+o76zph47WQ5 zxY-S)B%cL05o-4%4BQ>FLE*;NfxL2Fu?3n*@ivgmp*SyW>6ohQ9iWIb#_hQik3VZq{Eu+J<&z;{p3f9?irc8`E>dLGv`?1`Z}Z#BJLGqv_t6A|-s96%M;3 zQ~znG^@IpIMDy8Mo=~Eu+K6j%gT}A*r^*M~Zz9h@fsN|lE{>9Z)9>^9oJ3dep6j)~ z|J1<*DVaKR>1=@Ix@kr_z5g9-x{i8arWqUKU%6O+Z5S#BbN*O!pA1^?+p3vHB7>8j zIC&I!&xnWg4&qJMBZ%GWclJ5iq$Z1W#kK%$H~MM127M@6-T&nLC;mBKL_$wb59Grd zQ1ok=9cJg^iN5YQ$~oXd8RK=4Ea~oV6->By5e?w5g3VsmZ|{ zZgbN7jHT1!X>VotqOX1i0j}1N-d?T{?CEJwWTs9OlF)u0I$p}8^$Ge#e-QD1yg&mF`o;CkHwLl?n+mqQEeOJ81)R_I4 zw2r08<>JPkIoeW=UQ=q85vd|AyrFohyE;s>aSHiE`WMSb;M3OXCng16oBI}~WFfon z=jWdh*VVEs=oL7mS)|olJ1Po3|(kI2uc(N|}gJ-BtH8QrU%D-!(uZ`Po=t@ zwcdRY|4>;UPcOl|tLhW^k!8O$hdLG$K)OXnZrV=`4u8!E&JJcq+Z+5p!wr4JC3EdEdY-7xXq_lKt zwrV8rA3KT*EKhz44{B z;dPQw>Rog2V%P0rl&|O0FOl|Tp{QH>H8xh8=ELE4QTSE^L~l!HUfIqLq+`}=!N~xP ztD%p_P5LcL2Zcp>%I2Q!<@VjVa-UDkfG1%dEm(dea|>TW48>WH?9!|hlf8`abStX( z&K=&6WQf+Lkd*hv-g~gLOiaX#YEAUm2*>mKFTV@0D6-c|CHiD>K)v>Y3ZT4zu+_;->P^REcbbVEQPUmR&F?o zE6-UtRtL+RPug*B^F$qnoEo_t=f5NHlaonrZPb{JuP^w1lYJOcVf5~x2*n^@Sgu{< z#GGvQxX&D2phHp0)2L+e8?u$k<1c*j^5&?tG&7O3&4%e$xsf|a1*zonLVBG9bzqus zT^CmKbc%$@?;|9eZ3r*g)qJ}+v{Sl4Wn<-yqB822<`_?HBaaIsF9%(ULx)c^NH~+^ z11F8U7d|)tf;sQ%c@g}LLa*5?BZ9|fGA#4}nSZ+VJrTTx7v419pYb*@*uF#;M+n<{ z#Y`>Ue+c|0;1~BY{hSk5H9oy^on_1eE|-pg>OY9w}tfQHAYV{ zHVicC0Xvop8<5Y$;PGQNwosM@(&exEsTJ>2O~bJ01l(L)d(XIt37;8aY08-CAhBk&cu(MrF5(S6NvpTwxn?T47Ra<NKKI3i6rL5p8p8DOKewR!S8( z`lc%jSS~q_2F2ncZztyyBw#BW@`vA51&;*Gr_|WoER@Yw9O{7l&BJuk>%KGf=i}3} zr_6nai>hEUSYmdnQN3caQZjCF$EATVWk(1`gei7APh7%=xiWQ6ChfN4$UrnO zrKKRxD0LO`9DTQ(5&J-B%Dm#fti~cRu5)U>o={X(xohD9-Ze>sHQfFlEohf?TKFep zJEPl|@t*wTS}5;_HJ@Ja!S3t3g`D|rwtByswKH#()KXH{zVL9&o#>pFI$go*>)ney|ZU8$iYu&H>|t#kY_B)5=?L% zSWDaLN02QZ$n&*vlgcy7a!ccC^40*a9w(-qsunhXU&d&m5WUh-PYGr&Ur;-;`1+9wlaV*=6x$$X4~bMKQ`&+=sd`|nHs5w)bMrN z1q<9RFG)^NOFy}LcX-2+ut-{jwwyA^2K(sEL-v`i2YSj@3a0A2625f^GNQ?Ssf7h^ zyVaOCgTek{?dxl2?VJhrAQ6BWe?O)!`|ar}!r2ot8F}Bx%uRbYv3acY{Xy=aq(_Wa zSv9n|qKjNf_p=*_c9u0rC9O}gVN$FUWA$1R#c230D3GcdSxM}=I8yTl{jEefwS8C5 zH!p7-ChB5rTu#bVa%)>20$HH?a^ATT>dMkExJ7}sAYE@kYjg)Sf1n0z@8 zpNORzFN`U4bIpp`T=6cA4ga zX}-?tjbLK_>v!_Onm%+YY>&Ap@(Zjc_hD;i_KA*a;rIpr3cgt3lyX1H5R-E7TX}Rh zj0xE>>E?=(-Tyjs4@`5qML>>yKC^=#gFS;=(zebw#A}WwQPUvWcXF_H{_BrN%_HM` z30Y|1pD;|~1yC`UiH{M3GkD+rX*Eg5{kGG|*p@?FSFJW&IF z4N#qPX0KAfi&TafY0M4cHg<^)CP6_3zAZ}AXhJ#LJ)6wv zaKM*SsmTq)z$t|}@Ava%yc^@G;6KJ!Sf2*(bT!c#0uG_N3-&+Owr6pz=S67F;Yv?` zN@!X4sQk#P2?2NAnU=rtT_w(O1=#AT0y}((jR^Y+iiwQK<0QG;BGRv+lP!V^Xsme z?S|Vip#XMZuvWl5a-T?@d1I*}8@buxPzqpm3Mn?LGSKZY0+X*NvQ?r6=oay+=+h9IZH|#7&xM!}zVS{$iaW#xfNv+sW zjKMK9iz#Zz_CH^Bhxji;@SPBC2&ADcwI8Dwf|#3%^=Q>KdSgI-JOjX5XI=fP2q1@W zC5X{xc##V(W6F2Do1((yB^`RRc~Sv**v$o@3G{1>1!vu6eIR06J6v)ge;r6~YHLGK z9jwuoNG-Gi(E_~C8@-IQEjvce$73zBl?Abq^iD=l#kxzg6boa)Z)o=)wysw~Zl;nU z{F0zgtFj!)W~S}3KFt0m4lLY?vv;5cH}S>d%9Zm>5)b~Fp5Sv9;Fiyi8IiUR#W#~1 zT(!R>P{+^2@G=6XwR`Eaa>MGn1=RbJ^mHmXOxZWVuPcOJTEAt7MQ4YFH=#v_UVL|$ zC&>&EU?D8A^cP9+02kri?RoO>A-_-Rb;AmYWF2IOX=*A4(_izweSWgaQ%Q0`RT#Z= zPM}wjZfwnCyf|yo^+K?ZPw5V>!v4oXPj9q)*A^?{S(g*3^O|2lIqug<@yKFceU#q{IHs$a` z8c}l-8Drtml%lUF91jz-@Gq84?C;EbtC&}OW1(LQoR2vKo@+{fVr!(Z<&bwRuiK&^ zDVSuu-*BFk8r|9XzyfWVm70@Nh*h$#$1MUj7OmxFqqGc!Z|H?79CG_*3@f0IE^tHV~ZYbN| z@SeEeypL8M9X%g{+E3Z_o+zZ3LR1_XwbgH$9YwWxLc=L2keZ*nTi!oahgGzha>IeR zdb+hhYWmD|U`nBPag?eDDxzCrXS3-f#UuqRSsx|P{X%($-0J9At+I2&li6NDFRh;U zQ>qG-e@5x=>{F=Z3dKb;I*F^4E+w{g=Z|cWCZ!j8ro0{T*;Cp@%C7B1@4&QTB2Uv+ z?3T+XQbSazUn>_Q@`KN(NHtW@f;s@SiFu<)_Btuk=0-{HiPeN`Ec(%{{zBC0hDL2Q z0C0{K-VQ#!o49)=yv`0gP~Ytpq}Lv}e)d|6PcfZzN22r+ST0#~Fd#iqdtfOSyZ%SER0{C%L)noG$F3(<`^CP7s6G z%~wh%%jenmCX_Py+{MMc8wJA{nF9+L%FNdhD)51*(Pvw7Q~wOM#>TN+F(H5I5pZV( zp12S5|6Fypn|pmXG@{>S=26IbD2!RVB!XBj4Mf4uy~^DB+*xkJFm1JFRnH6{x1(26 z{dFg#U`tid_iV(N48d$Vd72@y$9T;3)|;({?_yDwnx+Q$2fB% z4yQ42lvV!)cjY^ysJ`wk?E5Y=C~dk=nTUc3#Aj=`v8m2s1F0UQagRHS!iw8V6Yl2W&-?DE-f*!d})GJBfU77rcyfa$qKBNw zIe{T;6S(!=zf_2AgbKP^I$LRG&K8(II4AEg+vJ_o+*9PF1yM|9Jmta=#Z)?1%cPi8 zybWl(8R;48EdzP0)?az&jq=$x{6<&LzP;UVzqqHnS}rX^7Vk^EJO9H?$8Ik2L#Teg z-{2#zpDey|^&XYGn!976>K$z0V(jtI$E>oxX?MvVAWiIZLmg!$vUAMR4{IDSiGNu4 zINa6Y;pgBC&d&jBF>q1-v}+qSzXMA-9PheCM<*zVQS7lGD?b}?AS5?rH4%!JUmGO6 z(_On2h)ocz5rJRsbWp>8J_N!^M#h@pKl>Rf{KlmWt!tu$`wIg{z0Ul#D z%R|ouB8|Gb;=55hV_%nONjmq8kTi~z$7+1Y?dlbE1$k! z)2}*urDXow696CM!M>Z%`4*F+8*zU1CsS6VV#cRc_1Th{IGa}m?nqEm&+Dd5Vi-{^ zIq7nW)u$Tk!3ZO6Kc?b=_0(wzj*sS)`Ogk~;~|DZ#mm-`GnNo&B>MR{`}mZI6qp!y zn|!?;KrH55Hx%pJV^o7W^f8?f1yFfIQup8i7CBmwX2qC1{9OmuG?2eSEP*Zr2@@5;!y`NNnQf)!eD(T*cS7+6=Tf(pewz6+?aAH^_ zD^mwA!u3yhF;T@ZQ%U8w?iWc)DhYnyVoxFrLho*!ce?C%`XP=1to7(=sM@MAlcNV-ne(Fvbf+ySfDJ37LxAoA z<=acTnpJd921g#Jk?%oFKkEwoa>k2UKFUj?E z5OQUI@6Msr_2QU+6d95RI+C^5tPal9jj*1bSIxHK*Z58Qq9P>|3#^@KB=0<<|_AwcX_XdVlz9sjV~0 z4qcj$p+q3?^L-nCvKBTD)_BjcM_pm8C`aLX z_ZA4MjEag@N!Xh|$A~qXSwIhl|0>sWc@8JaB;E*$A`Fr4k)U!)RZ^M*R=mKw;Xc-x zhtts6A1>t)twJuYf%vFXa<2N;&mNb!8zJn_*_hM?GFo{Gai3$Yk2bN{i=Ad zquU$6rZohoiI#c*x#o_f$WVm--;k|4p~SQd6wb$^;jT-~u_Er-kbZUj(qIRumTnGa z`mHw#5ih*P)a6v*4T_F?tXCUXxi>!XE6S*8>&+A5uj8lNlCvp=(x! zu&gJGtsg523%r=EN9|rI@9uR9xn($7+Uh-#^9Wem79M`>-JkX*Hw;mFyUgb@%j-E9 z#>!`G!L;!_J4_sWP^LKF#{T}^FO&`vGo&7<{hn>< zt_Py|<(98at(q9&0`E_vF%^RayIqtyT+6k~>{z#rodv*0i7+5p{K}nAp z-Sw>Z4_Pbw0g1=uukuTXa^tKRQ2>*PS&SseOi&#Ry?G?qvg;=rAomE{ibX%RwJ9fI zKnT+rXX)Nw3gGohs-6}P-ju}XzQtOV21{~!C z3kNo^I6C?;qY0(LP>F|hIX>2Wrt7KHA=oovhqR~n6`^TYI6R|q0UK0kG+w|z$OgW= z#-{!QlCfrrtKsYPgwgh&(jYNQ_Q$51A4uwh`&N?=$9EJ@xiyxELT<6&e@okLeQa{W z?kx)1UK5{0Pwn79*L5)iWHWKcpR6bUv5eAW{FKE13O~iP*`JRe_=4+)oAqHuer}Js z?1~9(9(j=O+sWJcql9z6y<*3yJda4HvOidcV8u?{a4b<*qnXhIzwyW%M(7C zSAo$e8!?puq*c;OQfiu$^vWG$xAp?tvZ_f;0Q2KLfXREFURi8+` zdMaBTEjK&~0sOR8X>0zRMREg|_LKtsSzD>jubd0FeqIvLbHyKbijf=B{OV$W=kV&Mcx^my3EK-R=BI~$Cr>H&OjO3g?~IRnM*v)C>A+5NkE{K%>P z#BChmObFYvg?4*rQQ?TcCxMI&-|8v@Vv0A4Ne8wv*2`h#K9d~7zO`TV$3 zUmPfj-6|CDQv=aVkH=^PbIdEtdzY9sde(;nKYdsagr07ji%N>z@ukn*$U0xLE1^+g z&K*h@$^9GgwfO$#krP4u>19hF_wqjA2&Oi%1yfHCu&dg#dS#%ha6B#f1uNTG;>=gC z4YI+M_2>W5a6k^1GD7k=TKYRRb%>y+COM-}F1Bb&NFM}(zW>!opxkmO0d%y%-yc<2 zZLDC-fEYW)tr`1#r3q!A(_w0zpEs(-;7c4C>V}?`>4{}HAMv;J85ku3ba1jB1k0UfLnuk)zcXC@Sh%us-|il#PW@Cm>HwOxWNdj}#4b~eE&+!~qf}7d8rVbD$F!8#)C>wkF25wA5H; z_avTDAjbeQ|BAhX!V^I}kK;&8(J+o&a#!@HX=BUPgi@t+zxkYJ_4@R8GppTwXJXed zg4xZ&dePj|Z0q*t3I140shUPqwaDT4xrplY2pt6oS{+edY9|d{K(C691u4@N@$S}5 zj*!4kVST^C=+C0WyEC%``EA6KcYF-|IrmJ?R-4O-+3DW2x&?PkhOz0Bo)%~ zT|@{6gWtfGu?%=m#x8Xh9rnej+m;MW%0h8#?f0ub^M4}jTn(HlbqH+PYW0=%=zDBV zZCXh{Vm$yH&nkmMaRk0PmHF@ovOhSnRaJ>?(wc^9CX1@mPbzv|k{RVmdaf-O;0Oio z10uWE1*A<1siI5)DeL*?*sy(ZlSgD>KT9%-f84R!gH_LrrS@9_r^rEo{=-(fo93E4 zNh?Bk0^Kr@A2YdIM6tWCddAU$C0aeDUy#EovOm}B7aeWq-hGhBto~FkSN%KBrhZzp zrKc^DEP|6-Y~--?ovgwEc!Nr==b-b*pM?*N!bB)y{TJaU>upu}*k(-PTACm3Zq*zR z&j35`i)oZ2JOg%KVAVBM;900x;QjedLV5*lGVu%tLaDBQGc*h)@p0(W1bR&&{V|W3 z+dDZkiznCrD@px_4OpiSPbSc^h*8L39yQQGn-Jp@jfN;09Cc7fAJf0Dr)=co-k&(z z-`O@<*`JCUNfdKys4IZ?MezxU>n_QXDCp{WW{RTs4ABfYa7}K6d;Rzrpk95ANKMfMYE`^B;}+06=_g~f2xmW z%%E)%o|nkTrZwFqYxU)9*eBouNbcA4(fG&G#4tuzMS&tH@#m>jaE5<;>qip9V3w~$ z9-&JJtOtN`en!x|k*YSXrW)lZ0fEkHeuM77Iq(PgC128i z>Ase`L(^Mn5P4fNi{t5`A9w2~(ft@EAM;}2|5GT*&2Bcw z*Gl{o6dc3ky(pnfYz?5+tyBvKvF057U)72Y8RdSB8gCjQH}rd$F^}Ld^E3e9s^B$t zJMMT6NL2Aiglj|A@+r;$l$+fv9oO1}UTgi3x`Km5r-gm8@yt+Wt$lzs1Uq)9Qp2yZ zSpneii~l>D^^zSeq$)#OZJqvH-E#AFyO}W{P0Y{tJ=E_MJqC4hu&&$lYE%PNbo(CLdxd&_**DTcZ#gBkwXj-u2Wu6e{t)3buAorZd zk@Vx=$gF`kY!h$ylwHztGnIMp!~d2$RpZkstYE|=Y-7@qkTh=_1p6{x! zK5-a2eW7k4KuGH~>QFe)lae9|rJjqX6GsMW8kE7mdxsPq^)s+|U%WGMYs2PLs zLaSWSW-`qBhc=^xIl!!pO)UX*gh6LezVut}YD$e zyc~;YP@Dbvc)?l(GS!KjxurC5jF@0 zok(m>z*L1g1(j;s*f_7BoIn}7f;cq!`!}+OR~kkC@TC!dJWuXoARwL*GAHO zM>8oTsDhW6xOqz#q|Gm#@;}nh(Q`iDD5=+Vp*BlVkt1HMlwf0EgqlNJpUAFN`6-c% z)Tnni_TNuQM`^tPoR9xZcg|-Rd5Ff2~hELopuVm zR+?S`8uHMFjyk+azR)I(ON`ax;U5Psz_VxpHL$SJnRCjTSO+73bx;MZLI!DY4t%4G)@8{J-i+uKt%w%3B! z@_nJN7KaO1EN0uTQXfLu&)RXn29;geMO{BrUQKKRc)2a{B=wVc$MU=zsCyETddRG# zCwFf3t&n?}^e*w{&-5-lMr5^v6uf<$byquY`OfY`V|?l{2^CO`?~fv@+M%ICZ)9){^o!jq_D+SN9$Bae6wl(kPM2N3&B=MuC45l= zg0}uRUpgXN82RpXxa{LQo6rCK$NqeUBge kOqoJo>v+XW=zPERixlh3{+2FGyF$ z5)&!&0rPJ1zx4jD6;EosQKPqO(?KCI?caa@y+(ECj%e=vWdjDnwFm8`<|sp5ZHnn4 zmmQy~2;+TJ=$%TIIJlUUd6zVC5XH7jUOuoqNc~uqT9mvh#5r9un`^Uq^x^wR1MBgI^WPXPmri%oQ=Jf9n&3%{KHs0KQ?$=BnxI_6Zt(%mi(svd_+W(!hJM@;hf6^iE>Wv3N* zGz3GuvL}yQFv&D-+*D;LdJ`wFtooS^lb@gU*y~KYs%|d?j>cO^8?hpWLKH-KzQn=; zFF2Zvdt&y`VfMV@sXP1YK7IGFI+Xta>IWsfVfJC8TVr<&Llr`v(xGS<7cF^nFeLWo zz5tYd{p}{SYXH$H--WB79R|)bG>^gUWLNS8ig7%f{}5#)>{1;#PEV#fEFm#EvG6dU zm6b_9uAS8WaV|b4sl#WfxZZ4*bIqQAHWh?+&9xFu!{GSpW8{wI{gq9H>783(&rexJ zNJwcJsv-Ti57_qVPi%z2UOcJ}3z#J~#nOA7pWG_B$ zf*ji+5jf=|>e1s3rxz~O2Z^7!PvibYyCD%g>sqG4$!gb>;XaJYX4v!@zJsNunDU&| zPM`votfW9k$_GX;6I8jI*$qhEY{JsFQBc1fNg(tl`BzWq3`+wTsxFvVM7_unrn*Ud z9(m5M(9_#ijm8c{TDndhh>ApJmQ9W%fB$Dd9M?leCDtL!UFcx~)Xy7Jn{{lsmEay? zd0V~&pr=++;a5gK&2jv)AAd!D{`Ll8wGHfN~vg!j-evei4JS9^KXEM8y1 z)?{g~G||^#tdO9?UpjZyaxPiC2}gVMN+O8-JFF7r=|o1XjC_xl#h%FXE|@@Aw9>C4 znrdk);qQD~tE|YHqv15$Emp3YSXr!xyJ@S(Y}nRQW19B5qoRjG%d+TWFeuMf z>bf%!Sw{P4fPZy!PG@;E{*bZXCW`P@tGlEwKac zkq1X)80xIdiZ{XE`{~YwA$0d&dt}i(R}8O_MOz%|{?6O|XcLHbcC znoGQZz{L`h7B8sV-@KZyutba019ahI1trNir;@T4{e@}5Z;L(b+rDDxqwnBKQC)lr zk{0Q|3=G?45*yVJLHy26PriJJESZ$%$A|UrDiMAWTIROW*rbG-j@I|@3kgmil7i`5 zSytgSs)!rIs%hjyX{{8AgW5)k?z2JF`h#aY`IqyRo5CiyJ=t*PT+a2uk7E^W?)a!D zxo5>KXyc#f!B>6#)-wruY*D_`saE8K@rlieg7FX9U}b*d+#xX+Du{0u%gt@xWf^v+ z(h2HBMX>pv7mp)ZXVZY$GnJR=B&W2@<~LoG(Ws72ZHwLmB^N0=lj_35Bh4cdO-}yQ zx-+If2{;~eR2e@Ef;C?hUMC)I!wH~7 zH5ZIK5-%YCb#D*SF~=D@^F*1*>Fm$2l?R39HV4b%fHIB|B%P3*?+1x&At5Mxse`)Kr@!3Eb%%De+tX_heX_dpDto&56yGag z3Jal{PX#?#q|I8Ibms%2?9C7_hySc(fBt}=vf?cB(1m`t7NiOvIMcG6>Stt!PA<=( zdG=$*hB%zaOLhu>B?ZJvW_s!ylUrhPxS)pb5|roogakN~xWdPPW+cq+wp9si{%=uj zxYo9A%jcsJ`4fHRzPkG>zU~)aQSKnTE}`~|Kt@-vG$>jUAkQH$Yk$m^%O-ul-y(sM z2ccqnx`t7OEO7i$^%3}YRZGn_zB%R8p{^geeVnt#)?`iHv}=pKshR=Q)tH-{P6x z_#^Olj{*c;-WxkX{Q{c#5UNPj(U&$ca7FryuV+(Ed&TL@%QF58wGY}Opi{7s(ZjUq zQbjeDJqI=o+nOn6KsiCs(EMpabSJ%v4)`a|B>CcB*0Op(B=`Bpb-pXlQ~xaqk{GEuQ^c;<}0 zdU4G$&7({VtsT$oaL8@~SXS9IgIf9UeR?E`I`v`tm}c;tHbs{1ZPH6YiRO79rf1Ao zl2!O)@14lU`^WIphl^tB4!IrG!naI}?j`oZr1{C#^N))StHtVt5=UZJ%VrB(%# z)s9`S^COcR0|x&Z76)hZganXdLjbrd?(2T-L5rckf77WJDBmP~@eMYou;Wlu1D!;a zYHv_f&g^cUIafljMSyTzmp7^6)jS$~QV`X3bWSZLj?De|n`a*#OR>^betuGdO!qH~ zv63nIZqQq<2tou*c!QvTucw0F4^``3X*dtUiwjiArYSGFS9Ieo2;6yNe+RaPzK@xCNY+vF|ar3Y_)3+c*?za*oV$ zJa-#7;vUe!>-HsMv;rs)_IK!neYcihmNjwR?~a}Qc3&5b`zG*j$GyIa{zCq zr|Jry71CRlapa*^TYg2<(WPb35;PrA*ah_NP-YhsL;82{AKY{Z_Y}Gpe`vFb?n0ZF zwO&@yRuV`?b7rF1phyh5AUO(v>KaiKa2G^6iBk(hUg>Upz{l{$lYPu!3aRW{bKsUuh=l*<4Xmp zjkv^{Lg6gl)AS!XF?Tm2IECK8zc$<4u#UTW3VV_9^Vtz=P7oVD&V6B1I=7lpxuPYs zwYv#2bOibGmm7RtW^Dj9oF<@YJqtDB+HLivHEJo}&>Xfbaea^OL2TJ$WTQas<-!-@ zn-d_J)ytZlhpAyoj4YgwR+ugdNFqJ64nOjZD}6#R^sdI!Pbkks1jM!5604ITEb_$T zMGG#5@qL|suY65fp(BwrqJQTBLgSE6e%+%y&rD%EDOGlWBI-snRmHDu+YN@Yf{@!b zKJS$-BE+9>iPp=qb(EN#cDSIcjxIr7=>6uuzNTP7uH_?jt9mqMi^^TM%2fCa$3 z$YPUu>3j22z zk=!33B_OBxue#LiAh<5cbcp`YUZ33tBAVSih|C(|h0DaW!VB zVHAJY21a8M?IQxaqPh-0g6!k2ECz27H8MH>ST8GkE3>t=6~I7`+0SzecN5#6^Y^14 zjKR~1x1XBZ8{uevxQ|JJQ4gTMqay<7r#->5FAsS4zAqlFC>TXA=RPM|f#huaQ>KWJ zE1lkJPb*+44J?kI;YcYD*tA|^6djDcKTm`cUhm?KLOBs{tXJl^RyBAdZl)V#^l^CG zSwU5ZX{5t5$~E}q0xiP|FDDxJoRMxxF#1e$rX%S~~b+=mv;0+k)PP4$UJ>>|#% z8IW)N@&=p5hMV!?z?UBe6Z6=_1Vd?1SLh;oBq%2~pXhSIIn7vV<^F@A<=MXL04#_5 zA*`s&RO$}Z$XNs5I=v1KseLy~CD~2bn!73QO7aYleBVi)yX$xz zt4Cv?;c>NbD4XCD1Oe}bC!!OpH)V}*{$Go{J0b-wrFWG>49+88Jsaf+^;5xK!qC2- zMA7aTJ445^*)HT?CWk=&r#`@)Yxc&K*K{|rex!^FWa|M=Ma&G&tI+zT-4E4Z?&rP>B)IYDnPdhnX_ z!)(!Pr_ryYUvubeBX?=*+)pC>)HTn;M=blcx6RmU_%MVdYBq!ZN4``hhtQ6kF8|kh zM8OO2hkq=<04ht&e7NFi5_eqfV)fJbg9iS4f2x?Gqb3l~*0J+?A)79YPQbr-$tsw|X1yD#!hajqKS924Kc+W3wR^)C7!hG^+OKGrJNd zo|nHoEJZVs#?|$0akZXq!8k!1(g@u6KFIqxg(n-^()R{*erT%h4oOJ$$TfOok{M&` z3Wda>l~>z5ZAaGbkjV2K`O6E+thcu(!svR1}cFE__b>i4WwQ3O&EjAA@fxNqv9ubF~wnsiUb9FTp%#_wSM_~ ziarwjl`G&j8I~A}(n4{SB)j)@R4Frr-Sff>kUvfcD30mQmB1&p1-7TH-3EQC>$6YN z8vBYy*MnbMYRyOQvh>za#G4bV(uV3VGTTtXWtueI82{o3v}2%(W2N~IA7O%M6a|uJ zv!M)KsS4&bH@z&E4?Iyeczwu8t=Mcdm(ZAlp2y>S>7OTy@IkvG;>W)bPJ%$S-#bDe zA#nc(=QRyWAL$(PE`42>%EYRnsv(M$yU`4nMAJ?d+#>(Yp)TZ zWdOZcyMQh{7iVIWWj#>P$b?;r12b#4%M!rYcY)^|#5r-tm~43o&-qNNRM#2TCFMaO zak$dkcx<7*arCQi#lE@XqU7BrQ$7S61^)YEglml&A@$9f_cOyk{&2W};JK^#*19tW z5E!dllCEw)q3M=W1JJ{)X0)_4x7>psKnl|tBw1Yt_%KZG`g)KdxatYnlXDtrIBxO1 z<16Pnc7O)ExyhKDMcg#fo5XL26i4zRbk=;mp2{j6ov|*Hz z4x0Bpb{eDH#e*H)8L|tWUAzMaZ2kHER~0Xk*{_*`aNvWKxnKJa;(SI1F8)kge3DTJjeKEMYYtbjgnE0W{0_$%dXB!}r)#j( zSW3%@3fb-0!x128AolQaM6x5e28}q)ouMR=a1d4f&m6S{>7m$W#ydMOCpg7dH1uo; z@`oDE@y35=NiJU*Ox9;0k`}d1s9Guw+0G@zo?kuJaD1yK|@3Y?)Y85!LMUz`#i zm2#!#RE#@r^&i!FIYhG~MPz2v!rZL5Sc$Hbp3S3JVW3|Mhm38w7u6!G3kY+YkkNZu z#PHnRa>#fDJ3yfotXclcudB7=YakettjJG}EE8SPy9@N8M-U6=_yF(cGTP@=y#NH6 z69eI`&CSqU<=GzM&G3{8u}5oZ-okyfyU?F8(m#gGVBa>lUIM+n%kkc-X`mQ-XJu~Y zzzkn|2OkkHOy|nGOOB$9bTM4rI#wj~XSCGF^=$Mw>Jk+Z&vsH%9rkz7=*s8c{p(0SmHuO3{+F(y zAXxw!0np9FNtRWBfP8}t+I0$OgMX?4UW?={hLD?2D`-75XCE2rGWZ?XUDMxc*^eIp zvv*zv*M50b#W#+&adf9?S*fM*kspNH^#G^*w%*{%_NXxEi_<%22Nf;1E8y9SFtNoT zZs84tk7-lb6G-8sdm?fZRLvS1nO)y2MV*)8XTxhl1MV!g@P0e&x!7)Iiyavs+5azQ z%ifM?z6(`^?m^g3=${_nIsZS*7Q)->mEVlZXonLA9bW`hQxPXu;k1FAz2~n11yx3jJxc5l@=F1rEa>t$)5vuCT^4kVg)jn=W2q6 zNNj+AU`-Ab#7ihKw}J*LFZJ705q5?k#a~a$NXu_GBt6t=M6)ABd}|g98V3zIfk*)d zS7^uy+7gtN65ppSXqW0XfytPp{{{ase*j@-Ix;g%ee3^&2J1+hCARItAVq&7H%MuC zBtcS}9yI`_Z|NoSr8?I!Z1Z4QEdRoT>C|6Pt&<}?1vgNa?^Jhmst+IO&lKGD&R^F_ zKqOacJ3eIpiVwA#F(aO8%%sG}U9kR_){;Vb_J46=5J_;XtH@ququ{H*27F%_P-eX1 z6=>({SchjyeM4|GW!asggs>eVILe{o1tjMZaLAEjJ1C$TP|8kj7UrgfK+Dd?B9~Qd znrU4Ttt>xc4ZQCbAE{|rR1tCjM!1+_P3B#*naXOAN6r{GG|s5)H?6|)dcwbL4$L&T zt{bP+W%XG&8!MRpkjSNt-5lK&>LSk|;8f$!d~$@Ul|~ftS0n@? z=XBQ}Ul?sL4b`54r}iJMjQTavGrkwc0ymjV$%mwBL8yw!B||v7qvw7HA-ykm-jlr6 zTOLlhE>mdi82GrKL2$UFr5TJ>A@&DwK2lNooNT=&{2%4gZvOej1EgYu zS;{4-JJ7@Y51x&CFO=%GuOH%$kh^E%3VXFtWIye*U94L@M+%9CIBfq6KRK!Na5zVl zf$W(;?j0Utn!Ze}a}QjN*srp)QHTTnaQ_Rpt@LE$OcE^tZa4xpmcA!2>kOtf`aOqV z5)3)Mt2zd4`Q+sGL!HV0<#Vrn{682u&%W8+y{@ZBne9=Kwc&O!*^Dl!rrXUV7!4Dd z@us+KB9likr=8OMfxcr=+P{USYaib?7khm7iUK31hi`bdEb`og8oeti@v*}+obT(r zwfW|T_zdgS$rF1*ud`mL^lMu`RMybZ*46m0OEhRtWeLrAAeHGSYG)as28WL5>K)+G zKu#&Iwe#`ww~>!01rK8C6UEmVMxuAR;yo!T@LZHyA(K<0{FO`VU3m^9Z6%Vk`|-J= zA{aPhtz4Sn95I-TvWZf(*s-VEG!1?(gWhk8XGi<8@lTflu`v056VTNfx|+Bx=ia|# zK%EhM%1S?KBzg*{18-Umhbm+lp2Fl&$2>{<@V2gkWscO6UV?iBo40^guj@9P8_?tX zA1?ixd?2g+A;wFh;M$ffk@jdU8$9V|TO8M^TUWd>AB+s>cp(|=r zJY{A|X|3z>ar`#V)Hp6h%;HBEH|Ld-3OczVw7 zTucH0!Fs~?&wM=Tpagv#>GLrxM6z`LaiTS7h0d}y(x04EgE}3V9Q97i-+d%ri0+;A z&EwQ;oW|aU{=K_#u&Ej8%otlH&V5{lM<=`-es2$d9r)A4q+wngy2SV&M4<2Hv>U{G z-w)|Ofz&U!V~~+3yvvRt?h+qdwxE1McC%|6lpC&CDw&(*|@~(LORn)wy?q0h6*!O8Q7LMJDMeh}uV>@3MGNr5 zB))J%IZh4SFXm=G#zl5^Cb8kH98Gne>-h1rwI=@q{_|AyHJNvxLA9C4n0C0Fhnfmj zt~nT4YT3BfR0wc6lJ8SE%`)jChk20lrx-OP7p1t?jzp?H8Oe^g1fV~HWg*NcX!K4u zKFW2Qoek+f26LkypI1%(cnracDkI}FMGq{`k?v$Xt*mkE7vifp5#c!92~t$Fc;*AK zrm%X!jZ7##o$lK-?)S=V9DU#&uBzecwm}|2dhHV=;OR9>@hk2-nAJ;gI*j{Q+$DJu zLE%nh_dxX${0Jla_Nm-a++2A-sSB$cD8#*m*`XIEeQM8BN^Ti!IF9^y3$oTY6)>TP z1LS|b8}ok6H{<@wUOQ+i)JIn2|IYtF^fJjwSU)oR@NZ7O%qPomH47a?cFD$dSW;(z zXoH<6esW4_bFRc;f!x02el2Kn)zLOfEJu>Oq_&mW9Vzt=XUV<72Lv4RnJO1DRtA)05;NY{bCKrWUh_mkRmm>& zP?|6cD#+SKEo%}gzk@UCZ_hM$$o$f@k;Z&UO`$W{D_+0QmXV=``OP3;uxV9040v&y zf3;rTt3~=dVy*f`QqyqmoZo*D(x&O9Mg0u^};JA;i*>r?B zJ^LJ%275}}-dWAL3mP)NG)_|p6F>!7>Rj4RlCtC(?>cEo62k0h20ezYZ`8Wss<~N;S{c#?T43mvERMfn4x zPlf{-CvT}$Q(?RPwu}=<=(I!cvkOR#>Qt*JX*y=*XVi1Sj$IOY{M#XEXXGBKgHUsX zW^Ic2$BB0YONc&5kX6l1(X8%7p+jqII zhF=fX#d{WXTDp;t+U|p%ETT@}(oVWtSqT8`Mj8n|&bo;#FH^nX? zBP%oF8};nKwTXaIl>}z-I%w)^#NlPT*MsnQe-nf*jUuZ#4GC~fH%6dP+Q!B}<`FNL_gh5k@B z&@;PIgbhyqcbCux)FJuXyqU7YvM1Og`wc4D?E)VEw)T&kwz{op{>$+CdIhvaO-h1A z*yg((f06?u>#k$RD7fGttRPo1{|MAujQ-+O`+N~N8c{-d)WkPEWzcHhk*%3Ol&xV3 zQxXHT(AkQK$gcn(6l}kjjAK?zoSWM=GT60UyCjyWBCaHIs=}}PL%?%L4lM~Upq7{Q z^6G8dtoQHFL2HoBOWg{M~ zxZ!GJ3q-bF86Zvt$2)TjLf=Sn5*c0u2fx#3Z-6_y)Qsgq(%dWo19BmRtwr|*?tPta z@H*a4GYYM~{pz79zCj;=Di#+L0PH}wREihe@`(c0|8H*}$$h`4XnVU_ir%h3?Uujv z;PM@KGjjE?=+BYrMz8=SY3$GfINDw;!bX#M?KiYY4?yEtnK#E6?l|Q2WAxi&MYTKk zNrUM7mR*E2!s)t1=9YSra>lYb$=`Z@Al(!g?^45w6vD?TtE3NBT)H8PFON#B=d?KUVkUmT20mJZE|uPGg{YRVwZ74L5jEpK6!%c%WPDoQ8=@V!)ryv7PxTpR zWH(pL|GqgvWOHLV1DP-P$gZD2C`m_@Ox2dd1)u`JUP`J2Ln)!ZBN7}0IE!b8*67Gp zLWL%f5<*Mj?@fj?qY#6gU~*^bg)`So{&IW4-O>vm9AdLYM}l1hdbd_BC4WK|9*@+@ zj79>A7$_KFy@uNTQiy`>#gE^FcNU>wR8Waiqo=Y|$d&-I^Qcg>R|?0WHrWp`6zSiZ zbG1>pI8jU=y_kK`aK8lnI|#ic#b{(XTgl>h=T9OSAKyGkOV;hJzmUQx#K}xke91}f z>Hr0>L(sj6ptrUCrk&CGf(KD%z6xIh={W^F1t0-5V1&3@NI&*`O?$xR}Jz8=?^hE&CzR=KsosP@*lEO^CyLP&I;lBGBnWw&6gNZQ zap*aMntjWA-`B0-CdbgLNrVV;3dUxfdF2YA__=ujWhMPEf{W~+9x6Z_Wf1F59UaPSBNrH#=AI!pH zn+y|QDv4J~r{*ZK(qq##Fb{RDe`*>Ax^LQocF2u_8r&}sMV1@6hg}Tu-h3n!D#LeD z#DcU&t8_*2Q-0!W;cKO9r3qyj!v%2|MJnQaDSS+JAt0NsgXID%LCNLika}^u%&@df z8GS3r1Y~uaA$CM^m-)b1h`l<40wq6_svJqyhcdKMHG_5aPKTog@3>=hRaVd&saZn& z<}y!oE8AMcBAA?~d8h@!zU=0GB3B4MpaDNq7PGsH5g?0QWhni$U5qG`27$*%Qosh_ z$M2q%tY0IdaFc~!V<^PSCkcjIy6-oKnPtIG(Rhmom2_|Ak$(!I|1OKnOaAO63z)%7 z?BmraQh~~&A%P?rdpz8>#=zo1vKqD+4Mrwk3vkOH=sc-Dg!%Yoz{<3oFn_*G(W>cb zHxa|rm9`akjMv`9)&(V$G2qui#k3_uvhiL0YusaSp<}&X{3bt}?94=u4Ln2W$SIiy zKl^8}h`8oCj*HyMO*mK`^cFxC4I6b3vE{7vKnN5}hYWGPK_heCS6tk@kE@6i7$Wl& zp}2J`rtpk4^u#>K(#VyEpFaQUz>+u&SK{5SzTLsw+opn+&R6qc7O^n#1HR`ZQ|k8t zt4-2d-Y*=V%e!RZG|Zsf+PUy;??hZ~zl`DxL4ov+Iu!_bbB*W1Y3dSS79C0sKNo0853^Dp4tJPGa`Cv6e*M_9%#@25)ASI^Q< zzXTQjl&O4j#d1C?kb?za%L-?Y%37@$wu-L+wFzm*|K56Y&VR1Iuh(TFj@@W_)p2{@ONhKH^Fh*2wI@!kZx}Rl(}E!A|d3 zcF+(6Mcl^+=o#uwiYBw!N-vjA6sdq8a{M@3zw~pyvbkgvMc%!g``*FNUeWL0nQq}i z6oxXJaj%S}Z*S8Y4II>ObQ~`3o%$QD7l_{gd_8@y*{vCnM=#gkZ|%_lH6(0fkE7d0 zkoO$%p8D{syg2uaVV1a=#LlIhr5{hI;&m&J$U8vZSVt0}8MqdI=r{sZZ**=z)n9YJ zQ{;kPKnI@S4C^-r4B1s*-Ds+VmeV>;M%gy=jiu=iDXAyZ#^!D_{>jJtT@_`^{gYXo zrDVF5Z94jv1_mgV5_ylmg@93L69NjnVZRZFqV%SLCVE!BP>`)@xPKDj{+T-id=;~w z@pCz=)I6t4GtwlNgI3u=IcS*DFF6$=4y0uA=SQCc&Eepk)5=0NmO^8Py-U{W;@9hQ zsEffXvv*|ihu*WyZisFwBy-j~z^k&ZSWqx>6oKjPo@^sj=v%_0-Zh9<}F6N;1fF&;kn zHRc*?WILY2vdHX<_NI!fX3HAsMHAPu=VCW7tFK|ZO&JOR*J6`Ddd)Z%ZNekH^um0B z)M6coqtEXiAsIqaexg1Owt_RD5By|b8$;wjZj8epWfxqR~!_oCnp1h zXOKAS7(wDiK%6gV5zHTEp&6``U_9*oHKr^wCw|OwYd*zSK0>LnbD?Qr#@M9^6Ze8? zLk{+Q?TBb{&446$-&08iSfuP&C%6QiQAK8vQg-@-39$={0p(3~CVU0ID^K0B0#3c9 zFO}w!MPq6=P6WQz=sN7Hl|xIgx%Og*S|56Z5AmB3|npS+a6_Pu6g zPVb9~PVIhUFNV8Celgr_C^EyJFfiH&LE!&mw9lu9nr`IAkpZ^5Eqdn)ut4Pow$aAL z=q#yD<}J){m}xJUy7I7Kohk;uq#0F5r}5@#h3^ac*;|T-T+bGNw&aG5hYe{wEkK07 zf=P>)8K?OA^9ekGtH1B0n9}@$fGzqWtcRYbVZCtU2C4lmCkK$A05xAY@&c-(ras%t zC2NZ7l2GL=S?NxFUDF@Ar^43{oXf#ru6VTL?B0ph#y+UtE4&sU8(RdAV-!Lx^I!sNL(BX za04bEnosnJY^mUmKa+a$z*M?hD$T9;Yqy2v#|VdqH{pzK&7xpV$^r$kw#W->DSi|U z$63ytVy8Ot?~MW>QG#q?{U{;>X>nWS zFSzOfp4K$EPfI$P^ope{y`|fk(C9@32?WM0BkEGy6++X!oI6a-))d(t042o7Q_Qa{ zM(GbT@f0$i_=8zQA;FHH6L7*=^=oVDTjkaDXq=^z35@a{Dp^@Yz)(x?&RBWUJvJ0CA zF3;O&=FZpG)pT2|>X1PQW7wAP1f?JP9Bi~>2<-2U&UUcv&TZ7m5lhv?y>C2=UFzKn zs{O(71;L6X`d>ESV0~>gDES76njks>!YDE1RnYus=4`zF;2oWI$8vvWH~oh-Dys4C zGKSw52)F2rRAl4Aq+oauhAU5z8^5HY0hq#4=VpU3) z#*a~0h`2ci94(tri=d(QaS*Jddke*9gqx0ciJ0EOy-IGd#NesU?1lUY!C^RP7`*cO zBt$a67m{c+7O;2LZWQa0~xaJd>JquUY%{r?}x z!G!ZP$ZiX@aCKODkP^O)X}4SHuI0*;?6*Bg_(K49+z}>r$$s%$HH-2!e|wbqu3v;+=}?x6zp>45DuO~e6Vc1-;6o^l;EG(Qz$SyYJ41$f&bg= zsB7_UkLEuMT^5HTcG;Km!Mg7_2D;}`Pfkumrfn@&9mH)dD^4nHCcW%?+l;@Pw}hK` zLhSb=0R`j@i4@S(2Q)r?yXc%Mh$6+6v3yXO(bSYFT`Bo40N29YYw6QZi5=^WJT>(S z;P>RafY`2~8w)RwDf6*jc$!YA!ZKod0!cAcXyF?DByn@8Q5WL{|0YuZyJ{FMNVLq0 zy?faF-VqJDE|!QA$GLhqj)@UHXBA;BmHRaKLDAqnrH$O+`efaiw}PR^UsR4supNB9 zPyYG%d2XAfOKZd#+0o+VR5H-bX6p@gTUzpf7kB42OUOLLzY}R3dQW1L10!01z8;#Q zcH{foY@DN^kl+?9S(_m6e=o#T$gEe<=q=$oIDoJTI z$=<#Oq6UB5bi}1RuQLSp6#n4ymblAmW^@Bl-&J$=DaoE%9oHErN-EJDB>z+udn z+&urScq;)%k*(NGqmuQT?|aaa)yrQ7<|)JDj%AhN8ydyj9W; z2cGST<7^CeJ$SqN%;}fHnV;Pm%zG>Jdn!*d8s;zC8?>H0Kk&-;%*!)s`>+S}`@@w^ zUz3()?~TaCh6gOKys+sn4MUyU*M+OHX7ZaFD)^5-j$o~MOR=;+vSaKGdstXiOxc@I z<*k_X`joY4LzXjDTXPOe7yWv^p?yabU3es*REt*^gIg)jRs0pe!{fjI$zN7q zV@JfJ@2v$3NPWl{*0fSD(jX2xK5Da6B4N%|W&}`i7k}v5@mk>Q;UmW@Gi+wQ`lG4L z)8xC7FLI?74b`p-u)>AYeF+KZjoj8cxd-NxXQx#(3kw4TII3S=@Rxd`ccI2FqDW`5 zOW$rpit*$hz=~{YVsvX2hnqO*DhfivaU>r&(16IaDbRn*Zh*Y%43_OoR#?UP{^j_) zf(JSeuUPuV$;DL<&tLn@O^b+qa$f=bFp*UgS!Yje1s`rfFj7Bo9yNdiyGb9f~cD! zlS1lvD_Spy#8%%avrv0*Og5rRnU&!cF; zNQwh7KQ7a_<^3$1lsL%p$lz69JyAHuu4ioM3$3`^TPV~FsO(ziiqSOYz82w6Hip#( z7Bz!+`0O>R&+Z$?Q%3s|zxc=2;YROaLSQg@EU@RA>Ef5+55%rk>CUNe?Vh*mZ@yi9 zv~?K=jH>87muSjlD|-XM{_pRJ2{)f+47c|z8gXq%h_o%#J6bHWtdYRzJU!C5R0qD- zPo>FXYYgahXMJRqS=nzpq$Epsaj;*yK>QlPTFhlkQcs;fQGA2j@sz7wRluh_(NY7~ z#nD>!up+9MJ!?UXHeZU?0_L>%bF&AhZ}HkkhOO%LbX!|Zo5*g-l16{0BWC_kIPO#H z3ejM^+!@JRupAjHc%Y?W*1`+6syXqT*-du%01b|xeEMbh$!s=d&GnM$SuWWwj!UnG zoLV^8*k12J)h&gWx-~2eqt^qPKV(S7kLQdAOI3-LzSK_^i-tWD6LO)`uW4@`bd4yq zEEUzyDor?Z1Y_q67TTz?UNfV>T%&pPn^hc5zpYuFmvjtdl-I8RSO&LfP)k#BPj{Qo zhc*pPv?sMzdB!kQoQe`UFr6R6+OwD%HY~O|@iH{*LtfTaedp!bgI4`CTfyX?M@IMb z+p-&NvS$Ww{mtKU!fr2J0%Tf_W)2t4O%%h-?%O(VehnmPUfyy4T#q)B?LBqsynNKN zqWcR<+KUFmKGgvMQcpTkK1{!yCa^d32_+8s@SOS5X=Q5RWUFWKlC7J|%TQH3aE_z| zLm_U^rf__2Z@cBJqS`MzrOc1ApQcl06^I1~ib*qHNNA%vfS-XX%`EbA>LU&KNL`B# z3_Kxf@DtQg&n^GvW!3y8h>i8|o^)(%wL{bubhD;|O7N`1y|eVf^>S|KXCG{)8Cmv+ zk$)K3o8?H`ZmVGKA`*ZO_T(OW7PQJ1|GF0S1(IYmwf|Y{3NqsAQ&<=MT&--38!t5(`PYXlZ;A>2~ z4${O(T7+9zroh$Prz&fm)FIo_(K*f3trn3j$gixi_Jn7${|#Iy^KtIojNp&6@J;*? zukg2)NP*beA&K&*Se1iHQcuJ!HAb^166SEt#lT%NGm_nP*5t-QnP=X&9d~`&Z`Uig zHfQ{-et8T3M~zwh3OH{#U&1Y4$bNk%_u8c^>lx>ZV|4~Zp!18IYE8RKPpwQGU_!u>v zviA2y?S(qnbN{*PY=1e(C>wn9rcII-I9)ACePI`*ek+`)8oJ-r8hr)($?^K;5PZ6H zY^P@Xi_Y0)*)|Sbj;VZQKCHyXpyhDC4VxHKhUUv9d`mnSpO$a>==;RMGmi{PP^tMN zO%K-Q7FO{GW7gJQERrJS>0M!i-fWUE8&$lwuuF;GCSpudLP8(%;JF)^SHv&b;*ZuV zSd#lgVHfUWlK*6;TS>rsgEdy+?>>>v=71un(f2BbtbTj8I*4r;mnrrDiw#$as-J6b zjix`FVfrgF4f`2-do^M2{RY`z?D$%1x@fi_uo!H)Z={nk_*oO|dRJ^QI3`04THFhZ zu_WDzPV3}s|7UhPn|BG9fSHfZzKGB@2G>uGhJjsw3wB*wO8)bj_L0=hYSmXC^z7lN zRXkf`HAmBbixjnVen%R6hmm|GpQ_YNo96M{4z{{Gp>EDA;jK6JA7&24xT331Lk^VN zd1O7$!t2}0+(uzVLhW^}!-o!i^Nwnhj-b_-piLJy>1mRVxjg`36PK>mF|>H%P)gR$ znhTC5WIP&szR;SrGAay}b<2+Ka;JAJ`)x$k3+4)h^}$zmK$f)VsLhBo3Ajf+}1Q#y$mKyp@4#6A)=<{4c0L zL9nV}QV&=cydEi#w_X%`{rqhy#rw`94|C8PK_AYGUX-v@?Kz%0EJjzOO0aoF^55m| z2td@iH?v&)kW*EohWLI z(`0Ka;W37NT#)^WdFPvg2P%Sp0ed%@SWE~IXLB5WJKP7(VT{IuiN9#s?Ee`d?vsYm2ioWIJcf7u01WxvVWA92zi1#x@ zBeEX^v8NT7x#4@ZkK4p-e>OO7W(L+^2inTYuJO*LNOz?G$nLV?m6LGx_1E)!PSdDS zu27dPSH2OOJ|F6^5n=_pQqz{?Jz=-aKMIz{S%+ zs=>!pn8?^gl!*SG8DA;`pZ3sQ#(o{_&9ZrM^1V1SynSosl4m)pB03+K2G!!cAW9Ne3yvpy|$Cel_A~b?j7$~ZQ6bI zDR=bbD2_z*ouKBy^_tdk`qfXG4rk0*dc`N8G4L9&JYy(=+zILPDFi_DWxj2QUNU@1 zIw;0{b1~7M?CAllcu00X1-2`ea$=6BL<9WU{(7$7ahGj|mR6#iHbFoA7X9-(ItIPs z=;>H5fqsoUSDf5pPYBQEv#qmfGt@*AAOE!Oh21UpQ>5D~*3%v1%UeF2?GS4=%Fjp} zCMN+oor&V)N2eG3qDt1rtt=H_NseR?*aFL!&t4ppyt!njAQ$GLXHl^7yp@urLZ7We zGnn^xmd?=3m12n3Nt|`_JmM9r=Rbusp0%+hYA*s^al6@QX?CmrzNI@(1c;w zY*^7zd|ADT;D%D*{mI{``6h8qz|0vk3ei2-lErD@JA^rVHy)-9-<8}4_}m;or4 zdk-V`tPNcQ#$`pbO`oUlDCG9yiDzb=h@wpey0RrU(3<<)MsU|UTqYBr*C$^ZDPS-5 zxshqgZXA zop!~5+1eUf`KesSjQC<9V;f9CX5tv|=0CPiAOP>Z!I>bBlXSHQ|MYCuVi+F@kKjW0 zR-AI3_Q}{d_xkJa+^Lf{#-hYV2Bk8?bo*(y%`h|3;oD-4rJo(wInfO|@C@$Mh+(Z1 z)B2o@s+?Xg^)O4dAaDA6AuiGS*r$klOBL`@q>9qo8YBabrOw{chc_liKTrMvHlkJ$ z^YUlIAH>DT1&qSUXM-u(Ki@SEv-T}S3EF9Is7W`4I<3t@nT&ds<)f)i#foAM;$N^U zl%z(`-Je3t`!~HS3pWJJWw5p87^dar0O(Avh!f3z?ym+xA%f4|t^B8)1PtoAFTkfk zgRi34Su(wl*^QNi{k6sO)_e9Q7$o^iK0FbAZ}~k=0kb&IvK&Uk<@YiSeiUr0@T0Y^ zyo!US;pDvuM96|DoIb@53-@pPr6av7n$TkOrzn)LH-4JWp8n7ZW00TSy<3Yli4nTh ztZ@o|D+!3GP{YAe%&z{KV%(vxkCoJ{Z%0dB1%ckpqe$YHxsF32?vBVx$9ed}*{&*GF@uHRl5yCCk(Qh@|f$dgbiwtot2b5L;)Z`>L{dqjee!=apqI z^9r{{etJ|&xbF8mx#^bu;mpL~O9_dlc~v?&f>P$`LmAEf9sm?MRyvHfy3UxMlh7R< zDTJsC^SHck!PS11zii?F5-9u#2=+}*^Vtp%_L`v(3SRiq9(!XybrY0vZM()ryX92% zkOIL*K0dG#8@-DvO<2|F>@~cuNuOI|>#HQN5_=A}VcaTDDl<97irEZ}P+#WhC#7As zm2Cg1yaj~zy@v`eEg7k~Fs31;NU zuv&}}$7pVJXkWNgU0dal&X*@5R7v2~I`R2pu=v6Zye;Rs5#H*wpPEow3G1J}?0P(} zn{K0wlTPiM4p9tZW4!Y6rKiNf%!A6Lj#l@#sp(tKOJ08Y**o-zdDw8NaPvum?(l4e zbi`Ogve?|SFx>TPVv5YLpEGatpMso4cN5BCNwI_JD zufVYfS*co_j;qHI&g!S962T}Dz4zp>4139Zc~!TedD*gHQw1ee9vC;ymd+Sq71TU^BWt zJE<47szhbyTjrW|VWoT`Ldbc;eN9)clF)(&cM23I&mIc%txx-$kd~n>)E=T$M?N`wi*CGj!{Fp z`UovSLH%P|$yhs8R|8^f;an0s28X}JZChkBfFBQAt-Ft(M(MVU{wyWUAwv3%TMxTu z8JOyqffP40tec-D(~brTB{j^h{MLKpq$3O&@7cAN(A3lfkPmEPviRn}!hnTG<+123 zS9MhL-aoxxeHffvkt=3>a8%2KUAG@q0k+2F-TTSjIbRVfMk&I>>CZ0Jy;fT_W0k|n z7I1PwL6kzC*0+3&{c8%_bdgaxDX6NeCn>Wr9OwL~9SF~a@Db5;oobi(io#J-7thcr zjq2QYbgNsxkGJNZ7+)A{xo~9Tn-h)5A>GcC%J!|RG_1X-UTUl*IyvPte)R_qX3Tu@ z#o9wI`Jlo}!W&5RX3?2lPZFHVwe^^Lol=Q^Lm(=QlxEbA#_ruuO$`Ey>vljnv%DnQ z8&n{8^>(<>ALU;KEM3mnFW-xm<0mXLu(=tJmeA&~$IK_33fElBZ(;36S!%8|g-AYq z4-x)9S&241xE|D_P0zNqT1X^N#(_Mqe|CLFO*97UHpWDHUv=mx+VNUMCAwGGKHkD$3c&5JpXP(K^UjH$&B*>d{%%T)d!|6|`YQ9Z>ZVs- zG@tnt%Z8t8hcL^lMIqZ$)EO~`PJs%=g0rZJr%?3)4)5-&NZs4n*5+TNxTMNTH$>tI zh-Gq2xL?1?dr|9l=~XhZ6jrdVr4d2KT>XL4C-?zpf1=dw{iO*Wk8*tC)#)0`h@$fk zjuHdRzOUIRL@h2^QYCM8rw1NaVPvFsVkDiHv~Uhxm5%O5Yp*QFct|RNbi@^d6t_Nd zIvC2L=4={3E|M+pwTZ8r8Z-GT+Dwa~(3!)Z->);rQOPd78Mln*9NW<2U7XJ2%%tH={I}iP%w0Lp#5Ai}bvx(mfrNBnv7crIX z85o~JRacR&Zii7GQhx*rnG>JQjUNs-Jws*!_D)_R9bkeSE17vyd$V0M@DX7wPS(EF zn{vKS0G!~U2EzQ>=QXe1D(CMKmp3b!Bk{v}*AH~16j-_ume{Gpc;7!F(!SLhcLe-E zaR8BX)^)Ji@u9r37zvkuQbmT{Z|x2)8y%Y-nwsnpq7jNOhaQRZ-*W49>8L(&;-XAf z(R^ok9vdu0U{Nsa4-amw^Dpsil|FH=z$SlnJ@Z2>JbjhCe#L7qvQVF0-TT zMqXRh4u$|M^lrBMen_^emfBrnlMQPT3tUk+aYtxF%Lw4cz&av+6FSGvwj-0DXTF!|VGtTF%9A zV6CdsY*46Zb_|{04_E%0dpLSyX*_4O9j*s&C~_ z>Mxy8cl+83@`vT(;mWNgHc}e*ho`Ub1@tk7E6l$7if&izXM2JhNVL*VWS#BA8BPRe z8c@R}4+WmjAH>OaD^~1gMb4x%ZSgtTvD1LWzidSyvIlUdxGq+5eXmoD?Pg?F))K*u z`c0#4GEc|+ErIRnVyWC3!YD-9jxjEW4foTqd-`&u`OUOpyin1u=oAz?HbxiPr5_v! zV8DGd*M4*9OHWy@IeSFDIS*V2*f$<66&~a8j@KAx_d+GAxZ&AiHk?a*8=sbkc>6o* zZEwJK-BU*y66!2B9vLf3Wsa6$GmRZw-PRTT_npkBmNisix=b|GR_9*(LdohUxS{*@ z(fCyy&M0|v>hsvz$~PRB2zh$4fPV#o z-K&;NRWjYdA}Q5BIi@U7890jp57Why-0{7%N1K%0oMZ46|FpQuAXc!Ir?l_n11SHE zQbzZx)`u>3>MB=6ZdHL8-J^x~98_GGO$JFe$%z{tt{FJxuiv+-bIiQ|mUp+m7| zN6efwNl8v&w5;I$qtw(P7!8L9WC;1lb_wj3Meve5sE9tC14}sEuiAE&QB=&*V%e$R ztwBut7OkG%RbEsb9Z0l37z6xNdh|}<%KPD5fAtTjuL47T!QR7FqhtW*{@1Q$>5T7{ z4T+yVycASfbfZB!ESAE~*8Y2out@-amac5(+|@)2H*(H-#ui`P_$PH8d&DN=VRjqt zM+AazkX3h=S##6yO0?2SABm#Ad)+gk*?+GrRo$hv9&AfjbPswuF65X*)wBy9q6UhW zsBTo&bd-qR6It$d8HH>|r}I4HuaG9nF9h0;}nub+cBk392N;80y|!y~ep_ zSI%O7xzOTteUy6C1?;EQrRgC|U*7QST~e`4N6)B%Q$3;p+wmYo=ns|({|L;>T6Mpd zFWc`nP}379pL%Kc^a^(_H^}A@c_rQq#uVA!8>tO%aJ9!&3lt0Xvs6-}PY7LN&busB z>BbdpR>A>e&J*?sh*x&BJ7{CmCd!qQQ&%ldHcI;gtn>R2A?rI^-Re9o9OOXCE7eSep*jCTNI<8f+gzTwP_wc#I!wF@6Fc3g_Uhzh8@S*i%eTwVV7N9lU|)2fwz0sY!F zjE{&PDP=KiqtaDx)2S#r4IvQ+7DDRVI5gvW& zR4HFHg#uLnu&*?&q1$<-LyR3n*%U6#6E)FmIw=-TXD}q<`NU=94svIdOnEZ+@2B)0 z?#vH4E3XvF)TIGJ+MRoM7v6WgMw^l?e%fwHtUD593%sIse@eze8$_^>?`j&h)ZiUK zqw!C@LJ|)6iz_FmUEK&|Pj<5*tYU~Dzb2s0_}w6-P%$gBM(JBFDU&X;7g38m8E)m1 zE+deY>)b@L(dFL`&ZuhAQdd(pP+ai8&7T<%!iadP^(RyqMv)H`Apy3=VyD_&7o({HkCDWn$} zCuttti#}cyw;zgql~pf;P5J0*eDBVPjimzC=fp*(@u{Vj&hpmKSLz&H6(V8T`4*cV z(x^`Yu9g#73mZ}^(p^1K3@a01l&`lOo6m1aSXz$hi1gkGNC_S3od`$|p(j8{^1p8qzK!4S&pGZ{_bkbK@0~mI%*->- zTPbr}(zCD4`{sc#-@`_xrs}7c=|~FYsXSJrV6iBkluQ@)=kh_#Lz7*4C!^ zKR)jyhXkuw90r%~k$7~y)5Dc_yX6iIX17lFaL;yRX+_#XS>uGUb}>>~FZVX6@g4^L zdh?iVPG(H;8s9!|PfNjyeWVHr?|meG!Ps2~E)NUDp?k73z1+*%~`;Cv->h7gx(- zTe~2Z-RCz|j-0b`S?XAlv)K8VI(z3#5`i-^B+aw4t5R&B60<1bb=CF6{37xr%uIAZ z*C^r!8`s5PfB%*_9PZ}8D^?uTIgKvHvVoTB)IWS-9=2%{VaK0}*t46CKWoI47=`gR zWk`9o83reqcs4Mjt6Lq0xjBIgnJUy&y|&45U$I-y=>wtW(Vu8-|KBs0( z$pFYW0?n0I6Q*VahO6C>&pG6|Er*E-i0oACiVQUdU?rx%LkY*1vw?>?Gfmidb{{%F z-_Q&yU&EbXz91R*{F$XZDMSM2PEtZ`?Ofq-y4T|SW?!QxxtmIw@DFPa=j-g`gM#?k z9#+zjX+2*CSz$+tFfG9>x}Z=pQ`Xz;Kv`wp|Kp#4Sz~;I#E!7W(CAPfCDm`s66_08 z;N=EoPw0x$erk|K#Z$x^+HO$M9d|7{6{HqksN!?hIiJr@=3r#!{pr>J`!>s-#WKzX z#TS+yJ`;U_9q!{^u2>s-GH!4jDmkC!IQH(gBITvXE#&u1x4veduI=S7E!yuT)5zsH zaRo49c)`=^m2L3+>wF>9%2t=bCh18I(Q%Z}9XnZ@%Ae z!jB0bu~ihH*0;twKb<+drF3Q-aT8xfV>Z>S^pB71+AhothAH0>czAbvm*rlgW@jHi zqVcvw>Z6W!o*~L(-wUbWHJ0k*-=w!!P2G6jg`5Eq= z@+a;K{lGQf1_)ZdWU)qC>Oj~Pw0>kD66#a#V#)D@vjNmk0w8-?LOad=)HGf@{*}%w z8fDBXG;mqP{)3!&LlyAE3myU-ik`Sv+B`_J>4R33srT?%xqD4d#jV<(d@jf43tE^U zO&oL#tbbU4-=aJLshj^B?Z#l-;?z(di)v=46;(OuknZYj)4c-+ugJm_JvZ{);}Gfe z5UHSKGvs+at<&;4&5|vZrmS73k64yy4_zT6R8%^HeIjJoi=e6i8`8#EzA9O=ufWGg zmjxu1<;a-rrp1|{*l6DS*Hc4?8Sr>X=S?mF&C2Z=&kLBXn8~F4I$mwsx!-ftDC|c9 z7SHNVDWVTe5p|&o`TS6w|M@AGu;itlcu$*w;7fK*t-kJ*cM0)5<_i(?c@Hf#AcWVT zd#TH70U*37mP~oCey@{5R{hQ;=Z;cKq;*=_7ztyN_t+S}>dEH!po^fRqjMU#tmgNk z?>$$2H68lj_^MINtm2elw$)BYkAKnN@Y)U~d97AW%T<@mRe)FMVQRZ<*9KeJu!e3E zua95QQshrM&#S!;0;n>=!i&LS2U{nnvrzug{ff~!)SA}{g^@#3*ZV#=BS$6^zkG%_ zglB`)32;SIujv^M$(=aKZRb`ei==W}t2nt5S-t#+tN-k%^6ZdXk+Bzk1BX>JM+im5 zNcTq9@T|6r*lib>_Vg1sdH{W?qm|OPdkv6sh&Tx$@Pd!LyEoW3?JFqh_sJ@%yX~sX z=#7Qq6P=uAgl#e_Y-=;W^k9f%(cneL5?mSUT%4B{(3SH|o@kTjT|fK>;`NN~nsB>u z%LrfK_FKEb(h%HXI62f8qEZ=`a|W`R6~?!IGu8E$* zxjqs*IjPJ6m|%+4Gk?&s(5ou-*$I)_{gFH|g)v$0xmXW`JcKO_k8vgL;KIcyg9f1- zbHTS9VAZ}M9QYg&n^KbQQ51#13?~y2IVO~Ck4Clpg|=NEfH$76_KLwOKV-U&mNu<7 zfhNe~uex0_&otz>+qhU`*Yv0-Zo(*FA{v;rT)qnZuDF1~vs~%mc!ZAp=tlUX8;5$7 zV{N8J=QR2`bWM!%Rsh}Cbep&&#ZSMJ-Pz-jLb_5y2dqF#t+tdnVKs^K;8{T*kz0^vt*UZaJqfYQ%1WvT`}D!gbG=bua_7zFYM${G zvE;}4)rr?G_XY~SL3+;iB1zwOu`Svp+nzL>+n1>_j|0BR<^BUa#egk`*9opst3FLIh6f_(_-mK3K->m6ob0So`Qg7&+@6{^nakou370FDtWv#*u5`| zOOl;c%x>WtluSh2IDcPTfne@2SLSCi%gq^E!EAmxQ@)l?3nB)*Z#GP#FacTt&V?V$1Iffi%{s{ASp9=HV zolVxobsegauQAq14T#pp&)?Oj9Q+!unKuQ-q^ z#~)QqCY>iw#tL|T7m~88mNlTdS#}qf&1~EEXV}i#1z(Ck$y##O?pI_kpd+m2S@9kl zgx!=cEV~#STgbPc*Zx)s?8B!iYKu#$HmuY zwLeQw_YSYQt@HZxu3dH<1{-U%o0h)&%xmzK_?pi94IeEFjHR6hpc8bjV$)-n_Ez?CwHI@32jyR5ZPh+v-LV=t*bP%(?Zlv^u&{UqX3qvfevJf;pUg2yG+wKG~dJ)i4DoKR0-4sKmceA6+>JlPP$QXdtx z$R|0IOx3bH!pvCA{m&efH8>HLO0>U7OAM|2jnr1Sdo-j zs$@EaJ{oRwlLM*%g`>87-k4Ud#{|nEH)^sMz1%Uu73-|T&YL%nozL#%M0!X%?XC{3 zO$BENDq(Xyj&ee5G8GkrzW(!PO2l0@6M<7C0A309E>!Rv#r1A^vkJ{R#!7eeyVq6@jAzbTCmRwq6zj3(5Vu#>S zj^gE!T+3NS^syr+kdGhSQ0c{PD=CBAM@1##9?mZ;kHh?ft@4iprokPfJ5Ovd?1nB` z0Y=$!<~<1|(0zaLmEmQ1Olt3%FipN`kLTg`XiW{J9~ZP55juCBfUeiwL&8Ul@fGM2}`L+nuqpeDnI z!Wqa<><=HvMj4eY55g-IcpswXrO4k0*n1{UxA~g=62kpeMhR| zogKda;xzU8iYB!0Z2i@oh80%)b{%nHF>aG>c|FT8ob8P>RPXQenoA)>Q9Rog;9sZ> z!=4!rnh}SL;BfutaCifLtEa9B`bs7~ouAXjg{p6Pk8aSp1Y%hWVNfkwQ~MP9|8Qk} zLi$JfLQ?I6Prr+mg(S*A1CeoBiT$OdvlpRb{G~C}nrc^9`5$`!q97U?^;6nTQ}B(+2g z#+#tWsQViZ>**lZj*Wo^io(fb>@+^4+NGa9ENi|LKMV+&XU6b5)LE*iEcz@JBNyMp zwo_rttOXj6V3y*HrfRYM??OMi6BCxkyFCZM_w7@Nbl7U6^2|pJ;c6Ph(vF`E_D`T|MnB;BTr_o zg9#Ndx3iT4+^k}`i*pgw3Ov(`M?b-q{&J$e5S)Oj{L4~eVEFgr0=G0k^GRWJ!-F~- zCO`c)FO5_Bif$yWfqJA2KdP{J;DD0?7$b~#*12~tVQ0a!%1~sIM->XqVo4VR7f&|8K#g!^I#ed|5kQ9nn6nnU>n7 z^TEq&_6x*KF5J!ze~JMUHqgl)IXvP>7>h19P{Nn?-hloK(~C+*#&vQH1KB(Qy!ZlC zXiQC!nS%+M!D`Arnw zCVP)QisypgfLMB|dJX^AOy=z7tJj06+~>v+g}*Fm8pwYxGn&cyypQV(BT&N(8pa9s zzm>`hJzmAMcEi<49)#z5*VK3%{S?YBRUnawv-0;vd3jwD-d(1WJDA?We%d>Of$b@t zG^qLQ@FOz-@NjOo_78x|dWtR5Yv<^3OgP=#(t{I-{e)v+<`MMwzXU8S3`gvpEMs6z zzOI4pgC=KM9yj9;Lwtk*5kn3-5mr=*NT$<8MQP@d5_0foRTQgFTP33k3|TGSiD z^n+2EklnI)xq5yTM+V|Hl1?LO>Yk(@z>2?l3nc`Mkt}b-rnR4uqr9N9ZXv5MyI!=J z{UDM$KG(w$$V~-YOv&Dik?!?RR~73?r7V!}uc5I_PzcPqP8&Y)>6jTS!Guytlo7*# z7EQaVKhZG)|F#(>AC;kZhDHOGiImay6a~% z6%~gOK|w0_hKb3Iu{E!je$=>RSC%#!BD?z!bX&ExVVQ#_(S-)aI!2o~-2yOmL-Ql4 z3UI>k_{-vA;39%|KA({j-m_zopX|7=n<0P|FMfprSP)Awong*EUj0~9Ml2qo&f2_l z`yL~>cgYwOSDDn(@uT@gOI7X72SWIG-G>G0$;5Uo$bA;L8)N5AhZo9NVfoDD&Vqicthq=^LF^Xp^Nsy%;=C+D&79DdW@GN0+GHhpmbv>LkJdVaSR20lJl}p zc}i7&SW>rkoK!7p6#Agsf12RR=V$5uU(I+`CY>sB2afos4J?DaRM0E$Bdo0aBO=#h zlCK)0Y>jEtyIY`E#Z0FXe=JB}C&F3OOijT!_u|B!y&!&~-b_1sY8TtJj=_;FkCE9I z9=A&ig2yX#Tg1DjXMkx2jO|ciK?u7PefFANoHpnNdnRg*!%FNKH2%Wg)#WpSQyM>3 zL-;`LMHHT2gJuo)-5tP?#6qKhJ4B&`rq^i{$|FG#4tArW0q2Ii`7&0_V!lx zgzE6S2d_-~>Tx|FeiHd)do0Q>bLie$yTZA_fiN#|CytIjZV#Bsz!3 z265RkyvoA8-4vCUYK#9U7|T!GC2~mGAsrJH+=9SJOMZ9Q+8Xp-P|m44^WxW{v}FZ+ z>|Iu(matocDXO9Zwb{kyqL44pe(MHi!Slic*l75GYmwyA!r0|myGX!25$&zs{&Y#% z^B`06mAl9tE>OM-zBz<#_gb#Zs<^j=63Edpkv%uR9_!~9ZQ>>D9Ht=Zi6JGqvv9BL z1qr@6O{^*(;mwe8k%YmPhrmlz8&tiye1l*VG_;TgkbWB>DIFCA{33S(iHrdW*FD_Q z07=(ziZX9pF)XQ9h1WmtA2tbA(w(0|sO!%(judBRYCgfnhVClBV^;@jiNSAHuc+p1 zEy7*!_FhkoiQEdd7erdJ26MiUq!4Roa{3qA%lbmHaSsyno5vmMw-P-sS&9sxKIZ3; znV09V!v?Fvrk~EYwDwf%hpbeyHRV{aD0qZaqi&BoWsZy&;N}7vi&JcaT}sG3X-ant z%9pDJW5y$q(bPstMxI5P%^5)kuF+^e;cjey%{Ai~ z36~X}*1)9Sz@~>#e-0AFdoz`Hm-DV)6_Rql4|L)WQr67Y0*=cNc$kYSkSKkq9(Eqw{}%6;Gmb`&SEm%7a#31 z@?{($yww=MGwN-Y>F%Okjo5l8KZ7l3^#`=Sp~}UER&xTb1K9a@ZRv#-Z}TB_X2Ob| z$yn83YIHe|EO{V9WU%h@Y)z#(AR!@5Qg%ttG4D$eo9H{!Olq%A_Yi`RUK;wGUAY3Y z$w%7}!O02~uGO6ba&mW&YDrmZWY?K81Qk-M#q|Uai+DY6uHmk3$sopr@{A6wjtSum zDW4Pq8`GC>B2eEeKi?SM$Mhofv+HLO$c2HQ7oiV38-ssgQi}$&qWEXo$VCudaCQ<& z)Pef_Pqr;O)$Ac2U1r^vj`xxuce+Ng`I&XJvhuo%^{9Cks!Wf2v6YgKHI?InNPC-ROT?egK)4I`-cvduUBsBN|Ef% za!W)kB}%qG?*+Ag7@5~5$!rXBmR~AFZc!QeP1&@lw(_xOQHd@CawNWe3`I2V{%)4H zZ$AxX{J}UHm7`;b3-06c%+ODxl9fFPF`;1Ez&+p14!e+beOTU{;_v3f!Y(0054wMd zxRB?{uX}zlTjtQE(tenj4l#-+4eq0k3ry4~_oA@M>=+e9cZUj8cw#28V-?n|eH{bTEV|%v1_fB!1vP0O*j(XU}l$MO+3X zJogf&8AD4)&tF$ug3gNegP8l&v6!Pxi@LK$Vd6JlmcuNJyG>FHKkp{b-V$}E_D}bl z*`eVm4u~4qFk+Gj{Na(~fbkI8eD}zvCG<%rj_k!Y@RwX)FvnAV;g1mU2%M`fM0}hj z!2D=}A^LIm2(@&~{KROrVaa&JiGWGWABxThjFHf~4xZ9yFrxXWSlUea=PzHl7Brx9 zI?v7s6|^a-xF_j^|3 zmsP&*+Ygj+-raR^_`=B~S`QJOF4u>B7L>L4ECLbNKYU=Uj8=X4WYHXUU7_W+7Y$aQ zB>mqE=Sk&MPYDJiky~{I7^w5(-oVyW5S^93f36epvmL>x8V?C7dkTUNXWEZu5U0iN zH!LTQo!^(-tq^iqefg?&_l%6MexjVSM_Hm1^eiua%>~p6Oh7&JA#Se^z*x;L%UO?~ z)G6Lp4sE}DZ1WTJktfb7{YJZD(BBZvZv(||p{QB=;`@b^D$roLU;1ao`8`{m_1cXc zIM!HmwPmIz)#=U*(~DPH@dW)Y)Wjvo7cnvUyk$V|gBtgicfJ;}df$lMXBa5{7O7-f zEDN~C0(K@|j$@X4MmAJRl+w_}AK1~DYO3qd2FLe@^kyzHc+@96hzm*zj)*Z@2Akbz z)#au0%BF5@a=mk6+kO4xtnC$aE-G8XeL1DQrxhtg5)Jp#{J}A{R6t@o80X#u=PjAO zZGnbX{PWm-05H0;bHL~V7sXnxl8q_14e4Sng&(~3Ch0B<6OGo(;}tZ807Y>`py4HR z8+0+&J^;siS#tNHqa0p>N*NHn^^-9?(I;fJ1HM2%fIZk@fmBU}^AG|AU7@b==o`cG zE<5imSVoX-d$pG9nf8=uHqL8^X4*F!H_j%)J#7097@~C zvF^++MPM4lR$fLt#vgikmN?nv9CNd}*P-p~a!?_WJ)0r7y2@QxXzHv-FAnMyuWLdD z5f0o4J1q@Ab*V|1u59I_1ri*f+C$nbUu%?p+eDbVRm?ssLZ}8>24cTFNKV7ydnC?iE|6hNwbudY+!Ne>32} z=}7Su0u%6xFu=@wbE@8ry8kAx({)qPUB|ut&?_rBP1~Tq7&j=v7FUi-NO;L5rz`1X zcr55k-V~%b0ax65zHuz#tX%?4$pSh85TbD+qK+9 z6IE%wRZ{f9C0Q#ktdJ=WJ9bF}YVGnBS3*!@>$p}tahiSb*#wUl_07^|jPFcia_hxl z#B{XKg-ql5s7}8B|LC@b9(?GRS?xnyz{k2DIX-8-^ zh1s?c&*?>oKSVu(6L!_2(1&Y3wLz;})OGR>$d1vih>^;_W@|<0POAVzThU9`#!;S_dRg-vksSs`;L2#DAXFE0hK;?h?4Y)SO#*N@?uOe zium+wCE7%PoL!xJCFZUSKr!Lx`q8`lP#k6b^E79q#@K0idtJY?&d>#aISZOO$_(&M z<$>Vmg93XCTcFW59496tk?e4<@7jN_+G3jhjxm^K=>x3}P4$MtbbIArYsMXSD^IU3 z1vEBnO|H{|aG*H@e){ucR4~8B-UOU=B;6b3pWmA#QmEJ)5qyy0;(=Qa-Qp&`oKlPg zyPrHP*BQ^2D0_u%ww+6^HyX0%s|k#^;1wt|F4NmDV}{2<08bdIBSL%;k~cqfLfcE3 zKKha(Ou{M)mAHsh2!I}etirK)x2G*1L@f~HTs zkG$;18Q#O;Oi_ve1Y4lqNk4?No#whCGm;B(R;&C-lUVexa>dY|oKeoLc-#Ah z0O``wTJ{G*50rMg{AyDOLuscxsf!4dDLCe5Ba-+>G?%_PmO7@xfC5DC_7_v8=t4zA z$@nPh1TkI!2&JfZ&+rTMnuP7OAPAll4VNy_{3;uE>D}+>PJ}kdCypSZ<0M3?pZ8xi zdRG6AZnHi=bz)wbjFSR@$kG93|Eak;49K;9Im6EGhc50vXLrxiKV!V)1NpyAqWI0c z9IxaG&H|&*;l$X1~Z&TogV{oXaAdVMBPGGn2I)5YKs5W z+}WEHl)t>RwPmW(f>@ePtFN>+y%D+Z#X~E=i{HW}DNp8NwP-+lSL!E&a>kFM9_lZL zX8=_vxkYpLx(O)#njOdt$r_8i5nGV@_;G@$6Lw>-;bpuQGaUjOu6k~LmQ$g_E|%5F z3I(Lbdym`fU1oU3PNOT8OR2NCSKyR1^ zu>Duk)W^4xMPyfHxhA`qx?hdB-RmG4H7PQ^p5lWk@SfrsI6d2*afX&onz65M{3}-D zGuYT+16$^JvV46AJMN)!_wHQ?8F-a==xwm1k{tRD2WS4*W!cJ?tve+Ky<$GnA9c}B z_ZZ0+ICggNPoMZ#JC~I%YK^5`0i$aQz0pwaQzOb4zkOb^$>mfCTS5wCd{!oLAlH6S zTrFvxQ&{?WLxSy=hc+EzUaTaE08(WXP7W9NDj7W%8{$`Il@J9SS95!e^VQvF50yPu zUeO>(jSwR{$>(KMuuXRGt9_vCowu|L^_R7mO{gULa~z7#p5ndfX~fFvT>tth0;G%t zi9L#CPfY=+{I=I}wmm>3{>tw#S@SmfUFZABwhp)x-&fE)HdV)s>anRhZufh{fa|(x zH~(WjBwI$3p2tbv!|nE_@lO2Z4O-$33lpZ=z{Jj0yKGN5jK7qd94+gk=f{DJN+4$M zTt7~=2=PrYDT5C9)D(4=Gbm)14wxb8BponMSm@5O;KrdWl&?#H0Qwq^v9pcPq+{s5 z7nQOeGSq_bZGApE{LAT&zBj+8K?=kFkm8KHjLU2|=o@dZ)Y!)J5y{ zUggFFanGBn;(NbbGHT$F9gdLat>|`-;F7@gJTn-A9H4_kz_k z^(4f(t_O1YP*e3mi~sp(d>_wIY7=8QRaY09njX!&K+V>x7gL7e^ilGu$U{JbeLx%Mm<1lD|f7(L5l(0tj}-_y;3 z-2{8Jxw(nGDFE}i4CZm~-D5-P1nC(6R7xuG*=+NM5R)(xO&NM4nE&+GF8*&k5 zPZ+_|!_U+rz%y3}ev_W=sik%QU(da3i>;g~-ZYjPXMcmMvXTf29eI9>({sxZ=&OD| zX|UDEH@TihXxOiwB9l@G=C%|)>r$m>IczL63{At%K_{!6^PF0bexZ~FlG%z3*cc$p zcs7XWtJc2}jAg2^S+7$UP?6smMj`)hH^b^;DE_GGiV`Fi>rL3cot=gx*w`IAhKGsp z*rJFsxU&faQk_r-SE+{y@H zH(hU0%KcVcA%gf$4#!jow7(>ev%xBg?O4Xes@%E8_Hn_;x3jb#gTj`rGFlHM_u0J* zaF{bS`fQDrs*AJjzlO@W*lw=B{?Xoz&{y>wVqI+&FeTdD4S6#N|0;wk8H(h9Z+q!3 zBHZ1H6{a>$&z|L`RaKF2q;pY9ln16$osyH&o1R@RSR~n|isW5#^w>-WyNg0kC%Txe{mCGF@+6`gyV$N^s27DW*EX5z zd+L>ruxjB(XzOFjomoS%gmR!obFa5ANXY>mZ0D78c!fvOeuy=((mGMWJ?Nu*r^85* z-3^Qrc39yXzL;g8dJTEorz&y;v)$0rP2#xVFTn4nbVn!Ow9sC@cs__9MKWQihOlu=Jxu^7#wy)0iG5X?B*JrGTSyHd85OMU?5~C0vzw z`BbM;(wBKp#K!aGcwfsaeNz@hye4A0h)FHkYM=~*(7J;&i&@5}Qdp3{^u`v=i7 zHfyhj6BMjnoShZCz>~6In{6r|SXIGBJ0cW7iRO*}f%Wa<-+(1y^R$tcch+X4P=%Hu zrWOl>1eC+$b}M8aoAB((jCU^Zi=JC+pw9FC3TOu@_LJ)(Qrg){2;&m#x}6E{FWR0 z)?Pubx9+sPVN0vM@WPKnnZ|&K(#2C!sdm-VBa6Wgc3elMkhn#~HL2sKJ&Vgh z1jjTj>j%asESYhuhpP_3VR7-Gn!S4(rnug;wW^9JR9|_TMXL3bL%KG=`;mf{5nuK0 z#2EfHZED-$DPadj2m9h9snKQNdviPCui7ToSQEa3@pl(KOJtyMbR5P>?S zt|DJL-4-G9f^`;1{RN05OVNVKKpd@GIug)%UsRqKZrRX_ zNZ}Iy57Uc@q@+iQ~i8am#WKKou2wZu_o2JH&)tYCwk;|WC*V>s_Zq<@ap4l4zTf(MaxAI z7!6207G+=@DLeG6VHbNc9h?X>!Lc#ee^_yNsKmvNnr-UIDb9bp#atE@ki6bDMQ?7yrM`{l(p0D18s=>n^ z+7@FK;j|je!=>6R7%CU}jNpH_syu&N3^A&d*7D13vtzb{0@W4I)Ho#^)S(eDRmUY| zK%SCZ&bi0qKqAR4Yq3K3_xxqXWmXP;b8gLn@{^lWpnn0?mNqvw8mYm3s_{e!f{;E` zK$q!xC^SHLG%_`kvte4FMeIc4Ri)joUd6MJ-_7^2B5^t+9(lB z<+RW`1^@c6>G*I@G~rM1ygIPKtHx+X0unq|MS0k*yF`G z@=#qTcBcXrqC%JeEuAJXnxd6JSOtfxR#raju)4&;c?Kr^L_O@|l;3?KHg(iaz^iEb z6?LjX_dihi>JTHu_)}yUOvV%wBn3Ditp~fr6U1dHIZ)rs)LAC`OJZGPDuv)ekS zB~Nnse)_BweH#7R&??TMF|-VQ(!hB2-aXd53m15M^H0wG`swNoWy9`En&ENS*5+lF znrrB;mp$v&J@VWG&cfY4&UV5|=bT@!H@n5_PBm@AG(-29u{h5(`!-xz{_=)UReT;G zi~+AI(&A>K$Bd@Xz^1Jx^_8dYgR^NZV*X=f6}O8f zp_(z7RX-x$YtV~)W0;mDHlylfP&I%Cs<|Dye5)B($r7+4XO>T{OV0@)qsBmCtfR$*$!&(t}})hvWCIIVPSwx ztM*ZD+4yAH1RxB-ITgrssrMScXOyV@Y#T@HM&Esr%B%byPg?xi8S;6j$-IhFdcfTJiy}hHXr)1;25M= z%h}{!&-UZtG(|o4of8xX2#_&R+Pm$n;;+1G71rpBz3q6DQ*yoqcyYDd*3O&|7S0ha zD{e(e)$H^lo4GEyN!bMUaL)M3n-kZd-zCd2F8A7%$2n!^c>7aqPr;NVEQ56xW{8sY zlP8BFnui0lzLcG(*RxOW9JuEq|IM*OrflLRTK5Wb`MHLJ%to;nm}`D>8f7J-Da4x5 z&xwV6r~36iU6&+nD;cSQTg>K18N%9QT8 z)2}7%tlu0RyO9t_LKN7vJg(YaS=gZ`=_+$`#LZ##2NXOhbWZg*8}XxEsANek`3-;Q zR=sWQRFYRL{~$8%zV+^e1zI!9SUDsC+1_}Vypyr0ba#$gQ9&|Zst@1K6zH3By*Y4- z*M!~R-5q!PFPzDPmqL!xH$X!xyX-7|17wPwDJw7a>?kX5fSHY!6bWl(Qj`Q8nXog# z=_4ZcrM4!$+D|pbfCO6C#uQo>_ip>8KuG20%VK^(s{7ovWOQWz*vyx0f2{s!cL@O6 zOGNed`gFnYz`r%36i#}Ub*HpTaf2DkA>Drk@+_3`ttC0_UQ3IijvJ+J*Emg)4*r}> z73tauhCDn<=}H~4NxTh%4!VfWZ!PONL$0-^NN1AoA!>v3dn98Fsh z+ksQZ#%D+G%BbZfDj2Q^*i!O_HMC=%Thrg8;3z+ahntQJdahpzeYWBHc{@|uk!+~@ zgK02`Q@6x)^x06Qv|~%~31u)As;T6aITbt~kdRsN@2V@s8CQMw%!m?kX@b4wlkE)X zh(PAnkI8(~Ae0X{8rJVtaP+Ery+IktI2yLFJwFNE>Eh{bY3z5Yl%`*DIZAhTceb`} zkR1A1PYN~$#}->MN0TRoW1mJYtP2&-7=?_c*gpPBM82Uxz*AoBoFfv(gWJ*Cczv9X|Ju9 zWjadM>i)oO`=xT=U=_LB(9ejR3kM3!R^^gH=C4VD_=7B%x;oqNM6y;X4~gWt@SPoxK~{ zT#u@r&Aq?zK3jTyMGRWIWZ|)kGD}K{a!aHE`^w61)TvmPV~n> zBgThM@C4F2$=|+Q(d<&Z9a`wNrFe34llbqO6t1(_D{Oz|BDF@Te(jn{SDYe>$avx8{zvQxa&K-@(WOzy8!>b^ynD z1_#>7Sd51)sJ0c|IJ780$n+n523`d+gbqYn(d+z4mxerg4FuIg1R@enAXt!nb7D2W zIZw>{qV;BjLNtN{?%&tfTQR|WU+Ia)6i=`5DU#aKTl-yL7hNHJ_!s}I#1bL*O8vR& z$Wd-zDP{>XcT?t6pj3hgl8&)^|BfbD_fa=(*O?xqlTIrf_%0HIG_&(q@7_1LQI?gL zn=P)IKaUfrsFtDhbhe=;JM5%rk?OWI<7N7huvEG5<@)86m9Ts+z@4#(D0gdaq}df> zwfVTn&C}EZqFOb7Y>2FlIwjxo;RgE)r8Sn>UbGeFGUqI(-l@ZjUk=6FJe}u!fX6LL zRuclLO6~a?!4j zMo#m%Rs-@j@5G!#Uoho3UeAvKdL}gO&+)sNHhEi4;KNkm6qwlO5ZQO|w|_2b=>0+pS7bnpW0ea^|4dcv`=+ z3DWcI8HMcT%PQObER8k`!XVT7llPn!JCCWy^6u6%Wmx4@(=GqJsnj${!q}#dh-B4- zg1+6B>qiUd+F-eV+Vv*c;T$vseoFgNNKje9g#S|CE$60jdyd$Xgh zxSqb;x!9o!-mIvntLX}{6QGkhl0Ua3) zu3s)j;zxwwyCgIpAQW-4NG6^Z==Hpydd#d>X8xV`q)+Qi!&gs3i-*RR{*QW&5=zEI zr^EWzQH8D}EOeh)#Rvjj((%<53Ai)1wxGodOFUhGe;+O0e7`lNAKWNCSk9`8N_E&K5GAZcS5SiIzW=YE9^@E3HnFq#CA2cb=1-B-$ z$_kxVVDEn;Je5tBITtOn{-bU(l?BIv?tB6vwtdQVHk9@3B}y5=x1ZCq&Qs1yZ{<(u z1Nj(VglJZhn@6094L{%;Fm=UwmS0m`R-x3=yxRl}3#-~&b8~b zas}n(by0VqDj6?