yutsumura.lyx

#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 544
\begin_document
\begin_header
\save_transient_properties true
\origin unavailable
\textclass extreport
\use_default_options true
\begin_modules
theorems-ams-bytype
\end_modules
\maintain_unincluded_children false
\language russian
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman "default" "default"
\font_sans "default" "default"
\font_typewriter "default" "default"
\font_math "auto" "auto"
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100 100
\font_tt_scale 100 100
\use_microtype false
\use_dash_ligatures true
\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_package amsmath 1
\use_package amssymb 1
\use_package cancel 1
\use_package esint 1
\use_package mathdots 1
\use_package mathtools 1
\use_package mhchem 1
\use_package stackrel 1
\use_package stmaryrd 1
\use_package undertilde 1
\cite_engine basic
\cite_engine_type default
\biblio_style plain
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\justification true
\use_refstyle 1
\use_minted 0
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\is_math_indent 0
\math_numbering_side default
\quotes_style russian
\dynamic_quotes 0
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Title
Решение задач сайта Problems in Mathematics (yutsumura.com)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Десятичную точку нужно бы заменить на запятую, так как это принято в русском
 языке
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Part
Линейная алгебра
\end_layout

\begin_layout Chapter
Матрицы
\end_layout

\begin_layout Section
Если произведение матриц 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 является квадратной матрицей, то 
\begin_inset Formula $BA$
\end_inset

 — квадратная? (задача 263)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 такие матрицы, что матричное произведение 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 определено и 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — квадратная матрица.
\end_layout

\begin_layout Problem
Верно ли, что матричного произведение 
\begin_inset Formula $BA$
\end_inset

 также определено и 
\begin_inset Formula $BA$
\end_inset

 — квадратная матрица? Если это верно, то докажите это, а если нет — найдите
 контрпример.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times m$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $s\times t$
\end_inset

.
 Так как произведение 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 определено, то 
\begin_inset Formula $m=s$
\end_inset

, а произведение 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times t$
\end_inset

.
 По условию, 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — квадратная матрица, поэтому 
\begin_inset Formula $n=t$
\end_inset

, таким образом.
\end_layout

\begin_layout Solution
Чтобы произведение 
\begin_inset Formula $BA$
\end_inset

 было определено, необходимо, чтобы выполнялось равенство 
\begin_inset Formula $t=n$
\end_inset

, размер произведения 
\begin_inset Formula $BA$
\end_inset

 есть 
\begin_inset Formula $s\times m$
\end_inset

.
 Чтобы 
\begin_inset Formula $BA$
\end_inset

 было квадратной матрицей, необходимо, чтобы выполнялось равенство 
\begin_inset Formula $s=m$
\end_inset

.
 Оба эти равенства были доказаны выше.
\end_layout

\begin_layout Section
Верно или не верно: 
\begin_inset Formula $\left(A-B\right)\left(A+B\right)=A^{2}-B^{2}$
\end_inset

 для матриц (задача 96).
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — матрицы 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

.
 Докажите или найдите контрпример для равенства 
\begin_inset Formula $\left(A-B\right)\left(A+B\right)=A^{2}-B^{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Раскрыв скобки в левой части равенства 
\begin_inset Formula 
\[
\left(A-B\right)\left(A+B\right)=A^{2}-BA+AB-B^{2}.
\]

\end_inset

Таким образом, для выполнения исходного равенства требуется, чтобы матрицы
 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 были коммутируемыми, то есть, чтобы выполнялось равенство 
\begin_inset Formula $AB=BA$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\\
3 & 1
\end{array}\right)$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B=\left(\begin{array}{cc}
2 & 1\\
3 & 2
\end{array}\right)$
\end_inset

, тогда
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
AB=\left(\begin{array}{cc}
8 & 5\\
9 & 5
\end{array}\right),
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
BA=\left(\begin{array}{cc}
5 & 4\\
9 & 8
\end{array}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как 
\begin_inset Formula $AB\neq BA$
\end_inset

, то данные матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — контрпример для рассматриваемого равенства.
\end_layout

\begin_layout Section
Если матричное произведение 
\begin_inset Formula $AB=O$
\end_inset

, то также 
\begin_inset Formula $BA=O$
\end_inset

? (задача 98)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — матрицы 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Предположим, что 
\begin_inset Formula $AB=O$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $O$
\end_inset

 — нулевая матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
Верно ли, что матричное произведение в обратном порядке 
\begin_inset Formula $BA$
\end_inset

 также даёт нулевую матрицу? Если это верно, то докажите, если нет — приведите
 контрпример.
\end_layout

\begin_layout Solution
Рассмотрим матрицы 
\begin_inset Formula $A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right)$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\\
-1 & -2
\end{array}\right)$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
AB=\left(\begin{array}{cc}
1-1 & 2-2\\
0 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right)=O,
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
BA=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\\
-1 & -1
\end{array}\right)\neq O.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, произведение 
\begin_inset Formula $BA$
\end_inset

 не всегда равно нулевой матрице, когда 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — нулевая матрица.
\end_layout

\begin_layout Section
Пример нильпотентной матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 такой, что 
\begin_inset Formula $A^{2}\neq O$
\end_inset

, но 
\begin_inset Formula $A^{3}=O$
\end_inset

.
 (задача 305)
\end_layout

\begin_layout Definition
Квадратная матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 называется нильпотентной, если существует натуральное 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 такое, что 
\begin_inset Formula $A^{k}$
\end_inset

 — нулевая матрица.
 Наименьшее такое 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 называется степенью или индексом 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
Найдите ненулевую матрицу 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 размера 
\begin_inset Formula $3\times3$
\end_inset

 такую, что 
\begin_inset Formula $A^{2}\neq O$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $A^{3}=O$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $O$
\end_inset

 — нулевая матрица размера 
\begin_inset Formula $3\times3$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula 
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right),
\]

\end_inset

тогда
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
A^{2}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\neq O,
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
A^{3}=A^{2}A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)=O,
\]

\end_inset

 что и требовалось по условиям.
\end_layout

\begin_layout Section
Вычислите произведение 
\begin_inset Formula $A^{2017}u$
\end_inset

 степени матрицы и вектора (задача 114).
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula 
\[
A=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
0 & -1
\end{array}\right)
\]

\end_inset

и 
\begin_inset Formula 
\[
u=\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right).
\]

\end_inset

Вычислите 
\begin_inset Formula $A^{2017}u$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Найдём произведение 
\begin_inset Formula 
\[
Au=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
0 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-1+0\\
0+0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-1\\
0
\end{array}\right)=-u.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Таким образом, 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 — собственный вектор матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 с собственным числом 
\begin_inset Formula $\left(-1\right)$
\end_inset

, поэтому
\begin_inset Formula 
\[
A^{k+1}u=A^{k}\left(Au\right)=A^{k}\left(-u\right)=-A^{k}u=\left(-1\right)^{k+1}u
\]

\end_inset

 и 
\begin_inset Formula 
\[
A^{2017}u=\left(-1\right)^{2017}u=-u=\left(\begin{array}{c}
-1\\
0
\end{array}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Найти формулу для степени матрицы (задача 383)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula 
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).
\]

\end_inset

 Найти формулу для 
\begin_inset Formula $A^{n}$
\end_inset

 для любого положительного целого 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution*
Вычислим несколько первых степеней 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula 
\[
A^{2}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right),
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
A^{3}=A^{2}A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 5\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right),
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution*
\begin_inset Formula 
\[
A^{4}=A^{2}A^{2}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 7\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution*
Из этих вычислений мы можем предположить, что общая формула для 
\begin_inset Formula $A^{n}$
\end_inset

 есть 
\begin_inset Formula 
\[
A^{n}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2n-1\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution*
Докажем эту формулу методом математической индукции.
 База индукции 
\begin_inset Formula 
\[
A^{1}=A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution*
Докажем теперь индукционный переход.
 Пусть доказано, что для некоторого положительного целого 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 имеет место равенство
\begin_inset Formula 
\[
A^{k}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2k-1\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right),
\]

\end_inset

 вычислим 
\begin_inset Formula $A^{k+1}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
A^{k+1}=A^{k}A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2k+1\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2\left(k+1\right)-1\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution*
Таким образом, равенство 
\begin_inset Formula 
\[
A^{n}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2n-1\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).
\]

\end_inset

доказано для любого целого 
\begin_inset Formula $n>0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — идемпотентная матрица, то когда 
\begin_inset Formula $I-kA$
\end_inset

 — идемпотентная матрица? (задача 426)
\end_layout

\begin_layout Definition
Квадратная матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 называется идемпотентной, если 
\begin_inset Formula $A^{2}=A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — идемпотентная матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $I_{n}$
\end_inset

 — единичная матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $I_{n}-A$
\end_inset

 — идемпотентная матрица.
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — ненулевая идемпотентная матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Определите все целые 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 такие, что 
\begin_inset Formula $I_{n}-kA$
\end_inset

 является идемпотентной.
\end_layout

\begin_layout Problem
в) Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — матрицы размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

, удовлетворяющие равенствам 
\begin_inset Formula $AB=A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $BA=B$
\end_inset

, докажите, что 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — идемпотентная матрица.
\end_layout

\begin_layout Solution
а) Вычислим 
\begin_inset Formula $\left(I_{n}-A\right)^{2}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\left(I_{n}-A\right)^{2}=\left(I_{n}-A\right)\left(I_{n}-A\right)=\\
=I_{n}I_{n}-AI_{n}-I_{n}A+A^{2}=I_{n}-2A+A^{2}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — идемпотентная матрица, то 
\begin_inset Formula $A^{2}=A$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
\left(I_{n}-A\right)^{2}=I_{n}-2A+A=I_{n}-A,
\]

\end_inset

 таким образом, 
\begin_inset Formula $I_{n}-A$
\end_inset

 — идемпотентная матрица.
\end_layout

\begin_layout Solution
б) Вычислим 
\begin_inset Formula $I_{n}-kA$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\left(I_{n}-kA\right)^{2}=\left(I_{n}-kA\right)\left(I_{n}-kA\right)=\\
=I_{n}I_{n}-kAI_{n}-kI_{n}A+k^{2}A^{2}=I_{n}-2kA+k^{2}A^{2}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — идемпотентная матрица, то 
\begin_inset Formula $A^{2}=A$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
\left(I_{n}-kA\right)^{2}=I_{n}-2kA+k^{2}A=I_{n}-A\left(2k-k^{2}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Для того, чтобы 
\begin_inset Formula $I_{n}-kA$
\end_inset

 была идемпотентной, необходимо, чтобы выполнялось равенство 
\begin_inset Formula $k=2k-k^{2}$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $k^{2}-k=0$
\end_inset

.
 Вынесем 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 в правой части: 
\begin_inset Formula $k\left(k-1\right)=0$
\end_inset

, откуда следует 
\begin_inset Formula $k=0$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $k=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
в) По условию задачи 
\begin_inset Formula $AB=A$
\end_inset

.
 Умножим это равенство на 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 справа: 
\begin_inset Formula $A^{2}=ABA$
\end_inset

, но, снова по условию задачи, имеет место равенство 
\begin_inset Formula $BA=B$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $A^{2}=A\left(BA\right)=AB=A$
\end_inset

, таким образом 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — идемпотентная, что и требовалось.
\end_layout

\begin_layout Section
Найти все матрицы, коммутирующие с данной (задача 272)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula 
\[
A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 3\\
2 & 4
\end{array}\right).
\]

\end_inset

 Найти все матрицы 
\begin_inset Formula 
\[
B=\left(\begin{array}{cc}
x & y\\
z & w
\end{array}\right)
\]

\end_inset

 такие, что 
\begin_inset Formula $AB=BA$
\end_inset

.
 Используйте полученный результат, чтобы найти такие матрицы 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $AB=BA$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $AC\neq CA$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Вычислим 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $BA$
\end_inset

 в общем виде: 
\begin_inset Formula 
\[
AB=\left(\begin{array}{cc}
x+3z & y+3w\\
2x+4z & 2y+4w
\end{array}\right),
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
BA=\left(\begin{array}{cc}
x+2y & 3x+4y\\
z+2w & 3z+4w
\end{array}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Теперь вычислим 
\begin_inset Formula $AB-BA$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
AB-BA=\left(\begin{array}{cc}
3z-2y & 3w-3x-3y\\
2x+3z-2w & 2y-3z
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, чтобы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 коммутировали, элементы 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 должны удовлетворять следующей системе уравнений: 
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{array}{c}
3z-2y=0\\
3w-3x-3y=0\\
2x+3z-2w=0\\
2y-3z=0
\end{array}\right..
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Первое и четвёртое уравнения эквиваленты (отличаются только знаком), поэтому
 одно из них можно исключить из системы:
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{array}{c}
3z-2y=0\\
3w-3x-3y=0\\
2x+3z-2w=0
\end{array}\right..
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Из первого уравнения выразим 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 и подставим это выражение в третье уравнение: 
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{array}{c}
z=\frac{2}{3}y\\
-3x-3y+3w=0\\
2x+2y-2w=0
\end{array}\right..
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Разделив второе уравнение на 
\begin_inset Formula $-3$
\end_inset

, а третье — на 
\begin_inset Formula $2$
\end_inset

, видим, что они эквиваленты: 
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{array}{c}
z=\frac{2}{3}y\\
x+y-w=0\\
x+y-w=0
\end{array}\right.,
\]

\end_inset

 поэтому одно из них можно отбросить, а из второго выразим 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

: 
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{array}{c}
z=\frac{2}{3}y\\
w=x+y
\end{array}\right.,
\]

\end_inset

 таким образом, чтобы получить матрицу, коммутирующую с 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, можно 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 взять произвольно, а 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 определить по полученным формулам.
\end_layout

\begin_layout Solution
Например, взяв 
\begin_inset Formula $x=1$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $y=3$
\end_inset

, получим 
\begin_inset Formula $z=2$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $w=4$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $B=A$
\end_inset

.
 Взяв 
\begin_inset Formula $x=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $y=3$
\end_inset

, получим 
\begin_inset Formula 
\[
B=\left(\begin{array}{cc}
0 & 3\\
2 & 3
\end{array}\right).
\]

\end_inset

 Изменив один из элементов 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

, получим матрицу, не коммутирующую с 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, например: 
\begin_inset Formula 
\[
C=\left(\begin{array}{cc}
0 & 3\\
3 & 3
\end{array}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Векторная форма общего решения.
 Транспонирование матриц.
 (задача 273)
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Пусть дана расширенная матрица системы линейных уравнений.
 Найдите общее решение в векторной форме.
\end_layout

\begin_layout Problem
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}\begin{array}{rrrrr|r}
1 & 0 & -1 & 0 & -2 & 0\\
0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0
\end{array}\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
б) Пусть 
\begin_inset Formula $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $C=\begin{pmatrix}1 & 2\\
0 & 6
\end{pmatrix}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $v=\begin{pmatrix}0\\
1\\
0
\end{pmatrix}$
\end_inset

.
 Вычислите и упростите выражение 
\begin_inset Formula 
\[
v^{T}\left(A^{T}-\left(A-B\right)^{T}\right)C.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
а) Система уравнений, соответствующая заданной расширенной матрице, есть
 
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{array}{c}
x_{1}-x_{3}-2x_{5}=0\\
x_{2}+2x_{3}-x_{5}=0\\
x_{4}+x_{5}=0
\end{array}\right..
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Выражая из уравнений этой системы 
\begin_inset Formula $x_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x_{2}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $x_{4}$
\end_inset

 соответственно, получим: 
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{array}{c}
x_{1}=x_{3}+2x_{5}\\
x_{2}=-2x_{3}+x_{5}\\
x_{4}=-x_{5}
\end{array}\right..
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
В матрично-векторной форме это можно записать следующим образом: 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{4}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\
-2 & 1\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{3}\\
x_{5}
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Не знал, что значит 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

векторная форма
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

, поэтому получил её не сразу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Общее решение имеет вид 
\begin_inset Formula 
\[
x=\begin{pmatrix}x_{3}+2x_{5}\\
-2x_{3}+x_{5}\\
x_{3}\\
-x_{5}\\
x_{5}
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

поэтому в векторной форме общее решение имеет вид: 
\begin_inset Formula 
\[
x=x_{3}\begin{pmatrix}1\\
-2\\
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}+x_{5}\begin{pmatrix}2\\
1\\
0\\
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
б) Начнём с упрощения.
 Так как 
\begin_inset Formula $\left(A-B\right)^{T}=A^{T}-B^{T}$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula 
\[
v^{T}\left(A^{T}-\left(A-B\right)^{T}\right)C=v^{T}\left(A^{T}-A^{T}+B^{T}\right)C=v^{T}B^{T}C.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Теперь перейдём к вычислению: 
\begin_inset Formula 
\[
v^{T}B^{T}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
v^{T}B^{T}C=\begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\\
0 & 6
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 6\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Найти все вектора, ортогональные заданному (задача 641)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $v=\begin{pmatrix}2 & -5 & -1\end{pmatrix}$
\end_inset

.
 Найти все векторы-столбцы 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 размера 
\begin_inset Formula $3\times1$
\end_inset

 такие, что 
\begin_inset Formula $vw=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula 
\[
w=\begin{pmatrix}x\\
y\\
z
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

тогда 
\begin_inset Formula $vw=2x-5y-z=0$
\end_inset

, откуда 
\begin_inset Formula $z=2x-5y$
\end_inset

.
 Взяв 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 произвольно, а затем вычислив 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 по полученной формуле, определим вектор-столбец 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

.
 В векторной форме получим:
\begin_inset Formula 
\[
w=\begin{pmatrix}x\\
y\\
2x-5y
\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\
0\\
2
\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\
1\\
-5
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Степени матрицы вращения (задача 567)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Сделать пробелы между столбцами матриц больше
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Докажите следующее равенство для произвольного натурального 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x\\
\sin x & \cos x
\end{pmatrix}^{n}=\begin{pmatrix}\cos nx & -\sin nx\\
\sin nx & \cos nx
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
При 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset

 левая часть есть единичная матрица по определению, а правая часть даёт
 единичную матрицу, так как 
\begin_inset Formula $\cos0=1$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\sin0=0$
\end_inset

.
 Для случая целых положительных 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 доказательство проведём методом математической индукции.
 При 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

 равенство очевидно.
 Этот случай образует базу индукции.
 Пусть теперь равенство доказано для некоторого 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x\\
\sin x & \cos x
\end{pmatrix}^{k}=\begin{pmatrix}\cos kx & -\sin kx\\
\sin kx & \cos kx
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 тогда 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x\\
\sin x & \cos x
\end{pmatrix}^{k+1}=\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x\\
\sin x & \cos x
\end{pmatrix}^{k}\cdot\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x\\
\sin x & \cos x
\end{pmatrix}=\\
=\begin{pmatrix}\cos kx & -\sin kx\\
\sin kx & \cos kx
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x\\
\sin x & \cos x
\end{pmatrix}=\\
=\begin{pmatrix}\cos kx\cdot\cos x-\sin kx\cdot\sin x & -\cos kx\cdot\sin x-\sin kx\cdot\cos x\\
\sin kx\cdot\cos x+\cos kx\cdot\sin x & -\sin kx\cdot\sin x+\cos kx\cdot\cos x
\end{pmatrix}=\\
=\begin{pmatrix}\cos\left(k+1\right)x & -\sin\left(k+1\right)x\\
\sin\left(k+1\right)x & \cos\left(k+1\right)x
\end{pmatrix}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Мы доказали равенство 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x\\
\sin x & \cos x
\end{pmatrix}^{k+1}=\begin{pmatrix}\cos\left(k+1\right)x & -\sin\left(k+1\right)x\\
\sin\left(k+1\right)x & \cos\left(k+1\right)x
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 индуктивный переход выполнен, поэтому доказываемое равенство верно для
 любого натурального 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Коммутирует ли вычисление следа с умножением матриц? (задача 364)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — матрицы размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Всегда ли 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(AB\right)=\mathrm{tr}\left(A\right)\mathrm{tr}\left(B\right)$
\end_inset

? Если да, то докажите, если нет — найдите контрпример.
\end_layout

\begin_layout Solution
Рассмотрим матрицы 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

 
\begin_inset Formula 
\[
A=\begin{pmatrix}\begin{array}{lc}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\end{pmatrix}
\]

\end_inset

 и 
\begin_inset Formula 
\[
B=\begin{pmatrix}\begin{array}{lc}
b_{11} & b_{12}\\
b_{21} & b_{22}
\end{array}\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 тогда 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(A\right)\mathrm{tr}\left(B\right)=\left(a_{11}+a_{22}\right)\left(b_{11}+b_{22}\right)$
\end_inset

, но 
\begin_inset Formula 
\[
AB=\begin{pmatrix}\begin{array}{lc}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}
\end{array}\end{pmatrix}
\]

\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(AB\right)=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}$
\end_inset

.
 Мы видим, что 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(A\right)\mathrm{tr}\left(B\right)$
\end_inset

 вообще не содержит недиагональные элементы матриц, а 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(AB\right)$
\end_inset

 — содержит, поэтому в общем случае 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(AB\right)\neq\mathrm{tr}\left(A\right)\mathrm{tr}\left(B\right)$
\end_inset

.
 Контрпример: 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}\begin{array}{lc}
1 & 2\\
2 & 1
\end{array}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\begin{array}{lc}
1 & 3\\
3 & 1
\end{array}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{array}{lc}
7 & 5\\
5 & 7
\end{array}\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Меняется ли след матрицы при транспонировании? (задача 633)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Правда ли, что 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(A^{T}\right)=\mathrm{tr}\left(A\right)$
\end_inset

? Если да, то докажите это, если нет — найдите контрпример.
\end_layout

\begin_layout Solution
Обозначим элементы матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 как 
\begin_inset Formula $a_{ij}$
\end_inset

.
 По определению, 
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(A\right)=\sum_{j=1}^{n}a_{jj}.
\]

\end_inset

 С другой стороны, элементы матрицы 
\begin_inset Formula $A^{T}$
\end_inset

 есть 
\begin_inset Formula $a_{ji}$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(A^{T}\right)=\sum_{j=1}^{n}a_{jj}=\mathrm{tr}\left(A\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Коммутативность скалярного произведения (задача 637)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 — векторы-столбцы размера 
\begin_inset Formula $n\times1$
\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $v^{T}w=w^{T}v$
\end_inset

.
 Приведите пример, когда 
\begin_inset Formula $vw^{T}\neq wv^{T}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
По определению произведения матриц 
\begin_inset Formula 
\[
v^{T}w=\sum_{j=1}^{n}v_{j}w_{j},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
w^{T}v=\sum_{j=1}^{n}w_{j}v_{j}.
\]

\end_inset

Так как умножение вещественных чисел коммутативно, то 
\begin_inset Formula 
\[
v^{T}w=\sum_{j=1}^{n}v_{j}w_{j}=\sum_{j=1}^{n}w_{j}v_{j}=w^{T}v.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $v=\begin{pmatrix}1\\
2
\end{pmatrix}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $w=\begin{pmatrix}3\\
4
\end{pmatrix}$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
vw^{T}=\begin{pmatrix}3 & 4\\
6 & 8
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

но 
\begin_inset Formula 
\[
wv^{T}=\begin{pmatrix}3 & 6\\
4 & 8
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset

Заметим, что в общем случае, 
\begin_inset Formula $vw^{T}=\left(wv^{T}\right)^{T}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Соотношение между скалярным произведением и следом (задача 638)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 — векторы-столбцы размера 
\begin_inset Formula $n\times1$
\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(vw^{T}\right)=v^{T}w$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
По определению произведения матриц 
\begin_inset Formula 
\[
v^{T}w=\sum_{j=1}^{n}v_{j}w_{j},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\left(vw^{T}\right)_{ij}=v_{i}w_{j}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Тогда, по определению следа матрицы 
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(vw^{T}\right)=\sum_{j=1}^{n}\left(vw^{T}\right)_{jj}=v_{j}w_{j}=v^{T}w.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Длина вектора равна нулю только для нулевого вектора (задача 639)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 — вектор-столбец размера 
\begin_inset Formula $n\times1$
\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $v^{T}v=0$
\end_inset

 тогда и только тогда, когда 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 — нулевой вектор.
\end_layout

\begin_layout Solution
По определению, 
\begin_inset Formula 
\[
v^{T}v=\sum_{j=1}^{n}v_{j}^{2},
\]

\end_inset

 это выражение, как сумма квадратов, является неотрицательным.
 Так как каждое слагаемое является неотрицательным, то вся сумма равна нулю
 тогда и только тогда, когда все слагаемые равны нулю, то есть 
\begin_inset Formula $v_{j}=0$
\end_inset

 для любого 
\begin_inset Formula $j=1,\dots,n$
\end_inset

.
 То есть 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 — нулевой вектор-столбец размера 
\begin_inset Formula $n\times1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Если векторы-столбцы матрицы образуют ортонормальную систему, то образуют
 ли векторы-строки ортонормальную систему? (задача 317)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — действительная матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Правда ли, что матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 должна коммутировать с транспонированной матрицей 
\begin_inset Formula $A^{T}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Предположим, что столбцы матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 (если рассматривать их как векторы), образуют ортонормальную систему.
 Правда ли, что строки матрицы также должны образовывать ортонормальную
 систему.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Не решил сам
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
а) Рассмотрим 
\begin_inset Formula $A=\begin{pmatrix}1 & 1\\
0 & 2
\end{pmatrix}$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula $A^{T}=\begin{pmatrix}1 & 0\\
1 & 2
\end{pmatrix}$
\end_inset

.
 По правилам умножения матриц: 
\begin_inset Formula $AA^{T}=\begin{pmatrix}2 & 2\\
2 & 4
\end{pmatrix}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $A^{T}A=\begin{pmatrix}1 & 1\\
1 & 5
\end{pmatrix}$
\end_inset

, то есть в общем случае 
\begin_inset Formula $AA^{T}\neq A^{T}A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
б) По условию задачи, столбцы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 образуют ортонормальную систему, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
A^{T}A=I_{n}.
\]

\end_inset

Для того, чтобы строки матрицы образовывали ортонормальную систему, необходимо,
 чтобы аналогичное равенство выполнялось для матрицы, у которой переставлены
 местами строки и столбцы, то есть для транспонированной матрицы:
\begin_inset Formula 
\[
\left(A^{T}\right)^{T}\left(A\right)^{T}=AA^{T}=I_{n}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как 
\begin_inset Formula $A^{T}A=I_{n}$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $A^{-1}=A^{T}$
\end_inset

.
 Поэтому 
\begin_inset Formula $AA^{T}=AA^{-1}=I_{n}$
\end_inset

, что и требовалось, то есть строки 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 действительно образуют ортонормированную систему.
\end_layout

\begin_layout Section
Докажите, что 
\begin_inset Formula $vv^{T}$
\end_inset

 — симметричная матрица для любого вектора 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 (задача 640)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 — вектор-столбец размера 
\begin_inset Formula $n\times1$
\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $vv^{T}$
\end_inset

 — симметричная матрица.
\end_layout

\begin_layout Solution
Матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 с элементами 
\begin_inset Formula $a_{ij}$
\end_inset

 называется симметричной, если 
\begin_inset Formula $a_{ji}=a_{ij}$
\end_inset

.
 По определению произведения матриц 
\begin_inset Formula $\left(vv^{T}\right)_{ij}=v_{i}v_{j}$
\end_inset

.
 Тогда 
\begin_inset Formula $\left(vv^{T}\right)_{ji}=v_{j}v_{i}=v_{i}v_{j}=\left(vv^{T}\right)_{ij}$
\end_inset

 (среднее равенство справедливо в силу коммутативности умножения вещественных
 чисел).
\end_layout

\begin_layout Section
Матричные операции с транспонированием (задача 636)
\end_layout

\begin_layout Problem
Используя следующие матрицы:
\end_layout

\begin_layout Problem
\begin_inset Formula 
\[
A=\begin{pmatrix}2 & 3\\
-5 & 1
\end{pmatrix},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
B=\begin{pmatrix}0 & -1\\
1 & -1
\end{pmatrix},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
v=\begin{pmatrix}2\\
-4
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

вычислите следующие выражения: 
\begin_inset Formula $AB^{T}+vv^{T}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $Av-2v$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $v^{T}B$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $v^{T}v+v^{T}BA^{T}v$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula $B^{T}=\begin{pmatrix}0 & 1\\
-1 & -1
\end{pmatrix}$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $AB^{T}=\begin{pmatrix}-3 & -1\\
-1 & -6
\end{pmatrix}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
AB^{T}+vv^{T}=\begin{pmatrix}-3 & -1\\
-1 & -6
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4 & -8\\
-8 & 16
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -9\\
-9 & 10
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset

 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
Av-2v=\begin{pmatrix}2 & 3\\
-5 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\
-4
\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}2\\
-4
\end{pmatrix}=\\
=\begin{pmatrix}4-12\\
-10-4
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\
-8
\end{pmatrix}=\\
=\begin{pmatrix}-8\\
-14
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\
-8
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12\\
-6
\end{pmatrix}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
v^{T}B=\begin{pmatrix}2 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -1\\
1 & -1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & 2\end{pmatrix}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
v^{T}v+v^{T}BA^{T}v=\left(2^{2}+\left(-4\right)^{2}\right)+\begin{pmatrix}-4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & -5\\
3 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\
-4
\end{pmatrix}=\\
=20+\begin{pmatrix}-4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}24\\
2
\end{pmatrix}=20+\left(-96+4\right)=20-92=-72.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Докажите, что 
\begin_inset Formula $\left(A+B\right)v=Av+Bv$
\end_inset

 (задача 635)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — матрицы размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 — вектор столбец размера 
\begin_inset Formula $n\times1$
\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $\left(A+B\right)v=Av+Bv$
\end_inset

, используя элементы матриц.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть элементы матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — 
\begin_inset Formula $a_{ij}$
\end_inset

, элементы матрицы 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — 
\begin_inset Formula $b_{ij}$
\end_inset

, а элементы вектора 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 — 
\begin_inset Formula $v_{i}$
\end_inset

.
 По определению сложения матриц 
\begin_inset Formula $\left(A+B\right)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$
\end_inset

, а элементы вектора 
\begin_inset Formula $w=\left(A+B\right)v$
\end_inset

, по правилу умножения матриц: 
\begin_inset Formula 
\[
w_{i}=\sum_{j=1}^{n}\left(a_{ij}+b_{ij}\right)v_{j}.
\]

\end_inset

 С другой стороны, 
\begin_inset Formula 
\[
\left(Av\right)_{i}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}
\]

\end_inset

 и 
\begin_inset Formula 
\[
(Bv)_{i}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}.
\]

\end_inset

 Таким образом, в элементах равенство 
\begin_inset Formula $\left(A+B\right)v=Av+Bv$
\end_inset

 имеет вид
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{j=1}^{n}\left(a_{ij}+b_{ij}\right)v_{j}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}+\sum_{j=1}^{n}b_{ij}v_{j},
\]

\end_inset

 последнее равенство является верным в силу дистрибутивности умножения относител
ьно сложения и ассоциативности сложения вещественных чисел.
\end_layout

\begin_layout Section
Если 
\begin_inset Formula $A^{T}A=A$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — симметричная идемпотентная матрица (задача 447)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — квадратная матрица такая, что 
\begin_inset Formula $A^{T}A=A$
\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — идемпотентная матрица, то есть 
\begin_inset Formula $A^{2}=A$
\end_inset

.
 Также докажите, что 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — симметричная матрица.
\end_layout

\begin_layout Solution
Докажем сначала, что 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — симметричная.
 Так как по условию задачи 
\begin_inset Formula $A=A^{T}A$
\end_inset

, то, по правилу транспонирования произведения:
\begin_inset Formula 
\[
A^{T}=\left(A^{T}A\right)=A^{T}\left(A^{T}\right)^{T}=A^{T}A=A,
\]

\end_inset

то есть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 совпадает со своей транспонированной, то есть действительно является симметричн
ой.
\end_layout

\begin_layout Solution
Докажем теперь, что 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — идемпотентная.
 Так как 
\begin_inset Formula $A^{T}=A$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $A=A^{T}A=AA=A^{2}$
\end_inset

, что и требовалось.
\end_layout

\begin_layout Section
Симметричные матрицы и произведения двух матриц (задача 111)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — действительные симметричные матрицы размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Докажите следующие утверждения:
\end_layout

\begin_layout Problem
а) 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 симметричная, тогда и только тогда, когда 
\begin_inset Formula $AB=BA$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Если произведение 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — диагональная матрица, то 
\begin_inset Formula $AB=BA$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $AB=BA$
\end_inset

.
 По правилу транспонирования произведения 
\begin_inset Formula $\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}$
\end_inset

.
 Так как 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — симметричные матрицы, то 
\begin_inset Formula 
\[
\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}=BA.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, если 
\begin_inset Formula $AB=BA$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $\left(AB\right)^{T}=BA=AB$
\end_inset

 и матрица 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — симметричная.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть теперь 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — симметричная матрица, тогда, с одной стороны: 
\begin_inset Formula $\left(AB\right)^{T}=AB$
\end_inset

, а с другой — 
\begin_inset Formula $\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}=BA$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $AB=BA$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Наконец, пусть 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — диагональная матрица.
 Любая диагональная матрица является симметричной, поэтому, по доказанному
 выше, 
\begin_inset Formula $AB=BA$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
След, определитель и собственные значения (задача 389, экзамен Гарвардского
 университета)
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

 такая, что 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(A^{2}\right)=5$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(A\right)=3$
\end_inset

, найти 
\begin_inset Formula $\det\left(A\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

 такая, что у неё столбцы параллельны и 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(A\right)=5$
\end_inset

, найти 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(A^{2}\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
в) Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

