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(* modify it under the terms of the GNU Lesser General Public License *)
(* as published by the Free Software Foundation; either version 2.1 *)
(* of the License, or (at your option) any later version. *)
(* *)
(* This program is distributed in the hope that it will be useful, *)
(* but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of *)
(* MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the *)
(* GNU General Public License for more details. *)
(* *)
(* You should have received a copy of the GNU Lesser General Public *)
(* License along with this program; if not, write to the Free *)
(* Software Foundation, Inc., 51 Franklin St, Fifth Floor, Boston, MA *)
(* 02110-1301 USA *)
(* Contribution to the Coq Library V6.3 (July 1999) *)
(****************************************************************************)
(* The Calculus of Inductive Constructions *)
(* *)
(* Projet Coq *)
(* *)
(* INRIA ENS-CNRS *)
(* Rocquencourt Lyon *)
(* *)
(* Coq V5.10 *)
(* Nov 25th 1994 *)
(* *)
(****************************************************************************)
(* Reg.v *)
(****************************************************************************)
(* Formal Language Theory *)
(* *)
(* Judicael Courant - Jean-Christophe Filliatre *)
(* *)
(* Developped in V5.8 June-July 1993 *)
(* Ported to V5.10 October 1994 *)
(****************************************************************************)
(* *)
(* AUTOMATES FINIS *)
(* On definit le predicat (automate q qd qa d), ou q represente *)
(* l'ensemble des etats, qd ceux de depart, qa ceux d'arrivee, *)
(* et d la relation de transition, comme la conjonction de : *)
(* qd et qa sont inclus dans q , et d est inclus dans qxalphxq *)
(* *)
Require Import Ensf.
Require Import Max.
Require Import Words.
Require Import Dec.
Definition automate (q qd qa d : Ensf) : Prop :=
inclus qa q /\ inclus qd q /\ inclus d (prodcart q (prodcart alph q)).
Lemma automate_def1 :
forall q qd qa d : Ensf,
automate q qd qa d -> inclus d (prodcart q (prodcart alph q)).
intros q qd qa d H.
elim H.
intros H1 H0; elim H0; clear H0.
auto.
Qed.
Lemma automate_def2 :
forall q qd qa d : Ensf, automate q qd qa d -> inclus qd q.
intros q qd qa d H.
elim H.
intros H1 H0; elim H0; clear H0.
auto.
Qed.
Lemma automate_def3 :
forall q qd qa d : Ensf, automate q qd qa d -> inclus qa q.
intros q qd qa d H.
elim H.
intros H1 H0; elim H0; clear H0.
auto.
Qed.
(* *)
(* On definit le predicat (chemin e1 e2 q d w), qui signifie : *)
(* On passe de e1 a e2 par le mot w dans un automate d'ensemble *)
(* d'etats q et de transition d. *)
(* *)
Inductive chemin : Elt -> Elt -> Ensf -> Ensf -> Word -> Prop :=
| chemin_nil :
forall (e1 e2 : Elt) (q d : Ensf),
dans e1 q -> e1 = e2 :>Elt -> chemin e1 e2 q d nil
| chemin_cons :
forall (e1 e2 : Elt) (q d : Ensf) (w : Word) (e a : Elt),
chemin e1 e2 q d w ->
dans e q ->
dans a alph ->
dans (couple e (couple a e1)) d -> chemin e e2 q d (cons a w).
Hint Resolve chemin_nil.
(* On definit le meme predicat d'une autre facon, qui sera plus utile *)
(* par la suite *)
Definition Chemin (e1 e2 : Elt) (q d : Ensf) (w : Word) : Prop :=
match w return Prop with
| nil =>
(* nil *) dans e1 q /\ e1 = e2 :>Elt
(* cons *)
| cons a w' =>
exists e : Elt,
chemin e e2 q d w' /\
dans e1 q /\ dans a alph /\ dans (couple e1 (couple a e)) d
end.
