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{"meta":{"title":"Hexo","subtitle":"","description":"","author":"John Doe","url":"http://example.com","root":"/"},"pages":[],"posts":[{"title":"数学分析","slug":"数学分析","date":"2023-07-10T05:51:56.000Z","updated":"2023-07-20T05:53:53.393Z","comments":true,"path":"2023/07/10/数学分析/","link":"","permalink":"http://example.com/2023/07/10/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90/","excerpt":"","text":"1. 集合与映射 集合 常用集合: 集合的运算 有限集与无限集 Descartes乘积集合 映射与函数 映射的定义与性质 复合映射： 一元实函数： 函数的分段表示： 函数的隐式表达： 函数的参数表示 函数的简单特性 两个常用不等式 2. 数列极限 3. 函数极限与连续函数 4. 微分 5. 微分中值定理及其应用 6. 不定积分 7. 定积分 8. 反常积分 9. 数项级数 10. 函数项级数 11. Euclid空间上的极限和连续 12. 多元函数的微分学 13. 重积分 14. 曲线积分、曲面积分与场论 15. 含参变量积分 16. Fourier级数 1. 集合与映射 集合 常用集合: NNN 自然数集合(Nation nummber) N+N^+N+ 正整数集合(正的自然数，就只有正整数了) Z$ 整数集合(Zahl 德语词汇) RRR 实数集合(Real) 每个集合都有两个特殊子集合：空集和它本身.除他本身以外的都是他的真子集 一个拥有nnn个元素的集合有2n2^n2n个子集 集合的运算 集合的运算包括交、并、差、补。 交与并满足以下定律： 交换律 $$A\\cup B=B\\cup A, A\\cap B = B\\cap A \\ $$ 结合率 $$A\\cup (B\\cup D)=(A\\cup B)\\cup D, A\\cap (B\\cap D)=(A\\cap B)\\cap D \\$$ 分配率 $$A\\cap (B \\cup D)= (A \\cap B) \\cup (A \\cap D), A \\cup (B \\cap D) = (A \\cup B) \\cap (A \\cap D) \\$$ 补与差的运算满足: S T=S∩TCS \\ T = S \\cap T^C S T=S∩TC 补的运算满足对偶律 (A∪B)C=AC∩BC,(A∩B)C=AC∪BC(A \\cup B)^C = A^C \\cap B^C, (A \\cap B)^C = A^C \\cup B^C (A∪B)C=AC∩BC,(A∩B)C=AC∪BC 有限集与无限集 若集合SSS由nnn个元素组成，这里的nnn是确定的非负整数，则称集合SSS是有限集 不是有限集的就是无限集，若一个集合与自然数集等势（也就是说和自然数集可以找到一个满射），那么这个无限集就是可列（数）集 定理1.1.1： 可列个可列集之并也是可列集 定理1.1.2： 有理数集QQQ是可列集 Descartes乘积集合 设AAA和BBB都是非空集合，规定A×BA \\times BA×B称为AAA与BBB的直积或Descartes积 映射与函数 映射的定义与性质 定义1.2.1 设X,YX, YX,Y是两个给定的集合，若按照某种规则fff，使得对集合XXX中的每一个元素xxx，都可以找到集合YYY中唯一的元素yyy与之对应，则称这个对应规则fff是集合XXX到集合YYY的一个映射，记为 f:X→Yx↦y=f(x)f: X \\rightarrow Y \\\\ x \\mapsto y=f(x) \\\\ f:X→Yx↦y=f(x) 其中yyy成为映射fff之下的像，xxx称为映射fff之下的一个原像（或称逆像）.集合XXX称为映射fff的定义域，记为DfD_fDf​。而在映射fff之下.XXX中元素xxx的像yyy的全体称为fff的值域，记为RfR_fRf​。即 Rf=y∣y∈Y并且y=f(x),x∈X.R_f={y | y \\in Y 并且 y=f(x), x \\in X}. Rf​=y∣y∈Y并且y=f(x),x∈X. 概括起来构成一个映射必须具备以下三个基本要素： 集合XXX与定义域DfD_fDf​相等，即X=DfX=D_fX=Df​. 集合YYY限制值域RfR_fRf​的范围，即Rf⊂YR_f \\subset YRf​⊂Y. 对应规则fff使得每一个x∈Xx \\in Xx∈X, 有且仅有一个y=f(x)y=f(x)y=f(x)与之对应. 除此之外： 映射要求元素的像是唯一的，这就是说对于一个原像，有且仅有唯一的像与之对应。 映射并不要求原像具有唯一性，这就是说，某一个像可以有多个不同的原像。 定义1.2.2 设f是集合f是集合f是集合X到集合到集合到集合Y的一个映射，若的一个映射，若的一个映射，若f的原像也具有唯一性，即对于的原像也具有唯一性，即对于的原像也具有唯一性，即对于X中的任意两个不同元素中的任意两个不同元素中的任意两个不同元素x_1 \\neq x_2，他们的像也不同，他们的像也不同，他们的像也不同y_1 \\neq y_2。则称。则称。则称f是∗∗单射∗∗;如果映射是**单射**;如果映射是∗∗单射∗∗;如果映射f满足满足满足R_f=Y,则称,则称,则称f为∗∗满射∗∗;如果映射为**满射**;如果映射为∗∗满射∗∗;如果映射f即是单射也是满射，则称即是单射也是满射，则称即是单射也是满射，则称f$是双射（一一映射）。 