chapter04.qq

\chapter Дифференциальные уравнения в многомерных фазовых пространствах
    \label chap:4:phasespace

\section Многомерные фазовые пространства

До сих пор мы рассматривали дифференциальные уравнения с одномерным фазовым пространством: искомая функция принимала значения во множестве вещественных чисел. На практике нам зачастую нужны более сложные дифференциальные уравнения с многомерными фазовыми пространствами. Для простоты обозначений здесь и ниже мы будем рассматривать преимущественно двумерные фазовые пространства. Большинство определений мгновенно обобщаются на случай произвольной размерности.

\subsection Отступление: что такое фазовое пространство?
\definition
    \emph{Фазовое пространство} — это пространство, точка в котором описывает состояние
    всей системы целиком в фиксированный момент времени. Изменение системы с
    течением времени соответствует движению точки в фазовом пространстве.
    Сложные системы описываются большим количеством параметров и требуют
    рассмотрения многомерных фазовых пространств. Координаты в фазовом
    пространстве называются \emph{фазовыми переменными}.

\example
    Зачастую просто использование понятия фазового пространства позволяет сильно
    продвинуться в понимании задачи. Приведем задачу Н.Н.Константинова из книги
    Арнольда:

    Пусть есть два города — A и B — и между ними проведены две дороги. Из города
    А в какой-то момент вышли Ромео и Джульетта и направились в сторону города
    B. При этом они решили идти каждый по своей дороге, держась за веревочку
    длиной 5 метров — Ромео за один конец, Джульетта за другой. Веревочка может
    не быть натянутой (то есть расстояние между Ромео и Джульеттой может быть
    меньше 5 метров, но не может быть больше), они могут притормаживать,
    ускоряться, пропускать друг друга вперед, идти назад и т.д. — двигаться как
    угодно. Известно, что двигаясь таким образом им удалось попасть из города A
    в город B.

    В другой день из города B в город A выехал воз, нагруженный товаром, а из
    города A в город B выехал другой воз, тоже нагруженные товаром, и ехали они
    по разным тропинкам. Возы круглые (если смотреть сверху), их радиус 3 метра.

    \proposition \nonumber
        Если два человека смогли пройти, держась за верёвочку, то возы не смогут
        разъехаться.

        \proof 
            Для решения мы нарисуем \em{фазовое пространство} — в данном
            случае, фазовую плоскость. По горизонтальной оси отложим расстояние до
            объекта (будь то человек или воз) от города А по одной дороге, а по
            вертикальной — расстояние до другого объекта по другой дороге. Таким
            образом, расположение \em{обоих} объектов будет задано \em{одной} точкой на
            плоскости. Движению обоих объектов будет соответствовать некоторая
            кривая на фазовом пространстве — \em{фазовая кривая} (или \em{траектория}).

            \figure \label fig:4:r-and-j \showcode \collapsed
                \pythonfigure
                    plt.axis([-0.1,1.1,-0.1,1.1])
                    ob.center_spines()
                    plt.plot([1, 1, 0, 0, 1],[0, 1, 1, 0, 0], linewidth=2)
                    plt.text(0.02, 1.02, "B",fontsize=20)
                    plt.text(1.02, 0.02, "B",fontsize=20)
                    plt.text(0.02, 0.02, "A",fontsize=20)
                    ob.mplot(np.linspace(0, 1), 
                             lambda x: 1 - ((1 - x)**2 + np.sin(3 * np.pi * (1 - x)) * 0.3 * (x - x**2)))
                    ob.mplot(np.linspace(0, 1), lambda x: (1 - x**2) - np.cos(3 * np.pi * x) * 0.3 * (x - x**2))
                \caption Фазовая плоскость

            В начальный момент времени Ромео и Джульетта находились в городе A,
            что соответствует точке $(0,0)$ на картинке. В конечный момент
            времени они оказались в городе B, что соответствует точке $(1,1)$ на
            картинке.  Таким образом, если смотреть на траектории, они «прошли»
            из левого нижнего угла в правый верхний. Наоборот, возы в фазовом
            пространстве двигались из левого верхнего угла в правый нижний. На
            картинке рыжим цветом изображено движения возов, зеленым — движение
            людей. Очевидно, что траектория может быть не только графиком
            функции, но и произвольной непрерывной кривой. Теперь заметим, что
            две кривые, соединяющие противоположные углы квадрата, в какой-то
            момент обязательно пересекутся.  (Строгое доказательство этого
            утверждения нетривиально — оно требует сложной в доказательстве
            леммы Жордана — но интуитивно оно не вызывает сомнений.) Это
            означает, что как минимум в одном месте фазового пространства
            \em{одновременно} будет выполнены условия, что расстояние между
            возами не более пяти (люди держатся за веревочку), но и не менее
            шести (сумма радиусов возов). Противоречие.

