《线性代数及其应用》笔记02.向量与矩阵方程.ipynb

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    "# 概述\n",
    "$\\quad$向量和矩阵贯穿整个线性代数，除了可以描述线性方程组，在几何意义上更是大有作为。在本节中我们将会初步介绍向量和矩阵方程，建立一个初步的概念。\n",
    "## 1.向量\n",
    "$\\quad$仅含一列的矩阵称之为**列向量**，简称为**向量**。所有元素都为0的向量称为零向量，用$\\mathbf{0}$表示。向量通常写为$n\\times1$列矩阵的形式，如\n",
    "\n",
    "$$\\mathbf{u}=\\begin{bmatrix}\n",
    "   u_{1}\\\\\n",
    "   \\vdots\\\\\n",
    "   u_{n}\n",
    "  \\end{bmatrix}$$\n",
    "\n",
    "$\\quad$向量之间可以进行加减法得到新的向量（平行四边形法则）；也支持和实数做标量乘法，即向量中的每个元素和该实数做乘法得到新的向量。  \n",
    "$\\quad$若$n$是正整数，$\\Bbb{R}^n$表示所有具有$n$个元素的向量的集合。$\\Bbb{R}^2$可以理解为一个平面上的直角坐标系，那么$\\Bbb{R}^2$中的每个向量$\\mathbf{u}=\\begin{bmatrix}u_{1}\\\\u_{2}\\end{bmatrix}$可看作是平面上的一个点$(u_{1},u_{2})$，或者看成是平面上的一个从原点指向$(u_{1},u_{2})$的有向箭头，如图：\n",
    "\n",
    "<img src=\"./_image/2_1.jpg\" width=\"300\" height=\"150\" />\n",
    "\n",
    "### 1.1 线性组合\n",
    "$\\quad$给定$\\Bbb{R}^n$中向量$\\mathbf{v}_{1},\\mathbf{v}_{2},\\cdots,\\mathbf{v}_{p}$和标量$c_{1},c_{2},\\cdots,c_{p}$，向量\n",
    "\n",
    "$$\\mathbf{y}=c_{1}\\mathbf{v}_{1}+\\cdots+c_{p}\\mathbf{v}_{p}$$\n",
    "\n",
    "称为向量$\\mathbf{v}_{1},\\mathbf{v}_{2},\\cdots,\\mathbf{v}_{p}$以$c_{1},c_{2},\\cdots,c_{p}$为权的**线性组合**。线性组合在几何上可以理解为是原点沿着向量的移动，也可理解为是向量伸缩后的相加，例如：\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\mathbf{u}=3\\mathbf{v}_{1}-2\\mathbf{v}_{2}=3\\begin{bmatrix}-1\\\\1\\end{bmatrix}- 2\\begin{bmatrix}2\\\\\n",
    "1\n",
    "\\end{bmatrix}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "其中$\\mathbf{v}_{1},\\mathbf{v}_{2}$在$\\Bbb{R}^2$中表示如下图所示：\n",
    "\n",
    "<img src=\"./_image/2_2.png\" width=\"250\" height=\"150\" />  \n",
    "\n",
    "接着我们在图中表示出线性组合$\\mathbf{u}=3\\mathbf{v}_{1}-2\\mathbf{v}_{2}$的生成过程。其中左图的线性组合表示为：原点分别沿着$3\\mathbf{v}_{1}$、$-2\\mathbf{v}_{2}$生成所求$\\mathbf{u}$；右图的线性组合表示为：向量$3\\mathbf{v}_{1}$、$-2\\mathbf{v}_{2}$的一次相加（平行四边形法则）。\n",
    "\n",
    "<img src=\"./_image/2_3.png\" width=\"500\" height=\"250\" />\n",
    "\n",
    "$\\quad$线性代数的一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合$\\{\\mathbf{v}_{1},\\mathbf{v}_{2},\\cdots,\\mathbf{v}_{p}\\}$的线性组合的所有向量（基）。若$\\mathbf{v}_{1},\\cdots,\\mathbf{v}_{p}$是$\\Bbb{R}^n$中的向量，则$\\mathbf{v}_{1},\\cdots,\\mathbf{v}_{p}$的所有线性组合所成的集合用记号$Span\\{\\mathbf{v}_{1},\\cdots,\\mathbf{v}_{p}\\}$表示，称为由$\\mathbf{v}_{1},\\cdots,\\mathbf{v}_{p}$所生成（张成）的$\\Bbb{R}^n$的子集。更具体地说，$Span\\{\\mathbf{v}_{1},\\cdots,\\mathbf{v}_{p}\\}$是所有形如：\n",
    "\n",
