Kleine Fehlerkorrekturen

Author: sasjonge

chapters/100_einleitung.tex

@@ -12,7 +12,7 @@ \subsubsection{Wohldefinierte Syntax und
 \begin{itemize}
 \item
   Syntax: die Sprache, in der Wissen repräsentiert wird und hier stets
-  symbolisch und logikbasiert
+  symbolisch und logikbasiert ist
 \item
   Semantik: fixiert die Bedeutung des repräsentierten Wissens in
   exakter, eindeutiger Weise

chapters/200_grundlagen.tex

@@ -111,9 +111,9 @@ \subsubsection{Extension/Modell}\label{exetension}
 
 \begin{itemize}
 \item
-  $C^{I}$ ist \emph{Extension} des Konzeptes oder der Rolle $C$
+  $C^{\MI}$ ist \emph{Extension} des Konzeptes oder der Rolle $C$
 \item
-  jedes $d \in C^{I}$ ist eine Instanz des Konzeptes $C$
+  jedes $d \in C^{\MI}$ ist eine Instanz des Konzeptes $C$
 \item
   $r$-Nachfolger, $r$-Vorgänger
 \end{itemize}
@@ -132,7 +132,7 @@ \subsubsection{Extension/Modell}\label{exetension}
 
 \begin{itemize}
 \item
-  ist $C$ \emph{erfüllbar}, wenn es eine Interpretation $I$ gibt mit
+  ist $C$ \emph{erfüllbar}, wenn es eine Interpretation $\MI$ gibt mit
   $C^{\MI} \neq \varnothing$. $\MI$ ist dann ein \emph{Modell} von
   $C$.
 \item
@@ -164,13 +164,13 @@ \subsubsection{TBox-Syntax}\label{tboxsyntax}
 \subsubsection{TBox-Sematik}\label{tboxsemantik}
 
 \begin{definition}{TBox-Semantik} \\
-Eine Interpretation $I$
+Eine Interpretation $\MI$
 \begin{itemize}
 \item
   erfüllt Konzeptinklusion $C \sqsubseteq D$ gdw.
-  $C^{I} \subseteq D^{I}$
+  $C^{\MI} \subseteq D^{\MI}$
 \item
-  ist Modell von TBox $T$ gdw. $I$ alle Konzeptinklusionen in $T$
+  ist Modell von TBox $\MT$ gdw. $\MI$ alle Konzeptinklusionen in $\MT$
   erfüllt
 \end{itemize}
 \end{definition}
@@ -202,7 +202,7 @@ \subsubsection{Erfüllbarkeit, Subsumtion, Äquivalenz}\label{erfuxfcllbarkeit-s
 \end{itemize}
 \end{definition}
 
-Intuitiv gesprochen ist diese Definition wie in \protect\hyperlink{erfuxfcllbarkeit-subsumtion-uxe4quivalenz}{2.1.5}, nur ist $I$ jeweils Modell von einer TBox $T$.
+Intuitiv gesprochen ist diese Definition wie in \protect\hyperlink{erfuxfcllbarkeit-subsumtion-uxe4quivalenz}{2.1.5}, nur ist $\MI$ jeweils Modell von einer TBox $\MT$.
 
 \begin{itemize}
 \item
@@ -301,10 +301,10 @@ \subsubsection{Reduktion}
 \begin{lemma}
 \begin{enumerate}
 \item{\emph{Erfüllbarkeit} auf \emph{Nicht-Äquivalenz} \\
-$C$ erfüllbar bzgl. $T$ gdw. $T \not\vDash C \equiv \bot$}
+$C$ erfüllbar bzgl. $\MT$ gdw. $T \not\vDash C \equiv \bot$}
 \item{\emph{Subsumtion} auf \emph{Unerfüllbarkeit} \\
 $T \vDash C \sqsubseteq D$ gdw. $C \sqcap \neg D$ unerfüllbar bzgl.
-$T$
+$\MT$
 \item{\emph{Äquivalenz} auf \emph{Subsumtion} \\}
 $T \vDash C \equiv D$ \emph{gdw.} $T \vDash \top \sqsubseteq \left( C \sqcap D \right) \sqcup \left( \neg C \sqcap \neg D \right)$}
 \end{enumerate}
@@ -323,7 +323,7 @@ \subsubsection{Inverse Rollen ($\ALCI$)}\label{inverse-rollen-alci}
 \begin{definition}{Inverse Rollen}
 Für jeden Rollennamen $r$ ist $r^{-}$ die \emph{inverse
 Rolle} zu $r$. Wir definieren \\
-$\left( r^{-} \right)^{I} = \left\{ \left( e,d \right)\  \right|\ \left( d,e \right) \in r^{I}\}$
+$\left( r^{-} \right)^{\MI} = \left\{ \left( e,d \right)\  \right|\ \left( d,e \right) \in r^{\MI}\}$
 \end{definition}
 