#<=A=3J(?F3o#b*JtSrTa?VB|AEkd8(w9pOYk{TmFK}R3k?v?QM zSo4jozC%N-d;yGxS@P{&73B0IerMGQxAw~~E=h$lqumP4JXcjo%Y1y8E-1;;96#Oz z1oP>yM~#^-ZpQu?@&@^08ul~V>|vCTvYkC8~NXT!)TDLSlOje|co08U9gaj|SE z1!)LhlQA`_$0b-5dGs zaB`nKFnT2$oN+WF19tUZk;zsJdPH$MeWEE#t1I^Y`0tj6!a@5tDZn|3nny%M)uTJI zLvkveZ0R?(%$^*{4Zi4~Hl*ua6?l8Z{qQgPU_a(#*6#od zwKq`Yqyr3@vY9Ztg+9NZNa`HHVO;tR_Lbp%?`!~@7W=kaF1`98C#~rhEWSgoNYN|z z$@11{?169~!MZtp4~fTTQKSicHo+(d>k$Q7R1{rfD2Ow;a2S@u?sq4SbVY%=pQX2- zzr247?(6eTW$nhR*=McSH_E^C(5oRj$ytP18{ClN*MG1zJ#dwO*u*n|yTss0$sh4i z?=D-re{^E1`1Jblu^`?f29w`S=qL~HilK&Yy+Udiwmrjy*%f?n395tm1d;4@JPrlTj{ zsD)(sY6Xy5t55oJyP8AK5H!%g%rju@c(rob&z8YyL|Jm_b8a+S9ovCWmkG^A5s)s~ z-cODFr@VC_U+i;OF>uAP&QMzef+pJuR^}jZv^-iOYJGMyrDMJw`R=tS7KI`5Hd1qQ zkX)Z1o|M1Y({&qZ;Llkj>{K&4wEBs_^9K@cZb~;%jAGyB*nkIaXu#;%^bTqyw+Mv- z1uXD`zr~1E##+98D<7RnFx{26l#sg5?aQ_6110jow)*m8ii*}wj+V_oG?kW>{-U?d zoco`f3m0I5rkYb7rdOVJE{Wfqo{@3gF;2nvpBFpIkorxx#Y+QyB zkLFw(e8%OpDBVt0mD`6G$EzHTJNy4;hRQdC1wR>yTu}Ug5y!y;tR{DWogVa_rQX}E zXIAuz#>T%Djjr^nWzf6W-VL;XZz!!j0WlRfQjNTfB_$6c@GoC?{Bpv`xvzBVN7<&s zv`pk`=y9L0BV0;VWy{%4*~8B|Y?KP{ZKgSGiYBxR^V7teSqaclD(D;Y?#$8#;U)GY zqJ0oDlPBB9gF?BQ&e~PG;06cCYdgX3>1lUwIZ~s}t@9CTt?&9}cO!+}nZbC z!UCKnxE7NCFfG;EcNcZ0ZbrCnB=}KJ5BNBEzD98EYf{umGBH?XWq+<<;Au|GMoqC8?0Ex63pb!feR^xXYf>#LM1vFV1BBn_YOFq$j< zos|WKSXa#$R$P5E`i#}T-9wpik?%< z3;q{lS3Xk4Ym`tPxBdeqY@??RauafZA49HlnAeVSnC}!;f!){&Ae+sV+8aS|;}MRa zjCNA21h(Tw);TbKepk{V%<@iVrV>JXBlpy3SJQZ-{JkoTlfZ<; z#^AM$Hb*WAB*t;M?gU?7*`n01`7~WgJT8ExEYTgf4#?G2t+=_ROp4(i^KCDstE%(A zE29@nSVj>;N85QssaZx1u7(lm8;*=_#v=|m+JP2lmEkOUFfS5{si<gi5PR%;T!jZwb!6D0@Yw`nU^&Nw`l0S>^jb0`lvPnay-A)JzB4!m<*ATT5(-qY2C zGI<)sBP*PnDiBNbA}1_Lnz+_r6r3j+%yAd?6ADFiI(sf71QB3Mq<3GyKiv|)NpdG` zr9gs2*(N3%QZ%%~MDey7R&wZrNs8S6){oltWz9?dR`q83XsC^%fYv+0*q}{gHE>zU z^#FxVt*tLkmBY3DI;*VzJk@{FYtGd`xAPK=IJ{F3ytN^bHeOn|ltA+p-y<2vLa}%V zi5@@bbBtV5tQ$VV9&cZsCPqV{)s*@-%i1)|v*qN@%xz;_K0WAkuZUD9;NydcQh(XG z4}^N1AwuvVVs7F7ZA$3hsV@{pe{r%xLnW217CCgifcELY*UoycwIoUI&a+Y&SJj@_ zQ@cF{%UeUqTp_1qsYCWTYV+CERG&fp#|zY>XLCcfm#R=ZeT6_t?A;fcUQ^a}7I))J z_qBoau)x3NhKDWe(2A^~8vSt(jAfncD2sCTc}sNiEs)>~>NXz(=S?dJR20{`A7O|O!?sq_7%cQmNS@P^At z0S};iUrMQ)YyAte`9tGtiAN}oAit5a?&9jQUZK`Z2bbjg*YF|P8Pc0OmfJX1Gk zd)0pF+z&RDwal-UOV45QFYWr|MJ0|QTf>izHNU|dZ>&#o`EE3pc8{}lIvBC;?|*({ z#X((}Qyl-{d;-GeqOq6e$2&E@={|Vy2V13^7ifp7N1Sl3lztv3_$c36d9kK3XV;M! zjlu^+86G+fr4=v!798(m`}f#aP(|76K$Fv4^NWdQ>Rr0iRCkbNhGQDI7!5Mzv`$i8ng3^VgRGpd=s@4LQ#zw5iM_aB~__nP7Tz0Y&s zzx(&x&waZm`>)+C6h(&rG`>w`^pIZR`o4~03U;{o*3j7rv0~ArGD^f+sL#|$lYZH7 za}{qB2ng)OG>^t-Nwr@ax=IG>W-Zf&Ik2(_q>?-md=#(QhKg!-JQSTL1z+HbQP$hdQRZ$>R~l%F{f@lTh=h_u@j&&Ju;r z*#PW2AuNqVFs0_X1y|6boXnWOfzt{v80iK4?&_az8X^Y$8qx)IDAit>8*`!p+`qDz z{zO!~dNFDS-Mhb}W^(9B?URbL>JGv(z|@xwT|J*%Y3~{#J&E!9{H*vSzSZMat2Hfa zbxNM@G>zJ|^-%3NPYx(#DEnQ+tj>73;*@yQ92dO7`g`Mo(gV3SJkveg7ltQtq~vw( z>D=pM?g@O^2vvx7pRb(D=p6>OA08D|83po>cpot zSMRlP)UK;LertLBlReg!7d+S>(A`eSq4ts}MfBdGm_68{s2}+xOphSLdIxtGB?Nj4 znKHaKJ=ZPo82zxl^6Ja<#n_WO5a+VS8$qtyiLpe#YrGX0x3^J9yVazgJXQDEd3h(+ z^7G@YsRj}Qh;4aAIvHcrq540B?z&hA!jXjLJVI=8ePt^^Rkm?yza-cpk%MkAE=<(fL z=4CBv_3k*F+r{n-{X1ehOvOvDMj=RRxn*yvw_87MlXT~=9|A5s`}kgs_Ax!)s$<`- z=^c_8rTL6vzN>1aTB{P^a z5W5z91T&Lp!Bmp-({{Ul;6E_Us_rw~k~2>uNFZr0rH7d}di+NI^jbfPz>H=#EHE>( zpb_ob>(NFP6|;p;BjIYEO++(g8h-HwzEDPw$A3FtVihVm;F^h;dZt|X{Zb%5%Sh(( z#JDx{8q5jjm7?rIhN7lJsDI&0PuyXCzr(+remUYV5Z7FURbA=GIQ;&vmucm*<;7m#(`A9@| z+HX=_Ap-Au;DX?B+$awq^(ftr-2y9W`VBfEiM52IV za=tnyXmSMy+OsI4wEF31zrgupJJ>;8TW^yUHWl~jF#~9Rel7S8t0oETrx?jJoI2Gd zS;n9(uJj$A>?uc%Ce=}v@fxwhGOV2h zG|zX)cK0ohjB1~3ZABQ7jgEoVDIJ6hqUPBx;RPhsETdyQ+U3Iu6E+I+mzNv1HKiz^ zii}6gS}`exubI<`Yo{++p7<L>0Nq>kyo z)|u_l{nX=ssga-O!Av8RHh%&x8JnyO+)>0dd!(K@v5 zG2Omv56gLLZ}pGo$&e>>b`Ii}z?sD8IXR!Er~<8H&Ps9b8sEQnFawprXNIDS?hy?P0j=I^5RcWJ`89T=`qz{{EtPimaa>)2xt3}2kZnmJKx1(D?5(cL zzm4JcV%QZ6YT0XAxlgRyHIMbl(b^l5AL(;(C2ADm=#LlU=J#wDkz7Ln&vH2JTCn>7 z87a-&3&Ug`YtwL40McEj`9V8shiD>$787(1&1jAhC@DQoSQ%RRSv4|2?eC==46U{? zCs9D)D;Uc-ZSiiPF6zxMFzHN>A7 zO}rbrKe(zA{T39J8S)<(Ak81K2zwyAT74eejbV4Upy|x~{OQ1>vF~^Tg1G!G?}qxA zT{stAUR_Wyp0G#sZqES^m(UC6$iT=PkP#6-gN_9>v0iq0vE78!9mkqA3$B<^C0o?0 z6xZ>Z04sbhD6Dd(?^N6gcdi)ijOm zl|5598-XfE6cANCed^=Tu^YMwvgHm*P=kWu~Lsg^dgR2c-4Q;9}eN>N5S$iv9|!B@B^m zFXG%4EG$Y25sEa)^Yi2JbMtX?1#~>S;U;mw%(6!qc%uCon~kJ11m$>9@y*%9LUhQ= zB|Nqe_hPl}gdP(o2W8G9EfM~aM7P2e74j?+`(p&}rZkfq`FUVLIZ>e=6H1jH?cZUr zIT|BlgJvoO7#P9xi@WT;5a=2FG;@3`6jaq@vJO|QCZ%So^cG*l30?^Uz4FxE<{Q5@ zTtvI>w=Pply;LLDr+ES8$LF^zbOvXdtc5!$LY@jM9e#NeD@Nh_nL;04oUyCY?(~{A zIZc|A(_yyU0bTF<(*i4q=d(WK&}z@z9!xpwEGXHw=GxIpr=vLSW18O?TaTMe|8(3MSp zHOa~}5pK)meWP8e*whl;`!R08Vi-)VrY5(cidew$EA7Y0IoDJ z7=L`()Y>V8+7(08oWGE2XR~Gb7eYBBH1uttzgQCpLF*q6*FURIV+w`FtLhz~uz++v zDedq*!vuGrr5MHJ*D}>Y@q2aHY#vsi5%Ck|R-Q&rWzlm_kB#giQCoWAq!PYv)}ySc zZngknE-z_=0FkrY;trM!&O&ICcB7ImqQ%Epz;H)}cj=^qW8} z-~dM?oAyW&l(obb9T1dlx^@p}lPR*Ls6ygAewcD0I~gUR!#1OsOVs$NMhfL%(Wo5MhL9PrKqvkVj%3dl>#9$(-W# zvYd3V7m+_trBf&c&)1%^#4j=5H|t)EB_wcTMl`>X+iJC*zuPbm!ITd_@VB0SusHA~ zP!Y&={n*h{F^j!eRY~h2#Kg{6>mX)c-BD^v_Urq%Wf8we-^**}^ADeaqNZnkGGbao z*QiPE-qIw=v6z~A9ydA%jH;h&)<^k1WLv)f?4J)uRLZD`ruf3JiTihaM+M9lhdr{d zOii}04whw2r`qdutiOAaI#DxC9II|xWxJXtGGgPEdb)I*=WCn!%f8vmLuQdIx(y%J5d)V>bGOf@plGiK7AuBMvB$S#?| zg}dR=zjZy?J%XnRbS(9};XQf}5@W z!j1IqSu?n@7|Y_QN%~RMPnnyB6rv{k<}y#GPS(vc{k7JDg>_e36!SK?G{4)~!FK3A zd;TJGzE0|)(ynM;aei`Sft{34*4{aIaT8GxbNBn$CzF2ez|jp@~eu zKU>qYFuC~4s9-AgWy$H`^`6YdermU-Y~$f$uJgZ{=^~B9Dk$%`qwGaG3;T)HL;PYx z;DNv>`IFCGiG6dCnwqSoC=|wii4R?f}%^pFgjhI$LY}FrtjJ!SWjZ|yS06og!V+2qb@Cvg-1^sGRwVDE8Fjb z-BdhzHpyJ-w>z;qR13J@X3f8?5BWttG>f6(`fnp9#$ejPr@1 z$fFt(=t9@^labo|I!vc+8e5@TuEf&2>*qM5|6;ri0rZyyot8eV^zPio#SjH9PR+k_ z-D`*}d+syX@qS);45Sr)w67a!Ge<8PstD^!oMgb9S*Ly-l&AKcA0%(qFKMRDZ&Fj_ zYl~c3?Dtuj2e&AKKtUt$#QLXI=f>{t5+&|`UWiCOZ^P~sP`tbpeRyA&c%z`zDQizl z_bWC6tw|!wCM8Mns?O)clwGfg9m|vCOXw8tk^wcTfimZ%_p_ef`u(bujGR1qLapP; z`6X^qw0O|JIpZA$iGi^y9&^(JHY|JKK(SQT(yGZT0gORkP$~<}2m5=SzX4lHO zsng*7$q&R7Q_vIdWlo^xj=6gqu(U*wQ)7AY;;*{ToQjwpJ)hX|&~{y3PR@6WKmEf! z9yc>-WJH!rJ$un!H@&7X_(T9^V6AjL)bdeFJbgG6HMQ%{N-}6;A6A+xXJ)bPbZyiM zUs-twLA$G>sr34c6;Rzay4xZG%9`-O=BE*Z4TH?+Simf7`A*iSPhm|Sv`AUlN+G7Tw0fL|~U38}%M=u|)JMa5x4>f`J zI9>X3DnRoTAhXZpU@dmSfn)3tw>mRGxzR4V0Tcyrb9xY zKp;lItf%S#IZ?zcdNQhWaoVwXW^!TzRF3o05=~Nt)l!iW*7=eT@2Qt%H|lidA=)05 z_M$h>wiL`oL}#Q6hen3(cl=$_NK$e>eI)Bf`lpu_wp2nP@k5nM>sZ~Pw7w6Nm8r41 z?!3gnBdx6Y8}i-Ofx(rTnyIM-#L!Z#e~jsHNG1?wAIuK^0y-W@=i7>3iliFq%SY`w zU5}xkAmAx5HW-INjQ%rNyY^n4Gc}YA61xj$%C|;bRlthoqVdG z1R>+t^dT``y+XsK$D(28o&egKf{#!f5K!DKExUOmPG_V$D^XH1km^$#N!lSITD1x* zB=z75!ShCpRMMNkUWFC1zb9?3doOeLUKijj_*HDsOr}*zYZkkhSQ2lrtkRCsF2}T5 z{;2VuBBsn3=sipA?Fc#EIrev%ET8Sl`j`#g?rgQCdsp;2PNNuQ<8mPixBJ&$ z705_t=`}PAODUqR=$S1#JhDVaWrUkNkR^)LR-1GX%M?pfY%{b;zYyI?ZPZGG2Qo4V5A7H90nH?h$%YIB_yDzpsdvkI1K1= zc_UKv0=KFT4)Jk4vS6EN5@|;gp^7g*WQORO_kn4&>(6jjm+VET02<&i(7;erpuc*! zfQn`A=^ad#XfI$mg#)>I*7Om+VJRvuQcMUwE0z5LUMfk|jbZiP;X3{|@6S2|x(aL8 z5C(c9X)o;cZ3b=|FFtz9l#xcI9v+MnHcd^IPOvby((-b&G4u7cSzO!6v~kRE>h%5G z+;`!5dG@N0Haqt&?Q&JomLD9(?RfCyK!$HibeN)i4bHtk>TqGNxLKXHccX`*TEED) zld~PLUJ-4KM+Ye>vT%-^o;uhzJUE!j;F)zySX%m|h>-CX#A9W1#FFkU#w5g_w*g0C zV;dSu^c61~A8oS!S>GhUK0gOZZX_BHwq_ir`I69$z&bPT4rxy}DJ zb!l4sirf6#iV9!;iVDj_}HQub3;5-B} zQ<6Gg@3yN9h;Ba?4I}Jg(#Zmc<aQ{)*UuNC`Y%4)s83MeW+ntn5S_c^G?u8Ln+C}LQY72$NpjAc`I zzosd^-_xOTR?APp)}n5<5o_%dE_?cPcrb2R@u)eR*c~@rLmu3RV~A9L`UE#HEdFCBXN6Nt#p4Tw$fx+lq^R zNgj+#hWi+9<-dISxcB!TCk1*2K1E)#J>BeL|Bh~^jU;33kwT{bvw4c{J;EkxGnqLh8XANh#(Fz zlk>v$8ct5hd1Z;SR3hhvH=GF)oELuQtf$R+0s14HXnY+*aD7FB^EWiRIMMhzh8E*j zBshLUW`zTcZ$rqee1n2x0GSmIFun~Tv+@lJ_5d;~Y%JI#$gHrjV2>cP!p4FA&;?GvDIIp_DLU6wPHg*u?IJWZbT`)-6$~@tGi#6`O z%|4&Tc@eq=HX6`VU}FJIBn~W~<;(^HvPf(!Afw900&;C^EFka9#sVT3Y%Cyx!Nvk2 z7#vtY1cMC*L@?M`Km>!01w=5|SU?1WjRiz7*jPXWgN+45FgUP)2nHJrh+wd>fCvT~ z3y5H_v498$8w-eFu(5y$1{({AU~pgo5ezmM5W!$$0TB!~77)Q;V*wEiHWvR+2}Xqv zo^{~=)@A{BN!4-I`0GtU?%*pDTwIVlU}FKf12z_rJ78l0xdS#9|4-ck`v$;Cd?+#U z8yrx`{0#~yJ(U9rE{G$s(SSG-8w-ddv9W+S5*rJMBeAi72nHJqh+wd>fHZjyEFglx z1_L4(Y%Cyx!Nvk27;G#cg2BcDA{cBeAcDch0wNe3SU?1W4F*Io*jPXWgN?=iA;I`@ Yz0UoWxe2YD`QI4opV2Ek;c)Xm0hI4(-~a#s literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_1.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_1.tex new file mode 100644 index 00000000..a0f1a855 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_1.tex @@ -0,0 +1,438 @@ +% 01.02.23 Оля + +\section{Алгебра многочленов} +\subsection{Алгебра многочленов над коммутативным кольцом с единицей} + +\begin{reminder} + Алгебра -- алгебраическая структура, с одной стороны являющаяся кольцом со сложением и умножением, + а с другой стороны линейным пространством со сложением и умножением на скаляр. +\end{reminder} + +\begin{definition} + Последовательность $(a_0, a_1, a_2,\dots), a_i \in R$ называют финитной если + $\exists N : \forall n>N \hookrightarrow a_n = 0$, т.е. если начиная с некоторого номера $N$ все + значения $a_n$ равны нулю. +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть R -- коммутативное кольцо с единицей. Многочлен над R -- финитная последовательность элементов + A = $(a_0, a_1, a_2,\dots), a_i \in R$. Дополнительно будем использовать обозначение $(A)_i = a_i$. +\end{definition} + +\begin{definition} +$R[x]$ -- множество многочленов над кольцом R. +\end{definition} + +\begin{definition} +Пусть $A, B \in R[x]$, тогда верны следующие свойства: +\begin{enumerate} + \item $(A + B)_n = (A)_n + (B)_n$, + \item $(A \cdot B)_n = \displaystyle\sum_{i = 0}^{n}(A)_i \cdot (B)_{n-i}$, + \item $\lambda \in R \; (\lambda A)_n = \lambda \cdot (A)_n$. +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{proposition} + Множество всех многочленов R[x] является коммутативным кольцом с единицей. +\end{proposition} + +\begin{note} + $1 = (1, 0, 0,\dots)$ -- нейтральный по умножению многочлен. +\end{note} +\begin{proof} + Докажем непосредственной проверкой: + + $$(1 \cdot A)_n = \sum_{i = 0}^{n} 1\cdot(A)_n = (A)_n$$ + + Таким образом, $1 \cdot A = A$. Умножение на единицу справа можно проверить аналогично. +\end{proof} + +\begin{definition} + Введем обозначения: $x = (0, 1, 0, 0, \dots)$, $x^2 = (0, 0, 1, 0, \dots)$ и так далее, чтобы многочлен + с единицей на $i$-й позиции записывался как $x^{i}$ (нумерация коэффициентов с нуля). Тогда произвольный многочлен + $A = (a_0, a_1, a_2, \dots)$ можно записать как $A = a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + \dots$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть $P = (a_0, a_1, a_2, \dots)$ -- многочлен. Последний отличный от нуля коэффициент называется + старшим коэффициентом многочлена. Номер старшего коэффициента называется степенью многочлена и + обозначается как $\deg P$. +\end{definition} + +\begin{note} +Будем считать, что степень нулевого многочлена и только нулевого многочлена не определена. +\end{note} + +\begin{reminder} + Делителями нуля называются такие числа $a$ и $b$, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$ но $a \cdot b = 0$. +\end{reminder} + +\begin{definition} + Коммутативное кольцо с единицей называется областью целостности или целостным кольцом если оно + не имеет делителей нуля. +\end{definition} + +\begin{example} + $\mathbb{Z}_n$ -- область целостности тогда и только тогда, когда $n$ -- простое. +\end{example} + +\begin{proposition} + \label{pr1.2} + В области целостности выполняется правило сокращения: + $$ab = ac, a \neq 0 \Rightarrow b = c.$$ +\end{proposition} + +\begin{proof} + $a(b-c) = 0$, $a \neq 0 \Rightarrow b-c = 0$. +\end{proof} + +\begin{proposition} + \label{pr1.3} + Пусть R -- коммутативное кольцо с единицей, $A, B \in R[x]$, тогда: + \begin{enumerate} + \item $\deg(A+B) \leq max(\deg(A), \deg(B))$, + \item $\deg(A \cdot B) \leq \deg(A) + \deg(B)$, + \item Если вдобавок R -- область целостности, то $\deg(AB) = \deg(A) + \deg(B)$. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Обозначим $\deg A = a$, $\deg B = b$. Пусть $n > max(a, b)$, тогда: + $$(A+B)_n = (A)_n + (B)_n = 0 + 0 = 0,$$ а значит $\forall n > max(a, b) \Rightarrow (A+B)_n = 0$. + Тогда номер последнего ненулевого элемента не превосходит $max(a, b)$, а значит + $deg(A+B) \leqslant max(a, b)$ + + \item Пусть $n > a + b$, покажем что $(AB)_n = 0$: + + $$(AB)_n = \sum_{i = 0}^{a}(A_i)(B_{n-i}) + \sum_{i = a+1}^{n}(A_i)(B_{n-i}) = 0 + 0 = 0$$ + + В первой сумме $B_{n-i} = 0$ во всех слагаемых так как $n > a + b$, а значит $n - i > b$ для + всех $i$ от $0$ до $a$. Во второй сумма во всех слагаемых $A_i = 0$ так как $i > a$ на всем + диапазоне суммирования. Таким образом обе суммы равны нулю, а значит $(AB)_n = 0$. + + \item Положим $n = a + b$, тогда: + + $$(AB)_{n} = \sum_{i=0}^{a-1} (A)_i(B)_{n-i} + (A)_a(B)_b + \sum_{i=a+1}^{a+b} (A)_i(B)_{n-i}$$ + + Аналогично предыдущему пункту первое и третье слагаемое будут нулевыми. + При этом $(A)_i \neq 0$ и $(B)_{n-i} = (B)_b \neq 0$, и в силу целостности, + $(A)_i(B)_{n-i} \neq 0$, то есть $(AB)_{n} \neq 0$. \\ Для больших, + чем $n$, номеров сумма будет нулевой, что было показано в предыдущем пункте, + а значит $\deg AB = a$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если R -- область целостности, то R[x] -- область целостности. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Мы уже знаем, что $R[x]$ -- коммутативное кольцо с единицей. Покажем, что в нём нет делителей нуля. + Пусть $A \neq 0, B \neq 0, A, B \in R$. Согласно пункту 3 доказанного выше утверждения и в силу + того, что $\deg(A) \geq 0$ и $\deg(B) \geq 0$, верно $\deg(AB) = \deg(A) + \deg(b) \geq 0$, + а значит $AB \neq 0$. +\end{proof} + +\begin{definition} + Пусть R, S -- кольца с единицей. Отображение $\phi : R \to S$ называется гомоморфизмом колец с единицей если + выполняется: + \begin{enumerate} + \item $\forall r_1, r_2 \in R \;\; \phi(r_1 + r_2) = \phi(r_1) + \phi(r_2)$, + \item $\phi(r_1 \cdot r_2) = \phi(r_1) \cdot \phi(r_2)$, + \item $\phi(1) = 1$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{note} + Условие перехода единицы в единицу является существенным и выполняется не всегда. Рассмотрим, + например, отображение $\phi : R \to S$, где $R = M_n(R)$, $S = M_m(R)$, переводящее матрицу А + размером $n \times n$ в левый верхний угол матрицы размером $m \times m$ (где $m > n$), + заполняя остальное нулями: + \[\phi(A) = \left(\begin{array}{@{}c|c@{}} + A & 0\\ + \hline + 0 & 0 + \end{array}\right)\] + Заметим, что единичная матрица $E_n \in R$ не переходит в единичную матрицу $E_m \in S$, несмотря + на то, что условия 1 и 2 выполнены, а значит отображение $\phi$ не является гомоморфизмом колец + с единицей. +\end{note} + +\begin{proposition}[об универсальности свойства кольца многочленов]~ + + Пусть А -- кольцо с единицей (не обязательно коммутативное), такое что $R \subseteq A$, и пусть + $\forall a\in A \; \forall r \in R$ верно $ar = ra$. Зафиксируем $a \in A$. Тогда существует + единственный гомоморфизм $\phi_a : R[x] \to A$, такой что $\forall r \in R \rightarrow \phi_a(r) = r$ и + $\phi_a(x) = a$. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Докажем единственность полагая существование: + + $$P = \sum_{i = 0} p_ix^i \Rightarrow \phi_a(P) = \sum_{i = 0} \phi(p_i)\cdot\phi(x^i) = \sum_{i = 0}p_i \cdot a^i$$ + + В силу свойств гомоморфизма колец с единицей образ для каждого многочлена задается однозначно. + + \item Покажем, что отображение $\phi_a : R[x] \to A$ является гомоморфизмом колец: + + Выберем два многочлена $P = \displaystyle\sum_{i = 0} p_i x^i$ и + $Q = \displaystyle\sum_{i = 0} q_i x^i$. Их произведение выражается как: + $$P \cdot Q = \displaystyle\sum_{i=0}\displaystyle\sum_{j = 0}(p_i q_j)x^{i+j}.$$ + Тогда верна следующая цепочка равенств: + \begin{align} + \phi_a(P \cdot Q) = \phi_a(\sum_{n = 0}\sum_{i + j = n} A_i B_j) = \sum_{n = 0}\sum_{i + j = n} \phi_a(A_i B_j) = \\ = \sum_{n = 0}\sum_{i + j = n} p_i a^i q_j a^j = (\sum_{i = 0}p_i a^i)(\sum_{j = 0} q_j a^j) = \phi_a(P) \cdot \phi_a(Q) + \end{align} + + Таким образом мы доказали линейность по умножению. Проверка линейности по сложению + предоставляется в качестве упражнения. Истинность $\phi_a(1) = 1$ будем считать очевидной. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + В условиях предыдущего утверждения положим $R = A$, $p \in R[x]$. + Значением многочлена $P$ на элементе $a$ кольца $A$ называется $P(a) = \phi_a(P)$. +\end{definition} + +\begin{note} + Определение выше согласуется с привычным: пусть многочлен $P = \displaystyle\sum_{i} p_i x^i$. + + Тогда его значение на элементе $a$: $P(a) = \displaystyle\sum_{i} p_i a^i$. +\end{note} + +\subsubsection{Применение конструкции значения многочлена} + +\begin{algorithm} + Пусть $F$ -- поле, $F[x]$ -- кольцо многочленов над $F$, V -- линейное пространство над $F$, + $A = \mathcal{L}(V)$ -- кольцо линейных операторов над V. Произведем вложение + $F \subseteq \mathcal{L}(V)$ следующей инъекцией: + $$\alpha \in F \mapsto \alpha \cdot E \in \mathcal{L},$$ где Е -- единичная матрица. + + Возьмем $\psi \in \mathcal{L}(V)$. Рассмотрим $\phi_\psi: F[x] \to \mathcal{L}$ в условиях + предыдущего утверждения. + + Пусть $P = \displaystyle\sum_{i}p_i x^i$, + тогда $\phi_\psi(P) = P(\psi) = \displaystyle\sum_{i} p_i \psi^i$. +\end{algorithm} + +\begin{note} + Кольцо от двух переменных $R[x_1, x_2] = R[x_1][x_2]$ -- кольцо многочленов над $R[x_1]$. +\end{note} + +\begin{note} + $R[[x]]$ -- кольцо формальных степенных рядов. +\end{note} + +\subsection{Многочлены над полем F} +\subsubsection{Алгоритм деления с остатком} + +\begin{theorem} + Пусть $A, B \in F[x]$, F -- поле, $B \neq 0$. Тогда: + \begin{enumerate} + \item Cуществуют $Q, R \in F[x]$ т.ч. $A = QB + R$, где $R = 0$ или $\deg R < \deg B$. + \item Многочлены R и Q определены однозначно. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Индукция по $\deg A$: + + Пусть $A = 0$ или $\deg A \leq B$, тогда очевидно $A = 0 \cdot B +A$. + + Пусть теперь $\deg A \geq \deg B$, и они равны a и b соответственно. Тогда старшие + члены равны $HT(A) = \alpha x^a$ и $HT(B) = \beta x^b$. Подберем моном M такой что + $HT(A) = M \cdot HT(B)$, например $M = \frac{\alpha}{\beta} \cdot x^{a - b}$. + + Введем обозначение $A' = A - MB$, $\deg A' < \deg A$ по построению $M$. По предположению + $A' = Q'B + R'$, где $R' = 0$ или $\deg R' < \deg B$. Тогда искомое разложение: + $$A = A' + MB = Q'B + MB + R' = (Q' + M)B + R'.$$ + + \item Предположим существуют два разложения $A = Q_1 B + R_1 = Q_2 B + R_2$, многочлены + удовлетворяют условиям. Тогда $(Q_1 - Q_2)B = R_2 - R_1$. + + Предположим $Q_1 \neq Q_2$, тогда $\deg((Q_1 - Q_2)B) > \deg(B)$. + При этом $\deg (R_2 - R_1) < \deg B$ так как $\deg R_1 < \deg B$ и $\deg R_2 < \deg B$, + а значит мы пришли к противоречию и $Q_1 = Q_2$. В таком + случае так же верно и $R_1 = R_2$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Для R, являющегося коммутативным кольцом с единицей, но не являющегося полем, доказанное выше + может быть неверно в общем случае, так как обратный к $\beta$ элемент $\beta^{-1}$ не обязан существовать + и построение $M$ не будет корректным. +\end{note} + +\begin{note} + Доказательство существования аналогично делению в столбик, где A' является промежуточным частным. +\end{note} + +\begin{definition} + Пусть $f(x) = a_0 x^n + a_{1} x^{n-1} + \dots + a_n, a_i \in F[x]$, $c \in F$. + Тогда значением многочлена $f(x)$ в элементе поля $F$ называется + $f(c) = a_0 c^n + a_{1} c^{n-1} + \dots + a_n$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Элемент поля $F$ является корнем многочлена $f$, если $f(c) = 0$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Значение F(c) в точке $c \in F$ равно остатку от деления $F$ на $(x-c)$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Рассмотрим многочлен: $$f(x) = q(x)(x-c) + r(x).$$ + При этом $r(x) = 0$ или $\deg r < \deg(x-c) = 1$, а значит $r(x)$ -- константа поля $F$. +\\ + При подстановке точки $c$ получаем значение $f(c) = r$. Тогда верно $f(x) = q(x)(x-c) + r$ и при $x = c$ + верно $f(c) = r$. +\end{proof} + +\begin{theorem}[Безу] + \label{th1.2} + Число $c$ является корнем $f(x) \Leftrightarrow f(x) \vdots (x-c)$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $c$ -- корень $f(x)$, тогда $f(c) = 0$, а значит $(x-c) \, \vert \, f(x)$. В обратную сторону, + если $(x-c) \, \vert \, f(x)$, то $f(x) = q(x)(x-c)$, то есть $f(c) = 0$ и $c$ -- корень. +\end{proof} + +\begin{note} + Для упрощенного деления многочлена на (x-c) не обязательно делить в столбик, можно использовать + схему Горнера. +\end{note} + +\begin{theorem}[Схема Горнера] + Пусть задан многочлен $f(x) \in F[x]$: + \begin{gather*} + f(x) = a_0 x^n + a_{1} x^{n-1} + \dots + a_n, a_i \in F, + \end{gather*} + и необходимо разделить его на $(x-c)$, то есть представить в следующем виде: + \begin{gather*} + f(x) = q(x)(x-c) + r. + \end{gather*} + Для этого получить коэффициенты многочлена $q(x)$: + \begin{gather*} + q(x) = b_0 x^{n-1} + b_1 x^{n-2} + \dots + b_{n-1}. + \end{gather*} + Для этого запишем коэффициенты в таблицу: в верхней строчке коэффициенты $a_i$, под ними + соответствующие $b_i$. Тогда $b_i \cdot c + a_{i+1} = b_{i+1}$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Приравниваем коэффициенты при х в одинаковых степенях в получившемся произведении и в $f(x)$ и + получаем искомое соотношение: + $$(b_0 x^{n-1} + b_1 x^{n-2} + \dots + b_{n-1})(x-c) = b_0 x^n + (b_1 - c \cdot b_0)x^{n-1} + + \dots - b_{n-1}c.$$ +\end{proof} + +\begin{problem} + Обобщить схему Горнера на трехчлен $x^2 + bx + c$. +\end{problem} + +\begin{definition} + $A$ делится на $B$, если существует такой многочлен $Q$ что $A = QB$. Пишут $A \vdots B$ или + $B \vert A$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Многочлены $A$ и $B$ называются ассоциироваными если $B \vert A$ и $A \vert B$, то есть когда верны + представления $A = Q_1 B$, $B = Q_2 A$. При этом: + \begin{eqnarray*} + \deg A = \deg Q_1 + \deg B \geq \deg B, \\ + \deg B = \deg Q_2 + \deg B \geq \deg A, + \end{eqnarray*} + откуда $\deg A = \deg B$, $\deg Q_1 = \deg Q_2 = 0$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть $f(x)$ и $g(x) \in F[x]$ -- ненулевые одновременно многочлены. Многочлен $d(x) \in F[x]$ + называется наибольшим общим делителем (НОД, gcd) если: + \begin{enumerate} + \item $d \vert f$, $d \vert g$. + \item если $d'$ -- общий делитель $f$ и $g$, то $d' \vert d$. + \end{enumerate} + + Иначе говоря, НОД многочленов $f$ и $g$ -- такой общий делитель, который делится на любой общий делитель. + НОД определен с точностью до ассоциированности. +\end{definition} + +\begin{theorem}[о существовании НОД] + \label{th1.4} + Пусть $f, g \in F[x]$ и $f, g$ ненулевые одновременно. Тогда существует + $d(x) = \gd(f, g) \in F[x]$ и, более того, существуют + $u(x), v(x) \in F(x)$, такие что $u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть без ограничения общности $f(x) = 0, g(x) \neq 0$, то есть нулевой ровно один из многочленов. + Тогда верно представление $d(x) = g(x), d = 0\cdot f + 1\cdot g$. + + Пусть теперь оба многочлена ненулевые. Тогда можно выполнить цепочку делений многочленов, где + на каждом новом шаге делимым и делителем будут становиться делитель и частное предыдущего деления + соответственно. Таким образом для каждой пары НОД будет сохраняться, так как если делитель кратен + некоторому многочлену, то делимое и частное будут кратны ему одновременно. Первые несколько шагов: + \begin{align*} + f(x) & = q_1(x)g(x) + r_1(x), \\ + g(x) & = q_2(x)r_1(x) + r_2(x), \\ + r_1(x) & = q_3(x)r_2(x) + r_3(x). + \end{align*} + Продолжая действовать так дойдем до последних двух шагов, после которых остаток будет равен нулю. + При делении степень остатка меньше степени делителя, а значит, в силу конечности номеров старших + членов начальных многочленов, в некоторый момент процесс действительно остановится: + \begin{align*} + r_{n-2}(x) & = q_n(x)r_{n-1}(x) + r_n(x), \\ + r_{n-1}(x) & = q_{n+1}(x)r_{n}(x). + \end{align*} + Получается, что $\gd(f, g)$ = $r_n$ -- последний ненулевой остаток. Проверим: + \begin{enumerate} + \item $r_n \vert r_{n-1}$, $r_n \vert r_{n-2}, \dots$. + Продолжая подниматься наверх получаем $r_n \vert f$, $r_n \vert g$ + \item Теперь будем спускаться вниз, пусть $d' \vert f$, $d' \vert g$. + Таким образом мы дойдем до $d' \vert d$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + $\gd(f, g) = \gd(g_1, r_1) = \gd(r_1, r_2) = \dots = \gd(r_{n-1}, r_n)$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Покажем, что все остатки $r_1, r_2, \dots, r_n$ являются линейными комбинациями многочленов $f$ и $g$: + $$r_1 = f - q_1g$$ + $$r_2 = g - q_2r_1 = -q_2f + (1 + q_1q_2)g$$ + + Спускаясь вниз и подставляя выражения предыдущих остатков в последующие получим все разложения. + Положим $r_{n-2} = u''f + v''g$ и $r_{n-1} = u'f + v'g$. Тогда: + $$d = r_n = r_{n-2} - q_n - r_{n-1} = f(u'' - u'q_n) + g(v'' - v'g_n).$$ + + Таким образом все остатки можно выразить через $f$ и $g$. +\end{proof} + +\begin{exercise} + Докажите, что используя неоднозначность выбора коэффициентов у $u(x)$ и $v(x)$ можно добиться, + чтобы $\deg u < \deg g$, $\deg v < \deg f$. +\end{exercise} + +\subsubsection{Неприводимые многочлены} + +\begin{definition} + Многочлен $P \in F[x]$ степени больше нуля называется неприводимым над полем $F$, если из $P = AB$ + следует $\deg A = 0$ или $\deg B = 0$. + Иначе говоря, многочлен называется неприводимым над полем F, если его нельзя разложить в + произведение двух многочленов более низких степеней из этого же кольца $F[x]$. +\end{definition} + +\begin{note} + Важно над каким полем многочлен является неприводимым, например многочлен $x^2 + 1$ является + приводимым над полем комплексных чисел $\mathbb{C}$, но неприводимым над полем действительных + чисел $\mathbb{R}$. +\end{note} + +\begin{note} + Для многочлена справедлива основная теорема арифметики при разложении на неприводимые множители. +\end{note} diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_10.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_10.tex new file mode 100644 index 00000000..dd206da4 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_10.tex @@ -0,0 +1,545 @@ +\subsubsection{Закон инерции для квадратичной формы. Теоремы Якоби и Сильвестра} + +\begin{definition} + Рассмотрим квадратичную форму $q(x)$. Будем называть $q(x)$ положительно (отрицательно) + определенной, если для всех $x \neq 0$ верно $q(x) > 0$ ($q(x) < 0$). В случае нестрогих неравенств + будем называть $q(x)$ положительно (отрицательно) полуопределенной. +\end{definition} + +\begin{note} + В случае если существуют $x_1$ и $x_2$ такие, что $q(x_1) > 0$ и $q(x_2) < 0$, $q(x)$ не определена. +\end{note} + +\begin{agreement} + До конца раздела будем считать что $V$ -- поле над пространством действительных чисел. +\end{agreement} + +\begin{proposition}~ + \label{pr10.1} + \begin{enumerate} + \item Функция $q(x)$ положительно определена тогда и только тогда когда приводится к каноническому + виду с матрицей $E$. + \item Функция $q(x)$ положительно полуопределена тогда и только тогда когда приводится к + каноническому виду с матрицей, не имеющей $-1$ на главной диагонали. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item \begin{enumerate} + \item Необходимость. + + Пусть $q(x)$ положительно определена. Рассмотрим канонический базис $e$. + В этом базисе $i$-й элемент матрицы $q$ равен $a_{ii} = q(e_i) > 0$. + + В силу того, что в каноническом + базисе матрица может иметь только значения $\pm 1$ и $0$ на главной диагонали, получаем $a_{ii} = 1$. + Таким образом матрица формы $q$ является единичной. + \item Достаточность. + + Пусть $q$ приводится к каноническому виду с $E$. Тогда в каноническом базисе: + $$q(x) = \xi_1^2 + \, \dots \,+ \xi_n^2, \, \text{ где } \, n = \dim V.$$ + Это значит, что для всех $x \neq 0$ верно $q(x) > 0$, так как в каноническом базисе + $x$ представляется в виде $x = (\xi_1 \, \xi_2 \, \dots \, \xi_n)^T$. Таким образом + $q$ положительно определена. + \end{enumerate} + + \item \begin{enumerate} + \item Необходимость. + + Пусть $q(x)$ положительно полуопределена. Тогда в каноническом базисе $i$-й элемент + главной диагонали матрицы $q$ равен $a_{ii} = q(x_i) \geq 0$, + откуда $a_{ii} \in \{0, 1\}$. + + \item Достаточность. + + Пусть в каноническом базисе $a_{ii} \in \{ 0, 1\}$. Тогда $q$ в нем имеет вид: + $$q(x) = \xi_1^2 + \, \dots \,+ \xi_p^2, \, \text{ где } \, p < \dim V.$$ + Таким образом для всех $x$ верно $q(x) \geq 0$, что значит, что $q$ положительно + полуопределена. + \end{enumerate} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{exercise} + Переформулировать утверждение \ref{pr10.1} для отрицательных определенных и полуопределенных функций. +\end{exercise} + +\begin{definition} + Пусть $e$ -- канонический базис. Представим $q(x)$ как: + $$q(x) = \xi_1^2 + \, \dots \,+ \xi_p^2 - \xi^2_{p+1} - \, \dots \,- \xi^2_{p+q}.$$ + Числа $p$ и $q$ называются индексами инерции относительно канонического базиса $e$. +\end{definition} + +\begin{note} + В любом базисе верно $p + q = \rk V$. Далее будет показано, что значения $p$ и $q$ не зависят + от выбора базиса. +\end{note} + +\begin{theorem}[Закон инерции] + Пусть $q \in Q(V)$, $e$ -- канонический базис в $V$, $p$ и $q$ -- положительный и отрицательный + индексы инерции относительно базиса $e$. Тогда верно следующее: + \begin{enumerate} + \item $p = \max\{\dim U \, \vert \, U \leq V : q \vert_{U} \text{ -- положительно определена}\}$, + \item $q = \max\{\dim U \, \vert \, U \leq V : q \vert_{U} \text{ -- отрицательно определена}\}$, + \item Индексы $p$ и $q$ не зависят от выбора базиса в $V$. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Пусть $e = (e_1, e_2, \, \dots \,e_n)$. Рассмотрим следующие подпространства V: + \begin{align*} + U_0 = \langle e_1, e_2, \, \dots \,e_p \rangle && W_0 = \langle e_{p+1}, e_{p+2}, \, \dots \,e_n\rangle. + \end{align*} + Их размерности равны $\dim U_0 = p$ и $\dim W_0 = n-p$ соответственно. + + Пусть $m = \max \{ \dim U \vert U \leq V: q\vert_U \text{ -- положительно определена}\}$. + + По построению $U_0$ верно что $q \vert_{U_0}$ положительно определена, а значит $m \geq p$. Пусть $m > p$. + Тогда по построению $m$ существует $U_1 \leq V$ такое, что $q \vert_{U_1}$ положительно определена + и $\dim U_1 = m$. + При этом по формуле Грассмана: + $$\dim (U \cap W) = \dim U + \dim W_0 - \dim (U + W_0) = m + n - p - \dim (U + W_0) \geq + m + n - p - n > 0.$$ + Тогда $\exists z \in U_1 \cup W_0$. Однако по построению этих подпространств получим: + \begin{align*} + z \in U_1 \, & \Rightarrow q(z) > 0, \\ + z \in W_0 & \Rightarrow q(z) \leq 0. \\ + \end{align*} + Таким образом предположение $m > p$ приводит к противоречию из-за невозможности существования + нетривиального пересечения $U_1$ и $W_0$. Это значит, что $m = p$. + + \item Доказательство аналогично первому пункту. + \item Истинность утверждения вытекает из первых двух пунктов, так как размерность подпространств + не зависит от выбора базисов в них. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + Пусть квадратичная билинейная форма $q$ представляется как: \begin{gather*} + q \leftrightarrow \begin{pmatrix} + a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ + a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} + \end{pmatrix} + \end{gather*} + Главным минором $\Delta_i$ называется определитель левой верхней подматрицы размера $i \times i$: + \begin{gather*} + \Delta_i = \begin{pmatrix} + a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1i} \\ + a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2i} \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{ii} + \end{pmatrix} + \end{gather*} +\end{definition} + +\begin{theorem}[Як\'{о}би] + Пусть $q(x)$ -- квадратичная функция в линейном пространстве над $\R$, $A$ -- её матрица относительно + некоторого базиса $e$ в $V$ и пусть $\forall i \: = 1, \dots n$ верно $\Delta_i \neq 0$. Тогда + существует базис $e'$ в $V$ такой что в нем $q(x)$ принимает вид: + \begin{gather*} + q(x) = \frac{\Delta_0}{\Delta_1} \xi_1^2 + \frac{\Delta_1}{\Delta_2} \xi_2^2 + \, \dots \,+ + \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_n} \xi_n^2, \: \text{где } \, \Delta_0 = 1. + \end{gather*} + Более того, $e'$ можно выбрать так, что матрица перехода $S = S_{e \to e'}$ + является верхнетреугольной. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Индукция по $n$ -- размерности пространства $V$: + \begin{enumerate} + \item База $n = 1$: + + В пространстве размерности $1$ форма принимает вид $q(x) = a_{11} x_1^2$. + + Тогда можно осуществить переход $e_1 \to e'_1 = \frac{1}{a_{11}} e_1$. Для нового базисного вектора: + $$q(e'_1) = f(\frac{e_1}{a_{11}}, \frac{e_1}{a_{11}}) = \frac{1}{a_{11}^2} a_{11} = \frac{1}{a_{11}}.$$ + Тогда в новом базисе $q(x) = a_{11} \xi_1 = \frac{1}{\Delta_1} \xi_1^2$, что и требовалось. + + \item Пусть теорема справедлива для любого $V$ для которого верно $\dim V < n$. + + Рассмотрим пространство $V$ размерности $n$, + и его подпространство $U = \langle e_1, e_2, \, \dots \,e_{n-1} \rangle$. + + По предположению индукции существует базис $e' = \langle e'_1, e'_2, \dots e'_{n-1} \rangle$ в $U$ + такой что $q$ имеет вид: + $$q(x)\vert_U = \frac{\Delta_0}{\Delta_1} \xi_1^2 + \frac{\Delta_1}{\Delta_2} \xi_2^2 + \dots + + \frac{\Delta_{n-2}}{\Delta_{n-1}} \xi_{n-1}^2,$$ и матрица перехода от него к нашему базису + имеет верхнетреугольный вид: + \begin{gather*} + S_{e \to e'} = \begin{pmatrix} + S_{11} & S_{12} & \dots & S_{1, n-1} \\ + 0 & S_{22} & \dots & S_{2, n-1} \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & S_{n-1, n-1} + \end{pmatrix} + \end{gather*} + При этом форма $q(x)\vert_{U}$ невырождена, так как $\Delta_{n-1} \neq 0$. + + Тогда по теореме о невырожденном подпространстве $V = U \oplus U^{\perp}$, + где ортогональное дополнение $U^{\perp}$ используется в смысле $f$ ассоциированного с $q$, + $\dim U^{\perp} = 1$. + + Заметим, что в $U^{\perp}$ есть ненулевой вектор $e$, для которого верно $f(e_n, e) \neq 0$. + + В противном случае для любого вектора $e \in U^{\perp}$ верно $f(e_n, e) = 0$, что значит, + что все вектора $e \in U^{\perp}$ перпендикулярны $e_n$. При этом $e \perp U = \langle e_1, \dots e_n\rangle$, + откуда $e \in \ker f$. + + Это противоречит тому, что $\dim (\ker f) = \dim V - \rk f = 0$, а значит необходимый нам вектор существует. + + Положим $f(e, e_n) = c \neq 0$, + тогда $f(e_n, \frac{e}{c}) = 1$. Пусть $e'_n = \frac{e}{c} \in U^{\perp}$, откуда $f(e_n, e'_n) = 1.$ + + Покажем, что $e' = \langle e'_1, \dots e'_{n-1}, e'_n\rangle$ -- искомый базис. + + Рассмотрим матрицу перехода $S = S_{e \to e'}$. Заметим, что $S_{ni} = 0$ для всех $i < n$ + в силу того, что $e'_i \in U$, а значит при переходе к новому базису вектор $e_n$ не повлияет + на него. Таким образом матрица $S_{e \to e'}$ диагональна. + + Осталось показать, что в новом базисе форма $q$ имеет необходимый вид. Благодаря предположению + индукции мы имеем: + $$q(x)\vert_U = \frac{\Delta_0}{\Delta_1} \xi_1^2 + \frac{\Delta_1}{\Delta_2} \xi_2^2 + \dots + + \frac{\Delta_{n-2}}{\Delta_{n-1}} \xi_{n-1}^2.$$ + + Таким образом необходимо только показать, что коэффициент при $\xi_n$ равен + $\frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_n}$. Заметим, что этот коэффициент равен $q(e'_n)$. + + Вектор $e'_n$ выражается через коэффициенты матрицы перехода и векторы начального базиса: + $$e'_n = S_{1n}e_1 + \dots S_{nn}e_n.$$ Тогда: + \begin{equation*} + \begin{cases} + f(e_1, e'_n) = 0, \\ + f(e_2, e'_n) = 0, \\ + \dots \\ + f(e_{n-1}, e'_n) = 0, \\ + f(e_n, e'_n) = 1. + \end{cases} + \end{equation*} + + Первые $n-1$ значений равны $0$ в силу того, что $e'_n \in U^{\perp}$, $e_i \in U$. + + Тогда $q(e'_n)$ можно выразить следующим образом: \begin{gather*} + q(e'_n) = f(e'_n, e'_n) = f(S_{1n} e_1 + \, \dots \, + S_{n-1, n} e_{n-1} + S_{nn}e_n, e_n') = \\ + = S_{1n} \cdot f(e_1, e'_1) + \, \dots \, + S_{nn} \cdot f(e_n, e'_n) = S_{nn}. + \end{gather*} + + Выразим $S_{nn}$ из системы выше: + + \begin{equation*} + \begin{cases} + f(e_1, e'_n) = f(e_1, S_{1n}e_1 + \dots S_{nn}e_n) = 0, \\ + f(e_2, e'_n) = f(e_2, S_{1n}e_1 + \dots S_{nn}e_n) = 0, \\ + \dots \\ + f(e_{n-1}, e'_n) = f(e_{n-1}, S_{1n}e_1 + \dots S_{nn}e_n) = 0, \\ + f(e_n, e'_n) = f(e_1, S_{1n}e_1 + \dots S_{nn}e_n) = 1. + \end{cases} + \end{equation*} + + В силу невырожденности $q$ матрица перехода невырождена, а значит и система уравнений невырождена, + так как её матрица в точности является матрицей оператора $q$ в базисе $e$. + + Тогда по теореме Крамера для неё существует единственное решение и $S_{nn} = \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_n}$. + + Таким образом мы получили диагональную матрицу $S_{e \to e'}$ и необходимое нам представление + $q$ в базисе $e'$ для пространства размерности $V$, что завершает доказательство по индукции. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note}[О модификациях]~ + Можно построить матрицу $S$, являющуюся верхнетреугольной и имеющей главную диагональ из единиц. + Такая матрица называется унипотентной и $q(x)$ в таком случае принимает вид: + \begin{gather*} + q(x) = \frac{\Delta_0}{\Delta_1} \xi_1^2 + \dots + \frac{\Delta_n}{\Delta_{n-1}} \xi_n^2. + \end{gather*} +\end{note} + +\begin{corollary} + Пусть $q(x)$ -- квадратичная форма с ненулевыми главными минорами. Тогда отрицательный индекс + инертности $q$ равен числу перемен знаков в последовательности главных миноров. +\end{corollary} + +\begin{lemma} + \label{pr10.3} + Пусть $B \in M_n(\R)$ -- квадратная матрица над полем вещественных чисел. Тогда $B$ положительно + определена тогда и только тогда, когда существует невырожденная $A \in M_n(\R)$ такая, что + $B = A^T A$. +\end{lemma} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость. + + Пусть $B$ положительно определена. Тогда она является матрицей некоторой + квадратичной функции $q$, что значит, что существует матрица $S = S_{e \to e'}$ такая, что + $S^T B S = E$. + + Домножим выражение на $(S^T)^{-1}$ слева и на $S^{-1}$ справа и получим $B = (S^T)^{-1} S^{-1}$. + + Тогда искомая $A$ существует и равна $A = S^{-1}$. + \item Достаточность. + + Пусть $B = A^T A$, $\det A \neq 0$? тогда $B$. Возьмем матрицу перехода между базисами $S = A^{-1}$. + + В новом базисе $B' = S^TBS = (A^{-1})^T A^T A A^{-1} = E$, откуда $B$ положительно определена по + утверждению \ref{pr10.1}. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{theorem}[Критерий Сильвестра] + Пусть $q(x) = Q(V)$. Тогда верно следующее: + \begin{enumerate} + \item Форма $q(x)$ положительно определена тогда и только тогда когда для всех $i$ главный минор + положителен: $\Delta_i > 0$. + \item Форма $q(x)$ отрицательно определена тогда и только тогда когда знаки главных миноров чередуются: + $\sgn(\Delta_i) = (-1)^i$. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item \begin{enumerate} + \item Необходимость. + + Пусть $B$ -- матрица квадратичной функции $q(x)$ и $q$ положительно определена. + Тогда по утверждению \ref{pr10.3} верно $B = A^T A$, $\det A \neq 0$. В таком случае: + \begin{gather*} + |B| = |A^T| \cdot |A| = |A|^2 > 0. + \end{gather*} + \item Достаточность. + + Пусть $\Delta_1 > 0, \dots \Delta_n > 0$. Тогда: + \begin{gather*} + q(x) = \frac{\Delta_0}{\Delta_1} \xi_1^2 + \frac{\Delta_1}{\Delta_2} \xi_2^2 + \dots + + \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_n} \xi_n^2, + \end{gather*} + что значит, что $q(x)$ положительно определена так как при $x \neq 0$ верно $q(x) > 0$. + \end{enumerate} + \item Заметим, что если $q(x)$ положительно определена, то $-q(x)$ отрицательно определена. Пусть + $q(x)$ определена отрицательно, тогда $-q(x)$ определена положительно. Выпишем её матрицу: + \begin{gather*} + \begin{pmatrix} + -a_{11} & -a_{12} & \dots & -a_{2n} \\ + -a_{21} & -a_{22} & \dots & -a_{2n} \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + -a_{n1} & -a_{n2} & \dots & -a_{nn} + \end{pmatrix} + \end{gather*} + + Тогда $\Delta_1 = -a_{11} > 0$, откуда $a_{11} < 0$. + + Продолжим вычислять миноры: + $\Delta_2 = \begin{vmatrix} + -a_{11} & -a_{12} \\ + -a_{21} & -a_{22} + \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} + a_{11} & a_{12} \\ + a_{21} & a_{22} + \end{vmatrix} > 0$. + + Вычисляя аналогично миноры большего размера получим, + что знак меняется на каждом шаге, что значит, что $\sgn(\Delta_i) = (-1)^i$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsection{Канонический вид кососимметричных билинейных функций} + +\begin{definition} + Базис $e = \langle e_1, \dots e_n \rangle$ называется симплектическим для билинейной формы $f(x, y)$, + если для $S = 1,\dots n$ верно: + \begin{gather*} + f(e_{2S - 1}, e_{2S}) = 1 \Rightarrow f(e_{2S}, e_{2S-1}) = -1, + \end{gather*} а для остальных значений $i, j$ верно $f(e_i, e_j) = 0$. + Матрица в таком случае имеет следующий вид: + \[A_f = \left(\begin{array}{@{}cccc@{}} + \cline{1-1} + \multicolumn{1}{|c|}{A_1} & 0 & \dots & 0\\ + \cline{1-2} + 0 & \multicolumn{1}{|c|}{A_2} & \dots & 0\\ + \cline{2-2} + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + \cline{4-4} + 0 & 0 & \dots & \multicolumn{1}{|c|}{A_m}\\ + \cline{4-4} + \end{array}\right),\] + + где для всех $i$ матрица $A_i$ нулевая или имеет вид $A_i = + \begin{pmatrix} + 0 &1 \\ + -1 &0 + \end{pmatrix}$. +\end{definition} + +\begin{theorem}[О каноническом виде кососимметричной билинейной функции]~ + + Если $f(x, y)$ -- кососимметричная билинейная функция в $V$, то в $V$ существует симплектический базис. +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + Докажем по индукции по размерности пространства $V$. + \begin{enumerate} + \item Если $f(x, y) = 0$ для всех $x, y$, то $S = 0$ -- очевидно. + \item Если $f \neq 0$, то найдутся векторы $e_1, e_2$ такие, что $f(e_1, e_2) = c \neq 0$. + + Рассмотрим тогда векторы $e_1' = e_1$, $e_2' = \frac{e_2}{c}$, для которых верно $f(e_1', e_2') = 1$. + + Тогда в $V$ существует невырожденное подпространство $U = \langle e'_1, e'_2 \rangle$, + в котором матрица будет иметь вид $A_{f \vert_{U}} = \begin{pmatrix} + 0 &1 \\ + -1 &0 + \end{pmatrix}$. + + По теореме о невырожденном пространстве $V = U \oplus U^{\perp}$. Таким образом + если $\dim V = 2$, то искомый базис получен. Иначе по предположению + индукции искомый базис найдется для $U^{\perp}$, а значит при объединении с $e'_1$ и $e'_2$ + получим базис для $V$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Кососимметричная невырожденная билинейная функция существует только в пространстве чётной размерности. +\end{corollary} + +\begin{exercise} + Доказать следствие, применяя только свойства опредлителей. +\end{exercise} + +\begin{idea} + При транспонировании матрицы $A$ значение определителя не меняется. Тогда если $A = - A^T$, то + $|A| = 0$. +\end{idea} + +\section{Эрмитовы полуторалинейные функции и формы} +\begin{definition} + Если рассматривать $V$ над $\Cm$, то в $V$ не бывает положительных функций в привычном нам виде. + Для сравнения функции с $0$ на комплексных значениях будем считать, что если $q(x) > 0$, то + $q(ix) = f(ix, ix) = -f(x,x) = -q(x) < 0$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Полуторалинейными функциями будем называть такие $f^ V \times V \to \Cm$, для которых верны: + \begin{enumerate} + \item Аддитивность по первому аргументу: $f(x_1 + x_2, y) = f(x_1, y) + f(x_2, y)$, + \item Однородность по первому аргументу: $f(\lambda x, y) = \lambda f(x, y)$ для всех $\lambda \in \Cm$, + \item Аддитивность по второму аргументу: $f(x, y_1 + y_2) = f(x, y_1) + f(x, y_2)$. + \item $f(x, \lambda y) = \overline{\lambda} f(x, y)$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{note} + Первое и второе утверждения вместе называются линейностью по первому аргументу. + Третье и четвертое утверждения вместе называются антилинейностью по второму аргументу. +\end{note} + +\begin{proposition} + Пусть $f$ -- полуторалинейная функция на $V$, $e$ -- базис в $V$, и векторы $x, y \in V$ имеют + координаты $x \leftrightarrow (x_1, x_2, \dots x_n)^T$, $y \leftrightarrow (y_1, y_2, \dots y_n)$. + Тогда: \begin{gather*} + f(x, y) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i \overline{y_j} = x^T A \overline{y}. + \end{gather*} +\end{proposition} + +\begin{definition} + Полученное выше выражение называется полуторалинейной формой от $x$, $y$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Пусть $f$ -- полуторалинейная функция в $V$, $e$, $f$ -- базисы в $V$, $S$ -- матрица перехода + $S = S_{e \to f}$ и функция $f$ представляется в базисах $V$ матрицами + $f \underset{e}{\leftrightarrow} A$, $f \underset{f}{\leftrightarrow} B$, то $B = S^T A \overline{S}$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + В базисе $e$ функция $f$ выражается как $f(x, y) = x^T A \overline{y}$. При переходе к базису + $f$ получим $x = S x'$, $y = S y'$. Тогда: + $$f(x, y) = (Sx')^T A \overline{(Sy')} = (x')^T S^TA \overline{S} \overline{y'} = (x')^TB\overline{y'},$$ + откуда $B = S^TA\overline{S}$. +\end{proof} + +\begin{definition} + Полуторалинейная функция $f(x, y)$ называется эрмитовой или (эрмитово-симметричной) если для всех + $x, y \in V$ верно $f(x, y) = \overline{f(y, x)}$. Матрица называется эрмитово-симметричной если + $A = \overline{A^T}$. +\end{definition} + +\begin{note} + Комплексное сопряжение $\overline{A}$ к матрице $A$ стоит воспринимать как замену всех её элементов + на комплексно-сопряженные к ним. +\end{note} + +\begin{proposition} + Полуторалинейная функция $f$ эрмитова тогда и только тогда, когда в произвольном базисе $e$ её + матрица эрмитова. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость. Пусть $f$ эрмитова. Тогда верно: \begin{gather*} + a_{ij} = f(e_i, e_j) = \overline{f(e_i, e_j)} = \overline{a_{ij}}. + \end{gather*} Отсюда следует $A = \overline{A^T}$. + \item Достаточность. Пусть $A = \overline{A^T}$, откуда $A^T = \overline{A}$. + Тогда: + \begin{gather*} + f(x, y) = (x^T A \overline{y}) = (x^T A \overline{y})^T = \overline{y^T} A^T x = + \overline{y^T} A^T \overline{\overline{x}} = \overline{y^T A \overline{x}} = \overline{f(y, x)}. + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + Пусть $f(x, y)$ -- эрмитова полуторалинейная функция. Будем говорить, что векторы $x, y \in V$ + ортогональны $x \vert y$, если $f(x, y) = f(y, x) = 0$. \\ + Определим ортогональное дополнение как + $U^{\perp} = \{y \in V \vert \forall x \in U \hookrightarrow f(x, y) = 0\}$. +\end{definition} + +\begin{theorem} + Пусть $f$ -- эрмитова полуторалинейная функция и $f \vert_{U}$ -- сужение $f$ на $U$. + Тогда $f \vert_{U}$ невырождена тогда и только тогда, когда $V = U \oplus U^{\perp}$. +\end{theorem} + +\begin{definition} + Пусть $\Delta = \{(x, x) \vert x \in V\}$ -- диагональ декартового квадрата. Тогда функция $q: V \to \Cm$ + назвается эрмитовой квадратичной функцией $q(x) = f(x, x) = f \vert_{\Delta}$, где $f$ -- эрмитова + симметричная функция. +\end{definition} + +\begin{note} + Если $f(x, x) = \overline{f(x, x)}$, то $q(x)$ -- эрмитова квадратичная функция. +\end{note} + +\begin{exercise} + Доказать изоморфизм $Q(V)_{\R}$ и $H(V)_{\R}$ -- пространства эрмитовых симметричных функций. +\end{exercise} + +\begin{idea} + Пусть $q(x)$ -- эрмитова квадратичная функция. Тогда: \begin{gather*} + q(x + y) = f(x + y, x + y) = f(x, x) + \overline{f(y, x)} + f(x, y) + f(y, y) = \\ + = f(x, x) + f(y, x) + f(x, y) + f(y, y) = q(x) + q(y) + 2 \re(f(x, y)). + \end{gather*} + Отсюда получаем: \begin{gather*} + \re(f(x, y)) = \frac{1}{2} (q(x+y) - q(x) - q(y)) + \end{gather*} + Аналогично для аргументов с мнимой частью можно получить: + \begin{gather*} + q(x + iy) = f(x + iy, x + iy) = f(x, x) + \overline{f(iy, x)} + f(x, iy) + f(iy, iy) = \\ + = f(x, x) + f(iy, x) + f(x, iy) + f(iy, iy) = q(x) + q(iy) + 2 \re(-if(x, y)) = \\ + = q(x) + q(y) + 2 \im(f(x, y)). + \end{gather*} +\end{idea} + +\begin{theorem}[О существовании канонического базиса]~ + + Пусть $q$ -- эрмитова квадратичная функция (или соответствующая ей эрмитова симметричная функция $f$). + Тогда в $V$ существует базис $e$, в котором матрица $q(f)$ диагональна, причем на главной диагонали + стоят числа $\pm 1$ и $0$. +\end{theorem} + +\begin{idea} + Пусть $q \neq 0$. Тогда в $V$ существует такой ненулевой вектор $e_1$, что $q(e_1) \neq 0$. + Без ограничения общности можно перейти к $q(e_1) = \pm 1$. \\ Тогда можно рассмотреть пространство + $U = \langle e_1 \rangle$ и ортогональное дополнение к нему, образующие прямую сумму. +\end{idea} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_11.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_11.tex new file mode 100644 index 00000000..18b795de --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_11.tex @@ -0,0 +1,534 @@ +% 19.04.23 + +\begin{reminder} + Функция $q(x)$ называется эрмитовой квадратичной функцией, если она получена сужением на $\Delta \subseteq V \times V$ + эрмитовой полуторалинейной функции $q(x) = f(x, y) \vert_{\Delta} = f(x, x)$. \\ + Таким образом $f(x, y) = \overline{f(y, x)}$, откуда $q(x) = f(x, x) = \overline{f(x, x)} \in \R$. +\end{reminder} + +\begin{proposition} + Пусть $e$ - канонический базис в пространстве $V$, $q(x)$ - квадратичная эрмитова функция. + Тогда: + \begin{enumerate} + \item $q(x)$ положительно определена тогда и только Тогда, когда её матрица в каноническом + базисе единичная + \item $q(x)$ положительно полуопределена тогда и только тогда, когда её матрица в + каноническом базисе не имеет -1 на главной диагонали. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item \begin{enumerate} + \item Необходимость - как в вещественном случае. + \item Достаточность: $$q(x) = x^T A \overline{x} = x^T \overline{x} = \sum_{i=1}^{n} x_i \overline{x_i} + = \sum_{i=1}^{n} |x_i| = 0.$$ + \end{enumerate} + \item \begin{enumerate} + \item Необходимость - как в вещественном случае. + \item Достаточность. Матрица принимает следующий вид: + \begin{gather*} + A = \begin{pmatrix} + E_r & 0 \\ + 0 & 0 \\ + \end{pmatrix} + \end{gather*} + Тогда $r = \rk r$, $q(x) = x^T A \overline{x} = \sum_{i=1}^{r} |x_i|^2 \geq 0$ для всех $x \in V$. + \end{enumerate} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{proposition}[Закон инерции для квадратичных эрмитовых функций]~ + + Пусть $e$ - произвольный канонический базис для $q(x)$ и пусть $p, q$ - положительный и отрицательный + индексы инерции относительно $e$. Тогда: + \begin{enumerate} + \item $p = \max \{\dim U | U \leq V: q \vert_{U} \text{ - положительно опеределена}\}$. + \item $q = \max \{\dim U | U \leq V: q \vert_{U} \text{ - отрицательно опеределена}\}$. + \item $p$ и $q$ не зависят от выбора канонического базиса. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proposition}[Аналог критерия Сильвестра]~ + + Пусть $q(x) \in H(V)$ - эрмитова квадратичная функция, $A$ - её матрица в произвольном базисе, где + выполняется условие эрмитовости $\overline{A^T} = A$. Тогда: + \begin{enumerate} + \item $q(x)$ положительно определена тогда и только тогда, когда $\Delta_1 > 0$, $\Delta_2 > 0$, $\dots$, + $\Delta_n > 0$. + \item $q(x)$ отрицательно определена тогда и только тогда, когда $\Delta_1 > 0$, $\Delta_2 > 0$, $\dots$, + $\sgn (\Delta_n) = (-1)^n$. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\subsection{Евклидовы и Эрмитовы пространства} + +\begin{definition} + Линейное пространство над полем действительных чисел называется Евклидовым, если + на нем определена положительно определенная билинейная симметрическая функция $f(x, y)$. По + определению $f(x, y)$ называется скалярным произведением и обозначается $(x, y)$. + Скалярное произведение можно определить при помощи следующих аксиом: + \begin{enumerate} + \item $(x, y) = (y, x)$ - симметричность, + \item $(x_1 + x_2, y) = (x_1, y) + (x_2, y)$, + \item $\forall \lambda \in \R \hookrightarrow (\lambda x, y) = \lambda(x, y)$, + \item $(x, x) \geq 0$, при этом $(x, x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ - положительная определенность. + \end{enumerate} + Второе и третье свойства вместе называются линейностью по первому аргументу. +\end{definition} + +\begin{example}~ + \begin{enumerate} + \item Пространство $V_3$ со скалярным произведением $(x, y) = |x| |y| \cos\angle (x, y)$, + \item Пространство $\R^n$ со скалярным произведением $(x, y) = x^T E y = x^T y = \displaystyle\sum_{x_i}^{y_i}$. + \item Пространство $M_n(\R)$ со скалярным произведением $(X, Y) = \tr(X^T, Y)$, + \item Пространство $C_{[a, b]}$ со скалярным произведением $ (f, g) = \int_{a}^{b} f(x)g(x) dx$. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{definition} + Длиной вектора $x$ называется $|x| = \sqrt{(x,x)}$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Если $x, y$ - два ненулевых вектора, то можно ввести угол между ними: + $$\phi = \angle (x, y) = \arccos \frac{(x, y)}{\sqrt{(x, x)(y, y)}}.$$ +\end{definition} + +\begin{note} + В понятие скалярного произведения включена возможность введения длины вектора и угла между + векторами. +\end{note} + +\begin{definition} + Пусть $V$ - линейное пространство над $\Cm$. $V$ называется эрмитовым, если на $V$ определена + положительно определенная эрмитова полуторалинейная функция $f(x, y)$. Аналогично с евклидовыми + пространствами $f(x, y)$ называется скалярным произведением и обозначается $(x, y)$. +\end{definition} + +\begin{note} + В отличие от Евклидовых прространств, на эрмитовых пространствах скалярное произведение может + принимать комлексные значениях. +\end{note} + +\begin{note} + Скалярное произведение на Эрмитовых пространствах можно определить при помощи следующих аксиом: + \begin{enumerate} + \item $(x, y) = \overline{y, x}$ - эрмитова симметричность. + \item $(x_1 + x_2, y) = (x_1, y) + (x_2, y)$, + \item $\forall \lambda \in \Cm \hookrightarrow (\lambda x, y) = \lambda(x, y)$ + \item Для всех $x \in V$ верно $(x, x) \in \R$, причем $(x, x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$. + \end{enumerate} +\end{note} + +\begin{example}~ + \begin{enumerate} + \item Эрмитово пространство $\Cm^n$ со скалярным произведением + $(x, y) = x^T \cdot E \cdot \overline{y} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i \overline{y_i}$. + \item Эрмитово пространство $M_n(\Cm)$ со скалярным произведением $(X, Y) = \tr (X^T \overline{Y})$. + \item Пространство $C_{[a, b]}^{\Cm}$ со скалярным произведением $(f, g) = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} dx$. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{note} + Многие утверждения этого раздела верны одновременно и для евклидовых и для эрмитовых пространств, + поэтому в случае, когда это так, будем говорить "пространство со скалярным произведением"\,, подразумевая + любое из них. +\end{note} + +\begin{definition} + Матрицей Грама системы $a_1, a_2, \dots a_k$ называется матрица: + \begin{gather*} + \Gamma(a_1, \dots a_n) = \begin{pmatrix} + (a_1, a_1) & (a_1, a_2) & \dots & (a_1, a_k) \\ + (a_2, a_1) & (a_2, a_2) & \dots & (a_2, a_k) \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + (a_k, a_1) & (a_k, a_2) & \dots & (a_k, a_k) + \end{pmatrix} + \end{gather*} +\end{definition} + +\begin{theorem}~ + \label{th11.1} + \begin{enumerate} + \item + Пусть $e_1, e_2, \dots e_n$ - базис в $V$, $\Gamma = \Gamma(e)$. Тогда $\forall x, y \in V$ верно + $(x, y) = x^T \cdot \Gamma \cdot \overline{y}$ + \item Пусть $a_1, a_2, \dots a_k$ - произвольная система векторов в $V$. Тогда $|\Gamma(a_1, \dots a_n)| \geq 0$, + причем равенство достигается тогда и только тогда, когда система линейно зависима. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item $f(x, y) = x^T \cdot A \cdot \overline{y} = x^T \cdot \Gamma \cdot \overline{y}$, + где $a_{ij} = f(e_i, e_j) = (e_i, e_j) = (\Gamma)_{ij}$. + \item Пусть система линейно независима. Тогда $U = \langle a_1, a_2, \dots a_k \rangle$, + $f \vert_{U}$ - положительно определена, а значит по критерию Сильвестра $|\Gamma(a_1, \dots a_n)| > 0$. + + Пусть теперь система линейно зависима и без ограничения общности: + $$a_k = \lambda_1 a_1 + \dots + \lambda_{k-1} a_{k-1}.$$ + Заметим, что элемент нижней строки матрицы Грама в таком случае равен: + $$(a_k, a_i) = (\lambda_1 a_1 + \dots + \lambda_{k-1} a_{k-1}, a_i) = \lambda_1 (a_1, a_i) + + \lambda_2 (a_2, a_i) + \, \dots \, + \lambda_{k-1} (a_{k-1}, a_i).$$ + Таким образом строки матрицы Грама линейно зависимы, так как последнюю строку можно представить + в виде суммы всех предыдущих с коэффициентами $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\dots$, $\lambda_{k-1}$. + + Тогда матрица Грама вырождена, а значит её определитель равен нулю. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Пусть $\Gamma = \Gamma(a_1, a_2, \dots a_n)$, $n = \dim V$. Тогда $\Gamma$ положительно определена + тогда и только тогда, когда $a_1, a_2, \dots a_n$ - базис в $V$. +\end{corollary} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость. + + Пусть $|\Gamma(a_1, a_2, \dots a_n)| > 0$. Тогда по теореме \ref{th11.1} система + $a_1, a_2, \dots a_n$ линейно независима, а значит является базисом в $V$. + \item Достаточность. + + Пусть система $a_1, a_2, \dots a_n$ является базисом. Тогда она + линейно независима, а значит определитель матрицы Грама $|\Gamma(a_1, a_2, \dots a_n)| > 0$. Тогда по + критерию Сильвестра $\Gamma$ положительно определена. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{theorem}[Неравенство Коши-Буняковского] + Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением, и пусть $x, y \in V$. Тогда: + \begin{gather*} + |(x, y)|^2 \leq (x, x) \cdot (y, y) + \end{gather*} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Пусть $x$ или $y$ - нулевой вектор, тогда $0 = 0$. + \item Пусть $x$ и $y$ ненулевые и коллинеарны, то есть $y = \lambda x$. Тогда: + \begin{gather*} + |(x, \lambda x)|^2 = |\lambda|^2 |(x, x)|^2 = \lambda \overline{\lambda} |(x, x)|^2 = + (x, x) (y, y) + \end{gather*} + \item Пусть $x$ и $y$ ненулевые и неколлинеарны. Тогда система из $x$ и $y$ линейно независима, а значит + по теореме \ref{th11.1}: + \begin{gather*} + 0 < |\Gamma(x, y)| = (x, x)(y, y) - (x, y)(y, x) = (x, x)(y, y) - |(x, y)|^2. + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + В неравенстве Коши-Буняковского равенство достигается тогда и только тогда, когда система один из + векторов нулевой или они коллинеарны. +\end{corollary} + +\begin{corollary}[Корректность определения угла]~ \\ + Пусть $V$ - евклидово пространство, $x, y$ - ненулевые векторы. Тогда по КБ + $|(x, y)| \leq \sqrt{(x, x)(y, y)}$, а значит аргумент $\arccos \frac{(x, y)}{\sqrt{(x, x)(y, y)}}$ + не превосходит 1. +\end{corollary} + +\begin{corollary}[Неравенство треугольника] + Для всех $x, y \in V$ верно: + \begin{gather*} + |x + y| \leq |x| + |y| + \end{gather*} +\end{corollary} + +\begin{proof} + Докажем непосредственной проверкой: + \begin{gather*} + | x + y |^2 = (x+y, x+y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) = (x, x) + 2 \re (x, y) + (y, y). + \end{gather*} + При этом $\re (x, y) \leq |(x, y)| \leq |x| \cdot |y|$, а значит: + \begin{gather*} + |x + y|^2 \leq |x|^2 + 2 |x| \cdot |y| + |y|^2 = (|x| + |y|)^2. + \end{gather*} + Величины $|x|$ и $|y|$ неотрицательны, а значит $|x+y| \leq |x| + |y|$. +\end{proof} + +\subsubsection{Ортогональность в пространстве со скалярным произведением} + +\begin{definition} + $x \perp y$ если $(x, y) = 0$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Система векторов $x_1, x_2, \dots x_k$ называется ортогональной тогда и только тогда, когда + $(x_i, x_j) = 0$ для всех $i \neq j$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Система векторов $x_1, x_2, \dots x_k$ называется ортонормированной тогда и только тогда, когда + она ортогональна и нормирована. Нормированность означает, что $(x_i, x_i) = 1$ для всех $i$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Система подпространств $U_1$, $U_2, \dots$, $U_k$ называется ортогональной тогда и только тогда, + когда для любой системы векторов $u_1 \in U_1$, $u_2 \in U_2$, $\dots u_k \in U_k$ верно, + что она ортогональна. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Пусть $U_1$, $U_2, \dots$, $U_k$ - ортогональная система подпространств. Тогда + \begin{gather*} + U_1 + U_2 + \dots U_k = U_1 \oplus U_2 \oplus \dots \oplus U_k. + \end{gather*} +\end{proposition} + +\begin{proof} + Покажем, что пересечение подпространств $U_i \cap (U_1 + \dots + U_k) = \{0\}$. + + Действительно, пусть $x \in U_i$ и $x \in U_1 + \, \dots \, + U_{i-1} + U_{i+1} \, \dots \, + U_k$. Тогда: + \begin{gather*} + (x, x) = (x_i, x_1 + \, \dots \, + x_{i-1} + x_{i+1} + \, \dots \, + x_k) = 0. + \end{gather*} + + Таким образом $x = 0$, а значит $U_i \cap (U_1 + \dots + U_k) = \{0\}$. +\end{proof} + +\begin{corollary} + \label{col11.1} + Если $U_1$, $U_2, \dots$, $U_k$ - ортогональная система подпространств, то эти подпространства + линейно независимы. +\end{corollary} + +\begin{corollary} + Если векторы $x_1, \, \dots , \, x_k$ ненулевые и образуют ортогональную систему, то они линейно-независимы. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $U_1 = \langle x_1 \rangle$, $U_2 = \langle x_2 \rangle$, $\dots$, $U_k = \langle x_k \rangle$. + Тогда если система $x_1, \, \dots , \, x_k$ линейно зависима, то соответствующие пространства + $U_1$, $U_2, \dots$, $U_k$ линейно зависимы, что противоречит следствию \ref{col11.1}. +\end{proof} + +\begin{proposition} + Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением. Тогда в нём существует ортонормированный базис. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $f(x, y) = (x, y)$, тогда для неё существует канонический базис, в котором $f$ имеет + матрицу $E$. $f(e_i, e_j) = (e_i, e_j) = \delta_{ij}$, откуда этот базис - ортонормированный. +\end{proof} + +\begin{corollary}[Выражение координат векторов и скалярного произведения в ортонормированном базисе] + Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением, $e$ - ортонормированный базис. Пусть + $x \leftrightarrow \alpha$, $y \leftrightarrow \beta$. Тогда: + \begin{enumerate} + \item $(x, y) = \alpha^T \cdot \overline{\beta}$, + \item $\alpha_i = (x, e_i)$. + \end{enumerate} +\end{corollary} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item $f(x, y) = \alpha^T \cdot A \cdot \overline{\beta} = \alpha^T \cdot E \cdot \overline{\beta} + = \alpha^T \cdot \overline{\beta}$. + \item $(x, e_i) = (\alpha_1, \,\dots ,\,) \cdot (0, \, \dots , \, 1, \, \dots , \, 0)^T = + \alpha_i$, + + где единица в столбце координат вектора $e_i$ стоит на $i$-й позиции. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsubsection{Задача об ортогональной проекции} + +\begin{problem} + Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением, $U$ - подпространство $V$. Обозначим + размерность $V$ за $n$, размерность $U$ за $k$. Тогда сужение на $U$ + невырожденной функции $f(x, y)$, являющейся скалярным произведением в $V$, так же будет являться + скалярным произведением и в $U$. \\ + Пространство $V$ будет представляться как $V = U + U^{\perp}$. \\ + Дан базис в $U$, вектор $x \in V$. Требуется представить вектор $x$ в виде суммы его проекций + $\tilde{x} = \pr_U x$ и $\stackrel{o}{x} = \ort_U x$ на $U$ и $U^{\perp}$ соответственно. +\end{problem} + +\begin{algorithm}~ + \begin{enumerate} + \item Зафиксируем в $U$ ортонормированный базис $e_1, \dots e_k$, достроив его до базиса + $e_1, \dots e_n$ в $V$. Тогда: + \begin{gather*} + x = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i e_i + \sum_{i=k+1}^{n}\alpha_i e_i. + \end{gather*} + При этом $\displaystyle\sum_{i=1}^{k} \alpha_i e_i \in U$, + $\displaystyle \sum_{i=k+1}^{n}\alpha_i e_i \in U^{\perp}$. Тогда + $\tilde{x} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k}\alpha_i e_i$, откуда $\stackrel{o}{x} = x - \tilde{x}$. + \item Зафиксируем в $U$ ортогональный базис $e_1, e_2, \dots e_k$, достроив его до + ортогонального базиса $e_1, \dots e_n$ в $V$. Тогда рассмотрим базис $e'$ такой, что + $e'_i = \frac{e_i}{|e_i|}$, очевидно являющийся ортонормированным. Тогда + \begin{gather*} + \tilde{x} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k} (x, e'_i)e'_i = \displaystyle\sum_{i=1}^{k} (x, e'_i) + \frac{e_i}{|e_i|} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \frac{(x, e_i)}{(e_i, e_i)} e_i = + \pr_e x = \frac{(x, e)}{(e, e)} e. + \end{gather*} + \item Зафиксируем произвольный базис $e_1, e_2, \dots e_k$ в $U$, достроив его до базиса + $e_1, \dots e_n$ в $V$. + Тогда необходимые нам векторы выражаются как $\tilde{x} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i e_i$ и $\stackrel{o}{x} = x - \tilde{x} = + x - \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i e_i \perp e_1, \, \dots , \, e_k$. + + Чтобы получить коэффициенты $\lambda_i$ запишем следующую систему: + \begin{eqnarray*} + \begin{cases*} + (x - \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i e_i, e_1) = 0, + \\ + (x - \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i e_i, e_2) = 0, + \\ + \dots + \\ + (x - \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i e_i, e_k) = 0. + \end{cases*} \Leftrightarrow \begin{cases*} + (e_1, e_1) \lambda_1 + (e_2, e_1) \lambda_2 + \, ... \, + (e_k, e_1) = (x, e_1), + \\ + (e_1, e_2) \lambda_1 + (e_2, e_2) \lambda_2 + \, ... \, + (e_k, e_2) = (x, e_2), + \\ + \dots + \\ + (e_1, e_k) \lambda_1 + (e_2, e_k) \lambda_2 + \, ... \, + (e_k, e_k) = (x, e_k). + \end{cases*} + \end{eqnarray*} + Матрица системы является сужением $\Gamma$ на $U$, а значит $|\Gamma \vert_{U} (e_1, \, \dots, \, e_k)| > 0$. + Таким образом по теореме Крамера система имеет единственное решение. + \end{enumerate} +\end{algorithm} + +\begin{note} + Есть и другой способ решения данной задачи, основанный на процедуре ортогонализации Грама-Шмидта. +\end{note} + +\begin{definition} + Процедурой ортогонализации называется любой алгоритм, позволяющий по произвольному базису + в пространстве $V$ построить ортогональный базис. +\end{definition} + +\begin{theorem}[Грама-Шмидта] + Пусть $e$ - произвольный базис в пространстве $V$ со скалярным произведением. Тогда существует + базис $f$ в пространстве $V$, такой что: + \begin{enumerate} + \item Для всех $k = 1, \dots n$ верно $\langle e_1, \, \dots, \, e_k \rangle = \langle f_1, \dots f_k \rangle$ + \item Матрица перехода $S = S_{e \to f}$ унипотентна. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Докажем по индукции по $n = \dim V$. + \begin{enumerate} + \item База $n = 1$ - $f_1 = e_1$, $S = (1)$. + \item Предположим, для подпространства из $k-1$ вектора построено. Покажем, что для подпространства + образованного $e_1, \dots e_k$ можно достроить построенный базис. Выберем + $f_k = \ort e_k \langle f_1, \dots f_{k-1} \rangle$. Тогда: + \begin{enumerate} + \item По построению $f_k$ получаем $f_k \perp \langle f_1, \dots f_{k-1} \rangle$, + откуда $f_1, \dots f_k$ - ортогональная система. + \item Пусть $f_k = 0$. Тогда $e_k \in \langle f_1, \dots f_{k_1} \rangle = \langle e_1, \dots e_{k_1} \rangle$, + а значит базис $e$ - линейно зависимый, что приводит к противоречию. Таким образом $f_k \neq 0$. + \item Покажем, что $\langle f_1, \dots f_{k} \rangle = \langle e_1, \dots e_{k} \rangle$. + Действительно, вектор $f_k$ выражается как: + $$f_k = e_k - \tilde{e_k} \in \langle f_1, \, \dots ,\, f_{k-1}\rangle + = e_k - \displaystyle\sum_{i=1}^{k-1} \lambda_i f_i.$$ + Тогда $e_k = f_k + \displaystyle\sum_{i=1}^{k-1} \lambda_i f_i \in \langle f_1, \dots f_{k} \rangle$. + + При этом по предположению индукции $\langle f_1, \dots f_{k-1} \rangle = + \langle e_1, \dots e_{k-1} \rangle$. \\ Таким образом + $\langle f_1, \dots f_{k} \rangle \subseteq + \langle e_1, \dots e_{k} \rangle$. Покажем включение в обратную сторону. + + Как было показано выше, $f_k = e_k - \tilde{e_k}$, что значит, что $f_k \in \langle e_1, + \, \dots, \, e_k \rangle$. Так же по предположению индукции $\langle f_1, \dots f_{k-1} \rangle = + \langle e_1, \dots e_{k-1} \rangle$, откуда $\langle e_1, \dots e_{k} \rangle \subseteq + \langle f_1, \dots f_{k} \rangle$. + \end{enumerate} + Таким образом построенный базис будет иметь вид $f_1 = e_1$, $f_k = e_k - \tilde{e_k} = + e_k - \displaystyle\sum_{i=1}^{k-1} \frac{(e_k, f_i)}{(f_i, f_i)}f_i$. Осталось показать, что + матрица перехода является унипотентной. Используя выражения $f_k$ через $e_1, \dots e_k$ запишем + матрицу $S_{e \to f}$: + \begin{gather*} + S_{e \to f} = \begin{pmatrix} + 1 & -\alpha & \dots & -\beta_1 \\ + 0 & 1 & \dots & -\beta_2 \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & 1 + \end{pmatrix} + \end{gather*} + Где коэффициент $\alpha$ равен $\alpha = \frac{(e_2, f_1)}{(f_1, f_1)}$, коэффициенты $\beta$ + равны $\beta_i = \frac{(e_k, f_i)}{(f_i, f_i)}$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Процедура ортогонализации Грама-Шмидта дает нулевой вектор на некотором шаге тогда и только тогда, + когда система $e_1, \dots e_n$ линейно зависима, что позволяет использовать её для проверки линейной + независимости системы. +\end{note} + +\begin{exercise} + Пусть по базису $(a_1, \dots a_k)$ при помощи процедуры Грама-Шмидта был построен базис $(f_1, \dots f_k)$. + Доказать, что $|\Gamma(f_1, \dots f_k)| = |\Gamma(a_1, \dots a_k)|$. +\end{exercise} + +\begin{corollary} + $0 \leq |\Gamma(a_1, \dots a_k)| \leq |a_1|^2 \cdot |a_2|^2 \cdot \dots |a_k|^2$. +\end{corollary} + +\begin{corollary} + Если $U \leq V$, $e_1, \dots e_k$ - ортогональный базис в $U$, то существует ортогональный + базис $e_1, \dots e_k, e_{k+1}, \dots e_n$ в $V$. +\end{corollary} + +\begin{idea} + Дополним $e_1, \dots e_k$ до какого-нибудь базиса в $V$, после чего ортогонализируем его. Очевидно, + метод Грама-Шмидта не испортит первые $k$ векторов. +\end{idea} + +\subsubsection{Ортогональные и унитарные матрицы} + +\begin{definition} + Матрица $A \in M_n(\R)$ называется ортогональной, если $A^T A = E$, откуда так же $A A^T = E$. +\end{definition} + +\begin{example} + Матрица поворота $A = \begin{pmatrix} + \cos \phi & - \sin \phi \\ + \sin \phi & \cos \phi \\ + \end{pmatrix}$ +\end{example} + +\begin{definition} + Матрица $A \in M_n(\Cm)$ называется унитарной, если $\overline{A^T} A = E = A \overline{A^T}$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением, $e$ - ортонормированный базис в $V$, + $f$ - произвольный базис в $V$. Тогда матрица перехода $S = S_{e \to f}$ является + ортогональной тогда и только тогда, когда $f$ - ортонормированный базис. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $f(x, y)$ имеет матрицу $\Gamma$. Тогда так как $e$ - ортонормированный базис, его + матрица Грама является единичной $\Gamma(e) = E$. + + Тогда $\Gamma(f) = S^T \cdot \Gamma(e) \cdot \overline{S} = S^T \cdot \overline{S}$. Верна следующая цепочка эквивалентностей: + + $f$ - ортонормированный базис $\Leftrightarrow$ $\Gamma(f) = E$ $\Leftrightarrow$ $S^T \cdot \overline{S} = E$ + $\Leftrightarrow \overline{S^T} \cdot S = E$. +\end{proof} + +\begin{corollary}~ + \begin{enumerate} + \item + Множество всех ортогональных матриц в $GL_n(\R)$ является подгруппой и называется ортогональной + подгруппой, используется обозначение $O_n(\R)$. + \item Множество всех унитарных матриц в $GL_n(\R)$ является подгруппой и называется + унитарной подгруппой, используется обозначение $U_n(\R)$. + \end{enumerate} +\end{corollary} + +\begin{proof}~ + + Пусть $A, B$ - унитарные матрицы, $A = S_{e \to f}$, $B = S_{f \to g}$. + Тогда $A \cdot B = S_{e \to g}$, $A^{-1} = S_{f \to e}$. Таким образом $A\cdot B$ и $A^{-1}$ + так же являются унитарными, а значит $U_n(\R)$ - группа. +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_12.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_12.tex new file mode 100644 index 00000000..637ff5c1 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_12.tex @@ -0,0 +1,298 @@ +\subsection{Изоморфизм евклидовых (эрмитовых) пространств} +\begin{definition} + Пусть $V_1, V_2$ -- евклидовы (эрмитовы) пространства. Тогда $\phi: V_1 \to V_2$ называется изоморфизмом, если: + \begin{enumerate} + \item $\phi$ -- изоморфизм линейного пространства $V_1$ на линейное пространство $V_2$ + \item $\phi$ сохраняет скалярное произведение: $(\phi(x), \phi(y)) = (x, y) \forall x, y \in V$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{proposition} + Два конечномерные евклидовые (эрмитовые) пространства $V_1$ и $V_2$ изоморфны тогда и только тогда, когда $\dim V_1 = \dim V_2$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Необходимость очевидна по соответсвующей теореме для линейных пространств. \\ + Достаточность: пусть $\dim V_1 = \dim V_2$ и $e$ -- ортонормированнй базис в $V_1$, $f$ -- ортонормированный базис в $V_2$. Тогда можно подобрать такой оператор $\phi: V_1 \to V_2$, что $V_1 \cong V_2$ (как и в первом семестре), причем все условия сохранятся: $\phi(e_i) = f_i \forall i$, $\phi(e \alpha) = f \alpha$, $(x, y) = \alpha^T \overline{\beta}$. +\end{proof} + +\begin{theorem}[Рисс] + Пусть $V$ -- конечномерное евклидово пространство. Тогда соответсвия $a (\in V) \to f_a$, такие что $f_a(x) = (x, a)$. В этом случае $f_a(x) \in V^*$ и обратно, если каждый линейный функционал $f$ на $V$ имеет вид $f_a$ для однозначно определенного вектора $a \in V$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + То, что $f_a \in V^*$ очевидно следует из линейности скалярного произведения ($f \neq 0$). Теперь пусть $f: V \to \R$ -- линейный функционал на $V$ и $\dim \ker f = \dim V - \dim \R = n - 1$. + Возьмем $U = \ker f$ и ортогональное дополнение $U^{\perp}$. Пусть $e$ -- единичный вектор из $U^{\perp}$, возьмем $a = f(e)e$. Тогда $f_a(U) = (U, a) = (U, f(e) e) = 0$ и $f_a(e) = (e, a) = (e, f(e)e) = f(e) |e|^2 = f(e)$. Таким образом мы доказали, что $f$ и $f_a$ совпадают на $U, U^{\perp}$, то есть совпадают на всем пространстве $V$. +\end{proof} +\begin{note} + Существует каноническая биекция $\phi: V \to V^*$, для которой верно: $\phi(a) = f_a$, причем $\forall f_a, f_b (\neq = 0) (f_a, f_b) = (a, b)$. +\end{note} + +\begin{theorem}[о каноническом изоморфизме евклидова пространства $V$ и сопряженного $V^*$] + Каноническая биекция $\phi(a) = f_a$ является изоморфизмом евклидовых пространств. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Биективность следует из теоремы Рисса, аддитивность: $f_{a + b} = f_a + f_b$, так как $(x, a + b) = (x, a) + (x, b)$. Также сохраняется скалярное произведение: $(f_a, f_b) = (\phi(a), \phi(b)) = (a, b)$. +\end{proof} + +\begin{note} + Эрмитов случай: пусть $f_a(x) = (x, a) \in V^*$, $\phi: V \to V^*$. Тогда теорема Рисса доказывается (и работает) дословно, но $a = \overline{f(e)} e$. Но в этом случае каноническая биекция $\phi$ -- антилинейна, поэтому она не будет изоморфизмом и скалярное произведение теперь выглядит так: $(f_a, f_b) = (b, a)$. Отсутсвие изоморфизма доказывает следующая цепочка равенств: + \begin{gather*} + f_{\lambda a}(x) = (x, \lambda a) = \overline{\lambda} (x, a) = \overline{\lambda} f_a(x) + \end{gather*} + тогда + \begin{gather*} + (f_a, \lambda f_b) = (f_a, f_{\overline{\lambda} b}) = (\overline{\lambda} b, a) = \overline{\lambda}(b, a) = \overline{\lambda} (f_a, f_b) + \end{gather*} + Вывод: $(\phi(a), \phi(b)) = (f_a, f_b) = (b, a) = \overline{(a, b)}$. Так как скалярное произведение не сохраняется, то $\phi$ -- не изоморфизм. \\ + В эрмитовом случае $\phi$ называется антиизоморфизмом. +\end{note} + +\subsubsection{Свойства операции ортогонального дополнения} +Пусть $\phi: V \to V^*$ -- изоморфизм для Евклидова пространства и антиизоморфизм для Эрмитова. И пусть $\psi: V^* \to V$, ткое что $\phi \circ \psi = \psi \circ \phi = E$. + +\begin{proposition} +\label{pr 12.2} + Пусть $U \subseteq V$, тогда $U^{\perp} = \psi (U^{\circ})$, где $U^{\circ}$ -- аннулятор пространства $U$ в $V^*$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + $y \in U^{\perp} \Leftrightarrow \forall x \in U \hookrightarrow (x, y) = 0 \Leftrightarrow \forall x \in U f_y(x) = 0 \Leftrightarrow f_y \in U^{\circ} \Leftrightarrow \psi(f_y) \in \psi(U^{\circ})$. Значит, мы доказали, что для любого вектора из ортогонального дополнения его образ принадлежит образу аннулятора, а так как в обратную сторону очевидно, то $U^{\perp} = \psi(U^{\circ})$. +\end{proof} + +\begin{proposition} + Свойства ортогонального дополнения: + \begin{enumerate} + \item $(U^{\perp})^{\perp} = U$ + \item $(U + W)^{\perp} = U^{\perp}$ + \item $(U \cap W)^{\perp} = U^{\perp} + W^{\perp}$ + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item $x \in (U^{\perp})^{\perp} \Leftrightarrow \forall y \in U^{\perp} (x, y) = 0$. Но, с другой стороны, $\forall x \in U (x, y) = 0$. Значит, любой вектор из $U$ лежит в $(U^{\perp})^{\perp}$. И из того, что размерности равны, следует равенство пространств: $\dim (U^{\perp})^{\perp} = \dim V - \dim U^{\perp} = \dim V - (\dim V - \dim U) = \dim U$. + \item По утверждению \ref{pr 12.2}: + \begin{gather*} + (U + W)^{\perp} = \psi((U + W)^{\circ}) = \psi(U^{\circ} \cap W^{\circ}) = \psi(U^{\circ} \cap \psi(W^{\circ}) = U^{\perp} \cap W^{\circ} + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Для Евклидова пространства со скалярным произведением выполняются следующие утверждения: + \begin{enumerate} + \item Теорема Пифагора: $|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2$, откуда $|x| \leq |\ort_U x|$ + \item Формула расстояния от вектора до подпространства: $\rho (U, x) = \inf \rho (x, u) = \inf |x - u|$ - по всем $u \in U$. + \end{enumerate} +\end{note} + +\begin{proposition} + $\rho (U, x) = |\ort_U x|$ +\end{proposition} + +\begin{proof} + $|x - u| \geq |\stackrel{\circ}{x - u}|$ -- по определению. Тогда по теореме Пифагора: $|\stackrel{\circ}{x} - \stackrel{\circ}{u}| = |\stackrel{\circ}{x}$ -- ортогональное дополнение. +\end{proof} + +\begin{definition} + Определеим объем системы векторов по индукции: + \begin{enumerate} + \item $V_1(x_1) = |x_1|$ + \item $V_k(x_1, \dots x_k) = V_{k -1} (x_1, \dots, x_{k - 1}) \rho(x_k, \langle x_1, \dots, x_{k - 1} \rangle)$ + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{corollary} + $V_k(x_1, \dots, x_k) \geq 0$, причем равенство достигается только когда $\exists i \hookrightarrow \rho(x_k, \langle x_1, \dots, x_{k - 1} \rangle) = 0$. Что возможно только когда система $\langle x_1, \dots, x_{k - 1} \rangle$ -- линейно зависима. +\end{corollary} + +\begin{theorem}[о геометрическом свойстве определителя Грама системы векторов]~ + Если $x_1, \dots, x_k$ -- система векторов в пространстве со скалярным произведением, то $(V_k)^2(x_1, \dots, x_k) = |\Gamma(x_1, \dots, x_k)|$ +\end{theorem} + +\begin{proof} + Если система $x_1, \dots, x_k$ -- линейно зависима, то $0 = 0$ -- теорема выполняется. Пусть система линейно независима. + \begin{enumerate} + \item Покажем, что преобразование Грама-Шмидта не изменяет левую и правую части равенства: для этого возьмем унипотентную матрицу перехода $S$: $(y_1, \dots, y_k) = (x_1, \dots, x_k)S$, тогда: + \begin{gather*} + |\Gamma(y_1, \dots, y_k)| = |S^T \Gamma(x_1, \dots, x_k)S| = |\det S|^2 |\Gamma(x_1, \dots, x_k)| = |\Gamma (x_1, \dots, x_k)| + \end{gather*} + \item Теперь покажем равенство квадратов объемов индукцией по $k$: при $k = 1$ -- очевидно, что $y_1 = x_1$. Теперь пусть $V_{k - 1} (x_1, \dots, x_{k - 1}) = V_{k - 1}(y_1, \dots, y_{k - 1})$. По определению объема делаем шаг индукции: + \begin{gather*} + \rho(x_k, \langle x_1, \dots, x_{k -1} \rangle) = |\ort_{\langle x_1, \dots, x_{k -1} \rangle} x_k| = |\ort_{\langle x_1, \dots, x_{k -1} \rangle} y_k| = |\ort_{\langle y_1, \dots, y_{k -1} \rangle} y_k| = \rho(y_k, \langle y_1, \dots, y_k \rangle) + \end{gather*} + \item Теперь равенство достаточно доказать для ортонормированного базиса: + \begin{gather*} + (V_k)^2(y_1, \dots, y_k) = (V_{k - 1})^2(y_1, \dots, y_k) \rho^2(y_k, \langle y_1, \dots, y_k \rangle) = (V_{k - 1})^2(y_1, \dots, y_k) |y_k|^2 = \displaystyle\prod_{i = 1}^{k} (y_i, y_i) = |\Gamma (y_1, \dots, y_k) + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Пусть $e = (e_1, \dots, e_n)$ -- базис в $V$. Тогда если $(x_1, \dots, x_n) = (e_1, \dots, e_n)S$. Тогда $V_1(x_1, \dots, x_n) = |\det S| V_n(e_1, \dots, e_n)$ +\end{corollary} + +\begin{proof} + \begin{gather*} + (V_n)^2(x_1, \dots, x_n) = |\Gamma (x_1, \dots, x_n)| = |S^T \Gamma (e_1, \dots, e_n) S| = |\det S|^2 |\Gamma (e_1, \dots, e_n)| = |\det S|^2 (V_n)^2(e_1, \dots, e_n) + \end{gather*} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Пусть $e_1, \dots, e_n$ -- базис в $U$, тогда + \begin{gather*} + \rho(x, U) = \sqrt{\frac{|\Gamma (x, e_1, \dots, e_k)|}{|\Gamma (e_1, \dots, e_k)|}} + \end{gather*} +\end{corollary} + +\begin{proof} + Напрямую следует из того, что $\rho(x, U) = \frac{V_{k + 1}(x, e_1, \dots, k)}{V_k(e_1, \dots, e_k)}$ +\end{proof} + +\section{Сопряженные операторы} +\begin{note} + Далее: $V$ -- пространство со скалярным произведением, $\theta = 2$ в Евклидовом пространстве и $\theta = 1,5$ в Эрмитовом пространстве. $B_{\theta}(V)$ -- множество линейных функций на $V$, $\phi \in L (V)$ +\end{note} + +\begin{definition} + Пусть $l_{\phi}(x, y) = (\phi(x), y)$ -- $\theta$ - линейная функция. +\end{definition} + +\begin{proposition} + \label{pr 12.3} + Если $e$ -- ортонормированный базис в $V$ и $\phi$ в нем имеет вид матрицы $A$, то $l_{\phi}$ имеет вид матрицы $A^T$ в этом же базисе. +\end{proposition} + +\begin{proof} + $x$ имеет координаты $\alpha$, $y$ имеет координаты $\beta$, тогда $(x, y) = x^T B \overline{y}$. С другой стороны, $l_{\phi}(x, y) = (A \alpha, \beta) = (A \alpha)^T \beta = \alpha ^T A^T \beta$, откуда $B = A^T$ +\end{proof} + +\begin{corollary} + Соответствие $\phi \hookrightarrow l_{\phi}$ является линейной биекцией $\mathcal{L}(V)$ на $B_{\theta}(V)$ +\end{corollary} + +\begin{proof} + Жостаточно доказать аддитивность: $l_{\phi + \psi} (x, y) = ((\phi + \psi) (x), y) = (\phi(x), y) + (\psi(x), y) = l_{\phi}(x, y) + l_{\psi}(x, y)$ +\end{proof} + +\begin{definition} + Теперь пусть $r_{\phi}(x, y) = (x, \phi(y))$ -- $\theta$ - линейная функция. +\end{definition} + +\begin{corollary} + Соответсвие $\phi \hookrightarrow r_{\phi}$ является антилинейной биекцией $\mathcal{L}(V) \to B_{\theta}(V)$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + $r_{\lambda \phi} (x, y) = (x, \lambda \phi(y)) = \overline{\lambda} (x, \phi(y)) = \overline{\lambda} r_{\phi}(x, y)$ +\end{proof} + +\begin{definition} + Оператор $\phi^*$ называется сопряженным к оператору $\phi$, если $l_{\phi} = r_{\phi^*}$ +\end{definition} + +\begin{definition} + То же самое, но языком попроще: $(\phi(x), y) = (x, \phi^*(y)) \forall x, y \in V$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + \label{pr 12.4} + Если $e$ -- ортонормированный базис в $V$, $\phi \leftrightarrow A$, то $r_{\phi} \leftrightarrow \overline{A}$. +\end{proposition} + +\begin{corollary} + Если $e$ -- ортонормированный базис в $V$, $\phi \leftrightarrow A$, то $\phi^* \leftrightarrow A^* = \overline{A^T}$ +\end{corollary} + +\begin{proof} + $\phi \leftrightarrow A$ тогда по утверждению \ref{pr 12.3} выше и по \ref{pr 12.4} $l_{\phi} \leftrightarrow A^T$ по определению $r_{\phi^*} \leftrightarrow A^T$ и $\phi^* \leftrightarrow \overline{A^T}$ +\end{proof} + +\begin{corollary} + Для каждого $\phi \in L (V)$ сопряженный оператор $\phi^*$ существует и единственный +\end{corollary} + +\begin{corollary} + $\rk \phi = \rk \phi^*$ +\end{corollary} + +\begin{corollary} + $\overline{\chi_{\phi} (\lambda)} = \chi_{\phi^*}(\overline{\lambda})$ +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $e$ -- ортонормированный базис $\chi_{\phi^*}(\overline{\lambda}) = \det(\overline{A^T} - \overline{\lambda} E) = \det \overline{A^T - \lambda E)} = \overline{\det(A - \lambda E)} = \overline{\chi_{\phi} (\lambda)}$ +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если $\lambda$ -- собственное значение оператора $\phi$, то $\overline{\lambda}$ -- собственное значение оператора $\phi^*$. +\end{corollary} + +\begin{proposition} + Пусть $U$ - инвариантное относительно $\phi$ пространство. Тогда $U^{\perp}$ -- инвариантно относительно $\phi^*$ +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $x$ -- произвольный вектор $U$, $y$ -- произвольный вектор из $U^{\perp}$. Тогда по определению $(x, \phi^*(x)) = (\phi(x), y) = 0$. Значит, и $\phi^*(y) \in U^{\perp}$, то есть инвариантность выполняется. +\end{proof} + +\begin{theorem}[Фредгольм] + \begin{enumerate} + \item $\ker \phi^* = (Im \phi)^{\perp}$ + \item $Im \phi^* = (\ker \phi^*)^{\perp}$ + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Из первого пункта очевидно следует второй, поэтому докажем только первое утверждение теоремы. \\ + Пусть $y \in \ker \phi^*$ или $\phi^*(y) = 0$. Тогда $\forall x \in V \hookrightarrow (x, \phi^*(y)) = 0$. Отсюда по определению вытекает, что $(\phi(x), y) = 0$, поэтому $y \in (Im \phi)^{\perp}$. Мы доказали включение в одну сторону, тогда докажем, что равны размерности, откуда будут равны пространства: $\dim(\ker \phi^*) = \dim V - \dim(Im \phi^*) = \dim V - \rk \phi^* = \dim V - \rk \phi = \dim V - \dim (Im \phi) = \dim (Im \phi)^{\perp}$ +\end{proof} + +\subsection{Свойства операции сопряжения} +\begin{proposition} + \begin{enumerate} + \item $\phi^{**} = \phi$ + \item $(\phi + \psi)^* = \phi^* + \psi^*$ + \item $(\lambda \phi)^* = \overline{\lambda}\phi^*$ + \item $(\phi \psi)^* = \psi^* \phi^*$ + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof} + Доказательство вытекает из свойств матриц соответсвующих операторов. +\end{proof} + +\subsection{Самосопряженный оператор} +\begin{definition} + $\phi \in \mathcal{L}(V)$ назывется самосопряженным, если $\phi^* = \phi$ или $\forall x, y \in V \hookrightarrow (\phi(x), y) = (x, \phi(y))$ +\end{definition} + +\begin{corollary} + Если $e$ -- ортонормированный базис в $V$, то $\phi$ -- самосопряженный тогда и только тогда, когда $A = A^*$ (в Эрмитовом пространстве $A = \overline{A^T}$, в Евклидовом: $A = A^T$ соответственно). +\end{corollary} + +\begin{corollary} + $\phi$ -- самосопряженный в $V$, $U$ -- инвариантно относительно $\phi$. Тогда $U^{\perp}$ инвариантно относительно $\phi$. +\end{corollary} + +\subsection{Инвариантные подпространства малых размерностей} +\begin{proposition} + $\phi \in \mathcal{L}(V)$, $V$ над $\Cm$. + Тогда у $\phi$ обязательно существует одномерное инвариантное подпространство. +\end{proposition} + +\begin{proposition} + Рассмотрим характеристический многочлен $\chi_{\phi}(\lambda)$, тогда существует такое комплексное $\lambda_0$, что $\chi_{\phi}(\lambda_0) = 0$. Следовательно, $\lambda_0$ -- собственное значение, для которого существует собственный вектор $x$, на котором и строится инвариантное подпространство $U = \langle x \rangle$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Представим характеристический многочлен в виде $\chi_{\phi}(\lambda) = p_1(\lambda), \dots, p_s(\lambda)$, $\deg p_k(\lambda) \leq 2$, причем если $\deg p_k(\lambda) = 2$, то $D < 0$. По теореме Гамильтона-Кэли верно, что $\chi_{\phi}(\phi) = p_1(\phi), \dots, p_s(\phi) = 0$. Значит, среди многочленом существует вырожденный. Рассмотрим две ситуации степени этого многочлена: + \begin{enumerate} + \item $\deg p_k(\lambda) = 1$, \\ + $p_k(\lambda) = a(\lambda - \lambda_0)$, где $a \neq 0$. Тогда $p_k(\phi) = a(\phi - \lambda_0 E)$ и из-за вырожденности существует $x \neq 0 \hookrightarrow (\phi - \lambda_0 E)(x) = 0$. + \item $\deg p_k(\lambda) = 2$ \\ + По условию (по предположению) $p_k(\lambda) = a \lambda^2 + b \lambda + c, a \neq 0, D < 0$. Аналогично предыдущему пункту существует такой ненулевой вектор, что $(a\phi^2 + b\phi +cE)(x) = \overline{0}$. Тогда рассмотрим инвариантное подпространство $U = \langle x, \phi(x) \rangle$ и докажем, что его размерность ровно $2$. В противном случае размерность меньше и существует такой вектор, что $\phi(x) = \lambda x$, то есть $(a \lambda^2 + b \lambda + c)(x) = 0$, откуда $a \lambda^2 + b \lambda + c = 0$, то есть $\lambda$ -- корень $p_k(\phi)$ -- противоречит с отрицательностью дискриминанта. + \end{enumerate} +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_13.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_13.tex new file mode 100644 index 00000000..cbca4cae --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_13.tex @@ -0,0 +1,398 @@ +% 10.05.23 + +\subsection{Линейные операторы в пространстве со скалярным произведением} + +\begin{reminder} + Пространство со скалярным произведением называется Евклидовым в случае действительных чисел и Эрмитовым в случае комплексных чисел. +\end{reminder} + +\begin{theorem}[Основная теореиа о самосопряженных операторах] + \label{th 13.1} + Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением и $V \in \mathcal{L}(V)$. Тогда оператор $\phi$ самосопряженный тогда и только тогда, когда в $V$ существует ортонормированный базис, в котором $\phi$ принимает диагональный вид с собственными значениями на главной диагонали. +\end{theorem} + +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item Достаточность. Пусть существует такой ортонормированный базис, что $A_{\phi}$ имеет вид $A_{\phi} = + \begin{pmatrix} + \lambda_1 & \dots & 0 \\ + \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & \dots & \lambda_n \\ + \end{pmatrix}$. + Покажем, что $(\phi(x), y) = (x, \phi(y))$. + \begin{gather*} + (\phi(x), y) = (\phi(\sum_{i} x_i e_i), \sum_{j} y_j e_j) = (\sum_{i} x_i \phi(e_i), \sum_{j} y_j e_j) = + \sum_{i} \sum_{j} x_i \overline{y_j} \lambda_i (e_i, e_j) = \sum_{i} \lambda_i x_i \overline{y_i} \\ + (x, \phi(y)) = (\sum_{i} x_i e_i, \phi(\sum_{j} y_j e_j)) = (\sum_{i} x_i e_i, \sum_{j} y_j \phi(e_j)) = + \sum_{i} \sum_{j} x_i \lambda_j \overline{y_j} (e_i, e_j) = \sum_{i} \lambda_i x_i \overline{y_i} + \end{gather*} + \item Покажем, что все собственные значения самосопряженного оператора $\phi$ вещественные. + Для этого рассмотрим два случая: + \begin{enumerate} + \item Эрмитово пространство: \\ + Пусть $x$ - собственный вектор в $V$, $\lambda$ - соответствующее ему собственное значение. + Тогда $(\lambda x, x) = \lambda (x, x) = (\phi(x), x) = (x, \phi(x)) = (x, \lambda x) = \overline{\lambda} (x, x)$. Значит, $\lambda = \overline{\lambda} \in \R$. + \item Евклидово пространство: \\ + Пусть $e$ - ортонормированный базис. Тогда $A = A^* = A^T = \overline{A^T}$. Рассмотрим комплексное пространство $\Cm^n$ + со стандартным базисом и стандартным скалярным произведением. Определим оператор $\psi$ такой, что $\psi \leftrightarrow A$ (эрмитова матрица).Тогда $\psi$ - самосопряженный, а значит, по доказанному выше все собственные значения $\psi$ - вещественные и он раскладывается в произведение $\chi_{\psi} (\lambda) = (-1)^n \displaystyle\prod_{i = 1}^{n} (-1)^n (\lambda - \lambda_i)$. + Но тогда $\chi_{A} (\lambda) = \displaystyle\prod_{i = 1}^{n} (-1)^n (\lambda - \lambda_i)$, а значит, $\phi$ линейно + факторизуем и все собственные знаечния вещественные. + \end{enumerate} + Покажем теперь, что существует ортонормированный базис $e$, в котором $A_{\phi}$ диагонализуем. Индукция по + размерности пространтсва $n$: + \begin{enumerate} + \item База $n = 1$: $|e_1| = 1$ -- ортонормированный. + \item По предположению верно для $V: \dim V < n$. Переход. Пусть $\lambda_1 \in \R$ - собственное значение оператора $\phi$, $V_{\lambda_1}$ -- собственное подпространство. Тогда $V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_1}^{\perp}$. Для собственного подпространства рассмотрим базис $e_1$, в котором оператор сужения $\phi \vert_{V_{\lambda_1}}$ имеет диагональный вид со значением $\lambda_1$. Для ортогонального дополнения по предположению индукции существует базис $e_2$, в котором выполняются условия. Тогда для $V$ достаточно рассмотреть базис $e = e_1 \sqcup e_2$. + \end{enumerate} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Если $\phi$ самосопряженный оператор в $V$ то $\forall x \in V$ верно $(\phi(x), x) \in \R$. +\end{note} + +\begin{proof} + \begin{gather*} + (\phi(x), x) = (x, \phi(x)) = \overline{(\phi(x), x)} \\ + (\phi(x), x) = \displaystyle \sum_{i}^{n} \lambda_i x_i \overline{x_i} = \displaystyle \sum_{i}^{n} \lambda_i |x_i|^2 \in \R. + \end{gather*} +\end{proof} + +\begin{definition} + Самосопряженный оператор $\phi: V \to V$ называется положительно определенным если $\forall x \neq 0$ верно $(\phi(x), x) > 0$. Пишут $[\phi > 0]$. +\end{definition} + +\begin{corollary} + Оператор $\phi$ положительно определен тогда и только тогда, когда все его собственные значения $\lambda_i$ положительны. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $\phi$ положительно определен. Предположим противное: пусть существует $\lambda \leq 0$ для собственного вектора $x$. + Тогда $(\phi(x), x) = \lambda (x, x) \leq 0$. Противоречие. + В обратную сторону, пусть все собственные значения $\lambda_i$ положительны. Тогда $(\phi(x), x) = \sum_{i} \lambda_i |x_i|^2 > 0$ (в каноническом базисе). Таким образом, $\phi$ положительно определен. +\end{proof} + +\begin{proposition} + Пусть $\lambda_1$, $\lambda_2$ - различные собственные значения самосопряженного оператора $\phi$. + Тогда $V_{\lambda_1} \perp V_{\lambda_2}$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $x \in V_{\lambda_1}$, $y \in V_{\lambda_2}$. Тогда $(\phi(x), y) = (x, \phi(y))$, а значит $(\lambda_1 x, y) = (x, \lambda_2 y)$, то есть $\lambda_1 (x, y) = \overline{\lambda_2} (x, y) = + \lambda_2 (x, y)$. Отсюда $(\lambda_1 - \lambda_2)(x, y) = 0 \Mapsto x \perp y$ +\end{proof} + +\section{Ортогональные и унитарные операторы} + +\begin{definition} + Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением. Оператор $\phi \in \mathcal{L}(V)$ называется ортогональным (если $V$ - евклидово) и унитарным (если $V$ - эрмитово) если $\phi$ сохраняет + скалярное произведение: + \begin{gather*} + \forall x, y \in V \hookrightarrow (\phi(x), \phi(y)) = (x, y). + \end{gather*} +\end{definition} + +\begin{note} + Существует терминология, в которой эрмитовы пространства называются унитарными. Название унитарных операторов произошло от этого названия эрмитовых пространств. +\end{note} + +\begin{proposition} + $\phi \in \mathcal{L}(V)$ является ортогональным (унитарным) тогда и только тогда, когда $\phi$ сохраняет длины векторов, то есть $|\phi(x)| = |x|$ ($\phi$ - изометрический),$[\rho(x, y) = |x - y|]$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item Необходимость. По определению $(\phi(x), \phi(x)) = (x,x)$, а значит, $|\phi(x)| = |x|$. + \item Достаточность. Пусть $f(x ,y)$ - скалярное произведение - $\theta$-линейная симметричная (эрмитова симметричная) функция. Тогда по изоморфизму можно выбрать $q(x) = |x|^2$ - + квадратичную или эрмитову квадратичную функцию Тогда $\phi$ сохраняет $q(x)$ и сохраняет $f(x, y) = (x, y)$. $\phi$ также сохраняет скалярное произведение, так как (в евклидовом случае): $[(x, y) = \frac{1}{4} (q(x + y) - q(x - y))]$ + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{proposition} + \label{pr 13.2} + Пусть $\phi \in \mathcal{L}(V)$ является ортогональным (унитарным). Тогда $\phi^* \phi = \epsilon$ (или $\phi^* = \phi^{-1}$). +\end{proposition} + +\begin{proof} + По определению $(\phi(x), \phi(y)) = (x, y)$. Тогда $(\phi^* \phi(x), y) = (x, y)$. + Тогда $\phi^* \phi (x) = x$ для всех $x$, а значит, $\phi^* \phi = \epsilon$. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если $\phi$ - ортогональный (унитарный) оператор, то $|\det \phi| = 1$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + $e$ -- ортонормированный базис в $V$ и так как $\phi \leftrightarrow A \, \phi^* \leftrightarrow A^{-1} \, \overline{A^T} A = \epsilon \, \overline{\det A} \det A = 1 \, |\det A|^2 = 1$. +\end{proof} + +\begin{proposition} + $\phi \in \mathcal{L}(V)$ является ортогональным (унитарным) тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе $e$ пространтсва $V$ матрица $A_\phi$ является ортогональной (унитарной)(доказательство просто по определению). +\end{proposition} + +\begin{proposition} + \label{pr 13.4} + Пусть $\phi \in \mathcal{L}(V)$, $e$ - ортонормированный базис в $V$. Тогда $\phi$ ортогонален (унитарен) тогда и только + тогда, когда $\phi(e)$ - ортонормированный базис. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $\phi(e) = e' = e A$. Тогда $A$ - матрица перехода от базиса $e$ к $e'$. При этом $A$ - матрица оператора $\phi$ в базисе $e$. По условию $\Gamma(e) = E$. Тогда + \begin{gather*} + \Gamma(e') = \Gamma(\phi(e)) = (A^T \Gamma(e) \overline{A}) = A^T \overline{A} = E + \end{gather*} + Таким образом, $e'$ - ортонормированный базис. + $\overline{A_T} A = E$ тогда и только тогда, когда $\phi$ -- ортогональный (унитарный). +\end{proof} + +\begin{proposition} + Пусть $\phi$ -- ортогональный (унитраный) оператор в $V$ со скалярным произведением, $U$ инвариантно относительно $\phi$. Тогда $U^{\perp}$ - инвариантно относительно $\phi$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $\phi \vert_{U} : U \to U$. Тогда $\forall x \in U \exists x' \in U: x = \phi(x')$. \\ + Пусть $x \in U$, $y \in U^{\perp}$. Покажем, что $\phi(y) \in U^{\perp}$. + \begin{gather*} + (x, \phi(y)) = (\phi(x'), \phi(y)) = (x', y) = 0 \Mapsto \phi(y) \in U^{\perp} + \end{gather*} +\end{proof} + +\begin{theorem} + Пусть $V$ - эрмитово пространство, $\phi$ - унитарный оператор в $V$. Тогда существует ортонормированный базис $e$ в $V_1$ в котором $\phi$ диагонализуем с собственными значениями на главной диагонали, причем $|\lambda_i| = 1$. + $\phi = + \begin{pmatrix} + \lambda_1 & \dots & 0 \\ + \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & \dots & \lambda_n \\ + \end{pmatrix}$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Докажем индукцией по $\dim V$. + \begin{enumerate} + \item База $\dim V = 1$. Пусть $e$ - единичный вектор, $\phi(e) = \lambda e$. Тогда: + \begin{gather*} + (e, e) = (\phi(e), \phi(e)) = (\lambda e, \lambda e) = |\lambda|^2 (e, e), + \end{gather*} + откуда $|\lambda|^2 = 1$, а значит, $|\lambda| = 1$. + \item Пусть для подпространств $V$ размерности меньше $n$ утверждение верно. Возьмем + $\lambda_1$ - произвольное собственное значение оператора $\phi$, $|\lambda_1| = 1$. + Пусть $e_1$ - собственный вектор единичной длины. Тогда $V = \langle e_1 \rangle \oplus + \langle e_1 \rangle^{\perp}$. Для ортогонального дополнения к $\langle e_1 \rangle$ + утверждение верно по индукции. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsection{Канонический вид ортогонального оператора} + +\begin{example}~ + \begin{enumerate} + \item Тривиальный оператор $\epsilon$. + \item Оператор $R(\alpha)$ поворота на угол $\alpha$. + $R(\alpha) = + \begin{pmatrix} + \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\ + \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \\ + \end{pmatrix}$. + \item (Ортогональный) симметричный относительно подпространтсва оператор: \\ + Пусть $V = U \oplus U^{\perp}$, $x = x_1 + x_2$, где $x \in V$, $x_1 \in U$, $x_2 \in U^{\perp}$. + Тогда $\phi(x) = x_1 - x_2$. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{theorem}[о каноническом виде ортогонального оператора] + Пусть $V$ - евклидово пространство, $\phi: V \to V$ -- ортогональный оператор. Тогда существует ортонормированный базис $e$, в котором матрица $\phi$ состоит из матриц поворота и единиц на главной диагонали. + \[\phi = \left(\begin{array}{@{}cccc@{}} + \cline{1-1} + \multicolumn{1}{|c|}{R(\alpha_1)} & 0 & \dots & 0\\ + \cline{1-2} + 0 & \multicolumn{1}{|c|}{R(\alpha_2)} & \dots & 0\\ + \cline{2-2} + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + 0 & 0 & \dots & 1\\ + \end{array}\right),\] +\end{theorem} + +\begin{proof} + $\phi$ имеет в $V$ одномерные или двумерные инвариантные подпространства. Пусть $U$ - + одномерное подпространство, или, если таких нет, двумерное инвариантное подпространство. + \begin{enumerate} + \item Пусть $\dim U = 1$, $e \in U$, $|e|= 1$. Покажем, что в таком случае модуль $\lambda$ равен единице. В $U$ верно $\phi(e) = \lambda e$. Тогда $(e, e) = (\phi(e), \phi(e)) = + \lambda^2 (e, e)$. Отсюда $\lambda^2 = 1$, а значит $\lambda = \pm 1$. + \item Пусть $\dim V = 2$, $(e_1, e_2)$ - ортонормированный базис в $U$. Тогда $A^T A = E$. Найдем вид $A$. + Пусть $ A = \begin{pmatrix} + a & b \\ + c & d + \end{pmatrix}$. Тогда: + \begin{gather*} + \begin{pmatrix} + a & c \\ + b & d + \end{pmatrix} \begin{pmatrix} + a & b \\ + c & d + \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} + 1 & 0 \\ + 0 & 1 + \end{pmatrix} + \end{gather*} + Получим следующую систему уравнений: + \begin{gather*} + a^2 + c^2 = 1 (1) \\ + b^2 + d^2 = 1 (2) \\ + ab + cd = 0 (3) \\ + \end{gather*} + Положим + \begin{gather*} + a = \cos(\alpha), c = \sin(\alpha), b = - \sin(\beta), d = \cos(\beta) + \end{gather*} + Условия $(1)$ и $(2)$ очевидно выполняются. Проверим $(3)$ и найдем при помощи него связь + между углами $\alpha$ и $\beta$. + \begin{gather*} + -\cos(\alpha) \sin(\beta) + \sin(\alpha) \cos(\beta) = 0 \\ + \sin(\alpha - \beta) = 0 \hookrightarrow \alpha - \beta = \pi k, k \in Z + \end{gather*} + Рассмотрим случаи: + \begin{enumerate} + \item $\alpha = \beta$ -- по модулю $2\pi$. + \item $\alpha = \beta + \pi$ -- по модулю $2\pi$. + \item Покажем, что $\alpha + \beta = \pi$ быть не может: + \begin{gather*} + \cos(\beta) = \cos(\alpha - \pi) = -\cos(\alpha) \\ + \sin(\beta) = \sin(\alpha - \pi) = -\sin(\alpha) \Mapsto + A = \begin{pmatrix} + \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ + \sin(\alpha) & -\cos(\alpha) + \end{pmatrix} + \end{gather*} + Где $A^T = A$ и получаем два собственных вектора: $v_1 = (\cos(\frac{\alpha}{2}), \sin(\frac{\alpha}{2}))^T$, $v_{-1} = (-\sin(\frac{\alpha}{2}), \cos(\frac{\alpha}{2}))^T$ -- это противоречит с тем, что нет одномерных инвариантных подпространств. + \end{enumerate} + Теперь пространство $V$ раскладывается в прямую сумму $V = U \oplus U^{\perp}$. По предположению индукции для ортогонального дополнения $U$ теорема верна. Тогда она верна и для всего $V$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Пусть $V$ пространство над $\Cm$, $\dim V = 1$. Тогда: + \begin{gather*} + \phi(z) = r (\cos\phi + i \sin \phi) z = r e^{i \phi} z \\ + \phi(z) = rz \\ + (rz_1, z_2) = (z_1, rz_2) \\. + \end{gather*} + Где $\phi$ -- самосопряженный оператор в $V$. Теперь рассмотрим унитарный оператор $\phi(z) = e^{i\phi} z$, $(e^{i\phi} z_1, e^{i\phi} z_2) = e^{i\phi} e^{-i\phi} (z_1, z_2) = (z_1, z_2)$. +\end{note} + +\begin{theorem}[О полярном разложении линейного оператора] + Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением, $\phi \in \mathcal{L}(V)$. Тогда существуют линейные операторы $\psi$ и $\theta$ $\in \mathcal{L}(V)$ такие, что $\phi = \psi \theta$, где $\psi$ - самосопряженный оператор с неотрицательными собственными значениями, а + $\theta$ - ортогональный (унитарный оператор). +\end{theorem} + +\begin{proof} + Покажем при помощи конструктивного построения $\psi$ и $\theta$. + \begin{enumerate} + \item Рассмотрим вспомогательный оператор $\nu = \phi^* \phi$. + Тогда \begin{gather*} + \nu^* = (\phi^* \phi)^* = \phi^* \phi = \nu. + \end{gather*} + Таким образом $\nu$ - самосопряженный оператор. Пусть $e$ - ортонормированный базис из собственных векторов оператора $\nu$: $e = (e_1, e_2, \dots e_n)$ и $\nu(e_i) = \lambda_i e_i$. + Построенный базис называется первым сингулярным базисом $\phi$. + \item Покажем, что у $\nu$ все собственные значения $\lambda_i \geq 0$: + \begin{gather*} + 0 \leq (\phi(e_i), \phi(e_i)) = (\phi^* \phi(e_i), e_i) = (\lambda_i e_i, e_i) = \lambda_i (e_i, e_i). + \end{gather*} + Таким образом (так как $(e_i, e_i)$) $\lambda_i \geq 0$ для всех $i$. + \item Пусть $f_i = \phi(e_i)$. Покажем, что $f_i \perp f_j$ при $i \neq j$: \begin{gather*} + (f_i, f_j) = (\phi(e_i), \phi(e_j)) = (\phi^* \phi(e_i), e_j) = (\lambda_i e_i, e_j) = + \lambda_i(e_i, e_j) = 0. + \end{gather*} + Для $i = j$ получим $(f_i, f_i) = \lambda_i (e_i, e_i) = \lambda_i$, откуда $|f_i| = \sqrt{\lambda_i}$. + \item Перенумерация векторов базиса $e$. Переупорядочим векторы базиса $e$ так, чтобы + \begin{gather*} + \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n. + \end{gather*} + Пусть ненулевыми будут первые $k$ собственных значений, а $\lambda_{k+1} = \dots = \lambda_n = 0$. + \item Построим второй сингулярный базис $\phi$. Положим $g_i = \frac{f_i}{|f_i|} = \frac{f_i}{\sqrt{\lambda_i}}$, + если $i \leq k$. Дополним его до ортонормированного базиса произвольным образом: $\langle g_1, g_2, \dots g_k \rangle^{\perp} = \langle f_1, f_2, \dots f_k \rangle^{\perp}$. + Полученный базис $g = (g_1, \dots, g_k, g_{k + 1}, \dots, g_n)$ называется вторым сингулярным базисом оператора $\phi$. + \item Заметим, что $f_i = \sqrt{\lambda_i} g_i$ для всех $i$, в том числе для больших, чем $k$, так как $0 = 0$. При этом $e$ - ортонормированный базис, $g$ - тоже ортонормированный базис. Выберем $\theta(e_i) = g_i$ - ортогональный (унитарный) + оператор по \ref{pr 13.4}. Выберем $\psi(g_i) = f_i = \sqrt{\lambda_i} g_i$. оператор $\psi$ в + базисе $g$ будет иметь диагональный вид + $A = \begin{pmatrix} + \sqrt{\lambda_1} & \dots & 0 \\ + \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & \dots & \sqrt{\lambda_n} \\ + \end{pmatrix}$ + а значит, по теореме \ref{th 13.1} оператор $\psi$ -- самосопряженный. + \item Тогда получаем, что + \begin{gather*} + \psi \theta (e_i) = \psi(g_i) = f_i \hookrightarrow \forall i \leq n \\ + \phi(e_i) = f_i \forall i \leq n \Mapsto \phi = \psi \theta + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Пусть дополнительно к условиям теоремы $\phi$ невыроженный оператор. Тогда существуют такие $\psi, \theta \in \mathcal{L}(V)$, что $\psi$ -- положительно определен, $\theta$ -- ортогональный (унитарный) оператор. +\end{corollary} + +\begin{proof} + По условию $\det \phi \neq 0$. Покажем от противного. Пусть у оператора $\psi$ есть нулевое собственное значение $\lambda_i = 0$. Тогда $\det \psi = 0$. Но тогда $\det \phi = 0$ так как $\phi = \psi \theta$. + Противоречие. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если дополнительно к условиям теоремы $\phi$ - невырожденный оператор, а $\psi$ - положительно оперделенный и $\theta$ ортогональный (унитарный), то это найденное разложение единственно. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $\phi = \psi_1 \theta_1 = \psi_2 \theta_2$. + Покажем сначала единственность $\psi$: + \begin{gather*} + \phi \phi^* = (\psi_1 \theta_1) (\psi_1 \theta_1)^* = \psi_1 \theta_1 (\theta_1)^* (\psi_1)^* = \psi_1^2, \theta_1 (\theta_1)^* = \epsilon + \end{gather*} + Последний переход был сделан по утверждению \ref{pr 13.2}. Тогда $(\psi_1)^2 = (\psi_2)^2 = S$ - положительно определенный оператор. Проверим равенство операторов $\psi_1 = \psi_2$. Пусть $\mu_1, \mu_2, \dots \mu_k$ - собственные значения $\psi_1$, + $W_1, W_2, \dots W_k$ - собственные подпространства $\psi_1$. Пусть $\lambda_1, \lambda_2, \dots \lambda_n$ - + собственные значения оператора $S$, и соответственно $V_1, V_2, \dots V_k$ - его собственные подпространства. + Тогда: + \begin{gather*} + \psi_1 \vert_{W_i} = \mu_1 \epsilon \Rightarrow (\psi_1)^2 \vert_{W_i} = S \vert_{W_i} = (\mu_i)^2 \epsilon. + \end{gather*} + Тогда существует такое $i$, что $(\mu_i)^2 = \lambda_i, \psi_1 \vert_{V_i} = \sqrt{\lambda_i} \epsilon, \psi_2 \vert_{V_i} = \sqrt{\lambda_i} \epsilon \Rightarrow W_i = V_i$. Тогда $\psi_1 = \psi_2$. Отсюда же следует единственность $\theta$. +\end{proof} + +\subsection{Приведение квадратичной формы к главным осям} + +\begin{theorem} + \label{th 13.5} + Пусть $V$ - евклидово (эрмитово) пространство, $q(x)$ - квадратичная форма в $V$. Тогда существует ортонормированный базис в $V$, в котором матрица $q$ диагональна. +\end{theorem} + +\begin{proof} + По $q(x)$ можно восстановить полярную функцию $f(x, y)$, которая $\theta$ симмертична в случае евклидова пространства или эрмитово симметрична в случае эрмитова пространства. + По $f(x, y)$ можно восстановить оператор $\phi \in \mathcal{L}(V)$ такой, что $f(x, y) = (\phi(x), y)$. + Покажем, что $\phi$ - самосопряженный. + \begin{enumerate} + \item Евклидов случай: + \begin{gather*} + (\phi(x), y) = f(x, y) = f(y, x) = (\phi(y), x) = (x, \phi(y)). + \end{gather*} + \item Эрмитов случай: + \begin{gather*} + (\phi(x), y) = f(x, y) = \overline{f(y, x)} = \overline{\phi(y), x} = (x, \phi(y)) + \end{gather*} + \end{enumerate} + Тогда по предыдущим теоремам существует базис, в котором матрица $\phi$ диагональна. Теперь мы можем однозначно восстановить матрицу $f$ -- симметричную, то есть получить диагональную матрицу для $q(x)$. +\end{proof} + +\begin{theorem}[Об одновременном приведении двух квадратичных (эрмитовых квадратичных) форм, одна из которых положительно определена, к диагональному виду]~ + Пусть $V$ - линейное пространство над $\R$ (или над $\Cm$), $q_1$, $q_2$ - (эрмитовы) квадратичные формы на $V$ и пусть $q_2$ - положительно опеределена. Тогда в $V$ существует базис + $e$, в котором обе формы одновременно приводятся к диагональному виду. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $f(x, y)$ - полярная функция, соответствующая $q_1(x)$, $g(x, y)$ - полярная функция, соответствующая $q_2(x)$ ($[f(x, y) = \frac{1}{4}(q_1(x + y) = q_1(x - y)]$). Тогда $g(x, y)$ удовлетворяет всем свойствам скалярного произведения. + Примем её за скалярное произведение: $(x, y) = g(x, y)$. Тогда по теореме \ref{th 13.5} существует ортонормированный базис $e$ + относительно скалярного произведения $g$, в котором $f(x, y)$ диагональна. Матрица Грама для ортонормированного базиса $e$ -- единичная. Она же равна матрице скалярного произведения $g(x, y)$. Получаем, что обе матрицы с помощью перехода к базису $e$ стали единичными. + \begin{gather*} + q_1(x) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i |x_i|^2, q_2(x) = \sum_{i=1}^{n} |x_i|^2 + \end{gather*} +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_14.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_14.tex new file mode 100644 index 00000000..e69de29b diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_2.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_2.tex new file mode 100644 index 00000000..b02a6733 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_2.tex @@ -0,0 +1,443 @@ +%08.02.2023 Аня + +\subsection{Основная теорема арифметики} + +\begin{reminder} + Пусть $F$ -- поле. Многочлен $A$ ненулевой степени называется неприводимым над полем $F$, + если из $A = B \cdot C$, где $B, C \in F[x]$ следует, что $\deg B = 0$ или $\deg C = 0$. +\end{reminder} + +\begin{proposition} + Пусть $P$ -- неприводимый над $F$ и $P \, \vert \, (B \cdot C)$. Тогда $P \vert B$ или $P \vert C$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Покажем от противного: пусть $B$ и $C$ не кратны $P$. Тогда $\gd(B, P) = P$ или $\gd(B, P) = 1$. + Первый вариант исключен по предположению, а значит $\gd(B, P) = 1$. Аналогично $\gd(C, P) = 1$. + Тогда по теореме \ref{th1.4}: + \begin{gather*} + \exists u_1, v_1 \in F[x]: u_1B + v_1P = 1,\\ + \exists u_2, v_2 \in F[x]: u_2C + v_2P = 1. + \end{gather*} + Перемножим левые части равенств: + $$u_1v_2BC + (u_1Bv_2 + u_2Cv_1 + v_1v_2P)P = 1$$ + Оба слагаемых в левой части равенства кратны $P$ -- противоречие. +\end{proof} + +\begin{theorem} [основная теорема арифметики для многочлена] + Пусть $F$ -- поле, $A \in F[x], A \neq 0$. Тогда верны следующие утверждения: + \begin{enumerate} + \item Существует разложение $A$ на неприводимые: $$A = \alpha P_1P_2 \dots P_n,$$ + где $\alpha \in F^*$, $P_i$ неприводимый над $F$ многочлен. + \item Пусть A представляется в виде неприводимых многочленов двумя различными способами: + $$A = \alpha \cdot P_1P_2 \dots P_n = \beta \cdot Q_1Q_2 \dots Q_m,$$ + где $\beta\in F^*$, $Q_j$ -- неприводимый над $F$ многочлен. + + Тогда $n = m$ и существует перестановка $\sigma\in S_n$ такая, что многочлены ассоциированы: + \begin{gather*} + P_i \thicksim Q_j \, (1 \leq i \leq n), \text{ где } j = \sigma(i). + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Докажем существование разложения на неприводимые множители индукцией по $\deg A$: + \begin{enumerate} + \item Если $\deg A = 0$, то $A = \alpha$, $\alpha \in F^*$. + \item Пусть $A$ неприводим над $F$, $\deg A \geq 1$. Будем считать, что в таком случае + разложение получено: $A = P$. + + Пусть теперь $A$ приводим над $F$, тогда его можно представить в виде $A = B \cdot C$, + $B, C \in F[x]$, $\deg B < \deg A$, $\deg C < \deg A$. Тогда к $B$ и $C$ применимо + предположение индукции и, перемножая их, получим разложение для $A$. + \end{enumerate} + \item Пусть существуют два разложения многочлена $A$ на неприводимые: + \begin{gather*} + A = \alpha \cdot P_1P_2 \dots P_n = \beta \cdot Q_1Q_2...Q_m. + \end{gather*} + Покажем по индукции по $n$: + \begin{enumerate} + \item В случае $n=1$ из неприводимости $P_1$ следует, что $m$ так же равно единице. + Таким образом, $A = \alpha \cdot P_1 = \beta \cdot Q_1$, а значит многочлены $P_1$ и $Q_1$ + ассоциированы. + \item Пусть теперь $n > 1$, тогда многочлен $P_n$ делит произведение $Q_1Q_2 \dots Q_m$. + + Тогда существует такое $j \in \{ 1, \dots, m\}$, что $P_n \vert Q_j$. + Из неприводимости многочленов $P_n$ и $Q_j$ существует такая $\gamma \in F^*$, что $Q_j = \gamma P_n$. + Теперь можно подставить выражение для $Q_j$ в представление для $A$ справа: + \begin{gather*} + A = \alpha \cdot P_1P_2 \dots P_n = \beta \cdot Q_1Q_2 \dots Q_{j-1} \cdot \gamma + P_n \cdot Q_{j+1} \dots Q_m. + \end{gather*} + + Согласно утверждению \ref{pr1.3} + кольцо многочленов является областью целостности, а значит по утверждению \ref{pr1.2} + можно выполнить сокращение многочлена $P_n$ в обеих частях равенства. + + По предположению индукции число множителей слева и справа после сокращения совпадает и + существует биекция $\sigma: \{ 1, \dots , n - 1\} \longrightarrow \{ 1, \dots , j - 1, j + 1, \dots , n \}$, + такая что $P_i \thicksim Q_{\sigma(i)}$. Доопределим биекцию: + $\sigma(n) = j$. Теперь $\sigma$ удовлетворяет всем условиям, + поэтому доказано для $n$. + \end{enumerate} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Пусть $A$ представим в виде $A = \alpha P_1^{k_1}P_2^{k_2} \dots P_s^{k_s}$ -- попарно не + ассоциированные неприводимые множители. Тогда утверждается, что всякий делитель $D\mid A$ + имеет вид: $$D = \beta P_1^{m_1}P_2^{m_2} \dots P_s^{m_s}, \text{ где } 0 \leq m_i \leq k_i.$$ +\end{corollary} + +\begin{proof} + Очевидно, что разложение $D$ не может содержать множителей, не содержащихся в $A$, так как тогда $A$ будет иметь + ещё одно разложение на неприводимые множители. + Пусть $A$ представляется в виде $A = D \cdot Q$, где + $Q = \alpha_1 P_1^{l_1}P_2^{l_2} \dots P_s^{l_s}$ и + $D = \beta P_1^{m_1} \dots P_s^{m_s}$. Тогда $k_i = m_i + l_i$ и поэтому $0 \leq m_i \leq k_i$. +\end{proof} + +\subsubsection{Кратные корни многочленов} + +Пусть $f \in F[x]$, $c$ -- корень $f$. По теореме \ref{th1.2} Безу $(x-c) \vert f(x)$: +\begin{gather*} + f(x) = q_1(x)(x - c). +\end{gather*} + +При этом многочлен $q_1(x)$ так же может быть кратен $(x-c)$, а значит для некоторых $f(x)$ может +существовать цепочка равенств: +\begin{gather*} + f(x) = q_1(x)(x - c) = q_2(x)(x-c)^2 = \, \dots +\end{gather*} + +\begin{definition} + Корень многочлена $f(x)$ называется корнем кратности $k$ если $f$ кратно $(x-c)^k$, но не кратно $(x-c)^{k+1}$. +\end{definition} + +\begin{note} + $c$ -- корень кратности $k$ $\lra f(x) = q_k(x) (x-c)^k$, $q_k(c) \neq 0$. +\end{note} + +\begin{proposition} + \label{pr1.7} + Пусть $f$ - многочлен из $F[x]$. Тогда сумма кратностей всех корней многочлена $f$ не превосходит $n = \deg(f)$ +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $c_1$, $c_2$, $\dots c_s$ - корни многочлена, $k_1$ ,$k_2$, $\dots ,k_s$ -- соответствующие им + кратности: + \begin{gather*} + f(x) \, \vdots \, (x - c_1)^{k_1}, \\ + \dots \\ + f(x) \, \vdots \, (x - c_s)^{k_s}. + \end{gather*} + При этом многочлены $(x-c_i)$ и $(x-c_j)$ неприводимы и неассоциированы для всех различных $i$ и $j$. + Это очевидно, так как они имеют первую степень, а значит разложиться могли бы только в произведение констант. + Поэтому многочлен $f(x)$ кратен так же произведению $(x-c_i)$ в соответствующих степенях: + \begin{gather*} + f(x) \, \vdots \, (x-c_1)^{k_1} \cdot \, \dots \, \cdot (x-c_s)^{k_s}. + \end{gather*} + Таким образом, сумма степеней не превосходит степень $f(x)$. +\end{proof} + +\begin{note} + Рассмотрим кольцо $\Z_6[x]$ и многочлен $f(x) = x^2 + x$ над ним. Он имеет четыре корня - $0$, $2$, $3$, $5$, + а значит сумма кратностей корней гарантированно превосходит степень многочлена. + Является ли это противоречием к утверждению \ref{pr1.7}? Нет, потому что $\Z_6[x]$ не является полем. + Заметим, что здесь ещё и разложение на неприводимые не является единственным: + $$x^2 + x = x(x+1) = (x+3)(x+4).