From d6841289dfb3155a8aa5fee5014bae0702b6771d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Artem Khafizov <138365331+craftycraftz@users.noreply.github.com> Date: Mon, 29 Jan 2024 20:15:05 +0300 Subject: [PATCH] Calculus_Lukashov_2023 --- .../2023_Lukashov/images/logo_ltc.png | Bin 0 -> 216873 bytes .../2023_Lukashov/lectures/10lecture.tex | 418 ++++++ .../2023_Lukashov/lectures/11lecture.tex | 379 +++++ .../2023_Lukashov/lectures/12lecture.tex | 496 ++++++ .../2023_Lukashov/lectures/13lecture.tex | 401 +++++ .../2023_Lukashov/lectures/14lecture.tex | 397 +++++ .../2023_Lukashov/lectures/15lecture.tex | 520 +++++++ .../2023_Lukashov/lectures/16lecture.tex | 363 +++++ .../2023_Lukashov/lectures/17lecture.tex | 556 +++++++ .../2023_Lukashov/lectures/18lecture.tex | 242 +++ .../2023_Lukashov/lectures/19lecture.tex | 254 ++++ .../2023_Lukashov/lectures/1lecture.tex | 280 ++++ .../2023_Lukashov/lectures/20lecture.tex | 496 ++++++ .../2023_Lukashov/lectures/21lecture.tex | 515 +++++++ .../2023_Lukashov/lectures/22lecture.tex | 615 ++++++++ .../2023_Lukashov/lectures/23lecture.tex | 313 ++++ .../2023_Lukashov/lectures/24lecture.tex | 330 ++++ .../2023_Lukashov/lectures/25lecture.tex | 254 ++++ .../2023_Lukashov/lectures/26lecture.tex | 210 +++ .../2023_Lukashov/lectures/27lecture.tex | 240 +++ .../2023_Lukashov/lectures/28lecture.tex | 185 +++ .../2023_Lukashov/lectures/2lecture.tex | 396 +++++ .../2023_Lukashov/lectures/3lecture.tex | 365 +++++ .../2023_Lukashov/lectures/4lecture.tex | 514 +++++++ .../2023_Lukashov/lectures/5lecture.tex | 454 ++++++ .../2023_Lukashov/lectures/6lecture.tex | 221 +++ .../2023_Lukashov/lectures/7lecture.tex | 334 +++++ .../2023_Lukashov/lectures/8lecture.tex | 285 ++++ .../2023_Lukashov/lectures/9lecture.tex | 387 +++++ .../Calculus/2023_Lukashov/main.tex | 51 + .../2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.aux | 2 + .../preamble_ltc/preamble.fdb_latexmk | 233 +++ .../2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.fls | 1330 +++++++++++++++++ .../2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.log | 1104 ++++++++++++++ .../2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex | 191 +++ .../2023_Lukashov/preamble_ltc/title_page.tex | 35 + 36 files changed, 13366 insertions(+) create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/images/logo_ltc.png create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/10lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/11lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/12lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/13lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/14lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/15lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/16lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/17lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/18lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/19lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/1lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/20lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/21lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/22lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/23lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/24lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/25lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/26lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/27lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/28lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/2lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/3lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/4lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/5lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/6lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/7lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/8lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/9lecture.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/main.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.aux create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.fdb_latexmk create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.fls create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.log create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex create mode 100644 Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/title_page.tex diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/images/logo_ltc.png b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/images/logo_ltc.png new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3938067a8136770c6ec6fe17260d39d4ab32762c GIT binary patch literal 216873 zcmeFa2{@H$A3yGWn;Fv-W~RkhilH*5ELo17CP_kyq_XeCad7P0(OXg3l0*q3TN1Ko zS0+Tro?|T`WXta0{O{)+=RD7OYUX`^*YAH_|LcEUx~?gm&hy;&^IbpR&-Z&jbK~?W zRhAz(e_&!_Vo^JBOq+>mw>%TmcK`3c1D|xTJNPp({Y%PLS^4xI7C19YUTxK*yuTfm zk&zZ;V)`vSGOXfc)#;sq6GNj;_x3l*KK~ zMJ(+tv6c=lc<|lB^zQ;G(Z9@aQx8)|@I_JN7d18i`Kwqg{o8mK6*sW;4IzB>#`v?I zj+P?YmUx`2v$>^;8`v5@?FsNM+Lo{k|A))L*Xb8K+TdJpcpKc`JQ)3-Hy#g2PxiDk z&cfB)(piD;qAAwP)R~Xh!d%u0=ZrN44`GWnwYC&-bg+hY=P0Y}Y-#FZc?|rgz$Ydu zCMqN|qI62}xN=iG!lzvZA8YuWABAvoLir{olTfv#_=D{9nGRsVS@GfOj!< zFt=1Yroaa_C2VVJA!}tOE+J)lSX@Y2Qd&kxLR1?3BqL)gWNL1TvBF?X%`j$GlzoBg zkKxQ+A!C59r}~8j&K%r>E*x14F-sX4D{)aFQwcLkA!%_5@SC~0ln_QtOv=K{OibKN z%9M6DEoWQcnx^*1yF$CN0CyCXmNXZ`h*}CAmK2i`k}#K&5i+wh6BRPEFq6Vyz#0;w z7JR($y2?0voU`mL2cx2X4Ue;OaW{3g{KFb(kS2}OG^^)TR))frH1BVkrslQ|kShq% zHfU~R>R@dNVy6h72wga+C$g|~wnaRXqp7ng2$+`6cm+OloP(RCvx}t#uaz?n%WLZB zXm4w73JF5Q&B0w@Ejedll2`>zuG-|YJT8wpYjYQv1smP7sfF{(I^Ljt3O zHQE0gD*ROx8KmdS ziYnDiTT~vZ9sA>~$AeEjf3Ps|{#YqmSuvvg*WRm1x}x89i|10Z{};dAoR$6JGs*`` z@$U|Q^6JX zLKvG-11XG6(?CjNGio5Dv1u9zVQfYXq%by311XKosDY5irfDFAu^Bax!q_woq%=08 z20|K}rhyQ~X4F6mW79N{(%6g|2x)AZ20|E{Q3ENAP18V1V>4;7&8UHp#-?c?gs~Ylkiz&!)2Or@3H=uO_IJzrY-YI2-ypBt_}Tu2`By$=VlvtB zH{&uf)4zQ6g11*|zWRCP0eNV0`paLKznQyvx;5-yUw)g3$zRiB``12a+I$39ESp+@ zWwB{Uuq-y+8J5LnM1p0p8B}3eFm0wbSQwkx8J5K+z<_132{2$;Yyu2e7MlPAmc=H( zfMu}>Fko410t|#KHUS1Kj7@+6%VHB?z_Qo`7_clh0R}9KO@IN*ViRD%ve*O|2w7|b z3|JVO00WlACcuDYu?a9>S!@CfSQeWA1D3@mz<_132`~_{*aR4`F#dlCF#hU`J^sqD z-@Tmdn%=%Y|Dv{g{?%{3|LvRavwz4nulw%e73|Z))m#NX8kw0tnOyqNC_Ok69Q*2Z z>;vyf4d+HptD;Bychs12b8Y+nZHk%Pz*89$F46r3W@psDzr2v|W&C(5qDMxp8grs| zO;?@VIc__?+E>Ax%)HiFq4;lDaFm~Zk-G9X!!yq~{$_fnx?$k!@3|3m`0j7!XPm_U zW`HI*=K0?Y0rhPEn<=0{tG^io+I$q0ZmEC$e^)D!e@|}sb#aqnQ z_xG+0k>X{iEi88USEW~A+@PDmzql>w2H^M?k?2llW0xYlyL+dl<&hQkgSlWbDbd-Y z&7AA_wkcVsXO0s&U8W8FCB+kqlZ3I#2Gc*_JAt1QR3eun zlSf|4`}jZo#JI6$8GlGZgS*f@U4tB(>IZLrW4Mj#F1oXDHy3+%WNHfPKJ;2P zI4l%b!S}mrKri{Ej!VwdvBy5DE<2G|`X>g`?L5>*YIWVXS56iq`ePS2(aqB$H2C6T zWp3Kp$*tH-AM1L}1k~n#r@NK(d+exwp|FJXxp?6VR_u3Q>87{0=*a0GjcF)a8Ez^p z^yQU+ULQ*TRe7e0?yRb%lVfA;g2^Y(io_pG86`PfuM0OF-`gK~a_Evp&YR}Aso?E2 z8BuQFI44ST+sdD&?q=b-a@{|srSiw{ui;xqQ;l}s+jqsN>)HMZZkr#laZUyfqn7H{ zLaZT-H#rO6du{~1z@v-^OMP?VHO9UaAkyi80{;tO#aV>PAKsOxq=&bOg|K78N z^INSwjh!m59Uf@R)t-GK6RsxqQ8i2<>UfQr@yybjd^!5X*Eu;FaCPDr+OO8U&Nm@Dq!q>L=mgg0>A8ou_pd((YM!4O@(7<0Kk zo_qX><)k;&)P0K>gjYz4eNVd#`m-{;2^M=uBcWfvyN?_Ze+*;CA2Qk_o)xNb`;U^v zPwHIW!&fn3Slja+z1Q#}XvrO;N6pGJmdZ`{Gw*2ce;n1cOQ*i}<|A$nx6alpX=gK! zAK12MV)+Zn*~5~1>@(J{xO}v~)-HxWMwzrb*_?ehAF%fw6<#v)VW-%zMnx_ikwIY% zlGlzi%s)z-(R0ASqt@PBH|)u@pWEw4ZjR=CE2T12`;=sSZ&&Ogm%KvPW2%f-iXpC? zP3W%}%p|^jbJ_xL(_O-kw`eP7j#p21mdsmDtJhcDgVNb`OIYqLcgssASy@8cQ-d1I z4oj#l1P2GFSi2PlV62-S;nqJzF54+5B1O-{9S#SMvtyH^7h^XJu5QoLiL;^GNqvJQ zI%x(W8oSTskLam<_xJmrTh77~vvH3~6?0@-I`5w{Tn(+=$1&Fu(Ahfq{9Zx>es_a3 z>HYrPQ`=D{|JPx<-<(M=87b)2J{kGQNKsEC=)OZJaJogs{#$?RbRQ5Gj}ICz#{>r0 zk=Tx5nB5*k+`oSx1gg`c%_G`EOZj1J#-bxt=x8C0P<&a3cg>#gGM~)oKBtvbp!2pW z{fkGvTT|O5eTJ^oEIBf~mu{L1p|lRe2}p8RkGmV~xX&Ncp-?OnS=U}`@$T-yi?|!8 zKw*K{bH-pl&o5ny)0JDo8=4b1fVtmQJ@D$!2|2gaPA}^~414}5W0!_yd?OoLYKTCQ zRZ?t4Gq$w+0!nb5pL6^@GClm&QETsVakRf7!dzJld7`OvG0dUs=PvFZZ?lWf2L6Kd zwy0Hc=R3Pr<(T>=dk2w2uN%HcZQvMv14jUdr(9 zx{ar#SkY+Hy4zyB@4TEoSwidwrXvNulXhHvK4S&e@iB6151v}@t}4qIy%Q0Y%)(WF z2E_fBdQz!n%Bg{vs94d#o^7YF7w6j2ef5u4F^E^=!baxjZhv1L`Y-99cToULZOY^r zJ)X91ZJd26B$PIWkYz_SjYjr$82V zB`{7iKfCzNu&T%dQu7;LhMnl#r$YcSYy8w6_hSnn3(68kZ-PtbKgMJvlvM{5R}(xZ ze0UrfuGBtBcj?+cC*$(_PYCKBO)SaW))1~azSmcQ>X$)!L%0yso?YQR1cJIXKHEa;(JWtRcd(8 zFQQqS8GY9pq}Z&oyyeR2Z6e1of!@QZ5n8eb!TJjNU3V7Pn!d-z5n5i)M#akGO>Gz< zryv{>?{yj)=3eqB9mP1j=ATW|{vrDR(BTfQAJ-~l+F^{ltHB|+ULH^cMddbN9j0S5{!KczzeCbEXR zmY&|mw$sw4%posrjORJAAvc`AskuvTs?o8nm0&!0zfWc=F zoXj7GemEM#E)wTC(}j;b_R+303B zZRhjBIE(bI_B_rQ09Mj|TVh@Sh|w;KTZYbZrEkObdCc^L1)_lCA-cy@;-XqO-|-snVP9#+D0M^{UYpBh@rmJv$%8;cG5HQ!edJ?} zvUm?zXHw7R$GcfS?e$r`Q9Jz61b@+sXbF`^`9j?-9qSho8gxQ!4Sa^W8q`q+e^rbI zR+%bP++F9fG_hT4rHIYDBbBy(L1Qg1(&L!25f44{Dob%L=y`K&317^XlDkQF?|MS( zr)rhn3b1QE8Z%{#ArVnAHUYj~|7{zo0he;;_cIV&Z4`bI3=kKaLmU?|JxhI_uoV8S zF$!k?SWS2L(rb(4bn?uIdD^)k`;LMNDImDs<<=-F&R1NV>}Wzoxa;)9z|~-9deTS$W~9j>da+qu|0XIa9;HWj|3Xvc{Pcqx!BxV0pc<5B1(UD( zXhQo!X}`cq!!Et9@Lp(-3)eFav1i>Qjfr(!y$vCWIXsv4)CqH&*&Ll1VMDJM!FN%f z9?=Ltyk>8^q@50}#2CqdB)6z*m7-n5dGC;mFpkuVQdCN?W1#zOw{;jt%$j8OA*4@;cbj~o+7!@Q; zoDo-wiW>A4T2HfAT(=LMYdWQ_Rk9BPGd-n}SROz|2w#ZS*OpIQZbM5AHW}`u$v9YQ z+c-CDy)$`3YEACPQBN%o>y3BfBWb~0IltGNFXoC|R7w&4Gi2+RYm84Mngd(!jFlo? zK^0~PLg=ws`kNT9_4hF}N5k*Vg31fFa*R}-R7QE``nc4gB_C8eSA#Pu>+^I{#d^q{ z>Z39FdpfT!)TT@+l>SOZfwOvfeLpisR}*L0Se5fK$hec?WyBNavQvi=Ycw*;NUTYE zY_GRsg`-;?Uk3`udE25^-bycSm{^+w5JJNTI6$U09yg{%%ZOhH4H2P!oZwk|Bh84G%i-{|2{l(kpEj-HWI_vDJv zSvQEkx*p0vJ&8KO;YGUCXsy*-wdT9;fX2Fo!(NA<8Q<%HiL6sdXowNED-uKj7(`SY z%uAliEK$B{{nCLRBwBGI?Xp*7khsM zh`B?d{2&c6_j90>^&VE1(-@E6rOv*D)c8=y$~9ACo&SI!gyrDfJp7-6d7jlyMafY@ zvH7TcQh625gggE$DK4f(CzqbrF@QCFTh^onu`d9_*yF}gq@UO%O#(4zaj}PE%p|t}akN+IHC<1k?qUe_)w+ zWic*Wk8ZkpoPm8oF!-W>0Dkp}n(Y$+*1KocYq>e*djm1lkmmF5=4u8ie^bgOMJ}c#x=~?v48+tt@22v+Z0l1tvv2PPTq&2->Rz$F;M zxLT+H;;3YN^f@)CHx4bMGvOedPY%2(zudCTmp?{I6~nwJbh1YH5F|ALzj@~|p4h#_ z()V*0ri^^-GX)u8K;^G=zK>~#y*UEFwC?WN2~}DI%X2P(sO{_cX%8b)`35$ctqT|D zwI&~ju&}6L0t?FIAPC_-T?96+91~w$I@F2^ORN_*_yg7alP7IQ-<5yEgzMji+a9ps zw)dBNy8t!ke?)&}vY7POg@c?rZL{IoD=y7BT&*JY?g1ZaQ^LcW=Uz{C+^O@fy06S{ zUSr^KvNbBM=gngOi-!zQf%|rGc6N4^FEjYmFNiQ3zx%2bd7Ni5`WD`~wJBEoSLQO! zRxZ*=)1}OVr#{@;vaF^QLZ1_c@&l#Q8*Fgt9zrGiO-FE5~ zVJw2B)v9{!+gMEWUcZIKDrbw<3+kuFDu!;q)9ZJi{Pc8wI7BY6IBQviONpy}i^svZ zc;u7p$av>y3_kEr>>QY0*^*u6@@J|PHo8_kb+O!fapua@wmtF=(inT=ZwDSp@JsnN zt6^K&RWP%;DQm74Y)t@=M2-^?TVoDEsC_w-Vq$wNJBzRyXO!nC_TSWklpj_JF1-xw+T8dm8kdIYmc zAtmZ~7KWgu$&;5l#{lsrQ9OJ94R@EzNL36K5|lftjHA5X|2KL{_AitWTN$fexXip4 zKmyi=6C-ii@?ggkJ^51DCylJwz5TLl&+MAw@qUcyjn|)^mItt-px%txpo=eMWI$PY zQC|E3g{z$|sqZe|$r!D#)4K~y9{LNct0unWk9UQ_8=jX5q+Hu}3bYvhAdu(OZJ%Nk z@;uu)ax)KoNjqwY(X&NmcR}__NH;BAr0yx9c9kySzuHwYfk}3zz5>m5@@g;f?eqz# z+|vc+-lg6vO{oCQ5LY#_=TUC&uLgHfrGNX9cC@jPR>&=p%#*RUT6>^n98NH1l$y!U zu&uD3M3j5BR!t$0on;CvBvFynmv(j_0v7q7bF2#M!|U&?&ST@oiBf^+sM4uxzZm-;gEll1hxIUZ5 zL)PxTc1fBBP0(bXXfyI+EwXRZTv++C6<{}--b)broFD|8Ens}|N`AnbVedu` zyxTzEHnZX{?`olnbL65ueIHAvNa1DK7nO?#9&iCp=(I8Uh?j#F;5L$NFV^2Qv-3vT z`hQ@-S7#tPn3u-Z&Qowf6p5-eKX=dWC_YAhf5%I@zC|4rl*1epMOR;J3vYNAw>YA?T9r5`k)>^`Jx7EbF8;z;G(|JP_PVwCpSir*SVm;ze*=zD(LdrA+}8ey z$_pC#!q)!LK4#^x!xx^tMn7&zJC#bL)%p- zwo-_Vad%^=f!d)^u%BA91nK4XaWV$hUqldBa&USk;5r8q!&ES;-^H|CNUeYv(6Ve- zYp=vCnY;_po#&U>M;aC7P{s~7kNvl{8ydFKI?wm@sNMSc*EZCK(#U5tvr*{*>-<1l z=6XpS_bGyV6>aIu9}Dex*)sHd&d%yFepS4pl=0*1~4<4zqVjiy(9NxLtTdI95+}xb~4N zVbPhwT=#qGeL>|RuN5pmRZ+SCc`EuvrV@ z(sA9#PAq*YI{PA5>pnV2Io^UTE+VDGdV)yn!@bHl2$e6sksMSKIJSP)7}ciXJ_H+1 zl4s%wVb#&%Nuda!Hr8%SU@t0z`e|jHxs%FV?}*CtL4|gP#mDCRru+nQI*I2s*kjB1 z0CTT+Gd&ZabYgn~sVS z%rIFmn)Y2_C(m1jrKKI9f%<$nZ!WJMVy^A<3z9R|a*xIYjYtWXfBrO_jLL|GuV9lI zEly9z(Hb>E56UTZ^8D-bRC`zT)<-dk0~0U=(nFW5!FFcW4p(OGPfNBmg38X1 z>>?@ehN3DB<9vyglDjhxh;}VP& zIl8z<<74l}xj_;mKJ&CAD!$oCl*j%tm^LMw>#4?=jR!hmet~;;Z+j+fDyH>6)w>|% z88`3xw;D69p}UCV`A#RIWDN(lz=kh5ytY^hV0EnDl~H(%k$ha2p<8*S zX?_M-Rq5uZ_T!wbp4J=+R?ZW>g-T^!CV<+AmSL&sah&OKM|s%#Psr;NQenc{dWlL{ zr>)bt4J_Ku39k`SLy~yqUy^ttN*SZE>bo1FQNvVA%&@UmWtLcL()vTAdFJP+-I<=9 z5bhh1d&o%t3Br{|ihpN1!3&4Acl-@%MScdXkn7@=Ccp{_3;u=G!Goj@@WyGA_{e#fOjnTu%wv6R71m0X-;HS zsDWBs<4!H5eP-%bA2U+yN8pydzu-f{QktQ6V4R;Um?M&sigl~|7Q)JrA^I(ims8#h zbJPsoH7aoFK=DzxJP{j6{0fby(9}VVi!KF)t|+z|wltmUg>t#Q9GMf{>|h+m>D;9_ zNdc(9`7jl)m1v%wHRkhiwTtHm76$6{9?bbhYh&hp#`P&vM0bTQZ~%sXZ(j=t5a*2b z$ha(}VRuI8awG+zusaaRuFaW#3{&G~u!CW2PCv7@AH`JXz>~$I$-$v+ods;G6Iy&R z`R|}HBKp)^Z@WxFgSkHEZX@@1JweJ0=5oXevHF9_F}MrZ5e|h1`(B+be-|EjOAu0P z?7PgP*eR9ci3bHv|3jBgFOEXkL1j6zO-UA1^Djqp`+V!1iiR0U#9L|zrP(r)cz#s2 zy6(wGi-g3o4Ac;jMHoG{n4I*=SP^h2$5lxo5tu7{ow^ERnWNgj>pkj$6t))bip||x}{*=Z#K0me+?wTD{^;}ImGWn zvcu4#3k2%j47?O>7XH)+nJ#^N2N z`Qcu73{FF^UGqaY&UR&?T0&laC-K9CogG#kZ(XSI)-y4Ye{|{FqW%?YFH+zl8*Ar* zPs(TXjHMQo_D-%1h9_JOzacw2A?;>lzSd!=oL_qYDG$dv3VU6dR4ZlVGsA(ea8tE$ zdFQS@%HIEj=D)c$6$!ofM#Jvv3B3D|-Mzf14$T1nk;!F#yq&g6sIE&pN~ z_|2)hC(BnTIZxtoXX~6&E5Asu*z?r80!#9tE~)YIBEHLpTcF9as{3r^qArWf>mTx) zz>`&wKOc)@m?LpqYU7#QM%!V8ofdf!%mkLt0KUQo_v;>U!Wqb&NvRNDF`CdYWQ{3g z-#u)F>PUqCNViSiEtmx#bJ|d%?dS}p7U{RQ2|cwNv@6lgC+@BEU~=R;d)a9Mp%8{-j=@`>iows8 z==Y;?t@OX?PU#=~G1JYJM)FuK_#C1*^bIc8oBed{N{S72pCS9|b)ujnht zd**lw0<|;k4YpHng5M11?67*^{X9)Gh%o~&={%svquN_6h~~7w>mtg`_oA6OtrGFm zWt?d+c?@?!ICApcC$x@VYL5dGV+Gr^g{AnR%r%g(LCrO98}XB1427aE>G9t`xT}XW zfm4OX?1~41BSFp`YnIYi_6}ij4IzIfE+0g1I~v}0G$nDJjI6clogAmkaH<+pyPQk! zb(i(|8G(k*J;ap>;p`+gR{76>h;;#jN1oKdqmGG^mT}*PgoYj6De+5vv%~25mFR~E zg8{&L^5jMsZpbo*DyV;&vlG>YpL#p7m)xnv7VOZy8|3>k>HK^lh=&eSnAhff0_ch? z#q?!`pkb+MMq(}nF?V%_%iEzsfi^GJv6W8DQRa?9hp>B4rKcdwR#>!EZz0Sn)wI-t z=l9qkqO}fEZ5{7fkDfcyfeFFdr&1)p>8jek^BKPyIyTM&g+0n5@G2Chf?lhv-B-D} zoABfiM@Mh&N&$^4cv8*LDpW7BRIhm_Y+Z`oOEwQM9y>g1!MZE+zF>3F$ZeKf7(0G%;a;gh72`83QqK$pziE{gx25vFPUN)J!|bJU?D z3O9$RaC0?<`2h>gz}PF?8+;NOj(Ht9KsOksmVis0_kq}QWU!0#l)gbzAGPRwHec8A zg{dP-N0t!z{#?81>>9q9#48P>!TY12N$<}7w{d+R?EnicUy=QEwWrHE5M^pi^oKqI z=7GT^E`3zXJcTm7;;tZm|8L3rALv?R5=_41HlIa$Iq)%b59qq|rl$CeABM1Xxbe9b z$BbX|JR4+kvlJYR65a8%Q~>?yuQ8MS`^EJxuf&9PRX0v0%N~OeqVid&#P+~5hMB8_g~}YqUouHX4i|0KS7CeD)wb()6zJ9uqlJ7q0O zlQF03=|}*mBJ(G$^=YKV7X*40JXShw$HJPW^wfL$h5%m-|CR>Z(c6sNTq<|#v!%M+ zm?%{J{U3_EnTY99kIymv5*R^jFv~0FM+w zod)_h^%+{W0}=e#t?^JjD%qaDh`MUmNI~)6!JVo|7 z)P4!jqS&brP!sige{83+7ENU(^LSL_15v*h=4Dizg%}gA7P&@006?X_ygF8|7->z=;L)q!A&i>xvY_SGZ~|Yz)`|$^r!k&cG20XGEw$7j<}GE;*`5Tt)YQiIt= zk^hYve1*JLZl!$f?P+WiggYC>TYF@dp+dHDP$a22+cu$LyfJ3&Ib$VRxeq45x$`s? z2s0TpBqEdgX+2ufgn2e9Jpma zPHqkZqpac8d7oY{f}r^4f1U3$`5Cda8aU=iFTZ=jwWyXpzdU>TIwwjxFmEI>+mLOWF(TVP@d zaq#5G6o@fV=tqq`MI$_1xu9r;+@r(A#eEZ?r!slU*waAQ+20qhVsOPzhEh=K`UcM7 z!S&<5;~m$&s~Ky3S+B@(f1mfI{EJ?ftU*IqMz4Q$d7*#}RTU!p$p+wX2YtXVgrxK{ zfa?D=;D_9_(1Z<;Da`KJE+22X*O?4 zZq9zIXP>D=SYTFWEOvJMMW=&BfBiZ)X!j_~ZfR`3#^(TI^FS2YOf~~p8J8q+?uLEn z#IplHVZMtAAyn*O{EY95@drM5+Xw!t{TL8Fv4u_kM{t&@=|p{FsVpcAC;D3#q2P^ zE`2*%v$t)7g8B{PvIi@w;7D4Qv~NcVJ5P+=4~z}M;45@rH93m?bfJWPD2Moh;%k3< zpq3Rr*%aF16^mfeH}HaE~r} zCzsbbcN(9uyP;SH8UQBwDASM=`Ye^>Z*VS-Fw>usBFGwaL!<7`%r9(=`fLofl`Kzx z`^8Y3^f$1@sLfuao!SF*f|d%Heh4hgySk8~m2S6G#~e2Ej)8zmk$@jPi9Y;L<7NcW z;Qx4>mZ68u!QpFZQ&Xu$;G`bgyKA%yRD}goZ)1(dWA_jZ+GKs3B}bZMlo&nD@khjS zkCDx%ni4-`PRaF?d+p{kCtGgr`}4=6{ztCw*^b?EJA?&eH2oi;>7(2tCtkg7c=dW8 z9_QmL-YrrjjvtY_xBA__d;3Bo##P>$bCrZ(E2Dc&M1{VQIC^R8uSp%kuJe8E?G;Mf zZwz|;@#p%Zl8Uez8E(DKh1HJi^+!7O>BT{X86np*&w^7O3dCx?WN64pUWRi|?8`f^ zUfkccEGftsT~raB@B~)Y-XbT*PeX=+G5mo)9JXF~aR<2BJAwGHcg~tE!*$7;2Y;A# zc2#3&0Wf8S!(R3RJ5GABa{c2;(77QF&V4HdZJ@uKct`fav!TbUV{K-7)dc2V(liHuQWGb z(71Q#$psm_W*skb)G#E_ z5sQERKHwT^1IVWEy^NQxWakMh3x>eG01A=^9EQKm)$xCwx#QRz^O3~>?~nn zdwcb1(wKZjyXb9Hj!fyue`<%uv;hu~oAQ>e8{DN9!}H9sn)xNMHUF7 z>Vn?O2Hpma!t@~IJF=JgZzDx7soh>QZD2*!5H%@7N-sly(AEwz*`!^qQ1L-8>4mq z0=}iY2`eLI%P@0`>__kG>~-%ZZWx>SxtEX6f_`+Ufcl2ojKVASqc+fq*nqpqG(kZ| zqM$^;62DaWFj@w0R0qJoz>cOG$0AwVS**3BVVR>FmdMalsLX<+qqK0re6OGPF_&a; z&~w76;|7m9q__Uw2YGsDe!A9v&^q%JWAA5a7p%6Lmj!*~CHKKIze9Fo5D79e_F3UU zS=k`9nD}R<^TSEB;+yI##t7`!^NI7>tel|t;LzAJlP(gZ@5|2<-nu-Mw9U=Pe(b92 z-F-8O(bbG$+DzJ^nB-6*$yclmUJSBe!@Xqk7$oDGLDh$exzS=5&gY6%pfwi-J6mYX z`{^|~FV%Q;j0g8mhqWK<5s1%|umsdyv7I+JM}|6}?!ZZfsCaE95tQ!OVN4O4K3VQ+ z$IsXG(Mhp$@3oE?ZBXRl6rv!1ud^_nzj?1P2{nJgN4L95r~LG(f|8SizP^GnRSN7X znwnThcNsj`;Ljc^EyFBPua_KK7+qEbF15JbMdk_1^;Da8>7dv=zXDdxyJ+ktk>J^2 zpUA-8RXV}mEDPm$+-gl?Mu!w;J|EF(85Yd7+jg+YR#A>oY`pL-B96H`P0%g=RJ Tsu7 zg{Y`nAGXYS>ZP)N_YR}gd=Cq4Up8SnG@dnVqBkZ-#>d3z^#d6ZuzoRlCi52|Jprsy z?vrKWa_%Kx48!5#6LnGdH)5Z^nz?@eM4{?2y~jpCYwB7Ckx-;0=;K?AR8)34TnIOg zWz35far7u_((-X~&7B~(*L(;H@ZC_j$Rc~FgBTZq!8zbcWNaCtMXfx%^`so{fs%f; zE-n$hnq_O_D1biacat8DpRj8gex34ol_e_Q=pJfi`24?#b{EloJmaV4NbowBeAU)B zERfjr2rXPxy^ZY>N5|J3L~A^4XW&$~5qEE?j3qwF-Qj`Ddk!eTSC15^WZzLImU^67 zdubhSpmdN?ZMDeJxZDif8a*xEDWF)pTzpm-)!G~CR;N-Kt-Xu>QWmCY7q^AAA@}NP z=I^vIstX1`M@A~1eE!$UN^k6$y;&!SrSINz@SJ2k9UxX;I7e5SttvUH;z3U5x$eE} z@pv8JDf1DKwa@2Ax~6Bvx%##+gg9hRT`jEy*INuiY}XUTrSdyq%DqatB#{~>%J|S> zqV@nnWfJnm*^8Ca{9!5fcLVOf4{q(d1JqXbELXsd4RZh+C!6Zl9BC~T8;;T&{2l<4 zma$3wLd-^-iq^yHfH<`f67myWZJnqX(FGq1iq2bL@fm7<_jw&;7-dq_F}v|65Sr;z zjSp#d)@>Ps_)en0r|^XybS zsf#hh^6DTQmDs@_PfnltElLMda*wP9R&T{Cex1h87e2p$k4|fScuE zYbM`{x82GsvM_Q`Bi+*sieSJ}{6wY9<& zp2^8Bx#>l=&^v708sKdkg%VbIAHd`PS;FIqsjg1H4W{b~mwVM1pnqi^Oaw(c7cBbD z1Z_mfnjDpMC>?tnJqXX!)4gzJSzs!LRKkc~EAtQ$%DI4hS*b%MSO9x>(I_HM72`Wm zqfgcMQtv^cVkF~xN;HfSf={!a&MeVhs7ofEFQ1!$j4h$6EIYYyzb)QDeg46sk^Eo_ zqp_J>e5}|99c%-?b|jSNy!YVwHkyrQR3(t|3EM zFH)!>fvjYroi0yXk%?*Ai<@J`Pmf^Ry>O=?ylR`-`qm%_g2g-Z{JfS-Olpu4v9&kO zd78POF(X8~AuOh&pnRSV`CEs3DC%Ck7SQ(U#n`Up_B4hXt8xxTZ_zn!JIUQrb%Ry> z5cr8og)qpZpRBAb={5%Eqca|Y)-xg~wit1~efq1dW2u<1(Rz3i7|SyduGvAl7=ej# zj?}CuF&i#ng!}%sh`^NW%8n}$+K9)G6h5zmkZ51UPx{-05N(8bV&cHZ9VE68`DKeb zD_fJ}58TGSg|xk`+pW4hAt0$id}O52qm?5h2)zSDi8|zpaFXFpf`l%3L(;IgF0E2K zjIPu~ePPU*QmU|p;7zt!o_=?y;a!=vijKKD@KTq~D=}vF@)N2)eR#jwk_d)U$=?>S zx{&=8={>s+m~dD)U;ZHl1m>|CIsJ%*#|IBSCNC-A6;ZiNV;gMewh5F>Is<^?Oj&0V zP?~WOPM_-B@#TEvdyK%%#0!S28r#gxdxsR1l~(_#v+~RnZoB~c?jR{tKCjBo$l7l^ zd$nWC6P&Oee2?;zI+%6U;Ocz|+gm})My(V`3(8+W{^%80b**DV6wX6dj#CLI;kj{y#Z-+8?v>0;&k_yVp#SesL39y9f zRjbtFP5`#~WOBC0*b)5}E4-m)YlGf!mL_A3mV&@-d9A%*iglyF3m^9-Kma6PmG#&L z-nK;JZIdwseJ8htUujfEEXT>b&MK`!Xt#(ggtxu?#?_rno+;YSe)`rG5O7H|Nhr0Q zMBGDNpX8v=MMEJr&kj=!zMWp<8b_dFt0uzc(o)G;Q+tGXMm0fJD3Ko<HD+#jan$R?L-(%hhZreyP>vbO!@CXXeEQMnm>L#l%lb_<4J86icU${jkws& z@nd7i6>~ZF6#G!_-~W2hwGB$8f$=_y0riqWc|l zHXYsOa1!DL3iAbBa~$h+zX7#5z)oI0I5g9&4QyuQF$HleG(q*9?d;&hm!`g* zzVRamK5?!NOX)0B*GD?N%UMhXbc%9SRrU<9_2J-^$9KcZlPAW|rUpkDix(a5v4zJs zYP)$~9tsJy@bNiKY7dG~tUxp;?B4g@D1DyJ$mN9^Yru$&ybiq8yCX3=)eH{fSj+_7@gFw5C&NhbCA^_3Zij529l|JR`k|g z7iVN#D?h-ntM*Q_cITV&1fKqQh!ObFI@U=Af{ory>mIg$3fj&l-IEk3TkE-tM@y}q z&YRwn>Gdt_<=lu6uWwS&_8zUf8(dBqA3>dwk`VQTxg4>P$^of(PR{P$2oTsE&%BP4 zRDwd(^oF8U5aaCsS13*9uWiSO>C0GSF<&1XI2`ypMg z(EvpWXdq_wHHaM~9VVW7Ei0@*dXQMWUZl>Mn7ux~ z=*4`JBwIMI=qXX?`MxNM;4-`LUdxCu|52gD?qk;-1tuomSc3)`A$9B3S0maOec~m% z5-$Q-M-?BFdOS*3SFin4+plYQ-BE3g;JUiH^KN6dS<5TCb`3i9-42jyI}~~F{S6^z z9{Ky-J}c@Z^4iDR=~}KIDBGqP5chtH(^j6T*KK$mf11!+0eq%jfn5u`93>dx`1(Qi z(uXB-ujnu8>>onkpL;3Q<}*|I5pTVkHPSy5FbUq}HNf)A-rl#}=e(P*x$4elYV6)~ z^S8+3gO!)#EU1vK!dF$W58v0ks(ogZMY5)b{}gGkSFfxT_d&A1IX9;N^v|@-Kz|On zrqST-1xFWii2Q1;Dk$&9g+V-5vH+;uLH)Wx^ZX^GH>8BBq^4zIly%@Qz-vxZdCj|C z=Tabe>X#=&;WaB}hYPe0FpfZ!BKu{zb^~%7JkPiFeGw4PGtc%{ZXf`t-JIzcm3%zA zBN^)uCRM~aJX1hy(zB%mYY(OL^(d7Biwj0vlRP+Ur_F%wm_qNu{M3t`frQdBX=0@P zv^1YtlC<0@MO$0Q9cPNLP8R#3@;prw)?Zj&TaiKU08xV`6q7nK!me8+)&SOE=S3V8 z`6qh}*r}Ao{YY_i701m&kKmP8y^5wfLR&n@N9u-aTam9GiKA1vl28!I9 zdB>Qr{Sy(%!*PSw#O6;pHRr@Y2|NCitvaz@SFdfouiM&}ml2;0NFtENvyF_MbHQ~$ z0rEsWo}LY2Q|RF5LKM?d3ctV3f2)*%SFt;JTA3}?K9oi3Wy}63DEWw#l|od{eys3) z!;+7WEgRGsqZpGBqLc7*@5_98?C)x))Sq&3zpGM#mX(U%KXqWt$O8d20W}K~S^(x$ z?E8$xL%D~v*IW2_y{=kJXI!h##8yCTE^HKyRNId}>oZDwuht1GeX?=yUK-9)@YIEn zUeyG|_Wb^E`rg5AMN}9=9wodzs`#0(*5DBwse`Harm#KOXE;0n_YoMS<-4l_j5P%l zL;IzKSxy#|zvk^u>s_76KyGC(*WdbB9B&zZlJfWhPw|s^A(XvUAX-;xlZd3PsZ34U zD;~zw!XjPowE+qrPRGEmdV6e7d0|Obo~1gK>}k1S4K-o36k7MZY&K{a-XAn3V&tXm ztB5ii#F@Z-orVS_G>T4oe+30<;qkt-^*`vLh|N`5IA?!A5}RINlp<2`cPg<-qkE)K z!D5xO{3T6^-0Z;I=hFqfDdsL#@>HXgV(sZ!8Ba=vu;N)Lgvii*QE~4lLijZ20{){f zCGP}!(^97Mun=R;W~zW+hA{B#7tRTJAIGKa8f}caa)Z;#dv(a#uySrSaS7E)4KMMR z*eiyfr0hp)4W8q0>~UG_Eucv)I;unvLiN?v*J;g<)%%RqpuaH;8l)W-Sbdh?QHjke zQsZ?Fp=GEVoK%eq$)0(f1jePXo_gr!2i*AL*6Sv%4)o=qYc8Kuyg~J}?ZU>NWaKrMRA6-vIxL!~s@545 zo#h&dbJc`O?~l{rZ(HOxc+GJU+pj-YAaYVDn|dv~XP@S-xn`iWhM-3GQA0bmx4yf<2E*T*nx|3jCTI6K#*QrTz*TjH1LHa3B%y3Ch>`dGEN;(8ls4=w)bShZ$ih zvfoqNc$tOk_IEW02X7C7ccGmha+cZK-+e!?>$HB?^k`wDk2{LHM;u~QODyr|#%@$0 zstxZJpj4)78k|=Wwf4$OeEus!Fedpq2e5Jq#g)-*9O_%eq84NQ z;FjEAjyNYfstmdZ8*22~;vl%6Q!+3yP^27g_%v&JsXgkeZga%Q$;q_$*AQKM+6QeXMhno zn&dK)DVRP$Ab=L2zQFXi5JkV*==ABD+%3uM?n$72HTp&1^+718hq;#jc*PvluQ-{q z8KIz&PD!-p5Hw*PF!d||{wQN4r((R#fvdTV3|9kk5@3OJ9ftq=fWJK)Tr@7q-6YS4 zeqNeB0a8knKBdXmUm{3Be>^3n^NEb)NH$=%S1$p&kd43_7MWD1Mi~1H*sn*UzZx*4g9oce8V+ocoSe!mF zQVsa~Bl?GoTqwf;FA8D-Rr9MYesr~`MO_PbXdh$Ie-9BJ<^c9AqczpfznyM|`bAtZ zzf)r)H2s3gDo5N9yDy7d7wMC_sMrE}vw7|pBqSstDB!NJq;Y2l;p)iBHvLQ#%O!>& zCij=VB`1p{gTs^)PJN?1>Y#d^^iGqs%_`1$xDwW98NOwB zwPS2~s`SsH7bwz!h@d5*nx9UC7ku8JCFzq0X2YmVXtIL5I51$cM_Rf7Zw*33LWEgg zPXy#@s_{f_imB_xc6kg53Vh&1Gs?)ei~T{rcMG(MrMw;I7$=sjQMNvc@bqMRk@aQz z#L`Cf8h3*-u_Qq3b~uHiB_*jy|5jzL2pi9oGC-lx=Zy9)RZD3jIU6t`IMW7AE)5sg zrG$ZZfvGZvcu}k_y$pVry@lDGt#8>F#3}U>>q7<}V~-PyG<8*6b#-;Iy~p;nX62Mv z+ihoMNzxGe)&=W%xWi{2RKpD$)v%N|^GRzXpUF}8Jq=jS-;O+oyH1YO_Q8n zZi5BS%LHS<|6gV9Y4Q>~xvV%R;a5w%N&kb^;YNj-F|d+~ilvICuJGvij+g6KoR+57 z@2G_)D3Qj*XC~qg$v*CW;Cxh=c+qHaDvq7?&dB< z!11>=b)0*3rDk;gMxwT%>&1!oSvfiW_rYfysx+0Z2eMTN=!TlxySPZm8hflia%f$C z!PVI4Jyg+YKl$L^M0`boWkY^_Ouyr5KGD-=?s@C_^s=x-^ibkXJX zHno^~Q?>|N;;NixT^xFllY1}hz0OW*4cVi5?2vu>1&@Yhp%DSbIHL+TVJg1?O>sKn zw&60Sz>t{_HdMrIckTna!c>J1oL7D$E4?%U$W4(cKsm^qy)Ki>o&vVOrnKy{J<9Gj zMo$=f@l147x;i7dY6PF70`JPy?`Q9z&45@RdPV`SeH|%KasUSnQW@V0n+3mz*MDn4 z*s0Cpy3 zW8)!>*=qx`Lt2*o@<)9ldfLip2fegr+KTM1{x2hb(?mE#p7;~@;d$);@rYj~4sMb1 zhBJ)#={x+_5kEgUc=tCDBYr*jKR!6SLY=eNMTI>>GdGhO*o-6wl~J-ouAQ)FjX+)$ z{Bp$a@$ZknGUDgo51%hRaukgCbx=n9hW>{UzoiD48QdqK?d4$7|7LA56-2jTUlS^sXt5B#5L z%AAK$1FZw`@am4-_Ty`81gX8r+I7P=O&jT<1j2B6%Qx!vaj5j*M`Z;m+(gZ*%*%2W z5jj#unW5Y6mI(mh%lQlUO-*KfDi5ZYUzl-%(M8ueU~{QabMJ?#{E#hDNdODE%lqx4 z@?ib?GP8?13`Cee0e-=GrIR*yIYHGa?_k$})3Lu!IJrIWX=#B3H<~%&WRWLqJ6jqt z-e~A|a;=mxvk%0>6@(+V>tcpJ&rh$8hs_o({FX=Mg~y8wXw1OtQq*+jQYvga+^Qmr zy~Hz|Q{(EO<%d6WR#z7)*ZNnQtA7jA+lTFQd=<=w0{`TzbS}?-@Kf@-2tmd&E2BU` z_@WzS=IMl%ev46N@xujUBk}H!hp8kG^>=OodZow|nhSXf88ktW(7g)dy zD_UfpCJl|ByH~(r^o<_Bbh;yD=4uVwpys`6*O_OQpwMOXR+xS?$w3VGWycjl!;!}1 znY)zmzTOz~1t5aet#RNhELizR*_Qix_i#_@`W-KfqiEk-PO#VygnyL;i|C^@j-owL zJrIjn*i_V#+?V<$-+vr#08{T}0)MFq#DxRi8SCSqzf-*^sUe8H-PmX0)qE}^h~)i$ z==u(*CbP9`9Pj9zu^^*})F`Nkhym$Rq8AVqfkB!`6{L3~og}DNKw3mZIt(BpHPSml zsnU^N14IIZ5(0!k2+4nfFy*fQd)ErOSWEMs_B?yo+sXKdN%FMnq78xM#;_*rcBsO$b+2IKPDXjuLXWH8;?zN?k1 ziytKaXWCx;ZQAaGX#-;U51L8n|6wAmtoEbpjqU$at?>FUF^TPBR?R_kq<48W3I&Wi zL(=k=hB7ddmDC8C3lOzawcsjK=(Oz+v(kWtMMYMTdY*p zhFKhpTJ%rO^jhL?JFXy4U77lFH@&aT54W47Mw#gNF>(K&^uB=HzbLZ!SISY(r|%b| zHA>u6#}Ztz%6sS2j(h7ipys7hnLB%nW)%0o z2?0ibr4CuVQMg8b(Xo@UybKbTgoGQuY=yEIo3N~NIOD$aH$q0HjEQg4tN&HOUUU34 z^bY}mF8=9}(}s7IdRLGBeWiY;9jEaR2{0h{FQ*{>b9En;3n#z};RE<{9^^j*Wre21 zE0iW^5AV;ARDSc%giP+g8OD$ydAH`k_n*nF<=$K2Kpp7C`;ETY;BgS;Ro*U*BmFat zBjD)YzE$n%Kk}C7wJd6$!%q3XH`>pC8*uRF9$|I?o~?Opu+v{iPOmp|v0(eC=VFAC z3XsAwJMv7&kT$*llYJ9Q_}flD_xJFIPX(_oE8E>EcTeyI`M>`|b7PnP{*V0*F_u3^ zu6}+2627)OLkNU{{}p_ZUjGz)@4^2zfLN|=#>S5dk1OW>EMMr+6$&C7*_TBxGruF? zsQ;<4_#p8Yl+eBBg#(EkcvF#t8Koa-OWWjuz38@w+GyrK18Nr6{{lebjVvXMdKAe7 zLBuCnGW%&u-BS}o-$vgQ%V%czcKSh+-R=MBQSRyf?cM)i332<;<$>L_C8zq6`;|Fn zk^j5fd;coj3lN!G>82(xL7j2Qh4N3lAGO0Cv9dDPd&7;>uzCr_TZ9YYOB$yKO8%+p z)Jf?fs@Z=y#M|llglhl%Cj+@7*>PJVt)>2&Y8o0IGhy%ITi<~Xx1_^mRoiM$S% zZHo2u^z;o4rDXLDz7xUkz=wzDvZw=cVf$A=x%AQKm|LyU>bJ6aHwFy`NEk6gQvPNA z#T-6f*nP?S%J=0T67%>3=JNzZD2B(5QS{l-M-7f0J7$0mkG_29@ZszT3O+wSpQmev z*u=w2Y$7f^$uM!&tVqrOU=ouf;F^ySksi=jGu5=N05u>_46GVA6F)p@Obq-slt@c` zqN1NgC+;M|?~l(xCrF##s-*4*q#RUCo6a)-W$G=}u!wN<`myNkh@%md4e%!|s130r zG{czq{KS>qj}2-&*qHi+#IUqyGHMHUwnH;^6sX~E!8;vh`%vbLFfZR(9AN$)94vW% z9puNgbX1FYE-}1BK<=-Xxm_^3nfNEPd<-hGxBJ00&Z$~9ov zkz#IMWAVte|CcplHUat(^H3a{@335L(w`{b&l!FU>qZ$=`md~1slw&Uf)2LTe9^}g z(oD9WgoTkp7?CmQWuy!_x6PTMGSbYYm^SQA=Wmyzn=aqYU=SG$1~Is$CVAV=-X+A} z5&qpc!P2Z&!lvtEc$CdR!*jy@D^3Ct6&?q5xbYku1y4UO+*MU|LI-uC{9d)Hf7Su#_yAV;NTHrNG$GQ&12*O2El9Vr>g3s*jmMo-dL0que53gV}&k55bn*NBl)5HeB%Wb zwvX2~lBZJBk$rT>1>Q+rKo zjW$s(NN;3iYQeaUzQT!;qU7+N_{{0<$qz%rz1&rPW{U5)&CU3vl zk+ySKk+xHC(d@hFb#C>v$~1o|p%!fJ??xOtvHDdX#d9`V%dR^6Qs_$@96_|^;32cP3hTm=0#HG+ zxcDl{}aIVwzVKAJlBlyVaw^sHGQ?l2e^Ks||2irO3hJZ9|MQVozkE`zteQAb# z3H!;`yY1xYVH7QD`E!b50b=E=aOu%Se<2Bw^RrxQ?5YGqjmk?L=#oT5gYwxY6xpUD ztTm)`*k)ULno8uGP9$Ci<#9liRMGZE_3i>rag78Z`5FSN8haxHYE6 zC9MxNqqnM^yyjw}!x5Q4F$t4qoZnbi=1Zu8gg<*$8|>U%*+lLhgq>hlW;iKsZo-lW zM@D{&xvFsC>h%(dt488yg!?FJs?|Ll--CnyW3AROzxE_lDCzX%d)IR+UuLyCLWR$rK&dG%4kh+lb(*Gs9J+e>K$J)7h=Fl`5`lArK@ zB63<55)o{5Er5^Q`tQ}kmmZ<-#B%)xLC8T})d|)u>$&ooiw3D?ZastGnEuS21T(%d z)D=s%I$kO(Q?Iyuiwf1;tun6u84?Ig4Jimm67GEH z-*wr)HlkU29EGHSGRUt%807D)a+kDqzWNv(+wu%g6Vg%Io|2RDMOA;=X)Zt+YB!XE z@kA?8+TVE-BOKC>ZuwlgG0i~H4otXx(3iVlGF`2tGPzW8-I$}^Q_OX#7& zLlX)QmJt?k<_j2+$m|*KS|8t`cc#`iUp~afmjvLnM`!}j=d7M5r!($u=f46qdw~9p zm5CW7$_f40berp(TU~z%lB}f(NZ)T7iwrNV^h#E$T5c7c?aM3A&aj#PX4skh=@~vd ze(GZq^){bCl|r)5)V90#;IrVolR8${N7w14L*RotbHfE|XP;{#Bb0xgd|S$p9nwa| zgDs|ku&##ttjUv1CaSLsmXbu@ZQypCnB%aqK59J__H=H-iu)iNvgq5;z_;YoDpImB zb>Q)fW)KD{SZt3bufwVD?}7$f#|0vs5yH0`ybB4xg(b6gJTP(YrjG8;Qho>uK^ zDLf28$q4u>PHPKU0%4vUp~2PM+S`QB9Z=!mX!d9G@q~L!3B|ORuYez$E9QtNH|dLw zshPD^1)Jj$;f)a~&iq3jSAdm+0cur-bQw3s@tj;&+=v0uv`A4*$nJ6|B=be+#s}g@ zW;(Lo>}Hbv1<+ZmQP;D_@NRtQaHMZW!xtvV8}c58c^|V9dwx49ca#NH9C(ha&m{U; z;ieSu^R_5H@~Ue8WXfm}^@cxr^zd{jhQ3qU7SmYO=^WBV;16y+10&#@IXGsMObq2n z-z%w%uO3BZyGya9NA7f09^USNc%GIOXgkBU0^f~={qAdTt3r7Ny5b562C^reS|cQ% zQu6a;tp%Fl1V3t4D`&qJ(#wl0ocphd3Uztv+51PV*WZ6)zw8a`waBrOn0AF!M$%ws zj^FmEZC^6HQ`A-|X45OaZIz57@^QT^L}7KV zAmYG{cg_pOSVryus!aUiO0yzT2UMDtNVe@3YNBQ z%DiCxkNngR`*-}@^UL!XyqaXr%=b$Ao!RL{0I=cJFMLQ|o>6|zXsgHs=8g4mq=LZq zu&j`$rrxoLq@Wb6BhIjct|Rn_uFYgRF3$T5(q+dFRVk0gh>1=1kZCF@*4e*c#ZB9a34@3O=Y!Tuc8gRXzOy zS-sjPv_bAm&UvEIq3VKyX@uJq*;6<2(>8wJ@$OG0KH>WsEqW+NV}?Pz?{ijGM#e

C`Z3B?#P9d`uo+9wzUMa~|eQn|@5t8U;V|F1{zy zC%j(A6qKUo=YGu2$#XJ6-Zy2sIeP#<)-HHe)(j9*zw+|zBXGj(Ec6UEDh{ccX5PsAhs{bP&P zx$a?z0DF6_`s_A>Y&8`DUogo3m~Cel{EL8mel~w_{K@54HR{X3nqA5#3gBrD;$);d z-FwEmZTbb5OoLhx`z_UbEt~G9nrbGfn{C{K=G{*a%#I_6YRRf3S;lf?y?G@wuC}B3 z`XM$W@@k!It-B@um~AF8JVq3s23J0Vb_JQG;CimRR;);Exy;?K@f{w~nzH6`*bNLx zVJPwni`=-K;&Fh+4gT&i{iQP7hecyLK*Dd5p`o;wi|NdmJjmQ7^c&2qaq8@Z;?5}$ zshx-Kj+)6!pDq#GPAep5oWc0W-%1xgbjv(~k*ehWe&}QnZ9}!ddoxxsKV3pj?!ie8 ziB0V;7ylaS;J|euLT5Y&d{wi+!a$|nK0l0g^QRMnpmHT0{;9IUM4z1Pia0sj860Ih*gQSVS@6;0JYkS4{aO=h z^vshf$g;2@cV=gnsV_0n+;1FUYCxB98#_Xy=8EE#JB>T(&{`J$d{-l6EJHo&inJ%S zwDc(bXK#iBUhQeC0V2+3c;S4LZnvH7**;SbYc)N?ph&A&ar3PSZM-NhRL*{?dUJD> z&`|R7ppLP;%p-jBnvEV8W0Dvb!}#1U$($@${@lzUK2t&MG(sTNj)InK;^XUR#lnS_ zmZoq?hps!oKMXCMCl--xtbvtuu>?Yop_#l^9W9mkZsHlUZ)pPX-(aX((Wh;jZ z%BZ3R^TUV3_@aCiJU1G!%!TAlDhD}27K+AIIE zt>DegD(EY8_`15|(u(Rah`Q>jPFO|l%F6_9q z+Q?PXpNv9UQPR{fCQ|3{O`Q7akqJ8{VFUrRlDa@>hcP5HGIA=I3+)kpDtWkCiS=PH zqOl7L#OXBn>BbC=htp{%11)bNBm}2p!_RgB)Mw(Swe}L^;qQ_?Lh@7xyEC`Ue?~cr8u}V zSl}1s8t{de(&)-OU%R;!TxL=&HDF@I6`Fv)H@D($Y^6_6aJ1c7fcZDK!{|*XYjB&W zTGS*~xnHSUQs*XH>|K!Nh??pnNIP0SPcdYk+@9D&aRNgehGI@3KdQu)5o)7*SIKa2 zz|pldS}hc{1_|yP5#HAS^7&eA^5|>zSifu;NMdxt z;bcph$+p|eHJBWxI@N=Mvt{G{F*|H>Jp0pgYJ@o9v+-3E!rc4?l)GD{)gGmV1~z%B z?>twxL@_IeHW$%CrJ9eA70&lVr>>gb4@QwA;@o={51zd4Z=!F+0jaiY!qO(yB$Zbt zj~rxYY8h6kgJ6+|Oe%c$#aZ*RYi}D$INY9pbwwq2UOHx0`cC?xzjZFKieZZD_bg;yV#S!}jTSN>HMx`zP=v!H zx>NIH6mE2gT0?qz8oQ=Pz0p+=wr`enQ}zVsHwi|}3HXullyV=Joqj`gJ=J?FDyLQ$gK2*H6GWZw{6z@o9!1BR50jq51MYr2n!*ph+pB^bXQh6Iz8= z*F0k_0)b*=Y_soJfXmjzx%v6%1G+D)syzD*JG6HJhySM&MYbJi#I{!kprfpmGy23# zXw;uMXQLC6if?x}&%M}qV($W>uZF@>0m>~6mOGZDqx144o{=80zb#dBUg*5kRSsTq zg5NX&BI(x7Tj+)Rytzs}-V}qSu3-&p=NG-V3!BQHE~kFXKcfIxG$$v=Y>J7w9B56o zz(guX{-@Sp{ z-Y3Nu(PM-Y)P`g~JnG+e@~cn`89Y$=N9kfDP%Mgl0<|1EvxAqh5Hz%S^=j zN6j#5eP*1g-O7^5-JCkInRPGW#0lC!1x3_wz);NO%t=Kz6a7IhX}CZbLWQb2D+vq! zw%qfo_2$@G%ZKvWNWjUzSNGy8*AmhYjMR^Lm-rW0LeH1Pcf>EG>WZaloDY1o)wK0y7YKd~z9)5rOulsKH*c$H{c_O;)R@(*?`gdG%O z3SE~S=Pj@nbgbi*5SLqLuWv@t$ZJ-O&k-k;{rxR#Ke#P46L7Rq6{^ebBm8`@ynl9cOn^GS3j zHj~RHFfP>)9XwQJsiJm8$0|(Bq3?{Q)a6*a?0FAa>+pnz^Eq~51?QW1!mmHCxvyGx zAmftwZTA~`ub+vC&!B{=n2yx41Q0_%TJNLi;^PxOyH)W5E{9t~Ac}NepqyxnFC`Eg zIED{a$t$e)mSMw`%0vV`zcV)s62m#$oVBgLhmAm&$ud52WiKnsS5g7^51O6FJvDsV_ogG z=BqM^9v-Kgkba53NzO7Z=)d9X8yPqapU8i8GEK>-DEkVQs2eoM=eHo~2)T2bbs73Z zS*>*@3HHaLQ1h`X3d=$lwh-I5PGgK^%VbrN?(kE`ysr+F^fhY0A+PM(4UQ?t#=*@( zS)brwA@&g^t#ORv#=@GG>QifLdii^CsMbj4lfFCKddbD)=jS?5aV3lin3gHEIn!+7 zlZ6JWB9-+77jPGh_sCi#qZ^~!dz^>FTi;f>A_ zFMOf7_ACBtD$|EE^_#EuFBB^KSFio?rky|L_~=$6e!F&a28N-n9>KV*qkdy6HPVRB z$36lxlBxaIcI+$V5LkO8%^X31T_hYt(T3y7hRTtWwzq`>}B6j^TgrYuMxa zN$8M=YUJ2dAyF7}>*kDbaxB-@R;0yTxl^4ed4piCy3?lpSn}tmFB&xrn<@-3VJaJ= z7itkEkB(j%kEKlEcOYM$nP?7WVikNy`jLpV={Sg!5q19 zPDm8%wuPFIi>LGymv%N?;@)t(;=MCVZdwdI24QGdz4F5+O!os zZf|8}QZA1vpEP3R=2X<2yGy$gK`7j|+@J%yg{L_Y{ur&UO_MMUtzZrwtTq+bj|U!QMz;g0UbR(z64p+BEO% zNc^{2OjF<+KYU{hDP*AOy~5e2J13k>y)*!OD_3-Wi?+-BAW!gR;mg z?LIw`5Jd_3b@f-Q_kXZOD4jBb_HMLCN##QodtGU2xf?a)QB9|!Bg@QEF1J5s(YiYw zA$H3i>eZX8Dd`#RRxwr5dR;W5)FqTX76lAo-TP}(1j~;GQ1^=;n7`{xX=NxFn7KEun9U|e zr5Ng+`6VzS)KB&nd<$wd(q1L_?s3tfbt%z_2mH2-QKH<|90K23|1eDstF%zx>~~bG zLvg!c9M9#1maUTpg^-jtZwG$i?3XS-$EP}Iohy24=P!?C^EN^4v9${Mb zzP4XbA24$QTa1mZH1YX!j;(s%B=@H7Rc-&YY`Z~IAuxXTnb96IxK|&Rmia)zRTGTg z%EQyMslhL^xxr5eoN6!s(mcsSZ=KqSE96Pymv(mTdDx~gWC0{uv(EG^JC?FGXjoQa zBf6)QvpLD{F`!LY^ywvirEH?8xxho@$UKLS5#&FPOLk#z;%CS%Q`%NGJN3hz2b9JT z=#G$WfzWc|8x=uI%~Ev`M7qWmmQ^wN9g(e7v6`=MI6-S4Q7`2GSAf%SpE71EuhceW z!T8C8!q51P($yj7%=+o*mt7z3zInl8h~;ccIDFpuI7wHEF63vpq_mYmfnH!G1k}mc zxM4!kyb}wH+5_*x1o(fs6>%g4ocYNY1>Q3dtF0W2wdCQ^#KS4RBH#c`zuxhT&_G{` z;J-Z4L0oaa^T^D^+q(m;?DwF z15dhpOx@VlBKRUp-in!t;O@X|=W%5-Jp$qAv|_(|0e` z`N>&)-Z4~I%q)zT>|5&an)gGy$q8MXTZ;v28{{pkHcKke3$$wC^YMw4x5j3RY7JwE z-!r*f{0ZCCnyni9BeGXJ9`5HQY}V~X^GImO?O@y8s?MK>LT zz1o7CwRj#M3anXgot7g+2V;`_ZYOd(7ApC&yoY5bNV;Ga;&0-xEa+J1(veaGmS1dX z>7Ac#iD&LZ{fFY>UqPLK>gXuw{*&^IyfK=?f(Tt5CTH;M!{_YRhQ>uB_(w41ZjJGp zOLywQA?Q8`Hl%6NJY{|@Xyf`?`!qeC*s@wOPuK{&G~at7;jT-lh@>m}L0kvV_YW0E zc&6b;cr5#ZACaR^IuGh-T zDqvaP=*i|v&km$!>Jx(NuR0q zmEcO+hxZ+8?0L06x+wVuOk7Y$j}>(}GkwRpy%wn1TU+`yp;SeoLT}SbfK#q-k8?XZ zLPML)aWH|Tje7634$k4$1E^+PAlf`El(ZP;XD*_3&EJ1AxKL7H+kwy%ge~3C^g~~Q z#Qrrd^qv6SBEf{uZGJkh(%duqi%Rp2`>-01yZ*G&4e$JO(61}*?vExurXVaQyOL=e z$Gwg&8JfgW&aye3bCrUv48E<&@BA|4ibjJPk{9vD5Aicz*-skBi!moxkw54lsM%um56MuwkS zQSJcAWV0qpqP3eh9^HEwoAP+md$F^oGljOqp-ZBF@x%&9e0;AsdUJ23CYgIhZD-Zj zFDrYyt)}8fGSdpCb3gjcrw2wn`)+17bfTGV=c2fE3wJ)fc^APAb3=FB9@i8ou=$2u z;LT4s!*S$3g#|`^)`UT)&PQHd-m*j@X!s%-!{0xp zO?OPBL{!r7R*W3LI1jIABW6aj$a(6m_>7sQJH9n{SG{V;k}59M&h(X>sDB-pRIzjL z^R@3K{0!tqAwe10W5G*-r1)!hj>lJ7*jHCoNZG?vmhMs~9JdRf?WX5v z-x_8Ok6znuYR||sB5{774KMe0T55DPty&N@-+91X0|$L?pbXTWJ1Nysdzl_WU4$Y+zPZ>r81LK|0!B@9^ZGM<0N6gf~KYN)W;c9Ih@|aM( zlcQz&l%mx|f))DPg`8#c|6N0dzT6aiTgKPK_}ay5{kwK#ImP@p4+`i@9!JL0OyYOD zo{guzx9iF_b#D4yGrJ@}{K|v+M*mm%J^9mB~ZJ5Ov+& zN~f8CE89z^y?7y*IrmB1x6O+gV#A%*zR}-Fw0d0{)8ezff)ZjHslRQjun!yd49U>N zB?AR=f;xM=v>yO!xQKtLH1l6rOSkTpwfsg`!8g)^3gZrL*0GLLSW3+qYV`ngc#ix! zK20T=M%&OfcL(6_K3LKh4=Se0*h{^fowSC>ifI9tE?v48cm6Plwj|Ciwt{Z)YjqP7 zQ~=gKbr20bo8}H~!+d&m4rXe1=_N9wo>v#v2!R0_U*}1)>Ta;RbY1Ks_KAPB`1XWT zMnHp%Oj!fxVC{*Rv3^dEBdbwIA+Cd&b1PLBk75^6F)k>4%jXQv;p2OL;l|ay?DS8^ zh6||LSGQWaONz=CJSH+%(<}y^N*^llSivX01y3;rqPUiLb!{gi!8)E^!yA8Sm?epZ z#k})6KhN4Hn_uS-B3B2Ywl24S`&R(F#a7d(tM+h?h``Cii%8Gb^YX;4rug?YZ@yGd zx1p(@j(}ZMDi)WGNs)GOtB*RoUb96|zHm4RV#Fu!;^G=S@Vuhu+GYZIJ$u}0^@w4^ zLL0$W^zhRn`L&n^d!~$VK4`scQ=3dkEx~)vQ{rNfFfeuZxoI{(5!uLlPe|~gf}yGoq15~7@Ktg{F%Ad=uQ_#XI?+~)B}(l2 zL-%&$I6~8~m1m9|tt7|G*AuhUcId;uf2!Lqct1~D5V8clM?WiMg2tuk%W`ub%v z?%7X}!uu>j$&^xVj=!BT6!J%45;)TYwB#MyOgtLs-QyPDTG0%7J8nk8&t7A|@8>Naq1q=VI4G93mXy5HGNJEhtF*r} z<(qzVy}Q9afTb_0G#&S)^eAPcR-@AB#2132V1I^lyl{PG??`?1Rkt>wf-&_{!FeYkuC_5QeIs}5M@3HQYvMP&*ErUEyaXH!2_ao~hIZjj-8cX)bBkWK)jbPi z-j5jt8=FCQ0AX9L3U&m;< zuxDX>|HytLq|SHUg2um1tspn8etD#>4lGPHG78^cZI$jqYwQ`TK9?XL@V?e}{B60z zU6LMP!zKWxRBE%=Zorf!8=fe#8Ao5x90Y}gdyWG8r3loVJo3W!aqJrw2dE~iP$z)h z(E_v99KkKO01aBNq9!vk)Xjb~sy#G5R&nY2VRK%ntMcWG9ki#_m39U)@Eh!_--~1L zv8W_2?V28F;~ao~gztzPEi=lfDX~i_moRr~-`5Qd?0N6Gn<2ldbCPWbY`&g zjI8&3@AiP1pR<0?Rblnhn42t-(sAOs9WQ;{`-3|sR%%CsJYXCS_N3C7EJ{}FDi(WI z0406@D8$w`hI7%U{$~{z@41{&oLq~o-`U%k3KF?mH2cdvOh zq-%JgZOt}KOW|OnbtH`9-=?&OWVvo=%J?e&k?ppwYmQ^g_a4s{h!Xra8?)t&7nT{6 zf4fSiw}K`l0{{NeFWKxA*oWYz6Zu@i^WEacP2rGVy)KXEZO~i=WS{PgMMlSHUTR+` zaeeGFS6<`qP<)i`saX2`wKt>DxDXsJcU-OeL;so7G;bGobr5SYyRcQIMPHwMMKviH zcP$bCM3eOdIPcwf9FV8yG4HMbQMOw?=r>^Ep|67^^#IeT$uf;RLKvosM9x;7w|A>- zVcbtcMAMChEcelBWY#To`g?KLKIar(-vz2R#O=K3H+__-5mbc|Ib^o+Xg5+ijj1RG5Zvq%N<`rtnMJZ7eSNB8cXI^?9lbt-`qteFQpN0!UWV+3IA0R)qb$GU}}SOVos#%{);7S zfXBjkFBQ&0RQG{+p&PE2%9wtQL~UuPO|_g90*bipR-$)i*X(p^TxRn~i6ijWa}r4R z?YEnqRyA+JS^stGNt&t8wsk!!5(IpiF^!rhL9*_1y&9l<>-5lG>B&DC;_n?)H$~{S zKDMEkE603bajZI&A&XS)Y%6V!3LREv(kEBZC^123&R{YNh!hc~>~iIxfY20p&(Ac2 zuYJk$AzFtR?+Vq$GUMIC)_$$X`KipRkth*WHy03i&bHUIHU454RX5 z8>+qwiU4@9v9M)yIX<>{rOw+vKSA>V!`wp~dn%>Oma+DFT>Cam~vwRl- zcVFrqmAAj4y%MY2R=$n=X$9xL?y+#EpJ_3u)z|JXc$4|`DKpU7Sx!>il9{8r)%Rlz zE5#z;E^mJ#v?%G|Tn~!`K&ou?6$f8){je3s`E+Dx(JA4+{+j`BrdhTEC1xKlCn0$H zJ+c2?*eec1mu9q3&^Qb$^@9nVjL6>cZ#@e(N=1&>*MjupJS**aK^v&aXF#?vJtGnr z0SFoby2fxQC}O>^14=ibF6oo3g>ipx0Py*BnsH@=3l zF(OA$hg;1zWj{`D7NT*Y6ISy$bg8^X%2Hq#Fse9tk!u#}h8m8ogb(_M)seNB!q=uK zA4{#Lo-?3jgog!%`wolUd`}$thF(<%_5LybvsCG(9&{FqGXy+rt#(E4N2SzM8X^F2+X1+M3GfdvmQ5T$}l#u5L$To2U zjeJbXu3_;QtWhmFLgD^~Lr8PO0l!4h$TT9pw(_DqruY)(DZK!p{bS1suV0n->`OiP z0q6cZR)O^K>cm3WZN;b6{*8{q?FXuDJ+ud#zhZqviKoA_pu5PMIBmY}?ez*6KV|M? zYKA^QFh8E|s6E(zJJ)qs_!gRXY~_1PYZpox`m1M$C#ED_!m@jb+)h-&XUz}VC>;LO zQ8kInY=-C1F7hf}6>A;cn&@K3&gQB(HeLMXr#jTb!l}vyK^Ergsni8M5OlnhaA*Dm z4#K<5KtDMzm_Awj_~MWvd?9s*gvA1{ZVz_V1O)7=M{{R}9Cnv`2}fusmPSN{3!oRx z{nv|K(Xq&poBdXR8~k|pKQi}5Uv#!#TJu8EvuTDdHmr$MvVK_ z!`r$#)GxM{y&t6N6WJ;zS8-b5LFS|wr*%0P^ww^aGaOb*%DVHM?F2_&!opxp@5YxS zA_+@k(FJP}he2Wd3p4YA%RI)u7o3;7vEB_pnJT2ov)*E~mIb=#gWc}VrXNrD!TtHSP$iL4P$ABw z=fBRD)eO@!MG~&#kiynQ&K;dSRoODuZ}`?5ihT+yiq6`vHPl?zzQ<~Z^+&TPuow<0 zwO-~*o^`$2R5AI*FSo^?j+v32s!iec_mZ~@9&C<;g6;pfKa6IG#}DR)-8r&mx$*7Y zsjuxrNq*s`Zv9%?Xg-sNkpNr#c#K8&(vyt}{g%RU{JqT7AYaZ1xpRg7cza-9i@B~w zyt|1D4zfw%a~#b7YI8h*NhtHu40p8YyU4Fp3xXV>D4*mWE4FVBDyP_G)%JW~LG$rl zJ}zKBpkNP$LZ|&QkCmTi73T*CWPP#-`l7Twwwj)PNGn14<6^pb2;j&GZDwH~kmlj) z1PCvDRw)U%ifg3W(NjQCajCA(mjN8v6A^MeWfjOn=#ipp3+%V{8kz>=?bR*^h&fqc zw9!hwExfux)a%<(K(p2cnzg6Nb*Cqa-#+=>OY%_%$cqkfVJxg~Hm(!jr#Ew<^J+Gm zx{mD(>fK~}GMMIt-Kh%Bf8WvB54kfUBs)%S$k8#xy}cHtd_$ePRB zxFL2}!3YIG=z>bK^GkTT^9p*p$B-Qa>;-l)x&LxJw}g)mmPIs-;<4N2P~0-(7s$My zF91V79w+O4FL&o|MZ5^&L2dH zUFB!}-$K49CLMhg;YZluOxbZVJGB_!VZhRSnsOpx{+5ap;@3ZPRx9m-Z+4gX(}SSs z`-iQd)7zgJ?rdisLW$k^6MG2mOFRKn(dNoKb2p)#i^kUoUs_hX-5YRC5gOOZn!mq1 z+*JLtw=n78q*CQGVX8YDVjBMFcDb=2pD*US%zs8fjsOXMU zbq2HSs3Z=YPw^F-tInFy?IymDmomIeYsWFWnPjZ#w{YBR!!oIIiRF-AAJBEh)zHk5 zZ&M5lZA<-F7F3_|pDQACJ4MAAV-W0FIiR@meQ|H^*oG}5n!;0fX&7J}z9)Mb3qyy7 zCO%17!+Wb#EaxU8MWVj{VFZOngfBJTNjSXpJF>g8{%+20m)IfVx+rYz51~UHC~r)B zin%_>e!tCv>@3)Hc;XaPhW|IT7SlyWm(94OIkT3Ji(#*O&*)n+Kx^)p){`mQ%g3nz zt^L?VH@x<2(#io4xjdZ0&2q%V>6)&PD>#21j-G+xGh3skyzJN~s#i>9V59PE%Kse| zNR0Gf-&}l=-Bru@k_x*E3=;Lqu-i_<{yKQhd3k2@$uBZ~w*GS+QrdPq7YzC8oq}9n zpFGgTBnK#?%Cig~5z22%JT+00e|IYRwL+XY-)e%E^QJ> zImzJzy01d|wxf1&(9^0f&m&*@Q7iDaLG0d(J@M0sE|yfcWDRYqLSTaLz_lZ++qeL@ z>&EArQeFJ%*)MgRp0XXQoJ*HX?OMhcUOH5>uq#I?!S+v<0ekHqs#m_Us z2r)pR%Lv%t_*F0w>Sjt;Y`PHV!6_DSUL$PCE!k2Eyj575M^9Or1ydL^#`vn@xhyUC z=Si;IYgZgV{UdF&J2i;icPo{}CWBkr7~SsbR;nFE5@k!l-j*ZMUQVJoa0#>&dg z!3uOi#%I?Illz!-mKAM&^WoK?`aT~jUVh8sL#Db0fAOJ{yPN2?>w`uvt?NIivR3Tt z6vJY_Qa>^NV>(jwPVZ^T4t|(hb{BPR_F=n1hFu2%>dL>|hJ$~Lk&J>>n)fsA?9ct{ z*dO_s0VvB|imyD`qb~ZZm)tqQLYU`Rg`njoG~K1M04N}`zzUsx2HAOZ7laB%dhn!_ zF{U3^!~)!sHSej`YwcwNF7eW!k5x^E*J61+l68s$t-}i{OBC(l%?BEVniua&T-)_# z=d(4?ILgXRxWG_4!4@XkN>aLB=%2L5eNIA4_&C5JMuI~;n)?eji9^?b3aGw`-fP*_ zPI5g-4*!~14{+~~LvZ%o-WfottC3Sx*dgnyDng>rgcFf5JE?fq39z+t8RY;fq$6tx z1sD^B3pTk~n%8~(JLCa0Z=IV60v6#lFNm$n{z-5?Tc?0#`a$Cg!k{9673u&4C+Rgy z8o%Mm$+djH)*O2niMWmRBV}D0BR8-x#e}0n?mR;0UOd7j*R<*)*h0<|h8MNanG@E z)&_XN2I|(lT4Cc`U0Hh_TxM!!_SmJ?Zmz@13)4a)T?2cFNH9(r?yK-LZM7Lqs8UnI zWV4)_mF}#Xy5UW5wed#2q6n)2bU-dR1VkvGv|Ur!fedx?(;z#+c_AMyxEi3A8GuiIvnOjL; z4X(~btCV_5-7@SyB7woT>~T#C(Uq?`HVwo9v#-8tKl=!g;>GFtrhzd77ejyg)ZvGy z7n99gWD(37PeoaP=_s3p6L(lT?G{eiy6(rN#!fmfd`+J&N~rK;F8?mi`1Zrrv7))$ zjNcUtoKn0!n>4{peSZ%blM-7tdh5Bqxf@a~^EcRoaCI_!S3%dITJ;b+xj)`0hA(1P=S z7D+I5MM_ym@OjMYhNkD&idbKR_i#va?cO{1$(j{-TVb)T0_`Pf?B!OB@})xm@ZHUx zE!;f)9NqkV-n_%+*MQ)1n)bXp8oN_~#L*b@2e01wYnu1!eZNi3${@^mKo%E22slE^2Qf0a$Z-DdXf6vF2jJ3&o7R&6WRH={DJp8tws&=!{j> zo8NTy=b@F~6b=uY@%b(L-ec($OO=!YJB0o>8)o(whA?^=@%wJ164JU{f@Lmq98C7E z-WO6e0ci7?EVEi2i?Z4Z83dBcBz8Wc2QR8U=am6q?T^Q|^2@R^>#sN7iQVQNEw1pf zP}R$H`tnW+M5n$@#8Z}P-W+1GzYx7D?}8>mnD5VGoJe{d-xh`y>Iq@7;I)8RzE= zoU`}ZYklim-&)&-C(xh%AqG}{;*{StW~Pa;5c+h5mjP!B_9n7`Y+;i2)o%1D&UlH+`XMX7vFidRDX6(`yY6Rzt53|W(<5&l?V%62D?9u(kH&H6S@E2HmusoF<1vxo6 z)!pEa_0rF$!%ni;8En=HM+(0{+Ev^|?+kr2NZEPPZl<)1XyoVJ<1xKZ9(O8}ac!kr z%|Zun;8UK%$s0d%E1ubCfU>s+NRuXLT?;(Ar42#Lh5POJJ)*07f zrUI)HlEuwTdO4=mrb`7hV*LYm3lr|flEt7=WyN2g)@aQ5k%J^S)|8&9G-Q4akKq7UG%I0XQBc-s5_Opj9p=OF{oaz zr*9Wdw>rqR?d+~YU>6o2Vg|S2@Dyva$&zS&3a`zg;fVdP;R)V7${KwS=dTD1xWB-c za(Vky16slznLQKLS=?Py-d8*ub!ZEg@&TBc<4xPaAKlMV3%jY-|5+89W zM!CkWta$PBaWo-02ZA7n$5`BxL#ok#@8LDwMA?_c>e+YDN~;V3G08LI&0-vC`*`H| zyW!FCH+%rBMPHhxTw3AZGV%OAzV#C5<;0l9m=*_O0l~_IG`VN81QksL~>nvMT_wDYZ3^spUOf(X?M|G{PC1_obe=Ql(Mp*soAD2Do& zfAr#FJ^E}dCm1T<8Lt^@>bJ0~dW@8t{@CYeBe=Ht`PX>zT%m`>0>5kt?Z9Rw4JNL9y82cA<`I$a9 zB*z0f*<|PVdLyc5{fmup3rsha5e-Vfyo=N&vE^yt7dha3Q-UGZ2S8@hFqf<}XYW z(7EIbM+MGQgZY6=?P15aCHO5PMtg^bX!yr-Rfm@}BMc8JQ}KyW5O%F6Jk%;RMBh89 zT3i4f$h&nxzq*6Mq7SPsP@D)T8?jID0xGUXx3kgnJI}0Tz4ZJ@O z4qto-wF5!VoYY|j(6^>F3?vN~ezOwA`i?4iwdm#TuPn2 zN==P}MzO(a@xPL*gfDCO$P>o~*|HsvsBX8gipMz!yp#wZxM2$$h}p~c!QHM1j-x4DeA9mlr3hqlnVETG7uoVfe(0@ zLkUn;XBRmIaPYQzDN5+yy9-{J;Q>bw1KM{{_K|KXqYb;Qrc9T|wlR>B0yr%fa zF0|q*k;!>sNTDq?QIA9r9|I@zC9(*+;3wI50^G4Ze3)&%jzNH1Z~$XBy7w{1PVp^J zh7Xwk4KeXD`6C5rLxi^sI>C;IV@{ZjsaVWqbaWgj-prbH`>0#esCff`v$2_hwH9~l z^D|!)(qg5R?CK7pLR7g8GE&m@aYnL`5tEF=Az$(Lt~+ayd8ej50KY(8CZtdTs&q!x zhRyd%RMk+&pN?Q(qNN#wgttKC^}BOP~aFQ-1de{9etci3%HBSCy1Pie@;+cE4W zZ@~kg&5-1qj-H!S#A_BsV)G=3_p)D?KL>?kMjBk#(y{awI(o=jc18y6d)CA!i{y+a zrgyu6vB)q1DU|s5uwHU5P+$o!6vW!O5+J7fXx=>!f~RU12^>}Ik~)XK1}rp`ffWL?zTM6SbS<~v+wrV)&oaPztNYe40ujDqOV z;%91&5F>;#-Ha4C*2MR#g9;?^k=Z^}4VY=lRkws6 zPYDCzPm#Fd`GH^{$Bg~@Xz)mcz_A~~uF4_1t6G^ri6Wle{a@IUewiz1ksEmpv=8XN z4z&;P*`X|lslsZr^81H{%;8f+joe7Kq?H}+^NszL+RWUit)Kh{MFB@sbE1cDuKJGU zc4ZH$_zpyGFga2SG=`;Q`2#5?fS43EhUK6GTY69X$d8!BlGAqEsH{)dfm5}4bR~rJ z&ZuXRlRtO;niu*yfR+3}>aFDrt)n(V0hb?=LgQcz_I~7bSsvwAOIyP_CcyP9uU!>+ z>IS*KSGa)>>8Up@H~o`5=<6DOLeoV7kH7RRfhU;)@neP%ggZXyu^yaMzUn$|Hx-tUQ z3HNk`c(^{NQSY18`+%s8+=Bfel({>4dTsvvH?E?XTc<=#?(XtE!?AIYx~%Fpyr#AF z_dh{u1^E8X5t1WP*2Z{witzjBrL1SAf;}Di*BdwP-ZxiQG5#bGJ^O|n9&K(V(yngT zGO^XVsXMv20FFwAaxF(Zqoq{P5+q%a3<$BX7H@n+bGDu*NA>{C%gYQPI!e99h;b@F z<*lk)W=&9JcjUKKLjCEBoNcq@ZJ9FNe;CSO-n@*m9=*)IrL-AD?F(;SRM8$A8Y-)l zGgq8q(<;%u!Tf14E!d2TX#(v#qSh@v$$SSG#T+Mtl9Wn zs`2)yJm4wFo= z!iNgkCw{Yvl--$g8Xtm6wlcf#RW&M%&lNz4#Atdtau9 zl#hLTndFGceLP?gpQ|00BD}G3s$r%5ESCZ`)YJ!_r$OWy$!}!t8t5zy%;E+swySQo zDmn71>Y5wdFyI>8EN}o#!Pb0&k?xvbb%$a|KPilw5^oIo=l@t~*;IqcCh?&ZT+cY< zI{TfBKlp!slp>L49`T%uI-2QNy+;81Vb@ z3XcJUT}3oId_^eDWZ<|wrkyw^cIz)ZHmBN!i1lt44Ag~B7fk}HWAKrHc>h-2O*R!I z6NoA0H*&O)m!;iu1t6xifAl?K-5=?7#}N)zi1g?NlRXC4wMQ;S!L%Z*9@MLE(+0?S zM_a)%V~2K4eA+1(<99(s^0kh5aJvq_p-5Ht^y_VyoAedCxL?)(_m^kEjQ@re&-Cl0 zs505oXF$}A7M9TtF7i)?(r?TJ17%le2#}q~@4=ToIqfj74@TT0@=5^Z3C;A(&Nh21 z;nL|OyXY$9o9xk&@cP*!bUMgK=7de|8eD3$?UN3Ei66TR3@uVX7myvdH>*D;xZjUp zfZ3dyL?9)I@UEjH=qn=+9l)s9VUpw7AxMOg<17xtkpR!Z2B1(IfC&3%tb|wIe4-#M zsS44TMWnQK!E{+5Eb+DmgJQqzweK@`7`JpTpX<>QVIR-06gXU9d!X7Yb#vEO0ko~1 zS1DRJ6kTD3K010*heuEMvBF*CRZtNe%v#84i%&Rnr6r+Onm$Z<*S?qyylqI%K;t=H zjDna);=FERC2sVyq0*H<-?iwL15KF5Hc(kN)`_PifC|2chnzFY;F*uX&jHm1gaJgx z)N7d$OLZ=-3H&%97~whc6Ys;CC(ltdkGiXw16Xu^XH<~4Sv;W~@Rk*N0$VdwFBK&? z$fc)ue&hmp;fcN&x~uZ%5*a{~#sgBoTbP~P6{ZY?G{wLabcda>%0Z@`(L`ym6|bb* ztN}AXa&whX;mH-ie#@=AFg6HaxOrHTM4D2rvYk!DaHkvTjX#*C23j~*_%omB1G4E_ za3<11O8qu|o^Ft)&^gWLSsTru`b}yBBlgBt@n2l9NB7#Sy+4Hef8T%P#dCg@U=elY zEIH8qq-<$$3=5r^Ij0a0d&8ZAbT@_k1E@KU0R`Oynm^yo4v*FqVmkZTQxu1mMjtVF zE;*P$R9C02b?SSL`IqcQ4^(=7T-?qZCeEaOmw@3GhZ9o$YVJTv>lQgk21G1`x>-Tx zy#=7=2JzY9+eUQGq|Uh%Uca>ju=T^bC^>7cu9`TYd2~zE50979JNhuNhReDsc${0F>p|n*!;2@ zDR}JqtCVp*)_ypT3V`*ypXv<9?H^cb0{A1@E6$Bb>O~c8gaDPKD_;*1{SD%rqjb)s z=J9tPPdw-duimT(`-;MZZRL(d;u z&bD|N=zXdj_X@=$4zp}GG}(`N!6;StO}q#*1b?)!$$58LtynxCpCi z*cv)xypXUTAw*GB)nme>w6hD`R&8jsX2CxS>W~RTLW+HbgxRpH zT_+T9@-lyz%Hc7RHc$8WiTcThpr$1(E8nNF?l4lc{{75=DOglOCWMB0Gc}utmJ11@ zb{be4d}0ovd_DfK9N|4!TFK($yh=HlpbtF>X~AH@HpiT*#c}r z4y%Upb_J`9=!5-p>&pA3-jKJ=f!R^xpcV{fHJwF zpTxy59x0Y9b=yYJD%W{q#$)1YOIdXah;kzy1`q2a*svOKSRb4S&|z?t6#nf&YnHc1eu0pZ$!r8k;d~*?m{AT$h-?K9o004 zm55gZl}Ab9M)zLsR^yI6MtSxXS_=~0hM8v-E5y`dn$FT*e{jRK}yGG9X7 z94u(bAhKq7KkO#$ej5;?0i*mjSpzk44~r)VrP-9{4f850g57MpODV-KELOb{AtY@t zv&v6o52exqC+_)$(r+!KHnew(FoO~@B=eTXOu4O(F&p7>t3l-mu*{hiszJ^D1|WXg zB@eFZ65GuVXVKTA$!rj){k>1W<>S;*0Oa;>0chBaX^LMsGqG-oRPO)NH*ajf?kyw4 zbSj(q-~x_GD}c~u{-k_8452)f!%cG$zv4jb0vQsvir6N$LVFn@9f^7gsdrShNW{Uj z;|y>03`CaZ9tgPT6^^OgabIcc`CiHcqS>HP{?6nA*ndHtg6qRShjL~@ zOQ7ILi#GfCHAmX>B(Ts0%D2d8~YB4Kz|xWLkT=516b)Mo6Q z*#Nn*kQ{X2bZ4|eLW5P%Ym)NvKA=*^Q+-U$gBhT9%lL`??hyYZpk)K$toVioL{u5s zH;jU}zHaS`v4(E0Jo0sknFT@#-J;lo#+|D2T)%t%Pd=+rQ;Gg@{s2gjd;cXtE(|LEE{p0})6d$slHG~KsD%6V> z3mu`RmdMyg8LDQ@VT=4ki0}isxX>O{HE-TL07U&Y>-{bY@gRRt=i7S^nsa)JaGY@WUp`TOigd~EQIj)q8B|;2T zyxj;P020bsAqjd%eDC>HdMIo1TN<^N1*w6gVgn9Qna4Riq9HV*O&`rCA6m5-a01dF zmAW6qEvON1FWVDdOvstctT3b(?)PRL77vUN05$(coR48>TQ4#m_{Op6_UeAH{oHLH zyY6=;n!C@|-q9f^4!(rXBpvpf$OUS~tA@y*8ILhtg(UWRSz4NnTjKV(kEdn?$a8{x z#4L@;XuN{|q(L;_|HyQ2-rqbDED@w_338K1(bK8d7b4w@~RG;G*!n8-?Qc`~H zdpG$_9ijc+TZAJ6XZiz4Z%V&y@x6AdheZ-L7^9L>d;5yrM=)82SEGE@9{*@LN#L|h zSn=m@jLHckLL zWnnoK2W3$&8PR;)LM~Bh%4T4;FVgPpqM=^mVH6-=-F@B9$$7ddFU&_OAHP@uuI;<7 zPy&di(-nCA?fcxc9lC=20@dMBPq+E;mSv4H z=<0CE_K0&3Qwp^H)}Wm@14qQ%`EeOLKC|;^}fP*yuBO%Ev(cy!4vZST%5vsx&z~7&+dVifIbS@yLX>K z)aU{GtgN}V0l07iz|e5$+Ni1E-}gQjzL1bM1W=*e$i66Br=;i;U0ot5+Qvu=0rv#C zQ^RD*Ic*}IgpPeB`69hS72P5;{0{CM!hb+(C5FhzBu(=+omnNR|A7HjT6ER0t}oyg z(mHGXVpqIJr8GUkEoR~ISaUrWya7f=4g)=aRG3Rc90(2$nwkx6jK^Z2kF=Yy>3EDsB{nV1aW+lTp*Iz? zTB^ra<#fM&#@_Rh*OWG8!LB2?)0a_i0qc;Iv>LOO&mnS$m)9=Ho4P9Pqibizg0%MK zD^c*Q*u6|eW~OVA(=d-3>CTVA)#l!X1Q(1rm_guk-^nRAaL$nsBRPoH_{5V@v)5z+ zhb#0R_hp#EQOvmb*b=C^ot;4)M8X+4p6N|k=^J1@gW^7z^oxFVVz;(@uq*}pp(c0J zSguK~0W6PgzSna?2X%Jcc6#%HWuyd3`WMx-{aHjq>3ty z+f<{Yqvhdk1GzWhT{gLUW6+{zzk6zoVvteO*3{`K+Dq!(tXTzn;fC0#0uTNy`19Uz z?E?#$jTu3-C%^l}Vq&viNN$bI-?A*a-j?(ZrV@9S;~$9*eyH>6`fR`5W!GfKz;La@ z5Gf>99T-{G@mlg3%T?Hg>dp3jBfmh5LP9Jd%RXgx#?Fny@)Fa;8R)`y2XH zytIokI^v#mWN~Hb(p(&NVH1-1S@R5YzmBqdFuXUBa!pOA+^pAIA$9A4F3$VHH-2~k zax(FDuBi`84ch=XA!>pv@wb5FK;@v{R$b>CuI?ZqzcnZz(luH$eLP3bf$2p`IMc@I zT2=qbGs((t|J?buQt4HlR;#iMq*)sk9VqnmCZW9IskNVem=p=o3kE5VQ?Sn^Dwe)K z0y4dSvGi#udh|=&kgFEE-5)R+wTFWwEkbLtiJ{)V$-KNXb-3NfwV>Xv>V&ic)x#(g z+c3Y3PtPvH9#+o;!~lU36(rH<-#cjAM|y1SottGj15T)bfWCB*UE6y<*)QFWxXa1( zU~Yd~ezoC(e+Oj%G_J>~r$%I^)UeLSu*Vs-*xZG3H+?(M=2UU!VNVK0W zcKb-k5HtvJwMNqLXG%t~{SQp?@mMd${$Q?l(zv>m-FhXGgLYHKySH_A*6wi>7zl5o ziCT=M>f|tDgKVR1JfHI|m9a2qt+@0kOQBb$x3K4YGL{VWdoB!-(Xwg;kfpm0*A? zi+LS_L>?(O^((~1K^`wu`JNAIqTq`S&7n_$T-lbJ+E+1-y7g*w%R<>b5}b)wGADGx2_?T16mjiefHAaS+{)M@+%3M5;P6Gnn2 zE3n?eKAr?uBgYTj!O-{tZy<|61$RVjfzHdVm(s{9q~$u8E@0fAL+QWPaPS)OXWDqtXkJAf>Kp1N9p>}NXz>xY?{K`QQspH{X(T_0@ zT%<0aC^KhxC@BP??>T#|T7H2#`v#Tu#w7uSFvQWR0KJ?2XO8vJpb8etKkCaD@+t<`!; zJwks}*s|c$?Sh>Ib}T`exPiFx7HYVKVd+gECBogk<2Bd?`8&}~+7DT^ES8R2{>44j zcG@x9oeaS2`xckJhK(>J{3TtzKU-8(#-~sM_?FY<)f{Y{Qo;~~Yg^v5f_jTgYC-?- zw6wJOn)VS@IA>2bFP&bnm!>0~bKOb_rmD0^>c72cWapakrV zWVs&nK@`BqKyni3{qTJHOov3nv(ahdccI+v>0-H$u?mrRL`r!26q|uobf`k-<~6L@ z1`-pc{91Dln}u6IIpSq&L#FPbrP|^mmGymdEr@y`#)=ZOhhtPllYZuKb#`PJVf;6f>kf9<<_q zQfckwJdp=*{yym-rfv+m{Y+wp>O&B|&&S>KHvMWa9FeR2=#BPH&gMx3|4|;o(4_wa zdc*oFQ2A>49syFlK7&@uEi51504JF|=zhs#XNIl0a--c^=#Nm60zgSBhWY>{X(bwp z9SqiG5^JboUIpWu zOiqpp<;s9o&DonB(rOYdtA>()!7#*CC>HbqLTwzYRMW=+IWu=B#wO0q8|>f^*Aq|0 zb~@38{8?I3iox%bNTC8qU7qUso}Tptd>u9L5s}0c*m_X#j%70|D2djimA#6Xh%^Wg zqtLD|N8%9dzZR*1lmZnt*>ve%>rm|S*KuT6Spfxd#`?|@MWPQ?nDm70>HprlnD_tR zyXc}yM3dL-YMs@KwX8pnLS5I%K0m8WRA4{sY!N$6gM;BS$0!KXqc1&E0NwvE{t!Uc zYmxJ@Lb+0EUVl+|OS5&5xhqy3jDwgfr!bc_p90;sqE%R^+ZMP1A-!Kh{9{cdIwR>K zshI{$I17W;2By;s&ON=RT4R)^JP@)PEUiq!WV+%-Qn`LD$$liB0GM9LSfDC9d5hNG zmx7pQ-jwTRHvJw_xUEQ?hppX^EGxD{8Q4EFSpP3Vlv#H>qW1mDOR#VK&EvCD-qh%(!ySKRyVe)^$L^ zqM`GsU~y-Hm^@8(c(5-|&&nNORcW6q0G|a0+gQ(A_=mpNZknRbpMy4>FuxtkX}pbc zqP)=xYNXm>tJvrxx~$xTe9S4+K)%_2@@s(KEZqo*YOwNm?gcy{eR*Co@*0 zPQ%vFdj|*9A8K(Aky3o|Fo5gn9nD-?Z7@QQRdyT|= zN(q}^q=9sFgsM@aWi9yebNr<0?8XgPkM#L>k3{9V*dnv&j2*~nm93jdm6$`G- z*|=w{&@f8eX2hr2J}@lj!@o6O7(vxy2g-_xPx%w_LSWOOg(&wFVTfPPg5LZME5v7Q z%vjKLE|BIck}G1Q#Rn0|P-vhgXl(cK37y1%;-2DS>Ug2(IA~VPaH9P7b(s zLed^kD2S!g@w7aOO}b<$X}xDZ@N04-W1yS8Ea*6Fq>9GcDssC$a8rpm@dUiGN3iP% zgS)daK7y4aAz_^U!aa&GXwFfmhr7Lv4VZ5%;byXXSDcbFk92BJ0rRA4IACV$yo!eQ z_5c$8#nt56q0CGzeVV9&aNh+o9^#|RO3t4>QQ$ow=DbYNIJH4gn$bqQlUXFAU zgeU-8f)SP__buJ|!gKu8DDoW_iQl~#y5Oh-ec-pvvgVw1m(Fxhi$cyrR=L_Ei0ur6 zBu;Gn+H@nc8<5!$pK?|5P9UEYTps%?;dGg`BUjz!`+H2jXt*2c99h zQsMoDy3qXo{-{osobxJgndQeecM|SV`6VZDRkb^0b1N|lLDYdFkc@#5w0EPUxC&k zzJZi4ZL%9Dh>^S&Y(6_9AxDIiBg}HaMDq`5-q1PVsS$*ZX%nVg1d>P(XI;xkR$N5O` zEmuQ({PfHxXRT*Y?B{!1x%6?kJM(bRVxcp+QoYB!{3^&;{UEF8dCynkt8}g)%3K#r zW+EvtQsT~+e3OlV0`iwp7ETchPqmI4WTxroN0KJ5zTZyc=cvU^5$24}suE~rZEj$t z#5jkmPe%x;jTJ0>Pdl>8qlI{1YjO80eAhyN%R8O;znoa{@BkC7hGI(H`(N~#vz-H( zU#@K(=B-MS^*}l(B@J=k;>>|uRhUW=HGP1*yi~dCv;qirK+*wCSr*Gq4m8(dxKhBI zfQGEHypSUHJKHiC{xywQj5F@7mg=@61gs-d^!(h7aky2=Aj3zh}Rfek?pinobE+%$O zOuI}uIqLuHb(-=0z1OKw(*i`!{<~-()!i?IzK7*G{!AV;Zv_DF62AerY;wqwIZw{J z0QqvSLn}AXIYB8>h(eqC{5Y9u^@w7HZr?c+a4c+-24Z#E1RN$aWkg|`@5(?7L6M7h z-$XgV*&M>K52he7VMacfFI6Oty(a$2t_c5_m=nWb4#8)dpgjO~BduBSiO-qO5qF@O znF+0Qu616*z~}+47`VX2*Uj%EzcSOB#oCtq4`60_vANpl;ClOvo3eYM4tv&($ z!f(suGzj39@779MjTz9SEvo%M`K8;R(wHDrW~$TM=j!TG23G_l{ub6qf{4zLD%?3B zh@jJhchUmZ^BK7a6DNSrCAx?ZEulIZPTgCPLVo?1&Pf_o1SUZai1^HDkt_;WH+E`$ zS`c{luw{K`BgnIN{GY8E1CQ8Af=H44FsuPUT_Fo}+d**>`#EFYXJJn{pUZpukbKzg z*Jpy%#1R_A&#OK9yw$ceoHG`={UvTsS05@*z1Cc&%q zNh{Jc6icoSBp0}3_4SI>Nmya@Cw#b04-IJ5W?$8Hc7XIC#Al2=I0sB@O@@e_jTvZ! zbrb|)P&M}j=b{n+QS8INi}xUZIHVK2JO&YbDLL;nb&f2O}+NK8Z;&ZdfttY zD;uDuThd~vcY)|g7^*#|i=d?BL4jQjrauZARaMljItvt=smTWFNu@y6s=b2=!%9m- zqzMf6z_vZRPQlaNor)SXcTXMptg2TerwPiMlDhjdBSl3(XkB6_cNeYi7uyH?`?pCh z%PP=L`uL4N)yz(ss6%f`iWPYX%WUXJQk5M1{MBR{Yk=irK+%GoGW)>f2tAIG6F#un zbrKcDV!$^ntz2%&0KTE*|0S;P{w1!r82kr_>!J40mTl05P5uZgaGOZaxaONu_aFXz zDdLB96&Sfp4Vtw!b~sf?wp&!K>BR!suI29`SH0JrI0Ruu2Y!^dZKFsK?|Ln}c0Ze) z0W`BS0)SEC^Wc}Q)=5a2+HTCe7ms0#fNZs-9P>i7bGbtsQf1IH9H%&|2B5A=!oF3h z(KH5ixdEA;ODW?$CWT|dIxs3R9&W9K--tuQ_cf6$iSmI|z1 zNk}>IX#DTcYkuNXM^$feGNug8sTF|K8^A6XfuNVoj<^?7hbdJA8Lz=$Ue}?9pm7P? z6fm($9ykOc+jv}ab;8V71t4lGVsjbvDS*P&m!^)%ZXxxO(+kKGK4LFJSrg{`E0}+H6Fc;LzGzz|5`JXfSywt*1gNMnK-SYH`Sv zv@k%RLS!7kkMJ!`)-ebddn@Wu5tyoRcvM@Zj!cq5$lKHsV1~7%c1jTI-WZaksJ#Zw@ z?*p;%aDplfCKY9=G#nu;A9hpvI%JT`Au-4ULDPbqlH1#0{w6r9|5)qles!;Avn+Ad zx!ad{zCe^%Hvp~x+(2eZL?fvuV}ccrto`>z`MPTd^fsXHhI0J<(i`AIJ!)8gp9WdC z{uSENq~38dUj7eUy#gfN&|9M3RtqiP>jyW-ij|t#{MuD=vJ8&vKQTOZVACIJ2#7%M z4sXaXkIh3%*cpJ1i*w#a_+=N!QFa=Za`oHZQu%eQ5Sg%KxwDU{0n7Rn)E|nn;wBBnxR;xxv zF%gdoEp#?!KE7a0J&LQX*M9ra#yz;H&X+DX#cxCFVyCm2au8Rn4Q9V?qnAg)o_;T} z`_8fqWXzWl>;L(f1GW$PbOo;QZ{qHo|9R(Zs~m+T&fk_JxKat?lhZo)D|knw0TzIN zi6Dg4;?EZp*Ab)-xD;`gRD(owZbY8ERGN5T<#A7*^a6K5x@KJl>j%vO2~J$FD? z8Zu&EQU*Q!W%mlfFXAMcizdPg6)^xcNNlRxv? z)m7l66z)@j^UBpcGm)pU_NlY&`L&FetWnTq1Ou7Cpfv)tJ7|4a+Vc!Su|tyq(kW<+CZO7iwEq>x(zbw8$$7qO*hpHWsE% zX1S?VVLB9YPjFD3IpQy>gvob}4=Wy6|8Nw2T&s|6-Hse1zyQ0-Yo)?;(K+G7JsXW= zylnr1)-jl*exzOB6+~KjzZt_jJ~u9=3l`UI=;$0z%gWN?3=r8`pY=4Iw;7{~Fm6t# z{K@0^@x>?dN8V;qxq1iHJn zUEz&0sVwXp7u#rV8g+~_OO4PLmuzWTTI8+-U-IQCH8xCN%3t8!txN)w2MU!LA|!OU zPr~Lj+ehpWM#{Ld0XBb~JevF@UU2_&!(-ljj_`}}Td{JH5BuV&zqajA9lBSU)#A!g z-iK);iOI1N_hgfM^L{&}Vzh_<84Pyw`T4H!4+<|$%#w9ZMf!h2?ggiH zeXaaE{IQ$HTf5%j3#$~1+wKE-Bhy1zXTlra(#j&P(%qusZC%ETR5XLL5yli4QOx(c z{tryye}=1GlfJSWdu%F$P9esf@5cN!g=>9WMRiTZ$Qd~fPQr(hhpg9`PJR^9 zfM-N~9#T;7TX=aF@=)3zSKRi?^zd!FPih~3XVPF#WJy7+XKP)s|JX1ao772D{D8@- z^Q+WMa7hr~tmLMB$F-v^z6T%CX4ci`c=$tE%ew2TZA$(XvdKeReD(EV+6z3@?a{ZK zau*#g z{aE4%J6l>IsNYQ3TueGWJ9VQilCqCN*z*1{Sna*H=1uM3gV}?Qt=bc4{mLGU(mOMO zp-{mXlsTMloGKD*a9KoG`X*h+5fJqVyQk^Q^uZ-WT~_v_+2fPh|I2ZaXCi`+_Emio z9?o{gEI48}m7A~3uq2L!ZMTx%&_|%C#F2+8JW2B)X?10*2HSsLZN0@)B0Y(ISNrk` zIzRh4!6jPI-e|ZmDrL{)c?v&J*QTZUt53EZ(B07vjkKRhX^lE%ii+QQW3#ij+ogK! zc6}F4R@6Ch;YX1&ja9-1ZidLipyR~X-gnU7;!sebOC|a$2W;&7dmGbFn{4w~CcaU# z@>nJaKPeOKdn;l3&|t%NdAjb&QOs$G^6X8M`8T_BG9yjJ-C7BMrSCUC^-kj`tAo{7 z2&6tOrQ@$Gpu6)?pH9K2ts8^b4QF9?$nOt*u(&Wb-eW;I+Jx~Ht1MG3zK0eW5vt^2a`Cis}2cqCu>=BxA%3fUCRk+ zJvR5}h@Jt)?DMy&KQK38?*?ve?qPl^yv2e$7{+@K*ue(o(#*Dh4x|-u@HZ}4DN^(> zO5lo*%8qv8Ns29-ityvK>p2|zc)LF)o<-CYS~N!wgN^^~lgxkfNew1tY;EiEs&6J+ zbWM!RO8jM6r7M;h83mc<#Re~ByO}EC(FQ}PgZAcHgIKC?yPV;YiDj$qzzTkwmgz86 z{Llv1;?j`O)SA7r?0J3eixFKHJb$urSXL=1c9heGA77)lL2I*C=kT#g54;i3-rDFto10W1Z=D`)-0kzZ-B8FKumys9{z2z!4jp!9BdvC3kk-fc)@>#;3>ZH| zwjak)ZVL{cs4c@VCFJt9PdRhgUoZW_(naNQ_nX`8FDj*vA|j)fMob=^uNVGja+P`a zf)>21Q;i1GW7{nSjsmbgN9moX2JLdxfiG4K36Yh%c#`j!VDIB&Z($?ho>+$I$K)|{ zfYuf-EvsaWzb#Yt)`~y6H}h!3tYb>KBw;iY-mNM4r*rJxbKj{(9}#pKiel4rX3x>a+K(*1RnW-v z?`de^7UjFWk$5(xSl>l({Ca+%H{hpv=3v4eg3m89%vWczwOI1taK z;dfFXvg_aXL?0`Pxkmmw@DGoh1y&#i`U=3JjHPcCb>L zBSuXsre;0r_WbRcTPPM@ns)mPZ!dvQm2!P2_G1@^NSn2y%;gyQr(!121}`c%$-h$5 zYqpZYeUg%~<(h-ZW0Q!fZa1~@{XM=@e)qt4dcBeqRL9ITel8DS+6eTxY9CBKUjBOGgpk_mkt7o)Zq+ z0ztuw)*$As#v-jpTZ={*F*Su*%eyU7w(d5Lmh$Q9?^m+xCg;NjoFu%bTDPis=##5# z-g4ZquL+k-5S35E`8ho5QoqnvYbZ6i!_MpoI|xdm(3N9RFMBKfO-L0&YtGlacx_J0 zu2`4GhhorJFrxui!3uOyZA^L5HnPa=I<_}BQ{=M+wg?FTKU&!74$iqy-DO=x9 z>^p$Gk!QXiQefaad{vDXe&tBMuh&yIrv_rb#&p{^0Bhs>hi`O zriOyEyThQ$^NVSi<``9&aSOo;F@oV7FW}~~Ih~7;l~oL0VQu?M;p3+#q4c$P?}sIV zi8J-cL0tpp>YP8aJNI7nd-YuhpyU=-YNPOGjrKkT*qmnZ?!NXLp|u*x*~3Z?{+dmf z7w6F=rKi4jETWZa+Q>g)l8w~qWyO8d8gNwxqlDZ;<^kF*r&~(eNazp5CpZGt!ZXVo z&ypEzuXO*R%!cEL97|hkT2Ahb$J=XFF@6ZVSp)z5*B;sbxD^n3al6zr8C?1TJd@=k z+^4*knE0AMCW9;r70z54PHj4vt38!>PMbFRk2T&Wx+8LFNGtw6GevbEaPdelE;p1C z0^W0g1%i=zx;L4S+KV@&YWJRH(Md}vT~R^NN*%0^em#R&H(ECQ{x9+U8ehl;$)S2t zto*eFA}ELSFlT=jwzJd$847>1s2GJm3OLcra_vEQA@AfO;T2(8=Qn zVG&aNKFadU@{;R24^)c~j)Q&mjWygC^^+-O-L&US{0%JLP<{teD5FSZG z8ZGT%GZ}4Bxn^zM&WPP=tyG8n2Le~TopbQf(bfst`2dibKl&&PVpRI4_RZJ{%l+{k z$8va`|BKWXCIq9@Hlu{jl~57I>a2c&fH5SlfgqY@{-6p=e#GxB8x9W zE^v=$JC`|M;?rAy76>znmoly#2p$haPor)B7%|ARx%H+zqA^3vFuDtZC4%ae!~O zW6P^uuU-jcj!woKTK|vNCl`(^sqa$f$4gI_*?>r&#%ZS&UbhO~+hx^iPx2=Sz1!wt%e*}*XB_el89 zI{_J`0`qB}B_LfrAMl`4cAh=jBm#TU*s8V;SaVn1t9DLjO$UNuSh z2psFy6VsJwPIj|#@xRad7~&|;TZccUpKX7iZD;{#0RwabS5}OcjsS-y=e(X6y2xps zS+l~DG!R3{5C0tb_@o;|L}Yk=|7rit1H4Lyqk8>afvGl7`g`f0P!4~L^Z3Twk*c)4kQChV-|~ZPsN#~4_&mUeRj*9w9F-@saxHF$rNbK@AlG8 z^4Zq*B|g=*K51)yu1Komu3@B$JdBHiJoq@@J}RFDpV zL$^VQfOI#~-HnKV#GwyJ9U2bZUEkUVF6eK3@4jO&?!AAUz4uyc&iOpgjBUGN#mPLJ z+RtNQx2tkuxOM?mDq&2H`?tcvbwg+mDm#Z~@8bBK*KG)i@w-pn7!_n89G{EY6g)I0 z5_cr(39-r;20U8JQfrx8Q^;VgTE272Ia%AfxznD>$ZIvqv6Y{{p-NBo{fkF$es1S_ zJR7<)b0_+N=;YvoB3Gisym7|9(&>a&$#YMBMR#87n{5g>ubb@XxTl(M`Q6c(Sc+kH zQV#_!;Sh4W!!~a{^pJ_7Tnq%$$)%9u829#%}G0~rXfmRE+5ce~gv)!14+uHw8 zlwt5O02cabpxt`cr~XHqWB=wLZ=LtnV)oeU)U1i?#wPo*c0c!L`qIf34WlUHpV&Pz z=447=vP*5Le6~41q^FJTL1gJvJ|Q7g$f;}82~H7Odv z#XSv1b#%ZVA59_3d6qKiSF#RDyp}A8&5uTd1Q+=${DEoeXwL>I>kRntiDQ+C=oC+Q zeiTl$doP)H@Z3ng=$Xo%>08a2dlY~!CO8`F%h5Q&6PcZ3S)Db%#gL61FA((Ch4hRN z2^3pw#{XOTE=`8Xp9|p4haxvg>@Rfqxbqp=qIRbZoJ_T^3=bylE~#_Wte`SK>_zTe zki`#|_<|MU8m&v2z8tc;qAP9(qw`I*D4VJCPzte& z=_{F_!;mbq(jK$f{|XPlT70)Ytqj13m4JBWD)Y68?TX8cV&fr#4LTG7Sr;~H@`fvh zwj)G)*_b{01Op3)cSG4 z>nGabVze6~ta-}$zS_zpAi9+^3H0zOX7sW34Na8{$qzI7O4OX>I3x>g_b0l?A#MpB zYk?4zC%W$+5u1k0^wGZ&^LXaEMz+Q1@BOQEcA$16+eqJe15UCCCd5r4UkeGzbC}=X z7hdx<>FYfl7@p7_G?xH6xA2>hr?0IfqCNO!|rx;Tcd+C#Rs0GU2hPXlXY7x z)i-66-G?E_UGt%9Kmihv5-o}USLoro9j38Ty0OXq5t(*_^I+~aHDd?4mv89(248jw zCp#|>*fUpVs>{d-D-xq?iW$2V2b0x~$ipVxy-I^6UzSThGz(0Pd5m|Ei3D5HO%+SX zmPGxopQuqSnP}}#WM4ns*%T8S*f7s|;|pv|^R;H*KR5(g{lrKH{f`E>c%%8{lm~FK zY?Si}?ySLZ8rzLPH1T`ZvebKMF-&*&Kqyfl|0=YjKz#dyK`CsswffIVlhKP}>46os z!pS9!f-R(C2M%tk9%N=484T#bu<8v~s&g$IYiWmL5L=({=##qjMYfElh*uDwABAsc z;VyC1qlnw*=IOX8%hTN?oU*`I)Q|M_l;Y(+TCRi9rY=Z*V>s%Q`T^lB&7>{+Il=O`D4cNkke^m!Rh1m` zRgCR>on7*i+nfoL+qpOd{mJUrBLBg;>iH~BR;)KG?fYW2vHsD(FrTSrVfl|{7tabG!S#xor3Fo@`wt4%u z(5gEn_t?xFT~$Ov)(fY6t2Lm)7*eljN-k~fK9zrO?4e_!b#NX|j4{FwyU32Pa6Yeo zJRBb^uKP*7G5A-P&rdJxHM0(rQ3+olM7a4BD{dDLt=JtznK~h>`cU}mB^M0U$$A+y zc&PUZmG4LqFdv(+DK4kUp!;f17KL}~xk_;s!l0BfjzkX+kc%_N&gp+yc&^$2AEP}T zvHjT#q>zZ%dRAlNM=8U27CHKg=IDWB{#-3WZL@H)k=!$lb?=+%ZZsEj0&3DblPq2M z9Kdwi#aL?t^l576$#I6jODu2XQa3k>dItnFe4=FUqW}?Mko<|sLd7Jx61nJot+O_39IUP3}|*M9>x zDw89QW}_N|^FgvRum2+gZMpwBL0t}8C)Y@>M#@@wRYegWL)F?s28W)_{d^*|m;sH& zbk>L6@(U&^cD~Jf+jqM1NS!$9m>fd!ZRo+W-0}1jN;eJubf+~Ku81clZxIE|_b5I? z<;btw?;t?L^GYx7nXVd(d4{!Kc^vksn6D8~yj8La0Nheo3uPl?89Pz0Xvtnx_|4I) zgArEw$|iX_U^hVKVUyDuTu8njcDxP)LO#t$&yfARy}&XJ1B+e=!!Ui{Y9A%yEO{8o z11ZX`u;_dFUd3o$9$)ZlP|!h6UQ_gvfaTps1*H%Jkm)a)=eduh5KUv#_04G`W&Ry3 z3zYV>V@|n#?fR7DSNWvh+HxSxP$1#TtO6*T$(HbdX8+*kDl^eQ^p3W#`*l{$1d46_ zg|hG!uLkY?MKGF(p;8EoPXKVAJNobd&&KozOb5PsCS8E_Vt72$cYI#SN!7rm%KL|0 zu`PYZcVKB>zOagpf{$5e`}m7YvDNW_q-LUC-w@GO z>A)B~TkW(is!P)2Za(VXHHDB}rXT!>vh`Y`ul|}lzLdnf{Im}fL4l`WU9lVP5r{vO zueSQLyW)k8PG-oDMrwkn3u8T1c@O($S5w(UZ#+90dvyG!cKCltp8{<{$obug}Dk<>_S#IQv>_GCCQR7c)VayYgDBH?>@ z6^~6#cx!+SB$OJc3Q-CchV?QurUFUer+1SNo+fesbVZ{>DU9ZA)UKYeSD{AJ=wmIfor0Lxq9T%&SEXK;MZz_Iym^?_WP;jD>Ha zd_&0oc=Wq7ZGFBQzwRV2 z^z${n|IeN!!^v9>(MO3&pNq>`16m)f5ua2exh&GrvkGVNXt`B@ue+75;m1U>_fcPx zt`+eS7JB(@qXy9&ldc}U5}=;IV3)EgQt#t!`D?AAw+BIz-%ggQLU*mVcRrZsszT)b z>kZY98yg+Jw4O6dejIyrl+LLoFOu?Kl_vD&!{OilIPcS(_Ofx0B1Ul{Qe{^$3He}; z;+|!|>M-Fq_xHoXhY3jqeU;`M9TrU1z7MQ*Ih*Bsd|@mD=iMWF^$MrSrsHbQZVWhS zc8SkvGLQwKw@Yqb!+7$Mq2OETgOaxrI-R(+!-j`~ze64;h~hROJKGBUJp?E3vdT@9 zrGu{@f9Fcm1Dw=%3vkj}=;2&Uv_xw3N?%EbOPYh7@1k>dZfVSs*gqAUF?(3}zi%b% zR@B@;7^bT`>uZ4MJF24O!Fdg+t7nZUriZ^201BN4SKi;1!Y-nCs8HU9~r+G8i4*ATiM_uBGzLH=4>` zTpY6(UfM1j#F@lnzv;lRL7Q?l=9!ml!?}{oXuTa}M-?FE52DZoAt|z`dv%G3#6Ud(w77wxcYDh=lr}pVXfsNi)Om z!q^X2k%Os}b70QOaW)G5YA&YDIa+Q1#lFgh3A5VCsXI(R`;rfu{j|p2eR}6tvPw5U z^&47~u3Oe<$)RSfieK7U8;qekRC>b5$+f>f&V{ z``DOD{rQ(-8k(62gy8!Dr;~SI`SWEKASh6iQ{gaLp=<>88|sHE2iD7b*^7+yE%VHszXNCh7^eB>19J#Yj2r)5b)qyy41o}I?^+>88oErX+ z@^FTv?RGNr#3-{=o}R);bFP+Pskp&;Q-;H#nz~~LtL1mOo zRP!MK#mCh|n)3AN&DVcjtabO1nEQ|(!Y5m4G%{&_&1pw&=o*FA6F2H@v&pjEOV`hL z)cdm9fw#OE?$*qxrR)XQK{>|=WZ%7V5fR}zb3&$`1hlA~OlBc=w z>wHO4qYiv-tI8t8LBk4rkWcw&X*fS2iQs=#2<0Bo%*AfA1wBo z9Yb0Ii?dpS)uwE8oO;y9*Rf<~q9>+}eve>jH!7#$h`%8_DYrD_pO+#OXW`a|10p`l`cH#WpUwP*L&q$x;G!k#8xT1 zY9U4bX1{#}FX%9e-!W;b395)p&~owkl{MwH^h+|FiNY~Hl588HI1Iw-S zDP2u6ld@!mm=q)W^n;DS*}1=1uiAm2v%QF% zDosLkV>%d7*F>>D@~3g@j1C?yRRtK4a>yivp(3c5cPlAk!h8aXigdgw0V^m3IUskP zPRL-2kzk%dlFH1g5DBjkn=dwCinrWdNC z%=TOfPJkwIjx3>}>e&WirjDFmJg!dVgP9rZOv-jTVk3kzi=~ZK=M&&9POlNQGg}>N zPi>G4x>4*CG#+(>P_W^)m*-sEO*K+No1N(Q?!7G4uWfE^GrS)iA}Ln|(1HfL^HT-3 z3X9e^@J>Cm`@0FYg2bMJ1>mK&`aAhA^r8=#|aE3%P})xk!tBMBL1ACn9H2EG0_MiIdA-1 zh~fvv09^={0=qR0z05y;un=;&F8HC+22KVS>FJCPl7~yQe?qnf1A#JI{kMWZ}9(oYh8n zPvf>v8Lui-dXhJ|WiaVtl3uSRYl^J{1oPO~mVEP1G$bkipcUc50|m5;AtL-{Q$DNb z302K79mkB3^aBgjHjQr!8SSiKL(q+y9PkQ;aqm2j0(S4nToE2%*Jr)s*fo(dY6@;a zy6{Rd!N_t)A)+=vK;*B=@Zr-&28{ORDCaS(o%JF{CWhjtTBsM~9WVOGkcPXp?J>bE zHk$##tZtaDrmsck+Ol!#WXs-tf9!QVrl;xLklfq+L#morqGPw9sJ94dO~sdsm)eco zxS8Jm%sCGS#gT`r;`+-2iV<3vstql~Lk+3W+#As7?HuUtqYfeF$^NN10p%+tOy*sVz#YB!Y6TFuUN*#WN*+0eswneXsLIvR!>1mj9_h|pbyaVx@|Hl|`* ze!hfW<8hEJsf_^c&F*&qeSSUQL8H&|7GN=;#OrZHOyLRo+~#ircIjE)bXb-(Ia=Ul z?Y%#92Vu<&`*KuI@?x&PzXIk-qwWkGJ7qhExKGq>4q&()Adh8d(eg^o?XURdeHOne z+p`}>)62w|23?}~_n}}zCW)VM2%kpf1d6-4wO?(YZ7x=v^C`0TS!aW2oF}yI^AGacOVjb}f=w zR6-OC8!m2c@RxBApBhKIS0sn&X9x4S7b+Zy(8&_|xzX*`lWhKYKz@1K9d2rP(Y5t9 z*3!)H>B9w6p_#ZBIDXGX-H5p(+~45DJe&*HwpJ7<1RtTn5a@ck6d+@;N!&wDi+>;p zUZvYTh#-yEi?+smNURSp1(YF!t|IBX(u5BfG?-OPj-qAmefg4#MN(Z@TluDmK_Xcr zXRN&ts?kpPfZ}Z$SaO(+-AYXsHe2U-vEs=2X15NC{b}aZsqF5XlcfLEae-f5zj#`Z zBEZnjPA4B-ne^O*v!7o6as+F=kNN{v*W&3RdA_4D_lKrzT$k~`Wh{jF+SWb}Q39&I zU+ml?g3y5Epo?YRJv~+%Nr1IOo^nhn%zpBkERUq1kPxAdJRB4;<+MJi8yE@~o0jo` zy^Ke}mK&t)k0yE$^Rs0z!S*}&mgFs*71_1|hsj>%CI1*Ug59d@g2KGs zvU7qyioi)NQR*K3eDmzSw*g((7&)j!WEiDqO*=0OANea^S0PZEmj~vh>Ey;LJ%GLEq zSMo{<7Kv&4a&;cc8WWGq!g|LxLW29DH+KBiUdHHe39cXR-G^#<03UU15;dBy_llqA zt&dBJwX@J0PK^62NyUDaq*{OeDL|yrzB-gf*H`~J0oOg8-f&)|DAizr^AA&`o{c!g z6+OMx%>GW?-zBp7GwBgD0rhQNlIMs1EzI_{>g1%PGxM;*#kf`7Gq`?vJ zs?oV~fOc^gTvKa9s;K5EUHUHcJQV>`9Z=lN%O6JDrWs0(C%FPno-)g)o`dDMrZwFI zPy<1BLLc60jT7h!Y1NQ`Q1Hb+^+2P&=^S_;J6}5sj}Lz_lRr19-BCiP`E%DBxrr|Z zUqH;S@H6IjDw+LJw-v1UqVEtH50$CdEGL*}r(XNo~JyIcczY31_3USsYj=T7iC|5`ex zqr;Bi9u=432e9WSmy79X<30xJsZSKQ7+!I77ivoX83y~&#PyZNgZuY#7aUCqpWGj+3^LgyAp5>1Ys6MO4w%e z@B_z!0MKoa7kuoQVv9KzLTU3hrx?xaQ6gcp1q8_JqFUda?W$+m4nh{9*Z0QUrm=34 zFDlxS(qyevsyq_!9Rsq^igIfJ!KGyV2{2bDElH!Yk00)z`Crc-^hyp|XRhJqE19Ck zT4nfGZr_=&v>)JvKmiei$N9?a*VY8IYMP-y>QBHrCwZf2KhxhT9si1{ikb+;(ij+wpIKOL;q&&o6(#dH??+!V1SDGo(u zPYzrxH*GcfBy?40=?G0j?y;PKii7G(WHfjc7x~!kUl*xYaP#4}-ccekQ{M5@JxCo( z`&{O7D1{*)RK%ufR_YO`w_(I2;zN9p1L64D^HvLq79JF6tA!Q_eJ#V!9NmzD^pVr* zkHW5rG=fYfr&sYJorT40%O)M!O;az|U~osmr?KUI16Er@jGps7vp}NsSE!bx!-SQl ziTK*(JC{9B1Ng(k{%v#+ov@j99S|n9+Xx_vfXBvi+$LEHi~e954&8agaDO&FY<1pu z@0b4g1zrh0*1?ESC7yi%^O?*zf4^SfJ zyITR(>ioiwqX!e2AUvY3=sFfw90D(y{MKI$T*9J>=APr0=TGqhI}nU05e!{T=hV~k z$~3H$FDd-TVKFoxTJV?133Vftxd4^pm^{`H%OA;AsBhfAKHX`HU8N7jA{S>y&~j5@ zb#PII>6`GiHGdWm&_R<;cIZ3#nU4_~DF*=^j3Way`sH(vWh+SWZuC$7CaCTO*jLF| zO`($Wx8JXG`lmYtc+?q?8~T~orQ1jp^7dCQ#fOJl4SsqV^U9_ygRBcv2VOuhWF;iM zXy*YcqN{thHV4AtIsC#pQoMq|emwOQj$SLvpWhNXhoPQOzt@Y1)3Yzv>C#lb&laH$ zHb-Hm9%e|bf->uMA^OsD# zQvYrWyR}{PaIo68@ebefB=p8;ntj0{Wsw6YSV9qAhKc;_fz|S?MfNW$heNvfpXBhE zO}ib#cEOEyb==b%9BcBiew9gQt*M2#%qE(OTd^XyQ2LwY&PUu3i-t^Su^cj?)K}dZ z$QCmHc}UB+Pkt9k9n(Dzk?glEec_?R$vf;~`mn%jJqtg{TzG`}otQnxLTJsU-R z98N)j(h$FM+-AQR`@Ck!)b%ZsgbxC`+wqgTbHXcp*+A;s2}AR$)TBO8QWC09kn)$S zrZ{uecx7WPDyzj3a&K!qVw--OaS+l~ZXkBmuA4sQeLekDGhy^;th+g8k7B{)Vv{bT z%W4*H9S&c@Dcc_y8~`^1e8F2601hy4{FvGVo$uDU-o?Su=XuKNzP&ysdiR(qXqXrL zC-lMaMB9j|mj*)_l6~~Po==vdn6cBh*pqM!nJ2YA8t`TS$GWw1%-K;?{#C6ATqo8n zP?C^c2Al-C!W+i3@TXy(A3$U{y4E0FWRj3o2+h_rs?Ph(>ouD`_%=oebSGJ>BBV_M4RX3rZ8gz(n+ll!LU%W7lTwIGVIRNu1=BM=9b10Z zB^HQwY?fl-kMMC6K)$d(aXxyi-X7YSxQVaTh~@k365ZB3`Fyy>#t5Tb18Ol5yI`H$ z&y}Yc)7kfu*S^zX#Lf{f^DMj2U}pf#Hs%qP8U%`C^d+7j=Z@Zj9z+&2BxzR+j^YzU zR^(NKoKZ4xWUlXwh8Z+dt1b5}_olLkW@O8K&f(V(4L(<&b~Y{4VgAi0pd-mC1@?sq zR3ui0eT|Ji8FvJ2jf3Fn0dw&Od0^Yoetq+m396ttEgZ9;9!zC2Gvz+N;tGX5Jn#GM z1H|im8wENLL73T*U_mFVMY?C$NG=QgFr(SnvGdS@$o^3c#>M)Bai;^-11-X* z0=3aa+$MN+g1-Q&5wp-t1$2?blv1pc(>63p@XxIvI@=1|Nc(-5t?3R16l09%w_R_B zlZCz;s=5>tVx?ek(G~d%q*8EX9d0QJQ7Y|SfD^}N715_4f&4p@4J>a&vxMg+|D(@K zbfA}=fE(owh00>=L_KP#hy5`EJvqRoF+J@;!C?Wv za->t!(#^-I23Op?vCoHdy^olk+h58AxQItZj$?-s7^HFc?tH)4bgX3a{e?fJwB<8D zd^t}wV4@>EsacU(RolVDU!+rUh)~0M-t=XI`hoTaF9`eW*WI>YESGw+dyPcS)5<*= z#fMYIro|z$p_d_uMZZj7@zHEp=to8O5C0a58bG;d2WMYE1JcY-)rM0_gAiEPJU7*2+t>#!8b&Tl$wWOEBeZa=WNQ%FPlFR0}dOF9yV0%Nz$qgi<5 zm!D{R{Lj$8zdqXxEc3AnfMDHTn@@ejZfq+wpj2-&GIG?}Mm(_K8=RE2*Sm>Ycv#WK zL-+aSkNy@;rgp1nCG6+DgFSJ``3QqW2#SsHD_DYrw+_R-!e8B2hkGT-v3D+<>+1-N z>z9;aOOCP@qDuY=-5j-Yd3}jah9QPLM8?qX2TxS3g|#x~XD=s3Hr*Y0;%F~q+nxQA zJkIT~*%a#>V;9L^)AyNv#?<><+|ZG}?2bIm7hwqeQ8$P`!VuCHsODqUJW+GcJ2JhF zsBiN_H8I!t4@^4K?kne466^PtXVJiSHyxz=F%%2EGxN$H#`e!gyn%3O`y|w5_Id0n zA;=j0u1toK!W#YE506Q6-j2$DhTWINW090mMky#wfERdPH*d63fTL&$&pEyN?X1)u zo+)R$tTEUKs?Fk~L+f}Osa8-N^s+e!&6xBR5B#p-;514XYN!7xYq)!#p%fwJYa-2M znmz#peNsSdMm#I)0hvGoNSlRnZk^y=Qd*A|%fl;QNNV?VGXwJuM~hfWpZns_8)5UF zOtHY-Y6&{a2b88L4oIBIa>V@hKo7KA5gJ8sye)BzJ+^PInxFfxSNkpROni~OAvdD1 zqtR4olD*|A#vUSFwzaWK4Sc+H=Y(2e9a(BB@QFnA@1LK$sAN*%y>N}Q1)}Lb2 zyWeNRnY4Mc@ANNCX;1OduNQ-I$6tYE(rxS2$lpe;Uccdc&TR4P*3PtWq7Yg!qp%BB z!Uo4f{CFGo#6c&STVhNC1@a|7zYV1<7lXjUv-8 zjjMk7c#&n6*^Fj4xADKgTL#3nEZw}V_NLbuD<>$}rJ6SDJHPTR>ziO@9|OEo`A^A@ z!|2q*ez#@;xewd%`bP6N8kJ4$xgI4}ikCho4_m#ej~Ui?5Tm&Avs`4@D}tP{diKLe zRhj3TTuK9~bF8vr&rN;s^&}vKvrLv&d9#Yh$Cf7?E?^u-Nkyekh2yTFx%Wv(t88gS znn99Z>bSFOxD%&qZL*T6p-J`v5sMpCTaayH>}>o!k2fHCH|1?1z&)*yru2|%G)IS7 zq3{_q;0^UUh-Ty&(EiV?G5*|vr4dnT_*W=#u|N8{Fn654suy-t5V6I81X3U3%K7bb zyQ4ir7N~X%SDH(h`D%(jb{ZDfKAo;rIHwvn2o=uqqmH}!@MthfqN_eCJxnNaH-$^S zFhpDIS($-sb^fsyzI2%p@3#x?4R%8yA%s`@(NFWeutkP#DZkW*VWGs*xHKH4 z^6|VVn%Jc&vPyU@)71BwJF`Lh|h3+849mXbL<4;)qwkC5(!(xm%h zLC2>kgmj@q=s3&oZg`lnvU(_`rEPU|*&75?oZhsy0p&@JD&5&;A~pV=E9ZH|fR-jM zTS27@JSy3iFobX}oqxKa6VF)_5A5yqB0im~h%rJG&Ts!dqg+2Rk}pdTgf~RyLiUaF zGVLDsa-Ot=7Z`^!P!%CLBO)o=uFT+Od*?`(^Jal*T4^@0CYK{}eB@9E{`NCV8ye!A z=8_Hz2s0_NZkVS~2p2-~(J#gTdFnK@E(zG+X6KCg-uajoQXNQ~X0;=aa9$1()Qw!5 z{yYh?AJI*B_EUb`c}$Nmf^?MSimTybu@b@$o>p=~n#`YY9Q*ny4P3slKRecE-e%?$ z#`8O)^ZG}vyC(YLuX4|7(fX` zBvj!P7LG^+NR@mH5_;%9WdD}m-t5^l1{kK;L#Qc1%GH~QHKHR&k;*$FIqYJYWToPM_Yz}*v z)Flfhr^MsFVVu%wYGzRAu+L;4Dy%jC8?orMSTd3w#LqP+b61&wWl{3T2HZG; z(i^*HD4EhFN|vxAj+}l z?rjX*5zGn^VU8^Xy70!xWb_u?Do&Cnrd=B3kOsvzKn?TqDB=4(u0G)0wiPGHVZ(3{aeGYT;Ivq0utGMmx2ic+BpV`O>y zcAkSUAdg$aw8Y{tyQ!6t=kf@5`j+#us}(byewEejCklpmSft#$%Q=AN?9r}eyr3n2 zpvnv4@I1*e9NNv0`j6+3oWP;6F8Fj?;GT?66He_Ng?gWZxEGBwF{z~n9hH;(Ogxu= zdfFY$BG6c+KCp`=Kp;dg}KMgDNX@lF;91j2$q;$KBY_H#E#| z-jb`K|8|K^nY}U|=i-=f;Zk9*@QM?p1%#Qu2eKd&y~)sCH97f#9DU#adJ!S*&FP&{?8rc#QS7I$-7x^>2>;HWX*GZued=xAMj!}wLv1nyj zq;{wJ;0274Cm>^J_Y4;klAz6WA~XLF9(qgPfzA-gU8H;O^;b#dL)8DbY(8rM_=)FolRIlfqoKuu z`2-me|LEik14(Ip7E|*XOK@yIkCw=8*s-QmscL7J##3G)(29?UMT>E(ZX^8^iw|S$ zx6(I!^)I^GAaH-@$O6pZ38hj2I7v4&kT=!&_Ja6-thT_QxMabvHGYP`E>Sixc1)3C zCQbi_Y2?=2>dsbW$8w;^Ef>b{3o%Y z*aTI83-f1vlr``A-Ohx{!}^Nq09ue>DK2P4D--N>gUWw)^Z$W4JtRQkN024Eci^3d zZScdx1CuJe^RxacF^g+uz}tN3BK}<Ol3|0!wQH63NXQ7DG&yDXoqZY?|5)Ds$9cT$#e*x~-(|*;a0}Ufecb*;i5U|=i#3tY=1~~rmdaAWTp{~oC5rMZ z`A))=9zey|iU=`9(a#3V*_!?qhd;Yl($F=Cl|LYE(&{~~tz!i#K_GzpZdp6pEvCDq%=yb!Xx?8 zo~~LbiriCIq>tMWMJifNIGVEXe8agIOM&}%MO4cbI9ft6+;Vkm8muRBhTr3nE%REf zki_^d6i^h>TXll0z$6=s&?c!?$a}&RJ8gX)grl=4yu+*cx=o+EZcliOUOmxhr$F}t zLrMBPPpuZlVY=!t_mbWwP)!KtIh4QwH^lA(sii8~;Hv&V+v9pqnYzHsP}wJ{$m+*3 z()bI?MBGl!#kz2hN&9J|#|tTd<+dY8`}5TxgM5bkDh8tIb9$$IJLYuXFn9HH7(+@Q zmOe?jJ`+sP=^Ew`XJXnO$EjB>*Z2JxU*@h(%>Iw1tn@IY6B|UszW0jD$OP$vLZnm* zLXa#G{;Ak=>m~DaYaS1o=** zmSV_DsG#8CQw;ZS9n~gLI&DBiSV^b`uuGxv(mI(kydVNJjGaERi;2f6>Z3MGUFW)fU*)&Vq4qNs>^eZuoiT z68sHZgXN7M?YK-kkZ=midF498v-(>Aq-hO}G7CIj=;Dxw0D9+gtM|lyUH31wYI`Rd zT3g22^k;tiB$H)ms|>K+GGec{B6|o%+1e$2-ayrHS4x!Z)C|Fc$8w)`J_ux69C~(5 z&a7oJY3aQOk9>iQh5y~p1x)E)k8>zep3zP@p!fr&9Mf6EO*2RbXo)re-%6&@ySfaa zXujtp%X$~jIWSuuvKk8QM4P5K`RHIjNA%z*n(AyaqPOvMjWxZ_mbfYAam)i{+#bGyF=JjNGgnJlOlo9drkEsjWwpM?7l5lWGR^Jh-_W!uPOu&*8?`oE z?`Po!+R*F|kgje46{}E+6v~SCY`uhvnC9#Qj>ApGyuHr}HY^LlvHg&^?PkWrTrLJA z8bYz&;15-bmx=@LRpg}_CjbIw-33_ghAtoE1NpXTfHIl{Pv^IZ>}!aG4FB}{!-cQg zc=<$9W~&F&ir(~1@g}LRD0Nh<@!s?0KHg23O!Ts=+=5PZi(kLk_gf~}GL>P$Mo=YO zJB5PX;kwAN{TJr{)E*P{e3cQRY#O5X=xL$t)cSh9!UyPINi;Qi59? z%^W20x0P;uPgMj(anNJ;qK+o+Ea;@Q^hlq7sLGobQYb7$*=1t&S4)ScS90LV8?5UU z@7wqc9#&!##6%=^dV$PC8QxqL{}#jDW<{{ztTHx7P769^KnGmMHeSTu&~Y0IM7usU zt_jCOTeyafoFA?x>x_@WX#q8*K!YAt{Z8H!R6ZV60Z`)F0* z9>1^<4u97EI4tY{D4n0D*ox7`A7PHCJ{l~s%i@{;<81~0?=9s2j6~9bGtmh#U5lmL zlswS(O;!MqTX*>r9UUUUDcSD!lYj5uQZS{WOrZwux@SLbArtN@l_n_mS~Kkn0jD68 z3`Nfq;7fy#_KDT{5Qi{{pr;854AEXs`jwBD)U@vx&t|p1O`R!&i+pMK1GL9$Qe63t z53d1S*&dM1FZf()Ajs$$%JZTmg@ojclW_m4i7-6PCB%wyu9fJouJ4GQc)th8$P0cKR~dKxInm`aYm%!oEuC4l}hu#VHrh;iolLJAJTX?mGRX1Ny+C zDo1)5 ztTrmPYCLSCMo&Iphq?WUNM{!@q@1u4Sxe9uC>fLTb8grm?n5`a>zL0pIcZ4Uh{Nd( zYD{{bm5GDGecd6mS3O;1g&9D7d!nKB>cCEx55?942K2S7xUCmcS#B7jpYr(6KKJP< zhS_gwM^rcrDTIX##Ijn=r|w zt#CwqoZFgarwY0CCbJJ93(zP$mR)UV~nkY!tK{BoO7D-0fMXauS3eLY3 zJB@UpSLYSiACPjs>zT@yV0m59-b04L;l&9U{UoZbk%F%EdlgCK#364IHT=&fTdv-) z1V-Auo$H0Y(U3$4V8(3!`*JHoG!$ih6Apq%2dNzYx>9EVoZv6ArF<5&i#HMibbbl) z--6`9AQ)(ST)S}HS>35h39NH34yQugP>UoO-(UHGTU!lir5d8~_;lHOvK&h-tDZej;K< z|3|E*3BZ`C3JbxiFXG0EMBK>vRbx_zy67KJn}qj$m#nVagJn|XVZ>2sfV}mxx+Bg1 z68wnH9+eJ~ym!h{p(bA_G#jhgjQd%KknMDf(x-#aY=@^=k|tgrrahYterojU%y3pq zP6QJgSBM%PT8meVnumaFaxmS8%RUf-Gw!n$s2HV0OwHqL_Gw)nU^>pUSLHMNL{a%h z83s{^ghH5TCuOpuw3viLo#JxrT;b(nBb++H1|gvzQUNR$F4s(-ACbPZW7=~0GqHZE z*9a8*@i);f0Zwtx`x>wc(}!!uP339YJv|pl5FlPu%G_7g%pNKbBH$5O8o5E4!rtW% zhe|s!xSobh*966Llz?F+jmu8D=&akYZpbl&>)X#bff7{_5KLBbo*NA2y?#icU^B&^gXGuKr*RnDmIe42F#vQmO~h$N5epL0N61 zCH)da92ksi)XR@U1R*0x`{TD}+TGn-f-G)V@yxw_S3X{@%LQn8LiaO*S&Orfg)A? zpvKp0ve_02Ts_w0<{X(_gbDk%zgibGJx?LB`s_{&Uek|%Zm5DvMJgHX=Jx9EK>ggX4m&1nKVQai_*MFmNHhCh+%cnsYK!xZ^7YR`3L9$>7rUX8dT1dK-pUqWmWsMH+>Dg8cW1$&9X1Vd{6-*gcvNHhKlvU)CJMI-ckf{Xo+{Z zaB-&*t5i=85;7F+YCtsz)VaRBrfcAoe*0p3W}&;)!oA5_lUn#4RtuNWejbovQq80N zyDdTdRN8%RJ&zMGQ5Tcg^d$~LApJ^PhM(9&qGNF`+;Wc3jorOtPfN>_?H=7m)=kDE zEzQ&ixd>Q1=zRv}RtA~d_lY&gpJh9|_CGNdHq%L@L`I!%;vrGPA}TEo<~7(t+yD zFDuE_e&bQGl0Rzx7%evR z&V1ANI9qxMhv+C6Cg2}GYJeGA61|2)sQ^*He4seDHjqAKi#|u03`S($4)>3aflw;neE4@IkCt? zg}|4jqne9=)~9}81YeaP&8iT7a3xmM+bgyw2^?8h$7n$2t$}pYr*UCU`1u4)|p4^BPgO=`{@@0-w zDA2fiG(s2PA!@JA#vOhlE%L3%0Bj-D@r;MGid_!ijg|xGAv%-3#3GqS!}<=+)xs}` zmUC{`KK)QXxPA7l7(=I@d&9sotKG?;oT3x1@U}H02 zhcmic-A2JQAZ8q?od>z_Cj#l!HrArsuRa09&h^avG6$4#hPpA?BNO{0xzl7iJY0)# z5l|V_E%(n!-a&XyV_%Qiadm#znh8X}(+#fVRb3g$+5R^seR$7%yY$f+S^&eP@lFpd ztjyhsOJ16!BbLo-{8g8MN9x`%f5iSS2lgG662x!WA4b%6?U_e$A%F?VsZKF&ytM> zorK(0hypkE*2;7Tla=62dJq}5P5&QdZypHc`u+jWsc+knblSAoPAV1Bk$oGjPS%ip znTl)^%D#_|$|*&%g^+|0BMeyv<&-V^7Gg-2!5Hfd#>~9;Gh>+Pd%o}cd!Ikfk(%eZ zpZmV<&vjj&>vP@nSIe=54_4b2^mR5Qh_CYHFV(Vc(??S6#P+v?lSRUsp%CHyG8aQ* zpQxx9B<&1FSSeIdVwbk!b%W^+K)<W;YNwzfQ8cX9G%eS9bws zxWHOJ4w8nluIY;P>{0(QpNw&Txd%9q|F^3k1T`GQ$w2jk(jChOLEJc9@t;>u#u34< z%FBB$gU`F2kK&iWzCHLj_Vw-71DTiqNwSkVnIvnSDWm^3Eiz=}CO?|tx4u_e!4nRv zao@UfNYQELQlWTR6K47yrolPuKflbYC*H>YvdUTr^#5Jg6iST;wav9406b^x(pn}t zodBJls5F;i4Q->^mWA<7QkMR!I>PB|MeeIpI{||~)~A##NgbRI4IjT;dA$EA%_@s@WPNyG z$jwjIBn|^+l)hFI7utJp9uOvT9()}M{u4;=pCS$b)xh4Q;`0h+bS=g+SGYw6qX^dRaCw?w8=@?mj$K~sZ{dbE+RqQOiSNwCh zFd+SaJHIcux(8kK5Nh1E2XySx;pHuI>8sQxYeoa<>yaR?4yworyUc$MH3OYR)!#-< zr=es9&|cHrpN{Z>v(5=8Am0S;)LWGy!$`bNLG6?eUO5utv{2Ol^oM=C?TjkZe^m$n z?lBwL9$^5{bgB|SU}jVI?1VVG_Oj+cU)f4_9PEM53m%Nv_B`!4T^ zc&J8gR`d#5ri-WdXmW&tPWO`jS{?ZGlX-9=9N8&RNLbGd1JwEyhmFL>vXon&p|6d& zv=dg&O}Hx$x@`6I&qzlE{=Pvs->2=?ca;;cmt^@d|Jln7-@hrPsYCOycD6FmKIT8) zCDxS?>Cdbmj%|WE)AsFf0=tQ{DdlK7E#rGTyrOOK85CH|+~+ZHVC3LRb_HP5KURGH z5*Vv=cL!KJ)&-_^i}xx(@fCi&obm%xzkFHOQqytLtIv{H0twiSb$Pdf9AlvO*Gpz` znD`8TK4^a3?=5TzYkQ`}NW8Wij#w6-yP$qGg*(K+6>tV`U72krOA*5SOwS*f_yvjr z(XnC?d=0E9u-G%I$=?@AkpYfr@y9m7;~h?z$P!m-mf?XM*zQsyLh~(GpDbhSCZlPJwFV*JMsHn%4-1kB77&f zyOxa5owqLiB@-*>0TuDzB)_{@r(7~>@Wa}8Gap>qF^=K($L>DZQ5W779rkpn`T-Ej zcp7Z-7_~5vM0NquJ;*v%W*^koW8zPACPS>{-77#5?Ii0uCeE5!sKTjKv+4>4kQU^s zZWjyPQlK2dJj>}tWK~dKfgVf<2R!#aE|fybI(BLjjx^&}27xlwC-2005c3575^j#|HC?729Atnlw!y1ZFKmBbwE3x+T$y}VxJbKw3|xXocb$_ zMYjr-yWbN%SrC7DTM!1=*f-i6pEI@3p1x-1!&h|HGJ!>PREb~V3zfXHj+1hL+eoB$ z)y<(6)TzRN*BLvKY-d*L(H8d{ERjNj#9LIo$P#rI2PVMiFCQ@2cW_-^w&M)lv;(yz5?z{-K)BPbh7tAmG zd}deog$tS=81tI^cR*XB^>_+`jlExySRZXtBHcUrOI;^$CxpLmnJpgb`pDZ^l%v0G zgR01{7tPEH;tgG+q3|U64Q=uEDhsZ9xtN0H0U0A>TEpcTJVC$0(^m5nm zJY^B5HKMhU;K1cP!`6j4UI#RG_Te}J9A>S0;kB^2?(dJFfqtAi8z*0Rx<8Qi{m!F~ z*8#t$unR##%W9BV}=OMOn&NgdWmE zgBXbCle#wD^%I_4(YN@Q`c4?_zR2R`RF5;0?skBHSPWVYs{XHIN#HX=tA`{7qRs@k zC6+C<-31+-AcIAjj`T{AMk%4E(A(TVwpO`y@J(+@pVTKkXnS$t;S(qE9ydZ+mayH24={3-zy4TAJHdbfaBAV)fcmQEdNw&|=DVMG zpId9SZ5|w-!E{_D@$>Uny@!@(Bnxy(K`c<;vEN(~Dp^B4zl)(n94sgOpP;f;RJd^A$3NbiX6wBLAQvl*z>Ne9eXF=CX2i82@b1SJ zlE;GGk&DXP+zPK;06DOD_lq>JO;y8X-o-!-s`kZ)IA6BMonIf7l4LHm9!~@9fMJ)G`1uYQv#sK_!`^ zx0ApDc$BDOL35VEYjgSwNNH_`X*;}1w50Ge3ka&7xBr><^ZsF;1<6a*OZsUa=SVNi zcwS`g1!EiH63lFON&{aJ@Hnxl_qQv~X~tSF_H(a8YTs6#*)?^q+h4cahgzIIpRyOAAXd(t_NP0>qis(uNG%dh?cAOr+eS#+&Qb6|t)-QqhO_&gl|UFH=%wvx z;JfxWgI@aMA%jfdg}yfn{c1(P;GoVGsDpoz{8J_u~LmMkv5Y}07{p!Ua){#yB1#n>aRgy=sGoO3a;-nzMM z<9`%oWUd7f-ro%B{p?gb`^qA^B(tk$O0c$AME0|nF5aw}qt7U-Z&3uB7)T=?`m!U@)nwB){*o^Nkov)#p%A%(9hW=?or08A1~&Nxz>BjIk>$ z@zn8hbJFtKbuiob#SZ6@9y7%%Rw$z+!BQG?pGJ7g(H<%f+{EJ@F#C3>9*Yzm%BR>8 z7cH&xWpD|NCY~3qpKb3cC0_G!DUmJkZdI+m>|E^i=~J>U47PQ?8|8Z0hj8bPRdw4O zCdqOxUB`UxJ`wI~_UF!lo6oaV<}}^%^(4K%d^gH4Y=uw0*yiZrUf_10L2iI$U%bEO zoV4_FI^+ER12b+Fkg)KyP`6jgjA`Odjk3488oHe_>py4j_I7`)*e#PJ93P031CRFx zjD9R|`ZSpPZfIlbIM#?d6Po3Odb5W_Gzg5b0`HIbb>)_LYUIf?)NpyZV|Byo`C+Sj zLp6dW;4uEDr&kd?R_>(!nc-<0TQdz?uRXB1AI)DHc)nas@;(NR-nVl!#mwHTIdWh= zh$5)viusD-!Ol!3$|ky)H)4VDYFt7foJ)pr3Gv$IhK~;__AmYOVU}!3R@;s4Ew{2k zT-Z5acQs3~ta$h8;|FfCvWRA(D4&cy-4hOqDhpzW-(v3_O;+sc>6<(Q#8nBYO|+Y= zX~@@Jz5>kyB8+@Ngv+dRwCDn04hD?9K3zt(8li^%DHwdb2T+j%`uRNBlmxY$uNY4! zmBU+`w+{D&*N%-;R%VVt`wY5N&$Hg%?x};LjZ8`GL|$**cNwD`8Ol~z?hnHAm6VE{ zboHZoCjG7#twSI8cuZ75v){8)bA_&U9>o8*x0}1r4&dhmEy68J3zbh6&o!#0PnAr< zRXnt=?tH0hljTdgKq~3g(aPGa6RODqA*mOu2oShAqtiAmCBD9tk`mE;rD4C))VLkt z*RTz$5z5N`b6vu|3#Ps$Kgy885!TI<-^_i+uAuDlolSZl@swX57;gqth*Yx#mbNlK zN_?BHp+k7AKDE+IIacAZfa;$4@J2{gxWUj9zPoP{uX0LZo5sg&qKe8AtKns?>f#3G z7c{&)Telz_(b8aEoi}zw%*TQs606m`c=)~MPu9dwWq7I$*W^mzT;-mG?iG%>FFvtF zRt?ziOI?*&Qhh6`%;BWP)vc7j-9|fmdHQl^P?O8q;Q1*Hog_kt)2XKHhuRwYnxXEk@IgtNX%zF7#f{Oy)oezrJo!o3G^u~|}J37&3CT~hSaibgHB)z}mloJ?4L zX7 zk6QRb|84Jo)d(ydt7!PLV#^Kv6lg?>};vMzXf-xFFj*kp- zEXE7NU?wAGR*WAZYaF#niQgP%GO6A+NO#@{i!DTsJJXKkK@g?KrUk|YZtPS(tx%bDbX$=S;4>X>$A+iCtb$4a^fy_NSB zyQJ>wpCmXCwuNn|-0+9)w-V`8DS_@=%8Q{jd zK5L3cP${Qj$0e|Wb(lppqh3=prGK?(3}n%T(NmB`J7#BKyKP~CHnHdxx8=%j37!{a zL|yyvFO14nBrk7P#`+?BTog#yedzs@a>L_XzD+!gmWt#Nhb=s>2YCMmhkgp=FKR^% z30e@QZY^wFU9Z4RtZ(d74Z1p!pWo8Z8Jz!ImU@ zpO+O23-WdP_eTj=m1BiTsi(!oGjhHC12mX+AdT=P-L^)TQrp{$4hup!UX+DN2UE|y z1_ZsIvLMG{!R4ruY14g?>+dFNy_@&KJTz&8hz@<}`G$>A%Fd6zgzF+o76zph47WQ5 zxY-S)B%cL05o-4%4BQ>FLE*;NfxL2Fu?3n*@ivgmp*SyW>6ohQ9iWIb#_hQik3VZq{Eu+J<&z;{p3f9?irc8`E>dLGv`?1`Z}Z#BJLGqv_t6A|-s96%M;3 zQ~znG^@IpIMDy8Mo=~Eu+K6j%gT}A*r^*M~Zz9h@fsN|lE{>9Z)9>^9oJ3dep6j)~ z|J1<*DVaKR>1=@Ix@kr_z5g9-x{i8arWqUKU%6O+Z5S#BbN*O!pA1^?+p3vHB7>8j zIC&I!&xnWg4&qJMBZ%GWclJ5iq$Z1W#kK%$H~MM127M@6-T&nLC;mBKL_$wb59Grd zQ1ok=9cJg^iN5YQ$~oXd8RK=4Ea~oV6->By5e?w5g3VsmZ|{ zZgbN7jHT1!X>VotqOX1i0j}1N-d?T{?CEJwWTs9OlF)u0I$p}8^$Ge#e-QD1yg&mF`o;CkHwLl?n+mqQEeOJ81)R_I4 zw2r08<>JPkIoeW=UQ=q85vd|AyrFohyE;s>aSHiE`WMSb;M3OXCng16oBI}~WFfon z=jWdh*VVEs=oL7mS)|olJ1Po3|(kI2uc(N|}gJ-BtH8QrU%D-!(uZ`Po=t@ zwcdRY|4>;UPcOl|tLhW^k!8O$hdLG$K)OXnZrV=`4u8!E&JJcq+Z+5p!wr4JC3EdEdY-7xXq_lKt zwrV8rA3KT*EKhz44{B z;dPQw>Rog2V%P0rl&|O0FOl|Tp{QH>H8xh8=ELE4QTSE^L~l!HUfIqLq+`}=!N~xP ztD%p_P5LcL2Zcp>%I2Q!<@VjVa-UDkfG1%dEm(dea|>TW48>WH?9!|hlf8`abStX( z&K=&6WQf+Lkd*hv-g~gLOiaX#YEAUm2*>mKFTV@0D6-c|CHiD>K)v>Y3ZT4zu+_;->P^REcbbVEQPUmR&F?o zE6-UtRtL+RPug*B^F$qnoEo_t=f5NHlaonrZPb{JuP^w1lYJOcVf5~x2*n^@Sgu{< z#GGvQxX&D2phHp0)2L+e8?u$k<1c*j^5&?tG&7O3&4%e$xsf|a1*zonLVBG9bzqus zT^CmKbc%$@?;|9eZ3r*g)qJ}+v{Sl4Wn<-yqB822<`_?HBaaIsF9%(ULx)c^NH~+^ z11F8U7d|)tf;sQ%c@g}LLa*5?BZ9|fGA#4}nSZ+VJrTTx7v419pYb*@*uF#;M+n<{ z#Y`>Ue+c|0;1~BY{hSk5H9oy^on_1eE|-pg>OY9w}tfQHAYV{ zHVicC0Xvop8<5Y$;PGQNwosM@(&exEsTJ>2O~bJ01l(L)d(XIt37;8aY08-CAhBk&cu(MrF5(S6NvpTwxn?T47Ra<NKKI3i6rL5p8p8DOKewR!S8( z`lc%jSS~q_2F2ncZztyyBw#BW@`vA51&;*Gr_|WoER@Yw9O{7l&BJuk>%KGf=i}3} zr_6nai>hEUSYmdnQN3caQZjCF$EATVWk(1`gei7APh7%=xiWQ6ChfN4$UrnO zrKKRxD0LO`9DTQ(5&J-B%Dm#fti~cRu5)U>o={X(xohD9-Ze>sHQfFlEohf?TKFep zJEPl|@t*wTS}5;_HJ@Ja!S3t3g`D|rwtByswKH#()KXH{zVL9&o#>pFI$go*>)ney|ZU8$iYu&H>|t#kY_B)5=?L% zSWDaLN02QZ$n&*vlgcy7a!ccC^40*a9w(-qsunhXU&d&m5WUh-PYGr&Ur;-;`1+9wlaV*=6x$$X4~bMKQ`&+=sd`|nHs5w)bMrN z1q<9RFG)^NOFy}LcX-2+ut-{jwwyA^2K(sEL-v`i2YSj@3a0A2625f^GNQ?Ssf7h^ zyVaOCgTek{?dxl2?VJhrAQ6BWe?O)!`|ar}!r2ot8F}Bx%uRbYv3acY{Xy=aq(_Wa zSv9n|qKjNf_p=*_c9u0rC9O}gVN$FUWA$1R#c230D3GcdSxM}=I8yTl{jEefwS8C5 zH!p7-ChB5rTu#bVa%)>20$HH?a^ATT>dMkExJ7}sAYE@kYjg)Sf1n0z@8 zpNORzFN`U4bIpp`T=6cA4ga zX}-?tjbLK_>v!_Onm%+YY>&Ap@(Zjc_hD;i_KA*a;rIpr3cgt3lyX1H5R-E7TX}Rh zj0xE>>E?=(-Tyjs4@`5qML>>yKC^=#gFS;=(zebw#A}WwQPUvWcXF_H{_BrN%_HM` z30Y|1pD;|~1yC`UiH{M3GkD+rX*Eg5{kGG|*p@?FSFJW&IF z4N#qPX0KAfi&TafY0M4cHg<^)CP6_3zAZ}AXhJ#LJ)6wv zaKM*SsmTq)z$t|}@Ava%yc^@G;6KJ!Sf2*(bT!c#0uG_N3-&+Owr6pz=S67F;Yv?` zN@!X4sQk#P2?2NAnU=rtT_w(O1=#AT0y}((jR^Y+iiwQK<0QG;BGRv+lP!V^Xsme z?S|Vip#XMZuvWl5a-T?@d1I*}8@buxPzqpm3Mn?LGSKZY0+X*NvQ?r6=oay+=+h9IZH|#7&xM!}zVS{$iaW#xfNv+sW zjKMK9iz#Zz_CH^Bhxji;@SPBC2&ADcwI8Dwf|#3%^=Q>KdSgI-JOjX5XI=fP2q1@W zC5X{xc##V(W6F2Do1((yB^`RRc~Sv**v$o@3G{1>1!vu6eIR06J6v)ge;r6~YHLGK z9jwuoNG-Gi(E_~C8@-IQEjvce$73zBl?Abq^iD=l#kxzg6boa)Z)o=)wysw~Zl;nU z{F0zgtFj!)W~S}3KFt0m4lLY?vv;5cH}S>d%9Zm>5)b~Fp5Sv9;Fiyi8IiUR#W#~1 zT(!R>P{+^2@G=6XwR`Eaa>MGn1=RbJ^mHmXOxZWVuPcOJTEAt7MQ4YFH=#v_UVL|$ zC&>&EU?D8A^cP9+02kri?RoO>A-_-Rb;AmYWF2IOX=*A4(_izweSWgaQ%Q0`RT#Z= zPM}wjZfwnCyf|yo^+K?ZPw5V>!v4oXPj9q)*A^?{S(g*3^O|2lIqug<@yKFceU#q{IHs$a` z8c}l-8Drtml%lUF91jz-@Gq84?C;EbtC&}OW1(LQoR2vKo@+{fVr!(Z<&bwRuiK&^ zDVSuu-*BFk8r|9XzyfWVm70@Nh*h$#$1MUj7OmxFqqGc!Z|H?79CG_*3@f0IE^tHV~ZYbN| z@SeEeypL8M9X%g{+E3Z_o+zZ3LR1_XwbgH$9YwWxLc=L2keZ*nTi!oahgGzha>IeR zdb+hhYWmD|U`nBPag?eDDxzCrXS3-f#UuqRSsx|P{X%($-0J9At+I2&li6NDFRh;U zQ>qG-e@5x=>{F=Z3dKb;I*F^4E+w{g=Z|cWCZ!j8ro0{T*;Cp@%C7B1@4&QTB2Uv+ z?3T+XQbSazUn>_Q@`KN(NHtW@f;s@SiFu<)_Btuk=0-{HiPeN`Ec(%{{zBC0hDL2Q z0C0{K-VQ#!o49)=yv`0gP~Ytpq}Lv}e)d|6PcfZzN22r+ST0#~Fd#iqdtfOSyZ%SER0{C%L)noG$F3(<`^CP7s6G z%~wh%%jenmCX_Py+{MMc8wJA{nF9+L%FNdhD)51*(Pvw7Q~wOM#>TN+F(H5I5pZV( zp12S5|6Fypn|pmXG@{>S=26IbD2!RVB!XBj4Mf4uy~^DB+*xkJFm1JFRnH6{x1(26 z{dFg#U`tid_iV(N48d$Vd72@y$9T;3)|;({?_yDwnx+Q$2fB% z4yQ42lvV!)cjY^ysJ`wk?E5Y=C~dk=nTUc3#Aj=`v8m2s1F0UQagRHS!iw8V6Yl2W&-?DE-f*!d})GJBfU77rcyfa$qKBNw zIe{T;6S(!=zf_2AgbKP^I$LRG&K8(II4AEg+vJ_o+*9PF1yM|9Jmta=#Z)?1%cPi8 zybWl(8R;48EdzP0)?az&jq=$x{6<&LzP;UVzqqHnS}rX^7Vk^EJO9H?$8Ik2L#Teg z-{2#zpDey|^&XYGn!976>K$z0V(jtI$E>oxX?MvVAWiIZLmg!$vUAMR4{IDSiGNu4 zINa6Y;pgBC&d&jBF>q1-v}+qSzXMA-9PheCM<*zVQS7lGD?b}?AS5?rH4%!JUmGO6 z(_On2h)ocz5rJRsbWp>8J_N!^M#h@pKl>Rf{KlmWt!tu$`wIg{z0Ul#D z%R|ouB8|Gb;=55hV_%nONjmq8kTi~z$7+1Y?dlbE1$k! z)2}*urDXow696CM!M>Z%`4*F+8*zU1CsS6VV#cRc_1Th{IGa}m?nqEm&+Dd5Vi-{^ zIq7nW)u$Tk!3ZO6Kc?b=_0(wzj*sS)`Ogk~;~|DZ#mm-`GnNo&B>MR{`}mZI6qp!y zn|!?;KrH55Hx%pJV^o7W^f8?f1yFfIQup8i7CBmwX2qC1{9OmuG?2eSEP*Zr2@@5;!y`NNnQf)!eD(T*cS7+6=Tf(pewz6+?aAH^_ zD^mwA!u3yhF;T@ZQ%U8w?iWc)DhYnyVoxFrLho*!ce?C%`XP=1to7(=sM@MAlcNV-ne(Fvbf+ySfDJ37LxAoA z<=acTnpJd921g#Jk?%oFKkEwoa>k2UKFUj?E z5OQUI@6Msr_2QU+6d95RI+C^5tPal9jj*1bSIxHK*Z58Qq9P>|3#^@KB=0<<|_AwcX_XdVlz9sjV~0 z4qcj$p+q3?