 \subsubsection{Zahlenrestriktion ($\ALCQ$)}\label{zahlenrestriktion-alcq}
@@ -341,10 +341,10 @@ \subsubsection{Zahlenrestriktion ($\ALCQ$)}\label{zahlenrestriktion-alcq}
 \begin{itemize}
 \item
   Höchstens-Restriktion:
-  $\left( \leq n\ r\ C \right)^{I} = \left\{ d \in \Delta^{I}\ |\ \#\left\{ e\ |\ \left( d,e \right) \in r^{I} \land e \in C^{I} \right\} \leq n \right\}$
+  $\left( \leq n\ r\ C \right)^{\MI} = \left\{ d \in \Delta^{\MI}\ |\ \#\left\{ e\ |\ \left( d,e \right) \in r^{\MI} \land e \in C^{\MI} \right\} \leq n \right\}$
 \item
   Mindestens-Restriktion
-  $( \geq n\ r\ C) = \left\{ d \in \Delta^{I}\ |\ \#\left\{ e\ |\ \left( d,e \right) \in r^{I} \land e \in C^{I} \right\} \geq n \right\}$
+  $( \geq n\ r\ C) = \left\{ d \in \Delta^{\MI}\ |\ \#\left\{ e\ |\ \left( d,e \right) \in r^{\MI} \land e \in C^{\MI} \right\} \geq n \right\}$
 \end{itemize}
 \end{definition}
 

chapters/300_ausdruckstaerke_etc.tex

@@ -9,55 +9,55 @@ \subsection{Bisimulation}\label{bisimulation}
 
 \begin{definition}{Bisimulation}
 
-Seien $I_{1}$ und $I_{2}$ Interpretationen. Relation
-$\rho \subseteq \Delta^{I_{1}} \times \Delta^{I_{2}}$ ist Bisimulation
-zwischen $I_{1}$ und $I_{2}$, wenn gilt:
+Seien $\MI_{1}$ und $\MI_{2}$ Interpretationen. Relation
+$\rho \subseteq \Delta^{\MI_{1}} \times \Delta^{\MI_{2}}$ ist Bisimulation
+zwischen $\MI_{1}$ und $\MI_{2}$, wenn gilt:
 