 такая, что 
\begin_inset Formula $\det\left(A\right)=5$
\end_inset

 и у этой матрицы собственные значения целые и положительные.
 Найти 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(A\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula 
\[
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

тогда, по определению:
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
\det\left(A\right)=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
A^{2}=\begin{pmatrix}a_{11}^{2}+a_{12}a_{21} & a_{11}a_{12}+a_{12}a_{22}\\
a_{21}a_{11}+a_{22}a_{21} & a_{21}a_{12}+a_{22}^{2}
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(A\right)=a_{11}+a_{22}
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(A^{2}\right)=a_{11}^{2}+2a_{12}a_{21}+a_{22}^{2}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
\left(\mathrm{tr}\left(A\right)\right)^{2}=a_{11}^{2}+2a_{11}a_{22}+a_{22}^{2}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
\left(\mathrm{tr}\left(A\right)\right)^{2}-\mathrm{tr}\left(A^{2}\right)=2\left(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\right)=2\det\left(A\right)
\]

\end_inset

и 
\begin_inset Formula 
\[
\det\left(A\right)=\frac{\left(\mathrm{tr}\left(A\right)\right)^{2}-\mathrm{tr}\left(A^{2}\right)}{2}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
И в пункте а) получаем 
\begin_inset Formula 
\[
\det\left(A\right)=\frac{\left(3\right)^{2}-5}{2}=\frac{9-5}{2}=\frac{4}{2}=2.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
б) По условию этого пункта, у матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 столбцы параллельны, поэтому 
\begin_inset Formula $\det\left(A\right)=0$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(A^{2}\right)=\left(\mathrm{tr}\left(A\right)\right)^{2}=5^{2}=25.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
в) По свойствам собственных значений: 
\begin_inset Formula $\det\left(A\right)=\lambda_{1}\lambda_{2}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(A\right)=\lambda_{1}+\lambda_{2}$
\end_inset

, так как 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}$
\end_inset

 — целые числа и 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}\lambda_{2}=5$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $5$
\end_inset

 — простое число, то 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}=5$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}=1$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(A\right)=\lambda_{1}+\lambda_{2}=5+1=6$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Коммутатор матриц никогда не равен единичной матрице (задача 261)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 — единичная матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 — положительное целое число.
 Докажите, что не существует матриц 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

 таких, что 
\begin_inset Formula 
\[
XY-YX=I.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Доказательство проведём от противного.
 Пусть существуют матрицы 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

 такие, что выполняется равенство 
\begin_inset Formula 
\[
XY-YX=I.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Вычислим след правой и левой части этого равенства.
 По определению следа, 
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}I=\sum_{j=1}^{n}\delta_{jj}=n.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Элементы матрицы 
\begin_inset Formula $A=XY$
\end_inset

 определяются выражением 
\begin_inset Formula 
\[
a_{ij}=\sum_{k=1}^{n}x_{ik}y_{kj},
\]

\end_inset

 поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(XY\right)=\mathrm{tr}\left(A\right)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}x_{ik}y_{ki}
\]

\end_inset

и, аналогично, 
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{\mathrm{tr}}\left(YX\right)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}y_{ik}x_{ki}=\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}x_{ki}y_{ik}.
\]

\end_inset

Изменив в последней сумме индексы суммирования, получим 
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{\mathrm{tr}}\left(YX\right)=\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}x_{ki}y_{ik}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}x_{ik}y_{ki}=\mathrm{tr}\left(XY\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
След — линейная функция, действительно, пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — произвольные матрицы размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

, с элементами соответственно 
\begin_inset Formula $a_{ij}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $b_{ij}$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 — произвольное вещественное число, тогда:
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(A+B\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(a_{ii}+b_{ii}\right)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}+\sum_{i=1}^{n}b_{ii}=\mathrm{tr}\left(A\right)+\mathrm{tr}\left(B\right),
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(rA\right)=\sum_{i=1}^{n}ra_{ii}=r\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=r\cdot\mathrm{tr}\left(A\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом: 
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(XY-YX\right)=\mathrm{tr}\left(XY\right)-\mathrm{tr}\left(YX\right),
\]

\end_inset

 а как мы видели выше, 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(XY\right)=\mathrm{tr}\left(YX\right)$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(XY-YX\right)=\mathrm{tr}\left(XY\right)-\mathrm{tr}\left(YX\right)=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Итак, если выполняется равенство 
\begin_inset Formula $XY-YX=I$
\end_inset

, то мы приходим к равенству 
\begin_inset Formula $0=n$
\end_inset

, что невозможно при положительном 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Вопросы о следе матрицы (задача 19)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A=\left(a_{ij}\right)$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B=\left(b_{ij}\right)$
\end_inset

 — вещественные матрицы размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Выразите 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(AB^{T}\right)$
\end_inset

 в терминах элементов 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $B^{T}$
\end_inset

 — матрица, транспонированная к 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

.
 Покажите, что 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(AA^{T}\right)$
\end_inset

 — сумма квадратов элементов 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Покажите, что если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — ненулевая симметричная матрица, то 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(A^{2}\right)>0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Элементы матрицы 
\begin_inset Formula $B^{T}$
\end_inset

, по определению, задаются формулой 
\begin_inset Formula 
\[
\left(B^{T}\right)_{ij}=b_{ji},
\]

\end_inset

поэтому элементы 
\begin_inset Formula $AB^{T}$
\end_inset

 определяются формулой: 
\begin_inset Formula 
\[
\left(AB^{T}\right)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{jk},
\]

\end_inset

тогда, по определению, 
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(AB^{T}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(AB^{T}\right)_{ii}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{ik}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Подставляя в эту формулу 
\begin_inset Formula $B=A$
\end_inset

, получим 
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(AA^{T}\right)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}^{2},
\]

\end_inset

что и требовалось.
\end_layout

\begin_layout Solution
Наконец, если матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — симметричная, то 
\begin_inset Formula $A^{T}=A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(AA\right)=\mathrm{tr}\left(AA^{T}\right)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}^{2}\ge0,
\]

\end_inset

 так как в правой части стоит сумма квадратов, а квадрат вещественного числа
 не может быть меньше нулю, причём равенство нулю возможно только тогда,
 когда все 
\begin_inset Formula $a_{ik}=0$
\end_inset

, то есть когда 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — нулевая матрица.
\end_layout

\begin_layout Section
Докажите, что 
\begin_inset Formula $x^{T}Ax\ge0$
\end_inset

 и найдите такие 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $x^{T}Ax=0$
\end_inset

 (задача 559)
\end_layout

\begin_layout Problem
Для каждой из следующих матриц докажите, что 
\begin_inset Formula $x^{T}Ax\ge0$
\end_inset

 для всех 
\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

.
 Также найдите такие 
\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $x^{T}Ax=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
а) 
\begin_inset Formula $A=\begin{pmatrix}4 & 2\\
2 & 1
\end{pmatrix}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
б) 
\begin_inset Formula $A=\begin{pmatrix}2 & 1\\
1 & 3
\end{pmatrix}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $x=\begin{pmatrix}y\\
z
\end{pmatrix}$
\end_inset

, тогда в случае а) 
\begin_inset Formula $x^{T}Ax=4y^{2}+4yz+1\cdot z^{2}$
\end_inset

.
 Выделим полный квадрат: 
\begin_inset Formula 
\[
x^{T}Ax=4y^{2}+4yz+z^{2}=\left(2y\right)^{2}+2\cdot2y\cdot z+z^{2}=\left(2y+z\right)^{2},
\]

\end_inset

таким образом, 
\begin_inset Formula $x^{T}Ax$
\end_inset

 является квадратом вещественного числа, поэтому действительно 
\begin_inset Formula $x^{T}Ax\ge0$
\end_inset

.
 Так как квадрат вещественного числа равен нулю только когда само это число
 равно нулю, то 
\begin_inset Formula $x^{T}Ax=0$
\end_inset

 при 
\begin_inset Formula $2y+z=0$
\end_inset

, то есть при 
\begin_inset Formula $z=-2y$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $x=\begin{pmatrix}y\\
-2y
\end{pmatrix}$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 — произвольное вещественное число.
\end_layout

\begin_layout Solution
Аналогично, в случае б) получаем 
\begin_inset Formula $x^{T}Ax=2y^{2}+2yz+3z^{2}$
\end_inset

.
 Выделим полный квадрат: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
x^{T}Ax=\left(\sqrt{2}y\right)^{2}+2\cdot\sqrt{2}y\cdot\frac{z}{\sqrt{2}}+\frac{z^{2}}{2}-\frac{z^{2}}{2}+3z^{2}=\\
=\left(\sqrt{2}y+\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\frac{5}{2}z^{2}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
В данном случае оказалось, что 
\begin_inset Formula $x^{T}Ax$
\end_inset

 — сумма двух квадратов вещественных чисел, а следовательно — неотрицательное
 вещественное число.
 Сумма неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда все слагаемые
 равны нулю, поэтому 
\begin_inset Formula $x^{T}Ax=0$
\end_inset

 при 
\begin_inset Formula $z=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\sqrt{2}y+\frac{z}{\sqrt{2}}=0$
\end_inset

.
 Первое уравнение даёт 
\begin_inset Formula $z=0$
\end_inset

, а второе (после подстановки 
\begin_inset Formula $z=0$
\end_inset

) — 
\begin_inset Formula $y=0$
\end_inset

.
 Таким образом, 
\begin_inset Formula $x^{T}Ax=0$
\end_inset

 только при 
\begin_inset Formula $x=\begin{pmatrix}0\\
0
\end{pmatrix}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Пример на вычисление квадратных корней матриц размера 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

 (задача 512)
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Докажите, что у матрицы 
\begin_inset Formula $A=\begin{pmatrix}0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}$
\end_inset

 нет квадратного корня (не существует комплексной матрицы 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 такой, что 
\begin_inset Formula $B^{2}=A$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Problem
б) докажите, что у единичной матрицы размера 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

 имеется бесконечно много корней.
\end_layout

\begin_layout Solution
а) Пусть 
\begin_inset Formula $B=\begin{pmatrix}x & y\\
z & w
\end{pmatrix}$
\end_inset

 — матрица с комплексными элементами.
 Найдём квадрат этой матрицы: 
\begin_inset Formula 
\[
B^{2}=\begin{pmatrix}x & y\\
z & w
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x & y\\
z & w
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x^{2}+yz & xy+yw\\
zx+wz & zy+w^{2}
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset

Если 
\begin_inset Formula $B^{2}=A$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $x^{2}+yz=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $zx+wz=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $zy+w^{2}=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $xy+yw=1$
\end_inset

.
 Из последнего равенства 
\begin_inset Formula $xy+yw=1$
\end_inset

, получаем 
\begin_inset Formula $y\left(x+w\right)=1$
\end_inset

, а значит 
\begin_inset Formula $x+w\neq0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $y\neq0$
\end_inset

.
 Из второго равенства 
\begin_inset Formula $zx+wz=0$
\end_inset

 следует 
\begin_inset Formula $z\left(x+w\right)=0$
\end_inset

, так как 
\begin_inset Formula $x+w\neq0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $z=0$
\end_inset

.
 Подставив 
\begin_inset Formula $z=0$
\end_inset

 в остальные равенства, получим 
\begin_inset Formula $x^{2}=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $w^{2}=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $y\left(x+w\right)=1$
\end_inset

, откуда 
\begin_inset Formula $x=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $w=0$
\end_inset

, но тогда 
\begin_inset Formula $x+w=0$
\end_inset

, что противоречит равенству 
\begin_inset Formula $y\left(x+w\right)=1$
\end_inset

.
 Противоречие означает, что у 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 нет квадратного корня.
\end_layout

\begin_layout Solution
б) Пусть снова 
\begin_inset Formula $B=\begin{pmatrix}x & 0\\
0 & w
\end{pmatrix}$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
B^{2}=\begin{pmatrix}x & y\\
z & w
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x & y\\
z & w
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x^{2}+yz & xy+yw\\
zx+wz & zy+w^{2}
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Если 
\begin_inset Formula $B^{2}=I$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $x^{2}+yz=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $y\left(x+w\right)=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $z\left(x+w\right)=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $zy+w^{2}=1$
\end_inset

.
 Нужно рассматреть два случая: 
\begin_inset Formula $x+w=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $x+w\neq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $x+w\neq0$
\end_inset

, тогда из второго и третьего равенства получаем 
\begin_inset Formula $y=z=0$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula $x^{2}=w^{2}=1$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $x=w=\pm1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть теперь 
\begin_inset Formula $x+w=0$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $w=-x$
\end_inset

.
 Четвёртое равенство принимает вид 
\begin_inset Formula $zy+x^{2}=1$
\end_inset

, то есть получаем уравнение, эквивалентное первому.
 Возьмём 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 произвольно, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
x^{2}=1-zy,
\]

\end_inset

так как 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 может быть комплексным числом, то у этого уравнения имеется два решения
 при любых комплексых 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

.
 Таким образом, действително имеется бесконечное количетсво различных квадратных
 корней из 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Матрица, коммутирующая с диагональной матрицей с различными элементами,
 является диагональной (задача 492)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $D=diag\left(d_{1},d_{2},\dots,d_{n}\right)$
\end_inset

 — диагональная матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

 с различными элемантами: если 
\begin_inset Formula $i\neq j$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $d_{i}\neq d_{j}$
\end_inset

.
 Пусть 
\begin_inset Formula $A=\left(a_{ij}\right)$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

 такая, что 
\begin_inset Formula $AD=DA$
\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — диагональная.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $B=\left(b_{ij}\right)=AD$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $C=\left(c_{ij}\right)=DA$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
b_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\delta_{kj}d_{j}=a_{ij}d_{j},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}\delta_{ik}d_{i}a_{kj}=a_{ij}d_{i}.
\]

\end_inset

 Так как по условию, 
\begin_inset Formula $AD=DA$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $a_{ij}d_{j}=a_{ij}d_{i}$
\end_inset

, откуда 
\begin_inset Formula $a_{ij}\left(d_{j}-d_{i}\right)=0$
\end_inset

, так как при 
\begin_inset Formula $i\neq j$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $d_{i}\neq d_{j}$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $a_{ij}=0$
\end_inset

 (для недиагональных элементов).
\end_layout

\begin_layout Chapter
Элементарные операции со строками матриц
\end_layout

\begin_layout Section
Приведите матрицы с помощью элементарных операций со строками к ступенчатому
 виду (по строкам) и определите их ранг (задача 643)
\end_layout

\begin_layout Problem
Для каждой из следующей матрицы, приведите матрицу к степенчатому виду по
 строкам с помощью элементарных операций со строками.
 Затем определите ранг каждой матрицы.
\end_layout

\begin_layout Problem
а) 
\begin_inset Formula $A=\begin{pmatrix}1 & 3\\
-2 & -2
\end{pmatrix}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
б) 
\begin_inset Formula $B=\begin{pmatrix}2 & 6 & -2\\
3 & -2 & 8
\end{pmatrix}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
в) 
\begin_inset Formula $C=\begin{pmatrix}2 & -2 & 4\\
4 & 1 & -2\\
6 & -1 & 2
\end{pmatrix}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
г) 
\begin_inset Formula $D=\begin{pmatrix}-2\\
3\\
1
\end{pmatrix}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
е) 
\begin_inset Formula $E=\begin{pmatrix}-2 & 3 & 1\end{pmatrix}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
а) 
\begin_inset Formula $A=\begin{pmatrix}1 & 3\\
-2 & -2
\end{pmatrix}$
\end_inset

.
 Первая строка уже имеет желаемый вид.
 Умножив вторую строку на 
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 3\\
-1 & -1
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

а затем прибавим ко второй строке первую: 
\begin_inset Formula 
\[
A_{2}=\begin{pmatrix}1 & 3\\
0 & 2
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

наконец, снова умножим вторую строку на 
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
A_{3}=\begin{pmatrix}1 & 3\\
0 & 1
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula $A_{3}$
\end_inset

 имеет ступенчатый вид, эквивалентна 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и содержит 2 ненулевые строки, поэтому ранг 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 равен 
\begin_inset Formula $2$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
б) 
\begin_inset Formula $B=\begin{pmatrix}2 & 6 & -2\\
3 & -2 & 8
\end{pmatrix}$
\end_inset

.
 Умножим первую строку на 
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
B_{1}=\begin{pmatrix}1 & 3 & -1\\
3 & -2 & 8
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 теперь прибавим ко второй строке первую, умноженную на 
\begin_inset Formula $-3$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
B_{2}=\begin{pmatrix}1 & 3 & -1\\
0 & -11 & 11
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

наконец, умножим вторую строку на 
\begin_inset Formula $-\frac{1}{11}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
B_{3}=\begin{pmatrix}1 & 3 & -1\\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Матрица 
\begin_inset Formula $B_{3}$
\end_inset

 имеет ступенчатый вид, эквивалентна 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 и содержит 2 ненулевые строки, поэтому ранг 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 равен 
\begin_inset Formula $2$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
в) 
\begin_inset Formula $C=\begin{pmatrix}2 & -2 & 4\\
4 & 1 & -2\\
6 & -1 & 2
\end{pmatrix}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Умножим первую строку на 
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
C_{1}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2\\
4 & 1 & -2\\
6 & -1 & 2
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 затем прибавим ко второй строке первую, умноженную на 
\begin_inset Formula $-4$
\end_inset

, а к третьей — первую, умноженную на 
\begin_inset Formula $-6$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
C_{2}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2\\
0 & 5 & -10\\
0 & 5 & -10
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

теперь прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 
\begin_inset Formula $-1$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
C_{3}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2\\
0 & 5 & -10\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 наконец, умножим вторую строку на 
\begin_inset Formula $-\frac{1}{5}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
C_{4}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Матрица 
\begin_inset Formula $C_{4}$
\end_inset

 имеет ступенчатый вид, эквивалентна 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 и содержит 2 ненулевые строки, поэтому ранг 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 равен 
\begin_inset Formula $2$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
г) Разделим первую строку матрицы 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 на её первый элемент, а остальные — на первй элемент, взятый с обратным
 знаком: 
\begin_inset Formula 
\[
D_{1}=\begin{pmatrix}1\\
-1\\
-1
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 теперь прибавим ко второй и третьей строке первую: 
\begin_inset Formula 
\[
D_{2}=\begin{pmatrix}1\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, в матрице, эквивалентной 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 и имеющей ступенчатый вид, имеется одна ненулевая строка, поэтому ранг
 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 равен 1.
\end_layout

\begin_layout Solution
е) Матрица 
\begin_inset Formula $E=\begin{pmatrix}-2 & 3 & 1\end{pmatrix}$
\end_inset

 уже приведена к ступенчатому виду и содержит одну строку (причём она не
 нулевая), поэтому её ранг равен 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Условие того, что две матрицы эквивалентны (задача 248)
\end_layout

\begin_layout Problem
Мы говорим, что две матрицы эквивалентны, если одна может быть получена
 из другой элементраными операциями со строками.
 Пусть 
\begin_inset Formula 
\[
A=\begin{pmatrix}1 & b\\
c & d
\end{pmatrix}
\]

\end_inset

 и 
\begin_inset Formula 
\[
I=\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset

 Докажите, что матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 эквивалентна 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

, если 
\begin_inset Formula $d-cb\neq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Прибавим ко второй строке матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 первую, умноженную на 
\begin_inset Formula $-c$
\end_inset

, получим 
\begin_inset Formula 
\[
A_{1}=\begin{pmatrix}1 & b\\
0 & d-bc
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset

Пусть 
\begin_inset Formula $d-bc\neq0$
\end_inset

, тогда вторую строку можно разделить на 
\begin_inset Formula $d-bc$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
A_{2}=\begin{pmatrix}1 & b\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]

\end_inset

 А затем прибавить к первой строке вторую, умноженную на 
\begin_inset Formula $-b$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
A_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, действительно, если 
\begin_inset Formula $d-bc\neq0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 являются эквивалентными.
\end_layout

\begin_layout Section
Если ранги двух матриц равны, то они эквивалентны? (задача 644)
\end_layout

\begin_layout Problem
Если ранги матриц 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 равны, то они эквивалентны? Если это правда, то докажите, если нет — найдите
 контрпример.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $A=\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}$
\end_inset

.
 Эти матрицы имеют ступенчатый вид по строкам и содержат две ненулевые строки,
 поэтому их ранги равны двум.
 Но, очевидно, что 
\begin_inset Formula $A\neq B$
\end_inset

.
 Вообще, возможность неравенства связана с тем, что не указано, что матрицы
 имеют одинаковый размер.
\end_layout

\begin_layout Section
Определите ранг матрицы с параметром (задача 103)
\end_layout

\begin_layout Problem
Найдите ранг следующей действительной матрицы 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}a & 1 & 2\\
1 & 1 & 1\\
-1 & 1 & 1-a
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 где 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 — это действительное число.
\end_layout

\begin_layout Solution
Прибавим ко третьей строке вторую:
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}a & 1 & 2\\
1 & 1 & 1\\
0 & 2 & 2-a
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

а вторую строку умножим на 
\begin_inset Formula $-a$
\end_inset

, а затем прибавим к ней первую: 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}a & 1 & 2\\
-a & -a & -a\\
0 & 2 & 2-a
\end{pmatrix},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}a & 1 & 2\\
0 & 1-a & 2-a\\
0 & 2 & 2-a
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 изменим порядок строк — поменяем местами вторую и третью строки: 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}a & 1 & 2\\
0 & 2 & 2-a\\
0 & 1-a & 2-a
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

разделим вторую строку на 
\begin_inset Formula $2$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}a & 1 & 2\\
0 & 1 & \frac{2-a}{2}\\
0 & 1-a & 2-a
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

прибавим к третьей строке первую, умноженную на 
\begin_inset Formula $-\left(1-a\right)$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\begin{pmatrix}a & 1 & 2\\
0 & 1 & \frac{2-a}{2}\\
0 & 0 & \left(2-a\right)-\frac{2-a}{2}\left(1-a\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & 1 & 2\\
0 & 1 & \frac{2-a}{2}\\
0 & 0 & \left(2-a\right)\frac{\left(2-1+a\right)}{2}
\end{pmatrix}=\\
=\begin{pmatrix}a & 1 & 2\\
0 & 1 & \frac{2-a}{2}\\
0 & 0 & \frac{\left(2-a\right)\left(1+a\right)}{2}
\end{pmatrix}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Ранг этой матрицы равен 
\begin_inset Formula $2$
\end_inset

, если 
\begin_inset Formula $\left(2-a\right)\left(1+a\right)=0$
\end_inset

, то есть при 
\begin_inset Formula $a=2$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $a=-1$
\end_inset

, в остальных случае ранг равен 
\begin_inset Formula $3$
\end_inset

.
 Так как данная матрица была получена из исходной элементарными преобразованиями
, то ранг исходной матрицы также равен 
\begin_inset Formula $2$
\end_inset

 при 
\begin_inset Formula $a=2$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $a=-1$
\end_inset

, а в остальных случаях — 
\begin_inset Formula $3$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Пример матриц 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 таких, что 
\begin_inset Formula $rref\left(AB\right)\neq rref\left(A\right)rref\left(B\right)$
\end_inset

 (задача 569)
\end_layout

\begin_layout Problem
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Нужно переделать, так как я неправильно понял смысл 
\begin_inset Formula $rref$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Пусть 
\begin_inset Formula $rref\left(M\right)$
\end_inset

 — это приведённый (канонический) ступенчатый вид по строкам матрицы 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

.
 Приведите пример матриц 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 таких, что 
\begin_inset Formula $rref\left(AB\right)\neq rref\left(A\right)rref\left(B\right)$
\end_inset

 (задача 569)
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Не решил сам
\end_layout

\end_inset

, пример 
\begin_inset Formula $A=\begin{pmatrix}0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B=\begin{pmatrix}0 & 0\\
1 & 0
\end{pmatrix}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
По правилам умножения матриц: 
\begin_inset Formula 
\[
AB=\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 уже приведена к ступенчатому виду: 
\begin_inset Formula $rref\left(A\right)=A$
\end_inset

.
 Для приведения матрицы 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 к ступенчатому виду нужно поменять местами строки: 
\begin_inset Formula 
\[
rref\left(B\right)=\begin{pmatrix}0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
rref\left(A\right)\cdot rref\left(B\right)=\begin{pmatrix}0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}\neq AB.
\]

\end_inset

 Можно заменить, что существование подобных матриц связано с наличием делителей
 нуля.
\end_layout

\begin_layout Section
Найти все матрицы ступенчатого вида по строкам размера 
\begin_inset Formula $3\times3$
\end_inset

, ранг которых равен 1 и 2 (задача 646)
\end_layout

\begin_layout Problem
Найти все матрицы ступенчатого вида по строкам размера 
\begin_inset Formula $3\times3$
\end_inset

, ранг которых равен 1 и 2.
\end_layout

\begin_layout Solution
Если ранг матрицы, приведённой к ступенчатому виду по строкам, равен 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

, то в ней одна ненулевая строка (первая).
 В этой строке может быть от одного до трёх ненулевых элементов, поэтому
 такие матрицы имеют вид 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}a & b & c\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 где 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 не равны одновременной нулю, что можно записать в виде 
\begin_inset Formula $a^{2}+b^{2}+c^{2}>0$
\end_inset

.
 Вспомнив, что ведущий элемент должен быть равен единице, то получим три
 возможных вида подобных матриц:
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula $\begin{pmatrix}1 & b & c\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\begin{pmatrix}0 & 1 & c\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Если же ранг матрицы, приведённой к ступенчатому виду по строкам, равен
 
\begin_inset Formula $2$
\end_inset

, то в ней имеется две ненулевые строки, причём в первой может быть от одного
 до трёх ненулевых элементов, а во второй — один или два ненулевых элемента
 (первый обязательно должен быть равен нулю).
 Пусть второй элемент второй строки не равен нулю, тогда первый элемент
 первой строки должен быть ненулевым, и мы получаем следующий вид матрицы:
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}1 & b & c\\
0 & 1 & d\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Если во второй строке только третий элемент является ненулевым, то первый
 элемент первой строки может быть как нулевым, так и ненулевым.
 Это даёт два возможных вида искомой матрицы 
\begin_inset Formula $\begin{pmatrix}1 & b & c\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\begin{pmatrix}0 & 1 & c\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Числа 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 могут быть произвольными (в том числе — нулями).
\end_layout

\begin_layout Section
Эквивалентность матриц транзитивна (задача 642)
\end_layout

\begin_layout Problem
Если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 — это матрицы размера 
\begin_inset Formula $m\times n$
\end_inset

 такие, что 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 эквивалентна (по строкам) 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 эквивалентна (по строкам) 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

, то можем ли мы заключить, что 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 эквивалентна (по строкам) матрице 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

.
 Если да, то докажите это.
 Если нет, найдите контрпример.
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Не решил сам
\end_layout

\end_inset

По определению, существует последовательность элементарных операций 
\begin_inset Formula $r_{1},\dots r_{m}$
\end_inset

, переводящая 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 в 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, а также последовательность элементарных операций 
\begin_inset Formula $s_{1},\dots,s_{n}$
\end_inset

, переводящая 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 в 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

.
 Тогда, применив к 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 последовательность операций 
\begin_inset Formula $r_{1},\dots,r_{m},s_{1},\dots,s_{n}$
\end_inset

, мы переведём её в 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

, таком образом, указанная последовательность и будет требуемой последовательнос
тью элементарных операций, а значит 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 эквивалентны по строам.
\end_layout

\begin_layout Section
Если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица полного ранга, то 
\begin_inset Formula $rref\left(A\right)$
\end_inset

 — единичная матрица (задача 645)
\end_layout

\begin_layout Problem
Докажите, что если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

 ранга 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, то её канонический ступенчатый вид (по строкам) — единичная матрица.
\end_layout

\begin_layout Solution
Если матрица 
\begin_inset Formula $rref\left(A\right)$
\end_inset

 — приведена к ступенчатому виду и её ранг равен 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, то в ней 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 ненулевых строк, причём ведущий элемент каждой строки равен единице.
 Это возможно только если все элементы главной диагонали 
\begin_inset Formula $rref\left(A\right)$
\end_inset

 равны единице.
 В каноническом степенчатом виде матрицы над и под ведущими элементами каждой
 строки должны стоять нули, поэтому 
\begin_inset Formula $rref\left(A\right)=I$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Если симметричная матрица приведена к каноническому ступенчатому виду по
 строкам, то она диагональная? (задача 647)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — симметричная матрица и она приведена к каноническому ступенчатому виду.
 Верно ли, что она диагональная? Если да, то докажите это, если нет, то
 найдите контрпример.
\end_layout

\begin_layout Solution
У матрицы, приведённой к каноническому ступенчатому виду ниже главной диагонали
 стоят нули.
 Так как матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 ещё и симметрична, то и все элементы выше главной диагонали равны нулю.
 Таким образом, ненулевые элементы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 могут находиться только на главной диагонали, то есть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — диагональная.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Метод исключения Гаусса
\end_layout

\begin_layout Chapter
Решения систем линейных уравнений
\end_layout

\begin_layout Chapter
Линейные комбинации и линейная независимость
\end_layout

\begin_layout Section
Докажите, что множество векторов, содержащее нулевой вектор является линейно
 зависимым (задача 652)
\end_layout

\begin_layout Problem
Докажите, что множество векторов, содержащее нулевой вектор, является линейно
 зависимым.
\end_layout

\begin_layout Solution
Рассмотрим множество векторов 
\begin_inset Formula $\left\{ v_{1},v_{2},\dots,v_{m}\right\} $
\end_inset

, причём один из них (без ограничения общности можно считать, что это 
\begin_inset Formula $v_{1}$
\end_inset

) и их линейную комбинацию с 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}=1$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}=\dots=\lambda_{m}=0$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}v_{i}=0,
\]

\end_inset

 так как при этом 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}\neq0$
\end_inset

, то множество векторов 
\begin_inset Formula $\left\{ v_{1},v_{2},\dots,v_{m}\right\} $
\end_inset

 является линейно зависимым.
\end_layout

\begin_layout Section
Ортогональные векторы являются линейно независимыми (задачи 281)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\} $
\end_inset

 — множество ненулевых векторов в 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{m}$
\end_inset

 таких, что 
\begin_inset Formula $\left(v_{i},v_{j}\right)=0$
\end_inset

 при 
\begin_inset Formula $i\neq j$
\end_inset

.
 Докажите, что это множество линейно независимо.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Множество может быть произвольного размера! На доказательство это не влияет
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Рассмотрим произвольную линейную комбинацию векторов рассматриваемого множества,
 равную нулю:
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}v_{i}=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Умножим скалярно это равенство на 
\begin_inset Formula $v_{j}$
\end_inset

, по условию задачи 
\begin_inset Formula $\left(v_{i},v_{j}\right)=\delta_{ij}\left(v_{j},v_{j}\right)$
\end_inset

, поэтому мы получаем
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\delta_{ij}\left(v_{j},v_{j}\right)=\lambda_{j}\left(v_{j},v_{j}\right)=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как, по условию, 
\begin_inset Formula $v_{j}\neq0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $\lambda_{j}=0$
\end_inset

, то линейная комбинация векторов 
\begin_inset Formula $v_{i}$
\end_inset

 равна нулю, только если все 
\begin_inset Formula $\lambda_{j}=0$
\end_inset

, а значит, множество 
\begin_inset Formula $\left\{ v_{i}\right\} $
\end_inset

 является линейно независимым.
\end_layout

\begin_layout Section
Столбцы матрицы размера 
\begin_inset Formula $3\times5$
\end_inset

 линейно зависимы (задача 580)
\end_layout

\begin_layout Problem
Докажите, что cтолбцы матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 размера 
\begin_inset Formula $3\times5$
\end_inset

 линейно зависимы.
 Докажите, что строки матрицы 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 размера 
\begin_inset Formula $5\times3$
\end_inset

 линейно зависимы.
 
