From b402628264a613e550c978936c3ea8c86f470475 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Daniil Maximov Date: Fri, 22 Dec 2023 21:40:10 +0300 Subject: [PATCH] Fixed the proof --- .../2023_Konovalov/lectures/7lecture.tex | 2 +- .../2023_Konovalov/lectures/9lecture.tex | 50 ++++++++----------- 2 files changed, 21 insertions(+), 31 deletions(-) diff --git a/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/7lecture.tex b/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/7lecture.tex index 48a8051e..fa49754a 100644 --- a/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/7lecture.tex +++ b/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/7lecture.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \begin{definition} Пространство $E$ называется \textit{линейным нормированным}, если выполнено 2 условия: \begin{enumerate} - \item $E$ --- линейное пространство над $K$ + \item $E$ --- линейное пространство над $\K$ \item В пространстве $E$ существует \textit{оператор нормы} $\|\cdot\| \colon E \to \R_+$. Он удовлетворяет следующим условиям: \begin{enumerate} diff --git a/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/9lecture.tex b/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/9lecture.tex index 0caa5363..46e9805a 100644 --- a/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/9lecture.tex +++ b/Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/9lecture.tex @@ -126,55 +126,45 @@ \section{Линейные ограниченные (непрерывные) оп \end{proof} \begin{definition} - Оператор $A \colon E_1 \to E_2$ называется \textit{ограниченным}, если образ любого ограниченного множества из $E_1$ тоже является ограниченным в $E_2$: + Оператор $A \colon E_1 \to E_2$ называется \textit{ограниченным}, если образ любого ограниченного множества из $E_1$ является ограниченным в $E_2$: \[ \forall S \subseteq E_1 \text{ --- ограниченное }\ A(S) \subseteq E_2 \text{ --- тоже ограниченное} \] \end{definition} \begin{proposition} - Оператор $A \colon E_1 \to E_2$ ограничен тогда и только тогда, когда: - \[ - \exists K \in \K \such \forall x \in E_1\ \ \|Ax\| \le K\|x\| - \] + Пусть $A \colon E_1 \to E_2$ --- линейный оператор. Тогда следующие свойства эквивалентны: + \begin{enumerate} + \item $A$ ограничен + + \item $\exists K \ge 0 \such \forall x \in E_1\ \ \|Ax\| \le K\|x\|$ + + \item $\exists K \ge 0 \such \forall x \in S(0, 1)\ \ \|Ax\| \le K$ + \end{enumerate} \end{proposition} \begin{proof}~ \begin{itemize} - \item[$\Ra$] Предположим противное (исключили 0, ибо всегда $A0 = 0$): + \item[$2 \Lra 3$] Так как $A0 = 0$, то можно исключить его из условия: \[ - \forall K \in \K\ \exists x \in E_1 \bs \{0\} \such \|Ax\| > K\|x\| + \exists K \ge 0 \such \forall x \in E_1 \bs \{0\}\ \ \|Ax\| \le K\|x\| \] - Перепишем это свойство в эквивалентном виде: + В силу линейности и того, что $\|x\| \neq 0$, мы можем внести норму $\|x\|$ под норму слева, и даже внутрь аргумента по линейности: \[ - \forall K \in \K\ \exists x \in E_1 \bs \{0\} \such \no{A\frac{x}{\|x\|}} > K + \exists K \ge 0 \such \forall x \in E_1 \bs \{0\}\ \ \no{A\frac{x}{\|x\|}} \le K \] - Теперь аргумент оператора --- это единичный вектор $y = \frac{x}{\|x\|}$. Запустим итерационный метод с $K_n = n$, тем самым мы получим последовательность $\{y_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq S(0, 1)$. Единичная сфера $S(0, 1)$ ограничена по определению, а значит её образ должен быть тоже ограничен, но это противоречит $\|Ay_n\| > n$. + Теперь аргумент оператора --- это единичный вектор $y = \frac{x}{\|x\|}$. Замена обозначений приводит к третьему условию. - \item[$\La$] Если $S \subset E_1$ --- ограниченное множество, то по определению + \item[$1 \La 2$] Пусть $S \subseteq E_1$ --- ограниченное множество. По определению: \[ \exists M > 0 \such \forall x \in S\ \ \|x\| \le M \] - В силу условия на оператор, получаем аналогичное утверждение: + В силу условия, можно записать следующее: \[ - \exists M > 0, K \in \K \such \forall x \in S\ \ \|Ax\| \le K\|x\| \le KM + \exists M > 0, K \ge 0 \such \forall x \in S\ \ \|Ax\| \le K\|x\| \le KM \] - Это в точности означает ограниченность образа $S$. + Это по определению означает ограниченность образа $S$. + + \item[$1 \Ra 3$] Единичная сфера является ограниченным множеством по определению. Стало быть, её образ тоже должен быть ограниченным, а это в точности соответствует третьему условию. \end{itemize} -\end{proof} - -\begin{proposition} - Ограниченность линейного оператора $A$ необходимо и достаточно изучать на единичной сфере. Иначе говоря, такое свойство эквивалентно определению: - \[ - \exists K \in \K \such \forall y \in S(0, 1)\ \ \|Ay\| \le K - \] - где $S$ от слова $Sphere$, $S(x, r) := \{y \in E_1 \colon \rho(x, y) = r\}$. -\end{proposition} - -\begin{proof} - Заметим, что в определении можно отказаться от рассмотрения $x = 0$, ибо $A0 = 0$ всегда. Тогда, так как оператор $A$ линеен, то верна эквивалентность: - \[ - \forall x \in E_1 \bs \{0\}\quad \|Ax\| \le K\|x\| \Lra \no{\frac{Ax}{\|x\|}} \le K \Lra \no{A\frac{x}{\|x\|}} \le K - \] - При этом $y := \frac{x}{\|x\|}$, $\|y\| = 1$. \end{proof} \ No newline at end of file