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Igor Machado Coelho

Estruturas de Dados I

Árvores

05/10/2020 - 26/04/2023

cube

10

Árvores

Pré-Requisitos

São requisitos para essa aula:

Introdução/Fundamentos de Programação (em alguma linguagem de programação)
Interesse em aprender C/C++
Noções de recursividade
Noções de tipos de dados
Noções de listas e encadeamento

Agradecimentos especiais ao prof. Fabiano Oliveira e prof. Fábio Protti, cujos conteúdos didáticos formam a base desses slides

Tipo Abstrato: Árvore

Árvore

A Árvore (do inglês Tree) é um Tipo Abstrato de Dado (TAD) que pode assumir duas formas:

árvore $T$ vazia, denotada por $T = \emptyset$
árvore $T$ composta por:
- um nó $R$ chamado de nó raiz
- $0$ ou mais árvores disjuntas $T_1$, $T_2$, ..., associadas a $R$; tais árvores são chamadas de subárvores

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Nomenclatura

Um conjunto de árvores é chamado floresta

Se T é uma árvore com raiz R, então:

os nós de T são todas as raízes de subárvores de R, além da raiz de T
um nó com 0 filhos é chamado de folha (do inglês leaf)
se um nó F é um filho de um nó P, denominamos P como pai de F
a raiz é um nó ancestral de todos nós da árvore
todos os nós da árvore são descendentes do nó raiz

Caminhos

Um caminho em uma árvore é uma sequência de nós com relação filho de ou pai de:

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Exemplos:

E,C,A
D,G,I
C,A,D,G

Tamanho de Caminhos e Níveis

O tamanho de um caminho consiste no número de nós. O nível de um nó é o tamanho de seu caminho até a raiz:

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Nível de: A=1; C=2; F=3; H=4.

Desafio: em cursos de Teoria dos Grafos é provado que existe um único caminho conectando dois nós na árvore. Utilize sua intuição para verificar esta afirmação!

Alturas

A altura de nó X é o tamanho do maior caminho que conecta X a uma folha descendente. Denotamos a altura de $X$ por $h(X)$:

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Alturas: $h(B)=1$; $h(C)=2$; $h(D)=3$; $h(A)=4$.

A altura da árvore é a altura de sua raiz!

No exemplo, $h(T) = h(A) = 4$.

Aridade

Uma árvore é dita ordenada se há uma ordem associada aos filhos de cada nó.

Uma árvore é dita $m$-ária se cada nó é limitado a um máximo de $m$ filhos.

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A árvore acima é ternária (podendo também ser $4$-ária, $5$-ária, $6$-ária, ...), mas não é binária!

Filho esquerdo e direito

Em árvores binárias ordenadas de raiz R, a primeira subárvore de cada nó é denominada subárvore à esquerda de R (cuja raiz se chama filho esquerdo), e a segunda é a subárvore à direita de R (cuja raiz se chama filho direito).

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Exemplo: B é filho esquerdo e C é filho direito de A

Estritamente $m$-ária

Uma árvore estritamente $m$-ária é aquela na qual cada nó possui exatamente $0$ ou $m$ filhos.

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Exemplo: Considere a inclusão de um filho à esquerda de C.

Observação: Chamada pelo NIST de full binary tree, embora também seja preferivelmente chamada de própria (ou proper).

Árvore Cheia ou Perfeita

Uma árvore $m$-ária cheia (ou perfeita) é aquela na qual todo nó com alguma subárvore vazia está no último nível.

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Observação: Chamada pelo NIST de perfect binary tree (ou perfect k-ary tree), embora também seja chamada de full ou, preferencialmente perfect.

Árvore Completa

Uma árvore $m$-ária completa é aquela na qual todo nó com alguma subárvore vazia está no último ou penúltimo níveis, estando os nós do último nível completamente preenchidos da esquerda para a direita.