    "$$c_{1}\\mathbf{v}_{1}+\\cdots+c_{p}\\mathbf{v}_{p}$$\n",
    "\n",
    "的向量集合。特别地，一定包含零向量。  \n",
    "$\\quad$要判断向量$\\mathbf{b}$是否属于$Span\\{\\mathbf{v}_{1},\\cdots,\\mathbf{v}_{p}\\}$，就是判断向量方程\n",
    "\n",
    "$$x_{1}\\mathbf{v}_{1}+\\cdots+x_{p}\\mathbf{v}_{p}=\\mathbf{b}$$\n",
    "\n",
    "是否有解，或等价地，判断增广矩阵为$\\begin{bmatrix}\\mathbf{v}_{1}&\\cdots&\\mathbf{v}_{p}&\\mathbf{b}\\end{bmatrix}$的线性方程组是否有解。\n",
    "## 2.矩阵方程\n",
    "$\\quad$线性代数中的一个基本思想是把向量的线性组合看作矩阵与向量的积。  \n",
    "$\\quad$若$A$是$m\\times n$矩阵，它的各列为向量$\\mathbf{a}_{1},\\cdots,\\mathbf{a}_{n}$。若$\\mathbf{x}$是$\\Bbb{R}^n$中的向量，则$A$与$\\mathbf{x}$的积就是**$A$的列向量以$\\mathbf{x}$中对应元素为权的线性组合**，即\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "A\\mathbf{x}=\\begin{bmatrix}\n",
    "\\mathbf{a}_{1} & \\cdots & \\mathbf{a}_{n}\n",
    "\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}\n",
    " x_{1}\\\\\n",
    " \\vdots\\\\\n",
    " x_{n}\n",
    " \\end{bmatrix}=\n",
    "x_{1}\\mathbf{a}_{1}+\\cdots+x_{n}\\mathbf{a}_{n}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "观察该式我们也能看出，$A$的列数必须等于$\\mathbf{x}$的行数。举例：\n",
    "\n",
    "<img src=\"./_image/2_5.png\" width=\"400\" height=\"250\" />  \n",
    "\n",
    "$\\quad$回到线性方程组，要将一个线性方程组表示成一个矩阵方程，我们只需要表示为系数矩阵与变量向量相乘即可，例如：\n",
    "\n",
    "<img src=\"./_image/2_6.png\" width=\"500\" height=\"250\" />  \n",
    "\n",
    "由图可以看出，这三种方程形式的解集都是一致的。2、3式表明：判断该线性方程组是否有解，等价于判断$\\mathbf{b}$是否是$A$的列向量的一个线性组合（或者说$\\mathbf{b}$是否属于$Span\\{\\mathbf{v}_{1},\\cdots,\\mathbf{v}_{n}\\}$）。\n",
    "### 2.1齐次线性方程组与线性无关\n",
    "$\\quad$我们称$A\\mathbf{x}=\\mathbf{0}$为**齐次线性方程组**。这样的方程组至少有一个解，即$\\mathbf{x}=\\mathbf{0}$，这个解也称之为平凡解，我们往往更关注的是方程组的非平凡解。  \n",
    "$\\quad$假设$\\{\\mathbf{v}_{1},\\cdots,\\mathbf{v}_{n}\\}$为$\\Bbb{R}_{n}$的一组向量，我们定义有：\n",
    "* 若向量方程$x_{1}\\mathbf{v}_{1}+\\cdots+x_{p}\\mathbf{v}_{p}=\\mathbf{0}$仅有平凡解，称$\\mathbf{v}_{1},\\cdots,\\mathbf{v}_{n}$为**线性无关**；\n",
    "* 若向量方程$x_{1}\\mathbf{v}_{1}+\\cdots+x_{p}\\mathbf{v}_{p}=\\mathbf{0}$存在非平凡解$c_{1},\\cdots,c_{p}$，称$\\mathbf{v}_{1},\\cdots,\\mathbf{v}_{n}$为**线性相关**。  \n",
    "\n",
    "$\\quad$从矩阵方程的视角来看，矩阵$A$的各列线性无关，当且仅当齐次线性方程组$A\\mathbf{x}=\\mathbf{0}$仅有平凡解。\n",
    "### 2.2矩阵的积\n",
    "$\\quad$两个矩阵相乘$A\\times B$可以看做是$B$的每个列向量与$A$作一次乘法形成新的矩阵。具体如下所示：\n",
    "\n",
    "<img src=\"./_image/2_7.png\" width=\"400\" height=\"250\" />  \n",
    "\n",
    "类似进行了$n$次矩阵方程的计算。"
   ]
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