\example
    В \snref[модели Солоу][snip:Solow] рассматривалось одномерное фазовое пространство —
    единственной переменной была капиталовооруженность $k$, потребление
    считалось постоянным. В более сложной \em{модели Рамсея} учитывается, что
    потребление $c$ может меняться со временем, и оно вступает в игру как одна
    из неизвестных функций. Фазовое пространство становится двумерными, фазовыми
    переменными являются капиталовооруженность $k$ и потребление $c$. 

\example 
    Когда мы обсуждали \snref[мальтузианский рост популяции][snip:Malthus], наше
    пространство было одномерным: нас интересовал только размер популяции в данный
    момент времени. Если бы мы рассмотрели более сложную модель, включающую,
    например, взаимодействующие популяции двух разных видов, нам потребовалось бы
    два числа для описания состояния системы — количество особей одного вида и
    другого вида.
    \hidden
        \snippet \label snip:Lotka-Volterra \flabel модель Лотки — Вольтерра
            \emph{Модель Лотки — Вольтерра} описывает динамику популяций двух
            взаимодействующих видов: например, кроликов и лис. Если ни одной
            лисы нет, скорость роста числа кроликов пропорциональна числу самих
            кроликов, а если нет кроликов, то лисы вымирают от голода — за
            единицу времени какая-то доля популяции погибает. Каждая встреча
            лисы с кроликом вносит положительный вклад в динамику лис и
            отрицательный — в динамику кроликов.

            Если $x$ — число лис, а $y$ — число кроликов, то соответствующее
            дифференциальное уравнение имеет вид:
            \eq
                \begin{cases}
                \dot x  = - \beta x + \gamma \cdot xy,\\\\
                \dot y  = ky-\lambda \cdot xy.
                \end{cases}
            где $k$, $\lambda$, $\beta$, $\gamma$ — некоторые положительные параметры.
            Фазовым пространством здесь является первая координатная четверть $x\ge 0,
            y\ge 0$.

    Рассмотрим, скажем, простейшую модель взаимодействия двух видов, один из
    которых является хищником, а другой — жертвой — например, взаимодействие
    кроликов и лис, или щук и карасей.

    Пусть $x$ — число лис, $y$ — число кроликов. Если ни одной лисы нет,
    скорость роста числа кроликов пропорциональна числу самих кроликов (как в
    мальтузианской модели — какая-то часть популяции воспроизводится за единицу
    времени). Наоборот, если нет кроликов, то лисы вымирают от голода — за
    единицу времени какая-то доля популяции погибает. Каждая встреча лисы с
    кроликом (которые происходят с частотой, пропорциональной произведению $xy$)
    вносит положительный вклад в динамику лис и отрицательный — в динамику
    кроликов. Запишем дифференциальное уравнение (систему из двух уравнений):

    \eq
        \begin{cases}
        \dot y  = ky-\lambda \cdot xy\\\\
        \dot x  = - \beta x + \gamma \cdot xy,
        \end{cases}
    где $k$, $\lambda$, $\beta$, $\gamma$ — некоторые положительные параметры.
    Фазовым пространством здесь является первая координатная четверть $x\ge 0,
    y\ge 0$.
    Эта система называется \em{моделью Лотки—Вольтерры}. Мы к ней ещё вернёмся в
    будущем.

\section Дифференциальные уравнения в многомерных пространствах

Нам потребуется напомнить некоторые определения из математического анализа.
\definition \label def:4:area
    \snippet \label snip:area \flabel Область
        \em{Областью} в пространстве $\mathbb R^n$ мы будем называть связное
        подмножество в $\mathbb R^n$. Часто под областью подразумевают открытое
        подмножество, но мы не будем накладывать этого требования. Например,
        отрезок, интервал, полуинтервал, луч — все они являются областями в
        $\mathbb R^1$. Первая четверть (открытая или замкнутая — не важно) —
        область в $\mathbb R^2$.
\definition \label def:4:vectorfunc
    \snippet \label snip:vectorfunc \flabel Вектор-функция
        \em{Вектор-функцией} называется отображение $\ph\colon I \to \mathbb
        R^n$ из \snref[области][snip:area] $I \in \mathbb R$ числовой прямой в
        многомерное векторное пространство. Вектор-функцию можно представлять
        себе как упорядоченный набор числовых функций (то есть отображений
        числовой прямой в себя): 
        \eq 
            \ph(t)=(\ph_1(t), \ph_2(t), \ldots, \ph_n(t)) \in \mathbb R^n,
        где $\ph_j\colon I\to \mathbb R$ для всех $j=1,\ldots, n$.