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Observação: Chamada pelo NIST de complete binary tree. Note que alguns autores consideram essa mesma definição para árvores cheias ou perfeitas. O ponto fundamental é a facilidade de implementação em vetores (vide próximos slides). [Knuth97]¹

Desafios

Qual a altura máxima de uma árvore binária com $n$ nós?
Qual a altura máxima de uma árvore estritamente binária com n nós?
Qual a altura mínima de uma árvore binária com n nós?
Numa árvore binária cheia com n nós, qual o número de nós no último nível?

. . .

Solução: $n$, $(n+1)/2$, $\lceil lg(n+1)\rceil$, $(n+1)/2$

Implementações

Implementações de Árvores

Apresentaremos dois tipos de implementação para o TAD Árvore: Sequencial e Encadeada.

Note que, nesse momento, não apresentaremos operações sobre o TAD Árvore, focando somente em sua representação interna. A razão é que existem diversos tipos específicos de árvores, que apresentam operações distintas no TAD, de acordo com seu propósito.

Implementação Encadeada 1 ($m$-ária)

Consideramos uma implementação de árvore $m$-ária, com alocação encadeada de nós (alocação interna sequencial para filhos).

constexpr int M = 3;     // aridade M=3 (ternária)
class NoEnc1
{
public:
   char chave            // dado armazenado
   NoEnc1* nosFilhos[M]; // ponteiros para filhos
};

class ArvoreEnc1
{
public:
  NoEnc1* raiz;          // raiz da árvore
};

Implementação Encadeada 1 ($m$-ária)

{width=40%}

Implementação Encadeada 2 ($m$-ária)

Consideramos uma implementação de árvore $m$-ária, com alocação encadeada de nós.

constexpr int M = 3;     // aridade M=3 (ternária)
class NoEnc2
{
public:
   char chave;           // dado armazenado
   NoEnc2* prox;         // proximo elemento
   NoEnc2* nosFilhos;    // ponteiro único para filhos
};

class ArvoreEnc2
{
public:
  NoEnc2* raiz;          // raiz da árvore
};

Implementação Encadeada 2 ($m$-ária)

Consideramos uma implementação de árvore $m$-ária, com alocação encadeada de nós.

{width=40%}

Implementação Encadeada 3 (binária)

Note que podemos reescrever os ponteiros de NoEnc2 com os termos esq e dir (nó esquerdo e nó direito).

class NoEnc3
{
public:
   char chave;     // dado armazenado
   NoEnc3* esq;    // filho esquerdo
   NoEnc3* dir;    // filho direito
};

class ArvoreEnc3
{
public:
  NoEnc3* raiz;    // raiz da árvore
};

Implementação Encadeada 3 (binária)

Consideramos uma implementação de árvore binária, com alocação encadeada de nós.

{width=40%}

Implementação Encadeada 4 (binária) - unique_ptr

Note que podemos reescrever os ponteiros de NoEnc3 utilizando unique_ptr, para maior segurança:

class NoEnc4
{
public:
   char chave;                     // dado armazenado
   std::unique_ptr<NoEnc4> esq;    // filho esquerdo
   std::unique_ptr<NoEnc4> dir;    // filho direito
};

class ArvoreEnc4
{
public:
  std::unique_ptr<NoEnc4> raiz;    // raiz da árvore
};

Conversão para Árvores Binárias

Observamos pelas implementações NoEnc2 e NoEnc3 que uma árvore $m$-ária qualquer pode ser convertida para uma árvore binária. Isso reforça a importância do estudo de implementações eficientes para árvores binárias.

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Implementação Sequencial

As Árvores com Implementação Sequencial utilizam um array para armazenar os dados. Assim, os dados sempre estarão em um espaço contíguo de memória.

Desafio: quanto espaço é necessário para armazenar uma árvore qualquer com altura $h$?

