chapter13.qq

\chapter Структурная устойчивость и бифуркации \label chap:13:bifurc

В \ref[предыдущей главе\nonumber][chap:12:stability] мы обсуждали вопрос об устойчивости
положений равновесия, то есть отвечали на такой вопрос: что будет происходить с
траекторией, которая чуть-чуть отклоняется от положения равновесия. В этой главе
мы обсудим, что произойдёт с системой дифференциальных уравнений \emph{в целом},
если её «немножко пошевелить».

Этот вопрос чрезвычайно важен с практической точки зрения. Допустим, мы имеем
некоторый реальный процесс и хотим его исследовать. Для этого мы строим его
математическую модель, исследуем эту модель математическими методами, делаем
какие-то выводы и затем распространяем эти выводы на реальный процесс. При этом
мы должны понимать, что модель есть лишь некоторое приближение к реальности и
поведение реальной системы будет не в полной мере следовать предсказаниям
модели. Тем не менее, мы хотели бы иметь возможность делать по крайней
мере \emph{качественные выводы} о поведении реальной системы на основе
исследования модели. Когда это возможно?

Рассмотрим в качестве примера \snref{модель Лотки-Вольтерра}. Пусть $x$ — число
лис и $y$ — число кроликов. Тогда модель задаётся системой дифференциальных
уравнений: 
\eq
    \begin{cases}
    \dot x  = - \beta x + \gamma \cdot xy\\\\
    \dot y  = ky-\lambda \cdot xy.
    \end{cases}
Это уравнение имеет \snref{первый интеграл} (найдите, какой!) и соответствующие
фазовые кривые замкнуты. Это означает, что решения являются периодическими
функциями: если начальное условие не является положением равновесия, то размеры
популяций кроликов и лис будут вечно колебаться с неизменной амплитудой вокруг
некоторого положения равновесия. Положение равновесия при этом будет устойчивым
по Ляпунову.

Можем ли мы сделать такой вывод про реальную систему, приближаемую нашей
моделью?

Оказывается, нет. Тот факт, что все фазовые кривые являются замкнутыми, требует
выполнения очень «жёстких» условий. Каждая траектория должна абсолютно точно
попасть в то место, в котором находилась когда-то. Нетрудно поверить, что если
мы чуть-чуть изменим векторное поле системы, повернув каждый вектор на очень
маленький угол, фазовые кривые могут разомкнуться и превартиться в спирали,
сходящиеся к положению равновесия или наоборот убегающие от него, см.
\ref[рис.][fig:13:LV]. Свойства решений принципиально изменятся.

\figure \showcode \collapsed \label fig:13:LV
    \pythonfigure \style max-width: 700px;
        def f(X, k=1, la=1, be=1, ga=1):
            x, y = X
            return np.array([-be*x + ga*x*y, k*y - la*x*y])

        def f_prim(X, eps):
            x, y = X
            return f(X) + eps * np.array([y*(-x + 1), x*(-y + 1)])

        def H(X, k=1, la=1, be=1, ga=1):
            x, y = X
            return np.exp(-la*x - ga*y)*x**k*y**ga

        plt.figure(figsize=(12, 4))

        def inits(i, eps):
            if i == 0:
                return ([[1, y] for y in np.linspace(0, 3, 4)] + 
                        [[1, 0.7], [0, 1], [0, 0]])
            else:
                return [[1, 1], [0, 0], [1, 0.5]]

        for i, eps in enumerate([0, 0.1, -0.1]):
            plt.subplot(131+i)
            ob.axes4x4(xmin=-0.1, xmax=3.2, ymin=-0.1, ymax=3.2, labels=('x', 'y'))
            plt.xticks([])
            plt.yticks([])
            ob.phaseportrait(lambda X: f_prim(X, eps), 
                             inits(i, eps),
                             firstint = H if i==0 else None, xmin=0, xmax=3.2, ymin=0, 
                             ymax=3.2, arrow_size=0.7, head_length=0.2, 
                             singpoint_size=1, t=(-20, 20), n=1000,
                             gridstep=1000)
    \caption 
        Фазовые кривые в модели Лотки — Вольтерра (слева) и двух различных
        близких к ней системах (в центре и справа); в центре фазовые кривые
        стремятся к особой точке, справа убегают от неё.
        
Поэтому у нас нет никакой надежды распространить качественные выводы о
периодичности решений и устойчивости положения равновесия на
поведение реальной системы — ведь она описывается нашим уравнением лишь с
некоторым приближением, а для близких уравнений эти выводы уже не являются
верными.

Системы, поведение которых на качественном уровне сохраняется при малых
возмущениях, называются \emph{структурно устойчивыми}. Чуть позже мы дадим
более строгое определение.

\section Структурная устойчивость \label sec:struct-stab
\subsection Одномерный пример

Рассмотрим дифференциальное уравнение на прямой
\equation \label eq:13:onedim
    \dot x=-x

Это уравнение нами хорошо изучено. Его динамика очень простая: все
траектории приближаются к особой точке.

