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300. 最长上升子序列

English Version

题目描述

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4 
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明:

• 可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
• 你算法的时间复杂度应该为 O(n²) 。

进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

解法

动态规划求解。

定义 dp[i] 为以 nums[i] 结尾的最长子序列的长度。即题目求的是 dp[i] （i ∈[0, n-1]）的最大值。

状态转移方程为：

dp[i] = max(dp[j]) + 1，其中 0≤j<i 且 nums[j]<nums[i]。

Python3

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        if n < 2:
            return n
        dp = [0 for _ in range(n)]
        dp[0] = 1
        res = 1
        for i in range(n):
            max_val = 0
            for j in range(0, i):
                if nums[j] < nums[i]:
                    max_val = max(max_val, dp[j])
                dp[i] = max_val + 1
                res = max(res, dp[i])
        return res

Java

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = 1;
        int res = 1;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            int maxVal = 0;
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    maxVal = Math.max(maxVal, dp[j]);
                }
            }
            dp[i] = maxVal + 1;
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }
        return res;

    }
}

...