\end_layout

\begin_layout Solution
В обоих случаях имеем пять векторов размерности три.
 Но любое множество векторов, размером больше размрности этих векторов,
 является линейно зависимым.
\end_layout

\begin_layout Section
Столбцы верхнетреугольной матрицы с ненулевыми диагональными элементами
 линейно назависимы (задача 654)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 — верхнетреугольная матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Докажите, что если все диагональные элементы 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 не равны нулю, то её векторы столбцы линейно независимы.
 Имеет ли тоже самое место, если допустить наличие нулевых диагональных
 элементов.
\end_layout

\begin_layout Solution
Столбцы матрицы линейно независимы, если система уравнений 
\begin_inset Formula $Mx=0$
\end_inset

 имеет только тривиальное решение.
 Если 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 верхнедиагональная матрица, все диагональные элементы которой не равны
 нулю, то решая последовательно уравнения этой системы (начиная с последнего),
 получим, что 
\begin_inset Formula $x=0$
\end_inset

, поэтому столбцы 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 действительно являются линейно независимыми.
 Действительно, уравнения этой системы имеют вид 
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{j=i}^{n}m_{ij}x_{j}=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Докажем, что все 
\begin_inset Formula $x_{j}=0$
\end_inset

 по индукции.
 Последнее уравнение можно записать как 
\begin_inset Formula $m_{nn}x_{n}=0$
\end_inset

, так как 
\begin_inset Formula $m_{nn}\neq0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $x_{n}=0$
\end_inset

.
 Далее, пусть мы доказали, что 
\begin_inset Formula $x_{k+1}=\dots=x_{n}=0$
\end_inset

, тогда уравнение для строки 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 приобретает вид 
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{j=k}^{n}m_{kj}x_{j}=m_{kk}x_{k}+\sum_{i=k+1}^{n}m_{kj}x_{j}=m_{kk}x_{k}=0,
\]

\end_inset

 откуда, в силу того, что по условию задачи 
\begin_inset Formula $m_{kk}\neq0$
\end_inset

, получаем 
\begin_inset Formula $x_{k}=0$
\end_inset

.
 Что и требовалось.
\end_layout

\begin_layout Solution
Если же среди диагональных элементов 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 имеются нулевые, то на некотором шаге мы получим уравнение вида 
\begin_inset Formula $0\cdot x_{k}=0$
\end_inset

, имеющее ненулевые решения, например 
\begin_inset Formula $x_{k}=1$
\end_inset

, тогда у уравнения 
\begin_inset Formula $Mx=0$
\end_inset

 будет нетривиальное решение и множество её столбцов будет линейно зависимым.
\end_layout

\begin_layout Section
Условие того, что вектор является линейной комбинацией векторов матрицы
 (задача 656)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times m$
\end_inset

, составленная из столбцов 
\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{m}$
\end_inset

.
 Докажите, что вектор 
\begin_inset Formula $v\in\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 может быть записан как линейная комбинация этих столбцов тогда и только
 тогда, когда существует 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, являющийся решением уравнения 
\begin_inset Formula $Ax=v$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Заметим, что произведение 
\begin_inset Formula $Ax$
\end_inset

 может быть записано как линейная комбинация 
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{i=1}^{m}x_{i}a_{i}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть у уравнения 
\begin_inset Formula $Ax=v$
\end_inset

 существует решение, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{i=1}^{m}x_{i}a_{i}=v
\]

\end_inset

 и, очевидно, 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 является линейной комбинацей столбцов 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
С другой стороны, пусть 
\begin_inset Formula $v=\sum_{j=1}^{m}\lambda_{j}v_{j}$
\end_inset

, тогда вектор
\begin_inset Formula 
\[
x=\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\
\lambda_{2}\\
\dots\\
\lambda_{m}
\end{pmatrix}
\]

\end_inset

будет решением уравнения 
\begin_inset Formula $Ax=v$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Невырожденные матрицы
\end_layout

\begin_layout Section
Определите, что данная матрица 
\begin_inset Formula $3\times3$
\end_inset

 невырожденная (задача 671)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Написать систему компьютерной алгебры, которая сможет решить эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Покажите, что данная матрица 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

 вырожденная (задача 655)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Написать систему компьютерной алгебры, которая сможет решить эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Найдите значения 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, при которых матрица является невырожденной (задача 126)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Написать систему компьютерной алгебры, которая сможет решить эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Для каких значений 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 матрица невырожденная? (задача 670)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Написать систему компьютерной алгебры, которая сможет решить эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Является ли матрица коэффициентов системы линейных уравнений невырожденной?
 (задача 669)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Написать систему компьютерной алгебры, которая сможет решить эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Если матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — вырожденная, то существует ненулевая матрица 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 такая, что 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — нулевая матрица (задача 271)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — вырожденная матрица 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Докажите, что существует ненулевая матрица 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

 такая, что 
\begin_inset Formula $AB=O$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $O$
\end_inset

 — нулевая матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Если матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — вырожденная, то у уравнеия 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

 имеется ненулевое решение.
 Составим матрицу 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 из столбцов, каждый из которых равен 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, эта матрица будет ненулевой, но все столбцы произведения будут равны нулю,
 так как 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

.
 Таким образом, будет 
\begin_inset Formula $AB=O$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Section
Если матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — вырожденная, то существует ненулевая матрица 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 такая, что 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — нулевая матрица (задача 301)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — вырожденная матрица 
\begin_inset Formula $3\times3$
\end_inset

.
 Докажите, что существует ненулевая матрица 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 размера 
\begin_inset Formula $3\times3$
\end_inset

 такая, что 
\begin_inset Formula $AB=O$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $O$
\end_inset

 — нулевая матрица размера 
\begin_inset Formula $3\times3$
\end_inset

.
 Это частный случай задачи 271.
\end_layout

\begin_layout Solution
Если матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — вырожденная, то у уравнеия 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

 имеется ненулевое решение.
 Составим матрицу 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 из столбцов, каждый из которых равен 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, эта матрица будет ненулевой, но все столбцы произведения будут равны нулю,
 так как 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

.
 Таким образом, будет 
\begin_inset Formula $AB=O$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Линейно независимые векторы 
\begin_inset Formula $v_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $v_{2}$
\end_inset

 и линейно независимые векторы 
\begin_inset Formula $Av_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $Av_{2}$
\end_inset

 для невырожденной матрицы (задача 284)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $v_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $v_{2}$
\end_inset

 — двумерные векторы, а 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Докажите, что если 
\begin_inset Formula $v_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $v_{2}$
\end_inset

 линейно зависимы, то векторы 
\begin_inset Formula $Av_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Av_{2}$
\end_inset

 также линейно зависимы.
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Если 
\begin_inset Formula $v_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $v_{2}$
\end_inset

 линейно независимы, то можем ли мы заключить, что векторы 
\begin_inset Formula $Av_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Av_{2}$
\end_inset

 также линейно независимы?
\end_layout

\begin_layout Problem
в) Пусть 
\begin_inset Formula $v_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $v_{2}$
\end_inset

 линейно независимы и 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — невырожденная матрица.
 Докажите, что векторы 
\begin_inset Formula $Av_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Av_{2}$
\end_inset

 также линейно независимы.
\end_layout

\begin_layout Solution
а) Пусть 
\begin_inset Formula $v_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $v_{2}$
\end_inset

 линейно зависимы, тогда существую такие вещественные числа 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}$
\end_inset

, не равные одновременно нулю, что 
\begin_inset Formula 
\[
\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}=0,
\]

\end_inset

 умножим это равенство слева на 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, по правилам умножения матриц на вектор, получим 
\begin_inset Formula 
\[
\lambda_{1}\left(Av_{1}\right)+\lambda_{2}\left(Av_{2}\right)=0,
\]

\end_inset

то есть 
\begin_inset Formula $Av_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Av_{2}$
\end_inset

 линейно зависимы по определению.
\end_layout

\begin_layout Solution
б) Если 
\begin_inset Formula $v_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $v_{2}$
\end_inset

 линейно независимы, то линейная комбинация 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}$
\end_inset

 равна нулю только при 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$
\end_inset

.
 Для того, чтобы линейно независимыми были вектора 
\begin_inset Formula $Av_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Av_{2}$
\end_inset

, как мы видели выше, необходимо, чтобы равенство 
\begin_inset Formula $A\left(\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}\right)=0$
\end_inset

 выполнялось только при 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$
\end_inset

.
 Но, если матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 является особенной, то у уравнения 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

 имеются ненулые решения.
 Возмём одно из таких решений и обозначим его 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

.
 Так как 
\begin_inset Formula $v_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $v_{2}$
\end_inset

 — два линейно независимых вектора в двумерном пространстве, то они образуют
 в этом пространстве базис, а значит 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 может быть выражен в виде линейной комбинации 
\begin_inset Formula $v_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $v_{2}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $x_{0}=\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}$
\end_inset

, причём, так как 
\begin_inset Formula $x_{0}\neq0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}$
\end_inset

 не равны нулю одновременно.
 Таким образом, тогда 
\begin_inset Formula $A\left(\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}\right)=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula 
\[
\lambda_{1}\left(Av_{1}\right)+\lambda_{2}\left(Av_{2}\right)=0,
\]

\end_inset

 поэтому 
\begin_inset Formula $Av_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Av_{2}$
\end_inset

 могут быть линейно зависимыми.
\end_layout

\begin_layout Solution
в) Если теперь 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 невырожденная матрица, то у уравнения 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

 имеются только нулевое решение.
 Поэтому, если равенство 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}Av_{1}+\lambda_{2}Av_{2}=0$
\end_inset

 выполняется при некоторых 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}$
\end_inset

, которые не равны нулю одновременно, то 
\begin_inset Formula $A\left(\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}\right)=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}=0$
\end_inset

, то есть придём к противоречию с тем, что 
\begin_inset Formula $v_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $v_{2}$
\end_inset

 линейно независимы по условию.
\end_layout

\begin_layout Section
Если сумма элементом каждой строки матрицы равна нулю, то эта матрица вырожденна
я (задача 622)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

 и сумма элементов каждой строки матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 равна нулю.
 Докажите, что матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 вырожденная
\end_layout

\begin_layout Solution
По условию задачи 
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=0,
\]

\end_inset

 это равенство можно переписать в виде 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 — это вектор-столбец, все элементы которого равны единице, то есть у уравнения
 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

 есть ненулевое решение, а значит 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — вырожденная матрица.
\end_layout

\begin_layout Section
Произведение двух невырожденных матриц также невырождено (задача 479)
\end_layout

\begin_layout Problem
Докажите, что если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — невырожденные матрицы размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

, то их произведение 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — также невырожденная матрица.
\end_layout

\begin_layout Solution
Рассмотрим уравнение 
\begin_inset Formula $\left(AB\right)x=0$
\end_inset

, которое, по правилам умножения матриц, можно переписать как 
\begin_inset Formula $A\left(Bx\right)=0$
\end_inset

.
 Обозначим 
\begin_inset Formula $y=Bx$
\end_inset

.
 Так как 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — невырожденная матрица по условию задачи, то 
\begin_inset Formula $Ay=0$
\end_inset

 только при 
\begin_inset Formula $y=0$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $Bx=0$
\end_inset

.
 Но 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — тоже невырожденная матрица по условию задачи, то 
\begin_inset Formula $x=0$
\end_inset

.
 Таким образом, у уравнения 
\begin_inset Formula $\left(AB\right)x=0$
\end_inset

 нет ненулевых решений, а значит матрица 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 является невырожденной.
\end_layout

\begin_layout Section
Условия для коэффициентов, при выполнении которых матрица является невырожденной
 (задача 72)
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Пусть 
\begin_inset Formula $A=\left(a_{ij}\right)$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Предположим, что элементы матрицы удовлетворяют следующему соотношению:
 
\begin_inset Formula 
\[
\left|a_{ii}\right|>\sum_{j\neq i}\left|a_{ij}\right|
\]

\end_inset

 для всех 
\begin_inset Formula $1\le i\le n$
\end_inset

.
 Докажите, что матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — невырожденная.
 
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Пусть 
\begin_inset Formula $B=\left(b_{ij}\right)$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

, такая что для любых 
\begin_inset Formula $1\le i,j\le n$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $i\neq j)$
\end_inset

 выполняются соотношения 
\begin_inset Formula $\left|b_{ii}\right|=1$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\left|b_{ij}\right|<\frac{1}{n-1}$
\end_inset

.
 Докажите, что матрица 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 невырожденная.
\end_layout

\begin_layout Problem
в) Определите, вырожденная ли следующая матрица или нет: 
\begin_inset Formula 
\[
C=\begin{pmatrix}\pi & e & \frac{e^{2}}{2\pi^{2}}\\
\frac{e^{2}}{2\pi^{2}} & \pi & e\\
e & \frac{e^{2}}{2\pi^{2}} & \pi
\end{pmatrix}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Если матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 вырожденная, то у уравнения 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

 имеется ненулевое решение.
 Запишем это уравнение покомпоненто 
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=0,
\]

\end_inset

 так как не все 
\begin_inset Formula $x_{i}$
\end_inset

 равны нулю, то среди них можно выбрать наибольший по модулю, пусть его
 
\begin_inset Formula $x_{k}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
\left|x_{k}\right|=\max_{1\le i\le n}\left|x_{i}\right|>0,
\]

\end_inset

 тогда из 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

-го уравнения: 
\begin_inset Formula 
\[
-a_{kk}x_{k}=\sum_{j\neq k}a_{kj}x_{j}.
\]

\end_inset

 Возьмём модуль от левой и правой части: 
\begin_inset Formula 
\[
\left|a_{kk}\right|\left|x_{k}\right|=\left|\sum_{j\neq k}a_{kj}x_{j}\right|.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
По неравенству треугольника: 
\begin_inset Formula 
\[
\left|a_{kk}\right|\left|x_{k}\right|\le\sum_{j\neq k}\left|a_{kj}\right|\left|x_{j}\right|\le\sum_{j\neq k}\left|a_{kk}\right|\left|x_{k}\right|,
\]

\end_inset

 так как 
\begin_inset Formula $\left|x_{k}\right|>0$
\end_inset

, то левую и правую чатси можно поделить на 
\begin_inset Formula $\left|x_{k}\right|$
\end_inset

 и мы получим 
\begin_inset Formula 
\[
\left|a_{kk}\right|\le\sum_{j\neq k}\left|a_{kk}\right|.
\]

\end_inset

Итак, мы доказали, что из того, что 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 вырожденная, следует выполнение последнего неравенства.
 Контроппозиция данного утверждения даёт утверждение, которое требовалось
 доказать.
 
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Не смог решить пункт а) сам
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
б) Заметим, что для матрицы 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 имеет место 
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{j\neq i}\left|b_{ij}\right|<\sum_{j\neq i}\frac{1}{n-1}=\frac{n-1}{n-1}=1=\left|b_{ii}\right|,
\]

\end_inset

 то есть условие, при выполнении которого матрица является невырожденной,
 как было доказано в пункте а).
\end_layout

\begin_layout Solution
в) Применим к матрице 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 результат пункта а).
 Сумма недиагональных элементов любой строки есть 
\begin_inset Formula $e+\frac{e^{2}}{2\pi^{2}}<\pi$
\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Доказать этот факт
\end_layout

\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 — невырожденная.
\end_layout

\begin_layout Section
Соотношение ненулевого векторов-строк и векторов-столбцов (задача 406)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

 и существует ненулевой вектор-строка такой, что 
\begin_inset Formula $yA=y$
\end_inset

.
 Докажите, что существует ненулевой вектор-столбец такой, что 
\begin_inset Formula $Ax=x$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Если 
\begin_inset Formula $yA=y$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $y\left(A-I\right)=0$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $\left(A-I\right)^{T}y^{T}=0$
\end_inset

.
 Так как 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 и, как следствие, 
\begin_inset Formula $y^{T}$
\end_inset

 — ненулевые, то 
\begin_inset Formula $\left(A-I\right)^{T}$
\end_inset

 — вырожденная матрица, но тогда 
\begin_inset Formula $A-I$
\end_inset

 — тоже вырожденная матрица 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Доказать это выше? Задача 558
\end_layout

\end_inset

, но тогда у уравнения 
\begin_inset Formula $\left(A-I\right)x=0$
\end_inset

 существует ненулевое решение, для этого решения будет выполняться 
\begin_inset Formula $Ax-Ix=0$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $Ax=x$
\end_inset

, что и требовалось.
\end_layout

\begin_layout Section
Десять вопросов о невырожденных матрицах (задача 500)
\end_layout

\begin_layout Problem
Определите, верны ли следующие утверждения.
\end_layout

\begin_layout Problem
1) Если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — невырожденные матрица 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $A+B$
\end_inset

 также невырожденная матрица.
\end_layout

\begin_layout Problem
2) Если у матрицы нет нулевых строк и столбцов, то к ней существует обратная
 матрица.
\end_layout

\begin_layout Problem
3) Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица 
\begin_inset Formula $m\times n$
\end_inset

, если у уравнения 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

 есть только нулевое решение 
\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, то столбцы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 линейной независимы.
\end_layout

\begin_layout Problem
4) Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица 
\begin_inset Formula $m\times n$
\end_inset

, если у уравнения 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

 есть только нулевое решение 
\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, то строки 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 линейной независимы.
\end_layout

\begin_layout Problem
5) Ступенчатая форма обратимой матрицы 
\begin_inset Formula $3\times3$
\end_inset

 обратима.
\end_layout

\begin_layout Problem
6) Существует ненулевая невырожденная матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 такая, что 
\begin_inset Formula $A^{2}=O$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
7) Если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 обратимые матрицы 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $AB=BA$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
8) Если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 невырожденные матрицы 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

 такие, что 
\begin_inset Formula $A^{2}=B^{2}=I$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $\left(AB\right)^{-1}=BA$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
9) Если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица 
\begin_inset Formula $m\times n$
\end_inset

 такая, что 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

 для любого 
\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — нулевая матрица размера 
\begin_inset Formula $m\times n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
10) Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — невырожденная матрица 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $v_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $v_{2}$
\end_inset

 — линейно независимы в 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

, тогда векторы 
\begin_inset Formula $Av_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Av_{2}$
\end_inset

 линейно независимые векторы в 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Solution
1) Нет, достаточно взять 
\begin_inset Formula $B=-A$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula $A+B=O$
\end_inset

, которая является вырожденной.
\end_layout

\begin_layout Solution
2) Нет, контрпример — любая матрица, все строки которой ненулевые, но равны
 друг другу.
\end_layout

\begin_layout Solution
3) Да.
 Для доказательства нужно записать произведение 
\begin_inset Formula $Ax$
\end_inset

 в виде линейной комбинации столбцов матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
4) Да.
 Строки и столбцы линейно зависимы или линейно независимы одновременно.
\end_layout

\begin_layout Solution
5) Да.
 Ступенчатая форма матрицы эквивалента ей, а значит они одновременно обратимы
 или необратимы.
\end_layout

\begin_layout Solution
6) Нет.
 Пусть матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 невырожденная и 
\begin_inset Formula $A^{2}=O$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula $A=A^{-1}O=O$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — нулевая.
\end_layout

\begin_layout Solution
7) Нет.
 Умножение матриц в общем случае некоммутативно.
\end_layout

\begin_layout Solution
8) Да.
 Если 
\begin_inset Formula $A^{2}=B^{2}=I$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $A=A^{-1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B=B^{-1}$
\end_inset

 (получается умножением равенства на 
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B^{-1}$
\end_inset

 соответственно).
 Тогда 
\begin_inset Formula $\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=BA$
\end_inset

, что и требовалось.
\end_layout

\begin_layout Solution
9) Да.
 Выбирая такие векторы 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, у которых только одна координата равна единице, а остальные равны нулю,
 то есть 
\begin_inset Formula $x_{j}^{\left(k\right)}=\delta_{kj}$
\end_inset

, можно получить 
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}^{\left(k\right)}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\delta_{kj}=a_{ik}=0,
\]

\end_inset

 так как 
\begin_inset Formula $1\le i\le m$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 можно выбирать произвольно, то 
\begin_inset Formula $a_{ik}=0$
\end_inset

 для любых 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — нулевая матрица.
\end_layout

\begin_layout Solution
10) Да.
 Было доказано в задаче 284.
 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Добавить ссылку на эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Транспонированная матрица к вырожденной также является невырожденной (задача
 558)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — невырожденная матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Докажите, что транспонированная матрица 
\begin_inset Formula $A^{T}$
\end_inset

 также невырожденна.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Не смог решить сам
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть существует ненулевой вектор 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 такой, что 
\begin_inset Formula $A^{T}y=0$
\end_inset

.
 Так как матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — невырожденная, то существует такой вектор 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $Ax=y$
\end_inset

 (а именно 
\begin_inset Formula $x=A^{-1}y$
\end_inset

)
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Этот факт нужно доказать
\end_layout

\end_inset

.
 Подставляя это выражение для 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 в уравнение 
\begin_inset Formula $A^{T}y=0$
\end_inset

, получим 
\begin_inset Formula 
\[
A^{T}Ax=0.
\]

\end_inset

 Умножим это равенство слева на 
\begin_inset Formula $x^{T}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
x^{T}A^{T}Ax=x^{T}0=0,
\]

\end_inset

но выражение слева можно записать как 
\begin_inset Formula 
\[
x^{T}A^{T}Ax=\left(Ax\right)^{T}\left(Ax\right)=\left\Vert Ax\right\Vert ^{2},
\]

\end_inset

 то есть 
\begin_inset Formula $\left\Vert Ax\right\Vert ^{2}=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

 (так как норма равна нулю только у нулевого вектора).
 Но так как 
\begin_inset Formula $Ax=y$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $y=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, если 
\begin_inset Formula $A^{T}y=0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $y=0$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $A^{T}$
\end_inset

 — невырожденная матрица, что и требовалось доказать.
\end_layout

\begin_layout Section
Пусть 
\begin_inset Formula $A=\left[A_{1},\dots,A_{n-1}\right]$
\end_inset

, тогда матрица 
\begin_inset Formula $\left[A_{1},\dots,A_{n-1},Ab\right]$
\end_inset

 всегда вырождена (задача 560)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times\left(n-1\right)$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $b\in\mathbb{R}^{n-1}$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula $Ab\in\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

.
 Составим матрицу 
\begin_inset Formula $B=\left[A_{1},\dots,A_{n-1},Ab\right]$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $A_{i}$
\end_inset

 — 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

-ый столбец матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — вырожденная матрица для любого 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
По правилу умножения матрицы на вектор-сталбец 
\begin_inset Formula $Ab$
\end_inset

 можно записать в виде 
\begin_inset Formula 
\[
Ab=\sum_{j=1}^{n-1}A_{j}b_{j},
\]

\end_inset

это равенство можно переписать следующим образом 
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{j=1}^{n-1}A_{j}b_{j}-Ab=0.
\]

\end_inset

 Это подсказывает, как найти вектор 
\begin_inset Formula $x\neq0$
\end_inset

 такой, что 
\begin_inset Formula $Bx=0$
\end_inset

.
 Действительно, положим 
\begin_inset Formula $x_{j}=b_{j}$
\end_inset

 при 
\begin_inset Formula $j=1,\dots n-1$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $x_{n}=-1$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
Bx=\sum_{j=1}^{n}B_{j}x_{j}=\sum_{j=1}^{n-1}A_{j}x_{j}+Ab\cdot\left(-1\right)=\sum_{j=1}^{n-1}A_{j}x_{j}-Ab=0.
\]

\end_inset

Определённый таким образом вектор 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 всегда будет ненулевым, так как одна из его координат всегда не равна нулю:
 
\begin_inset Formula $x_{n}=-1\neq0$
\end_inset

.
 Итак, у уравнения 
\begin_inset Formula $Bx=0$
\end_inset

 имеется ненулевое решение, поэтому 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — вырожденная матрица.
\end_layout

\begin_layout Section
Две матрицы невырождены тогда и только тогда, когда их произведение невырождено
 (задачи 562)
\end_layout

\begin_layout Problem
Докажите:
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — невырожденные матрицы размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — также невырожденная матрица.
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — матрицы размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

, а их произведение 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — невырожденная матрица, тогда матрицы 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — невырожденные.
\end_layout

\begin_layout Solution
а) Докажем контроппозицию рассматриваемого утверждения.
 Пусть 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — вырожденная матрица.
 Тогда у уравнения 
\begin_inset Formula $\left(AB\right)x=0$
\end_inset

 имеется ненулевое решение 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

.
 Возможны два случая: 
\begin_inset Formula $Bx=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Bx\neq0$
\end_inset

.
 В первом случае 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — вырожденная матрица.
 Во втором случае обозначим 
\begin_inset Formula $y=Bx$
\end_inset

 и получим, что существует ненулевой вектор 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 такой, что 
\begin_inset Formula $Ay=0$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — вырожденная матрица.
 Таким образом, из того, что 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 вырожденная следует, что 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 вырожденная матрица.
 Это утверждение эквивалентно тому, которое требуется доказать.
\end_layout

\begin_layout Solution
Докажем контроппозицию рассматриваемого утверждения.
 Пусть 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — вырожденная матрица.
 Тогда, по определению вырожденной матрицы, существует такой ненулевой вектор
 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $Bx=0$
\end_inset

, но тогда 
\begin_inset Formula $\left(AB\right)x=A\left(Bx\right)=A0=0$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — вырожденная матрица.
 Таким образом, если 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 невырожденная матрица, то 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — тоже невырожденная матрица.
 
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть теперь 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — вырожденная матрица, а матрица 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — невырожденная (случай, когда 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 вырожденная был рассмотрен выше) тогда существует ненулевой вектор 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 такой, что 
\begin_inset Formula $Ay=0$
\end_inset

.
 Так как 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — невырожденная матрица, то существует такой вектор 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $Bx=y$
\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Это надо доказать
\end_layout

\end_inset

, причём 
\begin_inset Formula $x\neq0$
\end_inset

, так как 
\begin_inset Formula $B0=0$
\end_inset

, но 
\begin_inset Formula $y\neq0$
\end_inset

.
 Тогда 
\begin_inset Formula 
\[
\left(AB\right)x=A\left(Bx\right)=Ay=0
\]

\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $x\neq0$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — вырожденная матрица.
\end_layout

\begin_layout Section
Вырожденная матрица и матричные уравнения 
\begin_inset Formula $Ax=e_{i}$
\end_inset

 с единичными векторами (задача 561)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — вырожденная матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

 и пусть 
\begin_inset Formula $e_{i}$
\end_inset

 — орты: 
\begin_inset Formula 
\[
e_{ij}=\delta_{ij}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Докажите, что по крайней мере одно из уравнений 
\begin_inset Formula 
\[
Ax=e_{i}
\]

\end_inset

при 
\begin_inset Formula $i=1,\dots,n$
\end_inset

 не имеет решений 
\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Докажем от противного.
 Пусть у всех уравнений 
\begin_inset Formula $Ax=e_{i}$
\end_inset

 существует решение.
 Любой вектор 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 можно представить в виде линейной комбинации векторов 
\begin_inset Formula $e_{i}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
b=\sum_{i=1}^{n}b_{i}e_{i}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $x_{i}$
\end_inset

 — это некоторое решение уравнение 
\begin_inset Formula $Ax=e_{i}$
\end_inset

, тогда составим матрицу 
\begin_inset Formula $X=\left[x_{1},\dots,x_{n}\right]$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
AX=\left[Ax_{1},\dots,Ax_{n}\right]=\left[e_{1},\dots e_{n}\right]=I.
\]

\end_inset

Так как матрица 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 невырожденная (если 
\begin_inset Formula $x\neq0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $Ix=x\neq0$
\end_inset

), то, по доказанному в задаче 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку на 562
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 — невырожденные матрицы.
 Но 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — вырожденная матрица по условию.
 Полученное противоречие означает, что исходное предположение было неправильным
 и 
\begin_inset Formula $\text{не у всех уравнений }Ax=e_{i}$
\end_inset

 есть решение.
 
\end_layout

\begin_layout Section
Как доказать, что доказать, что матрица невырожденная за 10 секунд (задача
 509)
\end_layout

\begin_layout Problem
Используя знаки числа 
\begin_inset Formula 
\[
\pi=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749\dots
\]

\end_inset

 мы построили матрицу 
\begin_inset Formula 
\[
A=\begin{pmatrix}3 & 14 & 1592 & 65358\\
97932 & 38462643 & 38 & 52\\
7950 & 2 & 8841 & 9716\\
939937510 & 5820 & 974 & 9
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset

 Докажите, что матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — невырожденная.
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Не додумался до этого сам
\end_layout

\end_inset

Можно было бы просто вычислить определитель матрицы, но элементы достаточно
 большие.
 Также 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — это не матрица с диагональным преобладанием 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Добавить ссылку на задачу
\end_layout

\end_inset

.
 Но можно заметить, что если мы докажем, что определитель 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — нечётное число, то он не равен нулю (ноль — чётное число), а значит 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — невырожденная.
 Для определения чётности определителя нужно выполнять все вычисления по
 модулю 2, причём сначала взять по модулю 2 сами элементы матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
A\mod2=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}=I,
\]

\end_inset

 поэтому 
\begin_inset Formula $\det\left(A\right)\mod2=\det\left(I\right)\mod2=1$
\end_inset

, таким образом определитель 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — нечётное число и 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — невырожденная матрица.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Обратимые матрицы
\end_layout

\begin_layout Section
Найдите обратные матрицы (для обратимых матриц) с помощью элементарных операций
 со строками (задача 552)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Написать систему компьютерной алгебры, которая сможет решить эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Определите, являются ли следующие матрицы обратимыми.
 Если да, то найдите обратные матрицы (задача 76)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Написать систему компьютерной алгебры, которая сможет решить эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Найдите обратную матрицу для матрицы 
\begin_inset Formula $3\times3$
\end_inset

, если она существует (задача 299)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Написать систему компьютерной алгебры, которая сможет решить эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Обратная матрица к верхнетреугольной матрице с переменными (задача 275)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Написать систему компьютерной алгебры, которая сможет решить эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Определите, когда данная матрица обратима (задача 101)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Написать систему компьютерной алгебры, которая сможет решить эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Если 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 — невырожденные матрицы, то существует матрица 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 такая, что 
\begin_inset Formula $MN=P$
\end_inset

 (задача 657)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 — невырожденные матрицы размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Докажите, что существует матрица 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 такая, что 
\begin_inset Formula $MN=P$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Так как 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 — невырожденная матрица, то для любого вектора 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 существует решение уравения 
\begin_inset Formula $Mx=b$
\end_inset

.
 Пусть 
\begin_inset Formula $P_{1},\dots,P_{n}$
\end_inset

 — векторы-столбцы матрицы 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $x_{j}$
\end_inset

 — это решение уравнения 
\begin_inset Formula $Mx_{j}=P_{j}$
\end_inset

.
 Составим из решений матрицу 
\begin_inset Formula $N=\left[x_{1},\dots,x_{n}\right]$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
MN=M\left[x_{1},\dots,x_{n}\right]=\left[Mx_{1},\dots,Mx_{n}\right]=\left[P_{1},\dots,P_{n}\right]=P.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Решить, нужно ли оставить оба доказательства
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Более кратко это можно сформулировать следующим образом: так как 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 — невырожденная, то для неё сущестует обратная матрица, положим 
\begin_inset Formula $N=M^{-1}P$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
MN=M\left(M^{-1}P\right)=\left(MM^{-1}\right)P=IP=P,
\]

\end_inset

что и требуется.
\end_layout

\begin_layout Section
Обратимая матрица, удовлетворяющая многочлену второй степени (задача 266)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

, удовлетворяющая условию 
\begin_inset Formula 
\[
A^{2}+c_{1}A+c_{0}I=O,
\]

\end_inset

 где 
\begin_inset Formula $c_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $c_{0}$
\end_inset

 — скаляры, 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 — единичная матрица 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $O$
\end_inset

 — нулевая матрица 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Докажите, что если 
\begin_inset Formula $c_{0}\neq0$
\end_inset

, то матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 обратимая (невырожденная).
 Справедливо ли обратное утверждение? А имеено: верно ли, что если 
\begin_inset Formula $c_{0}=0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — вырожденная матрица.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $c_{0}\neq0$
\end_inset

, тогда равенство 
\begin_inset Formula 
\[
A^{2}+c_{1}A+c_{0}I=O,
\]

\end_inset

 можно переписать в виде 
\begin_inset Formula 
\[
A\left(A+c_{1}I\right)=-c_{0}I.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Можно было бы сделать ещё один шаг и найти в явном виде обратную матрицу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Матрица 
\begin_inset Formula $-c_{0}I$
\end_inset

 является невырожденной (обратная матрица для неё есть 
\begin_inset Formula $-\frac{1}{c_{0}}I$
\end_inset

), поэтому.
 как было доказано в задаче 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
нужна ссылка
\end_layout

\end_inset

, матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 является невырожденной.
\end_layout

\begin_layout Solution
Если же 
\begin_inset Formula $c_{0}=0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $A\left(A+c_{1}I\right)=O$
\end_inset

 и тогда 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — вырождена или 
\begin_inset Formula $A+c_{1}I$
\end_inset

 вырождена.
 Последнее возможно при 
\begin_inset Formula $A=-c_{1}I$
\end_inset

, то есть когда 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 не вырождена.
 Таким образом, обратное утверждение не верно.
\end_layout

\begin_layout Section
Обратимая идемпотентная матрица является единичной (задача 1)
\end_layout

\begin_layout Problem
Квадратная матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 называется идемпотентной, если 
\begin_inset Formula $A^{2}=A$
\end_inset

.
 Показать, что квадратная обратимая идемпотентная матрица является единичной
 матрицей.
\end_layout

\begin_layout Solution
Так как 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 обратима по условию задачи, то существует обратная к ней матрица 
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset

.
 Умножим равенство 
\begin_inset Formula $A^{2}=A$
\end_inset

 на 
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset

.
 Тогда слева получим 
\begin_inset Formula $A\cdot A^{-1}=I_{n}$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $I_{n}$
\end_inset

 — единичная матрица порядка 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 — порядок матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

).
 Справа получаем 
\begin_inset Formula 
\[
A^{2}\cdot A^{-1}=A\cdot\left(A\cdot A^{-1}\right)=A\cdot I_{n}=A.
\]

\end_inset

Таким образом, мы получаем, как и требовалось, равенство
\begin_inset Formula 
\[
A=I_{n}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Обратная матрица и невырожденная матрица, удовлетворяющая заданному соотношению
 (задача 289)
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Найдите обратную матрицу к матрице 
\begin_inset Formula 
\[
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 1
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

если она существует.
 Если обратной матрицы не существует, укажите причину.
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Найдите невырожденную матрицу 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 размера 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

, удовлетворяющую равенству 
\begin_inset Formula 
\[
A^{3}=A^{2}B-3A^{2},
\]

\end_inset

 где 
\begin_inset Formula 
\[
B=\begin{pmatrix}4 & 1\\
2 & 6
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset

Проверьте, что найденная матрица действительно является невырожденной.
\end_layout

\begin_layout Solution
Запишем матрицу 
\begin_inset Formula $\left[A|I\right]$
\end_inset

 и приведём её к виду 
\begin_inset Formula $\left[I|A^{\prime}\right]$
\end_inset

 с помощью элементарных преобразований строк, тоогда будет 
\begin_inset Formula $A^{-1}=A^{\prime}$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
\left[A|I\right]=\begin{pmatrix}\begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\end{pmatrix},
\]

