对数公式及证明

[iotale]

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什么是对数函数

对数函数是指数函数的反函数，指数函数 $Y=a^X$ 对应的对数函数形式为 $X={\log }_{a}Y$。

**根据 $a^X=a^{{\log }_{a}Y}$ ，可得 $a^{{\log }_{a}Y}=Y$ **。【①】

这个结论很重要，下面的证明过程需要用到。

下面的证明默认条件成立的前提 $a>0$，且 $a\ne 1$

${\log }_{a}MN={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$

[证明]

$a^{lo{g}_{a}MN}=MN$ 【根据①式得】

$a^{{\log }_{a}MN}=a^{{\log }_{a}M}\times a^{{\log }_{a}N}$ 【根据①式替换上式等号右边】

$a^{{\log }_{a}MN}=a^{{\log }_{a}M+{\log }_{a}N}$ 【根据同底指数幂想加 $a^{m+n} = a^m × a^n $ 替换上式等号右边】

证得 ${\log }_{a}MN={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$ 【②】

${\log }_a{\displaystyle \frac{M}{N}}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$

证明过程同上，依据①式和 $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$ 【③】

${\log }_a{M}^n=n{\log }_{a}M$

[证明]

$a^{{\log }_a{M}^n}=M^n$

$a^{{\log }_a{M}^n}=(a^{{\log }_{a}M}{)}^n$ 【变换上式等号右边】

$a^{{\log }_a{M}^n}=a^{({\log }_{a}M)\times n}$ 【根据 $(a^m{)}^n=a^{m\times n}$】

$a^{{\log }_a{M}^n}=a^{n{\log }_{a}M}$

证得 ${\log }_a{M}^n=n{\log }_{a}M$ 【④】

${\log }_{a^n}M={\displaystyle \frac{1}{n}}{\log }_{a}M$

[证明]

$(a^n{)}^{{\log }_{a^n}M}=M$

$a^{n\times ({\log }_{a^n}M)}=a^{{\log }_{a}M}$

$n\times {\log }_{a^n}M={\log }_{a}M$ 【上式的指数】

证得 ${\log }_{a^n}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\log }_{a}M$ 【⑤】

换底公式 ${\log }_{b}a={\displaystyle \frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}}$

[证明]

设 $a=c^m,b=c^n$

${\log }_{b}a={\log }_{c^n}{c}^m$

根据 ④ 和 ⑤，可得

${\log }_{b}a={\displaystyle \frac{m}{n}}$

$\because m={\log }_{c}a,n={\log }_{c}b$

$\therefore {\log }_{b}a={\displaystyle \frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}}$ 【⑥】

换底公式还有很多变换形式，掌握一种就行

倒数公式 $\frac{1}{{\log }_{a}b}={\log }_{b}a$

[证明]

根据 ⑥，$\log_ab = \dfrac{\log_cb}{\log_ca}$

$\therefore {\displaystyle \frac{1}{{\log }_{a}b}}={\displaystyle \frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}}$

再根据 ⑥, ${\displaystyle \frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}}={\log }_{b}a$

$\therefore {\displaystyle \frac{1}{{\log }_{a}b}}={\log }_{b}a$