diff --git a/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/10lecture.tex b/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/10lecture.tex index edc696bf..8e96b571 100644 --- a/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/10lecture.tex +++ b/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/10lecture.tex @@ -57,7 +57,7 @@ \[ x_0 = x - (x - x_0) = \lim_{n \to \infty} x_n - (x - x_0) \Ra \lim_{n \to \infty} A(x_n - (x - x_0)) = Ax_0 \] - Переход к оператору мы сделали по условию. Осталось просто переставить части выражения, ибо есть линейность: + Переход к пределу с оператором мы сделали по условию. Осталось просто переставить части выражения, ибо есть линейность: \[ \lim_{n \to \infty} A(x_n - (x - x_0)) = \lim_{n \to \infty} (Ax_n - Ax + Ax_0) = Ax_0 \Ra \lim_{n \to \infty} Ax_n = Ax \] @@ -125,9 +125,9 @@ \] Покажем, что есть поточечная сходимость. Действительно: \[ - \forall x \in S(0, 1)\ \ \|A_nx - A_mx\| \le \|A_n - A_m\| \cdot \|x\| = \|A_n - A_m\| < \eps + \forall x \in E_1\ \ \|A_nx - A_mx\| \le \|A_n - A_m\| \cdot \|x\| < \eps \|x\| \] - Стало быть, последовательность $\{A_nx\}_{n = 1}^\infty \subseteq E_2$ фундаментальна при любом $x \in E_1$, а в силу банаховости $E_2$ сходится. Определим оператор $A$ следующим образом: + Стало быть, последовательность $\{A_nx\}_{n = 1}^\infty \subseteq E_2$ фундаментальна при любом фиксированном $x \in E_1$, а в силу банаховости $E_2$ сходится. Определим оператор $A$ следующим образом: \[ \forall x \in E_1\ \ Ax := \lim_{n \to \infty} A_nx \] @@ -140,13 +140,24 @@ \alpha \lim_{n \to \infty} A_nx + \beta \lim_{n \to \infty} A_ny = \alpha Ax + \beta Ay \end{multline*} - \item $A$ ограничен. Мы уже знаем в силу определения этого оператора, что $\lim_{n \to \infty} \|A_nx\| = \|Ax\|$, причём $\|A_nx\| \le \|A_n\| \cdot \|x\|$. Если бы у всех норм операторов была общая оценка сверху, то по предельному неравенству мы бы получили оценку и для $A$. В самом деле, последовательность $\{A_n\}_{n = 1}^\infty$ фундаментальна, а стало быть ограничена. + \item $A$ ограничен. Мы уже знаем в силу определения этого оператора, что \\ $\lim_{n \to \infty} \|A_nx\| = \|Ax\|$, причём $\|A_nx\| \le \|A_n\| \cdot \|x\|$. Если бы у всех норм операторов была общая оценка сверху, то по предельному неравенству мы бы получили оценку и для $A$. В самом деле, последовательность $\{A_n\}_{n = 1}^\infty$ фундаментальна, а стало быть ограничена. - \item Верно, что $\lim_{n \to \infty} A_n = A$. По определению это значит $\lim_{n \to \infty} \|A_n - A\| = 0$. Это тоже довольно просто, ведь верна цепочка равенств: + \item Верно, что $\lim_{n \to \infty} A_n = A$. По определению мы должны показать предел \\ $\lim_{n \to \infty} \|A_n - A\| = 0$. Это можно сделать так: зафиксируем $\eps > 0$ и рассмотрим произвольный $x \in E_1$. За счёт фундаментальности $\{A_n\}_{n = 1}^\infty$: \[ - \|A_n - A\| = \sup_{\|x\| = 1} \|(A_n - A)x\| = \sup_{\|x\| = 1} \|A_nx - Ax\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 + \forall \eps > 0\ \forall x \in E_1\ \exists N \in \N \such \forall m > n \ge N\ \ \|A_nx - A_mx\| \le \|A_n - A_m\| \cdot \|x\| < \eps\|x\| + \] + Устремим $m$ в бесконечность. Так можно сделать, в силу существования этого предела: + \[ + \forall \eps > 0\ \forall x \in E_1\ \exists N \in \N \such \forall n \ge N\ \ \|A_nx - Ax\| < \eps \|x\| + \] + В силу линейности, можно