 \begin{enumerate}
 \def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
 \item
   Wenn $d_{1}\text{\ $\rho$}\text{\ d}_{2}$, dann gilt für alle
-  Konzeptnamen A: $d_{1} \in A^{I_{1}}$ gdw. $d_{2} \in A^{I_{2}}$.
+  Konzeptnamen A: $d_{1} \in A^{\MI_{1}}$ gdw. $d_{2} \in A^{\MI_{2}}$.
 \item
   Wenn $d_{1}\text{\ $\rho$}\text{\ d}_{2}$ und
-  $\left( d_{1},d_{1}^{'} \right) \in r^{I_{1}}$ für beliebigen
-  Rollennamen $r$, dann gibt es ein $d_{2}^{'} \in \Delta^{I_{2}}$
+  $\left( d_{1},d_{1}^{'} \right) \in r^{\MI_{1}}$ für beliebigen
+  Rollennamen $r$, dann gibt es ein $d_{2}^{'} \in \Delta^{\MI_{2}}$
   mit ${d'}_{1}\text{\ $\rho$}{\ d'}_{2}$ und
-  $\left( d_{2},d_{2}^{'} \right) \in r^{I_{2}}$.
+  $\left( d_{2},d_{2}^{'} \right) \in r^{\MI_{2}}$.
 \item
   Wenn $d_{1}\text{\ $\rho$}\text{\ d}_{2}$ und
-  $\left( d_{2},d_{2}^{'} \right) \in r^{I_{2}}$ für beliebigen
-  Rollennamen $r$, dann gibt es ein $d_{1}^{'} \in \Delta^{I_{1}}$
+  $\left( d_{2},d_{2}^{'} \right) \in r^{\MI_{2}}$ für beliebigen
+  Rollennamen $r$, dann gibt es ein $d_{1}^{'} \in \Delta^{\MI_{1}}$
   mit ${d'}_{1}\text{\ $\rho$}{\ d'}_{2}$ und
-  $\left( d_{1},d_{1}^{'} \right) \in r^{I_{1}}$.
+  $\left( d_{1},d_{1}^{'} \right) \in r^{\MI_{1}}$.
 \end{enumerate}
 \end{definition}
 
-Seien $I_{1}$ und $I_{2}$ Interpretationen,
-$d_{1} \in \Delta^{I_{1}}$, $d_{2} \in \Delta^{I_{2}}$:
+Seien $\MI_{1}$ und $\MI_{2}$ Interpretationen,
+$d_{1} \in \Delta^{\MI_{1}}$, $d_{2} \in \Delta^{\MI_{2}}$:
 
-$(I_{1},d_{1}) \sim (I_{2},d_{2})$: Es gibt Bisimulation $\rho$
-zwischen $I_{1}$ und $I_{2}$ mit $d_{1}\text{\ $\rho$}\text{\ d}_{2}$.
+$(\MI_{1},d_{1}) \sim (\MI_{2},d_{2})$: Es gibt Bisimulation $\rho$
+zwischen $\MI_{1}$ und $\MI_{2}$ mit $d_{1}\text{\ $\rho$}\text{\ d}_{2}$.
 Die leere Relation ist immer Bisimulation.
 
 \begin{theorem}
-Seien $I_{1}$, $I_{2}$ Interpretationen,
-$d_{1} \in \Delta^{I_{1}}$ und $d_{2} \in \Delta^{I_{2}}$. Wenn
-$(I_{1},d_{1}) \sim (I_{2},d_{2})$, dann gilt für alle ALC-Konzepte
+Seien $\MI_{1}$, $\MI_{2}$ Interpretationen,
+$d_{1} \in \Delta^{\MI_{1}}$ und $d_{2} \in \Delta^{\MI_{2}}$. Wenn
+$(\MI_{1},d_{1}) \sim (\MI_{2},d_{2})$, dann gilt für alle ALC-Konzepte
 $C$:
 
-$$d_{1} \in C^{I_{1}}\ gdw.\ d_{2} \in C^{I_{2}}$$
+$$d_{1} \in C^{\MI_{1}}\ gdw.\ d_{2} \in C^{\MI_{2}}$$
 \end{theorem}
 
 \textbf{T3.2.}
 
 \begin{proof}
 Beweisskizze per Induktion über die Struktur von C. Sei $\rho$ eine
-Bisimulation zwischen $I_{1}$ und $I_{2}$ mit
+Bisimulation zwischen $\MI_{1}$ und $\MI_{2}$ mit
 $d_{1}\text{\ $\rho$}\text{\ d}_{2}$.
 
 \textbf{I.A.} $C = A$ ist Konzeptname. Nach Bedingung 1. der
-Bisimulation gilt $$d_{1} \in A^{I_{1}}\ gdw.\ d_{2} \in A^{I_{2}}$$.
+Bisimulation gilt $$d_{1} \in A^{\MI_{1}}\ gdw.\ d_{2} \in A^{\MI_{2}}$$.
 