(* On montre l'equivalence entre les 2 definitions : *)
Lemma Chemin_chemin :
forall (e1 e2 : Elt) (q d : Ensf) (w : Word),
Chemin e1 e2 q d w -> chemin e1 e2 q d w.
intros e1 e2 q d.
simple induction w.
intro.
cut (dans e1 q /\ e1 = e2 :>Elt); auto.
intro H0; elim H0; clear H0.
intros; apply chemin_nil; auto.
intros x w0 H H0.
cut
(exists e : Elt,
chemin e e2 q d w0 /\
dans e1 q /\ dans x alph /\ dans (couple e1 (couple x e)) d);
auto.
intro H1; elim H1.
intros e H2; elim H2; clear H1 H2.
intros H1 H2; elim H2; clear H2.
intros H2 H3; elim H3; clear H3.
intros.
apply chemin_cons with e; auto.
Qed.
Hint Resolve Chemin_chemin.
Lemma chemin_Chemin :
forall (e1 e2 : Elt) (q d : Ensf) (w : Word),
chemin e1 e2 q d w -> Chemin e1 e2 q d w.
intros e1 e2 q d w H; elim H; clear H.
intros.
red in |- *; simpl in |- *; auto.
intros.
red in |- *; simpl in |- *.
exists e0.
auto.
Qed.
Hint Resolve chemin_Chemin.
(* *)
(* Si (q,qd,qa,d) est un automate alors (reconnait q qd qa d) est le *)
(* langage reconnu par cet automate. *)
(* On le definit est disant que w est dans ce langage s'il est tout *)
(* d'abord dans le monoid libre engendre par alph, et s'il existe *)
(* 2 etats e1 et e2, repsectivement dans qd et qa, tels que *)
(* (chemin e1 e2 q d w) soit vrai. *)
(* *)
Definition reconnait (q qd qa d : Ensf) (w : Word) : Prop :=
inmonoid alph w /\
(exists e1 : Elt,
(exists e2 : Elt, dans e1 qd /\ dans e2 qa /\ chemin e1 e2 q d w)).
(* *)
(* Si on a un chemin de e1 a e2 alors e1 et e2 sont dans q. *)
(* *)
Lemma dans_e1_q :
forall (q d : Ensf) (w : Word) (e1 e2 : Elt),
chemin e1 e2 q d w -> dans e1 q.
intros q d.
simple induction w.
intros.
cut (Chemin e1 e2 q d nil); auto.
intro.
cut (dans e1 q /\ e1 = e2 :>Elt); auto.
intro Ht; elim Ht; auto.
intros x w0 H e1 e2 H0.
cut (Chemin e1 e2 q d (cons x w0)); auto.
intro.
cut
(exists e : Elt,
chemin e e2 q d w0 /\
dans e1 q /\ dans x alph /\ dans (couple e1 (couple x e)) d);
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H2 Ht; elim Ht; auto.
Qed.
Lemma dans_e2_q :
forall (q d : Ensf) (w : Word) (e1 e2 : Elt),
chemin e1 e2 q d w -> dans e2 q.
intros q d.
simple induction w.
intros.
cut (Chemin e1 e2 q d nil); auto.
intro.
cut (dans e1 q /\ e1 = e2 :>Elt); auto.
intro Ht; elim Ht; auto.
intros.
rewrite <- H2; auto.
intros x w0 H e1 e2 H0.
cut (Chemin e1 e2 q d (cons x w0)); auto.
intro.
cut
(exists e : Elt,
chemin e e2 q d w0 /\
dans e1 q /\ dans x alph /\ dans (couple e1 (couple x e)) d);
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H2 Ht.
apply (H e e2); auto.
Qed.
(* *)
(* Un chemin est un mot sur X *)
(* *)
Lemma Cheminmonoid :
forall (w : Word) (q qd qa d : Ensf),
automate q qd qa d ->
forall e1 e2 : Elt, chemin e1 e2 q d w -> inmonoid alph w.
simple induction w.
auto.
intros x w0 H q qd qa d H0 e1 e2 H1.
cut (Chemin e1 e2 q d (cons x w0)); auto.
intro.
cut
(exists e : Elt,
chemin e e2 q d w0 /\
dans e1 q /\ dans x alph /\ dans (couple e1 (couple x e)) d);
auto.
intro H3; elim H3; clear H3.
intros e H3; elim H3; clear H3.
intros H3 H4; elim H4; clear H4.
intros H4 H5; elim H5; clear H5; intros.
apply inmonoid_cons; auto.
apply (H q qd qa d H0 e e2); auto.