Будем называть уравнение \ref{eq:13:onedim} \emph{невозмущённым}. Рассмотрим
теперь \emph{возмущённое} уравнение, отличающееся от невозмущённого «маленьким»
слагаемым:
\equation \label eq:13:onedim-pert
    \dot x=-x+h(x)

Допустим, нас интересует только окрестность особой точки — например, отрезок
$I=[-1, 1]$. Чтобы придать формальный смысл утверждению «$h$ — маленькое»,
зафиксируем какой-нибудь $\delta>0$ и наложим на $h$ два условия:
\align
    \item 
        |h(x)|<\delta\text{ для всех }x\in I
    \item 
        |h'(x)|<\delta\text{ для всех }x\in I
В этом случае говорят, что $h$ \emph{мало в $C^1$-топологии} или просто
\emph{$C^1$-мало}. Выбор $\delta$ зависит от исходной (невозмущённой) системы. Для
системы \ref{eq:13:onedim} можно положить $\delta=1/10$.

Покажем, что на качественном уровне поведение возмущённой системы такое же, как
невозмущённой. Формально это можно записать в виде следующего предложения.

\proposition \label prop:13:onedim-example
    Уравнение \ref{eq:13:onedim-pert} при указанных выше ограничениях на $h$
    имеет ровно одну особую точку на отрезке $[-1, 1]$. Эта особая точка
    является асимптотически устойчивой и все траектории стремятся к ней при
    $t\to +\infty$.

\proof
    Начнём с неформального рассуждения. Обозначим правую часть невозмущённого
    уравнения через $f_0(x)$, а возмущённого через $f(x)$. График функции
    $f_0(x)=-x$ — прямая линия, см. \ref[рис.][fig:13:onedim-rhs]. Она пересекает
    горизонтальную ось в точке $x=0$: это положение равновесия.
    График возмущённого уравнения — какая-то кривая, близкая к графику
    невозмущённого. Если немножко пошевелить график невозмущённого уравнения,
    точка пересечения с горизонтальной осью может немножко сместиться, но не
    исчезнет. Если возмущение не слишком искривляет график, то новых точек
    пересечения не появится. Поэтому динамика останётся прежней.

    \figure
        \label fig:13:onedim-rhs
        \pythonfigure \style max-width: 450px
            plt.figure(figsize=(6,6))
            ob.axes4x4(labels=('x', '\\dot x'))
            ob.mplot(np.linspace(-4, 4), lambda x:-x, color='steelblue')
            ob.mplot(np.linspace(-4, 4), lambda x: -x + 0.2*(np.cos(x) + x + (x/4.)**2),
                color='red')
            ob.mplot(np.linspace(-4, 4), lambda x: -x + 0.4*(np.cos(x) + x + (x/4.)**2),
                color='red')
            plt.scatter([0, 1./5, 3./5], [0,0,0])
        \caption Синим показан график правой части невозмущённого уравнения,
            красным  — примеры графиков правой части возмущённого уравнения.

    Теперь перейдем к формальным рассуждениям. Докажем, что особая точка
    возущённого уравнения существует. Поскольку $|h(x)|<1/10$, $f(-1)<-1+1/10<0$
    и $f(1)>1-1/10>0$. По теореме о промежуточном значении, существует такая
    точка $x_*\in (-1, 1)$, что $f(x_*)=0$. Это особая точка возмущённого
    уравнения.

    Докажем её устойчивость. Поскольку $|h'(x)|<1/10$, $f'(x)=-1+h'(x)<-1+1/10<0$
    для любого $x\in [-1, 1]$. Следовательно, $f'(x_*)<0$ и особая точка
    асимптотически устойчива по \ref[теореме Ляпунова\nonumber][thm:12:Lyap] об
    устойчивости по первому приближению, которая обсуждалась в предыдущей главе. 

    Докажем, что особая точка единственна. Действительно, пусть есть какая-то
    другая особая точка. По теореме Ролля, между любыми двумя нулями функции $f$
    существует нуль производной. Но производная функции $f$ отделена от нуля,
    как мы показали выше. Следовательно, особая точка единственна и все
    траектории стремятся к ней в прямом времени.

\remark
    Структурную устойчивость не следует путать с устойчивостью по Ляпунову или
    асимптотической устойчивостью. Это принципиально разные понятия.
    Устойчивость по Ляпунову (или асимптотическая) относится к какой-то
    конкретной особой точке и малым изменениям начального условия. Структурная
    устойчивость относится к системе дифференциальных уравнений в целом.

\question
    Как следует изменить приведенное рассуждение если вместо невозмущённого
    уравнения $\dot x =-x$ рассматривается уравнение $\dot x = kx$, где $k$
    — какая-то ненулевая константа?

\subsection Аккуратное определение структурной устойчивости \label ssec:13:str-stab

Выше мы сказали, что система называется структурно устойчивой, если её поведение
не меняется на качественном уравне при малых возмущениях. Но что значит «не
меняетя на качественном уровне»? Чтобы придать этим словам точный смысл, нам
нужно дать несколько дополнительных определений.