复合映射： 现设有如下两个映射 g: X \\rightarrow U_1, & f: U_2 \\rightarrow Y \\\\ x \\mapsto u=g(x) & u \\mapsto y=f(u) \\\\ 若Rg⊂U2=DfR_g \\subset U_2 = D_fRg​⊂U2​=Df​ 那么就可以构造出一个新的对应函数 f⋄g:X→Yx↦y=f(g(x))f \\diamond g: X \\rightarrow Y \\\\ x \\mapsto y=f(g(x)) f⋄g:X→Yx↦y=f(g(x)) 由定义1.2.1,这也是一个映射，我们称之为fff和ggg的复合映射 一元实函数： 函数表示的是实数集合到实数集合的映射 主动变化的量是自变量，随着自变量改变的量是因变量 因变量对于自变量的依赖关系就叫做函数关系 初等函数： 有6类基本初等函数： 常数函数： y=cy=cy=c 幂函数： y=xα(α∈R)y=x^\\alpha (\\alpha \\in R)y=xα(α∈R) 指数函数： y=αx(α>0且α≠1)y=\\alpha^x (\\alpha > 0 且\\alpha \\neq 1)y=αx(α>0且α=1) 对数函数： y=log⁡αx(α>0且α≠1)y=\\log_\\alpha x (\\alpha > 0 且\\alpha \\neq 1)y=logα​x(α>0且α=1) 三角函数： 如y=sin⁡x,y=cos⁡x,等如y=\\sin x, y=\\cos x,等如y=sinx,y=cosx,等 反三角函数：如y=arcsin⁡x,y=arccos⁡x,等如y=\\arcsin x, y=\\arccos x,等如y=arcsinx,y=arccosx,等 由以上这六种基本初等函数通过有限次的四则运算与复合运算产生的函数就叫做初等函数 函数的分段表示： 设A,BA,BA,B是两个互不相交的实数集合，φ(x)和ϕ(x)\\varphi (x)和\\phi (x)φ(x)和ϕ(x)是分别定义在集合AAA和集合BBB上的函数，则 f(x)={φ(x),x∈A,ϕ(x),x∈Bf(x) = \\begin{cases} \\varphi(x), & x \\in A, \\\\ \\phi(x), & x \\in B \\end{cases} f(x)={φ(x),ϕ(x),​x∈A,x∈B​ 是定义在集合A∪BA \\cup BA∪B 上的函数，这样的表示方法称为函数的分段表示，在这里，函数fff是被分成两段表示的，事实上，分段表示可以分成任意有限段，甚至无限段。 下面是几个常见的分段函数： 符号函数sgnxsgn xsgnx sgnx={1,x>0,0,x=0,−1,x<0,sgn x = \\begin{cases} 1, & x>0, \\\\ 0, & x=0, \\\\ -1, & x<0, \\\\ \\end{cases} sgnx=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​1,0,−1,​x>0,x=0,x<0,​ 括号函数 [x][x][x] y=[x]=n,n≤x<n+1,n∈Zy=[x]=n, n \\le x < n+1, n \\in Z y=[x]=n,n≤x<n+1,n∈Z 函数的隐式表达： 这是只通过方程F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0来确定变量yyy与xxx之间函数关系的方式，这也是一种重要的函数表达形式。 天体力学中著名的KEPLERKEPLERKEPLER方程： y=x+εsinyy = x + \\varepsilon sin y y=x+εsiny 单位圆的方程： x2+y2=1x^2+y^2=1 x2+y2=1 函数的参数表示 在表示变量xxx与yyy之间的关系时，我们常常需要引入第三个变量(例如ttt)，通过建立ttt与xxx以及ttt与yyy之间的函数关系，简介地确认xxx与YYY之间的函数关系。即 {x=x(t),t∈[a,b].y=y(t),\\begin{cases} x=x(t), && t \\in [a,b]. \\\\ y=y(t), && \\end{cases} {x=x(t),y=y(t),​​t∈[a,b].​ 圆的参数方程 {x=Rcost,t∈[0,pi]y=Rsint,\\begin{cases} x=R cos t, && t \\in [0,pi] \\\\ y=R sin t, && \\end{cases} {x=Rcost,y=Rsint,​​t∈[0,pi]​ 旋轮线的参数表示 {x=R(t−sint),t∈[0,∞)y=R(1−cost),\\begin{cases} x= R(t - sin t), && t \\in [0,\\infty) \\\\ y= R(1 - cos t), && \\end{cases} {x=R(t−sint),y=R(1−cost),​​t∈[0,∞)​ 函数的简单特性 有界性 定义1.2.3 若存在两个常数mmm和MMM，使函数y=f(x),x∈Dy=f(x), x \\in Dy=f(x),x∈D，满足 m≤f(x)≤M,x∈Dm \\le f(x) \\le M, x \\in D m≤f(x)≤M,x∈D 则称函数fff在DDD有界 其中mmm是他的下界MMM是他的上界 当一个函数有界时，上下界不唯一，比下界小的数都是该函数的下界，上界同理， 单调性 定义1.2.4 对函数$y=f(X),x \\in D $， 若对任意$x_1, x_2 \\in D $，当$x_1 < x_2$时， 总成立$f(x_1) \\le f(x_2)（或f(x_1) < f(x_2)）$，则称函数$f$在$D$单调增加（或严格单调增加）, 