\end_inset

Поменяем местами строки (циклически сдвинем строки вверх): 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}\begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0
\end{array}\end{pmatrix}.
\]

\end_inset

 ко второй строке прибавим первую, умноженную на 
\begin_inset Formula $-2$
\end_inset

, а к третьей — первую, умноженную на 
\begin_inset Formula $-1$
\end_inset

: 
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}\begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0
\end{array}\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Наконец, вычтем из второй строки третью: 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}\begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0
\end{array}\end{pmatrix}.
\]

\end_inset

 Итак 
\begin_inset Formula 
\[
A^{-1}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\
-1 & -1 & 1\\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
б) Так как матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 должна быть обратимой, то умножим данное в условиях задачи равенство на
 
\begin_inset Formula $\left(A^{-1}\right)^{2}$
\end_inset

, мы получим 
\begin_inset Formula 
\[
A=B-3I=\begin{pmatrix}4 & 1\\
2 & 6
\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\
2 & 3
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Проверим, что 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 действительно является невырожденной.
 Для этого приведём её к ступенчатому виду по строкам, а именно, умножим
 первую строку на 
\begin_inset Formula $-2$
\end_inset

 и прибавим полученный результат ко второй строке: 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}1 & 1\\
2 & 3
\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 эта матрица треугольная, причём все её недиагольные элементы не равны нулю,
 поэтому она невырожденная 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Нужна ссылка
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Случай б) предыдущей задачи 289
\end_layout

\begin_layout Section
Найти невырожденную матрицу, удовлетворяющую некоторому соотношению (задача
 280)
\end_layout

\begin_layout Problem
Определите, существует ли невырожденная матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, если 
\begin_inset Formula 
\[
A^{2}=AB+2A,
\]

\end_inset

 где 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — заданная матрицы.
 Если такая невырожденная матрица существует, найдите обратную матрицу 
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
а) 
\begin_inset Formula $B=\begin{pmatrix}-1 & 1 & -1\\
0 & -1 & 0\\
1 & 2 & -2
\end{pmatrix}$
\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Переписал с ошибкой!
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
б) 
\begin_inset Formula $B=\begin{pmatrix}-1 & 1 & -1\\
0 & -1 & 0\\
2 & 1 & -4
\end{pmatrix}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Если матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — невырожденная, то существует 
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset

 и равенство 
\begin_inset Formula $A^{2}=AB+2A$
\end_inset

 можно умножить слева на 
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset

, мы получим равенство 
\begin_inset Formula 
\[
A=B+2I.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
В случае а) мы получаем 
\begin_inset Formula 
\[
A=\begin{pmatrix}-1 & 1 & -1\\
0 & -1 & 0\\
1 & 2 & -2
\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\
0 & 1 & 0\\
1 & 2 & 0
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Найдём обратную матрицу, приведя 
\begin_inset Formula $\left[A|I\right]$
\end_inset

 к виду 
\begin_inset Formula $\left[I|A^{\prime}\right]$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\begin{pmatrix}\begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1
\end{array}\end{pmatrix}\sim\\
\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1
\end{array}\end{pmatrix}\sim\\
\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1
\end{array}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1
\end{array}\end{pmatrix}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, 
\begin_inset Formula 
\[
A^{-1}=\begin{pmatrix}0 & -2 & 1\\
0 & 1 & 0\\
-1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
В случае б) мы получаем 
\begin_inset Formula 
\[
A=\begin{pmatrix}-1 & 1 & -1\\
0 & -1 & 0\\
2 & 1 & -4
\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\
0 & 1 & 0\\
2 & 1 & -2
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Заметим, что удвоенная первая строка равна сумме второй и третьей строк,
 поэтому строки 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 линейно зависимы, то есть матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 вырождена, а значит обратная к ней не существует.
 Таким образом, в случае б) требуемой матрицы не существует.
\end_layout

\begin_layout Section
Определите, существует ли невырожденная матрица, удовлетворяющая уравнению
 
\begin_inset Formula $A^{4}=ABA^{2}+2A^{3}$
\end_inset

 (задача 486)
\end_layout

\begin_layout Problem
Определите, существует ли невырожденная матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 такая, что 
\begin_inset Formula 
\[
A^{4}=ABA^{2}+2A^{3},
\]

\end_inset

 где 
\begin_inset Formula 
\[
B=\begin{pmatrix}-1 & 1 & -1\\
0 & -1 & 0\\
2 & 1 & -4
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Если матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 невырожденная, то существует 
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset

.
 Умножая заданное равенство слева на 
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset

, а справа на 
\begin_inset Formula $\left(A^{-1}\right)^{2}$
\end_inset

, то получим 
\begin_inset Formula 
\[
A=B+2I.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Подставляя в это выражение 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 мы получаем 
\begin_inset Formula 
\[
A=\begin{pmatrix}-1 & 1 & -1\\
0 & -1 & 0\\
2 & 1 & -4
\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\
0 & 1 & 0\\
2 & 1 & -2
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Заметим, что удвоенная первая строка равна сумме второй и третьей строк,
 поэтому строки 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 линейно зависимы, то есть матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 вырождена, а значит обратная к ней не существует.
\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, требуемой матрицы не существует.
\end_layout

\begin_layout Section
Вычислите и упростите матричное выражение, включающее транспонирование и
 обращение матриц (задача 297)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Написать систему компьютерной алгебры, которая сможет это решить.
 Здесь есть два уровня: просто вычислить и упростить, а потом вычислить
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Решите СЛАУ, вычислив обратную матрицу, и вычислите 
\begin_inset Formula $A^{2017}x$
\end_inset

 (задача 300)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица коэффициентов следующей СЛАУ: 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
-x_{1}-2x_{2}=1\\
2x_{1}+3x_{2}=-1
\end{array}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Решите эту систему, вычислив обратную матрицу 
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset

.
 Пусть 
\begin_inset Formula $x=\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}$
\end_inset

 — решение данной системы.
 Вычислите и упростите 
\begin_inset Formula $A^{2017}x$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
По условию задачи 
\begin_inset Formula 
\[
A=\begin{pmatrix}-1 & -2\\
2 & 3
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset

 Найдём 
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\left[A|I\right]=\begin{pmatrix}\begin{array}{rr|rr}
-1 & -2 & 1 & 0\\
2 & 3 & 0 & 1
\end{array}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{rr|rr}
1 & 2 & -1 & 0\\
2 & 3 & 0 & 1
\end{array}\end{pmatrix}\sim\\
\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{rr|rr}
1 & 2 & -1 & 0\\
0 & -1 & 2 & 1
\end{array}\end{pmatrix}\sim\\
\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{rr|rr}
1 & 2 & -1 & 0\\
0 & 1 & -2 & -1
\end{array}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{rr|rr}
1 & 0 & 3 & 2\\
0 & 1 & -2 & -1
\end{array}\end{pmatrix}=\left[I|A^{-1}\right],
\end{multline*}

\end_inset

 поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 2\\
-2 & -1
\end{pmatrix}
\]

\end_inset

и 
\begin_inset Formula 
\[
x=A^{-1}\begin{pmatrix}1\\
-1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 2\\
-2 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\
-1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\
-1
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset

 Мы получаем 
\begin_inset Formula 
\[
Ax=x,
\]

\end_inset

поэтому, по индукции можно показать, что 
\begin_inset Formula 
\[
A^{n}x=x=\begin{pmatrix}1\\
-1
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Если матрица — произведение двух матриц, то является ли она обратимой? (задача
 393)
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $6\times6$
\end_inset

 и она может быть записана как 
\begin_inset Formula $A=BC$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — это матрица размера 
\begin_inset Formula $6\times5$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $5\times6$
\end_inset

.
 Докажите, что матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 не может быть обратимой.
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

 и она может быть записана как 
\begin_inset Formula $A=BC$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — это матрица размера 
\begin_inset Formula $2\times3$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $3\times2$
\end_inset

.
 Может ли матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 быть обратимой?
\end_layout

\begin_layout Solution
а) Так как в матрице 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 имеется 6 столбцов размерности 5, то это столбцы линейно зависимы, а значит
 существует такой ненулевой вектор-столбец 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 размера 
\begin_inset Formula $6\times1$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $Cy=0$
\end_inset

.
 Но тогда 
\begin_inset Formula 
\[
Ay=\left(BC\right)y=B\left(Cy\right)=B0=0,
\]

\end_inset

то есть у однородного уравнения 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

 есть нетривиальное решение, а значит 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — необратимая матрица.
\end_layout

\begin_layout Solution
б) Рассмотрим пример: 
\begin_inset Formula $B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $C=\begin{pmatrix}1 & 0\\
1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix}$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
A=BC=\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}=I,
\]

\end_inset

то есть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — обратимая матрица (
\begin_inset Formula $I^{-1}=I$
\end_inset

).0з
\end_layout

\begin_layout Section
Идемпотентные матрицы (Вступительные экзамен в университете Токио, 2007
 год) (задача 265) 
\end_layout

\begin_layout Problem
Для некоторого вещественного числа 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 рассмотрим матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 удовлетворяющие следующим условиям:
\end_layout

\begin_layout Problem
1) 
\begin_inset Formula $A=aP+\left(a+1\right)Q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
2) 
\begin_inset Formula $P^{2}=P$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
3) 
\begin_inset Formula $Q^{2}=Q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
4) 
\begin_inset Formula $PQ=O$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
5) 
\begin_inset Formula $QP=O$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Где 
\begin_inset Formula $O$
\end_inset

 — нулевая матрица 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Докажите, что 
\begin_inset Formula $\left(P+Q\right)A=A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Пусть 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 — положительное вещественное число, положим 
\begin_inset Formula 
\[
A=\begin{pmatrix}a & 0\\
1 & a+1
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 найдите все матрицы 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

, удовлетворяющие условиям 1) – 5).
\end_layout

\begin_layout Problem
в) Пусть 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 — целое число, большее 1.
 Для любого целого 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $2\le k\le n$
\end_inset

) определим матрицу 
\begin_inset Formula 
\[
A_{k}=\begin{pmatrix}k & 0\\
1 & k+1
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Вычислите произведение 
\begin_inset Formula 
\[
A_{n}A_{n-1}A_{n-2}\cdot\dots\cdot A_{2}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
а) Подставим в произведение 
\begin_inset Formula $\left(P+Q\right)A$
\end_inset

 выражение 
\begin_inset Formula $A=aP+\left(a+1\right)Q$
\end_inset

 (условие 1).
 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\left(P+Q\right)A=\left(P+Q\right)\left(aP+\left(a+1\right)Q\right)=\\
=aP^{2}+aQP+\left(a+1\right)PQ+\left(a+1\right)Q^{2}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
В силу условий 4) и 5) 
\begin_inset Formula $QP=PQ=O$
\end_inset

, а в силу условий 2) и 3) 
\begin_inset Formula $P^{2}=P$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Q^{2}=Q$
\end_inset

, поэтому: 
\begin_inset Formula 
\[
\left(P+Q\right)A=aP+\left(a+1\right)Q=A,
\]

\end_inset

 что и требовалось доказать.
\end_layout

\begin_layout Solution
б) Если 
\begin_inset Formula $a>0$
\end_inset

, то матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 невырожденная, так как она является треугольной с ненулевыми элементами
 на главной диагонали.
\end_layout

\begin_layout Solution
Если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — невырожденная, то существует обратная матрица: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\left(A|I\right)\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{rr|rr}
a & 0 & 1 & 0\\
1 & a+1 & 0 & 1
\end{array}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{rr|rr}
1 & 0 & \frac{1}{a} & 0\\
1 & a+1 & 0 & 1
\end{array}\end{pmatrix}\sim\\
\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{rr|rr}
1 & 0 & \frac{1}{a} & 0\\
0 & a+1 & -\frac{1}{a} & 1
\end{array}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{rr|rr}
1 & 0 & \frac{1}{a} & 0\\
0 & 1 & -\frac{1}{a\left(a+1\right)} & \frac{1}{a+1}
\end{array}\end{pmatrix}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом 
\begin_inset Formula 
\[
A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{a} & 0\\
-\frac{1}{a\left(a+1\right)} & \frac{1}{a+1}
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Тогда равенство 
\begin_inset Formula $\left(P+Q\right)A=A$
\end_inset

 можно умножить справа на 
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset

 и мы получим равенство 
\begin_inset Formula 
\[
P+Q=I,
\]

\end_inset

то есть 
\begin_inset Formula $Q=I-P$
\end_inset

.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Подсмотрел этот шаг
\end_layout

\end_inset

Подставим это равенство в определение 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
A=aP+\left(a+1\right)\left(I-P\right)=\left(a+1\right)I-P,
\]

\end_inset

 откуда 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
P=\left(a+1\right)I-A=\\
=\begin{pmatrix}a+1 & 0\\
0 & a+1
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a & 0\\
1 & a+1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\
-1 & 0
\end{pmatrix}.
\end{multline*}

\end_inset

 Наконец 
\begin_inset Formula 
\[
Q=I-P=\begin{pmatrix}0 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Нетрудно убедиться, что 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 удовлетворяют условиям 2)–5), а условие 1) было использовано для их получения,
 поэтому его справедливость очевидна.
\end_layout

\begin_layout Solution
в) Воспользуемся результатом пункта б), так как целые числа 
\begin_inset Formula $k\ge2$
\end_inset

 — это положительные вещественные числа, то 
\begin_inset Formula 
\[
A_{k}=kP+\left(k+1\right)Q,
\]

\end_inset

 где 
\begin_inset Formula $P=\begin{pmatrix}1 & 0\\
-1 & 0
\end{pmatrix}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Q=\begin{pmatrix}0 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix}$
\end_inset

 — идемпотентные матрицы.
 Рассмотрим произведение 
\begin_inset Formula $A_{k}A_{j}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
A_{k}A_{j}=\left(kP+\left(k+1\right)Q\right)\left(jP+\left(j+1\right)Q\right)=\\
=kjP^{2}+k\left(j+1\right)PQ+\left(k+1\right)jP+\left(k+1\right)\left(j+1\right)Q^{2}=\\
=kjP+\left(k+1\right)\left(j+1\right)Q.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Применяя этот результат к произведению 
\begin_inset Formula $A_{n}A_{n-1}A_{n-2}\cdot\dots\cdot A_{2}$
\end_inset

 получим 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
A_{n}A_{n-1}A_{n-2}\cdot\dots\cdot A_{2}=n!P+\frac{\left(n+1\right)!}{2}Q=.\\
=\begin{pmatrix}n! & 0\\
-n! & 0
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 0\\
\frac{\left(n+1\right)!}{2} & \frac{\left(n+1\right)!}{2}
\end{pmatrix}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Найдём значение 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\frac{\left(n+1\right)!}{2}-n!=\frac{n!\left(n+1\right)}{2}-n!=\\
=n!\left(\frac{n+1-2}{2}\right)=\frac{n!\left(n-1\right)}{2}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Окончательно получаем 
\begin_inset Formula 
\[
A_{n}A_{n-1}A_{n-2}\cdot\dots\cdot A_{2}=\begin{pmatrix}n! & 0\\
\frac{n!\cdot\left(n-1\right)}{2} & \frac{\left(n+1\right)!}{2}
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Построение симметричной матрицы, совпадающей со своей обратной (задача 556)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 — ненулевой вектор из 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}.$
\end_inset

 Тогда 
\begin_inset Formula $\left(v,v\right)=v^{T}v\neq0$
\end_inset

.
 Положим 
\begin_inset Formula 
\[
a:=\frac{2}{v^{T}v}
\]

\end_inset

 и определим матрицу 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

 следующим образом 
\begin_inset Formula 
\[
A=I-avv^{T},
\]

\end_inset

 где 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 — единичная матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — симметричная матрица и 
\begin_inset Formula $AA=I$
\end_inset

, а затем выведите из этого результата, что 
\begin_inset Formula $A=A^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Докажем сначала, что 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 симметричная, для этого найдём 
\begin_inset Formula $A^{T}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
A^{T}=\left(I-avv^{T}\right)^{T}=I^{T}-\left(avv^{T}\right)^{T}=\\
=I-a\left(v^{T}\right)^{T}v^{T}=I-avv^{T}=A,
\end{multline*}

\end_inset

 то есть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 действительно является симметричной матрицей.
\end_layout

\begin_layout Solution
Вычислим теперь 
\begin_inset Formula $AA$
\end_inset

, воспользовавшись определением 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
AA=\left(I-avv^{T}\right)\left(I-avv^{T}\right)=\\
=I-2avv^{T}+a^{2}vv^{T}vv^{T}=\\
=I-2avv^{T}+a^{2}\left(v^{T}v\right)vv^{T}=\\
=I-2avv^{T}+a\frac{2}{v^{T}v}\left(v^{T}v\right)vv^{T}=\\
=I-2avv^{T}+2avv^{T}=I.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, действительно 
\begin_inset Formula $AA=I$
\end_inset

.
 Из определения обратной матрицы получаем, что 
\begin_inset Formula $A^{-1}=A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы (задачи
 65)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Создать систему компьютерной алгебры, которая могла бы решить эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы матрицы
 коэффициентов (задачи 442)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Создать систему компьютерной алгебры, которая могла бы решить эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Линейной независимые векторы, обратимая матрица и выражение вектора в виде
 линейной комбинации (задача 66)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Создать систему компьютерной алгебры, которая могла бы решить эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
След, определитель и собственные значения (Задача с экзамена в Гарвардском
 университете) (задача 389)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Добавить ссылку на предыдущее упоминание этой задачи
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Найдите матрицу, преобразующую заданные вектора в другие заданные вектора
 (задача 44)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Создать систему компьютерной алгебры, которая могла бы решить эту задачу,
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
здесь нужна будет небольшая теоретическая подготовка
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Простое коммутативное соотношение для матриц (задача 55)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — вещественные матрицы размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Пусть 
\begin_inset Formula $A+B$
\end_inset

 — обратимая матрица, покажите, что 
\begin_inset Formula 
\[
A\left(A+B\right)^{-1}B=B\left(A+B\right)^{-1}A.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Рассмотрим выражение 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
A\left(A+B\right)^{-1}B+B\left(A+B\right)^{-1}B=\\
=\left(A+B\right)\left(A+B\right)^{-1}B=B.
\end{multline*}

\end_inset

 С другой стороны: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
B\left(A+B\right)^{-1}A+B\left(A+B\right)^{-1}B=\\
=B\left(A+B\right)^{-1}\left(A+B\right)=B.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как оба эти выражения равны 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
A\left(A+B\right)^{-1}B+B\left(A+B\right)^{-1}B=\\
=B\left(A+B\right)^{-1}A+B\left(A+B\right)^{-1}B.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Вычитая из левой и правой части этого равенства 
\begin_inset Formula $B\left(A+B\right)^{-1}B$
\end_inset

, получим требуемое равенство 
\begin_inset Formula 
\[
A\left(A+B\right)^{-1}B=B\left(A+B\right)^{-1}A.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Рассмотрим ещё одно доказательство 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Это доказательство с yutsumura.com
\end_layout

\end_inset

.
 Обозначим 
\begin_inset Formula $A+B=P$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula $B=P-A$
\end_inset

.
 Перепишем левую и правую части доказываемого равенства в терминах 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
A\left(A+B\right)^{-1}B=AP^{-1}\left(P-A\right)=\\
=AP^{-1}P-AP^{-1}A=A-AP^{-1}A,
\end{multline*}

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
B\left(A+B\right)^{-1}A=\left(P-A\right)P^{-1}A=\\
=PP^{-1}A-AP^{-1}A=A-AP^{-1}A.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Правые части этих равенств равны, значит равны и левые, что и требовалось.
\end_layout

\begin_layout Section
Единственность обратной матрицы (задача 251)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — обратимая матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Докажите, что обратная матрица матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 единственная.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть у 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 имеется две обратные матрицы 
\begin_inset Formula $B_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B_{2}$
\end_inset

.
 По определению обратной матрицы должны выполняться равенства 
\begin_inset Formula 
\[
AB_{1}=B_{1}A=I,
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
AB_{2}=B_{2}A=I,
\]

\end_inset

 где 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 — единичная матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Рассмотрим выражение 
\begin_inset Formula $B_{1}AB_{2}$
\end_inset

.
 В силу того, что 
\begin_inset Formula $B_{1}$
\end_inset

 — обратная матрица к 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, получаем: 
\begin_inset Formula 
\[
B_{1}AB_{2}=\left(B_{1}A\right)B_{2}=IB_{2}=B_{2}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
С другой стороны, в силу того, что 
\begin_inset Formula $B_{2}$
\end_inset

 — тоже обратная матрица к 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, получаем 
\begin_inset Formula 
\[
B_{1}AB_{2}=B_{1}\left(AB_{2}\right)=B_{1}I=B_{1}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как левые части этих цепочек равенств равны, то равны и правые, то есть
 
\begin_inset Formula $B_{1}=B_{2}$
\end_inset

, то есть у 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 не может быть несколько разных обратных матриц.
\end_layout

\begin_layout Section
Формула Шермана-Вудберри для обратной матрицы (задача 250)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 — векторы из 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 — единичная матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Пусть выполняется 
\begin_inset Formula 
\[
v^{T}u\neq-1.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Определим матрицу 
\begin_inset Formula $A=I+uv^{T}$
\end_inset

.
 Докажите, что матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 обратимая и обратная матрица даётся формулой 
\begin_inset Formula $A^{-1}=I-auv^{T}$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula 
\[
a=\frac{1}{1+v^{T}u}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Данная формула называется формулой Шермана-Вудберри.
\end_layout

\begin_layout Solution
Рассмотрим матрицу 
\begin_inset Formula 
\[
B=I-\frac{uv^{T}}{1+v^{T}u}
\]

\end_inset

 и вычислим 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
AB=\left(I-uv^{T}\right)\left(I-\frac{uv^{T}}{1+v^{T}u}\right)=\\
=I-uv^{T}-\frac{uv^{T}}{1+v^{T}u}+\frac{uv^{T}uv^{T}}{1+v^{T}u}=\\
=I-\frac{uv^{T}\left(1+v^{T}u-1\right)}{1+v^{T}u}+\frac{uv^{T}\cdot v^{T}u}{1+v^{T}u}=\\
=I-\frac{uv^{T}\left(v^{T}u-v^{T}u\right)}{1+v^{T}u}=I.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Из 
\begin_inset Formula $AB=I$
\end_inset

 следует 
\begin_inset Formula $BA=I$
\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Доказать или дать ссылку
\end_layout

\end_inset

.
 Действительно, пусть 
\begin_inset Formula $AB=I$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula $\left(BA\right)B=B$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $A\left(BA\right)=A$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, действительно 
\begin_inset Formula $A^{-1}=B$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — обратимая матрица.
\end_layout

\begin_layout Section
Формула обратной матрицы для матрицы 
\begin_inset Formula $I+A$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — вырожденная матрица размера 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

 (задача 505)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — вырожденная матрица размера 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

, причём 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(A\right)\neq-1$
\end_inset

 и пусть 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 — единичная матрица размера 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

.
 Докажите, что обратная матрица для матрицы 
\begin_inset Formula $I+A$
\end_inset

 даётся формулой 
\begin_inset Formula 
\[
\left(I+A\right)^{-1}=I-\frac{1}{1+\mathrm{tr}\left(A\right)}A.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Используя эту формулу, вычислите обратную матрицу для матрицы 
\begin_inset Formula $\begin{pmatrix}2 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}.$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 вырожденная, то её 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 можно представить в виде 
\begin_inset Formula $uv^{T}$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 — некоторые вектора из 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

.
 Действительно, так как матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 вырожденная, то уравнение у уравнения 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

 имеется нетривиальное решение.
 Обозначим вектор-столбцы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 как 
\begin_inset Formula $A_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $A_{2}$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula $x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}=0$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $x_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $x_{2}$
\end_inset

 не равны одновременно нулю.
 Пусть 
\begin_inset Formula $x_{1}\neq0$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
A_{1}=-\frac{x_{2}}{x_{1}}A_{2}
\]

\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 можно записать в виде 
\begin_inset Formula $A=uv^{T}$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $u=A_{2}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $v^{T}=\begin{pmatrix}-\frac{x_{2}}{x_{1}} & 1\end{pmatrix}$
\end_inset

.
 Если же 
\begin_inset Formula $x_{1}=0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $x_{2}\neq0$
\end_inset

 (так как 
\begin_inset Formula $x_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $x_{2}$
\end_inset

 не могут быть равны нулю одновременно) и 
\begin_inset Formula 
\[
A_{2}=-\frac{x_{1}}{x_{2}}A_{1},
\]

\end_inset

а матрицу 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 можно записать в виде 
\begin_inset Formula $A=uv^{T}$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $u=A_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $v^{T}=\begin{pmatrix}1 & -\frac{x_{1}}{x_{2}}\end{pmatrix}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
По определению следа матрицы, в случае матрицы размера 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

, получаем:
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(A\right)=a_{11}+a_{22}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}=v^{T}u=u^{T}v,
\]

\end_inset

 по условию задачи 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(A\right)\neq-1$
\end_inset

, поэтому поэтому к матрице 
\begin_inset Formula $I+A=I+uv^{T}$
\end_inset

 применим результат задачи 250
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula 
\[
\left(I+A\right)^{-1}=I-\frac{1}{1+u^{T}v}A=I-\frac{1}{1+\mathrm{tr}\left(A\right)}A,
\]

\end_inset

 что и требовалось доказать.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $B=\begin{pmatrix}2 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}$
\end_inset

, представим эту матрицу в виде 
\begin_inset Formula $B=I+A$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
A=B-I=\begin{pmatrix}2 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset

 Эта матрица вырожденная, так как её столбцы одинаковы и 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(A\right)=1+1=2\neq-1$
\end_inset

, поэтому мы можем воспользоваться полученным выше результатом: 
\begin_inset Formula 
\[
B^{-1}=I-\frac{1}{1+\mathrm{tr}\left(A\right)}A=\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}-\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1\\
-1 & 2
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Степени диагональной матрицы (задача 7)
\end_layout

\begin_layout Standard
Эту задачу можно было бы обобщить для матриц произвольного порядка.
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A=\left(\begin{array}{cc}
a & 0\\
0 & b
\end{array}\right)$
\end_inset

.
 Доказать, что 
\begin_inset Formula $A^{n}=\left(\begin{array}{cc}
a^{n} & 0\\
0 & b^{n}
\end{array}\right)$
\end_inset

 для любого 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

.
 Пусть 
\begin_inset Formula $B=S^{-1}AS$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 — обратимая матрица 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

.
 Доказать, что 
\begin_inset Formula $B^{n}=S^{-1}A^{n}S$
\end_inset

 для любого 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}.$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Найдём общую формулу для произведения диагональных матриц.
 Пусть 
\begin_inset Formula $A=\left(\begin{array}{cc}
a & 0\\
0 & b
\end{array}\right)$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $C=\left(\begin{array}{cc}
c & 0\\
0 & d
\end{array}\right)$
\end_inset

, тогда по правилам вычисления произведения матриц: 
\begin_inset Formula $AC=\left(\begin{array}{cc}
ac & 0\\
0 & bd
\end{array}\right)$
\end_inset

.
 Тогда равенство 
\begin_inset Formula $A^{n}=\left(\begin{array}{cc}
a^{n} & 0\\
0 & b^{n}
\end{array}\right)$
\end_inset

 можно доказать по индукции.
 База индукции: 
\begin_inset Formula $A^{1}=A=\left(\begin{array}{cc}
a^{1} & 0\\
0 & b^{1}
\end{array}\right)$
\end_inset

.
 Пусть теперь мы доказали для некоторого 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $A^{k}=\left(\begin{array}{cc}
a^{k} & 0\\
0 & b^{k}
\end{array}\right)$
\end_inset

.
 Найдём 
\begin_inset Formula 
\[
A^{k+1}=A^{k}A=\left(\begin{array}{cc}
a^{k} & 0\\
0 & b^{k}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
a & 0\\
0 & b
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
a^{k+1} & 0\\
0 & b^{k+1}
\end{array}\right),
\]

\end_inset

что и требовалось.
\end_layout

\begin_layout Solution
Рассмотрим теперь матрицу 
\begin_inset Formula $B=S^{-1}AS$
\end_inset

.
 Снова воспользуемся математической индукцией.
 База индукции: 
\begin_inset Formula $B^{1}=B=S^{-1}AS=S^{-1}A^{1}S$
\end_inset

.
 Пусть теперь доказали для некоторого 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $B^{k}=S^{-1}A^{k}S$
\end_inset

.
 Найдём 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
B^{k+1}=B^{k}B=\left(S^{-1}A^{k}S\right)\cdot\left(S^{-1}AS\right)=\\
=S^{-1}A^{k}\left(SS^{-1}\right)AS=S^{-1}A^{k}I_{2}AS=\\
=S^{-1}A^{k}AS=S^{-1}A^{k+1}S,
\end{multline*}

\end_inset

 что и требовалось.
\end_layout

\begin_layout Section
Обратная матрица для транспонированной — это транспонированная от обратной
 матрицы (задача 506)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — обратимая матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $A^{T}$
\end_inset

 — так же обратимая матрица и 
\begin_inset Formula 
\[
\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Действительно, по правилу вычисления транспонирования произведения матриц
 получаем 
\begin_inset Formula 
\[
A^{T}\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{-1}A\right)^{T}=I^{T}=I,
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\left(A^{-1}\right)^{T}A^{T}=\left(AA^{-1}\right)^{T}=I^{T}=I.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, 
\begin_inset Formula $\left(A^{-1}\right)^{T}$
\end_inset

 удовлетворяет требованиям к 
\begin_inset Formula $\left(A^{T}\right)^{-1}$
\end_inset

.
 Так как обратная матрица единственная 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

, то 
\begin_inset Formula 
\[
\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как 
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset

 существует по условию задачи, то 
\begin_inset Formula $\left(A^{T}\right)^{-1}$
\end_inset

 также существует и 
\begin_inset Formula $A^{T}$
\end_inset

 — обратимая матрица.
\end_layout

\begin_layout Section
Является ли произведение нильпотентной и обратимой матрицы нильпотентной
 матрицей? (задача 77)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Решить эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Квадратная матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 называется нильпотентной, если существует такое положительное целое число
 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $A^{k}=O$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $O$
\end_inset

 — нулевая матрица соответствующей размерности.
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — нильпотентная матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $N\times N$
\end_inset

 такая, что 
\begin_inset Formula $AB=BA$
\end_inset

.
 Покажите, что 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 нильпотентная матрица.
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Пусть 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 — обратимая матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 — нильпотентная матрица размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Является ли произведение 
\begin_inset Formula $PN$
\end_inset

 нильпотентной матрицей? Если да, то докажите это, а если нет — приведите
 контрпример.
\end_layout

\begin_layout Solution
а) Рассмотрим 
\begin_inset Formula $\left(AB\right)^{s}$
\end_inset

 и докажем, что 
\begin_inset Formula $\left(AB\right)^{s}=A^{s}B^{s}$
\end_inset

.
 Доказательство будем проводить по индукции.
 Для 
\begin_inset Formula $s=1$
\end_inset

 равенство очевидно.
 Пусть теперь равенство 
\begin_inset Formula $\left(AB\right)^{s}=A^{s}B^{s}$
\end_inset

 доказано для всех 
\begin_inset Formula $s=0,\dots,m$
\end_inset

.
 Рассмотрим 
\begin_inset Formula $\left(AB\right)^{m+1}=\left(AB\right)^{m}\left(AB\right)$
\end_inset

.
 Так как 
\begin_inset Formula $AB=BA$
\end_inset

, то, применяя данное равенство 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 раз, получим 
\begin_inset Formula $B^{m}A=AB^{m}$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\left(AB\right)^{m+1}=\left(AB\right)^{m}\left(AB\right)=A^{m}B^{m}AB=\\
=A^{m}AB^{m}B=A^{m+1}B^{m+1}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Итак, 
\begin_inset Formula $\left(AB\right)^{k}=A^{k}B^{k}$
\end_inset

, но 
\begin_inset Formula $A^{k}=O$
\end_inset

 по условию задачи, поэтому 
\begin_inset Formula $\left(AB\right)^{k}=A^{k}B^{k}=OB^{k}=O$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $AB$
\end_inset

 — нильпотентная матрица.
\end_layout

\begin_layout Solution
б) 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Не догадался до очевидного контрпримера и подсмотрел
\end_layout

\end_inset

 Положим 
\begin_inset Formula 
\[
P=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]

\end_inset

 и 
\begin_inset Formula 
\[
N=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Найдём несколько первых степеней 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
N^{2}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
N^{3}=N^{2}N=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}=O,
\]

\end_inset

 таким образом 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 — нильпотентная матрица.
\end_layout

\begin_layout Standard
Теперь найдём произведение 
\begin_inset Formula $PN$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
PN=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Покажем, что 
\begin_inset Formula $\left(PN\right)$
\end_inset

 не является нильпотентной.
 
