-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 29
/
miziuk_part.tex
201 lines (148 loc) · 9.3 KB
/
miziuk_part.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
\section{Вивчаємо фізику за допомогою Scratch}
\Authors{Мізюк Олександр Миколайович}
\aff{Механіка. Вільне падіння і криволінійний рух під дією незмінної сили тяжіння}
\AbsKeywords{У цьому розділі представлений зразок розв'язування задачі на рух тіла кинутого під кутом до горизонту. Для моделювання процесу руху використовуйте застосунок, створений у середовищі програмування \href{https://scratch.mit.edu/projects/editor/?tutorial=getStarted}{Scratch}.
}{Ключові слова}{механіка, криволінійний рух, Scratch, \LaTeX}
\subsection{Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту}
Прочитавши про рекорди швидкості польоту спортивних снарядів, учениця Оленка вирішила з’ясувати, якої швидкості вона надає футбольному м’ячу. Для цього дівчинка вдарила по м’ячу, спрямувавши його під кутом \textbf{$45^{\circ}$} до горизонту (див. мал. \ref{fig:hit1}).
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{./images-miziuk/hit1.png}
\caption{
\centering
За напрямком і дальністю польоту м’яча ви можете визначити, якої швидкості ви надали м’ячу під час удару або кидка.}
\label{fig:hit1}
\end{figure}
М’яч упав на землю на відстані \textbf{40 м} від учениці. Виконавши розрахунки, дівчинка вирішила, що вона надала м’ячу швидкості \textbf{20 м/с}, а м’яч піднявся на висоту \textbf{8 м}. Чи не помилилася учениця?
\subsection{Розв'язуємо задачу\protect\footnote{Ознайомтеся з розв’язанням задачі. Скориставшись отриманими формулами, оцініть розрахунки дівчинки, а після уроків проведіть подібний експеримент та оцініть швидкість, якої ви надаєте м’ячу.}}
Футболістка вдарила по м’ячу, надавши йому швидкості $v_0$, напрямленої під кутом $\alpha$ до горизонту. Визначте дальність польоту та найбільшу висоту підйому м’яча.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
Дано & \textit{Розв'язання} \\
\hline
$v_0$ & \\
$\alpha$ & \\
$g$ & \\
\hline
$L - ?$ & \\
$h_{max} - ?$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Виконаємо пояснювальний рисунок (див. мал. \ref{fig:hit2}): початок координат пов’яжемо з точкою на поверхні Землі, де м’яч відірвався від бутси футболістки; вісь \textbf{OY} спрямуємо вертикально вгору; вісь \textbf{ОХ} — горизонтально.
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{./images-miziuk/hit2.png}
\caption{
\centering
Пояснювальний рисунок.}
\label{fig:hit2}
\end{figure}
В обраній системі відліку:
рух уздовж осі \textbf{ОХ} — рівномірний:
\begin{equation}\label{eq:hinteq1}
v_x = v_{0x}, x = x_0 + v_{0x}t,
\end{equation}
де
$$
x_0 = 0, v_{0x} = v_0cos\alpha
$$
рух уздовж осі \textbf{ОY} — рівноприскорений:
\begin{equation}\label{eq:hinteq2}
v_y = v_{0y} + g_yt, y = y_0 + v_{0y}t + \dfrac{g_yt^2}{2},
\end{equation}
де
$$
y_0 = 0, v_{0y} = v_0sin\alpha, g_y = -g,
$$
тому рівняння \eqref{eq:hinteq1} і \eqref{eq:hinteq2} набувають вигляду:
\begin{equation}\label{eq:hinteq3}
v_x = v_0cos\alpha, x = v_0cos\alpha\cdot t
\end{equation}
і
\begin{equation}\label{eq:hinteq4}
v_y = v_0sin\alpha - gt, y = v_0sin\alpha\cdot t - \dfrac{gt^2}{2}
\end{equation}
відповідно. Час \textbf{t1} руху м’яча до верхньої точки траєкторії (точки \textbf{А}) знайдемо з умови: $v_y(t_1) = 0$:
\begin{equation}\label{eq:hinteq5}
v_0sin\alpha - gt_1 = 0 \Rightarrow t_1 = \dfrac{v_0sin\alpha}{g}.
