diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/images/logo_ltc.png b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/images/logo_ltc.png
new file mode 100644
index 00000000..3938067a
Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/images/logo_ltc.png differ
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/10lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/10lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..332cff41
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/10lecture.tex
@@ -0,0 +1,418 @@
+\begin{definition}
+	Пусть $f(x)$ определена на $(a, b)\ |\ a, b \in \R; a < b$
+	
+	\textit{Левосторонним пределом} в точке $b$ называется $B \in \bar{\R} \cup \{\infty\}$ такое, что
+	\begin{enumerate}
+		\item ($\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)
+		\left(\forall x,\ b - \delta < x < b\right)
+		\ f(x) \in U_{\eps}(B)$
+		
+		\item $\left(\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset
+		(a; b),\ \liml_{n \to \infty} x_n = b\right)
+	 	\ \liml_{n \to \infty} f(x_n) = B$
+	\end{enumerate}
+	Обозначается как
+	\[
+		f(b - 0) := \liml_{x \to b-0} f(x) = B
+	\]
+
+	\textit{Правосторонним пределом} в точке $a$ называется $A \in \bar{\R} \cup \{\infty\}$ такое, что
+	\begin{enumerate}
+		\item $(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)
+		\left(\forall x,\ a < x < a + \delta\right)
+		\ f(x) \in U_{\eps}(A)$
+		
+		\item $\left(\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset (a; b),\ \liml_{n \to \infty} x_n = a\right)\ \liml_{n \to \infty} f(x_n) = A$
+	\end{enumerate}
+	Обозначается как
+	\[
+	f(a + 0) := \liml_{x \to a+0} f(x) = A
+	\]	
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	$(b - \delta; b)$ называется \textit{левосторонней} окрестностью точки $b$.
+	
+	$(a; a + \delta)$ называется \textit{правосторонней} окрестностью точки $a$.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (Связь предела и односторонних пределов)
+
+	Пусть $f(x)$ определена в некоторой
+ 	$\mc{U}_{\delta}(a)$, $a \in \R$. Тогда
+	\[
+		\exists \liml_{x \to a} f(x) = A \in \overline{\R}
+		\cup \left\{\infty\right\} \lra \exists \liml_{x \to a-0}
+		f(x) = \liml_{x \to a+0} f(x) = A
+	\]
+	Для бесконечностей возможны варианты, например:
+
+	\[ 
+		\liml_{x \to a + 0} f(x) = +\infty, 
+		\liml_{x \to a - 0} f(x) = -\infty \Ra
+		\liml_{x \to a} f(x) = \infty
+	\]
+
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+\begin{enumerate}
+	\item Пусть $\exists \liml_{x \to a} f(x) = A$, тогда
+	\begin{align*}
+		(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)
+		\left(\forall x \in \mc{U}_{\delta} (a)\right)\ 
+		f(x) \in U_{\eps}(A) \Ra
+		\\
+		(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)
+		\left(\forall x \in (a, a + \delta)\right)\ 
+		f(x) \in U_{\eps}(A)
+		\\
+		(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)
+		\left(\forall x \in (a - \delta, a)\right)\ 
+		f(x) \in U_{\eps}(A)
+	\end{align*}
+	
+	
+	\item Пусть $\exists \liml_{x \to a-0} f(x) = \liml_{x \to a+0} f(x) = A$. Тогда
+	\begin{align*}
+		(\forall \eps > 0)(\exists \delta_1 > 0)
+		\left( \forall x,\ a - \delta_1 < x < a\right)\ 
+		f(x) \in U_{\eps}(A)
+		\\
+		(\forall \eps > 0)(\exists \delta_2 > 0)
+		\left(\forall x,\ a < x < a + \delta_2\right)\ 
+		f(x) \in U_{\eps}(A)
+	\end{align*}
+	Выберем $\delta := \min(\delta_1, \delta_2)$, получим
+	\begin{align*}
+		\delta_1 \ge \delta \Ra a - \delta_1 \le a - \delta
+		\\
+		\delta_2 \ge \delta \Ra a + \delta_2 \ge a + \delta
+	\end{align*}
+	Рассмотрим $\forall x \in \mc{U}_\delta(a)$:
+	\begin{align*}
+		a < x < a + \delta \Ra a < x < a + \delta_2
+		\\
+		a - \delta < x < a \Ra a - \delta_1 < x < a
+	\end{align*}
+	Любой из этих случаев ведёт к тому, что $f(x) \in U_{\eps}(A)$. А значит
+	\[
+		(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)
+		\left(\forall x,\ x \in \mc{U}_{\delta}(a)\right)
+		\ f(x) \in U_{\eps}(A)
+	\]
+	Что равносильно левой стороне утверждения.
+\end{enumerate}
+
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Функция $f(x)$ называется
+	\begin{itemize}
+		\item \textit{неубывающей} на $X$, если 
+			$(\forall x_1, x_2 \in X, x_1 < x_2)
+			\Ra f(x_1) \le f(x_2)$
+		\item \textit{невозрастающей} на $X$, если 
+			$(\forall x_1, x_2 \in X, x_1 < x_2)
+			\Ra f(x_1) \ge f(x_2)$
+		\item \textit{убывающей} на $X$, если 
+			$(\forall x_1, x_2 \in X, x_1 < x_2)
+			\Ra f(x_1) > f(x_2)$
+		\item \textit{возрастающей} на $X$, если 
+			$(\forall x_1, x_2 \in X, x_1 < x_2)
+			\Ra f(x_1) < f(x_2)$
+	\end{itemize}
+	В любом из этих случаев $f$ монотонна на $X$, в 2х последних $f$ строго монотонна на $X$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	$\sup f(x) := \sup \left\{f(x) : x \in X\right\}$ 
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (Существование односторонних пределов монотонной функции)
+	
+	\begin{itemize}
+		\item Если $f$ невозрастающая на $(a, b), -\infty \le a
+			< b < +\infty$, то $f(b - 0) = \inf f(x); \ x \in (a, b)$
+		\item Если $f$ неубывающая на $(a, b), -\infty \le a
+			< b < +\infty$, то $f(b - 0) = \sup f(x); \ x \in (a, b)$
+		\item Если $f$ невозрастающая на $(a, b), -\infty < a
+			< b \le +\infty$, то $f(a + 0) = \sup f(x); \ x \in (a, b)$
+		\item Если $f$ неубывающая на $(a, b), -\infty < a
+			< b \le +\infty$, то $f(a + 0) = \inf f(x); \ x \in (a, b)$
+	\end{itemize}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Пусть $f$ неубывающая. Положим $\sup\limits_{x \in (a; b)} f(x) := M$
+	\begin{enumerate}
+		\item $M = +\infty$. Тогда
+		\[
+			(\forall \eps > 0)(\exists x_0 \in (a; b))\ f(x_0)
+			 > \frac{\dse 1}{\dse \eps}
+		\]
+		Отсюда $(\exists \delta := b - x_0 > 0)
+		(\forall x, b - \delta < x < b) \Ra
+		\frac{\dse 1}{\dse \eps} < f(x_0) \le f(x)$,
+		то есть $f(x) \in U_{\eps}(+\infty)$. В итоге
+		\[
+			(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)
+			(\forall x,\ b - \delta < x < b)\ f(x)
+			 \in U_{\eps}(M) \lra \liml_{x \to b-0} f(x) = +\infty = M
+		\]
+		
+		\item $M \in \R$. Тогда
+		\[
+			(\forall \eps > 0)(\exists x_0 \in (a; b))
+			\ f(x_0) \in (M - \eps; M]
+		\]
+		Отсюда уже аналогично получим, что
+		\[
+			(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)
+			(\forall x,\ b - \delta < x < b)\ f(x)
+			 \in U_{\eps}(M) \lra \liml_{x \to b-0} f(x) = M
+		\]
+		Если $a = -\infty$, то $\liml_{x \to -\infty}
+		f(x)$ вместо $\liml_{x \to a+0} f(x)$
+		
+		Если $b = +\infty$, то $\liml_{x \to +\infty}
+		f(x)$ вместо $\liml_{x \to b-0} f(x)$
+		
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\subsection{Непрерывность}
+
+\subsubsection*{Непрерывность в точке}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $f$ определена в некоторой окрестности
+	точки $x_0 \in \R$. Тогда функция $f$ называется
+	\textit{непрерывной} в точке $x_0$, если
+	$\liml_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $f$ определена на полуинтервале $(a, x_0],\ a < x_0$.
+	Тогда $f$ \textit{непрерывна слева} в т. $x_0$, если
+	$\liml_{x \to x_0 - 0} f(x) = f(x_0) \ \ (f(x_0 - 0) = f(x_0))$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $f$ определена на полуинтервале $[x_0, b),\ b > x_0$.
+	Тогда $f$ \textit{непрерывна справа} в т. $x_0$, если
+	$\liml_{x \to x_0 + 0} f(x) = f(x_0) \ \ (f(x_0 + 0) = f(x_0))$
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+	Пусть $f$ определена в некоторой окрестности
+	точки $x_0 \in \R$. Тогда, следующие утверждения эквивалентны:
+	\begin{enumerate}
+		\item $f$ непрерывна в точке $x_0$
+		\item $(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)\left(\forall x,\ |x - x_0| < \delta\right)
+	    	\ |f(x) - f(x_0)| < \eps$
+		\item $\left(\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset D(f),\ \liml_{n \to \infty} x_n = x_0\right) \liml_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)$
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\subsubsection*{Точки разрыва}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $f$ определена в проколотой окрестности точки $x_0$.
+	Если $\liml_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$,
+	то $x_0$ называется \textit{точкой разрыва} функции $f(x)$.
+\end{definition}
+
+\begin{note}
+	Неравенство полагается верным также и в тех случаях, когда хоть одна из частей не определена.
+\end{note}
+
+\begin{definition}
+	Если $\exists \liml_{x \to x_0-0} f(x),\ \liml_{x \to x_0+0} f(x) \in \R$, то точка разрыва называется \textit{точкой разрыва первого рода}.
+	
+	В противном случае \textit{точкой разрыва второго рода}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Если $\liml_{x \to x_0-0} f(x) = \liml_{x \to x_0+0} f(x) \in \R$ и $\neq f(x_0)$, то $x_0$ называется \textit{точкой устранимого разрыва}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Если хотя бы 1 из односторонних пределов бесконечен, то $x_0$ называется \textit{точкой бесконечного разрыва}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Величину $\liml_{x \to x_0+0} f(x) - \liml_{x \to x_0-0} f(x)$ называется \textit{скачком функции} в точке $x_0$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+	$f(x) = \sgn x = \System{&{1,\ x > 0} \\ &{0,\ x = 0} \\ &{-1,\ x < 0}}
+	\Ra x_0 = 0$ --- неустранимая точка разрыва (I рода)
+	\begin{align*}
+		&\liml_{x \to 0 + 0} f(x) = 1
+		\\
+		&\liml_{x \to 0 - 0} f(x) = -1
+	\end{align*}
+\end{example}
+
+\begin{example}
+	$f(x) = \sgn^2 x \Ra $  $x_0 = 0$ --- точка устранимого разрыва
+	$$
+		\liml_{x \to 0} \sgn^2 x = 1 \neq \sgn^2 0 = 0
+	$$
+\end{example}
+
+\begin{example}
+	$f(x) = \frac{1}{x} \Ra x_0 = 0$ --- точка разрыва второго рода 
+	\begin{align*}
+		\liml_{x \to -0} \frac{\dse 1}{\dse x} = -\infty
+		\\
+		\liml_{x \to +0} \frac{\dse 1}{\dse x} = +\infty
+	\end{align*}
+\end{example}
+
+\begin{example}
+	$f(x) = \sin \frac{\dse 1}{\dse x}$
+	
+	Рассмотрим
+	$$
+		\System{
+		&{x'_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n},\ n \in \N}
+		\\
+		&{x''_n = \frac{1}{-\frac{\pi}{2} + 2\pi n}}
+		}
+		\Ra
+		\System{
+		&{\liml_{n \to \infty} f(x'_n) = 1}
+		\\
+		&{\liml_{n \to \infty} f(x''_n) = -1}
+		}
+	$$
+\end{example}
+
+\subsubsection*{Следствия свойств предела функции}
+
+\begin{enumerate}
+	\item (Ограниченность непрерывной функции) Если $f$ непрерывна в $x_0$, то она ограничена в некоторой окрестности точки $x_0$.
+	
+	\item (Отделимость от нуля и сохранение знака непрерывной функции)
+	Если $f$ непрерывна в $x_0$ и $f(x_0) \neq 0$, то 
+	$(\exists c > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in U_\delta (x_0))\ |f(x)| > c,
+	\ \sgn f(x) = \sgn f(x_0)$
+
+	\item (Арифметические операции с непрерывными функциями) Если $f$ и $g$ непрерывны в $x_0$, то $f \pm g$, $f \cdot g$ и (если $g(x_0) \neq 0$) $\frac{f}{g}$ непрерывны в $x_0$.
+\end{enumerate}
+
+\begin{definition}
+	Композицией функций $f$ и $g$ называется 
+	$$
+		(g \circ f)(x) := g(f(x))
+	$$
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (Переход к пределу под знаком непрерывной функции) \\
+	Если $\liml_{x \to a(\pm 0)} f(x) = b$ и $g(y)$ непрерывна в точке
+	$b \in \R$, то $\liml_{x \to a(\pm 0)} (g \circ f)(x) = g(b)$
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Рассмотрим $\left(\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset D(f),
+	\ x_n \underset{\left(\underset{<}{>}\right)}{\neq} a,\ \liml_{n \to \infty} x_n = a\right)\ \liml_{n \to \infty} f(x_n) = b$
+	
+	Положим $y_n := f(x_n)$
+	$$
+		\left(\{y_n\}_{n = 1}^\infty \subset D(g),
+		\ \liml_{n \to \infty} y_n = b\right) \Ra
+		\liml_{n \to \infty} g(y_n) = g(b) 
+	$$
+\end{proof}
+
+\begin{note} (Предел сложной функции)
+	Для того, чтобы из $\liml_{x \to a} f(x) = b$ и
+	$\liml_{y \to b} g(y) = l$ следовало $\liml_{x \to a}
+	(g \circ f)(x) = l$, достаточно потребовать, чтобы
+	$f(x) \neq b$ в ни в одной точке некоторой проколотой
+	окрестности точки $a$.
+\end{note}
+
+\begin{addition} (Следствие теоремы выше. Непрерывность сложной функции)
+	Если $f$ непрерывна в $a$, $g$ непрерывна в $f(a)$, то $g \circ f$ непрерывна в $a$.
+\end{addition}
+
+\begin{theorem} (О точках разрыва монотонной функции)
+	Если $f(x)$ монотонна на $(a; b),\ -\infty 
+	\le a < b \le +\infty$, то она может иметь на $(a; b)$ не более
+	чем счетное множество точек разрыва, причем все эти точки - 1го
+	рода, но не устранимые разрывы.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	$(\forall x_0 \in (a; b))\ \exists \ f(x_0 - 0),\ f(x_0 + 0) \in \R$
+	
+	Пусть $f$ невозрастающая, тогда
+
+	$f(x_0 - 0) = \inf f(x),\ x \in (a, x_0);\ f(x_0 + 0) = \sup f(x),\ x\in (x_0, b)$
+
+	$x \in (a, x_0) \Ra f(x) \ge f(x_0);\ x \in (x_0, b) \Ra f(x) \le f(x_0)$
+
+	$f(x_0 - 0) \ge f(x_0) \ge f(x_0 + 0)$ --- Чтобы точка разрыва существовала,
+	должно быть хотя бы одно строгое неравенство, значит, разрыв 1го рода,
+	причем не устранимый $(f(x_0 - 0) \neq f(x_0 + 0))$
+
+	Счётность: Пусть $x_1 < x_2$ --- точки разрыва, тогда
+	
+	$f(x_1 - 0)
+	\ge f(x_1) \ge f(x_1 + 0) \ge f(x_2 - 0) \ge f(x_2) \ge
+	f(x_2 + 0)$
+
+	Интервал $(f(x_1 + 0), f(x_1 - 0))$ не пересекается с
+	$(f(x_2 + 0), f(x_2 - 0))$. Поставим в соответствие интервалам
+	рациональные числа внутри них, следовательно, таких интервалов
+	не более чем счетное количество, а значит, и множество точек разрыва
+	не более чем счётно.
+
+\end{proof}
+
+\begin{example} (Функция Римана)
+	\[
+		f(x) = \System{&{\frac{1}{n}, \text{ если } x = \frac{m}{n}} \\ &{0, \text{ если } x \in \R \bs \Q}}
+	\]
+	
+	Докажем, что $f$ непрерывна в $x_0 \in \R \bs \Q$: зафиксируем произвольный $\eps > 0$ и рассмотрим множество
+	\[
+		M = \{x \such f(x) \ge \eps\}
+	\]
+	Так как $\eps > 0$ и $f(x) = 0\ \forall x \in \R \bs \Q$, то любой элемент $M$ - рациональное число, имеющее вид в несократимой дроби $\frac{m}{n}, m \in \Z, n \in \N$.
+	\[
+		f(x) = \frac{1}{n} \ge \eps \Ra n \le \frac{1}{\eps}
+	\]
+	То есть число таких $n$ конечно. Это значит, что число рациональных точек, попавших в $U_\delta(x_0) \cap M$, конечно (в самом деле, бесконечность может достигаться только за счёт $m$, а это мы ограничили пересечением). Ну а раз так, то найдётся $\delta > 0$ такое, что $U_\delta(x_0) \cap M = \emptyset$. Иными словами,
+	\[
+		(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in U_\delta(x_0))\ f(x) < \eps
+	\]
+	это означает непрерывность функции Римана в любой иррациональной точке.
+	
+	Теперь докажем, что $f(x)$ разрывна во всех рациональных точках. Пусть $x_0 \in \Q$ и мы снова зафиксировали $\eps > 0$. Какую $\delta$-окрестность точки $x_0$ ни взять, там найдётся иррациональное число, для которого $f(x) = 0 \Ra$ получим разрывность.
+	
+	Таким образом, функция Римана непрерывна $\forall x \in \R \bs \Q$ и разрывна $\forall x \in \Q$.
+\end{example}
+
+\subsubsection*{Непрерывность на множестве}
+
+\begin{definition}
+	Функция называется \textit{непрерывной на множестве} $X$, если 
+	\[
+		(\forall x_0 \in X)\left(\forall \{x_n\}
+		\subset X, \liml_{n \to \infty} x_n = x_0 \Ra
+		\liml_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)\right)
+	\]
+	или по Коши
+	\[
+		(\forall x_0 \in X)(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)
+		(\forall x \in X,\ |x - x_0| < \delta)\ \left|f(x) - f(x_0)\right| < \eps
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{note}
+	Не стоит думать, что непрерывность на множестве - это непрерывность в каждой точке этого множества. Это не так. Как минимум потому, что мы не требуем определённость функции в некоторой окрестности точки из $X$.
+\end{note}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/11lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/11lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..cadad8ff
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/11lecture.tex
@@ -0,0 +1,379 @@
+\begin{theorem} (Первая теорема Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях)
+	Если $f$ непрерывна на $[a; b]$, то она ограничена на $[a; b]$
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Докажем от противного. Пусть $f$ - неограничена сверху (снизу аналогично). Это означает
+	\[
+		(\forall n \in \N)(\exists x_n \in [a; b])\ f(x_n) > n
+	\]
+	
+	Получим $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset [a; b],\ a \le x_n \le b$. По теореме Больцано-Вейерштрасса
+	\[
+		\exists \{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty,\ \liml_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0
+	\]
+	\[
+		a \le x_{n_k} \le b \Ra a \le x_0 \le b
+		\Ra \liml_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0)
+	\]
+
+	Значит, $f(x_{n_k})$ ограничена по свойству сходящейся последовательности.
+	
+	При этом $f(x_{n_k}) > n_k \Ra \{f(x_{n_k})\}_{k = 1}^{\infty}$ неограничена.
+	Противоречие.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Вторая теорема Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях)
+
+	Если $f$ непрерывна на $[a; b]$, то она достигает на $[a; b]$
+	своих точных верхней и нижней граней. То есть
+	\[
+		(\exists x', x'' \in [a; b])\ f(x') = \inf\limits_{x \in [a; b]} f(x),\ f(x'') = \sup\limits_{x \in [a; b]} f(x)
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	По определению минимума
+	\[
+		m := \inf\limits_{x \in [a; b]} f(x) \Ra (\forall \eps > 0)
+		(\exists x \in [a; b])\ m \le f(x) < m + \eps
+	\]
+	Построим подпоследовательность через выбор $\eps$:
+	\begin{align*}
+		&\eps := 1 & &m \le f(x_1) < m + 1
+		\\
+		&\eps := 1/2 & &m \le f(x_2) < m + 1/2
+		\\
+		&\dots & &\dots
+		\\
+		&\eps := 1/n & &m \le f(x_n) < m + 1/n
+		\\
+		&\dots & &\dots
+	\end{align*}
+
+	Получили ограниченную последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$.
+	По теореме Больцано-Вейерштрасса:
+	\[
+		\exists \{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty \subset [a; b] :
+		\liml_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0 \in [a; b] \Ra \liml_{k \to \infty}
+		f(x_{n_k}) = f(x_0)
+	\]
+	Так как	$(\forall n \in \N)\ m \le f(x_n) < m + \frac{1}{n} \Ra$
+
+	\[
+	(\forall k \in \N)\ m \le f(x_{n_k}) < m + \frac{1}{n_k}
+	\Ra \liml_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = m \Ra f(x_0) = m
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Больцано-Коши о промежуточных значениях) \\
+	Если $f$ непрерывна на $[a; b]$ и $y_1, y_2$ - два её
+	произвольных значения:
+	\[
+	(\exists x_1, x_2\ a \le x_1 < x_2 \le b)\ \{f(x_1),\ f(x_2)
+	\} = \{y_1,\ y_2\} \Ra (\forall \gamma \in (y_1, y_2))
+	(\exists c \in (x_1, x_2))\ f(c) = \gamma
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}.
+
+\begin{enumerate}
+	\item 
+	Обратим внимание, что порядок $x_1, x_2$ и $y_1, y_2$ не связан
+	(возможно, что $f(x_1) = y_2$).
+	Для упрощения доказательства сначала рассмотрим частный случай:
+	$\gamma = 0$, т.к. $\gamma \in (y_1, y_2) \Ra y_1 < \gamma
+	< y_2 \Ra f(x_1) \cdot f(x_2) < 0$
+
+	Обозначим за $[a_1, b_1] := [x_1, x_2]$. Поделим $[a_1, b_1]$
+	пополам и обозначим через $[a_2, b_2]$ ту половину, на которой
+	$f(b_2) \cdot f(a_2) < 0$. 
+	
+	Если $f\left(\frac{a_1 + b_1}{2}\right)
+	= 0$, то все доказано. Продолжаем этот процесс. Тогда он либо
+	оборвется, т.е. ч.т.д., либо получим систему стягивающихся
+	отрезков
+
+	\[
+	\{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty}\ 
+	(b_n - a_n = \frac{x_2 - x_1}{2^{n - 1}})
+	\Ra (\exists c \in \R)(\forall n \in \N)(c \in [a_n, b_n])
+	\Ra 
+	\]
+
+	\[
+	\liml_{n \to \infty} a_n = \liml_{n \to \infty} b_n
+	= c
+	\]
+
+`	Из определения непрерывности по Гейне следует:
+	\[
+	\liml_{n \to \infty} a_n = \liml_{n \to \infty} b_n
+	= c \Ra \liml_{n \to \infty} f(a_n) = f(c) =
+	\liml_{n \to \infty} f(b_n) 
+	\]
+
+	Из свойства с неравенствами пределов следует:
+
+	\[
+	\liml_{n \to \infty} \underbrace{f(a_n) \cdot f(b_n)}_{< 0}
+	= f^2 (c) \le 0 \Ra f(c) = 0
+	\]
+	
+	\item
+	Теперь докажем $(\forall \gamma \in (y_1, y_2))$, т.е. общий случай:
+
+	Рассмотрим $F(x) = f(x) - \gamma$
+	
+	$F$ непрерывна, значит,
+	по доказанному $(\exists c \in (x_1, x_2))\ F(c) = 0 \lra
+	f(c) = \gamma$
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Промежутки}
+
+\begin{definition}
+	Множество $I \subset \bar{\R}$ называется \textit{промежутком},
+	если $(\forall x_1 < x_2)\ \{x_1, x_2\} \subset I \Ra
+	[x_1; x_2] \subset I$. Если таких $x_1, x_2$ не существует
+	(то есть $I = \emptyset$ либо точка), то $I$ называется
+	\textit{вырожденным} промежутком
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+	$I$ - невырожденный промежуток $\lra$
+	$\left(\exists a < b,\ \{a, b\} \subset \R\right)$
+	такие, что
+	\[
+		I = \left[
+		\begin{aligned}
+			&(-\infty; +\infty)
+			\\
+			&(-\infty; a)
+			\\
+			&(b; +\infty)
+			\\
+			&(-\infty; a]
+			\\
+			&[b; +\infty)
+			\\
+			&[a; b]
+			\\
+			&(a; b]
+			\\
+			&[a; b)
+			\\
+			&(a; b)
+		\end{aligned}
+		\right.
+	\]
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Здесь приведено доказательство двух возможных случаев. Остальные - аналогично.
+	
+	Пусть $I$ - невырожденный промежуток, который неограничен сверху и ограничен снизу. Тогда $\exists a := \inf I$. Сам по себе $I$ может оказаться каким угодно, но точно верно, что (так как $I \subset \bar{\R}$)
+	\[
+		I \subset [a; +\infty)
+	\]
+	Выберем $\forall x_0 \in (a; +\infty)$. Из этого следует, что
+	\begin{align*}
+		\exists x_2 \in I \cap (x_0; +\infty) \text{, иначе } I \text{ ограничено сверху}
+		\\
+		\exists x_1 \in I \cap (a; x_0) \text{, иначе } \inf I \text{ определен неверно}
+	\end{align*}
+	А значит и $[x_1; x_2] \subset I$, то есть $x_0 \in I$. Следовательно,
+	$(a;+\infty) \subset I$. Ну а из этого уже либо $I = (a; +\infty)$, либо $I = [a; +\infty)$, в зависимости от достижимости инфинума.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+	Если $f$ непрерывна на промежутке $I$, то её множество
+	значений $f(I) = \{f(x) : x \in I\}$ - промежуток (возможно
+	вырожденный)
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Будем считать, что $f$ - непостоянна.
+	(Иной случай тривиален)
+	
+	Рассмотрим $(\forall y_1 < y_2,\ \{y_1, y_2\}
+	\subset f(I))$.
+	Это значит, что
+	\[
+		(\exists x_1 < x_2,\ \{x_1, x_2\} \subset I)
+		\ \{f(x_1), f(x_2)\} = \{y_1, y_2\}\ (\times)
+	\]
+	Так как мы работаем с промежутком, то $[x_1; x_2]
+	\subset I$, $f$ непрерывна на $[x_1; x_2] \Ra
+	(\forall c \in (y_1; y_2))(\exists d \in (x_1; x_2))
+	\ f(d) = c \Ra (y_1, y_2) \subset f(I)\ (*)$ по теореме
+	Больцано-Коши. А это означает, что
+	\[
+		(\times)\wedge(*) \Ra [y_1; y_2] \subset f(I)
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+	\[
+		f(x) = \System{
+			&x,\ x \in \Q \\
+			&-x,\ x \in R \bs \Q
+		}
+		\ \ (\forall a \in \R)\ f([-a, a]) = [-a, a]
+	\]
+\end{example}
+
+\begin{note}
+	Существуют такие функции, что $(\forall (a, b))\ f((a, b)) = \R$
+\end{note}
+
+\begin{lemma} \label{for_back}
+	Пусть $f$ - монотонна и непостоянна на промежутке $I$. Тогда $f$
+	непрерывна на $I$ тогда и только тогда, когда $f(I)$ -
+	промежуток.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Нужно доказать только достаточность, остальное следует
+	из предыдущей леммы.
+	
+	Пусть $f(I)$ - промежуток. Пойдем от противного. Предположим, что $f$ -
+	разрывная, $x_0$ - не концевая точка $I$ и $f$ имеет точку
+	разрыва в $x_0$. Будем считать, что $f$ - невозрастающая на $I$.
+	Тогда
+	\[
+		f(x_0 - 0) > f(x_0 + 0)
+	\]
+	Рассмотрим $(\forall x < x_0,\ x \in I) \Ra f(x) \ge f(x_0 - 0)$.
+	Аналогично $(\forall x > x_0,\ x \in I) \Ra f(x) \le f(x_0 + 0)$.
+	Отсюда следует, что
+	\[
+		f(I) \subset (-\infty; f(x_0 + 0)]
+		\cup \{f(x_0)\} \cup [f(x_0 - 0); +\infty) \Ra
+	\]
+	\[
+		f(x_0 - 0) \ge f(x_0) \ge f(x_0 + 0)
+	\]
+	Причем хотя бы одно неравенство строгое (для существования
+	разрыва). Значит хотя бы один из интервалов
+	$(f(x_0 + 0), f(x_0)), (f(x_0), f(x_0 - 0))$ не вырожден.
+	Пусть это будет $(f(x_0), f(x_0 - 0))$. Тогда $y_1 
+	= f(x_0),\ y_2 \in [f(x_0 - 0), +\infty)$ дают противоречие
+	с $f(I)$ - промежуток, т.к. $(f(x_0), f(x_0 - 0)) \subset 
+	[y_1, y_2] \subset I$, но $(f(x_0), f(x_0 - 0)) \cap I
+	= \emptyset$.
+	
+	Пусть теперь $x_0$ - концевая точка, например,
+	$x_0 = \inf I$. Раз $f$ - невозрастающая, то
+	\[
+		\exists f(x_0 - 0) > f(x_0)
+	\]
+	Получаем $f(I) \subset \{f(x_0)\} \cup [f(x_0 - 0); +\infty)$. Взяв $y_1$ и $y_2$ из разных частей, снова получим противоречие.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Если $f$ инъективно на $X$, то на $f(X)$ определено
+	обратное отображение $f^{-1}$ так, что $(\forall x \in X)
+	\ f^{-1} (f(x)) = x,\ (\forall y \in f(X))\ f(f^{-1} (y)) = y$
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} \label{inverse_function} (Теорема об обратной функции) 
+	Если $f$ непрерывна и строго монотонна на промежутке $I$,
+	то на промежутке $f(I)$ определена обратная функция
+	$f^{-1}$,  непрерывная на $f(I)$ и строго монотонная в
+	том же смысле, что и $f$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Будем рассматривать такую $f$, что $(\forall x_1 < x_2,\  
+	x_1, x_2 \in I) \Ra f(x_1) > f(x_2)$. Положим
+	\begin{align*}
+		y_1 := f(x_1)
+		\\
+		y_2 := f(x_2)
+	\end{align*}
+	То есть
+	\begin{align*}
+		f^{-1}(y_1) := x_1
+		\\
+		f^{-1}(y_2) := x_2
+	\end{align*}
+	
+	$f^{-1}(y_2) > f^{-1}(y_1)$, то есть $f^{-1}$ монотонно убывает.
+	
+	По лемме \ref{for_back} $f(I)$ - промежуток.
+	А значит, $f^{-1}$ определена на промежутке и при
+	этом строго монотонна. Следовательно, по последней лемме
+	$f^{-1}$ - непрерывна на $f(I)$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Непрерывность элементарных функций}
+
+\begin{enumerate}
+	\item $y = x^n,\ n \in \N,\ n$ - нечётное
+	
+	Возрастает на $(-\infty; +\infty)$, непрерывна по 3й лемме
+	
+	Обратная: $f^{-1}(y) := \sqrt[n]{x}$
+	
+	\item $y = x^n,\ n \in \N,\ n$ - чётное
+	
+	Возрастает на $[0; +\infty)$, непрерывна по 3й лемме
+	
+	$f^{-1}(y) = \sqrt[n]{x}$
+	
+	\item $y = x^r,\ r \in \Q$
+	
+	Определена и непрерывна на $(0; +\infty)$
+\end{enumerate}
+
+\subsubsection*{Тригонометрические функции}
+
+\begin{lemma} \label{for_trig}
+	$\forall x \in (0; \frac{\pi}{2}) \Ra \sin x < x < \tg x$
+\end{lemma}
+
+\begin{center}
+	\begin{tikzpicture}[scale=1]
+		% Axis
+		\coordinate (y) at (0,3);
+		\coordinate (x) at (3.6,0);
+		\draw[<->] (y) -- (0,0) --  (x);
+		\draw (-3,0) -- (0,0) --  (0,-3);
+		
+		\path
+		coordinate (c1) at +(2.5, 3)
+		coordinate (c2) at +(2.5, -3)
+		coordinate (top) at (4.8,3.6);
+		
+		\draw (c1) -- (c2);
+		\draw (2.1, 1.35) -- (2.1, 0) node[below] {$A$};
+		\draw (0,0) node[above left] {$O$} -- (2.5, 1.6) node[above right] {$B$};
+		
+		\filldraw[black] (2.5, 0) circle (1.2pt) node[below right] {$C$};
+		\filldraw[black] (2.5, 1.6) circle (1.2pt);
+		\filldraw[black] (0, 0) circle (1.2pt);
+		\filldraw[black] (2.1, 0) circle (1.2pt);
+		\filldraw[black] (2.1, 1.35) circle (1.2pt) node[yshift=10, xshift=3] {$M$};
+		\draw[black] circle(2.5);
+		
+		\coordinate (a) at (1, 0);
+		\coordinate (z) at (0, 0);
+		\coordinate (m) at (2.1, 1.35);
+		\draw (1, 0.3) node {$x$};
+		\pic [draw, ->, angle radius = 0.7cm] {angle = a--z--m};
+	\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{proof}
+	Рассмотрим рисунок, на котором $x \in (0; \frac{\pi}{2})$. Согласно обозначениям, $\sin x = MA,\ \tg x = BC$. При этом несложно увидеть, что
+	\[
+		S_{\triangle OMC} < S_{OMC} < S_{\triangle OBC}
+	\]
+	где $S_{\triangle OMC} = \frac{\sin x}{2}$, $S_{OMC} = \frac{x}{2}$, $S_{\triangle OBC} = \frac{\tg x}{2}$. То есть
+	\[
+		\frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\tg x}{2} \Ra \sin x < x < \tg x
+	\]
+\end{proof}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/12lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/12lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..37877166
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/12lecture.tex
@@ -0,0 +1,496 @@
+\begin{corollary}
+	$|\sin x| \le |x|\ (\forall x \in \R)$
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+	Если мы положим $x \in (-\frac{\pi}{2}; 0]$, то получим
+	\begin{align*}
+		&(-x) \in [0; \frac{\pi}{2})
+		\\
+		&\sin x = -\sin (-x)
+		\\
+		&x = -(-x)
+	\end{align*}
+	По уже доказанной лемме \ref{for_trig} имеем
+	\[
+		\sin (-x) \le (-x) \Ra -\sin (-x) \ge -(-x) \lra \sin(x) \ge x
+	\]
+	Но при этом мы имеем дело с отрицательными числами. А стало быть
+	\[
+		|\sin x| \le |x|,\ x \in \left(-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}\right)
+	\]
+	За рамками данного интервала $x$ уже точно по модулю за областью значений $\sin x$. Поэтому утверждение верно $(\forall x \in \R)$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Непрерывность sin и cos}
+
+Докажем, что $\liml_{x \to a} \sin x = \sin a$ при $(\forall a \in \R)$
+\begin{multline*}
+	|\sin x - \sin a| = \left|2 \sin \frac{x - a}{2} \cos \frac{x + a}{2}\right| \le 2 \cdot \left|\sin \frac{x - a}{2}\right| \cdot \left|\cos \frac{x + a}{2}\right| \le \\
+	2 \cdot \left|\frac{x - a}{2}\right| \cdot 1 = |x - a|
+\end{multline*}
+Для доказательства предела достаточно взять $\delta := \eps$. Следовательно, $\sin x$ - непрерывная на всей области определения.
+
+Теперь докажем, что $\liml_{x \to a} \cos x = \cos a$ при $(\forall a \in \R)$
+\[
+	|\cos x - \cos a| = \left|-2 \cdot \sin \frac{x + a}{2} \cdot \sin \frac{x - a}{2} \right| \le 2 \cdot 1 \cdot \left|\frac{x - a}{2}\right| = |x - a|
+\]
+Снова достаточно взять $\delta := \eps$ и доказательство получено.
+
+
+\begin{theorem} (Первый замечательный предел) Предел $\liml_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ существует и равен $1$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Рассмотрим $x \in (0; \frac{\pi}{2})$. Тогда, по лемме \ref{for_trig} получим:
+	\[
+		1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}
+	\]
+	
+	В предельном переходе
+	
+	\[
+		1 \le \liml_{x \to 0+} \frac{x}{\sin x} \le 1
+	\]
+	Следовательно $\liml_{x \to 0+} \frac{\sin x}{x} = 1$.
+	\[
+		\liml_{x \to 0-} \frac{\sin x}{x} = \liml_{x \to 0+} \frac{\sin(-x)}{-x} = \liml_{x \to 0+} \frac{-\sin(x)}{-x} = \liml_{x \to 0+} \frac{\sin x}{x} = 1
+	\]
+	По теореме о связи предела с односторонними пределами, в итоге получаем $\liml_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}~
+	\begin{itemize}
+		\item $\tan x, \ctg x$ непрерывны на всей своей области определения
+		
+		По теореме об обратной функции \ref{inverse_function}:
+		
+		\item $\sin x$ возрастает на $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \Ra \arcsin x$ возрастает и непрерывен на $[-1, 1]$
+		
+		\item $\cos x$ убывает на $[0, \pi] \Ra \arccos x$ убывает и непрерывен на $[-1, 1]$
+		
+		\item $\tan x$ возрастает на $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \Ra \arctan x$ возрастает и непрерывен на $\R$
+		
+		\item $\ctg x$ убывает на $[0, \pi] \Ra \arcctg x$ возрастает и непрерывен на $\R$
+	\end{itemize}
+\end{corollary}
+
+
+
+\subsubsection*{Непрерывность показательной функции}
+
+\begin{lemma}
+	\[
+		\liml_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1,\ (\forall a > 0)
+	\]
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Рассмотрим 3 случая:
+	\begin{enumerate}
+		\item $a = 1$ - тривиально
+		
+		\item $a > 1$. В таком случае, $\sqrt[n]{a} > 1$. А значит
+		\[
+			\sqrt[n]{a} = 1 + \alpha_n, \text{ где } \alpha_n \text{ - просто какая-то последовательность, причем } \alpha_n > 0
+		\]
+		Возведём все в $n$-ю степень и применим неравенство Бернулли:
+		\[
+			a = (1 + \alpha_n)^n \ge 1 + n\alpha_n
+		\]
+		Отсюда имеем
+		\[
+			0 < \alpha_n < \frac{a - 1}{n}
+		\]
+		Несложно увидеть, что $\liml_{n \to \infty} \frac{a - 1}{n} = 0$. Ну а значит
+		\[
+			\liml_{n \to \infty} \alpha_n = 0 \text{ - бесконечно малая последовательность}
+		\]
+		Используя предельный переход в равенстве, имеем
+		\[
+			\liml_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \liml_{n \to \infty} (1 + \alpha_n) = 1 + 0 = 1
+		\]
+		
+		\item $a < 1$. Теперь $\sqrt[n]{a} < 1$. Но всё равно можно применить тот же трюк:
+		\[
+			\sqrt[n]{a} = \frac{1}{1 + \alpha_n}, \text{ где } \alpha_n > 0
+		\]
+		Тогда получим
+		\begin{align*}
+			&a = (1 + \alpha_n)^{-n} \ge 1 - n\alpha_n
+			\\
+			&0 < \alpha_n \le \frac{1 - a}{n} \Ra \liml_{n \to \infty} \alpha_n = 0
+			\\
+			&\Ra \liml_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \liml_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \alpha_n} = \frac{1}{1 + 0} = 1
+		\end{align*}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+Считая, что все рациональные степени уже определены, дадим определение $a^x$ в общем случае
+
+\begin{definition}
+	$a^x$ при $(\forall x \ge 0)$ определяется как
+	\begin{enumerate}
+		\item $a > 1$
+		
+		Введём понятие $(x)_n$:
+		\[
+			(x)_n := \frac{\lfloor10^n \cdot x\rfloor}{10^n}
+		\]
+		То есть $(x)_n$ - это число $x$, у которого оставили ровно $n$ знаков после запятой, а остальное удалили. Понятно, что это - рациональное число, и степень $a^{(x)_n}$ определена.
+		
+		Заметим, что $\{(x)_n\}$ - неубывающая последовательность. Стало быть, и $\{a^{(x)_n}\}$ - тоже неубывающая. При этом
+		\[
+			(\forall n \in \N)\ (x)_n \le \lceil x \rceil \Ra a^{(x)_n} \le a^{\lceil x \rceil}
+		\]
+		То есть, $\{a^{(x)_n}\}$ к тому же и ограниченная сверху. По теореме Вейерштрасса, она имеет предел. Её предел и называют $a^x$:
+		\[
+			a^x := \liml_{n \to \infty} a^{(x)_n}
+		\]
+		
+		\item $a = 1 \Ra a^x = a$
+		
+		\item $0 < a < 1$
+		
+		Определяется через предел как и в случае 1., только теорема Вейерштрасса будет для невозрастающей последовательности.
+	\end{enumerate}
+
+	Для $x < 0$ определим $a^x$ как
+	\[
+		a^x = \frac{1}{a^{-x}}
+	\]
+	
+	Покажем, что если $x_1 < x_2$, то и $a^{x_1} < a^{x_2}$:
+	
+	Начиная с некоторого $N \in \N$, будет в точности выполнено неравенство $(\forall n > N)$
+	\[
+		(x_1)_n \le x_1 < (x_2)_n \le x_2 
+	\]
+	А значит найдутся 2 рациональных числа $r_1 < r_2$ такие, что
+	\[
+		(x_1)_n \le x_1 < r_1 < r_2 < (x_2)_n
+	\]
+	Предельный переход даёт неравенство
+	\[
+		a^{x_1} \le a^{r_1} < a^{r_2} \le a^{x_2}
+	\]
+	Которое и даёт $a^{x_1} < a^{x_2}$
+\end{definition}
+
+\begin{lemma} (Корректность определения показательной функции)~
+	
+	$(\forall x \in \R)\ (\forall \{r_n\} \subset \Q,\ \liml_{n \to \infty} r_n = x) \liml_{n \to \infty} a^{r_n} = a^x$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}~
+	
+	Доказательство проводится для $a > 1$. Для другого случая аналогично.
+	
+	Заметим, что обе последовательности $a^{-\frac{1}{n}} - 1$ и $a^{\frac{1}{n}} - 1$ стремятся к нулю. То есть
+	\[
+		(\forall \eps > 0)\ (\exists K \in \N)  \max(|a^{-\frac{1}{K}} - 1|, a^{\frac{1}{K}} - 1) < \eps
+	\]
+	Докажем, что $\{a^{r_n}\}$ - фундаментальная последовательность.
+	\[
+		a^{r_{n + p}} - a^{r_n} = a^{r_n} \cdot (a^{r_{n + p} - r_n} - 1)
+	\]
+	Так как $\{r_n\}$ сходится, то $(\exists M)  (\forall n \in \N)\ r_n \le M$. Отсюда
+	\[
+		a^{r_n} \le a^M
+	\]
+	Сама $\{r_n\}$ фундаментальна. То есть
+	\[
+		(\forall \eps > 0)\ (\exists N \in \N)  (\forall n > N, p \in \N)\ |r_{n + p} - r_n| < \eps \Ra\ \eps := \frac{1}{K},\ -\frac{1}{K} < r_{n + p} - r_n < \frac{1}{K}
+	\]
+	Следовательно
+	\[
+		a^{-\frac{1}{K}} - 1 < a^{r_{n + p} - r_n} - 1 < a^{\frac{1}{K}} - 1
+	\]
+	Ну а отсюда уже (перевыбрали окрестность из первого утверждения доказательства)
+	\[
+		|a^{r_{n + p} - r_n} - 1| < \max(|a^{-\frac{1}{K}} - 1|, |a^{\frac{1}{K}} - 1|) < \frac{\eps}{a^M}
+	\]
+	В итоге имеем
+	\[
+		|a^{r_n} \cdot (a^{r_{n + p} - r_n} - 1)| < a^{r_n} \cdot \frac{\eps}{a^M} < \eps
+	\]
+	Покажем, что у $\{a^{(x)_n}\}$ и $\{a^{r_n}\}$ одинаковые пределы. Для этого рассмотрим последовательность:
+	\[
+		z_n = \System{
+			&{r_k,\ n = 2k - 1}
+			\\
+			&{(x)_k,\ n = 2k}
+		}
+	\]
+	По определению предела
+	\begin{align*}
+		&(\forall \eps > 0)\ (\exists K_1 \in \N)  (\forall k > K_1)\ \left(|r_k - x| < \eps \lra |z_{2k - 1} - x| < \eps\right)
+		\\
+		&(\forall \eps > 0)\ (\exists K_2 \in \N)  (\forall k > K_2)\ \left(|(x)_k - x| < \eps \lra |z_{2k} - x| < \eps\right)
+	\end{align*}
+	Следовательно
+	\[
+		(\forall \eps > 0)\ (\exists N := 2 \cdot \max(K_1, K_2))  (\forall n > N)\ |z_n - x| < \eps
+	\]
+	То есть $\{z_n\}$ - сходящаяся последовательность рациональных чисел. А из доказанного это значит, что существует предел $\liml_{n \to \infty} a^{z_n}$. Но если $\liml_{n \to \infty} a^{r_n} \neq \liml_{n \to \infty} a^{(x)_n}$, то последовательность $\{a^{z_n}\}$ расходится. Отсюда заключаем, что
+	\[
+		(\forall x \in \R)\ (\forall \{r_n\} \subset \Q,\ \liml_{n \to \infty} r_n = x) \liml_{n \to \infty} a^{r_n} = a^x
+	\]
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Свойства показательной функции}
+
+\begin{enumerate}
+	\item $a^{x_1 + x_2} = a^{x_1} \cdot a^{x_2}$
+	\item $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$
+	\item $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$
+\end{enumerate}
+
+\begin{proof}
+	Докажем свойство суммы:
+	\[
+		\System{
+		\liml_{n \to \infty} (x_1)_n = x_1
+		\\
+		\liml_{n \to \infty} (x_2)_n = x_2
+		}
+		\Ra
+		\liml_{n \to \infty} \left((x_1)_n + (x_2)_n\right) = x_1 + x_2
+	\]
+	При этом
+	\begin{align*}
+		\liml_{n \to \infty} a^{(x_1)_n} = a^{x_1}
+		\\
+		\liml_{n \to \infty} a^{(x_2)_n} = a^{x_2}
+	\end{align*}
+	Тогда
+	\[
+		\liml_{n \to \infty} a^{(x_1)_n + (x_2)_n} = a^{x_1 + x_2}
+	\]
+	Второе свойство доказывается аналогично.
+	
+	Третье свойство уже сложнее. Пусть $x, y > 0$,
+	\begin{align*}
+		\{r'_n\} - \text{ возрастает к } x
+		\\
+		\{r''_n\} - \text{ убывает к } x
+		\\
+		\{p'_n\} - \text{ возрастает к } y
+		\\
+		\{p''_n\} - \text{ убывает к } y
+	\end{align*}
+	Отсюда цепочка неравенств:
+	\[
+		a^{r'_n \cdot p'_n} = (a^{r'_n})^{p'_n} \le (a^x)^{p'_n} \le (a^x)^y \le (a^x)^{p''_n} \le (a^{r''_n})^{p''_n} = a^{r''_n \cdot p''_n}
+	\]
+	Пределы обоих концов стремятся к $a^{x \cdot y}$, откуда уже по теореме о трёх последовательностях имеем нужное нам равенство.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+	$a^x$ - непрерывная функция на $\R$ $\forall a \in (0; 1) \cup (1; \infty)$
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}~
+	
+	$(\forall x_0 \in \R)~a^x - a^{x_0} = a^{x_0}(a^{x - x_0} - 1)$
+	
+	Это значит, что достаточно установить факт
+	\[
+		\liml_{x \to 0} a^x = 1
+	\]
+	Рассмотрим $|x| < \frac{1}{K}$ для произвольного $K$. Тогда
+	\[
+		a^{-\frac{1}{K}} - 1 < a^x - 1 < a^{\frac{1}{K}} - 1 \Ra |a^x - 1| < \max(|a^{-\frac{1}{K}} - 1|, |a^{\frac{1}{K}} - 1|)
+	\]
+	При этом
+	\[
+		(\forall \eps > 0)\ (\exists K \in \N)  \max(|a^{\frac{1}{K}} - 1|, |a^{-\frac{1}{K}} - 1|) < \eps
+	\]
+	Отсюда
+	\[
+		(\forall \eps > 0)\ (\exists \delta := \frac{1}{K}) (\forall x,\ |x| < \delta)\ \ |a^x - 1| < \eps
+	\]
+	Что и требовалось доказать.
+\end{proof}
+
+\begin{corollary} (Непрерывность логарифма)
+	$\log_a x$ - непрерывная функция на $(0; +\infty)$
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+	Будем считать $a > 1$. Начнём с доказательнства, что
+	\begin{align*}
+		&\sup\limits_{x \in \R} a^x = +\infty
+		\\
+		&\inf\limits_{x \in \R} a^x = 0
+	\end{align*}
+	Рассмотрим $x \in \N$ и $a = 1 + \alpha\ (\alpha > 0)$. По неравенству Бернулли
+	\[
+		(1 + \alpha)^x \ge 1 + x\alpha
+	\]
+	Следовательно, очень просто подобрать $x$ такое, что оно будет больше любого $M$. Отсюда неограниченность сверху. Теперь, посмотрим на значения при отрицательном аргументе:
+	\[
+		(1 + \alpha)^{-x} = \frac{1}{(1 + \alpha)^x} \le \frac{1}{1 + x\alpha}
+	\]
+	Отсюда следует инфинум, равный нулю.
+	
+	То есть $f((-\infty; +\infty)) = (0; +\infty)$, при этом $f(x) = a^x$ непрерывна и строго монотонна на всей области определения. По теореме об обратной функции \ref{inverse_function} это нам даёт, что $f^{-1}(y) := \log_a (y)$ строго монотонна и непрерывна на $(0; +\infty)$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Второй замечательный предел) \\
+	\[
+		\liml_{x \to 0} (1 + x)^{1 / x} = e
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Положим $0 < x < 1$.
+	\[
+		n_x := \left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor
+	\]
+	\[
+		n_x \le \frac{1}{x} < n_x + 1 \Ra \frac{1}{n_x + 1} < x \le \frac{1}{n_x}
+	\]
+	Рассмотрим функцию
+	\[
+		f(x) = \left(1 + \frac{1}{n_x}\right)^{n_x + 1}
+	\]
+	Положим $x_1 < x_2$. Следовательно
+	\[
+		\frac{1}{x_2} < \frac{1}{x_1} \Ra n_{x_2} \le n_{x_1} \Ra f(x_2) \ge f(x_1) \ge 1 \text{ (в силу последовательности числа Эйлера)}
+	\]
+	По теореме Вейерштрасса предел $f(x)$ существует.
+	
+	Сделаем замечательное наблюдение:
+	\[
+		f\left(\frac{1}{n}\right) = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \Ra \liml_{n \to \infty} f(1/n) = e
+	\]
+	Напишем цепочку неравенств:
+	\begin{align*}
+		&(1 + x)^{1 / x} \ge (1 + x)^{n_x} > \left(1 + \frac{1}{n_x + 1}\right)^{n_x}
+		\\
+		&(1 + x)^{1 / x} \le \left(1 + \frac{1}{n_x}\right)^{1 / x} < \left(1 + \frac{1}{n_x}\right)^{n_x + 1}
+	\end{align*}
+	Крайняя левая и крайняя правая оценки стремятся к $e$. А значит
+	\[
+		\liml_{x \to 0+} f(x) = e
+	\]
+	Осталось доказать левый предел. Сделаем замену $x = -y$:
+	\begin{multline*}
+		\liml_{x \to 0-} (1 + x)^{1 / x} = \liml_{y \to 0+} (1 - y)^{-1/y} = \\
+		\liml_{y \to 0+} \frac{1}{(1 - y)^{1/y}} = \liml_{y \to 0+} \left(\frac{1}{1 - y}\right)^{1 / y} = \\
+		\liml_{y \to 0+} \left(1 + \frac{y}{1 - y}\right)^{1 / y} = \liml_{t \to 0+} (1 + t)^{\frac{1 - t}{t}} = \\
+		\liml_{t \to 0+} (1 + t)^{1 / t} \cdot \frac{1}{1 + t} = e \cdot 1 = e
+	\end{multline*}
+	По теореме о связи предела с односторонними пределами, в итоге получаем
+	\[
+		\liml_{x \to 0} (1 + x)^{1 / x} = e
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+	$\forall a \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$
+	\begin{enumerate}
+		\item $\liml_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$
+		\item $\liml_{x \to 0} \frac{\log_a (1 + x)}{x} = \frac{1}{\ln a}$
+		\item $\liml_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$
+	\end{enumerate}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}~
+	
+	\begin{enumerate}
+		\item Введём $g(y)$:
+		\[
+			g(y) = \System{
+			&{(1 + y)^{1 / y},\ y \neq 0}
+			\\
+			&{e, y = 0}
+			}
+		\]
+		В силу второго замечательного предела
+		\[
+			\liml_{y \to 0} (1 + y)^{1 / y} = e = g(0)
+		\]
+		То есть, $g(y)$ непрерывна в 0. Дополнительно введём $y = f(x) = 1 / x$. Для этой функции есть предел
+		\[
+			\liml_{x \to \infty} f(x) = 0
+		\]
+		По теореме о пределе композиции функций получим
+		\[
+			\liml_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \liml_{x \to \infty} g(f(x)) = g(0) = e
+		\]
+		
+		\item В силу непрерывности логарифма в 1 применим композицию:
+		\[
+			\liml_{x \to 0} \frac{\log_a (1 + x)}{x} = \liml_{x \to 0} \log_a((1 + x)^{1 / x}) = \log_a(\liml_{x \to 0} (1 + x)^{1 / x}) = \log_a e = \frac{1}{\ln a}
+		\]
+		
+		\item Положим $f(x) = a^x - 1$. Если выразить $x$ через $y = f(x)$, то получится
+		\[
+			x = \log_a (y + 1)
+		\]
+		А выражение предела получает вид
+		\[
+			\frac{a^x - 1}{x} = \frac{y}{\log_a (y + 1)}
+		\]
+		Если подставить в такое выражение $y = 0$, то мы получим неопределённость. Это можно исправить, определив $g(y)$ как
+		\[
+			g(y) := \System{
+				&{\frac{y}{\log_a (y + 1)},\ y \neq 0}
+				\\
+				&{\ln a,\ y = 0}
+			}
+		\]
+		Посчитаем предел
+		\[
+			\liml_{y \to 0} g(y) = \liml_{y \to 0} \frac{1}{\frac{1}{g(y)}} = \liml_{y \to 0} \frac{1}{\frac{\log_a (y + 1)}{y}} = \frac{1}{\frac{1}{\ln a}} = \ln a
+		\]
+		То есть $g(y)$ непрерывно в 0. При этом
+		\[
+			\liml_{x \to 0} f(x) = 1 - 1 = 0
+		\]
+		По теореме о композиции функций получим
+		\[
+			\liml_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \liml_{x \to 0} g(f(x)) = g(0) = \ln a
+		\]
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Гиперболические функции}
+
+\begin{definition}
+	\begin{align*}
+		&{\sh x := \frac{e^x - e^{-x}}{2} - \text{ гиперболический синус}}
+		\\
+		&{\ch x := \frac{e^x + e^{-x}}{2} - \text{ гиперболический косинус}}
+		\\
+		&{\th x := \frac{\sh x}{\ch x}}
+		\\
+		&{\cth x := \frac{\ch x}{\sh x}}
+	\end{align*}
+\end{definition}
+
+Все гиперболические функции непрерывны на своих областях определения.
+
+\subsubsection*{Свойства гиперболических функций}
+
+\begin{enumerate}
+	\item $\ch^2 x - \sh^2 x = 1$ - основное гиперболическое тождество
+	\item $\ch^2 x + \sh^2 x = \ch 2x$
+	\item $2 \cdot \sh x \cdot \ch x = \sh 2x$
+\end{enumerate}
+
+\subsubsection*{Обратные функции}
+
+\[
+	y = \sh x \lra x = \Arsh y
+\]
+В этом нет смысла, так как можно решить уравнение явно
+\[
+	y = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \lra e^{2x} - 2ye^x - 1 = 0 \lra x = \ln (y + \sqrt{y^2 + 1})
+\]
+
+\begin{addition}
+	$\liml_{x \to 0} \frac{\sh x}{x} = \liml_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \liml_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} - \frac{e^{-x} - 1}{2z} = \frac{1}{2} + \liml_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{2t} = 1$
+\end{addition}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/13lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/13lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..4cbc2ad7
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/13lecture.tex
@@ -0,0 +1,401 @@
+\subsection{Сравнение функций}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $f(x) = \lambda(x) \cdot g(x)$ справедливо в некоторой
+	проколотой окрестности точки $x_0$.
+	\begin{enumerate}
+		\item Если $\lambda(x)$ ограничена в
+		этой проколотой окрестности, то
+		$f(x) = O(g(x))$ при $x \to x_0$
+		
+		\item Если $\liml_{x \to x_0} \lambda(x) = 0$,
+		то $f(x) = o(g(x))$ при $x \to x_0$
+		
+		\item Если $\liml_{x \to x_0} \lambda(x) = 1$,
+		то $f(x) \sim g(x)$ при $x \to x_0$. ($f$ эквивалентно $g$)
+	\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+	Другое определение. Если $g(x) \neq 0$ в некоторой проколотой
+	окрестности точки $x_0$, то
+	\begin{enumerate}
+		\item $\frac{f(x)}{g(x)}$ ограничена в
+		некоторой проколотой окрестности $x_0$, то
+		$f(x) = O(g(x))$ при $x \to x_0$
+		
+		\item $\liml_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$, то
+		$f(x) = o(g(x))$ при $x \to x_0$
+		
+		\item $\liml_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$, то
+		$f(x) \sim g(x)$ при $x \to x_0$
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Положим $\lambda(x) := \frac{f(x)}{g(x)}$. А дальше всё уже следует из сказанного выше.
+\end{proof}
+
+\begin{examples}~
+	\begin{enumerate}
+		\item $\sin x \cdot \sin \frac{1}{x} =
+		O(\sin \frac{1}{x})$ при $x \to 0$.
+
+		\item $x \cdot \sin \frac{1}{x}
+		= o(\sin \frac{1}{x})$ при $x \to 0$.
+
+		\item $\sin x \cdot \sin \frac{1}{x}
+		\sim x \cdot \sin \frac{1}{x}$ при $x \to 0$.
+	\end{enumerate}
+\end{examples}
+
+\begin{theorem} (Связь эквивалентных и б.м.)
+	$f(x) \sim g(x)$ при $x \to x_0 \lra f(x) = g(x)
+	+ o(g(x))$ при $x \to x_0$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Необходимость $(\Ra)$. Положим $f(x) \sim g(x)$ при $x \to x_0$. Тогда
+	\[
+		f(x) = \lambda(x) \cdot g(x),\ \liml_{x \to x_0} \lambda(x) = 1 \Ra
+	\]
+	\[
+		f(x) - g(x) = (\lambda(x) - 1) \cdot g(x),\ \liml_{x \to x_0} (\lambda(x) - 1) = 0 \Ra f(x) - g(x) = o(g(x))
+	\]
+	Достаточность доказывается аналогично. 
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Использование эквивалентных при вычислении пределов)
+	
+	Если $f_1(x) \sim f_2(x)$ и $g_1(x) \sim 
+	g_2(x)$ при $x \to x_0$ , то
+	\[
+		\liml_{x \to x_0} f_1(x) \cdot g_1(x) =
+		\liml_{x \to x_0} f_2(x) \cdot g_2(x)
+	\]
+	А также
+	\[
+		\liml_{x \to x_0} \frac{g_1(x)}{f_1(x)} =
+		\liml_{x \to x_0} \frac{g_2(x)}{f_2(x)}
+	\]
+	при условии, что хотя бы один из пределов в
+	каждом равенстве существует
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}~
+
+	Из условия следует: $f_1(x) = \lambda_1(x) \cdot f_2(x)$ и
+	$g_1(x) = \lambda_2(x) \cdot g_2(x)$
+
+	\[
+		f_1(x) \cdot g_1(x) = \lambda_1(x) \cdot \lambda_2(x) \cdot 
+		g_2(x) \cdot f_2(x) \Ra
+	\]
+	\[
+		\liml_{x \to x_0} \left(f_1(x) \cdot g_1(x)\right) =
+		\liml_{x \to x_0} \left(\lambda_1(x) \cdot \lambda_2(x) \cdot 
+		g_2(x) \cdot f_2(x)\right) = \liml_{x \to x_0}
+		\left(f_2(x) \cdot g_2(x)\right)
+	\]
+	
+	Для дробей доказательство аналогично.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	\[
+		\sin x \sim \tg x \sim (e^x - 1) \sim \ln(1 + x)
+		\sim \sh x \sim \th x \sim \arcsin x \sim \arctg x
+		\sim x,\ x \to 0
+	\]
+	\[
+		\sh x := \frac{e^x - e^{-x}}{2};\ 
+		\ch x := \frac{e^x + e^{-x}}{2};\ 
+		\th x := \frac{\sh x}{\ch x};\ 
+		\cth x := \frac{\ch x}{\sh x}
+	\]
+	\[
+		\ch^2 x - \sh^2 x = 1;\ \sh(2x) = 2 \sh x \ch x;
+		\ \ch(2x) = \ch^2 x + \sh^2 x
+	\]
+\end{proposition}
+
+%\begin{note}
+%	Мы можем писать $o(f) = O(f)$ и подобное, подразумевая, что на самом деле мы рассматриваем некоторое $g = o(f)$
+%\end{note}
+
+
+\begin{definition}
+	Если $f = O(g)$ и $g = O(f)$ при $x \to x_0$,
+	то говорят, что $f \asymp g$
+\end{definition}
+
+
+\section{Дифференциальное исчисление функций одной переменной}
+
+\subsection{Производная}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $y = f(x)$ определена в некоторой окрестности
+	точки $x_0 \in \R$.
+	
+	\textit{Приращением} $\Delta y$ этой функции в
+	точке $x_0$, отвечающим приращению аргумента
+	$\Delta x$, называется $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.
+	
+	\textit{Производной} функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ называется предел (если он существует и конечен)
+	\[
+		\liml_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \liml_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} =: f'(x_0)
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} \label{diff_function_to_cont}
+	Если функция имеет производную в точке $x_0$,
+	то она непрерывна в этой точке.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	По условию,
+	\[
+		\liml_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} =
+		f'(x_0) + \alpha(x),\ \liml_{x \to x_0} \alpha(x) = 0
+	\]
+	Следовательно,
+	\[
+		f(x) - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) + \alpha(x)(x - x_0)
+	\]
+	при $x \to x_0$. Перенесём $f(x_0)$ в другую сторону
+	и в предельном переходе получим, что
+	\[
+		\liml_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) + 0 + 0 = f(x_0)
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Арифметические операции и производные)
+	Если $\exists f'(x_0)$ и $g'(x_0)$, то
+	\begin{enumerate}
+		\item $\exists (f \pm g)'(x_0) = f'(x_0) \pm g'(x_0)$
+		
+		\item $\exists (f \cdot g)'(x_0) =
+		f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0)$
+		
+		\item Если $g(x_0) \neq 0$, то
+		$\exists \left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) =
+		\frac{f'(x_0) \cdot g(x_0) - f(x_0) \cdot g'(x_0)}{g^2(x_0)}$
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}~
+	\begin{enumerate}
+		\item 
+		\[
+			f'(x_0) = \liml_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0},\ 
+			g'(x_0) = \liml_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}
+		\]
+		Отсюда
+		\[
+			\liml_{\Delta x \to 0}
+			\frac{\Delta (f(x) \pm g(x))}{\Delta x} = 
+			\liml_{x \to x_0} \frac{(f(x) \pm g(x)) -
+			(f(x_0) \pm g(x_0))}{x - x_0} = \liml_{x \to x_0}
+			\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \pm \liml_{x \to x_0}
+			\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}
+		\]
+		
+		\item Аналогично первому,
+		\begin{multline*}
+			\liml_{x \to x_0} \frac{(f \cdot g)(x) - (f \cdot g)(x_0)}{x - x_0} =
+			\liml_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x)}{x - x_0} =\\
+			= \liml_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x)}{x - x_0} +
+			\liml_{x \to x_0} \frac{f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x_0)}{x - x_0} = \\
+			= \liml_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot g(x) + f(x_0)
+			\cdot \liml_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}
+		\end{multline*}
+		Что в предельном переходе даёт
+		\[
+			f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0).
+		\]
+		
+		\item Аналогично первому и второму,
+		\begin{multline*}
+			\liml_{x \to x_0} \frac{(\frac{f}{g})(x) -
+			(\frac{f}{g})(x_0)}{x - x_0} =
+			\liml_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x_0) - f(x_0)g(x)}{g(x)g(x_0)(x - x_0)} =\\
+			= \liml_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x_0) - f(x_0)g(x_0)}{g(x)g(x_0)(x - x_0)} +
+			\liml_{x \to x_0} \frac{f(x_0)g(x_0) - f(x_0)g(x)}{g(x)g(x_0)(x - x_0)}
+		\end{multline*}
+		В предельном переходе получим
+		\[
+			\frac{g(x_0)f'(x_0)}{g^2(x_0)} - \frac{f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}
+		\]
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Производные основных элементарных функций)
+	Для всех $x_0$ из областей определения соответствующих
+	функций справедливы равенства:
+	\begin{enumerate}
+		\item $(\sin x)' \big|_{x = x_0} = \cos x_0$
+		\item $(\cos x)' \big|_{x = x_0} = -\sin x_0$
+		\item $(\tg x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{\cos^2 x_0}$
+		\item $(\ctg x)' \big|_{x = x_0} = -\frac{1}{\sin^2 x_0}$
+		\item $(x^b)' \big|_{x = x_0} = b \cdot x_0^{b - 1}\ (x > 0)$
+		\item $(b^x)' \big|_{x = x_0} = b^{x_0} \ln b$
+		\item $(\sh x)' \big|_{x = x_0} = \ch x_0$
+		\item $(\ch x)' \big|_{x = x_0} = \sh x_0$
+		\item $(\th x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{\ch^2 x_0}$
+		\item $(\cth x)' \big|_{x = x_0} = -\frac{1}{\sh^2 x_0}$
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Рутинно
+	\begin{enumerate}
+		\item 
+			$\liml_{x \to x_0} \frac{\sin x - \sin x_0}{x - x_0} =
+			\liml_{x \to x_0} \frac{2 \sin \frac{x - x_0}{2}
+			\cos \frac{x + x_0}{2}}{x - x_0} =
+			\left[\sin \frac{x - x_0}{2} \sim \frac{x - x_0}{2},\ x \to x_0\right]
+			= \liml_{x \to x_0}	\cos \frac{x + x_0}{2} = \cos x_0$
+			
+		\item 
+			$\liml_{x \to x_0} \frac{\cos x - \cos x_0}{x - x_0} =
+			\liml_{x \to x_0} \frac{-2 \sin \frac{x - x_0}{2}
+			\sin \frac{x + x_0}{2}}{x - x_0} =
+			\liml_{x \to x_0} (-\sin \frac{x + x_0}{2}) = -\sin x_0$
+		
+		\item Аналогично
+		\item Аналогично
+
+		\item 
+		\begin{multline*}
+			\liml_{x \to x_0} \frac{x^b - x_0^b}{x - x_0} = 
+			x_0^b \liml_{x \to x_0} \frac{\left(\frac{x}{x_0}\right)^b - 1}{x - x_0} = \\
+			= x_0^b \liml_{x \to x_0} \frac{e^{b \ln \frac{x}{x_0}} - 1}{x - x_0} =
+			\left[e^{b \ln \frac{x}{x_0}} - 1 \sim
+			b \ln \frac{x}{x_0},\ x \to x_0\right] =
+			x_0^b \liml_{x \to x_0} \frac{b \ln \frac{x}{x_0}}{x - x_0} = \\
+		    = x_0^b \cdot b \cdot \liml_{x \to x_0}
+			\frac{\ln(1 + \frac{x - x_0}{x_0})}{x - x_0} =
+			\left[\ln \left(1 + \frac{x - x_0}{x_0}\right) \sim
+			\frac{x - x_0}{x_0},\ x \to x_0\right] =
+			x_0^b \cdot b \cdot \liml_{x \to x_0} \frac{x - x_0}{x_0(x - x_0)}
+			= b \cdot x_0^{b - 1}
+		\end{multline*}
+		
+		\item
+		\[
+			\liml_{x \to x_0} \frac{b^x - b^{x_0}}{x - x_0} =
+			b^{x_0} \liml_{x \to x_0} \frac{e^{(x - x_0)\ln b } - 1}{x - x_0} =
+			\left[ e^{(x - x_0)\ln b} - 1 \sim  (x - x_0)\ln b,\ x \to x_0 \right] =
+			b^{x_0} \cdot \ln b
+		\]
+		
+		\item
+		\[
+			(\sh x)' \big|_{x = x_0} =
+			\left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)' =
+			\frac{1}{2}\left(e^{x_0} -
+			\left(\frac{1}{e^x}\right)'\right) =
+			\frac{1}{2}\left(e^{x_0} - \frac{-e^{x_0}}{e^{2a}}\right) =
+			\frac{e^{x_0} + e^{-x_0}}{2} = \ch x_0
+		\]
+		
+		\item Аналогично
+		\item Аналогично
+
+		\item
+			$(\cth x)' \big|_{x = x_0} =
+			\left(\frac{\ch x}{\sh x}\right)' =
+			\frac{(\ch x)' \cdot \sh x_0 - \ch x_0 \cdot
+			(\sh x)'}{\sh^2 x_0} =\frac{\sh^2 x_0 - \ch^2 x_0}{\sh^2 x_0} =
+			-\frac{1}{\sh^2 x_0}$
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} \label{inverse_function_derivative}
+	(Производная обратной функции)
+	Если $f(x)$ непрерывна и строго монотонна на
+	$[x_0 - \delta,\ x_0 + \delta],\ \delta > 0$ и $\exists f'(x_0) \neq 0$,
+	то обратная функция $f^{-1}$ имеет производную в точке
+	$f(x_0)$, равную
+	\[
+		(f^{-1})'(f(x_0)) = \frac{1}{f'(x_0)}
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Во первых, обратная функция определена, непрерывна и
+	строго монотонна на интервале $f([x_0 - \delta,\ x_0 + \delta])$ по
+	теореме об обратной функции \ref{inverse_function}.