Для начала, напомним, что такое гомеоморфизм.

\snippet \label snip:homeo \flabel гомеоморфизм
    \definition
        \emph{Гомеоморфизм} — это биективное (то есть взаимно однозначное)
        отображение, непрерывное вместе со своим обратным.
\example
    Отображение $f\colon [0, \pi]\to [-1, 1]$, $f(x)=\cos x$ является
    гомеоморфизмом. Оно биективно, непрерывно и обратное отображение
    $\arccos \colon [-1, 1]\to [0, \pi]$ также непрерывно. При этом
    отображение $\tilde f\colon [0, 2\pi]\to [-1, 1]$, $\tilde f(x)=\cos x$ не
    является гомеоморфизмом, поскольку не является биекцией.

\question
    Пусть $S^1=\\{(x,y)\mid x^2+y^2=1\\}$ — единичная окружность на плоскости и
    $J=[0, 2\pi)$ — полуинтервал. Рассмотрим отображение $P \colon J\to S^1$:
    \eq
        P(\ph) = (\cos(\ph), \sin(\ph)).
    Оно каждому числу ставит в соответствие точку на окружности с заданным
    полярным углом.
    Является ли оно гомеоморфизмом?
    \quiz
        \choice
            Да, является, поскольку отображение является биекцией 
            (каждой точке окружности соответствует ровно один угол $\ph\in[0,
            2\pi)$) и функции $\cos$ и $\sin$ непрерывны.
            \comment
                Ой ли? А что насчёт обратного?
        \choice \correct
            Нет, не является.
            \comment
                Действительно, само отображение $P$ является непрерывным, но
                обратное отображение $P^{-1}$ таковым не является: оно переводит
                близкие точки плоскости (например, $(0, 0)$ и $(\cos(-\eps),
                \sin(-\eps))$ для маленьких значений $\eps>0$) в далёкие точки
                полуинтервала (первая точка переходит в $0$, вторая в $2\pi -
                \eps$).

\example
    Приведём ещё вот какую совсем неформальную иллюстрацию.

    В некотором царстве, некотором государстве, власть захватили военные и
    сотрудники спецслужб. И захотели они засекретить всё на свете. Особенно
    местоположение секретных объектов, каковых на каждом квадратном километре
    некоторого царства был вагон и маленькая тележка.  Однако, простым жителям
    нужно было как-то ориентироваться на местности, а для этого им нужны были
    карты. Но по хорошей карте можно определить координаты любого объекта, в
    том числе — о, ужас — и секретного!

    Что же делать? Без карт жить нельзя — люди не смогут обрабатывать поля и
    бурить скважины, экономика встанет, начнётся голод и революция. Но и с
    картами тоже нельзя — режим секретности нарушится и вероятный противник
    сможет получить ценные равзедданные в любом книжном магазине!
    
    И вот что придумали. Хорошие, правильные карты были только в распоряжении
    военных. Для всех прочих печатались специальные «резиновые» карты. Настоящая
    карта наносилась на тонкий лист резины, затем этот лист растягивался в
    разные стороны и с этого растянутого листа происходила печать.  Растяжение
    происходило неравномерно и линии на карте сильно искажались — это позволяло
    скрыть координаты объектов, сохраняя возможность по ней ориентироваться.
    Если по карте некоторый дом находится рядом с некоторой дорогой, то можно
    было ожидать, что и на местности он также находится не слишком далеко, и по
    дороге можно до него доехать — с практической точки зрения важно именно это.
    А вот определить точные координаты дома (чтобы, скажем, навести на него
    баллистическую ракету) уже невозможно.

    Эта сказочка является иллюстрацией того, как гомеоморфизмы действуют на
    множества. Они могут искажать линии (и даже превратить, например, прямую в
    ломаную), но не могут «склеивать» разные точки в одну или
    «разрывать» непрерывные линии.

\snippet \label snip:ote \flabel орбитально топологическая эквивалентность
    \definition
        Системы $\dot{\mb x}= \mb v(\mb x)$ и $\dot{\mb y} = \mb w(\mb y)$
        называются \emph{орбитально топологически эквивалентными}, если
        существует \snref{гомеоморфизм} $\mb y=H(\mb x)$ фазового пространства
        первой системы в фазовое пространство второй системы, который переводит
        фазовые кривые первой системы в фазовые кривые второй системы с
        сохранением направления движения по ним.

\example
    Рассмотрим уравнения 
    \equation
        \label eq:13:onedim-np
        \dot x = -x

    и
    \equation \label eq:13:onedim-pert-sin
        \dot y = -y + 0{,}2 \sin (y-0{,}4) + 0{,}4
        
    Их фазовые пространства одномерны. Построим график зависимости правой части
    от соответствующей фазовой переменной (он покажет, в каких точках
    направление движения положительно, а в каких отрицательно), после чего
    построим фазовые портреты.  Они будут очень простыми, см.
    \ref[рис.][fig:phaseportraits-onedim].