^L-nCvKBTD)_BjcM_pm8C`aLX z_ZA4MjEag@N!Xh|$A~qXSwIhl|0>sWc@8JaB;E*$A`Fr4k)U!)RZ^M*R=mKw;Xc-x zhtts6A1>t)twJuYf%vFXa<2N;&mNb!8zJn_*_hM?GFo{Gai3$Yk2bN{i=Ad zquU$6rZohoiI#c*x#o_f$WVm--;k|4p~SQd6wb$^;jT-~u_Er-kbZUj(qIRumTnGa z`mHw#5ih*P)a6v*4T_F?tXCUXxi>!XE6S*8>&+A5uj8lNlCvp=(x! zu&gJGtsg523%r=EN9|rI@9uR9xn($7+Uh-#^9Wem79M`>-JkX*Hw;mFyUgb@%j-E9 z#>!`G!L;!_J4_sWP^LKF#{T}^FO&`vGo&7<{hn>< zt_Py|<(98at(q9&0`E_vF%^RayIqtyT+6k~>{z#rodv*0i7+5p{K}nAp z-Sw>Z4_Pbw0g1=uukuTXa^tKRQ2>*PS&SseOi&#Ry?G?qvg;=rAomE{ibX%RwJ9fI zKnT+rXX)Nw3gGohs-6}P-ju}XzQtOV21{~!C z3kNo^I6C?;qY0(LP>F|hIX>2Wrt7KHA=oovhqR~n6`^TYI6R|q0UK0kG+w|z$OgW= z#-{!QlCfrrtKsYPgwgh&(jYNQ_Q$51A4uwh`&N?=$9EJ@xiyxELT<6&e@okLeQa{W z?kx)1UK5{0Pwn79*L5)iWHWKcpR6bUv5eAW{FKE13O~iP*`JRe_=4+)oAqHuer}Js z?1~9(9(j=O+sWJcql9z6y<*3yJda4HvOidcV8u?{a4b<*qnXhIzwyW%M(7C zSAo$e8!?puq*c;OQfiu$^vWG$xAp?tvZ_f;0Q2KLfXREFURi8+` zdMaBTEjK&~0sOR8X>0zRMREg|_LKtsSzD>jubd0FeqIvLbHyKbijf=B{OV$W=kV&Mcx^my3EK-R=BI~$Cr>H&OjO3g?~IRnM*v)C>A+5NkE{K%>P z#BChmObFYvg?4*rQQ?TcCxMI&-|8v@Vv0A4Ne8wv*2`h#K9d~7zO`TV$3 zUmPfj-6|CDQv=aVkH=^PbIdEtdzY9sde(;nKYdsagr07ji%N>z@ukn*$U0xLE1^+g z&K*h@$^9GgwfO$#krP4u>19hF_wqjA2&Oi%1yfHCu&dg#dS#%ha6B#f1uNTG;>=gC z4YI+M_2>W5a6k^1GD7k=TKYRRb%>y+COM-}F1Bb&NFM}(zW>!opxkmO0d%y%-yc<2 zZLDC-fEYW)tr`1#r3q!A(_w0zpEs(-;7c4C>V}?`>4{}HAMv;J85ku3ba1jB1k0UfLnuk)zcXC@Sh%us-|il#PW@Cm>HwOxWNdj}#4b~eE&+!~qf}7d8rVbD$F!8#)C>wkF25wA5H; z_avTDAjbeQ|BAhX!V^I}kK;&8(J+o&a#!@HX=BUPgi@t+zxkYJ_4@R8GppTwXJXed zg4xZ&dePj|Z0q*t3I140shUPqwaDT4xrplY2pt6oS{+edY9|d{K(C691u4@N@$S}5 zj*!4kVST^C=+C0WyEC%``EA6KcYF-|IrmJ?R-4O-+3DW2x&?PkhOz0Bo)%~ zT|@{6gWtfGu?%=m#x8Xh9rnej+m;MW%0h8#?f0ub^M4}jTn(HlbqH+PYW0=%=zDBV zZCXh{Vm$yH&nkmMaRk0PmHF@ovOhSnRaJ>?(wc^9CX1@mPbzv|k{RVmdaf-O;0Oio z10uWE1*A<1siI5)DeL*?*sy(ZlSgD>KT9%-f84R!gH_LrrS@9_r^rEo{=-(fo93E4 zNh?Bk0^Kr@A2YdIM6tWCddAU$C0aeDUy#EovOm}B7aeWq-hGhBto~FkSN%KBrhZzp zrKc^DEP|6-Y~--?ovgwEc!Nr==b-b*pM?*N!bB)y{TJaU>upu}*k(-PTACm3Zq*zR z&j35`i)oZ2JOg%KVAVBM;900x;QjedLV5*lGVu%tLaDBQGc*h)@p0(W1bR&&{V|W3 z+dDZkiznCrD@px_4OpiSPbSc^h*8L39yQQGn-Jp@jfN;09Cc7fAJf0Dr)=co-k&(z z-`O@<*`JCUNfdKys4IZ?MezxU>n_QXDCp{WW{RTs4ABfYa7}K6d;Rzrpk95ANKMfMYE`^B;}+06=_g~f2xmW z%%E)%o|nkTrZwFqYxU)9*eBouNbcA4(fG&G#4tuzMS&tH@#m>jaE5<;>qip9V3w~$ z9-&JJtOtN`en!x|k*YSXrW)lZ0fEkHeuM77Iq(PgC128i z>Ase`L(^Mn5P4fNi{t5`A9w2~(ft@EAM;}2|5GT*&2Bcw z*Gl{o6dc3ky(pnfYz?5+tyBvKvF057U)72Y8RdSB8gCjQH}rd$F^}Ld^E3e9s^B$t zJMMT6NL2Aiglj|A@+r;$l$+fv9oO1}UTgi3x`Km5r-gm8@yt+Wt$lzs1Uq)9Qp2yZ zSpneii~l>D^^zSeq$)#OZJqvH-E#AFyO}W{P0Y{tJ=E_MJqC4hu&&$lYE%PNbo(CLdxd&_**DTcZ#gBkwXj-u2Wu6e{t)3buAorZd zk@Vx=$gF`kY!h$ylwHztGnIMp!~d2$RpZkstYE|=Y-7@qkTh=_1p6{x! zK5-a2eW7k4KuGH~>QFe)lae9|rJjqX6GsMW8kE7mdxsPq^)s+|U%WGMYs2PLs zLaSWSW-`qBhc=^xIl!!pO)UX*gh6LezVut}YD$e zyc~;YP@Dbvc)?l(GS!KjxurC5jF@0 zok(m>z*L1g1(j;s*f_7BoIn}7f;cq!`!}+OR~kkC@TC!dJWuXoARwL*GAHO zM>8oTsDhW6xOqz#q|Gm#@;}nh(Q`iDD5=+Vp*BlVkt1HMlwf0EgqlNJpUAFN`6-c% z)Tnni_TNuQM`^tPoR9xZcg|-Rd5Ff2~hELopuVm zR+?S`8uHMFjyk+azR)I(ON`ax;U5Psz_VxpHL$SJnRCjTSO+73bx;MZLI!DY4t%4G)@8{J-i+uKt%w%3B! z@_nJN7KaO1EN0uTQXfLu&)RXn29;geMO{BrUQKKRc)2a{B=wVc$MU=zsCyETddRG# zCwFf3t&n?}^e*w{&-5-lMr5^v6uf<$byquY`OfY`V|?l{2^CO`?~fv@+M%ICZ)9){^o!jq_D+SN9$Bae6wl(kPM2N3&B=MuC45l= zg0}uRUpgXN82RpXxa{LQo6rCK$NqeUBge kOqoJo>v+XW=zPERixlh3{+2FGyF$ z5)&!&0rPJ1zx4jD6;EosQKPqO(?KCI?caa@y+(ECj%e=vWdjDnwFm8`<|sp5ZHnn4 zmmQy~2;+TJ=$%TIIJlUUd6zVC5XH7jUOuoqNc~uqT9mvh#5r9un`^Uq^x^wR1MBgI^WPXPmri%oQ=Jf9n&3%{KHs0KQ?$=BnxI_6Zt(%mi(svd_+W(!hJM@;hf6^iE>Wv3N* zGz3GuvL}yQFv&D-+*D;LdJ`wFtooS^lb@gU*y~KYs%|d?j>cO^8?hpWLKH-KzQn=; zFF2Zvdt&y`VfMV@sXP1YK7IGFI+Xta>IWsfVfJC8TVr<&Llr`v(xGS<7cF^nFeLWo zz5tYd{p}{SYXH$H--WB79R|)bG>^gUWLNS8ig7%f{}5#)>{1;#PEV#fEFm#EvG6dU zm6b_9uAS8WaV|b4sl#WfxZZ4*bIqQAHWh?+&9xFu!{GSpW8{wI{gq9H>783(&rexJ zNJwcJsv-Ti57_qVPi%z2UOcJ}3z#J~#nOA7pWG_B$ zf*ji+5jf=|>e1s3rxz~O2Z^7!PvibYyCD%g>sqG4$!gb>;XaJYX4v!@zJsNunDU&| zPM`votfW9k$_GX;6I8jI*$qhEY{JsFQBc1fNg(tl`BzWq3`+wTsxFvVM7_unrn*Ud z9(m5M(9_#ijm8c{TDndhh>ApJmQ9W%fB$Dd9M?leCDtL!UFcx~)Xy7Jn{{lsmEay? zd0V~&pr=++;a5gK&2jv)AAd!D{`Ll8wGHfN~vg!j-evei4JS9^KXEM8y1 z)?{g~G||^#tdO9?UpjZyaxPiC2}gVMN+O8-JFF7r=|o1XjC_xl#h%FXE|@@Aw9>C4 znrdk);qQD~tE|YHqv15$Emp3YSXr!xyJ@S(Y}nRQW19B5qoRjG%d+TWFeuMf z>bf%!Sw{P4fPZy!PG@;E{*bZXCW`P@tGlEwKac zkq1X)80xIdiZ{XE`{~YwA$0d&dt}i(R}8O_MOz%|{?6O|XcLHbcC znoGQZz{L`h7B8sV-@KZyutba019ahI1trNir;@T4{e@}5Z;L(b+rDDxqwnBKQC)lr zk{0Q|3=G?45*yVJLHy26PriJJESZ$%$A|UrDiMAWTIROW*rbG-j@I|@3kgmil7i`5 zSytgSs)!rIs%hjyX{{8AgW5)k?z2JF`h#aY`IqyRo5CiyJ=t*PT+a2uk7E^W?)a!D zxo5>KXyc#f!B>6#)-wruY*D_`saE8K@rlieg7FX9U}b*d+#xX+Du{0u%gt@xWf^v+ z(h2HBMX>pv7mp)ZXVZY$GnJR=B&W2@<~LoG(Ws72ZHwLmB^N0=lj_35Bh4cdO-}yQ zx-+If2{;~eR2e@Ef;C?hUMC)I!wH~7 zH5ZIK5-%YCb#D*SF~=D@^F*1*>Fm$2l?R39HV4b%fHIB|B%P3*?+1x&At5Mxse`)Kr@!3Eb%%De+tX_heX_dpDto&56yGag z3Jal{PX#?#q|I8Ibms%2?9C7_hySc(fBt}=vf?cB(1m`t7NiOvIMcG6>Stt!PA<=( zdG=$*hB%zaOLhu>B?ZJvW_s!ylUrhPxS)pb5|roogakN~xWdPPW+cq+wp9si{%=uj zxYo9A%jcsJ`4fHRzPkG>zU~)aQSKnTE}`~|Kt@-vG$>jUAkQH$Yk$m^%O-ul-y(sM z2ccqnx`t7OEO7i$^%3}YRZGn_zB%R8p{^geeVnt#)?`iHv}=pKshR=Q)tH-{P6x z_#^Olj{*c;-WxkX{Q{c#5UNPj(U&$ca7FryuV+(Ed&TL@%QF58wGY}Opi{7s(ZjUq zQbjeDJqI=o+nOn6KsiCs(EMpabSJ%v4)`a|B>CcB*0Op(B=`Bpb-pXlQ~xaqk{GEuQ^c;<}0 zdU4G$&7({VtsT$oaL8@~SXS9IgIf9UeR?E`I`v`tm}c;tHbs{1ZPH6YiRO79rf1Ao zl2!O)@14lU`^WIphl^tB4!IrG!naI}?j`oZr1{C#^N))StHtVt5=UZJ%VrB(%# z)s9`S^COcR0|x&Z76)hZganXdLjbrd?(2T-L5rckf77WJDBmP~@eMYou;Wlu1D!;a zYHv_f&g^cUIafljMSyTzmp7^6)jS$~QV`X3bWSZLj?De|n`a*#OR>^betuGdO!qH~ zv63nIZqQq<2tou*c!QvTucw0F4^``3X*dtUiwjiArYSGFS9Ieo2;6yNe+RaPzK@xCNY+vF|ar3Y_)3+c*?za*oV$ zJa-#7;vUe!>-HsMv;rs)_IK!neYcihmNjwR?~a}Qc3&5b`zG*j$GyIa{zCq zr|Jry71CRlapa*^TYg2<(WPb35;PrA*ah_NP-YhsL;82{AKY{Z_Y}Gpe`vFb?n0ZF zwO&@yRuV`?b7rF1phyh5AUO(v>KaiKa2G^6iBk(hUg>Upz{l{$lYPu!3aRW{bKsUuh=l*<4Xmp zjkv^{Lg6gl)AS!XF?Tm2IECK8zc$<4u#UTW3VV_9^Vtz=P7oVD&V6B1I=7lpxuPYs zwYv#2bOibGmm7RtW^Dj9oF<@YJqtDB+HLivHEJo}&>Xfbaea^OL2TJ$WTQas<-!-@ zn-d_J)ytZlhpAyoj4YgwR+ugdNFqJ64nOjZD}6#R^sdI!Pbkks1jM!5604ITEb_$T zMGG#5@qL|suY65fp(BwrqJQTBLgSE6e%+%y&rD%EDOGlWBI-snRmHDu+YN@Yf{@!b zKJS$-BE+9>iPp=qb(EN#cDSIcjxIr7=>6uuzNTP7uH_?jt9mqMi^^TM%2fCa$3 z$YPUu>3j22z zk=!33B_OBxue#LiAh<5cbcp`YUZ33tBAVSih|C(|h0DaW!VB zVHAJY21a8M?IQxaqPh-0g6!k2ECz27H8MH>ST8GkE3>t=6~I7`+0SzecN5#6^Y^14 zjKR~1x1XBZ8{uevxQ|JJQ4gTMqay<7r#->5FAsS4zAqlFC>TXA=RPM|f#huaQ>KWJ zE1lkJPb*+44J?kI;YcYD*tA|^6djDcKTm`cUhm?KLOBs{tXJl^RyBAdZl)V#^l^CG zSwU5ZX{5t5$~E}q0xiP|FDDxJoRMxxF#1e$rX%S~~b+=mv;0+k)PP4$UJ>>|#% z8IW)N@&=p5hMV!?z?UBe6Z6=_1Vd?1SLh;oBq%2~pXhSIIn7vV<^F@A<=MXL04#_5 zA*`s&RO$}Z$XNs5I=v1KseLy~CD~2bn!73QO7aYleBVi)yX$xz zt4Cv?;c>NbD4XCD1Oe}bC!!OpH)V}*{$Go{J0b-wrFWG>49+88Jsaf+^;5xK!qC2- zMA7aTJ445^*)HT?CWk=&r#`@)Yxc&K*K{|rex!^FWa|M=Ma&G&tI+zT-4E4Z?&rP>B)IYDnPdhnX_ z!)(!Pr_ryYUvubeBX?=*+)pC>)HTn;M=blcx6RmU_%MVdYBq!ZN4``hhtQ6kF8|kh zM8OO2hkq=<04ht&e7NFi5_eqfV)fJbg9iS4f2x?Gqb3l~*0J+?A)79YPQbr-$tsw|X1yD#!hajqKS924Kc+W3wR^)C7!hG^+OKGrJNd zo|nHoEJZVs#?|$0akZXq!8k!1(g@u6KFIqxg(n-^()R{*erT%h4oOJ$$TfOok{M&` z3Wda>l~>z5ZAaGbkjV2K`O6E+thcu(!svR1}cFE__b>i4WwQ3O&EjAA@fxNqv9ubF~wnsiUb9FTp%#_wSM_~ ziarwjl`G&j8I~A}(n4{SB)j)@R4Frr-Sff>kUvfcD30mQmB1&p1-7TH-3EQC>$6YN z8vBYy*MnbMYRyOQvh>za#G4bV(uV3VGTTtXWtueI82{o3v}2%(W2N~IA7O%M6a|uJ zv!M)KsS4&bH@z&E4?Iyeczwu8t=Mcdm(ZAlp2y>S>7OTy@IkvG;>W)bPJ%$S-#bDe zA#nc(=QRyWAL$(PE`42>%EYRnsv(M$yU`4nMAJ?d+#>(Yp)TZ zWdOZcyMQh{7iVIWWj#>P$b?;r12b#4%M!rYcY)^|#5r-tm~43o&-qNNRM#2TCFMaO zak$dkcx<7*arCQi#lE@XqU7BrQ$7S61^)YEglml&A@$9f_cOyk{&2W};JK^#*19tW z5E!dllCEw)q3M=W1JJ{)X0)_4x7>psKnl|tBw1Yt_%KZG`g)KdxatYnlXDtrIBxO1 z<16Pnc7O)ExyhKDMcg#fo5XL26i4zRbk=;mp2{j6ov|*Hz z4x0Bpb{eDH#e*H)8L|tWUAzMaZ2kHER~0Xk*{_*`aNvWKxnKJa;(SI1F8)kge3DTJjeKEMYYtbjgnE0W{0_$%dXB!}r)#j( zSW3%@3fb-0!x128AolQaM6x5e28}q)ouMR=a1d4f&m6S{>7m$W#ydMOCpg7dH1uo; z@`oDE@y35=NiJU*Ox9;0k`}d1s9Guw+0G@zo?kuJaD1yK|@3Y?)Y85!LMUz`#i zm2#!#RE#@r^&i!FIYhG~MPz2v!rZL5Sc$Hbp3S3JVW3|Mhm38w7u6!G3kY+YkkNZu z#PHnRa>#fDJ3yfotXclcudB7=YakettjJG}EE8SPy9@N8M-U6=_yF(cGTP@=y#NH6 z69eI`&CSqU<=GzM&G3{8u}5oZ-okyfyU?F8(m#gGVBa>lUIM+n%kkc-X`mQ-XJu~Y zzzkn|2OkkHOy|nGOOB$9bTM4rI#wj~XSCGF^=$Mw>Jk+Z&vsH%9rkz7=*s8c{p(0SmHuO3{+F(y zAXxw!0np9FNtRWBfP8}t+I0$OgMX?4UW?={hLD?2D`-75XCE2rGWZ?XUDMxc*^eIp zvv*zv*M50b#W#+&adf9?S*fM*kspNH^#G^*w%*{%_NXxEi_<%22Nf;1E8y9SFtNoT zZs84tk7-lb6G-8sdm?fZRLvS1nO)y2MV*)8XTxhl1MV!g@P0e&x!7)Iiyavs+5azQ z%ifM?z6(`^?m^g3=${_nIsZS*7Q)->mEVlZXonLA9bW`hQxPXu;k1FAz2~n11yx3jJxc5l@=F1rEa>t$)5vuCT^4kVg)jn=W2q6 zNNj+AU`-Ab#7ihKw}J*LFZJ705q5?k#a~a$NXu_GBt6t=M6)ABd}|g98V3zIfk*)d zS7^uy+7gtN65ppSXqW0XfytPp{{{ase*j@-Ix;g%ee3^&2J1+hCARItAVq&7H%MuC zBtcS}9yI`_Z|NoSr8?I!Z1Z4QEdRoT>C|6Pt&<}?1vgNa?^Jhmst+IO&lKGD&R^F_ zKqOacJ3eIpiVwA#F(aO8%%sG}U9kR_){;Vb_J46=5J_;XtH@ququ{H*27F%_P-eX1 z6=>({SchjyeM4|GW!asggs>eVILe{o1tjMZaLAEjJ1C$TP|8kj7UrgfK+Dd?B9~Qd znrU4Ttt>xc4ZQCbAE{|rR1tCjM!1+_P3B#*naXOAN6r{GG|s5)H?6|)dcwbL4$L&T zt{bP+W%XG&8!MRpkjSNt-5lK&>LSk|;8f$!d~$@Ul|~ftS0n@? z=XBQ}Ul?sL4b`54r}iJMjQTavGrkwc0ymjV$%mwBL8yw!B||v7qvw7HA-ykm-jlr6 zTOLlhE>mdi82GrKL2$UFr5TJ>A@&DwK2lNooNT=&{2%4gZvOej1EgYu zS;{4-JJ7@Y51x&CFO=%GuOH%$kh^E%3VXFtWIye*U94L@M+%9CIBfq6KRK!Na5zVl zf$W(;?j0Utn!Ze}a}QjN*srp)QHTTnaQ_Rpt@LE$OcE^tZa4xpmcA!2>kOtf`aOqV z5)3)Mt2zd4`Q+sGL!HV0<#Vrn{682u&%W8+y{@ZBne9=Kwc&O!*^Dl!rrXUV7!4Dd z@us+KB9likr=8OMfxcr=+P{USYaib?7khm7iUK31hi`bdEb`og8oeti@v*}+obT(r zwfW|T_zdgS$rF1*ud`mL^lMu`RMybZ*46m0OEhRtWeLrAAeHGSYG)as28WL5>K)+G zKu#&Iwe#`ww~>!01rK8C6UEmVMxuAR;yo!T@LZHyA(K<0{FO`VU3m^9Z6%Vk`|-J= zA{aPhtz4Sn95I-TvWZf(*s-VEG!1?(gWhk8XGi<8@lTflu`v056VTNfx|+Bx=ia|# zK%EhM%1S?KBzg*{18-Umhbm+lp2Fl&$2>{<@V2gkWscO6UV?iBo40^guj@9P8_?tX zA1?ixd?2g+A;wFh;M$ffk@jdU8$9V|TO8M^TUWd>AB+s>cp(|=r zJY{A|X|3z>ar`#V)Hp6h%;HBEH|Ld-3OczVw7 zTucH0!Fs~?&wM=Tpagv#>GLrxM6z`LaiTS7h0d}y(x04EgE}3V9Q97i-+d%ri0+;A z&EwQ;oW|aU{=K_#u&Ej8%otlH&V5{lM<=`-es2$d9r)A4q+wngy2SV&M4<2Hv>U{G z-w)|Ofz&U!V~~+3yvvRt?h+qdwxE1McC%|6lpC&CDw&(*|@~(LORn)wy?q0h6*!O8Q7LMJDMeh}uV>@3MGNr5 zB))J%IZh4SFXm=G#zl5^Cb8kH98Gne>-h1rwI=@q{_|AyHJNvxLA9C4n0C0Fhnfmj zt~nT4YT3BfR0wc6lJ8SE%`)jChk20lrx-OP7p1t?jzp?H8Oe^g1fV~HWg*NcX!K4u zKFW2Qoek+f26LkypI1%(cnracDkI}FMGq{`k?v$Xt*mkE7vifp5#c!92~t$Fc;*AK zrm%X!jZ7##o$lK-?)S=V9DU#&uBzecwm}|2dhHV=;OR9>@hk2-nAJ;gI*j{Q+$DJu zLE%nh_dxX${0Jla_Nm-a++2A-sSB$cD8#*m*`XIEeQM8BN^Ti!IF9^y3$oTY6)>TP z1LS|b8}ok6H{<@wUOQ+i)JIn2|IYtF^fJjwSU)oR@NZ7O%qPomH47a?cFD$dSW;(z zXoH<6esW4_bFRc;f!x02el2Kn)zLOfEJu>Oq_&mW9Vzt=XUV<72Lv4RnJO1DRtA)05;NY{bCKrWUh_mkRmm>& zP?|6cD#+SKEo%}gzk@UCZ_hM$$o$f@k;Z&UO`$W{D_+0QmXV=``OP3;uxV9040v&y zf3;rTt3~=dVy*f`QqyqmoZo*D(x&O9Mg0u^};JA;i*>r?B zJ^LJ%275}}-dWAL3mP)NG)_|p6F>!7>Rj4RlCtC(?>cEo62k0h20ezYZ`8Wss<~N;S{c#?T43mvERMfn4x zPlf{-CvT}$Q(?RPwu}=<=(I!cvkOR#>Qt*JX*y=*XVi1Sj$IOY{M#XEXXGBKgHUsX zW^Ic2$BB0YONc&5kX6l1(X8%7p+jqII zhF=fX#d{WXTDp;t+U|p%ETT@}(oVWtSqT8`Mj8n|&bo;#FH^nX? zBP%oF8};nKwTXaIl>}z-I%w)^#NlPT*MsnQe-nf*jUuZ#4GC~fH%6dP+Q!B}<`FNL_gh5k@B z&@;PIgbhyqcbCux)FJuXyqU7YvM1Og`wc4D?E)VEw)T&kwz{op{>$+CdIhvaO-h1A z*yg((f06?u>#k$RD7fGttRPo1{|MAujQ-+O`+N~N8c{-d)WkPEWzcHhk*%3Ol&xV3 zQxXHT(AkQK$gcn(6l}kjjAK?zoSWM=GT60UyCjyWBCaHIs=}}PL%?%L4lM~Upq7{Q z^6G8dtoQHFL2HoBOWg{M~ zxZ!GJ3q-bF86Zvt$2)TjLf=Sn5*c0u2fx#3Z-6_y)Qsgq(%dWo19BmRtwr|*?tPta z@H*a4GYYM~{pz79zCj;=Di#+L0PH}wREihe@`(c0|8H*}$$h`4XnVU_ir%h3?Uujv z;PM@KGjjE?=+BYrMz8=SY3$GfINDw;!bX#M?KiYY4?yEtnK#E6?l|Q2WAxi&MYTKk zNrUM7mR*E2!s)t1=9YSra>lYb$=`Z@Al(!g?^45w6vD?TtE3NBT)H8PFON#B=d?KUVkUmT20mJZE|uPGg{YRVwZ74L5jEpK6!%c%WPDoQ8=@V!)ryv7PxTpR zWH(pL|GqgvWOHLV1DP-P$gZD2C`m_@Ox2dd1)u`JUP`J2Ln)!ZBN7}0IE!b8*67Gp zLWL%f5<*Mj?@fj?qY#6gU~*^bg)`So{&IW4-O>vm9AdLYM}l1hdbd_BC4WK|9*@+@ zj79>A7$_KFy@uNTQiy`>#gE^FcNU>wR8Waiqo=Y|$d&-I^Qcg>R|?0WHrWp`6zSiZ zbG1>pI8jU=y_kK`aK8lnI|#ic#b{(XTgl>h=T9OSAKyGkOV;hJzmUQx#K}xke91}f z>Hr0>L(sj6ptrUCrk&CGf(KD%z6xIh={W^F1t0-5V1&3@NI&*`O?$xR}Jz8=?^hE&CzR=KsosP@*lEO^CyLP&I;lBGBnWw&6gNZQ zap*aMntjWA-`B0-CdbgLNrVV;3dUxfdF2YA__=ujWhMPEf{W~+9x6Z_Wf1F59UaPSBNrH#=AI!pH zn+y|QDv4J~r{*ZK(qq##Fb{RDe`*>Ax^LQocF2u_8r&}sMV1@6hg}Tu-h3n!D#LeD z#DcU&t8_*2Q-0!W;cKO9r3qyj!v%2|MJnQaDSS+JAt0NsgXID%LCNLika}^u%&@df z8GS3r1Y~uaA$CM^m-)b1h`l<40wq6_svJqyhcdKMHG_5aPKTog@3>=hRaVd&saZn& z<}y!oE8AMcBAA?~d8h@!zU=0GB3B4MpaDNq7PGsH5g?0QWhni$U5qG`27$*%Qosh_ z$M2q%tY0IdaFc~!V<^PSCkcjIy6-oKnPtIG(Rhmom2_|Ak$(!I|1OKnOaAO63z)%7 z?BmraQh~~&A%P?rdpz8>#=zo1vKqD+4Mrwk3vkOH=sc-Dg!%Yoz{<3oFn_*G(W>cb zHxa|rm9`akjMv`9)&(V$G2qui#k3_uvhiL0YusaSp<}&X{3bt}?94=u4Ln2W$SIiy zKl^8}h`8oCj*HyMO*mK`^cFxC4I6b3vE{7vKnN5}hYWGPK_heCS6tk@kE@6i7$Wl& zp}2J`rtpk4^u#>K(#VyEpFaQUz>+u&SK{5SzTLsw+opn+&R6qc7O^n#1HR`ZQ|k8t zt4-2d-Y*=V%e!RZG|Zsf+PUy;??hZ~zl`DxL4ov+Iu!_bbB*W1Y3dSS79C0sKNo0853^Dp4tJPGa`Cv6e*M_9%#@25)ASI^Q< zzXTQjl&O4j#d1C?kb?za%L-?Y%37@$wu-L+wFzm*|K56Y&VR1Iuh(TFj@@W_)p2{@ONhKH^Fh*2wI@!kZx}Rl(}E!A|d3 zcF+(6Mcl^+=o#uwiYBw!N-vjA6sdq8a{M@3zw~pyvbkgvMc%!g``*FNUeWL0nQq}i z6oxXJaj%S}Z*S8Y4II>ObQ~`3o%$QD7l_{gd_8@y*{vCnM=#gkZ|%_lH6(0fkE7d0 zkoO$%p8D{syg2uaVV1a=#LlIhr5{hI;&m&J$U8vZSVt0}8MqdI=r{sZZ**=z)n9YJ zQ{;kPKnI@S4C^-r4B1s*-Ds+VmeV>;M%gy=jiu=iDXAyZ#^!D_{>jJtT@_`^{gYXo zrDVF5Z94jv1_mgV5_ylmg@93L69NjnVZRZFqV%SLCVE!BP>`)@xPKDj{+T-id=;~w z@pCz=)I6t4GtwlNgI3u=IcS*DFF6$=4y0uA=SQCc&Eepk)5=0NmO^8Py-U{W;@9hQ zsEffXvv*|ihu*WyZisFwBy-j~z^k&ZSWqx>6oKjPo@^sj=v%_0-Zh9<}F6N;1fF&;kn zHRc*?WILY2vdHX<_NI!fX3HAsMHAPu=VCW7tFK|ZO&JOR*J6`Ddd)Z%ZNekH^um0B z)M6coqtEXiAsIqaexg1Owt_RD5By|b8$;wjZj8epWfxqR~!_oCnp1h zXOKAS7(wDiK%6gV5zHTEp&6``U_9*oHKr^wCw|OwYd*zSK0>LnbD?Qr#@M9^6Ze8? zLk{+Q?TBb{&446$-&08iSfuP&C%6QiQAK8vQg-@-39$={0p(3~CVU0ID^K0B0#3c9 zFO}w!MPq6=P6WQz=sN7Hl|xIgx%Og*S|56Z5AmB3|npS+a6_Pu6g zPVb9~PVIhUFNV8Celgr_C^EyJFfiH&LE!&mw9lu9nr`IAkpZ^5Eqdn)ut4Pow$aAL z=q#yD<}J){m}xJUy7I7Kohk;uq#0F5r}5@#h3^ac*;|T-T+bGNw&aG5hYe{wEkK07 zf=P>)8K?OA^9ekGtH1B0n9}@$fGzqWtcRYbVZCtU2C4lmCkK$A05xAY@&c-(ras%t zC2NZ7l2GL=S?NxFUDF@Ar^43{oXf#ru6VTL?B0ph#y+UtE4&sU8(RdAV-!Lx^I!sNL(BX za04bEnosnJY^mUmKa+a$z*M?hD$T9;Yqy2v#|VdqH{pzK&7xpV$^r$kw#W->DSi|U z$63ytVy8Ot?~MW>QG#q?{U{;>X>nWS zFSzOfp4K$EPfI$P^ope{y`|fk(C9@32?WM0BkEGy6++X!oI6a-))d(t042o7Q_Qa{ zM(GbT@f0$i_=8zQA;FHH6L7*=^=oVDTjkaDXq=^z35@a{Dp^@Yz)(x?&RBWUJvJ0CA zF3;O&=FZpG)pT2|>X1PQW7wAP1f?JP9Bi~>2<-2U&UUcv&TZ7m5lhv?y>C2=UFzKn zs{O(71;L6X`d>ESV0~>gDES76njks>!YDE1RnYus=4`zF;2oWI$8vvWH~oh-Dys4C zGKSw52)F2rRAl4Aq+oauhAU5z8^5HY0hq#4=VpU3) z#*a~0h`2ci94(tri=d(QaS*Jddke*9gqx0ciJ0EOy-IGd#NesU?1lUY!C^RP7`*cO zBt$a67m{c+7O;2LZWQa0~xaJd>JquUY%{r?}x z!G!ZP$ZiX@aCKODkP^O)X}4SHuI0*;?6*Bg_(K49+z}>r$$s%$HH-2!e|wbqu3v;+=}?x6zp>45DuO~e6Vc1-;6o^l;EG(Qz$SyYJ41$f&bg= zsB7_UkLEuMT^5HTcG;Km!Mg7_2D;}`Pfkumrfn@&9mH)dD^4nHCcW%?+l;@Pw}hK` zLhSb=0R`j@i4@S(2Q)r?yXc%Mh$6+6v3yXO(bSYFT`Bo40N29YYw6QZi5=^WJT>(S z;P>RafY`2~8w)RwDf6*jc$!YA!ZKod0!cAcXyF?DByn@8Q5WL{|0YuZyJ{FMNVLq0 zy?faF-VqJDE|!QA$GLhqj)@UHXBA;BmHRaKLDAqnrH$O+`efaiw}PR^UsR4supNB9 zPyYG%d2XAfOKZd#+0o+VR5H-bX6p@gTUzpf7kB42OUOLLzY}R3dQW1L10!01z8;#Q zcH{foY@DN^kl+?9S(_m6e=o#T$gEe<=q=$oIDoJTI z$=<#Oq6UB5bi}1RuQLSp6#n4ymblAmW^@Bl-&J$=DaoE%9oHErN-EJDB>z+udn z+&urScq;)%k*(NGqmuQT?|aaa)yrQ7<|)JDj%AhN8ydyj9W; z2cGST<7^CeJ$SqN%;}fHnV;Pm%zG>Jdn!*d8s;zC8?>H0Kk&-;%*!)s`>+S}`@@w^ zUz3()?~TaCh6gOKys+sn4MUyU*M+OHX7ZaFD)^5-j$o~MOR=;+vSaKGdstXiOxc@I z<*k_X`joY4LzXjDTXPOe7yWv^p?yabU3es*REt*^gIg)jRs0pe!{fjI$zN7q zV@JfJ@2v$3NPWl{*0fSD(jX2xK5Da6B4N%|W&}`i7k}v5@mk>Q;UmW@Gi+wQ`lG4L z)8xC7FLI?74b`p-u)>AYeF+KZjoj8cxd-NxXQx#(3kw4TII3S=@Rxd`ccI2FqDW`5 zOW$rpit*$hz=~{YVsvX2hnqO*DhfivaU>r&(16IaDbRn*Zh*Y%43_OoR#?UP{^j_) zf(JSeuUPuV$;DL<&tLn@O^b+qa$f=bFp*UgS!Yje1s`rfFj7Bo9yNdiyGb9f~cD! zlS1lvD_Spy#8%%avrv0*Og5rRnU&!cF; zNQwh7KQ7a_<^3$1lsL%p$lz69JyAHuu4ioM3$3`^TPV~FsO(ziiqSOYz82w6Hip#( z7Bz!+`0O>R&+Z$?Q%3s|zxc=2;YROaLSQg@EU@RA>Ef5+55%rk>CUNe?Vh*mZ@yi9 zv~?K=jH>87muSjlD|-XM{_pRJ2{)f+47c|z8gXq%h_o%#J6bHWtdYRzJU!C5R0qD- zPo>FXYYgahXMJRqS=nzpq$Epsaj;*yK>QlPTFhlkQcs;fQGA2j@sz7wRluh_(NY7~ z#nD>!up+9MJ!?UXHeZU?0_L>%bF&AhZ}HkkhOO%LbX!|Zo5*g-l16{0BWC_kIPO#H z3ejM^+!@JRupAjHc%Y?W*1`+6syXqT*-du%01b|xeEMbh$!s=d&GnM$SuWWwj!UnG zoLV^8*k12J)h&gWx-~2eqt^qPKV(S7kLQdAOI3-LzSK_^i-tWD6LO)`uW4@`bd4yq zEEUzyDor?Z1Y_q67TTz?UNfV>T%&pPn^hc5zpYuFmvjtdl-I8RSO&LfP)k#BPj{Qo zhc*pPv?sMzdB!kQoQe`UFr6R6+OwD%HY~O|@iH{*LtfTaedp!bgI4`CTfyX?M@IMb z+p-&NvS$Ww{mtKU!fr2J0%Tf_W)2t4O%%h-?%O(VehnmPUfyy4T#q)B?LBqsynNKN zqWcR<+KUFmKGgvMQcpTkK1{!yCa^d32_+8s@SOS5X=Q5RWUFWKlC7J|%TQH3aE_z| zLm_U^rf__2Z@cBJqS`MzrOc1ApQcl06^I1~ib*qHNNA%vfS-XX%`EbA>LU&KNL`B# z3_Kxf@DtQg&n^GvW!3y8h>i8|o^)(%wL{bubhD;|O7N`1y|eVf^>S|KXCG{)8Cmv+ zk$)K3o8?H`ZmVGKA`*ZO_T(OW7PQJ1|GF0S1(IYmwf|Y{3NqsAQ&<=MT&--38!t5(`PYXlZ;A>2~ z4${O(T7+9zroh$Prz&fm)FIo_(K*f3trn3j$gixi_Jn7${|#Iy^KtIojNp&6@J;*? zukg2)NP*beA&K&*Se1iHQcuJ!HAb^166SEt#lT%NGm_nP*5t-QnP=X&9d~`&Z`Uig zHfQ{-et8T3M~zwh3OH{#U&1Y4$bNk%_u8c^>lx>ZV|4~Zp!18IYE8RKPpwQGU_!u>v zviA2y?S(qnbN{*PY=1e(C>wn9rcII-I9)ACePI`*ek+`)8oJ-r8hr)($?^K;5PZ6H zY^P@Xi_Y0)*)|Sbj;VZQKCHyXpyhDC4VxHKhUUv9d`mnSpO$a>==;RMGmi{PP^tMN zO%K-Q7FO{GW7gJQERrJS>0M!i-fWUE8&$lwuuF;GCSpudLP8(%;JF)^SHv&b;*ZuV zSd#lgVHfUWlK*6;TS>rsgEdy+?>>>v=71un(f2BbtbTj8I*4r;mnrrDiw#$as-J6b zjix`FVfrgF4f`2-do^M2{RY`z?D$%1x@fi_uo!H)Z={nk_*oO|dRJ^QI3`04THFhZ zu_WDzPV3}s|7UhPn|BG9fSHfZzKGB@2G>uGhJjsw3wB*wO8)bj_L0=hYSmXC^z7lN zRXkf`HAmBbixjnVen%R6hmm|GpQ_YNo96M{4z{{Gp>EDA;jK6JA7&24xT331Lk^VN zd1O7$!t2}0+(uzVLhW^}!-o!i^Nwnhj-b_-piLJy>1mRVxjg`36PK>mF|>H%P)gR$ znhTC5WIP&szR;SrGAay}b<2+Ka;JAJ`)x$k3+4)h^}$zmK$f)VsLhBo3Ajf+}1Q#y$mKyp@4#6A)=<{4c0L zL9nV}QV&=cydEi#w_X%`{rqhy#rw`94|C8PK_AYGUX-v@?Kz%0EJjzOO0aoF^55m| z2td@iH?v&)kW*EohWLI z(`0Ka;W37NT#)^WdFPvg2P%Sp0ed%@SWE~IXLB5WJKP7(VT{IuiN9#s?Ee`d?vsYm2ioWIJcf7u01WxvVWA92zi1#x@ zBeEX^v8NT7x#4@ZkK4p-e>OO7W(L+^2inTYuJO*LNOz?G$nLV?m6LGx_1E)!PSdDS zu27dPSH2OOJ|F6^5n=_pQqz{?Jz=-aKMIz{S%+ zs=>!pn8?^gl!*SG8DA;`pZ3sQ#(o{_&9ZrM^1V1SynSosl4m)pB03+K2G!!cAW9Ne3yvpy|$Cel_A~b?j7$~ZQ6bI zDR=bbD2_z*ouKBy^_tdk`qfXG4rk0*dc`N8G4L9&JYy(=+zILPDFi_DWxj2QUNU@1 zIw;0{b1~7M?CAllcu00X1-2`ea$=6BL<9WU{(7$7ahGj|mR6#iHbFoA7X9-(ItIPs z=;>H5fqsoUSDf5pPYBQEv#qmfGt@*AAOE!Oh21UpQ>5D~*3%v1%UeF2?GS4=%Fjp} zCMN+oor&V)N2eG3qDt1rtt=H_NseR?*aFL!&t4ppyt!njAQ$GLXHl^7yp@urLZ7We zGnn^xmd?=3m12n3Nt|`_JmM9r=Rbusp0%+hYA*s^al6@QX?CmrzNI@(1c;w zY*^7zd|ADT;D%D*{mI{``6h8qz|0vk3ei2-lErD@JA^rVHy)-9-<8}4_}m;or4 zdk-V`tPNcQ#$`pbO`oUlDCG9yiDzb=h@wpey0RrU(3<<)MsU|UTqYBr*C$^ZDPS-5 zxshqgZXA zop!~5+1eUf`KesSjQC<9V;f9CX5tv|=0CPiAOP>Z!I>bBlXSHQ|MYCuVi+F@kKjW0 zR-AI3_Q}{d_xkJa+^Lf{#-hYV2Bk8?bo*(y%`h|3;oD-4rJo(wInfO|@C@$Mh+(Z1 z)B2o@s+?Xg^)O4dAaDA6AuiGS*r$klOBL`@q>9qo8YBabrOw{chc_liKTrMvHlkJ$ z^YUlIAH>DT1&qSUXM-u(Ki@SEv-T}S3EF9Is7W`4I<3t@nT&ds<)f)i#foAM;$N^U zl%z(`-Je3t`!~HS3pWJJWw5p87^dar0O(Avh!f3z?ym+xA%f4|t^B8)1PtoAFTkfk zgRi34Su(wl*^QNi{k6sO)_e9Q7$o^iK0FbAZ}~k=0kb&IvK&Uk<@YiSeiUr0@T0Y^ zyo!US;pDvuM96|DoIb@53-@pPr6av7n$TkOrzn)LH-4JWp8n7ZW00TSy<3Yli4nTh ztZ@o|D+!3GP{YAe%&z{KV%(vxkCoJ{Z%0dB1%ckpqe$YHxsF32?vBVx$9ed}*{&*GF@uHRl5yCCk(Qh@|f$dgbiwtot2b5L;)Z`>L{dqjee!=apqI z^9r{{etJ|&xbF8mx#^bu;mpL~O9_dlc~v?&f>P$`LmAEf9sm?MRyvHfy3UxMlh7R< zDTJsC^SHck!PS11zii?F5-9u#2=+}*^Vtp%_L`v(3SRiq9(!XybrY0vZM()ryX92% zkOIL*K0dG#8@-DvO<2|F>@~cuNuOI|>#HQN5_=A}VcaTDDl<97irEZ}P+#WhC#7As zm2Cg1yaj~zy@v`eEg7k~Fs31;NU zuv&}}$7pVJXkWNgU0dal&X*@5R7v2~I`R2pu=v6Zye;Rs5#H*wpPEow3G1J}?0P(} zn{K0wlTPiM4p9tZW4!Y6rKiNf%!A6Lj#l@#sp(tKOJ08Y**o-zdDw8NaPvum?(l4e zbi`Ogve?|SFx>TPVv5YLpEGatpMso4cN5BCNwI_JD zufVYfS*co_j;qHI&g!S962T}Dz4zp>4139Zc~!TedD*gHQw1ee9vC;ymd+Sq71TU^BWt zJE<47szhbyTjrW|VWoT`Ldbc;eN9)clF)(&cM23I&mIc%txx-$kd~n>)E=T$M?N`wi*CGj!{Fp z`UovSLH%P|$yhs8R|8^f;an0s28X}JZChkBfFBQAt-Ft(M(MVU{wyWUAwv3%TMxTu z8JOyqffP40tec-D(~brTB{j^h{MLKpq$3O&@7cAN(A3lfkPmEPviRn}!hnTG<+123 zS9MhL-aoxxeHffvkt=3>a8%2KUAG@q0k+2F-TTSjIbRVfMk&I>>CZ0Jy;fT_W0k|n z7I1PwL6kzC*0+3&{c8%_bdgaxDX6NeCn>Wr9OwL~9SF~a@Db5;oobi(io#J-7thcr zjq2QYbgNsxkGJNZ7+)A{xo~9Tn-h)5A>GcC%J!|RG_1X-UTUl*IyvPte)R_qX3Tu@ z#o9wI`Jlo}!W&5RX3?2lPZFHVwe^^Lol=Q^Lm(=QlxEbA#_ruuO$`Ey>vljnv%DnQ z8&n{8^>(<>ALU;KEM3mnFW-xm<0mXLu(=tJmeA&~$IK_33fElBZ(;36S!%8|g-AYq z4-x)9S&241xE|D_P0zNqT1X^N#(_Mqe|CLFO*97UHpWDHUv=mx+VNUMCAwGGKHkD$3c&5JpXP(K^UjH$&B*>d{%%T)d!|6|`YQ9Z>ZVs- zG@tnt%Z8t8hcL^lMIqZ$)EO~`PJs%=g0rZJr%?3)4)5-&NZs4n*5+TNxTMNTH$>tI zh-Gq2xL?1?dr|9l=~XhZ6jrdVr4d2KT>XL4C-?zpf1=dw{iO*Wk8*tC)#)0`h@$fk zjuHdRzOUIRL@h2^QYCM8rw1NaVPvFsVkDiHv~Uhxm5%O5Yp*QFct|RNbi@^d6t_Nd zIvC2L=4={3E|M+pwTZ8r8Z-GT+Dwa~(3!)Z->);rQOPd78Mln*9NW<2U7XJ2%%tH={I}iP%w0Lp#5Ai}bvx(mfrNBnv7crIX z85o~JRacR&Zii7GQhx*rnG>JQjUNs-Jws*!_D)_R9bkeSE17vyd$V0M@DX7wPS(EF zn{vKS0G!~U2EzQ>=QXe1D(CMKmp3b!Bk{v}*AH~16j-_ume{Gpc;7!F(!SLhcLe-E zaR8BX)^)Ji@u9r37zvkuQbmT{Z|x2)8y%Y-nwsnpq7jNOhaQRZ-*W49>8L(&;-XAf z(R^ok9vdu0U{Nsa4-amw^Dpsil|FH=z$SlnJ@Z2>JbjhCe#L7qvQVF0-TT zMqXRh4u$|M^lrBMen_^emfBrnlMQPT3tUk+aYtxF%Lw4cz&av+6FSGvwj-0DXTF!|VGtTF%9A zV6CdsY*46Zb_|{04_E%0dpLSyX*_4O9j*s&C~_ z>Mxy8cl+83@`vT(;mWNgHc}e*ho`Ub1@tk7E6l$7if&izXM2JhNVL*VWS#BA8BPRe z8c@R}4+WmjAH>OaD^~1gMb4x%ZSgtTvD1LWzidSyvIlUdxGq+5eXmoD?Pg?F))K*u z`c0#4GEc|+ErIRnVyWC3!YD-9jxjEW4foTqd-`&u`OUOpyin1u=oAz?HbxiPr5_v! zV8DGd*M4*9OHWy@IeSFDIS*V2*f$<66&~a8j@KAx_d+GAxZ&AiHk?a*8=sbkc>6o* zZEwJK-BU*y66!2B9vLf3Wsa6$GmRZw-PRTT_npkBmNisix=b|GR_9*(LdohUxS{*@ z(fCyy&M0|v>hsvz$~PRB2zh$4fPV#o z-K&;NRWjYdA}Q5BIi@U7890jp57Why-0{7%N1K%0oMZ46|FpQuAXc!Ir?l_n11SHE zQbzZx)`u>3>MB=6ZdHL8-J^x~98_GGO$JFe$%z{tt{FJxuiv+-bIiQ|mUp+m7| zN6efwNl8v&w5;I$qtw(P7!8L9WC;1lb_wj3Meve5sE9tC14}sEuiAE&QB=&*V%e$R ztwBut7OkG%RbEsb9Z0l37z6xNdh|}<%KPD5fAtTjuL47T!QR7FqhtW*{@1Q$>5T7{ z4T+yVycASfbfZB!ESAE~*8Y2out@-amac5(+|@)2H*(H-#ui`P_$PH8d&DN=VRjqt zM+AazkX3h=S##6yO0?2SABm#Ad)+gk*?+GrRo$hv9&AfjbPswuF65X*)wBy9q6UhW zsBTo&bd-qR6It$d8HH>|r}I4HuaG9nF9h0;}nub+cBk392N;80y|!y~ep_ zSI%O7xzOTteUy6C1?;EQrRgC|U*7QST~e`4N6)B%Q$3;p+wmYo=ns|({|L;>T6Mpd zFWc`nP}379pL%Kc^a^(_H^}A@c_rQq#uVA!8>tO%aJ9!&3lt0Xvs6-}PY7LN&busB z>BbdpR>A>e&J*?sh*x&BJ7{CmCd!qQQ&%ldHcI;gtn>R2A?rI^-Re9o9OOXCE7eSep*jCTNI<8f+gzTwP_wc#I!wF@6Fc3g_Uhzh8@S*i%eTwVV7N9lU|)2fwz0sY!F zjE{&PDP=KiqtaDx)2S#r4IvQ+7DDRVI5gvW& zR4HFHg#uLnu&*?&q1$<-LyR3n*%U6#6E)FmIw=-TXD}q<`NU=94svIdOnEZ+@2B)0 z?#vH4E3XvF)TIGJ+MRoM7v6WgMw^l?e%fwHtUD593%sIse@eze8$_^>?`j&h)ZiUK zqw!C@LJ|)6iz_FmUEK&|Pj<5*tYU~Dzb2s0_}w6-P%$gBM(JBFDU&X;7g38m8E)m1 zE+deY>)b@L(dFL`&ZuhAQdd(pP+ai8&7T<%!iadP^(RyqMv)H`Apy3=VyD_&7o({HkCDWn$} zCuttti#}cyw;zgql~pf;P5J0*eDBVPjimzC=fp*(@u{Vj&hpmKSLz&H6(V8T`4*cV z(x^`Yu9g#73mZ}^(p^1K3@a01l&`lOo6m1aSXz$hi1gkGNC_S3od`$|p(j8{^1p8qzK!4S&pGZ{_bkbK@0~mI%*->- zTPbr}(zCD4`{sc#-@`_xrs}7c=|~FYsXSJrV6iBkluQ@)=kh_#Lz7*4C!^ zKR)jyhXkuw90r%~k$7~y)5Dc_yX6iIX17lFaL;yRX+_#XS>uGUb}>>~FZVX6@g4^L zdh?iVPG(H;8s9!|PfNjyeWVHr?|meG!Ps2~E)NUDp?k73z1+*%~`;Cv->h7gx(- zTe~2Z-RCz|j-0b`S?XAlv)K8VI(z3#5`i-^B+aw4t5R&B60<1bb=CF6{37xr%uIAZ z*C^r!8`s5PfB%*_9PZ}8D^?uTIgKvHvVoTB)IWS-9=2%{VaK0}*t46CKWoI47=`gR zWk`9o83reqcs4Mjt6Lq0xjBIgnJUy&y|&45U$I-y=>wtW(Vu8-|KBs0( z$pFYW0?n0I6Q*VahO6C>&pG6|Er*E-i0oACiVQUdU?rx%LkY*1vw?>?Gfmidb{{%F z-_Q&yU&EbXz91R*{F$XZDMSM2PEtZ`?Ofq-y4T|SW?!QxxtmIw@DFPa=j-g`gM#?k z9#+zjX+2*CSz$+tFfG9>x}Z=pQ`Xz;Kv`wp|Kp#4Sz~;I#E!7W(CAPfCDm`s66_08 z;N=EoPw0x$erk|K#Z$x^+HO$M9d|7{6{HqksN!?hIiJr@=3r#!{pr>J`!>s-#WKzX z#TS+yJ`;U_9q!{^u2>s-GH!4jDmkC!IQH(gBITvXE#&u1x4veduI=S7E!yuT)5zsH zaRo49c)`=^m2L3+>wF>9%2t=bCh18I(Q%Z}9XnZ@%Ae z!jB0bu~ihH*0;twKb<+drF3Q-aT8xfV>Z>S^pB71+AhothAH0>czAbvm*rlgW@jHi zqVcvw>Z6W!o*~L(-wUbWHJ0k*-=w!!P2G6jg`5Eq= z@+a;K{lGQf1_)ZdWU)qC>Oj~Pw0>kD66#a#V#)D@vjNmk0w8-?LOad=)HGf@{*}%w z8fDBXG;mqP{)3!&LlyAE3myU-ik`Sv+B`_J>4R33srT?%xqD4d#jV<(d@jf43tE^U zO&oL#tbbU4-=aJLshj^B?Z#l-;?z(di)v=46;(OuknZYj)4c-+ugJm_JvZ{);}Gfe z5UHSKGvs+at<&;4&5|vZrmS73k64yy4_zT6R8%^HeIjJoi=e6i8`8#EzA9O=ufWGg zmjxu1<;a-rrp1|{*l6DS*Hc4?8Sr>X=S?mF&C2Z=&kLBXn8~F4I$mwsx!-ftDC|c9 z7SHNVDWVTe5p|&o`TS6w|M@AGu;itlcu$*w;7fK*t-kJ*cM0)5<_i(?c@Hf#AcWVT zd#TH70U*37mP~oCey@{5R{hQ;=Z;cKq;*=_7ztyN_t+S}>dEH!po^fRqjMU#tmgNk z?>$$2H68lj_^MINtm2elw$)BYkAKnN@Y)U~d97AW%T<@mRe)FMVQRZ<*9KeJu!e3E zua95QQshrM&#S!;0;n>=!i&LS2U{nnvrzug{ff~!)SA}{g^@#3*ZV#=BS$6^zkG%_ zglB`)32;SIujv^M$(=aKZRb`ei==W}t2nt5S-t#+tN-k%^6ZdXk+Bzk1BX>JM+im5 zNcTq9@T|6r*lib>_Vg1sdH{W?qm|OPdkv6sh&Tx$@Pd!LyEoW3?JFqh_sJ@%yX~sX z=#7Qq6P=uAgl#e_Y-=;W^k9f%(cneL5?mSUT%4B{(3SH|o@kTjT|fK>;`NN~nsB>u z%LrfK_FKEb(h%HXI62f8qEZ=`a|W`R6~?!IGu8E$* zxjqs*IjPJ6m|%+4Gk?&s(5ou-*$I)_{gFH|g)v$0xmXW`JcKO_k8vgL;KIcyg9f1- zbHTS9VAZ}M9QYg&n^KbQQ51#13?~y2IVO~Ck4Clpg|=NEfH$76_KLwOKV-U&mNu<7 zfhNe~uex0_&otz>+qhU`*Yv0-Zo(*FA{v;rT)qnZuDF1~vs~%mc!ZAp=tlUX8;5$7 zV{N8J=QR2`bWM!%Rsh}Cbep&&#ZSMJ-Pz-jLb_5y2dqF#t+tdnVKs^K;8{T*kz0^vt*UZaJqfYQ%1WvT`}D!gbG=bua_7zFYM${G zvE;}4)rr?G_XY~SL3+;iB1zwOu`Svp+nzL>+n1>_j|0BR<^BUa#egk`*9opst3FLIh6f_(_-mK3K->m6ob0So`Qg7&+@6{^nakou370FDtWv#*u5`| zOOl;c%x>WtluSh2IDcPTfne@2SLSCi%gq^E!EAmxQ@)l?3nB)*Z#GP#FacTt&V?V$1Iffi%{s{ASp9=HV zolVxobsegauQAq14T#pp&)?Oj9Q+!unKuQ-q^ z#~)QqCY>iw#tL|T7m~88mNlTdS#}qf&1~EEXV}i#1z(Ck$y##O?pI_kpd+m2S@9kl zgx!=cEV~#STgbPc*Zx)s?8B!iYKu#$HmuY zwLeQw_YSYQt@HZxu3dH<1{-U%o0h)&%xmzK_?pi94IeEFjHR6hpc8bjV$)-n_Ez?CwHI@32jyR5ZPh+v-LV=t*bP%(?Zlv^u&{UqX3qvfevJf;pUg2yG+wKG~dJ)i4DoKR0-4sKmceA6+>JlPP$QXdtx z$R|0IOx3bH!pvCA{m&efH8>HLO0>U7OAM|2jnr1Sdo-j zs$@EaJ{oRwlLM*%g`>87-k4Ud#{|nEH)^sMz1%Uu73-|T&YL%nozL#%M0!X%?XC{3 zO$BENDq(Xyj&ee5G8GkrzW(!PO2l0@6M<7C0A309E>!Rv#r1A^vkJ{R#!7eeyVq6@jAzbTCmRwq6zj3(5Vu#>S zj^gE!T+3NS^syr+kdGhSQ0c{PD=CBAM@1##9?mZ;kHh?ft@4iprokPfJ5Ovd?1nB` z0Y=$!<~<1|(0zaLmEmQ1Olt3%FipN`kLTg`XiW{J9~ZP55juCBfUeiwL&8Ul@fGM2}`L+nuqpeDnI z!Wqa<><=HvMj4eY55g-IcpswXrO4k0*n1{UxA~g=62kpeMhR| zogKda;xzU8iYB!0Z2i@oh80%)b{%nHF>aG>c|FT8ob8P>RPXQenoA)>Q9Rog;9sZ> z!=4!rnh}SL;BfutaCifLtEa9B`bs7~ouAXjg{p6Pk8aSp1Y%hWVNfkwQ~MP9|8Qk} zLi$JfLQ?I6Prr+mg(S*A1CeoBiT$OdvlpRb{G~C}nrc^9`5$`!q97U?^;6nTQ}B(+2g z#+#tWsQViZ>**lZj*Wo^io(fb>@+^4+NGa9ENi|LKMV+&XU6b5)LE*iEcz@JBNyMp zwo_rttOXj6V3y*HrfRYM??OMi6BCxkyFCZM_w7@Nbl7U6^2|pJ;c6Ph(vF`E_D`T|MnB;BTr_o zg9#Ndx3iT4+^k}`i*pgw3Ov(`M?b-q{&J$e5S)Oj{L4~eVEFgr0=G0k^GRWJ!-F~- zCO`c)FO5_Bif$yWfqJA2KdP{J;DD0?7$b~#*12~tVQ0a!%1~sIM->XqVo4VR7f&|8K#g!^I#ed|5kQ9nn6nnU>n7 z^TEq&_6x*KF5J!ze~JMUHqgl)IXvP>7>h19P{Nn?-hloK(~C+*#&vQH1KB(Qy!ZlC zXiQC!nS%+M!D`Arnw zCVP)QisypgfLMB|dJX^AOy=z7tJj06+~>v+g}*Fm8pwYxGn&cyypQV(BT&N(8pa9s zzm>`hJzmAMcEi<49)#z5*VK3%{S?YBRUnawv-0;vd3jwD-d(1WJDA?We%d>Of$b@t zG^qLQ@FOz-@NjOo_78x|dWtR5Yv<^3OgP=#(t{I-{e)v+<`MMwzXU8S3`gvpEMs6z zzOI4pgC=KM9yj9;Lwtk*5kn3-5mr=*NT$<8MQP@d5_0foRTQgFTP33k3|TGSiD z^n+2EklnI)xq5yTM+V|Hl1?LO>Yk(@z>2?l3nc`Mkt}b-rnR4uqr9N9ZXv5MyI!=J z{UDM$KG(w$$V~-YOv&Dik?!?RR~73?r7V!}uc5I_PzcPqP8&Y)>6jTS!Guytlo7*# z7EQaVKhZG)|F#(>AC;kZhDHOGiImay6a~% z6%~gOK|w0_hKb3Iu{E!je$=>RSC%#!BD?z!bX&ExVVQ#_(S-)aI!2o~-2yOmL-Ql4 z3UI>k_{-vA;39%|KA({j-m_zopX|7=n<0P|FMfprSP)Awong*EUj0~9Ml2qo&f2_l z`yL~>cgYwOSDDn(@uT@gOI7X72SWIG-G>G0$;5Uo$bA;L8)N5AhZo9NVfoDD&Vqicthq=^LF^Xp^Nsy%;=C+D&79DdW@GN0+GHhpmbv>LkJdVaSR20lJl}p zc}i7&SW>rkoK!7p6#Agsf12RR=V$5uU(I+`CY>sB2afos4J?DaRM0E$Bdo0aBO=#h zlCK)0Y>jEtyIY`E#Z0FXe=JB}C&F3OOijT!_u|B!y&!&~-b_1sY8TtJj=_;FkCE9I z9=A&ig2yX#Tg1DjXMkx2jO|ciK?u7PefFANoHpnNdnRg*!%FNKH2%Wg)#WpSQyM>3 zL-;`LMHHT2gJuo)-5tP?#6qKhJ4B&`rq^i{$|FG#4tArW0q2Ii`7&0_V!lx zgzE6S2d_-~>Tx|FeiHd)do0Q>bLie$yTZA_fiN#|CytIjZV#Bsz!3 z265RkyvoA8-4vCUYK#9U7|T!GC2~mGAsrJH+=9SJOMZ9Q+8Xp-P|m44^WxW{v}FZ+ z>|Iu(matocDXO9Zwb{kyqL44pe(MHi!Slic*l75GYmwyA!r0|myGX!25$&zs{&Y#% z^B`06mAl9tE>OM-zBz<#_gb#Zs<^j=63Edpkv%uR9_!~9ZQ>>D9Ht=Zi6JGqvv9BL z1qr@6O{^*(;mwe8k%YmPhrmlz8&tiye1l*VG_;TgkbWB>DIFCA{33S(iHrdW*FD_Q z07=(ziZX9pF)XQ9h1WmtA2tbA(w(0|sO!%(judBRYCgfnhVClBV^;@jiNSAHuc+p1 zEy7*!_FhkoiQEdd7erdJ26MiUq!4Roa{3qA%lbmHaSsyno5vmMw-P-sS&9sxKIZ3; znV09V!v?Fvrk~EYwDwf%hpbeyHRV{aD0qZaqi&BoWsZy&;N}7vi&JcaT}sG3X-ant z%9pDJW5y$q(bPstMxI5P%^5)kuF+^e;cjey%{Ai~ z36~X}*1)9Sz@~>#e-0AFdoz`Hm-DV)6_Rql4|L)WQr67Y0*=cNc$kYSkSKkq9(Eqw{}%6;Gmb`&SEm%7a#31 z@?{($yww=MGwN-Y>F%Okjo5l8KZ7l3^#`=Sp~}UER&xTb1K9a@ZRv#-Z}TB_X2Ob| z$yn83YIHe|EO{V9WU%h@Y)z#(AR!@5Qg%ttG4D$eo9H{!Olq%A_Yi`RUK;wGUAY3Y z$w%7}!O02~uGO6ba&mW&YDrmZWY?K81Qk-M#q|Uai+DY6uHmk3$sopr@{A6wjtSum zDW4Pq8`GC>B2eEeKi?SM$Mhofv+HLO$c2HQ7oiV38-ssgQi}$&qWEXo$VCudaCQ<& z)Pef_Pqr;O)$Ac2U1r^vj`xxuce+Ng`I&XJvhuo%^{9Cks!Wf2v6YgKHI?InNPC-ROT?egK)4I`-cvduUBsBN|Ef% za!W)kB}%qG?*+Ag7@5~5$!rXBmR~AFZc!QeP1&@lw(_xOQHd@CawNWe3`I2V{%)4H zZ$AxX{J}UHm7`;b3-06c%+ODxl9fFPF`;1Ez&+p14!e+beOTU{;_v3f!Y(0054wMd zxRB?{uX}zlTjtQE(tenj4l#-+4eq0k3ry4~_oA@M>=+e9cZUj8cw#28V-?n|eH{bTEV|%v1_fB!1vP0O*j(XU}l$MO+3X zJogf&8AD4)&tF$ug3gNegP8l&v6!Pxi@LK$Vd6JlmcuNJyG>FHKkp{b-V$}E_D}bl z*`eVm4u~4qFk+Gj{Na(~fbkI8eD}zvCG<%rj_k!Y@RwX)FvnAV;g1mU2%M`fM0}hj z!2D=}A^LIm2(@&~{KROrVaa&JiGWGWABxThjFHf~4xZ9yFrxXWSlUea=PzHl7Brx9 zI?v7s6|^a-xF_j^|3 zmsP&*+Ygj+-raR^_`=B~S`QJOF4u>B7L>L4ECLbNKYU=Uj8=X4WYHXUU7_W+7Y$aQ zB>mqE=Sk&MPYDJiky~{I7^w5(-oVyW5S^93f36epvmL>x8V?C7dkTUNXWEZu5U0iN zH!LTQo!^(-tq^iqefg?&_l%6MexjVSM_Hm1^eiua%>~p6Oh7&JA#Se^z*x;L%UO?~ z)G6Lp4sE}DZ1WTJktfb7{YJZD(BBZvZv(||p{QB=;`@b^D$roLU;1ao`8`{m_1cXc zIM!HmwPmIz)#=U*(~DPH@dW)Y)Wjvo7cnvUyk$V|gBtgicfJ;}df$lMXBa5{7O7-f zEDN~C0(K@|j$@X4MmAJRl+w_}AK1~DYO3qd2FLe@^kyzHc+@96hzm*zj)*Z@2Akbz z)#au0%BF5@a=mk6+kO4xtnC$aE-G8XeL1DQrxhtg5)Jp#{J}A{R6t@o80X#u=PjAO zZGnbX{PWm-05H0;bHL~V7sXnxl8q_14e4Sng&(~3Ch0B<6OGo(;}tZ807Y>`py4HR z8+0+&J^;siS#tNHqa0p>N*NHn^^-9?(I;fJ1HM2%fIZk@fmBU}^AG|AU7@b==o`cG zE<5imSVoX-d$pG9nf8=uHqL8^X4*F!H_j%)J#7097@~C zvF^++MPM4lR$fLt#vgikmN?nv9CNd}*P-p~a!?_WJ)0r7y2@QxXzHv-FAnMyuWLdD z5f0o4J1q@Ab*V|1u59I_1ri*f+C$nbUu%?p+eDbVRm?ssLZ}8>24cTFNKV7ydnC?iE|6hNwbudY+!Ne>32} z=}7Su0u%6xFu=@wbE@8ry8kAx({)qPUB|ut&?_rBP1~Tq7&j=v7FUi-NO;L5rz`1X zcr55k-V~%b0ax65zHuz#tX%?4$pSh85TbD+qK+9 z6IE%wRZ{f9C0Q#ktdJ=WJ9bF}YVGnBS3*!@>$p}tahiSb*#wUl_07^|jPFcia_hxl z#B{XKg-ql5s7}8B|LC@b9(?GRS?xnyz{k2DIX-8-^ zh1s?c&*?>oKSVu(6L!_2(1&Y3wLz;})OGR>$d1vih>^;_W@|<0POAVzThU9`#!;S_dRg-vksSs`;L2#DAXFE0hK;?h?4Y)SO#*N@?uOe zium+wCE7%PoL!xJCFZUSKr!Lx`q8`lP#k6b^E79q#@K0idtJY?&d>#aISZOO$_(&M z<$>Vmg93XCTcFW59496tk?e4<@7jN_+G3jhjxm^K=>x3}P4$MtbbIArYsMXSD^IU3 z1vEBnO|H{|aG*H@e){ucR4~8B-UOU=B;6b3pWmA#QmEJ)5qyy0;(=Qa-Qp&`oKlPg zyPrHP*BQ^2D0_u%ww+6^HyX0%s|k#^;1wt|F4NmDV}{2<08bdIBSL%;k~cqfLfcE3 zKKha(Ou{M)mAHsh2!I}etirK)x2G*1L@f~HTs zkG$;18Q#O;Oi_ve1Y4lqNk4?No#whCGm;B(R;&C-lUVexa>dY|oKeoLc-#Ah z0O``wTJ{G*50rMg{AyDOLuscxsf!4dDLCe5Ba-+>G?%_PmO7@xfC5DC_7_v8=t4zA z$@nPh1TkI!2&JfZ&+rTMnuP7OAPAll4VNy_{3;uE>D}+>PJ}kdCypSZ<0M3?pZ8xi zdRG6AZnHi=bz)wbjFSR@$kG93|Eak;49K;9Im6EGhc50vXLrxiKV!V)1NpyAqWI0c z9IxaG&H|&*;l$X1~Z&TogV{oXaAdVMBPGGn2I)5YKs5W z+}WEHl)t>RwPmW(f>@ePtFN>+y%D+Z#X~E=i{HW}DNp8NwP-+lSL!E&a>kFM9_lZL zX8=_vxkYpLx(O)#njOdt$r_8i5nGV@_;G@$6Lw>-;bpuQGaUjOu6k~LmQ$g_E|%5F z3I(Lbdym`fU1oU3PNOT8OR2NCSKyR1^ zu>Duk)W^4xMPyfHxhA`qx?hdB-RmG4H7PQ^p5lWk@SfrsI6d2*afX&onz65M{3}-D zGuYT+16$^JvV46AJMN)!_wHQ?8F-a==xwm1k{tRD2WS4*W!cJ?tve+Ky<$GnA9c}B z_ZZ0+ICggNPoMZ#JC~I%YK^5`0i$aQz0pwaQzOb4zkOb^$>mfCTS5wCd{!oLAlH6S zTrFvxQ&{?WLxSy=hc+EzUaTaE08(WXP7W9NDj7W%8{$`Il@J9SS95!e^VQvF50yPu zUeO>(jSwR{$>(KMuuXRGt9_vCowu|L^_R7mO{gULa~z7#p5ndfX~fFvT>tth0;G%t zi9L#CPfY=+{I=I}wmm>3{>tw#S@SmfUFZABwhp)x-&fE)HdV)s>anRhZufh{fa|(x zH~(WjBwI$3p2tbv!|nE_@lO2Z4O-$33lpZ=z{Jj0yKGN5jK7qd94+gk=f{DJN+4$M zTt7~=2=PrYDT5C9)D(4=Gbm)14wxb8BponMSm@5O;KrdWl&?#H0Qwq^v9pcPq+{s5 z7nQOeGSq_bZGApE{LAT&zBj+8K?=kFkm8KHjLU2|=o@dZ)Y!)J5y{ zUggFFanGBn;(NbbGHT$F9gdLat>|`-;F7@gJTn-A9H4_kz_k z^(4f(t_O1YP*e3mi~sp(d>_wIY7=8QRaY09njX!&K+V>x7gL7e^ilGu$U{JbeLx%Mm<1lD|f7(L5l(0tj}-_y;3 z-2{8Jxw(nGDFE}i4CZm~-D5-P1nC(6R7xuG*=+NM5R)(xO&NM4nE&+GF8*&k5 zPZ+_|!_U+rz%y3}ev_W=sik%QU(da3i>;g~-ZYjPXMcmMvXTf29eI9>({sxZ=&OD| zX|UDEH@TihXxOiwB9l@G=C%|)>r$m>IczL63{At%K_{!6^PF0bexZ~FlG%z3*cc$p zcs7XWtJc2}jAg2^S+7$UP?6smMj`)hH^b^;DE_GGiV`Fi>rL3cot=gx*w`IAhKGsp z*rJFsxU&faQk_r-SE+{y@H zH(hU0%KcVcA%gf$4#!jow7(>ev%xBg?O4Xes@%E8_Hn_;x3jb#gTj`rGFlHM_u0J* zaF{bS`fQDrs*AJjzlO@W*lw=B{?Xoz&{y>wVqI+&FeTdD4S6#N|0;wk8H(h9Z+q!3 zBHZ1H6{a>$&z|L`RaKF2q;pY9ln16$osyH&o1R@RSR~n|isW5#^w>-WyNg0kC%Txe{mCGF@+6`gyV$N^s27DW*EX5z zd+L>ruxjB(XzOFjomoS%gmR!obFa5ANXY>mZ0D78c!fvOeuy=((mGMWJ?Nu*r^85* z-3^Qrc39yXzL;g8dJTEorz&y;v)$0rP2#xVFTn4nbVn!Ow9sC@cs__9MKWQihOlu=Jxu^7#wy)0iG5X?B*JrGTSyHd85OMU?5~C0vzw z`BbM;(wBKp#K!aGcwfsaeNz@hye4A0h)FHkYM=~*(7J;&i&@5}Qdp3{^u`v=i7 zHfyhj6BMjnoShZCz>~6In{6r|SXIGBJ0cW7iRO*}f%Wa<-+(1y^R$tcch+X4P=%Hu zrWOl>1eC+$b}M8aoAB((jCU^Zi=JC+pw9FC3TOu@_LJ)(Qrg){2;&m#x}6E{FWR0 z)?Pubx9+sPVN0vM@WPKnnZ|&K(#2C!sdm-VBa6Wgc3elMkhn#~HL2sKJ&Vgh z1jjTj>j%asESYhuhpP_3VR7-Gn!S4(rnug;wW^9JR9|_TMXL3bL%KG=`;mf{5nuK0 z#2EfHZED-$DPadj2m9h9snKQNdviPCui7ToSQEa3@pl(KOJtyMbR5P>?S zt|DJL-4-G9f^`;1{RN05OVNVKKpd@GIug)%UsRqKZrRX_ zNZ}Iy57Uc@q@+iQ~i8am#WKKou2wZu_o2JH&)tYCwk;|WC*V>s_Zq<@ap4l4zTf(MaxAI z7!6207G+=@DLeG6VHbNc9h?X>!Lc#ee^_yNsKmvNnr-UIDb9bp#atE@ki6bDMQ?7yrM`{l(p0D18s=>n^ z+7@FK;j|je!=>6R7%CU}jNpH_syu&N3^A&d*7D13vtzb{0@W4I)Ho#^)S(eDRmUY| zK%SCZ&bi0qKqAR4Yq3K3_xxqXWmXP;b8gLn@{^lWpnn0?mNqvw8mYm3s_{e!f{;E` zK$q!xC^SHLG%_`kvte4FMeIc4Ri)joUd6MJ-_7^2B5^t+9(lB z<+RW`1^@c6>G*I@G~rM1ygIPKtHx+X0unq|MS0k*yF`G z@=#qTcBcXrqC%JeEuAJXnxd6JSOtfxR#raju)4&;c?Kr^L_O@|l;3?KHg(iaz^iEb z6?LjX_dihi>JTHu_)}yUOvV%wBn3Ditp~fr6U1dHIZ)rs)LAC`OJZGPDuv)ekS zB~Nnse)_BweH#7R&??TMF|-VQ(!hB2-aXd53m15M^H0wG`swNoWy9`En&ENS*5+lF znrrB;mp$v&J@VWG&cfY4&UV5|=bT@!H@n5_PBm@AG(-29u{h5(`!-xz{_=)UReT;G zi~+AI(&A>K$Bd@Xz^1Jx^_8dYgR^NZV*X=f6}O8f zp_(z7RX-x$YtV~)W0;mDHlylfP&I%Cs<|Dye5)B($r7+4XO>T{OV0@)qsBmCtfR$*$!&(t}})hvWCIIVPSwx ztM*ZD+4yAH1RxB-ITgrssrMScXOyV@Y#T@HM&Esr%B%byPg?xi8S;6j$-IhFdcfTJiy}hHXr)1;25M= z%h}{!&-UZtG(|o4of8xX2#_&R+Pm$n;;+1G71rpBz3q6DQ*yoqcyYDd*3O&|7S0ha zD{e(e)$H^lo4GEyN!bMUaL)M3n-kZd-zCd2F8A7%$2n!^c>7aqPr;NVEQ56xW{8sY zlP8BFnui0lzLcG(*RxOW9JuEq|IM*OrflLRTK5Wb`MHLJ%to;nm}`D>8f7J-Da4x5 z&xwV6r~36iU6&+nD;cSQTg>K18N%9QT8 z)2}7%tlu0RyO9t_LKN7vJg(YaS=gZ`=_+$`#LZ##2NXOhbWZg*8}XxEsANek`3-;Q zR=sWQRFYRL{~$8%zV+^e1zI!9SUDsC+1_}Vypyr0ba#$gQ9&|Zst@1K6zH3By*Y4- z*M!~R-5q!PFPzDPmqL!xH$X!xyX-7|17wPwDJw7a>?kX5fSHY!6bWl(Qj`Q8nXog# z=_4ZcrM4!$+D|pbfCO6C#uQo>_ip>8KuG20%VK^(s{7ovWOQWz*vyx0f2{s!cL@O6 zOGNed`gFnYz`r%36i#}Ub*HpTaf2DkA>Drk@+_3`ttC0_UQ3IijvJ+J*Emg)4*r}> z73tauhCDn<=}H~4NxTh%4!VfWZ!PONL$0-^NN1AoA!>v3dn98Fsh z+ksQZ#%D+G%BbZfDj2Q^*i!O_HMC=%Thrg8;3z+ahntQJdahpzeYWBHc{@|uk!+~@ zgK02`Q@6x)^x06Qv|~%~31u)As;T6aITbt~kdRsN@2V@s8CQMw%!m?kX@b4wlkE)X zh(PAnkI8(~Ae0X{8rJVtaP+Ery+IktI2yLFJwFNE>Eh{bY3z5Yl%`*DIZAhTceb`} zkR1A1PYN~$#}->MN0TRoW1mJYtP2&-7=?_c*gpPBM82Uxz*AoBoFfv(gWJ*Cczv9X|Ju9 zWjadM>i)oO`=xT=U=_LB(9ejR3kM3!R^^gH=C4VD_=7B%x;oqNM6y;X4~gWt@SPoxK~{ zT#u@r&Aq?zK3jTyMGRWIWZ|)kGD}K{a!aHE`^w61)TvmPV~n> zBgThM@C4F2$=|+Q(d<&Z9a`wNrFe34llbqO6t1(_D{Oz|BDF@Te(jn{SDYe>$avx8{zvQxa&K-@(WOzy8!>b^ynD z1_#>7Sd51)sJ0c|IJ780$n+n523`d+gbqYn(d+z4mxerg4FuIg1R@enAXt!nb7D2W zIZw>{qV;BjLNtN{?%&tfTQR|WU+Ia)6i=`5DU#aKTl-yL7hNHJ_!s}I#1bL*O8vR& z$Wd-zDP{>XcT?t6pj3hgl8&)^|BfbD_fa=(*O?xqlTIrf_%0HIG_&(q@7_1LQI?gL zn=P)IKaUfrsFtDhbhe=;JM5%rk?OWI<7N7huvEG5<@)86m9Ts+z@4#(D0gdaq}df> zwfVTn&C}EZqFOb7Y>2FlIwjxo;RgE)r8Sn>UbGeFGUqI(-l@ZjUk=6FJe}u!fX6LL zRuclLO6~a?!4j zMo#m%Rs-@j@5G!#Uoho3UeAvKdL}gO&+)sNHhEi4;KNkm6qwlO5ZQO|w|_2b=>0+pS7bnpW0ea^|4dcv`=+ z3DWcI8HMcT%PQObER8k`!XVT7llPn!JCCWy^6u6%Wmx4@(=GqJsnj${!q}#dh-B4- zg1+6B>qiUd+F-eV+Vv*c;T$vseoFgNNKje9g#S|CE$60jdyd$Xgh zxSqb;x!9o!-mIvntLX}{6QGkhl0Ua3) zu3s)j;zxwwyCgIpAQW-4NG6^Z==Hpydd#d>X8xV`q)+Qi!&gs3i-*RR{*QW&5=zEI zr^EWzQH8D}EOeh)#Rvjj((%<53Ai)1wxGodOFUhGe;+O0e7`lNAKWNCSk9`8N_E&K5GAZcS5SiIzW=YE9^@E3HnFq#CA2cb=1-B-$ z$_kxVVDEn;Je5tBITtOn{-bU(l?BIv?tB6vwtdQVHk9@3B}y5=x1ZCq&Qs1yZ{<(u z1Nj(VglJZhn@6094L{%;Fm=UwmS0m`R-x3=yxRl}3#-~&b8~b zas}n(by0VqDj6?#<=A=3J(?F3o#b*JtSrTa?VB|AEkd8(w9pOYk{TmFK}R3k?v?QM zSo4jozC%N-d;yGxS@P{&73B0IerMGQxAw~~E=h$lqumP4JXcjo%Y1y8E-1;;96#Oz z1oP>yM~#^-ZpQu?@&@^08ul~V>|vCTvYkC8~NXT!)TDLSlOje|co08U9gaj|SE z1!)LhlQA`_$0b-5dGs zaB`nKFnT2$oN+WF19tUZk;zsJdPH$MeWEE#t1I^Y`0tj6!a@5tDZn|3nny%M)uTJI zLvkveZ0R?(%$^*{4Zi4~Hl*ua6?l8Z{qQgPU_a(#*6#od zwKq`Yqyr3@vY9Ztg+9NZNa`HHVO;tR_Lbp%?`!~@7W=kaF1`98C#~rhEWSgoNYN|z z$@11{?169~!MZtp4~fTTQKSicHo+(d>k$Q7R1{rfD2Ow;a2S@u?sq4SbVY%=pQX2- zzr247?(6eTW$nhR*=McSH_E^C(5oRj$ytP18{ClN*MG1zJ#dwO*u*n|yTss0$sh4i z?=D-re{^E1`1Jblu^`?f29w`S=qL~HilK&Yy+Udiwmrjy*%f?n395tm1d;4@JPrlTj{ zsD)(sY6Xy5t55oJyP8AK5H!%g%rju@c(rob&z8YyL|Jm_b8a+S9ovCWmkG^A5s)s~ z-cODFr@VC_U+i;OF>uAP&QMzef+pJuR^}jZv^-iOYJGMyrDMJw`R=tS7KI`5Hd1qQ zkX)Z1o|M1Y({&qZ;Llkj>{K&4wEBs_^9K@cZb~;%jAGyB*nkIaXu#;%^bTqyw+Mv- z1uXD`zr~1E##+98D<7RnFx{26l#sg5?aQ_6110jow)*m8ii*}wj+V_oG?kW>{-U?d zoco`f3m0I5rkYb7rdOVJE{Wfqo{@3gF;2nvpBFpIkorxx#Y+QyB zkLFw(e8%OpDBVt0mD`6G$EzHTJNy4;hRQdC1wR>yTu}Ug5y!y;tR{DWogVa_rQX}E zXIAuz#>T%Djjr^nWzf6W-VL;XZz!!j0WlRfQjNTfB_$6c@GoC?{Bpv`xvzBVN7<&s zv`pk`=y9L0BV0;VWy{%4*~8B|Y?KP{ZKgSGiYBxR^V7teSqaclD(D;Y?#$8#;U)GY zqJ0oDlPBB9gF?BQ&e~PG;06cCYdgX3>1lUwIZ~s}t@9CTt?&9}cO!+}nZbC z!UCKnxE7NCFfG;EcNcZ0ZbrCnB=}KJ5BNBEzD98EYf{umGBH?XWq+<<;Au|GMoqC8?0Ex63pb!feR^xXYf>#LM1vFV1BBn_YOFq$j< zos|WKSXa#$R$P5E`i#}T-9wpik?%< z3;q{lS3Xk4Ym`tPxBdeqY@??RauafZA49HlnAeVSnC}!;f!){&Ae+sV+8aS|;}MRa zjCNA21h(Tw);TbKepk{V%<@iVrV>JXBlpy3SJQZ-{JkoTlfZ<; z#^AM$Hb*WAB*t;M?gU?7*`n01`7~WgJT8ExEYTgf4#?G2t+=_ROp4(i^KCDstE%(A zE29@nSVj>;N85QssaZx1u7(lm8;*=_#v=|m+JP2lmEkOUFfS5{si<gi5PR%;T!jZwb!6D0@Yw`nU^&Nw`l0S>^jb0`lvPnay-A)JzB4!m<*ATT5(-qY2C zGI<)sBP*PnDiBNbA}1_Lnz+_r6r3j+%yAd?6ADFiI(sf71QB3Mq<3GyKiv|)NpdG` zr9gs2*(N3%QZ%%~MDey7R&wZrNs8S6){oltWz9?dR`q83XsC^%fYv+0*q}{gHE>zU z^#FxVt*tLkmBY3DI;*VzJk@{FYtGd`xAPK=IJ{F3ytN^bHeOn|ltA+p-y<2vLa}%V zi5@@bbBtV5tQ$VV9&cZsCPqV{)s*@-%i1)|v*qN@%xz;_K0WAkuZUD9;NydcQh(XG z4}^N1AwuvVVs7F7ZA$3hsV@{pe{r%xLnW217CCgifcELY*UoycwIoUI&a+Y&SJj@_ zQ@cF{%UeUqTp_1qsYCWTYV+CERG&fp#|zY>XLCcfm#R=ZeT6_t?A;fcUQ^a}7I))J z_qBoau)x3NhKDWe(2A^~8vSt(jAfncD2sCTc}sNiEs)>~>NXz(=S?dJR20{`A7O|O!?sq_7%cQmNS@P^At z0S};iUrMQ)YyAte`9tGtiAN}oAit5a?&9jQUZK`Z2bbjg*YF|P8Pc0OmfJX1Gk zd)0pF+z&RDwal-UOV45QFYWr|MJ0|QTf>izHNU|dZ>&#o`EE3pc8{}lIvBC;?|*({ z#X((}Qyl-{d;-GeqOq6e$2&E@={|Vy2V13^7ifp7N1Sl3lztv3_$c36d9kK3XV;M! zjlu^+86G+fr4=v!798(m`}f#aP(|76K$Fv4^NWdQ>Rr0iRCkbNhGQDI7!5Mzv`$i8ng3^VgRGpd=s@4LQ#zw5iM_aB~__nP7Tz0Y&s zzx(&x&waZm`>)+C6h(&rG`>w`^pIZR`o4~03U;{o*3j7rv0~ArGD^f+sL#|$lYZH7 za}{qB2ng)OG>^t-Nwr@ax=IG>W-Zf&Ik2(_q>?-md=#(QhKg!-JQSTL1z+HbQP$hdQRZ$>R~l%F{f@lTh=h_u@j&&Ju;r z*#PW2AuNqVFs0_X1y|6boXnWOfzt{v80iK4?&_az8X^Y$8qx)IDAit>8*`!p+`qDz z{zO!~dNFDS-Mhb}W^(9B?URbL>JGv(z|@xwT|J*%Y3~{#J&E!9{H*vSzSZMat2Hfa zbxNM@G>zJ|^-%3NPYx(#DEnQ+tj>73;*@yQ92dO7`g`Mo(gV3SJkveg7ltQtq~vw( z>D=pM?g@O^2vvx7pRb(D=p6>OA08D|83po>cpot zSMRlP)UK;LertLBlReg!7d+S>(A`eSq4ts}MfBdGm_68{s2}+xOphSLdIxtGB?Nj4 znKHaKJ=ZPo82zxl^6Ja<#n_WO5a+VS8$qtyiLpe#YrGX0x3^J9yVazgJXQDEd3h(+ z^7G@YsRj}Qh;4aAIvHcrq540B?z&hA!jXjLJVI=8ePt^^Rkm?yza-cpk%MkAE=<(fL z=4CBv_3k*F+r{n-{X1ehOvOvDMj=RRxn*yvw_87MlXT~=9|A5s`}kgs_Ax!)s$<`- z=^c_8rTL6vzN>1aTB{P^a z5W5z91T&Lp!Bmp-({{Ul;6E_Us_rw~k~2>uNFZr0rH7d}di+NI^jbfPz>H=#EHE>( zpb_ob>(NFP6|;p;BjIYEO++(g8h-HwzEDPw$A3FtVihVm;F^h;dZt|X{Zb%5%Sh(( z#JDx{8q5jjm7?rIhN7lJsDI&0PuyXCzr(+remUYV5Z7FURbA=GIQ;&vmucm*<;7m#(`A9@| z+HX=_Ap-Au;DX?B+$awq^(ftr-2y9W`VBfEiM52IV za=tnyXmSMy+OsI4wEF31zrgupJJ>;8TW^yUHWl~jF#~9Rel7S8t0oETrx?jJoI2Gd zS;n9(uJj$A>?uc%Ce=}v@fxwhGOV2h zG|zX)cK0ohjB1~3ZABQ7jgEoVDIJ6hqUPBx;RPhsETdyQ+U3Iu6E+I+mzNv1HKiz^ zii}6gS}`exubI<`Yo{++p7<L>0Nq>kyo z)|u_l{nX=ssga-O!Av8RHh%&x8JnyO+)>0dd!(K@v5 zG2Omv56gLLZ}pGo$&e>>b`Ii}z?sD8IXR!Er~<8H&Ps9b8sEQnFawprXNIDS?hy?P0j=I^5RcWJ`89T=`qz{{EtPimaa>)2xt3}2kZnmJKx1(D?5(cL zzm4JcV%QZ6YT0XAxlgRyHIMbl(b^l5AL(;(C2ADm=#LlU=J#wDkz7Ln&vH2JTCn>7 z87a-&3&Ug`YtwL40McEj`9V8shiD>$787(1&1jAhC@DQoSQ%RRSv4|2?eC==46U{? zCs9D)D;Uc-ZSiiPF6zxMFzHN>A7 zO}rbrKe(zA{T39J8S)<(Ak81K2zwyAT74eejbV4Upy|x~{OQ1>vF~^Tg1G!G?}qxA zT{stAUR_Wyp0G#sZqES^m(UC6$iT=PkP#6-gN_9>v0iq0vE78!9mkqA3$B<^C0o?0 z6xZ>Z04sbhD6Dd(?^N6gcdi)ijOm zl|5598-XfE6cANCed^=Tu^YMwvgHm*P=kWu~Lsg^dgR2c-4Q;9}eN>N5S$iv9|!B@B^m zFXG%4EG$Y25sEa)^Yi2JbMtX?1#~>S;U;mw%(6!qc%uCon~kJ11m$>9@y*%9LUhQ= zB|Nqe_hPl}gdP(o2W8G9EfM~aM7P2e74j?+`(p&}rZkfq`FUVLIZ>e=6H1jH?cZUr zIT|BlgJvoO7#P9xi@WT;5a=2FG;@3`6jaq@vJO|QCZ%So^cG*l30?^Uz4FxE<{Q5@ zTtvI>w=Pply;LLDr+ES8$LF^zbOvXdtc5!$LY@jM9e#NeD@Nh_nL;04oUyCY?(~{A zIZc|A(_yyU0bTF<(*i4q=d(WK&}z@z9!xpwEGXHw=GxIpr=vLSW18O?TaTMe|8(3MSp zHOa~}5pK)meWP8e*whl;`!R08Vi-)VrY5(cidew$EA7Y0IoDJ z7=L`()Y>V8+7(08oWGE2XR~Gb7eYBBH1uttzgQCpLF*q6*FURIV+w`FtLhz~uz++v zDedq*!vuGrr5MHJ*D}>Y@q2aHY#vsi5%Ck|R-Q&rWzlm_kB#giQCoWAq!PYv)}ySc zZngknE-z_=0FkrY;trM!&O&ICcB7ImqQ%Epz;H)}cj=^qW8} z-~dM?oAyW&l(obb9T1dlx^@p}lPR*Ls6ygAewcD0I~gUR!#1OsOVs$NMhfL%(Wo5MhL9PrKqvkVj%3dl>#9$(-W# zvYd3V7m+_trBf&c&)1%^#4j=5H|t)EB_wcTMl`>X+iJC*zuPbm!ITd_@VB0SusHA~ zP!Y&={n*h{F^j!eRY~h2#Kg{6>mX)c-BD^v_Urq%Wf8we-^**}^ADeaqNZnkGGbao z*QiPE-qIw=v6z~A9ydA%jH;h&)<^k1WLv)f?4J)uRLZD`ruf3JiTihaM+M9lhdr{d zOii}04whw2r`qdutiOAaI#DxC9II|xWxJXtGGgPEdb)I*=WCn!%f8vmLuQdIx(y%J5d)V>bGOf@plGiK7AuBMvB$S#?| zg}dR=zjZy?J%XnRbS(9};XQf}5@W z!j1IqSu?n@7|Y_QN%~RMPnnyB6rv{k<}y#GPS(vc{k7JDg>_e36!SK?G{4)~!FK3A zd;TJGzE0|)(ynM;aei`Sft{34*4{aIaT8GxbNBn$CzF2ez|jp@~eu zKU>qYFuC~4s9-AgWy$H`^`6YdermU-Y~$f$uJgZ{=^~B9Dk$%`qwGaG3;T)HL;PYx z;DNv>`IFCGiG6dCnwqSoC=|wii4R?f}%^pFgjhI$LY}FrtjJ!SWjZ|yS06og!V+2qb@Cvg-1^sGRwVDE8Fjb z-BdhzHpyJ-w>z;qR13J@X3f8?5BWttG>f6(`fnp9#$ejPr@1 z$fFt(=t9@^labo|I!vc+8e5@TuEf&2>*qM5|6;ri0rZyyot8eV^zPio#SjH9PR+k_ z-D`*}d+syX@qS);45Sr)w67a!Ge<8PstD^!oMgb9S*Ly-l&AKcA0%(qFKMRDZ&Fj_ zYl~c3?Dtuj2e&AKKtUt$#QLXI=f>{t5+&|`UWiCOZ^P~sP`tbpeRyA&c%z`zDQizl z_bWC6tw|!wCM8Mns?O)clwGfg9m|vCOXw8tk^wcTfimZ%_p_ef`u(bujGR1qLapP; z`6X^qw0O|JIpZA$iGi^y9&^(JHY|JKK(SQT(yGZT0gORkP$~<}2m5=SzX4lHO zsng*7$q&R7Q_vIdWlo^xj=6gqu(U*wQ)7AY;;*{ToQjwpJ)hX|&~{y3PR@6WKmEf! z9yc>-WJH!rJ$un!H@&7X_(T9^V6AjL)bdeFJbgG6HMQ%{N-}6;A6A+xXJ)bPbZyiM zUs-twLA$G>sr34c6;Rzay4xZG%9`-O=BE*Z4TH?+Simf7`A*iSPhm|Sv`AUlN+G7Tw0fL|~U38}%M=u|)JMa5x4>f`J zI9>X3DnRoTAhXZpU@dmSfn)3tw>mRGxzR4V0Tcyrb9xY zKp;lItf%S#IZ?zcdNQhWaoVwXW^!TzRF3o05=~Nt)l!iW*7=eT@2Qt%H|lidA=)05 z_M$h>wiL`oL}#Q6hen3(cl=$_NK$e>eI)Bf`lpu_wp2nP@k5nM>sZ~Pw7w6Nm8r41 z?!3gnBdx6Y8}i-Ofx(rTnyIM-#L!Z#e~jsHNG1?wAIuK^0y-W@=i7>3iliFq%SY`w zU5}xkAmAx5HW-INjQ%rNyY^n4Gc}YA61xj$%C|;bRlthoqVdG z1R>+t^dT``y+XsK$D(28o&egKf{#!f5K!DKExUOmPG_V$D^XH1km^$#N!lSITD1x* zB=z75!ShCpRMMNkUWFC1zb9?3doOeLUKijj_*HDsOr}*zYZkkhSQ2lrtkRCsF2}T5 z{;2VuBBsn3=sipA?Fc#EIrev%ET8Sl`j`#g?rgQCdsp;2PNNuQ<8mPixBJ&$ z705_t=`}PAODUqR=$S1#JhDVaWrUkNkR^)LR-1GX%M?pfY%{b;zYyI?ZPZGG2Qo4V5A7H90nH?h$%YIB_yDzpsdvkI1K1= zc_UKv0=KFT4)Jk4vS6EN5@|;gp^7g*WQORO_kn4&>(6jjm+VET02<&i(7;erpuc*! zfQn`A=^ad#XfI$mg#)>I*7Om+VJRvuQcMUwE0z5LUMfk|jbZiP;X3{|@6S2|x(aL8 z5C(c9X)o;cZ3b=|FFtz9l#xcI9v+MnHcd^IPOvby((-b&G4u7cSzO!6v~kRE>h%5G z+;`!5dG@N0Haqt&?Q&JomLD9(?RfCyK!$HibeN)i4bHtk>TqGNxLKXHccX`*TEED) zld~PLUJ-4KM+Ye>vT%-^o;uhzJUE!j;F)zySX%m|h>-CX#A9W1#FFkU#w5g_w*g0C zV;dSu^c61~A8oS!S>GhUK0gOZZX_BHwq_ir`I69$z&bPT4rxy}DJ zb!l4sirf6#iV9!;iVDj_}HQub3;5-B} zQ<6Gg@3yN9h;Ba?4I}Jg(#Zmc<aQ{)*UuNC`Y%4)s83MeW+ntn5S_c^G?u8Ln+C}LQY72$NpjAc`I zzosd^-_xOTR?APp)}n5<5o_%dE_?cPcrb2R@u)eR*c~@rLmu3RV~A9L`UE#HEdFCBXN6Nt#p4Tw$fx+lq^R zNgj+#hWi+9<-dISxcB!TCk1*2K1E)#J>BeL|Bh~^jU;33kwT{bvw4c{J;EkxGnqLh8XANh#(Fz zlk>v$8ct5hd1Z;SR3hhvH=GF)oELuQtf$R+0s14HXnY+*aD7FB^EWiRIMMhzh8E*j zBshLUW`zTcZ$rqee1n2x0GSmIFun~Tv+@lJ_5d;~Y%JI#$gHrjV2>cP!p4FA&;?GvDIIp_DLU6wPHg*u?IJWZbT`)-6$~@tGi#6`O z%|4&Tc@eq=HX6`VU}FJIBn~W~<;(^HvPf(!Afw900&;C^EFka9#sVT3Y%Cyx!Nvk2 z7#vtY1cMC*L@?M`Km>!01w=5|SU?1WjRiz7*jPXWgN+45FgUP)2nHJrh+wd>fCvT~ z3y5H_v498$8w-eFu(5y$1{({AU~pgo5ezmM5W!$$0TB!~77)Q;V*wEiHWvR+2}Xqv zo^{~=)@A{BN!4-I`0GtU?%*pDTwIVlU}FKf12z_rJ78l0xdS#9|4-ck`v$;Cd?+#U z8yrx`{0#~yJ(U9rE{G$s(SSG-8w-ddv9W+S5*rJMBeAi72nHJqh+wd>fHZjyEFglx z1_L4(Y%Cyx!Nvk27;G#cg2BcDA{cBeAcDch0wNe3SU?1W4F*Io*jPXWgN?=iA;I`@ Yz0UoWxe2YD`QI4opV2Ek;c)Xm0hI4(-~a#s literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/10lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/10lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..332cff41 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/10lecture.tex @@ -0,0 +1,418 @@ +\begin{definition} + Пусть $f(x)$ определена на $(a, b)\ |\ a, b \in \R; a < b$ + + \textit{Левосторонним пределом} в точке $b$ называется $B \in \bar{\R} \cup \{\infty\}$ такое, что + \begin{enumerate} + \item ($\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) + \left(\forall x,\ b - \delta < x < b\right) + \ f(x) \in U_{\eps}(B)$ + + \item $\left(\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset + (a; b),\ \liml_{n \to \infty} x_n = b\right) + \ \liml_{n \to \infty} f(x_n) = B$ + \end{enumerate} + Обозначается как + \[ + f(b - 0) := \liml_{x \to b-0} f(x) = B + \] + + \textit{Правосторонним пределом} в точке $a$ называется $A \in \bar{\R} \cup \{\infty\}$ такое, что + \begin{enumerate} + \item $(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) + \left(\forall x,\ a < x < a + \delta\right) + \ f(x) \in U_{\eps}(A)$ + + \item $\left(\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset (a; b),\ \liml_{n \to \infty} x_n = a\right)\ \liml_{n \to \infty} f(x_n) = A$ + \end{enumerate} + Обозначается как + \[ + f(a + 0) := \liml_{x \to a+0} f(x) = A + \] +\end{definition} + +\begin{definition} + $(b - \delta; b)$ называется \textit{левосторонней} окрестностью точки $b$. + + $(a; a + \delta)$ называется \textit{правосторонней} окрестностью точки $a$. +\end{definition} + +\begin{theorem} (Связь предела и односторонних пределов) + + Пусть $f(x)$ определена в некоторой + $\mc{U}_{\delta}(a)$, $a \in \R$. Тогда + \[ + \exists \liml_{x \to a} f(x) = A \in \overline{\R} + \cup \left\{\infty\right\} \lra \exists \liml_{x \to a-0} + f(x) = \liml_{x \to a+0} f(x) = A + \] + Для бесконечностей возможны варианты, например: + + \[ + \liml_{x \to a + 0} f(x) = +\infty, + \liml_{x \to a - 0} f(x) = -\infty \Ra + \liml_{x \to a} f(x) = \infty + \] + +\end{theorem} + +\begin{proof} +\begin{enumerate} + \item Пусть $\exists \liml_{x \to a} f(x) = A$, тогда + \begin{align*} + (\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) + \left(\forall x \in \mc{U}_{\delta} (a)\right)\ + f(x) \in U_{\eps}(A) \Ra + \\ + (\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) + \left(\forall x \in (a, a + \delta)\right)\ + f(x) \in U_{\eps}(A) + \\ + (\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) + \left(\forall x \in (a - \delta, a)\right)\ + f(x) \in U_{\eps}(A) + \end{align*} + + + \item Пусть $\exists \liml_{x \to a-0} f(x) = \liml_{x \to a+0} f(x) = A$. Тогда + \begin{align*} + (\forall \eps > 0)(\exists \delta_1 > 0) + \left( \forall x,\ a - \delta_1 < x < a\right)\ + f(x) \in U_{\eps}(A) + \\ + (\forall \eps > 0)(\exists \delta_2 > 0) + \left(\forall x,\ a < x < a + \delta_2\right)\ + f(x) \in U_{\eps}(A) + \end{align*} + Выберем $\delta := \min(\delta_1, \delta_2)$, получим + \begin{align*} + \delta_1 \ge \delta \Ra a - \delta_1 \le a - \delta + \\ + \delta_2 \ge \delta \Ra a + \delta_2 \ge a + \delta + \end{align*} + Рассмотрим $\forall x \in \mc{U}_\delta(a)$: + \begin{align*} + a < x < a + \delta \Ra a < x < a + \delta_2 + \\ + a - \delta < x < a \Ra a - \delta_1 < x < a + \end{align*} + Любой из этих случаев ведёт к тому, что $f(x) \in U_{\eps}(A)$. А значит + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) + \left(\forall x,\ x \in \mc{U}_{\delta}(a)\right) + \ f(x) \in U_{\eps}(A) + \] + Что равносильно левой стороне утверждения. +\end{enumerate} + +\end{proof} + +\begin{definition} + Функция $f(x)$ называется + \begin{itemize} + \item \textit{неубывающей} на $X$, если + $(\forall x_1, x_2 \in X, x_1 < x_2) + \Ra f(x_1) \le f(x_2)$ + \item \textit{невозрастающей} на $X$, если + $(\forall x_1, x_2 \in X, x_1 < x_2) + \Ra f(x_1) \ge f(x_2)$ + \item \textit{убывающей} на $X$, если + $(\forall x_1, x_2 \in X, x_1 < x_2) + \Ra f(x_1) > f(x_2)$ + \item \textit{возрастающей} на $X$, если + $(\forall x_1, x_2 \in X, x_1 < x_2) + \Ra f(x_1) < f(x_2)$ + \end{itemize} + В любом из этих случаев $f$ монотонна на $X$, в 2х последних $f$ строго монотонна на $X$. +\end{definition} + +\begin{definition} + $\sup f(x) := \sup \left\{f(x) : x \in X\right\}$ +\end{definition} + +\begin{theorem} (Существование односторонних пределов монотонной функции) + + \begin{itemize} + \item Если $f$ невозрастающая на $(a, b), -\infty \le a + < b < +\infty$, то $f(b - 0) = \inf f(x); \ x \in (a, b)$ + \item Если $f$ неубывающая на $(a, b), -\infty \le a + < b < +\infty$, то $f(b - 0) = \sup f(x); \ x \in (a, b)$ + \item Если $f$ невозрастающая на $(a, b), -\infty < a + < b \le +\infty$, то $f(a + 0) = \sup f(x); \ x \in (a, b)$ + \item Если $f$ неубывающая на $(a, b), -\infty < a + < b \le +\infty$, то $f(a + 0) = \inf f(x); \ x \in (a, b)$ + \end{itemize} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $f$ неубывающая. Положим $\sup\limits_{x \in (a; b)} f(x) := M$ + \begin{enumerate} + \item $M = +\infty$. Тогда + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists x_0 \in (a; b))\ f(x_0) + > \frac{\dse 1}{\dse \eps} + \] + Отсюда $(\exists \delta := b - x_0 > 0) + (\forall x, b - \delta < x < b) \Ra + \frac{\dse 1}{\dse \eps} < f(x_0) \le f(x)$, + то есть $f(x) \in U_{\eps}(+\infty)$. В итоге + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) + (\forall x,\ b - \delta < x < b)\ f(x) + \in U_{\eps}(M) \lra \liml_{x \to b-0} f(x) = +\infty = M + \] + + \item $M \in \R$. Тогда + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists x_0 \in (a; b)) + \ f(x_0) \in (M - \eps; M] + \] + Отсюда уже аналогично получим, что + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) + (\forall x,\ b - \delta < x < b)\ f(x) + \in U_{\eps}(M) \lra \liml_{x \to b-0} f(x) = M + \] + Если $a = -\infty$, то $\liml_{x \to -\infty} + f(x)$ вместо $\liml_{x \to a+0} f(x)$ + + Если $b = +\infty$, то $\liml_{x \to +\infty} + f(x)$ вместо $\liml_{x \to b-0} f(x)$ + + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsection{Непрерывность} + +\subsubsection*{Непрерывность в точке} + +\begin{definition} + Пусть $f$ определена в некоторой окрестности + точки $x_0 \in \R$. Тогда функция $f$ называется + \textit{непрерывной} в точке $x_0$, если + $\liml_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть $f$ определена на полуинтервале $(a, x_0],\ a < x_0$. + Тогда $f$ \textit{непрерывна слева} в т. $x_0$, если + $\liml_{x \to x_0 - 0} f(x) = f(x_0) \ \ (f(x_0 - 0) = f(x_0))$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть $f$ определена на полуинтервале $[x_0, b),\ b > x_0$. + Тогда $f$ \textit{непрерывна справа} в т. $x_0$, если + $\liml_{x \to x_0 + 0} f(x) = f(x_0) \ \ (f(x_0 + 0) = f(x_0))$ +\end{definition} + +\begin{theorem} + Пусть $f$ определена в некоторой окрестности + точки $x_0 \in \R$. Тогда, следующие утверждения эквивалентны: + \begin{enumerate} + \item $f$ непрерывна в точке $x_0$ + \item $(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)\left(\forall x,\ |x - x_0| < \delta\right) + \ |f(x) - f(x_0)| < \eps$ + \item $\left(\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset D(f),\ \liml_{n \to \infty} x_n = x_0\right) \liml_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)$ + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\subsubsection*{Точки разрыва} + +\begin{definition} + Пусть $f$ определена в проколотой окрестности точки $x_0$. + Если $\liml_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$, + то $x_0$ называется \textit{точкой разрыва} функции $f(x)$. +\end{definition} + +\begin{note} + Неравенство полагается верным также и в тех случаях, когда хоть одна из частей не определена. +\end{note} + +\begin{definition} + Если $\exists \liml_{x \to x_0-0} f(x),\ \liml_{x \to x_0+0} f(x) \in \R$, то точка разрыва называется \textit{точкой разрыва первого рода}. + + В противном случае \textit{точкой разрыва второго рода}. +\end{definition} + +\begin{definition} + Если $\liml_{x \to x_0-0} f(x) = \liml_{x \to x_0+0} f(x) \in \R$ и $\neq f(x_0)$, то $x_0$ называется \textit{точкой устранимого разрыва}. +\end{definition} + +\begin{definition} + Если хотя бы 1 из односторонних пределов бесконечен, то $x_0$ называется \textit{точкой бесконечного разрыва}. +\end{definition} + +\begin{definition} + Величину $\liml_{x \to x_0+0} f(x) - \liml_{x \to x_0-0} f(x)$ называется \textit{скачком функции} в точке $x_0$. +\end{definition} + +\begin{example} + $f(x) = \sgn x = \System{&{1,\ x > 0} \\ &{0,\ x = 0} \\ &{-1,\ x < 0}} + \Ra x_0 = 0$ --- неустранимая точка разрыва (I рода) + \begin{align*} + &\liml_{x \to 0 + 0} f(x) = 1 + \\ + &\liml_{x \to 0 - 0} f(x) = -1 + \end{align*} +\end{example} + +\begin{example} + $f(x) = \sgn^2 x \Ra $ $x_0 = 0$ --- точка устранимого разрыва + $$ + \liml_{x \to 0} \sgn^2 x = 1 \neq \sgn^2 0 = 0 + $$ +\end{example} + +\begin{example} + $f(x) = \frac{1}{x} \Ra x_0 = 0$ --- точка разрыва второго рода + \begin{align*} + \liml_{x \to -0} \frac{\dse 1}{\dse x} = -\infty + \\ + \liml_{x \to +0} \frac{\dse 1}{\dse x} = +\infty + \end{align*} +\end{example} + +\begin{example} + $f(x) = \sin \frac{\dse 1}{\dse x}$ + + Рассмотрим + $$ + \System{ + &{x'_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n},\ n \in \N} + \\ + &{x''_n = \frac{1}{-\frac{\pi}{2} + 2\pi n}} + } + \Ra + \System{ + &{\liml_{n \to \infty} f(x'_n) = 1} + \\ + &{\liml_{n \to \infty} f(x''_n) = -1} + } + $$ +\end{example} + +\subsubsection*{Следствия свойств предела функции} + +\begin{enumerate} + \item (Ограниченность непрерывной функции) Если $f$ непрерывна в $x_0$, то она ограничена в некоторой окрестности точки $x_0$. + + \item (Отделимость от нуля и сохранение знака непрерывной функции) + Если $f$ непрерывна в $x_0$ и $f(x_0) \neq 0$, то + $(\exists c > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in U_\delta (x_0))\ |f(x)| > c, + \ \sgn f(x) = \sgn f(x_0)$ + + \item (Арифметические операции с непрерывными функциями) Если $f$ и $g$ непрерывны в $x_0$, то $f \pm g$, $f \cdot g$ и (если $g(x_0) \neq 0$) $\frac{f}{g}$ непрерывны в $x_0$. +\end{enumerate} + +\begin{definition} + Композицией функций $f$ и $g$ называется + $$ + (g \circ f)(x) := g(f(x)) + $$ +\end{definition} + +\begin{theorem} (Переход к пределу под знаком непрерывной функции) \\ + Если $\liml_{x \to a(\pm 0)} f(x) = b$ и $g(y)$ непрерывна в точке + $b \in \R$, то $\liml_{x \to a(\pm 0)} (g \circ f)(x) = g(b)$ +\end{theorem} + +\begin{proof} + Рассмотрим $\left(\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset D(f), + \ x_n \underset{\left(\underset{<}{>}\right)}{\neq} a,\ \liml_{n \to \infty} x_n = a\right)\ \liml_{n \to \infty} f(x_n) = b$ + + Положим $y_n := f(x_n)$ + $$ + \left(\{y_n\}_{n = 1}^\infty \subset D(g), + \ \liml_{n \to \infty} y_n = b\right) \Ra + \liml_{n \to \infty} g(y_n) = g(b) + $$ +\end{proof} + +\begin{note} (Предел сложной функции) + Для того, чтобы из $\liml_{x \to a} f(x) = b$ и + $\liml_{y \to b} g(y) = l$ следовало $\liml_{x \to a} + (g \circ f)(x) = l$, достаточно потребовать, чтобы + $f(x) \neq b$ в ни в одной точке некоторой проколотой + окрестности точки $a$. +\end{note} + +\begin{addition} (Следствие теоремы выше. Непрерывность сложной функции) + Если $f$ непрерывна в $a$, $g$ непрерывна в $f(a)$, то $g \circ f$ непрерывна в $a$. +\end{addition} + +\begin{theorem} (О точках разрыва монотонной функции) + Если $f(x)$ монотонна на $(a; b),\ -\infty + \le a < b \le +\infty$, то она может иметь на $(a; b)$ не более + чем счетное множество точек разрыва, причем все эти точки - 1го + рода, но не устранимые разрывы. +\end{theorem} + +\begin{proof} + $(\forall x_0 \in (a; b))\ \exists \ f(x_0 - 0),\ f(x_0 + 0) \in \R$ + + Пусть $f$ невозрастающая, тогда + + $f(x_0 - 0) = \inf f(x),\ x \in (a, x_0);\ f(x_0 + 0) = \sup f(x),\ x\in (x_0, b)$ + + $x \in (a, x_0) \Ra f(x) \ge f(x_0);\ x \in (x_0, b) \Ra f(x) \le f(x_0)$ + + $f(x_0 - 0) \ge f(x_0) \ge f(x_0 + 0)$ --- Чтобы точка разрыва существовала, + должно быть хотя бы одно строгое неравенство, значит, разрыв 1го рода, + причем не устранимый $(f(x_0 - 0) \neq f(x_0 + 0))$ + + Счётность: Пусть $x_1 < x_2$ --- точки разрыва, тогда + + $f(x_1 - 0) + \ge f(x_1) \ge f(x_1 + 0) \ge f(x_2 - 0) \ge f(x_2) \ge + f(x_2 + 0)$ + + Интервал $(f(x_1 + 0), f(x_1 - 0))$ не пересекается с + $(f(x_2 + 0), f(x_2 - 0))$. Поставим в соответствие интервалам + рациональные числа внутри них, следовательно, таких интервалов + не более чем счетное количество, а значит, и множество точек разрыва + не более чем счётно. + +\end{proof} + +\begin{example} (Функция Римана) + \[ + f(x) = \System{&{\frac{1}{n}, \text{ если } x = \frac{m}{n}} \\ &{0, \text{ если } x \in \R \bs \Q}} + \] + + Докажем, что $f$ непрерывна в $x_0 \in \R \bs \Q$: зафиксируем произвольный $\eps > 0$ и рассмотрим множество + \[ + M = \{x \such f(x) \ge \eps\} + \] + Так как $\eps > 0$ и $f(x) = 0\ \forall x \in \R \bs \Q$, то любой элемент $M$ - рациональное число, имеющее вид в несократимой дроби $\frac{m}{n}, m \in \Z, n \in \N$. + \[ + f(x) = \frac{1}{n} \ge \eps \Ra n \le \frac{1}{\eps} + \] + То есть число таких $n$ конечно. Это значит, что число рациональных точек, попавших в $U_\delta(x_0) \cap M$, конечно (в самом деле, бесконечность может достигаться только за счёт $m$, а это мы ограничили пересечением). Ну а раз так, то найдётся $\delta > 0$ такое, что $U_\delta(x_0) \cap M = \emptyset$. Иными словами, + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in U_\delta(x_0))\ f(x) < \eps + \] + это означает непрерывность функции Римана в любой иррациональной точке. + + Теперь докажем, что $f(x)$ разрывна во всех рациональных точках. Пусть $x_0 \in \Q$ и мы снова зафиксировали $\eps > 0$. Какую $\delta$-окрестность точки $x_0$ ни взять, там найдётся иррациональное число, для которого $f(x) = 0 \Ra$ получим разрывность. + + Таким образом, функция Римана непрерывна $\forall x \in \R \bs \Q$ и разрывна $\forall x \in \Q$. +\end{example} + +\subsubsection*{Непрерывность на множестве} + +\begin{definition} + Функция называется \textit{непрерывной на множестве} $X$, если + \[ + (\forall x_0 \in X)\left(\forall \{x_n\} + \subset X, \liml_{n \to \infty} x_n = x_0 \Ra + \liml_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)\right) + \] + или по Коши + \[ + (\forall x_0 \in X)(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) + (\forall x \in X,\ |x - x_0| < \delta)\ \left|f(x) - f(x_0)\right| < \eps + \] +\end{definition} + +\begin{note} + Не стоит думать, что непрерывность на множестве - это непрерывность в каждой точке этого множества. Это не так. Как минимум потому, что мы не требуем определённость функции в некоторой окрестности точки из $X$. +\end{note} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/11lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/11lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..cadad8ff --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/11lecture.tex @@ -0,0 +1,379 @@ +\begin{theorem} (Первая теорема Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях) + Если $f$ непрерывна на $[a; b]$, то она ограничена на $[a; b]$ +\end{theorem} + +\begin{proof} + Докажем от противного. Пусть $f$ - неограничена сверху (снизу аналогично). Это означает + \[ + (\forall n \in \N)(\exists x_n \in [a; b])\ f(x_n) > n + \] + + Получим $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset [a; b],\ a \le x_n \le b$. По теореме Больцано-Вейерштрасса + \[ + \exists \{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty,\ \liml_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0 + \] + \[ + a \le x_{n_k} \le b \Ra a \le x_0 \le b + \Ra \liml_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0) + \] + + Значит, $f(x_{n_k})$ ограничена по свойству сходящейся последовательности. + + При этом $f(x_{n_k}) > n_k \Ra \{f(x_{n_k})\}_{k = 1}^{\infty}$ неограничена. + Противоречие. +\end{proof} + +\begin{theorem} (Вторая теорема Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях) + + Если $f$ непрерывна на $[a; b]$, то она достигает на $[a; b]$ + своих точных верхней и нижней граней. То есть + \[ + (\exists x', x'' \in [a; b])\ f(x') = \inf\limits_{x \in [a; b]} f(x),\ f(x'') = \sup\limits_{x \in [a; b]} f(x) + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + По определению минимума + \[ + m := \inf\limits_{x \in [a; b]} f(x) \Ra (\forall \eps > 0) + (\exists x \in [a; b])\ m \le f(x) < m + \eps + \] + Построим подпоследовательность через выбор $\eps$: + \begin{align*} + &\eps := 1 & &m \le f(x_1) < m + 1 + \\ + &\eps := 1/2 & &m \le f(x_2) < m + 1/2 + \\ + &\dots & &\dots + \\ + &\eps := 1/n & &m \le f(x_n) < m + 1/n + \\ + &\dots & &\dots + \end{align*} + + Получили ограниченную последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$. + По теореме Больцано-Вейерштрасса: + \[ + \exists \{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty \subset [a; b] : + \liml_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0 \in [a; b] \Ra \liml_{k \to \infty} + f(x_{n_k}) = f(x_0) + \] + Так как $(\forall n \in \N)\ m \le f(x_n) < m + \frac{1}{n} \Ra$ + + \[ + (\forall k \in \N)\ m \le f(x_{n_k}) < m + \frac{1}{n_k} + \Ra \liml_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = m \Ra f(x_0) = m + \] +\end{proof} + +\begin{theorem} (Больцано-Коши о промежуточных значениях) \\ + Если $f$ непрерывна на $[a; b]$ и $y_1, y_2$ - два её + произвольных значения: + \[ + (\exists x_1, x_2\ a \le x_1 < x_2 \le b)\ \{f(x_1),\ f(x_2) + \} = \{y_1,\ y_2\} \Ra (\forall \gamma \in (y_1, y_2)) + (\exists c \in (x_1, x_2))\ f(c) = \gamma + \] +\end{theorem} + +\begin{proof}. + +\begin{enumerate} + \item + Обратим внимание, что порядок $x_1, x_2$ и $y_1, y_2$ не связан + (возможно, что $f(x_1) = y_2$). + Для упрощения доказательства сначала рассмотрим частный случай: + $\gamma = 0$, т.к. $\gamma \in (y_1, y_2) \Ra y_1 < \gamma + < y_2 \Ra f(x_1) \cdot f(x_2) < 0$ + + Обозначим за $[a_1, b_1] := [x_1, x_2]$. Поделим $[a_1, b_1]$ + пополам и обозначим через $[a_2, b_2]$ ту половину, на которой + $f(b_2) \cdot f(a_2) < 0$. + + Если $f\left(\frac{a_1 + b_1}{2}\right) + = 0$, то все доказано. Продолжаем этот процесс. Тогда он либо + оборвется, т.е. ч.т.д., либо получим систему стягивающихся + отрезков + + \[ + \{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty}\ + (b_n - a_n = \frac{x_2 - x_1}{2^{n - 1}}) + \Ra (\exists c \in \R)(\forall n \in \N)(c \in [a_n, b_n]) + \Ra + \] + + \[ + \liml_{n \to \infty} a_n = \liml_{n \to \infty} b_n + = c + \] + +` Из определения непрерывности по Гейне следует: + \[ + \liml_{n \to \infty} a_n = \liml_{n \to \infty} b_n + = c \Ra \liml_{n \to \infty} f(a_n) = f(c) = + \liml_{n \to \infty} f(b_n) + \] + + Из свойства с неравенствами пределов следует: + + \[ + \liml_{n \to \infty} \underbrace{f(a_n) \cdot f(b_n)}_{< 0} + = f^2 (c) \le 0 \Ra f(c) = 0 + \] + + \item + Теперь докажем $(\forall \gamma \in (y_1, y_2))$, т.е. общий случай: + + Рассмотрим $F(x) = f(x) - \gamma$ + + $F$ непрерывна, значит, + по доказанному $(\exists c \in (x_1, x_2))\ F(c) = 0 \lra + f(c) = \gamma$ +\end{enumerate} +\end{proof} + +\subsubsection*{Промежутки} + +\begin{definition} + Множество $I \subset \bar{\R}$ называется \textit{промежутком}, + если $(\forall x_1 < x_2)\ \{x_1, x_2\} \subset I \Ra + [x_1; x_2] \subset I$. Если таких $x_1, x_2$ не существует + (то есть $I = \emptyset$ либо точка), то $I$ называется + \textit{вырожденным} промежутком +\end{definition} + +\begin{lemma} + $I$ - невырожденный промежуток $\lra$ + $\left(\exists a < b,\ \{a, b\} \subset \R\right)$ + такие, что + \[ + I = \left[ + \begin{aligned} + &(-\infty; +\infty) + \\ + &(-\infty; a) + \\ + &(b; +\infty) + \\ + &(-\infty; a] + \\ + &[b; +\infty) + \\ + &[a; b] + \\ + &(a; b] + \\ + &[a; b) + \\ + &(a; b) + \end{aligned} + \right. + \] +\end{lemma} + +\begin{proof} + Здесь приведено доказательство двух возможных случаев. Остальные - аналогично. + + Пусть $I$ - невырожденный промежуток, который неограничен сверху и ограничен снизу. Тогда $\exists a := \inf I$. Сам по себе $I$ может оказаться каким угодно, но точно верно, что (так как $I \subset \bar{\R}$) + \[ + I \subset [a; +\infty) + \] + Выберем $\forall x_0 \in (a; +\infty)$. Из этого следует, что + \begin{align*} + \exists x_2 \in I \cap (x_0; +\infty) \text{, иначе } I \text{ ограничено сверху} + \\ + \exists x_1 \in I \cap (a; x_0) \text{, иначе } \inf I \text{ определен неверно} + \end{align*} + А значит и $[x_1; x_2] \subset I$, то есть $x_0 \in I$. Следовательно, + $(a;+\infty) \subset I$. Ну а из этого уже либо $I = (a; +\infty)$, либо $I = [a; +\infty)$, в зависимости от достижимости инфинума. +\end{proof} + +\begin{lemma} + Если $f$ непрерывна на промежутке $I$, то её множество + значений $f(I) = \{f(x) : x \in I\}$ - промежуток (возможно + вырожденный) +\end{lemma} + +\begin{proof} + Будем считать, что $f$ - непостоянна. + (Иной случай тривиален) + + Рассмотрим $(\forall y_1 < y_2,\ \{y_1, y_2\} + \subset f(I))$. + Это значит, что + \[ + (\exists x_1 < x_2,\ \{x_1, x_2\} \subset I) + \ \{f(x_1), f(x_2)\} = \{y_1, y_2\}\ (\times) + \] + Так как мы работаем с промежутком, то $[x_1; x_2] + \subset I$, $f$ непрерывна на $[x_1; x_2] \Ra + (\forall c \in (y_1; y_2))(\exists d \in (x_1; x_2)) + \ f(d) = c \Ra (y_1, y_2) \subset f(I)\ (*)$ по теореме + Больцано-Коши. А это означает, что + \[ + (\times)\wedge(*) \Ra [y_1; y_2] \subset f(I) + \] +\end{proof} + +\begin{example} + \[ + f(x) = \System{ + &x,\ x \in \Q \\ + &-x,\ x \in R \bs \Q + } + \ \ (\forall a \in \R)\ f([-a, a]) = [-a, a] + \] +\end{example} + +\begin{note} + Существуют такие функции, что $(\forall (a, b))\ f((a, b)) = \R$ +\end{note} + +\begin{lemma} \label{for_back} + Пусть $f$ - монотонна и непостоянна на промежутке $I$. Тогда $f$ + непрерывна на $I$ тогда и только тогда, когда $f(I)$ - + промежуток. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Нужно доказать только достаточность, остальное следует + из предыдущей леммы. + + Пусть $f(I)$ - промежуток. Пойдем от противного. Предположим, что $f$ - + разрывная, $x_0$ - не концевая точка $I$ и $f$ имеет точку + разрыва в $x_0$. Будем считать, что $f$ - невозрастающая на $I$. + Тогда + \[ + f(x_0 - 0) > f(x_0 + 0) + \] + Рассмотрим $(\forall x < x_0,\ x \in I) \Ra f(x) \ge f(x_0 - 0)$. + Аналогично $(\forall x > x_0,\ x \in I) \Ra f(x) \le f(x_0 + 0)$. + Отсюда следует, что + \[ + f(I) \subset (-\infty; f(x_0 + 0)] + \cup \{f(x_0)\} \cup [f(x_0 - 0); +\infty) \Ra + \] + \[ + f(x_0 - 0) \ge f(x_0) \ge f(x_0 + 0) + \] + Причем хотя бы одно неравенство строгое (для существования + разрыва). Значит хотя бы один из интервалов + $(f(x_0 + 0), f(x_0)), (f(x_0), f(x_0 - 0))$ не вырожден. + Пусть это будет $(f(x_0), f(x_0 - 0))$. Тогда $y_1 + = f(x_0),\ y_2 \in [f(x_0 - 0), +\infty)$ дают противоречие + с $f(I)$ - промежуток, т.