+	Для краткости обозначим $\varphi = f^{-1}$. Для определённости
+	будем считать $f$ - возрастающей функцией. Тогда $\varphi$
+	определена на $y \in [f(x_0 - \delta); f(x_0 + \delta)],\ y_0 = f(x_0)$.
+	По определению производной, нам надо найти предел
+	\[
+		\liml_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta \varphi(y_0)}{\Delta y}
+	\]
+	$\varphi$ непрерывна в т. $y_0 \Ra
+	\liml_{\Delta y \to 0} \Delta \varphi(y_0) = 0$
+	по теореме о непрерывности функции, имеющей производную в точке
+	\ref{diff_function_to_cont}. $\varphi$ возрастает и
+	$\Delta y \neq 0 \Ra \Delta \varphi(y_0) \neq 0$. Тогда пусть
+	\[
+		\Delta x := \Delta \varphi(y_0) =
+		\varphi(y_0 + \Delta y) - \varphi(y_0)
+	\]
+	Тогда
+	\[
+		\varphi(y_0 + \Delta y) = \varphi(y_0) + \Delta x =
+		x_0 + \Delta x \Ra y_0 + \Delta y = f(x_0 + \Delta x)
+	\]
+	То есть
+	\[
+		f(x_0 + \Delta x) - y_0 = y_0 + \Delta y - y_0 = \Delta y
+	\]
+	Отсюда исходный предел выражается как
+	\[
+		\frac{\varphi(y_0 + \Delta y) -
+		\varphi(y_0)}{\Delta y} =
+		\frac{\Delta x}{\Delta y} =
+		\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} =
+		\underset{\Delta x \to 0}{\to}		
+		\frac{1}{f'(x_0)}
+	\]
+	\[
+		\liml_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta \varphi(y_0)}{\Delta x}=
+		\liml_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} =
+		\frac{1}{f'(x_0)}
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{anote}
+	Возможно, корректность подмены
+	$\Delta y$ на $\Delta x$ в последнем переходе
+	неочевидна для читателя. В таком случае обратим внимание
+	на то, что справедливость этого преобразования следует
+	из определения предела по Гейне:
+	\begin{align*}
+		& \left(\forall \{\Delta x_n\}
+		\subset [- \delta,\ \delta] \bs \{0\}\ \liml_{n \to \infty} \Delta x_n = 0\right)
+		\ \liml_{n \to \infty} f(\Delta x_n) = A\\
+		& \left(\forall \{\Delta y_n\}
+		\subset f([- \delta,\ \delta]) \bs \{0\}\ \liml_{n \to \infty} \Delta y_n = 0\right)
+		\ \liml_{n \to \infty} f(\Delta y_n) = B
+	\end{align*}
+	Из определения $\Delta x$ в доказательстве ясно, что
+	$\liml_{\Delta y \to 0} \Delta x = 0$ (это верно в силу непрерывности
+	$\varphi$ и $f$). Тогда скажем, что $\Delta x$ --- это функция от
+	$\Delta y$.
+	\begin{align*}
+		& \left(\forall \{\Delta y_n\}
+		\subset f([- \delta,\ \delta]) \bs \{0\}\ 
+		\liml_{n \to \infty} \Delta y_n = 0\right)
+		\ \liml_{n \to \infty} \Delta x(\Delta y_n) = 0
+	\end{align*}
+	Осталось только заменить в изначальном определении $\Delta y_n$
+	на $\Delta x_n$, где $\Delta x_n = \Delta x(\Delta y_n)$.
+	Выполнив данное действие, мы увидим, что $A = B$, то есть мы
+	совершенно безнаказанно заменили $\Delta y$ на $\Delta x$
+	внутри предела (читатель может убедиться собственноручно,
+	что так же справедлива замена $\Delta x$ на $\Delta y$).
+\end{anote}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/14lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/14lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..e9e0fd5f
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/14lecture.tex
@@ -0,0 +1,397 @@
+\begin{corollary} (Производные обратных тригонометрических и логарифмических функций)
+	Для всех $x_0$ из интервалов, входящих в область определения, справедливы равенства:
+	\begin{align*}
+		&(\arcsin x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - x_0^2}}
+		\\
+		&(\arccos x)' \big|_{x = x_0} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x_0^2}}
+		\\
+		&(\arctg x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{1 + x_0^2}
+		\\
+		&(\arcctg x)' \big|_{x = x_0} = -\frac{1}{1 + x_0^2}
+		\\
+		&(\log_b x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{x_0 \cdot \ln b},\ b \in (0; 1) \cup (1; +\infty)
+	\end{align*}
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+	\[
+	(\arcsin x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{(\sin y) \big|_{y = \arcsin x_0}} = \frac{1}{\cos(\arcsin x_0)}
+	\]
+	Так как $\arcsin x_0 \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то
+	\[
+	(\arcsin x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(\arcsin x_0)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x_0^2}}
+	\]
+	
+	\[
+	(\arctg x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{(\tg y)' \big|_{y = \arctg x_0}} = \cos^2 (\arctg x_0) = \frac{1}{\tg^2 (\arctg x_0) + 1} = \frac{1}{1 + x_0^2}
+	\]
+	С $\arcctg$ и $\arccos$ аналогично.
+	\[
+	(\log_b x)' \big|_{x = x_0} = \frac{1}{(b^y)' \big|_{y = \log_b x_0}} = \frac{1}{b^{\log_b x_0} \cdot \ln b} = \frac{1}{x_0 \cdot \ln b}
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{note}
+	Предположение непрерывности функции в окрестности точки $x_0$ существенно.
+\end{note}
+
+\begin{example}
+	Определим $y = f(x)$ как
+	\[
+	f\left(\frac{1}{n}\right) = f\left(\frac{1}{n} + 0\right) := \frac{1}{2n - 1},\ \forall n \in \N
+	\]
+	При этом
+	\[
+	f\left(\frac{1}{n} - 0\right) := \frac{1}{2n}
+	\]
+	А также
+	\[
+	\System{
+		&{f(0) := 0}
+		\\
+		&{f(-x) := -f(x)}
+		\\
+		&{f \text{ линейна на } \bigg[\frac{1}{n}; \frac{1}{n - 1}\bigg)}\ \forall n \in \N
+	}
+	\]
+	%%% Здесь нужен график функции. 11я лекция 2019 года 56:05
+	Сузим данную функцию на отрезок $[-1; 1]$ и посчитаем её производную в нуле:
+	
+	В силу нечётности достаточно посмотреть предел $\liml_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Рассмотрим такое $\Delta x$, что
+	\[
+	\Delta x \in \bigg[\frac{1}{n}; \frac{1}{n - 1}\bigg)
+	\]
+	Оценим дробь предела:
+	\[
+	\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(\Delta x)}{\Delta x}
+	\]
+	Так как $f$ линейна на полуинтервале, то
+	\[
+	\frac{n - 1}{2n - 1} = \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n - 1}} < \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)}{\Delta x} < \frac{f(\Delta x)}{\Delta x} < \frac{f\left(\frac{1}{n - 1} - 0\right)}{\Delta x} < \frac{f\left(\frac{1}{n - 1} - 0\right)}{\frac{1}{n}} = \frac{n}{2n - 2}
+	\]
+	Обе оценки стремятся к $\frac{1}{2}$. Стало быть
+	\[
+	\liml_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \liml_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(0) = \frac{1}{2}
+	\]
+	При этом функция на $[-1; 1]$ непрерывной не является. Посмотрим на образ этого отрезка:
+	\[
+	f([-1; 1]) = [-1; 1] \bs \bigcup\limits_{n = 1}^\infty \left(\bigg[\frac{1}{2n}; \frac{1}{2n - 1}\bigg) \cup \bigg(-\frac{1}{2n - 1}; -\frac{1}{2n}\bigg]\right)
+	\]
+	Это же множество будет являться областью определения обратной функции. Но как видно из записи, образ $[-1; 1]$ не включает в себя ни одну окрестность нуля $\Ra$ обратная функция не имеет окрестности нуля, в которой она всюду определена и потому не имеет производной в нуле.
+\end{example}
+
+\subsection{Дифференцируемость}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $f$ определена в $U(x_0)$, тогда функция $y = f(x)$ называется \textit{дифференцируемой} в точке $x_0 \in \R$, если её приращение, отвечающее приращению аргумента $\Delta x$, в этой точке может быть записано в виде
+	\[
+	\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x),\ \Delta x \to 0
+	\]
+	где $A \in \R$.
+	
+	Выражение $A\Delta x$ называется \textit{дифференциалом} функции $y = f(x)$ в точке $x_0$. Обозначается как $dy := A \Delta x$
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+	(Дифференцируемость и производная) Функция $y = f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда она имеет производную в этой точке. При этом $A$ в точности равно $f'(x_0)$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Пусть $f$ дифференцируема в точке $x_0$. То есть
+	\[
+	\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x),\ \Delta x \to 0
+	\]
+	Так как функция определена в окрестности нуля, то мы можем записать
+	\[
+	\frac{\Delta y}{\Delta x} = A + o(1),\ \Delta x \to 0
+	\]
+	Отсюда имеем
+	\[
+	\liml_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A = f'(x_0)
+	\]
+	В обратную сторону доказывается аналогично.
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}~
+	\begin{itemize}
+		\item Если $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то она непрерывна в точке $x_0$.
+		
+		\item Если $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то $df(x_0) = f'(x_0) \Delta x$
+		
+		\item Если $f, g$ дифференцируемы в точке $x_0$, то $f \pm g, fg, \frac{f}{g}$(если $g'(x_0) \neq 0$) дифференцируемы в точке $x_0$ и равны $(f'(x_0) \pm g'(x_0))\Delta x, (f(x_0)g'(x_0) + g(x_0)f'(x_0))\Delta x, \frac{f'(x_0)g(x_0) - f(x_0)g'(x_0)}{g(x_0)^2}\Delta x$ соответственно
+		
+		В частности $dx = 1 \Delta x$, отсюда обозначение $\Delta x = dx$
+		
+		Если $y = f(x)$, то $dy = df(x) = f'(x)dx \Ra f'(x) = \frac{dy}{dx}$
+	\end{itemize}
+\end{corollary}
+
+\begin{note}
+	Первое следствие верно лишь в одну сторону
+\end{note}
+
+\begin{example}
+	$y = |x|$. Тогда если рассмотреть $x_0 = 0$
+	$\liml_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0,\ \Delta y = |\Delta x|$
+	При этом рассмотрим односторонние пределы:
+	\begin{align*}
+		\liml_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \liml_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1
+		\\
+		\liml_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \liml_{\Delta x \to 0-} -\frac{\Delta x}{\Delta x} = -1
+	\end{align*}
+\end{example}
+
+\begin{note}
+	Если смотреть предел производной лишь с одной стороны, то можно говорить о правосторонней и левосторонней производной.
+\end{note}
+
+\begin{example}
+	\[
+	y = \System{&{x \sin \frac{1}{x},\ x \neq 0} \\ &{0,\ x = 0}}
+	\]
+	Здесь предела в точке 0 нет вообще
+	\[
+	\liml_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \liml_{\Delta x \to 0} \sin \frac{1}{\Delta x}
+	\]
+\end{example}
+
+\begin{theorem} (Дифференцируемость сложной функции)
+	Если $v = f(y)$ дифференцируема в точке $g(x_0)$, функция $y = g(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то композиция $u = h(x) = f(g(x))$ дифференцируема в точке $x_0$, причём $h'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)$
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Выпишем всё, что нам даёт условие:
+	\begin{align*}
+		&{\Delta u = f'(g(x_0))\Delta y + o(\Delta y),\ \Delta y \to 0}
+		\\
+		&{\Delta u = f(g(x_0) + \Delta y) - f(g(x_0))}
+		\\
+		&{\Delta y = g'(x_0)\Delta x + o(\Delta x),\ \Delta x \to 0}
+		\\
+		&{\Delta y = g(x_0 + \Delta x) - g(x_0)}
+	\end{align*}
+	Сразу отметим то, что если $\Delta x \to 0$, то и $\Delta y \to 0$. Это следует, например, из третьей строки. Значит, $o(\Delta y)$ является также и $o(\Delta x)$: если $\alpha = o(\Delta y(\Delta x))$, то её можно записать как
+	\[
+	\alpha(\Delta y(\Delta x)) = \lambda(\Delta x) \cdot \Delta y(\Delta x) = \lambda(\Delta x) \cdot (g'(x_0) + o(1))\Delta x
+	\]
+	
+	При этом $\lambda(\Delta x) \cdot (g'(x_0) + o(1)) \xrightarrow[\Delta x \to 0]{} 0$ Значит, $\alpha = o(\Delta x)$.
+	
+	Подставим во вторую строку четвёртую. Получим следующее утверждение:
+	\[
+	\Delta u = f(g(x_0) + g(x_0 + \Delta x) - g(x_0)) - f(g(x_0)) = h(x_0 + \Delta x) - h(x_0) = \Delta h, \Delta x \to 0
+	\]
+	Подставим теперь в первую строку третью и получим нужный результат:
+	\[
+	\Delta h = \Delta u = f'(g(x_0))g'(x_0) \cdot \Delta x + \underbrace{f'(g(x_0)) \cdot o(\Delta x) + o(\Delta y)}_{o(\Delta x)},\ \Delta x \to 0
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{corollary} (Инвариантность формы первого дифференциала)
+	Формула для дифференциала $dy = f'(x_0)dx$ справедлива как в случае, когда $x$ - независимая переменная, так и в случае, когда $x$ является функцией от другой переменной.
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+	Пусть $x = g(t), y = f(x)$. Тогда
+	\[
+	y = f(x) = f(g(t)) =: h(t)
+	\]
+	Положим $x_0 = g(b)$.
+	\begin{align*}
+		&h'(b) = f'(x_0) \cdot g'(b)
+		\\
+		&dx = g'(b)dt
+	\end{align*}
+	Распишем $dy$:
+	\[
+	dy = h'(b) \cdot dt = f'(x_0) \cdot g'(h) dt = f'(x_0) dx
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Если $x = \phi(t), y = \psi(t), x_0 < t < b$, причём $\psi, \phi$  дифференцируемы на $(x_0, b)$ и $\phi(t)$ строго монотонна на $(x_0, b)$, тогда определена функция $y = f(x)$, которая называется \textit{функцией, заданной параметрически.}
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+	Функция, заданная параметрически, $y = f(x)$(где $y = \psi(t), x = \phi(t), x_0 < t < b$) дифференцируема в точке $t_0$, если $\phi'(t_0) \neq 0$, причём $f'(x_0) = \frac{\psi'(t_0)}{\phi'(t_0)}$, где $x_0 = \phi(t_0)$
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	По теореме о существовании обратной функции \ref{for_back} $\Ra \exists \phi^{-1}$
+	\[
+		t = \phi^{-1}(x)
+	\]
+	Тогда из
+	\[
+		y = f(\phi(t)) = \psi(t)
+	\]
+	Следует
+	\[
+		f(x) = \psi(\phi^{-1}(x))
+	\]
+	По теореме о производной обратной функции \ref{inverse_function_derivative}
+	$\exists (\phi^{-1})'(x_0)$, а значит 
+	\[
+		f'(x_0) = \psi'(t_0)(\phi^{-1})'(x_0) = \frac{\psi'(t_0)}{\phi'(t_0)}
+	\]
+	Существование производной в точке влечёт за собой дифференцируемость в точке
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Графиком} функции $y = f(x), x \in I \subset \R$ называется множество $\{(x, y): x \in I \wedge y = f(x)\} \in \R^2$.
+	
+	Для функции $f$, определённой на $U_{\delta_0}(x_0)$, \textit{секущей} её графика называется прямая, проходящая через точки $(x_0, f(x_0))$ и $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$, где $0 < \Delta x < \delta_0$. Её угловой коэффициент обозначается через $k$, если $\exists \liml_{\Delta x \to 0}k \in \overline{\R} = l$, то этот предел называется угловым коэффициентом касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, f(x_0))$.
+	
+	\textit{Касательной} к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0; f(x_0))$ называется прямая, проходящая через точку $(x_0, f(x_0))$ с угловым коэффициентом $l$, то есть прямая $y - f(x_0) = l(x - x_0)$, а для $l \in \overline{\R} \setminus \R$ это будет $x = x_0$
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+	Касательная - это предельное положение секущей
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	Уравнение секущей имеет вид
+	\[
+	\frac{y - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
+	\]
+	То есть
+	\[
+	y - f(x_0) = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} (x - x_0)
+	\]
+	В пределе это выражение принимает вид
+	\[
+		y - f(x_0) = l(x - x_0)
+	\]
+	Для бесконечного $l$ можно переписать равенство в виде
+	\[
+		x - x_0 = \liml_{\Delta x \to 0} \frac{y - f(x_0)}{\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}} = 0 \lra x = x_0
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Если предел $\liml_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = +\infty$ или $-\infty$ и $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, то будем говорить, что $f'(x_0)$ равна $+\infty$ или $-\infty$ соответственно.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+	$f(x) = \sqrt[3]{x}$. Посчитаем $f'(0)$:
+	\[
+	f'(0) = \liml_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt[3]{\Delta x}}{\Delta x} = \liml_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{(\Delta x)^2}} = +\infty
+	\]
+\end{example}
+
+\begin{example}
+	$f(x) = \sqrt[3]{|x|}$. Если посмотреть на график, то касательная в нуле вроде есть. Но предел будет
+	\[
+	\liml_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \infty
+	\]
+	Что не соответсвует нашему определению.
+\end{example}
+
+\begin{theorem} (Геометрический смысл производной и дифференциала)
+	Пусть $f(x)$ непрерывна в некоторой окрестности точки $x_0$. Тогда, касательная к графику $y = f(x)$ в точке $(x_0; f(x_0))$ существует тогда и только тогда, когда существует предел $\liml_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \in \overline{\R}$. 
+	
+	При этом уравнение касательной в случае дифференцируемости в точке $x_0$:
+	\[
+	y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)
+	\]
+	В случае бесконечной производной в точке $x_0$:
+	\[
+	x = x_0
+	\]
+	
+	Дифференциал представляет приращение ординаты касательной, соответствующее приращению $\Delta x$.
+\end{theorem}
+
+\begin{center}
+	\begin{tikzpicture}[scale=1]
+		% Axis
+		\coordinate (y) at (0,5);
+		\coordinate (x) at (6,0);
+		\draw[<->, style={thick}] (y) node[above] {$y$} -- (0,0) --  (x) node[right] {$x$};
+		\draw (-0.4,0) -- (0,0) --  (0,-0.4);
+		
+		\path
+		coordinate (start) at (1,2)
+		coordinate (c) at (2.8,1.1)
+		coordinate (top) at (4.2,3.9);
+		
+		\draw[style={thick}] plot [smooth, tension=0.9] coordinates {(start) (c) (top)};
+		
+		\draw[style={dashed}] (c) -- (2.8,0) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={below:$x_0$}] {};
+		\draw[style={dashed}] (5.2, 1.1) -- (0,1.1) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={left:$f(x_0)$}] {};
+		\draw[style={dashed}] (3.5, 2) -- (0,2) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={left:$f(x)$}] {};
+		\draw[style={dashed}] (3.5, 2) -- (3.5,0) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={below:$x$}] {};
+		
+		\filldraw [black] (3.5, 2) circle (1.2pt);
+		\filldraw [black] (c) circle (1.2pt);
+		
+		\draw (2.1, 0.2) -- (4.2, 2.9);
+		\draw[<->] (2.8, 0.4) -- (3.5, 0.4);
+		\draw[<->] (0.35, 1.1) -- (0.35, 2);
+		\draw[<->] (3.5, 1.1) -- (3.5, 1.45);
+		\draw (c) -- (5.2, 2.3);
+		\draw (c) -- (1.6, 0.5);
+		\draw (top) (3.15, 0.4) node[above] {$\Delta x$};
+		\draw (top) (0.35, 1.5) node[right] {$\Delta y$};
+		\draw (top) (3.5, 1.3) node[right] {$dy$};
+		
+		\draw (top) node[below right, black] {$y = f(x)$};
+		
+		\coordinate (x_0) at (5.2, 1.1);
+		\coordinate (m) at (5.2, 2.3);
+		\pic [draw, angle radius = 1.5cm] {angle = x_0--c--m};
+		\draw (4.6, 1.4) node {$\alpha$};
+	\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\subsection{Производные и дифференциалы высших порядков}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $f'(x)$ определена в некоторой окрестности
+	$(x_0 - \delta,\ x_0 + \delta)$. Если существует её
+	производная в точке $x_0$, то она называется
+	\textit{производной второго порядка} $f$ в точке $x_0$: 
+	\[
+	f''(x_0) := (f'(x))' \big|_{x = x_0}
+	\]
+	Индуктивно определяется так:
+	\begin{align*}
+		&f^{(0)}(x_0) := f(x_0)
+		\\
+		&f^{(n)}(x_0) := (f^{(n - 1)}(x))' \big|_{x = x_0}
+	\end{align*}
+\end{definition}
+
+\begin{note}
+	$f^{(0)}(x) = f(x), f^{(1)}(x) = f'(x), f^{(2)}(x) = f''(x), f^{(3)}(x) = f'''(x)$
+\end{note}
+
+\begin{example}
+	\begin{align*}
+		&{(\sin x)' = \cos x}
+		\\
+		&{(\cos x)' = -\sin x}
+		\\
+		&{(-\sin x)' = \cos x}
+		\\
+		\vdots
+	\end{align*}
+	Несложно понять, что
+	\[
+	(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac{n\pi}{2}),\ n \in \N \cup \{0\}
+	\]
+	Доказательство по индукции
+	\[
+	(\sin x)^{(n + 1)} = \left((\sin x)^{(n)}\right)' = \left(\sin(x + \frac{n\pi}{2})\right)' = \cos(x + \frac{n\pi}{2}) = \sin\left(x + \frac{(n + 1)\pi}{2}\right)
+	\]
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+	$n!\ :=\ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot
+	\ldots \cdot n,\ n \in \N,\ 0! := 1$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	$C_n^k := \frac{n!}{k!(n - k)!},\ 
+	0 \le k \le n,\ n; k \in \N \cup \{0\}$
+\end{definition}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/15lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/15lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..c4bbf724
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/15lecture.tex
@@ -0,0 +1,520 @@
+
+\begin{definition}
+	$C_{\alpha}^n = \frac{\alpha!}{n! \cdot (\alpha - n)!} =
+		\frac{\alpha \cdot (\alpha - 1) \cdot \ldots \cdot
+		(\alpha - n + 1)}{n!},\ n \in \N,\ \alpha \in \R$
+\end{definition}
+
+\begin{note}
+	Биномиальный коэффициент таким образом определён для
+	\textit{любого вещественного $\alpha$}.
+\end{note}
+
+\begin{lemma}
+	Для вещественного биномиального коэффициента справедливо
+	свойство треугольника Паскаля:
+	\[
+		C_\alpha^n + C_\alpha^{n - 1} = C_{\alpha + 1}^n
+	\]
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Распишем сумму по определению. Дальше всё сойдётся:
+	\begin{multline*}
+		C_\alpha^n + C_\alpha^{n - 1} = \frac{\alpha \cdot
+		(\alpha - 1) \cdot \ldots \cdot (\alpha - (n - 1))}{n!} + \frac{\alpha \cdot (\alpha - 1) \cdot \ldots \cdot (\alpha - (n - 2))}{(n - 1)!} =
+		\\
+		\frac{\alpha \cdot (\alpha - 1) \cdot \ldots \cdot
+		(\alpha - (n - 2)) \cdot (\alpha - (n - 1) + n)}{n!} =
+		C_{\alpha + 1}^n
+	\end{multline*}
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Формула Лейбница)
+	Если существуют конечные производные порядка $n$ функций
+	$f$ и $g$ в некоторой точке, то их произведение имеет
+	конечную производную в этой же точке и для него справедлива формула
+	\[
+		(f \cdot g)^{(n)} = \suml_{k = 0}^{n} C_n^k f^{(k)}
+		\cdot g^{(n - k)}
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Доказательство же формулы проведём по индукции:
+	\begin{itemize}
+		\item База $n = 1$:
+		\[
+			(fg)' = \suml_{k = 0}^1 C_1^k f^{(k)} g^{(1 - k)} =
+			fg' + f'g \text{ - верно}
+		\]
+		
+		\item Утверждением примем нашу формулу из теоремы.
+		Покажем, что она верна для $n + 1$:
+		\begin{multline*}
+			(fg)^{(n + 1)} = \left((fg)^{(n)}\right)' =
+			\suml_{k = 0}^n C_n^k \left(f^{(k)} g^{(n - k)}
+			\right)' = \suml_{k = 0}^n C_n^k f^{(k + 1)}
+			g^{(n - k)} + \suml_{k = 0}^n C_n^k f^{(k)}
+			g^{(n + 1 - k)} = \\
+			= C_n^n f^{(n + 1)} g^{(0)} + \suml_{k = 0}^{n - 1}
+			C_n^k f^{(k + 1)} g^{(n - k)} + C_n^0 f^{(0)}
+			g^{(n + 1)} + \suml_{m = 0}^{n - 1} C_n^{m + 1}
+			f^{(m + 1)} g^{(n - m)} = \\
+			= C_n^n f^{(n + 1)} g^{(0)} + C_n^0 f^{(0)}
+			g^{(n + 1)} + \suml_{j = 0}^{n - 1}
+			\left(C_n^j + C_n^{j + 1}\right) f^{(j + 1)} 
+			g^{(n - j)} = \\
+			= C_{n + 1}^0 f^{(0)} g^{(n + 1)} + \suml_{t = 1}^{n}
+			C_{n + 1}^t f^{(t)} g^{(n + 1 - t)} + C_{n + 1}^{n + 1}
+			f^{(n + 1)} g^{(0)} = \suml_{t = 0}^{n + 1}
+			C_{n + 1}^t f^{(t)} g^{(n + 1 - t)}
+		\end{multline*}
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{corollary} Очевидно, что $(\alpha f \pm \beta g)^{(n)}
+	= \alpha f^{(n)} \pm \beta g^{(n)},\ \alpha, \beta \in \R$.
+	Ограничения на $f$ и $g$ такие же, как в доказанной только что
+	теореме. Также, если $a, b \in \R$, то $(f(ax + b))^{(n)} =
+	a^{n} \cdot f^{(n)}(ax + b)$	
+\end{corollary}
+
+\subsubsection*{Производные высших порядков некоторых элементарных функций}
+
+\begin{enumerate}
+	\item $(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac{\pi n}{2})$
+	\item $(\cos x)^{(n)} = \cos (x + \frac{\pi n}{2})$
+	\item $(x^\alpha)^{(n)} = \alpha \cdot (\alpha - 1) \cdot
+	\ldots \cdot (\alpha - n + 1) x^{\alpha - n} =
+	n! \cdot C_{\alpha}^n \cdot x^{\alpha - n}$
+	\item $(a^x)^{(n)} = a^x \cdot \ln^n a$
+	\item $(\ln x)^{(n)} = (x^{-1})^{(n - 1)} = (n - 1)!
+	\cdot C_{-1}^{n - 1} \cdot x^{-1 - (n - 1)} =
+	(-1)^{(n - 1)} (n - 1)! \cdot x^{-n}$
+
+\end{enumerate}
+
+\begin{corollary} (Бином Ньютона)
+	\[
+		(a + b)^n = \suml_{k = 0}^n C_n^k a^k b^{n - k}
+	\]
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+	С одной стороны,
+	\[
+		\left((\alpha\beta)^x\right)^{(n)} = (\alpha\beta)^x \cdot \ln^n (\alpha\beta) = (\alpha\beta)^x(\ln \alpha + \ln \beta)^n
+	\]
+	С другой стороны, по формуле Лейбница
+	\begin{multline*}
+		\left((\alpha\beta)^x\right)^{(n)} =
+		\left(\alpha^x \cdot \beta^x\right)^{(n)} =
+		\suml_{k = 0}^n C_n^k \left(\alpha^x\right)^{(k)}
+		\left(\beta^x\right)^{(n - k)} =
+		\suml_{k = 0}^n C_n^k (\alpha^x \ln^k \alpha)
+		(\beta^x \ln^{(n - k)} \beta) = \\
+		= (\alpha\beta)^x \suml_{k = 0}^n C_n^k \ln^k
+		\alpha \cdot \ln^{(n - k)} \beta
+	\end{multline*}
+	Положив $a := \ln \alpha$ и $b := \ln \beta$, получим необходимое утверждение.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Формула Фаа-ди-Бруно)
+	Если существует производная $n$-го порядка функции $g$ в точке $a$ и $f$ в точке $g(a)$, то
+	\[
+		(f \circ g)^{(n)} = \suml_{\pi \in \Pi_n} \left(f^{(|\pi|)} \circ g\right) \cdot \prodl_{B \in \pi} g^{(|B|)}
+	\]
+	где 
+	\begin{itemize}
+		\item $\Pi_n$ обозначает множество всех разбиений $\{1, 2, \dots, n\}$ на непустые подмножества
+		
+		\item $\pi$ - разбиение множества $\{1, 2, \ldots, n\}$ на непустые подмножества. То есть элемент $B \in \pi$ - одно из множеств, на которые разбили исходное множество
+		
+		\item $|A|$ - число элементов множества $A$
+	\end{itemize}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	По индукции
+	\begin{itemize}
+		\item База $n = 1$: $\Ra \Pi_1 = \{\{\{1\}\}\}$
+		\[
+			(f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g' \text{ - верно}
+		\]
+		
+		\item Утверждением является наша формула. Докажем, что если она верна для $n$, то верна и для $n + 1$:
+		\[
+			(f \circ g)^{(n + 1)} = \left((f \circ g)^{(n)}\right)' = \suml_{\pi \in \Pi_n} \left((f^{(|\pi|)} \circ g) \cdot \prodl_{B \in \pi} g^{(|B|)}\right)'
+		\]`
+		Распишем производную одного слагаемого, принадлежащего разбиению $\pi^* \in \Pi_n$:
+		\[
+			\left((f^{(|\pi^*|)} \circ g) \cdot \prodl_{B \in \pi^*} g^{(|B|)}\right)' = (f^{(|\pi^*|)} \circ g)' \cdot \prodl_{B \in \pi^*} g^{(|B|)} + (f^{(|\pi^*|)} \circ g) \cdot \left(\prodl_{B \in \pi^*} g^{(|B|)}\right)'
+		\]
+		Теперь, у нас добавился к множеству $\{1, 2, \dots, n\}$ элемент $n + 1$. Если взять любое разбиение $\pi \in \Pi_{n + 1}$, то есть несколько вариантов того, какой оно имеет вид:
+		\begin{enumerate}
+			\item Элемент $n + 1$ обособлен в отдельную часть. То есть $\pi = \pi^* \cup \{n + 1\},\ \pi^* \in \Pi_n$. Каждое слагаемое таких разбиений по нашей формуле должно иметь вид:
+			\[
+				(f^{(|\pi^*| + 1)} \circ g) \cdot \prodl_{B \in \pi^*} g^{(|B|)} \cdot g'
+			\]
+			что в точности равно левой части суммы из производной слагаемого:
+			\[
+				(f^{(|\pi^*|)} \circ g)' \cdot \prodl_{B \in \pi^*} g^{(|B|)} = (f^{(|\pi^*| + 1)} \circ g) \cdot g' \cdot \prodl_{B \in \pi^*} g^{(|B|)}
+			\]
+			
+			\item Элемент $n + 1$ помещён в некоторое $B_i \in \pi^*$. Это значит, что $|\pi| = |\pi^*|$. Каждое слагаемое таких разбиений по нашей формуле должно иметь вид:
+			\[
+				(f^{(|\pi^*|)} \circ g) \cdot g^{(|B_i| + 1)} \cdot \prodl_{B \in \pi^* \bs B_i} g^{(|B|)}
+			\]
+			Поймём, что $\pi^*$ соответствует не одно разбиение из $\Pi_{n + 1}$, а целое множество (действительно, мы можем выбирать разные $B_i$). Тогда, сумма слагаемых по всем $\pi$, полученным из $\pi^*$ записывается как
+			\[
+				\suml_{B_i \in \pi^*} (f^{(|\pi^*|)} \circ g) \cdot g^{(|B_i| + 1)} \cdot \prodl_{B \in \pi^* \bs B_i} g^{(|B|)} = (f^{(|\pi^*|)} \circ g) \suml_{B_i \in \pi^*} g^{(|B_i + 1|)} \cdot \prodl_{B \in \pi \bs B_i} g^{(|B|)}
+			\]
+			что в точности совпадает с правой частью суммы из производной слагаемого:
+			\begin{multline*}
+				(f^{(|\pi^*|)} \circ g) \cdot \left(\prodl_{B \in \pi^*} g^{(|B|)}\right)' = (f^{(|\pi^*|)} \circ g) \cdot \left(g^{(|B_1|)} \cdot \prodl_{B \in \pi^* \bs B_1} g^{(|B|)}\right)' = \\
+				(f^{(|\pi^*|)} \circ g) \cdot \left(g^{(|B_1| + 1)} \cdot \prodl_{B \in \pi^* \bs B_1} g^{(|B|)} + g^{(|B_1|)} \cdot \left(\prodl_{B \in \pi^* \bs B_1} g^{(|B|)}\right)'\right) = \dots = \\
+				(f^{(|\pi^*|)} \circ g) \suml_{B_i \in \pi^*} g^{(|B_i + 1|)} \cdot \prodl_{B \in \pi \bs B_i} g^{(|B|)}
+			\end{multline*}
+		\end{enumerate}
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+	Рассмотрим $(f \circ g)^{(4)}$. Все разбиения тогда можно представить как способы разложить 4 на слагаемые(каждое слагаемое символизирует $|B|$):
+	\begin{itemize}
+		\item $4 = 4 \Ra$ есть только 1 разбиение длины 4 - это всё множество. То есть слагаемое имеет вид
+		\[
+			\left(f' \circ g\right) \cdot g''''
+		\]
+		\item $4 = 3 + 1$ - есть $C_4^1 = 4$ способов сделать разбиение с такими мощностями $B$. Нетрудно убедиться, что каждое разбиение имеет одинаковое слагаемое
+		\[
+			\left(f'' \circ g\right) \cdot g' \cdot g'''
+		\]
+		Их сумма будет соответственно
+		\[
+			4 \cdot \left(f'' \circ g\right) \cdot g' \cdot g'''
+		\]
+		\item $4 = 2 + 1 + 1$ - это $C_4^2 = 6$ способов сделать разбиение
+		\[
+			\Ra 6 \cdot \left(f''' \circ g\right) \cdot g'' \cdot g' \cdot g'
+		\]
+		\item $4 = 2 + 2$ - это $\frac{C_4^2}{2} = 3$, потому что мы учитываем каждое разбиение дважды
+		\[
+			3 \cdot \left(f'' \circ g\right) \cdot g'' \cdot g''
+		\]
+		\item $4 = 1 + 1 + 1 + 1$ - это 1 разбиение
+		\[
+			\left(f'''' \circ g\right) \cdot g' \cdot g' \cdot g' \cdot g'
+		\]
+	\end{itemize}
+	Собственно, $(f \circ g)^{(4)}$ - это сумма всех полученных слагаемых
+\end{example}
+
+\subsubsection*{Дифференциалы высших порядков}
+
+\begin{definition}
+	Если $f'(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то $f$ называется
+	дважды дифференцируемой в точке $x_0$. \textit{Дифференциалом второго
+	порядка} для дважды дифференцируемой функции $f$ в точке $x_0$
+	называется дифференциал от дифференциала $f$ в точке $x_0$:
+
+	\[
+	df(x) = f'(x)dx\  (x \text{ - независимая переменная})
+	\]
+	\[
+	d^2 f(x_0) := d(f'(x)dx) \big|_{x = x_0} = f''(x_0) dx^2
+	\]
+
+	\textit{Дифференциалом $n$-го порядка} от $f(x)$,
+	где $x$ - независимая переменная, в точке $x$ называется
+	дифференциал от дифференциала $n - 1$-го порядка, причём
+	в качестве $dx$ в каждом из дифференциалов берётся одно
+	и то же число ($\Delta x$)
+	\[
+		d^{n}f(x_0) := d(d^{n - 1}f(x)) \big|_{x=x_0}
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{corollary}
+	\[
+		d^nf(a) = f^{(n)}(a) dx^n
+	\]
+	если $x$ - независимая переменная
+\end{corollary}
+
+\begin{example}
+	Пусть $f(x)$ - функция переменной $x = \varphi(t)$, где $t$ - независимая переменная.
+	\[
+		f(x) = f(\varphi(t)) = h(t)
+	\]
+	Отсюда
+	\begin{multline*}
+		d^2f = d^2h = h'' dt^2 = \left((f' \circ \varphi)
+		\cdot \varphi'\right)'dt^2 = \left((f'' \circ \varphi)
+		(\varphi')^2 + (f' \circ \varphi)\varphi''\right)dt^2 = \\
+		= (f'' \circ \varphi)(\varphi'dt)^2 + (f' \circ \varphi)
+		\varphi'' dt^2 = f''dx^2 + f'd^2x
+	\end{multline*}
+\end{example}
+
+\subsection{Теоремы о свойствах производных}
+
+\begin{definition}
+	Точка $x_0$ называется \textit{точкой (строгого)
+	локального максимума} функции $f(x)$, если $(\exists \delta > 0)
+	(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(x_0))\ f(x_0) \ge f(x)\ 
+	\left(f(x_0) > f(x)\right)$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Точка $x_0$ называется \textit{точкой (строгого)
+	локального минимума} функции $f(x)$, если $(\exists \delta > 0)
+	(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(x_0))\ f(x_0) \le f(x)\ 
+	\left(f(x_0) < f(x)\right)$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Точки локального минимума и максимума в общем случае
+	называются \textit{точками локального экстремума}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Правой (левой) производной функции $f$ в точке $x_0$ называется
+	пределе (если он существует):
+	\[
+		\liml_{x \to x_0 \underset{(-)}{+} 0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (Теорема Ферма. Необходимое условие локального
+	экстремума)
+
+	Если $x_0$ - точка локального экстремума функции $f$, дифференцируемой в $x_0$, то
+	\[
+		f'(x_0) = 0
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Пусть $x_0$ - точка локального максимума. Это значит, что в некоторой окрестности точки $x_0$ имеет место неравенство
+	\[
+		f(x_0 + \Delta x) \le f(x_0)
+	\]
+	Рассмотрим односторонние пределы производной:
+	\begin{align*}
+		f'_+(x_0) = \liml_{\Delta x \to +0}
+		\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \le 0
+		\\
+		f'_-(x_0) = \liml_{\Delta x \to -0}
+		\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \ge 0
+	\end{align*}
+	В силу дифференцируемости $f$ в точке $x_0$:
+	\[
+		0 \le f'_-(x_0) = f'(x_0) = f'_+(x_0) \le 0
+	\]
+	Что верно тогда и только тогда, когда
+	\[
+		f'(x_0) = 0
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Ролля)
+	Если $f$ непрерывна на $[a; b]$, дифференцируема на
+	$(a; b)$ и $f(a) = f(b)$, то
+	\[
+		\exists c \in (a; b) :\ f'(c) = 0
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Пусть $f$ не постоянна
+	(иначе $\forall x \in (a; b)\ f(x)' = 0$).
+	Тогда, по теореме Вейерштрасса
+	\[
+		\exists \max\limits_{x \in [a; b]} f(x) > \exists
+		\min\limits_{x \in [a; b]} f(x)
+	\]
+	Хотя бы одно из этих чисел (пусть $\max$) не совпадает с $f(a) = f(b)$. Следовательно,
+	\[
+		\max\limits_{x \in [a; b]} f(x) = f(c),\ c \in (a; b)
+	\]
+	То есть $c$ - точка локального максимума. По теореме Ферма $f'(c) = 0$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Обобщенная теорема о среднем)
+	\label{common_mid}
+	Если $f, g$ непрерывны на $[a; b]$,
+	дифференцируемы на $(a; b)$, то
+	\[
+		\exists c \in (a; b) :\ (f(b) - f(a))g'(c) =
+		(g(b) - g(a))f'(c)
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Рассмотрим функцию $h(x)$:
+	\[
+		h(x) = (f(b) - f(a))g(x) - (g(b) - g(a))f(x)
+	\]
+	Посчитаем $h(a)$ и $h(b)$:
+	\begin{align*}
+		h(a) = (f(b) - f(a))g(a) - (g(b) - g(a))f(a) =
+		f(b)g(a) - g(b)f(a)
+		\\
+		h(b) = (f(b) - f(a))g(b) - (g(b) - g(a))f(b) =
+		g(a)f(b) - f(a)g(b)
+	\end{align*}
+	Отсюда по теореме Ролля
+	\[
+		\exists c \in (a; b) :\ h'(c) = 0
+	\]
+	А это в свою очередь значит
+	\begin{align*}
+		(f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0
+		\\
+		(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)
+	\end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{corollary} (Теорема Лагранжа о среднем или о
+	конечных приращениях)
+	Если $f$ непрерывна на $[a; b]$, дифференцируема на
+	$(a; b)$, то $\exists c \in (a; b)$ такое, что
+	\[
+		\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)
+	\]
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+	По теореме \ref{common_mid} возьмём $g(x) = x$
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Геометрический смысл теорем Ролля и Лагранжа}
+
+\begin{tabular}{cc}
+	\begin{tikzpicture}[scale = 1]
+		% Axis
+		\coordinate (y) at (0,5);
+		\coordinate (x) at (6,0);
+		\draw[<->, style={thick}] (y) node(yaxis)[above]{$y$} -- (0,0) --  (x) node(xaxis)[right]{$x$};
+		\draw (-0.4,0) -- (0,0) --  (0,-0.4);
+		
+		% Points for the curve
+		\path
+		coordinate (start) at (1, 2)
+		coordinate (d1) at (2, 2.5)
+		coordinate (top) at (3, 4)
+		coordinate (d2) at (4, 2.5)
+		coordinate (end) at (5, 2);
+		
+		% Draw the curve
+		\draw[style={thick}] plot [smooth, tension=0.9] coordinates {(start) (d1) (top) (d2) (end)};
+		
+		% Dashed lines for the points on x axis
+		\draw[style={dashed}] let \p1=(start) in (\p1) -- (\x1, 0) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={below:$a$}]{};
+		\draw[style={dashed}] let \p1=(top) in (\p1) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={above:$f'(c) = 0$}]{} -- (\x1, 0) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={below:$c$}]{};
+		\draw[style={dashed}] let \p1=(end) in (\p1) -- (\x1, 0) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={below:$b$}]{};
+		
+		% Dashed lines for the points on y axis
+		\draw[style={dashed}] let \p1=(end) in (\p1) -- (0, \y1) node[left, black]{$f(a) = f(b)$};
+		
+		% Tangent line for top point
+		\draw let \p1=(top) in (1.5, \y1) -- (4.5, \y1);
+	\end{tikzpicture}
+	&
+	\begin{tikzpicture}[scale = 1]
+		% Axis
+		\coordinate (y) at (0,5);
+		\coordinate (x) at (6,0);
+		\draw[<->] (y) node[above]{$y$} -- (0,0) --  (x) node[right]{$x$};
+		\draw (-0.4,0) -- (0,0) --  (0,-0.4);
+		
+		% Points for the curve
+		\path
+		coordinate (start) at (1, 1)
+		coordinate (d1) at (2, 1)
+		coordinate (d2) at (4, 4)
+		coordinate (end) at (5, 4);
+		
+		% The curve
+		\draw[style={thick}] plot [smooth, tension=0.9] coordinates {(start) (d1) (d2) (end)};
+		
+		% Tangent line and point
+		\coordinate (t) at (1.85, 0.85);
+		\filldraw[black] (t) node[below right]{\scalebox{0.8}{$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$}} circle (1pt);
+		\draw (1.5 - 0.3, 0.7 - 0.3) -- (1.5 + 1.5, 0.7 + 1);
+		
+		% Dashed lines for the points on x axis
+		\draw[style={dashed}] let \p1=(start) in (\p1) -- (\x1, 0) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={below:$a$}]{};
+		\draw[style={dashed}] let \p1=(t) in (\p1) -- (\x1, 0) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={below:$c$}]{};
+		\draw[style={dashed}] let \p1=(end) in (\p1) -- (\x1, 0) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={below:$b$}]{};
+		
+		% Dashed lines for the points on y axis
+		\draw[style={dashed}] let \p1=(start) in (\p1) -- (0, \y1) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={left:$f(a)$}]{};
+		\draw[style={dashed}] let \p1=(end) in (\p1) -- (0, \y1) node[circle, fill, inner sep=1pt, label={left:$f(b)$}]{};
+		
+		% Line from the start to the end point
+		\draw[style={dashed}] (start) node[circle, fill, inner sep=1pt]{} -- (end) node[circle, fill, inner sep=1pt]{};
+	\end{tikzpicture}
+\end{tabular}
+
+\begin{corollary} (Теорема Коши о среднем)
+	\label{Cauchy_mid}
+	Если $f, g$ непрерывна на $[a; b]$,
+	дифференцируема на $(a; b)$, $g'$ не обращается в
+	нуль на $(a; b)$, то
+	\[
+		\exists c \in (a; b) :\ 
+		\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} =
+		\frac{f'(c)}{g'(c)}
+	\]
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+	Всё, что нам надо обосновать, так это то, что мы
+	можем поделить обе части уравнения в теореме
+	\ref{common_mid} за счёт данных нам условий.
+	
+	Предположим, что $g(b) = g(a)$. Но тогда $g$
+	удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Следовательно,
+	\[
+		\exists t \in (a; b) :\ g'(t) = 0
+	\]
+	что противоречит условию. Значит,
+	мы можем поделить обе части на
+	$(g(b) - g(a)) \cdot g'(c)$
+\end{proof}
+
+\begin{note}
+	Смысл теоремы Коши тот же самый, что и у теоремы Лагранжа, но в предположении, что некоторая функция задана параметрически на осях: $x = g(t)$ и $y = f(t)$ соответственно.
+\end{note}
+
+\begin{example}
+	\[
+		f(x) = \System{
+			&{x^2 \sin \frac{1}{x},\ x \neq 0}
+			\\
+			&{0,\ x = 0}
+		}
+	\]
+	Функция $f$ - непрерывная и дифференцируемая на $\R$. Но пример примечателен тем, что производная всё же разрывная в 0.
+	\begin{itemize}
+		\item $x \neq 0$. Тогда, просто посчитаем производную по свойствам:
+		\[
+			f'(x) = 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}
+		\]
+		
+		\item $x = 0$. Посчитаем эту производную по определению:
+		\[
+			f'(0) = \liml_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x) - 0}{\Delta x} = \liml_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x^2 \sin \frac{1}{\Delta x}}{\Delta x} = \liml_{\Delta x \to 0} \Delta x \sin \frac{1}{\Delta x} = 0
+		\]
+		Но при этом $\not\exists \liml_{x \to 0} f'(x)$. Проверить это можно, взяв 2 последовательности Гейне:
+		\begin{align*}
+			&{x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} \Ra f'(x_n) = \frac{2}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} \Ra \liml_{n \to \infty} f'(x_n) = 0}
+			\\
+			&{x_n = \frac{1}{2\pi n} \Ra f'(x_n) = -1 \Ra \liml_{n \to \infty} f'(x_n) = -1}
+		\end{align*}
+		То есть $f'(x)$ разрывная в нуле.
+	\end{itemize}
+\end{example}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/16lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/16lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..fece4db7
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/16lecture.tex
@@ -0,0 +1,363 @@
+\begin{theorem} (Дарбу)
+	Пусть $f$ дифференцируема на $(a; b)$ и
+	$\exists f'_+(a), f'_-(b) \in \R$. Тогда для любого
+	$c$ в интервале между $f'_+(a)$ и $f'_-(b)$ существует
+	$\xi \in (a; b)$ такое, что $f'(\xi) = c$
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}~
+	\begin{enumerate}
+		\item $c = 0 \Ra f'_+(a) \cdot f'_-(b) < 0$
+		
+		Так как $f$ дифференцируема на $(a; b)$ и
+		односторонние производные конечны, то $f$
+		непрерывна на $[a; b]$. А значит по теореме Вейерштрасса
+		\[
+			\exists \xi \in [a; b] :\ f(\xi) =
+			\max\limits_{x \in [a; b]} f(x)
+		\]
+		Докажем, что $\xi \neq a$. По определению
+		односторонней производной
+		\[
+			f'_+(a) = \liml_{\Delta x \to +0}
+			\frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}
+		\]
+		Если предположить, что $f'_+(a) > 0$, то из равенства выше следует
+		\[
+			(\exists \delta > 0)(\forall x :\ 0 < x < \delta)\ 
+			f(a + \Delta x) - f(a) > 0 \Ra f(a + \Delta x) > f(a)
+		\]
+		Поэтому точка $f(a)$
+		не есть максимум на отрезке. Аналогично получим, что
+		$\xi \neq b$, и в данном предположении $f'_-(b) < 0$.
+		Таким же образом рассматривается случай, когда
+		$f'_+(a) < 0 \Ra f'_-(b) > 0$ (в таком случае нужно
+		взять не $\max$, а $\min$). Отсюда
+		\[
+			\exists \xi \in (a; b) :\ f(\xi) = \max\limits_{x \in [a; b]} f(x)
+		\]
+		и по теореме Ферма получаем, что
+		\[
+			f'(\xi) = 0 = c
+		\]
+		
+		\item $c \neq 0$
+		
+		Сведём случай к доказанному. Достаточно
+		рассмотреть вспомогательную функцию
+		\[
+			F(x) := f(x) - cx
+		\]
+		Так как функция $x$ определена и дифференцируема
+		на всей числовой прямой, то
+		\[
+			F'(x) = f'(x) - c
+		\]
+		для интервала $(a; b)$. При этом
+		\[
+		f'_+(a) > c > f'_-(b) \Ra
+		F'_+(a) > 0,\ F'_-(b) < 0
+		\]
+		По уже доказанному, 
+		\[
+			\exists \xi \in (a; b) :\ F'(\xi) = f'(\xi) - c =
+			0 \Ra f'(\xi) = c
+		\]
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+	Если $f$ дифференцируема на $(a; b)$, то $f'$ не
+	может иметь точек разрыва первого рода на $(a; b)$.
+\end{corollary}
+
+\begin{idea}
+	Пусть такие разрывы есть.
+	В случае разрыва-скачка посмотрим на односторонние пределы
+	производной, возьмем у них малые $\eps$ окрестности, так,
+	чтобы они не пересекались, тогда в некоторых $\delta$ окрестностях
+	все точки лежат в заданных $\eps$. Тогда это противоречит теореме Дарбу,
+	а именно не все значения между пределами принимаются на интервале из полученных
+ 	$\delta$ окрестностей (так как $\eps$ окрестности не пересекаются).
+	Случай с устранимым разрывом разбирается аналогично.
+\end{idea}
+
+\begin{proof}
+	Пусть для определенности $f'(c - 0) < f'(c + 0)$. Тогда
+	$\eps_0 := \frac{f'(c + 0) - f'(c - 0)}{4}$. Из определения
+	предела:
+	\begin{align*}
+		&(\exists \delta_1 > 0)(\forall x \in (c - \delta_1, c))
+		\ \ f'(x) < f'(c - 0) + \frac{f'(c + 0) - f'(c - 0)}{4}\\
+		&(\exists \delta_2 > 0)(\forall x \in (c, c + \delta_2))
+		\ \ f'(x) > f'(c + 0) - \frac{f'(c + 0) - f'(c - 0)}{4}
+	\end{align*}
+	То есть:
+	\begin{align*}
+		&(\exists \delta_1 > 0)(\forall x \in (c - \delta_1, c))
+		\ \ f'(x) < \frac{f'(c + 0) + 3f'(c - 0)}{4}\\
+		&(\exists \delta_2 > 0)(\forall x \in (c, c + \delta_2))
+		\ \ f'(x) > \frac{3f'(c + 0) + f'(c - 0)}{4}
+	\end{align*}
+	Пусть $x_1 < x_2 \in (a; b) \such 
+	x_1 \in (c - \delta_1, c),\ x_2 \in (c, c + \delta_2)$. Тогда
+	из $\eps$ окрестностей понятно, что $f'(x_1) < f'(x_2)$.
+	При этом выполняются все условия теоремы Дарбу на $(x_1, x_2)$
+	(т.к. $f$ дифференцируема на $(a; b)$ по условию), значит,
+	\[
+		(\forall \gamma \in (f'(x_1); f'(x_2)))(\exists \xi \in (x_1; x_2))
+		(f'(\xi) = \gamma)
+	\]
+	При этом
+	\[
+		(\forall x \in (x_1, x_2))\left(f'(x) \in 
+		\left(-\infty, \frac{f'(c + 0) + 3f'(c - 0)}{4}\right) \cup 
+		\left(\frac{3f'(c + 0) + f'(c - 0)}{4}, +\infty\right)\right)	
+	\]
+	Если взять $\gamma = \frac{f'(c + 0) + f'(c - 0)}{2}$, то нет такого
+	$x$, чтобы $f'(x) = \gamma$. Противоречие с теоремой Дарбу.
+	Для случая с устранимым разрывом идея доказательства сохраняется.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Правило Лопиталя для случая $\frac{0}{0}$)
+
+	Пусть $f$, $g$ дифференцируемы на $(a; b)$, при этом
+	$\exists \liml_{x \to a+0} f(x) = \liml_{x \to a+0} g(x)
+	= 0$ и $\exists \liml_{x \to a+0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = C
+	\in \bar{\R}$. Тогда
+	\[
+		\exists \liml_{x \to a+0} \frac{f(x)}{g(x)} = C
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{note}
+	Аналогичное утверждение верно для предела $x \to b-0$,
+	а также для любого предела $x \to x_0,\ x_0 \in (a; b)$.
+\end{note}
+
+\begin{proof}
+	Доопределим $f(a) = g(a) = 0$. Из существование предела
+	отношения производных следует, что
+	\[
+		(\exists \delta > 0)(\forall x
+		\in (a; a + \delta))\ g'(x) \neq 0
+	\]
+	Следовательно, на отрезке
+	$\left[a; a + \frac{\delta}{2}\right]$ для функции $g$
+	выполнены все условия теоремы Коши о среднем \ref{Cauchy_mid}. Значит
+	\[
+		\left(\forall x \in \left(a; a + \frac{\delta}{2}\right)\right)
+		\left(\exists \xi \in (a; x)\right)\ 
+		\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} =
+		\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(x)}{g(x)}
+	\]
+	при этом понятно, что $\xi = \xi(x)$. Так как
+	$a < \xi(x) < x$, то если устремить $x$ к $a + 0$,
+	то в предельном переходе $a < \xi(x) \le a + 0 \Ra \xi(x) \to a + 0$.
+	Отсюда получаем
+	\[
+		\liml_{x \to a + 0} \frac{f'(\xi(x))}{g'(\xi(x))} = \liml_{x \to a + 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = C = \liml_{x \to a + 0} \frac{f(x)}{g(x)}
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{corollary} (Признак дифференцируемости)
+	Если $f$ дифференцируема в $\mc{U}_\delta(x_0)$,
+	непрерывна в $x_0$ и $\exists \liml_{x \to x_0} f'(x)
+	\in \bar{\R}$, то
+	\[
+	\exists f'(x_0) = \liml_{x \to x_0} f'(x)
+	\]
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+	Пусть $F(x) = f(x) - f(x_0)$, $g(x) = x - x_0$. Тогда,
+	$\forall x \in \mc{U}_\delta(x_0)$
+	\begin{align*}
+	&F'(x) = f'(x)
+	\\
+	&g'(x) = 1
+	\end{align*}
+	Следовательно,
+	\[
+	\exists \liml_{x \to x_0} \frac{F'(x)}{g'(x)} =
+	\liml_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \in \bar{\R}
+	\]
+	при этом $\liml_{x \to x_0} F(x) = \liml_{x \to x_0}
+	g(x) = 0$. А значит по правилу Лопиталя
+	\[
+	\exists \liml_{x \to x_0} \frac{F(x)}{g(x)} =
+	\liml_{x \to x_0} \frac{F'(x)}{g'(x)} =
+	\liml_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} =
+	\liml_{x \to x_0} f'(x)
+	\]
+	С другой стороны
+	\[
+	\liml_{x \to x_0} \frac{F(x)}{g(x)} =
+	\liml_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} =
+	f'(x_0) \in \bar{\R}
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Правило Лопиталя для случая
+	$\frac{\infty}{\infty}$)
+	Пусть $f$, $g$ дифференцируемы на $(a; b)$,
+	$\exists \liml_{x \to a + 0} g(x) = \pm \infty$ и
+	$\exists \liml_{x \to a + 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} =
+	C \in \bar{\R}$. Тогда
+	\[
+		\exists \liml_{x \to a + 0} \frac{f(x)}{g(x)} = C
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{note}
+	Аналогичное утверждение верно для предела $x \to b-0$,
+	а также для любого предела $x \to x_0,\ x_0 \in (a; b)$.
+\end{note}
+
+\begin{proof}
+	Докажем случай для $\liml_{x \to a + 0} g(x) = +\infty$:
+	\begin{itemize}
+		\item $C = -\infty$. Тогда, выберем $\forall p > q > C$.
+		Теперь из пределов:
+		\begin{align*}
+			&\liml_{x \to a + 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = -\infty \Ra
+			(\exists \delta_1 > 0)(\forall x \in
+			(a; a + \delta_1))\ \frac{f'(x)}{g'(x)} < q
+			\\
+			&\liml_{x \to a + 0} g(x) = +\infty \Ra 
+			(\exists \delta_2 \in (0; \delta_1))
+			(\forall x \in (a; a + \delta_2))\ g(x) > 0
+		\end{align*}
+		Зафиксируем $y > x > a,\ y \in (a; a + \delta_2)$. Тогда из
+		предела $\liml_{x \to a + 0} g(x) = +\infty \Ra$
+		\[
+			(\exists \delta_3 > 0)(\forall x \in
+			(a; a + \delta_3) \subset (a; y))\ g(y) - g(x) < 0
+		\]
+		Заметим, что $f$, $g$ удовлетворяют условиям теоремы
+		Коши о среднем \ref{Cauchy_mid} на отрезке $[x; y]$ ($g' \neq 0$
+		следует из существования предела производных). То есть
+		\[
+			\left(\exists \xi \in (x; y) \subset (a; a + \delta_1)\right)
+			\ \frac{f(y) - f(x)}{g(y) - g(x)} =
+			\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} < q
+		\]
+		Если убрать равенство с $\xi$, то получим
+		\[
+			\frac{f(y) - f(x)}{g(y) - g(x)} < q
+		\]
+		Умножим обе части на $\frac{g(x) - g(y)}{g(x)} > 0$
+		при $x \in (a; a + \delta_3)$. Отсюда имеем
+		\begin{align*}
+			&{\frac{f(x) - f(y)}{g(x)} < q \cdot
+			\frac{g(x) - g(y)}{g(x)}}
+			\\
+			&{\Ra \frac{f(x)}{g(x)} < q - q \cdot
+			\frac{g(y)}{g(x)} + \frac{f(y)}{g(x)}}
+		\end{align*}
+		Из последнего неравенства следует, что
+		\[
+			(\forall p > C)(\exists \delta_4 > 0)
+			(\forall x \in (a; a + \delta_4))\ \frac{f(x)}{g(x)} < p
+		\]
+		Откуда согласно $C = -\infty$ имеем
+		\[
+			(\forall \eps > 0)(\exists \delta_4 > 0)
+			(\forall x \in (a; a + \delta_4))\ 
+			\frac{f(x)}{g(x)} < -\frac{1}{\eps} \lra 
+			\liml_{x \to a + 0} \frac{f(x)}{g(x)} = -\infty =
+			\liml_{x \to a + 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}
+		\]
+		
+		\item $C = +\infty$. Тогда аналогично случаю выше,
+		получается утверждение
+		\[
+			(\forall r < C)(\exists \delta_5 > 0)
+			(\forall x \in (a; a + \delta_5))\ 
+			\frac{f(x)}{g(x)} > r
+		\]
+		
+		\item $-\infty < C < +\infty$. Ключевые утверждения,
+		полученные выше, будут верны и в этом случае,
+		потому что $\exists p > C > r$. А значит
+		\[
+			(\forall \eps > 0)(\exists \delta :=
+			\min(\delta_4, \delta_5))(\forall x \in (a; a + \delta))
+			\ r < \frac{f(x)}{g(x)} < p
+		\]
+		выберем теперь $r := C - \eps,\ p := C + \eps$. То есть
+		\[
+			(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)
+			(\forall x \in (a; a + \delta))\ 
+			\left|\frac{f(x)}{g(x)} - C\right| < \eps
+			\lra \liml_{x \to a + 0} \frac{f(x)}{g(x)} = C =
+			\liml_{x \to a + 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}
+		\]
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{note}
+	Правило Лопиталя работает и в случаях, когда $x \to \pm \infty$
+\end{note}
+
+\begin{proof}
+	Выберем такое $t = \frac{1}{x}$, тогда $t \to +0$ при
+	$x \to +\infty$. Пусть $f_1(t) = f(\frac{1}{t})$ и 
+	$g_1(t) = g(\frac{1}{t})$
+	\[
+		f_1'(t) = f'\left(\frac{1}{t}\right) \cdot
+		\left(-\frac{1}{t^2}\right),\ g_1'(t) = g'\left(\frac{1}{t}\right) \cdot
+		\left(-\frac{1}{t^2}\right)
+	\]
+	Применим правило Лопиталя для $t \to +0$:
+	\[
+		\liml_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} =
+		\liml_{t \to +0} \frac{f_1(t)}{g_1(t)} =
+		\liml_{t \to +0} \frac{f_1'(t)}{g_1'(t)} =
+		\liml_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}
+	\]
+\end{proof}
+
+\subsection{Равномерная непрерывность}
+
+\begin{definition}
+	Функция $f$ \textit{равномерно непрерывна} на
+	множестве $X \subset \R$, если
+	\[
+		(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)
+		(\forall x, y \in X, |x - y| < \delta)\ 
+		\left|f(x) - f(y)\right| < \eps
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{note}
+	Отличие от обычного определения заключается в том,
+	что выбор $\delta$ не зависит от рассматриваемой точки $x$.
+\end{note}
+
+\begin{example}
+	\[
+		X = (0; 1),\ f(x) = \frac{1}{x}
+		\text{ - неравномерно непрерывна}
+	\]
+	То есть нужно доказать утверждение
+	\[
+		(\exists \eps > 0)(\forall \delta > 0)
+		(\exists x, y \in X, |x - y| < \delta)\ 
+		\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right| \ge \eps
+	\]
+	Для любого $0 < \delta < 1$ найдётся $n \in \N$ такое,
+	что верно неравенство
+	\[
+		\frac{1}{n} \le \delta < \frac{1}{n - 1}
+	\]
+	Положим $x_n = \frac{1}{n}$, а $y_n = \frac{1}{3n}$. Тогда
+	\begin{align*}
+		&{|x_n - y_n| = \frac{2}{3n} < \frac{1}{n} \le \delta}
+		\\
+		&{\left|\frac{1}{x_n} - \frac{1}{y_n}\right| = 2n \ge 2}
+	\end{align*}
+	Отсюда наше утверждение выполнено $\forall \eps \le 2$,
+	для $\delta \ge 0$ можно взять $n = 1$ и
+	$\eps = 2$.
+\end{example}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/17lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/17lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..d915a7e6
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/17lecture.tex
@@ -0,0 +1,556 @@
+\begin{theorem} (Кантора о равномерной непрерывности)
+	Если $f$ непрерывна на $[a; b]$, то она равномерно
+	непрерывна на нём.
+\end{theorem}
+
+\begin{idea}
+	Предположим противное: f не равномерно непрерывна,
+	тогда найдутся какие-то последовательности точек, что
+	будут сколь угодно близки по аргументу, но по значению
+	будут отличаться не менее, чем на константу. Выделим из
+	этих последовательностей сходящиеся подпоследовательности
+	(тут нам поможет то, что мы на отрезке), тогда со одной
+	стороны они сходятся к одному числу, а значит по
+	непрерывности их образы должны сходится к одну числу,
+	с другой стороны их образы отличаются не менее, чем на
+	константу. Противоречие получено
+\end{idea}
+
+\begin{proof}
+	От противного. Пусть $f$ неравномерно непрерывна на $[a; b]$:
+	\[
+		(\exists \eps_0 > 0)(\forall \delta > 0)
+		(\exists x, y \in [a; b],\ |x - y| < \delta)
+		\ \ |f(x) - f(y)| \ge \eps_0
+	\]
+	Построим $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$, последовательно выбирая
+	$\delta = 1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}, \ldots$.
+	То есть:
+	\begin{align*}
+		&(\delta := 1)(\exists x_1,\ y_1 \in [a; b])
+		(|x_1 - y_1| < 1)\ \ |f(x_1) - f(y_1)| \ge \eps_0\\
+		&(\delta := \frac{1}{2})(\exists x_2,\ y_2 \in [a; b])
+		(|x_2 - y_2| < \frac{1}{2})\ \ |f(x_2) - f(y_2)| \ge \eps_0\\
+		&(\delta := \frac{1}{3})(\exists x_3,\ y_3 \in [a; b])
+		(|x_3 - y_3| < \frac{1}{3})\ \ |f(x_3) - f(y_3)| \ge \eps_0\\
+		&\ldots\\
+		&(\delta := \frac{1}{n})(\exists x_n,\ y_n \in [a; b])
+		(|x_n - y_n| < \frac{1}{n})\ \ |f(x_n) - f(y_n)|
+		\ge \eps_0
+	\end{align*}
+	\[
+		(\exists \{x_n\},\ \{y_n\} \subset [a; b])
+	    (|x_n - y_n| < \frac{1}{n})\ \ |f(x_n) - f(y_n)|
+		\ge \eps_0
+	\]
+	Так как последовательность $\{x_n\}$ ограничена,
+	то по теореме Больцано-Вейерштрасса из неё можно
+	выделить сходящуюся подпоследовательность:
+	\[
+		(\exists \{x_{n_k}\} \subset \{x_n\})\ 
+		\liml_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0 \in [a; b]
+	\]
+	Тогда
+	\[
+		|x_{n_k} - y_{n_k}| < \frac{1}{n_k} \lra x_{n_k} -
+		\frac{1}{n_k} < y_{n_k} < x_{n_k} + \frac{1}{n_k}
+	\]
+	Это нам даёт, что
+	\[
+		\liml_{k \to \infty} y_{n_k} = x_0
+	\]
+	А раз функция непрерывна, то верны равенства
+	\begin{align*}
+		&\liml_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0)
+		\\
+		&\liml_{k \to \infty} f(y_{n_k}) = f(x_0)
+	\end{align*}
+	Получили противоречие с условием, что $|f(x_n) - f(y_n)|
+	\ge \eps_0$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Признак равномерной непрерывности)
+	Если $f$ дифференцируема на промежутке $I$ и имеет
+	ограниченную производную на этом промежутке, то она
+	равномерно непрерывна 
+\end{theorem}
+
+\begin{idea}
+	Из ограниченности производной следует ограниченность наклона
+	секущей по теореме Лагранжа, а из этого следует
+	равномерная непрерывность
+\end{idea}
+
+\begin{proof}
+	Нужно доказать, что
+	\[
+		(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)
+		(\forall x_1, x_2 \in I,\ |x_1 - x_2| < \delta)
+		\ \ |f(x_1) - f(x_2)| < \eps
+	\]
+	По теореме Лагранжа
+	\[
+		(\exists \xi \in (x_1; x_2))\ \ 
+		f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1)
+	\]
+	Так как производная ограничена, то
+	\[
+		(\exists M > 0)(\forall x \in I)
+		\ \ |f'(x)| \le M
+	\]
+	Поэтому положим $\delta := \frac{\eps}{M}$ и
+	тогда следует, что
+	\[
+		|f(x_2) - f(x_1)| \le M \cdot |x_2 - x_1| < \eps
+	\]
+\end{proof}
+
+% \subsubsection*{Геометрический смысл равномерной непрерывности}
+
+% Нарисовать. Последняя минута 14й лекции Лукашова 2019го года
+
+\subsection{Формула Тейлора}
+
+
+%%% Его стоило дать ещё в 4м параграфе, так Лукашов сказал
+\begin{definition}
+	Функция $f$ называется $n$ раз дифференцируемой в точке
+	$x_0$, если её производные $f', f'', \ldots, f^{(n - 1)}$
+	определены в некоторой окрестности точки $x_0$ и $f^{(n - 1)}$
+	дифференцируема в точке $x_0$.