переписать это утверждение, рассматривая только единичную сферу: + \[ + \forall \eps > 0\ \forall x \in S(0, 1)\ \exists N \in \N \such \forall n \ge N\ \ \|A_nx - Ax\| < \eps + \] + Итак, осталось воспользоваться эквивалентным определением нормы оператора: + \[ + \forall \eps > 0\ \exists N \in \N \such \forall n \ge N\ \ \|A_n - A\| = \sup_{\|x\| = 1} \|A_nx - Ax\| < \eps \] - Стремлению к нулю работает в силу определения $A$, по которому $\lim_{n \to \infty} \|A_nx - Ax\| = 0$ \textcolor{red}{Слишком сильное утверждение} \end{itemize} \end{enumerate} \end{proof} @@ -193,12 +204,12 @@ \begin{enumerate} \item Покажем, что если последовательность операторов $\{A_n\}_{n = 1}^\infty$ равномерно ограничена хотя бы на каком-то замкнутом шаре $\ole{B}(x_0, r)$, то уже $\sup_{n \in \N} \|A_n\| < \infty$. Действительно, это утверждение можно записать так: \[ - \exists M > 0 \such \forall x \in \ole{B}, n \in \N\ \ \|A_nx\| \le M + \exists M > 0 \such \forall x \in \ole{B}(x_0, r), n \in \N\ \ \|A_nx\| \le M \] \textcolor{red}{Сюда надо картинку из 11й лекции, 53:10} - Идея состоит в том, что у этого замкнутого шара для любой точки $x \in E_1$ есть соответствующий радиус-вектор $y - x_0$, который коллинеарен $x$ (важно: радиус-вектор не ко сфере, ограничивающей шар, а по сути он идёт к любой точке шара). Их связь можно записать так: + Идея состоит в том, что у этого замкнутого шара для любой точки $x \in E_1$ есть соответствующий радиус-вектор $y - x_0$, который коллинеарен $x$ (важно: радиус-вектор не ко сфере, ограничивающей шар, а по сути может идти к любой точке шара). Их связь можно записать так: \[ r \cdot \frac{x}{\|x\|} = y - x_0 \Ra x = \frac{\|x\|}{r}(y - x_0) \] @@ -212,10 +223,17 @@ \[ \exists x_1 \in \ole{B}_0(x_0, 1 / 2), n_1 \in \N \such \|A_{n_1}x_1\| > 1 \] - Аналогично рассматриваем шар $\ole{B}_1(x_1, 1 / 2) \subset \ole{B_0}(x_0, 1)$. В нём ищем $x_2 \in \ole{B}_1(x_1, 1 / 2^2)$ и требуем $n_2 \in \N$ такое, что $\|A_{n_2}x_2\| > 2$. Из подобных соображений мы получаем последовательность вложенных шаров $\ole{B}_k(x_k, 2^{-k})$, чьи радиусы тривиально стремятся к нулю, причём $\|A_{n_k}x_k\| > k$. В силу полноты пространства $E_1$, верна теорема о вложенных шарах и, следовательно, имеем следующее утверждение: + Коль скоро оператор $A_{n_1}$ непрерывен, мы найдём некоторый шарик $\ole{B}_1(x_1, r_1)$, $r_1 < 1 / 2$, в котором любая точка также будет удовлетворять неравенству. В шаре \\ $\ole{B}_1(x_1, r_1 / 2)$ аналогично ищем $x_2$ и $n_2 > n_1$ такие, чтобы выполнилось неравенство $\|A_{n_2}x_2\| > 2$. Продолжая алгоритмические действия счётное число раз, мы получим последовательность вложенных вложенных шаров $\ole{B}_k(x_k, r_k)$, чьи радиусы тривиально стремятся к нулю (если говорить строго, то верно соотношение $r_k < r_{k - 1} / 2$), причём верно утверждение: + \[ + \forall x \in \ole{B}_k(x_k, r_k)\ \ \|A_{n_k}x\| > k + \] + В силу полноты пространства $E_1$, верна теорема о вложенных шарах и, следовательно, есть точка в пересечении: \[ - \exists x = \lim_{k \to \infty} x_k \in \bigcap_{k = 1}^\infty \ole{B}_k(x_k, 2^{-k}) \Lora + \exists x = \lim_{k \to \infty} x_k \in \bigcap_{k = 1}^\infty \ole{B}_k(x_k, r_k) \Lora \forall k \in \N\ \ \|A_{n_k}x\| > k \Ra \sup_{n \in \N} \|A_n\| = \sup_{k \in \N} \|A_{n_k}\| = \infty \] - \textcolor{red}{Не понял доказательства} \end{enumerate} \end{proof} + +\begin{anote} + По