Implementação ArvoreSeq1

Consideraremos uma árvore sequencial com, no máximo, MAX_N elementos do tipo caractere.

constexpr int MAX_N = 50; // capacidade máxima da árvore
class ArvoreSeq1
{
public:
  char elem [MAX_N];      // elementos na fila
};

Desafio: Quantos níveis cabem nessa árvore? $\lceil log_2(50+1) \rceil = 6$

Desafios na ArvoreSeq1

Note que, para esse fim, somente as árvores completas terão maior eficiência, utilizando uma representação por níveis.

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Desafio: onde fica o primeiro elemento de cada nível da árvore $T$?

Localização na ArvoreSeq1

Dado um nó $V$ na posição $i$ da árvore sequencial $T$, em que posição estão:

o pai de $V$?
os filhos de $V$?

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. . .

Resposta: considerando contagem 1..MAX_N, estarão respectivamente nas posições $\lfloor i/2 \rfloor$ (pai), $2i$ e $2i+1$ (filhos).

Desafio: considere a contagem 0..MAX_N-1 e refaça o cálculo.

. . .

Solução: posições $\lfloor (i-1)/2 \rfloor$ (pai), $2i+1$ e $2i+2$ (filhos).

Fim implementações

Fim parte de implementações.

Operações em Árvores

Percursos em Árvores

Como "imprimir" uma árvore?

Estruturas lineares tem uma intuição mais direta para o conceito de impressão, mas para estruturas arbóreas isso já não é tão direto. Além da impressão, muitas vezes é desejável efetuar outras operações ou visitas em nós de uma árvore.

Operações de Percursos em Árvore (do inglês, tree traversals) apresentam uma solução para isso:

Percurso de pré-ordem (do inglês, preorder)
Percurso de pós-ordem (do inglês, postorder)
Percurso em-ordem ou ordem simétrica (do inglês, inorder)

Percursos: definições e aplicações

No percurso de pré-ordem, o nó é visitado primeiro, depois os filhos esquerdos, e finalmente, são visitados os filhos direitos.

Aplicação: impressão da ordem de visita (pilha de execução) para algoritmos recursivos em árvore.

No percurso de pós-ordem, os filhos esquerdos são visitados primeiro, depois os filhos direitos, e finalmente o nó é visitado.

Aplicação: calcular altura de um nó (note que a altura de um nó depende da altura de seus filhos).

No percurso em-ordem, os filhos esquerdos são visitados primeiro, depois o nó é visitado, e finalmente os filhos direitos são visitados.

Aplicação: impressão "visual" da árvore como caracteres na tela (desafio!). Visita ordenada em árvores com propriedades de busca e mapas (próxima aula).

Percurso Pré-ordem

void preordem(auto* no) {
   if(no) {
      printf("%c\n", no->chave); // operação ou "visita"
      preordem(no->esq);
      preordem(no->dir);   
   }
}

{width=50%}

Pratique: Pré-ordem

Apresente o percurso de pré-ordem para as árvores abaixo:

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. . .

Solução: 1. ABCDFGE 2. ABCD 3. ABCD 4. ABDECFG

Percurso Pós-ordem

void posordem(auto* no) {
   if(no) {
      posordem(no->esq);
      posordem(no->dir);   
      printf("%c\n", no->chave); // operação ou "visita"
   }
}

{width=50%}

Pratique: Pós-ordem

Apresente o percurso de pós-ordem para as árvores abaixo:

{width=70%}

. . .

Solução: 1. BFGDECA 2. DCBA 3. DCBA 4.DEBFGCA

Percurso Em-ordem (ordem simétrica)

void emordem(auto* no) {
   if(no) {
      emordem(no->esq);
      printf("%c\n", no->chave); // operação ou "visita"
      emordem(no->dir);   
   }
}

{width=50%}

Pratique: Em-ordem

Apresente o percurso de ordem simétrica para as árvores abaixo:

{width=70%}

. . .

Solução: 1. BAFDGCE 2. DCBA 3. ABCD 4. DBEAFCG

Fim percursos

Fim parte de percursos.