\definition \label def:4:vf-deriv
    \snippet \label snip:vf-deriv \flabel Производная вектор-функции
        \em{Производной} вектор-функции $\ph\colon I\to \mathbb R^n$,
        $\ph(t)=(\ph_1(t),\ldots,\ph_n(t))$ называется вектор-функция,
        составленная из производных каждой компоненты функции $\ph$:
        \eq
            \dot \ph(t)=(\dot \ph_1(t), \ldots, \dot \ph_n(t))

Теперь мы готовы к тому, чтобы сформулировать общее определение
дифференциального уравнения первого порядка с фазовым пространством произвольной
размерности.

Пусть $z\colon I\to \mathbb R^n$ — $n$-мерная вектор-функция, $U$ — фазовое пространство, являющееся некоторой областью в $\mathbb R^n$, $I\times U$ — расширенное фазовое пространство, $F\colon I \times U \to \mathbb R^n$ — гладкое отображение. Тогда можно рассмотреть дифференциальное уравнение
\equation \label eq:4:general
    \dot z = F(t, z)

Его решением является вектор-функция $z=\ph(t)$, такая, что

\equation
    \dot \ph(t) = F(t, \ph(t))
для всех $t$ из области определения $\ph$.

Понятия «система дифференциальных уравнений» и «дифференциальное уравнение с
многомерным фазовым пространством» эквивалентны. Действительно, 
рассмотрим, например, систему из двух дифференциальных уравнений:
\equation \label eq:4:system
    \begin{cases}
    \dot x=f(x,y,t)\\\\
    \dot y=g(x,y,t)
    \end{cases}

Систему \ref{eq:4:system} можно представить как одно дифференциальное уравнение вида \ref{eq:4:general} на вектор-функцию $z(t)=(x(t),y(t))$, где $F(t, z) = (f(x, y, t), g(x, y, t))$.

Здесь ситуация полностью аналогична линейной алгебре: нет никакой разницы между системой линейных уравнений и одним линейным уравнением относительно вектора (например, записанным в матричной форме).

\subsection Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Мы уже формулировали кратко теорему существования и единственности для
многомерных дифференциальных уравнений, но сейчас не грех и повторить.

\snippet \label snip:thm:eu \flabel Теорема существования и единственности
    \theorem \label{thm:4:eu}
        Рассмотрим уравнение \ref{eq:4:general}, в котором правая часть $F(t, z)$
        непрерывно дифференцируема ($C^1$-гладкая, то есть дифференцируемая и все
        частные производные непрерывны) в окрестности точки $(t_0, z_0)$
        расширенного фазового пространства.

        Тогда найдётся такая окрестность $U=U_\delta(t_0)$, что на $U$ существует
        решение $z=\ph(t)$ уравнения \ref{eq:4:general}, удовлетворяющее условию
        $\varphi(t_0)=z_0$, и при этом любое другое решение уравнения
        \ref{eq:4:general}, удовлетворяющее этому же условию, совпадает с
        $\varphi$ на некоторой окрестности точки $t_0$.

\section Автономные системы дифференциальных уравнений
\subsection Геометрия вектор-функций
Ещё один небольшой экскурс в математический анализ. С любой вектор-функцией
связаны два геометрических понятия, которые нам сейчас понадобятся: её
\emph{график} и \emph{траектория}. Проще начать с траектории.

\definition \label def:4:vf-traj
    \snippet \label snip:vf-traj \flabel Траектория вектор-функции
        \em{Траекторией} вектор-функции $\ph \colon I \to \mathbb R^n$
        называется кривая в $\mathbb R^n$, являющаяся образом для отображения
        $\ph$, с отмеченным на ней направлением, соответствующим увеличению
        аргумента. Иными словами, траектория — это кривая
        \eq
            \\{\ph(t)\mid t\in I\\},
        на которой нарисована стрелочка, соответствующая направлению увеличения параметра
        $t$.
\example
    Рассмотрим вектор-функцию $\ph(t)=(\cos(t), \sin(t))$, $t\in [0, 2\pi)$. Её
    траекторией будет единичная окружность, ориентированная против часовой
    стрелки.
    \figure \showcode \collapsed
        \pythonfigure \style max-width: 300px
            plt.figure(figsize=(3,3))

            plt.axis([-1.1, 1.1, -1.1, 1.1])
            ob.center_spines()
            T = np.linspace(0, 2*np.pi, 200)
            plt.plot(np.cos(T), np.sin(T))
            ax = plt.gca()
            ax.arrow(np.sqrt(1/2),np.sqrt(1/2),
                     -0.00001, 0.00001, head_width=0.04, 
                     head_length=0.07, fc='b', ec='b')

\question \label quest:4:tr
    Что будет траекторией для вектор-функции $\ph(t)=(\sin(2t), \cos(2t))$?
    \quiz
        \choice
            Такая же окружность.
            \comment Не совсем. Что насчёт ориентации?
        \choice
            Окружность радиуса 2. 
            \comment 
                Нет. Подставьте любое значение $t$ и посмотрите, что получится.
        \choice \correct
            Единичная окружность, ориентированная по часовой стрелке.
            \comment Верно!