    \figure \showcode \collapsed \label fig:phaseportraits-onedim
        \pythonfigure \style max-width: 700px;
            plt.figure(figsize=(10, 5))
            x = np.linspace(-4, 4)
            plt.subplot2grid((10, 10), (0, 0), rowspan=9, colspan=5)
            ob.axes4x4(labels=('x', '\\dot x'))
            plt.plot(x, -x, '-', lw=2)
            plt.subplot2grid((10, 10), (9, 0), colspan=5)
            plt.yticks([])
            ob.onedim_phasecurves(-4, 4, [0], [1, -1], orientation='horizontal')

            plt.subplot2grid((10, 10), (0, 5), rowspan=9, colspan=5)
            y = np.linspace(-4, 4, 200)
            ob.axes4x4(labels=('y', '\\dot y'))
            plt.plot(y, -y + 0.2*np.sin(y-0.4) + 0.4, lw=2)
            plt.plot([0.4, 0.4], [-4, 4], '--', color='gray', lw=2)

            plt.subplot2grid((10, 10), (9, 5), colspan=5)
            plt.yticks([])
            ob.onedim_phasecurves(-4, 4, [0.4], [1, -1], orientation='horizontal')
            plt.tight_layout(pad=0)
        \caption
            Зависимость правой части от точки фазового пространства (сверху) и 
            фазовые портреты (снизу) для невозмущённого (слева) и возмущённого
            (справа) уравнения.

    У обоих уравнений есть по три фазовые кривые: особая точка и два луча;
    движение по лучам происходит в направлении «к особой точке». У первого
    уравнения особая точка имеет координату $x=0$, у второго — $y=0{,}4$ — и это
    единственное, чем отличаются эти фазовые портреты. Понятно, что отображение
    $x=y-0{,}4$ (то есть просто сдвиг) переводит фазовый портрет второго 
    уравнения в фазовый портрет первого уравнения. Это гомеоморфизм
    (проверьте!). Следовательно, два наших уравнения орбитально топологически
    эквивалентны.

\exercise
    Сделайте замену $x=y-0{,}4$ в уравнении \ref{eq:13:onedim-pert-sin}. Превратится
    ли оно при этом в уравнение \ref{eq:13:onedim-np}? Это упражнение
    показывает, что орбитально топологическая эквивалентность переводит в
    фазовый портрет в фазовый портрет, но не обязана переводить уравнение в
    уравнение.

\question
    Являются ли орбитально топологически эквивалентными уравнения $\dot x = -x$
    и $\dot y = y + 0{,}2$.
    \quiz
        \choice Да, конечно! Достаточно с помощью сдвига перевести особую точку
            одного уравнения в особую точку другого.
            \comment
                А что насчёт направления движения по траекториям?
        \choice \correct
            Нет, конечно!
            \comment
                Именно так. У первого уравнения все траектории стремсятся к
                особой точке в прямом времени, а у второго — убегают от неё.
                Гомеоморфизм, переводящий траекторию в траекторию и особую точку
                в особую точку, не может поменять направление движения.
                Следовательно, орбитально топологической эквивалентности здесь
                нет.
\exercise \label ex:13:sing
    Докажите, что у орбитально топологически эквивалентных дифференциальных
    уравнений (в любой размерности) одинаковое число особых точек.
Теперь мы можем сформулировать аккуратное определение структурной устойчивости.
\snippet \label snip:struct-stab \flabel структурная устойчивость
    \definition \label def:13:struct-stab
        Уравнение $\dot{\mb x}=\mb v(\mb x)$ называется \emph{структурно устойчивым},
        если найдётся такое $\delta$, что для всякой функции $\mb h$, такой, что $\\|\mb h(\mb
        x)\\|<\delta$ и $\\|\mb h'(\mb x)\\|<\delta$, исходное уравнение орбитально
        топологически эквивалентно возмущённому уравнению $\dot{\mb x}=\mb v(\mb
        x)+\mb h(\mb x)$.

\remark
    Приведенное выше определение подходит для уравнений с фазовым пространстовм
    любой размерности, поэтому вместо модулей в условии на $\mb h$ стоят нормы.
    Производную $\mb h'$ в многомерном случае следует понимать как линейный
    оператор, заданный соответствующей матрицей Якоби. Норму матрицы (вернее,
    соответствующего линейного оператора) можно задавать разными способами —
    например, как максимум норм образов всех единичных векторов под действием
    данного оператора.

\remark
    Условие на $\mb h$ в определении часто записывают коротко так: «для всякой малой
    функции $\mb h$…».