Qed.
(* *)
(* Si le triplet (e1,x,e2) est dans d alors on a *)
(* (chemin e1 e2 q d (cons x nil)) *)
(* *)
Lemma chemin_lettre :
forall (e1 e2 x : Elt) (q d : Ensf),
dans x alph ->
dans e1 q ->
dans e2 q ->
dans (couple e1 (couple x e2)) d -> chemin e1 e2 q d (cons x nil).
intros.
apply chemin_cons with e2; auto.
Qed.
(* *)
(* AUTOMATES ASYNCHRONES *)
(* *)
Definition automate_A (q qd qa d : Ensf) : Prop :=
inclus qa q /\
inclus qd q /\ inclus d (prodcart q (prodcart (add epsilon alph) q)).
Lemma automate_A_def2 :
forall q qd qa d : Ensf, automate_A q qd qa d -> inclus qd q.
intros.
elim H.
intros H0 Ht; elim Ht; auto.
Qed.
(* *)
(* On va definir de meme la notion de chemin sur un automate *)
(* asynchrone en rajoutant les transitions par epsilon. *)
(* *)
Inductive chemin_A (q d : Ensf) : Elt -> Elt -> Word -> Prop :=
| chemin_A_nil :
forall e1 e2 : Elt,
dans e1 q -> e1 = e2 :>Elt -> chemin_A q d e1 e2 nil
| chemin_A_cons :
forall (e1 e e2 x : Elt) (w : Word),
chemin_A q d e e2 w ->
dans e1 q ->
dans x alph ->
dans (couple e1 (couple x e)) d -> chemin_A q d e1 e2 (cons x w)
| chemin_A_epsilon :
forall (e1 e e2 : Elt) (w : Word),
chemin_A q d e e2 w ->
dans e1 q ->
dans (couple e1 (couple epsilon e)) d -> chemin_A q d e1 e2 w.
Hint Resolve chemin_A_nil.
(* Inversion de la definition... *)
Definition Chemin_A (q d : Ensf) (e1 e2 : Elt) (w : Word) : Prop :=
match w return Prop with
| nil =>
(* nil *)
dans e1 q /\ e1 = e2 :>Elt \/
(exists e : Elt,
chemin_A q d e e2 nil /\
dans e1 q /\ dans (couple e1 (couple epsilon e)) d)
(* cons *)
| cons a w =>
(exists e : Elt,
chemin_A q d e e2 w /\
dans e1 q /\ dans a alph /\ dans (couple e1 (couple a e)) d) \/
(exists e : Elt,
chemin_A q d e e2 w /\
dans e1 q /\ dans (couple e1 (couple epsilon e)) d)
end.
(* Si on a un chemin pour une relation de transition d1 alors on a *)
(* le meme chemin pour toute relation de transition contenant d1. *)
Lemma chemin_A_d1_d2 :
forall (q d1 d2 : Ensf) (w : Word) (e1 e2 : Elt),
chemin_A q d1 e1 e2 w -> inclus d1 d2 -> chemin_A q d2 e1 e2 w.
intros q d d2 w e1 e2 H.
elim H; clear H.
auto.
intros.
apply chemin_A_cons with e; auto.
intros.
apply chemin_A_epsilon with e; auto.
Qed.
(* De meme pour deux ensembles d'etats q1 et q2 tesl que q1 est inclus *)
(* dans q2. *)
Lemma chemin_A_q1_q2 :
forall (q1 q2 d : Ensf) (e1 e2 : Elt) (w : Word),
chemin_A q1 d e1 e2 w -> inclus q1 q2 -> chemin_A q2 d e1 e2 w.
intros q1 q2 d w e1 e2 H.
elim H; clear H.
auto.
intros.
apply chemin_A_cons with e; auto.
intros.
apply chemin_A_epsilon with e; auto.
Qed.