\begin_inset Formula 
\[
\left(PN\right)^{2}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\neq O,
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\left(PN\right)^{3}=\left(PN\right)^{2}\left(PN\right)=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}=\left(PN\right)^{2},
\]

\end_inset

 далее, по индукции, получаем, что при 
\begin_inset Formula $k\ge3$
\end_inset

 имеет место равенство 
\begin_inset Formula $\left(PN\right)^{k}=\left(PN\right)^{2}\ne O$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $PN$
\end_inset

 — не является нильпотентной матрицей.
\end_layout

\begin_layout Section
Матрица обратимая тогда и только тогда, когда она невырожденная (задача
 26)
\end_layout

\begin_layout Problem
В этой задаче мы покажем, что концепция невырожденной матрицы эквивалентна
 концепции обратимой матрицы.
 Итак, мы хотим показать, что матрица не вырождена тогда и только тогда,
 когда она обратима.
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Покажите, что если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — обратимая матрица, то 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — невырожденная.
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 — матрицы размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $AB=C$
\end_inset

.
 Докажите, что если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 вырождены, то 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 — тоже вырождена.
\end_layout

\begin_layout Problem
в) Покажите, что если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 \SpecialChar softhyphen
– невырожденная, то 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 обратима.
\end_layout

\begin_layout Solution
Напомним, что матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 называется вырожденной, если у уравнения 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

 имеются нетривиальные (ненулевые) решения.
\end_layout

\begin_layout Solution
а) Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — обратимая матрица, рассмотрим уравнение 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

.
 Если у этого уравнения есть решение 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

, то умножив равенство 
\begin_inset Formula $Ax_{0}=0$
\end_inset

 на 
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset

 слева, получим 
\begin_inset Formula $x_{0}=A^{-1}0=0$
\end_inset

, таким образом, у уравнения 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

 имеются только нулевые решения, а значит 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — невырожденная матрица.
\end_layout

\begin_layout Solution
б) 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
А мы это не доказывали ранее?
\end_layout

\end_inset

 Пусть 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 вырождена, тогда имеется такой ненулевой вектор 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $By=0$
\end_inset

.
 Умножив это равенство слева на 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, получим 
\begin_inset Formula $A\left(By\right)=0$
\end_inset

, но по определению произведения матриц получаем 
\begin_inset Formula $A\left(By\right)=\left(AB\right)y=Cy$
\end_inset

.
 Таким образом, если 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 вырожденная матрица, то у уравнения 
\begin_inset Formula $Cx=0$
\end_inset

 имеется нетривиальное решение, то есть 
\begin_inset Formula $C=AB$
\end_inset

 — тоже вырожденная матрица.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть теперь 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — вырожденная, 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — невырожденная (случай, когда 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 вырожденная был уже рассмотрен выше).
 Тогда существует такой ненулевой вектор 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $Az=0$
\end_inset

.
 Так как 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 невырожденная, то у уравнения 
\begin_inset Formula $By=z$
\end_inset

 имеется решение.
 Тогда 
\begin_inset Formula $Cy=\left(AB\right)y=A\left(By\right)=Az=0$
\end_inset

.
 Так как из 
\begin_inset Formula $y=0$
\end_inset

 следует 
\begin_inset Formula $z=By=B0=0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $y\neq0$
\end_inset

.
 Таким образом, у уравнения 
\begin_inset Formula $Cy=0$
\end_inset

 имеется ненулевое решение, то есть 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 — вырожденная матрица.
\end_layout

\begin_layout Solution
в) Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — невырожденная матрица.
 Тогда у уравнения 
\begin_inset Formula $Ax=b$
\end_inset

 имеется единственное решение для любого 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

.
 В частности, можно взять в качестве 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 столбцы единичной матрицы 
\begin_inset Formula $e_{1},\dots,e_{n}$
\end_inset

.
 Пусть 
\begin_inset Formula $x_{k}$
\end_inset

 — это решение уравнения 
\begin_inset Formula $Ax=e_{k}$
\end_inset

.
 Составим матрицу 
\begin_inset Formula $B=\left[x_{1,},\dots,x_{n}\right]$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
AB=\left[Ax_{1},\dots,Ax_{n}\right]=\left[e_{1},\dots,e_{n}\right]=I.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Упустил этот момент
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Повторим те же рассуждения применительно к матрице 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
а почему 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 оказалась невырожденной?
\end_layout

\end_inset

.
 Тогда существует матрица 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 такая, что 
\begin_inset Formula $BC=I$
\end_inset

.
 Мы покажем, что 
\begin_inset Formula $C=A$
\end_inset

.
 Умножим равенство 
\begin_inset Formula $AB=I$
\end_inset

 на 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 справа: 
\begin_inset Formula $ABC=C$
\end_inset

, так как 
\begin_inset Formula $BC=I$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $ABC=A\left(BC\right)=AI=A$
\end_inset

, таким образом, 
\begin_inset Formula $C=A$
\end_inset

.
 Таким образом, мы доказали, что 
\begin_inset Formula $AB=BA=I$
\end_inset

, то есть матрица обратима и 
\begin_inset Formula $A^{-1}=B$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Является ли сумма нильпотентной и обратимой матрицы обратимой? (задача 582)
\end_layout

\begin_layout Problem
Квадратная матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 называется нильпотентной, если существует такое положительное целое число
 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $A^{k}=O$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $O$
\end_inset

 — нулевая матрица соответствующей размерности.
 Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — нильпотентная матрица, а 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — обратимая матрица той же размерности, что и 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Является ли матрица 
\begin_inset Formula $B-A$
\end_inset

 обратимой? Если да, то докажите это, если нет — приведите контрпример.
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Не нашёл контрпример сам.
 Но нашёл обратную для 
\begin_inset Formula $I-A$
\end_inset

.
 Это нужно будет в другой задаче!
\end_layout

\end_inset

.
 Мы покажем, что 
\begin_inset Formula $B-A$
\end_inset

 не обязательно является обратимой.
 Рассмотрим 
\begin_inset Formula $A=\begin{pmatrix}0 & -1\\
0 & 0
\end{pmatrix}$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
A^{2}=O,
\]

\end_inset

так что 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 действительно является нильпотентной.
 Теперь рассмотрим матрицу 
\begin_inset Formula $B=\begin{pmatrix}1 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix}$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
B-A=\begin{pmatrix}1 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}
\]

\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B-A$
\end_inset

 не является разрешимой, так как строки 
\begin_inset Formula $B-A$
\end_inset

 равны.
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Перенести это в более подходящее место.
 146?
\end_layout

\end_inset

Начнём с простейшего случая, когда 
\begin_inset Formula $B=I$
\end_inset

.
 Рассмотрим формальный ряд 
\begin_inset Formula $I+A+A^{2}+\dots+A^{k}+\dots$
\end_inset

.
 По аналогии с суммой бесконечной геометрической прогрессией мы получаем
 
\begin_inset Formula 
\[
I+A+A^{2}+\dots+A^{k}+\dots=\left(I-A\right)^{-1}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Но так как 
\begin_inset Formula $A^{k}=O$
\end_inset

, то от данного ряда остаётся только конечный отрезок, включающий степени
 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 не выше 
\begin_inset Formula $k-1$
\end_inset

.
 Теперь проверим вычислением, что 
\begin_inset Formula 
\[
\left(I-A\right)^{-1}=\sum_{j=0}^{k-1}A^{j}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Действительно 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\left(I-A\right)\sum_{j=0}^{k-1}A^{j}=\sum_{j=0}^{k-1}A^{j}-\sum_{j=0}^{k-1}A^{j+1}=\\
=\sum_{j=0}^{k-1}A^{j}-\sum_{j=1}^{k}A^{j}=\\
=I+\sum_{j=1}^{k-1}A^{j}-\sum_{j=1}^{k-1}A^{j}-A^{k}=\\
=I-A^{k}=I-O=I.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Найдите обратную матрицу с использованием присоединённых матриц (задача
 546)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Написать систему компьютерной алгебры, которая сможет решать такие задачи
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Обратная матрица симметричной матрицы с положительными диагональными элементами
 (задача 599)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — действительная симметричная матрица, диагональные элементы которой положитель
ны.
 Верно ли, что диагональные элементы 
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset

 также положительны.
 Если да, то докажите это, если нет — найдите контрпример.
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Подсознательно или случайно подсмотрел решение
\end_layout

\end_inset

 Рассмотрим следующую матрицу 
\begin_inset Formula 
\[
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\
2 & 1
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 очевидно, что она удовлетворяет условиям задачи.
 Найдём 
\begin_inset Formula $A^{-1}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\begin{pmatrix}\begin{array}{ll|ll}
1 & 2 & 1 & 0\\
2 & 1 & 0 & 1
\end{array}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{ll|ll}
1 & 2 & 1 & 0\\
0 & -3 & -2 & 1
\end{array}\end{pmatrix}\sim\\
\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{ll|ll}
1 & 2 & 1 & 0\\
0 & 1 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}
\end{array}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{ll|ll}
1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\
0 & 1 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}
\end{array}\end{pmatrix}.
\end{multline*}

\end_inset

Таким образом 
\begin_inset Formula 
\[
A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-1 & 2\\
2 & -1
\end{pmatrix}
\]

\end_inset

и мы показали, что в общем случае утверждение не верно.
\end_layout

\begin_layout Section
Обратная матрица содержит только целые числа тогда и только тогда, когда
 определитель равен 
\begin_inset Formula $\pm1$
\end_inset

 (задача 547)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Доказать формулу для обратной матрицы через присоединённую матрицу и решить
 эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter
Подпространства 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Проработать эту главу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
12 примеров подмножеств, которые не являются подпространствами векторного
 пространства (задача 338)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Решить эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Является ли множество ортогональных матриц векторными пространством? (задача
 611)
\end_layout

\begin_layout Problem
Квадратная матрица 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 называется ортогональной, если 
\begin_inset Formula $A^{T}A=I$
\end_inset

.
 Пусть 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 — векторного пространство матриц размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Я обобщил условия, в которых изначально было 
\begin_inset Formula $n=2$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
 Рассмотрим подмножество 
\begin_inset Formula 
\[
W=\left\{ A\in V|A^{T}A=I\right\} .
\]

\end_inset

 Докажите или опровергните, что 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 — подпространство 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Если 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 — подпространство, то матрица 
\begin_inset Formula $B=A+A=2A$
\end_inset

 должна принадлежать 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

.
 Но 
\begin_inset Formula 
\[
B^{T}B=\left(2A\right)^{T}\left(2A\right)=4A^{T}A=4I\neq I,
\]

\end_inset

 то есть 
\begin_inset Formula $B\notin W$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 — не является подпространством 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Другой подход основан на том, что 
\begin_inset Formula $O^{T}O=O\neq I$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 не содержит нулевого элемента
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Линейные свойства умножения матриц и ядро матрицы (задача 155)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $m\times n$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $N\left(A\right)$
\end_inset

 — ядро матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Пусть 
\begin_inset Formula $u,v\in N\left(A\right)$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $w=3u-5v$
\end_inset

.
 Найдите 
\begin_inset Formula $Aw$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Так как 
\begin_inset Formula $u,v\in N\left(A\right)$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $Au=Av=0$
\end_inset

.
 Таким образом: 
\begin_inset Formula 
\[
Aw=A\left(3u-5w\right)=3Au-5Aw=3\cdot0-5\cdot0=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Может быть обобщить эту задачу, чтобы она требовала доказательства того,
 что ядро — это подпространство?
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Примеры и контрпримеры подпространств в трёхмерном пространстве (задача
 304)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Решить эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Линейные оболочки 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

 или его подпространств (задача 691)
\end_layout

\begin_layout Problem
В этой задаче мы будем рассматривать следующие векторы в 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
a=\begin{pmatrix}1\\
0
\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}1\\
1
\end{pmatrix},c=\begin{pmatrix}2\\
3
\end{pmatrix},d=\begin{pmatrix}3\\
2
\end{pmatrix},e=\begin{pmatrix}0\\
0
\end{pmatrix},f=\begin{pmatrix}5\\
6
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Для каждого множества 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 определите линейную оболочку 
\begin_inset Formula $\nu\left(S\right)$
\end_inset

.
 Если 
\begin_inset Formula $\nu\left(S\right)\neq\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

, то дайте алгебраическое описание 
\begin_inset Formula $\nu\left(S\right)$
\end_inset

 и объясните геометрическую форму 
\begin_inset Formula $\nu\left(S\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
а) 
\begin_inset Formula $S=\left\{ a,b\right\} $
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
б) 
\begin_inset Formula $S=\left\{ a,c\right\} $
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
в) 
\begin_inset Formula $S=\left\{ c,d\right\} $
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
г) 
\begin_inset Formula $S=\left\{ a,f\right\} $
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
д) 
\begin_inset Formula $S=\left\{ e,f\right\} $
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
е) 
\begin_inset Formula $S=\left\{ a,b,c\right\} $
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
ж) 
\begin_inset Formula $S=\left\{ e\right\} $
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
а) Так как 
\begin_inset Formula 
\[
\lambda_{1}a+\lambda_{2}b=\begin{pmatrix}\lambda_{1}+\lambda_{2}\\
\lambda_{1}
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

поэтому из 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}a+\lambda_{2}b=0$
\end_inset

 следует 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}=0$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 линейно независимы, а так как размерность 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

 равна 
\begin_inset Formula $2$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 — базис и 
\begin_inset Formula $\nu\left(S\right)=\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
б) Аналогично, предыдущему пункту: 
\begin_inset Formula 
\[
\lambda_{1}a+\lambda_{2}c=\begin{pmatrix}\lambda_{1}+2\lambda_{2}\\
3\lambda_{1}
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 поэтому из 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}a+\lambda_{2}b=0$
\end_inset

 следует 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
в) Так как 
\begin_inset Formula 
\[
\lambda_{1}c+\lambda_{2}d=\begin{pmatrix}2\lambda_{1}+3\lambda_{2}\\
3\lambda_{1}+2\lambda_{2}
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 то из 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}c+\lambda_{2}d=0$
\end_inset

 следует система уравнений: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\left\{ \begin{array}{c}
2\lambda_{1}+3\lambda_{2}=0\\
3\lambda_{1}+2\lambda_{2}=0
\end{array}\right.,
\end{multline*}

\end_inset

 вычитая из второго уравнения первое, получим 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}-\lambda_{2}=0$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}=\lambda_{2}$
\end_inset

, поэтому оба уравнения сводятся к 
\begin_inset Formula $5\lambda_{1}=0$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 линейно независимы, а значит 
\begin_inset Formula $\nu\left(S\right)=\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
г) Так как 
\begin_inset Formula 
\[
\lambda_{1}a+\lambda_{2}f=\begin{pmatrix}\lambda_{1}+5\lambda_{2}\\
6\lambda_{2}
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

поэтому из 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}a+\lambda_{2}f=0$
\end_inset

 следует 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}=0$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 — линейно независимы, а значит 
\begin_inset Formula $\nu\left(S\right)=\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
д) Так как 
\begin_inset Formula 
\[
\lambda_{1}e+\lambda_{2}f=\begin{pmatrix}5\lambda_{2}\\
6\lambda_{2}
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 поэтому при произвольном 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}$
\end_inset

 (в том числе, при 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}=1$
\end_inset

) и 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}=0$
\end_inset

, получаем 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}e+\lambda_{2}f=0$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 — линейно зависимы.
 Таким образом, 
\begin_inset Formula $\nu\left(S\right)=\lambda_{2}f$
\end_inset

.
 Геометрически 
\begin_inset Formula $\nu\left(S\right)$
\end_inset

 представляет собой прямую, проходящую через начало координат с направляющим
 вектором 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
е) Так как 
\begin_inset Formula $\left\{ a,b\right\} $
\end_inset

 — базис в 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 может быть выражен в виде линейной комбинации 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $\nu\left(S\right)=\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
ж) Так как 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 — нулевой вектор, то 
\begin_inset Formula $\lambda e=0$
\end_inset

 для любого вещественного числа 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $\nu\left(e\right)=\left\{ e\right\} $
\end_inset

 — множество, состоящее из одной точки 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Входят ли заданные векторы в ядро матрицы? (задача 692)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula 
\[
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & -2\\
0 & 3 & 1 & 1\\
1 & 3 & 4 & -1
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset

 Для каждого из следующих векторов, определите, входит ли он в ядро матрицы
 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
\begin_inset Formula 
\[
a=\begin{pmatrix}-3\\
0\\
1\\
0
\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}-4\\
-1\\
2\\
1
\end{pmatrix},c=\begin{pmatrix}0\\
0\\
0\\
0
\end{pmatrix},d=\begin{pmatrix}0\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Затем опишите ядро 
\begin_inset Formula $N\left(A\right)$
\end_inset

 матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
По определению умножения матрицы на вектор, получаем:
\begin_inset Formula 
\[
Aa=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & -2\\
0 & 3 & 1 & 1\\
1 & 3 & 4 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3\\
0\\
1\\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3+0+3+0\\
0+0+1+0\\
-3+0+4+0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\
1\\
1
\end{pmatrix},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
Ab=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & -2\\
0 & 3 & 1 & 1\\
1 & 3 & 4 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4\\
-1\\
2\\
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4+0+6-2\\
0-3+2+1\\
-4-3+8-1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\
0\\
0
\end{pmatrix},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
Ac=A0=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как 
\begin_inset Formula $d\notin\mathbb{R}^{4}$
\end_inset

, то произведение 
\begin_inset Formula $Ad$
\end_inset

 вообще не определено.
 Таким образом, 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 принадлежат 
\begin_inset Formula $N\left(A\right)$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 — нет.
\end_layout

\begin_layout Solution
Опишем теперь 
\begin_inset Formula $N\left(A\right)$
\end_inset

 в целом.
 Рассмотрим уравнение 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

.
 Приведём 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 к ступенчатому виду элементарными преобразованиями:
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & -2\\
0 & 3 & 1 & 1\\
1 & 3 & 4 & -1
\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & -2\\
0 & 3 & 1 & 1\\
0 & 3 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & -2\\
0 & 3 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, получаем
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\left\{ \begin{array}{c}
x_{1}+3x_{3}-2x_{4}=0\\
3x_{2}+x_{3}+x_{4}=0
\end{array},\right.
\end{multline*}

\end_inset

 взяв за базис переменные 
\begin_inset Formula $x_{3}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $x_{4}$
\end_inset

, получим 
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{array}{c}
x_{1}=-3x_{3}+2x_{4}\\
x_{2}=-\frac{1}{3}x_{3}-\frac{1}{3}x_{4}=0
\end{array}.\right.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
В векторной форме:
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
x=x_{3}\begin{pmatrix}-3\\
-\frac{1}{3}\\
1\\
0
\end{pmatrix}+x_{4}\begin{pmatrix}2\\
-\frac{1}{3}\\
0\\
1
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

то есть 
\begin_inset Formula $N\left(A\right)$
\end_inset

 — линейная оболочка векторов: 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}-3\\
-\frac{1}{3}\\
1\\
0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\
-\frac{1}{3}\\
0\\
1
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Определите, какие векторы принадлежат ядру и образу матрицы, найдите базис
 ядра матрицы (задача 313)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula 
\[
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\
3 & 6 & 4
\end{pmatrix}
\]

\end_inset

 и пусть 
\begin_inset Formula 
\[
a=\begin{pmatrix}-3\\
1\\
1
\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}-2\\
1\\
0
\end{pmatrix},c=\begin{pmatrix}1\\
1
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
а) Для каждого из векторов 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 определите, принадлежит ли вектор ядру матрицы 
\begin_inset Formula $N\left(A\right)$
\end_inset

.
 Проделайте тоже самое для образа матрицы 
\begin_inset Formula $R\left(A\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Найдите базис ядра матрицы 
\begin_inset Formula 
\[
B=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\
-2 & -2 & -4
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
а) По определению умножения матриц 
\begin_inset Formula 
\[
Aa=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\
3 & 6 & 4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3\\
1\\
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3+2+1\\
-9+6+4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\
1
\end{pmatrix},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
Ab=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\
3 & 6 & 4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\
1\\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2+2+0\\
-6+6+0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\
0
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как 
\begin_inset Formula $Aa=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Ab\neq0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $a\in N\left(A\right)$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $b\notin N\left(A\right)$
\end_inset

.
 Так как 
\begin_inset Formula $c\in\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

, то произведение 
\begin_inset Formula $Ac$
\end_inset

 не определено, поэтому 
\begin_inset Formula $c\notin N\left(A\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
По правилам умножения матрицы на вектор 
\begin_inset Formula $R\left(A\right)\subset\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $a,b\notin R\left(A\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Спутал, чему равно 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Для того, чтобы определить, принадлежит ли 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 множеству 
\begin_inset Formula $R\left(A\right)$
\end_inset

 нужно решить систему уравнений 
\begin_inset Formula $Ax=c$
\end_inset

.
 Рассмотрим расширенную матрицу этой системы и приведём её к ступенчатому
 виду элементарными преобразованиями: 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}\begin{array}{rrr|r}
1 & 2 & 1 & 1\\
3 & 6 & 4 & 1
\end{array}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{rrr|r}
1 & 2 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & -2
\end{array}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{rrr|r}
1 & 2 & 0 & 3\\
0 & 0 & 1 & -2
\end{array}\end{pmatrix}.
\]

\end_inset

 Таким образом, 
\begin_inset Formula $x_{3}=-2$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x_{1}+2x_{2}=3$
\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
неправильно переписал уравнение
\end_layout

\end_inset

.
 Во втором уравнении можно выбрать 
\begin_inset Formula $x_{2}$
\end_inset

 произвольно, например 
\begin_inset Formula $x_{2}=0$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
x=\begin{pmatrix}3\\
0\\
-2
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

то есть существует 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 такой, что 
\begin_inset Formula $Ax=c$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $c\in\mathfrak{\mathcal{R}}\left(A\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
б) Ядро матрицы определяется системой уравнений 
\begin_inset Formula $Bx=0$
\end_inset

.
 Составим расширенную матрицу этой системы и приведём её к ступенчатому
 виду элементарными преобразованиями: 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}\begin{array}{rrr|r}
1 & 1 & 2 & 0\\
-2 & -2 & -4 & 0
\end{array}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}\begin{array}{rrr|r}
1 & 1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, остаётся только одно уравнение — 
\begin_inset Formula $x_{1}+x_{2}+2x_{3}=0$
\end_inset

, откуда 
\begin_inset Formula 
\[
x_{3}=-\frac{x_{1}+x_{2}}{2}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Запишем 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 в векторной форме:
\begin_inset Formula 
\[
x=\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
-\frac{x_{1}+x_{2}}{2}
\end{pmatrix}=x_{1}\begin{pmatrix}1\\
0\\
-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}+x_{2}\begin{pmatrix}0\\
1\\
-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset

 Откуда видно, что линейная оболочка векторов
\begin_inset Formula 
\[
a=\begin{pmatrix}1\\
0\\
-\frac{1}{2}
\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}0\\
1\\
-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\]

\end_inset

совпадает с 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}\left(A\right)$
\end_inset

.
 Остаётся доказать, что 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 линейной независимы.
\begin_inset Formula 
\[
\lambda_{1}a+\lambda_{2}b=\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\
\lambda_{2}\\
-\frac{\lambda_{1}+\lambda_{2}}{2}
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

поэтому из 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}a+\lambda_{2}b=0$
\end_inset

 следует 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Забыл проверить, что 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 являются линейно независимыми
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Примеры и контрпримеры подпространств в трёхмерном пространстве (задача
 304)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Сослаться на предыдущее вхождение этой задачи
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Опишите образ матрицы, используя его определение (задача 703)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Написать систему компьютерной алгебры, которая решала бы эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Определите ядра двух матриц (задача 242)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Написать систему компьютерной алгебры, которая решала бы эту задачу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Множество векторов, перпендикулярных заданному вектору, является подпространство
м (задача 659)
\end_layout

\begin_layout Problem
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Нужно написать критерий подпространства и сослаться на него
\end_layout

\end_inset

Пусть задан вектор 
\begin_inset Formula $b=\begin{pmatrix}-1 & 3 & -1\end{pmatrix}$
\end_inset

 и пусть 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

 — векторное пространство векторов-столбцов размера 
\begin_inset Formula $3\times1$
\end_inset

.
 Определим 
\begin_inset Formula 
\[
W=\left\{ v\in\mathbb{R}^{3}|bv=0\right\} .
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Докажите, что 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 — это подпространство в 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Конкретный вектор 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 не важен.
 Так как 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 не пусто (
\begin_inset Formula $0\in W$
\end_inset

), то остаётся доказать, что если 
\begin_inset Formula $x_{1},x_{2}\in W$
\end_inset

, то для любых 
\begin_inset Formula $\lambda_{1},\lambda_{2}\in\mathbb{R}$
\end_inset

 имеет место 
\begin_inset Formula 
\[
y=\lambda_{1}x_{1}+\lambda_{2}x_{2}\in W.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Вычислим 
\begin_inset Formula $by$
\end_inset

 по свойствам скалярного произведения: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
by=\left(b,y\right)=\left(b,\lambda_{1}x_{1}+\lambda_{2}x_{2}\right)=\\
=\lambda_{1}\left(b,x_{1}\right)+\lambda_{2}\left(b,x_{2}\right)=\lambda_{1}0+\lambda_{2}0=0,
\end{multline*}

\end_inset

таким образом, 
\begin_inset Formula $by=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $y\in W$
\end_inset

.
 Так как 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 замкнуто относительно линейных комбинаций, поэтому 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 — подпространство.
\end_layout

\begin_layout Section
Найдите матрицу такую, что данное подмножество является её ядром, то есть
 оно является подпространством (задача 252)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 — подмножество 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

 определено следующим образом 
\begin_inset Formula 
\[
W=\left\{ \left.x=\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}\right|5x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\right\} .
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Найдите матрицу 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 размера 
\begin_inset Formula $1\times3$
\end_inset

 такую, что 
\begin_inset Formula $W=\mathcal{N}\left(A\right)$
\end_inset

.
 Отсюда будет следовать, что 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 — подпространство 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Уравнение 
\begin_inset Formula $5x_{2}-2x_{2}+x_{3}=0$
\end_inset

 можно переписать в виде 
\begin_inset Formula 
\[
Ax=0,
\]

\end_inset

где 
\begin_inset Formula $A=\begin{pmatrix}5 & -2 & 1\end{pmatrix}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula 
\[
x=\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

 поэтому 
\begin_inset Formula $W=\mathcal{N}\left(A\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Подмножество, состоящее только из нулевого вектора, является подпространством
 и его размерность равна нулю (задача 292)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 — подмножество векторного пространства 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, состоящее только из нулевого вектора пространства 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $V=\left\{ 0\right\} $
\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 — подпространство пространства 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Во-первых, 
\begin_inset Formula $0\in V$
\end_inset

.
 Далее, для любых 
\begin_inset Formula $x,y\in V$
\end_inset

 и любых 
\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}$
\end_inset

 имеет место 
\begin_inset Formula $ax+by=0$
\end_inset

.
 Так как 
\begin_inset Formula $V=\left\{ 0\right\} $
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $x=y=0$
\end_inset

, а значит
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Formula 
\[
ax+by=\left(a+b\right)0=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Найдём размерность 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Так как для любого 
\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{R}$
\end_inset

 (в частности при 
\begin_inset Formula $\lambda\neq0$
\end_inset

) имеет место равенство 
\begin_inset Formula $\lambda0=0$
\end_inset

, то в 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 вообще нет линейно независимых векторов, поэтому размерность 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 равна нулю.
\end_layout

\begin_layout Section
Ядро матрицы является подпространством 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 (задача 121)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица размера 
\begin_inset Formula $m\times n$
\end_inset

.
 Ядро 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}\left(A\right)$
\end_inset

 матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 определяется как 
\begin_inset Formula 
\[
\mathcal{N}\left(A\right)=\left\{ x\in\mathbb{R}^{n}|Ax=0\right\} ,
\]

\end_inset

то есть ядро — это множество решений однородной системы 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
Докажите.
 что 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}\left(A\right)$
\end_inset

 является подпространством 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Нужно доказать, что
\end_layout

\begin_layout Solution
а) Нулевой вектор принадлежит 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}\left(A\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
б) Если 
\begin_inset Formula $x,y\in\mathcal{N}\left(A\right)$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $x+y\in\mathcal{N}\left(A\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
в) Если 
\begin_inset Formula $x\in\mathcal{N}\left(A\right)$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 — произвольное вещественное число, то 
\begin_inset Formula $ax\in\mathcal{N}\left(A\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Докажем, что эти свойства действительно выполняются.
\end_layout

\begin_layout Solution
а) По определению произведения матриц 
\begin_inset Formula $A0=0$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $0\in\mathcal{N}\left(A\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
б) Если 
\begin_inset Formula $x,y\in\mathcal{N}\left(A\right)$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $Ax=Ay=0$
\end_inset

, поэтому, по свойствам умножения матрицы на вектор:
\begin_inset Formula 
\[
A\left(x+y\right)=Ax+Ay=0+0=0,
\]

\end_inset

то есть 
\begin_inset Formula $x+y\in\mathcal{N}\left(A\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
в) Аналогично, 
\begin_inset Formula $x\in\mathcal{N}\left(A\right)$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula 
\[
A\left(ax\right)=aAx=a0=0,
\]

\end_inset

 поэтому 
\begin_inset Formula $ax\in\mathcal{N}\left(A\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Любая плоскость, проходящая через начало координат, в трёхмерном пространстве
 является подпространством (задача 294)
\end_layout

\begin_layout Problem
Докажите, что любая плоскость в 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

, проходящая через начало координат, является подпространством 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Конкретная размерность не важна
\end_layout

\end_inset

Уравнение плоскости, проходящей через начало координат, может быть записана
 в виде 
\begin_inset Formula $a^{T}x=0$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

.
 Как было показано в задаче 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку на задачу 659
\end_layout

\end_inset

, множество векторов, ортогональных заданному вектору, является подпространством.
\end_layout

\begin_layout Section
Гиперплоскость, проходящая через начало координат, в четырёхмерном линейном
 пространстве (задача 371)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 — подмножество 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{4}$
\end_inset

, состоящее из векторов, удовлетворяющих уравнению 
\begin_inset Formula $b^{T}x=0$
\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
обобщено, в оригинале конкретное уравнение
\end_layout

\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 — подпространство в 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{4}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
а) 
\begin_inset Formula $b^{T}0=0$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $0\in S$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
б) Пусть 
\begin_inset Formula $x,y\in S$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula $b^{T}x=b^{T}y=0$
\end_inset

, поэтому, по свойствам скалярного произведения, 
\begin_inset Formula 
\[
b^{T}\left(x+y\right)=b^{T}x+b^{T}y=0+0=0,
\]

\end_inset

то есть 
\begin_inset Formula $x+y\in S$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
в) Пусть 
\begin_inset Formula $x\in S$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula $b^{T}x=0$
\end_inset

, поэтому, по свойствам скалярного произведения, для любого вещественного
 числа 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
b^{T}\left(ax\right)=a\cdot b^{T}x=a\cdot0=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 — подпространство.
\end_layout

\begin_layout Section
Определите, являются ли данные подмножества 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{4}$
\end_inset

 подпространствами (задача 480)
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Пусть 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 — подмножество
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{4}$
\end_inset

, состоящее из векторов 
\begin_inset Formula $x^{T}=\left(x,y,z,w\right)$
\end_inset

, удовлетворяющих уравнению 
\begin_inset Formula 
\[
2x+4y+3z+7w+1=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Определите, является ли 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 подпространством 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{4}$
\end_inset

.
 Если это так, то докажите это, если нет — объясните, почему это не подпространс
тво.
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Пусть теперь 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 — подмножество
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{4}$
\end_inset

, состоящее из векторов 
\begin_inset Formula $x^{T}=\left(x,y,z,w\right)$
\end_inset

, удовлетворяющих уравнению 
\begin_inset Formula 
\[
2x+4y+3z+7w=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Определите, является ли 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 подпространством 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{4}$
\end_inset

.
 Если это так, то докажите это, если нет — объясните, почему это не подпространс
тво.
\end_layout

\begin_layout Solution
Эту задачу можно серьёзно обобщить.
 Во-первых, вместо 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{4}$
\end_inset

 можно было бы рассматривать 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

.
 Тогда уравнения можно было бы записать в виде 
\begin_inset Formula 
\[
S=\left\{ x\in\mathbb{R}^{n}|a^{T}x=b\right\} ,
\]

\end_inset

 где 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}^{4}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $a\neq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b\in\mathbb{R}$
\end_inset

.
 Покажем, в каких случаях 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 является или не является подпространством.
 Рассмотрим произвольные 
\begin_inset Formula $x\in S$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $c\in\mathbb{R}$
\end_inset

 (причём 
\begin_inset Formula $c\neq1$
\end_inset

), тогда 
\begin_inset Formula $a^{T}\left(cx\right)=c\cdot\left(a^{T}x\right)=c\cdot b$
\end_inset

.
 Тогда, если 
\begin_inset Formula $b\neq0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $a^{T}\left(cx\right)\neq b$
\end_inset

, поэтому при 
\begin_inset Formula $b\neq0$
\end_inset

 подмножество 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 не является подпространством.
\end_layout

\begin_layout Solution
В задаче 295
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

 было показано, что уравнение 
\begin_inset Formula $a^{T}x=0$
\end_inset

 задаёт подпространство, поэтому при 
\begin_inset Formula $b=0$
\end_inset

 подмножество 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 является подпространством.
\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, в пункте а) 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 не является подпространством, а в пункте б) — является.
\end_layout

\begin_layout Section
Прямая является подпространством тогда и только тогда, когда она проходит
 через начало координат (задача 663)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

 — это координатная плоскость 
\begin_inset Formula $Oxy$
\end_inset

.
 Пусть прямая 
\begin_inset Formula $l\subset\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

 задана следующим образом: 
\begin_inset Formula 
\[
l=\left\{ \left(x,y\right)\in R|y=mx+b\right\} ,
\]

\end_inset

 докажите, что 
\begin_inset Formula $l$
\end_inset

 — подпространство тогда и только тогда, когда 
\begin_inset Formula $b=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Уравнение 
\begin_inset Formula $y=mx+b$
\end_inset

 можно переписать в виде 
\begin_inset Formula $mx+\left(-1\right)y=-b$
\end_inset

.
 В задаче 480 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

 было показано, что подмножество, задаваемое подобным уравнением, является
 подпространством тогда и только тогда, когда 
\begin_inset Formula $b=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Контрпример подпространства в 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