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+	Для любой функции $f$, $n$ раз дифференцируемой в точке
+	$x_0$, существует единственный многочлен $P_n(f, x)$
+	степени не выше $n$ такой, что $P_n^{(k)}(f, x_0) =
+	f^{(k)}(x_0)$ для $k = 0, 1, \ldots, n$. При этом
+	\[
+		P_n(f, x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) +
+		\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \ldots +
+		\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n
+ 	\]
+ 	Этот многочлен называется \textit{многочленом Тейлора
+	функции $f$ в точке $x_0$ степени $n$}.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Докажем, что приведённый многочлен удовлетворяет
+	всем условиям, сказанным в лемме. То есть докажем,
+	что существует многочлен, подходящий лемме. Сразу из
+	определения следует, что
+	\[
+		P_n(f, x_0) = f(x_0)
+	\]
+	Теперь возьмём $k$-ю производную данного многочлена.
+	Несложно понять, что слагаемые $(x - x_0)^j$, где
+	$j < k$, сократятся полностью. Для остальных имеем
+	\[
+		\left((x - x_0)^j\right)^{(k)} =
+		j(j - 1) \ldots (j - k + 1)(x - x_0)^{j - k}
+	\]
+	То есть
+	\[
+		P_n^{(k)}(f, x) = \suml_{j = k}^n
+		\frac{f^{(j)}(x_0)}{j!} \cdot j(j - 1) \ldots
+		(j - k + 1)(x - x_0)^{j - k} = \suml_{j = k}^n
+		\frac{f^{(j)}(x_0)}{(j - k)!} (x - x_0)^{j - k}
+	\]
+	В точке $x = x_0$ это нам даёт
+	\[
+		P_n^{(k)}(f, x_0) = \frac{f^{(k)}(x_0)}{0!} =
+		f^{(k)}(x_0)
+	\]
+	
+	Теперь докажем единственность: пусть даны 2
+	различных многочлена $P$ и $Q$ степени не выше $n$,
+	удовлетворяющие условиям леммы. Тогда
+	\[
+		(P - Q)^{(n)}(x_0) = 0,\ k = 0, \ldots, n
+	\]
+	При этом разность многочленов - тоже многочлен вида
+	\[
+		(P - Q)(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + \ldots +
+		a_n(x - x_0)^n
+	\]
+	Последовательно рассматривая все $k$-е производные
+	получим, что
+	\[
+		a_0 = a_1 = \ldots = a_n = 0
+	\]
+	То есть $P(x) = Q(x)$
+\end{proof}
+
+\begin{note}
+	При подстановке $x = x_0$ можно заметить, что полное
+	слагаемое имеет вид
+	\[
+		\frac{f^{(j)}(x_0)}{(j - k)!}(x_0 - x_0)^{j - k}
+	\]
+	Казалось бы, при $j = k$ мы имеем дело с
+	неопределённостью. Но помним, что производная -
+	это предел при $x \to x_0$, который мы вначале считаем,
+	а потом уже делаем подстановку $x = x_0$. Здесь точно 
+	такая же ситуация - мы вначале должны
+	\textbf{полностью досчитать производную}, а потом
+	подставлять $x = x_0$. То есть вначале будет
+	$(x - x_0)^0 = 1$, и только потом подстановка $x$
+	(которая с единицей уже ничего не сделает).
+\end{note}
+
+\begin{lemma} \label{lemTaylor}
+	Пусть $\varphi$ и $\psi$ $n + 1$ раз дифференцируемы в
+	окрестности точки $x_0$, а также
+	\begin{align*}
+		&\varphi(x_0) = \varphi'(x_0) = \ldots =
+		\varphi^{(n)}(x_0) = \psi(x_0) = \psi'(x_0) =
+		\ldots = \psi^{(n)}(x_0) = 0
+		\\
+		&\psi', \psi'', \ldots, \psi^{(n + 1)} \neq 0
+		\text{ в } \mc{U}_{\delta}(x_0)
+	\end{align*}
+	Тогда $\forall x \in \mc{U}_{\delta}(x_0)$ существует
+	$\xi$ между $x_0$ и $x$ такое, что
+	\[
+		\frac{\varphi(x)}{\psi(x)} =
+		\frac{\varphi^{(n + 1)}(\xi)}{\psi^{(n + 1)}(\xi)}
+	\]
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	По теореме Коши
+	\[
+		\exists \xi_1 \such \frac{\varphi(x)}{\psi(x)} =
+		\frac{\varphi(x) - \varphi(x_0)}{\psi(x) - \psi(x_0)} =
+		\frac{\varphi'(\xi_1)}{\psi'(\xi_1)}
+	\]
+	В силу того, что $\varphi'(x_0) = \psi'(x_0) = 0$, а также
+	$\varphi$ и $\psi$ снова удовлетворяют условиям теоремы
+	Коши, получим
+	\[
+		\exists \xi_2 \such \frac{\varphi'(\xi_1) -
+		\varphi'(x_0)}{\psi'(\xi_1) - \psi(x_0)} =
+		\frac{\varphi''(\xi_2)}{\psi''(\xi_2)} =
+		\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}
+	\]
+	И так продолжаем до $\xi = \xi_{n + 1}$:
+	\[
+		\frac{\varphi^{(n)}(\xi_n) - \varphi^{(n)}(x_0)}
+		{\psi^{(n)}(\xi_n) - \psi^{(n)}(x_0)} =
+		\frac{\varphi^{(n + 1)}(\xi)}{\psi^{(n + 1)}(\xi)}
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Формула Тейлора с остаточным членом в
+	форме Лагранжа)
+	Если $f$ дифференцируема $n + 1$ раз в окрестности
+	$U_\delta(x_0)$, то $\forall x \in U_\delta(x_0)$
+	существует $\xi$ между $x_0$ и $x$ такое, что
+	\begin{multline*}
+		f(x) = P_n(f, x) +
+		\frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} = \\
+		f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \ldots +
+		\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n +
+		\frac{f^{(n + 1)} (\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}
+	\end{multline*}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Рассмотрим функции
+	\begin{align*}
+		&\varphi(x) := f(x) - P_n(f, x)
+		\\
+		&\psi(x) := (x - x_0)^{n + 1}
+	\end{align*}
+	Заметим, что данные функции удовлетворяют условиям
+	леммы \ref{lemTaylor}. То есть
+	\[
+		\frac{f(x) - P_n(f, x)}{(x - x_0)^{n + 1}} =
+		\frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}
+	\]
+	Следовательно
+	\[
+		f(x) = P_n(f, x) + \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}
+		{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Формула Тейлора с остаточным членом в
+	форме Пеано)
+	Если $f$ $n$ раз дифференцируема в точке $x_0$, то
+	\[
+		f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \ldots +
+		\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n +
+		o\left((x - x_0)^n\right),\ x \to x_0
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Положим
+	\begin{align*}
+		&\varphi(x) = f(x) - P_n(f, x)
+		\\
+		&\psi(x) = (x - x_0)^n
+	\end{align*}
+	Отсюда
+	\[
+		\varphi(x_0) = \ldots = \varphi^{(n - 2)}(x_0) =
+		\psi(x_0) = \ldots = \psi^{(n - 2)}(x_0) = 0
+	\]
+	То есть по лемме \ref{lemTaylor} $\exists \xi$ между
+	$x$ и $x_0$ такое, что
+	\[
+		\frac{f(x) - P_n(f, x)}{(x - x_0)^n} =
+		\frac{f^{(n - 1)}(\xi) - P_n^{(n - 1)}(f, \xi)}
+		{n! \cdot (\xi - x_0)} = \frac{f^{(n - 1)}
+		(\xi) - f^{(n - 1)}(x_0) - f^{(n)}(x_0)(\xi - x_0)}
+		{n! \cdot (\xi - x_0)}
+	\]
+	Посчитаем предел(при $x \to x_0$ $\xi \to x_0$, так как
+	$\xi$  между $x$ и $x_0$)
+	\begin{multline*}
+		\liml_{x \to x_0} \frac{\phi(x)}{\psi(x)} =
+		\liml_{\xi \to x_0} \frac{f^{(n - 1)}(\xi) -
+		f^{(n - 1)}(x_0) - f^{(n)}(x_0)(\xi - x_0)}
+		{n! \cdot (\xi - x_0)} = \liml_{\xi \to x_0}
+		\frac{f^{(n - 1)}(\xi) - f^{(n - 1)}(x_0)}
+		{n! \cdot (\xi - x_0)} - \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} = \\ 
+		\frac{1}{n!}(f^{(n)}(x_0) - f^{(n)}(x_0)) = 0
+	\end{multline*}
+	Следовательно
+	\[
+		f(x) = P_n(f, x) + o((x - x_0)^n),\ x \to x_0
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Единственность разложения по формуле Тейлора)
+	Если 
+	\[
+		f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + \ldots +
+		a_n(x - x_0)^n + o\left((x - x_0)^n\right),
+		\ x \to x_0
+    \]
+    и 
+    \[
+    	f(x) = b_0 + b_1(x - x_0) + \ldots +
+		b_n(x - x_0)^n + o\left((x - x_0)^n\right),
+		\ x \to x_0
+    \] то
+	\[
+		a_k = b_k,\ k = 0, 1, \ldots, n
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Рассмотрим разность этих многочленов:
+	\[
+		f(x) - f(x) = (a_0 - b_0) + (a_1 - b_1)(x - x_0) +
+		\ldots + (a_n - b_n)(x - x_0)^n + 
+		o\left((x - x_0)^n\right) = 0,\ x \to x_0
+	\]
+	В предельном переходе получим
+	\[
+		\liml_{x \to x_0} (a_0 - b_0) + (a_1 - b_1)(x - x_0) +
+		\ldots + (a_n - b_n)(x - x_0)^n +
+		o\left((x - x_0)^n\right) = a_0 - b_0 = 0
+	\]
+	Отсюда $a_0 = b_0$. Теперь разность имеет вид:
+	\[
+		f(x) - f(x) = (a_1 - b_1)(x - x_0) + \ldots +
+		(a_n - b_n)(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n) = 0,
+		\ x \to x_0
+	\]
+	При этом $x - x_0 \neq 0$. Значит, можно разделить
+	уравнение на $(x - x_0)$ и снова взять предел. В
+	этот раз получим $a_1 = b_1$. Делая так $n + 1$ раз,
+	придём к нужному утверждению
+	\[
+		a_k = b_k,\ k = 0, 1, \ldots, n
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+	Если $f(x)$ $n$ раз дифференцируема в точке $x_0$ и
+	\[
+		f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + \ldots +
+		a_n(x - x_0)^n + o\left((x - x_0)^n\right),
+		\ x \to x_0
+	\]
+	то
+	\[
+		a_k = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!},\ k = 0, 1,\ldots, n
+	\]
+	Причём формула существенна только для $n > 1$. Для
+	$n = 1$ - разложение равносильно дифференцируемости в
+	точке $x_0$, а для $n = 0$ - непрерывности
+\end{corollary}
+
+\begin{example}
+	Данная функция имеет асимптотическое разложение, но не
+	дважды дифференцируема в нуле (то есть коэффициенты не
+	совпадут с теми, что есть в формуле Тейлора)
+	\[
+		f(x) = \System{
+			&x^3 \sin \frac{1}{x},\ x \neq 0
+			\\
+			&0,\ x = 0
+		}
+	\]
+	Из определения сразу видно, что есть разложение
+	\[
+		f(x) = a_0 + a_1(x - 0) + a_2(x - 0)^2 + o((x - 0)^2)
+	\]
+	Первая производная имеет вид
+	\[
+		f'(x) = \System{
+			&3x^2 \sin \frac{1}{x} - x \cos \frac{1}{x},\ x \neq 0
+			\\
+			&0,\ x = 0
+		}
+	\]
+	Посчитаем $f''(0)$:
+	\begin{multline*}
+		f''(0) = \liml_{\Delta x \to 0}
+		\frac{f'(0 + \Delta x) - f'(0)}{0 + \Delta x - 0} =
+		\liml_{\Delta x \to 0} \frac{3\Delta x^2 \sin
+		\frac{1}{\Delta x} - \Delta x \cos
+		\frac{1}{\Delta x}}{\Delta x} = \\
+		\liml_{\Delta x \to 0} \left(3 \Delta x \sin
+		\frac{1}{\Delta x} - \cos \frac{1}{\Delta x}\right)
+		\text{ - расходится}
+	\end{multline*}
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+	Если $x_0 = 0$, то формулы Тейлора называются также
+	\textit{формулами Маклорена}
+\end{definition}
+
+\subsubsection*{Формулы Маклорена основных элементарных функций}
+
+\begin{enumerate}
+	\item $e^x:$ $\left(e^x\right)^{(n)} = e^x \Ra
+		e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \ldots +
+		\frac{x^n}{n!} + o(x^n),\ x \to 0$
+	
+	\item $\sin x:$ $\left(\sin x\right)^{(n)} =
+		\sin(x + \frac{n\pi}{2})$. То есть
+		\[
+			\left(\sin x\right)^{(n)}(0) = \sin
+			\frac{n\pi}{2} =
+			\System{
+					&{0,\ n = 2k}
+					\\
+					&{(-1)^{k - 1},\ n = 2k - 1}
+				},\ k \in \N
+		\]
+		Так как синус имеет любую производную,
+		то для любого $n$, если $k$ - это частное от
+		деления на 2, формулу Маклорена можно записать так:
+		\[
+			\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -
+			\ldots + (-1)^{k - 1} \frac{x^{2k - 1}}{(2k - 1)!}
+			+ o(x^{2k}),\ x \to 0
+		\]
+		Формула Маклорена в виде Лагранжа также имеет вид:
+		\[
+			\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -
+			\ldots + (-1)^{k} \frac{x^{2k + 1}}{(2k + 1)!}
+			\sin \left(\xi + \frac{2k + 1}{2}\pi\right)
+		\]
+	
+	\item $\cos x:$ $\left(\cos x\right)^{(n)} =
+		\cos(x + \frac{n\pi}{2})$. То есть
+		\[
+			\left(\cos x\right)^{(n)}(0) =
+			\cos \frac{n\pi}{2} =
+			\System{
+				&{0,\ n = 2k - 1}
+				\\
+				&{(-1)^k,\ n = 2k}
+			}
+		\]
+		Отсюда формула Маклорена для косинуса имеет вид:
+		\[
+			\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots + \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} + o(x^{2k}),\ x \to 0
+		\]
+	
+	\item $(1 + x)^\alpha:$ $\left((1 + x)^\alpha\right)^{(n)} =
+		\alpha(\alpha - 1)\ldots(\alpha - n + 1)(1 + x)^{\alpha - n}
+		= n! C_{\alpha}^n (1 + x)^{\alpha - n}$, где
+		$\alpha \notin \N$
+		\[
+			(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x +
+			\frac{\alpha (\alpha - 1)}{2!}x^2 + \ldots +
+			\underbrace{\frac{\alpha (\alpha - 1) \ldots
+			(\alpha - n + 1)}{n!}}_{C_\alpha^n}x^n + o(x^n),
+			\ x \to 0
+		\]
+		Если $\alpha \in \N$, то на каком-то шаге производная
+		станет нулём и будет таковой дальше.
+		(То есть можно будет получить точное разложение,
+		бином Ньютона)
+	
+	\item $\ln (1 + x):$ $\left(\ln (1 + x)\right)^{(n)} =
+		\left((1 + x)^{-1}\right)^{(n - 1)}$
+		То есть
+		\[
+			\left(\ln (1 + x)\right)^{(n)}= (-1) \cdot
+			(-2) \cdot \ldots \cdot (-1 - (n - 2)) \cdot
+			(1 + x)^{-1 - (n - 1)} = (-1)^{n - 1} \cdot
+			(n - 1)! \cdot (1 + x)^{-n}
+		\]
+		Формула Маклорена для логарифма имеет вид:
+		\[
+			\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} +
+			\frac{x^3}{3} - \ldots + (-1)^{n - 1}
+			\frac{x^n}{n} + o(x^n)
+		\]
+\end{enumerate}
+
+\begin{note}
+	Если $f$ - чётная функция, то в формуле Маклорена все
+	нечётные степени имеют нулевые коэффициенты. Если $f$ -
+	нечётная, то четные степени имеют нулевые коэффициенты.
+\end{note}
+
+\begin{proof}
+	Пусть $f$ - чётная функция. Посчитаем $f'(-x)$ по определению:
+	\[
+		f'(-x) = \liml_{\Delta x \to 0}
+		\frac{f(-x + \Delta x) - f(-x)}{\Delta x} =
+		\liml_{\Delta x \to 0} \frac{f(x - \Delta x) -
+		f(x)}{\Delta x} = \liml_{t \to 0} \frac{f(x + t) -
+		f(x)}{-t} = -f'(x)
+	\]
+	То есть $f'(0) = -f'(0)$. Значит, $f'(0) = 0$.
+	
+	Пусть $f$ - нечётная функция. Аналогично:
+	\[
+		f'(-x) = \liml_{\Delta x \to 0} \frac{f(-x + \Delta x) -
+		f(-x)}{\Delta x} = \liml_{\Delta x \to 0}
+		-\frac{f(x - \Delta x) - f(x)}{\Delta x} =
+		\liml_{t \to 0} -\frac{f(x + t) - f(x)}{-t} = f'(x)
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{addition}
+	Рассмотрим функцию
+	\[
+		f(x) = \System{
+		&{\frac{\sin x}{x},\ x \neq 0}
+		\\
+		&{1,\ x = 0}
+		}
+	\]
+	Она непрерывна на $\R$. Раз мы знаем разложение
+	синуса, то можно записать выражение
+	\[
+		f(x) = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} -
+		\ldots + (-1)^{k - 1} \frac{x^{2k - 2}}{(2k - 1)!}
+		+ o(x^{2k - 1}),\ x \to 0
+	\]
+	Является ли оно формулой Тейлора? Как оказывается, да. 
+	Но для доказательства нужно показать, что $f(x)$
+	дифференцируема $n$ раз в нуле, что сделать крайне трудно.
+\end{addition}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/18lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/18lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..ac80b6e8
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/18lecture.tex
@@ -0,0 +1,242 @@
+\subsubsection*{Некоторые приёмы разложения функций по формуле Тейлора}
+
+\begin{enumerate}
+	\item Если $f$ дифференцируема $n + 1$ раз в точке $x_0$ и 
+	\[
+	f'(x - x_0) = \suml_{k = 0}^n b_k (x - x_0)^k + o((x - x_0)^n),\ x \to x_0
+	\]
+	то
+	\[
+		f(x) = f(0) + \suml_{k = 0}^n \frac{b_k}{k + 1} (x - x_0)^{k + 1} + o((x - x_0)^{n + 1}),\ x \to x_0
+	\]
+	\begin{proof}
+		Разложим $f(x)$ по формуле Тейлора:
+		\[
+		f(x) = f(0) + \suml_{k = 0}^n a_k (x - x_0)^{k + 1} + o((x - x_0)^{n + 1}),\ x \to x_0
+		\]
+		При этом $a_k = \frac{f^{(k + 1)}(x_0)}{(k + 1)!} = \frac{(f')^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot \frac{1}{k + 1} = \frac{b_k}{k + 1}$
+	\end{proof}
+	\begin{example}
+		\[
+			(\arcctg x)' = -\frac{1}{1 + x^2}
+		\]
+		Разложим производную $\arcctg x$ в ряд Маклорена:
+		\[
+			-\frac{1}{1 + x^2} = -(1 + x^2)^{-1} = \suml_{k = 0}^n C_{-1}^k \cdot k! \cdot x^{2k} + o(x^{2n + 1}) = \suml_{k = 0}^n (-1)^{k + 1} x^{2k} + o(x^{2n + 1})
+		\]
+		Отсюда получаем, что
+		\[
+			\arcctg x = \frac{\pi}{2} + \suml_{k = 0}^n \frac{(-1)^{k + 1}}{2k + 1} x^{2k + 1} + o(x^{2n + 2}),\ x \to 0
+		\]
+	\end{example}
+
+	\item Метод неопределённых коэффициентов
+	\begin{example}
+		Пусть $f$ имеет вид
+		\[
+			f(x) = \System{
+				&{x \ctg x,\ x \neq 0}
+				\\
+				&{1,\ x = 0}
+			}
+		\]
+		Тогда $f(x)$ при $x \neq 0$ имеет ещё вид
+		\begin{align*}
+			&f(x) = \frac{\cos x}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^5)}{1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} + o(x^5)} = a_0 + a_2x^2 + a_4x^4 + o(x^5),\ x \to 0
+			\\
+			&\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)\right) = \left(a_0 + a_2x^2 + a_4x^4 + o(x^5)\right) \cdot \left(1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} + o(x^5)\right),\ x \to 0
+		\end{align*}
+		Чтобы равенство выполнялось, должны быть равны коэффициенты при одинаковых степенях у приведённых многочленов. Отсюда имеем
+		\begin{align*}
+			&{1 = a_0}
+			\\
+			&{-\frac{1}{2} = a_2 - \frac{a_0}{6} \Ra a_2 = -\frac{1}{3}}
+			\\
+			&{\frac{1}{24} = a_4 - \frac{a_2}{6} + \frac{a_0}{120} \Ra a_4 = -\frac{1}{45}}
+		\end{align*}
+		То есть
+		\[
+			f(x) = 1 - \frac{x^2}{3} - \frac{x^4}{45} + o(x^5)
+		\]
+		Но опять же, нужно доказать, что это формула Тейлора. Иначе это просто асимптотическое разложение
+	\end{example}
+
+	\item Применение формулы Тейлора для подсчёта пределов
+	\begin{example}
+		Вычислим следующий предел:
+		\[
+			\liml_{x \to 0} \left(e^{x^2 \ctg x} + \ln(1 - x)\right)^{1 / \left(\arcctg (\sh x) + \sin x - \frac{\pi}{2}\right)}
+		\]
+		Заметим, что он представим в виде
+		\[
+			\liml_{x \to 0} \left(1 + u(x)\right)^{1 / v(x)} = \liml_{x \to 0} e^{ \frac{\ln (1 + u(x))}{v(x)}}
+		\]
+		где $u, v = o(1),\ x \to 0$. Тогда, в силу эквивлентности
+		\[
+			\liml_{x \to 0} e^{ \frac{\ln (1 + u(x))}{v(x)}} = \liml_{x \to 0} e^{\frac{u(x)}{v(x)}}
+		\]
+		Распишем $u(x)$:
+		\begin{multline*}
+			u(x) = e^{x\left(1 - \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{45}x^4 + o(x^5)\right)} - x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5} + o(x^5) - 1 =
+			\\
+			1 + x\left(1 - \frac{1}{3}x^2 + o(x^3)\right) + \frac{x^2\left(1 - \frac{1}{3}x^2 + o(x^3)\right)^2}{2!} + \frac{x^3\left(1 - \frac{1}{3}x^2 + o(x^3)\right)^3}{3!} + 
+			\\
+			o\left(x^3\left(1 - \frac{1}{3}x^2 + o(x^3)\right)^3\right) - 1 - x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + o(x^3) = \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{3}\right)x^3 + o(x^3) = 
+			\\
+			-\frac{1}{2}x^3 + o(x^3)
+		\end{multline*}
+		Теперь $v(x)$:
+		\[
+			\sh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^6)
+		\]
+		\begin{multline*}
+			\arcctg(\sh x) = \frac{\pi}{2} - \left(x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^6)\right) + \frac{1}{3}\left(x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^6)\right)^3 -
+			\\
+			\frac{1}{5}\left(x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^6)\right)^5 + o\left(\left(x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^6)\right)^6\right) =
+			\\
+			\frac{\pi}{2} - x + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{6}\right)x^3 + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{120} - \frac{1}{5}\right)x^5 + o(x^6),\ x \to 0
+		\end{multline*}
+		В итоге имеем
+		\begin{multline*}
+			v(x) = \frac{\pi}{2} - x + \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{24}x^5 + o(x^6) + x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 + o(x^6) - \frac{\pi}{2} =
+			\\
+			-\frac{1}{30}x^5 + o(x^6),\ x \to 0
+		\end{multline*}
+		Отсюда предел получает вид
+		\[
+			\liml_{x \to 0} e^{\frac{u(x)}{v(x)}} = \liml_{x \to 0} e^{\frac{-\frac{1}{2}x^3 + o(x^3)}{-\frac{1}{30}x^5 + o(x^6)}} = +\infty
+		\]
+	\end{example}
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Исследование функции с помощью производной}
+
+\begin{theorem} \label{monoF} (Необходимое и достаточное условия монотонности функции)
+	Если $f$ дифференцируема на $(a; b)$, то
+	\begin{enumerate}
+		\item $\forall x \in (a; b)\  f'(x) \ge 0 \lra f(x)$ неубывающая на $(a; b)$
+		
+		\item $\forall x \in (a; b)\ f'(x) \le 0 \lra f(x)$ невозрастающая на $(a; b)$
+		
+		\item $\forall x \in (a; b)\  f'(x) > 0 \Ra f(x)$ возрастающая на $(a; b)$
+		
+		\item $\forall x \in (a; b)\ f'(x) < 0 \Ra f(x)$ убывающая на $(a; b)$
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Докажем первый случай. Начнём с утверждения $\Ra$:
+	
+	Рассмотрим $\forall a < x_1 < x_2 < b$. Тогда, по теореме Лагранжа
+	\[
+		\exists c \in (x_1; x_2) \such \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c)
+	\]
+	Отсюда
+	\[
+		f(x_2) - f(x_1) = f'(c) (x_2 - x_1) \ge 0
+	\]
+	
+	Теперь докажем $\La$: посчитаем производную в некоторой точке $x_0 \in (a; b)$:
+	\[
+		f'(x_0) = f'_+(x_0) = \liml_{\Delta x \to 0+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
+	\]
+	Так как $x_0 + \Delta x > x_0 \Ra f(x_0 + \Delta x) \ge f(x_0)$. Отсюда
+	\[
+		f'(x_0) = f'_+(x_0) \ge 0
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{note}
+	В случаях 3 и 4 утверждение верно в одну сторону. Контрпример: 
+	\[
+		y = \pm x^3,\ x \in (-1; 1)
+	\]
+\end{note}
+
+\begin{note}
+	Если дополнительно потребовать непрерывности $f$ на $[a; b]$, то в теорема будет верна на $[a; b]$.
+\end{note}
+
+\begin{theorem} (Первое достаточное условие локального экстремума)
+	Пусть $f$ непрерывна в $U_\delta(x_0)$, дифференцируема в $\mc{U}_\delta(x_0)$. Тогда
+	\begin{enumerate}
+		\item Если $\forall x \in (x_0 - \delta, x_0)\ f'(x) < 0$ и $\forall x \in (x_0, x_0 + \delta)\ f'(x) > 0$, то $x_0$ является точкой строгого локального минимума.
+		
+		\item Если $\forall x \in (x_0 - \delta, x_0)\ f'(x) > 0$ и $\forall x \in (x_0, x_0 + \delta)\ f'(x) < 0$, то $x_0$ является точкой строгого локального максимума.
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Докажем первый случай. Выберем $x_1 \in (x_0 - \delta; x_0)$. Тогда, $f$ непрерывна на $[x_1; x_0]$ и $\forall x \in (x_1; x_0)\ f'(x) < 0$. То есть, $f$ убывает на $[x_1; x_0]$ по теореме \ref{monoF}. Аналогично доказывается, что $f$ возрастает на $[x_0; x_2]$. Значит
+	\[
+		\exists \delta' = \min(x_0 - x_1, x_2 - x_0) \such \forall x \in \mc{U}_{\delta'}(x_0)\ f(x) > f(x_0)
+	\]
+	$x_0$ - локальный минимум.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Второе достаточное условие локального экстремума)
+	Пусть $f^{(n)}(x_0) \neq 0$, а $f'(x_0) = \ldots = f^{(n - 1)}(x_0) = 0$. Тогда
+	\begin{enumerate}
+		\item При $n$ - чётном 
+		\[
+			\System{
+				&{f^{(n)}(x_0) > 0 \Ra x_0 \text{ - точка строгого локального минимума}}
+				\\
+				&{f^{(n)}(x_0) < 0 \Ra x_0 \text{ - точка строгого локального максимума}}
+			}
+		\]
+		
+		\item При $n$ - нечётном $x_0$ не является точкой локального экстремума
+	\end{enumerate} 
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано можно записать разложение:
+	\[
+		f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n),\ x \to x_0
+	\]
+	Перепишем это выражение в другом виде:
+	\[
+		n! \cdot \frac{f(x) - f(x_0)}{f^{(n)}(x_0)} = (x - x_0)^n + o((x - x_0)^n),\ x \to x_0
+	\]
+	
+	Если $n$ чётно, то справа стоит положительное число. То есть
+	\[
+		\frac{f(x) - f(x_0)}{f^{(n)}(x_0)} > 0,\ x \to x_0
+	\]
+	Если $f^{(n)}(x_0) > 0$, то и $f(x) > f(x_0),\ \forall x \in \mc{U}_\delta(x_0)$. Следовательно $x_0$ - точка строгого локального минимума. Аналогично при $f^{(n)}(x_0) < 0$ $x_0$ - точка строгого локального максимума.
+	
+	Если $n$ нечётно, то выражение справа положительно при $x \to x_0+0$ и отрицательно при $x \to x_0-0$. Это значит, что какой бы знак мы не выбрали для $f^{(n)}(x_0)$, разность $f(x) - f(x_0)$ принимает разные знаки по разные стороны от $x_0$, то есть $x_0$ не является точкой локального экстремума.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Функция $f$ называется \textit{выпуклой вниз(вогнутой вверх)} на $(a; b)$, если её график лежит не выше любой хорды, стягивающей две точки графика.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Функция $f$ называется \textit{выпуклой вверх(вогнутой вниз)} на $(a; b)$, если её график лежит не ниже любой хорды, стягивающей две точки графика.
+\end{definition}
+
+%\subsubsection*{Геометрический смысл выпуклости}
+
+%% Нарисовать. 1:15:42 16я лекция 2021г
+
+\subsubsection*{Аналитический смысл выпуклости}
+
+Возьмём 2 точки $a < x_1 \le x_2 < b$. Координаты точки на хорде можно выразить параметрически:
+\[
+	\System{
+		&x_0 = tx_1 + (1 - t)x_2
+		\\
+		&y_0 = tf(x_1) + (1 - t)f(x_2)
+	}
+	,\ t \in [0; 1]
+\]
+Выпуклость вниз по определению означает, что
+\[
+	f(tx_1 + (1 - t)x_2) \le tf(x_1) + (1 - t)f(x_2)
+\]
+
+\begin{note}
+	Если неравенство - строгое $\forall t \in (0; 1),\ \forall x_1, x_2 \in (a; b)$, то $f$ \textit{строго выпукла вниз (вверх)}
+\end{note}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/19lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/19lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..ff1e80d7
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/19lecture.tex
@@ -0,0 +1,254 @@
+\begin{theorem} (Необходимое и достаточное условия строгой выпуклости)
+	Пусть $f$ дважды дифференцируема на $(a; b)$. Тогда
+	\begin{enumerate}
+		\item $\forall x \in (a; b)\ f''(x) \ge 0 \lra$ $f$ выпукла вниз на $(a; b)$
+		
+		\item $\forall x \in (a; b)\ f''(x) \le 0 \lra$ $f$ выпукла вверх на $(a; b)$
+		
+		\item $\forall x \in (a; b)\ f''(x) > 0 \Ra$ $f$ строго выпукла вниз на $(a; b)$
+		
+		\item $\forall x \in (a; b)\ f''(x) < 0 \Ra$ $f$ строго выпукла вверх на $(a; b)$
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Докажем первый случай. Начнём с достаточности. Для этого распишем функцию в точках $x_1$ и $x_2$ по формуле Тейлора:
+	\begin{align*}
+		&f(x_1) = f(x_0) + f'(x_0)(x_1 - x_0) + \frac{f''(\xi_1)}{2!}(x_1 - x_0)^2,\ x_1 < \xi_1 < x_0
+		\\
+		&f(x_2) = f(x_0) + f'(x_0)(x_2 - x_0) + \frac{f''(\xi_2)}{2!}(x_2 - x_0)^2,\ x_0 < \xi_2 < x_2
+	\end{align*}
+	При этом естественно $a < x_1 < x_2 < b$. Так как вторая производная в точках $\xi_1$ и $\xi_2$ неотрицательна, то
+	\begin{align*}
+		f(x_1) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x_1 - x_0)
+		\\
+		f(x_2) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x_2 - x_0)
+	\end{align*}
+	Раз $x_0 \in (x_1; x_2)$, то $\exists t \in (0; 1) \such x_0 = tx_1 + (1 - t)x_2$. Домножим уравнения на $t > 0$ и $1 - t > 0$ соответственно и сложим. Получим
+	\[
+		t \cdot f(x_1) + (1 - t) \cdot f(x_2) \ge f(x_0) + f'(x_0)\left(tx_1 + (1 - t)x_2 - x_0\right) = f(x_0) = f(tx_1 + (1 - t)x_2)
+	\]
+	
+	Теперь докажем необходимость. Выберем $\forall x_0 \in (a; b)$. Положим $\delta := \min(b - x_0, x_0 - a)$ и рассмотрим $\forall u \in (-\delta; \delta)$. Тогда $f(x_0 \pm u)$ - определены и могут быть записаны по Формуле Тейлора:
+	\[
+		f(x_0 \pm u) = f(x_0) \pm f'(x_0)u + \frac{f''(x_0)}{2!}u^2 + o(u^2),\ u \to 0
+	\]
+	Положим $x_1, x_2 \such x_1 < x_2, \{x_1, x_2\} = \{f(x_0 - u), f(x_0 + u)\}$. Тогда $t = \frac{1}{2}$ для $x_0$ при любом $u$. То есть
+	\[
+		f(x_0) \le \frac{1}{2}f(x_0 - u) + \frac{1}{2}f(x_0 + u)
+	\]
+	Подставим формулы Тейлора вместо $f(x_0 \pm u)$. Получим
+	\[
+		\frac{1}{2}\left(f(x_0 - u) + f(x_0 + u)\right) = f(x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}u^2 + o(u^2),\ u \to 0
+	\]
+	Перепишем данное выражение в другом виде
+	\[
+		\frac{1}{u^2}\left(\frac{1}{2}\left(f(x_0 - u) + f(x_0 + u)\right) - f(x_0)\right) = \frac{f''(x_0)}{2} + o(1),\ u \to 0
+	\]
+	Раз правая часть имеет предел, то и левая тоже. При этом левая часть положительна. Значит
+	\[
+		\frac{f''(x_0)}{2} \ge 0 \lra f''(x_0) \ge 0
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{note}
+	В случаях 3 и 4 утверждение верно в одну сторону. Контрпример: 
+	\[
+		y = \pm x^4,\ x \in (-1; 1)
+	\]
+\end{note}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $f$ непрерывна на $U_{\delta_0}(x_0)$, $\exists f'(x_0) \in \bar{\R}$ и $\exists \delta \in (0; \delta_0)$, при этом
+	\begin{itemize}
+		\item либо на $(x_0 - \delta; x_0)$ $f$ выпукла вниз, а на $(x_0; x_0 + \delta)$ выпукла вверх;
+		
+		\item либо на $(x_0 - \delta; x_0)$ $f$ выпукла вверх, а на $(x_0; x_0 + \delta)$ выпукла вниз.
+	\end{itemize}
+	Тогда $x_0$ называется \textit{точкой перегиба} $f(x)$.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (Необходимое и достаточное условия точки перегиба)
+	Если $f$ непрерывна в $U_{\delta_0}(x_0)$, $\exists f'(x_0) \in \bar{\R}$ и $f$ дважды дифференцируема в $\mc{U}_{\delta_0}(x_0)$, то $x_0$ является точкой перегиба функции $f(x)$ тогда и только тогда, когда $\exists \delta > 0$ такая, что
+	\begin{itemize}
+		\item либо $\forall x \in (x_0 - \delta; x_0)\ f''(x) \ge 0$ и $\forall x \in (x_0; x_0 + \delta)\ f''(x) \le 0$;
+		
+		\item либо $\forall x \in (x_0 - \delta; x_0)\ f''(x) \le 0$ и $\forall x \in (x_0; x_0 + \delta)\ f''(x) \ge 0$
+	\end{itemize}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Напрямую следует из необходимого и достаточного условий выпуклости функции.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Геометрическое необходимое условие точки перегиба)
+	Если $f$ дважды дифференцируема в окрестности точки $x_0$ и $y_{\text{кас}}(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)$ - уравнение касательной к графику $f(x)$ в точке $x_0$, то из выполнения одного из следующей пары условий следует, что $x_0$ - точка перегиба:
+	\begin{enumerate}
+		\item $\forall x \in (x_0 - \delta; x_0)\ y_{\text{кас}}(x) \le f(x)$ и $\forall x \in (x_0; x_0 + \delta)\ y_{\text{кас}}(x) \ge f(x)$;
+		
+		\item $\forall x \in (x_0 - \delta; x_0)\ y_{\text{кас}}(x) \ge f(x)$ и $\forall x \in (x_0; x_0 + \delta)\ y_{\text{кас}}(x) \le f(x)$.
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Распишем $f(x)$ по формуле Тейлора:
+	\[
+		f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(\xi)}{2!}(x - x_0)^2 = y_{\text{кас}}(x) + \frac{f''(\xi)}{2!}(x - x_0)^2
+	\]
+	Доказательство свелось к смене знаков второй производной.
+\end{proof}
+
+\begin{note}
+	Условия в теореме не являются достаточными. Контрпримером является функцияа
+	\[
+		f(x) = \System{
+			&{\left(2 + \sin \frac{1}{x}\right)x^5,\ x \neq 0}
+			\\
+			&{0,\ x = 0}
+		}
+	\]
+	Производная имеет вид
+	\[
+		f'(x) = \System{
+			&{-x^3\cos \frac{1}{x} + 5x^4\left(2 + \sin \frac{1}{x}\right),\ x \neq 0}
+			\\
+			&{0,\ x = 0}
+		}
+	\]
+	Вторая производная:
+	\[
+		f''(x) = \System{
+			&{-x\sin \frac{1}{x} - 8x^2 \cos \frac{1}{x} + 20x^3 \left(2 + \sin \frac{1}{x}\right),\ x \neq 0}
+			\\
+			&{0,\ x = 0}
+		}
+	\]
+	Рассмотрим значение второй производной при стремлении к нулю:
+	\[
+		f''(x) = -x\sin \frac{1}{x} - 8x^2 \cos \frac{1}{x} + 20x^3 \left(2 + \sin \frac{1}{x}\right) = -x \left(\sin \frac{1}{x} + 8x \cos \frac{1}{x} - 20x^2 \left(2 + \sin \frac{1}{x}\right)\right)
+	\]
+	То есть $f''$ бесконечно много раз меняет свой знак при стремлении к 0, хотя при этом выполнены условия на $y_{\text{кас}}$
+\end{note}
+
+%% Нарисовать. 58:03 запись стрима 19й лекции
+
+\begin{definition}
+	Прямая $x = x_0$ называется \textit{вертикальной асимптотой} графика функции $f(x)$, если хотя бы один из односторонних пределов $f(x_0 \pm 0)$ бесконечен.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Прямая $y = kx + b$ называется \textit{асимптотой} графика функции $f(x)$, если
+	\[
+		\liml_{x \to +\infty} (f(x) - (kx + b)) = 0
+	\]
+	или
+	\[
+		\liml_{x \to -\infty} (f(x) - (kx + b)) = 0
+	\]
+	Если $k = 0$, то асимптота называется \textit{горизонтальной}, при $k \neq 0$ - \textit{наклонной}.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+	Прямая $y = kx + b$ является асимптотой графика функции $y = f(x)$ тогда и только тогда, когда существуют пределы
+	\begin{align*}
+		&\liml_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = k
+		\\
+		&\liml_{x \to +\infty} \left(f(x) - kx\right) = b
+	\end{align*}
+	Для $-\infty$ аналогично.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Покажем необходимость: пусть $y = kx + b$ - асимптота. Значит
+	\[
+		\liml_{x \to +\infty} (f(x) - kx - b) = 0
+	\]
+	Заметим следующие пределы:
+	\begin{align*}
+		&\liml_{x \to +\infty} \frac{f(x) - kx - b}{x} = 0
+		\\
+		&\liml_{x \to +\infty} \frac{kx + b}{x} = k
+	\end{align*}
+	Отсюда следует, что
+	\[
+		\liml_{x \to +\infty} \frac{f(x) - kx - b}{x} = 0 = \liml_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} - k \lra \liml_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = k
+	\]
+	А второй предел получается из самого первого простым добавлением $b$ в обе части:
+	\[
+		\liml_{x \to +\infty} \left(f(x) - kx - b\right) + b = b = \liml_{x \to +\infty} \left(f(x) - kx\right)
+	\]
+	
+	Теперь покажем необходимость:
+	\[
+		\liml_{x \to +\infty} \left(f(x) - kx\right) = b \Ra \liml_{x \to +\infty} \left(f(x) - (kx + b)\right) = 0
+	\]
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Схема исследования функции и построения графика}
+
+\begin{enumerate}
+	\item Область определения, особенности (чётность, нечётность, периодичность)
+	
+	\item Промежутки знакопостоянства, точки пересечения с осями координат
+	
+	\item Монотонность, экстремумы
+	
+	\item Выпуклость, точки перегиба
+	
+	\item Асимптоты
+	
+	\item Построение графика
+\end{enumerate}
+
+\begin{example}
+	\[
+		y = \sqrt{|x^2 - 3x + 2|}
+	\]
+	\begin{enumerate}
+		\item $D(y) = \R$, функция общего вида, непериодична
+		
+		\item $y \ge 0$, точки пересечения с осями: $(0, \sqrt{2}),\ (1, 0),\ (2, 0)$
+		
+		\item При $x \neq 1,\ x \neq 2$:
+		\[
+			y' = \frac{(2x - 3) \cdot \sgn (x^2 - 3x + 2)}{2 \sqrt{|x^2 - 3x + 2|}}
+		\]
+		%%% Нарисовать
+		%Здесь должна быть числовая ось со знаками производной. Из рисунка следует, что
+		\begin{align*}
+			&{x = 1, \text{ - локальный минимум},\ y(1) = 0}
+			\\
+			&{x = \frac{3}{2}, \text{ - локальный максимум},\ y\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}}
+			\\
+			&{x = 2, \text{ - локальный минимум},\ y(2) = 0}
+		\end{align*}
+		\item При $x \neq 1,\ x \neq 2$
+		\begin{multline*}
+			y'' = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sgn (x^2 - 3x + 2) \sqrt{|x^2 - 3x + 2|} - \frac{(2x - 3)^2 \sgn^2 (x^2 - 3x + 2)}{2 \sqrt{|x^2 - 3x + 2|}}}{|x^2 - 3x + 2|} =
+			\\
+			\frac{1}{4} \cdot \frac{4(x^2 - 3x + 2) - (2x - 3)^2}{|x^2 - 3x + 2|^{3/2}} = \frac{-1}{4|x^2 - 3x + 2|^{3/2}}
+		\end{multline*}
+		%%% Нарисовать
+		%Здесь должна быть числовая ось с направлениями выпуклости на интервалах.
+		
+		\item Сразу понятно, что у функции нету вертикальных асимптот. Найдём предел
+		\[
+			\liml_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \liml_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2}} = 1
+		\]
+		Теперь ещё предел:
+		\[
+			\liml_{x \to +\infty} y - x = \liml_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3x + 2} - x = \liml_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 3x + 2 - x^2}{\sqrt{x^2 - 3x + 2} + x} = -\frac{3}{2}
+		\]
+		То есть $y = x - \frac{3}{2}$ - правая наклонная асимптота.
+		Аналогично проделаем для $x \to -\infty$:
+		\[
+			\liml_{x \to -\infty} \frac{y}{x} = -\liml_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2}} = -1
+		\]
+		\[
+			\liml_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 - 3x + 2} - (-1)x = \liml_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 3x + 2 - x^2}{\sqrt{x^2 - 3x + 2} - x} = \frac{3}{2}
+		\]
+		Отсюда $y = -x + \frac{3}{2}$ - левая наклонная асимптота.
+		
+		%\item Тут должен быть график функции %%% Нарисовать 1:23:30 Введение в матан 19
+	\end{enumerate}
+\end{example}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/1lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/1lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..c1c5e617
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/1lecture.tex
@@ -0,0 +1,280 @@
+\section{Предварительные сведения}
+
+\subsection{Элементы математической логики}
+
+\begin{definition}
+    Высказывание - это выражение, принимающее либо значение истины $(1)$, либо ложности $(0)$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Предикат - это высказывание, зависящее от переменных.
+\end{definition}
+
+\subsubsection*{Обозначения}
+
+\begin{enumerate}
+    \item Высказывания обозначаюся заглавными латинскими буквами: $A, B, \dots$
+    \item $A(x_1, \dots, x_n)$ - предикат, например, $A(x, y)$ --- река $x$ впадает в море
+    \item $:=$ - является по определению
+    \item $\neg A$ - отрицание высказывания $A$. Логическое "не".
+    \item $A \wedge B$ - конъюнкция. Логическое "и".
+    \item $A \vee B$ - дизъюнкция. Логическое "или".
+    \item $A \ra B$ - импликация. Логическое "если $A$, то $B$".
+    \item $A \lra B$ - эквиваленция ($A$ ТиТТК $B$) ($A$ iff $B$)
+\end{enumerate}
+
+\subsubsection*{Кванторы}
+
+$\forall$ --- квантор общности (для всех, для любых)
+
+$\exists$ --- квантор существования (найдется, существует)
+
+
+\begin{example}[предиката]
+    $B(a) = ((\forall b \in \R)\ (\exists c \in \R)\ |\ (\forall x \in \R)\ ax^2 + bx + c \ge 0) $.  $B(a) \lra (a > 0)$
+\end{example}
+
+
+\subsubsection*{Эквивалентность и равносильность}
+
+Эквивалентность $\lra$ нужно не путать с логической равносильностью $\equiv$. Первое является логической операцией, тогда как второе точно гарантирует, что высказывание $B$ имеет ровно то же значение, что и высказывание $A$.
+
+
+\subsection{"Наивная"\ теория множеств}
+
+\subsubsection*{Обозначения}
+
+\begin{enumerate}
+    \item $A, B, \dots$ - множества. Обозначаются заглавными латинскими буквами (как правило).
+    \item $a \in A$ - элемент $a$ принадлежит множеству $A$. То же самое, что и $A \ni a$.
+    \item $\neg (a \in A) \lra a \notin A$
+\end{enumerate}
+
+
+\subsubsection*{Операции над множествами}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Объединением множеств} $A$ и $B$ называется множество $A \cup B := \{x\ |\ (x \in A) \vee (x \in B)\}$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Пересечением множеств} $A$ и $B$ называется множество $A \cap B := \{x\ |\ (x \in A) \wedge (x \in B)\}$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Разностью множеств} $A$ и $B$ называется множество $A \bs B := \{x\ |\ (x \in A) \wedge (x \notin B)\}$.
+    
+    Также используется и второе обозначение $A \bs B \lra C_A B$. $C$ - это сокращение от французского \textit{complément}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Симметрической разностью множеств} $A$ и $B$ называется множество $A \triangle B := \{x\ |\ (x \in (A \bs B)) \vee (x \in (B \bs A))\} \lra (A \bs B) \cup (B \bs A)$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Универсальным множеством} $U$ называется такое множество, которое включает в себя все множества рассматриваемой системы, кроме самого себя. Обычно обозначается как $U$ от слова \textit{universal}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Дополнением множества} $A$ называется $C_U A$. Другим обозначением служит $A^C := C_U A$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Пустым множеством} $\emptyset$ называется такое множество, которое не содержит в себе элементов. Оно существует и единственно. ($\emptyset \subset U$)
+\end{definition}
+
+
+\subsubsection*{Свойства операций над множествами}
+
+\begin{itemize}
+    \item Коммутативность
+    \begin{align*}
+        A \cup B = B \cup A \\
+        A \cap B = B \cap A
+    \end{align*}
+    \item Ассоциативность
+    \begin{align*}
+        (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \\
+        (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
+    \end{align*}
+    \item Дистрибутивность
+    \begin{align*}
+        A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \\
+        A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
+    \end{align*}
+    \item Идемпотентность
+    \begin{align*}
+        A \cup A = A \\
+        A \cap A = A
+    \end{align*}
+    \item Двойственность (правила де Моргана)
+    \begin{align*}
+        (A \cup B)^C = A^C \cap B^C \\
+        (A \cap B)^C = A^C \cup B^C
+    \end{align*}
+    \item Универсальное множество
+    \begin{align*}
+        U \cap A = A \\
+        U \cup A = U
+    \end{align*}
+    \item Пустое множество
+    \begin{align*}
+        \emptyset \cap A = \emptyset \\
+        \emptyset \cup A = A
+    \end{align*}
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Парадокс Рассела}
+
+\[A := \left\{X : X \notin X\right\}.\  A \in A ?\]
+
+\subsection{Отображения и функции}
+
+\begin{definition}
+    $(f \colon X \ra Y) \lra \left(\forall x \in X\ \exists! \ 
+    y \in Y\right)\ y = f(x)$ - отображение
+    (функция) из множества $X$ в множество $Y$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Множество $X$ называется \textit{областью определения} $f$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    $f(X)$ - множество значений $f$.\\ Более точная формулировка выглядит так:
+    $$
+    f(X) = \{y \in Y \such \exists x \in X\ f(x) = y\}
+    $$
+    Ещё множество значений $f$ называют \textit{образом множества} $X$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Отображение $f$ инъективно (взаимно однозначно), если \\ $(\forall x_1, x_2 \ 
+    \in X,\  x_1 \neq x_2)\  f(x_1) \neq f(x_2)$.  Инъективное отображение называется инъекцией.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Отображение $f$ сюръективно (отображение "на"), если \\ $(\forall y \ 
+    \in Y)\ (\exists x \ \in X)\  y = f(x)$. Сюръективное отображение называется сюръекцией.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Отображение $f$ биективно (взаимно однозначное отображение "на"),\\ ТиТТК 
+    $(f\  $инъективно$) \wedge (f\ $сюръективно). Биективное отображение называется биекцией.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Образ множества $A$ при отображении $f$, $(A \subset X):$ 
+    
+     \[ f(A) :=  \left\{y \in  Y : \left(\exists x \in A : f(x) = y\right) \right\}\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    $f^{-1}(Y)$ называется \textit{прообразом множества} $Y$ и определяется как
+    $$
+        f^{-1}(Y) := \{x \in X : \exists y \in Y\ f(x) = y\}
+    $$
+\end{definition}
+
+\begin{itemize}
+    \item Если $f$ инъективно, то $f^{-1}(y)$ --- единственный
+        элемент множества $X$ либо $\emptyset$.
+    \item Если $f$ биективно, то  $f^{-1}(y)$ --- отображение $Y$ на 
+        $X$ (обратное отображение).
+    \item $f(X)$ --- множество значений отображения $f$.
+    \item $D(f)$ --- область определения $f$, $\left(D(f) \subset X\right)$ 
+\end{itemize}
+
+\subsection{Декартовы произведения и отношения}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Декартовым произведением} множеств $A$ и $B$ называют упорядоченное множество пар:
+    \[
+        A \times B := \{(a, b)\ |\ (a \in A) \wedge (b \in B)\}
+    \]
+    При этом $(a, b)$ называется \textit{упорядоченной парой}, то есть, в отличие от множеств, верно $(a, b) \neq (b, a)$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Декартово произведение множества $X$ на само себя называется \textit{декартовым квадратом} (или куб, если мы говорим о третьей степени). Обозначается как $X \times X = X^2$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Подмножество $R \subset X^2$ называется \textit{бинарным отношением на множестве $X$}.
+    ($R \subset X \times X$) \\    
+    
+    $(x, y) \in R := xRy$ - введём краткую запись того, что упорядоченная пара принадлежит отношению.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Бинарное отношение $R$ называется \textit{отношением эквивалентности}, если выполнены условия:
+    \begin{enumerate}
+        \item Рефлексивность $\forall x \in X \Ra xRx$
+        \item Симметричность $\forall x, y \in X (xRy) \Ra (yRx)$
+        \item Транзитивность $\forall x, y, z \in X (xRy) \wedge (yRz) \Ra (xRz)$
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Бинарное отношение $R$ называется \textit{отношением порядка}, если выполнены условия:
+    \begin{enumerate}
+        \item Рефлексивность $\forall x \in X \Ra xRx$
+        \item Антисимметричность $\forall x, y \in X\ (xRy) \wedge (yRx) \Ra (x = y)$
+        \item Транзитивность
+        $\forall x, y, z \in X\ (xRy) \wedge (yRz) \Ra (xRz)$
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{adefinition}
+    Бинарное отношение $R$ называется \textit{отношением
+    строгого порядка},если выполнены условия:
+    \begin{enumerate}
+        \item Антирефлексивность $\forall x \in X \Ra \neg xRx$
+        \item Асимметричность $\forall x, y \in X\ (xRy) \Ra \neg (yRx)$
+        \item Транзитивность
+        $\forall x, y, z \in X\ (xRy) \wedge (yRz) \Ra (xRz)$
+    \end{enumerate}
+\end{adefinition}
+
+\begin{example}
+    Отношение $\subset$ между множествами является отношением порядка. $X := 2^{Y}$
+    (Множество всех подмонжеств множества $Y$)
+\end{example}
+\begin{example}
+    Отношение $\le$ между действительными числами является тоже отношением порядка. $X = \R$.
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+    Говорят, что множество $X$ \textit{линейно упорядоченно}, если на нём задано отношение порядка $\prec$ такое, что $\forall x, y \in X (x \prec y) \vee (y \prec x)$ - всегда истинное высказывание.
+\end{definition}
+
+Исходя из этого, нетрудно заметить, что множества сами по себе не являются линейно упорядоченными.
+
+\begin{anote}
+    Дополнительно стоит заметить, что отношения на множествах как бы не являются отношениями. Мы не можем говорить о множестве всех множеств, иначе мы получим парадокс Рассела.
+\end{anote}
+
+\begin{definition}
+    Если на множестве $X$ задано отношение порядка, но оно не является линейно упорядоченным, то его называют \textit{частично упорядоченным}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Если на множестве $X$ определено отношение эквивалентности $R$, то множество $X$ называется \textit{классом эквивалентности}, если
+    \[
+    	\forall x, y \in X\ xRy
+    \]
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+    Если на множестве $X$ задано отношение эквивалентности $R$,
+    то $X$ разбивается единственным образом на классы эквивалентности:
+    $$
+        X = \bigcup\limits_{\alpha \in A} X_{\alpha}
+    $$
+    При этом выполнены свойства:
+    \begin{enumerate}
+        \item $(\forall \alpha_1 \neq \alpha_2)(\alpha_1, \alpha_2 \in A) \ X_{\alpha_1} \cap X_{\alpha_2} = \emptyset$
+        \item $(\forall \alpha)(\forall x, y \in X_{\alpha})\ xRy$
+        \item $(\forall \alpha_1 \neq \alpha_2)(\forall x \in X_{\alpha_1})(\forall y \in X_{\alpha_2})\ \neg (xRy)$
+    \end{enumerate}
+\end{theorem}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/20lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/20lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..4ef95af2
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/20lecture.tex
@@ -0,0 +1,496 @@
+\section{Вектор-функции и топология пространства $\R^n$}
+
+\subsection{Пространство $\R^n$}
+
+\subsubsection*{Алгебраические структуры}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Линейным пространством} над полем действительных
+	чисел (линейным действительным пространством) называется
+	множество $X$, на котором определены операции
+	$+: X \times X \ra X$ и $\cdot: \R \times X \ra X$,
+	удовлетворяющие аксиомам линейного пространства:
+	\begin{enumerate}
+		\item $(\forall \vec{x}, \vec{y} \in X)\ \ \vec{x} + \vec{y}
+			= \vec{y} + \vec{x}\ \ $ \textit{(ассоциативность сложения)}
+		
+		\item $(\forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in X)\ \ 
+			(\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} = \vec{x} + 
+			(\vec{y} + \vec{z})\ \ $ \textit{(ассоциативность сложения)}
+		
+		\item $(\exists \vec{0} \in X)(\forall \vec{x} \in X)
+			\ \ \vec{x} + \vec{0} = \vec{x}\ \ $ \textit{(нейтральный 
+			элемент относительно сложения)}
+		
+		\item $(\forall \vec{x} \in X)(\exists
+			(-\vec{x}) \in X)\ \ \vec{x} + (-\vec{x}) = \vec{0}\ \ $
+			\textit{(обратный элемент относительно сложения)}
+		
+		\item $(\forall \alpha, \beta \in \R)(\forall
+			\vec{x} \in X)\ \ \alpha(\beta \vec{x}) =
+			(\alpha \beta) \vec{x}\ \ $ \textit{(ассоциативность
+			умножения на скаляр)}
+		
+		\item $(\forall \alpha, \beta \in \R)(\forall \vec{x}
+			\in X)\ \ (\alpha + \beta) \vec{x} =
+			\alpha \vec{x} + \beta \vec{x}\ $ \textit{(дистрибутивность
+			относительно скаляра)}
+		
+		\item $(\forall \alpha \in \R)(\forall \vec{x},
+			\vec{y} \in X)\ \ \alpha(\vec{x} + \vec{y}) =
+			\alpha\vec{x} + \alpha\vec{y}\ \ $ \textit{(дистрибутивность
+			относительно вектора)}
+		
+		\item $(\forall \vec{x} \in X)\ \ 1 \cdot \vec{x} = \vec{x}\ \ $
+			\textit{(нейтральный элемент относительно умножения)}
+	\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	\[
+		\R^n = \underbrace{\R \times \R \times \dots \times \R}_{n}	
+	\]
+	$\R^n$ является линейным пространством над
+	полем $\R$ (линейным действительным пространством).
+	\[
+		\vec{x} = (x_1, \ldots, x_n) \text{ - вектор};\ 
+		\ \Matrix{&\xi^1 \\ &\vdots \\ &\xi^n}
+		\text{ - координатный столбец}
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+	Ноль и обратный элемент единственны
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	Единственность обратного элемента:
+	\[
+		(\vec{x} + (-\vec{x})_1) + (-\vec{x})_2 =
+		(-\vec{x})_2 = (-\vec{x})_1 =
+		(\vec{x} + (-\vec{x})_2) + (-\vec{x})_1
+	\]
+	Единственность нуля:
+	\[
+		\vec{0}_1 + \vec{0}_2 = \vec{0}_1 = \vec{0}_2 =
+		\vec{0}_2 + \vec{0}_1
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	\[
+		0 \cdot \vec{x} = \vec{0}
+	\]
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	\[
+		(0 + 0)\vec{x} = 0\vec{x} = 0\vec{x} + 0\vec{x}
+	\]
+	К обеим частям добавим обратный элемент к $0\vec{x}$ и
+	получим:
+	\[
+		\vec{0} = 0\vec{x}
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	\[
+		(-1)\vec{x} = -\vec{x}
+	\]
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	Рассмотрим выражение
+	\[
+		\vec{x} + (-1)\vec{x} = 1\vec{x} + (-1)\vec{x} =
+		(1 - 1)\vec{x} = 0\vec{x} = \vec{0}
+	\]
+	То есть $(-1)\vec{x}$ является обратным к $\vec{x}$
+	по сложению. Отсюда по единственности
+	\[
+		(-1)\vec{x} = -\vec{x}
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{anote}
+	В 2023 году Алексей Леонидович не строил теории для комплексных чисел,
+	поэтому весь материал, связанный с ними, остался нетронутым с 2021 года.
+	К этому же числу относятся линейные отображения.
+\end{anote}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Комплексным} линейным пространством
+	называется линейное пространство над $\Cm$.
+	Определяется аналогично вещественному.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Отображение $L: X_1 \ra X_2$ линейного пространства $X_1$ над
+	$\R(\Cm)$ на линейное пространство $X_2$ над
+	$\R(\Cm)$ называется
+	\textit{линейным отображением (оператором)}, если
+	\begin{itemize}
+		\item $(\forall \vec{x}, \vec{y} \in X_1)\ \ 
+			L(\vec{x} + \vec{y}) = L(\vec{x}) + L(\vec{y})$
+		
+		\item $(\forall \alpha \in \R(\Cm))(\forall \vec{x}
+			\in X_1)\ \ L(\alpha \vec{x}) = \alpha L(\vec{x})$
+	\end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Если существует биекция линейного пространства
+	$X_1$ на $X_2$, являющаяся линейным оператором
+	вместе со своим обратным, то $X_1 \cong X_2$ (изоморфны)
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Говорят, что на действительном линейном пространстве
+	$X$ задана \textit{комплексная структура}, если
+	существует линейный оператор $\goth{j}: X \to X$
+	такой, что
+	\[
+		\goth{j}^2  = -\id_X
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+	На $\R^2$ комплексная структура задаётся оператором
+	\[
+		\goth{j}: (x, y) \ra (-y, x)
+	\]
+\end{example}
+
+\begin{example}
+	\[
+		\{(x_1, x_2) \in \R^2 \such x_2 = 0\} \cong \R
+	\]
+\end{example}
+
+\begin{example}
+	\[
+		\{(z_1, z_2) \in \Cm^2 \such z_2 = 0\} \cong \Cm
+	\]
+\end{example}
+
+\begin{lemma}
+	Комплексная структура на $\R^{2n}$ задаётся оператором с матрицей
+	\[
+		\Matrix{
+		0& & -1& & \cdots& & & & 0 \\
+		1& & 0& & -1& & \cdots& & \vdots \\
+		\vdots& & 1& & 0& & \ddots& & \\
+		& & \vdots& & \ddots& & \ddots& & -1 \\
+		0& & \cdots& & & & 1& & 0
+		}
+	\]
+\end{lemma}
+
+\begin{definition}
+	Линейное действительное пространство называется \textit{евклидовым},
+	если определена функция $\trbr{\cdot, \cdot}: X \times X \ra
+	\R$, обладающая свойствами:
+	\begin{itemize}
+		\item $(\forall \vec{x} \in X)\ \ \trbr{\vec{x},
+			\vec{x}} \ge 0$, причём $\trbr{\vec{x}, \vec{x}} =
+			0 \lra \vec{x} = \vec{0}$
+		
+		\item $(\forall \vec{x}, \vec{y} \in X)\ \ 
+			\trbr{\vec{x}, \vec{y}} = \trbr{\vec{y}, \vec{x}}$
+		
+		\item $(\forall \alpha, \beta \in \R)\ \ 
+			\trbr{\alpha\vec{x} + \beta\vec{y}, \vec{z}} =
+			\alpha\trbr{\vec{x}, \vec{z}} + \beta\trbr{\vec{y}, \vec{z}}$
+	\end{itemize}
+	Эта функция $\trbr{\vec{x}, \vec{y}}$ называется скалярным
+	произведением
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+	$\R^n$ является вещественным евклидовым
+	пространством если определить скалярное произведение как:
+	\[
+		\trbr{\vec{x}, \vec{y}} = \suml_{i = 0}^n x_iy_i
+	\]
+	где $\vec{x} = (x_1, \ldots, x_n);\ \vec{y} = (y_1, \ldots, y_n)$
+\end{lemma}
+
+\begin{addition}
+	Если в определении вещественного евклидового пространства
+	заменить первое свойство на
+	\[
+	(\forall \vec{y} \in X\ \trbr{\vec{x}, \vec{y}} = 0)
+		\lra \vec{x} = \vec{0}
+	\]
+	то получим определение \textit{псевдоевклидового} пространства.
+\end{addition}
+
+\begin{example}
+	$R^4$ - псевдоевклидово пространство, где для любых векторов
+	$\vec{x} = (x_0, x_1, x_2, x_3)$ и $\vec{y} = (y_0, y_1, y_2, y_3)$
+	скалярное произведение имеет вид
+	\[
+		\trbr{\vec{x}, \vec{y}} = x_0 y_0 - x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3
+	\]
+	Это пространство носит имя \textit{пространства Минковского} и
+	играет большую роль в Специальной Теории Относительности.
+\end{example}
+
+\begin{idea}
+	Доказательство проводится рутинной проверкой каждого
+	условия из определения евклидова пространства.
+\end{idea}
+
+\begin{theorem} (Неравенство Коши-Буняковского-Шварца) \label{Cauchy–Schwarz}
+	Если $X$ - вещественное евклидовое пространство, то
+	\[
+		(\forall \vec{x}, \vec{y} \in X)\ \ 
+		|\trbr{\vec{x}, \vec{y}}|^2 \le
+		\trbr{\vec{x}, \vec{x}} \cdot
+		\trbr{\vec{y}, \vec{y}}
+	\]
+	причём равенство имеет место ТиТТК $\ x = 0$ или $y = 0$, или
+	$(\exists \lambda \in \R)\ \vec{x} =
+	\lambda \vec{y}\ $ (по сути, когда $\vec{x}\ ||\ \vec{y}$).
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Если $\vec{y} = \vec{0}$, то
+	\[
+		\trbr{\vec{x}, \vec{0}} = \trbr{\vec{x},
+		\vec{x} + (-\vec{x})} = \trbr{\vec{x}, \vec{x}} - 
+		\trbr{\vec{x}, \vec{x}} = 0 = \trbr{\vec{x}, \vec{x}}
+		\cdot \trbr{\vec{0}, \vec{0}}
+	\]
+	Теперь пусть $\vec{y} \neq \vec{0}$.
+	Рассмотрим скалярное произведение
+	$\trbr{\vec{x} + \lambda \vec{y},
+	\vec{x} + \lambda \vec{y}},\ \lambda \in \R$:
+	\begin{multline*}
+		\trbr{\vec{x} + \lambda \vec{y},
+		\vec{x} + \lambda \vec{y}} =
+		\trbr{\vec{x}, \vec{x} + \lambda\vec{y}} +
+		\lambda\trbr{\vec{y}, \vec{x} + \lambda\vec{y}} =
+		\trbr{\vec{x} + \lambda\vec{y}, \vec{x}} +
+		\lambda\trbr{\vec{x} + \lambda\vec{y}, \vec{y}} =
+		\\
+		\trbr{\vec{x}, \vec{x}} + \lambda\trbr{\vec{y},
+		\vec{x}} + \lambda^2\trbr{\vec{y}, \vec{y}} +
+		\lambda\trbr{\vec{x}, \vec{y}} =
+		\trbr{\vec{x}, \vec{x}} + 2\lambda
+		\trbr{\vec{x}, \vec{y}} +
+		\lambda^2\trbr{\vec{y}, \vec{y}} \ge 0
+	\end{multline*}
+	Раз у квадратного трёхчлена относительно $\lambda$
+	коэффициент при старшей степени положителен и весь
+	он неотрицателен, то дискриминант должен быть
+	неположителен (чтобы было не более одного корня вследствие
+	геометрического положения параболы):
+	\[
+		\frac{D}{4} = \trbr{\vec{x}, \vec{y}}^2 -
+		\trbr{\vec{x}, \vec{x}} \cdot \trbr{\vec{y}, \vec{y}}
+		\le 0
+	\]
+	При этом если $D = 0$ и выражение выше обращается в
+	равенство, то 
+	\[
+		(\exists \lambda \in \R)\ 
+		\trbr{\vec{x} + \lambda \vec{y},
+		\vec{x} + \lambda \vec{y}} = 0
+	\]
+	Тогда
+	$\vec{x} + \lambda\vec{y} = \vec{0} \lra \vec{x} =
+	(-\lambda)\vec{y}$
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+	\[
+		(\forall \vec{x}, \vec{y} \in \R^n)\ \ \ 
+		\Big|\suml_{i = 1}^n x_i y_i\Big| \le
+		\sqrt{\suml_{i = 1}^n x_i^2} \cdot
+		\sqrt{\suml_{i = 1}^n y_i^2}
+	\]
+\end{corollary}
+
+%-------------------------- Не было ----------------------
+
+\begin{definition}
+	Комплексным евклидовым (унитарным) пространством называется комплексное линейное пространство $X$, для любых двух элементов которого $\vec{x}, \vec{y} \in X$ определено число $\trbr{\vec{x}, \vec{y}} \in \Cm$ так, что
+	\begin{itemize}
+		\item $\forall \vec{x}, \vec{y} \in X\ \ \trbr{\vec{x}, \vec{x}} \ge 0$, причём $\trbr{\vec{x}, \vec{x}} = 0 \lra \vec{x} = \vec{0}$
+		
+		\item $\forall \vec{x}, \vec{y} \in X\ \ \trbr{\vec{x}, \vec{y}} = \overline{\trbr{\vec{y}, \vec{x}}}$
+		
+		\item $\forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in X\ \forall \alpha, \beta \in \Cm\ \ \trbr{\alpha\vec{x} + \beta\vec{y}, \vec{z}} = \alpha\trbr{\vec{x}, \vec{z}} + \beta\trbr{\vec{y}, \vec{z}}$
+	\end{itemize}
+	$\trbr{\vec{x}, \vec{y}}$ называется \textit{эрмитовым} скалярным произведением.