Если кривая задана как траектория некоторой вектор-функции, говорят также, что
эта кривая задана \em{параметрически}: параметр — это аргумент вектор-функции.
Как следует из \ref[вопроса][quest:4:tr], одна и та же кривая может быть задана
разными вектор-функциями.

\snref[Производная][snip:vf-deriv] вектор-функции имеет следующую геометрическую интерпретацию: это вектор скорости точки, движущейся вдоль траектории. Естественно изображать векторы скорости на картинке с траекторией вектор-функции, откладывая их от соответствующих точек.

\example
    Для вектор-функции $\ph(t)=(\cos t, \sin t)$ производной является
    вектор-функция $\dot \ph(t) = (-\sin t, \cos t)$. Нетрудно видеть, что
    вектор $\dot \ph(t)$ перпендикулярен радиус-вектору точки $\ph(t)$. На
    картинке это будет выглядеть так.
    \figure \showcode 
        \pythonfigure \style max-width: 400px
            plt.figure(figsize=(4,4))

            plt.axis([-2, 2, -2, 2])
            ob.center_spines()
            T = np.linspace(0, 2*np.pi, 200)
            plt.plot(np.cos(T), np.sin(T))
            ax = plt.gca()
            
            T = np.linspace(0, 2*np.pi, 4*4+1)
            plt.quiver(np.cos(T), np.sin(T), -np.sin(T), np.cos(T), 
                       scale=0.9, scale_units='x', color='Teal', headlength=7)

\proposition \label prop:4:tang 
    Вектор производной вектор-функции $\ph$ в точке $t_0$ касается траектории
    этой функции в точке $t_0$.
\exercise \nonumber
    Доказать \ref[утверждение][prop:4:tang].

Теперь разберёмся с графиком. В отличие от траектории, которая рисуется в
пространстве-образе вектор-функции, график рисуется в декартовом произведении
прообраза на образ, то есть в пространстве $I\times \mathbb R^n$. Например, для
вектор-функции $\ph\colon I\to \mathbb R^2$, это будет картинка в трёхмерном
пространстве с координатами $t, x, y$. Рисуется она так: для каждого значения
$t\in I$ рисуется точка $(t, x(t), y(t))$, где $(x(t), y(t))=\ph(t)$. Иными
словами, для каждого значения $t$ можно провести плоскость, проходящую через
точку $(t, 0, 0)$ параллельно координатной плоскости $Oxy$, и она должна
пересечь наш график в единственной точке $(t, x(t), y(t))$, соответствующий
значению функции $\ph$ в точке $t$. (Если вдуматься, здесь всё совершенно
аналогично понятию графика для функции одной переменной. Вдумайтесь.)

Формальное определение такое:

\definition \label def:4:vf-graph
    \emph{Графиком} вектор-функции $\ph\colon I\to \mathbb R^n$ называется
    подмножество декартова произведения $I\times \mathbb R^n$, устроенное
    следующим образом:
    \eq
        \\{(t, \ph(t))\mid t\in I\\}

\example
    Графиком вектор-функции $\ph(t)=(\cos t, \sin t)$ будет спираль.
    \figure \showcode \collapsed
        \plotly
            t = np.linspace(0, 2*np.pi,50)

            trace1 = go.Scatter3d(
                x = t,
                y = np.cos(t),
                z = np.sin(t),
                mode = 'lines+markers',
                marker = {'size': 3},
                hoverinfo = 'none',
                name = 'График',
                line = go.Line(width = 4),
                projection = {'x': {'show': True, 'opacity': 1}},
            )
            trace2 = go.Scatter3d(
                x = np.zeros_like(t),
                y = np.cos(t),
                z = np.sin(t),
                mode = 'lines',
                hoverinfo = 'none',
                name = 'Траектория',
                line = go.Line(width = 4)
            )
            trace3 = go.Scatter3d(
                x = t,
                y = np.zeros_like(t),
                z = np.zeros_like(t),
                mode = 'lines',
                hoverinfo = 'none',
                name = 'x=0, y=0'
            )
            layout = go.Layout(
                            scene = go.Scene(
                                xaxis = {'title': 't'},
                                yaxis = {'title': 'x'},
                                zaxis = {'title': 'y'},
                                camera = {'eye': {'x': 1, 'y': -2, 'z': 1}}
                            )
            )
            plot(dict(data=[trace1, trace3], layout=layout))
        \caption 
            Траектория и график вектор-функции $\ph(t)=(\cos t, \sin t)$.
            Картинку можно крутить!
\remark \label rem:4:proj
    Траектория вектор-функции является проекцией её графика вдоль оси $t$.