к. $(f(x_0), f(x_0 - 0)) \subset + [y_1, y_2] \subset I$, но $(f(x_0), f(x_0 - 0)) \cap I + = \emptyset$. + + Пусть теперь $x_0$ - концевая точка, например, + $x_0 = \inf I$. Раз $f$ - невозрастающая, то + \[ + \exists f(x_0 - 0) > f(x_0) + \] + Получаем $f(I) \subset \{f(x_0)\} \cup [f(x_0 - 0); +\infty)$. Взяв $y_1$ и $y_2$ из разных частей, снова получим противоречие. +\end{proof} + +\begin{definition} + Если $f$ инъективно на $X$, то на $f(X)$ определено + обратное отображение $f^{-1}$ так, что $(\forall x \in X) + \ f^{-1} (f(x)) = x,\ (\forall y \in f(X))\ f(f^{-1} (y)) = y$ +\end{definition} + +\begin{theorem} \label{inverse_function} (Теорема об обратной функции) + Если $f$ непрерывна и строго монотонна на промежутке $I$, + то на промежутке $f(I)$ определена обратная функция + $f^{-1}$, непрерывная на $f(I)$ и строго монотонная в + том же смысле, что и $f$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Будем рассматривать такую $f$, что $(\forall x_1 < x_2,\ + x_1, x_2 \in I) \Ra f(x_1) > f(x_2)$. Положим + \begin{align*} + y_1 := f(x_1) + \\ + y_2 := f(x_2) + \end{align*} + То есть + \begin{align*} + f^{-1}(y_1) := x_1 + \\ + f^{-1}(y_2) := x_2 + \end{align*} + + $f^{-1}(y_2) > f^{-1}(y_1)$, то есть $f^{-1}$ монотонно убывает. + + По лемме \ref{for_back} $f(I)$ - промежуток. + А значит, $f^{-1}$ определена на промежутке и при + этом строго монотонна. Следовательно, по последней лемме + $f^{-1}$ - непрерывна на $f(I)$. +\end{proof} + +\subsection{Непрерывность элементарных функций} + +\begin{enumerate} + \item $y = x^n,\ n \in \N,\ n$ - нечётное + + Возрастает на $(-\infty; +\infty)$, непрерывна по 3й лемме + + Обратная: $f^{-1}(y) := \sqrt[n]{x}$ + + \item $y = x^n,\ n \in \N,\ n$ - чётное + + Возрастает на $[0; +\infty)$, непрерывна по 3й лемме + + $f^{-1}(y) = \sqrt[n]{x}$ + + \item $y = x^r,\ r \in \Q$ + + Определена и непрерывна на $(0; +\infty)$ +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Тригонометрические функции} + +\begin{lemma} \label{for_trig} + $\forall x \in (0; \frac{\pi}{2}) \Ra \sin x < x < \tg x$ +\end{lemma} + +\begin{center} + \begin{tikzpicture}[scale=1] + % Axis + \coordinate (y) at (0,3); + \coordinate (x) at (3.6,0); + \draw[<->] (y) -- (0,0) -- (x); + \draw (-3,0) -- (0,0) -- (0,-3); + + \path + coordinate (c1) at +(2.5, 3) + coordinate (c2) at +(2.5, -3) + coordinate (top) at (4.8,3.6); + + \draw (c1) -- (c2); + \draw (2.1, 1.35) -- (2.1, 0) node[below] {$A$}; + \draw (0,0) node[above left] {$O$} -- (2.5, 1.6) node[above right] {$B$}; + + \filldraw[black] (2.5, 0) circle (1.2pt) node[below right] {$C$}; + \filldraw[black] (2.5, 1.6) circle (1.2pt); + \filldraw[black] (0, 0) circle (1.2pt); + \filldraw[black] (2.1, 0) circle (1.2pt); + \filldraw[black] (2.1, 1.35) circle (1.2pt) node[yshift=10, xshift=3] {$M$}; + \draw[black] circle(2.5); + + \coordinate (a) at (1, 0); + \coordinate (z) at (0, 0); + \coordinate (m) at (2.1, 1.35); + \draw (1, 0.3) node {$x$}; + \pic [draw, ->, angle radius = 0.7cm] {angle = a--z--m}; + \end{tikzpicture} +\end{center} + +\begin{proof} + Рассмотрим рисунок, на котором $x \in (0; \frac{\pi}{2})$. Согласно обозначениям, $\sin x = MA,\ \tg x = BC$. При этом несложно увидеть, что + \[ + S_{\triangle OMC} < S_{OMC} < S_{\triangle OBC} + \] + где $S_{\triangle OMC} = \frac{\sin x}{2}$, $S_{OMC} = \frac{x}{2}$, $S_{\triangle OBC} = \frac{\tg x}{2}$. То есть + \[ + \frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\tg x}{2} \Ra \sin x < x < \tg x + \] +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/12lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/12lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..37877166 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/12lecture.tex @@ -0,0 +1,496 @@ +\begin{corollary} + $|\sin x| \le |x|\ (\forall x \in \R)$ +\end{corollary} + +\begin{proof} + Если мы положим $x \in (-\frac{\pi}{2}; 0]$, то получим + \begin{align*} + &(-x) \in [0; \frac{\pi}{2}) + \\ + &\sin x = -\sin (-x) + \\ + &x = -(-x) + \end{align*} + По уже доказанной лемме \ref{for_trig} имеем + \[ + \sin (-x) \le (-x) \Ra -\sin (-x) \ge -(-x) \lra \sin(x) \ge x + \] + Но при этом мы имеем дело с отрицательными числами. А стало быть + \[ + |\sin x| \le |x|,\ x \in \left(-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}\right) + \] + За рамками данного интервала $x$ уже точно по модулю за областью значений $\sin x$. Поэтому утверждение верно $(\forall x \in \R)$. +\end{proof} + +\subsubsection*{Непрерывность sin и cos} + +Докажем, что $\liml_{x \to a} \sin x = \sin a$ при $(\forall a \in \R)$ +\begin{multline*} + |\sin x - \sin a| = \left|2 \sin \frac{x - a}{2} \cos \frac{x + a}{2}\right| \le 2 \cdot \left|\sin \frac{x - a}{2}\right| \cdot \left|\cos \frac{x + a}{2}\right| \le \\ + 2 \cdot \left|\frac{x - a}{2}\right| \cdot 1 = |x - a| +\end{multline*} +Для доказательства предела достаточно взять $\delta := \eps$. Следовательно, $\sin x$ - непрерывная на всей области определения. + +Теперь докажем, что $\liml_{x \to a} \cos x = \cos a$ при $(\forall a \in \R)$ +\[ + |\cos x - \cos a| = \left|-2 \cdot \sin \frac{x + a}{2} \cdot \sin \frac{x - a}{2} \right| \le 2 \cdot 1 \cdot \left|\frac{x - a}{2}\right| = |x - a| +\] +Снова достаточно взять $\delta := \eps$ и доказательство получено. + + +\begin{theorem} (Первый замечательный предел) Предел $\liml_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ существует и равен $1$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Рассмотрим $x \in (0; \frac{\pi}{2})$. Тогда, по лемме \ref{for_trig} получим: + \[ + 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} + \] + + В предельном переходе + + \[ + 1 \le \liml_{x \to 0+} \frac{x}{\sin x} \le 1 + \] + Следовательно $\liml_{x \to 0+} \frac{\sin x}{x} = 1$. + \[ + \liml_{x \to 0-} \frac{\sin x}{x} = \liml_{x \to 0+} \frac{\sin(-x)}{-x} = \liml_{x \to 0+} \frac{-\sin(x)}{-x} = \liml_{x \to 0+} \frac{\sin x}{x} = 1 + \] + По теореме о связи предела с односторонними пределами, в итоге получаем $\liml_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ +\end{proof} + +\begin{corollary}~ + \begin{itemize} + \item $\tan x, \ctg x$ непрерывны на всей своей области определения + + По теореме об обратной функции \ref{inverse_function}: + + \item $\sin x$ возрастает на $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \Ra \arcsin x$ возрастает и непрерывен на $[-1, 1]$ + + \item $\cos x$ убывает на $[0, \pi] \Ra \arccos x$ убывает и непрерывен на $[-1, 1]$ + + \item $\tan x$ возрастает на $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \Ra \arctan x$ возрастает и непрерывен на $\R$ + + \item $\ctg x$ убывает на $[0, \pi] \Ra \arcctg x$ возрастает и непрерывен на $\R$ + \end{itemize} +\end{corollary} + + + +\subsubsection*{Непрерывность показательной функции} + +\begin{lemma} + \[ + \liml_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1,\ (\forall a > 0) + \] +\end{lemma} + +\begin{proof} + Рассмотрим 3 случая: + \begin{enumerate} + \item $a = 1$ - тривиально + + \item $a > 1$. В таком случае, $\sqrt[n]{a} > 1$. А значит + \[ + \sqrt[n]{a} = 1 + \alpha_n, \text{ где } \alpha_n \text{ - просто какая-то последовательность, причем } \alpha_n > 0 + \] + Возведём все в $n$-ю степень и применим неравенство Бернулли: + \[ + a = (1 + \alpha_n)^n \ge 1 + n\alpha_n + \] + Отсюда имеем + \[ + 0 < \alpha_n < \frac{a - 1}{n} + \] + Несложно увидеть, что $\liml_{n \to \infty} \frac{a - 1}{n} = 0$. Ну а значит + \[ + \liml_{n \to \infty} \alpha_n = 0 \text{ - бесконечно малая последовательность} + \] + Используя предельный переход в равенстве, имеем + \[ + \liml_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \liml_{n \to \infty} (1 + \alpha_n) = 1 + 0 = 1 + \] + + \item $a < 1$. Теперь $\sqrt[n]{a} < 1$. Но всё равно можно применить тот же трюк: + \[ + \sqrt[n]{a} = \frac{1}{1 + \alpha_n}, \text{ где } \alpha_n > 0 + \] + Тогда получим + \begin{align*} + &a = (1 + \alpha_n)^{-n} \ge 1 - n\alpha_n + \\ + &0 < \alpha_n \le \frac{1 - a}{n} \Ra \liml_{n \to \infty} \alpha_n = 0 + \\ + &\Ra \liml_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \liml_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \alpha_n} = \frac{1}{1 + 0} = 1 + \end{align*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +Считая, что все рациональные степени уже определены, дадим определение $a^x$ в общем случае + +\begin{definition} + $a^x$ при $(\forall x \ge 0)$ определяется как + \begin{enumerate} + \item $a > 1$ + + Введём понятие $(x)_n$: + \[ + (x)_n := \frac{\lfloor10^n \cdot x\rfloor}{10^n} + \] + То есть $(x)_n$ - это число $x$, у которого оставили ровно $n$ знаков после запятой, а остальное удалили. Понятно, что это - рациональное число, и степень $a^{(x)_n}$ определена. + + Заметим, что $\{(x)_n\}$ - неубывающая последовательность. Стало быть, и $\{a^{(x)_n}\}$ - тоже неубывающая. При этом + \[ + (\forall n \in \N)\ (x)_n \le \lceil x \rceil \Ra a^{(x)_n} \le a^{\lceil x \rceil} + \] + То есть, $\{a^{(x)_n}\}$ к тому же и ограниченная сверху. По теореме Вейерштрасса, она имеет предел. Её предел и называют $a^x$: + \[ + a^x := \liml_{n \to \infty} a^{(x)_n} + \] + + \item $a = 1 \Ra a^x = a$ + + \item $0 < a < 1$ + + Определяется через предел как и в случае 1., только теорема Вейерштрасса будет для невозрастающей последовательности. + \end{enumerate} + + Для $x < 0$ определим $a^x$ как + \[ + a^x = \frac{1}{a^{-x}} + \] + + Покажем, что если $x_1 < x_2$, то и $a^{x_1} < a^{x_2}$: + + Начиная с некоторого $N \in \N$, будет в точности выполнено неравенство $(\forall n > N)$ + \[ + (x_1)_n \le x_1 < (x_2)_n \le x_2 + \] + А значит найдутся 2 рациональных числа $r_1 < r_2$ такие, что + \[ + (x_1)_n \le x_1 < r_1 < r_2 < (x_2)_n + \] + Предельный переход даёт неравенство + \[ + a^{x_1} \le a^{r_1} < a^{r_2} \le a^{x_2} + \] + Которое и даёт $a^{x_1} < a^{x_2}$ +\end{definition} + +\begin{lemma} (Корректность определения показательной функции)~ + + $(\forall x \in \R)\ (\forall \{r_n\} \subset \Q,\ \liml_{n \to \infty} r_n = x) \liml_{n \to \infty} a^{r_n} = a^x$ +\end{lemma} + +\begin{proof}~ + + Доказательство проводится для $a > 1$. Для другого случая аналогично. + + Заметим, что обе последовательности $a^{-\frac{1}{n}} - 1$ и $a^{\frac{1}{n}} - 1$ стремятся к нулю. То есть + \[ + (\forall \eps > 0)\ (\exists K \in \N) \max(|a^{-\frac{1}{K}} - 1|, a^{\frac{1}{K}} - 1) < \eps + \] + Докажем, что $\{a^{r_n}\}$ - фундаментальная последовательность. + \[ + a^{r_{n + p}} - a^{r_n} = a^{r_n} \cdot (a^{r_{n + p} - r_n} - 1) + \] + Так как $\{r_n\}$ сходится, то $(\exists M) (\forall n \in \N)\ r_n \le M$. Отсюда + \[ + a^{r_n} \le a^M + \] + Сама $\{r_n\}$ фундаментальна. То есть + \[ + (\forall \eps > 0)\ (\exists N \in \N) (\forall n > N, p \in \N)\ |r_{n + p} - r_n| < \eps \Ra\ \eps := \frac{1}{K},\ -\frac{1}{K} < r_{n + p} - r_n < \frac{1}{K} + \] + Следовательно + \[ + a^{-\frac{1}{K}} - 1 < a^{r_{n + p} - r_n} - 1 < a^{\frac{1}{K}} - 1 + \] + Ну а отсюда уже (перевыбрали окрестность из первого утверждения доказательства) + \[ + |a^{r_{n + p} - r_n} - 1| < \max(|a^{-\frac{1}{K}} - 1|, |a^{\frac{1}{K}} - 1|) < \frac{\eps}{a^M} + \] + В итоге имеем + \[ + |a^{r_n} \cdot (a^{r_{n + p} - r_n} - 1)| < a^{r_n} \cdot \frac{\eps}{a^M} < \eps + \] + Покажем, что у $\{a^{(x)_n}\}$ и $\{a^{r_n}\}$ одинаковые пределы. Для этого рассмотрим последовательность: + \[ + z_n = \System{ + &{r_k,\ n = 2k - 1} + \\ + &{(x)_k,\ n = 2k} + } + \] + По определению предела + \begin{align*} + &(\forall \eps > 0)\ (\exists K_1 \in \N) (\forall k > K_1)\ \left(|r_k - x| < \eps \lra |z_{2k - 1} - x| < \eps\right) + \\ + &(\forall \eps > 0)\ (\exists K_2 \in \N) (\forall k > K_2)\ \left(|(x)_k - x| < \eps \lra |z_{2k} - x| < \eps\right) + \end{align*} + Следовательно + \[ + (\forall \eps > 0)\ (\exists N := 2 \cdot \max(K_1, K_2)) (\forall n > N)\ |z_n - x| < \eps + \] + То есть $\{z_n\}$ - сходящаяся последовательность рациональных чисел. А из доказанного это значит, что существует предел $\liml_{n \to \infty} a^{z_n}$. Но если $\liml_{n \to \infty} a^{r_n} \neq \liml_{n \to \infty} a^{(x)_n}$, то последовательность $\{a^{z_n}\}$ расходится. Отсюда заключаем, что + \[ + (\forall x \in \R)\ (\forall \{r_n\} \subset \Q,\ \liml_{n \to \infty} r_n = x) \liml_{n \to \infty} a^{r_n} = a^x + \] +\end{proof} + +\subsubsection*{Свойства показательной функции} + +\begin{enumerate} + \item $a^{x_1 + x_2} = a^{x_1} \cdot a^{x_2}$ + \item $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$ + \item $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$ +\end{enumerate} + +\begin{proof} + Докажем свойство суммы: + \[ + \System{ + \liml_{n \to \infty} (x_1)_n = x_1 + \\ + \liml_{n \to \infty} (x_2)_n = x_2 + } + \Ra + \liml_{n \to \infty} \left((x_1)_n + (x_2)_n\right) = x_1 + x_2 + \] + При этом + \begin{align*} + \liml_{n \to \infty} a^{(x_1)_n} = a^{x_1} + \\ + \liml_{n \to \infty} a^{(x_2)_n} = a^{x_2} + \end{align*} + Тогда + \[ + \liml_{n \to \infty} a^{(x_1)_n + (x_2)_n} = a^{x_1 + x_2} + \] + Второе свойство доказывается аналогично. + + Третье свойство уже сложнее. Пусть $x, y > 0$, + \begin{align*} + \{r'_n\} - \text{ возрастает к } x + \\ + \{r''_n\} - \text{ убывает к } x + \\ + \{p'_n\} - \text{ возрастает к } y + \\ + \{p''_n\} - \text{ убывает к } y + \end{align*} + Отсюда цепочка неравенств: + \[ + a^{r'_n \cdot p'_n} = (a^{r'_n})^{p'_n} \le (a^x)^{p'_n} \le (a^x)^y \le (a^x)^{p''_n} \le (a^{r''_n})^{p''_n} = a^{r''_n \cdot p''_n} + \] + Пределы обоих концов стремятся к $a^{x \cdot y}$, откуда уже по теореме о трёх последовательностях имеем нужное нам равенство. +\end{proof} + +\begin{theorem} + $a^x$ - непрерывная функция на $\R$ $\forall a \in (0; 1) \cup (1; \infty)$ +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + + $(\forall x_0 \in \R)~a^x - a^{x_0} = a^{x_0}(a^{x - x_0} - 1)$ + + Это значит, что достаточно установить факт + \[ + \liml_{x \to 0} a^x = 1 + \] + Рассмотрим $|x| < \frac{1}{K}$ для произвольного $K$. Тогда + \[ + a^{-\frac{1}{K}} - 1 < a^x - 1 < a^{\frac{1}{K}} - 1 \Ra |a^x - 1| < \max(|a^{-\frac{1}{K}} - 1|, |a^{\frac{1}{K}} - 1|) + \] + При этом + \[ + (\forall \eps > 0)\ (\exists K \in \N) \max(|a^{\frac{1}{K}} - 1|, |a^{-\frac{1}{K}} - 1|) < \eps + \] + Отсюда + \[ + (\forall \eps > 0)\ (\exists \delta := \frac{1}{K}) (\forall x,\ |x| < \delta)\ \ |a^x - 1| < \eps + \] + Что и требовалось доказать. +\end{proof} + +\begin{corollary} (Непрерывность логарифма) + $\log_a x$ - непрерывная функция на $(0; +\infty)$ +\end{corollary} + +\begin{proof} + Будем считать $a > 1$. Начнём с доказательнства, что + \begin{align*} + &\sup\limits_{x \in \R} a^x = +\infty + \\ + &\inf\limits_{x \in \R} a^x = 0 + \end{align*} + Рассмотрим $x \in \N$ и $a = 1 + \alpha\ (\alpha > 0)$. По неравенству Бернулли + \[ + (1 + \alpha)^x \ge 1 + x\alpha + \] + Следовательно, очень просто подобрать $x$ такое, что оно будет больше любого $M$. Отсюда неограниченность сверху. Теперь, посмотрим на значения при отрицательном аргументе: + \[ + (1 + \alpha)^{-x} = \frac{1}{(1 + \alpha)^x} \le \frac{1}{1 + x\alpha} + \] + Отсюда следует инфинум, равный нулю. + + То есть $f((-\infty; +\infty)) = (0; +\infty)$, при этом $f(x) = a^x$ непрерывна и строго монотонна на всей области определения. По теореме об обратной функции \ref{inverse_function} это нам даёт, что $f^{-1}(y) := \log_a (y)$ строго монотонна и непрерывна на $(0; +\infty)$. +\end{proof} + +\begin{theorem} (Второй замечательный предел) \\ + \[ + \liml_{x \to 0} (1 + x)^{1 / x} = e + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Положим $0 < x < 1$. + \[ + n_x := \left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor + \] + \[ + n_x \le \frac{1}{x} < n_x + 1 \Ra \frac{1}{n_x + 1} < x \le \frac{1}{n_x} + \] + Рассмотрим функцию + \[ + f(x) = \left(1 + \frac{1}{n_x}\right)^{n_x + 1} + \] + Положим $x_1 < x_2$. Следовательно + \[ + \frac{1}{x_2} < \frac{1}{x_1} \Ra n_{x_2} \le n_{x_1} \Ra f(x_2) \ge f(x_1) \ge 1 \text{ (в силу последовательности числа Эйлера)} + \] + По теореме Вейерштрасса предел $f(x)$ существует. + + Сделаем замечательное наблюдение: + \[ + f\left(\frac{1}{n}\right) = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \Ra \liml_{n \to \infty} f(1/n) = e + \] + Напишем цепочку неравенств: + \begin{align*} + &(1 + x)^{1 / x} \ge (1 + x)^{n_x} > \left(1 + \frac{1}{n_x + 1}\right)^{n_x} + \\ + &(1 + x)^{1 / x} \le \left(1 + \frac{1}{n_x}\right)^{1 / x} < \left(1 + \frac{1}{n_x}\right)^{n_x + 1} + \end{align*} + Крайняя левая и крайняя правая оценки стремятся к $e$. А значит + \[ + \liml_{x \to 0+} f(x) = e + \] + Осталось доказать левый предел. Сделаем замену $x = -y$: + \begin{multline*} + \liml_{x \to 0-} (1 + x)^{1 / x} = \liml_{y \to 0+} (1 - y)^{-1/y} = \\ + \liml_{y \to 0+} \frac{1}{(1 - y)^{1/y}} = \liml_{y \to 0+} \left(\frac{1}{1 - y}\right)^{1 / y} = \\ + \liml_{y \to 0+} \left(1 + \frac{y}{1 - y}\right)^{1 / y} = \liml_{t \to 0+} (1 + t)^{\frac{1 - t}{t}} = \\ + \liml_{t \to 0+} (1 + t)^{1 / t} \cdot \frac{1}{1 + t} = e \cdot 1 = e + \end{multline*} + По теореме о связи предела с односторонними пределами, в итоге получаем + \[ + \liml_{x \to 0} (1 + x)^{1 / x} = e + \] +\end{proof} + +\begin{lemma} + $\forall a \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$ + \begin{enumerate} + \item $\liml_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ + \item $\liml_{x \to 0} \frac{\log_a (1 + x)}{x} = \frac{1}{\ln a}$ + \item $\liml_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ + \end{enumerate} +\end{lemma} + +\begin{proof}~ + + \begin{enumerate} + \item Введём $g(y)$: + \[ + g(y) = \System{ + &{(1 + y)^{1 / y},\ y \neq 0} + \\ + &{e, y = 0} + } + \] + В силу второго замечательного предела + \[ + \liml_{y \to 0} (1 + y)^{1 / y} = e = g(0) + \] + То есть, $g(y)$ непрерывна в 0. Дополнительно введём $y = f(x) = 1 / x$. Для этой функции есть предел + \[ + \liml_{x \to \infty} f(x) = 0 + \] + По теореме о пределе композиции функций получим + \[ + \liml_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \liml_{x \to \infty} g(f(x)) = g(0) = e + \] + + \item В силу непрерывности логарифма в 1 применим композицию: + \[ + \liml_{x \to 0} \frac{\log_a (1 + x)}{x} = \liml_{x \to 0} \log_a((1 + x)^{1 / x}) = \log_a(\liml_{x \to 0} (1 + x)^{1 / x}) = \log_a e = \frac{1}{\ln a} + \] + + \item Положим $f(x) = a^x - 1$. Если выразить $x$ через $y = f(x)$, то получится + \[ + x = \log_a (y + 1) + \] + А выражение предела получает вид + \[ + \frac{a^x - 1}{x} = \frac{y}{\log_a (y + 1)} + \] + Если подставить в такое выражение $y = 0$, то мы получим неопределённость. Это можно исправить, определив $g(y)$ как + \[ + g(y) := \System{ + &{\frac{y}{\log_a (y + 1)},\ y \neq 0} + \\ + &{\ln a,\ y = 0} + } + \] + Посчитаем предел + \[ + \liml_{y \to 0} g(y) = \liml_{y \to 0} \frac{1}{\frac{1}{g(y)}} = \liml_{y \to 0} \frac{1}{\frac{\log_a (y + 1)}{y}} = \frac{1}{\frac{1}{\ln a}} = \ln a + \] + То есть $g(y)$ непрерывно в 0. При этом + \[ + \liml_{x \to 0} f(x) = 1 - 1 = 0 + \] + По теореме о композиции функций получим + \[ + \liml_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \liml_{x \to 0} g(f(x)) = g(0) = \ln a + \] + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsubsection*{Гиперболические функции} + +\begin{definition} + \begin{align*} + &{\sh x := \frac{e^x - e^{-x}}{2} - \text{ гиперболический синус}} + \\ + &{\ch x := \frac{e^x + e^{-x}}{2} - \text{ гиперболический косинус}} + \\ + &{\th x := \frac{\sh x}{\ch x}} + \\ + &{\cth x := \frac{\ch x}{\sh x}} + \end{align*} +\end{definition} + +Все гиперболические функции непрерывны на своих областях определения. + +\subsubsection*{Свойства гиперболических функций} + +\begin{enumerate} + \item $\ch^2 x - \sh^2 x = 1$ - основное гиперболическое тождество + \item $\ch^2 x + \sh^2 x = \ch 2x$ + \item $2 \cdot \sh x \cdot \ch x = \sh 2x$ +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Обратные функции} + +\[ + y = \sh x \lra x = \Arsh y +\] +В этом нет смысла, так как можно решить уравнение явно +\[ + y = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \lra e^{2x} - 2ye^x - 1 = 0 \lra x = \ln (y + \sqrt{y^2 + 1}) +\] + +\begin{addition} + $\liml_{x \to 0} \frac{\sh x}{x} = \liml_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \liml_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} - \frac{e^{-x} - 1}{2z} = \frac{1}{2} + \liml_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{2t} = 1$ +\end{addition} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/13lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/13lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..4cbc2ad7 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/13lecture.tex @@ -0,0 +1,401 @@ +\subsection{Сравнение функций} + +\begin{definition} + Пусть $f(x) = \lambda(x) \cdot g(x)$ справедливо в некоторой + проколотой окрестности точки $x_0$. + \begin{enumerate} + \item Если $\lambda(x)$ ограничена в + этой проколотой окрестности, то + $f(x) = O(g(x))$ при $x \to x_0$ + + \item Если $\liml_{x \to x_0} \lambda(x) = 0$, + то $f(x) = o(g(x))$ при $x \to x_0$ + + \item Если $\liml_{x \to x_0} \lambda(x) = 1$, + то $f(x) \sim g(x)$ при $x \to x_0$. ($f$ эквивалентно $g$) + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{theorem} + Другое определение. Если $g(x) \neq 0$ в некоторой проколотой + окрестности точки $x_0$, то + \begin{enumerate} + \item $\frac{f(x)}{g(x)}$ ограничена в + некоторой проколотой окрестности $x_0$, то + $f(x) = O(g(x))$ при $x \to x_0$ + + \item $\liml_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$, то + $f(x) = o(g(x))$ при $x \to x_0$ + + \item $\liml_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$, то + $f(x) \sim g(x)$ при $x \to x_0$ + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Положим $\lambda(x) := \frac{f(x)}{g(x)}$. А дальше всё уже следует из сказанного выше. +\end{proof} + +\begin{examples}~ + \begin{enumerate} + \item $\sin x \cdot \sin \frac{1}{x} = + O(\sin \frac{1}{x})$ при $x \to 0$. + + \item $x \cdot \sin \frac{1}{x} + = o(\sin \frac{1}{x})$ при $x \to 0$. + + \item $\sin x \cdot \sin \frac{1}{x} + \sim x \cdot \sin \frac{1}{x}$ при $x \to 0$. + \end{enumerate} +\end{examples} + +\begin{theorem} (Связь эквивалентных и б.м.) + $f(x) \sim g(x)$ при $x \to x_0 \lra f(x) = g(x) + + o(g(x))$ при $x \to x_0$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Необходимость $(\Ra)$. Положим $f(x) \sim g(x)$ при $x \to x_0$. Тогда + \[ + f(x) = \lambda(x) \cdot g(x),\ \liml_{x \to x_0} \lambda(x) = 1 \Ra + \] + \[ + f(x) - g(x) = (\lambda(x) - 1) \cdot g(x),\ \liml_{x \to x_0} (\lambda(x) - 1) = 0 \Ra f(x) - g(x) = o(g(x)) + \] + Достаточность доказывается аналогично. +\end{proof} + +\begin{theorem} (Использование эквивалентных при вычислении пределов) + + Если $f_1(x) \sim f_2(x)$ и $g_1(x) \sim + g_2(x)$ при $x \to x_0$ , то + \[ + \liml_{x \to x_0} f_1(x) \cdot g_1(x) = + \liml_{x \to x_0} f_2(x) \cdot g_2(x) + \] + А также + \[ + \liml_{x \to x_0} \frac{g_1(x)}{f_1(x)} = + \liml_{x \to x_0} \frac{g_2(x)}{f_2(x)} + \] + при условии, что хотя бы один из пределов в + каждом равенстве существует +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + + Из условия следует: $f_1(x) = \lambda_1(x) \cdot f_2(x)$ и + $g_1(x) = \lambda_2(x) \cdot g_2(x)$ + + \[ + f_1(x) \cdot g_1(x) = \lambda_1(x) \cdot \lambda_2(x) \cdot + g_2(x) \cdot f_2(x) \Ra + \] + \[ + \liml_{x \to x_0} \left(f_1(x) \cdot g_1(x)\right) = + \liml_{x \to x_0} \left(\lambda_1(x) \cdot \lambda_2(x) \cdot + g_2(x) \cdot f_2(x)\right) = \liml_{x \to x_0} + \left(f_2(x) \cdot g_2(x)\right) + \] + + Для дробей доказательство аналогично. +\end{proof} + +\begin{proposition} + \[ + \sin x \sim \tg x \sim (e^x - 1) \sim \ln(1 + x) + \sim \sh x \sim \th x \sim \arcsin x \sim \arctg x + \sim x,\ x \to 0 + \] + \[ + \sh x := \frac{e^x - e^{-x}}{2};\ + \ch x := \frac{e^x + e^{-x}}{2};\ + \th x := \frac{\sh x}{\ch x};\ + \cth x := \frac{\ch x}{\sh x} + \] + \[ + \ch^2 x - \sh^2 x = 1;\ \sh(2x) = 2 \sh x \ch x; + \ \ch(2x) = \ch^2 x + \sh^2 x + \] +\end{proposition} + +%\begin{note} +% Мы можем писать $o(f) = O(f)$ и подобное, подразумевая, что на самом деле мы рассматриваем некоторое $g = o(f)$ +%\end{note} + + +\begin{definition} + Если $f = O(g)$ и $g = O(f)$ при $x \to x_0$, + то говорят, что $f \asymp g$ +\end{definition} + + +\section{Дифференциальное исчисление функций одной переменной} + +\subsection{Производная} + +\begin{definition} + Пусть $y = f(x)$ определена в некоторой окрестности + точки $x_0 \in \R$. + + \textit{Приращением} $\Delta y$ этой функции в + точке $x_0$, отвечающим приращению аргумента + $\Delta x$, называется $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. + + \textit{Производной} функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ называется предел (если он существует и конечен) + \[ + \liml_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \liml_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} =: f'(x_0) + \] +\end{definition} + +\begin{theorem} \label{diff_function_to_cont} + Если функция имеет производную в точке $x_0$, + то она непрерывна в этой точке. +\end{theorem} + +\begin{proof} + По условию, + \[ + \liml_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = + f'(x_0) + \alpha(x),\ \liml_{x \to x_0} \alpha(x) = 0 + \] + Следовательно, + \[ + f(x) - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) + \alpha(x)(x - x_0) + \] + при $x \to x_0$. Перенесём $f(x_0)$ в другую сторону + и в предельном переходе получим, что + \[ + \liml_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) + 0 + 0 = f(x_0) + \] +\end{proof} + +\begin{theorem} (Арифметические операции и производные) + Если $\exists f'(x_0)$ и $g'(x_0)$, то + \begin{enumerate} + \item $\exists (f \pm g)'(x_0) = f'(x_0) \pm g'(x_0)$ + + \item $\exists (f \cdot g)'(x_0) = + f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0)$ + + \item Если $g(x_0) \neq 0$, то + $\exists \left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = + \frac{f'(x_0) \cdot g(x_0) - f(x_0) \cdot g'(x_0)}{g^2(x_0)}$ + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item + \[ + f'(x_0) = \liml_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0},\ + g'(x_0) = \liml_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} + \] + Отсюда + \[ + \liml_{\Delta x \to 0} + \frac{\Delta (f(x) \pm g(x))}{\Delta x} = + \liml_{x \to x_0} \frac{(f(x) \pm g(x)) - + (f(x_0) \pm g(x_0))}{x - x_0} = \liml_{x \to x_0} + \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \pm \liml_{x \to x_0} + \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} + \] + + \item Аналогично первому, + \begin{multline*} + \liml_{x \to x_0} \frac{(f \cdot g)(x) - (f \cdot g)(x_0)}{x - x_0} = + \liml_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x)}{x - x_0} =\\ + = \liml_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x)}{x - x_0} + + \liml_{x \to x_0} \frac{f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x_0)}{x - x_0} = \\ + = \liml_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot g(x) + f(x_0) + \cdot \liml_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} + \end{multline*} + Что в предельном переходе даёт + \[ + f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0). + \] + + \item Аналогично первому и второму, + \begin{multline*} + \liml_{x \to x_0} \frac{(\frac{f}{g})(x) - + (\frac{f}{g})(x_0)}{x - x_0} = + \liml_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x_0) - f(x_0)g(x)}{g(x)g(x_0)(x - x_0)} =\\ + = \liml_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x_0) - f(x_0)g(x_0)}{g(x)g(x_0)(x - x_0)} + + \liml_{x \to x_0} \frac{f(x_0)g(x_0) - f(x_0)g(x)}{g(x)g(x_0)(x - x_0)} + \end{multline*} + В предельном переходе получим + \[ + \frac{g(x_0)f'(x_0)}{g^2(x_0)} - \frac{f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)} + \] + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{theorem} (Производные основных элементарных функций) + Для всех $x_0$ из областей определения соответствующих + функций справедливы равенства: + \begin{enumerate} + \item $(\sin x)' \big|_{x = x_0} = \cos x_0$ + \item $(\cos x)' \big|_{x = x_0} = -\sin x_0$ + \item $(\tg x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{\cos^2 x_0}$ + \item $(\ctg x)' \big|_{x = x_0} = -\frac{1}{\sin^2 x_0}$ + \item $(x^b)' \big|_{x = x_0} = b \cdot x_0^{b - 1}\ (x > 0)$ + \item $(b^x)' \big|_{x = x_0} = b^{x_0} \ln b$ + \item $(\sh x)' \big|_{x = x_0} = \ch x_0$ + \item $(\ch x)' \big|_{x = x_0} = \sh x_0$ + \item $(\th x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{\ch^2 x_0}$ + \item $(\cth x)' \big|_{x = x_0} = -\frac{1}{\sh^2 x_0}$ + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Рутинно + \begin{enumerate} + \item + $\liml_{x \to x_0} \frac{\sin x - \sin x_0}{x - x_0} = + \liml_{x \to x_0} \frac{2 \sin \frac{x - x_0}{2} + \cos \frac{x + x_0}{2}}{x - x_0} = + \left[\sin \frac{x - x_0}{2} \sim \frac{x - x_0}{2},\ x \to x_0\right] + = \liml_{x \to x_0} \cos \frac{x + x_0}{2} = \cos x_0$ + + \item + $\liml_{x \to x_0} \frac{\cos x - \cos x_0}{x - x_0} = + \liml_{x \to x_0} \frac{-2 \sin \frac{x - x_0}{2} + \sin \frac{x + x_0}{2}}{x - x_0} = + \liml_{x \to x_0} (-\sin \frac{x + x_0}{2}) = -\sin x_0$ + + \item Аналогично + \item Аналогично + + \item + \begin{multline*} + \liml_{x \to x_0} \frac{x^b - x_0^b}{x - x_0} = + x_0^b \liml_{x \to x_0} \frac{\left(\frac{x}{x_0}\right)^b - 1}{x - x_0} = \\ + = x_0^b \liml_{x \to x_0} \frac{e^{b \ln \frac{x}{x_0}} - 1}{x - x_0} = + \left[e^{b \ln \frac{x}{x_0}} - 1 \sim + b \ln \frac{x}{x_0},\ x \to x_0\right] = + x_0^b \liml_{x \to x_0} \frac{b \ln \frac{x}{x_0}}{x - x_0} = \\ + = x_0^b \cdot b \cdot \liml_{x \to x_0} + \frac{\ln(1 + \frac{x - x_0}{x_0})}{x - x_0} = + \left[\ln \left(1 + \frac{x - x_0}{x_0}\right) \sim + \frac{x - x_0}{x_0},\ x \to x_0\right] = + x_0^b \cdot b \cdot \liml_{x \to x_0} \frac{x - x_0}{x_0(x - x_0)} + = b \cdot x_0^{b - 1} + \end{multline*} + + \item + \[ + \liml_{x \to x_0} \frac{b^x - b^{x_0}}{x - x_0} = + b^{x_0} \liml_{x \to x_0} \frac{e^{(x - x_0)\ln b } - 1}{x - x_0} = + \left[ e^{(x - x_0)\ln b} - 1 \sim (x - x_0)\ln b,\ x \to x_0 \right] = + b^{x_0} \cdot \ln b + \] + + \item + \[ + (\sh x)' \big|_{x = x_0} = + \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)' = + \frac{1}{2}\left(e^{x_0} - + \left(\frac{1}{e^x}\right)'\right) = + \frac{1}{2}\left(e^{x_0} - \frac{-e^{x_0}}{e^{2a}}\right) = + \frac{e^{x_0} + e^{-x_0}}{2} = \ch x_0 + \] + + \item Аналогично + \item Аналогично + + \item + $(\cth x)' \big|_{x = x_0} = + \left(\frac{\ch x}{\sh x}\right)' = + \frac{(\ch x)' \cdot \sh x_0 - \ch x_0 \cdot + (\sh x)'}{\sh^2 x_0} =\frac{\sh^2 x_0 - \ch^2 x_0}{\sh^2 x_0} = + -\frac{1}{\sh^2 x_0}$ + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{theorem} \label{inverse_function_derivative} + (Производная обратной функции) + Если $f(x)$ непрерывна и строго монотонна на + $[x_0 - \delta,\ x_0 + \delta],\ \delta > 0$ и $\exists f'(x_0) \neq 0$, + то обратная функция $f^{-1}$ имеет производную в точке + $f(x_0)$, равную + \[ + (f^{-1})'(f(x_0)) = \frac{1}{f'(x_0)} + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Во первых, обратная функция определена, непрерывна и + строго монотонна на интервале $f([x_0 - \delta,\ x_0 + \delta])$ по + теореме об обратной функции \ref{inverse_function}. + Для краткости обозначим $\varphi = f^{-1}$. Для определённости + будем считать $f$ - возрастающей функцией. Тогда $\varphi$ + определена на $y \in [f(x_0 - \delta); f(x_0 + \delta)],\ y_0 = f(x_0)$. + По определению производной, нам надо найти предел + \[ + \liml_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta \varphi(y_0)}{\Delta y} + \] + $\varphi$ непрерывна в т. $y_0 \Ra + \liml_{\Delta y \to 0} \Delta \varphi(y_0) = 0$ + по теореме о непрерывности функции, имеющей производную в точке + \ref{diff_function_to_cont}. $\varphi$ возрастает и + $\Delta y \neq 0 \Ra \Delta \varphi(y_0) \neq 0$. Тогда пусть + \[ + \Delta x := \Delta \varphi(y_0) = + \varphi(y_0 + \Delta y) - \varphi(y_0) + \] + Тогда + \[ + \varphi(y_0 + \Delta y) = \varphi(y_0) + \Delta x = + x_0 + \Delta x \Ra y_0 + \Delta y = f(x_0 + \Delta x) + \] + То есть + \[ + f(x_0 + \Delta x) - y_0 = y_0 + \Delta y - y_0 = \Delta y + \] + Отсюда исходный предел выражается как + \[ + \frac{\varphi(y_0 + \Delta y) - + \varphi(y_0)}{\Delta y} = + \frac{\Delta x}{\Delta y} = + \frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = + \underset{\Delta x \to 0}{\to} + \frac{1}{f'(x_0)} + \] + \[ + \liml_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta \varphi(y_0)}{\Delta x}= + \liml_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = + \frac{1}{f'(x_0)} + \] +\end{proof} + +\begin{anote} + Возможно, корректность подмены + $\Delta y$ на $\Delta x$ в последнем переходе + неочевидна для читателя. В таком случае обратим внимание + на то, что справедливость этого преобразования следует + из определения предела по Гейне: + \begin{align*} + & \left(\forall \{\Delta x_n\} + \subset [- \delta,\ \delta] \bs \{0\}\ \liml_{n \to \infty} \Delta x_n = 0\right) + \ \liml_{n \to \infty} f(\Delta x_n) = A\\ + & \left(\forall \{\Delta y_n\} + \subset f([- \delta,\ \delta]) \bs \{0\}\ \liml_{n \to \infty} \Delta y_n = 0\right) + \ \liml_{n \to \infty} f(\Delta y_n) = B + \end{align*} + Из определения $\Delta x$ в доказательстве ясно, что + $\liml_{\Delta y \to 0} \Delta x = 0$ (это верно в силу непрерывности + $\varphi$ и $f$). Тогда скажем, что $\Delta x$ --- это функция от + $\Delta y$. + \begin{align*} + & \left(\forall \{\Delta y_n\} + \subset f([- \delta,\ \delta]) \bs \{0\}\ + \liml_{n \to \infty} \Delta y_n = 0\right) + \ \liml_{n \to \infty} \Delta x(\Delta y_n) = 0 + \end{align*} + Осталось только заменить в изначальном определении $\Delta y_n$ + на $\Delta x_n$, где $\Delta x_n = \Delta x(\Delta y_n)$. + Выполнив данное действие, мы увидим, что $A = B$, то есть мы + совершенно безнаказанно заменили $\Delta y$ на $\Delta x$ + внутри предела (читатель может убедиться собственноручно, + что так же справедлива замена $\Delta x$ на $\Delta y$). +\end{anote} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/14lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/14lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..e9e0fd5f --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/14lecture.tex @@ -0,0 +1,397 @@ +\begin{corollary} (Производные обратных тригонометрических и логарифмических функций) + Для всех $x_0$ из интервалов, входящих в область определения, справедливы равенства: + \begin{align*} + &(\arcsin x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - x_0^2}} + \\ + &(\arccos x)' \big|_{x = x_0} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x_0^2}} + \\ + &(\arctg x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{1 + x_0^2} + \\ + &(\arcctg x)' \big|_{x = x_0} = -\frac{1}{1 + x_0^2} + \\ + &(\log_b x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{x_0 \cdot \ln b},\ b \in (0; 1) \cup (1; +\infty) + \end{align*} +\end{corollary} + +\begin{proof} + \[ + (\arcsin x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{(\sin y) \big|_{y = \arcsin x_0}} = \frac{1}{\cos(\arcsin x_0)} + \] + Так как $\arcsin x_0 \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то + \[ + (\arcsin x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(\arcsin x_0)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x_0^2}} + \] + + \[ + (\arctg x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{(\tg y)' \big|_{y = \arctg x_0}} = \cos^2 (\arctg x_0) = \frac{1}{\tg^2 (\arctg x_0) + 1} = \frac{1}{1 + x_0^2} + \] + С $\arcctg$ и $\arccos$ аналогично. + \[ + (\log_b x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{(b^y)' \big|_{y = \log_b x_0}} = \frac{1}{b^{\log_b x_0} \cdot \ln b} = \frac{1}{x_0 \cdot \ln b} + \] +\end{proof} + +\begin{note} + Предположение непрерывности функции в окрестности точки $x_0$ существенно. +\end{note} + +\begin{example} + Определим $y = f(x)$ как + \[ + f\left(\frac{1}{n}\right) = f\left(\frac{1}{n} + 0\right) := \frac{1}{2n - 1},\ \forall n \in \N + \] + При этом + \[ + f\left(\frac{1}{n} - 0\right) := \frac{1}{2n} + \] + А также + \[ + \System{ + &{f(0) := 0} + \\ + &{f(-x) := -f(x)} + \\ + &{f \text{ линейна на } \bigg[\frac{1}{n}; \frac{1}{n - 1}\bigg)}\ \forall n \in \N + } + \] + %%% Здесь нужен график функции. 11я лекция 2019 года 56:05 + Сузим данную функцию на отрезок $[-1; 1]$ и посчитаем её производную в нуле: + + В силу нечётности достаточно посмотреть предел $\liml_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Рассмотрим такое $\Delta x$, что + \[ + \Delta x \in \bigg[\frac{1}{n}; \frac{1}{n - 1}\bigg) + \] + Оценим дробь предела: + \[ + \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(\Delta x)}{\Delta x} + \] + Так как $f$ линейна на полуинтервале, то + \[ + \frac{n - 1}{2n - 1} = \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n - 1}} < \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)}{\Delta x} < \frac{f(\Delta x)}{\Delta x} < \frac{f\left(\frac{1}{n - 1} - 0\right)}{\Delta x} < \frac{f\left(\frac{1}{n - 1} - 0\right)}{\frac{1}{n}} = \frac{n}{2n - 2} + \] + Обе оценки стремятся к $\frac{1}{2}$. Стало быть + \[ + \liml_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \liml_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(0) = \frac{1}{2} + \] + При этом функция на $[-1; 1]$ непрерывной не является. Посмотрим на образ этого отрезка: + \[ + f([-1; 1]) = [-1; 1] \bs \bigcup\limits_{n = 1}^\infty \left(\bigg[\frac{1}{2n}; \frac{1}{2n - 1}\bigg) \cup \bigg(-\frac{1}{2n - 1}; -\frac{1}{2n}\bigg]\right) + \] + Это же множество будет являться областью определения обратной функции. Но как видно из записи, образ $[-1; 1]$ не включает в себя ни одну окрестность нуля $\Ra$ обратная функция не имеет окрестности нуля, в которой она всюду определена и потому не имеет производной в нуле. +\end{example} + +\subsection{Дифференцируемость} + +\begin{definition} + Пусть $f$ определена в $U(x_0)$, тогда функция $y = f(x)$ называется \textit{дифференцируемой} в точке $x_0 \in \R$, если её приращение, отвечающее приращению аргумента $\Delta x$, в этой точке может быть записано в виде + \[ + \Delta y = A\Delta x + o(\Delta x),\ \Delta x \to 0 + \] + где $A \in \R$. + + Выражение $A\Delta x$ называется \textit{дифференциалом} функции $y = f(x)$ в точке $x_0$. Обозначается как $dy := A \Delta x$ +\end{definition} + +\begin{theorem} + (Дифференцируемость и производная) Функция $y = f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда она имеет производную в этой точке. При этом $A$ в точности равно $f'(x_0)$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $f$ дифференцируема в точке $x_0$. То есть + \[ + \Delta y = A \Delta x + o(\Delta x),\ \Delta x \to 0 + \] + Так как функция определена в окрестности нуля, то мы можем записать + \[ + \frac{\Delta y}{\Delta x} = A + o(1),\ \Delta x \to 0 + \] + Отсюда имеем + \[ + \liml_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A = f'(x_0) + \] + В обратную сторону доказывается аналогично. +\end{proof} + +\begin{corollary}~ + \begin{itemize} + \item Если $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то она непрерывна в точке $x_0$. + + \item Если $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то $df(x_0) = f'(x_0) \Delta x$ + + \item Если $f, g$ дифференцируемы в точке $x_0$, то $f \pm g, fg, \frac{f}{g}$(если $g'(x_0) \neq 0$) дифференцируемы в точке $x_0$ и равны $(f'(x_0) \pm g'(x_0))\Delta x, (f(x_0)g'(x_0) + g(x_0)f'(x_0))\Delta x, \frac{f'(x_0)g(x_0) - f(x_0)g'(x_0)}{g(x_0)^2}\Delta x$ соответственно + + В частности $dx = 1 \Delta x$, отсюда обозначение $\Delta x = dx$ + + Если $y = f(x)$, то $dy = df(x) = f'(x)dx \Ra f'(x) = \frac{dy}{dx}$ + \end{itemize} +\end{corollary} + +\begin{note} + Первое следствие верно лишь в одну сторону +\end{note} + +\begin{example} + $y = |x|$. Тогда если рассмотреть $x_0 = 0$ + $\liml_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0,\ \Delta y = |\Delta x|$ + При этом рассмотрим односторонние пределы: + \begin{align*} + \liml_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \liml_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1 + \\ + \liml_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \liml_{\Delta x \to 0-} -\frac{\Delta x}{\Delta x} = -1 + \end{align*} +\end{example} + +\begin{note} + Если смотреть предел производной лишь с одной стороны, то можно говорить о правосторонней и левосторонней производной. +\end{note} + +\begin{example} + \[ + y = \System{&{x \sin \frac{1}{x},\ x \neq 0} \\ &{0,\ x = 0}} + \] + Здесь предела в точке 0 нет вообще + \[ + \liml_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \liml_{\Delta x \to 0} \sin \frac{1}{\Delta x} + \] +\end{example} + +\begin{theorem} (Дифференцируемость сложной функции) + Если $v = f(y)$ дифференцируема в точке $g(x_0)$, функция $y = g(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то композиция $u = h(x) = f(g(x))$ дифференцируема в точке $x_0$, причём $h'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)$ +\end{theorem} + +\begin{proof} + Выпишем всё, что нам даёт условие: + \begin{align*} + &{\Delta u = f'(g(x_0))\Delta y + o(\Delta y),\ \Delta y \to 0} + \\ + &{\Delta u = f(g(x_0) + \Delta y) - f(g(x_0))} + \\ + &{\Delta y = g'(x_0)\Delta x + o(\Delta x),\ \Delta x \to 0} + \\ + &{\Delta y = g(x_0 + \Delta x) - g(x_0)} + \end{align*} + Сразу отметим то, что если $\Delta x \to 0$, то и $\Delta y \to 0$. Это следует, например, из третьей строки. Значит, $o(\Delta y)$ является также и $o(\Delta x)$: если $\alpha = o(\Delta y(\Delta x))$, то её можно записать как + \[ + \alpha(\Delta y(\Delta x)) = \lambda(\Delta x) \cdot \Delta y(\Delta x) = \lambda(\Delta x) \cdot (g'(x_0) + o(1))\Delta x + \] + + При этом $\lambda(\Delta x) \cdot (g'(x_0) + o(1)) \xrightarrow[\Delta x \to 0]{} 0$ Значит, $\alpha = o(\Delta x)$. + + Подставим во вторую строку четвёртую. Получим следующее утверждение: + \[ + \Delta u = f(g(x_0) + g(x_0 + \Delta x) - g(x_0)) - f(g(x_0)) = h(x_0 + \Delta x) - h(x_0) = \Delta h, \Delta x \to 0 + \] + Подставим теперь в первую строку третью и получим нужный результат: + \[ + \Delta h = \Delta u = f'(g(x_0))g'(x_0) \cdot \Delta x + \underbrace{f'(g(x_0)) \cdot o(\Delta x) + o(\Delta y)}_{o(\Delta x)},\ \Delta x \to 0 + \] +\end{proof} + +\begin{corollary} (Инвариантность формы первого дифференциала) + Формула для дифференциала $dy = f'(x_0)dx$ справедлива как в случае, когда $x$ - независимая переменная, так и в случае, когда $x$ является функцией от другой переменной. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $x = g(t), y = f(x)$. Тогда + \[ + y = f(x) = f(g(t)) =: h(t) + \] + Положим $x_0 = g(b)$. + \begin{align*} + &h'(b) = f'(x_0) \cdot g'(b) + \\ + &dx = g'(b)dt + \end{align*} + Распишем $dy$: + \[ + dy = h'(b) \cdot dt = f'(x_0) \cdot g'(h) dt = f'(x_0) dx + \] +\end{proof} + +\begin{definition} + Если $x = \phi(t), y = \psi(t), x_0 < t < b$, причём $\psi, \phi$ дифференцируемы на $(x_0, b)$ и $\phi(t)$ строго монотонна на $(x_0, b)$, тогда определена функция $y = f(x)$, которая называется \textit{функцией, заданной параметрически.} +\end{definition} + +\begin{theorem} + Функция, заданная параметрически, $y = f(x)$(где $y = \psi(t), x = \phi(t), x_0 < t < b$) дифференцируема в точке $t_0$, если $\phi'(t_0) \neq 0$, причём $f'(x_0) = \frac{\psi'(t_0)}{\phi'(t_0)}$, где $x_0 = \phi(t_0)$ +\end{theorem} + +\begin{proof} + По теореме о существовании обратной функции \ref{for_back} $\Ra \exists \phi^{-1}$ + \[ + t = \phi^{-1}(x) + \] + Тогда из + \[ + y = f(\phi(t)) = \psi(t) + \] + Следует + \[ + f(x) = \psi(\phi^{-1}(x)) + \] + По теореме о производной обратной функции \ref{inverse_function_derivative} + $\exists (\phi^{-1})'(x_0)$, а значит + \[ + f'(x_0) = \psi'(t_0)(\phi^{-1})'(x_0) = \frac{\psi'(t_0)}{\phi'(t_0)} + \] + Существование производной в точке влечёт за собой дифференцируемость в точке +\end{proof} + +\begin{definition} + \textit{Графиком} функции $y = f(x), x \in I \subset \R$ называется множество $\{(x, y): x \in I \wedge y = f(x)\} \in \R^2$. + + Для функции $f$, определённой на $U_{\delta_0}(x_0)$, \textit{секущей} её графика называется прямая, проходящая через точки $(x_0, f(x_0))$ и $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$, где $0 < \Delta x < \delta_0$. Её угловой коэффициент обозначается через $k$, если $\exists \liml_{\Delta x \to 0}k \in \overline{\R} = l$, то этот предел называется угловым коэффициентом касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, f(x_0))$. + + \textit{Касательной} к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0; f(x_0))$ называется прямая, проходящая через точку $(x_0, f(x_0))$ с угловым коэффициентом $l$, то есть прямая $y - f(x_0) = l(x - x_0)$, а для $l \in \overline{\R} \setminus \R$ это будет $x = x_0$ +\end{definition} + +\begin{proposition} + Касательная - это предельное положение секущей +\end{proposition} + +\begin{proof} + Уравнение секущей имеет вид + \[ + \frac{y - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} + \] + То есть + \[ + y - f(x_0) = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} (x - x_0) + \] + В пределе это выражение принимает вид + \[ + y - f(x_0) = l(x - x_0) + \] + Для бесконечного $l$ можно переписать равенство в виде + \[ + x - x_0 = \liml_{\Delta x \to 0} \frac{y - f(x_0)}{\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}} = 0 \lra x = x_0 + \] +\end{proof} + +\begin{definition} + Если предел $\liml_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = +\infty$ или $-\infty$ и $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, то будем говорить, что $f'(x_0)$ равна $+\infty$ или $-\infty$ соответственно. +\end{definition} + +\begin{example} + $f(x) = \sqrt[3]{x}$. Посчитаем $f'(0)$: + \[ + f'(0) = \liml_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt[3]{\Delta x}}{\Delta x} = \liml_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{(\Delta x)^2}} = +\infty + \] +\end{example} + +\begin{example} + $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$. Если посмотреть на график, то касательная в нуле вроде есть. Но предел будет + \[ + \liml_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \infty + \] + Что не соответсвует нашему определению. +\end{example} + +\begin{theorem} (Геометрический смысл производной и дифференциала) + Пусть $f(x)$ непрерывна в некоторой окрестности точки $x_0$. Тогда, касательная к графику $y = f(x)$ в точке $(x_0; f(x_0))$ существует тогда и только тогда, когда существует предел $\liml_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \in \overline{\R}$. + + При этом уравнение касательной в случае дифференцируемости в точке $x_0$: + \[ + y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \] + В случае бесконечной производной в точке $x_0$: + \[ + x = x_0 + \] + + Дифференциал представляет приращение ординаты касательной, соответствующее приращению $\Delta x$. +\end{theorem} + +\begin{center} + \begin{tikzpicture}[scale=1] + % Axis + \coordinate (y) at (0,5); + \coordinate (x) at (6,0); + \draw[<->, style={thick}] (y) node[above] {$y$} -- (0,0) -- (x) node[right] {$x$}; + \draw (-0.4,0) -- (0,0) -- (0,-0.4); + + \path + coordinate (start) at (1,2) + coordinate (c) at (2.8,1.1) + coordinate (top) at (4.2,3.9); + + \draw[style={thick}] plot [smooth, tension=0.9] coordinates {(start) (c) (top)}; + + \draw[style={dashed}] (c) -- (2.8,0) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={below:$x_0$}] {}; + \draw[style={dashed}] (5.2, 1.1) -- (0,1.1) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={left:$f(x_0)$}] {}; + \draw[style={dashed}] (3.5, 2) -- (0,2) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={left:$f(x)$}] {}; + \draw[style={dashed}] (3.5, 2) -- (3.5,0) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={below:$x$}] {}; + + \filldraw [black] (3.5, 2) circle (1.2pt); + \filldraw [black] (c) circle (1.2pt); + + \draw (2.1, 0.2) -- (4.2, 2.9); + \draw[<->] (2.8, 0.4) -- (3.5, 0.4); + \draw[<->] (0.35, 1.1) -- (0.35, 2); + \draw[<->] (3.5, 1.1) -- (3.5, 1.45); + \draw (c) -- (5.2, 2.3); + \draw (c) -- (1.6, 0.5); + \draw (top) (3.15, 0.4) node[above] {$\Delta x$}; + \draw (top) (0.35, 1.5) node[right] {$\Delta y$}; + \draw (top) (3.5, 1.3) node[right] {$dy$}; + + \draw (top) node[below right, black] {$y = f(x)$}; + + \coordinate (x_0) at (5.2, 1.1); + \coordinate (m) at (5.2, 2.3); + \pic [draw, angle radius = 1.5cm] {angle = x_0--c--m}; + \draw (4.6, 1.4) node {$\alpha$}; + \end{tikzpicture} +\end{center} + +\subsection{Производные и дифференциалы высших порядков} + +\begin{definition} + Пусть $f'(x)$ определена в некоторой окрестности + $(x_0 - \delta,\ x_0 + \delta)$. Если существует её + производная в точке $x_0$, то она называется + \textit{производной второго порядка} $f$ в точке $x_0$: + \[ + f''(x_0) := (f'(x))' \big|_{x = x_0} + \] + Индуктивно определяется так: + \begin{align*} + &f^{(0)}(x_0) := f(x_0) + \\ + &f^{(n)}(x_0) := (f^{(n - 1)}(x))' \big|_{x = x_0} + \end{align*} +\end{definition} + +\begin{note} + $f^{(0)}(x) = f(x), f^{(1)}(x) = f'(x), f^{(2)}(x) = f''(x), f^{(3)}(x) = f'''(x)$ +\end{note} + +\begin{example} + \begin{align*} + &{(\sin x)' = \cos x} + \\ + &{(\cos x)' = -\sin x} + \\ + &{(-\sin x)' = \cos x} + \\ + \vdots + \end{align*} + Несложно понять, что + \[ + (\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac{n\pi}{2}),\ n \in \N \cup \{0\} + \] + Доказательство по индукции + \[ + (\sin x)^{(n + 1)} = \left((\sin x)^{(n)}\right)' = \left(\sin(x + \frac{n\pi}{2})\right)' = \cos(x + \frac{n\pi}{2}) = \sin\left(x + \frac{(n + 1)\pi}{2}\right) + \] +\end{example} + +\begin{definition} + $n!\ :=\ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot + \ldots \cdot n,\ n \in \N,\ 0! := 1$ +\end{definition} + +\begin{definition} + $C_n^k := \frac{n!}{k!(n - k)!},\ + 0 \le k \le n,\ n; k \in \N \cup \{0\}$ +\end{definition} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/15lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/15lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..c4bbf724 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/15lecture.tex @@ -0,0 +1,520 @@ + +\begin{definition} + $C_{\alpha}^n = \frac{\alpha!}{n! \cdot (\alpha - n)!} = + \frac{\alpha \cdot (\alpha - 1) \cdot \ldots \cdot + (\alpha - n + 1)}{n!},\ n \in \N,\ \alpha \in \R$ +\end{definition} + +\begin{note} + Биномиальный коэффициент таким образом определён для + \textit{любого вещественного $\alpha$}. +\end{note} + +\begin{lemma} + Для вещественного биномиального коэффициента справедливо + свойство треугольника Паскаля: + \[ + C_\alpha^n + C_\alpha^{n - 1} = C_{\alpha + 1}^n + \] +\end{lemma} + +\begin{proof} + Распишем сумму по определению. Дальше всё сойдётся: + \begin{multline*} + C_\alpha^n + C_\alpha^{n - 1} = \frac{\alpha \cdot + (\alpha - 1) \cdot \ldots \cdot (\alpha - (n - 1))}{n!} + \frac{\alpha \cdot (\alpha - 1) \cdot \ldots \cdot (\alpha - (n - 2))}{(n - 1)!} = + \\ + \frac{\alpha \cdot (\alpha - 1) \cdot \ldots \cdot + (\alpha - (n - 2)) \cdot (\alpha - (n - 1) + n)}{n!} = + C_{\alpha + 1}^n + \end{multline*} +\end{proof} + +\begin{theorem} (Формула Лейбница) + Если существуют конечные производные порядка $n$ функций + $f$ и $g$ в некоторой точке, то их произведение имеет + конечную производную в этой же точке и для него справедлива формула + \[ + (f \cdot g)^{(n)} = \suml_{k = 0}^{n} C_n^k f^{(k)} + \cdot g^{(n - k)} + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Доказательство же формулы проведём по индукции: + \begin{itemize} + \item База $n = 1$: + \[ + (fg)' = \suml_{k = 0}^1 C_1^k f^{(k)} g^{(1 - k)} = + fg' + f'g \text{ - верно} + \] + + \item Утверждением примем нашу формулу из теоремы. + Покажем, что она верна для $n + 1$: + \begin{multline*} + (fg)^{(n + 1)} = \left((fg)^{(n)}\right)' = + \suml_{k = 0}^n C_n^k \left(f^{(k)} g^{(n - k)} + \right)' = \suml_{k = 0}^n C_n^k f^{(k + 1)} + g^{(n - k)} + \suml_{k = 0}^n C_n^k f^{(k)} + g^{(n + 1 - k)} = \\ + = C_n^n f^{(n + 1)} g^{(0)} + \suml_{k = 0}^{n - 1} + C_n^k f^{(k + 1)} g^{(n - k)} + C_n^0 f^{(0)} + g^{(n + 1)} + \suml_{m = 0}^{n - 1} C_n^{m + 1} + f^{(m + 1)} g^{(n - m)} = \\ + = C_n^n f^{(n + 1)} g^{(0)} + C_n^0 f^{(0)} + g^{(n + 1)} + \suml_{j = 0}^{n - 1} + \left(C_n^j + C_n^{j + 1}\right) f^{(j + 1)} + g^{(n - j)} = \\ + = C_{n + 1}^0 f^{(0)} g^{(n + 1)} + \suml_{t = 1}^{n} + C_{n + 1}^t f^{(t)} g^{(n + 1 - t)} + C_{n + 1}^{n + 1} + f^{(n + 1)} g^{(0)} = \suml_{t = 0}^{n + 1} + C_{n + 1}^t f^{(t)} g^{(n + 1 - t)} + \end{multline*} + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{corollary} Очевидно, что $(\alpha f \pm \beta g)^{(n)} + = \alpha f^{(n)} \pm \beta g^{(n)},\ \alpha, \beta \in \R$. + Ограничения на $f$ и $g$ такие же, как в доказанной только что + теореме. Также, если $a, b \in \R$, то $(f(ax + b))^{(n)} = + a^{n} \cdot f^{(n)}(ax + b)$ +\end{corollary} + +\subsubsection*{Производные высших порядков некоторых элементарных функций} + +\begin{enumerate} + \item $(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac{\pi n}{2})$ + \item $(\cos x)^{(n)} = \cos (x + \frac{\pi n}{2})$ + \item $(x^\alpha)^{(n)} = \alpha \cdot (\alpha - 1) \cdot + \ldots \cdot (\alpha - n + 1) x^{\alpha - n} = + n! \cdot C_{\alpha}^n \cdot x^{\alpha - n}$ + \item $(a^x)^{(n)} = a^x \cdot \ln^n a$ + \item $(\ln x)^{(n)} = (x^{-1})^{(n - 1)} = (n - 1)! + \cdot C_{-1}^{n - 1} \cdot x^{-1 - (n - 1)} = + (-1)^{(n - 1)} (n - 1)! \cdot x^{-n}$ + +\end{enumerate} + +\begin{corollary} (Бином Ньютона) + \[ + (a + b)^n = \suml_{k = 0}^n C_n^k a^k b^{n - k} + \] +\end{corollary} + +\begin{proof} + С одной стороны, + \[ + \left((\alpha\beta)^x\right)^{(n)} = (\alpha\beta)^x \cdot \ln^n (\alpha\beta) = (\alpha\beta)^x(\ln \alpha + \ln \beta)^n + \] + С другой стороны, по формуле Лейбница + \begin{multline*} + \left((\alpha\beta)^x\right)^{(n)} = + \left(\alpha^x \cdot \beta^x\right)^{(n)} = + \suml_{k = 0}^n C_n^k \left(\alpha^x\right)^{(k)} + \left(\beta^x\right)^{(n - k)} = + \suml_{k = 0}^n C_n^k (\alpha^x \ln^k \alpha) + (\beta^x \ln^{(n - k)} \beta) = \\ + = (\alpha\beta)^x \suml_{k = 0}^n C_n^k \ln^k + \alpha \cdot \ln^{(n - k)} \beta + \end{multline*} + Положив $a := \ln \alpha$ и $b := \ln \beta$, получим необходимое утверждение. +\end{proof} + +\begin{theorem} (Формула Фаа-ди-Бруно) + Если существует производная $n$-го порядка функции $g$ в точке $a$ и $f$ в точке $g(a)$, то + \[ + (f \circ g)^{(n)} = \suml_{\pi \in \Pi_n} \left(f^{(|\pi|)} \circ g\right) \cdot \prodl_{B \in \pi} g^{(|B|)} + \] + где + \begin{itemize} + \item $\Pi_n$ обозначает множество всех разбиений $\{1, 2, \dots, n\}$ на непустые подмножества + + \item $\pi$ - разбиение множества $\{1, 2, \ldots, n\}$ на непустые подмножества. То есть элемент $B \in \pi$ - одно из множеств, на которые разбили исходное множество + + \item $|A|$ - число элементов множества $A$ + \end{itemize} +\end{theorem} + +\begin{proof} + По индукции + \begin{itemize} + \item База $n = 1$: $\Ra \Pi_1 = \{\{\{1\}\}\}$ + \[ + (f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g' \text{ - верно} + \] + + \item Утверждением является наша формула. Докажем, что если она верна для $n$, то верна и для $n + 1$: + \[ + (f \circ g)^{(n + 1)} = \left((f \circ g)^{(n)}\right)' = \suml_{\pi \in \Pi_n} \left((f^{(|\pi|)} \circ g) \cdot \prodl_{B \in \pi} g^{(|B|)}\right)' + \]` + Распишем производную одного слагаемого, принадлежащего разбиению $\pi^* \in \Pi_n$: + \[ + \left((f^{(|\pi^*|)} \circ g) \cdot \prodl_{B \in \pi^*} g^{(|B|)}\right)' = (f^{(|\pi^*|)} \circ g)' \cdot \prodl_{B \in \pi^*} g^{(|B|)} + (f^{(|\pi^*|)} \circ g) \cdot \left(\prodl_{B \in \pi^*} g^{(|B|)}\right)' + \] + Теперь, у нас добавился к множеству $\{1, 2, \dots, n\}$ элемент $n + 1$. Если взять любое разбиение $\pi \in \Pi_{n + 1}$, то есть несколько вариантов того, какой оно имеет вид: + \begin{enumerate} + \item Элемент $n + 1$ обособлен в отдельную часть. То есть $\pi = \pi^* \cup \{n + 1\},\ \pi^* \in \Pi_n$. Каждое слагаемое таких разбиений по нашей формуле должно иметь вид: + \[ + (f^{(|\pi^*| + 1)} \circ g) \cdot \prodl_{B \in \pi^*} g^{(|B|)} \cdot g' + \] + что в точности равно левой части суммы из производной слагаемого: + \[ + (f^{(|\pi^*|)} \circ g)' \cdot \prodl_{B \in \pi^*} g^{(|B|)} = (f^{(|\pi^*| + 1)} \circ g) \cdot g' \cdot \prodl_{B \in \pi^*} g^{(|B|)} + \] + + \item Элемент $n + 1$ помещён в некоторое $B_i \in \pi^*$. Это значит, что $|\pi| = |\pi^*|$. Каждое слагаемое таких разбиений по нашей формуле должно иметь вид: + \[ + (f^{(|\pi^*|)} \circ g) \cdot g^{(|B_i| + 1)} \cdot \prodl_{B \in \pi^* \bs B_i} g^{(|B|)} + \] + Поймём, что $\pi^*$ соответствует не одно разбиение из $\Pi_{n + 1}$, а целое множество (действительно, мы можем выбирать разные $B_i$). Тогда, сумма слагаемых по всем $\pi$, полученным из $\pi^*$ записывается как + \[ + \suml_{B_i \in \pi^*} (f^{(|\pi^*|)} \circ g) \cdot g^{(|B_i| + 1)} \cdot \prodl_{B \in \pi^* \bs B_i} g^{(|B|)} = (f^{(|\pi^*|)} \circ g) \suml_{B_i \in \pi^*} g^{(|B_i + 1|)} \cdot \prodl_{B \in \pi \bs B_i} g^{(|B|)} + \] + что в точности совпадает с правой частью суммы из производной слагаемого: + \begin{multline*} + (f^{(|\pi^*|)} \circ g) \cdot \left(\prodl_{B \in \pi^*} g^{(|B|)}\right)' = (f^{(|\pi^*|)} \circ g) \cdot \left(g^{(|B_1|)} \cdot \prodl_{B \in \pi^* \bs B_1} g^{(|B|)}\right)' = \\ + (f^{(|\pi^*|)} \circ g) \cdot \left(g^{(|B_1| + 1)} \cdot \prodl_{B \in \pi^* \bs B_1} g^{(|B|)} + g^{(|B_1|)} \cdot \left(\prodl_{B \in \pi^* \bs B_1} g^{(|B|)}\right)'\right) = \dots = \\ + (f^{(|\pi^*|)} \circ g) \suml_{B_i \in \pi^*} g^{(|B_i + 1|)} \cdot \prodl_{B \in \pi \bs B_i} g^{(|B|)} + \end{multline*} + \end{enumerate} + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{example} + Рассмотрим $(f \circ g)^{(4)}$. Все разбиения тогда можно представить как способы разложить 4 на слагаемые(каждое слагаемое символизирует $|B|$): + \begin{itemize} + \item $4 = 4 \Ra$ есть только 1 разбиение длины 4 - это всё множество. То есть слагаемое имеет вид + \[ + \left(f' \circ g\right) \cdot g'''' + \] + \item $4 = 3 + 1$ - есть $C_4^1 = 4$ способов сделать разбиение с такими мощностями $B$. Нетрудно убедиться, что каждое разбиение имеет одинаковое слагаемое + \[ + \left(f'' \circ g\right) \cdot g' \cdot g''' + \] + Их сумма будет соответственно + \[ + 4 \cdot \left(f'' \circ g\right) \cdot g' \cdot g''' + \] + \item $4 = 2 + 1 + 1$ - это $C_4^2 = 6$ способов сделать разбиение + \[ + \Ra 6 \cdot \left(f''' \circ g\right) \cdot g'' \cdot g' \cdot g' + \] + \item $4 = 2 + 2$ - это $\frac{C_4^2}{2} = 3$, потому что мы учитываем каждое разбиение дважды + \[ + 3 \cdot \left(f'' \circ g\right) \cdot g'' \cdot g'' + \] + \item $4 = 1 + 1 + 1 + 1$ - это 1 разбиение + \[ + \left(f'''' \circ g\right) \cdot g' \cdot g' \cdot g' \cdot g' + \] + \end{itemize} + Собственно, $(f \circ g)^{(4)}$ - это сумма всех полученных слагаемых +\end{example} + +\subsubsection*{Дифференциалы высших порядков} + +\begin{definition} + Если $f'(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то $f$ называется + дважды дифференцируемой в точке $x_0$. \textit{Дифференциалом второго + порядка} для дважды дифференцируемой функции $f$ в точке $x_0$ + называется дифференциал от дифференциала $f$ в точке $x_0$: + + \[ + df(x) = f'(x)dx\ (x \text{ - независимая переменная}) + \] + \[ + d^2 f(x_0) := d(f'(x)dx) \big|_{x = x_0} = f''(x_0) dx^2 + \] + + \textit{Дифференциалом $n$-го порядка} от $f(x)$, + где $x$ - независимая переменная, в точке $x$ называется + дифференциал от дифференциала $n - 1$-го порядка, причём + в качестве $dx$ в каждом из дифференциалов берётся одно + и то же число ($\Delta x$) + \[ + d^{n}f(x_0) := d(d^{n - 1}f(x)) \big|_{x=x_0} + \] +\end{definition} + +\begin{corollary} + \[ + d^nf(a) = f^{(n)}(a) dx^n + \] + если $x$ - независимая переменная +\end{corollary} + +\begin{example} + Пусть $f(x)$ - функция переменной $x = \varphi(t)$, где $t$ - независимая переменная. + \[ + f(x) = f(\varphi(t)) = h(t) + \] + Отсюда + \begin{multline*} + d^2f = d^2h = h'' dt^2 = \left((f' \circ \varphi) + \cdot \varphi'\right)'dt^2 = \left((f'' \circ \varphi) + (\varphi')^2 + (f' \circ \varphi)\varphi''\right)dt^2 = \\ + = (f'' \circ \varphi)(\varphi'dt)^2 + (f' \circ \varphi) + \varphi'' dt^2 = f''dx^2 + f'd^2x + \end{multline*} +\end{example} + +\subsection{Теоремы о свойствах производных} + +\begin{definition} + Точка $x_0$ называется \textit{точкой (строгого) + локального максимума} функции $f(x)$, если $(\exists \delta > 0) + (\forall x \in \mc{U}_{\delta}(x_0))\ f(x_0) \ge f(x)\ + \left(f(x_0) > f(x)\right)$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Точка $x_0$ называется \textit{точкой (строгого) + локального минимума} функции $f(x)$, если $(\exists \delta > 0) + (\forall x \in \mc{U}_{\delta}(x_0))\ f(x_0) \le f(x)\ + \left(f(x_0) < f(x)\right)$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Точки локального минимума и максимума в общем случае + называются \textit{точками локального экстремума} +\end{definition} + +\begin{definition} + Правой (левой) производной функции $f$ в точке $x_0$ называется + пределе (если он существует): + \[ + \liml_{x \to x_0 \underset{(-)}{+} 0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} + \] +\end{definition} + +\begin{theorem} (Теорема Ферма. Необходимое условие локального + экстремума) + + Если $x_0$ - точка локального экстремума функции $f$, дифференцируемой в $x_0$, то + \[ + f'(x_0) = 0 + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $x_0$ - точка локального максимума. Это значит, что в некоторой окрестности точки $x_0$ имеет место неравенство + \[ + f(x_0 + \Delta x) \le f(x_0) + \] + Рассмотрим односторонние пределы производной: + \begin{align*} + f'_+(x_0) = \liml_{\Delta x \to +0} + \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \le 0 + \\ + f'_-(x_0) = \liml_{\Delta x \to -0} + \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \ge 0 + \end{align*} + В силу дифференцируемости $f$ в точке $x_0$: + \[ + 0 \le f'_-(x_0) = f'(x_0) = f'_+(x_0) \le 0 + \] + Что верно тогда и только тогда, когда + \[ + f'(x_0) = 0 + \] +\end{proof} + +\begin{theorem} (Ролля) + Если $f$ непрерывна на $[a; b]$, дифференцируема на + $(a; b)$ и $f(a) = f(b)$, то + \[ + \exists c \in (a; b) :\ f'(c) = 0 + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $f$ не постоянна + (иначе $\forall x \in (a; b)\ f(x)' = 0$). + Тогда, по теореме Вейерштрасса + \[ + \exists \max\limits_{x \in [a; b]} f(x) > \exists + \min\limits_{x \in [a; b]} f(x) + \] + Хотя бы одно из этих чисел (пусть $\max$) не совпадает с $f(a) = f(b)$. Следовательно, + \[ + \max\limits_{x \in [a; b]} f(x) = f(c),\ c \in (a; b) + \] + То есть $c$ - точка локального максимума. По теореме Ферма $f'(c) = 0$ +\end{proof} + +\begin{theorem} (Обобщенная теорема о среднем) + \label{common_mid} + Если $f, g$ непрерывны на $[a; b]$, + дифференцируемы на $(a; b)$, то + \[ + \exists c \in (a; b) :\ (f(b) - f(a))g'(c) = + (g(b) - g(a))f'(c) + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Рассмотрим функцию $h(x)$: + \[ + h(x) = (f(b) - f(a))g(x) - (g(b) - g(a))f(x) + \] + Посчитаем $h(a)$ и $h(b)$: + \begin{align*} + h(a) = (f(b) - f(a))g(a) - (g(b) - g(a))f(a) = + f(b)g(a) - g(b)f(a) + \\ + h(b) = (f(b) - f(a))g(b) - (g(b) - g(a))f(b) = + g(a)f(b) - f(a)g(b) + \end{align*} + Отсюда по теореме Ролля + \[ + \exists c \in (a; b) :\ h'(c) = 0 + \] + А это в свою очередь значит + \begin{align*} + (f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0 + \\ + (f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c) + \end{align*} +\end{proof} + +\begin{corollary} (Теорема Лагранжа о среднем или о + конечных приращениях) + Если $f$ непрерывна на $[a; b]$, дифференцируема на + $(a; b)$, то $\exists c \in (a; b)$ такое, что + \[ + \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) + \] +\end{corollary} + +\begin{proof} + По теореме \ref{common_mid} возьмём $g(x) = x$ +\end{proof} + +\subsubsection*{Геометрический смысл теорем Ролля и Лагранжа} + +\begin{tabular}{cc} + \begin{tikzpicture}[scale = 1] + % Axis + \coordinate (y) at (0,5); + \coordinate (x) at (6,0); + \draw[<->, style={thick}] (y) node(yaxis)[above]{$y$} -- (0,0) -- (x) node(xaxis)[right]{$x$}; + \draw (-0.4,0) -- (0,0) -- (0,-0.4); + + % Points for the curve + \path + coordinate (start) at (1, 2) + coordinate (d1) at (2, 2.5) + coordinate (top) at (3, 4) + coordinate (d2) at (4, 2.5) + coordinate (end) at (5, 2); + + % Draw the curve + \draw[style={thick}] plot [smooth, tension=0.9] coordinates {(start) (d1) (top) (d2) (end)}; + + % Dashed lines for the points on x axis + \draw[style={dashed}] let \p1=(start) in (\p1) -- (\x1, 0) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={below:$a$}]{}; + \draw[style={dashed}] let \p1=(top) in (\p1) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={above:$f'(c) = 0$}]{} -- (\x1, 0) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={below:$c$}]{}; + \draw[style={dashed}] let \p1=(end) in (\p1) -- (\x1, 0) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={below:$b$}]{}; + + % Dashed lines for the points on y axis + \draw[style={dashed}] let \p1=(end) in (\p1) -- (0, \y1) node[left, black]{$f(a) = f(b)$}; + + % Tangent line for top point + \draw let \p1=(top) in (1.5, \y1) -- (4.5, \y1); + \end{tikzpicture} + & + \begin{tikzpicture}[scale = 1] + % Axis + \coordinate (y) at (0,5); + \coordinate (x) at (6,0); + \draw[<->] (y) node[above]{$y$} -- (0,0) -- (x) node[right]{$x$}; + \draw (-0.4,0) -- (0,0) -- (0,-0.4); + + % Points for the curve + \path + coordinate (start) at (1, 1) + coordinate (d1) at (2, 1) + coordinate (d2) at (4, 4) + coordinate (end) at (5, 4); + + % The curve + \draw[style={thick}] plot [smooth, tension=0.9] coordinates {(start) (d1) (d2) (end)}; + + % Tangent line and point + \coordinate (t) at (1.85, 0.85); + \filldraw[black] (t) node[below right]{\scalebox{0.8}{$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$}} circle (1pt); + \draw (1.5 - 0.3, 0.7 - 0.3) -- (1.5 + 1.5, 0.7 + 1); + + % Dashed lines for the points on x axis + \draw[style={dashed}] let \p1=(start) in (\p1) -- (\x1, 0) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={below:$a$}]{}; + \draw[style={dashed}] let \p1=(t) in (\p1) -- (\x1, 0) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={below:$c$}]{}; + \draw[style={dashed}] let \p1=(end) in (\p1) -- (\x1, 0) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={below:$b$}]{}; + + % Dashed lines for the points on y axis + \draw[style={dashed}] let \p1=(start) in (\p1) -- (0, \y1) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={left:$f(a)$}]{}; + \draw[style={dashed}] let \p1=(end) in (\p1) -- (0, \y1) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={left:$f(b)$}]{}; + + % Line from the start to the end point + \draw[style={dashed}] (start) node[circle, fill, inner sep=1pt]{} -- (end) node[circle, fill, inner sep=1pt]{}; + \end{tikzpicture} +\end{tabular} + +\begin{corollary} (Теорема Коши о среднем) + \label{Cauchy_mid} + Если $f, g$ непрерывна на $[a; b]$, + дифференцируема на $(a; b)$, $g'$ не обращается в + нуль на $(a; b)$, то + \[ + \exists c \in (a; b) :\ + \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = + \frac{f'(c)}{g'(c)} + \] +\end{corollary} + +\begin{proof} + Всё, что нам надо обосновать, так это то, что мы + можем поделить обе части уравнения в теореме + \ref{common_mid} за счёт данных нам условий. + + Предположим, что $g(b) = g(a)$. Но тогда $g$ + удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Следовательно, + \[ + \exists t \in (a; b) :\ g'(t) = 0 + \] + что противоречит условию. Значит, + мы можем поделить обе части на + $(g(b) - g(a)) \cdot g'(c)$ +\end{proof} + +\begin{note} + Смысл теоремы Коши тот же самый, что и у теоремы Лагранжа, но в предположении, что некоторая функция задана параметрически на осях: $x = g(t)$ и $y = f(t)$ соответственно. +\end{note} + +\begin{example} + \[ + f(x) = \System{ + &{x^2 \sin \frac{1}{x},\ x \neq 0} + \\ + &{0,\ x = 0} + } + \] + Функция $f$ - непрерывная и дифференцируемая на $\R$. Но пример примечателен тем, что производная всё же разрывная в 0. + \begin{itemize} + \item $x \neq 0$. Тогда, просто посчитаем производную по свойствам: + \[ + f'(x) = 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} + \] + + \item $x = 0$. Посчитаем эту производную по определению: + \[ + f'(0) = \liml_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x) - 0}{\Delta x} = \liml_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x^2 \sin \frac{1}{\Delta x}}{\Delta x} = \liml_{\Delta x \to 0} \Delta x \sin \frac{1}{\Delta x} = 0 + \] + Но при этом $\not\exists \liml_{x \to 0} f'(x)$. Проверить это можно, взяв 2 последовательности Гейне: + \begin{align*} + &{x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} \Ra f'(x_n) = \frac{2}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} \Ra \liml_{n \to \infty} f'(x_n) = 0} + \\ + &{x_n = \frac{1}{2\pi n} \Ra f'(x_n) = -1 \Ra \liml_{n \to \infty} f'(x_n) = -1} + \end{align*} + То есть $f'(x)$ разрывная в нуле. + \end{itemize} +\end{example} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/16lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/16lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..fece4db7 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/16lecture.tex @@ -0,0 +1,363 @@ +\begin{theorem} (Дарбу) + Пусть $f$ дифференцируема на $(a; b)$ и + $\exists f'_+(a), f'_-(b) \in \R$. Тогда для любого + $c$ в интервале между $f'_+(a)$ и $f'_-(b)$ существует + $\xi \in (a; b)$ такое, что $f'(\xi) = c$ +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item $c = 0 \Ra f'_+(a) \cdot f'_-(b) < 0$ + + Так как $f$ дифференцируема на $(a; b)$ и + односторонние производные конечны, то $f$ + непрерывна на $[a; b]$. А значит по теореме Вейерштрасса + \[ + \exists \xi \in [a; b] :\ f(\xi) = + \max\limits_{x \in [a; b]} f(x) + \] + Докажем, что $\xi \neq a$. По определению + односторонней производной + \[ + f'_+(a) = \liml_{\Delta x \to +0} + \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x} + \] + Если предположить, что $f'_+(a) > 0$, то из равенства выше следует + \[ + (\exists \delta > 0)(\forall x :\ 0 < x < \delta)\ + f(a + \Delta x) - f(a) > 0 \Ra f(a + \Delta x) > f(a) + \] + Поэтому точка $f(a)$ + не есть максимум на отрезке. Аналогично получим, что + $\xi \neq b$, и в данном предположении $f'_-(b) < 0$. + Таким же образом рассматривается случай, когда + $f'_+(a) < 0 \Ra f'_-(b) > 0$ (в таком случае нужно + взять не $\max$, а $\min$). Отсюда + \[ + \exists \xi \in (a; b) :\ f(\xi) = \max\limits_{x \in [a; b]} f(x) + \] + и по теореме Ферма получаем, что + \[ + f'(\xi) = 0 = c + \] + + \item $c \neq 0$ + + Сведём случай к доказанному. Достаточно + рассмотреть вспомогательную функцию + \[ + F(x) := f(x) - cx + \] + Так как функция $x$ определена и дифференцируема + на всей числовой прямой, то + \[ + F'(x) = f'(x) - c + \] + для интервала $(a; b)$. При этом + \[ + f'_+(a) > c > f'_-(b) \Ra + F'_+(a) > 0,\ F'_-(b) < 0 + \] + По уже доказанному, + \[ + \exists \xi \in (a; b) :\ F'(\xi) = f'(\xi) - c = + 0 \Ra f'(\xi) = c + \] + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если $f$ дифференцируема на $(a; b)$, то $f'$ не + может иметь точек разрыва первого рода на $(a; b)$. +\end{corollary} + +\begin{idea} + Пусть такие разрывы есть. + В случае разрыва-скачка посмотрим на односторонние пределы + производной, возьмем у них малые $\eps$ окрестности, так, + чтобы они не пересекались, тогда в некоторых $\delta$ окрестностях + все точки лежат в заданных $\eps$. Тогда это противоречит теореме Дарбу, + а именно не все значения между пределами принимаются на интервале из полученных + $\delta$ окрестностей (так как $\eps$ окрестности не пересекаются). + Случай с устранимым разрывом разбирается аналогично. +\end{idea} + +\begin{proof} + Пусть для определенности $f'(c - 0) < f'(c + 0)$. Тогда + $\eps_0 := \frac{f'(c + 0) - f'(c - 0)}{4}$. Из определения + предела: + \begin{align*} + &(\exists \delta_1 > 0)(\forall x \in (c - \delta_1, c)) + \ \ f'(x) < f'(c - 0) + \frac{f'(c + 0) - f'(c - 0)}{4}\\ + &(\exists \delta_2 > 0)(\forall x \in (c, c + \delta_2)) + \ \ f'(x) > f'(c + 0) - \frac{f'(c + 0) - f'(c - 0)}{4} + \end{align*} + То есть: + \begin{align*} + &(\exists \delta_1 > 0)(\forall x \in (c - \delta_1, c)) + \ \ f'(x) < \frac{f'(c + 0) + 3f'(c - 0)}{4}\\ + &(\exists \delta_2 > 0)(\forall x \in (c, c + \delta_2)) + \ \ f'(x) > \frac{3f'(c + 0) + f'(c - 0)}{4} + \end{align*} + Пусть $x_1 < x_2 \in (a; b) \such + x_1 \in (c - \delta_1, c),\ x_2 \in (c, c + \delta_2)$. Тогда + из $\eps$ окрестностей понятно, что $f'(x_1) < f'(x_2)$. + При этом выполняются все условия теоремы Дарбу на $(x_1, x_2)$ + (т.к. $f$ дифференцируема на $(a; b)$ по условию), значит, + \[ + (\forall \gamma \in (f'(x_1); f'(x_2)))(\exists \xi \in (x_1; x_2)) + (f'(\xi) = \gamma) + \] + При этом + \[ + (\forall x \in (x_1, x_2))\left(f'(x) \in + \left(-\infty, \frac{f'(c + 0) + 3f'(c - 0)}{4}\right) \cup + \left(\frac{3f'(c + 0) + f'(c - 0)}{4}, +\infty\right)\right) + \] + Если взять $\gamma = \frac{f'(c + 0) + f'(c - 0)}{2}$, то нет такого + $x$, чтобы $f'(x) = \gamma$. Противоречие с теоремой Дарбу. + Для случая с устранимым разрывом идея доказательства сохраняется. +\end{proof} + +\begin{theorem} (Правило Лопиталя для случая $\frac{0}{0}$) + + Пусть $f$, $g$ дифференцируемы на $(a; b)$, при этом + $\exists \liml_{x \to a+0} f(x) = \liml_{x \to a+0} g(x) + = 0$ и $\exists \liml_{x \to a+0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = C + \in \bar{\R}$. Тогда + \[ + \exists \liml_{x \to a+0} \frac{f(x)}{g(x)} = C + \] +\end{theorem} + +\begin{note} + Аналогичное утверждение верно для предела $x \to b-0$, + а также для любого предела $x \to x_0,\ x_0 \in (a; b)$. +\end{note} + +\begin{proof} + Доопределим $f(a) = g(a) = 0$. Из существование предела + отношения производных следует, что + \[ + (\exists \delta > 0)(\forall x + \in (a; a + \delta))\ g'(x) \neq 0 + \] + Следовательно, на отрезке + $\left[a; a + \frac{\delta}{2}\right]$ для функции $g$ + выполнены все условия теоремы Коши о среднем \ref{Cauchy_mid}. Значит + \[ + \left(\forall x \in \left(a; a + \frac{\delta}{2}\right)\right) + \left(\exists \xi \in (a; x)\right)\ + \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = + \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(x)}{g(x)} + \] + при этом понятно, что $\xi = \xi(x)$. Так как + $a < \xi(x) < x$, то если устремить $x$ к $a + 0$, + то в предельном переходе $a < \xi(x) \le a + 0 \Ra \xi(x) \to a + 0$. + Отсюда получаем + \[ + \liml_{x \to a + 0} \frac{f'(\xi(x))}{g'(\xi(x))} = \liml_{x \to a + 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = C = \liml_{x \to a + 0} \frac{f(x)}{g(x)} + \] +\end{proof} + +\begin{corollary} (Признак дифференцируемости) + Если $f$ дифференцируема в $\mc{U}_\delta(x_0)$, + непрерывна в $x_0$ и $\exists \liml_{x \to x_0} f'(x) + \in \bar{\R}$, то + \[ + \exists f'(x_0) = \liml_{x \to x_0} f'(x) + \] +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $F(x) = f(x) - f(x_0)$, $g(x) = x - x_0$. Тогда, + $\forall x \in \mc{U}_\delta(x_0)$ + \begin{align*} + &F'(x) = f'(x) + \\ + &g'(x) = 1 + \end{align*} + Следовательно, + \[ + \exists \liml_{x \to x_0} \frac{F'(x)}{g'(x)} = + \liml_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \in \bar{\R} + \] + при этом $\liml_{x \to x_0} F(x) = \liml_{x \to x_0} + g(x) = 0$. А значит по правилу Лопиталя + \[ + \exists \liml_{x \to x_0} \frac{F(x)}{g(x)} = + \liml_{x \to x_0} \frac{F'(x)}{g'(x)} = + \liml_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = + \liml_{x \to x_0} f'(x) + \] + С другой стороны + \[ + \liml_{x \to x_0} \frac{F(x)}{g(x)} = + \liml_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = + f'(x_0) \in \bar{\R} + \] +\end{proof} + +\begin{theorem} (Правило Лопиталя для случая + $\frac{\infty}{\infty}$) + Пусть $f$, $g$ дифференцируемы на $(a; b)$, + $\exists \liml_{x \to a + 0} g(x) = \pm \infty$ и + $\exists \liml_{x \to a + 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = + C \in \bar{\R}$. Тогда + \[ + \exists \liml_{x \to a + 0} \frac{f(x)}{g(x)} = C + \] +\end{theorem} + +\begin{note} + Аналогичное утверждение верно для предела $x \to b-0$, + а также для любого предела $x \to x_0,\ x_0 \in (a; b)$. +\end{note} + +\begin{proof} + Докажем случай для $\liml_{x \to a + 0} g(x) = +\infty$: + \begin{itemize} + \item $C = -\infty$. Тогда, выберем $\forall p > q > C$. + Теперь из пределов: + \begin{align*} + &\liml_{x \to a + 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = -\infty \Ra + (\exists \delta_1 > 0)(\forall x \in + (a; a + \delta_1))\ \frac{f'(x)}{g'(x)} < q + \\ + &\liml_{x \to a + 0} g(x) = +\infty \Ra + (\exists \delta_2 \in (0; \delta_1)) + (\forall x \in (a; a + \delta_2))\ g(x) > 0 + \end{align*} + Зафиксируем $y > x > a,\ y \in (a; a + \delta_2)$. Тогда из + предела $\liml_{x \to a + 0} g(x) = +\infty \Ra$ + \[ + (\exists \delta_3 > 0)(\forall x \in + (a; a + \delta_3) \subset (a; y))\ g(y) - g(x) < 0 + \] + Заметим, что $f$, $g$ удовлетворяют условиям теоремы + Коши о среднем \ref{Cauchy_mid} на отрезке $[x; y]$ ($g' \neq 0$ + следует из существования предела производных). То есть + \[ + \left(\exists \xi \in (x; y) \subset (a; a + \delta_1)\right) + \ \frac{f(y) - f(x)}{g(y) - g(x)} = + \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} < q + \] + Если убрать равенство с $\xi$, то получим + \[ + \frac{f(y) - f(x)}{g(y) - g(x)} < q + \] + Умножим обе части на $\frac{g(x) - g(y)}{g(x)} > 0$ + при $x \in (a; a + \delta_3)$. Отсюда имеем + \begin{align*} + &{\frac{f(x) - f(y)}{g(x)} < q \cdot + \frac{g(x) - g(y)}{g(x)}} + \\ + &{\Ra \frac{f(x)}{g(x)} < q - q \cdot + \frac{g(y)}{g(x)} + \frac{f(y)}{g(x)}} + \end{align*} + Из последнего неравенства следует, что + \[ + (\forall p > C)(\exists \delta_4 > 0) + (\forall x \in (a; a + \delta_4))\ \frac{f(x)}{g(x)} < p + \] + Откуда согласно $C = -\infty$ имеем + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists \delta_4 > 0) + (\forall x \in (a; a + \delta_4))\ + \frac{f(x)}{g(x)} < -\frac{1}{\eps} \lra + \liml_{x \to a + 0} \frac{f(x)}{g(x)} = -\infty = + \liml_{x \to a + 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} + \] + + \item $C = +\infty$. Тогда аналогично случаю выше, + получается утверждение + \[ + (\forall r < C)(\exists \delta_5 > 0) + (\forall x \in (a; a + \delta_5))\ + \frac{f(x)}{g(x)} > r + \] + + \item $-\infty < C < +\infty$. Ключевые утверждения, + полученные выше, будут верны и в этом случае, + потому что $\exists p > C > r$. А значит + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists \delta := + \min(\delta_4, \delta_5))(\forall x \in (a; a + \delta)) + \ r < \frac{f(x)}{g(x)} < p + \] + выберем теперь $r := C - \eps,\ p := C + \eps$. То есть + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) + (\forall x \in (a; a + \delta))\ + \left|\frac{f(x)}{g(x)} - C\right| < \eps + \lra \liml_{x \to a + 0} \frac{f(x)}{g(x)} = C = + \liml_{x \to a + 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} + \] + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{note} + Правило Лопиталя работает и в случаях, когда $x \to \pm \infty$ +\end{note} + +\begin{proof} + Выберем такое $t = \frac{1}{x}$, тогда $t \to +0$ при + $x \to +\infty$. Пусть $f_1(t) = f(\frac{1}{t})$ и + $g_1(t) = g(\frac{1}{t})$ + \[ + f_1'(t) = f'\left(\frac{1}{t}\right) \cdot + \left(-\frac{1}{t^2}\right),\ g_1'(t) = g'\left(\frac{1}{t}\right) \cdot + \left(-\frac{1}{t^2}\right) + \] + Применим правило Лопиталя для $t \to +0$: + \[ + \liml_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = + \liml_{t \to +0} \frac{f_1(t)}{g_1(t)} = + \liml_{t \to +0} \frac{f_1'(t)}{g_1'(t)} = + \liml_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} + \] +\end{proof} + +\subsection{Равномерная непрерывность} + +\begin{definition} + Функция $f$ \textit{равномерно непрерывна} на + множестве $X \subset \R$, если + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) + (\forall x, y \in X, |x - y| < \delta)\ + \left|f(x) - f(y)\right| < \eps + \] +\end{definition} + +\begin{note} + Отличие от обычного определения заключается в том, + что выбор $\delta$ не зависит от рассматриваемой точки $x$. +\end{note} + +\begin{example} + \[ + X = (0; 1),\ f(x) = \frac{1}{x} + \text{ - неравномерно непрерывна} + \] + То есть нужно доказать утверждение + \[ + (\exists \eps > 0)(\forall \delta > 0) + (\exists x, y \in X, |x - y| < \delta)\ + \left|\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right| \ge \eps + \] + Для любого $0 < \delta < 1$ найдётся $n \in \N$ такое, + что верно неравенство + \[ + \frac{1}{n} \le \delta < \frac{1}{n - 1} + \] + Положим $x_n = \frac{1}{n}$, а $y_n = \frac{1}{3n}$. Тогда + \begin{align*} + &{|x_n - y_n| = \frac{2}{3n} < \frac{1}{n} \le \delta} + \\ + &{\left|\frac{1}{x_n} - \frac{1}{y_n}\right| = 2n \ge 2} + \end{align*} + Отсюда наше утверждение выполнено $\forall \eps \le 2$, + для $\delta \ge 0$ можно взять $n = 1$ и + $\eps = 2$. +\end{example} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/17lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/17lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..d915a7e6 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/17lecture.tex @@ -0,0 +1,556 @@ +\begin{theorem} (Кантора о равномерной непрерывности) + Если $f$ непрерывна на $[a; b]$, то она равномерно + непрерывна на нём. +\end{theorem} + +\begin{idea} + Предположим противное: f не равномерно непрерывна, + тогда найдутся какие-то последовательности точек, что + будут сколь угодно близки по аргументу, но по значению + будут отличаться не менее, чем на константу. Выделим из + этих последовательностей сходящиеся подпоследовательности + (тут нам поможет то, что мы на отрезке), тогда со одной + стороны они сходятся к одному числу, а значит по + непрерывности их образы должны сходится к одну числу, + с другой стороны их образы отличаются не менее, чем на + константу. Противоречие получено +\end{idea} + +\begin{proof} + От противного. Пусть $f$ неравномерно непрерывна на $[a; b]$: + \[ + (\exists \eps_0 > 0)(\forall \delta > 0) + (\exists x, y \in [a; b],\ |x - y| < \delta) + \ \ |f(x) - f(y)| \ge \eps_0 + \] + Построим $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$, последовательно выбирая + $\delta = 1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}, \ldots$. + То есть: + \begin{align*} + &(\delta := 1)(\exists x_1,\ y_1 \in [a; b]) + (|x_1 - y_1| < 1)\ \ |f(x_1) - f(y_1)| \ge \eps_0\\ + &(\delta := \frac{1}{2})(\exists x_2,\ y_2 \in [a; b]) + (|x_2 - y_2| < \frac{1}{2})\ \ |f(x_2) - f(y_2)| \ge \eps_0\\ + &(\delta := \frac{1}{3})(\exists x_3,\ y_3 \in [a; b]) + (|x_3 - y_3| < \frac{1}{3})\ \ |f(x_3) - f(y_3)| \ge \eps_0\\ + &\ldots\\ + &(\delta := \frac{1}{n})(\exists x_n,\ y_n \in [a; b]) + (|x_n - y_n| < \frac{1}{n})\ \ |f(x_n) - f(y_n)| + \ge \eps_0 + \end{align*} + \[ + (\exists \{x_n\},\ \{y_n\} \subset [a; b]) + (|x_n - y_n| < \frac{1}{n})\ \ |f(x_n) - f(y_n)| + \ge \eps_0 + \] + Так как последовательность $\{x_n\}$ ограничена, + то по теореме Больцано-Вейерштрасса из неё можно + выделить сходящуюся подпоследовательность: + \[ + (\exists \{x_{n_k}\} \subset \{x_n\})\ + \liml_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0 \in [a; b] + \] + Тогда + \[ + |x_{n_k} - y_{n_k}| < \frac{1}{n_k} \lra x_{n_k} - + \frac{1}{n_k} < y_{n_k} < x_{n_k} + \frac{1}{n_k} + \] + Это нам даёт, что + \[ + \liml_{k \to \infty} y_{n_k} = x_0 + \] + А раз функция непрерывна, то верны равенства + \begin{align*} + &\liml_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0) + \\ + &\liml_{k \to \infty} f(y_{n_k}) = f(x_0) + \end{align*} + Получили противоречие с условием, что $|f(x_n) - f(y_n)| + \ge \eps_0$ +\end{proof} + +\begin{theorem} (Признак равномерной непрерывности) + Если $f$ дифференцируема на промежутке $I$ и имеет + ограниченную производную на этом промежутке, то она + равномерно непрерывна +\end{theorem} + +\begin{idea} + Из ограниченности производной следует ограниченность наклона + секущей по теореме Лагранжа, а из этого следует + равномерная непрерывность +\end{idea} + +\begin{proof} + Нужно доказать, что + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) + (\forall x_1, x_2 \in I,\ |x_1 - x_2| < \delta) + \ \ |f(x_1) - f(x_2)| < \eps + \] + По теореме Лагранжа + \[ + (\exists \xi \in (x_1; x_2))\ \ + f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1) + \] + Так как производная ограничена, то + \[ + (\exists M > 0)(\forall x \in I) + \ \ |f'(x)| \le M + \] + Поэтому положим $\delta := \frac{\eps}{M}$ и + тогда следует, что + \[ + |f(x_2) - f(x_1)| \le M \cdot |x_2 - x_1| < \eps + \] +\end{proof} + +% \subsubsection*{Геометрический смысл равномерной непрерывности} + +% Нарисовать. Последняя минута 14й лекции Лукашова 2019го года + +\subsection{Формула Тейлора} + + +%%% Его стоило дать ещё в 4м параграфе, так Лукашов сказал +\begin{definition} + Функция $f$ называется $n$ раз дифференцируемой в точке + $x_0$, если её производные $f', f'', \ldots, f^{(n - 1)}$ + определены в некоторой окрестности точки $x_0$ и $f^{(n - 1)}$ + дифференцируема в точке $x_0$. +\end{definition} + +\begin{lemma} + Для любой функции $f$, $n$ раз дифференцируемой в точке + $x_0$, существует единственный многочлен $P_n(f, x)$ + степени не выше $n$ такой, что $P_n^{(k)}(f, x_0) = + f^{(k)}(x_0)$ для $k = 0, 1, \ldots, n$. При этом + \[ + P_n(f, x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \ldots + + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + \] + Этот многочлен называется \textit{многочленом Тейлора + функции $f$ в точке $x_0$ степени $n$}. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Докажем, что приведённый многочлен удовлетворяет + всем условиям, сказанным в лемме. То есть докажем, + что существует многочлен, подходящий лемме. Сразу из + определения следует, что + \[ + P_n(f, x_0) = f(x_0) + \] + Теперь возьмём $k$-ю производную данного многочлена. + Несложно понять, что слагаемые $(x - x_0)^j$, где + $j < k$, сократятся полностью. Для остальных имеем + \[ + \left((x - x_0)^j\right)^{(k)} = + j(j - 1) \ldots (j - k + 1)(x - x_0)^{j - k} + \] + То есть + \[ + P_n^{(k)}(f, x) = \suml_{j = k}^n + \frac{f^{(j)}(x_0)}{j!} \cdot j(j - 1) \ldots + (j - k + 1)(x - x_0)^{j - k} = \suml_{j = k}^n + \frac{f^{(j)}(x_0)}{(j - k)!} (x - x_0)^{j - k} + \] + В точке $x = x_0$ это нам даёт + \[ + P_n^{(k)}(f, x_0) = \frac{f^{(k)}(x_0)}{0!} = + f^{(k)}(x_0) + \] + + Теперь докажем единственность: пусть даны 2 + различных многочлена $P$ и $Q$ степени не выше $n$, + удовлетворяющие условиям леммы. Тогда + \[ + (P - Q)^{(n)}(x_0) = 0,\ k = 0, \ldots, n + \] + При этом разность многочленов - тоже многочлен вида + \[ + (P - Q)(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + \ldots + + a_n(x - x_0)^n + \] + Последовательно рассматривая все $k$-е производные + получим, что + \[ + a_0 = a_1 = \ldots = a_n = 0 + \] + То есть $P(x) = Q(x)$ +\end{proof} + +\begin{note} + При подстановке $x = x_0$ можно заметить, что полное + слагаемое имеет вид + \[ + \frac{f^{(j)}(x_0)}{(j - k)!}(x_0 - x_0)^{j - k} + \] + Казалось бы, при $j = k$ мы имеем дело с + неопределённостью. Но помним, что производная - + это предел при $x \to x_0$, который мы вначале считаем, + а потом уже делаем подстановку $x = x_0$. Здесь точно + такая же ситуация - мы вначале должны + \textbf{полностью досчитать производную}, а потом + подставлять $x = x_0$. То есть вначале будет + $(x - x_0)^0 = 1$, и только потом подстановка $x$ + (которая с единицей уже ничего не сделает). +\end{note} + +\begin{lemma} \label{lemTaylor} + Пусть $\varphi$ и $\psi$ $n + 1$ раз дифференцируемы в + окрестности точки $x_0$, а также + \begin{align*} + &\varphi(x_0) = \varphi'(x_0) = \ldots = + \varphi^{(n)}(x_0) = \psi(x_0) = \psi'(x_0) = + \ldots = \psi^{(n)}(x_0) = 0 + \\ + &\psi', \psi'', \ldots, \psi^{(n + 1)} \neq 0 + \text{ в } \mc{U}_{\delta}(x_0) + \end{align*} + Тогда $\forall x \in \mc{U}_{\delta}(x_0)$ существует + $\xi$ между $x_0$ и $x$ такое, что + \[ + \frac{\varphi(x)}{\psi(x)} = + \frac{\varphi^{(n + 1)}(\xi)}{\psi^{(n + 1)}(\xi)} + \] +\end{lemma} + +\begin{proof} + По теореме Коши + \[ + \exists \xi_1 \such \frac{\varphi(x)}{\psi(x)} = + \frac{\varphi(x) - \varphi(x_0)}{\psi(x) - \psi(x_0)} = + \frac{\varphi'(\xi_1)}{\psi'(\xi_1)} + \] + В силу того, что $\varphi'(x_0) = \psi'(x_0) = 0$, а также + $\varphi$ и $\psi$ снова удовлетворяют условиям теоремы + Коши, получим + \[ + \exists \xi_2 \such \frac{\varphi'(\xi_1) - + \varphi'(x_0)}{\psi'(\xi_1) - \psi(x_0)} = + \frac{\varphi''(\xi_2)}{\psi''(\xi_2)} = + \frac{\varphi(x)}{\psi(x)} + \] + И так продолжаем до $\xi = \xi_{n + 1}$: + \[ + \frac{\varphi^{(n)}(\xi_n) - \varphi^{(n)}(x_0)} + {\psi^{(n)}(\xi_n) - \psi^{(n)}(x_0)} = + \frac{\varphi^{(n + 1)}(\xi)}{\psi^{(n + 1)}(\xi)} + \] +\end{proof} + +\begin{theorem} (Формула Тейлора с остаточным членом в + форме Лагранжа) + Если $f$ дифференцируема $n + 1$ раз в окрестности + $U_\delta(x_0)$, то $\forall x \in U_\delta(x_0)$ + существует $\xi$ между $x_0$ и $x$ такое, что + \begin{multline*} + f(x) = P_n(f, x) + + \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} = \\ + f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \ldots + + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + + \frac{f^{(n + 1)} (\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} + \end{multline*} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Рассмотрим функции + \begin{align*} + &\varphi(x) := f(x) - P_n(f, x) + \\ + &\psi(x) := (x - x_0)^{n + 1} + \end{align*} + Заметим, что данные функции удовлетворяют условиям + леммы \ref{lemTaylor}. То есть + \[ + \frac{f(x) - P_n(f, x)}{(x - x_0)^{n + 1}} = + \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!} + \] + Следовательно + \[ + f(x) = P_n(f, x) + \frac{f^{(n + 1)}(\xi)} + {(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} + \] +\end{proof} + +\begin{theorem} (Формула Тейлора с остаточным членом в + форме Пеано) + Если $f$ $n$ раз дифференцируема в точке $x_0$, то + \[ + f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \ldots + + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + + o\left((x - x_0)^n\right),\ x \to x_0 + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Положим + \begin{align*} + &\varphi(x) = f(x) - P_n(f, x) + \\ + &\psi(x) = (x - x_0)^n + \end{align*} + Отсюда + \[ + \varphi(x_0) = \ldots = \varphi^{(n - 2)}(x_0) = + \psi(x_0) = \ldots = \psi^{(n - 2)}(x_0) = 0 + \] + То есть по лемме \ref{lemTaylor} $\exists \xi$ между + $x$ и $x_0$ такое, что + \[ + \frac{f(x) - P_n(f, x)}{(x - x_0)^n} = + \frac{f^{(n - 1)}(\xi) - P_n^{(n - 1)}(f, \xi)} + {n! \cdot (\xi - x_0)} = \frac{f^{(n - 1)} + (\xi) - f^{(n - 1)}(x_0) - f^{(n)}(x_0)(\xi - x_0)} + {n! \cdot (\xi - x_0)} + \] + Посчитаем предел(при $x \to x_0$ $\xi \to x_0$, так как + $\xi$ между $x$ и $x_0$) + \begin{multline*} + \liml_{x \to x_0} \frac{\phi(x)}{\psi(x)} = + \liml_{\xi \to x_0} \frac{f^{(n - 1)}(\xi) - + f^{(n - 1)}(x_0) - f^{(n)}(x_0)(\xi - x_0)} + {n! \cdot (\xi - x_0)} = \liml_{\xi \to x_0} + \frac{f^{(n - 1)}(\xi) - f^{(n - 1)}(x_0)} + {n! \cdot (\xi - x_0)} - \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} = \\ + \frac{1}{n!}(f^{(n)}(x_0) - f^{(n)}(x_0)) = 0 + \end{multline*} + Следовательно + \[ + f(x) = P_n(f, x) + o((x - x_0)^n),\ x \to x_0 + \] +\end{proof} + +\begin{theorem} (Единственность разложения по формуле Тейлора) + Если + \[ + f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + \ldots + + a_n(x - x_0)^n + o\left((x - x_0)^n\right), + \ x \to x_0 + \] + и + \[ + f(x) = b_0 + b_1(x - x_0) + \ldots + + b_n(x - x_0)^n + o\left((x - x_0)^n\right), + \ x \to x_0 + \] то + \[ + a_k = b_k,\ k = 0, 1, \ldots, n + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Рассмотрим разность этих многочленов: + \[ + f(x) - f(x) = (a_0 - b_0) + (a_1 - b_1)(x - x_0) + + \ldots + (a_n - b_n)(x - x_0)^n + + o\left((x - x_0)^n\right) = 0,\ x \to x_0 + \] + В предельном переходе получим + \[ + \liml_{x \to x_0} (a_0 - b_0) + (a_1 - b_1)(x - x_0) + + \ldots + (a_n - b_n)(x - x_0)^n + + o\left((x - x_0)^n\right) = a_0 - b_0 = 0 + \] + Отсюда $a_0 = b_0$. Теперь разность имеет вид: + \[ + f(x) - f(x) = (a_1 - b_1)(x - x_0) + \ldots + + (a_n - b_n)(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n) = 0, + \ x \to x_0 + \] + При этом $x - x_0 \neq 0$. Значит, можно разделить + уравнение на $(x - x_0)$ и снова взять предел. В + этот раз получим $a_1 = b_1$. Делая так $n + 1$ раз, + придём к нужному утверждению + \[ + a_k = b_k,\ k = 0, 1, \ldots, n + \] +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если $f(x)$ $n$ раз дифференцируема в точке $x_0$ и + \[ + f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + \ldots + + a_n(x - x_0)^n + o\left((x - x_0)^n\right), + \ x \to x_0 + \] + то + \[ + a_k = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!},\ k = 0, 1,\ldots, n + \] + Причём формула существенна только для $n > 1$. Для + $n = 1$ - разложение равносильно дифференцируемости в + точке $x_0$, а для $n = 0$ - непрерывности +\end{corollary} + +\begin{example} + Данная функция имеет асимптотическое разложение, но не + дважды дифференцируема в нуле (то есть коэффициенты не + совпадут с теми, что есть в формуле Тейлора) + \[ + f(x) = \System{ + &x^3 \sin \frac{1}{x},\ x \neq 0 + \\ + &0,\ x = 0 + } + \] + Из определения сразу видно, что есть разложение + \[ + f(x) = a_0 + a_1(x - 0) + a_2(x - 0)^2 + o((x - 0)^2) + \] + Первая производная имеет вид + \[ + f'(x) = \System{ + &3x^2 \sin \frac{1}{x} - x \cos \frac{1}{x},\ x \neq 0 + \\ + &0,\ x = 0 + } + \] + Посчитаем $f''(0)$: + \begin{multline*} + f''(0) = \liml_{\Delta x \to 0} + \frac{f'(0 + \Delta x) - f'(0)}{0 + \Delta x - 0} = + \liml_{\Delta x \to 0} \frac{3\Delta x^2 \sin + \frac{1}{\Delta x} - \Delta x \cos + \frac{1}{\Delta x}}{\Delta x} = \\ + \liml_{\Delta x \to 0} \left(3 \Delta x \sin + \frac{1}{\Delta x} - \cos \frac{1}{\Delta x}\right) + \text{ - расходится} + \end{multline*} +\end{example} + +\begin{definition} + Если $x_0 = 0$, то формулы Тейлора называются также + \textit{формулами Маклорена} +\end{definition} + +\subsubsection*{Формулы Маклорена основных элементарных функций} + +\begin{enumerate} + \item $e^x:$ $\left(e^x\right)^{(n)} = e^x \Ra + e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \ldots + + \frac{x^n}{n!} + o(x^n),\ x \to 0$ + + \item $\sin x:$ $\left(\sin x\right)^{(n)} = + \sin(x + \frac{n\pi}{2})$. То есть + \[ + \left(\sin x\right)^{(n)}(0) = \sin + \frac{n\pi}{2} = + \System{ + &{0,\ n = 2k} + \\ + &{(-1)^{k - 1},\ n = 2k - 1} + },\ k \in \N + \] + Так как синус имеет любую производную, + то для любого $n$, если $k$ - это частное от + деления на 2, формулу Маклорена можно записать так: + \[ + \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - + \ldots + (-1)^{k - 1} \frac{x^{2k - 1}}{(2k - 1)!} + + o(x^{2k}),\ x \to 0 + \] + Формула Маклорена в виде Лагранжа также имеет вид: + \[ + \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - + \ldots + (-1)^{k} \frac{x^{2k + 1}}{(2k + 1)!} + \sin \left(\xi + \frac{2k + 1}{2}\pi\right) + \] + + \item $\cos x:$ $\left(\cos x\right)^{(n)} = + \cos(x + \frac{n\pi}{2})$. То есть + \[ + \left(\cos x\right)^{(n)}(0) = + \cos \frac{n\pi}{2} = + \System{ + &{0,\ n = 2k - 1} + \\ + &{(-1)^k,\ n = 2k} + } + \] + Отсюда формула Маклорена для косинуса имеет вид: + \[ + \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots + \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} + o(x^{2k}),\ x \to 0 + \] + + \item $(1 + x)^\alpha:$ $\left((1 + x)^\alpha\right)^{(n)} = + \alpha(\alpha - 1)\ldots(\alpha - n + 1)(1 + x)^{\alpha - n} + = n! C_{\alpha}^n (1 + x)^{\alpha - n}$, где + $\alpha \notin \N$ + \[ + (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2!}x^2 + \ldots + + \underbrace{\frac{\alpha (\alpha - 1) \ldots + (\alpha - n + 1)}{n!}}_{C_\alpha^n}x^n + o(x^n), + \ x \to 0 + \] + Если $\alpha \in \N$, то на каком-то шаге производная + станет нулём и будет таковой дальше. + (То есть можно будет получить точное разложение, + бином Ньютона) + + \item $\ln (1 + x):$ $\left(\ln (1 + x)\right)^{(n)} = + \left((1 + x)^{-1}\right)^{(n - 1)}$ + То есть + \[ + \left(\ln (1 + x)\right)^{(n)}= (-1) \cdot + (-2) \cdot \ldots \cdot (-1 - (n - 2)) \cdot + (1 + x)^{-1 - (n - 1)} = (-1)^{n - 1} \cdot + (n - 1)! \cdot (1 + x)^{-n} + \] + Формула Маклорена для логарифма имеет вид: + \[ + \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + + \frac{x^3}{3} - \ldots + (-1)^{n - 1} + \frac{x^n}{n} + o(x^n) + \] +\end{enumerate} + +\begin{note} + Если $f$ - чётная функция, то в формуле Маклорена все + нечётные степени имеют нулевые коэффициенты. Если $f$ - + нечётная, то четные степени имеют нулевые коэффициенты. +\end{note} + +\begin{proof} + Пусть $f$ - чётная функция. Посчитаем $f'(-x)$ по определению: + \[ + f'(-x) = \liml_{\Delta x \to 0} + \frac{f(-x + \Delta x) - f(-x)}{\Delta x} = + \liml_{\Delta x \to 0} \frac{f(x - \Delta x) - + f(x)}{\Delta x} = \liml_{t \to 0} \frac{f(x + t) - + f(x)}{-t} = -f'(x) + \] + То есть $f'(0) = -f'(0)$. Значит, $f'(0) = 0$. + + Пусть $f$ - нечётная функция. Аналогично: + \[ + f'(-x) = \liml_{\Delta x \to 0} \frac{f(-x + \Delta x) - + f(-x)}{\Delta x} = \liml_{\Delta x \to 0} + -\frac{f(x - \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = + \liml_{t \to 0} -\frac{f(x + t) - f(x)}{-t} = f'(x) + \] +\end{proof} + +\begin{addition} + Рассмотрим функцию + \[ + f(x) = \System{ + &{\frac{\sin x}{x},\ x \neq 0} + \\ + &{1,\ x = 0} + } + \] + Она непрерывна на $\R$. Раз мы знаем разложение + синуса, то можно записать выражение + \[ + f(x) = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - + \ldots + (-1)^{k - 1} \frac{x^{2k - 2}}{(2k - 1)!} + + o(x^{2k - 1}),\ x \to 0 + \] + Является ли оно формулой Тейлора? Как оказывается, да. + Но для доказательства нужно показать, что $f(x)$ + дифференцируема $n$ раз в нуле, что сделать крайне трудно. +\end{addition} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/18lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/18lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..ac80b6e8 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/18lecture.tex @@ -0,0 +1,242 @@ +\subsubsection*{Некоторые приёмы разложения функций по формуле Тейлора} + +\begin{enumerate} + \item Если $f$ дифференцируема $n + 1$ раз в точке $x_0$ и + \[ + f'(x - x_0) = \suml_{k = 0}^n b_k (x - x_0)^k + o((x - x_0)^n),\ x \to x_0 + \] + то + \[ + f(x) = f(0) + \suml_{k = 0}^n \frac{b_k}{k + 1} (x - x_0)^{k + 1} + o((x - x_0)^{n + 1}),\ x \to x_0 + \] + \begin{proof} + Разложим $f(x)$ по формуле Тейлора: + \[ + f(x) = f(0) + \suml_{k = 0}^n a_k (x - x_0)^{k + 1} + o((x - x_0)^{n + 1}),\ x \to x_0 + \] + При этом $a_k = \frac{f^{(k + 1)}(x_0)}{(k + 1)!} = \frac{(f')^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot \frac{1}{k + 1} = \frac{b_k}{k + 1}$ + \end{proof} + \begin{example} + \[ + (\arcctg x)' = -\frac{1}{1 + x^2} + \] + Разложим производную $\arcctg x$ в ряд Маклорена: + \[ + -\frac{1}{1 + x^2} = -(1 + x^2)^{-1} = \suml_{k = 0}^n C_{-1}^k \cdot k! \cdot x^{2k} + o(x^{2n + 1}) = \suml_{k = 0}^n (-1)^{k + 1} x^{2k} + o(x^{2n + 1}) + \] + Отсюда получаем, что + \[ + \arcctg x = \frac{\pi}{2} + \suml_{k = 0}^n \frac{(-1)^{k + 1}}{2k + 1} x^{2k + 1} + o(x^{2n + 2}),\ x \to 0 + \] + \end{example} + + \item Метод неопределённых коэффициентов + \begin{example} + Пусть $f$ имеет вид + \[ + f(x) = \System{ + &{x \ctg x,\ x \neq 0} + \\ + &{1,\ x = 0} + } + \] + Тогда $f(x)$ при $x \neq 0$ имеет ещё вид + \begin{align*} + &f(x) = \frac{\cos x}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^5)}{1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} + o(x^5)} = a_0 + a_2x^2 + a_4x^4 + o(x^5),\ x \to 0 + \\ + &\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)\right) = \left(a_0 + a_2x^2 + a_4x^4 + o(x^5)\right) \cdot \left(1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} + o(x^5)\right),\ x \to 0 + \end{align*} + Чтобы равенство выполнялось, должны быть равны коэффициенты при одинаковых степенях у приведённых многочленов. Отсюда имеем + \begin{align*} + &{1 = a_0} + \\ + &{-\frac{1}{2} = a_2 - \frac{a_0}{6} \Ra a_2 = -\frac{1}{3}} + \\ + &{\frac{1}{24} = a_4 - \frac{a_2}{6} + \frac{a_0}{120} \Ra a_4 = -\frac{1}{45}} + \end{align*} + То есть + \[ + f(x) = 1 - \frac{x^2}{3} - \frac{x^4}{45} + o(x^5) + \] + Но опять же, нужно доказать, что это формула Тейлора. Иначе это просто асимптотическое разложение + \end{example} + + \item Применение формулы Тейлора для подсчёта пределов + \begin{example} + Вычислим следующий предел: + \[ + \liml_{x \to 0} \left(e^{x^2 \ctg x} + \ln(1 - x)\right)^{1 / \left(\arcctg (\sh x) + \sin x - \frac{\pi}{2}\right)} + \] + Заметим, что он представим в виде + \[ + \liml_{x \to 0} \left(1 + u(x)\right)^{1 / v(x)} = \liml_{x \to 0} e^{ \frac{\ln (1 + u(x))}{v(x)}} + \] + где $u, v = o(1),\ x \to 0$. Тогда, в силу эквивлентности + \[ + \liml_{x \to 0} e^{ \frac{\ln (1 + u(x))}{v(x)}} = \liml_{x \to 0} e^{\frac{u(x)}{v(x)}} + \] + Распишем $u(x)$: + \begin{multline*} + u(x) = e^{x\left(1 - \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{45}x^4 + o(x^5)\right)} - x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5} + o(x^5) - 1 = + \\ + 1 + x\left(1 - \frac{1}{3}x^2 + o(x^3)\right) + \frac{x^2\left(1 - \frac{1}{3}x^2 + o(x^3)\right)^2}{2!} + \frac{x^3\left(1 - \frac{1}{3}x^2 + o(x^3)\right)^3}{3!} + + \\ + o\left(x^3\left(1 - \frac{1}{3}x^2 + o(x^3)\right)^3\right) - 1 - x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + o(x^3) = \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{3}\right)x^3 + o(x^3) = + \\ + -\frac{1}{2}x^3 + o(x^3) + \end{multline*} + Теперь $v(x)$: + \[ + \sh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^6) + \] + \begin{multline*} + \arcctg(\sh x) = \frac{\pi}{2} - \left(x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^6)\right) + \frac{1}{3}\left(x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^6)\right)^3 - + \\ + \frac{1}{5}\left(x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^6)\right)^5 + o\left(\left(x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^6)\right)^6\right) = + \\ + \frac{\pi}{2} - x + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{6}\right)x^3 + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{120} - \frac{1}{5}\right)x^5 + o(x^6),\ x \to 0 + \end{multline*} + В итоге имеем + \begin{multline*} + v(x) = \frac{\pi}{2} - x + \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{24}x^5 + o(x^6) + x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 + o(x^6) - \frac{\pi}{2} = + \\ + -\frac{1}{30}x^5 + o(x^6),\ x \to 0 + \end{multline*} + Отсюда предел получает вид + \[ + \liml_{x \to 0} e^{\frac{u(x)}{v(x)}} = \liml_{x \to 0} e^{\frac{-\frac{1}{2}x^3 + o(x^3)}{-\frac{1}{30}x^5 + o(x^6)}} = +\infty + \] + \end{example} +\end{enumerate} + +\subsection{Исследование функции с помощью производной} + +\begin{theorem} \label{monoF} (Необходимое и достаточное условия монотонности функции) + Если $f$ дифференцируема на $(a; b)$, то + \begin{enumerate} + \item $\forall x \in (a; b)\ f'(x) \ge 0 \lra f(x)$ неубывающая на $(a; b)$ + + \item $\forall x \in (a; b)\ f'(x) \le 0 \lra f(x)$ невозрастающая на $(a; b)$ + + \item $\forall x \in (a; b)\ f'(x) > 0 \Ra f(x)$ возрастающая на $(a; b)$ + + \item $\forall x \in (a; b)\ f'(x) < 0 \Ra f(x)$ убывающая на $(a; b)$ + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Докажем первый случай. Начнём с утверждения $\Ra$: + + Рассмотрим $\forall a < x_1 < x_2 < b$. Тогда, по теореме Лагранжа + \[ + \exists c \in (x_1; x_2) \such \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c) + \] + Отсюда + \[ + f(x_2) - f(x_1) = f'(c) (x_2 - x_1) \ge 0 + \] + + Теперь докажем $\La$: посчитаем производную в некоторой точке $x_0 \in (a; b)$: + \[ + f'(x_0) = f'_+(x_0) = \liml_{\Delta x \to 0+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} + \] + Так как $x_0 + \Delta x > x_0 \Ra f(x_0 + \Delta x) \ge f(x_0)$. Отсюда + \[ + f'(x_0) = f'_+(x_0) \ge 0 + \] +\end{proof} + +\begin{note} + В случаях 3 и 4 утверждение верно в одну сторону. Контрпример: + \[ + y = \pm x^3,\ x \in (-1; 1) + \] +\end{note} + +\begin{note} + Если дополнительно потребовать непрерывности $f$ на $[a; b]$, то в теорема будет верна на $[a; b]$. +\end{note} + +\begin{theorem} (Первое достаточное условие локального экстремума) + Пусть $f$ непрерывна в $U_\delta(x_0)$, дифференцируема в $\mc{U}_\delta(x_0)$. Тогда + \begin{enumerate} + \item Если $\forall x \in (x_0 - \delta, x_0)\ f'(x) < 0$ и $\forall x \in (x_0, x_0 + \delta)\ f'(x) > 0$, то $x_0$ является точкой строгого локального минимума. + + \item Если $\forall x \in (x_0 - \delta, x_0)\ f'(x) > 0$ и $\forall x \in (x_0, x_0 + \delta)\ f'(x) < 0$, то $x_0$ является точкой строгого локального максимума. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Докажем первый случай. Выберем $x_1 \in (x_0 - \delta; x_0)$. Тогда, $f$ непрерывна на $[x_1; x_0]$ и $\forall x \in (x_1; x_0)\ f'(x) < 0$. То есть, $f$ убывает на $[x_1; x_0]$ по теореме \ref{monoF}. Аналогично доказывается, что $f$ возрастает на $[x_0; x_2]$. Значит + \[ + \exists \delta' = \min(x_0 - x_1, x_2 - x_0) \such \forall x \in \mc{U}_{\delta'}(x_0)\ f(x) > f(x_0) + \] + $x_0$ - локальный минимум. +\end{proof} + +\begin{theorem} (Второе достаточное условие локального экстремума) + Пусть $f^{(n)}(x_0) \neq 0$, а $f'(x_0) = \ldots = f^{(n - 1)}(x_0) = 0$. Тогда + \begin{enumerate} + \item При $n$ - чётном + \[ + \System{ + &{f^{(n)}(x_0) > 0 \Ra x_0 \text{ - точка строгого локального минимума}} + \\ + &{f^{(n)}(x_0) < 0 \Ra x_0 \text{ - точка строгого локального максимума}} + } + \] + + \item При $n$ - нечётном $x_0$ не является точкой локального экстремума + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано можно записать разложение: + \[ + f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n),\ x \to x_0 + \] + Перепишем это выражение в другом виде: + \[ + n! \cdot \frac{f(x) - f(x_0)}{f^{(n)}(x_0)} = (x - x_0)^n + o((x - x_0)^n),\ x \to x_0 + \] + + Если $n$ чётно, то справа стоит положительное число. То есть + \[ + \frac{f(x) - f(x_0)}{f^{(n)}(x_0)} > 0,\ x \to x_0 + \] + Если $f^{(n)}(x_0) > 0$, то и $f(x) > f(x_0),\ \forall x \in \mc{U}_\delta(x_0)$. Следовательно $x_0$ - точка строгого локального минимума. Аналогично при $f^{(n)}(x_0) < 0$ $x_0$ - точка строгого локального максимума. + + Если $n$ нечётно, то выражение справа положительно при $x \to x_0+0$ и отрицательно при $x \to x_0-0$. Это значит, что какой бы знак мы не выбрали для $f^{(n)}(x_0)$, разность $f(x) - f(x_0)$ принимает разные знаки по разные стороны от $x_0$, то есть $x_0$ не является точкой локального экстремума. +\end{proof} + +\begin{definition} + Функция $f$ называется \textit{выпуклой вниз(вогнутой вверх)} на $(a; b)$, если её график лежит не выше любой хорды, стягивающей две точки графика. +\end{definition} + +\begin{definition} + Функция $f$ называется \textit{выпуклой вверх(вогнутой вниз)} на $(a; b)$, если её график лежит не ниже любой хорды, стягивающей две точки графика. +\end{definition} + +%\subsubsection*{Геометрический смысл выпуклости} + +%% Нарисовать. 1:15:42 16я лекция 2021г + +\subsubsection*{Аналитический смысл выпуклости} + +Возьмём 2 точки $a < x_1 \le x_2 < b$. Координаты точки на хорде можно выразить параметрически: +\[ + \System{ + &x_0 = tx_1 + (1 - t)x_2 + \\ + &y_0 = tf(x_1) + (1 - t)f(x_2) + } + ,\ t \in [0; 1] +\] +Выпуклость вниз по определению означает, что +\[ + f(tx_1 + (1 - t)x_2) \le tf(x_1) + (1 - t)f(x_2) +\] + +\begin{note} + Если неравенство - строгое $\forall t \in (0; 1),\ \forall x_1, x_2 \in (a; b)$, то $f$ \textit{строго выпукла вниз (вверх)} +\end{note} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/19lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/19lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..ff1e80d7 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/19lecture.tex @@ -0,0 +1,254 @@ +\begin{theorem} (Необходимое и достаточное условия строгой выпуклости) + Пусть $f$ дважды дифференцируема на $(a; b)$. Тогда + \begin{enumerate} + \item $\forall x \in (a; b)\ f''(x) \ge 0 \lra$ $f$ выпукла вниз на $(a; b)$ + + \item $\forall x \in (a; b)\ f''(x) \le 0 \lra$ $f$ выпукла вверх на $(a; b)$ + + \item $\forall x \in (a; b)\ f''(x) > 0 \Ra$ $f$ строго выпукла вниз на $(a; b)$ + + \item $\forall x \in (a; b)\ f''(x) < 0 \Ra$ $f$ строго выпукла вверх на $(a; b)$ + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Докажем первый случай. Начнём с достаточности. Для этого распишем функцию в точках $x_1$ и $x_2$ по формуле Тейлора: + \begin{align*} + &f(x_1) = f(x_0) + f'(x_0)(x_1 - x_0) + \frac{f''(\xi_1)}{2!}(x_1 - x_0)^2,\ x_1 < \xi_1 < x_0 + \\ + &f(x_2) = f(x_0) + f'(x_0)(x_2 - x_0) + \frac{f''(\xi_2)}{2!}(x_2 - x_0)^2,\ x_0 < \xi_2 < x_2 + \end{align*} + При этом естественно $a < x_1 < x_2 < b$. Так как вторая производная в точках $\xi_1$ и $\xi_2$ неотрицательна, то + \begin{align*} + f(x_1) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x_1 - x_0) + \\ + f(x_2) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x_2 - x_0) + \end{align*} + Раз $x_0 \in (x_1; x_2)$, то $\exists t \in (0; 1) \such x_0 = tx_1 + (1 - t)x_2$. Домножим уравнения на $t > 0$ и $1 - t > 0$ соответственно и сложим. Получим + \[ + t \cdot f(x_1) + (1 - t) \cdot f(x_2) \ge f(x_0) + f'(x_0)\left(tx_1 + (1 - t)x_2 - x_0\right) = f(x_0) = f(tx_1 + (1 - t)x_2) + \] + + Теперь докажем необходимость. Выберем $\forall x_0 \in (a; b)$. Положим $\delta := \min(b - x_0, x_0 - a)$ и рассмотрим $\forall u \in (-\delta; \delta)$. Тогда $f(x_0 \pm u)$ - определены и могут быть записаны по Формуле Тейлора: + \[ + f(x_0 \pm u) = f(x_0) \pm f'(x_0)u + \frac{f''(x_0)}{2!}u^2 + o(u^2),\ u \to 0 + \] + Положим $x_1, x_2 \such x_1 < x_2, \{x_1, x_2\} = \{f(x_0 - u), f(x_0 + u)\}$. Тогда $t = \frac{1}{2}$ для $x_0$ при любом $u$. То есть + \[ + f(x_0) \le \frac{1}{2}f(x_0 - u) + \frac{1}{2}f(x_0 + u) + \] + Подставим формулы Тейлора вместо $f(x_0 \pm u)$. Получим + \[ + \frac{1}{2}\left(f(x_0 - u) + f(x_0 + u)\right) = f(x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}u^2 + o(u^2),\ u \to 0 + \] + Перепишем данное выражение в другом виде + \[ + \frac{1}{u^2}\left(\frac{1}{2}\left(f(x_0 - u) + f(x_0 + u)\right) - f(x_0)\right) = \frac{f''(x_0)}{2} + o(1),\ u \to 0 + \] + Раз правая часть имеет предел, то и левая тоже. При этом левая часть положительна. Значит + \[ + \frac{f''(x_0)}{2} \ge 0 \lra f''(x_0) \ge 0 + \] +\end{proof} + +\begin{note} + В случаях 3 и 4 утверждение верно в одну сторону. Контрпример: + \[ + y = \pm x^4,\ x \in (-1; 1) + \] +\end{note} + +\begin{definition} + Пусть $f$ непрерывна на $U_{\delta_0}(x_0)$, $\exists f'(x_0) \in \bar{\R}$ и $\exists \delta \in (0; \delta_0)$, при этом + \begin{itemize} + \item либо на $(x_0 - \delta; x_0)$ $f$ выпукла вниз, а на $(x_0; x_0 + \delta)$ выпукла вверх; + + \item либо на $(x_0 - \delta; x_0)$ $f$ выпукла вверх, а на $(x_0; x_0 + \delta)$ выпукла вниз. + \end{itemize} + Тогда $x_0$ называется \textit{точкой перегиба} $f(x)$. +\end{definition} + +\begin{theorem} (Необходимое и достаточное условия точки перегиба) + Если $f$ непрерывна в $U_{\delta_0}(x_0)$, $\exists f'(x_0) \in \bar{\R}$ и $f$ дважды дифференцируема в $\mc{U}_{\delta_0}(x_0)$, то $x_0$ является точкой перегиба функции $f(x)$ тогда и только тогда, когда $\exists \delta > 0$ такая, что + \begin{itemize} + \item либо $\forall x \in (x_0 - \delta; x_0)\ f''(x) \ge 0$ и $\forall x \in (x_0; x_0 + \delta)\ f''(x) \le 0$; + + \item либо $\forall x \in (x_0 - \delta; x_0)\ f''(x) \le 0$ и $\forall x \in (x_0; x_0 + \delta)\ f''(x) \ge 0$ + \end{itemize} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Напрямую следует из необходимого и достаточного условий выпуклости функции. +\end{proof} + +\begin{theorem} (Геометрическое необходимое условие точки перегиба) + Если $f$ дважды дифференцируема в окрестности точки $x_0$ и $y_{\text{кас}}(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)$ - уравнение касательной к графику $f(x)$ в точке $x_0$, то из выполнения одного из следующей пары условий следует, что $x_0$ - точка перегиба: + \begin{enumerate} + \item $\forall x \in (x_0 - \delta; x_0)\ y_{\text{кас}}(x) \le f(x)$ и $\forall x \in (x_0; x_0 + \delta)\ y_{\text{кас}}(x) \ge f(x)$; + + \item $\forall x \in (x_0 - \delta; x_0)\ y_{\text{кас}}(x) \ge f(x)$ и $\forall x \in (x_0; x_0 + \delta)\ y_{\text{кас}}(x) \le f(x)$. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Распишем $f(x)$ по формуле Тейлора: + \[ + f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(\xi)}{2!}(x - x_0)^2 = y_{\text{кас}}(x) + \frac{f''(\xi)}{2!}(x - x_0)^2 + \] + Доказательство свелось к смене знаков второй производной. +\end{proof} + +\begin{note} + Условия в теореме не являются достаточными. Контрпримером является функцияа + \[ + f(x) = \System{ + &{\left(2 + \sin \frac{1}{x}\right)x^5,\ x \neq 0} + \\ + &{0,\ x = 0} + } + \] + Производная имеет вид + \[ + f'(x) = \System{ + &{-x^3\cos \frac{1}{x} + 5x^4\left(2 + \sin \frac{1}{x}\right),\ x \neq 0} + \\ + &{0,\ x = 0} + } + \] + Вторая производная: + \[ + f''(x) = \System{ + &{-x\sin \frac{1}{x} - 8x^2 \cos \frac{1}{x} + 20x^3 \left(2 + \sin \frac{1}{x}\right),\ x \neq 0} + \\ + &{0,\ x = 0} + } + \] + Рассмотрим значение второй производной при стремлении к нулю: + \[ + f''(x) = -x\sin \frac{1}{x} - 8x^2 \cos \frac{1}{x} + 20x^3 \left(2 + \sin \frac{1}{x}\right) = -x \left(\sin \frac{1}{x} + 8x \cos \frac{1}{x} - 20x^2 \left(2 + \sin \frac{1}{x}\right)\right) + \] + То есть $f''$ бесконечно много раз меняет свой знак при стремлении к 0, хотя при этом выполнены условия на $y_{\text{кас}}$ +\end{note} + +%% Нарисовать. 58:03 запись стрима 19й лекции + +\begin{definition} + Прямая $x = x_0$ называется \textit{вертикальной асимптотой} графика функции $f(x)$, если хотя бы один из односторонних пределов $f(x_0 \pm 0)$ бесконечен. +\end{definition} + +\begin{definition} + Прямая $y = kx + b$ называется \textit{асимптотой} графика функции $f(x)$, если + \[ + \liml_{x \to +\infty} (f(x) - (kx + b)) = 0 + \] + или + \[ + \liml_{x \to -\infty} (f(x) - (kx + b)) = 0 + \] + Если $k = 0$, то асимптота называется \textit{горизонтальной}, при $k \neq 0$ - \textit{наклонной}. +\end{definition} + +\begin{theorem} + Прямая $y = kx + b$ является асимптотой графика функции $y = f(x)$ тогда и только тогда, когда существуют пределы + \begin{align*} + &\liml_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = k + \\ + &\liml_{x \to +\infty} \left(f(x) - kx\right) = b + \end{align*} + Для $-\infty$ аналогично. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Покажем необходимость: пусть $y = kx + b$ - асимптота. Значит + \[ + \liml_{x \to +\infty} (f(x) - kx - b) = 0 + \] + Заметим следующие пределы: + \begin{align*} + &\liml_{x \to +\infty} \frac{f(x) - kx - b}{x} = 0 + \\ + &\liml_{x \to +\infty} \frac{kx + b}{x} = k + \end{align*} + Отсюда следует, что + \[ + \liml_{x \to +\infty} \frac{f(x) - kx - b}{x} = 0 = \liml_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} - k \lra \liml_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = k + \] + А второй предел получается из самого первого простым добавлением $b$ в обе части: + \[ + \liml_{x \to +\infty} \left(f(x) - kx - b\right) + b = b = \liml_{x \to +\infty} \left(f(x) - kx\right) + \] + + Теперь покажем необходимость: + \[ + \liml_{x \to +\infty} \left(f(x) - kx\right) = b \Ra \liml_{x \to +\infty} \left(f(x) - (kx + b)\right) = 0 + \] +\end{proof} + +\subsubsection*{Схема исследования функции и построения графика} + +\begin{enumerate} + \item Область определения, особенности (чётность, нечётность, периодичность) + + \item Промежутки знакопостоянства, точки пересечения с осями координат + + \item Монотонность, экстремумы + + \item Выпуклость, точки перегиба + + \item Асимптоты + + \item Построение графика +\end{enumerate} + +\begin{example} + \[ + y = \sqrt{|x^2 - 3x + 2|} + \] + \begin{enumerate} + \item $D(y) = \R$, функция общего вида, непериодична + + \item $y \ge 0$, точки пересечения с осями: $(0, \sqrt{2}),\ (1, 0),\ (2, 0)$ + + \item При $x \neq 1,\ x \neq 2$: + \[ + y' = \frac{(2x - 3) \cdot \sgn (x^2 - 3x + 2)}{2 \sqrt{|x^2 - 3x + 2|}} + \] + %%% Нарисовать + %Здесь должна быть числовая ось со знаками производной. Из рисунка следует, что + \begin{align*} + &{x = 1, \text{ - локальный минимум},\ y(1) = 0} + \\ + &{x = \frac{3}{2}, \text{ - локальный максимум},\ y\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}} + \\ + &{x = 2, \text{ - локальный минимум},\ y(2) = 0} + \end{align*} + \item При $x \neq 1,\ x \neq 2$ + \begin{multline*} + y'' = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sgn (x^2 - 3x + 2) \sqrt{|x^2 - 3x + 2|} - \frac{(2x - 3)^2 \sgn^2 (x^2 - 3x + 2)}{2 \sqrt{|x^2 - 3x + 2|}}}{|x^2 - 3x + 2|} = + \\ + \frac{1}{4} \cdot \frac{4(x^2 - 3x + 2) - (2x - 3)^2}{|x^2 - 3x + 2|^{3/2}} = \frac{-1}{4|x^2 - 3x + 2|^{3/2}} + \end{multline*} + %%% Нарисовать + %Здесь должна быть числовая ось с направлениями выпуклости на интервалах. + + \item Сразу понятно, что у функции нету вертикальных асимптот. Найдём предел + \[ + \liml_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \liml_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2}} = 1 + \] + Теперь ещё предел: + \[ + \liml_{x \to +\infty} y - x = \liml_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3x + 2} - x = \liml_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 3x + 2 - x^2}{\sqrt{x^2 - 3x + 2} + x} = -\frac{3}{2} + \] + То есть $y = x - \frac{3}{2}$ - правая наклонная асимптота. + Аналогично проделаем для $x \to -\infty$: + \[ + \liml_{x \to -\infty} \frac{y}{x} = -\liml_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2}} = -1 + \] + \[ + \liml_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 - 3x + 2} - (-1)x = \liml_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 3x + 2 - x^2}{\sqrt{x^2 - 3x + 2} - x} = \frac{3}{2} + \] + Отсюда $y = -x + \frac{3}{2}$ - левая наклонная асимптота. + + %\item Тут должен быть график функции %%% Нарисовать 1:23:30 Введение в матан 19 + \end{enumerate} +\end{example} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/1lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/1lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..c1c5e617 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/1lecture.tex @@ -0,0 +1,280 @@ +\section{Предварительные сведения} + +\subsection{Элементы математической логики} + +\begin{definition} + Высказывание - это выражение, принимающее либо значение истины $(1)$, либо ложности $(0)$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Предикат - это высказывание, зависящее от переменных. +\end{definition} + +\subsubsection*{Обозначения} + +\begin{enumerate} + \item Высказывания обозначаюся заглавными латинскими буквами: $A, B, \dots$ + \item $A(x_1, \dots, x_n)$ - предикат, например, $A(x, y)$ --- река $x$ впадает в море + \item $:=$ - является по определению + \item $\neg A$ - отрицание высказывания $A$. Логическое "не". + \item $A \wedge B$ - конъюнкция. Логическое "и". + \item $A \vee B$ - дизъюнкция. Логическое "или". + \item $A \ra B$ - импликация. Логическое "если $A$, то $B$". + \item $A \lra B$ - эквиваленция ($A$ ТиТТК $B$) ($A$ iff $B$) +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Кванторы} + +$\forall$ --- квантор общности (для всех, для любых) + +$\exists$ --- квантор существования (найдется, существует) + + +\begin{example}[предиката] + $B(a) = ((\forall b \in \R)\ (\exists c \in \R)\ |\ (\forall x \in \R)\ ax^2 + bx + c \ge 0) $. $B(a) \lra (a > 0)$ +\end{example} + + +\subsubsection*{Эквивалентность и равносильность} + +Эквивалентность $\lra$ нужно не путать с логической равносильностью $\equiv$. Первое является логической операцией, тогда как второе точно гарантирует, что высказывание $B$ имеет ровно то же значение, что и высказывание $A$. + + +\subsection{"Наивная"\ теория множеств} + +\subsubsection*{Обозначения} + +\begin{enumerate} + \item $A, B, \dots$ - множества. Обозначаются заглавными латинскими буквами (как правило). + \item $a \in A$ - элемент $a$ принадлежит множеству $A$. То же самое, что и $A \ni a$. + \item $\neg (a \in A) \lra a \notin A$ +\end{enumerate} + + +\subsubsection*{Операции над множествами} + +\begin{definition} + \textit{Объединением множеств} $A$ и $B$ называется множество $A \cup B := \{x\ |\ (x \in A) \vee (x \in B)\}$ +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Пересечением множеств} $A$ и $B$ называется множество $A \cap B := \{x\ |\ (x \in A) \wedge (x \in B)\}$ +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Разностью множеств} $A$ и $B$ называется множество $A \bs B := \{x\ |\ (x \in A) \wedge (x \notin B)\}$. + + Также используется и второе обозначение $A \bs B \lra C_A B$. $C$ - это сокращение от французского \textit{complément}. +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Симметрической разностью множеств} $A$ и $B$ называется множество $A \triangle B := \{x\ |\ (x \in (A \bs B)) \vee (x \in (B \bs A))\} \lra (A \bs B) \cup (B \bs A)$ +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Универсальным множеством} $U$ называется такое множество, которое включает в себя все множества рассматриваемой системы, кроме самого себя. Обычно обозначается как $U$ от слова \textit{universal}. +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Дополнением множества} $A$ называется $C_U A$. Другим обозначением служит $A^C := C_U A$ +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Пустым множеством} $\emptyset$ называется такое множество, которое не содержит в себе элементов. Оно существует и единственно. ($\emptyset \subset U$) +\end{definition} + + +\subsubsection*{Свойства операций над множествами} + +\begin{itemize} + \item Коммутативность + \begin{align*} + A \cup B = B \cup A \\ + A \cap B = B \cap A + \end{align*} + \item Ассоциативность + \begin{align*} + (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \\ + (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) + \end{align*} + \item Дистрибутивность + \begin{align*} + A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \\ + A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) + \end{align*} + \item Идемпотентность + \begin{align*} + A \cup A = A \\ + A \cap A = A + \end{align*} + \item Двойственность (правила де Моргана) + \begin{align*} + (A \cup B)^C = A^C \cap B^C \\ + (A \cap B)^C = A^C \cup B^C + \end{align*} + \item Универсальное множество + \begin{align*} + U \cap A = A \\ + U \cup A = U + \end{align*} + \item Пустое множество + \begin{align*} + \emptyset \cap A = \emptyset \\ + \emptyset \cup A = A + \end{align*} +\end{itemize} + +\subsubsection*{Парадокс Рассела} + +\[A := \left\{X : X \notin X\right\}.\ A \in A ?\] + +\subsection{Отображения и функции} + +\begin{definition} + $(f \colon X \ra Y) \lra \left(\forall x \in X\ \exists! \ + y \in Y\right)\ y = f(x)$ - отображение + (функция) из множества $X$ в множество $Y$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Множество $X$ называется \textit{областью определения} $f$ +\end{definition} + +\begin{definition} + $f(X)$ - множество значений $f$.\\ Более точная формулировка выглядит так: + $$ + f(X) = \{y \in Y \such \exists x \in X\ f(x) = y\} + $$ + Ещё множество значений $f$ называют \textit{образом множества} $X$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Отображение $f$ инъективно (взаимно однозначно), если \\ $(\forall x_1, x_2 \ + \in X,\ x_1 \neq x_2)\ f(x_1) \neq f(x_2)$. Инъективное отображение называется инъекцией. +\end{definition} + +\begin{definition} + Отображение $f$ сюръективно (отображение "на"), если \\ $(\forall y \ + \in Y)\ (\exists x \ \in X)\ y = f(x)$. Сюръективное отображение называется сюръекцией. +\end{definition} + +\begin{definition} + Отображение $f$ биективно (взаимно однозначное отображение "на"),\\ ТиТТК + $(f\ $инъективно$) \wedge (f\ $сюръективно). Биективное отображение называется биекцией. +\end{definition} + +\begin{definition} + Образ множества $A$ при отображении $f$, $(A \subset X):$ + + \[ f(A) := \left\{y \in Y : \left(\exists x \in A : f(x) = y\right) \right\}\] +\end{definition} + +\begin{definition} + $f^{-1}(Y)$ называется \textit{прообразом множества} $Y$ и определяется как + $$ + f^{-1}(Y) := \{x \in X : \exists y \in Y\ f(x) = y\} + $$ +\end{definition} + +\begin{itemize} + \item Если $f$ инъективно, то $f^{-1}(y)$ --- единственный + элемент множества $X$ либо $\emptyset$. + \item Если $f$ биективно, то $f^{-1}(y)$ --- отображение $Y$ на + $X$ (обратное отображение). + \item $f(X)$ --- множество значений отображения $f$. + \item $D(f)$ --- область определения $f$, $\left(D(f) \subset X\right)$ +\end{itemize} + +\subsection{Декартовы произведения и отношения} + +\begin{definition} + \textit{Декартовым произведением} множеств $A$ и $B$ называют упорядоченное множество пар: + \[ + A \times B := \{(a, b)\ |\ (a \in A) \wedge (b \in B)\} + \] + При этом $(a, b)$ называется \textit{упорядоченной парой}, то есть, в отличие от множеств, верно $(a, b) \neq (b, a)$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Декартово произведение множества $X$ на само себя называется \textit{декартовым квадратом} (или куб, если мы говорим о третьей степени). Обозначается как $X \times X = X^2$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Подмножество $R \subset X^2$ называется \textit{бинарным отношением на множестве $X$}. + ($R \subset X \times X$) \\ + + $(x, y) \in R := xRy$ - введём краткую запись того, что упорядоченная пара принадлежит отношению. +\end{definition} + +\begin{definition} + Бинарное отношение $R$ называется \textit{отношением эквивалентности}, если выполнены условия: + \begin{enumerate} + \item Рефлексивность $\forall x \in X \Ra xRx$ + \item Симметричность $\forall x, y \in X (xRy) \Ra (yRx)$ + \item Транзитивность $\forall x, y, z \in X (xRy) \wedge (yRz) \Ra (xRz)$ + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{definition} + Бинарное отношение $R$ называется \textit{отношением порядка}, если выполнены условия: + \begin{enumerate} + \item Рефлексивность $\forall x \in X \Ra xRx$ + \item Антисимметричность $\forall x, y \in X\ (xRy) \wedge (yRx) \Ra (x = y)$ + \item Транзитивность + $\forall x, y, z \in X\ (xRy) \wedge (yRz) \Ra (xRz)$ + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{adefinition} + Бинарное отношение $R$ называется \textit{отношением + строгого порядка},если выполнены условия: + \begin{enumerate} + \item Антирефлексивность $\forall x \in X \Ra \neg xRx$ + \item Асимметричность $\forall x, y \in X\ (xRy) \Ra \neg (yRx)$ + \item Транзитивность + $\forall x, y, z \in X\ (xRy) \wedge (yRz) \Ra (xRz)$ + \end{enumerate} +\end{adefinition} + +\begin{example} + Отношение $\subset$ между множествами является отношением порядка. $X := 2^{Y}$ + (Множество всех подмонжеств множества $Y$) +\end{example} +\begin{example} + Отношение $\le$ между действительными числами является тоже отношением порядка. $X = \R$. +\end{example} + +\begin{definition} + Говорят, что множество $X$ \textit{линейно упорядоченно}, если на нём задано отношение порядка $\prec$ такое, что $\forall x, y \in X (x \prec y) \vee (y \prec x)$ - всегда истинное высказывание. +\end{definition} + +Исходя из этого, нетрудно заметить, что множества сами по себе не являются линейно упорядоченными. + +\begin{anote} + Дополнительно стоит заметить, что отношения на множествах как бы не являются отношениями. Мы не можем говорить о множестве всех множеств, иначе мы получим парадокс Рассела. +\end{anote} + +\begin{definition} + Если на множестве $X$ задано отношение порядка, но оно не является линейно упорядоченным, то его называют \textit{частично упорядоченным}. +\end{definition} + +\begin{definition} + Если на множестве $X$ определено отношение эквивалентности $R$, то множество $X$ называется \textit{классом эквивалентности}, если + \[ + \forall x, y \in X\ xRy + \] +\end{definition} + +\begin{theorem} + Если на множестве $X$ задано отношение эквивалентности $R$, + то $X$ разбивается единственным образом на классы эквивалентности: + $$ + X = \bigcup\limits_{\alpha \in A} X_{\alpha} + $$ + При этом выполнены свойства: + \begin{enumerate} + \item $(\forall \alpha_1 \neq \alpha_2)(\alpha_1, \alpha_2 \in A) \ X_{\alpha_1} \cap X_{\alpha_2} = \emptyset$ + \item $(\forall \alpha)(\forall x, y \in X_{\alpha})\ xRy$ + \item $(\forall \alpha_1 \neq \alpha_2)(\forall x \in X_{\alpha_1})(\forall y \in X_{\alpha_2})\ \neg (xRy)$ + \end{enumerate} +\end{theorem} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/20lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/20lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..4ef95af2 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/20lecture.tex @@ -0,0 +1,496 @@ +\section{Вектор-функции и топология пространства $\R^n$} + +\subsection{Пространство $\R^n$} + +\subsubsection*{Алгебраические структуры} + +\begin{definition} + \textit{Линейным пространством} над полем действительных + чисел (линейным действительным пространством) называется + множество $X$, на котором определены операции + $+: X \times X \ra X$ и $\cdot: \R \times X \ra X$, + удовлетворяющие аксиомам линейного пространства: + \begin{enumerate} + \item $(\forall \vec{x}, \vec{y} \in X)\ \ \vec{x} + \vec{y} + = \vec{y} + \vec{x}\ \ $ \textit{(ассоциативность сложения)} + + \item $(\forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in X)\ \ + (\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} = \vec{x} + + (\vec{y} + \vec{z})\ \ $ \textit{(ассоциативность сложения)} + + \item $(\exists \vec{0} \in X)(\forall \vec{x} \in X) + \ \ \vec{x} + \vec{0} = \vec{x}\ \ $ \textit{(нейтральный + элемент относительно сложения)} + + \item $(\forall \vec{x} \in X)(\exists + (-\vec{x}) \in X)\ \ \vec{x} + (-\vec{x}) = \vec{0}\ \ $ + \textit{(обратный элемент относительно сложения)} + + \item $(\forall \alpha, \beta \in \R)(\forall + \vec{x} \in X)\ \ \alpha(\beta \vec{x}) = + (\alpha \beta) \vec{x}\ \ $ \textit{(ассоциативность + умножения на скаляр)} + + \item $(\forall \alpha, \beta \in \R)(\forall \vec{x} + \in X)\ \ (\alpha + \beta) \vec{x} = + \alpha \vec{x} + \beta \vec{x}\ $ \textit{(дистрибутивность + относительно скаляра)} + + \item $(\forall \alpha \in \R)(\forall \vec{x}, + \vec{y} \in X)\ \ \alpha(\vec{x} + \vec{y}) = + \alpha\vec{x} + \alpha\vec{y}\ \ $ \textit{(дистрибутивность + относительно вектора)} + + \item $(\forall \vec{x} \in X)\ \ 1 \cdot \vec{x} = \vec{x}\ \ $ + \textit{(нейтральный элемент относительно умножения)} + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{definition} + \[ + \R^n = \underbrace{\R \times \R \times \dots \times \R}_{n} + \] + $\R^n$ является линейным пространством над + полем $\R$ (линейным действительным пространством). + \[ + \vec{x} = (x_1, \ldots, x_n) \text{ - вектор};\ + \ \Matrix{&\xi^1 \\ &\vdots \\ &\xi^n} + \text{ - координатный столбец} + \] +\end{definition} + +\begin{proposition} + Ноль и обратный элемент единственны +\end{proposition} + +\begin{proof} + Единственность обратного элемента: + \[ + (\vec{x} + (-\vec{x})_1) + (-\vec{x})_2 = + (-\vec{x})_2 = (-\vec{x})_1 = + (\vec{x} + (-\vec{x})_2) + (-\vec{x})_1 + \] + Единственность нуля: + \[ + \vec{0}_1 + \vec{0}_2 = \vec{0}_1 = \vec{0}_2 = + \vec{0}_2 + \vec{0}_1 + \] +\end{proof} + +\begin{proposition} + \[ + 0 \cdot \vec{x} = \vec{0} + \] +\end{proposition} + +\begin{proof} + \[ + (0 + 0)\vec{x} = 0\vec{x} = 0\vec{x} + 0\vec{x} + \] + К обеим частям добавим обратный элемент к $0\vec{x}$ и + получим: + \[ + \vec{0} = 0\vec{x} + \] +\end{proof} + +\begin{proposition} + \[ + (-1)\vec{x} = -\vec{x} + \] +\end{proposition} + +\begin{proof} + Рассмотрим выражение + \[ + \vec{x} + (-1)\vec{x} = 1\vec{x} + (-1)\vec{x} = + (1 - 1)\vec{x} = 0\vec{x} = \vec{0} + \] + То есть $(-1)\vec{x}$ является обратным к $\vec{x}$ + по сложению. Отсюда по единственности + \[ + (-1)\vec{x} = -\vec{x} + \] +\end{proof} + +\begin{anote} + В 2023 году Алексей Леонидович не строил теории для комплексных чисел, + поэтому весь материал, связанный с ними, остался нетронутым с 2021 года. + К этому же числу относятся линейные отображения. +\end{anote} + +\begin{definition} + \textit{Комплексным} линейным пространством + называется линейное пространство над $\Cm$. + Определяется аналогично вещественному. +\end{definition} + +\begin{definition} + Отображение $L: X_1 \ra X_2$ линейного пространства $X_1$ над + $\R(\Cm)$ на линейное пространство $X_2$ над + $\R(\Cm)$ называется + \textit{линейным отображением (оператором)}, если + \begin{itemize} + \item $(\forall \vec{x}, \vec{y} \in X_1)\ \ + L(\vec{x} + \vec{y}) = L(\vec{x}) + L(\vec{y})$ + + \item $(\forall \alpha \in \R(\Cm))(\forall \vec{x} + \in X_1)\ \ L(\alpha \vec{x}) = \alpha L(\vec{x})$ + \end{itemize} +\end{definition} + +\begin{definition} + Если существует биекция линейного пространства + $X_1$ на $X_2$, являющаяся линейным оператором + вместе со своим обратным, то $X_1 \cong X_2$ (изоморфны) +\end{definition} + +\begin{definition} + Говорят, что на действительном линейном пространстве + $X$ задана \textit{комплексная структура}, если + существует линейный оператор $\goth{j}: X \to X$ + такой, что + \[ + \goth{j}^2 = -\id_X + \] +\end{definition} + +\begin{example} + На $\R^2$ комплексная структура задаётся оператором + \[ + \goth{j}: (x, y) \ra (-y, x) + \] +\end{example} + +\begin{example} + \[ + \{(x_1, x_2) \in \R^2 \such x_2 = 0\} \cong \R + \] +\end{example} + +\begin{example} + \[ + \{(z_1, z_2) \in \Cm^2 \such z_2 = 0\} \cong \Cm + \] +\end{example} + +\begin{lemma} + Комплексная структура на $\R^{2n}$ задаётся оператором с матрицей + \[ + \Matrix{ + 0& & -1& & \cdots& & & & 0 \\ + 1& & 0& & -1& & \cdots& & \vdots \\ + \vdots& & 1& & 0& & \ddots& & \\ + & & \vdots& & \ddots& & \ddots& & -1 \\ + 0& & \cdots& & & & 1& & 0 + } + \] +\end{lemma} + +\begin{definition} + Линейное действительное пространство называется \textit{евклидовым}, + если определена функция $\trbr{\cdot, \cdot}: X \times X \ra + \R$, обладающая свойствами: + \begin{itemize} + \item $(\forall \vec{x} \in X)\ \ \trbr{\vec{x}, + \vec{x}} \ge 0$, причём $\trbr{\vec{x}, \vec{x}} = + 0 \lra \vec{x} = \vec{0}$ + + \item $(\forall \vec{x}, \vec{y} \in X)\ \ + \trbr{\vec{x}, \vec{y}} = \trbr{\vec{y}, \vec{x}}$ + + \item $(\forall \alpha, \beta \in \R)\ \ + \trbr{\alpha\vec{x} + \beta\vec{y}, \vec{z}} = + \alpha\trbr{\vec{x}, \vec{z}} + \beta\trbr{\vec{y}, \vec{z}}$ + \end{itemize} + Эта функция $\trbr{\vec{x}, \vec{y}}$ называется скалярным + произведением +\end{definition} + +\begin{lemma} + $\R^n$ является вещественным евклидовым + пространством если определить скалярное произведение как: + \[ + \trbr{\vec{x}, \vec{y}} = \suml_{i = 0}^n x_iy_i + \] + где $\vec{x} = (x_1, \ldots, x_n);\ \vec{y} = (y_1, \ldots, y_n)$ +\end{lemma} + +\begin{addition} + Если в определении вещественного евклидового пространства + заменить первое свойство на + \[ + (\forall \vec{y} \in X\ \trbr{\vec{x}, \vec{y}} = 0) + \lra \vec{x} = \vec{0} + \] + то получим определение \textit{псевдоевклидового} пространства. +\end{addition} + +\begin{example} + $R^4$ - псевдоевклидово пространство, где для любых векторов + $\vec{x} = (x_0, x_1, x_2, x_3)$ и $\vec{y} = (y_0, y_1, y_2, y_3)$ + скалярное произведение имеет вид + \[ + \trbr{\vec{x}, \vec{y}} = x_0 y_0 - x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3 + \] + Это пространство носит имя \textit{пространства Минковского} и + играет большую роль в Специальной Теории Относительности. +\end{example} + +\begin{idea} + Доказательство проводится рутинной проверкой каждого + условия из определения евклидова пространства. +\end{idea} + +\begin{theorem} (Неравенство Коши-Буняковского-Шварца) \label{Cauchy–Schwarz} + Если $X$ - вещественное евклидовое пространство, то + \[ + (\forall \vec{x}, \vec{y} \in X)\ \ + |\trbr{\vec{x}, \vec{y}}|^2 \le + \trbr{\vec{x}, \vec{x}} \cdot + \trbr{\vec{y}, \vec{y}} + \] + причём равенство имеет место ТиТТК $\ x = 0$ или $y = 0$, или + $(\exists \lambda \in \R)\ \vec{x} = + \lambda \vec{y}\ $ (по сути, когда $\vec{x}\ ||\ \vec{y}$). +\end{theorem} + +\begin{proof} + Если $\vec{y} = \vec{0}$, то + \[ + \trbr{\vec{x}, \vec{0}} = \trbr{\vec{x}, + \vec{x} + (-\vec{x})} = \trbr{\vec{x}, \vec{x}} - + \trbr{\vec{x}, \vec{x}} = 0 = \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + \cdot \trbr{\vec{0}, \vec{0}} + \] + Теперь пусть $\vec{y} \neq \vec{0}$. + Рассмотрим скалярное произведение + $\trbr{\vec{x} + \lambda \vec{y}, + \vec{x} + \lambda \vec{y}},\ \lambda \in \R$: + \begin{multline*} + \trbr{\vec{x} + \lambda \vec{y}, + \vec{x} + \lambda \vec{y}} = + \trbr{\vec{x}, \vec{x} + \lambda\vec{y}} + + \lambda\trbr{\vec{y}, \vec{x} + \lambda\vec{y}} = + \trbr{\vec{x} + \lambda\vec{y}, \vec{x}} + + \lambda\trbr{\vec{x} + \lambda\vec{y}, \vec{y}} = + \\ + \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + \lambda\trbr{\vec{y}, + \vec{x}} + \lambda^2\trbr{\vec{y}, \vec{y}} + + \lambda\trbr{\vec{x}, \vec{y}} = + \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + 2\lambda + \trbr{\vec{x}, \vec{y}} + + \lambda^2\trbr{\vec{y}, \vec{y}} \ge 0 + \end{multline*} + Раз у квадратного трёхчлена относительно $\lambda$ + коэффициент при старшей степени положителен и весь + он неотрицателен, то дискриминант должен быть + неположителен (чтобы было не более одного корня вследствие + геометрического положения параболы): + \[ + \frac{D}{4} = \trbr{\vec{x}, \vec{y}}^2 - + \trbr{\vec{x}, \vec{x}} \cdot \trbr{\vec{y}, \vec{y}} + \le 0 + \] + При этом если $D = 0$ и выражение выше обращается в + равенство, то + \[ + (\exists \lambda \in \R)\ + \trbr{\vec{x} + \lambda \vec{y}, + \vec{x} + \lambda \vec{y}} = 0 + \] + Тогда + $\vec{x} + \lambda\vec{y} = \vec{0} \lra \vec{x} = + (-\lambda)\vec{y}$ +\end{proof} + +\begin{corollary} + \[ + (\forall \vec{x}, \vec{y} \in \R^n)\ \ \ + \Big|\suml_{i = 1}^n x_i y_i\Big| \le + \sqrt{\suml_{i = 1}^n x_i^2} \cdot + \sqrt{\suml_{i = 1}^n y_i^2} + \] +\end{corollary} + +%-------------------------- Не было ---------------------- + +\begin{definition} + Комплексным евклидовым (унитарным) пространством называется комплексное линейное пространство $X$, для любых двух элементов которого $\vec{x}, \vec{y} \in X$ определено число $\trbr{\vec{x}, \vec{y}} \in \Cm$ так, что + \begin{itemize} + \item $\forall \vec{x}, \vec{y} \in X\ \ \trbr{\vec{x}, \vec{x}} \ge 0$, причём $\trbr{\vec{x}, \vec{x}} = 0 \lra \vec{x} = \vec{0}$ + + \item $\forall \vec{x}, \vec{y} \in X\ \ \trbr{\vec{x}, \vec{y}} = \overline{\trbr{\vec{y}, \vec{x}}}$ + + \item $\forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in X\ \forall \alpha, \beta \in \Cm\ \ \trbr{\alpha\vec{x} + \beta\vec{y}, \vec{z}} = \alpha\trbr{\vec{x}, \vec{z}} + \beta\trbr{\vec{y}, \vec{z}}$ + \end{itemize} + $\trbr{\vec{x}, \vec{y}}$ называется \textit{эрмитовым} скалярным произведением. +\end{definition} + +\begin{lemma} + $\Cm^n$ является унитарным с $\trbr{\vec{z}, \vec{w}} = \suml_{i = 0}^n z_i \bar{w_i}$, для $\vec{z} = (z_1, \ldots, z_n)$ и $\vec{w} = (w_1, \ldots, w_n)$. +\end{lemma} + +%-------------------------- Не было ---------------------- + +\begin{theorem} (Неравенство Коши-Буняковского-Шварца для унитарных пространств) + Если $X$ - унитарное пространство, то для любых $\vec{z}, \vec{w} \in X$ верно неравенство + \[ + |\trbr{\vec{z}, \vec{w}}| \le \sqrt{\trbr{\vec{z}, \vec{z}}} \cdot \sqrt{\trbr{\vec{w}, \vec{w}}} + \] + причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\exists \lambda \in \Cm \such \vec{z} = \lambda\vec{w}$ или $\vec{w} = \vec{0}$ +\end{theorem} + +\begin{proof} + Обозначим $\trbr{\vec{z}, \vec{w}} = |\trbr{\vec{z}, \vec{w}}|e^{i\varphi}$. Рассмотрим $\trbr{\vec{z} + \lambda e^{i\varphi} \vec{w}, \vec{z} + \lambda e^{i\varphi} \vec{w}},\ \lambda \in \R$: + \begin{multline*} + \trbr{\vec{z} + \lambda e^{i\varphi} \vec{w}, \vec{z} + \lambda e^{i\varphi} \vec{w}} = \trbr{\vec{z}, \vec{z} + \lambda e^{i\varphi} \vec{w}} + \lambda e^{i\varphi} \trbr{\vec{w}, \vec{z} + \lambda e^{i\varphi} \vec{w}} = + \\ + \overline{\trbr{\vec{z} + \lambda e^{i\varphi} \vec{w}, \vec{z}}} + \lambda e^{i\varphi} \overline{\trbr{\vec{z} + \lambda e^{i\varphi} \vec{w}, \vec{w}}} = \overline{\trbr{\vec{z}, \vec{z}}} + \overline{\lambda e^{i \varphi}} \cdot \overline{\trbr{\vec{w}, \vec{z}}} + \lambda e^{i\varphi} \overline{\trbr{\vec{z}, \vec{w}}} + \lambda e^{i\varphi} \cdot \overline{\lambda e^{i\varphi}} \cdot \overline{\trbr{\vec{w}, \vec{w}}} = + \\ + \trbr{\vec{z}, \vec{z}} + 2\lambda |\trbr{\vec{z}, \vec{w}}| + \lambda^2 \trbr{\vec{w}, \vec{w}} \ge 0 + \end{multline*} + И снова получили квадратный трёхчлен относительно $\lambda$: + \[ + \frac{D}{4} = |\trbr{\vec{z}, \vec{w}}|^2 - \trbr{\vec{w}, \vec{w}} \cdot \trbr{\vec{z}, \vec{z}} \le 0 + \] + Отсюда + \[ + |\trbr{\vec{z}, \vec{w}}| \le \sqrt{\trbr{\vec{w}, \vec{w}}} \cdot \sqrt{\trbr{\vec{z}, \vec{z}}} + \] +\end{proof} + +\begin{corollary} + Для любых комплексных чисел + \[ + \left|\suml_{i = 1}^n z_i w_i\right| \le \sqrt{\suml_{i = 1}^n |z_i|^2} \cdot \sqrt{\suml_{i = 1}^n |w_i|^2} + \] +\end{corollary} + +\subsubsection*{Топология $\R^n$} + +\begin{definition} + Линейное действительное пространство $X$ называется + \textit{линейным нормированным пространством (ЛНП)}, + если на нём определена функция $\|\cdot\|: X \ra \R$ + (норма), обладающая свойствами: + \begin{enumerate} + \item $(\forall \vec{x} \in X)\ \|\vec{x}\| \ge 0$, + причём $\|\vec{x}\| = 0 \lra \vec{x} = \vec{0}$ + + \item $(\forall \alpha \in \R(\Cm))(\forall \vec{x} + \in X)\ \ \|\alpha \vec{x}\| = |\alpha| \cdot \|\vec{x}\|$ + + \item $(\forall \vec{x}, \vec{y} \in X)\ \ \|\vec{x} + + \vec{y}\| \le \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|\ $ + \textit{(неравенство треугольника)} + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{lemma} + Любое евклидово пространство является линейным + нормированным пространством (ЛНП) с $\|\vec{x}\| = + \sqrt{\trbr{\vec{x}, \vec{x}}}$. +\end{lemma} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item В обоих случаях следует из определения: + \begin{align*} + \vec{x} = \vec{0} \lra \trbr{\vec{x}, \vec{x}} = 0 \lra \|\vec{x}\| = 0 + \\ + \vec{x} \neq \vec{0} \lra \trbr{\vec{x}, \vec{x}} > 0 \lra \|\vec{x}\| > 0 + \end{align*} + + \item Для действительных: + \[ + \|\alpha\vec{x}\| = \sqrt{\trbr{\alpha\vec{x}, + \alpha\vec{x}}} = \sqrt{\alpha\trbr{\vec{x}, + \alpha\vec{x}}} = \sqrt{\alpha\trbr{\alpha\vec{x}, + \vec{x}}} = \sqrt{\alpha \cdot + \alpha\trbr{\vec{x}, \vec{x}}} = + |\alpha|\sqrt{\trbr{\vec{x}, \vec{x}}} = |\alpha| + \cdot \|\vec{x}\| + \] + Докажем комплексный случай: + \[ + \|\alpha\vec{x}\| = \sqrt{\trbr{\alpha\vec{x}, + \alpha\vec{x}}} = \sqrt{\alpha\trbr{\vec{x}, + \alpha\vec{x}}} = \sqrt{\alpha\overline{\trbr{\alpha\vec{x}, + \vec{x}}}} = \sqrt{\alpha \cdot + \overline{\alpha}\overline{\trbr{\vec{x}, \vec{x}}}} = + |\alpha|\sqrt{\trbr{\vec{x}, \vec{x}}} = |\alpha| \cdot + \|\vec{x}\| + \] + + \item Также докажем для действительных, используя неравенство + Коши-Буняковского-Шварца: + \begin{multline*} + \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \trbr{\vec{x} + + \vec{y}, \vec{x} + \vec{y}} = + \trbr{\vec{x}, \vec{x} + \vec{y}} + \trbr{\vec{y}, + \vec{x} + \vec{y}} = + \\ + = \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + \trbr{\vec{x}, \vec{y}} + + \trbr{\vec{y}, \vec{x}} + \trbr{\vec{y}, \vec{y}} = + \\ + = \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + 2 \trbr{\vec{x}, \vec{y}} + + \trbr{\vec{y}, \vec{y}} + \le \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + 2 |\trbr{\vec{x}, \vec{y}}| + + \trbr{\vec{y}, \vec{y}} \le + \\ + \le \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + 2 + \sqrt{\trbr{\vec{x}, \vec{x}}} \sqrt{\trbr{\vec{y}, \vec{y}}} + + \trbr{\vec{y}, \vec{y}} = + \left(\sqrt{\trbr{\vec{x}, \vec{x}}} + + \sqrt{\trbr{\vec{y}, \vec{y}}}\right)^2 + = \left(\|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|\right)^2 + \end{multline*} + Пусть Вас здесь не смутит, что мы доказывали для квадрата нормы: + поскольку норма неотрицательна (доказано только что), + то все переходы верны и под корнем. + + Для комплексных: + \begin{multline*} + \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \trbr{\vec{x} + + \vec{y}, \vec{x} + \vec{y}} = + \trbr{\vec{x}, \vec{x} + \vec{y}} + \trbr{\vec{y}, + \vec{x} + \vec{y}} = + \\ + = \overline{\trbr{\vec{x} + \vec{y}, + \vec{x}}} + \overline{\trbr{\vec{x} + \vec{y}, \vec{y}}} + = \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + \overline{\trbr{\vec{y}, \vec{x}}} + + \overline{\trbr{\vec{x}, \vec{y}}} + \trbr{\vec{y}, \vec{y}} = + \\ + = \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + 2\re(\trbr{\vec{x}, \vec{y}}) + + \trbr{\vec{y}, \vec{y}} + \le \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + 2 |\trbr{\vec{x}, \vec{y}}| + + \trbr{\vec{y}, \vec{y}} \le + \\ + \le \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + 2 + \sqrt{\trbr{\vec{x}, \vec{x}}} \sqrt{\trbr{\vec{y}, \vec{y}}} + + \trbr{\vec{y}, \vec{y}} = + \left(\sqrt{\trbr{\vec{x}, \vec{x}}} + + \sqrt{\trbr{\vec{y}, \vec{y}}}\right)^2 + = \left(\|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|\right)^2 + \end{multline*} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} (Неравенство Минковского) + \[ + \sqrt{\suml_{i = 1}^n (x_i + y_i)^2} \le \sqrt{\suml_{i = 1}^n x_i^2} + \sqrt{\suml_{i = 1}^n y_i^2},\ \ x_i, y_i \in \R + \] +\end{corollary} + +\begin{lemma} + $\R^n$ - ЛНП с $\|\vec{x}\| = \sqrt{\suml_{i = 1}^n x_i^2}$. При этом в $\R^2$ и $\R^3$ норма совпадает с длиной вектора. +\end{lemma} + +\begin{note} + Для удобства, в $\R^n$ будем обозначать норму просто как $|\vec{x}|$. +\end{note} + +\begin{lemma} + $\Cm^n$ - ЛНП с $\|\vec{z}\| = \sqrt{\suml_{i = 1}^n |z_i|^2}$ +\end{lemma} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/21lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/21lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..0c2c8fbe --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/21lecture.tex @@ -0,0 +1,515 @@ +\begin{definition} + \textit{Метрическим} пространством $(X, \rho)$ называется множество + $X$ с определенной функцией $\rho(\cdot, \cdot): + X \times X \ra \R$ (метрика), + обладающей свойствами: + \begin{enumerate} + \item $(\forall x, y \in X)\ \ \rho(x, y) \ge 0$, + причём $\rho(x, y) = 0 \lra x = y$ + + \item $(\forall x, y \in X)\ \ \rho(x, y) = + \rho(y, x)$ + + \item $(\forall x, y, z \in X)\ \ \rho(x, y) + \le \rho(x, z) + \rho(z, y)\ $ \textit{(неравенство треугольника)} + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{lemma} + Любое линейное нормированное пространство является + метрическим пространством с метрикой, индуцированной + нормой по правилу: + \[ + \rho(x, y) := ||x - y|| + \] +\end{lemma} + +\begin{proof} + Доказательство сводится к проверке свойств: + \begin{enumerate} + \item $(\forall x \in X)\ \ \|x\| \ge 0 + \Ra (\forall x, y \in X)\ + \rho(x, y) = \|x - y\| \ge 0$ + + \item + $ + (\forall x, y \in X)\ + \rho(y, x) = ||y - x|| = ||(-1) \cdot (x - y)|| + = |-1| \cdot ||x - y|| = ||x - y|| = \rho(x, y) + $ + + \item + $ + (\forall x, y, z \in X)\ + \rho(x, y) = ||x - y|| = ||(x - z) + (z - y)|| + \le ||x - z|| + ||z - y|| = \rho(x, z) + \rho(z, y) + $ + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + $\R^n$ --- метрическое пространство с метрикой + \[ + \rho(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} + (x_i - y_i)^2} = \|\vec{x} - \vec{y}\| + \] + $\Cm^n$ также, но есть отличие: + \[ + \rho(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} + |x_i - y_i|^2} = \|\vec{x} - \vec{y}\| + \] +\end{corollary} + +\begin{proposition} + Любое множество является метрическим пространством +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $X$ - произвольное множество. + Тогда можно определить метрику как + \[ + \rho(x, y) = \System{ + &{1,\ x \neq y} + \\ + &{0,\ x = y} + } + \] +\end{proof} + +\begin{note} + Дальнейшие определения даны для метрического + пространства $X$. В качестве примера удобно + брать $X = \R^2$. +\end{note} + +\begin{definition} + \textit{Открытым шаром} с центром в точке + $x_0 \in X$ радиусом $\eps > 0$ + (или же $\eps$-окрестностью точки $x_0$) + называется множество + \[ + U_\eps(x_0) = \{x \in X \such \rho(x, x_0) < \eps\} + \] +\end{definition} + +\begin{definition} + Точка $x_0$ называется \textit{внутренней точкой} + множества $A \subset X$, если она принадлежит + $A$ вместе с некоторой своей $\eps$-окрестностью: + \[ + (\exists \eps > 0)\ \ U_\eps(x_0) \subset A + \] +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Внутренностью} множества $A$ называется + множество всех внутренних точек множества $A$. + Обозначается как + \[ + \Int A,\ \mc{A} + \] +\end{definition} + +\begin{definition} + Точка $x_0$ называется \textit{точкой прикосновения} + множества $A \subset X$, если любая $\eps$-окрестность + пересекается с $A$: + \[ + (\forall \eps > 0)\ \ U_\eps(x_0) \cap A \neq \emptyset + \] +\end{definition} + +\begin{definition} + Множество всех точек прикосновения множества + $A \subset X$ называется его \textit{замыканием} и + обозначается как + \[ + \cl A,\ \bar{A} + \] +\end{definition} + +\begin{definition}~ + + \begin{itemize} + \item Множество $A \subset X$ называется + \textit{открытым}, если все его точки - внутренние, + то есть $A \subset \Int A$. + Естественно, $\emptyset$ - открытое множество. + + \item Множество $A \subset X$ называется + \textit{замкнутым}, если оно содержит все свои + точки прикосновения, то есть $A \supset \cl A$. + Естественно, $\emptyset$ - замкнутое множество + \end{itemize} +\end{definition} + +\begin{lemma} + Для любого $A \subset X$ верно, что + \[ + \Int A \subset A \subset \cl A + \] +\end{lemma} + +\begin{proof} + Первое включение очевидно, потому что любая + внутренняя точка принадлежит $A$, так как из + определения: + $(\exists \eps > 0)\ \ U_\eps(x_0) \subset A \Ra + x_0 \in A$ + + Второе включение следует из того, что если + $x_0 \in A$, то + \[ + (\forall \eps > 0)\ \ U_\eps(x_0) \cap + A \supset \{x_0\} \neq \emptyset + \] + Значит, любая точка $A$ также лежит и в замыкании $A$. +\end{proof} + +\begin{corollary} \label{defEqualLemma} + Из определений и леммы выше сразу следует: + \begin{itemize} + \item $A$ - открытое множество $\lra \Int A = A$ + + \item $A$ - замкнутое множество $\lra \cl A = A$ + \end{itemize} + При этом не бывает открытых и замкнутых одновременно множеств +\end{corollary} + +\begin{lemma} \label{includeLemma} + $(\forall A_1, A_2)\ A_1 \subset A_2 \subset X$ верно, что + \begin{align*} + &\Int A_1 \subset \Int A_2 + \\ + &\cl A_1 \subset \cl A_2 + \end{align*} +\end{lemma} + +\begin{proof}~ + \begin{itemize} + \item Вначале разберёмся с внутренностями + множеств. Пусть $x_0 \in \Int A_1$. Тогда + \[ + (\exists \eps > 0)\ \ U_\eps(x_0) + \subset A_1 \subset A_2 + \] + Значит, по определению $x_0 \in \Int A_2$ тоже. + + \item Теперь посмотрим на замыкание. + Пусть $x_0 \in \cl A_1$. Тогда + \[ + (\forall \eps > 0)\ \ U_\eps(x_0) \cap + A_1 \neq \emptyset + \] + Мы знаем, что $A_1 \subset A_2$, значит: + \[ + (\forall \eps > 0)\ \ U_\eps(x_0) \cap + A_2 \neq \emptyset + \] + Следовательно, $x_0 \in \cl A_2$. + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{lemma} (Открытость открытого шара) Любой открытый + шар является открытым множеством, то есть: + $(\forall x_0 \in X)(\forall \eps > 0)\ U_\eps(x_0)$ + --- открытое множество. +\end{lemma} + +\begin{idea} + Докажем по определению, то есть покажем, что любая точка + из открытого шара является внутренней точкой для него. +\end{idea} + +\begin{proof} + Рассмотрим $\forall x_1 \in U_\eps(x_0)$. Тогда + \[ + r := \rho(x_0, x_1) < \eps + \] + Рассмотрим шар с центром в точке $x_1$ и + радиусом $\eps - r$. Выберем + $\forall x_2 \in U_{\eps - r}(x_1)$. Тогда + \[ + \rho(x_1, x_2) < \eps - r + \] + Отсюда следует + \[ + \rho(x_0, x_2) \le \rho(x_0, x_1) + + \rho(x_1, x_2) < r + \eps - r = \eps + \] + То есть $U_{\eps - r}(x_1) + \subset U_\eps(x_0)$. Значит $x_1$ - внутренняя точка. + А раз мы выбирали $x_1$ как произвольную точку данного шара, + то и любая точка этого открытого шара есть его внутренняя точка. + Значит, по определению данный открытый шар является открытым множеством. +\end{proof} + +\begin{definition} + \textit{Замкнутым шаром} с центром в точке + $x_0 \in X$ и радиусом $\eps > 0$ называется + \[ + \bar{B}_\eps(x_0) := + \{x \in X \such \rho(x_0, x) \le \eps\} + \] +\end{definition} + +\begin{lemma} (Замкнутость замкнутого шара) Любой замкнутый + шар является замкнутым множеством, то есть: + $(\forall x_0 \in X)(\forall \eps > 0)\ \bar{B}_\eps(x_0)$ + --- замкнутое множество. +\end{lemma} + +\begin{idea} + Докажем по определению. Покажем, что любая точка + прикосновения лежит в замкнутом шаре. +\end{idea} + +\begin{proof} + Пусть $x$ - точка прикосновения для + $\bar{B}_\eps(x_0)$. Это означает, что + \[ + (\forall \eta > 0)\ \ U_\eta(x) \cap + \bar{B}_\eps(x_0) \neq \emptyset \Ra + \exists x_1 \in U_\eta(x) \cap \bar{B}_\eps(x_0) + \] + Оценим расстояние от $x_0$ до $x$: + \[ + \rho(x_0, x) \le \rho(x_0, x_1) + \rho(x_1, x) < + \eps + \eta + \] + То есть получили утверждение + \[ + (\forall \eta > 0)\ \rho(x_0, x) < \eps + \eta + \] + Из этого следует, что + \[ + \rho(x_0, x) \le \eps + \] + Следовательно, $x$ --- точка замкнутого шара. +\end{proof} + +\begin{theorem} + $(\forall A \subset X)$ + \begin{enumerate} + \item $\Int A$ --- открыто. То есть + внутренность любого множества открыта. + \item $\cl A$ --- замкнуто. То есть + замыкание любого множества замкнуто. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{idea} + Построим доказательство исходя из определения. В первом + случае возьмем произвольную точку из внутренности $A$ и докажем, что + она внутренняя для внутренности $A$. Во втором случае - наоборот, + докажем, что любая точка прикосновения для замыкания $A$ + также лежит в этом замыкании. +\end{idea} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item Положим $G := \Int A$. Выберем $\forall x_0 + \in G$. Раз точка лежит в данном множестве, то + \[ + (\exists \eps > 0)\ \ U_\eps(x_0) \subset A + \] + По лемме \ref{includeLemma} из этого следует + \[ + \Int U_\eps(x_0) \subset \Int A + \] + Так как открытый шар является открытым + множеством, то $U_\eps(x_0) = \Int U_\eps(x_0)$, + тогда получаем вложение + \[ + U_\eps(x_0) \subset G + \] + То есть $x_0$ - внутренняя точка $G$ по определению. + Значит $G$ - открытое множество. + + \item Положим $K := \cl A$. Пусть $x_0$ --- точка + прикосновения множества $K$. Это означает + \[ + (\eps_0 = \frac{\eps}{2})\ \ + U_{\eps / 2}(x_0) \cap K \neq 0 + \] + Обозначим за $x_1 \in U_{\eps / 2}(x_0) \cap K$. Тогда + $x_1 \in K$, а так как $K$ --- замыкание $A$, то по + определению $x_1$ --- точка прикосновения множества $A$. + То есть + \[ + U_{\eps / 2}(x_1) \cap A \neq \emptyset + \] + Теперь выберем $(\eps_1 = \frac{\eps}{2}) \Ra + x_2 \in U_{\eps / 2}(x_1) \cap A$ и + оценим расстояние между ней и $x_0$: + \[ + \rho(x_0, x_2) \le \rho(x_0, x_1) + + \rho(x_1, x_2) < \frac{\eps}{2} + \frac{\eps}{2} + = \eps + \] + Следовательно мы построили: + \[ + (\forall \eps > 0)\ \ U_{\eps}(x_0) \cap A \supset + \{x_2\} \neq \emptyset + \] + Значит $x_0$ - точка прикосновения множества $A$ $\lra x_0 \in K$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{example} + Порой геометрическая интерпретация данной модели + обманывает, ибо, например, здесь шар с большим + радиусом может оказаться вложенным в шар с меньшим радиусом. + Рассмотрим метрическое пространство $X = (-1; 1)$: + \begin{align*} + &{U_{1}(0) = (-1; 1)} + \\ + &{U_{5/4}(0.5) = \left(-\frac{3}{4}; 1\right) + \Ra U_{5/4}(1/2) \subsetneq U_{1}(0)} + \end{align*} +\end{example} + +\begin{lemma} + $(\forall A \subset X)$ + \begin{itemize} + \item $X \bs \Int A = \cl(X \bs A)$ + + \item $X \bs \cl A = \Int(X \bs A)$ + \end{itemize} +\end{lemma} + +\begin{idea} + Совершаем равносильные переходы, рассматривая точки + из данных множеств и используя + отрицания определений внутренней точки и точки прикосновения. +\end{idea} + +\begin{proof}~ + \begin{itemize} + \item Используем определение внутренности $A$. + Тогда $x \in X \bs \Int A \lra x$ не + лежит в $\Int A$, а значит для любого открытого + шара есть точка, не лежащая в $A$, то есть + \[ + x \in X \bs \Int A \lra + (\forall \eps > 0)\ U_\eps(x) \cap + (X \bs A) \neq \emptyset \lra x \in \cl(X \bs A) + \] + + \item Здесь по аналогии: + \[ + x \in X \bs \cl A \lra + (\exists \eps > 0)\ U_\eps(x) \cap A + = \emptyset \lra + (\exists \eps > 0)\ U_\eps(x) \subset (X + \bs A) \lra x \in \Int (X \bs A) + \] + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{theorem} \label{additionInverse} + $(\forall A \subset X)$ + \begin{itemize} + \item $A$ --- открыто $\lra X \bs A$ --- замкнуто + \item $A$ --- замкнуто $\lra X \bs A$ --- открыто + \end{itemize} +\end{theorem} + +\begin{idea} + Используем критерий (\ref{defEqualLemma}) замкнутого + и открытого множеств и только что доказанную лемму. +\end{idea} + +\begin{proof} + По следствию \ref{defEqualLemma} $\Ra A$ --- открыто $\lra + \Int A = A$. + + По последней лемме $\Ra X \bs A = X \bs \Int A + = \cl (X \bs A)$, то есть по этому же следствию \ref{defEqualLemma} + $X \bs A$ --- замкнуто. Второе утверждение доказывается аналогично. +\end{proof} + +\begin{definition} + Внутренняя точка дополнения множества $A \subset X$ + называется \textit{внешней точкой}. +\end{definition} + +\begin{definition} + Точка $x$ называется \textit{граничной точкой} множества + $A \subset X$, если + \[ + (\forall \eps > 0) + \System{ + &U_\eps(x) \cap A \neq \emptyset \\ + &U_\eps(x) \cap (X \bs A) \neq \emptyset + } + \] + Множество всех граничных точек $A$ называется + \textit{границей} $A,\ \ \vdelta A$ +\end{definition} + +\begin{lemma} + $(\forall A \subset X)\ \ \vdelta A = \cl A \bs \Int A$ +\end{lemma} + +\begin{idea} + Действуем по определению, покажем, что первая строчка отвечает + за принадлежность замыканию, а вторая - за отрицание + принадлежности внутренности. +\end{idea} + +\begin{proof} + \[ + x \in \vdelta A \lra (\forall \eps > 0) + \System{ + &U_\eps(x) \cap A \neq \emptyset \lra x \in \cl(A)\\ + &U_\eps(x) \cap (X \bs A) \neq \emptyset \lra + (\forall \eps > 0)\ U_\eps(x) \not\subset A \lra x \notin \Int A + } + \] + Это значит, что + \[ + x \in \vdelta A \lra x \in \cl A \bs \Int A + \] +\end{proof} + +\begin{theorem} (Основное свойство совокупности открытых множеств) \label{mainProp} + Пусть $(X, \rho)$ - метрическое пространство. Тогда + \begin{enumerate} + \item $\emptyset,\ X$ --- открытые множества + + \item $(\forall G_1, G_2\ \text{- открытые})\ \ + G_1 \cap G_2 $ --- открытое + + \item $(\forall \{G_\alpha\}_{\alpha \in A}\ \text{- открытые}) + \ \bigcup\limits_{\alpha \in A} + G_\alpha$ - открытое, где $A$ --- некоторое множество + индексов + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item $\emptyset$ --- замкнутое и открытое множество. + Следовательно, по теореме \ref{additionInverse} + $\Ra X \bs \emptyset = X$ --- открытое множество. + + \item Рассмотрим $\forall x \in G_1 \cap G_2$. Из выбора следует + \begin{align*} + &(\exists \eps_1)\ \ U_{\eps_1}(x) \subset G_1 + \\ + &(\exists \eps_2)\ \ U_{\eps_2}(x) \subset G_2 + \end{align*} + Следовательно, $(\exists \eps_0 = \min(\eps_1, \eps_2))\ + U_{\eps_0}(x) \subset G_1 \cap G_2$. То есть $G_1 \cap G_2$ - открыто + + \item $x \in \bigcup\limits_{\alpha \in A} G_\alpha \Ra + (\exists \alpha_0 \in A)\ \ x \in G_{\alpha_0}$. Значит, + так как $G_{\alpha_0}$ --- открытое, то + \[ + (\exists \eps > 0)\ \ U_\eps(x) \subset G_{\alpha_0} + \subset \bigcup\limits_{\alpha \in A} G_{\alpha} + \] + То есть всё объединение открытое по определению + \end{enumerate} +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/22lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/22lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..5a931632 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/22lecture.tex @@ -0,0 +1,615 @@ +\begin{definition} + Множество $X$ называется \textit{топологическим пространством}, + если в нём выделена совокупность подмножеств $\Tau$, + называемых \textit{открытыми}, которая удовлетворяет + свойствам из теоремы \ref{mainProp}. + + Множество $\Tau$ называется \textit{топологией} множества $X$. + + В таком случае любое множество из $\Tau$, + содержащее точку $x \in X$ называют + окрестностью точки $x$. +\end{definition} + +\begin{definition} Предел последовательности: + если $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset X,\ x_0 \in X$ + \begin{enumerate} + \item Топологическое пространство + \[ + \liml_{n \to \infty} x_n = x_0 \lra + (\forall G \in \Tau, x_0 \in G)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ x_n \in G + \] + \item Метрическое пространство: + \[ + \liml_{n \to \infty} x_n = x_0 \lra + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ \rho(x_n, x_0) < \eps + \] + \item Линейное нормированное пространство + \[ + \liml_{n \to \infty} x_n = x_0 \lra + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ \|x_n - x_0\| < \eps + \] + \item Линейное действительное пространство $\R^n$ + \[ + \liml_{n \to \infty} \vec{x}_n = \vec{x}_0 \lra + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ |\vec{x}_n - \vec{x}_0| < \eps + \] + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{example} + Если не накладывать на топологию никаких + дополнительных ограничений, то предел в топологическом + пространстве не + обязан даже быть единственным. Рассмотрим + $X = \{a, b\}$ с топологией $\Tau = + \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}$. Рассмотрим + последовательность + \[ + x_n = a,\ n \in \N + \] + Тогда понятно, что $\liml_{n \to \infty} x_n = + a,\ \liml_{n \to \infty} x_n = b$. +\end{example} + +\begin{anote} + Чтобы обеспечить единственность предела, + достаточно добавить свойство \textit{хаусдорфовости}: + \[ + (\forall x, y \in X)\ \exists G_x, G_y \in + \Tau \such (x \in G_x) \wedge (y \in G_y) + \wedge (G_x \cap G_y = \emptyset) + \] + То есть для каждой точки должно существовать + изолированное открытое множество. + Такое топологическое пространство называется + \textit{хаусдорфовым}. +\end{anote} + +\subsection{Топология пространства $\R^n$ и непрерывные отображения} + +\begin{theorem} (Основные свойства предела последовательности) + \begin{enumerate} + \item \underline{Единственность предела} + + В метрическом пространстве + последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ не может + иметь более одного предела + + \item \underline{Ограниченность сходящейся последовательности} + + Если $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ --- сходящаяся последовательность + в метрическом пространстве, + то она ограничена, то есть существует открытый шар, содержащий + все точки последовательности: + \[ + (\exists x_0 \in X)(\exists R > 0)(\forall n \in \N)\ x_n \in U_R(x_0) + \] + + \item \underline{Отделимость от нуля} + + Если $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset E$ --- + последовательность ЛНП, сходящаяся + к $x_0 \neq 0 \in E$, то она отделена от нуля. То есть + \[ + (\exists c > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ ||x_n|| > c + \] + + \item \underline{Предел и арифметические операции} + + Если последовательности $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$, + $\{y_n\}_{n = 1}^\infty \subset E$ (ЛНП) - сходящиеся к + $x_0, y_0 \in E$ соответственно, + $\{\alpha_n\}_{n = 1}^\infty \subset \R(\Cm)$ сходится к + $\alpha_0 \in \R(\Cm)$, то + \begin{enumerate} + \item $\liml_{n \to \infty} (x_n + y_n) = x_0 + y_0$ + + \item $\liml_{n \to \infty} (\alpha_n \cdot x_n) = + \alpha_0 \cdot x_0$ + \end{enumerate} + + \item \underline{Предел и скалярное произведение} + + Если $\{x_n\}_{n = 1}^\infty, \{y_n\}_{n = 1}^\infty \subset E$ + --- последовательности в евклидовом пространстве $E$, + сходящиеся к $x_0, y_0$ соответственно, то + \[ + \liml_{n \to \infty} \trbr{x_n, y_n} = \trbr{x_0, y_0} + \] + + \item \underline{Предел и векторное произведение} + + Если последовательности + $\{\vec{x}_n\}_{n = 1}^\infty, + \{\vec{y}_n\}_{n = 1}^\infty \subset \R^3$ - + сходящиеся к $\vec{x}_0, \vec{y}_0$ соответственно, то + \[ + \liml_{n \to \infty} [\vec{x}_n, \vec{y}_n] = + [\vec{x}_0, \vec{y}_0] + \] + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{note} + Так как $\R^n$ является метрическим, линейным нормированным, + евклидовым пространством, то свойства $1-5$ справедливы для $\R^n$ +\end{note} + +\begin{idea} + В целом все доказательства аналогичны доказательствам + для последовательностей действительных чисел + \begin{enumerate} + \item От противного, показываем, что расстояние между + двумя предполагаемыми пределами меньше, чем мы предположили + \item Говорим, что все члены, начиная с какого-то лежат + в определенном множестве, а дальше пользуемся фактом, + что до этого есть только конечное число членов последовательности + \item Эпсилон берем половиной от предела и пользуемся неравенстом + треугольника + \item Берем правильные эпсилоны (во втором случае пользуемся + ограниченностью сходящейся последовательности) и складываем + их по неравенству треугольника + \item Аналогично 4 + неравенство Коши-Буняковского-Шварца + + определение нормы через корень скалярного произведения + \item Аналогично 4. + \end{enumerate} +\end{idea} + +\begin{proof}~ + \begin{enumerate} + \item От противного. Пусть $\liml_{n \to \infty} + x_n = x_0,\ \liml_{n \to \infty} x_n = y_0,\ + x_0 \neq y_0$. Из условия и свойств метрики сразу следует, + что $\rho(x_0, y_0) > 0$. Рассмотрим + $\eps := \frac{1}{2}\rho(x_0, y_0)$: + \begin{align*} + &(\exists N_1 \in \N)(\forall n > N_1) + \ \rho(x_n, x_0) < \eps + \\ + &(\exists N_2 \in \N)(\forall n > N_2)\ + \rho(x_n, y_0) < \eps + \end{align*} + Следовательно, если положить $N := \max(N_1, N_2)$, то + \[ + (\forall n > N)\ \rho(x_0, y_0) \le \rho(x_0, x_n) + \rho(x_n, y_0) < 2\eps = \rho(x_0, y_0) + \] + Противоречие. + + \item Положим $\eps := 1$. Обозначим за $x_0$ точку, + к которой сходится последовательность. Тогда из условия + \[ + (\exists N \in \N)(\forall n > N)\ + \rho(x_n, x_0) < 1 + \] + Обозначим за $R$ следующую величину: + \[ + R := \max(\rho(x_1, x_0), \rho(x_2, x_0), + \ldots, \rho(x_N, x_0)) + 1 + \] + Из определения следует, что + \[ + (\forall n \in \N)\ \rho(x_n, x_0) < R + \] + То есть все точки последовательности лежат + в открытом шаре радиуса $R$ и с центром в точке $x_0$ + + \item По определению + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ \|x_n - x_0\| < \eps + \] + Положим $\eps := \frac{\|x_0\|}{2}$. По + неравенству треугольника имеем + \[ + \|x_0\| = \|x_0 - x_n + x_n\| \le + \|x_0 - x_n\| + \|x_n\| = + \|x_n - x_0\| + \|x_n\| < + \frac{\|x_0\|}{2} + \|x_n\| + \] + А уже отсюда + \[ + \|x_n\| > \frac{\|x_0\|}{2} + \] + + \item + \begin{enumerate} + \item Раз исходные последовательности сходятся, + то справедливы утверждения + \begin{align*} + &(\forall \eps > 0)(\exists N_1 \in \N) + (\forall n > N_1)\ \ \|x_n - x_0\| < \frac{\eps}{2} + \\ + &(\forall \eps > 0)(\exists N_2 \in \N) + (\forall n > N_2)\ \ \|y_n - y_0\| < \frac{\eps}{2} + \end{align*} + Ну и как обычно: $N := \max(N_1, N_2)$ и тогда + $\forall n > N$ оба неравенства верны одновременно. Отсюда + \[ + \|(x_n + y_n) - (x_0 + y_0)\| = + \|(x_n - x_0) + (y_n - y_0)\| \le + \|x_n - x_0\| + \|y_n - y_0\| < \eps + \] + + \item По уже доказанному свойству, + сходящаяся последовательность ограничена: + \[ + (\exists C > 0)(\forall n \in \N)\ \ \|x_n\| < C + \] + Из условия можем также заключить два утверждения: + \begin{align*} + &(\forall \eps > 0)(\exists N_1 \in \N) + (\forall n > N_1)\ \ |\alpha_0| \cdot + \|x_n - x_0\| < \frac{\eps}{2} + \\ + &(\forall \eps > 0)(\exists N_2 \in \N) + (\forall n > N_2)\ \ |\alpha_n - \alpha_0| + < \frac{\eps}{2C} + \end{align*} + Мы не стали переносить $|\alpha_0|$ в знаменатель, + так как это число может быть нулем. + В итоге имеем $N := \max(N_1, N_2)$ и $\forall n > N$: + \begin{multline*} + \|\alpha_n x_n - \alpha_0 x_0\| \le + \|\alpha_n x_n - \alpha_0 x_n\| + + \|\alpha_0 x_n - \alpha_0 x_0\| = + \\ + |\alpha_n - \alpha_0| \cdot \|x_n\| + + |\alpha_0| \cdot \|x_n - x_0\| < + \frac{\eps}{2C} \cdot C + \frac{\eps}{2} = \eps + \end{multline*} + \end{enumerate} + + \item Аналогично предыдущему пункту + \begin{align*} + &(\exists C > 0)(\forall n \in \N)\ \ \|x_n\| < C + \\ + &(\forall \eps > 0)(\exists N_1 \in \N) + (\forall n > N_1)\ \ \|y_0\| \cdot + \|x_n - x_0\| < \frac{\eps}{2} + \\ + &(\forall \eps > 0)(\exists N_2 \in \N) + (\forall n > N_2)\ \ \|y_n - y_0\| < \frac{\eps}{2C} + \end{align*} + Теперь $N := \max(N_1, N_2)$ и тогда $\forall n > N$, используя + неравенство Коши-Буняковского-Шварца (\ref{Cauchy–Schwarz}) и определение + нормы через корень скалярного произведения: + \begin{multline*} + |\trbr{x_n, y_n} - \trbr{x_0, y_0}| \le + |\trbr{x_n, y_n} - \trbr{x_n, y_0}| + + |\trbr{x_n, y_0} - \trbr{x_0, y_0}| = + \\ + = |\trbr{x_n, y_n - y_0}| + |\trbr{x_n - x_0, y_0}| + \le \|x_n\| \cdot \|y_n - y_0\| + + \|x_n - x_0\| \cdot \|y_0\| < + \\ + < C \cdot \frac{\eps}{2C} + \frac{\eps}{2} = \eps + \end{multline*} + + \item Снова аналогично пункту про скалярное произведение + \begin{align*} + &(\exists C > 0)(\forall n \in \N)\ \ |x_n| < C + \\ + &(\forall \eps > 0)(\exists N_1 \in \N) + (\forall n > N_1)\ \ |y_0| \cdot |x_n - x_0| + < \frac{\eps}{2} + \\ + &(\forall \eps > 0)(\exists N_2 \in \N) + (\forall n > N_2)\ \ |y_n - y_0| < \frac{\eps}{2C} + \end{align*} + Положим $N := \max(N_1, N_2)$ и рассмотрим $\forall n > N$, + тогда по неравенству треугольника для нормы: + \[ + |[x_n, y_n] - [x_0, y_0]| \le |[x_n, y_n] - + [x_n, y_0]| + |[x_n, y_0] - [x_0, y_0]| \le + |x_n| \cdot |y_n - y_0| + |y_0| \cdot |x_n - x_0| < \eps + \] + Предпоследний переход получен из тех соображений, что + \[ + |[a, b]| = |a| \cdot |b| \cdot \sin \angle(a, b) + \le |a| \cdot |b| + \] + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{lemma} (Критерий сходимости последовательности в $\R^n$) \label{limCoordinates} + Последовательность $\{\vec{x}_m = (x_m^{(1)}, + \ldots, x_m^{(n)})\}_{m = 1}^\infty$ сходится + к $\vec{x}_0 = (x_0^{(1)}, \ldots, x_0^{(n)})$ + тогда и только тогда, когда $\forall j \in + \{1, \ldots, n\}$ последовательность + $\{x_m^{(j)}\}_{m = 1}^\infty$ сходится к $x_0^{(j)}$. +\end{lemma} + +\begin{idea} + Доказательство несложно запомнить с помощью этого неравенства: + \[ + |x_m^{(j)} - x_0^{(j)}| \le + \underbrace{\sqrt{(x_m^{(1)} - x_0^{(1)})^2 + + \ldots + (x_m^{(n)} - x_0^{(n)})^2}}_{|\vec{x}_m - \vec{x}_0|} + \le \left(\max\limits_{j \in \{1, \ldots, n\}} + |x_m^{(j)} - x_0^{(j)}|\right) \cdot \sqrt{n} + \] +\end{idea} + +\begin{proof} + Докажем необходимость $(\Ra)$. По условию + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall m > N)\ \ |\vec{x}_m - \vec{x}_0| < \eps + \] + При этом + \[ + |\vec{x}_m - \vec{x}_0| = + \sqrt{(x_m^{(1)} - x_0^{(1)})^2 + + \ldots + (x_m^{(n)} - x_0^{(n)})^2} + \] + Отсюда + \[ + \forall j \in \{1, \ldots, n\}\ \ + |x_m^{(j)} - x_0^{(j)}| \le + \sqrt{(x_m^{(1)} - x_0^{(1)})^2 + + \ldots + (x_m^{(n)} - x_0^{(n)})^2} = + |\vec{x}_m - \vec{x}_0| < \eps + \] + + Теперь докажем достаточность. Из условия + \[ + (\forall j \in \range{n})(\eps_j := \frac{\eps}{\sqrt{n}}) + (\exists N_j \in \N)(\forall n > N_j)\ \ + |x_m^{(j)} - x_0^{(j)}| < \frac{\eps}{\sqrt{n}} + \] + Снова распишем метрику: + \[ + |\vec{x}_m - \vec{x}_0| = + \sqrt{(x_m^{(1)} - x_0^{(1)})^2 + \ldots + + (x_m^{(n)} - x_0^{(n)})^2} \le + \left(\max\limits_{j \in \{1, \ldots, n\}} + |x_m^{(j)} - x_0^{(j)}|\right) \cdot \sqrt{n} < + \frac{\eps}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{n} = \eps + \] + Это верно, так как всего под корнем $n$ слагаемых, то есть + корень общей суммы не превышает произведение корня максимального + элемента этой суммы на $\sqrt{n}$. +\end{proof} + +\begin{theorem} (Больцано-Верейштрасса в $\R^n$) + Из каждой ограниченной последовательности в $\R^n$ + можно выделить сходящуюся подпоследовательность. +\end{theorem} + +\begin{idea} + Так как последовательность ограничена, то и все координаты + ограничены. Тогда будем выделять последовательно из координатных + последовательностей сходящиеся подпоследовательности + по привычной теореме Больцано-Вейерштрасса + (\ref{Bolzano–Weierstrass}). Важно выделять каждую + следующую подпоследовательность из предыдущей, чтобы + она сходилась по всем предыдущим координатам. +\end{idea} + +\begin{proof} + Пусть $\{\vec{x}_m\}_{m = 1}^\infty$ - ограниченная + последовательность. Это означает, что + \[ + (\exists C > 0)(\forall m \in \N)\ \ + |\vec{x}_m| < C \Ra (\forall j \in \range{n})\ + |x_m^{(j)}| < C + \] + Рассмотрим $j = 1$. + Тогда последовательность $\{x_m^{(1)}\}_{m = 1}^\infty$ + - ограниченная, а значит, по теореме + Больцано-Вейерштрасса, существует + $\{x_{m_k}^{(1)}\}_{k = 1}^\infty$ - + сходящаяся подпоследовательность. Теперь из получившейся + подпоследовательности выделим сходящуюся подпоследовательность, + но уже по второй координате, то есть получится + $\{x_{m_{k_i}}^{(2)}\}_{i = 1}^\infty$: + \[ + \liml_{i \to \infty} x_{m_{k_i}}^{(2)} = x_0^{(2)} + \] + Тогда для каждой + координаты будем выделять подпоследовательность + из предыдущей подпоследовательности и получим $x_0 \in \R^n$ + с координатами: + \[ + (\forall j \in \range{n})\ + x_0^{(j)} = \liml_{k \to \infty} + x_{m_{k_{i_{\dots_{s}}}}}^{(j)} + \] + Применим доказанную выше лемму и получим, что наша + построенная последовательность + $\{\vec{x}_{m_{k_{i_{\dots_{s}}}}}\}_{s = 1}^\infty$ + сходится к $\vec{x}_0$ +\end{proof} + +\begin{definition} + \textit{Фундаментальной последовательностью в + метрическом пространстве} $(X, \rho)$ + называется такая последовательность + $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset X$, что + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)(\forall p \in \N)\ \ + \rho(x_n, x_{n + p}) < \eps + \] +\end{definition} + +\begin{theorem} (Критерий Коши в $\R^n$) + Последовательность + $\{\vec{x}_m\}_{m = 1}^\infty \subset \R^n$ сходится + тогда и только тогда, когда + $\{\vec{x}_m\}_{m = 1}^\infty$ фундаментальная +\end{theorem} + +\begin{idea} + Необходимость доказывается аналогично Коши для $\R$, то + есть выбираем правильный эпсилон и раскрываем по неравенству + треугольника. Достаточность доказываем покоординатно: + фундаментальность в $\R^n$ означает + фундаментальность для каждой координаты, тогда + по критерию Коши каждая координата сходится, + а значит, и последовательность в $\R^n$ тоже + сходится (по критерию выше). +\end{idea} + +\begin{proof}~ + \begin{itemize} + \item Сходимость $\Ra$ Фундаментальность + (это верно в \textbf{любом} метрическом + пространстве) + + По условию + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists M \in \N)(\forall m > M) + \ \ \rho(x_m, x_0) < \frac{\eps}{2} + \] + Оценим $\rho(x_m, x_{m + p})$ для + $\forall p \in \N$ при уже зафиксированных + $\eps$ и $M$: + \[ + \rho(x_m, x_{m + p}) \le \rho(x_m, x_0) + + \rho(x_0, x_{m + p}) < \frac{\eps}{2} + + \frac{\eps}{2} = \eps + \] + + \item Фундаментальность $\Ra$ Сходимость + (эта часть верна \textbf{только для} $R^n$). + + По определению фундаментальности и метрики в $\R^n$: + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists M \in \N) + (\forall m > M)(p \in \N)\ \ + |\vec{x}_m - \vec{x}_{m + p}| < \eps + \] + Следовательно, для $\forall j \in \range{n}$ + верно неравенство $|x_m^{(j)} - x_{m + p}^{(j)}| < \eps$. + Воспользовавшись критерием Коши из $\R$ получим, что + \[ + (\forall j \in \range{n})\ \ + \exists \liml_{m \to \infty} x_m^{(j)} = x_0^{(j)} + \] + Отсюда по критерию сходимости в $\R^n$ (\ref{limCoordinates}) + уже получаем, что + \[ + \exists \liml_{m \to \infty} \vec{x}_m = \vec{x}_0 + \] + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{definition} + Метрическое пространство, в котором каждая + фундаментальная последовательность сходится, + называется \textit{полным метрическим пространством}. + + Полное линейное нормированное пространство + называется \textbf{банаховым}, в честь Стефана Банаха. + + Полное евклидово пространство называется + \textit{гильбертовым} (не конечномерное), в честь Гильберта. +\end{definition} + +\begin{proposition} Пусть $F \subset X$, $(X, \rho)$ --- + метрическое пространство. Тогда + \[ + x_0 \in \cl F \lra (\exists \{x_k\}_{n = 1}^\infty \subset + F)\ \liml_{k \to \infty} x_k = x_0 + \] +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{itemize} + \item Необходимость $(\Ra)$. + По определению точки прикосновения: + \[ + (\forall \eps > 0)\ U_\eps(x_0) \cap F \neq \emptyset + \] + Выберем поочереди $\eps := 1, \frac{1}{2}, \dots$ + и для каждого $\eps$ существует $x_k \in U_\eps(x_0) \cap F$, + раз это пересечение не пустое. Тогда + получившася последовательность: + \[ + (\exists \{x_k\}_{n = 1}^\infty \subset + F)(\forall k \in \N)\ 0 \le \rho(x_k, x_0) < \frac{1}{k} + \] + При этом при $k \to \infty$ правая и левая части стремятся + к 0. Значит, по теореме о милиционерах: + \[ + \liml_{k \to \infty} x_k = x_0 + \] + Вот мы и получили искомую последовательность + \item Достаточность $(\La)$ + + У нас есть из условия: + \[ + x_0 \in \cl F \lra (\exists \{x_k\}_{n = 1}^\infty \subset + F)\ \liml_{k \to \infty} x_k = x_0 + \] + Значит, из определения предела: + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall k > N)\ \rho(x_k, x_0) < \eps + \] + Значит, для любого открытого шара с центром в точке + $x_0$ есть точка, которая лежит в нём (и в $F$), тогда: + \[ + (\forall \eps > 0)\ U_\eps(x_0) \cap F \neq + \emptyset \Ra x_0 \in \cl F + \] + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{theorem} (Критерий замкнутости множества) + Множество $F$ в метрическом пространстве является + \textit{замкнутым} тогда и только тогда, когда + \[ + \left(\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset F, + \ \liml_{n \to \infty} x_n = x_0\right)\ x_0 \in F + \] +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + \begin{itemize} + \item Докажем необходимость $(\Ra)$. + + Рассмотрим произвольную последовательность, + сходящуюся к какой-то непонятной точке $x_0$: + \[ + \forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset F, + \ \liml_{n \to \infty} x_n = x_0 + \] + Из доказанного только что утверждения мы знаем: + \[ + (\exists \{x_k\}_{n = 1}^\infty \subset + F)\ \liml_{k \to \infty} x_k = x_0 \Ra x_0 \in \cl F + \] + Наша последовательность подходит под это условие, значит + эта самая непонятная точка $x_0 \in \cl F$. Мы знаем, что + $\cl F \subset F$ (из определения замкнутого множества). + Это значит, что $x_0 \in F$. Выходит, что + \[ + \left(\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset F, + \ \liml_{n \to \infty} x_n = x_0\right)\ x_0 \in F + \] + \item Докажем достаточность $(\La)$. + + Рассмотрим произвольную точку $x \in \cl F$. Тогда + по вышедоказанному утверждению: + \[ + x_0 \in \cl F \Ra (\exists \{x_k\}_{n = 1}^\infty \subset + F)\ \liml_{k \to \infty} x_k = x_0 + \] + При этом из условия мы знаем, что + \[ + \left(\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset F, + \ \liml_{n \to \infty} x_n = x_0\right)\ x_0 \in F + \] + Значит, $x_0 \in F$. Так как мы выбирали произвольную + точку из замыкания, то $\cl F \subset F$, то есть + само множество $F$ замкнуто по определению. + \end{itemize} +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/23lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/23lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..714de398 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/23lecture.tex @@ -0,0 +1,313 @@ +\subsubsection*{Примеры метрических пространств} + +\begin{example}~ +\begin{itemize} + \item $R^n$ с \textbf{манхэттенской метрикой}: + \[ + \rho(\vec{a}, \vec{b}) = \suml_{j = 1}^n |a_i - b_i| + \] + + \item Связный взвешенный граф с положительными весами +\end{itemize} +\end{example} + +\begin{definition} Пусть $(X, \rho)$ --- + метрическое пространство. Множество $K \subset X$ называется + \textit{компактным множеством}, если из любого его + покрытия открытыми множествами можно + выделить конечное подпокрытие: + \[ + \left(\forall \{G_\alpha\}_{\alpha \in A},\ \ G_\alpha + \text{ - открыто},\ \bigcup_{\alpha \in A} G_\alpha + \supset K \right)(\exists \{\alpha_1, \ldots, \alpha_N\} + \subset A)\ \ \bigcup_{i = 1}^N G_{\alpha_i} \supset K + \] +\end{definition} + +\begin{example} (счётное покрытие) + \[ + \bigcup_{n = 1}^\infty \left(\frac{1}{n}; 1\right) + \supset (0; 1) + \] + В данном случае $(0; 1)$ не является компактным множеством, так + как не получится выделить конечное подпокрытие (всегда останется + непокрытая часть) +\end{example} + +\begin{theorem} + Любое компактное множество в метрическом пространстве замкнуто +\end{theorem} + +\begin{proof} + $K$ - замкнутое $\lra$ $X \bs K$ - открытое. Рассмотрим $\forall x \in X \bs K, y \in K$. Тогда сразу + \[ + \rho(y, x) > 0 + \] + Положим $r_y := \frac{1}{2}\rho(y, x)$. Понятно, что $U_{r_y}(y) \cap U_{r_y}(x) = \emptyset$. Также несложно заметить открытое покрытие: + \[ + \bigcup_{y \in K} U_{r_y} (y) \supset K + \] + При этом $K$ - компактное. Следовательно + \[ + \exists \{y_1, \ldots, y_N\} \subset K \such \bigcup_{i = 1}^N U_{r_{y_i}}(y_i) \supset K + \] + Рассмотрим пересечение следующего вида: + \[ + \bigcap_{i = 1}^N U_{r_{y_i}}(x) = U_{\min(r_{y_1}, \ldots, r_{y_N})}(x) + \] + Дополнительно $\forall i \in \range{N}$ выполнено + \begin{align*} + &{U_{\min(r_{y_1}, \ldots, r_{y_N})}(x) \subset U_{r_{y_i}}(x)} + \\ + &{U_{r_{y_i}}(x) \cap U_{r_{y_i}}(y) = \emptyset} + \end{align*} + Тогда + \[ + U_{\min(r_{y_1}, \ldots, r_{y_N})}(x) \cap \bigcup_{i = 1}^N U_{r_{y_i}}(y_i) = \emptyset + \] + Но при этом $K \subset \bigcup\limits_{i = 1}^N U_{r_{y_i}}(y_i)$. Значит + \[ + U_{\min(r_{y_1}, \ldots, r_{y_N})}(x) \cap K = \emptyset + \] + Отсюда заключаем, что + \[ + U_{\min(r_{y_1}, \ldots, r_{y_N})}(x) \subset X \bs K + \] + Итак, для $\forall x \in X \bs K$ мы нашли окрестность, которая находится в том же множестве $\Ra$ любая точка $X \bs K$ - внутренняя $\Ra$ $X \bs K$ - открытое множество $\lra$ $K$ - замкнутое множество. +\end{proof} + +\begin{theorem} + Каждое замкнутое подмножество компактного множества компактно. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $K$ - компактное множество, а $F \subset K$ - замкнутое. Тогда, рассмотрим произвольное покрытие $F$ открытыми множествами: + \[ + \bigcup\limits_{\alpha \in A} G_\alpha \supset F\ \ \ (G_\alpha \text{ - открытое}) + \] + Так как $F$ - замкнутое, то $X \bs F$ - открытое. А значит + \[ + \left(\bigcup\limits_{\alpha \in A} G_\alpha\right) \cup (X \bs F) \supset X \supset K + \] + получили открытое покрытие компактного множества $K$. По компактности получаем + \[ + \exists \{\alpha_1, \ldots, \alpha_N\} \subset A \such \left(\bigcup\limits_{i = 1}^N G_{\alpha_i}\right) \cup (X \bs F) \supset K \supset F + \] + Отсюда + \[ + F \subset \bigcup\limits_{i = 1}^N G_{\alpha_i} + \] +\end{proof} + +\begin{definition} + $n$-мерным кубом назовём декартово произведение отрезков, каждый из которых имеет длину $d$: + \[ + I = \prodl_{j = 1}^n [a^{(j)}; b^{(j)}] \such \forall j \in \range{n}\ \ b^{(j)} - a^{(j)} = d + \] +\end{definition} + +\begin{theorem} + $n$-мерный куб компактен. +\end{theorem} + +\begin{proof} + От противного. Предположим, что существует покрытие такое, что из него нельзя выделить конечное подпокрытие куба: + \[ + \exists \bigcup\limits_{\alpha \in A} G_\alpha \supset I + \] + Мысленно поделим каждую сторону куба на 2 части. Получится $2^n$ меньших кубов. Хотя бы 1 из этих кубов нельзя покрыть конечным подпокрытием (в противном случае теорема оказалась бы верна). Обозначим такой подкуб за $I_1$. Рекурсивно продолжим выбирать кубики и получим цепочку включений: + \[ + I \supset I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \ldots + \] + При этом куб $I_i$ будет обладать стороной + \[ + d_i = \frac{d}{2^i} + \] + А также + \[ + I_i = \prodl_{j = 1}^n [a_i^{(j)}; b_i^{(j)}] + \] + Отсюда имеем другую цепочку включений: + \[ + [a^{(j)}; b^{(j)}] \supset [a_1^{(j)}; b_1^{(j)}] \supset [a_2^{(j)}; b_2^{(j)}] \supset \ldots + \] + По принципу Кантора это нам даёт, что + \[ + \exists x_0^{(j)} \in \bigcap\limits_{i = 1}^\infty [a_i^{(j)}; b_i^{(j)}] + \] + Значит, $\vec{x}_0$ вообще попало в пересечение всех кубов: + \[ + \vec{x}_0 = (x_0^{(1)}, \ldots, x_0^{(n)}) \in \bigcap\limits_{i = 1}^\infty I_i \subset I + \] + Коль скоро изначальный куб $I$ был покрыт открытыми множествами, то + \begin{align*} + &{\exists \alpha_0 \in A \such G_{\alpha_0} \ni \vec{x}_0} + \\ + &{\exists r > 0 \such U_r(\vec{x}_0) \subset G_{\alpha_0}} + \end{align*} + Самые дальние точки куба $I_i$ удалены на расстояние $d_i \cdot \sqrt{n}$. Найдём такое $i \in \N$, что + \[ + d_i \cdot \sqrt{n} = \frac{d}{2^i} \cdot \sqrt{n} < r \Ra I_i \subset G_{\alpha_0} + \] + Оно точно найдётся, так как $2^i$ возрастает. Но в итоге это приводит к противоречию, так как мы покрыли куб конечным подпокрытием. +\end{proof} + +\begin{corollary} + При $n = 1$ получается утверждение, что из любого покрытия отрезка $[a; b]$ открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие. Это утверждение также известно как \textit{теорема Гейне-Бореля} +\end{corollary} + +\begin{theorem} (Критерий компактности в $\R^n$) + В пространстве $\R^n$ следующие утверждения эквивалентны: + \begin{enumerate} + \item $K$ - ограниченное замкнутое множество + + \item $K$ - компактное множество + + \item \(\forall \{\vec{x}_n\}_{n = 1}^\infty \subset K\ \ \exists \left(\{\vec{x}_{m_k}\}_{k = 1}^\infty,\ \liml_{k \to \infty} \vec{x}_{m_k} = \vec{x}_0 \in K \right)\) + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{note} + Утверждения 2 и 3 эквивалентны в любом метрическом пространстве, а вот эквивалентность с 1м - специфично для $\R^n$ +\end{note} + +\begin{proof}~ +\begin{itemize} + \item (1 $\Ra$ 2) $K$ ограничено. Следовательно + \[ + \exists I \text{ - куб} \such K \subset I + \] + $I$ - компактное множество. Отсюда сразу следует, что и $K$ как замкнутое подмножество тоже компактно. + + \item (2 $\Ra$ 3) От противного. Предположим, что + \[ + \exists \{\vec{x}_m\}_{m = 1}^\infty \subset K \such \forall \{\vec{x}_{m_k}\}_{k = 1}^\infty,\ \liml_{k \to \infty} \vec{x}_{m_k} = \vec{x}_0 \notin K + \] + Отсюда следует утверждение + \[ + \forall \vec{x} \in K\ \exists U_{r_{\vec{x}}}(\vec{x}) \such U_{r_{\vec{x}}}(\vec{x}) \cap \{\vec{x}_m\}_{m = 1}^\infty \subset \{\vec{x}\} + \] + То есть \(\bigcup\limits_{\vec{x} \in K} U_{r_{\vec{x}}}(\vec{x}) \supset K\) - открытое покрытие. В силу компактности $K$ + \[ + \exists \{\vec{x}^{(1)}, \ldots, \vec{x}^{(N)}\} \such \bigcup\limits_{i = 1}^N U_{r_{\vec{x}^{(i)}}}(\vec{x}^{(i)}) \supset K \supset \{\vec{x}_m\}_{m = 1}^\infty + \] + Но это означает, что в нашей последовательности не более $N$ точек, а это невозможно. + + \item (3 $\Ra$ 1) От противного. Предположим, что $K$ неограничено: + \[ + \forall m \in \N\ \exists \vec{x}_m \in K \such |\vec{x}_m| > m + \] + По третьему утверждению теоремы: + \[ + \exists \{\vec{x}_{m_k}\}_{k = 1}^\infty \such \liml_{k \to \infty} \vec{x}_{m_k} = \vec{\lambda}_0 + \] + Но в таком случае $\{\vec{x}_{m_k}\}_{k = 1}^\infty$ ограничена, что противоречит построению последовательности. Теперь докажем замкнутость $K$ (снова от противного). Предположим, что $K$ не замкнуто. Тогда + \[ + \exists \{\vec{x}_m\} \subset K \such \liml_{m \to \infty} \vec{x}_m = \vec{x}_0 \notin K + \] + Но по условию у любой последовательности есть подпоследовательность, которая сходится к точке в множестве $K$. Противоречие. +\end{itemize} +\end{proof} + +\begin{note} + Эквивалентность 1 и 2 утверждения называется теоремой Гейне-Бореля в $\R^n$ +\end{note} + +\begin{note} + Дальнейшие определения даны для функций $f: X \to Y$, где $X, Y$ - метрические пространства. +\end{note} + +\begin{definition} + $x_0$ называется \textit{изолированной точкой} множества $E \subset \trbr{X, \rho}$, если $x_0 \in E$ и $\exists U_r(x_0) \such U_r(x_0) \cap E = \{x_0\}$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Точка прикосновения множества $E$, не являющаяся изолированной, называется \textit{предельной точкой} множества $E$. +\end{definition} + +\begin{definition} (Предел функции по Коши) + Пусть $x_0$ - предельная точка множества $D \subset X$ и $f: D \to Y$. + + $l \in Y$ называется \textit{пределом функции (отображения)} $f$ в $x_0$, если + \[ + \forall \eps > 0\ \exists \delta > 0 \such \forall x \in D, 0 < \rho_X(x, x_0) < \delta\ \ \rho_Y(f(x), l) < \eps + \] +\end{definition} + +\begin{definition} (Предел функции по Гейне) + Пусть $x_0$ - предельная точка множества $D \subset X$ и $f: X \to Y$. + + $l \in Y$ называется \textit{пределом функции (отображения)} $f$ в $x_0$, если + \[ + \left(\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset D \bs \{x_0\},\ \liml_{n \to \infty} x_n = x_0\right)\ \liml_{n \to \infty} f(x_n) = l + \] +\end{definition} + +\begin{theorem} (Эквивалентность определений предела функции) + Определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны. +\end{theorem} + +\begin{proof}~ +\begin{itemize} + \item (К $\Ra$ Г) Рассмотрим произвольную последовательность $\{x_n\} \subset D \bs \{x_0\}$, у которой $\exists \liml_{n \to \infty} x_n = x_0$. По определению это означает, что + \[ + \forall \delta > 0\ \exists N \in \N \such \forall n > N\ 0 < \rho_X(x_n, x_0) < \delta + \] + Отсюда следует, что $\rho_Y(f(x_n), l) < \eps$ для фиксированных $\eps, \delta > 0$ из предела по Коши. То есть + \[ + \liml_{n \to \infty} f(x_n) = l + \] + + \item (Г $\Ra$ К) От противного. Предположим, что условие Коши не выполнено: + \[ + \exists \eps_0 > 0 \such \forall \delta > 0\ \exists x \in D,\ 0 < \rho_X(x, x_0) < \delta\ \ \rho_Y(f(x), l) \ge \eps_0 + \] + Построим последовательность, рассмотрев $\delta := 1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}, \ldots$: + \begin{align*} + &{\forall n \in \N\ \ \rho_X(x_n, x_0) < \frac{1}{n}} + \\ + &{\forall n \in \N\ \ \rho_Y(f(x_n), l) \ge \eps_0} + \end{align*} + По первому утверждению получается, что последовательность сходится к $x_0$ и при этом $x_n \neq x_0$. Но в таком случае по Гейне последовательность $f(x_n)$ тоже должна сходится, чего не происходит. Противоречие. +\end{itemize} +\end{proof} + +\subsection{Вектор-функции в $\R^n$} + +\begin{definition} + Вектор-функцией будем называть $\vec{a}(t): \R \to \R^n$, которую можно также записать как + \[ + \vec{a}(t) = (a_1(t), \ldots, a_n(t)) + \] +\end{definition} + +\begin{lemma} \label{vfeq} + Следующие утверждения эквивалентны: + \begin{enumerate} + \item \(\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t) = \vec{a}_0 = (a_{0, 1}, \ldots, a_{0, n})\) + + \item \(\liml_{t \to t_0} |\vec{a}(t) - \vec{a}_0| = 0\) + + \item \(\forall i \in \range{n}\ \liml_{t \to t_0} a_i(t) = a_{0, i}\) + \end{enumerate} +\end{lemma} + +\begin{proof}~ +\begin{enumerate} + \item (1 $\lra$ 2) Запишем определение Коши для первого утверждения: + \[ + \forall \eps > 0\ \exists \delta > 0 \such \forall t, 0 < |t - t_0| < \delta\ |\vec{a}(t) - \vec{a}_0| < \eps + \] + Эта запись в точности совпадает с определением предела из второго утверждения + + \item (1 $\lra$ 3) Запишем определение Гейне для первого утверждения: + \[ + \left(\forall \{t_k\}_{k = 1}^\infty \such t_k \neq t_0, \liml_{k \to \infty} t_k = t_0\right)\ \liml_{k \to \infty} \vec{a}(t_k) = \vec{a}_0 + \] + Пользуясь критерием сходимости в $\R^n$, заменим запись выше эквивалентной: + \[ + \forall i \in \range{n}\ \left(\forall \{t_k\}_{k = 1}^\infty \such t_k \neq t_0, \liml_{k \to \infty} t_k = t_0\right)\ \liml_{k \to \infty} a_i(t_k) = a_{0, i} + \] + Которая и является утверждением 3. +\end{enumerate} +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/24lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/24lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..cfb7b877 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/24lecture.tex @@ -0,0 +1,330 @@ +\begin{theorem} (Свойства предела вектор-функций) + \begin{enumerate} + \item (Единственность предела) Если $\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t) = \vec{l}_1$ и $\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t) = \vec{l}_2$, то $\vec{l}_1 = \vec{l}_2$ + + \item (Ограниченность предела) Если существует предел $\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t)$, то существует $C > 0$ такое, что + \[ + \exists r > 0 \such \forall t, 0 < |t - t_0| < r\ \ |\vec{a}(t)| < C + \] + + \item (Отделимость от нуля) Если предел $\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t) = \vec{a}_0 \neq \vec{0}$, то + \[ + \exists r > 0 \such \forall t, 0 < |t - t_0| < r\ \ |\vec{a}(t)| > \frac{|\vec{a}_0|}{2} + \] + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Во всех случаях пользуемся леммой \ref{vfeq} и переписываем задачу покоординатно: в каждом случае она уже решена. +\begin{enumerate} + \item Из покоординатного равенства напрямую следует равенство $\vec{l}_1 = \vec{l}_2$ + + \item Для каждой $a_i(t)$ существует нужная окрестность, в которой она ограничена: + \begin{align*} + &{\exists r_1 > 0 \such \forall t, 0 < |t - t_0| < r_1\ \ |a_1(t)| < C_1} + \\ + \vdots + \\ + &{\exists r_n > 0 \such \forall t, 0 < |t - t_0| < r_n\ \ |a_n(t)| < C_n} + \end{align*} + По определению + \[ + |\vec{a}(t)| = \sqrt{|a_1(t)|^2 + \ldots + |a_n(t)|^2} < \sqrt{C_1^2 + \ldots + C_n^2} = C + \] + + \item Аналогично предыдущему пункту + \[ + |\vec{a}(t)| = \sqrt{|a_1(t)|^2 + \ldots + |a_n(t)|^2} > \sqrt{\left(\frac{|a_{0, 1}|}{2}\right)^2 + \ldots + \left(\frac{|a_{0, n}|}{2}\right)^2} = \frac{|\vec{a_0}|}{2} + \] +\end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{theorem} (Арифметические свойства предела вектор-функций) + \begin{enumerate} + \item Если $\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t) = \vec{a}_0$ и $\liml_{t \to t_0} \vec{b}(t) = \vec{b}_0$, то + \[ + \liml_{t \to t_0} (\vec{a}(t) + \vec{b}(t)) = \vec{a}_0 + \vec{b}_0 + \] + + \item Если $\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t) = \vec{a}_0$ и $\liml_{t \to t_0} \alpha(t) = \alpha_0$, то + \[ + \liml_{t \to t_0} \alpha(t) \cdot \vec{a}(t) = \alpha_0 \cdot \vec{a}_0 + \] + + \item (Предел скалярного произведения) Если $\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t) = \vec{a}_0$, $\liml_{t \to t_0} \vec{b}(t) = \vec{b}_0$, то + \[ + \liml_{t \to t_0} (\vec{a}(t), \vec{b}(t)) = (\vec{a}_0, \vec{b}_0) + \] + + \item (Предел векторного произведения) Если $n = 3$, $\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t) = \vec{a}_0$, $\liml_{t \to t_0} \vec{b}(t) = \vec{b}_0$, то + \[ + \liml_{t \to t_0} [\vec{a}(t), \vec{b}(t)] = [\vec{a}_0, \vec{b}_0] + \] + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Все свойства доказываются через определение Гейне и уже доказанные свойства предела последовательностей в $\R^n$ +\end{proof} + +\begin{definition} + Пусть $x_0 \in D$ - предельная точка множества $D \subset \trbr{X, \rho}$ и $f: D \to Y$. Тогда $f$ \textit{непрерывна} в точке $x_0$, если + \[ + \liml_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) + \] +\end{definition} + +\begin{definition} (Топологическое определение непрерывности на множестве) + Функция $f: D \to Y,\ D \subset X$ называется \textit{непрерывной на множестве} $D$, если для любого открытого множества $G \subset Y$ его прообраз $f^{-1}(G) = \{x \in D \such f(x) \in G\}$ относительно открыт в $D$, то есть + \begin{align*} + &{\exists \widetilde{G} \subset X \text{ - открытое}} + \\ + &{f^{-1}(G) = D \cap \widetilde{G}} + \end{align*} +\end{definition} + +\begin{definition} (Поточечное определение непрерывности на множестве) + Функция $f: D \to Y, D \subset X$ называется \textit{непрерывной на множестве} $D$, если $\forall x_0 \in D$ такой, что $x_0$ - предельная точка $D$ верно + \[ + \liml_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) + \] +\end{definition} + +\begin{theorem} + Два определения непрерывности на множестве эквивалентны. +\end{theorem} + +\begin{proof}~ +\begin{itemize} + \item (1 $\Ra$ 2) Пусть $x_0 \in D$ и $x_0$ - предельная точка. При этом $f(x_0) \in Y$. Тогда + \[ + \forall \eps > 0\ \ U_\eps(f(x_0)) \text{ - открытое множество} + \] + Согласно топологическому определению непрерывности + \[ + f^{-1}(U_\eps(f(x_0))) = D \cap \widetilde{G},\ \widetilde{G} \text{ - тоже открытое} + \] + Значит \(x_0 \in f^{-1}(U_\eps(f(x_0))) \Ra x_0 \in \widetilde{G} \Ra \exists \delta > 0 \such U_\delta(x_0) \subset \widetilde{G}\). При этом + \[ + \forall x \in U_\delta(x_0) \cap D\ x \in \widetilde{G} \cap D = f^{-1}(U_\eps(f(x_0))) + \] + А это в итоге даёт, что \(f(x) \in U_\eps(f(x_0))\). Мы получили утверждение: + \[ + \forall \eps > 0\ \exists \delta > 0 \such \forall x \in U_\delta(x_0) \cap D\ \ f(x) \in U_\eps(f(x_0)) + \] + которое в точности является вторым определением непрерывности + + \item (2 $\Ra$ 1) Пусть $G$ - произвольное открытое множество в $Y$, $x \in f^{-1}(G)$. Если $x$ - изолированная точка множества $D$, то по определению это означает + \[ + \exists \delta_x > 0 \such U_{\delta_x}(x) \cap D = \{x\} + \] + Теперь пусть $x$ - предельная точка множества $D$. Тогда по определению $\liml_{y \to x} f(y) = f(x)$. То есть + \[ + \forall \eps > 0\ \exists \delta > 0 \such \forall y \in U_\delta(x) \cap D\ \ f(y) \in U_\eps(f(x)) + \] + Раз $f(x) \in G$, то + \[ + \exists \eps > 0 \such U_\eps(f(x)) \subset G + \] + Значит + \[ + \exists \delta_x > 0 \such \forall y \in U_{\delta_x}(x) \cap D\ \ f(y) \in G + \] + Положим $\widetilde{G} := \bigcup\limits_{x \in f^{-1}(G)} U_{\delta_x}(x)$. Хочется доказать, что $f^{-1}(G) = D \cap \widetilde{G}$. Включение $\subset$ очевидно: если точка попадает в прообраз, то она попадает в $D$. Для обратного включения рассмотрим $\forall y \in D \cap \widetilde{G}$. То есть $y$ попало в $D$ и в какую-то из окрестностей $x$, которые образуют $\widetilde{G}$: если это была окрестность изолированной точки, то $y = x \Ra y \in f^{-1}(G)$. Иначе он попал в окрестность предельной точки, то $f(y) \in G \lra y \in f^{-1}(G)$. +\end{itemize} +\end{proof} + +\begin{theorem} (Непрерывный образ компактного множества) + Если $f: X \to Y$ непрерывна на компактном множестве $K \subset X$, то $f(K)$ компактно. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $\bigcup\limits_{\alpha in A} G_\alpha$ - открытое покрытие множества $f(K)$. Согласно топологическому определению непрерывности + \[ + \forall \alpha \in A\ \exists \widetilde{G}_\alpha \text{ - открытое в }X \such f^{-1}(G_\alpha) = K \cap \widetilde{G}_\alpha + \] + Если $x \in K$, то + \[ + \exists \alpha \in A \such f(x) \in G_\alpha \lra x \in f^{-1}(G_\alpha) \Ra x \in \widetilde{G}_\alpha + \] + Отсюда $\bigcup\limits_{\alpha \in A} \widetilde{G}_\alpha \supset K$ и при этом $K$ - компактное множество + \[ + \Ra \exists \{\alpha_1, \ldots, \alpha_N\} \subset A \such \bigcup\limits_{i = 1}^N \widetilde{G}_{\alpha_i} \supset K + \] + В итоге имеем, что $\forall y \in f(K)\ \exists x \in K \such f(x) = y$. Следовательно + \[ + \exists i \such x \in K \cap \widetilde{G}_{\alpha_i} = f^{-1}(G_{\alpha_i}) \Ra y \in G_{\alpha_i} + \] + То есть $f(K) \subset \bigcup\limits_{i = 1}^N G_{\alpha_i}$, мы выделили конечное открытое подпокрытие. Что и требовалось доказать. +\end{proof} + +\begin{corollary} (Теорема Вейерштрасса в $\R^n$) \label{WeierstrassRN} + Если $f: \R^n \to \R$ непрерывна на ограниченном замкнутом множестве $K \subset \R^n$, то она ограничена на $K$ и достигает своих верхней и нижней граней. +\end{corollary} + +\begin{proof} + По критерию компактности в $\R^n$ $K$ - компактное множество. По недавно доказанной теореме $f(K)$ - тоже компактно, при этом $f(K) \subset \R \Ra f(K)$ - ограниченное и замкнутое множество. + + Пусть $M := \sup\limits_{\vec{x} \in K} f(\vec{x})$. По определению точной верхней грани + \[ + \forall m \in \N\ \exists \vec{x}_m \in K \such M - \frac{1}{m} < f(\vec{x}_m) \le M + \] + Соберём как раз такую последовательность $\{\vec{x}_m\} \subset K$. Из эквивалентного определения компактности: + \[ + \exists \{\vec{x}_{m_k}\}_{k = 1}^\infty \such \liml_{k \to \infty} \vec{x}_{m_k} = \vec{x}_0 \in K + \] + По определению Гейне для непрерывности получаем, что + \[ + \liml_{k \to \infty} f(\vec{x}_{m_k}) = f(\vec{x}_0) = M + \] +\end{proof} + +\subsection{Геометрия кривой в $\R^n$} + +\begin{definition} + \textit{(Параметрически заданной) кривой} $\Gamma$ в + пространстве $\R^n$ называется множество точек + (\textit{годограф кривой}) + $ + \Gamma = \{\vec{r}(t): t \in [a, b]\} + $, + где $\vec{r}(t)$ --- непрерывная на $[a, b]$ + вектор-функция. +\end{definition} + +\begin{corollary} + Согласно критерию компактности (\ref{WeierstrassRN}) в $\R^n$, + кривая - это ограниченное замкнутое множество. +\end{corollary} + +\begin{definition} + \textit{Простой} кривой называется кривая без + самопересечений, то есть если верно утверждение + \[ + \vec{r}(t_1) = \vec{r}(t_2) \Ra \left((t_1 = t_2) + \vee (\{t_1, t_2\} = \{a, b\})\right) + \] +\end{definition} + +\begin{definition} + Кривая $\Gamma = \{\vec{r}(t) \such a \le t \le b\}$ + называется \textit{замкнутой}, если $\vec{r}(a) = \vec{r}(b)$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Простая замкнутая кривая называется \textit{жордановой}. +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть вектор-функция $\vec{r}(t)$ задана в некоторой + $U_\delta(t_0)$. Тогда + \textit{производной вектор-функции} в точке $t_0$ + называется предел (если он существует): + \[ + \vec{r'}(t_0) := \liml_{\Delta t \to 0} + \frac{\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)}{\Delta t} + \] +\end{definition} + +\begin{definition} + Вектор-функция $\vec{r}(t)$, определенная в некоторой + $U_\delta(t_0)$, называется \textit{дифференцируемой} + в $t_0$, если вектор $\dvec{r}(t_0) = + \vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)$ может быть + записан в виде + \[ + \dvec{r}(t_0) = \Delta t \vec{A} + \Delta t + \cdot \vec{\eps}(\Delta t) + \] + где $\vec{A} \in \R^n$ и $\liml_{\Delta t \to 0} + \vec{\eps}(\Delta t) = \vec{0}$ +\end{definition} + +\begin{note} + Величину $\Delta t \cdot \vec{\eps}(\Delta t)$ естественно называть \textit{о-маленьким от} $\Delta t$: + \[ + \Delta t \cdot \vec{\eps}(\Delta t) = \vec{o}(\Delta t), \Delta t \to 0 + \] + Сравнение функций можно определить аналогичным образом на вектор-функциях. +\end{note} + +\begin{note} + Далее принято соглашение, что + $\vec{r}(t) = (x_1(t), \ldots, x_n(t))$ +\end{note} + +\begin{lemma} + $\vec{r}(t)$ дифференцируема в точке $t_0$ + тогда и только тогда, когда все её координатные + функции $x_j(t)$ дифференцируемы в точке $t_0,\ + \forall j \in \range{n}$ +\end{lemma} + +\begin{proof} + \[ + \exists \vec{r'}(t_0) := \liml_{\Delta t \to 0} + \frac{\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)}{\Delta t} + \lra \left(\forall j \in \range{n}\ \exists + \liml_{\Delta t \to 0} \frac{x_j(t_0 + \Delta t) - + x_j(t_0)}{\Delta t} = x'_j(t_0)\right) + \] +\end{proof} + +\begin{corollary} + Чтобы взять производную от вектор-функции, нужно продифференцировать функцию каждой координаты, то есть + \[ + \vec{r}(t_0) = (x'_1(t_0), \ldots, x'_n(t_0)) + \] +\end{corollary} + +\begin{lemma} + Вектор-функция $\vec{r}(t)$, определенная + на некторой $U_\delta(t_0)$, является дифференцируемой + в $t_0$ тогда и только тогда, + когда существует производная $\vec{r'}(t_0)$. + При этом $\vec{A} = \vec{r'}(t_0)$ +\end{lemma} + +\begin{proof}~ +\begin{itemize} + \item $\Ra$ $\vec{r}(t)$ - дифференцируема. Значит + \[ + \frac{\dvec{r}(t_0)}{\Delta t} = \frac{\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)}{\Delta t} = \vec{A} + \vec{\eps}(\Delta t) \xrightarrow[\Delta t \to 0]{} \vec{A} + \] + + \item $\La$ $\exists \vec{r'}(t_0)$. По определению производной + \[ + \vec{r'}(t_0) = \liml_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)}{\Delta t} + \] + Это эквивалентно пределу $\liml_{\Delta t \to 0} \left(\frac{\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)}{\Delta t} - \vec{r'}(t_0)\right) = 0$. То есть при $\Delta t \to 0$ + \[ + \frac{\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)}{\Delta t} - \vec{r'}(t_0) = \vec{\eps}(\Delta t) + \] + \[ + \frac{\Delta \vec{r}(t_0)}{\Delta t} = \vec{r'}(t_0) + \vec{\eps}(\Delta t) + \] + \[ + \Delta \vec{r}(t_0) = \Delta t\ \vec{r'}(t_0) + \Delta t\ \vec{\eps}(\Delta t) + \] +\end{itemize} +\end{proof} + +\begin{lemma} + Если $\vec{r}(t)$ дифференцируема в точке $t_0$, то она непрерывна в $t_0$ +\end{lemma} + +\begin{proof} + Раз функция дифференцируема, то приращение функции у точки $t_0$ записывается в виде + \[ + \dvec{r}(t_0) = \vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0) = \Delta t \cdot (\vec{A} + \vec{\eps}(\Delta t)) + \] + Отсюда + \[ + \liml_{\Delta t \to 0} \dvec{r}(t_0) = \liml_{\Delta t \to 0} \vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0) = 0 + \] + Применив равносильность имеем + \[ + \liml_{\Delta t \to 0} \vec{r}(t_0 + \Delta t) = \vec{r}(t_0) = \liml_{t \to t_0} \vec{r}(t) + \] + Что и требовалось доказать. +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/25lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/25lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..797f67d4 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/25lecture.tex @@ -0,0 +1,254 @@ +\begin{lemma} (Правила дифференцирования вектор-функций) + \begin{enumerate} + \item Если $\vec{a}(t), \vec{b}(t)$ дифференцируемы в $t_0$, то $(\vec{a} + \vec{b})(t)$ дифференцируема в $t_0$, причём + \[ + (\vec{a} + \vec{b})'(t_0) = \vec{a'}(t_0) + \vec{b'}(t_0) + \] + + \item Если $\vec{a}(t), \phi(t)$ дифференцируемы в $t_0$, то $\phi(t) \cdot \vec{a}(t)$ дифференцируема в $t_0$, причём + \[ + (\phi\vec{a})'(t_0) = \phi'(t_0)\vec{a}(t_0) + \phi(t_0)\vec{a'}(t_0) + \] + + \item Если $\vec{a}(t), \vec{b}(t)$ дифференцируемы в $t_0$, то $\trbr{\vec{a}, \vec{b}}(t)$ дифференцируемо в $t_0$, причём + \[ + (\trbr{\vec{a}, \vec{b}})'(t_0) = \trbr{\vec{a'}(t_0), \vec{b}(t_0)} + \trbr{\vec{a}(t_0), \vec{b'}(t_0)} + \] + + \item Если $n = 3$ и $\vec{a}(t), \vec{b}(t)$ дифференцируемы в $t_0$, то $[\vec{a}(t), \vec{b}(t)]$ дифференцируемо в $t_0$, причём + \[ + ([\vec{a}, \vec{b}])'(t_0) = [\vec{a'}(t_0), \vec{b}(t_0)] + [\vec{a}(t_0), \vec{b'}(t_0)] + \] + \end{enumerate} +\end{lemma} + +\begin{proof} + Все пункты однотипны, поэтому докажем только третий: + \begin{multline*} + \liml_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta (\trbr{\vec{a}, \vec{b}})(t_0)}{\Delta t} = \liml_{\Delta t \to 0} \frac{\trbr{\vec{a}(t_0 + \Delta t), \vec{b}(t_0 + \Delta t)} - \trbr{\vec{a}(t_0), \vec{b}(t_0)}}{\Delta t} = + \\ + \liml_{\Delta t \to 0} \frac{\trbr{\vec{a}(t_0 + \Delta t), \vec{b}(t_0 + \Delta t)} - \trbr{\vec{a}(t_0), \vec{b}(t_0 + \Delta t)}}{\Delta t} + \liml_{\Delta t \to 0} \frac{\trbr{\vec{a}(t_0), \vec{b}(t_0 + \Delta t)} - \trbr{\vec{a}(t_0), \vec{b}(t_0)}}{\Delta t} = + \\ + \trbr{\liml_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{a}(t_0 + \Delta t) - \vec{a}(t_0)}{\Delta t}, \liml_{\Delta t \to 0} \vec{b}(t_0 + \Delta t)} + \trbr{\vec{a}(t_0), \liml_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{b}(t_0 + \Delta t) - \vec{b}(t_0)}{\Delta t}} = + \\ + \trbr{\vec{a'}(t_0), \vec{b}(t_0)} + \trbr{\vec{a}(t_0), \vec{b'}(t_0)} + \end{multline*} +\end{proof} + +\begin{note}~ +\begin{enumerate} + \item Теорема о среднем (Лагранжа) не имеет места для вектор-функций (без дополнительных изменений): + \[ + \vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0) = \vec{r'}(c)(t_1 - t_0),\ c \in (t_0, t_1) + \] + Контрпример: + \[ + \vec{r}(t) = (\cos t, \sin t),\ t \in [0; 2\pi] + \] + Положим $t_0 = 0, t_1 = 2\pi$. Тогда $\vec{r}(t_0) = \vec{r}(t_1)$. При этом + \[ + \vec{r'}(t) = (-\sin t, \cos t),\ |\vec{r'}(t)| = 1 + \] + Из постоянства модуля следует, что нет такой точки, при которой производная обратится в нуль. + + \item Правило Лопиталя для вектор-функций $\R \to \Cm$, вообще говоря, неверно. + \[ + \liml_{t \to t_0} \frac{f(t)}{g(t)} \not = \liml_{t \to t_0} \frac{f'(t)}{g'(t)},\ \ f, g: \R \to \Cm + \] + Контрпример: \(f(x) = x\), \(g(x) = x + x^2 \cdot e^{i / x^2}\). Рассмотрим предел отношения этих функций к нулю: + \[ + \liml_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \liml_{x \to 0} \frac{x}{x + x^2 e^{i / x^2}} = \liml_{x \to 0} \frac{1}{1 + xe^{i / x^2}} = 1 + \] + При этом $|e^{i / x^2}| = 1\ \forall x \in \R \bs \{0\}$. Посмотрим же теперь предел производных: + \[ + \liml_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \liml_{x \to 0} \frac{1}{1 + 2xe^{i / x^2} - \frac{2i}{x}e^{i / x^2}} + \] + Оценим модуль знаменателя: + \[ + \left|1 + 2xe^{i / x^2} - \frac{2i}{x}e^{i / x^2}\right| \ge 2\left|x - \frac{i}{x}\right| - 1 \ge \frac{2}{|x|} - 1 + \] + Следовательно + \[ + \liml_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \liml_{x \to 0} \frac{1}{1 + 2xe^{i / x^2} - \frac{2i}{x}e^{i / x^2}} = 0 \neq \liml_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} + \] +\end{enumerate} +\end{note} + +\begin{theorem} (Теорема Лагранжа для вектор-функций) + Если $\vec{r}(t)$ непрерывна на $[t_0; t_1]$, дифференцируема на $(t_0, t_1)$, то найдётся $c \in (t_0; t_1)$ такое, что + \[ + |\vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)| \le |\vec{r'}(c)|(t_1 - t_0) + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Рассмотрим числовую функцию $\phi(t)$: + \[ + \phi(t) := \trbr{\vec{r}(t), \vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)} + \] + В силу свойств пределов и правил дифференцирования, $\phi(t)$ является также непрерывной на $[t_0; t_1]$ и диффиренцируемой на $(t_0; t_1)$. А по теореме Лагранжа для вещественных функций + \[ + \exists c \in (t_0; t_1) \such \phi(t_1) - \phi(t_0) = \phi'(c)(t_1 - t_0) + \] + Распишем функцию $\phi$ в равенстве: + \[ + \trbr{\vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0), \vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)} = \trbr{\vec{r'}(c), \vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)} \cdot (t_1 - t_0) + \] + По неравенству Коши-Буняковского-Шварца получим: + \[ + \trbr{\vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0), \vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)} = \trbr{\vec{r'}(c), \vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)} \cdot (t_1 - t_0) \le |\vec{r'}(c)| \cdot |\vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)| \cdot (t_1 - t_0) + \] + При этом в левой части равенства + \[ + \trbr{\vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0), \vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)} = |\vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)|^2 + \] + В итоге + \[ + |\vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)| \le |\vec{r'}(c)|(t_1 - t_0) + \] +\end{proof} + +\begin{definition} + Производные высших порядков и дифференцируемость определяется по индукции: + \[ + \vec{a}^{(0)}(t) := \vec{a}(t) + \] + \[ + \vec{a}^{(n + 1)}(t) := \vec{a}^{(n)'}(t) + \] +\end{definition} + +\begin{theorem} (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для вектор-функций) + Если $\exists \vec{r}^{(m)}(t_0)$, то + \[ + \vec{r}(t) = \vec{r}(t_0) + \vec{r'}(t_0)(t - t_0) + \frac{\vec{r''}(t_0)}{2!}(t - t_0)^2 + \ldots + \frac{\vec{r}^{(m)}(t_0)}{m!}(t - t_0)^m + \vec{o}\left((t - t_0)^m\right),\ t \to t_0 + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Просто объединим формулы Тейлора для каждой компоненты в одну. +\end{proof} + +\begin{definition} + Кривая $\Gamma = \{\vec{r}(t),\ a \le t \le b\}$ считается \textit{ориентированной} в направлении возрастания параметра $t$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Если $P := a = t_0 < t_1 < \ldots < t_m = b$ - разбиение отрезка $[a; b]$, то кривая $\Gamma = \{\vec{r}(t),\ a \le t \le b\}$ \textit{разбита на кривые} $\Gamma_j = \{\vec{r}(t),\ t_{j - 1} \le t \le t_j\}, j \in \range{m}$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Функция $f(x)$ называется \textit{непрерывно дифференцируемой} на $[a; b]$, если она дифференцируемая и $f'(x)$ непрерывна на этом отрезке. +\end{definition} + +\begin{definition} + Если $\vec{r}(t)$ дифференцируема (непрерывно дифференцируема, $k$-раз дифференцируема), то кривая $\Gamma = \{\vec{r}(t),\ a \le t \le b\}$ называется \textit{дифференцируемой (непрерывно дифференцируемой, $k$-раз дифференцируемой)} +\end{definition} + +\begin{definition} + Непрерывно дифференцируемая кривая такая, что $\vec{r'}(t) \neq \vec{0}$ ни в какой точке $t \in (a; b)$ называется \textit{гладкой}. +\end{definition} + +\begin{definition} + Кривая \textit{кусочно гладкая}, если она составлена из гладких кривых +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Касательным вектором} к кривой $\Gamma = \{\vec{r}(t),\ a \le t \le b\}$ в точке $\vec{r}(t_0)$ называется предельное положение направляющего вектора секущей $\dvec{r}(t_0)$, если оно существует. + + Точнее, если $\vec{l}(\Delta t)$ - единичный направляющий вектор секущей: + \[ + \vec{l}(\Delta t) = \pm \frac{\dvec{r}(t_0)}{|\dvec{r}(t_0)|} + \] + тогда + \[ + \liml_{\Delta t \to 0} \vec{l}(\Delta t) = \pm \vec{\tau} + \] + где $\vec{\tau}$ - единичный вектор касательной. +\end{definition} + +\begin{definition} + Линейное пространство $\{t \cdot \vec{\tau},\ t \in \R\}$ называется \textit{касательным пространством}. +\end{definition} + +\begin{definition} + Прямая, заданная векторно-параметрическим уравнением + \[ + \vec{r}(t) = \vec{r}(t_0) + t\cdot \vec{\tau} + \] + называется \textit{касательной к кривой} $\Gamma = \{\vec{r}(t),\ a \le t \le b\}$ в точке $t_0 \in [a; b]$ +\end{definition} + +%% Нарисовать. Введение в матанализ 26, доступ по ссылке (пнуть меня). 1:22:36 + +\begin{lemma} + Пусть кривая $\Gamma = \{\vec{r}(t),\ a \le t \le b\}$ дифференцируема и $\vec{r'}(t_0) \neq 0$. Тогда существует касательная к $\Gamma$ в точке $\vec{r}(t_0)$ с направляющим вектором $\vec{\tau} = \frac{\vec{r'}(t_0)}{|\vec{r'}(t_0)|}$ +\end{lemma} + +\begin{proof} + \[ + \vec{l}(\Delta t) = \frac{\dvec{r}(t_0)}{|\dvec{r}(t_0)|} = \pm \frac{\dvec{r}(t_0)}{\Delta t} \cdot \frac{1}{\left|\frac{\dvec{r}(t_0)}{\Delta t}\right|} \xrightarrow[\Delta t \to 0]{} \pm \frac{\vec{r'}(t_0)}{|\vec{r'}(t_0)|} + \] +\end{proof} + +\begin{definition} + Замена параметра $t = \phi(\wt{t}),\ \wt{t} \in [c; d]$ называется \textit{допустимой} для кривой $\Gamma = \{\vec{r}(t),\ a \le t \le b\}$ заданного класса, если кривая $\wt{\Gamma} = \{\vec{r}(\phi(\wt{t})),\ c \le \wt{t} \le d\}$ - кривая того же класса, а также $\phi([c; d]) = [a; b]$ + + Так из разбиения на координаты, будем считать допустимыми непрерывные строго монотонные функции $t = \phi(\wt{t})$ для кривых без дополнительных ограничений; добавляя (непрерывную) дифференцируемость для (непрерывно) дифференцируемых; $\phi' \neq 0$ для гладких; строгое возрастание для ориентированных. +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть $\vec{r}(t),\ a \le t \le b$ - вектор-функция, $P: a = t_0 < t_1 < \ldots < t_m = b$ - разбиение $[a; b]$. + + \textit{Вариацией} вектор-функции $\vec{r}(t)$, соответствующей разбиению $P$, называется + \[ + V(P, \vec{r}) = \suml_{k = 1}^m |\vec{r}(t_k) - \vec{r}(t_{k - 1})| + \] +\end{definition} + +\begin{definition} + Вектор-функция $\vec{r}(t),\ a \le t \le b$, является \textit{функцией ограниченной вариации} на $[a; b]$, если множество $\{V(P, \vec{r}), P \text{ - всевозможные разбиения }[a; b]\}$ ограничено. Число $V(\vec{r}) = \sup\limits_{P} V(P, \vec{r})\left(=: V(\vec{r}, [a; b])\right)$ называется \textit{полной вариацией функции} $\vec{r}$ на $[a; b]$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Если кривая $\Gamma = \{\vec{r}(t),\ a \le t \le b\}$ задана с помощью функции ограниченной вариации $\vec{r}(t)$, то она называется \textit{спрямляемой}, а $V(\vec{r})$ называется \textit{длиной} $\Gamma$. +\end{definition} + +%%% Тоже хорошо бы рисунок сделать. Введение в матан 26, 1:55:30, пнуть меня для ссылки + +\begin{theorem} (Ограниченность функции ограниченной вариации) + Если $f: [a; b] \to \R$ - функция ограниченной вариации, то она ограничена +\end{theorem} + +\begin{proof} + Рассмотрим разбиение $P: a < x < b$. Тогда + \[ + V(P, f) = |f(a) - f(x)| + |f(x) - f(b)| \le V(f, [a; b]) + \] + Коль скоро $V(f, [a; b])$, $f(a)$ и $f(b)$ - определённые числа, то $f$ ограничено. +\end{proof} + +\begin{theorem} (Арифметические операции с функциями ограниченной вариации) + Если $f, g: [a; b] \to \R$ - функции ограниченной вариации, то $f \pm g$ и $f \cdot g$ - тоже функции ограниченной вариации +\end{theorem} + +\begin{proof} + Вначале докажем для $f \pm g$. Рассмотрим произвольное разбиение $P$ и одно из слагаемых вариации $V(P, f \pm g)$: + \[ + |(f \pm g)(t_k) - (f \pm g)(t_{k - 1})| = |(f(t_k) - f(t_{k - 1})) \pm (g(t_k) - g(t_{k - 1}))| \le |f(t_k) - f(t_{k - 1})| + |g(t_k) - g(t_{k - 1})| + \] + Стало быть + \[ + V(P, f \pm g) \le V(P, f) + V(P, g) + \] + Так как неравенство верно для любого $P$, то $f \pm g$ - функция ограниченной вариации. + + Теперь докажем для $f \cdot g$. Рассмотрим вариацию этой функции для произвольного $P$: + \begin{multline*} + V(P, fg) = \suml_{k = 1}^m |fg(t_k) - fg(t_{k - 1})| \le + \\ + \suml_{k = 1}^m |f(t_k)g(t_k) - f(t_{k - 1})g(t_k)| + \suml_{k = 1}^m |f(t_{k - 1})g(t_k) - f(t_{k - 1})g(t_{k - 1})| \le + \\ + \sup\limits_{t \in [a; b]} |g(t)| \cdot V(P, f) + \sup\limits_{t \in [a; b]} |f(t)| V(P, g) + \end{multline*} +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/26lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/26lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..f7e83e37 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/26lecture.tex @@ -0,0 +1,210 @@ +\begin{lemma} \label{6lemma} + $\vec{f} = (f_1, \ldots, f_n): [a; b] \to \R^n$ является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда $\forall j \in \range{n}$ функции $f_j$ являются функциями ограниченной вариации на $[a; b]$. При этом справедливо неравенство: + \[ + V(f_j) \le V(\vec{f}) \le \suml_{i = 1}^n V(f_i) + \] +\end{lemma} + +\begin{proof} + Начнём с замечания, что при вычислении вариации $\forall j \in \range{n}$: + \[ + |f_j(t_k) - f_j(t_{k - 1})| \le |\vec{f}(t_k) - \vec{f}(t_{k - 1})| \le \suml_{i = 1}^n |f_i(t_k) - f_i(t_{k - 1})| + \] + Первое неравенство в цепочке следует из уже известного соотношения между модулем вектора и его координаты, а второе уже из того, чем является модуль вектора. Теперь просуммируем неравенства для всего разбиения $P: a = t_0 < t_1 < \ldots < t_N = b$: + \[ + V(P, f_j) \le V(P, \vec{f}) \le \suml_{i = 1}^n V(P, f_i) + \] + + Если $\vec{f}$ - функция ограниченной вариации, то для любого разбиения $P$ верно неравенство: + \[ + \forall j \in \range{n}\ \ V(P, f_j) \le V(P, \vec{f}) \le V(\vec{f}) + \] + То есть $\forall j \in \range{n}\ f_j$ - функция ограниченной вариации. При этом + \[ + \forall j \in \range{n}\ \ V(f_j) \le V(\vec{f}) + \] + как раз таки из-за верности при любом $P$ + + Если же все $f_j$ являются функциями ограниченной вариации, то тогда для любого разбиения $P$ выполнено схожее неравенство: + \[ + \forall j \in \range{n}\ \ V(P, \vec{f}) \le \suml_{i = 1}^n V(\vec{P}, f_i) \le \suml_{i = 1}^n V(f_i) + \] + Значит и $\vec{f}$ является функцией ограниченной вариации и выполнено утверждение + \[ + V(\vec{f}) \le \suml_{i = 1}^n V(f_i) + \] +\end{proof} + +\begin{lemma} \label{7lemma} + $\vec{r}: [a; b] \to \R^n$ является функцией ограниченной вариации на $[a; b]$ тогда и только тогда, когда $\vec{r}$ является функцией ограниченной вариации на $[a; c]$ и $[c; b]$ для $\forall c \in (a; b)$. При этом верно равенство: + \[ + V(\vec{r}, [a; b]) = V(\vec{r}, [a; c]) + V(\vec{r}, [c; b]) + \] +\end{lemma} + +\begin{proof} + Зафиксируем $\forall c \in (a; b)$. Возьмём произвольное разбиение $P: a = t_0 < t_1 < \ldots < t_N = b$ и создадим из него 2 других разбиения: + \begin{align*} + &{P_1: a = t_0 < t_1 < \ldots < t_m \le c} + \\ + &{P_2: c \le t_{m + 1} < t_{m + 2} < \ldots < t_N} + \end{align*} + Теперь имеет место следующее неравенство треугольника: + \[ + |\vec{r}(t_{m + 1}) - \vec{r}(t_m)| \le |\vec{r}(c) - \vec{r}(t_m)| + |\vec{r}(t_{m + 1}) - \vec{r}(c)| + \] + Так как эти 3 модуля - единственное, в чём отличается $V(P, \vec{r})$ от $V(P_1, \vec{r}) + V(P_2, \vec{r})$, то верно неравенство: + \[ + V(P, \vec{r}) \le V(P_1, \vec{r}) + V(P_2, \vec{r}) = V(\wt{P}, \vec{r}) + \] + где $\wt{P} = P \cup \{c\}$. А теперь обратимся к полной вариации $\vec{r}$ на $[a; b]$: + \[ + \forall \eps > 0\ \exists P \such V(\vec{r}, [a; b]) - \eps < V(P, \vec{r}) \le V(P_1, \vec{r}) + V(P_2, \vec{r}) = V(\wt{P}, \vec{r}) \le V(\vec{r}, [a; b]) + \] + Так как неравенство имеет место для произвольного $P$, то + \[ + \forall c \in (a; b)\ \forall \eps > 0\ \ V(\vec{r}, [a; b]) - \eps < V(\vec{r}, [a; c]) + V(\vec{r}, [c; b]) \le V(\vec{r}, [a; b]) + \] + Значит, имеет место равенство + \[ + V(\vec{r}, [a; c]) + V(\vec{r}, [c; b]) = V(\vec{r}, [a; b]) + \] + + Аналогично предыдущей лемме показывается, что если $\vec{r}$ имеет ограниченную вариацию на отрезках $[a; c]$ и $[c; b]$, то в силу неравенства + \[ + \forall P\ \ V(P, \vec{r}) \le V(P_1, \vec{r}) + V(P_2, \vec{r}) + \] + $\vec{r}$ будет функцией ограниченной вариации на всём $[a; b]$. Обратное утверждение имеет место из-за доказанного равенства вариаций. +\end{proof} + +\begin{note} + Любая монотонная функция автоматом является функцией ограниченной вариации: внутри суммы мы можем раскрыть все модули однозначно и получить просто разность значений на концах. +\end{note} + +\begin{definition} + Пусть $\vec{f}: [a; b] \to \R^n$ - функция ограниченной вариации. \textit{Функцией полной вариации} называется + \[ + v_{\vec{f}}(x) := V(\vec{f}, [a; x]) + \] +\end{definition} + +\begin{corollary} (из леммы \ref{7lemma}) + Функция полной вариации - неубывающая $\forall \vec{f}$ ограниченной вариации +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $a \le x < y \le b$. Тогда по доказанному утверждению + \[ + V(\vec{f}, [a; y]) = V(\vec{f}, [a; x]) + V(\vec{f}, [x; y]) + \] + При этом все слагаемые неотрицательные. Значит + \[ + V(\vec{f}, [a; y]) \ge V(\vec{f}, [a; x]) \lra v_{\vec{f}}(y) \ge v_{\vec{f}}(x) + \] +\end{proof} + +\begin{corollary} + $\vec{f}$ - функция ограниченно й вариации на $[a, b] \lra$ каждая из её координатных функций представима разностью двух неубывающих функций на $[a, b]$ +\end{corollary} + +\begin{proof} + Из леммы \ref{6lemma} достаточно доказать, что если $f: \R \to \R$ - функция ограниченной вариации, то $f$ представима в виде разницы двух неубывающих функций. + \begin{itemize} + \item $\Ra$ как было доказано ранее $v_f$ является неубывающей, тогда представим $f = v_f - (v_f - f)$, осталось показать, что $v_f - f$ является неубывающая, то есть + \begin{align*} + \forall t_1 < t_2 \in [a, b]\ v_f(t_2) - f(t_2) \ge v_f(t_1) - f(t_1) \lra v_f(t_2) - v_f(t_1) \ge f(t_2) - f(t_1) \lra \\ V(f, [t_1, t_2]) \ge f(t_2) - f(t_1) + \end{align*} + Последнее неравество верно, так как для разбиения $P: t_1 < t_2$ верно $V(f, [t_1, t_2]) \ge V(P, f) = |f(t_2) - f(t_1)| \ge f(t_2) - f(t_1)$ + \item $\La\ f = g - h$, где $g, h$ - неубывающие, тогда они имеют ограниченную вариацию, тогда их разность тоже имеет ограниченную вариацию + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{theorem} (Непрерывность функции полной вариации) + Пусть $\vec{f}: [a; b] \to \R^n$ - функция ограниченной вариации. Тогда $\vec{f}$ непрерывна справа (слева) в точке $y \in [a; b)$ ($y \in (a; b]$) тогда и только тогда, когда $v_{\vec{f}}$ непрерывна справа (слева) в той же точке. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Доказательство проведём для левой непрерывности + \begin{itemize} + \item $\Ra$ От противного. Пусть $v_{\vec{f}}$ не непрерывна слева в $y \in (a; b]$. При этом точно существует левый предел, так как $v_{\vec{f}}$ ограничена (ибо $\vec{f}$ - функция ограниченной вариации) и при этом $v_{\vec{f}}$ - неубывающая. Значит выполнено утверждение + \[ + \liml_{x \to y-} v_{\vec{f}}(x) \neq v_{\vec{f}}(y) = V(\vec{f}, [a; y]) = V(\vec{f}, [a; x]) + V(\vec{f}, [x; y]) + \] + То есть $V(\vec{r}, [x; y])$ не стремится к нулю при $x \to y-$. Это можно записать так: + \[ + \exists \delta > 0 \such \forall x \in [a; y)\ V(\vec{f}, [x; y]) > \delta + \] + Посмотрим на $x := a$. Так как $V(\vec{f}, [x; y]) := \sup\limits_{P} V(P, \vec{f})$ где $P$ - разбиения $[x; y]$, то: + \[ + \exists P \such V(P, \vec{f}) > \delta + \] + Распишем вариацию через сумму: + \[ + V(P, \vec{f}) = \suml_{i = 1}^{m - 1} |\vec{f}(t_i) - \vec{f}(t_{i - 1})| + |\vec{f}(y) - \vec{f}(t_{m - 1})| > \delta + \] + Эту сумму можно считать некоторой функцией $h(y)$, которая является непрерывной слева в точке $y$ (из-за $\vec{f}$). Теперь дополнительно зафиксируем $a < a_1 < y$ (мы это можем сделать из-за свойства $\delta$ по определению выше): + \[ + \exists a_1 \such a < a_1 < y,\ \ \suml_{i = 1}^{m - 1} |\vec{f}(t_i) - \vec{f}(t_{i - 1})| + |\vec{f}(a_1) - \vec{f}(t_{m - 1})| > \delta + \] + Эта же сумма соответствует разбиению $P_1: a = t_0 < t_1 < \ldots < t_{m - 1} < a_1 = \wt{t}_m$. То есть + \[ + V(P_1, \vec{f}) > \delta \Ra V(\vec{f}, [a; a_1]) > \delta + \] + Теперь в качестве $x$ положим $a_1$ и повторим рассуждения рекурсивно. В итоге имеем: + \begin{align*} + &{\forall N \in \N\ \ a < a_1 < \ldots < a_N < y} + \\ + &{\forall i \in \range{N}\ \ V(\vec{f}, [a; a_i]) > \delta} + \end{align*} + Из этого для полной вариации $\vec{f}$ на $[a; b]$ заключаем (считая $a_0 := a$): + \[ + \forall N \in \N\ \ V(\vec{f}, [a; b]) \ge \suml_{i = 1}^N V(f, [a_{i - 1}; a_i]) > N\delta + \] + Значит $V(\vec{f}, [a; b])$ - бесконечность. Противоречие. + + \item $\La$ Теперь $v_{\vec{f}}$ непрерывна слева в $y$. Отсюда следует, что + \[ + \liml_{x \to y-} V(\vec{f}, [x; y]) = 0 + \] + При этом мы можем рассмотреть разбиение отрезка $[x; y]$, состоящее только из точек $x$ и $y$. Тогда + \[ + 0 \le |\vec{f}(x) - \vec{f}(y)| \le V(\vec{f}, [x; y]) + \] + В итоге имеем непрерывность $\vec{f}$ слева в точке $y$. + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{lemma} (Признак спрямляемости) + Если вектор-функция $\vec{r}$ дифференцируема на $[a; b]$ и её производная ограничена на $[a; b]$, то она является функцией ограниченной вариации на $[a; b]$, причём + \[ + V(\vec{r}, [a; b]) \le \sup\limits_{t \in [a; b]} |\vec{r'}(t)| \cdot (b - a) + \] +\end{lemma} + +\begin{proof} + Рассмотрим произвольное разбиение $P: a = t_0 < t_1 < \ldots < t_m = b$. Распишем вариацию на данном разбиении: + \begin{multline*} + V(P, \vec{r}) = \suml_{j = 1}^m |\vec{r}(t_j) - \vec{r}(t_{j - 1})| \le \suml_{j = 1}^m |\vec{r'}(c_j)|(t_j - t_{j - 1}) \le \sup\limits_{t \in [a; b]} |\vec{r'}(t)| \suml_{j = 1}^m (t_j - t_{j - 1}) = + \\ + \sup\limits_{t \in [a; b]} |\vec{r'}(t)| \cdot (b - a) + \end{multline*} +\end{proof} + +\begin{example} (неспрямляемой кривой) (непрерывной функции, не являющейся функцией ограниченной вариации) + \[ + \vec{r}(t) = (t, f(t)) + \] + где $f(t)$ определена следующим образом: + \[ + f(t) = \System { + &{t\cos \frac{\pi}{t},\ 0 < t \le 1} + \\ + &{0,\ t = 0} + } + \] + Понятно, что спрямляемость $\vec{r}(t)$ будет определяться $f(t)$. Рассмотрим разбиение $P: 0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_m = 1$, при этом $t_k = \frac{1}{m + 1 - k}, k \in \{0, \ldots, m\}$: + \[ + V(P, f) = \left|\frac{1}{m} \cos \pi m\right| + \suml_{k = 2}^m \left|\frac{1}{k}\cos \pi k - \frac{1}{k - 1} \cos \pi (k - 1)\right| = 1 + 2\suml_{k = 2}^m \frac{1}{k} + \] + Уже доказывалось, что ряд $a_m = \suml_{k = 1}^m \frac{1}{k}$ расходится, то есть $V(P, f) \xrightarrow[m \to \infty]{} +\infty \Ra$ функция имеет неограниченную вариацию. +\end{example} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/27lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/27lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..3731b36d --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/27lecture.tex @@ -0,0 +1,240 @@ +\begin{theorem} + Пусть $\Gamma = \{\vec{r}(t), a \le t \le b\}$ - гладкая кривая.