Bibliografia Recomendada

Além da bibliografia do curso, recomendamos para esse tópico:

Szwarcfiter, J.L; Markenzon, L. Estruturas de Dados e seus Algoritmos. Rio de Janeiro, LTC, 1994. Bibliografia Adicional:
Cerqueira, R.; Celes, W.; Rangel, J.L. Introdução a estruturas de dados: com técnicas de programação em C. Editora, 2004.
Cormen, T.H.; Leiserson, C.E.; Rivest, R.L.; Stein Algoritmos: Teoria e Prática. Ed. Campus, 2002.
Cormen, T.H.; Leiserson, C.E.; Rivest, R.L.; Stein, C. Introduction to Algorithms, 3rd ed.. The MIT Press, 2009.
Preiss, B.R. Estruturas de Dados e Algoritmos Ed. Campus, 2000;
Knuth, D.E. The Art of Computer Programming - Vols I e III. 2nd Edition. Addison Wesley, 1973.
Graham, R.L., Knuth, D.E., Patashnik, O. Matemática Concreta. Segunda Edição, Rio de Janeiro, LTC, 1995.
Livro "The C++ Programming Language" de Bjarne Stroustrup
Dicas e normas C++: https://github.com/isocpp/CppCoreGuidelines

Agradecimentos

Pessoas

Em especial, agradeço aos colegas que elaboraram bons materiais, como o prof. Fabiano Oliveira (IME-UERJ), e o prof. Jayme Szwarcfiter cujos conceitos formam o cerne desses slides.

Estendo os agradecimentos aos demais colegas que colaboraram com a elaboração do material do curso de Pesquisa Operacional, que abriu caminho para verificação prática dessa tecnologia de slides.

Software

Esse material de curso só é possível graças aos inúmeros projetos de código-aberto que são necessários a ele, incluindo:

pandoc
LaTeX
GNU/Linux
git
markdown-preview-enhanced (github)
visual studio code
atom
revealjs
groomit-mpx (screen drawing tool)
xournal (screen drawing tool)
...

Empresas

Agradecimento especial a empresas que suportam projetos livres envolvidos nesse curso:

github
gitlab
microsoft
google
...

Reprodução do material

Esses slides foram escritos utilizando pandoc, segundo o tutorial ilectures:

https://igormcoelho.github.io/ilectures-pandoc/

Exceto expressamente mencionado (com as devidas ressalvas ao material cedido por colegas), a licença será Creative Commons.

Licença: CC-BY 4.0 2020

Igor Machado Coelho

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Footnotes

[Knuth97] Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Addison-Wesley, volumes 1 and 2, 2nd edition, 1997. ↩

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Árvores

Pré-Requisitos

Tipo Abstrato: Árvore

Árvore

Nomenclatura

Caminhos

Tamanho de Caminhos e Níveis

Alturas

Aridade

Filho esquerdo e direito

Estritamente $m$-ária

Árvore Cheia ou Perfeita

Árvore Completa

Desafios

Implementações

Implementações de Árvores

Implementação Encadeada 1 ($m$-ária)

Implementação Encadeada 1 ($m$-ária)

Implementação Encadeada 2 ($m$-ária)

Implementação Encadeada 2 ($m$-ária)

Implementação Encadeada 3 (binária)

Implementação Encadeada 3 (binária)

Implementação Encadeada 4 (binária) - unique_ptr

Conversão para Árvores Binárias

Implementação Sequencial

Implementação ArvoreSeq1

Desafios na ArvoreSeq1

Localização na ArvoreSeq1

Fim implementações

Operações em Árvores

Percursos em Árvores

Percursos: definições e aplicações

Percurso Pré-ordem

Pratique: Pré-ordem

Percurso Pós-ordem

Pratique: Pós-ordem

Percurso Em-ordem (ordem simétrica)

Pratique: Em-ordem

Fim percursos

Bibliografia Recomendada

Agradecimentos

Pessoas

Software

Empresas

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Footnotes