$$ + И снова это происходит потому что основная теорема арифметики доказана в предположении многочлена над полем. +\end{note} + +\subsection{Основная теорема алгебры} + +\begin{definition} + Если F -- поле, такое что в кольце $F[x]$ всякий многочлен имеет хотя бы один корень из $F$, то + $F$ алгебраически замкнуто. +\end{definition} + +\begin{theorem}[Основная теорема алгебры]~ + \label{ota} + + Всякий многочлен положительной степени из кольца $\Cm[x]$ имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный. + Альтернативная формулировка: поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. +\end{theorem} + +\begin{definition} + Будем говорить, что для комплексной последовательности $z_n$ существует предел + $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {z_n} = z$, + если существует предел действительной последовательности $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {|z_n - z|} = 0$. +\end{definition} + +\begin{agreement} + Далее будем использовать обозначения: $z_n = x_n + i y_n$, $z = x + i y$. +\end{agreement} + +\begin{lemma} + \label{lemma1} + $\exists \displaystyle\lim_{n\to \infty} {z_n} = z \lra$ $\exists \displaystyle\lim_{n\to \infty} {x_n} = x, \exists \displaystyle\lim_{n\to \infty} {y_n} = y$. +\end{lemma} + +\begin{idea} + Теорема Пифагора. +\end{idea} + +\begin{lemma} + \label{lemma2} + Если существует предел $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {z_n} = z$, то существует и предел $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {|z_n|} = |z|$. +\end{lemma} + +\begin{idea} + Использовать неравенство треугольника. +\end{idea} + +\begin{lemma} + \label{lemma3} + Если для комплексных последовательностей $z_n$ и $w_n$ существуют пределы \\ + $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {z_n} = z$ и $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {w_n} = w$, + то существуют и пределы $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {z_n + w_n} = z + w$ и + $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {z_n \cdot w_n} = z \cdot w$. +\end{lemma} + +\begin{idea} + Воспользоваться аналогичными свойствами пределов действительных последовательностей из курса + математического анализа первого семестра. +\end{idea} + +\begin{note} + Фактически лемма равносильна тому, что многочлен является непрерывной функцией над полем $\Cm$. +\end{note} + +\begin{definition} + Будем говорить, что последовательность $z_n$ сходится к бесконечности, если для действительной + последовательности $|z_n|$ существует предел $\displaystyle\lim_{n\to \infty} {|z_n|} = +\infty$. +\end{definition} + +\begin{lemma} + \label{lemma4} + Пусть $\{ z_n \}$ -- произвольная последовательность поля $\Cm$. Тогда из нее можно извлечь подпоследовательность, + сходящуюся к конечному числу $z_0$ или к бесконечности. +\end{lemma} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Пусть существует константа $C > 0$, такая что для всех $n$ верно $|z_n| \leq C$. + + Тогда, так как верно $|x_n| \leq |z_n|$, последовательность $\{ x_n \}$ ограничена, + а значит, по теореме Больцано-Вейерштрасса из неё можно извлечь сходящуюся подпоследовательность $x_{n_k}$. + + Рассмотрим теперь последовательность $\{y_{n_k}\}$, являющуюся подпоследовательностью $\{y_n\}$ с индексами, + соответствующими сходящейся подпоследовательности $\{x_n\}$. + Аналогично для этой последовательности верно $|y_{n_k}| \leq |z_{n_k}|$ для всех $n_k$, + а значит последовательность ограничена, и теореме Больцано-Вейерштрасса из + неё можно извлечь сходящуюся подпоследовательность $\{y_{n_{k_s}}\}$. + + Для упрощения записи обозначим $i = n_{k_s}$. + Тогда последовательности $\{x_i\}$ и $\{y_i\}$ сходятся, а значит сходится и + соответствующая последовательность $\{ z_n \}$ (по лемме \ref{lemma1}). + + \item + Пусть теперь $\{ |z_n| \}$ не ограничена. Тогда из нее можно извлечь подпоследовательность с + монотонно возрастающим модулем (сходящуюся к бесконечности) следующим образом: + + Из неограниченности получим $\forall N \; \exists k: |z_k| > N$. Построим тогда подпоследовательность $z_i = z_{n_k}$, + каждый раз выбирая $n_k$ так чтобы $z_{n_k}$ было больше $i$ и $n_k > n_{k-1}$. Таким образом $z_{n_k}$ стремится к бесконечности. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{lemma} + \label{lemma5} + Пусть $f \in \Cm[x]$ и $\deg f = m \geq 1$. Тогда если $z_n$ сходится к бесконечности то $f(z_n)$ сходится к бесконечности. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Представим многочлен $f(x)$ в следующем виде: + $$f(z) = a_0 z^m + a_1 z^{m-1} \dots + a_{m-1} z + a_m = z^m (a_0 + \frac{a_1}{z} + \dots + \frac{a_m}{z^m}), \; a_0 \neq 0.$$ + Подставим последовательность $z_n$. Тогда модуль $|z_n|^m$ сходится к бесконечности, а значение + в скобках сходится к $a_0$, так как мы положили его ненулевым. Отсюда $|f(z_n)|$ сходится + к бесконечности, и значит, $f(z_n)$ тоже сходится к бесконечности. +\end{proof} + +\begin{reminder} + $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi)$. +\end{reminder} + +\begin{lemma}[Д'Аламбера] + \label{lemma6} + Пусть $f(x)$ -- многочлен положительной степени из кольца $\Cm[z]$, имеющий в $z_0$ ненулевое + значение: $f(z_0) \neq 0$. Тогда для любой $\epsilon$-окрестности $U_{\varepsilon}(z_0)$ найдется + $z \in U_{\varepsilon}(z_0)$, такое что $|f(z)| < |f(z_0)|$. +\end{lemma} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Зафиксируем $\varepsilon > 0$. Разделим $f(z)$ на $z - z_0$ с остатком. Мы знаем, + что остаток имеет смысл значения многочлена в точке $z_0$. Таким образом, + $f(z) = q_1(z) (z-z_0) + r_0$, где $r_0 = f(z_0)$. + \item Разделим теперь многочлен $q_1$ на $z - z_0$ и подставим полученное выражение + в полученное выше разложение для $f$. Получаем $f = q_2(z)(z-z_0)^2 + r_1(z-z_0) + r_0$, где $r_1 = q_1(z_0)$. + \item Продолжим делить остатки на $z-z_0$ и получим следующее выражение для $f(x)$: + \begin{gather*} + f(z) = f(z_0) + \frac{f'(z)}{1!}(z - z_0) + \frac{f''(z_0)}{2!}(z - z_0)^2 + \dots. + \end{gather*} + В выражении выше $r_0 = f(z_0)$, $r_1 = f'(z_0)$, $\dots$, $r_k = \frac {f^{(k)}(z_0)}{k!}$. + Такое разложение напоминает разложение в ряд Тейлора. + \item + Обозначим главную часть за $\alpha (z - z_0)^p, \alpha \neq 0, p \in \N$. Получим представление + $f(z)$ в виде: + \begin{gather*} + f(z) = f(z_0) + \alpha (z-z_0)^p + o(z-z_0)^p = f(z_0) + (z - z_0)^p \left( \alpha + + \frac{o(z-z_0)^p}{(z-z_0)^p} \right), + \end{gather*} + при этом $o(z - z_0)^p $ кратно $(z - z_0)^p$. Так как последнее частное стремится + к 0 при $z$, стремящимся к $z_0$, верно: + \begin{gather*} + \exists \varepsilon_1 < \varepsilon: \, \forall z \in U_{\varepsilon_1}(z_0) \hookrightarrow + \left| \frac {o(z-z_0)^p}{(z-z_0)^p} \right| < \frac {|\alpha |}{2}. + \end{gather*} + Таким образом: + \begin{gather*} + \arg(\alpha) - \frac {\pi}{6} \leq \arg(\alpha + \frac {o(z - z_0)^p}{(z - z_0)^p}) \leq + \arg(\alpha) + \frac {\pi}{6}; \; \alpha \in [\alpha_0; \alpha_0 + \frac {\pi}{3}] + \end{gather*} + Тогда если записать $z$ как $z = z_0 + r \cdot e^{i\phi}$, где $r = |z|$, $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi)$, то справедливо: + $$\arg \left( e^{\pi\phi} \left( \alpha + \frac {o(z-z_0)^p}{(z-z_0)^p}\right) \right) = + \pi \phi + \alpha_0 + \beta \cdot \frac{\pi}{3}; 0 \leq \beta \leq 1$$ + Так как $\phi$ -- любое вещественное число, то теорема доказана. + \end{enumerate} + + \begin{center} + \includegraphics[width=1\textwidth]{images/lec2_1.png} + \end{center} +\end{proof} + +\begin{note} + Идея леммы заключается в том, чтобы приблизить значение $z$ к $z_0$, то есть найти значение, + при котором $|f(z)| < |f(z_0)|$, но при этом сколь угодно близкое к $z_0$. +\end{note} + +\begin{reminder} + Основная теорема алгебры утверждает, что любой многочлен в поле комплексных чисел имеет хотя бы один корень. +\end{reminder} + +\begin{proof} + Пусть $f(x)$ -- многочлены положительной степени. Пусть $A = \inf |f(z)|$, $z \in \Cm$. + Покажем, что инфимум достигается, то есть что существует такое комплексное число $z_n \in \Cm$, + что $|f(z_n)| = A$: + \begin{enumerate} + \item + По определению инфимума существует последовательность ${z_n}$ такая, что $|f(z_n)|$ стремится к конечному $A$. + \item + По лемме \ref{lemma4} из неё можно извлечь подпоследовательность ${z_{n_k}}$ такую, что она + сходится к $z_0$ или к бесконечности. + \item + По лемме \ref{lemma5} второй случай не реализуется, так как иначе $|f(z_{n_k})|$ также + сходится к бесконечности. + \item + Тогда для подпоследовательности существует конечный предел $\displaystyle\lim_{k\to \infty} + {z_{n_k}} = z_0 \in \Cm$, откуда существует и предел $\displaystyle\lim_{k\to \infty} + {f(z_{n_k})} = f(z_0)$, а значит, по лемме \ref{lemma2}, существует предел модуля такой функции, равный + $\displaystyle\lim_{k\to \infty} {|f(z_{n_k})|} = |f(z_0)| = A$. + \item + Если оказалось так, что $A \neq 0$, то по лемме \ref{lemma6} найдется $z \in U_{\epsilon}(z)$ такой что: + $$|f(x)| < |f(z_0)| = A = inf(|f(z)|),$$ что противоречит определению инфимума. Таким образом $A = 0$ + и инфимум достигается, а значит $f(z)$ имеет хотя бы один корень. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsubsection{Следствия из основной теоремы алгебры} + +\begin{corollary} + Всякий многочлен $f$ положительной степени из кольца $\Cm[z]$ можно разложить в произведение + линейных многочленов из $\Cm[z]$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + По основной теореме алгебры у $f$ существует хотя бы один корень $c_1$. Тогда справедливо представление: + $$f(z) = q_1(z) (z - c_1) = q_2(z)(z - c_1)(z - c_2) \dots = \alpha (z - c_1)(z - c_2) \dots (z - c_n),$$ + где $\deg f = n$. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Всякий многочлен $f$ степени $n$ из $\Cm[z]$ имеет ровно $n$ корней в $\Cm$, если каждый корень + учесть с его кратностью. +\end{corollary} + +\begin{proof} + $f(z) = \alpha(z-c_1)^{k_1}\dots(z - c_s)^{k_s}$, $n = k_1 + \dots + k_s$, где $k_i$ -- кратность корня $c_i$. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если $f \in \R[x]$ и $c \in \Cm \backslash \R$ -- корень $f$ кратности $k$, то $\overline{c}$ тоже корень $f$ той же кратности $k$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + \begin{align*} + f(x) & = a_0 x^n + \, \dots \, + a_{n-1} x + a_n, \\ + f(c) & = a_0 c^n + \, \dots \, + a_{n-1} c + a_n = 0, \\ + f(\overline{c}) & = a_0 \overline{c}^n + \, \dots \, + a_{n-1} \overline{c} + a_n = 0. + \end{align*} + Кратность $c$ как корня $f$ равна количеству нулевых остатков $r_0$, $r_1$, $\dots$, $r_n$ + Для доказательства кратности сопряженного применим сопряжение ко всей схеме Горнера. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Всякий многочлен $f \in \R[x]$, $\deg(f) \geq 1$ раскладывается над $\R[x]$ в произведение многочленов + 1-ой и 2-ой степеней, причем квадратные многочлены имеют отрицательный дискриминант. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Индукция по степени $f$: + \begin{enumerate} + \item Если $\deg f = 1$ или $\deg f = 2$, то истинность очевидна. + \item Пусть теперь многочлен имеет степень, большую $2$. Пусть $c$ -- корень $f$, $c \in \R$, то есть + справедливо представление $f(x) = q(x)(x-c)$. Тогда по предположению индукции можно разложить + $q(x)$ и получить разложение для $f(x)$. + + Теперь пусть $c \in \Cm \backslash \R$. Тогда $f$ кратен $x - c$ и $x - \overline{c}$, + а значит, кратен их произведению: $$f(x) = q(x)(x^2 - 2 Re(c) \cdot x + |c|^2).$$ + Произведение корней, в свою очередь, является многочленом степени $2$ из кольца $\R[x]$, + имеющим отрицательный дискриминант. Остается только применить предположение индукции к + многочлену $q(x)$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Всякий многочлен из $\R[x]$ положительной нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Действительно, если многочлен имеет комплексный корень, то сопряженное к нему число также является корнем. + Тогда если отбросить все комплексные корни, то мы отбросим четное число корней, а значит, останется + хотя бы один действительный корень. +\end{proof} + +\begin{corollary}[об описании неприводимых многочленов над полями $\R$, $\Cm$]~ + \begin{enumerate} + \item Над полем комплексных чисел $\Cm$ неприводимыми являются многочлены первой степени и только они. + \item Над полем действительных чисел $\R$ неприводимыми являются многочлены первой степени и многочлены второй степени с отрицательным дискриминантом. + \end{enumerate} +\end{corollary} + +\begin{proposition} + Для любого натурального $n \in \N$ существует многочлен из $\Q[x]$ степени $n$, являющийся неприводимым над $\Q$. +\end{proposition} + +\begin{example} + $x^2 + 2$ -- неприводим, $x^3 + 2$ -- неприводим $\dots $ $x^n + 2$ -- неприводим. Для + доказательства нужно использовать достаточное условие Эйзенштейна. +\end{example} + +\begin{remarkfrom} +Критерий Эйзенштейна приведен, например, в лекциях Вадима Владимировича 2021го года: + +Пусть многочлен $f(x)$ представим в следующем виде: +$$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1}x + a_n, \; a_i \in \Z.$$ +Если существует такое простое число $p$, что $p \vert a_0$ и $p \vert a_i \; \forall i > 0, p \vert a_n$, но $a_n$ не делится на $p^2$, то $f(x)$ неприводим над $\Q$. +\end{remarkfrom} + +\begin{idea} + Доказывается от противного. Предположим, что многочлен приводим, тогда существует его разложение + на произведение двух многочленов. После этого попробуем получить коэффициенты в явном виде - должно получиться.) +\end{idea} diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_3.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_3.tex new file mode 100644 index 00000000..a7f7ab71 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_3.tex @@ -0,0 +1,490 @@ +% 15.02.23 Оля + +\subsection{Кратные корни многочленов. Продолжение.} + +\begin{definition} + Рассмотрим $F[x]$ -- кольцо многочленов над полем $F$. + Формальной производной многочлена $x^n$ называется $\frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1}$, + так же используется обозначение $(x^n)'$. Распространим $\frac{d}{dx}$ на остальные векторы + $F[x]$ по линейности. Тогда дифференцирование является линейным оператором: + $\frac{d}{dx}: F[x] \to F[x]$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Формальная производная $\frac{d}{dx}$ удовлетворяет правилу Лейбница: + $$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'.$$ +\end{proposition} + +\begin{proof} + Обе части являются линейными по многочленам $f$ и $g$, поэтому достаточно доказать правило + для базисных векторов. Рассмотрим $f = x^m$ и $g = x^l$ -- базисные векторы в кольце $F[x]$. + Тогда: $$(x^m \cdot x^l)' = (x^{m+l})' = (m+n) \cdot x^{m+l-1}.$$ + Так же можно продифференцировать $f$ и $g$ по отдельности: + \begin{align*} + (x^m)' = m \cdot x^{m-1} && (x^l)' = l \cdot x^{l-1} + \end{align*} + Отсюда очевидно, что равенство действительно выполняется: + \begin{gather*} + f' \cdot g + f \cdot g' = m \cdot x^{m-1} \cdot x^{l} + x^{m} \cdot l \cdot x^{l-1} = + (m+l) \cdot x^{m+l-1} = (f+g)' + \end{gather*} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Произведение нескольких многочленов и возведение многочлена в степень так же удовлетворяют + привычным правилам: + \begin{enumerate} + \item $(f_1 f_2 \dots f_n)' = f_1' f_2 \dots f_n + f_1 f_2' \dots f_n + \dots + f_1 f_2 \dots f_n'$, + \item $(f^n)' = n \cdot f^{n-1} f'$. + \end{enumerate} +\end{corollary} + +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item Индукция по $n$: + + База: для $n = 2$ доказано в утверждении 1. + + Переход: докажем, что из истинности утверждения для 2 и для $n-1$ многочленов следует его + истинность для $n$: + \begin{align*} + (f_1 f_2 \dots f_n)' = ((f_1 f_2 \dots f_{n-1}) \cdot f_n)' = (f_1 f_2 \dots f_{n-1})' + \cdot f_n + (f_1 f_2 \dots f_{n-1}) \cdot f_n' = \\ = + (f_1' f_2 \dots f_{n-1} + f_1 f_2' \dots f_{n-1} + \dots + f_1 f_2 \dots f_{n-1}') + \cdot f_n + f_1 f_2 \dots f_n \cdot f_n' = \\ = f_1' f_2 \dots f_n + f_1 f_2' \dots f_n + + \dots + f_1 f_2 \dots f_n'. + \end{align*} + + \item Докажем используя результат, полученный в предыдущем пункте: + \begin{align*} + (f^n)' = (f \cdot f \cdot \dots f)' = f' \cdot f \dots f + f \cdot f' \dots f + + \dots f \cdot f \dots f' = n \cdot f^{n-1} f'. + \end{align*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + Число $c \in F$ называется корнем многочлена $f \in F[x]$ кратности + $R$ если $f$ представим в виде $f(x) = q(x) (x-c)^R$, где $q(c) \neq 0$. +\end{definition} + +\begin{theorem}[о кратности корня x] + Пусть $F$ -- поле, $f \in F[x]$, $c \in F$ -- корень многочлена $f$. Тогда верно следующее: + \begin{enumerate} + \item c -- кратный корень f $\Leftrightarrow$ $f(c) = 0$ и $f'(c) = 0$. + \item с -- корень кратности $R$ $\Rightarrow$ $f(c) = 0$, $f'(c) = 0$, $\dots$, + $f^{(R-1)}(c) = 0$. + \item В условиях предыдущего пункта при выполнении дополнительного условия на характеристику + поля $char F = 0$ или $char F > R$, верно так же $f^{(R)}(c) \neq 0$. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item \begin{enumerate} + \item Необходимость. + + По условию $f(x) = q(x) (x-c)$. Продифференцируем $f$: + $$f'(x) = q'(x) (x-c) + q(x).$$ + Тогда $f'(c) = q(c)$. При этом многочлен $q(x)$ кратен $(x-c)$ в силу того, что $c$ - кратный корень $f$. + Таким образом вся производная $f'$ кратна $(x-c)$. + + \item Достаточность. + + Пусть $f(c) = f'(c) = 0$, тогда $q(c) = 0$, а значит $q(x)$ кратен $(x-c)$. + + \end{enumerate} + + \item Пусть $c$ -- корень кратности $R$. Тогда многочлен $f$ представим в виде $f = q(x) (x-c)^R$, где $q(c) \neq 0$. + Возьмем производную от $f$: + $$f'(x) = q'(x) (x-c)^R + R \cdot q(x) (x-c)^{R-1}.$$ + Продолжим брать производные. Тогда для + k-производной кратность корня $c$ не меньше $R-k$. + + \item Кратность корня для производной в точности равна $R-k$, а значит $f^{(R-1)}$ имеет $c$ + в качестве простого корня (кратности 1). + + Предположим противное. + Пусть $(f^{(R-1)})' (c) = 0$. Тогда $c$ -- кратный корень $f^{(R-1)}$, что приводит к противоречию. + + Таким образом $f^{R}(c) \neq 0$. В обратную сторону, пусть + $f(c) = f'(c) = \dots = f^{(R-1)} (c) = 0$. Если $c$ -- корень кратности 1, то $f'(c) \neq 0$, + противоречие. Если $c$ -- корень кратности 2, то $f^{(2)} (c) \neq 0$. + + Аналогично если $c$ -- + корень кратности $R-1$, то $f^{(R-1)} (c) \neq 0$. Таким образом $c$ -- корень кратности не + менее чем $R$. При этом если он имеет кратность большую, чем $R$, то $f^{(R)} = 0$, чего не + может быть, а значит $R$ -- корень кратности ровно $R$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\section{Инвариантные подпространства} + +\begin{reminder} + Пусть $V$ -- линейное пространство над полем $F$. Линейным оператором называется отображение + $\phi: V \to V$, такое что выполняются следующие аксиомы: + \begin{enumerate} + \item $\phi (x+y) = \phi(x) + \phi (y)$ + \item $\phi(\lambda x) = \lambda \cdot \phi(x)$ + \end{enumerate} + +\end{reminder} + +\begin{reminder} + Пусть $e = (e_1, e_2, \dots, e_n)$ -- базис в $V$. Тогда равенство + $\phi(e_i) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} a_{kj} e_k$ можно принять за определение матрицы + оператора. Иначе говоря в j-ом столбце матрицы оператора стоят координаты вектора $\phi(e_{j})$ + относительно начального базиса. В силу произвольности выбора вектора $e_j$ верно: + $\forall j \; \phi(e_j) = e \cdot A_{*j} \Leftrightarrow \phi(e) = e \cdot A$. +\end{reminder} + +\begin{example} + Пусть $x \in V$, $x \xleftrightarrow[e]{} \alpha$, $x = e \alpha$. + Чтобы получить координаты образа вектора $x$ под действием оператора $\phi$ нужно матрицу + оператора $A_{\phi}$ умножить на вектор $x$: + $$\phi(x) = \phi(e) \alpha = e A \alpha \Rightarrow \phi(x) \xleftrightarrow[e]{} A \alpha.$$ +\end{example} + +\begin{reminder} + Изменение матрицы оператора при переходе от одного базиса к другому осуществляется следующим образом: + + Пусть $e$ и $f$ -- два базиса в $V$. Пусть матрицы $\phi$ в этих базисах равны $A$ и $B$ + соответственно, тогда $\phi(e) = eA$, $\phi(f) = fB$. + Матрицу перехода от $e$ к $f$ назовем $S$: $f = e \cdot S$, $|S| \neq 0$. + Тогда: + $$\phi(f) = \phi(e) \cdot S = e A \cdot S = f \cdot S^{-1} A S.$$ + Таким образом, $B = S^{-1} A S$. +\end{reminder} + +\begin{note} + Матрицы $A$ и $S^{-1} A S$ называются подобными. Матрица любого линейного оператора + определена с точностью до подобия. +\end{note} + +\begin{reminder} + Пусть $V$ -- линейное пространство, $\dim V = n$. Множество всех линейных + операторов на $V$ обозначается как $\mathcal{L}(V)$ и является линейным пространством, + $\dim \mathcal{L}(V) = n^2$. \\ + Произведение (композиция) линейных операторов определяется как + $(\phi \psi)(x) \stackrel{def}{=} \phi(\psi(x))$, где $\phi, \psi \in \mathcal{L}(V)$. + Оно обладает свойством ассоциативности из-за ассоциативности перемножения матриц, а значит + $\mathcal{L}(V)$ является алгеброй. +\end{reminder} + +\begin{definition} + Пусть $V$ -- линейное пространство, $\phi: V \to V$. Подпространство $U \leq V$ называется + инвариантным если для всех $x \in U$ выполняется $\phi(x) \in U$. Другими словами, действие + оператора $\phi$ на вектор из $U$ не выводит его за пределы $U$, а значит + $\phi(U) \subset U \Leftrightarrow \phi(U) \leq U$. +\end{definition} + +\begin{example} + Рассмотрим следующие примеры инвариантных подпространств: + \begin{enumerate} + \item $O: x \to 0 \; \forall x \in V$. Тогда $U \leq V \Leftrightarrow O(U) = \{0\} \leq U$, + а значит любое подпространство $V$ является инвариантным относительно $O$. + \item Тождественное отображение $id(x) = x$. Тогда $id(U) = U$, + а значит любое подпространство инвариантно. + \item Рассмотрим $V_3$ и проекцию на подпространство $(e_1, e_2)$. Тогда инвариантными будут + являться все $V_3$, нулевое подпространство, а так же линейная оболочка $(e_1, e_2)$, + любая прямая в этой плоскости, линейная оболочка $e_3$ и линейная оболочка $e_3$ + и некоторого вектора из плоскости $(e_1, e_2)$. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{proposition} + Пусть $\phi: V \to V$ -- линейный оператор, $U$ -- инвариантное подпространство. Тогда в базисе, + согласованном с $V$ оператор $\phi$ имеет матрицу с левым нижним углом нулей: + \[\phi(A) = \left(\begin{array}{@{}c|c@{}} + A & B\\ + \hline + 0 & C + \end{array}\right)\] + Здесь $A \in M_k(F)$, $k = \dim U$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + $U$ инвариантно относительно $\phi$, а значит $\phi(e_1), \phi(e_2), \dots \phi(e_k) \in U$. + Тогда для базисного вектора из $U$ ненулевыми могут быть только первые $k$ элементов + соответствующего ему столбца. +\end{proof} + +\begin{note} + Блок нулей в левом нижнем углу означает, что $\phi(e_1), \phi(e_2), \dots \phi(e_k) \in U$, + а значит подпространство $U$ является инвариантным относительно $\phi$. +\end{note} + +\begin{note} + Чтобы блок нулей был и выше и ниже главной диагонали, необходимо и достаточно, чтобы + пространство раскладывалось в прямую сумму двух подпространств, + являющихся инвариантными относительно $\phi$. +\end{note} + +\begin{theorem} + Пусть $\phi: V \to V$, $U_1$ и $U_2$ -- инвариантные подпространства. + Тогда $U_1 \cap U_2$ и $U_1 \oplus U_2$ так же являются инвариантными относительно $\phi$. +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item $\phi(U1 \cap U2) \subset \phi(U1) \cap \phi(U2) \subset U1 \cap U2$. + \item $\phi(U1 \oplus U2) = \phi(U1) \oplus \phi(U2) \subset U1 \oplus U2$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{proposition} + Для линейного оператора $\phi: V \to V$ его ядро $\ker \phi$ и образ $\im \phi$ являются + инвариантными подпространствами. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item $\phi(ker (\phi)) = \{0\} \in ker \phi$. + \item Пусть $y \in \im \phi$. Тогда $\phi(y) \in \im \phi$, так как $y \in V$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{theorem}[о коммутирующих линейных операторах] + \label{th3.2} + Пусть $\phi, \psi \in \mathcal{L}(V)$ и верно $\phi \psi = \psi \phi$. Тогда подпространства + $\ker \phi$, $\ker \psi$, $\im \psi$, $\im \phi$ являются инвариантными + относительно обоих операторов. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Докажем, что $\ker \phi$ и $\im \phi$ инвариантны относительно $\psi$, доказательство для + инвариантности $\ker \psi$ и $\im \psi$ относительно $\phi$ симметрично. + \begin{enumerate} + \item Пусть $x \in \ker \phi$. Тогда $\phi(\psi(x)) = \psi(\phi(x)) = \psi(0) = 0$, + а значит $\psi(x) \in \ker \phi$. + \item Пусть $y \in \im \phi$. Тогда $\psi(y) = \psi(\phi(x)) = \phi(\psi(x)) \in \im \phi$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Рассмотрим многочлен $P \in F[x]$. По определению $P(\phi) \in F[x]$. + Тогда по доказанной выше теореме \ref{th3.2} подпространства $\ker P(\phi)$ и $\im P(\phi)$ + инвариантны относительно $\phi$, так как $P(x) x = x P(x)$, + а значит $P(\phi) \cdot \phi = \phi \cdot P(\phi)$. +\end{note} + +\begin{note} + Пусть $U$ инвариантно относительно $\phi$, $\psi \in \mathcal{L}(V)$. + Тогда $U$ инвариантно так же относительно оператора $\alpha \phi + \beta \psi$, где + $\alpha, \beta \in F$ и операторов $\phi \psi$, $\psi \phi$. Так же если $P(x, y) \in F[x, y]$, + то $U$ инвариантно относительно $P(\phi, \psi)$. +\end{note} + +\subsection{Собственные значения и векторы} + +\begin{definition} + Пусть $\phi: V \to V$. Ненулевой вектор + $x \in V: \phi(x) = \lambda x$ называется собственным вектором оператора $\phi$, + отвечающим собственному значению $\lambda$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Число $\lambda \in F$ называется собственным значением оператора $\phi$, если существует собственный + вектор $x \in V$, такой что $\phi(x) = \lambda x$, то есть если некоторый $x$ отвечает $\lambda$. +\end{definition} + +\begin{note} + Пусть $x$ -- собственный вектор, отвечающий собственному значению $\lambda$. Тогда верно + $\phi(x) = \lambda x$, а значит $\phi^2(x) = \lambda^2 x$, $\dots$, $\phi^n(x) = \lambda^n x$. +\end{note} + +\begin{corollary} + Пусть $P \in F[x]$. Тогда $(P(\phi))(x) = P(\lambda) \cdot x$. В частности + если $P$ аннулирует $\phi$, то есть $P(\phi) = 0$, + то каждое собственное значение $\phi$ является корнем $P$. +\end{corollary} + +\begin{definition} + Пусть $\lambda$ -- собственное значение оператора $\phi: V \to V$. Собственным подпространством + оператора $\phi$, отвечающим $\lambda$ называется подпространство + $V_{\lambda} = \ker (\phi - \lambda \epsilon) \leq V$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + $V_{\lambda} \neq \{0\} \Leftrightarrow \lambda$ -- собственное значение оператора $\phi$. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость. Пусть $V_\lambda \neq \{0\}$, $\exists x \neq 0: \; (\phi - \lambda E)(x) = 0$. + Тогда $\phi(x) = \lambda x$, а значит $x$ -- собственный вектор, + $\lambda$ -- собственное значение. + \item Достаточность. Пусть $\lambda$ -- собственное значение оператора $\phi$. + Тогда $\exists x \neq 0: \: \phi(x) = \lambda(x)$, где $\lambda$ -- собственное значение. + Значит $(\phi - \lambda E)x = 0$, откуда $x \in \ker(\phi - \lambda E)$ и $V_\lambda \neq \{0\}.$ + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Начиная с этого момента будем называть собственными подпространствами только такие $V_{\lambda}$, + которые отличны от нуля, что равносильно тому, что $\lambda$ -- собственное значение. + Действительно, доопределение собственных подпространств для несобственных $\lambda$ + не представляет интереса, так как они будут нулевыми. +\end{note} + +\begin{reminder} + Подпространства $U_1, U_2, \dots U_n$ называются линейно независимыми, если из равенства + $x_1 + x_2 + \dots + x_n = \bar{0}$, где $x_i \in U_i$, следует, что $x_1 = x_2 = \dots = x_n = 0$. +\end{reminder} + +\begin{theorem}[О линейной независимости собственных подпространств, отвечающих попарно различным собственным значениям] + \label{o_lnz} + Пусть $\phi: V \to V$, $\lambda_1, \lambda_2, \dots \lambda_n$ -- различные собственные значения. + Тогда $V_{\lambda_1}, ..., V_{\lambda_n}$ линейно независимы. +\end{theorem} + +\begin{proof} + От противного. Пусть существует такой набор + $x_1 \in V_{\lambda_1}, x_2 \in V_{\lambda_2}, \dots, + x_n \in V_{\lambda_n}$, что хотя бы один вектор ненулевой, но $x_1 + x_2 + \dots + x_n = \bar{0}$. + + Назовем все такие наборы опровергающими, а мощностью набора будем считать количество ненулевых + векторов. Из всех подходящих наборов выберем один наименьшей мощности. Пусть + указанный выше набор без ограничения общности -- искомый. Перенумеруем множества и $x_i$ так, + чтобы ненулевыми были первые $j$ векторов. Тогда $x_1 + x_2 + \dots + x_j = 0$, и все + $x_i \neq 0$ в силу перенумерации. Применим к сумме оператор $\phi$: + $$\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + ... + \lambda_j x_j = 0.$$ + Умножим изначальную сумму на $-\lambda_1$ и сложим с получившейся: + \begin{align*} + (\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \, \dots \, + \lambda_j x_j) + (-\lambda_1 x_1 - \lambda_2 x_2 + - \, \dots \, - \lambda_j x_j) = \\ = (\lambda_2 - \lambda_1) x_2 + \, \dots \, + (\lambda_j - + \lambda_1) x_j = 0. + \end{align*} + Таким образом мы получили опровергающий набор меньшей мощности, что приводит к противоречию. +\end{proof} + +\subsubsection{Нахождение собственных подпространств и векторов} + +\begin{algorithm}[Нахождения собственных векторов]~ + + Пусть в $V$ фиксирован базис $e = (e_1, e_2, \dots, e_n)$, оператор $\phi$ имеет матрицу $A$. + Тогда собственным будет являться такой вектор $x$, что $Ax = \lambda x$: + \begin{equation*} + \left( + \begin{array}{cccc} + a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ + a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} + \end{array} + \right) \left( + \begin{array}{c} + x_{1}\\ + x_{2}\\ + \vdots\\ + x_{n} + \end{array} + \right) = \left( + \begin{array}{c} + \lambda x_{1}\\ + \lambda x_{2}\\ + \vdots\\ + \lambda x_{n} + \end{array} + \right) + \end{equation*} + Данное равенство равносильно следующему: + \begin{equation*} + \left( + \begin{array}{cccc} + a_{11} - \lambda & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ + a_{21} & a_{22} - \lambda & \ldots & a_{2n}\\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} - \lambda + \end{array} + \right) \left( + \begin{array}{c} + x_{1}\\ + x_{2}\\ + \vdots\\ + x_{n} + \end{array} + \right) = \left( + \begin{array}{c} + 0\\ + 0\\ + \vdots\\ + 0 + \end{array} + \right) + \end{equation*} + По теореме Крамера наличие у данной системы ненулевого решения равносильно ненулевому определителю + $\det (A - \lambda E) = 0$. Такой определитель называется характеристическим многочленом + оператора $\phi$ относительно базиса $e$: + $$\chi(\lambda) = (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1} tr A \lambda^{n-1} + \dots + det A.$$ + Таким образом, собственными значениями будут $\lambda$, являющиеся корнями характеристического + многочлена. Собственными будут векторы, являющиеся решениями систем с подставленными + собственными значениями $\lambda$. +\end{algorithm} + +\begin{theorem} + Верны следующие свойства характеристического многочлена: + \begin{enumerate} + \item Корни $\chi(\lambda)$ принадлежащие полю $F$ и только они являются собственными + значениями $\phi$. + \item Многочлен $\chi(\lambda)$ не зависит от выбора базиса. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Пусть $\lambda_0$ – корень $\chi_{\phi}(\lambda)$, тогда $|A - \lambda_0 E| = 0$. + Это значит, что система $A - \lambda_0 E$, имеет ненулевое решение при $x_0 \neq 0$. + Тогда $\phi(x_0) = \lambda_0$, а значит $\lambda_0$ - собственное значение $\phi$. + В силу равносильных переходов, обратное утверждение тоже верно. + + \item Наряду с $e$ выберем базис $f$, обозначим за $S$ матрицу перехода между ними: + $S = S_{e \to f}$. Тогда $\phi \xleftrightarrow[e]{} A$, $\phi \xleftrightarrow[f]{} B$, + $B = S^{-1}AS$. Верна следующая цепочка равенств: + \begin{align*} + \chi_b(\lambda) = |B &- \lambda E| = |S^{-1}AS - \lambda E| + = |S^{-1}AS - S^{-1} \lambda E S| = \\ &= |S^{-1}(A - \lambda E)S| + = |S^{-1}| \cdot |A - \lambda E| \cdot |S| = |A - \lambda E| = \chi_a(\lambda). + \end{align*} + Таким образом, характеристический многочлен одинаков для всех базисов. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + В дальнейшем будем использовать следующее определение: характеристическим многочленом оператора + $\phi: V \to V$ называется определитель $|A - \lambda E| = \chi_A(\lambda)$, + где $A$ -- матрица $\phi$ в произвольном базисе. +\end{definition} + +\begin{corollary} + От выбора базиса не зависят так же коэффициенты характеристического многочлена, в частности + $det A$ и $tr A$, поэтому часто пишут $det \phi$ и $tr \phi$ соответственно. +\end{corollary} + + +\begin{algorithm}[Нахождения собственных подпространств]~ + + Выпишем $\chi_{\phi}(\lambda)$ и найдем его корни принадлежащие $F$. + Пусть $\lambda_1, \lambda_2, \dots \lambda_k$ -- полученные собственные значения. + Для каждого собственного значения $\lambda_j$ находим $\ker B_j = \ker (A - \lambda E)$ -- + подпространство таких векторов, для которых $Ax = \lambda x$. Оно очевидно совпадает с $V_j$. +\end{algorithm} + +\begin{corollary} + Если $V$ -- линейное пространство над $\Cm$, $\dim V \geq 1$, то всякий линейный оператор $\phi: V \to V$ имеет в $V$ имеет хотя бы один собственный вектор. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $\chi_{\phi}(t)$ -- характеристический многочлен. По теореме \ref{ota} многочлен $\chi_{\phi}(t)$ + имеет хотя бы один корень $\lambda_0$. Следовательно, $\lambda_0$ -- + собственное значение для оператора $\phi$ и, значит, существует собственный вектор с собственным + значением $\lambda_0$. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если $V$ - линейное пространство над $\R$ и $\dim V = 2k + 1, k \geq 0, k \in \Z$, то всякий линейный оператор $\phi: V \to V$ имеет хотя бы один собственный вектор. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Аналогично предыдущему следствию в таком пространстве существует хотя бы один корень $\lambda_0 \in \R$. +\end{proof} diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_4.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_4.tex new file mode 100644 index 00000000..b75e0215 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_4.tex @@ -0,0 +1,482 @@ +%22.02.2023 Аня + +\section{Линейные операторы} +\subsection{Диагонализуемость линейного оператора} + +\begin{definition} + Линейный оператор $\phi: V \to V$ над полем $F$ называется диагонализируемым, если в $V$ + существует базис $e$, такой что $A_{\phi}$ -- диагональная матрица. +\end{definition} + +\begin{theorem}[критерий диагонализируемости линейного оператора] + \label{theorem4.1} + Пусть $V$ - пространство над полем $F$, оператор $\phi: V \to V$. Пусть $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k$ -- все + попарно различные собственные значения, тогда следующие условия эквивалентны: + \begin{enumerate} + \item $\phi$ -- диагонализируем. + \item В $V$ существует базис, состоящий из собственных векторов оператора $\phi$. + \item $V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus V_{\lambda_k}$. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item $1 \Rightarrow 2$ \\ + Так как $\phi$ диагонализируем, то существует базис, в котором матрица оператора выглядит + следующим образом: + \begin{equation*} + \left( + \begin{array}{cccc} + \lambda_{1} & 0 & \ldots & 0\\ + 0 & \lambda_{2} & \ldots & 0\\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + 0 & 0 & \ldots & \lambda_n + \end{array} + \right) + \end{equation*} + Значит, $\phi(e_i) = \lambda_i e_i$ для любого $i$, откуда $e_1, \dots, e_n$ -- собственные + векторы для $\phi$. Значит, $e$ -- базис из собственных векторов. + \item $2 \Rightarrow 3$ \\ + Пусть $e$ -- базис из собственных векторов оператора $\phi$. Перегруппируем базисные векторы + по собственным значениям: + $$\underbrace{(e_{11}, \dots, e_{1s_1})}_{\lambda_1} \underbrace{(e_{21}, \dots, e_{2s_2})}_{\lambda_2} + \dots \underbrace{(e_{k1}, \dots, e_{ks_k})}_{\lambda_k}$$ + Теперь $\langle e_{11}, \dots, e_{1s_1} \rangle \subseteq V_{\lambda_1}$, + $\dots, \langle e_{k1}, \dots, e_{ks_k} \rangle \subseteq V_{\lambda_k}$, + откуда $V = V_{\lambda_1} + \dots + V_{\lambda_k}$. По лемме \ref{o_lnz} собственные подпространства + линейно независимы. Тогда по теореме о характеризации прямой суммы + $V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus V_{\lambda_k}$. + \item $3 \Rightarrow 1$ \\ + Известно, что $V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus V_{\lambda_k}$. + Выберем в каждом $V_{\lambda_i}$ базис: $e_{i_1}, \dots, e_{is_i}$. Тогда, объединяя базисы + собственных подпространств, получим базис всего пространства $V$. + При этом по диагонали будут стоять сначала $s_1$ значений $\lambda_1$, + затем $s_2$ значений $\lambda_2$ и так далее. Остальные значения -- нули. + Значит, $\phi$ -- диагонализируем. + \begin{equation*} + \left( + \begin{array}{ccccc} + \lambda_{1} & 0 & \ldots & 0 & 0\\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ + 0 & \ldots & \lambda_{1} & \ldots & 0\\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ + 0 & 0 & \ldots & \ldots & \lambda_n + \end{array} + \right) + \end{equation*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Пусть $\phi$ - диагонализируемый и базис такой, что матрица диагональная, $\dim V = n$. + \begin{enumerate} + \item Все базисные векторы - собственные. + \item По главной диагонали - собственные значения $\phi$. + \item $\tr \phi = \sum_{i=1}^n \lambda_i$ (с учётом кратности). + \item $\det \phi = \prod_{i=1}^n \lambda_i$. + \item $\chi _{\lambda} (t) = \prod_{i=1}^n (\lambda_i - t)$ + (раскладывается на линейные множители над $F$). + \end{enumerate} +\end{note} + +\begin{corollary} + Если характеристический многочлен линейного оператора не раскладывается на линейные множители + над $F$, то такой оператор заведомо не диагонализуем. +\end{corollary} + +\begin{example} + Рассмотрим следующий оператор $\phi$: + \begin{equation*} + \phi = + \left( + \begin{array}{cc} + \cos{\phi} & - \sin{\phi} \\ + \sin{\phi} & \cos{\phi} \\ + \end{array} + \right) + \end{equation*} + Его характеристический многочлен записывается как: + \begin{equation*} + \chi_{\phi}(t) = \det + \left( + \begin{array}{cc} + \cos{\phi} & - \sin{\phi} \\ + \sin{\phi} & \cos{\phi} \\ + \end{array} + \right) = t^2 - 2\cos{\phi} t + 1 + \end{equation*} + $D = 4 \cos^2{\phi} - 4 = - 4\sin^2{\phi} < 0$, что значит, многочлен не раскладывается на множители + и матрица не диагонализируема. +\end{example} + +\subsection{Алгебраическая и геометрическая кратности собственных значений} + +\begin{definition} + Пусть $\phi: V \to V$, $\lambda \in F$ -- его собственное значение, $\chi_{\phi}(\lambda) = 0$. + Кратность корня $\lambda$ как корня характеристического многочлена называется алгебраической + кратностью собственного значения $\lambda$. Обозначение: $alg(\lambda) \geq 1$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Размерность собственного подпространства $V_{\lambda}$ называется геометрической кратностью + собственного значения $\lambda$. Обозначение: $geom(\lambda) = \dim V_{\lambda} \geq 1$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + \label{pr4.1} + Пусть $\phi: V \to V$ и $U$ -- инвариантное подпространство относительно $\phi$. + Пусть $\psi = \phi \vert_{U}$. Тогда $\chi_{\phi} \vdots \chi_{\psi}$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $e$ -- базис в $V$, согласованный с инвариантным подпространством $U$: + $$e = (\underbrace{e_{1}, \dots, e_{k}}_{U}, e_{k + 1}, \dots, e_n).