сути теорема Банаха-Штейнгауза-Хана говорит нам, что при наличии поточечной \textit{локализации} (то есть $A_nx$ не убегает куда-то в бесконечность с ростом $n$), у нас имеется ограниченность последовательности операторов $\{A_n\}_{n = 1}^\infty$. Этот важный факт позволяет доказать полноту $\cL(E_1, E_2)$ относительно поточечной сходимости. +\end{anote} diff --git a/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/11lecture.tex b/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/11lecture.tex index 64534c74..0bb387ef 100644 --- a/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/11lecture.tex +++ b/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/11lecture.tex @@ -1,46 +1,174 @@ \begin{theorem} (Полнота $\cL(E_1, E_2)$ относительно поточечной сходимости) - Пусть $E_1, E_2$ --- банаховы пространства, $\forall n \in \N\ A_n \in \cL(E_1, E_2)$. Если для любого $x \in E_1$ последовательность $\{A_nx\}_{n = 1}^\infty$ фундаментальна в $E_2$, то существует такой оператор $A \in \cL(E_1, E_2)$, что $A_n \to A$. + Пусть $E_1, E_2$ --- банаховы пространства, $\{A_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq \cL(E_1, E_2)$. Если для любого $x \in E_1$ последовательность $\{A_nx\}_{n = 1}^\infty$ фундаментальна в $E_2$, то существует такой оператор $A \in \cL(E_1, E_2)$, что $A_n$ сходятся поточечно к $A$. \end{theorem} \begin{proof} - Зафиксируем $x \in E_1$. Раз $\{A_nx\}_{n = 1}^\infty \subseteq E_2$ фундаментальна, то у неё есть предел. Положим $Ax$ по определению этим пределом: + Зафиксируем $x \in E_1$. Раз $\{A_nx\}_{n = 1}^\infty \subseteq E_2$ фундаментальна, то у неё есть предел (за счёт банаховости $E_2$). Положим значение оператора $A$ по определению этим пределом: \[ Ax := \lim_{n \to \infty} A_nx \] - \textcolor{red}{Из теоремы о норме пространства операторов?} $A$ является линейным, ограниченным и к нему сходится $A_n$, поэтому лежит в $\cL(E_1, E_2)$. + Покажем, что определённый таким образом оператор принадлежит $\cL(E_1, E_2)$: + \begin{itemize} + \item $A$ линеен. Это на самом деле так, в силу линейности предела и $A_n$: + \[ + \forall \alpha, \beta \in \K, a, b \in E_1\ \ A(\alpha a + \beta b) = \lim_{n \to \infty} A_n(\alpha a + \beta b) = \alpha \lim_{n \to \infty} A_na + \beta \lim_{n \to \infty} A_nb = \alpha Aa + \beta Ab + \] + + \item $A$ ограничен. Мы хотим проделать те же действия, что и при доказательстве обычной полноты $\cL(E_1, E_2)$. Коль скоро $\lim_{n \to \infty} \|A_nx\| = \|Ax\|$, то последовательность норм $\{\|A_nx\|\}_{n = 1}^\infty$ ограничена при любом $x$, а значит по теореме Банаха-Штейнгауза-Хана должна быть ограничена последовательность норм операторов $\{\|A_n\|\}_{n = 1}^\infty$. Если обозначить константу ограничения за $M > 0$, то мы получаем знакомое предельное неравенство: + \[ + \forall n \in \N\ \ \forall x \in E_1\ \|A_nx\| \le M\|x\| \Lora \|Ax\| \le M\|x\| + \] + \end{itemize} \end{proof} +\begin{note} + Поточечная сходимость операторов $A_n \in \cL(E_1, E_2)$ не влечёт за собой сходимость непосредственно операторов $\lim_{n \to \infty} A_n = A$. Контрпример достаточно просто увидеть в пространстве $\ell_2$. Определим $A_n$ как срезку аргумента: + \[ + A_nx = (x_1, \ldots, x_n, 0, \ldots) + \] + Стало быть, при каждом фиксированном $x \in \ell_2$ есть предел $\lim_{n \to \infty} A_nx = Ix = x$. Однако совершенно понятно, что $\lim_{n \to \infty} \|A_n - I\| \neq 0$, ибо всегда можно подобрать <<ломающий>> $x$, у которого есть единичная координата в позиции больше $n$. +\end{note} + \begin{theorem} (Критерий поточечной сходимости последовательности линейных ограниченных операторов) - Пусть $\{A_n\}_{n = 1}^\infty$ --- последовательность линейных ограниченных операторов. Тогда $A_n$ поточечно сходится к некоторому оператору $A$ тогда и только тогда, когда выполнено 2 условия: + Пусть $\{A_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq \cL(E_1, E_2)$ --- последовательность линейных ограниченныхи операторов. Тогда $A_n$ поточечно сходятся к некоторому оператору $A$ тогда и только тогда, когда выполнено 2 условия: \begin{itemize} \item Последовательность норм $\{\|A_n\|\}_{n = 1}^\infty$ ограничена - \item $\exists Y \subseteq E_1 \colon \cl Y = E_1 \wedge \forall y \in Y\ \lim_{n \to \infty} A_ny = Ay$ + \item $\exists Y \subseteq E_1 \colon [Y] = E_1 \wedge \forall y \in Y\ \lim_{n \to \infty} A_ny = Ay$ \end{itemize} \end{theorem} -\begin{proof} +\begin{anote} + Критерий немного напоминает аналогичные критерии независимости сигма-алгебр в теории вероятностей. С маленьким условием на сами операторы и с наличием хорошего множества $Y$ мы умеем распространять сходимость на всё пространство. +\end{anote} + +\begin{proof}~ \begin{itemize} - \item[$\Ra$] Коль скоро $A_n$ сходятся, их последовательность является ограниченной. Стало быть, $\{\|A_n\|\}_{n = 1}^\infty$ ограничена и осталось найти $Y$. \textcolor{red}{Дописать} + \item[$\Ra$] Коль скоро есть поточечная сходимость, то в каждой точке $x \in E_1$ последовательность норм $\{\|A_nx\|\}_{n = 1}^\infty$ ограничена. Стало быть, по теореме Банаха-Штейнгауза-Хана последовательность норм операторов ограничена. За $Y$ мы можем смело взять $E_1$ и не думать вообще. - \item[$\La$] \textcolor{red}{Дописать} + \item[$\La$] Рассмотрим $x \in E_1$. За счёт существования хорошего множества $Y$, мы можем всегда найти близкую точку: + \[ + \forall \eps > 0\ \exists y \in [Y] \such \|x - y\| < \eps + \] + Будем по-простому оценивать норму разности $A_nx - Ax$: + \[ + \|A_nx - Ax\| \le \|A_nx - A_ny\| + \|A_ny - Ay\| + \|Ay - Ax\| + \] + Разберёмся с каждым слагаемым отдельно (далее $M > 0$ --- это константа ограничения последовательности норм): + \begin{itemize} + \item $\|A_nx - A_ny\| \le \|A_n\| \cdot \|x - y\| < M \eps$ + + \item $A_ny - Ay = (A_n - A)y$. Коль скоро на $Y$ $A_n$ сходятся поточечно к $A$, то есть поточечная сходимость к любой точке $y \in [Y]$ (ибо это конечная линейная комбинация точек из $Y$). Стало быть: + \[ + \forall y \in [Y]\ \forall \eps > 0\ \exists N \in \N \such \|A_n - Ay\| < \eps + \] + + \item $\|Ay - Ax\| \le \|A\| \cdot \|y - x\| < \|A\|\eps$ + \end{itemize} + Итого: + \[ + \forall \eps > 0\ \exists N \in \N \such \forall n \ge N\ \ \|A_nx - Ax\| \le (M + 1 + \|A\|)\eps + \] \end{itemize} \end{proof} -\begin{corollary} - Если в условиях последней теоремы $\{A_n\}_{n = 1}^\infty$ сходится, то предел тоже является линейным ограниченным оператором \textcolor{red}{Это бессмысленно, должно быть сильно раньше} +\begin{corollary} \textcolor{red}{Требует проверки, уточнения} + Если в условиях последней теоремы $\{A_n\}_{n = 1}^\infty$ сходится на $Y$ не просто поточечно, а как операторы, то предел тоже является линейным ограниченным оператором. \end{corollary} -\begin{example} (Применение