\hide
    \paragraph Репараметризация 

        
\subsection Автономные дифференциальные уравнения на плоскости
Если правая часть не зависит от $t$ явно, система из двух дифференциальных уравнений становится \em{автономной} и принимает вид:

\equation \label eq:4:auto
    \begin{cases}
    \dot x=f(x,y)\\\\
    \dot y=g(x,y)
    \end{cases}

Напомним, что \em{интегральной кривой} дифференциального уравнения называется
график его решения; интегральная кривая лежит в расширенном фазовом
пространстве. Для автономных уравнений также оказываются содержательными
геометрические объекты, определённые в фазовом пространстве.

\definition
    \em{Траекторией} (или \em{фазовой кривой}) системы \ref{eq:4:auto}
    называется траектория вектор-функции, являющейся решением этой системы.
\remark
    Фазовая кривая — это проекция интегральной кривой на фазовое пространство
    вдоль оси времени (ср. с \ref[замечанием][rem:4:proj]).
\proposition
    Через любую точку $(x_0, y_0)$ фазовой плоскости уравнения \ref{eq:4:auto}
    проходит фазовая кривая, причём ровно одна.

\proof
    Возьмём произвольный момент времени $t=t_0$.  По \ref[теореме существования
    и единственности\nonumber][thm:4:eu] существует и единственно решение $\ph(t)=(x(t),\\
    y=y(t))$ уравнения \ref{eq:4:auto}, определённое в некоторой окрестности
    точки $t_0$, и такое, что $x(t_0)=x_0$, $y(t_0)=y_0$. Его траектория даёт
    фазовую кривую, проходящую через точку $(x_0, y_0)$.

    Остаётся доказать, что эта траектория единственна. Для конкретного $t_0$
    единственность следует из единственности решения; остаётся доказать, что от
    выбора $t_0$ фазовая кривая не зависит. Действительно, уравнение
    \ref{eq:4:auto} автономно, а, следовательно сдвиг по времени начального
    условия приведёт к такому же сдвигу по времени всего решения. Иными словами,
    для другого начального момента времени $t=t_1$ решением будет функция
    $\ph_1(t)=\ph(t-t_1+t_0)$. Траектории у функций $\ph$ и $\ph_1$ совпадают.
    Следовательно, фазовая кривая единственна.

\figure \label fig:4:proj \showcode \collapsed
    \plotly
        t = np.linspace(0, 1.5, 20)
        t0 = 0.5
        data = []
        def f(t):
            return (np.cos(2*t), np.sin(2*t))

        data.append(go.Scatter3d(
            x = t,
            y = f(t)[0],
            z = f(t)[1],
            mode = 'lines+markers',
            hoverinfo = 'none',
            name = 'График',
            
            line = go.Line(width = 4),
            marker = {'size': 3},
            projection = {'x': {'show': True, 'opacity': 0.6}}
        ))
        data.append(go.Scatter3d(
            x = [t0],
            y = [f(t0)[0]],
            z = [f(t0)[1]],
            hoverinfo = 'none',
            showlegend = False,
            projection = {'x': {'show': True}}
        ))
        deltat = 0.5
        data.append(go.Scatter3d(
            x = t + deltat,
            y = f(t)[0],
            z = f(t)[1],
            mode = 'lines+markers',
            hoverinfo = 'none',
            name = 'Траектория',
            line = go.Line(width = 4),
            marker = {'size': 3},
            projection = {'x': {'show': True, 'opacity': 0.7}}
        ))
        data.append(go.Scatter3d(
            x = [t0 + deltat],
            y = [f(t0)[0]],
            z = [f(t0)[1]],
            hoverinfo = 'none',
            showlegend = False,
            projection = {'x': {'show': True}}
        ))
        layout = go.Layout(
                        scene = go.Scene(
                            xaxis = {'title': 't'},
                            yaxis = {'title': 'x', 'range': [-1.2, 1.2]},
                            zaxis = {'title': 'y', 'range': [-1.2, 1.2]},
                            camera = {'eye': {'x': 1, 'y': -2, 'z': 1}}
                        ),
                        showlegend = False,
        )
        plot(dict(data=data, layout=layout))
    \caption 
        Интегральные кривые, отличающиеся сдвигом по времени, проецируются
        в одну и ту же фазовую кривую
\snippet \label snip:phaseportrait \flabel фазовый портрет
    \definition
        Если нарисовать на фазовом пространстве все возможные траектории, получится
        \em{фазовый портрет}.

С \snref{интегральными кривыми} связаны \snref{поля направлений}; для фазовых кривых есть
похожий объект: векторное поле.

\definition \label{def:4:vectorfield}
    \em{Векторным полем}, заданным системой \ref{eq:4:auto}, называется
    следующий объект: в каждой точке $(x_0, y_0)$ фазового пространства
    нарисован вектор, выходящий из точки $(x_0, y_0)$ и имеющий координаты
    $(f(x_0,y_0), g(x_0,y_0))$.
\snippet \hidden \label snip:vfield \flabel Векторное поле
    \backref def:4:vectorfield
    \em{Векторным полем}, заданным автономным дифференциальным уравнением $\dot
    x=v(x)$, $x(t)\in \mathbb R^n$, $v(x) = (v_1(x),\ldots, v_n(x))$ называется 
    следующий объект: в каждой точке $x_0$ фазового пространства
    нарисован вектор, выходящий из точки $x_0$ и имеющий координаты
    $(v_1(x), \ldots, v_n(x))$.