 (задача 125)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть подмножество 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 задаётся следующим образом 
\begin_inset Formula 
\[
S=\left\{ x\in R\left|x=\begin{pmatrix}a\\
b\\
c
\end{pmatrix},a,b,c\in\mathbb{Z}\right.\right\} ,
\]

\end_inset

 где 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

 — множество всех целых чисел.
 Определите, является ли 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 подпространством.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula 
\[
x=\begin{pmatrix}1\\
1\\
1
\end{pmatrix}\in S,
\]

\end_inset

 рассмотрим вектор 
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}\cdot x$
\end_inset

 Если 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 подпространство, то 
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}\cdot x$
\end_inset

 должен принадлежать 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, но 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{1}{2}\cdot x=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}
\end{pmatrix}\neq S,
\]

\end_inset

а значит 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 не является подпространством.
\end_layout

\begin_layout Section
Подмножество векторов, перпендикулярных двум заданным векторам, является
 подпространством (задача 119)
\end_layout

\begin_layout Problem
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Задача обобщена на произвольное линейное пространство 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Пусть 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 — линейное пространство и 
\begin_inset Formula $a,b\in V$
\end_inset

 — два фиксированных вектора.
 Рассмотрим подмножество 
\begin_inset Formula 
\[
W=\left\{ x\in V|a^{T}x=0\wedge b^{T}x=0\right\} .
\]

\end_inset

 Докажите, что 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 — подпространство.
\end_layout

\begin_layout Solution
По определению пересечения множеств: 
\begin_inset Formula $W=W_{1}\cap W_{2}$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula 
\[
W_{1}=\left\{ x\in V|a^{T}x=0\right\} ,
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
W_{2}=\left\{ x\in V|b^{T}x=0\right\} .
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Как было показано в задаче 659
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset Formula $W_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $W_{2}$
\end_inset

 — подпространства пространства 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 А в задаче 595
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

 было показано, что 
\begin_inset Formula $W_{1}\cap W_{2}=W$
\end_inset

 — подпространство пространства 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Пересечение двух подпространств также является подпространством (задача
 595)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 — подпространства линейного пространства 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Обобщено, в оригинале было 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $U\cap V$
\end_inset

 — тоже подпространство пространства 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
а) Так как 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 подпространства, то нулевой вектор 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 принадлежит каждому из этих множеств.
 Но тогда нулевой вектор принадлежит их пересечению: 
\begin_inset Formula $0\in U\cap W$
\end_inset

, что и требуется.
\end_layout

\begin_layout Solution
б) Пусть 
\begin_inset Formula $x,y\in U\cap V$
\end_inset

, тогда, по определению пересечения множеств, 
\begin_inset Formula $x,y\in U$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $x,y\in V$
\end_inset

.
 Так как 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 подпространства, то 
\begin_inset Formula $x+y\in U$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $x+y\in V$
\end_inset

, отсюда, снова по определению пересечения множеств, 
\begin_inset Formula $x+y\in U\cap V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
в) Пусть 
\begin_inset Formula $x\in U\cap V$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 — вещественное число.
 Тогда, по определению пересечения множеств, 
\begin_inset Formula $x\in U$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $x\in V$
\end_inset

.
 Так как 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 подпространства, то 
\begin_inset Formula $ax\in U$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $ax\in V$
\end_inset

, отсюда, снова по определению пересечения множеств, 
\begin_inset Formula $ax\in U\cap V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Является ли пересечение базисов базисом пересечения (задача 253)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Написать
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Объединение подпространств не обязательно является подпространством векторного
 пространства (задача 274)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 — подпространства линейного пространства 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

.
 Если ни 
\begin_inset Formula $U\subset V$
\end_inset

, ни 
\begin_inset Formula $V\subset U$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $U\cup V$
\end_inset

 не является подпространством 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Если 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 не является подмножеством 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, то существует такой 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $x\in U$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $x\notin V$
\end_inset

.
 Аналогично, если 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 не является подмножеством 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

, то существует такой 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $y\notin U$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $y\in V$
\end_inset

.
 По определению объединения множеств 
\begin_inset Formula $x,y\in U\cup V$
\end_inset

.
 Покажем, что 
\begin_inset Formula $x+y\notin U\cup V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пойдём от противного.
 Пусть 
\begin_inset Formula $x+y\in U\cup V$
\end_inset

.
 Тогда 
\begin_inset Formula $x+y\in U$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $x+y\in V$
\end_inset

.
 Пусть 
\begin_inset Formula $x+y\in U$
\end_inset

, так как 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 подпространство и 
\begin_inset Formula $x\in U$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $-x\in U$
\end_inset

, а также 
\begin_inset Formula $x+y-x=x-x+y=y\in U$
\end_inset

, но 
\begin_inset Formula $y\notin U$
\end_inset

.
 Мы пришли к противоречию с тем, что 
\begin_inset Formula $x\notin V$
\end_inset

, значит 
\begin_inset Formula $x+y\in V$
\end_inset

.
 Но так как 
\begin_inset Formula $y\in V$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 — подпространство, то 
\begin_inset Formula $-y\in V$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $x+y-y=x\in V$
\end_inset

, мы пришли к противоречию с тем, что 
\begin_inset Formula $y\notin V$
\end_inset

.
 Таким образом, исходное предположение было ложным, то есть 
\begin_inset Formula $x+y\notin U\cup V$
\end_inset

, а значит 
\begin_inset Formula $U\cup V$
\end_inset

 не является подпространством 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Объединение подпространств является подпространством тогда и только тогда,
 когда одно из них включает другое (задача 427)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $W_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $W_{2}$
\end_inset

 — подпространства линейного пространства 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $W_{1}\cup W_{2}$
\end_inset

 является подпространством 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 тогда и только тогда, когда 
\begin_inset Formula $W_{1}\subset W_{2}$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $W_{2}\subset W_{1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $W_{1}\subset W_{2}$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula $W_{1}\cup W_{2}=W_{2}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $W_{1}\cup W_{2}$
\end_inset

 является подпространством 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, так как 
\begin_inset Formula $W_{2}$
\end_inset

 — подпространство 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Пусть 
\begin_inset Formula $W_{2}\subset W_{1}$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula $W_{1}\cup W_{2}=W_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $W_{1}\cup W_{2}$
\end_inset

 является подпространством 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, так как 
\begin_inset Formula $W_{1}$
\end_inset

 — подпространство 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Таким образом, если 
\begin_inset Formula $W_{1}\subset W_{2}$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $W_{2}\subset W_{1}$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $W_{1}\cup W_{2}$
\end_inset

 — подпространство 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
В задаче 274
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

, было показано, что если ни 
\begin_inset Formula $W_{1}\subset W_{2}$
\end_inset

, ни 
\begin_inset Formula $W_{2}\subset W_{1}$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $W_{1}\cup W_{2}$
\end_inset

 не является подпространством 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Таким образом, если 
\begin_inset Formula $W_{1}\cup W_{2}$
\end_inset

 — подпространство, то 
\begin_inset Formula $W_{1}\subset W_{2}$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $W_{2}\subset W_{1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Пересечение ядер двух матриц является подмножеством ядра их суммы (задача
 311)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — матрицы размера 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}\left(A\right)\cap\mathcal{N}\left(B\right)\subset\mathcal{N}\left(A+B\right),$
\end_inset

 где 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}\left(X\right)$
\end_inset

 — ядро матрицы 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $x\in\mathcal{N}\left(A\right)\cap\mathcal{N}\left(B\right)$
\end_inset

, тогда, по определению пересечения множеств, 
\begin_inset Formula $x\in\mathcal{N}\left(A\right)$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $x\in\mathcal{N}\left(B\right)$
\end_inset

.
 Тогда по определению ядра матрицы, должны выполняться равенства 
\begin_inset Formula $Ax=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Bx=0$
\end_inset

.
 По определению суммы двух матриц 
\begin_inset Formula 
\[
\left(A+B\right)x=Ax+Bx=0+0=0,
\]

\end_inset

 то есть 
\begin_inset Formula $x\in\mathcal{N}\left(A+B\right)$
\end_inset

.
 Таким образом, из 
\begin_inset Formula $x\in\mathcal{N}\left(A\right)\cap\mathcal{N}\left(B\right)$
\end_inset

 следует 
\begin_inset Formula $x\in\mathcal{N}\left(A+B\right)$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}\left(A\right)\cap\mathcal{N}\left(B\right)\subset\mathcal{N}\left(A+B\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Базисы и размерности подпространств в 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Проработать эту главу
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter
Общие векторные пространства
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Описать аксиомы векторного пространства
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Докажите свойства векторного пространства, используя аксиомы векторного
 пространства (задача 711)
\end_layout

\begin_layout Problem
Используя аксиомы векторного пространства, докажите следующие свойства.
 Пусть 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 — векторное пространство над 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $u,v,w\in V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Если 
\begin_inset Formula $u+v=u+w$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $v=w$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Если 
\begin_inset Formula $v+u=w+u$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $v=w$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
в) Нулевой вектор является единственным.
\end_layout

\begin_layout Problem
г) Для каждого 
\begin_inset Formula $v\in V$
\end_inset

 обратный относительно сложения элемент 
\begin_inset Formula $-v$
\end_inset

 является единственным.
\end_layout

\begin_layout Problem
д) 
\begin_inset Formula $0v=0$
\end_inset

 (слева стоит нулевой скаляр, а справа — нулевой вектор)
\end_layout

\begin_layout Problem
е) 
\begin_inset Formula $a0=0$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 — произвольный скаляр.
\end_layout

\begin_layout Problem
ж) Если 
\begin_inset Formula $av=0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $a=0$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $v=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
з) 
\begin_inset Formula $(−1)v=−v$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Два первых свойства называются законом сокращения.
\end_layout

\begin_layout Solution
а) Для каждого 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 существует обратный относительно сложения элемент 
\begin_inset Formula $-u$
\end_inset

, прибавим его к левой и правой части равенства 
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\strikeout off
\xout off
\uuline off
\uwave off
\noun off
\color none

\begin_inset Formula $u+v=u+w$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
\left(-u\right)+\left(u+v\right)=\left(-u\right)+\left(u+w\right).
\]

\end_inset

 Так как операция сложения является ассоциативной, то можно изменить порядок
 суммирования в левой и правой частях: 
\begin_inset Formula 
\[
\left(\left(-u\right)+u\right)+v=\left(\left(-u\right)+u\right)+w,
\]

\end_inset

 по определению обратного элемента 
\begin_inset Formula 
\[
\left(-u\right)+u=0,
\]

\end_inset

 а по определению нулевого элемента 
\begin_inset Formula 
\[
0+v=0
\]

\end_inset

 и 
\begin_inset Formula 
\[
0+w=w,
\]

\end_inset

поэтому получаем 
\begin_inset Formula 
\[
v=w,
\]

\end_inset

что и требовалось.
\end_layout

\begin_layout Solution
б) Так как сложение коммутативно, то из 
\begin_inset Formula $v+u=w+u$
\end_inset

 следует 
\begin_inset Formula $u+v=u+w$
\end_inset

.
 Применяя результат пункта а), получим 
\begin_inset Formula $v=w$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
в) Пусть имеется два нулевых вектора 
\begin_inset Formula $z_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $z_{2}$
\end_inset

.
 Рассмотрим вектор 
\begin_inset Formula $z_{1}+z_{2}$
\end_inset

.
 Так как 
\begin_inset Formula $z_{1}$
\end_inset

 нулевой вектор, то 
\begin_inset Formula $z_{1}+z_{2}=z_{2}$
\end_inset

, а так как 
\begin_inset Formula $z_{2}$
\end_inset

 — нулевой вектор, то 
\begin_inset Formula $z_{1}+z_{2}=z_{1}$
\end_inset

.
 Таким образом, 
\begin_inset Formula 
\[
z_{1}=z_{1}+z_{2}=z_{2},
\]

\end_inset

то есть 
\begin_inset Formula $z_{1}=z_{2}$
\end_inset

 и в векторном пространстве не может быть нескольких нулевых векторов.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Из групповых свойств?
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
г) Пусть у элемента 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 имеется два обратных относительно сложения: 
\begin_inset Formula $w_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $w_{2}$
\end_inset

.
 Рассмотрим выражение 
\begin_inset Formula $w_{1}+v+w_{2}$
\end_inset

.
 С одной стороны 
\begin_inset Formula 
\[
w_{1}+v+w_{2}=\left(w_{1}+v\right)+w_{2}=0+w_{2}=w_{2},
\]

\end_inset

а с другой 
\begin_inset Formula 
\[
w_{1}+v+w_{2}=w_{1}+\left(v+w_{2}\right)=w_{1}+0=w_{1}.
\]

\end_inset

 Таким образом 
\begin_inset Formula $w_{1}=w_{1}+v+w_{2}=w_{2}$
\end_inset

 и у элемента 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 не может быть двух разных обратных элемента относительно сложения.
\end_layout

\begin_layout Solution
д) По свойству умножения на скаляр: 
\begin_inset Formula $1\cdot v=v$
\end_inset

.
 Но 
\begin_inset Formula $1=1+0$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
v+0=v=1\cdot v=\left(1+0\right)\cdot v=1\cdot v+0\cdot v=v+0\cdot v.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, мы получили равенство 
\begin_inset Formula 
\[
v+0=v+0\cdot v,
\]

\end_inset

из которого, по доказанному в пункте а), следует 
\begin_inset Formula $0\cdot v=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
е) 
\begin_inset Formula $a0=0$
\end_inset

 Пусть 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 — произвольный скаляр, а 
\begin_inset Formula $v\in V$
\end_inset

 — произвольный вектор, тогда, по определению нулевого вектора:
\begin_inset Formula 
\[
av=a\left(v+0\right)=av+a0.
\]

\end_inset

 Выражение слева можно записать в виде 
\begin_inset Formula $av=av+0$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
av+0=av+a0,
\]

\end_inset

откуда, в силу доказанного в пункте а), следует 
\begin_inset Formula $a0=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
ж) Пусть 
\begin_inset Formula $av=0$
\end_inset

, но 
\begin_inset Formula $a\neq0$
\end_inset

, тогда существует 
\begin_inset Formula $b=\frac{1}{a}$
\end_inset

.
 Умножив левую и правую части равенства 
\begin_inset Formula $av=0$
\end_inset

 на 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

, получим 
\begin_inset Formula 
\[
bav=b0.
\]

\end_inset

 Так как 
\begin_inset Formula $b=\frac{1}{a}$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $ba=1$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $bav=1\cdot v=v$
\end_inset

.
 С другой стороны, по доказанному в пункте е), 
\begin_inset Formula $b0=0$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $v=0$
\end_inset

.
 Таким образом, если 
\begin_inset Formula $av=0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $a=0$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $v=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
з) По свойствам умножения на скаляр 
\begin_inset Formula 
\[
v+\left(-1\right)v=1\cdot v+\left(-1\right)\cdot v=\left(1+\left(-1\right)\right)v=0\cdot v,
\]

\end_inset

поэтому, по доказанному в пункте д), 
\begin_inset Formula $v+\left(-1\right)v=0$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $\left(-1\right)v$
\end_inset

 удовлетворяет требованиям к 
\begin_inset Formula $-v$
\end_inset

, а так как обратный относительно сложения вектор является единственным,
 как было доказано в пункте г), то 
\begin_inset Formula $-v=\left(-1\right)v$
\end_inset

, что и требовалось.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Не сортированные
\end_layout

\begin_layout Section
Собственные значения подобных матрицы равны (задача 2)
\end_layout

\begin_layout Problem
Покажите, что если 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — подобные матрицы, то их собственные значения равны и их алгебраические
 кратности также равны.
\end_layout

\begin_layout Solution
Матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 подобны тогда и только тогда, когда существует обратимая матрица 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 такая, что 
\begin_inset Formula $SAS^{-1}=B$
\end_inset

.
 Умножая это равенство слева на 
\begin_inset Formula $S^{-1}$
\end_inset

, а справа — на 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, получим равенство 
\begin_inset Formula $A=S^{-1}BS$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 — собственное число матрицы 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, которому соответствует собственный вектор 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, то есть имеет место равенство 
\begin_inset Formula $Bx=\lambda x$
\end_inset

.
 Подставив выражение для 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, получим 
\begin_inset Formula $SAS^{-1}x=\lambda x$
\end_inset

.
 Умножим это равенство слева на 
\begin_inset Formula $P^{-1}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $AS^{-1}x=\lambda S^{-1}x$
\end_inset

.
 Обозначив 
\begin_inset Formula $S^{-1}x=y$
\end_inset

 получим 
\begin_inset Formula $Ay=\lambda y$
\end_inset

.
 Таким образом, 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 — собственное число матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, которому соответствует собственный вектор 
\begin_inset Formula $S^{-1}x$
\end_inset

.
 Аналогично можно показать, что любое собственное число матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 является также собственным числом матрицы 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Боле того, можно доказать, что равны характеристические многочлены матриц
 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

.
 Обозначим характеристические многочлены этих матриц как 
\begin_inset Formula $p_{A}\left(t\right)$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $p_{B}\left(t\right)$
\end_inset

 соответственно.
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
p_{A}\left(t\right)=\det\left(A-tI\right)=\det\left(S^{-1}BS-tI\right)=\\
=\det\left(S^{-1}BS-S^{-1}tIS\right)=\det\left(S^{-1}\left(B-tI\right)S\right)=\\
=\det\left(S^{-1}\right)\cdot\det\left(B-tI\right)\cdot\det\left(S\right)=\\
=\left[\det\left(S\right)\right]^{-1}\cdot p_{B}\left(t\right)\cdot\det\left(S\right)=p_{B}\left(t\right).
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как собственные числа и их алгебраические кратности определяются характерист
ическим многочленом, то из равенство 
\begin_inset Formula $p_{A}\left(t\right)=p_{B}\left(t\right)$
\end_inset

 следует равенство собственных значений 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 и их алгебраических кратностей.
\end_layout

\begin_layout Section
Линейное отображение преобразует нулевой вектор в нулевой вектор (задача
 5)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$
\end_inset

 — линейное отображение.
 Пусть 
\begin_inset Formula $0_{n}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $0_{m}$
\end_inset

 — нулевые вектора 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{m}$
\end_inset

 соответственно.
 Показать, что 
\begin_inset Formula $T\left(0_{n}\right)=0_{m}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 — произвольный элемент 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $y=T\left(x\right)$
\end_inset

.
 Тогда 
\begin_inset Formula $0\cdot x=0_{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0\cdot y=0_{m}$
\end_inset

 и, так как 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 — линейное отображение, то 
\begin_inset Formula 
\[
T\left(0_{n}\right)=T\left(0\cdot x\right)=0\cdot T\left(x\right)=0\cdot y=0_{m}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Как найти формулу для степени матрицы (задача 8)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\\
2 & 1
\end{array}\right)$
\end_inset

.
 Вычислить 
\begin_inset Formula $A^{n}$
\end_inset

 для любого 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Диагонализируем матрицу 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, а затем воспользуемся результатом решения предыдущей задачи.
\end_layout

\begin_layout Solution
Сначала найдём собственные числа матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Для этого решим уравнение
\begin_inset Formula 
\[
\left|A-\lambda I_{2}\right|=\left|\begin{array}{cc}
1-\lambda & 2\\
2 & 1-\lambda
\end{array}\right|=0,
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
По правилу вычисления определителей получаем 
\begin_inset Formula $\left|A-\lambda I_{2}\right|=\left(\lambda-1\right)^{2}-4=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\lambda-1=\pm2$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lambda=1\pm2$
\end_inset

 то есть собственные числа матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — это 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}=3$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}=-1$
\end_inset

.
 Найдём теперь собственные векторы матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Для этого нужно решить системы уравнений 
\begin_inset Formula 
\[
\left(A-\lambda_{j}I_{2}\right)u=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
При 
\begin_inset Formula $j=1$
\end_inset

 получаем 
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{cc}
1-3 & 2\\
2 & 1-3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-2 & 2\\
2 & -2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0
\end{array}\right),
\]

\end_inset

 то есть 
\begin_inset Formula $-2x+2y=0$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $y=x$
\end_inset

, из условия нормировки 
\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}=1$
\end_inset

 получаем, что 
\begin_inset Formula $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$
\end_inset

 и первый собственный вектор матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 есть 
\begin_inset Formula 
\[
u_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
При 
\begin_inset Formula $j=2$
\end_inset

 получаем 
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{cc}
1-\left(-1\right) & 2\\
2 & 1-\left(-1\right)
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
2 & 2\\
2 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0
\end{array}\right),
\]

\end_inset

то есть 
\begin_inset Formula $2x+2y=0$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $y=-x$
\end_inset

, из условия нормировки 
\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}=1$
\end_inset

 получаем, что 
\begin_inset Formula $x=-y=\frac{1}{\sqrt{2}}$
\end_inset

 и второй собственный вектор матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 есть 
\begin_inset Formula 
\[
u_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}
1\\
-1
\end{array}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Составим матрицу 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, столбцы которой есть собственные вектора матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
S:=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & -1
\end{array}\right).
\]

\end_inset

Положим также 
\begin_inset Formula $\Lambda:=\left(\begin{array}{cc}
\lambda_{1} & 0\\
0 & \lambda_{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
3 & 0\\
0 & -1
\end{array}\right)$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula $A=S^{-1}\Lambda S$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Так как эта матрица 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 ортогональная, то 
\begin_inset Formula 
\[
S^{-1}=S^{T}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & -1
\end{array}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
По доказанному в предыдущей задаче, 
\begin_inset Formula $A^{n}=S^{-1}\Lambda^{n}S$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\Lambda^{n}=\left(\begin{array}{cc}
3^{n} & 0\\
0 & \left(-1\right)^{n}
\end{array}\right)$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
A^{n}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
3^{n} & 0\\
0 & \left(-1\right)^{n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & -1
\end{array}\right)=\\
=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
3^{n} & 3^{n}\\
\left(-1\right)^{n} & -\left(-1\right)^{n}
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
3^{n}+\left(-1\right)^{n} & 3^{n}-\left(-1\right)^{n}\\
3^{n}-\left(-1\right)^{n} & 3^{n}+\left(-1\right)^{n}
\end{array}\right).
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Определитель, след и собственные значения матрицы (задача 9)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Эту задачу нужно рассмотреть подробнее, так как не смог её решить во всех
 деталях сам
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — матрица 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$
\end_inset

 — её собственные значения.
 Показать, что 
\begin_inset Formula 
\[
\det\left(A\right)=\prod_{j=1}^{n}\lambda_{j}
\]

\end_inset

 и 
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(A\right)=\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
По определению собственных числе матрицы 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, они являются корнем характеристического многочлена: 
\begin_inset Formula 
\[
\det\left(A-\lambda I\right)=\prod_{j=1}^{n}\left(\lambda_{j}-\lambda\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Положив 
\begin_inset Formula $\lambda=0$
\end_inset

, получаем 
\begin_inset Formula 
\[
\det\left(A\right)=\prod_{j=1}^{n}\lambda_{j},
\]

\end_inset

 что и требовалось.
 Теперь докажем формулу для следа матрицы.
 Сравним коэффициенты при 
\begin_inset Formula $\lambda^{n-1}$
\end_inset

 в левой и правой части выражений для характеристического многочлена: 
\begin_inset Formula 
\[
\left(-1\right)^{n-1}\left(a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}\right)=\left(-1\right)^{n-1}\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j},
\]

\end_inset

 откуда, по определению следа матрицы: 
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{tr}\left(A\right)=\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Второй метод доказательства основан на приведении 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 к жордановой нормальной/канонической форме 
\begin_inset Formula $B=P^{-1}AP$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — верхняя треугольная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа.
 Так как определитель треугольной матрицы есть произведение диагональных
 элементов, то получаем следующее равенство: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\prod_{j=1}^{n}\lambda_{j}=\det\left(P^{-1}AP\right)=\det\left(P^{-1}\right)\det\left(A\right)\det\left(P\right)=\\
=\left(\det\left(P\right)\right)^{-1}\det\left(A\right)\det\left(P\right)=\det\left(A\right).
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Аналогично: 
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}=\mathrm{tr}\left(P^{-1}AP\right)=\mathrm{tr}\left(APP^{-1}\right)=\mathrm{tr}\left(A\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Здесь мы воспользовались тем, что 
\begin_inset Formula $\det\left(A^{-1}\right)=\left(\det\left(A\right)\right)^{-1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\mathrm{tr}\left(AB\right)=\mathrm{tr}\left(BA\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Part
Теория групп
\end_layout

\begin_layout Section
Условие того, что коммутант является нормальной подгруппой (задача 3)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 — нормальная подгруппа группы 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $H\triangleleft G$
\end_inset

).
 Показать, что 
\begin_inset Formula $N:=\left[H,G\right]$
\end_inset

 является подгруппой 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $N\triangleleft G$
\end_inset

.
 Здесь 
\begin_inset Formula $\left[H,G\right]$
\end_inset

 — это подгруппа 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 порождённая коммутаторами 
\begin_inset Formula $\left[h,g\right]:=hgh^{-1}g^{-1}$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $h\in H$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
В частности, получаем, что коммутант 
\begin_inset Formula $\left[G,G\right]$
\end_inset

 — нормальная подгруппа группы 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
По определению, если 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 нормальная группа группы 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, то для любых 
\begin_inset Formula $h\in H$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $a\in G$
\end_inset

 имеет место 
\begin_inset Formula $aha^{-1}\in H$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Любой элемент 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 группы 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 является конечными произведениями коммутаторов: 
\begin_inset Formula $k=k_{1}\cdot k_{2}\cdot\dots\cdot k_{m}$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $k_{j}=\left[h_{j},g_{j}\right]=h_{j}g_{j}h_{j}^{-1}g_{j}^{-1}.$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Покажем, что 
\begin_inset Formula $N\subseteq H$
\end_inset

, то есть из 
\begin_inset Formula $k\in N$
\end_inset

 следует 
\begin_inset Formula $k\in H$
\end_inset

.
 Покажем сначала, что любой коммутатор 
\begin_inset Formula $k_{j}$
\end_inset

 принадлежит 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

.
 Действительно, 
\begin_inset Formula $k_{j}=h_{j}\left(gh_{j}^{-1}g^{-1}\right)$
\end_inset

, а так как 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 — нормальная подгруппа, то 
\begin_inset Formula $gh_{j}^{-1}g^{-1}\in H$
\end_inset

.
 Поэтому 
\begin_inset Formula $k_{j}$
\end_inset

 есть произведение двух элементов группы 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

, то есть снова элемент группы 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

.
 Рассмотрим теперь произвольное конечное произведение коммутаторов 
\begin_inset Formula $\left[H,G\right]$
\end_inset

.
 Каждый их них является элементом группы 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

, а значит и всё произведение является элементом группы 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Покажем теперь, что для любого 
\begin_inset Formula $a\in G$
\end_inset

 имеет место 
\begin_inset Formula $aka^{-1}\in N$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Покажем сначала, что 
\begin_inset Formula $ak_{j}a^{-1}\in N$
\end_inset

.
 Действительно, 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
ak_{j}a^{-1}=ah_{j}g_{j}h_{j}^{-1}g_{j}^{-1}a^{-1}=\\
=ah_{j}\left(a^{-1}a\right)g_{j}\left(a^{-1}a\right)h_{j}^{-1}\left(a^{-1}a\right)g_{j}^{-1}a^{-1}=\\
=\left(ah_{j}a^{-1}\right)\left(ag_{j}a^{-1}\right)\left(ah_{j}^{-1}a^{-1}\right)\left(ag_{j}^{-1}a^{-1}\right).
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Обозначим 
\begin_inset Formula $h_{j}^{\prime}:=ah_{j}a^{-1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $g_{j}^{\prime}:=ag_{j}a^{-1}$
\end_inset

.
 Так как 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 — группа, а 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 — нормальные подгруппа группы 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $g_{j}^{\prime}\in G$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $h_{j}^{\prime}\in H$
\end_inset

 .
 Найдём обратные элементы для 
\begin_inset Formula $h_{j}^{\prime}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $g_{j}^{\prime}$
\end_inset

.
 По определению и свойству обратного элемента произведения:
\begin_inset Formula 
\[
\left(h_{j}^{\prime}\right)^{-1}=\left(ah_{j}a^{-1}\right)^{-1}=\left(a^{-1}\right)^{-1}h_{j}^{-1}a^{-1}=ah_{j}^{-1}a^{-1}
\]

\end_inset

и, аналогично, 
\begin_inset Formula $\left(g_{j}^{\prime}\right)^{-1}=ag_{j}^{-1}a^{-1}$
\end_inset

.
 Таким образом: 
\begin_inset Formula 
\[
ak_{j}a^{-1}=h_{j}^{\prime}g_{j}^{\prime}\left(h_{j}^{\prime}\right)^{-1}\left(g_{j}^{\prime}\right)^{-1}=\left[h_{j}^{\prime},g_{j}^{\prime}\right]\in N.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Рассмотрим теперь 
\begin_inset Formula $aka^{-1}$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 — произвольный элемент 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
aka^{-1}=a\left(k_{1}\cdot k_{2}\cdot\dots\cdot k_{m}\right)a^{-1}=\\
=a\cdot k_{1}\cdot\left(a^{-1}a\right)\cdot k_{2}\cdot a^{-1}\cdot\dots\cdot a\cdot k_{m}\cdot a^{-1}=\\
=\left(ak_{1}a^{-1}\right)\cdot\left(ak_{2}a^{-1}\right)\cdot\dots\cdot\left(ak_{m}a^{-1}\right).
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Но выше мы показали, что 
\begin_inset Formula $ak_{j}a^{-1}\in N$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $aka^{-1}\in N$
\end_inset

.
 Таким образом, 
\begin_inset Formula $N\triangleleft G$
\end_inset

.
 В частности, положив 
\begin_inset Formula $H=G$
\end_inset

 мы получим, что коммутант 
\begin_inset Formula $K\left(G\right)=\left[G,G\right]$
\end_inset

 группы 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 является нормальной подгруппой группы 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Факторгруппа по ядру гомоморфизма порождает инъективный гомоморфизм (задача
 4)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 — группы, а 
\begin_inset Formula $\phi:G\to H$
\end_inset

 — гомоморфизм групп.
 Покажите, что 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 порождает инъективный гомоморфизм 
\begin_inset Formula $G/\ker\phi\to H$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $T\left[g\right]$
\end_inset

 — это элемент 
\begin_inset Formula $G/\ker\phi$
\end_inset

, представителем которого является 
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset

.
 Определим 
\begin_inset Formula $\psi:G/\ker\phi\to H$
\end_inset

 следующим образом: 
\begin_inset Formula $\psi\left(T_{g}\right)=\phi\left(g\right)$
\end_inset

.
 Для этого нужно убедиться, что такое определение не зависит от выбора конкретно
го представителя класса 
\begin_inset Formula $T\left[g\right]$
\end_inset

.
 Пусть 
\begin_inset Formula $g_{2}$
\end_inset

 — другой представитель класса 
\begin_inset Formula $T\left[g\right]$
\end_inset

.
 Тогда существует такой элемент 
\begin_inset Formula $a\in\ker\phi$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $g_{2}=ag$
\end_inset

, но тогда, так как 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 — гомоморфизм, а элемент 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 принадлежит его ядру: 
\begin_inset Formula 
\[
\phi\left(g_{2}\right)=\phi\left(ag\right)=\phi\left(a\right)\phi\left(g\right)=e_{H}\phi\left(g\right)=\phi\left(g\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Итак, отображение 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 определено корректно.
 Докажем теперь, что оно является гомоморфизмом.
 Пусть 
\begin_inset Formula $T=T_{1}T_{2}$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $g_{1}\in T_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $g_{2}\in T_{2}$
\end_inset

.
 Тогда, так как 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 — гомоморфизм: 
\begin_inset Formula 
\[
\psi\left(T_{1}\right)\psi\left(T_{2}\right)=\phi\left(g_{1}\right)\phi\left(g_{2}\right)=\phi\left(g_{1}g_{2}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
По определению произведения смежных классов, 
\begin_inset Formula $T=T_{1}T_{2}$
\end_inset

 — это смежный класс, которому принадлежит 
\begin_inset Formula $g_{1}g_{2}$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $\psi\left(T\right)=\psi\left(T_{1}T_{2}\right)=\phi\left(g_{1}g_{2}\right)$
\end_inset

, таким образом 
\begin_inset Formula $\psi\left(T_{1}T_{2}\right)=\psi\left(T_{1}\right)\psi\left(T_{2}\right)$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 — гомоморфизм.
 Остаётся доказать, что 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 — инъективное отображение, то есть из 
\begin_inset Formula $\psi\left(T_{1}\right)=\psi\left(T_{2}\right)$
\end_inset

 следует 
\begin_inset Formula $T_{1}=T_{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $\psi\left(T_{1}\right)=\psi\left(T_{2}\right)$
\end_inset

 и выбраны представители 
\begin_inset Formula $g_{1}\in T_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $g_{2}\in T_{2}$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula $\phi\left(g_{1}\right)=\phi\left(g_{2}\right)$
\end_inset

 или 
\begin_inset Formula $e_{H}=\phi\left(g_{1}\right)\left[\phi\left(g_{2}\right)\right]^{-1}=\phi\left(g_{1}\right)\phi\left(g_{2}^{-1}\right)=\phi\left(g_{1}g_{2}^{-1}\right)$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $g_{1}g_{2}^{-1}\in\ker\phi$
\end_inset

, а значит 
\begin_inset Formula $g_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $g_{2}$
\end_inset