(* Si on a un chemin au sens des AF alors on a un chemin au sens des *)
(* AA. *)
Lemma chemin_chemin_A :
forall (q d : Ensf) (w : Word) (e1 e2 : Elt),
chemin e1 e2 q d w -> chemin_A q d e1 e2 w.
intros q d w e1 e2 H.
elim H; clear H.
auto.
intros.
apply chemin_A_cons with e0; auto.
Qed.
(* *)
(* Si on va de e1 a e par w1 et de e a e2 par w2 alors on va de *)
(* e1 a e2 par (Append w1 w2). *)
(* *)
Lemma chemin_Append :
forall (e1 e e2 : Elt) (q d : Ensf) (w1 w2 : Word),
chemin_A q d e1 e w1 ->
chemin_A q d e e2 w2 -> chemin_A q d e1 e2 (Append w1 w2).
intros e1 e e2 q d w1 w2 H.
elim H.
intros e0 e3 H0 H1 H2.
simpl in |- *; rewrite H1; auto.
intros.
simpl in |- *.
cut (chemin_A q d e3 e2 (Append w w2)); auto.
intro.
apply chemin_A_cons with e3; auto.
intros.
cut (chemin_A q d e3 e2 (Append w w2)); auto.
intro.
apply chemin_A_epsilon with e3; auto.
Qed.
(* *)
(* Si on a un cheminA de e1 a e2 alors e1 et e2 sont dans q. *)
(* *)
Lemma dansA_e1_q :
forall (q d : Ensf) (w : Word) (e1 e2 : Elt),
chemin_A q d e1 e2 w -> dans e1 q.
intros.
elim H; auto.
Qed.
Lemma dansA_e2_q :
forall (q d : Ensf) (w : Word) (e1 e2 : Elt),
chemin_A q d e1 e2 w -> dans e2 q.
intros.
elim H; auto.
intros e0 e3 H0 H1.
rewrite <- H1.
assumption.
Qed.
(* *)
(* Un mot reconnu par un automate_A est dans le monoide engendre par *)
(* alph. *)
(* *)
Lemma cheminA_monoid :
forall (w : Word) (q qd qaA dA : Ensf),
automate_A q qd qaA dA ->
forall e1 e2 : Elt, chemin_A q dA e1 e2 w -> inmonoid alph w.
intros.
elim H0; auto.
Qed.
(* Pour un chemin de la forme (cons x w) il existe un etat *)
(* intermediaire. *)
(*---
Lemma chemin_A2_cons_inv : (q,dA:Ensf)(w:Word)(e1,e2,x:Elt)
(chemin_A2 q dA (cons x w) e2 e1) -> (<Elt>Ex ([e:Elt](
(chemin_A2 q dA (cons x nil) e e1) /\ (chemin_A2 q dA w e2 e)
))).
Intros.
Elim H.
Intros.
Cut (Chemin e0 e2 q dA (cons x w)); Auto.
Intro.
Cut (<Elt> Ex ([e:Elt]
(chemin e e2 q dA w) /\ (dans e0 q) /\ (dans x alph)
/\ (dans (couple e0 (couple x e)) dA)) ); Auto.
Intro Ht; Elim Ht; Clear Ht.
Intros e Ht; Elim Ht; Clear Ht.
Intros H3 Ht; Elim Ht; Clear Ht.
Intros H4 Ht; Elim Ht; Clear Ht.
Intros H5 H6.
Exists e.
Split.
2:Apply chemin_A2_un; Auto.
2:Apply (inmonoid_cons_inv alph w x); Auto.
Cut (chemin e0 e q dA (cons x nil)); Auto.
Apply (chemin_cons e e q dA nil e0 x); Auto.
Apply chemin_nil; Auto.
Apply (dans_e1_q q dA w e e2); Auto.
Intros.
Elim H1.
Intros e0' Ht; Elim Ht; Clear Ht.
Intros H4 H5.
Exists e0'.
Split; Auto.
Apply chemin_A2_deux with e; Auto.
Save.
Lemma chemin_A_cons_inv : (q,dA:Ensf)(w:Word)(e1,e2,x:Elt)
(chemin_A e1 e2 q dA (cons x w)) -> (<Elt>Ex ([e:Elt](
(chemin_A e1 e q dA (cons x nil)) /\ (chemin_A e e2 q dA w)
))).
Goal.