теоремы Банаха-Штейнгауза) - Как известно из курса матанализа, для $f \in C_{2\pi}$ можно сопоставить ряд Фурье: +\subsection*{Применение теоремы Банаха-Штейнгауза} + +\begin{problem} + Вернёмся на семестр назад, в гармонический анализ. Если $f \in C_{2\pi} = CP[-\pi; \pi]$ (Continious Periodic), то такой функции мы \textit{сопоставляли} ряд Фурье: \[ f \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^\infty a_k\cos(kx) + b_k\sin(kx) \] - Причём частичные суммы можно записать через ядро Дирихле: + И мы также изучили условия, при которых этот ряд сходится к $f$. Эту тему мы можем перевести на язык функционального анализа. Пусть $S_n(f, x)$ означает, как и раньше, частичную сумму ряда Фурье. Тогда мы также знаем, что её можно записать в виде интеграла с ядром Дирихле: + \[ + S_n(f, x) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi D_n(x - t)f(t)dt,\ D_n(t) = \frac{\sin\Big(\ps{n + \frac{1}{2}}t\Big)}{2\sin\frac{t}{2}} + \] + Эти частичные суммы можно рассмотреть как оператор $S_n \in \cL(C_{2\pi})$, то есть $S_n$ переводит $f$ в какую-то ещё одну функцию. Тогда изучение равномерной сходимости ряда Фурье к функции $f$ это в точности изучение поточечной сходимости операторов $S_n$ к тождественному оператору $I$. + + Можно задаться вопросом: а можем ли мы обобщить $S_n$, если рассматривать его как оператор в пространстве $\cL(C_{2\pi})$? Во-первых, можем, а во-вторых, как следствие, мы получим интересное доказательство того факта, что не у всех функций из $C_{2\pi}$ может быть поточечная сходимость ряда Фурье, без построения точного контрпримера! +\end{problem} + +\begin{definition} + Пусть $f \in C[a; b]$, $K \in C\big([a; b]^2\big)$. Тогда \textit{оператором Фредгольма с ядром $K$} называется следующий оператор $A$: + \[ + \forall x \in [a; b]\ (Af)(x) := \int_a^b K(x, t)f(t)dt + \] +\end{definition} + +\begin{note} + Далее мы живём в пространстве $C[a; b]$. +\end{note} + +\begin{proposition} + Оператор Фредгольма с ядром $K$ принадлежит к множеству $\cL(C[a; b])$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Линейность и непрерывность получаются в силу свойств интеграла (второе следует из интегрирования непрерывной функции). +\end{proof} + +\begin{proposition} + Если $A$ --- оператор Фредгольма с ядром $K$, то норму оператора можно найти явно: \[ - S_n(f; x) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi D_n(x - t)f(t)dt + \|A\| = \max_{x \in [a; b]} \int_a^b |K(x, t)|dt \] - Оказывается, что этот вид \textit{операторов} обобщаем. \textcolor{red}{Дописать} -\end{example} +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{itemize} + \item[$\le$] В эту сторону показать неравенство крайне просто: + \begin{multline*} + \|A\| = \sup_{\|f\| = 1} \|Af\| = \sup_{\|f\| = 1} \max_{x \in [a; b]} \md{\int_a^b K(x, t)f(t)dt} \le + \\ + \sup_{\|f\| = 1} \max_{x \in [a; b]} \int_a^b |K(x, t)| \cdot |f(t)|dt \le + \\ + \sup_{\|f\| = 1} \|f\| \cdot \max_{x \in [a; b]} \int_a^b |K(x, t)|dt = \max_{x \in [a; b]} \int_a^b |K(x, t)|dt + \end{multline*} + + \item[$\ge$] Обозначим потенциальное выражение нормы за $M$. По сути нам нужно для любого $\eps > 0$ просто найти $f \in C[a; b]$, $\|f\| = 1$ такую, что $\|Af\| \ge M\eps$. Идея состоит в том, в цепочке неравенств выше у нас лишь одно проблемное место, где просто так равенства не получить --- это переход к модулю под знаком интеграла. Если бы мы мысленно забыли, что нам нужна непрерывная $f$, то мы бы могли взять $f_0 = \sgn K(x, t)$ и равенства бы соблюлись. Значит, попробуем приближать эту функцию знака, например через линейное сглаживание (считаем, что $x$ фиксирован): + + \textcolor{red}{Тут должна быть картинка, когда $K$ один раз пересекает ноль в $[a; b]$, но такое может быть и чаще!