 принадлежат одному и тому же смежному классу по 
\begin_inset Formula $\ker\phi$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $T_{1}=T_{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Можно сначала показать, что если 
\begin_inset Formula $\psi^{-1}\left(e_{H}\right)=\ker\phi$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 — инъективное отображение, а затем показать, что из 
\begin_inset Formula $\psi\left(T\right)=e_{H}$
\end_inset

 следует 
\begin_inset Formula $T=\ker\phi$
\end_inset

.
 Действительно, пусть 
\begin_inset Formula $\psi\left(T\right)=e_{H}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $g\in T$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula $\phi\left(g\right)=e_{H}$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $g\in\ker\phi$
\end_inset

, таким образом, 
\begin_inset Formula $T=\ker\phi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Группа линейных функций (задача 6)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $f_{a,b}\left(x\right)=ax+b$
\end_inset

, где 
\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $a>0$
\end_inset

.
 Показать, что 
\begin_inset Formula $G:=\left\{ f_{a,b}|a,b\in\mathbb{R},a>0\right\} $
\end_inset

 является группой, если в качестве операции взять композицию функций.
\end_layout

\begin_layout Solution
Докажем последовательно, что для 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 выполняются все свойства функции.
 Во-первых, 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 замкнута относительно операции композиции функций:
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\left(f_{a,b}\circ f_{c,d}\right)\left(x\right)=f_{a,b}\left(f_{c,d}\left(x\right)\right)=f_{a,b}\left(cx+d\right)=\\
=a\left(cx+d\right)+b=\left(ac\right)x+\left(ad+b\right)=f_{ac,ad+b}\left(x\right).
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Во-вторых, эта операция является ассоциативной, так как операция композиции
 является ассоциативной для любых функций.
\end_layout

\begin_layout Solution
Докажем, что в 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 есть единичный элемент, а именно 
\begin_inset Formula $f_{1,0}$
\end_inset

.
 Действительно, по доказанному выше: 
\begin_inset Formula $f_{1,0}\circ f_{a,b}=f_{a,b}\circ f_{1,0}=f_{a,b}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Докажем, что в 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 есть обратный элемент для каждого 
\begin_inset Formula $f_{a,b}$
\end_inset

.
 Нужно найти такой 
\begin_inset Formula $f_{c,d}$
\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $f_{ac,ad+b}=f_{1,0}$
\end_inset

, то есть имеют место равенства 
\begin_inset Formula $ac=1$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $ad+b=0$
\end_inset

.
 Из первого равенства получаем 
\begin_inset Formula $c=a^{-1}$
\end_inset

 и, так как 
\begin_inset Formula $a>0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 всегда определено.
 Из второго равенства получаем 
\begin_inset Formula $d=-\frac{b}{a}$
\end_inset

, что также всегда определено, так как 
\begin_inset Formula $a>0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Part
Теория вероятностей
\end_layout

\begin_layout Chapter
Случайные события
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Разобраться с обозначением дисперсии
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Классическое определение вероятности
\end_layout

\begin_layout Subsection
Задачи на вероятности при броске двух костей (задача 727)
\end_layout

\begin_layout Problem
Бросаются две сбалансированные и различимые шестигранные кости.
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5?
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Какова вероятность того, что результат второй кости строго больше, чем
 первой?
\end_layout

\begin_layout Solution
Составим таблицу возможных исходов:
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="7" columns="7">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
5
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
6
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
5
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
6
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
7
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
5
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
6
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
7
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
8
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
5
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
6
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
7
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
8
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
9
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
5
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
6
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
7
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
8
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
9
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
10
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
5
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
6
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
7
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
8
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
9
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
10
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
11
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
6
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
7
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
8
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
9
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
10
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
11
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
12
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Здесь строки — очки, выпавшие на первой кости, а столбцы — очки, выпавшие
 на второй кости.
\end_layout

\begin_layout Solution
а) Видим, что количество благоприятствующих выпадению 5 очков в сумме исходов
 равно 4, общее число возможных исходов равно 36.
 Так как все исходы равновероятны, то искомая вероятность равна 
\begin_inset Formula $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Поделил на 4 неправильно!
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
б) Благоприятствующие исходы — это те, которые лежат правее и выше главной
 диагонали таблицы исходов.
 Из соображений симметрии понятно, что количество исходов, благоприятствующих
 рассматриваемому событию, равно половине всех исходов (за вычетом исходов
 главной диагонали, которые соответствуют случаю, когда на костях выпало
 одинаковое число очков): 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{36-6}{2}=\frac{30}{2}=15,
\]

\end_inset

 таким образом, искомая вероятность равна 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{15}{36}=\frac{5}{12}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Вероятность вытянуть два красных шара из выбранного ящика (задача 751)
\end_layout

\begin_layout Problem
Имеется два ящика, содержащие красные и синие шары.
 Назовём их ящик A и ящик B.
 Каждый ящик содержит равное количество красных и синих шаров.
 Конкретнее, в ящике A находится 5 красных шаров и 5 синих шаров, а в ящике
 B — 20 красных и 20 синих шаров.
 Вы выбираете один из ящиков, а затем случайным образом вытягиваете два
 шара из выбранного ящика без замены, то есть не возвращая первый вынутый
 шар обратно в ящик до того, как вытянуть второй шар.
\end_layout

\begin_layout Problem
Если вы вытянули два шара одного цвета, то вы победили.
 В противном случае — проиграли.
 Какой ящик следует выбрать, чтобы максимизировать шансы на победу? 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Название задачи не вполне соответствует её тексту
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Найдём вероятности вытянуть шары одного цвета из каждого из ящиков.
 Первый вытянутый шар может быть произвольного цвета, а второй должен быть
 того же цвета.
 Перед вытягиванием второго шара в ящике становится меньше на один шар цвета
 первого вытянутого шара (и на один шар меньше вообще), поэтому 
\begin_inset Formula $P_{A}=\frac{4}{9}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $P_{B}=\frac{19}{39}$
\end_inset

.
 Найдём разность 
\begin_inset Formula 
\[
P_{B}-P_{A}=\frac{19}{39}-\frac{4}{9}=\frac{9\cdot19-4\cdot39}{9\cdot39}=\frac{171-156}{9\cdot39}=\frac{15}{9\cdot39}>0,
\]

\end_inset

 таким образом, вероятность выиграть, выбрав второй ящик, больше.
\end_layout

\begin_layout Remark
Важны не конкретные количества шаров в ящиках, а то, какое из них больше.
\end_layout

\begin_layout Section
Не сортированные
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Разбить по подходящим разделам
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Задачи на условную вероятность выпадения кости (задача 728)
\end_layout

\begin_layout Problem
Бросается одна сбалансированная шестигранная кость.
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Какова условная вероятность выпадения простого числа при условии, что
 выпало нечётное число?
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Какова условная вероятность выпадения единицы при условии, что выпало
 простое число?
\end_layout

\begin_layout Solution
Воспользуемся формулой условной вероятности 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Её, наверное нужно вывести
\end_layout

\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
В случае а) 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — выпадение нечётного числа, 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — выпадение простого числа.
 Так как имеется три грани с нечётными числами (1, 3, 5) и две — с простыми
 (3 и 5), то 
\begin_inset Formula $P\left(B\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A|B\right)=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
В случае б) 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — это выпадение простого числа, а 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 — выпадение единицы.
 Так как 
\begin_inset Formula $A\cap B=\emptyset$
\end_inset

 (единица не является простым числом), 
\begin_inset Formula $P\left(A\cap B\right)=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $P\left(A|B\right)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Выберите два шара из ящика, какова вероятность того, что они оба красные
 (задача 729)
\end_layout

\begin_layout Problem
В ящике лежат три синих шара и два красных шара.
 Если мы берём из ящика два шара без замены, какова вероятность того, что
 оба шара будут красными?
\end_layout

\begin_layout Solution
Вероятность того, что оба шара будут красными, по определению вероятности
 совмещения двух событий 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

, равна вероятности того, что первый шар будет красным, умноженной на вероятност
ь того, что второй шар будет красным при условии, что красным был первый
 шар.
 Первая названная вероятность равна, по классическому определению вероятностей,
 
\begin_inset Formula $\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$
\end_inset

.
 Вторая вероятность равна 
\begin_inset Formula $\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$
\end_inset

.
 Таким образом, вероятность, которую нужно найти в задаче, равна 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{10}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Какова вероятность того, что при броске четырёх монет выпадут все решки,
 если...
 (задача 730)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть подбрасывается четыре сбалансированные монеты.
 
\end_layout

\begin_layout Problem
1) Какова вероятность того, что на всех монетах выпадет решка.
\end_layout

\begin_layout Problem
2) Какова вероятность того, что на всех монетах выпадет решка, если на первой
 монете выпала решка?
\end_layout

\begin_layout Problem
3) Какова вероятность того, что на всех монетах выпадет решка, если выпала
 по меньшей мере одна решка?
\end_layout

\begin_layout Solution
Вероятность выпадения решки на одной монете равна 
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}$
\end_inset

.
 Обозначим событие 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

все четыре монеты упали решкой вверх
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

 как 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
1) Так как броски можно считать независимыми, то вероятность выпадения всех
 монет решкой равна произведению вероятностей выпадения решки на каждой
 монете, то есть 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A\right)=\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
2) Обозначим событие 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

на первой монете выпала решка
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

 как 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Очевидно, что 
\begin_inset Formula $P\left(B\right)=\frac{1}{2}$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $A\cap B=A$
\end_inset

, так как 
\begin_inset Formula $A\subset B$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A|B\right)=\frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{8}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
3) Обозначим событие 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

по крайней мере на одной монете выпала решка
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

 как 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A|C\right)=\frac{P\left(A\cap C\right)}{P\left(C\right)}.
\]

\end_inset

 Здесь снова 
\begin_inset Formula $A\subset C$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)$
\end_inset

.
 Событие 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 является противоположным событием для события 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

не выпало ни одной решки
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

, вероятность которого равна 
\begin_inset Formula 
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{16},
\]

\end_inset

 поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(C\right)=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A|C\right)=\frac{\frac{1}{16}}{\frac{15}{16}}=\frac{1}{15}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Вероятность провала теста качества ювелирной компании (Задача 731)
\end_layout

\begin_layout Problem
Ювелирная компания требует, чтобы их изделия проходили три теста перед продажей
 в магазинах.
 90% золотых колец проходят первый тест, 85% — проходят второй тест, 80%
 — проходят третий тест.
 Если изделие не прошло любой из тестов, то это изделие выбрасывают и не
 подвергают последующим тестам.
 Если золотое кольцо не прошло один из тестов, то какова вероятность того,
 что оно не прошло второй тест?
\end_layout

\begin_layout Solution
Обозначим событие 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

Золотое кольцо не прошло 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

-й тест
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

 как 
\begin_inset Formula $A_{k}$
\end_inset

, а событие 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

Золотое кольцо не прошло один из тестов
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

 как 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

.
 Тогда нам нужно найти вероятность 
\begin_inset Formula $P\left(A_{2}|B\right)$
\end_inset

.
 По формуле условной вероятности 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A_{2}|B\right)=\frac{P\left(A_{2}\cap B\right)}{P\left(B\right)}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как 
\begin_inset Formula $A_{2}\subset B$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $A_{2}\cap B=A_{2}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $P\left(A_{2}\cap B\right)=P\left(A_{2}\right)=0.9\cdot0.15$
\end_inset

 (если кольцо не прошло второй тест, то оно должно было пройти первый, чтобы
 вообще попасть на второй).
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 может реализоваться в следующих случаях, если кольцо не прошло первый тест
 или прошло первый тест, но не прошло второй или прошло первый и второй
 тесты, но не прошло третий, поэтому
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
P\left(B\right)=0.1+0.9\cdot\left(0.15+0.85\cdot0.2\right)=0.388.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Другой способ расчёта: 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — это дополнение события 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

кольцо успешно прошло все тесты
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

, вероятность которого равна 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(\bar{B}\right)=0.9\cdot0.85\cdot0.8=0.612
\]

\end_inset

 и 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
P\left(B\right)=1-P\left(\bar{B}\right)=1-0.612=0.388.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Независимые события для колоды карт (задача 732)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть из стандартной колоды (52 карты) случайно выбирается одна карта.
 Пусть 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 — это событие 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

выбранная карта оказалась королём
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 — событие 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

масть выбранной карты — черви
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

.
 Докажите или опровергните, что события 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 независимы.
\end_layout

\begin_layout Solution
События 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 независимы, тогда и только тогда, когда 
\begin_inset Formula $P\left(E\cap F\right)=P\left(E\right)P\left(F\right)$
\end_inset

.
 Вычислим эти три вероятности по классическому определению вероятностей.
 Так как в колоде 4 короля и 13 карт масти 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

червы
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(E\right)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
P\left(F\right)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
P\left(E\right)P\left(F\right)=\frac{1}{13}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{52}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
С другой стороны, 
\begin_inset Formula $E\cap F$
\end_inset

 — это событие 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

выбранная карта оказалась король масти черви
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

, а король масти черви в колоде только один, то 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(E\cap F\right)=\frac{1}{52}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, мы видим, что 
\begin_inset Formula $P\left(E\cap F\right)=P\left(E\right)P\left(F\right)$
\end_inset

, а значит события 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 независимы.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Независимые и зависимые события при бросании трёх монет (задача 733)
\end_layout

\begin_layout Problem
Предположим, что бросаются три сбалансированные монеты.
 Пусть 
\begin_inset Formula $H_{1}$
\end_inset

 — это событие 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

на первой монете выпала решка
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $H_{2}$
\end_inset

 — 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

на второй монете выпала решка
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

.
 Кроме того, 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 — это событие 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

ровно на двух монетах подряд выпала решка
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

.
 Для каждой из возможных пар этих событий определите, независимы они или
 нет.
\end_layout

\begin_layout Solution
Напомним, что события 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 называются независимыми, если 
\begin_inset Formula $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)$
\end_inset

.
 Таким образом, для проверки независимости событий, перечисленных в задаче,
 нам нужно найти вероятности каждого из этих событий и вероятности их попарных
 пересечений.
\end_layout

\begin_layout Solution
Так как монеты сбалансированны, то 
\begin_inset Formula $P\left(H_{1}\right)=P\left(H_{2}\right)=\frac{1}{2}$
\end_inset

.
 Событие 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 может реализоваться двумя способами: 1) решка выпала на первой и второй
 монетах, а на третьей — орёл; или 2) решка выпала на второй и третьей монетах,
 а на первой — орёл.
 При броске двух монет имеется восемь возможных исходов, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(E\right)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Рассмотрим теперь попарные пересечения интересующих нас событий.
 Событие 
\begin_inset Formula $H_{1}\cap H_{2}$
\end_inset

 — это два из восьми возможных исходов (третья монета может выпасть орлом
 или решкой), поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(H_{1}\cap H_{2}\right)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Заметим, что 
\begin_inset Formula $P\left(H_{1}\cap H_{2}\right)=P\left(H_{1}\right)P\left(H_{2}\right)$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $H_{1}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $H_{2}$
\end_inset

 независимы.
\end_layout

\begin_layout Solution
Для вычисления 
\begin_inset Formula $P\left(E\cap H_{1}\right)$
\end_inset

 заметим, что из двух способов реализации 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 только первый совместим с 
\begin_inset Formula $H_{1}$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(E\cap H_{1}\right)=\frac{1}{8}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Заметим, что 
\begin_inset Formula $P\left(E\right)\cdot P\left(H_{1}\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}=P\left(E\cap H_{1}\right)$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $H_{1}$
\end_inset

 независимы.
\end_layout

\begin_layout Solution
Наконец 
\begin_inset Formula $E\subset H_{2}$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(E\cap H_{2}\right)=P\left(E\right)=\frac{1}{4}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Заметим, что 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(E\right)\cdot P\left(H_{2}\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\neq P\left(E\cap H_{2}\right),
\]

\end_inset

 поэтому события 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $H_{2}$
\end_inset

 зависимы.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Дополнения независимых событий также независимы (задачи 734)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 — независимые события.
 Пусть 
\begin_inset Formula $F^{c}$
\end_inset

 — дополнение события 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $F^{c}$
\end_inset

 — тоже независимы.
\end_layout

\begin_layout Solution
Чтобы доказать, что события 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $F^{c}$
\end_inset

 независимы, нужно показать, что выполняется равенство 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(E\cap F^{c}\right)=P\left(E\right)P\left(F^{c}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как 
\begin_inset Formula $F\cup F^{c}$
\end_inset

 — достоверное событие, то 
\begin_inset Formula $E=\left(E\cap F\right)\cup\left(E\cap F^{c}\right)$
\end_inset

.
 Кроме того, события 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $F^{c}$
\end_inset

 — несовместные, поэтому
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
P\left(E\right)=P\left(E\cap F\right)+P\left(E\cap F^{c}\right),
\]

\end_inset

выразим из этого равенства 
\begin_inset Formula $P\left(E\cap F^{c}\right)$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(E\cap F^{c}\right)=P\left(E\right)-P\left(E\cap F\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
События 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 независимы по условию задачи, поэтому 
\begin_inset Formula $P\left(E\cap F\right)=P\left(E\right)P\left(F\right)$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(E\cap F^{c}\right)=P\left(E\right)\left(1-P\left(F\right)\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Но по определению дополнения события 
\begin_inset Formula $P\left(F^{c}\right)=1-P\left(F\right)$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(E\cap F^{c}\right)=P\left(E\right)P\left(F^{c}\right),
\]

\end_inset

 что и требовалось.
\end_layout

\begin_layout Remark
Мы доказали, что если 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 независимы, то 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $F^{c}$
\end_inset

 — тоже независимы.
 Если теперь применить это утверждения к событиям 
\begin_inset Formula $F^{c}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

, то получим, что 
\begin_inset Formula $F^{c}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $E^{c}$
\end_inset

 независимы.
 Таким образом, если события независимы, то их дополнения тоже независимы.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Общая доля бракованных смартфонах на трёх заводах (задача 735)
\end_layout

\begin_layout Problem
Некоторая модель смартфона производится на трёх заводах 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

.
 Эти заводы производят соответственно 60%, 25% и 15% общего числа смартфонов.
 Предположим, что доля брака на этих заводах равна 5%, 2% и 7%, соответственно.
 Определите общую долю бракованных смартфонов этой модели.
\end_layout

\begin_layout Solution
Обозначим событие, заключающееся в том, что смартфон произведён на определённом
 заводе, той же буковой, что и сам завод.
 Пусть 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 — событие 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

данный смартфон бракованный
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

.
 По формуле полной вероятности 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(D\right)=P\left(D|A\right)P\left(A\right)+P\left(D|B\right)P\left(B\right)+P\left(D|C\right)P\left(C\right),
\]

\end_inset

поэтому 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
P\left(D\right)=0.05\cdot0.6+0.02\cdot0.25+0.07\cdot0.15=\\
=0.03+0.005+0.0105=0.0455.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Вероятность наличия рака лёгких у курильщика (задача 736)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 — событие, заключающееся в том, что у случайно выбранного человека есть
 рак лёгких.
 Пусть 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 — событие, заключающееся в том, что человек является курильщиком.
 Пусть у 10% популяции есть рак лёгких и 20% популяции — курильщики.
 Так же предположим, что 70% людей, у которых есть рак лёгких, являются
 курильщиками.
 Отметим, что указанные данные не являются статистическим фактом, а выбраны
 для удобства расчётов.
\end_layout

\begin_layout Problem
Определите вероятность того, что у человека есть рак лёгких при условии,
 что он курильщик.
\end_layout

\begin_layout Solution
Нам необходимо определить 
\begin_inset Formula $P\left(C|S\right)$
\end_inset

, по определению условной вероятности
\begin_inset Formula 
\[
P\left(C|S\right)=\frac{P\left(C\cap S\right)}{P\left(S\right)}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Но 
\begin_inset Formula $P\left(C\cap S\right)$
\end_inset

 можно, снова по определению условной вероятности, записать следующим образом:
 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(C\cap S\right)=P\left(S|C\right)P\left(C\right),
\]

\end_inset

поэтому
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
P\left(C|S\right)=\frac{P\left(S|C\right)P\left(C\right)}{P\left(S\right)}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Подставляя значения из условий задачи, получим: 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(C|S\right)=\frac{0.7\cdot0.1}{0.2}=\frac{0.7}{2}=0.35.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Если по меньшей мере одна монета из двух выпала решкой, то какова условная
 вероятность того, что первая монета выпала решкой? (задача 737)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть подброшены две сбалансированные монеты.
 Какова условная вероятность того, что первая монета выпала решкой при условии,
 что по меньшей мере одна из них выпала решкой?
\end_layout

\begin_layout Solution
Введём обозначения для интересующих нас событий: 
\begin_inset Formula $A_{1}$
\end_inset

 — первая монета выпала решкой, 
\begin_inset Formula $A_{2}$
\end_inset

 — вторая монета выпала решкой, 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — по меньшей мере одна монета выпала решкой.
 Тогда нам нужно найти вероятность 
\begin_inset Formula $P\left(A_{1}|B\right)$
\end_inset

.
 Сразу можно заметить, что так как монеты сбалансированы, то 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A_{1}\right)=P\left(A_{2}\right)=\frac{1}{2}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Воспользуемся связью между условной вероятностью и вероятностью совмещения
 событий: 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A_{1}|B\right)=\frac{P\left(A_{1}\cap B\right)}{P\left(B\right)}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Для определения вероятности 
\begin_inset Formula $P\left(B\right)$
\end_inset

 найдём сначала вероятность противоположного события, то есть события 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

ни одна монета не выпала решкой
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

, которое можно записать как совмещение двух независимых событий 
\begin_inset Formula $\bar{B}=\bar{A}_{1}\cap\bar{A}_{2}$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
P\left(B\right)=1-P\left(\bar{B}\right)=1-P\left(\bar{A}_{1}\cap\bar{A}_{2}\right)=\\
=1-P\left(\bar{A}_{1}\right)P\left(\bar{A}_{2}\right)=\\
=1-\left(1-P\left(A_{1}\right)\right)\left(1-P\left(A_{2}\right)\right)=\\
=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{4}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
В свою очередь, 
\begin_inset Formula $A_{1}\subset B$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $P\left(A_{1}\cap B\right)=P\left(A_{1}\right)=\frac{1}{2}$
\end_inset

.
 Окончательно получаем 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A_{1}|B\right)=\frac{P\left(A_{1}\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{3}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Если смартфон бракованный, то на каком заводе он был изготовлен? (задача
 738)
\end_layout

\begin_layout Problem
Некоторая модель смартфона производится на трёх заводах 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

.
 Эти заводы производят соответственно 60%, 25% и 15% общего числа смартфонов.
 Предположим, что доля брака на этих заводах равна 5%, 2% и 7%, соответственно.
 Если смартфон данной модели оказался бракованным, то какова вероятность
 того, что смартфон был произведён на заводе 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

?
\end_layout

\begin_layout Solution
Обозначим событие, заключающееся в том, что смартфон произведён на определённом
 заводе, той же буковой, что и сам завод.
 Пусть 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 — событие 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

данный смартфон бракованный
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

.
 Нам нужно определить вероятность 
\begin_inset Formula $P\left(C|D\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Воспользуемся теоремой Байеса: 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(C|D\right)=\frac{P\left(D|C\right)P\left(C\right)}{P\left(D\right)}.
\]

\end_inset

 Вероятность 
\begin_inset Formula $P\left(D\right)$
\end_inset

 была вычислена ранее 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку на задачу 735
\end_layout

\end_inset

: 
\begin_inset Formula $P\left(D\right)=0.0455$
\end_inset

.
 По условиям задачи 
\begin_inset Formula $P\left(C\right)=0.15$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $P\left(D|C\right)=0.07$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(C|D\right)=\frac{0.07\cdot0.15}{0.0455}\approx0.2308.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Какова вероятность того, что была выбрана монета с двумя решками? (задача
 739)
\end_layout

\begin_layout Problem
В ящике лежат три монеты.
 Первая их них — с двумя решками.
 Вторая — сбалансированная.
 Третья — несбалансированная, причём на ней решка выпадает в 
\begin_inset Formula $75\%$
\end_inset

 случаев.
 Одна из этих монет выбрана случайным образом и подброшена, причём выпала
 решка.
 Какова вероятность того, что была выбрана монета с двумя решками?
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $A_{k}$
\end_inset

 — это событие, заключающееся в том, что была выбрана 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

-я монета, а 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — выпадение решки.
 Нам нужно найти вероятность 
\begin_inset Formula $P\left(A_{1}|B\right)$
\end_inset

.
 По теореме Байеса: 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A_{1}|B\right)=\frac{P\left(B|A_{1}\right)P\left(A_{1}\right)}{P\left(B\right)}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
По условиям задачи 
\begin_inset Formula $P\left(B|A_{1}\right)=1$
\end_inset

 (у первой монеты обе стороны — решки), а 
\begin_inset Formula $P\left(A_{1}\right)=\frac{1}{3}$
\end_inset

, так как монеты выбираются случайным образом.
 Для определения вероятности 
\begin_inset Formula $P\left(B\right)$
\end_inset

 заметим, что события 
\begin_inset Formula $A_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A_{2}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $A_{3}$
\end_inset

 образуют полную группу событий, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(B\right)=\sum_{k=1}^{3}P\left(B|A_{k}\right)P\left(A_{k}\right),
\]

\end_inset

в этой формуле все вероятности в правой части известны из условий задачи:
 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
P\left(B\right)=1\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=\\
=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{4+2+3}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Окончательно получаем 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A_{1}|B\right)=\frac{1\cdot\frac{1}{3}}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{9}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Найдите условную вероятность, связанную с экспериментом на экзамене по математик
е (задача 740)
\end_layout

\begin_layout Problem
Исследователь провёл следующий эксперимент.
 Студенты были разделены на две группы.
 Студенты первой группы спали более 6 часов и сдавали экзамен по математике.
 Студенты второй группы спали менее 6 часов и сдавали тот же самый экзамен.
\end_layout

\begin_layout Problem
Доля успешно прошедших экзамен в первой группе была вдвое выше, чем во второй
 группе.
 Предположим, что в первую группу входило 60% всех студентов.
 Какова вероятность того, что случайно выбранный студент принадлежит первой
 группе, если известно, что он сдал экзамен успешно.
\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $G_{1}$
\end_inset

 — событие 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

студент принадлежит первой группе
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $G_{2}$
\end_inset

 — событие 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

студент принадлежит второй группе
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 — студент успешно сдал экзамен.
 Тогда нам нужно найти вероятность 
\begin_inset Formula $P\left(G_{1}|E\right)$
\end_inset

.
 По формуле 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(G_{1}|E\right)=\frac{P\left(G_{1}\cap E\right)}{P\left(E\right)}=\frac{P\left(E|G_{1}\right)P\left(G_{1}\right)}{P\left(E\right)}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Величина 
\begin_inset Formula $P\left(G_{1}\right)$
\end_inset

 известна из условий задачи: 
\begin_inset Formula $P\left(G_{1}\right)=0.6$
\end_inset

.
 Определим остальные вероятности.
 По формуле полной вероятности 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(E\right)=P\left(E|G_{1}\right)P\left(G_{1}\right)+P\left(E|G_{2}\right)P\left(G_{2}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Из условий задачи известно, что 
\begin_inset Formula $P\left(E|G_{1}\right)=2P\left(E|G_{2}\right)$
\end_inset

.
 Обозначим 
\begin_inset Formula $P\left(E|G_{2}\right)$
\end_inset

 как 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 и заметим, что 
\begin_inset Formula $P\left(G_{2}\right)=1-P\left(G_{1}\right)=0.4$
\end_inset

, тогда 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(E\right)=0.6\cdot2x+0.4x=1.6x
\]

\end_inset

и 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(G_{1}|E\right)=\frac{2x\cdot0.6}{1.6x}=\frac{1.2}{1.6}=\frac{3}{4}.
\]

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Subsection
Нижняя и верхняя граница для вероятности пересечения двух событий (задача
 741)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 — события с вероятностями 
\begin_inset Formula $P\left(A\right)=\frac{2}{5}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $P\left(B\right)=\frac{5}{6}$
\end_inset

 соответственно.
 Найдите наилучшие нижнюю и верхнюю границу для вероятности 
\begin_inset Formula $P\left(A\cap B\right)$
\end_inset

 пересечения 
\begin_inset Formula $A\cap B$
\end_inset

.
 То есть найдите вещественные числа 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 такие, что 
\begin_inset Formula 
\[
a\le P\left(A\cap B\right)\le b
\]

\end_inset

 и вероятность 
\begin_inset Formula $P\left(A\cap B\right)$
\end_inset

 может принимать любые значения между 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
По принципу включения-исключения: 
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right),
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как вероятности 
\begin_inset Formula $P\left(A\right)$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $P\left(B\right)$
\end_inset

 фиксированы, то величина 
\begin_inset Formula $P\left(A\cap B\right)$
\end_inset

 зависит только от 
\begin_inset Formula $P\left(A\cup B\right)$
\end_inset

.
 Для того, чтобы сделать 
\begin_inset Formula $P\left(A\cap B\right)$
\end_inset

 как можно меньше, нужно сделать 
\begin_inset Formula $P\left(A\cup B\right)$
\end_inset

 как можно больше (оно входит в правую часть со знаком минус), но объедение
 двух множеств включает каждое из них целиком, поэтому, в силу аддитивности
 вероятности: 
\begin_inset Formula $P\left(A\cup B\right)\ge P\left(A\right)$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $P\left(A\cup B\right)\ge P\left(B\right)$
\end_inset

.
 Два этих равенства можно переписать в виде одного: 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A\cup B\right)\ge\max\left\{ P\left(A\right),P\left(B\right)\right\} .
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A\cap B\right)\le P\left(A\right)+P\left(B\right)-\max\left\{ P\left(A\right),P\left(B\right)\right\} ,
\]

\end_inset

так как мы вычитаем из суммы двух величин наибольшую из них, то получим
 наименьшую: 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A\cap B\right)\le\min\left\{ P\left(A\right),P\left(B\right)\right\} =b
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
b=\min\left\{ \frac{2}{5},\frac{5}{6}\right\} =\frac{2}{5}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Аналогично, чтобы сделать 
\begin_inset Formula $P\left(A\cap B\right)$
\end_inset

 как можно больше, нужно сделать 
\begin_inset Formula $P\left(A\cup B\right)$
\end_inset

 как можно меньше.
 Но верхняя граница для 
\begin_inset Formula $P\left(A\cup B\right)$
\end_inset

 равна единице 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Не додумался до этого момента сам, хотя был близок
\end_layout

\end_inset

, так как 
\begin_inset Formula $P\left(A\right)+P\left(B\right)\ge1$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
a=P\left(A\right)+P\left(B\right)-1=\\
=\frac{2}{5}+\frac{5}{6}-1=\frac{12+25-30}{30}=\frac{7}{30}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Возможность изменения порядка взятия предела и вычисления вероятности для
 возрастающей или убывающей последовательности событий (задача 744)
\end_layout

\begin_layout Problem
Последовательность событий 
\begin_inset Formula $\left\{ E_{n}\right\} _{n\ge1}$
\end_inset

 называют возрастающей, если она удовлетворяет соотношению 
\begin_inset Formula 
\[
E_{1}\subset E_{2}\subset\dots\subset E_{n}\subset\dots.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Аналогично, последовательность 
\begin_inset Formula $\left\{ E_{n}\right\} _{n\ge1}$
\end_inset

 называют убывающей, если он удовлетворяет соотношению 
\end_layout

\begin_layout Problem
\begin_inset Formula 
\[
E_{1}\supset E_{2}\supset\dots\supset E_{n}\supset\dots.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Если 
\begin_inset Formula $\left\{ E_{n}\right\} _{n\ge1}$
\end_inset

 — возрастающая последовательность событий, мы определим новое событие,
 обозначаемое как 
\begin_inset Formula $\lim_{n\to\infty}E_{n}$
\end_inset

, как 
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{n\to\infty}E_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}.
\]

\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Похоже, было бы неплохо определить, что такое бесконечное объединение и
 бесконечное пересечение
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Кроме того, если Если 
\begin_inset Formula $\left\{ E_{n}\right\} _{n\ge1}$
\end_inset

 — убывающая последовательность событий, мы определим новое событие, обозначаемо
е как 
\begin_inset Formula $\lim_{n\to\infty}E_{n}$
\end_inset

, как 
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{n\to\infty}E_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $\left\{ E_{n}\right\} _{n\ge1}$
\end_inset

 — возрастающая или убывающая последовательность событий.
 Докажите, что 
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{n\to\infty}P\left(E_{n}\right)=P\left(\lim_{n\to\infty}E_{n}\right),
\]

\end_inset

то есть что для таких последовательностей операции взятия предела и вычисления
 вероятности могут выполняться в любой последовательности.
\end_layout

\begin_layout Solution
Рассмотрим возрастающие и убывающие последовательности событий поочередно.
 Пусть сначала 
\begin_inset Formula $\left\{ E_{n}\right\} _{n\ge1}$
\end_inset

 — возрастающая последовательность событий.
 Так как 
\begin_inset Formula $E_{n}\subset E_{n+1}$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $P\left(E_{n}\right)\le P\left(E_{n+1}\right)$
\end_inset

, то есть 
\begin_inset Formula $\left\{ P\left(E_{n}\right)\right\} _{n\ge1}$
\end_inset

 — монотонно неубывающая последовательность вещественных чисел.
 Так как вероятность любого события не больше единицы, то эта последовательность
 ограничена сверху.
 Отсюда следует 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $\lim_{n\to\infty}P\left(E_{n}\right)$
\end_inset

 существует.
\end_layout

\begin_layout Solution
Заметим, что из 
\begin_inset Formula $E_{n}\subset E_{n+1}$
\end_inset