\remark \nonumber 
    Каждый вектор векторного поля показывает, с какой скоростью движется точка
    вдоль фазовой кривой, проходя определённое место в фазовом пространстве.
    Фазовые кривые системы касаются векторов соответствующего векторного поля в
    каждой своей точке. Это мгновенно следует из \ref[утверждения][prop:4:tang].

Рассмотрим несколько примеров.

\example
    Нулевое поле:
    \equation \label eq:4:zero
        \dot x=0,\quad \dot y=0
    В каждой точке отложен нулевой вектор. 
    \figure \label fig:4:zero \showcode \collapsed
        \pythonfigure \style max-width: 400px;
            plt.figure(figsize=(6,6))
            plt.axis([-4,4,-4,4])
            X = np.arange(-4,4,0.7)
            x, y = np.meshgrid(X, X)
            plt.plot(x, y, 'o', color='Teal');
        \caption Нулевое векторное поле: кружочки символизируют нулевые векторы
    \question
        Как выглядят фазовые кривые этого уравнения?
        \quiz
            \choice
                Произвольные кривые
                \comment
                    Это неверно: у системы \ref{eq:4:zero} и начального
                    условия $x(0)=x_0, y(0)=y_0$ всегда существует тождественное решение
                    $x(t)=x_0, y(t)=y_0$, а по \ref[теореме существования и
                    единственности\nonumber][thm:4:eu] других решений нет.
            \choice
                Вся плоскость
                \comment
                    Это неверно: вся плоскость не может быть фазовой кривой, например,
                    потому что не бывает дифференцируемого отображения из прямой
                    на всю плоскость.
            \choice \correct
                Каждая точка является отдельной фазовой кривой
                \comment
                    Верно! У системы \ref{eq:4:zero} и начального
                    условия $x(0)=x_0, y(0)=y_0$ всегда существует тождественное решение
                    $x(t)=x_0, y(t)=y_0$, а по \ref[теореме существования и
                    единственности\nonumber][thm:4:eu] других решений нет.
                    Траектория постоянной вектор-функции — одна точка.
\example        
    Постоянное поле:
    \eq
        \dot x=1,\quad \dot y=2
    В каждой точке отложен один и тот же вектор с координатами $(1, 2)$.
    Фазовыми кривыми являются параллельные прямые с угловым коэффициентом $2$.

    \figure \label fig:4:const \showcode \collapsed
        \pythonfigure \style max-width: 400px
            plt.figure(figsize=(4,4))
            fs = lambda x, y: (1,2)
            ob.vectorfield(np.linspace(-4, 4, 6),
                           np.linspace(-4, 4, 6),
                           fs, color='Teal', 
                           headlength=7, scale=0.9,
                           scale_units='x')
        \caption Постоянное векторное поле

\example Эйлерово поле:
\eq
    \dot x=x,\quad \dot y=y
\figure \label fig:4:euler \showcode
    \pythonfigure \style max-width: 400px;
        plt.figure(figsize=(4,4))
        plt.xlim(-1, 1)
        plt.ylim(-1, 1)
        theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 4*5+1)
        r = np.linspace(0, 1, 5)**3
        
        r, theta = np.meshgrid(r, theta)

        x = np.cos(theta)*r
        y = np.sin(theta)*r

        plt.quiver(x, y, x, y, color='Teal', headlength=7, scale=1,
                    scale_units='x')
    \caption Эйлерово векторное поле
\question
    Каковы фазовые кривые этого уравнения?
    \quiz
        \choice
            Прямые, проходящие через начало координат. 
            \comment
                Неверно. Фазовая кривая, стартовавшая вне начала координат, не
                может попасть в начало координат: это противоречило бы
                \ref[теореме существования и единственности\nonumber][thm:4:eu].
        \choice
            Открытые лучи, выходящие из начала координат.
            \comment
                Не совсем верно. Есть ещё одна фазовая кривая.
        \choice \correct
            Открытые лучи, выходящие из начала координат, а также само начало координат.
            \comment
                Так и есть!
        \choice
            Открытые лучи, выходящие из начала координат (кроме вертикального),
            и само начало координат
            \comment
                Нет, в данном случае вертикальный луч является полноправной
                фазовой кривой: ничто не запрещает его рассматривать.