\\ + Тогда \(s(t) = V(\vec{r}, [a; t])\) - возрастающая функция, которая дифференцируема на $(a; b)$, имеет конечные производные слева в $b$, справа в $a$ и \(s'(t) = |\vec{r'}(t)|,\ t \in (a; b)\) +\end{theorem} + +\begin{proof} + $\vec{r}(t)$ удовлетворяет условиям признака спрямляемости на $[a; b]$. Применим доказанную оценку для отрезка $[t_0; t_0 + \Delta t],\ \Delta t > 0$: + \[ + |\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)| \le V(\vec{r}, [t_0; t_0 + \Delta t]) \le \max\limits_{t \in [t_0; t_0 + \Delta t]} |\vec{r'}(t)| \cdot \Delta t + \] + Максимум вместо супремума уместен в силу гладкости кривой. При этом среднее число в неравенстве можно записать как + \[ + V(\vec{r}, [t_0; t_0 + \Delta t]) = V(\vec{r}, [a; t_0 + \Delta t]) - V(\vec{r}, [a; t_0]) = s(t_0 + \Delta t) - s(t_0) + \] + Поделим неравенство на $\Delta t$ и получим + \[ + \left|\frac{\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)}{\Delta t}\right| \le \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t} \le \max\limits_{t \in [t_0; t_0 + \Delta t]} |\vec{r'}(t)| + \] + Остаётся заметить, что левая и правая части стремятся к $|\vec{r'}(t_0)|$ при $\Delta t \to 0+$. Стало быть + \[ + s'_+(t_0) = \liml_{\Delta t \to 0+} \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t} = |\vec{r'}(t_0)| > 0 + \] + Аналогично доказывается для $\Delta t < 0$. Из этого следуют все свойства $s(t)$, описанные в теореме. +\end{proof} + +\begin{corollary} + В силу строго возрастания $s(t)$, определена также обратная к ней функция $s^{-1}(\tau): [0; V(\vec{r})] \to [a; b]$. Она является допустимой заменой параметра для гладкой кривой. +\end{corollary} + +\begin{definition} + Полученная величина $s(t)$ называется \textit{натуральным параметром кривой} $\Gamma$. + + При этом кривая $\Gamma = \{\vec{r}(s), 0 \le s \le L\}$ - натуральная параметризация $\Gamma$. +\end{definition} + +\begin{lemma} + Пусть $\Gamma = \{\vec{r}(t), a \le t \le b\}$ - гладкая кривая. Тогда $\vec{r}(t)$ является натуральной параметризацией тогда и только тогда, когда + \[ + \forall t \in [a; b]\ \ |\vec{r'}(t)| = 1 + \] +\end{lemma} + +\begin{proof}~ + \begin{itemize} + \item $\Ra$ Если $\vec{r}(t)$ - натуральная параметризация, то $t = s$, $s'(t) = 1 = |\vec{r'}(t)|$. + + \item $\La$ Теперь выполнено, что $\forall t \in [a; b]\ \ |\vec{r'}(t)| = 1$. Тогда отсюда $\forall t \in [a; b]\ \ s'(t) = 1$. При этом $s(0) = 0$. Значит, для любого $t \in (a; b]$ имеем + \[ + s(t) - s(0) = s'(\xi) \cdot (t - 0) \Ra s(t) = t + \] + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{lemma} + Пусть $\vec{f}(t),\ t \in [a; b]$ - непрерывно дифференцируемая вектор-функция такая, что $|\vec{f}(t)| = const$. Тогда + \[ + \forall t \in (a; b] \ \ \trbr{\vec{f'}(t), \vec{f}(t)} = 0 + \] +\end{lemma} + +\begin{proof} + Известно равенство: + \[ + |\vec{f}(t)|^2 = \trbr{\vec{f}(t), \vec{f}(t)} = const + \] + Продифференцируем его с обеих сторон. Получится следующее выражение: + \[ + \trbr{\vec{f'}(t), \vec{f}(t)} + \trbr{\vec{f}(t), \vec{f'}(t)} = 2\trbr{\vec{f'}(t), \vec{f}(t)} = 0 + \] + Из него уже очевидно следует утверждение теоремы. +\end{proof} + +\begin{note} + Последующая теория построена для пространства $\R^3$. +\end{note} + +\begin{theorem} (Второе приближение кривой в $\R^3$) + Пусть $\Gamma = \{\vec{r}(s), 0 \le s < L\}$ - гладкая кривая в натуральной параметризации, и существует ненулевая вторая производная в точке $s_0$, тогда верно + \[ + \vec{r}(s) = \vec{\rho}(s) + \vec{o}\left((s - s_0)^2)\right),\ s \to s_0 + \] + где $\vec{\rho}(s)$ - окружность с центром в точке $\vec{r}(s_0) + \frac{1}{k}\vec{\nu}$ и при этом + \begin{align*} + &{k = \left|\frac{d^2 \vec{r}}{ds^2}(s_0)\right|} + \\ + &{\vec{\nu} = \frac{1}{k} \cdot \frac{d^2 \vec{r}}{ds^2}(s_0)} + \end{align*} + Радиус этой окружности $R = \frac{1}{k}$, а сама она находится в плоскости $\Pi = \{\vec{r}(s_0) + \alpha \vec{\tau} + \beta \vec{\nu},\ \alpha, \beta \in \R\}$, где $\vec{\tau} = \frac{d\vec{r}}{ds}(s_0)$ +\end{theorem} + +\begin{definition} + Определённые выше величины имеют свои названия. Так, в точке $\vec{r}(s_0)$ мы знаем, что + \begin{itemize} + \item $\vec{\tau}$ - единичный вектор касательной + + \item $\vec{\nu}$ - единичный вектор главной нормали + + \item $k$ - кривизна кривой $\Gamma$ + + \item $R$ - радиус кривизны + + \item $\vec{\rho}$ - вектор-функция соприкасающейся окружности + + \item $\Pi$ - соприкасающаяся плоскость + \end{itemize} +\end{definition} + +\begin{proof} + Начнём с небольших фактов: + \begin{itemize} + \item $|\vec{\tau}| = 1$, так как по условию кривая в натуральной параметризации. + + \item $\trbr{\vec{\nu}, \vec{\tau}} = 0$, по уже доказанной лемме. Значит, они действительно образуют базис для плоскости $\Pi$. + \end{itemize} + Воспользуемся формулой Тейлора для $\vec{r}$: + \[ + \vec{r}(s) = \vec{r}(s_0) + \frac{d\vec{r}}{ds}(s_0)(s - s_0) + \frac{1}{2}\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}(s_0)(s - s_0)^2 + \vec{o}\left((s - s_0)^2\right),\ s \to s_0 + \] + Попытаемся доказать, что расстояние между выбранной точкой и центром окружности "примерно постоянно". Для этого посмотрим на это расстояние: + \begin{multline*} + \vec{r}(s) - \left(\vec{r}(s_0) + \frac{1}{k}\vec{\nu}\right) = \frac{d\vec{r}}{ds}(s_0)(s - s_0) + \frac{1}{2} \frac{d^2 \vec{r}}{ds^2}(s_0)(s - s_0)^2 - \frac{1}{k^2}\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}(s_0) + \vec{o}\left((s - s_0)^2\right) = + \\ + (s - s_0)\vec{\tau} + \left(\frac{1}{2}k(s - s_0)^2 - \frac{1}{k}\right)\vec{\nu} + \vec{o}\left((s - s_0)^2\right),\ s \to s_0 + \end{multline*} + Теперь взглянем на длину этого вектора. Для этого возьмём правый ортонормированный базис, два вектора из которых - это $\vec{\tau}$ и $\vec{\nu}$, а третий - их векторное произведение: + \begin{multline*} + \left|\vec{r}(s) - \vec{r}(s_0) - \frac{1}{k}\vec{\nu}\right| = + \\ + \sqrt{\left(s - s_0 + o_1\left((s - s_0)^2\right)\right)^2 + \left(\frac{1}{2}k(s - s_0)^2 - \frac{1}{k} + o_2\left((s - s_0)^2\right)\right)^2 + \left(o_3\left((s - s_0)^2\right)\right)^2} = + \\ + \sqrt{\frac{1}{k^2} + o\left((s - s_0)^2\right)},\ s \to s_0 + \end{multline*} + Как записать вектор-функцию окружности в $\R^3$? Например так: + \[ + \vec{r}_{\text{окр}}(\phi) = \vec{r}_0 + (\vec{i} \cdot (-R\cos \phi) + \vec{j} \cdot R \sin \phi) + \] + Тогда в нашем случае уравнение окружности имеет вид ($\vec{i} := \vec{\nu},\ \vec{j} := \vec{\tau}$): + \[ + \vec{r}_\text{окр}(\phi) = \vec{r}(s_0) + \frac{1}{k}\vec{\nu} - \vec{\nu} \cdot R\cos \phi + \vec{\tau} \cdot R \sin \phi + \] + Для окружности несложно догадаться о натуральном параметре: + \[ + \phi = \frac{s - s_0}{R} + \] + Подставим его в функцию и получим вектор-функцию окружности в натуральной параметризации: + \begin{multline*} + \vec{\rho}(s) = \vec{r}(s_0) + \vec{\tau}R \sin \frac{s - s_0}{R} + \vec{\nu}R\left(1 - \cos \frac{s - s_0}{R}\right) = + \\ + \vec{r}(s_0) + \vec{\tau}R \left(\frac{s - s_0}{R} + o\left((s - s_0)^2\right)\right) + \vec{\nu}R \left(1 - \left(1 - \frac{1}{2}\left(\frac{s - s_0}{R}\right)^2 + o\left((s - s_0)^2\right)\right)\right) = + \\ + \vec{r}(s_0) + (s - s_0)\vec{\tau} + \frac{1}{2R}(s - s_0)^2\vec{\nu} + \vec{o}\left((s - s_0)^2\right),\ s \to s_0 + \end{multline*} + Если сравнить данное выражение с формулой Тейлора для $\vec{r}(s)$, то получится нужное утверждение: + \[ + \vec{r}(s) = \vec{\rho}(s) + o\left((s - s_0)^2\right),\ s \to s_0 + \] +\end{proof} + +\begin{theorem} (О вычислении кривизны) + Если $\Gamma = \{\vec{r}(t), a \le t \le b\}$ - дважды дифференцируемая гладкая кривая, то кривизна в точке $\vec{r}(t)$ может быть подсчитана по формуле: + \[ + k = \frac{\left|\left[\vec{r'}(t), \vec{r''}(t)\right]\right|}{\left|\vec{r'}(t)\right|^3} + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + По правилу дифференцирования сложной функции вектор $\tau$ можно расписать так: + \[ + \vec{\tau} = \frac{d\vec{r}}{ds} = \frac{\vec{r'}(t)}{\frac{ds}{dt}} = \frac{\vec{r'}(t)}{|\vec{r'}(t)|} + \] + Что такое кривизна $k$? Она выражается как + \[ + k = \left|\frac{d\vec{\tau}}{ds}\right| = \left|\left[\frac{d\vec{\tau}}{ds}, \vec{\tau}\right]\right| = \left|\left[\frac{d\vec{\tau}}{ds}, \frac{d\vec{r}}{ds}\right]\right| = \frac{1}{|\vec{r'}(t)|^2} \cdot \left|\left[\vec{\tau'}(t), \vec{r'}(t)\right]\right| + \] + Отдельно распишем $\vec{\tau'}(t)$: + \[ + \vec{\tau'}(t) = \frac{\vec{r''}(t)}{\left|\vec{r'}(t)\right|} - \frac{1}{\left|\vec{r'}(t)\right|^2} \cdot \frac{d}{dt}\left(\left|\vec{r'}(t)\right|\right) \cdot \vec{r'}(t) + \] + Если подставить $\vec{\tau'}$ в выражение кривизны, то при раскрытии по линейности второе слагаемое не внесёт вклада. Стало быть + \[ + k = \frac{1}{\left|\vec{r'}(t)\right|^2} \cdot \left|\left[\frac{\vec{r''}(t)}{\left|\vec{r'}(t)\right|}, \vec{r'}(t)\right]\right| = \frac{\left|\left[\vec{r''}(t), \vec{r'}(t)\right]\right|}{\left|\vec{r'}(t)\right|^3} + \] +\end{proof} + +\begin{corollary}~ + \begin{enumerate} + \item Если $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$, то кривизна выражается как + \[ + k = \frac{\sqrt{(y'z'' - y''z')^2 + (x'z'' - z'x'')^2 + (x'y'' - y'x'')^2}}{\left((x')^2 + (y')^2 + (z')^2\right)^{3/2}} + \] + + \item Если кривая плоская $(z(t) = 0)$, то + \[ + k = \frac{|x'y'' - y'x''|}{\left((x')^2 + (y')^2\right)^{3/2}} + \] + + \item Для функции $y = f(x)\ (x = t)$ кривизна в точке $x_0$ вычисляется как + \[ + k(x_0) = \frac{|f''(x_0)|}{\left(1 + (f'(x_0))^2\right)^{3/2}} + \] + \end{enumerate} +\end{corollary} + +\begin{definition} + Вектором \textit{бинормали} называется $\vec{\beta}$: + \[ + \vec{\beta} = [\vec{\tau}, \vec{\nu}] + \] +\end{definition} + +%%% Нарисовать. Здесь нужна картинка с трансляции матана 2го декабря. 1:34:00 + +\begin{theorem} (Формулы плоскостей сопровождающего трехгранника кривой) + \begin{itemize} + \item Уравнение нормальной плоскости, перпендикулярной $\vec{\tau}$, имеет вид: + \[ + (\vec{r} - \vec{r}_0, \vec{r'}(t_0)) = 0 + \] + + \item Уравнение соприкасающейся плоскости, перпендикулярной $\vec{\beta}$, имеет вид: + \[ + (\vec{r} - \vec{r}_0, \vec{r'}(t_0), \vec{r''}(t_0)) = 0 + \] + + \item Уравнение спрямляющей плоскости, перпендикулярной $\vec{\nu}$, имеет вид: + \[ + \left(\vec{r} - \vec{r}_0, \vec{r'}(t_0), \left[\vec{r'}(t), \vec{r''}(t_0)\right]\right) = 0 + \] + \end{itemize} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Достаточно посмотреть на рисунок.\\ + Или показать, что $\vec{\beta} = \frac{[\vec{r'}(t_0), \vec{r''}(t_0)]}{|[\vec{r'}(t_0), \vec{r''}(t_0)]|}$\\ + Так же заметим, что требуется показать, что вектора $\vec{\beta}$ и $[\vec{r'}(t_0), \vec{r''}(t_0)]$ сонаправлены, а равенство их длин будет следовать из определений(их длина равна 1: у $\vec{\beta}$, так как это произведение перпендикулярных единичных векторов, у $\frac{[\vec{r'}(t_0), \vec{r''}(t_0)]}{|[\vec{r'}(t_0), \vec{r''}(t_0)]|}$, так как мы на модуль делим)\\ + \begin{align*} + \vec{\beta} = [\vec{\tau}, \vec{\nu}] \upuparrows \left[\vec{r'}(t_0), \frac{d^2\vec{r}}{ds^2}(t_0)\right] = \left[\vec{r'}(t_0), \frac{\vec{r''}(t_0)}{\left|\vec{r'}(t_0)\right|^2} - \frac{1}{\left|\vec{r'}(t_0)\right|^2} \cdot \frac{d\left|\vec{r'}\right|}{ds}(t_0) \cdot \vec{r'}(t_0)\right] \upuparrows [\vec{r'}(t_0), \vec{r''}(t_0)] + \end{align*} + +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/28lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/28lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..7ac00668 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/28lecture.tex @@ -0,0 +1,185 @@ +\begin{definition} + Давайте посмотрим, что из себя представляет $\frac{d\vec{\beta}}{ds}$: + \[ + \frac{d\vec{\beta}}{ds} = \left[\frac{d\vec{\tau}}{ds}, \vec{\nu}\right] + \left[\vec{\tau}, \frac{d\vec{\nu}}{ds}\right] = \left[\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}, \frac{1}{k} \cdot \frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\right] + \left[\vec{\tau}, \frac{d\vec{\nu}}{ds}\right] + \] + Первое слагаемое обнуляется. Для второго вектора во втором слагаемом мы знаем, что он будет перпендикулярен самому $\vec{\nu} \Ra $ будет находиться в плоскости $\vec{\tau}$ и $\vec{\beta}$. То есть + \[ + \exists \alpha_1, \alpha_2 \in \R \such \frac{d\vec{\nu}}{ds} = \alpha_1 \vec{\tau} + \alpha_2 \vec{\beta} + \] + Отсюда получаем, что + \[ + \frac{d\vec{\beta}}{ds} = \alpha_2\left[\vec{\tau}, \vec{\beta}\right] = -\ae \vec{\nu} + \] + Коэффициент $\ae$ называется \textit{кручением пространственной кривой}. Его можно выразить как + \begin{multline*} + \ae = -\trbr{\frac{d\vec{\beta}}{ds}, \vec{\nu}} = -\frac{1}{k} \trbr{\left[\vec{\tau}, \frac{d\vec{\nu}}{ds}\right], \frac{d^2\vec{r}}{ds^2}} = \frac{1}{k^2} \trbr{\frac{d\vec{r}}{ds}, \frac{d^2\vec{r}}{ds^2}, \frac{d^3\vec{r}}{ds^3}} = \frac{1}{k^2} \cdot \frac{1}{|\vec{r'}|^6} \cdot \trbr{\vec{r'}, \vec{r''}, \vec{r'''}} = + \\ + \frac{(\vec{r'}, \vec{r''}, \vec{r'''})}{|[\vec{r'}, \vec{r''}]|^2} + \end{multline*} +\end{definition} + +\begin{lemma} (Физический смысл кривизны и кручения) + Если $\Gamma = \{\vec{r}(t)\}$ (т.е. любая) - трижды дифференцируемая кривая, то $k$ и $|\ae|$ - угловые скорости вращения векторов $\vec{\tau}$ и $\vec{\beta}$ соответственно. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Пусть $\vec{a}(s)$ - вектор-функция такая, что $\forall s\ \ |\vec{a}(s)| = 1$. Распишем модуль производной этой функции: + %%% Нарисовать. Внутрь доказательства поместить, наверное. Трансляция Мат.анализ 08.12 время 28:50 + \[ + \left|\frac{d\vec{a}}{ds}\right| = \liml_{\Delta s \to 0} \left|\frac{\vec{a}(s_0 + \Delta s) - \vec{a}(s_0)}{\Delta s}\right| + \] + В стремления к нулю $\Delta s$ справедливо приближение: + \[ + |\Delta \vec{a}(s_0)| = |\vec{a}(s_0 + \Delta s) - \vec{a}(s_0)| = 2\left|\sin \frac{\Delta \phi}{2}\right| + \] + То есть предел на самом деле + \[ + \left|\frac{d\vec{a}}{ds}\right| = \liml_{\Delta s \to 0} \left|\frac{\vec{a}(s_0 + \Delta s) - \vec{a}(s_0)}{\Delta s}\right| = \liml_{\Delta s \to 0} \left|\frac{2\sin \frac{\Delta \phi}{2}}{\Delta s}\right| = \liml_{\Delta s \to 0} \left|\frac{\Delta \phi}{\Delta s}\right| + \] + В итоге получаем, что производная по модулю совпадает со скоростью вращения единичного вектора, что и требовалось доказать. +\end{proof} + +\begin{theorem} (Формулы Френе) + Из проведённого анализа кривых можно выделить 3 формулы, носящие имя французского математика Жана Фредерика Френе. + \begin{enumerate} + \item \[ + \frac{d\vec{\tau}}{ds} = k\vec{\nu} + \] + + \item \[ + \frac{d\vec{\nu}}{ds} = -k\vec{\tau} + \ae\vec{\beta} + \] + + \item \[ + \frac{d\vec{\beta}}{ds} = -\ae\vec{\nu} + \] + \end{enumerate} + Их все можно записать в матричном виде: + \[ + \frac{d}{ds}\Matrix{\vec{\tau} \\ \vec{\nu} \\ \vec{\beta}} = \Matrix{0& & k& & 0 \\ -k& & 0& & \ae \\ 0& & -\ae& & 0} \cdot \Matrix{\vec{\tau} \\ \vec{\nu} \\ \vec{\beta}} + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Первая и последняя уже доказаны, осталось разобраться со второй: + \[ + \frac{d\vec{\nu}}{ds} = \frac{d}{ds}[\vec{\beta}, \vec{\tau}] = \left[\frac{d\vec{\beta}}{ds}, \vec{\tau}\right] + \left[\vec{\beta}, \frac{d\vec{\tau}}{ds}\right] = -\ae [\vec{\nu}, \vec{\tau}] + k[\vec{\beta}, \vec{\nu}] = \ae \vec{\beta} - k\vec{\tau} + \] +\end{proof} + +\begin{note} + Для $\Omega = k\vec{\beta} + \ae\vec{\tau}$ - вектора Дарбу справедливы: + \begin{itemize} + \item $\frac{d\vec{\tau}}{ds} = [\Omega, \vec{\tau}]$ + \item $\frac{d\vec{\beta}}{ds} = [\Omega, \vec{\beta}]$ + \item $\frac{d\vec{\nu}}{ds} = [\Omega, \vec{\nu}]$ + \end{itemize} +\end{note} + +\begin{definition} + В случае плоской кривой ($\R^2$), у нас всего 2 формулы Френе: + \begin{enumerate} + \item \[ + \frac{d\vec{\tau}}{ds} = k\vec{\nu} + \] + + \item \[ + \frac{d\vec{\nu}}{ds} = -k\vec{\tau} + \] + \end{enumerate} + \textit{Эволютой} плоской кривой называется геометрическое место центров кривизны кривой. Исходная кривая называется \textit{эвольвентой} для эволюты. +\end{definition} + +\begin{theorem} (Уравнения эволюты плоской кривой) + Уравнения эволюты в случае $\R^2$ имеет вид: + \[ + \vec{\rho}(s) = \xi(s)\vec{i} + \eta(s)\vec{j} + \] + \begin{align*} + &{\xi = x - \frac{(x')^2 + (y')^2}{x'y'' - x''y'}y'} + \\ + &{\eta = y + \frac{(x')^2 + (y')^2}{x'y'' - x''y'}x'} + \end{align*} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Движение вдоль кривой - это с точностью до бесконечно малых второго порядка движение в каждый момент по какой-то окружности. Радиус окружности - это радиус кривизны. Вооружившись полученными формулами, мы можем записать уравнение эволюты: + \[ + \vec{\rho}(s) = \vec{r}(s) + R(s) \vec{\nu}(s) + \] + где $\vec{\rho}(s)$ - это радиус-вектор текущей касательной окружности. + + Подставим $\vec{\nu}$ в уже известное уравнение. Что получим? + \[ + \vec{\rho}(s) = \vec{r}(s) + R^2(s) \cdot \frac{d^2\vec{r}}{ds^2}(s) + \] + При этом + \[ + \frac{d^2\vec{r}}{ds^2} = \frac{\vec{r''}}{|\vec{r'}|^2} - \frac{1}{|\vec{r'}|^2} \frac{d}{ds}(|\vec{r'}|) \cdot \vec{r'} = \frac{\vec{r''}}{(s')^2} - \frac{s''}{(s')^3}\vec{r'} = \frac{(s')^2 \vec{r''} - s's''\vec{r'}}{(s')^4} + \] + Если $\vec{i}, \vec{j}$ - это орты плоскости, то тогда имеем + \begin{align*} + &{\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j}} + \\ + &{\vec{r'} = x'\vec{i} + y'\vec{j}} + \\ + &{\vec{s'} = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}} + \\ + &{s'' = \frac{x'x'' + y'y''}{\sqrt{(x')^2 + (y')^2}}} + \end{align*} + Подставим всё, что выписали в выражение выше: + \begin{multline*} + \frac{d^2\vec{r}}{ds^2} = \frac{\left((x')^2 + (y')^2\right)(x''\vec{i} + y''\vec{j}) - (x'x'' + y'y'')(x'\vec{i} + y'\vec{j})}{(s')^4} = + \\ + \frac{(x''(y')^2 - x'y'y'')\vec{i} + ((x')^2y'' - x'x''y')\vec{j}}{(s')^4} = \frac{x'y'' - x''y'}{(s')^4}(-y'\vec{i} + x'\vec{j}) + \end{multline*} + Теперь распишем $R^2$: + \[ + R^2 = \frac{1}{k^2} = \frac{(s')^6}{(x'y'' - x''y')^2} + \] + где последнее было получено по лемме о выражении кривизны. + + Эволюту можно записать через орты как + \[ + \vec{\rho}(s) = \xi(s)\vec{i} + \eta(s)\vec{j} + \] + Если подставим полученные для всех частей формулы в исходное векторное уравнение, то сможем выделить $\xi$ и $\eta$ в том виде, в котором они даны в теореме. +\end{proof} + +\begin{theorem} (Свойства эволюты и эвольвенты) + Если $\Gamma = \{\vec{r}(s), 0 \le s \le L\}$ - трижды непрерывно дифференцируемая кривая с натуральным параметром $s$, причём $\frac{dR}{ds} \neq 0$, то + \begin{enumerate} + \item Касательная к эволюте в любой точке является нормалью к эвольвенте + + \item Длина дуги эволюты равна соответствующему изменению радиуса кривизны эвольвенты. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +%%% Нарисовать. Тут точно стоит пояснение рисунком сделать, с эволютой/эвольвентой любой кривой + +\begin{proof} + Для исходной кривой $s$ - это натуральный параметр, но для эволюты - совершенно не обязательно. Поэтому штрих будет обозначать $\frac{d}{ds}$: + \[ + \vec{\rho'}(s) = \frac{d\vec{r}}{ds} + \frac{dR}{ds}(s) \cdot \vec{\nu}(s) + R(s) \cdot \frac{d\vec{\nu}}{ds}(s) + \] + Для удобства опустим $(s)$: + \[ + \vec{\rho'} = \vec{\tau} + \frac{dR}{ds}\vec{\nu} - kR\vec{\tau} = \frac{dR}{ds} \vec{\nu} + \] + Этим мы доказали первый пункт: касательная к эволюте в любой точке выражается через $\vec{\nu}$ - нормаль к эвольвенте. + + Обозначим за $\sigma$ - натуральный параметр для эволюты. Тогда + \[ + \sigma' = |\vec{\rho'}| = \left|\frac{dR}{ds}\right| = \pm \frac{dR}{ds} + \] + Последний переход имеет место из-за того, что мы имеем дело с непрерывной функцией, которая не обращается в 0. В итоге получили, что производная длины эволюты с точностью до знака совпадает во всех точках с производной радиуса кривизны. По теореме Лагранжа можем заключить, что + \[ + \sigma(s_2) - \sigma(s_1) = \pm(R(s_2) - R(s_1)) + \] + Это и требовалось доказать. +\end{proof} + +\begin{note} + Эвольвента - это развёртка эволюты. Представить себе это можно, если взять нить, натянуть её вдоль эволюты и постепенно отодвигать её от кривой: она будет идти по касательной и отклонение будет изменяться так же, как и радиус кривизны. +\end{note} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/2lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/2lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..0296b971 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/2lecture.tex @@ -0,0 +1,396 @@ +\section{О числах} + +\subsection{Натуральные числа} + +\begin{definition} + Неопределяемые понятия: + \begin{itemize} + \item "1" + \item $Sc(\ )$ - следующий элемент + (от английского слова \textit{successor} - преемник) + \end{itemize} + + Натуральные числа - система $\N$, удовлетворяющая + следующим аксиомам: +\end{definition} + +\subsubsection*{Аксиомы Пеано} + +\begin{definition} + Аксиомы Пеано - это набор бездоказательных + высказываний, позволяющих на своей основе построить + всю систему натуральных чисел (т.е. определить все + элементы, отношения и операции). +\end{definition} + +\begin{enumerate} + \item $\mathbf{1}$ есть натуральное число, то есть + $\mathbf{1} \in \N$ + \item $(\forall n \in \N)\ \exists!\ Sc(n) \in \N$ - для + любого числа существует единственное, следующее за ним + \item ($\forall n \in \N)\ 1 \neq Sc(n)$ - число $1$ не + является чьим-либо преемником + \item $(\forall n \in \N)(\forall m \in \N)\ + Sc(n) = Sc(m) \Ra n = m$ - то есть $Sc$ инъективна + \item (Аксиома индукции) $(\forall A + \subset \N)\ \such + \System{ + &(1 \in A) + \\ + &(\forall n \in A)\ Sc(n) \in A + } + \Ra A = \N$ +\end{enumerate} + +\begin{note} + Использование аксиомы индукции (метод мат. индукции): + + Чтобы доказать, что $P(n)$ справедливо $(\forall n \in \N)$, + достаточно проверить два факта: + \begin{enumerate} + \item $P(1)$ --- истинно + \item $P(n)$ --- истинно $\Ra \ P(Sc(n))$ --- истинно + \end{enumerate} +\end{note} + +\begin{example} + Понятно, что данным аксиомам могут соответствовать + разные модели. Одной из таких является модель Фреге-Рассела: + + \[1 := \{\emptyset\}\] + \[Sc(n) := n \cup \{n\}\] + То есть: + $2 = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$, + $\ 3 = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}$ +\end{example} + +\subsubsection*{Сложение} + +Чтобы определить операцию сложения, нам необходимо +ввести 2 аксиомы: +\begin{enumerate} + \item $(\forall m \in \N)\ m + 1 := Sc(m)$ + \item $(\forall n,\ m \in \N)\ m + Sc(n) := Sc(m + n)$ + \begin{note} + Эта аксиома не интуитивна (ведь мы не определили + $m + n$), но верна за счёт первой. + + База $n = 1$: $m + Sc(1) := Sc(m + 1)$ - всё верно и определено. + + Предположение индукции: $m + Sc(n) = Sc(m + n)$ --- верно. + Тогда поймём, что и + $m + Sc(Sc(n)) = Sc(m + Sc(n))$ - также определено и + верно в силу предыдущего шага + $\Ra$ аксиома верна и для любых натуральных $m$ и $n$. + (Несмотря на наличие "доказательной"\ + части, данное выражение остаётся аксиомой, иначе базу + не обосновать) + \end{note} +\end{enumerate} + +Из этих двух аксиом следует, что операция сложения +существует и единственна. + +\subsubsection*{Умножение} + +Чтобы определить операцию умножения, нам необходимо +ввести 2 аксиомы: +\begin{enumerate} + \item $(\forall m \in \N)\ m \cdot 1 := m$ + \item $(\forall m \in \N)\ m \cdot Sc(n) := m \cdot n + m$ +\end{enumerate} + +Из этих двух аксиом следует, что операция сложения существует и единственна. + +\begin{example} + Доказать: $2 \cdot 2 = 4$ + + Что такое $2$? По определению, $2 := Sc(1)$. + Аналогично $3 := Sc(2),\ 4 := Sc(3)$. Тогда: + + $2 \cdot 2 = 2 \cdot Sc(1) = 2 \cdot 1 + 2 = 2 + Sc(1) + = Sc(2 + 1) = Sc(Sc(2)) = Sc(3) = 4$, что и требовалось доказать. +\end{example} + +\subsubsection*{Отношение строгого порядка на множестве +натуральных чисел (не материал лектора)} + +\begin{definition} + Отношение строгого порядка $<$ на множестве $\N$ определяется как + \[ + (m < n) \overset{def}{\lra}\ (\exists p \in \N)\ m + p = n + \] + Для $>$ аналогично. +\end{definition} + +\subsubsection*{Отношение порядка на множестве натуральных чисел} + +\begin{definition} + Отношение порядка $\le$ на множестве $\N$ определяется как + + \[ + (\forall n,\ m \in \N)\ m \le n \overset{def}{\lra}\ + (m = n) \vee ((\exists p \in \N)\ n = p + m) + \] + + Для $\ge$ аналогично. +\end{definition} + +\begin{anote} + Отношение порядка также можно задать следующим образом: + \[ + (a \le b) := \big((a = b) \vee (a < b)\big) + \] +\end{anote} + +Из определения становится возможным доказать теорему, +о том, что отношения $\le$ и $\ge$ являются отношениями порядка. +(Для этого необходимо доказать 3 свойства). + +\subsubsection*{Свойства операций и отношений на натуральных числах} + +\begin{theorem} + $(\forall m, n, p \in \N)$ верно следующее: + + \begin{itemize} + \item Сложение + \begin{itemize} + \item[I-а).] $m + n = n + m$ (коммутативность) + \item[I-б).] $(m + n) + p = m + (n + p)$ (ассоциативность) + \end{itemize} + \item Умножение + \begin{itemize} + \item[II-а).] $m \cdot n = n \cdot m$ (коммутативность) + \item[II-б).] $(m \cdot n) \cdot p = m \cdot (n \cdot p)$ (ассоциативность) + \item[II-в).] $m \cdot 1 = 1 \cdot m = m$ (единичный элемент) + \end{itemize} + \item Отношение порядка + \begin{itemize} + \item[III-а).] $m \le m$ (рефлексивность) + \item[III-б).] $(m \le n) \wedge (n \le m) \Ra (m = n)$ (антисимметричность) + \item[III-в).] $(m \le n) \wedge (n \le p) \Ra (m \le p)$ (транзитивность) + \item[III-г).] $(m \le n) \vee (n \le m)$ - всегда истинное + выражение (множество $\N$ линейно упорядочено) + \end{itemize} + \item Дистрибутивность: + + \begin{itemize} + \item[I-II).] $m \cdot (n + p) = m \cdot n + m \cdot p$ (сложения и умножения) + \item[I-III).] $(m \le n) \Ra \ m + p \le n + p$ + \item[II-III).] $(m \le n) \Ra \ m \cdot p \le n \cdot p$ + \end{itemize} + \item Свойство Архимеда + \[ + (\forall m \in \N)(\forall p \in \N)(\exists n \in \N)\ + m \cdot n > p + \] + \end{itemize} +\end{theorem} + + +\subsection{Целые числа} + +\begin{definition} + \textit{Множеством целых чисел} называется множество + + \[\Z := \N \cup \{0\} \cup \{-n\ :\ n \in \N\}\] +\end{definition} + +Из определения сразу следует, что $\N \subset \Z$ + +\subsubsection*{Сложение} + +Рассмотрим $\forall m, n \in \N$ и доопределим операции: + +\begin{enumerate} + \item $m + n \Ra$ сложение происходит также, как и с натуральными числами. + \item $(-m) + (-n) := -(m + n)$ + \item $m + (-n) := \System{&{p \in \N\ :\ n + p = m, \text{ если } m > n} \\ + &{0, \text{ если } m = n} \\ + &{-p,\ p \in \N\ :\ m + p = n, \text{ если } m < n}}$ +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Умножение} + +Рассмотрим $\forall m, n \in \N$: + +\begin{enumerate} + \item $m \cdot n \Ra$ умножение происходит также, как и с натуральными числами. + \item $(-m) \cdot (-n) := m \cdot n$ + \item $m \cdot (-n) := -(m \cdot n)$ + \item $m \cdot 0 := 0$ +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Свойства операций и отношений на множестве целых чисел} + +\begin{theorem}~ + + \begin{itemize} + \item Сложение + \begin{itemize} + \item[I).] Все свойства сложения натуральных чисел + верны и для целых. + \item[I-в).] $m + 0 := m$ (существование нейтрального + к сложению числа) + \item[I-г).] $(\forall m \in \Z)(\exists (-m) \in \Z) + \ \ m + (-m) = 0$ + (существование обратного числа по сложению) + \end{itemize} + \item Умножение + \begin{itemize} + \item[II).] Все свойства умножения натуральных чисел + верны и для целых. + \end{itemize} + \item Отношение порядка + \begin{itemize} + \item[II-III).] $(\forall m \in \Z) (\forall n \in \Z) + (\forall p \in \N)\ (m \le n) \Ra + (m \cdot p \le n \cdot p)$ + \item[IV).] $(\forall m_1 \in \Z) + (\forall m_2 \in \Z \bs \{0\}) + (\exists n \in \Z)\ n \cdot m_2 + \ge m_1$ (свойство Архимеда) + \end{itemize} + \end{itemize} +\end{theorem} + +\subsection{Рациональные числа} + +\begin{definition} + \textit{Рациональным числом} называется число вида + $\frac{m}{n}$, где $m \in \Z, n \in \N$. Его можно + однозначно задать с помощью упорядоченная пара $(m, n)$. + Множество рациональных чисел обозначают $\Q$. +\end{definition} + +\subsubsection*{Отношение эквивалентности на +множестве рациональных чисел} + +\begin{definition} + Введем отношение: $(m, n)R(p, q) \overset{def}{\lra} + (m \cdot q = n \cdot p)$ +\end{definition} + +\begin{proposition} + Отношение $R$ является отношением эквивалентности + на множестве рациональных чисел +\end{proposition} + +\begin{proof} + Для доказательства необходимо проверить, что + выполнены все свойства отношения эквивалентности: + \begin{enumerate} + \item Рефлексивность: $(m, n)R(m, n) \overset{def}{\lra} + (m \cdot n = n \cdot m)$ - верно. + \item Симметричность: $(m, n)R(p, q) \Ra + (p, q)R(m, n)$ + + $(p, q)R(m, n) \lra + (p \cdot n = q \cdot m) \lra (m \cdot q = n \cdot p) + \lra (m, n)R(p, q)$. + \item Транзитивность: + $(m, n)R(p, q) \wedge (p, q)R(r, s) \Ra (m, n)R(r, s)$. + + Опуская формальности, имеем $2$ равенства: $mq = np$ и $ps = qr$. + Домножим первое на $s$, а второе на + $n$: $mqs = nps = psn = qrn \Ra mqs = + qrn \Ra ms = rn = nr$ - верно. + \end{enumerate} + все $3$ свойства верны, а значит $R$ является + отношением эквивалентности, что и требовалось доказать. +\end{proof} + +\subsubsection*{Положительное рациональное число} + +\begin{definition} + \textit{Положительным рациональным числом} называется + класс эквивалентности в $\N^2$ по отношению $R$ + на множестве $\Q$. +\end{definition} + +Множество всех положительных чисел обозначается $\Q_+$ + +Тогда множество рациональных чисел задается так: +\[\Q := \Q_+ \cup \{0\} \cup \{-r\ :\ r \in \Q_+\}\] + +Отсюда также следует, что $\N \subset \Z \subset \Q$ + +\begin{anote} + Рациональное число определяется как класс + эквивалентности из-за того факта, что + $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ и так далее. + Определение положительного рационального числа + через $N^2$ справедливо, так как + $\N \subset\Z \Ra \N^2 \subset \Z \times \N$ +\end{anote} + +\subsubsection*{Отношение строгого порядка на множестве +рациональных чисел (не материал лектора)} + +\begin{definition} + Отношение строгого порядка $<$ ($>$) на + множестве $\Q$ задаётся как + \[ + \left(\frac{p}{q} < \frac{m}{n}\right) + := (p \cdot n < m \cdot q) + \] +\end{definition} + +\begin{anote} + В данном определении всё верно, так как + $q, n \in \N$ по определению рациональных чисел. +\end{anote} + +\subsubsection*{Отношение порядка на множестве +рациональных чисел (не материал лектора)} + +\begin{definition} + Отношение порядка $\le$ ($\ge$) на множестве + $\Q$ задаётся как и на предыдущих: + \[ + (a \le b) := \big((a = b) \vee (a < b)\big) + \] +\end{definition} + +\subsubsection*{Операции на множестве рациональных чисел} + +Обозначим фигурными скобками $r = \{(m, n)\}$ класс эквивалентности +упорядоченных пар чисел $m, n$ (то есть рациональное число $r$). +Тогда если $r, s \in \Q_+ \ \ (m, n) \in r;\ (p, q) \in s$, то +сложение и умножение определяются так: +\[ + r + s = \{(m, n)\} + \{(p, q)\} := + \{(m \cdot q + n \cdot p,\ n \cdot q)\} +\] +\[ + r \cdot s = \{(m, n)\} \cdot \{(p, q)\} := + \{(m \cdot p,\ n \cdot q)\} +\] + +\subsubsection*{Свойства операций и отношений на +множестве рациональных чисел} +\begin{theorem}~ + + \begin{itemize} + \item Сложение + \begin{itemize} + \item[I.)] Все свойства сложения целых чисел + верны и для рациональных. + \end{itemize} + \item Умножение + \begin{itemize} + \item[II.)] Все свойства умножения целых чисел + верны и для рациональных. + \item[II-г.)] $(\forall p \in \Q)(p \neq 0)\ \exists + p^{-1} \in \Q :\ p \cdot p^{-1} = 1$ + (существование обратного элемента по умножению) + \end{itemize} + \item Отношение порядка + \begin{itemize} + \item[III.)] Все свойства отношения порядка целых + чисел верны и для отношения порядка рациональных + чисел (хоть определение и отличается от того, + что используется на целых числах). + \end{itemize} + \end{itemize} +\end{theorem} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/3lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/3lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..aca1d95b --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/3lecture.tex @@ -0,0 +1,365 @@ +\begin{theorem} + Каждое рациональное число + представимо в виде периодической десятичной + дроби и наоборот. + \[ + r \in \Q \lra (r = \alpha_0,\alpha_1 \dots \alpha_k (\beta_1 \dots \beta_t)), \System{ + &{\alpha_0 \in \N \cup \{0\}} + \\ + &{(\forall i > 0)\ \alpha_i \in \{0, 1, \dots, 9\}} + \\ + &{\forall \beta_i \in \{0, 1, \dots, 9\}} + } + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть есть число $r \in \Q_+$ (не умаляя общности). + Покажем, что оно представимо в виде периодической + десятичной дроби: + + Пусть $[r]$ - целая часть числа $r$. Тогда понятно, + что $[r] =: \alpha_0$. + + Рассмотрим $r - [r] = \frac{m}{n}, 0 \le m < n$ + (несложно доказать, что это верно и единственно) + + Далее возможно только 2 случая: + \[ + \System{&{m = 0 \Ra r = \alpha_0,(0) \Ra + \text{ периодическая десятичная дробь}} \\ &m \neq 0} + \] + Продолжим рассуждения для второго случая. + Согласно свойству Архимеда, + \[ + (\forall n \in \N)\ 10^n > n \Ra + \] + \[ + (\exists p \in \N)\ 10^p \cdot m \ge n + \] + Если взять $p = p_{\min}$, то будет также выполнено + \[ + 10^{p - 1} \cdot m < n + \] + + Теперь будем строить десятичную дробь поциферно. + По сути степень $p$ обозначает позицию первой следующей + значащей цифры: + \[ + \frac{m}{n} = \frac{10^p m}{10^p n} = \frac{k}{10^p} + + \frac{m_1}{10^p n},\ \ k = \Big[\frac{10^p m}{n}\Big] + \] + То есть $k$ --- $p$-ая цифра после запятой, при этом $m_1$ либо + равно 0, тогда мы до конца разложили $\frac{m}{n}$, так как + все последующие цифры - нули, либо $0 < m_1 < n$. + + Теперь вынесем за скобку $\frac{1}{10^p}$ и рассмотрим + $\frac{m_1}{n}$ как такую же дробь и снова разложим по + такому же алгоритму. Тогда мы получим следующую значащую + цифру (степени 10 будут только увеличиваться). Так мы + получим $m_2$, причем $m_2 = 0$ --- завершаем работу + или $0 < m_2 < n$ - продолжаем выполнение алгоритма. + + Стоит заметить, что мы либо получим на каком-то шаге $0$, + либо попадём в цикл (на $n$-ом шаге в худшем случае), так + как $0 < m_i < n \Ra m_i$ может принять не более $n - 1$ + разных значений, а так как знаменатель всегда остается + равным $n$, то при совпадении $m_i = m_j$ все + последующие вычисления повторятся, и алгоритм зациклится. + То есть мы получим период в таком случае. + + Теперь покажем, что если есть периодическая десятичная + дробь $\alpha_0, \alpha_1 \dots \alpha_k (\beta_1 \dots + \beta_t)$, то она представима в виде + $\frac{m}{n},\ m \in \Z, n \in \N$: + + Обозначим $r = \alpha_0, \alpha_1 \dots \alpha_k + (\beta_1 \dots \beta_t)$, тогда + \begin{align*} + &r \cdot 10^{k + t}= \alpha_0 \alpha_1 + \dots \alpha_k \beta_1 \dots \beta_t, + (\beta_1 \dots \beta_t) \\ + &r \cdot 10^k= \alpha_0 \alpha_1 \dots + \alpha_k,(\beta_1 \dots \beta_t) \\ + &r \cdot 10^k \cdot (10^t - 1) = \alpha_0 + \alpha_1 \dots \alpha_k \beta_1 \dots \beta_t - \alpha_0 \alpha_1 \dots \alpha_k = [r \cdot 10^{k + t}] - [r \cdot 10^k] \\ + &\Ra r = \frac{[r \cdot 10^{k + t}] - + [r \cdot 10^k]}{10^k \cdot (10^t - 1)} + \end{align*} + + Числитель целое число, а знаменатель - натуральное + $\Ra$ периодическая десятичная дробь представима как + $\frac{m}{n}$, что и требовалось показать. +\end{proof} + +\subsection{Действительные числа} + + +\subsection*{Определение действительных чисел} + +\begin{definition} + Действительные числа определяются 4 способами. + + \begin{enumerate} + \item Бесконечные десятичные дроби (Стевин) + \item Дедекиндовы сечения (Дедекинд) + \item Классы эквивалентных фундаментальных + последовательностей рациональных + чисел (Кантор) + \item Стягивающиеся рациональные отрезки (Бахман) + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{definition} + Рациональным отрезком называется + \[[p, q]_{\Q} = \{r \in \Q :\ p \le r \le q\} + \ (p \le q \in \Q)\] +\end{definition} + +\begin{definition} + Система вложенных рациональных отрезков есть + $\{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$, такое что + $(\forall n \in \N)\ [p_n, q_n]_{\Q} \supset + [p_{n + 1}, q_{n + 1}]_{\Q}$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Последовательность рациональных чисел --- + отображение + + $f :\ \N \rightarrow \Q\ \ f(n) + =: f_n \ \{f_n\}_{n = 1}^{\infty}$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Система вложенных рациональных отрезков + $\{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$ + называется стягивающейся (гнездом), если + $(\forall \epsilon \in \Q_+)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ 0 \le q_n - p_n < \epsilon$ +\end{definition} + +\subsubsection*{Отношение эквивалентности на множестве +систем стягивающихся отрезков} + +\begin{definition} + Два гнезда $\{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$ + и $\{[p_n', q_n']_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$ + называются эквивалентными, если + $\{[\min (p_n, p_n'), \max (q_n, q_n')] + _{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$ --- гнездо. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Определение эквивалентности систем стягивающихся + рациональных отрезков удовлетворяет всем свойствам + отношения эквивалентности. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{itemize} + \item \textit{Рефлексивность} очевидна, так как + $\min(p_n, p_n) = p_n$ и $\max(q_n, q_n) = q_n$, + что обозначает данное изначально гнездо. + \item \textit{Симметричность} тоже очевидна, так + как минимум и максимум - инвариантны + относительно порядка аргументов. + \item \textit{Транзитивность:} нужно доказать, что + \[ + \System{\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim + \{[p'_n; q'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \\ + \{[p'_n; q'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim + \{[p''_n; q''_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty} + \Ra + \{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim + \{[p''_n; q''_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \] + Из условия следует, что + \begin{align*} + \{[\min(p_n, p'_n); + \max(q_n, q'_n)]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \text{ - стягивающаяся, то есть } \\ + (\forall \veps \in \Q)(\exists N_1 \in \N)(\forall n > N_1) + \ \max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n) < \frac{\veps}{2} \\ + \{[\min(p'_n, p''_n); \max(q'_n, q''_n)]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \text{ - стягивающаяся, то есть } \\ + (\forall \veps \in \Q)(\exists N_2 \in \N)(\forall n > N_2) + \ \max(q'_n, q''_n) - \min(p'_n, p''_n) < \frac{\veps}{2} + \end{align*} + Тогда для $\forall n > \max(N_1, N_2)$ оба неравенства + будут выполняться. Тогда, нужно доказать следующее: + \[ + \max(q_n, q''_n) - \min(p_n, p''_n) < \veps + \] + Для этого рассмотрим по отдельности 4 случая: + \begin{enumerate} + \item $\max(q_n, q''_n) - \min(p_n, p''_n) = q_n - p_n$ \\ + Тогда $\ q_n - p_n \le \max(q_n, q'_n) - p_n + \le \max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n) < \veps$. + + Следовательно $\max(q_n, q''_n) - \min(p_n, p''_n) + = q_n - p_n < \veps$ + \item $\max(q_n, q''_n) - \min(p_n, p''_n) = q''_n - p''_n$ + - аналогично 1му случаю + \item $\max(q_n, q''_n) - \min(p_n, p''_n) = q_n - p''_n$ \\ + В таком случае: $\ q_n - p''_n = (q_n - p'_n) + (p'_n - p''_n)$ + + При этом $q_n - p'_n \le \max(q_n, q'_n) - p'_n \le + \max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n) < \frac{\veps}{2}$. + + А также $p'_n - p''_n \le q'_n - p''_n \le \max(q'_n, q''_n) - p''_n + \le \max(q'_n, q''_n) - \min(p'_n, p''_n) < \frac{\veps}{2}$. + + Сложим оба выражения: + $\ \max(q_n, q''_n) - \min(p_n, p''_n) = q_n - p''_n + < \frac{\veps}{2} + \frac{\veps}{2} = \veps$ + \item $\max(q_n, q''_n) - \min(p_n, p''_n) = q''_n - p_n$ + - аналогично 3му случаю + \end{enumerate} + Таким образом, $\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \sim \{[p''_n; q''_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \Ra$ + транзитивность верна. + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{definition} + \textit{Действительными числами} называются + классы эквивалентности гнёзд. Множество действительных + чисел обозначается $\R$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Множество рациональных чисел вложено в множество + действительных $\Q \subset \R$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Действительно, $r \in \Q \Ra \{[r;r]_\Q\}_{n = 1}^\infty$ + - система стягивающихся рациональных отрезков. +\end{proof} + +\subsubsection*{Операция сложения действительных чисел} + +\begin{definition} + \textit{Суммой двух действительных чисел}, представляемых + гнездами $\{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$ и + $\{[r_n, s_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$ называется + действительное число, представляемое гнездом + \[ + \{[p_n + r_n, q_n + s_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty} + \] +\end{definition} + +\begin{definition} + Противоположным к действительному числу, + представляемому гнездом $\{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$, + называется действительное число, представляемое гнездом + $\{[-q_n, -p_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$ +\end{definition} + +\begin{theorem} + Сумма и противоположное число определены + корректно (то есть сложение не зависит от того, + каких представителей классов эквивалентностей мы + складываем). Справедливы свойства: + + \begin{enumerate} + \item[I-а).] $(\forall a \in \R)(\forall b \in \R) + \ a + b = b + a$ (\textit{коммутативность}) + \item[I-б).] $(\forall a, b, c \in \R) + \ (a + b) + c = a +(b + c)$ (\textit{ассоциативность}) + \item[I-в).] $(\forall a \in \R) + \ a + 0 = 0 + a = a$ (\textit{нейтральный элемент} относительно сложения) + \item[I-г).] $(\forall a \in \R) + \ a + (-a) = (-a) + a = 0$ (\textit{обратный элемент} относительно сложения) + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + + \begin{itemize} + \item Для \textit{корректности сложения} нужно доказать: + \[ + \System{\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim + \{[p'_n; q'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \\ + \{[r_n; s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim + \{[r'_n; s'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty} + \Ra + \{[p_n + r_n; q_n + s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim + \{[p'_n + r'_n; q'_n + s'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \] + По условию: + \begin{align*} + (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N_1 \in \N) + (\forall n > N_1)\ \max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n) + < \frac{\veps}{2} \\ + (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N_2 \in \N) + (\forall n > N_2)\ \max(s_n, s'_n) - \min(r_n, r'_n) + < \frac{\veps}{2} + \end{align*} + А нам нужно проверить, что верно: + \[ + (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N = \max(N_1, N_2) \in \N) + (\forall n > N)\ \max(q_n + s_n, q'_n + s'_n) - + \min(p_n + r_n, p'_n + r'_n) < \veps + \] + Рассмотрим неравенства: + \begin{multline*} + \max(q_n + s_n, q'_n + s'_n) - + \min(p_n + r_n, p'_n, + r'_n) \le \\ + \le (\max(q_n, q'_n) + \max(s_n, s'_n)) - + (\min(p_n, p'_n) + \min(r_n, r'_n)) = \\ + = (\max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n)) + + (\max(s_n, s'_n) - \min(r_n, r'_n)) < + \frac{\veps}{2} + \frac{\veps}{2} = \veps + \end{multline*} + Следовательно, по определению: + \[ + \{[p_n + r_n; q_n + s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim \{[p'_n + r'_n; q'_n + s'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \] + \item \textit{Корректность противоположного числа} доказывается + тривиально: мы имеем + \[ + \{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim + \{[p'_n; q'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \] + То есть по определению: + \[ + (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ \max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n) + < \veps + \] + + Осталось заметить, что $\max(q_n, q'_n) = - \min(-q_n, -q'_n)$ + и по аналогии $- \min(p_n, p'_n) = \max(-p_n, p'_n)$. + Тогда предыдущее выражение принимает вид: + + \[ + (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ \max(-p_n, -p'_n) - \min(-q_n, q'_n) + < \veps + \] + + А это означает в точности следующее: + \[ + \{[-q_n; -p_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim + \{[-q'_n; -p'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \] + \item \textit{Коммутативность сложения} действительных чисел + следует сразу из коммутативности сложения рациональных + чисел: + \[ + a + b \lra \{[p_n + r_n; q_n + s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \sim + \{[r_n + q_n; s_n + q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \lra b + a + \] + \item \textit{Ассоциативность сложения} действительных + чисел работает также вследствие свойств рациональных чисел + \item Существование \textit{нейтрального элемента} доказывается + очевидным образом и следует из свойств нуля в + рациональных числах + \item \textit{Обратный элемент} есть противоположное к + данному действительное число. Доказательство + следует сразу из определения сложения + \end{itemize} +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/4lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/4lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..0283236c --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/4lecture.tex @@ -0,0 +1,514 @@ +\subsubsection*{Отношения порядка на множестве действительных чисел} + +\begin{definition} + Действительное число $a$ называется + положительным ($a > 0,\ 0 < a$), если + ($\exists \{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty} \in a) + (\exists n \in \N)\ p_n > 0$ + + Для отрицательного аналогично: + ($\exists \{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty} \in a) + (\exists n \in \N)\ q_n < 0$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Действительное число $a$ состоит в отношении $>$ с + числом $b$, если $a + (-b) > 0$. Для $<$ аналогично. +\end{definition} + +\begin{definition} + Отношение порядка на множестве действительных + чисел задаётся как + \[ + a \le b := (a = b) \vee (a < b) + \] +\end{definition} + +\begin{theorem} + $\R$ является линейно упорядоченным множеством + относительно $\le$. То есть выполняются свойства: + + \begin{enumerate} + \item[III-а).] ($\forall a \in \R)\ a \le a$ \textit{(рефлексивность)} + \item[III-б).] $(\forall a, b \in \R)((a \le b) \wedge + (b \le a)) \Ra (a = b)$ \textit{(антисимметричность)} + \item[III-в).] $(\forall a, b, c \in \R)((a \le b) + \wedge (b \le c)) \Ra (a \le c)$ \textit{(транзитивность)} + \item[III-г).] $(\forall a, b \in \R)\ ((a \le b) \vee (b \le a))$ \textit{(линейный порядок)} + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + + \begin{itemize} + \item \textit{Рефлексивность} верна, так как $a = a$. + \item \textit{Антисимметричность.} По условию имеем: + \begin{align*} + &(a \le b) \lra (a < b) \vee (a = b) \lra (b - a > 0) \vee (a = b) \\ + &(b \le a) \lra (b < a) \vee (a = b) \lra (a - b > 0) \vee (a = b) + \end{align*} + Докажем, что $(x > 0) \wedge (x < 0)$ есть ложь: + \begin{align*} + &(a < 0) \lra (\exists \{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty} \in a) + (\exists n \in \N_1)\ p_n > 0 \Ra (\forall n > N_1)\ q_n \ge p_n > 0\\ + &(a > 0) \lra (\exists \{[p'_n, q'_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty} \in a) + (\exists n \in \N_2)\ q'_n < 0 \Ra (\forall n > N_2)\ p'_n \le q'_n < 0\\ + \end{align*} + Это значит, что + \[ + (\forall n > \max(N_1, N_2))\ \max(q'_n, q_n) - \min(p'_n, p_n) = q_n - p'_n + \] + \[ + q_n - p'_n \ge p_n - q'_n \ge p_{\max(N_1, N_2)} - q'_{\max(N_1, N_2)} + \] + Это значит, что определение равенства гнезд нарушается: + \begin{multline*} + (\exists \veps = p_{\max(N_1, N_2)} - q'_{\max(N_1, N_2)}) + (\forall N \in \N)\\ (\exists n = \max(N, N_1, N_2) + 1 > N) + \ \max(q'_n, q_n) - \min(p'_n, p_n) \ge \veps + \end{multline*} + + То есть случай, где верны только строгие неравенства, + невозможен. Значит, как минимум одно из равенств + выполняется, тогда $a = b$. + + \item \textit{Транзитивность.} По условию имеем: + \begin{align*} + &(a \le b) \lra (a < b) \vee (a = b) \lra (b - a > 0) \vee (a = b) \\ + &(b \le c) \lra (b < c) \vee (b = c) \lra (c - b > 0) \vee (b = c) + \end{align*} + Необходимо показать, что верно высказывание + \[ + ((c - a > 0) \vee (a = c)) \equiv 1 + \] + Так как одновременно из одного неравенства + оказаться верной может только одна скобка, то + рассморим все случаи: + \begin{enumerate} + \item $(a = b) \wedge (b = c) \Ra a = c$ + \item $(a = b) \wedge (c - b > 0) \Ra c - a > 0$ + \item $(b - a > 0) \wedge (b = c) \Ra c - a > 0$ + \item $(b - a > 0) \wedge (c - b > 0) \Ra + (c - b) + (b - a) = c - a > 0$ + \end{enumerate} + \item \textit{Линейный порядок.} Нам необходимо доказать, + что $\forall a, b \in \R$ верно выражение: + \[ + (a \le b) \vee (b \le a) + \] + Исходя из определения данного отношения, его можно переписать в виде + \[ + (a < b) \vee (a = b) \vee (a > b) + \] + В силу корректности операции сложения и определения отношения $<$ ($>$), равносильной формой записи является + \[ + (a - b < 0) \vee (a - b = 0) \vee (a - b > 0) + \] + Тогда положим $c = a - b := \{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty$: + \[ + (c < 0) \vee (c = 0) \vee (c > 0) + \] + Тогда, рассмотрим случай, когда $\forall n \in \N\ p_n \le 0 \le q_n$. В иных + случаях $(\exists n \in \N)\ q_n < 0$ или $p_n > 0$. А это + прямо по определению соответствет $c < 0$ и $c > 0$ соответственно. + Покажем, что в таком случае $\{[p_n;q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim \{[0;0]_\Q\}_{n = 1}^\infty$ + + По определению $\sim$ нужно проверить, что + \[ + (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ \max(q_n, 0) - \min(p_n, 0) < \veps + \] + Из условия следует, что $\max(q_n, 0) - \min(p_n, 0) + = q_n - p_n < \veps$ (исходя из определения гнезда). + А значит, эквивалентность верна и $c = 0$. То есть + в каждом случае выполняется хотя бы одно из трех + утверждений. + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{note} + Для гнезд одного и того же числа: + $\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim + \{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = m}^\infty$, где $m \in \N$. + + Это означает, что если $a > 0$, то + \[ + (\exists \{[p'_n; q'_n]_\Q\}_{n}^\infty \in a) + (\forall n \in \N)\ p_n > 0 + \] +\end{note} + +\subsubsection*{Произведение} + +\begin{definition} + \textit{Произведением} двух положительных действительных + чисел с представлениями + $\{[p_n;q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty,\ p_1 > 0$ и + $\{[r_n;s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty,\ r_1 > 0$ называют + действительное число, представляемое гнездом + $\{[p_n \cdot r_n;q_n \cdot s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty$ +\end{definition} + +Доопределим произведение на всё множество $\R$: +\[ + a \cdot b := \System{ + &{-(a \cdot (-b)),\ a > 0,\ b < 0} + \\ + &{(-a) \cdot (-b),\ a < 0,\ b < 0} + } +\] +А также $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$, $\forall a \in \R$ + +\begin{theorem} + Произведение определено корректно. Справедливы свойства + + \begin{enumerate} + \item[II-а).] $(\forall a, b \in \R) \ a + \cdot b = b \cdot a$ \textit{(коммутативность)} + \item[II-б).] $(\forall a, b, c \in \R)\ + (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ \textit{(ассоциативность)} + \item[II-в).] $(\forall a \in \R) \ a \cdot + 1 = 1 \cdot a = a$ \textit{(нейтральный элемент)} + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + + \begin{itemize} + \item Докажем корректность произведения: + \[ + \System{\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim + \{[p'_n; q'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \\ + \{[r_n; s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim + \{[r'_n; s'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty} + \Ra + \{[p_n \cdot r_n; q_n \cdot s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \sim \{[p'_n \cdot r'_n; q'_n \cdot s'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \] + Для начала покажем, что просто произведение положительных + действительных чисел вообще является системой + стягивающейся рациональных отрезков. Так как + $r_1 > 0$ и $p_1 > 0$ (из определения произведения), то + \begin{align*} + &\System{ + &r_n \le s_n \\ + &p_n \le q_n + } + \Ra p_n r_n \le q_n r_n \le q_n s_n \\ + &q_n s_n - p_n r_n \le q_n (s_n - r_n) + + r_n (q_n - p_n) \le q_1 (s_n - r_n) + r_1 (q_n - p_n) + \end{align*} + $\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty$ - система + стягивающихся рациональных отрезков, значит + \[ + (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N_1 \in \N) + (\forall n > N_1)\ q_n - p_n < \frac{\veps}{2s_1} + \] + + Аналогично для $\{[r_n; s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty$ + \[ + (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N_2 \in \N) + (\forall n > N_2)\ s_n - r_n < \frac{\veps}{2q_1} + \] + + $\Ra q_n s_n - p_n r_n \le q_1 (s_n - r_n) + + r_1 (q_n - p_n) < q_1 \cdot \frac{\veps}{2q_1} + + r_1 \cdot \frac{\veps}{2r_1} = \veps$, а это значит, что + $\{[p_n \cdot r_n; q_n \cdot s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty$ - тоже система + стягивающихся рациональных отрезков. + + Далее покажем, что произведения разных представителей классов эквивалентны: + \begin{multline*} + \max(q_n s_n, q'_n s'_n) - \min(p_n r_n, p'_n r'_n) \le \\ + \le \max(q_n, q'_n) \cdot \max(s_n, s'_n) - \min(p_n, p'_n) + \cdot \min(r_n, r'_n) = \\ + = \max(q_n, q'_n) \cdot \max(s_n, s'_n) - \max(s_n, s'_n) + \cdot \min(p_n, p'_n) + \\ + + \max(s_n, s'_n) \cdot \min(p_n, p'_n) - \min(p_n, p'_n) + \cdot \min(r_n, r'_n) = \\ + = \max(s_n, s'_n) \cdot (\max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n)) + + \min(p_n, p'_n) \cdot (\max(s_n, s'_n) - \min(r_n, r'_n)) \le \\ + \le \max(s_1, s'_1) \cdot (\max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n)) + + \max(p_1, p'_1) \cdot (\max(s_n, s'_n) - \min(r_n, r'_n)) + \end{multline*} + + Из определения действительных чисел следует, что + \begin{align*} + (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N_1 \in \N) + (\forall n > N_1)\ \max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n) + < \frac{\veps}{2 \cdot \max(s_1, s_1)} + \\ + (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N_2 \in \N) + (\forall n > N_2)\ \max(s_n, s'_n) - \min(r_n, r'_n) + < \frac{\veps}{2 \cdot \max(p_1, p_1)} + \end{align*} + + А значит + \[ + \max(q_n s_n, q'_n s'_n) - \min(p_n r_n, p'_n, r'_n) < \veps + \] + \item \textit{Коммутативность} следует тривиальным образом + из коммутативности произведения рациональных чисел + \item \textit{Ассоциативность} следует напрямую из ассоциативности + произведения рациональных чисел + \item \textit{Нейтральный элемент} следует из нейтрального элемента + произведения рациональных чисел + \end{itemize} +\end{proof} + +\subsubsection*{Обратное действительное число по произведению} + +\begin{definition}~ + + \begin{itemize} + \item Если действительное число положительно: + $(\forall a \in \R,\ a > 0)$, то обратным к нему + числом $\frac{1}{a}$ называется то, которому + $\ni \{[\frac{1}{p_n}, \frac{1}{q_n}] + _{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$, где + $\{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty} \in a, \ p_1 > 0$; + \item Для отрицательных чисел: + $\ (\forall a \in \R, a < 0)$ + \[ + \frac{1}{a} := -(-\frac{1}{a}) + \] + \end{itemize} +\end{definition} + +\begin{lemma} + Если $\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty$ представляет + число $c \in \R$, то $(\forall n \in \N)\ p_n \le c \le q_n$ +\end{lemma} + +\begin{anote} + Возможно, при первом взгляде Вас смутило сравнение + рационального и действительного чисел, но на самом деле здесь + все определено вполне корректно: рациональное в данном случае + рассматривается как член множества действительных (в виде + $\{[p_n; p_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty$) и сравнение работает + определенным ранее образом для двух действительных. +\end{anote} + +\begin{proof} + Предположим обратное, то есть + \[ + (\exists n_0 \in \N)\ p_{n_0} > c + \lra p_{n_0} - c > 0 + \] + Выражение слева является числом, поэтому сопоставим ему систему + \[ + p_{n_0} - c \ni \{[r_n; s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \] + Так как $p_{n_0} - c > 0$, из определения следует: + \[ + (\exists N_1 \in \N)(\forall n_1 > N_1)\ r_{n_1} > 0 + \] + А число $p_{n_0}$ тогда будет представлять система + \[ + p_{n_0} \ni \{[p_{n_0}; p_{n_0}]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \] + Рассмотрим $n > \max(n_0, N_1)$. Тогда, разность + $p_{n_0} - (p_{n_0} - c)$ с одной стороны, равна + \[ + p_{n_0} - (p_{n_0} - c) = p_{n_0} - p_{n_0} + c = c + \] + А с другой стороны, + \[ + p_{n_0} - (p_{n_0} - c) \ni \{[p_{n_0} - s_n; p_{n_0} - r_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \] + Стало быть, так как $c = p_{n_0} - (p_{n_0} - c) \Ra$ + \[ + \{[p_{n_0} - s_n; p_{n_0} - r_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \sim \{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \] + Выясним отношения между границами отрезков: + \[ + p_{n_0} - s_n \le p_{n_0} - r_n < p_{n_0} \le p_n \le q_n + \] + А если системы эквивалентны, то + \[ + \max(q_n, p_{n_0} - r_n) - \min(p_n, p_{n_0} - s_n) = + q_n - p_{n_0} + s_n + \] + При этом стоит заметить, что $q_n \ge p_{n_0 + 1}$, + так как $(\forall i, j \in \N)\ q_i \ge p_j$, при этом + $s_n > r_n > 0$. В свою очередь + \[ + q_n - p_{n_0} + s_n > p_{n_0 + 1} - p_{n_0} + r_n > p_{n_0 + 1} - p_{n_0} + \] + Вот мы и получили константу и доказали, что наши гнезда не + эквивалентны по определению, то есть мы получили противоречие. + +\end{proof} + +\begin{theorem} + Определение обратного числа корректно, справедливы + свойства: + + \begin{enumerate} + \item[II-г).] $(\forall a \in \R,\ a\neq 0)\ + \frac{1}{a} \cdot a = a \cdot \frac{1}{a} = 1$ + \item[I-II).] $(\forall a, b, c \in \R)\ a \cdot + (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ + \item[I-III).] $(\forall a, b, c \in \R)(a \le b) + \Ra (a + c \le b + c)$ + \item[II-III).] $(\forall a, b \in \R) + (\forall c > 0, c\in \R)(a \le b) + \Ra (a \cdot c \le b \cdot c)$ + \item[IV).] $(\forall a \in \R)(\forall b \neq 0, + b \in \R)(\exists n \in \Z) \ b \cdot n > a$ (Свойство Архимеда) + + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + + \begin{itemize} + \item Докажем \textit{корректность}, для начала + покажем, что такая система отрезков вообще будет стягиваться: + \[ + \frac{1}{p_n} - \frac{1}{q_n} = + \frac{q_n - p_n}{p_n \cdot q_n} \le + \frac{q_n - p_n}{p^2_n} \le \frac{q_n - p_n}{p^2_1} + \] + По условию стягивания изначального числа: + \[ + (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ q_n - p_n < \veps \cdot p^2_1 + \] + \[ + \Ra \frac{1}{p_n} - \frac{1}{q_n} \le + \frac{q_n - p_n}{p^2_1} < + \frac{\veps \cdot p^2_1}{p^2_1} = \veps + \] + + Теперь докажем, что определение не зависит от + представителя класса. Нам дано: + \[ + \System{\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \in a + \\ + \{[p'_n; q'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \in a} + \Ra \{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \sim \{[p'_n; q'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty + \] + Отсюда следует: + \[ + (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ \max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n) < \veps + \cdot (\min(p_1, p'_1))^2 + \] + Тогда, так как $p_n > 0$ и $p'_n > 0$, верно следующее: + \begin{multline*} + \max\left(\frac{1}{p_n}, \frac{1}{p'_n}\right) - + \min\left(\frac{1}{q_n}, \frac{1}{q'_n}\right) = + \frac{1}{\min(p_n, p'_n)} - \frac{1}{\max(q_n, q'_n)} =\\ + = \frac{\max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n)}{\min(p_n, p'_n) + \cdot \max(q_n, q'_n)} \le \frac{\max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n)} + {(\min(p_n, p'_n))^2} \le \\ + \le \frac{\max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n)} + {(\min(p_1, p'_1))^2} < \veps + \end{multline*} + \item \textit{Дистрибутивность} выполняется как следствие + дистрибутивности на множестве рациональных чисел + \item Следующее свойство доказывается тривиально: + + $a \le b \lra b - a \ge 0 \lra (b + c) - (a + c) \ge 0 + \lra a + c \le b + c$ + + \item Предпоследнее утверждение можно доказать, рассмотрев + возможные случаи: + \[ + a \le b \lra (a = b) \vee (a < b) + \] + Если верна первая скобка, то $(b - a)$ представима + в виде гнезда $\{[0; 0]_\Q\}_{n = 1}^\infty$, тогда + можно домножить оба нуля на любые положительные + рациональные числа ($c > 0$) и также получить ноль: + \[ + b - a = 0 \lra (b - a) \cdot c = 0 \lra b \cdot c - + a \cdot c = 0 \Ra a + c \le b + c + \] + + \item \textit{Свойство Архимеда} доказывается при помощи + рациональных чисел: + + Пусть $\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \in a$ + и $\{[r_n; s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \in b$ + + По вышедоказанной лемме + $a \le q_1$ и $b \ge r_1$. Применим + теперь свойство Архимеда для рациональных чисел: + \[ + (\exists n \in \N)\ n \cdot b \ge n \cdot r_1 > q_1 \ge a + \] + \end{itemize} + +\end{proof} + + +\subsubsection*{Верхняя и нижняя грани} + +\begin{definition} + Множество $A \subset \R$ называется огрниченным + сверху (снизу), если $(\exists C (c) \in \R) + (\forall x \in A)\ x \le C \ (x \ge c)$. Число + $C (c)$ называется в этом случае верхней (нижней) + гранью А. +\end{definition} + +\begin{theorem} + Свойство полноты. (V) + + Если $A, B \subset \R$ - непустые множества, + такие что $A \cup B = \R$ и $(\forall a \in A) + (\forall b \in B)\ a < b$, то + $(\exists c \in \R)(\forall a \in A)(\forall b \in B) + \ a \le c \le b$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Построим $\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \in c$ - систему стягивающихся + отрезков. Будем брать с каждым шагом более точное десятичное + приближение к нашей искомой границе (при этом наибольший и + наименьший элементы всегда будут, так как мы берем множество + целых чисел): + \[ + p_n - \text{ наибольшее } \left(\frac{1}{10^{n - 1}}\Z\right) \cap A, + \ q_n - \text{ наименьшее } \left(\frac{1}{10^{n - 1}}\Z\right) \cap B + \] + + Предположим, что $(\exists b \in B)\ c > b \Ra c + (-b) > 0 + \Ra (\exists n \in \N):$ + \[ + \frac{1}{10^{n - 1}} < c - b + \] + Так как $\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \in c \Ra$ по лемме + $c \in [p_n, q_n] \Ra$ + \[ + c - p_n \le q_n - p_n < c - b \Ra p_n > b + \] + А так как $p_n \in A,\ b \in B$, то мы получили противоречие: + $(\exists p_n \in A)(\exists b \in B)\ p_n \ge b$ +\end{proof} + +\subsubsection*{Другие определения действительных чисел} + +\begin{note} + Дедекиндово сечение - это такое разбиение + $\Q$ на непустые множества $A, B$, что + $(\forall a \in A)(\forall b \in B)\ a < b$. + В дедекиндовой теории действительное число + --- это сечение. +\end{note} + +\begin{note} + Построенное в доказательстве гнедо даёт + представление действительного числа в виде + бесконечной десятичной дроби. +\end{note} + +\begin{note} + Свойства I-V можно принять за аксиомы. Можно + доказать, что любые две системы, удовлетворяющие + I-V, изоморфны друг другу. +\end{note} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/5lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/5lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..38cf0e9d --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/5lecture.tex @@ -0,0 +1,454 @@ +\subsection{Комплексные числа} + +\begin{definition} + \textit{Множеством комплексных чисел} называют множество $\Cm = \R^2$. +\end{definition} + +\subsubsection*{Сложение} + +\begin{definition} + \textit{Суммой} двух комплексных чисел $(a, b)$ и $(c, d)$ называют число + \[ + (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) + \] +\end{definition} + +\subsubsection*{Умножение} + +\begin{definition} + \textit{Произведением} двух комплексных чисел $(a, b)$ и $(c, d)$ называют число + \[ + (a, b) \cdot (c, d) := (ac - bd, ad + bc) + \] +\end{definition} + +\subsubsection*{Мнимая единица} + +\begin{definition} + \textit{Мнимой единицей} $i$ называют комплексное число $(0, 1)$, которое из определения выше имеет свойство: + \[ + i^2 := -1 + \] +\end{definition} + +\begin{proposition} + Множество $\R$ вложено в множество $\Cm$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Действительно, если $a \in R$, то $a = (a, 0)$. Несложно проверить, что все операции будут точно такими же, как и с обычными действительными числами. +\end{proof} + +\subsubsection*{Алгебраическая форма комплексного числа} + +\begin{definition} + Заметим, что $(a, b) = a \cdot (1, 0) + b \cdot (0, 1)$. То есть: + $$ + (a, b) = a + bi + $$ + Запись числа $z$ в виде $a + bi$ называется \textit{алгебраической формой комплексного числа} +\end{definition} + +\begin{center} + \scalebox{1}{ + \begin{tikzpicture} + \clip (-1.4, -1.3) rectangle (3.4, 3.3); + \draw [->] (-1, 0) -- (3, 0) node [above, black] {$\re z$}; + \draw [->] (0, -1) -- (0, 3) node [right, black] {$\im z$}; + + \draw [line width = 1pt, black!15!blue] (1.4,3pt) -- (1.4,-3pt) node [below, black] {$1$}; + \draw [line width = 1pt, black!15!blue] (3pt,1.4) -- (-3pt,1.4) node [left, black] {$i$}; + + \draw [->, black!15!blue] (0, 0) -- (2, 1.5) node [black, above right, scale = 1.2] {$z$}; + \node[draw, circle, inner sep=1.4pt, fill, black!15!blue] at (2.06, 1.54) {}; + + \coordinate (a1) at (2, 1.5); + \coordinate (b) at (0, 0); + \coordinate (c) at (1, 0); + + \pic [draw, ->] {angle = c--b--a1}; + \node [] at (0.75, 0.25) {$\phi$}; + \end{tikzpicture} + } +\end{center} + +\begin{definition} + \textit{Модулем} комплексного числа нызывают число: + $$ + |z| := \sqrt{a^2 + b^2} + $$ +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Реальной частью} комплексного числа называют число $a$ в его алгебраической форме: + $$ + \re(a + bi) := a + $$ +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Мнимой частью} комплексного числа называют число $b$ в его алгебраической форме: + $$ + \im(a + bi) := b + $$ +\end{definition} + +\subsubsection*{Неравенство треугольника} + +\begin{center} + \scalebox{1}{ + \begin{tikzpicture} + \clip (-1.4, -1.3) rectangle (3.4, 3.3); + \draw [->] (-1, 0) -- (3, 0) node [above, black] {$\re z$}; + \draw [->] (0, -1) -- (0, 3) node [right, black] {$\im z$}; + + \draw [line width = 1pt, black!15!blue] (1,3pt) -- (1,-3pt) node [below, black] {$1$}; + \draw [line width = 1pt, black!15!blue] (3pt,1) -- (-3pt,1) node [left, black] {$i$}; + + \draw [->, black!15!blue] (0, 0) -- (1.8, 0.8) node [black, below, scale = 1] {}; + \node[draw, circle, inner sep=1pt, fill, black!15!blue] at (1.85, 0.82) {}; + \node [] at (1.25, 0.3) {$z_1$}; + + \draw [->, black!15!blue] (1.85, 0.82) -- (2.3, 2.6) node [black, below, scale = 1] {}; + \node[draw, circle, inner sep=1pt, fill, black!15!blue] at (2.34, 2.63) {}; + \node [] at (2.4, 2) {$z_2$}; + + \draw [->, black!15!blue] (0.0, 0.0) -- (2.3, 2.6) node [black, below, scale = 1] {}; + \node [] at (0.95, 2.05) {$z_1 + z_2$}; + \end{tikzpicture} + } +\end{center} + +Геометрически очевидны следующие неравенства: +\begin{align*} + &|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2| \\ + &|z_1 - z_2| \ge ||z_1| - |z_2|| +\end{align*} + +\subsubsection*{Деление комплексных чисел} + +\begin{definition} + Комплексное число $z_3$ называется \textit{частным} от деления числа $z_1$ на число $z_2$, если верно равенство: + $$ + z_2 \cdot z_3 = z_1 \lra z_3 := \frac{z_1}{z_2} := z_1 / z_2 + $$ +\end{definition} + +\begin{corollary} + Выведем действительную и мнимую часть частного, если $z_1 = a + bi$, а $z_2 = c + di$. При этом обозначим $z_3 = x + yi$: + \begin{align*} + &(c + di) \cdot (x + yi) = a + bi + \\ + &cx - dy + (cy + dx)i = a + bi + \\ + &\Ra \System{a = cx - dy \\ b = cy + dx} + \Ra \System{x = \frac{\dse ac + bd}{\dse c^2 + d^2} \\ y = \frac{\dse bc - ad}{\dse c^2 + d^2}} + \end{align*} +\end{corollary} + +\subsubsection*{Комплексно сопряженное число} + +\begin{definition} + Число $\bar{z}$ называется \textit{комплексно сопряжённым} к числу $z$, если + $$ + z = a + bi \Ra \bar{z} = a - bi + $$ +\end{definition} + +\begin{proposition} + Произведение комплексного числа $z$ на своё сопряженное является квадратом модуля +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $z = a + bi$. Тогда: + $$ + z \cdot \bar{z} = (a + bi) \cdot (a - bi) = a^2 + b^2 = |z|^2 + $$ +\end{proof} + +\subsubsection*{Аргумент комплексного числа} + +\begin{definition} + \textit{Аргументом} комплексного числа $z = a + bi$ называется угол $\phi$, отсчитываемый от положительного направления оси $\re$, с точностью до $2\pi k$, $k \in \Z$ + $$ + \arg z = \phi + 2\pi k, k \in \Z + $$ + Угол считается положительным, если отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным, если наоборот. +\end{definition} + +\begin{note} + Аргумент определен только для комплексного числа, не равного нулю. +\end{note} + +\subsubsection*{Комплексное число в полярной записи} + +\begin{definition} + Несложно заметить, что + \begin{align*} + a = |z| \cdot \cos \phi \\ + b = |z| \cdot \sin \phi + \end{align*} + $$ + \Ra z = |z|(\cos \phi + i \sin \phi) + $$ +\end{definition} + +\subsubsection*{Умножение чисел в полярных координатах} + +Пусть есть 2 комплексных числа $z_1$ и $z_2$: + +\begin{align*} + z_1 = |z_1|(\cos\phi + i \sin\phi) + \\ + z_2 = |z_2|(\cos\psi + i \sin\psi) +\end{align*} + +Найдём их произведение в виде комплексного числа, записанного в полярных координатах: +\begin{multline} + z_1 \cdot z_2 = |z_1||z_2|(\cos\phi + i \sin\phi)(\cos\psi + i \sin\psi) = \\ + |z_1||z_2|(\cos\phi \cdot \cos\psi - \sin\phi \cdot \sin\psi + i(\sin\phi \cdot \cos\psi + \sin\psi \cdot \cos\phi)) = \\ + |z_1||z_2|(\cos(\phi + \psi) + i \sin(\phi + \psi)) +\end{multline} + +Таким образом, +$$ + \System{ + &\arg(z \cdot w) = \arg(z) + \arg(w) + \\ + &|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| + } +$$ + +\subsubsection*{Показательная форма комплексного числа} + +\begin{definition} + Комплексное число можно записать как степень по натуральному основанию + $$ + \cos \phi + i \sin \phi = e^{i \phi} + $$ + Также это выражение называется \textit{формулой Эйлера}. С её помощью, комплексное число можно записать в \textit{показательной форме}. + $$ + z = |z| \cdot e^{i \phi} + $$ +\end{definition} + +\begin{note} + Сейчас формулу Эйлера нужно принять <<на веру>>. В будущем её можно и нужно доказать. +\end{note} + +\subsubsection*{Комплексное расширение тригонометрических функций} + +Имея на руках формулу Эйлера, можно вывести интересные выражения для тригонометрических функций: +\begin{align*} + e^{i\phi} &= \cos\phi + i \sin\phi + \\ + e^{-i\phi} &= \cos\phi - i \sin\phi + \\ + \Ra \cos\phi &= \frac{\dse e^{i\phi} + e^{-i\phi}}{2} + \\ + \sin\phi &= \frac{\dse e^{i\phi} - e^{-i\phi}}{2} + \\ + \tg\phi &= \frac{\sin\phi}{\cos\phi} + \\ + \ctg\phi &= \frac{\cos\phi}{\sin\phi} +\end{align*} + +\subsubsection*{Формула Муавра} + +\begin{definition} + \textit{Формулой Муавра} называется выражение: + + \[ + (\cos \phi + i \sin \phi)^n = \cos n\phi + i \sin n\phi,\ n \in \Z + \] +\end{definition} + +С помощью формулы Муавра можно находить натуральную степень комплексного числа: + +\[ + z^n = |z|^n (\cos n\phi + i \sin n\phi) = (|z|(\cos \phi + i \sin \phi))^n +\] + +\subsubsection*{Натуральный корень из комплексного числа} + +Решим уравнение $z^n = w$ + +\begin{enumerate} + \item $w = 0 \Ra z = 0$ + \item \begin{align*} + &w \neq 0 \Ra w = |w|(\cos \psi + i \sin \psi) + \\ + &z = |z|(\cos \phi + i \sin \phi) + \\ + &z^n = |z|^n(\cos n\phi + i \sin n\phi) + \\ + &\Ra |z| = \sqrt[n]{|w|},\ n\phi = \psi + 2\pi k,\ k \in \Z + \\ + &\phi = \frac{\psi + 2\pi k}{n},\ k = \{0, 1, \dots n - 1\} + \end{align*} +\end{enumerate} + +\section{Пределы} + +\subsection{Дополнительные свойства действительных чисел} + +\subsubsection*{Плотность множества рациональных чисел в множестве действительных} + +\begin{proposition} + Между любыми двумя неравными действительными числами найдётся рациональное. + \[ + (\forall a, b \in \R\ |\ a < b)(\exists c \in \Q)\ |\ a < c < b + \] +\end{proposition} + +\begin{proof} + По определению действительных чисел + $$ + a := \{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty,\ b := \{[r_n; s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty + $$ + $r_1 - q_1 > 0;\ r_1 > q_1 \Ra c:= \frac{r_1 + q_1}{2} \Ra a \le + q_n \le q_1 < c < r_1 \le r_n \le b$ +\end{proof} + +\subsubsection*{Равномощность} + +\begin{definition} + Множества $A$ и $B$ называются \textit{равномощными}, + если существует биекция из $A$ в $B$. Обозначается как + $A \simeq B$ +\end{definition} + +\subsubsection*{Счётность} + +\begin{definition} + Множство $A$ называется \textit{счётным}, если оно равномощно $\N$ +\end{definition} + +\subsubsection*{Теорема Кантора} + +\begin{proposition} + $\Q$ счётно, $R$ - несчётно +\end{proposition} + +\begin{proof} + По определению рационального числа, $(\forall r \in \Q)\ r = \frac{m}{n}, m \in \Z, n \in \N$. То есть число полностью задаётся парой $(m, n)$. Отсюда + \[ + \Q \subset \Z \times \N + \] + Построим таблицу, где номер столбца будет обозначать числитель, + а номер строки --- знаменатель рационального числа. + + \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} + \hline + & 0 & 1 & -1 & 2\\ + \hline + 1 & 1 & 2 & 3 & 5\\ + \hline + 2 & $\times$ & 4 & 6 & \\ + \hline + 3 & $\times$ & 7 & & \\ + \hline + 4 & $\times$ & & & \\ + \hline + \end{tabular} + + Пронумеруем все клетки по диагонали (как в таблице). Так мы построили + биекцию между множеством $\Q$ и множеством $\N$. Значит, по определению + $\Q$ является счётным. + + При помощи функций несложно показать, что $\R \simeq [0; 1)$. Предположим, что $[0; 1)$ - счётно, то есть $[0, 1) = \{x_1, x_2, \dots\}$ + Запишем каждое число в виде десятичной дроби: + \begin{align*} + &{x_1 = 0, \alpha_{11} \alpha_{12} \alpha_{13}} + \\ + &{x_2 = 0, \alpha_{21} \alpha_{22} \alpha_{23}} + \\ + &{x_3 = 0, \alpha_{31} \alpha_{32} \alpha_{33}} + \\ + &\vdots + \end{align*} + Рассмотрим число $\gamma = 0,\alpha_{11}\alpha_{22}\alpha_{33}\dots$. Сдвинем циклически на 1 назад каждую цифру числа (т.