4-model_2.html

<section class="plan center">
		<h5>Beam model : equilibrium approach</h5>
		<ul>
			<li>Introduction to the concept</li>
			<li>Design process : overview</li>
			<hr>
			<li>Beam model : variational approach</li>
			<li class="highlight">Beam model : equilibrium approach</li>
			<li>New discrete beam element</li>
			<hr>
			<li>Implementation & test case</li>
		</ul>
		<aside class="notes">
			Dans le modèle précédent, nous avons montré que les efforts quasi-statiques qui s'appliquent sur la poutre sont identiques à ceux obtenus par les équations de Kirchhoff pour les tiges élastiques.
			<hr>
			Ce constat suggère qu'une autre approche est possible, directement à partir des équations d'équilibre de la poutre. Nous verrons que cette approche est plus directe et plus générale que la précédente puisque elle traite naturellement la déformation axiale et la dynamique de la poutre.
			<hr>
			C'est cette approche que je me propose maintenant de présenter.
		</aside>
	</section>

<!-- 
=============================================================================================== 
	ENJEU
=============================================================================================== 
-->

<section class="">
	<h5 class="">Previous Works</h5>
	<p>Kirchhoff's theory of rods
		<br> <cite>Kirchhoff, Clebsch, Love, XIX<sup>th</sup></cite>
		<br> <cite>Dill, Archive for History of Exact Sciences, 1992</cite>
	</p>
	<div class="">
	<hr>
	<p>Special Theory of Cosserat Rods
		<br> <cite>Antman 2005</cite>
	</p>
	<hr>
	<p>Geometrically Exact Beam
		<br><cite>Simo & Vu-Quoc, International Journal of Solids and Structures, 1991</cite>
		<br> <cite>Reissner, Studies in Applied Mathematics, 1973</cite>
	</p>
	</div>
	<aside class="notes">
		Je vais donc réécrire les équations de Kirchhoff en m'appuyant sur l'excellente présentation qu'en a faite Dill en 92.
		<hr>
		Par ailleurs, j'ai adopté le formalisme des tiges de Cosserat, tel que présenté par Antman,  pour décrire la cinématique de la poutre le plus généralement possible. Je ne détaillerai pas cet aspect.
	</aside>
</section>

<section class="">
	<h5 class="">Assumptions</h5>
	<ul>
		<li>Slender</li>
		<li>Shear center = centroid</li>
		<li>Small strains but finite rotations</li>
		<li>Negligible shear</li>
		<li>Cross-sections > free to warp</li>
		<li>Material > isotropic & linear-elastic</li>
	</ul>
	<hr>
	<div class="">
		<p class=""><q>"The deformed state differs by small deformations from a motion in which cross sections remain plane, undistorted, and normal to the axis."</q><br><cite style="text-align:right;">- [Dill 1992]</cite></p>
		<!-- <hr> -->
		<ul>
			<li class="">Centerline is <mark>almost inextensible</mark> </li>
			<li class="">Cross-section remains <mark>almost planar</mark></li>
		</ul>
		<!-- <p class="">The rod is not strictly inextensible but its extension must remain small.</p>
		<p class="">Cross-sections do not remain strictly planar but only almost planar.</p> -->
	</div>
	<aside class="notes">
		Les hypothèses faites dans le cadre de la théorie de Kirchhoff sont les suivantes :
		<ul>
			<li>La poutre est considérée comme élancée.</li>
			<li>Le centre de masse et le centre de torsion sont confondus.</li>
			<li>Les déformations restent petites bien que les rotations puissent être grandes.</li>
			<li>Le cisaillement est négigeable.</li>
			<li>Les sections sont libres de gauchir.</li>
			<li>Le matériau est considéré isotrope et dans le domaine linéaire-élastique.</li>
		</ul>
		<hr>
		Ainsi on ne considèrera plus la poutre comme strictement inextensible mais comme faiblement extensible.
		<hr>
		De même, on ne considèrera plus que les sections se déforment selon un mouvement de corps rigide mais que leur état déformé est proche d'une déformation de corps rigide.
	</aside>