\subsection Особые и неособые точки векторного поля
\snippet \label{snip:singular} \flabel{Особая точка}
    \definition \label{def:singular}
    Точка фазового пространства называется \emph{особой}, если векторное
    поле в этой точке равно нулю (нулевому вектору). Иными словами, правая часть
    дифференциального уравнения в особой точке обнуляется. Все остальные точки
    называются \emph{неособыми}. Особые точки также называются \emph{положениями
    равновесия} (\emph{equilibrium point} или \emph{steady state}).

Пусть $(x_0, y_0)$ — особая точка для некоторого дифференциального уравнения.
Тогда вектор-функция $\ph(t)\equiv (x_0, y_0)$, тождественно равная этой точке,
очевидно, является решением соответствующего уравнения (ведь её производная
равна нулевому вектору). Если уравнение удовлетворяет условию \snref{теоремы
существования и единственности}, эта функция является единственным решением
уравнения с начальным условием $(x_0, y_0)$.  Иными словами, если решение
начинается в особой точке, то оно вечно живёт в этой особой точке (и, более
того, вечно жило в этой точке в прошлом). Никакое другое решение попасть в
особую точку не может (но может долго-долго к ней приближаться). Особые точки
являются отдельными траекториями и обычно изображаются на фазовом портрете
маленькими кружочками.

\section Связь между автономными и неавтономными уравнениями
    \label sec:4:auto-nonauto

Между автономными и неавтономными дифференциальными уравнениями есть важная
связь, которую неформально можно сформулировать так: мир неавтономных систем
ровно на одно измерение богаче мира автономных систем; чтобы перейти от
неавтономной системы к автономной, нужно увеличить размерность фазового
пространства на один, а для обратного перехода — уменьшить на один.

Сейчас мы обсудим одну из версий этого принципа.

\theorem \label thm:4:auto-nonauto
    Рассмотрим систему

    \equation \label eq:4:auto2d
        \begin{cases}
        \dot x=f(x,y)\\\\
        \dot y=g(x,y)
        \end{cases}

    Для любой точки $P=(x_0, y_0)$, такой, что $f(x_0,y_0)≠0$, фазовая кривая
    системы \ref{eq:4:auto2d}, проходящая через $P$, совпадает с интегральной кривой для
    уравнения 

    \equation \label eq:4:nonauto
        \frac{dy}{dx}=\frac{g(x,y)}{f(x,y)}

    \proof 
        Построим векторное поле системы \ref{eq:4:auto2d}, а также поле
        направлений уравнения \ref{eq:4:nonauto}. Рассмотрим произвольную точку
        $(x_1,y_1)$, близкую к точке $P$. В ней поле направлений задается
        вектором $(f(x_1,y_1),g(x_1,y_1))$. Угловой коэффициент прямой, на
        которой лежит этот вектор, равен $\frac{g(x_1,y_1)}{f(x_1,y_1)}$.
        Угловой коэффициент прямой из поля направлений уравнения
        \ref{eq:4:nonauto}, проведенной в точке $(x_1,y_1)$, будет равен тому же
        числу: $\frac{g(x_1,y_1)}{f(x_1,y_1)}$. По теореме о существовании и
        единственности, кривая, касающаяся в каждой своей точке соответствующего
        направления, единственна. Значит, фазовая кривая автономного уравнения и
        интегральная кривая неавтономного совпадают.

        Этот принцип работает во всех точках, когда $f(x_0,y_0)\neq 0$. В
        точках, когда это не выполнено можно поменять ролями $x$ и $y$: выражать
        не $y$ через $x$, а $x$ через $y$. Наконец, когда оба выражения
        обнуляются:  $g(x_0,y_0)=f(x_0,y_0)= 0$ — то эта точка является
        \em{особой}, и в ней не определено поле направлений.

\example \label ex:4:euler
    Рассмотрим систему, задающую эйлерово векторное поле:
    \eq
        \dot x = x\quad \dot y = y.
    Уравнения, входящие в эту систему, не зависят друг от друга (в уравнении на
    $x$ фигурирует только $x$, в уравнении на $y$ — только $y$). Решения этих
    уравнений нам уже известны (см. \ref[параграф][par:1:xdotx]):
    \equation \label eq:4:sol
        x(t)=x_0 e^t,\quad y(t)=y_0 e^t,
    где $x(0)=x_0, y(0)=y_0$ — начальные условия.

    Уравнения на фазовые кривые можно получить, выразив $x$ через $y$ или $y$
    через $x$. Например, из первого уравнения следует, что $e^t = x(t)/x_0$ и
    подставляя это во второе уравнение, имеем:

    \eq
        y = x\frac{y_0}{x_0}

    Иными словами, фазовые кривые лежат на прямых, проходящих через начало
    координат. Из выражения для решений \ref{eq:4:sol} видно, что фазовые кривые
    являются открытыми лучами: решения стремятся к точке $(0,0)$ при $t\to
    -\infty$, но никогда не достигают этой точки.