е. $\alpha'_{ii} = \alpha_{ii} - 1$ если $> 0$, иначе $\alpha'_{ii} = 9$) и посмотрим на число $\gamma'$ + \[ + \gamma' = 0,\alpha'_{11}\alpha'_{22}\alpha'_{33}\dots + \] + Утверждение - данное число никогда не встречалось в таблице. + Действительно, для любого $x_m,\ m \in \N$ они будут различны + в $\alpha_{mm}$ знаке. То есть предположение неверно и + $\R \gtrsim \N$ +\end{proof} + +\begin{definition} + Множество, равномощное $\R$, называется множеством мощности + континуума. +\end{definition} + +\begin{definition} + Если $A \subset \R$ --- ограниченное сверху множество, то число + + $M \in \R\ |\ (\forall a \in A)\ a \le M$ называется \textit{верхней гранью} множества $A$. + Наименьшая из верхних граней называется + \textit{точной верхней гранью}, обозначается как $\sup A$ + (supremum) +\end{definition} + +\begin{definition} + Если $A \subset \R$ --- ограниченное снизу множество, то число + + $m \in \R\ |\ (\forall a \in A)\ a \ge m$ называется \textit{нижней гранью} множества $A$. + Наибольшая из нижних граней называется \textit{точной нижней гранью}, + обозначается как $\inf A$ (infinum) +\end{definition} + +\begin{definition} + $c = \sup E \overset{def}{\lra} + \System{ + &(\forall x \in E)\ x \le c + \\ + &(\forall \eps > 0)(\exists x \in E)\ c - \eps < x} + $ + + $\sup E = \max E \lra c \in E$ +\end{definition} + +\begin{theorem} (О существовании точной верхней (нижней) грани). + Любое непустое ограниченное сверху (снизу) множество действительных чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $E \subset \R$ - ограниченное сверху множество. Обозначим через + $B$ множество всех верхних граней множества $E$ ($B \neq \emptyset$). + Тогда $A := \R \backslash B$. + + Множество $E$ - непустое $\lra \exists x \in E$. Это значит, что + \[ + (\forall a \in \R,\ a < x) \Ra a \in A + \] + То есть и $A$ - непустое множество. При этом + \[ + (\forall b \in B) (\forall l \in \R \such l \ge b) \Ra l \in B + \] + В итоге имеем, что + \[ + A, B \subset \R;\ A \cap B = \emptyset;\ (\forall a \in A) + (\forall b \in B)\ a < b + \] + Значит, по свойству полноты множества $\R$: + \[ + (\exists c \in \R)(\forall a \in A, b \in B)\ a \le c \le b + \] + Докажем, что $c = \sup E$: + + Разберёмся с первой частью ($c \in B$): предположим обратное. Тогда + \[ + c \notin B \Ra (\exists x \in E)\ x > c + \] + Рассмотрим число $\frac{c + x}{2}$: + \[ + c < \frac{c + x}{2} < x + \] + Так как $\frac{c + x}{2} < x$, то $\frac{c + x}{2} \in A \Ra$ $c < a$, что противоречит его определению ($c \ge a$). + + Утверждение, что $c$ --- наименьший элемент множества $B$ + доказывается также, от противного: пусть $(\exists c' \in B) + \ c' < c$. Тогда $(\exists b = c' \in B)\ b < c$, противоречие ($c \le b$). +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/6lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/6lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..43847f31 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/6lecture.tex @@ -0,0 +1,221 @@ +\subsection{Предел последовательности} + +\begin{definition} + $x_n := x(n)$, если существует отображение $x:\ \N \rightarrow \R$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Число $l \in \R$ называется \textit{пределом последовательности} $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset R$, если + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ |x_n - l| < \eps + \] +\end{definition} + +\begin{definition} + Говорят, что последовательность $\{x_n\}$ + \textit{сходящаяся}, или \textit{сходится} к $l$, + если $\exists l \in \R\ |\ \liml_{n \to \infty} x_n = l$. + В ином случае $\{x_n\}$ расходится. +\end{definition} + +\begin{example} + \[ + \liml_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \lra (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(n > N)\ \left|\frac{1}{n} - 0\right| < \eps + \] + Положим $N := \left\lceil\frac{1}{\eps}\right\rceil + 1$. Тогда $\forall n > N \Ra n > \frac{1}{\eps} \Ra |\frac{1}{n} - 0| < \eps \Ra$ предел доказан. +\end{example} + +\begin{theorem}(О единственности предела последовательности). + Числовая последовательность может иметь не более одного предела. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Предположим, что $\exists l_1, l_2 \in \R\ | + \ \liml_{n \to \infty} x_n = l_1, \liml_{n \to \infty} x_n = l_2$. Тогда: + \[ + \System{ + \liml_{n \to \infty} x_n = l_1 \lra (\forall \eps > 0) + (\exists N_1 \in \N)(\forall n > N_1)\ |x_n - l_1| < \eps + \lra l_1 - \eps < x_n < l_1 + \eps + \\ + \liml_{n \to \infty} x_n = l_2 \lra (\forall \eps > 0) + (\exists N_2 \in \N)(\forall n > N_2)\ |x_n - l_2| < \eps + \lra l_2 - \eps < x_n < l_2 + \eps + } + \] + Рассмотрим $\eps = \frac{l_2 - l_1}{2} > 0$, $\forall n > max(N_1, N_2)$: + \[ + \System{ + l_1 + \eps = l_1 + \frac{l_2 - l_1}{2} = \frac{l_1 + l_2}{2} + \\ + l_2 - \eps = l_2 - \frac{l_2 - l_1}{2} = \frac{l_1 + l_2}{2} + } + \Ra \frac{l_1 + l_2}{2} < x_n < \frac{l_1 + l_2}{2} + \] + Получили противоречие, значит предположение неверно. +\end{proof} + +\subsubsection*{Свойства предела, связанные с неравенствами} + +\begin{theorem}(Свойства предела, связанные с неравенствами) + + \begin{enumerate} + \item (Ограниченность сходящейся последовательности) Если + последовательность сходится, то она ограничена. + + \item (Отделенность от нуля и сохранение знака) Если + последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ сходится к + $l \neq 0$, то $(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ \sgn x_n + = \sgn l$ и $|x_n| > \frac{|l|}{2}$ + + \item (Переход к пределу в неравенстве) Если + $\liml_{n \to \infty} x = x_0 \in \R$, $\liml_{n \to \infty} + y = y_0 \in \R$ и $(\exists N \in \N)(\forall n \ge N)\ x_n \le y_n \ + (x_n < y_n)$, то $x_0 \le y_0$ + + \item (О промежуточной последовательности) Если + $\liml_{n \to \infty} x_n = \liml_{n \to \infty} z_n = l$ и + $(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ x_n \le y_n \le z_n$, то + $\exists \liml_{n \to \infty} y_n = l$ + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item По условию, $(\exists l \in \R)(\forall \eps > 0) + (\exists N \in \N)(\forall n > N)\ |x_n - l| < \eps$. + + Положим $\eps := 1 > 0$. Тогда $\forall n > N + \ l - 1 < x_n < l + 1$. Отсюда следует, что + + \begin{align*} + x_n \le \max(x_1, x_2, \dots, x_N, l + 1) \Ra + \{x_n\}_{n = 1}^\infty - \text{ ограничена сверху} + \\ + x_n \ge \min(x_1, x_2, \dots, x_N, l - 1) \Ra + \{x_n\}_{n = 1}^\infty - \text{ ограничена снизу} + \end{align*} + + \item По условию, $(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ |x_n - l| < \eps \lra l - \eps < x_n < l + \eps$. + + Тогда, рассмотрим $\eps := \frac{|l|}{2} > 0$. + \begin{align*} + l > 0 \Ra x_n > l - \eps = \frac{l}{2} > 0 \Ra + \sgn x_n = \sgn l,\ |x_n| > |\frac{l}{2}| + \\ + l < 0 \Ra x_n < l + \eps = \frac{l}{2} < 0 \Ra + \sgn x_n = \sgn l,\ |x_n| > |\frac{l}{2}| + \end{align*} + + \item От противного. Пусть $x_0 > y_0$. Тогда, по условию: + \begin{align*} + \liml_{n \to \infty} x_n = x_0 \lra (\forall \eps > 0) + (\exists N_1 \in \N)(\forall n > N_1)\ x_0 - \eps < x_n < x_0 + \eps + \\ + \liml_{n \to \infty} y_n = y_0 \lra (\forall \eps > 0) + (\exists N_2 \in \N)(\forall n > N_2)\ y_0 - \eps < y_n < y_0 + \eps + \end{align*} + Рассмотрим $\eps := \frac{x_0 - y_0}{2} > 0$, $\forall n > \max(N_1, N_2)$: + \[ + y_n < y_0 + \eps = \frac{x_0 + y_0}{2} = x_0 - \eps < x_n + \] + Получили противоречие ($x_n \le y_n$). + + \item По условию, + \[ + \System{ + \liml_{n \to \infty} x_n = l \lra (\forall \eps > 0) + (\exists N_1 \in \N)(\forall n > N_1)\ |x_n - l| < \eps + \\ + \liml_{n \to \infty} z_n = l \lra (\forall \eps > 0) + (\exists N_2 \in \N)(\forall n > N_2)\ |z_n - l| < \eps + } + \] + Отсюда следует: $l - \eps < x_n \le y_n \le z_n < l + \eps \Ra |y_n - l| < \eps$, то есть $\liml_{n \to \infty} y_n = l$ + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsubsection*{Арифметические операции со сходящимися последовательностями} + +\begin{theorem} + Арифметические операции со сходящимися последовательностями +\end{theorem} + +Пусть $\liml_{n \to \infty} x_n = x_0 \in \R$, +$\liml_{n \to \infty} y_n = y_0 \in \R$. Тогда + +\begin{enumerate} + \item $\liml_{n \to \infty} (x_n \pm y_n) = x_0 \pm y_0$ + \item $\liml_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = x_0 \cdot y_0$ + \item Если $(\forall n \in \N)\ y_n \neq 0$ и $y_0 \neq 0$, то $\liml_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{x_0}{y_0}$ +\end{enumerate} + +\begin{proof} +\begin{enumerate} + \item[1.] + По определению + \begin{align*} + (\forall \eps > 0)(\exists N_1 \in \N)(\forall n > N_1) + \ |x_n - x_0| < \frac{\eps}{2} + \\ + (\forall \eps > 0)(\exists N_2 \in \N)(\forall n > N_2) + \ |y_n - y_0| < \frac{\eps}{2} + \end{align*} + Рассмотрим $\forall n > \max(N_1, N_2)$, тогда + \[ + |(x_n \pm y_n) - (x_0 \pm y_0)| \le |x_n - x_0| + |y_n - y_0| + < \frac{\eps}{2} + \frac{\eps}{2} = \eps \Ra \liml_{n \to \infty} + (x_n \pm y_n) = x_0 \pm y_0 + \] + + \item[2.] + $(\forall \eps > 0)(\exists N_1 \in \N)(\forall n > N_1) + \ |x_n - x_0| < \frac{\eps}{2(|y_0| + 1)}$ + + Из теоремы выше, $(\exists C > 0)(\forall n \in \N)\ |x_n| \le C$ + + $\liml_{n \to \infty} y_n = y_0 \lra (\forall \eps > 0) + (\exists N_2 \in \N)(\forall n > N_2)\ |y_n - y_0| + < \frac{\eps}{2C}$ + + Рассмотрим $\forall n > \max(N_1, N_2)$: + \[ + |x_n y_n - x_0 y_0| = |x_n y_n - x_n y_0 + x_n y_0 - x_0 y_0| + \le |x_n y_n - x_n y_0| + |x_n y_0 - x_0 y_0| = + \] + \[ + = |x_n| \cdot |y_n - y_0| + |y_0| \cdot |x_n - x_0| < C + \cdot \frac{\eps}{2C} + |y_0|\frac{\eps}{2(|y_0| + 1)} < \eps + \] + \item[3.] + По условию, + \begin{align*} + &(\forall \eps > 0)(\exists N_1 \in \N)(\forall n > N_1) + \ |x_n - x_0| < \frac{|y_0|}{2} \cdot \frac{\eps}{2} + \\ + &(\forall \eps > 0)(\exists N_2 \in \N)(\forall n > N_2) + \ |y_n - y_0| < \frac{|y_0|^2}{2(|x_0| + 1)} \cdot \frac{\eps}{2} + \end{align*} + Так как $\liml_{n \to \infty} y_n = y_0 \neq 0$, то + начиная с некоторого номера $|y_n| > \frac{|y_0|}{2}$. + Будем считать, что это верно $\forall n > N_2$ + (иначе можно \textit{подвинуть} наше значение $N_2$ вправо + настолько, что это станет верно). + + Рассмотрим $\forall n > \max(N_1, N_2)$ + \begin{multline*} + \left|\frac{x_n}{y_n} - \frac{x_0}{y_0}\right| = + \left|\frac{x_n y_0 - y_n x_0}{y_n y_0}\right| \le + \frac{|x_n y_0 - x_0 y_0|}{|y_n| \cdot |y_0|} + + \frac{|x_0 y_0 - y_n x_0|}{|y_n| \cdot |y_0|} = + \\ + = \frac{|x_n - x_0|}{|y_n|} + \frac{|x_0| \cdot + |y_0 - y_n|}{|y_n| \cdot |y_0|} < |x_n - x_0|\cdot + \frac{2}{|y_0|} + |y_0 - y_n| \cdot \frac{2|x_0|}{|y_0|^2} < + \\ + < \frac{\eps}{2} + \frac{\eps}{2} \cdot \frac{|x_0|}{|x_0| + 1} + < \eps + \end{multline*} +\end{enumerate} +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/7lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/7lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..3bbd3997 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/7lecture.tex @@ -0,0 +1,334 @@ +\begin{definition} + Последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ называется + \textit{бесконечно малой}, если она сходящаяся и + $\liml_{n \to \infty} x_n = 0$ +\end{definition} + +\begin{theorem} (Предел произведения б.м. и ограниченной последовательностей) + Если $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ - бесконечно малая, а + $\{y_n\}_{n = 1}^\infty$ ограничена, то + $\{x_ny_n\}_{n = 1}^\infty$ - бесконечно малая + последовательность. +\end{theorem} + +\begin{proof} + \begin{multline*} + \{y_n\}_{n = 1}^\infty$ - ограниченная $\Ra (\exists M > 0) + (\forall n \in \N)\ |y_n| \le M + \\ + \{x_n\}_{n = 1}^\infty$ - бесконечно малая $\Ra (\forall \eps > 0) + (\exists N \in \N)(\forall n > N)\ |x_n| < \frac{\eps}{M} + \\ + \Ra (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ + |x_n y_n| = |x_n| |y_n| < \frac{\eps}{M} \cdot M \le \eps + \end{multline*} +\end{proof} + +\begin{definition} + $\eps$-окрестностью числа $l \in \R$ называется $U_{\eps}(l) := (l - \eps, l + \eps)$. При этом $\eps > 0$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Предел последовательности через $\eps$-окрестность + определяется как $\liml_{n \ra \infty} x_n = l \lra + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ x_n \in U_{\eps}(l)$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Отрицательной бесконечностью называется объект, для которого верно высказывание + $$ + \forall x \in \R \Ra -\infty < x + $$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Положительной бесконечностью называется объект, для которого верно высказывание + $$ + \forall x \in \R \Ra x < +\infty + $$ +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Расширенным действительным множеством} называется множество + $$ + \bar{\R} = \R \cup \{-\infty, +\infty\} + $$ + На этом множестве нельзя складывать/умножать, но можно сравнивать +\end{definition} + +\begin{definition} + $\eps$-окрестность для бесконечностей определяется как + \begin{align*} + U_{\eps}(+\infty) := \left(\frac{1}{\eps}; +\infty\right) + \\ + U_{\eps}(-\infty) := \left(-\infty; -\frac{1}{\eps}\right) + \\ + U_{\eps}(\infty) := U_{\eps}(-\infty) \cup U_{\eps}(+\infty) + \end{align*} +\end{definition} + +\begin{definition} + Последовательностью $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ называется бесконечно большой, если + $$ + \liml_{n \ra \infty} x_n = -\infty, +\infty \text{ или } \infty + $$ +\end{definition} + +\begin{theorem} (Связь б.м. и б.б. последовательностей) + Пусть $\{x_n\} \subset \R \bs \{0\}$, тогда + $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ - б.м. $\lra + \{\frac{1}{x_n}\}_{n = 1}^\infty$ - б.б. +\end{theorem} + +\begin{proof} + : + \begin{enumerate} + \item $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ - б.м. $\Ra (\forall \eps > 0) + (\exists N \in \N)(\forall n > N)\ |x_n| < \eps$. + Отсюда следует, что $\left|\frac{\dse 1}{\dse x_n}\right| > \frac{\dse 1}{\dse \eps} \lra \frac{\dse 1}{\dse x_n} \in U_{\eps}(\infty) \lra \liml_{n \ra \infty} \frac{\dse 1}{\dse x_n} = \infty$ + + \item $\liml_{n \ra \infty} \frac{1}{x_n} = \infty \lra + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ \left|\frac{\dse 1}{\dse x_n}\right| > \frac{\dse 1}{\dse \eps} \Ra 0 < |x_n| < \eps \lra \liml_{n \to \infty} x_n = 0$ + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + Последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ называется + \textit{неубывающей}, если + \[ + (\forall n \in \N)\ x_n \le x_{n + 1} + \] +\end{definition} + +\begin{definition} + Последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ называется + \textit{невозрастающей}, если + \[ + (\forall n \in \N)\ x_n \ge x_{n + 1} + \] +\end{definition} + +\begin{definition} + Последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ называется + \textit{убывающей}, если + \[ + (\forall n \in \N)\ x_n > x_{n + 1} + \] +\end{definition} + +\begin{definition} + Последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ называется + \textit{возрастающей}, если + \[ + (\forall n \in \N)\ x_n < x_{n + 1} + \] +\end{definition} + +\begin{theorem} (Вейерштрасса о монотонных последовательностях) + Если $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ ограниченная сверху и + неубывающая последовательность, то $\exists + \liml_{n \ra \infty} x_n = \sup \{x_n\}$. Если же + невозрастающая и ограниченная снизу, то + $\liml_{n \ra \infty} x_n = \inf \{x_n\}$ +\end{theorem} + +\begin{proof} + Приведём доказательство только для ограниченной сверху и неубывающей последовательности. + \[ + l := \sup \{x_n\} \lra \System{ + &(\forall n \in \N)\ x_n \le l + \\ + &(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)\ l - \eps < x_N \le l + } + \] + Рассмотрим $(\forall n > N)$. Тогда + \[ + l + \eps > l \ge x_n \ge x_{n - 1} \ge + \dots \ge x_N > l - \eps \Ra |x_n - l| < \eps + \] + То есть + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N) + \ |x_n - l| < \eps + \] + Что и доказывает наше утверждение. +\end{proof} + +\begin{proposition} + Каждая монотонная последовательность имеет предел в $\bar{\R}$ +\end{proposition} + +\begin{proof} + Для доказательства данного утверждения нам нужно дополнить + теорему Вейерштрасса двумя случаями: + + Пусть $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ - неубывающая неограниченная + сверху $\Ra (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)\ x_N > + \frac{1}{\eps}$ и при этом $(\forall n > N)\ x_n \ge x_{n - 1} + \ge \dots \ge x_N > \frac{1}{\eps} \Ra \liml_{n \to \infty} + x_n = +\infty$. + + Аналогично доказывается случай для невозрастающей + неограниченной снизу последовательности. +\end{proof} + +\begin{definition} + Последовательность вложенных отрезков --- это + $\{[a_n; b_n]\}_{n = 1}^\infty$, ($a_n < b_n\ + \forall n \in \N)$ такая, что $(\forall n \in \N) + \ [a_n; b_n] \supset [a_{n + 1}; b_{n + 1}]$ +\end{definition} + +\begin{theorem} (Принцип Кантора вложенных отрезков) + Каждая система вложенных отрезков имеет непустое пересечение, то есть + \[ + \bigcap\limits_{n = 1}^\infty [a_n; b_n] + \neq \emptyset + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + $[a_n; b_n] \supset [a_{n + 1}; b_{n + 1}] \Ra \left((a_n \le a_{n + 1}) \wedge (b_n \ge b_{n + 1})\right)$ + + Следовательно, $\{a_n\}$ --- неубывающая, а $\{b_n\}$ --- + невозрастающая + + $a_n \le b_n \le b_1$, а $a_1 \le a_n \le b_n$ ($\{a_n\}$ и $\{b_n\}$ + ограничены сверху и снизу соответственно), то есть по теореме Вейерштрасса + + \begin{align*} + &\exists a = \liml_{n \ra \infty} a_n = \sup \{a_n\} + \\ + &\exists b = \liml_{n \ra \infty} b_n = \inf \{b_n\} + \end{align*} + Так как $(\forall n \in \N)\ a_n \le b_n$, то предельный переход даёт неравенство $a \le b$ + + Ну а учитывая равенства пределов, получим $a_n \le a \le + b \le b_n \Ra (\exists x \in [a; b])\ a_n \le a \le x \le + b \le b_n$, что и доказывает непустоту пересечения. +\end{proof} + +\begin{definition} + Стягивающейся системой отрезков называется система вложенных + отрезков, длины которых образуют б.м. последовательность. +\end{definition} + +\begin{addition} + Система стягивающихся отрезков имеет пересечение, состоящее + из одной точки. +\end{addition} + +\begin{proof} + $a_n \le a \le b \le b_n \Ra 0 \le b - a \le b_n - a_n + \Ra a = b$ +\end{proof} + +\begin{definition} + Подпоследовательностью последовательности + $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ называется $\{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty$, + где $\{n_k\}_{k = 1}^\infty$ - возрастающая последовательность + натуральных чисел +\end{definition} + +\begin{definition} + Частичным пределом последовательности $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ + называется предел её некоторой подпоследовательности. +\end{definition} + +\begin{theorem} (Эквивалентное определение частичного предела) + Число $l \in \R$ является частичным пределом + $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ тогда и только тогда, когда + $(\forall \eps > 0)(\forall N \in \N)(\exists n > N)\ |x_n - l| < \eps$ +\end{theorem} + +\begin{proof}: +\begin{enumerate} + \item Необходимость: $l$ - частичный предел. То есть + \[ + l = \liml_{k \to \infty} x_{n_k} \lra (\forall \eps > 0) + (\exists K \in \N)(\forall k > K)\ |x_{n_k} - l| < \eps + \] + При этом помним, что $\{n_k\}$ - возрастающая + последовательность натуральных чисел + + Следовательно, для $(\forall N \in \N)$ найдётся + $(K_1 \in \N)(n_{K_1} > N)$, а значит и $n := n_{K_1 + 1} + \Ra (n > n_{K_1} > N)\ |x_n - l| < \eps$ + + В итоге имеем: + \[ + (\forall \eps > 0)(\forall N \in \N)(\exists n > N) + \ |x_n - l| < \eps + \] + \item Достаточность: Пусть для $l$ верно, что + $(\forall \eps > 0)(\forall N \in \N)(\exists n > N) + \ |x_n - l| < \eps$ + + Построим сходящуюся подпоследовательность: + \begin{align*} + &\eps := 1 & &N := 1 & &(\exists n_1 \in \N)\ n_1 > 1,\ |x_{n_1} - l| < 1 + \\ + &\eps := 1/2 & &N := n_1 & &(\exists n_2 \in \N)\ n_2 > n_1,\ |x_{n_2} - l| < 1/2 + \\ + &\dots + \end{align*} + По построению $\{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty$ такова, что + $(\forall \eps > 0)(\exists K \in \N)(\forall k > K)\ |x_{n_k} - l| < \eps$ +\end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{theorem} (Больцано-Вейерштрасса) \label{Bolzano–Weierstrass} + Из каждой ограниченной последовательности действительных + чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность +\end{theorem} + +\begin{proof} + $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ --- ограниченная, тогда + $\exists [a_1; b_1] \supset \{x_n\}_{n = 1}^\infty$ + + Разделим отрезок пополам. Утверждение: хотя бы 1 из половин + содержит бесконечное число членов последовательности. + + Пусть $[a_2; b_2]$ - та из половин $[a_1; b_1]$, которая + содержит бесконечно много членов последовательности $\{x_n\}$ + (левую, если в обеих $\infty$). + Продолжая, получим последовательность вложенных отрезков + $\{[a_n; b_n]\}_{n = 1}^\infty$. Так как $b_n - a_n = + \frac{b_1 - a_1}{2^{n - 1}}$. + + Следовательно, $\{[a_n; b_n]\}_{n = 1}^\infty$ - система + стягивающихся отрезков, по принципу Кантора $\exists c = + \bigcap\limits_{n = 1}^\infty [a_n; b_n]$. Докажем, что + $c$ - частичный предел. + + $x_{n_1} = x_1\ ;\ x_{n_2} \in [a_2; b_2]\ + \dots\ x_{n_k} \in [a_k; b_k]$. Отсюда $0 + \le |c - x_{n_k}| \le b_k - a_k = \frac{b_1 - a_1}{2^{k - 1}} + \underset{{k \to \infty}}{\ra} 0$. +\end{proof} + +\begin{addition} + Каждая числовая последовательность $\forall + \{x_n\}_{n = 1}^\infty$ имеет хотя бы 1 частичный предел из + $\bar{\R}$, то есть $\exists \{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty\ + |\ \liml_{k \ra \infty} x_{n_k} = l \in \bar{\R}$ +\end{addition} + +\begin{proof} + Если последовательность ограничена, то смотрим теорему Больцано-Вейерштрасса. + + Если последовательность неограничена сверху, то построим подпоследовательность: + \begin{align*} + &M := 1 & &\Ra (\exists n_1 \in \N)\ x_{n_1} > 1 + \\ + &M := \max(2, x_1, x_2, \dots, x_{n_1}) & &\Ra (\exists n_2 \in \N)\ x_{n_2} > \max(2, x_{n_1}) \ge 2,\ n_2 > n_1 + \\ + &\dots + \end{align*} + Получили $\{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty$ такую, что + $(\forall k \in \N)\ x_{n_k} > k$. Несложно показать, + что данная последовательность - бесконечно большая. + + Аналогично доказывается случай, когда последовательность неограничена снизу. +\end{proof} + diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/8lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/8lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..9fae24d7 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/8lecture.tex @@ -0,0 +1,285 @@ +\begin{definition} + \textit{Верхним пределом последовательности} $\{x_n\}_{n = 1}^\infty + \subset R$ называется наибольший из её частичных пределов + $\overline{\liml_{n \ra \infty}} x_n$. +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Нижним пределом последовательности} $\{x_n\}_{n = 1}^\infty + \subset R$ называется наименьший из её частичных пределов + $\varliminf\limits_{n \ra \infty} x_n$. +\end{definition} + +\begin{anote} + Следует помнить, что частичный предел может быть бесконечным. + Следовательно, верхний и нижний тоже. +\end{anote} + +\begin{theorem} (3 определения верхнего и нижнего пределов) + Для любой ограниченной последовательности $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ + существуют \underline{конечные} $L = \overline{\liml_{n \to \infty}} + x_n$, $l = \varliminf\limits_{n \to \infty} x_n$. + Для них справедливы следующие утверждения: + \begin{enumerate} + \item + \begin{enumerate} + \item верхний предел + $\System{ + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ x_n < L + \eps + \\ + (\forall \eps > 0)(\forall N \in \N)(\exists n > N) + \ x_n > L - \eps}$ + + \item нижний предел + $\System{ + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N) + \ x_n > l - \eps + \\ + (\forall \eps > 0) + (\forall N \in \N)(\exists n > N)\ x_n < l + \eps}$ + \end{enumerate} + + \item + $L = \liml_{n \to \infty} \sup \{x_n, x_{n + 1} \dots\}$ + + $\ l = \liml_{n \to \infty} \inf \{x_n, x_{n + 1}, \dots\}$ + \end{enumerate} + Причём определения равносильны (стандартное и эти 2 пункта). +\end{theorem} + +\begin{proof} + Доказательство приводится только для верхнего предела. + Для нижнего оно аналогично. + + Рассмотрим последовательность $s_n := \sup \{x_n, x_{n + 1}, + \dots\} = \sup\limits_{m \ge n} x_m$. Мы можем это сделать, + так как $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ ограничена по условию + теоремы. Несложно заметить 2 утверждения из данного + определения: + \begin{align*} + &s_n \ge s_{n + 1} + \\ + &s_n \ge \inf \{x_n\} + \end{align*} + А значит по теореме Вейерштрасса, данная последовательность + сходится и имеет предел $L := \liml_{n \to \infty} s_n = \inf + \{s_n\}$. + + Покажем, что для этой последовательности верен первый пункт. + Тут есть два варианта доказательства: + \begin{itemize} + \item + По определению предела + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N) + \ |s_n - L| < \eps + \] + Так как $s_n := \sup \{x_n, x_{n + 1}, \dots\}$, то + $x_n \le s_n < L + \eps$ (доказано следствие первой части + п.1. из п.2.). + + Рассмотрим $N \in \N$ и $s_{N + 1} = \sup \{x_{N + 1}, + x_{N + 2}, \dots\}$. Так как $L = \inf \{s_n\}$, то + \[ + s_{N + 1} \ge L + \] + А так как $s_n := \sup \{x_n, x_{n + 1}, \dots\}$, + то ещё имеем + \[ + (\forall \eps > 0)(\forall N \in \N)(\exists n > N) + \ x_n > s_{N + 1} - \eps \ge L - \eps \Ra x_n > L -\eps + \] + (доказано следствие второй части п.1. из п.2.) + \item + Так же из определения предела: + + $(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ |s_n - L| < \eps \lra L - \eps < + s_n < L + \eps$ + + $\System{ + s_n < L + \eps \Ra (\forall m \ge n)\ x_m < + L + \eps \Ra (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall m \ge N)\ x_m < L + \eps + \\ + L - \eps < s_n \Ra (\exists m \ge n)\ x_m > + L - \eps \Ra (\forall \eps > 0)(\forall N \in \N) + (\exists m \ge N)\ x_m > L - \eps + }$ + \end{itemize} + + + Теперь докажем, что из пункта 1 $\Ra L$ - наибольший частичный + предел $\{x_n\}$. Построим подпоследовательность: + \begin{align*} + &\eps := 1 & &\System{&(\exists N \in \N)(\forall n > N) + \ x_n < L + 1 + \\ &(\forall N \in \N)(\exists n_1 > N)\ x_{n_1} > L - 1} + \Ra |x_{n_1} - L| < 1 + \\ + &\eps := \frac{1}{2} & &\System{&(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ x_n < L + \frac{1}{2} + \\ &(\forall N \in \N)(\exists n_2 > \max{(n_1, N)}) + \ x_{n_2} > L - \frac{1}{2}} \Ra |x_{n_2} - L| < \frac{1}{2} + \\ + &\dots& & \dots + \\ + &\eps := \frac{1}{k} & &\System{&(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ x_n < L + \frac{1}{k} + \\ &(\forall N \in \N)(\exists n_k > \max{(n_{k - 1}, N)}) + \ x_{n_k} > L - \frac{1}{k}} \Ra \underbrace{0}_{\to 0} \le + |x_{n_k} - L| < \underbrace{\frac{1}{k}}_{\to 0}\Ra \exists + \liml_{k \to \infty} x_{n_k} = L + \end{align*} + + + + Существование номера обусловлено тем, что мы вначале + применяем первую часть пункта 1., а затем подставляем во + вторую часть пункта 1 и находим такое $n_k$, что для него + верны оба неравенства сразу. + + Получили $\{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty$ такую, что + $\liml_{k \to \infty} x_{n_k} = L$. Осталось доказать, что + этот частичный предел и есть наибольший: + + Рассмотрим произвольную $\{x_{m_i}\}_{i = 1}^\infty$ такую, + что $\exists \liml_{i \to \infty} x_{m_i} = t$. + Из уже доказанного пункта 1. следует, что + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists I \in \N)(\forall i > I) + \ x_{m_i} < L + \eps + \] + + Совершая предельный переход в неравенстве, получим + \[ + (\forall \eps > 0)\ t \le L + \eps + \] + Отсюда понятно, что $t \le L$, то есть $L$ действительно наибольший + частичный предел. +\end{proof} + +\begin{anote} + По моему мнению, ключевая идея выше в том, что мы всегда + из-за ограниченности можем рассмотреть последовательность + $s_n$ и доказать, что её предел либо удовлетворяет другому + определению, либо свойству (которое можно принять за + определение). +\end{anote} + +\begin{definition} + Последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ называется + \textit{фундаментальной}, или же \textit{последовательностью + Коши}, если $(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)(\forall p \in \N)\ |x_{n + p} - x_n| < \eps$ + Эквивалентная форма: $(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall m, n > N)\ |x_m - x_n| < \eps$ +\end{definition} + +\begin{theorem} (Критерий Коши) + Последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ сходится тогда и + только тогда, когда она фундаментальна. +\end{theorem} + +\begin{proof}: + \begin{enumerate} + \item (Необходимость) Сходимость $\Ra$ фундаментальность + + Пусть $\exists \liml_{n \ra \infty} x_n = l$, тогда + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ |x_n - l| < \frac{\eps}{2} + \] + + Тогда $(\forall p \in \N)\ n + p > N \Ra |x_{n + p} - l| + < \frac{\eps}{2}$ + + $|x_{n + p} - x_n| = |x_{n + p} - l + l - x_n| \le + |x_{n + p} - l| + |l - x_n| < \frac{\eps}{2} + + \frac{\eps}{2} = \eps$ + + \item (а) Фундаментальность $\Ra$ ограниченность + + Согласно свойству фундаментальности, положим + $\eps := 1 \Ra n := N + 1$. Теперь + \[ + (\forall p \in \N)\ |x_{N + 1 + p} - x_{N + 1}| < 1 + \Ra x_{N + 1} - 1 < x_{N + 1 + p} < x_{N + 1} + 1 + \] + Отсюда для $(\forall m \in \N)$ + \[ + \min(x_1, \dots, x_{N + 1}) - 1 < x_m < + \max(x_1, \dots, x_{N + 1}) + 1 + \] + + \item (б) Фундаментальность $\Ra$ ограниченность $\Ra$ + сходимость. + + Так как последовательность ограничена, то по теореме + Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящуюся + подпоследовательность. + \[ + (\exists \{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty)\ \liml_{k \to \infty} x_{n_k} = l + \] + По определению предела, + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists K \in \N)(\forall k > K) + \ |x_{n_k} - l| < \frac{\eps}{2} + \] + При этом исходная последовательность фундаментальна. То есть + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N) + (p \in \N)\ |x_{n + p} - x_n| < \frac{\eps}{2} + \] + Рассмотрим $(\forall m > \max(N, n_{K + 1}))$, тогда + \[ + |x_m - l| \le |x_m - x_{n_{K + 1}}| + + |x_{n_{K + 1}} - l| < \frac{\eps}{2} + \frac{\eps}{2} = \eps + \] + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{theorem} (Число Эйлера) + Последовательность $\{x_n = \left(1 + + \frac{1}{n}\right)^n\}_{n = 1}^\infty$ сходится. + Её предел называется числом $e$. + \[ + e \approx 2,718281828459045\dots + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Рассмотрим последовательность $y_n := + \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1}$. + Докажем, что $y_n$ убывает. Используем неравенство Бернулли: + $(\forall x > -1)(\forall n \in \N)\ (1 + x)^{n} \ge 1 + nx$ (*) + \begin{multline*} + \frac{y_{n - 1}}{y_n} = \frac{(1 + \frac{1}{n - 1})^n} + {(1 + \frac{1}{n})^{n + 1}} = \left(\frac{\frac{n}{n - 1}} + {\frac{n + 1}{n}}\right)^{n+1} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1} + {n - 1}} = \left(\frac{n^2}{n^2 - 1}\right)^{n+1} + \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{n - 1}} = + \\ + =\left(1 + \frac{1}{n^2 - 1}\right)^{n+1} \cdot + \frac{1}{1 + \frac{1}{n - 1}} \underset{(*)}{\ge} + \left(1 + \frac{n + 1} + {n^2 - 1}\right) \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{n - 1}} = + \\ + =\left(1 + \frac{1}{n - 1}\right) \cdot \frac{1}{1 + + \frac{1}{n - 1}} = 1,\ n > 1 \Ra \frac{y_{n - 1}}{y_n} + \ge 1 \Ra y_n \le y_{n - 1} + \end{multline*} + При этом $\{y_n\}$ - ограниченная снизу последовательность, + так как $(\forall n \in \N)\ y_n \ge 0$ + + Следовательно, по теореме Вейерштрасса $\{y_n\}$ сходится. + Её предел равен $e$. + + Покажем, что к тому же пределу сходится и $x_n$: + \[ + \liml_{n \to \infty} x_n = + \frac{\liml_{n \to \infty} y_n }{\liml_{n \to \infty} + \left(1 + \frac{1}{n}\right)} = \frac{e}{1 + 0} = e + \] +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/9lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/9lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..5a3eef56 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/9lecture.tex @@ -0,0 +1,387 @@ +\subsection{Предел функции} + +\begin{definition} + \textit{Проколотой $\delta$-окрестностью} точки $a \in \R$ называется окрестность + точки $a$, из которой удалена сама точка $a$, т.е. + $\mc{U}_{\delta}(a) = U_{\delta}(a) \bs \left\{a\right\}; + \ \mc{U}_{\delta}((\pm)\infty) := U_{\delta}((\pm)\infty)$. + Иначе говоря, проколотая окрестность - это множество: + \[ + \mc{U}_{\delta}(a) := (a - \delta; a) \cup (a; a + \delta) + \] +\end{definition} + +\begin{note} + Далее, если не оговорено иного, + будем считать, что $f : X \ra \R$, $X \subset \R$ + определена в некоторой $\mc{U}_{\delta_0}(a) + \subset X$, $\delta_0 > 0$ +\end{note} + +\begin{definition} (Предел по Коши) + + Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой + проколотой окрестности $a \in \overline{\R} \cup \left\{\infty\right\}$. + Тогда $A \in \overline{\R} \cup \left\{\infty\right\}$ называется + \textit{пределом функции} $f(x)$ в точке $a$, если: + + \[ + \left(\forall \eps > 0\right)\left(\exists \delta > 0 + \right)\left(\ \forall x \in \mc{U}_{\delta}(a)\right) + \ f(x) \in U_{\eps}(A) \lra \liml_{x \to a} f(x) = A + \] + + Или же для $a \in \R; A \in \R$ + + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) + \left(\forall x,\ 0 < |x - a| < \delta\right) \ + |f(x) - A| < \eps + \] +\end{definition} + +\begin{definition} (Предел по Гейне) + + Пусть область опредедления $X$ функции $f(x)$ содержит некоторую + проколотую окрестность точки $a$. Тогда + + \[ + \liml_{x \to a} f(x) = A \lra \left(\forall \{x_n\} + \subset X \bs \{a\}\ \liml_{n \to \infty} x_n = a\right) + \ \liml_{n \to \infty} f(x_n) = A + \] +\end{definition} + +\begin{theorem} + Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны. +\end{theorem} + +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item (К $\Ra$ Г) + + Рассмотрим $\forall \{x_n\} \subset X \bs \{a\}, + \ \liml_{n \to \infty} x_n = a$. По определению предела + \[ + (\forall \delta > 0)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ |x_n - a| < \delta + \] + Так как $(\forall n \in \N)\ x_n \in X \bs \{a\}$, + тогда отсюда следует + \[ + (\forall \delta > 0)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ x_n \in \mc{U}_{\delta}(a) + \] + По условию выполнено утверждение: + \[ + \liml_{x \to a} f(x) = A \lra (\forall \eps > 0) + (\exists \delta > 0)(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(a)) + \ f(x) \in U_{\eps}(A) + \] + То есть для любого $\eps > 0$ найдётся $\delta > 0$, для которого верно 2 условия: + \[ + \System{ + &{(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ x_n \in + \mc{U}_{\delta}(a)} + \\ + &{(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(a))\ f(x) \in U_{\eps}(A)} + } + \] + В итоге имеем: + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ f(x_n) \in U_{\eps}(A) \lra \liml_{n \to \infty} f(x_n) = A + \] + То есть для любой такой последовательности + + \item (Г $\Ra$ К) + + Докажем от противного, то есть при выполненности + определения Гейне неверно определение Коши: + $(\exists \eps > 0)(\forall \delta > 0) + (\exists x \in \mc{U}_{\delta}(a))\ f(x) \notin U_{\eps}(A)$ + + Зафиксируем $\eps$ и подставим разные $\delta$: + \begin{align*} + &\delta := 1 & &{\exists x_1 \in \mc{U}_{1}(a)} & &{f(x_1) \notin U_{\eps}(A)} + \\ + &\delta := 1/2 & &{\exists x_2 \in \mc{U}_{1/2}(a)} & &{f(x_2) \notin U_{\eps}(A)} + \\ + &\dots & &\dots & &\dots + \\ + &\delta := 1/n & &{\exists x_n \in \mc{U}_{1/n}(a)} & &{f(x_n) \notin U_{\eps}(A)} + \\ + &\dots & &\dots & &\dots + \end{align*} + + Получили последовательность + $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \such (\forall n \in \N) + \ x_n \in \mc{U}_{1/n}(a),\ f(x_n) \notin U_{\eps}(A)$ + + То есть по определению эта последовательность стремится к $a$: + \[ + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ x_n \in \mc{U}_{\eps}(a) \lra \liml_{n \to \infty} x_n = a + \] + А из определения предела по Гейне для этой последовательности верно: + \[ + \liml_{n \to \infty} f(x_n) = + A \lra (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)\ f(x_n) \in U_{\eps} (A) + \] + Противорчеие: мы получили $\eps$, + при котором $(\forall n \in \N)\ f(x_n) \notin U_\eps(A)$, + хотя должен был найтись номер, начиная с которого в этом + $\eps$ будут лежать значения последовательности. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\subsubsection*{Геометрический смысл предела функции} + +\[ + \liml_{x \ra a} f(x) = A \lra \forall \eps > 0\ \exists \delta > 0\ |\ \forall x,\ 0 < |x - a| < \delta \Ra |f(x) - A| < \eps +\] + +\begin{center} + \begin{tikzpicture}[scale=1] + % Axis + \coordinate (y) at (0,5); + \coordinate (x) at (6,0); + \draw[<->] (y) node[above] {$y$} -- (0,0) -- (x) node[right] {$x$}; + \draw (-0.4,0) -- (0,0) -- (0,-0.4); + + \path + coordinate (start) at (1,0.5) + coordinate (c1) at +(2,1.7) + coordinate (c2) at +(4,2.5) + coordinate (top) at (4.8,3.6); + + \draw[style={thick}] plot [smooth, tension=0.6] coordinates {(start) (c1) (c2) (top)}; + + \draw[style={dotted}] (c1) -- (2,0) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={below:$a - \delta$}] {}; + \draw[style={dotted}] (c2) -- (4,0) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={below:$a + \delta$}] {}; + \draw[style={dotted}] (3,2.1) -- (3,0) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={below:$a$}] {}; + + \draw[style={dotted}] (c1) -- (0,1.7) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={left:$A - \eps$}] {}; + \draw[style={dotted}] (c2) -- (0,2.5) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={left:$A + \eps$}] {}; + \draw[style={dotted}] (3,2.1) -- (0,2.1) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={left:$A$}] {}; + + \filldraw [black] (c1) circle (1.2pt); + \filldraw [black] (c2) circle (1.2pt); + \filldraw [black] (3, 2.1) circle (1.2pt); + + \draw (top) node[below right, black] {$y = f(x)$}; +\end{tikzpicture} +\end{center} + +\begin{example} + Почему мы не берём сам предел в окрестность? А потому, + что мы это используем при расчёте пределов: + \[ + \liml_{x \ra 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = + \liml_{x \ra 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = + \liml_{x \ra 1} (x + 1) = 2 + \] + + Проверка: + $(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x)\ 0 < + |x - 1| < \delta\ \ \left|\frac{x^2 - 1}{x - 1} - 2\right| < \eps$ + + Примем $\delta := \eps$: $0 < |x - 1| < \eps \Ra + \left|\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} - 2\right| = |x - 1| < \eps$ + + Если мы бы допустили, что $a$ включено в $\delta$-окрестность, + то никакое бы $\delta$ не подошло - для значения $x = a = 1$ + было бы неверно, что $f(1) \in U_{\delta}(2)$ +\end{example} + +\begin{example} (Функция Дирихле) + \[ + f(x) = \System{&{1, x \in \Q} \\ &{0, x \in \R \bs \Q}} = \mathbbm{1} + \] + Докажем, что $(\forall a \in \R)(\not\exists A)\ \liml_{x \ra a} f(x) = A$: + + \begin{enumerate} + \item $a \in \Q$ + + $x'_n = a - \frac{1}{n} \in \Q \Ra f(x'_n) = 1$ + + $x''_n = a - \frac{\sqrt{2}}{n} \in \R \bs \Q \Ra f(x''_n) = 0$ + + \item $a \in \R \bs \Q$ + + $x'_n = a - \frac{1}{n} \in \R \bs \Q \Ra f(x'_n) = 0$ + + $x''_n = (a)_n \in \Q \Ra f(x''_n) = 1$ + (десятичное представление $a$ до $n$-го знака) + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{note} Из определения Гейне и единственности + предела последовательности следует единственность предела + функции (за исключением некоторых бесконечностей). +\end{note} + +\subsubsection*{Свойства предела функции, связанные с неравенствами} + +\begin{theorem} + Свойства предела функции, связанные с неравенствами +\end{theorem} + +\begin{enumerate} + \item (Ограниченность) + + Если $\liml_{x \ra a} f(x) = A \in \R$, то $f(x)$ ограничена в + некоторой проколотой окрестности точки $a$, т.е. + + \[ + (\exists \delta > 0)(\exists C > 0) + \left(\forall x \in \mc{U}_\delta(a)\right)\ |f(x)| < C + \] + + \item (Отделимость от 0 и сохранение знака) + + Если $\liml_{x \ra a} f(x) = A \in \bar{\R} + \bs \left\{0\right\}$, то + + $(\exists \delta > 0)(\exists c > 0) + \left(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(a)\right)\ + |f(x)| > c$, причем + + $sign(f(x)) = sign(A) + \ (sign(\pm \infty) = \pm 1)$ + + \item (Переход к пределу в неравенствах) + + Если + $$ + \System{ + &{\exists \delta > 0\ |\ \forall x \in \mc{U}_{\delta}(a)\ f(x) \le g(x)} + \\ + &{\exists \liml_{x \ra a} f(x), \liml_{x \ra a} g(x) \in \bar{\R}} + } + $$ + то $A \le B$. ($-\infty < x < +\infty \ \forall x \in \R$) + + \item (О трёх функциях) Если $(\exists \delta > 0)\left(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(a)\right),\ f(x) \le g(x) \le h(x)$ и $\liml_{x \ra a} f(x) = \liml_{x \ra a} h(x) = A \in \bar{\R}$, то $\liml_{x \ra a} g(x) = A$. +\end{enumerate} + +\begin{proof} +\begin{enumerate} + % 1 пункт + \item $(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) \left(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(a) \right) \ |f(x) - A| < \eps$ + + Рассмотрим $\eps := 1$: $(\exists \delta > 0) \left(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(a)\right)\ A - 1 < f(x) < A + 1 \Ra |f(x)| < \underbrace{|A| + 1}_{:= C}$ + + % 2 пункт + \item $(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)\left( \forall x \in \mc{U}_{\delta}(a) \right) \ f(x) \in U_{\eps}(A)$ + + Первый случай $A = \pm \infty$ + + $\liml_{x \to a}f(x) = A \lra (\forall \eps > 0) + (\exists \delta > 0)\left(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(a)\right) + \ f(x) \in U_\eps (A)$ + + $A = +\infty \Ra \ f(x) \in U_\eps (A) \lra f(x) > \frac{1}{\eps} > 0 \Ra \ sign(f(x)) = sign(A)$ + + $A = -\infty \Ra \ f(x) \in U_\eps (A) \lra f(x) < - \frac{1}{\eps} < 0 \Ra \ sign(f(x)) = sign(A)$ + + $\Ra$ выберем $\eps := 1; c = 1 \Ra |f(x)| > c$. + + Если же $A \in \R \bs \{0\}$, то $\eps := \frac{|A|}{2} > 0$, $f(x) \in U_{\eps}(A) \lra |f(x) - A| < \frac{|A|}{2}$ + + Раскроем модуль: $A - \frac{|A|}{2} < f(x) < A + \frac{|A|}{2}$ + + Если $A > 0 \Ra A - \frac{|A|}{2} = \frac{A}{2} > 0$. Иначе $A + \frac{|A|}{2} = \frac{A}{2} < 0 \Ra |f(x)| > c = \frac{|A|}{2}$. + + % 3 пункт + \item Рассмотрим $\left(\forall \{x_n\} + \subset X \bs \{a\}\ \liml_{n \to \infty} x_n = a\right) + \ \liml_{n \to \infty} f(x_n) = A,\ \liml_{n \ra \infty} g(x_n) = B$ + + Так как последовательность сходится к $a$, то с какого-то номера $N \in \N$ она будет полностью в проколотой $\delta$-окрестности $a$. А для элементов из неё будет выполняться + \[ + f(x_n) \le g(x_n) + \] + + А значит, мы можем сделать предельный переход в неравенстве для последовательностей и получить + \[ + \liml_{n \to \infty} f(x_n) \le \liml_{n \to \infty} g(x_n) \Ra A \le B + \] + + % 4 пункт + \item Доказательство аналогично третьему, через предел по Гейне и теорему о трёх последовательностях +\end{enumerate} +\end{proof} + +\subsubsection*{Арифметические операции и предел функции} +\begin{theorem} + Арифметические операции и предел функции +\end{theorem} + +Пусть $\liml_{x \ra a} f(x) = A,\ \liml_{x \ra a} g(x) = B,\ A, B \in \R$. Тогда +\begin{enumerate} + \item $\liml_{x \ra a} \left(f(x) \pm g(x)\right) + = A \pm B \ (\exists$ и равен) + \item $\liml_{x \ra a} (f(x) \cdot g(x)) = A \cdot B$ + \item Если $B \neq 0$, то $\liml_{x \ra a} + \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$ +\end{enumerate} + +\begin{proof} + Доказательство сводится к свойствам последовательностей. Небольшое отличие есть только в доказательстве третьего пункта: + \[ + B \neq 0 \Ra (\exists \delta > 0)\left( \forall + x \in \mc{U}_{\delta}(a)\right)\ g(x) \neq 0 + \] + Рассмотрим $\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty, + x_n \neq a, \liml_{n \ra \infty} x_n = a$ \\ + Мы знаем, что $\System{&{\liml_{n \ra \infty} + f(x_n) = A} \\ &{\liml_{n \ra \infty} g(x_n) = B}} + \Ra \liml_{n \ra \infty} \frac{f(x_n)}{g(x_n)} = + \frac{A}{B}$ (по определению Гейне). +\end{proof} + +\subsubsection*{Критерий Коши --- существование предела функции} + +\begin{theorem} + Критерий Коши --- существование (конечного) предела функции. + Пусть $f(x)$ определена в некоторой $\mc{U}_\eps (a)$. Тогда + + \[\exists \liml_{x \ra a} f(x) \in \R \lra + \underbrace{(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) + \left(\forall x_1, x_2 \in \mc{U}_{\delta}(a)\right)\ + |f(x_1) - f(x_2)| < \eps}_{\text{\normalfont + Условие Коши}} + \] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Докажем необходимость: \\ + Из определения предела: + \[ + \liml_{x \ra a} f(x) = A \in \R \lra + (\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) + \left(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(a)\right)\ + |f(x) - A| < \frac{\eps}{2} + \] + По неравенству треугольника: $\left(\forall x_1, x_2 + \in \mc{U}_{\delta}(a)\right) + \ |f(x_1) - f(x_2)| \le |f(x_1) - A| + |A - f(x_2)| < \eps$ + + Докажем достаточность: \\ + Рассмотрим $\left(\forall \{x_n\} \subset X \bs \{a\}, + \liml_{n \to \infty} x_n = a\right)$. Из определения предела: + $$ + \liml_{n \to \infty} x_n = a \Ra (\forall \delta > 0) + (\exists N \in \N)(\forall n > N)\ + x_n \in \mc{U}_{\delta}(a);\ + (\forall p \in \N)\ x_{n + p} \in \mc{U}_{\delta} (a) + $$ + Согласно этому утверждению и условию Коши, мы получаем + $$ + (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N) + (\forall n > N)(\forall p \in \N)\ |f(x_{n + p}) - f(x_n)| < \eps + $$ + Что в точности означает фундаментальность последовательности $f(x_n)$, то есть она сходящаяся. +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/main.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/main.tex new file mode 100644 index 00000000..e457c9cc --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/main.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +\input{preamble_ltc/preamble} + +%\includeonly{lectures/lect05,lectures/lect06} % Скомпилировать только часть лекций + +\begin{document} + \input{preamble_ltc/title_page} + \newpage + \hypertarget{intro}{} + \tableofcontents + + \linespread{1} + \selectfont + + \newpage + + % 2023 reTeXed Lectures: + \input{lectures/1lecture.tex} %Предварительные сведения + \input{lectures/2lecture.tex} %Глава2. Натуральные, целые, рациональные + \input{lectures/3lecture.tex} %Рациональные. Действительные - сложение + \input{lectures/4lecture.tex} %Действительные добиваются + + % 2023 reTeXed - partially: + \input{lectures/5lecture.tex} %Комплексные. Предел + %Комплексные числа не трогали с 2021 + + % 2023 reTeXed - full: + \input{lectures/6lecture.tex} %Предел последовательности. Неравенства, арифметические операции + \input{lectures/7lecture.tex} %Подпоследовательности. Частичные пределы + \input{lectures/8lecture.tex} %Верхний, нижний пределы. Фундаментальность. Число е + \input{lectures/9lecture.tex} %Предел функции.Критерий Коши + \input{lectures/10lecture.tex} %Односторонние пределы. Непрерывность. Точки разрыва + \input{lectures/11lecture.tex} %Свойства непрерывности. + \input{lectures/12lecture.tex} % + \input{lectures/13lecture.tex} %Производная, арифметика, производная обратной. + \input{lectures/14lecture.tex} % + \input{lectures/15lecture.tex} %Производные и дифф. высших порядкой. Французские теоремы (свойства производной) + \input{lectures/16lecture.tex} %Дарбу. Лопиталь. Равномерная непрерывность + \input{lectures/17lecture.tex} + \input{lectures/18lecture.tex} + \input{lectures/19lecture.tex} + \input{lectures/20lecture.tex} % + \input{lectures/21lecture.tex} + \input{lectures/22lecture.tex} + \input{lectures/23lecture.tex} + \input{lectures/24lecture.tex} + \input{lectures/25lecture.tex} + \input{lectures/26lecture.tex} + \input{lectures/27lecture.tex} + \input{lectures/28lecture.tex} + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.aux b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.aux new file mode 100644 index 00000000..b6401217 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.aux @@ -0,0 +1,2 @@ +\relax +\gdef \@abspage@last{1} diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.fdb_latexmk b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.fdb_latexmk new file mode 100644 index 00000000..b857d99c --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.fdb_latexmk @@ -0,0 +1,233 @@ +# Fdb version 3 +["pdflatex"] 1702903077 "/home/artyom/Code/LaTex/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex" "preamble.pdf" "preamble" 1702903077 + "/etc/texmf/web2c/texmf.cnf" 1694337234 475 c0e671620eb5563b2130f56340a5fde8 "" + "/home/artyom/.texlive2021/texmf-var/fonts/tfm/lh/lh-t2a/larm1200.tfm" 1694879253 3240 c2435f2b5cd66d4930bc29b8df87967e "" + "/home/artyom/Code/LaTex/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex" 1702903076 8153 d941faff29627f18c68e5e9b7345cbdd "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/map/fontname/texfonts.map" 1577235249 3524 cb3e574dea2d1052e39280babc910dc8 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/jknappen/ec/ectt1000.tfm" 1136768653 1536 06717a2b50de47d4087ac0e6cd759455 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmr12.tfm" 1136768653 1288 655e228510b4c2a1abe905c368440826 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty" 1575674566 24708 5584a51a7101caf7e6bbf1fc27d8f7b1 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-english/english.ldf" 1496785618 7008 9ff5fdcc865b01beca2b0fe4a46231d4 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-russian/russianb.ldf" 1610315728 27193 cd3440b122aaa8e30416378ef38b3173 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty" 1643231327 147419 2058c0f5e6893b19c8f3ce95d177646c "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def" 1643231327 5233 d5e383ed66bf272b71b1a90b596e21c6 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty" 1576625341 40635 c40361e206be584d448876bba8a64a3b "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty" 1576016050 33961 6b5c75130e435b2bfdb9f480a09a39f9 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty" 1576625273 7734 b98cbb34c81f667027c1e3ebdbfce34b "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty" 1583617216 6501 4011d89d9621e0b0901138815ba5ff29 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty" 1572645307 1057 525c2192b5febbd8c1f662c9468335bb "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty" 1575499628 8356 7bbb2c2373aa810be568c29e333da8ed "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty" 1576625065 31769 002a487f55041f8e805cfbf6385ffd97 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty" 1576878844 5412 d5a2436094cd7be85769db90f29250a6 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty" 1576624944 13807 952b0226d4efca026f0e19dd266dcc22 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty" 1558214112 195 27b9da3d207196766c9f281d0590e267 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.tex" 1566419932 27590 17724a32e183cb652d922ee9f34b134d "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty" 1600895880 17859 4409f8f50cd365c68e684407e5350b1b "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty" 1576015897 19007 15924f7228aca6c6d184b115f4baa231 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty" 1593379760 20089 80423eac55aa175305d35b49e04fe23b "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex" 1601326656 992 855ff26741653ab54814101ca36e153c "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.tex" 1601326656 43820 1fef971b75380574ab35a0d37fd92608 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.tex" 1601326656 19324 f4e4c6403dd0f1605fd20ed22fa79dea "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.code.tex" 1601326656 6038 ccb406740cc3f03bbfb58ad504fe8c27 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex" 1601326656 6944 e12f8f7a7364ddf66f93ba30fb3a3742 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.tex" 1601326656 4883 42daaf41e27c3735286e23e48d2d7af9 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.tex" 1601326656 2544 8c06d2a7f0f469616ac9e13db6d2f842 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.code.tex" 1601326656 44195 5e390c414de027626ca5e2df888fa68d "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing.code.tex" 1601326656 17311 2ef6b2e29e2fc6a2fc8d6d652176e257 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code.tex" 1601326656 21302 788a79944eb22192a4929e46963a3067 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.tex" 1601326656 9690 01feb7cde25d4293ef36eef45123eb80 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.tex" 1601326656 33335 dd1fa4814d4e51f18be97d88bf0da60c "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex" 1601326656 2965 4c2b1f4e0826925746439038172e5d6f "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex" 1601326656 5196 2cc249e0ee7e03da5f5f6589257b1e5b "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.tex" 1601326656 20726 d4c8db1e2e53b72721d29916314a22ea "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex" 1601326656 35249 abd4adf948f960299a4b3d27c5dddf46 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformations.code.tex" 1601326656 21989 fdc867d05d228316de137a9fc5ec3bbe "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.code.tex" 1601326656 8893 e851de2175338fdf7c17f3e091d94618 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryangles.code.tex" 1601326656 3614 3404a408629b6c0bbcaf4731a9871bf8 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryarrows.code.tex" 1601326656 319 225dfe354ba678ff3c194968db39d447 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarybabel.code.tex" 1601326656 380 6d7183aba307d0dbd499d5b50b8c400c "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarycalc.code.tex" 1601326656 15929 463535aa2c4268fead6674a75c0e8266 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.code.tex" 1601326656 5493 23e371e6fe3e7e42533d6d6c15662e0d "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.markings.code.tex" 1601326656 788 fb28645a91ec7448ebe79bee60965a88 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathmorphing.code.tex" 1601326656 321 cdd11262840e01e25374a2d458f15e99 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathreplacing.code.tex" 1601326656 1319 0b2de5126c6cbc295f0eb77f7344b34d "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.shapes.code.tex" 1601326656 315 5323c9e6a39bb8c3348c7ab5617a0a70 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.text.code.tex" 1601326656 29754 89daa420cdac4c49fa62f6efb8e33dd3 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryintersections.code.tex" 1601674905 5286 9a47f1a4030b41b12ff25b93bef99d01 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarymatrix.code.tex" 1601326656 4202 b95061a2334c704bfa941fb8d5c0d0a2 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryplotmarks.code.tex" 1601326656 325 36322b0789619b270aec5993d5a9ed08 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryquotes.code.tex" 1601326656 3931 8b99416ab2e0d0d6af4e0cc444f11055 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryshapes.misc.code.tex" 1601326656 329 ba6d5440f8c16779c2384e0614158266 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarytopaths.code.tex" 1608933718 11518 738408f795261b70ce8dd47459171309 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex" 1621110968 186007 6e7dfe0bd57520fd5f91641aa72dcac8 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.markings.code.tex" 1601326656 5220 c70346acb7ff99702098460fd6c18993 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathmorphing.code.tex" 1601326656 8843 5533436db3e30fbad1e0440db6027dac "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathreplacing.code.tex" 1601326656 7474 f05a7223b140f230922562ac6a9fede5 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.shapes.code.tex" 1601326656 16467 9dae0e3876f615b059bae4858b49eeb4 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.text.code.tex" 1601326656 12656 a733cc75e80b2d7168ea84bc74891e21 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.code.tex" 1601326656 31874 89148c383c49d4c72114a76fd0062299 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.meta.code.tex" 1601326656 58801 1e750fb0692eb99aaac45698bbec96b1 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryfpu.code.tex" 1608933718 85938 8e4ba97c5906e1c0d158aea81fe29af7 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryintersections.code.tex" 1601674905 44571 38ac24c171fb8fa1a13adc8ce7eb94c5 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.code.tex" 1601326656 32995 ac577023e12c0e4bd8aa420b2e852d1a "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplotmarks.code.tex" 1601326656 14524 e1074042dc8f19d631452e43073ea3ba "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshapes.misc.code.tex" 1601326656 46241 588910a2f1e0a99f2c3e14490683c20d "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex" 1557692582 3063 8c415c68a0f3394e45cfeca0b65f6ee6 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex" 1601326656 521 8e224a7af69b7fee4451d1bf76b46654 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex" 1601326656 13391 84d29568c13bdce4133ab4a214711112 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex" 1601326656 104935 184ed87524e76d4957860df4ce0cd1c3 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.tex" 1601326656 10165 cec5fa73d49da442e56efc2d605ef154 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code.tex" 1601326656 28178 41c17713108e0795aac6fef3d275fbca "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex" 1601326656 9989 c55967bf45126ff9b061fa2ca0c4694f "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison.code.tex" 1601326656 3865 ac538ab80c5cf82b345016e474786549 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerarithmetics.code.tex" 1557692582 3177 27d85c44fbfe09ff3b2cf2879e3ea434 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.tex" 1621110968 11024 0179538121bc2dba172013a3ef89519f "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.code.tex" 1608933718 7854 4176998eeefd8745ac6d2d4bd9c98451 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code.tex" 1601326656 3379 781797a101f647bab82741a99944a229 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonometric.code.tex" 1601326656 92405 f515f31275db273f97b9d8f52e1b0736 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex" 1601326656 37376 11cd75aac3da1c1b152b2848f30adc14 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex" 1601326656 8471 c2883569d03f69e8e1cabfef4999cfd7 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduledecorations.code.tex" 1601326656 71722 aa25655703db0306f6401798e312b7b8 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex" 1601326656 21201 08d231a2386e2b61d64641c50dc15abd "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex" 1601326656 16121 346f9013d34804439f7436ff6786cef7 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.tex" 1621110968 44784 cedaa399d15f95e68e22906e2cc09ef8 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex" 1621110968 465 d68603f8b820ea4a08cce534944db581 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg" 1601326656 926 2963ea0dcf6cc6c0a770b69ec46a477b "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.def" 1601326656 5546 f3f24d7898386cb7daac70bdd2c4d6dc "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-pdftex.def" 1601326656 12601 4786e597516eddd82097506db7cfa098 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex" 1621110968 61163 9b2eefc24e021323e0fc140e9826d016 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex" 1601326656 1896 b8e0ca0ac371d74c0ca05583f6313c91 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex" 1601326656 7778 53c8b5623d80238f6a20aa1df1868e63 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex" 1606168878 23997 a4bed72405fa644418bea7eac2887006 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex" 1621110968 37060 797782f0eb50075c9bc952374d9a659a "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.tex" 1601326656 37431 9abe862035de1b29c7a677f3205e3d9f "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex" 1601326656 4494 af17fb7efeafe423710479858e42fa7e "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.tex" 1601326656 7251 fb18c67117e09c64de82267e12cd8aa4 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex" 1621110968 29274 e15c5b7157d21523bd9c9f1dfa146b8e "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def" 1621110968 6825 a2b0ea5b539dda0625e99dd15785ab59 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty" 1601501446 23636 c37eef0334dd2011d112d2040c11328f "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty" 1576624744 17586 9e71251b1dfca56ce36dcba5fa5ef24a "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/tikz-cd/tikzlibrarycd.code.tex" 1620507957 23059 b4b98da760150611227e2533f15fe352 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty" 1576624663 7008 f92eaa0a3872ed622bbf538217cd2ab7 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty" 1591045760 12594 0d51ac3a545aaaa555021326ff22a6cc "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty" 1359763108 5949 3f3fd50a8cc94c3d4cbf4fc66cd3df1c "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty" 1359763108 13829 94730e64147574077f8ecfea9bb69af4 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty" 1622667781 2222 da905dc1db75412efd2d8f67739f0596 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty" 1622667781 4173 bc0410bcccdff806d6132d3c1ef35481 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty" 1636758526 87648 07fbb6e9169e00cb2a2f40b31b2dbf3c "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty" 1636758526 4128 8eea906621b6639f7ba476a472036bbe "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty" 1636758526 2444 926f379cc60fcf0c6e3fee2223b4370d "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty" 1576191570 19336 ce7ae9438967282886b3b036cfad1e4d "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty" 1576625391 3935 57aa3c3e203a5c2effb4d2bd2efbc323 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls" 1636758526 20144 8a7de377ae7a11ee924a7499611f5a9d "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty" 1636758526 3034 3bfb87122e6fa8758225c0dd3cbaceba "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty" 1636758526 2462 754d6b31b2ab5a09bb72c348ace2ec75 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty" 1622581934 4946 461cc78f6f26901410d9f1d725079cc6 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty" 1622581934 5049 969aec05d5f39c43f8005910498fcf90 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo" 1636758526 8449 bc7344e882df4d7e51c046514dee83e4 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t2aenc.dfu" 1636758526 9877 0d315dae7f192479f41fb27f6803ab1a "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty" 1191314257 1644 1e0d54b051369c3f457872824cac219f "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty" 1579038678 6078 f1cb470c9199e7110a27851508ed7a5c "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty" 1612650595 3574 ddc11a0ae1c579d351ed20d2319ad422 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/t2a.cmap" 1215522782 1872 8a484407d6912048284390d9f7606e28 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty" 1579991017 10793 d0af3aa11e27ae35ba4685b17597b122 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2acmr.fd" 1523134385 2562 d9552c7bbba7c739be0e3edc79b79dbb "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2aenc.def" 1523134385 12038 0675a914f4ef655c59b5d82e90103345 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty" 1561238569 51697 f8f08183cd2080d9d18a41432d651dfb "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty" 1601931149 46845 3b58f70c6e861a13d927bff09d35ecbc "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty" 1137110130 3240 8f6d502ca1d06cc8136c36580bba7618 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty" 1578002852 41601 9cf6c5257b1bc7af01a58859749dd37a "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg" 1459978653 1213 620bba36b25224fa9b7e1ccb4ecb76fd "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg" 1465944070 1224 978390e9c2234eab29404bc21b268d1e "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def" 1601931164 19103 48d29b6e2a64cb717117ef65f107b404 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/color.sty" 1639603921 7197 eb6c1ebf41667a05cb50c23c19d5e8bc "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/dvipsnam.def" 1622581934 4995 8040f614c8de8318a0b5b2dea8a3fcef "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty" 1622581934 18399 7e40f80366dffb22c0e7b70517db5cb4 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty" 1636758526 7996 a8fb260d598dcaf305a7ae7b9c3e3229 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty" 1622581934 2671 4de6781a30211fe0ea4c672e4a2a8166 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty" 1636758526 4009 187ea2dc3194cd5a76cd99a8d7a6c4d0 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty" 1580250785 17914 4c28a13fc3d975e6e81c9bea1d697276 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def" 1623096352 49890 0bb76a5b745d92e86aed6f3f93e334f0 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref-langpatches.def" 1623096352 1777 940b1aa83773bc035eb882e8d6842769 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty" 1623096352 230915 97a8817f13de4e61bbc3592cb2caa995 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def" 1623096352 14132 c9404e8e78123ef0d1007c34d1d6da51 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def" 1623096352 117004 86586f287ddfad919a0a4bd68934277a "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty" 1602274869 22521 d2fceb764a442a2001d257ef11db7618 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def" 1642022539 29921 f0f4f870357ebfb8fe58ed9ed4ee9b92 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty" 1642805374 6107 429b3b241150e53f86ce666eb492861e "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty" 1642022539 1249 c955e7ea299f9e9e2d8d1f08fb212ed3 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty" 1575499565 5766 13a9e8766c47f30327caf893ece86ac8 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty" 1643838029 59397 1bfeb7c4239ba9206737fca9cf861c65 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty" 1616101747 5582 a43dedf8e5ec418356f1e9dfe5d29fc3 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty" 1615845910 6149 2398eec4faa1ee24ff761581e580ecf1 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty" 1575152444 1640 c9cca60f81c5839b9a3e794d72c0b0a7 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty" 1601326656 1090 bae35ef70b3168089ef166db3e66f5b2 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty" 1601326656 410 615550c46f918fcbee37641b02a862d9 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty" 1601326656 21013 f4ff83d25bb56552493b030f27c075ae "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty" 1601326656 989 c49c8ae06d96f8b15869da7428047b1e "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty" 1601326656 339 c2e180022e3afdb99c7d0ea5ce469b7d "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty" 1601326656 306 c56a323ca5bf9242f54474ced10fca71 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty" 1601326656 443 8c872229db56122037e86bcda49e14f3 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty" 1601326656 348 ee405e64380c11319f0e249fed57e6c5 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty" 1601326656 274 5ae372b7df79135d240456a1c6f2cf9a "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty" 1601326656 325 f9f16d12354225b7dd52a3321f085955 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty" 1575674187 9715 b051d5b493d9fe5f4bc251462d039e5f "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty" 1324344192 22913 a27d7908fc6f0385466454a966a316eb "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty" 1626986448 16455 7159cc65692c01a770db5ae586ea9570 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty" 1302307949 11080 aa7f81da60ce104f0dbb8b827dd14383 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty" 1523659710 4742 af4f7a54e5c8f1f435b4d2dd60d5f846 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty" 1403566480 13791 8c83287d79183c3bf58fd70871e8a70b "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty" 1620507957 823 2375f30bf77af9357d3b4834b054bf52 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty" 1625518490 25334 5a9be40c346f60d044a5c24990456d5a "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.cfg" 1642714017 9021 656bbb54d37b53b28d69ef5efa5b1d54 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty" 1642714017 4580 6dd623f012dbd7573a5d0831ab997b88 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-marks.tex" 1642714017 4373 d0084fa8f702d5034b54089af68cb71f "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-shape.tex" 1642714017 2002 a95bee753da4c19bf1375e7342487bae "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-axesmin.tex" 1642714017 6752 42049e83457c199941345f44f7a7515c "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles-by.tex" 1642714017 6430 7e0fcf611f55fb2faf2c08ef214e0053 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles.tex" 1642714017 11447 5b0fd2a8e117802af3dbddf9d5971673 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-compass.tex" 1642714017 4004 d47628926b5a0595b5ffdfed327da856 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-angles.tex" 1642714017 22412 d129a3cb1efcd5a87213b58a57ae5191 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-circles.tex" 1642714017 8561 8abfa3f4c997e97dfa3d40b630ebf2ef "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-lines.tex" 1642714017 10328 93952e77c3b6f5e4f14733edb971f582 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-polygons.tex" 1642714017 4992 5eb02f88a70328a7adbc4355c1ba96e6 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-triangles.tex" 1642714017 3228 a3b41d6b14db5617f63efb3946828a7a "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-grids.tex" 1642714017 3471 adf2f90c63a4b1a17bbda7f5060d4a02 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-lines.tex" 1642714017 8840 45ebfec7e1ac4f040335de53bfe67afb "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-by.tex" 1642714017 16353 840323c0bba3457a25debe19d71f182c "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-rnd.tex" 1642714017 5341 a1a691b1d48a51c26f45b8019d5e70d4 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-spc.tex" 1642714017 19496 8113c70bdaf21e871061f3bfe77f0e47 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-with.tex" 1642714017 10650 d6d3ff7931b6777e66defe54de8f4011 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points.tex" 1642714017 13201 39da9ed86bfe7f0a80d170a3527ce7d3 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-polygons.tex" 1642714017 4085 f0303882c54818fe636d8317d95e3e46 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-protractor.tex" 1642714017 4604 5e773fda1c1399124472a7a36a201348 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-sectors.tex" 1642714017 13270 893f48d333326601d6cd0587f1bfcc65 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-show.tex" 1642714017 14441 3743bc25b6df0229f7de4498e5d7c0ee "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex" 1642714017 16945 78c4ed4f0565dd630ddca4c06867a400 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-BB.tex" 1642714017 1222 cde5717ced6e430f34ec0fe14756d6f7 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex" 1642714017 3103 5fa958d15b115db9b397e540a922094b "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-base.tex" 1642714017 3482 95e61c109a0786b2625275293639bb20 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-colors.tex" 1642714017 2266 5a6c7db70b7faaa7dc5b6001cabf95b3 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex" 1642714017 16125 018524c4050cbf346a1e19f5ff7416fa "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-math.tex" 1642714017 4770 05e969ddbda8fbe61b198867d532855e "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-text.tex" 1642714017 2976 0792c34d43c273d32354ee7ba76dd6bc "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-utilities.tex" 1642714017 5676 50d9ea2d3d2eaa8d4a0f00d4fab5124a "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty" 1636758526 12694 6c23725d50ab9d1e2d3ce482c58ffcf3 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty" 1622581934 10214 00ce62e730d0cfe22b35e8f1c84949c7 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty" 1622581934 1618 786b14c5a3e144c3a51452d08232d18b "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty" 1636758526 12892 3ffe092fc7f5d1cb9866f1bcb071d0d6 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty" 1636758526 32262 2bb622a0aa56c4a7a5cbdfe9d122c15a "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty" 1622581934 7147 5ac8a9ef36411064b1a501137af0fa54 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty" 1388531844 12796 8edb7d69a20b857904dd0ea757c14ec9 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty" 1137111079 1018 df058db1896806f044e2233bb506d425 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty" 1137111090 26220 3701aebf80ccdef248c0c20dd062fea9 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/svgnam.def" 1635798903 4701 9c94a851a756fcbe00f338a0e7fd92c9 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty" 1635798903 56029 3f7889dab51d620aa43177c391b7b190 "" + "/usr/share/texlive/texmf-dist/web2c/texmf.cnf" 1644012257 39432 7155514e09a3d69036fac785183a21c2 "" + "/usr/share/texmf/web2c/texmf.cnf" 1644012257 39432 7155514e09a3d69036fac785183a21c2 "" + "/var/lib/texmf/web2c/pdftex/pdflatex.fmt" 1694878654 2800639 6bb68602095a3effb755225ef2061756 "" + "preamble.aux" 1702903077 32 3985256e7290058c681f74d7a3565a19 "" + "preamble.tex" 1702903076 8153 d941faff29627f18c68e5e9b7345cbdd "" + (generated) + "preamble.log" + "preamble.pdf" diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.fls b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.fls new file mode 100644 index 00000000..af6b6bf3 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.fls @@ -0,0 +1,1330 @@ +PWD /home/artyom/Code/LaTex/2023_Lukashov/preamble_ltc +INPUT /etc/texmf/web2c/texmf.cnf +INPUT /usr/share/texmf/web2c/texmf.cnf +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/web2c/texmf.cnf +INPUT /var/lib/texmf/web2c/pdftex/pdflatex.fmt +INPUT /home/artyom/Code/LaTex/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex +OUTPUT preamble.log +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/map/fontname/texfonts.map +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmr12.tfm +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2aenc.