Cut (<Elt>Ex ([e:Elt](
(chemin_A2 q dA (cons x nil) e e1) /\ (chemin_A2 q dA w e2 e)
))).
2:Apply chemin_A2_cons_inv; Auto.
Intro Ht; Elim Ht; Clear Ht.
Intros e Ht; Elim Ht; Clear Ht.
Intros H0 H1.
Exists e.
Auto.
Save.
---*)
(* De meme on definit reconnait_A... *)
Definition reconnait_A (q qd qa d : Ensf) (w : Word) : Prop :=
inmonoid alph w /\
(exists e1 : Elt,
(exists e2 : Elt, dans e1 qd /\ dans e2 qa /\ chemin_A q d e1 e2 w)).
(* *)
(* A partir d'une relation de transition asynchrone dA construisons *)
(* la relation synchrone d correspondante. On elimine les transitions *)
(* avec epsilon en disant : *)
(* dans (e,a,e') d <-> (chemin_A e e' q dA (cons a nil)) *)
(* *)
Definition est_dans_d2 (q dA : Ensf) (e y : Elt) : Prop :=
match y return Prop with
| natural n =>
(* natural *) False
(* couple *)
| couple a e' => chemin_A q dA e e' (cons a nil)
(* up *)
| up e => False
(* word *)
| word w => False
end.
Definition est_dans_d (q dA : Ensf) (x : Elt) : Prop :=
match x return Prop with
| natural n =>
(* natural *) False
(* couple *)
| couple e y => est_dans_d2 q dA e y
(* up *)
| up e => False
(* word *)
| word w => False
end.
Definition sync_d (q dA : Ensf) : Ensf :=
tq (est_dans_d q dA) (prodcart q (prodcart alph q)).
Definition sync_qa (q qaA dA : Ensf) : Ensf :=
union qaA
(tq
(fun e : Elt => exists e' : Elt, dans e' qaA /\ chemin_A q dA e e' nil)
q).
Hint Unfold sync_qa.
(* Les etats de d'arrivee de l'automate fini comprennent ceux de *)
(* l'automate asynchrone. *)
Lemma inclus_qaA_qa : forall q qaA dA : Ensf, inclus qaA (sync_qa q qaA dA).
unfold sync_qa in |- *.
auto.
Qed.
(* Par definition on a... *)
Lemma nouvx_dans_qa :
forall (q qaA dA : Ensf) (e : Elt),
dans e q ->
(exists e' : Elt, dans e' qaA /\ chemin_A q dA e e' nil) ->
dans e (sync_qa q qaA dA).
intros.
elim H0; clear H0.
intros e' Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H0 H1.
unfold sync_qa in |- *.
apply union_d.
apply imp_dans_tq; auto.
exists e'; auto.
Qed.
(* et aussi... *)
Lemma sync_d_def :
forall (e1 e2 x : Elt) (q dA : Ensf),
dans x alph ->
chemin_A q dA e1 e2 (cons x nil) ->
dans (couple e1 (couple x e2)) (sync_d q dA).
intros.
unfold sync_d in |- *.
apply imp_dans_tq; auto.
apply coupl2_inv.
apply (dansA_e1_q q dA (cons x nil) e1 e2); auto.
apply coupl2_inv; auto.
apply (dansA_e2_q q dA (cons x nil) e1 e2); auto.
Qed.
Lemma sync_d_def2 :
forall (e1 e2 x : Elt) (q dA : Ensf),
dans x alph ->
dans (couple e1 (couple x e2)) (sync_d q dA) ->
chemin_A q dA e1 e2 (cons x nil).
intros e1 e2 x q dA H.
unfold sync_d in |- *.
intro.
cut
(dans (couple e1 (couple x e2)) (prodcart q (prodcart alph q)) /\
est_dans_d q dA (couple e1 (couple x e2))).
2: apply dans_tq_imp; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intro H1.
unfold est_dans_d in |- *.
unfold est_dans_d2 in |- *.
auto.
Qed.