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+	$\Cm^n$ является унитарным с $\trbr{\vec{z}, \vec{w}} = \suml_{i = 0}^n z_i \bar{w_i}$, для $\vec{z} = (z_1, \ldots, z_n)$ и $\vec{w} = (w_1, \ldots, w_n)$.
+\end{lemma}
+
+%-------------------------- Не было ----------------------
+
+\begin{theorem} (Неравенство Коши-Буняковского-Шварца для унитарных пространств)
+	Если $X$ - унитарное пространство, то для любых $\vec{z}, \vec{w} \in X$ верно неравенство
+	\[
+		|\trbr{\vec{z}, \vec{w}}| \le \sqrt{\trbr{\vec{z}, \vec{z}}} \cdot \sqrt{\trbr{\vec{w}, \vec{w}}}
+	\]
+	причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\exists \lambda \in \Cm \such \vec{z} = \lambda\vec{w}$ или $\vec{w} = \vec{0}$
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Обозначим $\trbr{\vec{z}, \vec{w}} = |\trbr{\vec{z}, \vec{w}}|e^{i\varphi}$. Рассмотрим $\trbr{\vec{z} + \lambda e^{i\varphi} \vec{w}, \vec{z} + \lambda e^{i\varphi} \vec{w}},\ \lambda \in \R$:
+	\begin{multline*}
+		\trbr{\vec{z} + \lambda e^{i\varphi} \vec{w}, \vec{z} + \lambda e^{i\varphi} \vec{w}} = \trbr{\vec{z}, \vec{z} + \lambda e^{i\varphi} \vec{w}} + \lambda e^{i\varphi} \trbr{\vec{w}, \vec{z} + \lambda e^{i\varphi} \vec{w}} =
+		\\
+		\overline{\trbr{\vec{z} + \lambda e^{i\varphi} \vec{w}, \vec{z}}} + \lambda e^{i\varphi} \overline{\trbr{\vec{z} + \lambda e^{i\varphi} \vec{w}, \vec{w}}} = \overline{\trbr{\vec{z}, \vec{z}}} + \overline{\lambda e^{i \varphi}} \cdot \overline{\trbr{\vec{w}, \vec{z}}} + \lambda e^{i\varphi} \overline{\trbr{\vec{z}, \vec{w}}} + \lambda e^{i\varphi} \cdot \overline{\lambda e^{i\varphi}} \cdot \overline{\trbr{\vec{w}, \vec{w}}} =
+		\\
+		\trbr{\vec{z}, \vec{z}} + 2\lambda |\trbr{\vec{z}, \vec{w}}| + \lambda^2 \trbr{\vec{w}, \vec{w}} \ge 0
+	\end{multline*}
+	И снова получили квадратный трёхчлен относительно $\lambda$:
+	\[
+		\frac{D}{4} = |\trbr{\vec{z}, \vec{w}}|^2 - \trbr{\vec{w}, \vec{w}} \cdot \trbr{\vec{z}, \vec{z}} \le 0
+	\]
+	Отсюда
+	\[
+		|\trbr{\vec{z}, \vec{w}}| \le \sqrt{\trbr{\vec{w}, \vec{w}}} \cdot \sqrt{\trbr{\vec{z}, \vec{z}}}
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+	Для любых комплексных чисел
+	\[
+		\left|\suml_{i = 1}^n z_i w_i\right| \le \sqrt{\suml_{i = 1}^n |z_i|^2} \cdot \sqrt{\suml_{i = 1}^n |w_i|^2}
+	\]
+\end{corollary}
+
+\subsubsection*{Топология $\R^n$}
+
+\begin{definition}
+	Линейное действительное пространство $X$ называется
+	\textit{линейным нормированным пространством (ЛНП)},
+	если на нём определена функция $\|\cdot\|: X \ra \R$
+	(норма), обладающая свойствами:
+	\begin{enumerate}
+		\item $(\forall \vec{x} \in X)\ \|\vec{x}\| \ge 0$,
+			причём $\|\vec{x}\| = 0 \lra \vec{x} = \vec{0}$
+		
+		\item $(\forall \alpha \in \R(\Cm))(\forall \vec{x}
+			\in X)\ \ \|\alpha \vec{x}\| = |\alpha| \cdot \|\vec{x}\|$
+		
+		\item $(\forall \vec{x}, \vec{y} \in X)\ \ \|\vec{x}
+			+ \vec{y}\| \le \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|\ $
+			\textit{(неравенство треугольника)}
+	\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{lemma} 
+	Любое евклидово пространство является линейным 
+	нормированным пространством (ЛНП) с $\|\vec{x}\| =
+	\sqrt{\trbr{\vec{x}, \vec{x}}}$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}~
+	\begin{enumerate}
+		\item В обоих случаях следует из определения:
+		\begin{align*}
+			\vec{x} = \vec{0} \lra \trbr{\vec{x}, \vec{x}} = 0 \lra \|\vec{x}\| = 0
+			\\
+			\vec{x} \neq \vec{0} \lra \trbr{\vec{x}, \vec{x}} > 0 \lra \|\vec{x}\| > 0
+		\end{align*}
+		
+		\item Для действительных:
+			\[
+				\|\alpha\vec{x}\| = \sqrt{\trbr{\alpha\vec{x},
+				\alpha\vec{x}}} = \sqrt{\alpha\trbr{\vec{x},
+				\alpha\vec{x}}} = \sqrt{\alpha\trbr{\alpha\vec{x},
+				\vec{x}}} = \sqrt{\alpha \cdot
+				\alpha\trbr{\vec{x}, \vec{x}}} =
+				|\alpha|\sqrt{\trbr{\vec{x}, \vec{x}}} = |\alpha|
+				\cdot \|\vec{x}\|
+			\]
+			Докажем комплексный случай:
+			\[
+				\|\alpha\vec{x}\| = \sqrt{\trbr{\alpha\vec{x},
+				\alpha\vec{x}}} = \sqrt{\alpha\trbr{\vec{x},
+				\alpha\vec{x}}} = \sqrt{\alpha\overline{\trbr{\alpha\vec{x},
+				\vec{x}}}} = \sqrt{\alpha \cdot
+				\overline{\alpha}\overline{\trbr{\vec{x}, \vec{x}}}} =
+				|\alpha|\sqrt{\trbr{\vec{x}, \vec{x}}} = |\alpha| \cdot
+				\|\vec{x}\|
+			\]
+		
+		\item Также докажем для действительных, используя неравенство
+			Коши-Буняковского-Шварца:
+			\begin{multline*}
+				\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \trbr{\vec{x} +
+				\vec{y}, \vec{x} + \vec{y}} =
+				\trbr{\vec{x}, \vec{x} + \vec{y}} + \trbr{\vec{y},
+				\vec{x} + \vec{y}} =
+				\\
+				= \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + \trbr{\vec{x}, \vec{y}}
+				+ \trbr{\vec{y}, \vec{x}} + \trbr{\vec{y}, \vec{y}} =
+				\\
+				= \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + 2 \trbr{\vec{x}, \vec{y}} +
+				\trbr{\vec{y}, \vec{y}}
+				\le \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + 2 |\trbr{\vec{x}, \vec{y}}| +
+				\trbr{\vec{y}, \vec{y}} \le
+				\\
+				\le \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + 2
+				\sqrt{\trbr{\vec{x}, \vec{x}}} \sqrt{\trbr{\vec{y}, \vec{y}}}
+				+ \trbr{\vec{y}, \vec{y}} =
+				\left(\sqrt{\trbr{\vec{x}, \vec{x}}}
+				+ \sqrt{\trbr{\vec{y}, \vec{y}}}\right)^2
+				= \left(\|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|\right)^2
+			\end{multline*}
+			Пусть Вас здесь не смутит, что мы доказывали для квадрата нормы:
+			поскольку норма неотрицательна (доказано только что),
+			то все переходы верны и под корнем.
+			
+			Для комплексных:
+			\begin{multline*}
+				\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \trbr{\vec{x} +
+				\vec{y}, \vec{x} + \vec{y}} =
+				\trbr{\vec{x}, \vec{x} + \vec{y}} + \trbr{\vec{y},
+				\vec{x} + \vec{y}} =
+				\\
+				= \overline{\trbr{\vec{x} + \vec{y},
+				\vec{x}}} + \overline{\trbr{\vec{x} + \vec{y}, \vec{y}}}
+				= \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + \overline{\trbr{\vec{y}, \vec{x}}}
+				+ \overline{\trbr{\vec{x}, \vec{y}}} + \trbr{\vec{y}, \vec{y}} =
+				\\
+				= \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + 2\re(\trbr{\vec{x}, \vec{y}}) +
+				\trbr{\vec{y}, \vec{y}}
+				\le \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + 2 |\trbr{\vec{x}, \vec{y}}| +
+				\trbr{\vec{y}, \vec{y}} \le
+				\\
+				\le \trbr{\vec{x}, \vec{x}} + 2
+				\sqrt{\trbr{\vec{x}, \vec{x}}} \sqrt{\trbr{\vec{y}, \vec{y}}}
+				+ \trbr{\vec{y}, \vec{y}} =
+				\left(\sqrt{\trbr{\vec{x}, \vec{x}}}
+				+ \sqrt{\trbr{\vec{y}, \vec{y}}}\right)^2
+				= \left(\|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|\right)^2
+			\end{multline*}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{corollary} (Неравенство Минковского)
+	\[
+		\sqrt{\suml_{i = 1}^n (x_i + y_i)^2} \le \sqrt{\suml_{i = 1}^n x_i^2} + \sqrt{\suml_{i = 1}^n y_i^2},\ \ x_i, y_i \in \R 
+	\]
+\end{corollary}
+
+\begin{lemma}
+	$\R^n$ - ЛНП с $\|\vec{x}\| = \sqrt{\suml_{i = 1}^n x_i^2}$. При этом в $\R^2$ и $\R^3$ норма совпадает с длиной вектора.
+\end{lemma}
+
+\begin{note}
+	Для удобства, в $\R^n$ будем обозначать норму просто как $|\vec{x}|$.
+\end{note}
+
+\begin{lemma}
+	$\Cm^n$ - ЛНП с $\|\vec{z}\| = \sqrt{\suml_{i = 1}^n |z_i|^2}$
+\end{lemma}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/21lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/21lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..0c2c8fbe
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/21lecture.tex
@@ -0,0 +1,515 @@
+\begin{definition}
+	\textit{Метрическим} пространством $(X, \rho)$ называется множество
+	$X$ с определенной функцией $\rho(\cdot, \cdot):
+	X \times X \ra \R$ (метрика),
+	обладающей свойствами:
+	\begin{enumerate}
+		\item $(\forall x, y \in X)\ \ \rho(x, y) \ge 0$,
+			причём $\rho(x, y) = 0 \lra x = y$
+		
+		\item $(\forall x, y \in X)\ \ \rho(x, y) =
+			\rho(y, x)$
+		
+		\item $(\forall x, y, z \in X)\ \ \rho(x, y)
+			\le \rho(x, z) + \rho(z, y)\ $ \textit{(неравенство треугольника)}
+	\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+	Любое линейное нормированное пространство является
+	метрическим пространством с метрикой, индуцированной
+	нормой по правилу:
+	\[
+		\rho(x, y) := ||x - y||
+	\]
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Доказательство сводится к проверке свойств:
+	\begin{enumerate}
+		\item $(\forall x \in X)\ \ \|x\| \ge 0
+			\Ra (\forall x, y \in X)\ 
+			\rho(x, y) = \|x - y\| \ge 0$
+		
+		\item
+		$
+			(\forall x, y \in X)\ 
+			\rho(y, x) = ||y - x|| = ||(-1) \cdot (x - y)||
+			= |-1| \cdot ||x - y|| = ||x - y|| = \rho(x, y)
+		$
+		
+		\item 
+		$
+			(\forall x, y, z \in X)\ 
+			\rho(x, y) = ||x - y|| = ||(x - z) + (z - y)||
+			\le ||x - z|| + ||z - y|| = \rho(x, z) + \rho(z, y)
+		$
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+	$\R^n$ --- метрическое пространство с метрикой
+	\[
+		\rho(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n}
+		(x_i - y_i)^2} = \|\vec{x} - \vec{y}\|
+	\]
+	$\Cm^n$ также, но есть отличие:
+	\[
+		\rho(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n}
+		|x_i - y_i|^2} = \|\vec{x} - \vec{y}\|
+	\]
+\end{corollary}
+
+\begin{proposition}
+	Любое множество является метрическим пространством
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	Пусть $X$ - произвольное множество.
+	Тогда можно определить метрику как
+	\[
+		\rho(x, y) = \System{
+			&{1,\ x \neq y}
+			\\
+			&{0,\ x = y}
+		}
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{note}
+	Дальнейшие определения даны для метрического
+	пространства $X$. В качестве примера удобно
+	брать $X = \R^2$.
+\end{note}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Открытым шаром} с центром в точке
+	$x_0 \in X$ радиусом $\eps > 0$
+	(или же $\eps$-окрестностью точки $x_0$)
+	называется множество
+	\[
+		U_\eps(x_0) = \{x \in X \such \rho(x, x_0) < \eps\}
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Точка $x_0$ называется \textit{внутренней точкой}
+	множества $A \subset X$, если она принадлежит
+	$A$ вместе с некоторой своей $\eps$-окрестностью:
+	\[
+		(\exists \eps > 0)\ \ U_\eps(x_0) \subset A
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Внутренностью} множества $A$ называется
+	множество всех внутренних точек множества $A$.
+	Обозначается как
+	\[
+		\Int A,\ \mc{A}
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Точка $x_0$ называется \textit{точкой прикосновения}
+	множества $A \subset X$, если любая $\eps$-окрестность
+	пересекается с $A$:
+	\[
+		(\forall \eps > 0)\ \ U_\eps(x_0) \cap A \neq \emptyset
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Множество всех точек прикосновения множества
+	$A \subset X$ называется его \textit{замыканием} и
+	обозначается как
+	\[
+		\cl A,\ \bar{A}
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}~
+
+	\begin{itemize}
+		\item Множество $A \subset X$ называется
+			\textit{открытым}, если все его точки - внутренние,
+			то есть $A \subset \Int A$.
+			Естественно, $\emptyset$ - открытое множество.
+
+		\item Множество $A \subset X$ называется
+			\textit{замкнутым}, если оно содержит все свои
+			точки прикосновения, то есть $A \supset \cl A$.
+			Естественно, $\emptyset$ - замкнутое множество
+	\end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+	Для любого $A \subset X$ верно, что
+	\[
+		\Int A \subset A \subset \cl A
+	\]
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Первое включение очевидно, потому что любая
+	внутренняя точка принадлежит $A$, так как из
+	определения: 
+	$(\exists \eps > 0)\ \ U_\eps(x_0) \subset A \Ra
+	x_0 \in A$
+	
+	Второе включение следует из того, что если
+	$x_0 \in A$, то
+	\[
+		(\forall \eps > 0)\ \ U_\eps(x_0) \cap
+		A \supset \{x_0\} \neq \emptyset
+	\]
+	Значит, любая точка $A$ также лежит и в замыкании $A$.
+\end{proof}
+
+\begin{corollary} \label{defEqualLemma}
+	Из определений и леммы выше сразу следует:
+	\begin{itemize}
+		\item $A$ - открытое множество $\lra \Int A = A$
+	
+		\item $A$ - замкнутое множество $\lra \cl A = A$ 
+	\end{itemize}
+	При этом не бывает открытых и замкнутых одновременно множеств
+\end{corollary}
+
+\begin{lemma} \label{includeLemma}
+	$(\forall A_1, A_2)\ A_1 \subset A_2 \subset X$ верно, что
+	\begin{align*}
+		&\Int A_1 \subset \Int A_2
+		\\
+		&\cl A_1 \subset \cl A_2
+	\end{align*}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}~
+	\begin{itemize}
+		\item Вначале разберёмся с внутренностями
+		множеств. Пусть $x_0 \in \Int A_1$. Тогда
+		\[
+			(\exists \eps > 0)\ \ U_\eps(x_0)
+			\subset A_1 \subset A_2
+		\]
+		Значит, по определению $x_0 \in \Int A_2$ тоже.
+		
+		\item Теперь посмотрим на замыкание.
+		Пусть $x_0 \in \cl A_1$. Тогда
+		\[
+			(\forall \eps > 0)\ \ U_\eps(x_0) \cap
+			A_1 \neq \emptyset
+		\]
+		Мы знаем, что $A_1 \subset A_2$, значит:
+		\[
+			(\forall \eps > 0)\ \ U_\eps(x_0) \cap
+			A_2 \neq \emptyset
+		\]
+		Следовательно, $x_0 \in \cl A_2$.
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{lemma} (Открытость открытого шара) Любой открытый
+	шар является открытым множеством, то есть:
+	$(\forall x_0 \in X)(\forall \eps > 0)\ U_\eps(x_0)$
+	--- открытое множество.
+\end{lemma}
+
+\begin{idea}
+	Докажем по определению, то есть покажем, что любая точка
+	из открытого шара является внутренней точкой для него.
+\end{idea}
+
+\begin{proof}
+	Рассмотрим $\forall x_1 \in U_\eps(x_0)$. Тогда
+	\[
+		r := \rho(x_0, x_1) < \eps
+	\]
+	Рассмотрим шар с центром в точке $x_1$ и
+	радиусом $\eps - r$. Выберем
+	$\forall x_2 \in U_{\eps - r}(x_1)$. Тогда
+	\[
+		\rho(x_1, x_2) < \eps - r
+	\]
+	Отсюда следует
+	\[
+		\rho(x_0, x_2) \le \rho(x_0, x_1) +
+		\rho(x_1, x_2) < r + \eps - r = \eps
+	\]
+	То есть $U_{\eps - r}(x_1)
+	\subset U_\eps(x_0)$. Значит $x_1$ - внутренняя точка.
+	А раз мы выбирали $x_1$ как произвольную точку данного шара,
+	то и любая точка этого открытого шара есть его внутренняя точка.
+	Значит, по определению данный открытый шар является открытым множеством.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Замкнутым шаром} с центром в точке
+	$x_0 \in X$ и радиусом $\eps > 0$ называется
+	\[
+		\bar{B}_\eps(x_0) :=
+		\{x \in X \such \rho(x_0, x) \le \eps\}
+	\] 
+\end{definition}
+
+\begin{lemma} (Замкнутость замкнутого шара) Любой замкнутый
+	шар является замкнутым множеством, то есть:
+	$(\forall x_0 \in X)(\forall \eps > 0)\ \bar{B}_\eps(x_0)$
+	--- замкнутое множество.
+\end{lemma}
+
+\begin{idea}
+	Докажем по определению. Покажем, что любая точка
+	прикосновения лежит в замкнутом шаре.
+\end{idea}
+
+\begin{proof}
+	Пусть $x$ - точка прикосновения для
+	$\bar{B}_\eps(x_0)$. Это означает, что
+	\[
+		(\forall \eta > 0)\ \ U_\eta(x) \cap
+		\bar{B}_\eps(x_0) \neq \emptyset \Ra
+		\exists x_1 \in U_\eta(x) \cap \bar{B}_\eps(x_0)
+	\]
+	Оценим расстояние от $x_0$ до $x$:
+	\[
+		\rho(x_0, x) \le \rho(x_0, x_1) + \rho(x_1, x) <
+		\eps + \eta
+	\]
+	То есть получили утверждение
+	\[
+		(\forall \eta > 0)\ \rho(x_0, x) < \eps + \eta
+	\]
+	Из этого следует, что
+	\[
+		\rho(x_0, x) \le \eps
+	\]
+	Следовательно, $x$ --- точка замкнутого шара.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+	$(\forall A \subset X)$
+	\begin{enumerate}
+		\item $\Int A$ --- открыто. То есть
+			внутренность любого множества открыта.
+		\item $\cl A$ --- замкнуто. То есть
+			замыкание любого множества замкнуто.
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{idea}
+	Построим доказательство исходя из определения. В первом
+	случае возьмем произвольную точку из внутренности $A$ и докажем, что
+	она внутренняя для внутренности $A$. Во втором случае - наоборот,
+	докажем, что любая точка прикосновения для замыкания $A$
+	также лежит в этом замыкании.
+\end{idea}
+
+\begin{proof}~
+	\begin{enumerate}
+		\item Положим $G := \Int A$. Выберем $\forall x_0
+			\in G$. Раз точка лежит в данном множестве, то
+			\[
+				(\exists \eps > 0)\ \ U_\eps(x_0) \subset A
+			\]
+			По лемме \ref{includeLemma} из этого следует
+			\[
+				\Int U_\eps(x_0) \subset \Int A
+			\]
+			Так как открытый шар является открытым
+			множеством, то $U_\eps(x_0) = \Int U_\eps(x_0)$,
+			тогда получаем вложение
+			\[
+				U_\eps(x_0) \subset G
+			\]
+			То есть $x_0$ - внутренняя точка $G$ по определению.
+			Значит $G$ - открытое множество.
+	
+		\item Положим $K := \cl A$. Пусть $x_0$ --- точка
+			прикосновения множества $K$. Это означает
+			\[
+				(\eps_0 = \frac{\eps}{2})\ \ 
+				U_{\eps / 2}(x_0) \cap K \neq 0
+			\]
+			Обозначим за $x_1 \in U_{\eps / 2}(x_0) \cap K$. Тогда
+			$x_1 \in K$, а так как $K$ --- замыкание $A$, то по
+			определению $x_1$ --- точка прикосновения множества $A$.
+			То есть
+			\[
+				U_{\eps / 2}(x_1) \cap A \neq \emptyset
+			\]
+			Теперь выберем $(\eps_1 = \frac{\eps}{2}) \Ra
+			x_2 \in U_{\eps / 2}(x_1) \cap A$ и
+			оценим расстояние между ней и $x_0$:
+			\[
+				\rho(x_0, x_2) \le \rho(x_0, x_1) +
+				\rho(x_1, x_2) < \frac{\eps}{2} + \frac{\eps}{2}
+				= \eps
+			\]
+			Следовательно мы построили:
+			\[
+				(\forall \eps > 0)\ \ U_{\eps}(x_0) \cap A \supset
+				\{x_2\} \neq \emptyset
+			\]
+			Значит $x_0$ - точка прикосновения множества $A$ $\lra x_0 \in K$.
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+	Порой геометрическая интерпретация данной модели
+	обманывает, ибо, например, здесь шар с большим
+	радиусом может оказаться вложенным в шар с меньшим радиусом.
+	Рассмотрим метрическое пространство $X = (-1; 1)$:
+	\begin{align*}
+		&{U_{1}(0) = (-1; 1)}
+		\\
+		&{U_{5/4}(0.5) = \left(-\frac{3}{4}; 1\right)
+		\Ra U_{5/4}(1/2) \subsetneq U_{1}(0)}
+	\end{align*}
+\end{example}
+
+\begin{lemma}
+	$(\forall A \subset X)$
+	\begin{itemize}
+		\item $X \bs \Int A = \cl(X \bs A)$
+		
+		\item $X \bs \cl A = \Int(X \bs A)$
+	\end{itemize}
+\end{lemma}
+
+\begin{idea}
+	Совершаем равносильные переходы, рассматривая точки
+	из данных множеств и используя
+	отрицания определений внутренней точки и точки прикосновения.
+\end{idea}
+
+\begin{proof}~
+	\begin{itemize}
+		\item Используем определение внутренности $A$.
+			Тогда $x \in X \bs \Int A \lra x$ не
+			лежит в $\Int A$, а значит для любого открытого
+			шара есть точка, не лежащая в $A$, то есть
+			\[
+				x \in X \bs \Int A \lra
+				(\forall \eps > 0)\ U_\eps(x) \cap
+				(X \bs A) \neq \emptyset \lra x \in \cl(X \bs A)
+			\]
+			
+		\item Здесь по аналогии:
+			\[
+				x \in X \bs \cl A \lra
+				(\exists \eps > 0)\ U_\eps(x) \cap A
+				= \emptyset \lra
+				(\exists \eps > 0)\ U_\eps(x) \subset (X
+				\bs A) \lra x \in \Int (X \bs A)
+			\]
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} \label{additionInverse}
+	$(\forall A \subset X)$
+	\begin{itemize}
+		\item $A$ --- открыто $\lra X \bs A$ --- замкнуто
+		\item $A$ --- замкнуто $\lra X \bs A$ --- открыто
+	\end{itemize}
+\end{theorem}
+
+\begin{idea}
+	Используем критерий (\ref{defEqualLemma}) замкнутого
+	и открытого множеств и только что доказанную лемму.
+\end{idea}
+
+\begin{proof}
+	По следствию \ref{defEqualLemma} $\Ra A$ --- открыто $\lra
+	\Int A = A$.
+	
+	По последней лемме $\Ra X \bs A = X \bs \Int A
+	= \cl (X \bs A)$, то есть по этому же следствию \ref{defEqualLemma}
+	$X \bs A$ --- замкнуто. Второе утверждение доказывается аналогично.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Внутренняя точка дополнения множества $A \subset X$
+	называется \textit{внешней точкой}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Точка $x$ называется \textit{граничной точкой} множества
+	$A \subset X$, если
+	\[
+		(\forall \eps > 0)
+		\System{
+			&U_\eps(x) \cap A \neq \emptyset \\
+			&U_\eps(x) \cap (X \bs A) \neq \emptyset
+		}
+	\]
+	Множество всех граничных точек $A$ называется
+	\textit{границей} $A,\ \ \vdelta A$
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+	$(\forall A \subset X)\ \ \vdelta A = \cl A \bs \Int A$
+\end{lemma}
+
+\begin{idea}
+	Действуем по определению, покажем, что первая строчка отвечает
+	за принадлежность замыканию, а вторая - за отрицание
+	принадлежности внутренности.
+\end{idea}
+
+\begin{proof}
+	\[
+	x \in \vdelta A \lra (\forall \eps > 0)
+	\System{
+		&U_\eps(x) \cap A \neq \emptyset \lra x \in \cl(A)\\
+		&U_\eps(x) \cap (X \bs A) \neq \emptyset \lra
+		(\forall \eps > 0)\ U_\eps(x) \not\subset A \lra x \notin \Int A
+	}
+	\]
+	Это значит, что
+	\[
+		x \in \vdelta A \lra x \in \cl A \bs \Int A
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Основное свойство совокупности открытых множеств) \label{mainProp}
+	Пусть $(X, \rho)$ - метрическое пространство. Тогда
+	\begin{enumerate}
+		\item $\emptyset,\ X$ --- открытые множества
+		
+		\item $(\forall G_1, G_2\ \text{- открытые})\ \ 
+			G_1 \cap G_2 $ --- открытое
+		
+		\item $(\forall \{G_\alpha\}_{\alpha \in A}\ \text{- открытые})
+			\ \bigcup\limits_{\alpha \in A}
+			G_\alpha$ - открытое, где $A$ --- некоторое множество
+			индексов
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}~
+	\begin{enumerate}
+		\item $\emptyset$ --- замкнутое и открытое множество.
+			Следовательно, по теореме \ref{additionInverse}
+			$\Ra X \bs \emptyset = X$ --- открытое множество.
+		
+		\item Рассмотрим $\forall x \in G_1 \cap G_2$. Из выбора следует
+			\begin{align*}
+				&(\exists \eps_1)\ \ U_{\eps_1}(x) \subset G_1
+				\\
+				&(\exists \eps_2)\ \ U_{\eps_2}(x) \subset G_2 
+			\end{align*}
+			Следовательно, $(\exists \eps_0 = \min(\eps_1, \eps_2))\ 
+			U_{\eps_0}(x) \subset G_1 \cap G_2$. То есть $G_1 \cap G_2$ - открыто
+		
+		\item $x \in \bigcup\limits_{\alpha \in A} G_\alpha \Ra
+			(\exists \alpha_0 \in A)\ \ x \in G_{\alpha_0}$. Значит,
+			так как $G_{\alpha_0}$ --- открытое, то
+			\[
+				(\exists \eps > 0)\ \ U_\eps(x) \subset G_{\alpha_0}
+				\subset \bigcup\limits_{\alpha \in A} G_{\alpha}
+			\]
+			То есть всё объединение открытое по определению
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/22lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/22lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..5a931632
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/22lecture.tex
@@ -0,0 +1,615 @@
+\begin{definition}
+	Множество $X$ называется \textit{топологическим пространством},
+	если в нём выделена совокупность подмножеств $\Tau$,
+	называемых \textit{открытыми}, которая удовлетворяет
+	свойствам из теоремы \ref{mainProp}.
+	
+	Множество $\Tau$ называется \textit{топологией} множества $X$.
+
+	В таком случае любое множество из $\Tau$,
+	содержащее точку $x \in X$ называют
+	окрестностью точки $x$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition} Предел последовательности:
+	если $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset X,\ x_0 \in X$
+	\begin{enumerate}
+		\item Топологическое пространство
+			\[
+				\liml_{n \to \infty} x_n = x_0 \lra
+				(\forall G \in \Tau, x_0 \in G)(\exists N \in \N)
+				(\forall n > N)\ x_n \in G
+			\]
+		\item Метрическое пространство: 
+			\[
+				\liml_{n \to \infty} x_n = x_0 \lra
+				(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+				(\forall n > N)\ \rho(x_n, x_0) < \eps
+			\]
+		\item Линейное нормированное пространство
+			\[
+				\liml_{n \to \infty} x_n = x_0 \lra
+				(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+				(\forall n > N)\ \|x_n - x_0\| < \eps
+			\]
+		\item Линейное действительное пространство $\R^n$	
+			\[
+				\liml_{n \to \infty} \vec{x}_n = \vec{x}_0 \lra
+				(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+				(\forall n > N)\ |\vec{x}_n - \vec{x}_0| < \eps
+			\]
+	\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+	Если не накладывать на топологию никаких
+	дополнительных ограничений, то предел в топологическом
+	пространстве не
+	обязан даже быть единственным. Рассмотрим
+	$X = \{a, b\}$ с топологией $\Tau =
+	\{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}$. Рассмотрим
+	последовательность
+	\[
+		x_n = a,\ n \in \N
+	\]
+	Тогда понятно, что $\liml_{n \to \infty} x_n =
+	a,\ \liml_{n \to \infty} x_n = b$.
+\end{example}
+
+\begin{anote}
+	Чтобы обеспечить единственность предела,
+	достаточно добавить свойство \textit{хаусдорфовости}:
+	\[
+		(\forall x, y \in X)\ \exists G_x, G_y \in
+		\Tau \such (x \in G_x) \wedge (y \in G_y)
+		\wedge (G_x \cap G_y = \emptyset)
+	\]
+	То есть для каждой точки должно существовать
+	изолированное открытое множество.
+	Такое топологическое пространство называется
+	\textit{хаусдорфовым}.
+\end{anote}
+
+\subsection{Топология пространства $\R^n$ и непрерывные отображения}
+
+\begin{theorem} (Основные свойства предела последовательности)
+	\begin{enumerate}
+		\item \underline{Единственность предела}
+			
+			В метрическом пространстве
+			последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ не может
+			иметь более одного предела
+		
+		\item \underline{Ограниченность сходящейся последовательности}
+		
+			Если $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ --- сходящаяся последовательность 
+			в метрическом пространстве,
+			то она ограничена, то есть существует открытый шар, содержащий
+			все точки последовательности:
+			\[
+				(\exists x_0 \in X)(\exists R > 0)(\forall n \in \N)\ x_n \in U_R(x_0)
+			\] 
+		
+		\item \underline{Отделимость от нуля}
+		
+			Если $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset E$ ---
+			последовательность ЛНП, сходящаяся
+			к $x_0 \neq 0 \in E$, то она отделена от нуля. То есть
+			\[
+				(\exists c > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ ||x_n|| > c
+			\]
+			
+		\item \underline{Предел и арифметические операции}
+		
+			Если последовательности $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$,
+			$\{y_n\}_{n = 1}^\infty \subset E$ (ЛНП) - сходящиеся к
+			$x_0, y_0 \in E$ соответственно,
+			$\{\alpha_n\}_{n = 1}^\infty \subset \R(\Cm)$ сходится к
+			$\alpha_0 \in \R(\Cm)$, то
+			\begin{enumerate}
+				\item $\liml_{n \to \infty} (x_n + y_n) = x_0 + y_0$
+				
+				\item $\liml_{n \to \infty} (\alpha_n \cdot x_n) =
+					\alpha_0 \cdot x_0$
+			\end{enumerate}
+	
+		\item \underline{Предел и скалярное произведение}
+		
+			Если $\{x_n\}_{n = 1}^\infty, \{y_n\}_{n = 1}^\infty \subset E$
+			--- последовательности в евклидовом пространстве $E$,
+			сходящиеся к $x_0, y_0$ соответственно, то
+			\[
+				\liml_{n \to \infty} \trbr{x_n, y_n} = \trbr{x_0, y_0}
+			\]
+		
+		\item \underline{Предел и векторное произведение}
+		
+			Если последовательности
+			$\{\vec{x}_n\}_{n = 1}^\infty,
+			\{\vec{y}_n\}_{n = 1}^\infty \subset \R^3$ -
+			сходящиеся к $\vec{x}_0, \vec{y}_0$ соответственно, то
+			\[
+				\liml_{n \to \infty} [\vec{x}_n, \vec{y}_n] =
+				[\vec{x}_0, \vec{y}_0]
+			\]
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{note}
+	Так как $\R^n$ является метрическим, линейным нормированным,
+	евклидовым пространством, то свойства $1-5$ справедливы для $\R^n$
+\end{note}
+
+\begin{idea}
+	В целом все доказательства аналогичны доказательствам
+	для последовательностей действительных чисел
+	\begin{enumerate}
+		\item От противного, показываем, что расстояние между
+			двумя предполагаемыми пределами меньше, чем мы предположили
+		\item Говорим, что все члены, начиная с какого-то лежат
+			в определенном множестве, а дальше пользуемся фактом,
+			что до этого есть только конечное число членов последовательности
+		\item Эпсилон берем половиной от предела и пользуемся неравенстом
+			треугольника
+		\item Берем правильные эпсилоны (во втором случае пользуемся
+			ограниченностью сходящейся последовательности) и складываем
+			их по неравенству треугольника
+		\item Аналогично 4 + неравенство Коши-Буняковского-Шварца +
+			определение нормы через корень скалярного произведения
+		\item Аналогично 4.
+	\end{enumerate}
+\end{idea}
+
+\begin{proof}~
+	\begin{enumerate}
+		\item От противного. Пусть $\liml_{n \to \infty}
+			x_n = x_0,\ \liml_{n \to \infty} x_n = y_0,\ 
+			x_0 \neq y_0$. Из условия и свойств метрики сразу следует,
+			что $\rho(x_0, y_0) > 0$. Рассмотрим
+			$\eps := \frac{1}{2}\rho(x_0, y_0)$:
+			\begin{align*}
+				&(\exists N_1 \in \N)(\forall n > N_1)
+				\ \rho(x_n, x_0) < \eps
+				\\
+				&(\exists N_2 \in \N)(\forall n > N_2)\ 
+				\rho(x_n, y_0) < \eps
+			\end{align*}
+			Следовательно, если положить $N := \max(N_1, N_2)$, то
+			\[
+				(\forall n > N)\ \rho(x_0, y_0) \le \rho(x_0, x_n) + \rho(x_n, y_0) < 2\eps = \rho(x_0, y_0)
+			\]
+			Противоречие.
+		
+		\item Положим $\eps := 1$. Обозначим за $x_0$ точку,
+			к которой сходится последовательность. Тогда из условия
+			\[
+				(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ 
+				\rho(x_n, x_0) < 1
+			\]
+			Обозначим за $R$ следующую величину:
+			\[
+				R := \max(\rho(x_1, x_0), \rho(x_2, x_0),
+				\ldots, \rho(x_N, x_0)) + 1
+			\]
+			Из определения следует, что
+			\[
+				(\forall n \in \N)\ \rho(x_n, x_0) < R
+			\]
+			То есть все точки последовательности лежат
+			в открытом шаре радиуса $R$ и с центром в точке $x_0$
+		
+		\item По определению
+			\[
+				(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+				(\forall n > N)\ \|x_n - x_0\| < \eps
+			\]
+			Положим $\eps := \frac{\|x_0\|}{2}$. По
+			неравенству треугольника имеем
+			\[
+				\|x_0\| = \|x_0 - x_n + x_n\| \le
+				\|x_0 - x_n\| + \|x_n\| =
+				\|x_n - x_0\| + \|x_n\| <
+				\frac{\|x_0\|}{2} + \|x_n\|
+			\]
+			А уже отсюда
+			\[
+				\|x_n\| > \frac{\|x_0\|}{2}
+			\]
+		
+		\item
+		\begin{enumerate}
+			\item Раз исходные последовательности сходятся,
+			то справедливы утверждения
+			\begin{align*}
+				&(\forall \eps > 0)(\exists N_1 \in \N)
+				(\forall n > N_1)\ \ \|x_n - x_0\| < \frac{\eps}{2}
+				\\
+				&(\forall \eps > 0)(\exists N_2 \in \N)
+				(\forall n > N_2)\ \ \|y_n - y_0\| < \frac{\eps}{2}
+			\end{align*}
+			Ну и как обычно: $N := \max(N_1, N_2)$ и тогда
+			$\forall n > N$ оба неравенства верны одновременно. Отсюда
+			\[
+				\|(x_n + y_n) - (x_0 + y_0)\| =
+				\|(x_n - x_0) + (y_n - y_0)\| \le
+				\|x_n - x_0\| + \|y_n - y_0\| < \eps
+			\]
+			
+			\item По уже доказанному свойству,
+				сходящаяся последовательность ограничена:
+				\[
+					(\exists C > 0)(\forall n \in \N)\ \ \|x_n\| < C
+				\]
+				Из условия можем также заключить два утверждения:
+				\begin{align*}
+					&(\forall \eps > 0)(\exists N_1 \in \N)
+					(\forall n > N_1)\ \ |\alpha_0| \cdot
+					\|x_n - x_0\| < \frac{\eps}{2}
+					\\
+					&(\forall \eps > 0)(\exists N_2 \in \N)
+					(\forall n > N_2)\ \ |\alpha_n - \alpha_0|
+					< \frac{\eps}{2C}
+				\end{align*}
+				Мы не стали переносить $|\alpha_0|$ в знаменатель,
+				так как это число может быть нулем.
+				В итоге имеем $N := \max(N_1, N_2)$ и $\forall n > N$:
+				\begin{multline*}
+					\|\alpha_n x_n - \alpha_0 x_0\| \le
+					\|\alpha_n x_n - \alpha_0 x_n\| +
+					\|\alpha_0 x_n - \alpha_0 x_0\| =
+					\\
+					|\alpha_n - \alpha_0| \cdot \|x_n\| +
+					|\alpha_0| \cdot \|x_n - x_0\| <
+					\frac{\eps}{2C} \cdot C + \frac{\eps}{2} = \eps
+				\end{multline*}
+		\end{enumerate}
+	
+		\item Аналогично предыдущему пункту
+		\begin{align*}
+			&(\exists C > 0)(\forall n \in \N)\ \ \|x_n\| < C
+			\\
+			&(\forall \eps > 0)(\exists N_1 \in \N)
+			(\forall n > N_1)\ \ \|y_0\| \cdot
+			\|x_n - x_0\| < \frac{\eps}{2}
+			\\
+			&(\forall \eps > 0)(\exists N_2 \in \N)
+			(\forall n > N_2)\ \ \|y_n - y_0\| < \frac{\eps}{2C}
+		\end{align*}
+		Теперь $N := \max(N_1, N_2)$ и тогда $\forall n > N$, используя
+		неравенство Коши-Буняковского-Шварца (\ref{Cauchy–Schwarz}) и определение
+		нормы через корень скалярного произведения:
+		\begin{multline*}
+			|\trbr{x_n, y_n} - \trbr{x_0, y_0}| \le
+			|\trbr{x_n, y_n} - \trbr{x_n, y_0}| +
+			|\trbr{x_n, y_0} - \trbr{x_0, y_0}| =
+			\\
+			= |\trbr{x_n, y_n - y_0}| + |\trbr{x_n - x_0, y_0}|
+			\le \|x_n\| \cdot \|y_n - y_0\| +
+			\|x_n - x_0\| \cdot \|y_0\| <
+			\\
+			< C \cdot \frac{\eps}{2C} + \frac{\eps}{2} = \eps
+		\end{multline*}
+		
+		\item Снова аналогично пункту про скалярное произведение
+		\begin{align*}
+			&(\exists C > 0)(\forall n \in \N)\ \ |x_n| < C
+			\\
+			&(\forall \eps > 0)(\exists N_1 \in \N)
+			(\forall n > N_1)\ \ |y_0| \cdot |x_n - x_0|
+			< \frac{\eps}{2}
+			\\
+			&(\forall \eps > 0)(\exists N_2 \in \N)
+			(\forall n > N_2)\ \ |y_n - y_0| < \frac{\eps}{2C}
+		\end{align*}
+		Положим $N := \max(N_1, N_2)$ и рассмотрим $\forall n > N$,
+		тогда по неравенству треугольника для нормы:
+		\[
+			|[x_n, y_n] - [x_0, y_0]| \le |[x_n, y_n] -
+			[x_n, y_0]| + |[x_n, y_0] - [x_0, y_0]| \le
+			|x_n| \cdot |y_n - y_0| + |y_0| \cdot |x_n - x_0| < \eps
+		\]
+		Предпоследний переход получен из тех соображений, что
+		\[
+			|[a, b]| = |a| \cdot |b| \cdot \sin \angle(a, b)
+			\le |a| \cdot |b|
+		\]
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{lemma} (Критерий сходимости последовательности в $\R^n$) \label{limCoordinates}
+	Последовательность $\{\vec{x}_m = (x_m^{(1)},
+	\ldots, x_m^{(n)})\}_{m = 1}^\infty$ сходится
+	к $\vec{x}_0 = (x_0^{(1)}, \ldots, x_0^{(n)})$
+	тогда и только тогда, когда $\forall j \in
+	\{1, \ldots, n\}$ последовательность
+	$\{x_m^{(j)}\}_{m = 1}^\infty$ сходится к $x_0^{(j)}$.
+\end{lemma}
+
+\begin{idea}
+	Доказательство несложно запомнить с помощью этого неравенства:
+	\[
+		|x_m^{(j)} - x_0^{(j)}| \le
+		\underbrace{\sqrt{(x_m^{(1)} - x_0^{(1)})^2 +
+		\ldots + (x_m^{(n)} - x_0^{(n)})^2}}_{|\vec{x}_m - \vec{x}_0|}
+		\le \left(\max\limits_{j \in \{1, \ldots, n\}}
+		|x_m^{(j)} - x_0^{(j)}|\right) \cdot \sqrt{n} 
+	\]
+\end{idea}
+
+\begin{proof}
+	Докажем необходимость $(\Ra)$. По условию
+	\[
+		(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+		(\forall m > N)\ \ |\vec{x}_m - \vec{x}_0| < \eps
+	\]
+	При этом
+	\[
+		|\vec{x}_m - \vec{x}_0| =
+		\sqrt{(x_m^{(1)} - x_0^{(1)})^2 +
+		\ldots + (x_m^{(n)} - x_0^{(n)})^2}
+	\]
+	Отсюда
+	\[
+		\forall j \in \{1, \ldots, n\}\ \ 
+		|x_m^{(j)} - x_0^{(j)}| \le
+		\sqrt{(x_m^{(1)} - x_0^{(1)})^2 +
+		\ldots + (x_m^{(n)} - x_0^{(n)})^2} =
+		|\vec{x}_m - \vec{x}_0| < \eps
+	\]
+	
+	Теперь докажем достаточность. Из условия
+	\[
+		(\forall j \in \range{n})(\eps_j := \frac{\eps}{\sqrt{n}})
+		(\exists N_j \in \N)(\forall n > N_j)\ \ 
+		|x_m^{(j)} - x_0^{(j)}| < \frac{\eps}{\sqrt{n}}
+	\]
+	Снова распишем метрику:
+	\[
+		|\vec{x}_m - \vec{x}_0| =
+		\sqrt{(x_m^{(1)} - x_0^{(1)})^2 + \ldots
+		+ (x_m^{(n)} - x_0^{(n)})^2} \le
+		\left(\max\limits_{j \in \{1, \ldots, n\}}
+		|x_m^{(j)} - x_0^{(j)}|\right) \cdot \sqrt{n} <
+		\frac{\eps}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{n} = \eps
+	\]
+	Это верно, так как всего под корнем $n$ слагаемых, то есть
+	корень общей суммы не превышает произведение корня максимального
+	элемента этой суммы на $\sqrt{n}$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Больцано-Верейштрасса в $\R^n$)
+	Из каждой ограниченной последовательности в $\R^n$
+	можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
+\end{theorem}
+
+\begin{idea}
+	Так как последовательность ограничена, то и все координаты
+	ограничены. Тогда будем выделять последовательно из координатных
+	последовательностей сходящиеся подпоследовательности
+	по привычной теореме Больцано-Вейерштрасса
+	(\ref{Bolzano–Weierstrass}). Важно выделять каждую
+	следующую подпоследовательность из предыдущей, чтобы
+	она сходилась по всем предыдущим координатам.
+\end{idea}
+
+\begin{proof}
+	Пусть $\{\vec{x}_m\}_{m = 1}^\infty$ - ограниченная
+	последовательность. Это означает, что
+	\[
+		(\exists C > 0)(\forall m \in \N)\ \ 
+		|\vec{x}_m| < C \Ra (\forall j \in \range{n})\ 
+		|x_m^{(j)}| < C
+	\]
+	Рассмотрим $j = 1$.
+	Тогда последовательность $\{x_m^{(1)}\}_{m = 1}^\infty$
+	- ограниченная, а значит, по теореме
+	Больцано-Вейерштрасса, существует
+	$\{x_{m_k}^{(1)}\}_{k = 1}^\infty$ -
+	сходящаяся подпоследовательность. Теперь из получившейся
+	подпоследовательности выделим сходящуюся подпоследовательность,
+	но уже по второй координате, то есть получится
+	$\{x_{m_{k_i}}^{(2)}\}_{i = 1}^\infty$:
+	\[
+		\liml_{i \to \infty} x_{m_{k_i}}^{(2)} = x_0^{(2)}
+	\]
+	Тогда для каждой
+	координаты будем выделять подпоследовательность
+	из предыдущей подпоследовательности и получим $x_0 \in \R^n$
+	с координатами:
+	\[
+		(\forall j \in \range{n})\ 
+		x_0^{(j)} = \liml_{k \to \infty}
+		x_{m_{k_{i_{\dots_{s}}}}}^{(j)}
+	\]
+	Применим доказанную выше лемму и получим, что наша
+	построенная последовательность
+	$\{\vec{x}_{m_{k_{i_{\dots_{s}}}}}\}_{s = 1}^\infty$
+	сходится к $\vec{x}_0$
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Фундаментальной последовательностью в
+	метрическом пространстве} $(X, \rho)$
+	называется такая последовательность
+	$\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset X$, что
+	\[
+		(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+		(\forall n > N)(\forall p \in \N)\ \ 
+		\rho(x_n, x_{n + p}) < \eps
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (Критерий Коши в $\R^n$)
+	Последовательность
+	$\{\vec{x}_m\}_{m = 1}^\infty \subset \R^n$ сходится
+	тогда и только тогда, когда
+	$\{\vec{x}_m\}_{m = 1}^\infty$ фундаментальная
+\end{theorem}
+
+\begin{idea}
+	Необходимость доказывается аналогично Коши для $\R$, то
+	есть выбираем правильный эпсилон и раскрываем по неравенству
+	треугольника. Достаточность доказываем покоординатно:
+	фундаментальность в $\R^n$ означает
+	фундаментальность для каждой координаты, тогда
+	по критерию Коши каждая координата сходится,
+	а значит, и последовательность в $\R^n$ тоже 
+	сходится (по критерию выше).
+\end{idea}
+
+\begin{proof}~
+	\begin{itemize}
+		\item Сходимость $\Ra$ Фундаментальность 
+			(это верно в \textbf{любом} метрическом
+			пространстве)
+			
+			По условию
+			\[
+				(\forall \eps > 0)(\exists M \in \N)(\forall m > M)
+				\ \ \rho(x_m, x_0) < \frac{\eps}{2}
+			\]
+			Оценим $\rho(x_m, x_{m + p})$ для
+			$\forall p \in \N$ при уже зафиксированных
+			$\eps$ и $M$:
+			\[
+				\rho(x_m, x_{m + p}) \le \rho(x_m, x_0) +
+				\rho(x_0, x_{m + p}) < \frac{\eps}{2} +
+				\frac{\eps}{2} = \eps
+			\]
+			
+		\item Фундаментальность $\Ra$ Сходимость
+			(эта часть верна \textbf{только для} $R^n$).
+			
+			По определению фундаментальности и метрики в $\R^n$:
+			\[
+				(\forall \eps > 0)(\exists M \in \N)
+				(\forall m > M)(p \in \N)\ \ 
+				|\vec{x}_m - \vec{x}_{m + p}| < \eps
+			\]
+			Следовательно, для $\forall j \in \range{n}$
+			верно неравенство $|x_m^{(j)} - x_{m + p}^{(j)}| < \eps$.
+			Воспользовавшись критерием Коши из $\R$ получим, что
+			\[
+				(\forall j \in \range{n})\ \ 
+				\exists \liml_{m \to \infty} x_m^{(j)} = x_0^{(j)}
+			\]
+			Отсюда по критерию сходимости в $\R^n$ (\ref{limCoordinates})
+			уже получаем, что
+			\[
+				\exists \liml_{m \to \infty} \vec{x}_m = \vec{x}_0
+			\]
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Метрическое пространство, в котором каждая
+	фундаментальная последовательность сходится,
+	называется \textit{полным метрическим пространством}.
+	
+	Полное линейное нормированное пространство
+	называется \textbf{банаховым}, в честь Стефана Банаха.
+	
+	Полное евклидово пространство называется
+	\textit{гильбертовым} (не конечномерное), в честь Гильберта.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition} Пусть $F \subset X$, $(X, \rho)$ ---
+	метрическое пространство. Тогда
+	\[
+		x_0 \in \cl F \lra (\exists \{x_k\}_{n = 1}^\infty \subset
+		F)\ \liml_{k \to \infty} x_k = x_0
+	\]
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}~
+	\begin{itemize}
+		\item Необходимость $(\Ra)$.
+			По определению точки прикосновения:
+			\[
+				(\forall \eps > 0)\ U_\eps(x_0) \cap F \neq \emptyset	
+			\]
+			Выберем поочереди $\eps := 1, \frac{1}{2}, \dots$
+			и для каждого $\eps$ существует $x_k \in U_\eps(x_0) \cap F$,
+			раз это пересечение не пустое. Тогда
+			получившася последовательность:
+			\[
+				(\exists \{x_k\}_{n = 1}^\infty \subset
+				F)(\forall k \in \N)\ 0 \le \rho(x_k, x_0) < \frac{1}{k}
+			\]
+			При этом при $k \to \infty$ правая и левая части стремятся
+			к 0. Значит, по теореме о милиционерах:
+			\[
+				\liml_{k \to \infty} x_k = x_0
+			\]
+			Вот мы и получили искомую последовательность
+		\item Достаточность $(\La)$
+
+			У нас есть из условия:
+			\[
+				x_0 \in \cl F \lra (\exists \{x_k\}_{n = 1}^\infty \subset
+				F)\ \liml_{k \to \infty} x_k = x_0
+			\]
+			Значит, из определения предела:
+			\[
+				(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+				(\forall k > N)\ \rho(x_k, x_0) < \eps
+			\]
+			Значит, для любого открытого шара с центром в точке
+			$x_0$ есть точка, которая лежит в нём (и в $F$), тогда:
+			\[
+				(\forall \eps > 0)\ U_\eps(x_0) \cap F \neq
+				\emptyset \Ra x_0 \in \cl F	
+			\]
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Критерий замкнутости множества)
+	Множество $F$ в метрическом пространстве является
+	\textit{замкнутым} тогда и только тогда, когда
+	\[
+		\left(\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset F,
+		\ \liml_{n \to \infty} x_n = x_0\right)\ x_0 \in F
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}~
+	\begin{itemize}
+		\item Докажем необходимость $(\Ra)$.
+
+			Рассмотрим произвольную последовательность,
+			сходящуюся к какой-то непонятной точке $x_0$:
+			\[
+				\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset F,
+				\ \liml_{n \to \infty} x_n = x_0
+			\]
+			Из доказанного только что утверждения мы знаем:
+			\[
+				(\exists \{x_k\}_{n = 1}^\infty \subset
+				F)\ \liml_{k \to \infty} x_k = x_0 \Ra x_0 \in \cl F
+			\]
+			Наша последовательность подходит под это условие, значит
+			эта самая непонятная точка $x_0 \in \cl F$. Мы знаем, что
+			$\cl F \subset F$ (из определения замкнутого множества).
+			Это значит, что $x_0 \in F$. Выходит, что
+			\[
+				\left(\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset F,
+				\ \liml_{n \to \infty} x_n = x_0\right)\ x_0 \in F
+			\]
+		\item Докажем достаточность $(\La)$.
+	
+			Рассмотрим произвольную точку $x \in \cl F$. Тогда
+			по вышедоказанному утверждению:
+			\[
+				x_0 \in \cl F \Ra (\exists \{x_k\}_{n = 1}^\infty \subset
+				F)\ \liml_{k \to \infty} x_k = x_0
+			\]
+			При этом из условия мы знаем, что
+			\[
+				\left(\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset F,
+				\ \liml_{n \to \infty} x_n = x_0\right)\ x_0 \in F
+			\]
+			Значит, $x_0 \in F$. Так как мы выбирали произвольную
+			точку из замыкания, то $\cl F \subset F$, то есть
+			само множество $F$ замкнуто по определению.
+	\end{itemize}
+\end{proof}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/23lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/23lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..714de398
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/23lecture.tex
@@ -0,0 +1,313 @@
+\subsubsection*{Примеры метрических пространств}
+
+\begin{example}~
+\begin{itemize}
+	\item $R^n$ с \textbf{манхэттенской метрикой}:
+	\[
+		\rho(\vec{a}, \vec{b}) = \suml_{j = 1}^n |a_i - b_i|
+	\]
+	
+	\item Связный взвешенный граф с положительными весами
+\end{itemize}
+\end{example}
+
+\begin{definition} Пусть $(X, \rho)$ ---
+	метрическое пространство. Множество $K \subset X$ называется
+	\textit{компактным множеством}, если из любого его
+	покрытия открытыми множествами можно
+	выделить конечное подпокрытие:
+	\[	
+		\left(\forall \{G_\alpha\}_{\alpha \in A},\ \ G_\alpha
+		\text{ - открыто},\ \bigcup_{\alpha \in A} G_\alpha
+		\supset K \right)(\exists \{\alpha_1, \ldots, \alpha_N\}
+		\subset A)\ \ \bigcup_{i = 1}^N G_{\alpha_i} \supset K
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{example} (счётное покрытие)
+	\[
+		\bigcup_{n = 1}^\infty \left(\frac{1}{n}; 1\right)
+		\supset (0; 1)
+	\]
+	В данном случае $(0; 1)$ не является компактным множеством, так
+	как не получится выделить конечное подпокрытие (всегда останется
+	непокрытая часть)
+\end{example}
+
+\begin{theorem}
+	Любое компактное множество в метрическом пространстве замкнуто
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	$K$ - замкнутое $\lra$ $X \bs K$ - открытое. Рассмотрим $\forall x \in X \bs K, y \in K$. Тогда сразу
+	\[
+		\rho(y, x) > 0
+	\]
+	Положим $r_y := \frac{1}{2}\rho(y, x)$. Понятно, что $U_{r_y}(y) \cap U_{r_y}(x) = \emptyset$. Также несложно заметить открытое покрытие:
+	\[
+		\bigcup_{y \in K} U_{r_y} (y) \supset K
+	\]
+	При этом $K$ - компактное. Следовательно
+	\[
+		\exists \{y_1, \ldots, y_N\} \subset K \such \bigcup_{i = 1}^N U_{r_{y_i}}(y_i) \supset K
+	\]
+	Рассмотрим пересечение следующего вида:
+	\[
+		\bigcap_{i = 1}^N U_{r_{y_i}}(x) = U_{\min(r_{y_1}, \ldots, r_{y_N})}(x)
+	\]
+	Дополнительно $\forall i \in \range{N}$ выполнено
+	\begin{align*}
+		&{U_{\min(r_{y_1}, \ldots, r_{y_N})}(x) \subset U_{r_{y_i}}(x)}
+		\\
+		&{U_{r_{y_i}}(x) \cap U_{r_{y_i}}(y) = \emptyset}
+	\end{align*}
+	Тогда
+	\[
+		U_{\min(r_{y_1}, \ldots, r_{y_N})}(x) \cap \bigcup_{i = 1}^N U_{r_{y_i}}(y_i) = \emptyset
+	\]
+	Но при этом $K \subset \bigcup\limits_{i = 1}^N U_{r_{y_i}}(y_i)$. Значит
+	\[
+		U_{\min(r_{y_1}, \ldots, r_{y_N})}(x) \cap K = \emptyset
+	\]
+	Отсюда заключаем, что
+	\[
+		U_{\min(r_{y_1}, \ldots, r_{y_N})}(x) \subset X \bs K
+	\]
+	Итак, для $\forall x \in X \bs K$ мы нашли окрестность, которая находится в том же множестве $\Ra$ любая точка $X \bs K$ - внутренняя $\Ra$ $X \bs K$ - открытое множество $\lra$ $K$ - замкнутое множество.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+	Каждое замкнутое подмножество компактного множества компактно.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Пусть $K$ - компактное множество, а $F \subset K$ - замкнутое. Тогда, рассмотрим произвольное покрытие $F$ открытыми множествами:
+	\[
+		\bigcup\limits_{\alpha \in A} G_\alpha \supset F\ \ \ (G_\alpha \text{ - открытое})
+	\]
+	Так как $F$ - замкнутое, то $X \bs F$ - открытое. А значит
+	\[
+		\left(\bigcup\limits_{\alpha \in A} G_\alpha\right) \cup (X \bs F) \supset X \supset K
+	\]
+	получили открытое покрытие компактного множества $K$. По компактности получаем
+	\[
+		\exists \{\alpha_1, \ldots, \alpha_N\} \subset A \such \left(\bigcup\limits_{i = 1}^N G_{\alpha_i}\right) \cup (X \bs F) \supset K \supset F
+	\]
+	Отсюда
+	\[
+		F \subset \bigcup\limits_{i = 1}^N G_{\alpha_i}
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	$n$-мерным кубом назовём декартово произведение отрезков, каждый из которых имеет длину $d$:
+	\[
+		I = \prodl_{j = 1}^n [a^{(j)}; b^{(j)}] \such \forall j \in \range{n}\ \ b^{(j)} - a^{(j)} = d
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+	$n$-мерный куб компактен.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	От противного. Предположим, что существует покрытие такое, что из него нельзя выделить конечное подпокрытие куба:
+	\[
+		\exists \bigcup\limits_{\alpha \in A} G_\alpha \supset I
+	\]
+	Мысленно поделим каждую сторону куба на 2 части. Получится $2^n$ меньших кубов. Хотя бы 1 из этих кубов нельзя покрыть конечным подпокрытием (в противном случае теорема оказалась бы верна). Обозначим такой подкуб за $I_1$. Рекурсивно продолжим выбирать кубики и получим цепочку включений:
+	\[
+		I \supset I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \ldots
+	\]
+	При этом куб $I_i$ будет обладать стороной
+	\[
+		d_i = \frac{d}{2^i}
+	\]
+	А также
+	\[
+		I_i = \prodl_{j = 1}^n [a_i^{(j)}; b_i^{(j)}]
+	\]
+	Отсюда имеем другую цепочку включений:
+	\[
+		[a^{(j)}; b^{(j)}] \supset [a_1^{(j)}; b_1^{(j)}] \supset [a_2^{(j)}; b_2^{(j)}] \supset \ldots
+	\]
+	По принципу Кантора это нам даёт, что
+	\[
+		\exists x_0^{(j)} \in \bigcap\limits_{i = 1}^\infty [a_i^{(j)}; b_i^{(j)}]
+	\]
+	Значит, $\vec{x}_0$ вообще попало в пересечение всех кубов:
+	\[
+		\vec{x}_0 = (x_0^{(1)}, \ldots, x_0^{(n)}) \in \bigcap\limits_{i = 1}^\infty I_i \subset I
+	\]
+	Коль скоро изначальный куб $I$ был покрыт открытыми множествами, то
+	\begin{align*}
+		&{\exists \alpha_0 \in A \such G_{\alpha_0} \ni \vec{x}_0}
+		\\
+		&{\exists r > 0 \such U_r(\vec{x}_0) \subset G_{\alpha_0}}
+	\end{align*}
+	Самые дальние точки куба $I_i$ удалены на расстояние $d_i \cdot \sqrt{n}$. Найдём такое $i \in \N$, что
+	\[
+		d_i \cdot \sqrt{n} = \frac{d}{2^i} \cdot \sqrt{n} < r \Ra I_i \subset G_{\alpha_0}
+	\]
+	Оно точно найдётся, так как $2^i$ возрастает. Но в итоге это приводит к противоречию, так как мы покрыли куб конечным подпокрытием.
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+	При $n = 1$ получается утверждение, что из любого покрытия отрезка $[a; b]$ открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие. Это утверждение также известно как \textit{теорема Гейне-Бореля}
+\end{corollary}
+
+\begin{theorem} (Критерий компактности в $\R^n$)
+	В пространстве $\R^n$ следующие утверждения эквивалентны:
+	\begin{enumerate}
+		\item $K$ - ограниченное замкнутое множество
+		
+		\item $K$ - компактное множество
+		
+		\item \(\forall \{\vec{x}_n\}_{n = 1}^\infty \subset K\ \ \exists \left(\{\vec{x}_{m_k}\}_{k = 1}^\infty,\ \liml_{k \to \infty} \vec{x}_{m_k} = \vec{x}_0 \in K \right)\)
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{note}
+	Утверждения 2 и 3 эквивалентны в любом метрическом пространстве, а вот эквивалентность с 1м - специфично для $\R^n$
+\end{note}
+
+\begin{proof}~
+\begin{itemize}
+	\item (1 $\Ra$ 2) $K$ ограничено. Следовательно
+	\[
+		\exists I \text{ - куб} \such K \subset I
+	\]
+	$I$ - компактное множество. Отсюда сразу следует, что и $K$ как замкнутое подмножество тоже компактно.
+	
+	\item (2 $\Ra$ 3) От противного. Предположим, что
+	\[
+		\exists \{\vec{x}_m\}_{m = 1}^\infty \subset K \such \forall \{\vec{x}_{m_k}\}_{k = 1}^\infty,\ \liml_{k \to \infty} \vec{x}_{m_k} = \vec{x}_0 \notin K
+	\]
+	Отсюда следует утверждение
+	\[
+		\forall \vec{x} \in K\ \exists U_{r_{\vec{x}}}(\vec{x}) \such  U_{r_{\vec{x}}}(\vec{x}) \cap \{\vec{x}_m\}_{m = 1}^\infty \subset \{\vec{x}\}
+	\]
+	То есть \(\bigcup\limits_{\vec{x} \in K} U_{r_{\vec{x}}}(\vec{x}) \supset K\) - открытое покрытие. В силу компактности $K$
+	\[
+		\exists \{\vec{x}^{(1)}, \ldots, \vec{x}^{(N)}\} \such \bigcup\limits_{i = 1}^N U_{r_{\vec{x}^{(i)}}}(\vec{x}^{(i)}) \supset K \supset \{\vec{x}_m\}_{m = 1}^\infty
+	\]
+	Но это означает, что в нашей последовательности не более $N$ точек, а это невозможно.
+	
+	\item (3 $\Ra$ 1) От противного. Предположим, что $K$ неограничено:
+	\[
+		\forall m \in \N\ \exists \vec{x}_m \in K \such |\vec{x}_m| > m
+	\]
+	По третьему утверждению теоремы:
+	\[
+		\exists \{\vec{x}_{m_k}\}_{k = 1}^\infty \such \liml_{k \to \infty} \vec{x}_{m_k} = \vec{\lambda}_0
+	\]
+	Но в таком случае $\{\vec{x}_{m_k}\}_{k = 1}^\infty$ ограничена, что противоречит построению последовательности. Теперь докажем замкнутость $K$ (снова от противного). Предположим, что $K$ не замкнуто. Тогда
+	\[
+		\exists \{\vec{x}_m\} \subset K \such \liml_{m \to \infty} \vec{x}_m = \vec{x}_0 \notin K
+	\]
+	Но по условию у любой последовательности есть подпоследовательность, которая сходится к точке в множестве $K$. Противоречие.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{note}
+	Эквивалентность 1 и 2 утверждения называется теоремой Гейне-Бореля в $\R^n$
+\end{note}
+
+\begin{note}
+	Дальнейшие определения даны для функций $f: X \to Y$, где $X, Y$ - метрические пространства.
+\end{note}
+
+\begin{definition}
+	$x_0$ называется \textit{изолированной точкой} множества $E \subset \trbr{X, \rho}$, если $x_0 \in E$ и $\exists U_r(x_0) \such U_r(x_0) \cap E = \{x_0\}$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Точка прикосновения множества $E$, не являющаяся изолированной, называется \textit{предельной точкой} множества $E$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition} (Предел функции по Коши)
+	Пусть $x_0$ - предельная точка множества $D \subset X$ и $f: D \to Y$.
+	
+	$l \in Y$ называется \textit{пределом функции (отображения)} $f$ в $x_0$, если
+	\[
+		\forall \eps > 0\ \exists \delta > 0 \such \forall x \in D, 0 < \rho_X(x, x_0) < \delta\ \ \rho_Y(f(x), l) < \eps
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition} (Предел функции по Гейне)
+	Пусть $x_0$ - предельная точка множества $D \subset X$ и $f: X \to Y$.
+	
+	$l \in Y$ называется \textit{пределом функции (отображения)} $f$ в $x_0$, если
+	\[
+		\left(\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset D \bs \{x_0\},\ \liml_{n \to \infty} x_n = x_0\right)\ \liml_{n \to \infty} f(x_n) = l
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (Эквивалентность определений предела функции)
+	Определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}~
+\begin{itemize}
+	\item (К $\Ra$ Г) Рассмотрим произвольную последовательность $\{x_n\} \subset D \bs \{x_0\}$, у которой $\exists \liml_{n \to \infty} x_n = x_0$. По определению это означает, что
+	\[
+		\forall \delta > 0\ \exists N \in \N \such \forall n > N\ 0 < \rho_X(x_n, x_0) < \delta
+	\]
+	Отсюда следует, что $\rho_Y(f(x_n), l) < \eps$ для фиксированных $\eps, \delta > 0$ из предела по Коши. То есть
+	\[
+		\liml_{n \to \infty} f(x_n) = l
+	\]
+	
+	\item (Г $\Ra$ К) От противного. Предположим, что условие Коши не выполнено:
+	\[
+		\exists \eps_0 > 0 \such \forall \delta > 0\ \exists x \in D,\ 0 < \rho_X(x, x_0) < \delta\ \ \rho_Y(f(x), l) \ge \eps_0
+	\]
+	Построим последовательность, рассмотрев $\delta := 1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}, \ldots$:
+	\begin{align*}
+		&{\forall n \in \N\ \ \rho_X(x_n, x_0) < \frac{1}{n}}
+		\\
+		&{\forall n \in \N\ \ \rho_Y(f(x_n), l) \ge \eps_0}
+	\end{align*}
+	По первому утверждению получается, что последовательность сходится к $x_0$ и при этом $x_n \neq x_0$. Но в таком случае по Гейне последовательность $f(x_n)$ тоже должна сходится, чего не происходит. Противоречие.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\subsection{Вектор-функции в $\R^n$}
+
+\begin{definition}
+	Вектор-функцией будем называть $\vec{a}(t): \R \to \R^n$, которую можно также записать как
+	\[
+		\vec{a}(t) = (a_1(t), \ldots, a_n(t))
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{lemma} \label{vfeq}
+	Следующие утверждения эквивалентны:
+	\begin{enumerate}
+		\item \(\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t) = \vec{a}_0 = (a_{0, 1}, \ldots, a_{0, n})\)
+		
+		\item \(\liml_{t \to t_0} |\vec{a}(t) - \vec{a}_0| = 0\)
+		
+		\item \(\forall i \in \range{n}\ \liml_{t \to t_0} a_i(t) = a_{0, i}\)
+	\end{enumerate}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}~
+\begin{enumerate}
+	\item (1 $\lra$ 2) Запишем определение Коши для первого утверждения:
+	\[
+		\forall \eps > 0\ \exists \delta > 0 \such \forall t, 0 < |t - t_0| < \delta\ |\vec{a}(t) - \vec{a}_0| < \eps
+	\]
+	Эта запись в точности совпадает с определением предела из второго утверждения
+	
+	\item (1 $\lra$ 3) Запишем определение Гейне для первого утверждения:
+	\[
+		\left(\forall \{t_k\}_{k = 1}^\infty \such t_k \neq t_0, \liml_{k \to \infty} t_k = t_0\right)\ \liml_{k \to \infty} \vec{a}(t_k) = \vec{a}_0
+	\]
+	Пользуясь критерием сходимости в $\R^n$, заменим запись выше эквивалентной:
+	\[
+		\forall i \in \range{n}\ \left(\forall \{t_k\}_{k = 1}^\infty \such t_k \neq t_0, \liml_{k \to \infty} t_k = t_0\right)\ \liml_{k \to \infty} a_i(t_k) = a_{0, i}
+	\]
+	Которая и является утверждением 3.