$$ + Матрица $A_{\phi}$ имеет следующий вид: + \[A_{\phi} = \left(\begin{array}{@{}c|c@{}} + B & C\\ + \hline + 0 & D + \end{array}\right)\] + Тогда характеристический многочлен записывается следующим образом: + \[\chi_{\phi}(\lambda) = \det \left(\begin{array}{@{}c|c@{}} + B - \lambda E & C\\ + \hline + 0 & D - \lambda E + \end{array}\right) = |B - \lambda E| \cdot |D - \lambda E| = \chi_{\psi} \cdot \chi_D\] +\end{proof} + +\begin{corollary} + Для любого собственного значения $\lambda$: $geom(\lambda) \leq alg(\lambda)$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Подпространство $U = V_{\lambda}$ инвариантно относительно оператора $\phi$. Тогда $\psi$ имеет + на $U$ следующую матрицу: + \begin{equation*} + \psi = + \left( + \begin{array}{ccc} + \lambda & \dots & 0 \\ + \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & \dots & \lambda \\ + \end{array} + \right) + \end{equation*} + Характеристический многочлен $\chi_{\psi}$ записывается как + $\chi_{\psi} = (\lambda - t)^k$, где $k = \dim V_{\lambda} = geom(\lambda)$. + По утверждению \ref{pr4.1} $\chi_{\phi} \vdots \chi_{\psi}$, откуда следует, что + $\chi_{\phi} \vdots (\lambda - t)^k$. Значит, $alg(\lambda) \geq geom(\lambda)$. +\end{proof} + +\begin{theorem}[критерий диагонализируемости в терминах алгебраической и геометрической кратностей линейного оператора] + Пусть $\phi: V \to V$, $\dim V = n$. $\phi$ -- диагонализируем тогда и только тогда, когда: + \begin{enumerate} + \item $\chi_{\phi}(t)$ разлагается на линейные множители над $F$. Далее будет использоваться + формулировка "оператор $\phi$ линейно факторизуем над полем $F$". + \item Для любого собственного значения $\lambda$ оператора $\phi$ выполнено $alg(\lambda) = geom(\lambda).$ + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость \\ + Пусть $\phi$ диагонализуем над $F$. Тогда существует базис, в котором матрица оператора $\phi$ + имеет диагональный вид и по теореме \ref{theorem4.1} верно + $V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus V_{\lambda_k}$. + Тогда по свойству прямой суммы: + $$\sum_{i=1}^k geom(\lambda_i) = \sum_{i=1}^k \dim V_{\lambda_i} = + \dim V = n = \deg \chi \geq \sum_{i=1}^k alg(\lambda_i)$$ + С одной стороны, выполнено неравенство выше, но, с другой стороны, по предыдущему следствию, + $geom(\lambda) \leq alg(\lambda)$, откуда верно, что $alg(\lambda_i) = geom(\lambda_i)$ для всех $i$. + \item Достаточность \\ + Пусть $\phi$ линейно факторизуем над $F$ и $alg(\lambda_i) = geom(\lambda_i)$. + Докажем диагонализируемость оператора $\phi$: + $$\dim(V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus V_{\lambda_k}) = + \sum_{i=1}^k \dim V_{\lambda_i} = \sum_{i=1}^k geom(\lambda_i) = \sum_{i=1}^k alg(\lambda_i) = n$$ + Последнее равенство следует из линейной факторизуемости $\phi$. + Отсюда получаем, что $V$ представляется в виде прямой суммы собственных подпространств + $V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus V_{\lambda_k}$. Тогда по теореме + \ref{theorem4.1} $\phi$ диагонализуем. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{example}~ + + Пример не диагонализируемого линейного оператора на $\Cm$ - Жорданова клетка порядка n. + \begin{equation*} + J_n(\lambda) = + \left( + \begin{array}{cccc} + \lambda & 1 & \dots & 0 \\ + \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ + \vdots & \dots & \lambda & 1 \\ + 0 & \dots & \dots & \lambda \\ + \end{array} + \right) + \end{equation*} +\end{example} + +\begin{proof} + Запишем характеристический многочлен для Жордановой клетки порядка $n$: + \begin{equation*} + \chi_{J_n}(t) = \det + \left( + \begin{array}{cccc} + \lambda - t & 1 & \dots & 0 \\ + \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ + \vdots & \dots & \lambda - t & 1 \\ + 0 & \dots & \dots & \lambda - t \\ + \end{array} + \right) = (\lambda - t)^n + \end{equation*} + Таким образом, $alg(\lambda) = \dim V_{\lambda} = n$. Так как $\ker B = \ker (J_n(\lambda) - \lambda E)$, + ядро этой матрицы состоит из нулей и единичной диагонали размером $(n - 1) \times (n - 1)$. + Тогда $rk B = n - 1$. Получаем, что $\dim \ker B = n - (n - 1) = 1$, то есть + $V_{\lambda} = \langle e_1 \rangle$; $geom(\lambda) = 1$. \\ + Таким образом, Жорданова клетка порядка 2 и выше является не диагонализируемой. +\end{proof} + +\subsection{Приведение линейного оператора к верхнетреугольному виду} + +\begin{agreement} + В этом разделе будем считать, что оператор $\phi: V \to V$ линейно факторизуем над полем $F$ и + характеристический многочлен имеет вид $\chi_{\phi}(t) = \prod_{i=1}^n (\lambda_i - t)$. + Размерность пространства $V$ равна $\dim_F V = n$. +\end{agreement} + +\begin{proposition} + \label{prop4.2} + Следующие условия на подпространстве $U$ эквивалентны: + \begin{enumerate} + \item $U$ -- инвариантно относительно $\phi$. + \item $\exists \lambda \in F: U$ - инвариантно относительно $\phi - \lambda E$. + \item $\forall \lambda \in F \hookrightarrow U$ - инвариантно относительно $\phi - \lambda E$ + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item ($1 \Rightarrow 3$): Нужно доказать, что $\forall x \in U \hookrightarrow \phi(x) \in U$. + + Пусть $\lambda \in F$, тогда $\forall x \in U \hookrightarrow (\phi - \lambda E)(x) = \phi(x) - \lambda x$, + где обе части принадлежат $U$. Значит и все выражение принадлежит $U$. + \item ($3 \Rightarrow 2$): Очевидно. + \item ($2 \Rightarrow 1$): Пусть $\exists \lambda \in F: U$ инвариантно относительно + $\phi - \lambda E$, тогда верно: + $$\forall x \in U \hookrightarrow \phi(x) = (\phi - \lambda E)(x) + (\lambda E)(x) \in U.$$ + Следовательно, $U$ инвариантно относительно $\phi$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{proposition} + \label{utv4.3} + Пусть $\phi: V \to V$, $\phi$ линейно факторизуем над $F$ и $n = \dim V$, тогда в $V$ найдется + $(n - 1)$ -- мерное подпространство, инвариантное относительно $\phi$. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item + По определению линейной факторизуемости $\phi$ его характеристический многочлен представляется в виде: + $$\chi_{\phi}(t) = \prod_{i=1}^n (\lambda_i - t),$$ + где $\lambda_i$ -- собственные значение для $\phi$. + \item + Рассмотрим собственное подпространство $V_{\lambda_n} = \ker (\phi - \lambda_n \epsilon) \neq \{ \overline{0} \}$. + Из того, что ядро не пусто, следует, что $\im(\phi - \lambda_n E)$ не совпадает с $V$. Значит + размерность образа $(\phi - \lambda_n \epsilon)$ не превышает $n - 1$. + Тогда существует подпространство $U$ такое, что $\dim U = n - 1$ и образ оператора + $\phi - \lambda_n \epsilon$ + лежит в $U$. + \item + Докажем, что такое подпространство инвариантно. Пусть $x \in U$, тогда: + $$(\phi - \lambda_n \epsilon)(x) \in \im(\phi - \lambda_n E) \subseteq U.$$ + Значит, $U$ инвариантно относительно $\phi - \lambda_n \epsilon$, и тогда, по утверждению + \ref{prop4.2} $U$ инвариантно и относительно $\phi$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Предположение линейной факторизации можно ослабить и заменить на то, что $\phi$ имеет хотя бы одно характеристическое значение (хотя бы один корень). +\end{note} + +\subsection{Флаг подпространства} + +\begin{definition} + Флагом подпространства над $V$ называется цепочка инвариантных подпространств: + $$\{ \overline{0} \} = V_0 < V_1 < \dots < V_n = V, \dim V_k = k$$ +\end{definition} + +\begin{theorem}[о приведении линейного оператора к верхнетреугольному виду]~ \\ + Пусть $\phi: V \to V$, $\phi$ линейно факторизуем над $F$ и $n = \dim V$. Тогда в $V$ существует + базис $e$, в котором матрица $\phi$ -- верхнетреугольная: + \begin{equation*} + \left( + \begin{array}{ccc} + \lambda_1 & \dots & * \\ + \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & \dots & \lambda_n \\ + \end{array} + \right) + \end{equation*} +\end{theorem} + +\begin{idea} + Построить в $V$ флаг инвариантных подпространств относительно $\phi$. +\end{idea} + + +\begin{proof} + Докажем индукцией по $n$. + \begin{enumerate} + \item База $n = 1$: $\{ \overline{0} \} < U_1 = V_1$ - флаг существует. + \item + Шаг индукции: пусть для $V$ с $\dim V < n$ утверждение справедливо. Докажем для пространства + $V$ размерности $n$. + + По утверждению \ref{utv4.3} в $V$ найдется $U_{n - 1} < V$; $\dim U_{n - 1} = n - 1$. + Рассмотрим функцию $\psi = \phi \mid_{U_{n - 1}}$, тогда по \ref{pr4.1} + $\chi_{\phi} \vdots \chi_{\psi}$. Где $\chi_{\phi}$ раскладывается на $n$ линейных множителей. + Очевидно, что тогда характеристический многочлен $\chi_{\psi}$ состоит из тех линейных множителей, + которые входили в $\chi_{\phi}$. Следовательно, $\chi_{\psi}$ раскладывается на линейные множители. + Тогда к определителю $\psi: U_{n - 1} \to U_{n - 1}$ применимо предположение индукции: + $$\{ \overline{0} \} < U_1 < \dots < U_{n - 1} < U_n = V (*)$$ + Тут первые $n - 1$ подпространств инвариантны относительно $\psi$, значит, инвариантны и относительно $\phi$. \\ + Выберем базис $e$ в $V$, согласованный с разложением $(*)$, где $(e_1, \dots, e_k)$ -- базис в $U_k$, + тогда в матрице базиса $e$ в первой строке будет столбец, согласованный с $U_1$, то есть + $\lambda_1$ и нули снизу, далее столбец, согласованный с $U_2$ и так далее. + \begin{equation*} + \phi_e = + \left( + \begin{array}{cccc} + \lambda_1 & * & \dots & * \\ + 0 & \lambda_2 & \dots & * \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & \lambda_n \\ + \end{array} + \right) + \end{equation*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + В условиях предыдущей теоремы, если $e$ -- базис, в котором $\phi$ имеет верхнетреугольную матрицу, + то $(\phi - \lambda_k E) U_k \subseteq U_{k - 1}$, для всех $k = 1, 2, \dots, n$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + $U_k = U_{k - 1} \oplus \langle e_k \rangle$ \\ + $(\phi - \lambda_k E) U_{k - 1} \subseteq U_{k - 1}$ \\ + $(\phi - \lambda_k E) e_k = \sum_{i=1}^{k - 1} a_{ik}e_i \in U_{k - 1}$ +\end{proof} + +\begin{corollary} + \label{col2} + В условиях предыдущей теоремы $\forall k = 1, \dots, n \hookrightarrow (\phi - \lambda_k E)(\phi - \lambda_{k + 1} E) \dots (\phi - \lambda_n E) V \subseteq U_{k - 1}$. (первые несколько скобок - множители $\chi$) +\end{corollary} + +\begin{proof} + $\chi(V) = (\phi - \lambda_k E) \dots (\phi - \lambda_{n - 1} E) U_{n - 1} \subseteq \dots \subseteq U_{k - 1}$. +\end{proof} + +\begin{theorem}[Гамильтона - Кэли] + \label{th4.4} + Пусть $\phi: V \to V$, $\phi$ -- линейно факторизуем над $F$. Пусть $\chi_{\phi}(t) \in F[t]$ -- характеристический многочлен, тогда $\chi_{\phi}(\phi) = 0$ (нулевой оператор).\\ + (Иначе: $A \in M_n(F), \chi_A(t)$ -- характеристический многочлен матрицы $A$, то $\chi_A(A) = 0$) +\end{theorem} + +\begin{proof} + По определению характеристического многочлена $\chi_{\phi}(t) = \prod_{i=1}^n (\lambda_i - t)$, $n = \dim V$, тогда верно и $\chi_{\phi}(\phi) = (-1)^n \prod_{i=1}^n (\phi - \lambda_i E)$. Домножим обе части на $V$: $\chi_{\phi}(\phi) V = (-1)^n \prod_{i=1}^n (\phi - \lambda_i E) V$, причем базис $e$ пространства согласован с разложением во флаг инвариантных подпространств. Тогда по второму следствию \ref{col2} получаем $\chi_{\phi}(\phi) V = (-1)^n (\phi - \lambda_1 E) U_1 = (-1)^n (\phi(e_1) - \lambda_1 E) = \overline{0}$. Значит, все векторы аннулируются под действием $\chi_{\phi}(\phi) = 0$. \\ + (Неправильное доказательство: подставить вместо $t$ матрицу $A$ и получить $\chi_{A}(A) = \det (A - AE) = \det 0 = 0$) +\end{proof} + +\begin{note} + Теорема Гамильтона-Кэли справедлива для любого линейного оператора над любым полем. +\end{note} + +\subsection{Аннулирующие многочлены} + +\begin{definition} + $\phi: V \to V$, $P \in F[t]$ называется аннулирующим для оператора $\phi$, если $P(\phi) = 0$ (иначе говоря: $\forall x \in V \hookrightarrow P(\phi) = \overline{0}$). +\end{definition} + +\begin{note} + Если $\dim V = n$, то у любого $\phi$ существует аннулирующий многочлен. +\end{note} + +\begin{proof} + Если $\phi$ соответствует матрица $A$ размером $n$ на $n$ и $\dim M_n(F) = n^2$. \\ + Тогда если рассмотреть все матрицы вида $E, A, A^2, \dots, A^{n^2}$, то существуют $\alpha_i \in F: \sum_{i = 0}^{n^2} \alpha_i A^i = 0$, тогда аннулирующий многочлен выглядит как $P = \sum_{i = 0}^{n^2} \alpha_i t^i$. +\end{proof} + +\begin{definition} + Аннулирующий многочлен для $\phi$ минимальной возможной степени называется минимальным многочленом оператора $\phi$ и обозначается: $\mu_{\phi}$. +\end{definition} + +\begin{example} + $\phi = E$, $E(x) = x \forall x$, тогда $\mu(t) = t - 1$, $\mu(E) = E - 1 \cdot E = 0$ +\end{example} + +\begin{theorem} + \label{th4.5} + Пусть $\phi: V \to V$, $\mu(t)$ -- минимальный многочлен $\phi$ и пусть $P(t)$ -- аннулирующий многочлен оператора $\phi$. Тогда $P \vdots \mu$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $P(t) = Q(t) \cdot \mu(t) + R(t)$, $\deg R < \deg \mu$ или $R = 0$. \\ + От противного, пусть $R \neq 0$ тогда выразим этот остаток из предыдущего выражения: + $R(\phi) = P(\phi) - Q(\phi) \cdot \mu (\phi) = 0$ -- так как аннулирующий и минимальный + многочлены зануляются, то и остаток равен нулю. Противоречие. Значит, $\mu(t) \vert P(t)$. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Минимальный многочлен линейного оператора $\phi$ определяется с точностью до ассоциированности. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $\mu$ и $\mu'$ -- два минимальных многочлена, тогда по предыдущей теореме + $\mu \vert \mu'$ и $\mu' \vert \mu$, откуда следует, что $\mu \sim \mu'$. +\end{proof} + +\begin{corollary} + $\mu _{\phi} \vert \chi_{phi}$. +\end{corollary} + +\begin{reminder} + Многочлены $P$ и $Q$ называются взаимно простыми, если $\gd(P, Q) = 1$. Многочлены взаимно просты тогда и только тогда, когда $\exists u, v \in F[x]: u \cdot P + v \cdot Q = 1$. +\end{reminder} + +\begin{theorem}[о взаимно простых делителях аннулирующего многочлена]~ + \label{th4.6} + + Пусть $\phi: V \to V$ и пусть $f$ -- аннулирующий многочлен оператора $\phi$. + Пусть $f = f_1 \cdot f_2$, где многочленый $f_1$ и $f_2$ взаимно простые. + Пусть $V_1 = \ker f_1(\phi)$, $V_2 = \ker f_2(\phi)$, тогда $V = V_1 \oplus V_2$, + причем и $V_1$, и $V_2$ инвариантны относительно $\phi$. +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item По теореме о представлении НОД в виде линейной комбинации: + $$\exists u_1, u_2 \in F[t] \hookrightarrow u_1(t)f_1(t) + u_2(t)f_2(t) = 1$$ + Если подставить оператор, получим $u_1(\phi)f_1(\phi) + u_2(\phi)f_2(\phi) = E$. \\ + По утверждению о коммутирующих операторах: $f_i(\phi) \cdot \phi = \phi \cdot f_i(\phi)$, + где $V_1$ и $V_2$ инвариантны относительно оператора $\phi$. + \item Покажем теперь, что $\im f_1(\phi) \subseteq V_2; \im f_2(\phi) \subseteq V_1$. + Для этого рассмотрим некоторый вектор $y \in \im f_1(\phi)$ и докажем, + что существует такой вектор $x \in V$, что $y = f_1(\phi) x \in V_2$. + Для этого рассмотрим $f_2(\phi) y = f_1(\phi) f_2(\phi) x = f(\phi) x = 0 \cdot x = 0$. + Значит, $y \in \ker f_2(\phi) = V_2$. + + Таким образом, любой вектор из ядра $f_1(\phi)$ + лежит в $V_2$, откуда следует вложенность. Для $V_1$ доказательство аналогично. + \item Теперь докажем, что $V = V_1 + V_2$. Пусть $x \in V$, тогда: + $$x = Ex = (f_1(\phi)u_1(\phi) + f_2(\phi)u_2(\phi)) x = f_2(\phi) x' + f_1(\phi) x'',$$ + где первое слагаемое принадлежит $V_1$, а второе - $V_2$ + (по предыдущему пункту доказательства). Значит, вектор принадлежит сумме. + \item Последним шагом докажем, что сумма прямая, то есть $V = V_1 \oplus V_2$. + Пусть $x \in V_1 \land V_2$. Значит, для $x$ верно $f_1(\phi) x = 0$ и $f_2(\phi) x = 0$. + Из этого можно получить равенство: + $$x = Ex = (f_1(\phi)u_1(\phi) + f_2(\phi)u_2(\phi)) x = \overline{0} + \overline{0} = \overline{0}.$$ + Так как $x$ -- произвольный вектор из пересечения, то пересечение пусто и, значит, сумма прямая. + \end{enumerate} +\end{proof} diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_5.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_5.tex new file mode 100644 index 00000000..14c77d2e --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_5.tex @@ -0,0 +1,433 @@ +% 01.03.23 Оля + +\begin{reminder} + Вспомним теорему с предыдущей лекции: пусть $\phi \in \mathcal{L}(V)$, $f$ -- + аннулирующий многочлен для $\phi$, раскладывающийся на произведение двух взаимно-простых + многочленов: $f = f_1 \cdot f_2$, $\gd (f_1, f_2) = 1$. + Тогда $V$ раскладывается в прямую сумму $V = V_1 \oplus V_2$, + где $V_i = \ker f_i(\phi)$ -- инвариантные подпространства. +\end{reminder} + +\begin{corollary} + Пусть $\phi \in \mathcal{L}(V)$, $f$ -- аннулирующий многочлен для $\phi$, такой что $f$ + раскладывается в произведение $f = f_1 \cdot f_2 \dots f_n$ попарно взаимно-простых многочленов. + Тогда $V$ раскладывется в прямую сумму $V = V_1 \oplus V_2 \oplus \dots V_n$, + где $V_i = \ker f_i(\phi)$ -- инвариантные подпространства. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Индукция по $n$: + \begin{enumerate} + \item База: случай $n = 2$ доказан в теореме \ref{th4.6} + \item Рассмотрим случай $n$ сомножителей. Тогда f можно разложить следующим образом: + $$f = (f_1 \cdot f_2 \cdot ... \cdot f_{n-1}) \cdot f_n,$$ при этом $(f_1 \dots f_{n-1})$ + и $f_n$ взаимно просты. + Тогда по теореме \ref{th4.6}: + $$V = \ker (f_1(\phi) \cdot f_2(\phi) \cdot ... \cdot f_{n-1}(\phi)) \oplus V_n.$$ + При этом многочлен $f_1 f_2 \dots f_n$ -- аннулирующий многочлен сужения $\phi_{v'}$, + а значит по предположению индукции: + $$V' = \ker (f_1(\phi) \vert_{V'}) \oplus \dots \oplus \ker (f_n(\phi) \vert_{V'}).$$ + Осталось проверить только что $\forall i \; \ker f_i(\phi) \vert_{V'} = \ker f_i(\phi) = V_i$. + + Вложение вправо очевидно: пусть $x \in V'$ и $f_i(\phi) \vert_{V'} x = 0$, тогда верно и + $f_i(\phi) x = 0$. + + В обратную сторону, пусть $x \in \ker f_i(\phi)$ то есть $\ker f_i(\phi) x = 0$. Тогда полное + произведение операторов $f_1(\phi) f_2(\phi) ... f_{n-1}(\phi) = 0$, а значит $x \in V'$. + Таким образом $x \in \ker f_i(\phi) \vert_{V'}$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\section{Корневые подпространства} + +\begin{definition} + $\phi : V \to V$, $V$ -- линейное пространство над полем $F$, $\lambda \in f$. + Вектор $x \in V$ называют корневым для $\phi$ отвечающим $\lambda \in F$, если + $\exists k \in \N \; : (\phi - \lambda \epsilon)^k x = 0$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Число $k$ -- высота корневого вектора $x$, отвечающего $\lambda$ из $F$, если $k$ -- наименьшее + число такое что $(\phi - \lambda \epsilon)^k x = 0$. + Будем считать, что нулевой вектор имеет высоту 0. +\end{definition} + +\begin{example} + Пусть $x$ -- собственный вектор для $\phi$, соответствующий собственному значению $\lambda$. + Тогда $\phi(x) = \lambda x$, а значит $x$ -- корневой вектор высоты 1 для оператора $\phi$ + так как $(\phi - \lambda \epsilon) x = 0$. + Следствия верны и в обратную сторону, а значит собственные векторы являются корневыми векторами + высоты 1. +\end{example} + +\begin{example} + Пусть $\phi = \frac{d}{dx}$, $V = \R_n[x] = \{ c \in \R_n[x] \, \vert \deg f \leq n\}$. $V$ -- + корневое пространство для $\phi$ с собственным значением $\lambda = 0$. + Тогда $\phi^{n+1}(V) = \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} = 0$. + Максимальную высоту при этом имеет $f(x) = x^n$. +\end{example} + + +\begin{proposition} + Пусть $V^{\lambda}$ -- множество всех корневых векторов для $\phi$ относящихся к $\lambda$. + Тогда $V^{\lambda}$ -- подпространство в $V$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $x, y \in V^{\lambda}$, $s$ и $t$ -- высоты $x$ и $y$ соответственно. + Положим $M = max(s, t)$. Тогда верно следующее: + \begin{eqnarray} + (\phi - \lambda \epsilon)^M(x+y) = (\phi - \lambda \epsilon)^M x + + (\phi - \lambda \epsilon)^M y = 0 + 0 = 0. + \end{eqnarray} + Таким образом замкнутость относительно сложения выполняется. Замкнутость относительно умножения + на скаляры предлагается проверить самостоятельно. +\end{proof} + +\begin{definition} + Построенное подпространство $ V^{\lambda}$ называется корневым для оператора $\phi$ + относящегося к $\lambda$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Корневое подпространство $ V^{\lambda}$ отлично от нулевого тогда и только тогда когда + $\lambda$ -- собственное значение оператора $\phi$. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + + Достаточность. Пусть $\lambda$ -- собственное значение оператора $\phi$, тогда + $V_{\lambda} \neq \{ 0\}$. Однако $V_{\lambda} \subseteq V^{\lambda}$, а значит + $V^{\lambda}$ -- ненулевое. + + Неоходимость. Пусть корневое подпространство $ V^{\lambda}$ отлично от нуля. Пусть есть вектор + $x$ высоты $k$ такой что $x \in V^{\lambda}$. Тогда $y = (\phi - \lambda \epsilon)^{k-1} x \neq 0$, + а $(\phi - \lambda \epsilon)y = (\phi - \lambda \epsilon)^{k} x = 0$. + Таким образом $\phi(y) = \lambda y$, а значит $x$ -- собственный вектор $\phi$, $\lambda$ -- + собственное значение. +\end{proof} + +\begin{agreement} + Начиная с этого момента корневыми подпространствами будем называть только те $V^{\lambda}$, + для которых $\lambda$ -- собственное значения оператора $\phi$. +\end{agreement} + +\begin{reminder} + Подпространство $W$ называется дополнительным к $V^{\lambda}$, + если их пересечение состоит только из нуля. +\end{reminder} + +\begin{reminder} + Оператор $\phi$ действует невырожденным образом когда $\ker(\phi - \lambda \epsilon) = 0$. +\end{reminder} + +\begin{theorem}[о свойствах корневых подпространств]~ + \label{th5.1} + + Пусть $V^{\lambda}$ -- корневое подпространство для $\phi$ отвечающее $\lambda$. Тогда + \begin{enumerate} + \item $V^{\lambda}$ инвариантно относительно $\phi$. + \item Подпространство $V^{\lambda}$ имеет единственное собственное значение $\lambda$. + \item Если $W$ -- тоже инвариантное относительно $\phi$ подпространство, при этом являющееся + дополнительным к $V^{\lambda}$, то на $W$ оператор + $\phi - \lambda \epsilon$ действует невырожденным образом. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Пусть m -- максимальная высота векторов $x \in V^{\lambda}$, в силу конечномерности + $V^{\lambda}$ такая существует и является конечным числом. + Тогда $V^{\lambda} = \ker (\phi - \lambda \epsilon)^m$. + + Операторы $\phi$ и $\epsilon$ + коммутируют с $\phi$, а значит и оператор $(\phi - \lambda \epsilon)^m$ коммутирует с + $\phi$. Таким образом, можно записать + $(\phi - \lambda \epsilon)^m \phi = \phi (\phi - \lambda \epsilon)^m$. + Тогда по теореме \ref{th3.2} получаем, что $\ker (\phi - \lambda \epsilon)^m$ + инвариантно относительно $\phi$. + \item Докажем от противного, пусть в $V^{\lambda}$ найдется ненулевой собственный вектор $x$ + с собственным значением $\mu \neq \lambda$, то есть $\phi(x) = \mu x$. Применим к этому + вектору оператор $(\phi - \lambda \epsilon)$: + $$(\phi - \lambda \epsilon) x = \phi(x) - (\lambda \epsilon)(x) = (\mu - \lambda) x.$$ + Тогда при многократном применении + получим $(\phi - \lambda \epsilon)^m x = (\mu - \lambda)^m x = 0$, + так как $x \in V^{\lambda}$ и должен аннулироваться. Тогда $\mu - \lambda = 0$, + что дает противоречие. + \item По условию $V$ представляется как $V = V^{\lambda} \oplus W$. При этом подпространства + $V^{\lambda}$ и $W$ инвариантны относительно $\phi$, а значит, согласно утверждению + \ref{prop4.2}, они так же инвариантны относительно $(\phi - \lambda \epsilon)$. + Нам нужно доказать, что $\phi - \lambda \epsilon$ невырожден на $W$, то есть что + $\ker (\phi - \lambda \epsilon) \vert_{W} = \{0\}$. + + Докажем от противного, пусть $\exists x \neq 0$ такое что + $x \in \ker (\phi - \lambda \epsilon) \vert_{W}$. + Отсюда следует, что вектор $x$ лежит в пространстве $W$, так как лежит в ядре сужения + оператора на это подпространство. + + Однако $(\phi - \lambda \epsilon) x = 0$, а значит х -- собственный для $\phi$ + с собственным значением $\lambda$. Тогда вектор $x$ так же лежит и в пространстве + $V^{\lambda}$, что приводит к + противоречию с тем, что по условию $V^{\lambda} \cap W = \{0\}$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Корневое подпространство $V^{\lambda}$ - максимальное по включению инвариантное подпространство, + на котором $\phi$ имеет единственное собственное значение $\lambda$. +\end{corollary} + +\begin{theorem}[о разложении пространства V в прямую сумму корневых]~ + \label{th5.2} + + Пусть $\phi \in \mathcal{L}$, $\phi$ -- линейно факторизуем над $F$ + (характеристический многочлен раскладывается в произведение линейных множителей над F). + Тогда пространство $V$ есть прямая сумма корневых подпространств: + $V = V^{\lambda_1} \oplus V^{\lambda_2} \oplus \, \dots \, \oplus V^{\lambda_k}$, где все $\lambda$ попарно различны. +\end{theorem} + +\begin{proof} + По условию $\phi$ линейно факторизуем, а значит + $\chi_{\phi}(t) = \displaystyle\prod_{i= 1}^{k} (\lambda_i - t)^{m_i}$, где + $\lambda_i$ -- собственные значения. Многочлены $(\lambda_i - t)^{m_i}$ попарно взаимно просты + из попарной различности $\lambda_i$, поэтому по следствию из теоремы \ref{th4.6} можно заключить: + $$V = \ker (\phi - \lambda_1 \epsilon)^{m_1} \oplus \ker (\phi - \lambda_2 \epsilon)^{m_2} + \oplus \dots \oplus \ker (\phi - \lambda_k \epsilon)^{m_k}$$ + При этом $\ker (\phi - \lambda_i \epsilon)^{m_i} \subseteq V^{\lambda_i}$ для всех $i$, + а значит вектор $x \in V$ представим в виде суммы + $x = x_1 + \dots + x_k$, где $x_i \in V^{\lambda_i}$. + Отсюда очевидно, что пространство $V$ является суммой подпространств: + $$V = V^{\lambda_1} + V^{\lambda_2} + \dots V^{\lambda_k}.$$ + + Осталось доказать что $V^{\lambda_i} \subseteq \ker(\phi - \lambda_i \epsilon)^{m_i}$, + в таком случае сумма будет прямой. Докажем от противного, пусть существует индекс $i$ такой, + что $\ker (\phi - \lambda_i \epsilon) \leq V^{\lambda_i}$. Тогда найдется вектор + $x \in V^{\lambda_i}$ такой, что он не лежит в ядре. Обозначим высоту $x$ за $M > m_i$, тогда: + $$\chi_{\phi}(\phi) x = \left(\displaystyle\prod_{j \neq i} (\phi - \lambda_j \epsilon)^{m_j}\right) \cdot + (\phi - \lambda_i \epsilon)^{m_i} x = \displaystyle\prod_{j \neq i} + ((\phi - \lambda_j \epsilon)^{m_j})x' \neq 0.$$ + Если найдется такой $j$ что $(\phi - \lambda_j \epsilon)x = 0$, то у $x'$ есть собственное значение + $\lambda_j$, что приводит к противоречию с пунктом 2 теоремы \ref{th5.1}. + В противном случае возникает противоречие с + $\chi_{\phi}(\phi) = 0$ по теореме \ref{th4.4} (Гамильтона-Кэли). + + Таким образом, $V^{\lambda_i} = \ker(\phi - \lambda_i \epsilon)^{m_i}$, а значит $V$ представляется + в виде прямой суммы $V^{\lambda_i}$: + + $$V = V^{\lambda_1} \oplus V^{\lambda_2} \oplus \, \dots \, \oplus V^{\lambda_k}.$$ +\end{proof} + +\begin{remarkfrom} + В записи лекции Вадима Владимировича за 2021 год приводится ещё один вариант доказательства. + После получения $V = V^{\lambda_1} + V^{\lambda_2} + \dots V^{\lambda_k}$ покажем, что подпространства + $V^{\lambda_i}$ линейно независимы. + + Для того, чтобы показать линейную независимость подпространств покажем, что равенство нулю суммы + $x_1 + x_2 + \, \dots \, + x_k = 0$, где $x_i \in V^{\lambda_i}$, равносильно тому, что все $x_i = 0$. + + Рассмотрим оператор $\psi = \displaystyle\prod_{j = 2}^{k} (\phi - \lambda_j \epsilon)^{m_j}$ и применим его + к левой и правой частям равенства. Все $x_j$ при $j \geq 2$ аннулируются этим оператором так как + в произведении присутствуют $(\phi - \lambda_j \epsilon)^{m_j}$, аннулирующие соответствующие $x_j$. + + Правая часть после применения оператора так же остается нулевой, откуда $\psi x_1 = 0$. + При этом операторы $(\phi - \lambda_j \epsilon)^{m_j}$ невырождены на $V^{\lambda_1}$, а значит + и оператор $\psi$ невырожден на $V^{\lambda_1}$. Таким образом произведение $\psi x_1$ может быть + нулевым только если $x_1 = 0$. Проводя аналогичные рассуждения для всех $x_i$ получим, что + все эти векторы обязаны быть нулевыми, а значит подпространства $V^{\lambda_i}$ линейно независимы. + + По теореме о характеризации прямой суммы $V = V^{\lambda_1} \oplus V^{\lambda_2} \oplus \, \dots \, \oplus V^{\lambda_k}.$ +\end{remarkfrom} + +\begin{corollary} + В условиях теоремы 2 $\dim V^{\lambda_i} = m_i = alg(\lambda_i)$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $\dim V^{\lambda_i} = n_i$. Выберем базис согласованный с разложением в прямую сумму. + Тогда матрица $A_{\phi}$ имеет диагональный вид: + \[A_{\phi} = \begin{pmatrix} + A_1 & 0 & \dots & 0\\ + 0 & A_2 & \dots & 0\\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + 0 & 0 & \dots & A_n + \end{pmatrix}\] + где $A_i \in M_{n_i}(F)$. + Тогда $\chi_{\phi} (t)$ раскладывется по условию фактороизуемости: + $\chi_{\phi} (t) = \prod \chi_{\phi \vert_{V^{\lambda_i}}} (t)$. + Тогда $\chi_{\phi \vert_{V^{\lambda_i}}} (t) = (\lambda_i - t)^{n_i}$, при этом + $\chi_{\phi \vert_{V^{\lambda_i}}} (t) \vert \chi_{\phi} (t)$, а значит степень + не превосходит алгебраическую кратность $\lambda_i$, то есть $n_i \leq m_i$. + $$\sum n_i = \displaystyle\sum_{i = 1}^{k} \dim V = n, \; + \displaystyle\sum_{i = 1}^{k} m_i = \deg \chi = n,$$ + а значит равенство точное: $n_i = m_i$. +\end{proof} + +\subsection{Нильпотентные операторы} +\begin{definition} + Оператор $\phi: V \to V$ называется нильпотентным если $\exists k \in \N :\: \phi^k = 0$. +\end{definition} + +\begin{note} + Нильпотентные операторы не стоит путать с непотентными и унипотентными. Слово происходит от + nil -- ноль и potention -- возведение в степень. +\end{note} + +\begin{definition} + Наименьшее натуральное число $k$ такое что $\phi^k = 0$, $\phi^{k-1} \neq 0$ называют + индексом нильпотентности или (ст\'{у}пенью нильпотентности) относительно $\phi$. +\end{definition} + +\begin{example} + $V^{\lambda}$ -- корневое для оператора $\phi$, $\exists k: (\phi - \lambda \epsilon)^k + \vert_{V^{\lambda}} = 0$, а значит на $V^{\lambda}$ оператор $(\phi - \lambda \epsilon)$ + -- нильпотентный. +\end{example} + +\begin{example} + На $\R_n[x] \phi = \frac{d}{dx}$ имеет ступень нильпотентности $n+1$. +\end{example} + +\begin{definition} + Пусть $\phi$ -- нильпотентный и $x \in V$ -- вектор, имеющий высоту $k$. + Рассмотрим $U = \langle x, \phi(x), \dots \phi^{k-1}(x)\rangle$. + Построенное инвариантное подпространство $U$ называется циклическим подпространством, + порожденным вектором $x$. +\end{definition} + +\begin{note} + Очевидно что циклическое подпространство порожденное вектором $x$ является наименьшим + $\phi$--инвариантным линейным подпространством порожденным $x$. +\end{note} + +\begin{proposition} + Векторы $x, \phi(x), \dots \phi^{k-1}(x)$ образуют базис циклического подпространства + образованного $x$ если высота вектора $x$ относительно нильпотентного оператора $\phi$ равна $k$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Достаточно доказать линейную независимость этих векторов. Пусть есть некоторая нетривиальная + линейная комбинация $\displaystyle\sum_{s = 0}^{k-1} \alpha_i \phi^{s}(x) = 0$ + и пусть $\alpha_l$ -- лидер строки, тогда все предыдущие слагаемые можно выбросить из суммы + в силу того, что они нулевые. Применим $\phi^{k-l-1}$ к оставшимся в сумме слагаемым: + $\alpha_l \phi^{k-1}(x) + \alpha_{l+1} \phi^{k}(x) + \dots = 0$. + Тогда $\alpha_l = 0$, так как все последующие слагаемые равны нулю в силу того, что высота + порождающего подпространство вектора равна $k$. Противоречие получено. +\end{proof} + +\begin{note} + Найдем матрицу нильпотентного оператора $\phi \vert_{V}$ в следующем базисе: + $e_1 = \phi^{k-1}(x)$, $e_2 = \phi^{k-2}(x)$, $\dots$, $\phi^0(x) = x$. + Применим к ним оператор $\phi$: $\phi(e_1) = 0$, $\phi(e_2) = e_1$, $\dots$, $\phi(e_k) = e_{k-1}$ + Тогда матрица преобразования $A$ имеет вид жордановой клетки $J_k(0)$: + \[A_{\phi}^{e} = \begin{pmatrix} + 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 + \end{pmatrix}\] + Это верно в силу того, что $i$-й столбец матрицы является координатами $\phi(e_i)$, равного, + как было сказано ранее, $e_{i-1}$ для $i > 0$ и 0 для $i - 0$. Так же $\rk A = k-1$. +\end{note} + +\begin{definition} + Построенный базис в циклическом подпространстве называется циклическим базисом. +\end{definition} + +\begin{theorem}[о нильпотентном операторе]~ + \label{th5.3} + + Пусть $\phi: V \to V$ -- нильпотентный оператор индекса нильпотентности $k$, + (то есть $\phi^k = 0$, $\phi^{k-1} \neq 0$), $x$ -- ненулевой вектор $x \in V$ + высоты $k$ (то есть $\phi^k(x) = 0$, $\phi^{k-1}(x) \neq 0$), + $U = \langle x, \phi(x), \dots \phi^{k-1}(x) \rangle$ -- циклическое подпространство, инвариантное $\phi$. + Тогда найдется $\phi$-инвариантное пространство $W$ дополнительное к $U$ такое что $V = U \oplus W$. +\end{theorem} + +\begin{idea} + Найти $\phi$-инвариантное подпространство $W$ такое что: + \begin{equation} + \begin{cases} + U \cap W = {0},\\ + U + W = V. + \end{cases} + \end{equation} + Для этого покажем что существуют подпространства $W$ инвариантные относительно $\phi$ + и удовлетворяющие первому условию и среди всех таких выберем максимальное по размерности. + $U + W < V \Rightarrow \exists W' = W + \langle y\rangle$, $y \notin W$ такое что $W'$ + $\phi$-инвариантно и удовлетворяет первому условию. +\end{idea} + +\begin{proof}~ + + \begin{enumerate} + \item Пусть $W$ -- максимальное $\phi$-инвариантное подпространство в $V$, + такое что $U \cap W = {0}$. Предположим что $U + W < V$. + Тогда найдется ненулевой $a \in V$, такой что $ a \notin U + W$. Пусть $l$ -- наименьшее + значение для которого $z = \phi^{l-1}(a) \notin W + U$, $\phi^l(a) \in W + U$. + Такое очевидно найдется так как $a \notin W + U$ и $\phi^{k}(a) = 0 \in W + U$. + Таким образом в этом пункте мы нашли вектор $z \notin U+W$, такой что $\phi(z) \in U + W$. + + \item Пусть $\phi(z) = \displaystyle\sum_{s = 0}^{k-1} \alpha_s \phi^s(x) + w$, + при этом $\phi^s(x) \in U$, $w \in W$. Тогда: + $$\phi^{k}(z) = \alpha_0 \phi^{k-1}(x) + 0 + \dots + 0 + \phi^{k-1}(w) = 0$$ + Тогда $\alpha_0 \phi^{k-1}(x) + \phi^{k-1}(w) = 0$. + В силу линейной независимости линейных подпространств + $\alpha_o \phi^{k-1}(x) = 0$, $\phi^{k-1}(w) = 0$. + При этом в силу того, что $\phi^{k-1}(x) \neq 0$, получаем $\alpha_0 = 0$. + + \item Введем вектор $y = z - \displaystyle\sum_{s = 1}^{k-1} \alpha_s \phi^{s-1}(x) \notin U + W$ + (так как $z \notin U+W$, а сумма принадлежит $U$). + Введем пространство $W' = W + \langle y \rangle$, $\dim W' = \dim W + 1$. + Покажем что вновь построенное подпространство так же инвариантно $\phi$: + $$\phi(y) = \phi(z) - \displaystyle\sum_{s=1}^{k-1} \alpha_s \phi^s (x) = \phi(z) - + \displaystyle\sum_{s=0}^{k-1} \alpha_s \phi^s (x) = w \in W.$$ + + \item Покажем теперь что $W'$ удовлетворяет условию $U \cap W' = {0}$. + Пусть $0 \neq u \in U \cap W'$, $u \notin U \cap W = \{ 0 \}$. + Тогда $u$ представим в виде $u = \widetilde{w} + \lambda y$, $\lambda \neq 0$. Отсюда + $y = \frac{1}{\lambda} u - \frac{1}{\lambda} \widetilde{w} \in U + W$. + Значит $U \cap W \neq \{0\}$ -- противоречие. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{theorem}[о разложении в прямую сумму циклических подпространств для нильпотентного оператора] + Пусть $\phi: V \to V$, зафиксируем индекс нильпотентности $k$. Тогда существует разложение $V$ + в прямую сумму инвариантных циклических подпространств $V = V_1 \oplus V_2 \oplus \dots V_s$. + При этом количество слагаемых $s = \dim (\ker \phi) = \dim V_0 = geom(0)$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Индукция по $n = \dim V$. + \begin{enumerate} + \item База: $n = 1 \Rightarrow \phi = 0$, $alg(0) = geom(0) = 1$. + \item Предположение индукции: для пространства $V$ размерности менее $n$ утверждение выполняется. + Пусть теперь $\dim V = n$. + Тогда существует $x$ высоты $k$ такой что $\phi^k(x) = 0$, $\phi^{k-1}(x) \neq 0$. + Пусть $U = \langle x, \phi(x), \dots, \phi^{k-1}(x) \rangle$ -- $\phi$-инвариантное подпространство. + По теореме \ref{th5.3} существует $\phi$-инвариантное подпространство $W$, такое что + $V = U \oplus W$, $\dim W \leq n-1$. Тогда $W$ раскладывается в прямую сумму + $\phi$-инвариантных циклических подпространств. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{problem} + Рассмотрим оператор лапласа $\Delta = \frac{\delta^2}{\delta x^2} + \frac{\delta^2}{\delta y^2}$, + действующий в пространстве $V = \R_2[x, y] = \langle 1, x, y, x^2, xy, y^2 \rangle$, $\dim V = 6$. Требуется: + \begin{enumerate} + \item Доказать $\Delta$-нильпотентность, + \item Найти матрицу $\Delta$ в данном базисе, + \item Разложить $V$ в прямую сумму циклических подпространств и выбрать циклический базис + в каждом из них, + \item Проверить, что в получившемся базисе $\Delta$ имеет Жорданову нормальную форму, + \item Доказать, что в пространстве однородных многочленов степени $k$ в $R[x,y]$ есть два + собственных вектора с собственным значением 0. + \end{enumerate} +\end{problem} + +\begin{reminder} + Многочлен степени $k$ называется однородным если верно: + $$\forall \lambda \in F \hookrightarrow f(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots \lambda x_k) + = \lambda^k f(x_1, x_2, \dots x_k).$$ +\end{reminder} diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_6.