</section>
<section class="">
	<h5 class="">Deformation Modes</h5>
	<img data-src="./img/eq/kirchhoff_3.svg" width="65%">
	<aside class="notes">
	 Ce schéma montre les 4 modes de déformation d'une tige de Kirchhoff.
	 <ul>
		 <li>L'extension axiale, qui conduit à une contraction de la section du fait de l'effet Poisson.</li>
		 <li>Les flexions circulaires d'axes 1 et 2, qui conduisent à une déformation de la section dans son plan.</li>
		 <li>La torsion pure d'axe 3 qui engendre une déformation hors plan de la section appellée gauchissement.</li>
	 </ul>
	</aside>
</section>
<section class="">
	<h5 class="">Kinematic Description</h5>
	<ul>
		<li>arc length of the reference configuration > $s$</li>
		<li>Centerline  > $\mathbf{x}(s)$</li>
		<li>Material frame  > $\{\mathbf{d}_3,\mathbf{d}_1,\mathbf{d}_2\}(s)$ </li>
		<li>$\mathbf{d}_1,\mathbf{d}_2$ > principal axis of the cross-section </li>
		<li>$\mathbf{d}_3$ is tangent to $\mathbf{x}(s)$</li>
		<li>Material point  > $\mathbf{p}(s,X_1,X_2)$</li>
	</ul>
	<hr>
	<img width="80%" src="./img/eq/cosserat_31.svg">
	<hr>
	<p><mark>Curve-Angle</mark> representation can be leveraged to adopt a <mark>4-DOFs</mark> formulation</p>
	<aside class="notes">
		La cinématique de la poutre reste sensiblement la même que celle présentée dans l'approche variationelle.
		<hr>
		La poutre est représentée par sa fibre neutre paramétrée par l'abscisse curviligne de la configuration de référence.
		<hr>
		A cette fibre neutre on associe un repère materiel adapté à la courbe pour décrire la section.
		<!-- Un point matériel sera repéré par ses coordonnées s, X1 et X2 dans la configuration de référence. -->
		<hr>
		Dans la configuration déformée, la position d'un point matériel est donnée relativement à un mouvement solide de la section, grâce au vecteur des déformations locales de la section notée u.
		<hr>
		U restera petit dans le cadre de nos hypothèses.
	</aside>
</section>
<section class="">
	<h5 class="">Rod Motion : TIME</h5>
	<ul>
		<li>Translational velocity > $\mathbf{\dot{x}}(s,t)$</li>
		<li>Angular velocity > $\mathbf{\omega}(s,t)$</li>
	</ul>
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/motion_1.svg" width="80%">
	<aside class="notes">
		Le mouvement temporel de la poutre est suivi à l'aide des dérivées temporelles de la fibre neutre et du repère matériel, qui font apparaitre la vitesse de translation de la fibre neutre (x point) et la vitesse angulaire du repère matériel (omega).
	</aside>
</section>
<section class="">
	<h5 class="">Rod Motion : SPACE</h5>
	<ul>
		<li>Force strains > $\mathbf{\eta}(s,t) = (1+\epsilon)\mathbf{d}_3(s,t)$</li>
		<li>Moment strains > $\mathbf{\varkappa}(s,t) = (1+\epsilon) \mathbf{\Omega}(s,t)$</li>
		<hr>
		<li><mark>Extension</mark> > $\epsilon(s,t) \ll 1$</li>
		<li>Negligible shear > $\eta_1 = \eta_2 = 0$</li>
	</ul>
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/motion_2.svg" width="80%">
	<aside class="notes">
		Les déformations sont quant-à-elles données par les dérivées spatiales de la fibre neutre et du repère matériel, qui font apparaitre le vecteur des déformations (noté ETA) et le vecteur des courbures matérielles (noté Varkappa).
		<hr>
		Du fait de l'extension epsilon de la poutre, qui je le rappelle n'est pas supposée strictement inextensible dans la théorie de Kirchhoff, les courbures materielles ne s'assimilent plus aux courbures géométriques. Il faut tenir compte du changement de longueur de la poutre.
		<!-- <hr>
		Les composantes transverses du vecteur des déformations ETA sont négligées conformément aux hypothèses. Il ne reste donc que la composante qui caractérise la déformation axiale de la poutre. -->
	</aside>
</section>