Lemma trans_dA_d :
forall (q dA : Ensf) (e0 e x : Elt),
dans e0 q ->
dans x alph ->
dans e q ->
dans (couple e0 (couple x e)) dA ->
dans (couple e0 (couple x e)) (sync_d q dA).
intros.
cut (chemin_A q dA e0 e (cons x nil)).
intro.
unfold sync_d in |- *.
apply imp_dans_tq; auto.
cut (chemin_A q dA e e nil); auto.
intro.
apply chemin_A_cons with e; auto.
Qed.
(* *)
(* Commencons par montrer que si (q,qd,qaA,dA) est un automate alors *)
(* (q,qd,qa,d) en est un aussi, ou qa=(sunc_qa q qaA dA) et *)
(* d=(sync_d q dA). *)
(* *)
Lemma automateA_automate :
forall q qd qaA dA : Ensf,
automate_A q qd qaA dA -> automate q qd (sync_qa q qaA dA) (sync_d q dA).
intros.
elim H.
intros H1 H2; elim H2; clear H2; intros H2 H3.
red in |- *.
split.
unfold sync_qa in |- *.
apply union_inclus; auto.
apply inclus_tq.
split; auto.
unfold sync_d in |- *.
apply inclus_tq.
Qed.
(* *)
(* Si on a un chemin de e a e2 dans l'automate fini, avec e2 etat *)
(* d'arrivee, et s'il y a une transition de e1 a e2 par epsilon, *)
(* alors il y a un chemin de e1 a e2' par le meme mot, avec e2' *)
(* etat d'arrivee. *)
(* *)
Lemma epsilon_chemin :
forall (q qaA dA : Ensf) (w : Word) (e1 e e2 : Elt),
chemin e e2 q (sync_d q dA) w ->
dans (couple e1 (couple epsilon e)) dA ->
dans e2 (sync_qa q qaA dA) ->
dans e1 q ->
exists e2' : Elt,
chemin e1 e2' q (sync_d q dA) w /\ dans e2' (sync_qa q qaA dA).
intros q qaA dA.
simple induction w.
intros.
exists e1.
split.
auto.
cut (Chemin e e2 q (sync_d q dA) nil); auto.
intro H3.
cut (dans e q /\ e = e2 :>Elt); auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H4 H5.
cut (chemin_A q dA e e2 nil); auto.
cut (chemin_A q dA e1 e2 nil).
2: apply chemin_A_epsilon with e; auto.
intros.
unfold sync_qa in H1.
cut
(dans e2 qaA \/
dans e2
(tq
(fun e : Elt => exists e' : Elt, dans e' qaA /\ chemin_A q dA e e' nil)
q)).
2: apply dans_union; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intro; apply nouvx_dans_qa; auto.
exists e2; auto.
intro.
cut
(dans e2 q /\
(fun e : Elt => exists e' : Elt, dans e' qaA /\ chemin_A q dA e e' nil) e2).
2: apply
dans_tq_imp
with
(f := fun e : Elt =>
ex (fun e' : Elt => dans e' qaA /\ chemin_A q dA e e' nil));
assumption.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H9 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e3 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H10 H11.
cut (chemin_A q dA e e3 nil); auto.
2: rewrite H5; auto.
intro H12.
cut (chemin_A q dA e1 e3 nil).
2: apply chemin_A_epsilon with e; auto.
intro; apply nouvx_dans_qa; auto.
exists e3; auto.
intros x w0 H e1 e e2 H0 H1 H2 H3.
cut (Chemin e e2 q (sync_d q dA) (cons x w0)); auto.
intro.
cut
(exists e22 : Elt,
chemin e22 e2 q (sync_d q dA) w0 /\
dans e q /\ dans x alph /\ dans (couple e (couple x e22)) (sync_d q dA));
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e22 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H5 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H6 Ht; elim Ht; clear Ht; intros H7 H8.
exists e2.
split; auto.
cut (chemin_A q dA e e22 (cons x nil)).
2: apply sync_d_def2; auto.
intro.
cut (chemin_A q dA e1 e22 (cons x nil)).
2: apply chemin_A_epsilon with e; auto.
intro.
cut (dans (couple e1 (couple x e22)) (sync_d q dA)).
2: apply sync_d_def; auto.
intro.
apply chemin_cons with e22; auto.
Qed.