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_6.tex new file mode 100644 index 00000000..ea6c5200 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_6.tex @@ -0,0 +1,305 @@ +\section{Жорданова нормальная форма линейного оператора} + +\begin{reminder} + Жордановой клеткой, относящейся к $\lambda \in F$, называется следующая матрица: + \[J_{k}(\lambda) = \begin{pmatrix} + \lambda & 1 & 0 & \dots & 0\\ + 0 & \lambda & 1 & \dots & 0\\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & \lambda & 1\\ + 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda \\ + \end{pmatrix}\] +\end{reminder} + +\begin{definition} + Жордановой матрицей называется блочно-диагональная матрица, по главной диагонали которой идут + Жордановы клетки, а остальное заполнено нулями: + \[J_{k}(\lambda) = \begin{pmatrix} + J_{k_1}(\lambda_1) & \dots & 0 & 0 \\ + \vdots & J_{k_2}(\lambda_2) & \dots & 0 \\ + 0 & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & J_{k_n}(\lambda_n) \\ + \end{pmatrix}\] +\end{definition} + +\begin{theorem}[Камиль Жордан] + Пусть $\phi : V \to V$, $\chi_{\phi}$ раскладывается на линейные множители над $F$. + Тогда В $V$ существует базис (Жордановый базис), в котором $\phi$ имеет Жорданову матрицу. +\end{theorem} + +\begin{note} + Жроданова матрица определена с точностью до перестановки Жордановых клеток, поэтому базис не единственен в общем случае. +\end{note} + +\begin{proof} + На предыдущих лекциях было доказано: + \begin{enumerate} + \item $V = V^{\lambda_1} \oplus V^{\lambda_2} \oplus \dots V^{\lambda_k}$ (подпространства инвариантны), где $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ -- все попарно различные собственные значения оператора $\phi$. Тогда в базисе согласованном с таким разложением матрица имеет вид: + \[A = \begin{pmatrix} + A_1 & \dots & 0 & 0 \\ + \vdots & A_2 & \dots & 0 \\ + 0 & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & A_k \\ + \end{pmatrix}\] + \item Было доказано, что для $V^{\lambda_i}$ оператор $\phi_{\lambda_i} = \phi - \lambda_i E$ нильпотентен, а значит V + раскладывается в сумму циклических подпространств: $V^{\lambda_i} = \displaystyle\sum_{j = 1}^{geom(\lambda_i)} V_{ij}$. + \end{enumerate} + Пусть $\dim V_{ij} = k$. Покажем, что на $V_{ij}$ оператор $\phi$ в подходящем базисе имеет вид $J_k(\lambda_i)$:\\ + Пусть $k$ - индекс нильпотентности $\phi_{\lambda_i}$ на $V_{ij}$, пусть $x$ - корневой вектор максимальной высоты $k$.\\ + Рассмотрим базис $\langle \phi_{\lambda_i}^{k-1} x, \phi_{\lambda_i}^{k-2} x, \dots, \phi_{\lambda_i}^{1} x \rangle$. + Обозначим базисные вектора за $f_{ij}$ следующим образом: + \begin{gather*} + f_{i1} = \phi_{\lambda_i}^{k - 1},\\ + f_{i2} = \phi_{\lambda_i}^{k - 2},\\ + \dots + \end{gather*} + Подействуем на базис оператором $\phi_{\lambda_i}$. Под действием этого оператора каждый базисный + вектор перейдет в предыдущий (первый перейдет в $0$): $\phi_{\lambda_i}(f_{i1}) = \overline{0}, \dots, \phi_{\lambda_i}(f_{ik}) = f_{i(k - 1)}$. + Тогда матрица оператора $\phi_{\lambda_i}$ будет иметь в базисе $f$ вид $J_k(0)$. + Тогда $\phi \vert_{V_{ij}} = \lambda_1 \epsilon + J_k(0) = J_k(\lambda_i)$ + Мы доказали, что в подходящем базисе сужение на подпространство имеет вид Жордановой клетки. Тогда из + $V = \displaystyle\sum_{i = 1}^{k} \displaystyle\sum_{j = 1}^{geom(\lambda_i)} V_{ij}$ + вытекает, что матрица оператора в подходящем базисе (Жордановом базисе) имеет вид Жордановой матрицы. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если $V$ - линейное пространство над полем комплексных чисел, то всякий оператор в таком пространстве имеет Жорданову нормальную форму. +\end{corollary} + +\subsection{Жорданова диаграмма} + +\begin{definition} + ЖД соотв ЖМ $J$ называется набор точек на плоскости, в котором точка с координатой $(i, j)$ + изображает вектор $f_{ij}$ ЖБ. Под каждым столбцом ЖД указывается соответствующее векторам этого + столбца собственные значения. +\end{definition} + +\begin{example} + Пусть $\phi$ имеет в некотором базисе следующую матрицу -- + \[A = \begin{pmatrix} + \lambda & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 & 0\\ + 0 & \lambda & 1 & 0 & 0 & 0 &0 & 0\\ + 0 & 0 & \lambda & 0 & 0 & 0 &0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & \lambda & 1 & 0 &0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda & 0 &0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu &1 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\mu & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 & \nu + \end{pmatrix}\] + Четыре Жордановы клетки: порядков $2$ и $3$ с собственным значением $\lambda$, порядка $2$ с собственным значением $\mu$ и порядка $1$ с собственным значением $\nu$. \\ Такая матрица является Жордановой. Начнем выписывать Жорданов базис: $f_{11}, f_{12}, f_{13}, f_{21}, f_{22}, f_{31}, f_{32}, f_{41}$. + В общем случае если мы пишем Жорданов базис в виде $f_{ij}$, коэффициенты означают номер клетки и + номер вектора относительно данной клетки соответственно. Теперь вектор $f_{ij}$ можно сопоставить + точке на графике с координатами $(i, j)$. Если под каждым столбцом указать соответствующие векторам столбца собственные значения, то полученный график называется Жордановой диаграммой. + \begin{center} + \includegraphics[width = 0.4\textwidth]{images/lec6_1.PNG} + \end{center} +\end{example} + +\begin{note} + Столбцы не обязательно должны быть отсортированы в порядке невозрастания, диаграмма соответствует + конкретной матрице и меняется при перестановке клеток местами. +\end{note} + +\begin{proposition}[Свойства Жордановой диаграммы]~ + \begin{enumerate} + \item Соответствие Жордановой матрицы $J$ и Жордановой диаграммы $J$ взаимно однозначно. + \item Векторы Жордановой диаграммы, относящиеся к собственному значению $\lambda_i$, образуют базис + в корневом подпространстве $V^{\lambda_i}$. + \item Если вектор $f_{ij}$ относится к собственному значению $\lambda_i$, + то он является корневым вектором, относящимся к $\lambda_i$ высоты $j$, + то есть $\phi_{\lambda_i}^j f_{ij} = \overline{0}$, но $\phi_{\lambda_i}^{j-1} f_{ij} \neq \overline{0}$. + На высоте 1 в Жордановой диаграммы находятся собственные векторы оператора $\phi$. + \item Если $f_{ij}$ относится к собственному значению $\lambda_{j}$, то $\phi_{\lambda_i} f_{ij} = f_{i(j-1)}$. + %Нарисовать диаграмму со стрелочками вниз и нули на нижней линии. + \item Каждый столбец в Жордановой диаграмме является изображением циклического подпространства для оператора $\phi_{\lambda_i}$. Общее число столбцов в Жордановой диаграмме $\displaystyle\sum_{i=1}^{k} geom(\lambda_i)$. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\subsection{Построение Жордановой диаграммы линейного оператора} + +\begin{proposition} + Пусть $\phi : V \to V$. Тогда справедливы следующие вложения: + \begin{enumerate} + \item $\ker \phi^0 \subseteq \ker \phi \subseteq \ker \phi^2 \subseteq \dots$ + \item $\im \phi^0 \supseteq \im \phi \supseteq \im^2 \supseteq \dots$ + \end{enumerate} + Причем обе цепочки стабилизируются за конечное число шагов. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Индукция по $n \in \Z_{\geq 0}$: + + \begin{enumerate} + \item База индукции: $\ker \phi^0 = \ker E = {\overline{0}} \subseteq \ker \phi \; \forall \phi$ и аналогично $\im \phi^0 = \im E = V \supseteq \im \phi \forall \phi$. + \item Докажем, что $\ker \phi^n \subseteq \ker \phi^{n+1}$ (где $n \in \N$): + + Если $x \in \ker \phi^n$, тогда $\phi^n x = 0$ и $\phi ^{n + 1} x = \phi (\phi ^ n x) = \phi (\overline{0}) = \overline{0}$. \\ + Докажем теперь аналогичное вложение для образов: пусть $y \in \im \phi^{n + 1}$, тогда существует $x$, такой что $y = \phi^{n + 1} x = \phi^n(\phi(x)) = \phi^n z \in \im \phi^n$. Следовательно, $\im \phi^{n + 1} \subseteq \im \phi^n$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{algorithm}[Построение Жордановой диаграммы] + +Покажем, как это использовать для нахождения Жордановой матрицы. Обозначим размерности ядер за $n_i$ соответственно: $\dim \ker \phi^i = n_i$. Выпишем для одного подпространства $U_{\lambda}$ все вложенные в него: +\begin{eqnarray} + \{0\} \subseteq \ker \phi_{\lambda} = \langle f_{11}, f_{12}\rangle \subseteq \ker \phi_{\lambda}^2 + = \langle f_{11}, f_{21}, f_{12}, f_{22} \rangle \subseteq \ker \phi_{\lambda}^3 = + \langle f_{11}, f_{21}, f_{12}, f_{22}, f_{13} \rangle, \\ (n_1 = 2, n_2 = 4, n_3 = 5). +\end{eqnarray} +Тогда число точек в Жордановой диаграмме на высоте $j$ равно $d_j = n_j - n_{j-1}$, откуда для нашего примера соответствующие $d$ равны $d_1 = 2-0=2, d_2 = 4-2=2, d_3 = 5-4=1$. + +Если в корневом пространстве $V^{\lambda}$ ввести обозначения $d_j$ - число векторов (точек) на высоте $j$, то $d_j = n_j - n_{j-1}$, где $n_0 = 0$, $n_k = \dim \ker (\phi - \lambda_i E)^k$. +Это работает, потому что при применении оператора $j$ раз обнулятся все векторы на высоте не выше $j$, +тогда при применении на $1$ раз меньше обнулятся все, кто ниже, искомое количество - те, кто обнуляется при применении $j$ раз и не обнуляется при применении на 1 раз меньше. + +Строим ядра (и образы) до тех пор, пока они не стабилизируются (будут равны). +\end{algorithm} + +\begin{agreement} + При построении будем упорядочивать столбцы по невозрастанию. +\end{agreement} + +\begin{note} + Описание ядер $\phi_{\lambda_i}^k$ и вычисление их размерностей можно производить в любом базисе. +\end{note} + +\begin{theorem}[] + Жорданова нормальная форма линейного оператора $\phi$ опеределена однозначно с точностью до перестановки Жордановых клеток, стоящих на главной диагонали. + Утверждение складывается из двух промежуточных: + \begin{enumerate} + \item Сумма порядков клеток, относящихся к собственному значению $\lambda_i$, не зависит от выбора Жорданова базиса. + \item Для оператора $\phi$, имеющего единственное собственное значение, порядки Жордановых клеток определяются однозначно. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Зафиксируем Жорданов базис и корневое подпространство $V^{\lambda_i}$ и выберем все векторы Жорданова базиса, относящиеся к $\lambda_i$. Обозначим $V(\lambda_i) = \langle f_{ij} | f_{ij}$ относящиеся к $\lambda_i \rangle$. \\ + Пусть $l_i$ - максимальный порядок Жордановых клеток Жордановой матрицы, отвечающих $\lambda_i$, $(J_k(\lambda_i) - \lambda_i \epsilon)^{l_i} = 0$. + Оператор нильпотентен и за несколько его применений все векторы базиса обратятся в 0. + Таким образом $(\phi - \lambda_i \epsilon)^{l_i} \vert_{V(\lambda_i)} = 0$. + $\forall i V(\lambda_i) \subseteq V^{\lambda_i}$ -- так как все векторы аннулируются. + \begin{enumerate} + \item $V = V^{\lambda_1} \oplus V^{\lambda_2} \dots \oplus V^{\lambda_k}$ + \item $V = V(\lambda_1) \oplus V(\lambda_2) \dots \oplus V(\lambda_k)$. + \end{enumerate} + По теореме о характеризации прямой суммы второе выражение является прямой суммой, а значит верны вложения и в обратную сторону(из соображений размерности). + \item Пусть единственное собственное значение -- 0. Покажем, что размеры клеток в Жордановой нормальной форме определены однозначно. + Как было доказано на предыдущих лекциях, из того, что оператор нильпотентен, существует разложение в прямую сумму циклических подпространств. + \begin{center} + \includegraphics[width = 0.2\textwidth]{images/lec6_5.PNG} + \end{center} + Длины строк определены однозначно: $d_j = n_j - n_{j-1}$, $n_j = \dim ker \phi^j$. Таким образом порядок клеток тоже можно определить однозначно. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsubsection{Эффективный способ построения Жорданова базиса} + +\begin{lemma}[О восстановленных циклических цепочках]~ + Пусть $\phi$ - линейно факторизуемый оператор в $V$, + $z_1$, $z_2$, $\dots$ $z_n$ -- линейно независимая система собственных векторов оператора $\phi$, относящихся к $\lambda$ (собственное значение), $x_i$ имеет высоту $l_i$. + Пусть $\langle \phi_{\lambda}^{l_i-1} x_i, \phi_{\lambda_i}^{l_i-2} x_i, \dots, \phi_{\lambda}^{1} x_i, x_i \rangle$ -- циклическая целочисленная цепочка, такая что $\phi_{\lambda}^{l_i - 1} x_i = z_i$. Тогда $\bigcup\limits_{i = 1}^n (\phi_{\lambda}^{l_i - 1} x_i \dots \phi_{\lambda} x_i, x_i)$ -- тоже линейно независимая система. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Пусть полученная система линейно зависима. Тогда сумма $\displaystyle\sum_{i} \displaystyle\sum_{j} \alpha_{ij} f_{ij} = \overline{0}$ -- нетривиальная линейная комбинация. + Пусть $f_{ij} = \phi_{\lambda}^{l_i - j}$ имеет высоту $j$, тогда $\phi_{\lambda}^j(f_{ij}) = \phi_{\lambda}^{l_i} x_i = \overline{0}$, причем $\phi_{\lambda}^{j - 1}(f_{ij}) = \phi_{\lambda}^{l_i - 1} x_i \neq \overline{0}$. + \begin{center} + \includegraphics[width = 0.45\textwidth]{images/lec6_2.PNG} + \end{center} + Пусть $\alpha_{it}$ - ненулевой коэффициент с наибольшим вторым индексом. Подейтсвуем $\phi_{\lambda}^{t-1}$ на сумму по $i, j$. + Тогда: $$\phi_{\lambda}^{t-1} (\alpha_{it} f_{it}) = \alpha_{it} \phi_{\lambda}^{t-1} \phi_{\lambda}^{l_i - t} x_i + = \alpha_{it} \phi_{\lambda}^{l_i - 1}x_i = \alpha_{it} z_i.$$ Таким образом,для всех коэффициентов верно $\displaystyle\sum_{i = 1}^n \alpha_{it}z_i = \overline{0}, \alpha_{it} \neq 0$, что приводит к противоречию с линейной зависимостью системы векторов $z_1, \dots z_n$. +\end{proof} + +\begin{algorithm}[Построение Жорданова базиса]~ + +Будем строить Жорданов базис отдельно для каждого корневого подпространаства $V^{\lambda}$, и пусть высоты циклических подпространств идут в порядке невозрастания, наибольшая высота равна $l$ ($\dim V^{\lambda} = d$) и пусть таких цепочек $n$ штук, следующая высота $p$ и таких цепочек $m$. \\ + \begin{center} + \includegraphics[width = 0.5\textwidth]{images/lec6_4.PNG} + \end{center} +Пусть $z_1, \dots, z_n$ -- линейно независимая система собственных векторов. Восстановлены циклические цепочки $f_{i1}, \dots f_{il}, 1 \leq i \leq n$. Причем $\ker \phi_{\lambda} = \{ f_{11} \dots f_{n1} \dots \}$. +$\dim Im \phi_{\lambda} = d - \dim \ker \phi_{\lambda} = d - n_1$ - все точки диаграммы кроме самых верхних(то же самое: все точки без нижнего слоя). +$\dim \ker \phi_{\lambda}^2 = n_2$, $\dim \im \phi_{\lambda}^2 = d - n_2$ - все точки кроме верхних двух слоев(то же самое: без двух нижних строчек). +Таким образом, на каждом шаге мы снимаем верхний слой (на каждом шаге у нас "тает" слой, совсем как мороженое). +После того как мы сняли все слои кроме последнего, остался слой из собственных векторов: +$\im \phi_{\lambda}^{l-1} = \langle z_1, z_2, \dots, z_n\rangle$. + +Рассмотрим циклическую цепочку, порожденную $x_i$: +$$\bigcup\limits_{i = 1}^n (\phi_{\lambda}^{l - 1} x_i \dots \phi_{\lambda} x_i, x_i)$$ +Это линейно независимая система векторов в количестве $l \cdot n$. Тогда если $n \cdot l = d$, Жорданов базис построен. Если же $n \cdot l < d$, то строим базис дальше. Теперь пусть есть циклические цепочки меньших высот (высоты $p$). +Снова рассматриваем образ соответствующий нижнему слою ($\im \phi_{\lambda}^{p -1 }$). +Однако теперь в него так же попадут векторы из линейной оболочки уже построенной части базиса.\\ +$\im \phi_{\lambda}^{p - 1} \supseteq \langle \phi_{\lambda}^{p - 1}(x_i), \phi_{\lambda}^{p - 1}(\phi_{\lambda} x_i), \dots \phi_{\lambda}^{p - 1}(\phi_{\lambda}^{l - p} x_i \rangle$. Дополняем в $\im \phi_{\lambda}^{p -1}$ линейную оболочку до базиса векторами $y_1, \dots y_n$ -- собственные векторы с собственным значением $\lambda$. По $y_1, \dots y_n$ восстанавливаем циклические цепочки и присоединяем к Жорданову базису. +\end{algorithm} + +\begin{example} + Рассмотрим матрицу и найдем для нее Жорданову диаграмму, Жорданову нормальную форму, Жорданов базис: + \[A = \begin{pmatrix} + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ + 1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ + -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ + \end{pmatrix}\] + + \begin{enumerate} + \item Находим характеристический многочлен как определитель: + $\chi_{\phi}(\lambda) = \det (A - \lambda E) = \lambda^4 (1 - \lambda)$. (можно посчитать по теореме Лапласса относительно 3 и 4 столбцов) + Тогда собственные значения $\lambda_1 = 0$, $alg(0) = 4$, $\lambda_2 = 1$, $alg(1) = 1$ (так как была теорема о том, что $geom(\lambda) \leq alg(\lambda)$, но при этом хотя бы $1$, то $geom(1) = 1$). + Пространство представляется в виде $V = V^0 + V^1$ + \item Для всех собственных значений $\lambda$: + $\{0\} \subseteq \ker \phi \subseteq \phi^2 \dots$ \\ + Ищем ранг матрицы $A$: $\dim \im \phi = rk A$, $rk A = 3$, $n_1 = \dim \ker \phi = 5 - 3 = 2$. + Находим матрицу для $\phi^2$ возводя $A$ в квадрат. + \[A^2 = \begin{pmatrix} + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ + -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + \end{pmatrix}\] + $rg A^2 = 3$, $n_2 = \dim \ker \phi^2 = 5 - 2 = 3$. + Стабилизации не произошло, поэтому вычисляем $A^3$. + \[A^3 = \begin{pmatrix} + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + \end{pmatrix}\] + Заметим, что при умножении первый столбец не изменился, + а значит нам повезло, и он является собственным вектором для $\lambda = 1$. + Полученная матрица состоит только из первого столбца, остальные значения - нули, + при этом первый столбец сохраняется при умножении на $A$, а значит $A^3 = A^4 = A^5 = \dots$, $rk A^3 = 1 = rk A^4 = \dots$, стабилизация произошла. ($n_3 = \dim \ker \phi^3 = 5 - 1 = 4$) + \item Жорданова диаграмма имеет вид: + \begin{center} + \includegraphics[width = 0.35\textwidth]{images/lec6_3.PNG} + \end{center} + \begin{eqnarray} + d_1 = n_1 - 0 = 2 \\ + d_2 = n_2 - n_1 = 1 \\ + d_3 = n_3 - n_2 = 1 \\ + d_4 = d_5 = \dots = 0 + \end{eqnarray} + \item Жорданова нормальная форма имеет вид: + \[J = \begin{pmatrix} + 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ + \end{pmatrix}\] + Матрица состоит из трех Жордановых клеток: размера $3$ (с собственным значением $0$), размера $1$(с собственным значением $0$), размера $1$(с собственным значением $1$).\\ + Теперь подберем базис, соответствующий этой матрице: для выбора векторов, выберем сначала первые: + $\langle f_{12}, f_{21}\rangle = \langle e_3, e_4\rangle$ + $Im \phi^2 = \langle (1, 1, 1, 1, -1)^T, (0, 0, 0, 1, 0)^T \rangle$. + Тогда так как $e_3$ не лежит в образе, а $e_4$ лежит, то они соответствуют векторам: $f_{11} = e_4 = (0, 0, 0, 1, 0)^T$, $f_{21} = (0, 0, 1, 0, 0)^T$. Как мы уже выяснили $f_{31} = (1, 1, 1, 1, -1)^T$. Тогда пусть $f_{13} = e_2 = (0, -1, 0, 0, 0)^T$ и $f_{12} = (0, 1, 1, 0, -1)^T$. + \item Теперь можно сказать, что Жорданов базис равен $(f_{11}, f_{12}, f_{13}, f_{21}, f_{31})$. + Типичная ошибка - выписывать векторы из диаграммы сверху вниз, а не снизу вверх. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{exercise} + Найти матрицу перехода от $A$ и $J$ как $S^{-1}AS = J$. +\end{exercise} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_7.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_7.tex new file mode 100644 index 00000000..c5aaeb28 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_7.tex @@ -0,0 +1,539 @@ +% 22.03.23 Оля + +\subsection{Приложения Жордановой нормальной формы} + +\subsubsection{Вычисление минимального многочлена} + +\begin{reminder} + Пусть $\phi: V \to V$. Многочлен $P \in F[x]$ называется аннулирующим для $\phi$, + если $P(\phi) = 0$. +\end{reminder} + +\begin{reminder} + Аннулирующий многочлен минимальной степени называется минимальным многочленом $\mu(\phi)$. +\end{reminder} + +\begin{reminder} + Если $P$ -- аннулирующий для $\phi$, $\mu$ -- минимальный многочлен для $\phi$, то $\mu \vert P$. +\end{reminder} + +\begin{proposition} + \label{pr7.1} + Пусть пространство $V$ раскладывается в прямую сумму инвариантных относительно оператора $\phi$ + подпространтсв: $V = V_1 \oplus V_2 \oplus \dots \oplus V_k$. Введем обозначение + $\psi_i = \phi \vert_{V_i}$. Тогда $\mu_{\psi_i} \vert \mu_{\phi}$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + По определению $\mu_{\phi} (\phi) = 0$, + тогда $\mu_{\phi} (\phi) |_{V_i} = \mu_{\phi} (\psi_i) = 0$. Значит $\mu_{\phi}$ -- + аннулирующий для $\phi$ и $\mu_{\psi_i} \vert \mu_{\phi}$ для всех $i$ по теореме \ref{th4.5}. +\end{proof} + +\begin{corollary} + В условиях утверждения \ref*{pr7.1} для аннулирующего многочлена $\mu_{\phi}$ оператора $\phi$ + верно $\mu_{\phi} = \lf(\mu_{\psi_1}, \mu_{\psi_2}, \dots, \mu_{\psi_k})$. +\end{corollary} + + +\begin{proof} + Многочлен $\mu$ минимальной степени, удовлетворяющий условию $\forall i \; \mu_{\psi_i} \vert \mu$ + является наименьшим общим кратным многочленов $\mu_{\psi_1}, \mu_{\psi_2}, \dots, \mu_{\psi_k}$ + по определению. + + Покажем, что $\mu(\phi) = 0$: так как для всех $i$ верно, что $\mu(\psi_i) \vert \mu$ и + $\mu_{\psi_i} (\psi_i) = 0$, то так же верно $\mu(\phi \vert_{V_i}) = \mu(\psi_i) = 0$ для всех $i$. + По условию $V = V_1 \oplus V_2 \oplus \dots \oplus V_k$, а значит $\phi$ полностью определяется + своими сужениями $\phi \vert_{V_i}$, аннулирующимися многочленом $\mu$. + Отсюда следует, что и $\phi$ аннулируется многочленом $\mu$. + + Так как $\mu$ -- аннулятор $\phi$, по теореме $\ref{th4.5}$ $\mu_{\phi} \vert \mu$. При этом + $\mu_{\phi}$ является общим кратным многочленов $\mu_{\psi_1}, \mu_{\psi_2}, \dots, \mu_{\psi_k}$, + а значит кратен их НОК, то есть $\mu \vert \mu_{\phi}$. Отсюда следует, что $\mu \sim \mu_{\phi}$, + а значит $\mu_{\phi} = \lf(\mu_{\psi_1}, \mu_{\psi_2}, \dots, \mu_{\psi_k})$. +\end{proof} + +\begin{proposition} + Пусть матрица отображения имеет вид Жордановой клетки: $J = J_k(\lambda)$. + Тогда его минимальный многочлен имеет вид $\mu_j(x) = (x - \lambda)^k$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Так как матрица отображения имеет вид Жордановой клетки, + его характеристический многочлен $\chi_J(x)$ представляется как: + $$\chi_J(x) = (\lambda - x)^k = (-1)^k (x - \lambda)^k \sim (x - \lambda)^k.$$ + По теореме \ref{th4.4} Гамильтона-Кэли $\mu_J \vert \chi_J$, значит $\mu_J (x) = (x - \lambda)^t$, $t \leq k$. + В данном случае Жорданова диаграмма преобразования имеет вид столбца, а значит + $(J - \lambda \epsilon)^t f_{1k} \neq 0$. Если $t < k$, то $(J - \lambda \epsilon)^t \neq 0$, + что приводит к противоречию с определением минимального многочлена $\mu_J(J) = 0$. + Таким образом $t$ не может быть меньше $k$, а значит $t = k$. +\end{proof} + +\begin{proposition} + Пусть $\phi: V \to V$ -- линейно-факторизуемый оператор. Тогда минимальный многочлен + представляется в виде произведения: + \begin{eqnarray*} + \mu(\phi) = \prod_{i = 1}^{k} (x - \lambda_i)^{l_i}, + \end{eqnarray*} + где $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k$ -- попарно-различные собственные значения, + $l_1, l_2, \dots, l_k$ -- максимальные порядки клеток, относящихся к соответствующим + собственным значениям. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Благодаря линейной факторизуемости $V$ раскладывается в прямую сумму корневых + подпространств: $V = V^{\lambda_1} \oplus V^{\lambda_2} \oplus \dots V^{\lambda_k}$. + При этом каждое из них так же можно предстваить в виде суммы: + $$V^{\lambda_i} = \displaystyle\sum_{j = 1}^{geom(\lambda_i)} V_{ij},$$ + где все $V_{ij}$ соответствуют оператору $(\phi - \lambda_i \epsilon)$. + Положим $\dim V_{ij} = m_{ij}$. + Пусть в циклическом базисе $V_{ij}$ верно $\phi \leftrightarrow J_{m_{ij}} (\lambda_i)$, + тогда по утверждению \ref{pr7.1}: + $$\mu_i = \lf((x - \lambda_i)^{\alpha_1}, \dots, + (x - \lambda_i)^{\alpha_k}) = (x - \lambda_i)^{\max(\alpha_s)} = (x - \lambda_i)^{l_1},$$ + где $l_i = \max(\alpha_1, \dots, \alpha_k)$. + + По следствию из утверждения \ref{pr7.1}: $$\mu_{\phi} = \lf((x - \lambda_1)^{l_1}, \dots, + (x - \lambda_k)^{l_k}) = \prod_{i = 1}^{k} (x - \lambda_i)^{l_i}.$$ +\end{proof} + +\begin{corollary} + Пусть $\phi: V \to V$ -- линейно-факторизуемый оператор. Тогда $\phi$ диагонализируема тогда и + только тогда, когда $\mu_{\phi}(x)$ не имеет кратных корней. +\end{corollary} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость. Пусть $\phi$ -- диагонализируем. Тогда $\forall i \: l_i = 1$, а значит + $\mu_{\phi} = \prod_{i=1}^{k} (x - \lambda_i)$. Тогда все корни простые + (имеют кратность равную 1). + \item Достаточность. Пусть $\mu_{\phi} = \prod_{i=1}^{k} (x - \lambda_i)$. + Тогда для всех $i$ верно $l_i = 1$. Таким образом нет Жордановых клеток порядка больше 1, + а значит оператор $\phi$ диагонализируем.\\ + Если бы было хотя бы две клетки, отвечающие одному значению, в НОК было бы два члена + соответствующих этому значению, и степень $\mu_i$ была бы меньше, чем степень многочлена. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsubsection{Вычисление многочлена от линейного оператора} + +\begin{agreement} + До конца раздела будем считать, что оператор $\phi$ линейно факториуем над $F$. +\end{agreement} + +\begin{proposition} + Для дифференцируемого $k-1$ раз многочлена верно: $$f^{(k-1)}(x) = C_n^{k-1} (k-1)! x^{n-k+1}.$$ +\end{proposition} + +\begin{proof} + $$f^{(k-1)}(x) = n(n-1)\dots(n-k+2) x^{n - k + 1} = \frac{n!}{(n-k+1)! (k+1)!} (k+1)! x^{n-k+1} + = C_n^{k-1} (k-1)! x^{n-k+1}.$$ +\end{proof} + +\begin{algorithm}[Вычисление многочлена от линейного оператора]~ + +Рассмотрим вычисление многочлена от оператора $\phi$ на примере многочлена $f(x) = x^k$. +В случае, если мы научимся возводить матрицу преобразования $A$ в любую степень, более сложные +многочлены можно будет представить в виде суммы необходимых нам степеней матрицы $A$. + +Для матрицы, приведенной к Жордановой нормальной форме, возведение в степень $k$ поризводится +следующим образом: + +\begin{eqnarray*} + A^{k} = \begin{pmatrix} + A_1 & 0 & \dots & 0 \\ + 0 & A_2 & \dots & 0 \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + 0 & 0 & \dots & A_n + \end{pmatrix}^k = \begin{pmatrix} + A_1^k & 0 & \dots & 0 \\ + 0 & A_2^k & \dots & 0 \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + 0 & 0 & \dots & A_n^k + \end{pmatrix} +\end{eqnarray*} + +Таким образом для возведения матрицы в степень достаточно научиться возводить в степень +Жордановы клетки, из которых состоит наша матрица. + + Рассмотрим Жорданову клетку $J = J_k(\lambda)$. Её можно представить в следующем виде: + \begin{eqnarray*} + J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} + \lambda & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & \lambda & 1 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & \lambda & \dots & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \lambda + \end{pmatrix} = \lambda E + J_k(0) = \begin{pmatrix} + \lambda & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & \lambda & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & \lambda & \dots & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \lambda + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 + \end{pmatrix} + \end{eqnarray*} + Тогда возведение $J$ в степень можно представить как: + $$J_k(\lambda)^n = (\lambda E + J_k(0))^n = \displaystyle\sum_{s = 0}^{n} C_n^s + (\lambda E)^{n-s} J_k(0)^s.$$ + Возведение $\lambda E$ в $(n-s)$-ю степень очевидно дает $\lambda^{n-s} E$. Рассмотрим + возведение матрицы $J_k(0)$ в $s$-ю степень. Заметим, что с каждым следующим умножением на + $J_k(0)$ диагональ из единиц смещается вверх на одну строку, и $J_k(0)^{k-1} \neq 0$, + $J_k(0)^k = 0$: + \begin{eqnarray*} + J_k(0) = \begin{pmatrix} + 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix}, \; \; J_k(0)^2 = \begin{pmatrix} + 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix}, \\ \\ J_k(0)^{k-1} = \begin{pmatrix} + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix}, \; \; J_k(0)^k = \begin{pmatrix} + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix}. + \end{eqnarray*} + + Для $s \geq k$ получим $J_k(0)^s = 0$. Таким образом все слагаемые с $s \geq k$ в сумме выше + нулевые и достаточно вычислять её до значения $s = k-1$. Подставляя получившиеся матрицы + в формулу получаем следующую матрицу: + \begin{gather*} + J_k(\lambda)^n = \displaystyle\sum_{s = 0}^{k-1} C_n^s + (\lambda E)^{n-s} J_k(0)^s = \\ = \begin{pmatrix} + \lambda^n & C_n^1 \lambda^{n-1} & C_n^2 \lambda^{n-2} & \dots & C_n^{k-1} \lambda^{n-k+1} \\ + 0 & \lambda^n & C_n^1 \lambda^{n-1} & \dots & C_n^{k-2} \lambda^{n-k+2} \\ + 0 & 0 & \lambda^n & \dots & C_n^{k-1} \lambda^{n-k+3} \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda^n + \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} + f(\lambda) & \frac{f'(\lambda)}{1!} & \frac{f''(\lambda)}{2!} & \dots & \frac{f^{(k-1)}(\lambda)}{(k-1)!} \\ + 0 & f(\lambda) & \frac{f'(\lambda)}{1!} & \dots & \frac{f^{(k-2)}(\lambda)}{(k-2)!} \\ + 0 & 0 & f(\lambda) & \dots & \frac{f^{(k-3)}(\lambda)}{(k-3)!} \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & f(\lambda) + \end{pmatrix} + \end{gather*} + + Пусть S -- матрица перехода от начального базиса к жордановому. Тогда $J = S^{-1} A S$, + $A = S J S^{-1}$. Возведение в степень матрицы $A$ в начальном базисе будет осуществляться + следующим образом: $$A^n = (S J S^{-1}) (S J S^{-1} \dots (S J S^{-1})) = S J^n S^{-1}.$$ + + Матрица для более сложного многочлена является суммой матриц соответствующих слагаемых. +\end{algorithm} + +\subsubsection{Примечание Жордановой нормальной формы к вычислению аналитической функции от линейных операторов} + +\begin{definition} + Функция называется аналитической, если она представляется сходящимся степенным рядом. +\end{definition} + +\begin{agreement} + До конца раздела $\phi: V \to V$, $V$ -- вещественное или комплексное. +\end{agreement} + +\begin{definition} + Функция $||\cdot||: V \to \R$ называется нормой если + \begin{enumerate} + \item $||x|| > 0$, если $x \neq 0$, + \item $|| \lambda x|| = |\lambda| \cdot ||x||$, + \item $||x + y|| \leq ||x|| + ||y||$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{example}~ + \begin{enumerate} + \item $x$ -- координатный столбец, + $||x|| = \underset{i}{\max} |x_i|$ -- максимум из модулей координат. + \item $x$ -- координатный столбец, $||x|| = \sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^2}$ + -- Евклидова норма. + \item $x$ -- координатный столбец, $||x|| = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_i|$ + -- Манхеттенская норма. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{definition} + Последовательность векторов $\{x^m\}$ сходится по норме к $x_0$, + если $||x^m - x_0|| \to 0$ при $m \to +\infty$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Ряд $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} x^m$ называется сходящимся, если он сходится по норме + $S^n = \displaystyle\sum_{m=1}^{n}x^m$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Ряд $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} x^m$ называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд + $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} ||x^m||$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Если ряд $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_m x^m$ сходится абсолютно, то он сходится, + и для сумм верно: + $$||\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} x^m|| \leq \displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} ||x^m||.$$ +\end{proposition} + +\begin{proposition} + Если ряд $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_m x^m$ сходится абсолютно и $\phi: \N \to \N$, то + ряд $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_{\phi(m)} x^{\phi(m)}$ сходится и для этих двух рядов + верно: $$||\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_{\phi(m)} x^{\phi(m)}|| = + ||\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_m x^m||$$ +\end{proposition} + +\begin{definition} + \label{def6.8} + Пусть $\phi: V \to V$, $V$ конечномерно над $\R$ или $\Cm$. Тогда: + $$||\phi|| \overset{\text{def}}{=} \underset{x \neq 0}{\max} \frac{||\phi(x)||}{||x||} = + \underset{||x|| = 1}{\max} \frac{||\phi(x)||}{||x||} = \underset{||x|| = 1}{\max} ||\phi(x)||.$$ +\end{definition} + +\begin{note} + Если $\lambda$ -- собственное значение оператора $\phi$, то $||\phi|| \geq \lambda$. +\end{note} + +\begin{proposition}[о свойствах нормы оператора]~ + \begin{enumerate} + \item Определение \ref{def6.8} опеределяет норму в $\mathcal{L}(V)$. + \item $||\phi(x)|| \leq ||\phi|| \cdot ||x||$. + \item $||\phi \cdot \psi|| \leq ||\phi|| \cdot ||\psi||$. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Докажем неравенство треугольника для нормы: + \begin{multline*} + ||\phi + \psi|| \overset{\text{def}}{=} \underset{x \neq 0}{\max} + \frac{||(\phi + \psi)(x)||}{||x||} \leq \underset{x \neq 0}{\max} + \frac{||\phi(x)|| + ||\psi(x)||}{||x||} \leq \\ \leq \underset{x \neq 0}{\max} + \frac{||\phi(x)||}{||x||} + \underset{x \neq 0}{\max} + \frac{||\psi(x)||}{||x||} = ||\phi|| + ||\psi|| + \end{multline*} + + \item Докажем непосредственной проверкой: + \begin{eqnarray*} + ||\phi(x)|| = \frac{||\phi(x)||}{||x||} ||x|| \leq \underset{x \neq 0}{\max} + \frac{||\phi(x)||}{||x||} ||x|| = ||\phi|| \cdot ||x|| + \end{eqnarray*} + \item Докажем непосредственной проверкой: + \begin{multline*} + ||\phi \cdot \psi|| = \underset{x \neq 0}{\max} \frac{||\phi \cdot \psi(x)||}{||x||} = + \underset{\psi(x) \neq 0}{\max} \frac{||\phi(x)||}{||x||} = + \underset{\psi(x) \neq 0}{\max} \frac{||\phi \cdot \psi(x)||}{||\psi(x)||} \cdot + \frac{||\psi(x)||}{||x||} \leq \\ \leq \underset{\psi(x) \neq 0}{\max} + \frac{||\phi \cdot \psi(x)||}{||\psi(x)||} \cdot \underset{\psi(x) \neq 0}{\max} + \frac{||\psi(x)||}{||x||} \leq ||\phi|| \cdot ||\psi|| + \end{multline*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{theorem} + Пусть ряд $f(t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_m t^m$ сходится при $|t| < R$. + Тогда ряд $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_m \phi^m$ сходится абсолютно для любого оператора + $\phi: ||\phi|| = R_0 < R$. Более того, $f(\phi) = \displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_m \phi^m$ + -- задает линейный оператор в $V$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + $\forall x \in V$ докажем, что ряд $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_m \phi^m(x)$ + сходится абсолютно: + \begin{multline*} + \displaystyle\sum_{m} |a_m| \cdot ||\phi^m(x)|| \leq \displaystyle\sum_{m} |a_m| \cdot + ||\phi^m|| \cdot ||x|| \leq \\ \leq ||x|| \displaystyle\sum_{m} |a_m| \cdot ||\phi^m|| = + ||x|| \displaystyle\sum_{m} |a_m| R_0^m \text{\: -- \, сходится при } R_0 < R. + \end{multline*} + Ряд $f(t) = \displaystyle\sum_{m} a_m t^m$ сходится при $|t| < R$, + а значит $\displaystyle\sum_{m} |a_m| |t|^m$ сходится при $|t| < R$ по теореме Абеля. +\end{proof} + +\begin{note} + \begin{gather*} + exp(\phi) = \epsilon + \frac{\phi}{1!} + \dots + \frac{\phi^n}{n!} + \dots, \, R = +\infty \\ + sin(\phi) = \phi - \frac{\phi^3}{3!} + \dots + (-1)^n \frac{\phi^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots, + \, R = +\infty \\ + cos(\phi) = \epsilon - \frac{\phi^2}{2!} + \frac{\phi^4}{4!} - \dots + + (-1)^n \frac{\phi^{2n}}{(2n)!} + \dots, \, R = +\infty + \end{gather*} +\end{note} + +\section{Линейные рекурренты} + +\begin{definition} + Будем рассматривать последовательности $(a_0, a_1, \dots)$, $a_i \in F$. Множество всех таких + последовательностей будем обозначать $F^{\infty}$. +\end{definition} + +\begin{definition} + \label{def7.1} + Зафиксируем многочлен $p(x) \in F[x]$ степени $S$, + $p(x) = x^s + p_{s-1} x^{s-1} + \dots + p_1 x + p_0$. + Линейным рекуррентным соотношением с характеристическим многочленом $p(x)$ + назывется последовательность $a_n$ такая что $\forall n \in \N \cup \{0\}$ верно: + \begin{eqnarray*} + a_{n+s} + p_{s-1} a_{n + s - 1} + \dots + p_1 a_{n+1} + p_0 a_n = 0, \: p_0 \neq 0 + \end{eqnarray*} + Рекуррентное соотношение выражает $a_{n + s}$ через $s$ предыдущих членов. + $V_p$ - множество всех последовательностей, удовлетворяющих рекуррентному соттношению выше. +\end{definition} + +\begin{proposition} + $V_p$ - линейное пространство над $F$ и $\dim V_p = s$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Если $\{a_n\}$ и $\{ b_n \}$ удовлетворяют условию определения \ref{def7.1}, + то и $\{a_n + b_n\}$ удовлетворяют этому условию. + Базис в $V_p$: + \begin{gather*} + e_0 = (\underbrace{1,\, 0,\, 0,\, \dots,\, 0,}_{S}\, -p_0,\, \dots) \\ + e_1 = (\underbrace{0,\, 1,\, 0,\, \dots,\, 0,}_{S}\, -p_1, \dots) \\ + \dots \\ + e_{s-1} = (\underbrace{0,\, 0,\, 0,\, \dots,\, 1,}_{S}\, -p_{s-1}, \dots) + \end{gather*} +\end{proof} + +\begin{proposition} + \label{pr7.2} + Рассмотрим оператор $\phi: F^{\infty} \to F^{\infty}$, такой что + $\phi(a_0, a_1, \dots, a_n, \dots) = (a_1, a_2, \dots, a_{n-1}, \dots)$. + Тогда $V_p = \ker p(\phi)$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + По определению ядра отображения последовательность $\{b_n\}$ лежит в $\ker p(\phi)$ тогда + и только тогда, когда верно $p(\phi) (b_n) = (0) \in F^{+\infty}$. При этом имеет место + следующая равносильность: + \begin{eqnarray*} + (\phi^s + p_{s-1} \phi^{s-1} + \dots p_1 \phi + p_0 \epsilon) (b_n) = (0) \Leftrightarrow + b_{n+s} + p_{s-1} b_{n+s-1} + \dots p_1 b_{n+1} + p_0 b_n = (0) + \end{eqnarray*} + Второе равенство эквивалентно тому, что $\{b_n\}$ лежит в $V_p$, а значит верно вложение $V_p$ и + $\ker p(\phi)$ друг в друга в обе стороны. +\end{proof} + +\begin{note} + Оператор $\phi$ называется оператором левого сдвига. $V_p$ инварианто относительно $\phi$. +\end{note} + +\begin{corollary} + Пусть $\psi_p = \phi \vert_{V_p}$. Тогда $p(\psi_p) = 0$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + $p(\phi) \vert_{V_p} = 0$ так как $V_p = \ker p(\phi)$. +\end{proof} + +\begin{proposition} + $\mu_{\psi_p} (x) = p(x)$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $a_n \in V_p$, тогда $p(\phi) (a_n) = (0)$. По следствию из утверждения \ref{pr7.2} + для сужения $\psi_p = p(\phi) \vert_{V_p}$ так же верно $\psi_p (a_n) = (0)$, а + значит $p(\psi_p) (a_n) = 0$. Таким образом $p$ - аннулирующий многочлен для $\psi_p$ и по + теореме \ref{th4.5} $\mu \vert p$, где $\mu = \mu_{\psi_p}$. + По определению минимального многочлена $\mu(\psi_p) = 0$, тогда и $\mu(\phi) \vert_{V_p} = 0$. + + Отсюда следует, что $V_p$ вложено в $\ker \mu(\phi) = V_{\mu}$ (равенство верно по утверждению + \ref{pr7.2}). Из вложенности $V_p \subseteq V_{\mu}$ и кратности $\mu \vert p$ получаем + равенство степеней многочленов $\deg p = \deg \mu$, откуда следует их ассоциированность. +\end{proof} + +\begin{definition} + Пусть $p(x) = x^s + p_{s-1} x^{s-1} + \dots + p_1 x + p_0 \in F[x]$, $p_0 \neq 0$.