+\end{enumerate}
+\end{proof}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/24lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/24lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..cfb7b877
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/24lecture.tex
@@ -0,0 +1,330 @@
+\begin{theorem} (Свойства предела вектор-функций)
+	\begin{enumerate}
+		\item (Единственность предела) Если $\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t) = \vec{l}_1$ и $\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t) = \vec{l}_2$, то $\vec{l}_1 = \vec{l}_2$
+		
+		\item (Ограниченность предела) Если существует предел $\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t)$, то существует $C > 0$ такое, что
+		\[
+			\exists r > 0 \such \forall t, 0 < |t - t_0| < r\ \ |\vec{a}(t)| < C
+		\]
+		
+		\item (Отделимость от нуля) Если предел $\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t) = \vec{a}_0 \neq \vec{0}$, то
+		\[
+			\exists r > 0 \such \forall t, 0 < |t - t_0| < r\ \ |\vec{a}(t)| > \frac{|\vec{a}_0|}{2}
+		\]
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Во всех случаях пользуемся леммой \ref{vfeq} и переписываем задачу покоординатно: в каждом случае она уже решена.
+\begin{enumerate}
+	\item Из покоординатного равенства напрямую следует равенство $\vec{l}_1 = \vec{l}_2$
+	
+	\item Для каждой $a_i(t)$ существует нужная окрестность, в которой она ограничена:
+	\begin{align*}
+		&{\exists r_1 > 0 \such \forall t, 0 < |t - t_0| < r_1\ \ |a_1(t)| < C_1}
+		\\
+		\vdots
+		\\
+		&{\exists r_n > 0 \such \forall t, 0 < |t - t_0| < r_n\ \ |a_n(t)| < C_n}
+	\end{align*}
+	По определению
+	\[
+		|\vec{a}(t)| = \sqrt{|a_1(t)|^2 + \ldots + |a_n(t)|^2} < \sqrt{C_1^2 + \ldots + C_n^2} = C
+	\]
+	
+	\item Аналогично предыдущему пункту
+	\[
+		|\vec{a}(t)| = \sqrt{|a_1(t)|^2 + \ldots + |a_n(t)|^2} > \sqrt{\left(\frac{|a_{0, 1}|}{2}\right)^2 + \ldots + \left(\frac{|a_{0, n}|}{2}\right)^2} = \frac{|\vec{a_0}|}{2}
+	\]
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Арифметические свойства предела вектор-функций)
+	\begin{enumerate}
+		\item Если $\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t) = \vec{a}_0$ и $\liml_{t \to t_0} \vec{b}(t) = \vec{b}_0$, то
+		\[
+			\liml_{t \to t_0} (\vec{a}(t) + \vec{b}(t)) = \vec{a}_0 + \vec{b}_0
+		\]
+		
+		\item Если $\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t) = \vec{a}_0$ и $\liml_{t \to t_0} \alpha(t) = \alpha_0$, то
+		\[
+			\liml_{t \to t_0} \alpha(t) \cdot \vec{a}(t) = \alpha_0 \cdot \vec{a}_0
+		\]
+		
+		\item (Предел скалярного произведения) Если $\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t) = \vec{a}_0$, $\liml_{t \to t_0} \vec{b}(t) = \vec{b}_0$, то
+		\[
+		\liml_{t \to t_0} (\vec{a}(t), \vec{b}(t)) = (\vec{a}_0, \vec{b}_0)
+		\]
+		
+		\item (Предел векторного произведения) Если $n = 3$, $\liml_{t \to t_0} \vec{a}(t) = \vec{a}_0$, $\liml_{t \to t_0} \vec{b}(t) = \vec{b}_0$, то
+		\[
+		\liml_{t \to t_0} [\vec{a}(t), \vec{b}(t)] = [\vec{a}_0, \vec{b}_0]
+		\]
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Все свойства доказываются через определение Гейне и уже доказанные свойства предела последовательностей в $\R^n$
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $x_0 \in D$ - предельная точка множества $D \subset \trbr{X, \rho}$ и $f: D \to Y$. Тогда $f$ \textit{непрерывна} в точке $x_0$, если
+	\[
+		\liml_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition} (Топологическое определение непрерывности на множестве)
+	Функция $f: D \to Y,\ D \subset X$ называется \textit{непрерывной на множестве} $D$, если для любого открытого множества $G \subset Y$ его прообраз $f^{-1}(G) = \{x \in D \such f(x) \in G\}$ относительно открыт в $D$, то есть
+	\begin{align*}
+		&{\exists \widetilde{G} \subset X \text{ - открытое}}
+		\\
+		&{f^{-1}(G) = D \cap \widetilde{G}}
+	\end{align*}
+\end{definition}
+
+\begin{definition} (Поточечное определение непрерывности на множестве)
+	Функция $f: D \to Y, D \subset X$ называется \textit{непрерывной на множестве} $D$, если $\forall x_0 \in D$ такой, что $x_0$ - предельная точка $D$ верно 
+	\[
+		\liml_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+	Два определения непрерывности на множестве эквивалентны.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}~
+\begin{itemize}
+	\item (1 $\Ra$ 2) Пусть $x_0 \in D$ и $x_0$ - предельная точка. При этом $f(x_0) \in Y$. Тогда
+	\[
+		\forall \eps > 0\ \ U_\eps(f(x_0)) \text{ - открытое множество}
+	\]
+	Согласно топологическому определению непрерывности
+	\[
+		f^{-1}(U_\eps(f(x_0))) = D \cap \widetilde{G},\ \widetilde{G} \text{ - тоже открытое}
+	\]
+	Значит \(x_0 \in f^{-1}(U_\eps(f(x_0))) \Ra x_0 \in \widetilde{G} \Ra \exists \delta > 0 \such U_\delta(x_0) \subset \widetilde{G}\). При этом
+	\[
+		\forall x \in U_\delta(x_0) \cap D\ x \in \widetilde{G} \cap D = f^{-1}(U_\eps(f(x_0)))
+	\]
+	А это в итоге даёт, что \(f(x) \in U_\eps(f(x_0))\). Мы получили утверждение:
+	\[
+		\forall \eps > 0\ \exists \delta > 0 \such \forall x \in U_\delta(x_0) \cap D\ \ f(x) \in U_\eps(f(x_0))
+	\]
+	которое в точности является вторым определением непрерывности
+	
+	\item (2 $\Ra$ 1) Пусть $G$ - произвольное открытое множество в $Y$, $x \in f^{-1}(G)$. Если $x$ - изолированная точка множества $D$, то по определению это означает
+	\[
+		\exists \delta_x > 0 \such U_{\delta_x}(x) \cap D = \{x\}
+	\]
+	Теперь пусть $x$ - предельная точка множества $D$. Тогда по определению $\liml_{y \to x} f(y) = f(x)$. То есть
+	\[
+		\forall \eps > 0\ \exists \delta > 0 \such \forall y \in U_\delta(x) \cap D\ \ f(y) \in U_\eps(f(x))
+	\]
+	Раз $f(x) \in G$, то
+	\[
+		\exists \eps > 0 \such U_\eps(f(x)) \subset G
+	\]
+	Значит
+	\[
+		\exists \delta_x > 0 \such \forall y \in U_{\delta_x}(x) \cap D\ \ f(y) \in G
+	\]
+	Положим $\widetilde{G} := \bigcup\limits_{x \in f^{-1}(G)} U_{\delta_x}(x)$. Хочется доказать, что $f^{-1}(G) = D \cap \widetilde{G}$. Включение $\subset$ очевидно: если точка попадает в прообраз, то она попадает в $D$. Для обратного включения рассмотрим $\forall y \in D \cap \widetilde{G}$. То есть $y$ попало в $D$ и в какую-то из окрестностей $x$, которые образуют $\widetilde{G}$: если это была окрестность изолированной точки, то $y = x \Ra y \in f^{-1}(G)$. Иначе он попал в окрестность предельной точки, то $f(y) \in G \lra y \in f^{-1}(G)$.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Непрерывный образ компактного множества)
+	Если $f: X \to Y$ непрерывна на компактном множестве $K \subset X$, то $f(K)$ компактно.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Пусть $\bigcup\limits_{\alpha in A} G_\alpha$ - открытое покрытие множества $f(K)$. Согласно топологическому определению непрерывности
+	\[
+		\forall \alpha \in A\ \exists \widetilde{G}_\alpha \text{ - открытое в }X \such f^{-1}(G_\alpha) = K \cap \widetilde{G}_\alpha
+	\]
+	Если $x \in K$, то
+	\[
+		\exists \alpha \in A \such f(x) \in G_\alpha \lra x \in f^{-1}(G_\alpha) \Ra x \in \widetilde{G}_\alpha
+	\]
+	Отсюда $\bigcup\limits_{\alpha \in A} \widetilde{G}_\alpha \supset K$ и при этом $K$ - компактное множество
+	\[
+		\Ra \exists \{\alpha_1, \ldots, \alpha_N\} \subset A \such \bigcup\limits_{i = 1}^N \widetilde{G}_{\alpha_i} \supset K
+	\]
+	В итоге имеем, что $\forall y \in f(K)\ \exists x \in K \such f(x) = y$. Следовательно
+	\[
+		\exists i \such x \in K \cap \widetilde{G}_{\alpha_i} = f^{-1}(G_{\alpha_i}) \Ra y \in G_{\alpha_i}
+	\]
+	То есть $f(K) \subset \bigcup\limits_{i = 1}^N G_{\alpha_i}$, мы выделили конечное открытое подпокрытие. Что и требовалось доказать.
+\end{proof}
+
+\begin{corollary} (Теорема Вейерштрасса в $\R^n$) \label{WeierstrassRN}
+	Если $f: \R^n \to \R$ непрерывна на ограниченном замкнутом множестве $K \subset \R^n$, то она ограничена на $K$ и достигает своих верхней и нижней граней.
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+	По критерию компактности в $\R^n$ $K$ - компактное множество. По недавно доказанной теореме $f(K)$ - тоже компактно, при этом $f(K) \subset \R \Ra f(K)$ - ограниченное и замкнутое множество.
+	
+	Пусть $M := \sup\limits_{\vec{x} \in K} f(\vec{x})$. По определению точной верхней грани
+	\[
+		\forall m \in \N\ \exists \vec{x}_m \in K \such M - \frac{1}{m} < f(\vec{x}_m) \le M
+	\]
+	Соберём как раз такую последовательность $\{\vec{x}_m\} \subset K$. Из эквивалентного определения компактности:
+	\[
+		\exists \{\vec{x}_{m_k}\}_{k = 1}^\infty \such \liml_{k \to \infty} \vec{x}_{m_k} = \vec{x}_0 \in K
+	\]
+	По определению Гейне для непрерывности получаем, что
+	\[
+		\liml_{k \to \infty} f(\vec{x}_{m_k}) = f(\vec{x}_0) = M
+	\]
+\end{proof}
+
+\subsection{Геометрия кривой в $\R^n$}
+
+\begin{definition}
+	\textit{(Параметрически заданной) кривой} $\Gamma$ в
+	пространстве $\R^n$ называется множество точек
+	(\textit{годограф кривой})
+	$
+		\Gamma = \{\vec{r}(t): t \in [a, b]\}
+	$,
+	где $\vec{r}(t)$ --- непрерывная на $[a, b]$
+	вектор-функция.
+\end{definition}
+
+\begin{corollary}
+	Согласно критерию компактности (\ref{WeierstrassRN}) в $\R^n$,
+	кривая - это ограниченное замкнутое множество.
+\end{corollary}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Простой} кривой называется кривая без
+	самопересечений, то есть если верно утверждение
+	\[
+		\vec{r}(t_1) = \vec{r}(t_2) \Ra \left((t_1 = t_2)
+		\vee (\{t_1, t_2\} = \{a, b\})\right)
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Кривая $\Gamma = \{\vec{r}(t) \such a \le t \le b\}$
+	называется \textit{замкнутой}, если $\vec{r}(a) = \vec{r}(b)$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Простая замкнутая кривая называется \textit{жордановой}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Пусть вектор-функция $\vec{r}(t)$ задана в некоторой
+	$U_\delta(t_0)$. Тогда
+	\textit{производной вектор-функции} в точке $t_0$
+	называется предел (если он существует):
+	\[
+		\vec{r'}(t_0) := \liml_{\Delta t \to 0}
+		\frac{\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)}{\Delta t}
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Вектор-функция $\vec{r}(t)$, определенная в некоторой
+	$U_\delta(t_0)$, называется \textit{дифференцируемой}
+	в $t_0$, если вектор $\dvec{r}(t_0) =
+	\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)$ может быть
+	записан в виде
+	\[
+		\dvec{r}(t_0) = \Delta t \vec{A} + \Delta t
+		\cdot \vec{\eps}(\Delta t)
+	\]
+	где $\vec{A} \in \R^n$ и $\liml_{\Delta t \to 0}
+	\vec{\eps}(\Delta t) = \vec{0}$
+\end{definition}
+
+\begin{note}
+	Величину $\Delta t \cdot \vec{\eps}(\Delta t)$ естественно называть \textit{о-маленьким от} $\Delta t$:
+	\[
+	\Delta t \cdot \vec{\eps}(\Delta t) = \vec{o}(\Delta t), \Delta t \to 0
+	\]
+	Сравнение функций можно определить аналогичным образом на вектор-функциях.
+\end{note}
+
+\begin{note}
+	Далее принято соглашение, что
+	$\vec{r}(t) = (x_1(t), \ldots, x_n(t))$
+\end{note}
+
+\begin{lemma}
+	$\vec{r}(t)$ дифференцируема в точке $t_0$
+	тогда и только тогда, когда все её координатные
+	функции $x_j(t)$ дифференцируемы в точке $t_0,\ 
+	\forall j \in \range{n}$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	\[
+		\exists \vec{r'}(t_0) := \liml_{\Delta t \to 0}
+		\frac{\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)}{\Delta t}
+		\lra \left(\forall j \in \range{n}\ \exists
+		\liml_{\Delta t \to 0} \frac{x_j(t_0 + \Delta t) -
+		x_j(t_0)}{\Delta t} = x'_j(t_0)\right)
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+	Чтобы взять производную от вектор-функции, нужно продифференцировать функцию каждой координаты, то есть
+	\[
+		\vec{r}(t_0) = (x'_1(t_0), \ldots, x'_n(t_0))
+	\]
+\end{corollary}
+
+\begin{lemma}
+	Вектор-функция $\vec{r}(t)$, определенная
+	на некторой $U_\delta(t_0)$, является дифференцируемой
+	в $t_0$ тогда и только тогда,
+	когда существует производная $\vec{r'}(t_0)$.
+	При этом $\vec{A} = \vec{r'}(t_0)$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}~
+\begin{itemize}
+	\item $\Ra$ $\vec{r}(t)$ - дифференцируема. Значит
+	\[
+		\frac{\dvec{r}(t_0)}{\Delta t} = \frac{\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)}{\Delta t} = \vec{A} + \vec{\eps}(\Delta t) \xrightarrow[\Delta t \to 0]{} \vec{A}
+	\]
+	
+	\item $\La$ $\exists \vec{r'}(t_0)$. По определению производной
+	\[
+		\vec{r'}(t_0) = \liml_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)}{\Delta t}
+	\]
+	Это эквивалентно пределу $\liml_{\Delta t \to 0} \left(\frac{\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)}{\Delta t} - \vec{r'}(t_0)\right) = 0$. То есть при $\Delta t \to 0$
+	\[
+		\frac{\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)}{\Delta t} - \vec{r'}(t_0) = \vec{\eps}(\Delta t)
+	\]
+	\[
+		\frac{\Delta \vec{r}(t_0)}{\Delta t} = \vec{r'}(t_0) + \vec{\eps}(\Delta t)
+	\]
+	\[
+	\Delta \vec{r}(t_0) = \Delta t\ \vec{r'}(t_0) + \Delta t\ \vec{\eps}(\Delta t)
+	\]
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+	Если $\vec{r}(t)$ дифференцируема в точке $t_0$, то она непрерывна в $t_0$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Раз функция дифференцируема, то приращение функции у точки $t_0$ записывается в виде
+	\[
+		\dvec{r}(t_0) = \vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0) = \Delta t \cdot (\vec{A} + \vec{\eps}(\Delta t))
+	\]
+	Отсюда
+	\[
+		\liml_{\Delta t \to 0} \dvec{r}(t_0) = \liml_{\Delta t \to 0} \vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0) = 0
+	\]
+	Применив равносильность имеем
+	\[
+		\liml_{\Delta t \to 0} \vec{r}(t_0 + \Delta t) = \vec{r}(t_0) = \liml_{t \to t_0} \vec{r}(t)
+	\]
+	Что и требовалось доказать.
+\end{proof}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/25lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/25lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..797f67d4
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/25lecture.tex
@@ -0,0 +1,254 @@
+\begin{lemma} (Правила дифференцирования вектор-функций)
+	\begin{enumerate}
+		\item Если $\vec{a}(t), \vec{b}(t)$ дифференцируемы в $t_0$, то $(\vec{a} + \vec{b})(t)$ дифференцируема в $t_0$, причём
+		\[
+			(\vec{a} + \vec{b})'(t_0) = \vec{a'}(t_0) + \vec{b'}(t_0)
+		\]
+		
+		\item Если $\vec{a}(t), \phi(t)$ дифференцируемы в $t_0$, то $\phi(t) \cdot \vec{a}(t)$ дифференцируема в $t_0$, причём
+		\[
+			(\phi\vec{a})'(t_0) = \phi'(t_0)\vec{a}(t_0) + \phi(t_0)\vec{a'}(t_0)
+		\]
+		
+		\item Если $\vec{a}(t), \vec{b}(t)$ дифференцируемы в $t_0$, то $\trbr{\vec{a}, \vec{b}}(t)$ дифференцируемо в $t_0$, причём
+		\[
+			(\trbr{\vec{a}, \vec{b}})'(t_0) = \trbr{\vec{a'}(t_0), \vec{b}(t_0)} + \trbr{\vec{a}(t_0), \vec{b'}(t_0)}
+		\]
+		
+		\item Если $n = 3$ и $\vec{a}(t), \vec{b}(t)$ дифференцируемы в $t_0$, то $[\vec{a}(t), \vec{b}(t)]$ дифференцируемо в $t_0$, причём
+		\[
+			([\vec{a}, \vec{b}])'(t_0) = [\vec{a'}(t_0), \vec{b}(t_0)] + [\vec{a}(t_0), \vec{b'}(t_0)]
+		\]
+	\end{enumerate}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Все пункты однотипны, поэтому докажем только третий:
+	\begin{multline*}
+		\liml_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta (\trbr{\vec{a}, \vec{b}})(t_0)}{\Delta t} = \liml_{\Delta t \to 0} \frac{\trbr{\vec{a}(t_0 + \Delta t), \vec{b}(t_0 + \Delta t)} - \trbr{\vec{a}(t_0), \vec{b}(t_0)}}{\Delta t} =
+		\\
+		\liml_{\Delta t \to 0} \frac{\trbr{\vec{a}(t_0 + \Delta t), \vec{b}(t_0 + \Delta t)} - \trbr{\vec{a}(t_0), \vec{b}(t_0 + \Delta t)}}{\Delta t} + \liml_{\Delta t \to 0} \frac{\trbr{\vec{a}(t_0), \vec{b}(t_0 + \Delta t)} - \trbr{\vec{a}(t_0), \vec{b}(t_0)}}{\Delta t} =
+		\\
+		\trbr{\liml_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{a}(t_0 + \Delta t) - \vec{a}(t_0)}{\Delta t}, \liml_{\Delta t \to 0} \vec{b}(t_0 + \Delta t)} + \trbr{\vec{a}(t_0), \liml_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{b}(t_0 + \Delta t) - \vec{b}(t_0)}{\Delta t}} = 
+		\\
+		\trbr{\vec{a'}(t_0), \vec{b}(t_0)} + \trbr{\vec{a}(t_0), \vec{b'}(t_0)}
+	\end{multline*}
+\end{proof}
+
+\begin{note}~
+\begin{enumerate}
+	\item Теорема о среднем (Лагранжа) не имеет места для вектор-функций (без дополнительных изменений):
+	\[
+		\vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0) = \vec{r'}(c)(t_1 - t_0),\ c \in (t_0, t_1)
+	\]
+	Контрпример:
+	\[
+		\vec{r}(t) = (\cos t, \sin t),\ t \in [0; 2\pi]
+	\]
+	Положим $t_0 = 0, t_1 = 2\pi$. Тогда $\vec{r}(t_0) = \vec{r}(t_1)$. При этом
+	\[
+		\vec{r'}(t) = (-\sin t, \cos t),\ |\vec{r'}(t)| = 1
+	\]
+	Из постоянства модуля следует, что нет такой точки, при которой производная обратится в нуль.
+	
+	\item Правило Лопиталя для вектор-функций $\R \to \Cm$, вообще говоря, неверно.
+	\[
+		\liml_{t \to t_0} \frac{f(t)}{g(t)} \not = \liml_{t \to t_0} \frac{f'(t)}{g'(t)},\ \ f, g: \R \to \Cm
+	\]
+	Контрпример: \(f(x) = x\), \(g(x) = x + x^2 \cdot e^{i / x^2}\). Рассмотрим предел отношения этих функций к нулю:
+	\[
+		\liml_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \liml_{x \to 0} \frac{x}{x + x^2 e^{i / x^2}} = \liml_{x \to 0} \frac{1}{1 + xe^{i / x^2}} = 1
+	\]
+	При этом $|e^{i / x^2}| = 1\ \forall x \in \R \bs \{0\}$. Посмотрим же теперь предел производных:
+	\[
+		\liml_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \liml_{x \to 0} \frac{1}{1 + 2xe^{i / x^2} - \frac{2i}{x}e^{i / x^2}}
+	\]
+	Оценим модуль знаменателя:
+	\[
+		\left|1 + 2xe^{i / x^2} - \frac{2i}{x}e^{i / x^2}\right| \ge 2\left|x - \frac{i}{x}\right| - 1 \ge \frac{2}{|x|} - 1
+	\]
+	Следовательно
+	\[
+		\liml_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \liml_{x \to 0} \frac{1}{1 + 2xe^{i / x^2} - \frac{2i}{x}e^{i / x^2}} = 0 \neq \liml_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}
+	\]
+\end{enumerate}
+\end{note}
+
+\begin{theorem} (Теорема Лагранжа для вектор-функций)
+	Если $\vec{r}(t)$ непрерывна на $[t_0; t_1]$, дифференцируема на $(t_0, t_1)$, то найдётся $c \in (t_0; t_1)$ такое, что
+	\[
+		|\vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)| \le |\vec{r'}(c)|(t_1 - t_0)
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Рассмотрим числовую функцию $\phi(t)$:
+	\[
+		\phi(t) := \trbr{\vec{r}(t), \vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)}
+	\]
+	В силу свойств пределов и правил дифференцирования, $\phi(t)$ является также непрерывной на $[t_0; t_1]$ и диффиренцируемой на $(t_0; t_1)$. А по теореме Лагранжа для вещественных функций
+	\[
+		\exists c \in (t_0; t_1) \such \phi(t_1) - \phi(t_0) = \phi'(c)(t_1 - t_0)
+	\]
+	Распишем функцию $\phi$ в равенстве:
+	\[
+		\trbr{\vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0), \vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)} = \trbr{\vec{r'}(c), \vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)} \cdot (t_1 - t_0)
+	\]
+	По неравенству Коши-Буняковского-Шварца получим:
+	\[
+		\trbr{\vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0), \vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)} = \trbr{\vec{r'}(c), \vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)} \cdot (t_1 - t_0) \le |\vec{r'}(c)| \cdot |\vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)| \cdot (t_1 - t_0)
+	\]
+	При этом в левой части равенства
+	\[
+		\trbr{\vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0), \vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)} = |\vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)|^2
+	\]
+	В итоге
+	\[
+		|\vec{r}(t_1) - \vec{r}(t_0)| \le |\vec{r'}(c)|(t_1 - t_0)
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Производные высших порядков и дифференцируемость определяется по индукции:
+	\[
+		\vec{a}^{(0)}(t) := \vec{a}(t)
+	\]
+	\[
+		\vec{a}^{(n + 1)}(t) := \vec{a}^{(n)'}(t)
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для вектор-функций)
+	Если $\exists \vec{r}^{(m)}(t_0)$, то
+	\[
+		\vec{r}(t) = \vec{r}(t_0) + \vec{r'}(t_0)(t - t_0) + \frac{\vec{r''}(t_0)}{2!}(t - t_0)^2 + \ldots + \frac{\vec{r}^{(m)}(t_0)}{m!}(t - t_0)^m + \vec{o}\left((t - t_0)^m\right),\ t \to t_0
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Просто объединим формулы Тейлора для каждой компоненты в одну.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Кривая $\Gamma = \{\vec{r}(t),\ a \le t \le b\}$ считается \textit{ориентированной} в направлении возрастания параметра $t$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Если $P := a = t_0 < t_1 < \ldots < t_m = b$ - разбиение отрезка $[a; b]$, то кривая $\Gamma = \{\vec{r}(t),\ a \le t \le b\}$ \textit{разбита на кривые} $\Gamma_j = \{\vec{r}(t),\ t_{j - 1} \le t \le t_j\}, j \in \range{m}$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Функция $f(x)$ называется \textit{непрерывно дифференцируемой} на $[a; b]$, если она дифференцируемая и $f'(x)$ непрерывна на этом отрезке.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Если $\vec{r}(t)$ дифференцируема (непрерывно дифференцируема, $k$-раз дифференцируема), то кривая $\Gamma = \{\vec{r}(t),\ a \le t \le b\}$ называется \textit{дифференцируемой (непрерывно дифференцируемой, $k$-раз дифференцируемой)}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Непрерывно дифференцируемая кривая такая, что $\vec{r'}(t) \neq \vec{0}$ ни в какой точке $t \in (a; b)$ называется \textit{гладкой}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Кривая \textit{кусочно гладкая}, если она составлена из гладких кривых
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Касательным вектором} к кривой $\Gamma = \{\vec{r}(t),\ a \le t \le b\}$ в точке $\vec{r}(t_0)$ называется предельное положение направляющего вектора секущей $\dvec{r}(t_0)$, если оно существует.
+	
+	Точнее, если $\vec{l}(\Delta t)$ - единичный направляющий вектор секущей:
+	\[
+		\vec{l}(\Delta t) = \pm \frac{\dvec{r}(t_0)}{|\dvec{r}(t_0)|}
+	\]
+	тогда
+	\[
+		\liml_{\Delta t \to 0} \vec{l}(\Delta t) = \pm \vec{\tau}
+	\]
+	где $\vec{\tau}$ - единичный вектор касательной.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Линейное пространство $\{t \cdot \vec{\tau},\ t \in \R\}$ называется \textit{касательным пространством}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Прямая, заданная векторно-параметрическим уравнением
+	\[
+		\vec{r}(t) = \vec{r}(t_0) + t\cdot \vec{\tau}
+	\]
+	называется \textit{касательной к кривой} $\Gamma = \{\vec{r}(t),\ a \le t \le b\}$ в точке $t_0 \in [a; b]$
+\end{definition}
+
+%% Нарисовать. Введение в матанализ 26, доступ по ссылке (пнуть меня). 1:22:36
+
+\begin{lemma}
+	Пусть кривая $\Gamma = \{\vec{r}(t),\ a \le t \le b\}$ дифференцируема и $\vec{r'}(t_0) \neq 0$. Тогда существует касательная к $\Gamma$ в точке $\vec{r}(t_0)$ с направляющим вектором $\vec{\tau} = \frac{\vec{r'}(t_0)}{|\vec{r'}(t_0)|}$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	\[
+		\vec{l}(\Delta t) = \frac{\dvec{r}(t_0)}{|\dvec{r}(t_0)|} = \pm \frac{\dvec{r}(t_0)}{\Delta t} \cdot \frac{1}{\left|\frac{\dvec{r}(t_0)}{\Delta t}\right|} \xrightarrow[\Delta t \to 0]{} \pm \frac{\vec{r'}(t_0)}{|\vec{r'}(t_0)|}
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Замена параметра $t = \phi(\wt{t}),\ \wt{t} \in [c; d]$ называется \textit{допустимой} для кривой $\Gamma = \{\vec{r}(t),\ a \le t \le b\}$ заданного класса, если кривая $\wt{\Gamma} = \{\vec{r}(\phi(\wt{t})),\ c \le \wt{t} \le d\}$ - кривая того же класса, а также $\phi([c; d]) = [a; b]$
+	
+	Так из разбиения на координаты, будем считать допустимыми непрерывные строго монотонные функции $t = \phi(\wt{t})$ для кривых без дополнительных ограничений; добавляя (непрерывную) дифференцируемость для (непрерывно) дифференцируемых; $\phi' \neq 0$ для гладких; строгое возрастание для ориентированных.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $\vec{r}(t),\ a \le t \le b$ - вектор-функция, $P: a = t_0 < t_1 < \ldots < t_m = b$ - разбиение $[a; b]$.
+	
+	\textit{Вариацией} вектор-функции $\vec{r}(t)$, соответствующей разбиению $P$, называется 
+	\[
+		V(P, \vec{r}) = \suml_{k = 1}^m |\vec{r}(t_k) - \vec{r}(t_{k - 1})|
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Вектор-функция $\vec{r}(t),\ a \le t \le b$, является \textit{функцией ограниченной вариации} на $[a; b]$, если множество $\{V(P, \vec{r}), P \text{ - всевозможные разбиения }[a; b]\}$ ограничено. Число $V(\vec{r}) = \sup\limits_{P} V(P, \vec{r})\left(=: V(\vec{r}, [a; b])\right)$ называется \textit{полной вариацией функции} $\vec{r}$ на $[a; b]$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Если кривая $\Gamma = \{\vec{r}(t),\ a \le t \le b\}$ задана с помощью функции ограниченной вариации $\vec{r}(t)$, то она называется \textit{спрямляемой}, а $V(\vec{r})$ называется \textit{длиной} $\Gamma$.
+\end{definition}
+
+%%% Тоже хорошо бы рисунок сделать. Введение в матан 26, 1:55:30, пнуть меня для ссылки
+
+\begin{theorem} (Ограниченность функции ограниченной вариации)
+	Если $f: [a; b] \to \R$ - функция ограниченной вариации, то она ограничена
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Рассмотрим разбиение $P: a < x < b$. Тогда
+	\[
+		V(P, f) = |f(a) - f(x)| + |f(x) - f(b)| \le V(f, [a; b])
+	\]
+	Коль скоро $V(f, [a; b])$, $f(a)$ и $f(b)$ - определённые числа, то $f$ ограничено.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Арифметические операции с функциями ограниченной вариации)
+	Если $f, g: [a; b] \to \R$ - функции ограниченной вариации, то $f \pm g$ и $f \cdot g$ - тоже функции ограниченной вариации
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Вначале докажем для $f \pm g$. Рассмотрим произвольное разбиение $P$ и одно из слагаемых вариации $V(P, f \pm g)$:
+	\[
+		|(f \pm g)(t_k) - (f \pm g)(t_{k - 1})| = |(f(t_k) - f(t_{k - 1})) \pm (g(t_k) - g(t_{k - 1}))| \le |f(t_k) - f(t_{k - 1})| + |g(t_k) - g(t_{k - 1})|
+	\]
+	Стало быть
+	\[
+		V(P, f \pm g) \le V(P, f) + V(P, g)
+	\]
+	Так как неравенство верно для любого $P$, то $f \pm g$ - функция ограниченной вариации.
+	
+	Теперь докажем для $f \cdot g$. Рассмотрим вариацию этой функции для произвольного $P$:
+	\begin{multline*}
+		V(P, fg) = \suml_{k = 1}^m |fg(t_k) - fg(t_{k - 1})| \le
+		\\
+		\suml_{k = 1}^m |f(t_k)g(t_k) - f(t_{k - 1})g(t_k)| + \suml_{k = 1}^m |f(t_{k - 1})g(t_k) - f(t_{k - 1})g(t_{k - 1})| \le
+		\\
+		\sup\limits_{t \in [a; b]} |g(t)| \cdot V(P, f) + \sup\limits_{t \in [a; b]} |f(t)| V(P, g)
+	\end{multline*}
+\end{proof}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/26lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/26lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..f7e83e37
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/26lecture.tex
@@ -0,0 +1,210 @@
+\begin{lemma} \label{6lemma}
+	$\vec{f} = (f_1, \ldots, f_n): [a; b] \to \R^n$ является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда $\forall j \in \range{n}$ функции $f_j$ являются функциями ограниченной вариации на $[a; b]$. При этом справедливо неравенство:
+	\[
+		V(f_j) \le V(\vec{f}) \le \suml_{i = 1}^n V(f_i)
+	\]
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Начнём с замечания, что при вычислении вариации $\forall j \in \range{n}$:
+	\[
+		|f_j(t_k) - f_j(t_{k - 1})| \le |\vec{f}(t_k) - \vec{f}(t_{k - 1})| \le \suml_{i = 1}^n |f_i(t_k) - f_i(t_{k - 1})|
+	\]
+	Первое неравенство в цепочке следует из уже известного соотношения между модулем вектора и его координаты, а второе уже из того, чем является модуль вектора. Теперь просуммируем неравенства для всего разбиения $P: a = t_0 < t_1 < \ldots < t_N = b$:
+	\[
+		V(P, f_j) \le V(P, \vec{f}) \le \suml_{i = 1}^n V(P, f_i)
+	\]
+	
+	Если $\vec{f}$ - функция ограниченной вариации, то для любого разбиения $P$ верно неравенство:
+	\[
+		\forall j \in \range{n}\ \ V(P, f_j) \le V(P, \vec{f}) \le V(\vec{f})
+	\]
+	То есть $\forall j \in \range{n}\ f_j$ - функция ограниченной вариации. При этом
+	\[
+		\forall j \in \range{n}\ \ V(f_j) \le V(\vec{f})
+	\]
+	как раз таки из-за верности при любом $P$
+	
+	Если же все $f_j$ являются функциями ограниченной вариации, то тогда для любого разбиения $P$ выполнено схожее неравенство:
+	\[
+		\forall j \in \range{n}\ \ V(P, \vec{f}) \le \suml_{i = 1}^n V(\vec{P}, f_i) \le \suml_{i = 1}^n V(f_i)
+	\]
+	Значит и $\vec{f}$ является функцией ограниченной вариации и выполнено утверждение
+	\[
+		V(\vec{f}) \le \suml_{i = 1}^n V(f_i)
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{lemma} \label{7lemma}
+	$\vec{r}: [a; b] \to \R^n$ является функцией ограниченной вариации на $[a; b]$ тогда и только тогда, когда $\vec{r}$ является функцией ограниченной вариации на $[a; c]$ и $[c; b]$ для $\forall c \in (a; b)$. При этом верно равенство:
+	\[
+		V(\vec{r}, [a; b]) = V(\vec{r}, [a; c]) + V(\vec{r}, [c; b])
+	\]
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Зафиксируем $\forall c \in (a; b)$. Возьмём произвольное разбиение $P: a = t_0 < t_1 < \ldots < t_N = b$ и создадим из него 2 других разбиения:
+	\begin{align*}
+		&{P_1: a = t_0 < t_1 < \ldots < t_m \le c}
+		\\
+		&{P_2: c \le t_{m + 1}  < t_{m + 2} < \ldots < t_N}
+	\end{align*}
+	Теперь имеет место следующее неравенство треугольника:
+	\[
+		|\vec{r}(t_{m + 1}) - \vec{r}(t_m)| \le |\vec{r}(c) - \vec{r}(t_m)| + |\vec{r}(t_{m + 1}) - \vec{r}(c)|
+	\]
+	Так как эти 3 модуля - единственное, в чём отличается $V(P, \vec{r})$ от $V(P_1, \vec{r}) + V(P_2, \vec{r})$, то верно неравенство:
+	\[
+		V(P, \vec{r}) \le V(P_1, \vec{r}) + V(P_2, \vec{r}) = V(\wt{P}, \vec{r})
+	\]
+	где $\wt{P} = P \cup \{c\}$. А теперь обратимся к полной вариации $\vec{r}$ на $[a; b]$:
+	\[
+		\forall \eps > 0\ \exists P \such V(\vec{r}, [a; b]) - \eps < V(P, \vec{r}) \le V(P_1, \vec{r}) + V(P_2, \vec{r}) = V(\wt{P}, \vec{r}) \le V(\vec{r}, [a; b])
+	\]
+	Так как неравенство имеет место для произвольного $P$, то
+	\[
+		\forall c \in (a; b)\ \forall \eps > 0\ \ V(\vec{r}, [a; b]) - \eps < V(\vec{r}, [a; c]) + V(\vec{r}, [c; b]) \le V(\vec{r}, [a; b])
+	\]
+	Значит, имеет место равенство
+	\[
+		V(\vec{r}, [a; c]) + V(\vec{r}, [c; b]) = V(\vec{r}, [a; b])
+	\]
+	
+	Аналогично предыдущей лемме показывается, что если $\vec{r}$ имеет ограниченную вариацию на отрезках $[a; c]$ и $[c; b]$, то в силу неравенства
+	\[
+		\forall P\ \ V(P, \vec{r}) \le V(P_1, \vec{r}) + V(P_2, \vec{r})
+	\]
+	$\vec{r}$ будет функцией ограниченной вариации на всём $[a; b]$. Обратное утверждение имеет место из-за доказанного равенства вариаций.
+\end{proof}
+
+\begin{note}
+	Любая монотонная функция автоматом является функцией ограниченной вариации: внутри суммы мы можем раскрыть все модули однозначно и получить просто разность значений на концах.
+\end{note}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $\vec{f}: [a; b] \to \R^n$ - функция ограниченной вариации. \textit{Функцией полной вариации} называется
+	\[
+		v_{\vec{f}}(x) := V(\vec{f}, [a; x])
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{corollary} (из леммы \ref{7lemma})
+	Функция полной вариации - неубывающая $\forall \vec{f}$ ограниченной вариации
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+	Пусть $a \le x < y \le b$. Тогда по доказанному утверждению
+	\[
+		V(\vec{f}, [a; y]) = V(\vec{f}, [a; x]) + V(\vec{f}, [x; y])
+	\]
+	При этом все слагаемые неотрицательные. Значит
+	\[
+		V(\vec{f}, [a; y]) \ge V(\vec{f}, [a; x]) \lra v_{\vec{f}}(y) \ge v_{\vec{f}}(x)
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+	$\vec{f}$ - функция ограниченно й вариации на $[a, b] \lra$ каждая из её координатных функций представима разностью двух неубывающих функций на $[a, b]$ 
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+	Из леммы \ref{6lemma} достаточно доказать, что если $f: \R \to \R$ - функция ограниченной вариации, то $f$ представима в виде разницы двух неубывающих функций.
+	\begin{itemize}
+		\item $\Ra$ как было доказано ранее $v_f$ является неубывающей, тогда представим $f = v_f - (v_f - f)$, осталось показать, что $v_f - f$ является неубывающая, то есть
+		\begin{align*}
+			\forall t_1 < t_2 \in [a, b]\ v_f(t_2) - f(t_2) \ge v_f(t_1) - f(t_1) \lra v_f(t_2) - v_f(t_1) \ge f(t_2) - f(t_1) \lra \\ V(f, [t_1, t_2]) \ge f(t_2) - f(t_1)
+		\end{align*}
+		Последнее неравество верно, так как для разбиения $P: t_1 < t_2$ верно $V(f, [t_1, t_2]) \ge V(P, f) = |f(t_2) - f(t_1)| \ge f(t_2) - f(t_1)$
+		\item $\La\ f = g - h$, где $g, h$ - неубывающие, тогда они имеют ограниченную вариацию, тогда их разность тоже имеет ограниченную вариацию
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Непрерывность функции полной вариации)
+	Пусть $\vec{f}: [a; b] \to \R^n$ - функция ограниченной вариации. Тогда $\vec{f}$ непрерывна справа (слева) в точке $y \in [a; b)$ ($y \in (a; b]$) тогда и только тогда, когда $v_{\vec{f}}$ непрерывна справа (слева) в той же точке.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Доказательство проведём для левой непрерывности
+	\begin{itemize}
+		\item $\Ra$ От противного. Пусть $v_{\vec{f}}$ не непрерывна слева в $y \in (a; b]$. При этом точно существует левый предел, так как $v_{\vec{f}}$ ограничена (ибо $\vec{f}$ - функция ограниченной вариации) и при этом $v_{\vec{f}}$ - неубывающая. Значит выполнено утверждение
+		\[
+			\liml_{x \to y-} v_{\vec{f}}(x) \neq v_{\vec{f}}(y) = V(\vec{f}, [a; y]) = V(\vec{f}, [a; x]) + V(\vec{f}, [x; y])
+		\]
+		То есть $V(\vec{r}, [x; y])$ не стремится к нулю при $x \to y-$. Это можно записать так:
+		\[
+			\exists \delta > 0 \such \forall x \in [a; y)\ V(\vec{f}, [x; y]) > \delta
+		\]
+		Посмотрим на $x := a$. Так как $V(\vec{f}, [x; y]) := \sup\limits_{P} V(P, \vec{f})$ где $P$ - разбиения $[x; y]$, то:
+		\[
+			\exists P \such V(P, \vec{f}) > \delta
+		\]
+		Распишем вариацию через сумму:
+		\[
+			V(P, \vec{f}) = \suml_{i = 1}^{m - 1} |\vec{f}(t_i) - \vec{f}(t_{i - 1})| + |\vec{f}(y) - \vec{f}(t_{m - 1})| > \delta
+		\]
+		Эту сумму можно считать некоторой функцией $h(y)$, которая является непрерывной слева в точке $y$ (из-за $\vec{f}$). Теперь дополнительно зафиксируем $a < a_1 < y$ (мы это можем сделать из-за свойства $\delta$ по определению выше):
+		\[
+			\exists a_1 \such a < a_1 < y,\ \ \suml_{i = 1}^{m - 1} |\vec{f}(t_i) - \vec{f}(t_{i - 1})| + |\vec{f}(a_1) - \vec{f}(t_{m - 1})| > \delta
+		\]
+		Эта же сумма соответствует разбиению $P_1: a = t_0 < t_1 < \ldots < t_{m - 1} < a_1 = \wt{t}_m$. То есть
+		\[
+			V(P_1, \vec{f}) > \delta \Ra V(\vec{f}, [a; a_1]) > \delta
+		\]
+		Теперь в качестве $x$ положим $a_1$ и повторим рассуждения рекурсивно. В итоге имеем:
+		\begin{align*}
+			&{\forall N \in \N\ \ a < a_1 < \ldots < a_N < y}
+			\\
+			&{\forall i \in \range{N}\ \ V(\vec{f}, [a; a_i]) > \delta}
+		\end{align*}
+		Из этого для полной вариации $\vec{f}$ на $[a; b]$ заключаем (считая $a_0 := a$):
+		\[
+			\forall N \in \N\ \ V(\vec{f}, [a; b]) \ge \suml_{i = 1}^N V(f, [a_{i - 1}; a_i]) > N\delta
+		\]
+		Значит $V(\vec{f}, [a; b])$ - бесконечность. Противоречие.
+		
+		\item $\La$ Теперь $v_{\vec{f}}$ непрерывна слева в $y$. Отсюда следует, что
+		\[
+			\liml_{x \to y-} V(\vec{f}, [x; y]) = 0
+		\]
+		При этом мы можем рассмотреть разбиение отрезка $[x; y]$, состоящее только из точек $x$ и $y$. Тогда
+		\[
+			0 \le |\vec{f}(x) - \vec{f}(y)| \le V(\vec{f}, [x; y])
+		\]
+		В итоге имеем непрерывность $\vec{f}$ слева в точке $y$.
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{lemma} (Признак спрямляемости)
+	Если вектор-функция $\vec{r}$ дифференцируема на $[a; b]$ и её производная ограничена на $[a; b]$, то она является функцией ограниченной вариации на $[a; b]$, причём
+	\[
+		V(\vec{r}, [a; b]) \le \sup\limits_{t \in [a; b]} |\vec{r'}(t)| \cdot (b - a)
+	\]
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Рассмотрим произвольное разбиение $P: a = t_0 < t_1 < \ldots < t_m = b$. Распишем вариацию на данном разбиении:
+	\begin{multline*}
+		V(P, \vec{r}) = \suml_{j = 1}^m |\vec{r}(t_j) - \vec{r}(t_{j - 1})| \le \suml_{j = 1}^m |\vec{r'}(c_j)|(t_j - t_{j - 1}) \le \sup\limits_{t \in [a; b]} |\vec{r'}(t)| \suml_{j = 1}^m (t_j - t_{j - 1}) =
+		\\
+		\sup\limits_{t \in [a; b]} |\vec{r'}(t)| \cdot (b - a)
+	\end{multline*}
+\end{proof}
+
+\begin{example} (неспрямляемой кривой) (непрерывной функции, не являющейся функцией ограниченной вариации)
+	\[
+		\vec{r}(t) = (t, f(t))
+	\]
+	где $f(t)$ определена следующим образом:
+	\[
+		f(t) = \System {
+			&{t\cos \frac{\pi}{t},\ 0 < t \le 1}
+			\\
+			&{0,\ t = 0}
+		}
+	\]
+	Понятно, что спрямляемость $\vec{r}(t)$ будет определяться $f(t)$. Рассмотрим разбиение $P: 0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_m = 1$, при этом $t_k = \frac{1}{m + 1 - k}, k \in \{0, \ldots, m\}$:
+	\[
+		V(P, f) = \left|\frac{1}{m} \cos \pi m\right| + \suml_{k = 2}^m \left|\frac{1}{k}\cos \pi k - \frac{1}{k - 1} \cos \pi (k - 1)\right| = 1 + 2\suml_{k = 2}^m \frac{1}{k}
+	\]
+	Уже доказывалось, что ряд $a_m = \suml_{k = 1}^m \frac{1}{k}$ расходится, то есть $V(P, f) \xrightarrow[m \to \infty]{} +\infty \Ra$ функция имеет неограниченную вариацию.
+\end{example}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/27lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/27lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..3731b36d
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/27lecture.tex
@@ -0,0 +1,240 @@
+\begin{theorem}
+	Пусть $\Gamma = \{\vec{r}(t), a \le t \le b\}$ - гладкая кривая.\\
+	Тогда \(s(t) = V(\vec{r}, [a; t])\) - возрастающая функция, которая дифференцируема на $(a; b)$, имеет конечные производные слева в $b$, справа в $a$ и \(s'(t) = |\vec{r'}(t)|,\ t \in (a; b)\)
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	$\vec{r}(t)$ удовлетворяет условиям признака спрямляемости на $[a; b]$. Применим доказанную оценку для отрезка $[t_0; t_0 + \Delta t],\ \Delta t > 0$:
+	\[
+		|\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)| \le V(\vec{r}, [t_0; t_0 + \Delta t]) \le \max\limits_{t \in [t_0; t_0 + \Delta t]} |\vec{r'}(t)| \cdot \Delta t
+	\]
+	Максимум вместо супремума уместен в силу гладкости кривой. При этом среднее число в неравенстве можно записать как
+	\[
+		V(\vec{r}, [t_0; t_0 + \Delta t]) = V(\vec{r}, [a; t_0 + \Delta t]) - V(\vec{r}, [a; t_0]) = s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)
+	\]
+	Поделим неравенство на $\Delta t$ и получим
+	\[
+		\left|\frac{\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)}{\Delta t}\right| \le \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t} \le \max\limits_{t \in [t_0; t_0 + \Delta t]} |\vec{r'}(t)|
+	\]
+	Остаётся заметить, что левая и правая части стремятся к $|\vec{r'}(t_0)|$ при $\Delta t \to 0+$. Стало быть
+	\[
+		s'_+(t_0) = \liml_{\Delta t \to 0+} \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t} = |\vec{r'}(t_0)| > 0
+	\]
+	Аналогично доказывается для $\Delta t < 0$. Из этого следуют все свойства $s(t)$, описанные в теореме.
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+	В силу строго возрастания $s(t)$, определена также обратная к ней функция $s^{-1}(\tau): [0; V(\vec{r})] \to [a; b]$. Она является допустимой заменой параметра для гладкой кривой.
+\end{corollary}
+
+\begin{definition}
+	Полученная величина $s(t)$ называется \textit{натуральным параметром кривой} $\Gamma$.
+	
+	При этом кривая $\Gamma = \{\vec{r}(s), 0 \le s \le L\}$ - натуральная параметризация $\Gamma$.
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+	Пусть $\Gamma = \{\vec{r}(t), a \le t \le b\}$ - гладкая кривая. Тогда $\vec{r}(t)$ является натуральной параметризацией тогда и только тогда, когда
+	\[
+		\forall t \in [a; b]\ \ |\vec{r'}(t)| = 1
+	\]
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}~
+	\begin{itemize}
+		\item $\Ra$ Если $\vec{r}(t)$ - натуральная параметризация, то $t = s$, $s'(t) = 1 = |\vec{r'}(t)|$.
+		
+		\item $\La$ Теперь выполнено, что $\forall t \in [a; b]\ \ |\vec{r'}(t)| = 1$. Тогда отсюда $\forall t \in [a; b]\ \ s'(t) = 1$. При этом $s(0) = 0$. Значит, для любого $t \in (a; b]$ имеем
+		\[
+			s(t) - s(0) = s'(\xi) \cdot (t - 0) \Ra s(t) = t
+		\]
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+	Пусть $\vec{f}(t),\ t \in [a; b]$ - непрерывно дифференцируемая вектор-функция такая, что $|\vec{f}(t)| = const$. Тогда
+	\[
+		\forall t \in (a; b] \ \ \trbr{\vec{f'}(t), \vec{f}(t)} = 0
+	\]
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Известно равенство:
+	\[
+		|\vec{f}(t)|^2 = \trbr{\vec{f}(t), \vec{f}(t)} = const
+	\]
+	Продифференцируем его с обеих сторон. Получится следующее выражение:
+	\[
+		\trbr{\vec{f'}(t), \vec{f}(t)} + \trbr{\vec{f}(t), \vec{f'}(t)} = 2\trbr{\vec{f'}(t), \vec{f}(t)} = 0
+	\]
+	Из него уже очевидно следует утверждение теоремы.
+\end{proof}
+
+\begin{note}
+	Последующая теория построена для пространства $\R^3$.
+\end{note}
+
+\begin{theorem} (Второе приближение кривой в $\R^3$)
+	Пусть $\Gamma = \{\vec{r}(s), 0 \le s < L\}$ - гладкая кривая в натуральной параметризации, и существует ненулевая вторая производная в точке $s_0$, тогда верно
+	\[
+		\vec{r}(s) = \vec{\rho}(s) + \vec{o}\left((s - s_0)^2)\right),\ s \to s_0
+	\]
+	где $\vec{\rho}(s)$ - окружность с центром в точке $\vec{r}(s_0) + \frac{1}{k}\vec{\nu}$ и при этом
+	\begin{align*}
+		&{k = \left|\frac{d^2 \vec{r}}{ds^2}(s_0)\right|}
+		\\
+		&{\vec{\nu} = \frac{1}{k} \cdot \frac{d^2 \vec{r}}{ds^2}(s_0)}
+	\end{align*}
+	Радиус этой окружности $R = \frac{1}{k}$, а сама она находится в плоскости $\Pi = \{\vec{r}(s_0) + \alpha \vec{\tau} + \beta \vec{\nu},\ \alpha, \beta \in \R\}$, где $\vec{\tau} = \frac{d\vec{r}}{ds}(s_0)$
+\end{theorem}
+
+\begin{definition}
+	Определённые выше величины имеют свои названия. Так, в точке $\vec{r}(s_0)$ мы знаем, что
+	\begin{itemize}
+		\item $\vec{\tau}$ - единичный вектор касательной
+		
+		\item $\vec{\nu}$ - единичный вектор главной нормали
+		
+		\item $k$ - кривизна кривой $\Gamma$
+		
+		\item $R$ - радиус кривизны
+		
+		\item $\vec{\rho}$ - вектор-функция соприкасающейся окружности
+		
+		\item $\Pi$ - соприкасающаяся плоскость
+	\end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{proof}
+	Начнём с небольших фактов:
+	\begin{itemize}
+		\item $|\vec{\tau}| = 1$, так как по условию кривая в натуральной параметризации.
+		
+		\item $\trbr{\vec{\nu}, \vec{\tau}} = 0$, по уже доказанной лемме. Значит, они действительно образуют базис для плоскости $\Pi$.
+	\end{itemize}
+	Воспользуемся формулой Тейлора для $\vec{r}$:
+	\[
+		\vec{r}(s) = \vec{r}(s_0) + \frac{d\vec{r}}{ds}(s_0)(s - s_0) + \frac{1}{2}\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}(s_0)(s - s_0)^2 + \vec{o}\left((s - s_0)^2\right),\ s \to s_0
+	\]
+	Попытаемся доказать, что расстояние между выбранной точкой и центром окружности "примерно постоянно". Для этого посмотрим на это расстояние:
+	\begin{multline*}
+		\vec{r}(s) - \left(\vec{r}(s_0) + \frac{1}{k}\vec{\nu}\right) = \frac{d\vec{r}}{ds}(s_0)(s - s_0) + \frac{1}{2} \frac{d^2 \vec{r}}{ds^2}(s_0)(s - s_0)^2 - \frac{1}{k^2}\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}(s_0) + \vec{o}\left((s - s_0)^2\right) =
+		\\
+		(s - s_0)\vec{\tau} + \left(\frac{1}{2}k(s - s_0)^2 - \frac{1}{k}\right)\vec{\nu} + \vec{o}\left((s - s_0)^2\right),\ s \to s_0
+	\end{multline*}
+	Теперь взглянем на длину этого вектора. Для этого возьмём правый ортонормированный базис, два вектора из которых - это $\vec{\tau}$ и $\vec{\nu}$, а третий - их векторное произведение:
+	\begin{multline*}
+		\left|\vec{r}(s) - \vec{r}(s_0) - \frac{1}{k}\vec{\nu}\right| =
+		\\
+		\sqrt{\left(s - s_0 + o_1\left((s - s_0)^2\right)\right)^2 + \left(\frac{1}{2}k(s - s_0)^2 - \frac{1}{k} + o_2\left((s - s_0)^2\right)\right)^2 + \left(o_3\left((s - s_0)^2\right)\right)^2} =
+		\\
+		\sqrt{\frac{1}{k^2} + o\left((s - s_0)^2\right)},\ s \to s_0
+	\end{multline*}
+	Как записать вектор-функцию окружности в $\R^3$? Например так:
+	\[
+		\vec{r}_{\text{окр}}(\phi) = \vec{r}_0 + (\vec{i} \cdot (-R\cos \phi) + \vec{j} \cdot R \sin \phi)
+	\]
+	Тогда в нашем случае уравнение окружности имеет вид ($\vec{i} := \vec{\nu},\ \vec{j} := \vec{\tau}$):
+	\[
+		\vec{r}_\text{окр}(\phi) = \vec{r}(s_0) + \frac{1}{k}\vec{\nu} - \vec{\nu} \cdot R\cos \phi + \vec{\tau} \cdot R \sin \phi
+	\]
+	Для окружности несложно догадаться о натуральном параметре:
+	\[
+		\phi = \frac{s - s_0}{R}
+	\]
+	Подставим его в функцию и получим вектор-функцию окружности в натуральной параметризации:
+	\begin{multline*}
+		\vec{\rho}(s) = \vec{r}(s_0) + \vec{\tau}R \sin \frac{s - s_0}{R} + \vec{\nu}R\left(1 - \cos \frac{s - s_0}{R}\right) =
+		\\
+		\vec{r}(s_0) + \vec{\tau}R \left(\frac{s - s_0}{R} + o\left((s - s_0)^2\right)\right) + \vec{\nu}R \left(1 - \left(1 - \frac{1}{2}\left(\frac{s - s_0}{R}\right)^2 + o\left((s - s_0)^2\right)\right)\right) =
+		\\
+		\vec{r}(s_0) + (s - s_0)\vec{\tau} + \frac{1}{2R}(s - s_0)^2\vec{\nu} + \vec{o}\left((s - s_0)^2\right),\ s \to s_0
+	\end{multline*}
+	Если сравнить данное выражение с формулой Тейлора для $\vec{r}(s)$, то получится нужное утверждение:
+	\[
+		\vec{r}(s) = \vec{\rho}(s) + o\left((s - s_0)^2\right),\ s \to s_0
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (О вычислении кривизны)
+	Если $\Gamma = \{\vec{r}(t), a \le t \le b\}$ - дважды дифференцируемая гладкая кривая, то кривизна в точке $\vec{r}(t)$ может быть подсчитана по формуле:
+	\[
+		k = \frac{\left|\left[\vec{r'}(t), \vec{r''}(t)\right]\right|}{\left|\vec{r'}(t)\right|^3}
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	По правилу дифференцирования сложной функции вектор $\tau$ можно расписать так:
+	\[
+		\vec{\tau} = \frac{d\vec{r}}{ds} = \frac{\vec{r'}(t)}{\frac{ds}{dt}} = \frac{\vec{r'}(t)}{|\vec{r'}(t)|}
+	\]
+	Что такое кривизна $k$? Она выражается как
+	\[
+		k = \left|\frac{d\vec{\tau}}{ds}\right| = \left|\left[\frac{d\vec{\tau}}{ds}, \vec{\tau}\right]\right| = \left|\left[\frac{d\vec{\tau}}{ds}, \frac{d\vec{r}}{ds}\right]\right| = \frac{1}{|\vec{r'}(t)|^2} \cdot \left|\left[\vec{\tau'}(t), \vec{r'}(t)\right]\right|
+	\]
+	Отдельно распишем $\vec{\tau'}(t)$:
+	\[
+		\vec{\tau'}(t) = \frac{\vec{r''}(t)}{\left|\vec{r'}(t)\right|} - \frac{1}{\left|\vec{r'}(t)\right|^2} \cdot \frac{d}{dt}\left(\left|\vec{r'}(t)\right|\right) \cdot \vec{r'}(t)
+	\]
+	Если подставить $\vec{\tau'}$ в выражение кривизны, то при раскрытии по линейности второе слагаемое не внесёт вклада. Стало быть
+	\[
+		k = \frac{1}{\left|\vec{r'}(t)\right|^2} \cdot \left|\left[\frac{\vec{r''}(t)}{\left|\vec{r'}(t)\right|}, \vec{r'}(t)\right]\right| = \frac{\left|\left[\vec{r''}(t), \vec{r'}(t)\right]\right|}{\left|\vec{r'}(t)\right|^3}
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}~
+	\begin{enumerate}
+		\item Если $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$, то кривизна выражается как
+		\[
+			k = \frac{\sqrt{(y'z'' - y''z')^2 + (x'z'' - z'x'')^2 + (x'y'' - y'x'')^2}}{\left((x')^2 + (y')^2 + (z')^2\right)^{3/2}}
+		\]
+		
+		\item Если кривая плоская $(z(t) = 0)$, то
+		\[
+			k = \frac{|x'y'' - y'x''|}{\left((x')^2 + (y')^2\right)^{3/2}}
+		\]
+		
+		\item Для функции $y = f(x)\ (x = t)$ кривизна в точке $x_0$ вычисляется как
+		\[
+			k(x_0) = \frac{|f''(x_0)|}{\left(1 + (f'(x_0))^2\right)^{3/2}}
+		\]
+	\end{enumerate}
+\end{corollary}
+
+\begin{definition}
+	Вектором \textit{бинормали} называется $\vec{\beta}$:
+	\[
+		\vec{\beta} = [\vec{\tau}, \vec{\nu}]
+	\]
+\end{definition}
+
+%%% Нарисовать. Здесь нужна картинка с трансляции матана 2го декабря. 1:34:00
+
+\begin{theorem} (Формулы плоскостей сопровождающего трехгранника кривой)
+	\begin{itemize}
+		\item Уравнение нормальной плоскости, перпендикулярной $\vec{\tau}$, имеет вид:
+		\[
+			(\vec{r} - \vec{r}_0, \vec{r'}(t_0)) = 0
+		\]
+		
+		\item Уравнение соприкасающейся плоскости, перпендикулярной $\vec{\beta}$, имеет вид:
+		\[
+			(\vec{r} - \vec{r}_0, \vec{r'}(t_0), \vec{r''}(t_0)) = 0
+		\]
+		
+		\item Уравнение спрямляющей плоскости, перпендикулярной $\vec{\nu}$, имеет вид:
+		\[
+			\left(\vec{r} - \vec{r}_0, \vec{r'}(t_0), \left[\vec{r'}(t), \vec{r''}(t_0)\right]\right) = 0
+		\]
+	\end{itemize}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Достаточно посмотреть на рисунок.\\
+	Или показать, что $\vec{\beta} = \frac{[\vec{r'}(t_0), \vec{r''}(t_0)]}{|[\vec{r'}(t_0), \vec{r''}(t_0)]|}$\\
+	Так же заметим, что требуется показать, что вектора $\vec{\beta}$ и $[\vec{r'}(t_0), \vec{r''}(t_0)]$ сонаправлены, а равенство их длин будет следовать из определений(их длина равна 1: у $\vec{\beta}$, так как это произведение перпендикулярных единичных векторов, у $\frac{[\vec{r'}(t_0), \vec{r''}(t_0)]}{|[\vec{r'}(t_0), \vec{r''}(t_0)]|}$, так как мы на модуль делим)\\
+	\begin{align*}
+		\vec{\beta} = [\vec{\tau}, \vec{\nu}] \upuparrows \left[\vec{r'}(t_0), \frac{d^2\vec{r}}{ds^2}(t_0)\right] = \left[\vec{r'}(t_0), \frac{\vec{r''}(t_0)}{\left|\vec{r'}(t_0)\right|^2} - \frac{1}{\left|\vec{r'}(t_0)\right|^2} \cdot \frac{d\left|\vec{r'}\right|}{ds}(t_0) \cdot \vec{r'}(t_0)\right] \upuparrows [\vec{r'}(t_0), \vec{r''}(t_0)]
+	\end{align*}
+	
+\end{proof}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/28lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/28lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..7ac00668
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/28lecture.tex
@@ -0,0 +1,185 @@
+\begin{definition}
+	Давайте посмотрим, что из себя представляет $\frac{d\vec{\beta}}{ds}$:
+	\[
+		\frac{d\vec{\beta}}{ds} = \left[\frac{d\vec{\tau}}{ds}, \vec{\nu}\right] + \left[\vec{\tau}, \frac{d\vec{\nu}}{ds}\right] = \left[\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}, \frac{1}{k} \cdot \frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\right] + \left[\vec{\tau}, \frac{d\vec{\nu}}{ds}\right]
+	\]
+	Первое слагаемое обнуляется. Для второго вектора во втором слагаемом мы знаем, что он будет перпендикулярен самому $\vec{\nu} \Ra $ будет находиться в плоскости $\vec{\tau}$ и $\vec{\beta}$. То есть
+	\[
+		\exists \alpha_1, \alpha_2 \in \R \such \frac{d\vec{\nu}}{ds} = \alpha_1 \vec{\tau} + \alpha_2 \vec{\beta}
+	\]
+	Отсюда получаем, что
+	\[
+		\frac{d\vec{\beta}}{ds} = \alpha_2\left[\vec{\tau}, \vec{\beta}\right] = -\ae \vec{\nu}
+	\]
+	Коэффициент $\ae$ называется \textit{кручением пространственной кривой}. Его можно выразить как
+	\begin{multline*}
+		\ae = -\trbr{\frac{d\vec{\beta}}{ds}, \vec{\nu}} = -\frac{1}{k} \trbr{\left[\vec{\tau}, \frac{d\vec{\nu}}{ds}\right], \frac{d^2\vec{r}}{ds^2}} = \frac{1}{k^2} \trbr{\frac{d\vec{r}}{ds}, \frac{d^2\vec{r}}{ds^2}, \frac{d^3\vec{r}}{ds^3}} = \frac{1}{k^2} \cdot \frac{1}{|\vec{r'}|^6} \cdot \trbr{\vec{r'}, \vec{r''}, \vec{r'''}} =
+		\\
+		\frac{(\vec{r'}, \vec{r''}, \vec{r'''})}{|[\vec{r'}, \vec{r''}]|^2}
+	\end{multline*}
+\end{definition}
+
+\begin{lemma} (Физический смысл кривизны и кручения)
+	Если $\Gamma = \{\vec{r}(t)\}$ (т.е. любая) - трижды дифференцируемая кривая, то $k$ и $|\ae|$ - угловые скорости вращения векторов $\vec{\tau}$ и $\vec{\beta}$ соответственно.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Пусть $\vec{a}(s)$ - вектор-функция такая, что $\forall s\ \ |\vec{a}(s)| = 1$. Распишем модуль производной этой функции:
+	%%% Нарисовать. Внутрь доказательства поместить, наверное. Трансляция Мат.анализ 08.12 время 28:50
+	\[
+		\left|\frac{d\vec{a}}{ds}\right| = \liml_{\Delta s \to 0} \left|\frac{\vec{a}(s_0 + \Delta s) - \vec{a}(s_0)}{\Delta s}\right|
+	\]
+	В стремления к нулю $\Delta s$ справедливо приближение:
+	\[
+		|\Delta \vec{a}(s_0)| = |\vec{a}(s_0 + \Delta s) - \vec{a}(s_0)| = 2\left|\sin \frac{\Delta \phi}{2}\right|
+	\]
+	То есть предел на самом деле
+	\[
+		\left|\frac{d\vec{a}}{ds}\right| = \liml_{\Delta s \to 0} \left|\frac{\vec{a}(s_0 + \Delta s) - \vec{a}(s_0)}{\Delta s}\right| = \liml_{\Delta s \to 0} \left|\frac{2\sin \frac{\Delta \phi}{2}}{\Delta s}\right| = \liml_{\Delta s \to 0} \left|\frac{\Delta \phi}{\Delta s}\right|
+	\]
+	В итоге получаем, что производная по модулю совпадает со скоростью вращения единичного вектора, что и требовалось доказать.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Формулы Френе)
+	Из проведённого анализа кривых можно выделить 3 формулы, носящие имя французского математика Жана Фредерика Френе.
+	\begin{enumerate}
+		\item \[
+			\frac{d\vec{\tau}}{ds} = k\vec{\nu}
+		\]
+		
+		\item \[
+			\frac{d\vec{\nu}}{ds} = -k\vec{\tau} + \ae\vec{\beta}
+		\]
+		
+		\item \[
+			\frac{d\vec{\beta}}{ds} = -\ae\vec{\nu}
+		\]
+	\end{enumerate}
+	Их все можно записать в матричном виде:
+	\[
+		\frac{d}{ds}\Matrix{\vec{\tau} \\ \vec{\nu} \\ \vec{\beta}} = \Matrix{0& & k& & 0 \\ -k& & 0& & \ae \\ 0& & -\ae& & 0} \cdot \Matrix{\vec{\tau} \\ \vec{\nu} \\ \vec{\beta}}
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Первая и последняя уже доказаны, осталось разобраться со второй:
+	\[
+		\frac{d\vec{\nu}}{ds} = \frac{d}{ds}[\vec{\beta}, \vec{\tau}] = \left[\frac{d\vec{\beta}}{ds}, \vec{\tau}\right] + \left[\vec{\beta}, \frac{d\vec{\tau}}{ds}\right] = -\ae [\vec{\nu}, \vec{\tau}] + k[\vec{\beta}, \vec{\nu}] = \ae \vec{\beta} - k\vec{\tau}
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{note}
+	Для $\Omega = k\vec{\beta} + \ae\vec{\tau}$ - вектора Дарбу справедливы:
+	\begin{itemize}
+		\item $\frac{d\vec{\tau}}{ds} = [\Omega, \vec{\tau}]$
+		\item $\frac{d\vec{\beta}}{ds} = [\Omega, \vec{\beta}]$
+		\item $\frac{d\vec{\nu}}{ds} = [\Omega, \vec{\nu}]$
+	\end{itemize}
+\end{note}
+
+\begin{definition}
+	В случае плоской кривой ($\R^2$), у нас всего 2 формулы Френе:
+	\begin{enumerate}
+		\item \[
+			\frac{d\vec{\tau}}{ds} = k\vec{\nu}
+		\]
+		
+		\item \[
+			\frac{d\vec{\nu}}{ds} = -k\vec{\tau}
+		\]
+	\end{enumerate}
+	\textit{Эволютой} плоской кривой называется геометрическое место центров кривизны кривой. Исходная кривая называется \textit{эвольвентой} для эволюты.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (Уравнения эволюты плоской кривой)
+	Уравнения эволюты в случае $\R^2$ имеет вид:
+	\[
+		\vec{\rho}(s) = \xi(s)\vec{i} + \eta(s)\vec{j}
+	\]
+	\begin{align*}
+		&{\xi = x - \frac{(x')^2 + (y')^2}{x'y'' - x''y'}y'}
+		\\
+		&{\eta = y + \frac{(x')^2 + (y')^2}{x'y'' - x''y'}x'}
+	\end{align*}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Движение вдоль кривой - это с точностью до бесконечно малых второго порядка движение в каждый момент по какой-то окружности. Радиус окружности - это радиус кривизны. Вооружившись полученными формулами, мы можем записать уравнение эволюты:
+	\[
+	\vec{\rho}(s) = \vec{r}(s) + R(s) \vec{\nu}(s)
+	\]
+	где $\vec{\rho}(s)$ - это радиус-вектор текущей касательной окружности.
