VL23: Vereinfachter Beweis von Gödels 1. Unvollständigkeitssatz

[hstrass]

Problem

Im vereinfachten Beweis des 1. Unvollständigkeitssatzes wird die Gödel-Formel F mit dem Inhalt „F ist wahr genau dann wenn F nicht beweisbar ist“ eingeführt. In Zeile 216 wird dann aus der gezeigten Nicht-Beweisbarkeit von F geschlossen, dass F wahr sein muss.
Auf welcher Grundlage geschieht dieser Schluss? Weil F sagt, dass „F ist wahr“ aus „F ist nicht beweisbar“ folgt? Dann müsste aber die Wahrheit von F bereits angenommen werden, um die Wahrheit von F zu zeigen, ein Zirkelschluss.

In der Tat ist die Wahrheit von F in dieser Formulierung/Formalisierung unabhängig von der Beweisbarkeit. F kann auch falsch sein: Dann ist in der Äquivalenz „F ist wahr genau dann wenn F nicht beweisbar ist“ die linke Seite („F ist wahr“) falsch und die rechte Seite („F ist nicht beweisbar“) wahr. Die gesamte Äquivalenz ist also falsch, was korrekt ist, da F ja falsch ist.

Dies ist ähnlich wie beim Satz „Dieser Satz ist wahr.“, der sowohl wahr als auch falsch sein kann.

Vorgeschlagene Lösung

Der Inhalt der Gödel-Formel F kann auch schlicht „F ist nicht beweisbar“ sein. Dann funktioniert der Schluss im vereinfachten Beweis, der Selbstbezug, an dem sich Gödel-Zahlen etc. erklären lassen, ist immer noch da; außerdem hat die Aussage eine einfachere Form.

Weitere Auswirkungen

Ähnliches gilt für die „wahre Behauptung, die Sie mir nicht glauben“, es genügt eine „Behauptung, die Sie mir nicht glauben“. („Ich mache jetzt eine wahre Behauptung.“ muss mir niemand glauben, wohingegen „Ich mache jetzt eine Behauptung.“ schon dadurch wahr wird, dass ich die Behauptung mache.)
Der Beweis des 1. Satzes wird auch in VL24 reproduziert.