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2aenc.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2aenc.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2aenc.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t2aenc.dfu +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t2aenc.dfu +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t2aenc.dfu +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t2aenc.dfu +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2acmr.fd +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2acmr.fd +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2acmr.fd +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2acmr.fd +INPUT /home/artyom/.texlive2021/texmf-var/fonts/tfm/lh/lh-t2a/larm1200.tfm +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/t2a.cmap +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/t2a.cmap +OUTPUT preamble.pdf +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/t2a.cmap +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-english/english.ldf +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-english/english.ldf +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-english/english.ldf +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-english/english.ldf +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-russian/russianb.ldf +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-russian/russianb.ldf +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-russian/russianb.ldf +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-russian/russianb.ldf +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/jknappen/ec/ectt1000.tfm +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref-langpatches.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref-langpatches.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref-langpatches.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref-langpatches.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/color.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/dvipsnam.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/dvipsnam.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/dvipsnam.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/dvipsnam.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/svgnam.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/svgnam.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/svgnam.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/svgnam.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonometric.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerarithmetics.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformations.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarytopaths.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarytopaths.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/tikz-cd/tikzlibrarycd.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/tikz-cd/tikzlibrarycd.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarymatrix.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarymatrix.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryquotes.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryquotes.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.meta.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.meta.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.meta.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryangles.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryangles.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryarrows.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryarrows.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarycalc.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarycalc.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduledecorations.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.markings.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.markings.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.markings.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.markings.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathreplacing.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathreplacing.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathreplacing.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathreplacing.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.shapes.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.shapes.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.shapes.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.shapes.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.text.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.text.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.text.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.text.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathmorphing.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathmorphing.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathmorphing.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathmorphing.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryintersections.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryintersections.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryintersections.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryintersections.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryfpu.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryfpu.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryplotmarks.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryplotmarks.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplotmarks.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplotmarks.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryshapes.misc.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryshapes.misc.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshapes.misc.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshapes.misc.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.cfg +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.cfg +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.cfg +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.cfg +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-base.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-base.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-base.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-base.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-utilities.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-utilities.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-utilities.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-utilities.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-BB.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-BB.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-BB.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-BB.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-grids.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-grids.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-grids.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-grids.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-marks.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-marks.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-marks.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-marks.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-text.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-text.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-text.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-text.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-shape.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-shape.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-shape.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-shape.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-axesmin.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-axesmin.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-axesmin.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-axesmin.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-colors.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-colors.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-colors.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-colors.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-math.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-math.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-math.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-math.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-compass.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-compass.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-compass.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-compass.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles-by.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles-by.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles-by.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles-by.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-angles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-angles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-angles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-angles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-circles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-circles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-circles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-circles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-lines.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-lines.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-lines.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-lines.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-polygons.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-polygons.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-polygons.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-polygons.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-triangles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-triangles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-triangles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-triangles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-lines.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-lines.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-lines.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-lines.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-by.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-by.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-by.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-by.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-rnd.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-rnd.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-rnd.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-rnd.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-spc.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-spc.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-spc.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-spc.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-with.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-with.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-with.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-with.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-polygons.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-polygons.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-polygons.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-polygons.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-protractor.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-protractor.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-protractor.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-protractor.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-sectors.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-sectors.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-sectors.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-sectors.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-show.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-show.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-show.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-show.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarybabel.code.tex +INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarybabel.code.tex diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.log b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.log new file mode 100644 index 00000000..1884fdee --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.log @@ -0,0 +1,1104 @@ +This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.22 (TeX Live 2022/dev/Debian) (preloaded format=pdflatex 2023.9.16) 18 DEC 2023 15:37 +entering extended mode + restricted \write18 enabled. + file:line:error style messages enabled. + %&-line parsing enabled. +**/home/artyom/Code/LaTex/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex +(/home/artyom/Code/LaTex/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex +LaTeX2e <2021-11-15> patch level 1 +L3 programming layer <2022-01-21> (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls +Document Class: article 2021/10/04 v1.4n Standard LaTeX document class +(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo +File: size12.clo 2021/10/04 v1.4n Standard LaTeX file (size option) +) +\c@part=\count185 +\c@section=\count186 +\c@subsection=\count187 +\c@subsubsection=\count188 +\c@paragraph=\count189 +\c@subparagraph=\count190 +\c@figure=\count191 +\c@table=\count192 +\abovecaptionskip=\skip47 +\belowcaptionskip=\skip48 +\bibindent=\dimen138 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty +Package: cmap 2021/02/06 v1.0j CMap support: searchable PDF +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty +Package: mathtext 2018/04/14 v1.0 transparent text-and-math defs +LaTeX Info: Redefining \halign on input line 121. +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty +Package: fontenc 2021/04/29 v2.0v Standard LaTeX package + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2aenc.def +File: t2aenc.def 2005/09/27 v1.0i Cyrillic encoding definition file +Now handling font encoding T2A ... +... processing UTF-8 mapping file for font encoding T2A + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t2aenc.dfu +File: t2aenc.dfu 2021/06/21 v1.2n UTF-8 support + defining Unicode char U+00A4 (decimal 164) + defining Unicode char U+00A7 (decimal 167) + defining Unicode char U+00AB (decimal 171) + defining Unicode char U+00BB (decimal 187) + defining Unicode char U+0131 (decimal 305) + defining Unicode char U+0237 (decimal 567) + defining Unicode char U+0400 (decimal 1024) + defining Unicode char U+0401 (decimal 1025) + defining Unicode char U+0402 (decimal 1026) + defining Unicode char U+0403 (decimal 1027) + defining Unicode char U+0404 (decimal 1028) + defining Unicode char U+0405 (decimal 1029) + defining Unicode char U+0406 (decimal 1030) + defining Unicode char U+0407 (decimal 1031) + defining Unicode char U+0408 (decimal 1032) + defining Unicode char U+0409 (decimal 1033) + defining Unicode char U+040A (decimal 1034) + defining Unicode char U+040B (decimal 1035) + defining Unicode char U+040C (decimal 1036) + defining Unicode char U+040D (decimal 1037) + defining Unicode char U+040E (decimal 1038) + defining Unicode char U+040F (decimal 1039) + defining Unicode char U+0410 (decimal 1040) + defining Unicode char U+0411 (decimal 1041) + defining Unicode char U+0412 (decimal 1042) + defining Unicode char U+0413 (decimal 1043) + defining Unicode char U+0414 (decimal 1044) + defining Unicode char U+0415 (decimal 1045) + defining Unicode char U+0416 (decimal 1046) + defining Unicode char U+0417 (decimal 1047) + defining Unicode char U+0418 (decimal 1048) + defining Unicode char U+0419 (decimal 1049) + defining Unicode char U+041A (decimal 1050) + defining Unicode char U+041B (decimal 1051) + defining Unicode char U+041C (decimal 1052) + defining Unicode char U+041D (decimal 1053) + defining Unicode char U+041E (decimal 1054) + defining Unicode char U+041F (decimal 1055) + defining Unicode char U+0420 (decimal 1056) + defining Unicode char U+0421 (decimal 1057) + defining Unicode char U+0422 (decimal 1058) + defining Unicode char U+0423 (decimal 1059) + defining Unicode char U+0424 (decimal 1060) + defining Unicode char U+0425 (decimal 1061) + defining Unicode char U+0426 (decimal 1062) + defining Unicode char U+0427 (decimal 1063) + defining Unicode char U+0428 (decimal 1064) + defining Unicode char U+0429 (decimal 1065) + defining Unicode char U+042A (decimal 1066) + defining Unicode char U+042B (decimal 1067) + defining Unicode char U+042C (decimal 1068) + defining Unicode char U+042D (decimal 1069) + defining Unicode char U+042E (decimal 1070) + defining Unicode char U+042F (decimal 1071) + defining Unicode char U+0430 (decimal 1072) + defining Unicode char U+0431 (decimal 1073) + defining Unicode char U+0432 (decimal 1074) + defining Unicode char U+0433 (decimal 1075) + defining Unicode char U+0434 (decimal 1076) + defining Unicode char U+0435 (decimal 1077) + defining Unicode char U+0436 (decimal 1078) + defining Unicode char U+0437 (decimal 1079) + defining Unicode char U+0438 (decimal 1080) + defining Unicode char U+0439 (decimal 1081) + defining Unicode char U+043A (decimal 1082) + defining Unicode char U+043B (decimal 1083) + defining Unicode char U+043C (decimal 1084) + defining Unicode char U+043D (decimal 1085) + defining Unicode char U+043E (decimal 1086) + defining Unicode char U+043F (decimal 1087) + defining Unicode char U+0440 (decimal 1088) + defining Unicode char U+0441 (decimal 1089) + defining Unicode char U+0442 (decimal 1090) + defining Unicode char U+0443 (decimal 1091) + defining Unicode char U+0444 (decimal 1092) + defining Unicode char U+0445 (decimal 1093) + defining Unicode char U+0446 (decimal 1094) + defining Unicode char U+0447 (decimal 1095) + defining Unicode char U+0448 (decimal 1096) + defining Unicode char U+0449 (decimal 1097) + defining Unicode char U+044A (decimal 1098) + defining Unicode char U+044B (decimal 1099) + defining Unicode char U+044C (decimal 1100) + defining Unicode char U+044D (decimal 1101) + defining Unicode char U+044E (decimal 1102) + defining Unicode char U+044F (decimal 1103) + defining Unicode char U+0450 (decimal 1104) + defining Unicode char U+0451 (decimal 1105) + defining Unicode char U+0452 (decimal 1106) + defining Unicode char U+0453 (decimal 1107) + defining Unicode char U+0454 (decimal 1108) + defining Unicode char U+0455 (decimal 1109) + defining Unicode char U+0456 (decimal 1110) + defining Unicode char U+0457 (decimal 1111) + defining Unicode char U+0458 (decimal 1112) + defining Unicode char U+0459 (decimal 1113) + defining Unicode char U+045A (decimal 1114) + defining Unicode char U+045B (decimal 1115) + defining Unicode char U+045C (decimal 1116) + defining Unicode char U+045D (decimal 1117) + defining Unicode char U+045E (decimal 1118) + defining Unicode char U+045F (decimal 1119) + defining Unicode char U+0490 (decimal 1168) + defining Unicode char U+0491 (decimal 1169) + defining Unicode char U+0492 (decimal 1170) + defining Unicode char U+0493 (decimal 1171) + defining Unicode char U+0496 (decimal 1174) + defining Unicode char U+0497 (decimal 1175) + defining Unicode char U+0498 (decimal 1176) + defining Unicode char U+0499 (decimal 1177) + defining Unicode char U+049A (decimal 1178) + defining Unicode char U+049B (decimal 1179) + defining Unicode char U+049C (decimal 1180) + defining Unicode char U+049D (decimal 1181) + defining Unicode char U+04A0 (decimal 1184) + defining Unicode char U+04A1 (decimal 1185) + defining Unicode char U+04A2 (decimal 1186) + defining Unicode char U+04A3 (decimal 1187) + defining Unicode char U+04A4 (decimal 1188) + defining Unicode char U+04A5 (decimal 1189) + defining Unicode char U+04AA (decimal 1194) + defining Unicode char U+04AB (decimal 1195) + defining Unicode char U+04AE (decimal 1198) + defining Unicode char U+04AF (decimal 1199) + defining Unicode char U+04B0 (decimal 1200) + defining Unicode char U+04B1 (decimal 1201) + defining Unicode char U+04B2 (decimal 1202) + defining Unicode char U+04B3 (decimal 1203) + defining Unicode char U+04B6 (decimal 1206) + defining Unicode char U+04B7 (decimal 1207) + defining Unicode char U+04B8 (decimal 1208) + defining Unicode char U+04B9 (decimal 1209) + defining Unicode char U+04BA (decimal 1210) + defining Unicode char U+04BB (decimal 1211) + defining Unicode char U+04C0 (decimal 1216) + defining Unicode char U+04C1 (decimal 1217) + defining Unicode char U+04C2 (decimal 1218) + defining Unicode char U+04D0 (decimal 1232) + defining Unicode char U+04D1 (decimal 1233) + defining Unicode char U+04D2 (decimal 1234) + defining Unicode char U+04D3 (decimal 1235) + defining Unicode char U+04D4 (decimal 1236) + defining Unicode char U+04D5 (decimal 1237) + defining Unicode char U+04D6 (decimal 1238) + defining Unicode char U+04D7 (decimal 1239) + defining Unicode char U+04D8 (decimal 1240) + defining Unicode char U+04D9 (decimal 1241) + defining Unicode char U+04DA (decimal 1242) + defining Unicode char U+04DB (decimal 1243) + defining Unicode char U+04DC (decimal 1244) + defining Unicode char U+04DD (decimal 1245) + defining Unicode char U+04DE (decimal 1246) + defining Unicode char U+04DF (decimal 1247) + defining Unicode char U+04E2 (decimal 1250) + defining Unicode char U+04E3 (decimal 1251) + defining Unicode char U+04E4 (decimal 1252) + defining Unicode char U+04E5 (decimal 1253) + defining Unicode char U+04E6 (decimal 1254) + defining Unicode char U+04E7 (decimal 1255) + defining Unicode char U+04E8 (decimal 1256) + defining Unicode char U+04E9 (decimal 1257) + defining Unicode char U+04EC (decimal 1260) + defining Unicode char U+04ED (decimal 1261) + defining Unicode char U+04EE (decimal 1262) + defining Unicode char U+04EF (decimal 1263) + defining Unicode char U+04F0 (decimal 1264) + defining Unicode char U+04F1 (decimal 1265) + defining Unicode char U+04F2 (decimal 1266) + defining Unicode char U+04F3 (decimal 1267) + defining Unicode char U+04F4 (decimal 1268) + defining Unicode char U+04F5 (decimal 1269) + defining Unicode char U+04F8 (decimal 1272) + defining Unicode char U+04F9 (decimal 1273) + defining Unicode char U+200C (decimal 8204) + defining Unicode char U+2013 (decimal 8211) + defining Unicode char U+2014 (decimal 8212) + defining Unicode char U+2018 (decimal 8216) + defining Unicode char U+2019 (decimal 8217) + defining Unicode char U+201C (decimal 8220) + defining Unicode char U+201D (decimal 8221) + defining Unicode char U+201E (decimal 8222) + defining Unicode char U+2030 (decimal 8240) + defining Unicode char U+2031 (decimal 8241) + defining Unicode char U+2116 (decimal 8470) + defining Unicode char U+2329 (decimal 9001) + defining Unicode char U+232A (decimal 9002) + defining Unicode char U+2423 (decimal 9251) + defining Unicode char U+27E8 (decimal 10216) + defining Unicode char U+27E9 (decimal 10217) + defining Unicode char U+FB00 (decimal 64256) + defining Unicode char U+FB01 (decimal 64257) + defining Unicode char U+FB02 (decimal 64258) + defining Unicode char U+FB03 (decimal 64259) + defining Unicode char U+FB04 (decimal 64260) + defining Unicode char U+FB05 (decimal 64261) + defining Unicode char U+FB06 (decimal 64262) +) +\symT2Aletters=\mathgroup4 +) +LaTeX Font Info: Trying to load font information for T2A+cmr on input line 112. + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2acmr.fd +File: t2acmr.fd 2001/08/11 v1.0a Computer Modern Cyrillic font definitions +)<>) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty +Package: inputenc 2021/02/14 v1.3d Input encoding file +\inpenc@prehook=\toks16 +\inpenc@posthook=\toks17 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty +Package: babel 2022/01/26 3.70 The Babel package +\babel@savecnt=\count193 +\U@D=\dimen139 +\l@unhyphenated=\language87 + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def) +\bbl@readstream=\read2 +\bbl@dirlevel=\count194 + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-english/english.ldf +Language: english 2017/06/06 v3.3r English support from the babel system +Package babel Info: Hyphen rules for 'canadian' set to \l@english +(babel) (\language0). Reported on input line 102. +Package babel Info: Hyphen rules for 'australian' set to \l@ukenglish +(babel) (\language48). Reported on input line 105. +Package babel Info: Hyphen rules for 'newzealand' set to \l@ukenglish +(babel) (\language48). Reported on input line 108. +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-russian/russianb.ldf +File: russianb.ldf 2021/01/10 1.3m Russian support for the Babel system +Language: russian 2020/09/09 1.3k Russian support for the Babel system +Package babel Info: Making " an active character on input line 124. +Package babel Info: Default for \cyrdash is provided on input line 163. +)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty +Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +Package: amsmath 2021/10/15 v2.17l AMS math features +\@mathmargin=\skip49 + +For additional information on amsmath, use the `?' option. +(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty +Package: amstext 2021/08/26 v2.01 AMS text + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions +\@emptytoks=\toks18 +\ex@=\dimen140 +)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols +\pmbraise@=\dimen141 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +Package: amsopn 2021/08/26 v2.02 operator names +) +\inf@bad=\count195 +LaTeX Info: Redefining \frac on input line 234. +\uproot@=\count196 +\leftroot@=\count197 +LaTeX Info: Redefining \overline on input line 399. +\classnum@=\count198 +\DOTSCASE@=\count199 +LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 496. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 499. +LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 620. +\Mathstrutbox@=\box50 +\strutbox@=\box51 +\big@size=\dimen142 +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 743. +\symOMLletters=\mathgroup5 +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 744. +\symOMSletters=\mathgroup6 +\macc@depth=\count266 +\c@MaxMatrixCols=\count267 +\dotsspace@=\muskip16 +\c@parentequation=\count268 +\dspbrk@lvl=\count269 +\tag@help=\toks19 +\row@=\count270 +\column@=\count271 +\maxfields@=\count272 +\andhelp@=\toks20 +\eqnshift@=\dimen143 +\alignsep@=\dimen144 +\tagshift@=\dimen145 +\tagwidth@=\dimen146 +\totwidth@=\dimen147 +\lineht@=\dimen148 +\@envbody=\toks21 +\multlinegap=\skip50 +\multlinetaggap=\skip51 +\mathdisplay@stack=\toks22 +LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2938. +LaTeX Info: Redefining \] on input line 2939. +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support +\symAMSa=\mathgroup7 +\symAMSb=\mathgroup8 +LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \hbar on input line 98. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' +(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106. +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +Package: amssymb 2013/01/14 v3.01 AMS font symbols +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty +Package: amsthm 2020/05/29 v2.20.6 +\thm@style=\toks23 +\thm@bodyfont=\toks24 +\thm@headfont=\toks25 +\thm@notefont=\toks26 +\thm@headpunct=\toks27 +\thm@preskip=\skip52 +\thm@postskip=\skip53 +\thm@headsep=\skip54 +\dth@everypar=\toks28 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty +Package: mathtools 2021/02/02 v1.28 mathematical typesetting tools + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +Package: keyval 2014/10/28 v1.15 key=value parser (DPC) +\KV@toks@=\toks29 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty +Package: calc 2017/05/25 v4.3 Infix arithmetic (KKT,FJ) +\calc@Acount=\count273 +\calc@Bcount=\count274 +\calc@Adimen=\dimen149 +\calc@Bdimen=\dimen150 +\calc@Askip=\skip55 +\calc@Bskip=\skip56 +LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 80. +LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 81. +\calc@Ccount=\count275 +\calc@Cskip=\skip57 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty +Package: mhsetup 2021/03/18 v1.4 programming setup (MH) +) +\g_MT_multlinerow_int=\count276 +\l_MT_multwidth_dim=\dimen151 +\origjot=\skip58 +\l_MT_shortvdotswithinadjustabove_dim=\dimen152 +\l_MT_shortvdotswithinadjustbelow_dim=\dimen153 +\l_MT_above_intertext_sep=\dimen154 +\l_MT_below_intertext_sep=\dimen155 +\l_MT_above_shortintertext_sep=\dimen156 +\l_MT_below_shortintertext_sep=\dimen157 +\xmathstrut@box=\box52 +\xmathstrut@dim=\dimen158 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty +Package: bbm 1999/03/15 V 1.2 provides fonts for set symbols - TH +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbbm' in version `bold' +(Font) U/bbm/m/n --> U/bbm/bx/n on input line 33. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbbmss' in version `bold' +(Font) U/bbmss/m/n --> U/bbmss/bx/n on input line 35. +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty +Package: icomma 2002/03/10 v2.0 (WaS) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty +Package: centernot 2016/05/16 v1.4 Centers the not symbol horizontally (HO) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty +Package: stmaryrd 1994/03/03 St Mary's Road symbol package +\symstmry=\mathgroup9 +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `stmry' in version `bold' +(Font) U/stmry/m/n --> U/stmry/b/n on input line 89. +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +Package: graphicx 2021/09/16 v1.2d Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty +Package: graphics 2021/03/04 v1.4d Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty +Package: trig 2021/08/11 v1.11 sin cos tan (DPC) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg +File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration +) +Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 107. + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def +File: pdftex.def 2020/10/05 v1.2a Graphics/color driver for pdftex +)) +\Gin@req@height=\dimen159 +\Gin@req@width=\dimen160 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty +\wrapoverhang=\dimen161 +\WF@size=\dimen162 +\c@WF@wrappedlines=\count277 +\WF@box=\box53 +\WF@everypar=\toks30 +Package: wrapfig 2003/01/31 v 3.6 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty +Package: array 2021/10/04 v2.5f Tabular extension package (FMi) +\col@sep=\dimen163 +\ar@mcellbox=\box54 +\extrarowheight=\dimen164 +\NC@list=\toks31 +\extratabsurround=\skip59 +\backup@length=\skip60 +\ar@cellbox=\box55 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty +Package: tabularx 2020/01/15 v2.11c `tabularx' package (DPC) +\TX@col@width=\dimen165 +\TX@old@table=\dimen166 +\TX@old@col=\dimen167 +\TX@target=\dimen168 +\TX@delta=\dimen169 +\TX@cols=\count278 +\TX@ftn=\toks32 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty +Package: tabulary 2014/06/11 v0.10 tabulary package (DPC) +\TY@count=\count279 +\TY@linewidth=\dimen170 +\tymin=\dimen171 +\tymax=\dimen172 +\TY@tablewidth=\dimen173 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty +Package: booktabs 2020/01/12 v1.61803398 Publication quality tables +\heavyrulewidth=\dimen174 +\lightrulewidth=\dimen175 +\cmidrulewidth=\dimen176 +\belowrulesep=\dimen177 +\belowbottomsep=\dimen178 +\aboverulesep=\dimen179 +\abovetopsep=\dimen180 +\cmidrulesep=\dimen181 +\cmidrulekern=\dimen182 +\defaultaddspace=\dimen183 +\@cmidla=\count280 +\@cmidlb=\count281 +\@aboverulesep=\dimen184 +\@belowrulesep=\dimen185 +\@thisruleclass=\count282 +\@lastruleclass=\count283 +\@thisrulewidth=\dimen186 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty +Package: longtable 2021-09-01 v4.17 Multi-page Table package (DPC) +\LTleft=\skip61 +\LTright=\skip62 +\LTpre=\skip63 +\LTpost=\skip64 +\LTchunksize=\count284 +\LTcapwidth=\dimen187 +\LT@head=\box56 +\LT@firsthead=\box57 +\LT@foot=\box58 +\LT@lastfoot=\box59 +\LT@gbox=\box60 +\LT@cols=\count285 +\LT@rows=\count286 +\c@LT@tables=\count287 +\c@LT@chunks=\count288 +\LT@p@ftn=\toks33 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty +Package: multirow 2021/03/15 v2.8 Span multiple rows of a table +\multirow@colwidth=\skip65 +\multirow@cntb=\count289 +\multirow@dima=\skip66 +\bigstrutjot=\dimen188 +) +\c@theorem=\count290 +\c@lemma=\count291 +\c@proposition=\count292 +\c@definition=\count293 + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty +Package: extsizes 1996/10/08 v1.0 Non Standard LaTeX Package + + +Package ExtSizes Warning: It is better to use one of the extsizes classes, + if you can. + +(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo +File: size12.clo 2021/10/04 v1.4n Standard LaTeX file (size option) +LaTeX Info: Command `\normalsize' is already robust on input line 56. +LaTeX Info: Redefining \small on input line 58. +LaTeX Info: Redefining \footnotesize on input line 69. +LaTeX Info: Redefining \scriptsize on input line 80. +LaTeX Info: Redefining \tiny on input line 81. +LaTeX Info: Redefining \large on input line 82. +LaTeX Info: Redefining \Large on input line 83. +LaTeX Info: Redefining \LARGE on input line 84. +LaTeX Info: Redefining \huge on input line 85. +)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty +Package: geometry 2020/01/02 v5.9 Page Geometry + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty +Package: ifvtex 2019/10/25 v1.7 ifvtex legacy package. Use iftex instead. + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty +Package: iftex 2020/03/06 v1.0d TeX engine tests +)) +\Gm@cnth=\count294 +\Gm@cntv=\count295 +\c@Gm@tempcnt=\count296 +\Gm@bindingoffset=\dimen189 +\Gm@wd@mp=\dimen190 +\Gm@odd@mp=\dimen191 +\Gm@even@mp=\dimen192 +\Gm@layoutwidth=\dimen193 +\Gm@layoutheight=\dimen194 +\Gm@layouthoffset=\dimen195 +\Gm@layoutvoffset=\dimen196 +\Gm@dimlist=\toks34 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty +Package: setspace 2011/12/19 v6.7a set line spacing +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty +Package: enumitem 2019/06/20 v3.9 Customized lists +\labelindent=\skip67 +\enit@outerparindent=\dimen197 +\enit@toks=\toks35 +\enit@inbox=\box61 +\enit@count@id=\count297 +\enitdp@description=\count298 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty +Package: multicol 2021/10/28 v1.9b multicolumn formatting (FMi) +\c@tracingmulticols=\count299 +\mult@box=\box62 +\multicol@leftmargin=\dimen198 +\c@unbalance=\count300 +\c@collectmore=\count301 +\doublecol@number=\count302 +\multicoltolerance=\count303 +\multicolpretolerance=\count304 +\full@width=\dimen199 +\page@free=\dimen256 +\premulticols=\dimen257 +\postmulticols=\dimen258 +\multicolsep=\skip68 +\multicolbaselineskip=\skip69 +\partial@page=\box63 +\last@line=\box64 +\maxbalancingoverflow=\dimen259 +\mult@rightbox=\box65 +\mult@grightbox=\box66 +\mult@firstbox=\box67 +\mult@gfirstbox=\box68 +\@tempa=\box69 +\@tempa=\box70 +\@tempa=\box71 +\@tempa=\box72 +\@tempa=\box73 +\@tempa=\box74 +\@tempa=\box75 +\@tempa=\box76 +\@tempa=\box77 +\@tempa=\box78 +\@tempa=\box79 +\@tempa=\box80 +\@tempa=\box81 +\@tempa=\box82 +\@tempa=\box83 +\@tempa=\box84 +\@tempa=\box85 +\@tempa=\box86 +\@tempa=\box87 +\@tempa=\box88 +\@tempa=\box89 +\@tempa=\box90 +\@tempa=\box91 +\@tempa=\box92 +\@tempa=\box93 +\@tempa=\box94 +\@tempa=\box95 +\@tempa=\box96 +\@tempa=\box97 +\@tempa=\box98 +\@tempa=\box99 +\@tempa=\box100 +\@tempa=\box101 +\@tempa=\box102 +\@tempa=\box103 +\@tempa=\box104 +\c@minrows=\count305 +\c@columnbadness=\count306 +\c@finalcolumnbadness=\count307 +\last@try=\dimen260 +\multicolovershoot=\dimen261 +\multicolundershoot=\dimen262 +\mult@nat@firstbox=\box105 +\colbreak@box=\box106 +\mc@col@check@num=\count308 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty +Package: soulutf8 2019/12/15 v1.2 Permit use of UTF-8 characters in soul (HO) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty +Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf) +\SOUL@word=\toks36 +\SOUL@lasttoken=\toks37 +\SOUL@cmds=\toks38 +\SOUL@buffer=\toks39 +\SOUL@token=\toks40 +\SOUL@spaceskip=\skip70 +\SOUL@ttwidth=\dimen263 +\SOUL@uldp=\dimen264 +\SOUL@ulht=\dimen265 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty +Package: infwarerr 2019/12/03 v1.5 Providing info/warning/error messages (HO) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty +Package: etexcmds 2019/12/15 v1.7 Avoid name clashes with e-TeX commands (HO) +)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty +Package: titleps 2021/07/05 v2.14 Page styles +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +Package: hyperref 2021-06-07 v7.00m Hypertext links for LaTeX + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty +Package: ltxcmds 2020-05-10 v1.25 LaTeX kernel commands for general use (HO) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty +Package: pdftexcmds 2020-06-27 v0.33 Utility functions of pdfTeX for LuaTeX (HO) +Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available. +Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available. +Package pdftexcmds Info: \pdfdraftmode found. +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty +Package: kvsetkeys 2019/12/15 v1.18 Key value parser (HO) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty +Package: kvdefinekeys 2019-12-19 v1.6 Define keys (HO) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty +Package: pdfescape 2019/12/09 v1.15 Implements pdfTeX's escape features (HO) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty +Package: hycolor 2020-01-27 v1.10 Color options for hyperref/bookmark (HO) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty +Package: letltxmacro 2019/12/03 v1.6 Let assignment for LaTeX macros (HO) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty +Package: auxhook 2019-12-17 v1.6 Hooks for auxiliary files (HO) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty +Package: kvoptions 2020-10-07 v3.14 Key value format for package options (HO) +) +\@linkdim=\dimen266 +\Hy@linkcounter=\count309 +\Hy@pagecounter=\count310 + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def +File: pd1enc.def 2021-06-07 v7.00m Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +Now handling font encoding PD1 ... +... no UTF-8 mapping file for font encoding PD1 +\symPD1letters=\mathgroup10 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref-langpatches.def +File: hyperref-langpatches.def 2021-06-07 v7.00m Hyperref: patches for babel languages +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty +Package: intcalc 2019/12/15 v1.3 Expandable calculations with integers (HO) +) +\Hy@SavedSpaceFactor=\count311 + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def +File: puenc.def 2021-06-07 v7.00m Hyperref: PDF Unicode definition (HO) +Now handling font encoding PU ... +... no UTF-8 mapping file for font encoding PU +\symPUletters=\mathgroup11 +) +Package hyperref Info: Option `unicode' set `true' on input line 3167. +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 4192. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 4197. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 4200. +Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 4207. +Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 4212. +Package hyperref Info: Implicit mode ON; LaTeX internals redefined. +Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 4445. +\c@Hy@tempcnt=\count312 + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty +\Urlmuskip=\muskip17 +Package: url 2013/09/16 ver 3.4 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 4804. +\XeTeXLinkMargin=\dimen267 + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty +Package: bitset 2019/12/09 v1.3 Handle bit-vector datatype (HO) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty +Package: bigintcalc 2019/12/15 v1.5 Expandable calculations on big integers (HO) +)) +\Fld@menulength=\count313 +\Field@Width=\dimen268 +\Fld@charsize=\dimen269 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 6076. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 6081. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 6084. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 6091. +Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 6096. +Package hyperref Info: Link coloring with OCG OFF on input line 6101. +Package hyperref Info: PDF/A mode OFF on input line 6106. +LaTeX Info: Redefining \ref on input line 6146. +LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 6150. + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty +Package: atbegshi-ltx 2021/01/10 v1.0c Emulation of the original atbegshi +package with kernel methods +) +\Hy@abspage=\count314 +\c@Item=\count315 +\c@Hfootnote=\count316 +) +Package hyperref Info: Driver (autodetected): hpdftex. + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +File: hpdftex.def 2021-06-07 v7.00m Hyperref driver for pdfTeX + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty +Package: atveryend-ltx 2020/08/19 v1.0a Emulation of the original atveryend package +with kernel methods +) +\Fld@listcount=\count317 +\c@bookmark@seq@number=\count318 + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty +Package: rerunfilecheck 2019/12/05 v1.9 Rerun checks for auxiliary files (HO) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty +Package: uniquecounter 2019/12/15 v1.4 Provide unlimited unique counter (HO) +) +Package uniquecounter Info: New unique counter `rerunfilecheck' on input line 286. +) +\Hy@SectionHShift=\skip71 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty +Package: xcolor 2021/10/31 v2.13 LaTeX color extensions (UK) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg +File: color.cfg 2016/01/02 v1.6 sample color configuration +) +Package xcolor Info: Package option `usenames' ignored on input line 218. +Package xcolor Info: Driver file: pdftex.def on input line 227. + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty +Package: colortbl 2020/01/04 v1.0e Color table columns (DPC) +\everycr=\toks41 +\minrowclearance=\skip72 +) +\rownum=\count319 +Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1352. +Package xcolor Info: Model `hsb' substituted by `rgb' on input line 1356. +Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1368. +Package xcolor Info: Model `HTML' substituted by `rgb' on input line 1370. +Package xcolor Info: Model `Hsb' substituted by `hsb' on input line 1371. +Package xcolor Info: Model `tHsb' substituted by `hsb' on input line 1372. +Package xcolor Info: Model `HSB' substituted by `hsb' on input line 1373. +Package xcolor Info: Model `Gray' substituted by `gray' on input line 1374. +Package xcolor Info: Model `wave' substituted by `hsb' on input line 1375. + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/dvipsnam.def +File: dvipsnam.def 2016/06/17 v3.0m Driver-dependent file (DPC,SPQR) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/svgnam.def +File: svgnam.def 2021/10/31 v2.13 Predefined colors according to SVG 1.1 (UK) +)) +Package hyperref Info: Option `unicode' set `true' on input line 184. +Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 184. + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex +\pgfutil@everybye=\toks42 +\pgfutil@tempdima=\dimen270 +\pgfutil@tempdimb=\dimen271 + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.tex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def +\pgfutil@abb=\box107 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex) +Package: pgfrcs 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +)) +Package: pgf 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex +Package: pgfsys 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex +\pgfkeys@pathtoks=\toks43 +\pgfkeys@temptoks=\toks44 + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.tex +\pgfkeys@tmptoks=\toks45 +)) +\pgf@x=\dimen272 +\pgf@y=\dimen273 +\pgf@xa=\dimen274 +\pgf@ya=\dimen275 +\pgf@xb=\dimen276 +\pgf@yb=\dimen277 +\pgf@xc=\dimen278 +\pgf@yc=\dimen279 +\pgf@xd=\dimen280 +\pgf@yd=\dimen281 +\w@pgf@writea=\write3 +\r@pgf@reada=\read3 +\c@pgf@counta=\count320 +\c@pgf@countb=\count321 +\c@pgf@countc=\count322 +\c@pgf@countd=\count323 +\t@pgf@toka=\toks46 +\t@pgf@tokb=\toks47 +\t@pgf@tokc=\toks48 +\pgf@sys@id@count=\count324 + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg +File: pgf.cfg 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +) +Driver file for pgf: pgfsys-pdftex.def + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-pdftex.def +File: pgfsys-pdftex.def 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.def +File: pgfsys-common-pdf.def 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +))) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex +File: pgfsyssoftpath.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +\pgfsyssoftpath@smallbuffer@items=\count325 +\pgfsyssoftpath@bigbuffer@items=\count326 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex +File: pgfsysprotocol.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex +Package: pgfcore 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex +\pgfmath@dimen=\dimen282 +\pgfmath@count=\count327 +\pgfmath@box=\box108 +\pgfmath@toks=\toks49 +\pgfmath@stack@operand=\toks50 +\pgfmath@stack@operation=\toks51 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonometric.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerarithmetics.code.tex))) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex +\c@pgfmathroundto@lastzeros=\count328 +)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.tex +File: pgfcorepoints.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +\pgf@picminx=\dimen283 +\pgf@picmaxx=\dimen284 +\pgf@picminy=\dimen285 +\pgf@picmaxy=\dimen286 +\pgf@pathminx=\dimen287 +\pgf@pathmaxx=\dimen288 +\pgf@pathminy=\dimen289 +\pgf@pathmaxy=\dimen290 +\pgf@xx=\dimen291 +\pgf@xy=\dimen292 +\pgf@yx=\dimen293 +\pgf@yy=\dimen294 +\pgf@zx=\dimen295 +\pgf@zy=\dimen296 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.code.tex +File: pgfcorepathconstruct.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +\pgf@path@lastx=\dimen297 +\pgf@path@lasty=\dimen298 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code.tex +File: pgfcorepathusage.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +\pgf@shorten@end@additional=\dimen299 +\pgf@shorten@start@additional=\dimen300 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.tex +File: pgfcorescopes.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +\pgfpic=\box109 +\pgf@hbox=\box110 +\pgf@layerbox@main=\box111 +\pgf@picture@serial@count=\count329 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.code.tex +File: pgfcoregraphicstate.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +\pgflinewidth=\dimen301 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformations.code.tex +File: pgfcoretransformations.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +\pgf@pt@x=\dimen302 +\pgf@pt@y=\dimen303 +\pgf@pt@temp=\dimen304 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex +File: pgfcorequick.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.tex +File: pgfcoreobjects.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing.code.tex +File: pgfcorepathprocessing.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.tex +File: pgfcorearrows.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +\pgfarrowsep=\dimen305 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex +File: pgfcoreshade.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +\pgf@max=\dimen306 +\pgf@sys@shading@range@num=\count330 +\pgf@shadingcount=\count331 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex +File: pgfcoreimage.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.tex +File: pgfcoreexternal.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +\pgfexternal@startupbox=\box112 +)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.tex +File: pgfcorelayers.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.code.tex +File: pgfcoretransparency.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.tex +File: pgfcorepatterns.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex +File: pgfcorerdf.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +))) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.tex +File: pgfmoduleshapes.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +\pgfnodeparttextbox=\box113 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex +File: pgfmoduleplot.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty +Package: pgfcomp-version-0-65 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +\pgf@nodesepstart=\dimen307 +\pgf@nodesepend=\dimen308 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty +Package: pgfcomp-version-1-18 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex +Package: pgffor 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex) +\pgffor@iter=\dimen309 +\pgffor@skip=\dimen310 +\pgffor@stack=\toks52 +\pgffor@toks=\toks53 +)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex +Package: tikz 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.code.tex +File: pgflibraryplothandlers.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +\pgf@plot@mark@count=\count332 +\pgfplotmarksize=\dimen311 +) +\tikz@lastx=\dimen312 +\tikz@lasty=\dimen313 +\tikz@lastxsaved=\dimen314 +\tikz@lastysaved=\dimen315 +\tikz@lastmovetox=\dimen316 +\tikz@lastmovetoy=\dimen317 +\tikzleveldistance=\dimen318 +\tikzsiblingdistance=\dimen319 +\tikz@figbox=\box114 +\tikz@figbox@bg=\box115 +\tikz@tempbox=\box116 +\tikz@tempbox@bg=\box117 +\tikztreelevel=\count333 +\tikznumberofchildren=\count334 +\tikznumberofcurrentchild=\count335 +\tikz@fig@count=\count336 + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex +File: pgfmodulematrix.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +\pgfmatrixcurrentrow=\count337 +\pgfmatrixcurrentcolumn=\count338 +\pgf@matrix@numberofcolumns=\count339 +) +\tikz@expandcount=\count340 + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarytopaths.code.tex +File: tikzlibrarytopaths.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +))) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty +Package: tikz-cd 2021/05/04 v1.0 Commutative diagrams with TikZ + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/tikz-cd/tikzlibrarycd.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarymatrix.code.tex +File: tikzlibrarymatrix.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryquotes.code.tex +File: tikzlibraryquotes.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.meta.code.tex +File: pgflibraryarrows.meta.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +\pgfarrowinset=\dimen320 +\pgfarrowlength=\dimen321 +\pgfarrowwidth=\dimen322 +\pgfarrowlinewidth=\dimen323 +))) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty +2022/01/19 4.03 tkz-euclide.sty +Package: tkz-euclide 2022/01/19 4.03 for pure Euclidean Geometry +(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryangles.code.tex +File: tikzlibraryangles.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryarrows.code.tex +File: tikzlibraryarrows.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.code.tex +File: pgflibraryarrows.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +\arrowsize=\dimen324 +)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarycalc.code.tex +File: tikzlibrarycalc.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduledecorations.code.tex +\pgfdecoratedcompleteddistance=\dimen325 +\pgfdecoratedremainingdistance=\dimen326 +\pgfdecoratedinputsegmentcompleteddistance=\dimen327 +\pgfdecoratedinputsegmentremainingdistance=\dimen328 +\pgf@decorate@distancetomove=\dimen329 +\pgf@decorate@repeatstate=\count341 +\pgfdecorationsegmentamplitude=\dimen330 +\pgfdecorationsegmentlength=\dimen331 +) +\tikz@lib@dec@box=\box118 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.markings.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.markings.code.tex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathreplacing.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathreplacing.code.tex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.shapes.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.shapes.code.tex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.text.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.text.code.tex +\pgf@lib@dec@text@box=\box119 +) +\tikz@lib@dec@te@box=\box120 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathmorphing.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathmorphing.code.tex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryintersections.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryintersections.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryfpu.code.tex) +\pgf@intersect@solutions=\count342 +)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryplotmarks.code.tex +File: tikzlibraryplotmarks.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplotmarks.code.tex +File: pgflibraryplotmarks.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryshapes.misc.code.tex +File: tikzlibraryshapes.misc.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshapes.misc.code.tex +File: pgflibraryshapes.misc.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty +Package: expl3 2022-01-21 L3 programming layer (loader) + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def +File: l3backend-pdftex.def 2022-01-12 L3 backend support: PDF output (pdfTeX) +\l__color_backend_stack_int=\count343 +\l__pdf_internal_box=\box121 +)) +Package: xfp 2022-01-12 L3 Floating point unit +) +\tkzRadius=\dimen332 +\tkzLength=\dimen333 +\tkz@radi=\dimen334 +\tkz@ax=\dimen335 +\tkz@ay=\dimen336 +\tkz@bx=\dimen337 +\tkz@by=\dimen338 +\tkz@cx=\dimen339 +\tkz@cy=\dimen340 +\tkz@dx=\dimen341 +\tkz@dy=\dimen342 +\tkz@cntmk=\count344 + +Local configuration file tkz-euclide.cfg found and used +(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.cfg +2022/01/19 4.03 tkz-euclide.cfg +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-base.tex +2022/01/19 4.03 tkz-tools-eu-base.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-utilities.tex +2022/01/19 4.03 tkz-tools-eu-utilities.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-BB.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-BB.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-grids.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-grids.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-marks.tex +2022/01/19 4.03 tkz-lib-eu-marks.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-text.tex +2022/01/19 4.03 tkz-tools-eu-text.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-shape.tex +2022/01/19 4.03 tkz-lib-eu-shape.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-axesmin.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-axesmin +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-colors.tex +2022/01/19 4.03 tkz-tools-eu-colors +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-points.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-math.tex +2022/01/19 4.03 tkz-tools-eu-math.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex +2022/01/19 4.03 tkz-tools-intersections.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex +2022/01/19 4.03 tkz-tools-angles.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-compass.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-compass.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-circles.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles-by.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-circles.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-angles.tex +2022/01/19 4.03 tkz-tool-eu-angles.tex +\tkz@arcsize=\dimen343 +\tkz@fillsize=\dimen344 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-circles.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-draw-circles.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-lines.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-draw-lines.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-polygons.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-polygons.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-triangles.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-draw-triangles.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-lines.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-lines.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-by.tex +2022/01/19 4.03 tkz-tools-el-points-by.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-rnd.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-el-points-rnd.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-spc.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-el-points.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-with.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-el-points-with.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-polygons.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-polygons.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-protractor.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-protractor.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-sectors.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-sectors.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-show.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-show.tex +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex +2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-triangles.tex +)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty +Package: stackengine 2021/07/22 v4.11\ Stacking text and objects in convenient ways + (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty +Package: etoolbox 2020/10/05 v2.5k e-TeX tools for LaTeX (JAW) +\etb@tempcnta=\count345 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.tex +\loi_cnt_foreach_nest=\count346 +\loi_nestcnt=\count347 +) +Package: listofitems 2019/08/21 v1.63 Grab items in lists using user-specified sep char (CT) +) +\c@@stackindex=\count348 +\@boxshift=\skip73 +\stack@tmplength=\skip74 +\temp@stkl=\skip75 +\@stackedboxwidth=\skip76 +\@addedbox=\box122 +\@anchorbox=\box123 +\@insetbox=\box124 +\se@backgroundbox=\box125 +\stackedbox=\box126 +\@centerbox=\box127 +\c@ROWcellindex@=\count349 +) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarybabel.code.tex +File: tikzlibrarybabel.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a) +)) +! Emergency stop. +<*> ...Tex/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex + +*** (job aborted, no legal \end found) + + +Here is how much of TeX's memory you used: + 30712 strings out of 478287 + 608391 string characters out of 5849289 + 873148 words of memory out of 5000000 + 48280 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 470672 words of font info for 31 fonts, out of 8000000 for 9000 + 1141 hyphenation exceptions out of 8191 + 84i,0n,85p,512b,99s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s +! ==> Fatal error occurred, no output PDF file produced! diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex new file mode 100644 index 00000000..ae56f727 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex @@ -0,0 +1,191 @@ +\documentclass[a4paper,12pt]{article} + +%%% Нумерация глав, начиная с 0 +\setcounter{section}{-1} + +%%% Работа с русским языком +\usepackage{cmap} % поиск в PDF +\usepackage{mathtext} % русские буквы в формулах +\usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка +\usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста +\usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы +\usepackage{indentfirst} % красная строка в первом абзаце +\frenchspacing % равные пробелы между словами и предложениями + +%%% Дополнительная работа с математикой +\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % пакеты AMS +\usepackage{bbm} % Blackboard bold для цифр +\usepackage{icomma} % "Умная" запятая + +%%% Свои символы и команды для математики, обозначений +\usepackage{centernot} % центрированное зачеркивание символа +\usepackage{stmaryrd} % некоторые спецсимволы + +\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}} +\renewcommand{\kappa}{\ensuremath{\varkappa}} +\renewcommand{\le}{\ensuremath{\leqslant}} +\renewcommand{\leq}{\ensuremath{\leqslant}} +\renewcommand{\ge}{\ensuremath{\geqslant}} +\renewcommand{\geq}{\ensuremath{\geqslant}} +\renewcommand{\emptyset}{\ensuremath{\varnothing}} + +\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} +\DeclareMathOperator{\Arg}{Arg} +\DeclareMathOperator{\Ln}{Ln} +\DeclareMathOperator{\re}{Re} +\DeclareMathOperator{\im}{Im} +\DeclareMathOperator{\Arsh}{Arsh} +\DeclareMathOperator{\Int}{int} +\DeclareMathOperator{\cl}{cl} + +\newcommand{\N}{\mathbb{N}} +\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} +\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} +\newcommand{\R}{\mathbb{R}} +\newcommand{\Cm}{\mathbb{C}} +\newcommand{\F}{\mathbb{F}} +\newcommand{\id}{\mathrm{id}} +\newcommand{\goth}{\mathfrak} +\newcommand{\mc}{\mathring} +\newcommand{\eps}{\varepsilon} +\newcommand{\veps}{\epsilon} +\newcommand{\vdelta}{\partial} +\newcommand{\Tau}{\mathcal{T}} +\newcommand{\dvec}[1]{\Delta\vec{#1}} +\newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}} +\newcommand{\liml}{\lim\limits} +\newcommand{\suml}{\sum\limits} +\newcommand{\prodl}{\prod\limits} +\newcommand{\such}{:\ } +\newcommand{\range}[1]{\{1, \ldots, #1\}} + +\newcommand{\System}[1]{ + \left\{\begin{aligned}#1\end{aligned}\right. +} +\newcommand{\Root}[2]{ + \left\{\!\sqrt[#1]{#2}\right\} +} +\newcommand{\Matrix}[1]{ + \left(\begin{aligned}#1\end{aligned}\right) +} +\newcommand{\Det}[1]{ + \left|\begin{aligned}#1\end{aligned}\right| +} +\newcommand{\trbr}[1]{ + \left\langle#1\right\rangle +} + +\renewcommand\labelitemi{$\triangleright$} + +\let\bs\backslash +\let\lra\Leftrightarrow +\let\ra\rightarrow +\let\rra\rightrightarrows +\let\Ra\Rightarrow +\let\La\Leftarrow +\let\emb\hookrightarrow +\let\tr\triangle + +\newcommand{\dse}{\displaystyle} + +%%% Перенос знаков в формулах (по Львовскому) +\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}} + +%%% Работа с картинками +\usepackage{graphicx} % Для вставки рисунков +\setlength\fboxsep{3pt} % Отступ рамки \fbox{} от рисунка +\setlength\fboxrule{1pt} % Толщина линий рамки \fbox{} +\usepackage{wrapfig} % Обтекание рисунков текстом + +%%% Работа с таблицами +\usepackage{array,tabularx,tabulary,booktabs} % Дополнительная работа с таблицами +\usepackage{longtable} % Длинные таблицы +\usepackage{multirow} % Слияние строк в таблице + +%%% Теоремы +\theoremstyle{plain} +\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection] +\newtheorem{lemma}{Лемма}[subsection] +\newtheorem{proposition}{Утверждение}[subsection] +\newtheorem*{exercise}{Упражнение} + +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{definition}{Определение}[subsection] +\newtheorem*{adefinition}{Определение(не материал лектора)} +\newtheorem*{corollary}{Следствие} +\newtheorem*{addition}{Дополнение} +\newtheorem*{note}{Замечание} +\newtheorem*{anote}{Замечание автора} +\newtheorem*{reminder}{Напоминание} +\newtheorem*{example}{Пример} +\newtheorem*{examples}{Примеры} + +\theoremstyle{remark} +\newtheorem*{idea}{Идея доказательства} +\newtheorem*{solution}{Решение} + +%%% Оформление страницы +\usepackage{extsizes} % Возможность сделать 14-й шрифт +\usepackage{geometry} % Простой способ задавать поля +\usepackage{setspace} % Интерлиньяж +\usepackage{enumitem} % Настройка окружений itemize и enumerate +\setlist{leftmargin=25pt} % Отступы в itemize и enumerate + +\geometry{top=25mm} % Поля сверху страницы +\geometry{bottom=30mm} % Поля снизу страницы +\geometry{left=20mm} % Поля слева страницы +\geometry{right=20mm} % Поля справа страницы + +\setlength\parindent{15pt} % Устанавливает длину красной строки 15pt +\linespread{1.3} % Коэффициент межстрочного интервала +%\setlength{\parskip}{0.5em} % Вертикальный интервал между абзацами +%\setcounter{secnumdepth}{0} % Отключение нумерации разделов +%\setcounter{section}{-1} % Нумерация секций с нуля +\usepackage{multicol} % Для текста в нескольких колонках +\usepackage{soulutf8} % Модификаторы начертания + +%%% Шаблонная информация для титульного листа +\newcommand{\CourseName}{Введение в математический анализ} +\newcommand{\FullCourseNameFirstPart}{\so{ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ}} +\newcommand{\SemesterNumber}{I} +\newcommand{\LecturerInitials}{Лукашов Алексей Леонидович} +\newcommand{\CourseDate}{осень 2023} +\newcommand{\GithubLink}{https://github.com/MIPT-Group/Lectures_Tex_Club} + +%%% Колонтитулы +\usepackage{titleps} +\newpagestyle{main}{ + \setheadrule{0.4pt} + \sethead{\CourseName}{}{\hyperlink{intro}{\;Назад к содержанию}} + \setfootrule{0.4pt} + \setfoot{ФПМИ МФТИ, \CourseDate}{}{\thepage} +} +\pagestyle{main} + +%%% Нумерация уравнений +\makeatletter +\def\eqref{\@ifstar\@eqref\@@eqref} +\def\@eqref#1{\textup{\tagform@{\ref*{#1}}}} +\def\@@eqref#1{\textup{\tagform@{\ref{#1}}}} +\makeatother % \eqref* без гиперссылки +\numberwithin{equation}{section} % Нумерация вида (номер_секции).(номер_уравнения) +\mathtoolsset{showonlyrefs=false} % Номера только у формул с \eqref{} в тексте. + +%%% Гиперссылки +\usepackage{hyperref} +\usepackage[usenames,dvipsnames,svgnames,table,rgb]{xcolor} +\hypersetup{ + unicode=true, % русские буквы в раздела PDF + colorlinks=true, % Цветные ссылки вместо ссылок в рамках + linkcolor=black!15!blue, % Внутренние ссылки + citecolor=green, % Ссылки на библиографию + filecolor=magenta, % Ссылки на файлы + urlcolor=NavyBlue, % Ссылки на URL +} + +%%% Графика +\usepackage{tikz} % Графический пакет tikz +\usepackage{tikz-cd} % Коммутативные диаграммы +\usepackage{tkz-euclide} % Геометрия +\usepackage{stackengine} % Многострочные тексты в картинках +\usetikzlibrary{angles, babel, quotes} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/title_page.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/title_page.tex new file mode 100644 index 00000000..991b9a87 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/title_page.tex @@ -0,0 +1,35 @@ +\begin{titlepage} + \clearpage\thispagestyle{empty} + \centering + + \textbf{Московский физико-технический институт \\ Физтех-школа прикладной математики и информатики} + \vspace{33ex} + + {\textbf{\FullCourseNameFirstPart}} + + \SemesterNumber\ СЕМЕСТР + \vspace{1ex} + + Лектор: \textit{\LecturerInitials} + + \includegraphics[width=0.4\textwidth]{images/logo_ltc.png} + + \begin{flushright} + \noindent + + + Авторы: + + TeX 2021: \href{https://vk.com/wolfawi}{\textit{Даниил Максимов}} + + reTeX 2023: \href{https://vk.com/craftycraftz}{\textit{Артём Хафизов}} + + \href{https://vk.com/nickzu}{\textit{Николай Зуев}} + + \href{\GithubLink}{\textit{Проект на Github}} + \end{flushright} + + \vfill + \CourseDate + \pagebreak +\end{titlepage}