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Relatório.tex
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%Cabeçalho
\documentclass[12pt]{article}
%ABNT
\usepackage[UTF8]{inputenc}
\usepackage[lmargin = 3cm, tmargin = 3cm, rmargin = 2cm, bmargin = 2cm]{geometry}
\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[brazil]{babel}
%Pacotes Essenciais
\usepackage{graphicx, xcolor, comment, enumerate, multirow, multicol, indentfirst}
%Pacotes de Matemática
\usepackage{amsmath, amsthm, amsfonts, amssymb, dsfont, blindtext}
%Pacote para Hiperlink
\usepackage{hyperref}
%------------------------------------------------------------------
%Título
\title{Circuitos Elétricos II: Relatório Laboratório 1}
\author{Rulian Dos Reis}
\date{\today}
%------------------------------------------------------------------
\begin{document}
\maketitle
\section{Introdução}
Neste trabalho, o intuito foi entender o comportamento de circuitos RLC em série quando as entradas são funções degrau. Ao decorrer deste, analisamos quais possíveis saídas obtemos baseadas nos valores dos componentes dos circuitos e comparamos os resultados obtidos de forma prática, com o auxilio de um simulador, com os obtidos de forma teórica utilizando a teoria de circuitos e a Transformada de Laplace.
\section{Análise do Circuito}
Como dito anteriormente, o circuito analisado foi um circuito RLC deste formato:
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{circuitoexemplo.jpg}
\caption{Circuito geral}
\end{figure}
Com o circuito em mente, começaremos a alterar os valores dos componentes para obter as variações de saídas desejadas. As saídas podem assumir três formas: subamortecida, superamortecida e com amortecimento crítico. Cada uma dessas formas depende da relação entre duas variáveis que definiremos como "Alfa" e "Omega". Estas, por sua vez, são dadas por:
\begin{equation}
\alpha = \frac{R}{2L} , \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}
\end{equation}
\subsection{Resposta Subamortecida}
A relação que define uma saída como subamortecida é
\begin{equation}
\alpha^2 < \omega_0 ^2
\end{equation}
Nesse caso,
\begin{equation}
i(t) = \frac{A}{L\beta}e^{(-\alpha t)}sen(\beta t)u(t)
\end{equation}
\begin{equation}
vc(t) = [\frac{A}{LC(\alpha^2+\beta^2)} - \frac{A}{LC(\beta \sqrt{\beta^2 + \alpha^2)}}e^{-\alpha t}cos(\beta t + \arctan{\frac{\alpha}{\beta}})]u(t)
\end{equation}
Adotando os seguintes valores:
R = 280 ohms;
L = 0.1 Henrys;
C = 0.4 microFaradays;
V = 48 Volts.
O circuito se torna:
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{circuitoMultisimSub.jpg}
\caption{Circuito no simulador Multisim}
\end{figure}
Comparando os gráficos obtidos no simulador e os obtidos analiticamente, temos:
\newline
\newline
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{graficoMultisimSub.jpg}
\caption{Gráfico do simulador Multisim}
\end{figure}
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{subPython.jpg}
\caption{Gráfico gerado analiticamente pela biblioteca Matplotlib do Python}
\end{figure}
\pagebreak
\newline
\subsection{Resposta Superamortecida}
A relação que define uma saída como superamortecida é
\begin{equation}
\alpha^2 > \omega_0 ^2
\end{equation}
Nessa caso,
\begin{equation}
i(t) = [\frac{A}{2L\beta}e^{-(\alpha - \beta)t} - \frac{A}{2L\beta}e^{-(\alpha+\beta)t}]u(t)
\end{equation}
\begin{equation}
vc(t) = [\frac{A}{LC(\alpha^2 - \beta^2)} + \frac{A}{LC(2\beta^2 + 2\beta\alpha)}e^{-(\alpha+\beta)t} + \frac{A}{LC(2\beta^2 - 2\beta\alpha)}e^{-(\alpha - \beta)t}]u(t)
\end{equation}
Adotando os seguintes valores:
R = 25 ohms;
L = 0.25 Henrys;
C = 2.5 miliFaradays;
V = 150 Volts.
O circuito se torna:
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[width= 12cm]{circuitoMultisimSup.jpg}
\caption{Circuito no simulador Multisim}
\end{figure}
Comparando os gráficos obtidos no simulador e os obtidos analiticamente, temos:
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[width= 12cm]{graficoMultisimSup.jpg}
\caption{Gráfico do simulador Multisim}
\end{figure}
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{supPython.jpg}
\caption{Gráfico gerado analiticamente pela biblioteca Matplotlib do Python}
\end{figure}
\pagebreak
\vspace*{2cm}
\subsection{Resposta Criticamente Amortecida}
A relação que define uma saída como criticamente amortecida é
\begin{equation}
\alpha^2 = \omega_0 ^2
\end{equation}
Nesse caso,
\begin{equation}
i(t) = \frac{A}{L}te^{-\alpha t}u(t)
\end{equation}
\begin{equation}
vc(t) = [\frac{A}{LC\alpha^2 } - \frac{A}{LC\alpha}te^{-\alpha t} - \frac{A}{LC\alpha^2}e^{-\alpha t}]u(t)
\end{equation}
Adotando os seguintes valores:
R = 200 ohms;
L = 2 Henrys;
C = 0.2 miliFaradays;
V = 50 Volts.
O circuito se torna:
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[width= 12cm]{circuitoMultisimCrit.jpg}
\caption{Circuito no simulador Multisim}
\end{figure}
Comparando os gráficos obtidos no simulador e os obtidos analiticamente, temos:
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[width= 12cm]{graficoMultisimCrit.jpg}
\caption{Gráfico do simulador Multisim}
\end{figure}
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{critPython.jpg}
\caption{Gráfico gerado analiticamente pela biblioteca Matplotlib do Python}
\end{figure}
\pagebreak
\vspace*{2cm}
\section{Conclusão}
Podemos concluir que, para um circuito RLC em série, sua saída dependerá da entrada e dos valores de seus componentes(Resistores, Indutores e Capacitores). Para cada uma das saídas, existe uma função matemática que expressa seu comportamento no tempo e que pode ser obtida com o auxílio da Transformada de Laplace. Além disso, pudemos perceber que os gráficos obtidos analiticamente e por meio do simulador são os mesmos, portanto, comprovamos a eficácia do simulador e a veracidade dos cálculos teóricos.
\section{Adicionais}
Caso seja de interesse, o código em Python utilizado para a plotagem dos gráficos com o auxílio da biblioteca Matplotlib estão disponibilizados no link abaixo.
\newline
\begin{center}
\url{https://github.com/ruliandosreis/ElectricCircuitsII-LAB01}
\end{center}
\end{document}