-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
6.tex
75 lines (53 loc) · 2.09 KB
/
6.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
\chapter{Interpolazione}
\section{B\'ezier}
Siano $P_i(x_i, y_i), i = 0, 1, n$, punti di controllo, la curva parametrica si forma:
\begin{align}
Q_n(t) = \sum_{i=0}^n P_i f_i(t), \quad t \in [0, 1]
\end{align}
$f_i(t)$ sono opportune funzioni polinomiali scelte in modo tale che la curva abbia le seguenti proprietà:
\begin{itemize}
\item $Q_n(0) = P_0$
\item $Q_n(1) = P_n$
\item La tangente in $P_0$ \`e parallela a $P_1 - P_0$
\item La tangente in $P_n$ \`e parallela a $P_n - P_{n-1}$
\end{itemize}
Queste condizioni sono soddisfate assumendo come funzioni $f_i(t)$ i polinomi di Bernstein:
\begin{align}
B_i^n(t) = \binom{n}{i} t^i (1-t)^{n-i}, \quad i = 0, 1, n
\end{align}
Dove la binomiale si calcola come:
\begin{align}
\binom{n}{i} = \frac{n!}{i!(n-i)!}
\end{align}
Quindi la curva di B\'ezier \`e data da:
\begin{align}
Q_n(t) = \sum_{i=0}^n P_i B_i^n(t), \quad t \in [0, 1]
\end{align}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{images/curva_bazier_esempio.png}
\end{figure}
Spesso \`e necessario utilizzare pi\`u curve e per fare ci\`o si utilizzano i gradi di continuith\`a.
\begin{itemize}
\item $C^0$, le due curve hanno un punto in comune (primo nodo della seconda curva coincide con l'ultimo della prima)
\item $C^1$, le due curve hanno un punto in comune e la derivata prima \`e uguale in direzione e modulo
\end{itemize}
\subsection{Curve di B\'ezier razionali}
In questo caso si introduce un valore di peso per ogni punto di controllo, quindi la curva \`e data da:
\begin{align}
Q_n(t) = \frac{\sum_{i=0}^n P_i w_i B_i^n(t)}{\sum_{i=0}^n w_i B_i^n(t)}, \quad t \in [0, 1]
\end{align}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{images/bazier_pesato_esempio.png}
\end{figure}
\section{Interpolazione di funzioni in pi\`u variabili}
Sapendo che il polinomio Lagrangiano \`e:
\begin{align}
L_{ij}(x, y) = L_i(x) L_j(y)
\end{align}
Il polinomio interpolante \`e:
\begin{align}
p_{n, m}(x, y) &= \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m f(x_i, y_j) L_{ij}(x, y) \\
&= \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m f(x_i, y_j) L_i(x) L_j(y)
\end{align}