(* *)
(* Si on a un chemin de e1 a e2 par w dans un automate asynchrone *)
(* avec e2 etat d'arrivee, alors il existe un etat d'arrivee e2' *)
(* de l'automate fini correspondant et un chemin de e1 a e2 par w *)
(* dans cet automate. *)
(* *)
Lemma cheminA_chemin :
forall q qd qaA dA : Ensf,
automate_A q qd qaA dA ->
forall (w : Word) (e1 e2 : Elt),
chemin_A q dA e1 e2 w ->
dans e2 qaA ->
exists e2' : Elt,
chemin e1 e2' q (sync_d q dA) w /\ dans e2' (sync_qa q qaA dA).
intros q qd qaA dA H_aut w.
cut (inclus qaA (sync_qa q qaA dA)).
2: apply inclus_qaA_qa.
intro H0.
intros e1 e2 H1.
elim H1.
intros e0 e3 H H2 H3.
exists e0.
split.
apply chemin_nil; auto.
rewrite H2.
apply dans_trans with qaA; auto.
intros.
cut
(exists e2' : Elt,
chemin e e2' q (sync_d q dA) w0 /\ dans e2' (sync_qa q qaA dA));
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e2' Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H7 H8.
exists e2'.
split; auto.
apply chemin_cons with e; auto.
cut (dans e q).
2: apply (dans_e1_q q (sync_d q dA) w0 e e2'); auto.
intro dans_e_q.
apply trans_dA_d; auto.
intros.
cut
(exists e2' : Elt,
chemin e e2' q (sync_d q dA) w0 /\ dans e2' (sync_qa q qaA dA));
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e9 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H6 H7.
apply (epsilon_chemin q qaA dA w0 e0 e e9); auto.
Qed.
(* *)
(* Montrons maintenant que si (q,qd,qaA,dA) est un automate async. *)
(* alors (reconnait_A q qd qaA dA w) -> (reconnait q qd qa d w) *)
(* ou qa=(sunc_qa q qaA dA) et d=(sync_d q dA). *)
(* *)
Lemma reconnaitA_reconnait :
forall (q qd qaA dA : Ensf) (w : Word),
automate_A q qd qaA dA ->
reconnait_A q qd qaA dA w ->
reconnait q qd (sync_qa q qaA dA) (sync_d q dA) w.
intros q qd qaA dA w H_aut.
unfold reconnait_A in |- *.
intro H; elim H; clear H.
intros H1 H; elim H; clear H.
intros e1 H; elim H; clear H.
intros e2 H; elim H; clear H.
intros H2 H; elim H; clear H; intros H3 H4.
unfold reconnait in |- *.
split; auto.
exists e1.
cut
(exists e2' : Elt,
chemin e1 e2' q (sync_d q dA) w /\ dans e2' (sync_qa q qaA dA)).
2: apply (cheminA_chemin q qd qaA dA H_aut w e1 e2); auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e2' Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H5 H6.
exists e2'.
auto.
Qed.
(* *)
(* Reciproquement, si on a un chemin de e1 a e2 dans l'automate fini *)
(* correspondant a un automate asynchrone, alors on a un chemin de e1 *)
(* a e2 dans l'automate asynchrone. *)
(* *)
Lemma chemin_cheminA :
forall q qd qaA dA : Ensf,
automate_A q qd qaA dA ->
forall (w : Word) (e1 e2 : Elt),
chemin e1 e2 q (sync_d q dA) w -> chemin_A q dA e1 e2 w.
intros q qd qaA dA H_aut.
simple induction w.
intros.
cut (Chemin e1 e2 q (sync_d q dA) nil); auto.
intro.
cut (dans e1 q /\ e1 = e2 :>Elt); auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros; apply chemin_A_nil; auto.
intros x w0 H e1 e2 H0.
cut (Chemin e1 e2 q (sync_d q dA) (cons x w0)); auto.
intro H1.
cut
(exists e : Elt,
chemin e e2 q (sync_d q dA) w0 /\
dans e1 q /\ dans x alph /\ dans (couple e1 (couple x e)) (sync_d q dA));
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H2 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H3 H4.
cut (chemin_A q dA e e2 w0); auto.
intro.
elim H4; clear H4; intros H4 H6.
cut (chemin_A q dA e1 e (cons x nil)).