} + + Более формально, можно записать так: + \[ + \forall n \in \N\ \ f_n(t) = \System{ + &{\sgn(K(x, t)), |K(x, t)| \ge \frac{1}{n}} + \\ + &{linear, |K(x, t)| < \frac{1}{n}} + } + \] + Используя подобную последовательность $f_n$, мы можем оценить снизу норму оператора: + \begin{multline*} + \forall n \in \N\ \ \|A\| = \sup_{\|f\| = 1} \|Af\| \ge \|Af_n\| = \max_{x \in [a; b]} \md{\int_a^b K(x, t)f_n(t)dt} \ge + \\ + \md{\int_a^b K(x_0, t)f_n(t)dt} = \md{\int_{|K(x_0, t)| \ge \frac{1}{n}} K(x_0, t)f_n(t)dt + \int_{|K(x_0, t)| < \frac{1}{n}} K(x_0, t)f_n(t)d\mu(t)} \ge + \\ + \int_{|K(x_0, t)| \ge \frac{1}{n}} K(x_0, t)f_n(t)dt - \md{\int_{|K(x_0, t)| < \frac{1}{n}} K(x_0, t)f_n(t)d\mu(t)} + \end{multline*} + Последний переход сделан при помощи неравенства $||a| - |b|| \le |a - b|$. Второй интеграл стремится к нулю с ростом $n$, поэтому его вклад в модуль можно забыть. При этом же для первого интеграла мы в силу определения $f_n$ имеем право написать следующее: + \begin{multline*} + \int_{|K(x_0, t)| \ge \frac{1}{n}} K(x_0, t)f_n(t)dt = \int_{|K(x_0, t)| \ge \frac{1}{n}} |K(x_0, t)|dt = + \\ + M - \int_{|K(x_0, t)| < \frac{1}{n}} |K(x_0, t)|d\mu(t) \ge M - \frac{b - a}{n} + \end{multline*} + Стало быть, с ростом $n$ оценка нормы $\|A\|$ стремится снизу к $M$, что мы и хотели показать. + \end{itemize} +\end{proof} -\textcolor{red}{Пример стоит расширить до микротемы} \ No newline at end of file +\begin{corollary} + Формула нормы оператора Фредгольма верна и в случае оператора $S_n \in \cL(C_{2\pi})$. Более того, норма этих операторов стремится в бесконечность, то есть $\sup_{n \in \N} \|S_n\| = \infty$ +\end{corollary} + +\begin{proof} + Оценим норму $\|S_n\|$ через полученную формулу: + \begin{multline*} + \|S_n\| = \frac{1}{\pi} \max_{x \in [-\pi; \pi]} \int_{-\pi}^\pi |D_n(x - t)|dt \ge \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi |D_n(-t)|dt = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \frac{\md{\sin((n + 1 / 2)t)}}{2|\sin \frac{t}{2}|}dt \ge + \\ + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \frac{|\sin((n + 1 / 2)t)|}{t / 2}dt = [s = (n + 1 / 2)t] = \frac{1}{2\pi} \int_0^{(n + 1 / 2)\pi} \frac{|\sin s|}{s}ds \approx \ln n + \end{multline*} + Отсюда $\lim_{n \to \infty} \|S_n\| = \infty$, что и требовалось. +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/12lecture.tex b/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/12lecture.tex index 8a3ae8dc..e3c8df40 100644 --- a/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/12lecture.tex +++ b/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/12lecture.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \begin{exercise} - Доказать, что для любой точки $x_0 \in [-\pi; \pi]$ существует функция $f \in CP[-\pi; \pi]$ такая, что частные суммы Фурье $S_n(f, x_0)$ расходятся. + Доказать, что для любой точки $x_0 \in [-\pi; \pi]$ существует функция $f \in C_{2\pi}$ такая, что частные суммы Фурье $S_n(f, x_0)$ расходятся. \end{exercise} \begin{proof} (теоремы \ref{long_theorem})