\theorem \label thm:13:stability_online
    (Признак структурной устойчивости на прямой.) Уравнение $\dot x = v(x)$,
    $x(t) \in \mathbb R^1$ является структурно устойчивым, если выполнены два
    условия:
    \enumerate
        \item во всех особых точках производная правой части не равна нулю;
        \item вне некоторого отрезка $I=[-M, M]$ правая часть отделена от нуля. 
    Иными словами, для всякого $x_*$,
    такого, что $v(x_*)=0$, выполняется $v'(x_*)\ne 0$, и найдутся такие $M$ и
    $C>0$, что для всех $x\not \in [-M, M]$ выполняется $|v(x)|>C$.

    Первое условие является также необходимым: если оно нарушается, структурной
    устойчивости нет.

\proof \outline
    Пусть для всех особых точек производная
    правой части ненулевая. Покажем, что уравнение структурно устойчиво.


    Фазовый портрет уравнения состоит из интервалов и лучей, на которые фазовое
    пространство (прямая) разбивается особыми точками, и самих особых точек. 
    Вне отрезка $I$ особых точек не было в исходном уравнении и не будет в
    возмущённом, если только потребовать, чтобы порядок малости возмущения был
    меньше $C$.
    
    Из рассуждений, аналогичных \ref[утверждению][prop:13:onedim-example],
    следует, что на отрезке $I$ у малого возмущения уравнения сохранятся все
    особые точки (может быть, слегка сместившись). Их устойчивость не меняется.
    Это означает, что направление движения по остальным фазовым кривым также
    сохраняется. Нетрудно построить гомеоморфизм прямой в прямую, который
    переведёт особые точки в соответствующие особые точки (например, его можно
    сделать кусочно линейным).  Этот гомеоморфизм превратит фазовый портрет
    возмущённой системы в фазовый портрет исходной системы.

    Необходимость мы доказывать не будем, но в следующем разделе обсудим один из
    возможных эффектов, возникающих, когда условие теоремы нарушается.

\question
    Приведите пример уравнения, у которого нарушено второе условие и которое не
    является структурно устойчивым.
    \quiz
        \choice \correct
            Узнать ответ
            \comment
                Например, $\dot x = e^{-x^2}$ подойдёт (и любая другая функция
                с нулевой горизонтальной асимптотой)

\section Седлоузловая бифуркация
Как выглядят уравнения, которые не являются структурно устойчивыми? Сейчас
увидим.
\snippet \label snip:bifurc \flabel бифуркация
    \definition
        Рассмотрим семейство дифференциальных уравнений $\dot{\mb x}=\mb
        v_{\eps}(\mb x)$, зависящее от параметра $\eps$. Если при каком-то
        значении $\eps=\eps_*$ уравнение не является \snref{структурно
        устойчивым}, говорят, что при этом значении $\eps$ происходит
        \emph{бифуркация}. Значение $\eps_*$ называется \emph{бифуркационным
        значением параметра}.

\example
    Рассмотрим семейство 
    \equation \label eq:13:parab 
        \dot x = x^2 - \eps

\question
    При каких значениях $\eps$ это уравнение не является структурно устойчивым?
                
Графиком правой части является парабола, сдвигающаяся вверх-вниз в зависимости
от $\eps$. При $\eps<0$ у уравнения нет особых точек, поскольку правая часть
строго больше нуля. Все такие уравнения структурно устойчивы. При $\eps>0$
особых точек две и производная правой части в них ненулевая. Такие уравнения
также структурно устойчивы. А вот при $\eps=0$ особая точка одна (это $x=0$) и
производная правой части в ней равна нулю, см. \ref[рис.][fig:13:sn-rhs].

\figure \label fig:13:sn-rhs
    \pythonfigure \style max-width: 700px;
        plt.figure(figsize=(10, 3))
        x = np.linspace(-4, 4)

        for i, eps in enumerate([-0.5, 0, 0.5]):
            plt.subplot2grid((5, 9), (0, i*3), rowspan=4, colspan=3)
            ob.axes4x4(labels=('x', '\\dot x'), ymin=-1, fontsize=14)
            plt.plot(x, x**2 - eps, '-', lw=2)
            if eps > 0:
                plt.plot([np.sqrt(eps), np.sqrt(eps)], [-1, 4], '--',
                         color='gray')
                plt.plot([-np.sqrt(eps), -np.sqrt(eps)], [-1, 4], '--',
                         color='gray')

            plt.subplot2grid((5, 9), (4, i*3), colspan=3)
            plt.xlim(-4, 4)
            plt.yticks([])
            if eps < 0:
                ob.onedim_phasecurves(-4, 4, [], [1], orientation='horizontal')
            elif eps > 0:
                ob.onedim_phasecurves(-4, 4, 
                    [-np.sqrt(eps), np.sqrt(eps)], [1, -1, 1], orientation='horizontal')
            else:
                ob.onedim_phasecurves(-4, 4, [0], [1, 1], orientation='horizontal')

        plt.tight_layout(pad=0)
    \caption
        Зависимость фазового портрета от $\eps$: слева $\eps<0$, в центре
        $\eps=0$, справа $\eps>0$.