通常记做$f\\uparrow（或f严格\\uparrow）$， 若对任意$x_1, x_2 \\in D $，当$x_1 < x_2$时， 总成立$f(x_1) \\ge f(x_2)（或f(x_1) > f(x_2)）$，则称函数$f$在$D$单调增减（或严格单调增减）, 通常记做$f\\downarrow（或f严格\\downarrow）$ 奇偶性 定义1.2.5 设函数fff的定义域DDD关于圆点对称，即x∈D↔−x∈Dx \\in D \\leftrightarrow -x \\in Dx∈D↔−x∈D, 若对一切x∈Dx \\in Dx∈D，成立f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x)，则称函数fff是偶函数; 若对一切x∈Dx \\in Dx∈D，成立f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x)，则称函数fff是奇函数; 显然： 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于yyy轴对称 周期性 定义1.2.6 若存在常数T>0T>0T>0,使得对于一切x∈Dx \\in Dx∈D，成立f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)，则称函数fff是周期函数 称TTT为他的周期，若存在满足上述条件的最小的TTT，则称他为fff的最小正周期 Dirichlet函数 D(x)={1,x为有理数0,x为无理数D(x) = \\begin{cases} 1, && x为有理数 \\\\ 0, && x为无理数 \\\\ \\end{cases} D(x)={1,0,​​x为有理数x为无理数​ 两个常用不等式 三角不等式 对于任意实数a和ba和ba和b，都有 ∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣||a|-|b|| \\le |a+b| \\le |a|+|b| ∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣ 平均值不等式 定义1.2.6 设a1,a2,a3,…,ana_1,a_2,a_3,\\dots,a_na1​,a2​,a3​,…,an​是nnn个正数， 则称Gn=a1a2a3…annG_n = \\sqrt[n]{a_1a_2a_3\\dots a_n}Gn​=na1​a2​a3​…an​​是他们的几何平均数; 则称An=a1+a2+a3+⋯+annA_n = \\frac{a_1+a_2+a_3+\\dots+a_n}{n}An​=na1​+a2​+a3​+⋯+an​​是他们的算术平均数; 则称Hn=⟮n1a1+1a2+⋯+1an⟯H_n = \\lgroup \\frac{n}{\\frac{1}{a_1}+ \\frac{1}{a_2}+ \\dots +\\frac{1}{a_n}} \\rgroupHn​=⟮a1​1​+a2​1​+⋯+an​1​n​⟯是他们的调和平均数; 则称Qn=a12+a22+⋯+an2nQ_n = \\sqrt{\\frac{a_1^2 + a_2^2 + \\dots + a_n^2}{n}}Qn​=na12​+a22​+⋯+an2​​​是他们的平方平均数; 对任意nnn个正数a1,a2,a3,…,ana_1,a_2,a_3,\\dots,a_na1​,a2​,a3​,…,an​,都满足 Hn≤Gn≤An≤QnH_n \\le G_n \\le A_n \\le Q_n Hn​≤Gn​≤An​≤Qn​ 复习时请思考该不等式的证明 2. 数列极限 3. 函数极限与连续函数 4. 微分 5. 微分中值定理及其应用 6. 不定积分 7. 定积分 8. 反常积分 9. 数项级数 10. 函数项级数 11. Euclid空间上的极限和连续 12. 多元函数的微分学 13. 重积分 14. 曲线积分、曲面积分与场论 15. 含参变量积分 16. Fourier级数","categories":[],"tags":[]},{"title":"Hello World","slug":"hello-world","date":"2023-07-01T09:33:55.412Z","updated":"2023-07-01T09:33:55.412Z","comments":true,"path":"2023/07/01/hello-world/","link":"","permalink":"http://example.com/2023/07/01/hello-world/","excerpt":"","text":"Welcome to Hexo! This is your very first post. Check documentation for more info. If you get any problems when using Hexo, you can find the answer in troubleshooting or you can ask me on GitHub. Quick Start Create a new post 1$ hexo new "My New Post" More info: Writing Run server 1$ hexo server More info: Server Generate static files 1$ hexo generate More info: Generating Deploy to remote sites 1$ hexo deploy More info: Deployment","categories":[],"tags":[]}],"categories":[],"tags":[]}