\\ + Сопутствующей матрицей для многочлена $p(x)$ называется матрица размера $s \times s$ вида: + \begin{gather*} + \begin{pmatrix} + 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ + -p_0 & -p_1 & -p_2 & \dots & -p_{s-2} & -p_{s-1} + \end{pmatrix} + \end{gather*} +\end{definition} + +\begin{proposition} + \label{pr7.4} + Пусть $\psi_p = \phi_p \vert_{V_p}$. В базисе $(e_0, e_1, \dots, e_{s-1})$ из стандартных + последовательностей оператор $\psi_p$ имеет в точности сопутвующую матрицу $A_p$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + \begin{flalign*} + &\psi_p(e_0) = (0, 0, \dots, 0, 0,\, -p_0, \dots) = -p_0 e_{s-1} \\ + &\psi_p(e_1) = (1, 0, \dots, 1, 0,\, -p_1, \dots) = e_0 - p_1 e_{s-1} \\ + &\dots \\ + &\psi_p(e_i) = (0, 0, \dots 1, 0, \dots, 0,\, -p_i, \dots) = e_{i-1} - p_i e_{s-1} + \end{flalign*} + При этом для $e_i$ единица стоит на $i-1$ позиции, $-p_i$ всегда стоит на $s$-й позиции. +\end{proof} + +\begin{proposition} + $\chi_{\psi_p} (x) = \chi_{A_p}(x) = (-1)^s p(x)$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Из утверждения \ref{pr7.4} следует $\chi_{\phi_p}(x) = \chi_{A_p}(x) = (-1)^s p(x)$. + Докажем наше утверждение по индукции: + \begin{enumerate} + \item База $s = 2$: + \begin{gather*} + \begin{vmatrix} + -x & 1 \\ + -p_0 & x - p_1 + \end{vmatrix} = x^2 + p_1 x + p_0 \text{ -- верно.} + \end{gather*} + \item Пусть для матрицы размера $s$ минор размера $(s-1) \times (s-1)$ в правом нижнем углу + имеет определитель равный: $$M_{2\dots s}^{2\dots s} = (-1)^{s-1}(x^{s-1} + p_{s-1}x^{s-2} + + \dots p_2 x + p_1).$$ + Покажем, что переход индукции верен. Для этого вычислим определитель матрицы $M_{A_p}$, + разложив его по верхнему столбцу: + + \begin{gather*} + \chi_{A_p} = \begin{vmatrix} + -x & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & -x & 1 & \dots & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & -x & \dots & 0 & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ + 0 & 0 & 0 & \dots & -x & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & -x + \end{vmatrix} = \\ = -x (-1)^{s-1} (x^{s-1} + p_{s-1}x^{s-2} + \dots p_2 x + p_1) + + (-p_s)(-1)^{s-1} = (-1)^s p_s(x). + \end{gather*} + \end{enumerate} + \end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_8.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_8.tex new file mode 100644 index 00000000..4cf8ff5d --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_8.tex @@ -0,0 +1,258 @@ +% 29.03.23 + +\begin{theorem}[Основная теорема о линейных рекуррентах] + Пусть $V_p$ - пространство линейных рекуррент, относящихся к $p(x)$ и пусть $p(x)$ + раскладывается на линейные множители: $p(x) = \displaystyle\prod_{i=1}^{k}(x -\lambda_i)^{l_i}$, + $\lambda_i \in F$ - попарно различные. + Тогда для любой $\{a_n\}_{n=0}^{\infty} \in V_p$ справедливо представление: + \begin{gather*} + a_n = \sum_{i=1}^{k}\sum_{s=1}^{l_i} c_{is} \cdot C_n^{s - 1} \lambda_i^{n + 1 - s} + \end{gather*} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Ранее было доказано, что $\mu_{\psi_p} ~ \chi_{\psi_p}$. Теперь наша цель разложить пространство + в прямую сумму корневых подпространств и найти для каждого циклическое подпространство + $\langle b_1^{(i)}, \dots b_{l_i}^{(i)} \rangle$ такое, что: + \begin{gather*} + (\phi - \lambda_i \epsilon)b_1^{(i)} = 0, \\ + (\phi - \lambda_i \epsilon) b_{s}^{(i)} = b_{s-1}^{(i)}. + \end{gather*} + Заметим, что если $b_s^{(i)}$ построены, то они дают Жорданов базис в $V_p$. + При этом $l_1 + l_2 +\dots l_k = s = \dim V_p$. Получаем: + \begin{gather*} + \prod_{i=1}^{k}(\phi - \lambda_i \epsilon)^{l_i} (b_s^{(i)}) = 0 \Leftrightarrow p(\phi) (b_s^{(i)}) = 0 \Leftrightarrow b_s^{(i)} \in V_p + \end{gather*} + + Для упрощения вычислений отбросим индекс $i$, считая, что мы всё время работаем с одним и тем же собственным значением. + + \begin{gather*} + b_1 = (1, \lambda, \lambda^2, \dots, \lambda^n, \dots) \\ + (\phi - \lambda \epsilon)b_1 = (\lambda, \lambda^2, \dots, \lambda^{n + 1}, \dots) - (\lambda, \lambda^2, \dots, \lambda^{n + 1}, \dots) = 0 + \end{gather*} + + Таким образом мы доказали, что $b_1 = \{\lambda^n\}_{n=0}^{\infty}$ - собственный вектор. + Пусть вектор высоты $s-1$ построен. Тогда $b_{s-1} = f_{s-1}(n) \lambda^n, b_s = f_s(n) \lambda^n$. Заметим, что: $$f_s(n+1) \lambda^{n+1} - f_s(n) \lambda^{n+1} - f_{s-1}(n) \lambda^{n} \vdots \lambda^{n + 1}.$$ Разделим на $\lambda^{n + 1}$: $$f_s(n+1) - f_s(n) = \frac{f_{s-1}(n)}{\lambda}.$$ + При $\lambda = 1$ решением этого уравнения является $f_s(n) = C_n^{s-1}$, что можно доказать + самостоятельно в качестве упражнения (на самом деле это следует из формулы $C_n^{s - 1} + C_n^s = C_{n + 1}^s$). В общем случае будем искать решение в виде квазимногочлена: + $f_s(n) = C_n^{s-1} \cdot \lambda^{\alpha(s)}$. Подставим это решение в полученное выше уравнение: + $$C_{n+1}^{s-1} \lambda^{\alpha(s)} + C_n^{s-1} \lambda^{\alpha(s)} + = C_n^{s-2} \lambda^{\alpha(s-1) - 1}.$$ В силу того, что $C_{n+1}^{s-1} = C_n^{s-1} + C_n^{s-2}$, + получаем $\alpha(s) = \alpha(s-1) - 1$. В силу того, что при $s = 1$ мы должны получить собственный + вектор $b_1$, полученный ранее, верно $f_1(n) = 1$, а значит $\alpha(1) = 0$. + Тогда $\alpha(2) = \alpha(1) - 1 = -1$, и $\alpha(s) = 1 - s$. + Отсюда следует, что $f_s(n) = C_{n}^{s-1} \lambda^{1-s}$, а значит $b_s = C_{n}^{s-1} \lambda^{n+1-s}$. + Таким образом, мы получили Жорданов базис, отвечающий $\lambda$: $b_1, b_2, \dots, b_l$. +\end{proof} + +\begin{example}[Числа Фибоначчи] + Элементы последовательности задаются соотношением: $$x_{n+2} = x_{n+1} + x_n,$$ а значит, характеристический многочлен выглядит следующим образом: $p(x) = x^2 - x - 1$. Дискриминант $D = 5$, + размерность пространтсва равна $\dim V_p = 2$, корни равны $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$. + Тогда сама последовательность имеет вид $a_n = c_1(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n + c_2(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n$. Константы можно найти из начальных условий, например + для $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ получается формула Бинэ: $$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n - \frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n.$$ + При этом $\gd(a_n, a_m) = a_{\gd(n, m)}, \\ F_z \in \Cm$: $F_{z + 1} = F_{z + 1} + F_z$, $F_z |_{\N} = {a_n}$. +\end{example} + +\subsection{Приложение линейных рекуррент к расширению полей} + +\begin{theorem} + Пусть дан многочлен $p(x) \in F[x]$ и $p$ неприводим над полем $F$. Тогда существует расширение + $K$ поля $F$ в котором $p$ имеет хотя бы один корень. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $\deg p = s$, $A_p$ - сопутствующая матрица для многочлена $p$. В качестве искомого поля + будем рассматривать кольцо $K = F[A_p]$ с единицей, то есть кольцо многочленов от матрицы $A_p$. \\ + Сначала проверим, что оно является расширением поля $F$ и само является полем.\\ + Пусть $\alpha \in F$. Тогда можно сопоставить число $\alpha \in F$ элементу + $\alpha E \in K = F[A_p]$. Таким образом $F \subset K$. + + Если $f \in F[A_p]$ - не константа, то к $f$ есть обратный многочлен в этом же поле. \\ + $f = \alpha \in F = const$, тогда $\alpha^{-1} = f^{-1}$, Утверждается, что $f$ не кратно $p$. Докажем от противного: пусть кратно, тогда $f(A_p) = p(A_p) \cdot q(A_p) = 0$, откуда $\gd(f, p) = 1$. + + По свойству наименьшего общего делителя для многочленов: + \begin{gather*} + \exists u(x), v(x) \in F[x]: u(x)f(x) + v(x)p(x) = 1, \\ + u(A_p) \cdot f(A_p) + v(A_p) \cdot p(A_p) = E. + \end{gather*} + Из того, что $p(A_p) = 0$ получаем $f^{-1}(A_p) = u(A_p)$ и приходим к противоречию. \\ + Таким образом, $F[A]$ - поле. У многочлена $p(x)$ есть корень $A_p \in F[A_p]$ так как $p(A_p) = 0$. +\end{proof} + +\begin{example} + Над $\R$ многочлен $p(x) = x^2 + x + 1$ не имеет корней. Матрица $A_p$ имеет вид: + \begin{gather*} + \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + -1 & 0 + \end{pmatrix} + \end{gather*} + Множество решений в терминах матрицы при этом имеет следующий вид (в данном случае получаем, что $y$ -- коэффициент перед мнимой частью, а $x$ -- перед действительной): + $$\R[A_p] = \{x E - y A_p \vert x, y \in \R\} = \{\begin{pmatrix} + x & -y \\ + y & x + \end{pmatrix}\}.$$ + Покажем, что $A_p$ соответсвует $-i$ в введенных обозначениях: \\ + $$A_p^2 = \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + -1 & 0 + \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + -1 & 0 + \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} + -1 & 0 \\ + 0 & -1 + \end{pmatrix},$$ + что соответствует $-1 \in \R$. При этом верно: + \begin{align*} + A_p^3 = A_p \cdot A_p^2 = -A_p, && A_p^4 = (-A_p) \cdot A_p = 1 \in \R. + \end{align*} + Таким образом, + \begin{gather*} + i \longleftrightarrow \begin{pmatrix} + 0 & -1 \\ + 1 & 0 + \end{pmatrix} = R(\frac{\pi}{2}). + \end{gather*} +\end{example} + +\begin{corollary} + Пусть $p(x) \in F[x]$ - произвольный многочлен. Тогда существует расширение $\tilde{F}$ поля $F$, в котором $p(x)$ раскладывается на линейные множители. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Дедукция по количеству неприводимых множителей, на которые раскладывается многочлен $p$: + \begin{enumerate} + \item База: пусть $p$ раскладывается в произведение $s$ линейных множителей: $p(x) = \displaystyle\prod_{i = 1}^s (x - \lambda_i)$ -- все доказано. + \item Предположим, что для многочлена $p$, у которого разложении на неприводимые множители больше чем $t$ множителей, разложение существует. Докажем, что тогда можно разложить и в случае, если есть ровно $t$ неприводимых множителей: + + Пусть $p_i \vert p$ и $p_i$ неприводим, $\deg p_i \geq 2$. Расширим $F$ до поля $F_1$ такого, что $p_i$ имеет корень $\alpha$ в $F_1$. \\ + $p_i(x) = (x - \alpha) q_i(x)$, в $F_1$ имеет больше $t$ неприводимых множителей. Теперь к $p(x)$ применимо предположение дедукции. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + Минимальное поле, в котором многочлен $p$ раскладывается на линейные множители, называется полем разложения многочлена. +\end{definition} + +\begin{note} + Поле разложения многочлена единственно с точностью до изоморфизма, однако это утверждение в курсе доказано не будет. +\end{note} + +\begin{corollary} + Теорема \ref{th4.4} Гамильтона-Кэли справедлива над любым полем. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $A \in M_n(F)$, по теореме Гамильтона-Кэли $\chi_A (A) = 0$. \\ + $\tilde{F} \supset F: \tilde{F}$ -- поле разложения $\chi_A(x)$. Тогда по теореме Гамильтона-Кэли $\chi_A(A) = 0$ в $F$. +\end{proof} + +\begin{theorem} + Если $p$ - простое число, то найдется поле $F_{p^n}$, состоящее из $p^n$ элементов, где $n$ - любое натуральное число. +\end{theorem} + +\begin{idea} + Пусть такое поле существует. Тогда $F_{p^n}^* = F_{p^n} \setminus \{0\}$ - группа по умножению. + Тогда по теореме Лагранжа $x \in F_{p^n}$, $x^{p^n - 1} = 1$, $p^n - 1 = \ord x$. Рассмотрим $f(x) = x^{p^n} - x$(коэффициенты из $F_p$) -- корни, обратные $F_{p^n}$. +\end{idea} + +\begin{proof} + Пусть $f(x) \in F_p[x]$, $f(x) = x^{p^n} - x$. Пусть $\tilde{F}$ -- поле разложения $f$. Тогда + в $\tilde{F}$ у $f$ имеется $p^n$ корней. Рассмотрим $F_{p^n}$ -- множество корней $f$. Проверим, + что оно является полем: + \begin{enumerate} + \item $a \in F_{p^n} \Leftrightarrow a^{p^n} = a$. + \item $a, b \in F$, тогда $(a \cdot b)^{p^n} = a^{p^n} \cdot b^{p^n} = a \cdot b$ -- замкнутость относительно умножения. + \item Если $a \neq 0$, то $a^{-1} \in F_{p^n}$ т.к. $(a^{-1})^{p^n} = (a^{p^n})^{-1} = a^{-1}$ -- существование обратного элемента. + \item По построению $F_p \subset \tilde{F}$, откуда $char \tilde{F} = p$. + \end{enumerate} + В любом поле характеристики $p$ справедлива формула Бинома Ньютона: $(a+b)^p = a^p + b^p$, $a, b \in F_p$. \\ + \begin{gather*} + (a + b)^p = a^p + C_p^1 a^{p - 1} b + C_p^2 a^{p - 1} b^2 + \dots + b^p = a^p + b^p, \\ + C_p^k = \frac{p!}{k!(p - k)!}, \\ + C_p^k \equiv 0 (mod p). + \end{gather*} + Докажем, что $(a+b)^{p^n} = a^{p^n} + b^{p^n}$ если $a, b \in F$. Индукция по $n$: + \begin{enumerate} + \item $n=1$: как было доказано выше, $(a+b)^p = a^p + b^p$ + \item Предположим, что для $n-1$ верно. Пусть $a$, $b \in F_{p^n}$. Тогда: + $$(a+b)^{p^n} = ((a+b)^p)^{p^{n-1}} = (a^p + b^p)^{p^{n-1}} = a^{p^n} + b^{p^n}.$$ + \end{enumerate} +\end{proof} + +\section{Билинейные операторы} + +\begin{definition} + Пусть $V$ - линейное пространство над $F$. Функция $f: V \times V \to F$ называется билинейной, если выполняются следующие условия: + \begin{enumerate} + \item Аддитивность по первому аргументу $f(x_1 + x_2, y) = f(x_1, y) + f(x-2, y)$. + \item Линейность по первому аргументу $f(\lambda x, y) = \lambda f(x, y)$. + \item Аддитивность по втроому аргументу. + \item Линейность по второму аргументу. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{example}~ + \begin{enumerate} + \item $V_3$, скалярное произведение - билинейный оператор: $(x, y) = |x| \cdot |y| \cos(\phi)$ + \item Пусть $f$, $g$ - линейные функции на $V$, тогда $h(x, y) = f(x) \cdot g(y)$ - билинейная функция $h: V \times V \to V$. + \item $V = M_{n \times m}(F)$ и $f(X, Y) = tr(X^T A Y)$, где $A \in M_n(F)$. \\ + Покажем аддитивность и линейность: $$f(X_1 + X_2, Y) = tr((X_1 + X_2)^T A Y) = tr(X_1^T A Y) + tr(X_2^T A Y) = f(X_1, Y) + f(X_2, Y),$$ + $$f(\lambda X, Y) = tr((\lambda X)^T A Y) = \lambda f(X, Y).$$ + Важный частный случай - при $m=1$: $$f(X, Y) = X^T \cdot A \cdot Y = (x_1, x_2, \dots x_n) + \cdot A \cdot (y_1, \dots y_n)^T = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{m} a_{ij} x_i y_j \in F.$$ + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{note} + $f(0, y) = 0$ так как $f(0, y) = f(0 \cdot x, y) = 0 \cdot f(x, y) = 0$. +\end{note} + +\begin{definition} + Если $x, y \in F^n$, то выражение $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{m} a_{ij} x_i y_j$ называется билинейной формой от координатных столбцов $x$ и $y$. Билинейная форма сама является билинейной функцией: $F^n \times F^n \to F$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + \label{pr8.1} + Если $f(x, y)$ -- билинейная функция $V \times V \to F$, то она может быть записана в виде билинейной формы от координат $x$ и $y$ при добавлении коэффициентов $a_{ij} = f(e_i, e_j)$ - значения функции $f$ на базисных векторах. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $f(x, y)$ - билинейная функция, $e = (e_1, \dots e_n)$ - базис в $V$. Запишем разложения векторов $x$ и $y$ по базису: + \begin{align*} + x = \sum_{i=1}^{n} x_i e_i && y = \sum_{j=1}^{n} y_j e_j + \end{align*} + Тогда верно следующее: + \begin{gather*} + f(x, y) = f(\sum_{i=1}^{n} x_i e_i, \sum_{j=1}^{n} y_j e_j) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} x_i y_j f(e_i, e_j) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i y_j + \end{gather*} +\end{proof} + +\begin{proposition} + \label{pr8.2} + Пусть $f(x, y)$ -- билинейная функция в $V$. $e$, $e'$ -- базисы в $V$. $A$, $A'$ -- + матрицы билинейной формы $f$ в этих базисах. Тогда $A' = S^T A S$, где $S$ -- матрица перехода + между $e$ и $e'$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $x$ и $y$ имеют в $e$ координаты $\alpha$ и $\beta$ соответственно.\\ Было доказано, что $\alpha = S \alpha'$, $\alpha` = s^{-1} \alpha$, $\beta = S \beta'$. Тогда: + $$f(x, y) = x^T A y = \alpha^T A \beta = (S \alpha')^T A (S \beta) = (\alpha')^T S^T A S \beta' = (\alpha')^T A' \beta'.$$ Из последнего равенства сразу следует, что $S^T A S = A'$. +\end{proof} + +\begin{note} + В отличие от билинейной формы, матрица линейного оператора $A' = S^{-1} A S$. +\end{note} + +\begin{proposition}[Инварианты матрицы $A$ билинейной формы] + $rk A$ не зависит от выбора базиса, где $A$ -- матрица билинейной функции. +\end{proposition} + +\begin{proof} + $\rk (A') = \rk (S^T A S) \leq rk A$. При этом $A = (S^T)^{-1} A' S{-1}$, откуда $\rk A \leq \rk A'$, а значит, ранги равны. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Определители $A$ и $A'$ над полем вещественных чисел всегда имеют одинаковый знак: $\det A' = \det(S^T A S) = (\det S)^2 det A$, где $(\det S)^2 > 0$. +\end{corollary} diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_9.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_9.tex new file mode 100644 index 00000000..024cecb1 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/lections/lec_9.tex @@ -0,0 +1,561 @@ +%05.04.23 Оля + +\subsection{Симметричные и кососимметричные билинейные функции и формы} + +\begin{definition} + Билинейная функция $f(x, y)$ называется симметричной если для всех $x, y \in V$ верно + $f(x, y) = f(y, x)$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Билинейная функция $f(x, y)$ называется кососимметричной, если для всех $x, y \in V$ верно: + \begin{enumerate} + \item $f(x, y) = -f(y, x)$, + \item $f(x, x) = 0$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{note} + Первое условие следует из истинности второго. +\end{note} + +\begin{proof} + Заметим, что: + \begin{gather*} + 0 = f(x+y, x+y) = f(x, x) + f(x, y) + f(y, x) + f(y, y). + \end{gather*} + При этом $f(x, x) = 0$ и $f(y, y) = 0$ по второму условию, а значит $f(x, y) = - f(y, x)$. +\end{proof} + +\begin{note} + Если $\cha F \neq 2$, то и из первого условия следует второе. +\end{note} + +\begin{proof} + $f(x, x) = - f(x, x)$, откуда $2 f(x, x) = 0$, а значит, при $\cha F \neq 2$ обязательно + верно $f(x, x) = 0$. +\end{proof} + +\begin{agreement} + В случае $\cha F \neq 2$ оставим в определении только первое условие, + в противном случае только второе. +\end{agreement} + +\begin{agreement} + Будем обозначать как $B^{+}(V)$ пространство симметричных билинейных функций, как $B^-(V)$ -- + пространство кососимметричных функций. +\end{agreement} + +\begin{proposition} + Пусть $\cha F \neq 2$. Тогда $B(V) = B^+ (V) \oplus B^- (V)$. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Докажем, что $B^+(V) \cap B^-(V) = \{0\}$. Предположим, f является симметричной + и кососимметричной одновременно. Тогда для любых $x, y \in V$: + \begin{enumerate} + \item $f(x, y) = - f(y, x)$ -- из кососимметричности, + \item $f(x, y) = f(y, x)$ -- из симметричности. + \end{enumerate} + Таким образом для всех $x, y \in V$ верно $f(y, x) = 0$. \\ Это означает, что $f$ является + тождественно нулевой, а значит $B^+(V) \cap B^-(V) = \{0\}$. + + \item Покажем теперь, что любая функция из $B(V)$ лежит в $B^+(V) + B^-(V)$. + + Рассмотрим $f \in B(V)$. Через неё можно выразить следующие две функции: + \begin{enumerate} + \item $f^+(x, y) = \frac{f(x, y) + f(y, x)}{2} \in B^+(V)$ - симметризация $f$, + \item $f^-(x, y) = \frac{f(x, y) - f(y, x)}{2} \in B^-(V)$ - антисимметризация $f$. + \end{enumerate} + Тогда $f = f^+ + f^- \in B^+ + B^-$, а значит $B(V) \subseteq B^+ + B^-$. При этом + $B^+, B^-$ лежат в $B(V)$ по определению, а значит $B(V) = B^+ + B^-$. + По доказанному в предыдущем пункте сумма $B^+ + B^-$ является прямой. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Для поля характеристики 2 утверждение неверно. +\end{note} + +\begin{example} + Рассмотрим поле $V = (F_2)^2$ и функцию $f(x, y) = x_1 y_2 + x_2 y_1$ на нем. Для неё верно: + \begin{enumerate} + \item $f(y, x) = y_1 x_2 + y_2 x_1 = f(x, y)$ - симметричность, + \item $f(x, x) = x_1 x_2 + x_2 x_1 = 2 x_1 x_2 = 0$ - кососимметричность. + \end{enumerate} + Таким образом ненулевая функция $f$ является одновременно симметричной и кососимметричной. +\end{example} + +\begin{proposition} + Пусть $f \in B(V)$, $e$ - базис в $V$, и $A$ - матрица функции $f$ относительно базиса $e$. + Тогда $f$ симметрична тогда и только тогда, когда $A$ симметрична. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость. Пусть $f$ - симметричная. + Тогда $a_{ij} = f(e_i, e_j) = f(e_j, e_i) = a_{ji}$, а значит матрица $A$ так же симметрична. + \item Достаточность. Пусть $A = A^T$. Тогда верно: + \begin{enumerate} + \item $f(x, y) = x^T A y$, + \item $f(y, x) = y^T A x$. + \end{enumerate} + Таким образом, $f(x, y) = (x^T A y)^T = y^T A^T x = y^T A x = f(y, x)$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{proposition} + \label{pr9.3} + Пусть $f \in B(V)$, $e$ - базис, $A$ - матрица $f$ в базисе $e$. + Тогда $f$ кососимметрична тогда и только + тогда, когда $A^T = -A$ и $a_{ii} = 0$ для всех $i$. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость. Пусть $f(x, y) = - f(y, x)$. Тогда + $a_{ij} = f(e_i, e_j) = - f(e_j, e_i) = -a_{ij}$, а значит $A = - A^T$. + При этом $f(x, x) = - f(x, x) = 0$, а значит так же верно $a_{ii} = f(e_i, e_i) = 0$. + \item Достаточность. Пусть $A^T = - A$ и $a_{ii} = 0$. Тогда по утверждению \ref{pr8.1} + верно следующее представление $f(x, x)$ в виде билинейной формы: + \begin{gather*} + f(x, x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} x_i^2 + + \sum_{i < j} (a_{ij} + a_{ji}) x_i x_j = 0. + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Если $\cha F \neq 2$, утверждение \ref{pr9.3} можно сформулировать без второго условия на + матрицу $A$. +\end{note} + +\begin{proof} + Проверим достаточность. Пусть $A^T = A$. Покажем, что $f(x, y) = - f(y, x)$: + \begin{gather*} + f(x, y) + f(y, x) = x^T A y + (y^T A x)^T = x^T A y + x^T A^T y = x^T (A - A) y = 0. + \end{gather*} +\end{proof} + +\subsubsection{Ядро симметричных и кососимметричных билинейных функций} + +\begin{agreement} + Многие утверждения, доказываемые в этом разделе верны и для симметричных и для кососимметричных + функций. Чтобы показать, что функция $f$ лежит в $B^+$ или в $B^-$ будем использовать + обозначение $f \in B^{\pm}$. +\end{agreement} + +\begin{definition} + \label{def8.5} + Пусть $f \in B^{\pm}(V)$. Тогда ядром $f$ является: + $$\ker f = \{x \in V \vert \, \forall y \in V \hookrightarrow f(x, y) = 0\} = + \{y \in V \vert \, \forall x \in V \hookrightarrow f(x, y) = 0\},$$ + где сначала выписано левое ядро, а затем правое ядро, и они равны. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Пусть $f \in B^{\pm} (V)$. Тогда верны следующие свойства: + \begin{enumerate} + \item $\ker f \leq V$, + \item $\dim \ker f = \dim V - \rk f$. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Очевидно из опеределения $\ker f$. + \item Пусть $y \in \ker f$, что эквивалентно тому, что для любого вектора $x \in V$ верно + $f(x, y) = 0$ (по определению \ref{def8.5} ядра (косо)симметричной билинейной функции). + + Рассмотрим базис $e$ в пространстве $V$. Тогда утверждение $\forall x \in V \hookrightarrow + f(x, y) = 0$ в силу линейности эквивалентно тому, что $\forall i = 1, 2, \dots n + \hookrightarrow f(e_i, y) = 0$. Представим это в виде системы уравнений: + \begin{gather*} + \begin{cases*} + (1, 0, 0, \dots 0) A y = 0, \\ + (0, 1, 0, \dots 0) A y = 0, \\ + \dots \\ + (0, 0, 0, \dots 1) A y = 0. + \end{cases*} \; \Leftrightarrow E A y = 0 \; \Leftrightarrow \; Ay = 0. + \end{gather*} + Таким образом размерность $\ker f$ равна размерности пространства решений системы $Ay = 0$. + Его размерность равна $\dim V - \rk A$, где $A$ - матрица преобразования $f$. \\ + Получаем $\dim \ker f = \dim V - \rk f$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + Функция $f \in B^{\pm}(V)$ называется невырожденной над $V$, если выполняется одно из трех + эквивалентных условий: + \begin{enumerate} + \item $\det A \neq 0$, $A$ - матрица $f$ относительно произвольного базиса $e$ в $V$, + \item $\rk f = \dim V$, + \item $\ker f = \{0\}$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item $(1) \Rightarrow (2)$: + + $\det A \neq 0$, значит $\rk A = n = \dim V$ по теореме Фробениуса. + \item $(2) \Rightarrow (3)$: + + Пусть $\rk F = \dim V$. Тогда $\dim \ker F = \dim V - \rk F = 0$, а значит $\ker F \{0\}$. + \item $(3) \Rightarrow (1)$: + + $\ker F = \{0\}$, откуда $\rk f = n = \dim V$. При этом $\rk f = \rk A$, а значит + $M_{1\dots n}^{1\dots n} = \det A \neq 0$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + Пусть $f \in B^{\pm}(V)$. Будем говорить, что $x$ ортогонально $y$ относительно $f$ если + $f(x, y) = 0$, что равносильно $f(y, x) = 0$. Обозначение: $x \perp y$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть $U \leq V$. Ортогональным дополнением к $U$ относительно функции $f \in B^{\pm}(V)$ + называется подпространство $U^{\perp} = \{y \in V \,\vert \, \forall x \in U \hookrightarrow + f(x, y) = 0\}$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + \label{pr8.8} + Пусть $U \leq V$, $U^{\perp}$ - ортогональное дополнение к $U$ относительно $f \in B^{\pm}(V)$. + Тогда: + \begin{enumerate} + \item $U^{\perp} \leq V$, + \item $\dim U^{\perp} \geq \dim V - \dim U$, + \item Если $f \vert_{U}$ невырождена, то имеет место равенство: + \begin{gather*} + \dim U^{\perp} = \dim V - \dim U. + \end{gather*} + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Очевидно из опеределения. + \item Пусть $\dim U = k$, $e$ - базис в $V$, согласованный с базисом в $U$, то есть + \begin{align*} + (e_1, \dots e_k) & \text{ - базис в U}, \\ + (e_1, \dots e_k, \dots e_n) & \text{ - базис в V}, + \end{align*} + Пусть $y \in U^{\perp}$. В силу выбора базисов это равносильно тому, что для всех значений + $i = 1, \dots k$ верно $F(e_i, y) = 0$. + Таким образом $^k A y = 0$, где $^k A$ - подматрица в $A$, состоящая из первых $k$ строк. + В таком случае верно $\rk \, ^k A \leq k$, а значит: + \begin{gather*} + \dim U^{\perp} = \dim V - \rk \, ^k A \geq \dim V - k = \dim V - \dim U. + \end{gather*} + \item Пусть $f \vert_{U}$ невырождена, то есть $| M_{12\dots k}^{12\dots k} | \neq 0$. + Тогда в предыдущем пункте достигается точное равенство $\rk \, ^k A = k$, + откуда получается искомое $\dim U^{\perp} = \dim V - \dim U$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Из равенства $\dim U^{\perp} \dim V - \dim U$ не следует невырожденность $f \vert_{U}$. +\end{note} + +\begin{example} + Пусть $A = \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + 1 & 0 \\ + \end{pmatrix}$, $U = \langle e_1 \rangle$. Тогда: + \begin{gather*} + U^{\perp} = \left\{ y \in V \,\Big\vert \begin{pmatrix} + 0 & 1 + \end{pmatrix} \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + 1 & 0 + \end{pmatrix} \begin{pmatrix} + y_1 \\ + y_2 + \end{pmatrix} = 0 \right\} = \left\{ y \in V \,\big\vert \, y_2 = 0\right\} = \left\{ + \begin{pmatrix} + y_1 \\ + 0 + \end{pmatrix}\right\} = \langle e_1 \rangle. + \end{gather*} + Таким образом, $U^{\perp} = U$, $\dim U^{\perp} = 2 - 1 = 1$. Однако $f \vert_{U} = \{0\}$ - + вырождено. +\end{example} + +\begin{example} + Покажем, что неравенство во втором пункте утверждения \ref{pr8.8} может быть строгим: + \begin{multline*} + \text{Пусть } A = \begin{pmatrix} + 0 & 0 \\ + 0 & 1 \\ + \end{pmatrix} \text{, } U = \langle e_1 \rangle. \text{ Тогда: } \\ + U^{\perp} = \left\{ y \in V \,\Big\vert \begin{pmatrix} + 0 & 1 + \end{pmatrix} \begin{pmatrix} + 0 & 0 \\ + 0 & 1 + \end{pmatrix} \begin{pmatrix} + y_1 \\ + y_2 + \end{pmatrix} \right\} = \left\{ y \in V \,\Big\vert \begin{pmatrix} + y_1 \\ + y_2 + \end{pmatrix} = 0 \right\} = V. + \end{multline*} +\end{example} + +\begin{definition} + Подпространство $U \leq V$ назовем невырожденным относительно функции $f \in B^{\pm}(V)$, если + сужение $f$ на $U$ невырожденно. +\end{definition} + +\begin{note} + Построенные выше примеры показывают, что у пространства, на котором $f$ невырождена, могут быть + вырожденные подпространства, и наоборот, у пространства на котором $f$ вырождена, могут + быть невырожденные подпространства. +\end{note} + +\begin{theorem} + \label{th8.1} + Пусть $U \leq V$, $f \in B^{\pm}(V)$. Тогда $U$ невырожденно относительно $f$ тогда и только + тогда когда $V$ раскладывается в прямую сумму подпространств: $V = U \oplus U^{\perp}$. +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Необходимость. Пусть $f \vert_{U}$ невырождено. Покажем, что тогда + $\ker f \vert_{U} = \{0\}$. + \begin{multline*} + \ker f \vert_{U} = \{y \in U \vert \, \forall x \in U \hookrightarrow f(x, y) = 0\} = \\ + = \{y \in V \vert \, \forall x \in U \hookrightarrow f(x, y) = 0\} \cap U + = U^{\perp} \cap U = \{0\}, + \end{multline*} + где первое равенство получено по определению ядра $f$ над $U$, а третье по определению + ортогонального дополнения. Из соображений размерностей подпространств получим: + \begin{multline*} + dim (U + U^{\perp}) = \dim U + \dim U^{\perp} - \dim (U \cap U^{\perp}) = \\ = + \dim U + \dim U^{\perp} \geq \dim U + \dim V - \dim U = \dim V. + \end{multline*} + Так как $U + U^{\perp} \leq V$, получаем равенство размерностей $\dim (U + U^{\perp}) = \dim V$, + а значит и равенство подпространств: $U + U^{\perp} = V$. + + По теореме о характеристике прямой суммы получаем $V = U \oplus U^{\perp}$. + + \item Пусть $V = U \oplus U^{\perp}$. Но $\ker (f \vert_{U}) = U \cap U^{\perp} = \{0\}$, + а значит $f$ невырождена на $U$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Пусть $f \vert_{U}$ невырождена. Тогда по теореме \ref{th8.1} верно $V = U \oplus U^{\perp}$. + Выберем базис $e$, согласующийся с разложением. Тогда матрица $A$ в нем имеет вид + $A = \left(\begin{array}{@{}c|c@{}} + A_{U} & 0\\ + \hline + 0 & A_{U^{\perp}} + \end{array}\right)$. +\end{note} + +\subsection{Квадратичные билинейные формы} + +\begin{definition} + Пусть $f \in B(V)$, $f: V \times V \to F$. Тогда $\Delta = \{(x, x) \in V \times V\}$ - + диагональ в пространстве $V$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть $f \in B^{+}(V)$. Квадратичной функцией на $V$ называется произвольное сужение симметричной + билинейной функции $f$ на диагональ $\Delta$: + \begin{gather*} + q(x) = f(x, y) \vert_{\Delta} = f(x, x): \, V \to F. + \end{gather*} +\end{definition} + +\begin{note} + В пространстве $V_3$ верно $(x, y)\vert_{\Delta} = (x, x) = |x|^2 \geq 0$. +\end{note} + +\begin{note} + Сужать кососимметричные функции на диагональ мы не будем, так как сужение является нулевой + функцией и не представляет интереса. +\end{note} + +\begin{agreement} + Будем обозначать как $Q(V)$ множество всех квадратичных функций на $V$. +\end{agreement} + +\begin{theorem} + Линейные пространства $B^+(V)$ и $Q(V)$ изоморфны, изоморфизм осужествляет отображение $\phi$ + сужения на диагональ $\Delta \subset V \times V$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $\phi: B^+(V) \to Q(V)$, переводящее $f(x, x) \in B^+(V)$ в $q(x) \to Q(V)$. + Операции сложения и умножения на скаляр сохраняются. Покажем его биективность: + \begin{enumerate} + \item Отображение $\phi$ сюрьективно по определению квадратичной функции. + \item Проверим инъективность $\phi$. Пусть $\phi(f) = q$, $\phi(g) = q$, покажем, что тогда + $f = g$. + + По определению $q(x) = f(x, x)$, тогда: + \begin{gather*} + q(x \pm y) = f(x \pm y, x \pm y) = f(x, x) \pm 2 f(x, y) + f(y, y) = + q(x) \pm 2 f(x, y) + q(y). + \end{gather*} + Аналогично $q(x \pm y) = q(x) \pm 2 g(x, y) + q(y)$, откуда: + \begin{gather*} + f(x, y) = \frac{1}{4} (q(x+y) - q(x-y)) = g(x, y). + \end{gather*} + \end{enumerate} + Таким образом полученное отображение - биекция, сохраняющая необходимые операции, а значит + получен изоморфизм между $B^+(V)$ и $Q(V)$. +\end{proof} + +\begin{definition} + Выражение $f(x, y)$ через $q(x)$ и $q(y)$ называется поляризационным тождеством. + Обратное отображение $\psi:\, Q(V) \to B^+(V)$ называется поляризацией, + $f(x, y)$ - полярной функцией к $q(x)$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Базис в $V$ называется ортогональным относительно $f$ если для всех $i$, $j$, $i \neq j$ верно + $a_{ij} = f(e_i, e_j) = 0$. +\end{definition} + +\begin{note}~ + + Ортогональный базис выгоден в силу того, что в нем наиболее просто представимы $f$ и $g$: + \begin{align*} + f(x, y) = & \lambda_1 x_1 y_1 + \lambda_2 x_2 y_2 + \dots \lambda_n x_n y_n, \\ + g(x, y) = & \lambda_1 x_1^2 + \lambda_2 x_2^2 + \dots \lambda_n x_n^2. + \end{align*} + Записанные выше представления называются диагональным видом $f$ и $g$. Количество + ненулевых коэффициентов $\lambda_i$ равно рангу матриц $f$ и $q$ в силу того, что матрица + в ортогональном базисе будет иметь диагональный вид со значенимями $\lambda_i$ на диагонали. +\end{note} + +\begin{theorem}[Лагранжа] + Всякую билинейную симметричную функцию $f$ и ассоциированную с ней квадратичную функцию + подходящим выбором базиса можно привести к диагональному виду. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Индукция по размерности пространства. + \begin{enumerate} + \item База: при $n=1$ матрица уже имеет диагональный вид. + \item Предположение индукции: пусть для пространств $V$ размерности меньшей чем $n$ + теорема верна. Совершим переход к подпространствам размерности $n+1$. + + Если функция $f$ тождественно нулевая, её матрица так же очевидно диагональная. + + В случае ненулевой функции $f$ в силу поляризационного тождества функция $q$ так же является + ненулевой. Тогда существует вектор $e_1$, такой что $q(e_1) = a_{11} = f(e_1, e_1) \neq 0$. + Рассмотрим тогда $U = \langle e_1 \rangle$. Тогда $f \vert_{U}$ невырождена, а значит + $V = U \oplus U^{\perp}$. + + По предположению индукции в $U^{\perp}$ найдется ортогональный относительно сужения + $f \vert_{U^{\perp}}$ базис $(e_2, \dots e_n)$. Матрица $A_{U^{\perp}}$ в нем будет иметь вид: + \begin{gather*} + A_{U^{\perp}} = \begin{pmatrix} + \lambda_2 & 1 & \dots & 0 \\ + 0 & \lambda_3 & \dots & 0 \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & \lambda_n + \end{pmatrix} + \end{gather*} + В силу того, что $U$ и $U^{\perp}$ образуют прямую сумму, равную всему пространству $V$, + при добавлении в $(e_2, \dots e_n)$ вектора $e_1$ получится базис в $V$, + являющийся ортогональным относительно $f$. Матрица $f$ в базисе $(e_1, e_2, \dots e_n)$ имеет + вид: + \begin{gather*} + A = \begin{pmatrix} + \lambda_1 & 1 & \dots & 0 \\ + 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & \lambda_n + \end{pmatrix} + \end{gather*} + При этом коэффициенты в матрице равны $\lambda_i = q(e_i)$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{note} + Полученные базис и коэффициенты определены неоднозначно. Например мы можем растянуть один из + базисных векторов $e_i$ в $c_i$ раз и получить $e'_i = e_i c_i$. Тогда: + \begin{gather*} + \lambda'_i = q(e'_i) = q(c_i e_i) = f(c_i e_i,\, c_i e_i) = c_i^2 f(e_i, e_i) + = c_i^2 q(e_i) = c_i^2 \lambda_i. + \end{gather*} +\end{note} + +\begin{definition} + Пусть $F = \R$. Вид квадратичной функции + \begin{align*} + q(x) = x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \dots - x_{p+q}^2, + \end{align*} + где $p + q = \rk q$, называется каноническим видом квадратичной функции в $V$ над $\R$. +\end{definition} + +\begin{corollary} + Если $F = \R$, то всякую квадратическую функцию выбором базиса можно привести к каноническому виду + выбором базиса. +\end{corollary} + +\begin{exercise} + Пусть $V$ - пространство над полем $\Cm$. Доказать, что любую функцию в комплексном пространстве + можно привести к виду $q(x) = x_1^2 + x_2^2 + \dots x_p^2$, $r = \rk q$. +\end{exercise} + +\begin{note} + В практических задачах проще искать не канонический базис, а преобразование координат, приводящее + к каноническому виду: + \begin{gather*} + \begin{pmatrix} + x_1 \\ + x_2 \\ + \vdots \\ + x_n + \end{pmatrix} = S \begin{pmatrix} + \xi_1 \\ + \xi_2 \\ + \vdots \\ + \xi_n + \end{pmatrix}, + \end{gather*} + где $\xi_i$ - канонические координаты. +\end{note} + +\begin{algorithm}[Поиск преобразования, приводящего к каноническому виду]~\\ + В нашем базисе $q(x)$ имеет следующее предстваление: + \begin{gather*} + q(x) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_i x_j + \end{gather*} + Его можно преобразовать к виду: + \begin{gather*} + q(x) = \frac{1}{a_{11}} (a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n)^2 - + \sum_{i=2}^{n}\sum_{j=2}^{n} a_{ij}x_i x_j. + \end{gather*} + Сумма после вынесения первого слагаемого не содержит $x_1$ ни в одном члене. Обозначим тогда + $(a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n)$ за $\xi_1$, который будет являться первым + искомым каноническим вектором. После этого $q(x)$ можно записать как: + \begin{gather*} + q(x) = \lambda_1 \xi_1^2 + \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_i x_j. + \end{gather*} + Таким образом можно продолжать преобразования суммы до получения разложения в канонический вид: + \begin{gather*} + q(x) = \lambda_1 \xi_1^2 + \lambda_2 \xi_2^2 + \dots \lambda \xi_n^n + \end{gather*} + При этом столбцы матрицы $S$ будут являться координатами векторов базиса в каноническом базисе. +\end{algorithm} + +\begin{definition} + Квадратичная функция $q(x)$ называется положительно определенной (отрицательно опеределенной), + если для всех $x \neq 0$ верно $q(x) > 0$ ($q(x) < 0$). +\end{definition} + +\begin{definition} + Квадратичная функция $q(x)$ называется положительно полуопределенной (отрицательно полуоопределенной) + если для всех $x \in V$ верно $q(x) \geq 0$ ($q(x) \leq 0$). +\end{definition} diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/main.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/main.tex new file mode 100644 index 00000000..035962d8 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/main.tex @@ -0,0 +1,27 @@ +\input{header} + +\begin{document} + \input{title_page} + + \newpage + \hypertarget{intro}{} + \tableofcontents + \linespread{1} + \selectfont + + \newpage + \input{lections/lec_1.tex} + \input{lections/lec_2.tex} + \input{lections/lec_3.tex} + \input{lections/lec_4.tex} + \input{lections/lec_5.tex} + \input{lections/lec_6.tex} + \input{lections/lec_7.tex} + \input{lections/lec_8.tex} + \input{lections/lec_9.tex} + \input{lections/lec_10.tex} + \input{lections/lec_11.tex} + \input{lections/lec_12.tex} + \input{lections/lec_13.tex} + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/title_page.tex b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/title_page.tex new file mode 100644 index 00000000..2f9bd294 --- /dev/null +++ b/Lectures/2_Semester/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin/title_page.tex @@ -0,0 +1,27 @@ +\begin{titlepage} + \clearpage\thispagestyle{empty} + \centering + + \textbf{Московский физико-технический институт \\ Физтех-школа прикладной математики и информатики} + \vspace{33ex} + + {\textbf{\FullCourseNameFirstPart}} + + \SemesterNumber\ СЕМЕСТР + \vspace{1ex} + + Лектор: \textit{\LecturerInitials} + + \includegraphics[width=0.4\textwidth]{images/logo_ltc.png} + + \begin{flushright} + \noindent + Автор: \href{\VKLink}{\textit{\AuthorInitials}}, \href{\VKLinksecond}{\textit{\AuthorInitialssecond}} + + \href{\GithubLink}{\textit{Проект на Github}} + \end{flushright} + + \vfill + \CourseDate + \pagebreak +\end{titlepage} \ No newline at end of file diff --git a/config.json b/config.json index 82aaf68d..6edcc14d 100644 --- a/config.json +++ b/config.json @@ -38,6 +38,7 @@ "l/2/Algebra_and_Coding_Theory/2023_Vyalyj" ], "sqiportinhsa": [ - "l/3/Group_Theory/2023_Shtepin" + "l/3/Group_Theory/2023_Shtepin", + "l/2/Algebra_and_Geometry/2023_Shtepin" ] }