, следует 
\begin_inset Formula $\bigcup_{n=1}^{k}E_{n}=E_{k}$
\end_inset

.
 Определим новую последовательность событий 
\begin_inset Formula $F_{n}$
\end_inset

 следующим образом.
 Формально доопределим 
\begin_inset Formula $E_{0}=\emptyset$
\end_inset

 и положим 
\begin_inset Formula $F_{n}=E_{n}\setminus E_{n-1}$
\end_inset

 при 
\begin_inset Formula $n\ge1$
\end_inset

 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Не решился сделать это сам, хотя аналогичные мысли были
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
События 
\begin_inset Formula $\left\{ F_{n}\right\} _{n\ge1}$
\end_inset

 являются взаимно-исключающими 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
доказать!
\end_layout

\end_inset

 и для любого натурального 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\bigcup_{n=1}^{m}F_{n}=\bigcup_{n=1}^{m}E_{n}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Откуда следует 
\begin_inset Formula 
\[
\bigcup_{n=1}^{\infty}F_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}=\lim_{n\to\infty}E_{n}.
\]

\end_inset

 Тогда, по теореме сложения вероятностей:
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
P\left(\lim_{n\to\infty}E_{n}\right)=P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}\right)=\\
=P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}F_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}P\left(F_{n}\right)=\\
=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^{m}P\left(F_{n}\right)=\lim_{m\to\infty}P\left(\bigcup_{n=1}^{m}F_{n}\right)=\\
=\lim_{m\to\infty}P\left(\bigcup_{n=1}^{m}E_{n}\right)=\lim_{m\to\infty}P\left(E_{m}\right),
\end{multline*}

\end_inset

 что и доказывает желаемое равенство.
\end_layout

\begin_layout Solution
Теперь проведём доказательство для убывающей последовательности событий.
 Пусть 
\begin_inset Formula $\left\{ E_{n}\right\} _{n\ge1}$
\end_inset

 — убывающая последовательность событий.
 Рассмотрим последовательность противоположных событий: 
\begin_inset Formula $\left\{ \bar{E}_{n}\right\} _{n\ge1}$
\end_inset

.
 Легко проверить, что эта последовательность является возрастающей.
 Причём, по принципу двойственности 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
нужна ссылка
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Formula 
\[
\overline{\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}\right)}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bar{E}_{n}=\lim_{n\to\infty}\bar{E}_{n}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
По доказанному выше, для возрастающих последовательность возможна перестановка
 взятия предела и вычисления вероятности, поэтому 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
P\left(\lim_{n\to\infty}\bar{E}_{n}\right)=\lim_{n\to\infty}P\left(\bar{E}_{n}\right)=\\
=\lim_{n\to\infty}\left(1-P\left(E_{n}\right)\right)=1-\lim_{n\to\infty}P\left(E_{n}\right).
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
С другой стороны, из равенства 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку на предпредыщую формулу
\end_layout

\end_inset

, следует 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
P\left(\lim_{n\to\infty}\bar{E}_{n}\right)=P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\bar{E}_{n}\right)=\\
=P\left(\overline{\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}\right)}\right)=1-P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}\right)=\\
=1-P\left(\lim_{n\to\infty}E_{n}\right).
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Из двух последних цепочек равенств следует 
\begin_inset Formula 
\[
1-\lim_{n\to\infty}P\left(E_{n}\right)=1-P\left(\lim_{n\to\infty}E_{n}\right),
\]

\end_inset

 откуда путём элементарных преобразований получается требуемое равенство
 
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{n\to\infty}P\left(E_{n}\right)=P\left(\lim_{n\to\infty}E_{n}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Вероятности для бесконечной последовательности бросков кости (задача 745)
\end_layout

\begin_layout Problem
Рассмотрим бесконечную последовательность бросков сбалансированной шестигранной
 кости.
 Предположим, что все броски независимы друг от друга.
 Определите вероятность следующих событий:
\end_layout

\begin_layout Problem
1) По меньшей мере при одном броске из первых 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 выпало 5.
\end_layout

\begin_layout Problem
2) При ровно 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 бросках из первых 
\begin_inset Formula $n\ge k$
\end_inset

 выпало 5.
\end_layout

\begin_layout Problem
3) При каждом броске кости выпало 5.
\end_layout

\begin_layout Solution
1) Обозначим рассматриваемое событие как 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Найдём сначала вероятность противоположного события 
\begin_inset Formula $\bar{A}$
\end_inset

, то есть события 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

за первые 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 бросков ни разу не выпало 5
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

.
 По классическому определению вероятности вероятность не выпадения 5 при
 одном броске равна 
\begin_inset Formula $\frac{5}{6}$
\end_inset

.
 Так как броски независимы, то по теореме об умножении вероятностей, получаем,
 что 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(\bar{A}\right)=\left(\frac{5}{6}\right)^{n},
\]

\end_inset

 тогда, по формуле для вероятности противоположного события: 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A\right)=1-P\left(\bar{A}\right)=1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
2) Обозначим рассматриваемое событие как 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

.
 Если при 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 из 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 бросков выпало 5, то не 5 выпало при 
\begin_inset Formula $n-k$
\end_inset

 бросках.
 Конкретные 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 бросков из 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 можно выбрать 
\begin_inset Formula $\binom{n}{k}$
\end_inset

 способами, поэтому, так как броски независимы по условию задачи, то 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(B\right)=\binom{n}{k}\left(\frac{1}{6}\right)^{k}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-k}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
3) Обозначим рассматриваемое событие как 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

.
 Вероятность события 
\begin_inset Formula $C_{n}$
\end_inset

, которое мы определим как 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

при первых 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 бросках 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 раз выпало 5
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

, по доказанному в пункте 2), равна: 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(C_{n}\right)=\binom{n}{n}\left(\frac{1}{6}\right)^{n}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-n}=\frac{1}{6^{n}}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Переходя в этом равенстве к пределу при 
\begin_inset Formula $n\to\infty,$
\end_inset

получим 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку на задачу 744
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(\lim_{n\to\infty}C_{n}\right)=\lim_{n\to\infty}P\left(C_{n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{6^{n}}=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Вероятность того, что Алиса подбросила монету три раза, если Алиса и Боб
 вместе подбросили монету семь раз.
 (задача 752)
\end_layout

\begin_layout Problem
Алиса подбрасывает сбалансированную монету, пока не выпадет решка.
 После этого Боб подбрасывает монету, пока не выпадет решка.
 Предположим, что общее число бросков монеты Алисой и Бобом было равно 7.
 Предполагая, что все броски независимы друг от друга, каковая вероятность
 того, что Алиса подбросила монету ровно три раза?
\end_layout

\begin_layout Solution
Если Алиса подбросила монету три раза, значит Боб подбросил монету 4 раза,
 причём первые три раза выпадал орёл, а в четвёртый раз — решка.
 Так как все броски независимы друг от друга, поэтому вероятность такого
 события равна 
\begin_inset Formula 
\[
\left(1-\frac{1}{2}\right)^{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Вероятность того, что три отрезка образуют треугольник (задача 754)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Преобразовать в задачу и решить
\end_layout

\end_inset

Имеется палочка единичной длины.
 На палочке случайным образом выбираются две точки (равномерно по длине
 палочки), независимо друг от друга.
 В этих точках палочка ломается на три кусочка.
 Какова вероятность того, что из трёх этих кусочков можно сформировать треугольн
ик?
\end_layout

\begin_layout Chapter
Дискретные случайные величины
\end_layout

\begin_layout Subsection
Линейность математического ожидания (задача 743)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 — дискретные случайные величины.
 Докажите, что математическое ожидание является линейным: 
\begin_inset Formula 
\[
E\left[X+Y\right]=E\left[X\right]+E\left[Y\right].
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Пусть 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 принимает значения 
\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{m}$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 — значения 
\begin_inset Formula $y_{1},\dots,y_{n}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula 
\[
E\left[X\right]=\sum_{i=1}^{m}x_{i}P\left(X=x_{i}\right),
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
E\left[Y\right]=\sum_{j=1}^{n}y_{j}P\left(X=y_{j}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
E\left[X+Y\right]=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\left(x_{i}+y_{j}\right)P\left(X=x_{i}\wedge Y=y_{j}\right)=\\
=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}x_{i}P\left(X=x_{i}\wedge Y=y_{j}\right)+\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}y_{j}P\left(X=x_{i}\wedge Y=y_{j}\right)=\\
=\sum_{i=1}^{m}x_{i}\sum_{j=1}^{n}P\left(X=x_{i}\wedge Y=y_{j}\right)+\sum_{j=1}^{n}y_{j}\sum_{i=1}^{m}P\left(X=x_{i}\wedge Y=y_{j}\right).
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как 
\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{m}$
\end_inset

 — все возможные значения 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, а 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 — все возможные значения 
\begin_inset Formula $y_{1},\dots,y_{n}$
\end_inset

, то
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{j=1}^{n}P\left(X=x_{i}\wedge Y=y_{j}\right)=P\left(X=x_{i}\right),
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\sum_{i=1}^{m}P\left(X=x_{i}\wedge Y=y_{j}\right)=P\left(Y=y_{j}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
С учётом этих равенств получаем 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
E\left[X+Y\right]=\\
=\sum_{i=1}^{m}x_{i}P\left(X=x_{i}\right)+\sum_{j=1}^{n}y_{j}P\left(Y=y_{j}\right)=\\
=E\left[X\right]+E\left[Y\right].
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Если множество значений счётное, то требуются более аккуратные вычисления,
 связанные со сходимостью рядов
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной
 величины с распределением Бернулли (задача 747)
\end_layout

\begin_layout Definition
Говорят, что случайная величина 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 имеет распределение Бернулли, если её функция распределения вероятностей
 определяется следующим образом: 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
P\left(X=0\right)=1-p\\
P\left(X=1\right)=p
\end{array},
\]

\end_inset

 для некоторого вещественного числа 
\begin_inset Formula $0\le p\le1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 — случайная величина с распределением Бернулли.
 Найдите её математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
\end_layout

\begin_layout Solution
По определению математического ожидания:
\begin_inset Formula 
\[
E\left[X\right]=0\cdot P\left(X=0\right)+1\cdot P\left(X=1\right)=P\left(X=1\right)=p.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Дисперсия может быть вычислена по определению: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
D\left[X\right]=\sum_{k=0}^{1}\left(k-p\right)^{2}\cdot P\left(X=k\right)=\\
=\left(0-p\right)^{2}P\left(X=0\right)+\left(1-p\right)^{2}\cdot P\left(X=1\right)=\\
=p^{2}\left(1-p\right)+\left(1-p\right)^{2}p=\\
=p\left(1-p\right)\left(p+1-p\right)=p\left(1-p\right).
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Используя другое выражение для дисперсии 
\begin_inset Formula $D\left[X\right]=E\left[X^{2}\right]-\left(E\left[X\right]\right)^{2}$
\end_inset

 позволяет упростить вычисления, если заметить, что 
\begin_inset Formula $0^{2}=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $1^{2}=1$
\end_inset

, то есть для случайной величины с распределением Бернулли имеет место равенств
 
\begin_inset Formula $X^{2}=X$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
D\left[X\right]=E\left[X\right]-\left(E\left[X\right]\right)^{2}=p-p^{2}=p\left(1-p\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Наконец, по определению среднеквадратического отклонения:
\begin_inset Formula 
\[
\sigma\left[X\right]=\sqrt{D\left[X\right]}=\sqrt{p\left(1-p\right)}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Определение математического ожидания случайной величины с распределением
 Бернулли по её дисперсии (задача 748)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 — случайная величина с распределением Бернулли 
\begin_inset Formula $B_{p}$
\end_inset

 (с параметром 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

).
 Предположим, что её дисперсия равна 
\begin_inset Formula $D\left[X\right]=0,21$
\end_inset

, а вероятность 
\begin_inset Formula $p>\frac{1}{2}$
\end_inset

.
 Найдите 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $E\left[X\right]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Как было показано выше 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
D\left[X\right]=p\left(1-p\right),
\]

\end_inset

 поэтому данная задача сводится к решению квадратного уравнения 
\begin_inset Formula 
\[
p\left(1-p\right)=\sigma^{2},
\]

\end_inset

где, по условию, 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}=0,21$
\end_inset

.
 Перепишем квадратное уравнение в стандартном виде: 
\begin_inset Formula 
\[
p^{2}-p+\sigma^{2}=0,
\]

\end_inset

 а затем выделим полный квадрат:
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
p^{2}-p+\sigma^{2}=\\
=p^{2}-2p\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\sigma^{2}=\\
=\left(p-\frac{1}{2}\right)^{2}+\sigma^{2}-\frac{1}{4}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, исходное квадратное уравнение приобретает вид 
\begin_inset Formula 
\[
\left(p-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}-\sigma^{2},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
p=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}-\sigma^{2}}.
\]

\end_inset

 В нашем случае 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}=0,21$
\end_inset

 и, учитывая, что 
\begin_inset Formula $p>\frac{1}{2}$
\end_inset

, получаем 
\begin_inset Formula 
\[
p=\frac{1}{2}+\sqrt{0,25-0,21}=0,5+\sqrt{0,04}=0,5+0.2=0,7.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Выше было показано 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

, что 
\begin_inset Formula $E\left[X\right]=p$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula $E\left[X\right]=0,7$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Можно ли сдать зачёт, отвечая на вопросы теста случайно (задача 749)
\end_layout

\begin_layout Problem
Тест на зачёте по курсу 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

Начала теории вероятностей
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

 состоит из 10 вопросов с несколькими вариантами ответов.
 У каждого вопроса четыре варианта ответов и только один из них правильный.
 Чтобы получить зачёт, необходимо правильно ответить на 8 или более вопросов.
 Предположим, что студент не вообще учил теорию вероятностей и не представляет,
 как отвечать на эти вопросы.
 Поэтому этот студент решает отвечать на все вопросы случайным образом.
 Таким образом, для каждого из 10 вопросов студент случайным образом выбирает
 один из четырёх вариантов ответов, причём каждый выбор независим от остальных.
\end_layout

\begin_layout Problem
1) Какова вероятность того, что студент правильно ответит только на один
 вопрос из 10?
\end_layout

\begin_layout Problem
2) Определите вероятность того, что студент получит зачёт.
\end_layout

\begin_layout Problem
3) Чему равно математическое ожидание количества вопросов, на которые студент
 ответит правильно.
\end_layout

\begin_layout Problem
4) Найдите дисперсию и среднеквадратическое отклонение количества правильных
 ответов.
\end_layout

\begin_layout Solution
Вероятность ответить правильно на каждый из вопросов равна, в силу случайности
 выбора, 
\begin_inset Formula $p=\frac{1}{4}$
\end_inset

.
 Обозначим общее число вопросов как 
\begin_inset Formula $n=10$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
1) Если студент ответил правильно на один вопрос из 10, то на 9 он ответил
 неправильно.
 Правильным может быть каждый из 10 ответов, поэтому вероятность данного
 события равна 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
P_{1}=n\cdot p\cdot\left(1-p\right)^{n-1}=10\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{9}=.\\
=\frac{10\cdot3^{9}}{4^{10}}=\frac{196830}{4^{10}}\approx0,1877.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
2) Вероятность получить зачёт равна вероятности правильно ответить на 8,
 9 или 10 вопросов.
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
P_{2}=\binom{10}{8}\frac{1^{8}\cdot3^{2}}{4^{10}}+\binom{10}{9}\frac{1^{9}3^{1}}{4^{10}}+\binom{10}{10}\frac{1^{10}3^{0}}{4^{10}}=\\
=\frac{10\cdot9}{2}\cdot\frac{3^{2}}{4^{10}}+10\cdot\frac{3}{10^{4}}+\frac{1}{4^{10}}=\\
=\frac{405+30+1}{4^{10}}=\frac{436}{4^{10}}\approx0,0004158.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
3) Случайную величину 
\begin_inset Quotes rld
\end_inset

количество правильных ответов
\begin_inset Quotes rrd
\end_inset

 можно представить в виде суммы 
\begin_inset Formula 
\[
Y=\sum_{k=1}^{10}X_{k},
\]

\end_inset

 где 
\begin_inset Formula $X_{k}$
\end_inset

 — индикатор 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

 того, что студент правильно ответил на 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

-й вопрос.
 Математическое ожидание 
\begin_inset Formula $X_{k}$
\end_inset

 равно 
\begin_inset Formula $p=\frac{1}{4}$
\end_inset

, так как это случайная величина с распределением Бернулли 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

.
 Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

, поэтому математическое ожидание количества правильных ответов равно 
\begin_inset Formula 
\[
E\left[Y\right]=10\cdot\frac{1}{4}=\frac{5}{2}=2,5.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
4) Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
D\left[Y\right]=\sum_{k=1}^{10}D\left[X_{k}\right].
\]

\end_inset

 Дисперсия случайно величины с распределением Бернулли равна 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Formula 
\[
D\left[X_{k}\right]=p\left(1-p\right),
\]

\end_inset

 поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
D\left[Y\right]=10\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{15}{8}=1,875,
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\sigma\left(X\right)=\sqrt{\frac{15}{8}}\approx1.3693.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Задача о сборе купонов: найти математическое ожидаемое количество ящиков
 для сбора всех игрушек (задача 750)
\end_layout

\begin_layout Problem
Коробка некоторой закуски содержит одну из пяти игрушек.
 Шанс получить каждую из этих игрушек одинаков и не зависит от предыдущих
 результатов.
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Предположим, что вы покупаете коробки, пока не соберёте все пять игрушек.
 Найдите математическое ожидание количества ящиков, которое необходимо купить.
\end_layout

\begin_layout Problem
б) Найдите дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины,
 описанной в части а).
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Была такая идея, но не довёл мысль до конца и подсмотрел решение
\end_layout

\end_inset

 Введём следующие обозначения: 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 — количество коробок, которое необходимо купить, чтобы собрать все пять
 игрушек, а 
\begin_inset Formula $X_{i}$
\end_inset

 — количество коробок, которое нужно купить для получения 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

-й игрушки после того, как уже было собрано 
\begin_inset Formula $i-1$
\end_inset

 игрушек.
 Тогда 
\begin_inset Formula 
\[
X=\sum_{i=1}^{5}X_{i}.
\]

\end_inset

 В силу линейности математического ожидания 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Добавить ссылку
\end_layout

\end_inset

, мы получим 
\begin_inset Formula 
\[
E\left[X\right]=\sum_{i=1}^{5}E\left[X_{i}\right].
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как после покупки одной коробки гарантирована будет иметься одна игрушка,
 то 
\begin_inset Formula $X_{1}=1$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $E\left[X_{1}\right]=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Определим теперь 
\begin_inset Formula $X_{2}$
\end_inset

.
 Если уже собрана ровно одна игрушка, то при покупке каждой коробки (вплоть
 до того момента, как будут собраны две игрушки) вероятность получить туже
 игрушку равна 
\begin_inset Formula $\frac{1}{5}$
\end_inset

, а вероятность получить новую игрушку равна 
\begin_inset Formula $\frac{4}{5}$
\end_inset

.
 Таким образом, 
\begin_inset Formula $X_{2}$
\end_inset

 — имеет геометрическое распределение с параметром 
\begin_inset Formula $\frac{4}{5}$
\end_inset

 (мы определяем его как номер первого появления события в схеме Бернулли),
 это можно записать следующим образом 
\begin_inset Formula 
\[
X_{2}\sim G\left(\frac{4}{5}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Вероятность получить третью игрушку после того, как собраны 2 игрушки, при
 покупке каждой коробки равна 
\begin_inset Formula $\frac{3}{5}$
\end_inset

, поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
X_{3}\sim G\left(\frac{3}{5}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Аналогично, 
\begin_inset Formula 
\[
X_{4}\sim G\left(\frac{2}{5}\right),
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
X_{5}\sim G\left(\frac{1}{5}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Найдём математическое ожидание геометрического распределения
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Вынести в отдельную задачу
\end_layout

\end_inset

.
 По определению 
\begin_inset Formula 
\[
P\left\{ G\left(p\right)=k\right\} =\left(1-p\right)^{k-1}p,
\]

\end_inset

 поэтому, по определению математического ожидания:
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
E\left[G\left(p\right)\right]=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot P\left\{ G\left(p\right)=k\right\} =\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\left(1-p\right)^{k-1}p=\\
=p\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\left(1-p\right)^{k-1}=\left(-p\right)\sum_{k=1}^{\infty}\left[\left(1-p\right)^{k}\right]^{\prime}=\\
=\left(-p\right)\left[\sum_{k=1}^{\infty}\left(1-p\right)^{k}\right]^{\prime}=\left(-p\right)\left[\frac{\left(1-p\right)}{1-\left(1-p\right)}\right]^{\prime}=\\
=\left(-p\right)\left[\frac{1}{p}-1\right]^{\prime}=\left(-p\right)\left(-\frac{1}{p^{2}}\right)=\frac{1}{p}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом: 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
E\left[X\right]=\sum_{i=1}^{5}E\left[X_{i}\right]=1+\sum_{i=2}^{5}E\left[G\left(\frac{5-i}{5}\right)\right]=\\
=1+\frac{5}{4}+\frac{5}{3}+\frac{5}{2}+\frac{5}{1}=\frac{12+15+20+30+60}{12}=\\
=\frac{137}{12}\approx11.4167.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Найдём теперь дисперсию 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
 Так как дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий
 слагаемых, то получим 
\begin_inset Formula 
\[
D\left[X\right]=\sum_{i=1}^{5}D\left[X_{i}\right]=\sum_{i=1}^{5}D\left[G\left(\frac{5-i}{5}\right)\right].
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Найдём дисперсию случайно величины с геометрическим распределением 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
добавить отдельную задачу
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Так как 
\begin_inset Formula $D\left[G\left(p\right)\right]=\frac{1-p}{p^{2}}$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
D\left[X\right]=0+\frac{\frac{1}{5}}{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}+\frac{\frac{2}{5}}{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}+\frac{\frac{3}{5}}{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}}+\frac{\frac{4}{5}}{\left(\frac{1}{5}\right)^{2}}=\\
=\frac{5}{4^{2}}+\frac{2\cdot5}{3^{3}}+\frac{3\cdot5}{2^{2}}+\frac{4\cdot5}{1^{2}}=\\
=5\left(\frac{1}{4^{2}}+\frac{2}{3^{3}}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{4}{1^{2}}\right)\approx25.17361.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Наконец, 
\begin_inset Formula $\sigma_{X}=\sqrt{D\left[X\right]}\approx5.0173.$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Верхняя граница для дисперсии ограниченной случайной величины (задача 753)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 — заданное положительное вещественное число, 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 — случайная величина, принимающая значения между 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

, откуда следует 
\begin_inset Formula $P\left\{ 0\le X\le c\right\} =1$
\end_inset

.
 Докажите, следующее неравенство о дисперсии 
\begin_inset Formula 
\[
D\left[X\right]\le\frac{c^{2}}{4}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
По определению, 
\begin_inset Formula 
\[
D\left[X\right]=E\left[\left(X-E\left[X\right]\right)^{2}\right],
\]

\end_inset

из этого равенства можно вывести эквивалентную формулу 
\begin_inset Formula 
\[
D\left[X\right]=E\left[X^{2}\right]-\left(E\left[X\right]\right)^{2}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Так как 
\begin_inset Formula $0\le X\le c$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $0\le X^{2}\le c^{2}$
\end_inset

, откуда 
\begin_inset Formula $E\left[X\right]<c$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $E\left[X^{2}\right]<c^{2}$
\end_inset

.
 Заметив, что 
\begin_inset Formula $\left(E\left[X\right]\right)^{2}\ge0$
\end_inset

 как и квадрат любого вещественного числа, легко получить более грубую оценку,
 чем требуется в задаче:
\begin_inset Formula 
\[
D\left[X\right]\le E\left[X^{2}\right]\le c^{2}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Попытаемся теперь улучшить эту оценку.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Подсмотрел этот момент
\end_layout

\end_inset

 Так как 
\begin_inset Formula $X\le c$
\end_inset

, то
\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Formula 
\[
E\left[X^{2}\right]=E\left[XX\right]\le E\left[cX\right]=cE\left[X\right].
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Таким образом, 
\begin_inset Formula 
\[
D\left[X\right]\le cE\left[X\right]-\left(E\left[X\right]\right)^{2}=E\left[X\right]\left(c-E\left[X\right]\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Обозначив 
\begin_inset Formula $E\left[X\right]=\mu$
\end_inset

, получим 
\begin_inset Formula 
\[
D\left[X\right]\le\mu\left(c-\mu\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Рассмотрим выражение в правой части как функцию от 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 на отрезке 
\begin_inset Formula $0\le\mu\le c$
\end_inset

 и найдём её наибольшее значение.
 Воспользуемся необходимым условием экстремума
\begin_inset Formula 
\[
\left[\mu\left(c-\mu\right)\right]^{\prime}=\left(c-\mu\right)-\mu=c-2\mu,
\]

\end_inset

 таким образом, производная равна нулю при 
\begin_inset Formula $\mu=\frac{c}{2}$
\end_inset

.
 Остаётся рассмотреть значение функции 
\begin_inset Formula $\mu\left(c-\mu\right)$
\end_inset

 в этой точке и на концах отрезка, то есть при 
\begin_inset Formula $\mu=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\mu=c$
\end_inset

 получаем 
\begin_inset Formula $D\left[X\right]=0$
\end_inset

.
 А при 
\begin_inset Formula $\mu=\frac{c}{2}$
\end_inset

 получаем 
\begin_inset Formula 
\[
D\left[X\right]\le\frac{c}{2}\left(c-\frac{c}{2}\right)=\left(\frac{c}{2}\right)^{2}=\frac{c^{2}}{4},
\]

\end_inset

 что и требовалось.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Условная вероятность, когда известна сумма двух случайных величин с геометрическ
им распределением (задача 755)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 — случайные величины с геометрическим распределением с параметром 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $0\le p\le1)$
\end_inset

.
 Предполагается, что 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 независимы.
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 целое число и 
\begin_inset Formula $n>1$
\end_inset

.
 Пусть 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 — целое число и 
\begin_inset Formula $1\le k\le n$
\end_inset

.
 Докажите, что 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Может лучше было бы переформулировать, найдите вероятность...
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
P\left\{ X=k|X+Y=n\right\} =\frac{1}{n-1}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Воспользуемся формулой 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)},
\]

\end_inset

где в нашем случае будет 
\begin_inset Formula $A=\left\{ X=k\right\} $
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $B=\left\{ X+Y=n\right\} $
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Событие 
\begin_inset Formula $A\cap B$
\end_inset

 можно переписать следующим образом: 
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ X=k\right\} \cap\left\{ Y=n-k\right\} ,
\]

\end_inset

а так как 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 независимы, то 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A\cap B\right)=P\left\{ X=k\right\} P\left\{ Y=n-k\right\} .
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
По определению случайной величины с геометрическим распределением с параметром
 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
P\left\{ X=k\right\} =q^{k-1}p,
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
P\left\{ Y=n-k\right\} =q^{n-k-1}p,
\]

\end_inset

где введено обозначение 
\begin_inset Formula $q=1-p$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
Поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
P\left(A\cap B\right)=q^{k-1}pq^{n-k-1}p=q^{n-2}p^{2}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Теперь рассмотрим 
\begin_inset Formula $P\left(B\right)=P\left\{ X+Y=n\right\} $
\end_inset

.
 Так как 
\begin_inset Formula $Y>0$
\end_inset

, то 
\begin_inset Formula $X<n$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula 
\[
P\left\{ X+Y=n\right\} =\sum_{j=1}^{n-1}P\left\{ \left(X=j\right)\wedge\left(X+Y=n\right)\right\} .
\]

\end_inset

 Выше мы показали, что 
\begin_inset Formula 
\[
P\left\{ \left(X=j\right)\wedge\left(X+Y=n\right)\right\} =q^{n-2}p^{2},
\]

\end_inset

 поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
P\left\{ X+Y=n\right\} =\sum_{j=1}^{n-1}q^{n-2}p^{2}=\left(n-1\right)q^{n-2}p^{2}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Окончательно получаем: 
\begin_inset Formula 
\[
P\left\{ X=k|X+Y=n\right\} =\frac{q^{n-2}p^{2}}{\left(n-1\right)q^{n-2}p^{2}}=\frac{1}{n-1},
\]

\end_inset

 что и требовалось доказать.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Непрерывные случайные величины
\end_layout

\begin_layout Subsection
Условие того, что функция является функцией плотности вероятности (задача
 756)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 — положительное вещественное число и 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 — непрерывная случайная величина, функция плотности которой даётся формулой
 
\begin_inset Formula 
\[
f\left(x\right)=\begin{cases}
\frac{1}{x^{3}}, & x\ge c,\\
0, & x<c.
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
а) определите значение 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
б) Найдите вероятность 
\begin_inset Formula $P\left\{ X>2c\right\} $
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
а) По определению, если 
\begin_inset Formula $f\left(x\right)$
\end_inset

 — функция плотности вероятности, то 
\begin_inset Formula 
\[
\intop_{-\infty}^{+\infty}f\left(x\right)dx=1.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
В рассматриваемом случае получаем 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\intop_{-\infty}^{+\infty}f\left(x\right)dx=\intop_{-\infty}^{c}f\left(x\right)dx+\intop_{c}^{+\infty}f\left(x\right)dx=\\
=0+\intop_{c}^{+\infty}\frac{1}{x^{3}}dx=\intop_{c}^{+\infty}x^{-3}dx=\left.\frac{x^{-2}}{-2}\right|_{c}^{+\infty}=\frac{1}{2c^{2}}.
\end{multline*}

\end_inset

 Таким образом, должно выполняться равенство 
\begin_inset Formula 
\[
\intop_{-\infty}^{+\infty}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2c^{2}}=1,
\]

\end_inset

поэтому 
\begin_inset Formula 
\[
c^{2}=\frac{1}{2}
\]

\end_inset

 и, так как 
\begin_inset Formula $c>0$
\end_inset

 по условию задачи, то
\begin_inset Formula 
\[
c=\frac{1}{\sqrt{2}}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
б) По определению, 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
P\left\{ X>2c\right\} =P\left\{ X>\sqrt{2}\right\} =\intop_{2c}^{+\infty}f\left(x\right)dx=\\
=\left.\frac{x^{-2}}{-2}\right|_{\sqrt{2}}^{+\infty}=\frac{1}{2\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=\frac{1}{4}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины с экспоненциальным
 распределением (задача 757)
\end_layout

\begin_layout Problem
Пусть 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 — случайная величина с геометрическим распределением с параметром 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
а) Для любого положительного числа 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 докажите, что 
\begin_inset Formula 
\[
\mathbb{E}\left[X^{n}\right]=\frac{n}{\lambda}\mathbb{E}\left[X^{n-1}\right].
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Problem
б) Найдите математическое ожидание величины 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
в) Найдите дисперсию величины 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Problem
г) Найдите среднеквадратическое отклонение величины 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Solution
По определению, функция плотности вероятности случайной величины 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 задаётся формулой 
\begin_inset Formula 
\[
f\left(x\right)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x\ge0,\\
0, & x<0.
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
а) По определению, 
\begin_inset Formula 
\[
\mathbb{E}\left[X^{n}\right]=\intop_{0}^{+\infty}x^{n}f\left(x\right)dx=\intop_{0}^{+\infty}x^{n}\lambda x^{-\lambda x}dx.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
Воспользуемся методом интегрирования по частям, а именно, положим 
\begin_inset Formula $u=x^{n}$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $dv=\lambda e^{-\lambda x}dx$
\end_inset

.
 Тогда 
\begin_inset Formula $du=nx^{n-1}dx$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $v=-e^{-\lambda x}$
\end_inset

, поэтому
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\mathbb{E}\left[X^{n}\right]=\left.uv\right|_{0}^{+\infty}-\intop_{0}^{+\infty}vdy=\\
=\left.x^{n}e^{-\lambda x}\right|_{0}^{+\infty}+\intop_{0}^{+\infty}nx^{n-1}e^{-\lambda x}dx=\\
=0+\frac{n}{\lambda}\intop_{0}^{+\infty}x^{n-1}\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{n}{\lambda}\mathbb{E}\left[X^{n-1}\right].
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Здесь нужно уточнить, почему 
\begin_inset Formula $\lim_{x\to+\infty}x^{n}e^{-\lambda x}=0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
б) Воспользуемся результатом пункта a) при 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
\mathbb{E}\left[X\right]=\mathbb{E}\left[X^{1}\right]=\frac{1}{\lambda}\mathbb{E}\left[X^{0}\right]=\frac{1}{\lambda}\mathbb{E}\left[1\right]=\frac{1}{\lambda}\cdot1=\frac{1}{\lambda}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
в) По определению: 
\begin_inset Formula 
\[
D\left[X\right]=\mathbb{E}\left[X^{2}\right]-\left(\mathbb{E}\left[X\right]\right)^{2}.
\]

\end_inset

 В пункте б) мы показали, что 
\begin_inset Formula 
\[
\mathbb{E}\left[X\right]=\frac{1}{\lambda},
\]

\end_inset

 что с учётом результата пункта а) даёт 
\begin_inset Formula 
\[
\mathbb{E}\left[X^{2}\right]=\frac{2}{\lambda}\mathbb{E}\left[X\right]=\frac{2}{\lambda^{2}}.
\]

\end_inset

 Таким образом, окончательно получаем 
\begin_inset Formula 
\[
D\left[X\right]=\frac{2}{\lambda^{2}}-\frac{1}{\lambda^{2}}=\frac{1}{\lambda^{2}}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Solution
г) По определению среднеквадратического отклонения: 
\begin_inset Formula 
\[
\sigma_{X}=\sqrt{D\left[X\right]}=\sqrt{\frac{1}{\lambda^{2}}}=\frac{1}{\lambda}.
\]

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document