 \textbf{I.S.} Unterscheide Fälle gemäß des äußersten Konstruktes von C.
 Es genügen $\neg$,$\sqcap$, $\exists\text{r.C}$:
@@ -71,7 +71,7 @@ \subsection{Bisimulation}\label{bisimulation}
 \begin{quote}
 \begin{equation}
 \begin{split}
-d_{1} \in C^{I_{1}} &\stackrel{Sem.}{gdw.} d_{1} \notin D^{\MI_{1}}\\
+d_{1} \in C^{\MI_{1}} &\stackrel{Sem.}{gdw.} d_{1} \notin D^{\MI_{1}}\\
 &\stackrel{I.V.}{gdw.} d_{2} \notin D^{\MI_{2}} \\
 &\stackrel{Sem.}{gdw.} d_{2} \in C^{\MI_{2}}
 \end{split}
@@ -145,7 +145,7 @@ \subsubsection{Anwendungen von Bisimulation I}\label{theorem-3.4}
 Beweisskizze. Finde Bisimulation für die dies nicht gilt.
 
 \begin{proof}
-\textbf{$\exists r.\top$}
+\textbf{$\exists r^{-}.\top$}
 
 Betrachte 2 Interpretationen $\MI$ und $\MJ$
 
@@ -167,16 +167,16 @@ \subsubsection{Anwendungen von Bisimulation I}\label{theorem-3.4}
 Man sieht, dass die Argumentation zum Beweis der Nicht-Ausdrückbarkeit immer auf dasselbe hinausläuft:
 \begin{theorem}
 
-Sei $E$ eine Eigenschaft. Wenn es Interpretation $I_{1}$, $I_{2}$
-und Elemente $d_{1} \in \Delta^{I_{1}}$ und
-$d_{2} \in \Delta^{I_{2}}$ gibt, so dass
+Sei $E$ eine Eigenschaft. Wenn es Interpretation $\MI_{1}$, $\MI_{2}$
+und Elemente $d_{1} \in \Delta^{\MI_{1}}$ und
+$d_{2} \in \Delta^{\MI_{2}}$ gibt, so dass
 
 \begin{itemize}
 \item
-  $\left( I_{1},d_{1} \right) \in E$ und
-  $\left( I_{2},d_{2} \right) \in E$ sowie
+  $\left( \MI_{1},d_{1} \right) \in E$ und
+  $\left( \MI_{2},d_{2} \right) \not\in E$ sowie
 \item
-  $(I_{1},d_{1}) \sim (I_{2},d_{2})$
+  $(\MI_{1},d_{1}) \sim (\MI_{2},d_{2})$
 \end{itemize}
 
 dann ist $E$ nicht in $\ALC$ ausdrückbar.
@@ -239,7 +239,7 @@ \subsubsection{Unravelling}\label{unravelling}
 
 \begin{proof}
 Mit Theorem genügt es folgende Bisimulation zu zeigen:
-$$\left( I,end\left( p \right) \right)\sim\left( J,p \right)$$ Definiere Relation: $$\rho = \left\{ \left( \text{end}\left( p \right),p \right) \in \Delta^{\MI} \times \Delta^{\MJ}\  \right|\text{\ p\ }\mathrm{\text{ist}}\text{\ d}\mathrm{- Pfad}\}\ $$(Bilde
+$$\left( \MI,end\left( p \right) \right)\sim\left( J,p \right)$$ Definiere Relation: $$\rho = \left\{ \left( \text{end}\left( p \right),p \right) \in \Delta^{\MI} \times \Delta^{\MJ}\  \right|\text{\ p\ }\mathrm{\text{ist}}\text{\ d}\mathrm{- Pfad}\}\ $$(Bilde
 alle Knoten in $\MJ$ auf ihr Ende ab). 
 
 Zur Bisimulation:
@@ -325,7 +325,7 @@ \subsubsection{Größe von Konzepten und
 
 \begin{itemize}
 \item
-  $\sum_{C \sqsubseteq D \in T}^{}{\left| C \right| + \left| D \right| + 1}$
+  $\sum_{C \sqsubseteq D \in T}^{\left| C \right| + \left| D \right| + 1}$
 \end{itemize}
 \end{definition}