+	
+	Подставим $\vec{\nu}$ в уже известное уравнение. Что получим?
+	\[
+		\vec{\rho}(s) = \vec{r}(s) + R^2(s) \cdot \frac{d^2\vec{r}}{ds^2}(s)
+	\]
+	При этом
+	\[
+		\frac{d^2\vec{r}}{ds^2} = \frac{\vec{r''}}{|\vec{r'}|^2} - \frac{1}{|\vec{r'}|^2} \frac{d}{ds}(|\vec{r'}|) \cdot \vec{r'} = \frac{\vec{r''}}{(s')^2} - \frac{s''}{(s')^3}\vec{r'} = \frac{(s')^2 \vec{r''} - s's''\vec{r'}}{(s')^4}
+	\]
+	Если $\vec{i}, \vec{j}$ - это орты плоскости, то тогда имеем
+	\begin{align*}
+		&{\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j}}
+		\\
+		&{\vec{r'} = x'\vec{i} + y'\vec{j}}
+		\\
+		&{\vec{s'} = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}}
+		\\
+		&{s'' = \frac{x'x'' + y'y''}{\sqrt{(x')^2 + (y')^2}}}
+	\end{align*}
+	Подставим всё, что выписали в выражение выше:
+	\begin{multline*}
+		\frac{d^2\vec{r}}{ds^2} = \frac{\left((x')^2 + (y')^2\right)(x''\vec{i} + y''\vec{j}) - (x'x'' + y'y'')(x'\vec{i} + y'\vec{j})}{(s')^4} =
+		\\
+		\frac{(x''(y')^2 - x'y'y'')\vec{i} + ((x')^2y'' - x'x''y')\vec{j}}{(s')^4} = \frac{x'y'' - x''y'}{(s')^4}(-y'\vec{i} + x'\vec{j})
+	\end{multline*}
+	Теперь распишем $R^2$:
+	\[
+		R^2 = \frac{1}{k^2} = \frac{(s')^6}{(x'y'' - x''y')^2}
+	\]
+	где последнее было получено по лемме о выражении кривизны.
+	
+	Эволюту можно записать через орты как
+	\[
+		\vec{\rho}(s) = \xi(s)\vec{i} + \eta(s)\vec{j}
+	\]
+	Если подставим полученные для всех частей формулы в исходное векторное уравнение, то сможем выделить $\xi$ и $\eta$ в том виде, в котором они даны в теореме.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Свойства эволюты и эвольвенты)
+	Если $\Gamma = \{\vec{r}(s), 0 \le s \le L\}$ - трижды непрерывно дифференцируемая кривая с натуральным параметром $s$, причём $\frac{dR}{ds} \neq 0$, то
+	\begin{enumerate}
+		\item Касательная к эволюте в любой точке является нормалью к эвольвенте
+		
+		\item Длина дуги эволюты равна соответствующему изменению радиуса кривизны эвольвенты.
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+%%% Нарисовать. Тут точно стоит пояснение рисунком сделать, с эволютой/эвольвентой любой кривой
+
+\begin{proof}	
+	Для исходной кривой $s$ - это натуральный параметр, но для эволюты - совершенно не обязательно. Поэтому штрих будет обозначать $\frac{d}{ds}$:
+	\[
+		\vec{\rho'}(s) = \frac{d\vec{r}}{ds} + \frac{dR}{ds}(s) \cdot \vec{\nu}(s) + R(s) \cdot \frac{d\vec{\nu}}{ds}(s)
+	\]
+	Для удобства опустим $(s)$:
+	\[
+		\vec{\rho'} = \vec{\tau} + \frac{dR}{ds}\vec{\nu} - kR\vec{\tau} = \frac{dR}{ds} \vec{\nu}
+	\]
+	Этим мы доказали первый пункт: касательная к эволюте в любой точке выражается через $\vec{\nu}$ - нормаль к эвольвенте.
+	
+	Обозначим за $\sigma$ - натуральный параметр для эволюты. Тогда
+	\[
+		\sigma' = |\vec{\rho'}| = \left|\frac{dR}{ds}\right| = \pm \frac{dR}{ds}
+	\]
+	Последний переход имеет место из-за того, что мы имеем дело с непрерывной функцией, которая не обращается в 0. В итоге получили, что производная длины эволюты с точностью до знака совпадает во всех точках с производной радиуса кривизны. По теореме Лагранжа можем заключить, что
+	\[
+		\sigma(s_2) - \sigma(s_1) = \pm(R(s_2) - R(s_1))
+	\]
+	Это и требовалось доказать.
+\end{proof}
+
+\begin{note}
+	Эвольвента - это развёртка эволюты. Представить себе это можно, если взять нить, натянуть её вдоль эволюты и постепенно отодвигать её от кривой: она будет идти по касательной и отклонение будет изменяться так же, как и радиус кривизны.
+\end{note}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/2lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/2lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..0296b971
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/2lecture.tex
@@ -0,0 +1,396 @@
+\section{О числах}
+
+\subsection{Натуральные числа}
+
+\begin{definition}
+    Неопределяемые понятия:
+    \begin{itemize}
+        \item "1"
+        \item $Sc(\ )$ - следующий элемент
+            (от английского слова \textit{successor} - преемник)
+    \end{itemize}
+    
+    Натуральные числа - система $\N$, удовлетворяющая
+    следующим аксиомам:
+\end{definition}
+
+\subsubsection*{Аксиомы Пеано}
+
+\begin{definition}
+    Аксиомы Пеано - это набор бездоказательных
+    высказываний, позволяющих на своей основе построить
+    всю систему натуральных чисел (т.е. определить все
+    элементы, отношения и операции).
+\end{definition}
+
+\begin{enumerate}
+    \item $\mathbf{1}$ есть натуральное число, то есть
+        $\mathbf{1} \in \N$
+    \item $(\forall n \in \N)\ \exists!\ Sc(n) \in \N$ - для
+        любого числа существует единственное, следующее за ним
+    \item ($\forall n \in \N)\ 1 \neq Sc(n)$ - число $1$ не
+        является чьим-либо преемником
+    \item $(\forall n \in \N)(\forall m \in \N)\ 
+        Sc(n) = Sc(m) \Ra n = m$ - то есть $Sc$ инъективна
+    \item (Аксиома индукции) $(\forall A
+        \subset \N)\ \such 
+        \System{
+            &(1 \in A)
+            \\
+            &(\forall n \in A)\ Sc(n) \in A
+        }
+        \Ra A = \N$
+\end{enumerate}
+
+\begin{note}
+    Использование аксиомы индукции (метод мат. индукции):
+
+    Чтобы доказать, что $P(n)$ справедливо $(\forall n \in \N)$,
+    достаточно проверить два факта:
+    \begin{enumerate}
+        \item $P(1)$ --- истинно 
+        \item $P(n)$ --- истинно $\Ra \ P(Sc(n))$ --- истинно 
+    \end{enumerate}
+\end{note}
+
+\begin{example}
+    Понятно, что данным аксиомам могут соответствовать
+    разные модели. Одной из таких является модель Фреге-Рассела:
+    
+    \[1 := \{\emptyset\}\]
+    \[Sc(n) := n \cup \{n\}\]
+    То есть:
+    $2 = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$,
+    $\ 3 = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}$
+\end{example}
+
+\subsubsection*{Сложение}
+
+Чтобы определить операцию сложения, нам необходимо
+ввести 2 аксиомы:
+\begin{enumerate}
+    \item $(\forall m \in \N)\ m + 1 := Sc(m)$
+    \item $(\forall n,\ m \in \N)\ m + Sc(n) := Sc(m + n)$
+    \begin{note}
+        Эта аксиома не интуитивна (ведь мы не определили
+        $m + n$), но верна за счёт первой.
+        
+        База $n = 1$: $m + Sc(1) := Sc(m + 1)$ - всё верно и определено.
+
+        Предположение индукции: $m + Sc(n) = Sc(m + n)$ --- верно.
+        Тогда поймём, что и
+        $m + Sc(Sc(n)) = Sc(m + Sc(n))$ - также определено и
+        верно в силу предыдущего шага
+        $\Ra$ аксиома верна и для любых натуральных $m$ и $n$.
+        (Несмотря на наличие "доказательной"\ 
+        части, данное выражение остаётся аксиомой, иначе базу
+        не обосновать)
+    \end{note}
+\end{enumerate}
+
+Из этих двух аксиом следует, что операция сложения
+существует и единственна.
+
+\subsubsection*{Умножение}
+
+Чтобы определить операцию умножения, нам необходимо
+ввести 2 аксиомы:
+\begin{enumerate}
+    \item $(\forall m \in \N)\ m \cdot 1 := m$
+    \item $(\forall m \in \N)\ m \cdot Sc(n) := m \cdot n + m$
+\end{enumerate}
+
+Из этих двух аксиом следует, что операция сложения существует и единственна.
+
+\begin{example}
+    Доказать: $2 \cdot 2 = 4$
+    
+    Что такое $2$? По определению, $2 := Sc(1)$.
+    Аналогично $3 := Sc(2),\ 4 := Sc(3)$. Тогда:
+    
+    $2 \cdot 2 = 2 \cdot Sc(1) = 2 \cdot 1 + 2 = 2 + Sc(1)
+    = Sc(2 + 1) = Sc(Sc(2)) = Sc(3) = 4$, что и требовалось доказать.
+\end{example}
+
+\subsubsection*{Отношение строгого порядка на множестве
+натуральных чисел (не материал лектора)}
+
+\begin{definition}
+    Отношение строгого порядка $<$ на множестве $\N$ определяется как
+    \[
+        (m < n) \overset{def}{\lra}\ (\exists p \in \N)\ m + p = n
+    \]
+    Для $>$ аналогично.
+\end{definition}
+
+\subsubsection*{Отношение порядка на множестве натуральных чисел}
+
+\begin{definition}
+	Отношение порядка $\le$ на множестве $\N$ определяется как
+
+	\[
+        (\forall n,\ m \in \N)\ m \le n \overset{def}{\lra}\ 
+        (m = n) \vee ((\exists p \in \N)\ n = p + m)
+    \]
+
+	Для $\ge$ аналогично.
+\end{definition}
+
+\begin{anote}
+    Отношение порядка также можно задать следующим образом:
+    \[
+    	(a \le b) := \big((a = b) \vee (a < b)\big)
+    \]
+\end{anote}
+
+Из определения становится возможным доказать теорему,
+о том, что отношения $\le$ и $\ge$ являются отношениями порядка.
+(Для этого необходимо доказать 3 свойства).
+
+\subsubsection*{Свойства операций и отношений на натуральных числах}
+
+\begin{theorem}
+    $(\forall m, n, p \in \N)$ верно следующее:
+
+    \begin{itemize}
+        \item Сложение
+        \begin{itemize}
+            \item[I-а).] $m + n = n + m$ (коммутативность)
+            \item[I-б).] $(m + n) + p = m + (n + p)$ (ассоциативность)
+        \end{itemize}
+        \item Умножение
+        \begin{itemize}
+            \item[II-а).] $m \cdot n = n \cdot m$ (коммутативность)
+            \item[II-б).] $(m \cdot n) \cdot p = m \cdot (n \cdot p)$ (ассоциативность)
+            \item[II-в).] $m \cdot 1 = 1 \cdot m = m$ (единичный элемент)
+        \end{itemize}
+        \item Отношение порядка
+        \begin{itemize}
+            \item[III-а).] $m \le m$ (рефлексивность)
+            \item[III-б).] $(m \le n) \wedge (n \le m) \Ra (m = n)$ (антисимметричность)
+            \item[III-в).] $(m \le n) \wedge (n \le p) \Ra (m \le p)$ (транзитивность)
+            \item[III-г).] $(m \le n) \vee (n \le m)$ - всегда истинное
+                выражение (множество $\N$ линейно упорядочено)
+        \end{itemize}
+        \item Дистрибутивность:
+
+        \begin{itemize}
+            \item[I-II).] $m \cdot (n + p) = m \cdot n + m \cdot p$ (сложения и умножения)
+            \item[I-III).] $(m \le n) \Ra \ m + p \le n + p$
+            \item[II-III).] $(m \le n) \Ra \ m \cdot p \le n \cdot p$
+        \end{itemize}
+        \item Свойство Архимеда
+        \[
+            (\forall m \in \N)(\forall p \in \N)(\exists n \in \N)\ 
+            m \cdot n > p
+        \]
+    \end{itemize}
+\end{theorem}
+
+
+\subsection{Целые числа}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Множеством целых чисел} называется множество
+    
+    \[\Z := \N \cup \{0\} \cup \{-n\ :\ n \in \N\}\]
+\end{definition}
+
+Из определения сразу следует, что $\N \subset \Z$
+
+\subsubsection*{Сложение}
+
+Рассмотрим $\forall m, n \in \N$ и доопределим операции:
+
+\begin{enumerate}
+    \item $m + n \Ra$ сложение происходит также, как и с натуральными числами.
+    \item $(-m) + (-n) := -(m + n)$
+    \item $m + (-n) := \System{&{p \in \N\ :\ n + p = m, \text{ если } m > n} \\ 
+                              &{0, \text{ если } m = n} \\ 
+                              &{-p,\ p \in \N\ :\ m + p = n, \text{ если } m < n}}$
+\end{enumerate}
+
+\subsubsection*{Умножение}
+
+Рассмотрим $\forall m, n \in \N$:
+
+\begin{enumerate}
+    \item $m \cdot n \Ra$ умножение происходит также, как и с натуральными числами.
+    \item $(-m) \cdot (-n) := m \cdot n$
+    \item $m \cdot (-n) := -(m \cdot n)$
+    \item $m \cdot 0 := 0$
+\end{enumerate}
+
+\subsubsection*{Свойства операций и отношений на множестве целых чисел}
+
+\begin{theorem}~
+
+    \begin{itemize}
+        \item Сложение
+        \begin{itemize}
+            \item[I).] Все свойства сложения натуральных чисел
+                верны и для целых.
+            \item[I-в).] $m + 0 := m$ (существование нейтрального
+                к сложению числа)
+            \item[I-г).] $(\forall m \in \Z)(\exists (-m) \in \Z)
+                \ \ m + (-m) = 0$
+                (существование обратного числа по сложению)
+        \end{itemize}
+        \item Умножение
+        \begin{itemize}
+            \item[II).] Все свойства умножения натуральных чисел
+                верны и для целых.
+        \end{itemize}
+        \item Отношение порядка
+        \begin{itemize}
+            \item[II-III).] $(\forall m \in \Z) (\forall n \in \Z)
+                (\forall p \in \N)\ (m \le n) \Ra
+                (m \cdot p \le n \cdot p)$
+            \item[IV).] $(\forall m_1 \in \Z)
+                (\forall m_2 \in \Z \bs \{0\})
+                (\exists n \in \Z)\ n \cdot m_2
+                \ge m_1$ (свойство Архимеда)
+        \end{itemize}
+    \end{itemize}
+\end{theorem}
+
+\subsection{Рациональные числа}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Рациональным числом} называется число вида
+    $\frac{m}{n}$, где $m \in \Z, n \in \N$. Его можно
+    однозначно задать с помощью упорядоченная пара $(m, n)$.
+    Множество рациональных чисел обозначают $\Q$.
+\end{definition}
+
+\subsubsection*{Отношение эквивалентности на
+множестве рациональных чисел}
+
+\begin{definition}
+    Введем отношение: $(m, n)R(p, q) \overset{def}{\lra}
+    (m \cdot q = n \cdot p)$
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    Отношение $R$ является отношением эквивалентности
+    на множестве рациональных чисел
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Для доказательства необходимо проверить, что
+    выполнены все свойства отношения эквивалентности:
+    \begin{enumerate}
+        \item Рефлексивность: $(m, n)R(m, n) \overset{def}{\lra}
+            (m \cdot n = n \cdot m)$ - верно.
+        \item Симметричность: $(m, n)R(p, q) \Ra
+            (p, q)R(m, n)$
+            
+            $(p, q)R(m, n) \lra
+            (p \cdot n = q \cdot m) \lra (m \cdot q = n \cdot p)
+            \lra (m, n)R(p, q)$.
+        \item Транзитивность: 
+        $(m, n)R(p, q) \wedge (p, q)R(r, s) \Ra (m, n)R(r, s)$.
+        
+        Опуская формальности, имеем $2$ равенства: $mq = np$ и $ps = qr$.
+        Домножим первое на $s$, а второе на
+        $n$: $mqs = nps = psn = qrn \Ra mqs =
+        qrn \Ra ms = rn = nr$ - верно.
+    \end{enumerate}
+    все $3$ свойства верны, а значит $R$ является
+    отношением эквивалентности, что и требовалось доказать.
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Положительное рациональное число}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Положительным рациональным числом} называется
+    класс эквивалентности в $\N^2$ по отношению $R$
+    на множестве $\Q$.
+\end{definition}
+    
+Множество всех положительных чисел обозначается $\Q_+$
+    
+Тогда множество рациональных чисел задается так:
+\[\Q := \Q_+ \cup \{0\} \cup \{-r\ :\ r \in \Q_+\}\]
+    
+Отсюда также следует, что $\N \subset \Z \subset \Q$ 
+
+\begin{anote}
+    Рациональное число определяется как класс
+    эквивалентности из-за того факта, что
+    $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ и так далее.
+    Определение положительного рационального числа
+    через $N^2$ справедливо, так как
+    $\N \subset\Z \Ra \N^2 \subset \Z \times \N$
+\end{anote}
+
+\subsubsection*{Отношение строгого порядка на множестве
+рациональных чисел (не материал лектора)}
+
+\begin{definition}
+    Отношение строгого порядка $<$ ($>$) на
+    множестве $\Q$ задаётся как
+    \[
+        \left(\frac{p}{q} < \frac{m}{n}\right)
+        := (p \cdot n < m \cdot q)
+    \]
+\end{definition}
+
+\begin{anote}
+    В данном определении всё верно, так как
+    $q, n \in \N$ по определению рациональных чисел.
+\end{anote}
+
+\subsubsection*{Отношение порядка на множестве
+рациональных чисел (не материал лектора)}
+
+\begin{definition}
+    Отношение порядка $\le$ ($\ge$) на множестве
+    $\Q$ задаётся как и на предыдущих:
+    \[
+        (a \le b) := \big((a = b) \vee (a < b)\big)
+    \]
+\end{definition}
+
+\subsubsection*{Операции на множестве рациональных чисел}
+
+Обозначим фигурными скобками $r = \{(m, n)\}$ класс эквивалентности
+упорядоченных пар чисел $m, n$ (то есть рациональное число $r$).
+Тогда если $r, s \in \Q_+ \ \ (m, n) \in r;\ (p, q) \in s$, то
+сложение и умножение определяются так:
+\[
+    r + s = \{(m, n)\} + \{(p, q)\} :=
+    \{(m \cdot q + n \cdot p,\ n \cdot q)\}
+\]
+\[
+    r \cdot s = \{(m, n)\} \cdot \{(p, q)\} :=
+    \{(m \cdot p,\ n \cdot q)\}
+\]
+
+\subsubsection*{Свойства операций и отношений на
+множестве рациональных чисел}
+\begin{theorem}~
+
+    \begin{itemize}
+        \item Сложение
+        \begin{itemize}
+            \item[I.)] Все свойства сложения целых чисел
+                верны и для рациональных.
+        \end{itemize}
+        \item Умножение
+        \begin{itemize}
+            \item[II.)] Все свойства умножения целых чисел
+                верны и для рациональных.
+            \item[II-г.)] $(\forall p \in \Q)(p \neq 0)\ \exists
+                p^{-1} \in \Q :\ p \cdot p^{-1} = 1$
+                (существование обратного элемента по умножению)
+        \end{itemize}
+        \item Отношение порядка
+        \begin{itemize}
+            \item[III.)] Все свойства отношения порядка целых
+                чисел верны и для отношения порядка рациональных
+                чисел (хоть определение и отличается от того,
+                что используется на целых числах).
+        \end{itemize}
+    \end{itemize}
+\end{theorem}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/3lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/3lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..aca1d95b
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/3lecture.tex
@@ -0,0 +1,365 @@
+\begin{theorem}
+    Каждое рациональное число
+    представимо в виде периодической десятичной
+    дроби и наоборот.
+     \[
+     	r \in \Q \lra (r = \alpha_0,\alpha_1 \dots \alpha_k (\beta_1 \dots \beta_t)), \System{
+     		&{\alpha_0 \in \N \cup \{0\}}
+     		\\
+     		&{(\forall i > 0)\ \alpha_i \in \{0, 1, \dots, 9\}}
+     		\\
+     		&{\forall \beta_i \in \{0, 1, \dots, 9\}}
+     	}
+     \]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Пусть есть число $r \in \Q_+$ (не умаляя общности).
+    Покажем, что оно представимо в виде периодической
+    десятичной дроби:
+    
+    Пусть $[r]$ - целая часть числа $r$. Тогда понятно,
+    что $[r] =: \alpha_0$.
+    
+    Рассмотрим $r - [r] = \frac{m}{n}, 0 \le m < n$
+    (несложно доказать, что это верно и единственно)
+    
+    Далее возможно только 2 случая:
+    \[
+        \System{&{m = 0 \Ra r = \alpha_0,(0) \Ra
+            \text{ периодическая десятичная дробь}} \\ &m \neq 0}
+    \]
+    Продолжим рассуждения для второго случая.
+    Согласно свойству Архимеда,
+    \[
+        (\forall n \in \N)\ 10^n > n \Ra
+    \]
+    \[
+        (\exists p \in \N)\ 10^p \cdot m \ge n
+    \]
+    Если взять $p = p_{\min}$, то будет также выполнено
+    \[
+        10^{p - 1} \cdot m < n
+    \]
+
+    Теперь будем строить десятичную дробь поциферно.
+    По сути степень $p$ обозначает позицию первой следующей
+    значащей цифры:
+    \[
+        \frac{m}{n} = \frac{10^p m}{10^p n} = \frac{k}{10^p}
+        + \frac{m_1}{10^p n},\ \ k = \Big[\frac{10^p m}{n}\Big]
+    \]
+    То есть $k$ --- $p$-ая цифра после запятой, при этом $m_1$ либо
+    равно 0, тогда мы до конца разложили $\frac{m}{n}$, так как
+    все последующие цифры - нули, либо $0 < m_1 < n$. 
+    
+    Теперь вынесем за скобку $\frac{1}{10^p}$ и рассмотрим
+    $\frac{m_1}{n}$ как такую же дробь и снова разложим по
+    такому же алгоритму. Тогда мы получим следующую значащую
+    цифру (степени 10 будут только увеличиваться). Так мы
+    получим $m_2$, причем $m_2 = 0$ --- завершаем работу
+    или $0 < m_2 < n$ - продолжаем выполнение алгоритма.
+
+    Стоит заметить, что мы либо получим на каком-то шаге $0$,
+    либо попадём в цикл (на $n$-ом шаге в худшем случае), так
+    как $0 < m_i < n \Ra m_i$ может принять не более $n - 1$
+    разных значений, а так как знаменатель всегда остается
+    равным $n$, то при совпадении $m_i = m_j$ все
+    последующие вычисления повторятся, и алгоритм зациклится.
+    То есть мы получим период в таком случае.
+
+    Теперь покажем, что если есть периодическая десятичная
+    дробь $\alpha_0, \alpha_1 \dots \alpha_k (\beta_1 \dots
+    \beta_t)$, то она представима в виде
+    $\frac{m}{n},\ m \in \Z, n \in \N$:
+    
+    Обозначим $r = \alpha_0, \alpha_1 \dots \alpha_k
+    (\beta_1 \dots \beta_t)$, тогда
+    \begin{align*}
+        &r \cdot 10^{k + t}= \alpha_0 \alpha_1
+            \dots \alpha_k \beta_1 \dots \beta_t,
+            (\beta_1 \dots \beta_t) \\
+        &r \cdot 10^k= \alpha_0 \alpha_1 \dots
+            \alpha_k,(\beta_1 \dots \beta_t) \\
+        &r \cdot 10^k \cdot (10^t - 1) = \alpha_0
+            \alpha_1 \dots \alpha_k \beta_1 \dots \beta_t - \alpha_0 \alpha_1 \dots \alpha_k = [r \cdot 10^{k + t}] - [r \cdot 10^k] \\
+        &\Ra r = \frac{[r \cdot 10^{k + t}] -
+            [r \cdot 10^k]}{10^k \cdot (10^t - 1)}
+    \end{align*}
+    
+    Числитель целое число, а знаменатель - натуральное
+    $\Ra$ периодическая десятичная дробь представима как
+    $\frac{m}{n}$, что и требовалось показать.
+\end{proof}
+
+\subsection{Действительные числа}
+
+
+\subsection*{Определение действительных чисел}
+
+\begin{definition}
+    Действительные числа определяются 4 способами.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Бесконечные десятичные дроби (Стевин)
+        \item Дедекиндовы сечения (Дедекинд)
+        \item Классы эквивалентных фундаментальных
+            последовательностей рациональных
+            чисел (Кантор)
+        \item Стягивающиеся рациональные отрезки (Бахман)
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Рациональным отрезком называется
+    \[[p, q]_{\Q} = \{r \in \Q :\ p \le r \le q\}
+    \ (p \le q \in \Q)\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Система вложенных рациональных отрезков есть
+    $\{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$, такое что
+    $(\forall n \in \N)\ [p_n, q_n]_{\Q} \supset
+    [p_{n + 1}, q_{n + 1}]_{\Q}$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Последовательность рациональных чисел ---
+    отображение 
+    
+    $f :\ \N \rightarrow \Q\ \ f(n)
+    =: f_n \ \{f_n\}_{n = 1}^{\infty}$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Система вложенных рациональных отрезков
+    $\{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$ 
+    называется стягивающейся (гнездом), если
+    $(\forall \epsilon \in \Q_+)(\exists N \in \N)
+    (\forall n > N)\ 0 \le q_n - p_n < \epsilon$
+\end{definition}
+
+\subsubsection*{Отношение эквивалентности на множестве
+систем стягивающихся отрезков}
+
+\begin{definition}
+    Два гнезда $\{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$ 
+    и $\{[p_n', q_n']_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$
+    называются эквивалентными, если 
+    $\{[\min (p_n, p_n'), \max (q_n, q_n')]
+    _{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$ --- гнездо.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    Определение эквивалентности систем стягивающихся
+    рациональных отрезков удовлетворяет всем свойствам
+    отношения эквивалентности.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}~
+    \begin{itemize}
+        \item \textit{Рефлексивность} очевидна, так как
+            $\min(p_n, p_n) = p_n$ и $\max(q_n, q_n) = q_n$,
+            что обозначает данное изначально гнездо.
+        \item \textit{Симметричность} тоже очевидна, так
+            как минимум и максимум - инвариантны
+            относительно порядка аргументов.
+        \item \textit{Транзитивность:} нужно доказать, что
+            \[
+            \System{\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim
+                \{[p'_n; q'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \\
+                \{[p'_n; q'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim
+                \{[p''_n; q''_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty}
+                \Ra
+                \{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim
+                \{[p''_n; q''_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+            \]
+            Из условия следует, что
+            \begin{align*}
+                \{[\min(p_n, p'_n);
+                \max(q_n, q'_n)]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+                \text{ - стягивающаяся, то есть } \\
+                (\forall \veps \in \Q)(\exists N_1 \in \N)(\forall n > N_1)
+                \ \max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n) < \frac{\veps}{2} \\
+                \{[\min(p'_n, p''_n); \max(q'_n, q''_n)]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+                \text{ - стягивающаяся, то есть } \\
+                (\forall \veps \in \Q)(\exists N_2 \in \N)(\forall n > N_2)
+                \ \max(q'_n, q''_n) - \min(p'_n, p''_n) < \frac{\veps}{2}
+            \end{align*}
+            Тогда для $\forall n > \max(N_1, N_2)$ оба неравенства
+            будут выполняться. Тогда, нужно доказать следующее:
+            \[
+                \max(q_n, q''_n) - \min(p_n, p''_n) < \veps
+            \]
+            Для этого рассмотрим по отдельности 4 случая:
+            \begin{enumerate}
+                \item $\max(q_n, q''_n) - \min(p_n, p''_n) = q_n - p_n$ \\ 
+                    Тогда $\ q_n - p_n \le \max(q_n, q'_n) - p_n
+                    \le \max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n) < \veps$.
+
+                    Следовательно $\max(q_n, q''_n) - \min(p_n, p''_n)
+                    = q_n - p_n < \veps$
+                \item $\max(q_n, q''_n) - \min(p_n, p''_n) = q''_n - p''_n$
+                    - аналогично 1му случаю
+                \item $\max(q_n, q''_n) - \min(p_n, p''_n) = q_n - p''_n$ \\
+                    В таком случае: $\ q_n - p''_n = (q_n - p'_n) + (p'_n - p''_n)$
+                    
+                    При этом $q_n - p'_n \le \max(q_n, q'_n) - p'_n \le
+                    \max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n) < \frac{\veps}{2}$.
+                    
+                    А также $p'_n - p''_n \le q'_n - p''_n \le \max(q'_n, q''_n) - p''_n
+                    \le \max(q'_n, q''_n) - \min(p'_n, p''_n) < \frac{\veps}{2}$.
+                
+                    Сложим оба выражения:
+                    $\ \max(q_n, q''_n) - \min(p_n, p''_n) = q_n - p''_n
+                    < \frac{\veps}{2} + \frac{\veps}{2} = \veps$
+                \item $\max(q_n, q''_n) - \min(p_n, p''_n) = q''_n - p_n$
+                    - аналогично 3му случаю
+            \end{enumerate}
+            Таким образом, $\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+            \sim \{[p''_n; q''_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \Ra$
+            транзитивность верна.
+    \end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Действительными числами} называются
+    классы эквивалентности гнёзд. Множество действительных
+    чисел обозначается $\R$.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    Множество рациональных чисел вложено в множество
+    действительных $\Q \subset \R$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Действительно, $r \in \Q \Ra \{[r;r]_\Q\}_{n = 1}^\infty$
+    - система стягивающихся рациональных отрезков.
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Операция сложения действительных чисел}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Суммой двух действительных чисел}, представляемых
+    гнездами $\{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$ и
+    $\{[r_n, s_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$ называется
+    действительное число, представляемое гнездом
+    \[
+        \{[p_n + r_n, q_n + s_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}
+    \] 
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Противоположным к действительному числу,
+    представляемому гнездом $\{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$,
+    называется действительное число, представляемое гнездом
+    $\{[-q_n, -p_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$ 
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+    Сумма и противоположное число определены
+    корректно (то есть сложение не зависит от того,
+    каких представителей классов эквивалентностей мы
+    складываем). Справедливы свойства:
+
+    \begin{enumerate}
+        \item[I-а).]  $(\forall a \in \R)(\forall b \in \R)
+            \ a + b = b + a$ (\textit{коммутативность})
+        \item[I-б).]  $(\forall a, b, c \in \R)
+            \ (a + b) + c = a +(b + c)$ (\textit{ассоциативность})
+        \item[I-в).]  $(\forall a \in \R)
+            \ a + 0 = 0 + a = a$ (\textit{нейтральный элемент} относительно сложения)
+        \item[I-г).] $(\forall a \in \R)
+            \ a + (-a) = (-a) + a = 0$ (\textit{обратный элемент} относительно сложения)
+    \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}~
+
+    \begin{itemize}
+        \item Для \textit{корректности сложения} нужно доказать:
+            \[
+            \System{\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim
+                \{[p'_n; q'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \\ 
+                    \{[r_n; s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim
+                \{[r'_n; s'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty}
+            \Ra
+            \{[p_n + r_n; q_n + s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim
+            \{[p'_n + r'_n; q'_n + s'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+            \]
+            По условию:
+            \begin{align*}
+                (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N_1 \in \N)
+                (\forall n > N_1)\ \max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n)
+                < \frac{\veps}{2} \\
+                (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N_2 \in \N)
+                (\forall n > N_2)\ \max(s_n, s'_n) - \min(r_n, r'_n)
+                < \frac{\veps}{2}
+            \end{align*}
+            А нам нужно проверить, что верно:
+            \[
+                (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N = \max(N_1, N_2) \in \N)
+                (\forall n > N)\ \max(q_n + s_n, q'_n + s'_n) -
+                \min(p_n + r_n, p'_n + r'_n) < \veps
+            \]
+            Рассмотрим неравенства:
+            \begin{multline*}
+                \max(q_n + s_n, q'_n + s'_n) -
+                \min(p_n + r_n, p'_n, + r'_n) \le \\
+                \le (\max(q_n, q'_n) + \max(s_n, s'_n)) -
+                (\min(p_n, p'_n) + \min(r_n, r'_n)) = \\
+                = (\max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n)) +
+                (\max(s_n, s'_n) - \min(r_n, r'_n)) <
+                \frac{\veps}{2} + \frac{\veps}{2} = \veps
+            \end{multline*}
+            Следовательно, по определению:
+            \[
+                \{[p_n + r_n; q_n + s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim \{[p'_n + r'_n; q'_n + s'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+            \]
+        \item \textit{Корректность противоположного числа} доказывается
+            тривиально: мы имеем
+            \[
+                \{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim
+                \{[p'_n; q'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+            \]
+            То есть по определению:
+            \[
+                (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N \in \N)
+                (\forall n > N)\ \max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n)
+                < \veps
+            \]
+
+            Осталось заметить, что $\max(q_n, q'_n) = - \min(-q_n, -q'_n)$
+            и по аналогии $- \min(p_n, p'_n) = \max(-p_n, p'_n)$.
+            Тогда предыдущее выражение принимает вид:
+
+            \[
+                (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N \in \N)
+                (\forall n > N)\ \max(-p_n, -p'_n) - \min(-q_n, q'_n)
+                < \veps
+            \]
+
+            А это означает в точности следующее:
+            \[
+                \{[-q_n; -p_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim
+                \{[-q'_n; -p'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+            \]
+        \item \textit{Коммутативность сложения} действительных чисел
+            следует сразу из коммутативности сложения рациональных
+            чисел:
+            \[
+                a + b \lra \{[p_n + r_n; q_n + s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+                \sim
+                \{[r_n + q_n; s_n + q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \lra b + a
+            \]
+        \item \textit{Ассоциативность сложения} действительных
+            чисел работает также вследствие свойств рациональных чисел
+        \item Существование \textit{нейтрального элемента} доказывается
+            очевидным образом и следует из свойств нуля в
+            рациональных числах
+        \item \textit{Обратный элемент} есть противоположное к
+            данному действительное число. Доказательство
+            следует сразу из определения сложения
+    \end{itemize}
+\end{proof}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/4lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/4lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..0283236c
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/4lecture.tex
@@ -0,0 +1,514 @@
+\subsubsection*{Отношения порядка на множестве действительных чисел}
+
+\begin{definition}
+    Действительное число $a$ называется 
+    положительным ($a > 0,\  0 < a$), если
+    ($\exists \{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty} \in a)
+    (\exists n \in \N)\ p_n > 0$
+
+    Для отрицательного аналогично:
+    ($\exists \{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty} \in a)
+    (\exists n \in \N)\ q_n < 0$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Действительное число $a$ состоит в отношении $>$ с
+    числом $b$, если $a + (-b) > 0$. Для $<$ аналогично.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Отношение порядка на множестве действительных
+    чисел задаётся как
+    \[
+        a \le b := (a = b) \vee (a < b)
+    \]
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+    $\R$ является линейно упорядоченным множеством
+    относительно $\le$. То есть выполняются свойства:
+
+    \begin{enumerate}
+        \item[III-а).] ($\forall a \in \R)\ a \le a$ \textit{(рефлексивность)}
+        \item[III-б).] $(\forall a, b \in \R)((a \le b) \wedge 
+            (b \le a)) \Ra (a = b)$ \textit{(антисимметричность)}
+        \item[III-в).] $(\forall a, b, c \in \R)((a \le b)
+            \wedge (b \le c)) \Ra (a \le c)$ \textit{(транзитивность)}
+        \item[III-г).] $(\forall a, b \in \R)\ ((a \le b) \vee (b \le a))$ \textit{(линейный порядок)}
+    \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}~
+
+    \begin{itemize}
+        \item \textit{Рефлексивность} верна, так как $a = a$.
+        \item \textit{Антисимметричность.} По условию имеем:
+            \begin{align*}
+                &(a \le b) \lra (a < b) \vee (a = b) \lra (b - a > 0) \vee (a = b) \\
+                &(b \le a) \lra (b < a) \vee (a = b) \lra (a - b > 0) \vee (a = b)
+            \end{align*}
+            Докажем, что $(x > 0) \wedge (x < 0)$ есть ложь:
+            \begin{align*}
+                &(a < 0) \lra (\exists \{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty} \in a)
+                (\exists n \in \N_1)\ p_n > 0 \Ra (\forall n > N_1)\ q_n \ge p_n > 0\\
+                &(a > 0) \lra (\exists \{[p'_n, q'_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty} \in a)
+                (\exists n \in \N_2)\ q'_n < 0 \Ra (\forall n > N_2)\ p'_n \le q'_n < 0\\
+            \end{align*}
+            Это значит, что
+            \[
+                (\forall n > \max(N_1, N_2))\ \max(q'_n, q_n) - \min(p'_n, p_n) = q_n - p'_n
+            \]
+            \[
+                q_n - p'_n \ge p_n - q'_n \ge p_{\max(N_1, N_2)} - q'_{\max(N_1, N_2)}        
+            \]
+            Это значит, что определение равенства гнезд нарушается:
+            \begin{multline*}
+                (\exists \veps = p_{\max(N_1, N_2)} - q'_{\max(N_1, N_2)})
+                (\forall N \in \N)\\ (\exists n = \max(N, N_1, N_2) + 1 > N)
+                \ \max(q'_n, q_n) - \min(p'_n, p_n) \ge \veps
+            \end{multline*}
+
+            То есть случай, где верны только строгие неравенства,
+            невозможен. Значит, как минимум одно из равенств
+            выполняется, тогда $a = b$.
+            
+        \item \textit{Транзитивность.} По условию имеем:
+            \begin{align*}
+                &(a \le b) \lra (a < b) \vee (a = b) \lra (b - a > 0) \vee (a = b) \\
+                &(b \le c) \lra (b < c) \vee (b = c) \lra (c - b > 0) \vee (b = c)
+            \end{align*}
+            Необходимо показать, что верно высказывание
+            \[
+                ((c - a > 0) \vee (a = c)) \equiv 1
+            \]
+            Так как одновременно из одного неравенства
+            оказаться верной может только одна скобка, то
+            рассморим все случаи:
+            \begin{enumerate}
+                \item $(a = b) \wedge (b = c) \Ra a = c$
+                \item $(a = b) \wedge (c - b > 0) \Ra c - a > 0$
+                \item $(b - a > 0) \wedge (b = c) \Ra c - a > 0$
+                \item $(b - a > 0) \wedge (c - b > 0) \Ra
+                    (c - b) + (b - a) = c - a > 0$
+            \end{enumerate}
+        \item \textit{Линейный порядок.} Нам необходимо доказать,
+            что $\forall a, b \in \R$ верно выражение:
+            \[
+                (a \le b) \vee (b \le a)
+            \]
+            Исходя из определения данного отношения, его можно переписать в виде
+            \[
+                (a < b) \vee (a = b) \vee (a > b)
+            \]
+            В силу корректности операции сложения и определения отношения $<$ ($>$), равносильной формой записи является
+            \[
+                (a - b < 0) \vee (a - b = 0) \vee (a - b > 0)
+            \]
+            Тогда положим $c = a - b := \{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty$:
+            \[
+                (c < 0) \vee (c = 0) \vee (c > 0)
+            \]
+            Тогда, рассмотрим случай, когда $\forall n \in \N\ p_n \le 0 \le q_n$. В иных
+            случаях $(\exists n \in \N)\ q_n < 0$ или $p_n > 0$. А это
+            прямо по определению соответствет $c < 0$ и $c > 0$ соответственно.
+            Покажем, что в таком случае $\{[p_n;q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim \{[0;0]_\Q\}_{n = 1}^\infty$
+            
+            По определению $\sim$ нужно проверить, что
+            \[
+                (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N \in \N)
+                (\forall n > N)\ \max(q_n, 0) - \min(p_n, 0) < \veps
+            \]
+            Из условия следует, что $\max(q_n, 0) - \min(p_n, 0)
+            = q_n - p_n < \veps$ (исходя из определения гнезда).
+            А значит, эквивалентность верна и $c = 0$. То есть
+            в каждом случае выполняется хотя бы одно из трех
+            утверждений. 
+    \end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{note}
+    Для гнезд одного и того же числа:
+    $\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim
+    \{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = m}^\infty$, где $m \in \N$.
+
+    Это означает, что если $a > 0$, то
+    \[
+    (\exists \{[p'_n; q'_n]_\Q\}_{n}^\infty \in a)
+    (\forall n \in \N)\ p_n > 0
+    \]
+\end{note}
+
+\subsubsection*{Произведение}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Произведением} двух положительных действительных
+    чисел с представлениями
+    $\{[p_n;q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty,\ p_1 > 0$ и
+    $\{[r_n;s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty,\ r_1 > 0$ называют
+    действительное число, представляемое гнездом
+    $\{[p_n \cdot r_n;q_n \cdot s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty$
+\end{definition}
+
+Доопределим произведение на всё множество $\R$:
+\[
+	a \cdot b := \System{
+		&{-(a \cdot (-b)),\ a > 0,\ b < 0}
+		\\
+		&{(-a) \cdot (-b),\ a < 0,\ b < 0}
+	}
+\]
+А также $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$, $\forall a \in \R$
+
+\begin{theorem}
+    Произведение определено корректно. Справедливы свойства
+
+    \begin{enumerate}
+        \item[II-а).] $(\forall a, b \in \R) \ a
+            \cdot b = b \cdot a$ \textit{(коммутативность)}
+        \item[II-б).] $(\forall a, b, c \in \R)\ 
+            (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ \textit{(ассоциативность)}
+        \item[II-в).] $(\forall a \in \R) \ a \cdot
+            1 = 1 \cdot a = a$ \textit{(нейтральный элемент)}
+    \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}~
+
+    \begin{itemize}
+        \item Докажем корректность произведения:
+            \[
+                \System{\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim
+                    \{[p'_n; q'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \\ 
+                    \{[r_n; s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \sim
+                    \{[r'_n; s'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty}
+                \Ra
+                \{[p_n \cdot r_n; q_n \cdot s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+                \sim \{[p'_n \cdot r'_n; q'_n \cdot s'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+            \]
+            Для начала покажем, что просто произведение положительных
+            действительных чисел вообще является системой
+            стягивающейся рациональных отрезков. Так как
+            $r_1 > 0$ и $p_1 > 0$ (из определения произведения), то
+            \begin{align*}
+                &\System{
+                &r_n \le s_n \\ 
+                &p_n \le q_n
+                } 
+                \Ra p_n r_n \le q_n r_n \le q_n s_n \\
+                &q_n s_n - p_n r_n \le q_n (s_n - r_n) +
+                r_n (q_n - p_n) \le q_1 (s_n - r_n) + r_1 (q_n - p_n)
+            \end{align*}
+            $\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty$ - система
+            стягивающихся рациональных отрезков, значит
+            \[
+            (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N_1 \in \N)
+            (\forall n > N_1)\ q_n - p_n < \frac{\veps}{2s_1}
+            \]
+            
+            Аналогично для $\{[r_n; s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty$
+            \[
+            (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N_2 \in \N)
+            (\forall n > N_2)\ s_n - r_n < \frac{\veps}{2q_1}
+            \]
+            
+            $\Ra q_n s_n - p_n r_n \le q_1 (s_n - r_n) +
+            r_1 (q_n - p_n) < q_1 \cdot \frac{\veps}{2q_1} +
+            r_1 \cdot \frac{\veps}{2r_1} = \veps$, а это значит, что
+            $\{[p_n \cdot r_n; q_n \cdot s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty$ - тоже система
+            стягивающихся рациональных отрезков.
+            
+            Далее покажем, что произведения разных представителей классов эквивалентны:
+            \begin{multline*}
+                \max(q_n s_n, q'_n s'_n) - \min(p_n r_n, p'_n r'_n) \le \\
+                \le \max(q_n, q'_n) \cdot \max(s_n, s'_n) - \min(p_n, p'_n)
+                \cdot \min(r_n, r'_n) = \\
+                = \max(q_n, q'_n) \cdot \max(s_n, s'_n) - \max(s_n, s'_n)
+                \cdot \min(p_n, p'_n) + \\
+                + \max(s_n, s'_n) \cdot \min(p_n, p'_n) - \min(p_n, p'_n)
+                \cdot \min(r_n, r'_n) = \\
+                = \max(s_n, s'_n) \cdot (\max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n))
+                + \min(p_n, p'_n) \cdot (\max(s_n, s'_n) - \min(r_n, r'_n)) \le \\
+                \le \max(s_1, s'_1) \cdot (\max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n)) +
+                \max(p_1, p'_1) \cdot (\max(s_n, s'_n) - \min(r_n, r'_n))
+            \end{multline*}
+            
+            Из определения действительных чисел следует, что
+            \begin{align*}
+                (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N_1 \in \N)
+                (\forall n > N_1)\ \max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n)
+                < \frac{\veps}{2 \cdot \max(s_1, s_1)}
+                \\
+                (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N_2 \in \N)
+                (\forall n > N_2)\ \max(s_n, s'_n) - \min(r_n, r'_n)
+                < \frac{\veps}{2 \cdot \max(p_1, p_1)}
+            \end{align*}
+            
+            А значит
+            \[
+                \max(q_n s_n, q'_n s'_n) - \min(p_n r_n, p'_n, r'_n) < \veps
+            \]
+        \item \textit{Коммутативность} следует тривиальным образом
+            из коммутативности произведения рациональных чисел
+        \item \textit{Ассоциативность} следует напрямую из ассоциативности
+            произведения рациональных чисел
+        \item \textit{Нейтральный элемент} следует из нейтрального элемента
+            произведения рациональных чисел
+    \end{itemize}
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Обратное действительное число по произведению}
+
+\begin{definition}~
+
+    \begin{itemize}
+        \item Если действительное число положительно:
+            $(\forall a \in \R,\ a > 0)$, то обратным к нему
+            числом $\frac{1}{a}$ называется то, которому
+            $\ni \{[\frac{1}{p_n}, \frac{1}{q_n}]
+            _{\Q}\}_{n = 1}^{\infty}$, где
+            $\{[p_n, q_n]_{\Q}\}_{n = 1}^{\infty} \in a, \ p_1 > 0$; 
+        \item Для отрицательных чисел:
+            $\ (\forall a \in \R, a < 0)$
+            \[
+                \frac{1}{a} := -(-\frac{1}{a})
+            \]
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+    Если $\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty$ представляет
+    число $c \in \R$, то $(\forall n \in \N)\ p_n \le c \le q_n$
+\end{lemma}
+
+\begin{anote}
+    Возможно, при первом взгляде Вас смутило сравнение
+    рационального и действительного чисел, но на самом деле здесь
+    все определено вполне корректно: рациональное в данном случае
+    рассматривается как член множества действительных (в виде
+    $\{[p_n; p_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty$) и сравнение работает
+    определенным ранее образом для двух действительных.
+\end{anote}
+
+\begin{proof}
+    Предположим обратное, то есть
+    \[
+        (\exists n_0 \in \N)\ p_{n_0} > c
+        \lra p_{n_0} - c > 0
+    \]
+    Выражение слева является числом, поэтому сопоставим ему систему
+    \[
+        p_{n_0} - c \ni \{[r_n; s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+    \]
+    Так как $p_{n_0} - c > 0$, из определения следует:
+    \[
+        (\exists N_1 \in \N)(\forall n_1 > N_1)\ r_{n_1} > 0
+    \]
+    А число $p_{n_0}$ тогда будет представлять система
+    \[
+        p_{n_0} \ni \{[p_{n_0}; p_{n_0}]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+    \]
+    Рассмотрим $n > \max(n_0, N_1)$. Тогда, разность
+    $p_{n_0} - (p_{n_0} - c)$ с одной стороны, равна
+    \[
+        p_{n_0} - (p_{n_0} - c) = p_{n_0} - p_{n_0} + c = c
+    \]
+    А с другой стороны,
+    \[
+        p_{n_0} - (p_{n_0} - c) \ni \{[p_{n_0} - s_n; p_{n_0} - r_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+    \]
+    Стало быть, так как $c = p_{n_0} - (p_{n_0} - c) \Ra$
+    \[
+        \{[p_{n_0} - s_n; p_{n_0} - r_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+        \sim \{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+    \]
+    Выясним отношения между границами отрезков:
+    \[
+        p_{n_0} - s_n \le p_{n_0} - r_n < p_{n_0} \le p_n \le q_n
+    \]
+    А если системы эквивалентны, то
+    \[
+        \max(q_n, p_{n_0} - r_n) - \min(p_n, p_{n_0} - s_n) =
+        q_n - p_{n_0} + s_n
+    \]
+    При этом стоит заметить, что $q_n \ge p_{n_0 + 1}$,
+    так как $(\forall i, j \in \N)\ q_i \ge p_j$, при этом
+    $s_n > r_n > 0$. В свою очередь
+    \[
+        q_n - p_{n_0} + s_n > p_{n_0 + 1} - p_{n_0} + r_n > p_{n_0 + 1} - p_{n_0}    
+    \]
+    Вот мы и получили константу и доказали, что наши гнезда не
+    эквивалентны по определению, то есть мы получили противоречие.
+
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    Определение обратного числа корректно, справедливы
+    свойства:
+
+    \begin{enumerate}
+        \item[II-г).] $(\forall a \in \R,\ a\neq 0)\ 
+            \frac{1}{a} \cdot a = a \cdot \frac{1}{a} = 1$
+        \item[I-II).] $(\forall a, b, c \in \R)\ a \cdot
+            (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
+        \item[I-III).] $(\forall a, b, c \in \R)(a \le b)
+            \Ra (a + c \le b + c)$
+        \item[II-III).] $(\forall a, b \in \R)
+            (\forall c > 0, c\in \R)(a \le b)
+            \Ra (a \cdot c \le b \cdot c)$
+        \item[IV).] $(\forall a \in \R)(\forall b \neq 0,
+        b \in \R)(\exists n \in \Z) \ b \cdot n > a$ (Свойство Архимеда)
+
+    \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}~
+
+    \begin{itemize}
+        \item Докажем \textit{корректность}, для начала
+            покажем, что такая система отрезков вообще будет стягиваться:
+            \[
+                \frac{1}{p_n} - \frac{1}{q_n} =
+                \frac{q_n - p_n}{p_n \cdot q_n} \le
+                \frac{q_n - p_n}{p^2_n} \le \frac{q_n - p_n}{p^2_1}
+            \]
+            По условию стягивания изначального числа:
+            \[
+                (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N \in \N)
+                (\forall n > N)\ q_n - p_n < \veps \cdot p^2_1
+            \]
+            \[
+                \Ra \frac{1}{p_n} - \frac{1}{q_n} \le
+                \frac{q_n - p_n}{p^2_1} <
+                \frac{\veps \cdot p^2_1}{p^2_1} = \veps
+            \]
+            
+            Теперь докажем, что определение не зависит от
+            представителя класса. Нам дано:
+            \[
+                \System{\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \in a
+                    \\ 
+                    \{[p'_n; q'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \in a}
+                \Ra \{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+                \sim \{[p'_n; q'_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+            \]
+            Отсюда следует:
+            \[
+                (\forall \veps \in \Q_+)(\exists N \in \N)
+                (\forall n > N)\ \max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n) < \veps
+                \cdot (\min(p_1, p'_1))^2
+            \]
+            Тогда, так как $p_n > 0$ и $p'_n > 0$, верно следующее:
+            \begin{multline*}
+                \max\left(\frac{1}{p_n}, \frac{1}{p'_n}\right) -
+                \min\left(\frac{1}{q_n}, \frac{1}{q'_n}\right) =
+                \frac{1}{\min(p_n, p'_n)} - \frac{1}{\max(q_n, q'_n)} =\\
+                = \frac{\max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n)}{\min(p_n, p'_n)
+                \cdot \max(q_n, q'_n)} \le \frac{\max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n)}
+                {(\min(p_n, p'_n))^2} \le \\
+                \le \frac{\max(q_n, q'_n) - \min(p_n, p'_n)}
+                {(\min(p_1, p'_1))^2} < \veps
+            \end{multline*}
+        \item \textit{Дистрибутивность} выполняется как следствие
+            дистрибутивности на множестве рациональных чисел
+        \item Следующее свойство доказывается тривиально:
+            
+            $a \le b \lra b - a \ge 0 \lra (b + c) - (a + c) \ge 0
+            \lra a + c \le b + c$
+        
+        \item Предпоследнее утверждение можно доказать, рассмотрев
+            возможные случаи:
+            \[
+                a \le b \lra (a = b) \vee (a < b)
+            \]
+            Если верна первая скобка, то $(b - a)$ представима
+            в виде гнезда $\{[0; 0]_\Q\}_{n = 1}^\infty$, тогда
+            можно домножить оба нуля на любые положительные
+            рациональные числа ($c > 0$) и также получить ноль:
+            \[
+                b - a = 0 \lra (b - a) \cdot c = 0 \lra b \cdot c -
+                a \cdot c = 0 \Ra a + c \le b + c
+            \]
+
+        \item \textit{Свойство Архимеда} доказывается при помощи
+            рациональных чисел:
+            
+            Пусть $\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \in a$
+            и $\{[r_n; s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \in b$
+
+            По вышедоказанной лемме 
+            $a \le q_1$ и $b \ge r_1$. Применим
+            теперь свойство Архимеда для рациональных чисел:
+            \[
+                (\exists n \in \N)\ n \cdot b \ge n \cdot r_1 > q_1 \ge a     
+            \]
+    \end{itemize}
+   
+\end{proof}
+
+
+\subsubsection*{Верхняя и нижняя грани}
+
+\begin{definition}
+    Множество $A \subset \R$ называется огрниченным
+    сверху (снизу), если $(\exists C (c) \in \R)
+    (\forall x \in A)\ x \le C \ (x \ge c)$. Число
+    $C (c)$ называется в этом случае верхней (нижней)
+    гранью А.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+    Свойство полноты. (V)
+
+    Если $A, B \subset \R$ - непустые множества,
+    такие что $A \cup B = \R$ и $(\forall a \in A)
+    (\forall b \in B)\ a < b$, то 
+    $(\exists c \in \R)(\forall a \in A)(\forall b \in B)
+    \ a \le c \le b$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Построим $\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \in c$ - систему стягивающихся
+    отрезков. Будем брать с каждым шагом более точное десятичное
+    приближение к нашей искомой границе (при этом наибольший и
+    наименьший элементы всегда будут, так как мы берем множество
+    целых чисел):
+    \[
+        p_n - \text{ наибольшее } \left(\frac{1}{10^{n - 1}}\Z\right) \cap A,
+        \ q_n - \text{ наименьшее } \left(\frac{1}{10^{n - 1}}\Z\right) \cap B
+    \]
+    
+    Предположим, что $(\exists b \in B)\ c > b \Ra c + (-b) > 0 
+    \Ra (\exists n \in \N):$
+    \[
+        \frac{1}{10^{n - 1}} < c - b
+    \]
+    Так как $\{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty \in c \Ra$ по лемме
+    $c \in [p_n, q_n] \Ra$
+    \[
+        c - p_n \le q_n - p_n < c - b \Ra p_n > b
+    \]
+    А так как $p_n \in A,\ b \in B$, то мы получили противоречие:
+    $(\exists p_n \in A)(\exists b \in B)\ p_n \ge b$
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Другие определения действительных чисел}
+
+\begin{note}
+    Дедекиндово сечение - это такое разбиение
+    $\Q$ на непустые множества $A, B$,  что 
+    $(\forall a \in A)(\forall b \in B)\ a < b$.
+    В дедекиндовой теории действительное число
+    --- это сечение.
+\end{note}
+
+\begin{note}
+    Построенное в доказательстве гнедо даёт
+    представление действительного числа в виде
+    бесконечной десятичной дроби.
+\end{note}
+
+\begin{note}
+   Свойства I-V можно принять за аксиомы. Можно
+   доказать, что любые две системы, удовлетворяющие
+   I-V, изоморфны друг другу.
+\end{note}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/5lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/5lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..38cf0e9d
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/5lecture.tex
@@ -0,0 +1,454 @@
+\subsection{Комплексные числа}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Множеством комплексных чисел} называют множество $\Cm = \R^2$.
+\end{definition}
+
+\subsubsection*{Сложение}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Суммой} двух комплексных чисел $(a, b)$ и $(c, d)$ называют число
+    \[
+        (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
+    \]
+\end{definition}
+
+\subsubsection*{Умножение}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Произведением} двух комплексных чисел $(a, b)$ и $(c, d)$ называют число
+    \[
+        (a, b) \cdot (c, d) := (ac - bd, ad + bc)
+    \]
+\end{definition}
+
+\subsubsection*{Мнимая единица}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Мнимой единицей} $i$ называют комплексное число $(0, 1)$, которое из определения выше имеет свойство:
+    \[
+        i^2 := -1
+    \]
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    Множество $\R$ вложено в множество $\Cm$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Действительно, если $a \in R$, то $a = (a, 0)$. Несложно проверить, что все операции будут точно такими же, как и с обычными действительными числами.
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Алгебраическая форма комплексного числа}
+
+\begin{definition}
+    Заметим, что $(a, b) = a \cdot (1, 0) + b \cdot (0, 1)$. То есть:
+    $$
+        (a, b) = a + bi
+    $$
+    Запись числа $z$ в виде $a + bi$ называется \textit{алгебраической формой комплексного числа}
+\end{definition}
+
+\begin{center}
+	\scalebox{1}{
+		\begin{tikzpicture}
+			\clip (-1.4, -1.3) rectangle (3.4, 3.3);
+			\draw [->] (-1, 0) -- (3, 0) node [above, black] {$\re z$};
+			\draw [->] (0, -1) -- (0, 3) node [right, black] {$\im z$};
+			
+			\draw [line width = 1pt, black!15!blue] (1.4,3pt) -- (1.4,-3pt) node [below, black] {$1$};
+			\draw [line width = 1pt, black!15!blue] (3pt,1.4) -- (-3pt,1.4) node [left, black] {$i$};
+			
+			\draw [->, black!15!blue] (0, 0) -- (2, 1.5) node [black, above right, scale = 1.2] {$z$};
+			\node[draw, circle, inner sep=1.4pt, fill, black!15!blue] at (2.06, 1.54) {};
+			
+			\coordinate (a1) at (2, 1.5);
+			\coordinate (b) at (0, 0);
+			\coordinate (c) at (1, 0);
+			
+			\pic [draw, ->] {angle = c--b--a1};
+			\node [] at (0.75, 0.25) {$\phi$};
+		\end{tikzpicture}
+	}
+\end{center}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Модулем} комплексного числа нызывают число:
+    $$
+        |z| := \sqrt{a^2 + b^2}
+    $$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Реальной частью} комплексного числа называют число $a$ в его алгебраической форме:
+    $$
+        \re(a + bi) := a
+    $$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Мнимой частью} комплексного числа называют число $b$ в его алгебраической форме:
+    $$
+        \im(a + bi) := b
+    $$
+\end{definition}
+
+\subsubsection*{Неравенство треугольника}
+
+\begin{center}
+	\scalebox{1}{
+		\begin{tikzpicture}
+			\clip (-1.4, -1.3) rectangle (3.4, 3.3);
+			\draw [->] (-1, 0) -- (3, 0) node [above, black] {$\re z$};
+			\draw [->] (0, -1) -- (0, 3) node [right, black] {$\im z$};
+			
+			\draw [line width = 1pt, black!15!blue] (1,3pt) -- (1,-3pt) node [below, black] {$1$};
+			\draw [line width = 1pt, black!15!blue] (3pt,1) -- (-3pt,1) node [left, black] {$i$};
+			
+			\draw [->, black!15!blue] (0, 0) -- (1.8, 0.8) node [black, below, scale = 1] {};
+			\node[draw, circle, inner sep=1pt, fill, black!15!blue] at (1.85, 0.82) {};
+			\node [] at (1.25, 0.3) {$z_1$};
+			
+			\draw [->, black!15!blue] (1.85, 0.82) -- (2.3, 2.6) node [black, below, scale = 1] {};
+			\node[draw, circle, inner sep=1pt, fill, black!15!blue] at (2.34, 2.63) {};
+			\node [] at (2.4, 2) {$z_2$};
+			
+			\draw [->, black!15!blue] (0.0, 0.0) -- (2.3, 2.6) node [black, below, scale = 1] {};
+			\node [] at (0.95, 2.05) {$z_1 + z_2$};
+		\end{tikzpicture}
+	}
+\end{center}
+
+Геометрически очевидны следующие неравенства:
+\begin{align*}
+    &|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2| \\
+    &|z_1 - z_2| \ge ||z_1| - |z_2||
+\end{align*}
+
+\subsubsection*{Деление комплексных чисел}
+
+\begin{definition}
+    Комплексное число $z_3$ называется \textit{частным} от деления числа $z_1$ на число $z_2$, если верно равенство:
+    $$
+        z_2 \cdot z_3 = z_1 \lra z_3 := \frac{z_1}{z_2} := z_1 / z_2
+    $$
+\end{definition}
+
+\begin{corollary}
+    Выведем действительную и мнимую часть частного, если $z_1 = a + bi$, а $z_2 = c + di$. При этом обозначим $z_3 = x + yi$:
+    \begin{align*}
+        &(c + di) \cdot (x + yi) = a + bi
+        \\
+        &cx - dy + (cy + dx)i = a + bi
+        \\
+        &\Ra \System{a = cx - dy \\ b = cy + dx}
+        \Ra \System{x = \frac{\dse ac + bd}{\dse c^2 + d^2} \\ y = \frac{\dse bc - ad}{\dse c^2 + d^2}}
+    \end{align*}
+\end{corollary}
+
+\subsubsection*{Комплексно сопряженное число}
+
+\begin{definition}
+    Число $\bar{z}$ называется \textit{комплексно сопряжённым} к числу $z$, если
+    $$
+        z = a + bi \Ra \bar{z} = a - bi
+    $$
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    Произведение комплексного числа $z$ на своё сопряженное является квадратом модуля
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Пусть $z = a + bi$. Тогда:
+    $$
+        z \cdot \bar{z} = (a + bi) \cdot (a - bi) = a^2 + b^2 = |z|^2
+    $$
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Аргумент комплексного числа}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Аргументом} комплексного числа $z = a + bi$ называется угол $\phi$, отсчитываемый от положительного направления оси $\re$, с точностью до $2\pi k$, $k \in \Z$
+    $$
+        \arg z = \phi + 2\pi k, k \in \Z
+    $$
+    Угол считается положительным, если отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным, если наоборот.
+\end{definition}
+
+\begin{note}
+    Аргумент определен только для комплексного числа, не равного нулю.
+\end{note}
+
+\subsubsection*{Комплексное число в полярной записи}
+
+\begin{definition}
+    Несложно заметить, что
+    \begin{align*}
+        a = |z| \cdot \cos \phi \\
+        b = |z| \cdot \sin \phi
+    \end{align*}
+    $$
+        \Ra z = |z|(\cos \phi + i \sin \phi)
+    $$
+\end{definition}
+
+\subsubsection*{Умножение чисел в полярных координатах}
+
+Пусть есть 2 комплексных числа $z_1$ и $z_2$:
+
+\begin{align*}
+    z_1 = |z_1|(\cos\phi + i \sin\phi)
+    \\
+    z_2 = |z_2|(\cos\psi + i \sin\psi)
+\end{align*}
+
+Найдём их произведение в виде комплексного числа, записанного в полярных координатах:
+\begin{multline}
+    z_1 \cdot z_2 = |z_1||z_2|(\cos\phi + i \sin\phi)(\cos\psi + i \sin\psi) = \\
+    |z_1||z_2|(\cos\phi \cdot \cos\psi - \sin\phi \cdot \sin\psi + i(\sin\phi \cdot \cos\psi + \sin\psi \cdot \cos\phi)) = \\
+    |z_1||z_2|(\cos(\phi + \psi) + i \sin(\phi + \psi))
+\end{multline}
+
+Таким образом,
+$$
+    \System{
+    &\arg(z \cdot w) = \arg(z) + \arg(w)
+    \\
+    &|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|
+    }
+$$
+
+\subsubsection*{Показательная форма комплексного числа}
+
+\begin{definition}
+    Комплексное число можно записать как степень по натуральному основанию
+    $$
+        \cos \phi + i \sin \phi = e^{i \phi}
+    $$
+    Также это выражение называется \textit{формулой Эйлера}. С её помощью, комплексное число можно записать в \textit{показательной форме}.
+    $$
+        z = |z| \cdot e^{i \phi}
+    $$
+\end{definition}
+
+\begin{note}
+    Сейчас формулу Эйлера нужно принять <<на веру>>. В будущем её можно и нужно доказать.
+\end{note}
+
+\subsubsection*{Комплексное расширение тригонометрических функций}
+
+Имея на руках формулу Эйлера, можно вывести интересные выражения для тригонометрических функций:
+\begin{align*}
+    e^{i\phi} &= \cos\phi + i \sin\phi
+    \\
+    e^{-i\phi} &= \cos\phi - i \sin\phi
+    \\
+    \Ra \cos\phi &= \frac{\dse e^{i\phi} + e^{-i\phi}}{2}
+    \\
+    \sin\phi &= \frac{\dse e^{i\phi} - e^{-i\phi}}{2}
+    \\
+    \tg\phi &= \frac{\sin\phi}{\cos\phi}
+    \\
+    \ctg\phi &= \frac{\cos\phi}{\sin\phi}
+\end{align*}
+
+\subsubsection*{Формула Муавра}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Формулой Муавра} называется выражение:
+    
+    \[
+        (\cos \phi + i \sin \phi)^n = \cos n\phi + i \sin n\phi,\ n \in \Z
+    \]
+\end{definition}
+
+С помощью формулы Муавра можно находить натуральную степень комплексного числа:
+
+\[
+    z^n = |z|^n (\cos n\phi + i \sin n\phi) = (|z|(\cos \phi + i \sin \phi))^n
+\]
+
+\subsubsection*{Натуральный корень из комплексного числа}
+
+Решим уравнение $z^n = w$
+
+\begin{enumerate}
+    \item $w = 0 \Ra z = 0$
+    \item \begin{align*}
+            &w \neq 0 \Ra w = |w|(\cos \psi + i \sin \psi)
+            \\
+            &z = |z|(\cos \phi + i \sin \phi)
+            \\
+            &z^n = |z|^n(\cos n\phi + i \sin n\phi)
+            \\
+            &\Ra |z| = \sqrt[n]{|w|},\ n\phi = \psi + 2\pi k,\ k \in \Z
+            \\
+            &\phi = \frac{\psi + 2\pi k}{n},\ k = \{0, 1, \dots n - 1\}
+        \end{align*}
+\end{enumerate}
+
+\section{Пределы}
+
+\subsection{Дополнительные свойства действительных чисел}
+
+\subsubsection*{Плотность множества рациональных чисел в множестве действительных}
+
+\begin{proposition}
+    Между любыми двумя неравными действительными числами найдётся рациональное.
+    \[
+    	(\forall a, b \in \R\ |\ a < b)(\exists c \in \Q)\ |\ a < c < b
+    \]
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    По определению действительных чисел
+    $$
+    a := \{[p_n; q_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty,\ b := \{[r_n; s_n]_\Q\}_{n = 1}^\infty
+    $$
+    $r_1 - q_1 > 0;\ r_1 > q_1 \Ra c:= \frac{r_1 + q_1}{2} \Ra a \le
+    q_n \le q_1 < c < r_1 \le r_n \le b$
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Равномощность}
+
+\begin{definition}
+    Множества $A$ и $B$ называются \textit{равномощными},
+    если существует биекция из $A$ в $B$. Обозначается как
+    $A \simeq B$
+\end{definition}
+
+\subsubsection*{Счётность}
+
+\begin{definition}
+    Множство $A$ называется \textit{счётным}, если оно равномощно $\N$
+\end{definition}
+
+\subsubsection*{Теорема Кантора}
+
+\begin{proposition}
+    $\Q$ счётно, $R$ - несчётно
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    По определению рационального числа, $(\forall r \in \Q)\ r = \frac{m}{n}, m \in \Z, n \in \N$. То есть число полностью задаётся парой $(m, n)$. Отсюда
+    \[
+    	\Q \subset \Z \times \N
+    \]
+    Построим таблицу, где номер столбца будет обозначать числитель,
+    а номер строки --- знаменатель рационального числа. 
+
+    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
+        \hline
+                     & 0 & 1 & -1 & 2\\
+        \hline
+        1 &        1 & 2 & 3 & 5\\
+        \hline
+        2 & $\times$ & 4 & 6 & \\
+        \hline
+        3 & $\times$ & 7 & & \\
+        \hline
+        4 & $\times$ & & & \\
+        \hline
+    \end{tabular}
+
+    Пронумеруем все клетки по диагонали (как в таблице). Так мы построили
+    биекцию между множеством $\Q$ и множеством $\N$. Значит, по определению
+    $\Q$ является счётным.
