From fcb7554c43371c210e625e03995bde2062189ace Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Valeriy Zainullin Date: Thu, 23 Nov 2023 12:56:39 +0300 Subject: [PATCH] Progress lecture 3. --- .../TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture2.tex | 2 +- .../TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture3.tex | 73 ++++++++++++++++++- 2 files changed, 73 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture2.tex b/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture2.tex index f8e69f3c..f1eb2bf5 100644 --- a/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture2.tex +++ b/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture2.tex @@ -327,4 +327,4 @@ \section{Степенные ряды и элементарные функции} $\cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$, $\sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$. \end{definition} -{\color{red} Определение натурального логарифма комплексного числа.} \ No newline at end of file +{\color{red} Определение натурального логарифма комплексного числа. Вычисление производных.} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture3.tex b/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture3.tex index 5891c732..941e3033 100644 --- a/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture3.tex +++ b/Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture3.tex @@ -2,6 +2,8 @@ \section{Интегрирование} +На лекции по ТФКП мы не определяли снова, что такое кривая. Дальше идет напоминание материала первого курса матана. + \begin{definition} Пусть $\alpha, \beta \in \R$, $\alpha \leq \beta$, $z: [\alpha, \beta] \to \Cm$, $(\forall t \in [\alpha, \beta]) \,\, z = x(t) + i y(t)$, $x$ и $y$ непрерывны; $z$ называется \it{параметризацией кривой}. (Модифицировано автором.) \end{definition} @@ -15,7 +17,7 @@ \section{Интегрирование} \end{anote} \begin{definition} - Класс эквивалентности параметризаций кривых по определенному отношению эквивалентности называется кривой. + Класс эквивалентности параметризаций кривых по определенному выше отношению эквивалентности называется кривой. \end{definition} \begin{anote} @@ -25,3 +27,72 @@ \section{Интегрирование} \begin{definition} Пусть $z: [\alpha, \beta] \to \Cm$, $z$ -- параметризация кривой; \it{образом кривой} называется $z([\alpha, \beta])$. \end{definition} + +Дальше идет материал лекции. + +{\color{red} Сказать, что такое минус кривая: это обход её в другом направлении, разворот параметризации; возможно, у нас на лекции кривые ориентированные были, в отношении эквивалентности должны быть неубывающие непрерывные. Определялось ли на матане это -- не знаю. }. + +Пусть $D$ -- область в $\Cm$; $z: [\alpha, \beta] \to \Cm$, $z$ -- параметризация кривой $\gamma$, $\gamma \in \Cm$ (прим. автора: подразумевается, что образ кривой лежит в области; кривую считаем в том числе и множеством точек); $f: D \to \Cm$, $f$ непрерывна в $D$, $f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)$ для любых $x, y \in \R$. + +Возьмём разбиение $P = (t_0, \ldots, t_n)$ отрезка $[\alpha, \beta]$ (прим. автора: разбиение определяли на матане, во втором семестре; $t_0 = \alpha$, $t_n = \beta$, $\jleft( \forall k \in \ol{1, n} \jright) \,\, t_{k - 1} < t_k$; в разбиении скобочки, потому что порядок точек важен). Рассмотрим интегральную сумму. +\[ + \begin{aligned} + S(f, P) = & && \sum_{k = 1}^n \underbrace{f(z(t_k))}_{(u+iv)(z(t_k))} \underbrace{\jleft( z(t_k) - z(t_{k - 1}) \jright)}_{\Delta x_k + i \Delta y_k} = \\ + & && \sum_{k = 1}^n \jleft[ u(z(t_k)) \Delta x_k - v(z(t_k)) \Delta y_k \jright] + \\ + & i && \sum_{k = 1}^n \jleft[ u(z(t_k)) \Delta y_k + v(z(t_k)) \Delta x_k \jright]. + \end{aligned} +\] +(Прим. автора: по ходу дела ввели приращения параметризации по $x$ и по $y$, вещественной и мнимой частям.) Устремим к нулю мелкость дробления $\Delta P$, получим интеграл по кривой. + +\begin{definition}[интеграл от функции по кривой] + Интегралом от функции $f$ по кривой $\gamma$ называется $\int_\gamma f(z) dz = \lim_{\Delta(P) \to 0} S(f, P)$. +\end{definition} +\begin{note} + При выполнении предположений выше, интеграл всегда существует и + \[ + \int_\gamma f(z) dz = \int_\gamma (u dx - v dy) + i \int_\gamma (v dx + u dy). + \] +\end{note} +\begin{anote} + Перед нами криволинейные интегралы второго рода (здесь мы пользуемся тем, что $\Cm = \R^2$, но с доопределённым умножением). Мы определяли их в третьем семестре матана аналогично криволинейным интегралам первого рода (в интегралах первого рода функции и кривые в трехмерном пространстве). Кому интересно, это страница 67 конспекта КТЛ лекций А. Л. Лукашова за осень 2022-2023 учебного года. +\end{anote} + +Рассмотрим ещё другую сумму, теперь домножаем на модуль приращения параметризации. +\[ + \begin{aligned} + S'(f, P) = & && \sum_{k = 1}^n \underbrace{f(z(t_k))}_{(u+iv)(z(t_k))} \mds{ z(t_k) - z(t_{k - 1})}\\ + = & && \sum_{k = 1}^n \underbrace{f(z(t_k))}_{(u+iv)(z(t_k))} \mds{\Delta z(t_k)}. + \end{aligned} +\] +При $\Delta P$ стремящемуся к нулю $S'(f, P)$ стремится к интегралу $\int_\gamma f(z) \mds{dz}$: +\[ + \int_\gamma f(z) \mds{dz} = \int_\gamma u ds + i \int_\gamma v ds, +\] +где $ds = \sqrt{{(z_1'(t))}^2 + {(z_2'(t))}^2} dt$. + +\begin{anote} + Комбинируя всё вместе, получим: + \[ + \int_\gamma f(z) \mds{dz} = \int_\alpha^\beta f(z) \sqrt{{(z_1'(t))}^2 + {(z_2'(t))}^2} dt. + \] +\end{anote} + +{\color{red} Вот бы примеры вычисления сюда от себя добавить, но это как-нибудь потом.} + +\begin{note} + Длину кривой можно вычислить так (обозначение $\mds{\gamma}$ от автора, не с лекции): + \[ + \mds{\gamma} = \int_\gamma \mds{dz} + \] +\end{note} +\begin{theorem}[свойства интеграла от функции по кривой, без доказательства] + Верны следующие свойства. + \begin{enumerate} + \item $\int_\gamma f dz$ и $\int_\gamma f \mds{dz}$ не зависят от параметризации. + \item $\int_{-\gamma} f dz = - \int_{\gamma} f dz$, $\int_\gamma f \mds{dz} = \int_{-\gamma} f \mds{dz}$. + \item Линейность: $\int_\gamma (af + bg) dz = a \int_\gamma f dz + b \int_\gamma g dz$. + \item Аддитивность: $\int_{\gamma_1 \cup \gamma_2} f dz = \int_{\gamma_1} f dz + \int_{\gamma_2} f dz$. + \item Неравенства: $\mds{\int_\gamma f dz} \leq \int_\gamma \mds f \mds{dz} \leq \max_{p \in \gamma} \mds{f(p)} \mds{\gamma}$. + \end{enumerate} +\end{theorem} +