\end{equation}
Координата y м’яча в точці \textbf{А} — це максимальна висота підйому м’яча:
\begin{equation}\label{eq:hinteq6}
h_{max} = y_A = v_0sin\alpha\cdot t_1 - \dfrac{gt_1^2}{2}.
\end{equation}
Після підстановки \textbf{t1} отримуємо формули для визначення максимальної висоти підйому та загального часу руху м’яча:
\begin{equation}\label{eq:hinteq7}
h_{max} = \dfrac{v_0^2sin\alpha^2}{2g};
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:hinteq8}
t = 2t_1 = \dfrac{2v_0sin\alpha}{g}.
\end{equation}
Дальність \textbf{L} польоту дорівнює координаті \textbf{х} тіла наприкінці руху (\textbf{x = L}):
\begin{equation}\label{eq:hinteq9}
x = v_0cos\alpha\cdot t = v_0cos\alpha\cdot \dfrac{2v_0sin\alpha}{g}.
\end{equation}
Отже, дальність польоту:
\begin{equation}\label{eq:hinteq10}
2cos\alpha\cdot sin\alpha \Rightarrow L = \dfrac{v_0^2sin2\alpha}{g}.
\end{equation}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{./images-miziuk/hit3.png}
\caption{
\centering
Однакова дальність польоту при різних траєкторіях.}
\label{fig:hit3}
\end{figure}
\textbf{Зверніть увагу!} З останньої формули випливає:
\begin{itemize}
\item якщо кинути тіло під кутом $\alpha$, а потім під кутом $90^{\circ} - \alpha$, то дальність польоту не зміниться, тобто тіло потрапить у ту саму точку, рухаючись різними траєкторіями (див. мал. \ref{fig:hit3})
\item максимальної дальності польоту тіло сягає, якщо $\alpha = 45^{\circ}$ ($sin2\alpha = 1$).
\end{itemize}
\subsection{Моделювання руху у Scratch}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=1\linewidth]{./images-miziuk/hit4.png}
\caption{
\centering
Знімок вікна проєкту.}
\label{fig:hit4}
\end{figure}
Щоб розглянути код проєкту, \href{https://scratch.mit.edu/projects/681697866}{перейдіть за покликанням}.
\subsection{Підбиваємо підсумки}
Траєкторія руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, - параболічна. Такі рухи розглядають як результат додавання двох простих рухів: горизонтального - рівномірного уздовж осі \textbf{OX} і вертикального - рівноприскореного (з прискоренням \textbf{g}) уздовж осі \textbf{OY}.
Рівняння залежностей проекції швидкості та координати від часу у цьому разі мають вигляд:
$$
v_x = v_{0x},
$$
$$
x = x_0 + v_{0x}t,
$$
$$
v_y = v_{0y} + g_yt,
$$
$$
y = y_0 + v_{0y}t + \dfrac{g_yt^2}{2}.
$$
\subsection{Контрольні запитання}
\begin{itemize}
\item Який вигляд має рівняння руху, якщо тіло кинуто під кутом до горизонту?
\item Якою є траєкторія руху тіла, кинутого під кутом до горизонту? Наведіть приклади.
\item Як визначити модуль і напрямок швидкості руху тіла в будь-якій точці траєкторії?
\end{itemize}
\subsection{Вправа для самостійного розв'язування}
Опором повітря нехтуйте. Вважайте, що $g = 10 {}^2$ %
{м/с}.\\
Струмінь води, напрямлений під кутом \textbf{$60^{\circ}$} до горизонту, сягнув висоти \textbf{15 м}.
\begin{enumerate}
\item Використайте розроблений Scratch-проєкт для дослідження руху струменя води.
\item Знайдіть:
\begin{enumerate}
\item швидкість витікання води;
\item час польоту частинок струменя;
\item дальність польоту частинок струменя.
\end{enumerate}
\item Якою буде дальність струменя, якщо спрямувати його під кутом \textbf{$30^{\circ}$} до горизонту?
\item Чому струмінь води розширюється?
\end{enumerate}