+
+    При помощи функций несложно показать, что $\R \simeq [0; 1)$. Предположим, что $[0; 1)$ - счётно, то есть $[0, 1) = \{x_1, x_2, \dots\}$
+    Запишем каждое число в виде десятичной дроби:
+    \begin{align*}
+		&{x_1 = 0, \alpha_{11} \alpha_{12} \alpha_{13}}
+        \\
+        &{x_2 = 0, \alpha_{21} \alpha_{22} \alpha_{23}}
+        \\
+        &{x_3 = 0, \alpha_{31} \alpha_{32} \alpha_{33}}
+        \\
+        &\vdots
+    \end{align*}
+    Рассмотрим число $\gamma = 0,\alpha_{11}\alpha_{22}\alpha_{33}\dots$. Сдвинем циклически на 1 назад каждую цифру числа (т.е. $\alpha'_{ii} = \alpha_{ii} - 1$ если $> 0$, иначе $\alpha'_{ii} = 9$) и посмотрим на число $\gamma'$
+    \[
+    	\gamma' = 0,\alpha'_{11}\alpha'_{22}\alpha'_{33}\dots
+    \]
+    Утверждение - данное число никогда не встречалось в таблице.
+    Действительно, для любого $x_m,\ m \in \N$ они будут различны 
+    в $\alpha_{mm}$ знаке. То есть предположение неверно и
+    $\R \gtrsim \N$
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    Множество, равномощное $\R$, называется множеством мощности
+    континуума.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Если $A \subset \R$ --- ограниченное сверху множество, то число
+
+    $M \in \R\ |\ (\forall a \in A)\ a \le M$ называется \textit{верхней гранью} множества $A$.
+    Наименьшая из верхних граней называется 
+    \textit{точной верхней гранью}, обозначается как $\sup A$
+    (supremum)
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Если $A \subset \R$ --- ограниченное снизу множество, то число
+    
+    $m \in \R\ |\ (\forall a \in A)\ a \ge m$ называется \textit{нижней гранью} множества $A$.
+    Наибольшая из нижних граней называется \textit{точной нижней гранью},
+    обозначается как $\inf A$ (infinum)
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    $c = \sup E \overset{def}{\lra} 
+    \System{
+    &(\forall x \in E)\ x \le c 
+    \\ 
+    &(\forall \eps > 0)(\exists x \in E)\ c - \eps < x}
+    $
+
+    $\sup E = \max E \lra c \in E$
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (О существовании точной верхней (нижней) грани).
+    Любое непустое ограниченное сверху (снизу) множество действительных чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Пусть $E \subset \R$ - ограниченное сверху множество. Обозначим через
+    $B$ множество всех верхних граней множества $E$ ($B \neq \emptyset$).
+    Тогда $A := \R \backslash B$.
+
+    Множество $E$ - непустое $\lra \exists x \in E$. Это значит, что
+    \[
+    	(\forall a \in \R,\ a < x) \Ra a \in A
+    \]
+    То есть и $A$ - непустое множество. При этом
+    \[
+    	(\forall b \in B) (\forall l \in \R \such l \ge b) \Ra l \in B
+    \]
+    В итоге имеем, что
+    \[
+    	A, B \subset \R;\ A \cap B = \emptyset;\ (\forall a \in A)
+        (\forall b \in B)\ a < b
+    \]
+    Значит, по свойству полноты множества $\R$:
+    \[
+    	(\exists c \in \R)(\forall a \in A, b \in B)\ a \le c \le b
+    \]
+    Докажем, что $c = \sup E$:
+    
+    Разберёмся с первой частью ($c \in B$): предположим обратное. Тогда
+    \[
+        c \notin B \Ra (\exists x \in E)\ x > c
+    \]
+    Рассмотрим число $\frac{c + x}{2}$:
+    \[
+        c < \frac{c + x}{2} < x
+    \]
+    Так как $\frac{c + x}{2} < x$, то $\frac{c + x}{2} \in A \Ra$ $c < a$, что противоречит его определению ($c \ge a$).
+    
+    Утверждение, что $c$ --- наименьший элемент множества $B$
+    доказывается также, от противного: пусть $(\exists c' \in B)
+    \ c' < c$. Тогда $(\exists b = c' \in B)\ b < c$, противоречие ($c \le b$).
+\end{proof}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/6lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/6lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..43847f31
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/6lecture.tex
@@ -0,0 +1,221 @@
+\subsection{Предел последовательности}
+
+\begin{definition}
+    $x_n := x(n)$, если существует отображение $x:\ \N \rightarrow \R$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Число $l \in \R$ называется \textit{пределом последовательности} $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subset R$, если
+    \[
+        (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ |x_n - l| < \eps
+    \]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Говорят, что последовательность $\{x_n\}$
+    \textit{сходящаяся}, или \textit{сходится} к $l$,
+    если $\exists l \in \R\ |\ \liml_{n \to \infty} x_n = l$.
+    В ином случае $\{x_n\}$ расходится.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+    \[
+        \liml_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \lra (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(n > N)\ \left|\frac{1}{n} - 0\right| < \eps
+    \]
+    Положим $N := \left\lceil\frac{1}{\eps}\right\rceil + 1$. Тогда $\forall n > N \Ra n > \frac{1}{\eps} \Ra |\frac{1}{n} - 0| < \eps \Ra$ предел доказан.
+\end{example}
+
+\begin{theorem}(О единственности предела последовательности).
+    Числовая последовательность может иметь не более одного предела.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Предположим, что $\exists l_1, l_2 \in \R\ |
+    \ \liml_{n \to \infty} x_n = l_1, \liml_{n \to \infty} x_n = l_2$. Тогда:
+    \[
+        \System{
+        \liml_{n \to \infty} x_n = l_1 \lra (\forall \eps > 0)
+        (\exists N_1 \in \N)(\forall n > N_1)\ |x_n - l_1| < \eps
+        \lra l_1 - \eps < x_n < l_1 + \eps
+        \\
+        \liml_{n \to \infty} x_n = l_2 \lra (\forall \eps > 0)
+        (\exists N_2 \in \N)(\forall n > N_2)\ |x_n - l_2| < \eps
+        \lra l_2 - \eps < x_n < l_2 + \eps
+        }
+    \]
+    Рассмотрим $\eps = \frac{l_2 - l_1}{2} > 0$, $\forall n > max(N_1, N_2)$:
+    \[
+        \System{
+        l_1 + \eps = l_1 + \frac{l_2 - l_1}{2} = \frac{l_1 + l_2}{2}
+        \\
+        l_2 - \eps = l_2 - \frac{l_2 - l_1}{2} = \frac{l_1 + l_2}{2}
+        }
+        \Ra \frac{l_1 + l_2}{2} < x_n < \frac{l_1 + l_2}{2}
+    \]
+    Получили противоречие, значит предположение неверно.
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Свойства предела, связанные с неравенствами}
+
+\begin{theorem}(Свойства предела, связанные с неравенствами)
+
+	\begin{enumerate}
+		\item (Ограниченность сходящейся последовательности) Если
+        последовательность сходится, то она ограничена.
+		
+		\item (Отделенность от нуля и сохранение знака) Если
+        последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ сходится к
+        $l \neq 0$, то $(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ \sgn x_n
+        = \sgn l$ и $|x_n| > \frac{|l|}{2}$
+		
+		\item (Переход к пределу в неравенстве) Если 
+        $\liml_{n \to \infty} x = x_0 \in \R$, $\liml_{n \to \infty}
+        y = y_0 \in \R$ и $(\exists N \in \N)(\forall n \ge N)\ x_n \le y_n \ 
+        (x_n < y_n)$, то $x_0 \le y_0$
+		
+		\item (О промежуточной последовательности) Если 
+        $\liml_{n \to \infty} x_n = \liml_{n \to \infty} z_n = l$ и
+        $(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ x_n \le y_n \le z_n$, то
+        $\exists \liml_{n \to \infty} y_n = l$
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}
+		\item По условию, $(\exists l \in \R)(\forall \eps > 0)
+        (\exists N \in \N)(\forall n > N)\ |x_n - l| < \eps$.
+		
+		Положим $\eps := 1 > 0$. Тогда $\forall n > N
+        \ l - 1 < x_n < l + 1$. Отсюда следует, что
+
+		\begin{align*}
+		x_n \le \max(x_1, x_2, \dots, x_N, l + 1) \Ra
+         \{x_n\}_{n = 1}^\infty - \text{ ограничена сверху}
+		\\
+		x_n \ge \min(x_1, x_2, \dots, x_N, l - 1) \Ra
+         \{x_n\}_{n = 1}^\infty - \text{ ограничена снизу}
+		\end{align*}
+		
+		\item По условию, $(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+        (\forall n > N)\ |x_n - l| < \eps \lra l - \eps < x_n < l + \eps$.
+		
+		Тогда, рассмотрим $\eps := \frac{|l|}{2} > 0$.
+		\begin{align*}
+		l > 0 \Ra x_n > l - \eps = \frac{l}{2} > 0 \Ra
+        \sgn x_n = \sgn l,\ |x_n| > |\frac{l}{2}|
+		\\
+		l < 0 \Ra x_n < l + \eps = \frac{l}{2} < 0 \Ra
+        \sgn x_n = \sgn l,\ |x_n| > |\frac{l}{2}|
+		\end{align*}
+		
+		\item От противного. Пусть $x_0 > y_0$. Тогда, по условию:
+		\begin{align*}
+		\liml_{n \to \infty} x_n = x_0 \lra (\forall \eps > 0)
+        (\exists N_1 \in \N)(\forall n > N_1)\ x_0 - \eps < x_n < x_0 + \eps
+		\\
+		\liml_{n \to \infty} y_n = y_0 \lra (\forall \eps > 0)
+        (\exists N_2 \in \N)(\forall n > N_2)\ y_0 - \eps < y_n < y_0 + \eps
+		\end{align*}
+		Рассмотрим $\eps := \frac{x_0 - y_0}{2} > 0$, $\forall n > \max(N_1, N_2)$:
+		\[
+			y_n < y_0 + \eps = \frac{x_0 + y_0}{2} = x_0 - \eps < x_n
+		\]
+		Получили противоречие ($x_n \le y_n$).
+		
+		\item По условию,
+		\[
+		\System{
+			\liml_{n \to \infty} x_n = l \lra (\forall \eps > 0)
+            (\exists N_1 \in \N)(\forall n > N_1)\ |x_n - l| < \eps
+			\\
+			\liml_{n \to \infty} z_n = l \lra (\forall \eps > 0)
+            (\exists N_2 \in \N)(\forall n > N_2)\ |z_n - l| < \eps
+		}
+		\]
+		Отсюда следует: $l - \eps < x_n \le y_n \le z_n < l + \eps \Ra |y_n - l| < \eps$, то есть $\liml_{n \to \infty} y_n = l$
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Арифметические операции со сходящимися последовательностями}
+
+\begin{theorem}
+    Арифметические операции со сходящимися последовательностями
+\end{theorem}
+
+Пусть $\liml_{n \to \infty} x_n = x_0 \in \R$,
+$\liml_{n \to \infty} y_n = y_0 \in \R$. Тогда
+
+\begin{enumerate}
+	\item $\liml_{n \to \infty} (x_n \pm y_n) = x_0 \pm y_0$
+	\item $\liml_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = x_0 \cdot y_0$
+	\item Если $(\forall n \in \N)\ y_n \neq 0$ и $y_0 \neq 0$, то $\liml_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{x_0}{y_0}$
+\end{enumerate}
+
+\begin{proof}
+\begin{enumerate}
+    \item[1.] 
+    По определению
+    \begin{align*}
+        (\forall \eps > 0)(\exists N_1 \in \N)(\forall n > N_1)
+        \ |x_n - x_0| < \frac{\eps}{2}
+        \\
+        (\forall \eps > 0)(\exists N_2 \in \N)(\forall n > N_2)
+        \ |y_n - y_0| < \frac{\eps}{2}
+    \end{align*}
+    Рассмотрим $\forall n > \max(N_1, N_2)$, тогда
+    \[
+        |(x_n \pm y_n) - (x_0 \pm y_0)| \le |x_n - x_0| + |y_n - y_0|
+        < \frac{\eps}{2} + \frac{\eps}{2} = \eps \Ra \liml_{n \to \infty}
+        (x_n \pm y_n) = x_0 \pm y_0
+    \]
+
+    \item[2.] 
+    $(\forall \eps > 0)(\exists N_1 \in \N)(\forall n > N_1)
+    \ |x_n - x_0| < \frac{\eps}{2(|y_0| + 1)}$
+    
+    Из теоремы выше, $(\exists C > 0)(\forall n \in \N)\ |x_n| \le C$
+    
+    $\liml_{n \to \infty} y_n = y_0 \lra (\forall \eps > 0)
+    (\exists N_2 \in \N)(\forall n > N_2)\ |y_n - y_0|
+    < \frac{\eps}{2C}$
+    
+    Рассмотрим $\forall n > \max(N_1, N_2)$:
+    \[
+        |x_n y_n - x_0 y_0| = |x_n y_n - x_n y_0 + x_n y_0 - x_0 y_0|
+        \le |x_n y_n - x_n y_0| + |x_n y_0 - x_0 y_0| =
+    \]
+    \[
+        = |x_n| \cdot |y_n - y_0| + |y_0| \cdot |x_n - x_0| < C
+        \cdot \frac{\eps}{2C} + |y_0|\frac{\eps}{2(|y_0| + 1)} < \eps
+    \]
+    \item[3.]
+    По условию,
+    \begin{align*}
+    	&(\forall \eps > 0)(\exists N_1 \in \N)(\forall n > N_1)
+        \ |x_n - x_0| < \frac{|y_0|}{2} \cdot \frac{\eps}{2}
+    	\\
+    	&(\forall \eps > 0)(\exists N_2 \in \N)(\forall n > N_2)
+        \ |y_n - y_0| < \frac{|y_0|^2}{2(|x_0| + 1)} \cdot \frac{\eps}{2}
+    \end{align*}
+    Так как $\liml_{n \to \infty} y_n = y_0 \neq 0$, то
+    начиная с некоторого номера $|y_n| > \frac{|y_0|}{2}$.
+    Будем считать, что это верно $\forall n > N_2$
+    (иначе можно \textit{подвинуть} наше значение $N_2$ вправо
+    настолько, что это станет верно).
+   	
+    Рассмотрим $\forall n > \max(N_1, N_2)$
+    \begin{multline*}
+        \left|\frac{x_n}{y_n} - \frac{x_0}{y_0}\right| =
+        \left|\frac{x_n y_0 - y_n x_0}{y_n y_0}\right| \le
+        \frac{|x_n y_0 - x_0 y_0|}{|y_n| \cdot |y_0|} +
+        \frac{|x_0 y_0 - y_n x_0|}{|y_n| \cdot |y_0|} =
+        \\
+        = \frac{|x_n - x_0|}{|y_n|} + \frac{|x_0| \cdot
+        |y_0 - y_n|}{|y_n| \cdot |y_0|} < |x_n - x_0|\cdot
+        \frac{2}{|y_0|} + |y_0 - y_n| \cdot \frac{2|x_0|}{|y_0|^2} <
+        \\
+        < \frac{\eps}{2} + \frac{\eps}{2} \cdot \frac{|x_0|}{|x_0| + 1}
+        < \eps
+    \end{multline*}
+\end{enumerate}
+\end{proof}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/7lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/7lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..3bbd3997
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/7lecture.tex
@@ -0,0 +1,334 @@
+\begin{definition}
+	Последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ называется
+	\textit{бесконечно малой}, если она сходящаяся и 
+	$\liml_{n \to \infty} x_n = 0$
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (Предел произведения б.м. и ограниченной последовательностей)
+	Если $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ - бесконечно малая, а
+	$\{y_n\}_{n = 1}^\infty$ ограничена, то
+	$\{x_ny_n\}_{n = 1}^\infty$ - бесконечно малая
+	последовательность.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	\begin{multline*}
+	 	\{y_n\}_{n = 1}^\infty$ - ограниченная $\Ra (\exists M > 0)
+		(\forall n \in \N)\ |y_n| \le M
+		\\
+		\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ - бесконечно малая $\Ra (\forall \eps > 0)
+		(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ |x_n| < \frac{\eps}{M}
+		\\
+		\Ra (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ 
+		|x_n y_n| = |x_n| |y_n| < \frac{\eps}{M} \cdot M \le \eps
+	\end{multline*}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	$\eps$-окрестностью числа $l \in \R$ называется $U_{\eps}(l) := (l - \eps, l + \eps)$. При этом $\eps > 0$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Предел последовательности через $\eps$-окрестность
+	определяется как $\liml_{n \ra \infty} x_n = l \lra 
+	(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ x_n \in U_{\eps}(l)$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Отрицательной бесконечностью называется объект, для которого верно высказывание
+	$$
+		\forall x \in \R \Ra -\infty < x
+	$$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Положительной бесконечностью называется объект, для которого верно высказывание
+	$$
+		\forall x \in \R \Ra x < +\infty
+	$$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Расширенным действительным множеством} называется множество
+	$$
+		\bar{\R} = \R \cup \{-\infty, +\infty\}
+	$$
+	На этом множестве нельзя складывать/умножать, но можно сравнивать
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	$\eps$-окрестность для бесконечностей определяется как
+	\begin{align*}
+		U_{\eps}(+\infty) := \left(\frac{1}{\eps}; +\infty\right)
+		\\
+		U_{\eps}(-\infty) := \left(-\infty; -\frac{1}{\eps}\right)
+		\\
+		U_{\eps}(\infty) := U_{\eps}(-\infty) \cup U_{\eps}(+\infty)
+	\end{align*}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Последовательностью $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ называется бесконечно большой, если
+	$$
+		\liml_{n \ra \infty} x_n = -\infty, +\infty \text{ или } \infty
+	$$
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (Связь б.м. и б.б. последовательностей)
+	Пусть $\{x_n\} \subset \R \bs \{0\}$, тогда
+	$\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ - б.м. $\lra
+	\{\frac{1}{x_n}\}_{n = 1}^\infty$ - б.б.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	:
+	\begin{enumerate}
+		\item $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ - б.м. $\Ra (\forall \eps > 0)
+		(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ |x_n| < \eps$.
+		Отсюда следует, что $\left|\frac{\dse 1}{\dse x_n}\right| > \frac{\dse 1}{\dse \eps} \lra \frac{\dse 1}{\dse x_n} \in U_{\eps}(\infty) \lra \liml_{n \ra \infty} \frac{\dse 1}{\dse x_n} = \infty$
+		
+		\item $\liml_{n \ra \infty} \frac{1}{x_n} = \infty \lra 
+		(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ \left|\frac{\dse 1}{\dse x_n}\right| > \frac{\dse 1}{\dse \eps} \Ra 0 < |x_n| < \eps \lra \liml_{n \to \infty} x_n = 0$
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ называется
+	\textit{неубывающей}, если
+	\[
+		(\forall n \in \N)\ x_n \le x_{n + 1}
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ называется
+	\textit{невозрастающей}, если
+	\[
+		(\forall n \in \N)\ x_n \ge x_{n + 1}
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ называется
+	\textit{убывающей}, если
+	\[
+		(\forall n \in \N)\ x_n > x_{n + 1}
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ называется
+	\textit{возрастающей}, если
+	\[
+		(\forall n \in \N)\ x_n < x_{n + 1}
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (Вейерштрасса о монотонных последовательностях)
+	Если $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ ограниченная сверху и
+	неубывающая последовательность, то $\exists
+	\liml_{n \ra \infty} x_n = \sup \{x_n\}$. Если же
+	невозрастающая и ограниченная снизу, то
+	$\liml_{n \ra \infty} x_n = \inf \{x_n\}$
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Приведём доказательство только для ограниченной сверху и неубывающей последовательности.
+	\[
+		l := \sup \{x_n\} \lra \System{
+		&(\forall n \in \N)\ x_n \le l
+		\\
+		&(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)\ l - \eps < x_N \le l
+		}
+	\]
+	Рассмотрим $(\forall n > N)$. Тогда
+	\[
+		l + \eps > l \ge x_n \ge x_{n - 1} \ge
+		\dots \ge x_N > l - \eps \Ra |x_n - l| < \eps
+	\]
+	То есть
+	\[
+		(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N)
+		\ |x_n - l| < \eps
+	\]
+	Что и доказывает наше утверждение.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	Каждая монотонная последовательность имеет предел в $\bar{\R}$
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	Для доказательства данного утверждения нам нужно дополнить
+	теорему Вейерштрасса двумя случаями:
+	
+	Пусть $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ - неубывающая неограниченная
+	сверху $\Ra (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)\ x_N >
+	\frac{1}{\eps}$ и при этом $(\forall n > N)\ x_n \ge x_{n - 1}
+	\ge \dots \ge x_N > \frac{1}{\eps} \Ra \liml_{n \to \infty}
+	x_n = +\infty$.
+
+	Аналогично доказывается случай для невозрастающей
+	неограниченной снизу последовательности.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Последовательность вложенных отрезков --- это
+	$\{[a_n; b_n]\}_{n = 1}^\infty$, ($a_n < b_n\
+	\forall n \in \N)$ такая, что $(\forall n \in \N)
+	\ [a_n; b_n] \supset [a_{n + 1}; b_{n + 1}]$
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (Принцип Кантора вложенных отрезков)
+	Каждая система вложенных отрезков имеет непустое пересечение, то есть
+	\[
+		\bigcap\limits_{n = 1}^\infty [a_n; b_n]
+		\neq \emptyset
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	$[a_n; b_n] \supset [a_{n + 1}; b_{n + 1}] \Ra \left((a_n \le a_{n + 1}) \wedge (b_n \ge b_{n + 1})\right)$
+	
+	Следовательно, $\{a_n\}$ --- неубывающая, а $\{b_n\}$ ---
+	невозрастающая
+	
+	$a_n \le b_n \le b_1$, а $a_1 \le a_n \le b_n$ ($\{a_n\}$ и $\{b_n\}$
+	ограничены сверху и снизу соответственно), то есть по теореме Вейерштрасса
+
+	\begin{align*}
+		&\exists a = \liml_{n \ra \infty} a_n = \sup \{a_n\}
+		\\
+		&\exists b = \liml_{n \ra \infty} b_n = \inf \{b_n\}
+	\end{align*}
+	Так как $(\forall n \in \N)\ a_n \le b_n$, то предельный переход даёт неравенство $a \le b$
+	
+	Ну а учитывая равенства пределов, получим $a_n \le a \le
+	b \le b_n \Ra (\exists x \in [a; b])\ a_n \le a \le x \le
+	b \le b_n$, что и доказывает непустоту пересечения.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Стягивающейся системой отрезков называется система вложенных
+	отрезков, длины которых образуют б.м. последовательность.
+\end{definition}
+
+\begin{addition}
+	Система стягивающихся отрезков имеет пересечение, состоящее
+	из одной точки.
+\end{addition}
+
+\begin{proof}
+	$a_n \le a \le b \le b_n \Ra 0 \le b - a \le b_n - a_n
+	\Ra a = b$
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Подпоследовательностью последовательности
+	$\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ называется $\{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty$,
+	где $\{n_k\}_{k = 1}^\infty$ - возрастающая последовательность
+	натуральных чисел
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Частичным пределом последовательности $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$
+	называется предел её некоторой подпоследовательности.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (Эквивалентное определение частичного предела)
+	Число $l \in \R$ является частичным пределом
+	$\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ тогда и только тогда, когда
+	$(\forall \eps > 0)(\forall N \in \N)(\exists n > N)\ |x_n - l| < \eps$
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}:
+\begin{enumerate}
+	\item Необходимость: $l$ - частичный предел. То есть 
+	\[
+		l = \liml_{k \to \infty} x_{n_k} \lra (\forall \eps > 0)
+		(\exists K \in \N)(\forall k > K)\ |x_{n_k} - l| < \eps
+	\]
+	При этом помним, что $\{n_k\}$ - возрастающая
+	последовательность натуральных чисел
+	
+	Следовательно, для $(\forall N \in \N)$ найдётся
+	$(K_1 \in \N)(n_{K_1} > N)$, а значит и $n := n_{K_1 + 1}
+	\Ra (n > n_{K_1} > N)\ |x_n - l| < \eps$
+	
+	В итоге имеем:
+	\[
+		(\forall \eps > 0)(\forall N \in \N)(\exists n > N)
+		\ |x_n - l| < \eps
+	\]
+	\item Достаточность: Пусть для $l$ верно, что
+	$(\forall \eps > 0)(\forall N \in \N)(\exists n > N)
+	\ |x_n - l| < \eps$
+	
+	Построим сходящуюся подпоследовательность:
+	\begin{align*}
+		&\eps := 1 & &N := 1 & &(\exists n_1 \in \N)\ n_1 > 1,\ |x_{n_1} - l| < 1
+		\\
+		&\eps := 1/2 & &N := n_1 & &(\exists n_2 \in \N)\ n_2 > n_1,\ |x_{n_2} - l| < 1/2
+		\\
+		&\dots
+	\end{align*}
+	По построению $\{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty$ такова, что
+	$(\forall \eps > 0)(\exists K \in \N)(\forall k > K)\ |x_{n_k} - l| < \eps$
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Больцано-Вейерштрасса) \label{Bolzano–Weierstrass}
+	Из каждой ограниченной последовательности действительных
+	чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	$\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ --- ограниченная, тогда
+	$\exists [a_1; b_1] \supset \{x_n\}_{n = 1}^\infty$
+	
+	Разделим отрезок пополам. Утверждение: хотя бы 1 из половин
+	содержит бесконечное число членов последовательности.
+	
+	Пусть $[a_2; b_2]$ - та из половин $[a_1; b_1]$, которая
+	содержит бесконечно много членов последовательности $\{x_n\}$
+	(левую, если в обеих $\infty$).
+	Продолжая, получим последовательность вложенных отрезков
+	$\{[a_n; b_n]\}_{n = 1}^\infty$. Так как $b_n - a_n =
+	\frac{b_1 - a_1}{2^{n - 1}}$.
+	
+	Следовательно, $\{[a_n; b_n]\}_{n = 1}^\infty$ - система
+	стягивающихся отрезков, по принципу Кантора $\exists c =
+	\bigcap\limits_{n = 1}^\infty [a_n; b_n]$. Докажем, что
+	$c$ - частичный предел.
+	
+	$x_{n_1} = x_1\ ;\ x_{n_2} \in [a_2; b_2]\ 
+	\dots\ x_{n_k} \in [a_k; b_k]$. Отсюда $0
+	\le |c - x_{n_k}| \le b_k - a_k = \frac{b_1 - a_1}{2^{k - 1}}
+	\underset{{k \to \infty}}{\ra} 0$.
+\end{proof}
+
+\begin{addition}
+	Каждая числовая последовательность $\forall
+	\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ имеет хотя бы 1 частичный предел из
+	$\bar{\R}$, то есть $\exists \{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty\ 
+	|\ \liml_{k \ra \infty} x_{n_k} = l \in \bar{\R}$
+\end{addition}
+
+\begin{proof}
+	Если последовательность ограничена, то смотрим теорему Больцано-Вейерштрасса.
+	
+	Если последовательность неограничена сверху, то построим подпоследовательность:
+	\begin{align*}
+		&M := 1 & &\Ra (\exists n_1 \in \N)\ x_{n_1} > 1
+		\\
+		&M := \max(2, x_1, x_2, \dots, x_{n_1}) & &\Ra (\exists n_2 \in \N)\ x_{n_2} > \max(2, x_{n_1}) \ge 2,\ n_2 > n_1
+		\\
+		&\dots
+	\end{align*}
+	Получили $\{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty$ такую, что
+	$(\forall k \in \N)\ x_{n_k} > k$. Несложно показать,
+	что данная последовательность - бесконечно большая.
+	
+	Аналогично доказывается случай, когда последовательность неограничена снизу.
+\end{proof}
+
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/8lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/8lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..9fae24d7
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/8lecture.tex
@@ -0,0 +1,285 @@
+\begin{definition}
+	\textit{Верхним пределом последовательности} $\{x_n\}_{n = 1}^\infty
+	\subset R$ называется наибольший из её частичных пределов
+	$\overline{\liml_{n \ra \infty}} x_n$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Нижним пределом последовательности} $\{x_n\}_{n = 1}^\infty
+	\subset R$ называется наименьший из её частичных пределов
+	$\varliminf\limits_{n \ra \infty} x_n$.
+\end{definition}
+
+\begin{anote}
+	Следует помнить, что частичный предел может быть бесконечным.
+	Следовательно, верхний и нижний тоже.
+\end{anote}
+
+\begin{theorem} (3 определения верхнего и нижнего пределов)
+	Для любой ограниченной последовательности $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$
+	существуют \underline{конечные} $L = \overline{\liml_{n \to \infty}}
+	x_n$, $l = \varliminf\limits_{n \to \infty} x_n$.
+	Для них справедливы следующие утверждения:
+	\begin{enumerate}
+		\item
+		\begin{enumerate}
+			\item верхний предел
+			$\System{
+			(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+			(\forall n > N)\ x_n < L + \eps 
+			\\
+			(\forall \eps > 0)(\forall N \in \N)(\exists n > N)
+			\ x_n > L - \eps}$ 
+			
+			\item нижний предел
+			$\System{
+			(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N)
+			\ x_n > l - \eps
+			\\
+			(\forall \eps > 0)
+			(\forall N \in \N)(\exists n > N)\ x_n < l + \eps}$
+		\end{enumerate}
+		
+		\item 
+			$L = \liml_{n \to \infty} \sup \{x_n, x_{n + 1} \dots\}$
+		
+			$\ l = \liml_{n \to \infty} \inf \{x_n, x_{n + 1}, \dots\}$
+	\end{enumerate}
+	Причём определения равносильны (стандартное и эти 2 пункта).
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Доказательство приводится только для верхнего предела.
+	Для нижнего оно аналогично.
+	
+	Рассмотрим последовательность $s_n := \sup \{x_n, x_{n + 1},
+	\dots\} = \sup\limits_{m \ge n} x_m$. Мы можем это сделать,
+	так как $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ ограничена по условию
+	теоремы. Несложно заметить 2 утверждения из данного
+	определения:
+	\begin{align*}
+		&s_n \ge s_{n + 1}
+		\\
+		&s_n \ge \inf \{x_n\}
+	\end{align*}
+	А значит по теореме Вейерштрасса, данная последовательность
+	сходится и имеет предел $L := \liml_{n \to \infty} s_n = \inf
+	\{s_n\}$. 
+	
+	Покажем, что для этой последовательности верен первый пункт.
+	Тут есть два варианта доказательства:
+	\begin{itemize}
+		\item 
+			По определению предела 
+			\[
+				(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N)
+				\ |s_n - L| < \eps
+			\]
+			Так как $s_n := \sup \{x_n, x_{n + 1}, \dots\}$, то
+			$x_n \le s_n < L + \eps$ (доказано следствие первой части
+			п.1. из п.2.).
+			
+			Рассмотрим $N \in \N$ и $s_{N + 1} = \sup \{x_{N + 1},
+			x_{N + 2}, \dots\}$. Так как $L = \inf \{s_n\}$, то 
+			\[
+				s_{N + 1} \ge L
+			\]
+			А так как $s_n := \sup \{x_n, x_{n + 1}, \dots\}$,
+			то ещё имеем
+			\[
+				(\forall \eps > 0)(\forall N \in \N)(\exists n > N)
+				\ x_n > s_{N + 1} - \eps \ge L - \eps \Ra x_n > L -\eps
+			\]
+			(доказано следствие второй части п.1. из п.2.)
+		\item
+			Так же из определения предела:
+
+			$(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+			(\forall n > N)\ |s_n - L| < \eps \lra L - \eps <
+			s_n < L + \eps$
+			
+			$\System{
+				s_n < L + \eps \Ra (\forall m \ge n)\ x_m <
+				L + \eps \Ra (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+				(\forall m \ge N)\ x_m < L + \eps
+				\\
+				L - \eps < s_n \Ra (\exists m \ge n)\ x_m >
+				L - \eps \Ra (\forall \eps > 0)(\forall N \in \N)
+				(\exists m \ge N)\ x_m > L - \eps
+			}$
+	\end{itemize}
+	
+	
+	Теперь докажем, что из пункта 1 $\Ra L$ - наибольший частичный
+	предел $\{x_n\}$. Построим подпоследовательность:
+	\begin{align*}
+		&\eps := 1 & &\System{&(\exists N \in \N)(\forall n > N)
+		\ x_n < L + 1
+		\\ &(\forall N \in \N)(\exists n_1 > N)\ x_{n_1} > L - 1}
+		\Ra |x_{n_1} - L| < 1
+		\\
+		&\eps := \frac{1}{2} & &\System{&(\exists N \in \N)
+		(\forall n > N)\ x_n < L + \frac{1}{2}
+		\\ &(\forall N \in \N)(\exists n_2 > \max{(n_1, N)})
+		\ x_{n_2} > L - \frac{1}{2}} \Ra |x_{n_2} - L| < \frac{1}{2}
+		\\
+		&\dots& & \dots
+		\\
+		&\eps := \frac{1}{k} & &\System{&(\exists N \in \N)
+		(\forall n > N)\ x_n < L + \frac{1}{k}
+		\\ &(\forall N \in \N)(\exists n_k > \max{(n_{k - 1}, N)})
+		\ x_{n_k} > L - \frac{1}{k}} \Ra \underbrace{0}_{\to 0} \le
+		|x_{n_k} - L| < \underbrace{\frac{1}{k}}_{\to 0}\Ra \exists
+		\liml_{k \to \infty} x_{n_k} = L
+	\end{align*}
+
+
+
+	Существование номера обусловлено тем, что мы вначале
+	применяем первую часть пункта 1., а затем подставляем во
+	вторую часть пункта 1 и находим такое $n_k$, что для него
+	верны оба неравенства сразу.
+	
+	Получили $\{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty$ такую, что
+	$\liml_{k \to \infty} x_{n_k} = L$. Осталось доказать, что
+	этот частичный предел и есть наибольший:
+	
+	Рассмотрим произвольную $\{x_{m_i}\}_{i = 1}^\infty$ такую,
+	что $\exists \liml_{i \to \infty} x_{m_i} = t$.
+	Из уже доказанного пункта 1. следует, что
+	\[
+		(\forall \eps > 0)(\exists I \in \N)(\forall i > I)
+		\ x_{m_i} < L + \eps
+	\]
+	
+	Совершая предельный переход в неравенстве, получим
+	\[
+		(\forall \eps > 0)\ t \le L + \eps
+	\]
+	Отсюда понятно, что $t \le L$, то есть $L$ действительно наибольший
+	частичный предел.
+\end{proof}
+
+\begin{anote}
+	По моему мнению, ключевая идея выше в том, что мы всегда
+	из-за ограниченности можем рассмотреть последовательность
+	$s_n$ и доказать, что её предел либо удовлетворяет другому
+	определению, либо свойству (которое можно принять за
+	определение).
+\end{anote}
+
+\begin{definition}
+	Последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ называется
+	\textit{фундаментальной}, или же \textit{последовательностью
+	Коши}, если $(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+	(\forall n > N)(\forall p \in \N)\ |x_{n + p} - x_n| < \eps$
+	Эквивалентная форма: $(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+	(\forall m, n > N)\ |x_m - x_n| < \eps$
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (Критерий Коши)
+	Последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ сходится тогда и
+	только тогда, когда она фундаментальна. 
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}:
+	\begin{enumerate}
+		\item (Необходимость) Сходимость $\Ra$ фундаментальность
+		
+		Пусть $\exists \liml_{n \ra \infty} x_n = l$, тогда
+		\[
+			(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+			(\forall n > N)\ |x_n - l| < \frac{\eps}{2}
+		\]
+		
+		Тогда $(\forall p \in \N)\ n + p > N \Ra |x_{n + p} - l|
+		< \frac{\eps}{2}$
+		
+		$|x_{n + p} - x_n| = |x_{n + p} - l + l - x_n| \le
+		|x_{n + p} - l| + |l - x_n| < \frac{\eps}{2} +
+		\frac{\eps}{2} = \eps$
+		
+		\item (а) Фундаментальность $\Ra$ ограниченность
+		
+		Согласно свойству фундаментальности, положим
+		$\eps := 1 \Ra n := N + 1$. Теперь
+		\[
+			(\forall p \in \N)\ |x_{N + 1 + p} - x_{N + 1}| < 1
+			\Ra x_{N + 1} - 1 < x_{N + 1 + p} < x_{N + 1} + 1
+		\]
+		Отсюда для $(\forall m \in \N)$
+		\[
+			\min(x_1, \dots, x_{N + 1}) - 1 < x_m <
+			\max(x_1, \dots, x_{N + 1}) + 1
+ 		\]
+ 		
+ 		\item (б) Фундаментальность $\Ra$ ограниченность $\Ra$
+		сходимость. 
+ 		
+		Так как последовательность ограничена, то по теореме
+		Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящуюся
+		подпоследовательность.
+		\[
+			(\exists \{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty)\ \liml_{k \to \infty} x_{n_k} = l
+		\]
+		По определению предела,
+		\[
+			(\forall \eps > 0)(\exists K \in \N)(\forall k > K)
+			\ |x_{n_k} - l| < \frac{\eps}{2}
+		\]
+		При этом исходная последовательность фундаментальна. То есть
+		\[
+			(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)(\forall n > N)
+			(p \in \N)\ |x_{n + p} - x_n| < \frac{\eps}{2}
+		\]
+		Рассмотрим $(\forall m > \max(N, n_{K + 1}))$, тогда
+		\[
+			|x_m - l| \le |x_m - x_{n_{K + 1}}| +
+			|x_{n_{K + 1}} - l| < \frac{\eps}{2} + \frac{\eps}{2} = \eps
+		\]
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Число Эйлера)
+	Последовательность $\{x_n = \left(1 +
+	\frac{1}{n}\right)^n\}_{n = 1}^\infty$ сходится.
+	Её предел называется числом $e$.
+	\[
+		e \approx 2,718281828459045\dots
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Рассмотрим последовательность $y_n :=
+	\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1}$.
+	Докажем, что $y_n$ убывает. Используем неравенство Бернулли:
+	$(\forall x > -1)(\forall n \in \N)\ (1 + x)^{n} \ge 1 + nx$ (*)
+	\begin{multline*}
+		\frac{y_{n - 1}}{y_n} = \frac{(1 + \frac{1}{n - 1})^n}
+		{(1 + \frac{1}{n})^{n + 1}} = \left(\frac{\frac{n}{n - 1}}
+		{\frac{n + 1}{n}}\right)^{n+1} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}
+		{n - 1}} = \left(\frac{n^2}{n^2 - 1}\right)^{n+1}
+		\cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{n - 1}} = 
+		\\
+		=\left(1 + \frac{1}{n^2 - 1}\right)^{n+1} \cdot
+		\frac{1}{1 + \frac{1}{n - 1}} \underset{(*)}{\ge}
+		\left(1 + \frac{n + 1}
+		{n^2 - 1}\right) \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{n - 1}} = 
+		\\
+		=\left(1 + \frac{1}{n - 1}\right) \cdot \frac{1}{1 + 
+		\frac{1}{n - 1}} = 1,\  n > 1 \Ra \frac{y_{n - 1}}{y_n}
+		\ge 1 \Ra y_n \le y_{n - 1}
+	\end{multline*}
+	При этом $\{y_n\}$ - ограниченная снизу последовательность,
+	так как $(\forall n \in \N)\ y_n \ge 0$
+	
+	Следовательно, по теореме Вейерштрасса $\{y_n\}$ сходится.
+	Её предел равен $e$.
+	
+	Покажем, что к тому же пределу сходится и $x_n$:
+	\[
+		\liml_{n \to \infty} x_n = 
+		\frac{\liml_{n \to \infty} y_n }{\liml_{n \to \infty}
+		\left(1 + \frac{1}{n}\right)} = \frac{e}{1 + 0} = e
+	\]
+\end{proof}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/9lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/9lecture.tex
new file mode 100644
index 00000000..5a3eef56
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/lectures/9lecture.tex
@@ -0,0 +1,387 @@
+\subsection{Предел функции}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Проколотой $\delta$-окрестностью} точки $a \in \R$ называется окрестность
+	точки $a$, из которой удалена сама точка $a$, т.е. 
+	$\mc{U}_{\delta}(a) = U_{\delta}(a) \bs \left\{a\right\};
+	\ \mc{U}_{\delta}((\pm)\infty) := U_{\delta}((\pm)\infty)$.
+	Иначе говоря, проколотая окрестность - это множество:
+	\[
+		\mc{U}_{\delta}(a) := (a - \delta; a) \cup (a; a + \delta)
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{note}
+	Далее, если не оговорено иного,
+	будем считать, что $f : X \ra \R$, $X \subset \R$
+	определена в некоторой $\mc{U}_{\delta_0}(a)
+	\subset X$, $\delta_0 > 0$
+\end{note}
+
+\begin{definition} (Предел по Коши)
+	
+	Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой
+	проколотой окрестности $a \in \overline{\R} \cup \left\{\infty\right\}$. 
+	Тогда $A \in \overline{\R} \cup \left\{\infty\right\}$ называется
+	\textit{пределом функции} $f(x)$ в точке $a$, если:
+
+	\[
+		\left(\forall \eps > 0\right)\left(\exists \delta > 0
+		\right)\left(\ \forall x \in \mc{U}_{\delta}(a)\right)
+		\ f(x) \in U_{\eps}(A) \lra \liml_{x \to a} f(x) = A
+	\]
+
+	Или же для $a \in \R; A \in \R$
+
+	\[
+		(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)
+		\left(\forall x,\ 0 < |x - a| < \delta\right) \ 
+		|f(x) - A| < \eps
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition} (Предел по Гейне)
+	
+	Пусть область опредедления $X$ функции $f(x)$ содержит некоторую
+	проколотую окрестность точки $a$. Тогда
+	
+	\[
+		\liml_{x \to a} f(x) = A \lra \left(\forall \{x_n\}
+		\subset X \bs \{a\}\ \liml_{n \to \infty} x_n = a\right)
+		\ \liml_{n \to \infty} f(x_n) = A
+	\]
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+	Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}
+		\item (К $\Ra$ Г)
+		
+		Рассмотрим $\forall \{x_n\} \subset X \bs \{a\},
+		\ \liml_{n \to \infty} x_n = a$. По определению предела
+		\[
+			(\forall \delta > 0)(\exists N \in \N)
+			(\forall n > N)\ |x_n - a| < \delta
+		\]
+		Так как $(\forall n \in \N)\ x_n \in X \bs \{a\}$,
+		тогда отсюда следует
+		\[
+			(\forall \delta > 0)(\exists N \in \N)
+			(\forall n > N)\ x_n \in \mc{U}_{\delta}(a)
+		\]
+		По условию выполнено утверждение:
+		\[
+			\liml_{x \to a} f(x) = A \lra (\forall \eps > 0)
+			(\exists \delta > 0)(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(a))
+			\ f(x) \in U_{\eps}(A)
+		\]
+		То есть для любого $\eps > 0$ найдётся $\delta > 0$, для которого верно 2 условия:
+		\[
+		\System{
+			&{(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ x_n \in
+			\mc{U}_{\delta}(a)}
+			\\
+			&{(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(a))\ f(x) \in U_{\eps}(A)}
+		}
+		\]
+		В итоге имеем:
+		\[
+			(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+			(\forall n > N)\ f(x_n) \in U_{\eps}(A) \lra \liml_{n \to \infty} f(x_n) = A
+		\]
+		То есть для любой такой последовательности
+		
+		\item (Г $\Ra$ К)
+		
+		Докажем от противного, то есть при выполненности
+		определения Гейне неверно определение Коши:
+		$(\exists \eps > 0)(\forall \delta > 0)
+		(\exists x \in \mc{U}_{\delta}(a))\ f(x) \notin U_{\eps}(A)$
+		
+		Зафиксируем $\eps$ и подставим разные $\delta$:
+		\begin{align*}
+			&\delta := 1 & &{\exists x_1 \in \mc{U}_{1}(a)} & &{f(x_1) \notin U_{\eps}(A)}
+			\\
+			&\delta := 1/2 & &{\exists x_2 \in \mc{U}_{1/2}(a)} & &{f(x_2) \notin U_{\eps}(A)}
+			\\
+			&\dots & &\dots & &\dots
+			\\
+			&\delta := 1/n & &{\exists x_n \in \mc{U}_{1/n}(a)} & &{f(x_n) \notin U_{\eps}(A)}
+			\\
+			&\dots & &\dots & &\dots
+		\end{align*}
+		
+		Получили последовательность
+		$\{x_n\}_{n = 1}^\infty \such (\forall n \in \N)
+		\ x_n \in \mc{U}_{1/n}(a),\ f(x_n) \notin U_{\eps}(A)$
+		
+		То есть по определению эта последовательность стремится к $a$:
+		\[
+			(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+			(\forall n > N)\ x_n \in \mc{U}_{\eps}(a) \lra \liml_{n \to \infty} x_n = a
+		\]
+		А из определения предела по Гейне для этой последовательности верно:
+		\[
+			\liml_{n \to \infty} f(x_n) =
+			A \lra (\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+			(\forall n > N)\ f(x_n) \in U_{\eps} (A)
+		\]
+		Противорчеие: мы получили $\eps$,
+		при котором $(\forall n \in \N)\ f(x_n) \notin U_\eps(A)$,
+		хотя должен был найтись номер, начиная с которого в этом
+		$\eps$ будут лежать значения последовательности.
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Геометрический смысл предела функции}
+
+\[
+	\liml_{x \ra a} f(x) = A \lra \forall \eps > 0\ \exists \delta > 0\ |\ \forall x,\ 0 < |x - a| < \delta \Ra |f(x) - A| < \eps
+\]
+
+\begin{center}
+ \begin{tikzpicture}[scale=1]
+	% Axis
+	\coordinate (y) at (0,5);
+	\coordinate (x) at (6,0);
+	\draw[<->] (y) node[above] {$y$} -- (0,0) --  (x) node[right] {$x$};
+	\draw (-0.4,0) -- (0,0) --  (0,-0.4);
+	
+	\path
+	coordinate (start) at (1,0.5)
+	coordinate (c1) at +(2,1.7)
+	coordinate (c2) at +(4,2.5)
+	coordinate (top) at (4.8,3.6);
+	
+	\draw[style={thick}] plot [smooth, tension=0.6] coordinates {(start) (c1) (c2) (top)};
+	
+	\draw[style={dotted}] (c1) -- (2,0) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={below:$a - \delta$}] {};
+	\draw[style={dotted}] (c2) -- (4,0) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={below:$a + \delta$}] {};
+	\draw[style={dotted}] (3,2.1) -- (3,0) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={below:$a$}] {};
+	
+	\draw[style={dotted}] (c1) -- (0,1.7) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={left:$A - \eps$}] {};
+	\draw[style={dotted}] (c2) -- (0,2.5) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={left:$A + \eps$}] {};
+	\draw[style={dotted}] (3,2.1) -- (0,2.1) node[circle, fill, inner sep = 1pt, label={left:$A$}] {};
+	
+	\filldraw [black] (c1) circle (1.2pt);
+	\filldraw [black] (c2) circle (1.2pt);
+	\filldraw [black] (3, 2.1) circle (1.2pt);
+	
+	\draw (top) node[below right, black] {$y = f(x)$};
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{example}
+	Почему мы не берём сам предел в окрестность? А потому,
+	что мы это используем при расчёте пределов:
+	\[
+		\liml_{x \ra 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} =
+		\liml_{x \ra 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} =
+		\liml_{x \ra 1} (x + 1) = 2
+	\]
+	
+	Проверка:
+	$(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x)\ 0 <
+	|x - 1| < \delta\ \ \left|\frac{x^2 - 1}{x - 1} - 2\right| < \eps$
+	
+	Примем $\delta := \eps$: $0 < |x - 1| < \eps \Ra
+	\left|\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} - 2\right| = |x - 1| < \eps$
+	
+	Если мы бы допустили, что $a$ включено в $\delta$-окрестность,
+	то никакое бы $\delta$ не подошло - для значения $x = a = 1$
+	было бы неверно, что $f(1) \in U_{\delta}(2)$
+\end{example}
+
+\begin{example} (Функция Дирихле)
+	\[
+		f(x) = \System{&{1, x \in \Q} \\ &{0, x \in \R \bs \Q}} = \mathbbm{1}
+	\]
+	Докажем, что $(\forall a \in \R)(\not\exists A)\ \liml_{x \ra a} f(x) = A$:
+	
+	\begin{enumerate}
+		\item $a \in \Q$
+		
+		$x'_n = a - \frac{1}{n} \in \Q \Ra f(x'_n) = 1$
+		
+		$x''_n = a - \frac{\sqrt{2}}{n} \in \R \bs \Q \Ra f(x''_n) = 0$
+		
+		\item $a \in \R \bs \Q$
+		
+		$x'_n = a - \frac{1}{n} \in \R \bs \Q \Ra f(x'_n) = 0$
+		
+		$x''_n = (a)_n \in \Q \Ra f(x''_n) = 1$
+		(десятичное представление $a$ до $n$-го знака)
+	\end{enumerate}
+\end{example}
+
+\begin{note} Из определения Гейне и единственности
+	предела последовательности следует единственность предела
+	функции (за исключением некоторых бесконечностей).
+\end{note}
+
+\subsubsection*{Свойства предела функции, связанные с неравенствами}
+
+\begin{theorem}
+	Свойства предела функции, связанные с неравенствами
+\end{theorem}
+
+\begin{enumerate}
+	\item (Ограниченность)
+	
+	Если $\liml_{x \ra a} f(x) = A \in \R$, то $f(x)$ ограничена в
+	некоторой проколотой окрестности точки $a$, т.е.
+
+	\[
+		(\exists \delta > 0)(\exists C > 0)
+		\left(\forall x \in \mc{U}_\delta(a)\right)\ |f(x)| < C
+	\]
+	
+	\item (Отделимость от 0 и сохранение знака)
+	
+	Если $\liml_{x \ra a} f(x) = A \in \bar{\R}
+	\bs \left\{0\right\}$, то 
+
+	$(\exists \delta > 0)(\exists c > 0)
+ 	\left(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(a)\right)\ 
+	|f(x)| > c$, причем 
+		
+	$sign(f(x)) = sign(A)
+    \ (sign(\pm \infty) = \pm 1)$
+
+	\item (Переход к пределу в неравенствах) 
+	
+	Если 
+	$$
+	\System{
+		&{\exists \delta > 0\ |\ \forall x \in \mc{U}_{\delta}(a)\ f(x) \le g(x)}
+		\\
+		&{\exists \liml_{x \ra a} f(x), \liml_{x \ra a} g(x) \in \bar{\R}}
+	}
+	$$
+	то $A \le B$. ($-\infty < x < +\infty \ \forall x \in \R$)
+	
+	\item (О трёх функциях) Если $(\exists \delta > 0)\left(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(a)\right),\ f(x) \le g(x) \le h(x)$ и $\liml_{x \ra a} f(x) = \liml_{x \ra a} h(x) = A \in \bar{\R}$, то $\liml_{x \ra a} g(x) = A$.
+\end{enumerate}
+
+\begin{proof}
+\begin{enumerate}
+	% 1 пункт
+	\item $(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0) \left(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(a) \right) \  |f(x) - A| < \eps$
+
+	Рассмотрим $\eps := 1$: $(\exists \delta > 0) \left(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(a)\right)\ A - 1 < f(x) < A + 1 \Ra |f(x)| < \underbrace{|A| + 1}_{:= C}$
+	
+	% 2 пункт
+	\item $(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)\left( \forall x \in \mc{U}_{\delta}(a) \right) \ f(x) \in U_{\eps}(A)$
+	
+	Первый случай $A = \pm \infty$
+	
+	$\liml_{x \to a}f(x) = A \lra (\forall \eps > 0)
+	(\exists \delta > 0)\left(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(a)\right)
+	\ f(x) \in U_\eps (A)$
+
+	$A = +\infty \Ra \ f(x) \in U_\eps (A) \lra f(x) > \frac{1}{\eps} > 0 \Ra \ sign(f(x)) = sign(A)$
+
+	$A = -\infty \Ra \ f(x) \in U_\eps (A) \lra f(x) < - \frac{1}{\eps} < 0 \Ra \ sign(f(x)) = sign(A)$
+
+	$\Ra$ выберем $\eps := 1; c = 1 \Ra |f(x)| > c$.
+
+	Если же $A \in \R \bs \{0\}$, то $\eps := \frac{|A|}{2} > 0$, $f(x) \in U_{\eps}(A) \lra |f(x) - A| < \frac{|A|}{2}$
+	
+	Раскроем модуль: $A - \frac{|A|}{2} < f(x) < A + \frac{|A|}{2}$
+	
+	Если $A > 0 \Ra A - \frac{|A|}{2} = \frac{A}{2} > 0$. Иначе $A + \frac{|A|}{2} = \frac{A}{2} < 0 \Ra |f(x)| > c = \frac{|A|}{2}$.
+	
+	% 3 пункт
+	\item Рассмотрим $\left(\forall \{x_n\}
+	\subset X \bs \{a\}\ \liml_{n \to \infty} x_n = a\right)
+	\ \liml_{n \to \infty} f(x_n) = A,\ \liml_{n \ra \infty} g(x_n) = B$
+	
+	Так как последовательность сходится к $a$, то с какого-то номера $N \in \N$ она будет полностью в проколотой $\delta$-окрестности $a$. А для элементов из неё будет выполняться
+	\[
+		f(x_n) \le g(x_n)
+	\]
+	
+	А значит, мы можем сделать предельный переход в неравенстве для последовательностей и получить
+	\[
+		\liml_{n \to \infty} f(x_n) \le \liml_{n \to \infty} g(x_n) \Ra A \le B
+	\]
+	
+	% 4 пункт
+	\item Доказательство аналогично третьему, через предел по Гейне и теорему о трёх последовательностях
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Арифметические операции и предел функции}
+\begin{theorem}
+	Арифметические операции и предел функции
+\end{theorem}
+
+Пусть $\liml_{x \ra a} f(x) = A,\ \liml_{x \ra a} g(x) = B,\ A, B \in \R$. Тогда
+\begin{enumerate}
+	\item $\liml_{x \ra a} \left(f(x) \pm g(x)\right)
+		 = A \pm B \ (\exists$ и равен)
+	\item $\liml_{x \ra a} (f(x) \cdot g(x)) = A \cdot B$
+	\item Если $B \neq 0$, то $\liml_{x \ra a}
+ 		\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$
+\end{enumerate}
+
+\begin{proof}
+	Доказательство сводится к свойствам последовательностей. Небольшое отличие есть только в доказательстве третьего пункта:
+	\[
+		B \neq 0 \Ra (\exists \delta > 0)\left( \forall
+		x \in \mc{U}_{\delta}(a)\right)\ g(x) \neq 0
+	\]
+	Рассмотрим $\forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty, 
+	x_n \neq a, \liml_{n \ra \infty} x_n = a$ \\
+	Мы знаем, что $\System{&{\liml_{n \ra \infty}
+	f(x_n) = A} \\ &{\liml_{n \ra \infty} g(x_n) = B}}
+	\Ra \liml_{n \ra \infty} \frac{f(x_n)}{g(x_n)} = 
+	\frac{A}{B}$ (по определению Гейне).
+\end{proof}
+
+\subsubsection*{Критерий Коши --- существование предела функции}
+
+\begin{theorem}
+	Критерий Коши --- существование (конечного) предела функции.
+  	Пусть $f(x)$ определена в некоторой $\mc{U}_\eps (a)$. Тогда
+
+	\[\exists \liml_{x \ra a} f(x) \in \R \lra
+		\underbrace{(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)
+		\left(\forall x_1, x_2 \in \mc{U}_{\delta}(a)\right)\  
+		|f(x_1) - f(x_2)| < \eps}_{\text{\normalfont
+		 Условие Коши}}
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Докажем необходимость: \\
+	Из определения предела:
+	\[
+		\liml_{x \ra a} f(x) = A \in \R \lra 
+		(\forall \eps > 0)(\exists \delta > 0)
+		\left(\forall x \in \mc{U}_{\delta}(a)\right)\ 
+		|f(x) - A| < \frac{\eps}{2}
+	\]
+	По неравенству треугольника: $\left(\forall x_1, x_2
+	\in \mc{U}_{\delta}(a)\right)
+	\ |f(x_1) - f(x_2)| \le |f(x_1) - A| + |A - f(x_2)| < \eps$
+	
+	Докажем достаточность: \\
+	Рассмотрим $\left(\forall \{x_n\} \subset X \bs \{a\},
+	 \liml_{n \to \infty} x_n = a\right)$. Из определения предела:
+	$$
+		\liml_{n \to \infty} x_n = a \Ra (\forall \delta > 0)
+		(\exists N \in \N)(\forall n > N)\ 
+		x_n \in \mc{U}_{\delta}(a);\ 
+		(\forall p \in \N)\ x_{n + p} \in \mc{U}_{\delta} (a)
+	$$
+	Согласно этому утверждению и условию Коши, мы получаем
+	$$
+		(\forall \eps > 0)(\exists N \in \N)
+		(\forall n > N)(\forall p \in \N)\ |f(x_{n + p}) - f(x_n)| < \eps
+	$$
+	Что в точности означает фундаментальность последовательности $f(x_n)$, то есть она сходящаяся.
+\end{proof}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/main.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/main.tex
new file mode 100644
index 00000000..e457c9cc
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/main.tex
@@ -0,0 +1,51 @@
+\input{preamble_ltc/preamble}
+
+%\includeonly{lectures/lect05,lectures/lect06}  % Скомпилировать только часть лекций
+
+\begin{document}
+    \input{preamble_ltc/title_page}
+    \newpage
+    \hypertarget{intro}{}
+    \tableofcontents
+    
+    \linespread{1}
+    \selectfont
+    
+    \newpage
+
+    % 2023 reTeXed Lectures:
+    \input{lectures/1lecture.tex} %Предварительные сведения
+    \input{lectures/2lecture.tex} %Глава2. Натуральные, целые, рациональные
+    \input{lectures/3lecture.tex} %Рациональные. Действительные - сложение
+    \input{lectures/4lecture.tex} %Действительные добиваются
+    
+    % 2023 reTeXed - partially:
+    \input{lectures/5lecture.tex} %Комплексные. Предел
+    %Комплексные числа не трогали с 2021
+
+    % 2023 reTeXed - full:
+    \input{lectures/6lecture.tex} %Предел последовательности. Неравенства, арифметические операции
+    \input{lectures/7lecture.tex} %Подпоследовательности. Частичные пределы
+    \input{lectures/8lecture.tex} %Верхний, нижний пределы. Фундаментальность. Число е
+    \input{lectures/9lecture.tex} %Предел функции.Критерий Коши
+    \input{lectures/10lecture.tex} %Односторонние пределы. Непрерывность. Точки разрыва
+    \input{lectures/11lecture.tex} %Свойства непрерывности.
+    \input{lectures/12lecture.tex} %
+    \input{lectures/13lecture.tex} %Производная, арифметика, производная обратной.