    С помощью \ref[теоремы][thm:4:auto-nonauto] можно было бы получить уравнение
    на фазовые кривые, не находя явного вида решений. Для этого необходимо
    перейти к соответствующему неавтономному уравнению
    \eq
        \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}
    Это \snref{уравнение с разделяющимися переменными} и оно легко решается:
    \align
        \item  \frac{dx}{x}     &=\frac{dy}{y}
        \item \int \frac{dx}{x} &=\int \frac{dy}{y}
        \item 
            \ln |y|           &= \ln |x| + C
        \item 
            |y|               &= C |x|
    Поскольку $x$ и $y$ никогда не меняют знак, можно снять модули и получить
    уравнение $y=Cx$, задающее то же семейство прямых, что и раньше.

    При этом, однако, мы потеряли некоторую информацию: в частности, направление
    движения по фазовым кривым, а также тот факт, что на самом деле фазовые
    кривые являются лучами, а не прямыми. Мы также потеряли вертикальные фазовые
    кривые и фазовую кривую, соответствующую тождественно нулевому решению (она
    изображается одной точкой). Всё это связано с условием $f\ne 0$ в
    \ref[теореме][thm:4:auto-nonauto].

Как показывает разобранный \ref[пример\nonumber][ex:4:euler], для автономного
дифференциального уравнения на плоскости можно рассматривать две разные задачи: 
\enumerate
    \item 
        Найти решения, то есть зависимость $x(t)$ и $y(t)$.
    \item 
        Найти фазовые кривые, то есть зависимость $y$ от $x$ или $x$ от $y$.

Для решения второй из этих задач полезно использовать
\ref[теорему][thm:4:auto-nonauto], но при этом мы теряем некоторую информацию об
исходной системе.

\subsection Репараметризация фазовых кривых \label par:4:reparam

Что произойдёт с фазовыми кривыми системы дифференцальных уравнений, если её
правую часть умножить на некоторое ненулевое число?

Рассмотрим систему
\eq
    \begin{cases}
    \dot x=\lambda f(x,y);\\\\
    \dot y=\lambda g(x,y),
    \end{cases}
где $\lambda > 0$. Понятно, что уравнение \ref{eq:4:nonauto}  при этом не
изменится, поскольку $h$ окажется в числителе и знаменателе и сократится. Из
\ref[теоремы][thm:4:auto-nonauto] теперь следует, что не изменятся и фазовые
кривые. Однако \em{решения} уравнения при этом изменятся.

Можно сказать, что при этом происходит \em{репараметризация} фазовых кривых: мы
посещаем те же точки фазового пространства, но в другие моменты времени.
Сформулируем необходимое определение.

\definition
    Рассмотрим гладкую вектор-функцию $f\colon [a,b] \to \mathbb R^n$ и пусть
    функция $h\colon [c,d]\to[a,b]$ также гладкая, причём её производная всюду
    положительна и $h(c)=a$, $h(d)=b$. Тогда сложная функция $f\circ h$ (то есть
    $\tilde f(s)=f(h(s))$), $s\in [c,d]$, задаёт ту же траекторию, что и
    исходная вектор-функция $f$. Переход от функции $f$ к функции $f\circ h$
    называется \emph{репараметризацией} кривой.

Если представить себе, что на каждой точке кривой написано значение параметра, при котором мы проходим эту точку, то репараметризация — просто изменение «номеров» точек кривой.

\proposition \label prop:4:reparam
    При репараметризации вектор производной умножается на число, но не меняет
    направления. 

\proof 
    Это следует из теоремы о производной сложной функции:
    \eq
        \frac{d}{ds} f(h(s))=\frac{df}{dt} \cdot \frac{dh}{ds} = \dot f \frac{dh}{ds}
    При этом $f$ — это вектор, $\frac{dh}{ds}$ — число (причём мы потребовали,
    чтобы оно было положительным).

Неформально можно сказать, что репараметризация кривой соответствует изменению
скорости, с которой мы эту кривую обходим. Теперь легко понять, что при
умножении векторного поля на константу мы изменяем скорость движения вдоль
фазовых кривых, но не сами фазовые кривые. Более того: 
аналогичное утверждение справедливо при умножении векторного поля не только на
константу, но и на любую положительную функцию.

\question
    Что произойдёт с фазовыми кривыми при умножении векторного поля на
    \em{отрицательное} число?
    \quiz
        \choice
            Ничего не произойдёт
            \comment
                Не вполне верно: на фазовой кривой есть стрелочка, показывающая
                направление движение. Что произойдёт с этими стрелочками?
        \choice Фазовые кривые симметрично отразятся
            \comment
                Нет, это интегральные кривые симметрично отразятся относительно
                плоскости $t=0$.
        \choice \correct
            Кривые останутся на месте, а вот стрелочки все поменяются на
            противоположные
            \comment
                Верно! Именно так всё и будет.