Посмотрим внимательно на случай $\eps=0$. У системы есть одна особая точка.
Но если мы прибавим к правой части сколь угодно малую положительную
константу, получим систему без особых точек. А если вычтем сколь угодно
малую константу, то получим систему с двумя особыми точками. Количество
особых точек меняется при сколь угодно малом возмущении системы. Значит, она
не является структурно устойчивой! (Чтобы придать этому рассуждению строгость,
надо выполнить \ref[упражнение][ex:13:sing] и использовать \ref[определение структурной устойчивости\nonumber][def:13:struct-stab].)

Итак, при $\eps=0$ происходит бифуркация. Она называется \emph{седлоузловой
бифуркацией} (откуда взялось это название мы обсудим ниже; по-английски ещё
говорят \emph{fold bifurcation}).

Если постепенно менять $\eps$, уменьшая его от положительных значений к
отрицательным, и смотреть за тем, как меняется фазовый портрет, то можно дать
такое описание: пока $\eps>0$, существует пара особых точек — устойчивая и
неустойчивая, по мере уменьшения $\eps$ они приближаются друг к другу, при $\eps=0$
сливаются в одну \emph{полуустойчивую} особую точку, после чего
(при $\eps<0$) эта особая точка исчезает.

\remark
    Здесь есть важный момент. Рассмотрим ещё раз уравнение при $\eps=0$. У этого
    уравнения одна особая точка и оно структурно неустойчиво: малым возмущением
    можно получить уравнение с каким-то положительным $\eps=\eps_0>0$, имеющем
    две особые точки. Может показаться, что таким же образом можно из нового
    уравнения сделать старое и от двух особых точек перейти к одной. Таким
    образом можно сделать (ошибочный) вывод, что и новое уравнение является
    структурно неустойчивым. Но это не так. Дело в том, что порядок малости
    возмущения ($\delta$ в \ref[определении][def:13:struct-stab]) выбирается
    \emph{по конкретной системе}. Допустим, мы взяли $\eps_0=0{,}1$ и получили
    уравнение $\dot x = x^2-0{,}1$. Это уравнение является структурно
    устойчивым, потому что можно взять $\delta=0{,}001$, и если потребовать,
    чтобы возмущение было $\delta$-малым, то «вернуться» к системе $\dot x =
    x^2$ с помощью такого возмущения будет невозможно. Аналогично для всякого
    $\eps_0>0$ можно подобрать такое $\delta>0$, что $\delta$-малое возмущение
    соответствующего уравнения сохраняет его топологический тип (то есть у него
    по-прежнему будут две особые точки).

Рассмотренный нами пример был задан конкретными формулами, но тем не менее он
очень универсален: бифуркации такого типа очень характерны для дифференциальных
уравнений на прямой. Точнее, если рассмотреть «типичное» (не будем сейчас
уточнять, что это значит) одномерное уравнение, зависящее от одного параметра,
то в нём могут происходить только такие бифуркации. Дело в том, что у «типичной»
функции одного аргумента бывают только невырожденные точки минимума или
максимума (то есть такие, в которых вторая производная ненулевая). Вблизи этих
точек функция выглядит почти как парабола (это следует из формулы Тейлора). При
изменении параметра такая точка экстремума может сдвигаться вверх-вниз и при
каком-то значении параметра пересечь горизонтальную ось. В этом случае
произойдёт в точности описанная седлоузловая бифуркация.

\subsection Квоты отлова

Этот сюжет я заимствую из книги В. И. Арнольда «Обыкновенные дифференциальные
уравнения» (он встречается и в других источниках). Напомним простейшую модель роста
популяции из \ref[первой главы\nonumber][chap:notion_of_ODE]: скорость увеличения 
популяции пропорциональна размеру популяции. 
\eq
    \dot x = kx
Решением этого уравнения является функция $x(t)=x_0e^{kt}$, её значение быстро
увеличивается и стремится к бесконечности с ростом $t$. Однако, эта модель
применима лишь в том случае, когда рост ничего не сдерживает. В реальной жизни
так не бывает: например, количество ресурсов (еды) не
безгранично. Более реалистичной моделью является \emph{логистическое уравнение}:
в нём коэффициент пропорциональности $k$ не является константой, а зависит от $x$, уменьшаясь с ростом $x$. Самая простая функция — линейная, поэтому возьмём для определенности $k=1-x$ и получим такое уравнение:

\equation \label eq:13:logistic
    \dot x = (1-x)x.
Фазовым пространством здесь является множество положительных чисел $x(t)\in
\mathbb R_+$. График правой части — парабола,
направленная ветвями вниз, см. \ref[рис.][fig:13:quota_dotx]. У этого уравнения два положения равновесия: $x=0$ и $x=1$. Если
$x=0$, размер популяции нулевой (ни одной рыбы в пруду не плавает), и он таким и
остаётся вечно (вопросы зарождения жизни явно выходят за рамки нашей модели).
Это равновесие является неустойчивым: если $x$ случайно сместится в
положительном направлении, то дальше он будет увеличиваться. Если $x \in (0,
1)$, скорость роста популяции положительна $\dot x>0$: при маленьких значениях
$x$ она маленькая, потому что популяция маленькая, при значениях вблизи $1/2$
рост относительно быстрый, а затем при приближении к 1 снова становится
медленным, потому что ресурсы исчерпываются. При $t\to+\infty$ решение с
начальным условием из интервала $(0, 1)$ стремится к $1$. При $x=1$ имеется
положение равновесия. Наконец, если $x>1$, то $\dot x < 0$ и популяция
постепенно вымирает от голода, снова приближаясь к равновесию $x=1$, которое,
таким образом, является устойчивым. Итак, система обладает двумя положениями
равновесия, устойчивым и неустойчивым. 

\figure \showcode \collapsed \label fig:13:quota_dotx
    \pythonfigure \style max-width: 700px;
        plt.figure(figsize=(8, 3))
        plt.subplot2grid((6, 12), (0, 0), rowspan=5, colspan=4)
        ob.axes4x4(labels=('x', '\\dot x'), ymin=-3, ymax=1, xmin=-0.2, xmax=2,
            fontsize=14)
        x = np.linspace(0, 4)
        plt.plot(x, x * (1 - x), '-', lw=2)
        plt.plot([1, 1], [-4, 2], '--', color='gray', lw=2)
        plt.plot([-1, -1], [-4, 2], '--', color='gray', lw=2)
        plt.subplot2grid((6, 12), (5, 0), colspan=4)
        plt.yticks([])
        plt.xlim(-0.2, 2)
        ob.onedim_phasecurves(0, 4, [0, 1], [-1, 1, -1], orientation='horizontal')

        plt.subplot2grid((6, 12), (0, 5), rowspan=6)
        plt.xlim(-0.5, 0.5)
        plt.xticks([], [])
        plt.yticks([])
        plt.ylim(-0.1, 2)
        ob.onedim_phasecurves(0, 4, [0, 1], [-1, 1, -1], orientation='vertical')

        plt.subplot2grid((6, 12), (0, 6), rowspan=6, colspan=6)
        def f(t, x):
            return x * (1 - x)
        ob.axes4x4(labels=('t', 'x'),xmin=0, xmax=7,  ymin=-0.1, ymax=2,
            fontsize=14)

        for x0 in [0, 0.01, 0.1, 0.5, 1, 2, 20]:
            ob.eulersplot(f, 0,  7, x0, color='steelblue')
    \caption
        График правой части (слева вверху), интегральные кривые (справа) и
        фазовый портрет (слева внизу и посередине) уравнения
        \ref{eq:13:logistic}.

Пусть теперь помимо естественной динамики на размер популяции влияет внешняя
сила в лице человека, который производит отлов $c$ особей за одну единицу
времени. Тогда уравнение приобретает вид
\eq
    \dot x = x(1-x)-c.
При увеличении $c$ график правой части будет сдвигаться вниз, положения
равновесия приближаться друг к другу, см. \ref[рис.][fig:13:quota]. При этом если
начальное условие находится левее левого равновесия, популяция обречена на
вымирание, а если правее, то её размер будет стремиться к правому положению
равновесия. При $c=1/4$ происходит седлоузловая бифуркация: два положения
равновесия сливаются в одно (в точке $x=1/2$). Популяция ещё может жить
неограниченно долго, если начальное условие $x(0)>1/2$. При $c>1/4$ в системе
вообще нет положений равновесия и популяция обязательно вымирает, какой бы
большой она ни была в начальный момент времени.

\figure \label fig:13:quota
    \pythonfigure \style max-width: 700px;
        plt.figure(figsize=(10, 3))
        x = np.linspace(0, 1.5)

        for i, c in enumerate([0.2, 0.25, 0.4]):
            plt.subplot2grid((5, 9), (0, i*3), rowspan=4, colspan=3)
            ob.axes4x4(labels=('x', '\\dot x'), ymin=-1.5, ymax=1, xmin=-0.2,
                       xmax=1.5, fontsize=14)
            plt.plot(x, x*(1-x)-c, '-', lw=2)
            if c < 0.25:
                roots = [-np.sqrt(-4*c + 1)/2 + 1/2, np.sqrt(-4*c + 1)/2 + 1/2]
                plt.plot([roots[0], roots[0]], [-1.5, 4], '--',
                         color='gray')
                plt.plot([roots[1], roots[1]], [-1.5, 4], '--',
                         color='gray')

            plt.subplot2grid((5, 9), (4, i*3), colspan=3)
            plt.xlim(-0.2, 1.5)
            plt.yticks([])
            if c > 0.25:
                ob.onedim_phasecurves(0, 1.5, [], [-1], orientation='horizontal')
            elif c < 0.25:
                ob.onedim_phasecurves(0, 1.5, 
                    roots, [-1, 1, -1], orientation='horizontal')
            else:
                ob.onedim_phasecurves(0, 1.5, [0.5], [-1, -1], orientation='horizontal')

        plt.tight_layout(pad=0)
    \caption
        Зависимость фазового портрета от $c$: слева $c=0{,}2$, в центре
        $c=0{,}25$, справа $c=0{,}3$.