+    \input{lectures/14lecture.tex} %
+    \input{lectures/15lecture.tex} %Производные и дифф. высших порядкой. Французские теоремы (свойства производной)
+    \input{lectures/16lecture.tex} %Дарбу. Лопиталь. Равномерная непрерывность
+    \input{lectures/17lecture.tex}
+    \input{lectures/18lecture.tex}
+    \input{lectures/19lecture.tex}
+    \input{lectures/20lecture.tex} %
+    \input{lectures/21lecture.tex}
+    \input{lectures/22lecture.tex}
+    \input{lectures/23lecture.tex}
+    \input{lectures/24lecture.tex}
+    \input{lectures/25lecture.tex}
+    \input{lectures/26lecture.tex}
+    \input{lectures/27lecture.tex}
+    \input{lectures/28lecture.tex}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.aux b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.aux
new file mode 100644
index 00000000..b6401217
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.aux
@@ -0,0 +1,2 @@
+\relax 
+\gdef \@abspage@last{1}
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.fdb_latexmk b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.fdb_latexmk
new file mode 100644
index 00000000..b857d99c
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.fdb_latexmk
@@ -0,0 +1,233 @@
+# Fdb version 3
+["pdflatex"] 1702903077 "/home/artyom/Code/LaTex/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex" "preamble.pdf" "preamble" 1702903077
+  "/etc/texmf/web2c/texmf.cnf" 1694337234 475 c0e671620eb5563b2130f56340a5fde8 ""
+  "/home/artyom/.texlive2021/texmf-var/fonts/tfm/lh/lh-t2a/larm1200.tfm" 1694879253 3240 c2435f2b5cd66d4930bc29b8df87967e ""
+  "/home/artyom/Code/LaTex/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex" 1702903076 8153 d941faff29627f18c68e5e9b7345cbdd ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/map/fontname/texfonts.map" 1577235249 3524 cb3e574dea2d1052e39280babc910dc8 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/jknappen/ec/ectt1000.tfm" 1136768653 1536 06717a2b50de47d4087ac0e6cd759455 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmr12.tfm" 1136768653 1288 655e228510b4c2a1abe905c368440826 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty" 1575674566 24708 5584a51a7101caf7e6bbf1fc27d8f7b1 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-english/english.ldf" 1496785618 7008 9ff5fdcc865b01beca2b0fe4a46231d4 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-russian/russianb.ldf" 1610315728 27193 cd3440b122aaa8e30416378ef38b3173 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty" 1643231327 147419 2058c0f5e6893b19c8f3ce95d177646c ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def" 1643231327 5233 d5e383ed66bf272b71b1a90b596e21c6 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty" 1576625341 40635 c40361e206be584d448876bba8a64a3b ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty" 1576016050 33961 6b5c75130e435b2bfdb9f480a09a39f9 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty" 1576625273 7734 b98cbb34c81f667027c1e3ebdbfce34b ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty" 1583617216 6501 4011d89d9621e0b0901138815ba5ff29 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty" 1572645307 1057 525c2192b5febbd8c1f662c9468335bb ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty" 1575499628 8356 7bbb2c2373aa810be568c29e333da8ed ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty" 1576625065 31769 002a487f55041f8e805cfbf6385ffd97 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty" 1576878844 5412 d5a2436094cd7be85769db90f29250a6 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty" 1576624944 13807 952b0226d4efca026f0e19dd266dcc22 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty" 1558214112 195 27b9da3d207196766c9f281d0590e267 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.tex" 1566419932 27590 17724a32e183cb652d922ee9f34b134d ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty" 1600895880 17859 4409f8f50cd365c68e684407e5350b1b ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty" 1576015897 19007 15924f7228aca6c6d184b115f4baa231 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty" 1593379760 20089 80423eac55aa175305d35b49e04fe23b ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex" 1601326656 992 855ff26741653ab54814101ca36e153c ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.tex" 1601326656 43820 1fef971b75380574ab35a0d37fd92608 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.tex" 1601326656 19324 f4e4c6403dd0f1605fd20ed22fa79dea ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.code.tex" 1601326656 6038 ccb406740cc3f03bbfb58ad504fe8c27 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex" 1601326656 6944 e12f8f7a7364ddf66f93ba30fb3a3742 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.tex" 1601326656 4883 42daaf41e27c3735286e23e48d2d7af9 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.tex" 1601326656 2544 8c06d2a7f0f469616ac9e13db6d2f842 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.code.tex" 1601326656 44195 5e390c414de027626ca5e2df888fa68d ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing.code.tex" 1601326656 17311 2ef6b2e29e2fc6a2fc8d6d652176e257 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code.tex" 1601326656 21302 788a79944eb22192a4929e46963a3067 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.tex" 1601326656 9690 01feb7cde25d4293ef36eef45123eb80 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.tex" 1601326656 33335 dd1fa4814d4e51f18be97d88bf0da60c ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex" 1601326656 2965 4c2b1f4e0826925746439038172e5d6f ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex" 1601326656 5196 2cc249e0ee7e03da5f5f6589257b1e5b ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.tex" 1601326656 20726 d4c8db1e2e53b72721d29916314a22ea ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex" 1601326656 35249 abd4adf948f960299a4b3d27c5dddf46 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformations.code.tex" 1601326656 21989 fdc867d05d228316de137a9fc5ec3bbe ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.code.tex" 1601326656 8893 e851de2175338fdf7c17f3e091d94618 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryangles.code.tex" 1601326656 3614 3404a408629b6c0bbcaf4731a9871bf8 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryarrows.code.tex" 1601326656 319 225dfe354ba678ff3c194968db39d447 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarybabel.code.tex" 1601326656 380 6d7183aba307d0dbd499d5b50b8c400c ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarycalc.code.tex" 1601326656 15929 463535aa2c4268fead6674a75c0e8266 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.code.tex" 1601326656 5493 23e371e6fe3e7e42533d6d6c15662e0d ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.markings.code.tex" 1601326656 788 fb28645a91ec7448ebe79bee60965a88 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathmorphing.code.tex" 1601326656 321 cdd11262840e01e25374a2d458f15e99 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathreplacing.code.tex" 1601326656 1319 0b2de5126c6cbc295f0eb77f7344b34d ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.shapes.code.tex" 1601326656 315 5323c9e6a39bb8c3348c7ab5617a0a70 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.text.code.tex" 1601326656 29754 89daa420cdac4c49fa62f6efb8e33dd3 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryintersections.code.tex" 1601674905 5286 9a47f1a4030b41b12ff25b93bef99d01 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarymatrix.code.tex" 1601326656 4202 b95061a2334c704bfa941fb8d5c0d0a2 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryplotmarks.code.tex" 1601326656 325 36322b0789619b270aec5993d5a9ed08 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryquotes.code.tex" 1601326656 3931 8b99416ab2e0d0d6af4e0cc444f11055 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryshapes.misc.code.tex" 1601326656 329 ba6d5440f8c16779c2384e0614158266 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarytopaths.code.tex" 1608933718 11518 738408f795261b70ce8dd47459171309 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex" 1621110968 186007 6e7dfe0bd57520fd5f91641aa72dcac8 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.markings.code.tex" 1601326656 5220 c70346acb7ff99702098460fd6c18993 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathmorphing.code.tex" 1601326656 8843 5533436db3e30fbad1e0440db6027dac ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathreplacing.code.tex" 1601326656 7474 f05a7223b140f230922562ac6a9fede5 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.shapes.code.tex" 1601326656 16467 9dae0e3876f615b059bae4858b49eeb4 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.text.code.tex" 1601326656 12656 a733cc75e80b2d7168ea84bc74891e21 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.code.tex" 1601326656 31874 89148c383c49d4c72114a76fd0062299 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.meta.code.tex" 1601326656 58801 1e750fb0692eb99aaac45698bbec96b1 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryfpu.code.tex" 1608933718 85938 8e4ba97c5906e1c0d158aea81fe29af7 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryintersections.code.tex" 1601674905 44571 38ac24c171fb8fa1a13adc8ce7eb94c5 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.code.tex" 1601326656 32995 ac577023e12c0e4bd8aa420b2e852d1a ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplotmarks.code.tex" 1601326656 14524 e1074042dc8f19d631452e43073ea3ba ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshapes.misc.code.tex" 1601326656 46241 588910a2f1e0a99f2c3e14490683c20d ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex" 1557692582 3063 8c415c68a0f3394e45cfeca0b65f6ee6 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex" 1601326656 521 8e224a7af69b7fee4451d1bf76b46654 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex" 1601326656 13391 84d29568c13bdce4133ab4a214711112 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex" 1601326656 104935 184ed87524e76d4957860df4ce0cd1c3 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.tex" 1601326656 10165 cec5fa73d49da442e56efc2d605ef154 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code.tex" 1601326656 28178 41c17713108e0795aac6fef3d275fbca ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex" 1601326656 9989 c55967bf45126ff9b061fa2ca0c4694f ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison.code.tex" 1601326656 3865 ac538ab80c5cf82b345016e474786549 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerarithmetics.code.tex" 1557692582 3177 27d85c44fbfe09ff3b2cf2879e3ea434 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.tex" 1621110968 11024 0179538121bc2dba172013a3ef89519f ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.code.tex" 1608933718 7854 4176998eeefd8745ac6d2d4bd9c98451 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code.tex" 1601326656 3379 781797a101f647bab82741a99944a229 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonometric.code.tex" 1601326656 92405 f515f31275db273f97b9d8f52e1b0736 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex" 1601326656 37376 11cd75aac3da1c1b152b2848f30adc14 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex" 1601326656 8471 c2883569d03f69e8e1cabfef4999cfd7 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduledecorations.code.tex" 1601326656 71722 aa25655703db0306f6401798e312b7b8 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex" 1601326656 21201 08d231a2386e2b61d64641c50dc15abd ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex" 1601326656 16121 346f9013d34804439f7436ff6786cef7 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.tex" 1621110968 44784 cedaa399d15f95e68e22906e2cc09ef8 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex" 1621110968 465 d68603f8b820ea4a08cce534944db581 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg" 1601326656 926 2963ea0dcf6cc6c0a770b69ec46a477b ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.def" 1601326656 5546 f3f24d7898386cb7daac70bdd2c4d6dc ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-pdftex.def" 1601326656 12601 4786e597516eddd82097506db7cfa098 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex" 1621110968 61163 9b2eefc24e021323e0fc140e9826d016 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex" 1601326656 1896 b8e0ca0ac371d74c0ca05583f6313c91 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex" 1601326656 7778 53c8b5623d80238f6a20aa1df1868e63 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex" 1606168878 23997 a4bed72405fa644418bea7eac2887006 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex" 1621110968 37060 797782f0eb50075c9bc952374d9a659a ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.tex" 1601326656 37431 9abe862035de1b29c7a677f3205e3d9f ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex" 1601326656 4494 af17fb7efeafe423710479858e42fa7e ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.tex" 1601326656 7251 fb18c67117e09c64de82267e12cd8aa4 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex" 1621110968 29274 e15c5b7157d21523bd9c9f1dfa146b8e ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def" 1621110968 6825 a2b0ea5b539dda0625e99dd15785ab59 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty" 1601501446 23636 c37eef0334dd2011d112d2040c11328f ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty" 1576624744 17586 9e71251b1dfca56ce36dcba5fa5ef24a ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/tikz-cd/tikzlibrarycd.code.tex" 1620507957 23059 b4b98da760150611227e2533f15fe352 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty" 1576624663 7008 f92eaa0a3872ed622bbf538217cd2ab7 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty" 1591045760 12594 0d51ac3a545aaaa555021326ff22a6cc ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty" 1359763108 5949 3f3fd50a8cc94c3d4cbf4fc66cd3df1c ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty" 1359763108 13829 94730e64147574077f8ecfea9bb69af4 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty" 1622667781 2222 da905dc1db75412efd2d8f67739f0596 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty" 1622667781 4173 bc0410bcccdff806d6132d3c1ef35481 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty" 1636758526 87648 07fbb6e9169e00cb2a2f40b31b2dbf3c ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty" 1636758526 4128 8eea906621b6639f7ba476a472036bbe ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty" 1636758526 2444 926f379cc60fcf0c6e3fee2223b4370d ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty" 1576191570 19336 ce7ae9438967282886b3b036cfad1e4d ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty" 1576625391 3935 57aa3c3e203a5c2effb4d2bd2efbc323 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls" 1636758526 20144 8a7de377ae7a11ee924a7499611f5a9d ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty" 1636758526 3034 3bfb87122e6fa8758225c0dd3cbaceba ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty" 1636758526 2462 754d6b31b2ab5a09bb72c348ace2ec75 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty" 1622581934 4946 461cc78f6f26901410d9f1d725079cc6 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty" 1622581934 5049 969aec05d5f39c43f8005910498fcf90 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo" 1636758526 8449 bc7344e882df4d7e51c046514dee83e4 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t2aenc.dfu" 1636758526 9877 0d315dae7f192479f41fb27f6803ab1a ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty" 1191314257 1644 1e0d54b051369c3f457872824cac219f ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty" 1579038678 6078 f1cb470c9199e7110a27851508ed7a5c ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty" 1612650595 3574 ddc11a0ae1c579d351ed20d2319ad422 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/t2a.cmap" 1215522782 1872 8a484407d6912048284390d9f7606e28 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty" 1579991017 10793 d0af3aa11e27ae35ba4685b17597b122 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2acmr.fd" 1523134385 2562 d9552c7bbba7c739be0e3edc79b79dbb ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2aenc.def" 1523134385 12038 0675a914f4ef655c59b5d82e90103345 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty" 1561238569 51697 f8f08183cd2080d9d18a41432d651dfb ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty" 1601931149 46845 3b58f70c6e861a13d927bff09d35ecbc ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty" 1137110130 3240 8f6d502ca1d06cc8136c36580bba7618 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty" 1578002852 41601 9cf6c5257b1bc7af01a58859749dd37a ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg" 1459978653 1213 620bba36b25224fa9b7e1ccb4ecb76fd ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg" 1465944070 1224 978390e9c2234eab29404bc21b268d1e ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def" 1601931164 19103 48d29b6e2a64cb717117ef65f107b404 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/color.sty" 1639603921 7197 eb6c1ebf41667a05cb50c23c19d5e8bc ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/dvipsnam.def" 1622581934 4995 8040f614c8de8318a0b5b2dea8a3fcef ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty" 1622581934 18399 7e40f80366dffb22c0e7b70517db5cb4 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty" 1636758526 7996 a8fb260d598dcaf305a7ae7b9c3e3229 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty" 1622581934 2671 4de6781a30211fe0ea4c672e4a2a8166 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty" 1636758526 4009 187ea2dc3194cd5a76cd99a8d7a6c4d0 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty" 1580250785 17914 4c28a13fc3d975e6e81c9bea1d697276 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def" 1623096352 49890 0bb76a5b745d92e86aed6f3f93e334f0 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref-langpatches.def" 1623096352 1777 940b1aa83773bc035eb882e8d6842769 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty" 1623096352 230915 97a8817f13de4e61bbc3592cb2caa995 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def" 1623096352 14132 c9404e8e78123ef0d1007c34d1d6da51 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def" 1623096352 117004 86586f287ddfad919a0a4bd68934277a ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty" 1602274869 22521 d2fceb764a442a2001d257ef11db7618 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def" 1642022539 29921 f0f4f870357ebfb8fe58ed9ed4ee9b92 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty" 1642805374 6107 429b3b241150e53f86ce666eb492861e ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty" 1642022539 1249 c955e7ea299f9e9e2d8d1f08fb212ed3 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty" 1575499565 5766 13a9e8766c47f30327caf893ece86ac8 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty" 1643838029 59397 1bfeb7c4239ba9206737fca9cf861c65 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty" 1616101747 5582 a43dedf8e5ec418356f1e9dfe5d29fc3 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty" 1615845910 6149 2398eec4faa1ee24ff761581e580ecf1 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty" 1575152444 1640 c9cca60f81c5839b9a3e794d72c0b0a7 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty" 1601326656 1090 bae35ef70b3168089ef166db3e66f5b2 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty" 1601326656 410 615550c46f918fcbee37641b02a862d9 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty" 1601326656 21013 f4ff83d25bb56552493b030f27c075ae ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty" 1601326656 989 c49c8ae06d96f8b15869da7428047b1e ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty" 1601326656 339 c2e180022e3afdb99c7d0ea5ce469b7d ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty" 1601326656 306 c56a323ca5bf9242f54474ced10fca71 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty" 1601326656 443 8c872229db56122037e86bcda49e14f3 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty" 1601326656 348 ee405e64380c11319f0e249fed57e6c5 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty" 1601326656 274 5ae372b7df79135d240456a1c6f2cf9a ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty" 1601326656 325 f9f16d12354225b7dd52a3321f085955 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty" 1575674187 9715 b051d5b493d9fe5f4bc251462d039e5f ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty" 1324344192 22913 a27d7908fc6f0385466454a966a316eb ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty" 1626986448 16455 7159cc65692c01a770db5ae586ea9570 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty" 1302307949 11080 aa7f81da60ce104f0dbb8b827dd14383 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty" 1523659710 4742 af4f7a54e5c8f1f435b4d2dd60d5f846 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty" 1403566480 13791 8c83287d79183c3bf58fd70871e8a70b ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty" 1620507957 823 2375f30bf77af9357d3b4834b054bf52 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty" 1625518490 25334 5a9be40c346f60d044a5c24990456d5a ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.cfg" 1642714017 9021 656bbb54d37b53b28d69ef5efa5b1d54 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty" 1642714017 4580 6dd623f012dbd7573a5d0831ab997b88 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-marks.tex" 1642714017 4373 d0084fa8f702d5034b54089af68cb71f ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-shape.tex" 1642714017 2002 a95bee753da4c19bf1375e7342487bae ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-axesmin.tex" 1642714017 6752 42049e83457c199941345f44f7a7515c ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles-by.tex" 1642714017 6430 7e0fcf611f55fb2faf2c08ef214e0053 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles.tex" 1642714017 11447 5b0fd2a8e117802af3dbddf9d5971673 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-compass.tex" 1642714017 4004 d47628926b5a0595b5ffdfed327da856 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-angles.tex" 1642714017 22412 d129a3cb1efcd5a87213b58a57ae5191 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-circles.tex" 1642714017 8561 8abfa3f4c997e97dfa3d40b630ebf2ef ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-lines.tex" 1642714017 10328 93952e77c3b6f5e4f14733edb971f582 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-polygons.tex" 1642714017 4992 5eb02f88a70328a7adbc4355c1ba96e6 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-triangles.tex" 1642714017 3228 a3b41d6b14db5617f63efb3946828a7a ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-grids.tex" 1642714017 3471 adf2f90c63a4b1a17bbda7f5060d4a02 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-lines.tex" 1642714017 8840 45ebfec7e1ac4f040335de53bfe67afb ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-by.tex" 1642714017 16353 840323c0bba3457a25debe19d71f182c ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-rnd.tex" 1642714017 5341 a1a691b1d48a51c26f45b8019d5e70d4 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-spc.tex" 1642714017 19496 8113c70bdaf21e871061f3bfe77f0e47 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-with.tex" 1642714017 10650 d6d3ff7931b6777e66defe54de8f4011 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points.tex" 1642714017 13201 39da9ed86bfe7f0a80d170a3527ce7d3 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-polygons.tex" 1642714017 4085 f0303882c54818fe636d8317d95e3e46 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-protractor.tex" 1642714017 4604 5e773fda1c1399124472a7a36a201348 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-sectors.tex" 1642714017 13270 893f48d333326601d6cd0587f1bfcc65 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-show.tex" 1642714017 14441 3743bc25b6df0229f7de4498e5d7c0ee ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex" 1642714017 16945 78c4ed4f0565dd630ddca4c06867a400 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-BB.tex" 1642714017 1222 cde5717ced6e430f34ec0fe14756d6f7 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex" 1642714017 3103 5fa958d15b115db9b397e540a922094b ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-base.tex" 1642714017 3482 95e61c109a0786b2625275293639bb20 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-colors.tex" 1642714017 2266 5a6c7db70b7faaa7dc5b6001cabf95b3 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex" 1642714017 16125 018524c4050cbf346a1e19f5ff7416fa ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-math.tex" 1642714017 4770 05e969ddbda8fbe61b198867d532855e ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-text.tex" 1642714017 2976 0792c34d43c273d32354ee7ba76dd6bc ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-utilities.tex" 1642714017 5676 50d9ea2d3d2eaa8d4a0f00d4fab5124a ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty" 1636758526 12694 6c23725d50ab9d1e2d3ce482c58ffcf3 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty" 1622581934 10214 00ce62e730d0cfe22b35e8f1c84949c7 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty" 1622581934 1618 786b14c5a3e144c3a51452d08232d18b ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty" 1636758526 12892 3ffe092fc7f5d1cb9866f1bcb071d0d6 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty" 1636758526 32262 2bb622a0aa56c4a7a5cbdfe9d122c15a ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty" 1622581934 7147 5ac8a9ef36411064b1a501137af0fa54 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty" 1388531844 12796 8edb7d69a20b857904dd0ea757c14ec9 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty" 1137111079 1018 df058db1896806f044e2233bb506d425 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty" 1137111090 26220 3701aebf80ccdef248c0c20dd062fea9 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/svgnam.def" 1635798903 4701 9c94a851a756fcbe00f338a0e7fd92c9 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty" 1635798903 56029 3f7889dab51d620aa43177c391b7b190 ""
+  "/usr/share/texlive/texmf-dist/web2c/texmf.cnf" 1644012257 39432 7155514e09a3d69036fac785183a21c2 ""
+  "/usr/share/texmf/web2c/texmf.cnf" 1644012257 39432 7155514e09a3d69036fac785183a21c2 ""
+  "/var/lib/texmf/web2c/pdftex/pdflatex.fmt" 1694878654 2800639 6bb68602095a3effb755225ef2061756 ""
+  "preamble.aux" 1702903077 32 3985256e7290058c681f74d7a3565a19 ""
+  "preamble.tex" 1702903076 8153 d941faff29627f18c68e5e9b7345cbdd ""
+  (generated)
+  "preamble.log"
+  "preamble.pdf"
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.fls b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.fls
new file mode 100644
index 00000000..af6b6bf3
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.fls
@@ -0,0 +1,1330 @@
+PWD /home/artyom/Code/LaTex/2023_Lukashov/preamble_ltc
+INPUT /etc/texmf/web2c/texmf.cnf
+INPUT /usr/share/texmf/web2c/texmf.cnf
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/web2c/texmf.cnf
+INPUT /var/lib/texmf/web2c/pdftex/pdflatex.fmt
+INPUT /home/artyom/Code/LaTex/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex
+OUTPUT preamble.log
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/map/fontname/texfonts.map
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmr12.tfm
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2aenc.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2aenc.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2aenc.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2aenc.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t2aenc.dfu
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t2aenc.dfu
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t2aenc.dfu
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t2aenc.dfu
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2acmr.fd
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2acmr.fd
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2acmr.fd
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2acmr.fd
+INPUT /home/artyom/.texlive2021/texmf-var/fonts/tfm/lh/lh-t2a/larm1200.tfm
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/t2a.cmap
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/t2a.cmap
+OUTPUT preamble.pdf
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/t2a.cmap
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-english/english.ldf
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-english/english.ldf
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-english/english.ldf
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-english/english.ldf
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-russian/russianb.ldf
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-russian/russianb.ldf
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-russian/russianb.ldf
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-russian/russianb.ldf
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/jknappen/ec/ectt1000.tfm
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref-langpatches.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref-langpatches.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref-langpatches.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref-langpatches.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/atbegshi/atbegshi.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/atveryend/atveryend.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/color.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/dvipsnam.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/dvipsnam.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/dvipsnam.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/dvipsnam.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/svgnam.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/svgnam.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/svgnam.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/svgnam.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonometric.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerarithmetics.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformations.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarytopaths.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarytopaths.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/tikz-cd/tikzlibrarycd.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/tikz-cd/tikzlibrarycd.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarymatrix.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarymatrix.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryquotes.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryquotes.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.meta.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.meta.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.meta.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryangles.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryangles.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryarrows.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryarrows.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarycalc.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarycalc.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduledecorations.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.markings.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.markings.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.markings.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.markings.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathreplacing.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathreplacing.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathreplacing.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathreplacing.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.shapes.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.shapes.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.shapes.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.shapes.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.text.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.text.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.text.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.text.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathmorphing.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathmorphing.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathmorphing.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathmorphing.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryintersections.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryintersections.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryintersections.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryintersections.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryfpu.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryfpu.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryplotmarks.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryplotmarks.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplotmarks.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplotmarks.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryshapes.misc.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryshapes.misc.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshapes.misc.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshapes.misc.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.cfg
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.cfg
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.cfg
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.cfg
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-base.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-base.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-base.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-base.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-utilities.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-utilities.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-utilities.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-utilities.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-BB.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-BB.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-BB.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-BB.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-grids.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-grids.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-grids.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-grids.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-marks.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-marks.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-marks.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-marks.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-text.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-text.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-text.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-text.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-shape.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-shape.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-shape.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-shape.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-axesmin.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-axesmin.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-axesmin.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-axesmin.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-colors.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-colors.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-colors.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-colors.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-math.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-math.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-math.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-math.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-compass.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-compass.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-compass.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-compass.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles-by.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles-by.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles-by.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles-by.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-angles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-angles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-angles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-angles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-circles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-circles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-circles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-circles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-lines.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-lines.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-lines.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-lines.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-polygons.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-polygons.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-polygons.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-polygons.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-triangles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-triangles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-triangles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-triangles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-lines.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-lines.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-lines.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-lines.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-by.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-by.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-by.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-by.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-rnd.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-rnd.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-rnd.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-rnd.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-spc.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-spc.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-spc.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-spc.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-with.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-with.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-with.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-with.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-polygons.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-polygons.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-polygons.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-polygons.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-protractor.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-protractor.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-protractor.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-protractor.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-sectors.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-sectors.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-sectors.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-sectors.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-show.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-show.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-show.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-show.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarybabel.code.tex
+INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarybabel.code.tex
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.log b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.log
new file mode 100644
index 00000000..1884fdee
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.log
@@ -0,0 +1,1104 @@
+This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.22 (TeX Live 2022/dev/Debian) (preloaded format=pdflatex 2023.9.16)  18 DEC 2023 15:37
+entering extended mode
+ restricted \write18 enabled.
+ file:line:error style messages enabled.
+ %&-line parsing enabled.
+**/home/artyom/Code/LaTex/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex
+(/home/artyom/Code/LaTex/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex
+LaTeX2e <2021-11-15> patch level 1
+L3 programming layer <2022-01-21> (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+Document Class: article 2021/10/04 v1.4n Standard LaTeX document class
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo
+File: size12.clo 2021/10/04 v1.4n Standard LaTeX file (size option)
+)
+\c@part=\count185
+\c@section=\count186
+\c@subsection=\count187
+\c@subsubsection=\count188
+\c@paragraph=\count189
+\c@subparagraph=\count190
+\c@figure=\count191
+\c@table=\count192
+\abovecaptionskip=\skip47
+\belowcaptionskip=\skip48
+\bibindent=\dimen138
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cmap/cmap.sty
+Package: cmap 2021/02/06 v1.0j CMap support: searchable PDF
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/t2/mathtext.sty
+Package: mathtext 2018/04/14 v1.0 transparent text-and-math defs
+LaTeX Info: Redefining \halign on input line 121.
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+Package: fontenc 2021/04/29 v2.0v Standard LaTeX package
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2aenc.def
+File: t2aenc.def 2005/09/27 v1.0i Cyrillic encoding definition file
+Now handling font encoding T2A ...
+... processing UTF-8 mapping file for font encoding T2A
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t2aenc.dfu
+File: t2aenc.dfu 2021/06/21 v1.2n UTF-8 support
+   defining Unicode char U+00A4 (decimal 164)
+   defining Unicode char U+00A7 (decimal 167)
+   defining Unicode char U+00AB (decimal 171)
+   defining Unicode char U+00BB (decimal 187)
+   defining Unicode char U+0131 (decimal 305)
+   defining Unicode char U+0237 (decimal 567)
+   defining Unicode char U+0400 (decimal 1024)
+   defining Unicode char U+0401 (decimal 1025)
+   defining Unicode char U+0402 (decimal 1026)
+   defining Unicode char U+0403 (decimal 1027)
+   defining Unicode char U+0404 (decimal 1028)
+   defining Unicode char U+0405 (decimal 1029)
+   defining Unicode char U+0406 (decimal 1030)
+   defining Unicode char U+0407 (decimal 1031)
+   defining Unicode char U+0408 (decimal 1032)
+   defining Unicode char U+0409 (decimal 1033)
+   defining Unicode char U+040A (decimal 1034)
+   defining Unicode char U+040B (decimal 1035)
+   defining Unicode char U+040C (decimal 1036)
+   defining Unicode char U+040D (decimal 1037)
+   defining Unicode char U+040E (decimal 1038)
+   defining Unicode char U+040F (decimal 1039)
+   defining Unicode char U+0410 (decimal 1040)
+   defining Unicode char U+0411 (decimal 1041)
+   defining Unicode char U+0412 (decimal 1042)
+   defining Unicode char U+0413 (decimal 1043)
+   defining Unicode char U+0414 (decimal 1044)
+   defining Unicode char U+0415 (decimal 1045)
+   defining Unicode char U+0416 (decimal 1046)
+   defining Unicode char U+0417 (decimal 1047)
+   defining Unicode char U+0418 (decimal 1048)
+   defining Unicode char U+0419 (decimal 1049)
+   defining Unicode char U+041A (decimal 1050)
+   defining Unicode char U+041B (decimal 1051)
+   defining Unicode char U+041C (decimal 1052)
+   defining Unicode char U+041D (decimal 1053)
+   defining Unicode char U+041E (decimal 1054)
+   defining Unicode char U+041F (decimal 1055)
+   defining Unicode char U+0420 (decimal 1056)
+   defining Unicode char U+0421 (decimal 1057)
+   defining Unicode char U+0422 (decimal 1058)
+   defining Unicode char U+0423 (decimal 1059)
+   defining Unicode char U+0424 (decimal 1060)
+   defining Unicode char U+0425 (decimal 1061)
+   defining Unicode char U+0426 (decimal 1062)
+   defining Unicode char U+0427 (decimal 1063)
+   defining Unicode char U+0428 (decimal 1064)
+   defining Unicode char U+0429 (decimal 1065)
+   defining Unicode char U+042A (decimal 1066)
+   defining Unicode char U+042B (decimal 1067)
+   defining Unicode char U+042C (decimal 1068)
+   defining Unicode char U+042D (decimal 1069)
+   defining Unicode char U+042E (decimal 1070)
+   defining Unicode char U+042F (decimal 1071)
+   defining Unicode char U+0430 (decimal 1072)
+   defining Unicode char U+0431 (decimal 1073)
+   defining Unicode char U+0432 (decimal 1074)
+   defining Unicode char U+0433 (decimal 1075)
+   defining Unicode char U+0434 (decimal 1076)
+   defining Unicode char U+0435 (decimal 1077)
+   defining Unicode char U+0436 (decimal 1078)
+   defining Unicode char U+0437 (decimal 1079)
+   defining Unicode char U+0438 (decimal 1080)
+   defining Unicode char U+0439 (decimal 1081)
+   defining Unicode char U+043A (decimal 1082)
+   defining Unicode char U+043B (decimal 1083)
+   defining Unicode char U+043C (decimal 1084)
+   defining Unicode char U+043D (decimal 1085)
+   defining Unicode char U+043E (decimal 1086)
+   defining Unicode char U+043F (decimal 1087)
+   defining Unicode char U+0440 (decimal 1088)
+   defining Unicode char U+0441 (decimal 1089)
+   defining Unicode char U+0442 (decimal 1090)
+   defining Unicode char U+0443 (decimal 1091)
+   defining Unicode char U+0444 (decimal 1092)
+   defining Unicode char U+0445 (decimal 1093)
+   defining Unicode char U+0446 (decimal 1094)
+   defining Unicode char U+0447 (decimal 1095)
+   defining Unicode char U+0448 (decimal 1096)
+   defining Unicode char U+0449 (decimal 1097)
+   defining Unicode char U+044A (decimal 1098)
+   defining Unicode char U+044B (decimal 1099)
+   defining Unicode char U+044C (decimal 1100)
+   defining Unicode char U+044D (decimal 1101)
+   defining Unicode char U+044E (decimal 1102)
+   defining Unicode char U+044F (decimal 1103)
+   defining Unicode char U+0450 (decimal 1104)
+   defining Unicode char U+0451 (decimal 1105)
+   defining Unicode char U+0452 (decimal 1106)
+   defining Unicode char U+0453 (decimal 1107)
+   defining Unicode char U+0454 (decimal 1108)
+   defining Unicode char U+0455 (decimal 1109)
+   defining Unicode char U+0456 (decimal 1110)
+   defining Unicode char U+0457 (decimal 1111)
+   defining Unicode char U+0458 (decimal 1112)
+   defining Unicode char U+0459 (decimal 1113)
+   defining Unicode char U+045A (decimal 1114)
+   defining Unicode char U+045B (decimal 1115)
+   defining Unicode char U+045C (decimal 1116)
+   defining Unicode char U+045D (decimal 1117)
+   defining Unicode char U+045E (decimal 1118)
+   defining Unicode char U+045F (decimal 1119)
+   defining Unicode char U+0490 (decimal 1168)
+   defining Unicode char U+0491 (decimal 1169)
+   defining Unicode char U+0492 (decimal 1170)
+   defining Unicode char U+0493 (decimal 1171)
+   defining Unicode char U+0496 (decimal 1174)
+   defining Unicode char U+0497 (decimal 1175)
+   defining Unicode char U+0498 (decimal 1176)
+   defining Unicode char U+0499 (decimal 1177)
+   defining Unicode char U+049A (decimal 1178)
+   defining Unicode char U+049B (decimal 1179)
+   defining Unicode char U+049C (decimal 1180)
+   defining Unicode char U+049D (decimal 1181)
+   defining Unicode char U+04A0 (decimal 1184)
+   defining Unicode char U+04A1 (decimal 1185)
+   defining Unicode char U+04A2 (decimal 1186)
+   defining Unicode char U+04A3 (decimal 1187)
+   defining Unicode char U+04A4 (decimal 1188)
+   defining Unicode char U+04A5 (decimal 1189)
+   defining Unicode char U+04AA (decimal 1194)
+   defining Unicode char U+04AB (decimal 1195)
+   defining Unicode char U+04AE (decimal 1198)
+   defining Unicode char U+04AF (decimal 1199)
+   defining Unicode char U+04B0 (decimal 1200)
+   defining Unicode char U+04B1 (decimal 1201)
+   defining Unicode char U+04B2 (decimal 1202)
+   defining Unicode char U+04B3 (decimal 1203)
+   defining Unicode char U+04B6 (decimal 1206)
+   defining Unicode char U+04B7 (decimal 1207)
+   defining Unicode char U+04B8 (decimal 1208)
+   defining Unicode char U+04B9 (decimal 1209)
+   defining Unicode char U+04BA (decimal 1210)
+   defining Unicode char U+04BB (decimal 1211)
+   defining Unicode char U+04C0 (decimal 1216)
+   defining Unicode char U+04C1 (decimal 1217)
+   defining Unicode char U+04C2 (decimal 1218)
+   defining Unicode char U+04D0 (decimal 1232)
+   defining Unicode char U+04D1 (decimal 1233)
+   defining Unicode char U+04D2 (decimal 1234)
+   defining Unicode char U+04D3 (decimal 1235)
+   defining Unicode char U+04D4 (decimal 1236)
+   defining Unicode char U+04D5 (decimal 1237)
+   defining Unicode char U+04D6 (decimal 1238)
+   defining Unicode char U+04D7 (decimal 1239)
+   defining Unicode char U+04D8 (decimal 1240)
+   defining Unicode char U+04D9 (decimal 1241)
+   defining Unicode char U+04DA (decimal 1242)
+   defining Unicode char U+04DB (decimal 1243)
+   defining Unicode char U+04DC (decimal 1244)
+   defining Unicode char U+04DD (decimal 1245)
+   defining Unicode char U+04DE (decimal 1246)
+   defining Unicode char U+04DF (decimal 1247)
+   defining Unicode char U+04E2 (decimal 1250)
+   defining Unicode char U+04E3 (decimal 1251)
+   defining Unicode char U+04E4 (decimal 1252)
+   defining Unicode char U+04E5 (decimal 1253)
+   defining Unicode char U+04E6 (decimal 1254)
+   defining Unicode char U+04E7 (decimal 1255)
+   defining Unicode char U+04E8 (decimal 1256)
+   defining Unicode char U+04E9 (decimal 1257)
+   defining Unicode char U+04EC (decimal 1260)
+   defining Unicode char U+04ED (decimal 1261)
+   defining Unicode char U+04EE (decimal 1262)
+   defining Unicode char U+04EF (decimal 1263)
+   defining Unicode char U+04F0 (decimal 1264)
+   defining Unicode char U+04F1 (decimal 1265)
+   defining Unicode char U+04F2 (decimal 1266)
+   defining Unicode char U+04F3 (decimal 1267)
+   defining Unicode char U+04F4 (decimal 1268)
+   defining Unicode char U+04F5 (decimal 1269)
+   defining Unicode char U+04F8 (decimal 1272)
+   defining Unicode char U+04F9 (decimal 1273)
+   defining Unicode char U+200C (decimal 8204)
+   defining Unicode char U+2013 (decimal 8211)
+   defining Unicode char U+2014 (decimal 8212)
+   defining Unicode char U+2018 (decimal 8216)
+   defining Unicode char U+2019 (decimal 8217)
+   defining Unicode char U+201C (decimal 8220)
+   defining Unicode char U+201D (decimal 8221)
+   defining Unicode char U+201E (decimal 8222)
+   defining Unicode char U+2030 (decimal 8240)
+   defining Unicode char U+2031 (decimal 8241)
+   defining Unicode char U+2116 (decimal 8470)
+   defining Unicode char U+2329 (decimal 9001)
+   defining Unicode char U+232A (decimal 9002)
+   defining Unicode char U+2423 (decimal 9251)
+   defining Unicode char U+27E8 (decimal 10216)
+   defining Unicode char U+27E9 (decimal 10217)
+   defining Unicode char U+FB00 (decimal 64256)
+   defining Unicode char U+FB01 (decimal 64257)
+   defining Unicode char U+FB02 (decimal 64258)
+   defining Unicode char U+FB03 (decimal 64259)
+   defining Unicode char U+FB04 (decimal 64260)
+   defining Unicode char U+FB05 (decimal 64261)
+   defining Unicode char U+FB06 (decimal 64262)
+)
+\symT2Aletters=\mathgroup4
+)
+LaTeX Font Info:    Trying to load font information for T2A+cmr on input line 112.
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2acmr.fd
+File: t2acmr.fd 2001/08/11 v1.0a Computer Modern Cyrillic font definitions
+)<<t2a.cmap>>) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+Package: inputenc 2021/02/14 v1.3d Input encoding file
+\inpenc@prehook=\toks16
+\inpenc@posthook=\toks17
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+Package: babel 2022/01/26 3.70 The Babel package
+\babel@savecnt=\count193
+\U@D=\dimen139
+\l@unhyphenated=\language87
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def)
+\bbl@readstream=\read2
+\bbl@dirlevel=\count194
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-english/english.ldf
+Language: english 2017/06/06 v3.3r English support from the babel system
+Package babel Info: Hyphen rules for 'canadian' set to \l@english
+(babel)             (\language0). Reported on input line 102.
+Package babel Info: Hyphen rules for 'australian' set to \l@ukenglish
+(babel)             (\language48). Reported on input line 105.
+Package babel Info: Hyphen rules for 'newzealand' set to \l@ukenglish
+(babel)             (\language48). Reported on input line 108.
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-russian/russianb.ldf
+File: russianb.ldf 2021/01/10 1.3m Russian support for the Babel system
+Language: russian 2020/09/09 1.3k Russian support for the Babel system
+Package babel Info: Making " an active character on input line 124.
+Package babel Info: Default for \cyrdash is provided on input line 163.
+)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/indentfirst.sty
+Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2021/10/15 v2.17l AMS math features
+\@mathmargin=\skip49
+
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2021/08/26 v2.01 AMS text
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions
+\@emptytoks=\toks18
+\ex@=\dimen140
+)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols
+\pmbraise@=\dimen141
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 2021/08/26 v2.02 operator names
+)
+\inf@bad=\count195
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 234.
+\uproot@=\count196
+\leftroot@=\count197
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 399.
+\classnum@=\count198
+\DOTSCASE@=\count199
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 496.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 499.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 620.
+\Mathstrutbox@=\box50
+\strutbox@=\box51
+\big@size=\dimen142
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 743.
+\symOMLletters=\mathgroup5
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 744.
+\symOMSletters=\mathgroup6
+\macc@depth=\count266
+\c@MaxMatrixCols=\count267
+\dotsspace@=\muskip16
+\c@parentequation=\count268
+\dspbrk@lvl=\count269
+\tag@help=\toks19
+\row@=\count270
+\column@=\count271
+\maxfields@=\count272
+\andhelp@=\toks20
+\eqnshift@=\dimen143
+\alignsep@=\dimen144
+\tagshift@=\dimen145
+\tagwidth@=\dimen146
+\totwidth@=\dimen147
+\lineht@=\dimen148
+\@envbody=\toks21
+\multlinegap=\skip50
+\multlinetaggap=\skip51
+\mathdisplay@stack=\toks22
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2938.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2939.
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support
+\symAMSa=\mathgroup7
+\symAMSb=\mathgroup8
+LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \hbar on input line 98.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
+(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106.
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+Package: amssymb 2013/01/14 v3.01 AMS font symbols
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+Package: amsthm 2020/05/29 v2.20.6
+\thm@style=\toks23
+\thm@bodyfont=\toks24
+\thm@headfont=\toks25
+\thm@notefont=\toks26
+\thm@headpunct=\toks27
+\thm@preskip=\skip52
+\thm@postskip=\skip53
+\thm@headsep=\skip54
+\dth@everypar=\toks28
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mathtools.sty
+Package: mathtools 2021/02/02 v1.28 mathematical typesetting tools
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+Package: keyval 2014/10/28 v1.15 key=value parser (DPC)
+\KV@toks@=\toks29
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty
+Package: calc 2017/05/25 v4.3 Infix arithmetic (KKT,FJ)
+\calc@Acount=\count273
+\calc@Bcount=\count274
+\calc@Adimen=\dimen149
+\calc@Bdimen=\dimen150
+\calc@Askip=\skip55
+\calc@Bskip=\skip56
+LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 80.
+LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 81.
+\calc@Ccount=\count275
+\calc@Cskip=\skip57
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/mathtools/mhsetup.sty
+Package: mhsetup 2021/03/18 v1.4 programming setup (MH)
+)
+\g_MT_multlinerow_int=\count276
+\l_MT_multwidth_dim=\dimen151
+\origjot=\skip58
+\l_MT_shortvdotswithinadjustabove_dim=\dimen152
+\l_MT_shortvdotswithinadjustbelow_dim=\dimen153
+\l_MT_above_intertext_sep=\dimen154
+\l_MT_below_intertext_sep=\dimen155
+\l_MT_above_shortintertext_sep=\dimen156
+\l_MT_below_shortintertext_sep=\dimen157
+\xmathstrut@box=\box52
+\xmathstrut@dim=\dimen158
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/bbm-macros/bbm.sty
+Package: bbm 1999/03/15 V 1.2 provides fonts for set symbols - TH
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbbm' in version `bold'
+(Font)                  U/bbm/m/n --> U/bbm/bx/n on input line 33.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbbmss' in version `bold'
+(Font)                  U/bbmss/m/n --> U/bbmss/bx/n on input line 35.
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/was/icomma.sty
+Package: icomma 2002/03/10 v2.0 (WaS)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/centernot.sty
+Package: centernot 2016/05/16 v1.4 Centers the not symbol horizontally (HO)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty
+Package: stmaryrd 1994/03/03 St Mary's Road symbol package
+\symstmry=\mathgroup9
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `stmry' in version `bold'
+(Font)                  U/stmry/m/n --> U/stmry/b/n on input line 89.
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 2021/09/16 v1.2d Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2021/03/04 v1.4d Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 2021/08/11 v1.11 sin cos tan (DPC)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration
+)
+Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 107.
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def
+File: pdftex.def 2020/10/05 v1.2a Graphics/color driver for pdftex
+))
+\Gin@req@height=\dimen159
+\Gin@req@width=\dimen160
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
+\wrapoverhang=\dimen161
+\WF@size=\dimen162
+\c@WF@wrappedlines=\count277
+\WF@box=\box53
+\WF@everypar=\toks30
+Package: wrapfig 2003/01/31  v 3.6
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/array.sty
+Package: array 2021/10/04 v2.5f Tabular extension package (FMi)
+\col@sep=\dimen163
+\ar@mcellbox=\box54
+\extrarowheight=\dimen164
+\NC@list=\toks31
+\extratabsurround=\skip59
+\backup@length=\skip60
+\ar@cellbox=\box55
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/tabularx.sty
+Package: tabularx 2020/01/15 v2.11c `tabularx' package (DPC)
+\TX@col@width=\dimen165
+\TX@old@table=\dimen166
+\TX@old@col=\dimen167
+\TX@target=\dimen168
+\TX@delta=\dimen169
+\TX@cols=\count278
+\TX@ftn=\toks32
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabulary/tabulary.sty
+Package: tabulary 2014/06/11 v0.10 tabulary package (DPC)
+\TY@count=\count279
+\TY@linewidth=\dimen170
+\tymin=\dimen171
+\tymax=\dimen172
+\TY@tablewidth=\dimen173
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/booktabs/booktabs.sty
+Package: booktabs 2020/01/12 v1.61803398 Publication quality tables
+\heavyrulewidth=\dimen174
+\lightrulewidth=\dimen175
+\cmidrulewidth=\dimen176
+\belowrulesep=\dimen177
+\belowbottomsep=\dimen178
+\aboverulesep=\dimen179
+\abovetopsep=\dimen180
+\cmidrulesep=\dimen181
+\cmidrulekern=\dimen182
+\defaultaddspace=\dimen183
+\@cmidla=\count280
+\@cmidlb=\count281
+\@aboverulesep=\dimen184
+\@belowrulesep=\dimen185
+\@thisruleclass=\count282
+\@lastruleclass=\count283
+\@thisrulewidth=\dimen186
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty
+Package: longtable 2021-09-01 v4.17 Multi-page Table package (DPC)
+\LTleft=\skip61
+\LTright=\skip62
+\LTpre=\skip63
+\LTpost=\skip64
+\LTchunksize=\count284
+\LTcapwidth=\dimen187
+\LT@head=\box56
+\LT@firsthead=\box57
+\LT@foot=\box58
+\LT@lastfoot=\box59
+\LT@gbox=\box60
+\LT@cols=\count285
+\LT@rows=\count286
+\c@LT@tables=\count287
+\c@LT@chunks=\count288
+\LT@p@ftn=\toks33
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty
+Package: multirow 2021/03/15 v2.8 Span multiple rows of a table
+\multirow@colwidth=\skip65
+\multirow@cntb=\count289
+\multirow@dima=\skip66
+\bigstrutjot=\dimen188
+)
+\c@theorem=\count290
+\c@lemma=\count291
+\c@proposition=\count292
+\c@definition=\count293
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/extsizes/extsizes.sty
+Package: extsizes 1996/10/08 v1.0 Non Standard LaTeX Package
+
+
+Package ExtSizes Warning: It is better to use one of the extsizes classes,
+ if you can.
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo
+File: size12.clo 2021/10/04 v1.4n Standard LaTeX file (size option)
+LaTeX Info: Command `\normalsize' is already robust on input line 56.
+LaTeX Info: Redefining \small on input line 58.
+LaTeX Info: Redefining \footnotesize on input line 69.
+LaTeX Info: Redefining \scriptsize on input line 80.
+LaTeX Info: Redefining \tiny on input line 81.
+LaTeX Info: Redefining \large on input line 82.
+LaTeX Info: Redefining \Large on input line 83.
+LaTeX Info: Redefining \LARGE on input line 84.
+LaTeX Info: Redefining \huge on input line 85.
+)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+Package: geometry 2020/01/02 v5.9 Page Geometry
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty
+Package: ifvtex 2019/10/25 v1.7 ifvtex legacy package. Use iftex instead.
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
+Package: iftex 2020/03/06 v1.0d TeX engine tests
+))
+\Gm@cnth=\count294
+\Gm@cntv=\count295
+\c@Gm@tempcnt=\count296
+\Gm@bindingoffset=\dimen189
+\Gm@wd@mp=\dimen190
+\Gm@odd@mp=\dimen191
+\Gm@even@mp=\dimen192
+\Gm@layoutwidth=\dimen193
+\Gm@layoutheight=\dimen194
+\Gm@layouthoffset=\dimen195
+\Gm@layoutvoffset=\dimen196
+\Gm@dimlist=\toks34
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/setspace/setspace.sty
+Package: setspace 2011/12/19 v6.7a set line spacing
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/enumitem/enumitem.sty
+Package: enumitem 2019/06/20 v3.9 Customized lists
+\labelindent=\skip67
+\enit@outerparindent=\dimen197
+\enit@toks=\toks35
+\enit@inbox=\box61
+\enit@count@id=\count297
+\enitdp@description=\count298
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/multicol.sty
+Package: multicol 2021/10/28 v1.9b multicolumn formatting (FMi)
+\c@tracingmulticols=\count299
+\mult@box=\box62
+\multicol@leftmargin=\dimen198
+\c@unbalance=\count300
+\c@collectmore=\count301
+\doublecol@number=\count302
+\multicoltolerance=\count303
+\multicolpretolerance=\count304
+\full@width=\dimen199
+\page@free=\dimen256
+\premulticols=\dimen257
+\postmulticols=\dimen258
+\multicolsep=\skip68
+\multicolbaselineskip=\skip69
+\partial@page=\box63
+\last@line=\box64
+\maxbalancingoverflow=\dimen259
+\mult@rightbox=\box65
+\mult@grightbox=\box66
+\mult@firstbox=\box67
+\mult@gfirstbox=\box68
+\@tempa=\box69
+\@tempa=\box70
+\@tempa=\box71
+\@tempa=\box72
+\@tempa=\box73
+\@tempa=\box74
+\@tempa=\box75
+\@tempa=\box76
+\@tempa=\box77
+\@tempa=\box78
+\@tempa=\box79
+\@tempa=\box80
+\@tempa=\box81
+\@tempa=\box82
+\@tempa=\box83
+\@tempa=\box84
+\@tempa=\box85
+\@tempa=\box86
+\@tempa=\box87
+\@tempa=\box88
+\@tempa=\box89
+\@tempa=\box90
+\@tempa=\box91
+\@tempa=\box92
+\@tempa=\box93
+\@tempa=\box94
+\@tempa=\box95
+\@tempa=\box96
+\@tempa=\box97
+\@tempa=\box98
+\@tempa=\box99
+\@tempa=\box100
+\@tempa=\box101
+\@tempa=\box102
+\@tempa=\box103
+\@tempa=\box104
+\c@minrows=\count305
+\c@columnbadness=\count306
+\c@finalcolumnbadness=\count307
+\last@try=\dimen260
+\multicolovershoot=\dimen261
+\multicolundershoot=\dimen262
+\mult@nat@firstbox=\box105
+\colbreak@box=\box106
+\mc@col@check@num=\count308
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soulutf8/soulutf8.sty
+Package: soulutf8 2019/12/15 v1.2 Permit use of UTF-8 characters in soul (HO)
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/soul/soul.sty
+Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
+\SOUL@word=\toks36
+\SOUL@lasttoken=\toks37
+\SOUL@cmds=\toks38
+\SOUL@buffer=\toks39
+\SOUL@token=\toks40
+\SOUL@spaceskip=\skip70
+\SOUL@ttwidth=\dimen263
+\SOUL@uldp=\dimen264
+\SOUL@ulht=\dimen265
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
+Package: infwarerr 2019/12/03 v1.5 Providing info/warning/error messages (HO)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty
+Package: etexcmds 2019/12/15 v1.7 Avoid name clashes with e-TeX commands (HO)
+)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/titlesec/titleps.sty
+Package: titleps 2021/07/05 v2.14 Page styles
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+Package: hyperref 2021-06-07 v7.00m Hypertext links for LaTeX
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
+Package: ltxcmds 2020-05-10 v1.25 LaTeX kernel commands for general use (HO)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
+Package: pdftexcmds 2020-06-27 v0.33 Utility functions of pdfTeX for LuaTeX (HO)
+Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available.
+Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available.
+Package pdftexcmds Info: \pdfdraftmode found.
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty
+Package: kvsetkeys 2019/12/15 v1.18 Key value parser (HO)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty
+Package: kvdefinekeys 2019-12-19 v1.6 Define keys (HO)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty
+Package: pdfescape 2019/12/09 v1.15 Implements pdfTeX's escape features (HO)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty
+Package: hycolor 2020-01-27 v1.10 Color options for hyperref/bookmark (HO)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty
+Package: letltxmacro 2019/12/03 v1.6 Let assignment for LaTeX macros (HO)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty
+Package: auxhook 2019-12-17 v1.6 Hooks for auxiliary files (HO)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty
+Package: kvoptions 2020-10-07 v3.14 Key value format for package options (HO)
+)
+\@linkdim=\dimen266
+\Hy@linkcounter=\count309
+\Hy@pagecounter=\count310
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+File: pd1enc.def 2021-06-07 v7.00m Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+Now handling font encoding PD1 ...
+... no UTF-8 mapping file for font encoding PD1
+\symPD1letters=\mathgroup10
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref-langpatches.def
+File: hyperref-langpatches.def 2021-06-07 v7.00m Hyperref: patches for babel languages
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty
+Package: intcalc 2019/12/15 v1.3 Expandable calculations with integers (HO)
+)
+\Hy@SavedSpaceFactor=\count311
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def
+File: puenc.def 2021-06-07 v7.00m Hyperref: PDF Unicode definition (HO)
+Now handling font encoding PU ...
+... no UTF-8 mapping file for font encoding PU
+\symPUletters=\mathgroup11
+)
+Package hyperref Info: Option `unicode' set `true' on input line 3167.
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 4192.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 4197.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 4200.
+Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 4207.
+Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 4212.
+Package hyperref Info: Implicit mode ON; LaTeX internals redefined.
+Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 4445.
+\c@Hy@tempcnt=\count312
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+\Urlmuskip=\muskip17
+Package: url 2013/09/16  ver 3.4  Verb mode for urls, etc.
+)
+LaTeX Info: Redefining \url on input line 4804.
+\XeTeXLinkMargin=\dimen267
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty
+Package: bitset 2019/12/09 v1.3 Handle bit-vector datatype (HO)
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty
+Package: bigintcalc 2019/12/15 v1.5 Expandable calculations on big integers (HO)
+))
+\Fld@menulength=\count313
+\Field@Width=\dimen268
+\Fld@charsize=\dimen269
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 6076.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 6081.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 6084.
+Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 6091.
+Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 6096.
+Package hyperref Info: Link coloring with OCG OFF on input line 6101.
+Package hyperref Info: PDF/A mode OFF on input line 6106.
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 6146.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 6150.
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty
+Package: atbegshi-ltx 2021/01/10 v1.0c Emulation of the original atbegshi
+package with kernel methods
+)
+\Hy@abspage=\count314
+\c@Item=\count315
+\c@Hfootnote=\count316
+)
+Package hyperref Info: Driver (autodetected): hpdftex.
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
+File: hpdftex.def 2021-06-07 v7.00m Hyperref driver for pdfTeX
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty
+Package: atveryend-ltx 2020/08/19 v1.0a Emulation of the original atveryend package
+with kernel methods
+)
+\Fld@listcount=\count317
+\c@bookmark@seq@number=\count318
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty
+Package: rerunfilecheck 2019/12/05 v1.9 Rerun checks for auxiliary files (HO)
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty
+Package: uniquecounter 2019/12/15 v1.4 Provide unlimited unique counter (HO)
+)
+Package uniquecounter Info: New unique counter `rerunfilecheck' on input line 286.
+)
+\Hy@SectionHShift=\skip71
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
+Package: xcolor 2021/10/31 v2.13 LaTeX color extensions (UK)
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg
+File: color.cfg 2016/01/02 v1.6 sample color configuration
+)
+Package xcolor Info: Package option `usenames' ignored on input line 218.
+Package xcolor Info: Driver file: pdftex.def on input line 227.
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/colortbl/colortbl.sty
+Package: colortbl 2020/01/04 v1.0e Color table columns (DPC)
+\everycr=\toks41
+\minrowclearance=\skip72
+)
+\rownum=\count319
+Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1352.
+Package xcolor Info: Model `hsb' substituted by `rgb' on input line 1356.
+Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1368.
+Package xcolor Info: Model `HTML' substituted by `rgb' on input line 1370.
+Package xcolor Info: Model `Hsb' substituted by `hsb' on input line 1371.
+Package xcolor Info: Model `tHsb' substituted by `hsb' on input line 1372.
+Package xcolor Info: Model `HSB' substituted by `hsb' on input line 1373.
+Package xcolor Info: Model `Gray' substituted by `gray' on input line 1374.
+Package xcolor Info: Model `wave' substituted by `hsb' on input line 1375.
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/dvipsnam.def
+File: dvipsnam.def 2016/06/17 v3.0m Driver-dependent file (DPC,SPQR)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/svgnam.def
+File: svgnam.def 2021/10/31 v2.13 Predefined colors according to SVG 1.1 (UK)
+))
+Package hyperref Info: Option `unicode' set `true' on input line 184.
+Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 184.
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex
+\pgfutil@everybye=\toks42
+\pgfutil@tempdima=\dimen270
+\pgfutil@tempdimb=\dimen271
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.tex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def
+\pgfutil@abb=\box107
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex)
+Package: pgfrcs 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+))
+Package: pgf 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
+Package: pgfsys 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
+\pgfkeys@pathtoks=\toks43
+\pgfkeys@temptoks=\toks44
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.tex
+\pgfkeys@tmptoks=\toks45
+))
+\pgf@x=\dimen272
+\pgf@y=\dimen273
+\pgf@xa=\dimen274
+\pgf@ya=\dimen275
+\pgf@xb=\dimen276
+\pgf@yb=\dimen277
+\pgf@xc=\dimen278
+\pgf@yc=\dimen279
+\pgf@xd=\dimen280
+\pgf@yd=\dimen281
+\w@pgf@writea=\write3
+\r@pgf@reada=\read3
+\c@pgf@counta=\count320
+\c@pgf@countb=\count321
+\c@pgf@countc=\count322
+\c@pgf@countd=\count323
+\t@pgf@toka=\toks46
+\t@pgf@tokb=\toks47
+\t@pgf@tokc=\toks48
+\pgf@sys@id@count=\count324
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg
+File: pgf.cfg 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+)
+Driver file for pgf: pgfsys-pdftex.def
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-pdftex.def
+File: pgfsys-pdftex.def 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.def
+File: pgfsys-common-pdf.def 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+))) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.tex
+File: pgfsyssoftpath.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+\pgfsyssoftpath@smallbuffer@items=\count325
+\pgfsyssoftpath@bigbuffer@items=\count326
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.tex
+File: pgfsysprotocol.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
+Package: pgfcore 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex
+\pgfmath@dimen=\dimen282
+\pgfmath@count=\count327
+\pgfmath@box=\box108
+\pgfmath@toks=\toks49
+\pgfmath@stack@operand=\toks50
+\pgfmath@stack@operation=\toks51
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonometric.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerarithmetics.code.tex))) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex
+\c@pgfmathroundto@lastzeros=\count328
+)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.tex
+File: pgfcorepoints.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+\pgf@picminx=\dimen283
+\pgf@picmaxx=\dimen284
+\pgf@picminy=\dimen285
+\pgf@picmaxy=\dimen286
+\pgf@pathminx=\dimen287
+\pgf@pathmaxx=\dimen288
+\pgf@pathminy=\dimen289
+\pgf@pathmaxy=\dimen290
+\pgf@xx=\dimen291
+\pgf@xy=\dimen292
+\pgf@yx=\dimen293
+\pgf@yy=\dimen294
+\pgf@zx=\dimen295
+\pgf@zy=\dimen296
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.code.tex
+File: pgfcorepathconstruct.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+\pgf@path@lastx=\dimen297
+\pgf@path@lasty=\dimen298
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code.tex
+File: pgfcorepathusage.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+\pgf@shorten@end@additional=\dimen299
+\pgf@shorten@start@additional=\dimen300
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.tex
+File: pgfcorescopes.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+\pgfpic=\box109
+\pgf@hbox=\box110
+\pgf@layerbox@main=\box111
+\pgf@picture@serial@count=\count329
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.code.tex
+File: pgfcoregraphicstate.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+\pgflinewidth=\dimen301
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformations.code.tex
+File: pgfcoretransformations.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+\pgf@pt@x=\dimen302
+\pgf@pt@y=\dimen303
+\pgf@pt@temp=\dimen304
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex
+File: pgfcorequick.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.tex
+File: pgfcoreobjects.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing.code.tex
+File: pgfcorepathprocessing.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.tex
+File: pgfcorearrows.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+\pgfarrowsep=\dimen305
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex
+File: pgfcoreshade.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+\pgf@max=\dimen306
+\pgf@sys@shading@range@num=\count330
+\pgf@shadingcount=\count331
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex
+File: pgfcoreimage.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.tex
+File: pgfcoreexternal.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+\pgfexternal@startupbox=\box112
+)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.tex
+File: pgfcorelayers.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.code.tex
+File: pgfcoretransparency.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.tex
+File: pgfcorepatterns.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex
+File: pgfcorerdf.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+))) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.tex
+File: pgfmoduleshapes.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+\pgfnodeparttextbox=\box113
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex
+File: pgfmoduleplot.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65.sty
+Package: pgfcomp-version-0-65 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+\pgf@nodesepstart=\dimen307
+\pgf@nodesepend=\dimen308
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18.sty
+Package: pgfcomp-version-1-18 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex
+Package: pgffor 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex)
+\pgffor@iter=\dimen309
+\pgffor@skip=\dimen310
+\pgffor@stack=\toks52
+\pgffor@toks=\toks53
+)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex
+Package: tikz 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers.code.tex
+File: pgflibraryplothandlers.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+\pgf@plot@mark@count=\count332
+\pgfplotmarksize=\dimen311
+)
+\tikz@lastx=\dimen312
+\tikz@lasty=\dimen313
+\tikz@lastxsaved=\dimen314
+\tikz@lastysaved=\dimen315
+\tikz@lastmovetox=\dimen316
+\tikz@lastmovetoy=\dimen317
+\tikzleveldistance=\dimen318
+\tikzsiblingdistance=\dimen319
+\tikz@figbox=\box114
+\tikz@figbox@bg=\box115
+\tikz@tempbox=\box116
+\tikz@tempbox@bg=\box117
+\tikztreelevel=\count333
+\tikznumberofchildren=\count334
+\tikznumberofcurrentchild=\count335
+\tikz@fig@count=\count336
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex
+File: pgfmodulematrix.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+\pgfmatrixcurrentrow=\count337
+\pgfmatrixcurrentcolumn=\count338
+\pgf@matrix@numberofcolumns=\count339
+)
+\tikz@expandcount=\count340
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarytopaths.code.tex
+File: tikzlibrarytopaths.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+))) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tikz-cd/tikz-cd.sty
+Package: tikz-cd 2021/05/04 v1.0 Commutative diagrams with TikZ
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/tikz-cd/tikzlibrarycd.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarymatrix.code.tex
+File: tikzlibrarymatrix.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryquotes.code.tex
+File: tikzlibraryquotes.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.meta.code.tex
+File: pgflibraryarrows.meta.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+\pgfarrowinset=\dimen320
+\pgfarrowlength=\dimen321
+\pgfarrowwidth=\dimen322
+\pgfarrowlinewidth=\dimen323
+))) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.sty
+2022/01/19 4.03 tkz-euclide.sty
+Package: tkz-euclide  2022/01/19 4.03 for pure Euclidean Geometry 
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryangles.code.tex
+File: tikzlibraryangles.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryarrows.code.tex
+File: tikzlibraryarrows.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.code.tex
+File: pgflibraryarrows.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+\arrowsize=\dimen324
+)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarycalc.code.tex
+File: tikzlibrarycalc.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduledecorations.code.tex
+\pgfdecoratedcompleteddistance=\dimen325
+\pgfdecoratedremainingdistance=\dimen326
+\pgfdecoratedinputsegmentcompleteddistance=\dimen327
+\pgfdecoratedinputsegmentremainingdistance=\dimen328
+\pgf@decorate@distancetomove=\dimen329
+\pgf@decorate@repeatstate=\count341
+\pgfdecorationsegmentamplitude=\dimen330
+\pgfdecorationsegmentlength=\dimen331
+)
+\tikz@lib@dec@box=\box118
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.markings.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.markings.code.tex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathreplacing.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathreplacing.code.tex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.shapes.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.shapes.code.tex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.text.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.text.code.tex
+\pgf@lib@dec@text@box=\box119
+)
+\tikz@lib@dec@te@box=\box120
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathmorphing.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathmorphing.code.tex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryintersections.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryintersections.code.tex (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryfpu.code.tex)
+\pgf@intersect@solutions=\count342
+)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryplotmarks.code.tex
+File: tikzlibraryplotmarks.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplotmarks.code.tex
+File: pgflibraryplotmarks.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryshapes.misc.code.tex
+File: tikzlibraryshapes.misc.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshapes.misc.code.tex
+File: pgflibraryshapes.misc.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xfp/xfp.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty
+Package: expl3 2022-01-21 L3 programming layer (loader) 
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def
+File: l3backend-pdftex.def 2022-01-12 L3 backend support: PDF output (pdfTeX)
+\l__color_backend_stack_int=\count343
+\l__pdf_internal_box=\box121
+))
+Package: xfp 2022-01-12 L3 Floating point unit
+)
+\tkzRadius=\dimen332
+\tkzLength=\dimen333
+\tkz@radi=\dimen334
+\tkz@ax=\dimen335
+\tkz@ay=\dimen336
+\tkz@bx=\dimen337
+\tkz@by=\dimen338
+\tkz@cx=\dimen339
+\tkz@cy=\dimen340
+\tkz@dx=\dimen341
+\tkz@dy=\dimen342
+\tkz@cntmk=\count344
+
+Local configuration file tkz-euclide.cfg found and used
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-euclide.cfg
+2022/01/19 4.03 tkz-euclide.cfg
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-base.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-tools-eu-base.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-utilities.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-tools-eu-utilities.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-BB.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-BB.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-grids.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-grids.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-marks.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-lib-eu-marks.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-text.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-tools-eu-text.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-lib-eu-shape.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-lib-eu-shape.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-axesmin.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-axesmin
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-colors.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-tools-eu-colors
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-points.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-math.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-tools-eu-math.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-intersections.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-tools-intersections.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-tools-eu-angles.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-tools-angles.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-compass.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-compass.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-circles.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-circles-by.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-circles.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-angles.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-tool-eu-angles.tex
+\tkz@arcsize=\dimen343
+\tkz@fillsize=\dimen344
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-circles.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-draw-circles.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-lines.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-draw-lines.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-polygons.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-polygons.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-draw-triangles.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-draw-triangles.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-lines.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-lines.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-by.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-tools-el-points-by.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-rnd.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-el-points-rnd.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-spc.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-el-points.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-points-with.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-el-points-with.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-polygons.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-polygons.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-protractor.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-protractor.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-sectors.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-sectors.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-show.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-show.tex
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tkz-euclide/tkz-obj-eu-triangles.tex
+2022/01/19 4.03 tkz-obj-eu-triangles.tex
+)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stackengine/stackengine.sty
+Package: stackengine 2021/07/22 v4.11\ Stacking text and objects in convenient ways
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/etoolbox/etoolbox.sty
+Package: etoolbox 2020/10/05 v2.5k e-TeX tools for LaTeX (JAW)
+\etb@tempcnta=\count345
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/listofitems/listofitems.tex
+\loi_cnt_foreach_nest=\count346
+\loi_nestcnt=\count347
+)
+Package: listofitems 2019/08/21 v1.63 Grab items in lists using user-specified sep char (CT)
+)
+\c@@stackindex=\count348
+\@boxshift=\skip73
+\stack@tmplength=\skip74
+\temp@stkl=\skip75
+\@stackedboxwidth=\skip76
+\@addedbox=\box122
+\@anchorbox=\box123
+\@insetbox=\box124
+\se@backgroundbox=\box125
+\stackedbox=\box126
+\@centerbox=\box127
+\c@ROWcellindex@=\count349
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarybabel.code.tex
+File: tikzlibrarybabel.code.tex 2021/05/15 v3.1.9a (3.1.9a)
+))
+! Emergency stop.
+<*> ...Tex/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex
+                                                  
+*** (job aborted, no legal \end found)
+
+ 
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 30712 strings out of 478287
+ 608391 string characters out of 5849289
+ 873148 words of memory out of 5000000
+ 48280 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 470672 words of font info for 31 fonts, out of 8000000 for 9000
+ 1141 hyphenation exceptions out of 8191
+ 84i,0n,85p,512b,99s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
+!  ==> Fatal error occurred, no output PDF file produced!
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex
new file mode 100644
index 00000000..ae56f727
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/preamble.tex
@@ -0,0 +1,191 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+
+%%% Нумерация глав, начиная с 0
+\setcounter{section}{-1}
+
+%%% Работа с русским языком
+\usepackage{cmap}					% поиск в PDF
+\usepackage{mathtext} 				% русские буквы в формулах
+\usepackage[T2A]{fontenc}			% кодировка
+\usepackage[utf8]{inputenc}			% кодировка исходного текста
+\usepackage[english,russian]{babel}	% локализация и переносы
+\usepackage{indentfirst}            % красная строка в первом абзаце
+\frenchspacing                      % равные пробелы между словами и предложениями
+
+%%% Дополнительная работа с математикой
+\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % пакеты AMS
+\usepackage{bbm} % Blackboard bold для цифр
+\usepackage{icomma}                                    % "Умная" запятая
+
+%%% Свои символы и команды для математики, обозначений
+\usepackage{centernot} % центрированное зачеркивание символа
+\usepackage{stmaryrd}  % некоторые спецсимволы
+
+\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}
+\renewcommand{\kappa}{\ensuremath{\varkappa}}
+\renewcommand{\le}{\ensuremath{\leqslant}}
+\renewcommand{\leq}{\ensuremath{\leqslant}}
+\renewcommand{\ge}{\ensuremath{\geqslant}}
+\renewcommand{\geq}{\ensuremath{\geqslant}}
+\renewcommand{\emptyset}{\ensuremath{\varnothing}}
+
+\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
+\DeclareMathOperator{\Arg}{Arg}
+\DeclareMathOperator{\Ln}{Ln}
+\DeclareMathOperator{\re}{Re}
+\DeclareMathOperator{\im}{Im}
+\DeclareMathOperator{\Arsh}{Arsh}
+\DeclareMathOperator{\Int}{int}
+\DeclareMathOperator{\cl}{cl}
+
+\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
+\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
+\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\Cm}{\mathbb{C}}
+\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
+\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
+\newcommand{\goth}{\mathfrak}
+\newcommand{\mc}{\mathring}
+\newcommand{\eps}{\varepsilon}
+\newcommand{\veps}{\epsilon}
+\newcommand{\vdelta}{\partial}
+\newcommand{\Tau}{\mathcal{T}}
+\newcommand{\dvec}[1]{\Delta\vec{#1}}
+\newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}
+\newcommand{\liml}{\lim\limits}
+\newcommand{\suml}{\sum\limits}
+\newcommand{\prodl}{\prod\limits}
+\newcommand{\such}{:\ }
+\newcommand{\range}[1]{\{1, \ldots, #1\}}
+
+\newcommand{\System}[1]{
+	\left\{\begin{aligned}#1\end{aligned}\right.
+}
+\newcommand{\Root}[2]{
+	\left\{\!\sqrt[#1]{#2}\right\}
+}
+\newcommand{\Matrix}[1]{
+	\left(\begin{aligned}#1\end{aligned}\right)
+}
+\newcommand{\Det}[1]{
+	\left|\begin{aligned}#1\end{aligned}\right|
+}
+\newcommand{\trbr}[1]{
+	\left\langle#1\right\rangle
+}
+
+\renewcommand\labelitemi{$\triangleright$}
+
+\let\bs\backslash
+\let\lra\Leftrightarrow
+\let\ra\rightarrow
+\let\rra\rightrightarrows
+\let\Ra\Rightarrow
+\let\La\Leftarrow
+\let\emb\hookrightarrow
+\let\tr\triangle
+
+\newcommand{\dse}{\displaystyle}
+
+%%% Перенос знаков в формулах (по Львовскому)
+\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}
+
+%%% Работа с картинками
+\usepackage{graphicx}    % Для вставки рисунков
+\setlength\fboxsep{3pt}  % Отступ рамки \fbox{} от рисунка
+\setlength\fboxrule{1pt} % Толщина линий рамки \fbox{}
+\usepackage{wrapfig}     % Обтекание рисунков текстом
+
+%%% Работа с таблицами
+\usepackage{array,tabularx,tabulary,booktabs} % Дополнительная работа с таблицами
+\usepackage{longtable}                        % Длинные таблицы
+\usepackage{multirow}                         % Слияние строк в таблице
+
+%%% Теоремы
+\theoremstyle{plain}
+\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
+\newtheorem{lemma}{Лемма}[subsection]
+\newtheorem{proposition}{Утверждение}[subsection]
+\newtheorem*{exercise}{Упражнение}
+
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{definition}{Определение}[subsection]
+\newtheorem*{adefinition}{Определение(не материал лектора)}
+\newtheorem*{corollary}{Следствие}
+\newtheorem*{addition}{Дополнение}
+\newtheorem*{note}{Замечание}
+\newtheorem*{anote}{Замечание автора}
+\newtheorem*{reminder}{Напоминание}
+\newtheorem*{example}{Пример}
+\newtheorem*{examples}{Примеры}
+
+\theoremstyle{remark}
+\newtheorem*{idea}{Идея доказательства}
+\newtheorem*{solution}{Решение}
+
+%%% Оформление страницы
+\usepackage{extsizes}     % Возможность сделать 14-й шрифт
+\usepackage{geometry}     % Простой способ задавать поля
+\usepackage{setspace}     % Интерлиньяж
+\usepackage{enumitem}     % Настройка окружений itemize и enumerate
+\setlist{leftmargin=25pt} % Отступы в itemize и enumerate
+
+\geometry{top=25mm}    % Поля сверху страницы
+\geometry{bottom=30mm} % Поля снизу страницы
+\geometry{left=20mm}   % Поля слева страницы
+\geometry{right=20mm}  % Поля справа страницы
+
+\setlength\parindent{15pt}        % Устанавливает длину красной строки 15pt
+\linespread{1.3}                  % Коэффициент межстрочного интервала
+%\setlength{\parskip}{0.5em}      % Вертикальный интервал между абзацами
+%\setcounter{secnumdepth}{0}      % Отключение нумерации разделов
+%\setcounter{section}{-1}         % Нумерация секций с нуля
+\usepackage{multicol}			  % Для текста в нескольких колонках
+\usepackage{soulutf8}             % Модификаторы начертания
+
+%%% Шаблонная информация для титульного листа
+\newcommand{\CourseName}{Введение в математический анализ}
+\newcommand{\FullCourseNameFirstPart}{\so{ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ}}
+\newcommand{\SemesterNumber}{I}
+\newcommand{\LecturerInitials}{Лукашов Алексей Леонидович}
+\newcommand{\CourseDate}{осень 2023}
+\newcommand{\GithubLink}{https://github.com/MIPT-Group/Lectures_Tex_Club}
+
+%%% Колонтитулы
+\usepackage{titleps}
+\newpagestyle{main}{
+	\setheadrule{0.4pt}
+	\sethead{\CourseName}{}{\hyperlink{intro}{\;Назад к содержанию}}
+	\setfootrule{0.4pt}                       
+	\setfoot{ФПМИ МФТИ, \CourseDate}{}{\thepage} 
+}
+\pagestyle{main}  
+
+%%% Нумерация уравнений
+\makeatletter
+\def\eqref{\@ifstar\@eqref\@@eqref}
+\def\@eqref#1{\textup{\tagform@{\ref*{#1}}}}
+\def\@@eqref#1{\textup{\tagform@{\ref{#1}}}}
+\makeatother                      % \eqref* без гиперссылки
+\numberwithin{equation}{section}  % Нумерация вида (номер_секции).(номер_уравнения)
+\mathtoolsset{showonlyrefs=false} % Номера только у формул с \eqref{} в тексте.
+
+%%% Гиперссылки
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage[usenames,dvipsnames,svgnames,table,rgb]{xcolor}
+\hypersetup{
+	unicode=true,            % русские буквы в раздела PDF
+	colorlinks=true,       	 % Цветные ссылки вместо ссылок в рамках
+	linkcolor=black!15!blue, % Внутренние ссылки
+	citecolor=green,         % Ссылки на библиографию
+	filecolor=magenta,       % Ссылки на файлы
+	urlcolor=NavyBlue,       % Ссылки на URL
+}
+
+%%% Графика
+\usepackage{tikz}        % Графический пакет tikz
+\usepackage{tikz-cd}     % Коммутативные диаграммы
+\usepackage{tkz-euclide} % Геометрия
+\usepackage{stackengine} % Многострочные тексты в картинках
+\usetikzlibrary{angles, babel, quotes}
\ No newline at end of file
diff --git a/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/title_page.tex b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/title_page.tex
new file mode 100644
index 00000000..991b9a87
--- /dev/null
+++ b/Lectures/1_Semester/Calculus/2023_Lukashov/preamble_ltc/title_page.tex
@@ -0,0 +1,35 @@
+\begin{titlepage}
+	\clearpage\thispagestyle{empty}
+	\centering
+	
+	\textbf{Московский физико-технический институт \\ Физтех-школа прикладной математики и информатики}
+	\vspace{33ex}
+	
+	{\textbf{\FullCourseNameFirstPart}}
+	
+	\SemesterNumber\ СЕМЕСТР  
+	\vspace{1ex}
+	
+	Лектор: \textit{\LecturerInitials}
+	
+	\includegraphics[width=0.4\textwidth]{images/logo_ltc.png}
+
+	\begin{flushright}
+		\noindent
+		
+
+		Авторы:
+		
+		TeX 2021: \href{https://vk.com/wolfawi}{\textit{Даниил Максимов}}
+
+		reTeX 2023: \href{https://vk.com/craftycraftz}{\textit{Артём Хафизов}}
+
+					\href{https://vk.com/nickzu}{\textit{Николай Зуев}}
+		
+		\href{\GithubLink}{\textit{Проект на Github}}
+	\end{flushright}
+	
+	\vfill
+	\CourseDate
+	\pagebreak
+\end{titlepage}
diff --git a/config.json b/config.json
index 293c2730..342f1861 100644
--- a/config.json
+++ b/config.json
@@ -36,5 +36,8 @@
   ],
   "ovatik": [
     "l/2/Algebra_and_Coding_Theory/2023_Vyalyj"
+  ],
+  "craftycraftz": [
+    "l/1/Calculus/2023_Lukashov"
   ]
 }