<section class="">
	<h5 class="">Constitutive Equations</h5>
	<ul>
		<li>Include axial internal force > $F_3$</li>
		<li>Warping function $\varphi_s$ > torsion constant $J\;$</li>
	</ul>
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/constitutive_1.svg" width="80%">
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/constitutive_2.svg" width="80%">
	<aside class="notes">
		Dill déduit les équations constitutives de la poutre à partir des hypothèses initiale sur les déformations et dans le cadre de l'élasticité linéaire.
		<!-- <hr>
		Ces relations ne sont donc pas des hypothèses du modèle à proprement parlé. -->
		<hr>
		Remarquons également que la constante de torsion J diffère du moment polaire de la section, et dépend de sa fonction de gauchissement notée phi.
	</aside>
</section>

<section class="">
	<h5 class="">Dynamical Equations</h5>
	<img data-src="./img/eq/balance_2.svg" width="80%">
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/balance_1.svg" width="70%">
	<aside class="notes">
		En écrivant l'équilibre dynamique d'une tranche de poutre d'épaisseur ds, soumise aux efforts et aux moment internes GRAND F et GRAND M, ainsi qu'à des efforts et des moments distribuées PETIT F et PETIT M ...
		<hr>
		On obtient les équations de Kirchhoff sous leur forme classique, avec les termes inertiels.
	</aside>
</section>

<section class="">
	<h5 class="">Dynamical Equations</h5>
	<ul>
		<li><mark>Shear</mark> force is a reacting parameter</li>
		<li>Already focused on <mark>4-DOFs</mark></li>
	</ul>
	<hr>
	<!-- <img data-src="./img/eq/dynamic_equations.svg" width="80%"> -->
	<img class="imgfragment" src="./img/eq/dynamic_equations.svg" width="80%"/>
	<div>
		<span class="imgsrc" data-src="./img/eq/dynamic_equations.svg" data-fragment-index="0"></span>
		<span class="fragment imgsrc" data-src="./img/eq/dynamic_equations_a.svg" data-fragment-index="1"></span>
		<span class="fragment imgsrc" data-src="./img/eq/dynamic_equations_b.svg" data-fragment-index="2"></span>
	</div>
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/constitutive_1.svg" width="80%">
	<aside class="notes">
		On peut écrire ces équations sous leur forme scalaire, comme présenté sur cette slide.
		<hr>
		La géométrie de la poutre étant connue, je peux calculer les courbures matérielles et l'extension de la poutre.
		<hr>
		Cela me permet de déterminer l'effort axial et les moments de flexion et de torsion par les équations constitutives.
		<hr>
		Les équations 4 et 5, dans lesquelles les termes inertiels ont été négligés, me permettent de calculer l'effort tranchant à partir de la variation de moment interne.
		<hr>
		Connaissant les efforts internes et la géométrie de la poutre, les équations 1,2,3 et 6 me permettent de décrire complètement le comportement dynamique de la poutre.
		<hr>
		On voit par ailleur que se comportement est déjà formé pour une cinématique à 4 degrés de liberté, car seules les 3 translations et la rotation du repère matériel autour de l'axe d3 sont considérées dans les équations.
	</aside>
</section>

<section class="center positive">
	<h5 class="">Benefits</h5>
	<ul>
		<li>Straightforward</li>
		<li><mark>Complete</mark> theory</li>
		<li>Dynamical equations</li>
		<li>4-DOFs ready</li>
		<li>External distributed loads</li>
		<li><mark>Physical</mark> meaning</li>
	</ul>
	<aside class="notes">
		En conclusion nous avons montré que l'approche par les équations de Kirchhoff permet de construire un modèle à 4 degrés de libertés de manière plus directe et plus complète que l'approche variationnelle.
		<hr>
		Elle intègre de manière rigoureuse la dynamique de la poutre et les chargements distribués.
	</aside>	
</section>
<section class="center negative">
	<h5 class="">Limitations</h5>
	<ul>
		<li>Discontinuities & Jumps</li>
		<li>External concentrated loads</li>
	</ul>
	<aside class="notes">
		A ce stade, nous n'avons toujours pas montré comment le modèle pouvait prendre en compte des discontinuités et des charges concentrées.
		<hr>
		Ces aspects seront traités par le nouvel élément bi-arc que j'ai mis au point et que je vais présenter maintenant. 
	</aside>
</section>