2: apply sync_d_def2; auto.
intro.
replace (cons x w0) with (Append (cons x nil) w0); auto.
apply chemin_Append with e; auto.
Qed.
(* *)
(* On en deduit qu'un mot reconnu par l'automate fini associe a un *)
(* automate asynchrone etait reconnu par l'automate asynchrone. *)
(* *)
Lemma reconnait_reconnaitA :
forall (q qd qaA dA : Ensf) (w : Word),
automate_A q qd qaA dA ->
reconnait q qd (sync_qa q qaA dA) (sync_d q dA) w ->
reconnait_A q qd qaA dA w.
intros q qd qaA dA w H_aut.
unfold reconnait in |- *.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e1 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e2 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H0 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H1 H2.
cut
(dans e2
(union qaA
(tq
(fun e : Elt =>
exists e' : Elt, dans e' qaA /\ chemin_A q dA e e' nil) q)));
auto.
intro H3.
cut
(dans e2 qaA \/
dans e2
(tq
(fun e : Elt => exists e' : Elt, dans e' qaA /\ chemin_A q dA e e' nil)
q)).
2: apply dans_union; auto.
intro H4.
unfold reconnait_A in |- *.
split; auto.
exists e1.
clear H3; elim H4.
intro.
exists e2.
split; auto.
split; auto.
apply (chemin_cheminA q qd qaA dA H_aut); auto.
intro.
cut
(dans e2 q /\
(fun e : Elt => exists e' : Elt, dans e' qaA /\ chemin_A q dA e e' nil) e2).
2: apply
dans_tq_imp
with
(f := fun e : Elt =>
exists e' : Elt, dans e' qaA /\ chemin_A q dA e e' nil);
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H5 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e2' Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H6 H7.
exists e2'.
split; auto.
split; auto.
cut (chemin_A q dA e1 e2 w).
2: apply (chemin_cheminA q qd qaA dA H_aut); auto.
intro.
replace w with (Append w nil).
apply chemin_Append with e2; auto.
apply Append_w_nil.
Qed.
(* *)
(* Et le resultat final : *)
(* *)
(* Pour tout automate asynchrone (utilisant des transitions avec *)
(* epsilon) il existe un automate fini reconnaissant le meme *)
(* langage. *)
(* *)
Lemma async_is_sync :
forall q qd qaA dA : Ensf,
automate_A q qd qaA dA ->
exists d : Ensf,
(exists qa : Ensf,
automate q qd qa d /\
eqwordset (reconnait_A q qd qaA dA) (reconnait q qd qa d)).
intros q qd qaA dA H.
exists (sync_d q dA).
exists (sync_qa q qaA dA).
split.
apply automateA_automate; auto.
unfold eqwordset in |- *.
split.
intro.
apply reconnaitA_reconnait; auto.
intro.
apply reconnait_reconnaitA; auto.
Qed.
(* *)
(* Les mots reconnus par un automate forment un langage : *)
(* par definition meme puisqu'un mot reconnu est dans le monoide *)
(* engendre par alph... *)
(* *)
Lemma Recislang :
forall q qd qa d : Ensf,
automate q qd qa d -> islanguage alph (reconnait q qd qa d).
intros.
unfold islanguage at 1 in |- *.
intro.
unfold reconnait at 1 in |- *.
intro.
elim H0.
intros.
assumption.
Qed.
(* *)
(* Le predicat isregular definit les langages reguliers. *)
(* *)
Definition isregular (l : wordset) : Prop :=
exists q : Ensf,
(exists qd : Ensf,
(exists qa : Ensf,
(exists d : Ensf,
automate q qd qa d /\ eqwordset (reconnait q qd qa d) l))).
Definition isregular_A (l : wordset) : Prop :=
exists q : Ensf,
(exists qd : Ensf,
(exists qa : Ensf,
(exists d : Ensf,
automate_A q qd qa d /\ eqwordset (reconnait_A q qd qa d) l))).
Lemma isregular_A_isregular :
forall l : wordset, isregular_A l -> isregular l.
unfold isregular_A in |- *.