Если бы мы хотели установить квоту отлова максимально возможной, так, чтобы не
уничтожить всю популяцию, то у нас мог бы возникнуть соблазн использовать
значение $c=1/4$. Тогда, убедившись, что в начальный момент популяция достаточно
большая, мы могли бы понадеяться на наше уравнение и предположить, что с
течением времени популяция не вымрет. Однако, этот вывод был бы очень
опрометчивым: как показывает анализ, значение $c=1/4$ является бифуркационным и
система при этом не является структурно устойчивой. Поэтому переносить вывод с
модели на реальность нельзя. Стоит чуть-чуть ошибиться
(увеличить $c$), как мы оказываемся в вымирающей системе.

\question
    Какое решение этой проблемы вы бы предложили? Как обеспечить максимально
    эффективный отлов, но при этом не рисковать экологической катастрофой?

\subsection Седлоузловая бифуркация на плоскости

Дополним семейство \ref{eq:13:parab} вторым уравнением:

\equation \label eq:13:saddlenode
    \dot x = x^2 - \eps,\quad \dot y = -y

Теперь при $\eps>0$ система имеет две особые точки: $(-\sqrt{\eps}, 0)$ и
$(\sqrt{\eps}, 0)$. Какого они типа? Можно построить эскиз фазового портрета и
попробовать угадать, а можно честно вычислить линеаризацию. Матрица Якоби имеет
вид:
\eq
    \begin{pmatrix}
        2x & 0 \\\\
        0 & -1
    \end{pmatrix}
Матрица диагональна и значит на диагонали записаны собственные значения. Левая
особая точка имеет отрицательный $x$ и значит это устойчивый узел. Правая имеет
положительный $x$ и значит особая точка является седлом, см.
\ref[рис.][fig:13:saddlenode_2d], справа.

При уменьшении $\eps$ к нулю эти две особые точки сближаются и при $\eps=0$
сливаются в одну. Получившаяся особая точка является вырожденной —  одно из
собственных значений равно нулю — и поэтому не укладываются в нашу
классификацию. Она имеет специальное название (немножко забавное, но
естественное и вполне официальное): \emph{седлоузел} (\emph{saddle-node}).
Теперь должно быть понятно, почему и бифуркация называется седлоузловой.

\figure \label fig:13:saddlenode_2d
    \pythonfigure \style max-width: 700px;
        from itertools import product
        plt.figure(figsize=(10, 3))

        def saddlenode(eps):
            def f(X):
                return [X[0]**2-eps, -X[1]]
            return f

        def inits(i, eps):
            xs = list(np.linspace(-1, 1, 5))
            if eps == 0:
                xs.append(0.2)
            if eps > 0:
                xs.remove(-0.5)
                xs.remove(0.5)
                xs.extend([-np.sqrt(eps), np.sqrt(eps)/2, 
                           np.sqrt(eps) * 1.5, np.sqrt(eps)])

            ret = [[x, y] for x in xs for y in [-0.5, 0, 0.5]]
            return ret
        for i, eps in enumerate([-0.2, 0, 0.2]):
            plt.subplot2grid((1, 3), (0, i))
            ob.axes4x4(labels=('x', 'y'), xmin=-1.2, xmax=1.2, ymin=-1, ymax=1,
                fontsize=14)
            ob.phaseportrait(saddlenode(eps),
                inits(i, eps), arrow_size=0.5, t=(-5, 20), lw=2, singpoint_size=1)
            
    \caption 
        Фазовый портрет семейства \ref{eq:13:saddlenode}: слева $\eps<0$, в
        центре $\eps=0$, справа $\eps>0$.
            

\section Выводы

Это была непростая глава: мы ввели и обсудили много новых понятий. Давайте
сделаем глубокий вздох и подведём некоторые итоги. Мы хотели разобраться, в
какой мере можно переносить выводы, полученные из анализа некоторой системы, на
другие системы, близкие к нашей. Свойства решений системы дифференциальных
уравнений существеным образом описывается её фазовым портретом, поэтому мы придумали
определение орбитально топологической эквивалентности, отвечающее на вопрос, что
значит, что фазовые портреты двух систем «похожи» или «одинаковы на качественном
уровне». Затем мы выделили структурно устойчивые системы — те, фазовые портреты
которых не меняются «на качественном уровне» при малых изменениях системы.
Наконец, мы рассмотрели простейший (и очень важный) пример нарушения структурной
устойчивости: седлоузловую бифуркацию, при которой меняется число особых точек.

Оказывается, что седлоузловая бифуркация — одна из двух бифуркаций, которые в
принципе происходят в типичных семействах с одним параметром. Какая вторая? Об
этом — в следующей главе.